Физические основы механики: Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Викт. В. Евстифеев, Вас. В. Евстифеев, П. П. Першенков

Физические основы механики Учебное пособие

ПЕНЗА 2006

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет»

Викт. В. Евстифеев, Вас. В. Евстифеев, П. П. Першенков

Физические основы механики Допущено УМО по классическому университетскому образованию РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 010700 – Физика и по специальности 010701 – Физика

Издательство Пензенского государственного университета Пенза 2006

УДК 530.1 Е26 Р е ц е н з е н т ы: Кафедра общей физики Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского Доктор технических наук, профессор Пензенского государственного университета архитектуры и строительства Г. И. Грейсух

Е26

Евстифеев, Викт. В. Физические основы механики: учеб. пособие / Викт. В. Евстифеев, Вас. В. Евстифеев, П. П. Першенков / под ред. проф. Викт. В. Евстифеева. – Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2006. – 272 с. : ил. – Библиогр. с. 269. Излагаются физические представления о законах классической механики. По уровню изложения и объему курс отвечает требованиям университетской программы по общей физике. Пособие подготовлено на кафедре “Физика” Пензенского государственного университета и предназначено для студентов физической и инженернотехнических специальностей.

А в т о р ы: Викт. В. Евстифеев, доктор физико-математических наук, профессор; Вас. В. Евстифеев, кандидат физико-математических наук; П. П. Першенков, кандидат технических наук, доцент УДК 530.1

© Евстифеев Викт. В., Евстифеев Вас. В., Першенков П. П., 2006 © Издательство Пензенского государственного университета, 2006

2

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ............................................................................................................. 7 Введение.................................................................................................................... 8 Глава 1. Пространство и время............................................................................... 10 1.1. Измерение времени и расстояния ................................................................... 12 1.2. Системы отсчета. Системы координат ........................................................... 15 1.3. Операции с векторными величинами ............................................................. 20 1.4. Синхронизация часов. Относительность одновременности ......................... 25 Глава 2. Кинематика материальной точки ............................................................ 27 2.1. Виды механических движений. Скорость и ускорение................................. 27 2.1.1. Прямолинейное движение ............................................................................ 28 2.1.2. Криволинейное движение.............................................................................. 30 2.1.3. Вращательное движение ............................................................................... 33 2.2. Преобразование Галилея. Инерциальные системы отсчета.......................... 37 Глава 3. Динамика материальной точки................................................................ 41 3.1. Закон инерции. Масса ...................................................................................... 41 3.2. Второй закон Ньютона. Сила .......................................................................... 43 3.3. Силы в механике............................................................................................... 44 3.3.1. Закон всемирного тяготения. Силы тяготения............................................ 45 3.3.2. Закон Гука. Силы упругости ........................................................................ 49 3.3.3. Силы трения................................................................................................... 50 3.4. Третий закон Ньютона. Импульс силы........................................................... 53 3.5. Движение в поле заданных сил ....................................................................... 54 3.5.1. Движение в поле сил тяготения ................................................................... 54 3.5.2. Несвободное движение с наложенными связями ....................................... 56 3.5.3. Движение под действием диссипативных сил ............................................ 63 3.6. Движение центра масс (инерции) системы .................................................... 65 3.7. Приведенная масса ........................................................................................... 68 3.8. Момент импульса и момент инерции материальной точки .......................... 71 Глава 4. Законы сохранения ................................................................................... 73 4.1. Закон сохранения импульса............................................................................. 73 4.1.1. Движение с переменной массой (реактивное движение)........................... 75 4.2. Работа силы. Мощность................................................................................... 77 4.3. Механическая энергия материальной точки и системы материальных точек ......................................................................................................................... 78

3

4.3.1. Кинетическая энергия ................................................................................... 79 4.3.2. Потенциальная энергия................................................................................. 82 4.3.3. Графическое представление энергии. Границы движения ........................ 85 4.3.4. Силы и потенциальная энергия .................................................................... 89 4.4. Закон сохранения энергии ............................................................................... 91 4.4.1. Внутренняя энергия системы. Условие распада ......................................... 93 4.4.2. Столкновение двух тел.................................................................................. 95 4.5. Момент силы и момент импульса относительно неподвижной точки. Закон сохранения момента импульса ................................................................... 101 4.6. Движение в поле центральных сил ................................................................ 104 4.6.1. Движение спутников. Космические скорости............................................ 110 4.7. Законы сохранения и свойства симметрии пространства и времени.......... 112 Глава 5. Неинерциальные системы отсчета ......................................................... 116 5.1 Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета...................................................................................................... 117 5.2. Силы инерции при вращательном движении системы отсчета ................... 120 5.3. Зависимость силы тяжести от широты местности........................................ 125 5.4. Отклонение падающих тел от направления отвеса ...................................... 126 5.5. Инертная и гравитационная массы. Принцип эквивалентности ................. 130 Глава 6. Основы специальной теории относительности ..................................... 134 6.1. Постулаты специальной теории относительности ....................................... 136 6.2. Преобразование Лоренца................................................................................ 137 6.3. Следствия из преобразований Лоренца ......................................................... 140 6.3.1. Относительность длин отрезков.................................................................. 140 6.3.2. Относительность промежутков времени .................................................... 140 6.4. Интервал между событиями ........................................................................... 143 6.5. Преобразование и сложение скоростей ......................................................... 146 6.6. Масса и релятивистский импульс .................................................................. 149 6.7. Энергия в релятивистской механике ............................................................. 150 6.8. Четыревектор ................................................................................................... 154 Глава 7. Кинематика абсолютно твердого тела ................................................... 156 7.1. Степени свободы абсолютно твердого тела .................................................. 156 7.2. Углы Эйлера .................................................................................................... 157 7.3. Плоское движение. Мгновенная ось вращения ............................................ 158 7.4. Сложение вращений........................................................................................ 161 7.5. Теорема Эйлера ............................................................................................... 162 7.6. Произвольное движение твердого тела ......................................................... 164

4

Глава 8. Динамика абсолютно твердого тела....................................................... 166 8.1. Движение центра масс твердого тела ............................................................ 166 8.2. Момент инерции. Основной закон динамики вращательного движения ... 168 8.3. Момент инерции некоторых тел вращения. Теорема Гюйгенса–Штейнера.... 170 8.4. Тензор инерции................................................................................................ 174 8.5. Момент импульса твердого тела. Закон сохранения момента импульса.... 177 8.6. Момент силы и момент импульса относительно неподвижной оси ........... 179 8.7. Работа и кинетическая энергия вращательного движения........................... 181 8.8. Кинетическая энергия при произвольном движении твердого тела ........... 182 8.9. Свободные оси вращения. Гироскопы........................................................... 185 Глава 9. Механика жидкостей и газов .................................................................. 190 9.1. Теорема о неразрывности струи..................................................................... 190 9.2. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли ........ 192 9.3. Движение вязкой жидкости............................................................................ 194 9.4. Движение твердых тел в жидкостях .............................................................. 199 9.5. Число Рейнольдса............................................................................................ 200 9.6. Турбулентность и явление отрыва течения. Подъемная сила крыла .......... 201 9.7. О гидродинамическом подобии ..................................................................... 203 Глава 10. Механические колебания и волны ....................................................... 206 10.1. Общие представления о колебательных и волновых процессах ............... 206 10.2. Гармонический осциллятор .......................................................................... 208 10.2.1. Гармонические колебания ......................................................................... 208 10.2.2. Комплексное представление гармонических колебаний ........................ 210 10.2.3. Примеры гармонических осцилляторов ................................................... 212 10.2.4. Энергия гармонических колебаний .......................................................... 217 10.2.5. Сложение гармонических колебаний ....................................................... 217 10.3. Свободные затухающие колебания.............................................................. 223 10.4. Вынужденные колебания гармонического осциллятора. Резонанс .......... 226 10.5. Ангармонические колебания ........................................................................ 228 10.6. Параметрические колебания......................................................................... 230 10.7. Автоколебания. Обратная связь ................................................................... 232 10.8. Колебания системы с двумя степенями свободы. Моды ........................... 233 10.9. Колебания системы со многими степенями свободы................................. 236 10.10. Колебания в сплошной среде. Волны ........................................................ 240 10.11. Уравнение бегущей волны.......................................................................... 241

5

10.12. Волновое уравнение .................................................................................... 245 10.13. Энергия и интенсивность волны ................................................................ 246 10.14. Интерференция и дифракция волн............................................................. 247 10.15. Стоячие волны ............................................................................................. 250 10.16. Эффект Доплера в упругой среде............................................................... 252 10.17. Звуковые волны ........................................................................................... 254 10.18. Понятие солитона ........................................................................................ 257 Глава 11. Основные положения теории упругости твердых тел ........................ 259 11.1. Упругие свойства изотропных тел ............................................................... 259 11.2. Упругие свойства кристаллов. Тензор напряжений. Тензор упругости ... 264 11.3. Распространение импульса в упругом теле................................................. 266 Список литературы ................................................................................................ 269

6

Предисловие Настоящее учебное пособие написано в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования, предъявляемыми к изучению общей физики, входящей в цикл естественнонаучных дисциплин для физических и инженерно-технических специальностей. В пособии в доступной для понимания форме последовательно изложены основные разделы классической механики: пространство и время, кинематика и динамика материальной точки и абсолютно твердого тела, законы сохранения, основы специальной теории относительности, колебательные движения и волны, механика жидкостей. Данное учебное пособие выгодно отличается краткостью и ясностью изложения учебного материала, освещением практически всех вопросов, касающихся учебной программы, поэтому оно может стать неплохим дополнением к существующим учебникам по механике, выпущенным ранее в разные годы и выпускаемым в настоящее время ведущими московскими вузами. Авторы на протяжении ряда лет вели занятия по общему курсу физики у студентов физической и инженерно-технических специальностей Пензенского государственного университета. Г. И. Грейсух

7

Введение Механика – это наука о движении материальных тел и о происходящих при этом взаимодействиях между ними. Механическим движением называется изменение положения тела (частицы) относительно выбранной системы отсчета. Взаимодействие тел (частиц) рассматривается как причина, приводящая к изменению кинематических характеристик их движения. В основе классической механики лежат законы Ньютона. Ее предметом является движение макроскопических тел, совершаемое со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Эта механика называется нерелятивистской. В случае движения со скоростями, близкими к скорости света в вакууме ( 3  108 м/с), механика называется релятивистской. Движение частиц со скоростями, близкими к скорости света, рассматривается в специальной теории относительности (СТО), разработанной Эйнштейном. По характеру решаемых задач классическую механику разделяют на статику – учение о равновесии тел под действием нескольких сил, и динамику – учение о движении тел под действием сил. Фундаментальный вклад в развитие динамики внесли Галилей и Ньютон. Галилей впервые сформулировал принцип относительности движения, а Ньютон открыл законы движения. Часто в качестве основного объекта рассматривают материальную точку, абсолютно твердое тело и сплошную (непрерывную) среду. В соответствии с этим классическую механику разделяют на механику материальной точки или системы материальных точек, механику абсолютно твердого тела и механику сплошных сред (гидро-, аэро- и газодинамика).

8

Механика, непосредственно связанная с техникой, включает такие общеизвестные понятия как гидравлика, сопротивление материалов, динамика машин и механизмов, теория гироскопических устройств и приборов, баллистика, динамика ракет и т. д. Механика является одной из научных основ многих областей современной техники.

9

Глава 1. Пространство и время Пространство и время – формы существования материи, а движение – способ ее существования. Пространство называется однородным, если в нем нет областей, обладающих особыми свойствами, и изотропным, если все направления в нем равноценны. Таким пространством может быть, например, пространство, удаленное на большие расстояния от Земли и других планет. Время – это то, что характеризует длительность процессов и явлений. Время является однородным, если любые явления или процессы, происходящие в одних и тех же условиях, но в разные моменты, протекают совершенно одинаково. Первое общее свойство пространства и времени – их относительность. Говорить о пространстве без материальных объектов и о времени без каких-то процессов не имеет никакого смысла. Второе общее свойство пространства и времени – их взаимозависимость. Не существует по отдельности пространственных отношений между материальными объектами и временных отношений процессов друг к другу. Любой процесс в природе происходит в некоторой области пространства, а любой материальный объект как-то изменяется во времени. Поэтому имеет смысл говорить лишь о единых пространственно-временных отношениях между событиями, характеризующими, где и когда «что-то» происходит в природе. Объективной характеристикой временных отношений служит промежуток времени t между моментами времени t1 и t 2 , отвечающими началу 1 и концу 2 какого-либо процесса. Этот промежуток не зависит от выбора начала отсчета времени на временной оси (рис. 1). Действительно, из рис. 1 следует, что t  t 2  t1 и t   t 2  t1 , где t 2  t 2  t 0 и t1  t1  t 0 . Тогда

t   (t 2  t 0 )  (t1  t 0 )  t .

10

(1)

t  t1

t0

t  t2

1 t  0

t

t 

1

t   t1

t 0

2

t   t 2

t

t

Рис. 1

x  x1

x0

x  0

x 0

2

x  x2

1

x

2

1

x 

2

x   x1

x   x 2

X

X

Рис. 2

Равенство (1) свидетельствует о том, что промежутки времени инвариантны (одинаковы) по отношению к выбору начала отсчета на временной оси. В этом выражается важнейшее свойство времени – его однородность. В качестве объективной характеристики пространственных отношений вдоль прямой (одномерный случай) служит отрезок (расстояние) x , значение которого не зависит от выбора начала отсчета вдоль пространственной оси (рис. 2). x  x 2  x1  x ' 2  x '1  x ' , (2) где x 2  x 2  x0 и x1  x1  x0 . Равенство (2) свидетельствует о том, что отрезки прямой (расстояния) инвариантны (неизменны) по отношению к выбору начала

11

отсчета на пространственной оси. В этом выражается свойство пространства – его однородность.

