複素解析学入門 (基礎数学シリーズ)

小堀

憲

小松醇郎 福原満洲雄 編集

基 礎 数 学 シリーズ

編 集 の ことば  近 年 に お け る科 学技 術 の 発 展 は,極 め て め ざ ま し い もの が あ る.そ の 発展 の基 盤 に は,数 学 の知 識 の 応 用 も さ る こ とな が ら,数 学 的思 考 方 法,数 学 的精 神 の 浸 透 が 大 きい.理 工 学 は じめ 医 学 ・農 学 ・経 済 学 な ど広 汎 な分 野 で,数 学 の知 識 の み な らず 基 礎 的 な 考 え 方 の 素 養 が 必 要 な の で あ る.近 代 数 学 の理 念 に接 しな け れ ば,知 識 の 活 用 も多 き を望 め な いで あ ろ う.  編 者 らは,こ の よ うな 事 実 を考 慮 し,数 学 の 各分 野 に お け る基 本 的 知 識 を 確 実 に 伝 え る こ と を 目的 と して 本 シ リー ズ の 刊 行 を 企 画 した の で あ る.  上 の 主 旨に した が って 本 シ リー ズで は,重 要 な 基 礎概 念 を と くに 詳 し く説 明 し, 近 代 数 学 の 考 え方 を平 易 に理 解 で き る よ う解 説 して あ る.高 等 学 校 の 数 学 に 直 結 して,数 学 の 基 本 を悟 り,更 に進 ん で高 等数 学 の 理 解 へ の 大 道 に 容 易 に は い れ る よ う書 か れ て あ る.  これ に よ って,高 校 の 数 学 教 育 に携 わ る人 た ち や 技 術 関 係 の 人 々の 参 考 書 と し て,ま た 学 生 の 入 門書 と し て,ひ ろ く利 用 さ れ る こ と を念 願 と して い る.  この シ リー ズ は,読 者 を 数学 とい う花 壇へ 招 待 し,そ れ の 観 覚 に 資 す る と と も に,つ ぎ の段 階 にす す む た め の 力 を 養 うに役 立 つ こ と を意 図 した もの で あ る.

は

 こ の 書 物 は,入

じ

門 書 で あ る の で,微

も 予 想 して い な い.そ

して,第1歩

め

に

分 学 や 積 分 学 に 関 す る 知 識 の ほ か は,何

か ら踏 み 出 して,複 素 数 を 変 数 とす る 函 数

に 関 す る 基 本 的 な概 念 を 紹 介 し,19世

紀 を 通 じ て,ガ

ウ ス,コ ー シ ー,リ

マ ン,ワ イ ヤ シ ュ トラ ス と い った 大 数 学 者 を は じめ と して,い 研 究 に よ っ て,20世

ろい ろ の学 者 の

紀 の 数 学 へ 伝 え られ た 「複 素 解 析 学 」 とい う花 壇 の,百

花 が 咲 き 乱 れ て い る光 景 を 観 賞 す るた め の 手 引 き と な りた い,と っ て,書

い う願 望 を 持

か れ た の で あ る.

 こ の シ リー ズ の 目的 は,数

学 の 各 分 野 に お け る基 本 知 識 を,確

実 に把 握す る

た め の 伴 侶 とな る こ とで あ るか ら,こ の 書 物 で も,こ の 趣 旨 に 添 っ て,ほ もの を 読 まな け れ ば 理 解 す る こ とは で き な い,と た.ま

ー

た,重

要 な 基 礎 概 念 に つ い て は,く

かの

い うこ とが な い よ うに と努 め

どい と思 わ れ るほ どに,詳

しい 説 明

を 加 え て お い た.  こ の 書 物 に 書 か れ て い る こ と を,身 に つ け る こ と が で き る よ うに と,そ れ ぞ れ の 節 末 に,問

題 を 課 して,説

明 の 理 解 の 便 に 供 した.さ

っ て 得 た 知 識 を 踏 み 台 と して,つ

らに,こ

の書物 に よ

ぎ の 段 階 へ 飛 躍 す る 力 を 養 うた め に,章 末 に,

理 論 の 応 用 と い う点 か らみ て,重 要 と思 わ れ る 問 題 を 選 ん で お い た.   最 後 に,こ

の 書 物 は,あ

く まで も 「入 門 書 」 で は あ る が,同

析 学 」 と い う美 しい 花 壇 へ の 招 待 で も あ る.そ れ が さ さ や か な も の で あ って も,書

して,こ

時 に,「 複 素 解

の よ うな 案 内 書 を,そ

く こ とが で き る よ うに な った の も,著 者 を

こ の 花 壇 へ 案 内 して くだ され た 恩 師 や 先 輩 の お か げ で あ る の で,こ れ らの か た が た へ の 感 謝 の 念 を 心 に 刻 み な が ら,若 い 人 々 を,こ

の 花 壇 へ 招 待 した い の で

あ る. 1966年7月

 

洛北にて 小

堀

憲

目

1. 

複

素

 1.1  定

次

数

 1

義

 1

 1.2  複 素 平 面  1.3  集

合

  7   15

 1.4  数 列 と 級 数

 

 演 習 問 題1 

2. 

20 26

函 数 とべ き級 数

  27

 2.1  領

域

  27

 2.2  函

数

 31

 2.3  極 限 と 連 続  2.4  べ き 級 数  2.5  指 数 函 数 と 三 角 函 数

 

32

 

  55

 演 習 問 題2 

3. 

微

分

43

63

法

 65

 3.1  導 函 数

 65

 3.2 

 71

  3.3 

コ ー シ ー ・ リー マ ン の 偏 微 分 方 程 式 写

像

 

 3.4  逆 函 数

  81

 演 習 問 題3 

4. 

積

分

77

法

 4.1  線 積 分

96

  98   98

 4.2 

コー シ ー の 積 分 定 理

  107

  4.3 

コー シ ー の 積 分 公 式

 123

  4.4 

コ ー シ ー の諸 定 理 の 応 用

  133

 演 習 問 題4 

5. 

140

テ イ ラ ー 級 数 と ロー ラ ン級 数

  5.1 

ライ ラーの定 理

  5.2  特 異 点   5.3  解 析 接 続   5.4 

ロー ラ ンの 定 理

 142  

  149   155   170

 演 習 問 題5 

6. 

留 数 定 理 とそ の 応 用

185

  187

  6.1  留 数 定 理   6.2  ル ー シ ェ の 定 理  6.3  定 積 分 の 計 算 へ の 応 用   6.4 

1次 函 数

 演 習 問 題6 

索

引

142

 187   193  

197  211 229

  231

1.  複

 1.1 

定

素

数

義

  実 数 の こ と は,よ

くわ か っ て い る も の と し て お く.そ

に よ っ て,x2≧0で

あ る か ら,x2+1>0で

 (1.1) 

数 」 に 限 定 す る と,解 す る た め に は,ど  そ れ で,実

の よ うな 簡 単 な 方 程 式 で あ る の に,数

く こ と が で き な い の で,こ

う し て も,数

数x,yに ち ろ ん,こ

のiは

の 知識 を

「実

れ を 解 く こ と が で き る よ うに

がx+iyで

与 え られ た も の を,新

実 数 で は な い.こ

のiは

しい 数 と

何 で あ る の か,い

まの と

の 新 し い 数 を 複 素 数 と 名 づ け る.

の 複 素 数x′+iy′,x″+iy″

わ し,こ

数方 程 式

の 概 念 を 拡 張 し な け れ ば な ら な い.

対 し て,形

こ ろ は わ か ら な い が,こ   2つ

た が っ て,代

数 の性質

x2+1=0

を 解 く こ と は で き な い.こ

考 え る.も

あ る.し

うす る と,実

が 等 し い こ と をx′+iy′=x″+iy″

と表

れ に 対 して

  Ⅰ. x′+iy′=x″+iy″

が な り た つ の は,x′=x″,y′=y″

の ときに か

ぎ る. と 定 義 し て お く.ま と 表 わ し,こ  Ⅱ. 

た,x′+iy′

とx″+iy″

と の 和 を(x′+iy′)+(x″+iy″)

れ を 求 め る 演 算 を 加 法 と い っ て,そ (x′+iy′)+(x″+iy″)=(x′+x″)+i(y′+y″)

と 定 義 す る.さ

ら に,x′+iy′

とx″+iy″

と の 積 を(x′+iy′)(x″+iy″),

(x′+iy′)・(x″+iy″)ま

た は(x′+iy′)×(x″+iy″)と

演 算 を 乗 法 と い っ て,そ

れを

 Ⅲ. 

れを

表 わ し,こ

れ を 求め る

(x′+iy′)(x″+iy″)=(x′x″−y′y″)+i(x′y″+y′x″)

と 定 義 す る.   x+iyと ばz,で

書 か な く と も 誤 解 さ れ る 心 配 が な い と き に は,1つ 表 わ す ほ うが 簡 単 で あ り,便

表 わ し て い る こ と を,z=x+iyと

利 で あ る.そ

れ で,zが

の 文 字,た

とえ

複 素 数x+iyを

書 く こ と に す る.

  複 素 数 の 加 法 と 乗 法 と に 関 し て は,つ

ぎ の3つ

の 法 則 の な りた つ こ と が 示 せ

る.

z1+z2=z2+z1, 

z1z2=z2z1 

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3), 

[交 換 法 則] (z1z2)z3=z1(z2z3) 

[結

(z1+z2)z3=z1z2+z2z3 

合 法 則]

[分 配 法 則]

 こ れ ら の 法 則 を 証 明 す る こ と は 容 易 で あ る の で,練

習 の た め に,分

配 法 則 を

証 明 し て お く.   z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,z3=x3+iy3と

す る と,(Ⅱ)に

z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2)

で あ るか ら

と な る.   問1. 

交 換 法 則 と 結 合 法 則 と を 証 明 せ よ.

  問2. 

つ ぎ の 計 算 を せ よ:

ⅰ)  (1+i3)+(2+i4), ⅱ)    zに

関 す る1次

(2+i3){2+i(−3)}.

方 程 式

 (1.2) 

z+z″=z′

を 満 足 す る 複 素 数 の1つ

をz1=x1+iy1と

す る と,方

(x1+iy1)+(x″+iy″)=x′+iy′ と 書 け る.定

義 Ⅱ に よ っ て (x1+x″)+i(y1+y″)=x′+iy′

と な る の で,定

義 Ⅰ に よ っ て, x1+x″=x′, 

を 得 る.ゆ

え に,

y1+y″=y′

程 式(1.2)は

よ っ て

x1=x′

−x″, 

y1=y′−y″

とな る の で  (1.3) 

z1=(x′

が 出 て く る.こ

れ は 方 程 式(1.2)の

の 解 が あ る か も 知 れ な い の で,そ  (1.3)の

−x″)+i(y′−y″) 解 で あ る が,ま

だ こ の ほ か に も,(1.2)

れ を 調 べ て お か ね ば な ら な い.

ほ か に,z2=x2+iy2が(1.2)の

解 で あ る と,上

と ま った く同 じ よ

うに し て z2=(x′

−x″)+i(y′−y″)

で あ る こ と が わ か る.ゆ

え に,z1=z2で

解 は た だ1つ

の た だ1つ

z′−z″

で あ る.こ

と 表 わ す.そ

うす る と,こ

あ る.し の 解 を,z′

た が っ て,方

か らz″

れ を 求 め る 演 算,す

程 式(1.2)の

を 引 い た 差 と い っ て, な わ ち 減 法,を

つ ぎの

よ う に 表 わ す こ と が で き る.   Ⅱ′

 

z′−z″=(x′

z′−z″ が 方 程 式(1.2)の  (1.4) 

−x″)+i(y′−y″) 

解 で あ る こ とか ら (z′−z″)+z″=z′

が 得 ら れ る.  複 素 数 は 実 数 を 拡 張 し た も の で あ る か ら,実 れ ば な ら な い.そ

数 は こ の 複 素 数 の1部

分 でな け

れで

 (1.5) 

x+i0=x

と 定 義 す る.そ

うす る と

 (1.6) 

0+i0=0

で あ る.し

た が っ て, 

「x=0,y=0の

と い う の は,定

否 定 」 で あ る か ら, 

 と し て,方

z″z=z′ 素 数z1=x1+iy1が

解 で あ る と,方

(x″+iy″)(x1+iy1)=x′+iy′ と 書 け る.そ

の こ と で あ る.

程式

 (1.7)  を 考 え る.複

義 Ⅰ と(1.6)と

うす る と,定

義 Ⅲに よ って

(x″x1−y″y1)+i(x″y1+y″x1)=x′+iy′

程 式(1.7)は

に よって

と な る の で,(Ⅰ)に

よ って

 (1.8) 

x″x1−y″y1=x′, 

x″y1+y″x1=y′

と な る. ⅰ ) 

とす る と

  a) 

の 場 合 に は,(1.8)の2つ

の 方 程 式 か らyを

消 去 す る と

(x″2+y″2)x1=x′x″+y′y″ で あ り,x1を

消 去 す る と (x″2+y″2)y1=y′x″−x′y″

と な り, 

で あ る か ら

 (1.9)

が 出 て く る.   b) 

y″=0の

場 合 に は,(1.8)は x″x1=x′, 

x″y1=y′

と な る の で

と な り,(1.9)の  ⅱ )  x″=0と

特 別 の 場 合 で あ る こ と が わ か る. す る と, 

で あ る か ら,(1.8)は − y″y1=x′, 

y″x1=y′

と な り,

と な り,(1.9)の

特 別 の 場 合 で あ る こ と を 知 る.し

を 満 足 す る複 素 数 は

た が っ て,方

程 式(1.7)

ⅱ  ⅰ

で あ る こ と を 知 る.(1.7)を れ は,こ

満 足 す る 複 素 数 は,こ

の ほ か に,z2が(1.7)の

と な る こ と が わ か り,定

の ほ か に は 存 在 し な い.そ

解 で あ る と,上

と 同 じ演 算 を く り か え し て

義Ⅰ に よ っ て,z1=z2と

 そ れ で,方

程 式(1.7)の

た だ1つ

の 解 を,z′

と 表 わ す.こ

の 商 を 求 め る演 算 を 除 法 とい い

な る か ら で あ る. をz″

で 割 っ た 商 と い い,z′/z″

  Ⅳ.

と 表 わ す.な

お,z′/z″ が 方 程 式(1.7)の

解 で あ る こ とか ら

 (1.10)

が な り た つ.   問3. 

つ ぎ の 商 を,x+iyの

) 

  問4. 

形 で 表 わ せ: ⅲ)

) 

つ ぎ の 計 算 を せ よ:

) 

ⅱ)

 こ こ で,い を,調 z3と

ま ま で 定 義 し な い で 用 い て き たiは,ど

べ る こ と に し よ う.実 い うふ うに,n個

る と,定

の よ うな も の で あ るか

数 の と き と 同 じ よ うに,z×zをz2,z×z×zを

の 積z×z×

…

×zをznと

表 わ す こ と に す る.そ

うす

義 Ⅱに よって (0+i1)2=(0+i1)(0+i1)=(0×0−1×1)+i(0×1+1×0) =−1+i0=−1

で あ る か ら,0+i1は  (1.11) 

 (1.12)

こ で,簡

単 の た めに

0+i1=i

と 表 わ す こ と に す る.そ る の で,あ

実 数 で は な い.そ

らた め て

うす る と,上

の 計 算 か らわ か る よ う に,i2=−1と

な

と 定 義 し,虚 2つ

数 単 位 と い う*.そ

の 単 位

う す る と,x+iyは1・x+iyの

「1」,「i」 を も っ て い る.そ

数 と 名 づ け た の で あ る.な

れ で,「

こ と で あ り,

複 単 位 数 」 と い う 意 味 で,複

お,(1.5)と(1・11)と

素

に よ って

(0+i1)(y+i0)=iy で あ り,定

義 Ⅱに よ っ て (0+i1)(y+i0)=(0×y−1×0)+i(0×0+1×y)=0+iy

で あ るか ら  (1.13) 

0+iy=iy

と 書 け る が,こ

れ を 純 虚 数 とい

う.そ

う す る と,(1.13)に

お い てy=1と

置

く と, 0+i1=i1 と な る の で,(1.11)と

く らべ て

 (1.14) 

i1=i

を 得 る.   複 素 数z=x+iyに

お い て,xをzの

ま た は 虚 部 と い う.そ に す る.す

x=Re(z),  お,x+iyと

+i(−y)をx−iyと zで

実 部 をRe(z),虚

部 をIm(z)と

虚 数 部 表 わ す こ と

な わ ち

 (1.15)  で あ る.な

し て,zの

実 数 部 ま た は 実 部,yをzの

書 くか わ

y=Im(z) り にx+yiと

書 い て,x+iyの

共 役 複 素 数 と い う.zの

表 わ す こ と に す る と,z=x+iyな

  な お,i2=−1で

書 く こ と も あ る.そ

ら ばz=x−iyで

あ り,−i=i(−1)=0+i(−1)で

し て,x

共 役 複 素 数 を

あ る. あ るか ら

(−i)2={0+i(−1)}{0+i(−1)}={0×0−(−1)×(−1)} +i{0×(−1)+(−1)×0}=−1+i0=−1 を 得 る の で,i,−iは

方 程 式(1.1)の

根 で あ る.こ

*  こ れ は ス イ ス の 数 学 者 オ イ レ ル(Leonhard

の ほ か に も,方

程 式(1.1)

Euler , 1707-1783)が,は じめ て 導 入 し た 記 号 で あ る.オ イ レ ル は,ロ シ ア の 女 帝 エ カ テ リ ナ Ι世 に 招 か れ て,1728年 に ペ テ ロ グ ラ ド(今 の レ ニ ン グ ラ ド)へ い く .1735年 に 右 眼 を 失 明 す る.エ カ テ リ ナ Ι世 の 歿 後 不 遇 で あ っ た の で,1744年 に ベ ル リ ンへ 移 る.1766年 に エ カ テ リナ Ⅱ 世 に 招 か れ て,ま た ペ テ ロ グ ラ ド に 来 る.1771年 に 左 眼 を 失 っ て,完 全に 失明 す る.そ して,1783年9月18日 ペ テ ロ グ ラ ドで 歿 す る が,失 明 後 と い え ど も研 究 を つ づ け,今 日 に い た る も 全 集 が 完 成 し な い ほ ど に,数 多 くの 業 績 を 残 し て い る.

 ⅰ ⅰ ⅱ

の 根 が あ る か も 知 れ な い の で,そ

れ をa+ibと

り,(a+ib)2=(a2−b2)+i2abで

で,a=0で

あ

あ る か ら, a2+b2=−1, 

を 得 る.b=0と

す る と,(a+ib)2=−1で

す る とa2=−1と

な り,aが

な け れ ば な らぬ.こ

a+ib=0+i(±1)=±iと

2ab=0 実 数 で あ る こ と に反 す るの

の 場 合 にb2=1す

な っ て,方

な わ ちb=±1と

程 式(1.1)の

根は

±iの

な り, ほ かに は 存

在 し な い こ と を 知 る.  問5.  つ ぎ の 計 算 をせ よ: ⅱ)

) 

  問6. 

と し て,つ

z1=1+3i,z2=3−i, 

)  z13+z12+z1−3, 

  問7. 

ⅱ) 

ⅲ)  Re(z1+z22−z33), 

a>0と

 1.2 

) 

複

素

平

ⅲ)

z1z2=z1z2, 

し て,x2+a2=0を

 複 素 数z=x+iyに

解 け.

面 直 交 座 標 が(x,y)で

の 点 と 複 素 数 と の 間 に,1対1の で 表 わ す こ と に す る.こ

あ る 点 を 対 応 さ せ る と,こ

対 応 が あ る.簡

の よ うに,点

単 の た め に,こ

の 場 合 に,横

形 で あ る か ら,こ

な わ ち 実 数xが

れ に はx+i0す

の 座 標 の 形 は(0,y)で る の で,横

あ っ て,こ

点 の 座 標 は(0,0)で

の 点 を ま たz

軸 の 点 の 座 標 は(x,0)と 対 応 す る.ま

れ に は0+iyす

軸 の こ と を 実 数 軸(実

の平 面

が 複 素 数 を 表 わ す と 考 え ら れ た 平 面 を,

複 素 平 面 ま た は 数 平 面 と い う*.こ

な お,原

ⅳ)

つ ぎ の こ と を 証 明 せ よ:

)  z1+z2=z1+z2,   問8. 

(z3)3, 

ぎ の 計 算 を せ よ:

軸),縦

な わ ち 純 虚 数iyが

軸 の こ と を 虚 数 軸(虚

あ る か ら,原

た,縦

点 は 複 素 数0+i0す

い う 軸の点 対応す

軸)と

い う.

な わ ち0を

表

わ す.   z1=x1+iy1,z2=x2+iy2を

表 わ す 点 を,そ

*  ガ ウ ス 平 面 と い う ひ と も あ る .そ が,1811年

に ベ ッ セ ル(Wilhelm

の こ と を 書 い た か ら,こ

れ ぞ れP1,P2と

れ は ガ ウ ス(Friedrich Bessel,

1784-1846)へ

の よ うに 呼 ば れ る の で あ る.

von

す る.z1+z2 Gauss,

1777-1855)

宛 て た 手 紙 の 中 で,こ

=(x1+x2)+i(y1+y2)で

す 点Rの

あ る か ら ,z1+z2を

座 標 は(x1+x2,y1+y2)で

表 わ

あ る.線

分P1P2

で あ り,線 分OR

の 中 点 の 座 標 は 

の 中 点 の 座 標 も ま た こ れ で あ る か ら,P1P2とOR は,た

が い に,そ

R,P2は

頂 点Rが,z1+z2を

対す る

義 に よ っ て,(z1−z2)+z2=z1

を 満 足 す る か ら,OP1を

対 角 線,OP2を1つ

の 辺 と す る 平 行 四 辺 形OP2P1Sを

つ く る と,

表 わ す 複 素 数 がz1−z2で

 z=x+iyを

表 わ す 点 をPと

の 座 標 は(x,y)で

で あ る.こ

と す る 平 行 四 辺 形 のOに

え に,

表 わ す.

 z1−z2は,定

点Sが

え に,O,P1,

平 行 四 辺 形 の 頂 点 に な っ て い る.ゆ

OP1,OP2を2辺

図1.1

の 中 点 で 交 わ る.ゆ

あ る. す る と,こ

れ

あ るか ら

れ をzの

図1.2

絶 対 値 と い い,￨z￨と

表 わ す.す

なわ 〓

 (1.16) で あ る.

 ま た,正

の 実 軸 を 始 線,OPを

動 径 とす る 角 を θ と し て,OP=rと

置 くと

三 角 函 数 の 定 義 に よ っ て,

で あ るか ら

図1.3

 (1.17) 

x=rcosθ, 

と な る.ゆ

え に,z=x+iyに

 (1.18) 

と書 け る.こ っ て,argzと *  argzは

y=rsinθ 代 入 して

z=r(cosθ+isinθ)

れ を 複 素 数zの

三 角 形 式 ま た は 極 形 式 と い い,θ

表 わ す*.rはzの 確 定 値 で は な い .2π

絶 対 値 で あ る か ら,(1.18)は の 整 数 倍 だ け ち が う.

をzの

偏 角 とい

 (1.18′) 

z=￨z￨(cosθ+isinθ)

と 書 い て も よ い.   z1,z2の

偏 角 を そ れ ぞ れ

θ1,θ2と

す る と,(1.18′)に

z1=￨z1￨(cosθ1+isinθ1), 

よ っ て

z2=￨z2￨(cosθ2+isinθ2)

で あ る か ら

と な る.ゆ

え に,

 (1.19) 

￨z1・z2￨=￨z1￨・￨z2￨

 (1.20) 

arg(z1z2)=argz1+argz2

が 得 ら れ る.   注 意   (1.20)に

お い て は,argz1,argz2の

で な い.argz1の1つ

の 値 を θ1と

2nπ+θ1,(nは

任 意 の 整 数),の

わ す.argz2に

つ い て も,同

(1.20)はargz1,argz2の

値 は確 定

す る と,argz1は

な か の ど れ か1つ

じ こ と が い え る.ゆ

を表 え に,

あ る 値 に 対 して な りた つ と

い う意 味 で あ る.   z=0な

図1.4

ら￨z￨=0で

+iy=0と

らz=0で

す る と,x=0,y=0で

ま た,逆

に,￨z￨=0と

x=0,y=0で

あ る.な る.(1.19)に

の 複 素 数 の 積 が0で

で あ る. 数 の 性 質 に よ っ て,

れ の 因 数 に は,か

な ら ず0が

で 述 べ た こ と に よ っ て,￨zz′￨=0で あ る か ら,￨z￨￨z′￨=0と あ る.ゆ

え に,ま

な る.実

あ 数 の 性

た 上 の 定 理 に よ っ て,

あ る*.

 と す る と,z1/z2に が な り た つ.ゆ

あ る と,そ

た は￨z′￨=0で

た はz′=0で

ぜ な ら,z=x

あ る.

す る と,上

よ っ て￨zz′￨=￨z￨￨z′￨で

質 に よ っ て￨z￨=0ま

あ る か ら,実

え に,z=0で

ぜ な ら,zz′=0と

あ る.な

あ る か ら, 

す る とx2+y2=0で あ る.ゆ

 さ ら に,2つ

z=0ま

あ り,￨z￨=0な

え に,(1.19)に

対 し て は,前

節 の(1.10)に

よ っ て,(z1/z2)z2=z1,

よ っ て

*  こ の 定 理 を ,「 複 素 数 に は 零 因 子 が な い 」 と い い 表 わ す こ とが あ る.

が な りた つ の で

を 得 る. 

で あ る か ら 

で あ る.ゆ

えに

 (1.21)

が な り た つ.ま

た,

で あ る か ら,(1.20)に

よ って

を 得 る.ゆ え に  (1.22)

が 出 て く る*.  こ れ ら の こ と を 考 慮 に 入 れ る と,z1z2や z1/z2を 図 示 す る こ と が で き る

 ⅰ )  z1z2の z2を

場 合.1を

表 わ す 点 を,そ

.

表 わ す 点 をE,z1,

れ ぞ れP1,P2と

す る.

∠P2OR=∠EOP1,∠OP2R=∠OEP1と

図1.5

であ り *  p .9の

注 意 参 照.

な る よ うにORを

つ く る と,三

と 三 角 形OEP1と

は 相 似 と な る[図1.5参

照].そ

して

角 形OP2R

 ⅰ ⅱ ⅲ ⅱ

す なわち で あ るか ら

OR=￨z1￨￨z2￨=￨z1z2￨ を 得 る の で,Rが  ii)  z1/ z2の

場 合.OS,P1Sを

三 角 形OP2Eと [図1.6参

表 わ す 複 素 数 はz1z2で

あ る.

三 角 形OP1Sと

が 相 似 と な る よ うに つ く る と 照],

すなわち で あ るか ら

図1.6

で あ り,∠SOP1=∠EOP2で

を 得 る.ゆ

あ るか ら

え に,Sが

で あ る.

表 わ す 複 素 数 は 

z1/ z2 

 問9.  つ ぎの 複 素 数 の 絶 対 値 と偏 角 と を 求 め よ: )    問10. 

 ⅰ ) 

) −1+i, 

) 

z1=1+3i,z2=2−4iと

z1−2z2, 

  こ こ で,も

う1度

ⅳ)

し て,つ

) 

ⅲ ) 

ぎ の 複 素 数 を 図 示 せ よ:

2z1z2, 

絶 対 値 を 考 え る.図1.2が

ⅳ ) 

示 す よ うに,P1P2=OSで

あ

るか ら P1P2=￨z2−z1￨

で あ る.そ

れ で,￨z2−z1￨をz1とz2の

に す る.す

な わ ち

  (1.23) 

d(z1,z2)=￨z2−z1￨

距 離 と い い,d(z1,z2)と

表 わ す こ と

この距離 に 対 しては   (1.24) 

￨z1+z2￨≦￨z1￨+￨z2￨

が な り た つ.な

ぜ な ら

  つ ぎ に,z1=(z1−z2)+z2に(1.24)を

あ て は め る と

￨z1￨≦￨z1−z2￨+￨z2￨す で あ り,ま

な わ ち￨z1￨−￨z2￨≦￨z1−z2￨

た,z2=(z2−z1)+z1で

あ る か ら,上

￨z2￨≦￨z2−z1￨+￨z1￨す が 出 て く る.￨z2−z1￨=￨z1−z2￨で

と 同 じ よ うに し て

な わ ち￨z1￨−￨z2￨≧−￨z2−z1￨ あ るか ら ￨z1￨−￨z2￨≧−￨z1−z2￨

と な る.ゆ

えに

 (1.25) 

￨￨z1￨−￨z2￨￨≦￨z1−z2￨

が な りた つ.  例 題1.  不 等 式￨z−2￨<1を   解.￨z−2￨はzと2と

満 足 す るzの

の 集 団 を 図 示 せ よ.

の 距 離 を 表 わ す.ゆ 1よ

え に,わ

れ わ れ の 問 題 は,2か

り も 小 さ い よ うな 点 の 集 団 を,図

な る.と

こ ろ が￨z−2￨=1は,2を

半 径 と す る 円 を 表 わ す の で,問 心 と し,1を   問11.  <1を 図1.7 *  a

,b,c,dを

示す る ことに 中 心 と し,1を

題 の 集 団 は,2を

中

半 径 と す る 円 の 内 部 で あ る.  (解 終) ￨z−1￨<3を

満 足 す るzの

の ど ち ら か に 属 すzの

正 の 数 と す る と(ac+bd)2≦(a2+b2)(c2+d2)が

学 校 で 学 ん だ で あ ろ う.

らの距離 が

満 足 す るzの 集 団 をBと

集 団 をA,￨z−i￨

す る と き,ⅰ)A,B

集 団,ⅱ)A,Bに

共 通 なzの

な り た つ こ と は,高

等

集 団,を

図 示 せ よ.

  問12. 

つ ぎ の 式 を 満 足 す るzは,ど

 ⅰ) 

￨z−2￨=2￨z−2i￨,ⅱ) 

  問13. 

つ ぎ の 不 等 式 を 満 足 す るzの

 ⅰ)    nが

￨z−1￨≧1,ⅱ) 

の よ うな 図 形 を 描 く か.

￨z−1￨−￨z+1￨=1. 集 団 を 図 示 せ よ:

￨z−1￨<￨z+1￨

自 然 数 の と き,z=r(cosθ+isinθ)と

で あ る こ と は,容

す る と

易 に わ か る で あ ろ う*.ゆ

えに

  (1.26) が な り た つ.こ

こで

 Ⅴ.

と定 義 す る と

[(1.26)に

よ る]

で あ るか ら   (1.26′) と な る.(1.26),(1.26′)を

ま と め る と,任

意 の 整 数mに

対 して

  (1.27) が な り た つ こ と を 知 る**.こ   (1.28) 

れ を 応 用 し て,方 zn=a,(aは

程 式

定 数),

を 考 え る.z=r(cosθ+isinθ),a=ρ(cosα+isinα)と

す る と

rn(cosθ+isinθ)n=ρ(cosα+isinα) と な る.ド

・ モ ア ヴ ル の 定 理 に よ っ て,こ

れ は

*  高 等 学 校 数 学 ⅡBに 証 明 され て い る . **  こ れ を ド ・モ ア ヴ ル の 定 理 と い う .こ の ド ・モ ア ヴ ル(Abraham de Moivre, 1667 -1754)は フ ラ ン ス で 生 まれ た が ,1685年 か ら 少 し 経 っ た こ ろ に,ロ ン ド ンに定 住 し た と 伝 え ら れ て い る.

と 書 け る.ゆ

えに

 (1.29)

と な る.こ

れ より

すなわち

 (1.30) 

を 得 る.こ

れ を(1.29)に

代 入 す る と cosnθ=cosα,sinnθ=sinα

を 得 る.ゆ

え に,

すなわち と な る.こ

れ を解 い て

(kは0ま を 得 る.ゆ

た は 正 負 の 整 数),

え に,

これ よ り

と な る の で,kは 2lπ+α

偶 数 で な け れ ば な ら な い.ゆ

と な る.と

こ ろ が, l=qn+r,0≦r
と書 け るか ら

と な る.し

とな るか ら

たが って

え に,k=2lと

置 く と,nθ=

ⅰ) 

と な る.こ

こで

で あ る こ とを 考 慮 に 入 れ る と

で あ る.さ

らに,

と置 くと   (1.31) 

zr=ωrz0,(r=0,1,2,…,n−1),

を 得 る が,こ

れ が,方

これ をaのn乗 (1.13)が

程 式(1.28)の

根 で あ る.

根 と い っ て, 

示 す よ う に, 

と 表 わ す.

の 値 はn個

あ っ て,

半 径 

の 円 に 内 接 す る正 多 角 形 の 頂 点 に な っ

て い る.こ

の 場 合 に,

で あ る か ら,ω

図1.8

は1のn乗

根 の1つ

で あ る.

ⅲ ) 

ⅳ)

  問14.  つ ぎ の値 を 求 め よ: ⅱ )    問15.   ⅰ) 

つ ぎ の 方 程 式 を 解 け: z3+z2+z+1=0, ⅱ) 

 1.3  集

z4+16=0, ⅲ) 

z8−2z4+1=0.

合

 多 くの 数 を ひ と ま とめ に した 集 団 を,数 集 合 とい う.わ れ わ れ の対 象 は 複 素 数 で あ り,複 素 数 と複 素 平 面 の 点 と の 間 に,1対1の 対 して,複

素 平 面 で は,点

らさ きは,集

対 応 が あ る か ら数 集 合 に

の 集 団 す な わ ち 点 集 合 が 対 応 す る.そ れ で,こ れ か

合 とい え ば,複

素 数(し

た が って,複

素 平 面 の 点)の 集 合 の こ と

で あ る.  zが 集 合Eに

属 して い る こ と をz∈Eと

表 わ し,zは

集 合Eの 元 で あ る とい

う.2つ

の 集 合E1,E2に

E1はE2の

お い て,E1の

部 分 集 合 で あ る と い っ て,E1⊂E2ま

うす る と,E1⊂E2,E1⊃E2が

元 で あ る.ゆ とE2と

元 で あ り,E1⊃E2よ

え に,E1の

元 とE2の

お,元

れ も 集 合 の1つ

空 集 合 で あ る,と

  aを

中 心 と し,rを

す る の で,こ

を 持 た な い 集 合 は,集

表 わ す.こ

し て,こ

合{z￨￨z−a￨≦r}に

利 な こ と が 多 い の で,1つ

の 集 合 と考

の 記 号 を 用 い る と,E=0と

い う の は,

等 式￨z−a￨
の 集 合 をK(a;r)と

満足

い う記 号 で 代 表 さ せ て

うす る と

お い て は,円

れ を 閉 じ た 円 板 と い い,K(a;r)と

の 周 も この 集 合 に 属 して い る の

表 わ す.す

なわ ち

K(a;r)={z￨￨z−a￨≦r}.

 ま た,K(a;r)を こ と も あ る.特

円 板 と い うか わ り にr近 に,半

表 わ す こ と に す る.

 点aの

近 傍 を ど の よ うに つ く っ て も,そ

aと は 異 な る 点)が,少 のaは,Eに

す る と,点aが

な く と も1つ

こ に 集 合Eの

あ る と き に は,aを

属 し て い る こ と も あ れ ば,ま 集 合Eの

こ に はEの

傍 と い っ て,V(a;r)と

径 が 問 題 と な ら な い と き に は,点aの

V(a)と

集 積 点 で あ る と,aの

点 が 無 限 に た く さ ん あ る.な

点 が 有 限 個 し か な い も の が あ る と し,そ

中 に あ るEの

合 と して は 意 味 が な い け れ

K(a;r)={z￨￨z−a￨
  (1.33) 

Eの

れ を全 平面

全 体 で で き て い る 集 合 を{z￨￨z−a￨
板 と よ ぶ こ と に す る.そ

 特 に,集

も,そ

表 わ し,こ

半 径 と す る 円 の 内 部 の 点zは,不

  (1.32) 

う.こ

の と き にE1

い う こ と で あ る.

で 表 わ す こ と に す る.そ

で,こ

と ご と くE1の

表 わ す.

の 不 等 式 を 満 足 す るzの

簡 単 に,円

りE1の

元 は 同 一 の も の で あ る.こ

と 考 え る と,便

集 合 と 名 づ け,0と

Eは

表 わ す.そ

元 は,こ

な わ ち 複 素 平 面 の 点 の 全 体 をCで

と い う こ と に す る.な ど も,こ

た はE2⊃E1と

りE2の

は 等 し い と い っ て,E1=E2と

  複 素 数 の 全 体,す

元 で あ る と き,

同 時 に な りた つ 場 合 に は,E1⊂E2よ

元 は こ と ご と くE2の

え,空

元 が こ と ご と くE2の

点 をz1,z2,…,zmと

表わす

近 傍 と い っ て,

点(a∈Eの 集 合Eの

と き に は, 集 積 点 とい

た 属 さ な い こ と も あ る.そ

う

近 傍 を ど の よ う に つ くっ て ぜ な ら,aの

れ をV(a)と

近 傍 の う ち で,

す る.そ

す る.d(a,z1),d(a,z2),…,d(a,zm)の

し て,こ の 中

の 最 小 の もの を ρ とす る と,  合Eの

点 は1つ

は,集

合Eの

集 合Eの

も な い.つ 点 は1つ

には集 に

ま り 

も な い こ と に な り,aが

集 積 点 で あ る こ と と 矛 盾 す る.し

たが

っ て,aの

近 傍 を ど の よ うに 考 え て も,そ

こに

は 集 合Eの

点 が,無

限 に た く さ ん あ る.

 正 の 数Mを,E⊂K(0;M)と

な る よ うに

定 め る こ とが で きた ら,こ の 集 合Eは は,つ

図1.9

有 界 で あ る とい う.有 界 な 集 合 に 対 して

ぎ の 定 理 が 重 要 で あ る.

 ボ ル ツ ァ ノ ・ワ イ ヤ シ ュ トラ ス*の 定 理   有 界 な 無 限 集 合 は 少 な く と も1つ の 集 積 点 を も つ**.  証 明   Eを 有 界 な 無 限 集 合 とす る と,こ れ を,辺

が 実 軸 と虚 軸 に 平 行 な 正 方 形 で 囲

む こ とが で き る.こ の 正 方 形 をQ0と これ を,辺

す る.

の 中 点 を 結 ぶ 線 分 で,4個

の合

同 な 正 方 形 に 分 け る.こ の うち の どれ か は, Eの 点 を 無 限 に た くさ ん ふ くむ.(も し,ど の 正 方 形 もEの 点 を 有 限 個 しか ふ く ま な い な ら,Q0に

図1.10

はEの

点 が 有 限 個 しか 存 在 し

な い こ とに な って,不 都 合 で あ る).Eの

点 を 無 限 に た く さ ん ふ くん で い る正

方 形 の1つ

の 合 同 な 正 方 形 に 分 け る と,こ れ の

をQ1と

す る.こ れ を また4個

どれ か はEの 点 を 無 限 に た く さ ん ふ くむ.そ *  ボ ル ツ ァ ノ(Bernhard あ っ た.死

Bolzano

れ の1つ

, 1781-1848)は

後 に 刊 行 さ れ たParadoxien

des

をQ2と

す る.こ れ を ま

プ ラ ー ク大 学 の 宗 教 哲 学 の 教 授 で Unendlichen

(1850)は,集

合論 の前

駆 と な る も の で あ る.  ワ イ ヤ シ ュ ト ラ ス(Karl の 体 操 の 教 師 で あ っ た が,そ

Weierstrass,

1815-1897)は40才

の 間 に 数 学 を 独 学 し た の で あ る.こ

ベ ル 函 数 論 に よ っ て 学 界 に 認 め ら れ ,1856年

までギ ムナ ジ ウム の 間 に 研 究 した ア

に ベ ル リ ン 大 学 へ 迎 え ら れ て,そ の 後

の40年 間,解 析 学 の 基 礎 づ け に,大 き く貢 献 し た. **  無 限 集 合 と い うの は ,1つ の 集 合 に お い て,そ の 元 の 個 数 が 無 限 に た くさ ん あ る も の の こ と で あ る.

た4個

の 合 同 な 正 方 形 に 分 け て,同

じ こ と を 行 な う と,Eの

点 を 無限 にた くさ

ん ふ くむ 正 方 形 の 列 Q0,Q1,Q2,…,Qn,…

が 得 られ る.こ

で あ り,こ

れ ら の 正 方 形 の つ く り方 か ら,Qkの

れ ら の 正 方 形 の 対 角 線 の 長 さ を,順

内 部 を(Qk)で

示 す と,

々に

d0,d1,d2,…,dn,…

とす る と

で あ り,

で あ る か ら,こ

の 分 割 を 限 り な く つ づ け る と,(Qn)は1点

点 を ζ と す る と,こ

の

れ は す べ て の 正 方 形 に 共 通 な 点 で あ る.

  正 の 数 εを 考 え る.こ と,(Qn)が

へ 収 縮 す る.そ

れ は ど の よ うに 小 さ く と も よ い が,V(ζ;ε)を

つ くる

ζ へ 収 縮 す る こ と か ら,

と な る よ うな 自 然 数Nを

定 め る こ と が で き る.ゆ

無 限 に た く さ ん あ る.こ

の εは ど の よ うに 小 さ な も の で あ っ て も よ い の で あ る

か ら,ζ る.し

の 近 傍 を ど の よ うに つ く っ て も,そ

た が っ て,ζ

 つ ぎ に,正

はEの

の 数Gを

の 点 で 円 板K(0;G)に

え に,V(ζ;ε)に

こ に はEの

はEの

点が

点 が 無 限 に た くさ ん あ

集 積 点 で あ る.

与 え る.こ

れ が ど の よ うに 大 き な 値 で あ っ て も,集

属 さ な い も の が 存 在 す る と き,こ

合E

の集 合は 有 界で は な

い.   複 素 数z=x+iyに

お い て は,実

+∞

と い う条 件 が つ い て い る.ゆ

y→−

∞

の と き に は,複

る と不 便 で あ る の で,こ 「∞ 」 で 示 す.複

数x,yに

え に,x→+∞,x→−

素 数 は 定 義 さ れ て い な い.し れ に は た だ1つ

素 平 面 に お い て も,∞

無 限 遠 点 と い っ て,数

は−

∞<x<+∞,− ∞ か し,こ

∞
ま た はy→+∞, の場 合 を除 外す

の 仮 想 数 が 対 応 す る と 考 え て,そ を 表 わ す 点 が あ る と し,こ

と 同 じ記 号 を 用 い て

∞

で 示 す.x+iyに

れを

の仮 想 点を お い て,x→

+∞

と す る と き も,y→+∞

も,ま

とす る と き

たx→+∞,y→+∞

も,図1.11が

とす る と き

示 す よ うに,異

な る方 向

へ 進 み,異 な る 点 へ 進 む よ うに 見 え る が, こ れ ら は こ と ご と く,同

一の点 ∞

へ向

か っ て い る の で あ る.こ

の よ うに,無

限

遠 点 を 導 入 した 複 素 平 面 を 拡 張 され た複 素 平 面 ま た は 函 数 論 的 平 面 と い う.そ て,こ

し

の 拡 張 され た 複 素 平 面 の 点 の 全 体

で で き て い る 集 合 は,全

平 面Cに

図1.11

∞ を 添 加 した も の で あ る の で,こ

れ をC

で 表 わ す こ とに す る.  正 の 数Gを

与 え た と き,こ れ が どの よ うに 大 き な もの で あ って も よい が,集

合{z￨￨z￨>G}を,無

限 遠 点 の近 傍 とい い,V(∞)で

  拡 張 され た 複 素 平 面 の 構 造 を み る た め に,こ

表 わ す こ と に す る.

の 平 面 の 原 点 に お い て これ に 接 す る 直 径1の

球面 Σ を考

え る.複 素 平 面 の 点zと 面 Σ の 北 極Nと 線 は,Σ

球

を結 ぶ 直

と1つ の 点Pで

交 わ る.ゆ え に,複

素平 面

の1つ の 点 に は Σ の1つ の 点 が 対 応 す る.逆 に,Σ の1つ

図1.12

て,複 素 平 面 の1つ

の 点 が 対 応 す る.そ れ で,zが

ら遠 ざか る と,PはON,Ozが Nへ 近 づ く.そ れ で,∞ と Σ

と の 間 に,1対1の

射 影 と名 づ け,Σ

の 点 に は,Nを

半 直 線Ozに

除い

沿 ってOか

つ く る平 面 で つ く られ た Σ の 大 円 に 沿 っ て, に はNが 対 応 す る と規 約 す る と,拡 張 され た 複 素 平 面 対 応 が な りた つ.こ

の よ うな 対 応 の つ け 方 を,立

体

を リー マ ン 球 面 また は 数 球 面 と い う*.

*  リ ー マ ン(Bernhard

Riemann

,

1826-1866)は

マ ン に よ っ て 導 入 さ れ た と い わ れ て い る が,ど

ドイ ツ の 数 学 者.こ

の球 面 は リー

の 論 文 に 出 て い る の か わ か ら な い.

  例 題1. 

複 素 平 面 の2点z,z′

の 立 体 射 影 を そ れ ぞ れP,P′

とす る と

が な りた つ こ と を 示 せ*.   解   三 角 形ONzは Nzに

直 角 三 角 形 で あ り,OPは

垂 直 で あ るか ら NO2=NP・Nz

が な り た つ.NO=1で   (1.34) 

NP・Nz=1

を 得 る.ま り,OP′

あ るか ら

た,三 はNz′

角 形ONz′

も直角三 角形 で あ

に 垂 直 で あ る か ら,上

と ま った

く同 じ よ うに し て NP′ ・Nz′=1 が な り た つ こ と を 知 る.ゆ

図1.13

え に,

す なわ ち が な り た つ.し

を 得 る.ゆ

(1.34)よ

を 得 る.と

た が っ て,2つ

の 三 角 形NPP′,Nz′zは

相 似 で あ る.こ

れ よ り

えに

りNP=1/Nzを

得 るの で

こ ろ が,z′z=￨z−z′￨, 

で あ る か ら,

(解 終)

 1.4  数

列

と 級

数

 1つ の 集 合 に お い て,す べ て の 元 に 番 号 を つ け る こ とが で きた ら,こ の 集 合 を 可 付 番 集 合 また は 可 算 集 合 と い う.こ の 集 合 に お い て は,元 を 自然 数 の 順 に な らべ る こ とが で き る の で,そ れ を *  こ のPP′

を2点z

,z′ の 弦 距 離 と い う.

