Нелинейные цепи при постоянных и переменных токах: Методические указания к выполнению расчетно-графического задания

Министерство образования Российской Федерации ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра теоретической и общей электротехники

Ж.Г.Пискунова С.Н.Бравичев Н.В.Голубь

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению расчетно – графического задания «Нелинейные цепи при постоянных и переменных токах»

Оренбург 2000

4

ББК 31.21 П 34 УДК 621.318 (075)

1 Часть I. Анализ режимов нелинейных магнитных цепей при постоянных магнитных потоках При выполнении этой части расчетно-графического задания необходимо вспомнить: 1.1 Магнитные цепи – часть электротехнического устройства, состоящая из источников, возбуждающих магнитное поле (постоянные магниты, катушки индуктивности), и магнитопроводов, предназначенных для концентрации магнитного поля в определенной части пространства. 1.2 Магнитопроводы выполняются из ферромагнитных материалов с высокой магнитной проницаемостью, величина которой зависит от режима работы магнитной цепи. Магнитные цепи нелинейны. 1.3 Расчет магнитных цепей удобно выполнять, используя аналогию между характеристиками магнитных и электрических цепей (таблица 1): Таблица 1 – Аналогия между характеристиками магнитных и электрических цепей Характеристика магнитной цепи

Характеристика электрической цепи

МДС F = I ⋅ W , А

ЭДС E , В

Магнитный поток Ф , Вб

Ток I , А

Магнитное сопротивление l , 1/Ом с Rµ = µ ⋅ µ0 ⋅ S

Электрическое сопротивление l R = ρ ⋅ , Ом S

Магнитное напряжение U µ = Rµ ⋅ Ф = H ⋅ l , А

Электрическое напряжение U = R⋅I , В

Вебер-амперная характеристика участка магнитопровода

Вольт-амперная характеристика участка электрической цепи

1.1 Алгоритм решения целевой задачи Заданы параметры участков магнитопровода: длина l , площадь сечения S , кривая намагничивания материала магнитопровода B(H ) , а так же одна из нескольких магнитных величин, характеризующих режим магнитной цепи: магнитный поток Ф , магнитная индукция B , напряженность магнитного поля H . 5

1.1.1 Поставить (выбрать) условно – положительные направления токов в катушках индуктивности и магнитных потоков в магнитопроводе. 1.1.2 Выделив в заданной магнитной цепи участки с различными веберамперными характеристиками, представить заданную магнитную цепь в виде электрической схемы замещения, воспользовавшись аналогией между магнитными и электрическими величинами. Рекомендуется сохранить на аналоговой электрической схеме обозначения магнитных величин. 1.1.3 Построить вебер-амперные характеристики всех участков магнитопровода. Если задана кривая намагничивания материала магнитопровода B(H ) , то для получения вебер-амперной характеристики нужно определить Ф = B ⋅ S и U = H ⋅l . Магнитное сопротивление воздушного зазора Rδ определить по формуле:

Rδ =

l0 , Sδ ⋅ µ 0

где µ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 Гн/м. 1.1.4 Определить режим заданной магнитной цепи путем расчета полученной аналоговой электрической схемы замещения, используя методы и технику расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока. 1.1.5 Необходимо определить эквивалентную силу в направлении магнитной силовой линии, которая стремится сблизить участки сердечника, ограничивающая воздушный зазор. Эта сила действует между противоположными магнитными полюсами, которые образуются на границах воздушного зазора при переходе магнитных силовых линий из воздуха в ферромагнетик и наоборот. Искомая сила:

Fl = −

dW w ⋅ I dФ =− ⋅ , А. dlв 2 dlв

1.2 Задание

Конструкция электромагнита с разветвленным магнитопроводом показана на рисунке 1. (Номер схемы соответствует первому номеру варианта). Конструктивные параметры магнитопровода приведены в таблице 2. Сердечник магнитопровода набран, из 100 листов электротехнической стали 2013. Толщина листов 0,5 мм. (Номер столбца в таблице 2 соответствует второму номеру варианта). Кривая намагничивания материала магнитопровода B(H ) задана в виде таблицы 3. Таблица 2 – Конструктивные параметры магнитопровода № стол. a , мм 6

