Молекулярная физика. Темы лекций, условия задач

Федеральное агентство по образованию Красноярский государственный университет Кафедра общей физики

ОБЩАЯ ФИЗИКА МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА ТЕМЫ ЛЕКЦИЙ, ЗАДАЧИ

Пояснение Представлен план занятий по курсу Молекулярная физика, который читается на физическом факультете КрасГУ во 2-ом семестре обучения (гр. Ф 1.1, 1.2, 1.3). В сборник для прорешивания на семинарах вошли задачи, заимствованные из курсов И.П. Базарова, Р. Кубо, Д.В. Сивухина, И.Е. Иродова, задачников О.Я. Савченко, а также О.И. Москвич и О.Н. Бомбенко. Некоторые задачи существенно переформулированы. И.В. Тимофеев

Красноярск 2010

Содержание Темы лекций ........................................................................................... 3 Часть 1. Термодинамика................................................................... 3 1. Термодинамический подход к описанию молекулярных явлений......................................................................................... 3 2. Первое начало термодинамики .............................................. 3 3. Теплоемкость........................................................................... 3 4. Второе начало термодинамики .............................................. 3 5. Температура и энтропия ......................................................... 3 6. Термодинамические функции и равновесие ......................... 3 Часть2. Молекулярная физика......................................................... 3 7. Статистический подход к описанию молекулярных явлений ...................................................................................................... 3 8. Идеальный газ ......................................................................... 3 9. Вероятность ............................................................................. 4 10. Распределение молекул газа по скоростям ......................... 4 11. Распределение молекул во внешнем потенциальном поле 4 12. Броуновское движение.......................................................... 4 13. Реальные газы и жидкости.................................................... 4 14. Поверхностные явления в жидкостях.................................. 4 15. Фазовые переходы первого и второго рода......................... 4 16. Явления переноса .................................................................. 4 17. Твердые тела.......................................................................... 4 Учебно-методическое обеспечение раздела "Молекулярная физика" .............................................................................................. 5 Основная литература .................................................................. 5 Дополнительная литература....................................................... 5 часть 1: Термодинамика......................................................................... 6 1. Механистическое введение.......................................................... 6 Шины ........................................................................................... 6 Механическое давление.............................................................. 6 Механическое давление в цилиндре.......................................... 6 Механическое давление в сфере ................................................ 6 2. Первое начало термодинамики.................................................... 6 Внутренняя энергия воздуха ...................................................... 6 Обогрев ........................................................................................ 6 Техника безопасности................................................................. 6 Процессов много, а внутренняя энергия одна .......................... 6 Амортизация................................................................................ 6 Частные производные ................................................................. 6 Работа сжатия воды..................................................................... 7 3. Теплоемкость, политропы и изопроцессы .................................. 7 Теплоемкость воздуха................................................................. 7 Удельные и молярные теплоемкости......................................... 7 Теплоемкость молекулы ............................................................. 7 Теплоемкость опоры ................................................................... 7 Изотерма и адиабата ................................................................... 7 Изотерма и изобара ..................................................................... 7 Политропа.................................................................................... 7 Политропа и изотерма................................................................. 7 Газ и пружина.............................................................................. 7 Когда теплоемкость отрицательна? ........................................... 8 Теплоемкости по Дебаю ............................................................ 8 4. Цикл Карно, второе начало термодинамики.............................. 8 Паутина ........................................................................................ 8 КПД .............................................................................................. 8 p,V-круг........................................................................................ 9 Что важнее, нагреватель или холодильник? ............................. 9 Опыт Дарлинга * .......................................................................... 9 Вечно пьющая птичка *............................................................... 9 Цикл Карно в холодной воде * ................................................... 9 5. Температура, энтропия................................................................. 9 Градус Делиля ............................................................................. 9 Замерзание ртути......................................................................... 9 Градусники ................................................................................ 10 КИЭ ............................................................................................ 10 Холодильник.............................................................................. 10 Кондиционер ............................................................................. 10 Энтропия кристалла * ................................................................ 10 6-7. Термодинамические потенциалы ........................................... 10 Последовательность нагревания и сжатия .............................. 10 Энтальпия .................................................................................. 10

2

Термодинамические функции идеального газа......................11 Закон Гесса ................................................................................11 Термодинамика пружины .........................................................11 Термодинамика резины.............................................................11 Уравнение Кирхгофа * ..............................................................11 Нагрев конденсатора *...............................................................11 Втягивание диэлектрика * ........................................................12 Придавим севшую батарейку * ................................................12 Испарение капли .......................................................................12 8. Контрольная работа 1 .................................................................12 Часть 2. Молекулярная физика............................................................12 9. Динамика молекул ......................................................................12 Внутреннее движение тумана ..................................................12 Подобие скоростей ....................................................................12 Легкий газ быстрее....................................................................12 Дробь молекул по стене............................................................12 Давление и поглощение ............................................................12 Сила сопротивления..................................................................12 Вращение молекулы..................................................................12 10. Вероятности...............................................................................12 Биномиальное распределение ..................................................12 Распределение Пуассона...........................................................13 Распределение Максвелла ........................................................13 Полная скорость ........................................................................13 Самая быстрая молекула...........................................................13 11. Распределение Максвелла-Больцмана ....................................13 Скорость атомов ........................................................................13 А в городе и шум и пыль и стук карет.....................................13 Состав атмосферы .....................................................................13 Центрифуга ................................................................................13 Характерные скорости * ............................................................13 12. Броуновское движение .............................................................13 Масса инфузории ......................................................................13 Флуктуации зеркала ..................................................................13 Диаметр молекулы ....................................................................13 Свободный пробег в смеси .......................................................14 Опыт Перрена ............................................................................14 13. Идеальный газ ...........................................................................14 Подобие в газе ...........................................................................14 Сжатие газа ................................................................................14 Авария на подлодке...................................................................14 Пипетка ......................................................................................14 Пробка ........................................................................................14 Колебания газа...........................................................................14 14. Реальный газ..............................................................................14 Несколько молей реального газа..............................................14 Критические параметры............................................................14 Приведенные параметры ..........................................................14 Дросселирование воздуха.........................................................14 15. Разные задачи ............................................................................15 На перевале холодно .................................................................15 Тяга.............................................................................................15 Реактивная сила .........................................................................15 Реактивное топливо...................................................................15 Пучок ксенона ...........................................................................15 Изменение скорости звука с температурой.............................15 Работа в бегущей волне * .........................................................15 Уравнение Клапейрона-Клаузиуса * ........................................15 Уравнение Гельмгольца *..........................................................15 Теплота испарения * ..................................................................15 Работа и теплота испарения......................................................15 Водяной пар при сгорании водорода .......................................15 Аномальные вещества * ............................................................15 Тройная точка воды * ................................................................16 Сплав * ........................................................................................16 16. Явления переноса......................................................................16 Подобие в остывании ................................................................16 Сцепление по воздуху...............................................................16 Газопровод .................................................................................16 17. Контрольная работа 2 ...............................................................16

