Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 347-358
УДК 512.544.2
П Р О М Е Ж У Т О Ч Н Ы Е ПОДГРУППЫ ГРУПП Ш Е В А Л Л Е Н А Д ПОЛЕМ ЧАСТНЫХ КОЛЬЦА Г Л А В Н Ы Х ИДЕАЛОВ*) Я. Н. НУЖИН, А. В. ЯКУШЕВИЧ Пусть К — поле частных кольца главных идеалов R, GK — группа Шевалле (нормального типа) над полем К. Для любого подкольца Р С С К через Gp обозначим подгруппу всех элементов из GK , коэффициенты которых лежат в Р. Пусть М — промежуточная подгруппа между GR И GK, Т. е. GRQMC
GK.
(1)
Основным результатом статьи является ТЕОРЕМА. Если подгруппа М удовлетворяет условию (1), то для некоторого промежуточного подкольца Р (R С Р С К) выполняется M = GP. Ранее для группы Шевалле типа Ai аналог этой теоремы был полу чен в случаях, когда R является: евклидовым кольцом (см. [1]), кольцом главных идеалов (см. [2]), дедекиндовым кольцом (см. [3]) и кольцом Везу (см. [4]). Для группы Шевалле типа С\ и евклидова кольца R аналогичный результат установлен в [5]. На важность исследования групп с условием (1) обращал внимание Ю. И. Мерзляков. В 1971 г. он выдвинул следующую проблему: *' Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект N 96-01-00409. ©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
348
Я. Н. Нужин, А. В. Якушевич Дать описание (решетки) подгрупп, заключенных между заданной
классической группой матриц над кольцом и подгруппой всех ее матриц с коэффициентами в подкольце. Основная теорема настоящей статьи дает исчерпывающее решение указанной проблемы для групп Шевалле в случае, когда основное кольцо является полем частных своего подкольца главных идеалов, но трудно на деяться, что подобное описание можно получить для достаточно широких классов колец.
§ 1. Обозначения и вспомогательные результаты Пусть К — коммутативное кольцо с единицей, К* — его мульти пликативная группа. Через G(K) будем обозначать элементарную группу Шевалле над кольцом К, ассоциированную с системой корней Ф. Она по рождается своими корневыми подгруппами ХТ = хТ{К),
г€Ф.
Для любого * Е А * положим nr(t) =
Xr{t)x„r(-t~X)xr{t),
hr(t) = n r ( * ) n r ( - l ) , H(K) =
(hr((t)\re*,t€K*).
Бели К — поле и ? - его подкольцо, то через Gp обозначим под группу всех элементов из G(K), коэффициенты которых лежат в Р. Имеет место включение G(P) С Gp, если же Р — поле, то группы G(P) и Gp совпадают. В следующих трех леммах предполагаем, что К — поле частных коль ца главных идеалов R. Л Е М М А 1 ([6, лемма 49(д), с. 106]). Пусть фг — канонический го моморфизм группы SLi2(K) на группу (хг(К),х„г(К)),
продолжающий
349
Промежуточные подгруппы групп Шевалле отображение
V ° rl У
\t Ч
Vо 1У
Положим GrR = GRn (xr(K),х-г(К)),
г е Ф. Тогда <j>rSL2{R) = ^ я *
Л Е М М А 2([6, следствие 2, с. 107]). Пусть GrR — подгруппа из лем мы 1. Тогда <3я = <С?я | г Е Ф). Л Е М М А 3([6, теор. 21, с. 109]). Пусть подмножество # +
С
С Н(К) состоит из таких элементов h, что hxr(l)h~l Тогда G =
= xr(trih)
где г G Ф + ,
trjh € Я.
GRH+GR.
Разложение группы G из леммы 3 называют разложением Картана.
§ 2. Критерий принадлежности диагонального элемента элементарной подгруппе Шевалле Л Е М М А 4. Пусть п = / +1,2,2,2,3,2,3,1,1, если соответственно Ф ratma Aj? B\} C\, D\, Е$, -^7? Es, &4> G2. Пусть К — коммутативное кольцо с единицей, Р — его подкольцо. Если из включения tn £ Р сле дует включение t £ Р и диагональный элемент h € Н(К)
нормализует
подгруппу G(P)j то h 6 G(P). ЗАМЕЧАНИЕ. Число п из леммы 4 совпадает с индексом аддитив ной группы корней в группе фундаментальных весов, исключая типы Di и Eg, для последних индекс равен 4 и 1 соответственно. Неизвестно, можно ли для типа Es понизить число п с 3 до 1? ДОКАЗАТЕЛЬСТВО леммы 4. Приведем явный вид матриц Карта на (упорядочение корней такое же, как в [7]).
