Алгебра и логика, 39, N 1 (2000), 93-103
УДК 512.56
РЕШЕТКИ С ЕДИНСТВЕННЫМИ НЕСОКРАТИМЫМИ
РАЗЛОЖЕНИЯМИ*)
М- В„ СЕМЕНОВА Памяти Виктора Александровича Горбунова
Представление элемента а полной решетки L в виде а = \J В назы вается разложением, если элементы множества В вполне неразложимы. Говорят, что это разложение несократимо, если а ф \J(B — Ъ) для всех Ъ£В. Известно [1], что в дистрибутивной решетке каждый элемент име ет не более одного несократимого разложения. В каких решетках каждый ненулевой элемент имеет единственное несократимое разложение? Далее такие решетки будем называть решетками с единственными
несократи
мыми разложениями. Для конечных решеток ответ на этот вопрос найден в 1940 г. Дилуорсом [2]. Он доказал, что конечная решетка L является ре шеткой с единственными несократимыми разложениями тогда и только тогда, когда L локально дистрибутивна. Известно также [3, 4], что класс конечных решеток с единственными несократимыми разложениями совпа дает с классом конечных выпуклых геометрий. В 1960 г. Дилуорс и Кроули [5] охарактеризовали класс коалгебраических сильно коатомных ре шеток с единственными несократимыми разложениями. Наконец, в 1978 г. Горбунов [б] дал описание класса дистрибутивных решеток с (единствен*' Работа выполнена при финансовой поддержке Госкомитета РФ по высшему обра зованию, проект 1998 г., Российского фонда фундаментальных исследований, проекты N 99-01-00485 и N 96-01-00097, Немецкого научно-исследовательского общества, проект N436113/2670.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
94
М. В, Семенова
ными) несократимыми разложениями. Близкие вопросы рассматривались в работах Эрне [7], Рихтера [8], Валендзяка [9—11]. В настоящей статье определяется понятие минимального разложения в решетке и доказывается, что все известные до сих пор решетки с един ственными несократимыми разложениями являются в действительности решетками с минимальными разложениями. Кроме того, дается характеризация класса решеток с минимальными разложениями. Как следствие, приводится новое доказательство отмеченной выше теоремы Дилуорса — Кроули. Все используемые здесь термины содержатся в [12, 13]. Везде далее предполагаем, что L — полная решетка, а 0 — ее наименьший элемент.
§ 1. Решетки с минимальными разложениями Напомним, что элемент а ф О решетки L называется вполне нераз ложимым, если для любого множества В С L равенство а = V В вле чет a G В. Множество всех вполне неразложимых элементов решет ки L обозначим CJ(L). а* ~\/{Ь
Очевидно, что для любого а Е CJ(L)
элемент
Е L :Ь < а} является единственным нижним покрытием элемен
та а. Элемент а решетки L называется вполне
полудистрибутивным
вверх, если для любого В С L и любого элемента с £ L а = Ь V с для всех Ь € В влечет а = (/\В) Решетка L вполне полудистрибутивна
Vc.
вверх, если каждый ее элемент
вполне полудистрибутивен вверх. Разложение а — \J В, где В С
CJ(L),
называется минимальным, если для любого С С CJ(L) равенство а = V С влечет включение В С С. Из определения следует, что любое минимальное разложение является единственным несократимым. Элемент а решетки L полумодулярен вниз, если для любого d ~< а и любого с 6 CJ(L) из а = с V d следует с Л d = с*. Решетка L называется полумодулярной вниз, если а -< а V Ь влечет а Л Ь -< Ь для любых элемен тов a,b € L. Полумодулярные вверх решетки определяются двойственным образом.
Решетки с единственными несократимыми разложениями
95
Основная цель этого параграфа — доказать, что имеет место Т Е О Р Е М А 1.1. Пусть L — решетка с разложениями.