ТЕМЫ ЛЕКЦИЙ Часть 1. Термодинамика 1. Термодинамический подход к описанию молекулярных явлений • Предмет молекулярной физики. Феноменологический и теоретический подходы. • Термодинамические параметры. Замкнутые системы. Механическое, тепловое и химическое взаимодействия. • Нулевое начало термодинамики. Понятие термодинамического равновесия. Физические ограничения термодинамической теории. • Фазовые диаграммы. • Квазистатические процессы. Обратимые и необратимые процессы. 2. Первое начало термодинамики • Термическое и калорическое уравнения состояния. • Замена независимых переменных. Частные производные. • Связь теплоты и работы. Единицы измерения теплоты. Порядки величин. • Внутренняя энергия. Сохранение энергии. Формулировка первого начала термодинамики. 3. Теплоемкость • Теплоемкость процесса. Теплоемкость идеального газа. Уравнение Майера. • Политропический процесс. Уравнение политропы и его частные случаи. 4. Второе начало термодинамики • Тепловой двигатель и холодильная машина. Нагреватель, рабочее тело, холодильник. Вечный двигатель второго рода. • Цикл Карно и его коэффициент полезного действия. Две теоремы Карно. • Второе начало термодинамики. Формулировки Клаузиуса и Томсона (Кельвина). Их эквивалентность. 5. Температура и энтропия • Принципы конструирования термометра. Термометрическое вещество и термометрическая величина. Эмпирические шкалы температур. Шкала температур на основе свойств идеального газа.

• Термодинамическая шкала температур и ее тождественность идеально-газовой шкале. Нестандартные единицы измерения температур. • Неравенство Клаузиуса. Закон возрастания энтропии в неравновесной изолированной системе. 6. Термодинамические функции и равновесие • Метод циклов в термодинамике. • Метод потенциалов. Внутренняя энергия, энтальпия, свободная энергия и свободная энтальпия. • Соотношения Максвелла. • Тепловое равновесие систем. Условия равновесия. Принцип Ле-Шателье—Брауна. • Третье начало термодинамики (теорема Нернста).

Часть2. Молекулярная физика 7. Статистический подход к описанию молекулярных явлений • Молекулярная система как совокупность частиц и как сплошная среда. Основные экспериментальные факты, свидетельствующие о дискретном строении вещества. • Масштабы физических величин в молекулярной теории. Массы и размеры молекул. Число Авогадро. • Тепловое движение с точки зрения молекулярных представлений, его особенности в газах, жидкостях и твердых телах 8. Идеальный газ • Модель идеального газа. Молекулярная теория давления идеального газа. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории. • Равновесное пространственное распределение частиц идеального газа. Флуктуации плотности идеального газа. Малость относительных флуктуаций. • Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона - Менделеева). • Связь теплоемкости газа с числом степеней свободы молекул. Гипотеза о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. • Классическая теория теплоемкости твердых тел. Закон Дюлонга и Пти. Фундаментальные трудности классической теории теплоемкости. 3

9. Вероятность • Вероятность и частота появления события. Плотность вероятности. Математическое ожидание и дисперсия. • Биномиальное распределение (распределение Бернулли). • Предельные случаи биномиального распределения: распределения Пуассона и Гаусса. • Термодинамическая вероятность. Макроскопические и микроскопические состояния системы. Постулаты равновероятности и эргодичности. • Энтропия и вероятность. Принцип Больцмана. Статистическая интерпретация второго начала термодинамики. 10. Распределение молекул газа по скоростям • Принцип детального равновесия. • Распределение Максвелла. Распределение молекул по компонентам скоростей и по модулю скорости. • Наивероятнейшая, средняя и среднеквадратичная скорости молекул газа. • Экспериментальная проверка распределения Максвелла. Характерные скорости молекул. 11. Распределение молекул во внешнем потенциальном поле • Распределение Больцмана. Барометрическая формула. Распределение Максвелла-Больцмана. Обобщение Гиббса. • Модель атмосферы. • Центрифуга. Эффект Ранка и демон Максвелла. 12. Броуновское движение • Частота столкновений молекул в газе. Длина свободного пробега. Аналогия Горбаня. • Броуновское движение. Теория ЭйнштейнаСмолуховского. • Опыты Перрена по определению числа Авогадро. 13. Реальные газы и жидкости • Силы межмолекулярного взаимодействия. Потенциал Линнарда - Джонса. • Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса. • Изотермы Ван-дер-Ваальса и термодинамическая неустойчивость. Область двухфазовых состояний. Правило Максвелла и правило рычага.

4

• Критическое состояние. Критические параметры газа Ван-дер-Ваальса. Закон соответственных состояний. • Методы получения низких температур. Эффект Джоуля-Томсона. Ожижитель Капицы. Адиабатическое размагничивание и лазерное охлаждение. 14. Поверхностные явления в жидкостях • Поверхностное натяжение и свободная энергия. Единицы измерения поверхностного натяжения и его зависимость от температуры. • Давление под искривленной поверхностью жидкости. Мыльные пленки. Формула Лапласа, лапласиан и уравнения гиперболического типа. Кривизна, минимальность поверхности и случайные блуждания. • Равновесие на границе трех сред и краевой угол. Частичное и полное смачивание и несмачивание. Капиллярные явления. 15. Фазовые переходы первого и второго рода • Термодинамическая фаза. Равновесие фаз. Термодинамический потенциал Гиббса и химический потенциал. Агрегатные состояния. Классификация фазовых переходов по Эренфесту. • Фазовые переходы первого рода. Уравнение Клапейрона-Клаузиуса. Скрытая теплота перехода. Тройная точка. • Фазовые переходы второго рода. Соотношения Эренфеста. • Метастабильные состояния. Давление насыщенных паров над искривленной поверхностью. Влажность. 16. Явления переноса • Понятие о релаксационных процессах в молекулярных системах. Уравнение переноса. Явление переноса в газах. Связь коэффициентов переноса с молекулярно-кинетическими характеристиками газа. • Диффузия: закон Фика. • Внутреннее трение (перенос импульса): закон Ньютона-Стокса. • Теплопроводность: закон Фурье. • Явления в разреженных газах. 17. Твердые тела • Кристаллические и аморфные состояния. Кристаллы. Симметрия кристаллов. • Элементы точечной симметрии: ось симметрии, плоскость симметрии, центр инверсии, ин-

