Методические указания к курсу ''Ядерная физика''

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАЛЬЦЕВ Ю.Ф., ЗЕМЛЯНОВА Н.А., МАЛЬЦЕВА Т.Ю. Методические указания к курсу «Ядерная Физика» для студентов дневного и вечернего отделений физического факультета РГУ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ Ч.1 (с примерами решения задач)

Ростов-на-Дону 2002г.

Печатается по решению кафедры общей физики физического факультета РГУ (протокол № 16 от 07.06.2001г.)

Авторы: Мальцев Ю.Ф., доцент КОФ; Землянова Н.А., студ. 2 курса физ. фак. Мальцева Т.Ю., студ. 5 курса физ. фак.

2

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Определения ………………………………………..3 2. Систематика элементарных частиц………………..6 3. Античастицы………………………………………...9 4. Четность……………………………………………13 5. Изотопический спин………………………………16 6. Кварковая модель адронов………………………..18 7. Примеры решения задач…………………………..20

Список используемой литературы 1. Д.В. Сивухин. Общий курс физики, т. V-ll, М.,Наука, 1986 г. 2. И.Е. Иродов. Квантовая физика. Основные Законы, М.-С-П., физ.мат.лит, 2002г. 3. И.В. Савельев. Курс общей физики. Книга 5.М, АСТ, 2001г. 4. А.В. Астахов, Широков Ю.М. .Квантовая физика. М., Наука, 1983г. 5. И.Е. Иродов. Задачи по Общей физике, М, Владис, 1997г. 6. И.Е. Иродов. Задачи по квантовой физике, М., Высшая школа, 1991г.

3

Элементарные частицы Определения. Вообще говоря, элементарными (по смыслу) следует называть микрочастицы, относительно которых нет доказательств, что они являются составными. Это электроны, протоны, нейтроны и многие другие частицы. Впрочем, ситуация с определением элементарности усложнилась после того, как выяснилось, что многие из этих частиц имеют внутреннюю структуру. Несмотря на последнее обстоятельство, за этими частицами сохранили название элементарных. И это в какой-то степени оправдано: во всех наблюдавшихся до сих пор явлениях каждая такая частица ведет себя как единое целое. Они могут рождаться и превращаться друг в друга, но не расщепляться на какие-то составляющие. Поэтому теперь в ядерной физике под термином «элементарные частицы» понимается общее название для всех субатомных частиц, отличных от атомов и атомных ядер. Итак, частицы, которые мы называем элементарными, ведут себя как единое целое и обладают способностью к рождению и взаимопревращению. Например, распад нейтрона: n → р + е - + ν, (1) где нейтрон превращается в протон, электрон и нейтрино*. Продукты распада нейтрона возникают только в самом этом процессе. До распада их не было совсем, и они не входили в состав нейтрона. Для элементарных частиц весьма характерна их

4

многочисленность. В настоящее время открыто несколько сотен частиц, подавляющее большинство которых нестабильно. Источниками заряженных частиц высоких энергий являются в основном ускорители. Вместе с детекторами они позволяют исследовать процессы, в которых образуются и взаимодействуют различные элементарные частицы. Вот почему физику элементарных частиц часто называют также физикой высоких энергий. В связи с этим мы будем часто использовать соотношения релятивистской динамики. Эти соотношения приведены в Приложении. Фундаментальные взаимодействия. В природе существует четыре типа фундаментальных взаимодействий: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. Эти взаимодействия отличаются интенсивностью процессов, вызываемых среди элементарных частиц. Об интенсивности взаимодействий можно судить по скорости (или степени вероятности) процессов, вызываемых ими. Обычно для сравнения берут скорости процессов при энергиях сталкивающихся частиц около 1 ГэВ (такая энергия характерна для физики элементарных частиц). Сравнительные характеристики этих четырех типов взаимодействия приведены в табл.1, где указаны интенсивности взаимодействий по сравнению с сильным, принятым за единицу, а также длительность процессов и радиус действия соответствующих сил.

5

Таблица 1 Взаимодействие Интенсивность Сильное 1 Электромагнит- 10-2 ное Слабое 10-14 Гравитационное 10-31

Длительность процессов, с 10-23 10-20

Радиус действия, см 10-13 ∞

10-9

10-16

-

∞

Остановимся более подробно на характеристике этих взаимодействий. 1. Сильные взаимодействия удерживают нуклоны в атомных ядрах, они же присущи большинству адронов (протон, нейтрон, гипероны, мезоны и др.). Эти взаимодействия короткодействующие: на расстояниях свыше 10-13 см они прекращаются, вследствие чего сильные взаимодействия не способны создавать структуры макроскопических размеров. 2. Электромагнитные взаимодействия осуществляются через электромагнитное поле. Они значительно слабее сильных взаимодействий, однако из-за дальнодействия электромагнитные силы во многих случаях оказываются главными. Именно эти силы вызывают разлет осколков, которые образуются при делении атомных ядер. Эти силы ответственны за все электрические и магнитные явления, наблюдаемые нами в различных формах их проявления: оптических, механических, тепловых, химических и т. д. 3. Слабые взаимодействия весьма малы по сравнению с сильными и электромагнитными. Слабые взаимодействия являются универсальными: они присутствуют во всех

6

взаимодействиях. 4. Гравитационные взаимодействия самые слабые. Они универсальны. Но для элементарных частиц эти взаимодействия никакого значения не имеют, поэтому современная физика элементарных частиц — это физика без гравитации. В связи с этим в дальнейшем под фундаментальными мы будем понимать только сильные, электромагнитные и слабые взаимодействия. Практически все элементарные частицы являются нестабильными (за исключением фотона, электрона и трех нейтрино). Время жизни таких частиц варьируется в пределах от 10-18 до 10-11 с (у так называемых резонансов еще меньше). Но в некоторых случаях оно оказывается весьма продолжительным: например, среднее время жизни свободного нейтрона составляет 11,7 мин. 2. Систематика элементарных частиц Бозоны и фермионы. Все частицы (включая и неэлементарные и так называемые квазичастицы) подразделяют на бозоны и фермионы. Бозоны — это частицы с нулевым или целочисленным спином (фотон, мезоны и др.). Фермионы же — это частицы с полуцелым спином (электрон, мюон, таон, нейтрино, протон, нейтрон и др.). Время жизни τ. Практически все элементарные частицы, как уже говорилось, являются нестабильными, распадаясь на другие частицы. По времени жизни различают стабильные, квазистабильные и так называемые резонансы. Резонансами называют частицы, распадающиеся за счет сильного взаимодействия с

7

временем жизни ~ 10-23 с. Нестабильные частицы с временем жизни, превышающим l0-20 с, распадаются за счет электромагнитного или слабого взаимодействия. По сравнению с характерным ядерным временем (10-23 с) время 10-20 следует считать большим. По этой причине их и называют квазистабильными. Стабильными же частицами (τ → ∞) являются только фотон, электрон, протон и нейтрино. Переносчики взаимодействия. Это особая группа элементарных частиц, в которую входят фотоны (переносчики электромагнитного взаимодействия), родственные им W- и Z-бозоны (переносчики слабого взаимодействия), так называемые глюоны (переносчики сильного взаимодействия) и гипотетические гравитоны. Все остальные частицы подразделяют по характеру взаимодействий, в которых они участвуют, на лептоны и адроны. Лептоны. Это частицы, не участвующие в сильных взаимодействиях и имеющие спин 1/2. К ним относятся электроны, мюоны, таоны и соответствующие им нейтрино. Лептоны принимают участие в слабых взаимодействиях. За исключением нейтрино, лептоны участвуют и в электромагнитных взаимодействиях, Все лептоны можно отнести к истинно элементарным частицам, поскольку у них, в отличие от адронов, не обнаружена внутренняя структура. Адроны. Так называют элементарные частицы, участвующие в сильных взаимодействиях. Как правило,

8

они участвуют и в электромагнитном, и в слабом взаимодействиях. Эти частицы образуют самую многочисленную группу частиц (свыше 400). Адроны подразделяют на мезоны и барионы. Мезоны — это адроны с нулевым или целочисленным спином (т. е. бозоны). К ним относятся π-, К- и η-мезоны, а также множество мезонных резонансов, т. е. мезонов с временем жизни 10-23 с. Барионы — это адроны с полуцелым спином (т. е. фермионы) и массами, не меньшими массы протона. К ним относятся нуклоны (протоны и нейтроны), гипероны и множество барионных резонансов. За исключением протона, все барионы нестабильны. Нестабильные барионы с массами, большими массы протона, и большим временем жизни (сравнительно с ядерным ~ 10-23 с) называют гиперонами. Это гипероны Λ, Σ, Ξ и Ω. Все гипероны имеют спин 1/2, за исключением Ω, спин которого 3/2. За время τ ~ 10-10 ÷ 10-19 с они распадаются на нуклоны и легкие частицы (π-мезоны, электроны, нейтрино, γ-кванты). Сведем для наглядности основную систематику элементарных частиц в табл. 2. Таблица 2 Фотоны Лептоны

Адроны Мезоны

γ

е, µ, τ, v

π, К, η и резонансы

Барионы Нуклон Гипероны p, п Λ, Σ, Ξ, Ω и резонансы

9

3. Античастицы Частицы и античастицы. Существование античастиц является универсальным свойством элементарных частиц. Каждой частице соответствует своя античастица: например, электрону е — позитрон е+, протону р+ — ~ антипротон р , нейтрону n — антинейтрон n и т. д. Позитрон и антипротон отличаются от электрона и протона прежде всего знаком электрического заряда. Антинейтрон отличается от нейтрона знаком магнитного момента. В общем случае античастица отличается от частицы только знаками так называемых зарядов (электрического, барионного, лептонного, странности), с которыми связаны определенные законы сохранения. Такие же характеристики как масса, спин, время жизни у них одинаковы. В некоторых случаях античастица совпадает со своей частицей, т. е. все свойства частицы и античастицы одинаковы. Такие частицы называют истинно нейтральными. К ним. относятся, например, фотон γ, π°мезон и η°-мезон. Понятия частицы и античастицы относительны. Электрон считают частицей, а позитрон — античастицей только потому, что во Вселенной преобладают именно электроны, а позитроны более экзотические частицы. Аннигиляция и рождение пар. При встрече электрона с позитроном происходит их аннигиляция, т. е.

