Проявление эффектов бифуркационной памяти в поведении динамической системы

МАТЕМАТИКА ПРОЯВЛЕНИЕ ЭФФЕКТОВ БИФУРКАЦИОННОЙ ПАМЯТИ В ПОВЕДЕНИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ М. И. ФЕЙГИН Волжская государственная академия водного транспорта, Нижний Новгород

ВВЕДЕНИЕ

MANIFESTATION OF BIFURCATION MEMORY EFFECTS IN DYNAMIC SYSTEM BEHAVIOUR M. I. FEIGIN

An unusual behaviour of a dynamic system in the vicinity of a dangerous bifurcation boundary is described. This behaviour is governed by some stable stationary regime, which is either already vanished or not yet appeared. The bifurcation memory effects provide for understanding of the already known features of the system behaviour, as well as to predict the possible ones.

© Фейгин М.И., 2001

В окрестности опасной бифуркационной границы рассматривается необычное поведение динамической системы, которое определяется уже исчезнувшим (или еще не родившимся) устойчивым стационарным режимом. Эффекты бифуркационной памяти позволяют понять известные и предсказать возможные особенности в поведении системы.

www.issep.rssi.ru

Интерес к исследованию странного поведения динамических систем в некоторых областях пространства состояний был вызван стремлением объяснить нелинейные эффекты, обнаруженные при управлении неустойчивыми на курсе судами [1, 2]. Причины неожиданных случаев начальной неуправляемости и временного понижения управляемости удалось найти при рассмотрении общей задачи поведения систем в окрестности опасных бифуркационных границ. Рассматриваются динамические системы, описываемые кусочно-гладкими дифференциальными уравнениями вида dx ----- = f ( x, µ ), dt

(1)

где x – n-мерный вектор, f – периодическая по t m-мерная векторная функция, µ – вектор параметров. Систему называют автономной, если переменная t не входит явно в правые части уравнений (1). Если система неавтономна, t будет входить явно хотя бы в одну из функций f1 , f2 , …, fm . Это различие несущественно, поскольку всегда неавтономную систему можно свести к автономной, если ввести еще одну координату xn + 1 = t и добавить к системе (1) дифференциальное уравнение dx n + 1 ------------- = 1. dt Состояние системы в каждый момент времени t характеризуется значениями координат x1 , x2 , …, xn . Пространство состояний обычно называют фазовым пространством динамической системы, а траекторию движения в этом пространстве из некоторого начального состояния – фазовой траекторией. Исследование динамической системы начинают обычно с анализа ее установившихся (стационарных) режимов движения. Это особые точки, соответствующие постоянным значениям координат состояния системы, и колебательные режимы движения. Последние

Ф Е Й Г И Н М . И . П Р О Я В Л Е Н И Е Э Ф Ф Е К Т О В Б И ФУ Р К А Ц И О Н Н О Й П А М Я Т И В П О В Е Д Е Н И И Д И Н А М И Ч Е С К О Й С И С Т Е М Ы

121

МАТЕМАТИКА подразделяются на периодические колебания (предельные циклы или орбиты), квазипериодические колебания и хаотические колебания (странные аттракторы) [3]. Если в качестве начального состояния выбрана точка, расположенная строго на траектории стационарного режима, то дальнейшее движение математической модели (1) будет совпадать с этим стационарным режимом. Однако строгая идеализация расположения фазовой точки на стационарной траектории не представляет практического интереса, так как в реальных ситуациях всегда происходят хотя бы незначительные отклонения состояний из-за различных воздействий. Означает ли это необходимость учета дополнительных факторов и усложнения математической модели? Оказалось, что для очень многих систем выход из положения был найден после введения понятия устойчивости стационарного решения. Стационарные режимы могут быть устойчивыми и неустойчивыми. В первом случае движение системы в малой окрестности направлено в сторону таких режимов. При неустойчивости фазовые траектории уводят состояние системы от стационарного режима. Систему, имеющую единственное устойчивое решение, называют абсолютно устойчивой. Областью притяжения такого решения будет все фазовое пространство. В случае существования нескольких устойчивых режимов фазовое пространство состоит из нескольких областей притяжения. Начальным условиям в той или иной области соответствуют решения, представляющие переходные процессы вдоль фазовых траекторий. При t ∞ эти траектории приводят систему к соответствующему устойчивому режиму. Фазовый портрет системы (разбиение фазового пространства на области притяжения) будет как-то деформироваться при изменении значений параметров. Качественному изменению портрета соответствует исчезновение существующих или рождение новых стационарных решений. Это так называемые бифуркационные ситуации. Различают опасные и безопасные бифуркации. В случае опасной бифуркации при сколь угодно малом изменении параметра за бифуркационное значение система покидает исчезнувший режим и устремляется к тому устойчивому режиму, в области притяжения которого она оказывается. При безопасной бифуркации имеет место непрерывный переход умирающего режима в рождающийся. Конечной целью качественного исследования системы (1) является получение параметрического портрета – разбиения пространства параметров на области различного поведения, соответствующие топологически разным фазовым портретам.

