Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский государственный педагогический университет
Т.И. Ершова, Н.И. Смирнова
Матрицы и определители Методическая разработка
Екатеринбург 2005
УДК 517.5 ББК 22.162
РЕЦЕНЗЕНТ: кандидат физико-математических наук, доцент Коробков С.С. Матрицы и определители: методическая разработка. / Урал. гос. пед. ун-т; Сост.: кандидат физ.-мат. наук, доцент Т.И. Ершова, ст. преп. Н.И. Смирнова. Екатеринбург, 2005.-43с.
Методическая разработка является сборником индивидуальных заданий по теме «Матрицы и определители» и предназначена для студентов дневного и заочного отделений математического факультета педагогического университета. Задачи, представленные в пособии, могут быть использованы для аудиторной работы, а также для проведения зачетов и экзаменов.
Библиогр.: 11 назв.
Введение Согласно программе курса «Алгебра» при изучении темы «Матрицы и определители» студенты должны приобрести следующие навыки и умения: 1) умение выполнять действия над матрицами; 2) знание алгоритмов для вычисления определителей 2-го и 3-го порядков; 3) умение применять свойства определителей для вычисления определителей порядка n; 4) умение решать системы линейных уравнений методом Крамера; 5) знание способов вычисления обратной матрицы; 6) умение вычислять ранг матрицы. Настоящая методическая разработка предназначена для оказания помощи студентам в приобретении указанных навыков. Пособие содержит 13 разделов, в каждом из которых содержатся 30 однотипных вариантов. Предлагаемые задачи могут использоваться для индивидуальных домашних заданий, а также в виде задачника для работы на практических занятиях в дополнение к известным алгебраическим пособиям. Варианты индивидуальных заданий Задание 1. Найти число инверсий в перестановке. 1. а) (1, 3, 7, 4, 6, 8, 2, 5) б) (2n, 2n + 1, 2n − 1, 2n + 2, 2n − 2, 2n + 3, . . . , 2, 4n − 1, 1, 4n) 2. а) (8, 2, 3, 4, 6, 7, 1, 5) б) (2, 6, 10, . . . , 4n − 2, 3, 7, . . . , 4n − 1, 4, 8, . . . , 4n, 1, 5, . . . , 4n − 3) 3. а) (5, 8, 7, 1, 4, 3, 2, 6) б) (3, 7, 11, . . . , 4n − 1, 2, 6, 10, . . . , 4n − 2, 4, 8, . . . , 4n, 1, 5, . . . , 4n − 3) 4. а) (6, 1, 3, 5, 7, 2, 4, 8) б) (4n, 2n, 4n − 1, 2n − 1, 4n − 2, 2n − 2, . . . , 3, 2n + 2, 2, 2n + 1, 1) 5. а) (5, 1, 4, 3, 7, 2, 6, 8) б) (4n + 1, 1, 4n, 2, 4n − 1, 3, . . . , 2n + 2, 2n, 2n + 1) 6. а) (3, 7, 1, 8, 6, 2, 5, 4) б) (2, 6, . . . , 4n − 2, 4, 8, . . . , 4n, 3, 7, . . . , 4n − 1, 1, 5, . . . , 4n − 3) 3
7. а) (4, 3, 8, 2, 5, 1, 7, 6) б) (1, 5, . . . , 4n − 3, 2, 6, . . . , 4n − 2, 3, 7, . . . , 4n − 1, 4, 8, . . . , 4n) 8. а) (2, 5, 4, 1, 7, 3, 6, 8) б) (4n, 1, 4n − 1, 2, 4n − 2, 3, . . . , 2n − 1, 2n + 1, 2n) 9. а) (1, 4, 7, 3, 8, 2, 5, 6) б) (3, 7, . . . , 4n − 1, 4, 8, . . . , 4n, 2, 6, . . . , 4n − 2, 1, 5, . . . , 4n − 3) 10. а) (7, 2, 5, 4, 3, 8, 1, 6) б) (2n + 1, 1, 2n + 2, 2, 2n + 3, 3, . . . , 4n − 1, 2n − 1, 4n, 2n) 11. а) (2, 4, 7, 3, 1, 8, 6, 5) б) (4n, 4n−4, . . . , 8, 4, 1, 5, . . . , 4n−3, 4n−1, 4n−5, . . . , 7, 3, 2, 6, . . . , 4n − 2) 12. а) (1, 8, 3, 5, 4, 2, 7, 6) б) (1, 5, . . . , 4n − 3, 3, 7, . . . , 4n − 1, 2, 6, . . . , 4n − 2, 4, 8, . . . , 4n) 13. а) (8, 2, 5, 1, 4, 7, 3, 6) б) (4n−2, 4n−6, . . . , 6, 2, 4n−3, 4n, 4n−7, 4n−4, . . . , 1, 4, 3, 7, . . . , 4n − 1) 14. а) (6, 3, 5, 8, 1, 4, 2, 7) б) (4, 8, . . . , 4n, 3, 7, . . . , 4n − 1, 2, 6, . . . , 4n − 2, 1, 5, . . . , 4n − 3) 15. а) (4, 1, 3, 5, 2, 7, 6, 8) б) (2, 6, . . . , 4n − 2, 1, 5, . . . , 4n − 3, 3, 7, . . . , 4n − 1, 4, 8, . . . , 4n) 16. а) (7, 1, 5, 3, 8, 2, 4, 6) б) (4n − 1, 4n, 4n − 5, 4n − 4, . . . , 3, 4, 4n − 3, 4n − 2, . . . , 1, 2) 17. а) (2, 8, 3, 7, 1, 5, 6, 4) б) (1, 5, . . . , 4n − 3, 4, 8, . . . , 4n, 3, 7, . . . , 4n − 1, 2, 6, . . . , 4n − 2) 18. а) (4, 7, 6, 8, 1, 2, 5, 3) б) (4n−3, 4n−7, . . . , 5, 1, 3, 2, 7, 6, . . . , 4n−1, 4n−2, 4n, 4n−4, . . . , 8, 4) 19. а) (3, 7, 4, 5, 8, 2, 1, 6) б) (1, 2n + 1, 2, 2n + 2, 3, . . . , 4n − 1, 2n, 4n) 20. а) (2, 7, 6, 3, 1, 5, 4, 8) б) (4, 8, . . . , 4n, 2, 6, . . . , 4n − 2, 3, 7, . . . , 4n − 1, 1, 5, . . . , 4n − 3) 21. а) (3, 7, 2, 6, 1, 5, 4, 8) б) (4n−3, 4n, 4n−7, 4n−4, . . . , 1, 4, 2, 6, . . . , 4n−2, 4n−1, 4n − 5, . . . , 7, 3) 22. а) (4, 2, 7, 1, 6, 3, 5, 8) б) (4, 8, . . . , 4n, 3, 7, . . . , 4n − 1, 2, 6, . . . , 4n − 2, 1, 5, . . . , 4n − 3) 4
23. а) (5, 1, 8, 4, 3, 7, 2, 6) б) (2n + 1, 2n, 2n + 2, 2n − 1, . . . , 4n − 1, 2, 4n, 1, 4n + 1) 24. а) (1, 7, 3, 5, 4, 2, 6, 8) б) (2n, 4n, 2n − 1, 4n − 1, . . . , 2, 2n + 2, 1, 2n + 1) 25. а) (2, 8, 7, 4, 5, 3, 1, 6) б) (4n, 4n−1, 4n−4, 4n−5, . . . , 4, 3, 2, 1, 6, 5, . . . , 4n−6, 4n−7, 4n − 2, 4n − 3) 26. а) (3, 2, 4, 5, 7, 6, 1, 8) б) (2n, 2n − 1, 2n + 1, 2n − 2, 2n + 2, . . . , 2, 4n − 2, 1, 4n − 1, 4n) 27. а) (2, 7, 1, 4, 6, 5, 8, 3) б) (3, 7, . . . , 4n − 1, 1, 5, . . . , 4n − 3, 2, 6, . . . , 4n − 2, 4, 8, . . . , 4n) 28. а) (3, 5, 7, 6, 1, 2, 4, 8) б) (4n − 2, 4n, 4n − 6, 4n − 4, . . . , 2, 4, 3, 1, 7, 5, . . . , 4n − 1, 4n − 3) 29. а) (4, 5, 3, 7, 1, 8, 2, 6) б) (4n, 4n−2, 4n−4, 4n−6, . . . , 4, 2, 4n−3, 4n−7, . . . , 5, 1, 3, 7, . . . , 4n − 1) 30. а) (2, 8, 6, 5, 7, 4, 1, 3) б) (4n−2, 4n−6, . . . , 6, 2, 1, 5, . . . , 4n−3, 4n, 4n−4, . . . , 4, 3, 7, . . . , 4n − 1) Задание 2. Указать значения параметров k, n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, при которых указанная перестановка четна, и значения, при которых она нечетна. 