Математика и естествознание. Учеб. пособие

Министерство образования Российской Федерации

Тверской государственный университет

Н.Д. Дроздов, В.И. Климок

МАТЕМАТИКА И ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ Учебное пособие по курсу «Концепции современного естествознания»

Тверь 2001

2

УДК 5.001.573 (075.8) БКК Б.В.641.0Я731-1 Д 75

Рецензенты: Заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор П.Я. Шлаен Доктор технических наук, профессор Е.С. Сиротинин

Н.Д. Дроздов, В.И. Климок Математика и естествознание: Учеб. пособие. – Тверь: Твер. гос. ун-т, 2001. – 79с. Настоящее пособие является разделом курса «Концепции современного естествознания» для студентов факультета прикладной математики и кибернетики ТвГУ. В настоящем пособии рассмотрены значение и возможности математики на современном этапе развития естественных наук, более подробно изложены основные аспекты математического моделирования, приведены примеры математических моделей, рассмотрение которых может быть полезным для понимания роли математики при решении прикладных задач в различных областях науки и техники. Рекомендовано Ученым советом факультета ПМиК Тверского государственного университета.

© Дроздов Н.Д., Климок В.И., 2001 © Тверской государственный университет, 2001

3

ВВЕДЕНИЕ…………………………..……………………………………….. 4 1.

Математика. Синтезирующая роль современной математики..……..7

2.

Две стороны (два направления) математики………….………............11

3.

Моделирование. Основные понятия……………………...……...….….18 3.1.Определение понятия «модель»...……………………………….….……18 3.2.Определение модели в логико-алгебраических терминах……... 20 3.3.Классификация моделей…………………………………………. 23

4.

Этапы моделирования…………………………………………… 28 4.1.Постановка задачи………………………………………………………...29 4.1.1.Значение этапа………………………………………………… 29 4.1.2.Содержание этапа………………………………………………….. 31 4.2.Формализация задачи……………………………………………………. 38 4.3 Планирование эксперимента……………………………………………. 42 4.4. Проверка модели………………………………………………………. 44 4.5. Анализ результатов и внедрение рекомендаций……………….. 46

5.

Модели математической логики ................................................

48

6.

Модели динамических процессов .............................................. 6.1. Эффективность рекламы.............................................................. 6.2. Химические реакции.................................................................... 6.3. Движение тела, брошенного под углом к горизонту ................

52 52 52 54

7.

Модели оптимизации.................................................................... 7.1. Задача о минимизации стоимости в строительстве................... 7.2. Задача о консервной банке...........................................................

57 57 59

8.

Дифференциальные модели в экологии ................................... 8.1. Модель популяции........................................................................ 8.2. Неустановившееся движение подземных вод в полу бесконечном однородном пласте….............................................................................. 8.3 Стационарный двумерный процесс распространения загрязнения при сосредоточенном сбросе постоянной массы вод в реку ................................................................................................. 8.4. Западная интенсификация течений.............................................

61 61 65 68 70

ЛИТЕРАТУРА ..........................................................................................

75

ПРИЛОЖЕНИЕ ..............................................................................

77

4

Введение Формирование современного естественнонаучного способа мышления не мыслимо без использования математики. Это положение бесспорно. Еще Кант заметил: «В каждом знании столько истины, сколько математики». Сегодня математика активно внедряется во все новые области знания. В курсе "Концепции современного естествознания" для студентов факультетов прикладной математики, несомненно, необходимо более детально рассмотреть значение и роль современной математики в естествознании. Теоретические обобщения, математические модели могут быть созданы даже при минимальном экспериментальном материале. Чаще не хватает интеллектуального, а не экспериментального материала, не достает определенного видения изучаемой реальности, которое и дает экспериментальному материалу содержательный смысл. Согласно Эйнштейну теория подтверждается экспериментальными данными - внешним оправданием и естественностью и логической простотой предпосылок (основными понятиями и соотношениями между ними) - внутренним совершенством. При изучении новых отраслей знаний и создании моделей в новых областях также плодотворным является использование аналогий с изученными ранее процессами и "соответственно" с уже имеющимся опытом создания математических моделей. Порой недооцениваются возможности математики в поиске новых подходов к решению таких задач, которые сегодня не описаны на языке математики, Это, в частности, проявляется, когда стремятся представить чистую (теоретическую) и прикладную стороны математики как независимые науки. Именно взаимодействие двух частей математики позволяет более четко понять природу основного противоречия науки - противоречия между фрагментарностью науки и бесконечностью изучаемого ею мира, поскольку любая научная теория является лишь гомоморфным отражением фрагмента реального мира. Теоретические построения математики дают надежду, что это противоречие может быть «сглажено» таким образом, что окажется возможным улучшить взаимодействие двух направлений культуры: науки и

5

религии. Наука получит надежду, что модели реального мира - это те относительные истины, которые действительно приближают человечество к некоторой абсолютной истине, а также получит критерии для оценки ответственности ученых за возможные последствия результатов исследований. Религия, используя достижения современной науки, получит возможности формулирования более обоснованных гипотез об абсолютной истине,. Все это должно в конечном итоге уменьшить "глубокую раздвоенность и скрытую вражду не только между государством и церковью, но и внутри самой науки, в лоне всех церквей, в глубине совести всех мыслящих людей". Конечно, это задача не только математики, но вклад математики в ее решении должен и может быть весомым. В то же время ошибочным следует полагать заявление, что некоторая проблема только потому не решена, что до нее не добрались математики. Зачастую дело в том, что в данной отрасли знаний еще не накопилось некоторого минимума фактического материала, достаточного, чтобы обратиться к обобщениям, или математика просто еще не выработала язык, способный адекватно описать процессы, протекающие в данной отрасли. В настоящее время на передний план прикладных исследований выходят проблемы разумного управления большими человеко-машинными системами. Человечество приобрело огромные возможности и оказалось перед лицом огромных опасностей. НТР - эпоха ответственных решений, которые необходимо принимать не интуитивно, а на научной основе с использованием математических моделей, позволяющих прогнозировать возможные результаты решений. Необходимость внедрения математических методов, системного подхода для изучения сложных систем и обоснования принимаемых решений не вызывает возражений. Однако продолжается практика принятия необоснованных решений и экспериментирования на реальных системах, что, зачастую, приводит к катастрофическим результатам. В частности, человечество в результате своей деятельности может уже сегодня нарушить квазистатическое равновесие биосферы и дать толчок, который приведет биосферу в такое состояние, где человеку места уже не будет. Одной из причин принятия необоснованных решений является недостаточные профессиональные знания управленцев всех рангов,

6

непонимание ими значения математического моделирования для поиска оптимального в некотором смысле решения В настоящем учебном пособии в разделах 1- 4 изложены некоторые положения относительно значения математики на современном этапе ее развития. Более подробно пояснено понятие "математическое моделирование", классификация моделей и основные этапы моделирования. В разделах 5 - 8 приведен ряд моделей, рассмотрение которых может быть полезным для понимания роли математики при решении прикладных задач в различных областях естествознания. Соответственно, вначале приведены относительно простые модели, базирующиеся на аппарате математической логики. Некоторые положения математической логики, необходимые для понимания этих моделей, помещены в приложение к пособию. Большая группа приведенных в пособии моделей связана с аппаратом дифференциальных уравнений. В процессе построения моделей необходимо знание законов той области науки, с которой связана природа моделируемого процесса. Так, например, в механике это законы Ньютона, в теории электрических цепей - законы Кирхгофа, в теории химических реакций - законы действия масс и др. Во всех приведенных примерах моделей особое внимание уделено этапу формализации задачи. В рассмотренных моделях получены аналитические решения задач. Безусловно, в большинстве случаев для решения реальных прикладных задач потребуются численные методы. Однако, и в подобных случаях аналитические решения, полученные при ряде допущений и, возможно, недостаточно типичные, могут быть весьма полезными с многих точек зрения.

7

1. Математика. Синтезирующая роль современной математики Математика – наука, изучающая схемы моделей безотносительно к их конкретному воплощению и методы (способы) использования моделей для решения конкретных задач. Если вначале математика занималась простейшими числовыми моделями, то теперь наибольший интерес представляют более сложные качественные модели. История науки характеризуется непрерывно возрастающей специализацией. Относительно простая система представлений о мире, которая позволяла ученому - энциклопедисту еще 200-300 лет назад быть в курсе всех направлений развития науки, исчезла навсегда. В XIX - XX столетиях шел интенсивный процесс обособления наук - исследование конкретных проблем какой-либо отрасли знаний становилось самостоятельной наукой. Как правило, подобное обособление диктуется необходимостью более углубленного, более тонкого изучения отдельных областей мироздания. Иногда это является следствием амбиций отдельных групп исследователей. В любом случае наряду с положительным результатом обособление научных направлений приводит к потере общности критериев и взглядов. Наряду с появлением новых наук идет и обратный процесс - процесс синтеза знаний. Новые факты и явления не укладываются в старые схемы, ломают междисциплинарные границы, порождают новые пограничные области, приводят к возникновению новых концепций. Идет целенаправленное агрегирование знаний и представлений, выявление концептуальной общности целого ряда, казалось бы, различных явлений. Детализация знаний, узкая специализация дает выход в практику, синтез дает общую перспективу, определяет стратегию научного поиска. В разные периоды истории роль двух противоречивых и взаимосвязанных процессов детализации знаний и их синтеза была различной. Сегодня в принципе невозможно представить, не прибегая к математике, наши знания в виде непрерывной единой системы. Но необходимо и существенное расширение многих традиционных представлений о содержании и принципах математических исследований. Количественный

8

аспект является одной из важнейших сторон математики. Но этот аспект далеко не исчерпывает математику. Математика развивается, прежде всего, как дисциплина, создающая качественные методы анализа. Огромную роль в прогрессе математики сыграло изучение свойств абстрактных пространств со сложной топологической основой. Однако развитие синтезирующих конструкций задерживается не трудностями развития абстрактных областей математики. Неспособность современной математики полностью удовлетворить потребности анализа проблем естествознания вряд ли может быть преодолена на пути использования пространств более сложной топологии. Необходима ревизия многих исходных посылок математики. Математика континуума является одним из величайших достижений человечества. Необходимость понять мир в целом, определить его основные черты требует определенного уровня агрегирования, и именно идея непрерывности дала наглядную асимптотику реальности. Современное состояние физики и инженерных наук обязано, в первую очередь, понятиям сплошной среды и поля. Но любое детальное изучение фрагментов реального мира требует перехода к дискретному описанию. Дискретная структура материальных тел - одна из основных особенностей материи, без учета которой нельзя сколь угодно детально изучить ее свойства. Для работы с ЭВМ математики придумали способы дискретизации континуума абстрактное дискретное приближенное описание дискретных процессов. К сожалению, хороших методов описания и анализа процессов дискретной природы математика в достаточной мере не заготовила. Создание эффективных средств анализа моделей дискретной природы будет одним из важнейших инструментов изучения объектов реального мира. Синтезирующая роль математики в общем процессе развития знаний бесспорна. « Но будущее ее место не столько в совершенствовании ее традиционных глав, сколько в создании новых направлений, способных заложить основы архитектуры междисциплинарных исследований на базе дискретного описания изучаемых процессов и алгоритмов, допускающих вмешательство человека». «При правильном применении математический подход не отличается существенно от подхода, основанного просто на здравом смысле.

9

Математические методы просто более точны и в них используются более точные формулировки и более широкий набор понятий, но, в конечном счете, они должны быть совместимы с обычными словесными рассуждениями, хотя, вероятно, идут дальше их». Чтобы успешно использовать в прикладных исследованиях математические методы, исследователь должен свободно ориентироваться во всех основных разделах математики. «Успех в прикладной науке требует широкой математической подготовки, поскольку только такая подготовка может обеспечить приспособляемость к непрерывно меняющимся типам задач, предъявляемых к решению. Одной из причин необходимости изучения на первый взгляд «бесполезных» для практики разделов математики является достижение более уверенного и более свободного владения «нужными» разделами математики». Привлечение тех или иных математических методов зависит от физической природы исследуемой системы, характера решаемой задачи, имеющегося прикладного обеспечения и опыта исследователя. Применение «хорошего» математического метода само по себе не гарантирует успех исследования. Обычно основные трудности связаны не с использованием эффективных математических методов, а с грамотной формулировкой цели исследования, выбором критериев. Однако правильный выбор математического метода существенным образом способствует получению необходимого результата кратчайшим путем. Для изучения сколь ни будь сложных явлений, всегда требуются исследователи разнообразной компетентности. Возникает необходимость в диалоге, участники которого обладают не только собственными знаниями, но и методами той дисциплины, которую они представляют. Это приводит к необходимости преодоления определенных барьеров несовместимости. Ключевой проблемой такого диалога является объединение формальных методов, свойственных математике, с неформальными методами, традиционными для гуманитарных дисциплин. В настоящее время разрабатываются мощные имитационные модели, являющиеся важной основой совместной работы ученых разных специальностей при изучении сложнейших явлений мира, процессов развития цивилизации. Математика

10

выступает как связующее звено диалога между представителями различных профессий. Объединение формальных и неформальных подходов должно привести к развитию новой научной дисциплины, которую академик Н.Н. Моисеев предлагал назвать теорией неформальных процедур. Имитационные системы, функционирующие в диалоговом режиме, и являются первым элементом аппарата этой теории. Процедура использования диалоговых систем - это алгоритм, в котором присутствует человек со всеми его особенностями. Теория подобных алгоритмов нуждается в дальнейшей разработке В основе больших диалоговых систем лежат математические модели. От того, как построена эта система, во многом зависит успех исследования. Отдельными частями такой системы являются: сервис - это система алгоритмов, приспособленная к задачам исследования; банк данных - информация в банке данных должна быть организована, в том числе согласована по составу и точности; организация информационных банков составляет специальный раздел математики; внешняя операционная система - это совокупность программ, обеспечивающих управление процессом исследования. Обязательно должен быть принят понятный всем исследователям язык общения. Алгоритмический язык - это новый тип формализации, способ общения между исследователями разнообразной специализации. Вопрос исследователя должен так интерпретироваться, чтобы был понятен не только вопрос, но и была бы включена в действие управляющая программа, приводящая в действие систему, формирующую ответ на языке понятном исследователю. Создание имитационных систем связано не только с техническими и программистскими трудностями - при многократных повторениях на имитационных моделях вариантных расчетов возникают новые представления о содержании той информации, которая закодирована формальным языком модели.

