Исследование линейных алгоритмов и устройств цифровой обработки сигналов в системах связи

МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ САМАРСКИЙ ОТРАСЛЕВОЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ РАДИО На правах рукописи Елисеев Сергей Николаевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГОРИТМОВ И УСТРОЙСТВ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ В СИСТЕМАХ СВЯЗИ И РАДИОВЕЩАНИЯ

Специальность 05.12.13 – Системы, сети и устройства телекоммуникаций Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Тяжев Анатолий Иванович

Самара – 2002

2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………………………4 Глава 1. УСТРОЙСТВА ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ, СБОРА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ ……………………………………………………………….. 13 1.1 Общая характеристика алгоритмов работы линейных устройств цифровой обработки сигналов……………………………… 13 1.2 Виды передаточных функций цифровых фильтров и соотношение неопределенности ……………………………………….. 17 1.3 Свойства симметрии передаточных функций цифрового фильтра..30 1.4 Формулировка показателя эффективности алгоритма цифровой обработки сигналов.……………………………………………………… 35 1.5 Выводы по главе ……………………………………………………. 46 Глава 2. СИНТЕЗ ЭФФЕКТИВНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ ДЕКОМПОЗИЦИИ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ …………….. 48 2.1 Использование декомпозиции для уменьшения вычислительной сложности ………………………………………………………………… 48 2.2 Факторизация передаточной функции ………………………………52 2.3 Использование факторизации передаточной функции для синтеза взвешивающих окон …………………………………………………….. 67 2.4 Параллельная декомпозиция передаточной функции ……………. 78 2.5 Выводы по главе …………………………………………………….. 89 Глава 3. ПОСТРОЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ МНОГОКАНАЛЬНЫХ И МНОГОСКОРОСТНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ………………………. 91 3.1. Постановка задачи ………………………………………………….. 91 3.2. Частотное разделение каналов методом многополосной фильтрации …………………………………………………….……….. 92 3.3. Эффективная реализация многоканальных цифровых

3 фильтров методом трехканального разделения ……………………….. 102 3.4. Декомпозиция передаточных функций многоскоростных цифровых фильтров ….…………………………………………………. 111 3.5. Выводы по главе …………………………………………………….128 Глава 4. РАЗРАБОТКА И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМ И УСТРОЙСТВ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ ЭФФЕКТИВНЫХ ПО КРИТЕРИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ …………………….. ......130 4.1. Разработка методики проектирования устройств цифровой обработки сигналов на основе декомпозиции их системных функций..130 4.2. Разработка и экспериментальное исследование синтезаторов сигналов, реализуемых методами цифровой обработки сигналов …... 144 4.3. Разработка элементов радиовещательных систем передачи данных ……………………………………………………………………. 168 4.4 Выводы по главе …………………………………………………….. 178 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………………… 179 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………………………184 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. РЕЗУЛЬТАТЫ РАЗРАБОТКИ МОДУЛЯТОРА СИСТЕМЫ RDS ……………………………………………………………….. 193 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. СИСТЕМА АВТОМАТИЗИРОВАННОГО РАСЧЕТА И ПРОГРАММИРОВАНИЯ НЕРЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ………………………………………………………………………207 ПРИЛОЖЕНИЕ 3. РАЗРАБОТКА ЦИФРОВОГО ГЕНЕРАТОРА ДЛЯ АППАРАТУРЫ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ КОРРЕКЦИИ СЕТЕВЫХ ТРАКТОВ………………………………………………………….. 216 ПРИЛОЖЕНИЕ 4. АКТЫ ВНЕДРЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ ……….223

4 ВВЕДЕНИЕ Наблюдающееся в настоящее время бурное развитие телекоммуникационного сектора экономики, ставшее возможным благодаря либерализации государственного контроля над телекоммуникациями, наряду с другими тенденциями, характеризуется быстро расширяющимся применением цифровых технологий в действующих и перспективных системах связи, радиовещания и телевидения. Это связано, прежде всего, с известными преимуществами применения цифровых сигналов: высокой потенциальной помехоустойчивостью, возможностями оптимизации использования частотного спектра, перспективами применения в различных телекоммуникационных и информационных системах универсальных аппаратных и программных решений и т.д. Одним из ключевых факторов развития в этом направлении выступает технологический прогресс. Как отмечалось в [1], «Растущая производительность микропроцессоров, появление мощных сигнальных процессоров, создание высокоэффективных методов компрессии и транспортировки информации – это только часть списка технологических инноваций, ведущих к ускорению развития сетевых технологий … к увеличению числа услуг связи и снижению их стоимости». Наиболее общую форму оценки прогресса в области микроэлектроники дает закон Мура [1, 2]: производительность интегральных схем, измеряемая операциями/сек, и объем памяти в единице площади удваиваются каждые 18 месяцев, а стоимость микросхем при этом уменьшается на 50 %. Успешное воплощение перспектив развития инфокоммуникационных технологий во многом базируется на достижениях цифровой обработки сигналов (ЦОС), призванной решать задачи приема, формирования, обработки и передачи информации в реальном масштабе времени [3]. Осуществление сложных алгоритмов ЦОС требует, в свою очередь, применения эффективных базовых алгоритмов ЦОС (фильтрации, спектрального анализа и синтеза сигналов), экономично использующих соответствующие технические ресурсы.

5 В редакционной программной статье [3] подробно рассмотрены этапы становления теории ЦОС, как научного направления, со своим собственным кругом проблем и задач и отмечено, что: «…В теории ЦОС основная задача традиционно формируется в достижении заданных технических требований к устройству при минимизации вычислительных и аппаратных затрат.» Основная научная проблематика в области ЦОС заключена в разработке путей преодоления ограничений обусловленных имеющимися ресурсами: возможностями

элементной

базы,

допустимой

величиной

программно-

аппаратных затрат. Методы проектирования инструментальных средств ЦОС, объединяющие синтез в спектральной области по заданным величинам рабочих параметров с приемами, учитывающими эти ограничения, позволяют получить решения, близкие к оптимальным в смысле минимизации результирующих затрат. Задача синтеза эффективных алгоритмов и устройств цифровой фильтрации и синтеза сигналов, базирующаяся на последних достижениях теории цифровой обработки сигналов, является весьма актуальной, тем более что накопленный опыт разработки и использования цифровых сигнальных процессоров стимулируют создание новых более совершенных и мощных типов этих процессоров, в архитектуре которых должны быть заложены возможности воплощения эффективных алгоритмов ЦОС [5]. Таким образом, в настоящее время существует актуальная научнотехническая проблема совершенствования алгоритмов и устройств ЦОС для систем связи и радиовещания. Состояние вопроса в рассматриваемой области характеризуется следующими основными достижениями. Вопросы передачи и обработки дискретных сигналов, включая построение эффективных алгоритмов обработки, рассматривались в работах М. Беланже, Б. Голда, А. Константинидеса, Г. Лэма, Дж. Макклелана, А. Оппенгейма, Т. Паркса, Л. Рабинера, А. Феттвейса, Р. Хемминга [4-9, 91, 98]. Заметный вклад в развитие ЦОС внесли отечественные ученые В.В. Витязев, Л.М. Голь-

6 денберг, В.П. Дворкович, В.Г. Карташевский, Д.Д. Кловский, А.А. Ланнэ, Б.Д. Митюшкин, А.И. Тяжев, Л.М. Финк [10-13, 21, 60, 89, 94-96]. Следует отметить также работы Ю.Б. Зубарева и С.Л. Мишенкова в сфере развития технологий цифрового телевизионного и звукового вещания [3, 11, 99-101]. Публикация работ, посвященных глубокому исследованию отдельных способов сокращения сложности алгоритмов ЦОС [9, 10], свидетельствует о насущной необходимости обобщающего подхода в этом направлении. Обзор результатов новых исследований в данной области показывает, что они могут быть сгруппированы по следующим основным направлениям: - исследование и синтез новых структурных схем ЦФ, обеспечивающих низкую чувствительность характеристик к изменениям коэффициентов ЦФ; - разработка новых типов ЦФ, для реализации которых требуется выполнение уменьшенного объема арифметических операций; - развитие новых методов аппроксимации, постановка и решение новых аппроксимационных задач. Работы первого направления восходят к 1971 году, когда А. Феттвейс опубликовал первую работу, излагающую концепцию волновых фильтров [7]. Важность этого направления обуславливается тем, что структуры с низкой чувствительностью требуют всего нескольких бит в кодовом слове коэффициента и, следовательно, они обеспечивают возможность эффективной реализации ЦФ. Кроме того, в рамках этого подхода был предложен метод синтеза рекурсивных ЦФ (РЦФ) в виде параллельного соединения всепропускающих цепей, который оказался очень продуктивным при решении задачи конверсии частоты дискретизации [14]. Обобщающие результаты по синтезу низкочувствительных ЦФ содержатся в работах С. Митры и П. Вадьянатхана [14,15], в которых волновые, лестничные и ортогональные ЦФ получаются как частные случаи общего подхода.

7 Эффективная реализация ЦФ, требующая уменьшенной величины объема выполняемых арифметических операций, возможна не только за счет уменьшения чувствительности. После появления в 1984 году работы Адамса и Вильсона [16] внимание было привлечено к применению для целей уменьшения числа умножений в фильтре простейших видов нерекурсивных ЦФ, известных также как фильтры Уолша [5,16] или фильтры рекурсивного скользящего среднего. Фильтры Уолша принципиально не требуют для своей реализации выполнения операций умножения. Основная идея подхода Адамса и Вильсона заключается в том, что фильтр Уолша осуществляет предварительную грубую фильтрацию, а каскадно соединяемый с ним выравниватель наряду с компенсацией искажений в полосе пропускания, которые вносит в сигнал фильтр Уолша, обеспечивает окончательную фильтрацию сигнала. Поскольку требования к фильтру – выравнивателю ослаблены по сравнению с требованиями к фильтру в целом, то для его реализации используется меньшее число коэффициентов и соответственно требуется выполнение меньшего числа умножений. Развитие методов аппроксимации связано прежде всего с постановкой и необходимостью решения новых задач: - расчетом фильтров с максимально-плоской амплитудно-частотной характеристикой в полосе пропускания и равнопульсирующей в полосе задерживания [17]; - расчетом фильтров при учете одновременных требований как к амплитудно-частотной, так и к фазо-частотной характеристикам [18]. Задаче конверсии частоты дискретизации посвящено несколько монографий, например [15]. Вопросы многоканальной цифровой фильтрации с изменением частоты дискретизации тесно примыкают к задаче собственно конверсии частоты дискретизации. Их сходство и различие неоднократно рассматривались многими авторами, начиная с 1974 года. Наиболее полно рассмотрены два типа струк-

8 тур: древовидная (многоступенчатая) и полифазная. Для них решены аппроксимационные задачи с разными типами фильтров, включая НЦФ с комплексными коэффициентами [12, 15, 19]. Значительно меньше исследованы задачи многоканальной фильтрации без преобразования частоты дискретизации. Цель работы – повышение эффективности алгоритмов и устройств ЦОС в системах связи и радиовещания путем разработки методов их построения, оптимизирующих использование программных и аппаратных средств. Задачи исследования 1. Исследование свойств передаточной функции цифровых фильтров и характеристик алгоритмов ЦОС. 2. Формулировка и обоснование критерия для целей сопоставления и оптимизации различных вариантов построения алгоритмов и устройств ЦОС. 3. Разработка методов и путей совершенствования алгоритмов и устройств ЦОС, определение условий целесообразности их использования. 4. Создание методики проектирования алгоритмов и устройств ЦОС с уменьшенной величиной программно-аппаратных затрат. 5. Разработка и реализация методик синтеза программного обеспечения и инструментальных средств ЦОС. 6. Техническая реализация и внедрение разработанных методик, алгоритмов и устройств при создании оборудования связи и радиовещания. Методы исследований. Перечисленные задачи решены методами теории линейной аппроксимации, гармонического и спектрального анализа, z – преобразования, теории групп. Кроме того, использовались методы численного анализа и моделирования. Научная новизна 1. Сформулирован и обоснован критерий оптимальности в виде показателя вычислительной сложности, характеризующего эффективность алгоритма ЦОС применительно к задаче синтеза ЦФ по рабочим параметрам.

9 2. Впервые исследовано и классифицировано влияние свойств симметрии системной функции на характеристики вычислительной сложности алгоритмов ЦОС. 3. Разработаны методы синтеза сигналов, передаточных функций фильтров, включая взвешивающие функции «окон», удовлетворяющие в смысле сокращения числа вычислительных операций критерию оптимальности, и соответствующие способы реализации цифровых генераторов и фильтров, минимизирующие аппаратно-программные затраты. 4. На основе декомпозиции матрицы фильтрации разработаны структурные схемы многоканальных ЦФ: пирамидальная, параллельная, трансверсальная, модифицированная полифазная - и определены условия целесообразности их применения. 5. Разработаны методика расчета, инструментальные средства и программное обеспечение для проектирования алгоритмов и устройств ЦОС, удовлетворяющих критерию минимума показателя вычислительной сложности. Практическая ценность 1. Разработанные методики проектирования, структурные схемы и схемотехнические решения ЦФ, инструментальные средства и программные продукты обеспечивают создание программных и аппаратных средств ЦОС повышенной эффективности, оптимизированных по критерию минимума показателя вычислительной сложности, для использования в составе оборудования цифровых систем связи, радиовещания, обработки информации и управления. 2. Разработанные методика синтеза сигналов методами ЦОС и обоснованные на этой основе структурные схемы обеспечивают создание генераторов и функциональных преобразователей для оборудования связи и радиовещания при минимизации программно-аппаратных затрат на их реализацию. 3. На основе результатов диссертационных исследований созданы новые технические решения, защищенные авторскими свидетельствами. Реализация результатов работы Результаты диссертационной работы использовались:

10 - в работах по автоматической системе коррекции сетевых трактов (ОКР «Окоп» ЦНИИСвязи г. Москва); - в работах по созданию аппаратуры автоматической системы коррекции первичных сетевых трактов (ОКР «ОКА-АСК» НПО «Дальняя связь» г. Ленинград); - в работах по созданию АСУ проведения виброиспытаний (по договору о передаче научно-технических достижений НПО «Информатика» г. Куйбышев); - в НИР, выполнявшихся по заказам Минсвязи России («Оповещание», «Регион» и др.) Внедрение результатов диссертационной работы и достигнутый при этом эффект подтверждены соответствующими актами. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. В главе 1 изложены результаты исследования основных свойств системных функций и характеристик алгоритмов цифровых фильтров. На основе анализа современного состояния теории и практики в области цифровой обработки сигналов на примере цифровой фильтрации дана общая характеристика алгоритмов ЦОС. Установлены основные свойства системных функций цифровых фильтров. Сформулирован и обоснован критерий оптимальности алгоритмов ЦОС на основе показателя вычислительной сложности. В главе 2 рассмотрены вопросы проектирования эффективных цифровых фильтров на основе декомпозиции передаточной функции. Обосновано использование факторизации и параллельной декомпозиции передаточной функции ЦФ для сокращения вычислительной сложности алгоритма фильтрации. Разработаны принципы синтеза взвешивающих функций «окон» путем факторизации передаточных функций и применение декомпозиции в процедурах синтеза нерекурсивных цифровых фильтров. В главе 3 рассмотрено использование методов декомпозиции передаточных функций для случаев многоканальной цифровой фильтрации и фильт-

11 рации с преобразованием частоты дискретизации. Рассмотрены варианты построения многоканальных цифровых фильтров древовидной структуры на основе многополосных фильтров. Проанализирован многоканальный ЦФ на основе устройства трехканального частотного разделения. Рассмотрены многоскоростные многоканальные цифровые фильтры полифазной структуры. В главе 4 излагаются вопросы разработки и использования систем и устройств ЦОС. Дано описание методики проектирования ЦОС устройств на основе декомпозиции их системной функции. Содержатся результаты исследования линейного синтеза сигналов и построения синтезаторов сигналов, систем передачи для радио и проводных трактов передачи. В заключении перечисляются основные результаты диссертационной работы и формулируются необходимые выводы. В Приложении 1 приведены результаты разработки модулятора системы RDS. В Приложении 2 описана система автоматизированного расчета и программирования нерекурсивных ЦФ. В Приложении 3 приведены результаты разработки цифрового генератора для аппаратуры АСК СТ (ЦГ). В Приложении 4 помещены акты внедрения результатов диссертационной работы. На защиту выносятся: 1 Критерий для сравнительной оценки и оптимизации вариантов построения алгоритмов и устройств ЦОС в виде показателя вычислительной сложности, характеризующего эффективность соответствующего алгоритма. 2 Классификация свойств симметрии системных функций, основанная на оценке влияния этих свойств на величину показателя вычислительной сложности алгоритмов ЦОС. 3 Результаты исследования характеристик взвешивающих функций «окон», используемых в спектральном анализе и проектировании фильтров.

12 4 Методы и результаты проектирования цифровых фильтров, в том числе многоканальных, оптимизированных по критерию минимума показателя вычислительной сложности, включая способы реализации устройств, расширяющие условия их использования. 5. Методика синтеза сигналов методами ЦОС, обеспечивающая минимизацию программно-аппаратных затрат и разработанные на этой основе структурные схемы генераторов и функциональных преобразователей. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на областной научно-технической конференции (Куйбышев, 1980), областном межотраслевом научно-техническом семинаре (Куйбышев, 1981) «Методология и организация автоматизированного проектирования систем информационных процессов», конференции «Синтез фильтрующих и корректирующих устройств для систем передачи информации по каналам связи» (г. Одесса, 1982 г.), всесоюзной научно-технической школе «Помехи и борьба с ними» (г. Москва, 1984 г.) II всесоюзного симпозиума по вычислительной томографии (г. Куйбышев, 1985 г.), семинарах «Новое в телерадиовещании и радиосвязи» (г. Псков, 1998, 2001 г.г.), «Состояние и перспективы развития средств телевизионного и звукового вещания в новых условиях» (г. Адлер, Анапа, 1999, 2000 г.г.), «Современные технологии вещания, переход на цифровое вещание (г. Сочи, 2001 г.), а также на научно-технических конференциях областного правления НТО РЭС им. А.С. Попова (г. Куйбышев, 1984-1990 г.г.) Материалы диссертационных исследований опубликованы в 11 статьях в периодических научных изданиях, 9 публикациях в виде тезисов докладов. Новые технические решения защищены двумя авторскими свидетельствами и двумя патентами на изобретения. Отдельные результаты теоретических и экспериментальных

исследований

отражены

в

отчетах

по

научно-

исследовательским работам и материалах опытно-конструкторских работ.

13 Глава 1 УСТРОЙСТВА ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ В СИСТЕМАХ

УПРАВЛЕНИЯ,

СБОРА

И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ИНФОРМАЦИИ 1.1 Общая характеристика алгоритмов работы линейных устройств цифровой обработки сигналов При описании работы устройств, выполняющих линейную обработку сигналов в дискретном времени, входные и выходные сигналы представляются своими отсчетными значениями. В самой общей форме линейный оператор, описывающий преобразование входного сигнала, заданного в виде вектора x, в выходной сигнал в виде вектора y, описывается как линейное преобразование:

L( x1 + x2 ) = L( x1 ) + L( x2 ),

(1.1)

где х1, х2 – произвольные векторы, определенные на линейном пространстве входных воздействий. Операторы, удовлетворяющие свойству суперпозиции (1.1), допускают различные представления [31]: представления для L по отношению к базису пространства входов х, представления в виде линейных функционалов по отношению к базису пространства выходов y, матричные представления. В технических приложениях класс устройств, реализующих алгоритмы линейной обработки методами ЦОС, именуют цифровыми фильтрами вне зависимости от целевого назначения и конкретного использования этих устройств. Наиболее полно все возникающие проблемы проявляются при реализации алгоритмов реального масштаба времени, когда любой конечный фрагмент входной последовательности отсчетов сигнала преобразуется в конечный фрагмент выходной последовательности с задержкой во времени, не превышающей некоторой, заранее определенной положительной величины. В теории ЦОС фундаментальную роль играют алгоритмы свертки, описывающие работу линейных инвариантных к сдвигу ЦФ:

14 M

y ( n ) = x ( n) ∗ h ( n ) = ∑ x ( m) h ( n − m)

(1.2)

m=0

где y(n) – последовательность отсчетов выходного сигнала; x(n) – последовательность отсчетов входного сигнала; h(n)

–

последовательность

отсчетов

импульсной

характеристики

устройства; М - длина (число отсчетов) импульсной характеристики. Алгоритмы цифровой фильтрации, инвариантной ко временному сдвигу, весьма однородны по составу выполняемых операций, что обусловлено характером соотношения (1.2), его внешней простотой. В правильно организованном процессоре устройства цифровой фильтрации на одну операцию ввода – вывода приходятся десятки или даже сотни операций умножения и суммирования. В тоже время связь характеристик алгоритма с характеристиками используемого элементного базиса выглядит весьма опосредованной. Так, например, точность выполнения алгоритма, характеризуемая величиной инструментальной ошибки, не зависит от точности используемых компонент схемотехнического базиса. Используя распараллеливание операций или организацию конвейерного режима, можно получать необходимые характеристики быстродействия алгоритма при различном быстродействии используемых микросхем. Основные арифметические операции могут быть выполнены практически в любом базисе логических функций, используя любой арифметический код. С другой стороны, наиболее заметно алгоритмы работы различаются особенностями процесса организации, особенностями последовательного преобразования его конструктивных объектов, видом этих объектов, их взаимообусловленностью.

Эти особенности находят непосредственное отображение в

структуре алгоритма работы, в характере и числе используемых вычислительных процедур, специальных приемах. Наглядное представление о характерных особенностях ЦОС дает сопоставление аналоговой и цифровой реализации наиболее важных операций, оформленное в виде таблицы 1.1.

15

Таблица 1.1 ЦОС в системах обработки и передачи информации Операция

Аналоговая реализация

Классическая фильтрация Линейная фазовая фильтрация

Аналоговые фильтры

Некаузальная фильтрация Суммирование (вычитание) Реализация функций

Не может быть реализована Операционные усилители

Синтез сигналов вида Прецизионный опорный сигнал Преобразование «частота – напряжение» Преобразование «напряжение – частота»

Аналоговые линии задержки

Нелинейные компоненты Труднореализуемые схемы генераторов Схема прецизионного стабилизатора Преобразователи «частота – напряжение» Схемы генераторов, управляемых напряжением

Цифровая реализация Цифровые схемы и устройства Оперативные запоминающие устройства, регистры сдвига Хранение в памяти данных и манипуляция ими АЛУ (арифметикологические устройства) ПЗУ (постояннозапоминающие устройства), АЛУ, умножители ПЗУ, АЛУ, умножители ОЗУ данных Счетчик импульсов Цифровые синтезаторы частоты с ЦАП, ПЗУ и счетчиками импульсов

16 Как уже отмечалось выше, главная задача, решением которой занимается теория ЦФ, это поиск эффективных вычислительных процедур и принципов реализации алгоритмов ЦФ, позволяющих расширить области целесообразного применения ЦФ за счет более эффективного использования имеющихся технических ресурсов. Структура алгоритмов ЦОС находит свое отражение и испытывает обратное влияние архитектуры со стороны процессоров ЦОС, а через архитектуру связана с технологией больших интегральных схем. Благодаря автономности алгоритмов от характеристик элементного базиса открывается возможность изучать эффективность алгоритмов ЦОС, исследуя их обобщенные характеристики, абстрагируясь от влияния реализационных ограничений. Разумеется, основные внешние характеристики системы или устройства с ЦОС, такие как потребляемая мощность, габариты, определяются решением всего комплекса вопросов проектирования. В первом приближении можно полагать, что показатели устройства, при хорошем согласовании структуры алгоритма с архитектурой процессора, будут определяться произведением обобщенных характеристик алгоритма и коэффициента, который имеет смысл удельных затрат в конкретном элементном базисе. Все сказанное выше о цифровой фильтрации может быть распространено на цифровой синтез сигналов: характерные особенности цифровых генераторов, автономность характеристик алгоритмов от используемого элементного базиса, сопоставление цифровых и аналоговых методов с учетом естественных поправок могут быть определены по соответствующим результатам для ЦФ. Наиболее впечатляюще различие в природе аналоговой и цифровой обработки проявляется по отношению к свойству симметрии. В аналоговой технике придание системной функции свойств симметрии не приводит к упрощению реализации устройства. В ЦОС, в силу ярко выраженного вычислительного характера алгоритмов, за счет использования свойств симметрии, например, значений отсчетов импульсной характеристики, удается уменьшить число выполняемых арифметических операций [6,32].

17 В классической теории понятие симметрии определяется через понятие движение. Движением в евклидовом пространстве называется такое его преобразование, при котором сохраняется расстояние между любыми точками пространства. Множество Y точек пространства называется симметричным, если существует нетождественное движение пространства, переводящее Y в себя. Совокупность σ всех движений, переводящих Y в себя, является группой. Исчерпывающей характеристикой «степени симметричности» множества Y является его полная группа симметрии [25]. Групповая природа симметрии означает, что необходимо изучать свойства групп симметрии системной функции устройств, то есть привлекать этот аспект теории групп в сферу теоретических методов ЦОС с целью получения эффективных в вычислительном отношении алгоритмов ЦОС. 1.2

Виды передаточных функций цифровых фильтров и соотноше-

ние неопределенности Изучение передаточной функции дает столь же полную информацию о свойствах линейных систем, как линейное разностное уравнение. Вместе с тем на практике принято задавать требования к ЦФ в виде норм и допусков на параметры передаточной функции, и конструктивный подход к проектированию эффективных ЦФ удобнее развивать, исследуя передаточные функции и их свойства. Передаточная функция линейного инвариантного к сдвигу ЦФ является z-преобразованием его импульсной характеристики, или, что эквивалентно, может быть определена как отношение z-преобразований выходного и входного сигналов. В общем случае передаточная функция, соответствующая разностному уравнению, равна [5, 9]: L −1

a 0 + a1 z −1 + ... + a L −1 z −( L −1) H ( z) = = b0 + b1 z −1 + ... + bM −1 z −( M −1)

∑ a l z −l

l =0 M −1

∑ bm z

m =0

−m

=

P1 ( z ) . Р2 ( z )

(1.3)

18 Выражение (1.3), являющееся дробно-рациональной функцией аргумента z-1, соответствует рекурсивному цифровому фильтру (РЦФ). Передаточная функция нерекурсивного цифрового фильтра (НЦФ) является полиномиальной, поскольку все коэффициенты знаменателя bm, обуславливающие наличие обратных связей, равны нулю:

H ( z ) = a 0 + a1 z

−1

+ ... a L −1 z

− ( L −1)

−1

= h0 + h1 z + ... + hN −1 z

− ( L −1)

L −1

= ∑ hn z −n . (1.4) n=0

Коэффициенты НЦФ hn представляют собой отсчеты его импульсной характеристики. Из выражения (1.4) сразу следует, что НЦФ обладают конечной импульсной характеристикой (КИХ): hn = 0 для всех n > N –1. Связь коэффициентов РЦФ с отсчетами его импульсной характеристики можно получить, подставив в разностное уравнение xn в виде единичного скачка (дельтаимпульса): n

hn = an − ∑ bi hn − i . i =1

(1.5)

При вычислении hn все значения bi = 0 для всех i > М – 1, и αn = 0 для всех n > L – 1. Непосредственно из (1.5) следует, что импульсная характеристика РЦФ из-за наличия рекуррентного слагаемого ∑ bi hn-i

представляет собой

бесконечную последовательность отсчетов, то есть РЦФ обладает бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). С алгебраической точки зрения числитель и знаменатель передаточной функции (1.3) представляют собой полиномы комплексной переменной z

–1

и

для (1.3) справедливо представление через сомножители: L −1

П ( z −1 − α l )

H ( z ) = Q Ml =−11 , П ( z −1 − β m )

(1.6)

m =1

где

Q – константа; {αl } – корни полинома числителя, которые в дальнейшем именуются ну-

лями передаточной функции;

19 {βm } – корни полинома знаменателя, именуемые в дальнейшем

полю-

сами передаточной функции. Ограничив область определения контуром единичной окружности в zплоскости, мы получаем из передаточной функции фильтра его частотную характеристику:

H(e jλ) / z = e jλ = H(z) = |H(λ)| ej ϕ(λ) = Hre (ej λ) + j Him (ej λ), где

|H(λ)| и ϕ (λ) – модуль и аргумент частотной характеристики, соответственно; Hre (e jλ) и Him (ej λ) – ее действительная и мнимая части, соответственно; λ = = ω / Fg – нормированная частота. Во многих приложениях часто бывает достаточно определить либо только модуль, либо только аргумент частотной характеристики. Для модуля принято наименование – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), для аргумента – фазо-частотная характеристика (ФЧХ). Кроме ФЧХ аргумент принято характеризовать с помощью функции группового времени запаздывания (ГВЗ) τ(λ), которое определяется как:

d [arg H (e jλ )] dϕ (λ ) =− τ (λ ) = . dλ dλ

(1.7)

Физически реализуемый ЦФ должен удовлетворять условию каузальности: его импульсная характеристика h(n) = 0 при n < 0. Как показано в работах [9, 23], передаточная функция таких ЦФ полностью определяется заданием только мнимой или только действительной части характеристики ЦФ. В частном случае минимально-фазовой передаточной функции, которая не имеет нулей и полюсов вне единичного круга z-плоскости, можно, как это сделано в главе 7 монографии [23], с помощью преобразования Гильберта установить соответствие между АЧХ и ФЧХ: π 1 θ − λ  ϕ (λ ) = V .P. ∫ log H (θ ) ctg  dθ , 2π 2   −π

(1.8)

где V.P. – символ того, что под значением интеграла понимается главное значение в смысле Коши.

20 Полиномы вида (1.4), принадлежащие классу минимально-фазовых передаточных функций, то есть не имеющие нулей вне единичного круга, могут быть рассмотрены как своеобразные блоки, из которых можно сконструировать передаточные функции произвольного вида. Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, обратимся к передаточной функции наиболее общего вида, то есть передаточной функции дробно-рационального вида (1.3). Для того, чтобы выражение (1.3) соответствовало физически реализуемой передаточной функции, полином знаменателя Р2(z) должен быть полиномом минимально-фазового типа [9,10]. Что касается полинома числителя Р1(z), то его нули могут располагаться в любой точке z-плоскости. Определим полином вида (1.4) как полином максимально-фазового типа, если все его нули располагаются вне единичной окружности. CMl ( z ) = C0M + C1M −1 z −1 + C2M − 2 z −2 + ... + CMl z − (l −1) ,

P1 ( z ) = Cml ( z ) ⋅ GmL − l ( z ) ,

(1.9)

где Cml (z) – полином порядка l, минимально-фазового типа, не имеющий нулей вне единичной окружности; GML-l (z)

– полином порядка L–l -го порядка максимально-фазового ти-

па, все нули которого располагаются вне единичной окружности. Верхние индексы сомножителей из правой части (1.9) относятся к показателю степени полинома, а нижние индексы характеризуют его тип. Можно также показать, что для этих сомножителей справедливы следующие сопряженные представления:

Cml ( z ) = z − ( l −1)CMl (1 / z ) .

(1.10)

GML − l ( z ) = z − ( L − l +1)GmL − l (1 / z ) .

(1.11)

Коэффициенты сопряженных минимально – и максимально-фазовых полиномов относятся как:

Cm (n) = CM (l − 1 − n) .

(1.12)

21 g M ( n) = g m ( L − l − 1 − n) .

(1.13)

− ( l −1) l l l l ) , и очевидна Из (1.10) и (1.11) следует Cm ( z ) ⋅ CM ( z ) = Cm ( z ) ⋅ Cm ( z

справедливость соотношений:

Cml (l jλ ) = CMl (l jλ ) .

(1.14)

arg{Cml (l jλ )} + arg{CMl (l jλ )} = −(l − 1)λ .

(1.15)

Особо выделим случай V(z) = Cml (z)= Cml (z), где V(z)- симметричный полином, у которого Cm (n) = CM (l-1-n), и все нули образуют комплексносопряженные пары, расположенные на единичной окружности в z-плоскости. Анализируя полученные выражения (1.14) и (1.15), описывающие связь между сопряженными минимально- и максимально-фазовыми представлениями, приходим к выводу, что свойства максимально-фазового полинома можно однозначно определить по сопряженному с ним полиному минимальнофазового типа. В частности, для задания передаточной функции типа GML-l (z) достаточно определить либо ее модуль, либо фазу, или, что эквивалентно, одну из составляющих GML-l (z): мнимую или действительную. С учетом сказанного ранее о знаменателе, можно сделать следующий вывод: передаточная функция произвольного физически реализуемого ЦФ, который удовлетворяет условиям каузальности и устойчивости, может быть сконструирована из полиномов минимально-фазового типа (образующих полиномов): Gml ( z ) ⋅ Z − ( L − l −1)Gm ( z −1 ) H ( z) = . lmM ( z )

(1.16)

Такое представление позволяет определить возможности управления характеристиками ЦФ, одновременно учитывать требования и к АЧХ, и к ФЧХ, что в свою очередь позволяет упростить решения целого ряда задач как по анализу, так и по синтезу ЦФ. Заметим, что структура выражений (1.10) и (1.11) отображает зеркальную симметрию, присутствующую в конфигурации нулей сопряженных минимально-фазового и максимально-фазового полиномов. Выражения (1.12) и (1.13)

22 демонстрируют проявление этого вида симметрии в значениях коэффициентов. Понятие симметрии относится к числу ключевых понятий, если синтез ЦФ выполняется с учетом параметров, характеризующих вычислительную сложность алгоритма реализации требуемой передаточной функции. Симметрия, согласно [33], определяемая как свойство объекта совмещаться с самим собой при выполнении определенных преобразований, позволяет получить существенную экономию по числу выполняемых вычислительных операций. Благодаря свойству симметрии для всей группы симметричных значений, вычислительную операцию необходимо выполнить только один раз, чтобы получить результат, справедливый для всей группы. Свойства симметрии рядов Фурье и z– преобразований имеют особое значение для сокращения объема производимых вычислений, поскольку они напрямую связаны со значениями коэффициентов соответствующих ЦФ. Основные свойства этой симметрии неоднократно обсуждались в литературе, для справки можно обратиться, например, к параграфу 2.1 книги [34]. Опираясь на основные фундаментальные свойства симметрии z– преобразований и сформулированный выше подход к построению передаточной функции из минимально-фазовых полиномов, мы сразу можем отметить, что именно упомянутая выше зеркальная симметрия образующих и сопряженных к ним полиномов обуславливает главные свойства передаточных функций таких важных частных видов ЦФ как цифровая фазовая цепь (ЦФЦ) и линейно-фазовый нерекурсивный ЦФ (ЛФ НЦФ). ЦФЦ является цифровым эквивалентом всепропускающих аналоговых цепей, известных под названием фазовых контуров. Передаточная функция ЦФЦ L-го порядка имеет вид: z − L + aL −1 z − ( L −1) + ... + a1 z −1 + a0 z − L PmL ( z −1 ) PmL ( z ) H ( z) = = = L . 1 + aL −1 z −1 + ... + a1 z − ( L −1) + a0 z − L PmL ( z ) Pm ( z )

(1.17)

В числителе (1.17) полином максимально-фазового типа, сопряженный зеркально-симметричным образом минимально-фазовому полиному знаменате-

23 ля (того же порядка). В работе [35] предложены структурные схемы ЦФЦ, использующие эту симметрию для сокращения числа выполняемых умножений при реализации ЦФЦ. Используя свойства сопряженных полиномов (1.10) – (1.13), можно показать, что из (1.17) следует для АЧХ и ФЧХ:

| H (e jλ ) |= 1 ,

arg{H (e jλ )} = −2 arg{PML (e jλ )} + λL . Таким образом, для ПФ (1.17) характериjλ jλ стика ГВЗ допускает выражение τ (e ) = L − 2τ p (e ) , где τp (ejλ) – характери-

стика ГВЗ образующего полинома PmL(z). Из этого представления в частности следует подобие ГВЗ ЦФЦ и максимально-фазовой цепи. В свою очередь для τp (ejλ) справедливо соотношение: {Im P(e jλ )}{Re P(e jλ )}'−{Re P(e jλ )} − {Im P(e jλ )} − {Im P(e jλ )}' τ (e ) = , | P(e jλ ) |2 jλ

в котором { ⋅ }′ – означает производную по λ. Согласно этому соотношению максимальное значение τ(ejλ) достигает в окрестностях минимума P (ejλ), то есть в окрестностях нулей Рml(z) наиболее близких к единичной окружности. Поскольку характеристика ГВЗ ЦФЦ L-го порядка может быть представлена суммой характеристик ГВЗ элементарных звеньев – ЦФЦ 1-го и 2-го порядков, то целесообразно рассмотреть основные свойства этих характеристик. Обозначив

ГВЗ

ЦФЦ

1-го

порядка

как

τ1(λ),

имеем

τ 1 (λ ) = (1 − a 2 ) /(1 + a 2 + 2a cos λ ) , где a – координата полюса ПФ, совпадающая с ее коэффициентом. Экстремальными точками τ1(λ) являются точки λ = кπ. Функция τ1(λ) является либо монотонно убывающей, если α < 0, либо монотонно возрастающей если α>0. При этом max τ1(λ)= (1+A)/(1-A), min τ1(λ) = (1+A)/(1-A), где А=|а|. Диапазон изменения τ1(λ) будет равен: ∆τ 1 = 4 A /(1 − A 2 ) . Интегрируя τ1(λ) на интервале [0, π], получаем, что среднее значение τ1(λ) равно π. Учитывая, что τ1(λ) ≥ 0 является функцией неотрицательно определенной, мы определяем площадь, ограниченную τ1(λ,) равной π.

24 Как показано в параграфе 3.6 книги [9], в силу свойств симметрии импульсной характеристики передаточная функция ЛФ НЦФ Ν-го порядка удовлетворяет условию:

H ( z −1 ) = ± Z N H ( z ) ,

(1.18)

где знак ”+” соответствует Ν нечетному, знак ″– ″ − Ν четному. Последнее условие и свойства сопряженных полиномов (1.10) – (1.13) l N −l дают для составляющих выражения (1.9) в случае ЛФ НЦФ: C m ( z ) ⋅ GM ( z ) =

= C ml ( z ) ⋅ GmN −l ( z −1 ) . Обратимся к представлению передаточной функции через сомножители. Передаточную функцию ЛФ НЦФ можно представить в виде, отражающем зеркальную симметрию в конфигурации расположения нулей:

H ( z ) = V ( z )Cmr ( z )CMr ( z ) = V ( z )Cmr ( z )Cmr ( z −1 ) Z − ( r −1) ,

(1.19)

где Cmr (z) – строго минимально-фазовый полином, все нули которого располагаются только внутри единичной окружности. Передаточную функцию ЛФ НЦФ Ν-го порядка можно представить в виде суммы зеркально симметричных образующих полиномов: H ( z ) = P( z ) ± Z − ( N −1) P( z −1 ) ,

где P ( z ) =

M

∑a

m−0

m

(1.20)

z − m – образующий полином.

В формуле (1.20) знак ”+”соответствует случаю симметричной импульсной характеристики, а знак – соответствует случаю антисимметричной характеристики. Коэффициенты образующего полинома связаны с отсчетами импульсной характеристики ЦФ следующим образом:

N  h m M m , для N − четного; < =  m 2 am =   1 h m = M = N − 1 для N − нечетного.  2 m 2

(1.21)

25 Из формулы (1.20) можно получить другое представление передаточной функции: H ( z ) = P ( z ) z

−j

− N −1 2

(e

jϕ ( z )

z

N −1 2

±e

− jϕ ( z )

z

−j

− N −1 2

) , где ϕ(z) = arg {P(z)}.