версионная ось симметрии, зеркальноповоротная ось симметрии. • Трансляция и трансляционная симметрия. Кристаллическая решетка. Элементарная ячейка. Сингонии. Решетка Браве. Индексы Миллера.

• Изоморфизм и полиморфизм. Дефекты в кристаллах. Дислокации. Жидкие кристаллы и квазикристаллы.

Учебно-методическое обеспечение раздела "Молекулярная физика" Основная литература • И.П. Базаров. Термодинамика. М.:Высш. Шк., 1991 • Д.В. Сивухин. Общий курс физики. Т. 2. Термодинамика и молекулярная физика. М.: Наука, 1990. • Р. Кубо. Термодинамика. М.:Мир, 1970 • И.Е. Иродов Физика макросистем. Основные законы. М.: Наука, 2001. • А.К. Кикоин, И.К. Кикоин. Молекулярная физика. М.: Наука, 1976. • А.Н. Матвеев. Молекулярная физика. М.: Высшая школа, 1987. • Сборник задач по общему курсу физики. Т.2. Под ред. Д.В. Сивухина. М.: Наука. 2006. • И.Е. Иродов Задачи по общей физике. М.: Наука, 1982. • Общая физика. Молекулярная физика. Термодинамика. План-конспект семинарских занятий: Метод. указ. / Сост. О.И.Москвич, О.Н.Бомбенко. Красноярск, КрасГУ, 2006. • Общая физика. Молекулярная физика: Метод. указания к лаб. работам. - Красноярск, КрасГУ, 2003. Дополнительная литература • Ф. Рейф. Статистическая физика. Берклеевский курс физики. Т. 5. М.: Наука, 1986. • Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 4. Кинетика. Теплота. Звук. М.: Мир, 1977. • И.В. Савельев. Курс общей физики. Т. 1. М.: Наука, 1986. • Р. Пенроуз, Новый ум короля: о компьютерах, мышлении и законах физики 2003 • М. Льоцци, История физики, М.:Мир, 1970, 464 с. • Б.С. Беликов, Решение задач по физике. Общие методы ВШ, 1986, 129 c. • О.Я. Савченко, И.И. Воробьев, и др. Задачи по физике 2е изд., Наука, 1988, 416 c. • О.Ф. Кабардин, Физика: справочные материалы 1991, 368 c. • Ю.С. Куперштейн. Опорные конспекты 10-11 кл. 1991, 34 листа. В сети • http://edu.krasu.ru/ Физический факультет. Основы термодинамика и молекулярная физика. Кодовое слово: billiard • http://www.falstad.com/mathphysics.html – модели физических явлений • http://physics-animations.com/ – мультики по физике • http://www.denznaniy.ru/amazing/physics – опыты по физике, химии и проч. • http://tube.sfu-kras.ru/browse/2 – советские учебные фильмы с сайта СФУ • http://nanoreisen.org/ – наглядная нанофизика • http://rusnanotech09.rusnanoforum.ru/Post.aspx/Show/19697#sect_nanoelectronics – Роснанофорум, октябрь 2009, Научно-технологическая секция (Шалаев В.М. и др.) • http://my.mail.ru/community/material_science/journal – обзоры новых материалов (Комогорцев С.В. и др) • http://torrents.ru – Учебные фильмы по физике и химии (703 фильма), Физика - коллекция Audioкурсов • http://youtube.com – Powers of ten – масштабы мира; «Жидкий азот опасно, не повторять!» демонстрации НГУ, Пальчиков Е.И.; Walter Lewin – курсы по физике в Массачусетском технологическом (на английском языке) • Моделирование в физике: The Incredible Machine (game); http://www.phunland.com (freeware); Interactive Physics, PhysProf (software); MatLab – для научных сотрудников. 5

ЧАСТЬ 1: ТЕРМОДИНАМИКА 1. Механистическое введение 1.1. Шины Почему нагревается насос при накачивании шины? 1.2. Механическое давление На чаще весов прыгает N шариков массы m каждый. Какова средняя сила, действующая на чашу весов, если скорость шариков по модулю не меняется? Увеличивается или уменьшается эта сила, если после удара скорость каждого шарика уменьшается? 1.3. Механическое давление в цилиндре В цилиндре под поршнем массы М прыгают, упруго ударяясь о поршень и дно цилиндра, N шариков массы m каждый (N>>1). Сила тяжести, действующая на поршень, уравновешена ударами шариков. Расстояние между дном цилиндра и поршнем равно h. Полная энергия каждого шарика одинакова. На какую высоту будут подскакивать шарики, если поршень быстро убрать?

Как изменилась внутренняя энергия воздуха внутри комнаты? 2.3. Техника безопасности Оцените скорость вылета пули из патрона, брошенного в костер. 2.4. Процессов много, а внутренняя энергия одна Переход идеального газа из начального состояния (р1, V1, T1) в конечное состояние (р2, V2, T2) совершается с помощью трех квазистатических процессов, изображенных на диаграмме фиг. 10: а) 1A2, б) 1B2 и в) 1DC2. Чем определяется возрастание внутренней энергии при переходе 1 → 2? Определить также для каждого процесса работу, совершаемую системой, и передаваемое тепло. Удельную теплоемкость считать постоянной.

1.4. Механическое давление в сфере

2.5.Амортизация

Внутри сферы радиуса R со скоростью v движется частица массы m, упруго ударяясь о ее стенки. Скорость частицы образует угол α с радиусом, проведенным в точку удара. Какова по модулю средняя сила, действующая со стороны стенок сферы на частицу? Какова средняя сила, действующая на единицу площади сферы, если в единице объема содержится N таких частиц? Частицы между собой не сталкиваются.

