Матрицы и определители. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве: Учебное пособие

Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» ИНСТИТУТ ПОСЛЕДИПЛОМНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГрГУ ИМ. Я.КУПАЛЫ

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Пособие по курсу «Высшая математика» для студентов технических специальностей

УДК 681.3(076) ББК 32.973

Рецензенты:

кандидат физико-математических наук, доцент А.А.Денисковец; кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных у равнений и оптимального управления ГрГУ им. Я.Купалы З.М.Наркун.

Рекомендовано советом Института последипломного образования ГрГУ им. Я.Ку палы .

Пчельник В.К . Матрицы и о пр е д е л ит е л и . А н а л и т и ч е с к а я ге о м е т р ия на п л о с к о с т и и в п р о с т р а н с т в е : п о с о б и е / В.К.Пчельник, Е.А.Сетько, И.Н.Ревчук. – Гродно: ГрГУ, 2007. ― 164 с. Пособие содержит краткие теоретические сведения по матричной алгебре, аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, примеры решения задач, задачи для самостоятельного решения и задания для контрольной работы. В приложениях приведены примеры решения задач матричной алгебры, способы построение кривых на плоскости и в пространстве средствами электронных таблиц Microsoft Excel.

УДК 681.3(076) ББК 32.973

ISBN 985–417–692–4

Гродно 2007

© Пчельник В.К., Сетько Е.А., Ревчук И.Н., 2007

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определение. Матрицей называется система m×n чисел, расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Числа этой таблицы называются элементами матрицы. Для матриц используют следующие обозначения: ⎡ a11 a12 ⎢a ⎢ 21 a22 ⎢ . . ⎢ ⎣am1 am 2

... a1n ⎤ a11 a12 ... a2 n ⎥⎥ a21 a22 , ... . ⎥ . . ⎥ ... amn ⎦ am1 am 2

... a1n ... a2 n ... . ... amn

⎛ a11 a12 ⎜ a22 ⎜a , ⎜ 21 . . ⎜ ⎜a ⎝ m1 am 2

... a1n ⎞ ⎟ ... a2 n ⎟ . ... . ⎟ ⎟ ... amn ⎟⎠

Элементы ai1, ai2, ... , ain составляют i-ю строку (i=1, 2, ..., m) матрицы, элементы a1k, a2k, ... , amk - ее k-й столбец (k=1, 2, ..., n); aik ― элемент, принадлежащий i-й строке и k-му столбцу матрицы; числа i, k называются индексами элемента aik. Матрицу, имеющую m строк и n столбцов, называют матрицей размерности m×n (читается m на n). Используют и более краткие обозначения матрицы размерности m×n: [aik]m,n,|| aik||m,n, (aik)m,n. Матрицу обозначают также одной заглавной буквой: А=|| aik||m,n, В=(bik)m,n. Если необходимо отметить, что матрица А имеет m строк и n столбцов, то пишут А=Аm,n или А=Аmn. Определение. Две матрицы А=[aik]m,n и В=[bpq]p,q называются равными, если p=m, q=n и aik= bik (i=1, 2, ..., m; k=1, 2, ..., n) (то есть, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны). Пусть А=А mn. Если m=1, то матрица А называется строчной матрицей, или матрицей-строкой. Если n=1, то матрица А называется столбцевой матрицей или матрицейстолбцом. Пусть дана матрица А=А mn. Если m=n, то матрица А называется квадратной. Порядком квадратной матрицы называется число ее 3

строк (столбцов). Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Определение. Пусть А=(aik) m,n, В=(bik) m,n. Суммой двух матриц называется такая матрица С=(сik)m,n, что сik= aik+ bik (i=1, 2, ..., m; k=1, 2, ..., n). Разностью двух матриц А и В называется такая матрица D= (dik) m,n, что dik= aik - bik (i=1, 2, ..., m; k=1, 2, ..., n). Определение. Пусть А=|| aik|| m,n, α ― действительное число. Тогда

αА=Аα=|| bik|| m,n = || αaik|| m,n. Определение. Произведением матрицы А mn = || aik|| m,n на матрицу Вnl= ||bik|| n,l называется такая матрица С ml=||cik|| m,l, для которой

c

ik

=

a b i1

1k

+

a b i2

2k

+ ... +

a b in

nk

=

n

∑a b j =1

ij

jk

т.е., элемент сik матрицы Сml равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А mn на соответствующие элементы k-го столбца матрицы Вnl. Определение. Если АВ=ВА, то матрицы А и В называются перестановочными (коммутативными). Определение. Определителем квадратной матрицы второго порядка ⎛a A = ⎜⎜ 11 ⎝ a 21

a12 ⎞ ⎟ a 22 ⎟⎠

называется число, равное |A|=a11a22 - a12 a21. ƒ Определитель матрицы называют также детерминантом. Для определителя матрицы А используют следующие обозначения: |A|, ΔA, det A. Определение. Определителем квадратной матрицы третьего порядка 4

называют число

а11 a12

⎡ a11 A = ⎢⎢ a 21 ⎢⎣ a31

a12 a 22 a32

a13 ⎤ a 23 ⎥⎥ a33 ⎥⎦

a13

a a a + a12 a 23 a31 + a 21 a32 a13 − | A |= a21 a22 a23 = 11 22 33 − a13 a 22 a31 − a12 a 21 a33 − a11 a32 a 23 . a31 a32 a33 Каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части последней формулы представляет собой произведение элементов матрицы, взятых по одному и только по одному из каждого столбца и каждой строки. Для определения знака произведения полезно знать правило, схематически изображенное на рис.1.

2. при перестановке двух строк (столбцов) определитель лишь меняет знак; 3. определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю; 4. общий для всех элементов строки (столбца) множитель можно вынести за знак определителя; 5. определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца); 6. определитель не изменится, если все элементы некоторой строки (столбца) умножить на одно и то же число, отличное от нуля; 7. если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то он равен нулю; 8. определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Свойство 8 для матриц третьего порядка можно выразить формулой:

а11 a12 a13 a 21 a22 a23 = a11A11 + a12 A12 + a13A13 = a31 a32 a33 Рисунок 1

Определение. Минором Мij элемента а ij определителя называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Определение. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij определителя называют число Аij =(-1)i+j Мij, где Мij ― минор элемента аij. Свойства определителей: 1. определитель не изменяется при замене всех строк соответствующими столбцами; 5

= a11

a a a a a22 a23 − a12 21 23 + a13 21 22 . a32 a33 a31 a33 a31 a32

Эта формула представляет собой разложение определителя третьего порядка по первой строке. Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей четвертого порядка и выше. Согласно свойству 5 мож6

но преобразовать матрицу к «треугольному» виду (в этом случае определитель равен произведению диагональных элементов) либо так, чтобы все элементы некоторой строки (столбца), кроме, быть может, одного, равнялись нулю (в этом случае, разлагая определитель по элементам выбранного ряда, можно понизить порядок определителя). Определение. Квадратная матрица А-1 называется обратной квадратной матрице А, если выполняется условие: А-1А=АА-1=Е, где Е ― единичная матрица, то есть, матрица вида

⎛1 ⎜ ⎜0 E = ⎜0 ⎜ ⎜. ⎜ ⎝0

0 1 0 . 0

0 0 1 . 0

... ... ... ... ...

0⎞ ⎟ 0⎟ 0 ⎟. ⎟ .⎟ ⎟ 1⎠

Определение. Если |A| ≠ 0, то квадратная матрица А называется невырожденной (неособенной). Если |A| ≠ 0, то матрица

⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 А= ⎢ . ⎢ ⎣ a n1

a12 a 22 . an 2

... a1n ⎤ ... a 2 n ⎥⎥ ... . ⎥ ⎥ ... a nn ⎦

имеет обратную матрицу, которая определяется по формуле

7

A −1 =

A11

A21

...

1 A12 | A| . A1n

A22

... An 2

. A2 n

...

An1 .

,

... Ann

где Аik ― алгебраическое дополнение элемента аik матрицы А. Определение. Рангом матрицы называется наивысший из порядков ее миноров, отличных от нуля. 1.1.

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти сумму двух матриц ⎛ 7 5 8 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 3 2 1 ⎟, ⎜ − 3 8 − 12 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ - 8 1 - 13 ⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 1 5 7 ⎟. ⎜4 6 8 ⎟ ⎝ ⎠

Решение. По определению ⎛ 7 5 8 ⎞ ⎛ - 8 1 - 13 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A+ B =⎜ 3 2 1 ⎟+⎜ 1 5 7 ⎟ = ⎜ − 3 8 − 12 ⎟ ⎜ 4 6 8 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎛ 7 − 8 5 + 1 8 − 13 ⎞ ⎛ − 1 6 − 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 3 +1 2 + 5 1+ 7 ⎟ = ⎜ 4 7 8 ⎟. ⎜ − 3 + 4 8 + 6 − 12 + 8 ⎟ ⎜ 1 14 − 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ −1 6 − 5⎞ ⎜ ⎟ 8 ⎟. Ответ: ⎜ 4 7 ⎜ 1 14 − 4 ⎟ ⎝ ⎠ 8

⎡- 2 - 5⎤ ⎡ − 1 2⎤ , B=⎢ Пример 2. Даны матрицы A = ⎢ ⎥. ⎥ ⎣3 1⎦ ⎣ 3 5⎦ Найти матрицу Х, удовлетворяющую условию 3А-2Х=5В. 3 A − 5B . Умножая Решение. Имеем: 3 A − 2 X = 5B, X = 2 А и В на числа 3 и 5 соответственно и пользуясь определением разности двух матриц, получим: X =

=

⎛ − 2 − 3 − 4⎞ ⎜ ⎟ =⎜ 2 2 2 ⎟, ⎜ 1 − 3 − 7⎟ ⎝ ⎠

2⋅ 5+3⋅ 4+ 4⋅ (−2) 2⋅ 7 +3⋅ 6+ 4⋅ (−1) ⎞ ⎛ 2⋅1+3⋅ 2+ 4⋅ (−3) ⎟ ⎜ B⋅ A=⎜−5⋅1+(−4) ⋅ 2+(−3) ⋅ (−3) −5⋅ 5+(−4) ⋅ 4+(−3) ⋅ (−2) −5⋅ 7 +(−4) ⋅ 6+(−3) ⋅ (−1)⎟ = ⎜ 3⋅1+2⋅ 2+1⋅ (−3) 3⋅ 5+2⋅ 4+1⋅ (−2) 3⋅ 7 + 2⋅ 6+1⋅ (−1) ⎟⎠ ⎝

1 ⎛ ⎡− 3 6 ⎤ ⎡− 10 − 25⎤ ⎞ 1 ⎡− 3 + 10 6 + 25⎤ ⎜⎢ ⎟= = ⎥−⎢ 5 ⎥⎦ ⎟⎠ 2 ⎢⎣ 9 − 15 15 − 5 ⎥⎦ 2 ⎜⎝ ⎣ 9 15⎦ ⎣ 15

1 ⎡ 7 31⎤ ⎡ 3,5 15,5⎤ ⎥. ⎥=⎢ ⎢ 2 ⎣− 6 10⎦ ⎣− 3 5 ⎦

⎡3,5 15,5⎤ Ответ: ⎢ ⎥. ⎣ −3 5 ⎦

Пример 3. Найти произведение матриц АВ и ВА, если 5 7⎞ 3 4 ⎞ ⎛ 1 ⎛ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A=⎜ 2 4 6 ⎟, B = ⎜ − 5 − 4 − 3 ⎟. ⎜ − 3 − 2 − 1⎟ ⎜ 3 2 1 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝

Решение. По определению 1⋅3+5⋅ (−4) +7⋅ 2 1⋅ 4+5⋅ (−3) +7⋅1 ⎞ ⎛ 1⋅ 2+5⋅ (−5) +7⋅ 3 ⎜ ⎟ 2⋅ 3+4⋅ (−4) +6⋅ 2 2⋅ 4+4⋅ (−3) +6⋅1 ⎟ = A⋅B=⎜ 2⋅ 2+4⋅ (−5) +6⋅ 3 ⎜−3⋅ 2+(−2)⋅ (−5) +(−1)⋅ 3 −3⋅3+(−2)⋅ (−4) +(−1)⋅ 2 −3⋅ 4+(−2)⋅ (−3) +(−1)⋅1⎟ ⎝ ⎠

⎛−4 14 28 ⎞ ⎟ ⎜ =⎜−4 −35 −56⎟. ⎜ 4 21 32 ⎟ ⎠ ⎝

28 ⎞ ⎛ − 2 − 3 − 4⎞ ⎛ − 4 14 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎟, BA = ⎜ − 4 − 35 − 56 ⎟ . Ответ: AB = ⎜ 2 ⎜ 1 − 3 − 7⎟ ⎜ 4 21 32 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎡− 2 3 0⎤ Пример 4. Дана матрица A = ⎢⎢ 1 − 1 5⎥⎥. Найти алгеб⎢⎣ 4 2 7⎥⎦

раические дополнения элементов второго столбца. Решение. 1 5 −2 0 A12 = (−1)1+ 2 = 13, A 22 = ( −1) 2+ 2 = −14, A23 = 4 7 4 7

= (−1) 2+3

-2 0 = 10. 1 5

Ответ: А12=13; А22=-14; А23=10. 9

10

−2 3 0 Пример 5. Вычислить определитель: Δ = 1 − 1 5 . 4

2

7

Решение. Раскладывая определитель по первой строке, получим: 1 5 1 −1 −1 5 Δ = (−2) ⋅ + 3⋅ (−1) ⋅ + 0⋅ = 2 7 4 7 4 2

= −2 ⋅ (−7 −10) − 3⋅ (7 − 20) + 0 = 34+ 39 = 73. Ответ: Δ=73.

1 2 −1 1 5 6 A= −1 − 2 3 2 4 −2

5 1 2 −1 3 1 5 6 = 2⋅ 5 −1 − 2 3 8 1 2 −1

5 0 0 −1 1 3 7 17 6 27 = = 5 2 4 3 17 4 0 0 −1 0

0 0 1 0 0 1 = 2 ⋅ (−1) ⋅ (−1) 4 + 3 7 17 27 = 2 ⋅ 7 17 27 = 2 4 17 2 4 17 7 17 = 2 ⋅ (7 ⋅ 4 − 2 ⋅ 17) = 2 ⋅ (28 − 34) = −12. 2 4 Для этого сложим первый и третий столбцы, ко второму столбцу прибавим третий, умноженный на 2, а к четвертому столбцу прибавим третий, умноженный на четыре. Полученный определитель разложим согласно свойству 7 по элементам четвертой строки. Полученный в качестве минора определитель третьего порядка вновь можно разложить по элементам первой строки. Пример 7. Выяснить, существует ли матрица, обратная 2 ⋅ (−1) ⋅ (−1)1+ 3

Пример 6. Вычислить определитель четвертого порядка

1 2 −1 1 5 6 −1 − 2 3 2 4 −2

5 3 , 5 8

Решение. Способ 1. Приведем определитель к треугольному виду. Для этого из второй строки вычтем первую, к третьей строке прибавим первую, к четвертой строке прибавим первую, умноженную на (-2). Получим:

⎡ 1 0 1⎤ матрице A = ⎢⎢ 0 0 2⎥⎥, и если существует, то найти ее. ⎢⎣− 1 3 1 ⎥⎦

1 2 −1 1 5 6 A= −1 − 2 3 2 4 −2

Решение. Так как detA=-6≠0, то матрица А невырожденная, и А-1 существует. Способ 1. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А: 0 2 0 2 0 0 A11 = = −6, A12 = − = −2, A13 = = 0, A11 = −6, 3 1 −1 1 −1 3

5 1 2 −1 5 3 0 3 7 −2 = = 1 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ (−2) = −12. 5 0 0 2 10 8 0 0 0 −2

Способ 2. Сначала вынесем общий множитель четвертой строки за знак определителя, а затем преобразуем матрицу так, чтобы в четвертой строке остался один ненулевой элемент: 11

12

A21 = − A31 =

0 1 3 1

0 1

0 2 Следовательно,

= 3, A22 =

1

−1 1

= 0, A32 = −

A −1

1

1 1 0 2

= 2, A23 = − = −2, A33 =

1

0

−1 3

1 0 0 0

= −3,

= 0.

0 ⎤ ⎡− 6 3 1⎢ = − ⎢− 2 2 − 2⎥⎥. 6 ⎢⎣ 0 − 3 0 ⎥⎦

-1

Способ 2. Найдем А с помощью элементарных преобразований над строками матрицы С: 1 0 11 0 0 C → 0 0 2 0 1 0. −1 3 1 0 0 1

Прибавив к третьей строке первую, получим: 1 0 11 0 0 C → 0 0 2 0 1 0. 0 3 21 0 1

Поменяем местами вторую и третью строки. Тогда 1 0 11 0 0 C → 0 3 21 0 1 . 0 0 21 0 0 Прибавив ко второй строке третью, умноженную на (-1), получим:

13

1 0 11 0 0 C → 0 3 0 1 −1 1. 0 0 20 1 0

Умножив вторую строку на 1/3, а третью ― на 1/2, имеем: 1 0 11 0 1 1 C→0 1 0 − 3 3 0 0 1 1 0 2

0 1 . 3 0

Вычтем из первой строки третью. Тогда

1 0 0 C→ 0 1 0 0 0 1

1 1 3 0

1 2 1 − 3 1 2

−

0 1 , 3 0

1 ⎡ ⎢1 − 2 ⎢1 1 A -1 = ⎢ − 3 ⎢3 1 ⎢ ⎢⎣ 0 2

⎤ 0⎥ 1⎥ ⎥= 3⎥ ⎥ 0⎥ ⎦

0 ⎤ ⎡− 6 3 1⎢ = − ⎢− 2 2 − 2⎥⎥. 6 ⎢⎣ 0 − 3 0 ⎥⎦

Пример 8. Найти Х из матричного уравнения АХ=В, где А – квадратная матрица порядка 3, Х и В – матрицы, содержащие по одному столбцу и по 3 строки: ⎛4⎞ ⎛ 1 0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ A = ⎜ 0 0 2 ⎟, В = ⎜ − 1⎟. ⎜5 ⎟ ⎜−1 3 1⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝

14

Решение. Домножив левую и правую части уравнения АХ=В слева на матрицу, обратную матрице А, получим: А −1 АХ = А −1 В → ЕХ = А −1 В → Х = А −1 В.

Найдем матрицу А−1 (см. пример 7): А

−1

0 ⎞ ⎛− 6 3 ⎟ 1⎜ = − ⎜ − 2 2 − 2 ⎟. 6⎜ ⎟ ⎝ 0 −3 0 ⎠

Перемножая найденную обратную матрицу на матрицу В, по⎛ − 27 ⎞ ⎟ 1⎜ лучим: Х = − ⎜ − 20 ⎟. 6⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

Примечание. Примеры использования формул для решения задач матричной алгебры средствами электронных таблиц Microsoft Excel приведены в приложении 1. 1.2.

Задачи для самостоятельного решения

⎡1 − 5⎤ ⎡ − 2 3⎤ ⎡3 2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ A = ⎢3 − 7 ⎥, B = ⎢− 4 6⎥, C = ⎢⎢5 − 4⎥⎥. ⎢⎣6 − 8 ⎥⎦ ⎢⎣ − 1 7 ⎥⎦ ⎢⎣7 − 6⎥⎦ Найти: 1) А + В + С; 2) А - В - С; 3) 3А - 2В + С; 4) 2А + 4В - 3С. ⎡1 − 2 6 ⎤ 3. Дана матрица A = ⎢⎢4 3 − 8⎥⎥. Найти матрицу Х, удовле⎢⎣4 − 2 5 ⎥⎦ творяющую условию 3А + 2Х = Е. ⎡2 − 1⎤ ⎡ − 5 − 2⎤ , B=⎢ . 4. Даны матрицы A = ⎢ ⎥ 3 ⎥⎦ ⎣5 3 ⎦ ⎣1

Найти матрицу

Х, удовлетворяющую условию 2А - 3Х = В. 5. Найти произведения матриц: ⎡3⎤ ⎡3⎤ ⎡ 3 1⎤ ⎡ 0 5⎤ ⎢ ⎥ ⋅⎢ 1) ⎢ ; 2) ⎢- 1⎥ ⋅ [2 − 6 7]; 3) [1 − 4 5] ⋅ ⎢⎢ 4 ⎥⎥; ⎥ ⎥ ⎣- 1 2⎦ ⎣- 1 6⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣- 1⎥⎦

1. Найти сумму и разность двух матриц: ⎛ 2 1) A = ⎜⎜ ⎝−8 ⎛2 7 ⎜ B = ⎜ 9 11 ⎜2 4 ⎝

2 7⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ 7⎞ 5 ⎞ ⎛3 ⎟⎟, B = ⎜⎜ ⎟⎟; 2) A = ⎜ − 3 − 8 9 ⎟, 13 ⎠ ⎝11 − 17 ⎠ ⎜ − 8 5 12 ⎟ ⎠ ⎝ 13 ⎞ ⎛ 7 5 3⎞ ⎛ − 1 − 2 − 3⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 8 ⎟;3) A = ⎜ 8 − 11 5 ⎟, B = ⎜ 5 8 − 3 ⎟. ⎜ 5 2 4⎟ ⎜ 2 6 ⎟⎠ 7 12 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2. Даны три матрицы 15

2⎤ ⎡1 ⎡ 2 − 4 6 ⎤ ⎡5 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡- 2 3 4 0⎤ ⎢ 0 − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 4) ⎢ ⎥ ⋅ ⎢− 1 0 ⎥; 5) ⎢ 5 2 7 ⎥ ⋅ ⎢0 2 0 ⎥; 5 − 1 2 3 ⎣ ⎦ ⎢⎣- 1 0 4⎥⎦ ⎢⎣0 0 − 1⎥⎦ ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣4 ⎡3 2 − 1⎤ ⎡3 0 0⎤ ⎡ 2 0 0⎤ ⎡3 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 6) ⎢4 5 0 ⎥ ⋅ ⎢0 3 0⎥; 7) ⎢⎢0 − 1 0⎥⎥ ⋅ ⎢⎢0 5 0 ⎥⎥; ⎢⎣1 - 2 3 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 3⎥⎦ ⎢⎣0 0 8⎥⎦ ⎢⎣0 0 − 1⎥⎦ 16

⎡− 2 1 ⎤ ⎡2 − 1⎤ ⎡2 - 1⎤ ⎡2 3⎤ ⎡3⎤ ⎡2 - 1 3⎤ ⎢ 2 ⎥⎥ ⋅ ⎢ 8) ⎢ ⋅⎢ ⋅ ⎢ ⎥ ; 9) ⎢ ⋅⎢ 0 ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ ⎣3 0 ⎦ ⎣5 1⎦ ⎣5⎦ ⎣0 1 2⎦ ⎢ 1 − 1⎥ ⎣3 0 ⎦ ⎣ ⎦ ⎡−1 ⎢1 6. Даны матрицы A = ⎢ ⎢− 2 ⎢ ⎣1 элемент с42 матрицы С=АВ.

3 − 5⎤ 4 3 ⎥⎥ , B= 0 0⎥ ⎥ 3 2⎦

2 0 3 −1

⎡ 2 - 3⎤ ⎢1 4 ⎥ ⎢ ⎥. Найти ⎢5 - 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣3 4 ⎦

7. Проверить, имеет ли место равенство ( A + B ) = A2 + 2 AB + B 2 , если ⎡1 5 ⎤ ⎡- 3 0 ⎤ ⎡ 1 2⎤ ⎡2 - 1⎤ 1) A = ⎢ , B=⎢ ; 2) A = ⎢ , B=⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎣ 2 4⎦ ⎣ 0 - 3⎦ ⎣- 3 0 ⎦ ⎣0 3 ⎦

8. Вычислить указанные определители:

9. Вычислить указанные определители, пользуясь их свойствами:

1)

0 0 27 13

0 39

0 1

; 2)

8 28 38 48 4 14 19 24 7 1

5 3

3 5

1 7

17

; 3)

3 4 5 181 181 7) ; 8) 2 3 4 . 217 317 1 2 3 ⎡ 2 1 3⎤ 10. При каких значениях α ранг матрицы ⎢⎢1 − 2 0⎥⎥ равен 2? ⎢⎣4 α 6⎥⎦

11. При каком значении α

3 1

-1 2

2 5

4 1

7 0 9 9 13 - 1 17 4

⎡−1 ⎢ ранг матрицы ⎢ 2 ⎢− 2 ⎢ ⎣α

4 8 12 ⎤ 1 3 1 ⎥⎥ равен 8 16 24⎥ ⎥ 1 2 3⎦

12. Найти матрицы, обратные данным, если они существуют: ⎡12 1 ⎤ ⎡3 1) ⎢ ; 2) ⎢ ⎥ ⎣- 3 5⎦ ⎣1

2 3 -1 1 -1 2 5) 3 - 2 4 ; 6) 3 5 0 . 1 -1 0 -2 -3 1

7 -8 1 15 187 91

-1 378 253 127 2789 3453 ; - 6 ; 5) 377 252 126 ; 6) 2790 3454 3 8 - 15 -3 -3 -3

3?

