Исследование функций: Методические указания

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Ульяновский государственный технический университет

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Методические указания

Составители: И. В. Коноплева А. Р. Сибирева

Ульяновск 2004

2

УДК 517 (076) ББК 22.161я7 И89 Рецензент доцент кафедры №7 «Математика и инженерная графика» УФВВУС С. П. Никонова Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета

И89

Исследование функций : методические указания / составители: И. В. Коноплева, А. Р. Сибирева. – Ульяновск : УлГТУ, 2004. – 31 с. Данные методические указания составлены в соответствии с учебной программой по курсу «Высшая математика». Они содействуют успешному усвоению темы «Исследование функций. Графики» и совершенствованию математического аппарата будущего инженера. Материал содержит большое число разобранных примеров. Настоящее пособие может быть использовано при выполнении типового расчета студентами всех специальностей УлГТУ. УДК 517 (076) ББК 22.161я7 Учебное издание ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Методические указания Составители: КОНОПЛЕВА Ирина Викторовна СИБИРЕВА Анна Рудольфовна Редактор Д. В. Царева Подписано в печать 22.12.2004. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,63. Уч.-изд. л. 1,50. Тираж 350 экз. Заказ . Ульяновский государственный технический университет 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32 Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32

© Коноплева И. В., Сибирева А. Р., составление, 2004 © Оформление. УлГТУ, 2004

3

ПРЕДИСЛОВИЕ Методические указания являются руководством к выполнению типового расчета «Графики» по сборнику заданий Л. А. Кузнецова [1] и предназначены для студентов технических вузов всех специальностей. В методических указаниях приведены образцы решения задач, необходимые для понимания разбираемых решений теоретические сведения, теоретические вопросы, качественные задачи. Перед выполнением расчета следует ознакомиться с теоретическим материалом по конспекту лекций или учебнику, ответить на вопросы, разобрать соответствующие примеры.

4

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 1. Что называют функцией, областью определения, областью значения, графиком функции? 2. Какую функцию называют четной (нечетной)? Какой симметрией обладает график четной (нечетной) функции? 3. Какую функцию называют периодической? Привести примеры периодических функций, указать их период. 4. Какую функцию называют возрастающей (убывающей) на промежутке? 5. Сформулировать условия возрастания (убывания) функции на промежутке. 6. Какие точки называют точками экстремума? 7. Сформулировать необходимое условие экстремума. 8. Какие точки называют критическими? Всегда ли критическая точка является точкой экстремума? 9. Сформулировать достаточные признаки максимума и минимума функции (изменение знака первой производной). 10. Сформулировать достаточные признаки максимума и минимума функции (в терминах производных высших порядков). 11. Выпуклость и вогнутость графика функции. 12. Сформулировать достаточные условия выпуклости и вогнутости. 13. Какие точки называют точками перегиба графика функции? 14. Сформулировать необходимые условия перегиба. 15. Сформулировать достаточные условия перегиба. 16. Что называют асимптотой графика функции? 17. Сформулировать достаточные признаки вертикальной асимптоты к графику функции y = f (x) , записать ее уравнение. 18. Сформулировать достаточные признаки горизонтальной асимптоты к графику функции y = f (x) , записать ее уравнение. 19. Сформулировать определение наклонной асимптоты, записать ее уравнение. 20. Привести схему исследования функции. 21. Сформулировать теорему Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значении функции, непрерывной на отрезке. 22. Привести алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = f (x) , непрерывной на отрезке [a; b] . 23. Построить схематично график непрерывной функции y = f (x) , удовлетворяющей на отрезке [a; b] условиям: а) y ' > 0, y ' ' < 0 ; б) y ' < 0, y ' ' < 0 ; в) y ' > 0, y ' ' > 0 ; г) y ' < 0, y ' ' > 0 . 25. Построить схематично график четной фукции с вертикальной асимптотой x=0 и с горизонтальной асимптотой y=3. 26. Построить схематично график фукции, удовлетворяющей условиям: lim f ( x) = −∞, lim f ( x) = 2, lim f ( x) = +∞, lim f ( x) = +∞ . x → +∞

x → −∞

x →1− 0

x →1+ 0

5

Указание к задачам 1, 2 Для построения графика функции с помощью производной первого порядка следует: 1. Найти область определения функции y = f (x) . 2. Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической. 3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Найти промежутки знакопостоянства функции. 4. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции. 5. Для уточнения графика можно найти несколько точек, принадлежащих графику. Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) на отрезке [a;b], если f(x1)< f(x2) при a≤x1<x2≤b (или соответственно f(x1)>f(x2) при a≤x1<x2≤b). Теорема 1. (Достаточный признак возрастания или убывания функции.) Пусть функция f непрерывна на [a;b]. Если при х∈(a;b) f '(x)>0, то функция возрастает, если f '(x)<0, то функция убывает на [a;b]. Определение. Функция f(x) имеет в точке х0 экстремум (максимум или минимум), если она определена в интервале (х0-δ; х0+δ) и для всех х∈(х0-δ; х0+δ) выполнено, соответственно, неравенство f(x)f(x0). Теорема 2. (Необходимое условие экстремума.) В точке экстремума f '(x0) равна 0 или не существует. Теорема 3. (I достаточные условия экстремума). Если 1) функция определена и непрерывна в некоторой окрестности (х0-δ; х0+δ) точки х0 , такой что f '(x0) равна 0 или не существует; 2) f(x) имеет конечную производную f '(x) на множестве (х0-δ; х0)∪(х0; х0+δ); 3) производная имеет разные знаки на промежутках (х0-δ; х0) и (х0; х0+δ), то х0 - точка экстремума. Замечание. В интервале возрастания (убывания) функции могут быть, отдельные точки, в которых y'=0. Задача 1 Построить график функции с помощью производной первого порядка y=2х3 – 15х2 +36х – 23.

Решение. 1. Областью определения данной функции, как всякого многочлена, является вся числовая прямая. D(f)= 2. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. 3. Точки пересечения с осями, интервалы знакопостоянства. С осью Оу: х=0, у=2⋅0 – 15⋅0 + 36⋅0 – 23= – 23. С осью Ох: у=0, 2х3 – 15х2 + 36 – 23=0. (Если решение уравнения y(x)=0 нельзя получить элементарным путем, соответствующий пункт исследования можно опустить).