1.1. Измерение времени и расстояния Время Основной задачей является не столько дать определение понятия «время», сколько измерить его. Одним из методов измерения времени может быть сравнение с неким регулярно повторяющимся, периодическим процессом. На практике это может быть сравнение с суточным вращением Земли. В последнее время в связи с созданием лазера (усилителя света), появилась возможность создания осциллятора с периодом колебания ~ 1012 с. Можно измерять промежутки времени более короткие, чем 12 с, другим методом, используя другое определение понятия 10 «время». Это измерение расстояния между двумя событиями, происходящими на движущемся объекте. Именно таким методом было измерено время жизни элементарной частицы 0 -мезона. При наблюдении в микроскоп мельчайших следов, оставленных на фотоэмульсии, где родился 0 -мезон, было обнаружено, что он, двигаясь со скоростью, близкой к скорости света, прежде чем распасться, проходит в среднем расстояние ~ 107 м. Таким образом, время жизни 0 мезона составляет всего лишь ~ 1016 с. Для измерения времени удобно выбрать какую-то стандартную единицу (например, секунду) и измерять длительность в количествах этой единицы и ее долях. Вплоть до самого последнего времени не было найдено ничего более точного, чем вращение Земли, и поэтому все часы сверялись с длительностью астрономических суток. В этом случае секунда определялась как 1/86400 часть средних суток. В настоящее время работают с естественными осцилляторами, которые являются более точными стандартами времени, чем суточное вращение Земли. Это так называемые атомные часы, в основе которых лежат колебания атомов. Период колебания атомов не чувствителен к температуре и другим внешним воздействиям. Такие часы позволяют измерять время с точностью до 107 %, а атомные часы, 12

работающие на колебаниях атома водорода, позволяют повысить точность измерения примерно на два порядка. Поэтому в настоящее время период колебаний атомов принимают в качестве основной единицы времени, с помощью которой воспроизводится секунда. 1 секунда – это промежуток времени, в течение которого совершается 9 192 631 770 колебаний электромагнитного излучения, соответствующего переходу между двумя уровнями сверхтонкой структуры основного состояния атома Cs133 . Для измерения очень больших промежутков времени в качестве «часов» эффективно используют радиоактивное вещество. Из закона радиоактивного распада следует, что масса любого радиоактивного вещества для двух последовательных равных промежутков времени изменяется в одно и то же число раз. Если масса радиоактивного вещества за время T (T – период полураспада) уменьшается вдвое, то за время 2T – в четыре раза и т. д. Произвольный интервал времени t содержит t/T периодов полураспада и, следовательно, количество начального вещества уменьшится в 2

t

T

раз:

t

m 1 T   . m0  2 

Зная начальную m0 и конечную m массу радиоактивного вещества и период его полураспада T, можно определить время t. Расстояние Расстояние – это отрезок прямой, соединяющий две точки пространства. Измерить расстояние можно несколькими методами. Первый метод связан со сравнением данного отрезка с неким эталоном длины. Таким эталоном является 1 метр. В настоящее время метр – длина, равная 1 650 763,73 длин волн излучения, соответствующего переходу между 2 p10 и 5d5 уровнями атома криптона Kr 86 . Но как измерить, например, высоту горы или расстояние между вершинами двух гор? Здесь на помощь приходит уже другой метод измерения расстояния, называемый триангуляцией.

13

Из двух точек C и D (рис. 3), находящихся на расстоянии L, направляем трубу телескопа на вершину горы А. Измерив углы 1 и 2 , а также расстояние L, найдем высоту h1 горы А. (Длина L называется базой).

А

 В h1

 1

2

1  2

C

h2

D L Рис. 3

h1  AC  sin1 sin sin2 L sin2  , откуда AC  , L AC sin





где   180  180  1  2  1  2 . Тогда h1 

L sin1sin2 . sin 1  2 

Аналогично, найдем высоту h2 горы В, измерив углы 1 и 2 : h2  BD  sin2 ;



sin sin1 L sin1  , откуда BD  , sin L BD



где   180  1  180  2  2  1 .

14

Тогда h2 

L sin1 sin2 . sin 2  1 

Очевидно, расстояние АВ между вершинами двух гор будет равно: AB 

h1  h2 

2

2

 h h    L  1  2  . tg1 tg2  

В последнее время с помощью прямой радиолокационной связи проведены точные измерения расстояния от Земли до Венеры. Нам известна скорость распространения радиоволн: она равна скорости света c  3  108 м/с. Послав радиоволну по направлению к Венере, мы считаем время  до прихода отраженной волны. Зная время и скорость, мы определяем расстояние: S  c

 . 2

Может возникнуть вопрос. А с какой точностью можно измерять расстояние и время? Оказывается, законы природы не позволяют выполнять абсолютно точные измерения расстояний и промежутков времени. По Гейзенбергу ошибка в определении расстояния не может быть меньше, чем x 

h , где h – постоянная Планка, равная p

6,62  1034 Дж c ; p – ошибка в измерении импульса частицы.

Ошибка в определении интервала времени не может быть меньше, чем t 

h , где E – ошибка в измерении энергии частицы. E

Эта неопределенность времени и пространства связана с волновой природой вещества.

1.2. Системы отсчета. Системы координат Одной из основных физических моделей при изучении механического движения является модель материальной точки (частицы). Под ней понимают тело, размерами которого можно пренебречь в данной задаче. Так, планеты можно считать материальными точками при изучении их движения вокруг Солнца, но этого делать нельзя в случае рассмотрения их суточного вращения вокруг своей оси. Положе-

15

ние материальной точки в пространстве определяется ее радиусом вектором r . Это направленный отрезок прямой, соединяющий начало системы отсчета с материальной точкой. Системой отсчета называется тело или совокупность тел, которые условно считаются неподвижными и по отношению к которым рассматривается движение других тел. При этом принимается во внимание то, что система отсчета снабжена часами для измерения времени. С системами отсчета связывают системы координат. Наиболее распространенными системами координат являются: – прямоугольная (декартова), – цилиндрическая (полярная), – сферическая. Декартова система координат Положение материальной точки М в пространстве будет определено, если известны ее координаты x, y, z  (рис. 4).     r  xi  yj  zk ,

(1)

   где i , j , k – единичные векторы – орты, направленные вдоль коорди-

натных осей X, Y, Z. r 

x 2  y 2  z2 .

(2)

Для определения положения системы из N материальных точек в пространстве необходимо задать N радиусов-векторов, т. е. 3N координат.

Z

M(x,y,z)  r  k  0 j

Y

X

 i Рис. 4

16

Число независимых координат, которое необходимо задать для однозначного определения положения системы в пространстве, называется числом степеней свободы. Существуют два вида координатных систем: правая (рис. 5) и левая (см. рис. 4). В правой системе координат поступательное перемещение острия буравчика (правый винт) будет происходить в положительном, а в левой – в отрицательном направлении оси Z. Правая система переходит в левую, если изменить на противоположное направление оси Z. То же самое произойдет, если изменить на противоположные положительные направления всех трех осей. Эта операция называется инверсией координатных осей или отражением в начале координат. Например, изображением правой системы в плоском зеркале будет левая система и наоборот. В физике обычно применяется правая система.

Z

 k

rx

0 i

М(x,y,z)

 r  j

Y

X Рис. 5



Если вектор r образует с осями координат X, Y, Z углы , ,  , то его проекции на эти оси будут равны: r x  r  cos, r y  r  cos, rz  r  cos, 

где абсолютная величина вектора r равна r  r x 2  r y 2  rz 2 ,

17

а cos2  cos2β  cos2 γ  1 . 

Проектирование вектора r на координатные оси X, Y, Z производится плоскостями, параллельными координатным плоскостям. На пример, чтобы получить проекцию вектора r на ось X (см. рис. 5), надо через его конец провести плоскость, параллельную координатной плоскости YOZ. Эта плоскость отсечет на оси X отрезок r x , яв ляющийся проекцией вектора r на рассматриваемую ось. Аналогично, получают проекции r y и rz . Проекции r x , r y , rz будут прямо

угольными (ортогональными) проекциями вектора r . Если проекции r x , r y , r z известны в системе координат XYZ, то можно найти их в любой другой системе координат X'Y'Z', оси которой произвольным образом повернуты относительно системы XYZ.  Для этого по проекциям r x , r y , rz восстанавливаем отрезок r , который будет являться диагональю параллелепипеда, построенного на  отрезках r x , r y , rz . Затем проектируем вектор r на оси X', Y', Z' новой системы координат X'Y'Z'. Получим тройку чисел r x  , r y  , r z  , 

которые являются проекциями вектора r в новой системе координат. Вектор r остается неизменным, какую бы систему координат мы не использовали при его построении, хотя его проекции на координатные оси в разных системах координат будут различны. В этом проявляется инвариантность вектора, т. е. независимость его от системы координат. В соответствии с этим можем сказать, что любое векторное урав  нение a  b инвариантно по отношению к переносу начала и повороту координатных осей вместе или по отдельности на любой угол. Таким образом, уравнения, выражающие физические законы в векторной форме, не зависят от выбора осей координат. Если обе координатные системы прямоугольные, то формулы  преобразования вектора r имеют следующий вид: r x   r x cos x x  r y cos x y  rz cos x z  r y   r x cos y x  r y cos y y  rz cos y z  rz  r x cos zx  r y cos zy  rz cos zz

18

где  x x ,  x y ,  – углы между положительными направлениями соответствующих координатных осей обеих систем координат. Цилиндрическая (полярная) система координат Положение материальной точки М на плоскости (плоскость XOY) будет определено, если известны ее координаты ,  . Точка О называется полюсом, OX – полярная ось,  – расстояние от полюса до точки М,  – полярный угол (рис. 6). Связь полярной системы координат с прямоугольной системой координат выражается соотношением:  x    cos   y    sin z  z 

(3)

Сферическая система координат Положение материальной точки М на сфере будет определено, если известны ее координаты R, ,  (рис. 7).

19

Точка О – центр сферы, R – радиус сферы,  – азимутальный угол,  – угол склона. Связь сферической системы координат с прямоугольной системой координат выражается соотношением:  x  R sin  sin    y  R sin  cos  (4) z  R cos  

1.3. Операции с векторными величинами В физике мы часто имеем дело со скалярными и векторными величинами. Скалярные физические величины определяются только численным значением. К ним относятся: путь, время, масса, температура, механическая работа, сила тока и др. Векторные физические величины определяются не только численным значением, но и направлением в пространстве. К ним относятся: перемещение, скорость, ускорение, импульс, сила и др. Рассмотрим операции с векторными величинами. Сложение векторов





Чтобы сложить два вектора a и b , необходимо путем параллель ного переноса расположить их так, чтобы конец первого вектора a   примыкал к началу второго вектора b . Вектор c , соединяющий начало первого вектора с Z концом второго, есть сумма обоих векторов (рис. 8):    c a b.

(1) В прямоугольной системе координат его проекциями будут:

M( R, ,  )



О

Y



X Рис. 7

20

cx  ax  bx  cy  ay  by .  cz  az  bz

(2)

Z

 a

 a

 b

 b  c

О

Y

X Рис. 8

При этом проекция считается положительной, если ее направление совпадает с направлением соответствующей оси координат и отрицательной, если ее направление противоположно направлению этой оси. Модуль (длина) вектора-суммы c  cx 2  c y 2  cz 2 

a x





 bx 2  a y  by 2  az  bz 2 .

Два вектора считаются равными, если они равны по модулю и имеют одно направление. Вычитание векторов 



Чтобы найти разность двух векторов a и b , необходимо путем параллельного переноса самому себе расположить их так, чтобы их начала совпали, а концы соединить отрезком, направленным от век тора вычитаемого b    к вектору уменьшаa a  d емому a . Этот от  резок и есть векторb b разность (рис. 9).    d a b

(3)

Рис. 9

21

В прямоугольной системе координат проекциями вектораразности будут: d x  ax  bx , d y  ay  by , dz  az  bz , а его модуль (длина) d 

ax  bx 2  ay  by 2  az  bz 2 .

Скалярное произведение двух векторов Скалярное произведение двух векторов есть скалярная величина, численно равная произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними (рис. 10).

a, b   ab  cos ,

(4)

 a



 b

Рис. 10

  где a  cos  – проекция вектора a на направление вектора b .   В прямоугольной системе координат a, b  ax bx  ayby  azbz .

 

Скалярное произведение двух векторов обладает свойством комму    тативности (переместительности): a, b  b, a .

   

Векторное произведение двух векторов Векторное произведение двух векторов (рис. 11) есть третий вектор, численно равный произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними.

 a



 b

 c Рис. 11

a, b   c .

(5)

Модуль c  ab sin  (6) есть площадь параллелограмма, постро  енного на векторах a и b , как на сторонах. 22



Направлен вектор c перпендикулярно плоскости, в которой лежат   перемножаемые векторы a и b , в ту сторону, куда бы двигалось острие буравчика (правый винт), если его рукоятку вращать от первого перемножаемого вектора ко второму в сторону меньшего угла.  В прямоугольной системе координат проекциями вектора c будут: cx  ay bz  by az , cy  azbx  bzax , cz  ax by  bx ay . Векторное произведение не обладает свойством коммутативности:

a, b  b, a .

В общем виде действие ab называется коммутативным, если ab = ba.  Произведением вектора a на скаляр k является новый вектор   b  k a , проекции которого в k раз больше соответствующих проек ций вектора a : bx  ka x , by  ka y , bz  kaz . Вектор площади Возьмем в пространстве какой-либо ориентированный контур L, т. е. замкнутую кривую, проходящую в определенном направлении  (рис. 12,а). Вдоль нормали к плоскости контура отложим вектор A , длина которого численно равна площади контура s. Направление  вектора A определяется правым винтом при обходе контура, если используется правая система координат, и левым винтом, если используется левая система.

23

Z

 A

L

 A

s

X

Y

О a

Рис. 12

X  AX

s

Y0Z

 AX

б



Мы будем использовать правую систему координат. Вектор A не зависит от выбора координатных осей. Его проекции на координатные оси соответственно равны: Ax  A cos  AX , Ay  A cos  AY , Az  A cos  AZ , 

где  AX ,  AY ,  AZ – углы между направлением вектора A и соответствующей координатной осью. Очевидно, проекции площади s контура на соответствующие координатные плоскости YOZ ( s x ), XOZ ( s y ), YOX ( s z ) будут равны (рис. 12,б): s x  s cos  AX , s y  s cos  AY , s z  s cos  AZ . 