122

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ С УЧАСТКАМИ ПРОЯВЛЕНИЯ ЭФФЕКТА БИФУРКАЦИОННОЙ ПАМЯТИ. Обычно переходные процессы характеризуют тем установившимся устойчивым режимом, к которому они асимптотически приближаются. Исчезновение этого стационарного движения при изменении параметра вызывает переходный процесс, асимптотически приводящий к новому устойчивому стационарному режиму. Таким образом, имеет место переход от одного бесконечно долгого существования в стационарном режиме к другому. Поэтому такой переход принято называть скачком. Термин “явление скачка” широко используется, в том числе и в учебниках [4]. Вместе с тем известно, что многие динамические системы функционируют при изменяющихся параметрах и происходящих по этой причине опасных бифуркациях, в результате которых изменяется число особых точек или предельных циклов (орбит). Анализ характера переходного процесса в таких ситуациях позволил обнаружить новые и весьма важные в прикладном плане эффекты бифуркационной памяти. Дело в том, что в определенных областях фазового пространства характер переходных процессов определяется тем установившимся движением, которое исчезло при опасной бифуркации. Лишь после выхода из этих областей бифуркационной памяти переходный процесс будет характеризоваться тем новым стационарным режимом, к которому система асимптотически приближается. Следовательно, динамические особенности системы в ситуации опасной бифуркации не исчезают, а сохраняются в некотором интервале дальнейшего изменения параметра, ответственного за бифуркацию. Система “помнит” существенные особенности умерших стационарных решений или “предчувствует” особенности близких к рождению стационарных решений. В той или иной степени эффект присутствует в любой динамической системе в окрестности опасной бифуркационной границы. Так, в случае бифуркации седло–узел существует область состояний, в которой происходит значительное уменьшение модуля фазовой скорости [1, 2]. Несколько по-иному проявляются особенности в поведении системы за опасной границей исчезновения устойчивой орбиты. Настоящая статья посвящена рассмотрению этих особенностей на конкретных примерах. При этом сначала будет устанавливаться факт существования опасной бифуркации, затем последуют предсказание характера необычного переходного процесса и, наконец, изложение результатов наблюдения эффекта

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 3 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА бифуркационной памяти при компьютерном моделировании. Начнем с математического примера. БИФУРКАЦИЯ СЛИЯНИЯ С ИСЧЕЗНОВЕНИЕМ УСТОЙЧИВОГО И НЕУСТОЙЧИВОГО ЦИКЛОВ

0,75 < µ < 1.

Рассмотрим следующую систему в полярных координатах: dρ ------ = R ( ρ, µ ) = ρ ( 2µρ – ρ 2 – µ ), dt dϕ ------ = 1, 0 < µ < 2. dt

(2)

Здесь ρ > 0 – так называемый полярный радиус, равный расстоянию точки до начала координат, а ϕ – угол между осью абсцисс и этим радиусом. Так как угловая скорость положительна, все фазовые траектории направлены против часовой стрелки. При µ > 1 существуют стационарные решения ρ $ 0. Это особая точка типа фокус ρ0 = 0 и две орбиты ρ 1 = µ – µ ( µ – 1 ),

ρ 2 = µ + µ ( µ – 1 ).