Поршень массы М, замыкающий объем V0 одноатомного газа при давлении Р0 и температуре Т0, движется со скоростью u. Определите температуру и объем газа при максимальном сжатии. Система теплоизолирована, теплоемкостями поршня и сосуда пренебречь.

2. Первое начало термодинамики 2.1. Внутренняя энергия воздуха Чему равна при нормальных условиях внутренняя энергия 1 см3 воздуха? 1 кг воздуха? 2.2. Обогрев Воздух в комнате объемом V нагрели от температуры Т0 до Т при атмосферном давлении P0. 6

2.6.Частные производные Для ртути при 0 °С и атмосферном давлении коэффициент расширения равен α=1,8 10-4 °С-1, изотермический модуль всестороннего сжатия К = 2,56 105 атм. Найти термический коэффициент давления β, который определяется как отношение увеличения давления тела при нагревании на 1 °С к давлению Р0 при 0 °С при условии, что объем тела поддерживается постоянным.

2.7.Работа сжатия воды При 25° С объем воды V определяется выражением V = 18,066 — 0,000715 р + 0,000000046 р2 см3/моль для давлений р от 0 до 1000 атм, а ⎛ ∂V ⎞ 3 ⎜ ⎟ =0,0045 + 0,0000014 р см /(град моль). ⎝ ∂T ⎠ p Определить работу, необходимую для сжатия 1 моля воды от 1 до 1000 атм при 25° С и найти возрастание ее внутренней энергии.

3. Теплоемкость, политропы и изопроцессы 3.1. Теплоемкость воздуха Вычислить удельную теплоемкость воздуха при постоянном объеме, считая его смесью кислорода О2 и азота N2 с отношением масс компонентов 23:77. Удельная теплоемкость газообразного кислорода при постоянном объеме равна 0,158 кал/(г град), а газообразного азота 0,176 кал/(г град). 3.2.Удельные и молярные теплоемкости Удельные теплоемкости кобальта и золота соответственно CCo = 0,1040 кал /( г ⋅ град) и С Au = 0, 0312кал /( г ⋅ град) . Определить их молярные теплоемкости в единицах Дж /( моль ⋅ град) , если моль кобальта весит 58,9 грамма, а моль золота — 197,0 грамма. 3.3. Теплоемкость молекулы

Определить молярные теплоемкости соединений NaCl, СаF2 , KMgF3 , считая их идеальными твердыми телами. 3.4. Теплоемкость опоры

емкость какого шара больше и почему? Усилится ли различие теплоемкостей, если шары будут полые; если у них увеличить радиус; если их заменить резиновыми шарами, наполненными газом? 3.5. Изотерма и адиабата

Объясните, почему расширение газа при постоянной температуре (изотермическое расширение) возможно только при подведении к газу тепла. 3.6. Изотерма и изобара

Объем газа увеличился в два раза: один раз изотермически, другой раз изобарически. В каком из этих двух случаев газ совершит бóльшую работу? 3.7. Политропа

Цилиндр ABCD, закрытый сверху и открытый снизу, прикреплен к стенке бассейна, заполненного водой. В верхней части цилиндра КВСМ находится 1 моль гелия, отделенный от воды поршнем (ВК = 2h). Гелий нагревают, пропуская ток по спирали. Какое количество теплоты нужно подвести к газу, чтобы поршень опустился на расстояние h, AK > h? Массой поршня, трением и теплопроводностью пренебречь. Бассейн широкий. Плотность воды ρ, сечение цилиндра S. 3.8. Политропа и изотерма

Нагревается или охлаждается газ, расширяющийся по закону а) PV2 = const, б) P2V = const, в) P/V = const? Определите теплоемкость в этих процессах. 3.9. Газ и пружина

Два одинаковых металлических шара имеют одинаковую температуру. Один подвешен на нерастяжимой нити, другой лежит на несжимаемом основании. Шары адиабатно изолированы в соответствующих точках соприкосновения с нитью и горизонтальным основанием. Тепло-

Найдите теплоемкость системы, состоящей из перекрытого поршнем сосуда с одноатомным газом (параметры газа Р0, V0, T0). Поршень удерживается пружиной. Слева от поршня вакуум. Если газ откачать, поршень соприкоснется с правой стенкой сосуда, а пружина будет не деформирована. Теплоемкостями сосуда, поршня и пружины пренебречь.

7

4.2. КПД

3.10. Когда теплоемкость отрицательна?

На плоскости с координатными осями V,p (рис.) через некоторую точку А проведены изотерма Т и адиабата S идеального газа. Показать, что политропные процессы (кривые DAD' и ЕАЕ') происходят при отрицательной и положительной теплоемкости соответственно.

Доказать приводимые ниже выражения для КПД трех циклов, используемых в двигателях внутреннего сгорания. Рабочим веществом является идеальный газ: , γ = Cp/CV

а) цикл Отто б) цикл Джоуля

в) цикл Дизеля При этом считать, что теплоемкости постоянны.

3.11. Теплоемкости по Дебаю *

При низкой температуре по закону Дебая теплоемкость СV пропорциональна кубу термодинамической температуры: CV = αT3. Показать, что разность теплоемкостей Cp − CV кристаллов при T→0 К пропорциональна седьмой степени температуры.

цикл Отто

4. Цикл Карно, второе начало термодинамики 4.1. Паутина

Один моль газа участвует в процессе, график которого изображен на Р,V-диаграмме. Участки 1-2 и 3-4 графика - отрезки прямых, продолжения которых проходят через начало координат, а кривые 1-4 и 2-3 - изотермы. Нарисуйте график этого процесса на Т,V-диаграмме. Найдите объем V3, если известны объемы V1 и V2 = V4.

цикл Джоуля

цикл Дизеля

*

Задача повышенной трудности.

8

4.3. p,V-круг

Циклический процесс представлен в координатах (p,V) в форме окружности с центром в точке (p0,V0), максимальный объем и давление равны соответственно Vmax и pmax. Изобразить на графике и найти количественно работу расширения, сжатия, работу за цикл.

4.7. Цикл Карно в холодной воде *

В каком случае КПД цикла Карно повысится больше: при увеличении температуры нагревателя на ∆Т или при уменьшении температуры холодильника на такую же величину?