10

превращение их в γ-кванты, например так: | е- + e+ → γ + γ. Заметим, что один γ-квант при этом излучиться не может: в этом случае нарушался бы закон сохранения импульса. Это легко понять, если рассмотреть процесс в Ц-системе, где суммарный импульс электрона и позитрона равен нулю. Существует процесс, обратный аннигиляции, — рождение пар: γ-квант может породить пару е-e+. Для этого необходимо, чтобы энергия γ-кванта была не меньше собственной энергии пары 2meс2. Этот процесс может происходить только в поле атомного ядра, иначе нарушался бы закон сохранения импульса. В самом деле, в Ц-системе суммарный импульс образовавшейся пары был бы равен нулю, тогда как импульс породившего ее γ-кванта отличен от нуля. При наличии атомного ядра импульс γ-кванта будет восприниматься ядром без нарушения закона сохранения импульса. Пример. Определим наименьшую энергию γ-кванта, εмин, при которой возможно рождение пары электрон-позитрон на покоившемся протоне: γ + р → р + е- + е+. Воспользуемся инвариантностью выражения Е2 - р2 = т2, записав левую часть равенства в Л-системе, а правую — в Цсистеме; (εмин + mp)2 - ε2 = (mp +2me)2, где учтено, что рмин = εмин, и тот факт, что все три частицы в Ц -системе должны покоиться при

ε = εмин. После раскрытия скобок соответствующих слагаемых получим:

и

сокращения

εМИН = 2me(l + тe /тр) ≈ 2me = 1,02 МэВ.

Аннигилируют не только электрон с позитроном, но и любая другая частица со своей античастицей. Однако при

11

аннигиляции тяжелых частиц и античастиц возникают преимущественно π-мезоны (доля γ-квантов весьма мала). Это обусловлено проявлением различных типов взаимодействий: аннигиляция электрона с позитроном вызывается электромагнитным взаимодействием, тогда как аннигиляция более тяжелых частиц — адронов — сильным взаимодействием. Роль законов сохранения. Законы сохранения играют особо важную роль в физике элементарных частиц. Это обусловлено следующими двумя обстоятельствами. 1. Они не только ограничивают последствия различных взаимодействий, но определяют также все возможности этих последствий, и поэтому отличаются высокой степенью предсказательности. 2. В этой области открытие законов сохранения опережает создание последовательной теории. Многие законы сохранения для элементарных частиц уже установлены из опыта, а соответствующие фундаментальные законы их поведения еще неизвестны. Поэтому законы сохранения играют здесь главенствующую роль и позволяют анализировать процессы, механизм которых еще не раскрыт. Для элементарных частиц выполняется гораздо больше законов сохранения, чем для макроскопических процессов. Все эти законы подразделяются на точные и приближенные. Точные законы сохранения выполняются во всех фундаментальных взаимодействиях, а приближенные — только в некоторых. Точными являются законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Точными являются и законы сохранения всех зарядов (речь о них ниже). Происхождение этих законов пока не установлено. Ясно только одно: каждый из этих зарядов характеризует некое внутреннее свойство частицы. Необходимость введения зарядов (кроме электрического) было

12

продиктовано многочисленными экспериментальными фактами,объяснить которые оказалось возможным только при допущении, что существуют заряды неэлектрической природы, которые также сохраняются. Установлено пять зарядов: электрический Q, барионный В, и три лептонных, Le , Lµ и Lτ. У всех элементарных частиц эти заряды имеют только целочисленные значения (заряд Q — это число единиц элементарного заряда), Странность S. Было обнаружено, что гипероны рождаются при столкновениях адронов высоких энергий. Значит их рождение связано с сильным взаимодействием, и время жизни гиперонов должно быть порядка 10-23 с (время, характерное для процессов, обусловленных сильным взаимодействием). На опыте же было найдено, что их время жизни в 1013 раз больше. Такое поведение гиперонов представлялось странным. Оказалось также, что гипероны в этих процессах рождаются не поодиночке, а только парами. Например, при столкновении протонов: р + р → р + Λ° + К+ (5) причем Λ°-гиперон появляется только совместно с К+-мезоном или с Σ+-гипероном, но никогда не появляется вместе с К--мезоном или Σ--гипероном. Гипероны и К-мезоны назвали странными частицами. После рождения эти частицы медленно и независимо друг от друга распадаются за счет слабого взаимодействия. Для количественного описания парного рождения и медленного распада странных частиц было введено квантовое число S — странность. Поведение странных частиц можно объяснить, если считать, что частицы Λ°, Σ и К - имеют странность S = -1, частицы Ξ — S = -2 и Ω--гиперон — S = -3. У соответствующих античастиц странность одинакова по модулю, но про-

13

тивоположна по знаку. При этом странность в сильных и электромагнитных взаимодействиях сохраняется, а в слабых может меняться на ±1. Представим сведения о барионных странности S адронов в табл. 3. Таблица 3. Заря- Мезо- Барионы ды ны нуклоны гипероны п Λ Σ π К+ η Р В 0 0 0 +1 +1 +1 +1 S 0 +1 0 0 0 -1 -1

зарядах

Ξ +1 -2

В

и

Ω +1 -3

В реакции (5) протоны, будучи обычными частицами, странностью не обладают, их S = 0. Таким образом, 0 + 0 → 0 -1 +1, т. е. странность при рождении пары странных частиц сохраняется. Шарм (очарование) С и красота (прелесть) b. Эти квантовые числа являются аналогами квантового числа странности S. Они сохраняются только в сильных и электромагнитных взаимодействиях. Поскольку квантовые числа С и b присущи немногим, причем экзотическим, частицам (D- и F-мезоны, Λc-, Λb-барионы), мы этим и ограничимся. 4. Четность Понятие четности возникает в связи с операцией инверсии. Мы знаем, что состояние микрочастицы описывается в квантовой теории ψ-функцией. Выясним, как может вести себя эта функция при так называемой

14

пространственной инверсии, т. е. при переходе к координатам х', у′, z', связанными с х, у, z как х' = -х, у'= - у, z = - z, или r′ = -r Такие преобразования, как видно из рис. 1, представляют собой переход от правовинтовой системы координат к левовинтовой, и наоборот. Другими словами, пространственная инверсия состоит из зеркального отражения относительно плоскости, проходящей через начало координат О (на рисунке — это ХY-плоскость), и последующего поворота на 180° вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости (на рисунке — это ось Z). В результате правый «винт» (n) превращается в левый (n′). Особенность пространственной инверсии обусловлена зеркальным отражением. В связи с этим ее часто называют зеркальным отражением. Можно показать, что при пространственной инверсии в любой момент времени Ψ-функция или не изменяется совсем, или у нее изменяется только знак. В первом случае состояние, описываемое функцией Ψ(r,t), называют четным, во втором — нечетным. Поведение Ψ-функции при инверсии зависит от внутренних свойств частиц, описываемых этой функцией. Говорят, что частица обладает соответственно положительной или отрицательной внутренней четностью (Р = +1 или Р = -1). Внутренняя четность характеризует именно внутреннее свойство частицы наряду с такими величинами как масса, электрический заряд и спин. Четными являются, например, электроны, протоны и нейтроны. К нечетным относятся, например, π-мезоны. Отметим, что четность, как величина сугубо квантового происхождения, не имеет классического аналога.