Частная характеристика ЛФ НЦФ Ν-го порядка при этом принимает вид:

H ( e jλ ) = H 0 ( e jλ ) e

− N −1 −j λ 2

= P ( e jλ ) e

− N −1 −j λ 2

N −1  2 cos[ ( ) + ϕ λ λ]  2 . (1.22)  1 N −  j 2 sin[ϕ (λ ) + λ]  2

Чисто действительная характеристика H0 (ejλ) в (1.22) соответствует случаю симметричной импульсной характеристики, чисто мнимая – антисимметричной импульсной характеристике. На рисунке 1.1 в качестве примера рассмотрен ЛФ НЦФ нижних частот

Ν = 37 и диаграмма расположения нулей передаточной функции для этого ЦФ, а на рисунке 1.2 – АЧХ и диаграмма нулей образующего полинома. Поскольку полином V(z) из (1.19) имеет симметричные действительные коэффициенты, как это показано в ( 6 ), то по отношению к нему представление вида (1.20) оказывается справедливым, и в результате использования такого представления из выражения (1.22) можно получить для частотной характеристики ЛФ НЦФ Ν -го порядка такое выражение: 2

H (e jλ ) = Cmr (e jλ ) P1 (e jλ ) e

− N −1 λ −j 2

N − 22  − ϕ λ λ] 2 cos[ ( ) 1  2 ,   j 2 sin[ϕ (λ ) − N − 1 − r λ ] 1  2

(1.23)

где Р1(z)= Р1(z) e jϕ(z) − образующий полином для V(z). Структура выражений (1.19), (1.22) и (1.23) подходит для вычисления значений коэффициентов ЦФ методом стационарной фазы. Кроме того, соотношения (1.22) и (1.23), а также (1.20), могут быть положены в основу методики синтеза произвольного минимально-фазового НЦФ посредством решения задачи синтеза эквивалентного ЛФ НЦФ, для которого полином искомого НЦФ Р(z) выступают в роли образующего полинома.

26

α, дБ

Im Z

0 -20 -40

1 Re Z

-60 -80

Рисунок 1.1

α, дБ

Im Z j 0 -20 -40 Re Z

-60 -80

0,2π

0,4π

0,6π

0,8π

π

λ

Рисунок 1.2

27 Для ЦФЦ 2-го порядка получаем

τ 1 (λ ) =

2(1 − a0 )(1 + a0 + a1 cos λ ) , (1 − a0 ) 2 + a12 + 2a1 (1 − a0 ) cos λ + 4a0 cos 2 λ

где a0 =А a1=2А cosΘ, z1,2 =A 2

е± jΘ

- координаты полюсов ПФ.

В силу свойств сдвига z- преобразования имеем τ 1 (λ ) = τ 1 (λ − θ ) + (λ + θ ) . Следовательно диапазон изменения ∆τ2 не менее ∆τ1 , которая является оценкой снизу для ∆τ2 , в то же время ясно, что ∆τ2 < 8А/1 – А 2 . Легко видеть, что ∆τ2 ≥ 0 и среднее значение τ2(λ) равно 2π. Для

импульсной

характеристики

ЦФ,

как

функции

дискретного

аргумента h(n), связь с ее спектральным представлением - частотной характеристикой H(e jλ) - выражается посредством соотношений ряда Фурье: jλ

H (e ) =

∞

∑ h ( n )e

n = −∞

− jλn

.

Базисное ядро представления {e

(1.24) -jλn

} зависит от произведения независи-

мых переменных λ и n. Благодаря симметричности аргументов, сжатие по одной переменной λ→λ1, сопровождается растяжением по другой переменной n → n1/a. Это свойство, получившее название принципа неопределенности, устанавливает наличие некоторого объективного предела по одновременной концентрации функции и ее спектрального представления. Принцип неопределенности справедлив независимо от выбора конкретного вида меры концентрации, однако строгая его формулировка, известная как соотношение неопределенностей Гейзенберга, получена для метрики Гильбертова пространства [30]. Полагаем, что величина энергии нормирована к единице: π ∞ 1 2 | h( n) | = | H (e jλ ) |2 dλ = 1 , ∑ ∫ 2π −π n = −∞ и первые два момента конечны:

(1.25)

28

n=

∞

∑ n | h ( n) | < ∞ , 2

(1.26)

n = −∞

n = 2

∞

∑n

2

n = −∞

1 λ= 2π 1 λ = 2π 2

| h( n) | 2 < ∞ ,

π

∫π λ | H (e

jλ

(1.27)

) |2 < ∞ ,

(1.28)

−

π

∫π λ

2

| H ( e jλ ) | 2 < ∞ .

(1.29)

−

Поскольку ∞ | dH (e jλ ) | = ∑ nh(n)e − jλn , dλ n = −∞

(1.30)

то согласно равенству Парсеваля имеем: ∞

1 n = ∑ n | h( n ) | = 2π n = −∞ 2

2

2

π

dH (e jλ ) dH * (e jλ ) dλ . ∫−π dλ dλ

(1.31)

Из неравенства Коши-Буняковского следует: π

2

dH (e jλ ) ∫−π H * (e ) dλ dλ ≤ jλ

 π dH (e jλ ) dH * (e jλ ) π 2 jλ 2 ≤  ∫ λ | H (e ) | dλ  ∫ dλ . λ λ d d  −π  −π

(1.32)

Интегрируя по частям интеграл, стоящий в левой части (1.32), учитывая (1.27) и (1.29) и усиливая неравенство (1.32) в трактовке для комплекснозначных функций [36], получаем: 1 n 2λ2 > 2 n 4

что дает в итоге:

π

2

jλ jλ jλ dH (e ) jλ dH * (e ) ( * ( ) ( ) H e H e dλ , λ + ∫−π dλ dλ

29

π2 (| H * (e jπ ) |2 −1) 2 . nλ > 2 4π 2 2

(1.33)

Выражение (1.33) является искомым соотношением неопределенностей для функций дискретного времени. Определим дисперсии этих характеристик следующим образом: Dn =

∞

∑ (n − n )

n = −∞

1 Dλ = 2π

2

| h ( n ) |2 = n 2 − ( n ) 2 ,

π

∫π (λ − λ )

2

| H ( e jλ ) | 2 d λ = λ 2 − ( λ ) 2 .

(1.34) (1.35)

−

Выражая H(ejλ) через амплитудно-частотную и фазо-частотную характеjλ jλ j arg H ( e ристики H (e ) =| H (e ) | e

jλ

)

= A(λ )e jϕ ( λ ) , имеем для фазовых моментов

1-го и 2-го порядка, соответственно: π

1 τ = τ (λ ) A2 (λ )dλ , ∫ 2π −π 1 τ = 2π 2

π

∫πτ

2

(λ ) A 2 (λ )dλ .

(1.36) (1.37)

−

Выражение для дисперсии фазы приобретает вид: 1 Dτ = 2π

π

∫π (τ (λ ) − τ )

2

A 2 (λ )dλ = τ 2 − (τ ) 2 .

(1.38)

−

Если ввести обозначения ЕА для величины:

1 EA = 2π

π

 d / H ( e jλ ) / 2  ∫−π dλ dλ

(1.39)

и выполнить необходимые вычисления, то для определенных выше моментов справедливыми оказываются следующие соотношения: n =τ ,

(1.40)

Dn=Dτ+EA

(1.41)

30 Из (1.40) следует, что средняя величина запаздывания, определяемая центром тяжести импульсной характеристики (1.26), может быть определена по первому моменту фазы. Для физически реализуемых систем

h(n)=0

для всех n < 0, следовательно, для них τ > 0. Постоянство τ(λ) =N/2 означает, что для линейно-фазового ЦФ Dτ=0. Следовательно, среди всех ЦФ, имеющих равные параметры ЕА , этот тип фильтров минимизирует величину Dn , и может быть по этой причине рекомендован для построения амплитудного корректора. Цифровой всепропускающий фильтр имеет передаточную функцию, полином числителя которой может быть выражен через зеркально-сопряженный полином знаменателя: H (e jλ ) = e − jNλ P * (λ ) / P(λ ) , вследствие чего А(λ) = 1. Используя

τ (λ ) =

разложение

характеристики

этой

цепи

в

∞

∑ t (m) cos mλ ,

можно показать, что для этого типа ЦФ:

ряд

Фурье:

τ = t (0) ,

m=0

τ2 =

∞

∑t

m=0

2

(m) , причем величина t(0) является инвариантом для всепропускаю-

щих ЦФ заданного порядка N: она не зависит от вида функции τ(λ), а всегда равна N . Последнее обстоятельство можно использовать для оценки снизу порядка ЦФ всепропускающего типа, применяемого в качестве корректора. В самом деле, при использовании любого метода синтеза корректора нельзя обеспечить τк = Ν с помощью ЦФЦ меньшего порядка. 1.3 Свойства симметрии передаточных функций цифрового фильтра Представление ПФ через образующие полиномы Р(z) демонстрирует такую структуру выражений для ПФ цифровых фильтров, которая дает наглядное представление о природе симметрии заключенной в ПФ. В параграфе 1.2 на примерах важных для теории и практики классов ЛФ НЦФ и ЦФЦ показано, что полезные свойства этих классов ПФ обусловлены определенными видами симметрии в их диаграммах нулей и полюсов, следова-

31 тельно, симметрией в значениях коэффициентов образующих полиномов, напрямую связанных с нулями этих полиномов. Анализ свойств ПФ других классов ЦФ показывает, что уменьшить число вычислительных операций, выполняемых при реализации алгоритма цифровой фильтрации, возможно только при наличии в ПФ того или иного вида симметрии. Уменьшение числа выполняемых вычислений возможно, во-первых, за счет однократного выполнения повторяющихся операций (групповой способ обработки) и, во вторых, за счет того, что часть коэффициентов взаимно компенсирует друг друга, обращаясь в нуль (компенсация фрагментов). Понятие симметрии является по своей теории не метрическим, но связи между свойствами симметрии объекта определяют математическую группу, благодаря чему симметрия может быть формализована в рамках теории групп [24,25]. Понятие группы симметрии дает строгое описание свойств симметрии. Группы симметрии образуются

автоморфизмами-операциями (преобразова-

ниями), под воздействием которых объект переводится в ориентацию или конфигурацию, неотличимую от первоначальной. Автоморфизмы определяются по отношению к элементам симметрии (геометрические элементы, такие, как плоскость, линия, точка). Порядок группы симметрии численно равен числу всех ее автоморфизмов. Исследуя свойства симметрии такого объекта как ПФ, удобно оперировать с его представлением на z-плоскости. В самом деле z-преобразование выражается в самом общем виде рациональной функцией конечной степени и, следовательно, полностью определяется конечным числом взаимно однозначно связанных параметров: коэффициентов или совокупности нулей и полюсов. Согласно положений теории групп симметрии ПФ, полностью характеризуемая конечным числом точек, расположенных в определенной конфигурации (нулями и полюсами ПФ). Это означает, что ПФ могут обладать только свойствами симметрии аксиального точечного типа и для описания свойств симметрии ПФ достаточно использовать точечные группы симметрии, т.е. такие, что

32 все элементы симметрии такой группы пересекаются в одной точке [25]. Для ПФ точкой пересечения служит z=0. Всего для изолированного объекта, к которому относится и ПФ, существует пять различных типов элементов симметрии: единичный элемент 1, собственная ось поворота С n, плоскость симметрии δ, несобственная ось поворота S n и точка инверсии i. Все элементы симметрии точечной группы можно получить из генераторов группы. Для интересующего нас случая это подгруппы циклической группы поворотов СRn , состоящие из операций поворота на угол 2πn/R , где R - целое число, и операций отражения от плоскости зеркальной симметрии δn. Таким образом, множество всех возможных видов симметрии ПФ C1C2…CR; D1D2…DR, где C1-полное отсутствие симметрии; D1 = δn - наличие простой зеркальной симметрии; Dn = δn C n - диэдральная группа n-порядка - группа вращении, взятых вместе с отражениями относительно n-оси. Для того, чтобы симметрия ПФ описывалась группой СR сектор, в котором размещаются нули и полюса ПФ, должен быть на линии углового расстояния, равного 2π/R, и соответствующая частотная характеристика должна повторится на единичной окружности точно R раз, т. е. в интервале 0 < λ < 2 π должно укладываться точно R периодов частотной характеристики. Таким образом, в соответствии с основными свойствами рядов Фурье [I], сжатие в R раз частотной характеристики ЦФ по оси λ означает растяжение его импульсной характеристики, т. е. появление между двумя смежными отсчетами (R - 1) нулевых отсчетов. Группа зеркальной симметрии D2 означает, что частотная характеристика jλ

удовлетворяет условию H(e ) = H(e

j(π-λ)

) , что эквивалентно обращению в

нуль каждого второго отсчета импульсной характеристики. Наличие симметрии D1 означает, что ПФ имеет действительные коэффициенты или, что эквивалентно, комплексно-сопряженные нули и полюсы ПФ. Симметрия вида CR означает конформное отображение z-плоскости z = zR,

33 сжимающие ось частот в R раз. Симметрия DR - это тоже самое, но для ПФ с действительными коэффициентами. ПФ для фильтров с линейной ФЧХ (ЛФ НЦФ) обладают еще дополнительно автоморфизмом относительно единичной окружности на z- плоскости, т.е. является инвариантом для конформного отображения z1=z-1=1/z, которое является аналитической инверсией S1(i) [29]. Из теории рядов Фурье известно [31, 34], что выполнение условий, обеспечивающих симметрию определенного типа, позволяет обратить часть коэффициентов ряда или полинома в нуль. Так, например, соблюдение условий зеркальной симметрии с инверсией на интервале одного периода H (λ ) = − H (π − λ ) обеспечивает равенство нулю всех коэффициентов с четными номерами. ЛФ НЦФ с характеристикой вида образующих полиномов получил специальное наименование ″полуполосный″ [10,14], поскольку условие образующих полиномов предполагает идентичность характеристик ПФ в пределах полос пропускания и задерживания. Частотная характеристика такого фильтра имеет дополнительную ось симметрии в виде δn , плоскость зеркальной симметрии перпендикулярной оси частот в точке π/2 (Fg/4, где Fg – частота дискретизации). Эта ось симметрии на нуль-диаграмме полуполосного фильтра латентна. Она явно проявляется для H1(Z), когда ПФ ″полуполосного″ типа Hn(Z) представляется как

H n (z ) = H 0 (z ) + H1 (z ) = z

 N −1  −   2 

+ {P1 (z 2 ) + P1 (z −2 )}.

Классификация ПФ по видам присущей им видам симметрии приводится в таблице 1.2, где, наряду с другими данными, указано минимальное удельное число выполняемых умножений, отнесенных к величине порядка фильтра.

34 Виды симметрии ПФ цифровых фильтров Таблица 1.2 № п/п

Вид симметрии

Группа симметрии

Вид ПФ

Оси симметрии в z- плоскости

1 2 3

Без симметрии Зеркальная Циркулярная

С1 D1 СR

4

Диэдральная

DR

5

Зеркальная с конформной инверсией Диэдральная с конформной инверсией Полуполосная

D1 S1(i)

ПФ с комплексными коэффициентами ПФ с действительными коэффициентами ПФ вида H(zR) с комплексными коэффициентами ПФ вида H(zR) с действительными коэффициентами ПФ для ЛФ НЦФ

нет δn R осей поворота на угол 2π/R R осей поворота на угол 2π/R, δn δn и z=eiλ

DR S1(i)

ПФ для ЛФ НЦФ вида H(zR)

Dr S1(i)

ПФ для ЛФ НЦФ вида H(z)=H0(z)+P1(z2)+ P1(z -2)

Диэдральная полуполосная

DrR S1(i)

ПФ для ЛФ НЦФ вида H(zR)=H0(zR)+P1(z2R)+ P1(z –2R)

Kонформная инверсия

S1(i)

6

7

8

9

ПФ образующих полиномов ЦФЦ

R осей поворота на угол 2π/R , δn , z=eiλ Две оси поворота на угол π/2 , δn , z=eiλ Две оси поворота на угол 2π/rR , δn , z=eiλ z=eiλ (единичная окружность)

Удельное число умножений 1 1/2 1/R 1/2R 1/4

1/4R

1/8

1/8R 1/4

35 1.4 Формулировка показателя эффективности алгоритма цифровой обработки сигналов Процедура построения эффективного устройства ЦОС складывается из следующих этапов: синтез оператора обработки сигналов согласно некоторого критерия оптимальности; разработка и оптимизация вычислительных алгоритмов согласно критерия эффективности алгоритмов; разработка схемы реализации полученного алгоритма; Для ЦФ на первом этапе решается задача аппроксимации импульсной характеристики ЦФ, задача построения спектрального разложения или другие эквивалентные задачи. Полученное решение должно быть представлено в виде численных значений требуемых констант и параметров законов изменения переменных. Решение задачи аппроксимации - синтезированный оператор обработки сигнала – может быть реализован в виде различных алгоритмов. Например, НЦФ можно представить в виде алгоритма прямой свертки, в виде параллельного каскадного соединения звеньев, а гармонический анализатор - в виде алгоритма быстрого преобразования Фурье или дискретного преобразования Фурье, гребенки ЦФ и т.д. Выбор алгоритма, наилучшего в смысле установленного критерия эффективности, производится на втором этапе, этот выбор существенно зависит от имеющихся возможностей по реализации процедур обработки. На третьем этапе разрабатываются архитектура процессора, технические решения отдельных узлов, ориентированные на определенный элементный базис, обеспечивающие воплощение всех достижений, закладываемых на предыдущих этапах, в конкретном устройстве. Таким образом, этап разработки вычислительного алгоритма - это важный этап проектирования устройства, на котором алгоритм должен быть опи-

36 сан с раскрытием трудоемкости выполняемых операций, степени своей однородности и регулярности, требуемой для его реализации емкости запоминающих устройств. В качестве обобщенного показателя, характеризующего потенциальные возможности алгоритма, естественно выбрать показатель сложности алгоритма. Понятие сложности алгоритма одно из основных понятий метрической теории алгоритмов [27]. Полагая, что алгоритм определен на конечном множестве операций, множество символов, обозначающих эти операции, называют алфавитом алгоритма. Определив затем язык алгоритма как множество цепочек или слов алфавита, мы приходим к определению понятия сложности алгоритма, как сложности его записи. Сложность записи определяется числом содержащихся в ней символов алфавита [27]. Выполненное в п.1.1 рассмотрение специфики алгоритмов ЦОС дает нам возможность концентрировать внимание на оценке сложности вычислительных операций алгоритма, оценке его вычислительной сложности (СВ), которую в формулах мы обозначим Св. Первоначально СВ оценивали числом умножений, которое необходимо выполнить в единицу времени: C в = M ⋅ Fg , где М – число умножений; Fg – частота дискретизации, Гц. Популярность такой оценки объясняется ее простотой, вместо оценки СВ всего алгоритма оценивается сложность выполнения умножений, наиболее трудоемких операций. В тех случаях, когда алгоритм ориентирован на реализацию на универсальных ЭВМ, этот показатель достаточно полно характеризует алгоритм. Подход, развиваемый в теории аналитической вычислительной сложности, который оперирует с понятиями простейшей операции, заданного набора операций, информационного оператора [27]. Если допустимый по отношению к заданному набору простейших операций алгоритм требует выполнения К простейших операций, то сложностью вычисления алгоритма называют сумму К сложности простейших операций. Сложность простейшей операции опреде-

37 ляется произвольным образом, в зависимости от интерпретации конкретной задачи, единственное ограничение, которое при этом накладывается, это требование, чтобы сложность была конечным числом. Как показывает практика, для того, чтобы сформулировать понятие вычислительной сложности алгоритма ЦОС, в качестве простейших операций следует выбрать операции суммирования, задержки (пересылки) и умножения. Сложность алгоритма теперь связывается со структурой программы при построении ЦФ программным путем или структурной схемой устройства, если реализация аппаратная. В любом случае структура, определяя взаимосвязь простейших операций, несет в себе информацию, существенную для определения вычислительной сложности, поскольку один и тот же результат может быть получен вычислениями по алгоритмам с различной структурой. Структурное описание алгоритма ЦОС в виде структурной схемы или линейного направленного

сигнального графа

сохраняет аддитивность как

свойство меры сложности алгоритма. Временной аспект сложности быть

учтен введением

может

характеристики быстродействия, то есть учетом

влияния частоты дискретизации. Благодаря учету этого влияния понятие сложности вычислений

способно отражать влияние мультиплексирования

или временного уплотнения, как средства повышения эффективности алгоритма ЦОС и устройства в целом. В конечном итоге приходим к следующему определению: вычисли тельная сложность алгоритма ЦОС - это полученная путем суммирования по графу алгоритма совокупная сложность простейших операций. Назовем алгоритм ЦОС алгоритмом минимальной вычислительной сложности, если он имеет наименьший показатель вычислительной сложности среди всех алгоритмов, обеспечивающих требуемое качество аппроксимации, точность обработки. Множественность алгоритмов, обеспечивающих одинаковое качество, следует из множества эквивалентных структурных схем. Множество этих алгоритмов назовем множеством допустимых алгоритмов. Показатель

38 сложности вычислений должен быть основой для принятия решения о выборе алгоритма из множества допустимых вариантов. Для этого необходимо оперировать с численными значениями показателя сложности. Обозначим этот показатель через Cв′ , согласно определению он должен быть равен: K

J

M

k =1

j =1

m =1

С в′ = ∑ C nk + ∑ C cj + ∑ C ym где

(1.42)

Сnk –показатель сложности к-ой операции пересылки ; Ccj –показатель сложности j-ой операции суммирования; Cуm −показатель сложности m-ой операции умножения. Для перехода к безразмерным величинам пронормируем (1.42) к показа-

телю сложности операции пересылки элементарной ячейки C ′ : Св =

K J M С в′ = ∑ ak + γ c ∑ a j + γ y ∑ am С ′ k =1 j =1 m =1

(1.43)

где, an - число элементарных ячеек, используемых в n - ой операции;

γc и γу – относительная сложность операций суммирования и умножения по сравнению с операцией пересылкой. Выражение (1.43) удобно для решения задач анализа показателей сложности, когда определена структура графа алгоритма, известны значения всех необходимых констант. Конкретные значения С ′ , γс и γу определяются элементным базисом, используемым для реализации, и особенностями архитектуры процессора и для корректности получаемых результатов должны определяться весьма точно на основе изучения и обработки имеющихся сведений и статистических данных по конкретным реализациям и возможностям элементов вычислительной техники. Структура выражения ( 1.43 ) определяет такие свойства, как положительная определенность и аддитивность Св. Свойство положительной определенности вытекает из положительности каждого слагаемого из (1.43); что каса-

39 ется аддитивности, то с учетом рассмотрения вопросов подраздела 1.1 оно является просто следствием фундаментального свойства, линейности. Как показано в подразделе 1.2, передаточную функцию самого общего вида можно

выразить комбинацией образующих полиномов, поэтому

с

учетом свойства аддитивности показатель вычислительной сложности произвольной ЦФ может быть приведен к виду, характерному для НЦФ, т.е. алгоритму прямой свертки. Для определения эффективности алгоритма НЦФ, синтезируемого по требованиям, предъявляемым к полиному передаточной функции в (1.43), целесообразно суммы представить в виде функций: K

∑ ak

= ND( N ) ,

∑ a j = NJ (N ,α ), J

j =1

k =1

∑ am = NM (N , β ) M

m =1

где α и β - векторы параметров передаточной функции; N – показатель порядка полинома передаточной функции . Теперь переход к безразмерному показателю (1.43) всегда можно сделать таким образом, что в результате получаем:

[

( )] .

( )

С в = NFg D( N ) + γ c J N ,α + γ y M N , β

(1.44)

Преобразованиям структуры НЦФ в (1.44) соответствуют модификации

( ) ( )

функциональных зависимостей D( N ) , J N ,α , M N , β . После выбора и фиксации структуры оптимизация показателя СВ возможна за счет параметрической оптимизации по параметрам

α

и β .

Базовый алгоритм нерекурсивной цифровой фильтрации в форме прямой свертки хранит и пересылает одновременно не менее чем К отсчетов входного сигнала, следовательно, D( N ) = K ≥ 1. Поскольку при вычислении прямой

40 свертки число их суммирования однозначно связано с числом операций умно-

( )

(

)

жения, то α = β , и J N , β = M N , β . Подставив полученные значения в (1.44), получаем:

(

Cв = NFg [K + γ c (d + 1)M N , β

)]

(1.45)

Величина параметра относительной сложности операции умножения d = γ y / γ c в зависимости от используемых средств может изменяться от σ = 1 при использовании в качестве основного операционного элемента БИС умножителя-накопителя до σ >> 1 , когда используются умножители, реализованные программно (по принципу сдвиг-сложение), или аппаратно – в виде матричной структуры. Если по условиям реализации оговорено использование БИС умножителя-накопителя, то в силу интеграции в одном кристалле функций суммирования и умножения, выполняемых в одном темпе, в этом случае γс=γу . Когда показатели γс=γу отражают величину ресурсозатрат на выполнение этих операций, допустим, оценивая аппаратную (число логических вентилей) или программную (время исполнения) сложность операций, тогда γу >> γс . Алгоритм цифровой фильтрации в своем наиболее общем виде может быть представлен различными комбинациями каскадной и параллельной структур, использующих прямую форму для реализации блоков элементарных звеньев блок-схемы алгоритма. Благодаря свойствам аддитивности и положительной определенности

показатель вычислительной сложности любого алгоритма

можно привести к форме выражения (1.43), что касается выражения (1.45), то оно будет справедливо не во всех случаях. Возвращаясь к рассмотрению свертки в прямой форме, детализируем по-

( )

ведение функции M N , β . Эта функция характеризует относительное число ненулевых коэффициентов полинома передаточной функции НЦФ, ее величина

( )

по определению лежит в пределах 0 < M N , β < 1.

41 Порядок НЦФ равен показателю степени Ν полинома H(z), и, следовательно, общее число коэффициентов определяется через величину модуля непрерывности функции Н(z) [32], но удобнее его определить через технические требования к передаточной функции . Эти требования, отражая целевое назначение ЦФ, могут быть заданы в различной метрике, однако общий характер закономерностей, установленный принципом неопределенностей, остается неизменным. Наибольшее распространение на практике получили технические требования в смысле взвешенного чебышевского критерия [6,20], когда они задаются следующими параметрами АЧХ:

ƒ1i , ƒ2i - граничные частоты i-ой полосы пропускания, ∆ƒi - ширина i -ой переходной полосы; σ1i - величина пульсаций в i-ой полосе пропускания; σ2i - величина пульсаций в i -ой полосе задерживания. Если понимать под обозначениями σ1, σ2 и ∆ƒ наименьшие из значений для этих величин с индексом i, то приближенно порядок НЦФ может быть оценен из соотношения:

N = A(σ 1 , σ 2 ) / ∆f .

(1.46)

Порядок рекурсивного ЦФ в обобщенном виде:

N = A1 (σ 1 , σ 2 )A2 ( f1 , f 2 )lg(1 / ∆f ) .

(1.47)

Это выражение будет справедливо для рекурсивных ЦФ низкочастотного типа, имеющих в (1.3) L ≤ М, по есть обладающих передаточными функциями классического вида: фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптические [6] . Значение N для филътров полосового или режекторного типа должно быть удвоено, по сравнению с (1.47), которое характеризует низкочастотный прототип. Расчетные величины σ1 и σ2 однозначно связаны со значениями допусков рабочих параметров АЧХ ∆а - неравномерностью затухания в пределах

42 полосы пропускания и аs - величиной гарантированного затухания в пределах полосы задерживания: a s = −20 lg σ 2 , ∆a = 20 lg

1+ σ1 . 1− σ1

Конкретное выражение функциональной зависимости A(σ1, σ2) в (1.46) и (1.47) определяется видом аппроксимации, используемой для синтеза ПФ. По-

( )

ведение функции M N , β определяется такими соотношениями между параметрами, которые определяют тип симметрии, присущей данной передаточной

( )

функции. Функция M N , β отображая свойства симметрии, сугубо дискретные по своей природе, не обладает свойствами достаточной гладкости и дифференцируемости и применение для целей ее минимизации методов классического математического анализа не возможно. Отыскание способов минимизации

( )

M N , β тесно связано с изучением способов придания передаточной функции свойств симметрии наиболее высокого возможного типа. Другой аспект сложности вычислений который необходимо учитывать при детальном рассмотрении алгоритмов, связан с понятием чувствительности, которое призвано характеризовать влияние точности задания параметров на изменения передаточной функции фильтра. Теория чувствительности изучает это влияние как в аналитическом аспекте, определяя характеристики чувствительности известных алгоритмов и структур, так и в синтетическом аспекте направленном

на отыскание

алгоритмов, обладающих слабой, желательно

наименьшей, чувствительностью [5,7,10]. На практике алгоритмы ЦОС, как правило, используют арифметику с фиксированной запятой и реализуются с помощью процессоров с ограниченной разрядной сеткой. Ограничение сетки проявляется двояко: во-первых, ограничение приводит к отклонению фактических значений реализованной передаточной функции от ее расчетных значений полученных на этапе синтеза; во-вторых, оно приводит к нелинейности характеристик и появлению нелинейных эффектов в виде шумов усечения, переполнению и других им подобных явлений.

43 Методами теории чувствительности можно изучить, как влияет ограничение разрядной сетки на точность реализации передаточной функции ЦФ. Очевидно , что чем меньше разрядов разрядной сетки необходимо для воспроизведения передаточной функции , тем меньше

вычислительная сложность алго-

ритма. Рассмотрим как влияет ограничение разрядности ПЗУ процессора на поведение передаточной функции , которая реализуется в виде алгоритма прямой свертки. Это влияние можно учесть в (1.45), если использовать функцию R(В), где В – число разрядов в разрядной сетке ПЗУ :

[

( )] .

С В = NFg K + γ c (R(B ) + 1)M β

(1.48)

Типичными видами функциональной зависимости являются гладкая и квантованная зависимости. В качестве зависимости первого вида можно привести линейную

R(B ) = R1 (B ) . Она справедлива для случаев реализации умножения посредством программного выполнения микроопераций сдвиг-сложение. Значения σ1 для различных используемых кодов приводятся в таблице 1.3. Таблица 1.3 Значения показателя относительной сложности для различных кодов Тип кода Значение Коэффициента R1

Прямой код без знака 1− 1/B

Дополнительный или обратный коды 1

Канонический Знаковый код 1/3

Квантованная зависимость используется в случаях когда наращивание выполняется с некоторым шагом ∆В бит (обычно 4 или 8 бит). Пока требуемое число разрядов меньше числа разрядов в разрядной сетке В0, их конкретное число роли не играет, но превышение порога, хотя бы на один разряд, приводит к скачку на ∆В бит. Обозначим характеристики ЦФ с ограниченной разрядной сеткой теми же буквами, что и характеристики исходного ЦФ, но снабженные значком ∧.

44 Используя эти обозначения, можно записать выражение для ошибки квантования импульсной характеристики:

∧

e(n ) = h(n ) − h(n ) .

Соответствующее выраже-

ние для частотной характеристики имеет вид: E (e jλ ) = H (e jλ ) − Н (e jλ ) = ∑ e (n )e − jnλ ∧

N

(1.49)

n =0

Применительно к ЛФНЦФ последнее выражение приводится к виду:

( )

E e jλ = H (λ ) =

N /2

∑ e (n )сos n λ

(1.50)

n =0

Очевидно, что по отношению к (1.49) справедлива оценка изменения модуля:

0 ≤ E (λ ) ≤ ( N + 1) ∆ max

(1.51)

Такая же оценка по отношению к (1.52) имеет вид:

0 ≤ E (λ ) ≤ ( N / 2 + 1) ∆ max где

∆ max = max e (n ) n

(1.52) (1.53)

Выполнив нормировку коэффициентов ЦФ таким образом, чтобы h(n)max =1 , учитывая, что округление значений коэффициентов в разрядной сетке с числом разрядов, равным В, дает ∆max = 2-В, а усечение дает ∆max = = 2-(В-1), приравняв величину допустимых дополнительных пульсаций за счет ограничения разрядной сетки (σm ) к правой части (1.52), получаем для округления и усечения соответственно:

B = log 2 N − (1 + log 2 σ m )

(1.54)

B = log 2 N − log 2 σ m

(1.55)

Такие оценки гарантирует выполнение технических требований в любом случае, то есть его можно интерпретировать как оценку сверху.

45 Уточнение полученной оценки может быть предпринято на основе вероятностного подхода. Ошибка округления может быть интерпретирована как случайная величина с законом распределения, близким к равномерному [6,10]. Поскольку для N> 20-50 в рамках такого подхода справедливы положения центральной предельной теоремы теории вероятностей [6,10], то для фильтров большего порядка можно считать, что Е(λ) есть случайная функция от λ с распределением, равномерно сходящемся к нормальному с ростом N . B=

1 log 2 N −(1 + log 2 σ m ) 2

(1.56)

∆2 , Эта оценка получена на основе приравнивания σm=3σ, где, σ = N 12 откуда σ m =

3 N 2 −( B −1) . 12

Выбрав число разрядов по (1.55), допускаем возможность превышения заданной нормы с малой вероятностью , определяемой правилом ″трех сигм″. В литературе имеются оценки подобного вида, полученные из других 1 предпосылок. Например, в [40] приводится оценка: B = log 2 N − log 2 σ m . Она 2 получена как решение задачи определения оптимального способа ограничения разрядной сетки, приводящего к минимальной сложности реального ЦФ в смысле предлагаемого в статье критерия сложности. Попутно заметим, что если вместо среднеквадратической меры допустимых искажений АЧХ, которая использовалась в статье, использовать меру вида (1.51), то снова приходим к оценке (1.54), как это показано в статье [29]. В работе [4] используется для оценки числа разрядов не рекурсивного фильтра нижних частот выражение :

46  F + F2 B = 1 + log 2  1  Fg

N 1   3 σ m 

которое легко преобразуется к виду: B =

(1.56)

F + F2 1 2 . log 2 N − log 2 1 +log 2 2 2 Fg 3

Пренебрегая последним слагаемым ввиду его малости , мы видим основное отличие между (1.55) и (1.56) в слагаемом log2 F1+F2 ⁄ Fg . Расхождение оценок (1.55) и (1.56), обусловлено различными подходами к нормировке АЧХ, использованными при выводе этих формул. При выводе (1.55) использовалась нормировка maxh(n) =1, которая в случае ФНЧ при-

( )λ

водит к H e jλ

=0

=

Fg F1 + F2

= [ f1 + f 2 ] −1 . Если предположить, что (1.56) полу-

( )λ

чено для нормировки АЧХ вида H e jλ

=0

= 1 , тогда используя в (1.55) допуск

σm=σm ⁄ (ƒ1+ƒ2) вместо σm , получаем результат эквивалентный оценке по (1.56). 1.5 Выводы по главе 1. Алгоритмы и устройства ЦОС интенсивно внедряются в состав систем и комплексов автоматизированного управления, сбора и обработки информации, При этом обеспечивается повышение качественных показателей этих систем и придание им новых функциональных возможностей. 2. Обзор состояния теории и практики ЦОС показывает целесообразность решения следующих задач: - выработки критерия сравнения различных вариантов построения алгоритмов и устройств ЦОС; - разработки методов и путей совершенствования эффективности устройств ЦОС; -создания методики проектирования алгоритмов и устройств ЦОС, ориентированной на синтезе с использованием средств вычислительной техники.

47 3. Основные характеристики алгоритмов и устройств ЦОС в значительной мере определяются числом выполняемых арифметических операций, которое в свою очередь зависит от вида симметрии системных функций ЦФ. 4. В результате систематизированного рассмотрения свойств передаточной функции линейных дискретных систем установлены: - выражение для предельно возможной одновременной концентрации характеристик ЦФ по времени и частоте, соответствующей принципу неопределенности; - невозможность обеспечения сколь угодно близкого приближения характеристик ЦФ к характеристикам идеального прямоугольного филътра и одновременно внесения произвольного запаздывания. 5. Введения понятия образующего полинома позволяет представить передаточную функцию любого ЦФ в виде комбинации ПФ полиномов минимально-фазового типа и полиномов единичной окружности, благодаря чему упрощается анализ и синтез ЦФ, проявляются свойства симметрии конкретных ПФ. 6. Исследованы и систематизированы на основе групп симметрии свойства симметрии присущие различным видам ПФ 7. Сформулирован критерий сравнения между собой алгоритмов ЦОС – критерий минимизации величины показателя вычислительной сложности, обобщающий характеристики чувствительности и порядка ЦФ. Рассмотрены его основные свойства, используемые при определении этого показателя применительно к различным типам ЦФ, в зависимости от вида симметрии ПФ.