Рассмотрим цикл Карно с водой в качестве рабочего вещества. Температуры теплоотдатчика и теплоприемника равны соответственно 6 и 2 °С: при 6 °С вода изотермически расширяется, а при 2 °С—изотермически сжимается. Вследствие аномального поведения воды при t < 4 °С при обеих температурах будет подводиться теплота и полностью превращаться в работу, что находится в противоречии со вторым началом. Как разрешить это противоречие?

4.5. Опыт Дарлинга *

5. Температура, энтропия

На горячую песчаную баню ставится высокий химический стакан, на дно которого налит слой анилина, а сверху почти до краев вода. Через некоторое время капля анилина поднимается к свободной поверхности воды, совершая работу против сил тяжести, а потом снова падает на дно Этот процесс будет повторяться до тех пор, пока баня нагревается. Как объяснить такое движение капли? Не противоречит ли оно второму началу о невозможности периодического совершения работы при использовании теплоты только одного источника?

5.1. Градус Делиля

4.4. Что важнее, нагреватель или холодильник?

4.6. Вечно пьющая птичка *

Красивую наглядную иллюстрацию второго начала термодинамики дает детская игрушка «Птичка Хоттабыча». Она представляет собой стеклянную, наглухо запаянную фигурную ампулу на металлической оси. Ампула наполнена легко испаряющейся жидкостью. В равновесии ствол птички отклонен на несколько градусов от вертикали. Головка и клюв покрыты тонким слоем ваты. Если немного увлажнить головку, опустив, например, клюв в стаканчик с водой, то птичка после этого будет сама непрерывно «пить» воду из стаканчика. Объяснить такое «поведение» птички.

Член С.-Петербургской Академии наук И. Н. Делиль в 1733 г. описал свою термометрическую шкалу. В качестве термометрического тела он применял ртуть и принимал за нуль температуры температуру кипящей воды. Объем ртути при этой точке он делил на 100 000 частей (большой термометр) и на 10 000 (малый) и наносил соответственные деления на шкалу; оказалось, что ртуть маленького термометра в тающем льде опустилась до 150-го деления. Найти выражения для перевода градусов Делиля (малый термометр) в градусы Цельсия. 5.2. Замерзание ртути

Академику С.-Петербургской Академии наук И. Брауну 25 декабря 1759 г. впервые удалось заморозить ртуть при морозе на улице в 199 °D (т. е. по шкале Делиля, см. предыдущую задачу). Об этом Б. Н. Меншуткин в своей книге «М. В. Ломоносов» пишет: «Погруженный в холодильную смесь ртутный термометр был разбит, и Браун впервые получил шарик твердой ртути. Она оказалась мягкой, как свинец, и похожей на полированное серебро. 26 декабря опыты продолжались уже вместе с Ломоносовым; мороз все крепчал и к 10 часам утра 26 декабря достиг 212 °D ... В холодную смесь из снега, крепкой водки (азотной кислоты) и купо9

росного масла (серной кислоты) был помещен ртутный термометр. Дальнейший ход опытов Ломоносов описывает так: «Не сомневаясь, что она уже замерзла, вскоре ударил я по шарику медным, при том бывшим циркулом, от чего тотчас стеклянная скорлупа расшиблась, и от ртутной пули отскочила, которая осталась с хвостиком бывшия в трубке термометра достальные ртути, наподобие чистой серебряной проволоки, которая как мягкой металл свободно нагибалась, будучи толщиною в четверть линии. Ударив по ртутной пуле после того обухом, почувствовал я, что она имеет твердость, как свинец или олово. От первого удара, даже до четвертого, стискивалась она без седин, а от пятого, шестого и седьмого удара появились щели... И так перестав больше ртуть ковать, резать стал ножом, и по времени около 20 минут стала она походить на амальгаму или на тесто, и вскоре получила потерянную свою жидкость, то есть растопилась при таком великом морозе в 208 градусов»». Найдите из опытов М. В. Ломоносова температуру замерзания ртути в градусах Цельсия. 5.3. Градусники

Два совершенно одинаковых термометра наполнены при О °С равными по объему количествами ртути и толуола. Найти отношение длины l деления, соответствующего 1 градусу, на шкале ртутного термометра, к длине l’ деления на шкале толуолового термометра. Коэффициент объемного расширения ртути α, толуола – α’, коэффициент линейного расширения стекла β. 5.4. КИЭ

Тепловую машину, работавшую по циклу Карно с КПД η=10%, используют при тех же тепловых резервуарах как холодильную машину. Найти ее коэффициент использования энергии (КИЭ). 5.5. Холодильник

Сделайте оценку (сверху) коэффициента использования энергии бытового холодильника, если температура морозильной камеры -20˚С. Как изменяется температура в комнате, если в ней включают холодильник с открытой дверцей? 5.6. Кондиционер

В помещении необходимо поддерживать температуру 25˚С, когда температура наружного воздуха 35˚С. Обеспечит ли требуемую температуру кондиционер, который при работе по циклу 10

Карно в качестве тепловой машины имеет η=5%; на основе теоремы Карно оценить коэффициент использования энергии данной машины. 5.7. Энтропия кристалла *

При очень низких температурах молярная теплоемкость кристаллов С μ=aT3, где а – постоянная. Найти: а) удельную энтропию кристалла как функцию температуры в этой области; б) рассчитать удельную внутреннюю энергию кристалла при Т=100˚К.

6-7. Термодинамические потенциалы 7.1. Последовательность нагревания и сжатия

В первом опыте сосуд с идеальным одноатомным газом (параметры газа Р0, V0, T0) адиабатически сжали, совершив работу А, а затем изохорически нагрели, затратив теплоту Q. В другом опыте тот же газ сначала изохорически нагрели, приложив то же тепло Q, а затем адиабатически сжали, затратив ту же работу A. Отличается ли внутренняя энергия в конечных состояниях? Отличаются ли конечные состояния газа в опытах? Изобразите процессы на PV-диаграмме. 7.2. Энтальпия

Доказать справедливость следующих двух положений, поясняющих физический смысл понятия энтальпии: а) Энтальпия системы равна сумме внутренних энергий системы и источника работы, который оказывает на систему давление р, равное однородному давлению р внутри системы. б) Если изменение состояния системы происходит при постоянном давлении р(е), причем как до, так и после перехода она находится в состоянии теплового равновесия, то поглощенное системой количество тепла равно возрастанию энтальпии независимо от того, является ли изменение обратимым или необратимым.

