Элементы теории множеств и математической логики: Практикум

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Р. А. Александрова, А. М. Потапова

Элементы теории множеств и математической логики

Калининград 1997

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Р. А. Александрова, А. М. Потапова

Элементы теории множеств и математической логики Практикум

Калининград 1997

УДК 372.851:378.146 Р.А. Александрова, А.М. Потапова. Элементы теории множеств и математической логики: Практикум / Калинингр. ун-т. - Калининград, 1997. - 66 с. - ISBN 5-88874-059-4. Практикум представляет собой систему разработанных практических занятий по элементам теории множеств и математической логики в соответствии с программой и учебным планом первого курса по пятилетней программе обучения. В каждом занятии приведены элементы теории, упражнения на закрепление изучаемых понятий, текстовые задачи для выработки у студентов вычислительных навыков и навыков логических рассуждений при нахождении связей и зависимостей между заданными величинами и набор упражнений для самостоятельной работы.

Печатается по решению редакционно-издательского Совета Калининградского государственного университета.

Рецензенты: С.Н.Гринченко, профессор кафедры информатики Московского института радиотехники, электроники и автоматики, доктор технических наук; И.Н.Вербицкая, зав. кафедрой математики КВВМУ.

ISBN 5-88874-059-4

© Калининградский государственный университет, 1997

Регина Александровна Александрова Алефтина Михайловна Потапова Элементы теории множеств и математической логики Практикум Лицензия №020345 от 27.12.1991 г. Редактор Н.Н.Мартынюк. Подписано в печать 11.12.96 г. Формат 60х90 1/16. Бум. для множит. аппаратов. Ризограф. Усл. печ. л. 4,1. Уч.-изд. л. 4,5. Тираж 170 экз. Заказ Калининградский государственный университет, 236041, Калининград обл., ул. А.Невского, 14.

.

ВВЕДЕНИЕ Практикум “Элементы теории множеств и математической логики” предназначен как преподавателю, ведущему практические занятия по курсу математики на педагогическом факультете (специальность - учитель начальных классов № 031200), так и студентам дневной и вечерней форм обучения. В пособии предложен материал по элементам теории множеств и математической логики, который разбит на 18 занятий. В каждом занятии выделено несколько этапов обучения. Во-первых, предлагаются элементы теории по теме (определения, символика, иллюстрированные примеры), которую студенты смогут повторить при домашней самостоятельной подготовке к занятиям. Затем рекомендуется проведение со студентами устного счета, который поможет совершенствовать их вычислительные навыки. Наконец, следует серия заданий на закрепление математических понятий по данной теме. Кроме того, в связи с целенаправленной подготовкой на педагогическом факультете учителей начальной школы, которые в своей профессиональной деятельности должны будут научить детей решать простые и составные задачи, почти в каждом занятии студентам предлагаются для решения текстовые задачи, предназначенные для выработки у них навыков выяснения зависимостей между заданными величинами и умений оформить запись решения задачи арифметическим способом. Ко всем заданиям приводятся указания по методам решения задания и форме его записи. К большинству текстовых задач приводятся схематические рисунки, позволяющие студентам быстрее выявить зависимость между рассматриваемыми величинами. Наконец, в каждом занятии приводится система заданий для самостоятельной работы. Формы работы с предложенными в пособии заданиями (решение у доски, групповые решения, самостоятельная работа с последующей оценкой) целесообразно выбрать ведущему преподавателю.

ЗАНЯТИЕ 1 Тема: Решение текстовых задач и нахождение значений выражений для выработки вычислительных навыков. I. Устный счет. Вспомним некоторые теоретические положения: а) Чтобы найти число а, большее числа в на с единиц, надо найти сумму (а+с). б) Чтобы найти число а, меньшее числа в на с единиц, надо найти разность (а-с). в) Чтобы сравнить числа а и в (а>в), надо найти их разность (а-в). 3

Решить примеры. 1) Какое число меньше 71 на 47 единиц? (Отв. 24). Какое число меньше 93 на 29 единиц? (Отв. 64) (и др.). 2) На сколько единиц число 78 больше 28? (Отв. 50). На сколько единиц число 94 больше 28? (Отв. 66) (и др.). 3) Сколько единиц надо отнять от большего числа (36) и прибавить к меньшему (24), чтобы оба числа были равными? (Отв. 6). Чему равна разность этих чисел? (Отв. 12). На сколько единиц второе число меньше первого? (Отв. 12). 4) Одно число равно 45, а другое на 17 единиц меньше. Чему равна сумма этих чисел? (Отв. 73). 5) Какова сумма двух чисел, если одно из них равно 9, а другое на 16 больше первого? (Отв. 34). II. Решение примеров на все действия с обыкновенными и десятичными дробями. Вспомним основные правила. При нахождении значения числового выражения придерживаются следующего порядка действий: - находят числовые значение выражений, выделенных скобками; - выполняют операции умножения и деления в указанном порядке; - выполняют операции сложения и вычитания в указанном порядке. Замечание. Во избежание появления при вычислениях бесконечных десятичных дробей целесообразно проводить вычисления в обыкновенных дробях. Задание 1. 1 ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ( 2,7 − 0,8 ) ⋅ 2 3 + 0,125⎟ :2 1 + 0,4 ⎜ ⎟ 2 ⎜ (5,2 − 1,4 ): 3 ⎝ ⎠ 70

Решение.

19 7 ⋅ ; 10 3 3 38 3 19 70 19 ⋅ 14 ; 3) 5,2-1,4=3,8; 4) 3,8: = : = ⋅ = 70 10 70 5 3 3 19 7 19 ⋅ 14 19 ⋅ 7 ⋅ 3 1 5) ⋅ : = = ; 10 3 3 10 ⋅ 3 ⋅ 19 ⋅ 14 20 1 1 125 1 1 2 + 5 7 ; 6) + 0,125 = + = + = = 20 20 100 20 8 40 40 7 1 7 5 7 2 7 7) :2 = : = ⋅ = = 0,07 40 2 40 2 40 5 100 1) 2,7-0,8=1,9;

8) 0,07+0,43 =0,5 Ответ. 0,5. 4

1 3

2) 1,9 ⋅ 2 =

Задание 2.

⎞ ⎛ 1 3 1 2 :11 , + 3 5 ⎜⎝ 2 + 4,5⎟⎠ ⋅ 0,375 6 4 3 : − 1 7 1 2,5 − 0,4 ⋅ 3 2,75 − 1 3 2 Ответ. 5. III. Решение текстовых задач. Текстовая задача - это словесное описание ряда ситуаций с требованием дать количественную характеристику некоторого компонента в предложенных ситуациях. Любая текстовая задача состоит из условия, а также указанного требования, которое формируется либо в повелительной форме: “Найти ...”, либо в вопросительной: “Сколько ...?”. Решить задачу - это значит через логически правильную последовательность операций с имеющимися в задаче числами суметь ответить на вопрос. Существуют два метода решения текстовых задач. Первый метод - это решение по действиям (иногда называют арифметическим) и второй - алгебраический. При арифметическом методе решения ответ на вопрос задачи отыскивается с помощью выполнения арифметических операций над числами; при алгебраическом методе решения задачи ответ на вопрос находится в результате составления и решения уравнения. Проиллюстрируем эти методы на конкретной задаче. Задача. При наборе книги на персональном компьютере предполагалось уместить на одной странице 28 строк по 40 букв в каждой строке. С учетом некоторых условий оказалось целесообразно поместить на каждой странице по 35 строк. Сколько букв надо помещать в каждой строке, чтобы число страниц в книге не изменилось? Решение. Арифметический метод решения. Первая форма записи решения. 1) Сколько букв предполагалось уместить на одной странице первоначально? 40⋅28=1120 (букв). 2) Сколько умещается в каждой строке с учетом новых условий? 1120:35=32 (буквы). Ответ. В каждой строке надо помещать 32 буквы. Вторая форма записи решения. 1) Первоначально на одной странице предполагалось поместить : 40⋅28=1120 (букв). 2) С учетом новых условий в каждой строке поместится: 1120:35=32 (буквы). Ответ. В каждой строке надо поместить 32 буквы. 5

Третья форма записи решения. 1) 40⋅28=1120 (букв) необходимо поместить первоначально на каждой странице. 2) 1120:35=32 (буквы) надо поместить в каждой строке с учетом новых условий. Ответ. В каждой строке надо поместить 32 буквы. Четвертая форма записи решения. - Пусть х - количество букв, которые надо поместить в каждой строке в новых условиях; - тогда 35х - это количество букв, которые будут помещены на новых страницах; - 40⋅28 - столько букв было на каждой странице в старом наборе; - так как число страниц в книге не изменилось, то составляем уравнение: 35х=40⋅28, откуда х= 40 ⋅ 28 = 32 35 Ответ. В каждой строке надо помещать 32 буквы. Задание 3. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к искомому числу прибавить 36, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти данное число. Решение (алгебраический метод). - Пусть х - число десятков данного числа; у - число единиц; х, у - однозначные числа (цифры), - тогда данное число запишется в виде: 10х+у; - по условию задачи: х+у=12; - в новом числе х - число единиц, у - число десятков, - тогда новое число запишется в виде: 10у+х; - так как по условию задачи число 10у+х получается в результате прибавления 36 к числу 10х+у, то имеем уравнение: 10х+у +36=10у +х. Для решения задачи имеем систему двух уравнений: ⎧x + y = 12 ⎧x + y = 12 ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⎩10x + y + 36 = 10 y + x ⎩10x − x + y − 10 y + 36 = 0 ⎧x + y = 12 ⇔ ⎨ ⎩9x − 9 y + 36 = 0

⇔

Ответ. Искомое число равно 48. 6

⎧⎪x + y = 12 ⎨ ⎪⎩x − y = 4 2x = 16; x = 4; y = 8.

Задание 4. Двое рабочих, работая одновременно, могут выполнить некоторую работу за 12 дней. После 8 дней совместной работы один рабочий заболел, а второй закончил эту работу за 5 дней. Во сколько дней каждый из рабочих, работая врозь, сможет выполнить всю работу? Решение (алгебраический метод). - Пусть вся работа - 1; - оба рабочих при совместной работе в один день смогут выполнить часть работы; - за 8 дней оба рабочих выполнят

1 2 ⋅ 8 = всей работы; 12 3

- после того, как один рабочий заболел, осталось выполнить 1 − работы; - так как второй рабочий за 5 дней выполнил день он выполнил

1 1 :5 = часть работы; 3 15

2 1 = всей 3 3

1 всей работы, то в первый 3

- тогда на выполнение всей работы второму рабочему понадобится 1: (дней); - так как второй рабочий в один день выполнил рабочий в один день выполнял

1 12

1 = 15 15

1 часть работы, то первый 15

1 1 1 − = часть работы; 12 15 60

- тогда для того, чтобы один первый рабочий смог выполнить всю работу, ему понадобится 1:

1 = 60 (дней). 60

Ответ. Первый рабочий выполнит всю работу за 60 дней; а второй - за 15 дней. Задание 5. Пароход прошел по течению третью часть пути со скоростью 18 км/ч, а остальной путь за 12 часов со скоростью 24 км/ч. На обратный путь пароход затратил на 7 часов больше, чем по течению. На сколько скорость парохода по течению была больше скорости против течения? Указание. Задачу решить арифметическим методом, записав в третьей форме (все последующие задачи будем решать и записывать аналогично). Решение. 1) 24⋅12=288 (км) прошел пароход за 12 часов по течению; 2) 288:2=144 (км) прошел пароход по течению со скоростью 18 км/ч; 3) 288+144=432 (км) весь путь; 4) 144:18=8 (ч) затратил пароход на третью часть пути по течению; 5) 12+8=20 (ч) затратил пароход на весь путь по течению; 6) 432:20=21,6 (км/ч) средняя скорость парохода по течению; 7) 20+7=27 (ч) затратил пароход на обратный путь ; 8) 432:27=16 (км/ч) скорость парохода на обратном пути; 9) 21,6-16=5,6 (км/ч) разница между скоростью парохода по течению и скоростью против течения. 7

Ответ. На 5,6 км/ч скорость парохода по течению была больше скорости против течения. Задание 6. С овощной базы отправили в четыре магазина 6 т 800 кг помидоров в ящиках одинакового веса. Во второй магазин отправили 2 400 кг помидоров, и это было на 920 кг больше, чем в первый, и на 1 360 кг больше половины того количества, которое поступило в третий магазин. Четвертый магазин получил 105 ящиков с помидорами. Сколько ящиков с помидорами получил каждый магазин? Указание. Для решения задания 6 целесообразно использовать схематический рисунок, отображающий зависимость между количествами помидоров, отправленных в разные магазины (рис. 1.). IM 920 кг II M

2 400 кг 1 360 кг

6 800 кг

III M IV M

- 105 я Рис. 1.

Ответ. В первый магазин завезли 185 ящиков помидоров, во второй - 300 ящиков, в третий - 260 ящиков. Задание 7. Пароход прошел сначала 144 км, потом половину и затем

1 часть 3

этого расстояния. Пройденный путь оказался на 48 км меньше пятой части оставшегося расстояния. Пароход шел со скоростью 24 км/ч. На стоянки ушло 14 часов. Сколько времени продолжался весь путь? Ответ. Весь путь продолжался 90 часов. Задание 8. На швейной фабрике из трех партий материала общим количеством 1 484 м, сшили одинаковые платья. В первой партии было 602 м, что на 497 м больше четвертой части количества м во второй партии. Из материала третьей партии сшили 165 платьев. Сколько платьев сшили из материала второй партии? Указание. Использовать схематический рисунок (рис. 2). 497 п IП

602 м

II П

1 484 м

III П - 165 п Рис. 2.

8

Ответ. Сшили 150 платьев из материала второй партии. Задание на дом. 1. В трех бригадах было 48 лесорубов. В первой бригаде четвертая часть всех рабочих, во второй - половина остального числа рабочих. Каждый рабочий первой и второй бригады заготовлял по 3 куб. метра 600 куб. дециметров древесины в день, а в третьей бригаде - по 4 м3. На сколько перевыполнено было дневное задание, составлявшее 144 дм3 древесины. Ответ. На 36 м3 было перевыполнено дневное задание. 2. Для ремонта доставили дубовые и сосновые шпалы. Сначала доставили 0,3 всех шпал, потом

33 остатка, и, наконец, последние 185 шпал. Все шпалы 70

весят 17 т 400 кг. Одна сосновая весит 28 кг, одна дубовая - 45 кг. Сколько было дубовых шпал? Ответ. Было 200 дубовых шпал. 3. Вычислить значения выражений. ⎛ 1 ⎛ 17 ⎞⎞ 1 ⎜ 1 : ⎜ + 0,6 − 0,005⎟ ⎟ ⋅ 1,7 4,75 + 7 ⎠⎠ ⎝ 5 ⎝ 10 2 + :0,25 . а) 5 1 23 5 +1 −1 33:4 7 6 3 30

Ответ. 12. ⎛ 0,216 ⎞ 3⎞ 3 ⎛ + 0,56⎟ :0,5 ⎜ 1,88 + 2 ⎟ ⋅ ⎜ ⎝ ⎝ 0,15 ⎠ 25⎠ 16 + . б) 13 26 3 2⎞ ⎛ 0,625 − : ⎜ 7,7:24 + ⎟ ⋅ 4,5 ⎝ 18 9 4 15⎠

Ответ. 4.