48 Глава 2. СИНТЕЗ ЭФФЕКТИВНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ ДЕКОМПОЗИЦИИ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ 2.1 Использование декомпозиции для уменьшения вычислительной сложности Задание требований на качество фильтрации в смысле Чебышевского или среднеквадратичного критериев и решение задачи синтеза известными методами, базирующимися на результатах математической теории аппроксимации, приводят к оптимальному в смысле заданного критерия решению, причем оно является единственным [6]. Оптимальное решение можно интерпретировать и реализовать непосредственно в виде структуры прямой формы ЦФ. Определим класс допустимых решений через множество решений (полиномов или рациональных функций), удовлетворяющим заданным требованиям. Среди допустимых решений может быть найдено решение, отличное от оптимального решения H0(z) (передаточная функция выражается через полиномы более высокого порядка), но обладающее показателем вычислительной сложности меньшей величины. Сокращение вычислительной сложности можно обеспечить, варьируя в пределах допусков параметры передаточной функции ЦФ или выполняя структурные преобразования схемы ЦФ. Основной прием для таких преобразований – это декомпозиция, состоящая в расщеплении известного представления объекта на блоки, из которых затем должен быть сконструирован другой объект, удовлетворяющий заданным требованиям. В процессе конструирования существенным образом должны использоваться полезные свойства блоков. Целесообразность такого подхода имеет место, если выполняется неравенство: Cв ≥

m

∑

j =1

С вj

+

m

m

∑ ∑ C вij j =1 i =1 i≠ j

где Cв - показатель вычислительной сложности H0(z);

(2.1)

49 Cвj -

показатель вычислительной сложности j-го блока;

Cвij - показатель вычислительной сложности элемента связи между jым и i–ым блоками. Случаю параметрической оптимизации в (2.1) соответствует m =1, n=0. Минимизация правой части выражения (2.1) может быть обеспечена при выделении блоков, которые характеризуются наивысшим из возможных типов симметрии. Известно, в частности, влияние симметрии на вычислительную сложность алгоритмов линейно-фазовой нерекурсивной цифровой фильтрации. Еще более продуктивно может быть использована декомпозиция в отношении узкополосных ЦФ, передаточные функции которых обладают потенциальной симметрией высокого порядка. Импульсные характеристики узкополосных ЦФ имеют квазигармонический характер: они представляют собой отрезки медленно изменяющихся колебаний. Методы малого параметра, известные как методы разделения медленной и быстрой компоненты, медленно меняющихся амплитуд, метод укорочения [30], при соответствующей модификации, могут быть применены для построения алгоритма фильтрации с уменьшенной вычислительной сложностью. Ограничиваясь в начале, простейшим случаем двухкаскадного представления, проанализируем для него показатели вычислительной сложности факторизованной ПФ. Как известно, факторизация передаточной функции соответствует свертке импульсных характеристик, В случае НЦФ это означает, что: N = N1 + N2 - 1

(2.2)

Учитывая, что для оптимального Чебышевского решения N0 ≤ N, получаем: N0 ≤ N1 + N2 – 1

(2.3)

Знак равенства в (2.3) соответствует каскадному представлению оптимального решения. Для всех других случаев неравенство становится строгим. В обобщенном виде показатель вычислительной сложности НЦФ можно представить как :

50 Cв = N Fд A

(2.4)

где: Fд – частота дискретизации; A - множитель характеризующий реализацию. Подставив (2.4) в (2.1) получаем условие эффективности факторизации передаточной функции в смысле уменьшения показателя вычислительной сложности: N0 >

N1 A1 N 2 A2 + A A

(2.5)

Сравнение (2.2) с (2.5) показывает, что этот вид декомпозиции обеспечивает выигрыш по величине вычислительных затрат, только если удается обеспечить достаточную малость величин Ai или, хотя бы одной из них по сравнению с величиной А. Такой вывод легко объясним, поскольку правая часть (2.5) практически является взвешенной правой (2.2): Сопоставляя выражение (2.4) для показателя вычислительной сложности с развернутыми представлениями для него, можно убедиться, что минимизация A(xi) возможна путем параметрической оптимизации, направленной на получение передаточной функции H(z) с наиболее высоким типом симметрии. Чем более узкополосна передаточная функция, тем выше возможный тип ее симметрии, за счет возможности появления дополнительных осей симметрии R. Опираясь на свойства аддитивности и неотрицательной определенности показателя Cв, установленные в подразделе 1.3, полученные результаты непосредственно распространяются на случай многокаскадной декомпозиции: m

N 0 ≤ ∑ N j − (m − 1) ; j =1

m

N0 ≤ ∑ N j j =1

Aj A

Распространяя полученные результаты на факторизацию передаточной функции РЦФ, необходимо учитывать, что в (2.4) в роли показателя N выступает сумма степеней полиномов числителя и знаменателя передаточной функции. В зависимости от конкретного вида факторизации выражение (2.2) может принимать вид: N=N1+ N2 – 2, при факторизации, как числителя, так и знамена-

51 теля; или N=N1+ N2, когда разделение произведено по принципу отделения нулей от полюсов; или совпадает с (2.2) в точности, если факторизация затрагивает только числитель, случай гибридной факторизации, когда выделяется чисто не рекурсивная часть. Для РЦФ оптимальное решение, с показателем вычислительной сложности которого, сопоставляется вычислительная сложность факторизованного решения, получается билинейным преобразованием классического решения [5, 9, 10]. Обращаясь к декомпозиции параллельного вида: Н(z) = H1(z)+ H2(z),

(2.6)

В силу свойств линейности z–преобразования из (2.6) следует: h(n) = h1(n)+ h2(n). С учетом аддитивности и неотрицательной определенности показателя вычислительной сложности, условие целесообразности параллельной декомпозиции имеет вид (2.1). Рассмотрим некоторые специфические по сравнению с факторизацией особенности параллельной декомпозиции. Сохраняя последовательность рассмотрения, начнем с параллельного соединения двух НЦФ. Если в (2.9) H2(z) имеет вид: H2(z) = z-m H20(z),

(2.7)

то h(n) = h1(n)+ h2(n-m). Порядок полинома передаточной функции H2(z) будет определять по N20 порядку полинома H20(z). N – порядок полинома H(z) равен:  N ≤ N1 + N 2 , если m ≤ N1  N =  N > N1 + N 2 , если m > N1  N = max{N }, если m = 0, i = 1,2 i  Полученные результаты естественным образом случай разложения более чем на два слагаемых. Для РЦФ выражение (2.6) можно записать как:

(2.8) распространяются на

52 H ( z) = H1 ( z) + H 2 ( z) =

P11 ( z ) P12 ( z ) P11 ( z ) P22 ( z ) + P21 ( z ) P12 ( z ) + + P21 ( z ) P22 ( z ) P21 ( z ) P22 ( z )

(2.9)

Для РЦФ, как уже отмечалось, N = Nчисл. + Nзнам., где Nчисл – определяется по (2.8), а Nзнам = N21 + N22 – 1, так же как и величина каждого слагаемого в Nчисл.. Рассмотренный в данном подразделе подход с позиций вычислительной сложности, поиск закономерностей использования декомпозиции передаточной функции как метода сокращения вычислительной сложности алгоритмов ЦФ, способствует расширению сферы приложения методов декомпозиции, установлению их истинных возможностей. 2.2 Факторизация передаточной функции. Факторизация

передаточной

функции

соответствует

декомпозиции

структуры ЦФ в виде каскадного соединения отдельных звеньев: m

H ( z) = ∏ H i ( z) i =1

Характерная особенность каскадной структуры состоит в том, что нули и полюсы отдельных звеньев Hi(z) являются соответственно нулями и полюсами передаточной функции H(z), т.е. ЦФ в целом. В силу этого обстоятельства, особое значение для применения факторизации к уменьшению вычислительной сложности алгоритмов приобретает изучение свойств типовых блоков нулей и полюсов, используемых в качестве сомножителей при конструировании допустимых решений. Это, в первую очередь, свойства, определяемые конфигурацией нулей и полюсов блока, ограничения по возможным видам симметрии, характеристики чувствительности и вычислительной сложности. Из выполненного в параграфе 1.3 рассмотрения следует, что наибольшие возможности сокращения вычислительной сложности путем минимизации обеспечивает использование полиномов линейно-фазового НЦФ, вида H(zr).

53 В арсенале средств цифровой фильтрации каскадирование широко использовалось для построения рекурсивных ЦФ благодаря хорошим свойствам чувствительности. Факторизация служит средством уменьшения связности значений коэффициентов, благодаря чему появляется некоторая свобода в выборе конкретных значений коэффициентов отдельных каскадов. Чтобы проиллюстрировать это положение, представим Hi(z)– передаточную функцию i-го каскада в виде суммы: Hi(z) = Hi0(z) + ∆Hi(z) где Hi0(z) – требуемое значение передаточной функции i-го сомножителя; ∆ Hi(z) – отклонение передаточной функции, обусловленное квантованием коэффициентов. Передаточная функция каскадного соединения i-го и j-го каскадов может быть записана как H(z) = Hi(z)⋅Hj(z) = Hi0(z)⋅Hj0(z)+Hi0(z)∆Hj(z)+Hj0(z) ∆Hi(z)+∆ Hi(z)⋅∆ Hi(z) (2.10) Вкладом последнего слагаемого в правой части (2.10) в силу его малости можно пренебречь, поэтому влияние отклонений передаточных функций сомножителей можно оценить по вкладу, вносимому двумя средними слагаемыми правой части: этот вклад как бы фильтруется, взвешивается посредством передаточных функций Hi0(z). Учитывая характер передаточных функций Hi0(z), можно соответствующим выбором квантованных значений коэффициентов заметно ослабить вклад ∆Hi(z) в конечный результат. Например, в случае идентичных каскадов i-го и jго, выполняя квантование коэффициентов с противоположными знаками, мы получаем в (2.10) H(z) ≅ Hi02(z) + Hi0(z)[∆Hi(z) - ∆Hj(z)] то есть имеется возможность взаимной компенсации отклонений. Особенно ощутимо сокращение параметра В – числа разрядов может проявить себя при факторизации передаточных функций НЦФ, удовлетворяющих условию узкополосности.

54 Добиться снижения числа разрядов можно, используя ЦФ, выполняющие простые вычислительные операции для обеспечения начального приближения к требуемой форме АЧХ. Для точного обеспечения требуемых значений параметров АЧХ каскадно с таким простым фильтром включается корректирующий фильтр-выравниватель. Такой способ уменьшения вычислительной сложности, названный его авторами как метод «префильтр-корректор», был впервые описан в статье [16] применительно к построению линейно-фазового НЦФ нижних частот. В ней рассматривался префильтр Ν-го

порядка в виде структуры «рекурсивного

скользящего среднего», чья импульсная характеристика есть функция прямоугольного окна; а частная характеристика имеет вид ядра Дирихле [6, 9]: H (в

jλ

)=

N −1

∑e

n =0

− jλn

=e

− j ( N −1)

λ 2

sin Nλ / 2 sin λ / 2

(2.11)

Фильтр, корректирующий полученную АЧХ до требуемого вида, синтезируется по модифицированной авторами версии известной программы МакКлеланна–Паркса по синтезу оптимальных чебышевских НЦФ [9, 31]. В качестве примера в [16] был рассмотрен НЦФ, удовлетворяющий следующим требованиям: f1 = 0,021

f2 = 0,07 ∆a = 0,2 дБ

as = 35 дБ

Поскольку для получения (2.11) не требуется выполнять умножений, то при реализации таких префильтров из их состава исключаются умножители и ячейки памяти для хранения значений коэффициентов. Префильтр «рекурсивно скользящего среднего» является среди всех других структур префильтров Ν-го порядка наиболее простым, то есть обладает наименьшим из возможных показателем вычислительной сложности; в [16] рассмотрена рекурсивная структура, которая для получения характеристики (2.11) требует выполнения только двух сложений. Для анализа показателей вычислительной сложности схемы префильтр «рекурсивно скользящего среднего» – корректор учтем, что порядок префильтра ΝП определяется координатой расположения нуля, ближайшего к границе

55 полосы пропускания, которая ввиду равномерного распределения нулей в (2.11) на единичной окружности равна 2π /ΝП . Так как должно выполняться условие размещения этого нуля в полосе задерживания: 2π > 4π ( f1 + ∆f ) , то, следовательно, NП  1 N П = ent   2 f1 + ∆f

  1   = ent  2 f    2

Показатель вычислительной сложности (1.47) для префильтра приобретает вид:  1  C BП = ent   Fg ( К П + γ с ) f 2  2

(2.12)

а для рекурсивной реализации [16]:  1  C ВП = Fg (ent   К П + 2γ с )  2 f2  Положим, что порядок корректирующего фильтра уменьшается по сравнению с порядком оптимального фильтра, реализованного в прямой форме, причем это уменьшение обусловлено снижением требований к величине затухания в полосе задерживания на величину затухания, вносимого префильтром,

αП дБ. Из приближенной формулы для порядка линейно-фазового НЦФ получаем оценку величины порядка корректора Νк: Nk ≅ N0 −

an 30∆f

(2.13)

где Ν0 – порядок оптимального ЦФ-прототипа. Как показал анализ конкретных примеров, (2.19) может быть использована в качестве оценки сверху, то есть Νк всегда несколько больше действительной величины Νк. Оценка снизу может быть взята как Ν0 – ΝП + 1. Анализ характеристик вычислительной сложности и результатов рассмотрения конкретных примеров, аналогичных примеру, проиллюстрированному на рисунке 2.1а, позволяет установить ограничения и недостатки метода

56 «префильтр – корректор» при использовании схемы «рекурсивного скользящего среднего». В первую очередь отметим, что эффективность использования уменьшается с расширением полосы пропускания фильтра – прототипа. Во-вторых, при расширении полосы пропускания корректор должен компенсировать увеличивающуюся неравномерность АЧХ в полосе пропускания, что приводит к перепадам уровня сигнала и негативно сказывается на результирующих характеристиках сигнал / помеха. Как было показано в [16], существует единственный оптимальный корректор, используемый в соединении с любым заданным префильтром. Поскольку решение задачи условной оптимизации принципиальных трудностей не встречает, ясно, что дальнейшее развитие способа «префильтр – корректор» связано с построением более эффективных префильтров, с тем, чтобы улучшить характеристики сложности вычислений результирующего фильтра. Авторы метода, так же как их последователи, акцентировали свое внимание на совершенствовании префильтров путем перехода к структурным схемам более сложным, чем структура прямой свертки. В качестве блоков, элементов, образующих такие структуры, используются схемы с передаточными функциями вида (2.11). Альтернативным направлением совершенствования характеристик префильтра служит использование префильтра в виде прямой структуры сверстки, но с коэффициентами, содержащими более одного значащего разряда. Это направление с точки зрения методологии выглядит более последовательным шагом в изучении возможностей метода. В силу известного из высшей алгебры нелокального характера соотношений между значениями коэффициентов фильтра и координатами нулей его передаточной функции, ключевым моментом данной проблемы является изучение взаимосвязи ограничений на допустимые значения коэффициентов с возможным расположением нулей.

57 Один из способов получения префильтра заключается в грубом квантовании коэффициентов прототипного ЦФ в предположении, что корректор подавит ошибки квантования. Проведение исследований свойств преобразования Фурье для конкретных префильтров позволило установить для практически важных префильтров данного вида следующие свойства [32]: 1. Типичные особенности АЧХ, а значит, и характеристики префильтра, определяются интегральными параметрами главного лепестка импульсной характеристики прототипа. Уровень ее боковых лепестков достаточно мал, и они квантуются нулевыми значениями. 2. В качестве прототипа можно использовать отсчеты импульсной характеристики оптимального фильтра или ЦФ, синтезированного методом взвешивания, или даже просто отсчеты сглаживающего «окна». В последнем случае ширина основного лепестка передаточной функции должна быть равна f2 – границе полосы задерживания. 3. Если число уровней квантования l ≤ 12, то отсчеты импульсной характеристики префильтра положительно определены. С ростом l она приближается к виду, характерному для сглаживающих «окон», уменьшается уровень боковых лепестков передаточной функции. При этом монотонно уменьшается площадь, ограниченная этими лепестками, погрешность аппроксимации АЧХ в среднем уменьшается, но в пределах полосы пропускания возрастает. Изучение характеристик синтезированных префильтров для примера из [16] показывает, что при вариациях параметров передаточной функции прототипа (рисунок 2.1) по ∆α от 0,17 до 0,25 дБ и αѕ от 35 до 41,4 дБ порядок фильтра изменялся от 36 до 40, но главный лепесток импульсной характеристики неизменно содержал 22 отсчета и уровень боковых лепестков не превышал 15 % от его уровня. Численные значения h(n) – отсчетов импульсной характеристики получающихся префильтров для случая квантования l порогами приве-

58 дены в таблице 2.1. АЧХ для них показаны на рисунке 2.1, где для сравнения приведена также АЧХ префильтра из [16]. Анализируя диаграммы расположения нулей передаточной функции на z-плоскости (нуль – диаграммы), можно дополнительно установить свойства, позволяющие оценивать эффективность синтезируемых префильтров. Выполнив расчет нуль – диаграмм по программе, реализующей метод Ньютона – Рафсона [51], получим, что передаточная функция префильтра, полученного квантованием с l порогами, имеет вид: HПm(z) = HП1 (z) Hm (zR) для m = 1, 2, 3,

(2. 14)

где m = l/2, R ≥ 1. Для префильтров (таблица 2.1) получаем HП2 (z) = HП1 (z) (1 + z-2);

(2.15a)

HП3 (z) = HП1 (z) (1 + z-2 + z-4).

(2.15б)

Начиная с l = 8, в нуль – диаграммах HПm(z) появляются блоки зеркально симметричных четверок сопряженных нулей вне единичной окружности. Их появление в секторе z–плоскости, соответствующему полосе задерживания, с позиций теории аппроксимации интерпретируется

как нежелательное явле-

ние, так как эти нули не обеспечивают максимального вклада в подавление пульсаций АЧХ в полосе задерживания. Повысить эффективность синтезируемых префильтров можно, дополняя полученное приближение к импульсной характеристике прототипа приближением нуль – диаграммы префильтра к достаточно большому подмножеству нулей прототипа. Как показали результаты конкретных исследований, неудачными оказались попытки сконструировать передаточную функцию достаточно большого порядка, одновременно удовлетворяющую требованиям иметь «простые», получаемые с помощью малого числа сложений, коэффициенты и требованиям хорошего совпадения с нуль – диаграммой прототипа [32].

59 /ЛИСТ ДЛЯ РИС.2.1. И ТАБЛ.2.1/

60 Модификацию префильтра целесообразно выполнять, ориентируясь на представление вида (2.21) группируя нули в два сомножителя по признаку кратности нулей HП (z) = H1 (z) H2 (zR) .

(2.16)

Наличие второго сомножителя, обладающего высоким порядком группы симметрии в (2.16) позволяет генерировать множество нулей при ограниченном наращивании

выполняемых

арифметических

операций.

Следовательно,

H2(zR)должна состоять только из нулей, соответствующих полосе задерживания и располагающихся на единичной окружности z–плоскости. Обратимся к приближению групп нулей, лежащих на единичной окружности. Использование H1(z) = HП1(z) в (2.16) может обеспечить хорошее приближение для эквидистантного подмножества нулей прототипа. Так, для прототипного ЦФ из [16] обеспечивается приближение 11 нулей с погрешностью δf < 5.10-3. Сомножитель H2(zR) = 1 – gr-R + z-2R генерирует 2R нулей, смещенных на угол θ ' = ±1/R arccos g/2 относительно R эквидистантно расположенных осей круговой симметрии. Согласно (2.16) получаем HП (z) = HП1 (z) H2 (zR) = 1 + z-1 + …+ z-(R-1) + (1-g) (z-R + …+ z-(2R-1)) + + (2 – g) (z-2R + …z-(N-1)) + (1 – g) (z-N +…+ z-(N+R)) + z-(N+R-1) + z-(N+2R-1)

(2.17)

Введение сомножителя такого вида целесообразно для аппрокоимации нулей «пограничной области». На рисунке 2.2 приведена АЧХ префильтра вида (2.23) для нашего сквозного примера, у которого g = 2-2 + 2-3 и R = 2. Нули добавочного множителя, располагающиеся в точках Θ1' = ± 2π 0,109 99 и Θ2' = ± 2π 0,390 01, аппроксимируют нули оптимального прототипа Θ1 = ± 2π 0,111 и

Θ2 = ± 2π 0,387. Число простых сомножителей, наиболее выгодных для использования в (2.17), ограничено значениями g = 0, ± 1, ± 2. Эти сомножители являются частными случаями круговых или циклотомических полиномов Ck(z) [8] свойства,

61 которые достаточно хорошо изучены. Назовем префильтры вида (2.16) циклотомическими, если сомножители допускают представление Hi (z) = ПКk=1 Cki (z) для i = 1, 2 . Особенное значение для синтеза префильтров имеет свойство равенства коэффициентов Cki (z) ± 1 или 0, при условии, что k содержит не более двух нечетных простых сомножителей. В частности, префильтры из [16] являются циклотомическими, например HП1(z) из табл. 2.2 может быть представлен как HП1 (z) = C2 (z) C4 (z) C3 (z4). Пример целенаправленной модификации префильтра HП3 (z) из табл. 2.2 в HсП3 (z): c H ПЗ ( z ) = H П1 ( z )C 6 ( z 2 ) = C 2 ( z )C 4 ( z )C3 ( z 4 )C 6 ( z 2 ) =

= 1+ z

−1

11

+ ∑ z −n + z −n + z −14 + z −15

(2.18)

n=4

Этим достигается сдвиг нулей двойной кратности из глубины полосы задерживания в «пограничную область», АЧХ модифицированного префильтра в полосе пропускания приобретает значительную неравномерность пульсаций в обмен на упрощение импульсной характеристики (рисунок 2.2). АЧХ соответствующего корректора с ΝК = 22 приведена на рисунке 2.3. В таблице 2.2 приведена сводка данных по оценке ресурсов, требуемых для реализации ЦФ рассматриваемого в тексте примера с использованием предлагаемых схем префильтров. Первые две строки таблицы позаимствованы из [16]. В графе «Число умножений» указано число коэффициентов корректора, равное ΝК /2. Если положить в (2.16) Hi (z) = 1 + z-1 , тогда в любом из рассмотренных примеров префильтр допускает представление HП (z) = (1 + z-1) H2 (z2).

(2.19)

При непосредственной реализации по (2.19) можно получить значительную экономию в числе выполняемых вычислительных операций.

62

|HП1|, |HП2|, дБ 0 - 10 - 20 - 30 - 40 - 50

0

0,2π

0,4π

0,6π

0,8π

λ

Рисунок 2.2 – АЧХ префильтра вида (2.23)

|HП3|, |HП4|, дБ 0 - 10 - 20 - 30 - 40 0

0,2π

0,4π

0,6π

0,8π

λ

Рисунок 2.3 – АЧХ корректора Таблица 2.2 Оценка ресурсов для реализации ЦФ Тип ПФ Оптимальный фильтр-прототип Ядро Дирихле (2.15а) (2/15б)f2 = 0,073 (2.18) f2 = 0,073 Префильтр с нулями на единичной окружности

Задержек 35 36 36 36 36 36

Число сдвигов сложений – 35 – 36 1 36 1 44 – 33 2 45

умножений 18 12 12 11 11 11

63 Предложенный метод синтеза префильтров обеспечивает возможность повышения эффективности вычислительных алгоритмов цифровой фильтрации. За счет использования префильтра в виде структуры прямой свертки, по сравнению с вариантами префильтров из [33] обеспечивается возможность расширения динамического диапазона фильтруемых сигналов; упрощается управление работой ЦФ при аппаратной реализации алгоритма; уменьшается число промежуточных масштабирующих множителей; уменьшается суммарное время задержки, вносимое ЦФ, в чем можно убедиться из сравнения данных [33, табл. 2, 1]. Последнее свойство особенно важно для режима работы в реальном масштабе времени. Кроме того,

предложенные схемы префильтров обладают

свойством низкой чувствительности. Так, корректор, АЧХ которого дана на рисунке 2.3, при квантовании коэффициентов до 8 бит обеспечивает выполнение требований к результирующему фильтру. Введение дополнительных осей симметрии должно способствовать уменьшению показателя вычислительной сложности за счет уменьшения величины A(x) Применительно к построению узкополосных ЦФ этот переход может привести к столь эффективным реализациям, что заслуживает самостоятельного рассмотрения, вне связи с концепцией «префильтр – корректор». В соответствии со свойствами z –преобразования переход Z → ZR означает сжатие ПФ в области частот λ → λR, которое сопровождается растяжением ИХ в области временных порядковых номеров отсчетов. Для ПФ полиномиального вида получаем N

H ( z ) = H 1 ( z ) ∑ h (i ) Z R

i =0

−iR

N −1

= H 10 ∏ ( z − R − z i ) i =0

Только один из R последовательно взятых отсчетов ИХ получается отличным от нуля, это определяет число ненулевых коэффициентов для НЦФ. Для рациональных ПФ типа РЦФ, используя понятие образующих полиномов, введенное в первом разделе, мы приходим к такому же заключению, если рас-

64 смотрим уравнение связи h(n) –отсчетов ИХ РЦФ с коэффициентами образующих полиномов b(n) – числителя и a(n) – знаменателя: N

h( n) = b( n) − ∑ a ( n) h( n − m) m =1

из которого следует, что если b(n) = a(n) при n ≠ iR, то h(n) ≠ 0 только для n = iR . Использовать потенциальные возможности, содержащиеся в гребенчатом характере H(zR), для сокращения числа умножений можно, представив требуемую ПФ H(z) аналогично (2.14) в факторизованном виде: H (z) = B (zR) ⋅ G (z)

(2.20)

Роль множителя G(z) состоит в подавлении полос пропускания B(zR), соответствующих диапазону полосы задерживания HТ(z). Подавление выполняется интерполяцией (R – 1) нулевых отсчетов ИХ гребенчатого ЦФ посредством ИХ сглаживающего фильтра G(z). В отечественной литературе этот подход к построению эффективных ЦФ получил название многополосной (гребенчатой) фильтрации /10,12,34/ , по виду ПФ B(zR), в зарубежных источниках [35] его именуют методом интерполированного НЦФ. Логичным кажется соединить эти названия в одном: метод многополосного интерполированного ЦФ. Наиболее часто представление (2.20) используется для анализа ПФ узкополосных ЛФ НЦФ, поскольку именно в этом случае обеспечивается максимальная эффективность данного метода. Условия целесообразности факторизации при этом: NB R + NG > N0

(2.21a)

NB AB + NG < N0

(2.21б)

откуда

N − N6 N0 − N6 < NB < 0 ≤ 2( N 0 − N 6 ) AB R

где NG - порядок ПФ G(z); NB - порядок ПФ B(z); N0 - порядок ПФ оптимального чебышевского прототипа.

65 Получаем последнее условие в терминах частотных параметров ПФ типа ФНЧ: 1 1 R + < ∆fR 1 − 2t1 − ∆f ∆f

где: f1 – нормированная частота полосы пропускания; ∆f – ширина переходной полосы. Избавляясь от знаменателя, получаем: - R2 2(f1 + ∆f) + R(1 + 2f1 + ∆f) – 1 > 0

(2.22)

Легко видеть, что левая часть (2.27) представляет собой параболу с единственным максимумом в точке R0 :

R0 =

1 + f 2 + f1 4 f2

(2.23)

Приравняв левую часть (2.27) к нулю и решая полученное квадратное уравнение относительно R, определим диапазон значений, обеспечивающих выполнение (2.21б). Пренебрегая в получающемся решении величиной 2(∆f)1/2, имеем: 1< R <

1 2 f2

Условие R = ent [1/2f2] приводится в работе [35] в качестве «теоретической» рекомендации по выбору величины R. Выполненный выше анализ показывает, что рекомендуемая в [35] величина фактически является просто верхней границей для параметра R. В таблице 2.3 приводятся сопоставления оценки оптимальной величины R0 по (2.28) с результатами непосредственных расчетов, выполненных в [36] и соответствующих δ1 = 0,01 и δ2 = 0,001. Таблица 2.3 Сравнение оценки R0 с результатами непосредственных расчетов Граничные частоты f1 = 0,025 R0 f2 = 0,05 Оценка по формуле (2.23) 5,35 Фактическая величина [36] 6

f1 = 0,045 f2 = 0,05 5,475 8

f1 = 0,005 f2 = 0,01 25,375 17

f1 = 0,009 f2 = 0,01 25,475 25

В отношении рациональных ПФ эффективность метода многополосного интерполированного фильтра проявляется значительно слабее [38]. ПФ типа

66 ФНЧ имеет порядок, определенный величиной переходного отношения [37] R = tg π f1 ⋅ ctgπ f2 . Для малых величин оно приближенно равно k ≅ 1 + ∆f / f1. Ясно, что замена z→ zR в случае РЦФ не обеспечивает сколько-нибудь заметного уменьшения арифметических операций, поскольку

NB ≅ N0 , где N0 в

данном случае порядок РЦФ в прямой форме. Учитывая также, что зависимость N6 от расширенной переходной полосы носит логарифмический характер, мы приходим к выводу о неэффективности реализации РЦФ типа ФНЧ в виде (2.25). Данный вывод легко может быть распространен и на другие типы ЦФ – режекторные, полосовые, высокочастотные. Для гибридных рациональных ЦФ, имеющих B(zR) – полином, а G(z) – рациональную функцию, однотипную с ПФ прототипа, например, эллиптическую, условие целесообразности построения по (2.25) следующее:  R 1  MB ⋅ > lg  1 − R(2 f1 + ∆f ) ∆f  2∆fR

Альтернативные гибридные ПФ с B(zR) – типа РЦФ и G(z) – типа полином, могут быть полезными для реализации полосовых ЦФ с симметричными переходными полосами и f0 – центральными частотами, удовлетворяющими условию f0 = i/R, где i < R/2. В соответствии с выводом, сделанным выше, выигрыш может получиться за счет того, что вместо полосового РЦФ, имеющего ПФ порядка 2NB , используется в качестве прототипа ФНЧ или ФВЧ с ПФ порядка NB . Следовательно, для получения выигрыша по числу арифметических операций требуется в этом случае 2NB >AG NG , поскольку для НЦФ переход от ФНЧ к полосовому фильтру не сопровождается удвоением порядка ПФ. Обратимся к конкретному примеру из главы 8 /37/. В этом примере рассчитан полосовой эллиптический РЦФ восьмого порядка, удовлетворяющий требованиям к АЧХ: f0 = 1/6, граничные частоты полосы пропускания 9/60 и 11/60,

ширина переходных полос равна 1/60. Неравномерность в полосе про-

пускания 1 дБ, величина гарантированного затухания 45 дБ. Выбрав R = 6 , методом билинейного преобразования синтезируем ПФ ФНЧ с NB = 4, имеющую

67 аналоговый прототип С045 в /56/ со следующими параметрами: Ωs = 2,2855, неравномерность в полосе пропускания 0,2803 дБ и затухание 48,5 дБ. Сглаживающий НЦФ, синтезированный по программе Мак - Клеллана – Паркса, имеет порядок NG = 13. Экономия вычислительных операций в данном случае не обеспечивается. Если же выбрать R = 3, то применив преобразование z→ - z к тому же аналоговому прототипу, получаем ПФ ФВЧ, для выделения первого фрагмента, полосы пропускания которой достаточно НЦФ порядка NG = 6. В этом случае экономия достигается. Завершая рассмотрение использования факторизации ПФ для уменьшения вычислительной сложности ЦФ, отметим, что подходы «префильтр – корректор» и «многополосный интерполированный фильтр» не исключают друг друга, а их совместное использование позволяет получить дополнительное улучшение характеристик реализации ЦФ. 2.3 Использование факторизации передаточной функции для синтеза взвешивающих окон. Функции взвешивающих или сглаживающих окон, именуемые в дальнейшем для краткости окнами, находят широкое и разнообразное применение в ЦОС. Главное применение окна находят в алгоритмах спектрального анализа [39] и в задачах синтеза ПФ нерекурсивного типа [40]. Немаловажное обстоятельство, способствующее расширению сферы применения окон в последнее время, заключается в близости этого класса функций классу полиномов, нули которых располагаются на единичной окружности. По этой причине возможно использование окон для синтеза числителей ПФ гибридных ЦФ [15,41]. В силу своего предназначения, являясь узкополосными функциями, окна эффективно используют факторизацию, как способ сокращения вычислительной сложности. Чтобы характеризовать параметры окна в задачах спектрального анализа разработано множество показателей [39]: эффективная шумовая полоса, когерентное усиление, уровень наибольшего лепестка, паразитная амплитудная мо-

68 дуляция. Эти параметры довольно полно характеризуют свойства окон во временной

и частотной областях. Однако для оценки показателей вычислитель-

ной сложности и степени влияния на них факторизации полезно дополнить существующие описания свойствами, установленными путем изучения нуль – диаграмм ПФ окон. С этой целью были просчитаны и проанализированы нуль – диаграммы окон Хэмминга, Кайзера, Дольф–Чебышева. Результаты расчетов в графической форме представлены на рисунке 2.4 а – в, где приведены графики, характеризующие изменение величины углового расстояния между соседними нулями ∆ϕi в зависимости от величины 1 – ReZi, где i – координата i–го нуля на Z– плоскости, занумерованного в порядке убывания ReZi или, что эквивалентно, возрастанию углового аргумента. Роль параметра в этих зависимостях исполняет величина Ν -показатель степени полинома ПФ окна. На рисунке 2.5 для семейств окон Кайзера и Дольф - Чебышева дополнительно приведены зависимости ϕi (1- Re Zi) при N = 19, в качестве параметра которых используются параметры соответствующего окна. Анализ данных, полученных в результате изучения нуль - диаграмм, позволяет установить, во-первых, ряд общих свойств, то есть присущих всем видам исследуемых окон и, во-вторых, специфические свойства характерных видов окон. К общим свойствам относятся следующие: а) нули, как правило, располагаются на единичной окружности в Zплоскости. Об исключениях из этого правила будет сказано ниже; б) ∆ϕ (i) = ϕi - ϕi-1 – функция углового

расстояния между соседними нулями,

есть выпуклая функция по i. Наименьшее расстояние между первой парой нулей для всех видов окон, кроме окна Хеммигинга, для которого минимум достигается для второй пары;

69 ∆ϕ, рад 1,0 0,9

Окно Дольф-Чебышева

0,8 0,7

α = 3,5

0,6 0,5 0,4

13 17 21 25 29 33 37

0,3 0,2 0,1

а)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

N

1 - Re

2,0

∆ϕ, рад 1,0 0,9

Окно Хемминга

0,8 α = 0,54

0,7 0,6 0,5

13 17 21 25 29 33 37

0,4 0,3 0,2

б)

N

0,1 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

1 - Re

∆ϕ, рад 1,0

Окно Кайзера

0,9 0,8

α = 6,755

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3

13 17 21 33 37

0,2

в)

0,1 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

N

1 - Re

Рисунок 2.4 – Угловые характеристики нуль диаграмм окон

70 ∆ϕ, рад 1,0 α = 3,25 3,25 3,0 2,75 0,8

0,9

Окно Дольф-Чебышева

0,7 2,5 2,25

0,6

2,0

0,5 0,4 0,3 0,2

N = 19

0,1 0

0,2 0,4

0,6 0,8 1,0 1,2

1,4 1,6 1,8 2,0

1 - Re

а) ∆ϕ, рад 1,0 α = 6,755

0,9 0,8 0,7 0,6

6,2 5,65

Окно Кайзера

4,55 3,97

0,5 0,4 0,3

α = 6,755

3,39

0,2 0,1 0

0,2 0,4

0,6 0,8 1,0 1,2

1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8

1 - Re

б)

Рисунок 2.5 – Угловые характеристики нуль диаграмм окон при N=19

71 в) с увеличением Nϕ0 – угловая координата нулей, определяющих ширину основного лепестка. АЧХ окна сдвигается к началу координат. Для всех видов окон ϕ0 > 2π / N, где N – соответствует координате нулей ядра Дирихле (прямоугольного окна); г) функции окна, образующие однопараметрические семейства, обладают асимптотической независимостью поведения функции углового расстояния от величины параметра окна; д) функции окна, удовлетворяющие условия W(n) > 0, не имеют в составе нуль-диаграмм нулей, расположенных на положительной действительной полуоси. Исследование нуль-диаграмм Хемминга приводит к результатам, которые легко интерпритировать рассматривая процесс формирования характеристик окна в частотной области. Из выражения, описывающего окно Хэмминга W(n) = (1 - α) + α Cos (2π/N ⋅ n), следует, что преобразование Фурье этого окна имеет вид: W (λ ) = (1 − α ) D (λ ) +

2π 2π  α D (λ − ) + D (λ + )  2 N N 

где D (λ) – ядро Дирихле Ν–го порядка (2.11). Согласно равномерного расположения нулей ядра Дирихле на единичной окружности максимумы главных лепестков смещенных ядер попадают на первые нули центрального ядра. За счет компенсации этих нулей происходит двукратное расширение основного лепестка результирующей характеристики. Позиции остальных нулей центрального ядра остаются неизменными, так как они совпадают с нулями смещенных ядер. За счет интерференции происходит ослабление уровня боковых лепестков. Значение α = 0,54 соответствует минимальным значениям максимумов боковых лепестков АЧХ окна [6,39].

Применение

среднеквадратического критерия лишь незначительно изменяет α = 0,5414. Вследствие интерференции в нуль – диаграммах появляется пара новых нулей в результирующем окне

72

λ ≅ 2,6

2π N

Деление интервала 2π / Ν между смежными нулями ядра Дирихле в пропорции 3:2 обуславливает наличие локального минимума в зависимости

∆ϕ(i) для окна Хэмминга (см. свойство б), делает эту зависимость невыпуклой. В результате изучения особенностей нуль – диаграмм окна Хэмминга ПФ этого окна может быть представлена в факторизованном виде:

2,6 −1 ) Z + Z −2 N W ( Z ) = D( Z ) 1 − 2 cos 2π / NZ −1 + Z −2 1 − 2 cos(2π

(2.24)

Представление (2.24) позволяет вычислять окно Хэмминга очень эффективно, поскольку содержит только два отличных от нуля коэффициента. Нуль – диаграммы окна Дольфа–Чебышева обладают следующими характерными особенностями. В зависимости от величины параметра t = N /α, где α – параметр окна, определяющий относительную величину уровня боковых лепестков, нуль – диаграммы содержат нули вне единичной окружности (t < 3) или включают исключительно нули на единичной окружности (t > 3). Характерной особенностью окон Дольфа – Чебышева является монотонно- возрастающая зависимость ∆ϕ (i) как функцию i. Для классификации нуль – диаграмм ПФ окна Кайзера соотношение t = N /α также играет роль большого параметра: для t > 3 нуль диаграммы содержат только нули на единичной окружности, если t < 3, то появляются пары нулей на отрицательной действительной полуоси. Поскольку в данном случае параметр окна α характеризует величину произведения Ν на ширину основного лепестка [39,40], то и в этом случае можно определить ∆λк – критическую величину для ширины основного лепестка частотной характеристики, она лежит в диапазоне

73

π π < ∆λ k < . 4,3 4,2 Специфическая особенность окна Кайзера по сравнению с окном Дольфа–Чебышева состоит в том, что не отмечено случаев появления четверок комплексно- сопряженных нулей, лежащих вне единичной окружности. Кроме того, зависимость ∆ϕ(i) для окна Кайзера является выпуклой, но не обязательно монотонно возрастающей. Согласно выражения, определяющего значения отсчетов: W ( n) =

I 0 (α 1 − 2n / N − 1) I 0 (α )

(2.25)

где I0 (х)– модифицированная функция Бесселя 1-го рода, окно Кайзера обладает еще одним интересным свойством: для фиксированного значения параметра α два полинома ПФ соответственно Ν-го и М-го порядка, где Ν < Μ имеют одинаковые значения коэффициентов, номера которых n и m находятся в соотношении n N −1 = для m M −1

n ≤ N − 1, m ≤ M − 1.

Аналогичным качеством обладают отсчеты получаемые в результате интерполяции, поэтому данное свойство назовем «квазиинтерполяцией». Следствием «квазиинтерполяции» является достаточно плотное совпадение нулей полинома ПФ окна Кайзера Ν-го порядка с первыми Ν - 1 нулями полинома ПФ окна Кайзера М-го порядка, если учесть необходимый пересчет угловых координат ϕiM = ϕiN ⋅ Ν / Μ вследствие преобразования Z → Z M/N . Свойство «квазиинтерполяции» можно положить в основу алгоритмов синтеза окон достаточно высокого порядка М по данным окон более низкого порядка Ν. Хорошие результаты получаются для достаточно простых соотношений М и Ν : М / Ν = 2 или 3. При синтезе окна во временной области используется стандартная процедура интерполяции путем свертки отсчетов исходного окна с отсчетами цифро-

74 вого интерполятора. Для чего используется ЦФ, обладающий ПФ полуполосного или третьполосного типа и порядка, равного М – Ν + 1. Если синтез выполнять на основе нуль – диаграмм, то вначале определяются первые Ν - 1 нулей, пересчитанных указанным выше образом, а затем добавляются остальные М – Ν нулей. Они размещаются в секторе {π - ϕМΝ-1} в точках, координаты которых определяются в соответствии с кривыми вида рисунке 2.4. В первом приближении эти нули можно расположить эквидистантно. Отметим, что при таком варианте синтеза отсчеты синтезированного окна могут не совпадать с отсчетами прототипа. В таблице 2.4 приведены данные для синтеза окна М = 37 по данным окна Ν = 19 и α = 6,755. Результаты проведенных исследований нуль – диаграмм «окон» дают основания полагать, что факторизация ПФ, как метод сокращения вычислительной сложности обладает наибольшей эффективностью применительно к ПФ «окна» по сравнению с другими типами ПФ. В прикладном смысле факторизация ПФ применительно к «окнам», кроме уже известных преимуществ, особо ценных при аппаратурной реализации, соответствующих фильтров, рассмотренных в подразделе 2.2, позволяет упростить процесс управления перестройкой и адаптацией «окна» при спектральном анализе. Тот факт, что для синтеза «окна» достаточно использовать блоки сомножителей ПФ, не содержащих нулей вне единичной окружности в zплоскости, позволяет при декомпозиции в соответствии с (2.20) выбрать таковыми оба сомножителя В(ZL) и G(Z). Действительно, поскольку ПФ окон обладают среди прочих узкополосных ПФ наименьшей ПП, стянутой в точку λ = 0, то выбрав в качестве интерполируемой ПФ В(ZL) функцию «окна» мы облегчаем требования к ПФ сглаживающего сомножителя G(Z): снимаются требования по выравниванию АЧХ в пределах ПП результирующего фильтра и, кроме того, облегчаются условия

75

Таблица 2.4 Угловые координаты нулей N 19

N 37

N 37 18

N 37 18

0,828666

0,414333

0,414378

1,0407595

0,5203797

0,517912

1,3148058

0,6574029

0,651493

1,6149598

0,8074799

0,797766

1,9294046

0,9647023

0,950337

2,2551137

1,12755685

1,106555

2,5939241

1,28696205

1,2602

2,9536545

1,47682725

1,42505

3,14157

1,57079

1,5862375 1,732796

1,748331

1,894896

1,91097

2,0570963

2,074236

2,2194

2,23785

2,3818

2,40175

2,5443

2,565958

2,7059

2,730248

2,8696

2,8948263

3,0324

3,0592

76 компенсации нежелательных копий основного лепестка, в которых не содержится нулей вне единичной окружности. Анализ основных закономерностей характеризующих «нуль – диаграммы» функций «окна» позволил в частности установить правила синтеза эффективных интерполяторов в частотной области и дать оценку его порядка. Характер расположения ПЗ интерполятора: их малая ширина и эквидистантное расположение позволяют рекомендовать синтезировать интерполятор на основе базового блока небольшого порядка, к которому затем применяется преобразование Z-I → Z-M, как это описано в [32]. Число нулей в базовом блоке можно определить из конкретных требований к боковым лепесткам «окна» по соотношению между ϕ0 – шириной основного лепестка т.е. координатой первого нуля и ∆ϕn – расстоянием между нулями в соответствующей прототипной функции окна. Рисунок 2.6 иллюстрирует применение метода факторизации на примере, в котором синтезируется окно с характеристиками эквивалентными соответствующих характеристикам окна Хемминга 27 – 29 порядков. В качестве прототипного окна использовалось окно Хэмминга 13-го порядка. Выбрав L = 2 получаем ∆ϕ0 – ширину основного лепестка с учетом двукратного сжатия по частоте равной 0,967. Следовательно, ширина ПЗ интерполирующего фильтра равна 0,4835. На рисунке 2.6 а) изображена АЧХ окна Хэмминга 29-го порядка, а на рис. 2.6 б) – окна 29-го порядка, полученного при помощи интерполятора 4-го порядка. Для реализации этого окна требуется выполнить 9 умножений и 16 сложений против 14 умножений и 28 сложений, необходимых для окна Хэмминга 29-го порядка. Эффективность метода факторизации можно повысить если использовать интерполятор G(z) = 1 + 2 z-1 + z-2 = (1 + z-1)2. Результирующая АЧХ показана на рисунке 2.6 в). Для реализации требуется всего 6 умножений и 15 сложений.