Поскольку длина вектора A численно равна площади s, можно записать, что в любой системе координат: s x  Ax , s y  Ay , s z  Az . Отсюда следует, что при повороте координатной системы проекции площади контура s x , s y , s z преобразуются так же, как и проекции   вектора A . Поэтому величины s x , s y , s z образуют вектор s , называемый вектором площади, ограниченной ориентированным контуром L. Однако следует иметь в виду, что система координат все время должна быть либо правой, либо левой. При переходе от правой системы к левой, или наоборот, для нахождения направления векто ра s надо перейти от одного винта к другому. Если, например, в  правой системе координат вектор s имеет определенное направление, то при переходе к левой системе его направление следует изменить на противоположное. Величины такого типа называются псев-

24

довекторами или аксиальными векторами в отличие от полярных векторов, которые рассматривались до сих пор. При повороте координатной системы аксиальные векторы ведут себя точно так же, как и полярные векторы. При инверсии координатных осей проекции полярных векторов меняют знаки, в то время как проекции аксиальных векторов остаются неизменными. Аналогично, наряду с истинными скалярами вводятся так называемые псевдоскаляры. Скаляр (инвариант) есть число, которое остается неизменным во всех системах координат, как правых, так и левых. Псевдоскаляр (псевдоинвариант) остается неизменным только при переходе от правых систем к правым или от левых систем к левым. При переходе же от правой системы к левой или наоборот псевдоскаляр меняет знак, оставаясь неизменным по абсолютной величине. Произведение псевдоскаляра на полярный вектор есть вектор аксиальный. Произведение псевдоскаляра на аксиальный вектор есть вектор полярный. Если пользоваться только одними правыми или одними левыми системами координат, то отпадает необходимость разделения векторов на полярные и аксиальные, а скаляров на истинные скаляры и псевдоскаляры. Операция сложения двух векторов имеет смысл только тогда, когда складываемые векторы оба полярные или оба аксиальные.

1.4. Синхронизация часов. Относительность одновременности Для описания движения и физических процессов, протекающих во времени, одних пространственных систем отсчета недостаточно. Необходимо превратить их в пространственно-временные системы отсчета. Это значит, что в каждой точке пространства должны быть свои часы. Тогда каждое событие будет характеризоваться не только

25

местом, где оно произошло, но и временем, когда оно произошло. Однако таким путем будет определено только местное время. В этом случае показания часов, находящихся в различных точках пространства, никак не связаны между собой, из-за чего описание событий будет запутанным. Чтобы оно было простым, необходимо пользоваться временем единым для всей пространственно-временной системы отсчета. Для этой цели надо «синхронизировать» часы, расставленные в различных местах пространства, т. е. согласовать начала отсчета времени у всех одинаково устроенных местных часов. Возникает вопрос: как осуществить синхронизацию часов? Нельзя синхронизировать часы, собрав их в одном месте, а потом расставить по местам, так как при расстановке часы будут двигаться с ускорением и их ход нарушится. Поэтому для синхронизации следует сначала расставить часы по своим местам, в данной системе координат и их запуск произвести одновременно с помощью предложенного Эйнштейном светового сигнала. Согласно второму постулату Эйнштейна скорость света в вакууме не зависит от движения источника и при-



1

емника и является универсальной постоянной c  00  3  108 м/с (где 0 и  0 – электрическая и магнитная постоянные). Момент наступления события в данной системе отсчета определяется по часам, синхронизированным указанным образом. Пусть два события наступили в разных точках пространства. Их можно считать одновременными, если в момент наступления события часы, находящиеся в точках, где произошли события, и предварительно синхронизированные указанным способом, показывают одно и то же время. Определение одновременности тесно связано с вопросом синхронизации часов.

26

Допустим, что необходимо узнать, одинаково ли идут часы, установленные в точках А и В системы K', движущейся со скоростью v  относительно неподвижной системы K в направлении X (рис. 13). Для этого с помощью исK точника С, неподвижного K относительно системы отA С K' и расположенного счета B v на середине между А и В, t X производят вспышку света. О Свет одновременно достиt гает обоих часов. Если покаX О зания часов в точках А и В Рис. 13 одинаковы, то часы идут синхронно. Однако показания часов будут одинаковыми лишь относительно системы K'. В системе же отсчета K показания часов будут иными. Для наблюдателя в системе K часы В удаляются от того места С, где произошла вспышка, т. е. свет догоняет часы В и, следовательно, преодолевает расстояние, большее АС. Часы А, наоборот, приближаются к месту вспышки С и, следовательно, расстояние, которое пройдет свет, будет меньше АС. Поэтому наблюдатель в системе K придет к выводу, что сигналы достигают обоих часов неодновременно и, следовательно, показания часов будут не одинаковы. Таким образом, два любых события в точках А и В – одновременные в системе K', неодновременные в системе K. Поскольку системы K' и K равноправны, мы должны заключить, что одновременность пространственно разделенных событий относительна. Причиной относительности одновременности является конечная скорость распространения сигнала.

*

27

Глава 2. Кинематика материальной точки 2.1. Виды механических движений. Скорость и ускорение Кинематика – это наука о движении тел, нахождении их положения в пространстве в любой момент времени без выявления причин, вызывающих движение. Движение тела, при котором все его точки описывают одинаковые траектории, называется поступательным. При таком движении тело можно уподобить материальной точке. В случае поступательного движения любая линия, проведенная в теле, остается параллельной самой себе в любой момент времени. В общем виде уравнение механического движения материальной  точки (частицы) представляет собой зависимость радиуса-вектора r от времени t:   r  r t  (1) Поэтому полное описание механического движения сводится к нахождению трех координат x, y, z, как функций времени t: x  f1 t , y  f 2 t , z  f 3 t  . (2) Траекторией движения называется линия, которую описывает материальная точка в пространстве при своем движении. В общем виде уравнение траектории движения является функцией координат: F ( x, y, z)  0 . (3) По форме траектории механические движения подразделяются на прямолинейные и криволинейные, а по характеру – на равномерные и неравномерные. Частным случаем неравномерного движения является равноускоренное движение. В механике существует принцип независимости движения, за ключающийся в том, что факт участия тела в одном движении S1 никак не сказывается на возможности его участия во всяком другом   движении S2 . Любое сложное движение S можно представить в виде геометрической суммы простых движений:     S  S1  S2  S3   (4)

27

2.1.1. Прямолинейное движение Пусть в момент времени t1 частица находилась в пространстве в  точке А с радиусом-вектором r1 , а в более поздний момент вре мени t2 в точке В с радиусом-вектором r2 . За промежуток времени    t  t 2  t1 частица переместилась на расстояние r  r 2  r1     r t  t   r t  (рис. 14).

Z

 S

A  r1

X

Отношение

 r2

О

перемещения

  S  r к промежутку времени t называется средней скоро-

B

Y

Рис. 14

стью механического движения:

   r r t  t   r t   v cp  . (5) t t

Очевидно, средняя скорость v cp зависит не только от момента времени t, но и от промежутка времени t . Оставляя момент времени t неизменным, будем уменьшать промежуток времени t , устремляя его к нулю. Тогда будет стремиться к нулю и перемещение  r . В пределе мы получим истинную (мгновенную) скорость частицы в момент времени t в некоторой точке пространства А.    r dr   r . dt t  0 t

v  lim

(6)

Предел, определяемый формулой (6), называется производной  функции r t  по аргументу t. Понятие производной является основным понятием дифференциального исчисления. Используя это понятие, можно сказать, что истинные или мгновенные составляющие скорости v x , v y , v z есть производные соответствующих координат x, y, z по времени. v x  rx 

dy dz dx , v y  ry  , v z  rz  . dt dt dt

28

(7)

Тогда скорость v можно представить в виде:    v  v x i  v y j  vzk .

v 

(8)

v x 2  v y 2  vz 2 .

(9) 

t

Перемещение из точки А в точку В равно S   v t dt , 0

t

а путь S   v t dt .

(10)

0

Быстроту изменения скорости характеризует физическая величина, называемая ускорением. Поскольку скорость v является функцией времени v  v t  , ускорение может быть представлено как производная скорости по времени: 

 v t  t   v t  d v a  lim  v dt t t  0     a  ax i  ay j  azk , или в проекциях:

где ax  rx 

(11) (12)

d 2x

d 2y d 2z y  z  a r a r ,  ,  ; y z dt 2 dt 2 dt 2

величина ускорения равна: a  ax 2  ay 2  az 2 . (13)  При равноускоренном движении a  const . Тогда из уравнения  (11) скорость в момент времени t будет равна: v  v0  a t , и переме-

щение равно    t  at 2 S  r   ( v 0  a t )dt  v 0t  , 2 0

где v 0 – скорость в момент времени t  0 .

29

(14)







Учитывая, что r  r  r0 , получим уравнение равноускоренного движения:

   at 2 r  r 0  v 0t  2

(15)

или в проекциях на оси координат:  a t2  x  x 0  v0 x  x 2   ayt 2  .  y  y0  v0 y  2   a t2 z  z0  v0z  z 2 

(15')

2.1.2. Криволинейное движение Рассмотрим движение частицы (материальной точки) по криволинейной траектории. Пусть в момент времени t частица находилась в   точке M 1 с радиусом-вектором r1  r t  . Через промежуток времени t она, двигаясь по кривой линии (рис. 15), оказалась в точке M 2 с   радиусом-вектором r2  r t  t  . Перемещение частицы за время t    выразится вектором (хордой) r  r t  t   r t  , а путь – дугой 

M 1M 2 . При этом средняя скорость за время t будет равна    r t  t   r t  r v cp  .  t t

(16)

Направление вектора средней скорости v cp совпадает с направле   нием вектора перемещения r  r2  r1 . Истинная (мгновенная) скорость частицы представляет собой предел средней скорости при t  0 :   dr r  dt t  0 t

v  lim

(17)

Истинная скорость v в любой момент времени направлена по касательной к каждой точке траектории. Конец вектора v назовем скоростной точкой. Геометрическое место скоростных точек во всевоз30

можные промежутки времени есть кривая, называемая годографом скорости.  Ускорение a при криволинейном движении равно  v t  t   v t  v a  lim  lim , t t  0 t  0 t

(18)

где v t   v1 , v t  t   v2 . v1

M1



 r

v2 A  r1



О

M2

v 1

 r2

v

v2

v 2

Рис. 15

Вектор v  v2  v1 характеризует изменение скорости по величине и направлению.  Из уравнения (18) следует, что направление вектора ускорения a при криволинейном движении совпадает с направлением вектора изменения скорости v . Путем параллельного переноса совместим начало вектора v2 с началом вектора v1 . На векторе v2 отложим отрезок M 1A , равный по длине вектору v1 , и соединим их концы. Тогда вектор v1 будет характеризовать изменение скорости частицы по направлению, а вектор v2 – изменение скорости по величине. Из векторного треугольника следует, что v  v1  v2 .

31

(19)

Подставляя (19) в (18), получим:  v1 v1  v2 v 2  lim  lim . (20) a  lim t t  0 t  0 t t  0 t  Из уравнения (20) видно, что ускорение a складывается из двух

компонентов:  v1 an  lim t  0 t

(21)

 v 2 at  lim t  0 t    a  an  at .

и или

(22) (23)

 Ускорение an характеризует быстроту изменения скорости части цы по направлению. В пределе вектор an расположен перпендику-

лярно к касательной, т. е. направлен по радиусу к центру кривизны в данной точке траектории. При малых углах  

M M v1  v1  v1 1 2 . r1

Тогда величина ускорения an будет равна 



v M M v M 1M 2 v2  1 . an  lim 1 1 2  1 lim r1t r1 t  0 t r1 t  0

Для любой точки криволинейной траектории an 

v2 , r

(24)

где r – радиус кривизны в этой точке, а v – скорость.  Ускорение an получило название нормального (или центростремительного) ускорения.  Ускорение at характеризует быстроту изменения скорости части цы по величине. В пределе вектор at расположен по касательной к данной точке траектории. Его величина равна at 

v v2  v1  . t t

32

(25)

Это ускорение получило название тангенциального (или касательного) ускоре an ния. Нормальное и тангенциальное ускорения взаимно перпендикулярны (рис. 16).  Полное ускорение a при криволинейном O движении равно 2

2

a  an  at .

 at  a Рис. 16

(26)

Рассмотрим частные случаи формулы (26): а) an  0, at  0 , следовательно, a  0 , v  const – прямолинейное равномерное движение; б) an  0, at  0 , следовательно, a  at , v  const – прямолинейное ускоренное движение; в) an  0, at  0, r  const , следовательно, a  an , v  const – равномерное движение по кривой линии; г) an  0, at  0, r  const , следовательно, a  an , v  const – равномерное движение по окружности радиуса r; д) an  0, at  0, r  const , следовательно,

a  an 2  at 2 ,

v  const – ускоренное движение по окружности радиуса r.

2.1.3. Вращательное движение Частным случаем криволинейного движения является вращательное движение. Это движение, при котором материальная точка (частица) описывает окружность. Движение по окружности удобно изучать в цилиндрической (полярной) системе координат (рис. 17). В качестве координаты служит угол  , на который поворачивается ра диус-вектор r , указывающий мгновенное положение частицы. Угол поворота  называют фазой вращения.

33

  v

 r O

A  Рис. 17

В общем виде уравнение движения материальной точки по окружности представится в виде функции угла поворота  от времени:   f t  .

(27)

В качестве одной из кинематических характеристик вращательно го движения является угловая скорость (циклическая частота)  . Она характеризует быстроту вращения частицы относительно точки О (центра вращения) или вокруг оси, проходящей через эту точку.  t  t   t  d  lim    . t dt t 0 t t 0

  lim

Размерность угловой скорости  = радиан/с.

(28)



Угловая скорость – векторная величина. Вектор  перпендикулярен к плоскости, в которой происходит вращение, и направлен в ту сторону, куда бы двигалось острие правовинтового буравчика, если его рукоятку вращать в направлении линейной скорости частицы v .   v  , r 

(29)

или v    r  sin  , где   90 . Следовательно, 

v . r

(30)

Центростремительное ускорение связано с угловой скоростью выражением an 

v2   2r . r

34

(31)



Время полного поворота радиуса-вектора r вокруг точки О называется периодом вращения T: 2r 2 . (32)  v  Число оборотов в единицу времени называется частотой вращения: T

v

1 . T

(33)

Размерность частоты v   c 1  Герц. Из уравнений (32) и (33)   2v . Другой кинематической характеристикой вращательного движе ния является угловое ускорение  , характеризующее быстроту изменения угловой скорости:       t  t   t  d    lim  lim   t dt t 0 t t 0

или  

d 2 dt

2

(34)

 . Размерность углового ускорения   рад с2 . 