15

Четность является важной физической величиной благодаря симметрии трех фундаментальных взаимодействий (сильного, электромагнитного и гравитационного) по отношению к зеркальным Отражениям. Все фундаментальные взаимодействия (за исключением слабого) происходят одинаково как в физических системах, так и в системах, являющихся их зеркальными копиями. Это называют также инвариантностью фундаментальных взаимодействий (за исключением слабого) относительно пространственной инверсии. Данную симметрию выражает закон сохранения четности: Четность квантового состояния не зависит от времени при условии, что влияние слабых взаимодействий пренебрежимо мало. Существенно отметить, что как зеркальная симметрия, так и выражающий ее закон сохранения четности справедливы с точностью до эффектов, обусловленных слабыми взаимодействиями. Но из-за «слабости» последних ими можно пренебречь для подавляющего большинства микрочастиц, и в этих случаях четность является достаточно добротным квантовым числом. Однако в процессах, где основным эффектом являются слабые взаимодействия (например, β-распад ядер, или процесс К° → π+ + π-), наблюдается несохранение четности, т. е. физическое неравноправие левого и правого по отношению к этим взаимодействиям. Теоретически это предсказали Ц. Ли и Ч. Янг (1956). Они также предложили идею опыта, который был осуществлен By Цзянь-сун и ее сотрудниками. Суть идеи в

16

следующем: если правое и левое в природе неразличимы, то при β-распаде вылет электронов в направлении спина ядра и в противоположном направлении должен быть равновероятен. Действительно, при зеркальном отражении ядра направление его «вращения», т. е. направление спина, изменится на противоположное (рис. 2, где направление спина показано двойной стрелкой). Если ядро испускает электроны с равной вероятностью в обоих направлениях (рис.2, а), то зеркальное отражение ядро (спин) — электроны будет неотличимо от самой системы (они лишь повернуты относительно друг друга на 180° вокруг оси, перпендикулярной зеркалу З). Если же электроны испускаются преимущественно в одном направлении (рис.2, б), то «левое» и «правое» становятся различимыми, В опыте By спины ядер β-активного кобальта 60Co ориентировались с помощью магнитного поля в одном направлении. Оказалось, что электроны испускаются преимущественно в направлении, противоположном направлению ядерных спинов. Так была доказана экспериментально неравноправность правого и левого при слабых взаимодействиях (которыми обусловлен β-распад). 5. Изотопический спин Оказывается, что сильно взаимодействующие частицы (адроны), весьма близкие по своим физическим свойствам, можно разбить на группы, называемые изотопическими мультиплетами (дублеты, триплеты и т. д.). В каждом мультиплете частицы одинаковым образом участвуют в сильных взаимодействиях, имеют примерно равные массы и одинаковые барионный заряд, спин, внутреннюю

17

четность, странность, отличаясь друг от друга электрическим зарядом. В отсутствии электромагнитных и слабых взаимодействий все свойства таких частиц были бы одинаковыми. Эту по существу независимость от электрических зарядов называют изотопической (или зарядовой) независимостью сильных взаимодействий. Так, протон и нейтрон объединяют в изотопический дублет. Эти две частицы рассматриваются как различные квантовые состояния одной и той же частицы — нуклона. Изотопические триплеты — это, например, (π-, π°, π+) и (Σ , Σ°, Σ+). Существуют и одиночные частицы, не входящие в мультиплеты, их называют синглетами (η-мезон, Λ- и Ωгипероны). По аналогии с обычным спином каждому зарядовому мультиплету приписывают определенное значение изотопического спина (короче изоспина) Т. Значение Т выбирают так, чтобы 2Т + 1 было равно числу частиц в мультиплете. Отдельным частицам мультиплета приписывают различные значения Tz— проекции изоспина на ось Z в воображаемом изотопическом пространстве. Причем частице с большим электрическим зарядом — большее значение Tz. Например, для нуклонов Т = 1/2, у протона Тz =+1/2, у нейтрона Тz = -1/2; для π-мезонов* Т=1, тогда для π+, π0, соответственно Tz, равно +1, 0, -1. С изоспином связан закон сохранения. При сильных взаимодействиях сохраняется как изоспин Т, так и его проекция. При электромагнитных — только Tz, сам же изоспин Т не сохраняется. Слабые взаимодействия

18

протекают как правило с изменением изоспина Т. Понятие изоспина оказалось весьма плодотворным. На основании изотопической инвариантности удается предсказать существование, массу и заряд новых частиц. Именно так были предсказаны существование и свойства частиц π°, Σ°, Ξ° по известным π±, Σ± и Ξ-. В заключение заметим, что понятие изоспина плодотворно используется не только по отношению к элементарным частицам, но и к атомным ядрам. 6. Кварковая модель адронов Кварки. Большое разнообразие адронов заставило усомниться в их «элементарности» и побудило к поиску более фундаментальных, первичных частиц, из которых они могли бы быть построены. В настоящее время внутренняя структура не обнаружена только у фотона и лептонов. А составной характер адронов уже доказан (теоретически и подтвержден экспериментально). Первоначально гипотеза о том, что все адроны построены из частиц, названных кварками, была выдвинута Гелл-Манном и Цвейгом в 1964 г. На основе кварковой гипотезы была не только понята структура уже известных адронов, но и предсказано существование новых. Ниже кварковая модель адронов будет представлена в своем современном виде. К настоящему времени установлено существование пяти типов (или ароматов) кварков: и, a, s, с, b. Все кварки имеют спин 1/2 и барионный заряд В = 1/3. Остальные свойства этих частиц (т. е. соответствующих квантовых чисел) приведены в табл.4.

19

Таблица 4. Кварк

u d s с b

Электрический заряд Q 2/3 -1/3 -1/3 2/3 -1/3

Странность Шарм (очарова S ние) С 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0

Красота b 0 0 0 0 1

Таким образом, кварки разительно отличаются от всех известных до сих пор частиц дробностью своих зарядов Q и В. Кварк s является носителем странности, с — шарма (очарования), b — красоты. Соответствующие антикварки отличаются от кварков знаками зарядов Q, В, S, С и b. глюоны также не вылетают из адронов, и поэтому их также невозможно зарегистрировать. Кварк, получивший энергию в результате столкновения с электроном, не вылетает наружу из адрона, а затрачивает ее на образование кварк-антикварковых пар, т. е. на образование новых адронов, в основном мезонов. Не исключена и другая причина ненаблюдаемости кварков в свободном состоянии — возможно их очень большие массы. Это значит, что их энергия связи в адронах весьма велика и оказывается недоступной для современных ускорителей. Все это следует рассматривать пока только как предположения, и не более. Проблема ждет своего

20

разрешения. В любом случае в настоящее время считают, что истинно элементарными или фундаментальными частицами являются фотон, лептоны и кварки. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. В лабораторной системе отсчета вдоль общей прямой и в одном направлении движутся три частицы. Скорость первой частицы относительно второй равна 0,3 с, скорость второй частицы относительно третьей составляет 0,4 с, третья частица движется в лаборатории со скоростью 0,5 с. Определите скорость первой частицы относительно лабораторной системы отсчета. Решение. По релятивистскому закону преобразования скоростей

определяем

скорость

второй

частицы

относительно лаборатории:

v = v +v 23

2

3

1+ v v / c 23

3

2

=

(0,4 + 0,5)с 1 + 0,4 ⋅ 0,5

= 0,75с.

Скорость первой частицы в лабораторной системе отсчета равна: (0,3 + 0,75)c v +v v= = = 0,86c. 1+ v v / c 1 + 0,3 ⋅ 0,75 12

2

2

12

2

Нетрудно установить прямым вычислением, что при

21

любых значениях v'<с и V <с получается v<с. 3 а д а ч а 2. Оцените относительную погрешность результата при замене релятивистского закона преобразования скорости классическим в случаях: а) v' = V = 0,1 с; б) v' = V = 0,9 с. Решение. Относительная погрешность v −v v δ= = v v кл

peл

рел

кл

рел

Подставив значения vкл = v' + V и vрел = (v' + V)/(1+v'V/c2), получим:

δ = v'V/c2. Расчет по этой формуле дает: а) δ = 0,01 =1%; б) δ = 0,81 =81% Задача 3. Выразите ускорение релятивистской r частицы через ее массу т, скорость v и действующую r r r rr на нее силу F в случаях: a) F ⊥ v ; б) F v .

r r r r Решение. а) Так как F ⊥ v , то F ⋅ v = 0 . Т.к. Е= const, то и γ == const. Поэтому: r r r r dp d dv F ⊥ = = (γ mv ) = γ m dt dt dt Таким образом:

22

r r r F r dv F a⊥ = = = ⊥ 1− v 2 / c 2 . dt γ m m

б) Дифференцируя по времени соотношение получим: r r r dp v dE E dv . (1) = + dt c 2 dt c 2 dt Выражаем каждое из слагаемых: r vrF F v 2 r r r r 2 r v dE dp E dv γ mc =F ; 2⋅ = = γ m a ; 2 = 2 = 2 . (2) 2 dt c dt c c c c dt

Подставив соотношения (2) в выражение (1), находим: r r F (1− v 2 / c 2 ) = γ ma . Так как γ = (1− v 2 / c 2 ) − 1 / 2 , то r r F a = (1− v 2 / c 2 )3 / 2 . m Задача 4. Вычислите работу силы 0,1 пН, действующей в ускорителе на протон в течение 1 мин, если начальная скорость протона равна нулю. Решение. Так как Ео=тс2, E = m 2c 4 + p 2c 2 и p=Ft, то: ⎛

A = E - E0 = mc 2 ⎜⎜ 1+ ⎛⎜⎝ Ft / (mc) ⎜ ⎝

⎞⎟ ⎠

2

⎞

−1⎟⎟ . ⎟ ⎠

По условию задачи Ft =10-13 H⋅60 c = 6⋅10-12 Н.с. Это много больше величины тc = 1,672⋅10-27 кг⋅3⋅108 м/с =

23

= 5 ⋅10-19 Н⋅с. Тогда 1+(Ft/(mc))2≈ (Ft/(mc))2. Поэтому с большой степенью точности выполняется соотношение:

A=Ftc=6⋅10-12⋅3⋅108 Дж=1,8⋅10-3 Дж. Задача 5. Ускоритель частиц проектировался на определенный расход энергии для ускорения одной частицы до скорости v = 0,995 с. Какова была бы ошибка в проекте, если бы расчет ускорителя производился на основе законов классической механики? Какую скорость фактически имела бы частица на выходе ускорителя в таком случае? Решение. По условию задачи (β =v/с=0,995; β2=v2/c2= 1 1 =0,990; γ = = = 10 . Так как Ep= (γ 2 2 2 1− v / c 1− β

1)/mc2, a Eкл=mv2/2, то их отношение Eкл mv 2 β2 = = = 0,055 , или около 6%. 2 Eр 2(γ −1)mc 2(γ −1) Относительная ошибка в расчете энергии, требуемой для ускорения частицы, составит E −E E δ = рел кл = 1− кл ;δ ≈ 94 % E рел E рел Поскольку Eкл=0,055Ep, то фактическую скорость частицы при выходе из ускорителя можно определить из

24

соотношения (γ1-1)тс2=0,055(γ-1)mc2 откуда γ1 = 0,055γ+ +0,945 = 1,495. Поскольку γ 1 =

1 1− v12 / c

2

, то v1 =0,743 с.