 (1.35) 

z1,z2,z3,…,zn,…

と す る.こ の を,数

の よ うに,1つ 列(ま

た は 点 列)と

く こ と も あ る.こ n,…

い い,(1.35)の

の 場 合 に は,{}の

と 置 い て,こ

 数 列(1.35)が て,こ

の 可 付 番 集 合 に お い て,元

の 順 に な ら べ た も の,と

の 数 列 は 集 積 点 を も つ.特

は 収 束 す る と い い,こ い う.そ

し て,数

の た だ1つ

積 点 が た だ1つ

と き に は,そ

れ を ζ と す る と,正

の 数 εに 対 し て,そ

は(1.35)の

外 に は(1.35)の

集 積 点 が た だ1つ

点 が 有 限 個 し か な い.そ

す る と,zN,zN+1,…,zn,…

る.ゆ

ら

 (1.36) 

の

れ が ど の よ うに 小 さ な も

点 が 無 限 に た く さ ん あ る.し

最 大 の も の をzN−1と

たが っ

れ らの な か で 番 号 の

がV(ζ;ε)の

内部 に あ

￨Zn− ζ￨<ε あ る.さ

ら に,つ

ぎ の 定 理 は,数

 コ ー シ ー の 定 理*  数 列(1.35)が

列 に お い て,基

収 束 す る た め に,必

の 数 εが ど の よ うに 小 さ な も の で あ っ て も,そ pが

の数 列

の数 列 の極 限 または 極 限値 と

積 点 の 定 義 に よ っ て,(1.35)の

の で あ っ て も,V(ζ;ε)に

と な るNが

の と き に は,こ

極 限 が ζで あ る こ とを

こ ろ が,集

え に,n≧Nな

お い て,k=1,2,3,…,

い う意 味 で あ る.

の 集 積 点 を,こ

列(1.35)の

書

ル ツ ァ ノ ・ワイ ヤ シ ュ トラ ス の 定 理 に よ っ に,集

と 表 わ す.と

て,V(ζ;ε)の

よ うに 表 わ す か わ り に{zn}と

な か のzkに

有 界 で あ る と,ボ

を 番 号 の 順 に な らべ た も

本 的 な も の で あ る. 要 十 分 な 条 件 は,正

れ に 対 し て,番

号Nが,自

然数

何 で あ ろ うとも

 (1.37) 

￨zN+p−zN￨<ε

が な り た つ よ うに 定 め ら れ る こ と で あ る.  証 明   (1.37)は

必 要 条 件 で あ る.な

れ の 極 限 を ζ と す れ ば,(1.36)に 満 足 す る す べ て の 自 然 数nに *  コ ー シ ー(Augustin

Louis

ぜ な ら,数

よ っ て,正

列(1.35)が

収 束 す る と,こ

の 数 εに 対 し て,Nがn≧Nを

対 して Cauchy

, 1789-1857)は

現 代 の 解 析 学 の 父 と い わ れ て い る ほ ど に,輝

フ ラ ン ス の 数 学 者 で あ っ て,

か し い 研 究 が,解

析 学 の 分 野 に 多 い.

が な りた つ よ うに 定 め られ る.し た が っ て

を 得 る.ゆ

えに

 (1.37)は

十 分 条 件 で あ る.な

ぜ な ら

￨ zN+p−zN￨<ε,  と な るNが

p=1,2,3,…

定 ま る の で あ るか ら ￨zN+p￨<￨zN￨+ε, 

が な り た つ.し

p=1,2,3,…

た が っ て max(￨z1￨,￨z2￨,…,￨zN￨,￨zN￨+ε)=M

と す る と*,す

べ て のnに

は 有 界 で あ る.ゆ 点 が 存 在 す る.こ

対 し て,￨zn￨≦Mが

えに,ボ

な りた つ.ゆ

え に,数

列{zk}

ル ツ ァ ノ ・ ワ イ ヤ シ ュ ト ラ ス の 定 理 に よ っ て,集

の 集 積 点 が2つ

正 の 数 ε を1/2d(ζ1,ζ2)よ

あ る と し て,そ

れ を ζ1,ζ2と す る.こ

り も 小 さ く選 ん で お く と,仮

積

こ で,

定 に よ っ て,自然

数

N0が ￨zN0+p−zN0￨<ε,  と な る よ うに 定 め られ る.ゆ る.し

え に,zN0+p∈V(zN0;ε),p=1,2,3,…

た が っ て,V(zN0;ε)の

に,ζ1,ζ2はV(zN0;ε)に け れ ば な ら な い.こ に 反 す る.こ

外 部 に は{zn}の な け れ ば な ら な い.ゆ

の 矛 盾 は,2つ

の 集 積 点 しか な い.し

max(a1

え に,d(ζ1,ζ2)≦2ε

,a2,…,am)は,a1,a2,…,amの

え でな

な わ ち2ε
の 異 な る 集 積 点 ζ1,ζ2が 存 在 す る と 仮 定 し た こ と の 仮 定 は 誤 で あ る.ゆ た が っ て,こ

 数 列 が 収 束 し な い と き に は,発 * 

であ

点 は 有 限 個 し か な い.ゆ

れ は εに 対 し て 課 せ ら れ た 仮 定,す

か ら起 こ っ た の で あ る か ら,こ だ1つ

p=1,2,3,…

え に,数

列{zk}に

はた

の 数 列 は 収 束 す る.

散 す る と い う.特

に,数

列 が 有 界 で な い と,

う ち で 最 大 の も の,と

い う 意 味 で あ る.

 ⅲ

無 限 遠 点 が 集 積 点 とな る の で,数 列(1.35)が て い る と き に は,こ

と 表 わ す.こ

れ の極 限 は ∞ であ る とし

の数 列 は

の 場 合 に も,(1.35)は

「∞ へ 収 束 す る 」 と い う学 者 も あ る が,こ

こ で は,こ

発 散 す る と い う こ と に す る.

  問16.  2つ の 数 列{zk},{zk′}が ⅰ) 

無 限遠 点 ∞ だ け を集 積点 と し

{2k±zk′}, ⅱ) 

収 束す る と

{zkzk′}, ⅲ)

も ま た 収 束 す る こ と を 示 せ.   問17.  {2nk}を

数 列{zk}の

集 積 点 の1つ

を

ζ と す る と,こ

の 数 列 か ら ζ へ 収 束 す る数 列

選 び だ す こ と が で き る こ と を 示 せ.

  問18. 

集 合{z￨z=x+iy,￨x￨<1,￨y￨<1}は,ⅰ) 

有 界 で あ る か,ⅱ) 

集積 点 を求

め よ.   問19. 

つ ぎ の 数 列 の 極 限 を 求 め よ:

ⅰ)

  問20. 

) 

 ⅱ )

数 列{zk}が

収 束 し,こ

れ の 極 限 を ζ と す る と,数

も

列 

ま た ζ へ 収 束 す る こ とを 示 せ.  問21.  ζ=∞

の と き に は,上

の 問 題 は ど うな るか.

 複 素 数 で で き て い る 数 列(1.35)が  (1.38) 

しく

sk=z1+z2+…+zk

を つ く り,数

列

 (1.39) 

s1,s2,s3,…,sn,…

を つ く る.こ

の 数 列 が 収 束 し,そ

 (1.40) 

の 極 限 がsで

あ る と き に は,

z1+z2+…+zn+…

は 収 束 す る と い い,sを 無 限 級 数 と い う.こ (1.40)は

与 え られ て い る と き,新

こ れ の 和 と い う.そ

れ に 対 し て,数

発 散 す る と い う.な

列(1.39)が

お,無

し て,(1.40)で

表 わ された 式 を

発 散 す る と き に は,無

限 級 数 を(1.40)の

限級 数

よ うに 書 く か わ り に

 (1.40′)

と 書 く こ と も あ る.そ *  z1 ,z2,…,zn,…

し て,こ

のzkを

を 無 限 級 数(1.40)の

一 般 項 と い う*. 項 と い う こ とは,実

数 の 場 合 と同 じで あ る

で あ り,数

列(1.39)の

収 束 と,級

コ ー シ ー の 定 理 に よ っ て,[p.21参  無 限 級 数(1.40)が

数(1.40)の 照],つ

収 束 と は 同 意 義 で あ る の で,

ぎ の こ と が い え る:

収 束 す る た め の 必 要 十 分 条 件 は,正

の 数 εに 対 し て 自 然

数Nが ￨zN+1+zN+2+…+zN+p￨<ε, 

p=1,2,3,…,

が な り た つ よ う に 定 め ら れ る こ と で あ る.  な お,(1.40)が

収 束 す る と, zn=sn−sn−1

で あ っ て, 

を 得 る.ゆ

らぬ.し

で あ る か ら,問16,ⅰ)に

え に,無

限 級 数(1.40)が

よ っ て,

でな け れ ば な

収 束 す る と, 

か し,こ れ は 必 要 条 件 で あ っ て,十 分 条 件 で は な い.た

とえ ば,調 和

級数

は 収 束 し な い が, 

で あ る.

が 収 束 し,そ の 和 がsで

 問22. 

あ る と, 

も また 収 束 し,和

がcsで

ある

こ と を 示 せ.

が な りた つ こ と を示 せ.

で あ る と, 

 問23. 

  無 限 級 数(1.40)に

お い て

 (1.41) 

￨z1￨+￨z2￨+…+￨zn￨+…

が 収 束 す る と,上

の 定 理 に よ っ て,正

の 数 ε を 与 え る と,自

￨zN+1￨+￨zN+2￨+…+￨zN+p￨<ε,  と な る よ う に 定 め ら れ る.そ

然 数Nが

p=1,2,3,…

うす る と

￨zN+1+zN+2+…+zN+p￨≦￨zN+1￨+￨zN+2￨+…+￨zN+p￨<ε

と な る の で,(1.40)も

ま た 収 束 す る.そ

れ で,(1.41)が

収 束 す る と き,(1.40)

は 絶 対 収 束 で あ る とい う.絶 対 収 束 の 級 数 に 対 して は,つ

ぎの定 理 は重 要 であ

る:  無 限 級 数(1.40)が

絶 対 収 束 で あ る と,項 の 順 序 を変 え て も,和

は変 わ らな

い.  証 明   (1.40)が に 対 して,自

収 束 す る の で あ る か ら,こ

然 数Nが,n≧Nな

と な る よ うに 定 め られ る.ま

れ の和 をsと す る と,正

の数 ε

ら

た,(1.40)が

絶 対 収 束 す る こ と か ら,自

然 数N

が

と な る よ うに 定 め ら れ る.そ

れ で,max(N,N)=N0と

す る と,

が 同 時 に な り た つ.  つ ぎ に,(1.40)の

項 の順序 を変 えた も のを

と し,m(>N0)を, 

に はz1,z2,…,zN0が

よ うに し て お く.そ

と な る.ゆ

  問24. 

ふ く まれ て い る

うす る と,

えに

zk=xk+iykと

す る と き, 

が 収 束 す る な ら ば,級 数 

もまた

収 束 す る こ とを 示 せ.   問25. 

￨z￨<1な

ら ば,1+z+z2+…+zn+…

の 和 が 

で あ る こ とを 示 せ.

ⅰ ⅰ)  ⅲ) ⅰ

の 和 を 求 め よ.

問26. 

(を 用 い て 考 え よ.)

演 習 問 題1

 1.1  つ ぎ の 計 算 せ よ: ⅰ ) 

ⅱ)

 1.2  z1=1+3i,z2=2−5i,z3=−3+7iの

)  ￨2z1+3z2+4z3￨, 

と き,つ

ⅱ ) 

ぎ の 計 算 を せ よ:

(z1+z3)2, 

  1.3  z1=1−2i,z2=−3+4i,z3=2+iを

頂 点 と す る 三 角 形 の 頂 点z2か

ら,対 辺

へ 引 い た 中 線 の 長 さ を 求 め よ.   1.4  z1,z2,z3が1直 と を 示 せ.た

線 上 に あ る と,αz1+βz2+γz3=0と

だ し,α,β,γ

は こ と ご と くが0と

な る実 数

α,β,γ が あ る こ

な る こ と は な い が, 

であ

る.

 1.5  z1,z2,z3を

頂 点 と す る 三 角 形 の3中

線 が 交 わ る 点,す

な わ ち 重 心,は 

で 与 え られ る こ と を 示 せ.   1.6 

￨z+1￨+￨z−1￨=1を

  1.7 

zは1−i,2i,1+iを

満 足 す るzは,ど

の よ うな 図 形 を 描 く か.

と お る 円 の 点 で あ る と い う.zは

ど の よ うな 方 程 式 を 満

足 す る か.   1.8  方 程 式(z+1)3=(z−1)3を

解 け.

  1.9  つ ぎ の 数 列 は 収 束 す る か.収

束 す る と き は,そ

ⅱ ) 

{kik},

 1.10  つ ぎ の 級 数 は 収 束 す る か.収 ) 

束 す る と き は,そ

ⅱ ) 

れ の 和 も求 め よ:

ⅲ)

に お い て 

 1.11 

あ る と き, 

れ の 和 も 求 め よ:

で あ る こ とを 示 せ.

で

2.  函 数 とべ き級 数

  2.1 

領

域

 複 素 平 面 の 点 の 集 合Eを の も あ れ ば,ま 合 を,Eの

考 え る.Eの

た 属 し て い な い も の も あ る.Eの

導 集 合 と い っ て,E′

集 合Eの

を ど の よ う に つ く っ て も,そ をEの

境 界 点 と い い,Eの

て,∂Eと

表 わ す.ζ

そ こ に は,必

⊂Eの

点 とEに

内 点 で あ る と い い,E

点 と す る と,V(ζ)を はEの

ら に,V(a)

属 さ な い 点 と が あ る と き,a

境 界 点 の 全 体 で で き て い る 集 合 をEの

点 が あ る か ら,ζ

と き,E

近 傍V(a)を,

開 い た 集 合 で あ る と い う.さ

こ に はEの

を ∂Eの

ず,Eの

にE′

点 で あ る と き,aの

な る よ う に つ く る こ と が で き た ら,aはEの

が 内 点 ば か り で で き て い る と き,Eは

属 して い る も

集 積 点 の 全 体 で つ く られ た 集

で 表 わ す こ と に す る.特

は 閉 じた 集 合 で あ る と い う.aが V(a)⊂Eと

集 積 点 の な か に は,Eに

境 界 とい っ

ど の よ う に つ く っ て も,

集 積 点 で あ る.ゆ

え に ∂E⊂E′

で あ る.   2つ

の 集 合E,Fに

対 して E∩F={z￨z∈Eお

をEとFと

よ びz∈F}

の 交 わ り と い い, E∪F={z￨z∈Eま

をEとFと

の 結 び と い う*.

  例 題1. 

K(0;1)={z￨￨z￨<￨}.

 解  K(0;1)の

点 ζを 任 意 に 考 え る.1−￨ζ￨=ρ

と

で あ る か ら,ζ はK(0;1)

置 く と,  の 内 点 で あ る.ζ K(0;1)の

た はz∈F}

はK(0;1)の

任 意 の 点 で あ る か ら,

す べ て の 点 は 内 点 で あ る.ゆ

え に,こ

の集 合

は 開 い た 集 合 で あ る.   ￨η￨=1の

と き は,V(η)を

そ こ に は,K(0;1)の る.ゆ

え に,η

*  E∩FをE

ど の よ うに つ く っ て も,

点 とK(0;1)の

はK(0;1)の cap

F

外 部 の点 と が あ

境 界 点 で あ る.し , E∪FをE

cup

Fと

図2.1

た が っ て,{z￨￨z￨=1}はK(0;1)の 読 む 学 者 も あ る.

境 界

で あ る. 

(解 終)

 問1.  E1,E2が

開 い た 集 合 で あ る と,E1∩E2も

開 い た 集 合 で あ る.

 問2.  E1,E2が

閉 じ た 集 合 で あ る と,E1∪E2も

閉 じた 集 合 で あ る.

 実 函 数

ψ(t),ψ(t)は

 (2.1) 

区 間 

で 連 続 で あ る と,

x=ψ(t), 

で 与 え られ た(x,y)を

を 描 くが,こ

y=ψ(t),

座 標 と す る 点 は,集

れ を 

合

を終点 とす る向

を 始 点 と し, 

き の つ い た 連 続 弧 と い う.z=x+iy,z(t)=ψ(t)+iψ(t)と  (2.2) 

z=z(t),

と 書 く こ と が で き る の で,こ (2.2)で

書 く と,(2.1)は

れ を 弧 

の 方 程 式 とい い,

表 わ さ れ た 連 続 弧 を γ と 名 づ け た と き,方

程 式(2.2)が

γの 方 程 式

で あ る こ とを

z=z(t),

γ: 

と 表 わ す こ と に す る.z(α)=z(β)の う.ま

た,区

と き に は,γ

の 内 部 の 異 な る2つ

間 

が な りた つ とき,γ

は 閉 じた 曲 線 で あ る と い

の 値t′,t″

に 対 し て 

は 単 純 弧 ま た は ジ ョル ダ ン弧 で あ る とい い,特 に 閉

じ た 単 純 曲 線 を ジ ョ ル ダ ン 曲 線 と い う こ と も あ る*.   例 題2. 

z=z1+(z2−z1)t, 

0≦t≦1.

 解  z1=x1+iy1,z2=x2+iy2と

置 く と,与

x=x1+(x2−x1)t,  と 書 け る.こ

え られ た 方 程 式 は

y=y1+(y2−y1)t, 

0≦t≦1

,

れ を 書 きか え る と

と書 け るの で, 

と置 くと

 (2.3)

*  ジ ョル ダ ン(Camille で 生 ま れ た.解 3巻 は,20世 研 究 に も,基

Jordan

,

1838-1922)は

析 学 に お け る 功 績 は 大 き い.名 紀 初 期 の 解 析 学 の 進 歩 に,大 本 的 な も の が あ る.

フ ラ ン ス の 数 学 者 で あ っ て ,リ ヨ ン d'analyse(解 析 学 講 義)

著Cours

き く貢 献 し た.ま

た ,置

換論 にお け る

κ=∞

に は(x2,y2)が

対 応 す る と 考 え る と,(2.3)は 

解 析 幾 何 学 に お い て 学 ん で い る よ う に,κ さ れ た(x,y)は(x1,y1)を か ら1ま

が0か

始 点 と し,(x2,y2)を

に 対 し て な りた つ が,

ら ∞

ま で 増 加 す る と,(2.3)で

定義

終 点 と す る 線 分 を え が く の で,tが0

で 変 化 す る と, z=z1+(z2−z1)t

はz1=x1+iy1を

始 点 と し,z2=x2+iy2を

分 を[z1,z2]と

終 点 と す る 線 分 を え が く.そ

[z1,z2]: 

z=z1+(z2−z1)t,0≦t≦1, (解 終)

ど の2点

を 取 っ て も,そ

な ぐ こ と が で き た ら,Eは

z′∈K(0;1),z″ も,2つ

と え ば,K(0;1)を

考 え る と

の線 分 z=tz′, 

0≦t≦1, 0≦t≦1,

も にK(0;1)に

属 し て い る.C′

を 逆 に し た も の,す

の向き

な わ ち 始 点 と終 点 とを 取 り

か え た[z′,0]をC′−1で

示 す と,C′−1の

の 始 点 と は 一 致 し て,C′−1とC″

1つ

点 ば か りで で き て い る連 続 弧 で つ

ど の よ うに 考 え て

 C″=[0,z″]: z=tz″, 

とC″

れ をEの

連 結 で あ る と い う.た

∈K(0;1)を

 C′=[0,z′]: 

は,と

の線

表 わ す こ と に す る と,

と 表 わ せ る.    集 合Eの

れ で,こ

の 折 れ 線 と な る が,こ

⊂K(0;1).ゆ

こ と が で き る.ゆ

とは

れ をC′−1+C″

え に,K(0;1)の

任 意 の2点

え に,K(0;1)は

終点 図2.2

で 表 わ す こ と に す る と,C′−1+C″ はK(0;1)に

属す 連続弧 で つ な ぐ

連 結 集 合 で あ る.

 開 い た 集 合 の うち 連 結 で あ る も の を 領 域 と い う.上

の 例 で 示 し たK(0;1)は

領 域 で あ る.  

Dが

領 域 で あ る とD=D∪

準 備 と し て,∂Dは

  aが る.そ

うす る と,aは,ⅰ) 

Dの

,は

,aをDの

明 し よ う*.

と 表 わ す こ と に し て,  点 で あ る か,ⅱ) 

近 傍V(a)を,V(a)⊂Dと

*  こ れ の 証 明 は この場合 に

閉 じた 集 合 で あ る こ と を 証 明 す る た め に,

閉 じ た 集 合 で あ る こ と を,証

∂Dの 点 で な い こ とを 

の 場 合 に は,aの

** 

∂Dは

じ め て 読 む 場 合 に は,省 外 点 と い う.

D,∂Dに

と仮定す 属 さ な い**.ⅰ  )

な る よ う に つ く る こ と が で き る. 略 し て も よ い.

ゆ え にaは

∂Dの 集 積 点 で は な い.す

傍V(a)を,こ

こ に はDの

ゆ え に,aは

点 も ∂Dの

な っ て,∂Dは

  つ ぎ に,a∈(D)′ はD=D∪

な ら ばa∈

∂Dで

あ る こ と を 知 る.ゆ

点 が,無

で あ る.と

 こ の2つ

え に(∂D)′

ど の よ うに つ く っ て も,そ

限 に た く さ ん あ る[p.16の

こ ろ が,Dの

で あ る か ら  a∈(∂D)′.上

え に,こ

閉 じ た 集 合 で あ る.

定 理 参 照].ゆ

点 が 無 限 に た く さ ん あ る と き は,aはDの

わ ちa∈D′

Dは

で あ る こ と が わ か る.ゆ

を 任 意 に 考 え る.V(a)を

∂Dの

V(a)にDの

な わ ち.

な らば 

れ の 対 偶 を 考 え て,a∈(∂D)′

ⅱ ) の 場 合 に も,近

点 も な い よ うに つ く る こ と が で き る.

∂Dの 集 積 点 で は な い.す

 こ の こ と か ら, 

⊂ ∂Dと

な わ ち 

内点 か または

な

∂Dの

点

∂Dの 点 が 無 限 に た くさ ん あ る と き は,

に 示 し た よ うに 

で あ る か ら,a∈

の こ と か ら,a∈(D)′

え に,ⅰ) 

集 積 点 で あ る.す

集 積 点 は,Dの

ⅱ )  V(a)に

こに

な らa∈Dと

∂D.

な る の で,(D)′

⊂Dと

な り,

閉 じ た 集 合 で あ る.

 こ の こ と か ら,Dを

閉 じた 領 域 と い う こ と が あ る.た

と え ば,領

域

K(0;1)={z￨￨z￨<1}

に ∂K(0;1)={z￨￨z￨=1}

を 加 え たK(0;1)∪ れ をK(0;1)と

∂K(0;1)す 表 わ す.ゆ

な わ ち{z￨￨z￨≦1}は

閉 じ た 領 域 で あ っ て,こ

えに K(0;1)={z￨￨z￨≦1}.

 ジ ョル ダ ンは,ジ 分 け,γ い*.こ

は 両 領 域 に 共 通 な 境 界 で あ る こ とを 述 べ て い る が,証 の2つ

で 示 す.こ た だ1つ て,ジ

の領 域 の うち,∞

れ に 対 し て,∞

*  ジ ョル ダ ン の

が 存 在 す る 部 分 を,γ

明はむ ず か し

の 外 部 と い う.こ の よ うに, 連 結 領 域 と い う.こ れ に 対 し

γ0の 内 部 に あ る ジ ョ ル ダ ン 曲 線 

「解 析 学 講 義 」 第1巻

証 明 に つ い て は,た

と え ば,S.

の領 域 に

の 存 在 し な い 部 分 を γ の 内 部 とい っ て,(γ)

の ジ ョル ダ ン曲 線 で囲 まれ た 領 域 を,単 ョル ダ ン 曲 線

い.

ョル ダ ン曲 線 γ は,拡 張 さ れ た 複 素 平 面 を2つ

に 出てい るが

Lefschetz:

,証

が

明 は 一 般 的 で は な い.こ

Introduction

to topologyを

れ の

見 られ た

と な る よ うに つ く ら れ て い る と き,γ0,γ1,γ2,…, γn−1で 囲 ま れ た 領 域 はn重 2.3の

連 結 で あ る と い う.図

領 域 は 四 重 連 結 で あ る.

  注 意   γ1,γ2,…,γn−1の

た とえ ば,集

な か に は,点

が あ っ て も よ い.

合

図2.3

{z￨0<￨z￨<1} は,K(0;1)か る が,こ

ら原 点z=0を

除 い た も の で あ る.こ れ をK*(0;1)と

れ の 境 界 は{z￨￨z￨=1}とz=0で

  な お,こ

れ か ら さ きは,誤

{z￨￨z−a￨
あ る.ゆ

解 の お そ れ が な い か ぎ りは,円

い うか わ りに,円

  問3.  つ ぎ の集 合 の 内 点,外  ⅰ)  r<￨z−a￨
  2.2  函

板￨z−a￨
点,境

れ は 二 重 連 結 領 域 で あ る. 板K(a;r),ま

たは集 合

い うこ とに す る.

界 点 を示せ

a≦Rez≦b, c≦Imz≦d.

数

  領 域Dの

任 意 の 点 を 表 わ す こ とが で き るzを,Dに

Dの す べ て の 点zに このwを,Dを

対 して,そ

れ ぞ れ 複 素 数w(ま

変 域 とす る複 素数zの w=f(z), 

な ど と表 わ す が,こ て,式

え に,こ

表 わ す こ とに す

のfやgはzとwと

で 示 さ れ る こ と も あ れ ば,式

お け る 複 素 変 数 とい い, た は ∞)が

函 数 と い い,wがzの

い うの が,通

函 数 で あ る こ とを

w=g(z)

の 対 応 を 定 め る規 則 を 示 す も の で あ っ で 示 す こ とが で き な い 場 合 もあ る.Dの

べ て のzに 対 応 す るwの 全 体 で で ぎて い る 集 合 を,こ して,変 域 の あ る 複 素 平 面 をz平

対 応 す る と き,

面 とい い,値

す

の 函 数 の 値 域 とい う.そ

域 の あ る複 素 平 面 をw平

面と

例 で あ る.

  例 題1.

に は,ど

  解 

 z0=r0(cosθ0+isinθ0)と

の よ うな 値 が 対 応 す る か を,調 し,こ

れ に 対 応 す る値 を 

と 書 け る の で,

と な る.ド

・モ ア ヴ ル の 定 理 に よ っ て

べ よ う. とす る と

と な るか ら

で あ る.し

た が っ て,p.14で

や っ た の と 同 じ よ うに し て

すなわ ち で あ る こ とが わ か るか ら,

と な る.

と置 く と w=(−1)mw0

と な る の で,z=z0に に 対 して,wの

はw0,−w0が

値 が2つ

対 応 す る こ と を 知 る.こ

対 応 す る と き,こ れ はzの2価

 こ れ か ら さ き は,函

数 と い え ば,特

の う よに,zの1つ

函 数 で あ る とい う. 

の値

別 に 断 ら な い か ぎ り は,1価

(解 終)

函数のこと

で あ る. に お い て,f(i),f(1−i)を

  問4.    問5. 

z1=−2+i,z2=1−3iを

求 め よ.

結 ぶ 線 分[z1,z2]に

は,函

数w=z2に

よ っ て,ど

の よ う な 図 形 が 対 応 す る か.

が3価

  問6. 

  2.3  極 限

と 連 続 で は 定 義 さ れ て い な い が,z0の

 函 数f(z)は  り と,定

函 数 で あ る こ とを 示 せ.

義 さ れ て い る と す る.正

も の で あ っ て も,こ 満 足 し,f(z)の

の 数 εが 与 え られ,こ

れ に 対 し て,複

近 傍 で は,は

れ が ど の よ うに 小 さ な

素 数 λ と 正 の 数 δ と が,0<￨z−z0￨<δ

定 義 域 に あ る す べ て のzに ￨f(z)−

対 し て,

λ￨<ε

っき

を

 ⅲ

が な りた つ よ うに 定 め られ た ら,zがz0へ

近 づ い た と き のf(z)の

極 限値 は

λで あ る と い っ て ま た はz→z0の と 表 わ す.こ   z→z0の

れ に 対 し て は,つ と き,f(z)→

と きf(z)→

λ

ぎ の 定 理 は 重 要 で あ る.

λ,g(z)→

μ とす る と

 ⅰ )  ⅱ)

な らば

) 

 ⅲ ) を 証 明 し て お く.   正 の 数 εを 与 え る と,δ1>0が,0<￨z−z0￨<δ1を

と な る よ うに 定 め られ る.ま

満 足 す るzに

た,δ2>0が,0<￨z−z0￨<δ2を

対 して

満 足 す るzに

対

して

と な る よ う に 定 め られ る.そ

と な る の で,min(δ1,δ2)=δ

うす る と,

と す る と*,0<￨z−z0￨<δ

て

とな る の で *  min(a

,b)はa,bの

うち の 小 さ い 方 と い う意 味 で あ る.

を 満 足 す るzに

対 し

  問7. ⅰ)を

証 明 せ よ.

  問8. ⅱ)を

証 明 せ よ.

を,ⅲ)を

  問9. 

 つ ぎ に,函

数f(z)は

用 い な い で 証 明 せ よ.

領 域Dで

定 義 さ れ て い て,z0∈Dに

が な りた つ と き,f(z)はz=z0で

連 続 で あ る と い う.そ

の 点 で 連 続 で あ る と き は,領

域Dで

し て,Dの

すべ て

連 続 で あ る と い う. で 連 続 で あ る か.

  例 題1.  f(z)=z3はz=z0,   解  f(z0)=z03で

対 して

とす る と

あ る か ら, 

f(z)−f(z0)=z3−z03=(z−z0)(z2+zz0+z02),

ゆ えに ￨f(z)−f(z0)￨=￨(z−z0)(z2+zz0+z02)￨ ≦￨z−z0￨(￨z￨2+￨z￨￨z0￨+￨z0￨2) で あ り,￨z￨=￨(z−z0)+z0￨≦￨z−z0￨+￨z0￨で

あ る か ら,

￨f(z)−f(z0)￨≦￨z−z0￨{(￨z−z0￨+￨z0￨)2+(￨z−z0￨+￨z0￨)￨z0￨+￨z0￨2}

z→z0の

場 合 を 考 え る の で あ る か ら,￨z−z0￨<￨z0￨と

考 え て よ い.ゆ

え に,

￨f(z)−f(z0)￨≦￨z−z0￨{4￨z0￨2+2￨z0￨2+￨z0￨2} =7￨z0￨2￨z−z0￨

と な る の で,正

を満 足 す るす べ て のzに

の 数 εを 与 え る と, 

対 して

￨f(z)−f(z0)￨<ε が な りた つ.ゆ   z0=0の

と な り,z=z0で

え に, 

と き は,f(z0)=f(0)=0で

連 続 で あ る.

あ るか ら ￨f(z)−f(z0)￨=￨z￨3

を 満 足 す るす べ て のzに

と な る の で, 

対 して

￨f(z)−f(z0)￨<ε

で あ る こ と を 知 る.ゆ え に,こ

と な り, 

函 数 はz=0で  と こ ろ が,こ

で 連 続 で あ る.    例 題2.

の 場 合 に も,わ

れわれ の

連 続 で あ る. のz0は, 

とい う制 限 が あ る だ け で あ る の で,こ

の函数 は全 平面 (解 終)

 解   こ の 函 数 は,z=0で

は 定 義 され て い な い.そ

￨z￨=￨(z−z0)+z0￨≧￨z0￨−￨z−z0￨で

を任意 に取 る と

れ で, 

と考 え て も よ い の で 

あ っ て, 

と書 け るか ら

と な る.そ

を 満 足 す るす べ て のzに

れ で 

対 し て,

￨f(z)−f(z0)￨<ε

が な りた つ.ゆ

え に,こ

な ら,z=z0に

の 函 数 は 

 上 で 述 べ た よ うに,z=0で

お い て 連 続 で あ る.

は 定 義 され て い な い が,正

の よ うに 大 き な も の で あ っ て も よい が, 

の 数Gを

与 え る と,こ

を 満 足 す るす べ て のzに

れは ど

対 して は,

￨f(z)￨>G と な る.ゆ

え に,z→0と

遠 点 は た だ1つ

し か 存 在 し な い の で,こ

 こ の函 数 はz=0で が た だ1つ

す る と￨f(z)￨→+∞

と な る*.と

の こ と はf(z)→

こ ろ が,複 ∞

素 平 面 で は,無

と 同 じ意 味 で あ る.ゆ

は 定 義 され て い な い け れ ど も,実 数 の場 合 とは ち が い,無

で あ る こ とか ら,「z=0に

限

え に

限 遠点

は ∞ が 対 応 す る 」 と して お く と,函 数1/zは

全

平 面 で 定 義 され た こ とに な る.  さ らに,z=∞  ε>0を

に お け る1/zの

を 満 足 す るす べ て のzに

与 え る と, 

の 外 部 とK(0;ε)の

の 函 数 に よ っ て 円 板  こ の こ と を,函

数1/zに

状 態 は,ど の よ うな も の で あ るか,を 調 べ よ うと思 う.

内 部 とが,1対1に

の 外 部 はK(0;ε)へ

よ っ て 

と な る.ゆ え に,こ

対 し て 

写 像 さ れ る と い う.ε

小 さ くす れ ば す る ほ ど,1/ε は そ れ だ け 大 き くな る.そ れ で,  点 ∞ の 近 傍 とい っ てV(∞)と は 原 点 の 近 傍V(0)へ

表 わ す.こ

写 像 さ れ る,と

 こ と の つ い で に,zと1/zの

>Gが

を

の外部 を 無限遠

の 言 葉 を 用 い る と,函 数1/zに よ っ て,V(∞)

い い 表 わ す こ とが で き る.

幾 何 学 的 関 係 を 調 べ て お こ う.

*  実 変 数 の 場 合 に ,正 の 数Gを そ れ に 対 し て,正

対 応 づ け られ る.

与 え た と き,こ れ が どの よ うに 大 き な も の で あ っ て も

の 数 δが,0<￨x−x0￨<δ

を 満 足 す るす べ て のxに 対 し て,f(x) と定 義 され て い る

な りた つ よ うに 定 め る こ とが で きた ら, 

こ とを 思 い 出 し て頂 き た い.

 ￨z￨<1の

と き に は,zは

径 とす る 円 ― あ る.zに

原 点 を 中 心 と し1を 半

これ を 単 位 円 とい う―

お い てOzに

交 わ る 点 をTと

の内部 に

立 てた垂 線が この単位 円 と

し,Tに

おけ る単位 円の接線 が

Ozと 交 わ る点 が 表 わ す 複 素 数 を ζ とす る[図2.4 参 照].zと

ζ とは,偏 角 が 同 じ で あ るか ら,z=

￨z￨(cosθ+isinθ)と

で あ る.幾

す る と, 

何 学 の 定 理 に よ っ て,OT2=￨z￨・￨ζ￨

で あ り,OT=1で る.し

を得

あ る か ら, 

た が っ て,

図2.4

を 得 る.一 点P,P′

般 に,Oを

中 心 と し,rを

が あ っ て,O,P,P′

り,OP・OP′=r2と

半 径 と す る 円Cと

が こ の 順 序 で1直

線 上に あ

い う関 係 が あ る と き,P,P′

関 し て,た

が い に 鏡 像 に な っ て い る と い う*.そ

と,1/zは

単 位 円 に 関 す るzの

か る で あ ろ う.そ

はCに うす る

鏡 像 で あ る こ の こ とが わ

して 函 数

図2.5

1

に よ っ て,zに

が 対 応 す る の で あ るが,対

応 とい う言 葉 の か わ りに.zが

/z

1/z

さ れ る とい う意 味 の 写 像 とい う言 葉 を 用 い て,zは 像 とい う.そ  こ こ で,ζ

1

へ写

/z

して,像

が 鏡 像 で あ る場 合 に は,そ

へ 写 像 さ れ る と い い,

の写 像 を,反

をzの

転 と名 づ け て い る.

の 実 軸 に 関 し て 対 称 な 点 を つ くる と,こ れ は ζ で あ る こ とは,容

る で あ ろ う.直 線 は,円

1/z

易 に わか

の 半 径 が 無 限 大 とな っ た と き の 極 限 の 場 合 で あ る と考 え る と,

「実 軸 に 関 して 対 称 」 とい う言 葉 は 「実 軸 に 関 す る鏡 像 」 とい う言 葉 で 置 き 換 え て よい. そ うす る と,ζ

と な る.ゆ

の実 軸 に 関 す る鏡 像 は

え に,函

*  対 称 で あ る

,と

数 い う こ と も あ る.

図2.6

に よ る像 は 図2.6が

示 し て い る. 

 注 意   この 写 像 に よ っ て,z=∞ 函 数f(z)のz=∞

(解 終) の 近 傍 がw=0の

近 傍 へ1対1に

変 換 され る の で,

の 近 傍 に お け る状 態 を 知 るた め に は,

す なわち と 置 き,

を ζ=0の

近 傍 に お い て 調 べ る もの,と

 領 域Dで

規 約 し て お く.

連 続 な 函 数 の 全 体 をC[D]で

  f(z)∈C[D],g(z)∈C[D]と

表 わ す と,つ

ぎ の こ と が い え る:

す ると

 ⅰ)  f(z)+g(z)∈C[D],  ⅱ)  f(z)g(z)∈C[D],

なら

 ⅲ ) 

 問10. ⅰ) 

を 証 明 せ よ.

 問11. ⅱ)  を 証 明 せ よ.   問12. ⅲ) 

  zは

を 証 明 せ よ.

複 素 平 面 の す べ て の 点 で 連 続 で あ る か ら,zk,(kは

あ る こ と は,ⅱ)を い か ら,ま ⅰ)に

たⅱ)に

繰 り返 し た らわ か る.定 よ っ てakzk,(akは

よ っ て, a0+a1z+a2z2+…+anzn

自 然 数),も

数 も 連 続 函 数 の1種

定 数),も

連続 で

とみ な して よ

連 続 で あ る.し

た が っ て,

も,全

平 面 で 連 続 で あ る.同

じ く

b0+b1z+b2z2+…+bmzm も 連 続 で あ る か ら,ⅲ)に 除 い て,函

よ っ て,b0+b1z+b2z2+…+bmzm=0と

な るzを

数

は,全 平 面 で 連 続 で あ る.   z=∞

と置 く と

に お け る状 態 を 見 るた め に, 

と な る.ゆ

え に,

 ⅰ)  m−n>0,す

な わ ちm>nと

す ると

 (2.4)

で あ る か ら,ⅱ)に

 ⅱ)  m−n<0,す

よ って

な わ ちm
と 書 け る の で,(2.4)の 正 の数

δ1が,￨ζ￨<δ1を

す ると

は じ め の 極 限 値 を 考 慮 に 入 れ る と,正

の 数 εに 対 して

満 足 す るす べ て の ζに 対 し て

が な りた つ よ うに 定 め られ る.ゆ え に,こ

の よ うな ζに 対 して

 (2.5)

が な りた ち,正

の 数Gを

与 え る と,こ れ が どの よ うに 大 き な もの で あ って も,

を 満 足 す るす べ て の ζに 対 し て

(2.6) が な り た つ.ゆ

とす る と,￨ζ￨<δ を 満 足 す るす べ

え に, 

て の ζ に 対 し て,(2.5),(2.6)が

が な りた つ.す

同 時 に な りた つ.ゆ

えに

なわ ち

 ⅲ )  m−n=0,す

な わ ちm=nと

する と

と な る の で,

が な り た つ.ゆ

え に,z→

 ⅰ )  m>nな

∞

とす る と

らR(z)→0,

 ⅱ)  m
らR(z)→

 ⅲ)  m=nな

ら

 閉 じた 集 合Fに

∞,

対 して は,つ

ぎ の 定 理 が 重 要 で あ る.

 ハ イ ネ ・ボ レル の 定 理*  Fは 有 界 な 閉 じた 集 合 で あ り,Fの す べ て の 点 に, そ れ ぞ れ1つ

の近 傍 が 与 え られ て い る と,こ れ らの 近 傍 の 有 限 個 を 選 び 出 して

Fの 点 は,こ

と ご と く,こ れ らの 有 限 個 の 近 傍 の どれ か に 属 す る よ うに す る こ

とが で き る**. *  ハ イ ネ(Eduard reine

und

Heine

,1821-1881)は ドイ ツ の 数 学 者.こ の 定 理 はJournal fur Mathematik(1872)に 出 て い る .ま た,ボ レ ル(Emile

angewandte

Borel,1871-1956)は こ の 定 理 はAnnales **  こ の こ と を ,Fは

フ ラ ン ス の 数 学 者 で あ る が ,海 de

l'Ecole

Normale

軍 大 臣 で あ っ た こ とが あ る Superieure(1895)に 出 て い る.

有 限 個 の 近 傍 で お お う こ と が で き る と い う こ と も あ る.

 証 明   こ の 定 理 は 正 し く な い と 仮 定 す る.Fは 行 な 正 方 形Q0で

囲 む こ とが で き る.Q0を,辺

合 同 な 正 方 形 に 分 け る.こ

で に,Fに

し,4つ

をQ1と

4個 の 合 同 な 正 方 形 に 分 け る.こ て,こ

名 づ け,F∩(Q1)=F1と

同 じ こ と を つ づ け る と,正

の よ うな 部

す る.Q1を

れ の ど れ か に 属 す る.F1の

名 づ け る.さ

理

の 部 分 集 合 に 対 して こ の 定 理 が な り

の 定 理 は な りた た な い は ず で あ る.そ

て,F1∩(Q2)=F2と

の

部 分 集 合 に 対 し て は,定

対 し て 定 理 が な りた た ね ば な ら な い.]こ

分 集 合 を ふ く む 正 方 形 の1つ

が 軸 に平

の 中 点 を 結 ぶ 線 分 で,4個

れ の ど れ か に 属 す るFの

は な りた た な い は ず で あ る.[も た つ な ら,す

有 界 で あ る か ら,辺

部分 集合 に 対 し

の よ うな 正 方 形 の1つ

ら に,Q2を4個

また

をQ1と

し

の 合 同 な 正 方 形 に 分 け て,

方 形 の列 Q0,Q1,Q2,…,Qn,…

と,Fの

部分 集 合 の列 F,F1,F2,…,Fn,…

を 得 る.Fn−1∩(Qn)=Fnで

あ る か ら,Fn⊂(Qn)で

あ る.ボ

ル ツ ァ ノ ・ワ イ ヤ

シ ュ トラ ス の 定 理 を 証 明 す る と き に 述 べ た の と ま っ た く 同 じ よ う に し て,(Qn) は1つ

の 点 ζ へ 収 縮 す る こ と が 示 せ る.Fn⊂(Qn)で

す る.ボ に,ζ

なnに

はFの

集 積 点 で あ り,Fは

閉 じ た 集 合 で あ る か ら,ζ ∈Fで

定 に よ っ て,1つ

の 近 傍 が 定 め られ て い る の で,そ

大 き くす る と,Fnは

ζ へ 収 縮 す る の で あ る か ら,じ

対 し てFn⊂Vζ

な 矛 盾 は,Fに で,こ

ζへ収縮

ル ツ ァ ノ ・ワ イ ヤ シ ュ トラ ス の 定 理 の 証 明 の と きに 述 べ て お い た よ う

す る と,仮 る.nを

あ る か ら,Fnも

と な る.こ

れ はFnに

あ る.そ れ をVζ

う とす

ゅ うぶ ん に 大 き

課 し た 仮 定 に 反 す る.こ

のよ う

対 し て こ の 定 理 が な り た た な い と 仮 定 し た こ とか ら 起 こ っ た の

の 仮 定 は 誤 で あ る.

 こ の 定 理 を 用 い る と,つ  函 数f(z)は 対 して正 の数

ぎ の 定 理 を 証 明 す る こ と が で き る.

有 界 な 閉 じ た 領 域Dで δ が,Dの

任 意 のz′,z″

連 続 で あ る.そ

の 数 εに

が ど こ に あ っ て も,￨z′−z″￨<δ

足 す る か ぎ り, ￨f(z′)−f(z″)￨<ε

が な りた つ よ うに 定 ま る.

う す る と,正

を満

 証 明  Dの

任 意 の 点 ζ を 考 え る.ζ

を 満 足 す る す べ て のz∈Dに

でf(z)は

連 続 で あ る か ら￨z− ζ￨<δζ

対 して

が な りた つ よ うに δζ を 定 め る こ と が で き る.そ  を 対 応 さ せ る.そ

う す る と,上

れ で,Dの

点 ζ に 近傍

の ハ イ ネ ・ボ レル の 定 理 に よ っ て,

これ らの 近 傍 か ら有 限 個 を 取 り出 して,Dを

お お うこ とが で き る.こ の 有 限 個

の 近傍 を

(2.7) と す る.そ

し て, 

を￨z′−z″￨<δ

と な る よ うに 選 ぶ.そ

と し,Dの

任 意 の2点z′,z″

うす る と,z′ ∈Dで

あ る か ら,(2.7)の

と す る と,

近 傍 の どれ か に 属 して い る.そ れ で, 

が な りた つ.さ

らに,

で あ るか ら

が な りた つ.ゆ

え に,￨z′−z″￨<δ

とす る と

と な り,こ の 定 理 の 正 しい こ とが わ か る.  こ の 定 理 で 定 め られ た δ は,領 よ うに,正

の 数 εに 対 し て,Dのzに

域Dのzに

は 関 係 の な い 値 で あ る.こ の

関 係 の な い 正 の 数 δ=δ(ε)が 定 ま る

と き,こ

の 函 数 は,領

  例 題3.例 な い.そ

題1で

域Dに

お い て 一 様 連 続 で あ る,と

な ら,連 続 で あ っ た が,こ

示 し たz3は, 

れ で,K(0;R)を

考 え る と,こ

  解  z′∈K(0;R),z″

∈K(0;R)が

い う. れ は一様 連続 では

こ で 一 様 連 続 で あ る.

どこにあ って も

を満 足 す るか ぎ り

で あ る か ら, 

￨f(z′)−f(z″)￨<ε が な り た つ の で,f(z)はK(0;R)で,一  例 題4.函

数1/zは

  解   か り に,こ δ が,z′,z″

様 連 続 で あ る. 

領 域K*(0;1)={z￨0<￨z￨<1}で

の 函 数 がK*(0;1)で

一 様 連 続 で あ る か.

一 様 連 続 で あ る と,正

は 何 で あ ろ う と も,K*(0;1)に

(解 終)

の 数 εに 対 し て,正

あ っ て,￨z′−z″￨<δ

の数

を満 足 す る か ぎ り

と な る よ う に 定 ま る.  こ こ で,

を1つ

z0, 

を 満 足 す るす べ て のzに

定 め る. 