6

2х3 – 15х2+36х–23=0. Подбором убеждаемся, что х=1 – корень уравнения. Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого разделим 2х3 –15х2+36х –23 на х–1. _2x3–15x2+36x–23 |x–1 |2x2–13x+23 2x3–2x2 –13x2+36x –13x2+13x _ 23x–23 23x–23 0 2 (x–1)(2x –13x+23)=0, x=1 или 2х2 –13х+23=0, т. к. D<0, действительных корней нет. х =1 – единственная точка пересечения графика функции с осью Ох. Интервалы знакопостоянства функции. Границами интервалов, где функция сохраняет знак, могут быть только точки пересечения графика с осью Ох, точки разрыва и границы области определения. Для исследуемой функции такой точкой является лишь х =1. y – + x 1 2 Рис. 1 Определим знак функции при каком-либо значении х из промежутка (–∞;1), например у(0)= –23<0. Функция сохраняет знак на рассматриваемых промежутках, следовательно, у(х)<0 при х∈(–∞;1). Аналогично, у(2)>0, следовательно, у(х)>0 при х∈(1;+∞). 4. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума. Границами интервалов возрастания и убывания могут быть только точки, где производная функции равна 0 или не существует, точки разрыва, граничные точки области определения. y'=6x2 –30x+36; y'=0; 6x2 –30x+36=0, x=2; x=3 – критические точки. X Y' У

(–∞;2) + Ê

2 0 5

(2;3) – Ì

3 0 4

(3;+∞) + Ê

Функция возрастает

Точка максимума

Убывает

Точка минимума

Возрастает

7

5. Дополнительные точки X Y

–1/4 –32

0,5 –8,5

4 9

5 32

При х→+∞ у→+∞, при х→ – ∞ у→ – ∞. 6. Построим график функции у=2х3 – 15х2 + 36х – 23. у 10 9 5 4 0

1 2 3

4

х

-10

-20 -23

Рис. 2. График функции у=2х3 –15х2+36х–23 Задача 2 Построить график функции с помощью производной первого порядка.

y= Решение. 1. Область определения.

3 ⋅ 3 ( x + 5) 2 x 2 + 2 x + 15

.

8

Знаменатель дроби нигде не обращается в 0, следовательно, функция определена на всей числовой прямой, D(y)= . 2. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. 3. Точки пересечения с осями, промежутки знакопостоянства. = 0 , х+5=0, x 2 + 2 x + 15 33 25 3 1 х=0; y = ≈ ≈ 0,58. 15 5

С осью Ох: у=0; С осью Оу:

33 ( x + 5) 2

Промежутки знакопостоянства. у(х) ≥0 при всех х∈ , так как знаменатель дроби х2+2x+15>0 при х∈ а ее числи2 тель (х+5) ≥0 при х∈

х= –5.

у=х2+2х+15 Рис. 3

x

4. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума. ⎞ ⎛2 1 3⋅⎜ 3 ⋅ x 2 + 2 x + 15 − 3 ( x + 5) 2 (2 x + 2) ⎟ 3 x+5 ⎠= y' = ⎝ ( x 2 + 2 x + 15) 2

(

)

2( x 2 + 2 x + 15) − 3( x + 5)(2 x + 2) 3

x + 5 ( x 2 + 2 x + 15) 2

=

− 4 x( x + 8) 3

x + 5 ( x 2 + 2 x + 15) 2

Производная не определена в точке х= –5. y'=0;

х у'

− 4 x( x + 8) 3

x + 5 ( x 2 + 2 x + 15) 2

(– ∞;–8) +

–8 0

= 0 , x=0 или х= – 8. (–8;–5) –

–5 не существует

(–5;0) +

3

Ê

у

Возрастает

y ' (−10) = y ' (−6) =

3

3

9 ≈ 0,099 21

Ì

0

Ê

Точка max

Убывает

Точка минимума

Возрастает

− 4 ⋅ (−10)(−10 + 8) − 10 + 5 ((−10) 2 + 2(−10) + 15) 2 − 4 ⋅ (−6)(8 − 6) < 0, − 6 + 5 ((−6) 2 − 2 ⋅ 6 + 15) 2

3

0 0

> 0,

25 ≈ 0,58 5

Точка max

(0;+∞) – Ì Убывает

9

y ' (−1) =

− 4 ⋅ (−1)(8 − 1)

5 − 1((−1) 2 − 2 ⋅ 1 + 15) 2 5. Дополнительные точки 3

х у

> 0,

–9 ≈0,10

y ' (1) =

–6 ≈0,08

− 4 ⋅1 ⋅ 9 3

6 (1 − 2 + 15) 2

–1 ≈0,53

< 0.

2 ≈0,48

При х→±∞ у→0. 6. Построим график функции y = у 1

3 ⋅ 3 ( x + 5) 2 x 2 + 2 x + 15

.

0,5

0,1 -8

-5

0

1

2

Рис. 4. График функции y =

х 3 ⋅ 3 ( x + 5) 2 x 2 + 2 x + 15

Указание к задаче 3 Теорема Вейерштрасса. Функция, непрерывная на отрезке [а;b], достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются ею в точках экстремума, лежащих внутри отрезка или на границах этого отрезка.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений 1. Найти критические точки, где производная функции равна нулю или не существует, лежащие внутри отрезка [a;b]. 2. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка. 3. Сравнить полученные значения функции. Выбрать из них наибольшее и наименьшее.

10

Задача 3 Найти наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

y = 1 + 3 ( x − 2) 2 ( x − 6) на отрезке [3;7]. Решение. Область определения данной функции – вся числовая прямая. Найдем точки, где производная функции равна 0 или не существует, принадлежащие отрезку [3;7]. 1 2( x − 2)( x − 6) + ( x − 2) 2 1 ( x − 2)(2 x − 12 + x − 2) 1 ( x − 2)(3 x − 14) . = = y' = 3 3 3 3 ( x − 2) 4 ( x − 6) 2 3 3 ( x − 2) 4 ( x − 6) 2 ( x − 2) 4 ( x − 6) 2 Производная не существует при х = 2 и при х = 6. 2∉(3;7), 6∈(3;7). 2 2 y'=0; 3х–14=0; x = 4 ; 4 ∈(3;7). Найдем значения функции на концах 3 3 отрезка и в критических точках, которые принадлежат отрезку

2 2 y(3) = 1 − 3 3 ≈ − 0,44, y(4 ) = 1 − 3 4 ≈ −1,12, y(6) = 1, y(7) = 1 + 3 25 ≈ 3,92 3 3 Выберем из полученных значений наибольшее и наименьшее

max y = y(7) = 1 + 3 25 ≈ 3,92 ,

x∈[3;7]

2 2 min y = y(4 ) = 1 − 3 4 ≈ −1,12. x∈[3;7] 3 3

Указание к задаче 4

Для решения текстовой задачи на наибольшее и наименьшее значение нужно: 1. Выяснить, наибольшее или наименьшее значение какой величины y требуется найти. 2. Выбрать независимую переменную x . 3. Исходя из условия задачи, выразить y как функцию от x . (Если функция окажется функцией двух или более независимых переменных, надо исключить ряд переменных, кроме одной, используя условия задачи). 4. По смыслу задачи определить область изменения аргумента x . 5. Исследовать функцию y (x) на наибольшее и наименьшее значение на этом промежутке (см. указание к задаче 3). Задача 4.1 Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей точки шоссе. С буровой надо направить курьера в населенный пункт, расположенный по шоссе в 15 км от упомянутой точки шоссе (считаем шоссе прямолинейным). Скорость курьера на велосипеде по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь населенного пункта?