Угловое ускорение – векторная величина. Его направление совпа дает с вектором изменения угловой скорости d . Если ось вращения сохраняет постоянным свое положение в пространстве со временем  (т. е. закреплена), то вектор  лежит на оси вращения, как и угловая  скорость  , и совпадает с ее направлением для   0 или противоположен в случае   0 (рис. 18). Угловое ускорение связано с тангенциальным ускорением соотношением: 

a d dv   t . dt rdt r

(35)

Если угловое ускорение   0 , то вращательное движение называется равномерным и его уравнение представляется в виде:   0    t . (36)

35

   O

0

 r

0

 

v

 r

A



O

v A



 

Рис. 18

Для равноускоренного вращательного движения уравнение имеет вид:   0  0t 

 t2 , 2

(37)

где 0 и 0 – начальные фаза и угловая скорость вращения. Если ось вращения со временем поворачивается в пространстве,  то вектор углового ускорения  уже не будет лежать на оси вращения и, следовательно, не будет совпадать с направлением вектора уг ловой скорости  . Пусть за время t ось вращения OO' повернулась на угол  (рис. 19). Тогда за время t угловая скорость изменилась    на величину   2  1 . Из O' векторного треугольника  B BCD вектор 1 характери 1  зует изменение угловой ско  рости только по направлению  

1

 2





(векторы AB и AD равны по  A  D величине). Вектор 2 харак2 O теризует изменение угловой Рис. 19 скорости только по числен ному значению  2  DC  . Следовательно,

C

     1  2

Учитывая выражение (38), формулу (34) запишем в виде:

36

(38)

   lim

 1   2  

  1 2 lim .  lim Δt 0 t t 0 t

(39)

t   1 Величина n  lim характеризует быстроту изменения уг t  0 t t  0

ловой скорости по направлению. 

 2 характеризует быстроту изменения углоt 0 t

Величина t  lim

вой скорости по величине. Угловая скорость поворота оси вращения в пространстве равна 

 t

(40)

Из треугольника BAD следует, что 1  1 или  n  1

откуда

1   1 , t t

(41)

   В пределе в каждый момент времени n  . Вектор  n является  нормальной компонентой вектора углового ускорения  .  Вектор t в пределе совпадает   t  с направлением вектора :  2 d  t  lim . dt t 0 t

Таким образом, вектор углового ускорения равен (рис. 20):      n  t ,  

2

 n

Рис. 20

 

2

 n  t .

2.2. Преобразование Галилея. Инерциальные системы отсчета По Галилею и Ньютону пространство и время абсолютны. Время – абсолютная длительность, существующая независимо от тел и протекающая равномерно. Оно одномерно, непрерывно, везде одинаково, бесконечно и однородно.

37

Пространство – это пустое вместилище тел. Абсолютное пространство по своей сущности, безотносительно к чему-либо внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным. Абсолютное пространство и время не содержат выделенных точек, от которых можно было вести отсчет и с помощью которых можно было ориентироваться в пространстве и времени. Чтобы изучать движение тел, каждой точке пространства задают три числа – три координаты x, y, z (пространство трехмерно), а каждому моменту времени одно число t (время одномерно). Следовательно, для изучения механического движения нужно ввести систему отсчета (система координат плюс часы). Система отсчета, жестко связанная с абсолютным пространством и временем, и всякие другие системы отсчета, которые движутся прямолинейно и равномерно относительно первой, называются инерциальными системами отсчета (ИСО). Допустим, что система отсчета (K) инерциальная. Рассмотрим вторую систему отсчета (K'), движущуюся относительно (K) прямо линейно и равномерно со скоростью V в направлении оси OX (рис. 21). Предположим, что материальная точка движется в подвижной системе координат (K') Возникает вопрос, как найти движение этой точки (частицы) в неподвижной системе (K)?

Y

Y

M

 r  r

О Z

(K)

Z

 r

 V

О (K)

X

X

Рис. 21

Пусть в начальный момент времени t  0 начало О системы отсчета (K') совпадает с началом О системы отсчета (K). Тогда в момент времени t  0 система (K') переместится на величину   r  Vt ,

38

(1)

а частица окажется в положении М, определяемом радиусом-векто  ром r  и r в подвижной и неподвижной системах отсчета соответст  венно. Связь между векторами r  и r представится в виде:    r  r   Vt ,

(2)

или в проекциях на координатные оси:  x  x   Vt   y  y z  z, t  t  

(3)

Формулы обратного преобразования имеют вид:    r   r  Vt ,

(4)

или в проекциях на координатные оси:  x   x  Vt   y  y z  z, t   t 

(5)

(Здесь время считается абсолютным, поэтому не преобразуется). Формулы (2) – (5) называются преобразованием Галилея. При выводе данных формул предполагается не только абсолютность времени, но и абсолютность длин отрезков. Дифференцируя соотношение (2) по времени, получим:

или

  dr dr    V , dt dt  v  v  V ,

(6) (7)

где v – скорость частицы в системе (K); называется абсолютной скоростью; v  – скорость частицы в системе (K'); называется относи тельной скоростью; V – постоянная величина; называется переносной скоростью. Формула (7) представляет собой теорему сложения скоростей по Галилею. Или в проекциях на координатные оси:

39

 x  x   V   y  y  z  z 

(8)

Дифференцируя второй раз по времени в предположении посто янства V , получим:  d 2r

или 



 d 2r 

dt 2 dt 2   dv dv     , a  a , dt dt

(9) (10)

где a – ускорение частицы в системе (K);  a  – ускорение частицы в системе (K'). Из равенства (10) следует, что ускорение материальной точки в обеих системах отсчета одинаково. Иначе говоря, ускорение инвариантно относительно преобразования Галилея. Поскольку по второму закону Ньютона сила есть произведение массы на ускорение, сила также инвариантна относительно преобразования Галилея. Следовательно, инвариантом преобразования Галилея является не только ускорение, но и сила. Итак, если какая-либо система движется прямолинейно и равномерно относительно некоторой инерциальной системы отсчета, то подвижная система также является инерциальной и никакие механические опыты и наблюдения, проводимые внутри этой системы, не дают возможности обнаружить ее движение. Данное утверждение называется принципом относительности движения, высказанным Галилеем. Принцип относительности Галилея утверждает, что основные механические законы, которыми определяются изменения состояния движения тел, в обеих системах отсчета одни и те же. Принцип относительности был углублен и расширен Эйнштейном. Согласно Эйнштейну законы природы, по которым изменяются состояния физических систем, не зависят от того, к какой инерциальной системе отсчета относятся эти изменения.

40

Глава 3. Динамика материальной точки Динамика – это наука о механическом движении и причинах, вызывающих изменение движения. Характер движения тела изменяется в результате действия на него других тел. Для количественной характеристики действия одного тела на другое в динамике вводятся такие физические величины, как масса и сила. Родоначальником динамики по праву называют Ньютона, сформулировавшего три закона динамики, которые явились ее основой.

3.1. Закон инерции. Масса В качестве первого закона движения Ньютон принял закон инерции, открытый еще Галилеем. Согласно этому закону тело (материальная точка) сохраняет состояние относительного покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока действие других тел не заставит его изменить это состояние. Такое тело (частица) называется свободным, а его движение – свободным движением или движением по инерции. Явление инерции существует объективно и составляет неотъемлемое свойство всех материальных тел. Всякое тело оказывает сопротивление при попытке привести его в движение или изменить величину и направление его скорости. Это свойство тел называется инертностью. Инертность – это свойство материи. Мерой инертности любого тела является масса m. Вместе с тем масса есть источник и объект тяготения. Следует отличать явление инерции от инертности тел. Инертность – это свойство тела, заключающееся в том, что скорость его не может быть изменена мгновенно. Всегда для этого требуется некоторое время и тем большее, чем больше масса тела. Инерция – это способность тела сохранять состояние относительного покоя или прямолинейного равномерного движения. Все тела, независимо от их массы, одинаково сохраняют свою скорость, если на них не действуют другие тела или если эти действия уравновешивают друг друга.

41

Масса подчиняется закону аддитивности. Аддитивность – это свойство некоторых физических и геометрических величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно арифметической сумме значений величин, соответствующих его частям при любом разбиении объекта на части. m

n

 mi .

(1)

i 1

Произведение массы тела m на его скорость v называется им пульсом (количеством движения) тела p :  p  mv

(2)

 В отсутствии внешнего воздействия p  const и в этом случае

тело (частица) считается свободным. Классическая механика постулирует, что существует система отсчета, в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно. Это утверждение, по сути дела, выражает первый закон динамики. Как было указано в п. 2.2, эти системы отсчета являются инерциальными. Примером ИСО является гелиоцентрическая система отсчета Коперника. Это есть координатная система, начало которой помещено в центре Солнца (точнее в центре масс Солнечной системы), а координатные оси являются прямыми, направленными на три удаленные звезды и не лежащими в одной плоскости. Материальными объектами, с помощью которых реализуются эти оси, являются лучи света, приходящие от этих звезд в Солнечную систему. Из-за относительного движения этих звезд углы между координатными осями в системе Коперника не остаются постоянными, а медленно меняются с течением времени. Однако ввиду огромных расстояний до звезд эти изменения настолько незначительны, что ими можно пренебречь и систему Коперника практически можно считать инерциальной при изучении движений, происходящих в масштабах нашей планетной системы.

42

3.2. Второй закон Ньютона. Сила Как было сказано выше, для количественного описания взаимодействия тел вводят физическую величину, называемую силой. Сила – это то существенное во взаимодействии, что ответственно за изменение характера механического движения или внешне проявляется при смене одних форм движения другими. Иначе, сила есть мера интенсивности взаимодействия тел, проявляющаяся в изменении их количества движения. Сила – векторная величина. Две силы считаются равными, если они, будучи приложенными к материальной точке в противоположных направлениях, не изменяют характера ее движения. Если материальная точка не изолирована, то из-за внешнего действия ее импульс не сохраняется. Поэтому за меру интенсивности взаимодействия можно принять производную импульса по времени и назвать силой    dp d  F или mv  F dt dt

 

(1)

Формула (1) выражает второй закон Ньютона: сила, действующая на тело, равна скорости изменения его импульса. Если масса тела (материальной точки) со временем не изменяется, то формулу (1) можно записать в другом виде:   F  ma ,



где a 

(2)

dv – ускорение, или в проекциях на координатные оси: dt Fx  m

d 2x dt 2

, Fy  m

d 2y dt 2

, Fz  m

d 2z dt 2

(3)

Ньютоновские уравнения движения (3) получают конкретное содержание только тогда, когда определена сила как функция коорди нат и скорости F r , v .

 

При рассмотрении различных динамических задач механика ставит и решает два вопроса: по заданному движению частиц вычисля-

43

ются силы, действующие на них; по заданным силам определяют движение частиц. Решение задач первого рода сводится к вычислению ускорений частиц, из которых состоит система. Задача второго рода сложнее. Здесь надо написать уравнение движения для каждой частицы, входящей в систему. Это сводится к отысканию сил как функций координат и скоростей частиц, взаимодействующих с силовым полем. В результате получится система дифференциальных уравнений, решение которой (при наличии начальных условий) дает полное представление о движении. При этом потребуется интегрирование дифференциальных уравнений, что значительно сложнее, чем дифференцирование. Задача усложнится еще сильнее, если потребуется учесть связь материальных точек между собой. 

Если сила F  0 , то

 

d mv  0 и, следовательно, mv  const . (4) dt

Формула (4) описывает свободную частицу; она не испытывает внешнего воздействия. На первый взгляд может показаться, что первый закон Ньютона является частным случаем второго закона. Почему же тогда он выделяется в самостоятельный закон? Дело в том, что второй закон имеет смысл только для определенных систем отсчета (инерциальных). Выделить же такие системы отсчета позволяет только первый закон. Силы подчиняются принципу суперпозиции, который утверждает     независимость действия сил: F  F1  F2  F3   (5) Размерность силы F   m  l   t 2 ; в системе СИ F   Ньютон  кг  м  с 2 , в системе СГС F   дина  г  см  с 2 .

3.3. Силы в механике В механике рассматривают три типа сил: силы тяготения (гравитации), силы упругости и силы трения. Рассмотрим законы, описывающие индивидуальные свойства этих сил. 44

3.3.1. Закон всемирного тяготения. Силы тяготения Закон всемирного тяготения, установленный Ньютоном, представляет собой обобщение опытных фактов. Такими фактами являются законы Кеплера, которым подчиняются все планеты Солнечной системы. 1. Орбиты всех планет являются эллипсами, в одном из фокусов которых находится Солнце. 2. Движение каждой планеты происходит так, что радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, за равные промежутки времени описывает равные площади (рис. 22). 3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы П больших полуосей эллипсов орбит: T12

T 22



R13

R23

С

.

(1)

Рис. 22

Поскольку эллипсы орбит не слишком вытянуты, положим, что планеты движутся не по эллиптическим, а по круговым орбитам вокруг Солнца. Тогда из первых двух законов Кеплера следует, что сила, действующая на все планеты, направлена в одну и ту же точку – к центру Солнца, а планеты движутся с постоянной угловой скоростью. При движении по круговой орбите планеты испытывают центростремительное ускорение an  2R ,

где  

(2)

2 (T – период обращения). T

Отношение центростремительных ускорений для двух различных планет равно an1 a  2R T 2R  1 1 или n1  2 1 an 2 22R2 an 2 T12R2

45

(3)

Подставляя выражение (1) в (3), получим: an1 R22  . an 2 R12

(4)

Так как третий закон Кеплера справедлив для всех планет, то для любой планеты ускорение равно a

C R2

,

(5)

где C – константа, зависящая от свойств ускоряющего тела. Если таким телом является Солнце, то константа C одинакова для всех планет Солнечной системы; R – расстояние от планеты до Солнца. Таким образом, Солнце сообщает всем планетам ускорение, направленное к его центру и обратно пропорциональное квадрату расстояния от планеты до Солнца. Если ускоряющим телом является Земля, то всем телам у ее поверхности сообщается ускорение a1 

C1

R12

,

(6)

где C1 – константа, одинаковая для всех тел, ускоряемых Землей; R1 – расстояние от центра Земли до тела. Исходя из этого Ньютон сделал заключение, что ускорения, сообщаемые небесными телами друг другу, и ускорения, сообщаемые Землей различным телам у ее поверхности, обусловлены силами, имеющими одну и ту же природу. Этими силами являются гравитационные силы (силы всемирного тяготения). На основании таких фактов Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения: Две точечные массы притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению этих масс, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними и направленной по прямой линии, соединяющей эти массы. f 

m1m2 r2

46

,

(7)

где   6,67  1011

Н  м2 кг

2

– гравитационная постоянная. Она числен-

но равна силе, с которой притягиваются друг к другу две точечные массы по одному килограмму, отстоящие друг от друга на расстояние один метр. Под точечной массой понимают массу тел, размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстоянием их действия. Если размеры тел сравнимы с расстоянием, на котором они находятся друг от друга, и их форма не сферическая, то надо каждое тело разбить на малые элементы. Сила, с которой будут притягиваться друг к другу два элемента, равна f ik  

mi mk rik 2

.