対 して

が な りた つ の で

を 得 る.ゆ

を 満 足 す るす べ て のzに

え に, 

対し

 (2.8)

が な りた つ.と

こ ろ が, 

を 満 足 す るす べ て のzに の こ とは,K*(0;1)に い る の で,一   問13. 

と す る と, 

対 し て 有 界 で は な い.し

で あ るか ら,1/z た が っ て,(2.8)は

お い て 一 様 連 続 で あ る と仮 定 した こ とが,原

様 連 続 と い う仮 定 は 誤 で あ る. 

つ ぎ の 函 数 はz=2iで

 問14.  つ ぎの 函 数 は 円￨z￨=2の

連 続 で あ る か.

外 部 で 連 続 で あ る こ と を 示 せ.

は 

不 都 合 で あ る.こ 因 に な って 現 わ れ て (解 終)

函 数 

に お い て,一

  2.4 

べ

は, 

  問15. 

き

級

様 連 続 で あ る こ とを 示 せ.

数

  一 般 項 が ak−1(z−a)k−1,k=1,2,…;ak−1は

定 数,

で 与 え られ た 無 限 級 数   (2.9) 

a0+a1(z−a)+a2(z−a)2+…+an(z−a)n+…

を,z−aの

べ き 級 数 と い う.巾

級 数 と 書 く こ と も あ る.特

にa=0の

と きに

は,   (2.10) 

a0+a1z+a2z2+…+anzn+…

と 書 け る. に お い て(2.9)が

収 束 す る と

a0+a1(z0−a)+a2(z0−a)2+…+an(z0−a)n+…

が 収 束 す る か ら,p.24で

が な り た つ.ゆ べ て のnに

え に,正

述 べ た 定 理 に よ っ て,

の 数 ε を 与 え る と,自

然 数Nが,n≧Nを

満 足 す るす

対 して ￨an(z0−a)n￨<ε

と な る よ うに 定 め られ る.ゆ

えに

max(￨a0￨,￨a1(z0−a)￨,…,￨aN−1(z0−a)N−1￨,ε)=M と す る と,nが

何 で あ ろ うと

  (2.11) 

￨an(z0−a)n￨≦M

が な りた つ.そ

うす る と,つ

ぎ の 定 理 を 証 明 す る こ と が で き る*.

 ア ベ ル の 定 理  べ き級 数(2.9)が  *  ア ベ ル(Niels た め,栄

で 収 束 す る と￨z−a￨<￨z0−a￨

Henrik

Abel , 1802-1829)は ノル ウ ェ の数 学 者 で あ る が,貧 困 の 養 不 良 が 原 因 で肺 結 核 とな り若 くて 死 ん だ.5次 以上 の 代 数 方 程 式 が 代 数

的 に 解 け な い こ と を 証 明 した の を は じめ と して,後 の へ の 入 口を つ くっ た の で あ る.

世 に ア ベ ル 函 数 論 と よ ばれ る も

を 満 足 す る す べ て のzに  証 明   (2.11)に

対 し て,絶

対 収 束 で あ る.

よ って ￨ak(z0−a)k￨≦M,(k=0,1,2,…),

が な りた つ の で

と 書 け る.￨z−a￨<￨z0−a￨を

満 足 す るzを

考 え る の で あ る か ら, 

が な りた つ の で

は 収 束 す る の で, ￨a0￨+￨a1(z−a)￨+…+￨an(z−a)n￨+… も 収 束 す る*.ゆ のzに

え に,べ

き 級 数(2.9)は￨z−a￨<￨z0−a￨を

満 足 す るす べ て

対 し て 絶 対 収 束 す る.

 例 題1.  つ ぎ の べ き級 数 は,ど

の よ うなzに

対 し て 収 束 す るか.

1+z+z2+…+zn+…

  解 

の と きは

であ るか ら

と な る の で,￨z￨<1と

*  0
す る と

,(k=0,1,2,…),と

す る;ⅱ) 

す る と,ⅰ) 

が 発 散 す る と, 

も発 散 す る.

が収 束すれ ば, 

も収 束

で あ るか ら

を 得 る の で, 

と置 く と*,n≧Nを

満 足 す る す べ て のn

に対 して

が な りた つ の で,￨z￨<1な

と な る か ら,べ

き 級 数(2.9)は￨z￨<1で

  つ ぎ に,￨z￨≧1と

p.24で

ら

収 束 し**,そ

す る と￨zn−1￨=￨z￨n−1≧1で

述 べ た 命 題 の 対 偶 に よ っ て,こ

 し た が っ て,こ  こ こ で,も

の 級 数 は￨z￨<1で う1度,級

の 和 は 

で あ る.

あ る か ら, 

と な る の で,

の べ き 級 数 は 収 束 し な い. 収 束 し,￨z￨≧1で

発 散 す る. 

(解 終)

数

 (2.12) 

1+z+z2+…+zn+…

を 考 え る.(2.12)はK(0;1)で で 示 し て お い た.各 続 で な い.こ

収 束 し,そ

束 の 定 理,[p.24],に

和 はz=1で

連

「無 限 」 で あ る か ら 起 こ る 現 象 で あ る.

ゆ え に,「 無 限 」 が 問 題 と な る と き に は,直

で あ り,￨z￨<1と

 で あ る こ と は,上

項 は 全 平 面 で 連 続 で あ る の に,(2.12)の

の よ う な こ と は,項 の 数 が

こ の 問 題 を,収

の和 は

観 に 頼 っ て は な ら な い.そ

も と づ い て,考

れ で,

えて み よ う.

す ると

* 

を 解 く と  に も っ と も近 い 整 数 を[p]で

**  ￨z￨<1で

を 得 る の で,pよ 表 わ す と[p]≦p<[p]+1で

りも小 さ い がp

あ る.ゆ

え に,

収 束 す る とい うの は ,前 に も注 意 し て お い た よ うに,円 板{z￨￨z￨<1}に す る す べ て のzに 対 して 収 束 す る とい う意 味 で あ る.

属

で あ るか ら

と す る と*,

と な る の で,  ｜zN+1+zN+2+…+zN+p￨<ε,  と な る の で,p.24で のNは,zと は,Nを

(p=1,2,3,…),

述 べ た 定 理 に よ っ て,(2.12)は￨z￨<1で

ε の 函 数 で あ る.そ 表 わ す 式 か らzを

し て,￨z￨<1で

ρ を 満 足 す る す べ て のzに

と な る の で, 

い う条 件 だ け で

こ ろ が,0<ρ<1を 対 し

と す る と**,

￨zN+1+zN+2+…+zN+p￨<ε, 

と な る が,こ

あ る,と

消 去 す る こ と は で き な い.と

満 足 す る ρを 考 え る と,￨z￨≦

収 束 す る.こ

の 場 合 に は,Nは

(p=1,2,3,…),

ε だ け の 函 数 で あ る.そ

れ で,Nが

の 函 数 」 で あ る 場 合 と,「 ε だ け の 函 数 」 で あ る 場 合 と の2つ と を 知 る***.あ

と の 場 合 の よ うに,Nがzに

「ε とz

の場 合が あ るこ

無 関 係 に 定 ま る と き に は,こ

の べ き 級 数 はK(0;ρ)で

一 様 収 束 で あ る と い う こ と に す る****.そ

級 数(2.12)は￨z￨<1で

収 束 で あ る が,￨z￨≦

ρ,(0<ρ<1),で

うす る と, 一 様 収束 で あ

る.  問16.  つ ぎ の べ き 級 数 は,ど

の よ うなzに 対 し て収 束 し,ど

の よ うなzに

収 束 す るか を,調 べ よ: ⅰ)

ⅱ)

ⅲ)

* 

** 

***  **** 

を 解 け ば よい. を 解 け ば よ い. こ の よ うな こ と を これ を 簡 単 に

,は

,「￨z￨≦

じ め て 発 見 し た の は,ア

ベ ル で あ る.

ρ で 一様 収 束 で あ る 」 と い う.

対 し て 一様

  こ こ で,べ

き 級 数 に お い て 重 要 な 役 割 を 果 し て い る 概 念,す

い う概 念,に

つ い て 説 明 し て お く.こ

ろ う と 思 うが,復

習 の た め に,く

れ は,す

なわ ち 上極 限 と

でに 微分 学 で学 ん でい る のであ

り か え し て お く*.

  負 で な い 実 数 で つ く られ た 数 列   (2.13) 

p1,p2,…,pn,…

を 考 え る.こ [0,M]の

れ が 有 界 で あ る と,(2.13)の

な か に あ る よ うに,正

数 を 表 わ す 点 は,こ

の 数Mを

定 め る こ と が で き る.そ

ァ ノ ・ ワ イ ヤ シ ュ トラ ス の 定 理 に よ っ て,集 有 限 で あ る 場 合 に は,そ

分 け る.区

き に は,こ

れ をI2と

け る.I2を

間[M1,M]に(2.13)の 名 づ け,有

中 点M2に

る と,そ

れ をI3と

中 点M3で2つ

の 部 分 に 分 け る.I2=[0,M1]の

とき に

す る.I2=[M1,M]の

場

点 が 無 限 に た くさ ん あ

うで な い と き は[M1,M2]をI3と

の 部 分 に 分 け て,同

名づ

点 が 無 限 に た くさ ん あ る と

あ と の も の に(2.13)の

し,そ

の 区 間[0,M1],

点 が 無限 に た く さ ん あ る と

うで な け れ ば[0,M2]をI3と

合 に も,[M1,M2],[M2,M]の

の ま ま で は わ か らな

こ れ を2つ

あ と の も の に(2.13)の

す る.そ

の集積 点が

限 個 し か な い と き に は[0,M1]をI2と

よ っ て,2つ

は,[0,M2],[M2,M1]の これ をI2と

中 点M1で

して ボ ル ツ

の集積 点 の個 数が か し,こ

大 の も の が あ る か ど うか は,こ

い.そ れ で,こ の 場 合 に はI1=[0,M]の [M1,M]に

積 点 が あ る.こ

の な か で 最 大 の も の を 考 え る.し

無 限 に た く さ ん あ る と,最

と ご と く区 間

名 づ け る.I3を

じ こ と を く り返 す.そ

うす る と,区

間 の列

I1,I2,I3,…,In,… が 得 られ る.Ik,(k=1,2,3,…),の

長 さ をlkと

す ると

l1>l2>l3>…>ln>… で あ っ て,

で あ る か ら,

で あ る.ゆ

え に,こ

*  こ れ 以 下p

.48ま

の よ うな 分 割 を 限 りな くつ づ け る と,区 で の 話 は ,わ

か り に く い と き は,後

間Inは1つ

へ ま わ し て も よ い.

の点

へ 収 縮 す る.そ

の 点 を λ と す る と, 

 ⅰ )  λ は(2.13)の

で あ る.そ

集 積 点 で あ る.な

も の で あ っ て も,λ

の 近 傍(λ−

ば 

ぜ な ら,正

ε,λ+ε)を

は(2.13)の

の 数 εが ど の よ うに 小 さ な

つ く る と,nを

で あ る か ら,(2.13)の

ち,λ

し て,

点 が 無 限 に た く さ ん あ る.す

ぜ な ら,λ

よ りも大 きい 集 積 点

あ る と,Inがnと

と もに

の で あ る か ら.nの

右 側 に は(2.13)の

点 は 有 限 個 し か な い.こ

た が っ て,(2.13)の

λ′が

λに 収縮 す る

値 が じ ゅ うぶ ん に 大 き

い と,λ′ はInの

図2.7

と 矛 盾 す る.し

なわ

集 積 点 で あ る.

 ⅱ)  λ よ り も 大 き い 集 積 点 は な い.な

Inの

適 当 に 大 き く とれ

右 側 に あ る こ と に な る.

れ は λ′が 集 積 点 で あ る こ と

集 積 点 の 中 に は,λ

よ りも大 き い も の は な

い.  こ の

λ は,(2.13)の

を(2.13)の

集 積 点 の う ち で い ち ば ん 右 に あ る も の で あ る か ら,こ れ

上 極 限(limes

superior)と

い っ て 

ま た は 

と 表 わ す.   (2.13)  が 有 界 で な い と き は,正 な も の で あ っ て も,こ

与 え る と,こ

れ よ り も 大 き い 数 が(2.13)の

の 上 極 限 は+∞

で あ る と い う.

 数 列(2.13)に

対 し て は 

に は,(2.13)は

の 数Gを

た だ1つ

れ が ど の よ うに 大 き

な か に あ る と き,(2.13)

で あ る.特

に λ=0の

の 集 積 点 しか も た な い こ と に な っ て,(2.13)は0へ

収 束 す る こ と に な る.   こ れ だ け の 準 備 を し て お い て,べ

き 級 数(2.9)の

係 数 で つ く った 数 列

(2.14) を 考 え る.こ

こ で, 

 ⅰ)  0
と す る と,

の 場 合 に は,Lが(2.14)

の 上 極 限 で あ る こ と か ら,正

の 数 εが 与 え ら

れ る と,そ

れ が ど の よ うに 小 さ な も の で あ っ

て も,nが

じ ゅ うぶ ん に 大 き い と

図2.8

とき

が な り た つ. と な るz1を

 こ こ で, 

考 え, 

と置 く と

とな るか ら

と な り,

で あ る か ら a0+a1(z1−a)+a2(z1−a)2+…+an(z1−a)n+…

は 絶 対 収 束 で あ る[p.44の ￨z−a￨<￨z1−a￨を

脚 註 参 照].し

満 足 す る す べ て のzに

た が っ て,ア

ベ ルの定 理 に よって ,

対 し て 収 束 す る .こ

の 場 合 にz1は

￨z1−a￨<1/L を満 足 し さ え す れ ば よ い の で あ るか ら,￨z−a￨<1/L べ て のzに

対 し て,(2.9)は

  つ ぎ に,Lは(2.14)の

を満足す るす

収 束 す る. 集 積 点 で あ る か ら, 図2.9

を 満 足 す るnの を1つ

値 は,無

限 に た く さ ん あ る.そ

選 ん で, 

れ で,￨z2−a￨・L>1と

な るz2

と置 く と

で あ るか ら

と な り, ￨an￨￨z2−a￨n>1,す

な わ ち￨an(z2−a)n￨>1

が 出 て く る.こ れ が 無 限 に た く さ ん のnの は,nが z2で

限 りな く 大 き くな っ て も,0へ 発 散 す る.こ

のz2は￨z2−a￨>1/L

値 に 対 し て な りた つ の で,an(z2−a)n 近 づ く こ と は な い.ゆ

え に,(2.9)は

を 満 足 す れ ば よか った の で あ る か ら,

￨z−a￨>1/L を 満 足 す る す べ て のzに 対 して 発 散 す る.

 と置 く と,(2.9)は￨z−a￨Rな  ⅱ)  L=0の は,た

と 規 約 し て お く.こ

の 場 合 に は,数

の 集 積 点 を も つ だ け で あ る か ら,(2.14)は

そ の 極 限 は0で

あ る.ゆ

が な りた つ.し

た が っ て, 

なnに

対 し て,絶

ら ば 発 散 す る.

と き は,R=∞

だ1つ

満 足 す る す べ て のzに

え に,nが

列(2.14)

収 束 す る.そ

し て,

じ ゅ うぶ ん に 大 き い と

と置 く と,適

当に 大 き

対 して

が な りた つ の で,

すなわち を 得 る.こ

れ は,級

数 ￨a0￨+￨a1(z0−a)￨+…+￨an(z0−a)n￨+…

が 収 束 す る こ と を 示 し て い る.ゆ

えに

a0+a1(z0−a)+…+an(z0−a)n+… は 絶 対 収 束 で あ る.こ る.し

れ は,z0=aの な ら,絶

た が っ て, 

と き に も 収 束 す る こ と は,直 対 収 束 す る.し

た が っ て,こ

接 に わか の 級 数 は 

を 満 足 す るす べ て のzに 対 して 収 束 す る.  ⅲ )  L=∞ (2.14)は

の と き に は,R=0と

有 界 で は な い.そ

規 約 し て お く.こ

の 場 合 に は,数

に 対 して 級 数(2.9)が

れ で, 

と ￨ak(z0−a)k｜

と な る よ う な 正 の 数Mが

と な る の で,

≦M,(k=0,1,2,…,n,…),

定 ま る[p.43参

照].し

た が って

列

収 束す る

を 得 る.こ る.ゆ

れ は,数

え に, 

(2.9)がz0で

列(2.14)が

有 界 で あ る こ と を 示 し,L=+∞

で あ る と,(2.9)はz0に

対 し て 収 束 し な い.し

収 束 す る の は,z0=aの

z=aの

と矛 盾 す

と き だ け で あ る.す

た が っ て,

な わ ち,(2.9)は

と き だ け しか 収 束 し な い.

  こ れ ら の こ と を ま と め る と,つ

ぎ の 定 理 と な る.

  コ ー シ ー ・ア ダ マ ー ル の 定 理*  べ き 級 数(2.9)に

おいて

と 置 く と,  ⅰ)  R=0な

ら ば,(2,9)は 

 ⅱ)  0
発 散 す る,

な ら ば,(2.9)は￨z−a￨
し て 収 束 し,￨z−a￨>Rを  ⅲ) 

な ら,zで

R=∞

満 足 す る す べ て のzに

な ら ば,(2.9)は

  注 意 ￨z−a￨=Rを

満 足 す る す べ て のzに

対

対 し て 発 散 す る.

す べ て の 有 限 のzに

満 足 す るzに 対 して は,(2.9)は

対 し て,絶

対 収 束 す る.

ど うな る の か わ か らな い.特 別

に 吟 味 せ ね ば な らな い.   例 題2.  1+z+z4+z9+…+zn2+…   解  こ の場 合 に は,akは,kが る か ら, 

平 方 数 の と き に1と

(k=0,1,2,…,n,…),の

と な り,R=1で

な り,そ

集 積 点 は0と1で

うで な い と きに は0で あ る.ゆ

あ

え に, 

あ る. 

(解 終)

  例 題3.

  解 

と置 く と 

を 得 る.と

こ ろ で,

p(n−p+1)−n=(n−p)(p−1)≧0,(p=1,2,…,n), で あ るか ら p(n−p+1)≧n,(p=1,2,…,n). ゆ え に,n>1と

す る と

1・n=n,2・(n−1)>n,3・(n−2)>n,…,(n−1)・2>n,n・1=n で あ るか ら (1・n)・{2・(n−1)}・{3・(n−2)}…{(n−1)・2}・(n・1)≧nn し た が っ て

*  ア ダ マ ー ル(Jacques 1892年

Hadamard

に 樹 立 さ れ た の で あ る.コ

殊 な 場 合 に つ い て で あ っ た.

,

1865-1963)は

フ ラ ン ス の 数 学 者.こ

ー シ ー の も の は1821年

の定理 は

に 樹 立 さ れ て い る が,特

すなわ ち とな る の で

で あ る.こ

れ よ り

を 得 る.ゆ

えに

を 得 る.し

た が っ て,R=∞

と な り,こ

の 級 数 は, 

な ら,い つ で も収 束 す る こ と

を 知 る. 

(解 終)

  例 題4. 

1+1!z+2!z2+…+n!zn+…

 解   例 題3で R=0で

示 し て お い た よ うに, 

あ る,し

た が って,こ

  こ のRを

べ き 級 数(2.9)の

を(2.9)の

収 束 円 と い う.そ

  べ き 級 数(2.9)の

の 級 数 はz=0の

うす る と,つ

収 束 半 径 をRと

る.ゆ

な わ ち￨z−a￨
ぎ の 定 理 が 出 て く る.

す る と,0<ρ
満 足す るす べ ての

一 様 収 束 で あ る.

あ る か ら,￨z−a￨≦

え に,z=a+ρ

と な り,

と き だ け しか 収 束 し な い .  (解 終)

収 束 半 径 と い い,K(a;R)す

ρ に 対 し て,(2.9)はK(a;ρ)で   証 明   ρ
で あ る か ら, 

ρ を 満 足 す る す べ て のzに

に お い て 収 束 す る.し

た が っ て,級

対 して 収 束 す

数

a0+a1ρ+a2ρ2+…+anρn+… は 収 束 す る.ゆ

え に, ￨ak￨ρk<M, 

と な る 正 の 数Mが

定 ま る.ゆ

(k=0,1,2,…,n,…), えに

θ,(0<θ<1),を1つ

定 め る と￨z−a￨≦

θρ な ら

で あ る か ら,(2.9)は￨z−a￨≦ た,

θρ で 絶 対 収 束 で あ る[p.44の

脚 註 参 照].ま

で あ る か ら, 

と 置 く と, 

とな るの で

が 出 て く る*.し

た が って

が な りた つ.ゆ

えに

が な りた つ.そ

し て,こ

zに

のNは,そ

は 関 係 し な い 値 で あ る.ゆ

  つ ぎ の 定 理 も,重

え に,(2.9)はK(a;ρ)で

一 様 収 束 で あ る.

要 な も の で あ る.

  べ き 級 数(2.9)の   証 明   (2.9)の

の 式 を 見 れ ば わ か る よ うに,K(a;ρ)の

和 はK(a;R)で

連 続 な 函 数 を 表 わ す.

和 はK(a;R)でzの

函 数 で あ る か ら,こ

れ をf(z)で

表

わ し て, sn(z)=a0+a1(z−a)+a2(z−a)2+…+an−1(z−a)n−1 と 置 く.ρ,(0<ρ
と る と,K(a;ρ)で

一 様 収 束 で あ る か ら,正

の 数 εに 対 し て  (2.15)

と な るNが,K(a;ρ)のzに

無 関 係 に 定 め られ る.z+h∈K(a;ρ)を

る と

* 

と な り, 

を 解 く と,  で あ る か ら,  ゆ え に, 

を 得 る.

考 え

ⅰ)  ⅲ) 

(2.15)はzがK(a;ρ)の

が な りた つ.ゆ

を 得 る.と

点 で あ れ ば,ど

こ に あ っ て も な りた つ の で あ る か ら

えに

こ ろ が,sN(z)はK(a;ρ)に

対 し て,￨h￨<δ

お い て 連 続 で あ る か ら,正

を 満 足 す る す べ て のzに

が な りた つ よ うに,正

の 数 εに

対 して

の 数 δ を 定 め る こ と が で き る.ゆ

え に,￨h￨<δ

を満 足す

る とき

と な り,f(z)がzで

連 続 で あ る こ と を 知 る.こ

あ る か ら,K(a;ρ)の る.と

こ ろ が,こ

のzはK(a;ρ)の

す べ て の 点 で 連 続 で あ る.ゆ の ρ は,0<ρ
え に,K(a;ρ)で

満 足 す れ ぼ よ い の で,ρ

よ うに 近 く と も よ い の で,f(z)はK(a;R)で

任 意 の点 で

連 続 で あ る,と

連続 であ

はRに,ど

の

い う こ とが で き

る.   問17.  係 数 が つ ぎの もの で 与 え られ て い るべ き級 数 の収 束 半 径 を 求 め よ: ⅱ ) 

  問18. 

ⅳ)  ak=(logk)−k

fk(z)∈C[D],(k=1,2,3,…),に

な ら ば,こ

の 級 数 の 和 も ま たC[D]に

  問19. 

級 数f1(z)+f2(z)+…+fn(z)+…

が 領 域Dの

一 様収 束 であ る

絶 対 収 束 で あ り,ま

に お い て,￨fk(z)￨≦Mk,(k=1,2,3,…), 数M1+M2+…+Mn+… た 一 様 収 束 で あ る こ と を 示 せ.

級 数 1+2z+z2+2z3+z4+2z5+…

の 収 束 半 径 を 求 め よ.

がDで

属 す こ と を 示 せ.

す べ て の 点 で な りた つ と き,級

与 え ら れ た 級 数 はDで   問20. 

対 し て 

が 収 束 す る と,

  2.5 

指 数 函 数 と 三 角 函 数

  Ⅰ. 準 備 と し て,ま

ず,つ

ぎ の 定 理 を 証 明 し て お く.

  2 つ の 級 数   (2.16) 

z1+z2+…+zn+…

  (2.17) 

z1′+z2′+…+zn′+…

が,と

も に 絶 対 収 束 で あ り,和

  (2.18) 

が そ れ ぞ れs,s′

で あ る と,級

z1z1′+(z1z2′+z2z1′)+… +(z1zn′+z2z′n−1+…+zn−1z2′+znz1′)+…

も 収 束 し,そ

の 和 はss′

  証 明  

で あ る. sn=z1+z2+…+zn sn′=z1′+z2′+…+zn′

と置 き wk=z1zk′+z2z′k−1+…+zk−1z2′+zkz1′ とす れ ば

で あ る か ら,こ

こで σn=sns′

数

と置 く と Sn− σn=z1(sn′

‐s′)+z2(s′n−1−s′)+…+zn(s1′

と 書 け る.正

の 数 εを 与 え る と,自

自 然 数mに

対 して

−s′)

然 数Mが,m≧Mを

満足す るす べ ての

￨sm′ −s′￨<ε が な り た つ よ う に 定 ま る.ゆ Sn−

σn=z1(sn′

え に,n>Mと

し て お く.

−s′)+z2(s′n−1−s′)+…+zn+1−M(s′M−s′)

+zn+2−M(s′M−1−s′)+zn+3−M(s′M−2−s′)…+zn(s1′

−s′)

で あ るか ら

と置 く と

で あ る.ま

た,(2.16)は

絶 対 収 束 で あ る か ら,正

の 数

ε に 対 し て 自 然 数Nが

￨zN+1￨+￨zN+2￨+…+￨zN+p￨<ε,(p=1,2,3,…), と な る よ う に 定 ま る.ゆ

え に,n≧N+M−1と

す る と

￨ zn+2−M￨+￨zn+3−M￨+…+￨zn￨<ε が な り た つ.ま

た,(2.26)は

絶 対 収 束 で あ る か ら ￨z1￨+￨z2￨+…+￨zn￨+…=s

と す る と, ￨Sn− と な る.し

σn￨<εs+εG=ε(s+G)

た が っ て

と な る.(2.16)は

収 束 す る か ら,正

の 数 εに 対 し て,自

然 数N0がn≧N0

を 満 足 す る す べ て の 自 然 数nに

対 して ￨sn−s￨<ε

が な りた つ よ うに 定 め ら れ る.ゆ n≧Nな

え に,max(N+M−1,N0)=Nと

す る と,

ら ￨Sn−ss′￨<ε(s+￨s′￨+G)

と な る.ゆ

え に,

を 得 る. 

(証 終)

  級 数(2.18)を,2つ 明 し た 定 理 を,つ

の 級 数(2.16),(1.17)の

積 と い う.そ

し て,い

ま証

ぎ の よ う に い い 表 わ す こ と が で き る:

  級 数(2.16),(2.17)が

絶対 収束 であ る と

が な りた つ.   Ⅱ. 前 節 の 例 題3で

示 して お い た よ うに,べ

き級数

 (2.19)

は  る.こ

な ら収 束 す る.こ れ の 和 をE(z)と

の こ と を,￨z￨<∞

で 収 束 す る,と

い うこ とにす

表わ す と

 (2.20)

 (2.21)

と表 わ す こ とが で き る.こ れ らは 絶 対 収 束 で あ るか ら,上 の 定 理 に よ っ て

とな るので

と な る.こ

れ はz,aが

何 で あ ろ う と も な り た つ.こ

こ で,z−a=z1,a=z2

と 置 く と   (2.22) 

E(z1)・E(z2)=E(z1+z2)

と な る.R,(0
定 め る と,E(z)はK(0;R)で

の 函 数 はK(0;R)で

れ で,(2.22)に

お い て,

置 く と

  (2.23) 

E(z)・E(−z)=E(0)=1

と な る の で, 

と な る の で,形

連 続 で あ る.そ

一 様 収 束

で あ る.と

こ ろ が,zが

実 数xに

等 しい と

式的に E(z)=ez

と置 く こ と に す る.そ

うす る と

 (2.24)

と 書 く こ と が で き る.し

か し,こ

のezは,ま

演 算 的 な 意 味 は な い.そ

し て,こ

れ を 指 数 函 数 と い う.こ

(2.22)は

っ た く形 式 的 な も の で あ っ て, の よ うに 表 わ す と,

  (2.25)  と 表 わ す

ez1・ez2=ez1+z2 こ と が で き,(2.23)は

  (2.26) 

ez・e−z=1

と 表 わ す こ と が で き る.ゆ

で あ る こ とが わ か る で あ ろ う.

え に, 

こ の こ とか ら  (2.27)

を 得 る.ま

た,(2.24)に

お い て,z=ix,(xは

実 数),と

置 く と

 (2.28)

と な

る が, (ix)2k={(ix)2}k=(−x2)k=(−1)kx2k (ix)2k+1=(ix)(ix)2k=(ix)(−1)kx2k=i(−1)kx2k+1

で あ り,(2.28)は い.ゆ

絶 対 収 束 で あ る か ら,項

の 順 序 を 変 え て も,和

は 変 わ らな

え に,(2.28)は

と 書 け る.と

こ ろ が,微

分 学 で 学 ん で い る よ うに

で あ る か ら   (2.29)  を 得 る.こ

eix=cos

x+i

れ を オ イ レ ル の 公 式 と い う.ま

sin x た,z=x+iyと

す る と,(2.25)に

よ っ て ez=ex+iy=ex・eiy で あ る か ら,(2.29)に   (2.30)  と 書 く こ と が で き る.そ   (2.31) 

よ っ て ez=ex(cos

y+i

sin

y)

う す る と,I.§2,(1.18),[p.8]に ￨ez￨=ex,arg(ez)=y

よ っ て

と な る.と

こ ろ がexはxの

の と き だ け で あ る.ゆ

増 加 函 数 で あ る か ら,ex=1と え に,￨ez￨=1と

な る の は,zが

な る の は,x=0 純 虚 数 の と き だ け で あ

る.  

な お, z=r(cosθ+i

で あ っ た か ら,上  

の(2.29)に

よ っ て

(2.32) 

z=reiθ

と 表 わ す こ と が で き る.上  

の(2.25)に

(2.33) 

よ っ て

ez+ω=ez・eω

が な り た つ.ま に

sinθ)

ず,eω=1と

ω=p+iq(p,qは

な る

実 数)と

ω が 存 在 す る か ど う か を 調 べ る.そ

置 く と

ep+iq=ep・eiq=ep(cos と 書 け る の で,問

q+i

sin

q)

sin q)=1

見 つ け る こ と に 帰 着 す る.し

  (2.34) 

ep cos

を 解 く こ と に 帰 着 す る.こ

q=1, 

た が って

ep sin

q=0

れ よ り

  (2.35) 

e2p=1

を 得 る の で,2p=0,す

な わ ちp=0を

  (2.36) 

cos

と な る.sin cos

q+i

題 は ep(cos

と な るp,qを

の た め

q=0よ

mπ=1を

け れ ば な ら な い.そ 得 る.ゆ

れ で,m=2nと

sin

れ をcos

q=1へ

mπ=(−1)mで

代 入 して

あ る か ら,mは

す る と,q=2nπ と き にeω=1と

  (2.37) 

し て,(2.34)は

q=0

を 得 る.こ

こ ろ がcos

え に,ω=2mπiの

と な る.こ

q=1, 

りq=mπ

得 る.と

得 る.そ

偶 数 で な

と な り,ω=2nπiを

な る.し

た が っ て, 

な ら

ez+2nπi=ez の よ う に,す

べ て の 有 限 のzに

  (2.38)  が な りた つ と き,ω る と,ezは2πiを

対 して

f(z+ω)=f(z) をf(z)の

周 期 と い い,f(z)を

周 期 と す る 周 期 函 数 で あ る*.こ

周 期 函 数 と い う.そ れ に つ い て は,p.221で

うす

詳 し く論

じ る.

  問21. 

nが

自 然 数 で あ る と,(ez)n=enzで

  問22. 

z=x+iyの

求 め よ.

の 値 を 求 め よ.

  問23.    問24. ezが   問25. 

と き￨eiz￨を

あ る こ と を 示 せ.

純 虚 数 で あ る た め に は,zは

e5z=1と

 Ⅲ.  (2.24)に

な るzの

ど の よ う な も の で な け れ ば な ら な い か.

値 を 求 め よ.

お い て,zの

か わ り にizと

置 く と

とな るが,こ

の 級 数 が 絶 対 収 束 で あ る こ とか ら,項 の順 序 を 変 え て も,和 は 変

わ らな い.ゆ

え に,

と 書 く こ と が で き る.そ

れ で,形

式的 に

 (2.39)

 (2.40)

と 表 わ す こ と に す る.そ  (2.41) 

うす る と eiz=cos

と 表 わ す こ と が で き る.そ  (2.42) 

z+i

し て,(2.39)と(2.40)と

sin(−z)=−sin

が 得 ら れ る.ゆ

よ り

z,  cos(−z)=cos

z

え に e−iz=cos(−z)+i =cos

を 得 る.こ

sin z

れ と(2.41)と

z−i

sin(−z) sin

z

か ら

 (2.43) *  f(z+ω)=f(z)が =f(z)が

な りた つ ω の う ち

な りた つ こ と は,容

,絶 対 値 の 最 小 の も の をω と す る と,f(z+nω) 易 に 示 せ る が ,こ のω を 基 本 周 期 と い う こ と も あ る

が 出 て く る.sin

zを

正 弦 函 数,cos

め て 三 角 函 数 と よ ん で い る.こ

れ ら は,い

あ る こ と は 容 易 に わ か る が,さ  (2.44) 

sin2 z+cos2 sin(z1+z2)=sin

 (2.46) 

cos(z1+z2)=cos

の な りた つ こ と は,容   こ の よ う に,sin

余 弦 函 数 と い い,こ ず れ も2π

z=1

z1 cos z2+cos

zは

実 数 の 場 合 のsin

と き に はey≧e−yで

す る とe−y>eyで

あ る か ら

あ る か ら

￨ey−e−y￨=e−y−ey>e−y−1 と な る の で, ￨ey−e−y￨>e￨y￨−1 た が って

z1 sin z2

x,cos

xと

同 じ公 式 を 満 足 す

れ て は な ら な い.た

￨ey−e−y￨=ey−e−y≧ey−1

を 得 る.し

z1 sin z2

z1 cos z2−sin

質 的 に 異 な る 函 数 で あ る こ と を,忘

と な り,y<0と

を 周 期 とす る 周 期 函 数 で

易 に わ か る で あ ろ う.

z,cos

で あ っ て,y≧0の

れ らを ひ っ く る

らに

 (2.45) 

る が,本

zを

と え ば,

ⅰ) 

と な る.こ

れ よ り,￨y￨>log3と

す る と*, ￨sin z￨>1

と な る の で,実

数 の と き と は 異 な る こ と が わ か る で あ ろ う.

  問26. 

公 式(2.44)を

証 明 せ よ.

  問27. 

公 式(2.45),(2.46)を

  問28. 

つ ぎ の 方 程 式 を 満 足 す るzの

証 明 せ よ. 値 を 求 め よ:

ⅰ)  sin z=2, ⅱ)   問29. 

cos z1=cos

z2が

演

  2.1  x+iyに

cos z=2

な り た つ と き,z1とz2と

お い て,x,yが

習

問

の よ う な 関 係 が あ る か.

題2

有 理 数 で あ る と き,こ

を,−1−i,1−i,1+i,−1+iを

の 間 に,ど

れ を 有 理 点 と い う こ と に す る.E

頂 点 とす る 正 方 形 に 属 し て い る有 理 点 の 全 体 で で き て い

る 集 合 と す る. ⅰ)  Eは

集 積 点 を も つ か,

ⅱ)  Eは

開 い た 集 合 で あ る か,

ⅲ)  Eは

連 結 集 合 で あ る か.

  2.2  E1={z￨￨z−i￨<1},E2={z￨￨z+i￨<1},E3={z￨￨z￨<1}に

対 し て,つ

ぎの 集

合 を 図 示 せ よ: ⅱ)  E1UE2UE3, 

 ⅰ)  E1∩E2∩E3,    2.3  函 数    2.4 

ⅲ)  (E1UE2)∩E3, ⅳ) (E1∩E3)U(E2∩E3)

に 対 応 す る値 を,こ

のz=a, 

と ご と く示 せ.

の とき

と 定 義 し た と き,z=iに

お け るf(z)の

値 を,z=iに

お い て,こ

の 函 数 が 連 続 とな る

よ う に 定 義 す る こ と が で き る か.   2.5  級 数z(1−z)+z2(1−z)+…+zn(1−z)+… し,そ

は￨z￨<1な

ら収 束 す る こ とを 示

の 和 を 求 め よ.

  2.6  つ ぎ の 級 数 は,zの

ど の よ うな 値 に 対 し て,絶

る か を 調 べ よ: ⅱ)

* 

を 解 け ば よ い.

対 収 束 で あ り,ま

た一様 収 束 で あ

ⅱ)  ⅰ)  ⅰ) ⅲ) ⅰ) 

 2.7  つ ぎの べ き級 数 の 収 束 半 径 を 求 め よ:

が￨z￨
  2.8  べ き 級 数 

も また￨z￨
対 して 収 束 す る な ら,べ

き 級 数 

対 して収束 し

が な りた つ こ とを 示 せ.  2.9  す べ て のzに

対 して￨sin

z￨≦1が な りた つ な ら ば,zは

実 数 でなけれ ばな らない

こ とを 示 せ.  2.10  つ ぎ の こ とを 示 せ: ⅰ)  sin z=sin

  2.11 

§5の(2.41),(2.43)を

z.  ⅱ)  cos z=cos

用 い て,つ

ぎ の 等 式 を 証 明 せ よ:

ⅱ)

  2.12 

つ ぎ の 不 等 式 を 示 せ: ￨ez−1￨≦e￨z￨−1

  2.13 

θ を 任 意 の 実 数 とす る と き

(nは 整 数),

ⅱ)

z

3.  微

  3.1  導

函

 函 数f(z)は

領 域Dで

分

法

数 定 義 され て い る とす る.Dの1点z0に

お いて

 (3.1)

と な る λが 定 ま っ た と き,函 数f(z)はz0で のz0に

微 分 可 能 で あ る と い い,λ をf(z)

お け る 微 分 係 数 と い う.λ は 定 ま っ た 複 素 数 で あ る の で,通 例 はf′(z0)

ま た は 

と 表 わ す.と

こ ろ が,z→z0と

い う の は,zは

を た ど っ て も よ い こ と が 前 提 と な っ て い て,zがz0へ わ りが な い の で あ る.そ

れ で,た

どの よ うな 道

近 づ く経 路 に は,か

か

と え ば 函 数f(z)が

で 与 え られ て い る と き に は

で あ る か ら,zが z=0に

直 線y=mxに

近 づ く と,こ

沿 っ て,原

点

の直 線 の各 点に 対 しては

で あ る か ら,こ の 直 線 に 沿 っ て 原 点 に 近 づ く こ と をz→0で

で あ る.ま

と な っ て,値

図3.1

示す と

た,物

線x=y2に

が 異 な る.し

可 能 で は な い.こ

沿 っ て 原 点 に 近 づ く こ と もz→0で

た が っ て,こ

の こ と か ら,(3.1)に

示す と

こ で 定 義 さ れ た 函 数 はz=0で お い てz→z0と

す る と き に は,特

微分 殊

ⅱ ⅲ

な 道 を 選 ん で は な ら な い こ と が,わ  (3.1)を

か る で あ ろ う.

書 きか え る と

 (3.2)

と な る.ゆ

え に, f(z)−f(z0)=[f′(z0)+η(z;z0)](z−z0)

と な り,こ

れ より

すなわち を 得 る の で,函

数f(z)がz0で

微 分 可 能 で あ る と,こ

れ はz0で

連 続 であ る

こ とが わ か る で あ ろ う.   特 に,z0の

近 傍V(z0)を,そ

こ の す べ て の 点 で 微 分 可 能 で あ る よ うに つ く

る こ とが で き た ら,こ の 函 数 はz0で て の 点 で 微 分 可 能 で あ る と,Dが てV(z)⊂Dと

な るV(z)が

正 則 で あ る とい う.ま た,領

領 域 で あ る こ とか ら,Dの

あ る.仮 定 に よ っ てV(z)の

可 能 で あ るか ら,わ れ わ れ の 函 数 はzで 正 則 で あ る.ゆ で あ る.こ

の こ とを,領

域Dで

表 わ す と,つ

すべ

す べ て のzに 対 し す べ て の点 で微 分

え に,Dの

各 点 で正 則

正 則 で あ る と い う.そ し て,領 域Dで

函 数 の 全 体 で で き て い る 集 合 をH[D]と は,容

域Dの

正則な

ぎ の 定 理 の 正 しい こ と

易 に わ か る で あ ろ う.

  f(z)∈H[D],g(z)∈H[D]で

あると

ⅰ )  f(z)+g(z)∈H[D]で

あ っ て,(f(z)+g(z))′=f′(z)+g′(z),

) f(z)・g(z)∈H[D]で

あ っ て,(f(z)g(z))′=f′(z)g(z)+f(z)g′(z)

な ら

) 

で あ って

 た と え ば,zは  る*.ゆ

え に,ⅱ)に

を 定 数 と す る と,こ (k=1,2,…,n),も

な ら微 分 可 能 で あ る.ゆ え に,zは よ っ て,zk,(k=1,2,…,n),も れ も 正 則 函 数 と 考 え て よ い か ら,上 正 則 で あ る.し

*  全 平 面 に つ い て はp .16を

た が っ て,ⅰ)に

見 られ た い.

全平 面 で正 則 であ

全 平 面 で 正 則 で あ る.ak のⅱ)に よ って

よ っ て,akzk,

 (3.3) 

a0+a1z+a2z2+…+anzn

は 全 平 面 で 正 則 で あ る.こ 特 に(3.3)の

の よ うに,全

平 面 で 正 則 な 函 数 を 整 函 数 とい うが,

よ うに 多 項 式 で 与 え られ て い る 函 数 を,有

理 整 函 数 と い う*.

b0+b1z+b2z2+…+bmzm

も 有 理 整 函 数 で あ る が,b0+b1z+b2z2+…+bmzm=0と

な るzを

除 い て,函

数  (3.4)

は 正 則 で あ る.分

母 が0と

の で,当

則 で は な い.こ

然 に,正

特 異 点 と い う.こ

な るzの

値 に 対 し て は**,こ の よ うに,函

の 特 異 点 に つ い て は,後

の函 数 は定 義 され な い

数 が 正 則 で な い よ うなzの

値を

で 述 べ る 機 会 が あ る が,(3.4)の

形

の 函 数 を 有 理 函 数 と い う.  つ ぎ に,(3.3)を

拡 張 し て,べ

 (3.5)  を 考 え る.こ

き級数

a0+a1z+a2z2+…+anzn+… れ の 収 束 半 径 をRと

す 函 数 をf(z)と

す る と き,こ

れ が 収 束 円K(0;R)で

表わ

表 わ す と,K(0;R)で f(z)=a0+a1z+a2z2+…+anzn+…

と 表 わ す こ と が で き る.つ  (3.6) 

き級 数

a1+2a2z+3a3z2+…+nanzn−1+…

を 考 え る.K(0;R)の る.ゆ

ぎ に,べ

任 意 の 点z′

え に,r
を 考 え る.￨z′￨=rと

な るr0を

る と,(3.5)はz0で

収 束 す る の で,級

と り,￨z0￨=r0と

す る とr
あ

ひ とつ 考 え

数

a0+a1z0+a2z02+…+anz0n+… は 収 束 す る.ゆ

えに ￨akz0k￨<M,(k=0,1,2,…,n,…),

と な る 正 の 数Mが

定 ま る[p.43参

照].ゆ

*  な ぜ 有 理 と い う言 葉 を 用 い る か に つ い て は **  ガ ウ ス(Friedrich を 証 明 し た(1799).だ ず 存 在 す る.

Gauss

えに ,後

で 述 べ る.p.183参

, 1777-1855)は,す

か ら,b0+b1z+b2z2+…+bmzm=0と

照.

べ て の 代 数 方 程 式 は 根 を もつ こ と な るzは,か

な ら

で あ り,級 数 

は 収 束 す る か ら*,

は 収 束 す る.ゆえ

に,(3.6)はz=z′

ル の 定 理 に よ っ て[p.43参 束 す る.z′

K(0;R)で

照],￨z￨<￨z′￨を

はK(0;R)の

す る こ と が わ か る.し

で 絶 対 収 束 で あ る.し

た が っ て,ア

満 足 す る す べ て のzに

対 し て収

任 意 の 点 で あ っ た か ら,(3.6)は￨z￨
ベ

ら収 束

函 数 を 表 わ す の で,

は g(z)=a1+2a2z+…+nanzn−1+…

と 書 け る.そ

うす る と,ρ,(0<ρ
で 一 様 収 束 で あ る[p.52参

照].ゆ

任 意 に 考 え る と,(3.6)はK(0;ρ) え に,正

の 数 ε に 対 し て,番

号Nが

 (3.7)

と な る よ うに 定 め ら れ る.そ ∈K(0;ρ)と

れ で,K(0;ρ)のzを

任 意 に と る と,hをz+h

な る よ うに 選 ん で

を つ く る. 

はK(0;ρ)で

*  sn=1+2ρ+…+nρn−1と

置 く と

絶 対収 束 で あ るか ら

, 

で あ るか ら, 

微 分学 で  な ら 

で あ る こ とを 学 ん で い るか ら,Nをn≧N

とな る よ うに 定 め る こ とが で き る.ゆ と な っ て 級 数 

与 え られ る.

と な る の で, 

は 収 束 し,そ

の和 は 

え に,n≧Nな

ら で

と書 け る.ゆ

と な る.し

えに

た が って

と こ ろ が,

で あ る か ら,正

の 数 δ を,￨h￨<δ

を 満 足 す る す べ て のh,(z+h∈K(0;ρ)),

に 対 して

が な りた つ よ う に 定 め る こ と が で き る.ま

* 

ak−bk=(a−b)(ak−1+ak−2b+ak−3b2+…+abk−2+bk−1)

た,

で あ り,z+h∈K(0;ρ)で

と な る.ゆ

あ る の で,￨z+h￨≦

ρ で あ るか ら

えに

 (3.8) 

[(3.7)に

よ る]

ま た,

 (3.9)

で あ る か ら,(3.8)と(3.9)と

と な る.ゆ

え に,￨h￨<δ

と な る.し

た が って

と な り,f(z)はzに れ る.こ

に よ っ て

とす る と

お い て 微 分 可 能 で あ っ て,微

のzはK(0;ρ)の

分 可 能 で あ る.ゆ

任 意 の 点 で あ る か ら,K(0;ρ)の

え に,K(0;ρ)で

正 則 で あ る.と

を 満 足 し て お り さ え す れ ば よ い の で,(3.5)はK(0;R)で す こ と が わ か る.そ   (3.10)  と な る*.特

分 係 数 は(3.6)で

こ ろ が,こ

与え ら

す べ て の点 で微 の ρ は0<ρ
して

f′(z)=a1+2a2z+3a3z2+…+nanzn−1+… にR=∞

函 数 を 表 わ す が,(3.3)と

の と き は,(3.5)は

全 平 面 で 正 則 な 函 数,す

区 別 す る た め に,超

*  この こ とか ら,べ き 級 数 は,収 わ か るで あ ろ う.