11

У математики есть и другая функция. А именно, язык математики используется в других науках. Об этой функции математики так сказал Галилей: «Философия написана в грандиозной книге – Вселенной, которая открыта нашему пристальному взгляду. Но понять эту книгу может лишь тот, кто научился понимать её язык и знаки, которыми она написана. А написана она на языке математики». Сегодня это изречение Галилея как никогда справедливо. Более того, оно стало значимей. Математика сегодня создает инструментарий для синтеза знаний, полученных в различных областях науки, способствует выявлению концептуальной общности целого ряда явлений и процессов реального мира.

2. Две стороны (два направления) математики В математике различают две стороны: теоретическую (чистую) и прикладную. Большинство математиков придерживаются положения, что эти два направления являются двумя сторонами одной науки – математики, непрерывно обогащающими друг друга. Для известного американского математика Т.Саати это очевидно, он говорит о своей любви к обеим сторонам математики: - к чистой математике за ее возвышенный уход от реальности; - к прикладной математике за ее страстное стремление к жизни. Взаимосвязь, единство двух сторон математики, их взаимообогащение особенно отчетливо заметны, если обратиться к истории развития математики. «Подчас очень трудно в конкретных условиях установить связь того или иного направления математики с конкретной человеческой практикой. Однако связь легко просматривается сквозь перспективу столетий. И более того, всякий крупный прорыв человеческой мысли в новые области техники и физики как следствие всегда стимулировал развитие математики. Возникали новые концепции, новая теория. Она начинала жить самостоятельной жизнью, казалось бы, оторванной от исходной посылки, а затем возвращала сторицей

12

то, что она использовала для своего развития, то, что послужило исходным пунктом». И все же периодически появляются высказывания, и даже дискуссии относительно содержания и взаимоотношений чистой и прикладной сторон математики. Приведем некоторые «крайние» позиции. 1. «Математика есть создание чистого разума и поэтому не нуждается в связи с другими сферами деятельности». (Л.Морден) 2. «Под словом математика подразумевается чистая математика. Кроме нее существует прикладная математика. Задачей статьи является проведение четкой и недвусмысленной линии раздела, даже не линии, а заградительной полосы между этими двумя совершенно разными областями науки». (А.Китайгородский) 3. «Математика едина. Это положение означает, что деление математики на чистую и прикладную не может быть строго проведено, что чистая и прикладная математики являются частями единого неразрывного целого, называемого математикой, что эти части невозможно четко отделить одну от другой». (Л.Кудрявцев) 4. «Чисто логические концепции должны составлять, так сказать, твердый скелет организма математики, сообщающий ей устойчивость и достоверность. Но сама жизнь математики, ее продуктивность относится преимущественно к приложениям. Изгнать приложения из математики это то же самое, что искать живое существо с одной только костной основой без мускулов, нервов, сосудов». (Ф.Клейн) При дальнейшем изложении будем придерживаться положения, что чистая (теоретическая) и прикладная математика не что иное, как две стороны одной науки – математики. Использование терминов «чистая», «прикладная» математика оказывается удобным, вследствие естественного разделения направлений деятельности математиков, что, соответственно, приводит к

13

необходимости дифференциации подготовки математиков. В большинстве случаев вместо термина «прикладная математика» ближе к существу было бы «прикладные математические исследования». Чистая и прикладная математика, будучи двумя частями единой науки, различаются направленностью, целями исследования, именно тем, что позволяет одной уходить от реальности и требует от другой разбираться в сущности этой реальности. Поэтому, несмотря на единство основных положений, а также на тесную взаимосвязь двух сторон математики, существуют значительные особенности в логике и методологии каждой из этих сторон. Не останавливаясь подробно на особенностях методологии теоретических и прикладных исследований, отметим здесь только следующие положения. В прикладных исследованиях одинаково вредны как и стремление к безупречной строгости доказательств, так и ползучий эмпиризм. Требования математиков-теоретиков обеспечить безусловную строгость в приложениях сродни претензии на изоморфное отображение действительности, на абсолютную истину. Жесткость теоретических конструкций может быть в определенных случаях весьма полезна и в приложениях, однако при исследовании объектов реального мира более предпочтительны гибкие подходы прикладной математики. В тоже время, прикладные исследования без должного ознакомления с уже имеющимися теоретическими результатами и обобщениями приводят к бесполезной трате средств, а нежелание или неумение осмыслить, обобщить результаты эксперимента может привести к потере информации, к содержательно бедным, а, порой, и неверным выводам. За последнее время получены новые результаты в теоретической математике, в частности активно развивается теоретико-множественное направление, создаются новые разделы математики. Однако, пожалуй, наибольшие успехи получены в прикладных исследованиях. Стимулом развития теоретических направлений все чаше являются потребности практики. Какими же знаниями должен обладать математик, занимающийся прикладными исследованиями?

14

Кратко это можно сформулировать следующим образом. Он должен: - знать математические методы, возможности их применения, для чего достаточно уверенно ориентироваться во всех разделах математики; - владеть логикой и методологией прикладных исследований, методологией моделирования; - обладать способностью, творчески осмыслить существо задачи, владеть искусством постановки и формализации задачи. Об этом пишет Р. Акофф, подводя итоги своей 30-ти летней практической деятельности в области поиска подходов к решению проблем: «Вначале я подходил к решаемым проблемам с общеметодологической точки зрения. Затем методология отошла на второй план, уступив место математическому подходу. В конечном итоге и общая методология и научные методы стали моими союзниками при решении проблем. Однако по мере того, как я все в большей степени использовал и то и другое, я все больше убеждался, что даже в совокупности общая методология и научные методы не могут обеспечить вполне удовлетворительного подхода к решению проблемы. Т.е. ни о каком неожиданном решении, которое мы обычно называем «красивым», не может быть и речи; последнее может быть получено только при таком подходе к решению проблем, который содержит элементы искусства, т.е. элементы творчества. Если первые два требования к знаниям исследователя, являющиеся обязательными для успешных прикладных исследований, относятся к науке, то последнее требование творческого подхода к задаче предполагает наличие у исследователя специфических качеств, способностей, т.е., в значительной мере, относится к искусству. «Искусством моделирования может овладеть тот, кто обладает оригинальным мышлением, изобретательностью и находчивостью, равно как и глубокими знаниями систем и явлений, которые необходимо моделировать». Применению математических методов и методологии можно научить. Способность к творчеству возможно только развивать, путем изучения опыта

15

других исследователей, изучения существующих моделей. Однако наиболее ценен собственный опыт, критическое осмысливание ошибок. Интеллектуальные качества, опыт и специальные знания исследователя имеют важнейшее значение при создании моделей для решения реальных задач. «Поэтому невозможно написать учебник, изучив который исследователь мог бы браться за любую прикладную задачу. Если бы такой учебник был рекомендован, то следование ему могло скорее привести к ограничению творческих возможностей, чем способствовало бы их развитию». Отдавая дань важности творческого элемента, нельзя ни в коей мере преуменьшать значения для успеха в прикладных исследованиях знания методологии и логики прикладной математики. Математические методы: теоретические обоснования, алгоритмы, а также вопросы программной реализации занимают наибольшую часть учебного плана подготовки прикладников. Соответствующие курсы обычно перегружены классическими началами, а также доказательствами теорем существования, сходимости. Доказательства эти рассматриваются для всех крайних, порой практически не встречающихся случаев. Особенностям подходов прикладной математики на младших курсах внимания уделяется мало или совсем не уделяется. Но именно на первых двух-трех курсах формируются основы профессионального мировоззрения студента. Отсутствие знаний по логике и методологии прикладной математики приводит к тому, что по окончании вуза специалисты оказываются не готовыми к участию в прикладных исследованиях. Им приходится «перестраиваться». «Эта перестройка, порой, напоминает ломку, так как сопровождается отбрасыванием многих «чистых» определений, теорем и приемов, на категоричности которых настаивает чисто дедуктивный образ мышления». Перестройка на другую методологию (доучивание или переучивание) обходится весьма дорого и происходит весьма болезненно. Так в одном из прикладных институтов молодым специалистам, окончившим университет и обладающими хорошими теоретическими знаниями, отводилось для «входа в работу» до двух лет и, зачастую, безрезультатно. Отсюда появляется и проблема так называемых «невостребованных знаний».

16

Одна из причин отсутствия в вузах должного внимания изучению особенностей подходов к постановке и решению прикладных задач заключается в том, что у значительного числа математиков-преподавателей вузов существует мнение о безусловной значимости и научной ценности только чистой математики. В соответствии с этим мнением строятся курсы и пишутся учебники для будущих прикладников. В ответ на просьбу дать оценку программе по математике, составленной для одного из физических факультетов, Л.Д.Ландау писал: «При всей важности математики для физиков, физика, как известно, нуждается в считающей аналитической математике; математики же, по непонятной мне причине, подсовывают нам в качестве принудительного ассортимента логические упражнения... Мне кажется, что давно пора обучать физиков тому, что они сами считают нужным для себя, а не спасать их души вопреки их собственнику желанию. Мне не хочется дискутировать с достойной средневековой схоластики мыслью, что путем изучения не нужных им вещей люди будто бы научатся логически мыслить. Я категорически считаю, что из математики, изучаемой физиками, должны быть полностью изгнаны всякие теоремы существования, слишком строгие доказательства и т.п.» Критическое отношение теоретиков к прикладным работам приводит порой к появлению у некоторых исследователей комплекса «математической неполноценности» и к стремлению «усилить» теоретически свою работу. Это, в ряде случаев, приводит к появлению печатных трудов по прикладным проблемам, искусственно насыщенных математическими выкладками, и в результате трудных для чтения, а иногда к самым нелепым наукообразным упражнениям. К настоящему времени имеется достаточное количество учебников и монографий, в которых излагаются особенности подходов прикладной математики. В работах обобщается опыт прикладных исследований - опыт создания моделей, даются рекомендации по технологическим аспектам моделирования; таким как типовые структуры моделей, этапы моделирования, работа с входной информацией, методы обработки исходов моделирования и пр., а также и аспектам, связанным с организацией взаимодействия исследователя и заказчика, обеспечением внедрения полученных и принятых

17

рекомендаций. Ознакомление с опытом моделирования дает возможность избежать типовых ошибок, сэкономить средства, сократить путь к «хорошему решению». Однако, адресуя студентов и специалистов-исследователей к работам, посвященным прикладным математическим исследованиям, следует обратить внимание на то, что описание созданных моделей может порой создать иллюзию легкости получения необходимой модели, легкости организации вычислительного эксперимента и выработки действенных рекомендаций. Здесь уместно привести следующее замечание относительно содержания научных отчетов: «К сожалению, результаты всех научных исследований излагаются и обобщаются нам в форме логической реконструкции событий, имеющих целью оправдать смысл полученных результатов. Эта логическая реконструкция имеет мало общего со способом, при помощи которого исследования проводились в действительности. Ни в одном научном отчете вы не найдете описания фальстартов, ошибочных предположений, принятых и затем отвергнутых, разочарований, вызванных ошибками, и внезапных озарений». И аналогичное замечание относительно математического образования. «Большой объем накопленных знаний, впрессованный в учебник или лекционный курс, просто не оставляет времени и места для познания природы и творческих усилий, затраченных на добывание этих знаний. Безупречная логика в организации лекционного материала, совершенство его подачи делают для слушателей незаметными швы и элементы конструкций, создают у студентов ощущение незыблемости идеального: они чувствуют себя скорее посетителями храма науки, нежели его обитателями и тем более строителями. Разделы учебного плана, требующие активной работы студентов (упражнения, практикумы), часто носят тренировочный, целевой характер, при котором отсутствует элемент постановки задачи или поиска метода решения, столь необходимый для развития творческого

18

воображения».

3. Моделирование. Основные понятия 3.1.Определение понятия «модель». Модель - способ познания мира - основной и единственный инструмент решения всех задач, возникающих перед человеком, инструмент научных исследований: анализа и синтеза. Процесс получения и использования знаний включает три этапа. 1. Наблюдение, опыт - изучение феномена, накопление данных - в результате собирается информация для последующего анализа. 2. Построение и изучение модели - выделение существенного, обобщение и выводы. 3. Проверка и использование выводов на практике. Принятие решений. Существует множество определений понятия «модель». Приведем некоторые из них. (1). Любое абсолютное знание познается через бесконечную цепочку относительных истин, приближенно отражающих те или иные черты объективной реальности. Эти относительные истины и есть модели. Язык описания модели определяет её характер. На математическом языке получается математическая модель. (2). Модель является намеренно упрощенной схемой некоторой части реальной жизни, с помощью которой мы надеемся получить рекомендации к решению реальных проблем. (3). Объект М является моделью объекта А относительно некоторой системы S характеристик, если М имитирует А по этим характеристикам.