Элемент
а ф О решетки L имеет минимальное разложение тогда и только тогда, когда он вполне полудистрибутивен вверх, полумодулярен вниз, а интер вал [О, а] является коатомной решеткой. Доказательство этой теоремы опирается на характеризацию класса решеток с каноническими разложениями, которая была получена Горбу новым [6]. Представление а = V В элемента а в виде суммы элементов множества В называют каноническим разложением элемента а, если вы полняется следующие условия: 1) это представление несократимо; 2) если а = V С, то для любого b £ В существует с 6 С такой, что 6<с. Из данного определения вытекает, что каноническое разложение единственно и состоит из вполне неразложимых элементов Т Е О Р Е М А 1.2 (см. [1]). Элемент а ф О решетки L имеет кано ническое разложение тогда и только тогда, когда он вполне полудистри бутивен вверх и интервал [0, а] является коатомной решеткой. Кроме того, если Ua — множество коатомов в [0, а], а = \/ В — каноническое разложение, то существует, единственная биекция f : Ua —> В со свой ствами f(n) £ п для всех п Е Ua] f(n) < т для всех п,т £ Ua и п ф т. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 1.1. Пусть а = У В - минимальное разложение элемента а. Поскольку в решетке с разложениями любое ми нимальное разложение является каноническим, то а вполне полудистрибу тивен вверх, а решетка [0, а] коатомна, согласно теореме 1.2. Далее, пусть d-
= a для некоторого с G CJ(L).
В силу условия (1) суще
ствует единственный b € В такой, что b £ d. Если \J(B - b) V с < а, то У (В — b) Vc < d1 •< а для некоторого коатома d!. Поскольку с ^ <2, то d1 ф d. Согласно условию (1) найдется У б В такой, что V £ df и Ь' < d. Учитывая неравенство d ф d', получаем, что b ф V. Таким образом, V < \J(B~b)
< d',
96
М. В, Семенова
а это противоречит выбору &'. Значит, \J(B - 6) V с = а. Отсюда, по опре делению минимального разложения, имеем В С (В \ {&}) U {с}, т. е. Ь = с. Покажем, что 6* < d В противном случае Ь* V d = а и, используя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получаем V ( ^ - Ь) V 6* = = а. Поскольку а = V В — каноническое разложение, имеем Ь < &*, что невозможно. Таким образом, Ь* < d и поэтому b*
тогда и только тогда, когда L вполне полудистри
бутивна вверх, полумодулярна вниз и сильно коатомна, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть а -< aVb и аУЬ = \ / С - минимальное разложение. Если аЛЬ < х < b для некоторого х £ L, то найдутся элементы ^ь^х 6 CJ(L) такие, что Ь\ < b и bi jC х, т. е. bi <£ a; Х\ < х и х\ ^ а Л Ь, т. е. xi ^ a. Отсюда xi / &i и a V xi = а V bi = aV b. Пусть a = V ^ — разложение элемента а. По выбору xi,bi получаем, что Xi,6i ^ А. Таким образом, С С (AU{xi})n(AU{bi}) = А, т. е. aVb < а, получили противоречие. По этому аЛЬ -< Ь, и решетка £ полумодулярна вниз. Остальные утверждения непосредственно следуют из теоремы 1.1. •
Решетки с единственными несократимыми разложениями
97
§ 2. Вполне полудистрибутивные вверх решетки с единственными несократимыми разложениями Основная цель параграфа — доказать, что вполне полудистрибутив ные вверх решетки с единственными несократимыми разложениями явля ются полумодулярными вниз. Л Е М М А 2.1. Для вполне полудистрибутивной вверх решетки L с единственными несократимыми разложениями выполняется условие: для любого a G L и любых ж, у G CJ(L) > а У х = aV у и х £ а влечет х = у.
(2)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. Пусть существуют различные ж, у € CJ(L) и а € L такие, что х£аиЬ
=
аУх=:аУу.
Рассмотрим множества X = {x'£L:
х V xf = 6}, У = {у' 6 X : y\Jy' = Ъ).