なわ ち整

束 円 の 内 部 で,項

越 整 函 数 と い う こ と も あ る. 別 に 微 分 す る こ とが で き る こ とが

 例 題1.  ezは 整 函 数 で あ る.  解   正 の 数Rを

はK(0;R)で

与 え る.こ れ が ど の よ うに 大 き な も の で あ っ て も,べ

正 則 な 函 数 を 表 わ す.こ

っ て も よ か った の で あ る.ゆ え に,こ 函 数 を 表 わ す.p.58の(2.24)に

のRは0
を 満 足 し て お れ ば,何

の べ き級 数 は,K(0;∞)す

よ っ て,こ

れ がezで

き級 数

であ

なわ ち全平 面 で正則 な

あ るか ら,ezは

整 函 数 で あ る. (解 終)

  な お,上

の(3.10)に

よ っ て

す な わ ち,   (3.11) 

(ez)′=ez

が 出 て く る.   問1. 

sin z,cos zは

ⅰ ) 

 問2. 

(sin

z)′=cos

整 函 数 で あ っ て,つ z, 

函 数￨z￨2はz=0で

  3.2 

ⅱ ) 

(cos

ぎ の こ とが な りた つ こ と を 示 せ:

z)′=−sin

z, 

ⅲ)

正 則 で あ る か.

z=x+iyと

コ ー シ ー ・ リー マ ン の 偏 微 分 方 程 式 した とき f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)

と 書 く こ と が で き た と す る.z0=x0+iy0,(x0,y0は は 実 数),と

す る と

実 数),h=h1+ih2,(h1,h2

と 書 け る.f(z)がz0で る と,前

微分 可能 で あ る とす

に も 述 べ た よ うに,zがz0へ

と き の 道 に 無 関 係 に,Δ そ れ で,zは

の 極 限 値 は 同 じ で あ る.

実 軸 に 平 行 な 道 に 沿 っ てz0へ

づ く場 合,す な わ ちh=h1の [図3.2参

図3.2

と な る が,仮

定 に よ っ て, 

も 存 在 し な け れ ば な らな い.そ

と な る.ま

た,zが

へ 近 づ く場 合,す

で あ り,仮

照],

して

虚 軸 に 平 行 な 道 に 沿 っ てz0

定 に よ っ て, 

が 存 在 しな け れ ば な らな い.そ

し た と き,

が 存 在 す る の で あ る か ら,

して

近

場 合 を 考 え る と,

が存在す るのであるか ら

な わ ちh=ih2と

近づ く

図3.3

で あ る.と

こ ろ が,f(z)がz0で

で あ る.そ

して

微 分 可 能 で あ る か ら, 

f′(z0)=ux(x0,y0)+iυx(x0,y0)=υy(x0,y0)−iuy(x0,y0)

と な る.し

た が っ て

  (3.12) 

ux(x0,y0)=υy(x0,y0),uy(x0,y0)=−υx(x0,y0)

で な け れ ば な ら な い.し x0+iy0の

た が っ て,函

近 傍 で 定 義 さ れ て い て,z0で

υ(x,y)が(x0,y0)で

第1階

数f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)が,z0= 微 分 可 能 で あ る な ら ば,u(x,y),

偏 導 函 数 を も っ て い て,(3.12)が

な

りた た ね

ば な ら な い.   つ ぎ に,話

を 逆 に し て,函

数f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)がz0=x0+iy0の

近 傍 で 定 義 さ れ て い て,ux(x0,y0),uy(x0,y0),υx(x0,y0),υy(y0,y0)が と,2変

存 在 す る

数 の 函 数 の 平 均 値 の 定 理 に よ っ て,

と 書 け る*.ゆ

と 書 け る.こ

えに

こで

 (3.13)

と置 く と *  φ(t)=u(x

0+th1,y0+h2)+u(x0,y0+th2)と

るか ら,上 の 第1式

置 く と,φ(t)はtに

つ い て 微 分 可 能

であ

で あ っ て, 

を 得 る.

と な る.こ

こ で(3.12)を

考 慮 に入 れ る と

で あ るか ら

と な る. 

と な る.こ

こ で,ux(x,y),uy(x,y),υx(x,y),υy(x,y)は,そ

に お い て 連 続 で あ る と 仮 定 す る と,(3.13)に ηi→0,η2→0,ζ1→0,ζ2→0と

で あ る.ゆ

,y)+iυ(x,y)がz0=x0+iy0の

式(3.12)を

域Dの

あ る の で,上

連 続 な 第1階

第1階

偏 導 函 数 を も ち,偏

ux(x,y)=υy(x,y), 

を 満 足 す る.ま

た,逆

す る と,f(z)はDで

れ らが偏微 分方程

お い て 微 分 可 能 で あ る.

領 域Dで

  (3.14) 

連 続 な 第1階

数f(z)

の 函 数は 領 域Dで

正則 で

ぎ の こ と が い え る:

  函 数f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)が υ(x,y)はDで

偏 導 函 数 を も ち,そ

す べ て の 点 で 微 分 可 能 で あ る と,そ

の 結 果 か ら,つ

え に,函

近 傍 で 定 義 さ れ て い て,u(x,y),

満 足 す る と,f(z)はz0に

  な お,領

正 則 で あ る な ら ば,u(x,y), 微 分方 程式

uy(x,y)=−

に,f(z)はDで

υx(x,y)

定 義 さ れ て い て,u(x,y),υ(x,y)

偏 導 函 数 を も ち,そ

れ ら が 偏 微 分 方 程 式(3.14)を

満足

正 則 で あ る.

  こ の 偏 微 分 方 程 式(3.14)を,コ し て,

す れ ば,

た が っ て,

お い て 微 分 可 能 で あ る こ と を 知 る.ゆ

υ(x,y)が(x0,y0)で

がDで

よ っ て,h1→0,h2→0と

えに

と な っ て,f(z)がz0に =u(x

な る.し

れ ぞ れ(x0,y0)

ー シ ・ リー マ ン の 偏 微 分 方 程 式 と い う.そ

  (3.15) 

f′(z)=ux(x,y)+iυx(x,y)=υy(x,y)−iuy(x,y)

で あ る.   例 題1. 

z=reiθ, 

f(z)=ReiΘ

と す る と,コ

ー シ ー ・リ ー マ ン の偏 微 分 方 程 式 は

で あ る こ と を 示 せ.   解   f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)に r cosθ,  y=r

sinθ

す な わ ちx=

お い て, 

と な る の で,

と 置 く と  u=R

cosΘ, υ=R

sinΘ

と な る.ゆ

えに

ゆ え に,コ

ー シ ー ・ リー マ ン の偏 微 分 方程 式 に よ っ て

が な りた つ の で,

 (3.16)

を 得 る.ま

た

で あ る か ら,コ

ー シ ー ・リ ー マ ン の偏 微 分 方 程 式 に よ っ て

と書 け る の で,こ

れ を書 き換 える と

 (3.17)

と な る の で,(3.16)×cosΘ+(3.17)×sinΘ

を つ

くる と

 (3.18)

と な る.ま

た,(3.16)×(−sinΘ)+(3.17)×cosΘ

 (3.19)

を 得 る.ま

た,(3.18),(3.19)を

考 慮に 入れ る と

を つ

くる と

ⅲ) 

で あ るか ら

が 出 て く る.    例 題2. 

(解 終)

函 数f(z)が

領 域Dで

つ な ら ば,f(z)はDで

正 則 で あ っ て,Dの

す べ て の 点 でf′(z)=0が

な りた

定 数 で あ る.

  解  f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)と

す る と f′(z)=ux(x,y)+iυx(x,y)=0

が な りた つ か ら,Dの

す べ ての点 で ux(x,y)=0, υx(x,y)=0

が な り た つ.ゆ

え に u(x,y)=φ(y), υ(x,y)=ψ(y)

で な け ば れ な ら ぬ.こ

の

φ(y),ψ(y)は,と

も にyの

φ′(y)=uy(x,y),  で あ り,コ

任 意 の 函 数 で あ る.そ

うす る と

ψ′(y)=υy(x,y)

ー シ ー ・ リ ー マ ン の 偏 微 分 方 程 式 に よ っ て, uy(x,y)=−υx(x,y)=0, υy(x,y)=ux(x,y)=0

で あ る か ら,φ′(y)=0,ψ′(y)=0が な る.ゆ こ れ はDに   問3. 

な りた つ.し

え に,u(x,y)≡C1,υ(x,y)≡C2を お い て,定

領 域Dで

￨z￨,

ⅱ ) 

  問6. 

z,

正 則 で あ って,つ

ぎ の 条 件 を満 足 す る よ う なf(z)は

ⅱ)  Im{f(z)}=0, 

ⅲ)  ￨f(z)￨=C,(Cは

f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)はz=x+iyの

で あ る と き,υ(x,y)は

u+iυ

と す る と,X=log￨f(z)￨に

u=2x(1−y)と

がz=x+iyの

対 し て,

自 然 対 数 の こ と で あ る.

u(x,y)=e−x(x

  問7. 

(解 終)

正 則 で あ っ て,

を 計 算 せ よ.logaはaの

ⅰ)  Re{f(z)}=0, 

な っ て,

な ら,正 則 で あ る か:

ⅰ ) 

 問5.  領 域Dで

れ よ りf(z)≡C1+iC2と

数 で あ る こ と を 知 る. 

つ ぎ の 函 数 は, 

  問4.  f(z)は

得 る.こ

た が っ て,φ(y)≡C1,ψ(y)≡C2と

存 在 す るか: 定 数)

正 則 函 数 で あ る. sin y−y

cos y)

ど の よ うな 函 数 で あ る か. す る と, 

正 則 函 数 と な る よ うに 定 め,そ

が な りた つ こ とを 示 し,さ の 後 に,u+iυ

をzで

らにυ を

表 わ せ.

  3.3 

写

像

  領 域Dで

正 則 な函 数

  (3.20) 

w=f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)

を 考 え る.こ

れは

  (3.21) 

X=u(x,y), 

と 書 け る が,こ

れ は,微

Y=υ(x,y)

分 学 で 学 ん で い る よ うに,z平

の 間 に 対 応 を つ け る が,(3.21)と(3.20)と に よ る 対 応 づ け を,写 w平

面 の1点

写 像 は1対1で

れ で, 

連 続 函 数 で あ る か ら,z0の

近 傍V(z0)を,こ

対 応 す る とき

あ る 近 傍 へ,1対1に を 領 域Dの

こ ろ が,J(z)=

の近 傍 のす べ て

と な る よ う に 作 る こ と が で き る*.し

分 学 で 学 ん で い る よ うに,z0=x0+iy0の

  つ ぎ に,γ

点 が た だ1つ

と な る.と

と す る と, 

対 し て, 

X0+iY0の

に,Dの

点zに,

すると

￨f′(z)￨2はzの のzに

面 の1点

像 と い う.Dの

あ る と い う.

z0=x0+iy0と

と な る.そ

にw平

面 の点 と

は 同 じ も の で あ る か ら,(3.20)

像 ま た は 変 換 と い い,wをzの

が 対 応 し,逆

面 の 点 とw平

た が っ て,微

分積

あ る 近 傍V(z0)は,w0=f(z0)= 写 像 さ れ る.

弧 と し,こ

れ の方 程 式 を

 γ:

と す る と,

* 

φ(x,y)が(x0,y0)の 適 当 に 択 ん で,そ

な ら,(x0,y0)の

近 傍 で 連 続 で あ る と,  こ に あ る す べ て の(x,y)に

る こ とが で き る こ とは,容

対 し て, 

易 に 示 せ る で あ ろ う.

近傍 を

とな る よ うに す

と置 く と

と な る の で, 

と な る の で,函

数w=f(z)に

よ る 弧 γ の 像 は ま た 弧 で あ る こ と が,わ

か る

で あ ろ う.  つ ぎ に,区

間 

に お い て,φ′(t),ψ′(t)が

あ っ て,φ′(t)=0,ψ′(t)=0が

存 在 し,さ

らに,連

続で

同 時 に な り た つ こ と が な い と き に は,弧

γは

な め ら か で あ る と い う.  こ こで   (3.22)  と 定 義 す る と,γ

z′(t)=φ′(t)+iψ′(t) が な め らか で あ る と き に は

が な り た つ.  そ れ で, 

と す る と,定

義(3.22)に

よって

で あ るか ら

で あ る か ら, 

で あ る.ゆ

え に γ のw=f(z)に

よる像

γ′も ま た,な

め ら か で あ る.   z0を す る.

始 点 と す る な め らか な 弧

γ を 考 え,z0に

お け る γ の 接 線 をz0Tと

γ のw=f(z)に

よ る 像 を γ′ とす る と,こ

で あ る か ら,w0に

お い て 接 線 を 引 く こ と が で き る の で,こ の 接 線 をw0T′

る.arg(z−z0)は

弦[z0,z]が

っ てz0へ

れ も 上 で 示 し た よ うに,な

実 軸 と つ く る 角 を 表 わ し て い る.zが

近 づ く と,弦[z0,z]はz0に

お け る 接 線 と な る.こ

め らか とす γ に沿

の こ と か ら 

図3.4

はz0に [図3.4参

照].こ

お け る 接 線z0Tが,正

と表 わ す こ とに す る と,

れ を 

と 表 わ す こ と が で き る.と

の 実 軸 と つ く る 角 とな る

こ ろ が,

 (3.23)

で あ り,f(z)はz0で z→z0と

正 則 で あ る か ら,当

す る とw→w0と

な る.ゆ

で あ っ て,接

と な る. 

然 に,z0で

連 続 で あ る.ゆ

え に,

線w0T′

が 実 軸 と つ く る 角 を  と な る の で,

と表 わ す と, 

 (3.24)

を 得 る.   つ ぎ に,z0を

始 点 とす る 弧

あ る 部 分 だ け を,考

慮 に 入 れ る.z0に

接 線 をz0T1,,z0T2と

f(z)に w0=f(z0)を

考 え る.

と な る 近 傍V(z0)の

こ の 場 合 に, 

γ2の

γ1,γ2を

よ る写 像 を

中に

お け る

γ1,

す る.γ1,γ2のw= γ1′,γ2′ と す る と,こ

れ らは

始 点 とす る 滑 か な 弧 で あ る か

ら,

図3.5

え に,

w0に

お け る

γ1′,γ2′の 接 線 を,そ

れ ぞ れw0T1′,w0T2′

とす る と

,(3.24)に

よ っ て

で あ る.ゆ

え に,

と な り,こ

れ よ り

 (3.25)

を 得 る が,こ と が,変

れ に よ っ て γ1,γ2の

つ く る 角 は,写

わ ら な い こ と が わ か っ た.こ

い て  る 角 は,大

の こ と を,正

で あ る と,w=f((z)に

像 に よ っ て,大

き さ と向 き

則 な 函 数f(z)がz0に

よ る 写 像 に よ っ て,2つ

お

の弧 が つ く

き さ も 向 き も と も に,不 変 で あ る と い い 表 わ して い る.

 つ ぎ に,な

め らか な 曲 線 の 弧 と弦 と の 関 係 か ら,γ で は

 (3.26)

が な りた つ こ とを 微 分 学 で学 ん だ で あ ろ う*.γ′ も ま た な め らか で あ る か ら  (3.27)

で あ る.と

こ ろ が,z→z0と

す る とw→w0で

あ る か ら,(3.27)は

 (3.28)

と な る.と

ころが

と 書 け る か ら,(3.26)と(3.28)と

* 

こ れ は,γ あ る.

の2点

をP,Qと

に よ って

す る と き, 

で あ る,と い うの と 同 じで

と な る.こ

の こ と か ら,z0を

像 と し て で き るw0を

始 点 と す る 線 素 と,こ

始 点 と す る 線 素 と の 比 は,線

向 に 向 っ て い て も 同 じ で あ っ て,そ れ で,こ

の￨f′(z0)￨を,z0に

 角 が 不 変 で あ り,線 そ うす る と,正 い て,等

の 値 は￨f′(z0)￨で

ら ど の よ うな 方

あ る こ と が わ か る.そ

お け る 拡 大 率 と い う こ と も あ る.

素 の 比 が 一 定 で あ る と き,こ の 写 像 は 等 角 で あ る と い う.

則 な 函 数w=f(z)に

と な るzに

よ る 写 像 は, 

函 数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)が

正 則 で あ る と き,曲

交 わ る 点z=x+iyで 

=f(z)に

よ る写 像 がzに

で あ る と,こ

お

す る と,w=f(z)に

線 が 直 交 す る こ とを,w

明 せ よ. で あ る と す る.そ

ふ くむ 領 域 で 正 則 で あ っ て 

よ る写 像 に お い て は,z0に

線 群u(x,y)=c1,v(x,y)

こ で2曲

お い て 等 角 で あ る こ とを 用 い て,証

 問9.  函 数f(z)はz0を

が,向

素 がz0か

よ る写

角 で あ る.

  問8. 

=c2が

れ のw=f(z)に

お け る 角 の像 は,大

う

き さ は 変 わ らな い

き が 逆 で あ る こ とを 示 せ.

  問10. 

とす る と

w=F(z)=u+iv,z=x+iy=G(ζ), 

が な りた つ こ とを 示 せ.

 3.4 

逆

函

数

 Ⅰ. 函 数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)が で あ る と,

点z0で   (3.29) 

領 域Dで V(z0)を

X=u(x,y), 

に よ っ て,w0=f(z0)=X0+iY0の こ れ は,微

Y=v(x,y) 近 傍 へ,1対1に

x=Φ(X,Y), 

と す る と,実

函 数

写 像 さ れ る.ゆ 近 傍 で,x,yに

え に, つ い て 解

れ を

 (3.30) 

Φ(X,Y),Ψ(X,Y)はX,Yに

ΦX(X,Y),ΦY(X,Y),ΨX(X,Y),ΨY(X,Y)は(X0,Y0)の あ る.そ

適 当 に とってお くと

分 学 で 学 ん で い る よ う に,点(x0,y0)の

く こ と が で き,そ

正 則 で あ っ て,Dの

し て,(3.29)よ

り

y=Ψ(X,Y) つ い て 微 分 可 能 で あ っ て, 近 傍 で 連 続 で

 (3.31)

 (3.32)

で あ る か ら,(3,31)よ

を 得 る.同

り

じ よ うに し て,(3.32)よ

が 出 て く る.ゆ

が な りた つ.し

えに,コ

り

ー シ ー ・ リー マ ンの 偏 微 分 方 程 式 に よ っ て

た が っ て,Φ(X,Y),Ψ(X,Y)は

分 方 程 式 を 満 足 す る.し

コ ー シ ー ・ リー マ ンの 偏 微

たが って Φ(X,Y)+iΨ(X,Y)

はw0=X0+iY0の

近 傍 で 微 分 可 能 で あ る.ゆ

す る と,

は,w0=X0+iY0で

が な りた つ.す

正則 で あ って

なわ ち

え に,w0で

正 則 で あ る.そ

う

f′(z0)g′(w0)=1

が な りた つ.こ のzに

のz0はDの

対 し て な りた つ が,こ

い ま ま で の 話 を ま と め て,つ

 領 域Dで

任 意 の 点 で あ る か ら,こ のg(w)をf(z)の

逆 函 数 と い う.そ

対 して,Dの

うす る と,

で あ る と,

点zで 

近 傍 で 正 則 な 逆 函 数g(w)が

 (3.33) 

すべて

ぎ の 定 理 を 得 る.

正 則 な 函 数f(z)に

w=f(z)の

の こ と は,Dの

存 在 し て,

f′(z)g′(w)=1

が な り た つ.  Ⅱ.  こ れ だ け の 準 備 を し て お い て,い

ま ま で に 取 り扱 っ た 函 数 の 逆 函 数 を 考

え る.  ま ず,函

数 w=ez

を 考 え る.p.71で

で あ り,第2章

示 し た よ うに

§5の(Ⅱ)で

ゆ え に, 

で あ る.し

な ら, 

理 に よ って,ezの

で あ る.

な ら, 

述 べ た よ うに, 

た が っ て,上

の(Ⅰ)で

述べ た定

逆 函 数 が 存 在 す る.そ れ を

z=g(w) で 表 わ す と,上

の(3.33)に

よ っ て,wの

g′(w)(ez)′=1す

な ら 

が な りた つ. 

近 傍 で,g(w)も

微 分可 能 で あ って

な わ ちg′(w)ez=1

であ るか ら

 (3.34)

を 得 る.こ

のg(w)を,新

し く,logwと

実 数 の 対 数 と 同 じ 記 号 で あ る け れ ど も,意

表 わ す こ と に す る が,こ

のlogは,

味 は ま っ た く ち が う.こ

の記号 を用

い る と,(3.34)は  (3.35)

と 書 け る.し

す べ て の 

か し,こ

れ が な り た つ の は,wの

近 傍 だ け で あ る の で,こ

れ が,

に 対 して な りた つ か ど うか が,問 題 で あ る の で,そ れ を 調

べ る.

 そ れ で,改

と し て,函

め て, 

 (3.36)  を 考 え る.こ

数

w=logz れ は 対 数 函 数 と よ ば れ て い て,上

の 定 義 に よ っ て,(3.36)か

ら

関 係式  (3.37) 

z=ew

を 得 る.w=X+iYと

置 く と, z=eX+iY=eXeiY

で あ る か ら, ￨z￨=eX,  で あ る.ゆ

え に,実

函 数exの

argz=Y

定 義 に よ っ て X=log￨z￨

が 出 て く る の で, w=X+iY=log￨z￨+iargz

す なわ ち  (3.38) 

logz=log￨z￨+iargz

と 表 わ す こ と が で き る.と て も,argzは えて も

,動

確 定 し な い.2π 径Ozの

と 表 わ す こ と が で き る.し

表 わ し て,argzの

す る.そ

うす る と

た が って

logz=log￨z￨+iArgz+2nπi と 書 け る.こ

こ で

 (3.39) 

Logz=log￨z￨+iArgz

と 置 く と  (3.40)  と 表 わ す こ と が で き る.

logz=Logz+2nπi

れで

π と π と の 間 に あ る も の を,

Argzと

argz=Argz+2nπ,(nは0ま

固定 し

の 整 数倍 を 加

位 置 は 変 わ ら な い.そ

偏 角 の うち で,−

図3.6

こ ろ が,zを

主 値 とい うこ とに

た は 正 負 の 整 数),

と し て,Logz=X+iYと  

置 くと

X=log￨z￨,Y=Argz

と 書 け る.そ

うす る と,円 

￨z￨=c,(0
は,Logzに

よ っ て,w平

面 の虚 軸

に 平 行 な線 分

へ 写 像 さ れ る.ま た,原 点 を 始 点 と す る半 直 線

は,w平

面 の実軸 に 平行 な直 線

図3.7

Y=α

へ 写 像 され る の で, 

の

と き に は,図3.7の

影 をつ

け 部 分 と,図3.8の

影 をつ

け た 部 分 と の 間 に,1対1の 対 応 が な り た つ.と z=0の

こ ろ が,

と き に は,Logzは

定 義 さ れ て い な い が, 図3.8

で あ る か ら,Logzに し て お く.ま

全 平面

は 無 限 遠 点w=∞

が 対 応 す る と定 義

た,

で あ る か ら,Logzに 遠 点w=∞

よ っ て,z=0に

よ っ て,z平

面 の 無 限 遠 点z=∞

が 対 応 す る と 定 義 す る.そ

うす る と,w=Logzに

に は,w平

面 の無 限 よ っ て は,

と帯状領域

と の 間 に,1対1の

対 応 が あ る.ゆ

え に,LogzはCで1価

を 除 く す べ て の 点 で 微 分 可 能 で あ る か ら,こ

で あ っ て,z=0

の函数 は

で 正 則 で あ っ て,C*は

へ1対1に

写 像 さ れ る.そ

(3.35)に

し て,

よって

 (3.41)

が な り た つ.つ

ぎ に,

Logz+2πi 図3.9

に よ っ て,C*は

へ,1対1に

写 像 さ れ る こ と は,上

と 同 じ よ うに し て わ か る.こ

れ を つ づ け て,

Logz+2nπi に よ っ て,C*は

へ1対1に

写 像 さ れ る.し

た が っ て,C*の

点

Logζ+2nπi,(n=0,±1,±2,…),が 限 多 価 函 数 で あ る.と す る と,上

対 応 す る.ゆ

こ ろ が,logz=Logz+2nπiに

函 数 で あ る.そ

多 価 函 数logzの

れ で,nを

分 枝 と い う.そ

限 にた く さん の点

え に,logzはzの お い て,nの

で 述 べ た よ う に,LogzはCで1価

Cでzの1価

ζ に は,無

無 値 を 固定

で あ る か ら,Logz+2nπiも 固 定 し た と き に,Logz+2nπiを

し て,上

で 述 べ た よ う に,こ

無限

れ はC*で

正

則 で あ る.   複 素 平 面 に お い て は,zとze2kπi,(kは る.そ

れ で,zに

はLogzが

整 数),と

対 応 し,ze2kπiに

は 同 じ点 を 表 わ し て い

はLogz+2kπiが

対応す る

と 考 え る と,対

応 が1対1に

表 わ す よ うに,く

な る.し

た が っ て,zとze2kπiと

が 異 な る点 を

ふ うす る こ と が で き た ら よ い.

  zの 変 域 を

と す る.￨ze2kπi￨=￨z￨・￨e2kπi￨=￨z￨で

る か ら,ze2kπiの

で あ る.そ

あ

変 域 をΠkと

れ で,複

素 平 面 を 負 の 実 軸[−

れ はΠkと

ま たΠkと

一 致 す る の で,こ

名 づ け る.そ

対 応 が な りた つ.上

岸 の 点 は こ れ に 属 さ な い,と

して お く

の 負 の 実 軸 に 沿 っ て 切 っ た 複 素 平 面 を, 点 で あ る と き は,

対 応 す る もの と の 間 に,1対1の

で 述 べ た よ う に,Πk−1

の 切 り 口 の 上 岸 の 点 はΠk−1に が,Πkの

沿 っ て 切 っ た もの を つ く り

は0<￨z￨<+∞

で あ る か ら,Logz+2kπiが し て お く と,ΠkとSkと

∞,0]に

し て,zがΠkの

で あ る と し て お く と,Πkで

で あ

名 づけ る と

切 り 口 の 上 岸 の 点 は こ れ に 属 す る が,下 と,こ

り,arg(ze2kπi)=argz+2kπ

属 して い る

切 り 口 の 下 岸 の 点 は,Πkに

は属

図3.10

図3.11

し て い な い.そ

れ で,Πk−1の

上 にΠkを

重 ね て,Πk−1の

上 岸 とΠkの

岸 と を 接 合 す る と,[図3.11参 と Πkと 12参 図3.12

下

照],Πk−1

で 構 成 さ れ た 面 が で き る,[図3.

照].こ

の 面 を Πk−1+Πkと

と,Πk−1+ΠkとSk−1∪Skと

表わ す の 間 に,1

対1の

対 応 が あ る.こ

の よ う な 接 合 を つ づ け る と,無

の 接 合 に よ っ て で き た 面 が で き る.こ 面 と の 間 に,1対1の

対 応 が あ る.こ

±2,…),をFの

れ をFと のFを

葉 と い う こ と に す る.Fの

点 が た だ1つ

名 づ け る と,こ

点 を 任 意 に 考 え る と,ま ず,こ

葉 Πmの

だ け 対 応 す る.ゆ

点 で あ る と す る と,こ

え に,logzはFで1価

る よ うに くふ う さ れ た 面Fを

考える

ー マ ンの 創 意 に も とつ くの

のFをlogzの

名 づ け て い る.そ に,そ

∞

もFの

分 岐 点 で あ る こ と が,わ

ら も わ か る よ うに,z=0,∞

と 規 約 し て あ る の で[p.35参 か る で あ ろ う.し

はFの

点 で は な く,境

ⅲ)  Log(−1),

ⅱ)  Logi,

ⅳ)

 問12.  つ ぎ の 等 式 を 証 明 せ よ: ⅱ ) 

 ⅰ)  Log(z1z2)=Logz1+Logz2,

あ る領 域 で,f(z)は

正 則 で 

が な りた つ こ とを 示 せ.  Ⅲ.  α が 複 素 数 で あ る と き,

よ う

の 点 の ま わ りを ま わ る と,F

 問11.  つ ぎ の 値 を 求 め よ:

  問13. 

し て,z=0の

の よ うな

た,

す る と1/z=∞

 ⅰ )  Log1,

リー マ ン 面 と

の 葉 が 変 わ る も の が あ る.こ

分 岐 点 と い う.ま

で あ っ て,z=0と

で あ る. 函 数 とす

で,こ

図3.13

れ

 こ の よ う に 多 価 函 数 を1価

こ と は,リ

点 を,Fの

のFとw平

構 成 し て い るΠk,(k=0,±1,

れ が ど の 葉 の 点 で あ る か を 確 か め る.zが に はSmの

限 に た くさ ん の 複 素 平 面

とす る と

か し,Fの 界 点 で あ る.

照],z= つ く り方 か

 

 (3.42) 

zα=eαlogz

と定 義 す る.そ

で あ り,一 値 は,こ

うす る と

般 に は,e2αkπiはk=0,±1,±2,… と ご と く異 な る の で,zα

で あ る と,αkも は,zα

と す る と,そ

は 無 限 多 価 函 数 で あ る.し

ま た 整 数 で あ る か らe2αkπi=1で

はzの1価

あ る.ゆ

れ に対応 す る

か し,α

が整数

え に,こ

の場 合 に

る か ど うか を 調 べ よ う.こ

の よ うな

函 数 で あ る.

  zα が 有 限 多 価 で あ る よ う な α の 値 が,あ α が あ る と,

と な るk′,k″

が な け れ ば な ら な い.ゆ

え に,

e2α(k′−k″)πi=1

と な る の で,

(pは 整数), で な け れ ば な らな い.し

とな っ て,zα

たが って

が 有 限 多 価 で あ る た め に は,α は 有 理 数 で な け れ ば な ら な い こ と

を 知 る.   例 題1.

解 α=1/2

と な る.(Ⅱ)で え に,多 =1で

の 場 合 で あ るか ら,定 義 に よ っ て

述 べ た よ うに,Logzは1価

価 性 が 現 わ れ る の は,因 あ る か ら,

数ekπiの

函 数 で あ る の で,  た め で あ る.eπi=ω

も1価 函 数 で あ る.ゆ と 置 く と,ω2=e2πi

に お い て,異

な る 値 は,k=0,1の

値 に 対 し て,異

と き だ け で あ る.ゆ

え に,こ

の 函 数 は,zの1つ

を も つ の で,2価

な る2個 の 値 

の

で あ る.

と す る と,

に対 して

で あ る か ら,z=ρeiθ,0<ρ<+∞, 

が 対 応 す る.ゆ

え に,zの

変域 を

の値域 は

と す る と,z1/2

で あ る[図3.14参

照].

図3.14

図3.15

 を 考 え る と,Π の 点zに w0の 値 を,π す るw1の

値 域 をS1と

で あ る,[図3.15参

 こ こ で,負 れ を,Π0,Π1と Πkに

対 応 す るw1の

値 は,こ のzに 対 応 す る

だ け 正 の 向 きに 回 転 した もの で あ る こ とが わ か る.ゆ

え に,Π

のzに

対応

すると

照]. 

の 実 軸[−

(解 終)

∞,0)に

名 づ け る.こ

沿 っ て 切 っ た 複 素 平 面 を,2枚 の 場 合 に,Πk,(k=0,1),の

属 さ な い も の と 想 定 し て お く.そ

うす る と,ΠkとSkの

用 意 し て,そ 切 り口 の 下 岸 は 間 に1対1

図3.16

の 対 応 が あ る.S0∪S1を

つ く る と,S0か

負 の 虚 軸 が 重 な り,S1か

ら 除 か ら れ て い る 正 の 虚 軸 へ,S0の

る の で,虚

軸 はS0∪S1に

属 す.そ

ら 除 か れ て い る 負 の 虚 軸 へ,S1の

れ で,S0∪S1とΠ0,Π1の

の 対 応 が つ く よ うに す る た め に,Π1を の 上 に 重 ね て,Π0の 接 合 す る.こ

上 岸 とΠ1の

た.Π0の

間 に1対1

Π0 下 岸 とを

の 接 合 線 に はS0∪S1の

軸 が 対 応 す る.ま

正 の虚 軸 が重 な

正 の虚

下 岸 とΠ1の

上

図3.17

岸 と を 接 合 す る.こ

の 接 合 線 に はS0∪S1

の 負 の 虚 軸 が 対 応 す る.こ Π0と

Π1と

の よ うに し て,

を 接 合 し て で き た 曲 面 をF

と 名 づ け る と[図3.17,18参 とS0∪S1の つ.こ

間 に,1対1の

のFが,函

対 応 が な りた

数 

で あ っ て,図3.18は,そ

の リー マ ン面 れ の分 岐 点 の近

傍 を 示 した ス ケ ッ チ で あ る.な

図3.18

合 に は,z=0で

照],Fと

は 函 数 の 値w=0が

存 在 す る の で,分

お,こ

岐 点 はFの

の場

点 であ

る.  z=∞

を 考 え る た め に,z=1/ζ

で あ っ て,ζ=0を

と 置 く と,ζ=0に

ひ と ま わ り す る とζ1/2 の 分 枝 が 変 わ るか ら,z=∞

の 分 岐 点 で あ る.し か し,わ れ わ れ は はFの

はz=∞

境 界 点 で あ る.

が対 応 し

はF

 の 場 合 を 考 え て い る の で,z=∞

ⅰ

 な お,定 義 に よ っ て

な らばLogzはzで

で あ る か ら, 

zで 正 則 で あ る の で,kの わ ち,zα

正 則 で あ る こ と か ら,eαLogzは

値 を 固 定 す る と,zα な ら ば,zで

の 各 分 枝 は, 

はzの

正 則 函 数 と な る.す

正 則 であ って

[(3.35)に

と な る.ゆ

え に,zα

な

よ る],

に お い て 正 則 で あ っ て,

の 各 分 枝 はz, 

が な り た つ.   問14. 

つ ぎ の 値 を 求 め よ: ) 

ⅲ)

ii,

の リ ー マ ン 面 を つ くれ.

  問15. z1/3

  問16. 

,ⅱ ) 

zαzβ は,一

般 に は,zα+β

と す る と,函

  問17. 

 Ⅳ.  最 後 に,正

数

よ り も た く さ ん の 値 を と る こ と を 示 せ,

限 のzに

正 則 函 数 で あ る こ とを 示 せ.

弦函 数

 (3.43)  を 考 え る.こ

な らば,zの

αzは, 

w=sinz れ は,前

対 し て,微

に も 述 べ た よ うに,zの 分 可 能 で あ る.そ

し て,前

整 函 数 で あ る か ら,す

べ ての有

に 示 し た よ う に,

(sinz)′=cosz で あ る か ら, 

とな るzの

近 傍 で(3.43)の

逆 函 数 が 存 在 す る.そ

れ

を z=arcsinw

と表 わ す と,wの w平 面 の全 体 で1価

近 傍 で 正 則 で あ る こ とは わ か って い る が,[p.83参

照],

で あ るか ど うか も わ か らな い.そ れ を 調 べ る た め に,あ

ら

た め て,函

数

 (3.44) 

w=arc

を 考 え る.こ

sinz

れ を 逆 正 弦 函 数 と 名 づ け て い る が,ま

ず,こ

れ の1価

性 を調 べ る

こ と か ら始 め よ う.   定 義 に よ っ て,(3.40)か

を 得 る の で,こ

ら

れ を 書 きか え る と (eiw)2−2izeiw−1=0

とな る の で,こ

を 得 る.ゆ

のeiwに

関 す る2次

え に,(Ⅱ)で

方 程式 を解 いて

述 べ た こ とに よ って

と な る の で,

を 得 る.こ

こ で,

を 考 え る.zがz=1の

値を 

で あ る.ρ

ま わ りを,正

の 向 き に,ひ

と ま わ り し た と き のwの

と表 わ す と

を 小 さ な 正 の 数 と し て,z=1+ρeiθ

と置 く と,zがz0か

ら 出 て1の

ま わ りす る と,z0=1+ρeiθ0と

ま わ りを ひ と 置 け ば, 図3.19

で あ っ て,1−z2=(1-z)(1+z)=−(z−1)(z+1)で

あ るか ら

 ⅰ

=e2πi(1−z)(1+z)=e2πi(1−z2)

と な る の で,

と な る.ゆ

え に,

を 得 るの で

と な る.し

た が っ て,

は  (3.45)

の1つ

の 分 枝 で あ る.ゆ

あ ろ う.そ

え に,(3.45)だ

け を 考 え た ら よ い こ と が,わ

か るで

れで

 (3.46)

な らば 

と す る. 

で 定 義 され て い る.そ

で あ る の で, 

して,こ

は 

の 函 数 が 多 価 とな る 原 因 は

の 多 価 性 か ら生 じ る も の,

) 

 ⅱ)  対 数 函 数 の 多 価 性 か ら生 じ る もの, の2つ

が あ る.

  zがz=1ま

た はz=−1を

変 わ る か ら,zが のzに

対 し て は, 

ひ と ま わ りす る と, 

こ の2つ の 点 を ま わ らな い よ うに 変 域 を 定 め る と,こ の 変 域 は1価

で あ る.そ

半 直 線[−

図3.20

は 異 な る分 枝 へ

れ で,複

素 平 面 か ら,実

∞,−1],[1,+∞]の

軸 の

点 を除 い て

で き る 単 連 結 領 域D*を,zの

変 域 と す る.

で あ る か ら,半

上 岸 の 点zp

=1+p

,(p>0),を

直 線[1,+∞]の 考 え,こ

れに 対 応 す る

点 をwpと

す る と,

で あ る か ら,pが+∞

か ら

0ま で 減 少 す る と,wpは 軸 に沿 って ∞ 化 す る.そ

か らiま

ひ

直 線[1,

下 岸 に 沿 い,無

点 へ 遠 ざ か る と,こ 点zp′

で変

し て,zが1を

と ま わ り し て,半 +∞]の

虚

限遠

の下岸 の

はzp′=1+pe2πiで

図3.21

あ る か ら,

で あ り,

で あ る か ら,

と な る.ゆ

え に,pが0か

ら

大 き く な る に し た が っ てwp ′は 虚 軸 に 沿 っ て,iか へ 近 づ く,[図3.22参 ま た,zが

半 直 線[−

の 下 岸 に 沿 っ て,無 図3.22

こ の 下 岸 の 点zq=−1−q,(q>0),に

で あ る か ら,像

点wqは

原 点 か ら,負

ら−1へ 対 応 す る 点 をwqと

の 虚 軸 に 沿 っ て,−iま

ら原 点 照]. ∞,−1] 限 遠 点か

近 づ い た 場 合 に は, す る と,

で 変 化 す る.z

が−1を

正 の 向 き に ひ と ま わ り し て 上 岸 に 達 す る と,上

− qe2πiと な る の で,こ

と な る の で,zq′

れ の 像 点wq′

が−1か

岸 の 点 はzq′=−1

は

ら負 の 実 軸 に 沿 っ て 無 限 遠 点 へ 遠 ざか る と,像 wq′ は−iか 沿 っ て,無

ら負 の 虚 軸 に 限遠 点 まで移 動

す る[図3.23参

対応

す る函数 

の値

ら ば, 

で あ る.こ

は 主 値 で あ る こ と が わ か る.し 正 則 で あ る.ゆ

で あ る.ゆ

え に,arcsinzも

面 の 虚軸 の右 側

に あ る半 平 面 で あ る.ゆ

図3.23

域D*で

照].

 ゆ え に,D*のzに

域 は,w平

に,z∈D*な

点

た が っ て,こ

の こ と か

え

ら, 

の 函 数 は,変

え に,

こ こ で 正 則 で あ る.そ

して

 (3.47)

で あ る.  い ま まで の,有 理 函 数 と そ れ の 逆 函 数,指 数 函 数,対

数 函 数,三

角 函 数,逆

三 角 函 数 を ひ と ま とめ に して,初 等 函 数 とい う.   問18. で あ る こ と を 示 せ.arccoszはcoszの   問19. 

逆 函 数 の こ と で あ る.

つ ぎ の 値 を 求 め よ:

 ⅰ)  arcsin1, ⅱ) 

arccos2, ⅲ) 

arccosi

演 習 問 題3  3.1  微 分 係 数 の 定 義 に も とづ い て,つ ぎ の函 数 のz=z0に ⅰ )  z+z3,

ⅱ)

お け る微 分 係 数 を 求 め よ:

  3.2 

函 数z2zはzの

  3.3 

つ ぎ の 函 数 の 導 函 数 を 求 め よ:

 ⅰ) 

正 則 函 数 で あ る か.

cos2(2z+1), ⅱ) 

(z−i)4z+3, ⅲ) 

arccos(z−1), ⅳ) 

  3.4  Im[f′(z)]=6x(2y−1),f(0)=3−2iで   3.5 

w3−3z2w+4logz=0で

zlogz

あ る と い う.f(1+i)を

あ る と い う.dw/dz

求 め よ.

を 求 め よ.

で あ る と い う.s=Xy−Yx,t=Xx+Yyと

  3.6 

す る と,s+itはx+iyの  3.7  f(z)は

正 則 函 数 で あ る こ とを 示 せ

領 域Dで

正 則 で あ っ て,こ

こ で￨f(z)￨=K,(Kは

定 数),で

あ る と,f(z)

億 定 数 で あ る こ と を 示 せ.   3.8  log(1+z)の

分 枝 の うち,z=0の

と き に0と

な るもの を考 え る と

￨log(1+z)−z￨≦￨z￨2

が な りた つ こ と を 示 せ.  3.8  f(z)は,領

域Dで

正 則 で あ っ て,Dの

す べ て のzに

対 し て 

で あ る と し 

と置 く と

が な りた つ こ と を 示 せ   3.9    3.10 

(za)b=zabは,い

つ で も な り た つ か.

べ き級 数

の 収 束 半 径 が1で =log(1+z)で

あ る こ と を 示 し,こ あ る こ と を 示 せ .こ

分 枝 で あ る と す る.

れ が￨z￨<1で

表 わ す 函 数 をf(z)と

の 場 合 に,log(1+z)は,z=0の

す る と,f(z) と き に0と

な る

4.  積

  4.1  線

積

法

分

 函 数U(t),V(t)が

うに,こ

分

で連 続 で あ る と,積 分 学 で 学 ん で い る よ

区 間 

れ らの 函 数 は この 区 間 で 積 分 可 能 で あ るか ら

は 有 限 の 値 で あ る.そ れ で  (4.1)

と定 義 す る.つ

ぎ に,γ

を な め らか な 弧 と し*,そ れ の 方 程 式 を

γ:

と す る.こ

に お い て 微 分 可 能 で あ り**,

の 場 合 に,φ(t),φ(t)は 

φ′(t),φ′(t)は

こ の 区 間 で 連 続 で あ る と す る.そ

表 わ す と,z=φ(t)+iφ(t)と

し て,こ

れ を複 素 数 を用 いて

と置 け ば

書 け る の で, 

γ:

と 表 わ す こ と が で き る こ と は,第

Ⅱ 章 §1で

述 べ て お い た.そ

うす る と,函

数

f(z)=u(x,y)+iv(x,y) のzの

か わ りにz(t)=φ(t)+iφ(t)を

と な る.ま

た,z′(t)=φ′(t)+iφ′(t)と

と 書 け る.u(x,y),v(x,y)は(x,y)に

の 両 端,す で あ り,t=β

書 け る か ら

つ い て 連 続 な 函 数 で あ る か ら,

*  「な め ら か 」 の 定 義 に つ い て は ,p.78を

**  区 間 

代入する と

な わ ち,t=α

に お い て は 

参照 に お い て は, 

と定 義 す る.

な らび

函数  は,い

に, 

た が っ て,定

を 得 る.こ

義(4.1)に

ず れ も 区 間 

に お い て 連 続 で あ る.し

よって

の 積 分 の値 を,函

数f(z)の,な

め らか な 弧 γに 沿 った 線 積 分 と い

って

と表 わ す.す

なわ ち

 (4.2)

と定 義 す る.  γが な め らか で な い と きに は,こ 合 に は,γ

れ が 有 限 個 の な め らか な 弧 に 分 け られ る場

は 区 分 的 に な め らか で あ る とい う こ と

に す る.  γ1,γ2は

と も に な め らか な 弧 で あ っ て,γ1の

終 点 と γ2の 始 点 と が 一 致 す る と き,こ

れ は1つ

の 区 分 的 に な め ら か な 弧 で あ る と 考 え て,γ1+γ2 と 表 わ す こ と に す る.そ

し て,上

で 述 べ た よ うに

図4.1

が 存 在 す る の で,

 (4.3)

と 定 義 す る.そ γ2,…,γmに が で き,定

うす る と,γ

が 区 分 的 に な め ら か で あ っ て,な

分 け る こ と が で き る 場 合 に は,γ=γ1+γ2+…+γmと 義(4.3)を

く りか え し て

め ら か な 弧 γ1, 書 くこ と

ⅰ

 (4.4)

で あ る こ とは,容

易 に 示 せ る で あ ろ う.

 これ か ら先 は,区 分 的 に な め らか な 弧(あ

る い は 曲線)だ

け しか 取 り扱 わ な

い か ら,こ の 区分 的 に な め らか な 弧 また は 曲 線 を,簡 単 に,道   例 題1. 

と して 積 分

γ の 方 程 式 をz=z(t)=φ(t)+iφ(t),  ) 

とい う.

ⅱ)

の 値 を 求 め よ.  解   i)  定 義(4.2)に

よって

[定 義(4.1)]

す なわ ち

 ⅱ )  定 義(4.2)に

を 得 る.そ

して

で あ り,ま

た

よって

 ⅲ)

で あ るか ら

(解終)  問1.  つ ぎ の 積 分 を 計 算 よせ.  ⅰ)

 ⅱ)

 ⅳ)

 こ こ で,線

積 分 に 関 す る 基 本 定 理 を,示

し て お こ う.