Задача 6. Покоящаяся относительно лаборатории частица массой М самопроизвольно распадается на две частицы с массами m1 и m2. Определите их энергии и сформулируйте условие самопроизвольного распада частицы. Решение. Согласно законам сохранения энергии и

импульса (1) Мс2=E1+E2 r r 0 = p1 + p2 , (2) r r где E1, p1 , Е2, p2 — соответственно энергии и

импульсы образовавшихся частиц. Запишем

для

каждой

частицы

соотношение,

связывающее ее энергию, импульс и массу: ⎧ E12 − p12c 2 = m12c 4 , ⎨ ⎩ E22 − p22c 2 = m22c 4. Так как из соотношения (2) следует р1=р2, то из выражения (3) получим:

25

E12 − E22 = (m12 − m22 )c 4.

(4)

Решая совместно систему соотношений (1) и (4), получим: E1 =

(M 2 + m12 − m22 )c 2 2M

, E2 =

(M 2 + m22 − m12 )c 2 2M

.

Поскольку p1=p2≠0, то m1c2<E1 и m2с2<E2. Из соотношения (1) находим: Это

m1 + т2<М. неравенство — необходимое

условие

самопроизвольного распада частицы. Оно означает, что распад данной частицы с образованием двух новых частиц возможен лишь тогда, когда сумма масс последних меньше массы исходной частицы. Применяя это условие, можно сразу доказать, что некоторые

самопроизвольные

распады

невозможны.

Например, свободный протон не может распасться на нейтрон и электрон, так как его масса меньше суммы масс нейтрона и электрона. А нейтрон может распасться на протон, электрон и еще одну частицу. Задача 7. Какова масса совокупности двух безмассовых частиц с энергией Е* каждая, движущихся: а) с противоположными импульсами; б) однонаправленными импульсами?

26

Решение. Так как р* = Е*/с (см. 54.1), то модуль

импульса у обоих безмассовых частиц одинаков. Если их r r импульсы противоположны, то p1* + p2* = 0 и масса совокупности

безмассовых

частиц

определится

соотношением: r r 1 M 2 = ( E1* + E2* ) 2 − c 2 ( p1* + p2* ) 2 = 2 (2E * ) 2 = 2E * / c 2. c В случае, когда импульсы частиц направлены r r r одинаково, их суммарный импульс равен p1* + p2* = 2 p* и

масса совокупности безмассовых частиц составляет: r r r 1 M 2 = ( E1* + E2* ) 2 − c 2 ( p1* + p2* ) 2 = 2 4E * − 4c 2 p*2 = 0. c Результаты решения этой задачи иллюстрируют то

обстоятельство, что масса совокупности частиц (как безмассовых, так, очевидно, и массовых) существенно зависит от взаимной пространственной ориентации их импульсов. Задача 8. Две частицы массами соответственно т и 2т движутся в лабораторной системе отсчета навстречу друг Другу со скоростью v каждая, Определите избыток массы этой совокупности частиц и ее собственную кинетическую энергию. Какова масса новой частицы, образовавшейся после неупругого соударения исходных частиц? Принять v2= 0,9 с2.

27

Решение. Масса совокупности свободных частиц

определяется соотношением: M=

1 2 r2 2 E −p c 2 c

(1)

где E = ΣEi - суммарная энергия совокупности свободных частиц, а р = Σрi -- ее суммарный импульс. По условию задачи: ⎧ E = E1 + E2 = γmc 2 + 2γmc 2 = 3γmc 2 , ⎨ r r r r r r ⎩ p = p1 + p2 = 2γmv − γmv = γmv ,

(2)

γ = 1/ 1 - v 2 / c 2 = 1/ 1− 0,9 = 1/ 0,1 = 10. Подставив эти значения в соотношение (1), получим: M = γm 9 − v 2 / c 2 = m 10 ⋅ 8,1 = m 81 = 9m. Избыток массы совокупности этих частиц составляет ∆m = M - ∑ mi=6m, и ее собственная кинетическая энергия равна Ek0 = ∆m = ∆mc2 = 6 тc2. Если в результате неупругого соударения данных частиц последние прекращают свое существование и образуется новая (и единственная) частица, то ее масса окажется равной M=9 т.

28

Задача 9. Покоящийся таон распался на электрон и два нейтрино, причем электрон полетел в одну сторону, а оба нейтрино в противоположную. Найдите кинетическую энергию электрона и энергию обоих нейтрино. Решение. Из уравнения распада и из условия задачи следует, что согласно закону сохранения импульса:

pe = p + p ve v τ

(1)

По закону сохранения энергии найдем полную энергию электрона:

E = E − ( Eve + Evτ ) = E − c( pve + pvτ ) 0 0τ 0τ

(2)

Здесь мы воспользовались соображением, что нейтрино – безмассовая частица и для нее Ev = pvc . Используя соотношение (1), получим:

Ee = E0τ − cpe

(3)

Но согласно соотношению между энергией и импульсом релятивистской массовой частицы (53.4) имеем:

Ee2 = E02e + pe2c

(4)

Исключив из соотношений (3) и (4) неизвестное значение импульса, получим:

Ee2 = E02e + ( E0τ − Ee ) откуда следует:

после

E02τ + E02e Ee = 2 E0τ

2

(5) несложных

преобразований

(6)

29

Но энергия покоя и масса таона в 3492 раза больше соответствующих величин у электрона: E 0τ = 3492E 0e = 3492 ⋅ 0,511МэВ = 1782 МэВ. Это позволяет отбросить в уравнении (6) энергию покоя электрона, что даст Ee = E0τ / 2 = 892МэВ . Следовательно, суммарная энергия нейтрино Eve + Evτ = E0τ − Ee = 892 МэВ . Определить энергию каждого нейтрино в отдельности невозможно. Что касается кинетической энергии электрона, то она практически равна полной энергии, та как Ee >> E0e Задача 10. Рассчитайте частоты спектра мезоатома водорода, т.е. атома, ядром которого является протон, вокруг которого вместо электрона обращается мюон. Решение. Для расчета спектра мы можем воспользоваться теорией Бора для атома водорода. Однако поскольку масса мюона всего в девять раз меньше массы протона, то следует учесть, что в мезоатоме протон и мезон обращаются вокруг общего центра масс. Поэтому боровские радиусы должны принять значения, определяемые выражением

rµ .n

2 4πε 0 h 2 m p + mµ 2 4πε 0 h =n ⋅ =n ⋅1,11, 2 2 m p mµ e e mµ 2

а не выражением

rµ .n = n как это следовало водорода.

бы

2

4πε 0 h 2 2

e mµ из

,

аналогии

с

атомом

30

Оценим во сколько раз первый боровоский радиус для мезоатома меньше первого боровского радиуса атома водорода:

mµ 207 ae 4πε 0 h 2 4πε 0 h 2 ⋅1,11 = 2 : = = = 186,5 1,11me 1,11 aµ e me e 2 mµ Соответственно постоянная Ридберга для мезоатома

Rµ = 186,5 R = 186,5 ⋅ 3, 29 ⋅1015 Гц Для расчета частот спектра мезоатома получим:

1 ⎞ ⎛ 1 v = Rµ ⎜ 2 − 2 ⎟ n ⎠ ⎝k Головная линия серии Лаймана имеет длину волны 0,65 нм, серии Бальмера – 3,52 нм и серии Пашена – 10,9 нм, т.е. все серии окажутся в области ультрафиолетового участка спектра. Пример 11. Для исследования распределения электрического заряда в ядре используются электроны очень высоких энергий. (Электроны обладают тем преимуществом перед протонами, что участвуют только в электромагнитных взаимодействиях и не участвуют в сильном взаимодействии). Эксперименты, проведенные на Станфордском линейном ускорителе с помощью электронов с энергией 1,3 ГэВ, позволили получить для ядра висмута распределение заряда, изображенное на рис. 1. Какая разрешающая способность была достигнута в этом эксперименте, т.е. какими были размеры самых мелких различимых деталей? Решение. Энергия 1,3 ГэВ = 1300 МэВ примерно в 2500 раз больше выраженной в единицах энергии массы покоя электрона. Ясно, что в этом случае мы имеем дело с релятивистскими скоростями.