19

(4) Математическая модель - это логическая структура, у которой описан ряд отношений между её элементами. Модель строится с учетом законов, но и сама модель может привести к открытию новых законов. Модель может применяться в одном из следующих качеств: средства познания мира, изучения характеристик и поведения реальных объектов в различных условиях; средства синтеза объектов с требуемыми характеристиками, заданным поведением; средства обучения и тренировки; средства общения (язык, письменность). Модели могут служить для достижения одной из двух целей: описательной или предписывающей. Описательные модели служат для лучшего понимания, объяснения объекта, предписывающие позволяют предсказать и (или) воспроизвести характеристики объекта, определяющие его поведение. Предписывающие модели всегда и описательные. Естественно, с помощью моделирования изучаются и сами модели: закономерности их построения, методология применения, закономерности развития. Однако зачастую прикладная задача, для решения которой вроде бы создается модель, оказывается у «исследователя» на втором плане, или совсем исчезает. Модель становится не инструментом решения конкретной прикладной задачи, а самоцелью и в таком качестве выступает как средство самоутверждения создателя модели, а порой просто иллюстрирует его неграмотность. Процент подобных «моделей» весьма велик. Здесь плохую роль могут сыграть приведенные выше формально верные для любого типа моделей (не только прикладных) определения вида (3). В дальнейшем вне зависимости от конкретного содержания моделируемого фрагмента реального Мира будем называть этот фрагмент

20

«оригинал», «система», «объект», «прообраз», а результат моделирования «модель», «образ». 3.2.Определение модели в логико-алгебраических терминах Определение модели в логико-алгебраических терминах связано с формально-логическим исследованием закономерностей, проявляющихся при моделировании. Исходные положения здесь заключаются в том, что любой обозреваемый фрагмент Мира может быть представлен в качестве частичной алгебраической системы, т.е. множества объектов, на подмножестве которых определены некоторые операции и отношения. Алгебраической системой будем называть тройку U = , где A - произвольное множество; Wf, Wp - наборы, определенных на А операций и предикатов, соответственно. Сигнатура алгебраической системы - это множество операций и предикатов, определенных на А. Поскольку каждую n-арную операцию, определенную на А, можно заменить n+1-арным предикатом, то дальше будем рассматривать алгебраическую систему в виде: U = . Пусть А и В - два произвольных равномощных множества и Wp, Wq семейства предикатов, определенные, соответственно, на A и B. Пусть каждому a из A соответствует только одно b из B и наоборот: f(a) = b, t(b) = a. Предположим также наличие однозначного соответствия между семействами предикатов. При таком взаимно однозначном соответствии каждое из множеств A и B является изоморфным отображением другого. Изоморфизмом является и каждая из функций f и t. f : A → B, t :B → A. Если, не меняя остальных предположений, требование взаимной однозначности заменить требованием однозначности только в одну сторону от A к B, то В будет гомоморфным образом А относительно заданного семейства предикатов. Если для изоморфизма характерно отношение эквивалентности, т.е. рефлективность, симметричность, транзитивность, то в случае гомоморфизма

21

остается рефлективность и транзитивность, что и характерно для моделирования, поскольку при отображении реальности естественно отказаться от симметричности. То есть модель является гомоморфным отображением объекта, при котором определенные второстепенные детали опущены. Подход к процессу моделирования как к выделению существенных деталей и исключению несущественных в процессе гомоморфного преобразования исходного фрагмента Мира связан с алгебраической идеей факторизации исходного множества. Фактор-множеством исходного множества по данному отношению эквивалентности называется множество различных типов (классов) эквивалентности. Каждый класс эквивалентности может быть представлен (порожден) любым своим членом. Отношением конгруэнтности называется отношение эквивалентности, подстановочное для любой определенной на данном множестве операции. Т.е. такое отношение Z, что для любой, определенной на множестве n-местной операции w и для любых двух наборов из n элементов a = (a1, a2, …, an) и b = (b1, b2, ..., bn) из того, что ai Z bi, для всех i от 1 до n следует w(a1, a2, ..., an) Z w(b1, b2, ..., bn). При отношении конгруэнтности на фактор-множестве определены те же операции, что и на исходном множестве и между элементами фактормножества (элементами классов эквивалентности) сохраняются те же самые отношения и свойства. Таким образом, оказываются определенными фактормножество и его фактор-алгебра. Фактор-множество по данной конгруэнтности Z можно представить как [A] = A/Z, оставив для фактор-множества все операции, определенные на исходном множестве, т.е. для каждой n-местной операции w из A на фактормножестве [A] можно определить n-местную операцию w([a1], [a2], ..., [an]) = w(a1, a2, ..., an), где в качестве ai, i=1, 2, ..., n может быть взят любой представитель ai из [ai ]. Такая факторизация является гомоморфизмом. Формально-структурные закономерности моделирования в чисто алгебраических требованиях можно изложить следующим образом.

22

1. Абсолютно изоморфная модель действительности есть только идеализация. 2. В моделях достаточно потребовать не эквивалентности их оригиналам, т.е. изоморфизма, а лишь гомоморфизма модели оригиналу. К тому же сам по себе акт выделения интересующей нас подсигнатуры из полного набора атрибутов является гомоморфным преобразованием. 3. Справедлива следующая теорема о гомоморфизмах. Для любого гомоморфизма универсальной алгебраической системы U в алгебраическую систему V можно указать такое отношение конгруэнтности Z на U, что V изоморфна фактор-алгебре U/Z. Фундаментальная методологическая функция теоремы о гомоморфизмах заключается в следующем.Если считать, что каждая научная теория представляет собой гомоморфный образ описываемого ею фрагмента действительности, то получается, что такая теория есть изоморфный образ некоторой «фактор - действительности», т.е. совокупности классов отождествляемых в результате некоторой абстракции объектов, иначе говоря, совокупности абстрактных понятий, между которыми вводятся соотношения, индуцируемые отношениями, имеющими место между исходными объектами. Другими словами, сколь бы разнообразны ни были гомоморфные модели Мира, или, точнее фрагментов Мира, все они, так или иначе, в некотором смысле, не только предопределяемы объективными атрибутами этого Мира, но содержатся во множестве его подмножеств. Теорему о гомоморфизмах можно выразить и следующим образом. Точность любого описания - это точность соглашения о неразличимости отождествляемого. В теореме о гомоморфизмах содержится принцип адекватности модели объекту. Теоремы о гомоморфизмах справедливы и при синтезе новых систем. Несмотря на то, что при логико-алгебраическом подходе к процессу моделирования изучаются только элементарные акты познания, применение полученных выводов и, в частности, обобщённых теорем о гомоморфизмах, приводит, в большинстве случаев, к обоснованному заключению об адекватности модели изучаемому прообразу и может служить достаточно эффективным ограждением от многочисленных спекуляций, выдаваемых за модели. Важность последнего в прикладных исследованиях очевидна.

23

3.3.Классификация моделей. Существует много классификаций моделей, которые характеризуют их свойства, особенности применения, происхождение. Классификация моделей является одним из условий их грамотного применения. При этом оказываются полезными следующие вопросы. Модель какого вида более всего подходит для решения поставленной задачи? К какому классу относится разрабатываемая модель и в чём особенности её использования? Приведём некоторые основные классификации. 1 ) В зависимости от особенностей возникновения модели могут быть разделены на три группы. а) Феноменологические, возникающие в результате прямого наблюдения объекта, явления, его осмысливания. б) Асимптотические - их появление результат дедукции. Новая модель появляется как частный случай более общей модели. Переход от феноменологических моделей к асимптотическим моделям характеризует определённую зрелость науки. в) Модели ансамблей - возникли в результате процесса индукции. Новая модель является обобщением или синтезом отдельных моделей. В моделях ансамблей свойство отдельных объектов исследуются с учётом взаимодействия объектов. Модели ансамблей не могут быть получены путём механического объединения моделей отдельных объектов в модель системы. При объединении объектов в систему внутренние свойства объектов могут изменяться, что особенно заметно при изучении социально- экономических систем. 2 ) В зависимости от способа описания свойств объекта различают модели вербальные, изобразительные, аналоговые, символические. Вербальные – это словесные, описательные модели.

24

В изобразительных моделях изучаемые свойства объекта представлены этими же свойствами, но, как правило, в другом масштабе. Например, модель самолёта для продувки в аэродинамической трубе, модель солнечной системы в планетарии, модель гидроузла в конструкторской организации. В аналоговых моделях свойства объекта отображаются набором специфических свойств модели. Так, при аналоговом моделировании полёта самолёта параметры (координаты, скорость) самолёта отображаются в модели значениями напряжения, силы тока. Аналогом высоты поверхности над уровнем моря являются на карте соответствующие линии - горизонтали. В символических (знаковых) моделях представление величин и отношений между ними осуществляется с помощью букв, чисел и других знаков. Это наиболее общий тип моделей. Их основное качество - «вариантность». Одним знаковым описанием кодируются физически различные системы. Бесконечное число конкретных значений параметров системы и, соответственно, бесконечное число вариантов её поведения могут быть изучены на одной и той же модели. При исследовании объекта могут быть использованы все четыре типа моделей. Вербальные и изобразительные модели при этом могут рассматриваться в качестве инструмента первого приближения решения задачи. Возможны комбинации различных типов моделей. Так, в тренажёры включают и аналоговые и знаковые блоки. 3 ) В зависимости от способа отображения объекта различают модели аналитические и имитационные. В аналитических моделях используются полученные из различных соображений зависимости между входными переменными, компонентами модели и выходными переменными, в том числе, при необходимости, зависимости для вычисления критериальной функции. Для заданных входных возмущений обеспечивается вычисление исходов модели без имитации реальных процессов, протекающих в объекте. Для аналитических моделей наиболее характерны вербальные и знаковые способы описания.

25

Имитационная модель имитирует исследуемый объект, течение реального процесса. Для имитационных моделей используются все способы описания. Выбор между аналитической и имитационной моделями определяется задачами исследования, уровнем знаний об объекте и квалификацией исследователя. Термин «реальный процесс» здесь и далее используется в смысле процесс «существующей или способной принять форму существования». Это равным образом относится к аналитическим и имитационным моделям. Для лучшего уяснения разницы между аналитическими и имитационными моделями рассмотрим примеры. Пример 1. Преобразование случайного стационарного процесса линейной системой описывается в аналитической модели в следующем виде: Mвых = Mвх ⋅W( 0 ) ; Gвых(ω) = Gвх(ω)⋅ |W(jω) | 2 , где Mвх, Gвх(ω), Mвых, Gвых(ω) – математические ожидания и спектральные плотности входного и выходного процессов, соответственно; W( jω ) - амплитудно-фазовая характеристика системы. Если характеристики входного сигнала и передаточная функция системы известны, то характеристики выходного сигнала вычисляются по приведенным зависимостям. При имитационном моделировании создается модель с передаточной функцией W(s). При проведении эксперимента на вход модели подаются реализации случайного выходного сигнала. Для получения надёжной характеристики выхода модели потребуется достаточно большое число реализаций, обычно не менее 50. Подобный подход используется и для «вскрытия» структуры объекта, в таком случае модель является «черным ящиком». Пример 2. Случайное блуждание частицы по целочисленным точкам действительной прямой, при котором на каждом шаге частица с вероятностью p смещается на 1 и с вероятностью q = 1 - p на -1. Пусть i - начальное положение частицы, j - положение частицы через n шагов, n = 0, 1, 2, ... и

26

Pij( n ) – вероятность перехода частицы за n шагов из состояния i в состояние j. При n < j - i переход из i в j не возможен. При n > j - i за n шагов частица может перейти лишь в те состояния, для которых разность j - i имеет ту же чётность, что и n, т.е. число m = ( n + j - i )/2 является целым. Пусть j > i, тогда попасть из состояния i в состояние j можно только, когда из всех n шагов ровно m совершается в положительном направлении. Вероятность этого m n− m Pij (n) = C m np q Аналогично вычисляется вероятность Pij( n ) для случая j < i. Таким образом, построена аналитическая модель, с помощью которой можно получить вероятность перехода частицы за n шагов из i-го состояния в любое j-ое состояние. При имитационном моделировании, чтобы получить искомую вероятность потребуется провести серию из N испытаний. При каждом отдельном испытании моделируется движение частицы, начиная с i-го начального состояния. При этом, для определения направления движения частицы на каждом шаге разыгрывается случайная величина, принимающая значение +1 или -1 с заданными вероятностями. При каждом испытании записывается, где оказалась частица после n шагов. Пусть после N испытаний, каждое из которых состояло из n шагов, частица K раз оказалась в состоянии j. Тогда Рij(n) = K/N. Для данного простого случая преимущество аналитической модели очевидно. В более сложных случаях, например трёхмерного блуждания, или блуждания с поглощающими экранами и пр. преимущество аналитической модели будет не таким очевидным. При изучении социально-экономических систем также используются как аналитические, так и имитационные модели.

27

Продолжим рассмотрение классификации моделей. 4) По отношению к управлению модели разделяются на описательные, не содержащие управления и конструктивные с управлением. В конструктивных моделях может ставиться задача достижения одного из трёх видов оптимумов: равномерного, статистического, минимаксного. 5) В зависимости от цели исследования можно выделить модели функциональные, созданные для изучения преобразования объектом входных сигналов, и структурные, предназначенные для изучения внутренней структуры объекта. 6) По отношению к предметной области (ПО) модели делятся на независимые от ПО, настраиваемые на ПО, ориентированные на ПО. Модели перед их применением необходимо наполнить конкретной информацией. Модель без наполнения конкретной информацией называется общей, абстрактной. При этом возможны различные уровни абстракции. Модели с высоким уровнем абстракции изучаются самостоятельно. Полученные при этом результаты имеют общую значимость для всех случаев их наполнения конкретной информацией. Модель, наполненная информацией из конкретной предметной области, называется конкретной. Задача наполнения общей модели информацией при существенном объеме последней привела к разработке баз и банков данных. Базы обеспечивают хранение данных, в банках кроме хранения информации, указания способа и форм её вызова предусматривается совокупность обслуживающих операций, в том числе первичная обработка информации. В зависимости от характеристик объекта, вида входной информации и цели исследования различаются модели:

28

7) детерминистические, стохастические, модели с неопределенностями; 8) непрерывные и дискретные; 9) статические и динамические; 10 ) линейные и нелинейные. В некоторых работах последние четыре классификации, трактуются как общие свойства модели. 4. Этапы моделирования. Этапы моделирования или, что одно и тоже, этапы прикладного исследования показаны на блок-схеме рис.1. На схеме видны многочисленные обратные связи - возвращение к предыдущим этапам после анализа промежуточных и конечных результатов моделирования. Это характерно для прикладных исследований. В процессе эксперимента уточняются постановка задачи, её формализация, допущения, совершенствуются вычислительные алгоритмы. При моделировании сложной системы часто оказывается удобным, а порой и необходимым, ввести декомпозицию, деление системы на модули, после чего сложная система будет состоять из связанных между собой моделей этих модулей. Структура полученной таким образом сложной модели должна соответствовать структуре и иерархии исходной системы, точнее, полученная модель должна быть адекватной исходной модели в том смысле, как это определено выше для прикладных исследований. Соответственно, создание модели сложной системы включает две дополнительные операции: (1) декомпозицию системы, деление её на модули и (2) согласование отдельных модулей, их входов и выходов. Для моделей сложных систем характерно, что: - одна и та же информация оказывается необходимой для разных блоков моделей модулей системы; при совместной работе блоков сложной модели требуется видоизменение информации при передаче её от одного блока к другому (т.е. интерфейсная адаптация).