Обратимся теперь к анализу характера изменения ρ(t) в области, расположенной между найденными стационарными решениями. Если ρ ! 1, то производная dρ / dt ≈ −µρ < 0 и ρ(t) – убывающая функция. Следовательно, фазовые траектории наматываются на особую точку и фокус устойчив. Если ρ @ 1, то dρ / dt ≈ −ρ3 < 0, а значит, и в этом случае траектории наматываются на внешнюю орбиту ρ = ρ2 . На каждой из орбит dρ / dt меняет знак, проходя нулевое значение. Следовательно, внутренний цикл ρ = ρ1 неустойчивый, а внешний ρ = = ρ2 – устойчивый. При µ = 1 происходит опасная бифуркация слияния двух циклов, чему соответствует кратный корень ρ* = ρ1 = ρ2 = 1. В интервале 0 < µ < 1 сохраняется единственное устойчивое стационарное решение – фокус. Следовательно, в результате бифуркации со стационарной орбиты ρ* = 1 произойдет срыв или скачок в устойчивый фокус. В рассматриваемом примере область проявления бифуркационной памяти представляет собой кольцо. В центре кольца при некотором ρ = ρc имеет место минимум производной dρ / dt, а значит, и наибольшее сгущение траекторий. В устойчивом фокусе ρ0 = 0 значение dρ / dt = 0. Следовательно, в интервале ρ0 < ρ < ρc значение производной должно иметь максимум на окружности некоторого радиуса ρb . Экстремальные значения ρc , ρb найдутся из условия dR / dρ = 0 или 4µρ − 3ρ2 − µ = 0.

Исчезновению эффекта бифуркационной памяти соответствует слияние экстремальных значений или кратный корень уравнения (3). Это происходит при µ = = 0,75. Таким образом, область бифуркационной памяти существует в интервале изменения параметра

(3)

(4)

Если µ < 0,75, переходные процессы характеризуются только устойчивым фокусом, к которому состояние системы асимптотически приближается. При этом уменьшение ρ происходит монотонно, ибо не меняется знак dρ/dt (рис. 1, а, б). В интервале (4) имеют место два типа переходных процессов. В окрестности ρc приближение к фокусу становится заторможенным. Проходя через место исчезновения орбиты, система на определенное время замедляет асимптотический бег, как бы вспоминая погибшую орбиту. Число оборотов N траектории в этой области бифуркационной памяти зависит от близости параметра к бифуркационному значению µ = 1. Можно с некоторой погрешностью создать переходный процесс с определенным числом оборотов N. Пусть N ≈ 10. Согласно (2), скорость изменения угла ϕ постоянна и равна единице. Следовательно, ϕ = t и общее время заторможенного приближения к фокусу или время, в течение которого система “вспоминает” об орбите, существовавшей в проходимой ею области, приблизительно равно 2πN. Оценим скорость приближения к фокусу dρ/dt, если параметр отличается от бифуркационного значения на ∆µ. Согласно (3), в случае µ = 1 − ∆µ значение ρc ≈ 1 − (3/2)∆µ. Непосредственно из правой части первого уравнения (2) получаем dρ ------ ≈ – ∆µ. dt Таким образом, общее смещение траектории к фокусу ∆ρ ≈ −2πN∆µ. а

y

б

t

Рис. 1. При µ = 0,75 имеет место обычный переходный процесс, приводящий систему к устойчивому фокусу: а – фазовая траектория; б – осциллограмма y(t) = ρ(t)sinϕ(t)

Ф Е Й Г И Н М . И . П Р О Я В Л Е Н И Е Э Ф Ф Е К Т О В Б И ФУ Р К А Ц И О Н Н О Й П А М Я Т И В П О В Е Д Е Н И И Д И Н А М И Ч Е С К О Й С И С Т Е М Ы

123

МАТЕМАТИКА Пусть желаемые обороты располагаются в кольце, ширина которого составляет 20% от бифуркационного значения ρ* = 1, то есть ∆ρ = −0,2. Тогда ∆µ ≈ 0,003. На рис. 2, а, б приведены фазовая траектория и осциллограмма соответствующего переходного процесса, полученные компьютерным моделированием уравнений (2).

F A = ---, k

б

t

Рис. 2. При µ = 0,997 характер значительного участка переходного процесса определяется несуществующей орбитой. Проявление эффекта бифуркационной памяти отчетливо видно: а – в поведении фазовой траектории, б – в характере затухания колебаний

Осциллятор, описываемый уравнением Дуффинга Обратимся к рассмотрению вынужденных колебаний твердого тела, закрепленного посредством пружины, упругость которой возрастает с увеличением отклонения. Сила сопротивления перемещению типа вязкого трения будет пропорциональна скорости перемещения. Периодическая внешняя сила изменяется по гармоническому закону. В соответствии со вторым законом динамики уравнение движения имеет вид 2

(5)