350
Я. Н. Нужин, А. В.
/
2
-1
-1
2 -1
Якушевич
-1 2 -1 -1
А, -1 •1
2
-1
-1
2 -1
V /
-1
2 -1
\
-1 2 -1 -1
2 -1
Bi -1 -1
2 -1
2 -1 -2
V /
-1
2 -1
2/ \
-1 2 -1 -1
2
-1
-1 С, -1 -1
2 -1
-1 2 -2 -1
2/
351
Промежуточные подгруппы групп Шевалле :2 - 1
(
i- 1
2
-1
-1
2
-1
0
-1
D,
' • •
-1 0
-1
2 -1
1 /
2 -1 -1
0
0
0
2 --1
0
0
0 -1
Е(
^ /
Е7
V (
Ея
\
2
-1
2
-1
2
0
-1
0
2
°) 0
-1 -1
0 1
0
0 --1
2
0
0
0
0 --1
0
2
-1
0
0
0 -1
0
-1
ч
2
1
0
0
0
0
о\
-1
2
-1
0
0
0
0
0
1
2 -1
0
0
0
0
0
2
--1
--1
0
0
0
0 -1
2
0
0
0
0
0 -1
0
2 -1
0
0
0
0
-1
-1
0
--1
2
}
/
0
0
0
0
0
0 \
2 -1
0
0
0
0
0
0
-1
2
--1
0
0
0
0
0
0 -1
2
-1
0
0
0
0
0
0
--1
2 -1
1
0
0
0
0
0
-1
2
0
0
0
0
0
0
-1
0
2
- 1J
0
0
0
0
0
0
1
2 /
352
Я. Я. Нужин, А. В. Якушевич (
\
2
-1
О
-1
2
-1
О
О -2
2
-1
О
О
-1
2
-1
-3
2
О \
2У
Элементами матриц Картана являются числа АП)Г- — /Г7)ГА • Д л я системы корней Ф ранга I и h E Н(К), где A = M«j)M*2)...brj(<,),
*<€#*,
вычислим
№) где г = 1,2,..., /, a A?j = Ar.,rj., и отдельно находим
ftxr.+ra+...+P|(l)/T1 = xr (tftf .. Л?) , где qj = £
(*о)
Arit,t.
4= 1
Отметим, что если из равенств (Ф;) следует включение t € Р для некоторого t 6 А', то и \ е Р , поскольку
Далее этот факт мы будем использовать без пояснения. Рассмотрим отдельно каждый из типов и покажем, что h б G(P). Т и п А/. В силу (Ai), (А2),..., (A/), (AQ) имеем соответственно t(t~l G Р,
t^tfe1
G Р,
. -.,
t ^ t ? € Р,
*i*i G P.
Перемножим элементы из (Ai) и (Аг), получим «ifctj 1 G P.
(AJ)
Перемножим элементы из (А£) и (^з)) тогда *1*з*7ж € P.
(A5)
Промежуточные подгруппы групп Шевалле
353
Продолжим этот процесс и перемножим (А^3) и (A/_i), тогда titj-itf 1 6 P.
(AJL2)
Перемножим элементы из (AJ), (А^),..., (А/*_2), получим
A-H2tjl e P. Далее из (AQ) И (AQ) следует включение tlflt2
(AS) € Р. Наконец, умножим
данный элемент на элемент из (А\), тогда t*1 Е Р. По условию леммы п = = J+1, поэтому, в силу предположения, t\ € Р . Из включений, указанных в начале этого абзаца, вытекает, что все £,• лежат в кольце Р . Следовательно, fcGG(P). Т и п В/. В силу (Ui), (-82)1 • • ч (Я/), (Во) имеем соответственно *1*2
£ Р,
*! *з*3
*гЛ*?-1*г2 б р,
С Р, . . . , ^_з*/-2*/-1 ^ ^
*,"i\t? 6 р,
ti G p.