29

В связи с этим при моделировании сложной системы особое внимание уделяется способам хранения информации и организации информационных потоков. Декомпозицию и согласование при создании модели сложной системы следует отнести к этапу 2 (рис.1). Достоинство математики - применение одинаковых моделей для изучения различных по физической природе и решаемым задачам систем. Это не противоречит утверждению, что для решения каждой конкретной проблемы нужна своя индивидуальная модель. Как бы ни была сложна и «индивидуальна» модель, всегда при её создании используются разработанные ранее для других целей блоки моделей и методы, а также накопленный методический опыт. 4.1.Постановка задачи 4.1.1.Значение этапа «Постановка задачи» является 1-м этапом моделирования. Решающее значение этого этапа для успеха исследования отмечается во всех работах, посвященных методологии моделирования. Это положение также хорошо иллюстрируется стихотворением В.Брюсова: "Однажды ошибясь при выборе дороги,/ Шли вдаль ученые, глядя на свой компас./ И был их труд велик, шаги их были строги,/ Но уводил их прочь от цели каждый час". Приведем высказывания по этому поводу известных математиков. «Прикладной математик должен уметь не только и не столько решать задачи, сколько ставить их...Сформулировать задачу на языке математики это значит более чем наполовину решить её.» /И.Грекова/ «Плодотворно работающего аналитика отмечает способность правильно формулировать проблему.» / Л.Хатч / «Начинающий работу математик часто жалуется на трудности контактов с представителями других наук, которые «даже» не могут сформулировать стоящих перед ними задач. Правильное формулирование задачи - это научная проблема не менее сложная, чем решение задачи, и не нужно надеяться, что кто- то другой сделает это за вас» / Н.Бахвалов /.

30

1. Постановка задачи

2. Выбор вида (типа) модели 3. Разработка матем. модели 4. Разработка методов расчета численных алгоритмов 5. Реализация модели 7. Проверка модели Оценка адекватности 8. Проведение исследований

6. Разработка методики исследований Планирование экспериментов

9. Анализ результатов

10. Разработка рекомендаций

11. Сопровождение принятого решения Рис.1.

31

Работа исследователя - прикладного математика начинается с изучения той области знаний ( науки, техники, экономики и пр.), где возникла требующая решения задача. Применение математических методов до тех пор, пока задача не освоена на до математическом уровне может принести только вред. Проблема постановки задачи возникает зачастую, как состояние неудовлетворенности. Ситуация становится проблемой, когда действие какой либо системы, течение какого либо процесса не приводят к желаемому результату. Известна следующая оценка времени на отдельные этапы моделирования: постановка задачи - 40-50 % ; разработка модели - 20-30 % ; эксперимент, анализ результатов - 20-30 % . 4.1.2.Содержание этапа При постановке задачи решаются следующие взаимосвязанные задачи. 1) Уяснение задачи исследования. 2) Изучение объекта моделирования (системы, процесса). 3) Анализ доступной информации. 4) Выявление релевантных факторов. 5) Формулирование альтернатив. Определение диапазона изменения параметров и переменных. 6) Определение ограничений и допущений. 7) Выбор критерия, системы критериев качества решения задачи. 8) Установление масштаба предстоящего эксперимента. 9) Математическая постановка (формулировка) задачи. Вследствие взаимосвязанности задач, строгой последовательности их решения не существует. Так, уяснить цель исследования и грамотно, даже на до математическом уровне, сформулировать эту цель возможно только после определенного уровня ознакомления с объектом. Изучение объекта продолжается в течение всего этапа постановки задачи; после анализа

32

доступной информации может последовать определенная корректировка задачи исследования. Далее приводится краткое пояснения существа перечисленных задач. (1) Без четкой формулировки на до математическом, гуманитарном уровне возникшей проблемы и задачи исследования дальнейшая работа может оказаться просто бессмысленной. К сожалению, недооценка этого положения явление не редкое. (2) Характер изучения объекта решающим образом зависит от двух обстоятельств: физической природы объекта и цели исследования. При изучении объекта необходимо понять его значение, структуру, его границы и взаимодействие с окружающей средой, перспективу существования, развития. (3) Информация нужна не любая, а только та, которая действительно обеспечит решение задачи. Излишние подробности могут только помешать решению задачи. «Информацию нужно профильтровать, отделить важное от не важного, нужное от ненужного, а отсеянное нужно представить в наиболее выразительной легко усвояемой форме. И это тоже задача прикладной математики, которой на этот раз приходится работать на грани психологии и социологии». Необходимо также получить надежные оценки точностных характеристик исходной информации. «Для успеха исследования настолько важно иметь беспристрастные, независимые от субъективных оценок фактические данные, что все они должны быть проверены и перепроверены независимо от того, из какого источника они получены». Типичной ошибкой прикладных исследований является начало работы со сбора информации, до того, как уяснена постановка задачи, намечена, хотя бы в первом приближении, методика исследования. Если информация собиралась до выяснения перечисленных обстоятельств, то велика вероятность, что будет собрано много ненужной информации, а что-нибудь очень необходимое отсутствует. Важно также учитывать фактор старения информации. Характеристики доступной информации (полнота, достоверность, точность) влияют на структуру модели, методику проведения эксперимента. Недооценка этих обстоятельств приводит к появлению моделей, названных выше информационно уродливыми.

33

(4) Релевантными называются факторы, существенным, решающим образом влияющие на результаты исследования. После определения релевантных факторов производится выбор тех из них, которые могут быть описаны количественно, уточнение списка этих факторов путем объединения их по общим признакам и исключения существенно коррелированных факторов. После уточнения списка релевантных факторов потребуется убедиться не приведет ли отказ от некоторых факторов к недопустимому снижению точности решения задачи или, что существует такая вероятность. При внимательном рассмотрении может выясниться, что некоторые факторы, отнесенные вначале к неизмеримым, могут быть оценены косвенно. (5) На начальном этапе необходимо сохранить все возможные, в том числе кажущиеся нелепыми альтернативы решения задачи. Пренебрежение «нелепыми» альтернативами, поспешность в их отбрасывании, уступка соблазну поскорее начать вычисления, «развернуть работу» и ухватиться за первую показавшуюся хорошей альтернативу, может обернуться потерей действительно хорошего решения. В простейшем случае вместо выбора альтернатив требуется определить диапазоны изменения переменных и параметров модели. Существует несколько организационных форм генерирования альтернатив. а) Мозговой штурм. Формируется группа специалистов, состав которой зависит от характера проблемы и вида системы. Члены группы высказывают различные альтернативы решения проблемы, которые фиксируются, причем на этом этапе критика выдвигаемых альтернатив запрещена. Обращается внимание на взаимосвязь альтернатив, возникновение новых идей как развитие ранее выдвинутых предложений. б) Синектика - генерирование идей путем ассоциативного мышления. Среди задач, решение которых известно находятся аналоги исследуемой проблеме. Например, в /20/ задача столкновения двух вражеских группировок решена на основе аналога - процесса взаимного проникновения молекул двух соприкасающихся химических веществ. в) Разработка сценариев. Проводится описание будущего течения процесса при различных альтернативах, но при одинаковых начальных условиях. При этом важно учесть все релевантные факторы, влияющие на процесс.

34

г) Морфологический анализ. Определяются все возможные значения основных переменных и рассматриваются все возможные комбинации значений этих переменных. Например, при выборе вида проектируемого телевизора переменными являются цвет (черно-белый, двухцветный,..., семицветный), размер изображения, градации яркости, и пр. Всего возможно более 300 комбинаций переменных. Безусловно, при рассмотрении комбинаций некоторые варианты могут быть отброшены, как не удовлетворяющие очевидным требованиям. д) Деловые игры. Создаются имитационные человеко-машинные системы для анализа течения процессов при различных решениях участников игры лиц, которым надлежит принимать решения в реальной ситуации. (6) Отказ от факторов, отнесенных к нерелевантным факторам, сознательное упрощение ряда зависимостей, ограничение области изменения некоторых переменных и пр. способствуют упрощению модели, удешевлению эксперимента. Однако при упрощении модели может быть потеряна адекватность модели. Поэтому при постановке задачи необходимо составить список принятых допущений с тем, чтобы вернуться к нему при анализе результатов моделирования. Не исключено, что на полученные результаты сильное влияние оказали неоправданные допущения и необходимо вернуться к уточнению постановки задачи. (7) Критериальная (целевая функция) - это отражение целей исследования и правило оценки этой цели. Критерии должны обеспечить наилучшее, в определенном смысле, решение. В общем случае проблема выбора критерия это установление признака, по которому определяется предпочтительность. В явном виде критерий может быть и не сформулирован, но характер, вид предпочтительности определен. Критерии должны быть, по возможности, не чувствительны к входной информации. Вследствие сложности реальных задач иногда приходится прибегать к приближенным критериям, которые зачастую дают хороший результат. Задача упрощается, если удается ограничиться одним критерием, но для реальных задач более свойственна многокритериальность - т.е. векторный критерий.

35

Примеры задач, в которых используется векторный критерий. (а). Задачи оптимизации на множестве целей, каждая из которых должна быть учтена при выборе лучшего решения (альтернативы). (б). Задачи оптимизации на множестве объектов (подсистем). Качество функционирования каждой подсистемы оценивается своим, частным критерием, а системы в целом - некоторым общим, векторным критерием, составленным из частных критериев. (в). Задачи оптимизации на множестве условий (или временных этапов). Качество функционирования для каждого условия (этапа) оценивается частным критерием, а для всех условий (этапов) - векторным критерием, составленным из частных. (г). Многоуровневые векторные задачи оптимизации, в которых компоненты векторного критерия являются не скалярами, а более сложными образованиями. К векторным критериям предъявляются следующие дополнительные требования: полнота, ввод дополнительных критериев не должен повлиять на результаты решения; минимальность, набор частных критериев должен быть наименьшим из всех возможных наборов, обеспечивающих оптимальный выбор. Частный критерий kj(x), (x∈X, X - множество альтернатив) выбирается так, что бы по мере улучшения решения (приближения к заданной цели) критерий монотонно увеличивался или уменьшался. ( Далее будем полагать, что для всех частных критериев предпочтительным является увеличение значения критерия; чтобы воспользоваться таким предположением, достаточно изменить знак у тех критериев, уменьшение которых соответствует лучшему решению). В простейшем случае для многокритериальных задач правило достижения лучшего решения - принцип оптимальности можно сформулировать по

36

аналогии с однокритериальными задачами следующим образом. Оптимальное решение с векторным критерием K ={kj(x)} j∈(1,2,...,n) достигается, если все частные критерии kj(x) достигают максимума одновременно, т.е. существует такая альтернатива x* что kj(x*) ≥ kj(x) для всех j и всех x ∈ X, причем хотя бы для одного частного критерия имеет место строгое неравенство. Однако подобная ситуация для реальных задач не типична. Обычно увеличение одних критериев сопровождается уменьшением других. В подобных случаях оказывается необходимым прибегнуть к некоторому компромиссу и сформулировать принцип оптимальности в следующем виде: Лучшей альтернативой (оптимальным решением) считается такая альтернатива, на которой, хотя и не обеспечивается максимальное значение каждого критерия, но при привлечении дополнительных соображений, в том числе об относительной приоритетности частных критериев, обеспечивается в каком-то смысле лучшее значение векторного критерия. Таким образом, задачу с векторным критерием можно сформулировать следующим образом: требуется найти альтернативу x* (оптимальное решение удовлетворяющее двум условиям: (1). x* ∈ X, где X - множество всех возможных альтернатив;

x*),

(2). x* - наилучшее решение согласно принципу оптимальности, учитывающего принятую схему компромисса между частными целями. Задачи поиска лучшего решения для трех распространенных схем компромисса можно сформулировать следующим образом.

37

Схема 1. Ищется альтернатива, доставляющая максимум одному, наиболее предпочтительному критерию при условии, что значения остальных критериев будут не менее некоторых заданных заранее величин - cj. ki(x) → max; x∈X; kj(x) ≥ cj; j = (1, ...,i-1, i+1,…n) , здесь ki(x) -наиболее предпочтительный критерий, cj- заданное минимально допустимое значение j-го критерия. Схема 2. Ищется альтернатива x∈X, на которой достигается максимум минимального частного критерия. min f j (k j (x )) → max . j x∈X

f j - функции, нормализующие критерии, т.е. приводящие их к единой

размерности и масштабу. Нормализация необходима, если частные критерии имеют различный физический смысл и измеряются в различных единицах. Схема 3. Строится обобщенная функция частных критериев L( x ) = F (k 1 ( x ), k 2 ( x ),..., k m ( x ))

и ищется альтернатива, доставляющая максимум этой функции. Распространенной, но не обязательно лучшей в конкретной задаче, является функция свертки вида: L( x ) = ∑ α j f j (k j ( x )) , n

α

j =1

α

i

>0,

n

∑α i =1

i

= 1 , где:

- коэффициенты, учитывающие приоритетность частных критериев. Часто в критерий закладывается одновременно оценка качества решения задачи, и какой ценой это качество достигается (критерии вида эффективность-стоимость). Критерии должны быть по возможности не чувствительны к небольшим ошибкам во входной информации. Вследствие сложности реальных задач иногда приходится прибегать к приближенным критериям, которые зачастую дают хороший результат. Очевидно, что от вида критерия может существенно зависеть оценка относительной ценности альтернатив. Полезно проводить сравнение результатов, полученных при различных критериях. i

38

(8) Окончательное определение масштаба эксперимента производится на этапе «Планирование эксперимента». Однако уже при постановке задачи необходимо оценить предполагаемый масштаб эксперимента и, в том числе, ограничения, которые могут возникнуть в связи с недостатком ресурсов и средств. Последние ограничения достаточно типичны для прикладных исследований и, соответственно, влияют на вид создаваемой модели. При разработке модели учитывается и предполагаемый характер использования модели - будет ли модель использоваться неоднократно. (9) Математическая постановка (формализация) задачи завершает этап постановки задачи. При этом должны быть определены функциональные зависимости, связывающие переменные и параметры модели. Формализация задачи существенно зависит от знания исследуемого объекта, задачи исследования, вида создаваемой модели.