77

0

∆f0 = 0,069 as = 42,5 ЭШП = 0,047

20

40

60 π 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

4

а) 0 ∆f0 = 0,077 as = 42,15 ЭШП = 0,05156

20

40

60

0,1

0,2

б)

0,3

0,4

0,5

π 4

0,5

π 4

0 ∆f0 = 0,077 as = 43,43 ЭШП = 0,052

20

40

60

0,1

0,2

в)

0,3

0,4

Рисунок 2.6 – АЧХ окна Хэмминга (а) и прототипы интерполированных окон (б, в)

78 2.4 Параллельная декомпозиция передаточной функции Представление ПФ Н(z) в виде суммы слагаемых Нi(z) : m

H ( z ) = ∑ z − Pi H i ( z ),

(2.26)

i =1

служит выражением декомпозиции параллельного вида для Н(z). В соответствии с рассмотренными выше основными принципами сокращения вычислительной сложности, параллельная декомпозиция, согласно (2.1), обеспечивает выигрыш по сравнению с прямой формой, если ПФ слагаемых Hi(z) имеет группу с симметрией большего или, по крайней мере, не меньшего порядка, чем группа симметрии исходной ПФ. Закономерности, характеризующие взаимосвязь АЧХ и ФЧХ слагаемых с соответствующими характеристиками ЦФ в целом, можно проследить на примере (2.9). Используем обозначения: H(ejλ) = Ф (λ) ejϕ(λ) ; где

Ф (λ) = | H (ejλ) |,

H1(ejλ) = A (λ) ejα(λ); H2(ejλ) = B (λ) ejβ (λ) A (λ) = | H1 (ejλ) |,

B (λ) = | H2 (ejλ) |

- АЧХ соответствующих ПФ;

ϕ (λ) = arg H (ejλ),

α (λ) = arg H1 (ejλ),

β (λ) = arg H2 (ejλ)

- ФЧХ соответствующих ПФ. В общем виде из (2.25) получаем: Ф (λ ) =

A 2 (λ ) + B 2 (λ ) + 2 A(λ ) B(λ ) cos[α (λ ) − β (λ )]

(2.27 a)

A(λ ) sin α (λ ) + B (λ ) sin β (λ ) A(λ ) cos α (λ ) + B(λ ) sin β (λ )

(2.27 б)

ϕ (λ ) = arctg

Если положить α (λ) = β (λ), то получаем случай когерентного или синфазного сложения: H (ejλ) = ejα(λ) [A (λ) + B (λ)]

(2.28)

Ф ( λ) = A (λ) + B (λ)

(2.28 a)

ϕ (λ) = α (λ)

(2.28 б)

Полагая A(λ) = B (λ), имеем дифференциально-фазовое сложение в (2.9):

79 H (ejλ) = A (λ) [ejα(λ) + ejβ (λ)]

(2.29)

Ф (λ) = 2A (λ) cos [{α (λ) – β (λ)}/2]

(2.29 a)

ϕ (λ) = [α (λ) + β (λ)]/2

(2.29б)

Когерентное сложение возможно для любых значений m в (2.26) с естественным обобщением в (2.28). Без наложения дополнительных ограничений дифференциально-фазовое сложение в (2.26) возможно только для m=2. Для m=4, например, требуется соблюдение условия попарного равенства фаз. А именно, из H (ejλ) = A (λ) [ejα(λ) + ejβ (λ) + ejγ (λ) + ejψ (λ)] , следует, что если

α (λ) – β (λ) = γ ( λ) – ψ ( λ)

(2.30)

то

Ф (λ) = A (λ) cos [{α (λ) – β (λ)}/2] cos [{α (λ) – γ (λ)}/2]

(2.30 a)

и

ϕ (λ) = α (λ) + ψ ( λ) = β (λ) + γ (λ)

(2.30 б)

Определяющая роль симметрии зеркального вида по отношению к рассмотренным методам сложения проявляется наглядно при решении вопроса о типах ПФ слагаемых, в этих методах используемых. Когерентное сложение обеспечивает получение нетривиальных результатов только для слагаемых с однотипной зеркальной симметрией ПФ, возникающей только для ИХ симметричного вида. Дифференциально-фазовое сложение требует наличия зеркальной симметрии для образующих полиномов числителя и знаменателя ПФ слагаемых. В качестве слагаемых для когерентного сложения должны быть использованы ЛФ НЦФ. В результате получается ЛФ НЦФ того же типа, что и слагаемые. Формирование ПФ более общего вида, согласно (2.34), возможно, добавляя дополнительный каскад или же вводя слагаемое, суммируемое некогерентно. Случай когерентного, точнее говоря, противофазного суммирования, в котором используется H1(z) = z-(N-1)/2,

получим специальное название

дополняющей или комплементарной фильтрации [42]. В этом случае получаем из (2.28 а), полагая, что порядок ПФ H2 (z) в (2.9) равен N:

80 Ф (λ) = |1 - В (λ)| . Главное достоинство дополняющей фильтрации в том, что удается задачу построения широкополосной ПФ преобразовать в сопряженную задачу построения узкополосной ПФ, которую в свою очередь можно эффективно решить с помощью рассмотренных выше методов факторизации ПФ. Таким образом, для уменьшения вычислительной сложности наиболее эффективны структуры типа: H (z) = z-(N-1)/2 – H20(zR) H21(z) . Основной вывод, который можно сделать по результатам рассмотрения метода синфазного или когерентного сложения, заключается в следующем. Вследствии возможности использования только слагаемых зеркального типа симметрии, потенциально достижимая эффективность метода по критерию сложности вычислений не превосходит 50%, а реальная величина выигрыша оказывается еще меньше. По этой причине данный метод широкого распространения на практике не находит, кроме случая комплементарной фильтрации. Определенный интерес представляет случай общего суммирования линейно-фазовых составляющих по (2.26). В этом случае при соблюдении некоторых дополнительных условий можно обеспечить компромисс между величиной вносимой задержки и величиной отклонения ФЧХ от линейного вида. Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить в (2.27)

α = - М1 λ

β (λ) = - М2 λ, тогда из (2.27) получаем

Ф(λ ) = A 2 (λ ) + B 2 (λ ) + 2 A(λ ) B(λ ) cos(M 2 − M 1 )λ

ϕ (λ ) = − M 1λ − arctg

B (λ ) sin( M 2 − M 1 )λ A(λ ) + B (λ ) cos( M 2 − M 1 )λ

Для ПФ низкочастотного типа, если А (λ) сформирована коэффициентами основного лепестка импульсной характеристики (ИХ), а В (λ) сформирована коэффициентами бокового лепестка, то в пределах полосы пропускания выполняется условие А (λ) > В (λ), поэтому влияние нелинейного слагаемого на ве-

81 личину ϕ (λ) значительно слабее, чем линейного слагаемого M1 λ. При числе слагаемых более двух вид ПФ в целом сохраняется, только в АЧХ появляются дополнительные интерференционные члены и усложняется вид нелинейного слагаемого в ФЧХ. В качестве примера был рассмотрен прототипный ФНЧ 60-го порядка, АЧХ которого показано на рисунке 2.1 а). ИХ синтезируемого фильтра была получена путем отбрасывания двух боковых лепестков ИХ прототипа из числа предшествующих основному лепестку. Характеристика ГВЗ в пределах полосы пропускания практически определяется вкладом основного лепестка ИХ и лишь незначительно превышает M1 = 11, что значительно меньше, чем Ν /2 = 30. АЧХ фильтра практически совпадает с АЧХ, показанной на рисунке 2.1 а. Обращаясь к случаю дифференциально-фазового сложения двух слагаемых, получаем, подставив выражение для передаточной функции ЦФЦ, использующее представление через образующие полиномы (1.17), в соответствующую формулу (2.13): H (Z ) = H1 (Z ) + Z

−6

H 2 (Z ) = Z

−m

D1 ( z ) + D2 ( z ) + z − R D1 ( z ) D2 ( z −1 ) , D1 ( Z ) D2 ( Z )

(2.31)

где R = p – m + l, D1 (z) – образующий полином H1 (Z) – ПФ ЦФЦ m–го порядка; D2 (z) – образующий полином H2 (Z) – ПФ ЦФЦ p–го порядка Произведя подстановку z = z

–1

в D1 (z) и D2 (z) можно убедиться, что

числитель (2.31) является зеркально-симметричным полиномом и, следовательно, обладает линейной АЧХ. Используя для числителя (2.31) представление (1.20) мы получаем выражения (2.29) или эквивалентное ему выражение: |Н (еjλ)| = cos [ϕ1 (λ) – ϕ2 (λ) + R/2],

(2.32)

где ϕ1 (λ) – ФЧХ ПФ i-го образующего полинома Di(z). Минимально-фазовые сомножители D1(z) и D2(z) определяют вид нелинейной составляющей ФЧХ.

82 Отмеченные особенности ПФ вида (2.32) дают основание полагать, что таким образом можно получать ПФ селективного типа, в частности ПФ классических РЦФ: Баттерворта, Чебышева, эллиптического [11, 61]. Если ПФ слагаемых ЦФЦ H1(Z) и H2(Z) из (2.31) реализуются таким образом, что при квантовании коэффициентов они остаются всепропускающими ПФ, то как показано в (2.29) результирующая функция H(Z) является структурно ограниченной, то есть |Н (еjλ)| ≤ 1 для всех λ. Структурно ограниченные или структурно пассивные ПФ обладают свойством чрезвычайно низкой чувствительности в пределах полосы пропускания. Физический смысл этого свойства следующий: если в пределах полосы пропускания на некотором множестве частот λк |Н (еjλк)| = 1, то вне зависимости от знака ошибки квантования коэффициента d (n) значение АЧХ на этих частотах может только уменьшиться. Ясно, что при этом кривая АЧХ в точках

λк имеет нулевой наклон относительно номинальной величины каждого из коэффициентов d0 (n), то есть нулевую чувствительность

∂ H (в jλk ) ∂d (n)

d ( n)

= d 0 ( n) = 0

для всех n и всех к. Для использования свойства низкой чувствительности задача синтеза должна быть решена таким образом, чтобы получить в пределах полосы пропускания достаточно плотной последовательности λк. Заметим что рассмотренное свойство аналогично известному в теории аналоговой фильтрации условию Орчарда [14,42] . Полная оценка показателей вычислительной сложности ПФ полученных с помощью дифференциально-фазового сложения должна учитывать рассмотренное свойство низкой чувствительности. Простая структура выражений для результирующей АЧХ (2.27 а) и (2.32) позволяет проанализировать чувствительность непосредственным дифференцированием этих выражений.

83

Sα = Sβ =

∂ H ( в jλ )

1 1 = − sin [α (λ ) − β (λ )] 2 2 ∂α (λ )

∂ H ( в jλ ) ∂β (λ )

1 1 = − sin [α (λ ) − β (λ )] 2 2

Отклонения АЧХ определяются полным дифференциалом

∆ |H(ejλ)| ≅ Sα dα(λ) + Sβ dβ (λ)≅ ≅

1 1 sin [α (λ ) − β (λ )][∆β (λ ) − ∆α (λ )] 2 2

(2.33)

В пределах полосы пропускания α(λ) ≅ β(λ) и sin {0,5[α(λ) – β(λ)]} → 0, то есть чувствительность низкая и приращения малы. В пределах полосы задерживания α(λ) – β(λ) → π и sin {0,5[α(λ) – β(λ)]} → 1 и отклонения АЧХ пропорциональны ФЧХ ЦФЦ слагаемых. Для получения количественных оценок, характеризующих чувствительность, обозначив через δ(λ) – изменение ФЧХ, вызванное квантованием коэффициентов, используем тригонометрические тождества и формулы разложения в ряд Маклорена для функций cos x и sin х. Относительная величина отклонения АЧХ в пределах полосы пропускания, обусловленная появлением δ(λ) равна: ∆(e ix ) =

∆ H (в jλ ) H ( в jλ )

= cos

δ (λ ) δ (λ ) 1 − sin tg [α (λ ) − β (λ )] ≅ 2 2 2

δ 2 (λ ) δ (λ ) [α (λ ) − β (λ )] ≅ 1− − 8 4 В пределах полосы задерживания, из-за малости значений АЧХ вместо относительной меры определим абсолютное отклонение:

δ (λ ) δ (λ ) ∆ϕ 2 (λ ) ∆ϕ (λ ) δ 2 (λ ) ∆ϕ (λ ) , ∆ H (в ) = − − + 2 2 4 2 8 2 jλ

где ∆ϕ(λ) = α(λ) − β(λ) − π - функция ошибки аппроксимации в полосе задерживания.

84 Рисунок 2.7 дает возможность сопоставить величину ошибки, рассчитанную непосредственно (a) и в соответствии с формулой (в). Из последних выражений следует, что в пределах полосы пропускания влияние ошибок квантования, так же как, и ошибок аппроксимации, носит квадратичный характер. В пределах полосы задерживания влияние ошибок имеет характер линейной зависимости, именно поэтому характеристики чувствительности в полосе задерживания ПФ дифференциально-фазового типа существенно хуже, чем в полосе пропускания. Заметим также, что в силу квадратичного характера суммирования ошибок, в пределах полосы пропускания невозможно осуществить их взаимокомпенсацию. В пределах полосы задерживания такая компенсация возможна, поскольку δ(λ) и ∆ϕ(λ) имеют разные знаки. Основной вывод, который можно сделать в результате выполненного анализа состоит в том, что требуемое число разрядов при квантовании коэффициентов следует определять по допустимой величине падения затухания в полосе задерживания. Если используется двоичная оптимизация в процессе квантования, то она может быть направлена на взаимную компенсацию ошибок квантования и аппроксимации. В случае структурной обусловленности ПФ ЦФЦ, когда квантование коэффициентов не нарушает свойства всепропускания, можно используя представление ПФ ЦФЦ через образующие полиномы D(z) получить: −1 −1 z − m Di ( z −1 ) −m Di 0 ( z ) + ∆Di ( z ) =z H i ( z) = Di ( z ) Di 0 ( z ) + ∆Di ( z −1 )

где m

Di ( z ) = 1 + ∑ d i (n) z n =1

−n

m

= D0i ( z ) = Di ( z ) = 1 + ∑ d 0i ( n) z n =1

−n

m

+ ∑ ∆d i ( n ) z − n n =1

На рисунке 2.8 изображена частотная характеристика величины δ (e аппроксимирующей согласно (2.4.3) величину фазового отклонения δ (e

jλ jλ

) ),

обусловленного квантованием коэффициентов фильтра для рассмотренного

85 выше примера. Оценка точности этой аппроксимации содержится в данных таблицы 2.5. Слагаемое ∆Di (z ) = ∑ ∆di (n) z –n – полином ошибок, n=1

где ∆di (n) = di (n) - di0 (n) – ошибка квантования n-го коэффициента i-ой ЦФЦ. Величина δ(λ) – отклонения ФЧХ, вызванного квантованием коэффициентов может быть определена из выражения:

1 1 + ε i ( z −1 )  δ (e ) = ln   2 j  1 + ε i ( z)  )

jλ

(2.34) z =e

jλ

где εi (z ) = ∆Di (z )/ Di0 (z ) – относительная величина ошибки квантования. Если выполняется условие |∆Di (z )| < |Di0 (z )|, условие малости модуля

εi (z ), то используя формулу разложения логарифма комплексного аргумента в степенной ряд получим из (2.42) δ (e

jλ

), сохранив только первые члены разло

жения:

δi (e jλ ) = |εi (e jλ )| [sin ϕi0 (λ) − ∆ϕi (λ)],

(2.35)

где ϕi0 (λ) – аргумент полинома Di0(e jλ );

∆ϕi (λ) – аргумент полинома ∆ Di(e jλ ), Учитывая высшие члены разложения логарифма, требуется добавлять в (2.35) слагаемые вида: (−1) т−1

ei (λ ) n

sin n[∆ϕ i 0 (λ ) − ∆ϕ i (λ )] .

На рисунке 2.8 изображена частотная характеристика ошибки, вносимой в АЧХ квантованием коэффициентов ПФ фильтра, рассмотренного в примере [6]. На этом же рисунке кривая δ показывает ход частотной зависимости фазовой ошибки, обусловленной квантованием, а кривая в – частотную зависимость |εi (λ)|.

86 0 б 2 10

3

а

103

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

f

Рисунок 2.7 – Частотная зависимость ошибки ПФ δ (f)

3 10-2 2 10-2 10-2

f

0 -10-2 -2 10-2

0,1

0,2

0,3

0,4

Рисунок 2.8 – Частотная характеристика аппроксимации фазового отклонения

0,5

87 Таблица 2.5 Относительная погрешность аппроксимации фазового отклонения f

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,496

39,13

1,22

0,87

0,14

0,61

0,76

0,12

0,96

0,07

0,353

0,891

0,92

2,628

0,266

8,062

0,372

0,5

δа - δ0 % δ0 δ1 - δ2 % δ1

Полученные результаты дают основание полагать, что в качестве оценки величины ∆ |H(ejλ)| можно использовать величину |ε (λ)| + |εi (λ)| для оценки в полосе задерживания, и |εi (λ)|2 / 8 для оценки в полосе пропускания. Опираясь на полученные результаты, оценим число двоичных разрядов, которое необходимо сохранить при квантовании коэффициентов для удовлетворения предъявляемым техническим требованиям. Соотношения (2.34) и (2.35), устанавливая локальную взаимосвязь между отклонениями ФЧХ (аргумента) и АЧХ (модуля) делает возможным получить искомую оценку, используя методический подход, разработанный для известных структур, обеспечив тем самым возможность сопоставления результатов. Для конкретного сравнения выберем случай каскадной реализации эллиптических ПФ [55]. Положим, что каждая из ЦФЦ также реализована в виде каскадного соединения элементарных звеньев первого и второго порядков. По соображениям устойчивости, коэффициенты каждого l-го элементарного звена 1 + d1l z-1 + d2 l z-2 ограничены |di l| < 2, |d2 l| < 1, 1 < l < m/2. Округление коэффициента d до вс бит, считая знаковый эквивалентно квантованию с шагом g = 2 2-вс . Величина ε (λ) по своему физическому содержанию является относительной мерой погрешности. Числитель этой величины представляет линейную сумму взвешенных слагаемых, амплитуда каждого из которых не превосходит 2g/2.

88 По аналогии с гауссовским распределением, учитывая его усеченный характер: скачкообразное изменение на границах диапазона изменений [39], получим оценку числителя, равную g/4. Полученная оценка не учитывает возможную неравномерность по спектру абсолютной ошибки и мы вправе полагать, что максимальной величины |εi (λ)| достигнет в окрестности точки минимума D(e jλ ), лежащей обычно в пределах зоны переходной полосы или на участках непосредственно к ней прилегающих. В этом районе располагается полюс ПФ, ближайшей к единичной окружности z-плоскости с полярными координатами r и θ. Далее, воспользовавшись методикой оценки из [39], получаем H m = max

0 < λ <π

1 1 ≅ 2 Di (λ ) (1 − r ) sin θ

Для ПФ избирательного характера, в силу минимально-фазовых свойств Di (λ) имеется прямое соотношение по порядку величин между расстоянием ближайшего полюса к единичной окружности 1 − r и ∆f = ∆x/2F – шириной переходной полосы: 1 − r ≅ ∆f, если выполняется условие, что полоса пропускания шире, чем переходная полоса. Приравняв величину пульсаций, вызываемых квантованикем, половине величины пульсаций, обусловленных аппроксимацией δ i = 10 – aS/20, получаем искомую оценку:

bc ≅ log 2 δ − log 2 ∆f + log 2

1 sin 2πf

или

bc ≅ log 2 a5 − c − log 2 ∆f + log 2

1 sin 2πf

bc ≅ 0,166 as − log2 ∆f + log2 sin 2π f Полученные выражения свидетельствуют о своего рода дуальности критических характеристик чувствительности: степень чувствительности диффе-

89 ренциально-фазовой схемы в полосе задерживания эквивалентна чувствительности каскадной схемы в полосе пропускания. Поскольку число разрывов определялось на основе оценки максимума ошибки квантования, попадающего зачастую в пределы переходной полосы, то для практического использования синтеза по рабочим параметрам во многих случаях получаются завышенные результаты. Для случаев ∆f ≥ 0,08 можно пользоваться приближенной оценкой: bc ≅ 0,16 as. Важную роль в практическом использовании фильтров, ПФ которых синтезирована методом дифференциально-фазового сложения при m = 2, теряет свойство дополнительности ПФ. Для обоснования этого свойства достаточно обратиться к формулам Эйлера и основному тригонометрическому тождеству тригонометрических функций:

sin α =

1 1 ja (e − e − ja ), cos (e ja − e − ja ), sin 2 α + cos 2 α = 1. 2 2j

По аналогии со свойством дополнительности ПФ линейно-фазового типа, смысл этого свойства в том, что если синтезирована ПФ для ФНЧ, то чтобы синтезировать ПФ, соответствующую ФВЧ, достаточно изменить знак суммирования ЦФЦ отдельных ветвей. Это свойство, впервые отмеченное в [43], широко используется в приложениях для эффективного синтеза многоканальных фильтров [15]. 2.5 Выводы по главе Основные результаты материалов второй главы позволяют сделать следующие выводы: 1. Сформулированное условие целесообразности использования декомпозиции ПФ для получения допустимого решения, обеспечивающего сокращение сложности реализации, выполняются во многих случаях важных для приложений ЦОС.

90 2. Основные свойства факторизации ПФ как средства сокращения вычислительной сложности ЦФ связаны с группами симметрии вида CR – группами повторов и в наибольшей степени эффективны для узкополосых ПФ. 3. Определение условий целесообразности использования факторизации типа «префильтр – корректор» и применение предлагаемых схем префильтров на основе циклотомических полиномов позволяет расширить границы применимости этого метода и повысить его эффективность. 4. Установлены условия использования и характеристики эффективности снижения вычислительной сложности алгоритма интерполированной многополосной цифровой фильтрации. 5. Результаты исследований показали целесообразность использования факторизации ПФ в процедурах синтеза эфективных функций взвешивающих окон. 6. Эффективность параллельной декомпозиции ПФ определяется порядком группы симметрии зеркального типа и в полной мере реализуются когерентном и дифференциально-фазовом суммировании, в том числе при синтезе ПФ дополнительных (комплементарных) ЦФ.

91 Глава 3. ПОСТРОЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ МНОГОКАНАЛЬНЫХ И МНОГОСКОРОСТНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ 3.1. Постановка задачи Наибольшую эффективность в смысле критерия минимизации вычислительной сложности методы ЦОС проявляют в случае многоканальной фильтрации, когда входной сигнал разделяется на К каналов, а также в случае, когда обработка сигнала выполняется с частотой дискретизации Fдk, отличной от частоты дискретизации этого входного сигнала. Многоскоростная обработка может усиливать эффективность многоканальной фильтрации в смысле сокращения вычислительной сложности. Сокращение вычислительной сложности при многоканальной фильтрации возможно, если используются при этом групповые методы обработки. Общим признаком, объединяющим весьма разнотипные методы в единый класс групповых, является принцип однократного выполнения операций, повторяющихся в различных симметричных парциальных каналах разделения. Причем желательно обеспечить выполнение этих операций в той части схемы, где это целесообразно делать с точки зрения минимизации вычислительной сложности. Из определения групповых методов следует, что обеспечить эффективную реализацию, в соответствии с установленными принципами, возможно, если передаточные функции отдельных каналов подвергнуть декомпозиции для последующего перегруппирования. Декомпозиция и группирование выполняются руководствуясь данными о порядке группы симметрии и типе симметрии составляющих, обеспечивая максимально достижимые типы их симметрии. Многоскоростная фильтрация выполняется эффективно, если в соответствии с теоремой Котельникова обеспечивается возможность исключать избыточные отсчеты и промежуточные операции с ними, не требуемые для получения неискаженного выходного сигнала [9,10]. Эффективность многоскоростной фильтрации тем выше, чем в большей степени удается использовать симмет-

92 рию, обусловленную периодическим характером расположения спектров преобразуемого сигнала. В силу свойства транспозиции сигнальных графов алгоритмов цифровой обработки сигналов [23], операции объединения и разделения каналов [15] , также как преобразования частоты дискретизации (децимации и интерполяции) являются попарно эквивалентными в смысле критерия вычислительной сложности. Эта эквивалентность вытекает из более сильного свойства обратимости структуры соответствующих алгоритмов [23]. Поэтому достаточно рассмотреть детально только одну операцию из каждой пары, чтобы полученные результаты автоматически распространить на другие операции. В этом разделе мы ограничимся рассмотрением случая эквидистантного размещения парциальных каналов, который будем называть частотным разделением каналов, по аналогии с [45]. 3.2. Частотное разделение каналов методом многополосной фильтрации Задача частотного разделения каналов формулируется следующим образом: сигнал S(n), частота дискретизации которого равна Fд = I/Tд, занимает на нормированной оси частот λ = 2πF⋅Tд диапазон (λ0, λ0+θ). Сигнал S(n) необходимо разделить на сигналы Sк(n), соответствующие К парцинальным каналам, к=I, к.. Полосы пропускания каналов не перекрываются и ширина полосы частот отдельного канала равна θк. Случай для К=5 и θк = θ/К проиллюстрирован на рисунке 3.1 а. Определение полос пропускания, переходной, задерживания и других рабочих параметров как обычно соответствует Чебышевскому критерию аппроксимации. Пояснить основные принципы, лежащие в основе многополосной фильтрации, проще всего, если вновь обратиться к представлению для ПФ интерполированного ЦФ (2.20):

93 S(λ) а) λ0

λВ В/R

В

π

б) ∆0

∆

в)

Рисунок 3.1 – Использование МЦФ для разделения каналов. Н к (z) = B(zR) ⋅G к (z) Подключив параллельно выходу ЦФ с ПФ

B(zR) К сглаживающих

фильтров Gк (z), настроенный каждый на свой фрагмент ПФ B(zR) можно получить ПФ, которая эквивалентна системе из К фильтров или К-канальному ЦФ. Из этого простого пояснения можно выделить как минимум два принципиальных момента, характеризующих свойства метода многополосной фильтрации: во-первых наличие разветвляющейся древовидной структуры алгоритма или устройства и во-вторых включение на первом уровне разделения ЦФ, имеющего несколько полос пропускания. Дадим определение, что многоканальный ЦФ, реализующий метод многополосной фильтрации, это фильтр, имеющий разветвляющуюся древовидную структуру, состоящую из j>2 уровней разделения, причем первые j1 уровней, где j1 < j содержит многополосные ЦФ (МПЦФ), то есть фильтры с R > 1 полосами пропускания. Рассмотрим сущность метода многополосной фильтрации следуя работе /70/ применительно к случаю действительных линейно-фазовых нерекурсивных ЦФ, представляющему наибольший практический интерес.

94 В общем случае, выражение для коэффициента передачи ЦФ, имеющего R полос пропускания, согласно свойств суперпозиции и транспозиции преобразования Фурье, допускает представление:

H (в

jλ

R

) = ∑ Hr (2 cos λ r в

jλ

r =1

где H r (в

jλ

)=

R N −1

) = ∑ ∑ 2hr (n) cos nλ r в jnλ ,

(3.1)

r =1 n = 0

N −1

∑ hr (n)в jnλ ,

n =0

0 < λr > π

Располагая формулой (3.1) и методикой синтеза фильтров нижних частот, можно синтезировать МПЦФ, если последний обладает достаточно выраженными селективными свойствами (аs > 40 дБ). Не останавливаясь на вопросах синтеза для детального рассмотрения отметим, что порядок МПЦФ можно оценить, в соответствии с избранной методикой синтеза ФНЧ по выражениям вида (1.48): N ≅ F (δ1, δ2) /∆fm

(3.2)

где ∆fm = min [∆f1, … , ∆fR ] . Конкретизируем свойства некоторых специальных видов МПЦФ. Когда результирующий фильтр получается путем операции свертки в спектральной области решетчатой функции сдвигающих множителей {δ (λ-λr)+ + δ (λ+λr)} с единым низкочастотным прототипом, то есть Hr (ejλ) = H0 (ejλ), тогда такой МПЦФ назовем производным. Для производного МПЦФ из (3.1) получаем:

H (в

jλ

R

) = ∑ H 0 (2 cos λ r в r =1

jλ

)=

N −1

R

∑ 2h0 (n)(∑ cos λr n)в jnλ ,

n =0

(3.3)

r =1

R

Появление в (3.3) сомножителя вида

∑ cos λr n

означает, что для произ-

r =1

водных МПЦФ в зависимости от размещения частот λr решетчатая функция сдвигающих множителей обладает тем или другим типом симметрии.

95 Чем выше порядок группы симметрии решетчатой функции, тем большее R

∑ cos λr n = 0

число корней уравнения

попадает в интервал значений 0 ≤ n ≤

r =1

N-1 и, следовательно, тем больше подмножество значений коэффициентов МПЦФ обращается в нуль. В случае эквидистантного расположения λr свертка производится с решетчатой функцией прямоугольного окна в частотной области и мы имеем: R

∑ cos λr n = cos(∆ 0 + r =1

R −1 ∆ )nD R (n∆ ), 2

где DR (n∆) – ядро Дирихле R-ого порядка аргумента n∆. (2.1). Производные МПЦФ подобного вида назовем равнополосными. Рисунок 3.1.б иллюстрирует смысл параметров R, ∆0 и ∆, которые определяют значения коэффициентов равнополосных МПЦФ обращающихся в нуль: h(n) = h0 (n) cos(∆ 0 +

R −1 ∆ )nDR (n∆ ) 2

(3.4)

Предположим ПФ производного МПЦФ формируется таким образом, что все сдвигающие сомножители λr могут быть объединены в несколько эквидистантно размещенных групп. То есть решетчатая функция не может быть выражена в виде единого прямоугольного окна в частотной области, но можно ее представить в виде суммы соответствующих окон меньшего порядка. В этом случае, который назовем частично равнополосный, число обращаемых в нуль коэффициентов значительно меньше, оно определяется видом суммирования ядер Дирихле, в конечном счете вновь типом симметрии синтезируемой ПФ, порядком присущей ей группы симметрии. Анализ представления (3.4) показывает, что для равнополосных МПЦФ наибольшее число коэффициентов обращается в нуль при соблюдении условия H (ejλ) = H0 (ejRλ)

(3.5)

Тогда (3.3) имеет вид: h (n) = h0 (n) DR (nπ)

(3.6)

96 В (3.6) из каждых R последовательно по n взятых коэффициентов h(n) (R-1) коэффициент обращается в нуль. ЦФ, характеристики которого удовлетворяют (3.5) и (3.6) это уже известный нам интерполируемый фильтр, имеющий ПФ гребенчатого типа (2.20), отсюда следует его название гребенчатый МПЦФ. Пример частотной характеристики гребенчатого фильтра для R=3 показана на рисунке 3.1б. Полученные выше формулы для вычисления коэффициентов селективных МПЦФ дают основание полагать, что при определенной однородности характеристик парциальных каналов, когда их переходные полосы и величины гарантированного затухания сравнимы по порядку величин, тогда МПЦФ является эффективным средством частотного разделения каналов. Эффективность МПЦФ оказывается тем больше, чем более высокий тип симметрии удается заложить в результирующую ПФ при сохранении адекватности ее параметров требуемым характеристикам разделяемых каналов. Переходя к анализу показателей вычислительной сложности положим, что МПЦФ реализуется в форме прямой свертки, учитывающей зеркальную симметрию значений коэффициентов линейно-фазового фильтра первого типа [9]. Показатель сложности для этого случая ( ): CB ≅ N Fд A(x) Наиболее эффективно удается выполнить с помощью МПЦФ разделение на четные и нечетные эквидистантно размещенные каналы, если при этом удается обеспечить равенство ширины ПП ширине ПЗ и фрагменты частотной характеристики гребенчатого фильтра имеют симметрично полуполосный характер. В этом и только в этом случае для конструирования гребенчатой ПФ используется полуполосный низкочастотный прототип, у которого A(x) достигает абсолютного для ФНЧ минимума. Получающиеся результаты уже получили свою трактовку в подразделе 2.2, поэтому, не повторяя их, просто зафиксируем, что показатель (СВ) достигает наименьшей возможной для МПЦФ величины.

97 Следовательно, для минимизации СВ необходимо добываться такого соотношения параметров, которое бы обеспечивало наивыгоднейшее расположение каналов: λ0 = λb = θ/2K, Fq ≅ 2(K+1)/K⋅θ . Значительно повысить эффективность многополосной фильтрации можно, привлекая принципы параллельной декомпозиции для организации на основе линейно-фазового МПЦФ дополняющего выхода, как это описано в параграфе 2.4. На этом выходе получается многополосная ПФ комплементарного вида. Обратившись например, к рисунку 3.1, легко убедиться, что частотная характеристика (рисунок 3.1б) является комплементарной к характеристике, показанной на рисунке 3.1в. Переходя от анализа свойств и характеристик отдельно взятого МПЦФ к рассмотрению в целом структур, в которых реализуется метод многополосной фильтрации, разделим эти структуры на две группы: - пирамидальные структуры, обладающие высокой степенью регулярности и высоким уровнем модульности (унификации) отдельных элементов; - комбинированные структуры, включающие в состав разнообразные ЦФ, не обязательно многополосные, отличающиеся также возможным разнообразием связей и не имеющие четко выраженных уровней разделения. Пирамидальные структуры хорошо приспособлены для разделения эквидистантных каналов, когда спектр группового сигнала есть: K

S ( в ) = ∑ S k ( в j ( λ − λ k ) ), jλ

k =1

где λк - λк-1 = θ/К, Sk (ejλ) – спектр парциального канала. Комбинированные структуры, в силу разнообразия возможных вариантов построения имеют широкий диапазон характеристик, они находят применение в тех случаях, когда нецелесообразно или невозможно использовать структуры пирамидальной формы. Далее ограничимся рассмотрением только пирамидаль-

98 ных структур. Они обеспечивают наибольшую эффективность при соблюдении следующих условий: во-первых на каждом уровне выполняется чередующееся разделение на четные и нечетные каналы:

S чет (в

jλ

)=

K /2

∑ S 2 k (в j ( λ −λ

2k )

),

k =1

S нечет (в

jλ

)=

K /2

∑ S 2k −1 (в j (λ −λ

2 k −1 )

);

k =1

во-вторых это разделение производится на каждом уровне кроме последнего с использованием гребенчатых ЦФ с полуполосными фрагментами. Выделение парциальных каналов выполняется на последнем уровне разделения, где число ЦФ максимально. Для вышеприведенных условий справедлив закон расширения переходной полосы (2j –1) θ/K, поэтому удается сбалансировать сложность вычислений отдельных уровней: увеличение с числа ЦФ используемых на последующем уровне разделения сопровождается уменьшением порядка этих фильтров. Сформулированные условия наибольшей эффективности в свою очередь означают, что должно быть выдержано соотношение log2 R = log2 Ent (K+1),

Ent [ log2 (k+1)],

где log2 R – число уровней разделения, Ent (K) – целая часть от X: и достигнут наибольший показатель симметрии для спектра группового разделяемого сигнала. Наиболее благоприятные условия для выделения можно удовлетворить только для части парциальных каналов. Другие парциальные каналы, положение которых на оси частот совпадает с переходными полосами гребенчатых фильтров либо разделяются с помощью менее эффективных фильтров, либо сдвигаются с применением ОБП преобразователей. Второй способ менее эффективен и его целесообразно использовать на высоких уровнях разделения.

99 Последнее замечание фактически говорит о том, что в любой пирамидальной структуре могут содержаться элементы комбинированной. Чем меньше удельный вес этих составляющих, тем совершеннее спроектированная структура. Проиллюстрировать сущность и значение сформулированных положений можно на примере. В качестве примера взято разделение восьми парциальных каналов. На рисунке 3.2 показаны спектральные диаграммы и структурная схема устройства разделения, соответствующие симметричному расположению группового сигнала λ0 = λb = θ/2k. Поскольку гребенчатый фильтр Н1 (z9) имеет нечетное число фрагментов, то уже на второй ступени разделения приходится использовать Н2 (z) – производные МПЦФ с самым низким типом симметрии. Для унификации между собой элементов схемы в ее состав введен альтернатор, посредством которого инверсный спектр группового сигнала четных каналов Sч(ejλ) совмещается по оси частот со спектром Sн (ejλ) – нечетных каналов. На третьей, последней ступени разделения происходит выделение сигналов каждого из парциальных каналов с помощью обычных ФНЧ с дополняющими выходами. Увеличим число фрагментов R в гребенчатом МПЦФ до ближайшего четного числа, в данном случае R=10. Получающиеся в этом случае спектральные диаграммы и структурная схема устройства показаны на рисунке 3.3 а и 3.3 б соответственно. Введение дополнительного фрагмента для ″пустого″ девятого парциального канала означает, что реализация данной схемы требует увеличения частоты дискретизации, которое будет оправдано, если приращение показателя сложности вычислений за счет увеличения частоты дискретизации окажется меньше, чем его уменьшение за счет обеспечения симметрии более высокого типа. В данном случае помимо ″правильного″ гребенчатого МПЦФ Н3(25) разделяющего четные каналы Sr(ejλ), на второй ступени удается для расфильтровки применить МПЦФ Н2 (z2), имеющий два многополосных фрагмента.