11

Решение. •В Пусть длина участка ОР шоссе равна x км. Тогда РА=15–x км, 9 км О

x км.

Р

15–х км.

А

Рис. 5 y ( x) =

РВ= (15 − x) 2 + 9 2 км. Затраченное курьером время равно (15 − x) 2 + 9 2 8 + x 10 . Найдем наименьшее значение функции

1 x (15 − x) 2 + 9 2 + при x ∈ [0,15]. 8 10

y ' ( x) = −

1 2(15 − x) 1 + ; 8 2 (15 − x) 2 + 9 2 10

y'(х)=0;

−

1 2(15 − x) 1 + = 0; 8 2 (15 − x) 2 + 9 2 10

25 (15 − х) 2 = (15 − х) 2 + 9 2 ; (15 − х) 2 = 144 ; 15 − х = ±12 ; x1=3, x2=27. 16 По условию задачи х∈[0;15], x2=27∉[0;15]; х1=3∈[0;15] – критическая точка. Найдем значение функции на концах отрезка [0;15] и в критической точке. 1 3 1 0 y (0) = 15 2 + 9 2 + ≈ 2,19 , y (3) = 12 2 + 9 2 + ≈ 2,18, 8 10 8 10 9 15 y (15) = + ≈ 2,63, min у = y (3) ≈ 2,18. x∈[ 0;15] 8 10 Ответ. Курьер должен двигаться в точку, удаленную на 3 км от населенного пункта и на 12 км от ближайшей к буровой точки шоссе. Задача 4.2 Тело брошено под углом ϕ к горизонту с начальной скоростью v0. Под каким углом ϕ нужно бросить тело, чтобы оно упало как можно дальше? Сопротивлением воздуха пренебречь. Решение. →

→

У v0 ϕ

g

Sx

х

Рис. 6 →

→ g t2 S = v 0⋅t + – уравнение движения, g – ускорение свободного падения. 2

→

→

12 →

Найдем проекции вектора S на оси

gt 2 . 2 Найдем время полета. В момент падения Y=0, отсюда 2v ⋅ sin ϕ gt 2 v 0 ⋅ t ⋅ sin ϕ − = 0 ;t = 0 – время полета. g 2 Найдем дальность полета, подставляя время полета в формулу для X 2v 0 ⋅ sin ϕ v 02 ⋅ sin 2ϕ X = v0 ⋅ cos ϕ ; X = – горизонтальная дальность полета. g g

Ох: X = v 0 ⋅ t ⋅ cos ϕ , Оу: Y = v 0 ⋅ t ⋅ sin ϕ −

v 02 ⋅ sin 2ϕ ⎡ π⎤ Найдем наибольшее значение функции X (ϕ ) = при ϕ ∈ ⎢0; ⎥. g ⎣ 2⎦ v 02 π π π X ' (ϕ ) = ⋅ 2 ⋅ cos 2ϕ ; X ' (ϕ ) = 0 ; cos 2ϕ = 0 ; 2ϕ = + πn ; ϕ = + n . g 2 4 2

ϕ =

π

⎛ π⎞ – единственная критическая точка, принадлежащая интервалу ⎜ 0; ⎟. 4 ⎝ 2⎠ π

Найдем значение функции X (ϕ ) на концах отрезка ⎡⎢0; ⎤⎥ и в критиче⎣ 2⎦ ской точке v 02 v 02 π π π X (0) = 0 ; X ( ) = ; X ( ) = 0 ; max X (ϕ ) = X ( ) = . ⎡ π⎤ g 4 g 4 2 ϕ∈ 0; ⎢⎣ 2 ⎥⎦

Ответ: Чтобы тело упало как можно дальше, оно должно быть брошено под углом 45° к горизонту. Указание к задаче 5

Исследование функций с помощью производных высших порядков основано на следующих теоремах. Теорема 4. (II достаточное условие экстремума). Если функция f(x) имеет вторую производную f ''(x), и в некоторой точке х0 выполнены условия f '(x0)=0 и f ''(x0)≠0, то в этой точке функция f(x) имеет экстремум, а именно, максимум при f ''(x0)<0 и минимум при f ''(x0)>0. Теорема 5. (III достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x) имеет в некотором интервале (х0–δ, х0+δ) производные f '(x),…, f(n-1)(x) и в точке х0 производную f(n)(x0), причем f '(x0)=0, f ''(x0)=0,…, f(n-1)(x0)=0, f(n)(x0) ≠ 0. В таком случае, 1) если n – четное число, то в точке x0 функция f(x) имеет экстремум, а именно, максимум при f(n)(x0)<0 и минимум при f(n)(x0)>0;

13

2) если n – число нечетное, то в точке x0 функция f(x) экстремума не имеет. Теорема 6. (Достаточные условия вогнутости и выпуклости.) Если функция y=f(x) дважды дифференцируема на (a;b) и f ''(x0)>0 для всех х∈(a;b), то график функции на этом интервале вогнутый. Если f ''(x0)<0 для всех х∈(a;b), то график на этом интервале выпуклый.

Достаточное условие точки перегиба Определение. Точки, в которых меняется направление вогнутости графика функции, называются точками перегиба. Теорема 7. Пусть в точке x0 определена первая производная функции y=f (x), f ''(x0)=0 или f ''(x0) не существует. Если f ''(x0) меняет свой знак при переходе через x0 , то x0 – точка перегиба. Задача 5.1 Исследовать поведение функции в окрестности заданной точки с по1 мощью производных высших порядков: y = arctgx − ln(1 + x 2 ); x0=1. 2 Решение.

1. y ' =

1 1+ x

2

−

1 2x 1− x , y'(1)=0; = 2 2 1+ x 1+ x2 '

2 2 ⎛ 1 − x ⎞ − 1 − x − 2 x(1 − x) x − 2 x − 1 y' ' = ⎜ = = , ⎟ 2 2 2 2 (1 + x ) 1+ x ⎝1+ x ⎠

1 y ' ' (1) = − , 2

y'(1)=0, y''(1)≠0, причем y''(1)<0, следовательно, по теореме 4, x0=1 – точка максимума; 1 2. y ' ' (1) = − < 0 , y''(х) непрерывна на , следовательно, существует такая 2 окрестность точки x0=1, где y''(х)<0. В этой окрестности, по теореме 6, функция выпукла. Задача 5.2 Исследовать поведение функции в окрестности заданной точки с помощью производных высших порядков: y=(x–2)5; x0=2. Решение. 1. у'(х)=5(х-2)4 , у'(2)=0. y''(х)=20(х-2)3, у''(2)=0. y'''(х)=60(х-2)2, у'''(2)=0. y(IV)(х)=120(х-2), у(IV) (2)=0. у(V) (2)=120. y(V)(х)=120,

14

у'(2) = у''(2) = у'''(2) = у(IV) (2) =0, у(V) (2) ≠ 0. Производная пятого порядка отлична от 0 (порядок производной – нечетное число), следовательно, по теореме 5 в точке x0=2 функция экстремума не имеет; 2. у''(2)=0. Исследуем знаки второй производной в промежутках (2–δ; 2), (2; 2+δ), где δ>0. δ выбирают настолько малым, чтобы δ-окрестность точки x0=2 была частью области определения, не включала бы точек разрыва и точек, отличных от x0=2, где f ''(x0)=0 либо не существует 5 δ δ y ' ' (2 − ) = 20(2 − − 2) 3 = − δ 3 < 0 , 2 2 2 5 δ δ y ' ' (2 + ) = 20(2 + − 2) 3 = δ 3 > 0 . 2 2 2 Отсюда y''(х)<0 при х∈(2 – δ;2), y''(х)>0 при х∈(2;2+δ). Следовательно, по теореме 7 х0=2 – точка перегиба функции. По теореме 6, на (2– δ;2) функция выпукла, на (2;2+δ) функция вогнута. Задача 5.3 Исследовать поведение функции в окрестности заданной точки с помощью производных высших порядков: y=cos(x2) – 1; x0=0.

