Методические указания и контрольные задания по высшей математике

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т М а те ма ти че ски й фа культе т К а фе др а те о р и и функци й и ге о ме тр и и М е то ди че ски е ука за ни я и ко нтр о льные за да ни я по высше й ма те ма ти ке Д ля студе нто в 1 кур са за о чно го о тде ле ни я фа культе та ге о гр а фи и и ге о эко ло ги и

Со ста ви те ль Уксусо в С.Н.

В о р о не ж 2002

В В ЕД ЕН И Е Д а нные ме то ди че ски е ука за ни я пр е дна зна че ны для студе нто в пе р во го кур са за о чно го о тде ле ни я фа культе та ге о гр а фи и и ге о эко ло ги и . М е то ди че ски е ука за ни я со сто ят и з двух ча сте й. В пе р во й ча сти пр и ве де ны пр о гр а мма кур са высше й ма те ма ти ки , р а ссчи та нна я на два се ме стр а и р е ше ни я ти пи чных за да ч. К р о ме то го , в пе р во й ча сти и ме ются та б ли цы пр о и зво дных и и нте гр а ло в, а та кж е о сно вные пр а ви ла ди ффе р е нци р о ва ни я и и нте гр и р о ва ни я. В о вто р о й ча сти пр и ве де ны де сять ва р и а нто в ко нтр о льно й р а б о ты. В пе р во м се ме стр е студе нты сда ют за че т по высше й ма те ма ти ке . Д ля успе шно й сда чи за че та не о б хо ди мо и зучи ть со о тве тствующи е во пр о сы пр о гр а ммы кур са высше й ма те ма ти ки и на учи ться р е ша ть пр о сте йши е за да чи по да нным те ма м. В ка че стве на и б о ле е ти пи чных за да ч, пр е дла га е мых на за че те , мо гут выступа ть пр и ме р ы № № 1 – 11 ме то ди че ски х ука за ни й. В о вто р о м се ме стр е студе нты-за о чни ки за щи ща ют ко нтр о льную р а б о ту и сда ют экза ме н. Но ме р ва р и а нта ко нтр о льно й р а б о ты студе нта о пр е де ляе тся по по сле дне й ци фр е но ме р а е го за че тно й кни ж ки . И з ка ж до го за да ни я студе нт р е ша е т за да чу, но ме р ко то р о й со впа да е т с но ме р о м е го ва р и а нта (все го 10 за да ни й). Ре ше нную ко нтр о льную р а б о ту студе нты о б яза ны пр и сла ть ( пе р е да ть ) на пр о ве р ку ме то ди сту за о чно го о тде ле ни я не по здне е 30 а пр е ля те куще го го да . За щи та ко нтр о льных р а б о т и сда ча экза ме на пр о хо дят во вр е мя ле тне й экза ме на ци о нно й се сси и . Э кза ме на ци о нные во пр о сы пр и во дятся во вто р о й ча сти пр о гр а ммы кур са высше й ма те ма ти ки . Э кза ме на ци о нный б и ле т со сто и т и з двух во пр о со в пр о гр а ммы и за да чи . В ка че стве на и б о ле е ти пи чных за да ч, пр е дла га е мых на экза ме не , мо гут выступа ть пр и ме р ы № № 12– 17 ме то ди че ски х ука за ни й.

Ч А С ТЬ I П Р О Г Р А М А

К У Р С А

В Ы С Ш Е Й М А ТЕ М А ТИ К И :

П ЕР В Ы Й

С ЕМ ЕС Т Р

О пр е де ли те ли 2-го , 3-го и n-го по р ядка . Спо со б ы и х вычи сле ни й. Ре ше ни е си сте м ли не йных ур а вне ни й ме то до м К р а ме р а . М е то д Г а усса р е ше ни я си сте м ли не йных ур а вне ни й. Ре ше ни е си сте м ли не йных ур а вне ни й с по мо щью о б р а тно й ма тр и цы. Д е ка р то ва и по ляр на я си сте мы ко о р ди на т на пло ско сти . Д е ка р то ва си сте ма ко о р ди на т в пр о стр а нстве . 6. В е кто р ы на пло ско сти и в пр о стр а нстве . К о о р ди на ты ве кто р о в. 7. П р о сте йши е о пе р а ци и на д ве кто р а ми : умно ж е ни е ве кто р а на чи сло , сло ж е ни е и вычи та ни е ве кто р о в. 8. Ска ляр но е пр о и зве де ни е ве кто р о в и е го пр и ло ж е ни я. П р о е кци я ве кто р а на ве кто р . 9. В е кто р но е пр о и зве де ни е ве кто р о в и е го пр и ло ж е ни я. 10.Сме ша нно е пр о и зве де ни е ве кто р о в и е го пр и ло ж е ни я.

1. 2. 3. 4. 5.

2

11.Ур а вне ни е ли ни и на пло ско сти . А лге б р а и че ски е ли ни и . 12.П р яма я ли ни я на пло ско сти . Ра зли чные ви ды ур а вне ни я пр ямо й ли ни и . 13.Уго л ме ж ду двумя пр ямыми . Ра ссто яни е о т то чки до пр ямо й. 14.К р и вые вто р о го по р ядка : о кр уж но сть, элли пс, ги пе р б о ла , па р а б о ла . 15.П р е де л чи сло во й по сле до ва те льно сти и функци и .  ∞  0 16.Ра скр ыти е не о пр е де ле нно сте й ви да   ,   , (0 ⋅ ∞ ) и (∞ - ∞ ).  ∞  0 17.П е р вый и вто р о й за ме ча те льные пр е де лы и сле дстви я и з ни х. 18.П р о и зво дна я функци и . Т а б ли ца пр о и зво дных и пр а ви ла ди ффе р е нци р о ва ни я. 19.П р о и зво дна я о б р а тно й, не явно й функци и и функци и , за да нно й па р а ме тр и че ски . 20.Л о га р и фми че ско е ди ффе р е нци р о ва ни е . 21.Д и ффе р е нци а л функци и и е го пр и ме не ни е к пр и б ли ж е нным вычи сле ни ям. 22.П р а ви ло Л о пи та ля вычи сле ни я пр е де ло в. Ра скр ыти е не о пр е де ле нно сте й ви да 00 , ∞ 0 и 1∞ .

( ) ( ) ( )

23.Ф о р мулы Т е йло р а и М а кло р е на .

В ТО РО Й

С ЕМ ЕС Т Р

1. П о няти е мо но то нно сти функци и . Д о ста то чные усло ви я во зр а ста ни я и уб ыва ни я функци и . 2. П о няти е экстр е мума функци и . Не о б хо ди мо е усло ви е экстр е мума . 3. Д о ста то чные усло ви я экстр е мума . 4. В ыпукло сть, во гнуто сть гр а фи ка функци и . Т о чки пе р е ги б а . 5. Д о ста то чные усло ви я выпукло сти , во гнуто сти . Не о б хо ди мо е и до ста то чно е усло ви я пе р е ги б а . 6. А си мпто ты пло ско й кр и во й. На хо ж де ни е ве р ти ка льных, го р и зо нта льных и на кло нных а си мпто т. 7. П о лно е и ссле до ва ни е функци и и по стр о е ни е е е гр а фи ка . 8. П е р во о б р а зна я функци и . Т е о р е ма о б о б ще м ви де все х пе р во о б р а зных. П о няти е не о пр е де ле нно го и нте гр а ла . 9. Сво йства не о пр е де ле нно го и нте гр а ла . “ Не б е р ущи е ся” и нте гр а лы. 10.Т а б ли ца и нте гр а ло в. 11.П р о сте йши е пр и е мы и нте гр и р о ва ни я. П о две де ни е мно ж и те ля по д зна к ди ффе р е нци а ла . 12.За ме на пе р е ме нно й в не о пр е де ле нно м и нте гр а ле . 13.И нте гр и р о ва ни е по ча стям в не о пр е де ле нно м и нте гр а ле . 14.И нте гр и р о ва ни е выр а ж е ни й, со де р ж а щи х ква др а тный тр е хчле н в зна ме на те ле . 15.И нте гр и р о ва ни е тр и го но ме тр и че ски х функци й. 16.За да ча о пло ща ди кр и во ли не йно й тр а пе ци и . 17.О пр е де ле ни е о пр е де ле нно го и нте гр а ла . 18.О сно вные сво йства о пр е де ле нно го и нте гр а ла . 19.Ф о р мула Ньюто на -Л е йб ни ца . 20.За ме на пе р е ме нно й в о пр е де ле нно м и нте гр а ле . 3