Фазовое пространство системы трехмерно, так как dy состояние системы определяют три координаты: y, -----, t. dt Поведение системы зависит от шести параметров: m, l, k, q, F, Ω. Анализ уравнения (5) можно существенно упростить, если перейти к безразмерным переменным и параметрам. Введем некоторые, пока неизвестные масштабы перемещения и времени y = Ax, t = Tτ. Подставим эти значения в (5) и поделим всё выражение на F. Теперь так выберем масштабы, чтобы два из коэффици-

124

2

qF -, g = -------2 k

(6)

m ω = Ω ---- . k

dx Здесь x, -----, τ – координаты состояния осциллятора, а dτ c, g и ω – три существенных параметра, характеризующие соответственно демпфирующие свойства, степень нелинейности и частоту колебаний внешней периодической силы. Уравнение (6) рассматривается во многих задачах. Обычно в научной и учебной литературе его называют уравнением Дуффинга. При g = 0 уравнение становится линейным. Установившиеся вынужденные колебания в этом случае описываются выражением

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

q > 0.

m ---- , k

В результате приходим к безразмерному уравнению

l c = ----------- , km

d y dy 2 m -------2- = – l ----- – ky ( 1 + qy ) + F cos ( Ωt ), dt dt

T=

2 dx d x 2 -------2- + c ----- + x ( 1 + gx ) = cos ωτ, d τ dτ

y а

ентов уравнения оказались равными единице. Желаемое требование будет выполнено, если

cos ( ωτ + ϕ ) x ( τ ) = ------------------------------------------- = X cos ( ωτ + ϕ ). 2 2 2 2 ω c + (ω – 1)

(7)

Здесь X – амплитуда колебаний, а ϕ – сдвиг по фазе между колебаниями осциллятора и внешней силы. Решение уравнения (6) в аналитическом виде при g ­ 0 записать не удается. Обычно тем или иным способом отыскивается приближенное решение. Нас интересуют колебания, близкие к гармоническим (7). Чтобы получить уравнение относительно неизвестной амплитуды, нужно искомое решение в форме (7) подставить в (6). Можно несколько упростить процедуру отыскания приближенного решения, если сместить начало отсчета времени с учетом сдвига по фазе. Иными словами, будем искать решение в более простом виде Xcosωτ, а внешнюю силу перепишем чуть сложнее в виде cos(ωτ − ϕ). Подставим решение и его производные в (6). Имея в виду, что cos3 ωτ = (3cosωτ + cos3ωτ)/4, ограничимся учетом только первой гармоники cos3 ωτ ≈ (3/4)cosωτ. После приведения подобных членов приходим к уравнению  ( 1 – ω2 ) X + 3 --- g X 3 – cos ϕ cos ωτ –   4 – ( cωX + sin ϕ ) sin ωτ = 0.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 3 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА Оно будет выполняться при любом значении τ, если потребовать

x 6

3 2 2 X  ( 1 – ω ) + --- g X  = cos ϕ,   4

4

– cωX = sin ϕ.

2

После сложения квадратов этих выражений приходим к кубическому уравнению относительно квадрата амплитуды искомого решения 3 2 2 2 2 2 Φ ( X ) = X  c ω +  1 – ω + --- g X   – 1 = 0.     4 2

2

1

ω1 ω2

2

ω

Рис. 3. Резонансная кривая нелинейного осциллятора, иллюстрирующая явление скачка

(8)

При фиксированных значениях параметров c, g определяемую из (8) зависимость X(ω) называют резонансной кривой. Уравнение (8) в зависимости от значений параметров имеет либо один, либо три действительных корня. В случае единственного решения систему называют квазилинейной. Переходу системы в класс нелинейных соответствует рождение трехкратного корня. При этом должны обращаться в нуль первая и вторая производные функции Φ(X 2): Φ' ( X ) = 2

27 2 4 2 2 2 2 2 2 = ------ g X + 3g ( 1 – ω ) X + ( 1 – ω ) + c ω = 0. 16

(9)

9 2 2 2 Φ" ( X ) = --- g X + 1 – ω = 0. 8

(10)

Исключая X 2 из уравнений (8)–(10), получим уравнения бифуркационной поверхности в пространстве параметров, отделяющей область, в которой возможно существование трех решений. Для упрощения дальнейшего анализа будем полагать c ! 1. Тогда координаты бифуркационного узла определяются из соотношений ω* ≈ 1 + 0,86c,

0

g* ≈ 2,05c3.