0 800

1 750

2 700

3 650

4 600

5 550

6 500

7 450

8 400

9 350

b , мм c , мм d , мм

500 200 80

520 180 90

480 160 70

450 175 85

400 255 65 a

380 160 45

f

δ I1

d I2

w1 Ф1

300 130 25

250 120 30

200 100 15

f

с

f

320 180 35

I3

w2 Ф2

f

f

b

w3 Ф3

f

схема 1 a f

f

с

f

b

δ

d

I1

w1 Ф1

w2 Ф2

f

f

I2

w3

I3

Ф3

f

схема 2 a f

f I1

f

δ

с I2

w1 Ф1

f

d w2 Ф2

f I3

f

b

w3 Ф3

7

схема 3 Рисунок 1 – Схема магнитной цепи (номер схемы совпадает с первой цифрой варианта) Продолжение таблицы 2

f , мм δ , мм w1 w2 w3 R1 , Ом X 1 , Ом R2 , Ом X 2 , Ом R3 , Ом X 3 , Ом

100 1,25 300 250 320 10 30 15 20 30 40

90 1,0 280 260 300 20 20 30 40 25 35

80 0,8 250 300 220 15 25 10 30 10 45

70 0,6 230 310 270 25 10 25 35 15 50

60 0,5 200 280 330 5 30 15 25 20 30

60 0,4 210 260 350 30 5 25 45 10 55

40 0,2 280 320 340 25 15 5 50 25 35

30 0,3 290 270 400 20 10 35 15 30 25

20 0,5 310 260 350 15 15 10 20 15 55

10 0,7 320 290 430 5 25 20 30 20 40

Таблица 3 – Кривая намагничивания для стали 2013

B ,Тл H ,А/см

0 0,7 0,9 1,1 1,2 1,4 1,5 1,7 1,8 1,86 1,9 1,96 0 0,78 0,99 1,25 1,41 3,00 6,20 34,0 70,0 106 130 173

Известные значения токов в обмотках и потоков показаны в таблице 4. Таблица 4 – Токи и магнитные потоки № строки 0 1

известно Ф1 = 0 Вб; I 2 = 0 А; I 3 = 0,5 А I1 = 0 А; I 2 = 0,8 А; I 3 = 1,2 А

определить I1 , Ф2 , Ф3 Ф1 , Ф2 , Ф3

2

Ф2 = 60 ⋅ 10 −5 Вб; I1 = 1,8 А; I 3 = 0 А

I 2 , Ф1 , Ф3

3

Ф3 = 70 ⋅ 10 −5 Вб; I1 = 0 А; I 2 = 2 А

I 3 , Ф1 , Ф2

4

Ф1 − Ф2 = 20 ⋅ 10 −5 Вб; I 2 = 2,5 А; I 3 = 0 А Ф3 = 0 Вб; I1 = 1 А; I 3 = 0 А I1 = 1,6 А; I 2 = 0 А; I 3 = 1,4 А

I1 , Ф1 , Ф2 , Ф3

5 6 7

Ф1 = 80 ⋅ 10 −5 Вб; I 2 = 2,2 А; I 3 = 0 А Ф1 = 0 Вб; I1 = 1,5 А; I 2 = 0 А

I 2 , Ф1 , Ф2 Ф1 , Ф2 , Ф3 I1 , Ф1 , Ф3

I 3 , Ф1 , Ф2 8 I 2 , Ф1 , Ф2 , Ф3 9 Ф2 − Ф3 = 30 ⋅ 10 −5 Вб; I1 = 0 А; I 3 = 2,8 А Определить: 1 Значения неизвестных токов и потоков указанные в таблице 4 (номер строки соответствует третьей цифре варианта). 8