ЗАНЯТИЕ 2 Тема: Решение текстовых задач и нахождение значений выражений для выработки вычислительных навыков. I. Устный счет. 1. Какова сумма двух чисел, если одно из них 7, а другое на 19 больше первого? Ответ. 33. 2. Сумма двух чисел равна 63, одно больше другого в 8 раз. Чему равно каждое число? Ответ. 56 и 7. Указание. При выполнении устных вычислений целесообразно вспомнить следующие теоретические положения: - при выполнении вычислений письменно, операцию выполняют, начиная с низших разрядов: 9

+

3429

1231 ...0 - при выполнении вычислений устно операцию выполняют, начиная со старших разрядов: 3429+1231=(3429+1000)+231=(4429+200)+31=(4629+30)+1= =4659+1=4660. 3. Выполнить указанные операции: 6 4 32 27 7 56 0 7 63 ⋅ 3 ⋅ 5 : 4 : 3 ⋅ 4 : 6 ⋅ 8 ⋅ 8 : 9 : 2 ⋅ 5 + 67 + 86 + 72 ⋅ 7 + 99 - 38 ⋅ 6 - 37 - 56 + 17 - 78 + 57 + 38 + 46 - 74 - 49 55 26 26 58 44 80 21 75 80 II. Решение примеров и текстовых задач. Задание 1. 7 ⎞ 18 2 ⎛ 1 ⎜ 16 − 13 ⎟ ⋅ + 2,2 ⋅ (0, ( 24) − 0,0( 9) ) + . ⎝ 2 ⎠ 9 33 11

Ответ. 2. Указание. Целесообразно вспомнить правило обращения чистых и смешанных периодических дробей в обыкновенные (на примерах): 7 9

а) 0,(7)= ; б) 0,(17)=

71 234 − 2 ; в) 0,2(34)= ; 99 990

г) 0,34(21)=

3421 − 34 . 9900

Задание 2. В течение трех недель заготовили 6 500 м3 дров, во вторую и третью 4450 м3. Сколько кубометров дров заготовили в каждую неделю в отдельности, если в первую и вторую недели заготовили 4225 м3 дров? Указание. При решении задачи можно использовать схематический рисунок (рис. 3). 6500 м3 Iн

II н 4225 м3

III н 4450 м3

Рис. 3.

Ответ. В первую неделю заготовили 2050 м3, во вторую - 2175 м3, в третью - 2275 м3. Задание 3. На стройке работало 8 самосвалов грузоподъемностью по 25 т. Каждая машина делала по 14 рейсов в день. Какое количество лошадей заменяют эти машины, если на лошади можно перевезти по 5 ц и делать по 4 поездки в день? 10

Указание. Необходимо вспомнить, что 1т = 1000кг, 1ц = 100 кг, 1т = 10ц. Ответ. 1400 лошадей могут заменить все самосвалы. Задание 4. Имеется запас сена, сложенный в 10 стогов по 450 м3 каждый и в 15 стогов по 540 м3. Вес 1 м3 сена 52 кг. Стойловый период продолжался 180 дней. На какое количество коров хватит этого запаса сена, если дневная норма для одной коровы составляет 10 кг сена? Ответ. Сена хватит на 364 коровы. Указание. К данной задаче после ее решения целесообразно составить выражение: (25⋅(450⋅10+540⋅15):180):10=364 (коровы). Задание 5. На складе было 2460 т цемента и это в четыре раза больше количества имеющегося там алебастра. В течение месяца на склад поступило 315 т алебастра, что было на 720 т меньше количества поступившего цемента. За месяц израсходовано 2875 т цемента и 860 т алебастра. Сколько осталось на складе цемента и сколько алебастра? Указание. Целесообразно использовать схематический рисунок (рис. 4). 2460 т Т Ц.

+315 +720 т

Т А. +315 т Рис. 4.

Ответ. Осталось на складе 702 т цемента и 70 т алебастра. Задание 6. От продажи молочных продуктов колхоз выручил на 71400 рублей больше, чем от продажи помидоров и на 107800 рублей больше, чем от продажи капусты, за которую получено в три раза меньше, чем за помидоры. Сколько всего выручено денег? Указание. Целесообразно использовать схематический рисунок (рис. 5). 107800 р. М. П. 71400 р. П. К. Рис. 5.

III. Задание на дом. 1. Повторить теорию: основные понятия множеств, символика, числовые множества. 11

Задание 1. Завод отправил на склад в первый раз 75 ящиков гвоздей и 82 ящика болтов общим весом 5155 кг, в другой раз столько же гвоздей и 95 ящиков болтов общим весом 5675 кг. Сколько кг гвоздей и кг болтов было отправлено на склад? Указание. Целесообразно использовать схематический рисунок (рис. 6). 75 я (гв.) I раз

5155 кг 82 я (б.)

II раз

75 я (гв.)

5675 кг

95 я (б.) Рис. 6.

Ответ. Отправили 3750 кг гвоздей и 10830 кг болтов. Задание 2. В районе площадь под посевами овса составляет 5350 га. Это на 675 га больше площади посева ячменя, но на 2650 га меньше посева ржи. Площадь, засеянная пшеницей, в три раза больше площади, засеянной остальными культурами вместе. Сколько гектаров земли занято под все эти зерновые культуры. Указание. Использовать схематический рисунок (рис. 7). 5350 га О 675 га Я 2650 га Р Рис. 7.

Ответ. Под посевами занято 72 100 га земли. Задание 3. Магазин продал 3 центнера винограда трех сортов. Пятую часть всего винограда продал по 9 000 рублей за 1 кг, третью часть остатка - по 6 600 рублей за 1 кг и остальной - по 4 800 рублей. Какова была средняя цена винограда? Ответ. Средняя цена килограмма винограда 6 120 рублей.

12

Задание 4. Для варенья было взято 10 кг ягод по 60 коп. за 1 кг, 5 кг по 54 коп. и 15 кг сахарного песку по 94 коп. за 1кг. Получили 20 кг варенья. Найти цену варенья? Ответ. 1 руб. 14 коп. Задание 5. На изготовление 32 столовых и 60 чайных ложек израсходовано 3 кг 400 г серебра. Одна столовая ложка на 20 г тяжелее одной чайной ложки. Сколько весят все столовые ложки? Ответ. 1 кг 600 г.

ЗАНЯТИЕ 3 Тема: Множества. Числовые множества. I. Элементы теории. 1. Понятие “множество” не определяется, оно поясняется примерами: множество яблок в корзине; множество точек отрезка прямой. 2. Множество состоит из элементов. В приведенных примерах - это яблоки, буквы, точки. 3. Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, ... Х, ...; элементы множества - строчными буквами алфавита: а, в, с, ... х, у, .... 4. А={а; в; с; d}- множество А состоит из элементов а, в, с, d. С другой стороны, говорят, что элемент а принадлежит множеству А, записывается: а ∈А (знак ∈ читается: “принадлежит”). Элемент 5 не входит в множество А, говорят, что “5 не принадлежит А”: 5 ∉ А, или 5 ∈A . 5. Если множество В не содержит ни одного элемента, то говорят, что оно пустое, обозначается: В= ∅ . 6. Если элементы данного множества Х обладают некоторым свойством, а другие элементы этим свойством не обладают, то такое свойство называют характеристическим. Например, если А={2; 4; 6; 8}, то элементами этого множества являются числа 2, 4, 6, 8, а их характеристическим свойством то, что они натуральные, однозначные и четные числа. В общем случае можно записать А={х | ... }, где после вертикальной черты указывается свойство элементов данного множества. 7. Если элементами множества являются числа, то множество называется числовым. Известны числовые множества: натуральных чисел (N), множество целых неотрицательных чисел (No), целых чисел (Z), рациональных чисел (Q), действительных чисел (R); в развернутом виде их можно записать так: ⎪⎧ p ⎪⎩ q

⎫

N={1; 2; 3; ...}; No={0; 1; 2; 3; ...}; Z={...-2; -1; 0; 1;2; ...}; Q= ⎨ p ∈ Z, q ∈ Z, q ≠ 0⎬ . ⎪⎧ p ⎪⎩ q

⎭

⎫

Кроме того, можно выделить Q o+ = ⎨ p ∈ Z o+ , q ∈ Z + ⎬ , где Z o+ - целые неотрицательные

числа;

⎭

+

Z -

целые положительные числа (натуральные); R = {x x ∈ R , x > 0} - действительные положительные числа и др. +

13

8).

8. Каждое числовое множество можно изобразить на числовой прямой (рис.

0 1 2 3 ... N={1; 2; 3; ...}: ... -2 -1 0 1 2 ... Z={...-2; -1; 0; 1;2; ...}: 0 а

b

[a, b] - отрезок: а

b

c

d

0 [a, b), (c,d] - полуинтервалы: 0

a

b

(a, b) - интервал: d

a 0

[a, ∞), (-∞, d] - лучи: d

a 0

(-∞, d), (a, ∞) -открытые лучи: 0 R - множество действительных чисел: Рис. 8. 14

II. Устный счет. III. Упражнения. Задание 1. Определить, какие из записей верны (ответ отметить знаком “+” или “-”). 5 ∈ N;

− 28 ∉ N;

1 15 ∈ N; 4 − 2,6 ∈ N;

10 ∈ Q O− ;

− 2,6 ∈ R O+ ; 16,2 ∈ N;

− 2,1 ∈ R; 22,6 ∉ R O− ;

− 25 ∈ N; − 6,1 ∉ R; 1 1 ∈ Q; ∈ Q O+ ; 5 4 2 ∉ Q; 0,25 ∈ Q; 5

2,5 ∈ N O ;

− 2,6 ∈ R;

14 ∈ Q O− ; 21 ∈ Q;

2,6 ∉ R;

Задание 2. Пусть имеем числовые множества: N - натуральных чисел; P множество чисел, делящихся только на 1 и на само себя (простых чисел); K множество чисел, кратных семи (делящихся на семь). Запишите, каким множествам принадлежат следующие числа: 23; 65; 9; 342; 343; 19; 34; 68; 154; 101; 24; 220; 69; 13; 206; 81; 97. Указание. Ответ записывать в форме: 23∈N; 23∈P; и т. д. Задание 3. Известно, что x∈R. Найдите множество решений каждого из уравнений: а) 3х + 5 = 2⋅(х+1); б) х2 - 3х - 4 = 0; в) х2 + 6 = 2; г) 2⋅(х + 2) = 3х; д) х2 + 2х - 4 = 0; е) х - 3 = х + 2. Ответ. а)A={-3}; б)B={-1; 4}; в)D=∅; д) E = 5 − 1;−1 − 5 ;

{

}

е)M=∅; Задание 4. Прочтите записи и перечислите элементы каждого из множеств: A = {x x ∈ N , x < 5} ;

B = {x x ∈ N o ,1 < x < 4} ;

1⎫ ⎧ C = ⎨x x ∈ Z o+ , x < 3 ⎬ ; 2⎭ ⎩ D = {x x ∈ Z,−5 < x ≤ 2} ; E = {x x ∈ Z,−3 ≤ x ≤ 2} ; F = {x x ∈ N 0 ,0 ≤ x < 3} .

15

Ответ. C={0; 1; 2; 3}; F={0; 1; 2}. Задание 5. Изобразить на числовой прямой следующие множества: 1) X={x ⎢x∈N, x≤4}; 2) X={x ⎢x∈N, 5≤x<4}; 3) X={x ⎢x∈N, -3<x≤5}; 4) X={x ⎢x∈Z, -2<x≤4}; 5) X={x ⎢x∈Z, -4≤x<4}; 6) X={x ⎢x∈Z, -5≤x<0}; 7) X={x ⎢x∈R, -3≤x≤2}; 8) X={x ⎢x∈R, -2<x≤4}; 9) X={x ⎢x∈R, -4≤x<2}; 10) X={x ⎢x∈R, 2<x<6}; 11) X={x ⎢x∈R, x≥-2}; 12) X={x ⎢x∈R, x<3}; 13) X={x ⎢x∈R, x<4}; 14) X={x ⎢x∈R, x≤2}. Ответ. (5)

R

(10)

R

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

0 2

6

Задание 6. Задайте числовое множество с описанием характеристического свойства элементов: 1) X=[2; 4]; 4) X=[-2; 3); 7) X=(-∞; 2]; 10) X=(0; ∞); 2) X={1; 2; 3; 4; 5}; 5) X=(3; 5); 8) X=[3; ∞); 11) X={1; 2; 3; ...; 6}; 3) X=(1; 3]; 6) X={3; 5}; 9) X= (-∞; 1); 12) Х= (-∞;∞). Ответ. (5) интервал; (11) множество натуральных чисел первого десятка до 6. Задание 7. Укажите характеристическое свойство каждого числового множества на числовой прямой (рис. 9). 1)

5) 0

2

3

-3

2)

4

6) 0

0 1

3)

7) 0

1

4

0 1

4)

5

8) -1

0

0 Рис. 9

16

0

4

Ответ. (1) (2; 3] -полуинтервал; (8) (-∞; 4]- луч. Задание 8. На съезд туристской песни собрались гости из трех районов, всего 386 человек. Сколько людей приехало из каждого района, если из первого района приехало на 38 человек больше, чем из второго, а из третьего - на 26 человек меньше, чем из первого? Указание. Целесообразно для решения задачи использовать схематический рисунок (рис. 10). 38 ч I 26 ч II III Рис. 10.

Ответ. Из первого района приехало 150 человек, из второго - 112 человек, из третьего - 124 человека. Задание 9. Завод в каждый последующий квартал выпускал на 2300 деталей больше, чем в предыдущий. Сколько деталей изготовили в последний квартал, если за год изготовили всего 51 200 деталей? Указание. Целесообразно использовать схематический рисунок (рис. 11). I II III IV

2300 д 2300 д 2300 д

51200 д.

Рис. 11.