(8)

Тогда полная сила взаимодействия между телами (рис. 23) пред ставится векторной суммой элементарных сил f ik :  f 



 f ik

(9)

i ,k

mi

rik

mk

Рис. 23

Для случая тяготения однородных шаров формула (7) имеет силу для любого расстояния между ними. Первым опытным подтверждением формулы (7) были опыты Кавендиша (1798 г.) с крутильными весами. На легком коромысле находились по концам два одинаковых шарика массой m. Коромысло подвешивалось за середину на длинной тонкой нити (рис. 24).

47

вид сверху

m

M З

вид сбоку

M

M

m

З

m

m

M Рис. 24

К середине коромысла прикреплялось зеркальце; отклонение его «зайчика» фиксировало закручивание нити. К массам m придвигались с противоположных сторон, на определенное расстояние, два больших свинцовых шара массой M  m . Под действием силы тяготения коромысло крутильных весов поворачивалось на некоторый угол и по моменту закручивания нити определялась сила тяготения. Найденное Кавендишем значение   6,7  1011

Н  м2 кг

2

было близко к

значению, определенному в более позднее время другими методами. Сила, действующая на тело  M3  F r массы m со стороны Земли M 3 , m R3 равна (рис. 25) h  mM 3  F   r , r3

Рис. 25

(10)

где r  R3  h ; R3 – радиус Земли; h – высота, на которую поднято тело над поверхностью Земли; M 3 – масса Земли. 

Если направление радиуса-вектора r , соединяющего источник  тяготения с телом m, считать положительным, то сила тяготения F , действующая на тело, будет направлена к источнику, т. е. иметь противоположное направление. Поэтому в формуле для силы тяготения Земли следует поставить знак «минус».

48

3.3.2. Закон Гука. Силы упругости Если на твердое тело действует внешняя сила, то вследствие деформации тела в нем возникнут внутренние упругие силы между отдельными его частями. Деформация – это изменение формы и размеров тела под действием внешней силы. В результате действия внешней силы сначала приобретают ускорение только те части тела, которые непосредственно расположены вблизи точки приложения внешней силы. Поэтому отдельные части тела движутся вначале по-разному, и тело начинает деформироваться. Этими деформациями ускоряемых тел и объясняется происхождение сил, с которыми ускоряемые тела действуют на ускоряющие. Эти силы называют силами противодействия. По закону Гука величина деформации пропорциональна действующей внешней силе: (1) x  F , где x – изменение параметра, характеризующего форму тела;  – коэффициент пропорциональности, зависящий от физических свойств тела, его формы и рода деформации. Пусть на стержень длиной l и  F сечением S действует внешняя  сила F , направленная по оси l l стержня (рис. 26). Под действием этой силы стержень растянется Рис. 26 на величину l . Величина l называется абсолютным удлинением стержня. Отношение l l называется относительным удлинением. По закону Гука для упругой деформации (это деформация, когда после прекращения действия силы тело восстанавливает прежнюю форму) относительное удлинение пропорционально приложенному усилию (напряжению):

l  k P , l

49

(2)

F – напряжение; k' – коэффициент упругости, зависящий от S рода материала. Величина, обратная коэффициенту упругости, называется модулем Юнга: где  

E 

1 . k

(3)

Учитывая выражение (3), формулу (2) можно записать в другом виде: l F  . l ES

(4)

Из формулы (4) следует, что сила упругости, возникающая при упругой деформации, равна F 

Или обозначая

l ES . l

(5)

ES  k , формулу (5) перепишем в виде: l F  k l ,

(6) где коэффициент жесткости k зависит от рода материала, размеров и формы тела и вида деформации. 



F  kl (7) В векторном виде знак «минус» указывает на то, что сила упругости и смещение частей деформируемого тела противоположно направлены.

3.3.3. Силы трения Силы, возникающие при относительном перемещении соприкасающихся поверхностей тел, называют силами внешнего трения. Если имеет место движение одних частей по отношению к другим частям одного и того же тела, то говорят о внутреннем трении. Вообще говоря, разделение трения на внутреннее и внешнее носит условный характер. Если соприкасающиеся тела объединить в одну замкнутую систему, то трение, которое ранее рассматривалось как внешнее, становится внутренним. Сила трения, испытываемая твердым телом при движении в жидкости или газе, есть сила внутреннего, а не внешнего

50

трения. Действительно, слои жидкости (газа), непосредственно соприкасающиеся с поверхностью тела, прилипают к ней и движутся вместе с телом, а трение возникает между различными слоями жидкости, примыкающими к прилипшим слоям. Трение между поверхностью твердого тела и окружающей его жидкостью (газом), в которой оно движется, а также трение между различными слоями жидкости (газа) называется вязким трением. Трение между поверхностями двух соприкасающихся твердых тел при отсутствии между ними жидкой или газообразной прослойки (смазки) называется сухим трением. При этом различают трение скольжения и трение качения. Силы трения скольжения всегда направлены по касательной к соприкасающимся поверхностям в сторону, противоположную движению. Они зависят только от скорости относительного движения и не зависят от площади соприкасающихся поверхностей. Тело движется прямолинейно и равномерно, когда внешняя сила уравновешивает возникающую в результате движения силу трения. Силы трения приводят к рассеянию энергии, т. е. ее диссипации. Поэтому эти силы называют диссипативными. Рассмотрим сначала силы сухого трения. Характерной особенностью сухого трения является то, что силы трения не исчезают и тогда, когда скорость относительного движения соприкасающихся поверхностей равна нулю. Это сухое трение называется трением покоя. Силы трения покоя не имеют однозначной величины и принимают значения от 0 до f крит (где f крит – критическое значение силы трения покоя). Под критической силой трения f крит понимают ту приложенную к телу минимальную внешнюю силу, выше которой покоящееся тело начинает двигаться. Если внешняя сила меньше f крит , то тело будет находиться в состоянии покоя, а сила трения покоя будет равна по величине и противоположна по направлению этой внешней силе. (Предполагается, что направление внешней силы лежит в плоскости соприкасающихся поверхностей твердых тел.)

51

Опыты показывают, что критическая сила трения покоя пропорциональна силе нормального давления, действующей на соприкасающуюся поверхность f крит  P , (1) где P – сила нормального давления;  – коэффициент трения покоя, зависящий от рода соприкасающихся тел и состояния их поверхностей. Как только соприкасающиеся тела придут в движение, сила треf тр ния между ними немедленно паf крит дает. При малых скоростях сила трения скольжения меньше криv тической силы трения покоя. На 0 Рис. 27 рис. 27 показана зависимость силы трения от скорости. При v  0 график вырождается в отрезок вертикальной прямой. Это означает, что сила трения покоя может принимать любые значения: от 0 до f крит . С увеличением скорости трение возрастает, однако при любой скорости скольжения сила трения пропорциональна силе нормального давления, действующей между соприкасающимися телами f тр  P , (2) где  – коэффициент трения скольжения, зависящий не только от рода соприкасающихся тел и состояния их поверхности, но и от скорости относительного движения. Для малых скоростей    и сила сухого трения скольжения может быть найдена по формуле f тр  P . (3) В случае когда одно тело катится по поверхности другого без проскальзывания, говорят о трении качения. Сила трения качения определяется выражением f тр.кач.   k

52

P , R

(4)

где k – коэффициент трения качения, R – радиус кривизны катящегося тела. В отличие от сухого трения вязкое трение характерно тем, что сила вязкого трения обращается в нуль одновременно со скоростью. Рассмотрим силу трения между твердым телом и вязкой средой (жидкость или газ). При сравнительно небольших скоростях эта сила растет линейно со скоростью: f тр.вяз.  k1v . (5) При больших скоростях она начинает расти пропорционально квадрату скорости f тр.вяз.  k 2v 2 ,

(6)

где коэффициенты пропорциональности k1 и k 2 зависят от формы и размеров тела, состояния его поверхности и от вязких свойств среды. Итак, рассмотренные нами силы тяготения и силы упругости зависят только от конфигурации тел или отдельных частей одного и того же тела, т. е. от их взаимного расположения по отношению друг к другу. Силы сухого трения зависят от относительных скоростей соприкасающихся тел и не зависят от площади соприкасающихся поверхностей.

3.4. Третий закон Ньютона. Импульс силы Опыты показывают, что силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по величине и направлены в противоположные стороны по линии, соединяющей эти тела. Это положение и составляет третий закон Ньютона. Третий закон динамики сам Ньютон сформулировал следующим образом: «Действию всегда есть равное и противоположное противодействие». Иначе – силы взаимодействия двух тел друг с другом равны между собой и направлены в противоположные стороны. Сила «противодействующая» по своей природе и происхождению ничем не отличается от силы «действующей». Если «действующая» сила обусловлена, например, всемирным тяготением, то и «противо-

53

действующая» сила обусловлена той же причиной. Или если «действующая» сила обусловлена деформацией одного из двух соприкасающихся тел, то и «противодействующая» сила обусловлена деформацией другого тела:   F1  F2 .

(1)

С учетом второго закона Ньютона равенство (1) можно записать в виде   m a m1a1  m2a2 или 1  2 m2 a1

(2)

Из уравнения (2) следует, что отношение ускорений, возникающих при взаимодействии двух тел, обратно отношению их масс. Время «действия» и «противодействия» одинаково; оно определяет длительность процесса взаимодействия двух тел. Произведение  силы F на время ее действия t называется импульсом силы.   K  Ft

(3)

3.5. Движение в поле заданных сил Как было сказано выше, тело (частицу) называют свободным, если на него не действуют внешние силы. В этом случае его состояние неизменно с течением времени, т. е. импульс тела остается постоян ным ( p  const ). Импульс – универсальная характеристика любых материальных объектов. Если на тело действуют внешние силы, то его импульс изменяется    dp  F  . Рассмотрим движение материальных тел в поле заданных   dt 

сил.

3.5.1. Движение в поле сил тяготения Свободное падение тел есть движение их под действием силы тяготения. При таком движении на траекторию и скорость тела не наложены заранее никакие ограничения. Если высота h , на которую поднято тело, много меньше радиуса Земли RЗ , то ускорение дви-

54

жения всех тел к Земле можно считать постоянным в данном месте Земли. Это положение было установлено еще Галилеем.  dv g . dt



(1)

Ускорение g направлено вертикально вниз и называется ускорением свободного падения. Скорость тела в поле сил тяготения в любой момент времени равна  v  v 0  gt ,

v0

(2)

где t  время, отсчитанное с момента движения в поле сил тяготения (рис. 28).

 gt

v Рис. 28

Если тело брошено под углом  к горизонту с некоторой начальной скоростью v 0 , то его скорость в любой момент времени представляется в виде суммы двух составляющих:   v  vx i  vy j ,

где v x 

(3)

dx dy , vy  . В отсутствии сопротивления воздуха dt dt v x  v x 0  v0 cos   v y  v y 0  gt  v0 sin   gt.

(4)

Тогда уравнения движения по осям OX и OY запишутся в виде:

или

x  x0  v x t   gt 2  y  y0  v y 0 t  2 

(5)

 x  x 0  v0t cos    gt 2 .  y  y0  v0t sin   2 

(6)

Исключив из уравнений (5) или (6) время, получим уравнение траектории движения тела в поле сил тяготения

55

y  y0 

y  y0 

или

x  x 0 2  v x v y0 vx

2

x  x0 2

 v 2 sin 2   0  g . 2  2v0 cos2   x  x 0 



(7)

 vx i

y0

O

g  x  x  2 0  

 vy j v

x0

 Рис. 29

Уравнение (7) описывает параболу. Следовательно, траекторией движения является парабола (рис. 29). Скорость v в любой точке траектории направлена по касательной в этой точке.

3.5.2. Несвободное движение с наложенными связями Рассмотрим несвободное движение тел, при котором на траекторию тела заранее наложены определенные ограничения вне зависимости от величины действующих на него внешних сил. Эти ограничения в механике называют связями. При несвободном движении на тело действуют не только внешние силы, но и силы со стороны предметов, осуществляющих связь. Эти силы называются реакциями связи. Рассмотрим ряд примеров несвободного движения с наложенными связями. 1. Движение по окружности. Пусть шарик массой m , привязанный к нити, совершает движение по окружности в вертикальной плоскости (рис. 30) с постоянной скоростью v .Сила натяжения нити  F есть реакция связи, действующая на шарик и обеспечивающая его движение по окружности. В этом случае на шарик будут действовать

56





две силы: сила тяжести mg и реакция связи F . Равнодействующая этих сил вызывает центростремительное ускорение шарика:    mg  F  man ,

где an 

(1)

2

v , R – радиус окружности (длина ниR

  mg  F

O  F

ти).  mg Из уравнения (1) видно, что сила связи зависит Рис. 30 от абсолютной скорости шарика, его массы и  длины нити. В нижней точке (точка А) сила F максимальна:  v 2  . F  m g   R  

(2)

В верхней точке (точка В) сила связи минимальна:  v2  F  m  g . R   

(3)

2. Движение тела по идеальной наклонной плоскости. В случае движения по идеальной наклонной плоскости (трение отсутствует)  силой реакции связи является упругая сила N , действующая на тело со стороны наклонной плоско сти. Она обеспечивает движение N вдоль плоскости и не изменяетmg sin  ся в процессе движения. Действительно, на тело массой m ,  находящееся на идеальной mg  плоскости, действуют две силы  (рис. 31): сила тяжести mg и Рис. 31



сила реакции связи N . Равнодействующая этих сил вызывает ускоренное движение тела вниз по наклонной плоскости:    mg  N  ma .

57

(4)

В направлении, перпендикулярном к наклонной плоскости, тело неподвижно: N  mg cos   0,

откуда

N  mg cos  .