2 -1 2 -1 3 2 2 -1 -1 0 1) ; 2) ; 3) 3 1 5 ; 4) 1 0 - 3 3 4 5 3 2 -4 3 1 1 2

2 3

1 2 4) 0 1

⎡1 8⎤ ; 3) ⎢⎢ 0 ⎥ 7⎦ ⎢⎣ 0

0 5 0

0⎤ ⎡ 1 - 2 0 ⎥⎥ ; 4) ⎢⎢ 4 0 6 ⎥⎦ ⎢⎣ - 1 2

⎡1 2 - 5⎤ ⎡ 1 -3 4⎤ ⎥ ⎢ 5) ⎢ - 3 5 6 ⎥; 6) ⎢⎢1 - 3 3 ⎥⎥. ⎢⎣1 1 - 2⎥⎦ ⎢⎣- 2 2 10⎥⎦

;

18

3⎤ 5 ⎥⎥ ; 3 ⎥⎦

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида ⎧ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 , ⎪ a x + a x + ... + a x = b , ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 (1) ⎨ ⎪ ........................................ ⎪⎩am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm , где aij , i = 1, m, j = 1, n называются коэффициентами системы, а

( )

числа bi — свободными членами. Матрица A = aij , составленная из коэффициентов системы, называется матрицей системы. Расширенной матрицей называется матрица В, полученная из А дополнением столбцом свободных членов. Решением системы (1) называется совокупность n действительных чисел (α1 ,α 2 ,...,α n ) , при подстановке которых вместо неизвестных все уравнения системы обращаются в верные равенства. Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Если det A ≠ 0, то система (1) называется невырожденной. Невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено по формуле Крамера: Δ xi = i , i = 1, n, Δ где Δ = det A, определитель Δ i получается из Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов. Система линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) может быть записана в матричном виде Ах=b, где А — матри19

ца системы, x = ( x1 , x2 , ..., xn ) , b = (b1 , b2 , ..., bn ). Невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными может быть решена матричным способом, то есть решение может быть получено по формуле x = A−1b, T

где A−1 ― матрица, обратная матрице А. Напомним, что рангом матрицы А называется наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля. Обозначается ранг матрицы r, r(A) или rang A. Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров. Элементарными преобразованиями матрицы называются: 1) умножение любого ряда матрицы на число, отличное от нуля; 2) прибавление к одному ряду матрицы другого параллельного ряда, умноженного на любое число; 3) перестановка двух параллельных рядов матрицы. Свойства ранга матрицы: ранг матрицы не меняется при транспонировании; а) ранг матрицы не меняется при отбрасывании нулевого б) ряда; ранг матрицы не меняется при элементарных преобразов) ваниях.

Критерий совместности Кронекера-Капелли Для того, чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы, то есть r(A) = r(B). Если в системе (1) b1 = b2 = ... = bn = 0, то такая система называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как всегда имеет нулевое решение. Поэтому представляет 20

интерес тот случай, когда однородная система имеет ненулевое решение. Для того, чтобы однородная система ЛАУ имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных, то есть, чтобы r(A)
Если однородная система ЛАУ имеет ненулевое решение, то в этом случае одна имеет бесконечно много решений. Из множества решений однородной системы можно выбрать базис. Таким образом, любое решение однородной системы будет являться линейной комбинацией элементов базиса. Любой такой базис называется фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений. ФСР существует тогда и только тогда, когда r(A)
x2 = (β12 , β 22 ,..., β r 2 , 0, 1, 0, ..., 0),

.............................................. xn − r = (β1 n − r , β 2 n − r ,..., β r n − r , 0, ..., 0, 1). 2.1. Примеры решения типовых задач

Пример 1. Решить систему методом обратной матрицы и по формуле Крамера: 22

⎧2 x1 − 4 x2 + x3 = 3, ⎪ ⎨ x1 − 5 x2 + 3 x3 = −1, ⎪ x − x + x = 1. 3 ⎩ 1 2 Решение. Проверим систему на невырожденность: 2 −4 1 det A = 1 − 5 3 = −8 ≠ 0. 1 −1 1 Значит, система имеет единственное решение. Найдем обратную матрицу. Сначала вычислим все алгебраические дополнения: 1 −5 −5 3 1 3 = 4, = −2, A12 = − = 2, A13 = A11 = 1 −1 −1 1 1 1

A21 = − A31 =

2 −4 −4 1 2 1 = −2, = 3, A22 = = 1, A23 = − 1 −1 −1 1 1 1

2 −4 −4 1 2 1 = −6. = 7, A32 = − = 2, A33 = 1 −5 −5 3 1 3

Тогда

⎛− 2 3 − 7⎞ ⎟ 1⎜ 1 − 5⎟ . A =− ⎜ 2 8⎜ ⎟ ⎝ 4 − 2 − 6⎠ решения системы воспользуемся

3 −4 1 2 3 1 2 −4 3 Δ1 = − 1 − 5 3 = −16, Δ 2 = 1 − 1 3 = 0, Δ 3 = 1 − 5 − 1 = 8. 1 −1 1 1 1 1 1 −1 1 Тогда 0 8 − 16 x1 = = 2, x2 = = 0, x3 = = −1. −8 −8 −8 Пример 2. Найти решение системы:

−1

Для x = A−1b :

⎛ − 2 3 − 7 ⎞⎛ 3 ⎞ ⎛ − 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ (−1) − 7 ⋅ 1⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎟ 1⎜ 1⎜ 1 − 5 ⎟⎜ − 1⎟ = − ⎜ 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ (−1) − 5 ⋅ 1 ⎟ = x=− ⎜ 2 8⎜ 8⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 4 − 2 − 6 ⎠⎝ 1 ⎠ ⎝ 4 ⋅ 3 − 2 ⋅ (−1) − 6 ⋅ 1 ⎠ ⎛ − 16 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎜ = − ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 0 ⎟, 8⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠ ⎝ − 1⎠ то есть, х1=2, х2=0, х3=-1. Решим систему по формуле Крамера: Δi xi = , i = 1,3 : Δ det A = −8,

формулой

⎧4 x1 + 2 x2 + x3 = 7, ⎪ x − x + x = −2, ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪2 x1 + 3 x2 − 3 x3 = 11, ⎪⎩4 x1 + x2 − x3 = 7. Решение. Запишем расширенную матрицу системы, а затем с помощью элементарных преобразований строк будем приводить ее к трапецевидной форме:

23

24

⎛4 2 1 7 ⎞ ⎛ 1 −1 1 − 2⎞ ⎛1 −1 1 − 2⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 7 ⎟ ⎜ 0 6 − 3 15 ⎟ ⎜ 1 −1 1 − 2⎟ ⎜ 4 2 ⎜ 2 3 − 3 11 ⎟ ~ ⎜ 2 3 − 3 11 ⎟ ~ ⎜ 0 5 − 5 15 ⎟ ~ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 4 1 − 1 7 ⎟ ⎜ 4 1 − 1 7 ⎟ ⎜ 0 5 − 5 15 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛1 −1 1 − 2⎞ ⎛1 −1 1 − 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ~ ⎜ 0 2 − 1 5 ⎟ ~ ⎜ 0 2 − 1 5 ⎟. ⎜0 1 −1 3 ⎟ ⎜0 0 1 −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Сначала вторая строка была поставлена первой, чтобы разрешающий элемент а11 был равен 1. Затем первая строка полученной матрицы поэлементно умножалась на (-4) и складывалась со второй и четвертой строками, а также умноженная на (-2) складывалась поэлементно с третьей строкой. В результате получилась матрица, в которой под элементом а11=1 стоят все нули в первом столбце. Поделив элементы второй строки на 2, а третьей и четвертой ― на 5 и отбросив одну из одинаковых строк, получим матрицу из трех строк. На данном шаге разрешающей становится вторая строка и элемент а22=2. Умножая элементы третьей строки на (-2) и прибавляя к полученной третьей строке вторую, мы привели матрицу к требуемому виду. Полученной матрице соответствует система ⎧ x1 − x2 + x3 = −2, ⎪ 2 x2 − x3 = 5, ⎨ ⎪ x3 = −1. ⎩ Отсюда получаем, что х1=1, х2=2, х3=-1. Пример 3. Найти решение системы:

25

⎧ x1 + 2 x2 − x3 + 3 x4 = 0, ⎪ x + 2 x + x + 4 x = 1, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪2 x1 + 4 x2 + 8 x4 = 3, ⎪⎩ x1 + 2 x2 + x3 + 5 x4 = 5. Решение. Запишем расширенную матрицу системы, а затем с помощью элементарных преобразований строк приведем ее к трапецевидной форме:

⎛1 ⎜ ⎜1 ⎜2 ⎜ ⎜1 ⎝

2 2

−1 1

4 2

0 1

⎛1 ⎜ ⎜0 ~⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝

2 0 0 0

3 0⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 4 1⎟ ⎜0 ~ 8 3⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ 5 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 −1 3 0⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 2 1 1⎟ ⎜0 ~ 0 2 4⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 2 8 ⎟⎠ ⎜⎝ 0

2 0 0 0 2 0 0 0

3 0⎞ ⎟ 1 1⎟ ~ 2 2 3⎟ ⎟ 2 2 5 ⎟⎠ −1 3 0⎞ ⎟ 2 1 1⎟ . 0 2 4⎟ ⎟ 0 0 8 ⎟⎠

−1 2

Соответствующая система уравнений будет иметь вид: ⎧ x1 + 2 x2 − x3 + 3 x4 = 0, ⎪ 2 x3 + x4 = 1, ⎪ ⎨ 2 x4 = 4, ⎪ ⎪⎩ 0 x4 = 8. Так как последние два уравнения системы противоречивы, то система не совместима. Пример 4. Найти решение системы:

26

⎧ x1 + 2 x2 + 3 x3 − 2 x4 = 1, ⎪3 x − x + 4 x − x = 3, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪5 x1 + 3 x2 + 10 x3 − 5 x4 = 5, ⎪⎩ x1 − 5 x2 − 2 x3 + 2 x4 = 2. Решение. Запишем расширенную матрицу системы, а затем с помощью элементарных преобразований строк будем приводить ее к трапецевидной форме: ⎛1 2 3 − 2 1⎞ 3 − 2 1⎞ ⎛1 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜3 −1 4 −1 3⎟ ⎜0 − 7 − 5 5 0⎟ ⎜ 5 3 10 − 5 5 ⎟ ~ ⎜ 0 − 7 − 5 5 0 ⎟ ~ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜1 − 5 − 2 2 2⎟ ⎜0 − 7 − 5 4 1⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛1 2 3 −2 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛1 2 3 - 2 1 ⎞ ⎟ ⎜0 − 7 − 5 5 0 ⎟ ⎜ ~ ⎜ 0 - 7 - 5 5 0 ⎟. ~⎜ ⎟ 0 0 0 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 1 - 1⎟ ⎠ ⎜0 0 0 1 − 1⎟⎠ ⎝ ⎝ Для получения второй матрицы вычитаем из второй строки первую, умноженную на 3, из третьей строки ― первую, умноженную на 5, из четвертой строки ― первую. Для получения следующей матрицы последовательно вычитаем из второй строки третью и четвертую и, исключив из матрицы нулевую строку, получим, что соответствующая последней матрице система будет иметь вид ⎧ x1 + 2 x2 + 3 x3 − 2 x4 = 1, ⎪ ⎨ − 7 x2 − 5 x3 + 5 x4 = 0, ⎪ x4 = −1. ⎩

27

В полученной системе число уравнений меньше числа неизвестных. Следовательно, система будет иметь бесконечно много решений. Получаем, что 5 5 5⎞ ⎛ 5 x4 = −1, x2 = − x3 − , x1 = 1 − 2 x2 + 2 x4 = 1 − 2⎜ − x3 − ⎟ − 7 7 7⎠ ⎝ 7

− 3x3 + 2(−1). То есть, 11 3 5 5 x3 + , x2 = − x3 − , x4 = −1. 7 7 7 7 Здесь х1, х2, х4 ― базисные переменные, х3 ― свободная переменная, которая может принимать любые действительные значения. Решение может быть записано в виде T 3 5 5 ⎛ 11 ⎞ x = ⎜ − c + ; − c − ; c;−1⎟ , c ∈ R. 7 7 7 ⎝ 7 ⎠ Пример 5. Найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений: ⎧3 x1 − 2 x2 + 2 x3 − x4 + 4 x5 = 0, ⎪5 x + x + 4 x − 2 x + 7 x = 0, ⎪ 1 2 3 4 5 ⎨ − + x x x 5 2 5 = 0, ⎪ 1 ⎪⎩4 x1 − 7 x2 + 2 x3 − x4 + 5 x5 = 0. Решение. ⎛ 3 − 2 2 −1 4 0⎞ ⎛ 1 − 5 0 0 1 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 5 1 4 − 2 7 0⎟ ⎜ 3 − 2 2 −1 4 0⎟ ⎜ 1 − 5 0 0 1 0⎟ ~ ⎜ 5 1 4 − 2 7 0⎟ ~ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 4 − 7 2 −1 5 0⎟ ⎜ 4 − 7 2 −1 5 0⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ x1 = −

28

⎛1 − 5 ⎜ ⎜ 0 13 ~⎜ 0 26 ⎜ ⎜ 0 13 ⎝

0 0 2 −1 4 −2 2 −1

1 0⎞ ⎟ ⎛1 − 5 0 0 1 0⎞ ⎟ 1 0⎟ ⎜ − ~ 0 13 2 1 1 0 ⎜ ⎟. 2 0⎟ ⎜ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎠ 1 0 ⎟⎠ ⎝

1.4

Соответствующая система будет иметь вид: 1.5

⎧ x1 = 5 x2 − x5 , ⎨ ⎩ x4 = 13 x2 + 2 x5 + x5 . Будем придавать свободным переменным х2, х3, х5 последовательно значения 1 (когда две другие переменные равны нулю). Получим фундаментальную систему решений: (5 x2 − x5 ; x2 ; 13x2 + 2 x3 + x5 ; x5 ), x2 , x3 , x5 ∈ R

1.6

x2 = (0; 0; 1; 2; 0 ) (çäåñü x3 = 1, x2 = x5 = 0),

1.7

x1 = (5; 1; 0; 13; 0) (çäåñü x1 = 1, x3 = x5 = 0), x3 = (− 1; 0; 0; 1; 1) (çäåñü x5 = 1, x2 = x3 = 0).

2.2. Задачи для самостоятельного решения

1. Найти решение системы уравнений матриц А и В: А В 1.1 -2 -1 -6 -3 2 1.11 -5 3 -5 -1 -5 -1 -2 2 4 0 -4 2 3 6 -7 1.2 -6 3 5 5 -2 1.12 3 5 -6 4 4 -5 3 2 0 5 4 5 -9 -1 11 1.3 4 -3 2 -6 3 1.13 29

1.8

АХ=В для заданных 2 0 -3 -5 1 -6 4 -3 0

А -2 -5 -4 -7 -2 1 -2 1 2

-2 -5 0 -3 1 -4 3 -2 -3

-2 5 1 8 0 3 -1 2 2

В 1 -3 5 1 -6 -6 -6 -6 -1

1.9

1.10

-6 0 -10 0 5 1 6 2 3 3

-1 2 4 4 2 -6 -8 1 -2 3

-3 -6 -11 -4 0 -6 -2 5 -5 -1

1 2 9 -1 -6 -4 -9 0 -6 -2

4 4 -2 -5 -11 0 -5 1 -4 0 -6 -5 -11 1 1 0 0 -1 -2 -5 -1

0 5 0 -5 -10 -2 -6 2 -2 -3 -2 -5 -4 -6 0 -1 5 5 -1 3 -2

-11 0 1 1 2 2 -2 -5 -9 4 -3 0 -7 2 1 -2 -3 5 -6 -5 2

-8 -2 -3 -2 -3 -4 0 -5 -1 2 0 -2 -4 1 2 -5 -4 -4 -3 -1 4

-6 -1 -10 -4 1.14 1 -6 -1 2 1.15 1 -5 -6 -4 -2 -5 -3 4 0 -4 -8 -2 -4 -1 -3 -5 -2 -4 -1 -4 2 -5 0 30

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

-4 -3 -7 -6 2 -6 2 -4 2 4

5 3 6 -4 -6 -3 -5 4 -1 -3

10 -4 1 5 10 4 -3 5 -2 5 2 -3 -6 -6 1 3 10 -1 2 0 -3

-8 2 3 4 5 -6 3 -3 6 2 -3 -1 -6 0 -2 1 -1 2 -2 -5 -4

2 0 5 0 4 2 6 5 -5 -1 11 -3 -1 3 5 4 -2 0 -6 0 0 -4 -4 -3 0 -2 1 -5 -2 -5 0

0 3 1 0 5 1 6 0 4 -5

4 -1 4 0 -5 4 -1 5 1 -2

-1 4 0 1 -3 3 -1 0 -4 -3 -4 -6 -7 -3 -3 -4 -4 5 -2 5 1

-6 -4 -4 2 2 -4 4 -4 4 4 -6 0 -10 -5 -5 -5 -5 5 1 -3 5

2. Найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений АХ=0 для заданной матрицы А: А А 2.1 2 -1 5 -5 2.11 5 0 -4 -4 2 -1 0 -4 -6 5 -4 5 -3 4 5 2 2 0 1 4 -3 4 0 3 -9 5 1 13 2.2 -4 4 -2 0 2.12 -2 3 3 2 -4 5 -3 3 -2 -4 -2 0 -1 -3 1 4 2 0 5 -1 -1 -2 0 7 2 -7 0 -3 2.3 4 -1 -1 -2 2.13 -3 -1 0 5 2 0 -1 -4 1 2 5 -1 0 -6 5 0 -6 -5 0 1 -2 -5 5 -2 -2 -2 5 -5 2.4 2 -3 0 -5 2.14 5 -1 -4 -2 3 0 5 3 3 4 -6 3 5 1 5 2 2 -4 2 -6 6 4 10 10 0 1 0 -1 2.5 5 4 1 -1 2.15 2 0 4 4 -6 4 -6 3 3 -2 -3 3 -3 4 0 -5 4 -4 2 0 -14 4 -7 -1 5 -6 -5 -1 2.6 4 -2 -2 5 2.16 -4 -5 4 -5 2 -1 -3 -4 4 -6 -5 4 -2 -6 5 5 3 5 -1 5 -4 -5 4 -4 11 4 10 14 2.7 4 3 0 -1 2.17 0 0 -2 -6 -6 -1 3 -5 -3 -3 2 -4 -5 -3 -6 1 5 -5 -6 1 -15 -7 -3 -3 2 -8 -2 3 2.8 2 -6 -3 4 2.18 4 2 1 4

⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ Пусть А – квадратная матрица порядка n и x = ⎜ ⎟. Чис... ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠ ло λ называется собственным значением матрицы А, если существует ненулевой вектор x , такой, что выполняется равенство A x = λ x. Вектор x , удовлетворяющий последнему равенству, называется собственным вектором матрицы А, соответствующим с собственному значению λ. Справедливы следующие свойства: 1. собственный вектор матрицы имеет единственное собственное значение; 2. собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению λ, определяется с точностью до постоянного множителя;

31

32

2.9

2.10

1 -2 -3 0 -2 3 1 0 5 4 9

3 3 12 -1 4 -2 3 -4 1 2 7

5 -6 2 5 4 4 3 -1 1 -5 -3

2 -6 -8 -6 2.19 -6 4 4 0 2.20 3 -6 -3

-5 5 -4 -3 -4 0 -1 -3 -4 -6 -7

-4 -5 -11 5 -1 4 -2 -6 -4 1 3

1 0 0 4 1 -1 -4 2 -4 4 -2

1 -2 -5 5 -2 -5 -12 1 2 2 3

3. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

3. если x1 и x2 линейно независимые собственные векторы матрицы А с одним и тем же собственным значением λ, то x1 + x2 ― тоже собственный вектор матрицы А с собственным значением λ; 4. собственные векторы матрицы А, соответствующие попарно различным собственным значениям, линейно независимы; Изучим задачу нахождения собственных векторов и собственных значений матрицы. Преобразуем равенство A x = λ x : A x = λ x → A x − λ x = 0 → A x − λE x = 0 → ( A − λE ) x = 0, где Е ― это соответствующая единичная матрица. Последнее равенство в развернутом виде представляет собой однородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:

⎧ (a11 − λ )x1 + a12 x 2 +... + a1n xn = 0, ⎪a x + (a − λ )x +... + a x = 0, ⎪ 21 1 22 2 2n n ⎨ ⎪ ................................................... ⎪⎩an1 x1 + an 2 x 2 +... + (ann − λ )xn = 0. Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю: ... a11 − λ a12 a1n det ( A − λE ) =

a21

a22 − λ ...

...

...

...

a2 n ...

= 0.

... ann − λ an1 an 2 Уравнение A − λE = 0 называется характеристическим уравнением матрицы А. Его корни ― характеристические числа или собственные значения матрицы А.

3.1. Примеры решения типовых задач

Пример. Найти собственные значения и собственные век⎛1 2⎞ ⎟⎟. торы матрицы A = ⎜⎜ ⎝8 1 ⎠ Решение. Характеристическое уравнение для данной матрицы будет иметь вид: 1− λ 2 2 det ( A − λE ) = = (1 − λ ) − 16 = 0. 8 1− λ Его корни: λ1 = −3, λ2 = 5. Для λ1 = −3 составим систему вида ( A − λ1E )x = 0 :

⎧4 x1 + 2 x2 = 0, ⇔ 2 x1 + x2 = 0. ⎨ ⎩ 8 x1 + 4 x2 = 0 Уравнения системы пропорциональны. Система имеет ненулевое решение x2 = −2 x1 , x1 ∈ R ― свободная переменная. Таким образом, собственному значению λ1 = −3 соответствует собственный вектор (x1 ,2 x1 ), x1 ∈ R. Для λ2 = 5 соответствующая система будет иметь вид: ⎧− 4 x1 + 2 x2 = 0, ⇔ − 2 x1 + x2 = 0. ⎨ ⎩ 8 x1 − 4 x2 = 0 Решение системы x2 = 2 x1 , x1 ∈ R ― свободная переменная. Следовательно, собственному значению λ2 = 5 соответствует собственный вектор (x1 ,2 x1 ), x1 ∈ R. 3.2. Задачи для самостоятельного решения

Найти собственные значения и собственные векторы матриц:

33

34

⎛0 2 0⎞ ⎛ 1 10 − 1⎞ ⎛ − 2 − 2 − 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1. ⎜ 1 1 1 ⎟; 2. ⎜ 0 − 1 1 ⎟; 3. ⎜ 1 1 2 ⎟; ⎜0 0 1⎟ ⎜0 8 0 ⎟ ⎜ 0 1 − 1 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 1 1 3⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎛ 0 3 3⎞ ⎛1 2 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4. ⎜ 1 5 1 ⎟; 5. ⎜ 3 2 2 ⎟; 6. ⎜ 3 0 3 ⎟; 7. ⎜ 2 1 2 ⎟; ⎜ 3 1 1⎟ ⎜1 −1 0⎟ ⎜ 3 3 0⎟ ⎜2 2 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 2 0 0⎞ ⎛2 − 2 3 ⎞ ⎛ 2 1 1⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ 8. ⎜ 0 − 3 0 ⎟; 9. ⎜ 1 1 1 ⎟; 10. ⎜ 1 2 1⎟; ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ 1 3 − 1⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 4 −1 − 2⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 11. ⎜ 2 1 − 2 ⎟; 12. ⎜ − 4 ⎜1 −1 1 ⎟ ⎜−8 ⎝ ⎠ ⎝ ⎛1 0 1⎞ ⎛ 3 −1 ⎜ ⎟ ⎜ 14. ⎜ 0 1 0 ⎟; 15 ⎜ − 1 3 ⎜0 0 2⎟ ⎜2 2 ⎝ ⎠ ⎝

− 8⎞ ⎛ 3 12 − 4 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 7 − 4 ⎟; 13. ⎜ − 1 − 3 − 1 ⎟; ⎜ − 1 12 6 ⎟ − 4 1 ⎟⎠ ⎝ ⎠ 2⎞ ⎟ 2 ⎟. 0 ⎟⎠ 4

4. ОСЬ И ОТРЕЗОК ОСИ. КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ

это направление противоположно положительному направлению оси. Величина отрезка AB обозначается символом АВ, его длина ― символом |АВ|. Определение. Пусть дана произвольная прямая а. Выберем некоторый отрезок в качестве единицы измерения длины; выберем на прямой а положительное направление и произвольную точку О. Тогда на прямой а будет введена система координат (рис. 2).

Рисунок 2

Определение. Пусть на прямой а задана система координат. Координатой любой точки М на прямой называется число х, равное величине отрезка ОМ: х=ОМ. Точка О называется началом координат, и ее собственная координата равна нулю. Символом М(х) будем обозначать тот факт, что точка М имеет координату х. Пусть M 1 ( x1 ) и M 2 ( x2 ) ― две произвольные точки на оси а. Тогда формула М1 М2= х2 - х1

Определение. Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью. Отрезок оси, ограниченный какими-нибудь точками А и В, называется направленным, если указано, какая из этих точек является началом отрезка, а какая ― концом. Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В обозначается AB . Пусть выбрана единица масштаба. Величиной направленного отрезка оси называется его длина, взятая со знаком плюс, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус, если

выражает величину отрезка М1М2 , а формула M 1 M 2 = x 2 − x1 выражает его длину. Для любых трех точек А, В, С на оси а справедливо равенство AB + BC = AC, которое называется основным тождеством. AC называется отношением, в котором точЧисло λ = CB ка С делит отрезок АВ. Если 0<λ<1, то точка С лежит между точками А и В. Пусть даны точки M 1 ( x1 ) и M 2 ( x2 ) . Тогда

35

36

координату точки М, делящей отрезок М1М2 в отношении λ, находим по формуле х=

х1 + λх 2 . 1+ λ

В частности, середина отрезка М1М2 (λ=1) находится по формуле х=

х1 + х 2 . 2

4.1. Примеры решения типовых задач

Пример 1. Построить на координатной оси точки А(3), В(-2), С(5/2), D( 10 ). Решение. Возьмем произвольную прямую l, выберем начало координат О, положительное направление и единичный отрезок ОЕ

Рисунок 4

Отрезок ОD равен гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами а=1 и b=3 (рис. 5).