7.3. Термодинамические функции идеального газа

Найти энтальпию, свободную энергию и свободную энтальпию для моля одноатомного идеального газа. 7.4. Закон Гесса

По закону Гесса, тепловой эффект химической реакции , протекающей при постоянном давлении, или при постоянном объеме, не зависит от промежуточных реакций, а определяется лишь начальным и конечным состоянием реагирующих веществ. Следовательно, с химическими уравнениями можно обращаться как с обычными алгебраическими уравнениями, где химические символы обозначают энтальпии (или внутренние энергии, когда реакция идет при постоянном объеме). Для большей определенности принято заключать химический символ твердого вещества в квадратные, жидкого — в круглые и газообразного — в фигурные скобки. Так, [Н2О], (Н2O) и {Н2О} означают энтальпии соответственно моля льда, жидкой воды и водяного пара. Известна теплота полного сгорания твердого углерода [С] + {О2} = {СО2} + 394 кДж, а также теплота сгорания окиси углерода в двуокись: {СО} + ½ {О2} = {СО2} + 283 кДж. Рассчитайте теплоту Q образования газообразной окиси углерода из твердого углерода и кислорода. [С] + {О2} = {СО} + Q. Эта теплота не может быть непосредственно измерена, потому что углерод никогда не сгорает целиком в окись углерода, а всегда с образованием некоторого количества двуокиси. 7.5. Термодинамика пружины

Имеется упругая пружина, подчиняющаяся закону Гука: при постоянной температуре удлинение х пропорционально натяжению X. Константа пропорциональности (упругая постоянная) к является функцией температуры. Найти свободную энергию F, внутреннюю энергию U и энтропию S как функции х. Тепловым расширением пренебречь.

7.6. Термодинамика резины

Путем измерения натяжения X резиновой ленты, растянутой до фиксированной длины l, найдено, что X = AT, где А (>0) — постоянная, зависящая только от длины l, a T — абсолютная температура. Показать, что внутренняя энергия U такой резиновой ленты является функцией только температуры, а энтропия ее S уменьшается с увеличением длины. 7.7. Уравнение Кирхгофа *

Теплота Q реакции, протекающей при постоянном объеме или при постоянном давлении, зависит от температуры. Определить ( ∂Q / ∂T )V и

( ∂Q / ∂T ) p .

Найти изменение теплоты сгорания

моля водорода в воду при повышении температуры на 1 °С. 7.8. Нагрев конденсатора *

Диэлектрик с зависящей от температуры диэлектрической проницаемостью ε(Т) помещен между пластинами плоского конденсатора, соединенного с батареей, являющейся источником постоянной э.д.с. (фиг.). Исследовать теплоемкость в случае замкнутой цепи и ее поведение при размыкании. Объем диэлектрика предполагается неизменным. Определить количество тепла, выделяющееся в конденсаторе, при квазистатическом возрастании разности потенциалов от 0 до U.

11

7.9. Втягивание диэлектрика *

9.4. Дробь молекул по стене

Объяснить, почему диэлектрик втягивается в конденсатор, если ввести его между пластинами конденсатора, как показано на фиг.

Оцените число молекул воздуха, попадающих на 1 см2 стены вашей комнаты в 1 с, и импульс, переданный ими стене. 9.5. Давление и поглощение

Во сколько раз изменится давление газа, если половина молекул, ударяющихся о стенку, вдруг начнет поглощаться ею? 7.10. Придавим севшую батарейку *

Найти зависимость электродвижущей силы обратимого гальванического элемента от внешнего давления. 7.11. Испарение капли

Определить зависимость давления насыщенного пара над каплей от радиуса капли. Показать, что очень маленькая заряженная капля будет расти не только в пересыщенном паре, но даже в паре, не достигшем насыщения.

8. Контрольная работа 1 ЧАСТЬ 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА 9. Динамика молекул 9.1. Внутреннее движение тумана

Оцените среднюю кинетическую энергию и среднеквадратичную скорость частичек тумана диаметра 10 мкм, находящихся в воздухе при температуре 5 °С. 9.2. Подобие скоростей

Во сколько раз различаются среднеквадратичные скорости двух частичек, совершающих броуновское движение в капле воды, если их массы различаются в четыре раза? 9.3. Легкий газ быстрее

В секции 1 сосуда находится смесь гелия с водородом. Парциальное давление водорода и гелия одинаково. В секции 2 сосуда вакуум. На короткое время в перегородке открывают отверстие A. Определите отношение давления гелия к давлению водорода в секции 2.

12

9.6. Сила сопротивления

В разреженном газе с постоянной скоростью v движется шар радиуса r. Число молекул в единице объема газа n, масса молекулы m, тепловые скорости молекул значительно меньше скорости шара. Оцените силу сопротивления, действующую на шар. 9.7. Вращение молекулы

Найти значения средней энергии E , приходящейся, согласно классической теории газов, на одну степень свободы вращательного движения молекулы газа при t = 27°C. Найти значения средней квадратичной частоты вращения молекулы кислорода при этих условиях. Момент инерции молекулы кислорода вокруг оси, перпендикулярной к оси симметрии молекулы, I ⊥ = 19,2 ⋅10 −40 г ⋅ см 2 .

10. Вероятности 10.1. Биномиальное распределение

В сосуде находятся 5 молекул газа. Мысленно разобьем сосуд на две равные части. Каждая из молекул может находиться в выделенной половине объема или не находиться в ней. Рассмотреть "макроскопическое" состояние, когда m молекул газа находятся в выделенной половине сосуда, и найти число микроскопических состояний Гm, с помощью которых оно реализуется. Принять m равным 0, 1, 2, 3, 4, 5. Определить также общее число микросостояний Г0 и частоту реализации всех рассмотренных «макросостояний». Термин «макроскопическое состояние» здесь использован условно, поскольку в системе всего 5 частиц, и она, строго говоря, не является статистической. По этой же причине вместо «вероятность» употребляется термин «частота». Проверьте выполнение условия нормировки вероятности.