Ответ. За последний квартал завод изготовил 16 250 деталей. IV. Задание на дом. 1. Повторить теоретический материал: подмножества, множества равные и равносильные. Задание 1. Найти множество корней каждого из уравнений: 1) 3х+2=3(х-2), x∈N; 2) 2х+5=х-6, x∈R; 3) 3х+5=х-6, x∈N; 4) х2-3х-4=0, x∈N; 5) х2-6х+7=0, x∈R; 6) х2+2х-4=0, x∈Q; 7) х2-х-6=0, x∈N. Ответ. (1) X=∅; (2) X={11}; (5) X={3+ 2 ; 3- 2 }; (7) X={3}. Задание 2. В городе за год приобрели 14108 радиоприемников, телевизоров и автомашин. Сколько приобретено каждого вида из этих товаров, если телевизоров было продано на 3250 меньше, чем радиоприемников, но на 4892 больше, чем легковых машин. Указание. Целесообразно использовать схематический рисунок (рис. 12).

17

3250 Р. 4892 Т.

14108

А. Рис. 12.

Ответ. Приобрели за год 8500 радиоприемников, 5250 телевизоров, 358 автомашин. Задание 3. Отец и два сына выработали 950 трудодней. Отец выработал на 80 трудодней больше, чем каждый из сыновей. Сколько трудодней выработал каждый из сыновей. Ответ. 290 трудодней выработал каждый сын.

ЗАНЯТИЕ 4 Тема: Подмножество. Множества равные и неравносильные. I. Элементы теории. 1. Множество В называется подмножеством (правильной частью) множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А. Обозначается: B⊆A. Говорят, что имеем отношение включения (множества В в множество А). 2. Подмножества можно проиллюстрировать кругами Эйлера (рис. 13). B A

B⊆A

Рис. 13.

3. Кругами Эйлера можно проиллюстрировать включение стандартных числовых множеств (рис. 14).

N N0 Z Q R Рис. 14. 18

4. Универсальным множеством называется такое множество, для которого любое данное множество является подмножеством. На рисунке 13 множество R универсальное. Обозначается универсальное множество - U. 5. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. Обозначается: А=В. 6. Соответствие между элементами множеств А и В называется взаимнооднозначным, если каждому элементу множества А соответствует один и только один элемент множества В и обратно, если каждому элементу множества В соответствует один и только один элемент множества А. 7. Множества А и В называются равносильными, если между их элементами можно установить взаимооднозначное соответствие. Обозначается: А ~ В. II. Устный счет. III. Упражнения. Задание 1. Установите, какое из подмножеств А или В является подмножеством другого множества, если: 1) А={1; 2; 3; ... 10}, В={2; 4; 6 ;8}; 2) А={2; 4; 6; 8; 10}, В - множество чисел первого десятка; 3) А - множество четных однозначных чисел, В - множество однозначных чисел, кратных 4; 4) А- множество двузначных натуральных чисел, В - множество четных двузначных чисел; 5)А=N, D=No; 6) A=N, B=Z; 7) A=R, B=Z. Ответ. (1) В⊆А; (2) А⊆В; (3) В⊆А; (4) В⊆А; (5) А⊆В; (6) А⊆В; (7) В⊆А. Задание 2. Пусть А - множество прямоугольников, В - множество ромбов, С - множество квадратов. Докажите: 1) B ⊆ C ; 2) С⊆В; 3) С⊆А. Задание 3. Пусть А= {225; 165; 144; 24}. Составьте подмножества множества А, которые состоят из чисел: 1) делящихся на 5; 2) делящихся на 3; 3) делящихся на 12; 4) делящихся на 24; 5) делящихся на 7. Задание 4. Какие из следующих пар множеств связаны между собой отношением включения? Изобразите их на числовой прямой: 1)A={x|x∈N, x>3}, B={y|y∈N, y>2}; 2) A={x|x∈R, x≤2}, B={y|y∈R, y≤4}; 3) A={x|x∈R, -2< x ≤4}, B={y|y∈R, 1≤y<2}; 4) A={x|x∈N, 1< x ≤5}, B={y|y∈R, 1< y ≤5}; Задание 5. Верны ли записи: 1) {1; 4}⊆{{1; 4; 3},{1; 2}, 4; 1}; 2) {1; 4}∈{{1; 4; 3},{1; 2}, 1}; 3) {1; 3}∈{{1; 2; 3},{1; 3}, 1}; 4){1; 5}⊆{{1; 2; 5},{1; 5}, 1; 2}? Поясните свой ответ. 19

Ответ. (1) да; (2) нет; (3) да; (4) нет. Задание 6. Выпишите пары равных множеств: 1) А={ф; в; с}, В={в; ф; с}; 2) А={1; 2; 3}, В={I; II; III}; 3) А= N, В - множество натуральных чисел первого миллиона; 4) А=[2; 3], В= {2; 3}; 5) A={x|x∈N, 2<x<10}, B={y|y∈Z, 2
Ответ. Хлебозавод привез 400 бубликов, 1 200 булочек, 2 400 батонов. Задание 9. С одной базы отправлено 405 центнеров яблок, со второй - 372 ц, с третьей - 156 ц; после чего на второй базе осталось в три раза меньше яблок, чем на третьей. Сколько яблок осталось на всех базах, если сначала их было на каждой базе поровну? Указание. Для решения целесообразно использовать схематический рисунок (рис. 16). 20

405 ц I 372 ц II 156 ц III Рис. 16

Ответ. На всех базах осталось 507 центнеров яблок. V. Задание на дом. 1. Повторить теоретический материал: операции объединения и пересечения множеств. 2. Изобразить пары множеств на числовой прямой и записать, какое из них является подмножеством другого: 1) А={3; 4; 5; ...}, В={5; 6; 7 ...}; 2) А=(-∞; 3], В=(-∞;6]; 3) А=(-2; 5], В=[0; 4); 4) А=[2; 6), В={2; 3; 4; 5}; 5) А=(-∞;4), В=[0; 1]; 6) А=[2; ∞), В=[3; 6). Ответ. (1) В⊆А; (4) В⊆А. 3. Заданы пары множеств: 1) А={2; 4; 6}, B={4; 2; 6}; 2) A={2; 4; 6}, B={3; 4; 6}; 3) A={2; 4; 6}, B={b; c; a}; 4) A={2; 4; 6}, B={2; 4; 6; 8}; 5) A=N, B={1; 2; 3; ... n; ...}; 6) A= N, B={1; 2; 3; ...; n}; 7) A={2; 4; 6; ...2n; ...}, B={2; 4; 6; ...; 2m}; 8) A={1; 3; 5; ...; 9}, B - множество четных чисел первого десятка; 9) А={4; 6; 8}, В - множество четных чисел, больших единицы и меньших 9; 10) А - множество плоских четырехугольников, В - множество плоских фигур, образованных замкнутой ломаной линией из четырех отрезков; 11) А- множество четных натуральных чисел, В - множество всех сумм нечетных натуральных чисел; 12) А - множество двузначных чисел, кратных трем, В - множество двузначных чисел, кратных девяти; 13) А - множество двузначных чисел, кратных трем, В - множество двузначных чисел, сумма цифр которых кратна трем;

21

14) А - множество точек плоскости, лежащих на окружности с центром в точке О (2; 1) и радиусом равным 3, В - множество точек плоскости, расстояние которых до точки О (2; 1) равно 3; 15) А - множество точек плоскости, лежащих внутри окружности с центром в точке О (0; 0) и радиусом r=4, В - множество точек плоскости, расстояние которых от точки О (0; 0) меньше 3. 16) А - множество треугольников, В - множество плоских фигур, образованных замкнутой ломаной линией, состоящей из трех отрезков; 17) А - множество четных чисел первого десятка, В - множество нечетных чисел первого десятка. Сравните данные пары множеств А и В и заполните нижеприведенную таблицу (рис. 17), где в каждой колонке проставить соответствующий правильный номер задания. 1 А~В 1, ...

2 А~В

3 А~В и А=В 1, ...

4 А~В и А≠В

5 А=В 1, ...

6 А⊆В 1, ...

7 В⊆А 1, ...

Рис. 17.

Замечание. В таблице (рис. 17) приведен пример ее заполнения: под номером (1) А={2; 4; 6} и В={4; 2; 6}, очевидно, что А~В, А=В, А⊆В, В⊆А, поэтому (1) попадает в колонки (1), (3), (5), (6), (7). 4. Изобразите на числовой прямой следующие множества: 1)Х=[1; 4] 2) Х={1; 2; 3}; 3) Х=(-2; 2]; 4) Х=[-1; 3]; 5) Х=(-1; 1); 6) Х={-1; 1}; 7) Х=(-∞;1]; 8) Х=[-1; ∞); 9) Х=(-∞; 2); 10) Х={0; 1; ...; 5}. 5. Постройте прямую, отметьте начало отсчета, точку А(3) и все точки, расстояние каждой из которых до точки А: а) равно 4; б) не больше 4; в) больше 4. Ответ. (а) В1(-1), В2(7); б)X={x|x∈R, -1≤x≤7}; (в) X={x|x∈R, x<-4 или x>4}.

ЗАНЯТИЕ 5 Тема: Операции объединения и пересечения множеств. I. Элементы теории. 22

1. Пересечением двух данных множеств А и В называется новое множество С, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В. Обозначается: А∩В=С, ∩ - знак пересечения; или А∩В={х|x∈А и х∈В}. 2. Если А∩В=∅, то А и В называются непересекающимися; в противном случае множества А и В пересекающиеся. 3. Объединением двух данных множеств А и В называется новое множество С, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному множеству. Обозначается: А∪В=С, ∪ - знак объединения; или А∪В={х|x∈А или х∈В}. 4. Операции объединения и пересечения можно проиллюстрировать кругами Эйлера (рис. 18). А а)

В - А∩В;

А

В б) А∩В=∅;

А в)

В - А∪В.

Рис. 18.

5. Для операций объединения и пересечения справедливы законы: 1) А∪В=В∪А; А∩В=В∩А; 2) А∩(В∩С)=(А∩В) ∩С; А∪(В∪С)=(А∪В) ∪С; 3) А∪∅=А; А∩∅=∅; 4) А∪U=U; A∩U=A; 5) A∪A=A; A∩A=A. II. Устный счет. III. Упражнения. Задание 1. Пусть А - множество всех натуральных делителей числа 18; В множество всех натуральных делителей числа 24. Найти множество общих делителей чисел 18 и 24; найти самый большой общий делитель. Ответ. А∩В={1; 2; 3; 6}; d=6. Задание 2. Найдите пересечение множества А различных букв, входящих в слово “педагогика”, и множества В, букв, входящих в слово “математика”. Найдите объединение множеств А и В. Ответ. А∩В={а; е; и; к}, А∪В ={м; а; т; е; к; п; д; г; о}. Задание 3. Пусть даны множества А, В, С. Найдите А∩В, А∩С, В∩С, А∪В, А∪C, В∪С, если: 1) А={2; 3; 8; 9}, В={16; 18; 20}, C=N; 2) A=N, B={-2; -1; 0; 1; 2}, C={3; 5; 7}; 3) A={3; 4; 5; ...}, B=N, C={-1; 0; 1; 2}; 4) A={21; 22; ...; 26}, B={3; 5}, C=N; 23

5) A=Z, B={2; 4; 6}, C=N; 6) A={20}, B={2; 3; 4; 5}, C={5; 6; ...; 10}; 7) A=N, B={-1; 0; 1; 2}, C={15; 16; ...; 20}; 8) A=Z, B=N, C=Q; 9) А={-1; 0; 1; 2}, В={2; 3; 4}, C= N. Указание. Для решения пункта (9) целесообразно воспользоваться кругами Эйлера (см. рис. 14). Задание 4. Постройте круги Эйлера для множеств А, В, С и укажите характеристическое свойство элементов множества А∩В∩С, если: 1) А - множество правильных многоугольников, В - множество треугольников, С - множество четырехугольников; 2) А - множество параллелограммов, В - множество прямоугольников, С - множество четырехугольников; 3) А - множество прямоугольных треугольников, В - множество равнобедренных треугольников, С - множество равносторонних треугольников; 4) А - множество прямоугольных треугольников, В - множество равнобедренных треугольников, С - множество треугольников. В каждом из случаев выделите на чертеже область, изображающую множество А∩В∩С, и начертите фигуру, принадлежащую этому множеству. Задание 5. Три множества А, В и С изображены тремя прямоугольниками, имеющими общие части (рис. 19). Отметьте штриховкой области, изображающие следующие множества: 1) В∩С; 2) А∩В; 3) А∩С; 4) А∩В∩С; 5) (А∩В)∩(В∩С). Указание. Для каждого случая надо сделать отдельный чертеж. А В С Рис. 19.

Задание 6. Изобразите с помощью кругов Эйлера множества А, В, С, если А⊆U, B⊆U, C⊆U и известно, что: 1) А⊆В, В⊆С; 2) А⊆С, В⊆С и С=А∪В; 3) А⊆С, В⊆С и А∩В=∅; 4) А⊆С, В⊆С и А∩В≠∅; 24

5) А∩В≠∅, А∩С≠∅, В∩С≠0, А∩В∩С=∅; 6) А∩В=∅, А∩С≠∅, В∩С=∅. Задание 7. Найти пересечение и объединение множеств: 1) [3; 4] и [2; 6]; 5)(-1; 3) и (-4; 2]; 2) (-2; 1] и [-2; 0); 6)(-∞; 3) и (-1; ∞); 3)(2; ∞) и [-1; 3]; 7) [0; 2] и [1; 3); 4) (-∞; 3] и (-1; +∞); 8) [-1; 4] и (2; 5]. Указание. Для решения использовать числовую прямую (3) (рис. 20).

1

0

2

3

(2; ∞)∩[-1; 3]=(2; 3]; (2; ∞)∪[-1; 3]=[-1; ∞) Рис. 20

Задание 8. Туристическая фирма продала путевок в санатории в три раза меньше, чем в пансионаты, но на 88 путевок больше, чем на турбазы. Сколько всего продала фирма путевок, если в пансионаты продано на 312 путевок больше, чем в санаторий. Указание. Целесообразно воспользоваться схематическим рисунком (рис. 21). 88 п. С.

312 п.

П. Т. Рис. 21

IV. Задание на дом. Повторить теоретический материал: Операции объединения и пересечения множеств. Задание 1. Найдите объединение и пересечение множеств А и В, если: 1) А={20; 21}, В={1; 2; 3}; 3) А=Z, B={-1; 0; 1; 2; ...}; 2) A={3; 5; 6}, В=Z; 4) A={2; 3}, B=N. 5) A=[-2; 3], B=(1; 5]; 8) A=[-2; 0], B=[1; 2); 6) A=[-1; 4], B=[1; 2); 9) A=(-∞; 4], B=[5; ∞); 7) A=(-∞; 2), B=[-3; ∞); 10) A=(-2; -1), B=(0; 1). Указание. Для каждого из примеров 5) - 10) задания 1 необходимо изобразить множества А и В на числовой прямой.