4.2.Формализация задачи Математическая постановка (формализация) задачи – создание математической модели завершает этап постановки задачи Математическая модель начинается с момента, когда формулируется система аксиом, описывающая не только сам объект, но некоторую алгебру, т.е. совокупность правил, определяющих допустимые операции над объектом. При формализации задачи должны быть определены функциональные зависимости, связывающие переменные и параметры модели. Формализация задачи существенно зависит от знания исследуемого объекта, задачи исследования, вида создаваемой модели. При формализации задачи вначале полезно обратиться к самой общей схеме модели в виде рис. 2.

Рис.2.

39

На рис.2: X - вектор входных (экзогенных) переменных; Y - вектор выходных переменных - исходы модели; W - оператор модели, обеспечивающий преобразование входной информации в выходную. Возможны следующие варианты задач, решаемых на модели. 1) Прямая задача: известны Х и W, необходимо найти Y. 2) Обратная задача 1: известны Y и W, найти X. 3) Обратная задача 2: известны X и Y, найти W. В задаче 1 в состав модели может включаться реальная система или ее подсистемы. Для обратной задачи 2 возможны два варианта: (1) анализ структуры оператора системы, (2) поиск оператора, обеспечивающего требуемое преобразование входной информации. В обратной задаче 2 при умелом подборе входной информации по анализу реакции системы на входное возмущение вскрывается структура системы. Здесь возможны случаи «черного ящика» - оператор системы полностью не известен и «серого ящика» - структура известна, не известны значения параметров. Поиск оператора для получения требуемого преобразования входного сигнала обеспечивается специальными оптимизирующими процедурами, реализуемыми в моделях. При определении отношений между элементами системы, а так же между системой и окружающей средой необходимо точно установить причинноследственные связи. Различают связи: реактивные: система (элементы системы) реагирует на событие (при повороте выключателя - зажглась лампа); ответные: одно событие влечет за собой другое (стемнело - включаем освещение); автономные: появление события, ничем непосредственно не обусловлено (зачастую это поведение человека). Причинно-следственные связи могут быть детерминированными и вероятностными. При выявлении этих связей иногда возникают грубые (иногда преднамеренные) ошибки. Рекомендуется при создании математической модели действовать в следующем порядке:

40

- подыскать аналогии; - подобрать и рассмотреть специальные примеры, характерные для решаемой задачи; - принять решение о выборе класса (типа) модели, в том числе решить будет модель аналитической, имитационной, комбинированной; - записать соображения, характеризующие закономерности, имеющие место в системе, при необходимости провести дополнительные исследования; - если модель не поддается описанию, найти способы упрощения проблемы. После получения первого варианта формализации проанализировать все допущения и уточнить математическую постановку. На этапе формализации важно правильно ограничить число степеней свободы, не «заложить» вычислительную неразрешимость задачи. Проблема размерности существенно ограничивает возможности эффективного применения многих математических методов . Относительно просто устанавливается структура асимптотических моделей. Задача сводится к уточнению структуры модели, определению значения ее параметров и входных переменных. В моделях ансамблей обязательной и сложной задачей является выявление изменений в свойствах подсистем при объединении их в систему. Наибольшие трудности возникают при разработке феноменологических моделей. Предлагаются следующие основные варианты (принципы) подхода к разработке моделей при различной сложности системы, доступности к информации относительно структуры системы и протекающих в ней процессов. Принцип 1. Система достаточно проста и прозрачна, так что ее можно обследовать и понять, например, путем наблюдения или расспросов людей, работающих с системой. Непосредственно по результатам изучения системы можно сконструировать ее модель.

41

Принцип 2. Если структура системы очевидна, но методы описания не ясны, можно воспользоваться сходством исследуемой системы с другой, в том числе, возможно, более простой, описание которой известно. Принцип 3. Структура системы неизвестна, но ее можно определить путем анализа данных о функционировании системы. Фактически будет получена гипотеза о структуре, которую затем необходимо проверить экспериментально. Принцип 4. Анализ данных о работе системы не позволяет определить влияние отдельных переменных на показатели работы системы, возникает необходимость в проведении эксперимента с целью выявления релевантных факторов и их влияния на работу системы. При этом предполагается возможность проведения соответствующего эксперимента на системе. Принцип 5. Достаточные описательные данные о системе отсутствуют, проведение эксперимента на системе не допустимо. В этом случае может быть построена достаточно подробная модель искусственной действительности, используемая для накопления статистики о возможном функционировании системы путем статистических испытаний гипотез о реальном мире. В общем случае некоторые модельные соотношения выводятся непосредственно при анализе системы, но часть соотношений принимаются без вывода и являются постулатами модели, от их качества в значительной мере зависит адекватность модели. Постулаты имеют различное происхождение. (1) Некоторые постулаты вытекают из универсальных физических законов, в том числе законов с ограниченной областью действия. (2) Феноменологические законы - хорошо эмпирически обоснованные, но имеющие ограниченную область действия. Применение такого закона должно быть обусловлено попаданием исследуемого явления в зону действия закона.

42

(3)

Полуэмпирические законы, действенность которых зависит от условий применения. Чаще всего эти законы базируются на «слепой» обработке экспериментальных данных. Применение подобных законов следует контролировать рациональными рассуждениями. При разработке модели сложной системы очень часто полезно начать с создания «грубой» модели, в которой учитывается по возможности наименьшее число «основных» переменных и параметров. Переменные и параметры можно выстроить в некоторую иерархическую последовательность по мере уточнения подробностей относительно функционирования системы. Классический пример подобной иерархии - небесная механика. 1-ая, грубая модель - планеты - материальные точки, подчиняющиеся законам Ньютона. Определены законы Кеплера. 2-ой шаг - учитывается размер планет и движение солнца. Уточняются траектории движения всех тел. 3-ий шаг - учет релятивистских эффектов. Иногда удобно иерархию переменных связывать с масштабами переменных, например, различать переменные быстро, нормально и медленно меняющиеся. Последние на некотором временном интервале при моделировании можно «заморозить». Таким образом, общего метода подбора зависимостей (отношений, функций) не существует. Чем больше функциональных зависимостей известно исследователю, чем больше он может привлечь и критически осмыслить аналогий, тем успешнее будет его деятельность по разработке модели. Полезным может также оказаться, благодаря наглядности, графическое представление. 4.3 Планирование эксперимента При планировании экспериментов ставится задача обеспечить достижение цели исследования при минимальных затратах ресурсов всех видов. Трудность получения необходимой достоверности результатов связаны с наличием помех различного рода, в том числе ошибок измерения входной информации. При планировании вычислительного эксперимента необходимо, как минимум, определить область существования параметров и переменных,

43

оценить хотя бы качественно или грубо количественно влияние изменения всех параметров и переменных на исходы модели и выбранные критерии качества решения задачи, подобрать примеры для анализа зависимостей исходов модели от параметров модели и входных переменных. Если модель статистическая, необходимо принять решение о том, как будет задаваться входная информация и порядок обработки исходов. С учетом этих соображений разрабатывается методика проведения эксперимента, включающая порядок проведения частных экспериментов и количество испытаний в каждом частном эксперименте, порядок обработки результатов, способы контроля течения эксперимента и порядок его корректировки в зависимости от промежуточных и конечных результатов. Различают стратегическое и тактическое планирование. Стратегическое планирование имеет целью создание общего плана эксперимента экономного с точки зрения потребных ресурсов и, соответственно, предусматривающего разумную последовательность частных экспериментов и промежуточных проверок, а также создание структурной основы для обучения самого исследователя. Тактическое планирование связано с решением задач двух типов: 1) определение начальных условий в той мере, в какой они влияют на достижение установившегося режима, минимизация потерь на переходной режим; 2) минимизация дисперсии исходов при одновременном уменьшении, по возможности, объема выборок. В теории планирования эксперимента модельные переменные разделяются на "факторы" и "отклики". Термин "фактор" эквивалентен терминам “входная, экзогенная переменная". Термин "отклик" - терминам "зависимая, выходная, эндогенная переменная". Планирование экспериментов получило вначале распространение в биологии, сельском хозяйстве, где термины «отклик», «фактор» были понятны практикам. Несмотря на развитую теорию планирования экспериментов, наиболее полное достижение целей планирования в значительной степени зависит от

44

наличия соответствующего опыта у исследователя, так как планирование эксперимента в какой то мере является искусством. 4.4. Проверка модели Модель необходимо проверять (испытывать) постоянно с момента ее создания до получения требуемого результата. До начала эксперимента модель необходимо испытать в целом, что является последним этапом разработки модели. Испытание проводится с целью: 1) Выявления правдоподобия модели в 1-ом приближении, "качественно", чтобы убедиться, что модель ведет себя, как и предполагалось, т.е. существует качественное соответствие между поведением моделируемой системы и модели, в том числе совпадают порядок их исходов, а так же поведение и результаты в "крайних" ситуациях. 2) Проверки количественной адекватности - точности преобразования информации, что достигается калибровкой модели. Калибровкой модели называется определение (уточнение) коэффициентов модели - коэффициентов отношений, связывающих экзогенные и эндогенные переменные модели. Калибровка осуществляется путем сравнения результатов, полученных на моделях с результатами, получаемыми при испытаниях реальной системы или с результатами аналитических расчетов, для чего используются эталонные примеры и задачи. Модель системы в целом проверяется так называемыми эталонными задачами, охватывающими все свойства модели. В общем случае, если неизвестно "n" коэффициентов, необходимо сконструировать и решить задачу с "n" независимыми уравнениями. Однако целесообразно структурировать задачу - построить такую совокупность примеров, чтобы с помощью одного примера охватить только какую-то часть модельных зависимостей и определить часть коэффициентов.

45

Одной из задач испытания является проверка модели на чувствительность, т.е. насколько исходы модели чувствительны к изменению входных переменных. В общем случае испытание и калибровка модели - задача статистическая, т.е. задача проблемного анализа - формирования статистически значимых выводов на основе данных, полученных на модели. При испытаниях широко применяются такие статистические методы, как регрессионный, корреляционный и дисперсионный анализы. Важно помнить, что статистические методы могут привести к неверным результатам, если исследователь не имеет ясного представления о моделируемой системе. Для обеспечения адекватности модели предусматриваются при ее разработке и эксплуатации следующие виды контроля. 1) Контроль размерностей: сравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности. 2) Контроль порядков: выделение основных и уточняющих слагаемых. 3) Контроль характера зависимостей между переменными: выявление качественного совпадения вида модельных зависимостей с видом аналогичных зависимостей в реальной системе. 4) Контроль экстремальных ситуаций: в подобных ситуациях поведение модели должно совпадать с поведением системы в аналогичных ситуациях (поведение системы в экстремальных ситуациях часто легко оценивается). 5) Контроль граничных условий: на границе функции должны принимать определенные значения. 6) Контроль математической замкнутости: выяснение имеет ли решение задача, в том виде, как она записана в модели. 7) Контроль устойчивости модели.

46

8) Контроль соответствия значений переменных их физическому смыслу: знаки и величины переменных модели не должны противоречить возможным значениям моделируемых физических величин. Поскольку испытания моделей связаны с существенными затратами необходимо к планированию испытаний относиться столь же строго как и к планированию вычислительных экспериментов. Результаты испытаний, в конечном счете, должны обеспечить необходимый уровень адекватности модели на всех этапах ее использования. При обоснованном выборе тестовых примеров и эталонных задач эта задача решается при минимальных затратах средств и ресурсов. 4.5. Анализ результатов и внедрение рекомендаций При анализе результатов вычислительного эксперимента необходимо. 1). Убедиться, что результаты эксперимента полностью понятны, как качественно, т.е. не противоречат здравому смыслу, так и количественно. Если здравый смысл не согласуется с исходами эксперимента, необходимо его "поправить", т.е. попытаться объяснить полученные исходы. Если это не удастся, следует запланировать дополнительные исследования для уяснения и подтверждения результатов. 2). Вернуться к сделанным допущениям. Уточнить возможные влияния допущения на результат. При необходимости также провести дополнительные эксперименты. 3). Оценить точность полученных результатов. Если подобные оценки заранее не были запланированы, следует их сделать. Убедиться, что точность результатов достаточна для выработки рекомендаций, принятия решения. При трактовке результатов опираться в возможно максимальной степени на идею "соревнования моделей" (использование моделей различного типа и сравнение исходов этих моделей), в том числе на сравнение исходов "точных" моделей с результатами "грубых" аналитических расчетов. Анализ результатов моделирования может завершиться выработкой рекомендаций по существу решаемой задачи, однако возможна

47

неудовлетворенность результатами и подготовка предложений по проведению дополнительных испытаний или уточнению модели. Не исключается и вывод о непригодности модели вследствие ее неадекватности исследуемой системе или невозможности проведения на модели необходимого для получения обоснованных выводов объема испытаний. Все результаты анализа должны представляться в удобном для использования виде. Главное, о чем необходимо помнить, что при моделировании исследуется реальная система, т.е. модель не самоцель. Внедрение принятых рекомендаций, полученных на модели, должно происходить при участии лиц, проводивших модельный эксперимент. Только в процессе реализации рекомендаций становится до конца ясным, насколько адекватной была модель, насколько корректно был проведен вычислительный эксперимент и обоснованы рекомендации. И только при участии исследователей, можно наиболее грамотно реализовать рекомендации, убедиться в их справедливости, а в противном случае своевременно выявить недостаточность или ошибочность рекомендаций и ввести необходимые коррективы. Процесс реализации рекомендаций должен быть управляемым, для чего необходимо предусмотреть оперативную обратную связь. Запланированное участие исследователей в реализации полученных рекомендаций, обеспечит более ответственное отношение всех лиц, участвующих в исследовании, к организации исследований.