Решение. 1. y'(x)= – 2xsin(x2),

y'(0)=0;

y''(x)= – 2 sin(x2) – 4x2cos(x2),

y''(0)=0;

y'''(x)= – 4xcos(x2) – 8xcos(x2) + 8x3sin(x2)= –12xcos(x2)+8x3sin(x2); y'''(0)=0; y(IV)(x)= – 12cos(x2)+24x2sin(x2)+24x2sin(x2)+16x4cos(x2); y(IV) (0)= – 12; y'(0)= y''(0)= y'''(0)=0, y(IV) (0)= – 12. Производная четвертого порядка отлична от 0 (порядок производной n=4 – четное число), следовательно, по теореме 5, функция в точке x0=0 имеет экстремум. А именно, максимум, так как y(IV) (0)= – 12<0. 2. y''(0)=0. Исследуем знаки второй производной в промежутках (– δ;0), (0;δ), где δ>0. Выберем δ настолько малым, чтобы промежуток (–δ;δ) не включал точек, отличных от x0=0, где y''(х)=0.

δ

δ

δ

δ

δ

y ' ' (− ) = y ' ' ( ) = −2(sin( ) 2 + 2( ) 2 cos( ) 2 ) < 0 , y''(х)<0 при х∈(–δ;0) и 2 2 2 2 2 при х∈(0; δ). Вторая производная функции не меняет знак при переходе через точку x0=0, следовательно, x0=0 не является точкой перегиба (см. теорему 7). На промежутке ( – δ; δ) график функции выпуклый (по теореме 6).

15

Указание к задаче 6 Определение. Если расстояние от точки М(х;у) кривой y=f(x) до некоторой прямой L при неограниченном удалении точки М от начала координат стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой y=f(x).

Различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты: а) прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) , если выполняется хотя бы одно из условий lim f ( x) = ±∞ или lim f ( x) = ±∞ .

x →a + 0

x →a −0

Вертикальные асимптоты проходят через точки бесконечного разрыва. Непрерывные функции вертикальных асимптот не имеют. f ( x) и b = lim ( f ( x) − kx), x →+∞ x x →+∞ то прямая y = kx + b является правой наклонной, а при k = 0 – правой горизонтальной асимптотой; f ( x) и b = lim ( f ( x) − kx), если существуют конечные пределы k = lim x →−∞ x x →−∞ то прямая y = kx + b является левой наклонной, а при k = 0 – левой горизонтальной асимптотой. б) Если существуют конечные пределы k = lim

График однозначной функции y = f (x) не может иметь более одной правой (наклонной или горизонтальной) и более одно левой (наклонной или горизонтальной) асимптоты. Задача 6.1

Найти асимптоты и построить график функции y =

8x 2 + 1 2

3x − 5

.

Решение. Найдем область определения функции. Так как корень четной степени определен только на множестве неотрицательных чисел, а знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, то ⎛ ⎞ 5 5⎞ ⎛ 5 5 ⎟ U ⎜ ;+∞ ⎟. 3х2–5>0, x 2 > , x > , т. е. D( y ) = ⎜⎜ − ∞; ⎟ 3 3 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎝ ⎠ 1. Вертикальные асимптоты: Точки разрыва данной функции – это точки, в которых знаменатель 5 5 . Проверим, проходят ли через и x=+ дроби равен нулю, т. е. x = − 3 3 эти точки вертикальные асимптоты:

16

lim

5 x→− −0 3

f ( x) =

8x 2 + 1

lim

5 x →− −0 3

2

3x − 5

= +∞ ; lim

5 x→ +0 3

f ( x) = lim

5 x→ +0 3

8x 2 + 1 2

3x − 5

= +∞ .

Так как функция не определена в правосторонней окрестности точки 5 5 x=− и в левосторонней окрестности точки x = , то пре3 3 делы lim f ( x) и lim f ( x) не вычисляем. x →−

5 +0 3

x→

5 −0 3

5 5 и x= являются вертикальными асимптотами; 3 3

Прямые x = −

2. Горизонтальные и наклонные асимптоты: f ( x) 8x 2 + 1 8x 2 8x 2 8x 2 8 ⎛∞⎞ = lim = lim = k = lim = lim = ⎜ ⎟ = lim 2 x →+∞ x x →+∞ x 3 x 2 − 5 ⎝ ∞ ⎠ x →+∞ x 3 x 2 x →+∞ x 3 x x →+∞ 3 x 3 ⎛ 8x 2 + 1 8 ⎞⎟ 8 3x 2 + 3 − 8 x 3x 2 − 5 b = lim ( f ( x) − kx) = lim ⎜ x = (∞ − ∞ ) = lim = − ⎟ 2 x → +∞ x → +∞⎜ 3 x 2 − 5 x → +∞ 3 3 3x − 5 ⎠ ⎝ (8 3x 2 + 3 − 8 x 3 x 2 − 5 )(8 3 x 2 + 3 + 8 x 3 x 2 − 5 )

= lim

2

x → +∞

2

2

3 3 x − 5 (8 3 x + 3 + 8 x 3 x − 5 ) (8 3x 2 + 3 ) 2 − 64 x 2 (3 x 2 − 5)

= lim

2

x → +∞

2

2

3 3 x − 5 (8 3 x + 3 + 8 x 3 x − 5 ) 64 ⋅ 3 x 4 + 16 ⋅ 3 x 2 + 3 − 64 ⋅ 3 x 4 + 320 x 2

= lim

x → +∞

2

2

2

3 3 x − 5 (8 3 x + 3 + 8 x 3 x − 5 )

=

= =

368 x 2 + 3

⎛∞⎞ =⎜ ⎟= x → +∞ 5 5 ⎝∞⎠ 3 x 2 − (8 3 x 2 + 3 + 8 3 x ⋅ x 2 − ) 3 3

= lim

368 x 2 368 x 2 23 x 2 = lim = lim = lim = 0. x → +∞ 3 ⋅ x ⋅ 16 3 x ⋅ x x → +∞ 48 3 x 3 x → +∞ 3 x 3

Следовательно, при x → ∞ наклонной асимптотой является прямая y =

8 3

x.