2 Определить эквивалентную силу притяжения, действующую на участки магнитопровода. Магнитное поле в сердечнике и в зазоре можно принять однородным, пренебречь полем рассеяния. Примечание – Вариант задания обозначается тремя цифрами α , β , γ : α - номер схемы (рисунок 1); β - номер столбца в таблице 2; γ - номер столбца в таблице 4. 1.3 Рекомендации и пояснения к выполнению расчета

Для заданной магнитной цепи составляются четыре уравнения по законам Кирхгофа: одно уравнение – по первому закону Кирхгофа для магнитных потоков и три уравнения по – второму закону Кирхгофа. Эти уравнения должны определять магнитное напряжение между узлами цепи через параметры ветвей. При составлении этих уравнений направления магнитных потоков, заданных по условию, необходимо принять такими, какими они указаны на схемах (рисунок 1), а направлениями остальных магнитных потоков можно задаваться произвольно. a

S1

S2 l1 Ф1

I1 w1

l3

I2

l2

Ф2

w2

S3

δ

Ф3 l 3

S3

U µab

b Рисунок 2 – Пример магнитной цепи

Например, для магнитной цепи рисунок 2, уравнения, необходимые для решения задачи имеют следующий вид: Ф1 + Ф2 = Ф3 U  µab = F1 − H 1 ⋅ l1  U µab = F2 − H 2 ⋅ l 2 U  µab = H 3 ⋅ (l3′ + l3′′ ) + H в ⋅ δ

(1) (2) (3) (4)

Порядок решения этой системы нелинейных уравнений зависит от конкретных условий задачи. Поэтому если известны:

9

1.3.1 Намагничивающие силы F1 = w1 ⋅ I1 и F2 = w2 ⋅ I 2 , а требуется определить магнитные потоки Ф1 ; Ф2 и Ф3 , то по правым частям уравнений (2), (3), (4) на графике строятся вебер-амперные характеристики всех трех ветвей. Затем на основании уравнения (1) строится суммарная вебер-амперная характеристика 1 и 2 ветвей и находится точка пересечения этой суммарной характеристики с вебер-амперной характеристикой третьей ветви. Найденная точка пересечения определит U µab и Ф3 . Магнитные потоки Ф1 и Ф2 определяются затем по магнитному напряжению U µab с помощью вебер-амперных характеристик первой и второй ветвей. 1.3.2 Один магнитный поток, например Ф1 и одна намагничивающая сила, например F2 = w2 ⋅ I 2 , и требуется определить намагничивающую силу F1 = w1 ⋅ I1 и магнитные потоки Ф2 и Ф3 , то система уравнений (1), (2), (3), (4) решается в следующем порядке. По правым частям уравнений (3), (4) на графике строятся вебер-амперные характеристики 2 и 3 ветвей. Затем на основании уравнения (1) к вебер-амперной характеристике второй ветви прибавляется постоянный магнитный поток Ф1 и находится точка пересечения полученной кривой с вебер-амперной характеристикой третьей ветви. Точка пересечений определит U µab и Ф3 , а магнитный поток Ф2 определится затем по значению U µab и вебер-амперной характеристике второй ветви. Намагничивающая сила F1 после этого определится из уравнения (1). 1.3.3 Ф2 и F2 = w2 ⋅ I 2 , и требуется определить F1 ; Ф1 Ф3 , то сначала из уравнения (3) находится магнитное напряжение U µ ab , а затем по уравнению