Рисунок 3

Отложив три единицы вправо (три отрезка ОЕ) от точки О, получим точку А. Отложив две единицы влево от точки О, получим точку В (рис. 3). Точка С (рис. 4) представляет собой середину отрезка ОХ, равного пяти единичным отрезкам ОЕ=е.

Рисунок 5

Пример 2. Построить точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям 1) ⏐х⏐=2; 2) ⏐х-5⏐=2. Решение. Решая уравнения, находим: 1) х=2; x=-2; 2) х-5=2, х-5=-2 или х=7; х=3. Далее аналогично примеру 1 строим точки с координатами А1(2); А2(-2); А3(7); А4(3).

37

Пример 3. Определить величину АВ и длину ⏐АВ⏐ отрез38

ка, заданного точками А(-5); В(1).

Решение. По формулам АВ=х2-х1, ⏐АВ⏐=⏐х2-х1⏐ в каждом случае находим АВ=1-(-5)=6, ⏐АВ⏐=⏐6⏐=6. Ответ: АВ=6; ⏐АВ⏐=6. Пример 4. Определить координату точки А, если известны В(4) и ⏐АВ⏐=5. Решение. Пусть точка А имеет координату х. Тогда по условию ⏐4-х⏐=5. Решив это уравнение, находим х=-1, х=9.

1) А(2), В(6) и С(4); 2) А(2), В(4) и С(7); 3) А(-1), В(5) и С(3); 4) А(1), В(13) и С(5); 5) А(5), В(-2) и С(-5). 6. Определить координату точки М, если известны: 1) М1(3), М2(7) и λ= М1М/ MМ2=2; 2) А(2), В(-5) и λ=АМ/МВ=3; 3) С(-1), D(3) и λ=CМ/МD=1/2; 4) A(-1), B(3) и λ=BМ/МA=-2; 5) A(1), B(-3) и λ=AМ/МB=-3; 6) A(-2), B(-1) и λ=BМ/МA=-1/2.

Ответ: х=-1; х=9. Пример 5. Определить координату точки М, если известМ М ны М1(2), М2(8) и λ = 1 = 3. ММ 2 Решение. Пусть точка М имеет координату М(х). Тогда x + λx 2 2 + 3 ⋅ 8 26 находим: х= = = 6,5. по формуле x = 1 1+ λ 1+ 3 4 Ответ: 6,5 4.2. Задачи для самостоятельного решения

1. Построить на числовой оси точки А(-5), В(4) и С(-2) и найти величины АВ, ВС и АС. Проверить, что АВ+ВС=АС. 2. Построить точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям: 1)⏐х⏐=4; 2) ⏐х-1⏐=8; 3) ⏐1-х⏐=2; 4) ⏐х+2⏐=2. 3. Определить величину АВ и длину ⏐АВ⏐ отрезка, заданного точками: 1) А(3) и В(11); 2) А(5) и В(2); 3) А(-1) и В(3); 4) А(-5) и В(-3); 5) А(-1) и В(-3); 6) А(-7) и В(-5). 4. Вычислить координату точки А, если известны: 1) В(3) и ВА=-3; 2) В(2) и АВ=-3; 3) В(-1) и ВА=2; 4) В(-5) и ВА=-3; 5) В(0) и ⏐АВ⏐=2; 6) В(2) и ⏐АВ⏐=3; 7) В(-1) и ⏐АВ⏐=5; 8) В(-5) и ⏐АВ⏐=2. 5. Определить отношение λ=АС/СВ, в котором точка С делит отрезок АВ при следующих данных: 39

40

5. ДЕКАРТОВЫ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ

Определение. Декартовой прямоугольной системой координат называются две взаимноперпендикулярные прямые оси, занумерованные в каком-либо порядке, с заданными на них одинаковыми единичными отрезками. Точка пересечения осей О называется началом координат, а сами оси ― координатными осями. Первая из них называется осью абсцисс (ось Ох), вторая ― осью ординат (ось Оy). Y My

M

(λ≠-1), в котором точка М делит отрезок М1М2, то координаты точки М определяются по формулам х=

y + λy 2 х1 + λх2 , y= 1 . 1+ λ 1+ λ

Если точка М - середина отрезка М1М2, то ее координаты определяются по формулам х=

х1 + х 2 y + y2 , y= 1 . 2 2

Для любых трех точек А(х1;у1), В(х2;у2), С(х3;у3) площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле:

x −x y −y 1 x −x y −y 1 S = mod 3 1 3 1 = mod 3 1 3 1 . x2 − x1 y2 − y1 2 x2 − x1 y2 − y1 2 5.1. Примеры решения типовых задач

Mx X

0 Рисунок 6

Координатами произвольной точки М в заданной системе координат называются числа х=ОМx, y=ОМy, где Мx, Мy ― проекции точки М на оси Ох и Оy соответственно (рис. 6). Запись М(х;y) обозначает, что точка М имеет координаты (х;y). Расстояние d между двумя точками М1(х1;y1) и М2(х2;y2) определяется по формуле

Пример 1. Найти координаты проекций на ось абсцисс и ось ординат точек А(7;-5) и В(-2;3). Решение. Так как х=ОМx и y=ОМy, где Мx и Мy ― проекции точки М(х;y) на оси Ох и Оy соответственно, то: Аx(7), Аy(-5), Вx(-2), Вy(3). Ответ: Аx(7), Аy(-5), Вx(-2), Вy(3).

Если точка М(х;y) лежит на прямой, проходящей через точки М1(х1;y1), М2(х2;y2) и дано отношение λ=М1М/ММ2

Пример 2. Найти координаты точек, симметричных точке А(α;β) относительно осей Ох, Оy и начала координат. Решение. По определению точка М* будет симметричной точке М(х;y) относительно оси, если она одинаково удалена от оси и лежит по другую сторону от нее (см. рисунок). Поэтому координаты симметричных точек будут равны соответственно А1(α;-β), А2(-α;β), А3(-α;-β).

41

42

d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 .

Следовательно, указанные точки лежат на одной прямой.

Ответ: А1(α;-β), А2(-α;β),А3(-α;-β).

Способ 2. Найдем площадь треугольника по формуле x − x1 y 3 − y1 1 S = mod 3 . В нашем случае имеем: x 2 − x1 y 2 − y1 2

Y M2(-x;y)

M(x;y)

0

7 −1 8 − 3 5 5 = = 0. 5−2 6−3 3 3

X

M3(-x;-y)

Значит, указанные точки лежат на одной прямой. Пример 4. Доказать, что треугольник с вершинами А(2;-1), В(-3;4), С(5;2) прямоугольный. Доказательство. Находим длины сторон треугольника АВС:

M2(x;-y) Рисунок 7

Пример 3. Выяснить, лежат ли указанные точки М1(2;3),М2(5;6) и М3(7;8) на одной прямой. Решение. Точки М1(x1,y1),,М2(x2,y2), М3(x3,y3) лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда площадь треугольника М1М2М3 рана нулю. Способ 1. Вычислим площадь треугольника по трем сторонам, используя формулу Герона:

S=

p ⋅ ( p − a ) ⋅ ( p − b) ⋅ ( p − c ) ,

a+b+c , a, b, c ― стороны данного треугольника. В где p = 2 нашем случае a=

(7 − 5 )

c=

(5 − 2)2 + (6 − 3)

2

+ (8 − 6 ) = 2 2 , b = 2

2

= 3 2, p =

(7 − 2)2 + (8 − 3)2

= 5 2,

2 2 +5 2 +3 2 = 5 2. 2

AB =

(− 3 − 2)2 + (4 − (−1) )2

BC =

(5 + 3)2 + (2 − 4)2

= 50;

= 68 ; AC =

(5 − 9)2 + (2 + 1) 2

Проверяем выполнение условия a 2 + b 2 = c 2 для сторон треугольника. Имеем: BC 2 = AB 2 + AC 2 . По теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что треугольник АВС прямоугольный. Пример 5. Даны вершины треугольника А(6;-6), В(2;-3), С(8;5). Найти длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине С. Решение. Пусть ВF ― биссектриса. По свойству биссекAF AB = = λ . Нахотрисы внутреннего угла треугольника FC BC дим: AB = (2 − 6) 2 + (−3+ 6)2 = 16+ 9 = 5,

Тогда

S = 5 2( 5 2 − 2 2) (5 2 − 5 2 )(5 2 − 3 2) = 0. 43

= 18 .

BC = (8 − 2)2 + (5 −3)2 = 36+ 64 =10. 44

Тогда λ=1/2. Координаты точки F(x;y) находим по формулам: x + λx 2 y + λy 2 . ,y= 1 x= 1 1+ λ 1+ λ В нашем случае имеем (x1;y1)=(6;-6),(x2;y2)=(8;5), 5 8 −6+ 26 3 = − 7 . Найдем длину BF: 2 x= = ,y= 1 3 3 3 1+ 2 2 6+

2

2

2

2

7⎞ 196 + 4 10 2 ⎛ 20 ⎞ ⎛ ⎛ 14 ⎞ ⎛ 2 ⎞ = . BF = ⎜ − 2 ⎟ + ⎜ − 3 + ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ = 3 3 3 3 9 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

Ответ:

10 2 . 3

5.2. Задачи для самостоятельного решения

1. Построить точки А(2;3), В(-5;1), С(-2;-3), D(0;3), E(-5;0), F(-1/3;2/3). 2. Найти координаты проекций точек А(2;-3), В(3;-1), С(-5;1), D(-3;-2), E(-5;-1) на оси абсцисс и ординат. 3. Найти координаты точек, симметричных относительно осей Ох и Оy точкам 1) А(2;3); 2) В(-3;2); 3) С(-1;-1); 4) D(-3;-5); 5)E(-4;6); 6) F(α;β). 4. Найти координаты точек, симметричных относительно начала координат точкам 1) А(3;3); 2) В(2;-4); 3) С(-2;1); 4) D(5;-3); 5) E(-5;-4); 6) F(α;β). 5. Даны две смежные вершины квадрата А(3;-7) и В(-1;4). Вычислить его площадь. 6. Даны две противоположные вершины квадрата Р(3;5) и Q(1;-3). Вычислить его площадь. 7. Даны три вершины А(3;-7), В(5;-7), С(-2;5) параллелограмма АВСD, четвертая вершина D которого противоположна 45

вершине В. Определить длину диагоналей параллелограмма. 8. Доказать, что точки А(3;-5), В(-2;-7) и С(18;1) лежат на одной прямой. 9. Доказать, что треугольник с вершинами А(-3;-2), В(0;-1), С(-2;5) прямоугольный. 10.Доказать, что точки А(2;2), В(-1;6), С(-5;3) и D(-2;-1) являются вершинами квадрата. 11.На оси Ох найти точку М, одинаково удаленную от начала координат и от точки А(8;4). 12.Через точку А(4;2) проведена окружность, касающаяся обеих координатных осей. Определить ее центр и радиус R. 13.Через точку М(1;-2) проведена окружность радиуса 5, касающаяся оси Ох. Определить ее центр. 14.Дан треугольник с вершинами А(-4;2), В(0;-1) и С(3;3). Определить его площадь, периметр и углы. 15.Даны вершины треугольника А(1;-3), В(3;-5) и С(-5;7). Определить середины его сторон. 16.Даны две точки А(3;-1) и В(2;1). Определить: 1) координаты точки М, симметричной точке А относительно точки В; 2) координаты точки N, симметричной точке В относительно точки А. 17.Точки М(2;-1), N(-1;4) и Р(-2;2) являются серединами сторон треугольника. Определить его вершины. 18.Даны вершины треугольника А(1;4), В(3;-9), С(-5;2). Определить длину его медианы, проведенной из вершины В. 19.Даны вершины треугольника А(2;-5), В(1;-2), С(4;7). Найти точку пересечения со стороной АС биссектрисы внутреннего угла при вершине В. 20.Вычислить площадь треугольника, вершинами которого являются точки: 1) А(2;3), В(3;2) и С(-2;5); 2) М1(-3;2), М2(5;-2) и М3(1;3); 3) М(3;-4), N(-2;3) и Р(4;5). 21.Вершинами треугольника являются точки А(3;6), В(-1;3) и С(2;-1). Вычислить длину его высоты, проведенной из вершины С. 46

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М0(хо;y0), с угловым коэффициентом k имеет вид

6. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

y - y0 = k(x - x0).

Определение. Уравнение вида Ax + By + C = 0 (1) 2 2 называется общим уравнением прямой ( A + B ≠ 0). ƒ В декартовых координатах любая прямая определяется уравнением (1) и наоборот, любое уравнение (1) определяет прямую. Определение. Угловым коэффициентом прямой называют тангенс угла наклона ее к положительной полуоси Ох прямоугольной декартовой системы координат k = tgα(0 ≤ α < π) (рис. 8).

(4)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки М1(х1;y1) и М2(х2;y2), определяется по формуле k=

y2 − y1 . x2 − x1

(5)

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки М1(х1;y1) и М2(х2;y2), имеет вид: y − y1 x − x1 .= ( x2 ≠ x1 , y 2 ≠ y1 ) . y 2 − y1 x2 − x1

(6)

Пусть k1 и k2 ― угловые коэффициенты двух прямых. Тогда один из углов ϕ между ними определяется по формуле tgϕ =

k 2 − k1 . 1 + k 2 k1

(7)

Если k1 = k2, то прямые параллельны. Если k1k2 = -1, то прямые перпендикулярны. Уравнение вида x y + = 1 ( a + b ≠ 0) a b

Рисунок 8

вид

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет y=kx+b,

(2)

где k ― угловой коэффициент, b=OB ― величина отрезка, отсекаемого на оси Oy. Если прямая задана уравнением (1), то ее угловой коэффициент k определяется по формуле A k =− . (3) B 47

(8)

называется уравнением прямой в отрезках. Расстояние d от точки М0(х0;y0) до прямой (1) вычисляется по формуле

d=

Ax0 + By 0 + C A2 + B 2

.

(9)

6.1. Примеры решения типовых задач

Пример 1. Получить уравнение прямой, проходящей через точку М1(х1;y1) параллельно прямой Ax + By + C = 0. 48

Решение. Искомое уравнение имеет вид y − y1 = k ( x − x1 ) . Из параллельности прямых следует, что k = - A/B. Окончательно получаем: A y − y1 + ( x − x1 ) = 0, A( x − x1 ) + B( y − y1 ) = 0 . B Ответ: A(x - x1) + B(y - y1) = 0. Пример 2. Даны уравнения основания равнобедренного треугольника x+y+1=0 и боковой стороны x - 2y - 3 = 0. Составить уравнение третьей стороны треугольника, если известно, что на ней лежит точка Р(-3;-1). Решение. Преобразуем уравнения сторон к виду y = -x 1, y = x/2 - 3/2. Следовательно, данные прямые имеют угловые коэффициенты k1 = -1 и k2=1/2. По формуле (7) находим тангенс угла между ними:

1 +1 tgϕ = 2 = 3. 1 1− 2 Уравнение третьей стороны ищем в виде y = kx + b. По условию эта сторона образует с основанием x + y + 1 = 0 такой же угол, что и данная сторона x - 2y - 3 = 0. Поэтому tgϕ=(k+1)/(1-k) или tgψ = (-1-k)/(1-k) (в зависимости от того, какую из двух рассматриваемых прямых считать первой). Получаем уравнения: k +1 1+ k = 3, = 3, 1− k 1- k откуда находим k=1/2, k=2. Берем второе значение k =2, так как первое относится к заданной боковой стороне x-2y-3=0. Уравнение искомой стороны принимает вид y=2x+b. Учитывая, что искомая прямая проходит через точку Р(-3;-1), получа49

ем: -1=2(-3)+b, откуда b=5. Ответ: y=2x+5. Пример 3. Составить уравнения прямых, на которых лежат стороны и высоты треугольника с вершинами А(3;4), 1 В(6;2) и С(3; ). 2 Решение. Найдем уравнение прямой, на которой лежит сторона АВ. Воспользуемся формулой (6). В нашем случае имеем: x1=3, y1=4, x2=6, y2=2. Тогда формула (6) примет вид: y −4 x−3 = . Отсюда имеем уравнение прямой, на которой ле2−4 6−3

жит сторона АВ : 2x+3y-18=0. Аналогично составляем уравнение прямой, на которой лежит сторона ВС: y−2 x−6 = , 1 3−6 −2 2

т.е. x-2y-2=0. Уравнение третьей стороны АС имеет вид: y −4 x−3 = . Следовательно, x-3=0. 1 3−3 −4 2 При составлении уравнений прямых, на которых лежит высота треугольника, воспользуемся формулой (4) и условием перпендикулярности прямых. Прямая АВ имеет угловой коэф2 фициент kAB=- . Тогда высота к ней, проведенная из точки С, 3 3 имеет угловой коэффициент k= . Используя формулу (4) 2 1 (здесь x0= , y0=3), получаем уравнение высоты hAB: 2 3x-3y-8=0. Аналогично получаем уравнение прямой, на которой лежит высота треугольника hBC, проведенная из точки А: 50

Решение. Пусть С(х1;у1), D(x2;y2) ― координаты неизвестных

2x+y-10=0. Так как прямая АС параллельна оси Оy, то высота hAC, проведенная из точки В, параллельна оси Ох и имеет вид y=2. Ответ: 2x+3y-18=0 (AB); x-2y-2=0 (BC); x-3=0 (AC); 3x2y-8=0 (hAB); 2x+y-10=0 (hBC); y=2 (hAC).

ем уравнения:

Пример 4. Доказать, что уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1(х1;у1) и М2(х2;у2), может быть заx y 1 писано в виде x1 y1 1 = 0. x2 y 2 1

= = С(9;1). Точка Q ― середина диагонали BD, поэтому x2 + 2 y +2 = 3, 2 = 0, откуда х2 = 4, у2 = -2, то есть, имеем 2 2 D(4;-2). Воспользовавшись формулой (6), находим искомые уравнения сторон:

Доказательство. Уравнение прямой, проходящей через две точки М1 и М2, имеет вид: y − y1 x − x1 = . y 2 − y1 x 2 − x1

y−2 x−2 = , т.е. -3x+5y-4=0 −1− 2 − 3 − 2

уравнение стороны АВ

y−2 x−2 = , т.е. 7у+х-16=0 1− 2 9 − 2

уравнение стороны ВС

y −1 x−9 = , т.е. 5у-3х+22=0 − 2 −1 4 − 9

уравнение стороны CD

Преобразуем его к виду -x(y2-y1)+y(x2-x1)+x1y2 - x1y1 - y1x2 + x1y1=0 Ö

Öx(y1-y2)-y(x1-x2)+x1y2 - y1x2 =0.

x

y1 y2

Последнюю формулу представим 1 x 1 x1 y1 −y 1 + = 0. Окончательно 1 x2 1 x2 y 2

x

y

x1

y1 1 = 0.

x2

y2 1

в

виде

1

Пример 5. Даны две смежные вершины А(-3;-1) и В(2;2) параллелограмма АВСD и точка Q(3:0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма. 51

вершин. Тогда Q ― середина диагонали АС. Поэтому получа− 3 + x1 - 1 + y1 = 3, = 0. Из них находим: С(х1;у1) 2 2

y +1 x+3 уравнение стороны AD = , т.е. 7у+х+10=0 − 2 +1 4 + 3 Ответ: -3x+5y-4=0; 7у+х-16=0; 5у-3х+22=0; 7у+х+10=0. Пример 6. Доказать, что прямая 2х-3у+6=0 не пересекает отрезок, ограниченный точками М1(-2;-3) и М2(1;-2). Решение. Найдем отклонение δ(М0) от точек М0(х0;у0) до прямой Ах+Ву+С=0 по формуле

δ (M 0 ) =

Ax 0 + By 0 + C A2 + B 2

.

Очевидно, что если δ(М1) и δ(М2) имеют одинаковый знак, то они лежат по одну сторону от прямой L, то есть, прямая L не проходит через отрезок М1М2. В нашем случае имеем: 52

2⋅ (−2) − 3⋅ (−3) + 6 − 4 + 9 + 6 11 = = ; 4+9 13 13 2⋅1− 3⋅ (−2) + 6 12+ 2 14 δ (M2 ) = = = . 13 13 13

δ (M1 ) =

Так как δ(М1)>0 и δ(М2)>0, то отрезок М1М2 лежит по одну сторону от прямой, то есть, прямая L не проходит через отрезок М1М2. 6.2. Задачи для самостоятельного решения

1. Составить уравнения прямых, параллельных биссектрисе первого координатного угла и отсекающих на оси Оу отрезки, величина которых равна соответственно b1=2, b2=-5. 2. Написать уравнения прямых, отсекающих на оси Оу отрезок b=-3 и образующих с осью Ох углы ϕ1=0, ϕ2=450, ϕ3=600, ϕ4=1350. 3. Найти углы, образуемые с осью Ох следующими прямыми: 1) 2х-2у+5=0; 2) 3х+3у-7=0; 3) 6х-3у-1=0; 4) 7х+10=0; 5) 3у+7=0; 6) 15х+5у-14=0. 4. Вычислить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой 4х+5у-20=0.

53

5. Найти углы между прямыми: 1) у=4х/3-2, y=x/7+3; х 4х 2) y=3x/5+1, y=4x-5; 3) y= +6, x-2y-6=0; 4) y= -2, 7 2 7x+4y-10=0. 6. Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС заданы уравнениями 4х+3у-5=0, х-3у+10=0, х-2=0. Определить координаты его вершин. 7. Стороны треугольника лежат на прямых х+5у-7=0, 3х-2у-4=0, 7х+у+19=0. Вычислить его площадь S. 8. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 2х-3у+5=0, 3х+2у-7=0 и одна из его вершин А(2;-3). Составить уравнения двух других сторон прямоугольника. 9. Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две данные точки:) М1(2;-5), М2(3;2); 2) Р(-3;1), Q(7;8); 3)А(5;-3), В(-1;6). 10. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника А(5;-4), В(-1;3), С(-3;-2) параллельно противоположным сторонам. 11. Даны вершины треугольника М1(2;1), М2(-1;1) и М3(3;2). Составить уравнения его высот. 12. Даны вершины треугольника А(1;-1), В(-2;1) и С(3;5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на его медиану, проведенную из вершины В. 13. Даны вершины треугольника А(2;-2), В(3;-5) и С(5;7). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине А. 14. Точка А(-4;5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 7х=у+8=0. Составить уравнения сторон и второй диагонали квадрата. 15. Даны две вершины треугольника М1(-10;2) и М2(6;4); его высоты пересекаются в точке N(5;2). Определить координаты третьей вершины М3. 16. Вычислить расстояние d точки от прямой в каждом из следующих случаев: 1) А(2;-1), 4х+3у+10=0; 2) В(0;-3), 54

5х-12у-23=0; 3) Р(-2;3), 3х-4у-2=0; 4) Q(1;2), х-2у-5=0. 17. Точка А(2;5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой х-2у-7=0. Вычислить площадь этого квадрата. 18. Доказать, что прямая 2х+у+3=0 пересекает отрезок, ограниченный точками А(-5;1) и В(3;7). 19. Доказать, что через точку Р(2;5) можно провести две прямые так, что их расстояния от точки Q(1;2) равны 5. Составить уравнения этих прямых. 7. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ. ОКРУЖНОСТЬ. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Определение. Уравнение

(x − α )2 + ( y − β )2 = R 2

(1)

определяет окружность радиуса R с центром в точке (α;β). Если центр окружности совпадает с началом координат, т.е. α= β=0, то уравнение (1) имеет вид

x2 + y 2 = R2 . Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами (рис. 9). Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через 2а. Фокусы эллипса обозначаются F1 и F2; расстояние между ними ― через 2с. Пусть М(х;у) ― произвольная точка эллипса. Тогда по условию | F1M|+|F2M| = 2a. Если в прямоугольной декартовой системе координат фокусы эллипса расположены в точках F1(-c;0), F2(c;0), то уравнение эллипса имеет вид 55

x2 y2 + = 1, a2 b2 2

(2)

2

где b = a − c ; очевидно, что а>b. Уравнение вида (2) называется каноническим уравнением эллипса. При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат - его центром симметрии. Точки, в которых эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами. Число

ε=

c a

(3)

где а ― большая полуось, называется эксцентриситетом эллипса. На большей оси расположены фокусы эллипса. Очевидно, что 0<ε<1 (для окружности ε=0). Прямые

a a x=− ,y= ,

ε

ε

(4)

где ε определятся формулой (3), и в формуле (2) а>b, называются директрисами эллипса. ƒ

Если b>a, то фокусы эллипса (2) расположены в точках F1(0;-c), F2(0;c), а его директрисы определяются уравнеb

b

c

ниями y = − , y = , где ε = , c 2 = b 2 − a 2 . ε ε b ƒ

Пусть r ― расстояние произвольной точки М(х;у) до ближайшего фокуса, d ― расстояние от этой же точки до односторонней с фокусом директрисы. Тогда r/d есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: r/d=ε.