Аналогично при x → −∞ имеем: k = lim

x →−∞

f ( x) 8x 2 + 1 8x 2 8x 2 8x 2 8 ⎛∞⎞ = lim = lim =− = lim = ⎜ ⎟ = lim x →−∞ x 3 x 2 − 5 ⎝ ∞ ⎠ x →−∞ x 3 x 2 x →−∞ x 3 x x →−∞ − 3 x 2 x 3

17

⎛ 8x 2 + 1 8 3x 2 + 3 + 8 x 3x 2 − 5 8 ⎞⎟ b = lim ( f ( x) − kx) = lim ⎜ x = (∞ − ∞ ) = lim + = ⎟ 2 x→−∞ x →−∞⎜ 3 x 2 − 5 x →−∞ 3 3 3x − 5 ⎝ ⎠ = lim

x → −∞

= lim

x → −∞

(8 3 x 2 + 3 + 8 x 3 x 2 − 5 )(8 3x 2 + 3 − 8 x 3 x 2 − 5 ) 2

2

=

2

9 x − 15 (8 3 x + 3 − 8 x 3 x − 5 ) (8 3 x 2 + 3 ) 2 − 64 x 2 (3 x 2 − 5) 3 x (8 3x 2 − 8 x ⋅ 3 x )

64 ⋅ 3 x 4 + 16 ⋅ 3 x 2 + 3 − 64 ⋅ 3 x 4 + 320 x 2

= lim

− 3 x ⋅16 3x 2

x → −∞

=

368 x 2 + 3 ⎛∞⎞ = 0. = ⎜ ⎟ = lim ⎝ ∞ ⎠ x → −∞ − 48 3 ⋅ x 3

Следовательно, при x → −∞ прямая y = −

8 x является наклонной асимпто3

той. Построим график функции. Для построения найдем координаты нескольких дополнительных точек. График функции не имеет точек пересечения с осью ординат, т. к. х=0 не входит в область определения функции, нет и 8 x 2 +1

точек пересечения с осью абсцисс, т. к. уравнение

3 x2 −5

ет действительных решений (8х2+1≠0) у

y=−

8 x 3

y=

8 3

x

5

-2

−

5 3

-1

0

1

5 3

Рис. 7. График функции y =

2

х

8x 2 + 1 3x 2 − 5

= 0

не име-

18

Задача 6.2

x 2 − 2x − 2 . Найти асимптоты и построить график функции y = 3x + 1 1 1 Решение. Область определения функции D( y ) = (−∞;− ) U (− ;+∞) . 3 3 1 1. Вертикальные асимптоты: x = − является точкой разрыва, т. к. в ней об3 ращается в ноль знаменатель дроби. Т. к. lim

1 x→− −0 3

f ( x) = lim

1 3 1 ( x<− ) 3 x→−

x2 − 2x − 2 = +∞ и 3x + 1

lim

1 x→− +0 3

f ( x) = lim

1 3 1 ( x>− ) 3 x→−

x2 − 2x − 2 = −∞, 3x + 1

1 3

то x = − – вертикальная асимптота. 2. Горизонтальные и наклонные асимптоты: f ( x) x2 − 2x − 2 ∞ x2 1 k = lim = lim = = lim = x → +∞ x x → +∞ x (3 x + 1) ∞ x → +∞ 3 x 2 3 ⎛ x2 − 2x − 2 x ⎞ b = lim ( f ( x) − kx) = lim ⎜ − ⎟ = (+∞ − ∞) x → +∞ x → +∞⎜ x 3 1 3 ⎟⎠ + ⎝

3x 2 − 6 x − 6 − 3x 2 − x − 7x 7 − 7x − 6 ∞ =− . = lim = lim = = lim x → +∞ x → +∞ 9 x + 3 9x + 3 9 ∞ x → +∞ 9 x

x 7 − при x → +∞ является наклонной асимптотой. 3 9 Аналогично

Значит, y =

f ( x) x2 − 2x − 2 ∞ x2 1 = lim = = lim = , k = lim x → −∞ x x → −∞ x(3 x + 1) ∞ x → −∞ 3 x 2 3 ⎛ x2 − 2x − 2 x ⎞ 7 b = lim ( f ( x) − kx) = lim ⎜ − ⎟=− . ⎟ ⎜ x → −∞ x → −∞ 3⎠ 9 ⎝ 3x + 1 x 7 Таким образом, прямая y = − является наклонной асимптотой и при 3 9 x → – ∞ (левая и правая асимптоты совпадают).

Построим график функции. Найдем дополнительные точки. Точки пересечеx2 −2 x−2 = 0 ; х2–2х–2 = 0, x = 1 − 3 ≈ −0,7 , ния с осью абсцисс: у = 0; 1 3 x +1 x2 = 1 + 3 ≈ 2,7. Точки пересечения с осью ординат: х = 0, у(0) = – 2.

19

x=−

у

1 3

y=

1 -1 0 -1

1

3

x 7 − 3 9

х

x 2 − 2x − 2 Рис. 8. График функции y = 3x + 1 Указания к задачам 7–10 Изучение заданной функции и построение ее графика целесообразно проводить в следующем порядке. 1. Найти область определения функции, область ее непрерывности и точки разрыва. Вычислить значение функции или соответствующие пределы в граничных точках. 2. Найти асимптоты. 3. Выяснить, является ли функция четной, нечетной и сделать вывод о симметрии ее графика. Исследовать функцию на периодичность. 4. Определить точки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства. 5. Определить экстремумы и интервалы возрастания и убывания функции (с помощью первой производной). 6. Определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции (с помощью второй производной). 7. Построить график функции. 8. Найти множество значений функции. Замечание. В некоторых случаях можно не находить интервалы знакопостоянства функции, если решение неравенств f ( x) > 0 и f ( x) < 0 затруднено. Для уточнения графика можно определить координаты нескольких дополнительных точек. Задача 7 Провести полное исследование и построить график функции y=

x3 2( x + 1) 2

.

Решение. 1. Область определения – вся числовая ось, кроме точки x = −1 , в которой функция терпит разрыв, т. е. D( y ) = (−∞;−1) U ( −1;+∞) .

20

На всей области определения функция непрерывна. Граничные значения функции x3

lim y = lim

x→−∞ 2( x + 1) 2

x→−∞

= −∞,

lim y = lim

x3

x→+∞ 2( x + 1) 2

x→+∞

= +∞.