31

Рис.3. Распределение электрического заряда в ядре висмута (по данным зондирования с помощью электронов с энергией 1,3 ГэВ). Нетрудно показать, сто скорость Электрона почти равна

c = 3,0 ⋅108 м / с . [Действительно, кинетическая энергия электрона равна

mc 2 − m0c ≈ mc 2 , формуле

m0c 2

E 2 = p 2c 2 + m02c 4 ≈ p 2c 2 ,

мала

по

сравнению

p 2c 2 = m 2v 2c 2 ≈ m 2c 4 ,

с

так

pc .

v ≈ c .]

откуда

как

а

по

величина

Следовательно, Учитывая

это,

получаем

λ=

h h hc ≈ = mv mc mc 2

где mc 2 = 1,3 ГэВ . Таким образом,

6,6 ⋅10 Дж ⋅ с )( 3,0 ⋅10 м / с ) ( λ= = 0,96 ⋅10 (1,3 ⋅10 эВ )(1,6 ⋅10 Дж / эВ ) −34

9

8

−19

−15

м

или 0,96 фм (1 фм = 10-15 м = 1 фемтометр, или 1 ферми в честь Энрико Ферми). Это несколько меньше размеров ядер. Обратите внимание на то, что рис. 3 распределение заряда почти постоянно внутри ядра, однако его граница оказывается размытой. Эксперименты по рассеянию электронов с еще большими энергиями на протонах и нейтронах обнаружили у них наличие внутренней структуры,

32

которая свидетельствует о том, что состоят из еще более мелких частиц.

нуклоны

12 Замедление времени. Релятивистский π-мезон с кинетической энергией К пролетает от места рождения до распада в среднем расстояние l . Найти собственное время жизни τ 0 этих мезонов. Решение. Известно, что время жизни частицы в лабораторной системе отсчета и ее собственное связаны соотношением время τ0

τ = τ 0 / 1 − β 2 , где β = v / c и τ = l / v . Тогда τ0 =

l

βc

1− β 2 =

l 1 −1 . 2 c β

(*)

Выразим β 2 через К. Из формулы для полной энергии частицы

m

E = m+ K =

1− β

2

. 2

⎛ m ⎞ Отсюда β = 1 − ⎜ ⎟ . ⎝m+K ⎠ 2

После получим:

τ0 =

l c

подстановки

m K ( K + 2m )

этого

выражения

в

(*)

.

13. Распад частиц. Остановившийся π-мезон распался на мюон и антинейтрино. Найти кинетическую энергию мюона. Решение. учтено, что

Энергия распада Q = mπ − mµ , где масса антинейтрино равна нулю.

33

Энергия Q – это суммарная кинетическая энергия мюона и антинейтрино:

Q = K µ + Ev .

(1)

Кроме того, суммарный импульс системы равен нулю, а это значит, что

pµ = pv .

(2)

Из этих формул следует:

Q = K µ + pv = K µ + pµ = K µ + K µ ( K µ + 2mµ ) ,

(

)

откуда K µ = Q 2 / Q + mµ , или с учетом (1)

(

K µ = mπ − mµ 14.

)

2

/ 2mπ .

∑-гиперон

с

кинетической

энергией

K∑

распался на лету на нейтральную частицу и πмезон, который вылетел с энергией Kπ под прямым углом к первоначальному направлению движения ∑гиперона. Определить энергию покоя нейтральной частицы (обозначим ее индексом х). Решение. Исходим из сохранения полной энергии в этом процессе:

p∑ = px + pπ , Ex = E∑ − Eπ .

импульса

и

(1)

Так как угол между векторами pπ и p∑ прямой, то по теореме Пифагора

px 2 = px 2 + pπ 2 . Кроме того, возведя равенств (1), запишем

(2) в

квадрат

второе

из

34

E x2 = E∑2 − 2 E∑ Eπ + Eπ2 .

(3)

Теперь имея в виду, что E 2 − p 2 = m2 согласно (П.3), вычтем (2) из (3). В результате получим:

mx = m∑2 + mπ2 − 2 ( m∑ + K ∑ ) ( mπ + Kπ ) . 15. Аннигиляция частиц. Релятивистский позитрон с кинетической энергией K e налетает на покоящийся свободный электрон. В результате аннигиляции возникают два γ-кванта с одинаковыми энергиями. Определить угол θ между направлениями их разлета. Решение.

При

одинаковых энергиях γ-квантов треугольник импульсов данного процесса будет равносторонним рис. 3. По теореме косинусов

pe2 = 2 pγ2 + 2 pγ2 cosθ = 2 pγ2 (1 + cosθ ) Кроме того из равенства полных энергий до и после аннигиляции следует: Рис.3

K e + 2me = 2 Eγ = 2 pγ .

(2)

Выразим импульс pe через K e .

pe2 = K e ( K e + 2me ) .

(3)

Подставим затем в исходную формулу выражения для pγ из (2), а также (3). Тогда

K e ( K e + 2me ) = ( K e + 2me )

2 1 + cosθ

2

.

(1)

(4)

35

Учитывая, результате

cos

θ 2

=

что

1 + cosθ = 2 cos 2 (θ / 2 ) ,

получим

в

1 . 1 + 2me / K e

16. Энергетический порог реакции. Релятивистская частица массы m в результате столкновения с покоящейся частицей массы M возбуждает реакцию рождения новых частиц:

m + M → m1 + m2 + ..., где справа записаны массы возникающих частиц. Воспользовавшись инвариантностью величины

E 2 − p2 ,

получить формулу для пороговой кинетической энергии налетающей частицы. Решение. Из инвариантности указанной величины получим

(

K пор + m + M

)

2

(

)

− K пор K пор + 2m = ( m1 + m2 + ...) , 2

(*)

где левая часть равенства записана в Лсистеме, а правая в Ц-системе. Здесь учтено, что образовавшиеся при пороговом значении K пор частицы покоятся (в Ц-системе). Раскрыв скобки в левой части равенства (*) и произведя сокращения, придём к формуле

( m + M )2 + 2MK пор = (m1 + m2 + ...). Отсюда искомое выражение

36

K пор

2 2 m1 + m2 + ..) − ( m + M ) ( = .

2M

Для расчетов числитель удобнее (как разность квадратов).

преобразовать

17. Лептонные и барионные заряды. Выяснить с помощью закона сохранения этих зарядов, возможны ли следующие процессы: 1) n → p + e − + ve

4) K + → µ + + vµ + π 0

2) v%µ + p → n + µ +

5)π − + n → K − + K 0

3) µ + → e + + v%e + vµ

6) K − + p → ∑ + +π −

Решение. Невозможны следующие процессы: (1), так как не сохраняется лептонный заряд (0≠0+1+1); (3), поскольку не сохраняются ни электронный, ни мюонный лептонные заряды; (5), так как не сохраняется барионный заряд (+1≠0+0). Пример 18. возможны: а) µ − → e − + ve

Какие

схемы

мюонного

распада

б) µ − → e − + ve + vµ

в) µ − → e − + ve ? Решение. У µ − -мюона Lµ = +1, Le = 0. Это начальное состояние (до распада). Следовательно, в конечном состоянии (после распада) лептонные заряды должны иметь те же значения: Lµ = +1, Le = 0 В результате распада «а» в конечном состоянии следовательно мюонный Lµ = 0 + 0 = 0, Le = +1 − 1 = 0 ; лептонный заряд не сохраняется; такой распад

37

действительно не наблюдался. В результате распада «б» в конечном состоянии Lµ = 0 + 0 + 1 = +1, Le = +1 − 1 + 0 = 0 , т.е. оба лептонных заряда сохраняются. И это – один из наиболее

распространенных распадов µ − -мюона. Распад «в» не происходит из-за не сохранения электронного лептонного заряда Le (в конечном состоянии Le = +2 ). 19.Странность. Какие процессов запрещены странности:

из приведенных ниже законом сохранения

1)π − + p → Λ + K 0

%+ 4) p + n → Λ + ∑

2)π − + p → K − + ∑ +

5) ∑ − + p → Λ + n

% 0 + K% 0 + n 3) p% + p → ∑

6)π − + n → Ξ − + K + + K − ?

Решение. Подставим значение последовательно во все процессы:

странности

1) 0 + 0 → −1 +1

4) 0 + 0 → −1 + 1

2) 0 + 0 → −1 − 1

5) −1 + 0 → −1 + 0

3) 0 + 0 → +1 − 1 + 0

6) 0 + 0 → −2 + 1 − 1.

Видно, что суммарное значение странности сохраняется только в процессах (2) и (6). этой причине они запрещены. 20. Какие каналы приведенных запрещены и по какой причине: а) ∑

−

n + π − (1) Λ + π − (2)

б) Ξ

−

p + 2π −

ниже

S

не По

распадов

(1)

Λ + π − , Λ → p + π − (2)

38

Решение. а) Запрещен канал (2) — энергетически: m∑ < mΛ + mπ ; б) запрещен канал (1) — законом сохранения странности S:

−2 −− /−> 0 + 0 + 0 , т.е. | ∆S |= 2 . 21.Кварки. Установить с помощью табл. 9ю4 + кварковый состав К -мезона, а так же гиперонов

Λ0 и Ω− .