48

5. Модели математической логики Пример 1. Борису, Дмитрию и Сергею предъявлено обвинение в соучастии ограбления банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Борис показал, что преступники были на синих "Жигулях", Дмитрий сказал, что это была черная "Волга", а Сергей утверждал, что это был "Форд" и ни в коем случае не синий. Стало известно, что, желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо ее цвет. Какого цвета был автомобиль, и какой марки? Решение: Рассмотрим высказывания: А = {машина синего цвета} В = {машина марки "Жигули"} С = {машина черного цвета} D ={машина марки "Волга"} Е = {машина марки "Форд"} Так как или цвет машины, или марка каждым из соучастников названы верно, то из показаний Бориса следует, что высказывание А+В истинно. Из слов Дмитрия следует истинность высказывания C+D. Утверждение Сергея означает истинность высказывания Ā+Е. Так как высказывания А+В, С+D, Ā+E истинны, то истинно их произведение Р=(А+В)·(C+D)·(Ā+Е). Раскрывая скобки, получим: P = ( A ⋅ C + B ⋅ C + A ⋅ D + B ⋅ D) ⋅ ( А + Е ) =

= A⋅ C ⋅ A + B ⋅ C ⋅ A + A⋅ D ⋅ A + B ⋅ D ⋅ A + + A⋅ C ⋅ E + B ⋅ C ⋅ E + A⋅ D ⋅ E + B ⋅ D ⋅ E = = 0+ B⋅C ⋅ A + 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0 = B⋅C ⋅ A

То есть высказывание B ⋅ C ⋅ A истинно, а это означает, что преступники скрылись на черных "Жигулях" (в остальных произведениях имеются два противоречивых высказывания).

49

Пример 2. Мегрэ звонит в офис и интересуется, есть ли новости? - Да, шеф. Поступили сообщения от инспекторов. Торранс установил, что если Франсуа был пьян, то или Этьен убийца, или Франсуа лжет. Жуссье считает, что или Этьен убийца, или Франсуа не был пьян и убийство произошло после полуночи. Инспектор Люка просил передать Вам, что если убийство произошло после полуночи, то или Этьен убийца, или Франсуа лжет. Затем звонила ... - Все. Спасибо. Этого достаточно. - Комиссар положил трубку. Он знал, что трезвый Франсуа никогда не лжет. Теперь он знал все. Решение: Рассмотрим следующие высказывания: А={Франсуа был пьян} В={Этьен убийца} С={Франсуа лжет} D={убийство произошло после полуночи} Инспекторы комиссара установили истинность высказываний: А→(В+С), B+Ā·D, D→ (В+С). Произведение трех истинных высказываний истинно. Освободимся от импликации с учетом легко проверяемой с помощью таблиц истинности эквивалентности: А→В=Ā+В. Следовательно, А→ (В+С)=Ā+В+С, D→ (B+C)= D +B+C. Поэтому P = ( A → (B + C))⋅ (B + A ⋅ D) ⋅ ( D → (B + C)) = = ( A + B + C) ⋅ (B + A ⋅ D) ⋅ ( D + B + C).

Упростим произведение первой и третьей скобок, воспользовавшись законом 6) (см. приложение)

50

( A + B + C) ⋅ ( D + B + C) = A ⋅ D + B + C, т.е. P = ( B + C + A ⋅ D) ⋅ ( B + A ⋅ D) = = B + (C + A ⋅ D ) ⋅ A ⋅ D = B + C ⋅ A ⋅ D,

Таким образом, из показаний инспекторов следовало лишь, что или Этьен - убийца или одновременно имели место три обстоятельства: Франсуа лгал, Франсуа не был пьян, убийство произошло после полуночи. Но Мегрэ было известно, что трезвый Франсуа не лжет, т.е. что A ⋅ C =0 и, следовательно, убийство совершил Этьен. Пример 3. На вопрос, кто из трех учащихся изучал логику, был получен правильный ответ: если изучал первый, то изучал и второй, но неверно, что если изучал третий, то изучал и второй. Решение: Обозначим через A1, A2 и A3 высказывания, состоящие, соответственно, в том, что первый, второй и третий учащиеся изучали логику. Из условия задачи следует истинность высказывания P = (A1 → A 2 )⋅ (A 3 → A 2 ) = = (A1 + A 2 )⋅ (A 3 + A 2 ) = (A1 + A 2 )⋅ A 3 ⋅ A 2 = = A1 ⋅ A 3 ⋅ A 2 + A 2 ⋅ A 3 ⋅ A 2 = A1 ⋅ A 3 ⋅ A 2 ,

то есть логику изучал третий учащийся, первый и второй не изучали. Пример 4. Разбирается дело Бориса, Дмитрия и Сергея. На следствии каждый из них сделал два заявления. Борис:

Я не делал этого. Сергей сделал это

Дмитрий: Сергей не виновен. Борис сделал это. Сергей:

Я не делал этого. Дмитрий не делал этого.

51

Суд установил, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, третий один раз солгал, один раз сказал правду. Кто совершил преступление? Решение: Обозначим через B, D и С высказывания состоящие в том, что преступление совершено, соответственно, Борисом, Дмитрием и Сергеем. Так как один из них дважды сказал правду, то высказывание B ⋅ C + C ⋅ B + C ⋅ D истинно. Один из них дважды солгал, поэтому высказывание B ⋅ C + C ⋅ B + C ⋅ D истинно. И, наконец, один из них один раз солгал, один раз сказал правду, следовательно, истинно и высказывание B ⋅ C + B⋅C + C⋅B + C⋅B + C ⋅D + C⋅ D = = B ⋅ C + B⋅C + C ⋅D + C⋅ D.

Произведение высказывание

трех

истинных

высказываний

тоже

истинно,

поэтому

P = ( B ⋅ C + C ⋅ B + C ⋅ D ) ⋅ ( B ⋅ C + C ⋅ B + C ⋅ D) ⋅ ⋅ ( B ⋅ C + B ⋅ C + C ⋅ D + C ⋅ D) = = ( B ⋅ C + C ⋅ B + C ⋅ D ⋅ C ⋅ D) ⋅ ⋅ ( B ⋅ C + B ⋅ C + C ⋅ D + C ⋅ D) = = ( B ⋅ C + C ⋅ B) ⋅ ( B ⋅ C + B ⋅ C + C ⋅ D + C ⋅ D) = = C ⋅B⋅ D + B ⋅C⋅ D = B ⋅C⋅ D

истинно (первое слагаемое равно нулю, так как преступник был один). Преступление совершил Сергей.

52

6. Модели динамических процессов 6.1. Эффективность рекламы Предположим, что торговыми учреждениями реализуется продукция В, о которой в момент времени t из числа потенциальных покупателей N знает лишь х покупателей. Предположим далее, что для ускорения сбыта продукции В были даны рекламные объявления по радио и телевидению. Последующая информация о продукции распространяется среди покупателей посредством общения друг с другом. С большой степенью достоверности можно считать, что после рекламных объявлений скорость изменения числа знающих о продукции В пропорциональна как числу знающих о товаре покупателей, так и числу покупателей, о нем еще не знающих. Если условиться, что время отсчитывается после рекламных объявлений, когда о товаре узнало n человек, то приходим к дифференциальному уравнению dx = kx(N − x ) dt

с начальным условием x=n при t=0. Решение данной задачи Коши имеет вид x=

N N  1 +  − 1 e − kNt n 

,

здесь k-положительный коэффициент пропорциональности. 6.2. Химические реакции Одним из основных законов теории скоростей химических реакций является закон действующих масс, согласно которому скорость химической

53

реакции при постоянной температуре пропорциональна произведению концентраций веществ, участвующих в данный момент времени в реакции. Решим следующую задачу. Два жидких химических вещества А и В объемами 10 и 20 литров, соответственно, в процессе химической реакции образуют новое химическое вещество С. Считая, процесс изотермическим, а также что из каждых двух объемов вещества А и одного объема вещества В образуется три объема вещества С, определить количество вещества С в произвольный момент времени t, если за 20 мин его образуется 6 л. Обозначим через х объем (в литрах) вещества С, образовавшегося к моменту времени t (в часах). Тогда из условия задачи следует, что к этому моменту времени в химическую реакцию вступило 2/3х литров вещества А и 1/Зх литров вещества В. Последнее означает, что к указанному моменту осталось 10-2/Зх литров вещества А и 20-1/Зх литров вещества В. Таким образом, в соответствии с законом действующих масс приходим к дифференциальному уравнению dx 2 1 = K (10 − x)( 20 − x) , dt 3 3

которое можно переписать в виде dx = k (15 − x )(60 − x) , dt

где k - постоянная пропорциональности (k=2K/9). При этом следует иметь в виду, что т.к. в начальный момент времени t=0 вещества С еще не было, то можно считать, что х=0 при t=0. Что же касается момента времени t=l/3, то здесь уже х=6. Итак, решение исходной задачи свелось к решению краевой задачи:

54

dx = k (15 − x )(60 − x) , x(0)=0, x(1/3)=6. dt

Для ее решения проинтегрируем сначала последнее уравнение с учетом условия х(0)=0.В результате получим 60 − x = 4e 45kt . 15 − x

Так как x(1/3)=6, то найдем что, e 15k = 3 2 , а тогда 3t   2  3t   1  2  3t  60 − x  3 = 4(e 15k ) 3 t = 4  , т.е. x = 151 −    / 1 −    15 − x  2   3    4  3  

Последнее равенство и определяет количество вещества С, образовавшегося в результате реакции к моменту времени t. 6.3. Движение тела, брошенного под углом к горизонту Задача. Найти наибольшую высоту подъема над поверхностью Земли снаряда, вылетевшего с начальной скоростью Vo под углом α к горизонту и упавшего на Землю, считая силу притяжения Земли обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра Земли. Силой сопротивления движению пренебречь. Снаряд считать точечной массой. На поверхности Земли ускорение силы тяжести равно g. Радиус Земли равен R. Решение: Предположим, что снаряд в произвольный момент времени находится в т. М, а в начальный момент времени находился в т. Мо. Учитывая, что к снаряду приложена только центральная сила F, решаем задачу в полярных координатах. Полюс 0 выбираем в центре Земли, оси r даем направление вектор-радиуса ОМ. Ось φ проводим через т. М перпендикулярно к оси r. Оси ro и ϕ 0 соответствуют начальному положению снаряда. Запишем начальные условия движения снаряда в виде: при t=0:

55

r = r0 = R ,

ϕ = 0, r&0 = V0r = V0 sin α ,

ϕ& 0 =

V0 cos α R

(точка сверху означает дифференцирование по времени).

К

снаряду

приложена

только

сила

притяжения

F,

обратно

пропорциональная квадрату расстояния до центра Земли, т.e. F =

km . r2

Учитывая, что на поверхности Земли, т.е. при mgR 2 r=R, F=P=mg, находим, что k=gR .Следовательно, F = r2 2

к центру 0. Дифференциальные уравнения движения проекциях на оси полярных координат имеют вид: m(&r& − r&ϕ 2 ) = Fr ,

материальной

( )

m d 2 r ϕ& = Fϕ . r dt

В данном случае

mgR2 Fr = −F = − 2 , Fϕ = 0. r

Следовательно,

( )

gR 2 d 2 &r& − rϕ& = − 2 , r ϕ& = 0. dt r 2

Из последнего уравнения следует интеграл площадей:

r ϕ& = C, т.е. r 2 ϕ& = r02 ϕ& 0 . 2

и направлена

(6.1)

точки

в

56

Учитывая, что r0 = R, а также, что Rϕ& 0 = V0 cos α , получим, r 2 ϕ& = RV0 cos α

, откуда ϕ& =

RV0 cos α r2

.

С учетом последней формулы, перепишем первое уравнение (6.1) в виде 2

&r& −

R 2 V0 cos 2 α r3

=−

gR 2 . r2

Умножив последнее выражение на dr, и учитывая, что dr& dr = r& dr& , получим dt r& 2 R 2 V02 cos 2 α gR 2 + = + C. 2 2r 2 r

&r&dr =

Так как в начальном положении снаряда r = r0 = R , r& = V0 sin α , то постоянная интегрирования С имеет вид C=−

2gR − V02 . 2

Следовательно, r& 2 R 2 V02 cos 2 α gR 2 2gR − V02 . + = − r 2 2 2r 2

Это уравнение устанавливает зависимость между проекцией скорости снаряда r& на ось r и радиусом-вектором r. В наивысшей точке траектории проекция скорости снаряда на ось r равна нулю, т.е. r& = 0, при r = rmax . Подставляя эти значения в последнее уравнение, получим квадратное уравнение относительно rmax : 2 ( 2gR − V02 )rmax − 2gR 2 rmax + R 2 V02 cos 2 α = 0 ,

откуда

57

rmax =

gR + g 2 R 2 − ( 2gR − V02 )V02 cos 2 α 2gR − V02

R,

причем знак минус отброшен, так как при V02 = 0

и rmax = 0 , а не R, как

следует из постановки задачи. Из полученного решения следует, что при V02 = 2gR величина rmax обращается в бесконечность, т. е. снаряд на Землю не возвратиться ( V02 = 2gR = 11,2 км с называется второй космической скоростью ). Поэтому снаряду необходимо сообщить начальную скорость, удовлетворяющую условию: 2gR − V02 >0, т.е. V0 < 2gR . Наибольшая высота подъема снаряда над поверхностью Земли H = rmax − R , т.е.

H=

− gR + V02 + g 2 R 2 − ( 2gR − V02 )V02 cos 2 α 2gR − V02

R.

Для случая, когда начальная скорость V0 направлена по вертикали вверх, т.е. при α = π 2 , имеем: H =

RV02 . 2gR − V02

7. Модели оптимизации 7.1. Задача о минимизации стоимости в строительстве Пусть требуется определить, при каких соотношениях длины но фасаду, ширины и высоты общая стоимость стен и крыши (вместе с верхним перекрытием) здания заданной кубатуры (V) будет наименьшей. При этом стоимость 1 м2 стены фасада равна -а. других стен -b, крыши- с.