16. (1, k, 10, 4, n, 2, 7, 3, 9, 5) 1. (3, 8, 5, 1, n, 2, 7, k, 9, 10) 17. (k, 1, 10, n, 6, 3, 7, 8, 5, 4) 2. (k, 7, 3, 2, n, 9, 8, 1, 6, 10) 18. (3, 2, 8, 10, k, 5, n, 9, 6, 7) 3. (2, 5, n, 7, k, 10, 4, 8, 3, 6) 19. (6, k, 9, 4, 7, 3, n, 8, 5, 2) 4. (1, 7, 9, k, 2, 5, 6, 10, 4, n) 20. (1, 9, k, 6, 10, 8, 7, n, 4, 5) 5. (10, k, 3, 7, 1, n, 4, 8, 9, 6) 21. (4, k, 9, 5, 1, 10, 8, 2, n, 3) 6. (2, 10, 4, k, n, 8, 7, 5, 9, 3) 22. (k, 1, 8, 4, n, 5, 2, 7, 9, 6) 7. (5, 3, 7, 10, 8, k, 1, n, 2, 4) 23. (4, 3, k, 8, n, 9, 6, 10, 5, 7) 8. (1, n, 5, 3, k, 4, 7, 8, 6, 9) 24. (1, 4, 7, k, 6, 2, 10, 9, 3, n) 9. (3, 6, k, 1, 2, n, 5, 7, 9, 10) 25. (6, 4, 1, k, 2, 9, 3, n, 8, 10) 10. (4, n, 7, k, 1, 2, 6, 9, 10, 8) 26. (5, 1, 2, k, 8, 10, 4, 9, n, 7) 11. (4, 8, 1, 9, 3, k, 10, 5, n, 6) 27. (3, k, 10, 1, 7, 4, 9, n, 8, 5) 12. (9, 2, 4, 1, 10, 6, 8, 5, k, n) 28. (5, 2, k, 10, 7, n, 6, 3, 9, 4) 13. (7, 4, 9, n, 3, 1, 8, k, 6, 2) 29. (1, k, 6, 8, 2, 7, n, 3, 10, 5) 14. (6, 2, k, 5, 7, 10, 8, 4, n, 9) 30. (n, 1, 6, 3, 7, 5, 2, 9, 8, k) 15. (9, 5, k, 10, 6, n, 1, 2, 3, 8) 5
Задание 3. Определить значения параметров k, m, n так, чтобы данное произведение было членом определителя седьмого порядка с указанным знаком + или -. 16. a41 a26 ann a65 a3k a14 a5m , − 1. amm a42 an4 a25 ak1 a53 a16 , + 17. a71 a6k a5n amm a35 a26 a17 , − 2. a13 ann a3m a45 a7k a61 a56 , + 18. a3k a42 a2n a17 a74 a53 amm , + 3. a71 ak3 amm a45 a52 an4 a17 , − 19. a63 amm a12 an7 a31 a24 ak6 , − 4. a13 a24 a3k a4n a51 a62 amm , − 20. ak6 a42 a67 a73 ann am4 a31 , − 5. a76 a5n a13 akk a25 a62 a3m , − 21. am1 a23 a32 a45 a54 an6 akk , − 6. a32 ak1 a76 an4 a43 amm a17 , + 22. a36 a23 a1m a57 a6k ann a71 , + 7. akk a72 a61 an4 a57 am5 a26 , − 23. a52 amm a41 an5 a24 ak7 a76 , − 8. a14 a71 a5n a4k a23 a35 amm , + 24. a41 a26 ann a65 a3k a14 a5m , − 9. a43 a56 ann ak2 a24 a67 am5 , + 25. a71 a6k a5n amm a35 a26 a17 , + 10. a13 a36 an1 akk am2 a57 a75 , − 26. a3k a42 a2n a17 a74 a53 amm , − 11. ann a14 a26 a37 a7m a4k a63 , + 27. a17 a24 a33 amm a71 ak2 an5 , + 12. a12 a4k a25 a6n a76 a51 amm , − 28. a17 ak1 am2 a56 a34 a45 a7n , − 13. am1 a23 a32 a45 a54 an6 akk , + 29. ann a42 a2m a35 ak4 a56 a67 , + 14. a31 a23 a1m a57 a6k ann a72 , − 30. a16 a4n am4 akk a25 a57 a71 , − 15. a52 amm a41 an5 a24 ak7 a76 , + Задание 4. Пусть матрица B получена из матрицы A порядка n>1 при помощи указанных ниже преобразований. Выясните, как связаны определители матриц A и B. 1. Каждый элемент aik , где 1 6 i, k 6 n, матрицы A умножается на число ki . 2. Строка с номером i, где 1 6 i < n, матрицы A переставляется на последнее место, а i+1-ая и все следующие за ней строки сдвигаются вверх с сохранением их расположения. 3. Каждый элемент матрицы A с комплексными элементами заменяется на сопряженное с ним число. 4. Каждый элемент aik , где 1 6 i, k 6 n, матрицы A умножается на число 2i+k . 5. Каждый элемент aik , где 1 6 i, k 6 n, матрицы A умножается на число i , а затем к первому столбцу полученной матрицы прибавляется разность между ее последним и предпоследним столбцами. 6. Каждый элемент aik , где 1 6 i, k 6 n, матрицы А умножается на число ik. 7. Из каждого i-го, где i = n, n − 1, . . . , 2, столбца матрицы вычитает6
ся предыдущий столбец, а все элементы первого столбца умножаются на число 5. 8. В матрице A фиксируется элемент aik , где 1 6 i, k 6 n. Все элементы i-ой строки, кроме aik умножаются на число −2, а все элементы k-го столбца, кроме aik , умножаются на число − 21 . 9. Каждый элемент матрицы A заменяется элементом, симметричным к нему, относительно вертикальной «средней линии». 10. Каждый элемент aik , где 1 6 i, k 6 n, матрицы A умножается на число (−1)i+k . 11. Каждый элемент aik , где 1 6 i, k 6 n, матрицы A умножается на число 5i−k . 12. Для каждого числа k, где 1 6 i, k 6 n, все элементы k-ой строки матрицы A умножаются на число k + 1. 13. Все элементы каждой строки с четным номером матрицы A умножаются на номер строки, в которой они находятся, а все элементы каждого столбца с нечетным номером умножаются на номер соответствующего столбца. 14. Каждый элемент aik , где 1 6 i, k 6 n, матрицы А умножается на число (−1)k i. 15. Каждый элемент матрицы A умножается на число k − 1, где k — номер столбца, в котором находится данный элемент. 16. В матрице A, порядок которой больше 2, строки переставляются следующим образом: первая строка становится последней, вторая строка — предпоследней, а любая другая строка с номером i, где i = 3, 4, 5, . . . , n становится строкой с номером i − 2. 17. В матрице A, четного порядка n = 2k группа первых k строк переставляется с группой последних k строк, причем внутри каждой группы порядок следования строк не изменяется. 18. Столбец с номером i, где 1 < i < n, матрицы A порядка n > 2 переставляется на место первого столбца, а i + 1-ый столбец переставляется на место последнего столбца. Все остальные столбцы без изменения порядка сдвигаются вправо или влево соответственно. 19. Все элементы строк с четными номерами матрицы A умножается на число 2, а все элементы строк с нечетными номерами умножается на 3. 20. В матрице A порядка n > 2 k последовательных строк, где 1 < k < n, располагаются в обратном порядке, а все остальные строки остаются на своих местах. 7