25

Задание 2. Пусть S - множество правильных многоугольников, Т - множество прямоугольников. Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т? Задание 3. На элеватор поступило 720 т зерна, при этом пшеницы поступило в два раза больше, чем ржи, а овса в три раза меньше, чем ржи. Сколько поступило на элеватор зерна каждой культуры? Указание. Целесообразно использовать схематический рисунок (рис. 22). О. Р. П.

720 т Рис. 22

Ответ. На элеватор поступило 72 т овса, 216 т ржи, 432 т пшеницы.

ЗАНЯТИЕ 6 Тема: Совместные операции объединения и пересечения множеств. I. Элементы теории. Для совместных операций пересечения и объединения множеств справедливы свойства: 1) A∩(В∪С)=(А∩В)∪(А∩С); А∪(В∩С)=(А∪В)∩(А∪С). 2)Если в записи выражения, включающего операции объединения и пересечения множеств, отсутствуют скобки, то сначала выполняют операции пересечения, а затем операции объединения. II. Устный счет. III. Упражнения. Задание 1. Найдите для каждой тройки множеств А, В, С результаты операции: 1) А∩(В∪С); 2)А∪(В∩С); 3)(А∪В)∩С; 4)(А∩С)∪(А∩В); 5) (А∪С)∩В; 6) (А∩В)∪С, если: а) А={2; 3; 4}, B={3; 6}, C=N; б) A=N, B=Z, C={-1; 0; 1}; в) A={1; 3; 5; ...}, B={2; 4; 6; ...}, C=N; г) A=Z, B=N, C={3; 6; 9; ...}; д) A={1; 2; 3}, B={2; 4}, C=[2; 8]; е) A=[2; 3], B=(0; 4], C={1; 2; 3; 4}; ж) A=(2; 5), B=(0; 6], C=[-1; 3). Указание 1. Ответы смотрите в таблице (рис. 23), где в первой строке записаны задания (1-6), а в первой колонке - номера условий (а-ж), во второй колон26

ке - условие задания (множества А, В, С) и на пересечении соответствующих строк и столбцов записаны ответы. Указание 2. Образец записи решения: найти (А∪В)∩С, если А={1; 2; 3}, В={2; 4}, С=[2; 8] (д). Решение. А∪B ={1; 2; 3}∪{2;4}={1; 2; 3; 4}; (A∪B)∩C={1; 2; 3; 4}∩[2; 8]={2; 3; 4}. Задания с 1 по 6 1 2 3 Условия а-ж А∩(В∪С) А∪(В∩С) (А∪В)∩С а

б

в

г

д

е

ж

А={2; 3; 4}, B={3; 6}, C=N A=N, B=Z, C={-1; 0; 1} A={1; 3; 5; ...}, B={2; 4; 6; ...}, C=N A=Z, B=N, C={3; 6; 9; ...} A={1; 2; 3}, B={2;4}, C=[2;8] A=[2; 3], B=(0; 4], C={1; 2; 3; 4} A=(2; 5), B=(0;6], C=[-1;3)

4 5 6 (А∩С) (А∪С)∩В (А∩В)∪С ∪(А∩В)

А

{2;3;4;6}

{2;3;4;6}

А

А

{1;0;1;...}

С

А

А

С

С

А

В

С

В

А

С

В

В

В

{2; 3}

{1;2; 3; 4} [2; 3] ∪ {1; 4}

{2; 3; 4}

{2; 3}

В

С

С

[2; 3]

[2; 3] ∪ {1; 4}

[2; 3] ∪ {1; 4}

(0; 5)

(0; 3)

А

(0; 5)

[-1; 5)

А

А

В

С

{-1;0;1;...} {-1;0;1;...}

Рис. 23

Задание 2. Изобразить с помощью кругов Эйлера следующие множества, если А⊆U, B⊆U, C⊆U, A∩B∩C≠∅: 1) А∩В∩С; 4) А∪В∪С; 2) (А∩В)∩С; 5) (А∩В)∪(А∩С); 3) (А∪В)∩С; 6) А∪(В∩С); 7) (А∩С)∪В. Указание. Решение оформить в следующем виде: (6) (рис. 24) А∪(В∩С). Этап I.

Этап II. 27

U

U А

В

А

С

В С

- В∩С

- А∪(В∩С) Рис. 24

Задание 3. Магазин продал 4 650 пар кожаной, текстильной обуви; кожаной на 2 550 пар больше, чем текстильной. Проданная кожаная обувь содержала туфель в три раза больше, чем ботинок, а босоножек на 100 пар меньше, чем ботинок. Сколько пар туфель продано? Указание. Целесообразно использовать схематический рисунок (рис. 25). Т. о.

Т. 2550 пар

4650 пар

100 пар Б. Б.

К. о. Рис. 25

Ответ. Продано 2 220 пар туфель. Задание 4. Стройконтора израсходовала мела в три раза больше, чем алебастра, но на 23 т меньше, чем цемента, расход которого в три раза меньше расхода извести. Определить расход каждого вида материала, если всего пошло 812 т. Указание. Целесообразно использовать схематический рисунок (рис. 26). М А 23 т

812 т

Ц 23 т

23 т

23т

И Рис. 26

Ответ. Израсходовали мела 135 т, 158 т цемента, 474 т извести и 45 т алебастра. IV. Задание на дом. Повторить теоретический материал: Разность и дополнение множеств; обобщение операций с множествами. 28

Задание 1. Найдите результаты операций для каждой тройки множеств А, В, С: 1) А∪(В∩С); 2) (А∩В)∩С; 3) А∩(В∪С); 4) (А∩В)∪С, если а) А=(0;2], В=[-1; 3], С=(-3; 6); б) А=(-3; 6), В=[0; 4), С=[2; 7]; в) А=[0; 3), В=[-2; 4]; С=(-1; 1); г) А=[2; ∞), В=(-3; 4], С=(0; 6). Указание 1. Ответы сведены в таблице (рис. 27), аналогичной таблице (рис. 23). Указание 2. Решение оформить в той же форме, что и решение задания 1 (аудиторного).

а

б

в

г

Задания 1-4 Условия (а-г) А=(0;2], В=[-1; 3], С=(-3; 6); А=(-3; 6), В=[0; 4), С=[2; 7 ] А=[0; 3), В=[-2; 4]; С=(-1; 1); А=[2; ∞), В=(-3; 4], С=(0; 6)

1 А∪(В∩С)

2 (А∪В)∩С

3 А∩(В∪С)

4 (А∩В)∪С

В

В

А

С

(-3; 6)

[2; 6)

[0; 6)

[0;7]

(-1; 3)

С

А

(-1; 3)

(0; ∞)

С

[2; 6)

С

Рис. 27.

Задание 2. Сумма периметров двух участков, прямоугольного и квадратного, равна 5100 м, длина прямоугольника на 200 м больше стороны квадрата, а ширина прямоугольника на 50 м меньше стороны квадрата. С обоих участков собрали 1 528 картофеля, с квадратного - на 232 т меньше, чем с прямоугольного. Сравнить урожай картофеля с одного га на каждом участке. Указание. Целесообразно использовать схематический рисунок (рис. 28). 200 м Д. п.

29

С. к.

5100 м 50 м

Ш. п.

Рис. 28.

Ответ. С каждого гектара прямоугольного участка собрали на 2 т больше, чем с каждого гектара квадратного.

ЗАНЯТИЕ 7 Тема: Разность и дополнение множеств. Обобщение операций с множествами. I. Элементы теории. 1. Разностью множеств А и В называется новое множество С, содержащее те и только те элементы множества А, которые не содержатся в множестве В. Обозначение: А\В =С; \ - знак разности; или А\В={х|х∈А и х∉В}. 2. Если В⊆А, то разность А/В называется дополнением множества В до множества А. Дополнение множества А в универсальном множестве U обозначается A . 3. Разность и дополнение можно изобразить кругами Эйлера (рис. 29). U А А

а)

В

- А\В;

В

б)

А

- А\В В⊆А;

в)

- A.

Рис. 29.

4. Множество (А\В)∪(В\А) называется симметрической разностью множеств А и В. Обозначается (А/В)∪(В\А)=АΔВ II. Устный счет. 30

III. Упражнения. Задание 1. Найти разности А\В и В\А множеств А и В, если: 1) А={1; 2; 3; ...; 10}, B={5; 6; ...; 12}; 2) А - множество натуральных делителей числа 18; В - множество натуральных делителей 24; 3) А - множество правильных многоугольников, В - множество прямоугольников; 4) A={x|x∈R, 2≤x≤6}, B={ x|x∈R, 3≤x≤7}; 5) A={x|x∈R, 1<x≤4}, B={ x|x∈R, 2<x≤8}; 6) A={x|x∈R, 0<x<2}, B={ x|x∈R, 1<x≤3}; 7) A={x|x∈R, -2<x<3}, B={ x|x∈R, 0<x<5}; 8) A={x|x∈R, -∞<x≤2}, B={ x|x∈R, 1≤x<5}; 9) A={x|x∈R, -∞<x<5}, B={ x|x∈R, 0<x≤6}; 10) A=[3; 5], B=[4; 8]; 11) A=(3; 6), B=(4; 8]; 12) A=(3; 8), B=(2; 9]; 13) A=(-2; 1), B=[0; 3); 14) A=N, B=[0; 4]; 15) A=(0; 2), B=N; 16) A=No, B=[0; 5). Указание. Для решения целесообразно использовать числовую прямую. Задание 2. Найти дополнение множества В до множества А, если В⊆А: 1) А=N, B={2; 4; 6; ...2n; ...}; 2) A=Z, B=N; 3) A={x|x∈R, 2≤x≤6}, B={ x|x∈12, 3<x≤5}; 4) A={x|x∈R, 1<x≤4}, B={ x|x∈R, 2≤x≤4}; 5) A={x|x∈R, 0<x<2}, B={ x|x∈R, 1<x<2}; 6) A={x|x∈R, -∞<x≤2}, B={ x|x∈R, -6<x<0}; 7) A={x|x∈R, -∞<x<5}, B={ x|x∈R, 1≤x≤2}; 8) A={x|x∈R, -2<x<∞}, B={ x|x∈R, 0≤x≤3}; 9) A=(-∞; ∞), B=(-2; ∞); 10) A=(-∞; 5], B=(0; 1]; 11) A=[3; ∞), B=[5; 6]; 12) A=(-8; 6), B=[0; 2); 13) A=No, B=N; 14) A=R, B= J (иррациональные числа); 15) А=Q, B= Q o+ . Указание 1. Целесообразно пользоваться числовой прямой. Указание 2. Образец решения: (5) (рис. 30). 31

0

1

2

A\В ={х|х∈R, 0≤x<2}\{x|x∈R, 1<x<2}= [0; 1]. Рис. 30

Задание 3. Найти симметрическую разность множеств А и В, если: 1) А={-5; -4; ... ; 10}, B={3; 4; ...; 15}; 2) A=[0; 4], B=(-2; 3]; 3) A=[0; 4], B=(1; 4]; 4) A=[1; 5], B=(1; 3]; 5) A=(0; 1), B=(2; 4]; 6) A=(-∞;2], B=[5; +∞). Указание. Целесообразно для решения пользоваться числовой прямой. Ответ. (1) {-5; -4; ... 2; 11; 12; ...; 15}; (2) (-2; 0)∪(3; 4]; (3) [0; 1]; (4) (3; 5]; (5) (0; 1)∪(2; 4]; (6) (-∞; 2]∪[5; ∞). Задание 4. Пусть даны множества А, В, С и A, B, C - дополнения соответствующих множеств А, В, С до универсального множества U. Изобразите при помощи кругов Эйлера следующие множества: (А∩В∩С≠∅): 1) ( A ∪ B) ∩ C ; 7) ( B \ C) ∪ A ; 2) ( A ∪ B) ∩ C ;

8) A ∩ B ∩ C ;

3) ( A \ B) ∩ C ; 4) ( A ∪ B) ∩ C ;

9) ( A ∪ B) \ C ; 10) ( B \ A ) ∩ C ; 11) ( B ∪ C) \ A ;

5) A \ ( B ∩ C) ;

6) ( A \ C) ∪ B ; 12) A ∪ B ∪ C . Указание. Изобразить на кругах Эйлера искомые множества целесообразно в следующем порядке: (6) ( A \ C) ∪ B : - штрихуем разность А\С; - другим рисунком штрихуем дополнение ( A \ C) ;

- новым рисунком штрихуем объединение ( A \ C) ∪ B ; (обводим контуром) (рис. 31). U

U A

B C

32

A

B C

- A \ C∪B

- A\C Рис. 31

Задание 5. Используя круги Эйлера докажите следующие равенства: 1) ( A ∩ B) = A ∪ B ; 2) A ∪ B = A ∩ B ; 3) A ∪ B = A ∪ B ;

( ) 4) ( A ∪ B) = A ∩ B ;

5) AΔB=BΔA; 6) (AΔB)ΔB=A; 7) (AΔB)ΔC=AΔ(BΔC); 8) AΔB=(A∪B)\(A∩B); 9) A∪B=(AΔB)Δ(A∩B); 10) (B\A)Δ(C\A)=(A∪B)Δ(A∪C). Указание. При доказательстве равенств целесообразно делать отдельные изображения для левой и правой частей равенства (рис. 32). AΔB (A\B)∪(B\A)

BΔA (B\A)∪(A\B)

(5)

- A\B

U A

B

U

- B\A

- B\A B

- AΔB

A

- A\B - BΔA

Рис. 32

IV. Задание на дом. 1. Прорешайте те номера из заданных 1) - 5), которые не решали на занятиях в аудитории. 2. Задача. На книжном складе учебников по физике в четыре раза больше, чем по алгебре; по геометрии в два раза меньше, чем по алгебре. Учебников по геометрии было на 30450 штук меньше, чем по физике. Сколько учебников по физике отправлено со склада, если после отправки осталось на 28620 штук меньше, чем отправлено? Указание. Целесообразно использовать схематический рисунок (рис. 33). Г. А. 30450 у.

33

Ф. Рис. 33.

Ответ. Учебников по физике отправлено 31 710 штук.