 Ⅰ. 道 γ の 向 き を 逆 に した も の を γ−1で 表 わ す こ と に し て お く と,

 (4.5)

が な りた つ.   証 明   γの 方 程 式 を

と す る と,γ−1の

で あ る か ら,定

と 書 け る.と

方 程式 は

義(4.2)に

ころ が

よって

であ るか ら  (4.6)

と な る.ゆ

えに

 (4.7)

と置 く と

と 書 け る.こ

こ で,t=−

=β ,t=−

α に は τ=α

τ と 置 く と, 

が 対 応 す る か ら,置

と な る の で,

と な る.そ

し て,(4,7)に

で あ るか ら

と な る.ゆ

えに

よ っ て

で あ っ て,t=−

β に は

換 積 分 法 の定理 に よって

τ

を 得 る の で,(4.6)に

と な る.と

よって

ころが

は γ の 方 程 式 に ほ か な ら な い の で,定

と な る.し

義(4.2)に

た が って

を 得 る.  Ⅱ.

 証 明   F(z)≡f1(z)+f2(z)と

置 くと

こ こ で, f1[z(t)]z′(t)=A1(t)+iB1(t),f2[z(t)]z′(t)=A2(t)+iB2(t)

と置 く と f1[z(t)]z′(t)+f2[z(t)]z′(t)=A1(t)+A2(t)+i[B2(t)+B2(t)]

で あ る か ら,定

義(4.1)に

よって

よ って

とな っ て,わ れ わ れ の 定 理 の 正 しい こ とが わ か る.  こ の 定 理 を,く

りか え して 用 い る と

  Ⅲ.

で あ る こ と が 示 せ る.   Ⅳ.  cが 定 数 で あ る と

で あ る.  証 明   定 義(4.2)に

よって

と な る の で,c=c1+ic2,(c1,c2は る と,定

義(4.1)に

よ っ て

実 数),f[z(t)]z′(t)=A(t)+iB(t)と

す

と な っ て,こ

の 定 理 の 正 し い こ と が わ か る.

 Ⅴ.  γ に お け る￨f(z)￨の

と 表 わ し,γ

最 大 値 を 

の 長 さ をl(γ)

と表 わ す こ とに す る と

 証明 と 置 き,J=￨J￨eiψ

とす る と

と 書 け る の で,

[e−iψは 定 数 で あ る か ら],

[定 義(4.1)],

￨J￨は 実 数 で あ るか ら,

と な る.と

こ ろ が, 

で あ る か ら,定 積 分 の 定 理 に よ っ て

と置 く と

と な る.他

方で

で あ り,積 分 学 で 学 ん で い る よ うに

で あ る か ら,  (4.8)

と な り,

￨J￨≦M・l(γ)

が 出 て き て,定 理 の 正 しい こ とが わ か る. γ で 連 続 で あ っ て, 

が γで一様 収

は γ で 一 様 収 束 で あ り,fk(z)は

γ で 連 続 で あ る か ら,

  Ⅵ.  fk(z),(k=1,2,3,…),は

束 で あ る と,

が な りた つ.

 証 明,級 数 

 は γ で 連 続 で ある[p.54,問18].ゆ す る こ と が で き る.ま

た,自

然 数Nを,γ

と な る よ うに 定 め る こ と が で き る.そ

と書 け る の で

と な る.し

た が って

を 得 る.定 理 Ⅲ に よ っ て

え に,  のzに

して

無 関 係 に,

は γ で積 分

が な りた つ.ゆ

定 理Vに

えに

よって

が 得 られ る.ゆ え に

が な り た つ.し

た が っ て,p.24の

コ ー シ ー の 定 理 に よ っ て こ の 定 理 の正 しい

こ と が わ か る.   問2.  つ ぎ の積 分 の 値 を 求 め よ. ⅰ )    問3. 

原 点0,z=1, 

ⅱ)

z=1+i, 

z=iを

ⅰ ) 

頂 点 と す る 正 方 形 の 周 をQと

名 づ け た と き,

ⅱ)

の 値 を 求 め よ.

 4.2  コ ー シ ー の 積 分 定 理   zaを

z0か

始 点,Z0を

らZ0へ

終 点 と す る 道 を γ と 名 づ け る.γ

向 か う順 に 並 ん で い る と き,線

[z0,z1],[z1,z2],…,[zn−1,Z0]で 形 を,γ

と い うか わ り に,多

に,γ

が閉

あ る か ら,折

れ線

角 形 と い う.

  補 助 定 理   函 数f(z)は γ に 内 接 す る 折 れ 線Pを,正 つ で も,

分

つ く られ た 図

に 内 接 す る 折 れ 線 と い い,特

じ た 曲 線 で あ る と,z0≡Z0で

の 点z1,z2,…,zn−1が

領 域Dで

図4.2

連 続 で あ って,γ

をDの

道 とす る と,

の 数 εが どの よ うに 小 さ な も の で あ って も,い

と な る よ うに,つ

く る こ と が で き る. γ⊂G⊂D と な る よ うに つ く る.f(z)はGで

 証 明   閉 じた 領 域Gを,

続 で あ り,Gは

閉 じ た 領 域 で あ る か ら,当

連 続 で あ る[p.40参 る と,こ

照].ゆ

れ に 対 し て,正

え に,正

然に 一 様

の 数 εを 与 え

の 数 δ を,z′,z″

こ に あ っ て も,￨z′−z″￨<δ

連

がGの

ど

を 満 足 し て お り さえ す

れ ば 図4.3

と な る よ う に 定 め る こ と が で き る.ま さ い よ う に 分 割 す る.こ よ うに,分

の 場 合 に,γ

割 し て お く.そ

た,道

γ を,各

部 分 の 長 さが δ よ りも 小

に 角 点 が あ る と き*,こ

れ が 分 点 とな る

の 分点 を z1,z2,…,zn−1

と す る と,γ

に 内 接 す る 折 れ 線[z0,z1,z2,…,zn−1,Z0]が

と 名 づ け る と,分 ま で も な い.な

点 を 適 当 に こ ま か く し て お け ば,P⊂Gと お,γ

で 示 す と,l(γk)<δ

の 部 分 弧 で,zk−1を

始 点 と し,Z0を

で あ り,線

分[zk−1,zk]はGに

れ をP

な る こ と は,い

の 場 合 に,γn

終 点 と す る も の で あ る.

属 して い る の で

が な りた つ.  γkの 方 程 式 を

と す る と,p.100の

例 題1に

う

終 点 と す る も の を γk

γ=γ1+γ2+…γnで あ る.こ

で あ っ て, 

はzn−1を

始 点,zkを

で き る.こ

よ っ て,

(4.9) *  道 γが な め らか で な い 点 ,す な わ ち 接 線 が 不 連 続 的 に 変 わ る点 の こ とで あ る.

で あ る.こ  (4.10) 

こで S=f(z1)(z1−z0)+f(z2)(z2−z1)+…+f(Z0)(Z0−zn−1)

を 考 え る と,(4.9)に

よ って

[§1,定

と な る.他

方 で, 

理 Ⅳ],

であ るか ら

[§1,(4.3)],

と な り,§1の

を 得 る.zが

γkの 点 で あ る こ と か ら￨z−zk￨
が な りた つ.し

を 得 る.ま

定 理 Ⅱに よ っ て

で あ る.ゆ

たが って

た,

[p.100の

で あ るか ら

で あ っ て,P=[z0,z1]+[z1,z2]+…+[zn−1,Z0]で

あ

り,

例 題1],

えに

で あ るか ら

と な る.z,zkはGの

点 で,￨z−zk￨<δ

で あ る か ら

が な りた つ の で,

が な りた つ.と

ころが

で あ るか ら

と な る の で,

を 得 る.し

た が って

と な り,定 理 の な りた つ こ とが わ か る.  これ だ け の 準 備 を して お い て,つ

ぎ の 基 本 定 理 と よば れ て い る もの を,証

明

し よ う.  コ ー シ ー の 積 分 定 理   函 数f(z)が

単 連 結 領 域Dに

Dの 任 意 の 閉 じた 道 γを ど の よ うに と って も

お い て 正 則 で あ る と,

が な りた つ.   証 明   γが 三 角 形 Δ の 場 合 を 考 える.

と 置 く.そ

し て,三

角 形

辺[z2,z3],[z3,z1],[z1,z2]の ζ2,ζ3と

Δ

の 頂 点 をz1,z2,z3と 中 点 を,そ

す る と,§1の

れ ぞ れ

し, ζ1,

定 理 Ιに よ っ て

図4.4

で あ るか ら

と 書 け る の で,

図4.5

と な る.こ

の 右 側 の4個

の積 分 の 値 の うち で,も

っ と も大 き な 値 を 与 え る三 角

形 を Δ1と 名 づ け る と

す なわち

とな る.Δ1を,ま

た 辺 の 中 点 を 結 ぶ 線 分 で,4個

合 同 な 三 角 形 に 分 け る と,こ の 中 に,そ

の

れ に沿 った積

分 の 値 の うち,絶 対 値 を 最 大 に す る も の が あ る.そ れ を Δ2と す る と,上

と同 じ よ うに し て 図4.6

が な りた つ か ら

が な りた つ.さ

らに,Δ2を,辺

の 中 点 を 結 ぶ 線 分 に よ っ て,4個

の合 同 な三

角 形 に 分 け る と,そ の な か に

と な る 三 角 形 Δ3が 存 在 す る.ゆ え に,

と な る.こ

れ を つ づ け る と,n回

目に は

 (4.11)

とな る三 角 形 Δnが 存 在 す る こ とを 知 る.さ

らに,こ れ を つ づ け て,三 角 形 の

列  (4.12)

を 得 る.三

角形

Δ の 外 接 円 の 半 径 をr0,Δnの

 で あ る こ と は,容 と な る こ と は,容 こ の 点 をz0と Dの

点 で あ る.し

対 して,正

易 に わ か る で あ ろ う.ま

易 に わ か る の で,三

す る と,こ

外 接 円 の 半 径 をrnと

れ は(Δ)の

れ よ り 

角 形 の 列(4)は1つ

の点 へ収縮 す る.

点 で あ り,(Δ)⊂Dで

た が っ て,f(z)はz0で

の 数 δが,0<￨z−z0￨<δ

た,こ

す る と,

正 則 で あ る.ゆ

あ る か ら,z0は え に ,正

の 数 εに

を 満 足 す る す べ て のz,(z∈D),に

対 し

て

が な り た つ よ うに 定 め られ る.ゆ と っ て お く と,こ

のK(z0;δ)の

え に,こ

の δ をK(z0;δ)⊂Dと

す べ て のzに

な る よ うに

対 して

 (4.13)

が な りた つ.  と こ ろ が,n→+∞

数Nを, 

と す る と,Δnは

点z0へ

収 縮 す る の で あ る か ら,自

と な る よ う に 定 め る こ と が で き る.そ

し て,ΔNの

然

zに 対 し て(4.13)が

な りた ち,さ

が な りた つ か ら*,ΔNの

す べ て のzに

が な りた つ.ゆ

え に,§1の

が な り た つ.と

こ ろ が,l(Δ)=s0と

で あ り,s0<2πr0で

と な る.し

らに,

対 して

定 理 Ⅴ に よ って

置 く と

あ るか ら

た が って

 (4.14)

を 得 る.ま

た,他

方で

で あ っ て, [p.100,例 *  三 角 形ABCの

内 部 の 点Dか

題1参

照]

ら辺AB

,BC,CAの 各点ま で の 距 離 の うち,最 大 の もの はDA,DB,DCど のれ か で あ

る.た とえ ば,DAが 最 大 で あ る とす れ ば,AD
あ る.

で あ る. 図4.7

p.100の

例 題1のz0≡Z0の

で あ る.ゆ

え に,

で あ る.し

たが って

と な る.ゆ

え に,(4.14)に

が な り た つ.(4.14)に

場 合 で あ るか ら

よ っ て,

よ っ て

と な り,

を 得 る が,こ

の εは ど の よ うに 小 さ く と も よ い の で あ る か ら,こ

り た つ と い う こ と は,M=0で

あ る,と

の不 等式 が な

い う こ と に ほ か な ら な い.し

たが っ

て,

すなわち を 得 る.  つ ぎ に,Π よ っ て*,三 *  多 角 形

をDの

単 純 な 多 角 形 と し,(Π)⊂Dと

す る と,Π

角 形 に 分 け る こ と が で き る**.p.101の(4.5)に Π

の 頂 点zi

,zjを

結 ぶ 線 分[zi,zj]の

Π の 対 角 線 と い う. **  こ れ は 証 明 せ ね ば な ら ぬ こ と で あ る が 出 て い る.

,こ

よって

うち,[zi,zj]⊂(Π)と

こ で は 省 く.証

は 対角 線に

な る ものを

明 は 位 相 幾 何学 の 書 物 に

で あ る か ら,こ れ ら の 三 角 形 を m),と

Δk,(k=1,2,…,

す る と

と な る.上

で 証 明 し た よ うに,

図4.9

であ るか ら

が 出 て く る.  さ らに,Pを

任 意 の 多 角 形 と す る と,こ

れを 有 限個 の単 純 な多 角形 Πpに

分 け られ る の で[図4.9参

の(4.3)に

図4.9

Π1,Π2,…,

で あ る.と

よって

こ ろ が,上

で 述 べ た よ うに

で あ る か ら,

とな って,任

意 の 多 角 形 の場 合 に,こ

の定理 の正

しい こ とが わ か る.   最 後 に,γ

は 任 意 の 閉 じた 道 で あ る場 合 を 考 え

る.補 助 定 理 で 示 し て お い た よ うに,正 対 して,γ

に 内 接 す る 多 角 形Pを,

照],§1

の 数 εに 図4.10

と な る よ う に,つ

く る こ と が で き る.

で あ る か ら,

が 出 て く る.ゆ

と な っ て,定

え に,

理 が 完 全 に 証 明 さ れ た.

 注 意   領 域Dが

単 連 結 で な く と も,γ
る単 連 結 領 域Gが

存 在 す れ ば[図4.11参

つ い て,上

い と き に は,こ

 い ま ま で の 話 で は,γ ら先 は,積 が,重

照],Gに

の定 理 が な りた つ か ら,こ の 定 理 の 正 し

い こ とが わ か る.し 図4.11

な

か し,こ

の よ うなGが

存在 しな

の定 理 は な りた た な い.

の 向 き は 積 極 的 に は 現 わ れ て は い な か っ た が,こ れ か

分 す る 道 の,ど

の 向 きに 積 分 す るか

要 な 役 を つ とめ る の で,γ が 単 純 な 曲 線

の 場 合 に は,(γ)を

左 側 に 見 る 方 向 を,γ

の

(γ)に 関 す る正 の 向 き とい うこ とに し て お く. そ して,(γ)に

関 し て 正 の 向 きに と っ たf(z)

の積 分 を 図4.12

と 表 わ す こ と に す る.  な お,函

数f(z)は

則 で あ っ て,Dの

単 連 結 領 域Dに 内 点z0とDの

お い て,正 任意 の点 ζ と

を 結 ぶ 道 を γ1,γ2と す る と,γ1+γ2−1はDの た 道 で あ る か ら,コ

図4.13

ー シ ー の 定 理 に よ って

閉 じ

で あ る.p.99の(4.3)に

よ っ て

で あ り,p.101の(4.5)に

よ っ て

で あ るか ら

と な る の で,

とな り

と な る.γ1,γ2はz0と

ζ と を 結 ぶ 任 意 の 道 で あ る か ら,こ

ζ と を 結 ぶ 道 に は 関 係 が な く,ζ

と書 け る.ζ

はDの

る.こ れ をf(z)の

不 定 積 分 とい う.こ れ に 対 し て は,つ

正 則 な 函 数f(z)の

=f(z)が

な りた つ .

  証 明   ζ をDの

だ け に し か 依 存 し な い.ゆ

任 意 の 点 で あ る か ら,F(ζ)はDで

  領 域Dで

の 積 分 の 値 はz0と

不 定 積 分F(z)は,Dで

えに

定 義 され た 函 数 で あ ぎ の 定 理 が あ る. 正 則 で あ っ て,F′(z)

任 意 の 点 とす る と

 (4.15)

f(z)はz=ζ 対 し て,正

で 連 続 で あ る か ら,正 の 数 δを,￨h￨<δ

の 数 εに

な ら

 (4.16)

と な る よ うに,定

を 

め る こ と が で き る.特

に,δ

と な る よ うに 選 ん で お く.

図4.14

を つ く る と,こ

れ はz0と

ζ+hと

関 係 し な い の で,z0,ζ,ζ+hを る と,p.99の(4.3)に

と 書 け る.(4.15)に

図4.15

を結 ぶ道 に は とお る 道 を 考 え

よって

よ っ て

で あ るか ら

p.100の

例 題 に よ って

であ るか ら

とな り

を 得 る.ゆ

えに

こ こ で,積

分 す る 道 を,線

ら 

で あ る.ゆ

分[ζ,ζ+h]と

す る と,zは

え に￨z−

で あ る.し

ζ￨<δ

この 線 分 の 点 で あ る か た が っ て,(4.16)に

よ

っ て￨f(z)−f(ζ)￨<ε

が な りた つ.し

た が っ て,§1の

定 理 Ⅴ に よ って

が な りた つ の で

を 得 る.ゆ

えに

すなわ ち と な り,F(z)はz=ζ か ら,Dの

で 微 分 可 能 で あ る.こ

す べ て の 点 で 微 分 可 能 で あ る.ゆ

 (4.17) 

の ζ はDの

え に,Dで

任 意 の点 で あ る

正 則 で あ って

F′(z)=f(z)

が な り た つ.   一 般 に ,微

分 方 程 式(4.17)を

満 足 す るF(z)を,f(z)の

上 の 定 理 で 示 し て お い た よ うに,正 数 で あ る.な

お,f(z)の

則 函 数f(z)の

原 始 函 数 と い う.

不 定 積 分 はf(z)の

原 始 函 数 が わ か っ て い る と き,つ

原 始函

ぎの定 理 は有用 で

あ る.  函 数f(z)は

領 域Dで

Dの2点z0,Z0に

正 則 で あ っ て,こ

れ の 原 始 函 数 をF(z)と

す る と,

対 して

が な り た つ.   証 明   z0を

始 点 と し た と き のf(z)の

し た よ うに,Dの

す べ て のzに

不 定 積 分 をG(z)と

対 して G′(z)=f(z)

で あ る.ま

た,F(z)はf(z)の

原 始 函 数 で あ る か ら, F′(z)=f(z)

が な り た つ.ゆ

えに F′(z)−G′(z)=[F(z)−G(z)]′=0

で あ る.ゆ

え に,

す れ ば,上

で示

 ⅱ)

F(z)−G(z)≡C,す

で あ る.G(z)はf(z)の

な わ ちF(z)=G(z)+C

定 積分 であ るか ら

で あ る.ゆ え に

と 書 け る.し た が って

と な る.ま

た,

で あ り,

で あ る か ら,C=F(z0)を

得 る.ゆ

えに

すなわち

と な っ て,こ

の 定 理 の 正 しい こ とが わ か る.

 い ま まで の 話 で は,領 域 は 単 連 結 で あ っ た が,そ

うで な い 場 合 に,つ

ぎ の定

理 が 大 切 で あ る.   γ は単 純 な 閉 じた 道 で あ る. 

も単純 な閉 じた道であるが

 ⅰ)

と し,(γ)か る.f(z)はDで

 (4.18)

ら(γk),(k=1,2,…,m),を 正則であると

除 い て で き る 領 域 をDと

名 づけ

 ⅰ

が な りた つ.   証 明   γ の 点 と γ1の 点 を 結 びDに て い る 道q1を

つ く る*.γ1の

点 を 結 ぶ 横 断 線 をq2,γ2の と を 結 ぶ 横 断 線 をq3と

照].そ

点 と γ2の 点 と γ3の 点

い うふ うに,順

に 横 断 線 を つ く り,γm−1の と を 結 ぶ 横 断 線 をqmと

属 し

々

点 と γmの

点

す る[図4.16参

うす る と,γ,γ1,…,γm,q1,q2,‥

‥ ,qmを

図4.16

境 界 と す る 領 域 が で き る が,こ

と す る とf(z)はD*と

れ をD*と

名 づ け,D*の

境界を Γ

Γ で 正 則 で あ る か ら,

で

で あ る. 

あ って

であ るか ら

を 得 る.

で あ るか ら

と な り,わ れ わ れ の 定 理 の正 しい こ とが わ か る.   例 題1. 

CRの

として

方 程 式 を,z=Reit, 

の 値 を 求 め よ.   解  γ=CR+[−R,R]は

) 0
閉 じた 道 で あ る.

場 合 に は,函

数 

*  こ の よ うに ,領 域 の境 界 の2点 う.

は(γ)で

を 結 び,こ

正 則 で あ る.ゆ

え に,コ

ー シ ー の積

の 領 域 に あ る 弧 を こ の領 域 の横 断 線 と い

 ⅱ

分 定理 に よって

で あ る.と

で あ るか ら

図4.17

が な りた つ.ゆ

と な る.[−R,R]の

こ ろが

えに

方 程式 は z=t,−R≦t≦R,

で あ り, 

で あ る.ゆ

と な る.し

えに

)  R>1の =iを

場 合 に は,函

除 い て 正 則 で あ る.正

と な る よ う に 選 ぶ.K(i;ε)の と,p.120の

で あ る.ゆ

す なわ ち

たが って

数 

は(γ)でz

の 数 ε を,  周 をCε

と名 づ け る

定 理 に よって

えに

図4.18

函数 

はK(i;ε)で

で あ る.ゆ

正 則 で あ るか ら

えに

Cε の 方 程 式 を

で あ るか ら

と す る と, 

 (4.19)

と な る.ゆ

えに

した が っ て

(解 終)  問4.  つ ぎ の積 分 の 値 を 求 め よ:  ⅰ ) 

ⅱ)

  問5.  原 点 を 中 心 と し,1を C(1,i)と

半 径 とす る 円 の,1を

始 点 と し,iを

終点 とす る弧 を

す る とき

の 値 を 求 め よ.

  4.3  コ ー シ ー の 積 分 公 式   ま ず,積

分 公 式 と よ ば れ て い る も の か ら始 め る.こ れ も コ ー シ ー の 定 理 の う

ち で,重 要 な もの で あ る.   函 数f(z)は

単 連 結 領 域Dで

正 則 で あ り,γ

はDの

単 純 な 閉 じた 道 で あ

っ て(γ)⊂Dと

す る と,(γ)の

点aに

対 して

 (420) が な りた つ.   証 明   f(z)はz=aに δが,￨z−a￨<δ

お い て 連 続 で あ る か ら,正

を 満 足 す る す べ て のz∈(γ)に

の 数 εに 対 し て,正

の数

対 して

 (4.21) ￨f(z)−f(a)￨<ε が な りた つ よ うに 定 め る こ と が で き る.そ れ で,δ

をK(a;δ)⊂(γ)と

め て お き,K(a;δ)の

図4.19

p.123の(4.19)に

周 をcと

く と,p.120の

定理 に よ って

が な りた つ.そ

して

よ っ て

で あ る こ とが わ か る か ら

と な り,こ

れ よ り

を 得 る.と

こ ろ が,cのzに

対 し て(4.21)が

な りた つ の で

な る よ うに 定 名づ け て お

と な る.ゆ

えに

が な り た つ.し

と な る.こ

た が って

の εは ど の よ うに 小 さ な も の で あ っ て も よ い か ら,こ

の ことは

すなわ ち

で あ る こ と を 示 し て い る.  例 題1.  積 分 (Cは 原 点 を 中心 と し,1を

半 径 とす る円).

  解  函 数

は(C)で

正 則 で あ って

と書 け るか ら,コ ー シ ー の 積 分 公 式 に よ っ て

を 得 る.ゆ

えに

(解 終)

  (4.20)に a+hを

お い て,aの

か わ りに,(γ)の

考 え る と,

が な りた つ の で

図4.20

[§1,定

で あ る.ゆ

を 得 る.

えに

理Ⅱ]

点

ゆ えに

を 得 る.

  aか zに

対 し て￨z−a￨≧dが

ら,hが0に

な りた ち,￨z−a−h￨≧￨z−a￨−￨h￨≧d−￨h￨で

の任意 の あ るか

で あ る と考 え る

と な る の で,

え に,§1の

が な りた つ.ゆ

が な りた つ.ゆ

定 理Ⅴ に よ っ て

えに

を 満 足 す る す べ て のhに

と な る. 

す なわち

す る と,γ

近 づ く数 で あ る こ と を 考 慮 に 入 れ て,￨h￨
と, 

を 得 る.ゆ

ら γ に い た る最 短 距 離 をdと

えに

対 し て,a+h∈(γ)な

ら,

 (4.22)

を 得 る.さ

らに,一

般 化 して,つ

す べ て の 自然 数nに

ぎ の 定 理 が 出 て くる:

対 して

 (4.23)

が な りた つ.   証 明   まず,

が な りた つ と仮 定 す る と

で あ るか ら

と ころが

で あ る か ら*

で あ る.ゆ え に

*  ap−bp=(a−b)(ap−1+ap−2b+…+ap−jbj−1+…+abp−2+bp−1)

と ころが

で あ り,

で あ る か ら[p.128の

を 得 る.ゆ

と 書 け る.し

えに

たが って

脚 註 参 照],

そ し て,上

で 述 べ た よ うに,￨z−a￨≦d, 

で あ る.し

た が って

こ こ で,h→0と

す ると

で あ るか ら

とな る の で

を 得 る.ゆ

え に,数

学 的 帰 納 法 に よ っ て,(4.23)は

す べ て の 自 然 数nに

対 し

て な り た つ こ と が わ か る.  こ の 定 理 に よ っ て,f(z)はaで る が,aは

領 域Dの

任 意 の 点 で あ っ た か ら,Dの

分 す る こ と が で き る,と 可 能 で あ る と,Dで 則 な 函 数 は,何

何 回 で も微 分 す る こ とが で き る こ とが わ か

い う こ と が で き る.と

正 則 で あ る こ と は,前

す べ て の 点 で,何

こ ろ が,Dの

すべ て の点 で微分

に 示 し て お い た の で,あ

回 で も 微 分 す る こ と が で き て,各

回 で も微

る領域 で 正

階 の 導 函 数 は,ま

た そ の領域

で 正 則 で あ る と い う こ と が で き る*.   f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)がDで が 存 在 し,Dで

あ る と,上

連 続 で あ る の で,uxx(x,y),uxy(x,y),uyx(x,y),uxx(x,y),

υxx(x,y),υxy(x,y),υyx(x,y),υyy(x,y)が る.と

で 述 べ た よ うに,f′(z),f″(z)

こ ろ が,コ

存 在 し,x,yに

つ いて 連続 であ

ー シ ー ・ リー マ ンの 偏 微 分 方 程 式 に よ っ て ux(x,y)=υy(x,y),uy(x,y)=−υx(x,y)

が な り た つ か ら, uxx(x,y)=υyx(x,y),uyy(x,y)=−υxy(x,y)

が な り た つ.と

こ ろ が,υyx(x,y),υxy(x,y)はx,yに

υxy(x,y)=υyx(x,y)が

な り た つ.ゆ

つ い て 連 続 で あ る か ら

え に

uxx(x,y)+uyy(x,y)=0 が な り た つ.同

じく υxx(x,y)+υyy(x,y)=0

の な り た つ こ と も わ か る.と  (4.24) 

正則 であ る と

ゆ え に,f′(z)はDで

(Eduard

般 に,Dで

φxx(x,y)+φyy(x,y)=0

*  函 数f(z)がDで

f′(z)はDで

こ ろ が,一

,こ

の 定 理 に よ っ て,f′(z)も

連 続 で あ る.し

た が っ て,f(z)が

連 続 で あ る と い う こ と が で き る.こ Goursat,

理 と い う こ と も あ る.

1856-1937)に

よ っ て,は

ま たDで 領 域Dで

の こ と は,フ

正則 であ る

正 則 で あ る と, ランス のグ ルサ

じ め て 述 べ られ た の で,グ

ルサ の定

が な りた つ と き,φ(x,y)はDに

お い て 調 和 で あ る と い い,Dに

を ラ プラ スの演 算 子 とい って Δ

な 函 数 を 調 和 函 数 とい う.な お,  で 表 わ す が,こ

の 記 号 を 用 い る と,(4.24)は

  (4.25) 

Δφ=0

と 表 わ す こ とが で き る.(4.24)ま

た は(4.25)を

 上 で 述 べ た こ とか らわ か る よ うに,領 れ ぞ れDに

お いて 調和

域Dで

ラ プ ラ ス の 方 程 式 とい う. 正 則 な 函 数 の実 部 と虚 部 は,そ

お い て 調 和 で あ る こ とが わ か る で あ ろ う.

 例 題2.  γを,原 点 を 中 心 と し,2を

半 径 とす る 円 と し て

の 値 を 求 め よ.   解   eizは(γ)で

正 則 で あ る か ら,(4.23)に

よ って

で あ るか ら

(解 終)

を 得 る.    注 意  (4.20),(4.22),(4.23)が f(z)が

示 し て い る よ う に,こ

れ ら の 式 が な り た つ た め に は,

γに お い て 連 続 で あ れ ば じ ゅ うぶ ん で あ っ て,正

則 で な け れ ば な ら な い こ と が,

表 面 に 現 わ れ て は い な い.そ (4.22),(4.23)が (4.20)を

γで 連 続 で あ る,と

な りた つ の で は な か ろ うか,と

証 明 す る と き に,コ

な りた つ た め に は,f(z)の 証 明 に は,f(z)の

れ で,f(z)は

い う疑 問 が 生 じ る で あ ろ う.と

ー シ ー の 積 分 定 理 が,基

れ で,函

こ ろ が.

本 に な っ て い た か ら,(4.20)が

正 則 性 を 欠 く こ と は で き な い.し

正 則 性 の 要 請 は な か っ た.そ

い う こ と だ け で,(4.20),

か し,(4.22)や(4.23)の

数f(z)は

γで 連 続 で あ る と い

う条 件 だ け で  (4.26)

を 考 え る.(4.22)を

導 き 出 した の と,ま

と な る こ とを 示 す こ とが で き る.ゆ  (4.27)

った く同 じ よ うに して

え に,φ(z)はz=aに

お い て微 分 可 能 で あ っ て

が な りた つ.aは(γ)の あ る.ゆ

任 意 の 点 で あ る か ら,φ(z)は(γ)の

え に,φ(z)は(γ)で

正 則 で あ る.ま

た,(4.23)を

す べ ての点 で微分 可能 で 導 き 出 し た の と,ま っ た く

同 じ よ うに し て,  (4.28)

が な りた つ こ と を,証   問6. 

明 す る こ と が で き る.

円￨z￨=3をCと

ⅰ)

し て,つ

ぎ の 積 分 を 計 算 せ よ:

 ⅱ)

ⅳ)

 ⅲ )

 ⅴ)

 問7.  γは 単 純 な 閉 じた 道 で,a∈(γ)に

の値 を 求 め よ.

対 し て 

  4.4  コ ー シ ー の 諸 定 理 の 応 用   Ⅰ. モ レラ の 定 理   単 連 結 領 域Dの

す べ て の 点 で 連 続 な 函 数f(z)に

対 して,

Dの 閉 じた 道 γが ど の よ うな も の で あ っ て も,い つ で も

が な りた つ な ら,f(z)はDに   証 明   Dの

点z0を

お い て 正 則 で あ る.

固 定 し,ζ をDの

した と き に 述 べ た よ うに[p.117参 っ て と っ た 積 分 の 値 は,こ

任 意 の 点 とす る と,不 定 積 分 の 話 を

照],z0を

始 点 と し ζを 終 点 とす る 道 に 沿

れ らの 道 に は 関 係 しな い で,ζ

だ け に しか 依 存 しな

い こ とが 示 せ る.ゆ え に

と表 わ す こ とが で き る.こ の 値 は ζの1価 函 数 で あ る か ら,

と 書 け る.そ

し て,pp.117-118で

や っ た の と,ま F′(ζ)=f(ζ)

っ た く 同 じ方 法 で

とな る こ とが 示 せ る.こ の ζはDの

任 意 の 点 で あ るか ら,Dの

す べ て のzに 対

して  (4.29) 

F′(z)=f(z)

が な りた つ.ゆ p.131で

え に,F(z)はDに

お い て 正 則 な 函 数 で あ る.と

示 し て お い た よ うに,F′(z)も

に よ っ て,f(z)はDで

ま たDで

こ ろ が,

正 則 で あ る か ら,(4.29)

正 則 で あ る.

  Ⅱ. 最 大 値 の 原 理   函 数f(z)は

領 域Dで

す る と,￨f(z)￨はDの

大 値 を と る こ と は な い.

内 部 で,最

正 則 で あ っ て,定

  証 明   領 域Dに 値 をMと Dの

数 で はな い と

お け る￨f(z)￨の

し,￨f(z0)￨=Mと

な るz0が

内 部 に あ る と す る.z0を

円Cを,(C)⊂Dと

が な りた つ.そ

最大

中 心 とす る

な る よ うに つ く る と,

れ で,Cの

方程 式 を

とす る と

図4.21

と な るか ら

を 得 る.ゆ

Cの

えに

任 意 の 点z0+reitに

お い て￨f(z0+reit)￨≦Mが

な り た つ の で,こ

のCに

  (4.30) ￨f(z0+reit0)￨<M と な るt0が
あ る と す る と,￨f(z)￨はCで を 満 足 す る す べ て のtに

連 続 で あ る か ら,正

の 数 δが,t0−

対 して

￨f(z0+reit)￨<M が な りた つ よ うに 定 ま る.そ

うす る と,区

間 

に あ っ て,集

合

δ

 に 属 さ な い 部 分 で は ￨ f(z0+reit)￨≦M

が な りた つ.区

の う ち α に 属 さ な い も の を[0,2π]−

間 

α と表 わ

すと

と 書 け る.そ

して

で あ るか ら

とな り

と な っ て 不 都 合 で あ る.こ reit0がCに

存 在 す る と 仮 定 し た と こ ろ に あ る.ゆ

は あ り得 な い.す

な わ ちCの

zで￨f(z)￨=Mが な い.こ

の よ う な 不 都 合 は,(4.30)が

のrは,(C)⊂Dを

満足す る

て の 同 心 円 に 対 し て な りた つ.ゆ

えに

す べ て のzに

対 して,￨f(z)￨=

な り た つ.

  つ ぎ に,Dの z0と

任 意 の 点 を ζ と す る.

ζ とを つ な ぐ道

る.γ とDの

γ をDに

考 え

境 界 と の 距 離 をdと

す る.

 に お い て は,上 と 

の よ うな 点 はCに

な りた た ね ば な ら

すべ

Mが

え に,こ

すべての

よ う な 値 で あ れ ば よ い の で,Cの

(C)の

な り た つ よ う なz0+

で 述 べ た よ う に,￨f(z)￨=Mが

の 周 と が 交 わ る 点 をz1と  の す べ て のzに

図4.22

す る と,￨f(z1)￨=Mで

対 し て,￨f(z)￨=Mが

な りた つ.こ

な り た つ.γ あ る か ら, の 円 の周 と γ

と の 交 点 をz2と Mが

す る と,￨f(z2)￨=Mで

な り た つ.こ

あ る か ら, 

で￨f(z)￨=

れ を つ づ け る と,znが,￨f(zn)￨=M,  の す べ て のzに

る よ う に 定 ま り,  ゆ え に,f(ζ)=Mで

あ る.こ

点 で￨f(z)￨=Mが

の ζ はDの

とな

対 し て￨f(z)￨=Mが

な りた つ.

任 意 の 点 で あ る か ら,Dの

すべての

な りた つ.

f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)と

書 く と ￨ f(z)￨2={u(x,y)}2+{υ(x,y)}2

で あ る か ら, {u(x,y)}2+{υ(x,y)}2=M2

を 得 る.ゆ

え に,x,yに

つ い て,そ

れ ぞれ 偏 微分 す る と

u(x,y)ux(x,y)+υ(x,y)υx(x,y)=0,  (4.31) u(x,y)uy(x,y)+υ(x,y)υy(x,y)=0

を 得 る,ま な い.し

た, 

で あ る か ら,u(x,y),υ(x,y)は

た が っ て,(4.31)よ

同 時 に0と

な る こ とは

り

ux(x,y)・υy(x,y)−uy(x,y)・υx(x,y)=0

と な る の で,コ

ー シ ー ・ リー マ ンの 偏 微 分 方 程 式 に よ っ て

  (4.32) 

{ux(x,y)}2+{υx(x,y)}2=0

を 得 る.そ

して ￨f′(z)￨2=￨ux(x,y)+iυx(x,y)￨2={ux(x,y)}2+{υx(x,y)}2

で あ る か ら,(4.32)は￨f′(z)￨2=0す ゆ え に,Dの 例 題2に

す べ て のzに

よ っ て,f(z)≡Cで

に 反 す る.こ

対 し て,f′(z)=0が な け れ ば な らぬ が,こ

に は,￨f(z)￨が

え に,こ

同 じ こ と で あ る.

な りた つ.ゆ れ は,f(z)に

の よ う な こ と は,Dに,￨f(z0)￨=Mと

定 し た こ と か ら 起 こ る.ゆ

  な お,こ

な わ ちf′(z)=0と

な るz0が

の 仮 定 は 誤 り で あ る.す

最 大 と な る よ う な 点z0は

  シ ュ ワ ル ツ の 補 助 定 理   函 数f(z)が￨z￨
対 す る仮定 存在 す る と仮

な わ ち,Dの

内部

存 在 し な い.

の 定 理 の 証 明 か ら容 易 に わ か る よ う に,領

の 最 大 値 を と る よ う な 点 が あ る な ら,f(z)≡

え に,p.76の

域Dの

内 部 に￨f(z)￨

定 数 で な け れ ば な ら ぬ. 正 則 で あ っ て,￨f(z)￨≦M.

f(0)=0で

あ る な ら,￨z￨
が な りた ち,等

号 が な りた つ の は 

(α は 実 数),の

ときにか ぎ

る*.

 証 明   0<￨z￨
ら 

で あ り,f(z)はz=0で

は 正 則 で あ る.f(0)=0で

正 則 で あ るか ら

で あ る.ゆ え に, 

で あ る.そ

と 定 義 す る と,F(z)は￨z￨
れ で

正 則 で あ る.￨z0￨
え る と,￨z0￨
な るrに

と な る.こ

のrは,ど

の よ うにRに

も よ い.ゆ

えに

が な りた つ.こ

あ るか ら

のz0は￨z0￨
対 し て,最

な るz0を

任 意 に考

大値 の原理 に よ って

近 く と も よ い の で あ る か ら,r→Rと

して

満 足 し て お り さえ す れ ば よ い の で,￨z￨
に 対 して *  シ

ュ ワ ル ツ(Hermann

Amandus

学 の 教 授 で あ り,ワ 残 し て い る が,そ る.こ

Schwarz,

1843-1921,ド

イ ヤ シ ュ ト ラ ス の 門 人 で あ っ た.等

の と き に 樹 立 し た の が,こ

の 証 明 は カ ラ テ オ ド リ(Constantin

も の に も と づ い て い る.

の 定 理 で,1869年 Caratheodory,

イ ツ)は

ベ ル リ ン大

角 写 像 論 に 数 多 くの 研 究 を の論文 の な か に あ 1873-1950)が

与 え た

すなわち が な りた つ.等

号 が な りた つ よ うなz′,(￨z′￨
あ る と,最

の 証 明 の あ と で 示 し て お い た よ うに,F(z)≡F(z′)で

あ る.ゆ

大 値 の原 理

え に,

すなわち 

(α は 実 数).

 Ⅲ. リ ゥ ヴ ィル の 定 理   有 界 な 整 函 数 は 定 数 で あ る.  証 明   仮 定 に よ っ て,  と な る正 の 数Mが 意 に 考 え,原

な ら￨f(z)￨≦M

を任

存 在 す る. 

点 を 中 心 と す る 円Cを,z∈(C)

と な る よう に つ く り,こ の 円 の 半 径 をRと p.128の(4.22)に

か ら,Cの

である

す べ て の ζに 対 して

が な りた つ の で,§1の

を 得 る.こ

よって

が な りた つ. 

図4.23

す る.

のRは

と し て も よ い.と

定 理 Ⅴに よ って

ど の よ うに 大 き な も の で あ っ て も な りた つ の で,R→+∞ こ ろ が,

で あ る か らす べ て の 有 限 のzに

対 して

￨f′(z)￨=0す が な りた つ.ゆ

え に,p.76の

な わ ちf′(z)=0

例 題2に

よ っ て,f(z)は

定 数 でなけ れ ばな ら

な い. * 

リ ゥ ヴ ィ ル(Joseph に 樹 立 し た.

Liouville

,

1809-1882,フ

ラ ン ス)は,こ

の 定 理 を1847年

  系   無 限 遠 点 を こめ た 全 平 面 で正 則 な 函 数 は 定 数 で あ る.  解   f(z)が,無

限 遠 点 を こめ た 全 平 面 で 正 則 な 函 数 で あ る とす る と,す

て のzに 対 し て 有 界 で な け れ ば な らな い.な

ぜ な ら, 

が 存 在 す る と,f(z)はz=aに

うな 

え に,こ

らぬ.ゆ

ゥ ヴ ィ ル の 定 理 に よ っ て,f(z)は

え に,リ

 例 題1.  代 数 方 程 式 は,必

の 函 数 は,す

とな る よ

お い て 正 則 で あ る,と

と と 矛 盾 す る.ゆ

べ て のzに

べ

対 し て,有

い うこ

界 でな けれ ば な

定 数 で な け れ ば な らぬ.

ず 根 を も つ.

 解   代 数 方 程 式 を   (4.33) と す る.こ

こで f(z)≡a0zn+a1zn−1+…+an−1z+an

と置 く.方 程 式(4.33)が が な りた つ.ゆ

根 を もた な い とす る と,す

え に,f(z)は

整 函 数 で あ る.そ

べ て の 有 限 なzに 対 して, 

して

で あ り,

で あ るか ら*

と な る の で,

ゆ え に, 

はz=∞

平 面 で 正 則 で あ る.し

に お い て 正 則 で あ る.ゆ た が っ て,リ

定 数 で は な い.ゆ

  注 意.こ

ウス が1799年

*  正 の 数 εを 与 え る と ,  が な りた つ.

限遠 点を こめた 全

 定数

ころが

で あ るか ら,f(z)は れ は,ガ

れ は,無

ゥ ヴ ィ ル の 定 理 に よ っ て,

定 数, す なわ ち で な け れ ば な らぬ.と

え に,こ

え に,f(z)=0で

な け れ ば な らぬ. 

に 公 表 した もの で あ っ て,代

(解 終)

数学 の基 本定理 とよば

を満 足 す るすべ て のzに 対 して 

 ⅱ

れ て い る.   問8. 

函 数f(z)はK(a;r)で

 問9. γ

うす る と

は 閉 じ た 単 純 曲 線 で あ っ て,f(z)は(γ)で

zに 対 し て    問10. 

正 則 で あ る.そ

で あ る とす る と,￨f(z)￨が

函 数f(z)は￨z￨
正 則 で あ っ て,(γ)の

す べ ての

最 小 とな る 点 は γに な け れ ば な らい.

正 則 で あ る.z=reiθ,(0
す る と

が な りた つ.   問11.  原 点 を 囲 む 単 純 な 閉 じた 道 を γ とす る と

が な りた つ こ とを 示 せ.

演 習 問 題4

  4.1  Cを￨z−2￨=3を

満 足 す るzで

描 か れ た 円 と して,積

分

の 値 を 求 め よ.   4.2 

は,γ

1− πiと を 始 点 と し,2+3πiを

を γ と す る と き,積

中 心 と し,2を

半 径 とす る 円 とす る と き,積 分

ん な 値 で あ る か.

  4.4  a,bを F(z)が

正 の 定 数 とす る.F(z)は

な り た つ と き,0,a,a+bi,biを

定 数 で は な く,F(z+a)=F(z),F(z+bi)= 頂 点 と す る 長 方 形 の 内 部 で,正

則 で な い こ と

を 示 せ.   4.5  つ ぎ の 値 を 求 め よ: ⅰ)   4.6 

分

に 無 関 係 で あ る こ とを 示 し,こ の 積 分 の値 を 求 め よ.

  4.3  γを,−1を

は,ど

終 点 と す る 道 の1つ

f(z)=sin(πz)と

)

して

(Cは 原 点 を 中 心 と し,π

を 半 径 とす る 円),

の 値 を 求 め よ.  4.7  Cはz=−1を

囲 ん で い る単 純 な 閉 じた 道 で あ る.そ

うす る と

が な りた つ こ とを 示 せ.  4.8  領 域{z￨￨z￨≦1}で ≦2が

正 則 で あ って,こ

な りた ち,f(0)=2で

の 領 域 の内 部 の す べ て のzに

あ る よ うな 函 数 を 求 め よ.

 4.9  γは 閉 じた 単 純 な 道 で あ る.そ

うす る と,f(z)が(γ)で

の公 式 が な りた つ こ とを 示 せ.  ⅰ ) 

対 して￨f(z)￨

ⅱ ) 

正 則 で あ る な ら,つ ぎ

5. 

テ イ ラ ー 級 数 と ロ ー ラ ン級 数

  5.1  テ イ ラ ー の 定 理  べ き級 数 は,そ れ の 収 束 円 の 内 部 で,正 則 な 函 数 を 表 わ す こ とは,前 て お い た[p.67-70参

照].そ

れ で,こ ん どは,逆

に,正

則 な 函 数 は べ き級 数

で 表 わ さ れ る か ど うか を,調  函 数f(z)は Dの

領 域Dで

内 点 と し,z0か

距 離 をRと

べ よ う と 思 う.

正 則 で あ る.z0を らDの

境 界 ま で の最短

す る と,f(z)はK(z0;R)で

則 で あ る.z0を 径 と す る 円 をCと

中 心 と し,r,(0
が っ て,zを(C)の

た

任 意 の 点 と す る と,コ

ー

  (5.1)

ころ が

図5.2 で あ り,￨z−z0￨<￨ζ−z0￨で

あ る か ら,

と な る の で*, *

 ￨z￨<1と

す る と  が な り た つ.

半

正 則 で あ る.し

シーの積 分 公式 に よって

が な りた つ.と

正

す る と(C)⊂K(z0;R)⊂D

で あ る か ら,f(z)は(C)で 図5.1

に示 し

で あ る か ら, 

を 得 る.こ

れ を(5.1)へ

と書 け る.こ

入れ る と

の場 合 に

で あ る.p.128の(4.23)に

よ っ て

で あ るか ら

と書 け る.ゆ え に

と な る.と ら[図5.3参

と

こ ろ が,￨ζ−z￨≧r−￨z−z0￨で 照], 

あ るか と置 く 図5.3

で あ るか ら

と な る.し

た が って

と な る の で,

と な り,

を 得 る[p.23参

照].そ

れ で,こ

 テ イ ラ ー の 定 理   函 数f(z)が Dの

境 界 ま で の 最 短 距 離 をRと

れ ら の こ と を ま と め る と,つ 領 域Dで

ぎ の よ うに な る.