21. Все элементы столбцов с четными номерами матрицы A умножаются на число 5, а все элементы столбцов с нечетными номерами умножаются на число 51 . 22. Все элементы первого столбца матрицы A умножаются на число 3, после чего он переставляется на последнее место. Все остальные столбцы сдвигаются влево с сохранением их расположения. 23. Каждый элемент матрицы A умножается на число 5k+1 , где k — номер строки, в которой этот элемент находится. 24. Каждый элемент aik , где 1 6 i, k 6 n, матрицы A умножается на число k+1 k , а затем стоки полученной матрицы записываются в обратном порядке. 25. Каждый элемент aik , где 1 6 i, k 6 n, матрицы A умножается на число −ik. 26. Строки с нечетными номерами матрицы A остаются на месте, а строки с четными номерами записываются в обратном порядке. 27. Каждый элемент aik , где 1 6 i, k 6 n, матрицы A умножается на число 2ki . 28. Каждый элемент матрицы A заменяется симметричным к нему элементом относительно горизонтальной «средней линии». 29. Первый столбец матрицы A порядка n > 2 умножается на число 5k−1 , где k — номер строки, в которой находится данный элемент. 30. Каждый элемент aik , где 1 6 i, k 6 n, матрицы A умножается на число (−1)i (i + 1)k. Задание 5. Вычислить определители: а) по правилу треугольника, б) с помощью разложения по строке (столбцу), содержащей буквы. ¯ ¯ x y x+y ¯ ¯ x+y x 1. а) ¯ y ¯ x+y x y
¯ ¯ x+y x y ¯ x+y y 2. а) ¯¯ x ¯ y x x+y
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ 1 0 −1 −1 ¯ ¯ 0 −1 −1 1 б) ¯¯ b c d ¯ a ¯ −1 −1 1 0 ¯ ¯ ¯ 2 1 x 3¯ ¯ ¯ ¯ −1 4 y ¯ 0 ¯ б) ¯¯ ¯ 3 1 z −1 ¯ ¯ ¯ 0 2 t −3 ¯ 8
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ y x−y y ¯ ¯ ¯ 3. а) ¯¯ x x − y y ¯¯ ¯ x x−y x ¯
¯ ¯ x x+y y ¯ ¯ 4. а) ¯ y x x+y ¯ x+y y x
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ y x y−x ¯ 6. а) ¯¯ y − x y x ¯ x y−x y
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ y x x+y ¯ ¯ 8. а) ¯ x + y x x ¯ x x+y y
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ x x+y y ¯ ¯ 10. а) ¯ x + y y x ¯ y x x+y
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ x y x−y ¯ ¯ 5. а) ¯ y x−y x ¯ x−y x y
¯ ¯ ¯ y x+y x ¯ ¯ ¯ 7. а) ¯¯ x x + y y ¯¯ ¯ x x+y x ¯
¯ ¯ x+y y y ¯ 9. а) ¯¯ x x x+y ¯ y x y
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯
9
1 2 2 2 0 −4 3 1 m n k l −2 0 4 1 1 m −2 3
0 −1 2 n k l 1 0 3 0 −1 0
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ 1 0 −1 −1 ¯¯ a b c d ¯¯ −1 −1 1 0 ¯¯ 0 −1 −1 1 ¯ ¯ 2 1 1 x ¯¯ 1 2 1 y ¯¯ 1 1 2 z ¯¯ 1 1 1 t¯ ¯ 0 −1 2 4 ¯¯ a b c d ¯¯ 2 −2 0 1 ¯¯ 5 −4 2 0 ¯ ¯ 1 1 1 1 ¯¯ 2 1 2 1 ¯¯ 0 1 1 0 ¯¯ a b c d¯ ¯ 1 0 2 1 ¯¯ 3 2 1 0 ¯¯ a b c d ¯¯ 2 0 4 5¯ ¯ −1 x 2 0 ¯¯ −2 y 3 1 ¯¯ 1 z 4 1 ¯¯ −2 t 1 1 ¯
¯ ¯ x−y x y ¯ 11. а) ¯¯ x x−y y ¯ y x x−y
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ x x−y y ¯ ¯ 12. а) ¯ y x x−y ¯ x−y y x
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ x y−x y ¯ 14. а) ¯¯ y − x y x ¯ y x y−x
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ y x−y x ¯ ¯ ¯ 13. а) ¯¯ x x − y y ¯¯ ¯ x x−y x ¯
¯ ¯ ¯ x x+y y ¯ ¯ ¯ 15. а) ¯¯ x x + y y ¯¯ ¯ x x+y x ¯ ¯ ¯ ¯ x ¯ y y ¯ ¯ 16. а) ¯¯ x + y x y ¯¯ ¯ y x y¯
¯ ¯ x−y x y ¯ 17. а) ¯¯ y x x+y ¯ x x x
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ x x x ¯ ¯ 18. а) ¯ x + y y − x x + y ¯ y y y
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯
10
m n k l
2 1 2 3
3 2 1 2
4 3 2 1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ 1 4 1 m ¯¯ −1 3 1 n ¯¯ 2 −1 −2 k ¯¯ 1 1 1 l¯ ¯ x y z t ¯¯ 1 4 1 1 ¯¯ −1 2 −1 1 ¯¯ 1 5 2 0¯ ¯ 1 1 2 −1 ¯¯ 2 −1 2 −4 ¯¯ 4 1 −4 −2 ¯¯ x y z t¯ ¯ 2 1 1 a ¯¯ 3 1 2 b ¯¯ 1 −1 0 c ¯¯ 2 −1 3 d ¯ ¯ 3 2 a 1 ¯¯ 2 5 b 1 ¯¯ 1 3 c −2 ¯¯ 2 3 d 1¯ ¯ x 2 2 2 ¯¯ y 3 0 1 ¯¯ z 1 1 0 ¯¯ t 1 0 4¯ ¯ m n k l ¯¯ 3 0 3 0 ¯¯ 1 2 0 1 ¯¯ −2 1 4 −1 ¯
¯ ¯ ¯ x ¯ y x ¯ ¯ 19. а) ¯¯ x − y y x ¯¯ ¯ y x y ¯
¯ ¯ x y−x y ¯ ¯ 20. а) ¯ x − y x y ¯ y x y−x
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ y y x+y ¯ 22. а) ¯¯ x x x ¯ y−x x+y y−x
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ x y−x x−y ¯ ¯ 24. а) ¯ y x y ¯ x−y y y−x
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯x ¯ y x ¯ ¯ 21. а) ¯¯ y x + y x ¯¯ ¯y x y ¯
¯ ¯ x+y y−x x ¯ ¯ 23. а) ¯ x y x−y ¯ x x y
¯ ¯ x y x ¯ 25. а) ¯¯ x − y x x ¯ y y x−y
¯ ¯ x−y y x ¯ ¯ 26. а) ¯ x x y ¯ y x y−x
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯
11
¯ a −1 0 2 ¯¯ b 3 −2 0 ¯¯ c 1 2 3 ¯¯ d −2 1 1 ¯ ¯ 1 0 0 2 ¯¯ 3 0 0 1 ¯¯ 0 5 6 0 ¯¯ m n k l¯ ¯ −2 m 3 1 ¯¯ 3 n 6 2 ¯¯ 1 k 2 1 ¯¯ 0 l 1 1¯ ¯ 1 2 a 3 ¯¯ −1 0 b −3 ¯¯ −1 1 c 0 ¯¯ 2 3 d 5¯
¯ 1 2 3 4 ¯¯ x y z t ¯¯ 0 −1 −2 −3 ¯¯ 1 1 2 3¯ ¯ 1 2 3 −1 ¯¯ 1 −1 1 2 ¯¯ x y z t ¯¯ 1 5 5 −4 ¯ ¯ a 1 2 3 ¯¯ b 2 1 2 ¯¯ c 3 2 1 ¯¯ d 4 3 2¯ ¯ 2 a 1 3 ¯¯ 3 b 3 3 ¯¯ 3 c 1 −1 ¯¯ 3 d 1 3¯
¯ ¯ x+y y x−y ¯ 27. а) ¯¯ y y x ¯ x−y x x
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ x−y ¯ x x ¯ ¯ 28. а) ¯¯ x − y x + y y ¯¯ ¯ y y y ¯
¯ ¯ x−y x x−y ¯ ¯ 29. а) ¯ y x+y y ¯ x y x
¯ ¯ x+y y x+y ¯ 30. а) ¯¯ y y y ¯ x x−y y−x
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ б) ¯¯ ¯ ¯
¯ 1 3 −1 0 ¯¯ x y z t ¯¯ 2 −1 −1 0 ¯¯ 0 2 1 1¯
¯ 0 1 2 m ¯¯ 1 1 1 n ¯¯ −3 −1 0 k ¯¯ 2 1 −1 l ¯ ¯ x 1 2 −1 ¯¯ y 0 1 1 ¯¯ z 1 −3 1 ¯¯ t 2 0 1¯ ¯ 1 −1 1 −1 ¯¯ 0 2 1 −2 ¯¯ 1 −2 0 3 ¯¯ a b c d¯
Задание 6. Вычислить определитель. Там, где из условия задачи не ясен порядок определителя, считается, что он равен n. ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 2 3 . . . n − 2 n − 1 n ¯ ¯ ¯ 2 ¯ 3 4 . . . n − 1 n n ¯ ¯ ¯ 3 ¯ 4 5 . . . n n n ¯ 1. ¯¯ ¯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¯ ¯ ¯ n − 1 n n ... n n n ¯¯ ¯ ¯ n n n ... n n n ¯ ¯ ¯ ¯ x1 a12 a13 . . . a1n ¯ ¯ ¯ ¯ x1 x2 a23 . . . a2n ¯ ¯ ¯ 2. ¯¯ x1 x2 x3 . . . a3n ¯¯ ¯ ... ... ... ... ... ¯ ¯ ¯ ¯ x1 x2 x3 . . . xn ¯
12
3.
4.
5.
6.
7.
8.