ЗАНЯТИЕ 8 Тема: Декартово произведение двух множеств. I. Элементы теории. 1. Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар вида (а; в), где а ∈А, в ∈В. Обозначается: А X В={(a;b) | a∈A, b∈B}. 2. Если множества А и В числовые, то элементами декартова произведения А Х В являются числовые пары (а; в). 3. Если множества А и В конечны, то декартово произведение содержит конечное множество пар вида (а; в); часто их можно все перечислить. 4. Если хотя бы одно из множеств А или В бесконечно, то декартово произведение А Х В содержит бесконечное множество пар и поэтому его целесообразно изобразить графически. 5. Декартово произведение множества А на себя называется декартовым квадратом. Обозначается: А Х А=А2. II. Устный счет. III. Упражнения. Задание 1. Запишите все двузначные числа, цифры десятков которых принадлежат множеству А={5; 6; 7}, а цифры единиц множеству В={1; 2}. Задание 2. Напишите все правильные дроби, числители которых выбираются из множества А={5; 6}, а знаменатели из множества В={7; 8; 9}. Задание 3. Для множеств А={3; 4} и B={a; b} составьте декартовы произведения А Х В и В Х А. Выполняется ли равенство А Х В=В Х А? Задание 4. Найдите множества А и В, если: A Х B={(c; a), (c; y), (т; a), (т; y), (o; a), (o; y), (л; а), (л; у)}. Задание 5. Найдите декартов квадрат множества А={5; 6; 7}. Сколько элементов содержит этот декартов квадрат? Задание 6. Найдите декартово произведение множеств А и В и изобразите их элементы на координатной плоскости, если: 1) A={1; 2; 3}; B={3; 4}; 15) A=[-1; 2], B={2}; 2) A=N, B={3; 4}; 3) A={1; 2; 3}, B=Z; 4) A=Z, B=N; 5) A=[-1; 3],B=[2; 4]; 34

16) A={3}, B=(2; 5); 17) A=[-1; 2], B=N; 18) A=N, B=(3; 4]; 19) A=Z, B=(2; 5);

6) A=[2; 4], B=(-1; 2]; 20) A=Z, B=[-2; 2]; 7) A=[-1; 1), B=[-2; 3]; 21) A=[2; 4], B={4}; 8) A=(-3; 2], B=[-1; 4]; 22) A=Z, B=[2; 5]; 9) A=[-1; 1], B=(-2; 3); 23) A=[5; 6], B=R; 10) A=[-3; 1), B=(-2; 2); 24) A=(-1; 3], B=R; 11) A=(-1; 1), B=(1; 3]; 25) A=R, B=[-2; 1); 12) A=(-1; 1), B=(1;2); 26) A=R, B=(-2; 2); 13) A=[-3; 1), B={1; 2}; 27) A=R, B=N; 14) A=(-3; 2), B={2; 3; 4}; 28) A=Z, B=R. Указание. Иллюстрации к решениям целесообразно представлять в следующем виде (рис. 34а и 34б). B

B

(2)

(6) 4 3 2 0 1 2 3 4

A

0

2

A=N, B={3; 4};

4

A

A=[2; 4], B=(-1; 2];

B

B

(14)

(15) 4 3 2 -3

0

2 2

A

-1 0

A=(-3; 2), B={2; 3; 4};

2

A

A=[-1; 2], B={2}; Рис. 34а

B

B 35

(17)

(23) 4 3 2 1 -1 0

2

A

0

5

A=[-1; 2], B=N;

6

A

A=[5; 6], B=R. Рис. 34б

Задание 7. Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию: 1) x∈R, y=5; 8) |x|≤4, |y|=2; 2) x∈R, |y|=1; 9) |x|=2, |y|≤1; 3) x=-2; y=R; 10) |x|=5, |y|≤3; 4) |x|=2, |y|=12; 11) |x|=1, |y|≥3; 5) x∈R, y≥2; 12) |x|≤2, |y|≤2; 6) x∈R, y≤1; 13) |x|≤3, |y|≥2; 7) x∈R, |y|≤2; 14) |x|≥2, |y|≥4; Ответ. (рис. 35а и 35б). y

y

(2)

(8)

2

1 0

x

4

4 x

0

-1 -2 x∈R, |y|=1;

|x|≤4, |y|=2; Рис. 35а y

36

2 -3

0

3

x

-2

|x|≤3, |y|≥2. Рис. 35б

Задание 8. Из городов А и В, расстояние между которыми 540 км, в 4 часа утра вышли навстречу друг другу грузовая и легковая автомашины, которые встретились в 8 часов утра, причем легковая машина прошла на 108 км больше, чем грузовая. В котором часу каждая машина придет к месту назначения, продолжая путь с прежней скоростью? Ответ. К пункту назначения легковая автомашина придет в 10 часов 40 минут, а грузовая в 14 часов. IV. Задание на дом. 1) Повторить теоретический материал: Система координат на прямой. 2) Прорешайте те номера заданий 6) - 7), которые не выполнили в аудитории. 3) Задача. Турист проехал 280 км. На автомашине он проехал на 180 км больше, чем на пароходе; а на автомашине и пароходе вместе на 240 км больше, чем на велосипеде. Сколько км проехал турист каждым транспортом? Указание. Воспользуйтесь рисунком (рис. 36). 180 км A. П. 180 км А+П. 240 км В. Рис. 36

Ответ. На автомашине турист проехал 220 км, на пароходе - 40 км и на велосипеде - 20 км.

ЗАНЯТИЕ 9 37

Тема: Система координат на прямой. Простейшие задачи. I. Элементы теории. 1. Расстояние между точками А(х1) и В(х2) на прямой вычисляется по формуле d(AB)= |АВ|= |xB-xA|=|xA-xB|. 2. Говорят, что точка С(хС) делит отрезок [АВ], где А(хА), В(хВ) в отношении λ , если выполняется равенство:

AC =λ. CB

3. Координата точки С(хС) середины отрезка [АВ], где А(хА), В(хВ), вычисляется по формуле xC =

xA + xB . 2

4. Координата точки С(х), делящей отрезок [АВ], где А(хА), В(хВ), в отношении λ , вычисляется по формуле xC =

λx B + x A . 1+ λ

II. Устный счет. III. Упражнения. Задание 1. Постройте на координатной прямой точки: А(-2), В(0), С(4,5), Д(5), М(-3). Задание 2. Постройте на координатной прямой точки, симметричные точкам А, В, С, Д, М (см. задание 1). Задание 3. Найти расстояние между точками на прямой: 1) А(3), В(4); 3) А(-1), В(5); 5) А(3), В(-6); 2) А(0), В(6); 4) А(-3), В(-8); 6) А(-3), В(8). Задание 4. Найдите координату точки - середины отрезка [АВ], если: 1) А(3), В(0); 3) А(-1), В(5); 5) А(3), В(-6); 2) А(0), В(6); 4) А(-3), В(-8); 6) А(-3), В(8). Задание 5. Точка С(хС) делит отрезок [АВ] в отношении 3:5 (от А к В), где А(2), В(10). Найдите координату точки С(хС). Ответ. С(5). Задание 6. Точка С(хС) делит отрезок [АВ] в отношении 1:3 (от В к А), где А(-3), В(9). Найдите координату точки С(хС). Ответ. С(6). Задание 7. Отрезок [АВ], где А(-11), В(9), разделен в отношении 2:3:5 (от А к В). Найдите координаты точек деления. Указание. Целесообразно воспользоваться чертежом (рис. 37); λ 1=

38

2 1 5 = ; λ 2= = 1. 8 4 5

А(-11)

М1(х1)

М2(х2)

В(9) 0

2

5

3 Рис. 37.

Ответ. М1(-7); М2(1). Задание 8. Концами отрезка служат точки А(-8) и В(10). Найти точки С(х1) и Д(х2), делящие этот отрезок на три равные части. Ответ. С(-2), Д(4). Задание 9. Точка С(3) делит отрезок [АВ] в отношении АС:СВ=3:4. Найти начало отрезка, точку А(х), если его концом служит точка В(-1). Ответ. А(6). Задание 10. Отрезок [АВ] задан точками А(-9), В(1). До какой точки С(х) надо продолжить отрезок [АВ], чтобы АВ:ВС=5:3? Ответ. С(7). Задание 11. Отрезок задан точками А(4), В(1). До какой точки С(х) нужно продолжить этот отрезок в направлении от А к В, чтобы получить отрезок [АС], длина которого была бы в три раза больше длины [АВ]? Ответ. С(-5). Задание 12. Отрезок [АВ] разделен на 5 равных частей. Один конец отрезка А(8), вторая точка деления (от А к В) - точка Д(2). Найти точку В. Ответ. В(-7). Задание 13. Скорость автомобиля превышает скорость поезда на 9 км/ч, а сумма их скоростей - 99 км/ч. Путь в 1 332 км пройден так, что на каждые пять часов движения поездом приходилось два часа движения автомобилем. Сколько часов продолжался весь путь? Ответ. Весь путь продолжался 28 часов. Задание 14. На подводу и автомашину можно погрузить 3,2 т картофеля, причем на подводу на 2 т меньше, чем на машину. 618 т перевезли так, что на каждые семь поездок машинами приходилось четыре поездки подводами. Сколько картофеля перевезли на машинах? Ответ. 546 т картофеля перевезли на автомашинах. IV. Задание на дом. 1. Повторить теоретический материал: Система координат на плоскости. Расстояние между двумя точками на плоскости. 2. Точка С(2) делит отрезок [АВ] в отношении АС:СВ=2:5. Найти начало отрезка А(х), если его концом служит точка В(6). 2 5

Ответ. А( ). 3. Отрезок [АВ] задан точками А(-2), В(5). До какой точки С(х) надо продолжить отрезок [АВ], чтобы |АВ|= |ВС|? Ответ. С(12). 39

4. Отрезок задан точками А(2) и В(8). До какой точки С(х) надо продолжить этот отрезок в направлении от А к В, чтобы получить отрезок [АС], длина которого была бы в 5 раз больше длины [АВ]? Ответ. С(32). 5. Отрезок [АВ] разделен на 4 равные части. Один конец отрезка А(-4), третья точка деления (от А к В) - точка М(5). Найдите точку В(х). Ответ. В(8).

ЗАНЯТИЕ 10 Тема: Система координат на плоскости. Расстояние между двумя точками на плоскости. I. Элементы теории. 1. Расстояние между точками А(хА; уА) и В(хВ; уВ) на плоскости вычисляется по формуле: d(AB)=

(x

− x A ) + ( yB − yA ) = 2

B

2

(x

− x B ) + ( yA − yB ) . 2

A

2

II. Устный счет. III. Упражнения. Задание 1. Построить на координатной плоскости точки: А(2; 3), В(3; -4), С(-2; -3), Д(-1; 2), М(3; 0), N(0; 4), P(-2; 0), Q(0; -1). Задание 2. Построить точки, симметричные заданным точкам (см. задание 1) относительно: 1) оси Ох; 2) оси Оy; 3) начала О(0; 0); 4) биссектрисы первого - третьего координатных углов; 5) биссектрисы второго - четвертого координатных углов. Задание 3. Найти периметр треугольника АВС, если: А(4; 0), В(7; 4), С(-4; 6). Ответ. 15 + 5 5 . Задание 4. Найти центр окружности, проходящей через точки А(-1; 9), В(-8; 2), С(9; 9) и длину ее радиуса. Ответ. О1(4; -3); R=13. Задание 5. Расстояние между точками А и В(-5; 6) равно 10. Точка А лежит на оси Ох. Вычислите ее координаты. Ответ. А1(3; 0), А2(-13; 0). Задание 6. Найти точку на оси Оy, равноудаленную от точек А(6; 12) и В(-8; 10). Ответ. М(0; 4). Задание 7. Найдите точку М(хМ; yМ), равноудаленную от осей координат и от точки А(-2; 1). Ответ. М1(-5; 5); М2(-1; 1). 40

Задание 9. Найти площадь треугольника ОВА, если А(4; 0), В(0; 6). Ответ. 12 квадратных единиц. Задание 10. Точки А(2; 0) и В(0; 2) являются вершинами квадрата; 1) найти координаты остальных вершин квадрата; 2) построить его на плоскости; 3) вычислить: а) длину стороны квадрата; б) длину диагонали квадрата; в) площадь квадрата (рассмотреть два случая расположения квадрата). Ответ. 1 случай: (1) С(-2; 0), Д(0; -2) (3) а) AB = 2 2 , б) |АС|=4, в) 8 кв. единиц; 2 случай: (1) N(2; 4), M(4; 2) (3) a) 2 2 , б) |ВМ|=4; в) 8 кв. единиц. Задание 11. Ромб расположен на плоскости так, что начало координат О(0; 0) совпадает с центром ромба; длины диагоналей ромба - 4 ед. и 12 ед. Найти длину стороны ромба и его площадь. Ответ. AB = 2 10 ; S=24 кв. единиц. Задание 12. На двух складах было 281 т муки. Когда на первый склад поступило 46 т 600 кг муки, а со второго отправили 64 т 400 кг муки, на первом складе осталось на 16 т 400 кг муки меньше, чем стало на втором складе. Сколько мешков муки было первоначально на первом складе, если мешок муки весил 80 кг? Указание. Целесообразно воспользоваться схематическим рисунком (рис. 38). было

поступило 46 т 600 кг

I 16 т 400 кг

отправили 64 т 400 кг

II было Рис. 38

Задание 13. За два года колхоз выдал на трудодни 630 т пшеницы. Во второй год выдано на 126 т больше, чем в первый. За эти два года колхозники выработали 226800 трудодней. В первый год на 25200 трудодней меньше, чем во второй год. На сколько увеличилась выдача зерна на один трудодень? Ответ. Выдача зерна увеличилась на 0,5 кг. IV. Задание на дом. 1) Повторить теоретический материал: Система координат на плоскости. Деление отрезка в отношении λ . 41

2) Вычислить координаты точки О1, равноудаленной от точек А(10; 7), В(-4; -7), С(12; -7). Ответ. О1(4; -1). 3) Найти точку А(хА; уА), лежащую на оси Ох, расстояние которой до точки В(10; 5) равно 13. Ответ. А1(22; 0); А2(-2; 0). 4) Вычислить координаты точки на оси Оy, равноудаленной от точек А(-4; 0) и В(-3; -7). Ответ. М(0; -3). 5) Найти координаты точки М(хМ; уМ), расстояние которой от оси ординат и точки А(8; 6) равно 5. Ответ. М1(5; 10); М2(5; 2).