58

Решение v xy

y

Если длина по фасаду равна х, а ширина у, то высота здания должна быть равна

V . xy

Стоимость всех стен и крыши

x

S=a

V V V V V V x + b x + 2b y + cxy = a + b + 2b + cxy xy xy xy y y x

является функцией двух переменных, т.е. S= S(x,y) Говорят, что функция S(x,y) в точке ( x 0 , y 0 ) имеет максимум (минимум), если ее можно окружить такой окрестностью ( x 0 − δ, x 0 + δ, y 0 − δ, y 0 + δ ), чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство S( x, y ) ≤ S( x 0 , y 0 ) . Если эту окрестность можно взять на столько малой, чтобы знак равенства был исключен, то говорят, что в т.( x 0 , y 0 ) имеет место собственный максимум (минимум). В противном случае, максимум (минимум) называется несобственным. Необходимое условие существования экстремума - это обращение в нуль частых производных первого порядка. "Подозрительными" на экстремум являются те точки, в которых S x ( x, y ) = 0 и S y ( x , y ) = 0 . И те, в которых производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют. Достаточное условие существования экстремума: если ′ ( x 0 , y 0 )) 2 >0, то в испытываемой стационарной точке S ′x′ ( x 0 , y 0 )S ′y′ ( x 0 , y 0 ) − (S ′xy 2

2

( x 0 , y 0 ) функция S(x,y) имеет экстремум, именно, собственный максимум при S ′x′2 ( x 0 , y 0 ) <0

и

собственный

минимум

при

S ′x′2 ( x 0 , y 0 ) >0.

Если

же

′ ( x 0 , y 0 )) 2 <0, то экстремума нет. В случае равенства нулю S ′x′2 ( x 0 , y 0 )S ′y′2 ( x 0 , y 0 ) − (S ′xy

последнего

выражения

необходимо

привлекать

производные

высших

59

порядков. Итак, S ′x = −

(a + b )V 2bV + Cy , S ′y = − + Cx. 2 x y2

Приравнивая значения производных нулю, найдем x = 2b 3

V V , y = (a + b ) 3 . 2bc(a + b ) 2bc(a + b )

При таких значениях длины и с ⋅3

ширины высота должна быть равна

V , 2bc(a + b )

4bc (a + b )c >0, S ′y′2 = , S ′xy′ = с . b a+b Следовательно, S ′x′2 S ′y′2 − (S ′xy′ ) 2 = 3с 2 >0.

Далее, S ′x′ = 2

То есть имеется собственный минимум. 7.2. Задача о консервной банке Рассмотрим известную задачу о наилучшей консервной банке. Если перед вами поставлена задача: указать наилучший вариант консервной банки фиксированного объема V, имеющей обычную форму прямого кругового цилиндра, то неизбежно возникнет вопрос: по какому признаку следует сравнивать банки между собой? Рассмотрим два варианта этой задачи. 1. Наилучшая банка должна иметь наименьшую поверхность S (на ее изготовление пойдет наименьшее количество жести). 2. Наилучшая банка должна иметь наименьшую длину швов 1 (швы нужно сваривать и мы хотим сделать эту работу минимальной). Для решения задачи выпишем формулы для объема банки, площади ее поверхности и длины швов V = πr 2 h, S = 2πr 2 + 2πrh, l = 4πr + h.

60

Объем банки задан, что устанавливает связь между радиусом r и высотой h. Выразим высоту через радиус и подставим в формулы для поверхности и длины швов (г>0). S(r ) = 2πr 2 + 2V / r ,

( ) (

l(r ) = 4πr + V / πr 2 . 2 2πr 3 − V Так как S'(r)= r2

)

обращается в нуль при r1 = 3

V , и меняет знак с 2π

минуса на плюс при переходе через точку r = r1, то функция S(r) достигает наименьшее значение при r = r1. Итак, радиус и высота банки, наилучшей с точки зрения первого условия, определяются формулами: r1 = 3

V , h 1 = 2r1 , 2π

при этом, S(r1 ) = 3 3 2πV 2 ≤ S(r ). V 2 Так как l ′(r ) = 3 ( 2π 2 r 3 − V ) обращается в нуль при r2 = 3 2 , и меняет πr

2π

знак с минуса на плюс при переходе через точку r = r2, то функция l(r) достигает наименьшее значение при r = r2. Итак, радиус и высота банки, наилучшей с точки зрения второго условия определяется формулами:

r2 = 3

V , h 2 = 2πr2 , 2π 2

при этом,

l(r2 ) = 3 3 4πV ≤ l(r ).

Мы видим, что при разных критериях оптимизации получаются разные

61

ответы. В первом случае высота "наилучшей" банки равна ее диаметру, во втором случае она в π раз больше диаметра. 8. Дифференциальные модели в экологии 8.1. Модель популяции Как показывают наблюдения над окружающей нас природой, ни один организм любого вида не может жить и продолжать свою жизнь в потомстве в одиночестве - все они образуют группы, называемые популяциями. Основная характеристика популяции - это ее плотность: численность или биомасса на единицу пространства, занимаемого популяцией. Само это пространство называется ареалом популяции. В природе не существует изолированных популяций - каждая популяция взаимодействует со своей биотической (популяции других видов) и абиотической (температура, влажность и т.д.) средой. Но с другой стороны, динамика изменения плотности популяции определяется процессами рождения и гибели. И если параметризовать зависимость этих процессов от факторов среды и считать, что взаимодействие популяции с окружающей средой описывается обобщенными параметрами рождаемости и смертности, то мы можем рассматривать динамику изолированной популяции. Если предположить, что популяция равномерно распределена но ареалу, все особи в популяции одинаковы, поколения перекрываются, то локальная динамика популяции (ее закон роста) может быть описана уравнением dx = ( A − B )x , dt

где х(t) - число особей в популяции в момент времени t; А и В - функции рождаемости и смертности, которые в общем случае могут зависеть от x (будем предполагать, что от пространственных координат они не зависят- в этом смысле ареал однороден).

62

Что касается зависимости функции смертности В от числа особей x, то практически для всех популяций В(х) - монотонно возрастающая функция, причем помимо естественной смертности возрастание смертности с ростом х объясняется ростом конкуренции за ограниченный ресурс (пища, пространство и т.п.). Будем считать, что В(х)=bх. С функцией рождаемости А дело обстоит сложнее Для многих видов она определяется лишь физиологическими пределами рождаемости и не зависит от х, так что А(х)=а, где а - это так называемая естественная рождаемость (или плодовитость). С учетом сказанного, придем к уравнению dx = ax − bx 2 . dt

Полагая, что x = x 0 , при t = t 0 , из последнего уравнения находим что

x( t ) =

[

x0 a

b

]

x 0 + a − x 0 e −а ( t − t 0 ) b

.

Отсюда видно, что при t→∞ число особей в популяции х(t) → a/b. При этом возможны два случая: a/b >x0 и a/b<x0 x

a/b > x0

x0

a/b < x0

t

Различие между этими случаями хорошо видно на рисунке. Отметим, что выписанное соотношение описывает, в частности, популяции фруктовых вредителей и некоторых видов бактерий.

В качестве другого примера рассмотрим двувидовую модель "хищникжертва", которая была построена Вольтера для объяснения колебаний рыбных

63

уловов в Адриатическом море, имеющих один и тот же период, но отличающихся по фазе. Пусть х - число больших рыб хищников, которые питаются малыми рыбами-жертвами, число которых обозначим через у. Тогда число рыб хищников будет расти до тех пор, пока у них будет достаточно пищи, т.е. малых рыб-жертв, но в конце концов наступит ситуация, когда корма не будет хватать и в результате число больших рыб будет уменьшаться. Это приведет к тому, что с некоторого момента число малых рыб снова начнет увеличиваться. Это будет способствовать новому росту числа больших особей, и цикл снова повторится. Модель, построенная Вольтера, имеет вид dx = −ax + bxy, dt dy = cy − dxy, dt

где a, b, c, d - положительные числа. Для удобства исследования последних двух уравнений введем в рассмотрение безразмерные переменные u( τ ) =

d b a x, v( τ ) = y , τ = ct , α = . c a c

В результате дифференциальные уравнения примут вид u ′ = αu( v − 1), v ′ = v(1 − u ),

(8.1)

где α>0, а штрих означает дифференцирование по τ . Предположим, что в некоторый момент времени τ = τ 0 число особей обоих видов известно, т.е. u( τ 0 ) = u 0 , v ( τ 0 ) = v 0 .

Заметим, что в дальнейшем мы интересуемся только положительными решениями. Выявим связь между u и v. Для этого, разделив первое уравнение системы (8.1) на второе и затем проинтегрировав полученное дифференциальное

64

уравнение, найдем, что αv + u − ln v α u = αv 0 + u 0 − ln v α0 u 0 = H ,

где Н - постоянная, определяемая начальными условиями и параметром α. u

A

H3

1 H1

H2 v

1

На рисунке показан вид графиков u как функции v при различных значениях Н. Как видно в плоскости (u,v) имеются только замкнутые кривые. Предположим теперь, что начальные значения u0 и v0 задаются точкой А на траектории, соответствующей значению H = H 3 . Поскольку

u 0 >1

и

v 0 <1,

то

первое уравнение из системы (8.1) показывает, что переменная u вначале убывает. Аналогичный факт имеет место и для переменной v. Далее, когда переменная u достигает значения, равного единице, то v'=0 и затем, в течение длительного времени τ переменная v будет возрастать. Когда же v=1, то u'=0 и затем уже возрастать начинает переменная u. Таким образом, как переменная u так и переменная v пробегают замкнутую траекторию. А это означает, что решения являются функциями, периодическими по времени. При этом максимум u не попадает на максимум v, т.е. колебания в популяциях

65

происходят в разных фазах. Типичный график зависимости u и v от времени показан на рисунке (в случае v 0 >1 и u 0 <1). Заметим, что изучение сообществ, взаимодействующих более сложным образом, дает более интересные практические результаты. Так, например, если две популяции конкурируют в борьбе за один и тот же источник питания (третья популяция), то можно показать, что один из видов начнет вымирать. При этом понятно, что если этим видом окажется источник питания, то такая же участь постигнет и два других вида. 8.2. Неустановившееся движение подземных вод в однородном полубесконечном пласте Описание процесса осушения заболоченного массива одиночным совершенным каналом в предположении, что в момент времени t=0 уровень воды в канале мгновенно снизился с H 0 до H др , приводит к решению уравнения: ∂h ∂ 2h =a 2 ∂t ∂x

(8.2)

При следующих начальном и граничных условиях: t = 0:

h ( x ,0 ) = H 0 ,

x = 0:

h(0, t ) = H др = const ,

x=∞:

h(∞ , t ) = H 0 = const . Здесь H 0 – начальная отметка УГВ (уровня грунтовых вод) на массиве; H др –

поддерживаемый в канале уровень воды; а – коэффициент уровнепроводности пласта.

66

УГВ t=0 ∆h(x,t)

∆H0

H0

h(x,t) Hдр

x

Уравнение (8.2) известное уравнение теплопроводности, допускающее при данных краевых условиях автомодельное решение. Введем новую переменную y=

x 2 at

~ h( x, t ) = h( y ),

, тогда

~ ∂h y ∂h =− , ∂t 2t ∂y

~ ∂ 2h 1 ∂ 2h = . ∂x 2 4at ∂y 2

И задача сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения ~ ~ d2h dh + 2y =0 dy dy 2

при следующих граничных условиях y = 0 ( x = 0) : h(0) = H др , ~ y = ∞ ( x = ∞ и t = 0) : h ( ∞ ) = H 0 .

Решение последнего уравнения с учетом краевых условий имеет вид

H 0 − H др y − ξ 2 ~ h( y ) = H др + ∞ ∫ e dξ . −y ∫ e dy 2

0

0

67 ∞

−y Пусть I = ∫ e dy , рассмотрим

∞

I = ∫e 2

−ξ 2

0

∞

dξ ∫ e 0

2

0

− η2

∞∞

dη = ∫ ∫ e − (ξ

2

+ η2

)dξdη.

0 0

Перейдем к полярным координатам ξ = r cos θ, η = r sin θ, тогда якобиан преобразования ∂ξ D(ξ, η) ∂r J= = D(r , θ ) ∂η ∂r

Следовательно, π

∂ξ ∂θ = cos θ − r sin θ = r . ∂η sin θ r cos θ ∂θ

∞

2 π 2 I = ∫ dθ ∫ e −r rdr = − e −r 4 0 0

2

2

Таким образом, I =

∞ 0

=

π . 4

π . Этот замечательный по простоте прием вычисления 2

принадлежит Пуассону. Итак, окончательно имеем h( x, t ) = H др + ( H 0 − H др )

Здесь erfy =

2

y

∫e π

2

y

∫e π

−ξ2

dξ = H 0 − ( H 0 − H др )(1 − erfy ).

0

−ξ2

dξ - функция ошибок, y =

0

x 2 at

.

Найденное решение можно записать в виде  x ) , ∆h( x, t ) = H 0 − h( x, t ) = ∆H 0  1 − erf ( 2 at   где ∆h( x, t ) - понижение УГВ относительно начального уровня; ∆H 0 = H 0 − H др

- величина скачка уровня в канале.