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1 a1 a2 ... an − bn
1 a1 a2 ... an
a0 a1 a2 −x x 0 0 −x x ... ... ... 0 0 0
... 1 1 ... a1 a1 − b1 . . . a2 − b2 a2 ... ... ... ... an an ¯ . . . an−1 an ¯¯ ... 0 0 ¯¯ ... 0 0 ¯¯ . . . . . . . . . ¯¯ . . . −x x ¯
a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 ... ... ... a1 0 −a3 0 −a2 −a3 x x x x x x x x x ... ... ... x n x x x x x a a a x a a a x ... ... ... a a a 1 a1 1 a1 + b1 1 a1 ... ... 1 a1
. . . an−2 an−1 . . . an−2 0 ... 0 −an−1 ... ... ... . . . −an−2 −an−1 . . . −an−2 −an−1 ¯ . . . x x 1 ¯¯ . . . x 2 x ¯¯ . . . 3 x x ¯¯ . . . . . . . . . . . . ¯¯ . . . x x x ¯¯ ... x x x ¯ ¯ . . . a a ¯¯ . . . a a ¯¯ . . . a a ¯¯ . . . . . . . . . ¯¯ ... a x ¯ ¯ a2 ... an ¯¯ a2 ... an ¯¯ a2 + b2 . . . an ¯¯ ... ... . . . ¯¯ a2 . . . an + bn ¯
13
1 a1 a2 ... an
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
an −an −an ... −an −an
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
9.
10.
11.
12.
13.
14.
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
b1 a21 a31 ... an1
b1 b2 a32 ... an2
b1 b2 b3 ... an3
. . . b1 . . . b2 . . . b3 ... ... . . . bn
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
n! (n − 1)! (n − 2)! 2 4 6 4 6 8 ... ... ... 2n − 2 2n 2n + 2 2 2 2 1 2−x 1 1 1 3−x ... ... ... 1 1 1
... ... ... ... ...
1 0 0 a2 1 0 0 a3 1 ... ... ... 0 0 0
... 0 ... 0 ... 0 ... ... . . . an
0 0 0 0 0 0 0 0 0 ... ... ... 2 5 2 5 2 0
... 0 ... 2 ... 5 ... ... ... 0 ... 0
−1 −1 2 2 −3 −3 ... ... −2n + 1 −2n + 1 2n a 1 1
−1 2 −3 ... −a 2n 1
... 2! 1! . . . 2n − 2 2n ... 2n 2n + 2 ... ... ... . . . 4n − 2 4n − 4 ¯ ¯ 2 ¯ ¯ 1 ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ... ¯ (n + 1) − x ¯ ¯ a1 ¯¯ 0 ¯¯ 0 ¯¯ . . . ¯¯ 1 ¯ ¯ 2 1 ¯¯ 5 2 ¯¯ 2 0 ¯¯ . . . . . . ¯¯ 0 0 ¯¯ 0 0 ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
... −1 −1 −a ... 2 a 2 ... −a −3 −3 ... ... ... ... . . . −2n + 1 −2n + 1 −2n + 1 ... 2n 2n 2n ... 1 1 1
14
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
15.
16.
17.
18.
19.
20.
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1+n n 1+n n 1+n n ... ... 1+n n 1+n x
n−1 n−1 n−1 ... x n−1
¯ ... 3 2 1 ¯¯ ... 3 2 x ¯¯ . . . 3 x 1 ¯¯ . . . . . . . . . . . . ¯¯ ... 3 2 1 ¯¯ ... 3 2 1 ¯
2x x 2 2 x x−1 1 1 2x 2 x−2 2 3x 3 3 x−3 ... ... ... ... nx n n n
... 2 2 ... 1 1 ... 2 2 ... 3 3 ... ... ... ... n x − n
x a1 −a1 a2 −a2 2 −1 0 0 0 4 0 −2 0 0 6 0 0 −3 0 ... ... ... ... ... 4n − 2 0 0 0 0 4n 0 0 0 0 ¯ z b1 b2 . . . bn ¯¯ b1 z b2 . . . bn ¯¯ b1 b2 z . . . bn ¯¯ . . . . . . . . . . . . . . . ¯¯ b1 b2 b3 . . . z ¯ 1 2 3 −1 0 3 −1 −2 0 ... ... ... −1 −2 −3
... an −an ... 0 −1 ... 0 −2 ... 0 −3 ... ... ... . . . −(2n − 1) −(2n − 1) ... 0 −4n
¯ n ¯¯ n ¯¯ n ¯¯ . . . ¯¯ 0 ¯ ¯ a a ¯¯ a a ¯¯ a a ¯¯ . . . . . . ¯¯ 1 a ¯¯ a a ¯
... n−1 ... n−1 ... n−1 ... ... . . . −(n − 1)
n a a a n−1 a a a n−2 ... ... ... a a a 1 a a
... ... ... ... ... ...
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
15
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
21.
22.
23.
24.
25.
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ 1 1 1 ... 1 ¯¯ a1 x a1 . . . . . . a1 ¯¯ a2 a2 x ... a2 ¯¯ ... ... ... ... . . . ¯¯ an an an ... x ¯
1 2 0 0 ... 0 0 3 4 −3 0 . . . 0 0 0 2 1 −3 . . . 0 0 0 0 2 1 ... 0 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 . . . 1 −3 0 0 0 0 ... 2 1
1 2 3 −1 −(a + 4) −3 1 2 a+4 −1 −2 −3 ... ... ... −1 −2 −3 0 0 0 0 ... ... 0 xn−1 xn 1 1 0
... ... ... ... ... ...
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
... 2n − 1 2n . . . −(2n − 1) −2n ... 2n − 1 2n . . . −(2n − 1) −2n ... ... ... . . . −(2n − 1) −(a + 4) ¯ 0 x1 1 ¯¯ x2 1 0 ¯¯ . . . . . . . . . ¯¯ 0 0 0 ¯¯ 0 0 0 ¯¯ 0 0 a ¯
n n n n n n n n n n n n ... ... ... n n 2n − (n − 2) n 2n − (n − 1) 2n
16
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
... n n ... n n ... n 2n − 1 . . . 2n − 2 2n ... ... ... ... 2n 2n ... 2n 2n
n 2n 2n 2n ... 2n 2n
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
26.
27.
28.
29.
30.
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
−2 −2 x+2 x+4 1 3 3 5 5 7 ... ... 2n − 5 2n − 3 a a a a ... ... a 2 2 a
... ... ... ... ...
... −2 . . . x + 2n − 2 ... 2n − 3 ... 2n − 1 ... 2n + 1 ... ... ... 4n − 9 ¯ a 2 ¯¯ 2 a ¯¯ . . . . . . ¯¯ a a ¯¯ a a ¯
−2 x + 2n 2n − 1 2n + 1 2n + 3 ... 4n − 7
... x x ... x n−1 ... n − 2 x ... ... ... ... x x ... x x ... x x
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
−x x 0 ... 0 0 0 −x x . . . 0 0 0 0 −x . . . 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... −x x 1 3 5 . . . 2n − 3 2n − 1 x x x x x x x x x ... ... ... x x 2 x 1 x x x x
1 b1 0 −2 1 − 2b1 b2 0 −3 1 − 3b2 ... ... ... 0 0 0 0 0 0
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
n x x ... x x x
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... ... ... . . . 1 − nbn−1 bn . . . −(n + 1) 1 − (n + 1)b
17
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
Задание 7. Решить систему методом Крамера. 2x1 + 3x2 − x3 + 4x4 = 9 5x1 + x2 + 2x3 + x4 = 11 1. 4x + 3x2 + 2x3 − x4 = 2 1 x1 + 2x2 − 2x3 − x4 = −8 x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 12 4x1 + 3x2 + 2x3 − x4 = 9 2. x − 2x2 + x3 = −1 1 x1 + 5x2 − x3 + 3x4 = 8 x1 + 4x2 − 6x3 + x4 = −11 x1 − x 2 + x3 + x4 = 6 3. x + x2 + x3 − 7x4 = −6 1 3x1 + 2x2 − x3 − x4 = 0 2x1 − x2 − x3 − x4 = 2 2x1 + x2 − 2x3 − 2x4 = −3 4. x − x2 + 8x3 = 27 1 3x1 + 2x2 + x3 + x4 = 7 2x1 − 3x2 + 4x3 − 3x4 = 17 3x1 − x2 + 2x3 − x4 = 10 5. 4x + x2 + x3 − x4 = 4 1 2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 6 x1 + x2 − x 3 = 2 6. x − x2 + x3 − x4 = −2 1 x1 + 3x2 − x3 − x4 = 0 −x1 + x2 + x3 + x4 = −2 + 4x4 = 9 3x1 + x2 7. x1 + x2 + 4x3 = 1 2x1 + x2 − 5x3 + x4 = 4 4x1 + 2x2 − x3 + x4 = 17 6x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 26 8. 12x1 + 5x2 − 3x3 + 4x4 = 52 6x1 + 3x2 − 2x3 + 2x4 = 27 18
x1 + 2x2 + 3x3 2x1 + x2 + 2x3 9. 3x + 2x2 + x3 1 4x1 + 3x2 + 2x3 5x1 + x2 − x3 x2 + 2x3 10. x + 2x2 1 x1 + x2 − 4x3 −2x1 + x2 + x3 x1 − 2x2 11. x1 + x2 − x 3 −2x1 + 2x2 + x3 x1 + x2 + x3 −x1 + 7x2 12. x1 + 2x2 − 2x3 3x1 + x2 − x3 2x1 + 2x2 − x3 x1 − x 2 − x 3 13. − 3x2 + x3 x1 − x2 + 2x3 2x1 + 2x2 − x3 4x1 + 3x2 − x3 14. 8x + 5x2 − 3x3 1 3x1 + 3x2 − 2x3 x1 + 2x2 + 3x3 2x1 + x2 + 2x3 15. 3x + 2x2 + x3 1 4x1 + 3x2 + 2x3 x1 + 2x2 − 3x3 −x1 + x2 + x3 16. 2x1 + 3x3 x1 − x2 − x3
+ 5x4 + x4 + x4 − 5x4
= 4 = −7 = −6 = −29
− x4 = 11 − x4 = −1 + 3x4 = 7 = −2 − x4 = 2 + 3x4 = 4 = −2 + x4 = 7 + x4 = 1 − x4 = −6 = −9 − x4 = −7 − x4 = 2 + 2x4 = 4 − x4 = −5 = 0 + x4 + 2x4 + 4x4 + 2x4
= = = =
12 19 35 20
+ 5x4 + x4 + x4 − 5x4
= −11 = −3 = −3 = 1
− x4 = −10 + x4 = 3 + 2x4 = 6 = −2
19
x1 + x2 + x3 + x4 = 5 x1 + x2 + x3 = 2 17. 3x + 5x2 + 3x3 = 4 1 2x1 + 2x2 − 2x3 − 3x4 = −13 2x1 + x2 + x3 = 5 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 6 18. x + x2 + 4x3 − 2x4 = 4 1 x1 + x2 + x3 + 5x4 = 8 2x1 + x2 + x3 + x4 = 6 x1 + 2x2 + x3 + x4 = 6 19. x + x2 + 3x3 + x4 = 7 1 x1 + x2 + x3 + 4x4 = 11 x1 + x2 + x3 + x4 = 4 x2 + x3 + x4 = 2 20. x + 2x2 + 3x3 = 7 1 x2 + 2x3 + 3x4 = 7 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 13 2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 10 21. 2x + 2x2 + x3 + 2x4 = 3 1 2x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 4 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 1 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0 22. 2x + x2 + 2x3 + 3x4 = 3 1 2x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 4 x1 + 5x2 + 3x3 + 4x4 = 16 2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 10 23. 3x + x2 + x3 + 2x4 = 8 1 4x1 − 5x2 + 2x3 + x4 = 4 13x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = −8 10x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = −7 24. 11x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = −8 6x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = −2
20
25.
