Элементы механики сплошной среды: Пособие по выполнению домашнего задания

ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Основные теоретические сведения Движение сплошной среды можно описать двумя способами: 1-задать положение и скорость каждой частицы как функцию времени, 2-задать скорости частиц, которые проходят через каждый физически малый элемент объема, как функцию времени. Во втором случае для определенного момента времени получается мгновенная картина распределения скоростей - поле скоростей. Если поле скоростей не меняется с течением времени, то движение сплошной среды называется стационарным. Линия, касательные к которой указывают направление скоростей частиц в точках касания, называется линией тока. Часть среды, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока (рис.1). Частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока. S2

ΔS

α

r V r n

S1 r Рис.1.82. Поток вектора V через элемент поверхности ΔS Выберем в сплошной среде небольшой элемент плоской поверхности с r площадью ΔS, в пределах которой вектор скорости V можно считать постоянным (рис.2). Объем среды, пересекающей выбранный элемент поверхности за время Δt, равен объему цилиндрической поверхности с площадью основания ΔS и длиной L=V.Δ t. Соответственно его масса определяется выражением Δm = ρ ⋅ L ⋅ ΔS ⋅ cosα = ρ ⋅ V ⋅ Δt ⋅ ΔS ⋅ cosα , (1) r где ρ - плотность среды; α - угол между вектором скорости V и вектором норr мали n к выбранному элементу поверхности.r Величина r j = ρ ⋅V (2) называется плотностью потока массы, а величина ΔΦ = j ⋅ cosα ⋅ ΔS (3) Рис.1.81. Линии тока и трубка тока

потоком массы через поверхность верхности ΔS в единицу времени.

ΔS, т.е. масса пересекающая элемент по-

2

Любую замкнутую поверхность можно представить как сумму элементов поверхности ΔSi. Тогда изменение массы внутри замкнутой поверхности в единицу времени будет определяться выражением Δm − = ∑ ji ⋅ cosαi ⋅ ΔSi , Δt i где отрицательный знак в левой части связан с тем, что при вытекании среды наружу масса уменьшается. В интегральной форме это уравнение выглядит следующим образом r r dm (4) − = ∫ j ⋅ dS , dt S r r где dS = n ⋅ dS . Знак ∫ указывает на то, что интегрирование производится по замкнутой поверхности. Приведенное выше уравнение называется уравнением непрерывности. Аналогичные уравнения можно написать для любой физической величины, для которой выполняется закон сохранения (энергии, электрического заряда и т.д.). В стационарном случае изменение массы внутри объема равно нулю и уравнение непрерывности принимает вид r r (5) ∫ j ⋅ dS = 0 . S

Применив это уравнение для трубки тока (рис.1) в стационарном случае, можно получить уравнение неразрывности струи ρ1 ⋅ V1 ⋅ S1 = ρ 2 ⋅ V2 ⋅ S2 . (6) Сплошная среда, в которой полностью отсутствует внутреннее трение (вязкость), называется идеальной. В такой среде вдоль любой линии тока стационарно текущей несжимаемой среды выполняется уравнение Бернулли ρ ⋅V 2 + ρ ⋅ g ⋅ h + P = const , (7) 2 где P- давление, h - вертикальная координата элемента объема среды. Уравнение Бернулли является следствием закона сохранения механической энергии. Поэтому алгоритм его использования при решении задач аналогичен алгоритму решения задач на закон сохранения механической энергии. В реальных жидкостях и газах в большей или меньшей степени проявляется внутреннее трение между слоями среды или вязкость. Например, если между двумя параллельными достаточно длинными пластинами (их длина L>> d, где d - расстояние между пластинками) находится жидкость (или газ), то при движении пластинок на каждую из них действует сила вязкого трения (рис.3), модуль которой определяется формулой Ньютона V −V FТр = η 2 1 S , (8) d где S- площадь пластины, η - коэффициент пропорциональности, зависящий от природы и состояния (например, температуры) жидкости и называемый коэф-

3

фициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости, или просто вязкостью жидкости (газа), V1 и V2 - скорости пластин. z r r FТр2 V2 d r V1

r FТр1

x o Рис.3. Действие сил вязкого трения на движущиеся пластины (среда находится только между пластинами). Приведенная выше формула определяет не только силу, действующую на пластины, но и силу трения между соприкасающимися слоями жидкости. При этом последняя формула используется в общем виде dV (9) FТр = η S, dz где величина dV/dz показывает, как быстро изменяется скорость в направлении оси z, перпендикулярной рассматриваемым слоям. Литература

1. Савельев И.В. Курс физики. Учеб.: Т. 1: Механика. Молекулярная физика. –М.: Наука, 1989. Гл. 6. 2. Трофимова Т.И. Курс физики.: Учебное пособие для втузов. –М.: Высшая школа, 1990. Гл. 6.