Таким образом, при известном значении c и g < g* характер резонансной кривой рассматриваемого нелинейного осциллятора не отличается от случая линейного осциллятора. Когда g > g*, появляется диапазон частот резонансной кривой, в котором существуют три решения: два устойчивых и одно неустойчивое (рис. 3). Если достаточно медленно изменять ω при фиксированных значениях остальных параметров, то на определенных частотах произойдут слияние неустойчивой орбиты с одной из устойчивых и срыв установившихся колебаний: в процессе увеличения частоты при ω = ω2 , а при уменьшении при ω = ω1 . Указанные переходы называют явлением скачка. Частоты срыва соответствуют существованию кратных корней уравнения (8). В случае кратности должно

также выполняться соотношение (9). Однако нахождение частот ω1 , ω2 путем анализа корней уравнений (8), (9) проводить нецелесообразно по двум причинам. Вопервых, эти уравнения получены в предположении близости решения к гармоническому, а допускаемые при этом погрешности не оценивались. Во-вторых, для осмысливания решений не избежать обращения к компьютеру. Поэтому гораздо эффективнее воспользоваться только качественными результатами проведенного бифуркационного подхода – установлением самого факта существования опасных бифуркаций слияния с исчезновением устойчивого и неустойчивого режимов вынужденных колебаний. Конкретные же значения частоты ω1 или ω2 , а заодно и анализ особенностей переходного процесса целесообразно получать путем компьютерного моделирования исходного дифференциального уравнения (6). Последнее же можно выполнить с достаточно высокой точностью. Возвращаясь к эффекту бифуркационной памяти, мы сможем прогнозировать особенности переходного процесса в интервале частот, прилегающем к частоте срыва. На рис. 3 эти частоты расположены справа от ω2 и слева от ω1 . Сами же особенности аналогичны рассмотренному выше случаю слияния устойчивой и неустойчивой орбит в автономной системе (2). Компьютерное моделирование полностью подтвердило существование области фазового пространства, в которой система существенно замедляет свое стремление к новому стационарному режиму. В осцилляторе Дуффинга в окрестности ω > ω2 существует устойчивый режим вынужденных колебаний со значительно меньшей амплитудой (рис. 4). Однако, как видно из рисунка, этот режим характеризует переходный процесс лишь на интервале T2 при больших τ. До этого на достаточно длительном интервале T1 характер переходного процесса определяется режимом, умершим вследствие опасной бифуркации, но еще не забытым системой.

Ф Е Й Г И Н М . И . П Р О Я В Л Е Н И Е Э Ф Ф Е К Т О В Б И ФУ Р К А Ц И О Н Н О Й П А М Я Т И В П О В Е Д Е Н И И Д И Н А М И Ч Е С К О Й С И С Т Е М Ы

125

МАТЕМАТИКА Действительно, для случая d > X была доказана возможность существования при одних и тех же значениях d и ω трех различных режимов колебаний: устойчивого безударного с незначительной амплитудой, устойчивого ударного с большой амплитудой и неустойчивого режима с ударами [4]. При увеличении зазора d неустойчивые орбиты исчезают в результате слияния с устойчивыми на некоторой бифуркационной границе. Знание указанной границы позволяет определить минимально допустимое расположение ограничителя, при котором устойчивые колебания с ударами не существуют. В случае c ! 1 в интервале частоты 1 < ω < 2 уравнение бифуркационной границы имеет вид

x(τ)

τ

T1

2 2ω sin T 2 δ = 1 +  --------------------------------------------------------------------- ,  c ( T – sin T ) + 2ρ ( 1 – cos T )

T2

2π T = ------, ω

Рис. 4. Эффект бифуркационной памяти наблюдается на участке T1 переходного процесса

Линейный осциллятор с ограничителем Вынужденные колебания линейного осциллятора с ограничителем описываются следующими уравнениями в безразмерном виде: 2 dx d x -------2- + c ----- + x = cos ωτ, dτ ∂τ +

x < d, (11)

−

dx dx -------- = – R -------- , dτ dτ

x = d.