100 S(λ)

1 0 2

1

2

3

4

5

6

7

8

H1(λ)

π

Sн(λ)

π

λ

0 3 0

3

1

5

7

0 6

4

2

0 5

Sча(λ )

λ

π

Sч(λ)

4

λ

6

8

λ

π 2

4

6

8

H2(λ)

π

Sн1(λ)

π

λ

0 7

3

0

7

Sн2(λ)

8 0 9

λ λ

π 5

1 H3(λ)

π

S3(λ)

π

λ

0 10

3

0 H4(λ)

11

λ λ

π

0 12 0

λ

π

S1(λ)

1

а) 4

(-1)n

7

5

H2(Z)

1

8

12

H3(Z) 12

H4(Z)

H1(Z9) H3(Z)

3

λ

π

H2(Z) H4(Z)

б) Рисунок 3.2

101 S(λ)

1 0 2

1

2

3

4

5

6

7

8

H1(λ)

π

Sн(λ)

π

0 3 0

3

1

5

7

S2(λ)

4 5

4

2

0

6

π

8

Н2(λ)

π

Sн1(λ)

π

0 6 0

5

1 Sн2(λ)

7

π 3

0 8

7

Н3(λ)

π

S21(λ)

π

0 9

2

0 10

6

π

S22(λ) 4

0

8

H4(λ)

11

π

0

π

H5(λ)

12 0

π

13 0

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

1

π

а) 6

3

H2(Z2)

7

1

13 2

H4(Z ) H5(Z)

10

H1(Z )

9

4

5

H3(Z )

б) Рисунок 3.3

10

H6(Z) H7(Z)

λ

102 Кроме того можно сделать один из фильтров третьей ступени разделения гребенчатым двухполосным – Н4 (z2). Платой за получаемую экономичную реализацию служит отсутствие унификации характеристик среди фильтров второй и третьей ступени. Таким образом, полученные результаты подтверждают получение возможности экономичной реализации с использованием метода многополосной фильтрации в сравнении с непосредственным разделением восьмью индивидуальными ЦФ. Использование пирамидальных структур дает возможность получения наилучших показателей среди других вариантов многополосной фильтрации. Если имеется возможность управлять значениями параметров, то следует выбирать соотношения Fq, K и θ такими, чтобы обеспечивать R = R1⋅2P, где Р>1. 3.3. Эффективная реализация многоканальных цифровых фильтров методом трехканального разделения Данный параграф имеет своей целью рассмотреть метод экономичной реализации многоканального цифрового фильтра (ЦФ). Эффективность, как обычно, оценивается по сокращению числа вычислительных операций в алгоритме фильтрации, которое достигается за счет параллельной декомпозиции передаточных функций ЦФ и группирования повторяющихся операций. Конкретно рассматривается, следуя работе [46], эффективная реализация многоканального линейно-фазового нерекурсивного ЦФ (ЛФНЦФ), разделяющего входной сигнал y(n) на М каналов на базе использования устройства трехканального частотного разделения (УТКР) [47], обобщающего понятия альтернирующего фильтра (АФ) и дополняющего фильтра (ДФ). Если Нq(z) – передаточная функция некоторого ЦФ дополняет Н(z) – передаточную функцию данного ЦФ в сумме до характеристики все- пропускающего типа , то говорят, что фильтры образуют взаимодополняющую (комплементарную) пару, а этот ЦФ называют дополняющим ЦФ (ДФ). Существует

103 зеркальное соответствие между характеристиками полосы пропускания ДФ и полосы задерживания данного ЦФ. Полагая, что N – четное, передаточную функцию ЛФНЦФ можно записать: N

H ( z ) = ∑ h( n) z

−n

=z

−

N 2

n =0

H 0 ( z)

(3.7)

где Н0(z) – действительная функция. Тогда Hq имеет вид, установленный в подразделе 2.3: Hq(z) = z-N/2 – H(z) = z-N/2 (1-H0(z)) .

(3.8)

Поведение частотных характеристик комплементарной пары иллюстрирует рисунок 3.4а. Когда данный ЦФ реализован, для построения ДФ больших затрат не требуется, достаточно добавить еще один сумматор. Если в (3.7) выполнить замену z на -z, то полученная передаточная функция Ha(z) будет соответствовать альтернирующему ЦФ (АФ): N

H a ( z ) = H (− z ) = ∑ ( −1) n h(n) z −n = z

−

N 2

n =0

H 0 (− z )

(3.9)

Преобразования типа (3.9) используют при синтезе фильтра верхних частот по заданному низкочастотному прототипу. Типичный вид частотных характеристик исходного ЦФ и АФ показан на рисунке 3.4б. Hа(z) обладает свойством зеркальной к H(z) симметрии относительно луча, проходящего через точку единичной окружности z – плоскости, соответствующую π/2. Представим (3.7) в виде суммы четных и нечетных слагаемых: 2

N

2

H ( z) = H r ( z ) + H H ( z ) =

∑ h ( 2n ) z

−2n

N −1

+

2 n =0

∑ h(2n + 1)

(3.10a)

2 n −1=1

Тогда (3.9) можно записать как: 2

2

H a ( z) = H ч ( z ) − H H ( z ) =

N

∑ h( 2 n) z

2 n =0

−2n

−

N −1

∑ h(2n − 1) z −(2n−1) (3.10б)

2 n −1=1

104 Легко видеть, что по сравнению с (3.10а) реализация АФ по (3.10б) требует только смены знака при Hн(z). Отметим также, что Hч(z2) и Hн(z2) сохраняют свои свойства линейности фазовой характеристики: если N/2 – четное число, то Hч(z2 ) – передаточная функция ЛФНЦФ I-го типа, а Hн(z2) – передаточная функция ЛФНЦФ 2-го типа [9], если N/2 – нечетное число, то наоборот. УТКР, предложенное в [47], обобщая понятия АФ и ДФ позволяет эффективно выполнить разделения на три канала. В матричном виде z –преобразования УТКР можно представить следующим образом:  −N  Y1 ( z )  1 − 2 0   z 2        1  ×  H r ( z 2 )  × Y ( z) Y2 ( z ) = 0 1 Y ( z )  0 1 − 1  H ( z 2 )  3     H   

(3.11)

где {} - символическое обозначение матрицы; Y(z) – z– преобразование входного сигнала; Yi(z) – z – преобразование выходного сигнала i-го канала для i = 1, 2, 3. В более компактной форме (3.11) записывается как: {Yi} = {R} x {Hi} x Y

(3.12)

Из (3.11) видно, что поскольку матрица {R} для своей реализации не требует выполнения дополнительных к (3.10а) и (3.10б) операций умножения, то полученная реализация будет эффективной. Типичный вид эквивалентных передаточных функций показан на рисунке 3.4в. Структурная схема, соответствующая (3.11), приведена на рисунке 3.5. Линии задержки отдельных компонент матрицы-столбца {Hi} в силу параллельности включения могут быть объединены, поэтому наиболее экономичной для УТКР оказывается прямая форма реализации ЛФНЦФ. Если Hч(z) и Hн(z) выполняются по каскадной схеме, то в качестве общей можно использовать линию задержки первого каскада.

105 H(e jλ)

δ1

Hq(e jλ)

1

λ=ωT T=1/Fq

δ2

π

0

λ

а) jλ

Ha(e jλ)

H(e )

1

0

π

б) H2(e jλ)

1

H1(e jλ)

0

λ

H3(e jλ)

π

в)

λ

Рисунок 3.4

-

N/2

Z

Y(Z)⋅H1(Z) = Y1(Z)

2

Y(Z) Hr(Z2)

+

Y(Z)⋅H2(Z) = Y2(Z)

Hн(Z2) -

Рисунок 3.5

Y(Z)⋅H3(Z) = Y3(Z)

106 Качество фильтрации принято оценивать совокупностью трех параметров, определяющих рабочие параметры амплитудно-частотной характеристики (см. подраздел 1.3): δ1 – величина пульсаций в полосе пропускания: δ2 - величина пульсаций в полосе задерживания: ∆F – ширина нормированной переходной полосы. В широком диапазоне значений этих параметров для ЛФНЦФ, оптимальных в смысле чебышевского критерия, справедлива оценка порядка фильтра N, описываемая выражением из [4] N ≅ -2/3 lg(10 δ1 δ2)/∆f

(3.13)

Групповой характер обработки сигналов в УТКР обуславливает взаимосвязь характеристик разделения отдельных каналов, ограничивая тем самым область эффективного использования УТКР. Все три канала УТКР обладают одинаковыми характеристиками, поскольку: δ11= δ22 = δ13 ;

δ21= δ12 = δ23 ; ∆F1 = ∆F2 = ∆F3 = ∆F.

Здесь использованы обозначения δ1i

и δ2i для величины соответствую-

щих пульсаций характеристики i-го канала. Чтобы гарантировать выполнение требований для проектирования УТКР и оценки его порядка Ny, следует выбирать наименьшие значения параметров. Сопоставляя УТКР и схему из трех отдельных ЛФНЦФ можно считать, что условие целесообразности использования УТКР следующее: 3

N y < ∑ Ni

(3.14)

i =1

Рассмотрим в качестве примера задачу разделения на три одинаковых канала. Обычно выполняется условие δ1 / δ2 = G>1. С его учетом получаем: 3

∑ N i = 3N (δ 2 , G, ∆F ); i =1

N y = N y (δ 22 , ∆F ).

Из соотношений (3.13) и (3.14) приходим к следующей формулировке:

107 -lg δ2 > 3/4 lg G + 1/2 Другой типичный пример – когда каналы наряду с одинаковыми величинами пульсаций имеют переходные полосы разной ширины. Такое соотношение параметров характерно, например, для 1/m – октавного анализа. В этом случае условие (3.14) принимает вид: N2 (δ2, G, ∆F) + N1 (δ1, G, ∆F + ∆F1) + N3 (δ2, G, ∆F + ∆F2) > Ny (δ22, ∆F) После алгебраических преобразований получаем искомое условие в следующем виде:

1 ∆ − lg δ 2 > (lg G + 1), 2 ∆ −1 где ∆ = 1 +

∆F ∆F + . ∆F + ∆F1 ∆F + ∆F2

Если число разделяемых каналов М>3, то многоканальный ЦФ можно реализовать, объединяя УТКР как базовые элементы в некоторую структуру. Выбрав для конкретности М=7 рассмотрим возможные структуры многоканального ЦФ, выполняющего разделение на идентичные каналы. Первый вариант получается при объединении УТКР в трансверсальную структуру, как это показано при объединении на рисунке 3.6 а. Соответствующие спектральные диаграммы даны на рисунке 3.6 б. Второй вариант соответствует схеме параллельного включения, он изображен на рисунке 3.7 а, а соответствующие ему диаграммы – на рисунке 3.6 б. Для матричного описания трансверсальной структуры можно использовать выражение (3.12), добавив в него матрицу – строку сцепления каскадов: Y1i = {100} x {R} x {H} x Y1i-1

(3.15)

Параллельная структура также допускает матричную запись (3.15), в которой:

108 1

УТКР1

Y(Z)

4

1 2 3

УТКР2

3

7

1 2 3

6

2

1 2 3

УТКР3

9

5

10

Y5(Z) Y3(Z) Y4(Z)

Y6(Z) Y2(Z)

Y7(Z) Y1(Z)

8

a)

1 1 2

2

3

4

5

6

7

π

0 1

3

π λ

0 7

4

π

0 2

5

3

4

5

6

π

0 2

6

0 3

8

4

5

0 3

9

λ

π λ π λ π λ

0 5

10

λ

π λ

0 6

7

λ

0 4 0

б) Рисунок 3.6

π λ π λ

109 УТКР1

2 3

УТКР2

2 3

УТКР3

2 3

Y(Z)

2 3

-

-

-

+

Z-N/2

-

-

Y1 Y7

4 5

Y2 Y6

6 7

Y3 Y5

8

Y4

-

+

а)

1 1 2

2

3

4

5

6

7

π

0 1

3

π

0 7

4

π

0 2

5

π

0 6

6

0

0 5

8

0 4 0

б) Рисунок 3.7

λ λ λ

π

λ

π

λ

3 7

λ

π λ π λ

110

{H }T

0 0  1 −1 0 0 0 1 1 0  N  = {H1H H Ч H 2 H H 2Ч H 3 H H 3Ч }− 2 , R =  0 0 1 −1 0 0 0 0 0 1  − 2 0 − 2 0 − 2

0 0 0 0  0 0 1 0  0 1

Из других вариантов следует упомянуть многоканальный ЦФ древовидной структуры, в котором за счет усложнения взаимосвязей между отдельными блоками можно добиться уменьшения Ny в отдельных УТКР. Переходя к обсуждению полученных результатов отметим следующие моменты. Приведенные задачи построения многоканального ЦФ к виду (3.15) позволяет осуществить экономичную реализацию этого ЦФ за счет декомпозиции матрицы фильтрации на матрицы {R} и {Нi}. Полученные условия эффективности УТКР удовлетворяются в большинстве случаев. Если число разделяемых каналов М>3, то многоканальный ЦФ можно реализовать, объединяя УТКР как базовые элементы в некоторую структуру, причем, если М – четное, то потребуется не более М/2 – 1, и если М – нечетное, то не более (М-1)/2 таких устройств. При возрастании числа каналов от 3 до ∞, величина выигрыша вычислительной сложности по сравнению с обычной схемой непосредственного разделения изменяется от 3 до 2 раз. Эффективность метода полностью реализуется, если расположение парциальных каналов удовлетворяет условию зеркальной симметрии относительно λс = π/2, которое является более мягким, чем условие эквидистантного расположения каналов. Для последнего случая в сравнении с методом многополосной фильтрации эффективность данного метода как минимум вдвое хуже. В сочетании с другими способами многоканальной фильтрации данный способ позволяет успешно выполнять разделение каналов неравной ширины.

111 3.4. Декомпозиция передаточных функций многоскоростных цифровых фильтров Ранее рассмотренные методы одно- и многоканальной цифровой фильтрации с неизменяемым значением частоты дискретизации являются частным случаем многоскоростной ЦОС. Свое конкретное выражение многоскоростная ЦОС получает при выполнении конверсии частоты дискретизации (интерполяции и децимации), однополосных преобразований (включая трансмультиплексирование), квадратурно-зеркальной фильтрации и ряде других приложений [14, 15, 19]. Исключительно важную роль как в теоретическом, так и практическом аспектах многоскоростной обработки, играет полифазное представление передаточной функции фильтра (ППФ) и полифазная структура ЦФ (ПФС), впервые предложенная М. Беланже в работах [48,49]: L −1

H ( z ) = ∑ z −l H l ( z L )

(3.16)

l =0

Сопоставляя (3.16) с выражением (2.26) мы можем классифицировать ППФ как вариант параллельной декомпозиции общего вида, использующий в качестве слагаемых многополосные ПФ вида (3.6). Обратимся к наиболее простому случаю двухкратной конверсии частоты дискретизации. При L=2 полифазное представление z-преобразования сигнала y(n) на выходе ЦФ с передаточной функцией H(z) можно записать как: Y(z) = H(z) ⋅ X(z) = Y0(z2) + z-1Y1(z2) = = [X0(z2) ⋅H0(z2) + z-2 ⋅X1(z2) ⋅H1(z2)] + z-1 [ X1(z2) ⋅H0(z2) + X0(z2) ⋅H1(z2]

(3.17)

Выражение (3.20) получено при использовании для H(z) L=2 в (3.16) и полифазного представления для z – преобразования входного сигнала х(n): X(z) = X0(z2) + z-1X1(z2), где X0(z2) = ½ [X(z) + X(-z)], X1(z2) = z/2 [X(z) – X(-z)]. Как было сказано выше в подразделе 3.2 X(-z) соответствует z – преобразованию альтернированного сигнала ха(n) = (-1)n x(n).

112 Соответствующие спектральные и временные диаграммы приведены на рисунке 3.8. В случае интерполяции частота дискретизации входного сигнала вдвое меньше, чем частота дискретизации выходного сигнала. Благодаря такому соотношению частот спектр входного сигнала имеет зеркальную симметрию относительно точки λ=π : X(z) = X(-z). В результате имеем X(z) = X0(z2). Опустив в 3.17 слагаемые с X1(z) = 0 получаем: Y(z) = Y0(z2) + z-1Y1(z2) = X0(z2)⋅[H0(z2) + z-1⋅H1(z2)

(3.18)

Из выражения (3.18) следует, что для интерполяции достаточно иметь фильтр, работающий на более низкой частоте дискретизации входного сигнала. В случае децимации X(z) = X0(z2) + z-1⋅X1(z2), но выше приведенные соображения по симметрии применимы к Y(z): Y(z) = Y0(z2) поэтому: Y(z) = Y(z2) = X0(z2)⋅H0(z2) + z-2⋅X1(z2)⋅H1(z2). Следовательно, при децимации также можно обойтись фильтром, работающим на более низкой частоте дискретизации выходного сигнала. Возникающая за счет уменьшения частоты дискретизации симметрия повторения, в случае двухкратного уменьшения совпадающая с зеркальной, может быть задействована для понижения сложности вычислений. Сокращение вычислительной сложности находит отражение в изменении значения Fд, входящего сомножителем в формулы для показателя вычислительной сложности. ПФС является оптимальной структурой для многоканальной многоскоростной фильтрации. В самом деле обратившись к (3.10а) и (3.16) получаем H0(z2) = Hr(z2), z-1⋅H1(z2) = Hн(z2) поэтому, раскрывая (3.16) для двухканального разделения можно записать: Y1 ( z )  1 1 1   H 0 ( z 2 )  X ( z)   −1  =  2  Y z ( ) 1 1 − 2 z H z ( )    2  

(3.19)

113 X(Z)

0

X(n)

fq

fq

f

X0(Z2)

0

fq

f

fq

f

fq

f

0

n

0

n

0

n

B0(2n)

fq

f

B1(Z2)

0

n

B(n)

B0(Z2)

0

0

X1(2n)

B(Z)

0

n

X0(2n)

X1(Z2)

0

0

Xa(n) = (-1)n X(n)

X(-Z)

0

f

0

n

B1(2n)

fq

f

0

Рисунок 3.8

n

114 Реализация устройств двухканального разделения в соответствии с (3.19) на основе схем дифференциально-фазового типа после появления пионерской работы [50] неоднократно обсуждалась в литературе. Будучи по своей природе схемой фазокомпенсационного типа ПФС может быть реализована с использованием всепропускающих ПФ в качестве субфильтров Hl(zL) в (3.16) независимо от соотношения частот дискретизации и тем самым задействовать присущую этим ПФ симметрию для снижения вдвое числа умножений, выполняемых в слагаемых Hl(zL). Слагаемые, на которые расщепляется ПФ в (3.16), образуются группированием отсчетов импульсной характеристики в L чередующихся подпоследовательностей децимированных в L раз: H l ( z L ) = z −l

∞

∑ z −nl .

h(hL + l ).

(3.20)

n = −∞

Полученные в соответствии с (3.20) составляющие (″щепки″) имеют фазовые характеристики, совпадающие по модулю с периодом L. Уравнение связи l-го слагаемого с расщепляемой исходной ПФ H(z) можно получить из (3.20). За основу возьмем соотношение z – преобразований исходной - H(z) и децимированной в L раз последовательностей - Hq(zL) [52]: Hq (zL ) =

1 L −1 H ( zW k ), ∑ L k =0

где W = exp (-j⋅2π/λ). Применяя это соотношение, в совокупности с теоремами о сдвиге последовательности и умножении на экспоненциальную последовательность [9, 23] к (3.20) получаем: 1 L −1 k H l ( z ) = z ∑ W H ( zW k ) L k =0 L

l

(3.21)

Целесообразность использования ППФ и ПФС в схемах с преобразованием частоты дискретизации объяснима тем, что при величине, равной отношению преобразуемых частот дискретизации, каждый отсчет сигнала более высо-

115 кой частоты дискретизации формируется или обрабатывается только одним из L слагаемых. При этом каждое из слагаемых работает на более низкой частоте дискретизации. Это положение для L=2 наглядно иллюстрирует выражение (3.18). Если L кратно отношению преобразуемых частот, то каждое слагаемое в (3.16) обладает ПФ гребенчатого вида Hl(zL) = Hl(zР), где Р= LFд1/Fд2 – показатель кратности. Для реализации эквивалента линии задержки требуется (Р-1) добавочных ячеек памяти на каждое звено. Поскольку величина полосы пропускания частотных характеристик для ПФ, используемых для интерполяции и децимации по порядку величин равна 0(1/L), то для L > 10 эти ПФ можно отнести к разряду узкополосных. Факторизованное представление таких ПФ в виде (2.20): H(z) = B(zR) ⋅ (G(z) является мощным средством для эффективной реализации ЦФ. Для определения возможности использования факторизации в сочетании с ППФ подставим (2.20) в (3.21):

1 L−1 lk H l ( z ) = z ∑ W B ( z RW RK )G ( zW k ). L k =0 L

l

При R=L Hl(zL) = B(zL) ⋅G(zL) и соответственно: L −1

H ( z ) = B ( z )∑ z −l Gl ( z L ) L

(3.22)

l =0

Если L – четное, то при R = L/2: L 1 L −1 lk H l ( z ) = z ∑ W G ( zW k ) B ( z 2 ( −1) K ). L k =0 L

l

Подставив полифазное представление для B(zL/2) = B0(zL) + z-L/2 ⋅B1(zL) в (3.22) получаем: L

L

L

H l ( z ) = B0 ( z )Gl ( z ) + z

L

2 B (z L )zl l

1 L −1 (l + L / 2)k W G ( zW k ). ∑ L k =0

116 Используя стробирующие свойства конечной суммы WK окончательно получаем, интерпретируя сдвиг как функцию циклическую: Hl(zL) = B0(zL) ⋅Gl(zL) + z-L/2⋅B1(zL)⋅Gl+L/2 (zL)

(3.23)

Таким образом L −1

L −1

H ( z ) = B0 ( z L )∑ z −l Gl ( z L ) + z L / 2 Bl ( z L )∑ z −l Gl + L / 2 ( z L ) l =0

(3.24)

l =0

Cтруктурные схемы интерполяторов при L=4, соответствующие (3.24) приведены на рисунке 3.9. В схеме рисунка 3.9 б ППФ фактически использовано для сглаживающего сомножителя G(z). ППФ для B(z2) нерекурсивного типа без снижения эффективности можно заменить, например, на прямую форму ПФ. Согласно принципам построения ПФС [15] в местах, где фактически происходит изменение частоты дискретизации, элементы задержки и суммирования заменяются элементами временной коммутации. Элементы ПФС, расположенные на выходе схемы для интерполяторов, и на входе для дециматоров, в соответствии со сделанными выше замечаниями имеют ПФ гребенчатого вида. В схеме рисунка 3.9 а Gl (z2), а в схеме рисунка 3.10б B0(z4) и B1(z4). Разложение выполняемых в соответствии с (3.24) открывает возможность ″извлечь″ ПФ ″полуполосного″ вида и тем самым снизить затраты на реализацию ЦФ в целом, несмотря на избыточное представление для Gl(zL). Схемы, получаемые согласно (3.24), находят применение в виде гибридных ЦФ [41], у которых B(zL) = 1/H2(zL) и ПФС в многоканальной фильтрации, выполняемой с преобразованием частоты дискретизации, нашли приложение для построения однородной гребенки фильтров, ПФ которых получается частотным сдвигом низкочастотной ПФ базового фильтра. Как впервые было показано М. Беланже в работе [49] гребенка полосовых фильтров путем декомпозиции и последующего перегруппирования может быть преобразована в комбинацию цепи ПФС для базового фильтра и процессора БПФ, объединяющего все сдвигающие множители.

117

f =1/T

G0(Z4) f =1/4T X(Z4)

4

f =1/2T

B0(Z )

G1(Z4)

B1(Z4)

G2(Z4)

Y(Z)

Z-2

G3(Z4)

a)

G0(Z4)

f =1/T

G1(Z4)

B0(Z4) Z-2

G2(Z4)

G3(Z4)

б) Рисунок 3.9

B1(Z4)

Y(Z)

118 Такого рода декомпозиция возможна благодаря периодичности значений комплексной экспоненты и ее продуктивность тем выше, чем выше степень группы симметрии, описывающей совокупность значений этой экспоненты. Заменить процессор БПФ на процессор дискретного косинусного преобразования (ДКП) возможно, когда результирующие ПФ парциальных каналов обладают свойством эрмитовой симметрии: Hn(ejλn) = Hnx (e-jλx),

(3.25)

(х – знак комплексно-сопряженных величин), что означает наличие у соответствующих им фильтров только действительных коэффициентов [23]. Особо отметим, что подобного рода структуры находят применение в многоканальной фильтрации даже если преобразование частоты дискретизации не производится [51]. Комбинирование цепей ПФС и процессоров ДКП в сочетании с факторизацией ПФ базового фильтра для целей построения однородной гребенки фильтров рассматривалось в [50, 55]. Приведем основные результаты из этой работы, ограничиваясь рассмотрением

только построения интерполятора, поскольку вследствие свойства

транспозиции сигнальных графов [23] случай децимации может быть получен путем обращения структуры интерполяторов [15]. В работах по однородным многоканальным фильтрам, например в [45] показано, что z-преобразование Xi (zL/2) можно записать в виде: L −1

Y ( z ) = ∑ z −l H l (− z L )Vl ( z L / 2 ),

(3.26)

l =0

и

Vl ( z

L/2

)=

kl + k

∑ H l (− z L / 2 ) cos λi l ,

(3.27)

i = kl

где Vl(zL/2) – l –ый выходной сигнал К×L –точечного ДКП; (2 i + 1)π - значения центральных частот парциальных каналов; L Hl (-zL) – альтернированная версия Hl (-zL). λi =

119 Полученная по базовому низкочастотному прототипу, факторизированному согласно (2.20) ПФ полосового фильтра, с точностью до постоянного множителя равна:

H l ( z ) = H ( zв jλ i ) + H ( ze − jλi ) = B ( jz L / 2 )G ( zв jλi ) + B ( − jz L / 2 )G ( ze − jλi ) = L −1

= B0 (− z ) ∑ z L

−l

l =0

L

cos λi Gl ( − z ) +z

−L / 2

L −1

Bl ( − z ) ∑ z − l cos λi (l + L / 2)Gl ( − z L ) (3.28) L

l =0

Группируя слагаемые, соответствующие различным i для получения членов вида (3.27) получаем с учетом (3.28) выражение аналогичное (3.26):

[

L −1

]

Y ( z ) = ∑ z −l Gl (− z L )V0,l ( z L / 2 ) + z − L / 2 Gl (− z L )V1,l + L / 2 ( z L / 2 ) , l =0

где Vln ( z

L/2

)=

k1 + k

∑ X k0 (z

L/2

i = kl

) cos λi l =

(3.29)

kl + k

∑ X k ( z L / 2 ) Bn (− z L ) cos λi l ,

i = kl

для n=0,1. Изменив в (3.32) порядок выполнения операций имеем: L −1

Y ( z ) = B0 (− z ) ∑ z Gl (− z )Vl ( z L

−l

L

L/2

)+ z

−L / 2

l =0

L −1

Bl (− z ) ∑ z − L Gl (− z L )Vl + L / 2 ( z L / 2 ) L

l =0

(3.30) Два варианта построения структурных схем по выражениям (3.29) и (3.30) изображены соответственно на рисунках 3.10 а и 3.10 б. В первом варианте, который можно назвать схемой с предварительной фильтрацией, группируются члены, обрабатываемые одними и теми же звеньями полифазной цепи сглаживающего фильтра – Gl(-zL/2). Звенья интерполируемого фильтра Bn(-zL) работают на низкой частоте дискретизации входных сигналов – 2Fд / L. Во втором варианте, как видно из (3.30), группируются члены, обрабатываемые одними и теми же звеньями Bn(-zL), работающими на высокой частоте дискретизации группового сигнала Fд. Эту схему назовем схемой с гребенчатым фильтром.

120

G0(Z–L)

0 B0(-ZL)

K1

1

B0(-ZL)

K1+1

2

-

G1(Z–L) -

-

G2(Z–L)

ДКП KxL/2 L

K1+K-1

B0(-Z )

-

L/2-2

-

GL/2-2(Z–L)

B0(-ZL)

K1+K

L/2-1

-

GL/2-1(Z–L)

X1(ZL/2)

-

X2(ZL/2) XK-1(ZL/2)

–L

L/2

XK(Z )

0

–L/2

GL/2(Z )

(Z

)

B1(-ZL)

Z-L/2

K1

1

+

GL/2-1(Z–L)

(Z–L/2)

B1(-ZL)

(Z–L/2)

K1+1

2

+

GL/2-2(Z–L)

(Z–L/2)

L/2-2

+

GL-2(Z–L)

(Z–L/2)

+

GL-1(Z–L)

(Z–L/2)

ДКП KxL/2 B1(-ZL)

(Z–L/2)

K1+K-1

B1(-ZL)

(Z–L/2)

K1+K

L/2-1

Рисунок 3.10 а) – Структурная схема алгоритма с предварительной фильтрацией

Y(Z)

121

Интерполятор 1 L

G0(-Z ) +

G1(-ZL) + L

GL/2-2(-Z )

B0(-ZL)

GL/2-1(-ZL)

+

GL/2(-ZL) X1(ZL/2)

0

K1

X3(ZL/2)

K1+1

+ GL-2(-ZL)

K1+2

ДКП KxL/2

XK-1(ZL/2) XK(ZL/2)

K1+K-1 K1+K

Y(Z) +

1

L/2

X2(Z )

GL/2+1(-ZL)

Интерполятор 2

L/2-2

L/2-1

Z –L/2

GL-1(-ZL)

•

Рисунок 3.10 б) – Структурная схема алгоритма с гребенчатым фильтром

B1(-ZL)

122 Структурная схема первого варианта показана на рисунке 3.10 а, она описывается выражением, полученным из (3.29):

Y ( z) =

∑ z −l Gl (− z L ){Vl 0 ( z L / 2 ) − z −L / 2V( L / 2−l )1 ( z L / 2 )}−

L / 2−1 l =0

{

}

(3.31)

− z − L / 2 Gl + L / 2 (− z L ) V( L / 2−l )0 ( z L / 2 ) + z − L / 2V L1 ( z L / 2 )

На рисунке 3.10 б изображена схема, полученная из (3.30): L

Y ( z ) = B0 ( − z ) + z L / l Bl (− z L )

∑ z −l [Gl (− z L )Vl ( z L / 2 ) + z − L / 2 Gl + L / 2 (− z L )Vl + L / 2 ( z L / 2 )] +

L / 2 −1

l =0 L / 2 −1

∑ z −l [Gl (− z L )Vl + L / 2 ( z L / 2 ) + z − L / 2 Gl + L / 2 (− z L )Vl ( z L )].

(3.32)

l =0

Структурные схемы рисунка 3.10 изображены с учетом зеркальной нечетной симметрии значений функции косинуса: cos (L-l)λi = -cos lλi cos (l+L/2)λi = -cos (L/2 –l)λi , благодаря которой вместо К×L точечного ДКП достаточно вычислять К×L/2 точечное ДКП. Обращаясь к анализу показателей сложности вычислений в многоскоростных ЦФ, еще раз подчеркнем, что полнота использования специфики этих фильтров, которая заключается в возможности уменьшения скорости выполнения арифметических операций, требует внесения изменений в структуру ЦФ. Еще в основополагающей работе [52] отмечалось, что прямая форма реализации интерполирующих ЦФ позволяет выполнять умножения в темпе поступления входных отсчетов только в нерекурсивных ЦФ. Прямая или каскадная формы реализации рекурсивных ПФ такую возможность предоставит не могут. Стремление использовать зеркальную симметрию коэффициентов линейно-фазовых не рекурсивных ЦФ, как показано в работах [15,53] также приводит к модификации структуры ЦФ.

123 Показатель сложности вычислений не рекурсивного ЦФ, реализованного по структуре прямой свертки применительно к конверсии частоты дискретизации, совпадает по своей форме с (1.47): CB = NFд2 ⋅(K+γc(σ+1) - М(β) /J),

(3.33)

где J = Fд2/Fд1 - коэффициент конверсии частоты дискретизации, Fд1 - более низкое значение частоты дискретизации; Fд2 - более высокое значение частоты дискретизации. Для полифазных структур показатель сложности вычислений можно получить, просуммировав показатели отдельных звеньев (″щепок″). С реализационной точки зрения целесообразно обеспечить максимальную унификацию отдельных звеньев, выполнять все звенья с одинаковыми показателями СВ0, тогда для фильтра в целом получаем: L −1

C B = ∑ Cb,l = LC B0 l =0

Комбинированная ПФС, получаемая в соответствии с (3.24), применительно к ПФ нерекурсивного типа обладает в первом приближении такой же эффективностью, как и в случае односкоростных фильтров, рассмотренном в подразделе 2.2 и может быть рекомендована для построения многоскоростных ЦФ высокого порядка N>100. Полифазные структуры для рекурсивных ПФ могут быть разбиты на две классификационные группы. В первую необходимо отнести ПФС, полученные из ПФ, которые представимы в форме, где знаменатель содержит только степени zL. Впервые такие ПФ рассмотрел М. Беланже, а затем они были усовершенствованы рядом авторов. В данном подразделе они рассмотрены с позиции факторизации ПФ и записываются в форме (3.25). Фактически ППФ затрагивает только полином числителя, отсюда общее название ЦФ этой группы – гибридные или рекурсивно - нерекурсивные ЦФ [41,54]. С учетом последнего замечания выражение для показателя вычислительной сложности можно записать в форме (3.33).

124 Ко второй группе принадлежат ПФС, получаемые суммированием по (3.19) звеньев, каждое из которых представляет собой ЦФЦ. Поскольку свойства этого класса фильтров во многом аналогичны I-полосным НЦФ /78/, он получил название L-полосные РЦФ. Оптимальный синтез L-полосных РЦФ приводит к получению ПФ, объединяющих звенья Hl(zL) разного неравного между собой прядка. Использование зеркальной симметрии числителя и знаменателя ПФ для ЦФЦ снижает значения показателя сложности вычислений в этом случае. Рассмотрев аспекты показателей вычислительной сложности, связанные со структурой фильтров, обратимся к тем моментам, которые связаны с процессом синтеза ППФ, с аппроксимацией характеристик ЦФ. Основной чертой, объединяющей все виды многоскоростных ЦФ, является наличие. помимо полосы пропускания и полосы задерживания полос безразличия [48,53]. Наличие этих полос делает ПФ любого интерполирующего или децимирующего фильтра многополосной. Благодаря этим полосам принципиально возможно использование L-полосных РЦФ. Если не учитывать полосы безразличия, то ПФ интерполирующего или децимирующего фильтра может быть рассмотрена как ПФ обычного фильтра нижних частот. Оценка порядка низкочастотного НЦФ производится по обычной методике. Благотворное влияние полос безразличия сказывается в уменьшении порядка аппроксимирующей функции по сравнению с такой оценкой. Влияние полос безразличия заметно, когда их полная ширина составляет существенную долю всей полосы. Некоторые количественные результаты для НЦФ получены в [36]. Для гибридных ПФ методология синтеза оптимальных ПФ разработана в работе [49] и далее усовершенствована в [41,54]. Оценку показателей вычислительной сложности можно получить, развивая идеи подхода, предложенного в [41]. Основная идея работы [41] состоит в том, что Nr>N3, и для оценки объема вычислений достаточно оценить величину Nr. Оценку Nr предлагается получить с учетом того, что декомпозиция вида (3.25) позволяет разделить между

125 составляющими ПФ оптимального фильтра выполняемые функции. В первом приближении числитель H1(z) должен обеспечивать приемлемый уровень затухания аs в полосе задерживания. Обеспечение заданного уровня пульсаций в полосе пропускания δ1 (неравномерности ∆а дБ) выпадает на долю знаменателя H2(zL), корректирующего влияние H1(z) в полосе пропускания. На рисунке 3.11 а показан типичный вид АЧХ оптимальной ПФ гибридного ЦФ в целом, получаемой в результате итерационной процедуры синтеза. Для больших значений L>5 по своим основным свойством полином H1(z), все нули которого располагаются на единичной окружности, близок z-преобразованию окна Дольфа-Чебышева. В работе [41] порядок числителя оценивается как арифметическое среднее Nrb – оценки сверху и Nrн – оценки снизу. Последние получены по обычной методике для полиномов Чебышева [9].

N rb = 2 X0 =

arcch(1 / δ 2 ) , arcch( X p )

3 − cos λ 2 , 1 + cos λ 2

N rH = Xp =

arcch(1 / δ 2 ) , arcch( X 0 )

X 0 +1 X −1 cos(λ2 − ∆λ ) + 0 , 2 2

∆λ = 2π∆f – ширина переходной полосы по единичному уровню. Благодаря узкополосности ПФ числителя и эффекту усреднения оценка 1/2 ⋅ (Nrb + Nrн) получается довольно точной в широком диапазоне параметров. Порядок ПФ для N3 оценивается выражением [4]: N3 ≅ 1,08 lg [2/δ2 √δ1] lg [4/π∆f Sin f1] .

(3.34)

Если непосредственно использовать (3.34), то имеем для N3 оценку сверху N3b, поскольку она получена для условия N3 = Nr, а не фактическому соотношению Nr> N3. Благодаря последнему условию требования к знаменателю, должны быть понижены по сравнению с (3.34). Подставив в (3.34) вместо 1/∆f величину L/∆f , получаем оценку снизу N3. Данные, характеризующие плотность оценок N3b / N3н, иллюстрируются графиками рисунка 3.12.

126

|Hr(2πf)| 1

0

f1

0,25

0,5

f

а) |H3(2πf)| -1 1

0

f1

0,25

0,5

f

б) |H(2πf)| 1

0

f1 f2

0,25

в)

Рисунок 3.11

0,5

f

127

N3B/N3H

N3B/N3H

N3B/N3H f1 =0,01

2

2

f1 =0,05

2

L=4 f1 =0,1 f1 =0,05 1

1 0,005

0,01

0,05

0,1 f1

f1 =0,005 1

2

f1 =0,01 1 10 ∆f⋅10-3

5

f1 =0,005 1

2

-3 10 ∆f⋅10

5

Рисунок 3.12 – Графики плотности оценок N3В/N3Н Таблица 3.1 Сводная таблица оценок ∆f 3,75⋅10-2 3,75⋅10-2 3,75⋅10-2 3,75⋅10-2 5⋅10-3 25⋅10-3

f1 0,10625 0,10625 0,10625 0,10625 0,095 0,0225

δ1 1,15⋅10-4 -4

3,182⋅10

7,2⋅10-4 1,44⋅10-4 2,5⋅10-2 5⋅10-2

δ2 6,3096⋅10-4 4,217⋅10-4 2,985⋅10-4 1,995⋅10-4 3,162⋅10-4 5⋅10-3

L 4 4 4 4 5 20

NrH/2 8,617 9,047 9,416 9,847 10,09 38

NrP/2 12,79 13,43 13,98 14,62 32,32 87,86

½ NrH+Nr

21,4 22,47 23,39 24,46 42,41 125,86

N3P 3,45 3,41 3,39 3,6 3,5 3,78

N3B 7,81 7,73 7,71 7,74 8,38 6,51

Nr/Ns 22/4 23/4 24/4 25/4 36/4 116/4

N 83 82 82 82 373 653

Э=N/N2+N3

3,19 3,04 2,93 2,73 7,94 5,03

128 Для ряда примеров оптимальных гибридных ЦФ из [41] были рассчитаны оценки по описанной выше методике. Полученные результаты сведены в таблицу 3.1, где для сравнения приводятся оценки N-порядков нерекурсивных ПФ, удовлетворяющих тем же параметрам. Анализ полученных результатов подтверждает хорошее совпадение фактических значений Nr с оценкой 1/2 ⋅ (Nrb +Nrн). Истинное значение N3 оказывается значительно ближе к N3н, чем к N3b. Величина N3b довольно точно совпадает с величиной (Nrb +Nrн)/2L. Таким образом можно рекомендовать в широком диапазоне параметров, представляющих практический интерес использовать N3 = (N3н +1). 3.5. Выводы по главе По материалам главы 3 можно сформулировать следующие выводы: 1. В многополосной цифровой фильтрации использование факторизации ПФ групповым образом преобразует каскадную схему в древовидную. По отношению к виду составляющих ее элементов древовидная структура универсальна – она допускает использование любых видов ЦФ: минимально-фазовых, гибридных рекурсивно - нерекурсивных и так далее. 2. Наиболее эффективной для многополосной фильтрации оказывается пирамидальная структура, заключающая в себе наивысшую степень симметрии.3. Совместное использование факторизации и параллельной декомпозиции для организации дополняющего выхода обеспечивает усиление эффективности метода многополосной фильтрации. 4. Если расположение парциальных каналов обладает свойством зеркальной симметрии, то разложив матрицу фильтрации можно выделить матрицу, содержащую только тривиальные операции и тем самым уменьшить вычислительную сложность алгоритма разделения. 5 Обладая (в случае частотного разделения каналов меньшей эффективностью) по сравнению с многополосной фильтрацией, метод разделения на ос-

129 нове устройств трехканального разделения обеспечивает большую гибкость, например, при разделении каналов неодинаковой ширины. При увеличении числа разделяемых каналов от трех до ∞ получаемый выигрыш уменьшается с трех до двух раз. 6. Полифазная структура представляет собой вариант использования параллельной декомпозиции общего вида, в которой в роли слагаемых выступают многополосные гребенчатые фильтры. В схемах с преобразованием частоты эти слагаемые работают на низкой частоте дискретизации. 7. Однородная гребенка полосовых фильтров, преобразованная путем декомпозиции и перегруппирования в комбинацию полифазной цепи и процессора ДПФ, реализуется тем эффективнее, чем выше обеспечивается тип симметрии для составляющих. 8. Сочетание полифазного представления с факторизацией позволяет усилить эффективность результирующих схем как в случае многоскоростной обработки, так и в случае многоканальной фильтрации. 9. Полученные выражения позволяют оценить вычислительную сложность гибридных рекурсивно – нерекурсивных фильтров и определить условия целесообразного использования рассмотренных в главе 3 схем.