21.И нте гр и р о ва ни е по ча стям в о пр е де ле нно м и нте гр а ле . 22.В ычи сле ни е пло ща де й с по мо щью о пр е де ле нно го и нте гр а ла . 23.В ычи сле ни е дли ны дуги пло ско й кр и во й. 24.В ычи сле ни е о б ъ е ма те ла с и зве стным по пе р е чным се че ни е м. 25.О б ъ е м те ла вр а ще ни я. 26.Не со б стве нные и нте гр а лы пе р во го р о да . 27.Не со б стве нные и нте гр а лы вто р о го р о да . 28.О пр е де ле ни е функци и не ско льки х пе р е ме нных, е е ге о ме тр и че ски й смысл. 29.О б ла сть о пр е де ле ни я функци и не ско льки х пе р е ме нных. 30.Л и ни и ур о вня функци и двух пе р е ме нных, и х ге о ме тр и че ски й смысл. 31.Ча стные пр о и зво дные пе р во го по р ядка . 32.П р о и зво дна я по на пр а вле ни ю и гр а ди е нт функци и не ско льки х пе р е ме нных, и х ге о ме тр и че ски й смысл. 33.Д и ффе р е нци а л функци и не ско льки х пе р е ме нных и е го пр и ме не ни е к пр и б ли ж е нным вычи сле ни ям. 34.Ча стные пр о и зво дные высши х по р ядко в. 35.Э кстр е мум функци и не ско льки х пе р е ме нных. Не о б хо ди мо е усло ви е экстр е мума . 36.Д о ста то чно е усло ви е экстр е мума функци и двух пе р е ме нных. 37.Д и ффе р е нци а льные ур а вне ни я. О пр е де ле ни е по р ядка ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я, р е ше ни я, о б ще го р е ше ни я и ча стно го р е ше ни я. 38.За да ча К о ши . 39.Д и ффе р е нци а льные ур а вне ни я пе р во го по р ядка . Ур а вне ни я с р а зде ляющи ми ся пе р е ме нными . 40.О дно р о дные ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я пе р во го по р ядка . 41.Л и не йные ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я пе р во го по р ядка . 42.Л и не йные ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я вто р о го по р ядка с по сто янными ко эффи ци е нта ми .

Р е ш е ние типичных зад ач, пре д лагающихся в пе рвом се ме стре П р и ме р 1. Ре ши ть си сте му ли не йных ур а вне ни й: 1) ме то до м К р а ме р а ; 2) ме то до м Г а усса ; 3) с по мо щью о б р а тно й ма тр и цы.  5 x − y + 2 z = −2,  2 x + 3 y − 4 z = 19,   x + 2 y + 3z = 1.

Ре ше ни е . 1) М е то д К р а ме р а . В ычи сли м гла вный о пр е де ли те ль си сте мы:

5 −1 2 ∆ = 2 3 − 4 = 5 ⋅ 3 ⋅ 3 + (− 1) ⋅ (− 4 ) ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 − 1 ⋅ 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ (− 1) ⋅ 3 − 2 ⋅ (− 4 ) ⋅ 5 = 1 2 3 = 45 + 4 + 8 − 6 + 6 + 40 = 97. 4

Т а к ка к ∆≠0, то си сте ма и ме е т е ди нстве нно е р е ше ни е , ко то р о е мо ж но на йти по фо р мула м К р а ме р а : ∆x ∆y ∆z x= , y= , z= , ∆ ∆ ∆ где ∆x, ∆y, ∆z по луча ются и з о пр е де ли те ля ∆ путе м за ме ны 1-го , 2-го и ли 3-го сто лб ца , со о тве тстве нно , на сто лб е ц сво б о дных чле но в.

− 2 −1 2 5 −2 2 5 −1 − 2 ∆x = 19 3 − 4 = 97, ∆y = 2 19 − 4 = 291, ∆z = 2 3 19 = −194. 1

2

3

Т а ки м о б р а зо м, x =

1 97 = 1, 97

1 3 293 y= = 3, 97

1 z=

2

1

− 194 = −2. 97

2) М е то д Г а усса . За пи ше м си сте му в ма тр и чно й фо р ме , пе р е ста ви в ме ста ми 1 2 3 1    1-е и 3-е ур а вне ни я:  2 3 − 4 19 .  5 1 2 −2    В ычте м и з вто р о го ур а вне ни я пе р во е ур а вне ни е , умно ж е нно е на 2. И з тр е тье го ур а вне ни я вычте м пе р во е ур а вне ни е , умно ж е нно е на 5. 1 2 3 1    П о лучи м:  0 − 1 − 10 17 . В ычте м и з тр е тье го ур а вне ни я вто р о е , умно  0 0 − 13 − 7    1  1 2 3   ж е нно е на 11:  0 − 1 − 10 17 .  0 0 97 − 194     x + 2 y + 3z = 1,  М ы по лучи ли си сте му:  y + 10 z = −17,  97 z = −194.  И з по сле дне го ур а вне ни я на хо ди м z = -194 / 97= -2. П о дста ви м z во вто р о е ур а вне ни е и на йде м y = -17 + 20 = 3. П о дста ви в y и z в пе р во е ур а вне ни е , на йде м x = 1 – 6 + 6 = 1. 3) Ре ши м си сте му с по мо щью о б р а тно й ма тр и цы. Д ля это го за пи ше м е е в ма тр и чно м ви де : A ⋅ x = b , 2   5 −1  x     где A =  2 3 − 4  - гла вна я ма тр и ца си сте мы, x =  y  - сто лб е ц не и зве ст  1 



2 3  − 2    ных и b =  19  - сто лб е ц сво б о дных чле но в.    1   

5

   z  

5 −1 2 Т а к ка к гла вный о пр е де ли те ль си сте мы ∆ = 2 3 − 4 = 97 ≠ 0 , то о с1 2 3 -1 но вна я ма тр и ца си сте мы А и ме е то б р а тную ма тр и цу А . Д ля на хо ж де ни я о б р а тно й ма тр и цы А -1, вычи сли м а лге б р а и че ски е до по лне ни я ко все м эле ме нта м ма тр и цы А , пр и че м а лге б р а и че ски е до по лне ни я к стр о ка м ма тр и цы А за пи ше м в со о тве тствующи е сто лб цы: 3 −4 −1 − 4 −1 2 A11 = A21 = − A31 = = −2, = 17, = 7, 3 −4 2 3 2 3 5 2 5 2 2 −4 A12 = − = −10, A22 = = 13, A32 = − = 24, 2 −4 1 3 1 3

5 −1 2 3 A13 = = 1, A23 = − = −11, A33 = 1 2 1 2 И з по луче нных чи се л со ста ви м ма тр и цу и р а зде ли м е е Т а ки м о б р а зо м, мы на шли о б р а тную ма тр и цу: 7 2  17 −  97 97 − 2   97 7  17   10 1  13 24 − 1 A = ⋅  − 10 13 24  = − 97  97 97   97 − 1 11 17 1 11 17   −  97 97  97 Ре ше ни е си сте мы на хо ди м по фо р муле : x = A−1 ⋅ b

5 −1 = 17. 2 3 на о пр е де ли те ль ∆.    .    