56

по условию

| |F1M| - |F2M| | = 2a.

(5)

В прямоугольной декартовой системе координат положим F1(-c;0), F2(c;0). Тогда уравнение гиперболы (5) может быть преобразовано к каноническому виду

x2 y2 − = 1, a 2 b2

Рисунок 9

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами (рис. 10).

(6)

где b = c 2 − a 2 . ƒ Из уравнения (6) следует, что оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат ― ее центром симметрии. Ось Ох, на которой расположены фокусы гиперболы, называется действительной, а ось Oy называется мнимой осью. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником гиперболы. Прямые bx bx y= ,y=(7) a a являются асимптотами гиперболы (6). Уравнение

x2 y2 − 2 + 2 = 1, a b

(8)

определяет гиперболу с фокусами на оси ординат F1(0;c), F2(0;c), c2=b2-a2. В этом случае модуль разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов равна 2b. Две гиперболы, определяемые уравнениями Рисунок 10

Фокусы гиперболы обозначаются через F1 и F2; расстояние между ними ― через 2с. По определению гиперболы 2а<2с. Пусть М(х;у) ― произвольная точка гиперболы. Тогда 57

x2 y2 x2 y2 − = 1 , − + =1 a 2 b2 a 2 b2 58

(9)

в одной и той же системе координат, называются сопряженными. Число

c a

ε= ,

(10)

где а ― действительная полуось, называется эксцентриситетом гиперболы. a Прямые x = ± называются директрисами гиперболы

ε

(6), а прямые y = ± ƒ

b

ε

― директрисами гиперболы (8).

Если r ― расстояние от произвольной точки гиперболы М(х; у) до ближайшего фокуса, d ― расстояние от этой же точки до односторонней с этим фокусом директриr есть величина постоянная, равная d r = ε. эксцентриситету гиперболы: d

сы, то отношение

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (рис. 11 а). Фокус параболы обозначается буквой F, а расстояние от фокуса до директрисы ― через p. Число р называется параметром параболы.

59

Рисунок 11 а

В прямоугольной декартовой системе координат, полагая F(p/2;0), уравнение параболы преобразуется к каноническому виду у2 = 2рх. (11) В этой же системе координат уравнение директрисы имеp ет вид х = - . 2 Уравнения у2 =-2рх, х2 = 2рy, х2 = -2рy (p>0) также определяют параболы, изображенные на рис. 11 б-11 г соответственно.

60

лежит в первой четверти, то ее радиус равен R, а центр имеет координаты (R; R). Учитывая, что окружность проходит через точку А(1; 2), получаем уравнение (1 - R)2 + (2 - R)2 = R2. Преобразуем его: R2 - 6·R + 5 + 0 ⇒ (R - 5) · (R - 1) = 0. Корни полученного уравнения равны R1 = 1, R2 = 5. Ответ: (х - 1)2 + (у - 1)2 = 1, (х - 5)2 + (у - 5)2 = 25. Пример 2. Даны точки А(-3; 0) и В(3; 6). Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок АВ. Решение. Согласно условию точка О(α;β) ― середина отрезка АВ ― является центром искомой окружности. Поэтому α = (-3 + 3)/2 = 0, β = (0 + 6)/2 = 3. Радиус R окружности раРисунок 11 б

Рисунок 11 в

вен. R = OA =

AB 2

=

36 + 36 6 2 = =3 2. 2 2

Уравнение искомой окружности имеет вид: х2 + (у-3)2 = 18. Ответ: х2 + (у-3)2 = 18. Пример 3. Написать уравнение окружности, проходящей через точки А(-1; 3), В(0; 2) и С(1; -1).

Рисунок 11 г

7.1. Примеры решения типовых задач

Пример 1. Написать уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку А(1; 2). Решение. Так как окружность касается осей координат и 61

Решение. Найдем середину Е отрезка АВ: 1 3+ 2 5 −1+ 0 = . =− ; Проведем через точку 2 2 2 2 ⎛ 1 5⎞ E ⎜ − ; ⎟ прямую ЕО, перпендикулярную прямой АВ ⎝ 2 2⎠ (рис. 12): y−2 x−0 = ⇒ y − 2 = − x ⇒ y = − x + 2. 3 − 2 −1− 0 kAB = -1, kEO = 1. Уравнение прямой ЕО имеет вид 62

y−

5 1 = x+ . 2 2

(*)

E

Решение. Пусть О ― центр искомой окружности О(α;β). Тогда расстояния от точки О до прямых 2х-3у-10=0 и 2α − 3β − 10 3α − 2 β + 5 = . С другой сто3х-2у+ 5 = 0 равны: 4+9 13 роны, точка О(α;β) принадлежит прямой 4х - 5у - 3 = 0. Таким образом, для определения координат точки О получаем систему:

F O A C

Рисунок 12

⎛1 1⎞ Проведем через точку F ⎜ ; ⎟ прямую FO, перпенди⎝2 2⎠ кулярную прямой ВС: y +1 x −1 = ⇒ y = −3x + 2. 2 +1 0 −1 kBC = -3, kFO = 1/3. Уравнение прямой FO имеет вид x− 3

Ответ: (х + 4)2 + (у + 1)2 = 25 Пример 4. Составить уравнение окружности, имеющей центр на прямой 4х - 5у - 3 = 0 и касающейся двух прямых 2х-3у-10=0, 3х-2у+ 5 = 0.

B

1 y− = 2

Уравнение окружности имеет вид (х + 4)2 + (у + 1)2 = 25.

1 2.

(**)

Решив систему уравнений (*) и (**), найдем координаты точки О:

4α − 5β − 3 = 0, ⎧ . ⎨ ⎩ 2α − 3β − 10 = 3α − 2 β + 5

Она распадается на две системы: I.

4α − 5 β − 3 = 0, ⎧ ⎨ ⎩2α − 3β − 10 = 3α − 2 β + 5;

II.

4α − 5 β − 3 = 0, ⎧ ⎨ ⎩2α − 3β − 10 + 3α − 2 β + 5 = 0.

Решая их, последовательно находим:

⎧ y = x + 3, . ⎨ ⎩3 y = x + 1 Получаем О(-4; -1). Найдем радиус окружности: R = OA =

(− 4 + 1)2 + (− 1 − 3)2 63

= 5. 64

a = 13, c = 5, b = a 2 − c 2 = 169 − 25 = 12.

⎧ α + β + 15 = 0, ⎧ α - β - 1 = 0, I. ⎨ II. ⎨ ⎩4α − 5 β − 3 = 0; ⎩4α - 5β - 3 = 0; α = β + 1, ⎧ 9α + 72 = 0, ⎧ ⎨ ⎨ ⎩α + β + 15 = 0; ⎩4 β + 5 − 5β − 3 = 0;

Искомое уравнение имеет вид:

3) По условию 2а=20, ε=с/а=0,6. Отсюда находим:

⎧ α = -8, ⎨ ⎩ β = −7

⎧α = 1, ⎨ ⎩ β = 1. Таким образом, получаем О1(-8; -7) и О2(2; 1). Находим

радиусы:

R1 =

2 ⋅ (−8) + 3 ⋅ 7 − 10 13

=

5 13

, R2 =

2 ⋅ 2 − 3 − 10 13

9 13

.

Искомые уравнения имеют вид: (x − 8)2 + ( y + 7 )2 = 25 , (x − 2)2 + ( y − 1)2 = 81 . 13 13 25 81 2 2 2 2 Ответ: (x − 8) + ( y + 7 ) = , ( x − 2) + ( y − 1) = . 13 13 Пример 5. Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, если: 1) большая полуось равна 8, малая полуось равна 6; 2) расстояние между фокусами равно 10, большая ось равна 26; 3) большая ось равна 20, эксцентриситет равен 0,6; 4) расстояние между фокусами равно 14, эксцентриситет равен 7/9. Решение. 1) По условию а=8, b=6. Поэтому искомое уравнение имеет вид: x2 y2 + = 1. 64 36 2) По условию 2с=10, 2а=26. Следовательно, 65

a = 10, c = 6, b = a 2 − c 2 = 100 − 36 = 8.

x2 y2 Искомое уравнение имеет вид: + = 1. 100 64 4) По условию 2с=14, ε=с/а=7/9. Отсюда находим: c = 7, a =

=

x2 y2 + = 1. 169 144

c

ε

= 9, b = a 2 − c 2 = 81 − 49 = 32.

Искомое уравнение имеет вид:

x2 y2 + = 1; Ответ: 1) 64 36 x2 y2 x2 y2 + = 1 ; 4). + = 1. 3) 100 64 81 32

x2 y2 + = 1. 81 32 2)

x2 y2 + = 1; 169 144

Пример 6. Дан эллипс 9х2 + 5у2 = 45. Найти: 1) его полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис. Решение. Преобразуем уравнение эллипса к каноническому виду: x2 y2 + = 1. 5 9

Его полуоси равны соответственно (b ― большая полуось). Находим с из условия

a = 5,b = 3

a 2 = b 2 − c 2 , то есть c = b 2 − a 2 = 4 = 2. Следовательно, его фокусы расположены на оси Оу и имеют координаты F1(0 ;-2), F2(0; 2). Находим эксцентриситет: 66

b 2 2 = . Уравнения директрис имеют вид y = ± . В нашем b 3 ε 9 2 случае b = 3, ε = , y = ± . 3 2 2 Ответ: 1) a = 5 , b = 3 ; 2) F1(0; -2), F2(0; 2); 3) ε = ; 3 9 4) y = ± . 2

ε=

x2 y 2 + = 1 найти точку М1, блиПример 7. На эллипсе 18 8

жайшую к прямой 2х-3у+25=0, и вычислить расстояние d от точки М1 до этой прямой. Решение. Пусть М1(х1;у1) ― искомая точка. Тогда касательная в ней должна быть параллельна прямой 2х - 3у + 25= 0. Воспользуемся следующим результатом. Уравнение касатель-

x2 y2 ной к эллипсу 2 + 2 = 1 в точке М1(х1;у1) будет иметь вид: a b x1 x2 y1 y 2 + = 1. Для прямой 2х - 3у + 25 = 0 угловой коэффици18 8

ент равен 2/3. Для касательной угловой коэффициент равен x1 4 x k = − 18 = − ⋅ 1 . Так как прямая и касательная параллельны, y1 9 y1 18 то, приравнивая их угловые коэффициенты, получим: x 4 x 2 3 − ⋅ 1 = ⇒ 1 = − . Так как точка М1(х1; у1) принадлежит 9 y1 3 2 y1 эллипсу, то с учетом последнего соотношения получаем:

⎛ x2 / y3 1 ⎞ 1⎞ ⎛ 9 + ⎟ = 1, y1 = ±2 . y12 ⋅ ⎜⎜ + ⎟⎟ = 1, y12 ⋅ ⎜ 8⎠ ⎝ 18 ⋅ 4 8 ⎠ ⎝ 18 67

Точки М1 и М2, удовлетворяющие полученному условию, имеют координаты М1(-3; 2) и М2(3; -2). Найдем расстояния от них до прямой: 2 ⋅ (−3) − 3 ⋅ ( 2) + 25 37 d (M 1 ) = = 13 , d ( M 2 ) = . 13 13 Условию задачи удовлетворяет точка М1. Ответ: M (−3; 2), d = 13 . Пример 8. Дана гипербола 16х2 - 9у2 = -144. Найти: 1) полуоси а и b; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис. x2 y2 Решение. Преобразуем уравнение к виду − = −1 . 9 16 2 2 2 Имеем: а=3, b=4. Находим с по формуле с = а + b . В нашем случае с=5. Фокусы гиперболы имеют координаты F1(0; -5), c 5 F2(0;5). Находим эксцентриситет: ε = = . Уравнения асимb 4 b 4 птот имеют вид y = ± x или y = ± x . Уравнения директрис a 3 b 16 имеют вид y = ± или y = ± . ε 5 5 Ответ: 1) а=3, b=4; 2) F1(0; -5), F2(0 ;5); 3) ε = ; 4 4 16 4) y = ± x ; 5) y = ± . 5 3 Пример 9. Написать каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, если: 1) 2а=14, 2b=10; 2) расстояние между фокусами равно 20, 2а = 12; 3) 2а=6, эксцентриситет равен 5/3; 4) расстояние между фокусами равно 26, эксцентриситет равен 2,6. Решение. 1) По условию имеем: а=7, b=5. Тогда каноническое уравнение гиперболы имеет вид: 68

x2 y2 − = 1. 49 25

2) По условию с=10, а=6. Пользуясь формулой с2=а2 + b2, находим b=8. Тогда каноническое уравнение гиперболы имеет вид

x2 y2 − = 1. 36 64

c 5 c = = . Следовательно, a 3 3 с=5. По формуле с2=а2 + b2 находим, что b=4. Поэтому кано3) По условию имеем a = 3, ε =

2 2 ническое уравнение гиперболы имеет вид x − y = 1.

9

16

c 13 = = 2,6 . Следовательно, а=5, a a b= 12. Поэтому каноническое уравнение гиперболы имеет вид

4) По условию c = 13, ε = x2 y2 − = 1. 25 144

Ответ:

4)

2 2 x2 y2 x2 y2 − = 1 ; 3) 1) x − y = 1 ; 2) − =1; 9 16 36 64 49 25

x2 y2 − = 1. 25 144

Пример 10. Составить уравнения касательных к гипербоx y2 ле − = 1 , параллельных прямой 10х - 3у + 9 = 0. 16 64 2

Решение. Уравнение касательной к гиперболе в точке

М1(х1; у1) имеет вид: x ⋅ x1 − y ⋅ y1 = 1 . Угловой коэффициент пря16

64

мой 10х - 3у + 9 = 0 равен k=10/3. Угловой коэффициент каса4x 4 x1 10 = или тельной равен k1 = 1 . По условию k1=k и y1 3 y1 69

x1 5 = . Так как точка М1(х1; у1) принадлежит гиперболе, то y1 6 ⎛ ⎛ x ⎞2 ⎞ ⎜⎜ 1 ⎟ ⎟ ⎜y ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 ⎞ ⎛ 25 y12 ⋅ ⎜ ⎝ 1 ⎠ − ⎟ = 1 ⇒ y12 ⋅ ⎜ − ⎟ =1⇒ 64 ⎟ ⎝ 36 ⋅ 16 64 ⎠ ⎜ 16 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇒ y = ±6, x = ±5.

Уравнения касательных имеют вид: x⋅5 y ⋅6 = 1 ⇒ 10 x − 3 y − 32 = 0; − 16 64 x ⋅ (−5) y ⋅ (−6) − = 1 ⇒ 10 x − 3 y + 32 = 0. 16 64 Ответ: 10x - 3y - 32 = 0; 10x - 3y + 32 = 0. Пример 11. Написать каноническое уравнение параболы, если известно, что: 1) фокус находится в точке F(4; 0); 2) фокус находится в точке F(0; 3); 3) директриса имеет уравнение х - 3 = 0; 4) директриса имеет уравнение у - 1= 0. Решение. 1) Парабола симметрична относительно оси Ох; ее каноническое уравнение имеет вид у2 = 2рх. Тогда ее фокус имеет координаты F(р/2; 0). Поэтому р/2 = 4, откуда р=8 и у2 = 16х. 2) Парабола симметрична относительно оси Оу; ее каноническое уравнение имеет вид х2 = 2qу. Тогда ее фокус имеет координаты F(0; q/2). Следовательно, q/2 = 3, то есть, q=6, х2 = 12у. 3) Парабола симметрична относительно оси Ох; ее каноническое уравнение имеет вид у2 = 2рх. Тогда уравнение ее директрисы имеет вид х = -р/2. Поэтому -р/2 = 3, то есть, р=-6, у2 = -12х. 4) Парабола симметрична относительно оси Оу, ее канониче70

ское уравнение имеет вид х2 = 2qу. Тогда уравнение ее директрисы у = -q/2. Поэтому -q/2 = 2, откуда q = -4, х2 = -8у. Ответ: 1) у2 = 16х; 2) х2 = 12у; 3) у2 = -12х; 4) х2 = -8у. 7.2. Задачи для самостоятельного решения

1. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев: 1) центр окружности совпадает с началом координат и ее радиус R=3; 2) центр окружности совпадает с точкой С(2; -3) и ее радиус R=7; 3) окружность проходит через начало координат и ее центр совпадает с точкой С(6; -8); 4) окружность проходит через точку А(2; 6) и ее центр совпадает с точкой С(-1; 2); 5) точки А(3;3) и В(-1; 6) являются концами одного из диаметров окружности; 6) центр окружности совпадает с началом координат и прямая 3х - 4у + 20 = 0; 7) является касательной к окружности; 8) центр окружности совпадает с точкой С(1; -1) и прямая 5х-12у +9 =0 является касательной к окружности; 9) окружность проходит через точки А(3; 1) и В(-1; 3), а ее центр лежит на прямой 3х - у - 2 = 0; 10) окружность проходит через три точки А(1; 1), В(1; -1) и С(2; 0); 11) окружность проходит через три точки М1(-1; 5), М2(-2; -2) и М3(5; 5). 2. Точка С(3; -1) является центром окружности, отсекающей на прямой 2х -5у + 18 = 0 хорду, длина которой равна 6. Составить уравнение этой окружности. 3. Составить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых 2х+у - 5 = 0 и 2х + у + 15 = 0, причем одной из них ― в точке А(2; 1). 4. Составить уравнение окружности, которая имеет центр на прямой 2х + у = 0, касается прямых 4х - 3у + 10 = 0 и 71

4х - 3у - 30 = 0. 5. Составить уравнения окружностей, проходящих через начало координат и касающихся двух пересекающихся прямых х + 2у - 9 = 0 , 2х - у + 2 = 0. 6. Написать уравнения окружностей, касающихся трех прямых: 4х-3у-10= 0, 3х - 4у - 5 = 0 и 3х - 4у- 15 = 0. 7. Вычислить кратчайшее расстояние от точки до окружности в каждом из трех случаев: а) А(6; -8), х2 + у2 = 1; б) В(3; 9), х2 + у2 - 26х + 30у + 313= 0; в) С(-7; 7), х2 + у2 - 10х - 14у - 151 = 0. Составить уравнение окружности, проходящей через 8. начало координат и точку пересечения двух окружностей: (х + 1) 2 + (у + 1) 2 = 25, (х-2) 2+(у+4) 2 = 9. Точка M 1 ( x1 ; y1 ) лежит на окружности (х-α)2 + (у-β)2 = 9. =R2. Составить уравнение касательной в точке M 1 . Составить уравнения касательных к окружностям 10. х2 + +у2 + 10х- 2у+6= 0, параллельных прямой 2х + у - 7 = 0. 11. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная кроме того, что: 1) его полуоси равны 5 и 2; 2) его большая полуось равна 10, а расстояние между фокусами 2с=8; 3) его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2с=10; 4) расстояние между его фокусами 2с=6 и эксцентри3 ситет ε = ; 5 5) его большая полуось равна 20, а эксцентриситет 3 5

ε= ; 6)

его малая ось равна 10, а эксцентриситет ε =

12 ; 13

7) расстояние между его директрисами равно 5, а расстояние между фокусами 2с=4; 72

8) его большая полуось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16; 9) его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13; 1 10) расстояние между его директрисами равно 32 и ε = . 2 12. Дан эллипс 3х2 + 25 у2 = 225. Найти: 1) его полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис. 13. Вывести условие, при котором прямая у=kх+b касается x2 y2 эллипса 2 + 2 = 1 . a b Составить уравнение касательной к эллипсу 14. 2 2 y x + 2 = 1 в его точке М(х;у). 2 a b x2 y2 Доказать, что касательные к эллипсу 2 + 2 = 1 , про15. a b веденные в концах одного и того же диаметра, параллельны (диаметром эллипса называется его хорда, проходящая через центр). y2 x2 Провести касательные к эллипсу + = 1 парал16. 30 2 24 2 лельно прямой 4х - 2у + 23 = 0 и вычислить расстояние d между ними. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой рас17. положены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 1) ее оси 2а=10, 2b=8; 2) расстояние между фокусами 2с=10, а ось 2b=8; 3) расстояние между фокусами 2с=6, а эксцентриситет ε=3/2; 4) ось 2а=16, ε=5/4; 5) уравнения асимптот у=±4х/3, а расстояние между фокусами 2с=20; 73

6) расстояние между директрисами равно 22

2 , а расстоя13

ние между фокусами 2с=26; 7) расстояние между директрисами равно 32/5, а ось 2b=6; 8) расстояние между директрисами равно 8/3, а эксцентриситет ε=3/2; 9) уравнения асимптот у=±3х/4, а расстояние между директрисами равно 12,8. 18. Дана гипербола 16 x 2 − 9 y 2 = 144. Найти: 1) полуоси а и b; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса 19. х2/25 + y2/9 = 1. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет ε=2. 20. Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы х2/а2 - y2/b2 = 1 до ее асимптоты равно b. 21. Доказать, что произведение расстояний от любой точки x2 y2 гиперболы 2 − 2 = 1 до двух ее асимптот есть величина поa b a 2b 2 стоянная, равная 2 . a + b2 Доказать, что площадь параллелограмма, ограниченно22. x2 y2 го асимптотами гиперболы 2 − 2 = 1 и прямыми, проведенa b ными через любую ее точку параллельно асимптотам, есть веab . личина постоянная, равная 2 Вывести условие, при котором прямая y=kx+m касает23. x2 y2 ся гиперболы 2 − 2 = 1 . a b 74

24. Составить уравнение касательной к гиперболе 2 2 x y − 2 = 1 в ее точке М(х; у). 2 a b Составить уравнения касательных к гиперболе 25. х2 - y2 = 16, проведенных из точки А(-1; -7). x2 y 2 На гиперболе − = 1 найти точку М, ближайшую к 26. 24 18 прямой 3х+2у+1=0. Вычислить расстояние d от точки М до этой прямой. Составить уравнение параболы, вершина которой нахо27. дится в начале координат, зная, что: 1) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси Ох, а ее параметр р=3; 2) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ох, а ее параметр р=7; 3) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Оу, а ее параметр р=1/4; 4) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси Оу, а ее параметр р=3. 28. Вывести условие, при котором прямая y=kx+b касается параболы у2=2рх. 29. Составить уравнение касательной к параболе у2=2рх в точке М(х; у). 30. Провести касательную к параболе у2 = 12х параллельно 31. прямой 3х-2у+30=0 и вычислить расстояние d между этой касательной и данной прямой. 32. Составить уравнения касательных к параболе у2=36х, проведенных из точки А(2; 9). 8. ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Определение. Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, а конец ― в

точке В, то вектор обозначают AB . Для векторов используют также обозначения a, a, AB. 75

Определение. Длина вектора a называется его модулем

и обозначается a . Единичным называется вектор e , для которого e = 1 . Определение. Векторы a и b , лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой), называются коллинеарными. Определение. Проекцией вектора AB на ось L называется число, равное величине отрезка A1 B1 оси L, где точка А1 является проекцией на ось L точки А, а В1 ― проекцией на эту ось точки В.

Для

проекции

Рисунок 13

используют

обозначения:

Ïð L AB, Ïð L AB . Пусть ϕ ― угол наклона вектора a к оси L. Тогда

Ïð L a = a ⋅ cos ϕ .

(1)

Пусть Oxyz ― прямоугольная декартовая система координат, i, j , k - соответствующие единичные векторы, и пусть х=ОМх, у=ОМу, z=ОМz ― проекции вектора a на соответствующие координатные оси. Тогда 76

OM = OM x + OM y + OM z = x ⋅ i + y ⋅ y + z ⋅ k и вектор a = {x; y; z} имеет декартовые координаты х, у, z.

M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ), M 2 ( x2 ; y 2 ; z 2 ).

Пусть

Тогда

a = M 1 M 2 = {x2 − x1 ; y 2 − y1 ; z 2 − z1 } = {x; y; z}.

Z

x = a ⋅ cos α , y = a ⋅ cos β , z = a ⋅ cos γ . Из последних равенств и формулы (2) следует, что cos2α + cos2β + cos2γ =1.

Формула

a = x2 + y2 + z 2

правляющие косинусы данного вектора. Из формулы (1) следует:

(2)

Mz

М(х,у,z )

Определение. Суммой a + b векторов a и b называется вектор, который идет из начала вектора a в конец вектора и b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a . Указанный способ сложения векторов называют правилом треугольника (рис. 15). ƒ Наряду с правилом треугольника при сложении векторов пользуются равносильным ему правилом параллелограмма. ƒ Сложение произвольного конечного количества векторов производится по модели последовательного применения правила треугольника.