130 Глава 4.

РАЗРАБОТКА И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМ И УСТ-

РОЙСТВ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ ЭФФЕКТИВНЫХ ПО КРИТЕРИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ

4.1. Разработка методики проектирования устройств цифровой обработки сигналов на основе декомпозиции их системных функций Технические требования к проектируемому устройству ЦОС обычно отображают потребности всего создаваемого комплекса, в который входит проектируемый объект. По ширине охвата требования можно разделить на общие требования интегрального вида, которые относятся ко всему классу решаемых задач, и требования, специфические для каждой конкретной задачи. Отправной точкой в любой методике проектирования служит анализ исходных данных. В результате анализа должна быть установлена полнота исходных данных, их достаточность для формализации и перехода к основным процедурам синтеза. Затем следует весьма ответственный момент в рассматриваемой методике: проводится изучение системных функций и выбирается та системная функция, для которой должны быть изучены виды симметрии, присущие ей, включая возможные ″потенциальные″ виды. Термин системная функция обобщает такие характеристики, как передаточная функция, импульсная характеристика, спектр сигнала. Далее определяется тип декомпозиции системной функции на составляющие, позволяющий использовать для последующей группировки и объединения такие компоненты, симметрия которых описывается группами наибольшего порядка, разрабатывается структурная схема устройства или блок схема алгоритма. В соответствии с которыми производится синтез составных частей, элементов. Важное преимущество ЦОС заключается в возможности практически полного имитационного или математического моделирования проектируемого

131 объекта на ЭВМ. Моделирующие программы начинают создаваться параллельно выполнению процедур синтеза составных частей. Проверка качества полученного решения также выполняться с использованием моделирующих программ. В случае неудовлетворительного решения происходит возврат к этапу выбора декомпозиции и пересмотру избранного вида декомпозиции и повторному выполнению синтезирующих процедур, пока требования критерия не будут удовлетворены. Если задача предусматривает возможность получения более одного удовлетворительного решения, то из них необходимо выбрать по минимуму показателя СВ оптимальный вариант решения. В конце выполняется этап реализации, предусматривающий активное использование программ тестирования и диагностики. Блок-схема алгоритма проектирования, соответствующая поэтапному ее выполнению, рассмотренному выше, приведена на рисунке 4.1. Перейдя к более детальному поэтапному рассмотрению методики, начиная с ввода внешних параметров. Как уже отмечалось, номенклатура вводимых параметров должна включать как общие для всех рассматриваемых задач параметры, так и специфические параметры для каждой конкретной задачи. Среди требований общего плана одно из главных требование реального масштаба времени, выражаемое через параметр допустимой величины, вносимой в процессе обработки задержки tздоп. В зависимости от необходимости обеспечения режима реального масштаба времени выбирается, способ реализации программный или аппаратный. Определяются: - скорость передачи и обработки данных по системной магистрали; - особенности организации конвейерного режима; - максимальный размер обрабатываемого блока данных при блочной организации.

132 Ввод внешних параметров

Анализ и формализация исходных данных

Классификация передаточной функции. Выбор типа ее декомпозиции

Выполнение декомпозиции

Составление структурной схемы

Разработка моделирующих программ

Синтез составных частей

неудовлетв.

Проверка качества решений удовлетвлетворено Выбор оптимального решения

Разработка тестов и вспомогательного оборудования

Реализация

нет

Тестирование да Документирование

Рисунок 4.1 – Блок-схема алгоритма проектирования

133 Обязательно учитываются требования на условия сопряжения и взаимодействия объекта с другими частями комплекса, описанию входного воздействия, учету особенностей организации смежных функций в комплексе. Для программной реализации должен быть конкретизирован тип используемых технических средств вычислительной техники с указанием основных параметров. Если применяются микропрограммные средства, то важно рассмотреть информацию по: структуре внутренней шины, объему доступной внутренней памяти, адресному пространству, то есть объему внешней адресуемой памяти, средствам отладки и программирования. Для аппаратной реализации должны быть заданы основные ограничения по элементной базе и допустимым значениям массогабаритных показателей, энергопотреблению, характеристикам надежности, определен элементный базис (БИС, спецпроцессоры и т.д.) Наличие альтернатив при выборе компонент определяет необходимость согласования структуры или блок-схемы алгоритма со структурными особенностями организации процессора, с его архитектурой. Методология выбора предполагает выполнение: - анализа требований системы, устройства; - эскизное составление функционального описания структуры; - составление таблицы с перечнем характеристик, отображающих требования системы; - заполнение матрицы согласования параметров; - выбор наилучшего варианта по максимальному числу баллов. При заполнении матрицы согласования параметров в [56] рекомендуется уровни значимости требований выбирать следующим образом: - слабая значимость 8 баллов; - нормальная значимость 10 баллов; - сильная значимость 12 баллов.

134 Специфические параметры изменяются в зависимости от конкретного вида задачи. Они характеризуют особенности требований в частотной и временной областях. Так, например, если проектируется устройство фильтрации помех, то должны определяться его селективные свойства через задание основных требований помехозащищенности, параметров корреляционной функции устройства. В этом случае требования к ФЧХ обычно не предъявляются. На этапе анализа и формализации исходных данных вся совокупность требований, общих и специфических внешних параметров должна быть отображена в ограниченный набор характеристик и параметров, необходимых для выполнения процедур синтеза. Прежде всего устанавливается целевая функция или критерий оптимальности для аппроксимационной задачи синтеза. Решением задачи является близкая к y0(х) – идеальной функции функция y(h1, …, hn, x), в которой hi – коэффициенты или параметры аппроксимации. В качестве типовых критериев задач синтеза выступают - минимаксный критерий в случае взвешенной Чебышевской аппроксимации Е1 ( х ) = min max || W ( x )[ y (hi , ... , hn , x ) − y0 ( x )] ||L 2 [ − x, x ]

(4.1)

hi − x ≤ x ≤ x

где W(x) – взвешивающая функция погрешности приближения, || W ( x )[ y (hi , ... , hn , x ) − y 0 ( x )]|| L2 [− x, x] – символ нормы в пространстве метрики,

L2 - критерий минимума среднеквадратического отклонения E2 ( x ) = min || y (hi , ... , hn , x ) − y0 ( x ) ||L 2 [ − x, x ] = hi

x

1 = x ∫ W ( x )[ y (hi , ... , hn , x ) − y0 ( x )]2 dx 2 −x

(4.2)

В конкретных приложениях эти критерии модифицируются применительно к условиям задачи. Имеются, в частности, модификации, обобщающие

135 понятие взвешивающей функции, таким образом, что в результате действие критериев ограничивается отдельными подинтервалами значений аргумента. Популярным критерием в целом ряде оптимизационных задач [58, 81] выступает следующий показатель: λc

E

D 2

(λ c ) =

∫

H (λ ) d λ 2

−λc

π

∫π H (λ )

2

dλ

−

Возможна постановка оптимизационной задачи, в которой норма соответствующей метрики выступает в роли ограничения. Так в работе [57] сформулирована проблема аппроксимации в форме классической изопериметрической задачи:

max H (0 ) при H (λ ) ≤ ε для λ ≥ λc . hi

Зачастую получение и использование инженерных решений связано с квазиоптимальными приближениями в смысле избранного критерия и его модификаций. В этой связи важно определить взаимосвязь между различными видами аппроксимации. Между взвешенным Чебышевским и наименьшим среднеквадратическим многочленными приближениями существует взаимосвязь:

ρ (hi ,..., hn , x ) – многочлен, минимизирующий норму | ρ (hi ,..., hn , x ) − y 0 ( x ) | P dx

(4.3)

При р → ∞ он стремится к многочлену минимизирующему min max | ρ (hi ,..., hn , x ) − y0 ( x ) | W ( x ), при W (x ≥ 0) − x≤ x≤ x

Базируясь на этой взаимосвязи, ввиду сложности решения оптимизационных задач с критериями (4.1) часто используют квазиоптимальные решения, удовлетворяющие (4.3) с ρ > 2. Примеры имеются в работах [9,30].

136 Если, в силу каких-либо причин, формализация содержательной постановки задачи затруднена, то можно рекомендовать использование критерия (4.2). Опытным путем установлено, что применение метода Чебышева в меньшей степени искажает уже достигнутое приближение по методу наименьших квадратов, чем применение критерия наименьших квадратов искажает приближение по Чебышеву. Далее, в зависимости от постановки задачи, производится, определение интервала допустимых значений или конкретных величин основных рабочих параметров, используемых в процедурах синтеза. К числу этих параметров в задачах цифровой фильтрации относятся: - номинальное значение частоты дискретизации - Fд , Гц. Fк , к = 1…к. Fд - коэффициент преобразования частоты дискретизации (интерполяции - характеристики расположения каналов фильтрации f oк =

или децимации) - R. Затем для каждого канала фильтрации определяются параметры ПФ (рабочие параметры АЧХ и ГВЗ (ФЧХ)). В ряде случаев, дополнительные требования задаются в форме ограничений, например ограничения на характер поведения АЧХ или ГВЗ в пределах полосы пропускания: требования максимальной гладкости или монотонности АЧХ или ГВЗ. Ограничения могут адресоваться к поведению временных харакn

теристик: вводятся требования к переходной характеристике ∂(n ) = ∑ h(i ) вида i =0

∆∂ (n ) < Gдоп , накладываются ограничения на значения некоторого подмножества коэффициентов ИХ, как это делается в Найквистовских фильтрах [58]. Задание вышеперечисленного набора параметров позволяет охватить широкий круг практически важных задач.

137 Например, если необходимо решить задачу синтеза ПФ по максимизации энергии, содержащейся в заданной полосе частот (0, λc): λс

max ∫ | H (λ ) | 2 dλ , 0

то эту задачу можно сформулировать как задачу синтеза функции сглаживающего окна, определив согласно результатам подраздела 2.4 величину аs дБ и сняв требования к величине ∆а, поскольку максимизация энергии приводит к колоколообразным характеристикам АЧХ в “переходной полосе”. Произведя выбор вида реализации, установив его основные технические характеристики, определив номенклатуру комплекса технических средств или элементарной базы, архитектуру процессора, можно внести конкретизацию в значения, которые принимают основные весовые коэффициенты, характеризующие показатели вычислительной сложности алгоритмов и устройств. В соответствии с материалом подраздела 1.3 требуется определить: Nб – число дополнительных ячеек в буферной памяти, необходимое для организации конвейерного режима;

γс – относительная сложность выполнения операции суммирования по сравнению с выполнением операции хранения-пересылки;

σ - относительная сложность операции умножения по сравнению с операцией суммирования. Для численного расчета значений вышеприведенных параметров можно рекомендовать упоминавшуюся ранее методологию составления матрицы соглашения [56], по правилам, описанным в этом подразделе выше, задается удельный вес следующих характеристик: - площадь кристалла (число логических вентилей); - потребляемая мощность; - время выполнения операции; - показатели надежности;

138 - простота контроля. В зависимости от требований, предъявляемых системой, устанавливаются уровни значимости каждого из коэффициентов. Так в работе [20] приводятся данные, из которых ясно, что для В-битого слова число логических вентилей равно ОЗУ – В

АЛУ – 16В

Умножитель

Мультиплексор

10В2 + 30В + 80

4В +3

В безразмерном виде эти характеристики, вместе с характеристикой быстродействия и потребляемой мощности для 12-ти разрядного слова приведены в таблице 4.1. Таблица 4.1 Сравнительная сложность основных вычислительных операций Наименование Время Потребляемая показателя Число логичемощность ских вентилей выполнения Наименование операции Хранение-пересылка

1

3

1

Сложение-вычитание

16

1

12

Умножение

150

9

100

Проведенные шаги позволяют формализовать исходные данные. Формализованное представление исходных данных кладется в основу классифицирования системной функции и последующего выбора вида ее декомпозиции, учитывающее ограничения накладываемые условиями задачи и обеспечивающей наименьшее из возможных значений показателя вычислительной сложности. Классифицирование выполняется по максимально достижимому для заданных рабочих параметров типу симметрии ПФ или ИХ, включая скрытые «потенциально» возможные типы симметрии. Указанный выбор выполняется путем проверки условий целесообразности для конкретных видов декомпозиции, разлагающих для последующей груп-

139 пировки и объединения системную функцию на компоненты, группы симметрии которых имеют наибольший показатель и обеспечивающий наименьшую эскизную оценку показателя сложности вычислений. Все исследованные виды симметрий систематизированы и сведены в таблицу 1.2. Из таблицы непосредственно можно проследить уменьшение показателей вычислительной сложности за счет сокращения числа различающихся между собой коэффициентов фильтра при наличии в его системных функциях симметрии. В таблицу 4.2 сведены рассмотренные в разделах 2 и 3 способы декомпозиции системной функции, в качестве которой рассматривается передаточная функция или импульсная характеристика в зависимости от вида используемой симметрии. Обозначение │Н(λ)│> А для полосы частот ∆λ < а служит выражением свойства узкополосности ПФ, а d | H (λ ) | < S 0 - свойства низкой чувствительности в этой полосе. dh(n) Этап выполнения декомпозиции включает в себя: - отыскивание наилучшего сочетания, комбинации отдельных видов декомпозиции; - определение параметров декомпозиции; - распределение норм, допусковых значений рабочих параметров между отдельными элементами. Использование комбинации отдельных видов декомпозиции позволяет добиться усиления положительного эффекта. Так, например, в древовидной структуре, реализующей метод многополосной и многоуровневой фильтрации, для получения пары комплиментарных ПФ можно использовать параллельную декомпозицию. В параграфе 3.3 была показана высокая эффективность структуры, объединяющей полифазную декомпозицию с факторизацией ПФ. Руководящее правило сохраняется при этом прежним: нужно задействовать наивысшие типы симметрии.

140 Способы декомпозиции системных функций ЦФ Таблица 4.2 № п/п

1 1

2

3

Вид декомпозиции

2

Наивысший тип симметрии элементов декомпозиции 3

Факторизация типа многополосный фильтринтерполятор

DR

Факторизация типа гибридный фильтр

СR

Факторизация типа префильтр- корректор

D1S2(i) DRSL(i)

Ограничение Передаточная функция

Импульсная функция

4

5

B( Z R )G ( Z )

h( n) = hB

n * hG (n) R

∗ -операция свертки

П (1 − 2 cosθ 2 M

i =1

−1

+ Z −2

Условия целесообразности Физические

6 ∆fR ≈ ∆f G >> ∆f | H (λ ) |> A 2π ∆λ ≤ R | H (λ ) |> A 2π ∆λ ≤ R

)

P( Z R )

H П (Z ) H к (Z )

h(n) = hП (n) * hк (n)

∗ -операция свертки

h Л ( n) = 2 − l + 2 − n ,

l,n < 4

H П (λ ) = П C (λ ) i =0

Примеры областей применения

7 Узкополосные НЦФ высокого порядка

Интерполирующие и децимирующие ЦФ, Узкополосные полосовые фильтры Реализация ЦФ при недостаточной вычислительной мощности процес-

141 С(λ) – круговые полиномы 4

5

Параллельная когерентная

Параллельная дифференциально фазовая

D2S2(i)

[A(λ ) + B(λ )e ] − jλN

arg A(λ) = arg B(λ)= = λN S2(i)

− jα ( λ )

j +1

Полифазные

CR D2 R S 2 (i )

i

hв(n) = ± hв(N-n)

∑H r =0

r

(Z R )Z −2k

B1i (−λ )

| H (λ ) |> A H (λ ) <S dh

jp ( λ )

+ (−1) e = − jm P (λ ) ± e P1 (−λ ) = 1 P (λ )

e

R −1

6

− jNi ha(n) = ± ha(N- B(λ ) = ∑−BNi (λ )e B1i (λ ) + e n)

n  h(n) = R  0 n=R n≠R

| H (λ ) |> A 2π ∆λ ≤ k

∆λ ≥ ε

сора ЦОС

Полуполосный ИЦФ

Комплементарные по мощности ЦФ, ЦФ с малой чувствительностью в полосе пропускания Селективные ЦФ Интерполяторы и дециматоры

142 При определении параметров декомпозиции требуется получить: - число составляющих элементов; - значение коэффициента преобразования; - порядок системных функций элементов. В результате выполнения рассмотренных выше этапов, задача выбора организации структуры устройства или алгоритма программы сводится к рассмотрению двух-трех конкурентноспособных альтернатив, имеющих мало различающиеся показатели. Эти альтернативные варианты поочередно просматриваются на последующих этапах схемы рисунка 4.1 вплоть до этапа «выбор оптимального решения», когда принимается окончательное решение. Намеченная в результате декомпозиции идея разрабатывается в направлении дальнейшей детализации блок-схемы алгоритма или сигнального графа устройства, учета специфики технических средств организации процесса обработки. Устанавливается однозначный порядок группирования и включения отдельных элементов, обеспечивающий нормальное функционирование проектируемого алгоритма или устройства и учитывающий: - выдерживание всех необходимых временных соотношений; - исключение из графа петель, не вносящих задержку; - выполнение требований по величине динамического диапазона, введение масштабирования; - проработку вопросов сопряжения со смежными частями системы или комплекса. Затем уточняется распределение допусков и требований по элементам структурной схемы и значение порядков их ПФ, которые служат исходными данными для следующего этапа. Этап синтеза составных частей включает в себя основные расчетные процедуры, необходимые для определения численных значений коэффициентов всех составляющих, т.е. для их синтеза.

143 Необходимость получения большого числа расчетных параметров определяет требование выполнения процедур синтеза с высокой точностью. На этот этап падает основная доля вычислительной нагрузки, максимального использования вычислительных ресурсов и машинного времени. Получение оптимального решения требует использование специально разработанного математического и программного обеспечения, такого как пакеты программ MatLab и MathCad. Разработка моделирующих программ может начинаться параллельно синтезу составных частей, полученные результаты используются на последующем этапе проверки качества полученного решения и далее при разработке тестов и проведении тестирования. Поэтому конечной целью моделирования является: - отработка реализации выбранного алгоритма вычислений и управления; - исследование ожидаемых характеристик устройства или системы; - разработка тест-сигналов для проверки полученных решений. Достижение поставленной цели требует решения ряда частных задач: -

учесть влияние нелинейных эффектов квантования и насыщения,

обусловленных конечной разрядностью данных; - выбора значений масштабирующих коэффициентов, отдельных элементов структуры; - оценки соответствия заданным требованиям генерируемых их управляющих последовательностей; - оценки, а при необходимости, корректировки принятых решений; - создание программ генерации тест-сигналов. Модель разрабатываемого устройства создается на основе математического алгоритма, данные вводятся в двоичном или десятичном коде с заданным числом разрядов, а вычисления производятся с конечной точностью, усечением промежуточных результатов.

144 Проверка качества полученного решения с помощью моделирующих программ практически полностью гарантирует работоспособность и кондиции алгоритма в случае программной реализации. Для аппаратной реализации нет возможности выполнить проверку работоспособности в реальном масштабе времени. В результате, значительно сокращаются затраты на проверку соответствия полученной реализации заданным требованиям, обеспечивается возможность автоматизировать процесс отработки технических решений и создания документации. Если удовлетворительное качество решения достигается более чем для одного из последовательно рассматриваемых вариантов, то делается выбор оптимального решения. Критерием оптимальности служит минимизация уточненного показателя вычислительной сложности. Уточнение значения этого показателя производится по результатам конкретной проработки. Учитывается квантование показателей γс , σ , Nб в реальных схемах, обусловленное унификацией параметров используемых элементов 8, 16 разрядам; отклонение полученных значений параметров от их оценочных величин. Произведенный выбор кладется в основу реализации. Реализация включает в себя разработку технических решений для схемотехнических узлов: устройства управления или секвенсора импульсных последовательностей, вычислительного блока, устройства оперативной памяти. 4.2. Разработка и экспериментальное исследование синтезаторов сигналов, реализуемых методами цифровой обработки сигналов В данном параграфе рассматривается распространение описанной в предыдущем параграфе методики на задачи линейного синтеза сигналов, т.е. синтеза сигналов с помощью линейных методов цифровой обработки сигналов.

145 Неразрывная связь, общность задач теории сигналов и теории цепей определяется их общей теоретической базой, единством основных математических методов их описания [30,63]. Дуальность частотно-временных представлений, выражением которой служит фундаментальное соотношение неопределенностей (1.33) находит свое конкретизированное выражение в соотношениях двойственности теории аналитических сигналов и теорий цепей [64,65]. Специфика задачи синтеза сигналов, в интересующем нас аспекте – это специфика задачи генерации и формирования сигналов, выражающаяся в возможности детального описания полного ансамбля значений выходного сигнала устройства. Эта особенность способствует более полному использованию свойств сигналов для сокращения выполняемых операций и в конечном итоге экономичной реализации алгоритмов и устройств. Достижение поставленной цели требует изучения соотношений специфических особенностей и общих моментов в процессе синтеза сигналов и цепей. В результате должны быть сформулированы методы использования симметрии и декомпозиции для обеспечения эффективной реализации по критерию сложности вычислений. Принципиальная возможность сокращения вычислительной сложности алгоритмов и устройств генерации сигналов путем декомпозиции представления синтезируемого сигнала на составляющие, обладающие более высоким типом симметрии, чем исходное представление, вытекает из справедливого для любого действительного сигнала S(n) представления:

S (n ) = A(n ) ⋅ cosψ (n )

(4.4)

где А(n) - огибающая сигнала;

ψ(n) - мгновенная фаза сигнала. Определение понятий огибающей и фазы, обобщающие понятия модуля и аргумента вектора даны в [65].

146 Аналогия, определяемая соотношениями двойственности [68] показывает, что факторизация (4.4) на амплитудно-модулированный сомножитель А(n) и сомножитель с частотной модуляцией cos ψ(n) оказывается эффективной, если выполняется хотя бы одно из нижеследующих условий. Во-первых, А(n) является узкополосным сигналом, скорость изменения которого меньше, чем у второго сомножителя. Во-вторых, имеется способ эффективной реализации ϕ(n), как управляющей функции синтезатора гармонического сигнала. Параллельная декомпозиция также может быть использована для получения S(n) в форме (4.4) если, например, использовать аналогию с выражением для передаточной функции. Результирующий сигнал S(n) можно записать в форме: m

S (n ) = ∑ S i (n ) ⋅ cos λin

(4.5)

i

Если обеспечены эффективные методы формирования координатных сигналов в Si(n), то можно получить сигналы S(n), удовлетворяющих широкому диапазону требований. Классифицируя для более детального описания задачи синтеза, в первую очередь, нужно учитывать способ использования сигнала: предполагается использовать сигнал в системах ЦОС, т.е. в виде квантованных по уровню отсчетов, или в аналоговых системах, т.е. в аналоговом виде, который получается путем цифро-аналогового преобразования. В первом случае задача синтеза, как правило, решается при заданных значениях основных параметров: частоты дискретизации, числе двоичных разрядов и возможно ряда других параметров, в зависимости от специфики уже конкретной постановки задачи. В случае «внешнего», аналогового использования, эти параметры можно выбирать для получения оптимального решения по заданным внешним параметрам. Критерий оптимальности должен в этом случае учитывать затраты на аналоговую часть, включая аналоговый фильтр на выходе ЦАП.

147 Примерами использования первого ряда служат гармонические сигналы для схем формирования и демодуляции однополосных сигналов по методу Уивера [45,65]; формирователи опорных сигналов для процессоров ДКП и БПФ, входящих в состав трансмультиплексоров [45]. Примерами аналогового использования могут служить генераторы линейных сигналов в модемах [58], цифровые синтезаторы частот [66,67], генераторы испытательных сигналов для систем автоматической коррекции [68], синтезаторы вокодеров [69]. Рассмотрим более подробно специфику обоих рассмотренных видов использования применительно к практически важному и широко распространенному классу сигналов – гармоническим сигналам. Благодаря тому, что они являются собственными функциями линейных, инвариантных к сдвигу систем, им присущи такие важные свойства как периодичность, ортогональность, инвариантность к сдвигу. Эти свойства сохраняются при переходе от непрерывного аргумента к дискретному [6]. Гармонические сигналы помимо непосредственного использования часто служат основой для построения более широкого класса сигналов, таких как ЛЧМ сигналы, многочастотные сигналы в соответствии с (4.4) и (4.5). Генерация гармонических сигналов осуществляется на базе следующих методов цифровой обработки сигналов: - метод рекурсии [21,59]; - табличный метод [60,61]; - аппроксимационный метод [62]. Аппроксимационный

метод основным своим достоинством имеет про-

стоту реализации средствами ЦОС. Недостатком метода является его низкая точность, поскольку используется либо Тейлоровское разложение [62], либо разложение по базисным функциям типа функций Уолша. Из эквивалентности между преобразованием поворота на угол nλ и преобразованием из последовательностей n поворотов на угол λ следует:

148 cos nλ1 −sin nλ1   sin nλ1 cos nλ1 

[A] n = [A] x...x [A] = 

(4.6)

Поскольку генерация сигналов в системе (4.6) происходит за счет охвата обратной связью матрицы без потерь, то получающиеся решения обладают недостаточно хорошими шумовыми свойствами. Как показал анализ этого вопроса в [59] мощность шумов квантования имеет тенденцию к линейному возрастанию с ростом n. В силу свойства структурной ограниченности рост мощности шумов приводит к падению мощности сигнала, его вырождению. Кроме шумовых свойств, недостатком рекурсивного метода является невозможность использовать симметрию в значениях коэффициентов системы (4.6), поэтому для получения одного отсчета выполняется четыре умножения и два сложения [21]. Табличный метод заключается в считывании из хранимой в запоминающем устройстве таблицы предварительно занесенных в нее значений отсчетов гармонических колебаний:

S (n ) = cos (2 π ⋅ Tд / To ⋅ n + θ ) = cos (2 π ⋅ Fo / Fд ⋅ n + θ ) ,

(4.7)

где Fд = 1 / Тд – значение частоты дискретизации ; F0 = 1 / T0 - значение генерируемой частоты;

θ - начальная фаза колебания. На комплексной плоскости сигналу S(n) соответствуют проекции на действительную ось вектора единичной длины с угловой координатой, совпадающей со значениями аргумента в (4.7). Ясно, что объем таблицы не должен превышать величины N, равной:  В / 2 − для четных В N =  B + 1 / 2 − для нечетных В

,

где F0 / Fд = А / В – правильная несократимая дробь.

(4.8)

149 Величина числителя А определяет шаг приращения аргумента и, следовательно, порядок, в котором будут считываться значения из таблицы. Если частоты F0 и Fд несоизмеримы (α = F0 / Fд – А /В ≠ 0) или величина N в (4.8) превосходит емкость ЗУ равную V, то, используя разложение F0 / Fд в цепную дробь и выбирая Ак/Вк – правильную дробь, мы получаем наилучшее приближение для требуемого значения генерируемой частоты Вк ≤ V, которое может обеспечить таблица объемом V. Искажения, возникающие при этом, проявляются в виде нарастающего с ростом номера отсчета фазового сдвига и увеличивающейся квадратурной компоненты. Допустимую величину искажающего сигнала можно выбрать из условия, чтобы она не попадала в разрядную сетку табличных значений, т.е. была бы на уровне шумов квантования. Сигнал ошибки δF, обусловленный заменой точного значения частоты на приближенное, имеет форму «биений»:

δ F (n ) = 2 sin α π ⋅ n ⋅ sin (2 π A / B + π α ) , где α - величина фазового сдвига. Используя условие высокой точности πnα << 1, разлагая функцию синуса в ряд и удерживая первые члены разложения, можно записать:

δ F ( N ) = 2 ( Nπ α ) 2 Приравняв правую часть последнего выражения максимальному значению ошибки квантования, получаем для ЗУ с Р-разрядной мантиссой: L +1 = − log 2 ( N π α ) . 2 Симметрия значений гармонических колебаний позволяет сокращать объем таблиц. Оценка объема, даваемая формулой (4.8) фактически уже учитывает симметрию значений гармонических колебаний, определяющую свойства четности косинуса или нечетности синуса относительно точки начала координат. По-

150 мимо этого вида симметрии, гармонические сигналы обладают еще симметрией относительно оси, проходящей перпендикулярно значению аргумента равного π / 2. Причем функция cos χ имеет зеркальную симметрию отражения в точке χ = 0 и антисимметрично, т.е. зеркальную симметрию с инверсией в точке χ = π / 2. Функция sin χ имеет эти виды симметрии относительно соответствующих точек

χ = π / 2 и χ = 0. Таким образом, любое гармоническое колебание обладает в общем виде двумя видами симметрии

∂ (n ) = −∂ (n + N 1 )

и

∂ (n ) = ∂ ( N 2 − n ) .

Возможности этих видов симметрии рассматривались в первом разделе, каждый из них позволяет вдвое уменьшить объем таблицы и, в итоге, достаточно иметь таблицу емкостью не более чем [B/4] + 1. Полученные таблицы минимального объема, т.е. полное использование симметрии, требует соответствующего выбора θ - начальной фазы колебаний. Обратимся для наглядности к конкретному примеру. Предположим, что F0 / Fд = 3/26. Если генерировать сигнал sin (2π ⋅ 3/26 ⋅ n), то потребуется хранение 13 отсчетов

V = 13, если выбрать sin

(2π ⋅ 3/26 ⋅ n + π/26), т.е. θ = π / 26 , то можно уменьшить объем V = 9 отсчетов. Минимальный объем V = 7 достигается выбором θ = π / 2 , т.е. генерация сигнала cos (2π ⋅ 3/26 ⋅ n). В дополнении к рассмотренным выше видам симметрии, справедливым как для аналогового, так и дискретного аргумента, для дискретизированного гармонического сигнала, в силу его двоякой периодичности, как по временной, так и по частотной оси, возможно при синтезе множества частот использовать альтернацию так, как ∂ a (n ) = (− 1) ⋅ ∂ (n ) = cos π n ⋅ cos (2π Fo / F∂ ⋅ n ) = cos (π − 2π Fo / F∂ ) ⋅ n . (4.9) n

151 Практика использования табличного метода показывает, что зачастую сферу его приложения ограничивает недостаточный объем таблицы. Тенденции развития ЗУ таковы, что по мере роста их быстродействия, появляются новые диапазоны частот, для которых наличествует только ЗУ весьма ограниченной емкости. Располагая таблицей ограниченного объема, расширить диапазон генерируемых частот возможно, комбинируя табличные методы формирования с другими. Для этих целей можно, в частности, применить интерполяцию, поскольку предельно узкополосный характер гармонических сигналов, позволяет использовать простые схемы. Дальнейшее развитие этого вопроса можно получить, применяя результаты, полученные в главах 2 и 3. Ограничимся здесь, следуя, в основном, работе [70], рассмотрением схем, реализующих представление интерполяционного полинома в форме Лагранжа [71]: Q где

a

m

m

(Z ) = ∑ ∂ ( χ i ) ⋅ a i χ

i (χ ) =

,

(4.10)

i =1

(χ − χ 0 )(χ − χ 1 )K (χ − χ i −1 )(χ − χ i +1 )K (χ − χ m )

(χ i − χ 0 )(χ i − χ 1 )K (χ i − χ i −1 )(χ i − χ i +1 )K (χ i − χ m )

Когда шаг таблицы равен 2h = π / N , модуль погрешности приближения (4.9) подчиняется следующему неравенству: ∆ m (χ ) ≤ const (π / N )m +1 . Определим алгоритм интерполяции по Лагранжу применительно к случаю равноотстоящих узлов и уточним величину получающейся погрешности. При линейной интерполяции полином (4.10) приобретает вид:

Q 1 (n ) = 1 / 2 [∂ (n − 1) + ∂ (n + 1)] , а величина гарантированной погрешности равна:

152 ∆ 1 = 2 sin 2 h / 2 = 2 sin 2 π / 4 N . При кубической интерполяции имеем соответственно:

Q 3 (n ) = 1 / 16 { 9 [ ∂ (n − 1) + ∂ (n + 1) ] − [ ∂ (n − 3) + ∂ (n + 3) ] } ∆ 3 = ∆21 / 2 (3 − ∆ 1

) ≅ 3 ∆21 / 2

Графически зависимости ∆1 (N) и ∆3 (N)  показаны на рисунке 4.2 а. Выходной сигнал цифрового гармонического генератора с интерполяцией формируется поочередно считыванием табличных значений и значений, вычисленных интерполятором. Быстродействие генератора будет наибольшим, когда вычисления производятся по тем же значениям, которые считываются непосредственно на выход генератора. При этом, если в (4.8) А > 1, то с увеличением шага, с которым считываются табличные значения, увеличивается погрешность интерполяции и для линейной интерполяции, гарантированная погрешность становится равной ∆ 1 = 2 sin 2

π Fo , 2 F∂

для кубической интерполяции соответственно ∆ 3 = 3 sin 4

π Fo . 2 F∂

Графики для этих погрешностей приведены на рисунке 4.2 б) (сплошные линии). По ним видно, что при F0 / 2Fд → 1/2, эффективность интерполяции падает. Повысив ее эффективность можно либо вычисляя интерполированные отсчеты по независимо считываемым из таблицы, ближайших значений, либо использовав альтернацию (4.7). Первоначально интерполируются колебания

∂ a (n ) = cos 2 π ⋅ n (1 / 2 − Fo / 2 F∂ ) а затем к нему применяется операция альтернации (-1n) и в результате получаем

153

16

64

256

1024

4096

N

-20 -40 -60 -80 -100 -120 ∆ 1

-140 ∆ 3

∆дБ

а)

-1

-2

-20 _

-3

-4

-5

Tд log2  T0

∆1

-40 -60 -80 -100

∆3

-120 -140 ∆дБ

б)

Рисунок. 4.2. – Величина гарантированной погрешности интерполяции по Лагранжу

154

∂ (n ) = (− 1) ⋅ ∂ a (n ) = cos (2 π n − Fo / 2 F∂ ) n

Значение погрешностей для этого варианта показано на рисунке 4.2 б) (пунктирными линиями). Влияние ε0(n) – ошибок округления табличных значений на выходной сигнал интерполятора можно определить непосредственно по Q1(n) и Q3(n). Характеристики этих ошибок сведены в таблицу 4.3. Таблица 4.3 Характеристика ошибок округления табличных значений Тип интерполятора Линейный Кубический

Характеристика ε max M [ε ] M [ε0] ε0max 1,25ε0 max 1,25 М [ε0]

Закон распределения D [ε] Треугольный 0,5 D [ε0] 0,641D [ε0] Квазинормальный

Учитывая, что линейная интерполяция требует выполнения одной операции сложения и одной операции сдвига, а кубическая интерполяция – четырех сложений и двух сдвигов, модно признать интерполяцию по равностоящим узлам эффективным средством расширения диапазона генерируемых частот. Детализируем рассмотренный круг вопросов для задачи построения цифрового синтезатора частот. Применение интерполяции в сочетании со следящим вычислением аргумента, необходимым для выполнения цифрового синтезатора частот линейной интерполяции в общем случае расположения интерполяционных узлов χi. В работе [67] этот метод получил название цифрового таблично алгоритмического функционального преобразования с интерполяцией (ЦФПИ). Как было отмечено выше, для работы ЦФПИ в качестве синтезатора гармонических сигналов достаточно в диапазоне частот от 0 до Fд / 4 получить М эквидистантных значений синтезируемого сигнала. Основные характеристики синтезатора: М – число генерируемых частот,

155 ∆доп – точность формирования отчетов выходного сигнала, характеризующая максимальную величину ошибки. Структурная схема ЦФПИ показана на рисунке 4.3 Чисто табличный метод синтеза потребует ПЗУ с организацией V T = 2 log 2 M (L + 1) , бит, где L – число двоичных разрядов в мантиссе отсчета

L + 1 = − log 2 ( ∆ доп )

(4.11)

Положим, что в первую секцию ПЗУ (рисунок 4.3) записано R значений функции sin (χ) при значениях аргумента 0 ≤ ih ≤ π / 2, где i ∈ [1,2 log2R] - номер отсчета (адрес) в ПЗУ; h = π / 2R - величина шага в таблице. По этому же адресу во вторую секцию ПЗУ занесены приращения R [ sin (χ i + 1) − sin (χ i ) ] M Полагаем sin χ в интервале i линейно изменяющимся, а χ в i-м интервале

[

принимает дискретные значения χi < jh < (χi + h) , где j ∈ 1,2 log 2 M / R

] – номер

вычисляемого отсчета в i-м интервале, т.е.

h 1 = h / (M / R ) = π / 2 M Аргумент ЦФПИ выражает log2 М – разрядным числом, старшие разряды которого i, а младшие j. Алгоритм работы ЦФПИ поясняет выражение sin χ = sin ih + j

R (sin (i + 1) h − sin ih ) . M

Адресом ( i ) из первой секции ПЗУ вызывается первое слагаемое sin ih , Из второй секции приращение

R (sin (i + 1) h − sin ih ) . В умножителе 1 M

вычисляется второе слагаемое. Результат получается на выходе сумматора, выполненного на АЛУ 3.

156

Р

АЛУ 1

Регистр 1

Fт 2 log2M

АЛУ 2

Коммутатор 1

i ПЗУ 1 Знак приращен.

ПЗУ 2 Lразр

j

jjj

К разр

Умножитель 1

АЛУ 3

Lразр

sin ωt

Рисунок 4.3 – Структурная схема ЦФПИ

157 Синтез периодического сигнала, кроме функционального преобразования, включает еще одну задачу следящего циклического вычисления значения аргумента, которое учитывает возникающий набег фазы и тем самым устраняет возможность появления фазовых скачков. Частота Fc синтезированного сигнала связана с тактовой частотой задающего генератора FТ : Fc = FT p

1 4M

Гц.