7 − 2  − 2   x  17  − 34 + 133 − 2   97   1    1     1   1     13 24  ⋅  19  = ⋅  20 + 247 + 24  = ⋅  291 =  3  . ⋅  − 10  y = 97   z  97  1  97 194   2  − 11 17   1      − 2 − 209 + 17       x = 1,  О тве т:  y = 3,   z = −2. П р и ме р 2. Д а на пи р а ми да ABCD: A( 2; 4;-1 ), B( 3; 2; 0 ), C( 1;-3; 2 ), D( 5;-1; 3 ). На йти : 1) уго л BCD; 2) пло ща дь гр а ни ABC; 3) о б ъ е м пи р а ми ды. Ре ше ни е . 1) На йде м ко о р ди на ты ве кто р о в CB и CD , о б р а зующи х уго л BCD : a = CB = ( 3 − 1; 2 − (− 3); 0 − 2 ) = ( 2; 5 − 2 ), b = CD = ( 5 − 1; − 1 − (− 3); 3 − 2 ) = ( 4; 2; 1 ). Уго л BCD на йде м по фо р муле : cosϕ = де ни е ве кто р о в a и b . Т а ки м о б р а зо м,

6

a ⋅b , где a ⋅ b -ска ляр но е пр о и зве a ⋅ b

2 ⋅ 4 + 5 ⋅ 2 + (− 2 ) ⋅ 1 8 + 10 − 2 ≈ 0,65. = 2 2 2 2 2 2 + + ⋅ + + 4 25 4 16 4 1 2 + 5 + (− 2 ) ⋅ 4 + 2 + 1 Сле до ва те льно , ∠BCD = arccos 0,65. 1 S ∆ABC = ⋅ AB × BC , П ло ща дь гр а ни ABC на хо ди м по фо р муле 2 где AB × BC - ве кто р но е пр о и зве де ни е ве кто р о в AB и BC . AB = ( 3 − 2; 2 − 4; 0 − (− 1 )) = ( 1; − 2; 1 ). cos ∠BCD =

BC = ( 1 − 3; − 3 − 2; 2 − 0 ) = (− 2; − 5; 2 ).

i j k 1 1 1 −2 −2 1 AB × BC = 1 − 2 1 = i ⋅ = i − 4 j − 9k . − j⋅ +k⋅ −2 −5 −5 2 −2 2 −2 −5 2

( )

1 1 Сле до ва те льно , S ∆ABC = ⋅ 12 + ( −4) 2 + ( −9) 2 = ⋅ 1 + 16 + 81 ≈ 4,95 е д 2 . 2 2 1 О б ъ е м пи р а ми ды на хо ди м по фо р муле : V = ⋅ AB ⋅ AC ⋅ AD , где 6 AB ⋅ AC ⋅ AD -сме ша нно е пр о и зве де ни е ве кто р о в AB = ( 1; − 2; 1 ), AC = (− 1; − 7; 3 ), и AD = ( 3; − 5; 4 ). 1 −2 1 AB ⋅ AC ⋅ AD = − 1 − 7 3 = −28 − 18 + 5 + 21 − 8 + 15 = −13. ⇒ 3 −5 4

( )

V = − 13 = 13 е д 3 . ∠BCD = arccos 0,65,  О тве т:  S ∆ABC = 4,95 ед 2 ,  3  Vпи р . = 13 ед .

( ) ( )

П р и ме р 3. Д а н тр е уго льни к A( 2; 7 ), B(-5; 7 ), C( 5; 3 ). На йти : 1) ур а вне ни я сто р о н; 2) ур а вне ни е и дли ну ме ди а ны AM; 3) ур а вне ни е и дли ну высо ты BD; 4) ур а вне ни е б и ссе ктр и сы AK; 5) то чку пе р е се че ни я ме ди а ны AM с высо то й BD и уго л ме ж ду ни ми . Ре ше ни е . 1) Ур а вне ни я сто р о н AC и BC на хо ди м и спо льзуя ур а вне ни е пр ямо й, пр о хо x − x1 y − y1 дяще й че р е з две то чки : = . x2 − x1 y2 − y1

7

x−2 y−7 = ; 5−2 3−7 И та к, AC : 4 x + 3 y − 29 = 0. Ур а вне ни е AC :

x−2 y−7 = ; 3 −4

− 4 x + 8 = 3 y − 21.

x+5 y−7 x+5 y−7 ; ; − 2 x − 10 = 5 y − 35. = = 5+5 3−7 10 −4 И та к, BC : 2 x + 5 y − 25 = 0. Ур а вне ни е AB на хо ди тся е ще пр о ще . Нуж но то лько за ме ти ть, что вто р а я ко о р ди на та то че к A и B о ди на ко ва и р а вна 7. Сле до ва те льно , ур а вне ни е AB : y = 7 и ли y − 7 = 0. 2) На йде м то чку M – се р е ди ну сто р о ны BC: x + xC − 5 + 5 y + yC 7 + 3 xM = B = = 0, yM = B = = 5. 2 2 2 2 x−2 y−7 x−2 y−7 Со ста ви м ур а вне ни е ме ди а ны AM : = ; = . −2 −2 0−2 5−7 Ур а вне ни е BC :

И та к, AM : x − y + 5 = 0. Д ли ну ме ди а ны на йде м ка к р а ссто яни е ме ж ду двумя то чка ми : AM =

(x A − xM )2 + (y A − yM )2 =

2 2 + 2 2 = 8 = 2 2 (е д.).

3) О пр е де ли м угло во й ко эффи ци е нт сто р о ны AC. Д ля это го ур а вне ни е 4 29 4 AC за пи ше м в ви де y = − x + . Сле до ва те льно , k AC = − . k BD на йде м 3 3 3 1 3 = . и з усло ви я пе р пе нди куляр но сти пр ямых ли ни й : k BD = − k AC 4 Со ста ви м ур а вне ни е высо ты BD, и спо льзуя ур а вне ни е пр ямо й, пр о хо дяще й че р е з за да нную то чку B и с угло вым ко эффи ци е нто м k: y – y0 = k⋅( x - x0 ). 3 Т о е сть, y − 7 = ⋅ ( x + 5 ), и ли 4 y − 28 = 3x + 15. BD : 3x − 4 y + 43 = 0. 4 Д ли ну высо ты BD на йде м ка к р а ссто яни е то чки B до пр ямо й AC по фо р муле : ax0 + by0 + c d= , где ax + by + c = 0 - о б ще е ур а вне ни е пр ямо й AC , 2 2 a +b

а

( x0;y0 ) - ко о р ди на ты B.

И та к,

BD =

4 ⋅ (− 5) + 3 ⋅ 7 − 29 − 20 + 21 − 29 28 = = (е д.). 2 2 5 25 4 +3

8

4) На йде м о сно ва ни е б и ссе ктр и сы (то чку K), и спо льзуя то , что то чка K де ли т о тр е зо к BC на ча сти , пр о по р ци о на льные пр и ле ж а щи м сто р о на м тр е уго льни ка :

BK AB = , где AB = (− 5 − 2 )2 + ( 7 − 7 )2 = 7, AC = KC AC BK 7 Сле до ва те льно , =λ = . KC 5

( 5 − 2 )2 + ( 3 − 7 )2 = 5.