(5)

В направлении, параллельном наклонной плоскости, тело движетa  g sin  . (6) ся с ускорением При движении тела по идеальной наклонной плоскости характер движения будет таким же, как и при свободном падении тел, только  величина ускорения a в sin 1  раз меньше ускорения свободного  падения g . В случае, когда имеет место сухое трение, сила реакции связи будет складываться векторно из силы нормальной реакции   опоры N и силы трения F тр , направленной в сторону, противоположную движению. 3. Движение тела по искривленному пути. Найдем реакцию  связи F для электропоезда, идущего по искривленному горизонтальному пути. Пусть скорость электропоезда v постоянна по абсолютной величине, но изменяется по направлению. Это означает, что  он движется с центростремительным ускорением an , величина которого зависит от радиуса кривизны в каждой точке железнодорожного пути. Если в точке А радиус кривизны равен RA (рис. 32), то ускоре ние anA , направленное внутрь кривизны по радиусу RA к центру O1 , будет равно anA 

 FB

v2 RA

(7)



С

O 2 RB

 FA



Рис. 32

58

O1 RA



Это ускорение обеспечивается силой реакции связи F A , обусловленной боковым давлением рельсов на колеса электропоезда. По второму закону Ньютона   F A  manA , (8) где m – масса электропоезда.  В точке В сила связи FB , создаваемая боковым давлением рельсов на колеса электропоезда, вызывает центростремительное ускорение anB 

Эта сила равна

v2 . RB

  FB  manB .

(9)

(10) В точке С радиус кривизны RC   и сила реакции связи будет равна нулю:  FC  0 . (11) При ускорении или торможении электропоезда есть еще силы, действующие на колеса со стороны рельсов. Они представляют собой силы трения или силы сцепления колеса с рельсом. Эти силы ускоряют или замедляют его ход вдоль направления рельсов. Однако эти силы не принуждают электропоезд оставаться на рельсах, поэтому их не относят к реакциям связи. Это не означает, что данные силы не участвуют в обеспечении ускорения движения электропоезда. 4. Движение по выпуклому мосту.   N Рассмотрим движение автомобиля с поF стоянной по модулю скоростью по вы пуклому мосту. На подъеме на автомо биль действуют три силы: сила тяжести R mg    mg , сила тяги F и реакция связи N   an (рис. 33) (сопротивлением воздуха пренебрегаем.) Равнодействующая этих сил  вызывает центростремительное ускореРис. 33  ние an .

59

По второму закону Ньютона

    mg  N  F  man ,

(12)

где m – масса автомобиля. В проекциях на радиальную линию ОА уравнение (12) запишется в виде: mv 2 , R  v 2  N  m g cos   .  R  

mg cos   N 

откуда

(13)

В проекциях на касательную в точке А уравнение (12) запишется в виде mg sin   F  0 . Это уравнение обеспечивает постоянство скорости движения автомобиля на подъеме. Для сохранения постоянной скорости на спуске силу тяги следует заменить на силу торможения. 

Из формулы (13) следует, что реакция связи N зависит не только от скорости автомобиля, его массы и радиуса кривизны моста, но и от проекции силы тяжести на линию ОА. 5. Движение связанных тел. Пусть по горизонтальной поверхности без трения движутся две тележки массами m1 и m2 , связанные друг с другом нерастяжимой и невесомой нитью. Тележки ускоряются действием силы тяжести груза массой m , скрепленного с первой тележкой такой же нитью, перекинутой через неподвижный и неве  сомый блок (рис. 34). Силы тяжести тележек m1g и m2 g и силы ре N2

 T1

  N1 T1

 m2 g



 T

 m1 g Рис. 34

 T  mg

60



акции опоры N 1 и N 2 , действующие на них со стороны горизонтальной поверхности, перпендикулярны к последней и их можно не рассматривать при определении ускорения тележек и сил натяжения нитей.

Обозначим силу натяжения нити между грузом и первой тележкой   через T , а силу натяжения нити, связывающей тележки, через T1 . Тогда второй закон Ньютона для каждой тележки и для груза запишется в виде:    T  T1  m1a     T1  m2a     mg  T  ma  

(14)

Или в проекциях на линию движения: T  T1  m1a   T1  m2a  mg  T  ma

(15)

Решая систему уравнений (15) относительно ускорения a , получим: a

mg . m  m1  m2

(16)

Подставляя уравнение (16) в два последних уравнения системы (15), получим выражения для сил натяжения (реакций связи) нитей: T1 

и

T 

mm2 g m  m1  m2

(17)

mm1  m2 g m  m1  m2

6. Движение тел, подвешенных на блоках: Пусть три тела массами m1, m2, m3 подвешены на нерастяжимых нитях и перекинуты через блоки так, как показано на рис. 35. Нити и блоки считаются невесомыми. Для определенности положим, что m1  m2  m3 (где m2  m3 ). Определим ускорения движения тел и натяжения нитей (реакции связей).

(18)

O

O T  T1

X

 a1

 m1 g  T2  m2 g Рис. 35

61

 T1

 a1

 T2  m3 g

Поскольку блоки невесомы, силы натяжения нитей T1  2T 2 , T  2T1  4T 2 . Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в отдельности:

 

   m1a1  m1 g  T1      m2a2  m2 g  T 2  ,     m3a3  m3 g  T 2  



(19)

где a1, a2, a3 – ускорения первого, второго и третьего тел соответственно в системе отсчета, связанной с точкой подвеса О. В проекциях на ось OX уравнения (19) запишутся в виде:



m1a1  m1 g  T1   m2a2  m2 g  T 2 , где a2  a  a1  . m3a3  T 2  m3 g, где a3  a  a1 

Здесь a – ускорение тел m2 и m3 в системе отсчета, связанной с неподвижным блоком. Или m1a1  m1g  2T 2

  m2a  m2a1  m2 g  T 2  . m3a  m3a1  T 2  m3 g 

(20)

Из двух последних уравнений системы (20) получаем: a

m2  m3 a1  g . m2  m3

(21)

Подставляя уравнение (21) во второе уравнение системы (20), получим: T2 

2m2m3 g  a1  . m2  m3

(22)

Подставляя уравнение (22) в первое уравнение системы (20), най дем ускорение a1 : a1 

m1m2  m1m3  4m2m3 g . m1m2  m1m3  4m2m3

62

(23)



Подставляя уравнение (23) в (21), найдем ускорение a :

2m1 m2  m3 g . (24) m1m2  m1m3  4m2m3   Зная ускорения a и a1 , нетрудно найти ускорения второго и a

третьего тела относительно точки подвеса. a2 

и

a3 

m1m2  3m1m3  4m2m3 g m1m2  m1m3  4m2m3

3m1m2  m1m3  4m2m3 g . m1m2  m1m3  4m2m3

(25) (26)

Учитывая выражение (23), найдем из формулы (22) силу натяже ния T 2 : 4m1m2m3 g. (27) m1m2  m1m3  4m2m3   Тогда силы натяжения нитей T1 и T будут соответственно равны: T2 

T1 

8m1m2m3 g; m1m2  m1m3  4m2m3

(28)

T 

16m1m2m3 g. m1m2  m1m3  4m2m3

(29)

Итак, при анализе несвободных движений тел кроме известных внешних сил (например, силы тяжести) вводят еще неизвестные силы – реакции связей и записывают уравнения движения. При этом ускорения находят из других условий задачи, например, по скорости и форме пути тела. Зная ускорение, массу тела и действующие на него внешние силы, можно найти реакции связей. Из рассмотренных примеров несвободных движений видно, что связи определяют траекторию движения тела.

3.5.3. Движение под действием диссипативных сил Рассмотрим движение частицы в вязкой среде. Сила трения вязкости равна  (1) f тр.вяз.  k1 v и направлена в сторону, противоположную вектору скорости v (п. 3.3.3). 63

Уравнение движения частицы массой m под действием диссипативных сил запишем в виде m

Величина  

k dv dv  k1v или  1v dt dt m

(2)

m называется временем релаксации, а уравнение k1

1 dv  v dt 

(3)

называется уравнением релаксации. В уравнении (3) разделим переменные и проинтегрируем dv dt ;  v 

dv

t

dt

 v     ; ln v     C

(4)

Постоянную интегрирования С найдем из начальных условий: v  v0 при t  0 . C  ln v0 . Тогда

ln v  ln v0  

t v t  t или ln   v0 

(5)

Потенциирование выражения (5) дает v t   v0e



t 

(6)

Из формулы (6) следует, что в вязкой среде скорость частицы убывает (релаксирует) по экспоненциальному закону. Путь, который может пройти частица в вязкой среде, равен t

t

0

0

S   v t dt   v0e



t  dt

t      S0 1  e   ,    

(7)

где S0  v0  – максимальный путь, который может пройти частица со скоростью v0 за время  .

64

3.6. Движение центра масс (инерции) системы Если система состоит из совокупности материальных точек, то в нерелятивистской механике импульс системы  p  m1 v1  m2 v 2    mn v n

(1)

может быть выражен через скорость ее центра масс. Центром масс или центром инерции системы называется та единственная точка системы, которая под действием внешних сил будет двигаться так же, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, под действием тех же сил. Пусть система состоит из двух материальных точек (частиц) с координатами x1, y1  и x2, y2  и массами m1 и m2 соответственно. Предположим, что y1  y2 (рис. 36). На эти материальные точки действуют силы тяже  сти m1g и m2 g . Очевидно, точка С является точкой приложения равнодействующей указанных  сил. Эта точка с координатами С xс , yс  называется центром тя- y1 жести или центром масс систе  m1 g m2 g мы. В данном случае под цен тром тяжести понимаем точку  x2 x1 xс приложения всех массовых параллельных сил, действующих Рис. 36 на систему. Найдем связь координаты xс центра масс с координатами x1 и x2 материальных точек. Из условия равновесия следует, что откуда

m1 gxс  x1   m2 gx 2  xс 

(2)

m1 xс  m1 x1  m2 x 2  m2 xс ,

(3)

xс 

m1 x1  m2 x 2 . m1  m2

65

(4)

Обозначим через r1 разность xс  x1 и через r2 = x 2  xс . Тогда можно записать, что m1r1  m2r2 или

m1 r 2 .  m2 r1

(5)

Из формулы (5) следует, что центром масс двух материальных точек называется воображаемая точка, делящая расстояние между ними обратно пропорционально их массам. Центр масс трех частиц делит расстояние между ценr1 r2 m1 тром масс каких-либо двух C m2 из них и третьей обратно rс пропорционально отношению суммы масс первых C двух частиц к массе третьей r3 частицы (рис. 37): m1  m2 r  3 . m3 rс

m3

(6)

Рис. 37

Формула (6) устанавливает закон, по которому возможен переход от трех материальных точек (частиц) к любому их числу для нахождения центра масс системы. В соответствии с выражением (4) координаты центра масс системы материальных точек запишутся в виде: n

m1 x1  m2 x 2    mn x n  m1  m2    mn



 mi xi 

   mi  i 1   n  mi yi  m y  m2 y2    mn yn   i 1 yс  1 1  n m1  m2    mn  mi  i 1  n   mi zi  m1z1  m2 z2    mn zn   i 1 zс  n m1  m2    mn   mi  i 1  xс 

66

i 1 n

(7)

n



 mi ri

 rс  i 1 m

Или радиус-вектор

,

(8)

n

где m   mi – масса всей системы. i 1

Если продифференцировать выражения (7) и (8) по времени, то получим составляющие скорости центра масс 

n

 mi vix 

dxс  i 1 dt m

   n  mi viy  dy  vсy  с  i 1 , dt m  n   mi viz  dz  vсz  с  i 1  m dt   n   mi v i drс i а скорость центра масс .  1 vс  dt m  Импульс центра масс Pс  mv с vсx 

(9)

(10)

(11) Продифференцировав дважды выражения (7) и (8) по времени, получим компоненты ускорения центра масс. 

n

2

d xс

 mi aix 

   n   mi aiy  d 2 yс  aсy   i 1  2 m dt   n  mi aiz  2 d zс  aсz   i 1  2 m dt  

aсx 

dt

2

 i 1

67

m

(12)

n



и ускорение центра масс: aс  или

 d 2 rс 2

dt

m



n



 mi ai

 i 1 m

 d vс F , dt

(13) (14)



где F   Fi – равнодействующая внешних сил, действующих на i 1

каждую материальную точку системы. Из уравнения (14) следует, что центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Это есть теорема о движении центра масс. Центр масс (центр инерции) системы совпадает с ее центром тяжести, т. е. с точкой приложения параллельных массовых сил, действующих на материальные точки системы в поле тяготения.