2. Асимптоты: а) вертикальные асимптоты lim

x → −1− 0

f ( x) = lim

x3

x → −1 2( x + 1) 2

= −∞,

( x < −1)

lim

x→−1+ 0

f ( x) = lim

x3

x→−1 2( x + 1) 2

= −∞,

( x > −1)

следовательно, прямая x = −1 является вертикальной асимптотой; б) наклонные и горизонтальные асимптоты f ( x) x3 x3 ∞ 1 k = lim = lim = = lim = , 2 3 x→±∞ x x →±∞ 2( x + 1) ∞ x→±∞ 2 x 2 ⎛ x3 − 2x2 − x x ⎞⎟ x3 − x3 − 2x 2 − x − = = = b = lim ( f ( x) − kx) = lim ⎜ lim lim 2 ⎟ x → ±∞ x → ±∞ x → ±∞⎜ 2( x + 1) 2 x → ±∞ 2( x + 1) 2 2 + x 2 ( 1 ) ⎝ ⎠ 2

− 2x ⎛∞⎞ = ⎜ ⎟ = lim = −1. ⎝ ∞ ⎠ x → ±∞ 2 x 2 x 2

При x → ±∞ прямая y = − 1 является наклонной асимптотой. 3. Область определения несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодична. 4. Точки пересечения с осями, промежутки знакопостоянства. С осью Ох:

x3 3 y = 0; = 0; x = 0. 2 = 0; x 2 ( x + 1)

Функция положительна при x > 0 и отрицательна при x < 0 . 5. Промежутки убывания и возрастания функции, экстремумы. Найдем первую производную функции y' =

3 x 2 ( x + 1) 2 − 2( x + 1) ⋅ x 3 2( x + 1) 4

=

x 2 ( x + 1)[3 x + 3 − 2 x] 2( x + 1) 4

=

x 2 ( x + 3) 2( x + 1) 3

.

Найдем критические точки функции: y' = 0 при x2(x+3) = 0, т. е. х = 0 и х = –3; y' не существует при х = –1, но эта точка является точкой разрыва. Отметим точки на числовой прямой и исследуем знак первой производной при переходе через эти точки.

21

x y' y

–3 0

(–∞;–3) + Ê

3 8 Точка максимума −3

Функция возрастает

(–3;–1) – Ì

–1 -----

(–1;0) + Ê

0 0 0

(0;+∞) + Ê

Убывает

Точка разрыва

Возрастает

Экстремума нет

Возрастает

В точке х = – 3 функция имеет максимум, в точке х = 0 экстремума нет. На интервалах (–∞;–3), (–1;0), (0;∞) функция возрастает, на интервале (–3;–1) убывает. y max (−3) =

Ордината точки максимума

( −3) 3 2(−3 + 1) 2

=

− 27 3 = −3 . 8 8

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба. Найдем вторую производную: '

⎛ x 3 + 3 x 2 ⎞ (3 x 2 + 6 x)( x + 1) 3 − 3( x + 1) 2 ( x 3 + 3 x 2 ) ⎟ = = y' ' = ⎜ ⎜ 2( x + 1) 3 ⎟ 2( x + 1) 6 ⎠ ⎝ = =

3 x( x + 2)( x + 1) 3 − 3( x + 1) 2 ⋅ x 2 ( x + 3) 2( x + 1) 6 3 x( x 2 + 3 x + 2 − x 2 − 3 x) 2( x + 1) 4

=

6x 2( x + 1) 4

=

=

3 x( x + 1) 2 (( x + 2)( x + 1) − x( x + 3)) 2( x + 1) 6 3x

( x + 1) 4

=

.

y'' = 0 при х = 0, y'' не существует при х = –1. x y'' y

(–∞;–1) – ∩ Функция выпукла

–1 Не сущ. Не сущ. Точка разрыва

(–1;0) – ∩

0 0 0

(0;+∞) + ∪

Функция выпукла

Точка перегиба графика

Функция вогнута

Точка х = 0 является точкой перегиба графика функции. Найдем ординату этой точки y(0) = 0. На интервалах (–∞;–1), (–1;0) кривая выпукла, на интервале (0;+∞) вогнута. 7. Построим график функции y =

x3 2( x + 1) 2

.

22

у 1 –3

–1

0 -1

2

−3

х

3 8

Рис. 9. График функции y =

x3 2( x + 1) 2

.

9. Множество значений функции Е(у)=(–∞;+∞). Задача 8.1 Провести полное исследование и построить график функции y = (2 x + 1)e −2( x +1) .

Решение. 1. D(у)=(–∞;∞). Функция всюду непрерывна, точек разрыва нет. Граничные значения функции: lim y = lim (2 x + 1)e − 2( x +1) = (∞ ⋅ 0) = lim

x → +∞

= lim

x → +∞

x → +∞

(2 x + 1)'

x → +∞ (e

2( x +1)

)'

= lim

x → +∞ 2e

2 − 2( x +1)'

( 2 x + 1)

⎛∞⎞ =⎜ ⎟= ⎝∞⎠

e 2( x +1)

= 0; lim y = lim (2 x + 1)e − 2( x +1) = −∞. x → −∞

x → −∞

2. Асимптоты: а) так как функция всюду непрерывна, то вертикальный асимптоты график не имеет; б) наклонные и горизонтальные асимптоты. f ( x) (2 x + 1) ⋅ e −2( x +1) (2 x + 1) − 2( x +1) = lim = lim ⋅e = x → ±∞ x x → ±∞ x → ±∞ x x ⎧ 0 при х → +∞, ( 2 x + 1) = lim ⋅ lim e − 2( x +1) = 2 ⋅ lim e − 2( x +1) = ⎨ ∞ при х → −∞. x → ±∞ x → ±∞ x → ±∞ x ⎩ k = lim

При x → +∞ вычислим b b = lim ( f ( x) − kx) = lim (2 x + 1)e −2( x +1) = (∞ ⋅ 0) = lim x→+∞

x→+∞

x→+∞

(2 x + 1) e 2( x +1)

⎛∞⎞ = ⎜ ⎟ = 0. ⎝∞⎠

23

Следовательно, при x → +∞ у =0 (ось абсцисс) – правая наклонная асимптота. При x → −∞ график функции асимптот не имеет. y (− x) ≠ y ( x) y (− x) = (−2 x + 1)e −2( − x +1) = −(2 x − 1)e 2 x − 2 , и 3. Так как y (− x) ≠ − y ( x) , то функция ни четная, ни нечетная. Функция не периодическая. 4. Точки пересечения с осями, промежутки знакопостоянства. ⎧ у = 0, ⎧ y = 0, ⎪⎪ ⎪ С осью Ох: ⎨ ⎨ − 2( х +1) , 1 ⎪ х=− . ⎪ y = ( 2 х +1)е 2 ⎪⎩ ⎩ ⎛ 1 ⎞ График функции пересекает ось Ох в точке ⎜⎜ − ;0 ⎟⎟. 2 ⎠ ⎝ С осью Оу: x = 0, y = e − 2 ≈

1 ≈ 0,1 7,29

(0; e −2 )- точка пересечения графика с осью Оу. 1 2

1 2

y > 0 при 2х + 1 > 0, т. е. при x > − , y < 0 при x < − . 5. Промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума. Найдем первую производную функции.