Д ля на хо ж де ни я ко о р ди на т то чки K и спо льзуе м фо р мулы де ле ни я о тр е зка в да нно м о тно ше ни и :

7 − 5 + ⋅ 5 − 25 + 35 10 5 x +λ⋅x 5 = C = x = B = = . K 7 5 7 12 6 1+ λ + 1+ 5 7 7 + ⋅ 3 35 + 21 56 28 yB + λ ⋅ y 5 = C = y = = = . K 7 1+ λ 5+7 12 6 1+ 5 Со ста ви м ур а вне ни е AK, и спо льзуя ко о р ди на ты то че к A и K:

y −7 y−7 x−2 x−2 x−2 y −7 ; ; . = = = 5 28 5 12 28 − 42 7 − 14 − − −2 −7 6 6 2 ⋅ ( x − 2 ) = y − 7; 2x − 4 = y − 7. И та к, AK: 2 x − y + 3 = 0. 5) На йде м то чку О пе р е се че ни я ме ди а ны AM с высо то й BD, р е ши в си сте му:

 x − y + 5 = 0, − 3 x + 3 y − 15 = 0, − y + 28 = 0, y0 = 28, x − 28 + 5 = 0, x0 = 23.   3 x − 4 y + 43 = 0 , 3 x − 4 y + 43 = 0 ,   И та к, то чка O и ме е т ко о р ди на ты: O( 23; 28 ). Д ля на хо ж де ни я угла ме ж ду пр ямыми ли ни ями BD и AM во спо льзуе мся фо р муло й: k −k 3 tgϕ = 2 1 , где k1 = k BD = , 1 + k1 ⋅ k 2 4 k 2 = k AM = 1 (т. к. А М и ме е т ур а вне ни е y = x + 5). 3 1 1− 1 4 = 4 = 1, И та к, tgϕ = ϕ = arctg . 3 7 7 7 1 + ⋅1 4 4 9

4 x 2 + 3x − 8 П р и ме р 4. На йти пр е де л lim . x →∞ 2 x 2 + x 4 + 3 x

∞ Ре ше ни е . Д ля р а скр ыти я не о пр е де ле нно сти ви да   р а зде ли м чи сли те ль ∞ и зна ме на те ль др о б и на ста р шую сте пе нь x (т.е . на x2). П о лучи м: 3 8 3 8 − + − 4 x x2 x x2 4 x 2 + 3x − 8 4 ∞ =   = lim = lim = , lim 3 x →∞ 2 x 2 + x 4 + 3 x  ∞  x →∞ x 4 + 3x x →∞ 2 + 1 + 3 2+ x3 x4 4+

та к ка к пр и x → ∞, выр а ж е ни я

3 , x

8 и x2

3 стр е мятся к нулю. x3

О тве т: 4/3.

x3 − 8 П р и ме р 5. На йти пр е де л lim . x →2 x 2 + 6 x − 4 Ре ше ни е . П р и по дста но вке вме сто x чи сла 2 мы по луча е м не о пр е де ле н0 но сть ви да   . Д ля р а скр ыти я это й не о пр е де ле нно сти сна ча ла и зб а ви мся о т 0 и р р а ци о на льно сти в зна ме на те ле др о б и , а за те м р а зло ж и м выр а ж е ни я, стр е мящи е ся к нулю, на мно ж и те ли : x 3 − 8 ⋅  x 2 + 6 x + 4  3 x −8  0   =   = lim = lim x →2 x 2 + 6 x − 4  0  x →2  x 2 + 6 x − 4  ⋅  x 2 + 6 x + 4         

)

(

= lim x→2

= lim x →2

(x3 − 8 )⋅ 

(

)

x 2 + 6 x + 4  (x − 2 ) ⋅ x 2 + 2 x + 4 ⋅  x 2 + 6 x + 4  =  = lim (x − 2 ) ⋅ (x + 8 ) x →2 x 2 + 6 x − 16

(x 2 + 2x + 4 )⋅ 

x 2 + 6 x + 4   = 12 ⋅ 8 = 48 = 9,6. (x + 8 ) 10 5

О тве т: 9,6. П р и ме р 6. На йти пр е де л

cos 2 x . lim 2 π x→  π 2  − x  2 

10

0 Ре ше ни е . М ы и ме е м де ло с не о пр е де ле нно стью ви да   . 0 π π П р о и зве де м за ме ну x − = t , то гда x = t + и t → 0. 2 2  π cos 2  t +  2 2 cos x sin 2 t 2  0  sin t   = = = =  = 1, lim lim 2 lim  2  0  tlim 2 π t   → 0 → → t 0 t 0 t (− t )  x→  π x −  2 2  sin t та к ка к lim = 1 (пе р вый за ме ча те льный пр е де л). t →0 t О тве т: 1.

П роизвод ная функц ии П р о и зво дно й функци и y = f (x) в то чке x на зыва е тся пр е де л о тно ше ни я пр и р а ще ни я функци и к пр и р а ще ни ю а р гуме нта , ко гда пр и р а ще ни е а р гуме нта стр е ми тся к нулю: f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ′( x ) = lim . ∆x ∆x → 0 Таб лиц а производ ных:

( x )′ = 2 1 x .

′ 1. (x n ) = n ⋅ x n−1.

1′ .

′ 2. (a x ) = a x ⋅ ln a.

′ 2′. (e x ) = e x .

1 3. (log a x )′ = . x ⋅ ln a

1 3′. (ln x )′ = . x

4. (sin x )′ = cos x.

5. (cos x)′ = − sin x.

6. (tgx )′ =

7. (ctgx )′ = −

1 . 2 cos x

8. (arcsin x )′ = 10. (arctgx)′ =

1 1− x2 1

1+ x2

.

.

1 . 2 sin x

9. (arccos x )′ = − 11. (arcctgx)′ = −

11

1 1− x2 1 1+ x2

.

.

О сновные правила д иффе ре нц ирования:

1. 2. 3. 4. 5.

(c ⋅ f ( x ))′ = c ⋅ f ′( x ). (u ( x ) ± v( x ))′ = u ′( x ) ± v′( x ). (u (x ) ⋅ v( x ))′ = u ′( x ) ⋅ v( x ) + u( x ) ⋅ v′( x ). ′  u( x )  u ′( x ) ⋅ v( x ) − u ( x ) ⋅ v′( x ) .   = 2 ( ) v x   v (x ) ( f (ϕ ( x )))′ = f ′(u ) ⋅ ϕ ′( x ), где u = ϕ ( x ).

П р и ме р 7. На йти пр о и зво дную функци и y =

cos x 2 . arctg 4 x + e x

Ре ше ни е .

′  cos x 2  ⋅ arctg 4 x + e x − arctg 4 x + e x ′ ⋅ cos x 2    y′ =  =

(

) (

)

(arctg 4 x + e x )2

′  − sin x 2  ⋅  x 2  ⋅ arctg 4 x + e x −  (arctg 4 x )′ + e x           =

(

( )′  ⋅ cos x 2

)

(arctg 4x + e x )2

(



)

.

 1 x  ⋅ cos x 2 4 − sin x 2 ⋅ 2 x ⋅ arctg 4 x + e x −  ⋅ + e 2   1 + (4 x )  О тве т: y ′( x ) = . 2 arctg 4 x + e x

(

)

П р и ме р 8. На йти пр о и зво дную y′(x) не явно й функци и : xy 2 + sin ( x + y ) − 3 x = 0. Ре ше ни е . П р о ди ффе р е нци р уе м да нно е р а ве нство по x:

1 ⋅ y 2 + x ⋅ 2 y ⋅ y′ + cos( x + y ) ⋅ (1 + y ′) − 3 x ⋅ ln 3 = 0. Ра скр о е м ско б ки :

y 2 + 2 xy ⋅ y′ + cos( x + y ) + y′ ⋅ cos( x + y ) − 3 x ⋅ ln 3 = 0.

