Моделирование движения плоского, шарнирного, четырехзвенного механизма на экране компьютера

Ñîâåðòêîâ Ï.È., Øàëàìîâ À.Ï. Ñîâåðòêîâ Ïåòð Èãíàòüåâè÷ Øàëàìîâ Àëåêñàíäð Ïàâëîâè÷

ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÄÂÈÆÅÍÈß ÏËÎÑÊÎÃÎ, ØÀÐÍÈÐÍÎÃÎ, ×ÅÒÛÐÅÕÇÂÅÍÍÎÃÎ ÌÅÕÀÍÈÇÌÀ ÍÀ ÝÊÐÀÍÅ ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÀ Ìíîãèå ó÷àùèåñÿ ñâÿçûâàþò ñâîþ ñóäüáó ñ òåõíèêîé. Ïðîåêòèðîâàíèå ìåõàíèçìîâ ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé ïîäãîòîâêè áîëüøèíñòâà èíæåíåðîâ. Êèíåìàòèêà ïëîñêîãî ÷åòûðåõçâåííîãî ìåõàíèçìà äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî èçó÷åíà â [2–5].  íàñòîÿùåé ñòàòüå èçó÷àåòñÿ ìåòîä ãåîìåòðè÷åñêîãî àíàëèçà ìåõàíèçìà, ÷òî ïîçâîëÿåò èçîáðàæàòü ìåõàíèçì â äâèæåíèè. Ïóñòü çâåíî ÀD = d ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíûì (ðèñóíîê 1). Îíî íàçûâàåòñÿ ñòîéêîé. Çâåíüÿ AB = a è CD = c ìîãóò âðàùàòüñÿ âîêðóã òî÷åê A è D, ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü çâåíî À ÿâëÿåòñÿ âåäóùèì è âðàùàåòñÿ âîêðóã òî÷êè À, ÷òî âûçûâàåò äâèæåíèå îñòàëüíûõ çâåíüåâ BC è CD. Ïðè âðàùåíèè ñòåðæíÿ À âîêðóã òî÷êè À òî÷êà  äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ω( À, à ) . Ñòåðæåíü BC = b ïîñòîÿííîé äëèíû ïðèâîäèò â äâèæåíèå òî÷êó Ñ è âûçûâàåò âðàùåíèå çâåíà CD âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè D. Ïîýòîìó òî÷êà Ñ äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ω( D, c) . Åñëè çâåíî À ìîæåò ñîâåðøèòü ïîëíûé îáîðîò âîêðóã îñè, òî îíî â ìåõàíèêå íàçûâàåòñÿ êðèâîøèïîì. Åñëè íàèìåíüøåå çâåíî à ÿâëÿåòñÿ êðèâîøèïîì,

B

b

A

a

d Ðèñóíîê 1

80

à) Êðèâîøèïíî-êîðîìûñëîâûé ìåõàíèçì (ðèñóíîê 2): âåäóùåå çâåíî à – êðèâîøèï, ñîâåðøàåò ïîëíîîáîðîòíîå âðàùåíèå, çâåíî b – ïëîñêîïàðàëëåëüíîå äâèæåíèå, à âåäîìîå çâåíî ñ – êîðîìûñëî, âûïîëíÿåò êà÷àòåëüíîå (âîçâðàòíî-âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå, íåïîëíîîáîðîòíîå âðàùåíèå). Ýòîò ìåõàíèçì èìååò ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåíåíèÿ. Íàïðèìåð, â ïðèâîäå íåôòÿíîé êà÷àëêè. Òàêîé ìåõàíèçì ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ òàêæå äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ êà÷àòåëüíîãî äâèæåíèÿ âî âðàùàòåëüíîå.

Ñ

b Â

C

à À

c

a

òî åãî äëèíà â ñóììå ñ ñàìûì äëèííûì çâåíîì d áóäåò ìåíüøå ñóììû äëèí îñòàëüíûõ çâåíüåâ b è c (ïðàâèëî Ãðàñãîôà), òî åñòü a+d < b+c. Åñëè çâåíî âðàùàåòñÿ âîêðóã îñè, íî íå ìîæåò ñîâåðøèòü ïîëíûé îáîðîò, òî îíî íàçûâàåòñÿ êîðîìûñëîì. Äëÿ êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ââîäèì ÷åòûðå äëèíû çâåíüåâ ìåõàíèçìà. Îñíîâíîé ïðîáëåìîé ïðè ìîäåëèðîâàíèè ÿâëÿåòñÿ íàëîæåíèå óñëîâèé íà äëèíû çâåíüåâ è îïðåäåëåíèå òèïîâ ìåõàíèçìîâ, ÷òîáû îïðåäåëèòü âåëè÷èíó óãëà ïîâîðîòà α âåäóùåãî çâåíà.

c d

D

D Ðèñóíîê 2

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 5, 2001 ã.