(

)'

y ' = (2 x + 1)e − 2 x − 2 = 2e − 2 x − 2 − 2(2 x + 1)e − 2 x − 2 = 2e − 2 x − 2 (1 − 2 x − 1) = −4 xe − 2 x − 2 . y '= 0 при x = 0 .

x y' y

0 0

(–∞;0) + Ê

e −2

Функция возрастает

Точка максимума

(0;∞) – Ì Убывает

x = 0 – точка максимума функции, y max (0) = e −2 ≈ 0,1 .

На интервале (– ∞;0) функция возрастает, на интервале (0;+∞) – убывает. 6. Промежутки выпуклости и вогнутости. Найдем вторую производную.

(

)'

y ' ' = − 4 xe − 2 x − 2 = −4e − 2 x − 2 + 8 xe − 2 x − 2 = 4(2 x − 1)e − 2( x +1) y ' ' = 0 при x = 1 / 2 .

x y'' y

(–∞;1/2) – ∩

1/2 0 2e − 3

(1/2;∞) + ∪

Кривая выпукла

Точка перегиба

Кривая вогнута

24

x = 1/2 – точка перегиба, у(1/2) = 2⋅ e −3 ≈0,07; на интервале (– ∞;1/2) кривая выпукла, на интервале (1/2; + ∞) – вогнута. 7. Строим график функции y = (2 x + 1)e −2( x +1) . у е-2 0

-1

0,5

1

х

Рис. 10. График функции y = (2 x + 1)e −2( x +1) 9. Множество значений функции Е(у)=(–∞; e −2 ]. Задача 8.2 Провести полное исследование и построить график функции y = 2 ⋅ ln

x −1 − 3. x+2

Решение. Логарифмическая функция определена на множестве положительных чисел, поэтому область определения задается неравенством

х −1 > 0 . Решим его мех+2

тодом интервалов. +

° –2

–

° 1

+ х

Рис. 11 D(у)=(– ∞; – 2)∪(1; + ∞). В области определения функция непрерывна. 1. Асимптоты: а) вертикальные асимптоты lim

x →−2−0

f ( x) = lim (2 ln x →−2 ( x < −2 )

x −1 − 3) = +∞, и x+2

lim f ( x) = lim (2 ln

x→1+ 0

х = – 2 и х = 1 – вертикальные асимптоты.

x →1 ( x >1)

x −1 − 3) = −∞, x+2

25

б) горизонтальные и наклонные асимптоты

x −1 x 2 ln − 3 −3 f ( x) 2 ln 1 − 3 x+2 x k = lim = lim = lim = lim = 0. x →±∞ x x →±∞ x →±∞ x→±∞ x x x x −1 ⎛ ⎞ − 3 ⎟ = −3. b = lim ( f ( x) − kx) = lim ⎜ 2 ln x→±∞ x→±∞⎝ x+2 ⎠ 2 ln

При х→±∞ у = – 3 – горизонтальная асимптота графика функции. 2. Функция ни четна, ни нечетна, т. к. D(у) не симметрична относительно начала координат. Функция непериодическая. 3. Точки пересечения с осями. ⎧ y =0 3 ⎪ x −1 3 x −1 2 ln = 3, = e2 , x = − 2 ≈ −2,9. С осью Ох: ⎨ 3 x −1 x x + 2 + 2 2 ln − 3 = 0 , ⎪ x+2 1− e2 ⎩ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 3 Точка пересечения с осью Ох ⎜ − 2 ; 0 ⎟, 3 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝1− e 2

x = 0 ∉ D(у), следовательно, график функции не пересекает ось Оу. 4. Промежутки возрастания, убывания, точки экстремума. y ' = (2 ln

x −1 x + 2 x + 2 − ( x − 1) 3 6 − 3)' = 2 ⋅ 2 , = ⋅ = x+2 x −1 ( x − 1)( x + 2) ( x − 1)( x + 2) ( x + 2) 2

у' ≠ 0 при любом х∈ D(у), у' не существует при х = 1 и х = – 2. + Ê

+

° –2

° 1

у' х

Ê

Рис. 12 Функция возрастает на промежутке (– ∞;– 2) и на промежутке (1;+∞). Экстремумов нет. 5. Промежутки выпуклости и вогнутости. '

⎛ ⎞ 6 6(( x − 1)( x + 2))' 6( x − 1 + x + 2) 6(2 x + 1) ⎟⎟ = − y ' ' = ⎜⎜ = − = − . 2 2 2 2 2 2 x x − + ( 1 )( 2 ) ( x − 1) ( x + 2) ( x − 1) ( x + 2) ( x − 1) ( x + 2) ⎝ ⎠ 1 1 у''=0 при x = − , но x = − ∉ D( у ) , y'' не существует при х = – 2 и х = 1. 2 2

+

∪

-

° –2

° 1 Рис. 13

∩

у'' х

26

На (–∞;– 2) кривая вогнута, на (1;+∞) – выпукла, точек перегиба нет. 7. График функции y = 2 ⋅ ln

x −1 − 3. x+2

у

1 –2

0 –1

1

2

х

–3

Рис. 14. График функции y = 2 ⋅ ln

x −1 −3 x+2

8. Множество значений функции Е(у)=(– ∞;– 3)∪(– 3;+ ∞). Задача 9 Провести полное исследование и построить график функции y = 3 ( x − 2) 2 − 3 ( x + 2) 2 .

Решение. 1. D(у)=(–∞;+∞), функция всюду непрерывна, точек разрыва нет. 2. Асимптоты: а) график функции не имеет вертикальных асимптот; б) наклонные и горизонтальные асимптоты 3 ( x − 2) 2 − 3 ( x + 2) 2 f ( x) k = lim = lim = 0. x →±∞ x x →±∞ x

b = lim ( f ( x) − kx) = lim (3 ( x − 2) 2 − 3 ( x + 2) 2 ) = (∞ − ∞) = x → ±∞

= lim (

x → ±∞ 3

x → ±∞ 2

( x − 2) − ( x + 2) 2 ( x − 2)

4

+3

2

( x − 2) ( x + 2)

2

+3

( x + 2)

4

)=

27

= lim

x → ±∞ 3

( x − 2 − x − 2)( x − 2 + x + 2) ( x − 2)

4

+3

2

( x − 2) ( x + 2)

2

+3

( x + 2)

4

= lim

x → ±∞

− 8x 4 3x 3

= 0,

у=0 – горизонтальная асимптота при х→±∞. 3. Функция нечетна, т. к. область определения симметрична относительно начала координат и

y(− x) = 3 (− x − 2) 2 − 3 (− x + 2) 2 = 3 ( x + 2) 2 − 3 ( x − 2) 2 = = −(3 ( x − 2) 2 − 3 ( x + 2) 2 ) = − y( x) Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат. Функция непериодическая. 4. Точки пересечения с осями координат ⎧ y = 0, ⎪ 3 ( x − 2) 2 = 3 ( x + 2) 2 , ( x − 2) 2 = ( x + 2) 2 , ⎨3 ⎪ ( x − 2) 2 − 3 ( x + 2) 2 = 0, ⎩ 2 х –4х + 4= х2 + 4х + 4, 8х = 0, х = 0. (0;0) – точка пересечения графика с координатными осями. 5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума. y' =