Параметр p задает шаг, с которым формируется последовательность приращений аргумента χ = 0, p, 2p, 3p, …., (k-1)p. Вычисление аргумента сводится к циклическому накопительному суммированию-вычитанию по модулю М. Очередной r -й цикл начинается по условию (k-1)p < M < kp, его начальная фаза равна

χ r = (χ r −1 + k p ) − M Вычислитель аргумента содержит следующие узлы: АЛУ 1 и регистр 1, образующие накопляющий генератор, коммутатор 1 и АЛУ 2, реализующие функцию чередующегося суммирования-вычитания, причем признаком перехода от суммирования к вычитанию служит сигнал переноса АЛУ 1, свидетельствующий о переполнении накапливающего сумматора. В общем случае синтез сигналов, не обладающих свойствами симметрии [67], вместо чередующегося суммирования-вычитания выполняется только суммирование. Оценим величину ошибки интерполяции ∆и(χ) . Очевидно, что ошибка максимальна в точках, где sin χ имеет минимальный радиус кривизны, в нашем случае – на интервале

π π  ,  − h< χ < 2 2   Исследуем на экстремум выражение для ∆и(χ) на этом интервале:

158 ∆ и (χ ) = cos (χ − h ) − (1 − cos h ) Из условия

χ = arcsin

χ − cos h . h

(4.12)

d ∆ и (χ ) получаем ∆и max(χ) при dχ

(cos h − 1) h

+ h≅

h 2

(4.13)

Подставим (4.13) в (4.12), после упрощений получим совпадающую с выражением для ∆1 простую приближенную формулу ∆ и max = (π / 4 R ) . 2

(4.14)

Основное требование к величине ∆и max , чтобы она была меньше ∆и доп , т.е. уходила за пределы разрядной сетки синтезируемого сигнала. Выясним условия целесообразности построения синтезатора по принципу ЦФПИ. Точность таблицы приращений считаем равной точности таблицы узлов интерполяции sin ih, а их суммарный объем VТ.И = 2 log 2 R (L + 1) = 2 log 2 R (к + 1) = 2 log 2 R (L + к + 2 ), бит, где к – число ненулевых разрядов в мантиссе таблицы приращений. Учитывая, что в L- разрядной мантиссе приращения, по крайней мере старшие, - log2h разрядов равны нулю, получаем:

k = L + log 2 h = L + 0,6515 − log 2 R . Для расчета минимально необходимой длины таблицы R приравниваем ∆ и max = ∆ доп . Из (4.12) и (4.14) получаем

2 − ( L +1) = (π / 4 R ) откуда

2

159 L + 0,1515 2 Выигрыш в величине требуемого объема памяти log 2 R =

Vm 2 log 2 M (L + 1) . ρ= = Vm.и 2 0,5 L (3L + 5) × 0,5554

(4.15)

Расчеты по (4.15) приведены в виде графиков на рисунке 4.4. Для анализа упростим выражение (4.15) 2 ρ = 2 log 2 M −0,5 3

(4.16)

Из (4.16) явствует, что ρ в логарифмическом масштабе имеет вид прямой линии, а

условие целесообразности перехода от табличного метода к

ЦФПИ можно записать в виде

2 log 2 M > L − 0,585 , или

2 log 2 M > log 2 ∆ доп + 0,415 .

Влияние на величину получающегося выигрыша дополнительных аппаратных затрат, требуемых для реализации интерполяции, можно определить, введя универсальную единицу измерения этих затрат, например число логических вентилей. Тогда ожидаемый выигрыш

ρ = W m / (Wm,и + W A )

(4.17)

где Wт ,Wт.и , WА – число логических вентилей в табличном синтезаторе, таблице ЦФПИ и арифметических узлах ЦФПИ соответственно. Результаты расчетов по (4.17) показаны на рисунке 4.4 в виде пунктирных линий. Они выполнялись для случая, когда ПЗУ содержит двухступенчатый дешифратор. Для всех имеющих практический интерес случаев WА < Wт.и действительно, затраты на арифметическое устройство растут по L линейно (и логарифмически по М), а затраты на память растут быстрее, чем по показательному закону в зависимости от L. Кроме того, за счет затрат на реализацию дешифраторов ПЗУ имеет

160

ρ, ρв

ρ ρв

105 104

M = 220

103 216

102 101

212 210 28 7

9

11

13

15

L

Рисунок 4.4 – Характеристика выигрыша ЦФПИ

161 W m / W m ,и 〉 V m / V m ,и и (4.17) можно переписать в виде ρ = ρ (1 – WА / Wт.и ) . Из последнего выражения видно, что дополнительные аппаратурные затраты не оказывают качественного влияния на величину получаемого выигрыша, поскольку их удельный вес не велик. Структура ЦФПИ (рис.4.3) по сравнению с известными преобразователями [9,66] универсальна в том смысле, что при синтезе различных сигналов достаточно заменить содержимое ЗУ, хранящих табличные значения синтезируемого сигнала, и его приращений. В зависимости от типа симметрии в память заносят значения четверти периода, полу периода или всего периода функции, описывающей сигнал [67]. Для доказательства универсальности алгоритма ЦФПИ достаточно рассмотреть условие применимости интерполяции в общем случае

δ и (χ ) max ≤ ∆ доп где δ и (χ) - ошибка интерполяции произвольной функции f (χ). По теореме Вейерштрасса [72] всякой периодической непрерывной функции f(χ) на интервале [0, 2π] с любой требуемой степенью точности ε можно поставить в соответствие полином n-й степени – Тn (χ) , где n = n(ε). Ошибка линейной интерполяции для Тn (χ) подчиняется неравенству:

δ и (χ ) max = Tn (χ )− Q1 (χ ) max < const max

d 2 Tn (χ ) 2 d χ2

h2 ,

0 ≤ χ ≤ 2π , где Q1(χ) – интерполирующий полином 1-го порядка; Тn (χ) является целой экспоненциальной функцией типа σ ≥ 0 .

162 Из неравенства С.Н. Бернштейна [72] max

d 2 Tn ( χ ) d χ2

≤σ

max

f (χ )

получаем δи (χ) max < A h2 σ2 , где А = const max f (χ)  0 ≤ χ ≤ 2π . В результате условие h=

1

∆ доп А

σ гарантирует возможность применение алгоритма ЦФПИ в общем случае, так как на f (χ) , кроме непрерывности и ограниченности по максимуму, других ограничений не накладывалось. Условие целесообразности использования алгоритма ЦФПИ в общем случае:

log 2 M > − 0,5 log 2 ∆ доп + log 2 n + const . Рассмотрим решение задачи синтеза сигналов в аспекте приложения инженерной методики проектирования, изложенной выше. Как уже отмечалось при описании методики, номенклатура вводимых внешних параметров включает помимо специфических, ряд общих для всех задач параметров. Это требование реального масштаба времени и величина допустимого времени задержки, включая время перестройки параметров генерируемого сигнала. Определенность в этих параметрах позволяет, в том числе, аргументировать выбор программный или аппаратный способ реализации, если этот выбор не предопределен ранее. Для программной реализации должен быть конкретизирован тип используемых технических средств вычислительной техники, указаны основные параметры: быстродействие, емкость ЗУ, а также указаны используемые средства программирования. Для аппаратной реализации должны быть заданы ограничения на используемую элементную базу, массога-

163 баритные показатели и энергопотребление. Должна быть указана форма использования сигнала: аналоговая или цифровая и критерий эффективности (целевая функция). На этапе анализа и формализации исходных данных, вся совокупность внешних параметров должна быть отображена в ограниченный набор характеристик в соответствии с заданным или выбранным критерием (целевой функцией). Этот набор должен быть достаточным, чтобы служить рабочими параметрами в процедурах синтеза. Должно быть определено номинальное значение частоты дискретизации Fд и допуски на его отклонение и стабильность. Общими параметрами для любого набора, как правило, выступают интегральные показатели: ширина полосы частот, эффективная длительность, пик-фактор, сигнала. Параметры, характеризующие «тонкую» структуру сигнала, относятся к специфическим. Для импульсных сигналов это ограничения по амплитуде Amax, уровень выбросов δ , % и время установления tу. Для периодических сигналов кроме периода Т, показатель скважности, характеристики гармонического состава в спектре. Случайные сигналы характеризуются корреляционной функцией и моментами высшего порядка. Спектральные характеристики: уровень внеполосных составляющих, непрерывность фазы при перестройке сигнала, требования к амплитудному и фазовому спектру. На этапе классификации системной функции и выбора типа используемой декомпозиции устанавливаются ограничения по максимально возможному типу симметрии сигнала и его системной функции. Затем проверяются условия целесообразности применения возможных видов декомпозиции, чему способствует представление сигнала в форме (4.4), т.е. через огибающую и мгновенную фазу. Помимо способов и приемов, рассмотренных в разделах 2 и 3, которые с учетом специфики задачи могут использоваться в задачах синтеза, полезными могут оказаться спектральные представления с использованием различных базисных и сопряженных ядер [65]. Виды симметрии периодических сиг-

164 налов общего вида такие же, как для гармонических сигналов, рассмотренных выше. Материалы по различным видам декомпозиции сведены в таблицу 4.4. Выполнение других этапов решения согласно рисунке 4.1 не содержит явно выраженных особенностей, по сравнению с рассмотрением в разделе 4.1. Исключение представляет только этап синтеза составных частей. Для его выполнения может потребоваться разработка дополнительных программ. В качестве примера синтеза гармонических сигналов, опирающегося на результаты работ [67,70], изложенные в этом подразделе выше, рассмотрим аппаратную реализацию цифрового синтезатора частоты, сделав предварительно несколько замечаний общего характера по методике. На этапе анализа и формализации исходных данных устанавливается достаточность требований технического задания для определения следующих параметров: 1.Номинальное значение частоты дискретизации Fд . 2.Допуски отклонения ( ∆ Fд ) и стабильность номинала (δ Fд). 3.Границы диапазона синтезируемых частот (Fн, Fв). 4.Номинальные значения синтезируемых частот (Fi). 5. Допуски отклонения номиналов (∆Fi). 6.Допустимые уровни побочных продуктов а дБ: в пределах [Fн,Fв] и внеполосных составляющих. 7.Параметры перестройки частоты: время перехода (tn), допуск на выброс амплитуды (δА), требования непрерывности фазы при переходе. 8.Допуски на величину отклонений А(F) и ϕ(F) от эталонного значения. 9.Временная стабильность ∆А(n) и ∆ϕ(n). 10.Ограничения на допустимый объем памяти.

165 Способы декомпозиции в линейном синтезе сигналов методами ЦОС Таблица 4.4 № п/п 1 1

2

Вид композиции

2 Факторизация S(n) = А(n) cosψ(n) АМ огибающая х ЧМ несущая

Факторизация S(λ) = Sв(λ ) Нф(λ) генератор возбуждающего сигнала х формирующий фильтр

Переменная Тип симметрии и условия декомпози- применения ции 3 временная

4 2π   A λ +  ≅ A(λ ) N   ∆ A (n )〈〈 ∆ S (n )

ψ (n ) = ψ (n − N ) или

частотная

Примеры использования

5 Синтез узкополосных сигналов Синтез генераторов качающейся частоты, включая ЛЧМ сигналы

ψ (n ) = ±ψ (n + N )

  F Cos 2π o n2 + в   F  Д  

ΖК = ± Ζ*К+N ΖК = ± Ζ* N- К симметрия координат нулей и полюсов

Синтез полиномов Лагерра S в (Z ) ≅

1 Z +a

Факторизация путем интерполяции

Z −1 − a Z −a

-го порядка Синтез сигналов неравноточных синтезаторов гармонических вокодеров S в (λ ) ≅ A

3

H Ф (Z ) =

частотная

ΖК = ± Ζ*К+N

 Z −2 − a 2 −1 + в   H Ф (Z ) =  2 −1 + + aZ aZ 1  

Синтез узкополосных сигналов в частности полигармонических с использованием прими-

166 S(λ) = S(λR)G(λ )

ΖК = ± Ζ* N- К

тивных ЦФ

2π   G (λ ) ≅ G λ +  R  

∑∆λ ≥ к - полоса безразличия 4

Параллельная декомпозиция с последующим когерентным сложением

частотная

S (λ ) = S (λ ) e jϕ (λ ) = = A(λ ) + B(λ ) e jϕ (λ )

5

Комбинация транс- частотная и версальных структур временная с дифференциальным сложением

[

S (λ ) = ∑ Ai (λ ) e jα (α )m

]

А(n) = ± А(N - n) В(n) = ± В(N - n)

Синтез сигналов формантных вокодеров. Синтез полосовых сигналов. Спектр несимметричен относительно цетральной частоты

Аi(n) = ± Аi(N - n) Аi(n) = ± Парциальное кодирование (цифровая эхомодуляция) Аi(n + N) α(λ) = ± α(N - λ) Полиномиальные структуры по ортогональным полиномам m

S (n ) = ∑ a i S i (n )

167 Подходя к следующему этапу классификации системной функции и обращаясь к таблице 4.4, мы убеждаемся, что интерполяция является единственным видом декомпозиции, который может быть задействован. Это приводит нас при аппаратной реализации к уже рассмотренному комбинированному таблично алгоритмическому функциональному преобразователю. Чтобы решить вопрос об использовании этой структуры, предварительно нужно определить характеристики чисто табличной реализации. По значениям допусков ∆Fi и ∆ Fд, используя разложение в цепные дроби, получаем приближения Аi / Вi. Далее по Вi определяются значения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, как для всей совокупности, так и для части синтезируемых частот. Важность этих шагов, а также правильного выбора принципа группировки частот в синтезаторах, поясняет небольшой иллюстративный пример. Требуется сгенерировать гармонические сигналы с частотами π2/13; π3/14; π10/37. Так как эти числа 13, 14 и 37 взаимопростые, то наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел 6734. Объем таблицы синтезатора 6734 требует емкости 8 Кбит. Если эти же сигналы записать в таблицу, как сигналы независимых гармонических генераторов, то понадобится всего 13 + 14 + 37 = 64 значения. Типы симметрии гармонических сигналов известны и, выбор между альтернативами записывать в таблицу значения половины или четверти периода производится по соображениям компромисса между сложностью управления, определяемой способностью совместить режимы реверсирования, пересчета и мультиплексирования и величиной объема таблицы. Далее проверяется на непротиворечивость выбор начальных фаз колебаний из условий минимизации объема и требований непрерывности фазы. И, наконец, по величине допусков а дБ и ∆А, ∆ϕ определяется длина разрядной сетки таблицы.

168 4.3. Разработка элементов радиовещательных систем передачи данных Переход от аналоговых к цифровым методам передачи признан магистральным направлением перспективного развития радиовещания, что подтверждено «Концепцией развития радиовещания» и целым рядом международных стандартов наземного и спутникового вещания. Действие этих стандартов охватывает все диапазоны частот, как используемых для вещания, так и новые более высокочастотные диапазоны. Внедрение цифрового радиовещания в диапазонах средних и коротких волн продвигает международная организация Digital Radio Mondial, в диапазоне ультракоротких волн цифровое вещание (Digital Audio Broadcasting) в качестве стандарта приняты положения развитые в проекте Европейского сообщества EURERA 147. Область применения методов ЦОС в технологиях радиовещания гораздо шире собственно техники передачи вещательных сигналов и охватывает все сферы от подготовки аудио продукции до формирования радиочастотного сигнала, в том числе и в аналоговых системах радиовещания [73,74]. Использование ЦОС при этом призвано не только улучшить качество основной звуковой программы и характеристик её приема, но и обеспечить возможность передачи данных в канале радиовещания «datacasting» [75,76]. Технология «datacasting» - это технология переходного периода, она соответствует внедрению модемов на сети телефонной связи общего пользования [73]. Datacasting реализуется методом частотного уплотнения/ разделения каналов. Для передачи сигналов переносчиков данных в каналах ОВЧ ЧМ стереовещания используются поднесущие, расположенные выше спектра сигнала основной программы. В результате почти двадцатилетнего развития практически мировое распространение нашел стандарт RDS [77]. Это первый пример внедрения «datacasting» на поднесущей 57 кГц. RDS (Radio Data System – система передачи данных по каналу радиовещания) была создана в русле реализации концепции

169 «умного» радио, когда передаваемые данные должны в первую очередь, содействовать процессу приема основной аудиопрограммы, её поиску, идентификации, сопровождению. Скорость передачи данных в RDS равна 1187,5 бит/сек, что опять-таки соответствует скоростям на которых работали первые модемы на проводных каналах (1200 бит/сек). В начале 90-ых годов различные новые более высокоскоростные «datacasting» системы использующие ОВЧ ЧМ вещание были предложены [78]. Эти системы обеспечивающие скорости передачи порядка 16 Кбит/сек и, в отличие от других, более ранних разработок, обеспечивают совместимость и возможность одновременной работы с системой RDS. Спектральная диаграмма композитного сигнала, поступающего на вход возбудителя ЧМ радиопередающего устройства показана на рис 4.5. Построение систем «datacasting» средствами ЦОС позволяет эффективно реализовывать основное оборудование и составные части этих систем. Функциональная схема системы RDS, выбранной в качестве примера приводится на рис 4.6. Основным элементом передающей части системы RDS является кодер RDS, выполняющий преобразование данных, поступающих от провайдеров информационных служб в модулированный сигнал поднесущей 57 кГц, поступающий на вход радиовещательного передатчика [74]. Для выполнения требований стандарта RDS [77] кодер должен обеспечить процедуру протокола взаимодействия на всех трех уровнях стандартизованного взаимодействия. Функционально кодер RDS подразделяется на две части: собственно кодер и модулятор. Собственно кодер обеспечивает генерацию сообщений в виде информационных групп, каждая из которых состоит из четырех блоков, генерацию кодов защиты от ошибок, кодов цикловой синхронизации. Модулятор RDS на физическом уровне взаимодействия, непосредственно формирует сигнал RDS с заданными спектральными характеристиками. На рис 4.7 приведена функциональная схема модулятора RDS, а на рис 4.8 – временные диаграммы сигналов в различных точках модулятора RDS.

170

Амплитуда Стерео пилот сигнал L+R (моно)

Стереоканалы L-R

L-R

RDS

SWIFT DARK Частота

15 кГц 23 кГц 19 кГц

38 кГц

53 кГц

76 кГц

92 кГц

57 кГц

Рисунок 4.5 – Спектральная диаграмма сигнала на входе радиопередатчика

171

/Для рис.4.6/

172

левый

К модулятору УКВ-ЧМ передатчика БАМ

КСС правый

Стерео кодер

в)

Формирователь бифазного сигнала

М2

D

T

Импульсный преобразователь

г)

ЛЗ

НЧ g)

Х е)

C

Источник данных и кодер

Fт

а)

ВПФ

:2

:24 2375 Гц

Генератор 57 кГц

Рисунок 4.7 – Функциональная схема модулятора RDS

:3

173

а)

б)

0

1

0

1

1

0

1

0

в)

г)

g) e) tт/2 Рисунок 4.8 – Временные диаграммы сигналов в разных точках модулятора RDS.

174 В состав схемы рис 4.7 входит источник данных и кодер RDS, который синхронизируется тактовой частотой: Fт – 1/tт, формируемой путем деления на 48 частоты генератора 57 кГц. С выхода источника двоичные посылки поступают на дифференциальный кодер, состоящий из узла сложения по модулю 2 (М2) и D-тригера. С выхода дифференциального кодера (диаграмма в) сигнал поступает на вход формирователя бифазного сигнала. Этот блок может быть построен по различным схемам, на рис 4.7 приведен один из вариантов такой схемы. В состав формирователя входят импульсный преобразователь, линия задержки на время tт/2, сумматор на операционном усилителе и фильтр нижних частот. На входе ФНЧ имеем импульсы вида g), которые формируются по алгоритму: если импульс δ(t) на выходе импульсного преобразователя положительный, то g(t) - δ(t) - δ(t-tт/2).

(4.18а)

В противном случае g(t) - -δ(t) + δ(t-tт/2).

(4.18б)

На выходе ФНЧ формируется свертка сигнала g(t) в виде диаграммы е), представляющий сглаженный бифазный сигнал. Этот сигнал можно сформировать и другими способами. Далее сигнал е) поступает на один из входов перемножителя, на второй вход которого поступает поднесущая 57 кГц. Сигнал выходе перемножителя является сигналом БАМ с подавленной несущей. Спектр этого сигнала имеет ширину 4,8 кГц с центральной частотой 57 кГц. В стандарте на систему RDS [77] выходной парный импульс (бифазный) формирует пара передающего и приемного фильтров с идеальной частотной характеристикой cos(πf / FT для 0 < f < 2 FT HT ( f ) =  для f > 2 FT  0

175 где Fт =1187,5 Гц Такая форма спектральных характеристик фильтра избрали для того, чтобы результирующая характеристика передающего и приемного фильтра обеспечивали характеристику 100% «приподнятого косинуса» [58.77]. Получаемый при формировании по методу «приподнятого косинуса» сигнал удовлетворяет первому требованию Найквиста и демонстрирует малую чувствительность к смещению моментов отсчета относительно идеального положения и, кроме того, содержит дополнительную нулевую точку между моментами отсчетов. По такому сигналу удобно осуществлять синхронизацию приемника. Специфика передачи данных по каналу радиовещания заключается в том что одному модулятору сигналов RDS соответствует множество приемных устройств, в состав которых включены демодуляторы RDS. Отсюда следует, что при любых модернизациях модулятора должна быть обеспечена его совместимость со всеми ранее выпущенными моделями приемников. Рекомендуемая стандартом схема демодулятора эквивалентна квазиоптимальному когерентному приемнику на основе коррелятора с ключевым перемножителем. Использование ключевого перемножителя означает, что фактически форма канального сигнала может отличаться от идеального отклика, к тому же физически не реализуемому. Таким образом поиск оптимального способа формирования сигнала RDS заключается определении формы импульса, обладающего максимальной концентрацией энергии в заданной полосе частот при заданной длине сигнала. Из самых общих представлений, соотношения неопределенности следует, что концентрация энергии в заданной полосе частот тем больше, чем длиннее отклик импульса. Величина гарантированного затухания должна быть определена в полосе от 0 до 53 кГц, занимаемого КСС. Эта величина д.б. определена по соответствующим требованиям к степени подавления переходной помехи для возбудителя радиопередатчика или стереокодера. По допустимой величины девиации, вызываемой сигналом RDS, уровень сигнала RDS не менее чем на 20 дБ ниже уровня

176 КСС. Определив величину подавления переходной помехи не менее -70 дБ получим, что гарантированное затухание должно быть не менее –63 дБ. В интервале частот 15–23 кГц эта величина может быть ослаблена до значения –30 дБ. Использование средств ЦОС позволяет существенно упростить структуру модулятора RDS в части формирования выходного сигнала. За счет использования методов прямого (табличного) синтеза отпадает необходимость выполнения ряда промежуточных преобразования, включая балансную модуляцию. Основная энергия сигнала должна быть сконцентрирована в полосе частот ±2.4 кГц. Переходная полоса к полосе частот гарантированного затухания, таким образом, не более 1,6 кГц. Значение цифровых кодов отсчетов выходного сигнала S(n) записываются в ячейки ПЗУ. Процессом считывания из ячеек памяти ПЗУ управляют двоичные символы передаваемых данных, из которых формируются команды адресации. Считанные коды отсчетов, после преобразования ЦАП в аналоговую форму и сглаживания аналоговым фильтром, поступают в тракт радиовещания. Более детально схема модулятора RDS описана в Приложении 1. Согласно методики проектирования, описанной в настоящей главе, ключевыми моментами в разработке формирователя сигнала является выбор частоты дискретизации Fд, обеспечивающей наличие в системной функции синтезирующего сигнала оси симметрии максимально возможного порядка и M – число отсчетов сигнала хранимых в ПЗУ. Диапазон значений выбирается из условий компромисса: увеличение Fд упрощает реализацию выходного аналогового фильтра и допускает использование ПЗУ с меньшим числом разрядов кода, представляющие отсчеты сигнала, но повышает требования к быстродействию ПЗУ и ЦАП. Уменьшение значения Fд приводит к обратным эффектам. Целесообразно выбрать Fд =4fн = 4⋅57 = 228 (кГц), где fн – частота поднесущей RDS, равная 57 кГц. Поскольку S(n) – сигнал RDS удовлетворяет условию узкополосности, то при соотношении

177 λн = 2πfн/ Fд = 2π/4 справедливо представление: S(n) = A(n)cosλнn = A(2n)(-1)n. Смысл последнего выражения в том, что сигнал RDS может быть получен простой альтерацией отсчетов низкочастотного сигнала – прототипа, частота дискретизации которого равна 114 кГц. На одном тактовом интервале T=1/1187,5 сек размещается N=96 ненулевых отсчетов S(n). Для выполнения требований стандарта протяженность элементарного

сигнала L(n) превышает

N =96, т.е. результирующий сигнал: S(nTд)=±(h(nTд) – h(nTд – T/2)) в пределах одного тактового интервала является суммой сигналов на смежных интервалах S1 (n) =

k

∑ S (nTП − it )

i = −k

выбрав N0=3/2N = 3/2*96=144 и, рассматривая тактовый интервал T, смещенный относительно характеристического момента модуляции на T/4, получаем, что сигнал S1(n) при этом определяется отсчетами (n-го) и (n+1)-го тактовых интервалов: S(n1Tд)=±{h(nTд) – h(nTд – T/2)}±{h((n+1)Tд) – h((n+1)Tд – T/2)}

(4.19)

где n1 Tд=nTд – T/4. В результате объём ПЗУ, обусловленный (4.19) равен M=4N=4⋅96=384, если использовать сигналы с линейно-фазовым спектром, то объем ПЗУ может быть вдвое уменьшен. Значение отсчетов h(n), спектр которых обеспечивает уровень внеполосных спектральных составляющих – 65 дБ. Квантование значений отсчетов приведены в приложении 1, вместе со спектральной характеристикой. Общий вид h(n) показан на рис. П1.4. С целью определения мощности шумов, вносимых в выходной сигнал в процессе цифро-аналогового преобразования определим соотношение сиг-

178 нал/шум при округлении отсчетов до 11 бит, что соответствует случаю применения двенадцатиразрядного ЦАП с нелинейностью, равной одному шагу квантования. Полученное значение – минус 65 дБ – показывает, что применение ЦАП с максимальной нелинейностью шумовая составляющая сигнала RDS (с учетом соотношения уровней сигналов КСС и RDS) не превысит минус 85 дБ от уровня КСС даже в маловероятном случае, когда вся энергия шумовой составляющей сигнала RDS полностью попадает в полосу КСС. В случае равномерного распределения энергии шумовой составляющей в полосе 0…Fд/2, в полосу КСС попадет энергия шума, соответствующая относительному уровню минус 88 дБ Таким образом, уровень шумов, создаваемых 12-ти разрядным ЦАП удовлетворяет требованиям стандарта RDS и применение ЦАП с числом разрядов более 12 нецелесообразно. 4.4 Выводы по главе 1. Разработанная методика проектирования устройств ЦОС на основе декомпозиции их системной функции обеспечивает возможность проектирования устройств ЦОС обладающих высокими показателями эффективности их реализации. 2. Систематизированное рассмотрение способов сокращения затрат на вычислительные операции алгоритмов ЦОС позволяет определить области их приложения в задачах разработки устройств связи и радиовещания. 3. Предложены способы построения синтезаторов широкого класса сигналов, включая цифровые генераторы гармонических сигналов, перестраиваемые по частоте или используемые для синтеза сетки частот на основе комбинирования прямых методов синтеза с интерполяцией. 4. Разработана схема модулятора сигналов передачи данных по радиовещательному каналу, определены её характеристики. Результаты испытаний подтвердили высокую степень надежности и экономичности схемы.

179 ЗАКЛЮЧЕНИЕ На основе изучения состояния теории и практики ЦОС, основных характерных особенностей ее алгоритмов, систематизированного рассмотрения свойств передаточных функций фильтров, сформулирован и обоснован критерий оптимальности в виде показателя вычислительной сложности, характеризующего эффективность алгоритма ЦОС, и определены его основные свойства. Исследованы основные свойства системных функций и характеристик алгоритмов цифровых фильтров. Обоснована необходимость выработки критерия сравнения различных вариантов построения алгоритмов и устройств ЦОС, разработки методов и путей совершенствования эффективности устройств ЦОС, создания методики проектирования алгоритмов и устройств ЦОС, ориентированной на синтез с использованием средств вычислительной техники. Показано, что основные характеристики алгоритмов и устройств ЦОС в значительной мере определяются числом выполняемых арифметических операций, которое в свою очередь зависит от вида симметрии системных функций ЦФ. На основе анализа свойств передаточной функции линейных дискретных систем получено выражение для предельно возможной одновременной концентрации характеристик ЦФ по времени и частоте, соответствующей принципу неопределенности. Показана невозможность обеспечения сколь угодно близкого приближения характеристик ЦФ к характеристикам идеального прямоугольного фильтра и одновременно внесения произвольного запаздывания. Показано, что введение понятия образующего полинома позволяет представить передаточную функцию любого ЦФ в виде комбинации ПФ полиномов минимально-фазового типа и полиномов единичной окружности, благодаря чему упрощается анализ и синтез ЦФ, проявляются свойства симметрии конкретных ПФ. Исследованы и систематизированы на основе групп симметрии свойства симметрии присущие различным видам ПФ

180 Сформулирован и обоснован критерий сравнения алгоритмов ЦОС – критерий минимизации величины показателя вычислительной сложности, обобщающий характеристики чувствительности и порядка ЦФ. Рассмотрены его основные свойства, используемые при определении этого показателя применительно к различным типам ЦФ. На основе обобщения методов и приемов сокращения вычислительной сложности алгоритма ЦОС установлено влияние свойств симметрии системной функции фильтра на характеристики вычислительной сложности алгоритма обработки. На основе оценки этого влияния предложена классификация типов симметрии и связанных с ними видов декомпозиции системной функции линейных цифровых фильтров и синтезаторов сигналов, используемой для сокращения сложности их реализации. Исследованы вопросы синтеза эффективных цифровых фильтров на основе декомпозиции передаточной функции. Сформулировано условие целесообразности использования декомпозиции ПФ для получения допустимого решения, обеспечивающего сокращение сложности реализации. Показано, что это условие выполняются во многих случаях важных для приложений ЦОС. Установлено, что основные свойства факторизации ПФ как средства сокращения вычислительной сложности ЦФ связаны с группами симметрии вида CR – группами поворотов и в наибольшей степени эффективны для узкополосных ПФ. Показано, что определение условий целесообразности использования факторизации типа «префильтр – корректор» и применение предлагаемых схем префильтров на основе циклотомических полиномов позволяет расширить границы применимости этого метода и повысить его эффективность. Установлены условия использования и характеристики эффективности снижения вычислительной сложности алгоритма интерполированной многополосной цифровой фильтрации. Обоснована целесообразность использования факторизации ПФ в процедурах синтеза эффективных функций взвешивающих окон.

181 Показано, что эффективность параллельной декомпозиции ПФ определяется порядком группы симметрии зеркального типа и в полной мере реализуются при когерентном и дифференциально-фазовом суммировании, в том числе при синтезе ПФ дополнительных (комплементарных) ЦФ. Обосновано использование методов декомпозиции передаточных функций для случаев многоканальной цифровой фильтрации и фильтрации с преобразованием частоты дискретизации. Показано, что в многополосной цифровой фильтрации использование факторизации ПФ групповым образом преобразует каскадную схему в древовидную, которая по отношению к виду составляющих ее элементов является универсальной, т.е. допускает использование любых видов ЦФ: минимально-фазовых, гибридных рекурсивно-нерекурсивных и т.д. Установлено, что наиболее эффективной для многополосной фильтрации является пирамидальная структура, заключающая в себе наивысшую степень симметрии. Показано, что совместное использование факторизации и параллельной декомпозиции для организации дополняющего выхода обеспечивает усиление эффективности метода многополосной фильтрации. Для случая, когда расположение парциальных каналов обладает свойством зеркальной симметрии, получено разложение матрицы фильтрации с выделением матрицы, содержащей только тривиальные операции, что позволяет уменьшить вычислительную сложность алгоритма разделения. Установлено, что метод разделения на основе устройств трехканального разделения, обладая в случае частотного разделения каналов меньшей эффективностью по сравнению с многополосной фильтрацией, обеспечивает большую гибкость, например, при разделении каналов неодинаковой ширины. При увеличении числа разделяемых каналов от трех до бесконечности получаемый выигрыш уменьшается с трех до двух раз. Показано, что полифазная структура представляет собой вариант использования параллельной декомпозиции общего вида, в которой в роли слагаемых

182 выступают многополосные гребенчатые фильтры. В схемах с преобразованием частоты эти слагаемые работают на низкой частоте дискретизации. Однородная гребенка полосовых фильтров, преобразованная путем декомпозиции и перегруппирования в комбинацию полифазной цепи и процессора ДПФ, реализуется тем эффективнее, чем выше тип симметрии составляющих. Сочетание полифазного представления с факторизацией позволяет усилить эффективность результирующих схем как в случае многоскоростной обработки, так и в случае многоканальной фильтрации. Полученные выражения позволяют оценить вычислительную сложность гибридных рекурсивно – нерекурсивных фильтров и определить условия целесообразного использования предложенных схем. Разработана методика проектирования алгоритмов и устройств ЦОС с уменьшенной величиной программно-аппаратных средств, ориентированная на синтез с использованием свойств симметрии системных функций. Результаты разработки и использования систем и устройств ЦОС подтверждают, что разработанная методика обеспечивает возможность проектирования устройств, обладающих высокими показателями эффективности их реализации, а систематизированное рассмотрение способов сокращения затрат на вычислительные операции алгоритмов ЦОС позволяет определить области их приложения в задачах разработки устройств связи и радиовещания. Предложены способы построения синтезаторов широкого класса сигналов, включая цифровые генераторы гармонических сигналов, перестраиваемые по частоте или используемые для синтеза сетки частот на основе комбинирования прямых методов синтеза с интерполяцией. Разработана схема модулятора сигналов передачи данных по радиовещательному каналу, определены её характеристики. Результаты испытаний подтвердили высокую степень надежности и экономичности схемы Выполнена техническая реализация и внедрение в проектную практику, а также передана в промышленность методика проектирования, программное

183 обеспечение, техническая документация, макеты и опытные образцы устройств ЦОС. Результаты диссертационной работы успешно внедрены при выполнении исследований и разработок в интересах отрасли телекоммуникаций, в том числе по заказам Минсвязи России. Внедрение результатов диссертационной работы и достигнутый при этом эффект подтверждены соответствующими актами. Диссертация в целом представляет собой научно-квалификационную работу, в которой содержится решение задачи повышения эффективности алгоритмов и устройств ЦОС в системах связи и радиовещания путем разработки методов их построения, оптимизирующих использование программных и аппаратных средств, имеющей существенное значение для отрасли телекоммуникаций.

184 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Концепция развития отрасли «Связь и информатизация» Российской Федерации. / Под ред. Л.Д. Реймана и Л.Е. Варакина – М. МАС, 2001 г. 340 с. 2. Кох Р., Яновский Г.Г. Эволюция и конвергенция в электросвязи. – М: Радио и связь 2001 г. 280 с. 3. Зубарев Ю.Б., Витязев В.В., Дворкович В.П. Цифровая обработка сигналов – информатика реального времени. Цифровая обработка сигналов. №1, 1999 г., с.5-17. 4. Bellanger M. Traitment numerique signal: Theorie et practique. Paris Mason, 1984 г. 432 p. 5. Введение в цифровую фильтрацию. / Под ред. Р. Богнера и А. Константинидаса. Мир 1976 г. 216 с. 6. Хемминг Р. Цифровые фильтры. – М. Сов. Радио. 1980 г. 7. Феттвайс А. Волновые цифровые фильтры: Теория и применение. ТИИЭР т.74 №2 февраль 1986 г. С.35-99. 8. Макклелан Дж., Рейдер Ч. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов. – М.: Радио и связь. 1983 г. 264 с. 9. Рабинер Л., Голд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов.- М.: Мир 1978 г. 848 с. 10. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. – М.: Радио и связь 1985 г. 312 с. 11. Зубарев Ю.Б., Дворкович В.П. Основные проблемы цифровой обработки изображений и использования цифрового телевидения в России // Электросвязь. 1997 г. № 8. C/6-10. 12. Витязев В.В. Цифровая частотная селекция сигналов – М. Радио и связь. 1993 г. 323с.

185 13. Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. СПб: Политехника. 1999 г. 592 с. 14. Вайдьянатхан П.П. Цифровые фильтры, блоки фильтров и полифазные цепи с многочастотной дискретизацией: Методический обзор – ТИИЭР т.78 №3 1990 г. с.77-120. 15. Fliege N. Multirate digital signal processing: multirate systems, filter banks, wavelets. John Wilcey & sons. 1994. 340 p. 16. Adams J.W. and Wilson A.N. A new approach to FIR digital filters with fewer multipliers and reduced sensitivity. IEEE Trans. vol CAS – 30 p. 277-283 May 1983. 17. Vaidyanathan P.P. Efficient and multiplierless design of FIR filters with vary sharp cutoff via maximally flat building blocks. IEEE Trans. vol. CAS-32, №3,March 1985, p.236-244. 18. Saramaki T., Renfors M. «Nth-band filter design» in Proc EUSIPCO’98 (Rhodos, Greece), p. 1943-1948, September 1998. 19. Vetterli M. A Theory of multirate filter banks. IEEE Trans. vol. ASSP-35 №3 p.336-372 March 1987. 20. Malvar H. A modulated complex lapped transform and its applications to audio processing. IEEE ICASSP’99 – Phoenix, AZ, March 1999. p.100-105. 21. Тяжев А.И. Оптимизация цифровых детекторов в приемниках по минимуму вычислительных затрат. Самара. ПИИРС 1994 г. 256 с. 22. Солонина А.И., Улахович Д.А., Яковлев Л.А. Алгоритмы и процессоры ЦОС. - СПб.: БКВ – Петербург. 2001 г. 464 с. 23. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов – М.: Связь, 1979 г. 416 с. 24. Вейль Г. Симметрия. – М. Наука. 1975 г. 231 с. 25. Фларри Р. Группы симметрии. – М. Мир. 1983 г. 395 с.

186 26. Елисеев С.Н. Свойства симметрии передаточной функции и вычислительная сложность алгоритма цифровой фильтрации // Радиотехника (журнал в журнале) 2001 г. №9 вып. 56 с.92-94. 27. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов.- М.: Мир 1979 г. 536 с. 28. Елисеев С.Н., Волкова Т.Л., Крылов С.М. и др. Система автоматизированного расчета и программирования нерекурсивных цифровых фильтров. // Труды НИИР – 1984 г. №1 с.115-118. 29. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука. 1967 г. 780 с. 30. Математические основы современной радиоэлектро-ники.// Под ред. Л.С. Гуткина Вып.2 М.: Сов. Радио 1968 г. 208 с. 31. Дьяконов В.П., Круглов В. Математические пакеты расширения MATLAB: Специальный справочник. СПб.: Питер. 2001. 375 с. 32. Елисеев С.Н. Синтез префильтров для построение нерекурсивных цифровых фильтров с уменьшенным числом умножителей // Известия ВУЗов – Радиоэлектроника – 1989 г. т.32 №12 с.22-28. 33. Adams J.W. and Wilson A.N. Some efficient digital prefilter structures. IEEE Trans CAS-31 p.260-266. March 1984. 34. Елисеев С.Н. Замечания по статье «Комплементарные цифровые фильтры с импульсной характеристикой конечной длины» // Радиотехника. – 1989. т.32-№5. – с.12. 35. Neuvo Y., Dong-Cheng-Yu and Mitra S. Interpolated FIR filters. IEEE Trans ASSP-32 №3 p.563-570 June 1984. 36. Neuvo Y., Rajan G. and Mitra S. Efficient realization of narrowband FIR bandpass digital filters. IEEE Trans vol. CAS-34 p.409-419 April 1987. 37. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование. – М.: Радио и связь, 1983 г. 320 с.