10.2. Распределение Пуассона

11.3. Состав атмосферы

Уровень технологии, используемый фирмой Кодак, при производстве фотопленки, гарантирует вероятность брака не выше 10-2 процентов. Каждый сотый житель города с миллионным населением раз в месяц покупает пленку Кодак. Рассчитать вероятность того, что в данном городе за месяц продадут m бракованных фотопленок Кодак (m = 0, 1, 2, 4, 10). Построить график Р(m).

У поверхности Земли молекул гелия почти в 105 раз, а водорода почти в 106 раз меньше, чем молекул азота. На какой высоте число молекул гелия будет равно числу молекул азота? Водорода? Принять среднюю температуру атмосферы равной 0 °С. 11.4. Центрифуга

Сколько частиц в моле водорода имеют скорость от 500 м/с до 502 м/с, если температура водорода t = 27°С.

Для определения относительных молекулярных масс коллоидальных частиц исследуют распределение их концентрации в поле центробежной силы, возникающей при вращении центрифуги. Найти относительную молекулярную массу μ коллоидальных частиц, если известно, что отношение их концентраций в местах, расположенных от оси центрифуги на расстояниях r2 и r1 , равно α . Плотности частиц - ρ , растворителя - ρ 0 . Угловая скорость вращения центрифуги ω

10.5. Самая быстрая молекула

11.5. Характерные скорости *

Оцените, какую скорость имеет самая быстрая молекула в комнате.

Получить выражения для наиболее вероятной, средней и среднеквадратичной скоростей распределения Максвелла.

10.3. Распределение Максвелла

Сколько частиц в моле водорода имеют компоненту скорости в выбранном направлении от 500 м/с до 502 м/с, если температура водорода t = 27°С. 10.4. Полная скорость

11. Распределение МаксвеллаБольцмана

12. Броуновское движение

11.1. Скорость атомов

12.1. Масса инфузории

Источник атомов серебра создает узкий ленточный пучок, который попадает на внутреннюю поверхность неподвижного цилиндра радиуса R = 30 см и образует на ней пятно. Устройство начинает вращаться с угловой скоростью ω = 100 π рад/с. Определите скорость атомов серебра, если пятно отклонилось на угол ϕ =0,1 π рад от первоначального положения.

Оцените массу инфузории, на направленное движение которой со скоростью 1 мкм/с слабо влияет тепловое движение.

11.2. А в городе и шум и пыль и стук карет

На высоте 30 м над поверхностью Земли в 1 см3 воздуха содержится примерно 102 пылинок, а у самой поверхности - примерно 105. Определите среднюю массу пылинки и оцените ее размер, предполагая, что плотность пылинки 1,5 г/см3. Температура воздуха 27 °С.

12.2. Флуктуации зеркала

Зеркальце гальванометра подвешено на кварцевой нити. На зеркальце падает узкий параллельный луч света и, отражаясь от него, попадает на экран, расположенный на расстоянии 20 м от зеркальца. Температура воздуха 300 К. Оцените, на сколько увеличится радиус светового пятна на экране в результате теплового движения зеркальца, если повороте зеркальца на угол ϕ на него со стороны нити действует момент сил М = -κϕ, где κ = 1,38⋅10-15 Н⋅м. Как изменится ответ, если температуру воздуха понизить до 100 К? 12.3. Диаметр молекулы

При атмосферном давлении и температуре 0 °С длина свободного пробега молекулы водорода равна 0,1 мкм. Оцените диаметр этой молекулы.

13

12.4. Свободный пробег в смеси

В сосуде находится смесь двух газов. В единице объема смеси содержится n1 молекул одного и n2 молекул другого газа. Радиусы молекул соответственно R1 и R2. Оцените длину свободного пробега молекул этих газов. 12.5. Опыт Перрена

Для определения числа Авогадро Перрен измерял распределение по высоте шарообразных частиц гуммигута, взвешенных в воде. Он нашел, что отношение α числа частиц в слоях, отстоящих друг от друга на расстояние l=30 мкм, равно 2,08. Плотности частиц ρ = 1,194 г/ cм 3 , воды ρ 0 =1 г/ см 3 . Радиусы частиц r = 0,212 мкм. На основании этих данных вычислить число Авогадро. Температура воды t=18°C.

13. Идеальный газ

крыв верхнее отверстие, вынуть столбик жидкости высоты L/2? Атмосферное давление Р. 13.5. Пробка

Давление воздуха внутри бутылки равно 0,1 МПа при температуре 7 °С. На сколько нужно нагреть бутылку, чтобы пробка вылетела? Без нагревания пробку можно вынуть, прикладывая к ней силу 10 Н. Сечение пробки 2 см2. 13.6. Колебания газа

Найдите период малых колебаний поршня массы m, разделяющего гладкий цилиндрический сосуд сечения S на две части длины l каждая. По обе стороны от поршня находится газ при давлении Р0 и температуре Т0. Решите задачу в предположении, что при колебании поршня температура газа не меняется. Как изменится ответ в случае адиабатических колебаний?

13.1. Подобие в газе

Объем газа уменьшили в два раза, а температуру увеличили в полтора раза. Во сколько раз увеличилось давление газа? 13.2. Сжатие газа

Чтобы изотермически уменьшить объем газа в цилиндре с поршнем в n раз, на поршень поместили груз массы m. Какой массы груз следует добавить, чтобы объем газа изотермически уменьшился еще в k раз?

14. Реальный газ 14.1. Несколько молей реального газа

Записать уравнение Ван-дер-Ваальса для газа, содержащего ν молей. 14.2. Критические параметры

Рассчитать критические параметры pk, Vk, Tk уравнения Ван-дер-Ваальса. 14.3. Приведенные параметры

13.3. Авария на подлодке

Баллон вместимости 50 л наполнили воздухом при 27°С до давления 10 МПа. Какой объем воды можно вытеснить из цистерны подводной лодки воздухом этого баллона, если вытеснение производится на глубине 40 м? Температура воздуха после расширения 3 °С. 13.4. Пипетка

На какую глубину в жидкость плотности ρ надо погрузить открытую трубку длины L, чтобы, за14

Записать уравнение Ван-дер-Ваальса в приведенных параметрах T p V τ= ,π= ,ϕ= , Tk pk Vk т.е. таких параметрах, когда за единицы приняты критическая температура, критическое давление и критический объем моля газа. 14.4. Дросселирование воздуха

Адиабатное расширение воздуха дросселированием производят при температуре Т=27˚С и перепаде давлений Δ p=1атм=105Па; постоянные Ван-дер-Ваальса a = 0,139 Н·м4/моль2, b=3,9·10-5 м3/моль и Сp=29,3Дж/мольК. Определить понижение температуры воздуха при его дросселировании.