Решение. Мезоны должны состоять из кварка и анти кварка, поскольку их барионный заряд B = 0 . В случае

K + -мезона Q = 1, B = 0, S = +1. Это возможно

лишь в случае K + ( us ) . У гиперонов барионный заряд B = 1, странность Λ -

гиперона S = −1, а у Ω − -гиперона S = −3 . Каждый кварк имеет B = 1/ 3 , значит эти гипероны должны состоять гиперона

из

трех кварков. Кроме того, Q = 0 . Это возможно лишь в

у Λ0 случае

Λ 0 ( uds ) . У

Ω − -гиперона

Q = −1, S = −3 .

Это

возможно

реализовать только с помощью трех кварков: Ω − ( sss )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАЛЬЦЕВ Ю.Ф., ЗЕМЛЯНОВА Н.А., МАЛЬЦЕВА Т.Ю. Методические указания к курсу «Ядерная Физика» для студентов дневного и вечернего отделений физического факультета РГУ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ Ч.2 (задачи для самостоятельного решения)

Ростов-на-Дону 2002г.

Печатается по решению кафедры общей физики физического факультета РГУ (протокол № 16 от 07.06.2001г.)

Авторы: Мальцев Ю.Ф., доцент КОФ; Землянова Н.А., студ. 2 курса физ. фак. Мальцева Т.Ю., студ. 5 курса физ. фак.

2

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Взаимодействие релятивистских частиц……….....5 2. Распад частиц…………………………………...…..9 3. Внутренние свойства частиц………….…………..12 4. Ответы...……………………………………………15 5. Приложения………..………………………………26

Список используемой литературы 1. Д.В. Сивухин. Общий курс физики, т. V-ll, М.,Наука, 1986 г. 2. И.Е. Иродов. Квантовая физика. Основные Законы, М.-С-П., физ.мат.лит, 2002г. 3. И.В. Савельев. Курс общей физики. Книга 5.М, АСТ, 2001г. 4. А.В. Астахов, Широков Ю.М. .Квантовая физика. М., Наука, 1983г. 5. И.Е. Иродов. Задачи по Общей физике, М, Владис, 1997г. 6. И.Е. Иродов. Задачи по квантовой физике, М., Высшая школа, 1991г.

3

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ. Задачи для самостоятельного решения. • В этом разделе во всех формулах энергия, импульс и масса выражены в энергетических единицах: р и т— сокращенные записи рс и тc2. • Кинетическая энергия относительного движения — это суммарная кинетическая энергия частиц в Ц-системе. • Лоренц-инвариант: (1) E2 - p2=m2, где Е и р — полная энергия и суммарный импульс системы, т — ее масса. • Лоренцевы преобразования импульса и полной энергии при переходе от Л-системы к Ц-системе (рис. 1):

px − Eβ ~ E − p x β ~ ,E = px = 2 1− β 1− β 2

(2)

где р — скорость (в единицах с) Ц-системы относительно Л-системы. • Пороговая кинетическая энергия частицы т, налетающей на первоначально покоящуюся частицу М, для возбуждения реакции m+M→Σmi: K mnop =

(∑ mi ) 2 − (m + M ) 2 2M

. (3)

• При двухчастичном распаде частицы массы М импульсы возникающих частиц в Ц-системе равны

1 ~ (M 2 − (m1 + m2 ) 2 )(M 2 − (m1 − m2 ) 2 ) , p= 2M

(4)

4

где т1и т2 —массы возникающих частиц. • При двухчастичном распаде релятивистской частицы массы М с импульсом р максимальный угол вылета частицы массы т определяется формулой

M ~ p sinϑмакс = , m p

(5)

где р—импульс частицы т в Ц-системе. • Обозначения квантовых чисел: Q—электрический заряд (в единицах е), L — лептонный заряд (Le — электронный, Lµ — мюонный), В — барионный, заряд, Т — изотопический спин (изоспин). Тz — его проекция, S — странность, С — очарование (шарм). • Связь между квантовыми числами сильно взаимодействующих частиц и резонансов: (6) Q = Tz + (B + S + C)/2. • При взаимодействии частиц выполняются законы сохранения лептонного и барионного зарядов. В сильных взаимодействиях—также законы сохранения странности S, изоспина Т и его проекции Tz. • Согласно обобщенному принципу Паули, для системы из двух изотопически тождественных частиц:

5

⎧ -1 для частиц с полуценным спином, (-1)l+s+T = ⎨ ⎩ +2 для частиц с нулевым спином, где l — орбитальный момент, s — спин системы, Т — ее изоспин. • Квантовые числа кварков: Кварк

Q

В

Т

Tz

s

с

и

2/3

1/3

1

/2

1/2

0

0

d s

-1/3 -1/3

1

/3 1/3

1/2 0

-1/2 0

0 -1

0 0

с

2/3

1/3

0

0

0

1

Спин каждого кварка равен 1/2. Соответствующие ~ s , c~ имеют противоположные по антикварки u~ , d , ~ знаку значения Q, В, Tz, S и С.

1.Взаимодействие релятивистских частиц 1. Вычислить импульсы (в ГэВ/с, с — скорость света): протона, мюона и электрона, кинетические энергии которых K =1,0 ГэВ. 2. При каком значении показателя преломления вещества черенковского счетчика последний, будучи

6

установлен в пучке заряженных π- и K-мезонов с импульсом р = 400 МэВ/с, будет регистрировать только K-мезоны? 3. Релятивистская частица массы от с кинетической энергией К налетает на покоящуюся частицу той же массы. Найти кинетическую энергию их относительного движения, импульс каждой частицы в Ц-системе и скорость этой системы. 4. Какую кинетическую энергию необходимо сообщить протону, налетающему на покоящийся протон, чтобы кинетическая энергия их относительного движения была такой же, как при столкновении двух протонов, движущихся навстречу друг другу с кинетическими энергиямиК=30ГэВ. 5. Релятивистская частица массы m1 с кинетической энергией К налетает на покоящуюся частицу массы m2. Найти: а) кинетическую энергию их относительного движения; б) импульс каждой частицы в Ц-системе. 6. Определить в Ц-системе кинетические энергии частиц с массами m1 и m2, если известно, что кинетическая ~ энергия их относительного движения равна К . 7. Показать, что при упругом рассеянии релятивистской частицы массы т1 на первоначально покоившейся частице массы т2 (т1<т2) максимальный угол отклонения налетающей частицы определяется формулой sinϑ =m2/m1 8. Отрицательный мюон с кинетической энергией K=100МэВ испытал упругое лобовое соударение с

7

покоившимся электроном. Найти кинетическую энергию электрона отдачи. 9. Позитрон с кинетической энергией, равной его энергии покоя, аннигилирует на покоящемся свободном электроне. В результате возникают два γ-кванта, энергия одного из которых в η=2,00 раза больше энергии другого. Вычислить угол θ между направлениями разлета обоих γ-квантов. 10. Получить выражение, определяющее пороговую энергию γ-кванта для образования пары в поле покоящегося ядра массы М, если каждая частица пары имеет массу т. Вычислить пороговую энергию γ-кванта для рождения пары π+π - в поле покоящегося протона. 11. Показать, что γ-квант не может образовать пару вне поля ядра, даже если такой процесс энергетически возможен. 12. Найти суммарную кинетическую энергию пары электрон—позитрон, которую образует γ-квант с пороговым значением энергии в поле покоящегося протона. 13. Вычислить энергию γ-кванта, образовавшего в поле покоящегося тяжелого ядра пару электрон—позитрон, если для каждой частицы пары значение Bρ=3,0 кГс⋅см и начальный участок их траекторий имеют одну и ту же касательную. 14. Вывести формулу (3) для пороговой кинетической энергии налетающей частицы.

8

15. Вычислить пороговую кинетическую энергию бомбардирующих частиц в следующих реакциях (налетающей частицей является первая): ~ 1) p + 2Н→3Не + π0; 5) π -+ р→ n+К0+ K 0; ~ 0 ~+ 10 11 + ~ 2) p + B→ B + π ; 6) p + p → p+∑ + K ; ~ p + р→ Λ + Λ ; 7) р + р→ р + р + р + ~ p; 3) ~ ~ 8) p + p→ p+p+ Σ - + ∑ -. 4) π -+ p→Σ - + K+; 16. Найти кинетические энергии мезонов, возникающих в водородной мишени при пороговом значении энергии налетающей частицы: a) γ + p → n + π+ б) р + р → p+∑ 0+К+. 17. Пусть в прямом процессе релятивистская частица а налетает на покоящуюся частицу А, а в обратном— частица b на покоящуюся частицу В (a+A⇄B+b). Считая, что полная энергия взаимодействующих частиц одинакова ~ ~ ~ ~ в Ц-системе для обоих процессов, т. е. Ea + E A = Eb + EB , найти: а) связь между кинетическими энергиями налетающих частиц Кa и Кb, в Л-системе в прямом и обратном процессах; если известны массы частиц А и В и пороговая кинетическая энергия частицы а; б) для реакции γ + р⇄ n + π+ кинетическую энергию πмезона в обратном процессе, если энергия γ-кванта в прямом процессе ћω=200 МэВ; массы протона и нейтрона считать одинаковыми. 18. Протоны с кинетической энергией К=500МэВ бомбардируют водородную мишень, возбуждая реакцию p+ p → d + π +. Найти максимально возможный угол вылета дейтронов (относительно направления движения