正 則 で あ る と き,Dの

す る と,f(z)を,K(z0;R)で

点z0か

ら

収 束 す るべ き

級数  (5.2) 

a0+a1(z−z0)+…+an(z−z0)n+…

と 表 わ す こ と が で き る.そ る 円 をCrと

し て,r,(0
半 径 と し,z0を

中心 とす

名づ け る と

 (5.3)

が な り た つ.   函 数f(z)がK(z0;R)で(5.2)の   (5.4) 

形 で 表 わ さ れ る こ と を,K(z0;R)で

f(z)=a0+a1(z−z0)+a2(z−z0)2+…+an(z−z0)n+…

は

が な りた つ,と

い い,こ

れ をf(z)の

 い ま ま で の 話 で は,  Ⅱ 章,§2,例

題2の

テ イ ラ ー 級 数 と い う*.

で あ っ た.そ

注 意(p.34)で

の ζ=0に

うす る と,ζ=0の

と 表 わ す こ とが で き る.ζ=0を

で あ る.正

の 数Gを

が 表 わ す 円 をC′

に

お け る 状 態 の こ と で あ るか

で 正 則 で あ る と い う こ と は,φ(ζ)

る と い う こ と で あ る.そ

の 場 合 を 考 え る.第

述 べ て お い た よ うに,f(z)のz=∞

お け る 状 態 とい うの は,  ら,f(z)がz=∞

れ で,z0=∞

がζ=0

で正則であ

近傍 で

中 心 と し,こ の 近 傍 に あ る 円 をC′

とす る と

じゅ うぶ ん に 大 き く と っ て お い て

と す る と,(C′)は

ζ=0の

近 傍 に あ る.そ

うす る と

で あ るか ら

で あ る.ま

* 

た,他

ラ イ ラ ー(Brook 刊 し たMethodus

方 で,方

Taylor

程式

,

incrementorum

1685-1731,イ directa

ギ リ ス)は,こ et

inversaの

の 定 理 を,1715年 中 で 述 べ て い る.

に 公

で 表 わ され た 円 をCと

名づ け る と

で あ るか ら

が な りた つ.ゆ

え に,

とな る.こ れ らの こ とを ま とめ る と,テ イ ラ ー の 定 理 は つ ぎ の よ うに,い

い表

わ せ る:   函 数f(z)がz=∞

で正 則 で あ る と,無 限 遠 点 の 近 傍 のzに 対 して

 (5.5)

と表 わ す こ とが で き て,

 (5.6)

で あ る.  例 題1.  函 数1/z

をz=1で,テ

イ ラ ー 級 数 で表 わ

せ.   解z=1を

中 心 と し,1を

づ け る と,函

数1/zは(C)で

半 径 と す る 円 をCと 正 則 で あ る.ゆ

え に,テ

イ ラ ー の 定 理 に よ って

図5.4

と表 わ す こ とが で き る.r,(0
で あ るか ら

半 径 とす るCの 同 心 円 をCrで

名

示す と

ⅰ ⅲ)  ⅳ ⅴ

とな り,求 め る級 数 が 1−(z−1)+(z−1)2−

…+(−1)n(z−1)n+…

で あ る こ と を 知 る. 

(解 終)

 問1.  つ ぎ の 函 数 を,そ

れ ぞ れ 指 定 さ れ た 点 で,テ

) 

Logz, 

ⅱ ) 

) 

) 

  函 数f(z)が つ な ら,こ

領 域Dで のaを,函

正 則 で あ る と き,Dの 数f(z)の

点aでf(a)=0が

零 ま た は 零 点 と い う.特

の 零(零

点)と

な りた

に,

い う.こ

の零 点 に関 して

ぎ の 定 理 が 重 要 で あ る.

  函 数f(z)が Dの1つ

領 域Dで

正 則 で あ っ て,

の 点 を 集 積 点 とす る 集 合 に お い て

f(z)=0と 的 に0で

な る な ら,f(z)はDで

恒等

あ る.

  証 明   Dに お け るf(z)の の1つ

(z=1−i),

ⅵ)

で あ る と き,z=aをf(z)のm位

は,つ

イ ラ ー 級 数 で 表 わ せ:

を ζ と し,ζ はDの

零 点 の集 積 点 内点 であ る とす

る.ζ か らDの 境 界 ま で の 最 短 距 離 をdと す る と,テ

イ ラ ー の 定 理 に よ っ て,K(ζ;d)で

と 表 わ す こ と が で き る.a0,a1,…,an,… そ の うち,番

図5.5

の う ち に0で

号 の い ち ば ん 小 さ い も の をapと

す る.す

な い も の が あ る と し, なわ ち

とす る と f(z)=ap(z−

ζ)p+ap+1(z−

ζ)p+1+…

と書 け る.そ れ で g(z)=ap+ap+1(z−

ζ)+ap+2(z−

ζ)2+…

と 置 く と,こ

れ はz=ζ

K(ζ;δ)で 

の 近 傍 で 正 則 で あ り,  と な る δ が 定 め られ る*.そ

と 書 け る か ら,K(ζ;δ)の

で あ る か ら, し て,f(z)は

f(z)=(z−

ζ)pg(z)

す べ て のzに

対 し て0と

な ら な い.こ

がf(z)の

零 点 の 集 積 点 で あ る こ とに

反 す る.こ

の 矛 盾 は 

の こ と は,ζ

の存在

を 仮 定 し た こ と か ら 起 こ る の で, ak=0,(k=0,1,2,…), で な け れ ば な ら ぬ.ゆ でf(z)≡0で

な け れ ば な らぬ.

 つ ぎ に,z′

をDの

ζ とz′

距 離 を ρ と し,K(ζ;d)の

点 ばか りで で きてい

なこ こ と が わ か る.こ

有 限 回 の 操 作 の 後 に,ζmが,K(ζm;ρ)はz′ あ る よ う に 定 め ら れ る.ゆ

え にf(z′)=0で

任 意 の 点 で あ っ た か ら,こ

の 函 数 はDの

え にDでf(z)≡0で

 こ の 定 理 を 用 い る と,つ

あ る.と

こ でf(z)≡0で

こ ろ が,こ

す べ て の 点 で0と

な る,と

のz′

はDの

い うこ とが

ぎ の こ と が い え る: ,g(z)が

領 域Dで

正 則 で あ っ て,Dの

内点

な り た つ と,Dに

お

な け れ ば な ら ぬ.

 証 明 は,F(z)=f(z)−g(z)を

<δ

であ

れ を つ づ け る と,

を ふ くみ,こ

ζ を 集 積 点 と す る 無 限 に た く さ ん の 点 でf(z)=g(z)が

*  g(z)はz=ζ

境 界 との最短

あ る.

の 函 数f(z)

い てf(z)≡g(z)で

とDの

あ る か ら,上 で 述 べ た こ と が そ の ま ま

用 い られ て,K(ζ1;ρ)でf(z)≡0と

  一 致 の 定 理   2つ

任 意 の 点 と す る.

周 に 近 い γの 点 を ζ1と す る と,  で はf(z)≡0で

り, 

で き る.ゆ

をDの

る 道 γ で 結 ぶ.γ

図5.6

え に,K(ζ;d)

考 え る と,ζ

に お い て 連 続 で あ るか ら

を 満 足 す る す べ て のzに

,正

を 集 積 点 とす る 無 限 に た くさ

の 数 εに 対 し て,正

対 し て,￨g(z)−g(ζ)￨<ε

の 数 δが,￨z−

で き る. 

で あ る か ら, 

と し て お く と,K(ζ;δ)の す べ て のzに が な りた つ.

ζ￨

と な る よ うに 定 め る こ とが

対 し て 

ん の 点 でF(z)=0が

な りた つ こ と か ら,上

の 定 理 に よ っ て,F(z)≡0が

な

りた つ こ と よ り導 き 出 す こ と が で き る.   問2.2つ

の 収 束半 径 が,と

の べ き 級 数 

と も に 収 束 す るzに

対 し て,同

も に0で

な く,こ の2つ

じ 値 を も つ な ら ば,ak=bk,(k=0,1,2,…),が

が

な り

た つ こ と を 示 せ.   問3.P(x,y)はx,yに

つ い て の 有 理 整 函 数 で あ る.函

正 則 で あ っ て,Dの て のzに

部 分 領 域GでP[f1(z),f2(z)]=0が

対 し て,P[f1(z),f2(z)]=0が

 5.2  特

異

領 域Dで

な りた つ な ら ば,Dの

すべ

な り た つ こ と を 示 せ.

点

  函 数 が 正 則 で な い 点 を,こ [p.67].特

数f1(z),f2(z)は

に,z=aが

の 函 数 の 特 異 点 とい う こ とは,前 に 述 べ て お い た

特 異 点 の と き,こ

れ の 近 傍 を,点aの

ほ かに は特 異

点 が 存 在 しな い よ うに つ くる こ とが で き た ら,こ れ を 孤 立 特 異 点 とい う.そ す る と,z=aがf(z)の

う

は

孤 立 特 異 点 と し た と き に, 

ⅰ )  有 限 の 値 で あ る, ⅱ)  無 限 遠 点 で あ る, ⅲ)  確 定 しな い の ど れ か で あ る.そ   ま ず,ⅰ)の

れ で,こ

れ ら の 場 合 に つ い て,順

場 合 を 考 え る.こ

れ に 対 し て は,つ

  リ ー マ ン の 定 理   函 数f(z)が,0<￨z−a￨<ρ し て 正 則 で あ り,ま

し,ρ

を 定 め る こ と が で き る と き,f(a)

と し,ζ

中心 と

を(Cρ)の

任 意 の 点 とす る.aを

中 心 と し,δ,(0<δ<ρ),

を 半 径 と す る 円 をCδ

と 表 わ す.δ

に 小 さ く と っ て お く と,Cρ,Cδ これ を(Cρ,Cδ)と な る.Cρ

の 点pを

表わ す ― 始 点,Cδ

対

を満 足 す る

対 し て 正 則 で あ る か ら,aを

を 半 径 と す る 円 をCρ

ぎ の 定 理 が 重 要 で あ る.

お い て 正 則 と な る.

  証 明   函 数f(z)は,0<￨z−a￨<ρ す べ て のzに

らべ る.

を 満 足 す る す べ て のzに

た 有 界 で あ る よ う に,ρ

を 適 当 に 定 義 す る と,f(z)はz=aに

を 追 っ て,し

を じ ゅ うぶ ん が 囲 む 部 分―

に ζ が あ る よ うに の 点qを

終 点 と す る 線 分[p,q]を

図5.7

つ く る と[図

5.7参

照],γ=Cρ+Cδ−1+[p,q]+[q,p]を

則 で あ る か ら,コ

で あ る.ま

境 界 と す る 領 域 で は,f(z)は

正

ー シ ー の積 分 公 式 に よ っ て

た

で あ り,

であ るか ら

 (5.7)

と な る.f(z)は(Cρ)で

は ζ の 函 数 で あ り,ζ

は,z=aを

除 い て,正

の 正 則 函 数 で あ る.そ

則 で あ る の で,

れ で,こ

れ をg(ζ)と

表わ す と

(5.7)は

と書 け る の で,

で あ り,

を 得 る. 

0<￨z−a￨<δ 図5.8

て,Cδ

を 満 足 す る す べ て のzに 対 して 正 則 で あ っ

の す べ て のzに

対 して￨f(z)￨≦Mで

あ るか ら

が な りた つ.ゆ

を 得 る.こ

え に,

の δは,ど

の よ うに 小 さ な も の で あ っ て も よ い か ら,こ

の不 等 式 が

な りた つ と い う こ と は

すなわち

￨f(ζ)−g(ζ)￨=0 が な りた つ こ と に ほ か な ら な い.そ な り た つ の で,0<￨z−a￨<ρ な り た つ.上

で 述 べ た よ うに,g(z)は(Cρ)で

f(z)は(Cδ)で

れ は0<￨ζ−a￨<ρ

を 満 足 す る す べ て のzに

と 定 義 し て お く と,(Cρ)の

 こ のaの

し て,こ

f(ζ)=g(ζ)

す べ て のzに

であ る か ぎ り

対 し てf(z)=g(z)が

正 則 で あ る か ら,f(z)=g(z) 対 し てf(z)=g(z)と

な る の で,

正 則 と な る. よ うに,f(z)の

と,z=aに

孤 立 特 異 点 で は あ る が,f(a)を

お い てf(z)が

正 則 と な る 場 合 に,こ

のaは

適 当 に定 義す る 除去 可 能 な特 異点

で あ る と い う.  つ ぎ に,ⅱ)の の と き に は,正

場 合 を 考 え る.こ の 数Gを

の 場 合 に は,こ

与 え る と,こ

の 数 δ が,0<￨z−a￨<δ

れ が ど の よ う に 大 き な 値 で あ っ て も,正

を 満 足 す る す べ て のz∈Dに

な りた つ よ うに 定 め ら れ る か ら,0<￨z−a￨<δ と な る.ゆ

て, 

て のzに

の 特 異 点 を 極 と い うが,こ

え に,函

対 し て 正 則 で あ る.ま

対 し て,￨f(z)￨>Gが

を 満 足 す る す べ て のzに は,0<￨z−a￨<δ

数  た,0<￨z−a￨<δ

対 し

を 満 足 す るす べ

な ら

 (5.8)

と な る の で,リ

ー マ ン の 定 理 に よ っ て,z=aは

こ ろ が,(5.8)に

で あ る か ら,z=aの

除 去 可 能 な 特 異 点 で あ る.と

よ って

と き 

と定 義 す る と, 

は￨z−a￨<δ

を

満 足 す るす べ て のzに 対 して 正 則 で あ る こ とが わ か る で あ ろ う.ゆ え に,  は 恒 等 的 に0に

な る こ と は な い.し

た が っ て,z=aが 

のm位

の零

点であると

と書 け るので

で あ る か ら, 

と な る. 

参 照].ゆ

はz=aで

正 則 で あ る[p.148の

脚註

えに

と 表 わ す こ とが で き る.ゆ え に  (5.9)

と 表 わ す こ とが で き る.   最 後 に,ⅲ)の

場 合 を 考 えよ う.z→aと

な い とき で あ るが,こ て は,つ

した と き,f(z)の

極 限値 が確 定 し

の よ うな 特 異 点 を 真 性 特 異 点 と よん で い る.こ れ に 対 し

ぎ の定 理 が 重 要 で あ る.

 ワ イ ヤ シ ュ トラ ス の 定 理   z=aが の 複 素 数 λに 対 し て,正

函 数f(z)の

孤 立 特 異 点 で あ る と,任 意

の 数 ε,δを 与 え る と,0<￨z−a￨<δ

で あ って

￨f(z)−λ￨<ε

とな るzが,必

ず 存 在 す る.

 証 明  0<￨z−a￨<δ

を 満 足 す る す べ て のzに 対 して

が な りた つ よ うな 数 λ,正 の 数 ε,δ が 存 在 す る と仮 定 し よ う.0<￨z−a￨<δ を 満 足 す る す べ て のzに 対 して, 

で あ るか ら

は,z=aを

除 い て 正 則 で あ る.そ

し て,0<￨z−a￨<δ

を 満 足 す る す べ て のz

に 対 して

が な りた つ の で,リ る,と

ー マ ン の 定 理 に よ っ て,g(z)はz=aに

お い て正 則 であ

考 え て よ い.  の と き は,aの

近 傍 で 

で あ るか ら

すなわち は,z=aで

正 則 と な っ て,不

 g(a)=0の

都 合 で あ る.

と き は,z=aは

すなわ ち の 極 で あ る.こ

れ は,z=aが

ゆ え に,0<￨z−a￨<δ

函 数 .f(2)の

を 満 足 す るzの

真 性 特 異 点 で あ る こ と に 反 す る.

なか には

￨f(z)−

λ￨<ε

を 満 足 す る も の が あ る.  こ の 定 理 を,ま   z=aが 意 の 値 に,い   例 題1. 

で あ るか ら

と 書 け る.

ぎ の よ うに い い 表 わ す こ と が で き る.

函 数f(z)の

真 性 特 異 点 で あ る と,f(z)はz=aの

く ら で も,近

づ く こ と が で き る.

なら

は 正 則 で あ る.z=0は  解   sin zは

た,つ

ど の よ うな 特 異 点 で あ るか.

整 函 数 で あ っ て,定

義 に よって

近 傍 で,任

は 整 函 数 で あ って,z=0で

で あ る.し

たが って

と な る.ゆ

えに

連 続 で あ るか ら

と 定 義 す る と,f(z)はz=0で

正 則 で あ る. 

(解終)

  例 題2.   解   z−1,z+1は z+1=0を

整 函 数 で あ る.ゆ

解 く とz=−1と

はz=−1を

な らば,こ

え に, 

の函 数 は 正 則 で あ る.

なるの で

除 い て 正 則 で あ る.そ

し て,こ

れ を書 きか え る と

とな る か ら

を 得 る の で,正

の数Gを

を 満 足 す る.す

与 え る と,こ

べ て のzに

れ が どの よ うに 大 き な 値 で あ って も, 

対 して*

￨f(z)￨>G が な りた つ か ら,

す なわ ち を 得 る.す

な わ ち,確

  例 題3. 

定 で あ る が,極

ez

 解 と 置 く.z=x,x>0と

限 値 は 有 限 で は な い. 

 

f(z)=ez

す る と f(z)=ex

で あ るか ら * 

を 解 く と 

を 得 る.

(解 終)

図5.9

と な る.ま

図5.10

た,z=−x,x>0と

す る と f(z)=e−x

で あ るか ら

と な る.   こ の2つ る.ゆ ezの

∞

∞

と し た と き のf(z)の

と な る 道 が ち が う と,f(z)の

極 限 値 は 確 定 し な い.ゆ

極 限値 は異 な

え に,z=∞

真 性 特 異 点 で あ る. 

  問4.    問5. 

う.こ

の こ と か ら わ か る よ うに,z→

え に,z→

(解 終)

ワ イ ヤ シ ュ ト ラ ス の 定 理 を,λ=∞

は 函 数f(z)のm次

z=a, 

 5.3 

 例 と し て,べ

析

接

の 極 で あ り,g(z)のn次

の 極 で あ る とい

の よ うな 特 異 点 と な る か.

続*

き級数

 (5.10) 

1+z+z2+…+zn+…

を 考 え る.前

K(0;1)で

明 せ よ.

の 零 点 と特 異 点 とを 求 め よ.

函 数 

解

の と き に つ い て,証

に 対 して,ど

の 点 は,f(z)+g(z),f(z)g(z), 

  問6. 

は 函数

に 述 べ た よ う に,こ

れ の 収 束 半 径 は1で

正 則 な 函 数 を 表 わ す.そ して,こ の 函 数 は 

あ る か ら,(5.10)は で あ る か ら,K(0;1)

では

と 表 わ す こ と が で き る.と

こ ろ が,ζ,(￨ζ￨>1),に

の に,

*  これ を 省 略 して も

,後 の話 に は 支 障 は な い.

お い て 

は存在す る

 (5.11)

に お い て は,￨ζn￨=￨ζ￨n>1で

で あ る.ゆ

え に,級

数 

と は,異

そ し て,こ

あ る か ら, 

数(5.11)は

発 散 す る.こ

の こ と か ら,級

な る も の が あ る こ と を,推

の 相 違 は,級

数(5.10)は

的 に 取 り扱 うに は,ど

  話 を 一 般 化 し て,べ

函

測 す る こ と が で き る で あ ろ う.

か ら,(5.10)か

の よ うに す る と よ い か,が

は じ め て 染 め た の は,ワ

数(5.10)と

局 所 的 に 定 義 さ れ て い る が,函

は 大 域 的 に 定 義 さ れ て い る か ら で あ る.だ

 (5.12) 

と な り, 

数 

ら 出 発 し て,大

問 題 と な る が,こ

域

れ に 手 を,

イ ヤ シ ュ トラ ス で あ る. き級 数

a0+a1(z−a)+a2(z−a)2+…+an(z−a)n+…

を 考 え る.こ K(a;Ra)で

れ の 収 束 半 径 をRa,(0
fa(z)と

す る と,K(a;Ra)で

 (5.13) 

す る と,収 正 則 な 函 数 を 表 わ す の で,こ

束 円は れを

は

fa(z)=a0+a1(z−a)+a2(z−a)2+…+an(z−a)n+…

と 表 わ す こ と が で き る.K(a;Ra)の 則 で あ る か ら,こ

点bを

任 意 に 考 え る と,fa(z)はbで

正

れ を テ イ ラ ー 級 数 で 表 わ す こ と が で き る の で,

 (5.14)

と 書 け る.こ

れ の 収 束 半 径 を,Rbで

 (5.14)は,そ fb(z)で

れ の 収 束 円K(b;Rb)で

示 す と,Rb≧Ra−￨a−b￨で

あ る.

正 則 な 函 数 を 表 わ す の で,そ

示 す と,K(b;Rb)で

図5.11

と 表 わ す こ と が で き る.K(a;Ra)∩K(b;Rb)の

れ を

 任 意 の 点cを

考 え る と,cはK(b;Rb)の

点 で あ るか ら

 (5.15)

が な り た つ.ま  (5.16) 

た,cはK(a;Ra)の

fa(c)=a0+a1(c−a)+a2(c−a)2+…+an(c−a)n+…

が な り た つ.と

で あ る か ら*,こ

と な る の で,項

点 で あ る か ら

こ ろ が

れ を 用 い て(5.16)を

書 きか え る と

の 順 序 を 変 え る と**

  fa(c)=a0+a1(b−a)+a2(b−a)2+…+an(b−a)n+… *

** 

これ が 可 能 で あ る こ と は,微

分 学 の 「二 重 級 数 」 に お い て学 ん だ で あ ろ う.

と な る.と

こ ろ が,(5.13)に

 (5.17) 

よ っ て

fa(b)=a0+a1(b−a)+a2(b−a)2+…+an(b−a)n+…

で あ り, fa′(z)=a1+2a2(z−a)+3a3(z−a)2+…+nan(z−a)n−1+… で あ る か ら  (5.18) 

fa′(b)=a1+2a2(b−a)+3a3(b−a)2+…+nan(b−a)n−1+…

で あ る.ま

た, fa″(z)=2a2+3・2a3(z−a)+4・3a4(z−a)2 +…+n(n−1)an(z−a)n−2+…

で あ るか ら fa″(b)=2a2+3・2a3(b−a)+4・3a4(b−a)2 +…+n(n−1)an(b−a)n−2+…

で あ る.ゆ え に

を 得 る.さ

らに

fa′″(z)=3・2a3+4・3・2a4(z−a)+…+n(n−1)(n−2)an(z−a)n−3+…

で あ るか ら

を 得 る.こ れ を つ づ け て fa(k)(z)=k!ak+(k+1)k…2ak+1(z−a) +…+n(n−1)…(n−k+1)an(z−a)n−k+…

を 得 るの で

が 得 られ る.し た が っ て

と な る.こ

れ と(5.15)と

を 比 較 して

fa(c)=fb(c) で あ る こ と を 知 る.こ K(a;Ra)∩K(b;Rb)の

のcはK(a;Ra)∩K(b;Rb)の す べ て のzに

 (5.19) 

こ で,zがK(a;Ra)の

zがK(b;Rb)の

点 で あ る と,f(z)=fa(z)で

点 で あ る と,f(z)=fb(z)で

え る と,K(a;Ra)∩K(b;Rb)のzに はK(a;Ra)∪K(b;Rb)で1価 ま た はK(b;Rb)の

正 則 な 函 数fa(z)か

で あ り,K(a;Ra)∪K(b;Rb)の 点 で あ る か ら,f(z)はfa(z)かfb(z)の

考

な りた つ の で,f(z) 点 はK(a;Ra) ど ち らか に 等 し

正 則 で あ る か ら,K(a;Ra)で

ら 出 発 し て,K(a;Ra)∪K(b;Rb)で

の 場 合 に,fb(z)をfa(z)の

あ り,

あ る よ う な 函 数f(z)を

対 し て(5.19)が

え に,f(z)はK(a;Ra)∪K(b;Rb)で

得 られ た.こ

対 して

fa(z)=fb(z)

が な りた つ.こ

い.ゆ

任 意 の 点 で あ っ た か ら,

正 則 な 函 数f(z)が

直 接 解 析 接 続 と い い,fa(z),fb(z)

を 函 数 要 素 と い う.さ お け るfb(z)の

らにK(b;Rb)の

テ イ ラ ー 級 数 を 考 え る と,こ

れ の 収 束 円K(c;Rc)で

正 則 な 函 数fc(z)を

る が,こ れ がfb(z)の

れ で,こ

得

直 接 解 接 続 で あ る.fc(z)

は 一 般 に はfa(z)の 図5.12

点cに

直 接 解 析 接 続 で は な い.そ

れ をfa(z)の

解 析接 続 また は 間接 解

析 接 続 とい うこ と も あ る.こ の 操 作 を 順 々に つ づ け る と,そ れ に 応 じ て,函 数 要 素 が 得 られ るけ れ ど も,ど

こ ま で つ づ け た ら よい の で あ るか,が

問 題 とな る

の で あ る.   aを 始 点,ζ

を 終 点 とす る 単 純 な 道 を γ とす る.aか

周 に い た る ま で の 間 に ζ1を,γ がK(a;Ra)に

属 す よ う に 選 ぶ.ζ1に

の 直 接 解 析 接 続 をfζ1(z)と Rζ1と

す る と,こ

あ る.ζ1か

の 部 分 弧

し,こ

γ(a,ζ1)

お け るfa(z)

れ の収 束 半 径 を

の 函 数 要 素 はK(ζ1;Rζ1)で

ら さ ら に 進 ん でK(ζ1;Rζ1)の

γ(ζ1,ζ2)がK(ζ1;Rζ1)に

ら出 てK(a;Ra)の

正則で 点 ζ2を,

属 す よ うに 選 ぶ.そ と,上

うす る

図5.13

と 同 じ よ うに し て,函 数 要 素fζ2(z)

と 収 束 円K(ζ2;Rζ2)と

が 得 られ る.こ

操 作 を つ づ け る と,γ fζn(z)と

の 点 ζnと 函 数 要 素

を,K(ζn;Rζn)に

ζ が 属す よ う

に つ く る こ と が で き る と き,最 素fζ(z)が は

図5.14 ま る.な

ぜ な ら,道

る 函 数 要 素 をfζ*(z)と

K(ζ1;Rζ1)∪

…

γ の ほ か の 点 ζ1*,ζ2*,…,ζm*を す る と,ζ1,ζ2,…,ζnの

∪K(ζn;Rζn)∪K(ζ;Rζ)と

D*=K(a;Ra)∪K(ζ1*;Rζ1*)∪

…

のfζ(z)

選 び 方 に は 無 関 係 に 定 選 ん だ と き の,ζ

に お け

場 合 に は,D=K(a;Ra)∪

す る と ,Dで

正 則 な 函 数F(z)が

F(z)=fζk(z),(k=0,1,2,…,n,n+1),ζ0≡a,ζn+1≡

と な る よ う に 定 義 す る こ と が で き る.ま

後 の 函数要

得 られ る.と こ ろ が,こ

ζ1,ζ2,…,ζnの

の

ζ,

た,ζ1*,ζ2*,…,ζm*の

∪K(ζm*;Rζm*)∪K(ζ;Rζ*)で

場 合 に は, 正 則 な 函

数F*(z)を F(z)=fζk*(z),(k=0,1,2,…,m+1),ζ0*≡a,ζm+1*≡

ζ,

と な る よ う に 定 義 す る.D⊃K(a;Ra),D*⊃K(a;Ra)で K(a;Ra)を

あ る か らD∩D*は

含 み,F(z),F*(z)はD∩D*で

正 則 で あ っ て,K(a;Ra)で

F(z)=fa(z)=F*(z) が な りた つ の で,一 F*(z)が

致 の 定 理[p.148参

な り た つ.γ

⊂D∩D*で

よ っ て,D∩D*で,F(z)≡

あ る か ら ζ∈D∩D*で

近 傍V(ζ)をV(ζ)⊂D∩D*と

あ る.ゆ

え に,ζ

あ る.

あ る.こ

の よ うに,ζ1,

選 び 方 に 無 関 係 に 定 ま る 函 数 要 素fζ(z)を,fa(z)の

た 解 析 接 続 と い い,函

数 要 素fa(z)を,γ

の

で 述 べ た こ と か ら,

え に,V(ζ)でfζ(z)=fζ*(z)で

き 級 数 の 性 質 に よ っ て,fζ(z)≡fζ*(z)で

ζ2,…,ζnの

あ る.ゆ

な る よ うに つ く る と,上

V(ζ)でF(z)≡F*(z)で ゆ え に,べ

照]に

γ に沿 っ

に沿 って

ζ ま で 解 析 接 続 す る こ と が で き る と い う.   つ ぎ に,函 bに

数 要 素fa(z)の

収 束 円K(a;Ra)の

お け る 直 接 解 析 接 続fb(z)の

に 内 接 す る 場 合 が あ る.こ し て,つ

点

収 束 円 がK(a;Ra)

れ を 取 り扱 う た め に 準 備 と

ぎ の 定 理 を 証 明 し て お く.

図5.15

  べ き 級 数 の 収 束 半 径 が 有 限 の 値 で あ る と,こ の 級 数 で 定 義 さ れ た 函 数 は,収 束 円 の 周 に,少

な く と も1つ

の 特 異 点 が あ る.

  証 明   こ の べ き級 数 の 収 束 円 をCと (C)で

し,そ

の 中 心 をaと

表 わ す 函 数 をf(z)と

に はf(z)の

こ と が で き る.こ

ψζ(z)が

な りた つ.と

各 点z′

で,Cz′

こ ろ が,こ

と,f(z)にz′

ψz′(z)と が,

し て,C

テ イ ラ ー級 数 で 表 わ す

れ の 収 束 円 をCζ

表 わ す函 数 を

ψζ(z)と

で 示 し た よ うに,(C)∩(Cζ)で

図5.16

正 則 な函数

す る.そ

の級 数が

特 異 点 が な い と 仮 定 す る と,Cの

任 意 の 点 ζ でf(z)を

が(Cζ)で

す る.こ

の ζ はCの

と し,そ す る と,上 は,f(z)=

任 意 の 点 で あ っ た か ら,Cの

の お け る テ イ ラ ー 級 数 が 定 義 す る(Cz′)で

れ

(C)∩(Cz′)でf(z)=ψz′(z)

と な る よ うに 定 ま る.ゆ

え に,ハ

ネ ・ボ レ ル の 定 理 に よ っ て,こ 円 の 有 限 個 でCを [図5.16参

れ らの

お お うこ とが で き る

照].こ

ζ1,ζ2,…,ζmと

イ

す

れ らの 円 の 中心 を る と,

(Cζ1),(ζ2),…,(ζm)

はCを

お お い,各(Cζj)で

で正 則 な函 数

は,そ

ψζj(z)が 定 ま り,

(C)∩(Cζj)でf(z)=ψ

図5.16

こ

ζj(z),

(j=1,2,…,m),

が な りた つ.そ

し て,ζjの

隣 の 点 を ζj+1と

で あ る.そ

ら, 

(Cζj)∩(C)で

す る と,こ

れ らの 円 の つ く り方 か

し て,

ψζj(z)=f(z),

(Cζj+1)∩(C)で

ψ ζj+1(z)=f(z)

が な りた つ か ら (Cζj)∩(C)∩(Cζj+1)で ψ ζj(z)=ψ

が な

り た つ.ψ

ζj+1(z)

ζj(z)と

(Cζj)∩(Cζj+1)で

正 則 で あ る か ら,一

定 理 に よ っ て[p.148参

ば な らぬ.し

図5.17

致 の

照],(Cζj)∩(Cζj+1)で

ψζj(z)=ψ

れ はD=(C)∪(Cζ1)∪(Cζ2)∪

…

がK(a;R′)で

ζj+1(z)で

∪(Cζm)で

あ る か ら,R′,(R′>R),をD⊃K(a;R′)⊃(C)と

く る こ と が で き る.ゆ

ろ が,こ

は

な け れ

た が っ て,

と 定 義 す る と,こ (C)⊂Dで

ψζj+1(z)と

え に,F(z)をaで

正 則 で あ る こ と か ら,こ

れ はf(z)のaに

正 則 で あ り, な る よ うに,つ

テ イ ラ ー 級 数 に 展 開 す る と,F(z) の 級 数 はK(a;R′)で

収 束 す る.と

お け る テ イ ラ ー 級 数 と 一 致 す る の で,f(z)のaに

こ

ⅰ

お け る テ イ ラ ー 級 数 もK(a;R′)で の 収 束 半 径 がRで

あ る こ と と 矛 盾 す る.こ

点 は 存 在 し な い,と え に,少

収 束 せ ね ば な ら な い が,こ

仮 定 し た こ と か ら起 こ る の で,こ

な く と も1つ

る.ゆ 弧

γ(a,α)の

はfb(z)の

特 異 点 で な け れ ば な ら な い.こ

γが

点 ζ に お け るfa(z)の で あ る.ゆ な る.ゆ

え に,こ

はfa(z)の

α を 通 る と き,aと 直 接 解 析 接 続fζ(z)の

え に,ζ の

がaか

α を 越 え て,解

照].

属 し て い る.

正 則 で あ る.ゆ

あ っ た か ら,z=α

始 点 とす る 道

と す る と,  →0と

特異

の 仮 定 は 誤 りで あ る.ゆ

α を 除 い て,K(a;Ra)に

を 除 い て,fb(z)は

はfb(z)=fa(z)で

え に,aを

く と,Rζ

周は

の 円 周 の 点 で は,α

K(b;Rb)で

束 円Cにf(z)の

内 接 す る 場 合 を 考 え る[図5.15参

接 点 を α と す る と,K(b;Rb)の

定 理 に よ っ て,z=α

の級数

の 特 異 点 が あ る.

  こ こ で,K(b;Rb)がK(a;Ra)に

ゆ え に,こ

の 矛 盾 は,収

れ は,こ

え に,上

の

の 場 合 に は, 特 異 点 であ

α の間 に あ る γの 収 束 半 径 をRζ

ら γ に沿 っ て α に近 づ 析 接 続 す る こ とは で きな

い.

  そ れ で,fa(z)をaを

始 点 とす る あ らゆ る道 に 沿 っ て 解 析 接 続 す る と き に

で き る 函 数 要 素 の全 体 で で き て い る集 合 を,ワ

イ ヤ シ ュ トラ ス は,fa(z)の

析 接 続 に よ っ て 定 義 さ れ た 解 析 函 数 と い っ て い た.こ れ をF(z)で

解

表 わす こと

に す る.   fa(z)をaか き に,aに

ら 出 てaへ

お け る函 数 要 素 がfa*(z)で

) 

の2つ F(z)は

も ど る閉 じた 道 に 沿 っ て,aま あ っ た とす る と,

ⅱ)  fa(z)=fa*(z)

の 場 合 が あ る.ⅰ)の

場 合に は

多 価 で あ る と い い,ⅱ)の

に は,F(z)は1価

場合

で あ る と い う.

  例 題1.  函 数 要 素f0(z)=1+z+z2+‥ +zn+…

の 解 析 接 続 で 定 義 され た 解 析 函

数 を 求 め よ.   解   函 数 要 素f0(z)の あ って,K(0;1)で

収 束 半 径 は1で

は 図5.18

で 解 析 接 続 した と

で あ る.K(0;1)の

点

ζ1に お け るf0(z)の

直接 解析接 続 は

で あ る.

で あ るか ら

￨z− ζ1￨<￨1−

ζ1￨で あ る と

とな るの で

で あ る.Rζ1=￨1−

ζ1￨で あ る か ら,K(ζ1;￨1−

析 接 続 をfζ2(z)と

す る と

で あ り,上

で や っ た の と,ま

で あ る か ら,￨z−

ζ2￨<￨1−

で あ る こ とが わ か る.ゆ

ζ1￨)の 点

ζ2に お け るfζ1(z)の

直接解

った く 同 じ よ うに し て

ζ2￨に 対 し て

え に,原

点z=0を

始 点 とす る 道 の 任 意 の 点 ζ に お け るf0(z)

の解 析 接 続fζ(z)は

で あ る こ とを 知 る.ゆ え に,f0(z)の

接 続 に よ って 定 義 さ れ た 解 析 函 数 は

で 与 え られ る.   例 題2.  x>0と

(解 終) して 実 函 数 

をx0,(x0>0),を

始 点 とす る

道 に 沿 って 解 析 接 続 す る と,ど の よ うな解 析 函 数 が 定 義 され るか.   解   z=x0,(x0>0),に

お け る 函 数 要 素 を 求 め る.

で あ るか ら

を 得 る*.こ れ は￨z−x0￨<x0の す べ て のzに

とき に 正 則 な 函 数 を 表 わ す が,￨z−x0￨<x0を

対 して

で あ るか ら  (5.20)

* 

はnが

分 数 の と き に も 用 い られ る.

満足 す る

で 与 え られ る.   函 数 要 素fx0(z)の

収 束 円K(x0;x0)の

点z0に

お

け る直 接 解 析 接 続 は

で 与 え ら れ る.(5.20)に

よって

図5.19

で あ るか ら,z0に

お け るfx0(z)の

直接 解析接 続 は

 (5.21)

で 与 え ら れ る.こ

れ はK(z0;￨z0￨)で

正 則 な 函 数 を 表 わ す.そ

し て,K(z0;￨z0￨)のzに

して

と な る の で,

で あ る こ とが わ か る.   こ の 解 析 接 続 を つ づ け る こ とに よ っ て,こ F(z)と

こ に 定 義 され た 解 析 函 数 を す る と,

で あ る こ とを 知 る で あ ろ う.   つ ぎ に,函 数 要 素fx0(z)を,原 を 中 心 と しx0を

半 径 とす る 円 に 沿

っ て 解 析 接 続 して,元 っ た と きに,ど な るか を,調

のx0へ

もど

の よ うな 函 数 要 素 に べ よ う.

  原 点 を 中 心 と し,x0を る 円 をC0と

点

名 づ け る.函

半径 と す 数 要素

図5.22

対

(5.20)のz1∈C0∩K(x0;x0)に き 出 し た の と,ま

お け る 直 接 解 析 接 続 をfz1(z)と

照],z2に

導

っ た く同 じ よ うに し て

で 与 え ら れ る こ と が わ か る.C0の 20参

す る と,(5.21)を

点 でK(z1;￨z1￨)に

お け るfz1(z)の

で 与 え ら れ る.こ

属 す る も の をz2と

す る と[図5.

直接解 析 接続 は

れ を つ づ け る と,x0へ

に,x0e2πiと

表 わ し て お く と,こ

と な っ て,元

の 函 数 要 素 とは 異 な る.ゆ

も ど る が,出

のx0e2πiに

発 した と き の も の と 区 別 す る た め

お け る 函 数 要 素 は,x0*≡x0e2πiと

え に,解

は1価

析 函 数 

し て,

で な い.  (解 終)

  こ と の つ い で に つ ぎ の 定 理 を 証 明 し て お こ う.   函 数 方 程 式 不 変 の 定 理   Φ(p,q,r)は で あ る と す る.aに も の をRaと

お け る 函 数 要 素fa(z),ga(z),ha(z)の

し,K(a;Ra)で

fa(z),ga(z),ha(z)の

そ れ ぞ れ 複 素 変 数p,q,rに

収束 半径 の最 小 の

Φ[fa(z),ga(z),ha(z)]=0が

な りた つ.

  証 明   A(z)=Φ[fa(z),ga(z),ha(z)]はK(a;Ra)で

点bに

す べ て のzに

対 し てA(z)=0が

お け るfa(z),ga(z),ha(z)の

hb(z)と K(b;Rb)で

し,こ

な り た つ と,

解 析 接 続 に よ っ て 定 義 さ れ た 解 析 函 数F(z),G(z),H(z)

に 対 し て も Φ[F(z),G(z),H(z)]=0が

K(a;Ra)の

関 して 正 則

正 則 で あ る.そ な り た つ.K(a;Ra)の

解 析 接 続 を,そ

れ ら の 収 束 円 の 最 小 の も の をRbと

正 則 で あ る.ゆ

して 任意の

れ ぞ れfb(z),gb(z), す る と,こ

え に,B(z)=Φ[fb(z),gb(z),hb(z)]はK(b;Rb)

れ らの 函 数 は

で 正 則 で あ る.   K(a;Ra)∩K(b;Rb)を

満 足 す る す べ て のzに

対 し て,fa(z)=fb(z),ga(z)=gb(z),ha(z) =hb(z)が た つ.ゆ

な り た つ の で,A(z)=B(z)が

zに

対 し てB(z)=0が

正 則 で あ る か ら,p.147で

す べ て のzに た つ.解

え に,K(a;Ra)∩K(b;Rb)の

す べ て の

な り た つ.と

K(a;Ra)∩K(b;Rb)⊂K(b;Rb)で

図5.21

はK(b;Rb)で

な り

対 し てB(z)=0す

こ ろ が,

あ り,B(z)

述 べ た 定 理 に よ っ て,K(b;Rb)の

な わ ち Φ[fb(z),gb(z),hb(z)]=0が

な り

析 函 数 は 解 析 接 続 に よ っ て 得 られ る 函 数 要 素 の 集 合 で あ る か ら,こ

論 法 を く り か え す こ と に よ っ て,Φ[F(z),G(z),H(z)]=0の

の

な りた つ こ と が

わ か る で あ ろ う.

  以 上 で 解 析 函 数 に 関 す る 話 を 終 る が,解

析 函 数F(z)の

存 在 領 域 に つ い て,

少 し触 れ て お き た い と思 う.   F(z)が

函 数 要 素fa(z)の

解 析 接 続 に よ っ て 定 義 され て い る と し よ う.aを

始 点 とす る 道 に 沿 っ て 解 析 接 続 した と き,上

で 述 べ た よ うに,解

析接 続 は特 異

点 で と ま っ て しま う.ゆ え に,こ れ らの 特 異 点 の集 合 が,解

析函 数 の存 在 領域

の 境 界 と な るわ け で あ る.そ れ で,こ

自然 境 界 と い う.

  た とえ ば,函

れ を 解 析 函 数F(z)の

数要 素 f0(z)=z+z2+z4+z8+…+z2n+…

を 考 え る.こ も1つ

れ はK(0;1)で

正 則 で あ る か ら,円

の 特 異 点 が あ る.そ

れ で,z=1が

周￨z￨=1に

は,少

な くと

特 異 点 で あ る と し よ う.

f0(z2)=z2+z4+z8+…+z2n+…=f0(z)−z

で あ る か ら,K(0;1)の

す べ て の2に

対 し て,函

数方 程式

f0(z)=z+f0(z2) が な りた つ.上

の 函 数 方 程 式 不 変 の 定 理 に よ っ て,f0(z)の

定 義 さ れ た 解 析 函 数f(z)に   (5.22)  が な り た つ.こ

対 し て も な りた つ.ゆ f(z)=z+f(z2)

れ よ り

えに

解 析 接続 に よ って

f′(z)=1+2zf′(z2)

が 得 ら れ る.z=−1でf(z)が

微 分 可 能 で あ る と す る と,z→−1と

すれ ば

と な る の で,z=1でf′(z)値

が 存 在 す る こ と に な り,f(z)はz=1で

正

則 と な っ て 不 都 合.ゆ はf(z)の

え に,f′(−1)は

存 在 し 得 な い.し

た が っ て,z=−1

特 異 点 で あ る.

  (5.22)に

よって f(z2)=z2+f(z4)

が な りた つ の で,函

数方 程式 f(z)=z+z2+f(z4)

が な りた つ.z4=1の4根

は,f(z)の

特 異 点 で あ る*.こ

の操 作 をつ づ け る と

f(z)=z+z2+z4+z8+…+z2n−1+f(z2n) を 得 る が,こ

れ か ら,z2n=1の

知 る.こ

の根 は

の2n個

で あ り,こ

つ れ て,そ +∞

れ ら は 円￨z￨=1の

の 数 が 増 し,こ

点 は,み

各 点 が,こ

な 特 異 点 で あ る.ゆ

特 異 点 であ る ことを

点 で あ る.そ

れ ら の 点 の 相 互 距 離 が,小

と す る と き,円￨z￨=1の

￨z￨=1の

根 が こ と ご と くf(z)の

し て,nが

大 き くな る に

さ く な る.そ

れ で,n→

れ ら の 点 の 集 積 点 と な る.ゆ

え に,円￨z￨=1は,函

えに

数 要 素f0(z)

で 定 義 さ れ た 解 析 函 数 の 自 然 境 界 で あ る.

は函数 要 素 

  問7. 

の 直 接 解 析 接 続 で あ る こ とを 示 せ.

 問8.  実 変 数 の 場 合 に

で あ る こ とが 示 され て い る.こ る道 に 沿 っ て,解

れ を,z=1を

始 点 と し,原 点z=0を

通 らな い あ らゆ

析 接 続 して 得 られ る函 数 要 素 で 定 義 され た 解 析 函 数 は,ど

の よ うな も

の で あ る か.  問9. 

級 数 

の 収 束 円 が￨z￨=1で

あ り,こ

の 円 が,こ

の 級 数 が 定 義 す る函 数

の 自然 境 界 で あ る こ と を 示 せ. *  も し .こ の 根 が 正 則 点 で あ る と,z=1がf(z)の

正 則 点 と な っ て,不

都 合 で あ る.

5.4 

ロー ラ ンの 定 理

R1,R2,(0≦R1
与 え ら れ て い る と き,{z￨R1
の同 心 円で 囲 まれ て い る の

れ を 円 環 領 域 と い い,(R1,R2)で

こ と に す る.f(z)は(R1,R2)で zを(R1,R2)の
正 則 で あ り,

任 意 の 点 と す る.R1<ρ1<ρ2

な る ρ1,ρ2を,zが

円 環 領 域(ρ1,ρ2)

の 内 点 と な る よ うに 選 ぶ[図5.22参   aを

づ け,zを

中 心 と しrを

と 名 づ け て,半

境 界 を,そ

半 径 と す る 円,す れ ぞ れC1,C2と

な 名

半 径 と す る 円 をC0

うす る と,函

ら(C0),(C1)を

正 則 で あ る か ら[図5.23参

数

除 いた 部分 で 照],p.120で

示 した 定 理 に よ っ て

が な りた つ.f(z)は(C0)で

で あ る.ゆ

照].