3.7. Приведенная масса При изучении движения одной материальной точки относительно другой в замкнутой системе, состоящей из двух материальных точек, часто пользуются понятием приведенной  r m2 массы. m1 Пусть замкнутая система состоит из двух  r взаимодействующих между собой частиц с 2  r1 массами m1 и m2 (рис. 38). O Рис. 38

Уравнения движения этих частиц относительно точки О представятся в виде:  d 2r1

   F1   dt 2 , 2  d r2  m2  F2  dt 2    где по третьему закону Ньютона F1  F2 . m1

68

(1)

(2)

Вычитая из одного уравнения другое, находим:

   d2   F2 F1 r  r1     F2  1  1  . 2 2 m2 m1 dt  m1 m2 

(3)

Уравнение (3) описывает движение одной частицы относительно    другой, так как радиус-вектор r  r2  r1 , проведенный от первой частицы ко второй, однозначно определяет положение второй частицы относительно первой. Принимая во внимание, что m1m2  , m1  m2   d 2r уравнение (3) предстанет в виде  2  F2 dt

(4) (5)

Это уравнение формально похоже на второй закон Ньютона.  Здесь роль силы играет сила F2 , действующая на вторую частицу со стороны первой, а роль массы  величина  , называемая приведенной массой. Естественно, уравнение (5) не может быть эквивалентным двум исходным уравнениям (1). Однако такой эквивалентности можно достигнуть, если к уравнению (5) добавить уравнение, выражающее теорему о движении центра масс системы. В данном случае это уравнение будет сводиться к утверждению, что центр масс системы движется прямолинейно и равномерно. Итак, задача о движении двух материальных точек распадается на две независимые задачи: 1) определение равномерного прямолинейного движения центра масс и 2) определение относительного движения одной материальной точки относительно другой. Вторая задача формально сводится к задаче о движении одной материальной точки с массой  в силовом поле другой материальной точки. Этим и оправдывается введение понятия приведенной массы. Понятие приведенной массы часто используется, например, в астрономии. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

69

Требуется определить отношение масс двух планет, имеющих спутники и движущихся по круговым орбитам вокруг Солнца. Поскольку планеты имеют спутники, в действительности по орбите радиуса R вращается вокруг Солнца центр масс системы "планета– спутник" с массой mпл  mсп ( mпл – масса планеты, mсп – масса спутника). Воспользуемся уравнением (5) и запишем для каждой из двух систем "планета–спутник" уравнения движения в виде mсп1mпл1   r12  , m m 2 сп 2 пл 2   2 сп 2r2    r22 

12сп1r1  

(6)

где r1 и r2 – расстояния от спутников до планет для соответствующей системы; 1 

mсп1 mпл1 mсп 2mпл2 , 2  – mсп1  mпл1 mсп2  mпл2

(7)

приведенные массы для соответствующей системы. Подставляя выражение (7) в (6) и принимая во внимание, что циклическая частота обращения спутника вокруг планеты равна  

2 (Т – период обT

ращения), получим: mпл1  mсп1 mпл 2  mсп 2

Так

   . 3 4 2 r 2     T2  сп 2 

3 4 2 r1   T2 сп1

(8)

как

масса спутника много меньше массы планеты ( mсп1  mпл1 и mсп 2  mпл 2 ), то, пренебрегая массами mсп1 и mсп 2 в уравнении (8) и деля одно уравнение на другое, получим для отношения масс двух планет выражение r3 T 2 mпл1  1 сп 2 . 2 mпл 2 r 23 T сп 1

70

(9)

Таким образом, зная радиусы r1 и r2 орбит спутников и их периоды обращения T1 и T 2 вокруг своих планет, можно найти отношение масс этих планет. Если известна масса одной планеты, то нетрудно найти массу другой планеты. Следует отметить, что третий закон Кеплера непосредственно вытекает из уравнений (8), если в этих уравнениях заменить массу планет на массу Солнца mC , а массы спутников – массами планет. Тогда mС  mпл1 mС  mпл2

3 4 2 R1     T2 1  . 2 R3  4 2    T 2 2 

(10)

Полагая, что mпл1  mС и mпл2  mС , и деля в системе (10) одно уравнение на другое, получим формулу

T12 T 22



R13 R23

, которая выра-

жает третий закон Кеплера.

3.8. Момент импульса и момент инерции материальной точки Если материальная точка А вращается по окружности радиусом r (рис. 39), то ее движение характеризуется физической величиной, называемой моментом импульса. Момент им L пульса относительно неподвижного начала О  равен векторному произведению радиуса    P вектора r на импульс материальной точки P . А

 

   L  r , P или в скалярном виде L  mv r .

(1)

Принимая во внимание, что v   r (  – угловая скорость вращения), момент импульса может быть записан как Физическая величина

О

 r

Рис. 39

L  mr 2 .

(2)

J  mr 2

(3)

71

называется моментом инерции материальной точки относительно центра вращения О. Учитывая выражение (3), момент импульса материальной точки запишется как   L  J .

(4) Итак, при поступательном движении материальная точка характе ризуется импульсом P  mv , а при вращательном движении – моментом импульса (4). В случае поступательного движения мерой инертности материальной точки является ее масса m, а в случае вращательного движения – момент инерции J.

72

Глава 4. Законы сохранения 4.1. Закон сохранения импульса Законы сохранения являются фундаментальными законами природы. В механике изучают законы сохранения импульса, энергии и момента импульса. Рассмотрим подробнее эти законы и их применение. Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из n взаимодействующих между собой материальных точек. (Система называется замкнутой, если она не взаимодействует с окружающей средой, т. е. если на нее не действуют внешние силы). Силы, действующие между материальными точками, образующими замкнутую систему, называются внутренними силами. Пусть скорости материальных точек есть v1, v 2 , , v n , а внутренние силы, действующие между ними  f12,  f 21,

 f13,  ,  f 23,  ,

 f1n  f 2n

……………

   f n1, f n 2,  , f n n 1

Тогда ньютоновские уравнения движения запишутся в виде:

 

 





   d  m1 v1  f12  f13    f1n  dt     d  m2 v 2  f 21  f 23    f 2n  dt                 d mn v n  f n1  f n 2    f n n 1  dt 

(1)

Складывая все эти уравнения, получаем слева производную по времени от суммы импульсов всех материальных точек замкнутой системы, т. е. от полного импульса системы, а справа  сумму всех внутренних сил, действующих в системе. Поскольку система замкну73

та, сумма всех сил в ней равна нулю. Действительно, по третьему за   кону Ньютона f ik   f ki . Но в связи с тем, что в сумме силы f12 и

   f 21 ,…, f1n и f n1 и т. д. встречаются попарно, то полная сумма сил в

замкнутой системе всегда равна нулю. Следовательно, d dt

 mi v i  0 , i

 mi v i  const .

откуда

(2)

i

Формула (2) выражает собой закон сохранения импульса: полный импульс замкнутой системы есть величина постоянная. Если система не является замкнутой, то на материальные точки этой системы помимо внутренних сил будут действовать еще и    внешние силы F1, F2, , Fn . Тогда ньютоновские уравнения движения представятся в виде:

 

 





    d  m1 v1  f12  f 13    f1n  F1  dt      d  m2 v 2  f 21  f 23    f 2n  F2  dt .                 d mn v n  f n1  f n 2    f nn 1  Fn  dt 

(3)

Складывая уравнения движения для всех материальных точек, получим:  d  mi v i   Fi . dt i i

(4)

Из уравнения (4) следует, что производная от полного импульса незамкнутой системы равна геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Согласно формуле (4) только внешние силы способны изменить импульс системы. Закон сохранения импульса лежит в основе движения тел с переменной массой или реактивного движения.

74

4.1.1. Движение с переменной массой (реактивное движение) Примером реактивного движения является движение сегнетова колеса. Оно представляет собой S-образную трубку с сосудом, заполненным жидкостью (рис. 40). При вытекании жидкости из трубки система приходит во вращательное движение: струя жидкости выбрасывается в одну сторону, а трубка начинает двигаться в противоположную. Такое движение называется движением отдачи или реактивным движением. В основе реактивного движения лежит закон сохранения импульса. Рассмотрим движение с переменРис. 40 ной массой на примере движущейся вверх ракеты. Принцип действия ракеты следующий: ракета с большой скоростью выбрасывает газ (продукты сгоревшего топлива), который воздействует с большой силой на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Пусть в момент времени t скорость ракеты относительно Земли равна v , а масса ракеты равна m. В этот момент ее импульс будет равен mv . Через промежуток времени dt в результате сгорания топлива из ракеты выбрасывается масса газа dm  dt (1) 

(где  – ежесекундный расход топлива) со скоростью u относительно ракеты. За время dt масса ракеты уменьшится на величину dm и станет равной m  dm , а скорость, наоборот, возрастет на величи-





ну d v и станет равной v  d v . Следовательно, в момент времени

t  dt 

  



импульс ракеты станет равным m  dm v  d v , а импульс





  выброшенного газа  dm v  u . Величина v  u – скорость газов

относительно Земли. Изменение импульса ракеты будет равно импульсу внешних сил:

m  dmv  d v   dmv  u   mv  Fdt 

75



(2)

или

  mv  dmv  dmdv  mdv  vdm  udm  mv  Fdt ,   mdv  udm  dmdv  Fdt .

(3) или Пренебрегая в формуле (3) членом второго порядка малости dmdv , получим:   dv  F  u . dt

(4)

Уравнение (4) называется уравнением Мещерского. Здесь m

dv dt

m



есть сила тяги (реактивная сила), а F – внешняя сила. Из уравнения (4) следует, что реактивная сила пропорциональна расходу топлива и скорости истечения газа. Она противоположна по  направлению вектору скорости u . Если на ракету не действуют внешние силы, то уравнение (4) представится в виде:  mdv  dmu .

(5) В проекциях на линию движения ракеты уравнение (5) запишется в виде: mdv  dmu или

dm dv  . m u dm

dv

(6) v

Проинтегрируем выражение (6):   или ln m   C . u m u Постоянную интегрирования C найдем из начальных условий. В момент старта ракеты t  0 ее скорость v  0 и масса m  m0 . Следовательно, C  ln m0 . Тогда ln m0  ln m   откуда

m v v или ln 0   , u m u v  u ln

m0 m

(7)

Формула (7) позволяет найти скорость ракеты в любой момент времени по расходу топлива. Знак «минус» указывает на то, что ско рости v и u противоположно направлены. 76

v

m0  eu m

Из формулы (7)

(8)

Соотношение (8) называется формулой Циолковского. Она позволяет рассчитать запас топлива, необходимый для сообщения ракете скорости v . Из формулы (8) видно, что увеличение скорости газовой  струи u приводит к увеличению относительной полезной массы ракеты. Это значит, что меньше потребуется расходовать топлива для достижения заданной скорости v .

4.2. Работа силы. Мощность 

Элементарной работой силы F на бесконечно малом перемеще нии dS называется скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения





  dA  F , dS  FdS cos  ,

(1)

 – проекция вектора силы F на линию перемеще-

где F cos   FS ния. Из уравнения (1) следует, что работа – положительна, если  ; работа – отрицательна, если cos   0 , т. е. 2     . Наконец, работа равна нулю, если cos   0 , т. е.   . Так, 2 2

cos   0 , т. е.  

например, работа силы трения отрицательна, потому что сила направлена в сторону, противоположную движению, а работа центростремительной силы равна нулю, поскольку сила перпендикулярна перемещению. Ее роль сводится только к изменению направления движения материальной точки. При движении материальной точки по криволинейной траектории весь путь следует разделить на бесконечно малые отрезки, на каждом  из которых силу F можно считать постоянной. Тогда элементарная работа, совершаемая силой на каждом отрезке пути, может быть определена по формуле (1), а полная работа на всем пути представится суммой элементарных работ

77





  A   F , dS , L

(2) 

т. е. криволинейным интегралом вектора F вдоль траектории L. Графически работа определяется плоFS щадью фигуры OBCD (рис. 41), заключенной под кривой зависимости FS от B C S. Заштрихованный участок соответствует элементарной работе dA , совершаемой на элементарном пути dS , где D сила считается постоянной величиной. O

S

dS

Рис. 41

 dp Принимая во внимание, что F  и dt  dS  vdt , формулу (2) можно

записать в другом виде:

 

 A   v, dp

Размерность работы

(3)

A  F l  ;

 кг  м 2  Ньютон  м  Джоуль Дж    с2 A    г  см 2  дина  см  эрг   с2

(СИ) (СГС )

1Джоуль  107 эрг

Работа, отнесенная к единице времени, называется мощностью. P 

dA ; dt

P  

Джоуль  ваттвт  . с

(4)

При равномерном движении мощность можно представить в виде произведения силы на скорость.

78

4.3. Механическая энергия материальной точки и системы материальных точек Изменение движения материальной точки (системы материальных точек), или изменение ее положения в пространстве, характеризуется физической величиной, называемой энергией. Энергия является однозначной функцией состояния системы и характеризует ее с точки зрения той работы, которую нужно совершить, чтобы перевести данную систему из одного состояния в другое. Это значит, что энергия системы в каждом состоянии определена с точностью до неопределенной постоянной. Механическая энергия системы складывается из кинетической и потенциальной энергий.

4.3.1. Кинетическая энергия Под кинетической энергией понимают энергию материальной точки, определяемую ее скоростью и массой. Кинетическая энергия характеризует состояние движения.  В случае произвольного движения расF смотрим бесконечно малое перемещение C   v1 dS материальной точки m под действием   dS силы F (рис. 42). Элементарная работа, D  совершаемая на участке dS , равна Рис. 42 v2 dA  FdS cos  , (1) dS  vdt . (2) где При движении по кривой линии тангенциальное ускорение равно at 

dv F cos  .  dt m

(3)

Учитывая выражения (2) и (3), уравнение (1) запишем в виде: dA  m

dv vdt  mvdv . dt

79

(4)

Полная работа на всем пути CD определится интегралом от формулы (4): A

v2

 mvdv 

v1

v

mv 2 2 mv2 2 mv12   . 2 v 2 2 1

Ek 

Функция

mv 2 2

(5)

(6)

называется кинетической энергией материальной точки. Кинетическая энергия – это энергия движения. Обозначая через E k 1 и E k 2 кинетическую энергию материальной точки соответственно в начальном и конечном состоянии, формулу (5) запишем в виде: A  E k 2  E k 1  E k , (7) т. е. работа силы выражается разностью кинетических энергий конечного и начального состояния материальной точки. Другими словами, работа есть мера изменения механической энергии. В случае системы материальных точек работа всех сил, действующих на эту систему, равна изменению ее кинетической энергии E k , как и для одной материальной точки. Здесь под действием всех сил понимается действие как внешних, так и внутренних сил. Как известно, внутренние силы не могут изменить полного импульса системы, однако они могут изменить ее кинетическую энергию. Представим себе замкнутую систему, состоящую из двух материальных точек, взаимодействующих между собой с силами притяжения   F1  F2 . Если эти материальные точки будут двигаться навстречу 



друг другу, то каждая из сил F1 и F2 совершит положительную работу. Следовательно, будет положительной и полная работа обеих сил. Она пойдет на приращение кинетической энергии системы. Рассмотрим кинетическую энергию материальной точки и системы материальных точек в различных системах отсчета. Пусть подвижная система K  движется относительно неподвижной K  со 

скоростью V . Согласно теореме сложения скоростей по Галилею

80

связь абсолютной v и относительной v  скорости материальной точки выражается в виде:  v  v' V ,

(8)

где v – скорость материальной точки относительно системы K  , а v' – относительно K  . Кинетическая энергия материальной точки в

 

 mv 2 mv' 2 mV 2    m v' ,V или 2 2 2   1 E k  E k  mV 2  p,V , 2

системе отсчета K  равна:





(9)



где p  mv' – импульс материальной точки в подвижной системе отсчета K  . Для системы материальных точек выражение (9) следует просуммировать по всем материальным точкам. Тогда получится снова  формула (9), в которой под p следует понимать импульс всей системы материальных точек. Его можно представить как  p  mv ' с ,

(10)

где m – суммарная масса материальных точек, v' с – скорость центра масс системы относительно K  .