ЗАНЯТИЕ 11 Тема: Система координат на плоскости. Деление отрезка в отношении λ. I. Элементы теории. 1. Говорят, что точка С(хС; уС) делит отрезок [АВ], где А(хА, уА), В(хВ, уВ), в отношении λ, если выполняется равенство:

AC =λ. CB

2. Координаты точки С(хС; уС), делящей отрезок [АВ], где А(хА; уА), В(хВ; уВ), в отношении λ, вычисляются по формуле xC =

λx B + x A λy + y ; yC = B A . 1+ λ 1+ λ

3. Координаты точки С(хС; уС), делящей отрезок [АВ] пополам, вычисляются по формуле xC =

xA + xB y +y ; yC = A B . 2 2

II. Устный счет. III. Упражнения. Задание 1. Найти координаты середины отрезка [АВ], точки С(хС; уС), если А(-2; 3), В(6; -9). Ответ. С(2; -3). Задание 2. Концом отрезка служит точка А(8; 5), а серединой - точка С(5; -2). Найти координаты второго конца отрезка - точки В(хВ; уВ). Ответ. В(2; -9). Задание 3. Серединами сторон треугольника АВС служат точки D(1; 3), Е(-1; -2), F(4; -1). Найти координаты вершин треугольника А(хА; уА), В(хВ; уВ), С(хС; уС). 42

Указание. В данной задаче (как и в ряде других) целесообразно использовать рисунок (см. рис. 39). В (хB; уB) Е (-1; -2)

А (хА; уА)

D (1; 3)

F (4; -1)

С (хC; уC)

Рис. 39

Задание 4. Точка С(хС; уС) делит отрезок [АВ] в отношении 3:5 (от А к В). Концами отрезка служат точки А(2; 3), В(10;11). Найти координаты точки С(хС; уС). Ответ. С(5; 6). Задание 5. Отрезок, концы которого А(-11; 1) и В(9; 11), разделен в отношении 2:3:5 (от А к В). Найти точки деления. Ответ. С(-7; 3), Д(-1; 6). Задание 6. Концами отрезка служат точки А(-8; -5) и В(10; 4). Найти точки С(хС; уС) и Д(хД; уД), делящие этот отрезок на три равные части. Ответ. С(-2; 2), Д(4; 1). Задание 7. Точка С(3; 5) делит отрезок [АВ] в отношении АС:СВ=3:4. Найдите начало отрезка - точку А (хА; уА), если его концом служит точка В(-1; 1). Ответ. А(6; 8). Задача 8. Отрезок [АВ] задан точками А(-8; -3) и В(1; 2). До какой точки С(хС; уС) нужно продолжить отрезок [АВ], чтобы выполнялось |АВ|:|ВС|=5:3? 32 Ответ. C( ; 5). 5 Задание 9. Отрезок задан точками А(4; 6) и В(1; 3). До какой точки С(хС; уС) нужно продолжить этот отрезок в направлении от А к В, чтобы получить отрезок [АС], длина которого была бы в три раза больше длины отрезка [АВ]? Ответ. С(-5; -3). Задание 10. Отрезок [АВ] разделен на пять равных частей. Один конец отрезка - точка А(8; 6), вторая точка деления (от А к В) - точка Д(2; 4). Найти точку В(хВ; уВ). Задание 11. Найти точку пересечения медиан треугольника АВС, если его вершины - А(7; -4), В(-1; 8), С(-12; -1). Указание. Надо учесть, что точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Ответ. М(-2; 1). Задание 12. Отрезок, заключенный между точками А(-6; 8) и В(9; 12), разделить в таком же отношении (от А к В), в котором находятся расстояния этих точек от начала координат. Найти координаты точки деления. 43

Ответ. М(0; 9,6). Задание 13. Точки А(3; 2), В(-2; 1), С(1; -4) - вершины параллелограмма, А и С - противоположные вершины. Найти четвертую вершину параллелограмма Д(хД; уД). Ответ. Д(6; -3) Задание 14. Смежными вершинами параллелограмма служат точки А(-3; 1) и В(1; 3). Диагонали параллелограмма пересекаются в точке М(1; -2). Найти две другие вершины параллелограмма. Ответ. С(5; -5), Д(1; -7). IV. Задание на дом. 1) Подготовиться к контрольной работе по теме: Задачи аналитический геометрии на плоскости. 2) Концом отрезка [АВ] служит точка А(-3; -5) и его серединой - точка С(3; -2). Найти второй конец отрезка - точку В(хВ; уВ). Ответ. В(9; 1). 3) Даны координаты середин сторон треугольника М(2; 1), N(0; -4), P(-4; -1). Найти координаты вершин треугольника А(хА; уА), В(хВ; уВ), С(хС; уС). Ответ. А(6; -2), В(-2; 4), С(-6; -6). 4) Отрезок с концами А(-3; -2) и В(9; 6) делится точкой С(хС; уС) в отношении 1:3 (от точки В к А). Найти точку С(хС; уС). Ответ. С(6; 4). 5) Отрезок, концами которого служат точки А(-5; -2) и В(4; 5/2), разделен в отношении 3:4:2 от А к В. Найти точки деления. Ответ. С(-2; -1/2), Д(2; 3/2). 6) Концами отрезка служат точки М(-7; -2) и N(13; 3). Найти координаты точек, делящих этот отрезок на пять равных частей. Ответ. А(-3; -1), В(1; 0), С(5; 1), Д(9; 2). 7) Противоположными вершинами параллелограмма служат точки А(-4; 2) и С(2; -3), а также точки В(0; 1) и Д(х0; у0). Найти координаты точки Д(х0; у0). Ответ. Д(-2; -2).

ЗАНЯТИЕ 12 Тема: Контрольная работа по теме: “Задачи аналитической геометрии на плоскости”. I. Контрольная работа. Указание. Для вариантов контрольной работы предлагаются задачи, составленные из простейших задач на нахождение расстояния между двумя точками и деление отрезка в отношении λ на плоскости. II. Упражнения. 44

Задание 1. Завод выпустил медь в слитках общим весом 6 т 80 кг. Количество слитков весом по 3 кг было в два раза больше, чем слитков весом по 4 кг, но в четыре раза меньше, чем слитков по 3 кг 500 г. Сколько было слитков каждого вида? Указание. Целесообразно провести рассуждения по схеме: - На каждый слиток по 4 кг весом приходится 1 часть; на каждый слиток по 3 кг весом приходится 2 части, на каждый слиток по 3,5 кг весом приходится 8 частей. Тогда на все слитки по 4 кг весом приходится 1⋅4=4 части; - на все слитки по 3 кг весом приходится 2⋅3=6 частей; - на все слитки по 3,5 кг весом приходится 8⋅3,5=28 частей. Ответ. Слитков весом по 4 кг было 160; слитков весом по 3 кг было 320; слитков весом по 3,5 кг было 1280. III. Задание на дом. 1. Повторить теоретический материал: Высказывание, операции отрицания и конъюнкции высказываний. 2. Участок, отведенный для здания, имеет форму прямоугольника с периметром, равным 410 см, и разностью его сторон - 45 м. Площадь здания на 7600 кв. м меньше площади всего участка. Определить длину здания, если его ширина 25 м. 3. Из пунктов А и В одновременно вышли навстречу друг другу автобус со скоростью 71,5 км/ч и легковой автомобиль со скоростью 80 км в час. Во второй час автобус уменьшил скорость на 1,5 км/ч, а легковая автомашина увеличила скорость на 4 км/ч. После этого оказалась, что пройденный путь составляет 1/3 оставшегося пути. Найти расстояние АВ. Ответ. Расстояние АВ равно 1 222 км.

ЗАНЯТИЕ 13 Тема: Высказывание. Операции отрицания и конъюнкции высказываний. I. Элементы теории. 1. Любое повествовательное предложение, относительно которого можно утверждать, истинно оно или ложно, называется высказыванием. Обозначается: А, В, М, ... 2. Если высказывание истинно, то говорят, что оно принимает значение истинности, равное 1. Обозначается : А=1. Если высказывание ложно, то говорят, что оно принимает значение истинности, равное 0. Обозначается: А=0.

45

3. Образование нового высказывания из двух данных высказываний посредством их соединения одной из логических связок (не, и, или, если ... то, равносильно(равнозначно)) называется логической операцией. 4. Отрицанием высказывания А называется новое высказывание A (неверно, что А), истинность которого определяется таблицей (см. рис. 40). А 0 1

A 1 0 Рис. 40.

5. Конъюнкцией двух высказываний называется высказывание, полученное соединением двух данных высказываний А и В связкой “и” (А ∧ В), истинность которого определяется таблицей (см. рис. 41) А 1 1 0 0

В 1 0 1 0

А∧В 1 0 0 0

Рис. 41.

II. Устный счет. III. Упражнения. Задание 1. Среди следующих предложений выделите высказывания: 1) каждый человек имеет родителей; 2) существуют равнобедренные треугольники; 3) солнце всходит на Западе; 4) пойдешь ли ты в гости?; 5) закрой дверь!; 6) сумма чисел 3 и 5 равна 8; 7) -5>-7; 8) разность чисел (-7) и 12 равна 5; 9) х>1/2; 10) разность чисел х и 5 равна 2. Задание 2. Определить значение истинности следующих высказываний: 1) не существует параллелограмма со взаимно перпендикулярными диагоналями; 2) все параллелограммы не имеют осей симметрии; 3) существуют параллелограммы, не имеющие осей симметрии; 4) диагонали ромба равны между собой; 5) диагонали ромба перпендикулярны; 46

6) все четные числа не делятся на 4; 7) все числа, делящиеся на 5, четные; 8) некоторые числа, делящиеся на 5, четные; 9) все четные числа делятся на 8; 10) некоторые равнобедренные треугольники являются прямоугольниками; 11) |2-4|=|2|-|4|; 12) 81∈N0; 13) -2,5∈R; 14) 23>32; 15) {1; 2; 3}∪{3; 4}={1; 2; 4}. Задание 3. Образуйте отрицание A каждого из следующих высказываний А и укажите, истинно само высказывание или его отрицание: 1) число 2 отрицательно; 2) 5≤7; 3) 8≥5; 4) 2⋅6=6; 5) число 5 является делителем числа 123; 6) значение выражения 12:(2-2) существует; 7) существуют параллелограммы с равными диагоналями; 8) существуют четные простые числа; 9) неверно, что существуют нечетные простые числа; 10) любое простое число - четно. Указание. Решение записывайте в следующем виде: (7) А: существуют параллелограммы с равными диагоналями: A - неверно, что существуют параллелограммы с равными диагоналями; А=1; A =0. Задание 4. Образуйте конъюнкцию двух данных высказываний А и В, определите значение истинности конъюнкции, если: 1) А: 2-3=6, В: 8>6; 2) A: 3<8, B: 8<10; 3) A: 2>4, B: 2⋅8=10; 4) A: 25 кратно 5, В: 25 кратно 2; 5) Ф: 128 - четное число, В: 16<8. Указание. Решение целесообразно записывать в следующем виде: (2) А: 3<8, B: 8<10, A∧B: (3<8)∧(8<10)=1. Задание 5. Среди следующих высказываний отыщите конъюнкции, запишите их символами логики и определите их значение истинности: 1) число 27 кратно 3 и 9; 2) 8<10<15; 3) диагонали любого параллелограмма перпендикулярны и делят друг друга пополам; 4) 15 кратно 3 и 12; 5) 5⋅2=6 и 35:7=5; 6) 15 - число простое и 15 не делится на 7. 47

Задание 6. Пусть даны высказывания: А- сегодня жарко; В - сегодня идет дождь; С - сегодня сухо; Д - сегодня я не буду работать; Е - сегодня я пойду в кино. Запишите формулами следующие высказывания: 1) сегодня жарко и не идет дождь; 2) сегодня жарко и сыро; 3) сегодня сухо и я не буду работать; 4) сегодня я буду работать и не пойду в кино; 5) сегодня я не буду работать и пойду в кино; 6) сегодня идет дождь и я не буду работать. Задание 7. Выясните, в каких случаях приведенные ниже данные противоречивы: 1) А=1; А∧В=0; 2) А=1; А∧В=1; 3) А =0; А∧В=1; 4) А=0; А∧В=0; 5) А∧ А =1; 6) А∧ А =0. Задание 8. Найдите, при каких значениях А и В выполняются равенства: 1) ( A ∧ B) ∧ B = 1 ;

(

)

2) A ∧ A ∧ B = 0 ; 3) ( A ∧ B) ∧ B = 0 ;

4) ( A ∧ B) ∧ A = 1 ; 5) ( A ∧ B) ∧ A = 0 . Обоснуйте свой ответ. Ответ. (2) В=0, А- любое. Задание 9. Первый автомобиль проехал 372 км, второй - 640 км, третий - 500 км. Первый автомобиль расходовал на каждые 3 км - 325 г бензина, второй - на каждые 4 км - 425 г бензина, третий - на каждые 5 км - 507 г. Сколько всего израсходовано бензина? Ответ. Израсходовано 159 кг бензина. Задание 10. Из двух точек , расстояние между которыми 1320 м, выходят одновременно навстречу друг другу два тела. Одно из них может пройти это расстояние за 12 минут, скорость другого в два раза больше скорости первого. Через сколько минут тела встретятся? Ответ. Тела встретятся через 4 минуты. IV. Задание на дом.

48

1. Повторить теоретический материал: Дизъюнкция высказываний. Совместные операции отрицания, дизъюнкции и конъюнкции высказываний. 2. Пусть А: сегодня буду писать отчет; В: сегодня я буду отдыхать; С: на улице идет дождь. Сформулируйте следующие высказывания: 4) C ∧ B ; 1) A ∧ B ; 2) ( A ∧ B) ; 5) C ∧ A ; 6) A ∧ B ; 3) C ∧ A ; 7) C ∧ A . 3. Сформулируйте отрицания следующих высказываний: 1) все три числа а, в, с - натуральные; 2) некоторые из чисел а, в, с - натуральные; 3) ни одно из чисел а, в, с не является натуральным; 4) некоторые из чисел а, в, с не являются натуральными; 5) по крайней мере одно из чисел а, в, с является натуральным. Есть ли среди этих высказываний совпадающие? Указание. Ответ на вопрос целесообразно сформулировать в следующем виде: (3) Пусть - А: ни одно из чисел а, в, с не является натуральным; тогда - A : неверно, что ни одно из чисел а, в, с не является натуральным; тогда - A : каждое из чисел а, в, с является натуральным числом. 4. В двух амбарах 268 т зерна. Из первого амбара взяли 365 ц зерна, что составило 1/3 часть того количества, что взяли из второго амбара. После этого зерна в обоих амбарах оставалось поровну. Сколько зерна было в каждом амбаре первоначально? Указание. Целесообразно использовать схематический рисунок (см. рис. 42) 365 ц I II

2 680 ц Рис. 42

Ответ. В первом амбаре было 975 ц зерна, во втором амбаре - 1 705 ц зерна.