径rを(C0)⊂(ρ1,ρ2)と

な る よ うに 選 ぶ.そ

は(C2)か

中 心 と し,ρ1,ρ2を

わ ち(ρ1,ρ2)の

図5.22

示す

図5.23

正 則 で あ る か ら,コ

ー シ ーの積 分 公式 に よって

えに

 (5.23)

を 得 る.   C2の

点 ζ に 対 し て は￨ζ−a￨=ρ2>￨z−a￨で

あ る か ら,本

章の

§1の

テ

イ ラ ー の 定 理 の 場 合 と,ま

っ た く 同 じ よ うに し て

 (5.24)

 (5.25)

の な りた つ こ と が わ か る.   C1の

点 ζ に 対 し て は,￨ζ−a￨=ρ1<￨z−a￨が

な りた つ の で,

図5.24

であ るか ら

を 得 る.前

に や っ た の と,ま

っ た く同 じ よ うに して

で あ る こ と が 示 せ る の で[p.144参  (5.26)

と置 く と

照],

ρ

を 得 る.ゆ

え に,こ

れ らを(5.23)に

代入する と

 (5.23*)

が 得 ら れ る.aを 半 径 と す る 円Cを で,函

中 心 と し,

を

, 

え が く と,円

環 領 域(C,C2)

数

は正 則 で あ る の で,p.120の

定 理 に よ って

図5.25

が な り た つ.ゆ

えに

 (5.25*)

を 得 る.ま

た,円

環 領 域(C1,C)で,函

数f(ζ)(ζ−a)k−1は

正 則 で あ る か ら,

上 と ま っ た く同 じ よ う に し て

で あ る こ と が わ か る.ゆ

えに

 (5.26*)

を 得 る.こ れ は

と 書 け る の で,こ

れ は(5.25*)に

ほ か な ら な い こ と を 知 る.ゆ

お い て,kの

え に,こ

か わ りに−kを

れ ら の こ と を ま と め る と,つ

置 い た もの に ぎ の こ とが

い え る.  ロ ー ラ ン の 定 理  函 数f(z)が,円 は

環 領 域(R1,R2)で

正 則 で あ る と,こ

れ

 (5.27)

と表 わ す こ とが で き る.こ

の場 合 に

 (5.28)

で あ っ て,Cはaを

中 心 と し,r,(R1
半 径 とす る 円 の こ と で あ

る.  (5.27)をf(z)の

を,f(z)の に,こ

ロ ー ラ ン 級 数 と い う*.な

ロ ー ラ ン級 数 の 主 要 部 と い う.ま

の 級 数 の 係 数 はf(z)だ

級 数 は,た   例 題1. 

お,(5.27)に

お いて

た,(5.28)を

見 た らわ か る よ う

け に よ っ て 確 定 す る の で,こ

の函数 の ロー ラ ン

だ ひ と と お り し か な い の で あ る. 函 数

の1<￨z￨<2に

お け る ロ ー ラ ン 級 数 を 求 め よ.

  解   原 点 を 中 心 と しr,(1
名 づ け る と,(5.27)に

半径 と よって

図5.26

と 書 け る.k≧0の

と き に は,1/ζ−2

*  ロ ー ラ ン(Pierre が,1843年

Alphonze

は(C)で

Laurent

正 則 で あ る か ら[図5.26参

, 1813-1854)は,フ

に こ れ を 樹 立 し た の で あ る.し

定 理 の 拡 張 ぐ ら い に 考 え て い て,真

照],

ラ ンスの軍人 で あ っ た

か し ロ ー ラ ン は こ の 定 理 を,テ

価 を 知 ら な か っ た よ うで あ る.

イ ラーの

 ま た, 

は(C)で

ζ=1を

除 い て 正 則 で あ る か ら,原

ζ=1を

中 心 とす る 小 さ な 円C0,C1を

く と,p.120の

ζ=0, 点, えが

定 理 に よ って

図5.27

が な りた つ の で,こ

れを計 算す る と [p.128の(4.23)]

で あ るか ら

を 得 る.ゆ

 k<0の

で あ る.ゆ

えに

と き に は,k=−pと

置 く と,p≧1で

あ るか ら

え に,

(解 終)  問10.  1つ の 円 環 領 域 で 正 則 な 函 数 の ロ ー ラ ン級 数 に よ る表 示 は,た あ る こ とを,直

接 に 証 明 せ よ.

だ ひ と とお りで

  問11. 

は1<￨z￨<2で

函 数 

正 則 で あ る.こ

こに お け る これ の ロ ー ラ

ン 級 数 を 求 め よ.   函 数f(z)は

を除

領 域Dで,a, 

い て 正 則 で あ る と す る と,aはf(z)の 特 異 点 で あ る.aか 離 をdと

し,aを

円 をCdと

らDの

え に,ロ

境 界 までの 最短 距

中 心 と し,dを

す る と,(Cd)⊂Dで

f(z)は(Cd)でaを

孤立

半 径 とす る あ る か ら,

除 い て 正 則 で あ る.ゆ

ー ラ ンの 定 理 に よ って

図5.28

 (5.29)

と 表 わ す こ と が で き る.こ

れ を 特 に,z=aに

お け る ロー ラ ン展 開 と い う こ と

も あ る.  こ の 展 開 の 主 要 部 に 対 し て,つ  ⅰ )  a−k=0,k≧1の

場 合.こ

ぎ の3つ

の 場 合 が 考 え られ る:

の 場 合 に は,(5.29)は

 (5.30) f(z)=a0+a1(z−a)+a2(z−a)2+…+an(z−a)n+… と な る が,こ

れ は,aを

中 心 と し ρ,(0<ρ
る と,(Cρ)で

連 続 で あ る か ら[p.53参

た が っ て,リ

ー マ ン の 定 理 に よ っ て,aは

 ⅱ)  a−k=0,k≧m+1の

場 合.こ

照],f(z)は

半 径 と す る 円 をCρ

こ こ で 有 界 で あ る.し

除 去 可 能 な 特 異 点 で あ る. の と き に は 

で あ る か ら,z=a

に お け る ロ ー ラ ン展 開 は

と な る. a0+a1(z−a)+a2(z−a)2+…+an(z−a)n+…

は(Cd)で

正 則 な 函 数 を 表 わ す の で,こ れ をg(z)で

と 書 く こ と が で き る.そ

して

とす

示 す と,上 の 展 開 は

で あ るか ら

で あ る.そ

して

で あ るか ら h(z)=a−m+1+a−m+2(z−a)+…+a−1(z−a)m−2+(z−a)m−1g(z)

と置 くと

と 書 け る の で,

max(￨a−1￨,￨a−2￨,…,￨a−m+2￨,￨a−m+1￨)=Aと

す

る と

｜h(z)￨≦A(1+￨z−a￨+…+￨z−a￨m−2)+￨z−a￨m−1￨g(z)￨.

g(z)は(Cd)で

正 則 で あ る か ら,任

則 で あ る の で,こ (Cρ)のzに

こ で￨g(z)￨≦Gと

対 して

する と

とな る の で

と す る と*

* 

を 解 け ば よい.

ρ,(0<ρ
い っ た 正 の 数Gが

が な りた つ.max(A,G)=Mと

と な る. 

意の

対 し て(Cρ)で 定 め ら れ る.ゆ

正

え に,

とな る の で

を 得 る.ゆ

え に,Lが

満 足 す る す べ て のzに

を

ど の よ うに 大 き な 数 で あ っ て も, 

対 して*,

 (5.31) ￨f(z)￨>L

が な りた つ.そ

と す る と,￨z−a￨
れ で, 

を 満 足 す る す べ て のzに

と き のf(z)の z=0は

対 し て,(5.31)が

な り た つ.ゆ

え に,z→aと で あ る.し

極 限 値 は 確 定 して い て, 

した

た が っ て,

極 で あ る.

 ⅲ )  す べ て のkに

対 し て 

能 な 特 異 点 で は な い.な (ε
ぜ な ら,aが

の 場 合.こ

除 去 可 能 な 特 異 点 で あ る と,正

じ ゅ うぶ ん に 小 さ く と っ て お け ば,aを

Cε を つ く る と き,(Cε)の

す べ て のzに

の と き に は,z=aは

対 し て,￨f(z)￨≦Mと

定 ま るか ら

を 得 る.こ

の εは ど の よ うに 小 さ く と も よ い の で あ る か ら,こ あ る と い う こ と に ほ か な らな い.ゆ a−k=0,(k=1,2,3,…),

* 

を 解 け ば よ い.

の 数 ε,

中心 と し εを 半 径 とす る円

の 数Mが

た つ こ と は,￨a−k￨が0で

除去 可

な る よ うな 正

の不等 式 が な り えに

と な っ て,仮

定 に 反 す る.

 ま た,z=aは

極 で は な い.な

と,p.152の(5.9)に

よ っ て,z=aで

と 表 わ す こ と が で き る が,こ 問10,参

照],仮

ぜ な ら,こ

函 数f(z)の

極 で は な い.

真 性 特 異 点 で あ る.

 こ れ ら の こ と を ま と め る と,つ   aが

の極 であ る

ロ ー ラ ン 展 開 で あ る か ら[p.174,

え に,z=aは

 以 上 の こ と か ら,z=aはf(z)の

と え ばm位

は

れ はf(z)の

定 に 反 す る.ゆ

れ が,た

ぎ の 定 理 が 得 ら れ る:

孤 立 特 異 点 で あ る と き,こ

こ に お け るf(z)の

ロ ー ラ ン展

開 に おい て  ⅰ)  主 要 部 を 欠 く と き は,除

去 可 能 な 特 異 点, ⅱ

)  主 要 部 の 項 数 が 有 限 で あ る と き は,極,  ⅲ)  主 要 部 の 項 数 が 無 限 で あ る と き は,真

性 特 異点

で あ る.  い ま ま で 述 べ た 話 で は  で あ っ た が,a=∞ の と き,す

なわ ち無 限 遠

点 が孤 立特 異点 で あ る と き,を

考 え る.こ

に は,定 37の

の とき

義 に よ っ て[p.

注 意 参 照],z=1/ζ

図5.29

と置 い て

と な る と き,ζ=0がφ(ζ)の て

孤 立 特 異 点 で あ る か ら,ロ

ー ラ ンの 定 理 に よ っ

と な る が,こ

のC′

と す る と[図5.29参

と な っ て,Cと

に よ る像 で あ るか ら,Cの

はCの 

照],C′

の方 程式 は

は 向 き が 反 対 と な っ て い る.そ

して

と な る が,

であ るか ら

とな る.と

こ ろがCの

で あ るか ら 

を 得 る.ゆ

え に,積

と な る.し

た が って

方 程 式 は,上

で 述 べ た よ うに

とな る の で

分 の定 義 に よ って

方 程式 を

と な る.こ

れ よ り

が 出 て く る の で,つ   z=∞

ぎ の こ と が い え る.

が 函 数f(z)の

孤 立 特 異 点 で あ る と,こ

こに お け る ロ ー ラ ン展 開 は

 (5.32)

で あ る.そ

し て,係

数は

 (5.33)

で 与 え られ る.  こ の 場 合 に は a−1z+a−2z2+…+a−nzn+…

が 主 要 部 で あ り, 

の と き に 述 べ た 定 理[p.178]は,そ

の ま まあ ては ま

る.   例 題2. 

z=aが

孤 立 特 異 点 で あ っ て,0<￨z−a￨
(z−a)mf(z)が

有 界 で あ る と,aは

除 去 可 能 な 特 異 点 で あ る か,ま

  解   函 数(z−a)mf(z)は0<￨z−a￨
照],z=aは

満 足 す る す べ て のzに

正 則 で あ り,有

た は 極 で あ る.

界 で あ る か ら,リ

除 去 可 能 な 特 異 点 で あ る.し

対 して

ー マ ンの

た が っ て,z=aに

お け る ロ ー ラ ン級 数 は (z−a)mf(z)=c0+c1(z−a)+c2(z−a)2+… とな るので

と 書 け る.ゆえ あ り,こ

に,c0,c1,…,cm−1の

と ご と くが0で

  例 題3. 

z=∞

  解   (5.32)に

中 に,0で

あ る と き に は,除

はezの よ っ て,ロ

な い も の が あ る と き は,z=aは

去 可 能 な 特 異 点 で あ る. 

真 性 特 異 点 で あ る.こ

極 で (解 終)

こ に お け る ロ ー ラ ン展 開 を 求 め よ.

ー ラ ン級 数 は

 (5.34)

で与 え られ る.こ をCと

す ると

の 場 合 に,原

点 を 中 心 と し,じ

ゅ うぶ ん に 大 き な 値Rを

半 径 とす る 円

で あ り,k≧1と

す る と,ezzk−1は(C)で

正 則 で あ る か ら,コ

ーシ ーの積 分定 理 に よっ

て

で あ る.し

た が って ak=0, 

(k≧1),

を 得 る.   k<1の

と き に は,kが

(p≧0),と

置 くと

と な る.ゆ

え に,(5.34)は

と な る.す

なわち

整 数 で あ る こ と か ら,k≦0と

な る.そ

れ で,k=−p,

を 得 る. 

(解 終)

 例 題4.  z=ζ

が 函 数f(z)の

孤 立 真 性 特 異 点 で あ る と き,こ

の 函 数 はz=ζ

の近 傍

で は 有 界 で は な い.  解   z=ζ

を 中 心 とす る円Cを,(C)に

に つ くる と,ロ

で あ る か ら,(C)に

とな る.こ

のrは

以 外 のf(z)の

特異 点 が な い よ う

ー ラ ンの 定 理 に よ っ て

と書 く こ とが で き る.こ

仮 定 す る と,Cの

はz=ζ

の場 合 に

お い て￨f(z)￨≦Mが 半 径 をrと

な りた つ,と

い っ たM(>0)が

すれば

ど の よ うに 小 さ い も の で あ っ て も よ い の で a−k=0, 

(k=1,2,3,…),

存在 す る と

ⅰ ⅲ) ⅱ

で あ る.ゆ

え に,z=ζ

と な る が,こ

に お け るf(z)ロ

れ はf(z)のz=ζ

ー ラ ン級 数 は

に お け る テ イ ラ ー 級 数 で あ る.ゆ

の 除 去 可 能 な 特 異 点 で あ る.し

た が っ て,f(z)はz=ζ

ζ に 課 せ ら れ た 仮 定 に 反 す る.ゆ

え に,f(z)はz=ζ

え に,z=ζ

で 正 則 と な る.こ

はf(z) の こ と は,

の近 傍 で 有 界 とな る こ とは な い

(解 終)   問12. 

z=0は,つ

ぎ の 函 数 の 特 異 点 で あ る が,そ ) 

 問13.  つ ぎ の函 数 は,無

の 種 類 を 調 べ よ:

ⅱ ) 

限 遠 点 で 正 則 で あ るか.も

し,正 則 で な い な らば,特

異 点は

どの よ うな 種 類 の も の で あ るか. ⅰ ) 

) 

 無 限 遠 点 を こめ た 全 平 面,す しな い こ とは,リ

な わ ち 拡 張 され た 複 素 平 面 で 正 則 な 函 数 は 存 在

ゥ ヴ ィル の 定 理 が 保 証 して い る の で,わ れ わ れ が 拡 張 され た

全 平 面 を 考 え る と き に は,函 で,ま ず,無

ⅲ)

数 とい え ば,こ れ は か な らず 特 異 点 を も つ.そ

限 遠 点 だ け が 特 異 点 で あ る場 合,す

れ

な わ ち 整 函 数 を 考 え る.

 ⅰ)  無 限 遠 点 が 極 の 場 合  無 限 遠 点 ∞ だ け が 極 で あ る整 函 数 をf(z)と

す る と,∞

に お け る この 函

数 の ロー ラ ン展 開 は

と な る が,p.180の(5.33)に

で あ る.こ

のCは

よ っ て

原 点 を 中 心 と しRを

半 径 と す る 円 で あ っ て,こ

うに 大 き な も の で あ っ て も よ い.   k≧1と

で あ る.ゆ

す る と,f(z)は(C)で

正 則 で あ るか ら

え に, ak=0, 

(k=1,2,3,…),

のRは

どの よ

を 得 る.し

た が っ て,上

とな る.一 般 に,あ

の 展開 は

る領 域 で,極

以 外 の特 異 点 を も た な い と き,そ

の 函 数 は,

そ の 領 域 で 有 理 型 で あ る とい うの で,無 限 遠 点 が 極 で あ る整 函 数 を,有

理 型整

函 数 とい うか わ りに 有 理 整 函 数 とい う.  ⅱ)  無 限 遠 点 が 真 性 特 異 点 の 場 合  こ の場 合 に は,こ

で あ る.ⅰ)の

の 整 函 数 をf(z)と

場 合 と,ま

で あ る こ と が 示 せ る.ゆ

と な る.こ

  a) 

に お け る ロー ラ ン展 開 は

っ た く 同 じ よ うに し て, ak=0, 

(k=1,2,3,…),

え に,f(z)の

∞

の 場 合 に は,f(z)を

 つ ぎ に,全

す る と,∞

に お け る ロ ー ラ ン級 数 は

超 越 整 函 数 と い う.

平 面 で 有 理 型 で あ る 函 数 を 考 え る.

極 がp個

う ち の ど れ か1つ

の 場 合 に は,こ は,∞

れ をb1,b2,…,bpと

す る と,こ

で っ て も よ い.f(z)のz=bjに

れ ら のbjの

お け る ロ ー ラ ン級

数 の主 要 部を

と す る と*,f(z)のz=bjに

お け る ロ ー ラ ン級 数 は f(z)=Gj(z)+gj(z)

と な る.こ

の 場 合 に,gj(z)はz=bjで

正 則 な 函 数 で あ る.こ

こで

を つ く り,

を 考 え る と,た *  bj=∞

と え ばz=bkの

の 場 合 に は

近 傍 で は,ロ

ー ラ ン級 数 は

,Gj(z)=a−1(j)z+a−2(j)z2+…+a(j)−mjzmjで

あ る.

f(z)=Gk(z)+gk(z) と な る の で,

で あ る.ゆ

え に,φ(z)はz=bkで

素 平 面 で 正 則 で あ る.リ わ か る か ら,し

正 則 で あ る.し

ゥ ヴ ィ ル の 定 理 に よ っ て,φ(z)≡

張 され た 複

定 数 で あ る こ とが

た が っ て, (Cは

と 書 け る.ゆ

た が っ て,拡

定 数),

えに

で あ る.こ れ を 整 理 す る と

とな る.ゆ え に,拡

張 さ れ た 複 素 平 面 で,有 限 個 の 極 しか 持 た な い 函 数 は,有

理 函 数 で あ る.   b)  極 の 個 数 が 無 限 で あ る場 合 に は,こ α=∞

で あ る.な

は な い.も

ぜ な ら, 

し,こ の 函 数 がz=α

れ らの 極 の 集 積 点 を α とす る と,

とす る と,こ

の α は この函数 の 正則 点 で

で正 則 で あ る と,α

の 近 傍V(α)を,こ

の 中 の す べ て のzに 対 して こ の 函 数 が 正 則 で あ る よ うに つ く る こ とが で き る. これ は,α

が 極 の 集 積 点 で あ る こ とに 反 す る.ゆ

こ ろ が,こ

の αは 極 で は な い.な

って も,そ

こに は こ の 函 数 の 極 が あ るか ら,α は 孤 立 特 異 点 で は な い.こ

とは,こ α=∞

ぜ な ら,α

は 特 異 点 で あ る.と

の 近 傍V(α)を

どの よ うにつ く のこ

の 函 数 の 特 異 点 は 極 だ け で あ る,と い う仮 定 に 反 す る.し た が っ て, で な け れ ば な らぬ.

 こ の よ うに,全

平 面 で 有 理 的 で あ っ て,無 限 に た く さ ん の 極 を も つ 場 合 に,

極 の集 積 点 は 無 限 遠 点 で な け れ ば な らぬ.そ られ た と きに,こ うか,と

え に,α

れ で,∞

を 集 積 点 とす る 点 が 与 え

れ らの 点 を 極 とす る有 理 型 函 数 を つ く る こ とが で き る で あ ろ

い う問 題 が 考 え られ る.し か し,こ れ は む ず か し い 問 題 で あ る.こ れ

ⅰ ⅲ) 

を み ご とに 解 決 した の が

ミ ッ タ ク ・ レ フ ラ ー*で あ っ て,ミ

の 定 理 と い う名 で 知 ら れ て い る が,こ はz=0を

  問14.    問15. 

f(z)は

あ る と し て,こ

  問16. 

真 性 特 異 点 と して い る こ とを 証 明 せ よ.

た,z=1,z=3だ

け が,そ

れ ぞ れ1位

け が1位

の極

の 零 で あ る と い う.f(∞)=

の 函 数 の 形 を 定 め よ.

函 数f(z)はz=1−i,z=1+iを1位

れ ぞ れ2位

れ に は 触 れ な い こ と に す る.

拡 張 さ れ た 複 素 平 面 で 有 理 型 で あ っ て,z=i,z=−iだ

で あ る とい う.ま 1で

こ で は,そ

ッ タ ク ・ レフ ラ ー

の 極 と し,拡

の 零,z=−1+i,z=−1−iを

張 さ れ た 複 素 平 面 で は,こ

そ

れ 以 外 の 特 異 点 を も た な い と い う.

こ の 函 数 の 形 を 定 め よ.

演 習 問 題5

の 分 枝 の うち,z=0の

  5.1  函 数  のz=0に

と き に1と

な る も の を 選 ん で,函 数 

お け るテイ ラー級数 は

で 与 え られ る こ と を 示 せ.   5.2  log(1+z)の に お い て,テ

分 枝 の う ち,log1=0と

な る も の を 選 ん で,つ

 ⅱ )

ⅰ)  log(1+z),

  5.3 

つ ぎ の 函 数 を,円

環 領 域0<￨z−2￨<1に

 5.4  つ ぎ の 函 数 は,z=0で ば,こ

ぎ の 函 数 を,z=0

イ ラ ー 級 数 に 展 開 せ よ:

お い て,ロ

正 則 で あ る か,ま

ー ラ ン 級 数 に 展 開 せ よ.

た は 正 則 で な い か を 調 べ,特

異点なら

れ の 種 類 を 判 別 せ よ: ⅱ ) 

) 

 5.5  函 数f(z)は4位 の 極 を,そ

れ ぞ れ1個

の 零 点 を6個

ⅳ)

持 ち,3位

ず つ も っ て い て,こ

と い う.こ の 函 数 は 無 限 遠 点 を2位

の極,4位

の ほ か に は,有

の 極,7位

の極 お よ び8位

限 の位 置 に 特 異 点 を も た な い

の 極 と し て い る こ とを 示 せ.

 5.6  函 数 *) 

ミ ッ タ ク ・ レ フ ラ ー(Gosta 者 で,ワ

Mittag-Leffler

イ ヤ シ ュ ト ラ ス の 門 下 生 で あ る.後

, 1846-1927)は,ス に,ス

エ ー デ ンの 数 学

トッ ク ホ ル ム 大 学 の 学 長 に な っ

た が,こ の 学 者 の 数 学 に お け る 貢 献 は,こ の 定 理 の ほ か に,国 Mathematicaを 創 刊 し,数 学 の 発 展 に 寄 与 し た.

際 的 な 刊 行 物Acta

を,z=nπ

で ロ ー ラ ン 級 数 に 展 開 せ よ.こ

  5.7  z=aが

函 数f(z)の2m位

のnは

整 数 で あ る.

の 極 で あ る と き,こ

の 点 は 

のm位

の極 で

あ る こ と を 示 せ.

 5.8  べ き 級 数 

を,原

点 を 始 点 とす る あ らゆ る道 に

沿 って解析 接続 して定義 された 解析 函数 を 求め よ.   5.9 

せ.

は1+z+z2+…+zn+…

の直 接解析 接続 で あ るこ とを示

6.  留 数 定 理 とその 応用

 6.1  留

数

 函 数f(z)の っ て,aの

定

理

特 異 点 をaと

の と き に は,ロ

す る. 

ー ラ ンの定理 に よ

近傍 で は

と表 わ す こ とが で き る.aを

囲 む 単 純 な 閉 じた 道 γを,(γ)に

はa以

外 のf(z)

の 特 異 点 は 存 在 しな い よ うに つ く る こ とが で き る.こ の 級 数 が γで 一 様 収 束 で あ る こ と か ら,項 別 に 積 分 す る こ とが で き る.そ

うす る と,整 数mに

対 して

で あ る こ とが わ か る か ら

を 得 る.こ f(z)の

図6.1

の 積 分 の 値 を,2πiで

割 っ た も の を,孤

立 特 異 点aに

と表 わ す こ と に す る.そ

留 数 と い い, 

うす る と

 (6.1)

を 得 る.ま

た,a=∞

の と き に は,原

点

を 中 心 と し,じ

ゅ うぶ ん に 大 き な 半 径 の

円Cを,(C)の

外 部 に は,∞ 以 外 のf(z)

の 特 異 点 が 存 在 し な い よ う に,つ と が で き る.そ

れ で,(C)の

じ た 単 純 な 道 γを つ く っ て,積

くるこ

外 部 に,閉 分

図6.2

お け る函数

を 考 え る.f(z)の

∞

に お け る ロ ー ラ ン 展 開 は,前

に 示 し た よ うに,[p.180

の(5.32)],

で あ り,こ れ は γで 一 様 収 束 で あ るか ら

と な る.ゆ

え に,

を 得 る.こ

の 積 分 の 値 を,孤

立特 異点

 と表 わ す こ とに す る.そ

∞

に お け るf(z)の

留 数 と い っ て,

うす る と

と 書 け る.

 注意 

の 場 合 で も,f(z)のaに

に は, 

で あ る.ま

な らば 

た,a=∞

お け る ロ ー ラ ン 級 数 に お い て,a−1=0の の 場 合 に は,f(z)が

∞

とき

で 正 則 で あ っ て も 

で あ る.

  例 題1.

  解   z2−1=0の る.そ

し て,こ

根 は,z=1,z=−1で

あ る か ら,1と−1は

あ

の 函数 は

と 書 け る の で,z=1を

中 心 と す る 円C1を,(C1)に

が な い よ う に つ く る.そ

うす る と 

また,z=−1を

特 異 点(極)で

中 心 とす る円C2を(C2)に

はf(z)の

は(C1)で

ほ か の 特 異 点z=−1

正 則 で あ る か ら,

はz=−1以

外 の特 異点が 現わ れ ない よ

うに つ く る と,

とな る.z=∞

に お け る状 態 を見 るた め に, 

と な り,ζ=0に ∞

と置 く と

お い て 正 則 で あ る こ とが わ か る.ゆ

に お い て 正 則 で あ る.と

こ ろ が,￨z￨を

え に,定

義 に よ っ て,f(z)はz=

じ ゅ うぶ ん に 大 き く と る と

で あ るか ら,

で あ る[上 の 注 意 参 照].な

と な るが,こ

お,

れ は 重 要 な 性 質 で あ る[p.190の

 留 数 に 対 し て は,つ

定 理 参 照]. 

ぎ の 定 理 が 重 要 で あ る.

 留 数 定 理   函 数f(z)は

領 域Dで,有

則 で あ る と,α1,α2,…,αnを

限 個 の 点α1,α2,…,αn

囲 む 閉 じた 単 純 な 道 を γ とす れ ば

で あ る.   証 明   αkを

(解 終)

中 心 と す る 円 γkを

と な る よ う に つ く る と,p.120の

定理 に よ って

を除 い て 正

とな るが,留

数 の定義 に よって

で あ る か ら,

を 得 る.

 この 定 理 で は 

(k=1,2,…,n),で

が あ っ た 場 合 に は ど うな るか,が

あ っ た が,αkの

問 題 とな るが,そ

中 に 無 限 遠 点

れ に 対 し て は,つ

ぎ の定理

が あ る.  函 数f(z)が

拡 張 され た 複 素 平 面 で,有

限 個 の 点α1,α2,…,αn

を 除 い て,

正 則 で あ る とす る と,

で あ る.  証 明   2つ の 場 合 が 考 え られ る.  ⅰ ) 

(k=1,2,…,n),の

場 合.こ

む 単 純 な 閉 じた 道 γを つ くる こ とが で き る.そ

の 場 合 に は,す

べ て の

αkを

囲

うす る と,上 の 留 数 定 理 に よ っ

て

で あ る.と

こ ろ が,(γ)の

外 部 で は,∞

を こ め て,f(z)は

正則 で あ るか ら

ゆえに

を 得 る.  ⅱ)  αkの

なか に ∞

般 性 を 失 わ な い.そ

が あ る 場 合.こ

の と き に は,αn=∞

うす る と,α1,α2,…,αn

と 考 え て も,一

−1は 有 限 の 位 置 に あ るか ら,こ

れ らの 点 を 囲 む 閉 じた 単 純 な 道 を γ とす る と,上 の 留 数 定 理 に よ っ て

を 得 る.と

ころ が,(γ)の

で あ る.ゆ

えに

外 に あ る特 異 点 は ∞ だ け で あ る か ら

と な り,

が 出 て く る.  例 題2.  つ ぎ の積 分 の値 を 求 め よ. Cは 原 点 を 中 心 と し2を 半 径 とす る 円.

  解  函 数

の 特 異 点 はz=0,z=i,z=−i,z=∞ あ る か ら,留

で

数 定理 に よって

が な りた つ.原

点,i,−iを

中 心 と し,小

半 径 の 円 を,そ

れ ぞ れC0,C1,C2と

し,こ

さい れ

らを   (Ck)⊂(C), 

と な る よ うに つ く る.そ

(k=0,1,2),

うす る と

図6.3

ゆ えに

す なわ ち

を得 るの で

(解終)   例 題3. 

f(z),g(z)がz=aで

正 則 で あ っ て, 

で あ る が,aがg(z)の1位

の零 であ る と

で あ る.  解  aを 中 心 とす る 円Cを,(C)に

はa以

外 のg(z)の

零 は な い よ うに つ くる と,留

またz=aに

お い て 正 則 で あ るか ら,当

数 の定 義に よって

g(z)はz=aに

と書 け る[p.66参 然 に,連

お い て 正 則 で あ るか ら

照].こ

の 場 合 に,η(z)も

続 で あ る.ゆ え に, 

が な りた つ.ゆ

え に,η(a)=0.こ

のこ

とか ら

(解終)

 ⅰ)   ⅱ  ⅲ

 注 意   これ は,便 で 取 り扱 うが,そ

利 な 公 式 で あ る.特 に,留

の場 合 に,よ

 問1.  例 題2に

数 を 用 い て 定 積 分 の 計 算 を す る場 合 を 後

く用 い る.

お い て, 

を,直

接 に 計 算 せ よ.

 問2.  つ ぎ の 積 分 の値 を求 め よ. (Cは2iを

) 

中 心 と し,3を

半 径 とす る 円).

(Qは3+3i,3−3i,−3+i,−3−3iを

(Cは 原 点 を 中 心 と し,1を

) 

  問3.  f(z)の

極aに

のaに

頂 点 と す る 正 方 形).

半 径 とす る 円).

とす る と き, 

お け る ロ ー ラ ン 展 開 の 主 要 部 を 

お け る 留 数 を 求 め よ.

  6.2  ル ー シ ェ の 定 理   領 域Dに

あ るf(z)の

と に す る と,つ

の 数 をn(D;∞)と

表わ す こ

ぎ の 定 理 が 重 要 で あ る.

 函 数f(z)は,閉 則 で あ っ て,γ

零 点 の 数 をn(D;0),極

じた 単 純 な 道 γで 囲 ま れ た 領 域Dで で 

有 理 型 で あ り,γ で 正

である と

 (6.2)

で あ る.こ

の 場 合 に は,n位

 証 明   Dに

あ るf(z)の

ν1,ν2,…,νmと ぞ れ

で あ る.ま

た,留

零 点 をa1,a2,…,amと

す る.ま

π1,π2,…,πnと

の 零 ま た は 極 は,n個

たDに

す る.そ

に 数 え る と し て お く. し,そ

あ る 極 をb1,b2,…,bnと

れ の位数 を それ ぞれ し,そ

の位数 を それ

う す る と 

数定 理 に よって

 (6.3)

が な りた つ.   z=akがf(z)の

νk位 の 零 で あ る か ら,f(z)はz=akの

近 傍 で正 則 で

あ る.し

た が って f(z)=(z−ak)νkgk(z)

と 書 く こ と が で き る.こ

の 場 合 に, 

で あ っ て,gk(z)はz=akの

近 傍 で 正 則 な 函 数 で あ る. f′(z)=νk(z−ak)νk−1gk(z)+(z−ak)νkgk′(z) で あ る か ら

で あ る.akを

中 心 と す る 小 さ な 円Ckを,(Ck)に

極 が な い よ うに し て お く.そ

は(Ck)で

と な る. 

で あ る.ゆ

はak以

零や

うす る と

正 則 で あ るか ら

え に,

  z=bkがf(z)の

πk位

の 極 で あ る と,z=bkの f(z)=(z−bk)−

と 書 く こ と が で き る.bkを

近傍で

πkhk(z)

中 心 と す る 小 さ な 円Ck′

の 極 や 零 が 存 在 し な い よ うに つ く っ て お く と,(C′k)で る.上

外 のf(z)の

を,(Ck′)に は

はbk以

外

 ∞

であ

と 同 じ よ うに し て

で あ る こ と が わ か る.そ

し て, 

は(Ck′)で

正 則 で あ る か ら,

と な る.ゆ

え に,(6.3)は

と な る.  

f(z)の

か わ り にf(z)−aを

考 え る と,f(z)の

で あ り,(f(z)−a)′=f′(z)−(a)′=f′(z)で a点,す

な わ ちf(z)=aと

な るzの

極 は 同 時 にf(z)−aの あ る の で,Dに

値 をn(D,a)と

極

あ るf(z)の

表 わす と

 (6.4)

を 得 る.特

にf(z)がDで

正 則 で あ る と,n(D;∞)=0で

あ るか ら

 (6.5)

を 得 る.  こ の 定 理 の 直 接 の 応 用 と し て,つ

ぎ の 定 理 が 導 き 出 せ る.

 ル ー シ ェ の 定 理   γを 閉 じ た 単 純 な 道 とす る.f(z)とg(z)は(γ)で で あ っ て,γ

の す べ て のzに

り た つ と,(γ)に

対 し て, 

あ るf(z)の

をn[(γ);f+g=0]と

す る と,(6.5)に

Rouche,

の,Journal sur

あ り,γ

の す べ て のz

な り た ち,g′(z)=h′(z)f(z)+h(z)f′(z)で

  *  ル ー シ ェ(Eugene

Memoire

零 の数

よ って

置 く と,g(z)=h(z)・f(z)で

に 対 し て￨h(z)￨<1が

la

de serie

l'Ecole de

1832-1910)は Polytechnique

Lagrangeで

な

零 の 数 と は 同 じ で あ る*.

零 の 数 をn[(γ);f=0],f(z)+g(z)の

を 得 る.g(z)/f(z)=h(z)と

1862年

で あ っ て,￨g(z)￨<￨f(z)￨が

零 とf(z)+g(z)の

 証 明   (γ)に あ るf(z)の

正則

あ る.

あ るか ら

フ ラ ン ス の 数 学 者 で ,こ 39号

に 出 て い て,論

文

の 定 理 は の 題 名 は

と な る.し

た が って

を 得 る.仮

定 に よ っ て,γ

の で,￨h(z)￨<1が

の す べ て のzに

な りた つ.ゆ

zに 対 し て￨h(z)￨<1が

な りた つ

え に 最 大 値 の 原 理 に よ っ て,(γ)の

な りた つ.こ

 で あ る.ゆ

対 し て,￨f(z)￨>g(z)￨が

え に,(γ)

の こ と か ら,(γ)の

す べ て のzに

は 正 則 で あ る.し

で 

すべての 対 して

た が っ て,

コー シーの積 分 定理 に よって

が な りた つ.ゆ

えに n[(γ);f+g=0]−n[(γ);f=0]=0

と な り,こ   例 題1. 

の 定 理 の 正 し い こ と が わ か る. 代 数 方 程 式z7−5z3+12=0の

す べ て の 根 は,1<￨z￨<2を

満 足 す る こ と を

示 せ.  解  原 点 を 中 心 と し,1を ≡12,g(z)=z7−5z3と

半 径 とす る 円 をC1,2を 置 く と,C1の

す べ て のzに

半 径 とす る 円 をC2と

す る.f(z)

対 して

￨g(z)￨=￨z7−5z3￨≦￨z￨7+5￨z￨3≦1+5=6<12=￨f(z)￨ で あ る か ら,(C1)に

あ るf(z)+g(z)の

い ま の 場 合 はf(z)≡12で 12の

零 は,(C1)に

  f(z)=z7,g(z)=12−5z3と

零 の 数 はf(z)の

零 の 数 に 等 し い.と

で あ る.ゆ

え に,f(z)+g(z)=z7−5z3+

あ る か ら, 

は 存 在 し な い. 置 く と,C2の

す べ て のzに

対 して

こ ろ が,

￨f(z)￨=￨z￨7=27=128,￨g(z)￨=￨12−5z3￨≦12+5￨z￨3=12+5×8=52 で あ る か ら,C2の るf(z)=0の 0す

す べ て のzに

根 の 数 と,f(z)+g(z)=0の

な わ ち 方 程 式z7=0の

+12=0の

あ る.上

な りた つ.ゆ

根 の 数 と は 同 じ で あ る.と

根 の 数 は7で

根 の 数 は7で

根 は(C1,C2)に

あ る か ら,(C2)に

で 示 し た よ うに,(C1)に

点 を 中 心 と し4を

こ ろ が,f(z)=

あ るf(z)+g(z)=z7−5z3 は 根 は な い か ら,す

の 値 を 求 め よ.こ

べ ての

のCは,原

半 径 と す る 円 で あ る.

代 数 方 程 式a0zn+a1zn−1+…+an−1z+an=0, 

  問5. 

あ

(解 終) と し て, 

こ と を,ル

え に,(C2)に

あ る. 

  問3. 

  問4. 

対 し て￨g(z)￨<￨f(z)￨が

は か な らず 根 を 持 つ

ー シ ェ の 定 理 を 用 い て 証 明 せ よ. 5次 方 程 式z5+15z+1=0の

る 円 内 に あ り,そ

の うち の1つ

根 は,こ だ け は,原

と ご と く原 点 を 中 心 と し2を

点 を 中 心,3/2を

半 径 とす

半 径 とす る 円 の 内 部 に あ る

こ と を 示 せ.

  6.3  定 積 分 の 計 算 へ の 応 用  実 数 の 場 合 に,定

積 分 の 計 算 の な か に は,む

る.そ れ らの うち,留

ず か しい 技 巧 を 要 す る も の が あ

数 定 理 を 利 用 す る と,技 巧 を 用 い な い で,結 果 を 導 き 出

す こ とが で き る場 合 が あ る.そ れ の 代 表 的 な 型 を 拾 い あ げ て,解 説 す る こ とに し よ う.  1° R(x,y)をx,yに

関 す る 有 理 函 数 と した 場 合 の 積 分

を 考 え る.  こ の 場 合 に は,z=eixと

と な る.ゆ

えに

で あ る.さ

ら に 

の(4.2)を

参 照],

す る と,

 とな る の で

であ るか ら,複 素 積 分 の 定 義 に よ っ て[p.99

 (6.6)

と書 け る.こ のCの

方程 式 は z=eix, 

で 与 え られ る.ゆ

え に,積

分Iの

0≦x≦2π,

値 を 求 を る こ とは

を 計 算 す る こ とに 帰 着 した.   例 題1.  解 

z=eix,0≦x≦2π,と

と な る.と

置

く と,(6.6)に

よ っ て

こ ろが

で あ るか ら

と な る.と

ころが

で あ る か ら, 

の 点 

は(C)の

が(C)の

内 点 で あ る.同

じ よ う に し て,も

外 部 に あ る こ とが 示 せ る.ゆ

えに

う1つ

で あ る.し

た が って

(解 終)

を 得 る. 

  2° R(x)をxの

有 理 函 数 とす る と き,形 が

で 与 え られ て い る 場 合 に は,分

母 が0と

な る よ う なxの

値 が な い と き に は,方

程式 z=reit,0≦t≦ で 定 義 さ れ た 半 円Crを,閉 R(z)の 特 異 点を

特 異 点 が,こ

γ=Cr+[−r,r]の

す る と,留

数 定 理 に よ って

こ ろ が,

で あ り,[−r,r]の

内 部 に,有

と ご と く ふ く ま れ る よ うに つ く る.(γ)に

α1,α2,…,αmと

が な りた つ.と

じた 道

π,

方程 式 は z=x, −r≦x≦r,

と表 わ す こ とが で き, 

で あ るか ら

理函数

あ るR(z)の

と な る.ゆ

えに

を 得 る.し

たが って

と な り,

を得 るの で  (6.7)

と な り,

の 場 合 に,(6.7)が

重 宝 な 方 法 で あ る こ と が,わ

か る で あ ろ う.

  例 題2.

 解   この 場 合 に は,有

を 考 え る.1+z2n=0の い て,aの (1.31)に

理函 数

根 がR(z)の

か わ りに−1を,ま よ っ て,根

をzkと

たnの す る と

と 書 け る.

の うち,上

半 平面 にあ るものの偏 角は

極 で あ る.こ か わ りに2nを

の 方 程 式 は,p.16の(1.28)に 置 い た も の で あ る か ら,p.15の

お

を 満 足 す るか ら, 2k+1<2nす

な わ ち 

で な け れ ば な らぬ.kは で あ る か ら,k≦n−1で 0≦k≦n−1で

あ る.ゆ

正 の 整 数(ま

た は 零)

あ る.し

た が って

え に,上

る 根 は,z0,z1,‥,zn−1のn個 (k=0,1,…,n−1),で

半 平面 に あ

で あ る.￨zk￨=1, あ る か らr>1

と し て お け ば よ い.ゆ

え に,(6.7)に

よ って

と な る.￨1+z2n￨≧￨z￨2n−1=r2n−1で

し た が っ て,正

図6.4

あ るか ら

 な ら*

の 数 ε を 与 え る と,

が な りたつ.ゆ えに

で あ る.し た が って,上

で あ る.と

と な る.

の等式 は

こ ろ が,z=zkは1+z2nの1位

の 零 で あ る か ら,前

節 の 例 題3に

 で あ るか ら

*

 を 解 け ば よい.す

なわ ち

  を 得 る.

 を解 い て

よって

を 得 る.こ

れ は,k=0,1,2,…,n−1に

対 し て な りた つ の で あ る か ら,こ

れ を,上

の等

式 に代入 して

1+z02n=0で

あ る か ら,1−z02n=2と

を 得 る.と

な る の で

で あ る か ら, 

こ ろ が 

で あ る.

で あ るので

した が って 

を得 る. 

(解 終)

 3° 上 の 場 合 を,さ

を 考 え る.R(z)が R(z)の

極 が,こ

らに 複 雑 に した

実 軸 に 極 を も た な い と き に は,半 と ご と く γ=Cr+[−r,r]の

れ らの 極 をz0,z1,…,zn−1と

と な る.と

す れば

ころが

で あ っ て,[−r,r]の

方 程式 を z=x, −r≦x≦r,

と す る と, 

で あ るか ら

円Crを,上

半面 に あ る

内 部 に あ る よ う に つ く る.こ

と な る.ゆ

え に,

した が って

を 得 る.も

し

 (6.8)

とす る と

 (6.9)

と な る の で で, 

あ る こ とを 考 慮 に 入 れ る と,

 (6.10)

 (6.11)

で あ る こ と が わ か る.   例 題.3

 解 で あ る か ら*,

と書 け る.そ れ で,ま

ず

* 

で あ る の で,x=−uと

置 く と 

とな る こ とが わ か るで あ ろ う.

と し た と き に,

が な りた つ か ど うか を 確 か め る こ と が,先

決 問 題 で あ る.こ

の 囲 む 部 分 に,z4+1=0の

半 平 面 に あ る も の が,こ

よ うに,選

ん で お く.Cγ

とす る と, 

根 の う ち,上

のCγ

は

γ=Cγ+[−r,r]

と ご と くふ くまれ る

の方程式 を

で あ るか ら

と な るの で

* 

と 置 く と, 

で あ るか ら 

が 出 て く る.

で あ り, 

と な る.と

で あ るか ら

こ ろ がz4+1=0の

根 は,p.16以

下 で 述 べ た こ とに よ って

で あ るか ら,こ の うち 上 半 平 面 に あ る も の は

を 満 足 す る の で,こ れ を解 い て, 

す な わ ちk≦1を

で あ る こ と が わ か る.ゆ

よ って

え に,(6.9)に

得 る の で,z0,z1の2つ

を 得 る.z0はz4+1の1位

の 零 で あ る か ら,前

節 の 例 題3に

 ま た,z1もz4+1の1位

の 零 で あ る か ら,ま

っ た く 同 じ よ うに し て

で あ る.し

よって

た が って

* 

区 間  [図6.5参

に お い ては  照].

図6.5

だけ

と な る.と

こ ろ が,

で あ るか ら

と な る.し

た が って

ゆ え に,

と な り,上

で 示 し て お い た よ う に,(6.11)に

よ っ て,

(解 終)

を 得 る. 

 4° 最 後 に,形

が (aは

の 定 積 分 を 考 え る.こ

れ も,実

整 数 で な い),

数 の 範 囲 に 限 っ て 取 り扱 う と,む

ず か しい も の

で あ る.   前 に も 述 べ た よ うに[p.89],zaは z=0とz=∞

と が 分 岐 点 で あ る.し

za−1R(z)も1価 は1価

拡 張 さ れ た 複 素 平 面 で は,1価

で あ る.し

で な い.し

か し,正

た が っ て,複

で な い.