γ β

α 0

Му

Х

Мх Х Рисунок 15 Рисунок 14

позволяет определить модуль вектора a = {x; y; z} по его координатам. Пусть α, β, γ ― углы, которые составляет вектор a с координатными осями (рис. 14). Тогда cosα, cosβ, cosγ ― на77

Определение. Разностью a − b двух векторов a и b называется вектор, который в сумме с вектором b составляет вектор a . Определение. Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, на78

зываются взаимообратными и обозначаются a и - a соответственно.

a = {x1; y1; z1}, b = {x2 ; y2 ; z2 } ,

Если

cos ϕ =

то

a ± b = {x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2 }, λ a = {λx1; λy1; λz1} (рис. 16). ƒ

Угол между векторами a и b определяется по формуле:

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов a и b является пропорциональность их координат:

x1 y z = 1 = 1. x2 y2 z2 Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, то есть,

a •b a⋅b

или в координатной форме:

cosϕ =

x1 y1 + x2 y 2 + x3 y3 x12 + y12 + z12 ⋅ x22 + y 22 + z 22

.

Пусть ось L образует углы α, β, γ с координатными

осями и e = {cos α ; cos β ; cos γ } ― единичный вектор на этой оси. Тогда проекция произвольного вектора a = {x; y; z} на ось L определяется формулой

Ïð L a = a • e = x ⋅ cos α + y ⋅ cos β + z ⋅ cos γ . Определение. Три коллинеарных вектора a, b, c обра-

зуют правую тройку, если с конца третьего вектора c кратРисунок 16

чайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки (рис. 17).

a • b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ , где ϕ ― угол между векторами a и b . ƒ

Если

a

и

b

заданы своими координатами

a = {x1; y1; z1}, b = {x2 ; y2 ; z2 } , то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле:

a • b = x1 x2 + y1 y 2 + z1 z 2 . 79

Рисунок 17

80

Определение. Векторным произведением вектора a

на

вектор b называется вектор, обозначаемый a × b и определяемый тремя условиями: 1) a × b = a ⋅ b ⋅ sin ϕ , где ϕ ― угол между векторами a и

b; 2) вектор ортогонален каждому из векторов a и b ; 3) тройка векторов a , b , a × b является правой. ƒ Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, то есть, a × b = −b × a . ƒ Модуль векторного произведения равен площади S параллелограмма, построенного на векторах a и b :

a ⋅ b ⋅ sin ϕ = S . Пусть Охуz ― правая декартовая система координат, и векторы a , b заданы своими координатами Тогда

или

a = {x1; y1; z1}, b = {x2 ; y2 ; z2 } .

⎧y a×b = ⎨ 1 ⎩ y2

z1 x ;− 1 z2 x2

z1 x1 ; z 2 x2

i a × b = x1

j y1

k z1 .

x2

y2

z2

y1 ⎫ ⎬, y2 ⎭

Определение. Смешанным произведением трех векторов 81

a , b , c называется число, равное векторному произведению a × b , умноженному скалярно на вектор c , то есть,

(a × b)• c = a ⋅ b ⋅ c

ƒ

Смешанное произведение a b c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c , взятому со знаком плюс, если тройка векторов a , b , c правая, и со знаком минус, если эта тройка левая. Определение. Векторы a , b , c называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях. ƒ Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a , b , c является выполнение равенства a b c = 0 . ƒ Если векторы a , b , c заданы своими координатами в правой системе координат Охуz

a = {x1; y1; z1}, b = {x2 ; y2 ; z2 }, c = {x3 ; y3 ; z3 },

то смешанное произведение определяется формулой

x1

y1

z1

abc = x2 x3

y2 y3

z2 . z3

8.1. Примеры решения типовых задач

Пример 1. Определить конец вектора a ={α; β; γ}, если его начало совпадает с точкой М0(х0; у0; z0). Решение. Пусть точка М(х; у; z) - конец вектора. Тогда M 0 M = a ={α; β; γ} ==x-x0; y-y0; z-z0}. Отсюда x-x0 = α, y-y0 = β, z-z0= γ. Окончательно получаем: x = x0 + α, y = y0 + β, z = z0 + γ. Ответ: x = x0 + α; y = y0 + β; z = z0 + γ. 82

Пример 2. Даны две координаты трехмерного вектора х=5, z=10. Определить третью координату у при условии, что

По формулам x = х2- х1, y=у2 - у1, z=z2 - z1 находим: x=6-4=2, y=-2-(-3)=1, z = 3 - 5 = -2, то есть MN = {2: 1; -2}. Далее,

| a | = 15. Решение. Пусть a = {5; y; 10}. По условию | a | = y 2 + 125. Следовательно, у2 = 225 - 125, у 2 = 100, у = ± 10. Ответ: у = ± 10. Пример 3. Может ли вектор a составлять с двумя координатными осями следующие углы: 1) α = 600, β = 300; 2) β = 600, γ = 300? Решение. Пусть α, β, γ ― углы вектора a с координатными осями. Тогда они удовлетворяют условию 2

2

2

cos α + cos β + cos γ = 1.

(*)

3 2 , cosβ = cos300 = . Тогда 2 2 cos2450 + cos2300 =1/2 + 3/4 = 5/4 > 1, что противоречит условию (*). Значит, вектор a не может составлять с координатными осями данные углы. Находим: 1) cosα = cos450 =

2) cosα = cos600 =

3 1 , cosγ = cos300 = . Тогда cos2600 + 2 2

1 3 + = 1. Для угла β 4 4 cos2β= 0, то есть β = 900. Ответ: 1) не может; 2) может.

+ cos2300 =

получим уравнение

Пример 4. Начало вектора находится в точке М(4; -3; 5), конец ― в точке N(6; -2; 3). Найти координаты вектора MN , его длину и направляющие косинусы. Решение. Пусть вектор имеет координаты MN ={x; y; z}. 83

| MN | =

x2 + y2 + z2 =

4 +1+ 4 = 9 = 3 .

Находим направляющие косинусы:

cos α =

2 1 x 2 y z = , cos β = = , cos γ = =− . 3 MN 3 MN 3 MN

Ответ:

2 1 2 MN = {2; 1; − 2}; MN = 3; cosα = , cos β = , cos γ = − . 3 3 3 Пример 5. Даны векторы a = {1; 1; -1}, b = {2; -1; 3}, c = [1; -2; 1}. Разложить вектор d = {12; -9; 11} по векторам a , b , c . Решение. Пусть d = α a + β b + γ c , где α, β, γ - некоторые коэффициенты. Так как равные векторы имеют равные коэффициенты, и координаты линейной комбинации векторов равны соответствующим линейным комбинациям координат, то 12 = α + 2 β + γ , ⎫ ⎪ − 9 = α − β − 2γ , ⎬ 11 = −α + 3β + γ .⎪⎭ Решив эту систему уравнений, найдем: α = 2, β = 3, γ = 4. Ответ: d = 2a + 3b + 4c . Пример 6. В треугольнике АВС проведена медиана АА1. Выразить вектор AA1 через векторы BC = a , BA = c . Решение. Имеем: AA1 = AB + BA1 = −c + a / 2. 84

Ответ: AA1 = AB + BA1 = −c +

a . 2

Пример 7. Векторы a , b , c взаимно перпендикулярны и

AB = {3; 3; 0}, BC = {3; − 3; 0}, CD = {− 3; − 3; 6}, AD = {3; − 3; 9}. Следовательно, AB = BC = CD = AD = 18 . Находим

имеют общее начало Найти | a + b + c |, если | a | = 10, | b | = =11, | c | = 2. Решение. Вектор | a + b + c | представляет собой диагональ прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c . Тогда a+b+c =

2

2

a +b +c

2

= 100 + 121 + 4 = 225 = 15 .

AB • AD = 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ ( −3) + 0 ⋅ 0 = 9 − 9 = 0. Значит, АВСD является квадратом. Пример 9. Найти внутренние углы треугольника с вершинами А(1; 7; 2), В(5; -3; 3), С(12; -1; -5). Решение. Найдем угол α при вершине А. Находим AB = {4; -10; 1}, AC ={11; -8; -7}. Тогда cos α =

Ответ: a + b + c =15. Пример 8. Проверить, является ли четырехугольник с вершинами в точках А(1; 1; 1), В(4; 4; 1), С(7; 1; 1), D(4; -2; 1) квадратом. Решение. Находим координаты векторов: AB = {3; 3; 0} ,

2 2 π = = , α = arccos = . 2 2 4 117 ⋅ 234

Аналогично находим угол β BA ={-4; 10; -1}, BC ={7; 2; -8}. Тогда

cos β =

Если векторы AB, BC , AD компланарны, то точки А, В, С и D лежат в одной плоскости. Имеем:

3 0

0 3 0 0 = −6 = 0. −3 0 3 −3 0

Следовательно, точки А, В, С и D лежат в одной плоскости. Если AB = BC = CD = AD и AB⊥ AD , то плоская фигура АВСD является квадратом. В нашем случае векторы имеют координаты 85

.

117

AC = {6; 0; 0}, AD = {3; − 3; 6}.

3 6

AB • AC 44 + 80 − 7 = = AB ⋅ AC 16 + 100 + 1 ⋅ 121 + 64 + 49

при

вершине

В:

BA • BC − 28 + 20 + 8 = = 16 + 100 + 1 ⋅ 49 + 4 + 64 BA ⋅ BC

0 π = 0, β = arccos 0 = . 2 117 ⋅ 117 Так как сумма всех внутренних углов треугольника равна то угол γ при вершине С равен =

π,

γ = π −α − β = π −

π

−

π

=

π

. 2 4 4 Ответ: ∠А = π/4; ∠В = π/2; ∠С = π/4. Пример 10. Вычислить проекцию вектора a = {1; -2; 2} 86

на ось вектора b = {2; 10; 11}. Решение. Проекцию вектора a на ось вектора b находим по формуле:

( )

Пр b a = a cos a ^ b = a

a•b ab

=

a•b b

.

В нашем случае имеем: Пр b = ⋅

1 ⋅ 2 + (−2) ⋅ 10 + 2 ⋅ 11 4 + 100 + 121

=

2 − 20 + 22 225

4 = . 15

4 . 15 Пример 11. Найти расстояние от точки С(4; -1; 2) до прямой, проходящей через точки А(1; 3; 4) и В(3; 4; 2). Ответ:

Решение. Построим параллелограмм на векторах AB и AC (рис. 18). Тогда искомое расстояние d найдем по формуле: AB × AC d= . AB В нашем случае последовательно находим: AB ={2; 1; -2}, AC ={3; -4; -2};

⎧ 1 −2 AB × AC = ⎨ ; ⎩− 4 − 2

2 −2 3 −2

;

1 ⎫ ⎬ = {− 10; − 2; − 11}; 3 − 4⎭ 2

AB × AC = 100 + 4 + 121 = 15; AB = 4 + 1 + 4 = 3.

Рисунок 18

Окончательно получаем:

d=

AB

=

15 = 5. 3

Ответ: 5. Пример 12. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1; 1; 3), В(3; -1; 6), С(5; 1; -3). Решение. Воспользуемся формулой

S ABC =

1 ⋅ AB × AC . 2

В нашем случае последовательно AB ={2; 2; 3}, AC = {4; 0; -6};

⎧−2 3 2 3 AB × AC = ⎨ ; − ; 4 −6 ⎩ 0 −6

находим:

2 −2⎫ ⎬ = {12; 24; 8}, 4 0 ⎭

AB × AC = 42 ⋅ 32 + 42 ⋅ 62 + 42 ⋅ 22 = 4 9 + 36 + 4 = 28. Окончательно имеем:

S ABC = 87

AB × AC

1 1 ⋅ AB × AC = ⋅ 28 = 14. 2 2 88

Ответ: 14 кв. ед. Пример 13. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках А(2; 1; 1), B(6; -2; 2), С(4; 3; 2), D(-6; 8; 7). Вычислить длину ее высоты, проведенной из вершины D.

H=

AB ⋅ AC ⋅ AD AB × AC

=

110 22 = . 15 3

Ответ: 22/3.

Решение. Объем пирамиды АВСD найдем с помощью

смешанного произведения: V =

1 AB ⋅ AC ⋅ AD . Площадь 6

грани АВС найдем по формуле

S ABC = C другой стороны, V =

1 ⋅ AB × AC . 2

1 S ABC ⋅ DF , где DF ― высота, 3

проведенная к грани АВС из точки D. Поэтому

H = DF =

AB ⋅ AC ⋅ AD AB × AC

=

6 ⋅V . 2 ⋅ S ABC

В нашем случае последовательно находим: AB = {4; − 3; 1}, AC = {2; 2; 1}, AD = {−8; 7; 6}; 4 −3 1 2 1 AB ⋅ AC ⋅ AD = 2 2 1 = 4⋅ + 7 6 −8 7 6 2 1 2 2 + 3⋅ + = 4 ⋅ 5 + 3 ⋅ 20 + 30 = 110; −8 6 −8 7

⎧− 3 1 4 1 S = AB × AC = ⎨ ; − ; 2 1 2 1 ⎩

4 − 3⎫ ⎬= 2 2 ⎭

= {− 5; − 2; 14} = 25 + 4 + 190 = 225 = 15. Окончательно получаем: 89

8.2. Задачи для самостоятельного решения

1. Даны две координаты вектора a : х=4, у=-12. Определить его третью координату z при условии, что | a | = 13. 2. Определить начало вектора a = {2; -3; -1}, если его конец совпадает с точкой (1; -1; 2). 3. Вычислить направляющие косинусы вектора a = {12; -15; -16}. 4. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы 1) α=450, β=600, γ=1200; 2) α=450, β=1350, γ=600; 3) α=900, β=1500, γ=600? 5. Может ли вектор составлять с двумя координатными осями следующие углы: 1) α=300, β=450; 2) α=600, β=600; 3) α=1500, β=300? 6. Дано: | a | = 13, | b | = 19, | a + b | = 24 . Вычислить | a - b |. 7. Векторы и b взаимно перпендикулярны, причем | a | = 5, 8. | b | = 12. Определить | a + b | и | - b |.

a

b, чтобы вектор a + b делил пополам угол между векторами a

9. Какому условию должны удовлетворять векторы

и

и b? 10. Точка О является центром тяжести треугольника АВС. Доказать, что OA + OB + OC = 0. 11. Три силы M , N и P , приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить величи90

ну их равнодействующей R , если известно, что | M | = 2 кГ, | N |= =10 кГ, | P | = 11 кГ. 12. Проверить коллинеарность векторов a ={22;-1;3} и b ={-6; 3; -9}. Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз; как они направлены ― в одну или в противоположные стороны. и β векторы 13. Определить, при каких значениях α a = −2 ⋅ i + 3 ⋅ j + β ⋅ k и b = 2 ⋅ i − 6 ⋅ j + 2 ⋅ k коллинеарны. 14. Проверить, что четыре точки А(3; -1; 2), В(1; 2; -1), С(-1; 1;-3), D(3; -5; 3) служат вершинами трапеции. 15. Два вектора a = {2; - 3; 6} и b = {−1; 2; - 2} приложены к одной точке. Определить координаты вектора c , направленного по биссектрисе угла между векторами a и b при условии, что | c | = 3 42 . 16. Векторы a и b образуют угол ϕ = 2π/3. Зная, что | a | = 3, | b | = 4, вычислить: 2

(

2

)

(

2

)(

)

1) a • b; 2)a ; 3)b ; 4) a + b ; 5) 3 ⋅ a − 2 ⋅ b • a + 2 ⋅ b ;

(

)

2

6) . a − b . 17. Доказать справедливость тождества

(a + b ) + (a − b ) 2

2

2 2 = 2 ⋅ ⎛⎜ a + b ⎞⎟ ⎠ ⎝

и выяснить его геометрический смысл. 18. Какому условию должны удовлетворять векторы a и b , чтобы векторы a + b и a − b были перпендикулярны? 19. Дано: | a | = 3, | b | = 5. Определить, при каком значении α векторы a + b и a − b будут взаимно перпендикулярны. 20. Вычислить угол, образованный медианами, проведенными из острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника. 91

21. Даны вершины четырехугольника А(1; -2; 2), В(1; 4; 0), С(-4; 1; 1) и D(-5; -5; 3). Доказать, что его диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны. 22. Вычислив внутренние углы треугольника А(1; 2; 1), В(3; -1 ;7), С(7; 4; -2), убедиться, что этот треугольник равнобедренный. 23. Вычислить проекцию вектора a ={5; 2; 5} на ось вектора b = {2; -1; 2}. 24. Даны три вектора

a = 3i − 6 j − k , b = i + 4 j − 3k , c = 3i − 4 j + 12 k . Вычислить Ïð

ñ

(a + b).

25. Векторы a и b образуют угол ϕ = π/6. Зная, что | a | = 6, | b | = 5, вычислить a × b .

26. Дано: | a | = 3, | b | = 2, a • b = 12. Вычислить a × b . 27. Векторы a и b взаимно перпендикулярны. Зная, что | a | = 3, | b | = 4, вычислить:

(

) (

) (

) (

)

1) a + b × a − b ; 2) 3a − b × a − 2b . 28. Даны векторы a = {3; -1; -2}, b = {1; 2; -1}. Найти координаты векторных произведений:

(

)

(

) (

)

1) a × b; 2) 2a + b × b; 3) 2a − b × 2a + b . 29. Даны точки А(2; -1; 2), В(1; 2; -1) и С(3; 2; 1). Найти координаты векторных произведений: 1) AB × BC; 2) BC − 2 ⋅ CA × CB.

(

)

30. Даны точки А(1; 2; 0), В(3; 0; -3), С(5; 2; 6). Вычислить площадь треугольника АВС. 31. Даны вершины треугольника А(1; -1; 2), В(5; -6; 2), 92

С(1; 3; -1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. 32. Найти вектор x , зная, что он перпендикулярен к векторам a = {2; -3; 1} и b ={1; -2; 3} и удовлетворяет условию x • i + 2 j − 7 k = 10.

(

)

9. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

Определение. Нормальным вектором плоскости называется любой вектор, отличный от нулевого, перпендикулярный к этой плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0; у0; z0) и имеющей нормальный вектор n = {A; B; C} , в векторном виде записывается так: n • M 0 M = 0,

где М(х; у; z) ― произвольная точка искомой плоскости. В декартовых координатах последнее уравнение имеет вид: А(х-х0) + В(у-у0) + С(z-z0) = 0,

(1)

Aх + Ву +Сz + D = 0,

(2)

или где D = - Ах0 - Ву0 - Сz0. Определение. Уравнение (2) называется общим уравнением плоскости, если А2+В2+С2≠0.

Пусть a = {a1 ; a 2 ; a3 }, b = {b1 ; b2 ; b3 } ― два неколлинеарных вектора. Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0;у0;z0) параллельно векторам a и b , имеет вид

y − y0

z − z0

a1

a2

a3

b1

b2

b3

= 0.

(3)

Уравнение плоскости, проходящей через три точки М1(х1; у1; z1), М2(х2; у2; z2), М3(х3; у3; z3), имеет вид

x − x1

y − y1

z − z1

x2 − x1

y 2 − y1

z 2 − z1 = 0,

x3 − x1

y3 − y1

z3 − z1

(4)

где М(х; у; z) ― произвольная точка искомой плоскости. Если все коэффициенты уравнения (2) отличны от нуля, то его можно преобразовать к виду

x y z + + = 1, a b c

(5)

D D D ,b = − ,c = − ― величины направленных отA B C резков, отсекаемых на осях координат. Уравнение (5) называется уравнением плоскости в отрезках. Угол между двумя плоскостями (6) A1x + B1y + C1z+D1 =0, A2x + B2y + C2z+D2 =0 (7) определяется как угол между их нормальными векторами n1 = {A1; B1; C1} и n2 = {A2 ; B2 ; C2 } по формуле

где a = −

cos ϕ =

сти 93

x − x0

A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 A12 + B12 + C12 ⋅ A22 + B22 + C 22

.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярноплоскостей (6) и (7) (их нормальных векторов 94

n1 = {A1; B1; C1} и n2 = {A2 ; B2 ; C2 } ) имеет вид: А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0.

x − x0 y − y0 z − z0 = = . x2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1 Угол ϕ между двумя прямыми х=х1+а1t, y=y1+a2t, z=z1+a3t,

(8)

Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей (6) и (7) имеет вид: А2=λА1, В2=λВ1, С2=λС1, D2≠λD1,

или

(9)

A1 B1 C1 D1 . = = ≠ A2 B2 C 2 D2

Ax0 + By0 + Cz 0 + D 2

определяется как угол между их направляющими векторами

a = {a1 , a 2 , a3 } и b = {b1 , b2 , b3 } по формуле:

Необходимое и достаточное условие совпадения плоскостей (6) и (7) имеет вид: А2=λА1, В2=λВ1, С2=λС1, D2=λD1, (10) A1 B1 C1 D1 . = = = или A2 B2 C 2 D2 Расстояние d от точки М0(х0; у0; z0) до плоскости Aх + Ву +Сz + D = 0 (А2+В2+С2≠0) вычисляется по формуле:

d=

(14) (15)

х=х2+а1t, y=y2+a2t, z=z2+a3t

2

A +B +C

2

.

(11)

Определение. Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или параллельной ей. Параметрические уравнения прямой, проходящей через данную точку М0(х0;у0;z0) и имеющей направляющий вектор

a = {a1 , a2 , a3 } , имеют вид:

х=х0+а1t, y=y0+a2t, z=z0+a3t, (12) где t ∈(-∞; +∞). Исключая параметр t из уравнений (12), получаем канонические уравнения прямой: x − x0 y − y 0 z − z 0 . = = (13) a1 a2 a3 Уравнения прямой, проходящей через две точки М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2), имеют вид: 95

cos ϕ =

a•b ab

=

a1b1 + a2b2 + a3b3 a12 + a22 + a32 ⋅ b12 + b22 + b32

.

(16)

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых (14) и (15) выражается равенством:

a • b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0.

(17) Расстояние d от точки М0(х0; у0; z0) до прямой (14) вычисляется по формуле

d=

M 0M × a a

,

(18)

где М1(х1; у1; z1) ― точка прямой (14), а a = {a1 , a 2 , a3 } ― направляющий вектор этой прямой. В координатной форме формула (18) имеет вид:

d=

⎛ y1 − y 0 ⎜ ⎜ a 2 ⎝

2

z1 − z 0 ⎞ ⎛ x1 − x0 ⎟ +⎜ a3 ⎟⎠ ⎜⎝ a 2

2

z1 − z 0 ⎞ ⎛ x1 − x0 ⎟ +⎜ a3 ⎟⎠ ⎜⎝ a1

a12 + a 22 + a32

y1 − y 0 ⎞ ⎟ a 2 ⎟⎠

2

.

(19) Расстояние d между прямыми (14) и (15) определяется формулой:

96

d=

M 1M 2 ⋅ a ⋅ b a×b

Решив систему уравнений ,

где a, b ― направляющие векторы прямых (14) и (15), а М1(х1; у1; z1), М2(х2; у2; z2), - точки, через которые проходят прямые (14) и(15) соответственно. В координатной форме формула (20) имеет вид: x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1 a2 a3 mod a1 b1 b2 b3 d= . (21) 2 2 2 ⎛ a 2 a3 ⎞ ⎛ a1 a3 ⎞ ⎛ a 2 a 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ b b ⎟ +⎜ b b ⎟ +⎜ b b ⎟ 2 3 1 3 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Угол ϕ между прямой х=х0+а1t, y=y0+a2t, z=z0+a3t и плоскостью Aх + Ву +Сz + D = 0 определяется по формуле:

sin ϕ =

a•n a⋅n

=

Aa1 + Ba 2 + Ca 3 a12

+

a 22

+

2 a31

2

2

⋅ A + B +C

2

.

(22) (23)

Аа1 + Ва2 + Са3 = 0;

перпендикулярны, если A B C = = . a1 a2 a3

9.1. Примеры решения типовых задач

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-3; 5; -8) и имеющей нормальный вектор n = {− 1; 2; 3} . Решение. Пусть М(х; у ;z) ― произвольная точка искомой плоскости. Тогда n • M 0 M = 0. В нашем случае (x+3)(-1)+(y-5)2+(z+8)3=0. Окончательно -x+2y+3z+11=0. Ответ: -x+2y+3z+11=0.

(24)

b = {− 3; 5; 8}.

(25)

Решение. Пусть М(х; у; z) ― произвольная точка искомой компланарны, т.е. плоскости. Тогда векторы M 0 M , a, b M 0 M ⋅ a ⋅ b = 0 . В координатной форме последнее условие примет вид:

(26)

Прямая (22) лежит в плоскости (23), если выполняются условия: Аа1 + Ва2 + Са3 = 0, Ах0 + Ву0 + Сz0 +D= 0.

найдем координаты точек пересечения прямой (22) и плоскости (23).

Пример 2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(1; -2; 3) параллельно векторам a = {2; 3; 4} и

Прямая (22) и плоскость (23) параллельны, если

97

⎧ x = x0 + a1t , ⎪ y = y + a t, ⎪ 0 2 ⎨ ⎪ z = z 0 + a3 t , ⎪⎩ Ax + By + Cz + d = 0,

(20)

(27)

x −1 y + 2 z − 3 2 3 4 = 0. −3 5 8

Вычисляя определитель, получим уравнение плоскости: 98

( x − 1) ⋅

3 4 5 8

− ( y + 2) ⋅

2

4

−3 8

+ ( z − 3) ⋅

2

3

−3 5

= 0,

( x − 1) ⋅ 4 − ( y + 2) ⋅ 28 + ( z − 3) ⋅ 19 = 0,4 x − 28 y + 19 z − 117 = 0

Ответ: 4x-28y+19z-117=0. Пример 3. Написать уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М1(5; 3; -2), М2(7; 6; 11), М3(-2; 2; -2). Решение. Воспользовавшись уравнением плоскости, проходящей через три данные точки,

x − x1

y − y1

z − z1

x2 − x1 x3 − x1

y 2 − y1 y3 − y1

z 2 − z1 = 0, z 3 − z1

2 −7

( x − 5) ⋅

3

13

−1

0

Пример 5. Определить, при каких значениях параметра α будут параллельны плоскости 2х + 3у + 9z + 15 = 0, αх - у - 3z+ 7 = 0. Решение. Находим: A1 2 B1 C 3 9 = , = = −3, 1 = = − 3. A2 α B2 − 1 C2 − 3 Если A1 B1 C1 = = = −3, A2 B2 C2

то плоскости будут параллельны. Это возможно, если

в нашем случае получим: x−5

Так как δ(M1)=16>0, δ(M2)-4<0, то точки М1 и М2 лежат по разные стороны от заданной плоскости, то есть она пересекает отрезок М1М2. Ответ: пересекает.