12

y′ ⋅ (2 xy + cos(x + y )) = 3 x ⋅ ln 3 − y 2 − cos( x + y ). О тве т:

y′ =

3 x ⋅ ln 3 − y 2 − cos( x + y ) . (2 xy + cos( x + y ))

П р и ме р 9. На йти пр о и зво дную функци и y = (arcsin x )(ctg 2x ). Ре ше ни е . Л о га р и фми р уя да нно е р а ве нство , по лучи м не явную функци ю: ln y = ctg 2 x ⋅ ln (arcsin x ). Д и ффе р е нци р уе м да нно е р а ве нство по x и на хо ди м y′(x):

1 1 1 1 ⋅ y′ = − ⋅ 2 ⋅ ln arcsin x + ⋅ ⋅ ctg 2 x. y arcsin x 1 − x 2 sin 2 2 x   1 1 1 ⇒ y′ = y ⋅  − ⋅ 2 ⋅ ln arcsin x + ⋅ ⋅ ctg 2 x .   sin 2 2 x arcsin x 1 − x 2     1 1 1 О тве т: y′ = (arcsin x )ctg 2 x ⋅  − ⋅ 2 ⋅ ln arcsin x + ⋅ ⋅ ctg 2 x .   sin 2 2 x arcsin x 1 − x 2   П р и ме р 10. На йти пр о и зво дную y′(x) функци и , за да нно й па р а ме тр и че ски :

 y = 8 ⋅ sin 3 t ,  3  x = 4 ⋅ cos t.

( (

) )

′ y ′(t ) 8 ⋅ sin 3 t t 8 ⋅ 3 ⋅ sin 2 t ⋅ cos t 2 ⋅ sin t Ре ше ни е . y ′( x ) = =− = −2 ⋅ tgt. = = 2 x′(t ) cos t 3 ′ 4 ⋅ cos t t 4 ⋅ 3 ⋅ cos t ⋅ (− sin t )  y ′( x ) = −2 ⋅ tgt , О тве т:  3  x = 4 ⋅ cos t . П р и ме р 11. В ычи сли ть

4 16,6

пр и б ли ж е нно , с по мо щью ди ффе р е нци а ла .

Ре ше ни е . Ра ссмо тр и м функци ю y = 4 x . П усть x0 = 16, x1 = 16,6. Т о гда ∆x = x1 - x0 = 16,6 − 16 = 0,6.

y0 = y ( x0 ) = 16 = 2. 4

3

1 − y′( x0 ) = ⋅ x 4 4

= x =16

13

1

( )3

4 ⋅ 4 16

=

1 1 = . 4 ⋅ 8 32

Д ля на хо ж де ни я y1 = 4 x1 = 4 16,6 во спо льзуе мся фо р муло й: y1 ≈ y0 + dy ( x0 ), где dy ( x0 ) = y ′( x0 ) ⋅ ∆x - ди ффе р е нци а л функци и . 1 ⋅ 0,6 ≈ 2 + 0,019 = 2,019. Т а ки м о б р а зо м, 4 16,6 ≈ 2 + 32 О тве т: 2,019.

Н е опре д е ле нный интеграл n +1

Таб лиц а интегралов; (n ≠ −1), 2. ∫ dx = ln x + C , x

x +C n +1 ax x 3. ∫ a ⋅ dx = + C, 4. ∫ e x ⋅ dx = e x + C , ln a 5. ∫ sin x ⋅ dx = − cos x + C , 6. ∫ cos x ⋅ dx = sin x + C , dx dx 7. ∫ = + , 8 . = −ctgx + C , tgx C ∫ cos 2 x sin 2 x dx x dx 1 x 9. ∫ = arcsin + C , 10. ∫ 2 = ⋅ arctg + C , 2 a a a a +x a2 − x2 dx 1 a+x dx 11. ∫ 2 = ⋅ ln + C , 12. ∫ = ln x + x 2 + a + C. 2 2a a−x a −x x2 + a С войства не опре д е ле нного интеграла: 1. ∫ x n ⋅ dx =

1. 2.

∫ α ⋅ f ( x )dx = α ⋅ ∫ f ( x )dx, ∫ ( f ( x ) ± ϕ ( x )) ⋅ dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ ϕ ( x )dx. Ф ормула интегрирования по частям:

∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du. x3 ∫ cos 2 x 4 ⋅ dx. Ре ше ни е . Умно ж и м и р а зде ли м по дынте гр а льную функци ю на 4 и вне се м мно ж и те ль 4x3 по д зна к ди ффе р е нци а ла : П р и ме р 12. На йти не о пр е де ле нный и нте гр а л

∫

x3 cos 2 x 4

=

⋅ dx =

1 4 x3 1 dx 4 ⋅∫ ⋅ dx = ⋅ ∫ = 4 cos 2 x 4 4 cos 2 x 4

1 dt 1 1 ⋅∫ = ⋅ tgt + C = ⋅ tgx 4 + C. 4 cos 2 t 4 4 14

О тве т:

1 ⋅ tgx 4 + C. 4

x +1 ⋅ dx. x+4 x + 4 = t . Т о гда

П р и ме р 13. На йти не о пр е де ле нный и нте гр а л Ре ше ни е . П р о и зве де м за ме ну пе р е ме нно й

∫

x +4=t

∫

( x +1 t − 4 )2 + 1 2 ⋅ dx = x = (t − 4 ) =∫ ⋅ 2 ⋅ (t − 4 ) ⋅ dt = t x+4 dx = 2 ⋅ (t − 4 ) ⋅ dt

(t

)

t 3 − 4t 2 + 17t − 4t 2 + 16t − 20 − 4t + 17 ⋅ (t − 4 ) ⋅ dt = 2⋅∫ =2⋅∫ ⋅ dt = t t t 3 − 8t 2 + 33t − 20 20   = 2⋅∫ ⋅ dt = 2 ∫  t 2 − 8t + 33 −  ⋅ dt = 2 ⋅ ∫ t 2 ⋅ dt − t t   2

dt 2t 3 16t 2 − 16 ⋅ ∫ t ⋅ dt + 66 ⋅ ∫ dt − 40 ⋅ ∫ = − + 66t − 40 ⋅ ln t + C = t 3 2 =

2⋅

(

x+4 3

)3 − 16 ⋅ (

x+4 2

)2 + 66 ⋅ (

)

x + 4 − 40 ln

(

)

x +4 +C =

3  2  2 = ⋅ x + 3x ⋅ 4 + 3 x ⋅ 16 + 64  + 8 ⋅ x + 8 x + 16 + 66 x + 264 −  3   

(

(

)

3

)

2 − 40 ln x + 4 + C = ⋅ x 2 + 16 x + 138 x − 40 ln 3 2 где C1 = C + 64 ⋅ + 16 ⋅ 8 + 264. 3 3

2 О тве т: ⋅ x 2 + 16 x + 138 x − 40 ln 3

(

(

)

x + 4 + C1 ,

)

x +4 +C.