15. Разные задачи 15.1. На перевале холодно

Сухой воздух переносится слабым ветром через горный перевал высотой 1 км. Принимая, что воздух, поднимаясь в атмосфере, расширяется как идеальный газ, оцените, на сколько температура воздуха на перевале ниже, чем у подножья гор. 15.2. Тяга

в воздухе при 1 атм и 0° С и найти ее зависимость от температуры. 15.7. Работа в бегущей волне *

Вдоль струны слева направо распространяются поперечные волны частоты ν с амплитудой а. Натяжение струны равно Т. Определить работу, производимую за период частью струны, расположенной слева от некоторой точки на струне, над частью, расположенной справа от этой точки

Фабричная труба высоты 50 м выносит дым при температуре 60 °С. Определите перепад давления в трубе, обеспечивающий тягу. Температура воздуха —10 °С, плотность воздуха 1,29 кг/м3.

Методом циклов установить зависимость давления насыщенного пара от температуры.

15.3. Реактивная сила

15.9. Уравнение Гельмгольца *

В сосуде находится газ под давлением Р. В стенке сосуда имеется отверстие площади s, размеры которого малы по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа. Определите реактивную силу, испытываемую сосудом при истечении газа в вакуумное пространство.

Методом циклов найти зависимость э.д.с. гальванического элемента от температуры.

15.4. Реактивное топливо

Определите максимальную скорость истечения газа из сопла ракеты, если тяга ракеты создается в результате реакций: а) 2Н2 + О2 = 2Н2О + 483 кДж/моль; б) 2А1 + 3/2 О2 = А12О3 + 1,65 МДж/моль; в) Be + ½ О2 = ВеО + 610 кДж/моль. 15.5. Пучок ксенона

Экспериментатору нужен пучок атомов ксенона, скорость которых равна 1 км/с. Атомная масса ксенона 131. а. При какой температуре газа, адиабатически истекающего в вакуум, можно получить такой пучок? б. Какую скорость могут приобрести атомы ксенона при истечении в вакуум смеси водорода и малого количества ксенона, находящихся при комнатной температуре?

15.8. Уравнение Клапейрона-Клаузиуса *

15.10. Теплота испарения *

При стремлении температуры фазового перехода «жидкость – пар» к критической температуре Тк удельная теплота испарения (конденсации) стремится к нулю. Объяснить это свойство с помощью уравнения Клапейрона-Клаузиуса. 15.11. Работа и теплота испарения

Вычислить работу испарения моля воды при переходе ее в пар при 100 °С и нормальном давлении. Определить также количество теплоты, сообщаемое при этом воде. Теплота парообразования воды: 2258 Дж/г. 15.12. Водяной пар при сгорании водорода

Количество теплоты, выделяющееся при образовании воды из элементов, равно Q1 = 287 кДж/моль, а теплота испарения воды равна Q2 = 40 кДж/моль. Определите количество теплоты, которое необходимо при образовании водяного пара из элементов. Аномальные вещества *

15.6. Изменение скорости звука с температурой

Найти адиабатическую сжимаемость κад идеального газа при квазистатическом адиабатическом сжатии. Скорость звука определяется соотношением с = dp / d ρ (ρ — плотность). Считая, что дифференцирование производится при адиабатическом изменении, вычислить скорость звука

Так выглядит диаграмма состояний обычных веществ, при переходе которых из твердой фазы в жидкую, объем увеличивается, а плотность 15

уменьшается. Как выглядит диаграмма для аномальных веществ, уменьшающих свой объем при плавлении, таких как вода, чугун?

16.2. Сцепление по воздуху

При давлении р = 609.2 Па и температуре t=0,01 °С лед, вода и ее пар могут в любых количествах находиться в равновесии и переходить друг в друга. При изотермическом сжатии такой системы давление не изменяется, но часть пара переходит в жидкость, а выделяющаяся при этом теплота может быть или использована на одновременное плавление льда, или отдана термостату. Вычислить массу льда, который должен быть расплавлен при таком образовании 1 г воды из пара и льда, для того чтобы этот изобарноизотермический процесс сжатия был адиабатным.

Определить, на какой угол ϕ повернётся диск, подвешенный на упругой нити, если под ним на расстоянии h = 1 см. вращается второй такой же диск с угловой скоростью ω = 50 рад/с. Радиус дисков R = 10 см, модуль кручения нити f = 100 дин⋅с/см. Краевыми эффектами пренебречь. Движение воздуха между дисками считать ламинарным. Как изменится результат в сильно разреженном воздухе с P = 10-4 мм.рт.ст., когда λ молекул воздуха велика по сравнению с расстоянием между дисками. Для упрощения расчёта считать, что все молекулы движутся с одинаковыми по абсолютному значению скоростями, равными средней скорости молекул воздуха V = 450 м/с.

15.14. Сплав *

16.3. Газопровод

15.13. Тройная точка воды *

Определить расход массы газа Q при стационарном изотермическом пуазейлевом течении его вдоль цилиндрической трубы длины l и радиуса r, на концах которой поддерживается давление P1 и P2 (P1 > P2). Во сколько раз увеличится расход, если диаметр трубы увеличится в два раза?

17. Контрольная работа 2

На рисунке представлена фазовая диаграмма системы Сu—Ag. Жидкой фазе соответствует область выше кривой АЕВ, справа от ACF находится область α-фазы твердого раствора, а слева от BDG — область β-фазы твердого раствора. Тройная точка Е называется эвтектической. а) Как будет вести себя раствор при охлаждении, если первоначально он находился в жидком состоянии, соответствующем точке К на рисунке? б) Что будет происходить при нагревании твердого раствора, если первоначально он находился в состоянии, отвечающем точке Н (α-фаза)?

16. Явления переноса 16.1. Подобие в остывании

В разреженном газе нагретое тело остывает за время t. За какое время остынет тело из того же материала, если все его линейные размеры увеличить в n раз? 16