есть, α=-2/3. Ответ: α=-2/3.

y −3 z + 2 3 −1

− ( y − 3) ⋅

13 = 0, 0

2

13

−7

0

+ ( z + 2) ⋅

Пример 6.Найти угол х+у- z+3=0 и -2х-у+2z = 0.

2

3

−7 1

= 0,

( x − 5) ⋅13 − ( y − 3) ⋅ 9 + ( z + 2) ⋅ 23 = 0, 13x − 91y + 23z + 254 = 0. Ответ: 13 x − 91 y + 23 z + 254 = 0. Пример 4. Пересекает ли плоскость х + у - z + 15 = 0 отрезок М1М2, если М1(1; 1; 1), М2(-10; -7; 2)? Решение. Обозначим δ = x + y − z + 15. Находим δ ( M1 ) = 1 + 1 − 1 + 15 = 16, δ ( M 2 ) = −10 − 7 − 2 + 15 = −4. 99

2 =-3, то α

между

двумя

плоскостями

Решение. Угол α между двумя плоскостями равен углу между нормальными векторами n1 = {1 : 1 : −1} и n2 = {− 2;−1;2}. Тогда n •n − 2 −1− 2 − 5 − 5 3 cos α = 1 2 = = = . 9 3⋅ 9 3 3 n1 ⋅ n2

−5 3 . 9 Пример 7. Вычислить расстояние от точки М1(4; 2; -1) до плоскости 10х + 11у -2z - 45 = 0. Ответ: α=arccos

100

Решение. Искомое расстояние d найдем по формуле (11). В нашем случае 10 ⋅ 4 + 11 ⋅ 2 − 2 ⋅ (−1) − 45

d=

100 + 121 + 4

Ответ:

=

64 − 45 225

=

19 . 15

19 . 15

Пример 8. Дана треугольная пирамида с вершинами А(-1; 1; -2), В(1; -1; 1), С(-2; 1; 3), D(4; -5; -2). Найти расстояние от точки А до грани ВСD. Решение. Составим уравнение плоскости, проходящей через точки В, С, D: x −1 y +1 z −1 −3 2 2 = 0. 3

−4

2

2

−4 −3

− ( y + 1) ⋅

−3

−3

2

3

−3

+ ( z − 1) ⋅

Решение. Угол α между прямыми равен углу между образующими векторами e1 = {2; 1; 2} и e2 = {− 1; 1; − 1}. Тогда cos α =

2 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ (−1) 4 +1+ 4 ⋅ 1+1+1

−3

2

−3 −4

=

−3 3 3

=−

3 . 3

3 ). 3

Пример 11. Вычислить расстояние от точки М(1; 1; -1) до x−3 y −4 z −5 = = . прямой 2 3 4 = 0,

( x − 1) ⋅ 2 − ( y + 1) ⋅ 3 + ( z − 1) ⋅ 6 = 0, 2 x − 2 − 3 y − 3 + 6 z − 6 = 0,2 x − 3 y + 6 z − 11 = 0.

Найдем расстояние d от точки А до плоскости ВСD: 2 ⋅ (−1) − 3 − 12 − 11 28 28 39 d= = = . 39 4 + 9 + 36 39 28 39 Ответ: . 39 Пример 9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(1; 2; 3) параллельно вектору a = {3; − 5; 8} . 101

Пример 10. Найти угол между прямыми x+2 y+3 z+5 x +1 y −1 z − 3 = = . и = = −1 −1 1 2 1 2

Ответ: α= arccos( −

Вычислим определитель ( x − 1) ⋅

Решение. Воспользовавшись формулой (13), в нашем случае находим: x −1 y − 2 z − 3 = . = 3 8 −5 Ответ: х=1+3t, y=2-5t, z=3+8t.

Решение. По условию М0(3; 4; 5), n = {2; 3; 4}. Тогда M 0 M = {− 2;−3;−6}. Расстояние d от точки М до прямой найдем по формуле: 2

d = M 0M × n =

2

2

−3 −6 −2 −6 −2 −3 + + = 3 4 2 4 2 3

= 6 2 + 4 2 = 36 + 16 = 52 = 2 13.

Ответ: 2 13. 9.2. Задачи для самостоятельного решения

102

1. Составить уравнения плоскостей, параллельных координатным плоскостям и проходящих через точку М0(2; -3; 1). 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0 и имеющей нормальный вектор n , в каждом из следующих случаев: 1) М0(4; 3; -2), n = {1; − 7; 5}; 2) М0(1; -6; 8), n = {2; 1; − 2}. 3. Написать уравнение плоскости в каждом из следующих случаев: 1) плоскость параллельна оси Ох и проходит через точки Р(3; -5; 6), Q(2; 1; 1); 2) плоскость параллельна оси Оу и проходит через точки R(1; -2; 1), S(2; 3; -1); 3) плоскость параллельна оси Оz и проходит через точки К(3; 1; -1), N(1; -1; 2). 4. Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки М1 и М2 и параллельной данному вектору a : 1) M1 (1; − 2; − 1), M 2 (4; 1; 1), a = {5; 3; 4} ;

2) M1 (3; 2; 1), M 2 (1; − 4; 3), a = {2; − 1; − 2}. 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через три указанные точки: 1) М1(9; -11; 5), М2(7; 4; -2), М3(-7; 13; -3); 2) М1(-1; 2; 1), М2(-3; 1; 2), М3(3; -2; 2). 6. Пересекает ли плоскость 2х-5у+3z-7=0 отрезок, соединяющий начало координат с точкой М(2; -3; 1)? 7. Пересекает ли плоскость 3х+4у-6z+5=0 отрезок М1М2 в случае, когда: 1) М1(1; 2; 3), М2(4; 6; 5); 2) М1(4; -1; 1), М2(2; 1; 2)? 8. Найти отрезки, отсекаемые на осях координат плоскостями: 1) 3x-4y+2z-12=0; 2) x+5y-4z+20=0; 3) 6x-y+7z=42; 4) 2x-3y+5z+15=0. 9. Определить координаты какого-либо нормального вектора каждой из следующих плоскостей. В каждом случае написать общее выражение координат произвольного нормального век103

тора:

1) 2x-y-2z+5=0; 2) x+5y-2=0; 3) 3x-2y-7=0; 4) 5y-3z=0; 5) x+2=0; 6) y-3=0. 10. Определить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости: 1) 2x-3y+5z-7=0, 2x-3y+5z+3=0; 2) 2) 4x+2y-4z+5=0, 2x=y+2z-1=0; 3) 3) x-3z+2=0, 2x-6z-7=0. 11. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости: 1) 3x-y-2z-5=0, x-9y-3z+2=0; 2) 2x+3y-z-3=0, x-y-z+5=0; 3) 2x-5y+z=0, x-2z-3=0. 12. Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости: 1) 2x+ly+3z-5=0, mx-6y-6z+2=0; 2) 3x-y+lz-9=0, 2x+my+2z-3=0; 3) mx+3y-2z-1=0, 2x-5y-lz=0. 13. Определить, при каком значении l следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости: 1) 3x-5y+lz-3=0, x+3y+2z+5=0; 2) 2) 5x+y-3z-3=0, 2x+ly-3z+1=0; 3) 7x-2y-z=0, lx+y-3z-1=0. 14. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5x-3y+2z-3=0. 15. Найти углы между двумя плоскостями: 1) 5x+4y-2z-3=0, 20x+16y-8z+5=0; 2) 3x-2y+5z+2=0, x+4y+z-4=0; 3) 3) 11x-8y-7z+6=0, 4x-0y+z-5=0; 4) 5x-y+3z-2=0, -x+2y+10z-7=0; 5) 5) 3x-5y-4z+9=0, x+2y-z+4=0; 6) x-z+8=0, y-5z+7=0. 16. Вычислить расстояния от данных точек М1, М2 до указанных плоскостей: 104

1) x-2y+2z-3=0, M1(4; 2; -1), M2(-3; 5; -7); 2) 2x+3y-6z-7=0, M1(-2; 5; 1), M2(9; 1; 2); 3) 10x-11y+2z-45=0, M1(0; 1; -2), M2(6; -1; 2). 17. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями: 1) 2x+y-2z-6=0, 2x+y-2z-15=0; 2) 3x-2y+6z-7=0, 3x-2y+6z-35=0; 3) x+2y+2z-9=0, 2x+4y+4z+15=0; 4) 2x-10y+11z+30=0, 2x-10y+11z-45=0. 18. Дана треугольная пирамида с вершинами А(1; 1; 1), В(-11; 3; -3), С(5; 2; 4), D(2; 2; -5). Вычислить длину высоты, проведенной из вершины D к грани АВС. 19. Две грани куба лежат на плоскостях 2x-2y+z-1=0, 2x-2y+z+5=0. Вычислить объем этого куба. 20. На оси Оу найти точку, отсекаемую от плоскости x+2y-2z-2=0 на расстоянии d=4. 21. В каждом из следующих случаев составить уравнения плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образованные двумя пересекающимися плоскостями: 1) x-3y+2z-5=0, 3x-2y-z+3=0; 2) 5x-5y-2z-3=0, x+7y-2z+1=0; 3) 2x-y+5z+3=0, 2x-10y+4z-2=0. 22. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М0(1; -2; 3) параллельно: 1) вектору a = {4; 5; − 7} ; 2) оси Ох; 3) оси Оу; 4) оси Оz. 23. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М1(1; -1; -3) параллельно: 1) вектору a = {2; − 3; 4}; x −1 y + 2 z −1 2) прямой ; 3) прямой x = 3t - 1, y = -2t + 3, = = 2 4 0 z = 5t + 2. 25. Дан треугольник с вершинами А(1; 2; -4), В(5; -6; 2), С(3; 8; -10). Написать уравнения его медиан. 26. Найти угол между двумя прямыми: x + 4 y − 5 z − 7 x − 3 y + 6 z −1 = = , = = ; 1) 2 1 −2 1 2 2 105

x−3 y +6 z + 2 x+5 y −2 z + 4 , = = ; = = 2 7 8 −8 11 7 3) x=1+3t, y=9-2t, z=8+4t; x=-7+6t, y=2-4t, z=1+8t; 4) x=3-2t, y=7+10t, z=-5+11t; x=8+t, y=9+2t, z=6+2t. 27. Вычислить расстояние от точки М(2; -3; 5) до каждой из следующих прямых: 1) x=5+2t, y=-4-t, z=6-2t; 2) x=1-6t, y=-2-3t, z=8+2t. 28. Найти расстояние между двумя прямыми: 1) x=3-6t, y=1+4t, z=t; x=-2+3t, y=4, z=3-t; 2)

2)

x − 3 y −1 z − 2 x y−2 z = = , = = . −1 1 2 −1 3 3

29. Составить параметрические уравнения следующих прямых: 1) 4x-3y+2z-1=0, 5x-2y+3z-3=0; 2) x-3y+z+3=0, 3x+y-2z-6=0; 3) x+2y+z-1=0, 2x+2y-3z+6=0; 4) x+y+z-3=0, x-y+z-1=0. 30. Найти угол между прямой и плоскостью в каждом из следующих случаев: 1) x=5+11t, y=4-8t, z=3-7t; 7x+2y-8z-10=0; x +3 y −8 z + 4 2) = = ; 2x-4y+2z-9=0; 2 −1 −1 3) x-3y+z+3=0, 3x+y-2z-6=0; x-2y-z+5=0; 4) x+y+z-5=0, x+2y+3z-6=0; 2x+2y-2z+7=0. 31. Доказать, что прямая x=1+4t, y=-3+2t, z=6+2t и плоскость x+3y-5z-2=0 параллельны. 32. Доказать, что прямая x=3+t, y=-2+4t, z=5+4t лежит в плоскости 4x-7y+6z-56=0. 33. Доказать, что прямая x=6-2t, y=3+5t, z=-1-4t перпендикулярна к плоскости 2x-5y+4z+52=0. Найти точку их пересечения. 34. Найти точку пересечения прямой x=1+3t, y=-2+4t, z=5-2t с плоскостью 6x-5y+3z-7=0. 35. Найти проекцию. точки М(2; 5; -3) на прямую x=2-5t, y=-3+t, z=4+2t. 36. Найти проекцию точки М(5; 1; 3) на прямую x+y+z-3=0, 106

x+2y+3z-6=0. 37. Найти проекцию точки М(1; -2; 4) на плоскость 5x-3y+6z+35=0. 38. Найти точку, симметричную точке М(2; 2; 5) относительно прямой x=7-2t, y=5+3t, z=-2+4t. 39. Найти точку, симметричную точке М(8; 9; -1) относительно плоскости 3x+4y-2z-4=0.

2

z=

Эллиптический параболоид

x2 y 2 + a 2 b2

10. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, координаты которых x и y удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени Ax 2 + By 2 + Cz 2 + 2 Dxy + 2 Exz + 2 Fyz + 2Gx + 2 Hy + 2 Lz + K = 0. В этом уравнении не все коэффициенты при членах второго порядка одновременно равны нулю. Может оказаться, что приведенное выше уравнение определяет вырожденную поверхность (пустое множество, точку, плоскость, пару плоскостей, прямую). Если же поверхность невырожденная, то с помощью преобразования декартовой системы координат (параллельного переноса и поворота осей координат в пространстве) ее уравнение может быть приведено к одному из указанных ниже типов, называемых каноническими и определяющих тип поверхности: 1 x2 y 2 z 2 Эллипсоид + + = 1 (при a=b=c a 2 b2 c 2 получаем сферу x 2 + y 2 + z 2 = R 2 );

107

3 x2 y 2 z 2 + − =1 a 2 b2 c2

Однополостной гиперболоид

108

4 x2 y 2 z 2 + − =0 a 2 b2 c2

Конус второго порядка

5 x2 y 2 z 2 + − = −1 a 2 b2 c2

6

z=

Гиперболический параболоид

x2 y2 − a 2 b2

7 x2 y 2 + =1 a 2 b2

Эллиптический цилиндр

8 x2 y 2 − =1 a 2 b2

Гиперболический цилиндр

Двухполостной гиперболоид

109

110

9 y 2 = 2 px

Параболический цилиндр

Заметим, что цилиндрической называется поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление, и пересекает некоторую кривую. Уравнение цилиндра, образующие которого параллельны оси OZ, не содержит координаты z. Название цилиндра определяется названием направляющей. Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку и пересекающими данную плоскую линию, не проходящую через указанную точку, называется конической поверхностью. При D=0, E=0, F=0 общее уравнение поверхности второго порядка принимает вид Ax 2 + By 2 + Cz 2 + 2Gx + 2 Hy + 2 Lz + K = 0. В этом случае приведение общего уравнения к каноническому виду достигается с помощью метода выделения полных квадратов и параллельного переноса осей координат. Основным методом исследования формы поверхности второго порядка является метод параллельных сечений. Его суть состоит в том, что поверхности пересекаются координатными плоскостями и им параллельными плоскостями. Вывод о форме исходной поверхности делается на основании вида полученных в сечении линий. 9.1. Примеры решения типовых задач

Пример 1. Привести уравнение данной поверхности к каноническому виду и определить ее тип. 111

а). 4 x 2 + y 2 − z 2 − 24 x − 4 y + 2 z + 35 = 0; б). z 2 + 6 z − x = 0; в). 2 y 2 + z 2 = 1 − x. Решение. а). Применяя метод выделения полных квадратов, приведем уравнение к каноническому виду: 4( x 2 − 6 x) + ( y 2 − 4 y ) − ( z 2 − 2 z ) + 35 = 0; 4(( x 2 − 6 x + 9) − 9) + ( y 2 − 4 y + 4) − 4 − (( z 2 − 2 z + 1) − 1) + 35 = 0; 4(( x − 3) 2 − 9) + ( y − 2) 2 − 4 − (( z − 1) 2 − 1) + 35 = 0; 4( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 − ( z − 1) 2 = 4; ( x' )2 ( y ' )2 ( z ' )2 + − = 1, a = 1, b = c = 2. 1 4 4 б). Выделим полный квадрат в данном уравнении 2 z + 6 z − x = 0 при переменной z: ( z 2 + 6 z + 9) − 9 − x = 0 èëè ( z + 3) 2 = x + 9. Данная поверхность является параболическим цилиндром. При параллельном переносе осей координат по формулам x' = x + 9, y' = y, z' = z + 3 получим каноническое уравнение поверхности ( z ' ) 2 = x ' . Точка О1(-9; 0; -3) служит началом новой системы координат. в). Перепишем исходное уравнение в виде y2 z2 + = −( x − 1). 0,5 1 Получим уравнение эллиптического параболоида с вершиной в точке О1(1; 0; 0). Пример 1. Какую поверхность определяет уравнение 2 x y2 ? z= − 4 9 112

Решение. Установим форму поверхности с помощью метода параллельных сечений. Сначала пересечем поверхность плоскостью y=0: ⎧ x2 y2 − , ⎪z = 4 9 ⎨ ⎪ y = 0. ⎩ Получим x 2 = 4 z. Это уравнение параболы в плоскости Oxz. Пересечем поверхность плоскостью x=0: ⎧ x2 y 2 − , ⎪z = 4 9 ⎨ ⎪ x = 0. ⎩

Получим y 2 = −9 z. Сечением является парабола. В результате пересечения поверхности плоскостью z=0 ⎧ x2 y 2 − , ⎪z = 4 9 ⎨ ⎪z = 0 ⎩

3 получим пару пересекающихся прямых y = ± x. Сечения по2 верхности плоскостями x=h дают параболы ⎧ h2 y2 − , ⎪z = 4 9 ⎨ ⎪ x = h. ⎩ При сечении поверхности плоскостями z=h получаются гиперболы ⎧ x2 y2 = 1, ⎪ − ⎨ 4h 9h ⎪ z = 0. ⎩ При h>0 действительная ось гиперболы параллельна оси Ox, а при h<0 – оси Oy. По виду полученных сечений можно заме113

тить, что исследуемая поверхность ― гиперболический параболоид. 9.2. Задачи для самостоятельного решения

Определить вид поверхности и изобразить ее на рисунке. 1. а) x 2 + 2 y 2 + 3z 2 + 6 x − 4 y − 12 z − 1 = 0; б) z = 4 − x 2 . 2. а) x 2 + 3 y 2 + 12 z − 14 = 0; б) z 2 − 2 y = 4 x 2 . 3. а) 4 x 2 − y 2 − 16 z 2 − 16 = 0; б) x 2 + 4 z = 0. 4. а) 3x 2 + y 2 + 9 z 2 − 9 = 0; б) x 2 + 2 y 2 − 2 z = 0. 5. а) − 5 x 2 + 10 y 2 − 2 z 2 + 20 = 0; б) y 2 + 4 z 2 = 5 x 2 . 6. а) 4 x 2 − 8 y 2 + z 2 + 24 = 0; б) x 2 − y = −9 z 2 . 7. а) x 2 − 6 y 2 + z 2 = 0; б) 7 x 2 − 3 y 2 − z 2 = 21. 8. а) z = 8 − x 2 − 4 y 2 ; б) 4 x 2 + 9 y 2 + 36 z 2 = 72. 9. а) 4 x 2 + 6 y 2 − 24 z 2 = 96; б) y 2 + 8 z 2 = 20 x 2 . 10. а) 4 x 2 − 5 y 2 − 5 z 2 + 40 = 0; б) y = 5 x 2 + 3z 2 . 11. а) x 2 = 8( y 2 + z 2 ); б) 2 x 2 + 3 y 2 − z 2 = 18. 12. а) 2 y 2 + 5 z 2 = 10 x; б) 4 z 2 − 3 y 2 − 5 x 2 + 60 = 0. 13. а) x 2 − 7 y 2 − 14 z 2 − 21 = 0; б) 2 y = x 2 + 4 z 2 . 14. а) 6 x 2 − y 2 + 3 z 2 − 12 = 0; б) 8 y 2 + 2 z 2 = x.

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1 1. Даны две матрицы А и В третьего порядка. Найти: T à) AB; á) BA; â) A−1; ã) AA−1; ä) A−1 A; å) (3 A − 2 B ) ; ж) решение матричного уравнения XA = B . Элементы матриц A и B приведены в таблице 1. Таблица 1

A

B 114

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11

2 0 9 2 3 4 -3 3 0 0 1 6 0 9 6 -3 9 4 0 0 8 -5 9 3 2 9 8 3 1 8 -5 4 3

0 0 3 -2 7 5 -3 3 7 3 9 4 2 6 7 3 4 7 -5 4 7 -5 4 1 2 3 1 -5 0 5 1 6 4

2 5 5 4 4 4 -2 9 8 -2 4 3 1 4 5 -3 3 2 0 7 3 -2 3 2 -3 4 6 -5 7 4 -4 0 2

-5 1 9 -4 4 8 -4 5 1 -3 7 8 3 4 6 -2 5 3 1 9 6 -2 8 8 4 6 6 -5 0 7 -3 3 9 115

-4 1 3 -2 4 9 2 2 5 -2 4 3 -4 2 2 -2 4 5 1 5 3 3 4 5 -1 8 3 4 2 2 4 4 7

3 7 1 1 9 3 3 0 3 -3 3 8 0 5 9 3 4 5 4 0 4 -3 7 3 1 1 4 -1 1 9 2 5 5

1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22

3 2 1 3 5 7 -5 2 5 -2 0 -3 7 6 -5 5 0 -2 3 1 -2 1 6 -4 9 8 3 4 2 -3 7 7 2

0 0 5 -1 4 8 1 1 3 -5 2 3 9 0 2 4 0 2 4 4 -5 9 6 -3 6 9 2 5 2 0 3 5 -4

2 4 7 -3 0 6 -3 3 9 -2 6 -1 0 5 2 0 3 1 1 8 4 9 6 2 3 8 -2 3 7 -1 5 9 0

-5 2 4 -1 3 7 -4 4 2 -5 4 -5 1 4 1 0 6 1 6 4 0 2 9 0 4 0 0 4 0 -4 4 0 0 116

0 4 4 -5 8 9 -1 4 0 -5 7 4 5 5 -4 7 4 4 8 1 -4 3 0 -2 4 6 1 2 4 1 4 6 3

-4 4 7 -4 2 5 4 3 1 2 9 0 7 6 2 7 0 0 5 1 0 4 5 -2 3 1 -2 2 5 -1 9 4 1

1.23

2 6 5 7 2 5 0 8 0 0 1 7 -1 -1 0 4 -2 -2 1.24 6 4 2 9 1 9 4 5 4 1 0 6 -4 -2 -5 -1 -3 1 1.25 1 7 9 8 9 7 5 8 5 2 5 9 4 3 4 -5 4 -1 1.26 8 5 3 0 7 3 9 2 3 0 2 9 -5 -5 -5 1 -1 -5 1.27 5 4 4 0 9 6 3 3 -4 0 -3 -3 6 5 5 0 7 2 1.28 0 4 4 2 8 8 -2 -3 3 -1 3 -1 4 7 8 9 4 0 1.29 0 2 6 8 2 5 4 4 0 1 -5 -3 7 5 6 1 7 6 1.30 2 2 8 7 1 6 -1 0 0 0 -1 2 9 9 8 0 9 5 2. Проверить на совместимость систему линейных уравнений третьего порядка вида АХ=В и в случае совместимости решить ее а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса. Элементы матриц A и B приведены в таблице 2.

2.2

2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10

Таблица 2

2.1

6 5

A 8 8

6 0

B 4 7

2.16 117

4 7

A 0 7

4 8

B 6 1

2.11

5 8 8 5

9 5 3 9

6 8 9 4

0 5 7 5

6 0 5 1 9 0 3 7 2 6 4 3 3 2 7 1 4 6 9 7 6 1 7 5 8 7 5

6 3 6 0 4 0 0 2 2 4 5 1 2 0 9 6 9 8 9 6 5 7 3 3 5 6 2

3 0 3 1 0 8 8 9 9 9 6 3 7 7 0 6 7 4 5 0 0 3 4 3 8 1 9

0 3 6 3 7 0 0 8 8 2 6 8 5 9 2 6 7 0 1 2 3 5 4 3 7 6 4

2.17

2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26

118

2 9 9 5

5 3 6 6

0 5 5 3

3 2 2 1

3 1 9 5 5 3 0 9 4 5 2 9 1 2 0 6 6 4 3 2 7 2 0 0 0 2 8

7 3 3 8 6 5 9 2 5 2 4 3 8 8 0 5 9 1 2 1 8 3 8 4 6 3 4

7 4 0 3 2 1 4 4 4 4 0 7 4 6 4 9 3 2 7 5 8 9 0 4 9 5 7

6 7 3 0 9 9 8 7 4 2 4 2 8 9 2 2 9 1 9 6 1 8 4 4 0 0 4

2.12 2.13 2.14 2.15

6 6 4 6 1 1 4 1 1 8 8 0

9 6 7 9 1 9 3 2 8 4 6 4

9 4 7 7 1 2 1 7 2 2 4 5

3 7 2 1 4 1 9 9 4 0 2 8

2.27 2.28 2.29 2.30

4 6 6 4 6 6 2 0 0 0 2 8

2 4 5 1 2 2 3 8 4 6 3 4

6 2 8 4 4 3 9 0 4 9 5 7

5 2 3 6 4 4 8 4 4 0 0 4

3. Проверить на совместимость систему линейных уравнений четвертого порядка вида АХ=В. Найти фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы и общее решение данной системы. Элементы матриц A и B приведены в таблице 3.