(1) определяется Ф1 и из уравнения(2) вычисляется намагничивающая сила F1 = w1 ⋅ I1 . 1.3.4 Ф1 = 0 и F2 = w2 ⋅ I 2 , и требуется определить F1 ; Ф2 и Ф3 , то сначала из уравнения (1) находится магнитное напряжение U µab = F1 , для определения магнитного напряжения U µab необходимо решить графически уравнения (3) и (4). По правым частям уравнений (3) и (4) строятся вебер-амперные характеристики второй и третьей ветвей, и находится их точка пересечения, которая определит U µab и Ф2 = Ф3 . 1.3.5 Ф1 = 0 и F1 = w1 ⋅ I1 , и требуется определить F2 ; Ф2 и Ф3 , из уравнения (1) находится магнитное напряжение U µab = F1 . Далее по правой части уравнения (1) строится вебер-амперная характеристика третьей ветви и по значению U µab находится магнитный поток Ф3 . Далее из уравнения (1) следует, что Ф2 = Ф3 и из уравнения (3) вычисляется намагничивающая сила F2 = w2 ⋅ I 2 . 1.3.6 Ф1 − Ф2 = Ф и F2 = w2 ⋅ I 2 , и требуется определить F1 ; Ф1 ; Ф2 ; Ф3 . Учитывая, что намагничивающая сила F1 неизвестна, из уравнения (1) с помощью заданного условия Ф1 − Ф2 = Ф исключают магнитный поток Ф1 . Получа10

ется уравнение: Ф + 2 ⋅ Ф2 = Ф3 ,

которое решается графически. По правым частям уравнений (3) и (4) строятся вебер-амперные характеристики второй и третьей ветви. Ординаты вебер-амперной характеристики второй ветви удваиваются, и прибавляется постоянный магнитный поток Ф , после чего находится точка пересечения полученной кривой с вебер-амперной характеристикой третьей ветви. Точка пересечения определит магнитное напряжение U µab и магнитный поток Ф3 . Далее по значению U µab с помощью вебер-амперной характеристики второй ветви находится магнитный поток Ф2 . Из уравнения (1) затем находится магнитный поток Ф1 и из уравнения (2) намагничивающая сила F1 = w1 ⋅ I1 .

2 Часть II. Анализ режимов нелинейных электрических цепей при периодических процессах При выполнении этой части расчетно-графического задания необходимо вспомнить: 2.1 В цепях переменного тока, в отличие от цепей постоянного тока, нелинейный элемент может быть описан тремя видами характеристик: - вольтамперными (вебер-амперными, кулон-вольтными) характеристиками для мгновенных значений; - вольтамперными характеристиками (ВАХ) для первых гармоник; - ВАХ для действующих значений. Использование той или иной характеристики зависит от конкретных условий задачи. 2.2 Методы анализа нелинейных цепей переменного тока (как и нелинейных цепей постоянного тока) делятся на графические и аналитические. 2.1 Графический метод

Графический метод основан на расчете режимов цепи с помощью графических построения с использованием характеристик нелинейных элементов, представленных в виде графиков и (или) таблиц. Алгоритм решения: 1 Составить на основании законов Кирхгофа уравнения, описывающие режим работы данной цепи, с целью определения закона изменения во времени одной из величин, характеризующей нелинейный элемент. 2 Используя характеристику для мгновенных значений, найти путем графических построений кривую изменения во времени второй величины, характеризующей нелинейный элемент. 3 На основании результатов, полученных в п.п.1, 2 определить все требуемые по условию задачи величины. 11

2.2 Задание

Выполнить графический расчет установившегося процесса в цепи переменного тока (рисунок 3), содержащий два нелинейных элемента (номер схемы совпадает с первой цифрой номера варианта). Известны вольт-амперные характеристики нелинейных элементов по действующим значениям напряжения и тока, а характеристики по мгновенным значениям считаются линейными. Вольт-амперные характеристики (ВАХ) нелинейного активного сопротивления, нелинейного индуктивного сопротивления и нелинейного емкостного сопротивления заданы соответственно таблицами 5, 6, 7. Действующие значения напряжения на входе схемы приведены в таблице 8 (номер столбца совпадает со второй цифрой варианта). Задаваясь несколькими значениями тока в одном из нелинейных элементов, определить символическим методом величину напряжения на входных зажимах цепи и построить кривую зависимости напряжения на входных зажимах цепи от тока в этом нелинейном сопротивлении. По построенной кривой найти значение тока, соответствующее заданному приложенному напряжению и определить токи в остальных ветвях. Построить вольтамперную характеристику и фазо-амперную характеристику цепи в пределах по напряжению от 0,2 ⋅ U до 1,2 ⋅ U . Таблица 5 – ВАХ активного сопротивления U ,В 0 10 20 30 40 I , А 0 00,2 0,05 0,08 0,1