Отсюда £i G Р , ^2 € Р, . . . , £ / - i € Р, tf £ Р . По условию леммы п = 2, значит, и £/ G Р , т. е. /i € G(P). Т и п С/. В силу (Ci), (C2), ..., (C/) t (Co) имеем соответственно Мг"
е
е
^ > *Г *2*з S F , . . . , *|L2'i—i*i"
^ > *Г-1*/ ^ ^ *i*|Li*/ £ Р-
Возведем в квадрат элемент из (Со) и умножим на (t^^tf)"1^
получим
£? € Р . Отсюда в силу предположения леммы t\ G Р . Из указанных выше включений находим, что все £, лежат в кольце Р , т . е . / i E C ( P ) . Т и п J5/. В силу (-Di), (Д2), • • ч ( А ) и (Do) имеем соответственно txt2
6 Р, tj t2t3
Е Р , . . . , *|_4*#—3*/—2 ^ ^
*Г-2^-1 ^ ^ */1г*/ ^ ^
*/-3**-2*/-1*/
^ -Р»
*i*/l2*/-i*/ £ ^
Из (D/-i) и ( Д ) имеем *?-1*Г2 е Р>
PI)
*1*ГЛ*1 е Р (из (А_!) и (D 0 )),
№5)
354
Я. Н. Нужин, А. В. Якушевич *? € Р (из (DJ) и (£>;)).
По условию леммы п — 2, поэтому и ti G Р , следовательно, все U лежат в кольце Р, т. е. ft 6 G(P). Т и п j£ 6 . В силу (Ei), (j£2), • • •, (E6) и (Е0) имеем соответственно
Фг1 € Р, «Г1'!*^1 € р> ЧХ*Ъ?Ч1 е Р «J1^ е Р, *з *5*ё" € Р , tij" £6 б Р) *1*з *4*б 6 Р . И з (Еъ) и (£?б) получаем
«г1*!*:2'?2 6 р,
(^г)
« Г ' Ф б 2 € Р (из (Я 4 ) и (Я?)),
(Щ)
ф \ € Р (из (Еъ) и (Я 6 )),
(£5)
^
(Я4*)
€ Р (из (Я 4 ) и (£?|)),
' Г ' Ф б ' 4 € Р (из (Я 6 ) и (Я 2 *)),
(2?5*)
МЗ'б 2 € Р (из (£-0) и (Я|)),
(££)
*1*Гх*в € Р (из (Я4) и (£*,)),
(Я?)
*Г2*6 € Р (из (Д|) и (Я?)),
(2?8*)
«ate G Р (из (Я4*) и ( £ £ ) ) ,
(££)
*? 6 Р (из (Я8*) и (££)). По условию леммы п = 3, поэтому и fi E Р . Из равенств ( £ i ) , (#г)> • • • . . . , (Ее) и (EQ) легко получаем, что и все оставшиеся элементы ^ *з> *4> £5, ^6 лежат в подкольце Р , т.е. Л Е G(P). Далее выражения (Ф«) для типа Ej обозначим через (25,*), а для типа Е8 — через ( Д ) . Т и п Ег. В силу (2?i), (^2)1 • • •»(-Ё7) и (2?о) имеем соответственно ^1*2
€ Р, . . . ,
^3 *4*5 ^6
^ ^
^4 ^5 £ Р ,
355
Промежуточные подгруппы групп Шевалле Из (Ех) и (Е2) получаем Фз 2 € Р, t\tf
(Щ)
€ Р (из (Я?) и (Я 3 )),
(Я2*)
*з*5 3 *в 3 G Р ( и з (^*) и (Я 4 )),
(^з)
G Р ( из Ш и (Я5)),
(Я|)
^Фе*
*^б 4 € Р (из (Я3*) и (Я4*)),
(Я5*)
Ф з 1 6 Р (из (Яг) и (Я 2 )),
(Щ)
q2t4t~2 е Р (из (Я5) и (Я0)),
(Я?)
*Г2Ф73 б Р (из да и (Ёв)),
да
q%
G Р (из (Я8*) и (Я 7 )),
^з4*1 € Р (из да и *6ер (из да) и да).
(Я9*)
да),
да)
В силу (£V) имеем if £ Р> следовательно, и
*5 *6 £ Р» *5 *7*8
е
Р>
tf Ч | е р и ti*B ^ « e e Р. Из {Ei) и (Яг) получаем
tjtf
Фз 2 € Р,
(Я?)
Фз1 е Р,
да
G Р (из (ЯГ) и (Я3)),
^ 4 - з ер(изда и да), Ф5-4 G p (из да и Фе V е р (из да и *4 "Фт"1 е р (из да и
(Й%)
да),
да да
да), да),
да да
356
Я. Н. Нужин, А. В. t\tf
Якушевич
б Р (из ( Р | ) и (Р?)),
(Щ)
*Г2*5*82 € Р (из (Ее) и (So)),
(Р|)
*Г 2 Фв 3 € Р (из (Р 7 ) и (Ё9*)),
(А*о)
*Г4*т € Р (из (Ё*ю) и (Р 8 )),
(ВД
t4~3t? 6 Р (из (S4*) и (Ё*п)).