3.5

3.6

3.7

3.8

Таблица 3

A 3.1

3.2

3.3

3.4

-1 -1 -1 1 -2 1 -5 14 0 3 -3 12 0 0

-5 2 -12 33 4 -1 9 -24 -4 -5 -3 0 3 2

1 -2 4 -13 0 4 -4 16 -5 -3 -7 13 -4 -2 119

2 0 4 -10 3 0 6 -15 -3 4 -10 31 3 1

B 0 -1 4 3 -5 1 -5 -4 -1 -3 -1 -5 1 3

3.9

3.10

3.11

3.12

0 0 -5 -1 -9 21 -2 -3 -1 -2 -1 3 -5 17 -2 -5 1 -10 -3 -2 -4 7 -2 1 -5 14 3 3 3 -3 -3 2 -8

4 -7 -2 -5 1 -10 -5 4 -14 41 -1 -4 2 -11 -4 3 -11 32 -2 2 -6 18 3 0 6 -15 3 0 6 -15 -3 -5 -1

-6 12 4 -3 11 -32 -5 -2 -8 17 1 3 -1 7 -5 -5 -5 5 -5 -2 -8 17 4 -4 12 -36 2 4 0 6 -3 -4 -2 120

5 -11 -5 -3 -7 13 3 2 4 -7 -5 -3 -7 13 -2 -2 -2 2 4 0 8 -20 0 2 -2 8 2 3 1 2 -4 -3 -5

-2 -5 1 -2 3 0 -1 -4 -1 -2 4 -4 0 -2 -4 -1 0 0 2 2 -4 -1 -1 0 -5 -2 4 -3 1 -3 -4 -3 4

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

3.20

23 -2 -2 -2 2

-5 0 -4 4 -16

-1 4 -5 13 -40

8 -3 0 -6 15

-1 -4 -5 -4 2

-4 -4 -4 4 -1 1 -3 9 -4 -4 -4 4 -1 -2 0 -3 -1 2 -4 13 -3 3 -9 27 -4 0 -8

0 4 -4 16 -5 -5 -5 5 -1 -2 0 -3 0 -1 1 -4 4 3 5 -8 1 1 1 -1 -3 1 -7

-5 0 -10 25 -5 3 -13 37 0 3 -3 12 -4 -1 -7 16 -4 0 -8 20 0 -2 2 -8 2 -3 7

-5 2 -12 33 -1 -5 3 -15 -2 0 -4 10 -3 -3 -3 3 -5 3 -13 37 4 2 6 -12 -3 -1 -5

-4 4 2 -3 -4 2 0 -3 2 1 -4 -2 -5 0 0 -1 -4 -2 -5 -4 -4 4 1 -3 4 4 -2

121

3.21

3.22

3.23

3.24

3.25

3.26

3.27

3.28

20 0 2 -2 8

19 2 2 2 -2

-22 2 -3 7 -22

11 -1 -1 -1 1

0 0 -4 2 -2

-2 0 -4 10 -2 1 -5 14 -3 -1 -5 11 1 -4 6 -21 -5 1 -11 29 -3 -1 -5 11 0 -2 2

1 4 -2 11 3 -1 7 -19 -3 0 -6 15 4 -1 9 -24 1 3 -1 7 2 -4 8 -26 -2 -4 0

-5 0 -10 25 -4 1 -9 24 -4 0 -8 20 -3 -3 -3 3 -2 0 -4 10 -5 -2 -8 17 0 -5 5

2 -1 5 -14 3 2 4 -7 3 0 6 -15 -4 -2 -6 12 -2 2 -6 18 3 2 4 -7 3 1 5

0 -1 -2 -4 0 3 -5 -2 3 0 1 -2 -5 -1 -4 3 -4 -3 -3 -2 -3 3 -2 4 -1 0 -1

122

3.29

3.30

-8 0 4 -4 16

-6 2 -2 6 -18

-20 0 4 -4 16

-11 -2 -1 -3 6

-2 -1 -3 4 0

-1 1 -3 9

2 3 1 2

-4 -1 -7 16

-4 -2 -6 12

-5 -1 3 1

4. Найти собственные значения и собственные векторы матриц: ⎛ 1 11 − 1⎞ ⎛ 1 0 1⎞ ⎛1 0 6 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4.1. ⎜ 0 − 1 1 4.2. ⎜11 − 1 2 ⎟4.3. ⎜ 8 − 1 30 ⎟ ⎜0 2 0 ⎜ 0 1 0⎟ ⎜0 1 0 ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛1 8 6⎞ ⎜ ⎟ 4.4. ⎜ 0 − 1 1 ⎟ 4.5. ⎜0 2 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 7 7⎞ ⎜ ⎟ 4.7. ⎜ 0 − 1 1 ⎟ 4.8. ⎜0 2 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ 4.10. ⎜ 0 − 1 1 ⎟ 4.11. ⎜0 2 0⎟ ⎝ ⎠

⎛1 0 6⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 8 − 1 2 ⎟ 4.6. ⎜0 1 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 7⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 7 − 1 2 ⎟ 4.9. ⎜0 1 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 1 2 ⎟ 4.12. ⎜0 1 0⎟ ⎝ ⎠

123

⎛1 0 6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 8 − 1 30 ⎟ ⎜0 1 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 8 6⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 1⎟ ⎜ 0 30 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 1 20 ⎟ ⎜0 1 0 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 11 ⎜ 4.13. ⎜ 0 − 1 ⎜0 6 ⎝ ⎛1 8 ⎜ 4.16. ⎜ 0 − 1 ⎜0 6 ⎝

− 1⎞ ⎟ 1⎟ 0 ⎟⎠

6⎞ ⎟ 1⎟ 0 ⎟⎠

⎛1 ⎜ 4.14. ⎜11 ⎜0 ⎝ ⎛1 ⎜ 4.17. ⎜ 7 ⎜0 ⎝

− 1⎞ ⎛1 0 1⎞ ⎟ ⎟ 4.15. ⎜ −1 6 ⎟ ⎜ 0 −1 1⎟ ⎜ 0 20 0 ⎟ 1 0 ⎟⎠ ⎝ ⎠ 0

7⎞ ⎟ −1 6⎟ 1 0 ⎟⎠

⎛1 0 7 ⎞ ⎜ ⎟ 4.18. ⎜ 7 − 1 20 ⎟ ⎜0 1 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 1⎞ ⎛1 7 7⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4.20. ⎜ 0 − 1 6 ⎟ 4.21. ⎜ 0 − 1 1 ⎟ ⎜0 1 0⎟ ⎜ 0 20 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 − 1⎞ ⎛1 0 6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4.23. ⎜11 − 1 12 ⎟ 4.24. ⎜ 8 − 1 20 ⎟ ⎜0 1 0 ⎟ ⎜0 1 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0

⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ 4.19. ⎜ 0 − 1 1 ⎟ ⎜0 6 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 11 − 1⎞ ⎜ ⎟ 4.22. ⎜ 0 − 1 1 ⎟ ⎜ 0 12 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 8 6⎞ ⎛1 0 6 ⎞ ⎛1 8 6⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4.25. ⎜ 0 − 1 1 ⎟ 4.26. ⎜ 8 − 1 12 ⎟ 4.27. ⎜ 0 − 1 1 ⎟ ⎜ 0 12 0 ⎟ ⎜0 1 0 ⎟ ⎜ 0 20 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 7 7⎞ ⎛1 0 7 ⎞ ⎛1 0 1 ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ 4.28. ⎜ 0 − 1 1 ⎟ 4.29. ⎜ 7 − 1 12 ⎟ 4.30. ⎜ 0 − 1 12 ⎟ ⎜ 0 12 0 ⎟ ⎜0 1 0 ⎟ ⎜0 1 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5. По координатам точек А(x;y;z), В(x;y;z) и С(x;y;z) для указанных векторов найти: а) модуль вектора a ; б) скалярное произведение векторов a и b ; в) проекцию вектора c на вектор d ; г) координаты точки М, делящей отрезок l в отношении α:β Координаты точек А, В и С приведены в таблице 4; a = χ u + δ v . Точки, составляющие начало и конец векторов 124

b, c, d , u , v, отрезка l, а также числа α, β, χ и δ приведены в таблице 5. Таблица 4

А y

x 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10. 5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 5.15. 5.16. 5.17. 5.18. 5.19. 5.20. 5.21. 5.22. 5.23. 5.24. 5.25. 5.26.

1 2 1 1 4 -5 -5 -2 4 4 -1 3 -2 -5 -4 -2 -5 1 -5 1 -2 0 2 -4 1 -2

z -3 0 -2 -4 -3 -5 1 -1 -2 -4 3 0 2 4 2 1 -3 1 2 0 3 2 -1 -5 -1 2

В y

x 0 -1 -4 -3 1 -2 -3 4 2 3 -1 -3 0 -4 0 1 -2 -4 0 -3 -5 0 1 -5 -2 2

0 4 -2 -3 -4 -3 1 -2 -3 -1 -4 -5 -1 1 -3 -1 3 4 -5 -3 3 0 1 0 1 -3

z -4 -2 2 4 -2 -1 0 -4 -5 -3 3 3 4 4 -4 -4 3 -5 0 -3 0 1 -4 -1 -2 -2

125

С y

x 1 -5 -2 -5 1 2 0 2 1 1 2 -4 0 4 1 4 1 3 -4 1 0 4 -2 -3 0 -1

-1 -2 3 -3 3 3 -4 0 1 1 -1 4 2 -4 -3 -5 1 -5 -5 -4 0 -2 2 -4 0 -3

5.27. 5.28. 5.29. 5.30.

-4 1 1 -2

4 -3 -2 -5

0 -4 -2 1

-5 -5 4 1

-4 1 -3 -1

-5 -1 0 -3

0 -2 0 -2

z -3 -4 3 -2 -1 -4 3 3 4 -2 -1 1 2 3 1 1 4 3 2 3 -5 -1 -4 -1 1 4

-2 0 -5 -3 Таблица 5

-1 1 -1 1 3 2 -2 -5 -5 0 4 -5 -1 -1 2 -5 -4 4 -4 -5 -5 1 -1 -4 1 -3

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10. 5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 5.15. 5.16. 5.17. 5.18. 5.19. 5.20. 5.21. 5.22. 5.23. 5.24. 5.25. 5.26.

u BA CA CB AC CB CB AB BC AB CA BC CB AC CA CA CB AC AB AC CB AC CB CB CB AB CB

v BC CB CA AB CA CA AC BA AC CB BA CA AB CB CB CA AB AC AB CA AB CA CA CA AC CA

b AB AC BC CA BC BC BA CB BA AC CB BC CA AC AC BC CA BA CA BC CA BC BC BC BA BC

c CB BC AC BA AC AC CA AB CA BC AB AC BA BC BC AC BA CA BA AC BA AC AC AC CA AC

d BA CA CB AC CB CB AB BC AB CA BC CB AC CA CA CB AC AB AC CB AC CB CB CB AB CB

l

CA BA AB BC AB AB CB AC CB BA AC AB BC BA BA AB BC CB BC AB BC AB AB AB CB AB

126

α 4 6 2 3 3 6 1 4 1 1 2 1 5 5 5 6 5 2 1 3 6 4 3 2 6 2

β 2 3 3 6 3 2 4 6 5 5 4 3 1 1 4 1 1 4 3 5 4 2 3 3 5 6

χ

δ

-3 3 -2 0 4 -1 3 0 3 3 -2 -2 -2 0 6 3 2 -3 -3 5 4 6 -2 4 4 -1

5 5 2 2 -3 -2 6 1 6 -1 1 4 4 -3 5 4 -3 1 -2 -2 3 6 0 -1 -1 0

0 4 4 4

5.27. 5.28. 5.29. 5.30.

BC AB CB AC

BA AC CA AB

CB BA BC CA

AB CA AC BA

BC AB CB AC

AC CB AB BC

6 3 3 6

2 2 2 2

3 1 5 -1

-2 1 5 0

Образуют ли векторы a , b и c базис? Если да, то найти 6. координаты вектора d в этом базисе. Координаты указанных векторов приведены в таблице 6. Таблица 6

a

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21 6.22 6.23

6 8 6 1 3 6 3 1 9 1 8 6 6 4 8 4 9 3 5 0 5 1 6

8 5 6 0 0 4 2 6 9 7 5 9 9 3 4 0 3 7 8 9 2 8 5

b

6 8 3 1 8 9 7 6 5 3 8 9 7 1 2 4 5 7 3 4 4 4 9

5 8 0 9 7 4 2 4 7 7 7 6 1 1 8 7 9 1 5 9 2 2 6

8 3 3 4 2 5 0 9 6 3 6 6 1 2 6 7 6 3 6 2 4 8 9

0 9 0 0 9 6 7 7 0 4 1 4 1 7 4 8 5 4 2 4 0 6 3

5 5 5 0 2 3 7 6 6 5 5 4 1 1 0 2 5 9 3 4 9 0 4 127

c 9 9 6 0 2 1 9 8 5 3 2 7 9 8 4 5 6 3 5 5 3 0 1

d

6 4 3 8 9 3 0 4 0 3 9 7 2 2 5 0 3 0 1 4 7 4 2

4 5 0 3 0 2 5 6 1 5 7 3 1 9 0 6 2 6 0 8 2 8 2

7 7 3 7 8 6 9 7 2 4 6 7 4 9 2 1 2 7 9 7 4 9 9

0 5 6 0 8 8 2 0 3 3 4 2 1 4 8 3 1 3 9 4 2 2 1

6.24 6.25 6.26 6.27 6.28 6.29 6.30

3 0 2 0 4 4 5

2 5 3 6 2 1 8

7 1 9 9 6 4 0

2 1 0 2 6 6 6

1 4 8 3 4 2 8

5 6 0 5 2 4 6

7 0 0 8 6 6 5

8 4 4 4 5 2 9

8 9 4 7 8 3 6

9 0 8 0 5 6 4

6 2 4 0 2 4 7

1 0 4 4 3 4 0

7. Даны векторы a = α 1 i + α 2 j + α 3 k , b = β1 i + β 2 j + β 3 k и

c = γ 1 i + γ 2 j + γ 3 k (табл. 7). Вычислить: а) смешанное произведение векторов α a , β b и γ c (табл. 8); б) модуль векторного произведения векторов α a , β b и γ c ; в) скалярное произведение указанных векторов (табл. 8); г) проверить, являются ли коллинеарными или ортогональными указанные векторы (табл. 9); д) являются ли компланарными указанные векторы (табл. 9). Таблица 7

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12

a b c α 1 α 2 α 3 β 1 β 2 β 3 γ1 γ2 γ3 6 8 6 5 8 0 5 9 6 8 5 8 8 3 9 5 9 4 6 6 3 0 3 0 5 6 3 1 0 1 9 4 0 0 0 8 3 0 8 7 2 9 2 2 9 6 4 9 4 5 6 3 1 3 3 2 7 2 0 7 7 9 0 1 6 6 4 9 7 6 8 4 9 9 5 7 6 0 6 5 0 1 7 3 7 3 4 5 3 3 8 5 8 7 6 1 5 2 9 6 9 9 6 6 4 4 7 7 128

7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19 7.20 7.21 7.22 7.23 7.24 7.25 7.26 7.27 7.28 7.29 7.30

6 4 8 4 9 3 5 0 5 1 6 3 0 2 0 4 4 5

9 3 4 0 3 7 8 9 2 8 5 2 5 3 6 2 1 9

7 1 2 4 5 7 3 4 4 4 9 7 1 9 9 6 4 6

1 1 8 7 9 1 5 9 2 2 6 2 1 0 2 6 6 6

1 2 6 7 6 3 6 2 4 8 9 1 4 8 3 4 2 8

1 7 4 8 5 4 2 4 0 6 3 5 6 0 5 2 4 6

1 1 0 2 5 9 3 4 9 0 4 7 0 0 8 6 6 5

9 8 4 5 6 3 5 5 3 0 1 8 4 4 4 5 2 8

2 2 5 0 3 0 1 4 7 4 2 8 9 4 7 8 3 0

7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19 7.20 7.21 7.22 7.23 7.24 7.25 7.26 7.27 7.28 7.29 7.30

-5 3 -2 -2 3 -3 -5 -1 3 0 4 1 -1 -2 -2 0 -2 -5

3 1 -2 -1 -5 -3 -4 0 -5 3 -4 0 -3 -2 2 1 3 4

1 -3 3 -3 -2 -5 4 -3 -4 -1 -2 4 -1 2 0 -3 -4 -5

4 -4 3 3 4 3 1 -1 0 -4 0 3 3 -4 4 -4 -2 -1

3 2 -4 -1 0 1 -5 0 -5 2 -1 0 4 4 1 -1 -5 1

-2 -5 -2 3 0 2 3 2 2 4 -4 -5 -4 -2 0 -3 0 -3

-3 1 -1 -3 -4 3 -4 -2 2 0 -1 -2 4 3 -1 4 4 1

2 -5 1 2 -2 -1 -4 4 -3 -4 1 -2 -4 0 0 3 -1 -1

Таблица 9

Таблица 8

α 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12

-4 -1 0 -5 -2 -5 -3 -3 -3 -3 3 2

а) б) в) β γ α β γ α β γ -3 4 -5 4 4 -3 -1 2 4 0 -1 2 1 -1 -3 -3 1 2 4 0 -2 0 4 2 -1 1 1 -3 3 0 1 -2 -5 2 0 3 0 2 0 -2 -4 -1 -3 3 -2 4 2 -2 -2 1 3 -1 3 -4 3 -5 -4 4 -3 0 2 -1 -4 4 -3 3 4 2 -3 2 3 2 -1 1 -3 0 -1 1 1 -2 -2 -1 -1 -4 0 -1 3 3 -1 3 2 2 0 4 -4 -1 129

-1 2 0 0 -2 -3 -5 -4 -2 -1 3 -5 -4 4 3 -1 -3 0

г) β

α 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12

1 -3 -2 -2 -1 1 3 -3 -4 -2 -5 3

γ -3 -3 0 3 4 3 -1 0 0 0 -5 4

д) β

α -1 -2 0 1 -1 3 1 0 0 0 -4 -4

-5 0 0 1 2 -5 -1 4 -2 -1 0 3 130

γ -5 2 -2 4 2 1 1 4 -4 0 2 -3

-4 0 -4 -5 -3 0 2 3 2 4 1 4

7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19 7.20 7.21 7.22 7.23 7.24 7.25 7.26 7.27 7.28 7.29 7.30

-1 -3 1 1 -4 4 2 -4 4 -2 -5 -4 -3 4 1 -4 0 -1

2 0 -5 -2 1 4 0 3 3 3 4 -4 1 0 -4 -1 3 -1

1 2 0 4 3 3 0 0 4 -2 -5 1 -5 1 -5 0 -4 3

3 -1 2 -5 -3 -3 4 -3 1 -3 3 -4 -1 0 -5 0 0 -4

-2 -3 0 0 0 2 -3 1 3 4 0 -5 -1 2 3 -3 2 -4

-2 1 -1 -2 -3 -2 -4 2 3 0 -3 1 4 -2 -1 1 4 1

8. Вершины пирамиды находятся в точках A, B, C и D. Координаты вершин A, B, C и D приведены в таблице 10. Вычислить: а) площадь указанной грани (табл. 11); б) площадь сечения, проходящего через середину ребра l и указанные вершины (табл. 11); в) объем пирамиды ABCD.

8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 8.16 8.17 8.18 8.19 8.20 8.21 8.22 8.23 8.24 8.25 8.26 8.27 8.28 8.29 8.30

-4 -4 -5 -7 -5 -4 -7 -4 -4 -7 -6 -3 6 0 -7 5 -1 -3 3 -2 4 -2

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8

-3 -6 -4 2 -3 -2 3 -3

-3 3 -3 3 1 2 5 3

7 -6 -7 -6 -5 -5 -6 -6

B 3 -5 0 -6 5 -3 -3 7

3 -6 1 -3 5 4 4 6

-2 -3 -7 6 2 0 -3 6 131

C 0 7 -3 -5 -7 4 -5 -6

-4 -5 4 0 5 7 6 4

-2 -2 4 1 0 3 1 3

D -7 0 3 2 -5 -7 -5 -1

2 5 -3 -7 -2 5 0 -6

-2 5 -2 5 1 1 4 -5 -5 -4 -4 -1 3 3 -4 2 5 -5 -4 -2 4 -7

-5 -3 -4 -4 6 -7 4 -2 -1 5 -2 6 4 1 -5 4 4 -2 7 0 -2 -2

2 -1 3 5 -3 -2 6 -2 6 2 0 1 3 1 3 -3 3 6 5 4 -1 6

-7 -1 -5 1 5 -7 -2 -7 0 -4 4 4 0 7 -5 0 2 -1 6 5 1 -7

-4 0 0 -2 -2 0 4 -2 2 -4 -7 3 1 6 6 -4 3 5 -6 -6 -2 7

-7 3 4 -1 7 5 1 5 3 0 0 -7 -6 4 0 -7 -7 -7 2 -4 -4 5

-7 3 -5 7 -3 1 -7 -2 -1 5 1 -7 5 2 5 -2 3 6 2 -7 4 -5

-5 5 3 -1 -7 2 3 -3 6 5 -6 -3 -5 -4 1 -1 -2 4 3 1 0 -7

Таблица 11

грань

Таблица 10

A 0 5 7 -3 6 6 4 1

0 2 -5 4 3 3 0 6 3 1 -7 -7 7 -2 -1 -4 5 7 -3 -4 1 -1

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9

A A D D D C D C A

D B A C A B A A B

указанные вершины B D C D C B C D A B C B A C B C A B

l B C C A C A C B C

CA AB DA AB CD DA DB DA DC 132

-6 4 -5 0 4 -7 7 -2 -5 2 -2 0 -4 7 -2 3 3 0 -2 -3 -7 -2

-1 0 4 7 -4 5 -5 6 0 1 -2 -3 -3 6 3 1 -2 6 -1 5 -6 6

A D C BD A C 8.10 D B C CB A D 8.11 A B C DB A C 8.12 D A C BA C D 8.13 A B C DB A C 8.14 B C A AB C D 8.15 C B A AD B C 8.16 D A C AB C D 8.17 A D C CD A B 8.18 A C B BA C D 8.19 C A B AD B C 8.20 D A B DC A B 8.21 C B D AD B C 8.22 B A D DA C B 8.23 B D A DC A B 8.24 C D A DC B A 8.25 A C B BD A C 8.26 A D B AD B C 8.27 D A C CD A B 8.28 C B A DB A C 8.29 D A C DC A B 8.30 9. Координаты вершин ΔАВС приведены в таблице 12. Найти: а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты СН; в) уравнение медианы АМ; г) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН; д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; е) расстояние от точки С до прямой АВ; ж) точку D, симметричную точке С относительно прямой АВ; з) уравнение окружности, описанной около ΔАВС.