Очевидно, a G ХПУ. Решетка L вполне полудистрибутивна вверх, поэтому х V ( Д Х ) = у V (Д У) = 6. Пусть Д X = V T , Д У = У R ~ единственные несократимые разложения, тогда
xv(\jT)=yv(\jR), причем эти разложения несократимы: в противном случае х <\JT (или у < V R < а), либо \/{T--t)yx
= b(\/(R-r)\/y
— b) соответственно),
что противоречит минимальности элементов Д Х и Д У в множествах X и У соответственно. Поскольку х ф у, элемент Ь имеет два несократимых разложения, что противоречит условию. D Условие (2) рассматривал Валендзяк в [10]. Он показал, что для непрерывных вниз сильно коатомных решеток условие (2) равносильно существованию единственных несократимых разложений. Т Е О Р Е М А 2.2. Вполне полудистрибутивная
вверх решетка L с
единственными несократимыми разложениями полумодулярна
вниз.
98
М. В. Семенова
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть a -< а У Ь для некоторых a,b£ L. Если существует с £ L такой, что a A b < с < 6, то найдутся вполне неразложи мые элементы с\, Ь\ с условием b\ < b < aV b и bi jt с, т. е. b\ j£ a; c
i < с < b и ci j£ a Л ft, т. е. ci j< a.
Таким образом, b\ ф c\ и a V fti = a V c\ = a V 6, что противоречит (2). Поэтому L полумодулярна вниз. • Из следствия 1.3 и теорем 1.2, 2.2 вытекает С Л Е Д С Т В И Е 2.3. Длл вполне полудистрибутивной вверх решет ки L, имеющей единственные несократимые разложения,
равносильны
следующие условия: 1) L — решетка с каноническими 2) L — решетка с минимальными
разложениями; разложениями.
Наконец, покажем, что класс вполне полудистрибутивных вверх ре шеток с единственными несократимыми разложениями отличается от класса решеток с минимальными разложениями. Действительно, решет ка, изображенная на рисунке, вполне полудистрибутивна вверх и имеет
Решетки с единственными несократимыми разложениями
99
единственные несократимые разложения. Более того, разложение 1 = 6Vc несократимо, но не будет минимальным, поскольку 1 = V а,-.
§ 3. Решетки, в которых единственные несократимые разложения совпадают с минимальными Из определения минимального разложения вытекает, что в конеч ных решетках единственные несократимые разложения являются мини мальными, но, как отмечалось выше, в общем случае это не так. В данном параграфе в качестве следствия теоремы 1.1 мы приведем другие примеры решеток, в которых единственные несократимые разложения совпадают с минимальными. Из теоремы 1.1 и теоремы 2 [6] вытекает С Л Е Д С Т В И Е 3.1. ДЛЯ полной дистрибутивной решетки L раепосильны следующие условия: 1) L — решетка с несократимыми
разложениями;
2) L -— решетка с каноническими
разложениями;
3) L — решетка с минимальными
разложениями;
4) L — бесконечно У-дистрибутивная
сильно коатомная решетка.
Решетка называется полудистрибутивной вверх, если х V у = х V z влечет хУ у = x\/(yAz)
для всех ж, у, z £ L. Полная решетка L непрерывна
вверх, если а А (У С) = \J (а Л с) для любой цепи С С L и любого а 6 L. Непрерывность вниз определяется двойственным образом. Т Е О Р Е М А 3.2. Непрерывная вниз сильно коатомная решетка L является решеткой с единственными несократимыми
разложениями
тогда и только тогда, когда L полумодулярна вниз и полудистрибутивна вверх. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как нетрудно видеть, полудистрибутивная вверх непрерывная вниз решетка является вполне полудистрибутивной вверх. Поэтому если решетка L в условиях теоремы полудистрибутивна вверх и полумодулярна вниз, то по следствию 1.3 она имеет минимальные, а значит, и единственные несократимые разложения. Обратно, пусть L — решетка с единственными несократимыми разложениями, а = хУу = хУz
100
М. В. Семенова
и а ф х V (у Л z) для некоторых x,y}z E L. Поскольку L — сильно коатомная решетка, существует р £ L такой, что х V (у Л z) < р -< а. В силу последнего неравенства у £ р и z ji p, поэтому найдутся вполне нераз ложимые элементы q\ и q2l Для которых q\ < у, qi £ р м q2 < z, q2 jt p. Таким образом, q\ Vp = g2 Vp = а. Поскольку L непрерывна вниз, по лемме Цорна существуют минимальные элементы w\ < p и W2 < р со свойством qx v u?i = q2 V W2 = a. Пусть Wi = V^i» ^2 = V?2 — их единственные несократимые разложения, тогда ftv(\/ri)
=ftv(\ZT2)=a,
Эти разложения несократимы, так как t#i, и/2 < р -< а, а элементы w/i, W2 минимальны. Таким образом, Т\ U {gi} = Г2 U {#2}- Если
и
tfi < У А г < р, что противоречит выбору #i.