26.
27.
28.
29.
30.
x1 + x2 + x3 − x 4 = 2 2x1 + x2 − x3 = 3 x + 2x2 + x3 + 2x4 = 1 1 x1 + x2 − 3x3 + 3x4 = 2 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 2 2x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = −2 3x + 2x2 + x3 + 2x4 = 2 1 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = −2 5x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = −3 x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 3 x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 5 −5x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 13 x1 + 2x2 + 5x3 + x4 = −1 2x1 + x2 + x3 + 3x4 = 4 3x + 2x2 + x3 + 2x4 = 7 1 4x1 + 3x2 − 5x3 + x4 = 16 2x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 10 4x1 + 3x2 + 6x3 + 2x4 = 13 8x + 5x2 + 12x3 + 4x4 = 25 1 3x1 + 3x2 + 6x3 + 2x4 = 15 x1 + x2 + x3 + x4 = 5 8x1 + x2 − x3 + x4 = 7 2x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 11 −x1 − x2 + x3 = −3
Задание 8. а) При каком значении параметра a система уравнений имеет единственное решение? б) При каком значении параметра a система уравнений имеет ненулевое решение? x1 + 2x2 − x3 + x4 = 0 5x1 + x2 + 2x3 + x4 = 1 1. a) 4x − x2 + ax3 = 2 1 3x1 + ax2 + 4x3 − x4 = 3 21
2x1 + x2 + 3x3 = 0 б) 4x1 − x2 + 7x3 = 0 x1 + ax2 + 2x3 = 0 x1 + ax2 − x3 + 2x4 = 1 2x1 − x2 + ax3 + 5x4 = 1 2. a) x + 10x2 − 6x3 + x4 = 2 1 x1 − x2 + x3 + 2x4 = −1 ax1 + x2 + x3 = 0 б) x1 − ax2 + x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 0 3x1 + x2 + x3 + 4x4 = 5 ax1 + 4x2 + 10x3 + x4 = 0 3. a) x + 7x2 + 17x3 + 3x4 = −5 1 2x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4 = 10 x1 + ax2 + 2x3 = 0 б) 2x1 + x2 + 4x3 = 0 4x1 + 2x2 − ax3 = 0 x1 + ax2 − x3 + 2x4 = 5 2x1 − x2 + ax3 + 5x4 = 1 4. a) x + 10x2 − 6x3 + x4 = 0 1 x1 + x2 − x 3 + x4 = 1 x1 + 2x2 − x3 = 0 б) 5x1 + x2 + 2x3 = 0 4x1 − x2 + ax3 = 0 ax1 + 5x2 + 3x3 + x4 = 1 −x1 + ax2 − x4 = 2 5. a) x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 3 x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0 ax1 + x2 + x3 = 0 б) x + ax2 + x3 = 0 1 x1 + x2 + ax3 = 0 x1 + x2 − x3 + 2x4 = 17 2x1 − x2 + ax3 + 5x4 = 3 6. a) x + 10x2 − 6x3 + x4 = 1 1 x1 − x2 + x3 + 2x4 = 3 22
x1 + 3x2 + x3 = 0 б) ax1 + ax2 + 6x3 = 0 3x1 + 4x2 − x3 = 0 2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 4 x1 + x2 + 3x3 + 5x4 = 8 7. a) −2x1 − 4x3 − 7x4 = −1 ax1 + 2x2 + x3 + x4 = 5 x3 = 0 x1 + x2 + б) ax1 + x2 + ax3 = 0 x1 + ax2 + a2 x3 = 0 x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 1 −x1 + x2 − 2x3 = 0 8. a) 2x1 + 4x2 + ax3 + 4x4 = 4 2x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 1 ax1 + ax2 + (a + 1)x3 = 0 б) 2x1 + 2x2 + x3 = 0 (2a + 3)x1 + x2 + x3 = 0 2x1 + 3x2 + x3 = 0 3x1 + 5x2 − x3 + x4 = 0 9. a) − x2 + 6x3 + 2x4 = 2 x1 + 2x2 + ax3 + x4 = −2 x1 + 2x2 + x3 = 0 = 0 б) −x1 + ax2 ax1 − 5x2 − x3 = 0 7x1 + 2x2 − ax3 + x4 = 5 x1 + 2x2 + 4x3 + 2x4 = 1 10. a) 5x + 2x2 − 5x3 − 2x4 = 2 1 x1 + 12x2 − x3 + x4 = 5 x2 + x3 = 0 ax1 + б) x + ax2 + x3 = 0 1 x1 + 2ax2 + x3 = 0 5x1 + 5x3 + 2x4 = −3 −17x1 + 21x2 + 4x3 − 11x4 = 2 11. a) 12x1 + ax2 + 13x3 + 7x4 = 4 2x1 − x2 + x3 + x4 = 0 23
3x2 + x3 = 0 ax1 + б) −x1 + x2 + x3 = 0 −2x1 + (a + 5)x2 + (a + 3)x3 = 0 x1 + x2 + x3 + 2x4 = 7 −x1 + 2x2 + ax3 + 2x4 = 9 12. a) −3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 1 ax1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 = 3 3x1 + x2 + x3 = 0 б) ax1 + 4x2 + x3 = 0 2x1 + 2x2 + 4x3 = 0 3x1 + ax2 + 3x3 + 7x4 = 2 ax1 + 2x2 + ax4 = −1 13. a) x + x2 + 2x3 + x4 = 3 1 2x1 + ax2 + 3x3 + 6x4 = 4 2x1 + 3x2 − x3 = 0 б) ax1 + 2ax2 + 2x3 = 0 (6 − 2a)x1 + (9 − 4a)x2 − 7x3 = 0 3x1 + 2x2 + 2x3 − x4 = 1 x1 + x2 + x3 + x4 = 5 14. a) 3x1 + 2x2 + ax3 + 2x4 = 0 −9x1 − 6x2 − 6x3 + ax4 = 1 2x1 − 3x2 + x3 = 0 б) 3x1 + 2x2 − 2x3 = 0 ax1 − 4x2 = 0 x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 = 1 x1 − x2 + ax3 + x4 = 2 15. a) x + ax2 + x4 = −2 1 4x1 + 2x2 + 3x3 + 8x4 = 0 (4a + 1)x1 + 9x2 + (a + 1)x3 = 0 б) (a + 1)x1 + 3x2 + x3 = 0 3x1 − x2 + 2x3 = 0 2x1 + 6x2 + 3x3 + ax4 = 1 x1 + 13x2 + 3x3 + 2x4 = 2 16. a) x − ax2 + x3 + 2x4 = 0 1 x1 + x2 + x3 + 2x4 = 8 24
x1 − x2 − 2x3 = 0 б) 2x1 + ax2 = 0 −x1 + 6x2 + 6x3 = 0 −2x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 1 −x1 + 2x2 + 2x3 + 11x4 = 5 17. a) x1 + x3 + 8x4 = 0 −4x1 + ax2 + x3 + 4x4 = −1 ax1 + x2 − 2x3 = 0 б) x1 + x2 − 2x3 = 0 ax1 + ax2 − x3 = 0 ax1 + x2 + 2x3 − 3x4 = 1 x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0 18. a) x1 + x3 + 2x4 = 2 −3x1 − 6x2 − 3x3 + ax4 = 4 −x1 + ax2 + ax3 = 0 б) −3x1 + 5x2 + 2x3 = 0 −3x1 + x2 − 5x3 = 0 3x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 2x1 + ax2 + 3x3 − 7x4 = 0 19. a) 4x − 2x2 − 2x3 − 5x4 = 5 1 3x1 + x2 + 2x3 + 3ax4 = 4 x1 + ax2 + 3x3 = 0 −x1 + x2 + 4x3 = 0 б) −2x1 − ax2 + x3 = 0 −3x1 + 6x2 + 4x3 + 21x4 = 7 2x1 − 3x2 − 2x + ax4 = 8 20. a) −6x1 + 9x2 + 6x3 + 29x4 = 1 8x1 − 12x2 − 8x3 − 37x4 = −2 x1 − x2 + 2x3 = 0 б) x1 + ax2 + ax3 = 0 −3x1 + 2x2 + x3 = 0 2x1 + 4x2 + (6 − a)x3 + 3x4 = 5 2x1 − ax2 + 7x3 + 2x4 = 0 21. a) x + 3x2 + 2x3 + x4 = 1 1 x1 + x2 + 2x3 + x4 = 7 25