9

налетающих протонов). 19. Исследование зависимости сечения взаимодействия π+-мезонов с протонной мишенью от кинетической энергии π-мезонов позволило обнаружить максимумы сечения при 198, 600 и 900 МэВ. Эти максимумы соответствуют нестабильным частицам — резонансом. Определить их массы. 2.Распад частиц 20. Какая доля нейтронов с кинетической энергией К=0,025 эВ распадается на длине пучка l=200 см? 21. Определить собственное среднее время жизни: а) мюонов, если при значении кинетической энергии K=7mµ их среднее время жизни τ = 17,6 мкс; б) те π+-мезонов, если, имея импульс p =55 МэВ/с, они пролетают в среднем расстояние l=300 см до момента распада. 22. Найти вероятность распада π+-мезона в полете от места рождения до мишени (расстояние 6,00 м), если кинетическая энергия мезона равна 100 МэВ. 23. Некоторая частица может распадаться двумя путями (каналами) с образованием различных продуктов распада. Оба пути характеризуются средними временами жизни τ1 и τ2. Оценить неопределенность массы частицы ∆m. 24. Вычислить энергию, выделяющуюся при β-распаде покоящегося нейтрона. 25. Остановившаяся ∑ - -частица распалась на нейтрон и π-мезон. Найти кинетическую энергию и импульс нейтрона. 26. Вычислить максимальные значения кинетической энергии и импульса электрона, возникающего при распаде

10

остановившегося мюона. 27. Гиперядро 5HeΛ испытывает распад 5НеΛ → 4 He+p+π -. Вычислить энергию связи Λ-гиперона в данном гиперядре, если его энергия распада Q=34,9 МэВ. 28. Пи-мезон с кинетической энергией Кπ = 50 МэВ распался на лету на мюон и нейтрино. Под каким углом вылетел мюон, если угол вылета нейтрино равен 90°? 9.29. Пи-ноль-мезон с кинетической энергией, равной его энергии покоя, распадается на лету на два γ-кванта. Найти: а) минимально возможный угол между направлениями разлета γ-квантов; б) в каких пределах может находиться энергия каждого кванта. 30. Релятивистский K0-мезон с кинетической энергией К распадается на лету на два π0-мезона. Найти: а) при каком значении К один из возникающих лмезонов может оказаться в состоянии покоя; б) угол между направлениями симметрично разлетающихся π-мезонов, если K=100 МэВ. 31. ∑+-гиперон с импульсом p∑ = 900 МэВ/с распадается на лету на положительный π-мезон и нейтральную частицу. Мезон вылетает с импульсом pπ=200 МэВ/с под углом ϑ=60° к первоначальному направлению движения гиперона. Найти массу нейтральной частицы и энергию данного распада. 32. В результате распада некоторой нейтральной частицы обнаружены протон и π --мезон, угол между направлениями разлета которых θ=60°. Импульсы обнаруженных частиц равны соответственно 450 и 135 МэВ/с. Полагая, что других продуктов распада нет, найти массу распавшейся частицы. 33. Получить в Ц-системе выражение (4). 34. При взаимодействии медленных π --мезонов с

11

ядрами водородной мишени наблюдались следующие реакции:

π-+p

↗n+γ

(1)

↘ n + π0, π0 → 2γ

(2)

Энергетический спектр возникающих γ-квантов изображен на рис.2, где E1= 54 МэВ, E2 =84 МэВ и E3 = 130 МэВ. а) Какому каналу реакции принадлежит каждый максимум? б) Считая известными массы протона и нейтрона, определить массу π --мезона. в) Найти массу π 0-мезона. 35. Изучение реакции взаимодействия быстрых π-мезонов с протонами привело к обнаружению нестабильной квазичастицы ρ, имеющей настолько малое время жизни, что ее образование и распад происходят практически в одной точке. Каким образом, рассмотрев много случаев этой реакции, можно установить, что процесс π - + p → π -+ +π+ + п идет частично через связанное состояние (π -π+), т.е. π -+ p → ρ+ n, ρ → π - + π+? Предполагается, что в каждом случае известны полные энергии Ei и импульсы рi, возникающих π-мезонов в Л-системе. 36. При изучении реакции К+ + p → Λ + π+ +π - под действием K-мезонов с кинетической энергией KK=790 МэВ обнаружено, что эта реакция частично идет через связанное состояние (π-Λ) в две стадии: K- + p →(π -Λ)+π+, (π -Λ)→π -+Λ

12

причем возникающие кинетическую энергию

π+-мезоны имеют в Ц-системе ~ Eπ =300 МэВ. Определить массу (π -

Λ) -резонанса и его энергию распада.

3.Внутренние свойства элементарных частиц 37. Предположим, что протон часть времени пребывает в состоянии «идеальный протон» с магнитным моментом µя и остальную часть времени — в состоянии «идеальный нейтрон» (µ=0) плюс π-мезон (p⇄n+π+). Какую часть времени протон находится в состоянии «идеальный протон»? 38. Определить с помощью принципа детального равновесия (см. введение к предыдущей главе) спин π+-мезона, если известно, что в реакции p + p → d + π+ полное сечение прямого процесса σрр для протонов с кинетической энергией Кр = 500 МэВ (в Л-системе) в 9,0 раза меньше полного сечения σ обратного процесса при соответствующей энергии. Спины протона и дейтрона считать известными. 39. При взаимодействии γ-квантов с водородной мишенью протекает реакция γ + р → π0 + р. Полное сечение этой реакции σγр=0,20 мб при энергии γ-квантов Eγ=250 МэВ. Определить с помощью принципа детального равновесия (см. введение к предыдущей главе) сечение обратного процесса (π0-мезоны бомбардируют водородную мишень) при соответствующей кинетической энергии мезона. 40. Выяснить с помощью законов сохранения лептонного и барионного зарядов, возможны ли следующие процессы:

13

1) n → p + e- + ve

4) K + → µ + + vµ + π 0

2) v~µ + p → n+ µ+

5) π − + n → K − + K 0

3) µ+ → e+ + v~e + vµ

6) K - + p → ∑ + +π − .

41. Какие из приведенных ниже реакций запрещены законом сохранения странности: ~ p + n → Λ + ∑+ 4) ~ 1) π − + p → Λ + K 0 2) π − + p → K − + ∑ +

5) ∑ − + p → Λ + n

~ ~ p + p → ∑0 + K 0 + n 3) ~

6)π − + n → Ξ − + K + + K − .

42. Являются ли реакции распада К+-мезона на µ+ +vµ и π++π0 реакциями слабого взаимодействия? 43. Какие каналы приведенных ниже реакций запрещены и по какой причине: ↗ n +π - (1)

а) ∑-

↘ Λ+π

-

(2)

↗ p + 2π -

б) Ξ-

↘ Λ+π -, Λ→p+π -.

44. Найти возможные значения изоспина Т и его проекции Tz, для системы: нуклон — нуклон; π-мезон — нуклон. 9.45. Найти с помощью обобщенного принципа Паули из оспин Т системы: а) пр в состояниях 3Р и 3D; б) π+π0 в состояниях 1Р и 1D; в) π+π - в состояниях 1P и 1D. 46. Найти изменение изоспина Т и его проекции Тz в следующих процессах:

14

а) π − + p → K + + ∑ − ;

в) K + → π 0 + π + ;

б) π − + p → K + + K 0 + Ξ − ;

г) K 0 → 2π 0 .

47. Определить для мезон-нуклонных резонансов значения изоспина Т, странности S, барионного заряда В, а также полного момента I и четности Р, если относительный орбитальный момент l = 1. 48. При облучении медленными (l = 0) π - - мезонами дейтериевой мишени идет реакция π + d → 2n. Имея в виду, что четность дейтрона положительная, показать с помощью законов сохранения момента импульса и четности, что π --мезон имеет отрицательную четность. 49. Экспериментально установлено, что изоспин ρчастицы, представляющей собой связанное состояние двух π-мезонов, равен единице. а) Имея в виду, что распад ρ→2π относится к сильному взаимодействию, предсказать с помощью закона сохранения момента импульса спин и четность ρчастицы; внутренние четности π-мезонов одинаковые. б) Выписать возможные распады ρ+-, ρ0- и ρ--частиц на два π-мезона. 50. Зная квантовые числа кварков, сконструировать: а) из трех кварков следующие барионы: р, п, ∑+, ∑-, Ξ0, и Ξ- ; б) из кварка и антикварка следующие мезоны: π+, π -, K+, К- и К0.