133

Таблица 12

А 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.14 9.15 9.16 9.17 9.18 9.19 9.20 9.21 9.22 9.23 9.24 9.25 9.26 9.27 9.28 9.29 9.30

0 2 1 2 5 -5 -3 3 -4 4 6 -3 6 -2 -5 1 4 -2 -3 -3 0 -1 7 -7 -7 7 4 4 2 -1

В -4 5 -4 -5 -2 -5 3 -2 5 -3 -4 1 -7 7 4 -1 0 2 -3 -6 7 -3 0 -3 2 5 -5 -4 -1 5

-1 -4 -4 2 -5 3 -5 -3 7 -3 4 0 -5 -7 0 3 2 3 -1 3 -1 4 -5 0 3 2 -7 -7 -5 -3

С 2 -7 6 5 0 -3 0 -5 7 3 7 7 1 7 -4 2 1 -2 3 7 -5 -2 5 3 6 -2 1 3 5 -4 134

-6 2 -4 4 3 1 1 2 2 -2 5 1 -1 -6 -3 3 2 -2 1 -4 0 4 3 -2 0 7 -5 -2 -1 -1

-3 -4 4 -4 6 5 1 -6 5 -3 -1 6 -3 3 1 2 7 6 3 -4 -4 -4 -2 -5 0 4 -6 -1 7 4

Таблица 13 A1

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 10.11 10.12 10.13 10.14

3 -7 -1 -5 4 3 -3 6 6 6 -6 3 0 6

-3 -5 7 6 -1 3 -7 3 2 6 -4 6 7 -2

A3

A2

5 4 5 2 -6 -7 1 -1 -7 -5 6 -2 -2 5

-3 4 3 -4 -2 0 -2 1 3 5 3 5 -5 1

-7 3 2 -5 1 0 7 5 -2 -5 -2 -3 -2 4

4 -1 -7 4 2 1 -7 0 4 4 3 5 3 -5

2 -7 6 -2 7 3 3 -3 4 -1 7 -2 3 -7

135

-2 3 0 1 -7 -4 0 2 1 2 -6 -6 0 -6

A4

-2 -7 3 -7 0 -4 -7 6 7 7 7 -7 -3 5

-2 -4 -7 -5 1 0 0 3 2 -7 -5 -2 2 -5

5 4 -3 -4 -3 -2 4 -6 -4 7 2 5 0 0

-7 7 3 -2 -4 6 1 -7 4 4 -3 6 5 1

10.15 10.16 10.17 10.18 10.19 10.20 10.21 10.22 10.23 10.24 10.25 10.26 10.27 10.28 10.29 10.30

5 -6 -4 1 4 -5 6 -6 4 0 -3 4 -6 2 5 2

5 -4 3 -5 2 -1 -6 7 -4 7 7 7 2 6 -1 1

-1 -4 -2 0 5 7 3 -5 -1 4 2 5 -3 1 -1 -1

-2 5 0 7 -6 -1 -7 4 7 6 0 -4 1 -1 -5 -6

0 -1 2 7 -4 3 2 0 7 7 -1 -5 2 1 1 -5

-1 1 -5 4 7 -7 3 7 -3 5 7 7 -7 -4 -4 -3

0 -5 -1 3 -5 -6 5 -6 6 -1 4 4 -1 6 2 -4

0 -7 1 -5 -1 7 7 -5 -6 -1 -2 -7 7 -4 -6 -6

0 2 1 -1 -4 -3 3 3 3 2 -1 3 -2 -3 1 -1

2 6 -2 -3 -1 -5 4 -3 -4 -3 -4 -2 -2 -5 -6 6

-5 -7 5 -6 1 7 4 1 6 -5 4 2 5 2 7 5

4 -4 -1 -3 4 7 5 -5 1 -7 6 7 5 4 -2 -3

11. Составить канонические уравнения а) эллипса (исходные данные приведены в табл. 14 а) и 14 б)); б) гиперболы (исходные данные приведены в табл. 15); в) параболы (исходные данные приведены в табл. 16). Исходными данными могут быть две точки А(x1; y1) или В(x2; y2), принадлежащие кривой, фокус F, одна из полуосей a или b (действительная или мнимая), эксцентриситет ε, уравнение асимптот гиперболы y=±kx, директриса кривой D. Таблица 14 а)

а)

А х1

11.1 11.2 11.3

5 2 1

В y1 0 13 4

х2 4 -1 0

y2 1 14 5

№ варианта

10. Даны четыре точки A1 , A2 , A3 , A4 в трехмерном пространстве. Их координаты приведены в таблице 13. Составить уравнения: а). плоскости A1 A2 A3 ; б) прямой A1 A2 ; б). прямой A4 M , перпендикулярной к плоскости A1 A2 A3 ; в). прямой A1 N , параллельной прямой A1 A2 ; г). плоскости, проходящей через точку A4 , перпендикулярно к прямой A1 A2 . Найти: д). синус угла между прямой A1 A4 и плоскостью A1 A2 A3 ; е). косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью A1 A2 A3 ; ж). проекцию точки A4 на плоскость A1 A2 A3 ; з). расстояние от точки A4 до плоскости A1 A2 A3 ; и). точку К, симметричную точке A4 относительно плоскости A1 A2 A3 ; к). расстояние от точки A4 до прямой A1 A2 .

11.8 11.9 11.10 136

F х 12 5 -4

b

y 0 0 0

15 13 5

0 0 -2

11.7 7

2

-4 0 1 1

1 1 6 4

11.11 11.12 11.13 11.14

9 -5 12 3

15 13 13 5

0 0 0 0

Таблица 15

А

б)

х1

В y1

х2

y2

Таблица 14 б)

№ варианта 11.15 11.16 11.17 11.18 11.19 11.20 11.21 11.22

A ε 0,8 0,8 0,8 0,6 0,6 0,8 0,8 0,8

х 0 0 0 5 0 10 0 0

y 2 7 -3 3 -6 8 5 8

№ вари анта 11.23 11.24 11.25 11.26 11.27 11.28 11.29 11.30

ε 0,8 0,6 0,6 0,6 0,8 0,8 0,8 0,5

b 18 1 16 9 12 3 9 1

х

b

y

ε

a

11.1

5

5

0

3 11.11

5

0

4 11.21 2,6

2

11.2

5 15

4

9 11.12

10

0

6 11.22 2,6

3

11.3 10

2

-5

-1 11.13

25

0

11.4

4

8

-3

-6 11.14

17

0

8 11.24 2,6

11.5

9

6

1

-4 11.15

5

0

3 11.25 2,6 15

11.6

6

9

2

7 11.16

29

0

20 11.26 2,6

8

11.7

2

4

1

2 11.17

25

0

15 11.27 2,6

5

11.8

5 13

-3

5 11.18

15

0

12 11.28 2,6 12

11.9

5

5

3

0 11.19

17

0

15 11.29 2,6 19

5 10

-2

-4 11.20

20

0

16 11.30 2,6 16

11.11

20 11.23 2,6 13 4

Таблица 16

в)

11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 137

F

№ варианта

5 9 3

№ варианта

11.4 11.5 11.6

Ось симметрии Ox А х y -2 7 6 -5 1 -4 2 -11

7 -8 -6 2 1 5 7 9

№ варианта

D

№ варианта

x

11.11 11.12 11.13 11.14 11.15 11.16 11.17 11.18 138

-1,9 -2,9 3,1 -1,9 1,1 1,1 -0,9 1,1

D y

11.21 11.22 11.23 11.24 11.25 11.26 11.27 11.28

0,1 -2,9 -1,9 -2,9 -1,9 0,1 3,1 0,1

11.9 11.10

-1 -2

11.19 11.20

-10 -5

11.29 11.30

-1,9 -2,9

2,1 1,1

12. Определить вид поверхности, заданной уравнением Ax 2 + By 2 + Cz 2 + 2 Dxy + 2 Exz + 2 Fyz + 2Gx + 2 Hy + 2 Lz + K = 0 , и изобразить ее на рисунке. Коэффициенты A, B, C, D, E, F, G, H, L, K приведены в таблице 17. № варианта

Таблица 17

12.1 а) б) 12.2 а) б) 12.3 а) б) 12.4 а) б) 12.5 а) б) 12.6 а) б) 12.7 а) б) 12.8 а) б) 12.9 а) б) 12.10 а)

A

B

C

D

E

F

G

H

2 3 1 0 7 1 1 8 2 6 5 6 1 4 7 2 1 0 5

3 5 6 2 7 8 7 0 6 5 8 3 1 0 3 1 0 3 4

3 1 8 7 6 6 2 7 1 3 7 7 2 8 3 7 1 6 4

0 7 5 2 4 3 1 1 3 5 7 1 7 2 7 3 4 8 8

1 6 1 1 8 0 6 5 2 1 5 4 3 8 8 3 3 4 7

0 0 7 6 4 0 2 5 8 6 1 2 8 0 0 3 0 1 6

3 3 6 6 1 8 3 8 5 1 8 4 0 4 6 4 1 2 7

6 1 1 1 8 3 5 3 1 5 5 1 0 7 3 3 2 4 4

139

L 7 0 1 5 4 6 1 5 7 8 0 3 0 5 5 0 3 7 1

K 4 6 3 8 0 2 7 1 3 4 6 8 4 7 3 4 0 6 8

б) 12.11 а) б) 12.12 а) б) 12.13 а) б) 12.14 а) б) 12.15 а) б) 12.16 а) б) 12.17 а) б) 12.18 а) б) 12.19 а) б) 12.20 а) б) 12.21 а) б) 12.22 а) б) 12.23 а) б) 12.24 а) б) 12.25 а)

0 0 1 0 3 2 7 1 7 8 6 1 7 7 8 5 6 6 3 8 4 7 7 7 6 2 8 2 4 3

3 6 0 6 4 1 3 3 0 2 5 8 8 3 7 1 3 8 6 1 5 2 0 3 3 2 8 1 8 5

6 0 7 7 0 4 6 6 8 1 1 2 2 8 2 3 6 8 6 7 2 2 8 1 8 7 6 8 6 4

6 5 4 8 0 1 1 1 2 4 0 1 1 7 6 5 7 2 8 3 0 6 5 0 7 4 8 3 2 8 140

7 2 6 6 2 5 6 4 4 7 4 6 6 5 1 0 0 1 4 0 5 4 0 7 6 0 8 0 2 3

3 7 1 6 1 5 5 4 4 3 3 4 6 0 3 4 4 7 5 3 8 8 2 1 8 4 8 3 5 2

7 4 1 5 0 2 4 1 3 6 5 4 6 4 5 0 5 2 0 3 0 7 1 4 6 8 3 3 4 0

2 8 7 6 6 1 5 3 1 1 6 3 3 6 2 8 1 4 6 1 0 6 5 5 5 4 2 5 4 4

2 4 4 6 2 1 5 2 7 1 8 2 8 4 5 2 7 7 2 4 1 5 0 3 0 6 6 2 1 5

6 8 7 5 7 0 0 1 1 0 3 7 6 2 6 7 7 6 6 7 6 7 6 8 7 3 8 3 6 4

12.26 12.27 12.28 12.29 12.30

б) а) б) а) б) а) б) а) б) а)

8 1 5 6 2 6 8 8 3 2

2 6 1 6 1 2 8 0 1 2

2 3 1 6 0 0 5 8 7 1

4 2 6 6 6 5 3 7 6 0

4 1 2 3 0 1 4 3 0 8

5 6 0 2 3 5 4 8 6 7

8 7 7 8 2 5 6 5 0 2

5 8 6 5 0 8 8 1 6 0

7 4 8 2 5 6 6 6 3 4

1 5 8 4 3 8 4 5 2 8

Экзаменационная программа по линейной алгебре 1. Матрицы и линейные операции над ними. Умножение матрицы на вектор. Преобразования матриц. 2. Определители квадратных матриц и их свойства. Методы вычисления определителей. 3. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа и теорема аннулирования. 4. Обратная матрица, ее существование, построение и свойства. 5. Системы линейных алгебраических уравнений. Системы с невырожденной квадратной матрицей и способы их решения (метод Крамера, матричный метод). 6. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. 7. Ранг матрицы и его вычисление. Теорема о базисном миноре. 8. Совместность линейных систем. Теорема КронекераКапелли.

141

9. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Ненулевое решение однородной системы. Фундаментальная система решений однородной системы и ее нахождение. 10. Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. 11. Контрольная работа.

Экзаменационная программа по основам аналитической геометрии 1. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось и ее свойства. n-мерное векторное пространство. 2. Скалярное произведение векторов, его физический смысл и свойства. Координатная форма скалярного произведения. Условие перпендикулярности двух векторов. 3. Векторное произведение векторов, его геометрический и физический смысл. Свойства векторного произведения. Координатная форма векторного произведения. Условие коллинеарности двух векторов. 4. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Координатная форма смешанного произведения. Условие компланарности трех векторов. 5. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Примеры. Базис системы векторов и n-мерного векторного пространства. Координаты вектора в базисе. 6. Прямая на плоскости. Различные виды уравнения прямой (с угловым коэффициентом, по точке и угловому коэффициенту, через две точки, общее, каноническое, параметрическое). 7. Нормальное уравнение прямой на плоскости. 8. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми. 9. Эллипс. Каноническое уравнение, исследование формы, параметры эллипса, директрисы эллипса. 142

10. Гипербола. Каноническое уравнение, исследование формы и расположение ветвей относительно осей координат, параметры гиперболы, директриса и асимптоты гиперболы. 11. Парабола. Каноническое уравнение, исследование формы, параметр параболы, директриса параболы. Различное расположение параболы относительно системы координат. 12. Различные виды уравнения плоскости в пространстве (общее, через три точки, через точку по известному нормальному вектору, через точку параллельно двум векторам). 13. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. 14. Прямая в пространстве. Каноническое, параметрическое, общее уравнение прямой в пространстве. 15. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, двух плоскостей, прямой и плоскости. Угол между двумя плоскостями, двумя прямыми, прямой и плоскостью. 16. Поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды, конус, цилиндры. Исследование формы методом сечений.

зуется табличная формула, причем предварительно диапазонам B1:E5 и G1:J5 присвоены имена А и В соответственно.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Формулы для выполнения матричных операций с использованием электронных таблиц Microsoft Excel Сумму двух матриц А и В можно найти с использованием табличной формулы {=B1:F5+G1:J5} (1 вариант) либо копированием содержимого ячейки G7, содержащей сумму B1+G1, на остальной диапазон размещения суммы (2 вариант) (заданные матрицы А и В располагаются в диапазонах B1:E5 и G1:J5 соответственно на рис. 19). В третьем варианте исполь143

Рисунок 19

Определитель квадратной матрицы А, можно найти с использованием функции МОПРЕД (на рис. 20 матрица А располагается в диапазоне А1:Н8). На рис. 21 показано окно диалога функции МОПРЕД.

144

Рисунок 20

Рисунок 22

Рисунок 21

Обратную матрицу для невырожденной матрицы можно найти с использованием табличной функции МОБР (на рис. 22 матрица А расположена в диапазоне А1:J10). На рис. 23 показано окно диалога функции МОБР. Рисунок 23

Произведение двух матриц А и В можно найти, используя табличную функцию МУМНОЖ (на рис.24 матрицы А 145

146

и В располагаются в диапазонах А1:H6 и A9:F16 соответственно): На рис. 25 показано окно диалога функции МУМНОЖ.

Рисунок 25

Чтобы решить матричное уравнение АХ=В, можно воспользоваться табличной формулой {=МУМНОЖ(МОБР(A1:H8);J1:J8)} (на рис. 26 матрица А расположена в диапазоне A1:H8, а матрица В – в диапазоне J1:J8). Результат расположен в диапазоне А10:А17. Для контроля выполнено умножение матрицы А на матрицу Х. Результат расположен в диапазоне J10:J17 и он совпадает с матрицей В.

Рисунок 24

147

148

3. точку О, называемую «началом» или полюсом системы координат; 4. полупрямую Ор, исходящую из точки О (рис. 27) (эта полупрямая называется полярной осью). Положительное направление на полупрямой задается вектором OE (где Е - любая ее точка, отличная от точки О).

Рисунок 27

Рисунок 26

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Построение графиков функций на плоскости с использованием электронных таблиц Microsoft Excel Для построения кривой иногда удобно воспользоваться представлением точки на плоскости либо в полярной системе координат, либо с использованием параметра. Рассмотрим полярную систему координат. Для ее определения надо задать на плоскости: 1. масштаб (т.е. единицу измерения длины); 2. направление вращения в плоскости. Примем его положительным, если оно направлено против часовой стрелки; 149

Рисунок 28

Рисунок 29

Если таким образом выбрана полярная система координат, то для каждой точки М плоскости (рис. 28) определены ее полярные координаты, а именно: 1) угол наклона φ вектора OM к полярной оси; 2) расстояние ρ точки М от начала О (т.е. длина вектора OM ). Угол φ называется полярным углом точки М или первой полярной координатой этой точки (0≤ φ≤2π). Число ρ называется полярным радиусом или второй полярной координатой точки М. Полярный радиус любой точки М, отличной от О, положителен; для точки О он равен нулю. Декартову систему координат Оху выберем так, чтобы начало координат О совпало с полюсом О, а ось абсцисс совместим с полярной осью. Ось ординат определяем как ось, в которую перейдет полярная ось при повороте ее вокруг полюса О на угол φ в положительном направлении. Тогда из прямоугольного треугольника ОАМ получаем формулы, связываю-

150

щие

полярные

и

декартовы

⎧ x = ρ cos(ϕ ); координаты: ⎨ ⎩ y = ρ sin(ϕ )

(рис. 29). При использовании параметрического представления кривой используют систему вида ⎧ x = x(t ); ⎨ ⎩ y = y (t ). где t пробегает некоторый диапазон значений. Для изображения кривых на плоскости выполняем последовательность действий: а). подготовим диапазон изменения угла φ (переменной t); б). рассчитаем значения функции на данном диапазоне в полярных координатах ρ=ρ(φ) (в случае использования полярной системы координат); в). рассчитаем значения х и y в декартовой системе координат: x = ρ cos(ϕ ), y = ρ sin(ϕ ) (в случае использования полярной ⎧ x = x(t ); системе координат) или ⎨ при использовании пара⎩ y = y (t ) метрического представления; г). выделим диапазон области определения и области значений функции и воспользуемся Мастером построения диаграмм. В качестве типа диаграммы удобно выбрать тип Точечная (рис.30).

Рисунок 31

Рисунок 30

Приведем примеры построения некоторых кривых. Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид ρ=acos(φ). Пусть для примера a=3, b=5. На рис. 31 приведен фрагмент таблицы, по столбцам x и y которой построена точечная диаграмма, приведенная на рис. 32.

Рисунок 32

151

152

В таблице 18 приведены некоторые кривые, простроенные аналогичным путем с использованием полярной системы координат либо с использованием параметрического представления кривой.

Улитка Паскаля ρ=1+2cos(φ)

2 1,5 1 0,5

Таблица 18

Название и уравнение кривой Четырехлепестковая роза ρ=sin(2φ)

0

Вид кривой

-0,5

1

-1

0,8

-1,5

0,6

Кардиоида ρ=1+cos(φ)

0,2 0 -0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-2

0,4

-1

0 -0,5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,5

1

1

-0,2 0,5

-0,4 -0,6

0 -0,5

-0,8

Семилепестковая роза ρ=sin(7φ)

-1

-0,5

1

-1

0 -1

-0,5

0,5

1

1,5

2

2,5

-1,5

0,5

-1,5

0

0

0,5

1

1,5

Спираль Архимеда ρ=φ/4

4 3 2

-0,5 1

-1

0 -5

-4

-3

-2

-1

0 -1

-1,5 -2 -3 -4

153

154

1

2

3

4

Двухлепестковая роза ρ=1+sin(2φ)

Парабола

2

⎧x = 2 ⋅ p ⋅ t 2 ; ⎨ ⎩y = 2⋅ p ⋅t −∞
1,5 1 0,5 0 -2

-1,5

-1

5

-0,5

0

0,5

1

1,5

4 3 2 1 0

2

0

-0,5

2

4

6

8

10

-1

-1

Петельное сцепление ρ=1+2cos(2φ)

-2

-1,5

-3

-2

-4 -5

1,5

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Построение поверхностей с использованием электронных таблиц Microsoft Excel

1

0,5

0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-0,5

-1

-1,5

Гипербола

⎧ x = ε ⋅ a ⋅ ch(t ); ⎨ ⎩ y = b ⋅ sh(t ) ε = ±1, −∞
4

3

2

1

0 -4

-2

0 -1

-2

-3

-4

155

2

4

Мастер диаграмм позволяет строить следующие подтипы поверхностных диаграмм: 1. трехмерные стандартные; 2. трехмерные проволочные; 3. контурные; 4. контурные проволочные. Первый подтип отображает изменение значения по двум измерениям в виде поверхности. Второй подтип строит прозрачную поверхность, заполненную сеткой, отображающей линии одинаковых значений. Третий подтип дает вид сверху стандартной диаграммы. Четвертый подтип дает вид сверху проволочной диаграммы. Для построения диаграммы следует установить интервалы изменения переменных x и y. Так, например, для построения поверхности z = cos x 2 + y 2 будем рассматривать для переменных x и y интервалы от –1,5 до 1,5 включительно с шагом 0,2. Заполним ячейки В1:Q1 и А2:А17 значениями от – 1,5 до 1,5 с шагом 0,2 (оси OY и ОХ соответственно). Можно

(

)

156

присвоить этим диапазонам имена X и Y соответственно. В диапазон В2:Q17 поместим формулу {=COS(X*X+Y*Y)}. Используя мастер диаграмм, получаем поверхность, изображенную на рис. 33. 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00

Рисунок 34

-0,20 -0,40 -0,60 0,90

-0,80

-0,30 1,30

0,90

0,50

0,10

-0,30

-0,70

-1,10

-1,50

-1,00

-1,50

Рисунок 33

Аналогичным путем получены эллиптический параболоид (рис. 34), гиперболический параболоид (рис. 35).

Рисунок 35

Для получения изображения однополостного гипербоx2 y 2 z 2 лоида преобразуем выражение 2 + 2 − 2 = 1 к виду a b c 157

158

x2 y2 x2 y2 + − 1 . Построим поверхность z = c + −1 a 2 b2 a 2 b2 (рис. 36). Сделаем прозрачными боковые стенки диаграммы и удалим линии сетки. z = ±c

Рисунок 36

Вторую часть поверхности построим копированием диаграммы, полученной на рис. 36, изменив формулу на

Рисунок 38

Рисунок 39

Рисунок 40

Рисунок 41

x2 y2 + − 1 (рис. 37). Затем накладываем диаграммы и a2 b2 получаем изображение, приведенное на рис. 38. Изображения однополостного гиперболоида (рис. 39), эллипсоида (рис. 40) и конуса (рис. 41) получены аналогично. z = −c

Рисунок 37

159

160

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1.

Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. ― М.: Наука,1985. ―623 с. 2. Ивашев-Мусатов О.С. Начала математического анализа. ― М.: Наука, 1981. ―158 с. 3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. ― М.: Наука, 1975. ―272 с. 4. Шипачёв В.С. Высшая математика.М.:Высшая школа, 1985. ―471 с. 5. Лобоцкая Н.А., Морозов Ю.В., Дунаев А.А. Высшая математика. ― Мн.: Вышэйшая школа, 1987. ―319 с. 6. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. ―М.: Наука, 1987. ―352 с. 7. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике: В 2-ч. Ч.1. ―Мн.:Выш. шк., 1988. ―247 с. 8. Минюк С.А, Ровба Е.А. Высшая математика: Учебное пособие для студентов экономических спец. вузов / Мин-во образования РБ; Гродненский ун-т им. Я.Купалы. ― Гродно:ГрГУ, 1999. ― 393c. 9. Высшая математика. Задания и методические указания по одноименному курсу для студентов 1 курса специальности Н0401 ― «Биология» / Сост. В.К.Пчельник, Т.Э.Можджер. ―Гродно: ГрГУ, 1997. ― 64 с. 10. Методические рекомендации по курсу «Автоматизация офисной деятельности» / Сост. И.Н.Ревчук, В.К.Пчельник. ― Гродно: ГрГУ, 2001. ―60 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. 1.1. 1.2. 2.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ…………………………….. Примеры решения типовых задач…………………………….. Задачи для самостоятельного решения………………………. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ……………………………………………………… 2.1. Примеры решения типовых задач…………………………….. 2.2. Задачи для самостоятельного решения………………………. 3. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ…………………………………………………….. 3.1. Примеры решения типовых задач……………………………..

161

3 8 15 19 23 29 32 34

3.2. 4. 4.1. 4.2. 5. 5.1. 5.2. 6. 6.1. 6.2. 7. 7.1. 7.2. 8. 8.1. 8.2. 9. 9.1. 9.2. 10. 10.1 10.2

Задачи для самостоятельного решения………………………. ОСЬ И ОТРЕЗОК ОСИ. КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ…… Примеры решения типовых задач…………………………….. Задачи для самостоятельного решения………………………. ДЕКАРТОВЫ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ………………………………………………….. Примеры решения типовых задач…………………………….. Задачи для самостоятельного решения………………………. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ………………………... Примеры решения типовых задач…………………………….. Задачи для самостоятельного решения………………………. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ. ОКРУЖНОСТЬ. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА…… Примеры решения типовых задач…………………………….. Задачи для самостоятельного решения………………………. ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Примеры решения типовых задач…………………………….. Задачи для самостоятельного решения………………………. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Примеры решения типовых задач…………………………….. Задачи для самостоятельного решения………………………. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА…………………….. Примеры решения типовых задач…………………………….. Задачи для самостоятельного решения………………………. ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1……………….. Экзаменационная программа по линейной алгебре…………. Экзаменационная программа по основам аналитической геометрии……………………………………………………….. ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Формулы для выполнения матричных операций с использованием электронных таблиц Microsoft Excel…………………………………………………………… … ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Построение графиков функций на плоскости с использованием электронных таблиц Microsoft Excel…………………………………………………………… … ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Построение поверхностей с использованием электронных таблиц Microsoft Excel………..

162

35 35 37 38 41 42 45 47 49 53 55 62 71 75 83 90 93 98 103 107 112 114 115 142 143

144

150 157

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА…………………

162

Учебное издание

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Методические рекомендации

Составители: Пчельник Владимир Константинович Сетько Елена Александровна Ревчук Ирина Николаевна Редактор Компьютерная верстка: И.Н.Ревчук Сдано в набор Подписано в печать . Формат 60х84/16. Бумага офсетная №1. Печать офсетная. Гарнитура Таймс. Усл.печ.л.. Уч.-изд.л.. Тираж 100 экз. Заказ . Учреждение образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы». ЛВ №96 от 02.12.97. Ул. Пушкина, 39, 230012, Гродно. Отпечатано на технике издательского отдела Учреждения образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы». ЛП №111 от 29.12.97. Ул. Пушкина, 39, 230012, Гродно.

163

164