П р и ме р 14. На йти не о пр е де ле нный и нте гр а л ∫ x ⋅ e3x dx . Ре ше ни е . В о спо льзуе мся фо р муло й и нте гр и р о ва ни я по ча стям. Д ля это го о б о зна чи м x че р е з u, а e2xdx че р е з dv:

∫x⋅e

u=x 3x

dv = e3 x dx

dx =

1 e3 x du = dx v = ∫ e3 x dx = ⋅ ∫ e3 x d (3x ) = 3 3 3x 3x x⋅e 1 e = − ⋅ + C. 3 3 3 x ⋅ e 3 x e3 x О тве т: − + C. 3 9

15

x ⋅ e3 x 1 = − ⋅ ∫ e 3 x dx = 3 3

П р и ме р 15. В ычи сли ть пло ща дь зе ме льно го уча стка , о гр а ни че нно го ли ни ями : y = −3x 2 − 5 x + 8, y = x − 1, x = −2. Ре ше ни е . П о стр о и м да нные ли ни и в де ка р то во й си сте ме ко о р ди на т:

Зе ме льный уча сто к и зо б р а ж е н за штр и хо ва нным. На йде м то чку А пе р е се че ни я па р а б о лы с пр ямо й y = x - 1. Д ля это го р е ши м си сте му:

 y = −3 x 2 − 5 x + 8,   y = x − 1. x − 1 = −3x 2 − 5 x + 8. ⇒ 3x 2 + 6 x − 9 = 0. ⇒ x 2 + 2 x − 3 = 0. ⇒ x1 = −3, x2 = 1. Т а ки м о б р а зо м, x B = −3, x A = 1. b

S = ∫ ( f 2 ( x ) − f1 ( x )) ⋅ dx.

И ско мую пло ща дь на йде м по фо р муле :

a

S=

∫ (− 3x 1

2

)

− 5 x + 8 − ( x − 1) ⋅ dx =

−2

 3x 3 6 x 2  =  − − + 9 x  2  3  2 О тве т: 27(е д ).

1 −2

(

∫ (− 3x 1

2

)

− 6 x + 9 ⋅ dx =

−2

= − x 3 − 3x 2 + 9 x

)

16

1 −2

( )

= −1 − 3 + 9 − (8 − 12 − 18) = 27 ед 2 .

x πx + y ⋅ sin + 3 4 y в то чке y 4 М ( 4; 2 ) и пр о и зво дную по на пр а вле ни ю ве кто р а l = ( 8;−6 ). Ре ше ни е . На йде м ча стные пр о и зво дные П р и ме р 16. На йти гр а ди е нт функци и z = 3 ln

3y 1 1 3 πy πx π πx ⋅ ⋅ + y ⋅ cos ⋅ + 0 = + ⋅ cos , 4 4 2x 4 4 x y 2 x

z x′ = и

2

34  1  πx 3 1 − 3 πx 3y 3 ′   zy = ⋅ x⋅ − + sin + 4 ⋅ ⋅ y = − + sin + .  y2  3 y2 4 3 y 4 x ⋅ 3  

В ычи сли м зна че ни я ча стных пр о и зво дных в то чке М :

z x′

3 π 3 π = + ⋅ cosπ = − ≈ −1,2. 8 2 M 8 2

z y′

34 3 3 1 7 = − + sin π + = − + 0 + = − ≈ −1,17. 2 2 3 6 M 3⋅3 4

Т а ки м о б р а зо м, гр а ди е нто м функци и б уде т ве кто р :

grad z =  z x ′ ; z x ′  = (− 1,2; − 1,17 ).  M M  П р о и зво дную по на пр а вле ни ю ве кто р а l на йде м по фо р муле :

∂z grad z ⋅ l = . ∂l l ∂z − 1,2 ⋅ 8 + (− 1,17 ) ⋅ (− 6 ) − 2,58 = = = −0,258. 10 ∂l 64 + 36  grad z = (− 1,2; − 1,17 ), О тве т:  ∂z = −0,258.  ∂l П р и ме р 17. Ре ши ть за да чу К о ши : 2

y′ + 2 xy − x ⋅ e − x = 0;

y(0 ) = 0.

17

Ре ше ни е . 1) На йде м о б ще е р е ше ни е ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я. Д а нно е ди ффе р е нци а льно е ур а вне ни е пе р во го по р ядка являе тся ли не йным. Сле до ва те льно , пр о и зве де м сле дующую за ме ну пе р е ме нно й: y ( x ) = u ( x ) ⋅ v( x ),

y ′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′.

Т о гда 2

2

u ′ ⋅ v + u ⋅ (v′ + 2 x ⋅ v ) − x ⋅ e − x = 0.

u ′ ⋅ v + u ⋅ v′ + 2 x ⋅ u ⋅ v − x ⋅ e − x = 0, и ли

П о дб е р е м те пе р ь та кую функци ю v(x), что б ы v′+2xv=0. Т о е сть v(x) б уде м и ска ть ка к р е ше ни е ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я с р а зде ляющи ми ся пе р е ме нными : x2 dv dv dv = −2 xv, = −2 x ⋅ dx, = − 2 xdx , ln v = − 2 ⋅ + C. ∫v ∫ dx v 2 2

П р и С = 0 по лучи м: ln| v | = -x2. Сле до ва те льно , v = e − x . П р и та ко м выб о р е функци и v(x) и схо дно е ди ффе р е нци а льно е ур а вне ни е пр и ме т ви д: u ′ ⋅ e − x = x ⋅ e − x , и ли u ′( x ) = x. 2

2

Сле до ва те льно , u ( x ) = ∫ x ⋅ dx =

x2 + C. Т а ки м о б р а зо м, 2

 x2  2 + C  ⋅ e− x . y( x ) = u( x ) ⋅ v( x ) =   2   

2) Д ля р е ше ни я за да чи К о ши во спо льзуе мся на ча льным усло ви е м y(0)=0.

x2 − x2 ⋅e . Т о гда C ⋅ e = 0. ⇒ C = 0. ⇒ y( x ) = 2 x2 − x2 ⋅e . О тве т: y ( x ) = 2 0

Ч А С ТЬ II Зад ание № 1. Ре ши ть си сте му ли не йных ур а вне ни й: 1) ме то до м Г а усса ; 2) ме то до м К р а ма р а ; 3) с по мо щью о б р а тно й ма тр и цы.

 2 x + 4 y + 5 z = 3,  1. − 4 x + 3 y − 7 z = 8,  3x + 8 y − z = −2. 

 5 x + 4 y − 3z = −3,  2.  − 2 x + 3 y + 8 z = 1,  x − 4 y − 7 z = 1. 

18

 4 x + y − 3z = −3,  3.  5 x + 4 y + z = 5,  3x + 8 y − z = −2. 

 5 x + 2 y + 6 z = −1,  4. − 3x + 2 y + z = 1,  8 x − 3 y + 3z = −7. 

 2 x + 4 y − 5 z = 5,  5.  3x + 2 y − 4 z = −1,  x − 3 y + 4 z = −6. 

 3x + 5 y + 4 z = 6,  6. − 2 x + 3 y + 5 z = −9,  2 x + y − 3 z = 3. 

 5 x + 2 y + 3z = 5,  7. − 6 x − y + 2 z = 1,  3x + 2 y − 2 z = −7. 

− 4 x + 5 y + 3 z = 6,  8.  3x + 8 y + 2 z = 5,  x − 9 y − 3z = −5. 

− 3x + 4 y − 4 z = 7,  9.  2 x + y + 3 z = 2,  3x − 5 y − 4 z = 7. 

 4 x + y − 3z = −4,  10.  5 x + 3 y + 2 z = 7, − 2 x + 6 y + 5 z = −7. 