Приложения 1 Греческий алфавит 2 Значения некоторых определенных интегралов

3 Плотность некоторых веществ

4 Элементарные частицы 5 Элементарные частицы (стабильные, или «долгоживущие») 6 Систематика Кварков 7 Состав мезонов и барионов

A, α -альфа A, α B, β -бета

A, α B, β Γ, γ -гамма

A, α B, β Γ, γ ∆, δ дельта

A, α B, β Γ, γ ∆, δ E, ε -эпсилон

A, α B, β Γ, γ ∆, δ E, ε Z, ζ дзета

A, α B, β Γ, γ ∆, δ E, ε Z, ζ H , η -эта

A, α B, β Γ, γ ∆, δ E , ε Z , ζ H, η Θ, θ , ϑ -тета

I, ι

-йота

I, ι K, κ -капа

I, ι K, κ Λ, λ ламбда

I, ι K, κ Λ, λ M , µ -мю

I, ι K, κ Λ, λ M , µ N , ν -ню

I, ι K, κ Λ, λ M , µ N , ν Ξ, ξ -кси I, ι K, κ Λ, λ M , µ N , ν Ξ, ξ O, ο омикрон

I, ι K, κ Λ, λ M , µ N , ν Ξ, ξ O , ο Π , π -пи

P, ρ

-ро

P , ρ Σ, σ сигма

P , ρ Σ, σ T , τ -тау

P , ρ Σ, σ T , τ Y, υ ипсилон

P , ρ Σ, σ T , τ Y , υ Φ, ϕ -фи

P , ρ Σ, σ T , τ Y , υ Φ, ϕ X , χ -хи Ψ , ψ -пси Ω, ω -омега

2. Значения некоторых определенных интегралов

⎧2,31, n = 1/ 2 ⎪ 2 ⎪π / 6, n = 1 ∞ x n dx ⎪ = ⎨2, 405, n = 2 x 0 e −1 ⎪ 4 π ⎪ /15, n = 3 ⎪⎩24,9, n = 4

∫

∫

∞

0

∫

∞

0

⎧0, 225, α = 1 ⎪1,18, α = 2 ⎪⎪ ∞ x3dx = ⎨2,56, α = 3 x 0 e −1 ⎪ 4,91, α = 5 ⎪ ⎪⎩6, 43, α = 10

∫

⎧⎪n !, n > 0, целое, x exp ( − x ) dx = ⎨ 1 ⎪⎩ π / 2, n = 2 ; n

( )

x n exp − x 2

∫

1

0

( )

exp − x 2 dx = 0,843;

⎧ ⎪ π / 2, n = 0; ⎪ ⎪⎪ 1 ⎡⎛ n − 1 ⎞!⎤ , n − целое нечетное; dx = ⎨ 2 ⎢⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪1 ⋅ 3 ⋅ 5... ( n − 1) π ⎪ , n − целое четное. n / 2 2 2 ⎩⎪

3. Плотность некоторых веществ Вещество

г/см3 Вещество г/см3 Вещество

г/см3

Алюминий

2,7

Кадмий

8,65

Ртуть

13,6

Барий

3,75

Калий

0,86

Свинец

11,3

Бор

2,45

Кремний

2,35

Серебро

10,5

Бериллий

1,85

Кобальт

8,9

Стронций

2,54

Ванадий

5,87

Литий

0,53

Теллур

6,02

Висмут

9,8

Магний

1,74

Титан

4,5

Вольфрам

19,1

Медь

8,9

Торий

11,7

Германий

5,46

Молибден 10,2

Уран

19,0

Графит

1,60

Натрий

0,97

Цезий

1,87

Железо

7,8

Никель

8,9

Цинк

7,0

Золото

19,3

Платина

21,5

NaCl

2,18

Индий

7,28

Плутоний 19,8

CsCl

4,04

4.Элементарные частицы

Лептоны

Электронное нейтрино Мюонное нейтрино Тау-нейтрино Электрон Мюон Тау-лептон

v%e v%µ v%τ

e− e+ µ− µ+

τ− τ+ π0 π0 π+ π− K+ K− K0 K0

Эта-нульмезон

µ0

нуклон ы

Ка-мезоны

Протон Нейтрон

Гипероны

Адроны

Мезоны

Пи-мезоны

ve vµ vτ

p n

p% n%

Электрический заряд в элементарных зарядах

γ

Фотон

Масса Спин в единицах h

частицы

Наименование частицы

античастицы

Символ

0

0

1

0

Стабилен

0

0

1/2

0

Стабильно

0

0

1/2

0

Стабильно

0

0

1/2

0

Стабильно

1

0,511

1/2

-1

1 Стабилен

207

105,66

1/2

-1

1

3492

1782

1/2

-1

1

264,1

134,96

0

273,1

139,57

0

В массах электро- В МэВ на me

1

-1

1, 2 ⋅10−8 K s0 − 8,9 ⋅10

0

974,1

437,7

0

0

1074

548,8

0

0

1836,1

933,28

1/2

1838,6

939,57

1/2

0

103

0

2,63 ⋅10−10

2183,1

1115,6

1/2

Σ% + Σ% 0 Σ% −

2327,6

1189,4

1/2

Сигмагипероны

Σ+ Σ0 Σ−

2333,6

1192,5

1/2

2343,1

1197,4

1/2

Ксигипероны

Ξ0 Ξ−

Ξ% 0 Ξ% −

2572,8

1314,9

1/2

2585,6

1321,3

1/2

-1

1,83 ⋅10−16 2,6 ⋅10−8

493,67

%0 Λ Λ

1

2, 2 ⋅10−6 1, 46 ⋅10−12

966,4

ЛямбдаГиперон

0

0

Время жизни,с

1

K L0 − 5, 2 ⋅1

2, 4 ⋅10−19 -1

1

-1 0

-1

1 0

-1

1

Стабилен ?

8 ⋅10−11 5,8 ⋅10−20 1, 48 ⋅10−10 2,9 ⋅10−10 1,64 ⋅10−10

Омегаминусгиперон

%− Ω− Ω

3273

1672,2

3/2

-1

1

8, 2 ⋅10−11

5.Элементарные частицы (стабильные, или «долгоживущие») Тип частицы

Название частицы

Фотон Фотон Лептоны Электрон Электрон-ное ней-трино

Обозна- Анти- Масса покоя чение частица МэВ/с2

γ

γ

e− ve

e+ ve

−

+

Мюон

µ

Мюонное нейтрино

vµ

τ -лептон

τ−

τ -нейтрино Адроны Мезоны Пион

Каон

η -мезон Барионы Протон Нейтрон Лямбда

µ

0

vµ

L B Le µ Lτ S 0

0

Время жизни, с

0

0

0 Стабилен

0,511

0 +1 0

0

0 Стабилен

0(?)

0 +1 0

0

0 Стабилен

Основные типы распада

2, 20 ⋅10−e−ve− vµ

105,7

0

0 +1 0

0

0(?)

0

0 +1 0

0 Стабильно

µ −vµ vτ

vτ

π

+

π

0

τ+ vτ

1784,0

0

0

0(?)

0

0

0 -1 0 Стабильно

π

−

139,6

0

0

0

0

0

π

0

135,0

0

0

0

0

0

2,60 ⋅10− µ + vµ 0,83 ⋅10− 2γ

493,7

0

0

0

0 +1 1, 24 ⋅10

K S0

K S0

497,7

0

0

0

0

K L0

K L0

497,7

0

0

0

0

K

η0 p

e − ve vτ ,

адроны

−

+

,

0 -1 0 <4x10-13

K

n

η0 p n

Λ0

Λ0

548,8

0

−8µ

+

vµ

π +π 0 − π +π − 0,89 ⋅ 10 +1 2π 0 π + e± ve +1 5, 2 ⋅10−8 π ± µ ± v e < 10−18

0

0

0

0

938,3

+1 0

0

0

0 Стабилен

939,6

+1 0

0

0

0 920

1115,6

+1 0

0

0 -1

3π 0 2γ , 3π pe− ve

2,6 ⋅10−10pπ − , nπ 0

Сигма

Кси

Омега

0,80 ⋅10− pπ 0 , nπ +

−

1189,4

+1 0

0

0 -1

Σ0

Σ0

1192,5

+1 0

0

0 -1

Σ−

Σ+

1197,3

+1 0

0

0

0

0

1315

+1 0

0

0 -2

Ξ−

Ξ+

1321

+1 0

0

0 -2 1,64 ⋅10

−

+

1672

+1 0

0

0 -3

Σ

+

Ξ

Ω

Σ

Ξ

Ω

0 6 ⋅10−20 Λ γ −10 -1 1,5 ⋅10 nπ −

2,9 ⋅10−10Λ 0π 0 −1

Λ 0π − 0 0

0,82 ⋅10− Ξ π Λ0 K − Таблица 6

Наименование

Кварки

u c t

Символ

Спин в единицах h Электрический заряд в элементарных зарядах Барионный заряд

1 2

d s

2

3

1

1

1

2

−1

3

3

d% s% b%

u% c% t%

b

3

1

Антикварки

2

−2 −1

3

3

1

2

1

3

−1

3

В таблице 7 показано, как из кварков строятся мезоны и барионы, свойства которых приведены в таблице 5. Таблица 7 частица

Мезоны состав

частица

Барионы состав частица

состав

π+ π− π

0

η0 K+ K− 0

K K% 0

(

ud% % ud

)

1 uu% − dd% 2 1 uu% + dd% − 2ss% 6

(

us% % us

ds%

% ds

)

p p%

uud %%% uud

Σ−

n n%

udd %%% udd

Ξ0

Λ0 %0 Λ Σ

+

Σ% + Σ0 Σ% 0

[ud ] s % ⎤ s% ⎡ud % ⎣ ⎦ uus % %% uus

{ud } s

{ud% %} s%

Σ% −

%0

Ξ Ξ

−

Ξ% − Ω− %− Ω

dds % %% dds uss %%% uss dss % %% dss sss %%% sss