Ìîäåëèðîâàíèå äâèæåíèÿ ïëîñêîãî, øàðíèðíîãî, ÷åòûðåõçâåííîãî ìåõàíèçìà íà ýêðàíå êîìïüþòåðà

Êðèâîøèïíî-êîðîìûñëîâûé ìåõàíèçì... Ïðèìåðîì ïðèìåíåíèÿ ýòîãî ìåõàíèçìà â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè, òî åñòü êîðîìûñëîâî-êðèâîøèïíîãî ìåõàíèçìà ÿâëÿåòñÿ ðóññêàÿ ïðÿëêà, â êîòîðîé êà÷àòåëüíîå äâèæåíèå íîãîé ïåäàëè ïðåîáðàçóåòñÿ âî âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå áîëüøîãî êîëåñà ïðÿëêè, à çàòåì ïåðåäàåòñÿ íà âðàùåíèå øïóëüêè äëÿ íàìîòêè íèòîê. Äëÿ ïðåäåëüíûõ ïîëîæåíèé (ðèñóíîê 3), êîãäà òî÷êè À, Â, D ðàñïîëîæåíû íà îäíîé ïðÿìîé, óñëîâèÿ íà ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû:  b − c < a + d < b + c,   b − c < d − a < b + c. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ çâåíî À ÿâëÿåòñÿ êðèâîøèïîì. ×òîáû çâåíî DC áûëî êîðîìûñëîì, íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ d − c < a + b < d + c . Èòàê, êðèâîøèïíî-êîðîìûñëîâûé ÷åòûðåõçâåííûé ìåõàíèçì çàäàåòñÿ óñëîâèÿìè a + d < b + c,  b − c < d − a , (1)  d − c < a + b < d + c.  Óãîë α ïðèíèìàåò ëþáûå çíà÷åíèÿ. Íàïðèìåð, ìåõàíèçìû (60, 90, 80, 100), (40, 60, 60, 45) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (1), è ýòè ìåõàíèçìû ðàáîòàþò êàê êðèâîøèïíî-êîðîìûñëîâûå.

b B1  A

C

 [1] ïðèâåäåí ïðèìåð êðèâîøèïíîêîðîìûñëîâîãî ìåõàíèçìà ñ óñëîâèÿìè a < c < b < d ,  (2)  a + b < d + c. Ìåõàíèçì (40, 60, 50, 90) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (2), íî çâåíî À íå ìîæåò ñîâåðøèòü ïîëíûé îáîðîò, òàê êàê íàðóøåíî óñëîâèå a+d < b+c. Íàâåðíî, äëÿ ìåõàíèçìà ñ óñëîâèÿìè (2) ïðåäïîëàãàåòñÿ àâòîìàòè÷åñêîå âûïîëíåíèå ïðàâèëà Ãðàñãîôà, ÷òî íå îòðàæåíî â [1]. á) Äâóõêðèâîøèïíûé ìåõàíèçì (ðèñóíîê 4) ÿâëÿåòñÿ äðóãîé ðàçíîâèäíîñòüþ øàðíèðíîãî ÷åòûðåõçâåííîãî ìåõàíèçìà: ó íåãî ñóììà äëèí ñàìîãî êîðîòêîãî çâåíà d è ñàìîãî äëèííîãî à ìåíüøå ñóììû äâóõ îñòàëüíûõ çâåíüåâ b+c. Òàêèå ìåõàíèçìû ïðåîáðàçóþò ðàâíîìåðíîå âðàùåíèå âåäóùåãî çâåíà à â íåðàâíîìåðíîå âðàùåíèå âåäîìîãî çâåíà ñ. Åñëè äëèíû ïðîòèâîëåæàùèõ çâåíüåâ îäèíàêîâûå (òî åñòü íà ðèñóíêå 4 èìååì ïàðàëëåëîãðàìì), òî âûõîäíîå çâåíî òàêæå áóäåò âðàùàòüñÿ ðàâíîìåðíî. Çâåíî À ÿâëÿåòñÿ êðèâîøèïîì ïðè óñëîâèè  a + d ≤ b + c,  d − a ≥ b −c. Àíàëîãè÷íî, çâåíî DC ÿâëÿåòñÿ êðèâîøèïîì ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ

 c + d ≤ a + b,  d −c ≥ b − a. Îáà çâåíà ÿâëÿþòñÿ êðèâîøèïàìè, åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå

 C b

c

D A a

d

Ðèñóíîê 3

Ó×ÅÁÍÀß ÌÀÑÒÅÐÑÊÀß

B2

Ñ

a c

d-a

b

D

À

c d

D

Ðèñóíîê 4

81

Ñîâåðòêîâ Ï.È., Øàëàìîâ À.Ï. Ïðèìåð ìåõàíèçìà (100, 80, 90, 60), óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿì (4). Èç íåðàâåíñòâ (4) ñëåäóåò âûïîëíåíèå óñëîâèé (3). Â ñàìîì äåëå: a > c ⇒  b > d ⇒ a + b > c + d,

a − d > c − d > c − b, Äâóõêðèâîøèïíûé ìåõàíèçì...

 a + d ≤ b + c,  c + d ≤ a + b,   (3) d −a ≥ b−c,  d − c ≥ b − a . Ïðèìåð òàêîãî ìåõàíèçìà (40, 60, 60, 40). Ïàðàëëåëîãðàìì a = c, b = d ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì äâóõêðèâîøèïíîãî ìåõàíèçìà. Ïðèìåð ðàáîòàþùåãî ìåõàíèçìà – ïàðàëëåëîãðàììà (40, 60, 40, 60). Ïðè a = d, b = c ìåõàíèçì â [1] íàçâàí ðîìáîèäîì.  ãåîìåòðèè òàêàÿ ôèãóðà ÷àñòî íàçûâàåòñÿ äåëüòîèäîì. Äåëüòîèä (40, 60, 60, 40) ÿâëÿåòñÿ äâóõêðèâîøèïíûì ìåõàíèçìîì, à äåëüòîèä (40, 40, 60, 60) ÿâëÿåòñÿ êðèâîøèïíî-êîðîìûñëîâûì ìåõàíèçìîì. Ïðèìåð ðàáîòàþùåãî äâóõêðèâîøèïíîãî ìåõàíèçìà (60, 90, 90, 60). Åñëè ëåâîå çâåíî à ýòîãî ìåõàíèçìà ñîâåðøàåò äâà îáîðîòà, òî ïðàâîå çâåíî ñ ñîâåðøàåò îäèí îáîðîò.  [1] ïðèâåäåí ïðèìåð äâóõêîðîìûñëîâîãî ìåõàíèçìà ñ óñëîâèåì a > c > b > d ,  (4)  a + d < b + c.

B

b

b

c

a d Ðèñóíîê 5

82

b + c − (b + d ) > a + d − (b + d ), c − d > a − b. Óñëîâèÿ (3) ÿâëÿþòñÿ áîëåå îáùèìè, ÷åì óñëîâèÿ (4). â) Äâóõêîðîìûñëîâûé ìåõàíèçì ÿâëÿåòñÿ òðåòüåé ðàçíîâèäíîñòüþ ÷åòûðåõçâåííîãî ìåõàíèçìà (ðèñóíîê 5), ó êîòîðîãî ðàçìåðû çâåíüåâ íå óäîâëåòâîðÿþò ïðàâèëó Ãðàñãîôà èëè ñàìîå êîðîòêîå çâåíî íå ÿâëÿåòñÿ êðèâîøèïîì. Òàêèå ìåõàíèçìû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïåðåäà÷è íà íåîáõîäèìîå ðàññòîÿíèå êà÷àòåëüíîãî äâèæåíèÿ.  äâóõêîðîìûñëîâîì ìåõàíèçìå èìåþòñÿ äâå ìåðòâûå çîíû (ðèñóíîê 6). Âîçìîæíû ðàçëè÷íûå ñëó÷àè. â1) Óãîë α èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ [α 2 , α 1 ] :

cos α1 = cos α 2 =

a 2 + d 2 − (b + c ) , 2ad 2

(a + b )2 + d 2 − c 2

2d ( a + b) Óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ äâóõêîðîìûñëîâîãî ìåõàíèçìà òèïà â1:

C

a

A

a − d > c − d, b + c > a + d,

D

a1

b

c

a

c

a2

d

d Ðèñóíîê 6

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 5, 2001 ã.