68

8.3 Стационарный двумерный процесс распространения загрязнения при сосредоточенном сбросе постоянной массы сточных вод в реку При постоянном во времени и по величине сбросе сточных вод в реку через некоторое время в потоке устанавливается стационарный режим распространения ингредиента в реке. Принимая, что адвективный перенос вдоль русла реки существенно превосходит диффузионный, расчет стационарного процесса распространения загрязнения сточных вод для прямолинейного участка реки сводится к решению уравнения −V

∂c ∂ 2c + D 2 − γc = 0 ∂x ∂y

(8.3)

при следующих граничных условиях: на берегах реки у=0 и у=В: ∂c( x,0) ∂c( x, B ) = = 0; ∂y ∂y

во входном створе (х=0) при сосредоточенном сбросе ингредиента в точке А(0,b) створа: с(0, у ) =

M δ( y − b ) + C 0 . VH

(8.4)

y C0

V

C(x, y)

A y

b

B x

x

Здесь с(х,у) -концентрация примеси; M = qC ст - масса сбрасываемого

69

вещества в реку в единицу времени, q, C ст - соответственно, расход сточных вод и их концентрация; v = v p + q BH суммарная скорость реки с учетом расхода сточных вод; v p - осредненная скорость реки; B и H - соответственно, средние значения ширины и глубины реки; c 0 - фоновая концентрация ингредиента в реке; γ - скорость химической и биохимической трансформации вещества; y = b - место сосредоточенного выпуска сточных вод в сечении x = 0; δ( y − b ) -функция Дирака, которая определяется равенством B

∫ f (y )δ(y − b)dy = f (b), b ∈ [0, В] . 0

Подстановкой с(х,у)= e

γ − x v

u( x, y ) приведем уравнение (8.3) к виду

V ∂u ∂ 2 u = . D ∂x ∂y 2

Краевые условия при этом не изменят своего вида. С использованием метода Фурье (метод разделения переменных), найдем ∞

u( x , y ) = a 0 / 2 + ∑ a n e n =1

2

−

D  πn   x  V B 

cos

πn y, B

а коэффициенты Фурье определим из условия (8.4) с учетом определения δ - функции u(0, y ) = C 0 +

∞ a M πn δ( y − b ) = 0 + ∑ a n cos y. VH 2 n =1 B

Как известно из теории рядов Фурье

70 B

2  M πn  δ( y − b ) cos a n = ∫ C 0 + ydy , B0 VH B 

(n = 0,1,2,...).

Таким образом, найдем ∞ −   x πn πn M  1 + 2∑ e V  B  cos b cos u( x , y ) = C 0 + B B VHB  n =1  D  πn 

2

 y.  

И принимая во внимание связь между с(х,у) и u(х,у), получим γ − x V

c(x, y) = e

2    ∞ − D πn  x M 1 + 2 e V B  cosπn bcosπn y. C0 + ∑  VHB B B  n=1   

(8.5)

Например, при b=0, b=B/2, b=B будем иметь, соответственно, сброс у правого, в середине русла и у левого берега. Струя с максимальным загрязнением найдется из формулы (8.5) при у=b. Формула (8.5) позволяет рассчитывать концентрации неконсервативного загрязнения и кратности разбавления ( n( x) = C ст / C max ( x, b )) в любой точке русла реки ниже створа сброса сточных вод. Вычислив максимальную концентрацию и кратность разбавления в контрольном створе, и зная ПДК мигранта сточных вод данного очага загрязнения реки, можно найти предельно допустимый сброс сточных вод, при котором выполнялись бы нормативные требования в контрольном створе. 8.4. Западная интенсификация течений Поражающей чертой крупномасштабной горизонтальной поверхностной циркуляции в северной части Атлантического океана является ее восточно-западная асимметрия. Несмотря на то, что средние ветры

71

охватывают очень широкую полосу, распространяя свое влияние над всем океаном, течения вдоль западных берегов Атлантики очень узки и мощны. Подобная западная интенсификация поверхностных течений наблюдается и в других океанах. Это очень интересное явление было объяснено Стоммелом , который в 1948 г. выдвинул предположение, что причиной этой асимметрии должно быть изменение с широтой параметра Кориолиса. Куросио представляет аналог Гольфстрима в северной части Тихого океана. В Индийском океане Игольное течение прижимается к берегу Африки. В Южной Атлантике проходит Бразильское течение. Стоммелом была предложена простая модель возбуждаемой ветром океанической циркуляции, чтобы показать, какое важное влияние на формирование полей течений оказывает изменение с широтой параметра Кориолиса. Рассмотрим прямоугольный океан с началом декартовой системы координат в юго-западном углу. Ocь у направлена на север, ось х - на восток. Берега океана имеют координаты х=0,r и y=0,b. Ветры над океаном суть пассаты над экваториальной половиной прямоугольного бассейна и преобладающие западные ветры над полюсной половиной. Выражение напряжения ветра задается простым функциональным выражением - F cos(πy / b ) , отражающим изменение ветра с широтой. Проинтегрированные по вертикали уравнения Навье - Стокса установившегося движения в пренебрежении инерционными членами и горизонтальным турбулентным обменом импульса с учетом того, что силы придонного трения пропорциональны скорости потока с коэффициентом пропорциональности R, сводят задачу к нахождению интегральной функции тока ψ из уравнения πy R ∂ψ F π ∆ψ + β = sin . H b ∂x bH

(8.6)

72

Здесь Н - глубина океана (предполагается постоянной), β - производная от параметра Кориолиса, представляющего линейную функцию от у. Функция тока ψ связана с компонентами вектора скорости соотношениями: u=

∂ψ ∂ψ , v=− . ∂y ∂x

Граничные условия состоят в том, что берега океана суть линии тока: ψ (0, y ) = ψ (r , y ) = ψ ( x,0) = ψ ( x, b ) = 0.

Частное решение уравнения (8.6) легко находится: ψ1 = −

πy Fb sin . Rπ b

Общее решение уравнения находим методом разделения переменных. Причем для функции, зависящей от у, в силу граничных условии и вида правой части уравнения (8.6) получается Y( y ) = sin

π y, b

а для функции X(x) получаем характеристическое уравнение 2

H  π λ + βλ −   = 0. R b 2

Последнее уравнение позволяет определить два характеристических числа 2

2

2

H H  H   π  H   π β+  β +   , B = − β−  β +   A=− 2R 2R  2R   b   2R   b 

и решение уравнения (8.6) приобретает вид

2

73

(

)

ψ = c 1 e Ax + c 2 e Bx sin

Постоянные

c1

π π Fb y− sin y . b Rπ b

и с 2 определяются при удовлетворении граничных

условий при х=0 и х = г. После определения c1 и с 2

и несложных

преобразований, получаем выражение для функции тока

(

)

подставить

численные

π Fb sin y pe Ax + qe Bx − 1 , Rπ b Br 1−e p = Ar , q = 1 − p. e − e Br ψ=

Если

(8.7) значения

параметров

задачи

в

(8.7)

−2 −1

b = 2π ⋅ 10 см, r = 10 см, H = 2 ⋅ 10 см, R = 2 ⋅ 10 c , 8

9

4

β = 10− 13 c − 1см−1 , F = 1дин ⋅ см− 2 , y

b

r

x

характерные для океанического бассейна, то несимметричная картина по оси х станет очевидной, что видно из рисунка, изображающего линии тока в случае, когда параметр Кориолиса, представляет линейную функцию широты. Линии тока сгущаются у западного берега. Если же мы рассмотрим случай не вращающегося океана или равномерно вращающегося (β=0), то с достаточно большой точностью получаем

74

p = e − ( πr / b ) , q ≈ 1, ( x − r )π − xπ  Fb π  b sin y e ψ= + e b − 1 . Rπ b  

Легко видеть из последнего выражения, что картина изолинии функции тока будет симметрична и по х и по у. Рассмотренный ряд математических моделей экологии качественно отражает исследуемые явления, но на практике все намного сложнее. Например, при решении практических задач геофизической гидродинамики необходимо учитывать по возможности все факторы, влияющие на протекание изучаемого процесса. Нелинейность уравнений описывающих тот или иной процесс, протекающий в водоеме, сложность формы рельефа дна и береговою очертания с одной стороны и наличие быстродействующих ЭВМ с другой стороны способствовали быстрому развитию математического моделирования, которое в последние годы является мощным средством для исследования гидрофизических процессов водоема (водохранилище, озеро, море, океан). Особенно велика его роль при изучении полей течений, информацию о которых практически невозможно получить только из данных наблюдений, тем более, что для многих водных объектов она в принципе не существует. Значение структуры течений необходимо для решения задач, связанных с навигацией, рыбным промыслом, распространением загрязнений и т.д. Прогнозирование пространственно-временной изменчивости реальных явлений в водоеме для практических целей в настоящее время может быть осуществлено только с использованием численных моделей и учетом данных полученных в натурных измерениях.

75

ЛИТЕРАТУРА 1. Р.Акоф, М.Сасиени. Основы исследования операций. М., 1971. 2. Р.Акофф. Искусство решения проблем. М., 1982. 3. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. – М.: Наука, 1987.-160с. 4. Бать М.И. Джаналидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах .- М.:Наука, 1966.-Т.2.-663с. 5. Блехман И.И., Мышкис А.Д.,Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложения математики. Киев, 1990. 6. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М., 1980. 7. Гастев Ю.А. Гомоморфизм и модели. М. 8. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М., 1971. 9. Горелов А.А. Концепции современного естествознания. М., 1998. 10. Грекова И. Методологические особенности прикладной математики на современном этапе её развития. "Вопросы философии". 1976. 11. Грекова И. Математика и постижение реальности. "Наука и жизнь" 1985. 12. Губанов В.А., Захаров В.В., Коваленко А.Н. Введение в системный анализ. Ленинград, 1988. 13. Дроздов Н.Д. Некоторые вопросы организации прикладных исследований. "Системы: Математические методы описания, САПР и управление". Калинин, 1989. 14. Дроздов Н.Д. Основы системного анализа. Тверь,1997. 15. Карманов В.Г., Федоров В.В., Моделирование в исследовании операций. 16. Квейд Э.. Анализ сложных систем. М., 1969. 17. Климок В.И, Кочергин В.П, Фридрих Г. Математическая модель гидротермодинамики океана, ее дискретный аналог и организация вычислений. Математическое моделирование динамических процессов в океане Новосибирск, 1987.-с.4-28. 18. Климок В.И., Косова И.В. Численное моделирование полей течений центральной части озера Селигер под влиянием ветрового воздействия. Водное хозяйство России. Научно-практический журнал. –Екатеринбург: Аэрокосмология,1999.-Т.1, №6 –с. 583 – 594. 19. Косов В.И. , Щульгин Д.Ф. и др. Математическое моделирование природных экосистем. Тверь. : ТГТУ, 1998.- 255с. 20. Краснощеков П.С. Математические модели в исследовании операций. М., 1987.

76

21. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М, 2000. 22. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и её изучении. М., 1977. 23. Кутасов А .Д., Пиголкина Т.С., и др. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. – М.: Наука, 1985.-480 с. 24. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации.-Л.: Гидрометеоиздат, 1987.-296с. 25. Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана на основе метода расщепления. -Л.:Гидрометеоиздат,1974.-303с. 26. Моисеев Н.Н. Математик задает вопросы. М., 1974. 27. Моисеев Н.Н. Математик ставит эксперимент. М., 1979. 28. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М., 1981. 29. Моисеев Н.Н. Эффективность, устойчивость, справедливость. "Знание сила". 1984. 30. Перегудов Ф.И.,Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. М.,1989. 31. Свирежев Ю.М. Нелинеиные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии .- М.:Наука,1987-368с. 32. Стоммел Г. Гольфстрим. – М.: Иностр. Лит, 1963.- 227с. 33. Тихонов А.Н.,Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. М.,1984. 34. Трухачев Р.И. Модели принятия решений в условиях неопределенностей. М.,1981. 35. Р.Шенон. Имитационное моделирование систем -Искусство и наука. М., 1990. 36. Э. Шюре. Великие посвященные. М, 1990. 37. Концепции современного естествознания, под редакцией Лавриненко В.Н., Ратникова В.П., М. 1999.

77

Приложение называется любое Напомним, что высказыванием повествовательное предложение, относительно которого известно, что оно либо истинно, либо ложно. Из простых высказываний получаются сложные высказывания с помощью операции имеющих специальные названия: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание. Они означают хорошо известные соединения отдельных предложений связками "и", "или", "если … то", "тогда и только тогда, когда ", а также присоединение к высказыванию частицы «не». Отрицанием высказывания А называют такое высказывание Ā, что Ā ложно, если А истинно, и Ā истинно, если А ложно. Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний А и В называют такое высказывание А·В (читается "А и В"), которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба составляющих его высказывания. Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказывании А и В называется такое высказывание А+В (читается "А или В"), которое истинно тогда и только тогда, кода истинно хотя бы одно из составляющих его высказываний. Отметим, что в этом определении союз "или" имеет всегда лишь неразделительное (не исключающее) значение. Импликацией двух высказывании А и В называется такое высказывание А→В (читается "из А следует В" или "если А, то В"),

78

которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В - ложно. Эквивалентностью высказывании А и В называется такое высказывание А~В (А↔В,А=В), которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В либо истинны, либо оба ложны. С помощью таблиц истинности нетрудно проверить следующие эквивалентности: 1. A + B = B + A 2. A ⋅ B = B ⋅ A 3. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C 4. A ⋅ ( B ⋅ C ) = ( A ⋅ B ) ⋅ C 5. A ⋅ ( B + C ) = A ⋅ B + B ⋅ C 6.( A + B ) ⋅ ( A + C) = A + B ⋅ C 7. A + B = A ⋅ B 8. A ⋅ B = A + B 9. A = A , A + A = A , A ⋅ A = A 10.A + A = 1, A ⋅ A = 0, A + 1 = 1, A ⋅ 1 = A, A + 0 = A, A ⋅ 0 = 0,

где через единицу и ноль обозначены, соответственно, тождественно истинные и тождественно ложные высказывания. Выписанные первые пять законов аналогичны законам обычной алгебры чисел, остальные же не имеют аналогий в элементарной алгебре.

79

Дроздов Николай Дмитриевич Климок Виктор Иванович МАТЕМАТИКА И ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ

Учебное пособие

Технический редактор А.Н. Зубова Лицензия ЛР№020268 от 03.04.1997г. Подписано в печать 12.07.2001 Формат 60х80 1/16. Печать офсетная. Усл. п.л. 5,0. Уч. изд. л. 4,07 Тираж 50 экз. Заказ 310 Тверской государственный университет. Факультет прикладной математики и кибернетики Адрес: Россия, 170002, г. Тверь, Садовый пер., 35.

80