(Ё*12)
Наконец, из (Eg) и (Р*2) получаем Щ € Р. Значит, в силу предположения t-i € Р, а следовательно, t\ G Р , <2 С Р» • • •, *8 6 Р , т. е. Л 6
^ Р> ^1 ^2^3
^ Р» ^2 ^3^4
^ Р» ^3 ^4 £ Р ' ^1^3 ^4 £ Р-
Из (Р4) и (Ро) следует, что t i ^ 1 e P,
(Pf)
*Г2'з е Р,
(Р?)
«2 ^3*4 6 Р
(Р 3 *)
Далее, перемножая (Pi) и (Р2*), находим t?h Из (Рз)
и
<Е Р.
(РГ)
(Р4) получаем ^ 6 Р , а используя (Pj*), имеем £1 £ Р . Далее
по аналогии с предыдущими случаями ^ € Р>
*з £ Р и, следовательно,
Л б (7(Р). Т и п G2. В силу (Gi), (G2) имеем соответственно t\ql
е Р, *г3*2 6 Р
Отсюда легко следует, что *i, £2 £ Р> т.е. Л Е G(P). Лемма доказана.
Промежуточные подгруппы групп Шевалле
357
§ 3* Доказательство основной теоремы Итак, К — поле частных кольца главных идеалов Я, и подгруппа М удовлетворяет условию (1). Покажем, что М = Gp для некоторого промежуточного подкольца Р (R С Р С К). По лемме 3 выполняется М = (Gp, А), для некоторого подмножества А С Я 4 ". Положим
мпхг{К) = хг(рг), геФ, и рассмотрим в М подгруппу Мг = (Сд,# г (Р г ),ж_ г (Р_ г )), где подгруппа GrR такая же, как и в лемме 1. Подгруппа Мг удовлетворяет условию (1) (это случай Ф типа Ai), и в силу [1, 2] имеем M r = GrPr. В частности, Рг = = Р-г и является промежуточным подкольцом для любого г € Ф. Пока жем, что все Рг совпадают с некоторым подкольцом Р. Мономиальная подгруппа ( w r ( - l ) | г G Ф) лежит в М по условию и действует транзитивно на множестве корневых подгрупп, индексирован ных корнями одинаковой длины. Отсюда Рг = Р в , если корни г и s одной длины. Пусть корни г и s имеют разную длину. Покажем, что Рг = Р8. Не теряя общности, можно считать, что (г, s) < 0. Пусть j £ Prjt
e R, тогда
диагональный элемент hr(t) лежит в М. Поскольку
то ~ 6 Р я для некоторого целого п > 0. Отсюда и в силу того, что Р8 является 22-модулем, справедливо j £ Р8. Промежуточные подкольца Рг и Р8 порождаются кольцом R и своими элементами вида ~, где t £ R. Следовательно, Рг С Р8. Включение в обратную сторону показывается аналогично. Таким образом, существует промежуточное подкольцо Р С К такое, что для любого г £ Ф справедливо М Г) хт(К) = хт(Р) и Grp С М. По лемме 2 подгруппы Gp, г 6 Ф, порождают подгруппу Gp и, следовательно, последняя лежит в М. Отсюда Af = (Gp, А), и диагональная подгруппа
358
Я. Н. Нужин, А. В. Якушевич
(А) нормализует элементарную группу Шевалле G(P) С Gp. Значит, по лемме 4, Л С G(P) и М = Gp. Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА 1. Н. С. Романовский, Подгруппы, лежащие между специальными линейными группами над кольцом и его подкольцом, Матем. заметки, 6, N 3 (1969), 335-345. 2. Р.А.Шмидт, О подгруппах полной линейной группы над полем частных кольца главных идеалов, Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР, 86 (1979), 185-187. 3. Р.А.Шмидт, О подгруппах полной линейной группы над полем частных дедекиндова кольца, Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР, 94 (1979), 119-130. 4. Р.А.Шмидт, О подгруппах полной линейной группы над полем частных кольца Везу, в кн. "Структурные свойства алгебраических систем", Наль чик, 1981, 133-135. 5. А. И. Шкуратский, О подгруппах симплектической группы над полем част ных евклидова кольца, Алгебра и логика, 23, N 5 (1984), 578—596. 6. Р. Стейнберг, Лекции о группах Шевалле, М., Мир, 1975. 7. R. W. Carter, Simple groups of Lie type, London, Wiley, 1972.
Адрес авторов: НУЖИН Яков Нифантьевич, ЯКУШЕВИЧ Анна Валерьевна, РОССИЯ, 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26, Красноярский государственный технический университет, e-mail: [email protected]
Поступило 28 декабря 1998 г.