Примеры решения задач Пример 1а

4

В цилиндрической части баллона находится сжиженный газ с плотностью ρж = 800 кг/м3 (рис. 4). После открывания вентиля газ начинает вырываться наружу через патрубок с площадью выходного отверстия S = 5 см2 со скоростью V = 10 м/с. Плотность вырывающегося газа ρг = 2 кг/м3. На какое время хватит запаса газа, если начальная высота уровня жидкого газа была h = 1 м, а внутренний диаметр цилиндрической части баллона d = 0,3 м?

h d

Рис. 4. К примеру 1а.

Решение Запишем уравнение непрерывности (закон сохранения) для массы газа в виде dm = − j⋅S , dt где dm < 0 — изменение массы внутри баллона за время dt, j = ρV плотность потока газа через выходное отверстие площадью S, dm/dt = G — расход газа в единицу времени. В стационарном случае m G=− , t где m — масса сжиженного газа в начальный момент, t — искомое время. Выразив массу через плотность сжиженного газа и объем, перепишем уравнение непрерывности в виде π⋅d2 ρж ⋅ h ⋅ ρж ⋅ h ⋅ π ⋅ d 2 4 = ρ ⋅V ⋅ S . Тогда t = . г t 4 ⋅ ρг ⋅ V ⋅ S

Проверим размерность

Произведем расчет Ответ: t = 1,6 часа.

кг ⋅ м3 ⋅ м ⋅ м 2 =с. [t ] = кг ⋅ м3 ⋅ м ⋅ с-1 ⋅ м 2

800 ⋅ 1 ⋅ 3,14 ⋅ 0,32 t= c=5652 c=1,6 часа. 4 ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 10−4

Пример 1б На рис. 5 приведена упрощенная схема установки для получения газо-

Водород

5

образного водорода методом электролиза воды. Какое количество воды должно поступать в установку ежесекундно, чтобы скорость газообразного водорода в выходном патрубке была VH = 10 м/с. Плотность водорода в сечении выходного патрубка ρ = 0,08 кг/м3, площадь сечения S = 12,5 см2.

Кислород

Вода Рис. 5. К примеру 1б.

Решение В стационарном случае уравнение непрерывности для массы, пересекающей поверхность установки, можно записать в виде

ΔФВ - ΔФО - ΔФН = 0,

где ΔФВ - искомый расход воды, ΔФО - поток массы кислорода через выходной патрубок, ΔФН = ρ ⋅ VH ⋅ S - поток массы водорода через соответствующий выходной патрубок. Учтем, что в каждом акте расщепления молекулы воды получается 2 атома водорода с молярной массой 1 г/моль и 1 атом кислорода с молярной массой 16 г/моль. Легко догадаться, что ΔФО = 8 ΔФН. Тогда ΔФВ = ΔФH +8 ΔФН = 9 ΔФН = 9 ρ ⋅ VH ⋅ S . Произведем расчет ΔФВ = 9 ⋅ 0,08 кг ⋅ м -3 ⋅ 10 м ⋅ с-1 ⋅ 12,5 ⋅ 10-4м 2 = 9 ⋅ 10−3 кг/с = 9 г/с. Ответ: расход воды равен 9 г/с.

Пример 2а Вода подается в фонтан из большого цилиндрического бака и вырывается из отверстия, диаметр которого d = 2 см (рис. 6). Уровень воды h в баке равен 2 м, избыточное над атмосферным давление над поверхностью воды в баке ΔР = 50 кПа. Определить высоту струи фонтана H и расход воды за одну секунду Q.

С

ΔР А h

H В

Рис. 6.

Решение Применим уравнение Бернулли для точки поверхности воды в баке и устья струи фонтана (точки А и В на рис. 6)

6

ρ ⋅V 2 + P0 . ρ⋅ g ⋅h + P = 2 где плотность воды ρ = 1000 кг/м3, P - давление в точке А, P0 - атмосферное давление, V -скорость вырывающейся из отверстия воды. По условию P - P0 = ΔР. Скоростью воды в точке А в данном случае можно пренебречь, т.к. диаметр бака существенно больше диаметра выходного отверстия фонтана. Из этого уравнения выразим скорость 2 ( P − P0 ) + 2ρ ⋅ g ⋅ h 2 ( ΔP + ρ ⋅ g ⋅ h ) = . V= ρ ρ Высоту фонтана можно определить с помощью закона сохранения механической энергии для каждого элемента массы Δm струи Δm ⋅ V 2 = Δm ⋅ g ⋅ H . 2 V 2 2 ( ΔP + ρ ⋅ g ⋅ h ) ΔP Тогда H= = = + h. 2g 2ρ ⋅ g ρ⋅ g После расчета получим H = 7,1 м. Заметим, что если уравнение Бернулли сразу применить для точек А и С (рис. 6), т.е. ρ ⋅ g ⋅ h + P = ρ ⋅ g ⋅ H + P0 , то мы получили бы тот же ответ. Расход воды определим из следующих соображений: за время Δ t из отвер. . стия вырывается струя воды длиной L = V Δt , ее объем равен W = L S = =V.S.Δt, где S - площадь выходного отверстия. Тогда 2 ( ΔP + ρ ⋅ g ⋅ h ) W Q= =V ⋅ S = S = Δt ρ