50

60

70

80

90 100 110 120 130 140

14

0,17

0,2

0,24

0,3

0,34

0,49

0,68

1,05

1,5

Таблица 6 – ВАХ индуктивного элемента U ,В I,А

0 0

10 0,05

20 0,1

30 0,15

40 0,21

50 0,28

60 0,37

70 0,49

80 0,64

90 0,92

100 1,7

Таблица 7 – ВАХ емкостного элемента U ,В I,А

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

0

0,37

0,68

0,88

0,99

1,08

1,13

1,18

1,21

1,24

1,27

1,3

1,33

1,36

1,39

1,42

Примечание – Вариант обозначается тремя цифрами α , β , γ : α - номер схемы; β - номер столбца в таблице 7; γ - номер столбца в таблице 8. Таблица 8 – Действующее значение приложенного на вход напряжения № столб. U ,В

1 150

2 200

3 250

Таблица 9 – Параметры схемы № R1 , Ом

12

0 10

1 20

2 15

3 25

4 5

5 30

6 23

7 20

8 15

9 2

X 1 , Ом R2 , Ом X 2 ,Ом

30 15 20

20 30 40

25 10 30

10 25 35

30 15 25

5 25 45

15 5 50

10 35 15

15 10 20

25 20 60

13

1

0 R1

X1

U

X2

R3

R1

X1

U

R2

X3

X2

R3

R 2 X3

2

3 R1

X1

U

X1

R1

R2 X2

X L1

R1

U

R3

X1

R1

R2

R1

X1

U

X3

X3

X 2 R3 R 2 X3

7 X1

X2 R 3 R2

8

R3

X2

5

U

6

R1

U

R3

X2

4

X1

R 2 X3

R1

X2 R 3

U

X3

R2

X3

9 X2

R3

U R2

R1

X1

U

X2 R3 R 2 X3

X3

Рисунок 3 – Цепи переменного тока, содержащие нелинейные элементы Продолжение таблицы 9 R3 , Ом 30 25 10 15 14

20

10

25

30

15

20

X 3 ,Ом

40

35

45

50

30

55

35

25

55

40

2.3 Пояснения к выполнению задания

2.3.1 Для расчета заданной нелинейной цепи необходимо задаваться током в одной из параллельных ветвей (второй или третьей), с которой включено нелинейное сопротивление. Например, расчет токов в схеме показанной на рисунке 4, производится в следующем порядке. Принимаем произвольно величину тока I 2 , по вольтамперной характеристике для нелинейной индуктивности находим величину напряжения на сопротивлении X L 2 - U L 2 и определяем комплекс напряжения на зажимах параллельных ветвей: R1 X1 U&12 = R2 ⋅ I&2 + j ⋅ U L 2 = U 12 ⋅ e j⋅ψ12 , 1 где I&2 = I 2 , то есть начальную фазу X R2 XC1 3 I1 тока I 2 принимаем равной нулю. U Далее находим комплексы тока в I3 I2 R3 XL2 третьей ветви: U&12 &3 = I 2 R3 − j ⋅ X 3 и тока в неразветвленной части цеРисунок 4 – К пояснению выпи: полнения задания j⋅ψ1 & & I& . 1 = I 2 + I 3 = I1 ⋅ e По величине тока I1 с помощью вольтамперных характеристик для нелинейного активного сопротивления и нелинейной емкости находим напряжение на зажимах U R1 , U C1 . Затем подсчитываем комплекс входного напряжения: j⋅ψ1 U&= U R1 ⋅ e j⋅ψ1 + j ⋅ X 1 ⋅ I& + U&12 = U ⋅ e j⋅ψU . 1 − j ⋅ U C1 ⋅ e Такой расчет производится несколько раз при больших или меньших значениях тока I 2 и строится кривая зависимости модуля входного напряжения от модуля тока I 2 , то есть U (I 2 ) . По заданной величине приложенного напряжения с помощью построенной кривой U (I 2 ) находится действительное значение тока I 2 , соответствующее заданному напряжению U . Далее в том же порядке находятся действительные значение тока в I 3 и I1 . 2.3.2 Вольт-амперная характеристика цепи U (I1 ) и фазо-амперная характеристика ϕ (I1 ) , где ϕ = ϕ u − ϕ i , строятся по данным этого же расчета. Если диапазон изменения входного напряжения, полученный при расчете поток цепи окажется меньше заданного в условии задачи, то производятся аналогичные расчеты при дополнительных значениях тока I 2 . 2.3.3 При оформлении второй задачи для защиты РГЗ необходимо привести схему, исходные данные, вольт-амперные характеристики нелинейных сопротивлений, расчеты токов и входного напряжения, кривую U (I1 ) и графи-