Зад ание № 2. Д а на пи р а ми да ABCD. На йти : 1) уго л CBD; 2) пло ща дь гр а ни ABC; 3) о б ъ е м пи р а ми ды. 1. A( 2; 4;-3 ), B(-1; 3; 5 ), C( 6;-2; 1 ), D(-2;-3; 4 ). 2. A( 4; 2; 3 ), B( 1;-4; 5 ), C( 2;-4;-1 ), D(-3; 2; 3 ). 3. A(-1; 3; 3 ), B( 7; 2; 0 ), C(-2;-1; 4 ), D( 4; 3; -1 ). 4. A(-2; 5; 6 ), B( 0; 5;-8 ), C(-3; 2; 4 ), D( 5; -2; 6 ). 5. A( 1; 5; 3 ), B( 7; 0; -1 ), C(-6; 2; 3 ), D(-2; 3; 3 ). 6. A( 2; 4;-3 ), B(-1; 3; 5 ), C( 3; -2; 1 ), D( 2; 3;-7 ). 7. A( 3; 0; 5 ), B(-4; 3; -1 ), C(-5; 2; 3 ), D( 1; 1; 4 ). 8. A( 5;-2; 1 ), B(-2;-3; 0 ), C( 7;-1;-1 ), D(-1; 0; 5 ). 9. A(-3; 1; 0 ), B( 4; 1; -5 ), C(-6; 1; 1 ), D( 3;-1;-1 ). 10. A(-7; 1;-5 ), B( 3; -6; 1 ), C( 4;-1; 4 ), D( 2; 5; 0 ). Зад ание № 3. Д а н тр е уго льни к ABC . На йти : 1) ур а вне ни я сто р о н; 2) ур а вне ни е и дли ну ме ди а ны AM; 3) ур а вне ни е и дли ну высо т BD и CK;

19

4) ур а вне ни е б и ссе ктр и сы угла B; 5) то чку пе р е се че ни я ме ди а ны А М то й BD и уго л ме ж ду ни ми .

с высо -

1. A( 2; 3 ), B(-4; 3 ), C(-1; -1 ).

2. A(-2; 4 ), B(-2; 1 ), C( 1; 5 ).

3. A( 4; 1 ), B( 3; 1 ), C( 0; -3 ).

4. A( 3; -2 ), B( 3; 0 ), C(-1; -3 ).

5. A( 6; 4 ), B(-3; 4 ), C( 1; 1 ).

6. A(-2; 2 ), B(-2; 6 ), C( 1; 10 ).

7. A( 5; 1 ), B( 3; 1 ), C(-1; -2 ).

8. A( 3; 0 ), B( 3; -6 ), C( 0; -2 ).

9. A(-2; 3 ), B( 4; 3 ), C( 1; -1 ).

10. A( 6; 1 ), B( 6; -3 ), C( 3; -1 ).

Зад ание № 4. На йти пр е де л сле дующи х функци й:

6x2 − x3 + 2x 1. а ) lim , x → ∞ 3x 2 + 2 x − 5 π cos x 2 , в) lim x →1 x − 1 2. а ) lim

3x 2 + 4 x 4 + 1

5 x 2 + 3x − 1 sin 3x в) lim , x →π sin 5 x x →∞

3x 2 + x 5 + 2 , x →∞ 2x 2 − 6x + 8

3. а ) lim в) lim x→

π 2

cos x π2 x − 4

,

2

6x2 + 3 x + 1 4. а ) lim , x →∞ 2 x 2 − 4 x + 2 π  tg  x −  2 в) lim  , π π x→ −x 2 2

,

(x б ) lim x → −1

)(

)

+1 ⋅ x +1 , 2 x 2 − 3x − 5 3

3x

 x +5 г) lim   . x→∞  x + 4  б ) lim

x →4

x 2 − 12 − 2 , 3x + 4 − x 1

г) lim ( x − 1) x − 2 . x→2

б ) lim

x→2

x3 − 8 , x+2−x

 4 + 2x  г) lim   x →∞  3 + 2x 

б ) lim

x → −3

x −1

1− x − 2 , x2 + x − 6 2

г) lim (4 − x ) x − 3 . x →3

20

.

5. а ) lim

x →∞

2 x3 + 4 x − 3 x + 3x + 8 x 4

б ) lim

,

3

x →1

x −1 в) lim , π x → tgπ x

5 x + 4 − 3x

,

3x 2 + 5x − 8

1− x  г) lim   x→∞  3 − x 

4x − 2

.

2

6. а ) lim

6 x3 − 8x 2 + 3

x →∞

x 6 + 3 + 2x 3 sin 6 x в) lim , x → 0 arctg 2 x

7. а ) lim

x →∞

2 x 2 + 3x − 5 6 x + 2 − 3x 4

б ) lim

,

x → −1

(

),

x + 1 ⋅ x2 − 1 x 2 + 3x + 2 3

г) lim (2 + x ) x +1 . x → −1

б ) lim

,

x → −2

π  в) lim tgx ⋅  x − , π 2  x→

2− x + x x3 + 8

 4 + 3x  г) lim   x → ∞  2 + 3x 

,

x −1

.

2

8. а ) lim

7 x − 3x 2 + 2

x →∞

9x 4 + x2 + 3 π  sin  ⋅ x   2 , в) lim x→2 x−2

9. а ) lim

x →∞

x→4

8 x 6 + 3x + 2 x 3 6 x + 3x − 1 3

x −1 , π x x → −1 cos 2

в) lim

x →π

4 x 2 + 3x + 8 2x 2 + x2 + 4 sin x x2 − π

2

,

б ) lim

x →5

5 x − 4.

(

x − 5 ⋅ x 2 − 25 2 x − 6 x − 20 2

 6 + x2   г) lim  x→∞ 3 + x 2   

в) lim

x→∞

x → −3

x 3 + 27 , 6−x +x

г) lim ( x − 3 )

2

10. а ) lim

б ) lim

,

,

,

б ) lim

x → −4

x 2 −1

.

x+8 − − x , 1 − 2 x − 13 + x

 6 − 2x  г) lim   x →∞  5 − 2x 

21

),

3− 2 x

.

Зад ание № 5. На йти пр о и зво дную y′ ( x) сле дующи х функци й:

(

ctg 3x − 3 x , sin 2 4 x

1. а ) y =

(

)

 y = arcsin t , г)   x = 1 − t.

в) lg xy 2 + 2 x + y = 0,

2. а ) y = 4 x arccos 7 x - 3- ctgx ,

(

в) tg x + y

2

)

4− sin x − arcsin 2 x 4. а ) y = , lg( x − cos x )

)

5. а ) y = arccos 4 x − tg 2 2 x e - x ,

в)

x - y + lg

x = 0, y

16 x − cos 3x 6. а ) y = , arcsin 2 5 x в) y + e ⋅ cosy = x, 2

x

(

б ) y = arccos 4 x

) x,

(

б ) y = tg x

) − arccos x,

 y = arctg (1 + t ), г)  2  x = lg t + 2t + 2 .

(

= 0,

(

)

 y = arcsin (1 − t ), г)  2  x = 2t − t .

)

в) xy = lg x − y + 3,

xy3

x

(

3. а ) y = e− sin 2 x (arctgx + tg 3 x ),

в) x - y 2 + e

б ) y = (sin 5 x )e ,  y = lg 1 + t 2 , г)  2  x = 1+ t .

x3 − =1, y

(

) cos x,

б ) y = arctg x

)

б ) y = (ctg 3x )

3x

,

 y = arcctg t , г)   x = lg(1 + t ). б ) y = (arctg 8 x )

5x

(

)

 y = lg t + t ,  г)  2  x = 2 t + 1 .

(

22

)

,

(

)

7. а ) y = 3 −tgx + cos 2 x arcsin x,

в) y x − e

x−2y

б ) y = (ctg 2 x )−3 x ,  y = 8t − t 2 − 15, г)   x = arcctg (4 − t ).

= 4,

2

3− x 8. а ) y = , arccos x + lg(1 − x )

б) y=x

 y = ctg 2t , г)  3  x = sin t.