x1 + x2 + x3 = 0 б) ax1 + x2 + ax3 = 0 x1 + ax2 + ax3 = 0 5x1 + x2 + 2x3 = 1 3x1 − x2 + x3 + ax4 = −1 22. a) −x1 + 3x3 + 3x4 = −1 x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 4 2x2 + ax3 = −x1 + б) 4x1 + ax2 − 2x3 = 18x1 + (4a − 4)x2 − (8 + 2a)x3 = −2x1 + ax2 + 3x3 + 2x4 = 0 −x1 + x2 + ax3 + x4 = 5 23. a) −3x1 − 2x3 − 3x4 = 10 −3x1 + x2 + ax3 + 3x4 = −5 −3x1 + ax2 − 4x3 = 0 б) ax1 + 3x2 + ax3 = 0 −5x1 + ax2 − 6x3 = 0 4x1 + 5x2 + x3 + 3x4 = 4 −4x1 + 2ax2 + 9x3 − 4x4 = 1 24. a) x1 + x2 + ax3 + x4 = 5 x1 + x2 − x3 + x4 = 0 −2x1 − 3x2 + ax3 = ax1 − 2x2 + x3 = б) (4 − 3a)x1 + 12x2 − (3 + 2a)x3 = 3x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0 2x1 + x2 + 2x3 − x4 = 10 25. a) 4x + x2 + 4x3 − 2x4 = 3 1 ax1 + 2x2 + 3x3 = 1 3x1 + ax2 + x3 = 0 б) ax1 + x2 + ax3 = 0 x1 + ax2 − x3 = 0 2x1 + x2 + 3x3 + 5x4 = 2 ax1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 0 26. a) ax + x2 + 4x3 + x4 = −2 1 x1 + x2 + 3x3 + 5x4 = 1 26
0 0 0
0 0 0
x1 − x2 + ax3 = 0 б) −x1 + ax2 = 0 x1 + ax2 + 8x3 = 0 2x1 + 2x2 + x3 − x4 = 0 ax1 − x2 + x3 + x4 = 2 27. a) − 5x2 − 4x3 − x4 = 3 x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 5 x2 + 2x3 = 0 ax1 + б) −x1 + x2 + x3 = 0 5x1 + (a − 4)x2 + (a − 3)x3 = 0 3ax1 + 8x2 − 7x3 + 3x4 = 1 7x1 − 4x2 − 2x3 + x4 = 3 28. a) x1 + 2x2 + ax3 + x4 = 2 x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = −1 5x1 − 8x2 + 2x3 = 0 б) 2ax1 + 3x2 − x3 = 0 (−6a + 2)x1 − 13x2 + 4x3 = 0 ax1 + 5x2 + x3 + 11x4 = 1 8x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 = 2 29. a) 12x1 + 3x2 + 3x3 + 6x4 = −5 − x2 + ax3 − 2x4 = 7 x1 + 2x2 − x3 = 0 2x1 + 4x2 + 3x3 = 0 б) −x1 + ax2 + 6x3 = 0 5x1 + ax2 + 3x3 + 4x4 = 1 x1 + x2 + ax3 + x4 = −1 30. a) −x1 + 2x3 − x4 = 3 6x1 + ax2 + 3x3 + 5x4 = 7 5x1 − 3ax2 − 2x3 = 0 б) 2x1 + x2 + ax3 = 0 3x1 + 2x2 + ax3 = 0
27
Задание 9. Вычислить матрицу AB + 3C. µ ¶ 1 2 10 −1 0 −1 0 1 1. A = 0 1 , B = , C = −1 3 −1 3 4 2 3 4 5 −2 2 µ ¶ µ ¶ 2 0 1 −1 10 −1 −1 0 1 2 3 2. A = , B = −3 1 0 2 , C = 2 0 2 5 0 2 3 0 −2 1 6 µ ¶ µ ¶ 1 0 3 1 −1 2 −10 2 6 3. A = , B = 2 −1 2 , C = 6 −1 3 −1 5 3 3 2 1 1 3 1 0 0 ¡ ¢ , B = 5 3 −1 , C = 2 2 4 4. A = 2 1 0 3 −1 5 −1 −1 1 −1 0 µ ¶ µ ¶ 0 2 3 1 0 1 2 −3 6 −1 5. A = , B= 2 3 1 , C = −1 1 2 3 −1 2 −1 −1 −1 1 1 0 µ ¶ µ ¶ −1 1 −5 3 −2 1 −15 5 , C = 6. A = , B= −1 3 0 1 2 0 −2 3 1 −1 µ ¶ µ ¶ µ ¶ −3 6 1 −1 2 0 3 1 0 1 7. A = , B= , C= 1 3 −1 1 3 2 1 −1 3 1 −5 3 1 1 0 µ ¶ 1 −1 0 1 2 5 −1 3 , B = , C = 8. A = 6 −1 1 3 −1 4 0 1 0 0 3 2 −1 5 −10 1 2 1 0 −1 2 9. A = −1 1 −1 1 , B = 1 , C = −6 2 0 −2 3 3
28
−1 −2 0 1 2 ¡ ¢ , B = 3 −1 0 , C = 6 10 15 10. A = 3 −3 0 3 4 −1 1 4 µ ¶ 1 0 10 −1 −2 −3 4 6 0 −1 1 0 11. A = 2 −1 , B = , C = 0 1 2 −1 0 7 5 1 1 2 3 6 6 5 4 3 2 3 −1 µ ¶ µ ¶ 1 2 −3 −1 0 2 10 −1 , C = 12. A = , B= −6 1 1 3 0 6 −9 3 4 3 15 −5 1 0 −5 1 −3 1 , B = −1 , C = 0 13. A = 3 0 2 1 0 1 2 1 −1 6 0 ¡ ¢ ¡ ¢ 2 1 , C = 20 −15 14. A = 3 1 0 2 , B = −1 −1 0 3 3 1 0 µ ¶ µ ¶ 1 −1 2 10 −5 3 −4 1 0 2 15. A = , B= 6 1 −1 , C = 4 6 11 3 2 −1 −1 4 0 0 1 1 2 −10 −6 13 ¡ ¢ 16. A = 3 , B = 13 −14 6 0 9 , C = 9 0 4 2 1 5 −14 1 1 −2 1 5 −6 9 −10 20 µ ¶ 13 −14 −8 1 31 −1 2 3 −4 , B = , C = 17. A = 2 4 6 0 02 6 3 −4 0 1 −1 2 −1 1−1 1 3 5 1 2 µ ¶ −1 3 0 3 4 5 −6 1 , B = , C = 18. A = −1 −3 1 5 6 1 −1 2 4 0 1 0 1
29
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
¶ ¡ ¢ 1 −1 0 1 9 A = 1 −10 , B = , C = 5 −6 −14 −8 −9 2 5 4 3 2 1 −1 0 µ ¶ µ ¶ 5 −2 1 10 −8 1 1 0 1 2 , C = A= , B= 3 −6 5 3 4 5 −1 3 4 5 1 1 −1 2 0 5 −6 1 0 1 20 3 1 A = 2 −2 1 1 , B = −1 2 , C = −10 5 3 −1 −1 2 3 2 1 5 1 −1 2 1 2 2 3 3 1 0 , B = −1 2 , C = −10 −2 A= 0 −2 −2 6 −4 2 1 4 1 −1 −1 8 2 0 3 1 ¡ ¢ ¡ ¢ A = 5 −6 −14 , B = −1 1 1 −2 , C = 5 −6 13 10 2 3 5 4 µ ¶ µ ¶ 5 1 0 1 1 2 −6 1 10 −1 20 A= , B = 9 −1 2 −1 , C = −3 4 1 2 −5 −7 15 1 3 1 −1 µ ¶ 1 −1 2 1 5 −2 5 −6 1 1 , C = 0 2 3 −1 A = 9 1 , B = 3 −1 0 2 13 −4 2 4 0 −2 −6 0 1 ¡ ¢ ¡ ¢ 1 2 −1 , C = −10 11 −5 A = 10 −1 2 −4 , B = 0 3 −3 −1 4 −1 1 2 −1 6 −10 20 0 1 −1 2 0 −4 2 −1 , C = 3 A= , B = −2 3 1 1 −1 0 −1 2 1 5 −1 0 2 −1 −1 0 2 −1 −1 2 3 0 1 1 −10 A = 2 −1 1 , B = −5 2 , C = −12 5 0 8 −1 1 −1 −8 2 ¡
¢
µ
30
1 −1 0 2 −1 ¡ ¢ , B = −6 0 1 −1 , C = 2 −2 1 29. A = 3 4 5 1 −3 −1 −2 1 µ ¶ µ ¶ 5 2 11 2 −3 −40 10 30. A = , B = 1 0 , C = −1 4 5 5 −5 −1 3
