Анализ на действительных и комплексных многообразиях

Р.Нарасимхан АНАЛИЗ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ И КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ В этой небольшой по объему книге автору удалось собрать и изложить богатый материал, разбросанный по различным источникам. Компактное изложение предполагает определенную математическую подготовку читателя, однако для чтения книги достаточно знакомства с традиционными курсами анализа и высшей алгебры. Книгу можно использовать как учебное пособие при изучении современного анализа. Книга представляет интерес для математиков различных специальностей. Она будет полезна преподавателям, аспирантам и студентам университетов и пединститутов. Содержание Предисловие редактора перевода 5 Предисловие 7 Глава 1. Дифференцируемые функции в Rn 1.1. Формула Тейлора 1.2. Разбиения единицы 1.3. Обратные функции, неявные функции и теорема о ранге 1.4. Теорема Сарда и функциональная зависимость 1.5. Теорема Бореля о рядах Тейлора 1.6. Теорема Уитни о приближении 1.7. Теорема о приближении для голоморфных функций 1.8. Обыкновенные дифференциальные уравнения Глава 2. Многообразия 2.1. Основные определения 2.2. Касательное и кокасательное расслоения 2.3. Многообразия Грассмана 2.4. Векторные поля и дифференциальные формы 2.5. Подмногообразия 2.6. Внешнее дифференцирование 2.7. Ориентация 2.8. Многообразия с границей 2.9. Интегрирование 2.10. Однопараметрические группы 2.11. Теорема Фробениуса 2.12. Почти комплексные многообразия

9 10 18 20 25 33 36 42 46 55 55 62 68 71 81 87 93 96 99 105 110 119

2.13. Леммы Пуанкаре и Гротендика 2.14. Применения: теорема Хартогса о продолжении и теорема Ока-Вейля 2.15. Погружения и вложения: теоремы Уитни 2.16. Теорема Тома о трансверсальности Глава 3. Линейные эллиптические дифференциальные операторы 3.1. Векторные расслоения 3.2. Преобразования Фурье 3.3. Линейные дифференциальные операторы 3.4. Пространства Соболева 3.5. Леммы Реллиха и Соболева 3.6. Неравенства Гординга и Фридрихса

125 130 136 144 149 149 158 164 175 181 190

3.7. Эллиптические операторы с C ∞ -коэффициентами: теорема о 199 регулярности 3.8. Эллиптические операторы с аналитическими коэффициентами 206 3.9. Теорема конечности 212 3.10. Теорема о приближении и ее применение к открытым римановым 219 поверхностям Литература 226 Предметный указатель 230 Предметный указатель Граница многообразия 97 Аналитическая функция 11, 57 Граничная точка 97 Аналитически зависимые функции 30 Грассмана многообразия 70 Бореля теорема 34 Гротендика лемма 127 Вейерштрасса теорема 13 Де Рама группы когомологий 91 - - о приближении 37 Диффеоморфизм 12, 57 Векторное поле 71 Дифференциал 59 - расслоение 149 - отображения 63 Вложение 136 - функции 20 - замкнутое 136 Дифференциальная система 111 - локально собственное 136 - - вполне интегральная 111 Внешняя производная 87 - - инволютивная 111 - степень векторного расслоения 154 - форма 71 Внутренняя точка 96 - - голоморфная 93 Вполне интегрируемая - - замкнутая 91 дифференциальная система 111 - - комплекснозначная 78 Голоморфная функция 12, 57 - - степени p 71 Голоморфное векторное поле 80 - - типа (p, q) 80 - отображение 57 - - точная 91 Гординга неравенство 192

Дифференциальный оператор 164 - - с аналитическими коэффициентами 174 - - эллиптический 171 Дифференцируемое многообразие 55 Инвариантное векторное поле 108 Интеграл дифференциальной системы 100 Интегрирование дифференциальных форм 103 Касательное пространство 59 - расслоение 65 Касательный вектор 59 Ковектор 59 Касательное пространство 59 - расслоение 65 Комплексно аналитический изоморфизм 57 Комплексное многообразие 56 Координатная окрестность 56 Критическая точка 26, 67 Локальная однопараметрическая группа 105 Локально конечное семейство 18 - собственное отображение 82 Локальный оператор 87 Мальгранжа—Лакса теорема о приближении 221 Многообразие 55 - класса Ck 55 - с границей 96 Морфизм 149 Носитель сечения 156 - функции 10, 56 Ньюлендера—Ниренберга теорема 122 Однопараметрическая группа 105 Ока—Вейля теорема 134 Ориентация 94 Ориентируемое многообразие 93 Отображение расслоении 149 Планшереля теорема 161 Погружение 136 Подмногообразие 81

Положительный касательный вектор 97 - ковектор 98 Порядок линейного дифференциального оператора 168 Почти комплексная структура 120 - - - интегрируемая 121 Преобразование координат 56 Проективное пространство 70 Производная 59 Прообраз дифференциальной формы 74 Прямая сумма векторных расслоений 154 Пуанкаре лемма 125 Равномерно строго эллиптический оператор 191 Разбиение единицы 18 Размерность 55, 56 Ранг отображения 66 Расслоение p-форм 66 - форм типа (p, q) 156 Регулярное отображение 136 Реллиха лемма 183, 214 Рунге область 42 - теорема 42, 223 Сарда теорема 26, 27 Сечение векторного расслоения 156 Символ линейного дифференциального оператора 170 Система координат 55 Скобка векторных полей 75 Соболева лемма 187 - пространства 175 Собственное отображение 82 Сопряженное векторное расслоение 154 Стационарная функция 58 Стокса теорема 103 Строгая дифференцируемость в Lp 179 Структурные формы 120

Тензорное произведение векторных расслоений 154 Теорема конечности об аналитичности 211, 213 - - обратной функции 24, 67 - о неявной функции 24 - - ранге 24, 67, 77 - регулярности 205, 213 Тома теорема о трансверсальности 148 Трансверсальное отображение 146 Уитни сумма 154 - теорема о вложении 141 - - - погружении 140 - - - приближении 38, 39 - - - продолжении 35 Формально сопряженный оператор 173 - транспонированный оператор 174 Фридрихса неравенство 196

Фробениуса теорема 114, 115, 117 Функции перехода 151 Функциональная зависимость 30 Фурье преобразования 158, 161 Хартогса теорема о продолжении 132 Частный дифференциал 22 Штейна многообразие 224 Якоби тождество 75 Ck-многообразие 55 Ck -отображение 57 Ck -структура 55 Ck -функция 57 ∂ -ациклическое открытое множество 132 k-связное многообразие 144 m-плоская функция 33 R-аналитическая функция 4, 57 R-аналитический изоморфизм 57 R-аналитическое многообразие 55