Первое из уравнений можно рассматривать как частный случай уравнения Дуффинга (6), в котором отсутствует нелинейное слагаемое gx3, а расстояние между ограничителем и ударяющейся о него массой системы при недеформированном упругом закреплении значительно превышает амплитуду вынужденных линейных колебаний d @ X. Именно удары придают системе нелинейные свойства. Упругие силы при x = d настолько резко возрастают, что препятствуют дальнейшему перемещению колеблющегося тела. Полагаем, что ударные взаимодействия в соответствии с гипотезой Ньютона описываются коэффициентом восстановления скоро−

+

dx dx сти R ∈ (0, 1) и значениями скоростей --------, -------- непоdτ dτ средственно до и после удара. Несмотря на различия нелинейных характеристик осцилляторов, подчеркнем их качественную аналогию. Упругие силы возрастают сильнее, нежели при их линейной зависимости от x. Поэтому следует ожидать, что при частоте ω > 1 в рассматриваемом осцилляторе (11) также существуют три стационарных решения.

126

(12)

1–R ρ = ------------- . 1+R

Величина δ = d*/X показывает, во сколько раз минимально допустимый зазор d* должен превышать амплитуду вынужденных колебаний линейного осциллятора. Следовательно, при d > d* существует единственный устойчивый режим вынужденных колебаний с амплитудой X. Вместе с тем в окрестности границы (12) можно ожидать проявление эффекта бифуркационной памяти, когда характер существенной части переходного процесса будет определяться не этим режимом, а стационарным режимом с ударами, который при d > d* уже не существует. При этом в зависимости от начальных условий и близости к границе (12) длительность T1 “необычного“ участка переходного процесса может значительно превышать длительность T2 , когда происходит обычное асимптотическое приближение к устойчивому стационарному режиму (рис. 5, а, б). Уравнения (11) могут описывать поведение реальных объектов различного назначения. Предположим, что возникновение ударных колебаний большой амплитуды может привести к поломке системы. В этом случае в соответствии с теоретическим расчетом достаточно установить зазор d > d*. Однако с учетом особенностей переходного процесса значение зазора следует выбрать с определенным запасом, за областью проявления эффекта бифуркационной памяти. Иначе, как видно из рис. 5, б, в процессе установления безопасного режима колебаний может произойти не несколько, а десятки соударений. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Проявление эффекта бифуркационной памяти (или бифуркационного предчувствия) связано с существованием в окрестности опасной бифуркационной границы

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 3 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА . x

а

Рис. 5. Вблизи границы области бифуркационной памяти возможна ситуация, когда T1 @ T2 . Фазовая траектория (а) и осциллограмма (б) переходного процесса для значений параметров c = 0,1; ω = 1,2855; d = 5,1; R = 0,8

б x(τ)

τ x=d

x

T1

T2

необычных переходных процессов. Один участок этого процесса характеризуется стационарным режимом, который уже (или еще) не существует. Другой участок – стационарным режимом, к которому асимптотически приближается состояние системы.

3. Анищенко В.С. Динамические системы // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. № 11. С. 77–84.

Изучение эффектов в динамических системах различной природы позволяет не только эффективно использовать необычные свойства, но и предотвратить потенциально аварийные ситуации. Существенно, что исследование таких ситуаций можно выполнить непосредственно после теоретического обнаружения случаев необычного поведения, а не по следам произошедших аварий.

5. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994. 288 с.

ЛИТЕРАТУРА 1. Фейгин М.И., Чиркова М.М. О существовании области пониженной управляемости для судов, неустойчивых на прямом курсе // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1985. № 2. С. 73–78. 2. Фейгин М.И. О начальной неуправляемости динамической системы // Проблемы теории колебаний: Межвуз. сб. науч. тр. Нижний Новгород: ННГУ, 1995. С. 184–197.

4. Magnus K., Popp K. Schwingungen: Eine Einführung in physikalische Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen. Stuttgart: Teubner, 1997. 400 p.

Рецензент статьи А.П. Маркеев *** Марк Исаакович Фейгин, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой информатики и автоматизации производственных процессов Волжской государственной академии водного транспорта, заслуженный деятель науки РФ, академик Международной и Российской инженерных академий. Область научных интересов – теория нелинейных колебаний, теория бифуркаций, динамические системы, системы управления. Автор 150 научных публикаций, одной монографии, учебных пособий, пяти авторских свидетельств.

Ф Е Й Г И Н М . И . П Р О Я В Л Е Н И Е Э Ф Ф Е К Т О В Б И ФУ Р К А Ц И О Н Н О Й П А М Я Т И В П О В Е Д Е Н И И Д И Н А М И Ч Е С К О Й С И С Т Е М Ы

127