в) cosx - 5y 2 + e xy = 0, 2 9. а ) y =  2 − x + 3 e 

x

arcctg  x 2 −1  ,

 arcctg 4 x ,  

б ) y = x arcsin

1− x 2

x3 в) sin (x - 5y ) + =1 , y

 y = cos 2 t , г)   x = log 5 (ctg t ).

3 cos 7 x − 2e x

б ) y = (lg x ) arccos 2 x ,

10. а ) y = в) 3

xy

arctg x + 1 2

,

,

 y = tg 3t , г)  4  x = sin t.

- x + y =4 , 3

Зад ание № 6. В ычи сли ть пр и б ли ж е нно , с по мо щью ди ффе р е нци а ла :

16,13,

б)

sin 32o 15 ′.

7,91,

б)

cos 31o 45 ′.

24,76 ,

б)

tg 43o 30 ′.

27,34 , 4 15,23,

б) б)

arctg 0,93. arcctg 1,12.

6. а )

35,46 ,

б)

ctg 46 o 18 ′.

7. а )

4 81,21,

б)

sin 47 o 12 ′.

8. а ) 9. а )

3

7,73, 64,93,

б) б)

cos 43o 48 ′. arctg 1,15.

10. а )

4

63,18,

б)

arcctg 0,89.

1. а ) 2. а )

3

3. а ) 4. а ) 5. а )

3

23

Зад ание № 7.

На йти не о пр е де ле нный и нте гр а л:

dx

xdx , x +3

1. а )

∫ x lg 2 x,

б)

2. а )

∫x

б)

∫

xdx , x+3

в)

∫ xe

−2x

3. а )

∫e

б)

∫

dx , x x +3 x

в)

∫x

ln xdx.

4. а )

∫

б)

∫

xdx , x −2

в)

∫ x cos 2 xdx.

2

sin x 3 dx,

3− 2 x

dx,

dx 1 − 2x2

,

dx

∫

в)

(

)

e x dx

∫ x sin 3xdx.

2

dx.

5. а )

∫ cos 2 (7 x + 4 ),

б)

∫ e x + 1,

в)

∫ arctgxdx.

6. а )

x 2 dx ∫ x 3 + 4,

б)

∫

xdx , x −4

в)

∫ arccos xdx.

б)

∫

( x + 1 )dx,

в)

∫ x sin 2 xdx.

б)

∫

xdx , x +5

в)

∫ x ln xdx.

dx

в)

∫ x cos 4 xdx.

arccos 2 xdx

7. а )

∫

8. а )

∫ cos 2 x,

9. а )

∫ (1 + x 2 )arctgx,

10. а )

1 − x2

,

tgxdx

dx

sin xdx

∫ cos 2 x ,

x −1

б)

∫ 3 x + 1,

б)

∫

xdx , x−7

в)

1− x

∫ xe

dx.

Зад ание № 8. С по мо щью о пр е де ле нно го и нте гр а ла вычи сли ть пло ща дь зе ме льно го уча стка , о гр а ни че нно го ли ни ями :

24

 y = 2 x 2 + 3x − 4, 1.   y = 2 x − 1.

 y = −3 x 2 + 4 x + 1, 2.   y = −2 x + 1.

 y = 3x 2 + 2 x − 7, 3.   y = 2 x + 5.

 y = − x 2 + 5 x − 6, 4.  y = x − 3. 

 y = 2 x 2 − 5 x + 4, 5.   y = 3x − 2.

 y = x 2 + 8 x − 7, 6.   y = x + 1.

 y = −2 x 2 + 3x + 6, 7.  y = − x. 

 y = 3x 2 + 4 x − 8, 8.   y = −2 x + 1.

 y = −3x 2 + 6 x + 4, 9.  y = 3 x − 5. 

 y = −2 x 2 + 5 x + 1, 10.  y = x − 5. 

Зад ание № 9. На йти гр а ди е нт функци и z = z( x; y ) в то чке М ную по на пр а вле ни ю ве кто р а l .

1. z = 3 x ⋅ y + 2 cosπy − 2

x 4 y⋅e ; xy

2. z =

2x ⋅ 3

πx y + y ⋅ sin + 3e 8 ; 3 x

πy 3. z = 3 x ⋅ tg − 6e 3 ⋅ y + x 3 ; 3 4. z = x 2 ⋅ 3 y + e y ⋅ sin

πx x + 2; 4 y y

πx 5. z = 2 x ⋅ y + 3sin e 2 + 2 y ; 9 3

(

)

6. z = 4 ln e ⋅ yx 2 + y sin πx +

2y ; x

M ( 4 ; 1 ); l = (− 1; 5 ). M (1 ; 8); l = ( 3; 2 ). M (3 ; 1); l = ( − 1; 5 ). M (2 ; 1); l = (− 3; 4 ).

M (9 ; 2 ); l = ( 4 ;−8 ). M (− 1 ; 1); l = ( 3;−6 ).

25

и пр о и зво д-

7. z

=3

x πy y 2 y ln + 5 cos + ; 4 x 4 2

8. z = 3ctg

y πx xy + ln − ; y 2 3x

x2 4y 9. z = + ln − 3 x; πy x sin 2 π  10. z = 3 y ⋅ tg  ⋅ x 2  + 2 

y 2 + 5x +

M ( 4 ; 8 ); l = ( 4 ; 5 ). M (2 ; 4 ); l = ( 7 ; 5 ). M (4 ; 1); l = (− 5; 4 ).

x ; M (− 2 ; 1); l = ( 4 ; 2 ). 2y

Зад ание № 10. На йти ча стно е р е ше ни е ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я, удо вле тво р яюще е на ча льно му усло ви ю (за да ча К о ши ):

1. 2.

1 − y 2 dx + y 1 − x 2 dy = 0;

(1 + x )dx + (1 + y )dy = 0; 2

2

3. y ′ − ytgx =

4. 5.

1 ; cos x

(y + x )dx − 2 xydy = 0; (x + xy )dx + (yx − y )dy = 0; 2

2

2

2

y (0 ) = 0. y(0) = 1. y(0) = 0. y(4 ) = 0. y (0 ) = 1.

6. xy ′ + y − e x = 0;

y (1) = 1.

(1 + e )yy′ = e ;

y(0 ) = 1.

7. 8.

x

x

x 2 + y 2 dx = xdy − ydx;

9. sin y cos xdy = sin x cos ydx; 10.

y′ −

y = 1 + x; 1 − x2

y (1) = 1. y(0 ) =

π . 4

y(0 ) = 0.

26

Л И Т ЕРА Т УРА 1. К удр явце в В .А ., Д е ми до ви ч Б.П . К р а тки й кур с высше й ма те ма ти ки . Ф и зма тги з, 1978. 2. М и но р ски й В .П . Сб о р ни к за да ч по высше й ма те ма ти ке : Уче б . по со б и е для втузо в. – 13-е и зд. – М .: На ука . Г л. р е д. фи з.-ма т ли т., 1987. – 352 с. 3. Ш и па че в В .С. О сно вывысше й ма те ма ти ки : Уче б . по со б и е для втузо в / П о д р е д. а ка д. А .Н. Т и хо но ва .– 2-е и зд. сте р е о ти пно е – М .: В ысш. шк., 1994.– 352 с. 4. Ш и па че в В .С. Сб о р ни к за да ч по высше й ма те ма ти ке : Уче б . по со б и е ./ – М .: В ысш. шк., 1994.– 192 с.

Со ста ви те ль ст. пр е п. Уксусо в Се р ге й Ни ко ла е ви ч Ре да кто р Т и хо ми р о ва О .А .

27