Ìîäåëèðîâàíèå äâèæåíèÿ ïëîñêîãî, øàðíèðíîãî, ÷åòûðåõçâåííîãî ìåõàíèçìà íà ýêðàíå êîìïüþòåðà Îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè

a−d < b−c äâóõêîðîìûñëîâûé ìåõàíèçì ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ, ïðè÷åì, α ∈ [α 0 ; 2π − α 0 ] , ãäå tgα 0 =

Äâóõêîðîìûñëîâûé ìåõàíèçì...

b 2 + c 2 − 2bc < a 2 + d 2 − 2ad cos α.

 a − d < b + c < a + d,   b − c < d − a < b + c. a 2 + d 2 − (b + c) 2 . 2ad Ïðèìåð ðàáîòàþùåãî ìåõàíèçìà (40, 40, 40, 80) ñ îñòðûì óãëîì α 0 , (40, 40, 70, 80) – ñ òóïûì óãëîì è (80, 50, 50, 60) – ñ ïðÿìûì óãëîì. cos α 0 =

,

Ñ

 t

Ðèñóíîê 7

D

À

Ðèñóíîê 8

b  d

b

c a

d Ðèñóíîê 9

Ó×ÅÁÍÀß ÌÀÑÒÅÐÑÊÀß

a 2 + d 2 − (b − c ) 2

Ïðèìåð ðàáîòàþùåãî ìåõàíèçìà (90, 70, 100, 80). â3) Ïóñòü ìåõàíèçì ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ ñ óãëîì α , ãäå α ∈ [ −α 0 , α 0 ] (ðèñóíîê 9). Âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ

 a − d < b + c < a + d,   c − d < a + b < d + c. â2) Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ñòåðæåíü à ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ ñ óãëîì α , ãäå α ∈ [α 0 , 2π − α 0 ] (ðèñóíêè 7, 8).  äâóõêîðûìûñëîâîì ìåõàíèçìå âîçìîæíà îñòàíîâêà ìåõàíèçìà ïî ïðè÷èíå BD < CD − BC (ðèñóíîê 8) äàæå ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ìåðòâîé çîíû. Íàïðèìåð, äëÿ ìåõàíèçìà (40, 20, 50, 30). Íàëîæèì óñëîâèÿ: b − c < t,

4a 2 d 2 − ( a 2 + d 2 − (b − c ) 2 ) 2

c

ã) Êîðîìûñëîâî-êðèâîøèïíûé ìåõàíèçì: âåäóùåå çâåíî à ñîâåðøàåò êà÷àíèå, à âåäîìîå çâåíî ÿâëÿåòñÿ êðèâîøèïîì è ñîâåðøàåò ïîëíûé îáîðîò. Çàìåíèâ çâåíüÿ à ↔ ñ , ïîëó÷àåì êðèâîøèïíî-êîðîìûñëîâûé ìåõàíèçì. Ïðè ïðîãðàììèðîâàíèè ñëåäóåò ïîìåíÿòü ïåðåìåííûå à è ñ è âûâåñòè ñîîáùåíèå íà ýêðàí êîìïüþòåðà îá ýòîé çàìåíå. Ïðèìåð ðàáîòàþùåãî ìåõàíèçìà (80, 90, 60, 100). Íà äèñêåòå ìîæíî ïîçíàêîìèòüñÿ ñ àíàëèçîì äâèæåíèÿ ÷åòûðåõçâåííîãî ìåõàíèçìà â îáùåì âèäå è ïðîãðàììîé ïîñòðîåíèÿ ýòîãî äâèæåíèÿ.

83

Ñîâåðòêîâ Ï.È., Øàëàìîâ À.Ï.

Êîðîìûñëîâî-êðèâîøèïíûé ìåõàíèçì... Ëèòåðàòóðà. 1. Àðòîáîëåâñêèé È.È. Ìåõàíèçìû â ñîâðåìåííîé òåõíèêå. Ì.: Íàóêà, 1979, ò.1. 2. Âóëüôñîí È.È. è äð. Ìåõàíèêà ìàøèí. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1996. 3. Èîñèëåâè÷ Ã.Á., Ñòðîãàíîâ Ã.Á., Ìàñëîâ Ã.Ñ. Ïðèêëàäíàÿ ìåõàíèêà. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1989. 4. Ïîïîâ Ñ.À., Òèìîôååâ Ã.À. Êóðñîâîå ïðîåêòèðîâàíèå ïî òåîðèè ìåõàíèçìîâ è ìåõàíèêå ìàøèí. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1999. 5. Þêàëî Ï.À. Àíàëèòè÷åñêèé ñèíòåç ÷åòûðåõçâåííîãî ìåõàíèçìà. Ì., Ìàøèíîñòðîåíèå, 1981.

Ñîâåðòêîâ Ïåòð Èãíàòüåâè÷, êàíä. ôèç.-ìàòåì íàóê, äîöåíò Íèæíåâàðòîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ïåäàãîãè÷åñêîãî èíñòèòóòà (ÍÃÏÈ). Øàëàìîâ Àëåêñàíäð Ïàâëîâè÷, ñòóäåíò ôàêóëüòåòà èíôîðìàòèêè è ìàòåìàòèêè ÍÃÏÈ.

84

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 5, 2001 ã.