2 3⋅3 x − 2

−

2 3⋅3 x + 2

=

2 (3 x + 2 − 3 x − 2 ) . 3 2 3 x −4

у'≠0 при всех х, т. к. х + 2 ≠ х – 2, y' не существует при х = 2, х = – 2. +

–

Ê

° –2 т. max Ì

° 2 т. min

+

у'

Ê

х у

Рис. 15 х= – 2 точка максимума, уmax( –2)= 3 4 2 ≈ 2,56. х=2 – точка минимума, уmin(2)= − 3 4 2 ≈ −2,56 . На интервале (–∞;–2) и на интервале (2;+∞) функция возрастает, на (–2;2) – убывает. 6. Промежутки выпуклости и вогнутости. 4 4 2 1 2 1 2 (3 ( x − 2) − 3 ( x + 2) ) y' ' = − + = . 3 (x2 − 4)4 9 3 ( x − 2) 4 9 3 ⋅ 3 ( x + 2) 4 9

y''=0 при (х – 2)4 = (х + 2)4, т. е. х = 0,

y'' не существует при х = 2 и х = –2.

28

+

+

–

° –2 ∪

–

° 0 ∪

у''

° 2 ∩

х у

∩ Рис. 16

х = 0 – точка перегиба, y (0) = 3 4 − 3 4 = 0. На (– ∞;– 2) и на (– 2;0) кривая вогнута, на (0;2) и на (2;+∞) – выпукла. 7. Строим график функции. у

3

16

1 –2

0 –1

2

х

– 3 16

Рис. 17. График функции y = 3 ( x − 2) 2 − 3 ( x + 2) 2

[

]

8. Множество значений функции E ( у ) = − 3 16 ; 3 16 .

1.

Задача 10 Провести полное исследование и построить график функции y = cos x − ln cos x . Решение. Так как логарифмическая функция определена на множестве положительных чисел, то область определения данной функции определяется π π неравенством cos x > 0, т. е. − + 2πn < x < + 2πn n∈ . 2

2

+∞ π ⎛ π ⎞ D( y ) = U ⎜ − + 2π n; + 2π n ⎟ . 2 n = −∞⎝ 2 ⎠

Во всех точках области определения y(х) непрерывна как элементарная

29

функция. Асимптоты:

2. а)

f ( x) = +∞,

lim π

f ( x) = +∞,

lim π

x →− + 2πn 2

x → + 2πn 2

следовательно, прямые x = −

π 2

+ 2π n , x =

π 2

+ 2π n , n∈

являются верти-

кальными асимптотами; б) наклонных и горизонтальных асимптот график функции не имеет, так как не существует предел k = lim

x →±∞

f ( x) cos x − ln cos x = lim . x →±∞ x x

3. Функция четна, т. к. область определения симметрична относительно на чала координат и у(–x) = cos(–x) – lncos(–x) = cosx – lncosx = у(x). Следова тельно, график симметричен относительно оси Оу. Функция периодическая с периодом 2π, т.к. для любого х∈D(y) (х+2πк)∈D(y) (к∈ ) и у(x+2πk)=cos(x+2πk)–lncos(x+2πk)=cosx–lncosx=у(х). 4. Найдем точки пересечения графика с координатными осями. С осью Оу: х=0; у(0) = cos0 – lncos0=1. С осью Oх: y=0; cos x – lncos x = 0; cos x = lncos x – уравнение не имеет действительных корней, т. к. на области определения функции (при π ⎛ π ⎞ x ∈ ⎜ − + 2πk ; + 2πk ⎟ cos x > 0, а lncosx <0). ⎝

2

2

⎠

Найдем экстремумы и интервалы монотонности функции.

5.

y ' = − sin x +

sin x 1 sin x(1 − cos x) = sin x( − 1) = . cos x cos x cos x

или π

y'=0 при sinx=0; x=πn, n∈

y' не существует при cosx = 0; x =

2

1– cosx = 0; + π n, n∈

cosx = 1; x = 2πn, n∈ .

– эти точки являются точками

разрыва функции – °

5π − 2

+ °

–2π

функция не определена °

3π − 2

°

–π −

π 2

Ì min Ê – + •

функция не определена °

0

π 2

°

π

3π 2

–

+ °

°

2π

5π 2

х

Рис. 18 х =0 – точка минимума, ymin(0)=1. С учетом периодичности функции π ⎛ ⎞ x = 2πn точки минимума, у(2πn)=1. На каждом из промежутков ⎜ 2πn; + 2πn ⎟ ⎝

⎛ π ⎞ + 2πn;2πn ⎟ – убывает. ⎝ 2 ⎠

– функция возрастает, на интервале ⎜ −

2

⎠

30

6.

Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости.

y ' ' = (− sin x + tgx )' = − cos x +

1

=

cos 2 x

1 − cos 3 x cos 2 x

.

y''=0 при 1– cos3 = 0, cos x = 1, x=2πn, n∈ ; y'' не существует при x =

π 2

+ π n,

это точки разрыва функции.

n∈

Функция y не определена °

+

+

°

°

+

°

5π 3π ∪ –2π ∪ − − 2 2

–π −

Функция y не определена

π

+

•

∪ 0

2

°

∪

π 2

+

°

π

3π 2

°

+

y'' °

5π ∪ 2π ∪ 2

х

Рис. 19 Точек перегиба график функции не имеет, на каждом из промежутков π ⎛ π ⎞ ⎜ − + 2π n; + 2π n ⎟ кривая вогнута. ⎝

7.

2

2

⎠

Построим график функции. у

1 −

5π 2

–2π −

3π 2

–π

−

π 2

0

π 2

π

3π 2

2π

Рис. 20. График функции y=cos x– lncos x 8.

Множество значений функции: Е(у)=[1;+∞).

5π 2

х

31

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие……………………………………………………... 3 Теоретические вопросы…………………………………………. 4 Указание к задачам 1, 2………………………………………… 5 Указание к задаче

3....…………………………………………

9

Указание к задаче

4...…………………………………………. 10

Указание к задаче

5….…..…………………………………...... 12

Указание к задаче

6….….…….………………………………. 15

Указание к задачам 7–10 ...…………………………………….. 19 Библиографический список .…………………………………… 31

32

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты / Л. А. Кузнецов. – М. : Высшая школа, 1983. – 176 с. 2. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / под ред. А. В. Ефимова, Б. Б. Демидовича. – М. : Наука, 1993. – Ч. 1. – 478 с. 3. Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. – М. : Наука, 1977. – 416 с. 4. Гусак, А. А. Пособие к решению задач по высшей математике / А. А. Гусак. – Минск : Изд-во БГУ, 1973. – 528 с. 5. Запорожец, Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу / Г. И. Запорожец. – М. : Высшая школа, 1964. – 478 с. 6. Каплан, И. А. Практические занятия по высшей математике / И. А. Каплан. – Харьков : Изд-во ХГУ, 1963. – 370 с.