ЗАНЯТИЕ 14 Тема: Дизъюнкция высказываний. Совместные операции отрицания, дизъюнкции и конъюнкции высказываний. I. Элементы теории. 1. Дизъюнкцией данных высказываний называется высказывание, полученное соединением двух данных высказываний А и В связкой “или” (А∨В), истинность которого определяется таблицей (см. рис. 43). 49

А 1 1 0 0

В 1 0 1 0

А∨В 1 1 1 0

Рис. 43

2. Для операций дизъюнкции и конъюнкции выполняются следующие свойства: 1) A ∧ B = B ∧ A, A ∨ B = B ∨ A; 2) A ∧ ( B ∧ C) = ( A ∧ B) ∧ C, A ∨ ( B ∨ C) = ( A ∨ B) ∨ C; 3) ( A ∨ B) ∧ C = ( A ∧ C ) ∨ ( B ∧ C ), ( A ∧ B) ∨ C = ( A ∨ C) ∧ ( B ∨ C); 4) A ∧ A = 0, A ∨ A = 1; 5) A ∨ B = A ∧ B, A ∧ B = A ∨ B. II. Устный счет. III. Упражнения. Задание 1. Сформулируйте дизъюнкцию двух данных высказываний А и В, определите ее значение истинности, если: 1) А: 3⋅5=15, В: 10>5; 2) А: 2<5, В: 5>10; 3) А: 2=2, В: 2<2; 4) А: 6 кратно 2, В: 10 кратно 5; 5) А: 2⋅5=6, В: 24 - число четное. Указание. Форму записи решения смотрите в задании (4) предыдущего занятия 13. Задание 2. Пусть даны высказывания: А: сегодня морозно, В: сегодня ясно, С: я пойду на охоту, Д: я поеду на дачу. Сформулируйте высказывания, имеющие структуру: 1) A ∧ B ; 2) B ∧ ( C ∨ D ) ; 3) B ∧ A ∧ C ; 4) A ∧ ( C ∨ D ) ; 5) D ∨ C . Задание 3. Выясните, в каких случаях можно установить значение истинности высказывания В, если: 1) A ∧ B = 1 ; 4) A ∨ B = 0 ; 2) A ∨ B = 1 ; 5) A ∧ B = 0, A = 1 ; 3) A ∧ B = 0 ; 6) A ∨ B = 1, A = 0 . Ответ. (2) нет.

50

Задание 4. С помощью таблиц истинности докажите свойства 1) - 4) (см. рис 43). Указание. Целесообразно при доказательстве следовать следующей схеме: (см. рис. 44). Докажите свойство (3): ( A ∨ B) ∧ C = ( A ∧ C) ∨ ( B ∧ C) А 1 1 0 0 1 1 0 0

В 1 0 1 0 1 0 1 0

С 1 1 1 1 0 0 0 0

А∨В 1 1 1 0 1 1 1 0

(А ∨ В) ∧ С 1 1 1 0 0 0 0 0

А∧С 1 1 0 0 0 0 0 0

В∧С 1 0 1 0 0 0 0 0

(А ∧ С) ∨ (В ∧ С) 1 1 1 0 0 0 0 0

Рис. 44

Задание 5. Найдите, при каких значениях А и В выполняются следующие равенства: 1) ( A ∧ B) ∨ A = 1 ; 2) ( A ∨ B) ∧ A = 1 ; 3) A ∨ B = 0 ; 4) A ∧ B = 1 ; 5) ( A ∧ B) ∨ A = 0 . Ответ. (1) А=1, В - любое; (2) А=1, В - любое; (3) А=1, В=1; (4) А=0, В=0; (5) ни при каких значениях А и В. Задание 6. В колхозе

3 13 всей земли отведено под посев зерна, оставшейся 5 36

земли занято под лугами, а остальная занята лесом. Под посев зерна отведено на 217 га больше, чем под лес. Урожай зерна составляет в среднем 20 центнеров с гектара.

2 урожая зерна колхоз отправил на элеватор на 128 машинах грузо3

подъемностью в 3 и 5 т. Сколько было машин той и другой грузоподъемности? Ответ. Было 68 машин грузоподъемностью в 3 т, 60 машин грузоподъемностью в 5 т. Задание 7. Бригада каменщиков должна была уложить 150000 кирпичей. Пятую часть этой работы она выполнила, укладывая по 7500 кирпичей в день. Сколько кирпичей следует укладывать в день в дальнейшем, чтобы выполнить все задание в 22 дня, если на время работы будет три выходных дня? Ответ. 8000 кирпичей. Задание 8. Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одновременно навстречу друг другу вышли два автомобиля со скоростью 60 и 90 км/ч. Какое расстояние останется между ними через 3 часа после их выхода? 51

Указание. Решение записать в виде формулы. Ответ. Через 3 часа между ними останется 100 км. IV. Задание на дом. 1. Повторить теоретический материал: Импликация и эквиваленция высказываний. Совместные операции. 2. С помощью таблиц истинности докажите следующие формулы: 1) А ∨ А⇔А; 3) А ∧ (А ∨ В)=А; 2) А ∧ А⇔А; 4) А ∨ (А ∧ В)=А. 3. В следующих высказываниях выделите составляющие их элементарные высказывания, запишите составные высказывания с помощью формул и найдите их значения истинности: 1) 15 кратно 3 и 12 кратно 3; 2) 2<4<6; 3) 2⋅3=6 и 35:4=2; 4) 8 - простое число и 8 не делится на 7; 5) число 113 простое или составное. Указание. Решение целесообразно оформить в следующем виде: пусть 10 число составное и 10 кратно 5. Тогда А: 10 - число составное (1) В: 10 кратно 5 (1); А ∧ В=1. 4. Площадь под посевами овса составляет 5 350 га, это на 675 га больше площади посева ячменя, но на 2 650 га меньше посевов ржи. Площадь, занятая пшеницей, в три раза больше площади, занятой остальными культурами вместе. Сколько гектаров земли занято под зерновые культуры? Ответ. Под все зерновые культуры занято 72 100 га.

ЗАНЯТИЕ 15 Тема: Импликация и эквиваленция высказываний. Совместные операции. I. Элементы теории. 1. Импликацией двух высказываний называется высказывание, полученное соединением двух данных высказываний А и В связкой “если ... то” (А⇒В), значение истинности которого определяется таблицей (см. рис. 45) А 1 1 0 0

В 1 0 1 0 Рис. 45.

52

А⇒В 1 0 1 1

2. А - называется условием, В - заключением импликации А⇒В. 3. Эквиваленцией двух высказываний называется новое высказывание, полученное соединением двух данных высказываний А и В связкой “равносильно” (А⇔В), значение истинности которого определяется таблицей (см. рис. 46). А 1 1 0 0

В 1 0 1 0

А⇔В 1 0 0 1

Рис. 46.

4. Импликация В⇒А является импликацией, обратной данной А⇒В. 5. Импликация A ⇒ B является импликацией, противоположной данной A⇒B. 6. Импликацию двух высказываний можно заменить дизъюнкцией и конъюнкцией: (А⇒В)⇔( A ∨В); ( A ⇒ B) ⇔(А∧ B ). II. Устный счет. III. Упражнения. Задание 1. С помощью таблиц истинности доказать равносильности: (А⇔В)⇔( A ∨В); (А⇒В)⇔(А∧ B ). Задание 2. Составить таблицу истинности для следующих выражений: 1) А⇒(В∨С); 2) (А⇒В)∨(А⇒С); 3) (А∨С)⇒(В∧С); 4) (А∧С)⇒(В∨С); 5) (А∨С)⇒В; 6) (А⇒В)⇒(В⇒А); 7) (А⇒В)∨(В⇒А). Задание 3. В каждой из следующих импликаций выделите условие и заключение и сформулируйте импликации, противоположную данной и обратную противоположной; определите значение истинности импликаций: 1) если идет дождь, то мостовая мокрая; 2) если я опоздаю на работу, то меня уволят;

53

3) если ученика перевели в следующий класс, то он получил по всем предметам отличные оценки. Указание. Решение целесообразно записать в следующей форме. Пусть имеем: Если светит солнце, то от предметов падает тень. А: светит солнце, В: от предметов падает тень. А⇒В - данная импликация; В⇒А - противоположная импликация: Если от предметов падает тень, то светит солнце, (В⇒А)=1; A : неверно, что светит солнце, т. е. A : солнце не светит; B : неверно, что от предметов падает тень, т. е. B : от предметов тени не падает; тогда A ⇒ B : если солнце не светит, то от предметов тень не падает; и ( A ⇒ B )=1. Ответ. (А⇒В)=1; (В⇒А)=1; ( A ⇒ B )=1. Задание 4. Пусть даны высказывания: А: завтра будет дождь; В: мы пойдем в театр; С: завтра будет ясно, Д: завтра занятия окончатся раньше. С помощью символов логики запишите составные высказывания: 1) если завтра будет дождь, то занятия кончатся раньше и мы пойдем в театр; 2) завтра будет ясно или будет дождь, и занятия окончатся раньше и мы пойдем в театр в том и только в том случае, если не будет дождя и будет ясно. Задание 5. Пусть имеем следующие высказывания. А: сегодня ясно; В: сегодня идет снег; С: я буду писать письма; Д: сегодня понедельник. Под заданным высказываниям сформулируйте составные высказывания: 1) А∧Д; 2) А∧ B ; 3) Д∧А∧ C ; 4) А∨Д; 5) В⇒С; 6) С⇔Д; 7)(А∧В)⇒Д. Задание 6. С помощью таблиц истинности докажите равносильности: 1) ( A ∧ B) ⇔ ( A ∨ B) ; 2) ( A ∨ B) ⇔ ( A ∧ B) ;

3) ((А⇒В)⇒А)⇔А; 4) (А⇒В)⇔ ( B ⇒ A ) .

54

Задание 7. Требуется выкачать 7 200 м3 воды. Первый насос выкачивает всю воду за 24 часа, второй за - 40 часов и третий - за 30 часов. За сколько времени выкачают воду три насоса при одновременной работе? Ответ. Всю воду три насоса выкачают за 10 часов. IV. Задание на дом. 1. Повторить теоретический материал: Предикаты и операции с ними. 2. Восемь больших и пять маленьких бидонов вмещают 445 л молока; одиннадцать больших и пять маленьких бидонов вмещают 565 литров. Маслозавод в течение 26 дней получал по 80 бидонов молока, причем на каждые пять больших бидонов приходилось три маленьких бидона. Из 25 литров молока завод делает 1 кг 200 г масла. Сколько кг масла выработал завод за 26 дней? Ответ. Завод выработал за 26 дней 3 432 кг масла. 3. Сформулируйте словесно высказывания: 1) ( A ∨ B) ⇒ C и C ⇒ ( A ∧ B) , где А: лето жаркое; В: лето дождливое; С: я поеду в отпуск; 2) ( A ∧ B) ⇒ C , ( A ∨ B) ⇒ C , где А: фигура - ромб; В: фигура - прямоугольник; С: фигура - параллелограмм; 3) ( A ∨ B) ⇒ C , C ⇒ ( A ∨ B) , где А: сегодня светит солнце; В: сегодня сыро; С: я поеду на дачу; 4) ( A ∨ B) ⇒ C , C ⇒ ( A ∧ B) , где А: я читаю; В: я пишу книгу; С: я отдыхаю. 4. Докажите с помощью таблиц истинности формулы: 1) (А⇒(В⇒С))⇔((А∧В)⇒С); 2) ((А⇒В)∧(А⇒С))⇔(А⇒(В∧С). 5. Даны высказывания: А: сегодня светит солнце; В: сегодня пасмурно; С: сегодня идет снег; Д: вчера было пасмурно; Е: я пойду в театр. Сформулируйте словесно высказывания: 1) А⇒D; 2) В∨С; 55

3) (В∨С)∨ ( B ∨ C) ; 4) A ∧ B ; 5) A ⇒ ( B ∧ C) ; 6) D ∧ ( A ∨ B) ; 7) ( B ∧ A ) ⇒ E .

ЗАНЯТИЕ 16 Тема: Предикаты и операции с ними. I. Элементы теории. 1. Одноместным предикатом, заданным на множестве М, называется выражение с переменной, которое при подстановке любого из значений переменного х∈М становится либо истинным, либо ложным высказыванием. Обозначаются предикаты: А(х), В(х), Р(х), ... 2. Иногда предикатом называется “неопределенное” высказывание, т. е. предложение, имеющее форму высказывания, но не являющееся им, так как неизвестно его значение истинности. 3. Для каждого одноместного предиката существует множество объектов, на котором этот предикат превращается в истинное или ложное высказывание. Это множество объектов есть область определения предиката. Множество элементов, которым можно заменить переменную в заданном одноместном предикате, называется областью определения предиката. Обозначается: М (или другие буквы). Одноместным предикатом над множеством М называется функция Р(х), определенная на множестве М и принимающая при подстановке конкретного х∈М одно значение из множества Р={0; 1}. 4. Множество тех значений, принадлежащих области определения М, для которых Р(х)=1, называется множеством истинности предиката Р(х). Обозначается: Т. Очевидно, что Т⊆М, и Т={х|Р(х)}, т. е. Т - это множество х∈М, обладающих свойством Р. 5. Предикат Р(х), множество истинности которого совпадает с его областью определения, называется тождественно истинным. Иначе: Р(х) - тождественно истинный, если Т=М. 6. Предикат Q(х), множество истинности которого пустое, называется тождественно ложным. Иначе: Q(х) - тождественно ложно, если Т=∅. 7. Над предикатами выполняются операции отрицания, дизъюнкции, конъюнкции, импликации, эквиваленции. Таблицы истинности этих операций совпадают с соответствующими таблицами истинности операций с высказываниями.

56

8. Для каждой из операций с предикатами можно найти множества истинности. Тогда, если: TA ( x ) = {x x ∈ X ∧ A ( x )} ,

TB( x ) = {x x ∈ X ∧ B( x )} , то

TA ( x ) = TA ( x ) ; TA ( x )∧ B( x ) = TA ( x ) ∩ TB( x ) ; TA ( x )∨ B( x ) = TA ( x ) ∪ TB( x ) ; TA ( x )⇒ B( x ) = TA ( x ) ∪ TB( x ) ; TA ( x )⇔ B( x ) = TA ( x ) = TB( x ) . II. Устный счет. III. Упражнения. Задание 1. Из данных предложений выберите одноместные предикаты, укажите их область определения и множество истинности: 1) х+1=4; 2) при х=3 выполняется равенство х-2=0; 3) для всех чисел х выполняется равенство х+1=1+х; 4) существует такое положительное число х, что х2+2=0; 5) х-1>2х-4; 6) х2-5х+6=0. Указание. Решение оформить в следующем виде. Пусть А(х): х-4=5 - это предикат, так как не можем сразу определить значение истинности; тогда х-4=5⇒х=9, тогда Х=R, ТА(х)={9}. Задание 2. На множестве Х=N задан предикат: А(х): число х - делитель 18. Сформулируйте высказывания: А(2); А(3); А(5). Найдите их значения истинности и множество истинности ТА(х). Задание 3. На множестве Х={-5; -1; 2; 0; 3/4; 1/2} заданы предикаты: А(х): х - число целое; В(х): х - число дробное. Сформулируйте высказывания: А(2)∨В(2); А(-1)∨В(-1); А(0)∨В(0); А(2)∧В(2); А(-5)∨В(-5). Найдите их значения истинности. Указание 1. Числа 3 и 0 целесообразно считать дробными, так как 3=

3 0 и 0= . 1 1

Указание 2. Решение целесообразно оформить в следующем виде: А(6)=1; В(6)=1, тогда А(6)∨В(6)=1. Задание 4. На множестве Z заданы предикаты: 57

А(х): х≥10, В(х): х<20. 1) Сформулируйте конъюнкцию этих предикатов; 2) Прочитайте высказывания: А(8) ∧В(8); A(10) ∧B(10); A(30) ∧B(30). Найдите их значения истинности. Задание 5. Даны предикаты: 1) А(х): 25х2-9=0; 2) В(х): х+5>3; 3) C(x): x-2<0; 4) Д(x): х2+3х+6=0; 5) M(x): х2+3х-6<0; 6) Q(x): x2-5x+6>0. Найти множество истинности этих предикатов, если: I. X=R; II. X= R +0 ; III. X=N. Указание. Решение оформить в следующем виде: (2) ТВ={х|х∈R∧x>-2}, ТВ={х|х∈R +0 }, ТВ=N. (5) ⎧ − 3 − 33 − 3 + 33 ⎫ TM = ⎨x x ∈ R ∧ <x< ⎬, 2 2 ⎭ ⎩ ⎧ − 3 + 33 ⎫ TM = ⎨x x ∈ R 0+ ∧ 0 ≤ x < ⎬, 2 ⎩ ⎭ TM = {1}.