素 平 面 全 体 を 考 え る と,

の 実 軸 に 沿 っ て 溝 を つ け る と,za−1R(z)

た が っ て 正 則 で あ る.こ

の よ うに 溝 を つ け た 複 素 平 面 をC*

と 名 づ け て お こ う.  r,R,(0
じ ゅ うぶ ん に 小 さ く と り,Rは

ゅ うぶ ん に 大 き く と る.原

そ れ ぞ れCr,CRと と,Aは

考 え る.rを

実 数rを,Bは

し,こ

点 を 中 心 と し,r,Rを

れ ら の 円 が 溝 と 交 わ る 点 を,そ 実 数Rを

表 わ し て い る.Aか

これ に反 し

半 径 と す る 同 心 円 を, れ ぞ れA,Bと

す る

ら溝 の 上 岸 に 沿 って

Bま

で 進 む 道 を[r,R]+で

さ ら に,Bか

らCRに

針 の 方 向 に,ひ

示 す. 沿 っ て,反 時

と ま わ り し て,下

岸

のBに

到 達 し,こ

こ か ら下 岸 に 沿 っ

てAに

い た る.こ

の 線 分 を[R,r]−

と表 わ す こ と に す る.Aか

らCrを

時 針 の 方 向 に ひ と ま わ り し て,出 点 に も ど る.こ と[図6.7参

の 道 をCと

発

名づ け る

照],C=[r,R]++

図6.6

CR+[R,r]−+Cr−1と

な る.そ

うす る

と,図6.6が

示 す よ うに,(C)⊂C*

で あ る.し

た が っ て,za−1R(z)は(C)

で1価

な 函 数 で あ る.こ

を,R(z)の

極 が,こ

の 場 合,r,R

と ご と く(C)に

ふ く ま れ る よ うに つ く っ て お く.そ て,(C)に z2,…,zmと

図6.7

って

で あ る.と

ころが

で あ り,溝

の 上 岸[r,R]+の

方 程式 を z=x, 

*  これ らの 極 は

r≦x≦R,

,正 の 実 軸 の 点 で は な い と し て お く.

あ るR(z)の す る と*,留

し

極 を,z1, 数 定理 に よ

と す る と, 

で あ るか ら

で あ る.点

ら 出 発 し て,CRを

がBか

こ のBはRe2πiを

表 わ す,と

ひ と ま わ り し てBの

考 え ね ば な らぬ.そ

式は z=−xe2πi, −R≦x≦−r,

で あ る か ら,

と な り, 

と な る.ゆ

えに

した が っ て

 そ れ で,も

し

を 証 明 す る こ とが で きた ら,

下 岸 に 達 す る と,

うす る と,[R,r]−

の方程

とな るの で  (6.12)

を 得 る.   例 題4.   解   Cγ,CRを,円 にz2+a2=0の く る.Cγ

環 領 域(Cγ,CR)の 根ia,−iaが

あ る よ うに つ

の方程式 を

で あ るか ら

と す る と, 

図6.8

とな るの で

p+1>0で

あ るか ら

と な る.ゆ

えに

 ま った く同 じ よ うに して

で あ る こ とが 示 せ る.p<1で

あ るか ら

で あ る.し た が っ て

で あ る.し

内 部

た が っ て,(6.12)に

よ って

ⅲ)

z=iaはz2+a2の1位

の 零 で あ るか ら

z=−iaもz2+a2の1位

の 零 で あ るか ら

あ るか ら

え に,

(解終) 問6.  つ ぎ の 定 積 分 を 計 算 せ よ:  ⅰ ) 

ⅱ)

問7.  つ ぎ の有 理 函 数 の 定 積 分 を 計 算 せ よ:  ⅰ ) 

ⅱ ) 

問8.  つ ぎ の定 積 分 の 値 を 求 め よ:  ⅰ )  問9. −1
ⅱ) し て,積

分

の 値 を 求 め よ.  問10. −1
し て,積

分

の 値 を 求 め よ.  問11. 

0
あ る と

で あ る こ とが わ か っ て い る.上

の 問9を

用い て

が な りた つ こ と を 示 せ.  問12.  函 数f(z)は￨z￨≦1で (C)の

任 意 の 点 をzと

のzに

正 則 で あ る.原 点 を 中 心 とす る単 位 円 をCと

す る と き,

し て,

お け る 留 数 が(1−￨z￨2)f(z)で

あ る こ と を 用 い て,￨z￨<1な

ら

が な りた つ こ とを 示 せ.

 6.4 

1次

函

 ま ず,a,b,c,dを

数 複 素 数 と し て,形

が

 (6.13)

で あ る 函 数 を,1次

函 数 と い う.一

1つ の 図 形Fの て,図

写 像F*が

形F*へ

得 ら れ た と き,図

数w=f(z)に 形Fは

よ っ て,z平 函 数w=f(z)に

変 換 さ れ た も の と 考 え る こ と が で き る.こ

言 葉 の か わ りに,変 用 い て,(6.13)を,1次  1°.  (6.13)に

換(6.13)に

般 に,函

換w=f(z)と

い う こ と が あ る.そ

の と き,函

面 の よっ

数 とい う

うす る と,こ の 言 葉 を

変 換 と 呼 ぶ こ と が で き る. お い れ, 

よ っ て,z=−d/cがw平

と す る と,z=−d/cが

極 で あ る か ら,1次

変

面 の 無 限 遠 点 へ 変 換 さ れ た,と い う こ と

に す る.c=0と

す る と, 

で あ る こ と は,い

う ま で も な い か ら,(6.13)

は

と 書 け る.z=∞ 点 はw平

は こ の 函 数 の 極 で あ る か ら,こ

面 の無 限遠

面 の 無 限 遠 点 へ 変 換 さ れ る と い う こ と に す る.(6.13)はzの1価

数 で あ る か ら,  1点wへ

に は た だ1つ

変 換 さ れ る.ま

と な る の で,ζ=0に に はw=a/cが

た,(6.13)に

変 換 さ れ る.こ

面 の す べ て の 点 は,∞

が わ か る.さ

の 値wが

対 応 す る.ゆ

え に, 

え に,定

義 に よ っ て,z=∞ 面 の 無 限 遠 点 はw

れ ら の こ と か ら,(6.13)に

ら に,(6.13)をzに

面の

と 置 く と,

の と き に は,z平

を こ め たw平

函

対 応 す る の で,zはw平

お い て,z=1/ζ

はw=a/cが

対 応 す る.ゆ

平 面 の 点a/cへ たz平

の 場 合 に は,z平

面 の す べて

よ っ て,∞

を こめ

の 点 へ 変 換 され る こ と

つ い て解 くと

 (6.14)

を 得 る の で,上

と 同 じ よ うに し て,変

面 の す べ て の 点 は,∞

を こ め たz平

る.ゆ

よ っ て,∞

え に,(6.13)に

間 に,1対1の

換(6.14)に

よ っ て,∞

を こ め たw平

面 の す べ て の 点 へ 変 換 され る こ とが わ か を こ め たz平

面 と,∞

を こ め たw平

面 との

対 応 が つ け られ,

で あ る か ら,有 限 のzに 対 して  らみ る と,等 角 写 像 で あ り,こ

が な りた つ の で,写 像 と い う立 場 か

の 等 角 性 が 破 れ る の は,z=∞

の ときだけ で

あ る.   逆 に,∞

を こ め たz平 面 を ∞ を こめ たw平

面 へ,1対1等

角 に写 像 す る函

数 をw=f(z)と

す る と,こ

の 函 数 はz平

ど う し て も 特 異 点 が な け れ ば な らぬ[な 異 点 は,極

す る と,こ

照].し

照].し

れ の 近 傍 で は,ロ

れ はz=z0を

と な る の で,こ

こ で 正 則 で あ る.ゆ

で 正 則 で あ る か ら,リ

の特

応 が1対1

た が っ て,こ

の 極 を

ー ラ ンの 定 理 に よ っ て

近 傍 で 正 則 な 函 数 で あ る.こ

を 考 え る と,こ

か し,こ

か も,対

の も の で な け れ ば な らぬ.し

と 書 け る.g(z)はz=z0の

る.し

ぜ か,p.138参

で な け れ ば な らぬ[な ぜ か,p.151参

で あ る か ら,こ の 極 も,1位 z=z0と

面 で 正 則 で あ る と い う こ と は な い.

こ で,函

除 い て 正 則 で あ り,z=z0の

え に,∞

数

近傍 では

を こ め たz平

面 のい た る ところ

ゥ ヴ ィ ル の 定 理 に よ っ て,F(z)≡C,(Cは

定 数),で

あ

たが って

で あ る.f(z)はz=∞

で 正 則 で あ る か ら,f(∞)=w0と

な け れ ば な ら ぬ.ゆ

す る と,C=w0で

えに

すなわち と な り, 

で あ る か ら,こ

れ は1次

函

数 で あ る.   こ れ ら の こ と を ま と め る と,∞ へ,1対1等

を こ め たz平

角 に 変 換 す る 函 数 は,1次

  2° つ ぎ に,原

点Oを

中 心 と し1を

半 径 と す る 円,す

あ る.α

で あ り,α

を 表 わ す 点 をAと

名 づ け る.O,Aを

をM,Nと

す る[図6.9参

点 で あ る の で,こ れ を 表 わ す 点 をBと

を こ め たw平

面

函 数 に か ぎ る こ とが わ か る.

名 づ け る と,(C)=K(0;1)で

照].点

面 を,∞

な わ ち 単 位 円 をCと

をK(0;1)の1点

α の 円Cに

と す る と,￨α￨<1 通 る 直 線 がCと

関 す る 反転1/α

名 づ け て お く.円Cの

交 わ る点

は 直 線OAの

任 意 の 点 をP

と し,こ れ が 表 わ す 複 素 数 を ζ と す る と 反 転 の 定 義 に よ って OA・OB=1=OM2 で あ る か ら,∠MPA=∠MPBが た つ の で,初

な り

等 幾 何 学 の 定 理 に よ っ て,

 (6.15)

が な り た つ.そ

図6.9

して

で あ る か ら,(6.15)は

で あ る.し

たが って

とな る.ζ

は 円Cの 任 意 の 点 で あ るか ら,Cの

が な りた つ.そ

す べ て のzに

対 して

れ で

 (6.16)

を 考 え る と,Cの

す べて のzに

対 し れ￨f(z)￨=1が

を 任 意 に 考 える と,￨z′￨<1=￨f(z)￨が,Cの し た が っ て,ル ちK(0;1)で,同

(6.16)に

す べ て のzに

ー シ ェ の 定 理 に よ っ て,f(z)とf(z)−z′ 数 の 零 を も つ.K(0;1)に

つ で あ る か ら,f(z)=z′ わ ち,K(0;1)の

な りた つ.z′

す べ てzの

と な るzの

よ っ て,K(0;1)が1対1等

値 は,K(0;1)に,た

角 にK(α;1)へ

対 し れ な りた つ. と は,(C)す

あ るf(z)の

に 対 し て￨f(z)￨<1が

∈K(0;1)

零 はz=α だ1つ

な りた つ.ゆ

なわ た だ1

あ る.す

な

え に,函

数

変 換 さ れ る.

 逆 に,K(0;1)をK(α;1)へ1対1等

角 に変 換 す る函 数 を w=f(z)

と し よ う.こ

れは

 ⅰ)  f(0)=α,  ⅱ) 

￨z￨<1な

ら ば￨f(z)￨<1

と い う条 件 を も っ て い る.そ

れ で,函

数

 (6.17)

を つ く る と,￨z￨<1な  ⅰ) 

φ(0)=0,

 ⅱ) 

￨z￨<1な

ら ば￨f(z)￨<1で

らば

あ る か ら,

な らば￨φ(z)￨<1

と い う条 件 を 満 足 す る.ゆ

え に,シ

ュ ワ ル ツ の 補 助 定 理 に よ っ て,￨z￨<1な

ば  (6.18) 

￨φ(z)￨≦￨z￨,す

が な り た つ.ま

た,w=φ(z)の

な わ ち￨w￨≦￨z￨

逆 函 数 をz=φ−1(w)と

す る と,

 ⅰ) φ−1(0)=0 で あ り,ま

た

 ⅱ)  ￨w￨<1と

す る と,(6.17)をf(z)に

で あ る か ら,￨f(z)￨<1と た が っ て,ま

た,シ

な る.し

つ いて 解 くと

た が っ て,￨z￨<1で

ュ ワ ル ツ の 補 助 定 理 に よ っ て

 (6.19) ￨z￨≦￨w￨ を 得 る.(6.18)と(6.19)と

よ り, ￨w￨=￨z￨

と な る.ゆ

え に,ま

た シ ュ ワル ツ の補 助 定 理 に よ っ て w≡

で な け れ ば な ら ぬ.ゆ

え に,

εz, 

(￨ε￨=1),

な け れ ば な ら な い.し

ら

と な る の で,こ

れ よ り,ε ε=1で

が 出 て き て,f(z)は1次 領 域 をw平

あ る こ とか ら

函 数 で あ る こ と を 知 る.こ

面 の 円 領 域 へ,1対1等

の こ と か ら,z平

角 に 写 像 す る 変 換 は,1次

面 の円 函数 にか ぎ

る こ と が わ か る.   3゜  つ ぎ に,変

を 考 え る.こ zが 

換

こ で,z平

面 とw平 面 と を 重 ね て 考 え る と,変 換Sを

行 な う と,

とい う点へ 変 換 され た と考 え られ る.こ の 場 合 に 

と書 け る の で,変

換Sの

行 列 式 とい う こ とに す る.zもwも

は 

同 じz平 面 の 点 で

あ る と考 え る の で

と表 わ す こ とに す る.も

を 考 え る.ま

ず,点zに

う1つ の 変 換

変 換Sを

行 な う こ と をS(z)と

考 わ す と,こ

れ がz′

へ 変 換 され るの で

 (6.20)

と な る.z′

に 変 換Tを

が な りた つ.こ

 (6.21)

のz′

行 な っ た と き に,z′

に(6.20)の

〓z″

関係 を 代入 す る と

へ 変 換 さ れ た とす る と,

と な る が,こ

れ は,T(z′)=T[S(z)]の

き,S,Tの

こ と で あ る が,簡

単 にTS(z)と

書

積 と い う こ と に す る.

で あ る か ら,

で あ る.ゆ  

え に,積

TSとSTと

は ま た 同 じ種 類 の1次

変 換 であ る.

は 変 換 す る 順 序 が ち が うか ら ,必

ら な い.特

に,変

換TSとSTと

ず し も同 一 で あ る とは か ぎ

が 同 一 の 結 果 を も た らす と き に は TS=ST

と 書 い て,SとTと

は 可 換 で あ る と い う.

 1次 変 換 の 場 合 に は,α,β,γ,δ の 性 格 を 表 わ し て い る の で,(6.20)の

の 値 と そ の な ら ん で い る 順 序 が,そ

の変 換

よ うに 書 くか わ りに

 (6.22)

と 書 いて も*,意

味 は あ い ま い に な ら な い.そ

と 書 け る の で,(6.21)に

と な る.ゆ

うす る と,

よって

え に,

 (6.23)

と な っ て,行

列 の 乗 法 の 規 約 が,そ

 (6.20)をzに

の ま ま あ て は ま る こ と を 知 る で あ ろ う.

つ い て解 くと

 (6.24)

と な り,こ

れ も1次

変 換 で あ る こ と は い う ま で も な い が,こ

*  こ の よ うに 文 字 また は 数 字 を な らべ た もの を 行 列 と い う こ とは

れ をSの

る で あ ろ う.

逆 とい っ

,代 数 学 で 学 ん で い

て,S−1で

示 す こ と に す る.そ

うす る と,zに

変 換Sを

行 な っ て,z′

へ移 っ

た とす る と

と な る の で,こ

れ に 変 換Sの

逆S−1を

行 な っ てz″

へ 移 った とす る と

と な る の で, z″=z

と な る.こ れ も また1つ い.そ

の 変 換 と考 え る と,こ の 変 換 に よ っ て 点 は 変 化 し な

れ で,こ れ を 恒 等 変 換 とい っ て,Eで

表 わ す こ とに す る.そ

うす る と

 (6.25)

と 表 わ せ る.こ

の 記 号 を 用 い る と,上

 (6.26) 

で 計 算 し た よ うに,

S−1S=E

で あ る こ と が わ か る.ま

った く同 じ よ うに して

 (6.27) 

SS−1=E

で あ る こ と も わ か る.ま

た,(6.23)を

 (6.28) 

用 いて 計 算 す る と

SE=ES=S

で あ る こ と も 容 易 に わ か る.  さ ら に,S,T,Uを3つ

の1次

 (6.29) 

U(TS)=(UT)S

が な りた つ こ と も,(6.23)を に お い て は,積   T,Uが

変 換 と す る と,

が な りた つ.結

た が っ て,1次

の 結 合 法 則 が な り た つ.

異 な る1次

 証 明   ST=SUと

用 い て 示 す こ と が で き る.し

変 換 で あ る と,  な る1次

変 換Sが

で あ る. あ っ た と す る と,S−1(ST)=S−1(SU)

合 法 則 に よ っ て(S−1S)T=(S−1S)Uと

書 け る の で,(6.25)

変換

に よ っ て,ET=EUと

な り,(6.27)に

る.ゆ

な るSは

え にST=SUと

よ っ て,T=Uと

な い,す

な わ ち,い

な り,仮 定 に 反 す つ で も, 

 ま っ た く 同 じ よ う に し て  

T,Uが

異 な る1次

の こ と か ら,2つ た だ1つ

の 変 換S,Tが

A,B,C,…

  b) 

で あ る こ と が 示 せ る.こ

与 え られ る と,UT=Sと

な る1次

れ ら 変 換は

し か 存 在 し な い こ と が わ か る で あ ろ う.

 4°  こ こ で,有

  a) 

変 換 で あ る と, 

限 個 ま た は 無 限 に た く さ ん の1次

を1次 A∈〓,B∈ A∈〓

を 考 え る.

変 換 とす る と 〓

な らばAB∈

な ら ばA−1∈

と い う関 係 が あ る と き,〓 て い る も の が1次

変 換 の 集 団〓

〓

〓 は 群 を つ く っ て い る と い い,こ

変 換 で あ る 場 合 に は,1次

の よ うに 群 を 形 成 し

変 換 群 と い う.

  例 題1. W: 

と す る と,E,S,T,U,V,Wは

群 を つ く る か.

  解   (6.22)で

導 入 し た 行 列 に よ る 表 示 を 用 い る と,

と 表 わ す こ と が で き る.(6.23)に

よ っ て,

と な る の で,こ

の 結 果 を表 示 す

る と,上

れ を つ づ け て,そ

の よ うに な る.こ

変 換 に,上 の で あ る.そ

の 場 合 に,左

端 の列 の

端 の 行 の 変 換 を 行 な っ た 積 を つ く った うす る と,E,S,T,U,V,Wが1つ

の 群 を つ く る こ と が わ か る で あ ろ う. 

と こ ろ が,1次

変 換 群 に,2つ

(解 終)

の 類 型 が あ る.そ

〓1:z′=z+mω,ω

は 定 数, 

〓1′:z′=z+b,bは

すべ て の定数

mは

整数

れ は,2つ

の1次

変 換群

を 比 較 す る と わ か る.zを っ て 移 さ れ た 点z+mω れ ばzの

任 意 の 点 と す る と,K(z;￨ω￨)に は,z以

近 くにz+bが

外 に は 存 在 し な い.と

あ る.そ

な 数 で あ っ て も,0<￨b￨<ε

し て,〓1′ に は,正

は,〓1の

変 換に よ

こ ろ が￨b￨を

小 さ くす

の 数 εが ど の よ うに 小 さ

を満 足 す る変換 z′=z+b

が 無 限 に た く さ ん あ る か ら,V(z)に

は,〓1′

の 変 換 に よ るzの

像 が,無

限に

た く さ ん あ る.  〓1の よ うに,任 がz0を

意 の 点zに,恒

等 変 換 以 外 の 変 換 を 行 な っ た と き に,像

中 心 と す る あ る 円 の 外 に あ る よ う な と き に は,こ

と い う.ま

た,〓1′

か な らず,zの

の よ うに,zの

 フ ラ ン ス の ポ ア ン カ レ,ド

イ ツ の ク ラ イ ン な ど に よ っ て*,1次

ミ ッ ドが 建 立 さ れ た の で あ る.こ

こ に は,

の 変 換 群 は 連 続 群 で あ る と い う.

換 に よ っ て 不 変 な 函 数 の 研 究 が は じ め ら れ,保

あ る が,こ

の変 換群 を 不連 続群

近 傍 を ど の よ う に つ く っ て も,そ

像 点 が あ る と き に は,こ

点

い は,い

変換 群 の変

型 函 数 論 と い うす ば ら し い ピ ラ

ま も な お,発

展 の 途 上 に あ る学 問 で

こ で は 触 れ な い.

 こ こ で,注

意 し て お き た い の は,連

数 は 存 在 し な い,と

に お い て,α,β,γ,δ

い う こ と で あ る.な

続 な1次

変 換 群 の 変 換 に よ って 不 変 な 函

ぜ な ら,1次

が 任 意 の 数 で あ る と き は,z0に

に た く さ ん の がある.そ

れ で,f(z)が

な 函 数 で あ る と し,f(z)がz=z0に

変換

対 し て 近 傍V(z0)に

無限

この連続 群 の 変換 に って 不 変

お い て 正 則 で あ る と,V(z0)の

無限 に

た く さん の 点 で

が な りた つ.ゆ

え に,一

*  ポ ア ン カ レ(Henri 究 を や っ て い る が,特

致 の 定 理 に よ っ て[p.148参 Poincare に1次

,1854-1912)は

照],f(z)≡f(z0)で

なけ

数 学 の あ ら ゆ る 分 野 に,輝

か し い 研

変 換 群 に よ っ て 不 変 な 函 数 の 研 究 は,ポ

ア ン カ レが 数

学 界 ヘ デ ビ ュ し た と き の 手 み や げ で あ る. **  ク ラ イ ン(Felix Klein ,1849-1925)は ドイ ツ の ポ ア ン カ レ と も い うべ き 学 者 で あ る.著

書 の な か に は,今

日 に お いて も,価 値 を も っ て い る も の が 多 く残 っ て い る.

れ ば な ら ぬ.ゆえ

に,こ

の よ うな 函 数 は 存 在 し な い.

 例 題2.  1次 変 換 群

に よ って 不 変 な 函 数 を考 え る.こ の 場 合 に,ω

は 一 定 の 複 素 数 で,mは0ま

た は正 負 の

整 数 で あ る.  解  上 で 述 べ た よ うに,〓1は た な い.さ

不 連 続 群 で あ る.ゆ

らに, S: 

z′=z+ω

を 考 え る と,

と書 け る の で

を 得 る.そ

と な る.そ

うす る と,SS−1=Eで

あ り,

れ で,

と仮 定 す る と

と な っ て,す

べ て の 自然 数nに

対 し て, z′=z+nω

はSに

よ っ て 組 み 立 て ら れ て い る こ とが わ か る.

 ま た,S−1S−1をS−2と

ま た,S−1S−2をS−3と

と な る.そ

れ で,

と仮 定 す る と,

書 くこ とに す る と

表 わす と

え に,z′ は 有 限 の位 置 に 集 積 点 を も

が な りた つ.ゆ

え に,す べ て の 自然 数nに

対 して

z′=z−nω

がSに

よ って 組 み 立 て られ て い る こ とが わ か る.こ のSの

つ く り出 し て い る変 換 を,〓1の

よ うに,〓1の

す べ て の変 換 を

母 変 換 と い う.

 変 換 群 〓1の 変 換 だ け に 対 して 不 変 な 函 数 をf(z)と

す る と,こ

れ に 対 して,mを0

また は 正 負 の 整 数 とす る と (6.30) 

f(z+mω)=f(z)

とい う関 係 が な りた つ.p.60で るが,こ

述 べ た よ うに,ｆ(z)は

の 函 数 の よ うに,ω

ω を 基 本 周 期 とす る 周 期 函 数 で あ

だ け が 基 本 周 期 で あ る とき,こ れ を 単 周 期 函 数 とい う.こ

の 場 合 に は,mω,(m=0,±1,±2,…),が

周 期 であ り,こ れ らは 複 素 平 面 で は,原 Oと ω と を 通 る 直 線lの

点 で,等

点

間隔 に並 ん

で い る.こ れ らの 点 を 周 期 点 とい う.こ の 周 期 点 を と お っ て,た が い に 平 行 な 直 線 を 引 い て 全 平 面 を,合

同な帯状 領域

… ,I−m,…,I−1,I0,I1,…,Im,… に 分 け る.こ

の場 合 に,各

帯 状 領 域 の1つ

境 界 は こ の 領 域 に 属 す るが,も

の

う1つ の 境 界

は 属 さ な い も の と規 約 し て お く と[図6.10参 照],z平

属 し て い る と す る と,I0に

か ら,ζ=z0+kω

い まいな こと

が な く,ど れ か の 帯 状 領 域 に 属 す.こ

図6.10

Ikに

面 の 任 意 の 点 ζは,あ

はSkz0=ζ

と な るz0が

と 書 く こ とが で き る.そ

あ る.Skz0=z0+kω

れが であ る

して

f(ζ)=f(z0+kω)=f(z0) で あ る か ら,f(z)のIkに I0に

お け るf(z)の

お け る 状 態 と,I0に 状 態 を 調 べ た ら,全

お け る 状 態 と は 同 じ で あ る.し

平 面 に お け る 状 態 が わ か る.そ

周 期 帯 と い う.    例 題3. 

とす る.1次

ω1,ω2は 定 数 で あ っ て, 

基本

変 換群

の 場 合 に,n1,n2は,0ま

る.  解  〓2の 母 変 換 を 求 め ね ば な ら ぬ. S:  題2の

れ で,I0を

(解 終)

の 変 換 に よ っ て 不 変 な 函 数 を 調 べ る.こ

と す る と,例

たが って

場 合 と,ま Sn1: 

z′=z+ω1,T: 

z′=z+ω2

っ た く 同 じ よ う に し て, z′=z+n1ω1,Tn2: 

z′=z+n2ω2

たは正負 の整数 であ

で あ る こ とが わ か る.そ

で あ る か ら,S,Tが

うす る と

母 変 換 で あ る こ と を 知 る.

  変 換 群 〓2の 変 換 に よ っ て 不 変 な 函 数 に 対 し て は, f(z+n1ω1+n2ω2)=ｆ(z) と い う 関 係 が な りた つ.こ

の よ うな 函 数

を 二 重 周 期 函 数 と い い,ω1,ω2を 期 と い う.そ

し て,原

お る 直 線 をl1と は0ま

点Oと

基 本周

ω1と

名 づ け る と,n1ω1,(n1

た は 正 負 の 整 数),はl1の

っ て,等

間 隔 に あ る.原

を と お る 直 線 をl2と (n2は0ま

点 であ

点Oと

ω2と

名 づ け る と,n2ω1,

た は 正 負 の 整 数),はl2の

で あ っ て,等 っ てl2に

を と

間 隔 に あ る.n1ω1を

点 とお

平 行 に 引 い た 直 線 群 と,n2ω2

を とお っ てl1に

図6.11

平 行 に 引 い た 直 線 群 に よ っ て,z平

n1ω1を とお る 直 線 と,n2ω2を

面 に は 平 行 四 辺 形 の 網 が で き る.

とお る直 線 とが 交 わ る点 を 表 わ す 複 素 数 はn1ω1+n2ω2で

あ る.ゆ

え に,こ

の 網 の 目は,周

形 を,周

期 平 行 四辺 形 とい う.特 に,O,ω1,ω1+ω2,ω2を

周 期 平 行 四 辺 形 とい う.そ

期 点 を表 わ す.そ

して,図6.11が

は,ど

う す る と,z平

面 の 任 意 の 点z

っ き りと定 ま る.し た が っ て,変 換 群 〓2

な る も の が あ る.こ のz0は

た が って,z=mω1+nω2+z0と

この 平 行 四 辺

属 さ な い も の と規 約 して お く*.ほ か の 周 期 平

の 周 期 平 行 四 辺 形 に 属 し て い る か が,は

る**.し

頂 点 とす る 平 行 四 辺 形 を 基 本

じ よ うに 規 約 して お く.そ

の な か にSmTn(z0)=zと

こに 現 わ れ て い る平 行 四 辺

示 す よ うに[O,ω1),[O,ω2)は

形 に 属 す が,[ω1,ω1+ω2],[ω2,ω1+ω2]は 行 四 辺 形 の 辺 に つ い て も,同

し て,こ

基 本 周期 平行 四辺 形 の点であ

い う関 係 が な りた つ.ゆ

えに

f(z)=f(z0+mω1+nω2)=f(z0) とな り,基 本 周 期 平 行 四 辺 形 に お け る ｆ(z)の 状 態 を調 べ て お け ば,複 素 平 面 の 任 意 の 点 に お け る状 態 を 知 る こ とが で き る.な

お,無

か ら,真 性 特 異 点 と な っ て い る こ とは,容

易 に わ か る で あ ろ う. 

 例 題3  で 示 し た 性 質 を も つ 函 数 が,実 と な る の で,こ

限 遠 点 は,こ れ らの 周 期 点 の 集 積 点 で あ る

在 す る で あ ろ うか,と

の よ うな 性 質 を も つ 函 数 を,実

(解 終) い う こ とが 問 題

際 に つ く っ て 示 す こ と に し て,

こ の 章 を 終 る こ と に す る. *  [O

,ω1)は,始

点Oは

い う意 味 で あ る. ** 〓 2に お い て は,ST=TSで

こ の 線 分 の 点 で あ る が,終

あ る.し

点

ω1は

た が っ てSmTn=TnSmで

この 線 分 の 点 で は な い と

あ る.

 補 助 定 理  正 の 数 ρ を 与 え る と,￨z￨≦

ρ な ら,￨n1ω1+n2ω2￨>ρ

を満 足 す る

周 期 に 対 して は

と な る よ う に,正

の 数Mを

 証 明  円K(0;ρ)に >ρ

定 め る こ と が で き る.

は 周 期 点 は 有 限 個 し か 存 在 し な い.ゆ

と な る 周 期 点 の うち,絶

対 値 が 最 小 の も の が あ る.そ

え に￨n1ω1+n2ω2￨ れ をn′ ω1+n″ ω2と

し,

とす る と,K(0;ρ)に

が な りた つ.こ

属 さ な い す べ て の 周 期 点 に 対 して

の よ うな 周 期 点 と,￨z￨≦ ρ を 満 足 す る す べ て のzに 対 して は

と な る の で,

こ こ で, 

と置 くと

と な る の で,

を 得 る.  この 補 助 定 理 を 用 い て,

はn1ω1+n2ω2を

除 い た 全 平 面 で 絶 対 収 束 で あ り,ま た 一 様 収 束 で あ る

こ と を 証 明 す る.こ

の 

  原 点 を 囲 む 周 期 点

−ω

1− ω2,−

あ っ て,こ

はn1,n2の

全 整 数 値 に つ い て の 和 の こ と で あ る*.

ω1,ω1+ω2,ω2,−

ω2,ω1−

ω2は,1つ

ω1+ω2,−

ω1,

の 平 行 四 辺 形 の 周 に

の 平 行 四 辺 形 の 内 部 に は 周 期 点 は な い.原

点 か ら こ の 平 行 四 辺 形 へ の 最 長 距 離 をR,最

短距 離 を

rと す る と,こ れ らの 周 期 点 をn1ω1+n2ω2と

表 わせ

図6.12

ば

が な りた つ[図6.12参

照],ゆ

え に,こ

の8個

につ い ては

と な る.  つ ぎ に,こ

の 平 行 四 辺 形 の 外 側 に あ る第

2の 平 行 四辺 形 を 考 え る[図6.13参 こ の辺 に は2×8個

照].

の 周 期 点 が あ り,こ れ

らに 対 し て は 図6.13

が な り た つ.ゆ

え に,こ

れ ら の16個

が な りた つ.こ

れ を つ づ け る と,k番

につ い ては

目の 平 行 四 辺 形 のk×8個

の周期 点 に対

して は

すなわ ち

が な りた つ.ゆ

え に,k番

点 に つ い て の 和 をSkと *  整 数 と い え ば

,0も

目の 平 行 四 辺 形 の 辺 お よび 内 部 に あ る す べ て の 周 期 す ると

ふ く ん で い る.

が な りた つ.級

はp−1>1,す

数

な わ ちp>2,な

ら収 束 す る の で 

は 存 在 す る.し

たが っ

て

は 収 束 す る.ゆ え に,

は,p>2の

と き に,絶

 つ ぎ に,￨z￨≦

対 収 束 で あ る.

ρ と し て,和

を

と分 け て 考え る.補 助 定 理 に よ っ て

で あ る か ら,

は￨z￨≦

ρ で,一

こ れ は,￨z￨≦

は,有

様 収 束 で あ り,絶

ρ で 正 則 な 函 数 を 表 わ す[p.140,問13参

限 個 の 項 の 和 で あ っ て,こ

み な,極

対 収 束 で あ る[p.54,問19参

で あ る.し

た が っ て,わ

照].ま

れ の 特 異 点 はn1ω1+n2ω2で

照].ゆ

え に,

た,

あ り,こ れ ら は,

れ わ れ の 定 理 の 正 し い こ と が 示 さ れ た.

 こ の 定 理 に よ っ て 示 さ れ た 級 数

は,￨z￨≦

ρ で は 極 を 除 い て 正 則 で あ る か ら,こ れ は,有 理 型 函 数 で あ る.と

こ

ろ が,こ

の ρは ど の よ う に 大 き く と も よ い の で あ る か ら,こ

有 理 型 で あ る.z=∞

は,極

の 集 積 点 で あ る か ら,前

の函 数 は全 平 面で

に も 述 べ た よ う に,真

性 特 異 点 で あ る.  特 に,p=3と

して

を 考 え る と,こ

れは

と 書 け る, 

はn1=0,n2=0が

同 時 に な りた つ 場 合 を 除 い た と き の 和 と

い う意 味 で あ る.  と こ ろ が,こ

こで

を 考 え る と,0を

始 点 と しzを 終 点 とす る 道 が 周 期 点 を とお らな い 場 合 に は,

こ の 道 で 一 様 収 束 を す る の で あ る か ら,項 参 照]の

別 に 積 分 す る こ とが で き る[p.106

で

と な る.こ

の 級 数 は 周 期 点 を 除 い た と こ ろ で は 一様 収 束 で あ る か ら,項

分 す る こ とが で き て (6.31) と な る.ψ(z)は

で あ っ て,右

ω1,ω2を 周 期 と し て い る.な

辺 は,n1,n2の

あ らゆ る整 数 値 に つ い て の和 で あ るか ら

を な らべ か え た もの に 過 ぎ な い.ゆ

で あ る.同

じ よ うに し て

ぜ な ら,

えに

別 に微

で あ る こ と も わ か る.ゆ

えに

で あ る こ と も 容 易 に わ か る.す  (6.31)よ

で あ る.ゆ

り〓

′(z)は

な わ ち,ψ(z)は

二 重 周 期 函 数 で あ る*.

ω1,ω2を 基 本 周 期 と し て い る か ら

えに

  Cは

(6.32)

定 数,

のな かに は

 と こ ろ が, 

と い う形 の 項 と

と い う形 の 項 と が,対 も,全

に な っ て 入 っ て い る か ら,zの

体 と し て は 変 わ ら な い.ゆ

か わ り に−zと

置いて

えに

(6.33) が な りた つ.そ

れ で,(6,32)に

と な る.ゆ

えに

と な る.ゆ

え に,〓(z)は

お い て 

と置 く と

ω1,ω2を 周 期 と す る 二 重 周 期 函 数 で あ る.

 有 理 型 二 重 周 期 函 数 を 特 に 楕 円 函 数 と い うが,〓(z)は

楕 円函 数 の理 論 で重

要 な役 割 りを つ とめ て い る.こ れ は ワ イ ヤ シ ュ トラ ス の ペ イ 函 数 と 名 づ け て い る.  楕 円 函 数 論 は,こ

の ペ イ函 数 の 導 入 に よ っ て い ち じ る しい 発 展 を した が,こ

*  二 重 周 期 函 数 の 存 在 の 例 と し て は ,ψ(z)で 〓(z)を

考 え た の で あ る.

じ ゅ うぶ ん で あ るが,後

の話 のた めに

こ で は 触 れ な い.   問13. 

z平 面 の 上 半 平 面 を,単

  問14. 

p.218の(6.26)を

  問15. 

Sを1次

  問16. 

T,Uを

位 円￨w￨<1へ

写 像 す る 函 数 を つ くれ.

証 明 せ よ.

変 換 と す る と(S−1)−1=Sで 異 な る1次

あ る こ と を 示 せ.

変 換 とす る.Sを

第3の1次

変 換 とす る と き 

であ

る こ と を 示 せ.   問17.  た だ1つ

S,Tを

与 え られ た1次

変 換 と す る と,UT=Sと

な る1次

変 換 は1つ

あ っ て,

に 限 る こ と を 示 せ.

  問18. 

p.219の

表 を 検 討 せ よ.

  問19. 

例 題1の

母 変 換 は どれ で あ る か.

  問20. 

が な りた つ な ら, 

が す べ て の 整 数n1,n2に   問21. 

e〓(z)は

対 し て な りた つ こ と を 示 せ.

楕 円 函 数 で あ る か.吟

味 せ よ.

演 習 問 題6

 6.1 

f(z),g(z)がz=aで

零 で あ る.そ

正 則 で あ

で あ っ て,z=aはg(z)の2位

り, 

の2位

うす る と,z=aは 

の

の極 であ って

で あ る こ とを 示 せ.  6.2  函 数f(z)はz=aの のz=aに

る と い う. 

近 傍 で 正 則 で あ っ て,z=aは

の 極 をbk,(k=1,2,…,p),と

の零 であ

お け る 留 数 を 求 め よ.

 6.3  γ を 閉 じ た 単 純 な 道 と し,f(z)は(γ)で   で あ る と す る.(γ)に

函 数f(z)のn位

有 理 型 で あ っ て,γ

あ るf(z)のνk位

の す べ て の点 で

の 零 をak,(k=1,2,…,,n),μk位

す る と

が な りた つ こ とを 示 せ.   6.4  γを 閉 じた 単 純 な 道 と し,f(z)は(γ)でp個 γの す べ て のzに の 数 も,ま

たpで

対 して 

い うDの

円K(0;1)に1つ

λ が 実 数 で な い と, 

  6.7  f(z)は

の 極 を 除 い て正 則 で あ る とす る. 数 値 で あ る た ら.f(z)の(γ)に

あ る零

あ る こ と を 示 せ.

  6.5  方 程 式zea−z=1,(a>1),は  6.6 

で あ っ て,実

領 域Dで,z=z0を

の 根 が,K(0;1)に

の 根 を も つ こ と を 示 せ. 必 ず あ る こ と を 示 せ.

除 い て 正 則 で あ っ て,z0はf(z)の

境 界 の す べ て の 点 で￨f(z)￨=1が

単純 極 であ る と

な りた つ と い う.f(z)=a,(￨a￨>1),の

根

はDの

内 部 に1つ

あ り,た

だ1つ

に か ぎ る こ と を 示 せ.

  6.8  −R,R,R+ia,−R+iaを

を 計 算 し,R→+∞

頂 点 と す る 長 方 形 をQと

名 づ け る.

とす る と

が な りた つ こ とを 示 せ. の 周 を γ と名 づ け る と き,積 分

  6.9  扇 形 

を 計 算 し て,フ

レネルの積 分

の値 が 

で あ る こ と を 示 せ*.

 6.10  Imz>0をImw>0へ   6.11 

z平

変 換 す る 函 数 の 一 般 な 形 を 求 め よ.

面 のz1,z2,z3をw平

面 のw1,w2,w3へ

そ れ ぞ れ 写 像 す る1次

函 数 を 求

め よ.   6.12 

変 換z→zは1次

  6.13 

変 換 

T1−1T2(z)を

変 換 で な い こ と を 示 せ. に 対 し て,T1T2(z),T2T1(z)お

よ び

求 め よ.

  6.14  整 数 を 係 数 とす る1次 変 換 

ad−bc=1,の

全 体 は1つ

の 群 を つ

く る こ と を 示 せ.

 6.15  二 重 周 期 の 整 函 数 は 存 在 す る か.  6.16  だ 円 函 数 の 周 期 平 行 四 辺 形 に 属 す る 極 の 留 数 の 総 和 は0で

*  フ レ ネ ル(Augustin  巧 み に 利 用 し て,光

Fresnel

, 1788-1827)は

あ る.

フ ラ ン ス の 物 理 学 者 で,数 学 解 析 を

の 波 動 論 や そ の ほ か の 分 野 に 輝 か しい 仕 事 を し て い る.

索 ア ア ダ マ ー ル(Jacques 1963) 

引 初 等―

行 Hadamard,

整 ―   67 正 弦 ―   62

1865-

51

ア ベ ル(Niels

Henrik

Abel,

対数 ― だ 円―

1802-1829)  43

―

の 定 理   43

一 致 の 定 理   148 一般 項→ 級数

オ イ レ ル(Leonhard

Euler,

1707-1783)  6

横 断 線   121 折 れ 線   107

基 本周 期→周 期 ― 帯   222 平 行 四 辺 形   223

級 数   23 ― の 一 般 項   23

カ

― ―

行

  163

無 限 ―   23 ロー ラ ン―   173

解 析 接 続   160  160   160

境 界   27 ― 点  27

道 に 添 った ―   161 ガ ウ ス(Friedrich Gauss,

自然 ― 1777-1855)  67

拡 大 率  81 カ ラ テ オ ド リ(Constantin Caratheodory,

1873-1950) 

函 数   31 ― の 値 域  31

の 項   23 の 和   23

テ イ ラ ー―   145 べ き―   43

解析 函数 →函数 1価 ―   163

間接 ― 直接 ―

単 周 期 ―   222 調 和 ―   132 二 重 周 期 ―   223 ペ イ ―   228

―

の 公 式   59

多価 ―

  84   228

有 理 ―   67 余 弦 ―   62 函 数 論 的 平 面   19

円 板   16

―

  96

137

  168

鏡 像   36 極   151 極形 式 8 極 限   21 上 ―   48 極 限 値  21,33

1次 ―

  211

虚(数)軸  7 虚(数)部  6

解析 ―

  163

虚 数 単 位  6

逆 ―

  82

原始 ― 三 角 ― 

  119 62

指 数 ―

  58

周期 ―

  60

距 離   11 弦 ―   20 近 傍   16 ク ラ イ ン(Felix

Klein,

1849-1925) 

220

グ ル サ(Eduard

Goursat, 1856-1937)  131 の 定 理   131

―

群  219 1次 変 換 ―

純 虚数  6 ジ ョル ダ ン(Camille

137

Jordan, 1838-1922) 

  220

不 連 続―  連続 ―

Schwarz, 1843-1921)  ― の 補 助 定 理   136

28 ―

220

曲 線   28

 220 数 球 面 → リー マ ン

コ ー シ ー(Augustin Louis Cauchy, 1789-1857)  21 ― ・ア ダ マ ー ル の 定 理   51 ―

の 積 分 公 式   123

― ―

の 積 分 定 理   110 の 定 理   21

―

整 函数→ 函数 超越 ―

  70

有 理 ―   67 正弦 函数 →函 数

・リ ーマ ンの 偏 微 分 方 程 式   74 サ

数 平面 →複素 平面

行

逆 ―   93 正 則   66 絶 対 値  8

最 大 値 の 原 理   134 三 角形式 →極形 式

線 積 分  99 全 平 面   16 拡 張 された ―

実(数)軸 実(数)部 

6

写 像   35,77 等 角 ― 

81

像   36,77 夕

周 期   60 ― 函 数→ 函数 ― 点   222 ―

  19

 7

対 数函数 →函 数 ―

の リー マ ン面  88

代 数 学 の 基 本 定 理   139 多 角 形   107

平 行 四 辺 形   223

基 本―

行

  61,223

集 合   15

調 和   132

空― 数―

  16   15

点―

  15

テ イ ラ ー(Brook

閉 じ た ―   27 導 ―   27 開 い た ―   27 部 分 ―   16

―

級 数→級 数

―

の 定 理   144

1685-1731)  145

特 異 点   67

集 積 点   16

孤 立 ―   149 除 去 可 能 な ―   151

収 束   21,23 ― 円  52

真性 ―

― 半 径   52 一 様 ―   46 絶 対 ―  25 主 要 部   173 シ ュ ワル ツ(Hermann

Taylor,

  152

ド ・モ ア ヴ ル(Abraham 1667-1754)  13 ― の 定 理   13

Amandus

de Moivre,

ナ

無 限級 数 →級数 ― の和  23 結 び 27

行

な め らか   78 区分的 に ―

  99 モ レ ラ(Giacinto

Morera,

1856-1909) 

二 重周期 函 数→ 函数

133

ハ ハ イ ネ(Eduard ―

―

行

Heine,

1821-1881) 

の 定 理   133

39

ヤ

行

ラ

行

有 界   17

・ボ レ ル の 定 理   39

有 理 型   183

発 散  23 反 転   36

ラ プ ラ ス(Pierre -1827)  132

微 分 可 能   65 微 分 係 数  65

複素 数  1

Simon

―

の 演 算 子   132

―

の 微 分 方 程 式   132

Laplace,

1749

複 素 平 面  7 リ ゥ ヴ ィ ル(Joseph

複 素 変 数  31

1882) 

不 定 積 分   117 フ レ・ネ ル(Augustin 1827)  ―

Fresnel,

1788-

の 積 分   230

分 枝   86

の 主 値   84

1次 ―

球 面   19

―

面   87-96

―

の 定 理   149

Poincare,

1854-

220 Bolzano,

閉 じた ―

  30

零(点) 

・ワ イ ヤ シ ュ トラ ス の 定 理   17 Borel,

マ

道   100

  30

1871-1956) 

行

39

連 続   34 一 様 ―

147  42

連 続 弧  28 ― の 始 点   28 ―

の 終 点   28

ロ ー ラ ン(Pierre 1813-1854) 

無 限遠 点  18

30

1781-

17

交 わ り  27

 31

単 連結 ―

開 い た ― 

ボ ル ツ ァ ノ(Bernard

ボ レ ル(Emile

170

n重 連 結 ―

ボ ア ン ヵ レ(Henri

―

―

円 環―  

  211   222

1848) 

1826-

領 域  29

変 換   77

1912) 

Riemann,

149

留 数   187 ― 定 理   189

偏 角 8

母―

1809-

の 定 理   138

1866) 

分 岐 点   88

―

―

リ ー マ ン(Bernhard

230

Liouville,

132

―

Alphonze 173

級 数   173

Laurent,

― 展 開   175

― の 定 理   152 ― のペ イ函数 → 函数 ワ

ワ イ ヤ シ ュ ト ラ ス(Karl 1815-1897) 

17

行 Weierstrass,

著者略歴 小

堀

憲

1904年  福井 県に生れ る 1929年  京都帝 国大学卒業  

元京都大学教授 ・理 学博士

基礎数学シリーズ8 複素解 析学入 門 1966年8月25日 2004年12月1日

定価 はカバー に表示

  初版 第1刷   復 刊 第1刷

著 者 小

堀

発行者 朝

倉

発行所 株式 会社 朝

憲

邦造 倉

書

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6-29 郵 便 番 号  電

話 

FAX 

〈検 印 省 略 〉 C

4-254-11708-6 

03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

1966  〈無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉

ISBN 

162-8707 03(3260)0141

C

3341

中 央 印刷 ・渡 辺 製 本 Printed

in

Japan