0 1 6 0
Задание 10. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей A. 1. A =
µ
2. A =
µ
3. A =
µ
4. A =
µ
5. A =
µ
6. A =
µ
7. A =
µ
8. A =
µ
9. A =
µ
10. A =
µ
¶ −1 2 1 1 ¶ 2 2 1 −1 ¶ 1 1 −1 0 ¶ 1 2 −1 −2 ¶ 3 2 −1 1 ¶ 1 1 3 3 ¶ 1 −4 1 1 ¶ 1 −5 1 1 ¶ 1 −1 1 −2 ¶ −5 −3 1 1
11. A =
µ
12. A =
µ
13. A =
µ
14. A =
µ
15. A =
µ
16. A =
µ
17. A =
µ
18. A =
µ
19. A =
µ
20. A =
µ
¶ 2 −1 2 2 ¶ 3 1 0 3 ¶ 2 −1 3 −2 ¶ 2 −3 1 1 ¶ 1 −4 1 1 ¶ −1 3 2 1 ¶ 1 1 2 2 ¶ 3 4 −1 −1 ¶ 2 −1 3 −2 ¶ 2 −1 4 −2
31
21. A =
µ
22. A =
µ
23. A =
µ
24. A =
µ
25. A =
µ
26. A =
µ
27. A =
µ
28. A =
µ
29. A =
µ
30. A =
µ
¶ 1 −1 2 4 ¶ 1 0 3 1 ¶ 3 1 2 1 ¶ 2 −1 1 0 ¶ 2 −1 5 −2 ¶ 1 −1 2 2 ¶ −1 −1 2 2 ¶ 3 −1 5 −2 ¶ −2 4 1 1 ¶ −1 2 −5 3
Задание 11. Найти обратную матрицу для матрицы A.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
2 1 1 A=0 2 1 3 1 2 4 5 −5 A=1 2 2 5 7 −2 3 0 5 A= 2 1 4 −1 3 0 2 −1 0 A = 0 −4 −1 −3 5 1 4 −5 3 A = −7 9 −5 −2 3 −2 1 1 1 A= 1 2 3 −1 −1 0 −5 −3 −1 A= 4 2 1 −3 −2 −1 1 0 −1 A = 2 1 −3 4 −2 1 −1 3 1 A = 2 0 −4 −2 2 1 1 0 1 A = −4 −2 2 1 0 −2 1 0 3 A = 2 1 −1 1 2 1
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22. 32
2 1 1 A = 0 −1 −2 1 3 1 1 2 3 A=2 5 5 3 7 7 1 2 3 A= 0 1 1 −1 0 1 1 1 1 A=2 1 0 1 1 −1 2 0 5 A=0 2 1 1 0 3 0 1 2 A = −1 0 1 1 2 0 1 2 1 A=0 1 0 0 2 2 1 0 1 A = −1 2 1 3 2 0 −3 2 0 A = −4 5 −2 −5 3 0 0 1 1 A=2 1 2 1 2 3 1 −1 2 A = 1 1 −1 3 0 1
23. A =
24. A =
25. A =
26. A =
1 0 3 1 1 1 1 2 1 1 3 2
1 2 2 0 1 1 −1 1 −1 2 1 1 1 −1 1 0 1 1 2 −3 2 −4 −1 0
27. A =
28. A =
29. A =
30. A =
Задание 12. Решить матричное уравнение. µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 −1 −1 1 2 1. а) X = 2 −1 1 2 −1 3 2 1 −1 −1 2 0 б) −4 2 −6 X = −4 −2 −10 4 2 −2 −2 4 0 µ ¶ µ ¶ µ ¶ −1 2 3 1 1 1 2. а) X = 0 1 −6 1 1 1 4 −3 1 0 3 1 б) X 2 0 1 = 6 −6 1 4 −6 0 8 −9 1 µ ¶ µ ¶ µ ¶ −1 1 2 1 3 −1 3. а) X = 1 2 1 0 −1 1 2 0 −2 0 1 2 б) 1 1 1 X = 3 0 −3 2 −4 1 2 −1 −4 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 2 2 1 0 4 4 4. а) X = 1 0 1 1 2 1 1 3 2 1 1 0 б) 1 2 1 X = 0 1 −1 1 1 0 −1 1 −2 33
1 1 −1 0 1 2 1 −1 0 0 0 1 9 −3 6 3 0 3 2 1 2 0 0 1 2 −1 0 1 1 1 −1 0 2 1 0 1
µ
¶ µ ¶ µ ¶ −1 −2 2 −1 −8 5 5. а) X = 2 3 1 −1 13 −8 −1 −1 1 3 −5 3 б) X 3 −1 0 = 1 1 −1 −2 2 −1 2 −2 1 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 5 6 0 2 2 4 6. а) X = 1 1 1 2 1 2 2 1 −1 1 2 1 б) 1 0 −1 X = 1 1 0 0 −1 1 −1 1 2 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 6 2 3 1 7. а) X = 2 1 8 3 −2 3 1 1 1 −3 7 2 б) X −1 1 0 = 0 2 1 −1 5 2 0 1 2 µ ¶ µ ¶ µ ¶ −1 4 2 2 −1 1 8. а) X = −1 5 2 3 0 2 1 1 1 1 −1 2 б) X 0 −2 1 = 2 −2 4 2 0 3 3 1 4 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 4 −2 5 3 6 1 9. а) X = −3 2 3 2 0 4 1 −1 1 0 −3 −2 б) 2 1 5 X = 3 −9 8 3 0 6 3 −12 6 µ ¶ µ ¶ µ ¶ −1 3 6 −2 2 1 10. а) X = 4 −13 −5 2 −1 0 0 6 2 −1 1 0 б) X 1 2 1 = 2 7 3 0 3 1 1 5 2 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 3 4 1 2 0 1 11. а) X = −1 −2 1 1 3 5
34
1 2 1 1 1 0 б) 1 1 1 X = 2 3 2 −2 −3 −2 −1 −2 2 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 −1 2 −3 0 −3 12. а) X = 1 0 −2 4 2 4 1 2 4 1 2 1 б) 1 1 −1 X = 2 0 1 14 −8 −7 5 1 −13 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 2 1 3 1 −2 4 13. а) X = 0 1 −11 −4 1 1 2 0 2 1 1 −1 б) X 1 −1 3 = 0 4 −8 1 5 2 −1 5 −11 ¶ µ ¶ µ ¶ µ 4 −1 3 0 −2 1 X = 14. а) −5 3 6 −2 2 3 0 2 4 0 1 2 б) X 1 1 1 = −2 0 2 1 2 4 −1 1 3 µ ¶ µ ¶ µ ¶ −2 6 −4 3 1 0 15. а) X = −1 2 −1 1 −4 5 1 1 1 0 1 2 б) −1 0 1 X = 0 0 0 2 2 2 1 2 3 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 3 2 2 8 0 3 16. а) X = −2 −1 1 5 −1 2 2 0 −1 4 1 3 б) 2 1 4 X = 0 −3 −1 2 −2 −11 4 −1 −7 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 2 −6 7 −3 2 −1 17. а) X = −1 2 −2 1 4 5 1 −1 3 1 1 −1 б) X 2 1 −1 = 4 3 2 1 −2 5 1 −1 1 35
µ
¶ µ ¶ µ ¶ 5 −6 2 1 1 2 18. а) X = −1 1 3 2 0 1 1 2 1 2 −2 1 б) X 3 0 2 = 4 2 3 2 −8 0 3 −6 1 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 4 3 0 5 2 −1 19. а) X = 5 4 1 2 3 1 2 3 −1 4 1 1 б) 1 2 −1 X = 2 0 −1 2 1 4 1 1 0 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 2 −1 2 0 1 20. а) X = 1 3 3 −4 2 1 −1 1 1 −1 2 3 б) X 0 1 2 = −2 6 10 −2 5 8 −1 4 7 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 2 2 1 2 21. а) X = 2 3 0 1 −1 3 2 −1 2 0 1 2 б) 1 1 −1 X = −1 0 1 3 0 1 1 2 0 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 2 1 1 −1 22. а) X = 2 0 1 1 3 2 1 1 −1 0 2 −2 б) 0 2 2 X = 4 8 2 −1 0 2 2 2 3 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 2 1 −1 0 1 1 23. а) X = 3 2 3 2 −1 2 2 −2 −6 1 0 −1 б) X 1 2 3 = 2 0 −2 3 1 2 1 −2 −5 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 0 1 −1 1 1 24. а) X = 2 −1 1 −2 1 2