Получаем, что L полудистрибутивна вверх и поэтому, согласно теореме 2.2, полумодулярна вниз, О Эквивалентность условия существования единственных несократи мых разложений в классе непрерывных вниз сильно коатомных решеток с условиями полудистрибутивности вверх и полумодулярности вниз в дру гих терминах доказана впервые Дилуорсом и Кроули [5] (см. также [13]). Они показали, что непрерывная вниз сильно коатомная решетка будет ре шеткой с единственными несократимыми разложениями тогда и только тогда, когда она локально дистрибутивна, т. е. для любого a Е L интервал [Л Ua, о] (где Uа = {р Е L : р -< а}) является дистрибутивной решеткой. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3.3. Непрерывная вниз сильно коатомная ре шетка локально дистрибутивна тогда и только тогда, когда она полудистрибутивна вверх и полумодулярна
вниз.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть L полудистрибутивна вверх и полумо дулярна вниз, тогда р V /\(Ua — р) = а для всех а Е L и р Е Ua. Для доказательства локальной дистрибутивности достаточно установить, что произвольный элемент х Е [ua>ftL г Д е иа = Л^<п является пересечением элементов из Ua. Пусть В = {р Е Ua : х < р} и Ь — Д В. Если х < Ь, то найдется г Е 1?ь такой, что х < г -< Ь. Имеем г ф Ь Л р для всех р £ Ua. Более того, если р Е Ua и Ь jt р, то р -< Ь V р. Поскольку L полумодулярна
Решетки с единственными несократимыми разложениями
101
вниз, то Ь А р -< Ь. Таким образом, г > «« = Л ^ А Ь : р € С/а} > Д { $ :seUb,s^
г},
т. е. г = г V Л(^ь ~ г)? ч т о противоречит доказанному выше. Обратно, пусть L локально дистрибутивна. Согласно 3.7 [13], L по лумодулярна вниз. Предположим, что a = xVy тогда х < x\/(yAz)
—
x\Zzna^xV(yAz),
< р для некоторого р €Ua. Поскольку у ^ р и L непре
рывна вниз, в силу леммы Цорна найдется вполне неразложимый элемент q < у такой, что q £ р. Имеем q ^ г, в противном случае выполнялось бы Я < У Л z < р. Следовательно, qVz>zuz<s-
для некоторого
s £ Uqs/z- Более того, { V z V p ^ a У р , т , е . (q V z) А р •< q V г, так как L полумодулярна вниз. Далее, q £ $ npA(q\/z)
^ s, поскольку в противном
случае z < s < р. Положим b - q\/ f\UqVz.
Согласно 7.3 [13], uqVz -< 6.
Кроме того, 6 jC p A (q V z), иначе имели бы место q
итоге имеем:
bAs = bApA(qWz)
= uqS,z,
by s = 6 V (pЛ (g V г)) = g V z, получаем противоречие с тем, что решетка [ M ^ ^ V г] дистрибутивна. Таким образом, £ полудистрибутивна вверх. D Из следствия 1.3, теоремы 3.2 и предложения 3.3 получаем следую щее усиление теоремы Дилуорса—Кроули [5, 13]: С Л Е Д С Т В И Е 3.4. Для непрерывной вниз сильно коатомной ре шетки L эквивалентны следующие условия: 1) L ~ решетка с единственными несократимыми 2) L — решетка с минимальными
разложениями;
разложениями;
3) L полудистрибутивна вверх и полумодулярна вниз; 4) L локально
дистрибутивна.