π ⋅ d 2 2 ( ΔP + ρ ⋅ g ⋅ h ) = 4 ρ Произведя расчет получим Q = 3,7.10-3 м3/с = 3,7 л/с. Ответ: H = 7,1 м, расход воды Q =3,7 л/с. Пример 2б По горизонтальной трубе течет жидкость. Разность уровней этой жидкости в трубках А и В Δh = 0,1 м (рис. 7). Диаметры трубок А и В

Δh r V

А

В

7

одинаковы. Найти скорость течения жидкости в трубе.

Рис. 7.

Решение Запишем уравнение Бернулли для точек жидкости находящихся в плоскости нижних отверстий трубок А и В (рис. 7). Вблизи нижнего отверстия трубки А жидкость имеет скорость V и находится под давлением P1, а в плоскости нижнего отверстия трубки В жидкость имеет практически нулевую скорость и находится под давлением P2. Тогда уравнение Бернулли будет иметь вид 2 ( P2 − P1 ) ρ ⋅V 2 + P1 = P2 . Откуда V = . ρ 2

Разность давлений P2 - P1 связана c разностью уровней воды в трубках P2 - P1 = ρ g Δh . Окончательно получаем 2ρ ⋅ g ⋅ Δh V= = 2 g ⋅ Δh = 1, 4 м с . ρ Ответ: V = 1,4 м/с. Замечание. На этом принципе работает устройство, называемое трубкой Пито - Прандтля. С его помощью можно измерить скорости потоков газа или жидкости. В частности, таким образом можно определять скорость самолета. Пример 3а Площадь соприкосновения слоев текущей жидкости S = 10 см2, коэффициент динамической вязкости жидкости η =0,001 Па.с, а возникающая сила трения между слоями F = 0,1 мН. Определить градиент скорости жидкости. Решение Сила вязкого трения между слоями определяется формулой (9) FТр dV dV FТр = η S . Тогда градиент скорости . = dz dz η ⋅ S

dV 0,1 ⋅ 10−3 H = = 100 c−1 . −4 dz 0,001 Па ⋅ с ⋅ 10 ⋅ 10 м Ответ: градиент скорости равен 100 с-1. Пример 3б Тонкий горизонтальный диск радиуса R = 10 см расположен в цилиндрической полости с маслом, вязкость которого η = 8 мПа.с (рис. 8). Зазоры между диском и горизонтальными торцами полости h одинаковы и Произведем расчет

ω

8

равны 1 мм. Найти мощность, которую развивают силы вязкости, действующие на диск, при вращении его с угловой скоростью 2R -1 ω = 60 с . Краевыми эффектами пренебРис. 8. речь. Решение В механике двращательного движения твердого тела мощность определяется по . R формуле N = M ω, где момент силы вязкого трения M можно определить, интегрируя r моменты сил вязкого трения, действующих на отдельные элементы диска. dr Для этого выделим на диске осесимметричный кольцевой элемент шириной dr на расстоянии r от оси (рис. 9). Его площадь dS = 2π.r.dr, скорость V = ω .r, а сила Рис. 9. вязкого трения, действующая на него со стороны жидкости, определяется фомулой Ньютона (9) ΔV ω⋅r dF = η 2 ⋅ dS = η 2 ⋅ 2π ⋅ r ⋅ dr . h h Здесь учтено, что силы трения действуют на верхнюю и нижнюю поверхности. Момент силы трения, действующей на кольцевой элемент, определяется по формуле dM = r ⋅ dF , а мощность R ω⋅r π ⋅ ω2 η ⋅ R 4 N = M ⋅ ω = ω ⋅ ∫ dM = ω ⋅ ∫ r ⋅ η 4π ⋅ r ⋅ dr = . h h 0 Проверим размерность и произведем расчет: Па ⋅ с ⋅ с −2 ⋅ м 4 N = = Н ⋅ м −2 ⋅ с −1 ⋅ м3 = Н ⋅ м ⋅ с −1 = Дж с = Вт . [ ] м 3,14 ⋅ 0,008 ⋅ 3600 ⋅ 10−4 N= = 9 Вт . 0,001 Ответ: мощность N = 9 Вт.