(6) TQ=(-∞; 2)∪(3; ∞), TQ=[0; 2)∪(3; ∞), TQ={1; 4; 5; 6; ... n ...} Задание 6. На множестве Х={1; 2; 3; ... 10} заданы некоторые предикаты: А(х): х не делится на 3; В(х): х - число нечетное; С(х): х - число четное; Д(х): х - кратно 5. Найдите множество истинности предикатов: 1) A(x)∧B(x); 2) (B(x)∧C(x))∨D(x); 3) C(x)∨D(x); 4) C( x ) ∧ D( x ) ; 5) ( B( x ) ∧ C( x )) ∨ D( x ) ; 6) ( A( x ) ∧ B( x )) ∨ C( x ) ;

58

7) (C( x ) ∨ D( x )) ∧ A( x ) ; 8) C( x ) ∧ D( x ) ∨ B( x ) ; 9) ( A( x ) ∧ C( x )) ∨ B( x ) ;

10) (C( x ) ∨ D( x )) ∧ A( x ) . Указание. Решение оформить в следующем виде: пусть надо найти множество истинности предиката A( x) ∨ D( x) ∧ C( x) .

(

)

TA = {1;2;4;5;7;8;10}; TA = T A = {3;6;9}; TD = {5;10};

TA ∨ D = TA ∪ TD = T A ∪ TD = {3;6;9} ∪ {5;10} = {3;5;6;9;10}; TC = {2;4;6;8;10}, TC = T C = {1;3;5;7;9}.

Ответ. (2) T( B∧C ) ∨ D = ∅ ; (4) TC∧ D = {5} ; (5) T( B∧C )∨ D = {5;10} . IV. Задание на дом. 1. Повторить теоретический материал: Кванторы. 2. Для заполнения водоема вместимостью в 42300 гл поставлено три насоса, которые при совместной работе могут заполнить его за 47 часов. Первый насос один заполняет водоем за 141 часов, второй - за 235 часов. Сколько гл подает в час третий насос? 3. Изобразите при помощи кругов Эйлера множества истинности предикатов А(х), В(х), С(х), D(Х) (из задания 6) и каждого из предикатов 1) -10). Указание. Решение оформить в следующем виде: пусть Х={1; 2; 3; 4; 5}, М(х): х - четное число, N(x): х - нечетное число, Р(х): х - кратно 3. Тогда ТМ, ТN, ТР изобразим следующим образом (см. рис. 47). U TN TM

TP

Рис. 47.

(

)

(

)

Для M( x) ∨ N ( x) ∧ P( x) имеем TM ∪ TN ∩ TP .

TM 59

TP TN

- TM∪TN

Рис. 48.

(TM∪TN)∩TP=∅.

ЗАНЯТИЕ 17 Тема: Кванторы. I. Элементы теории. 1. Превратить предикат в высказывание можно не только подставив вместо переменной ее значение, но и поместив перед предикатом слова “все”, “существует”, “любой” и другие. Эти слова называются кванторами. 2. Квантор общности обозначается символом ∀, записывается в логических символах (∀х∈Х) (Р(х)) и читается: - для всех х из Х выполняется Р(х); - для каждого х из Х справедливо Р(х). 3. Квантор существования обозначается символом ∃, записывается в логических символах (∃х∈Х) (Р(х)), читается: “существует х из Х такой, что выполняется Р(х)”. 4. Для кванторов справедливы формулы: (∀x ∈ X)( P( x )) = ( ∃x ∈ X)( P( x )) ;

(∃x ∈ X)( P( x )) = ( ∀x ∈ X)( P( x )) .

II. Устный счет. III. Упражнения. Задание 1. Сформулируйте следующие высказывания, пользуясь обычным языком, установите их значение истинности: 1) (∀х∈R)(x-2=x); 5) (∃x∈R)(x2=25); 2) (∀х∈R)(x2=25); 6) (∃x∈R)(x2+1=26); 3) (∀х∈R)(x-2 ≠ x); 7) (∀х∈R)(x2+6=31); 4) (∃x∈R)(x-2=x); 8) (∀х∈R)(x2+5=1). Задание 2. Пусть даны предикаты на N: P(x): х - четное число, Q(x): число х кратно 3. Сформулируйте следующие высказывания пользуясь обычным языком: 1) (∀х∈N)(P(x)); 5) (∀х∈N)( P( x ) ); 2) (∃x∈N)(P(x)); 6) (∃x∈N)( P( x ) ); 3) (∀х∈N)(Q(x)); 7) (∀х∈N)( Q( x ) ); 60

4) (∃x∈N)(Q(x)); 8) (∃x∈N)( Q( x ) ). Укажите среди этих высказываний истинные. Задание 3. Введите обозначение предикатов и запишите при помощи кванторов следующие высказывания: 1) существует действительное число х такое, что х2=1; 2) любое натуральное число делится на 3; 3) найдите действительное число х такое, что для каждого действительного числа а имеет место равенство ах=а; 4) не существует рационального числа х такого, что х2=2; 5) любое натуральное число нечетно. Задание 4. Пусть Х - множество четырехугольников и заданы предикаты: А(х): х - параллелограмм; В(х): х - равнобочная трапеция; С(х): х - ромб; D(х): х имеет ось симметрии; Е(х): х- имеет центр симметрии. Сформулируйте следующие высказывания и определите их значения истинности: 1) (∀x)(А(x) ⇒Е(x)); 5) (∀x)( E( x ) ⇒А(x)); 6) (∀x)(С(x) ⇒А(x)); 2) (∃x)( D( x ) ⇒Е(x)) 3) (∀x)(D(x) ⇒С(x)); 7) (∀x)( C( x ) ⇒ A( x ) ); 8) (∃x)(С(x) ⇒А(x)). 4) (∃x)(В(x) ⇒ D( x ) ); Указание. Высказывание (∀х)(А(х)) ложно, если есть хотя бы одно а∈Х, для которого А(а)=0; высказывание (∃х)(А(х)) истинно, если есть хотя бы одно а∈Х, для которого А(а)=1. Задание 5. Даны предикаты: А(n): число n делится на 3; B(n): число n делится на 2; C(n): число n делится на 4; D(n): число n делится на 6; E(n): число n делится на 12. Укажите, какие из следующих высказываний истинны, какие ложны: 1) (∀n)((A(n)∧B(n))⇒E(n)); 2) (∀n)((B(n)∧D(n))⇒E(n)); 3) (∃n)((C(n)∧D(n))⇒E(n)); 4) (∀n)(E(n) ⇒(C(n)∧D(n))); 5) ( ∀n )( E( n ) ⇒ ( B( n ) ∧ D( n ))) ; 6) ( ∃n )(( B( n ) ∧ C( n )) ⇒ D( n )) ;

7) ( ∀n )( A( n ) ⇒ E( n )) .

Задание 6. Пусть х, у ∈ R; какие из следующих высказываний истинны: 1) x+y=y+x; 61

2) (∃y)(∀x)(x+y=5); 3) (∀x)(∃y)(x+y=5); 4) (∃x)(∃y)(x+y=5); 5) (∀x)(∃y)(x>y>0)∧(x+y=0). Задание 7. Пусть даны предикаты: Р(а; в): прямая а параллельна прямой в; Q(а;α): прямая а лежит в плоскости α; R(а; α): прямая а параллельна плоскости α. Запишите словами следующие высказывания, записанные в символическом виде: 1) (∀α)(∃a)(Q(a;α)); 2) (∀a)(∀b)(∀α)(Q(a; α)∧P(a; b)⇒Q(b; α)); 3) ( ∀a)( ∀b)( R ( a; α ) ⇒ Q( a; α )) . Задание 8. За 6 дней в автопарке легковые автомашины израсходовали

3456 л бензина, что составляет

1 расхода бензина грузовыми автомашинами. 8

Дневной расход грузовой автомашины - 64 л, а это на 46 л больше дневной нормы на легковую автомашину. Сколько всего автомашин в автопарке? Ответ. В автопарке 104 автомашины. Задание 9. На трех делянках заготовили дрова. На третьей делянке заготовили 14560 м3, на второй - в три раза больше, чем на первой, на которой заготовили на 8540 м3 меньше, чем на третьей. После отправки некоторого количества дров на первой делянке осталось 3190 м3; на третьей - 4680 м3; на второй 3980 м3 дров. С какой делянки вывезено больше дров и сколько вывезено? Ответ. Со второй делянки вывезено 14080 м3 дров. Задание 10. Геологи проехали на пароходе 400 км, что было в 8 раз больше того, что они проехали на лошадях, и во столько же раз меньше, чем на поезде. Скорость парохода составляла 20 км/час, лошади - 5 км/час, поезда - 40 км/час. Сколько времени продолжался путь? Ответ. 70 часов продолжался путь. Задание 11. В первый день остригли вдвое меньше овец, чем во второй. В третий день остригли 2100 овец, что было на 380 овец больше, чем во второй день. С каждых трех овец получили в среднем по 4250 г шерсти. После сортировки оказалось, что количество шерсти второго сорта составило пятую часть количества шерсти первого сорта. Сколько настригли шерсти каждого сорта? Ответ. Первого сорта шерсти настригли 5525 кг, второго сорта - 1105 кг. Задание 12. Бригада из 15 лесорубов за 12 дней заготовила 720 м3 дров. Сколько времени потребуется второй бригаде, в которой на 5 человек больше, чтобы заготовить 1200 м3 дров, если средняя производительность одного лесоруба во второй бригаде на одну четвертую часть больше, чем в первой? Ответ. Бригаде понадобится 12 дней. 62

IV. Задание на дом. 1. Пусть даны предикаты: P(x): треугольник х равносторонний; Q(x): треугольник х равнобедренный; R(x): треугольник х прямоугольный. Запишите словами высказывания, записанные в символическом виде: 1) (∀x)(P(x)⇒Q(x)); 2) (∃x)(P(x)∧P(x)); 3) (∃x)(Q(x)∧P(x)); 4) (∀x)(P(x));

5) ( ∀x(Q(x)) ; 6) (∃x)(R(x)). 2. Пусть даны предикаты: P(а; в): прямая а параллельна прямой в; Q(а; α): прямая а лежит в плоскости α; R(а; α): прямая а параллельна плоскости α. Пользуясь этими предикатами, запишите в символическом виде следующие высказывания: 1) чтобы прямая а была параллельна плоскости α, необходимо и достаточно, чтобы прямая а была параллельна прямой в, лежащей в плоскости α; 2) существуют прямые, параллельные плоскости α и не лежащие в плоскости α; 3) если прямая а параллельна плоскости α и прямая в параллельна плоскости α, то прямые а и в параллельны.

ЗАНЯТИЕ 18 Тема: Повторение всех математических понятий, изучаемых в семестре. За-

чет. I. Устный счет. II. Контрольные индивидуальные задания (для зачета). Указание. Для составления контрольных индивидуальных заданий целесообразно использовать материал предложенных занятий. III. Зачет.

63

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Виленкин Н. Я., Пышкало А. М., Рождественская В. Б., Стойлова Л. П. Математика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по специальности № 2121 - “Педагогика и методика начального обучения”. М.: Просвещение, 1977. 2. Виленкин Н. Я., Лаврова Н. Н., Рождественская В. Б., Стойлова Л. П. Задачникпрактикум по математике: Пособие для студентов-заочников факультетов подготовки учителей начальных классов пединститутов. М.: Просвещение, 1977. 3. Лаврова Н. Н., Стойлова Л. П. Задачник-практикум по математике: Учеб. пособие для студентов-заочников I - III курсов факультетов педагогики и методики начального обучения педагогических институтов. М.: Просвещение, 1977.

64

Содержание Введение ..............................................................................................................

3

Занятие 1. Тема: Решение текстовых задач и нахождение значений выражений для выработки вычислительных навыков .................................................. 3 Занятие 2. Тема: Решение текстовых задач и нахождение значений выражений для выработки вычислительных навыков .................................................. 9 Занятие 3. Тема: Множества. Числовые множества ..........................................

13

Занятие 4. Тема: Подмножество. Множества равные и равносильные ............

18

Занятие 5. Тема: Операции объединения и пересечения множеств .................

22

Занятие 6. Тема: Совместные операции объединения и пересечения множеств .................................................................................................................... 26 Занятие 7. Тема. Разность и дополнение множеств. Обобщение операций с множествами ....................................................................................................... 30 Занятие 8. Тема. Декартово произведение двух множеств ...............................

34

Занятие 9. Тема. Система координат на прямой. Простейшие задачи .............

38

Занятие 10. Тема. Система координат на плоскости. Расстояние между двумя точками на плоскости .................................................................................... 40 Занятие 11. Тема: Система координат на плоскости. Деление отрезка в от42 ношении λ ........................................................................................................ Занятие 12. Тема: Контрольная работа по теме: “Задачи аналитической геометрии на плоскости” ......................................................................................... 44 Занятие 13. Тема: Высказывание. Операции отрицания и конъюнкции высказываний .......................................................................................................... 45 Занятие 14. Тема: Дизъюнкция высказываний. Совместные операции отрицания, дизъюнкции и конъюнкции высказываний ............................................ 49 Занятие 15. Тема: Импликация и эквиваленция высказываний. Совместные операции .............................................................................................................. 52 Занятие 16. Тема: Предикаты и операции с ними .............................................

56

Занятие 17. Тема: Кванторы ...............................................................................

60

Занятие 18. Тема: Повторение всех математических понятий, изученных в семестре. Зачет .................................................................................................... 63 Список рекомендуемой литературы ...................................................................

64

65