В заключение укажем два новых класса, в которых единственные несократимые разложения совпадают с минимальными. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3.5. Пусть L — непрерывная вверх, полумоду лярная вверх} вполне полудистрибутивная вверх (либо непрерывная вниз) решетка. Если каждый элемент решетки L имеет несократимое разло жение^ то L сильно коатомпа.
102
М. В. Семенова, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть b E L,b = \/Q - несократимое разло
жение и q E Q. Положим
Xq={xeL:
\/(Q
-q)<x
Множество Xq непусто, поскольку \/(Q — q) 6 Xq, Если \J С = b для некоторой цепи С С Х д , то, используя непрерывность вверх, имеем q — = 9 Л (V С) = V (? Л с), а так как g вполне неразложим, то q < с для некосес торого с G С, что противоречит выбору С. По лемме Цорна Х д содержит максимальный элемент xq u xq -< b. Таким образом, для каждого q £ Q существует xq -< й, причем #i < я д для всех q% € Q, qi ^ q к q £ xq. Далее, пусть a < b в L. Рассмотрим множество У = {х G L : а V х = 6}. Оно непусто, поскольку 6 G У. Так как решетка L вполне полудистрибутивна вверх, у = Д У G У. (В случае, когда L непрерывна вниз, по лемме Цорна множество У содержит минимальный элемент у.) Согласно предыдущему, найдется w 6 L такой, что w -< у. Отсюда aVw < Ь, и поэтому (a Vw) Л у = = к; -< у. Решетка £ полумодулярна вверх, значит, а < a\/w -< aVwVy = Ь, что и требовалось доказать. • С Л Е Д С Т В И Е 3.5, В классе непрерывных вверх,
полумодулярных
вверх, вполне полудистрибутивных вверх (либо непрерывных вниз) реше ток единственные несократимые разложения совпадают с минимальными. Автор глубоко признателен В. А. Горбунову за постановку вопроса, а также за постоянное внимание и поддержку. ЛИТЕРАТУРА 1. G. Birkhoff, Rings of sets, Duke Math. J., 3 (1937), 442-454. 2. R. P. Dilworth, Lattices with unique irreducible decompositions, Ann. Math., II. Ser., 41, N 4 (1940), 771-776. 3. K. V. Adaricheva, V. A. Gorbunov, V. L Tumanov, Join semidistributive lattices and convex geometries, to appear. 4. B. Monjardet, The consequences of Dilworth's work on lattices with unique irreducible decompositions, in: The Dilworth theorems: selected papers of R. P. Dilworth (ed. by K. P. Bogart, R. Freese, J. P. S. Kung), Boston a.o., Birkhauser, 1990.
Решетки с единственными несократимыми разложениями
103
5. R. P. Dilworth, P. Crawley, Lattices without chain conditions, Trans. Am. Math. Soc, 96, N 1 (I960), 1-22. 6. В. А. Горбунову Канонические разложения в полных решетках, Алгебра и логика, 17, N 5 (1978), 495-511. 7. М. Erne, On the existence of decompositions in lattices, Algebra Univers., 16, N 3 (1983), 338-343. 8. G. Richter, The Kuros - Ore theorem, finite and infinite decompositions, Stud. Sci. Math. Hung., 17, N 1-3 (1982), 243-250. 9. A. Walendziak, Meet decompositions in complete lattices, Period. Math. Hung., 21, N 3 (1990), 219-222. 10. A. Walendziak, Join decompositions in lower continuous lattices, Stud. Sci. Math. Hung., 28, N 1-2 (1993), 131-134. 11. A. Walendziak, Unique irredundant decompositions in upper continuous lattices, Czech. Math. J., 45, N 2 (1995), 193-199. 12. В. А. Горбунов, Алгебраическая теория квазимногообразий, Новосибирск, Научная книга, 1999. 13. P. Crawley, Я. P. Dilworth, Algebraic theory of lattices, Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall, 1973. Адрес автора:
Поступило 30 декабря 1998 г.
СЕМЕНОВА Марина Владимировна, РОССИЯ, 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2, Новосибирский государственный университет. e-mail: [email protected]