15

ки вольтамперной и фазо-амперной характеристик. Расчеты целесообразно свести в таблицу. Пояснительная записка является основой для защиты РГЗ. Она должна отражать все основные этапы работы и все существенные результаты, необходимые для выполнения задания. Ориентировочный объем пояснительной записки 6 – 10 страниц теста, написанного от руки на одной стороне листа формата А4. Листы должны быть пронумерованы, записка сброшюрована. Пояснительная записка должна содержать: а) титульный лист по принятому стандарту; б) задание с исходными данными; в) оглавление с разметкой по страницам; г) текстовую часть, состоящую из теоретического и расчетного разделов и излагающую решения всех поставленных вопросов; д) перечень используемой литературы, выполненный по правилам библиографического описания. Рисунки и чертежи необходимо выполнять в карандаше, снабжать необходимыми поясняющими подписями и условными обозначениями. Условные обозначения, шрифты, масштабы, угловые штампы должны соответствовать действующим стандартам.

16

3 Литература, рекомендуемая для изучения дисциплины 3.1 Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники. - М.: Энергия, 1965.- 360 с. 3.2 Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. - М.: Высшая школа, 1996. - 638 с. 3.3 Нейман Л.Д., Демирчан К.С. Теоретические основы электротехники. Т.1. - Л.:Энергоиздат,1981 - 536 с. 3.4 Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Стахов С.В. Основы теории цепей. -М.: Энергоатомиздат, 1989. - 528 с. 3.5 Новгородцев А.Б. 30 лекций по теории электрических цепей. - СПб.: Политехника, 1995. - 519 с. 3.6 Шебес М.Р., Задачник по теории линейных электрических цепей: Учеб. пособие. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 1982. - 488 с. 3.7 Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники/ Под ред. Бессонова Л.А.-М.: Высшая школа, 1988. - 543 с. 3.8 Зайчик М.Ю. Сборник задач и упражнений по теоретической электротехнике: Учебн. пособ. - М.:Энергоатомиздат, 1988. - 496 с. 3.9 Репьев Ю.Г., Семенко Л.П., Поддубный Г.В. Теоретические основы электротехники. Теория цепей: Учеб. пособие для самостоятельного для самостоятельного изучения. - Краснодар: КПИ, 1990. - 290 с. 3.10 Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных цепей/ Под ред. Ионкина П.А. - М.: Высшая школа, 1976. - 544 с. 3.11 Электротехника и электроника. Кн.1. Электрические и магнитные цепи: Учеб. для вузов: В 3-х кн. /В.Г. Герасимов, Э.В. Кузнецов, О.В.Николаева и др.; Под ред. В.Г. Герасимова.-М.: Энергоатомиздат, 1996. - 288 с. 3.12 Бараник О.В., Доброжанова Н.И., Желтяков А.В., Шевеленко В.Д. Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий по теоретическим основам электротехники №7, №8, №9. – Оренбург, 1982 г.

17