36
4 −1 2 5 1 3 б) 0 2 4 X = 6 6 2 1 3 7 11 10 4 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 2 1 3 0 1 −1 25. а) X = 3 2 1 1 1 −2 0 −2 5 2 −3 1 б) 2 −1 3 X = −4 2 3 −2 2 −1 0 1 1 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 0 1 −2 4 −1 26. а) X = 2 −1 −1 3 −2 0 1 −1 0 1 1 1 б) X −1 0 1 = 1 2 0 1 2 0 5 2 −1 ¶ µ ¶ µ ¶ µ −1 2 1 1 1 2 X = 27. а) 1 3 0 1 1 2 0 3 6 −1 2 3 б) X 1 −1 0 = −2 6 9 −1 7 1 −1 4 9 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 2 0 −2 −3 28. а) X = 3 2 1 −2 1 1 5 −1 0 1 1 3 б) 1 −1 −1 X = −1 3 2 8 −3 −1 1 2 5 µ ¶ µ ¶ µ ¶ −2 −3 1 3 3 −2 29. а) X = 1 1 0 1 3 4 −1 2 3 1 −1 0 б) 1 −1 1 X = 1 1 1 −3 5 5 −1 2 1 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 3 1 1 1 3 1 30. а) X = 5 2 −1 2 2 0 1 −1 1 4 −1 7 б) X 2 1 5 = −1 −2 −4 3 0 6 1 −1 1 37
Задание 13. а) Вычислить ранг матрицы. б) Вычислить ранг матрицы при различных значениях параметра a.
1 −1 2 4 8 1 1. а) 2 0 3 3 7 0 4 −1 2 1 1 0 −1 2 2. а) 2 −1 4 −3 1 6 2 0 3 2 −1 0 3. а) 0 3 2 5 −3 4 5 10 1 2 3 4 4. а) −1 2 4 −3 1 0 2 −1 1 2 1 4 −3 2 1 0 5. а) 2 −1 0 1 2 1 1 4 2 −2 1 0 6. а) −1 0 1 1 1 −2 2 1 −1 2 1 2 −1 0 7. а) −5 7 3 −3 3 1 1 −3 2 1 8. а) 3 −1 −2 1 −4 4 0 −2 1 1 −1 0 2 1 −1 1 9. а) 1 1 −2 3 2 1 0 1
3 2 −a 9 б) 1 1 −2 a −1 −1 2a −1
−1 a 2 1 б) 2 −1 a 5 1 10 −6 1
a a a+1 б) a a a−1 a + 1 a 2a + 3 −1 2 −1 a б) 2 −2 2a −4 1 −3 3 3 − a
−1 a −1 −2 б) 1 −2 a 3 1 0 1 4 a 1 −1 3 б) 2 −1 2a 5 3 4 1 −1
3 a −1 2 б) a 5 3 a −3 2 1 −2 a 1 1 1 б) 1 a 1 a 1 1 a a2
1 2 3 1 б) a 1 −1 −3 a−3 5 5 5 38
1 1 −1 2 1 −1 10. а) 1 1 −2 −1 0 1 1 3 3 −1 11. а) −2 1 1 2 −1 2 1 2 1 0 1 2 −2 1 1 1 12. а) −10 3 −1 −5 −8 3 1 −1 1 1 1 2 0 1 2 1 13. а) −1 1 2 1 3 1 0 0 2 1 2 1 14. а) −1 3 3 1 −4 5 4 1 1 1 2 1 15. а) −3 1 2 2 −8 0 0 2 1 −1 2 −2 3 3 2 1 16. а) 5 7 2 4 4 2 4 −1 2 1 1 1 −1 2 2 2 17. а) −3 2 1 −1 7 −5 −4 −2 2 1 −1 4 −3 1 18. а) 1 −2 2 1 2 0
2 1 1 −2 б) 1 −2 a −2 a + 3 3 a −6
1 1 −a 0 б) 1 a −7 2 a −1 −1 −4 1 2 −1 1 б) 4 −1 a 0 3 a 4 −1
−2 a −1 2 б) a 1 0 1 2 5 −1 a − 1
a 1 1 1 б) 1 a + 1 1 1 1 1 a+1 1 a 2 3 1 б) 1 −2 4 −1 a a a 5
−1 1 1 5 б) 3 a 12 0 −a 3 5 13
1 −1 2 2 б) a −1 −1 2 −1 a a 1
3 5 −1 5 б) −2 a 1 a−5 a − 1 −10 2 2a
39
1 1 2 −1 19. а) 1 4 3 1 2 −2 1 0 −1 2 4 −3 0 2 20. а) 5 −4 −10 −5 −2 0 −1 3 1 3 21. а) −2 2 1 1 4 −8 −3 −7 1 1 −1 0 −1 1 −1 0 22. а) 2 −1 1 3 4 2 1 1 1 1 1 −1 2 2 23. а) −1 1 2 −2 −4 −5 1 −1 0 1 2 −2 1 0 24. а) 1 −1 1 1 2 −2 −1 −4
a −1 3 −a б) 4 −a 5 1 a −1 1 8
a 1 1 −1 б) 1 a −2 1 1 1 a a
a 1 a −1 б) 3a + 2 1 2a + 1 a −1 −a −1 a
2 1 1 −1 б) a + 2 3 a + 1 a − 1 2a + 8 1 a + 4 2a + 5 1 a a2 1 б) 1 1 a 1 1 1 1 a
1 −1 a a б) 1 a −2 1 a 1 −1 a
1 2 б) 3 4
1 1 1 2 25. а) −2 1 1 1 −4 −1 −1 −3 1 2 1 1 2 2 26. а) 3 3 1 1 −1 −2 1 −1 1 3 2 1 0 1 27. а) −4 1 −2 −7 −10 1 −4 −15
1 2 3 4
1 2 3 4
a a a 4
2 a −4 −1 б) a a −3 0 a 3 −7 2
−3 1 1 1 б) a − 4 a a 1 a 1 a+4 1
40
1 2 −1 −1 28. а) 1 3 2 1 1 4 5 3 1 1 1 −1 1 2 0 1 29. а) 3 −1 1 1 2 1 1 1 2 1 −2 1 3 1 30. а) 1 2 −1 −1 3 5
−1 1 1 2 б) 1 a a 1 4 1 a−2 7
1 a −1 2 б) 2 −1 a 5 1 10 −6 1
a2 1 a 1 б) 1 1 1 a a 1 1 1
41
Рекомендуемая литература 1. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. 2. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел, ч 1. М.: Просвещение, 1978. 3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М.: Просвещение, 1993. 4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М: Наука, 1968. 5. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.: Просвещение, 1966. 6. Фаддеев Д.К., Соминский И.В. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977. 7. Варнаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. Элементы теории множеств, линейные уравнения и неравенства, матрицы и определители. Учебное пособие для студентов-заочников физико-математических факультетов пединститута. М.: Просвещение, 1974. 8. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1967. 9. Шнеперман Л.Б. Курс алгебры и теории чисел в задачах и упражнениях. Учебное пособие для студентов пединститутов в 2-х частях. Минск: Высшая школа, 1967. 10. Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по курсу высшей алгебры. М.: Просвещение, 1965. 11. Лельчук Н.П. Практические занятия по алгебре и теории чисел. Минск: Высшая школа, 1986.
42
Подписано в печать . Формат 60х84/16. Бумага для множ. аппаратов. Печать на ризографе. Усл. печ. л. Тираж экз. Заказ . Оригинал-макет изготовлен и отпечатан в отделе множ. техники Уральского государственного педагогического университета 620017 Екатеринбург, просп. Космонавтов, 26 E-mail:
[email protected]