187 38. Елисеев С.Н. Использование декомпозиции передаточной функции для уменьшения вычислительной сложности алгоритмов цифровой фильтрации // Радиотехника (журнал в журнале) 2001 г. №9 с.95-98. 39. Хэррис Ф. Использование окон при гармоническом анализе методом ДПФ. ТИИЭР т.66 №1 1978 г. с.60-96. 40. Елисеев С.Н., Волкова Т.Л. Использование эффективных спектральных окон для синтеза нерекурсивных цифровых фильтров. Депонирован в ЦНТИ «Информсвязь», 17.07.84 г., №452. 41. Ramstad T.A. Digital two-rate IIR and hybrid IIR/FIR filters for sampling rate conversion. IEEE Trans. COM-30 p.1466-1476. July 1982. 42. Гоулден Р. Цифровые фильтры в кн.: Современная теория фильтров и их проектирование. // Под ред. Темеша Г. и Митра С. Мир 1977 г. 560 с. 43. Valenzuela R. and Constantinides A. DSP schemes for efficient interpolators and decimators. IEEE Proc. vol.130 part G p.225-235 Dec. 1983. 44. Lawson S., On design techniques for approximately linear phase recursive digital filters. Proc ISCAS’97 p.2212-2215 June 1997. 45. Bonnerot G., Сoudreuse M., Bellanger M. Digital processing technigues in the channel transmultiplexer. IEEE Trans. vol. COM-26 May 1978. №5. p.698-706. 46. Елисеев С.Н. Эффективная реализация многоканальных цифровых фильтров.//Радиотехника – 1989 – 32, №12, с.22-28. 47. Патент № 1075375 Россия, МКИ Н03Н 17/06 Устройство для частотного разделения трехканального цифрового сигнала / Елисеев С.Н., Лютов С.Д., Гаврилов А.В. и др. (Россия) 23.02.84 г. Бюл. №7. 48. Bellanger M., Daguet J., Lepagnol G. Intorpolation, extrapolation, and reduction of computional speed in digital filters. IEEE Trans. ASSP-22 p.231-235 Aug. 1974. 49. Bellanger M.G., Bonnerot G., Coudreuse M. Digital filtering by polyphase network: Application to sample rate alteration and filter banks. IEEE Trans. vol. ASSP-24 p.109-114 April 1976.

188 50. Insights into Mobile Multimedia Communications. Edited by Bull D. Academic Press. 1999. 682 p. 51. А.С. 1226609 СССР, МКИ Н03Н 17/06 Устройство для частотного разделения многоканального цифрового сигнала / Елисеев С.Н., Коробков Л.А., Муштаков Е.А. и др. (СССР) 23.04.86 г. Бюл. №15. 52. Шафер Р., Рабинер Л. Методы цифровой обработки сигналов в задачах интерполяции. ТИИЭР, 1973 г., т.61, №6, с.5-18. 53. Крозье Р., Рабинер Л. Интерполяция и децимация цифровых сигналов. ТИИЭР, 1981 г., т.69, №3, с.14-49. 54. Martinez H., Parks T. Class of infinite – duration impulse response digital filters for sampling rate reduction. IEEE Trans, ASSP-27 p.154-162 April 1979. 55. Елисеев С.Н. Декомпозиция передаточных функций многоскоростных цифровых фильтров // Радиотехника (журнал в журнале) 2001 г. №11 с.77-81. 56. Lee E.A. Programmable DSP Architectures: Part1. IEEE ASSP Magazine October 1988. p.4-18. 57. Barsilon V., Temes G. Optimum impulse response and the Van Der Maas function. IEEE Trans. vol. CT-19 p.336-342 July 1972. 58. Прокис Дж. Цифровая связь. Пер. с англ./Под ред. Д.Д. Кловского – М.: Радио и связь. 2000 г. 800 с. 59. Акчурин Э.А. Оптимизация обработки сигналов путем модульной структуризации.- М.: Радио и связь. 2000 г. 331 с. 60. Тяжев А.И. Выходные устройства приемников с ЦОС. Самара.: СамГУ, 1992 г., 276 с. 61. Елисеев С.Н. Расчет цифрового преобразователя спектра систем большой информационной емкости / Методология и организация систем информационных процессов.: Куйбышев. 1981 г. с.112-116. 62. Коршунов Ю.М., Бобиков А.И. Цифровые сглаживающие и преобразующие системы. – М.: Энергия. 1969 г. 128 с. 63. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. – М.: Мир,1988 г. 336 с.

189 64. Финк Л.М. Теория передачи дискретных сообщений. – М.: Радио и связь, 1970 г. 728 с. 65. Френкс Л.Е. Теория сигналов. - М.: Сов.Радио, 1974 г. 324 с. 66. 1-я Международная конференция «Цифровая обработка сигналов и ее применение» 30 июня-3 июля 1998 г., Доклады т.2, МЦИТИ, 1998 г.,с.10-25. 67. Елисеев С.Н., Будишов В.П. Цифровой функциональный преобразователь с интерполяцией. // Радиотехника – 1984 г. №7, с.64-67. 68. Полянский Б.И., Кикинзон В.Д., Гаврилов А.В.,Елисеев С.Н. Автоматическая система коррекции сетевых трактов АСК СТ (ЦГ) ЦНТИ «Информсвязь» 1989. с.1-2. 69. Signal Compression: Coding speech, audio, text, image and video. World Scientific, London, 1997. 70. Елисеев С.Н. Комбинированные методы построения цифровых гармонических генераторов. – в сб.: Системы контроля и управления на основе микро-ЭВМ. – Куйбышев: КПтИ, 1983 г., с.36-41. 71. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики. – М.: Наука, 1977 г., 127 с. 72. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965 г., 407 с. 73. Елисеев С.Н. Радиовещательные системы информационного обслуживания, использующие поднесущие канала.// Новое в телерадиовещании и радиосвязи: Тезисы докл. I научно-технич. семинара (г.Псков, 1998). – М.: МНТОРЭС им. А.С. Попова 1998 г. – с.27. 74. Елисеев С.Н. Передача информации дорожного движения по сетям ОВЧ ЧМ радиовещания // Состояние и перспективы развития средств телевизионного и звукового вещания в новых условиях: Тезисы докл. семинарасовещания (г.Анапа, 2000). – М.: Минсвязи России, УНЦ «Содействие», 2000. – с.148-152.

190 75. Елисеев С.Н. Организация и использование радиовещательных систем передачи данных (ВСПД) //Состояние и перспективы развития средств телевизионного и звукового вещания в новых условиях: Тезисы докл. семинарасовещания (г.Адлер, 1999). – М.: - Гостелеком РФ, УНЦ «Содействие», 1999. – с.17-18. 76. Елисеев С.Н. Формирование и разделение КСС и информационных поднесущих сигнала ОВЧ ЧМ вещания методами ЦОС // Новое в телерадиовещании и радиосвязи: Тезисы докл. научно-практич. семинаров (Великие Луки, 2000 и Пушкинские Горы, 2001). – М.: МНТОРЭС им. А.С. Попова. – 2001. с.60. 77. IEC 62106: Specification of the Radio Data System (RDS) for VHF/FM sound broadcasting in the frequency range from 87.5 to 108 MHz. RDS Forum, Geneva, 1999. 78. Andersson R., Scomazzon P. A high bit-rate data broadcasting system using the terrestrial FM radio network. EBU Technical Review, Summer 1995. p.4-12. 79. Грибунин

В.Г.

Глоссарий

по

обработке

сигналов.,

http://www.autex.spb.ru 28 c. 80. Елисеев С.Н. Трансмультиплексоры интегральных сетей и их реализация аппаратными средствами //

Тезисы докладов областной научно-

технической конференции. – Куйбышев, 1980. – С.11-12. 81. Елисеев С.Н., Гаврилов А.В. Методы измерения шумов усечения нерекурсивных цифровых фильтров // Труды НИИР. – 1984. - №3. – С.87-92. 82. Елисеев С.Н. Однополосные преобразования методами цифровой обработки сигналов // Проблемы электромагнитной совместимости в радиоприемных устройствах: Тезисы докладов тематического заседания-семинара. – Москва, 1984. – С.17. 83. Елисеев С.Н. Синтез нерекурсивных цифровых фильтров с применением декомпозиции передаточной функции // Труды НИИР. – 1990. – №1. – С.47-50.

191 5

84. А.с. 1693731 СССР, МКИ Н 04 J 1/08. Способ многоканальной передачи и приема сигналов / Елисеев С.Н., Муштаков Е.А., Пономарев А.К. и др. (СССР) – 23.11.91, Бюл. №43. 85. Патент № 2024183 Россия, МКИ5 Н 01 H 17/04. Цифровой фильтр / Елисеев С.Н., Бакеев В.Б., Лютов С.Д. и др. (Россия) – 30.11.94, Бюл. №22. 86. Елисеев С.Н. Концепция регионального ОВЧ ЧМ вещания для сельской местности // Новое в телерадиовещании и радиосвязи: Тезисы докл. I научно-технич. семинара (г.Псков, 1998). – М.: МНТОРЭС им. А.С. Попова, 1998. – С.8-9. 87. Бузов А.Л., Елисеев С.Н., Носов Н.А. Региональное вещание – оригинальный вариант // Телекоммуникационное поле регионов. – 1998. - №3. – С.1516. 88. Елисеев С.Н. Организация дополнительных услуг в каналах звукового вещания //Современные технологии в эфирном и проводном звуковом вещании, переход на цифровое вещание : Тезисы докладов семинара. – Сочи, 2001. – С.61-62. 89. Тяжев А.И. Основы теории управления и радиоавтоматика. – М.: Радио и связь, 1999. – 188 с.: ил. 90. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. – М.: Наука, 1975. – 526 с. 91. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ. / Под ред. А.М. Трахтмана. – М.: Сов. радио, 1973. – 368 с. 92. Серков В.В., Петровский А.А. Способ описания и метод синтеза эквивалентных структур цифровых фильтров. // 1-ая Международная конференция «Цифровая обработка сигналов и ее применения». Москва, 1998. – С. II115II122. 93. Шинаков Ю.С., Буров Ю.Я. Разностная цифровая фильтрация с целочисленными коэффициентами. // // 1-ая Международная конференция «Цифровая обработка сигналов и ее применения». Москва, 1998. – С. II95- II99.

192 94. Кловский Д.Д. Передача дискретных сообщений по радиоканалам; 2-е Изд. – М.: Радио и связь, 1982. – 304 с. 95. Карташевский В.Г., Семенов С.Н., Фирстова Т.В. Сети подвижной связи. – М.: Эко-Трендз, 2001. – 299 с. 96. Карташевский В.Г. Обработка пространственно-временных сигналов в каналах с памятью. – М.: Радио и связь, 2000 г. – 272с. 97. Кузьмин С.З., Основы проектирования систем цифровой обработки радиолокационной информации, М.: Радио и связь, 1986. 98. Лэм Г., Аналоговые и цифровые фильтры: Расчет и реализация, М.: Мир, 1982. 99. Мишенков С.Л., Зелевич Е.Л., Козыровский Б.Ю., Гамаюнов Е.М., Миткалев А.А. К вопросу о формировании концепции звукового вещания в России. // 1-ая Международная конференция «Цифровая обработка сигналов и ее применения». Москва, 1998. – С. II1 – II6. 100. Мишенков С.Л. Исследование и развитие систем звукового вещания и оповещения. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук в форме научного доклада. – Москва, 1996. – 70 с. 101. Мишенков С.Л., Исаев А.Н., Зелевич Е.П., Петров М.С. Перспективы внедрения цифрового звукового радиовещания в Российской Федерации / Обработка сигналов звукового вещания и магнитной записи / МТУСИ. – М.: ЦНТИ «Информсвязь», 1995, − 14 с. 102. Чабдаров Ш.М., Щербакова Т.Ф., Можгинский В.Л. Режектирующий фильтр Калмана. // 1-ая Международная конференция «Цифровая обработка сигналов и ее применения». Москва, 1998. – С. II42 – II46.

193 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 РЕЗУЛЬТАТЫ РАЗРАБОТКИ МОДУЛЯТОРА СИСТЕМЫ RDS Схема модулятора – устройства, реализующего функции формирования сигнала RDS выполнена в виде автономного устройства, со своим собственным источником питания. Схема подключения модулятора в тракт радиовещания приведена на рисунке П1.1.

Звуковая программа

РАДИОПЕРЕДАТЧИК

Сигнал RDS

УСИЛИТЕЛЬ МОЩНОСТИ

ВОЗБУДИТЕЛЬ

СТЕРЕО КОДЕР

МОДУЛЯТОР RDS

КСС

ФОРМИРОВАТЕЛЬ СИГНАЛА RDS

СИСТЕМА СИНХРОНИЗАЦИИ

Данные

Синхронизация данных

RS232

КОМПЬЮТЕР

КСС – комплексный стереосигнал. Рисунок П1.1 – Схема включения модулятора RDS в тракт радиовещания В основу построения, как это описано в п. 4.3, положен принцип прямого цифрового синтеза сигналов. При этом, в зависимости от значения передаваемых, данных из ПЗУ последовательно выбираются отсчеты выходного сигнала,

194 соответствующие этим данным. Далее отсчеты преобразуются в аналоговую форму и через ФНЧ поступают на выход модулятора. Структурная схема формирователя сигналов RDS показана на рисунке П1.2. КСС

Fг

Г

СС Fд 19 кГц

ПЗУ СТ :12

Синхронизация данных

10 12

12

ЦАП

ФНЧ

Сигнал RDS

RG

Fт=1187,5 Гц Данные

ДК

RG

Рисунок П1.2 – Структурная схема формирователя сигналов RDS В состав формирователя сигнала RDS входят следующие узлы: • Г – кварцевый генератор, формирующий опорное колебание; • СС – система синхронизации, обеспечивающая требуемые фазовые соотношение сигнала RDS и сигнала пилот-тона; • СТ – делитель опорного колебания до частоты Fт=1187,5 Гц; • RG – сдвигающий регистр, хранящий последовательные значения передаваемых данных; • ПЗУ – постоянное запоминающее устройство;

195 • RG - параллельный регистр, тактируемый импульсами с частотой дискретизации Fд; • ЦАП- цифро-аналоговый преобразователь; • ФНЧ- фильтр нижних частот; • ДК - дифференциальный кодер. В принятой схеме реализации модулятора RDS его характеристики во многом определяются выбранными значениями частоты дискретизации, которая должна быть кратной 19 кГц что позволит получить аналоговый сигнал с помощью достаточно простого аналогового фильтра. Система синхронизации предназначена для синхронизации моментов перехода через ноль поднесущей сигнала RDS с частотой 57 кГц с моментами перехода через ноль пилот-тона сигнала КСС. Для того, чтобы модулятор RDS можно было подключить к передатчику только внешними разъёмами, для синхронизации было решено использовать пилот-тон, выделенный непосредственно из стереосигнала. Структурная схема системы синхронизации модулятора RDS показана на рисунке П1.3. ВПТ КСС

УС

РЕЗ

ЧФРД

Ф

ГУН

19 кГц

19 кГц

ЖМ

«фаза»

Рисунок П1.3 – Система синхронизации

FД

196 Здесь: СС – система синхронизации; ВПТ – выделитель пилот-тона; УС – усилитель; РЕЗ – резонатор на частоту 19 кГц; ЧФРД – частотно-фазоразностный детектор; Ф – фильтр системы ФАПЧ; ГУН – генератор управляемый напряжением; ЖМ – ждущий мультивибратор. Система синхронизации работает следующим образом. КСС поступает на ВПТ, который выделяет из него пилот-тон. ВПТ состоит из УС и РЕЗ. УС поднимает уровень КСС до – 6 дБ. Далее сигнал поступает на резонатор РЕЗ, который поднимает уровень пилота до +6 дБ (на выходе ВПТ) и устраняет лишние выбросы в АЧХ ВПТ. Выделенный в ВПТ пилот используется, как зталонная частота системы ФАПЧ. Пилот поступает на вход ЧФРД. На второй вход поступает сигнал с частотой 19 кГц, сформированный адресными счётчиками-делителями и прошедший через ЖМ. Благодаря тому, что ЧФРД реагирует на разность фаз входных сигналов, становится возможным подстраивать частоту ГУН таким образом, чтобы обеспечивать необходимое соотношение между фазами входных сигналов ЧФРД , регулируя задержку в ЖМ. С выхода ЧФРД сигнал рассогласования проходит фильтр Ф ФАПЧ и поступает на вход управления ГУН. ГУН генерирует сигнал с частотой FД. Расчет значений сигнала выполнен по методике п.4.3. Рассчитанные значения отсчетов h(n) и квантованные значения отсчетов

hˆ(n) приведены в таблице П1.1. На рис.П1.4 приведен вид временной характеристики сигнала h(n). Спектрограммы сигналов h(n) и hˆ(n) показаны на рисунках П1.5, П1.6. Осциллограммы сигнала RDS показаны на рисунке П1.7.

197 Для табл.П1.1/

198

199

200

201 /Для рис.П1.4/

202 /Для рис.П1.5/

203 /Для рис.П1.6/

204 /Для рис.П1.7/

205 Модулятор RDS был испытан в лабораторных условиях и в условиях реальной эксплуатации Результаты лабораторных испытаний подтвердили соответствие измеренных и расчётных характеристик, их соответствие требованиям стандарта RDS [77] : уровень внеполосных составляющих –62 - -64 дБ, ширина спектра на уровне –60 дБ не превосходит 5 кГц, величина фазовой ошибки не более 10. Результаты линейных испытаний и реальной эксплуатации в течении более двух лет показали высокую надёжность: не было ни одного случая отказа, выхода устройства из строя. По результатам измерений напряжённости поля, подтверждённым приёмом на восьми разновидностей автомобильных, стационарных и носимых радиоприёмниках RDS, включая приёмник-монитор RDS, установлено, что зона уверенного приёма сообщений RDS (рис.П1.8) совпадает с зоной уверенного приёма звуковых стереопрограмм и несколько меньше, чем зона приёма программ “моно”.

206 /Для рис.П1.8/

207 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 СИСТЕМА АВТОМАТИЗИРОВАННОГО РАСЧЕТА И ПРОГРАММИРОВАНИЯ НЕРЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ Проектирование ЦФ большого порядка оказывается весьма трудоемким процессом, поскольку приходится оперировать с массивами переменных большой размерности. Практическое использование разработанной в подразделе 4.1 методики проектирования для разработки ЦФ такого класса (N > 300) нуждается в развитии средств аппаратно-программной поддержки, инструментальных средств программирования. В соответствии с этой потребностью была разработана, апробирована и использована в ряде задач система автоматизированного расчета и программирования не рекурсивных ЦФ (САПР НЦФ). Первоначально была разработана система для увеличения производительности проектирования быстродействующих (Fд ≅ 500 ÷ 1000 кГц) линейнофазовых НЦФ. Эта система была использована при разработке конкретной аппаратуры. Затем эта система была модернизирована как в отношении использования более современного комплекса технических средств, так и в отношении средств программной поддержки, расширение класса синтезируемых ЦФ, методов их синтеза. САПР НЦФ позволяет: - производить автоматизированный расчет коэффициентов НЦФ; - документировать результаты расчетов; - осуществлять программирование ИМС ППЗУ, изготовленных по технологии ТТЛ, ТТЛШ, ЭСЛ, КМОП. САПР НЦФ представляет собой аппаратно-программный комплекс, в состав которого входят: -

ПК с процессором Pentium;

- пакет прикладных программ расчета НЦФ (САПФИР);

208 - программное

обеспечение

автоматизированного

стенда-

программатора ИМС ППЗУ; - автоматизированный стенд-программатор ИМС ППЗУ. В состав САПФИР входят следующие процедуры: WIND – расчет НЦФ методов взвешивания; FIR – расчет Чебышевских НЦФ с линейной ФЧХ; WFIR – расчет модифицированных НЦФ с линейной ФЧХ; FAZA – расчет минимально-фазового НЦФ; ACHH – расчет амплитудно-частотной характеристики ЦФ; GVZ – расчет ФЧХ и группового времени запаздывания ЦФ; QUANT – квантование значений коэффициентов ЦФ; MWW – свертка импульсных характеристик НЦФ. Результаты расчетов представляются в виде таблиц соответствующих численных значений и иллюстрируются в виде графиков. Возможно использование соответствующих программ из пакета MATLAB. Блок-схема пакета САПФИР приведена на рисунке П2.1. Теоретические положения, служащие основой разработки пакета САПФИР рассмотрены в п.2.4, поэтому здесь будут затронуты только аспекты, поясняющие его использование. Программа WIND реализует синтез НЦФ по методу взвешивания. В общем виде, для коэффициентов фильтра справедливо выражение: h (n) = W (n) ⋅ Sа (n) ⋅D (n) ,

(П2.1)

где W (n) – значение отсчета функции окна, определяющей ширину переходной полосы ПФ; Sа(n)

–

значения

функции

коэффициентов идеального ФНЧ;

отсчетов,

выражающей

значения

209

ВВОД исходных данных

Расчет НЦФ по алгоритму Ремеза FIR или WFIR

Расчет НЦФ методом взвешивания (WIND)

Расчет минимально-фазового НЦФ (FAZA)

Расчет свертки импульсных характеристик (MWW ) и квантование коэффициентов (QUANT)

Расчет АЧХ (ACHH)

Расчет ФЧХ и ГВЗ (GVZ)

Построение графиков

Рисунок П2.1 – Блок схема алгоритма работы пакета САПФИР.

210 D (n) – функция, определяющая тип ПФ: НЧ, ВЧ, полосовая и т.д. Положив Sа(n) = D(n) = 1, мы получаем программу синтеза взвешивающих окон. В качестве W(n) могут быть использованы окна Хемминга, ДольфаЧебышева, Кайзера, Барсилона-Темеша. Программа FIR позволяет синтезировать передаточную функцию, удовлетворяющую критерию взвешенной Чебышевской аппроксимации. Решение задачи аппроксимации получается численным методом, основой которого является алгоритм многократной замены Ремеза. За основу программы FIR была взята версия, описанная в [9,10]. Для расширения функциональных возможностей синтеза ПФ разработана модификация программы WIND. Модификация заключается во внесение изменений в блок программы, который определяет значимость ошибки аппроксимации в частотной области. Внесение этих изменений позволяет: во-первых, синтезировать НЦФ с АЧХ произвольного вида, например амплитудных выравнивателей [16], а во-вторых, получать решения, близкие к оптимальным в среднеквадратическом смысле. Программа FAZA позволяет в результате решения аппроксимационной задачи для передаточной функции минимально-фазового типа синтезировать НЦФ, АЧХ которого близка к АЧХ наилучшего Чебышевского приближения, а ФЧХ является минимально-фазовой. Идея метода рассматривалась в п.2.4. Программа FAZA в качестве исходных данных использует результаты, получаемые в программе FIR , но не WFIR . Укрупненно в нее входят следующие блоки: - преобразование коэффициентов передаточной функции оптимального ПФ, полученных в программе FIR по методу Херманна-Шусслера; - определение нулей преобразования ПФ; - формирование набора нулей ПФ минимально-фазового ПФ; - вычисление коэффициентов ПФ минимально-фазового ПФ. Суть преобразования в первом блоке заключается в добавлении к центральному коэффициенту импульсной характеристики величины пульсации

211 АЧХ в пределах полосы задерживания δ2 . Цель этого смещения в получении корней двойной кратности в пределах полосы задерживания, необходимых для разделения ПФ на минимально-фазовый и максимально-фазовый сомножители. Таким образом, для синтеза ПФ минимально-фазового типа N-го порядка требуется предварительно синтезировать линейно-фазовую прототипную ПФ значительно большего порядка. Нули ПФ, полученной в результате преобразования, определяются итерационным методом, получившим название «QD - алгоритм со смещением». Нули ПФ фильтра с линейной ФЧХ образуют два непересекающихся подмножества. Первое из них образуют нули, располагающиеся попарно зеркально симметрично относительно единичной окружности, которые оказывают доминирующее влияние на характеристики фильтра в пределах полосы пропускания, а второе – подмножество нулей, располагающихся на единичной окружности и доминирующие в полосе задерживания. С учетом операции, выполняемой в первом блоке, в случае низкочастотной ПФ, получаем картину, изображенную на рисунке П2.2. Чтобы выделить нули, участвующие в формировании минимальнофазовой ПФ, в третьем блоке программы выполняется сортировка нулей. В первом подмножестве отбрасывается та половина нулей, которая лежит вне единичной окружности. Эта процедура выполняется путем проверки условия

│Zi│ < 1 , для нулей этого подмножества. Во втором подмножестве сохраняются по одному нулю из каждой пары

двойной кратности. Определяемые численными методами кратные нули совпадают толь ко с конечной точностью. При достаточно большом порядке исходного ПФ может возникнуть ситуация, когда разница значений между смежными нулями становится соизмеримой с точностью определения пары кратных нулей. Для разделения проверяется условие:

212 │Arg Zi - Arg Zk │ < ε . При его выполнении принимается, что нули принадлежат одной паре. В качестве аргумента нуля минимально-фазовой ПФ берется среднее арифметическое аргументов пары. Согласно результатам исследования свойств нуль диаграмм ПФ, оптимальных в Чебышевском смысле, величина ε должна быть порядка 0(π/10N ), точное значение ε устанавливается эмпирически. Im Z

Re Z

Рисунок П2.2 – Диаграмма расположения нулей передаточной функции НЧ нерекурсивного фильтра.

213 Возможность такого способа сортировки кратных нулей была выбрана по результатам анализа корней ПФ, показывавшего, что аргументы кратных корней совпадают с большей точностью, чем их модули или комплексные значения. В четвертом блоке

вычисляются значения коэффициентов ПФ мини-

мально-фазового ЦФ, использую рекуррентное соотношение. Pi (Z) = Pi -1 (Z) ⋅ P2 (Z) , где P2 (Z) - полином второго порядка, соответствующий i - му нулю ПФ. Этот процесс оформлен в виде стандартной подпрограммы SCCPZ. Программа квантования коэффициентов АЧХ, ФЧХ, ГВЗ и вычисление свертки коэффициентов ЦФ соответствуют формулам главы 1. Программа квантования коэффициентов QUANT предназначена для сокращения кодового слова коэффициентов методом усечение с отбрасыванием и округлением. Оптимальное (в смысле критерия минимизации объема аппаратурных затрат) решение задачи квантования состоит в приведении длины кодового слова коэффициентов к одинаковому формату θ [28]. В качестве стартовой оценки для θ взята величина:

θ = 0,75 log2 M + 0,166 а

(п.2.1),

где М – число ненулевых коэффициентов, подвергающихся квантованию; а = 20 lg δ ,

δ = min [δ1 , δ2].

После квантования h(n), проверяется выполнение требований к АЧХ, ФЧХ и ГВЗ, при использовании квантовых значений h(n) путем расчета соответствующих

214 значений. Для обеспечения достаточно густой сетки частот число точек выбирается равным (5 ÷ 10) х N, где N - порядок ПФ. Если для θ выбранного по (п.2.1) требования не выполняются, то производится наращивание формата, выполняется квантование для θ +1. Пакет программ подготовки информации и работы автоматизированного стенда-программатора главной задачей имеет расчет карт загрузки ППЗУ. Исходными данными для его работы служат: количество ненулевых коэффициентов, их численные значения в десятичном представлении; параметры, описывающие организацию ИМС ППЗУ – М х В бит, формат разрядной сетки для табличных значений, записанных в ПЗУ. Эти таблицы в зависимости от архитектуры процессора, определяемой видом умножителя, содержат либо двоичные представления в дополнительном коде квантованных до В разрядов значений коэффициентов для обычных схем умножителей, либо функции специального вида при использовании схем умножителей последовательностей неявного типа (“принстонских” умножителей). Сущность работы последней схемы можно пояснить следующим образом. Если n – отсчет сигнала масштабирован таким образом, что │χn│< 1 , то использую представление этого числа в дополнительном коде с фиксированной запятой в формате В двоичных разрядов: B −1

χ n = ∑ χ nk 2 − k − χ n0 k =1

Согласно [28] можно, изменив порядок суммирования по индексам n и к, записать для N- размерной свертки с коэффициентами hi : B −1

yi = ∑ 2 k =1

−k

N

∑

n =1

χ nk hi

N

− ∑ χ n0 hi , n =1

записав в таблицы, хранящиеся в ПЗУ значения функции N

F ( χ1 , χ 2 ,...χ N ) = ∑ χ n h(n), n =1

215 где χn -

биты разрядов адреса, соответствующих адресных шин ПЗУ;

h (n) - коэффициенты ПФ. Так как аргументы функции F могут принимать значения только 0 или 1, то при умножении h(n) на χn результат формируется как псевдобулева функция, которая может принимать 2N возможных значений. Объем памяти, требуемый для хранения F, экспоненциально возрастает с наращиванием величины N. В практических приложениях, когда величина N становится недопустимо большой, прибегают к секционированию ПЗУ. В результате достигается экспоненциальное уменьшение объема требуемой памяти в обмен на линейное увеличение операций сложения. Следует особенно отметить, что секционировать необходимо именно ПЗУ, а накапливать с соответствующим сдвигом уже выходные сигналы объединяющего сумматора, выходные сигналы «эквивалентного» ПЗУ. Такая последовательность выполнения операций позволяет сократить мощность шумов округления по сравнению с последовательностью операций, выполняемой схемой, приведенной в [28]. Если N составное число N =М ⋅ N1, где М – показатель секционирования, то величина выигрыша будет равна √М. Табличные значения получаются округлением результата (п.2.1) до заданного формата В2.

216 ПРИЛОЖЕНИЕ 3 РАЗРАБОТКА ЦИФРОВОГО ГЕНЕРАТОРА ДЛЯ АППАРАТУРЫ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ КОРРЕКЦИИ СЕТЕВЫХ ТРАКТОВ В качестве примера синтеза гармонических сигналов, опирающегося на результаты работ [67,70], рассмотрим аппаратную реализацию цифрового синтезатора частоты, сделав предварительно несколько замечаний общего характера по методике. На этапе анализа и формализации исходных данных устанавливается достаточность требований технического задания для определения следующих параметров: 1. Номинальное значение частоты дискретизации Fд . 2. Допуски отклонения ( ∆ Fд ) и стабильность номинала (δ Fд). 3. Границы диапазона синтезируемых частот (Fн, Fв). 4. Номинальные значения синтезируемых частот (Fi). 5. Допуски отклонения номиналов (∆Fi). 6. Допустимые уровни побочных продуктов а дБ: в пределах [Fн,Fв] и внеполосных составляющих. 7. Параметры перестройки частоты: время перехода (tn), допуск на выброс амплитуды (δА), требования

непрерывности фазы при переходе.

8. Допуски на величину отклонений А(F) и ϕ(F) от эталонного значения. 9. Временная стабильность ∆А(n) и ∆ϕ(n). 10. Ограничения на допустимый объем памяти. Подходя к следующему этапу классификации системной функции и обращаясь к таблице 4.6, мы убеждаемся, что интерполяция является единственным видом декомпозиции, который может быть задействован. Это приводит нас при аппаратной реализации к уже рассмотренному комбинированному таблично алгоритмическому функциональному преобразователю. Чтобы решить вопрос об использовании этой структуры, предварительно нужно определить

217 характеристики чисто табличной реализации. По значениям допусков ∆Fi и ∆ Fд, используя разложение в цепные дроби, получаем приближения Аi / Вi. Далее по Вi определяются значения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, как для всей совокупности, так и для части синтезируемых частот. Важность этих шагов, а также правильного выбора принципа группировки частот в синтезаторах, поясняет небольшой иллюстративный пример. Требуется сгенерировать гармонические сигналы с частотами π2/13; π3/14;

π10/37. Так как эти числа 13,14 и 37 взаимопростые, то наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел 6734. Объем таблицы синтезатора 6734 требует емкости 8 Кбит. Если эти же сигналы записать в таблицу, как сигналы независимых гармонических генераторов, то понадобится всего 13 + 14 + 37 = 64 значения. Типы симметрии гармонических сигналов известны и, выбор между альтернативами записывать в таблицу значения половины или четверти периода производится по соображениям компромисса между сложностью управления, определяемой способностью совместить режимы реверсирования, пересчета и мультиплексирования и величиной объема таблицы. Далее проверяется на непротиворечивость выбор начальных фаз колебаний из условий минимизации объема и требований непрерывности фазы. И, наконец, по величине допусков а дБ и ∆А, ∆ϕ определяется длина разрядной сетки таблицы. Пример использования методики – синтез устройства формирования сигнала (цифрового генератора) для автоматической системы коррекции сетевых трактов АСК СТ (ЦГ), предназначенной для автоматической настройки и контроля АЧХ простого и составного первичного сетевого тракта без перерыва действия связи [68]. В техническом задании определены следующие показатели:

218 1. Одновременно должна обеспечиваться параллельная выдача четырех гармонических сигналов: - сигнала настройки; - сигнала первого гетеродина тракта прямого направления; - сигнала первого гетеродина тракта обратного направления; - сигнала фиксированной частоты второго гетеродина, с номинальным значением 545,16 кГц. 2. Номинальные значения частот гармонических сигналов перечислены ниже. 3. Номинальное значение частоты сигнала внешнего задающего генератора F зг = 2592 к Гц, стабильность не хуже 10 –8. 4. Диапазон рабочих частот 60.6 – 107.6 кГц. 5. Уровень паразитных продуктов в рабочей полосе

не более – 65 дБ

не рабочей полосы

не более – 40 дБ.

6.Точность коррекции ± 0,2 дБ. 7. Время настройки

≤ 5 мин.

8. Для предотвращения выбросов при изменении частоты сигнала настройки должна быть обеспечена непрерывность его фазы. Кроме перечисленных, в техническом задании определены требования к электрическим параметрам, конструкции, управляющим сигналам контролера сетевого корректора. Анализ и формализацию исходных данных целесообразно начать с определения номинального значения частоты дискретизации Fд. Ограничением является условие, чтобы частоты n Fд / 2

не попадали в полосы частот 60 – 108

кГц и 472 – 520 кГц. Кроме того, в целях упрощения устройства должно выдерживаться соотношение F зг 2n Fд =  , 2

219 где n – натуральное число. Используя симметрию, обусловленную периодичностью спектра синтезируемых сигналов, можно генерировать частоты равные Fг1 = Fд - Fг , а для формирования требуемых значений, выделять полосовым фильтром из выходного сигнала ЦАП гармоники, принадлежащие второму фрагменту спектра. В результате задача определения Fд сводится к выбору среди двух альтернатив n = 4 Fд = 648 кГц, n = 6 Fд = 432 кГц. Выбор в пользу Fд = 648 кГц диктуется в первую очередь упрощением реализации аналоговой части устройства (ЦАП и аналогового фильтра). Возможности по снижению сложности цифровой части при выборе Fд = 432 кГц на практике не реализуются в снижении аппаратных затрат. Номинальные значения синтезируемых частот Fд = 648 кГц равны 60,6

75,92

61,92 79,22

95,92

107,7

140,22 160,22 175,36

99,22 128,44 144,22 164,22

63,78 83,78 102,84 130,22 148,22 168,22 67,92 87,92 103,78 132,36 152,36 172,36 71,92 91,92 105,92 136,22 156,22 174,22 Поскольку значения генерируемых частот являются точными, то отклонения их от номинала равны 25% от абсолютных значений отклонений частоты задающего генератора от номинала. Стабильность генерируемых частот будет равна 10-8 – стабильности частоты задающего генератора. Соотношения уровней основной и побочной составляющей позволяет определить требования к аналоговым фильтрам. Уровни всех составляющих вычисляются по формуле: аi = 20 lg

sin (π F / 648)  π F / 648

.

220 Из полученных данных ясно, что на основном выходе достаточно установить фильтр нижней частоты со следующими параметрами: полоса пропускания до 108 кГц ± 0,26 дБ

неравномерность затухания в полосе полоса задерживания

от 540 кГц

гарантированное затухание не менее 26 дБ (∼ 12 дБ/октава). Для гетеродинных выходов необходим полосовой фильтр полоса пропускания

472 – 520 кГц

неравномерность в полосе

до ± 0,2 бД

ширина переходных полос

256 кГц

гарантированное затухание не менее

50 дБ.

Выбрав время исполнения команды перехода равное 1 мкс, т.е. примерно половине периода дискретизации, мы получаем, что оно составит 0,5 х 10–3 % длительности интервала измерения, что существенно меньше длительности переходных процессов в аналоговых фильтрах. Включением на выходе фильтров схемы автоматической регулировки усиления, в сочетании с выполнением условия непрерывности фазы генерируемого колебания обеспечивает, при надлежащем выборе импульсных реакций аналоговых фильтров, выполнение жестких требований к постоянству уровня выходного сигнала системы. Выполняя этап классификации и выбора декомпозиции, мы видим, что полученные значения частот не позволяют получить сколько-нибудь эффективную декомпозицию путем группировки значений. Выбираем реализацию в виде единого цифрового синтезатора, работающего на два независимых аналоговых выхода. В данном случае полное использование всех видов «потенциальной» симметрии и запись в таблицу только четверти периода приводит к нежелательному усложнению алгоритма управления. Поэтому в таблицу заносятся значения половины периода. Выбрав шаг дискретизации, по частоте равный

221 20Гц, получаем, что требуемый объем таблицы равен 16200, что вписывается в стандартный объем 16к. Число двоичных разрядов в мантиссе табличных значений L можно определить из условия обеспечения наименьшего уровня паразитных продуктов равного 65 дБ. Это означает, что отношение среднеквадратичного отклонения для шумов квантования округлением 2–(L+1) σ =  2√3 к эффективному значению для синусоиды А эф = 1/√2 должно быть равно 20 lg σ / А эф = - 65, или L + 1 = - log2 (√6 x 10-3.25) ≅ 10. Выбранное значение частоты дискретизации означает, что по требуемому быстродействию должна применяться ППЗУ, изготовленные по ТТЛ технологии. Емкости и организация этих ППУ недостаточны, чтобы использовать чисто табличный метод, поэтому выбираем таблично алгоритмическую реализацию. Минимальная величина объема таблицы опорных значений определяется по условию равенства максимальных значений погрешностей квантования и интерполяции L+1 log2 R =  + 0,15. 2 Взяв ближайшее целое, равное 6, получаем R = 64. Выполнение декомпозиции таким образом приведет к неэффективному использованию емкости стандартных ППЗУ. Поэтому, выбираем ближайшее значение P = 512. В таблице приращений минимальное число ненулевых разрядов равно

222 Lп = L + 0,6515 – log2 R = 2 Так как, требуется вычисление интерполяционных значений в 16200 М/R =  = 32 точках, 5,2 то умножитель можно выбрать на основе ППЗУ емкостью 2(2+1) х 25 = 28 = 256 слов. Максимальное значение коэффициента пересчета в нашем случае составит 8711, т.е. потребуется 14-ти разрядный накапливающий сумматор для построения следящего вычислителя аргумента. Цифровая часть должна быть дополнена аналоговой включением на ее выходе ЦАП с последующим фильтром. При одновременной генерации нескольких сигналов число аналоговых окончаний равняется этому числу. Кроме того, чтобы получить возможность для каждого сигнала независимо вычислять аргумент, нужно включить на выходе АЛУ 1, параллельно RG 1, дополнительные регистры. На этапе синтеза составных частей выполняются процедуры расчета содержимого таблиц в форме, удобной для последующего программирования ППЗУ, определяются основные соотношения для импульсных последовательностей управляющих сигналов. Для последующей проверки качества полученного решения можно использовать моделирующие программы двух видов. Первая – это программа спектрального анализа, которая на цифровом уровне путем вычисления БПФ, определяет выполнение требования по допустимой величине паразитных продуктов. Вторая – это программа моделирования аналоговых фильтров, в основе ее лежит метод инвариантности импульсной характеристики. Используя эту программу, можно определить влияние производственных допусков элементов аналогового фильтра на характеристики устройства в целом.

223

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

АКТЫ ВНЕДРЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