Таким образом, для системы материальных точек связь кинетических энергий в подвижной и неподвижной системах отсчета представится в виде: E k  E k 





 1 mV 2  m V , v' с . 2

(11)

Если центр масс системы материальных точек покоится в системе отсчета K  , то подвижную систему отсчета можно связать с центром масс и рассматривать его движение относительно системы K  . Тогда кинетическая энергия системы материальных точек, движу щейся со скоростью V относительно K  , запишется в виде E k  E k 

81

1 mV 2 . 2

(12)

Формула (12) выражает собой теорему Кёнига: если система материальных точек движется поступательно относительно неподвижной системы отсчета, то кинетическая энергия такой замкнутой системы равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, движущихся относительно центра масс системы, и кинетической энергии поступательного движения центра масс этой системы.

4.3.2. Потенциальная энергия В механике все силы делятся на два класса: консервативные и неконсервативные. К неконсервативным силам относятся диссипативные силы, связанные с рассеянием энергии. Примером таких сил являются силы трения, возникающие при скольжении одного тела по поверхности другого, а также силы сопротивления при движении тела в жидких или газообразных средах. Консервативные силы создают поле центральных сил. Примером консервативных сил могут служить силы тяготения Земли. Они направлены к центру Земли (силовому центру) и создают гравитационное поле. Характерной особенностью консервативных сил является то, что их работа не зависит от способа перехода системы из начального положения (конфигурации) в конечное, т. е. от формы пути, и определяется только самими конфигурациями. По любому замкнутому контуру работа консервативных сил равна нулю. Поле консервативных сил называют потенциальным полем. Материальная точка (система материальных точек) в потенциальном поле обладает потенциальной энергией, величина которой зависит от положения этой точки относительно силового центра. Поэтому потенциальную энергию иногда называют энергией координат. Пусть при произвольном движении материальная точка переходит из положения B в положение C, которые определяются высотами h1 и h2 соответственно. Элементарная ра  B dS бота, совершаемая силой тяжести mg на dh C  малом отрезке пути dS (рис. 43), равна  h1   mg h2 dA  mg , dS  mgdS cos  , (1)



Рис. 43

82



где dS cos   dh . Полная работа на всем пути BC выразится интегралом от (1) h2

h2

h1

h1

A   mgdh  mgh

 mgh2  mgh1  .

(2)

Функция высоты h E p  mgh

(3)

называется потенциальной энергией. В данном случае нулевым уровнем отсчета потенциальной энергии является поверхность Земли. Обозначая E p1  mgh1 и E p2  mgh2 , формулу (2) перепишем в виде





A  E p 2  E p1  E p .

(4)

Под потенциальной энергией понимают «запас» работы, которая может быть произведена системой за счет изменения ее положения в пространстве. По мере того как система производит работу, ее потенциальная энергия убывает. Формула (3) справедлива постольку, поскольку сила тяжести считается неизменяющейся с высотой. Это имеет место только в случае, когда высота много меньше радиуса Земли h  R3  . Для случая больших высот h  R3  потенциальная энергия выражается другой формулой.  В качестве примера рассмотрим движение спутника массой m в поле сил земного  dS dr тяготения. Пусть он в начальный момент    времени находился на расстоянии r1 от   F r1 r центра Земли, а спустя некоторое время –   на расстоянии r2 (рис. 44). Как и в первом r2 примере, элементарная работа, совершае мая силой тяготения F на малом перемеO R    3 щении dS , будет равна dA  (F , dS )  Рис. 44

83

 FdS cos  , где F  

mM 3 r2

, dS cos   dr , r  R3  h .

Полная работа, совершаемая спутником под действием силы тяго  тения при движении из положения r1 в положение r2 , будет равна A

r2



r1

mM 3 r2

dr   

 mM 3 mM 3 r2 mM 3  .     r r2 r1   r1

(5)

Функция координаты r E p  

mM 3 r

(6)

называется потенциальной энергией. Потенциальная энергия спутника в гравитационном поле Земли выражается формулой E p  

mM 3 . R3  h 

С учетом формулы (6) выражение (5) запишем в виде A  E p2  E p1  E p .

(7)

Если считать, что на бесконечности r    потенциальная энергия равна нулю, то на всех конечных расстояниях r она меньше нуля. Это значит, что потенциальная энергия спутника, движущегося по круговой или эллиптической орбите, меньше нуля. Итак, в случае малых высот h  R3  нулевым уровнем (уровнем отсчета) потенциальной энергии является поверхность Земли, а в случае больших высот h  R3  им является уровень, удаленный от поверхности Земли на бесконечно большое расстояние. Консервативными силами являются не только силы тяготения, но и силы упругости. Упругие силы, возникающие, например, при растяжении или сжатии стальной пружины, являются центральными силами. Поэтому и здесь имеет смысл говорить о потенциальной энергии.

84



Пусть под действием внешней силы F упругая пружина растянулась на величину x. Тогда по закону Гука возникающая сила упругости деформированной пружины будет равна F  kx . (8) При возвращении пружины из деформированного состояния в неде формированное сила F совершает работу A

Функция

x2

kx 2 x 2

 kxdx  2 x1

x1

Ep 



kx 22 kx12  . 2 2

(9)

kx 2 2

(10)

называется потенциальной энергией упругости (упругой энергией). Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия. Обозначая E p1 

kx12 kx 2 и E p2  2 , формулу (9) перепишем в виде: 2 2 A  E p2  E p1 = E p .

Таким образом, механическая энергия системы складывается из кинетической и потенциальной энергий: (11) E  Ek  E p . Масса тела и его механическая энергия являются двумя мерами материи; масса определяет количество материи, а энергия – ее движение и взаимодействие.

4.3.3. Графическое представление энергии. Границы движения Рассмотрим движение материальной точки (частицы) в различных потенциальных полях. 1. Пусть тело массой m подбрасывается вертикально вверх. Полная механическая энергия тела складывается из кинетической и потенциальной и в отсутствии сопротивления воздуха будет оставаться постоянной величиной Ep A (1) E  E p  E k  const . C

85

B Ek Ep

O

D

E

h hmax

Рис. 45

Поскольку потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h, равна (2) E p  mgh , графически ее зависимость от h представится прямой OA (рис. 45). Полная механическая энергия E представится прямой CD, параллельной оси абсцисс. Так как кинетическая энергия E k  0 , то согласно формуле (1) максимально возможное значение потенциальной энергии будет равно E p  E . Это значит, что вся кинетическая энергия перешла в потенциальную. Из рис. 45 следует, что максимальная высота подъема тела hmax определится абсциссой точки пересечения B прямых OA и CD. Таким образом, движение тела (частицы) с механической энергией E возможно лишь в области высот, заключенных между О и hmax . Движение, при котором частица остается в конечной области пространства, называется финитным. Если же она может удаляться сколь угодно далеко, то такое движение называется инфинитным. В указанном примере движение будет финитным. 2. Положим, что материальная точка (шарик) массой m прикреплена к упругой пружине с коэффициентом жесткости k. При растяжении пружины материальная точка сдвинется из положения равновесия (положения нерастянутой пружины) на величину x, а при ее сжатии – на величину  x  (рис. 46). В этом случае потенциальная энергия материальной точки будет равна Ep 

C

B

kx 2 . 2

Ep

(3) B

D

Ek E

Ep X

x min

O Рис. 46

86

x max

В отсутствии сопротивления среды полная механическая энергия материальной точки будет определяться формулой (1). Графически потенциальная энергия шарика на пружине в зависимости от x представится параболой, а полная энергия E – прямой CD, параллельной оси абсцисс. Максимально возможное значение потенциальной энергии равно E p  E . Из симметрии параболы следует, что возможные значения смещения материальной точки лежат между x min и x max – абсциссами точек пересечения B  и B параболы с прямой CD  xmin  xmax  . Точки B  и B называют поворотными точками. Шарик (частица) подходит к точке B (или B  ) и движется обратно, т. е. совершает колебания около положения равновесия x  0 . Его кинетическая энергия, а, следовательно, и скорость, достигают максимума при прохождении положения равновесия и имеют минимальные значения (нуль) при максимальных отклонениях. В этом примере движение материальной точки будет финитным. Оно ограничено значениями x min и x max . Область финитности зависит от полной механической энергии. В рассматриваемом примере эта область уменьшается с уменьшением энергии E и стягивается в одну точку x  0 при E  E min . Точка O является положением устойчивого равновесия. (В этом случае сила упругости пружины равна нулю.) Очевидно, что точки x min и x max , где потенциальная энергия достигает максимального значения, являются положениями неустойчивого равновесия. Они соответствуют максимальному значению силы упругости пружины. 3. Теперь рассмотрим движение частицы в более сложном поле, кривая потенциальной энергии которой имеет вид, изображенный на рис. 47. Пусть полная энергия частицы E представляется прямой CD. Движение частицы с такой энергией в данном поле возможно только в двух областях: области  между x1 и x2 , области  справа от точки x3 . Движение в области  будет финитным (частица колеблется относительно положения равновесия точки x0 ). Движение в области  будет инфинитным, так как частица может удалиться сколь угод-

87

но далеко вправо от точки x3 . На бесконечности скорость частицы равна v  Ep



2E , m



(4)



E p max D

C

Ek E Ep

O

x1 x 0

X

x2

x3

Рис. 47

т. е. по мере удаления от точки x3 скорость частицы возрастает. Если же частица будет двигаться из бесконечности к точке x3 , то ее скорость будет уменьшаться и в точке x3 обратится в нуль. Поэтому частица не сможет проникнуть в область , так как этому препятствует запретная область , лежащая между x2 и x3 . Эта область также не дает возможности частице, совершающей колебания в области , перейти в область , где возможно движение с энергией E. Запретная область  называется потенциальным барьером, а область  – потенциальной ямой. С ростом энергии частицы E ширина барьера уменьшается и, наконец, при E  E max он исчезает. При этом исчезает область колебательного движения и движение частицы становится инфинитным.

88

Таким образом, движение частицы в одном и том же силовом поле может быть как финитным, так и инфинитным в зависимости от ее энергии. Так, например, в поле, кривая потенциальной энергии которого имеет вид, изображенный на рис. 48, для E  0 и x  x0 движение частицы инфинитное, а для E p min  E  0 ее движение финитное. Вообще, если потенциальная энергия обращается в нуль на бесконечности, то движение с энергией E  0 будет обязательно финитным, так как на бесконечности нулевая потенциальная энергия превосходит полную энергию и, следовательно, частица не сможет удалиться на бесконечность.

4.3.4. Силы и потенциальная энергия Взаимодействие тел можно описывать либо с помощью сил, либо с помощью потенциальной энергии как функции координат взаимодействующих частиц. Рассмотрим частицу, находящуюся в поле центральных сил.  Пусть под действием силы F она переместилась в этом поле на бесконечно малое расстояние dr . Элементарная работа при таком перемещении равна убыли потенциальной энергии





  dA  F , dr  dE p .

(1)

В проекциях скалярное произведение (1) запишем в виде: Fx dx  F y dy  Fzdz  dE p , где

C

E p min

– проекции

 вектора силы F на коорди-

Ep

O

F x , F y , Fz

(2)

E

x0

Ep

D Ek X

Рис. 48

89

натные оси прямоугольной системы координат. Предположим, что смещение частицы происходит вдоль какой-либо одной координатной оси. Тогда

Fx dx  dE p y, z    F y dy  dE p x, z   Fzdz  dE p x, y  

(3)

или в частных производных функции E p x, y, z  :  E p     Fx     x  y, z    E p     F y     y  x, z    E p     Fz      z  x, y 

(4)

В системе уравнений (4) функция E p x, y, z  при дифференцировании рассматривается как функция одного аргумента (например x), а остальные два y, z  являются параметрами, которые при дифференцировании должны оставаться постоянными. Величины, получающиеся в процессе такого дифференцирования, называются частными производными функции E p . Уравнения (4) можно записать в другом виде: E p  dv x   dt x  dv y E p  m   dt y  E p  dv  m z  dt z  m

(5)

Уравнения (5) выражают ньютоновские уравнения движения, где вместо силы фигурирует производная по координатам от потенциальной энергии. Сила может быть представлена как   E p  E p  E p   F   i  j  k y z   x

90

(6)

или

 F   gradE p ,

(7)

где математический символ grad (градиент) характеризует быстроту изменения скалярной величины grad   

      i  j  k z y x

и называется оператором Гамильтона. По определению градиент функции E p есть вектор, направленный по нормали к поверхности уровня E p  const в сторону

2

возрастания E p (рис. 49). Если нормаль

1

(8)

gradE p E p  dE p

Ep

совпадает с координатной осью, например с Рис. 49 осью OX, то численная величина этого вектора будет равна производной по нормали функции E p dE p dn



E p x

.

(9)

4.4. Закон сохранения энергии За многие годы наблюдений и опытов в физике накопилось большое количество результатов, утверждающих один из фундаментальных законов природы – закон сохранения энергии. Согласно этому закону энергия никогда не создается и не уничтожается; она может только переходить из одного вида в другой вид. Пусть при переходе системы из состояния  в состояние  внешние силы совершают работу A, которая определяется как A  E II  E I , (1) где E I и E II – полная энергия системы в первом и во втором состоянии соответственно. Предположим далее, что, воздействуя на систему, мы перевели ее из состояния  обратно в состояние . При этом внешние силы совершили работу A . Значение энергии, которую приобретает система после того, как ее перевели в состояние , обозначим E I  . Тогда можно записать, что A  E I   E II .

91

(2)

Опыты показывают, что во всех конкретных случаях в отсутствии диссипации (рассеяния) энергии A   A . (3) Тогда

E I   E II  E II  E I

или

EI   EI .

(4)

Формула (4) выражает закон сохранения энергии. Для замкнутой системы при всех происходящих в ней процессах энергия ее остается постоянной и может только переходить из одного вида в другой. В случае механической системы убывание кинетической энергии ведет к увеличению потенциальной энергии и наоборот; полная же энергия остается постоянной E  E k  E p  const . (5) Соотношение (5), выражающее закон сохранения энергии, может быть получено из того факта, что работа, совершаемая силами потенциального поля при переходе системы из одной точки в другую, не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положением (конфигурацией).  Элементарная работа, совершаемая силой F на бесконечно малом пути, равна dA  FdS cos  , (6) где dS  vdt , F cos   m или

dv , dt

 mv 2  , dA  mvdv  d   2   

(7)

т. е. работа, совершаемая силой, равна увеличению кинетической энергии системы. С другой стороны, работа равна убыли потенциальной энергии (см. разд. 4.3.2). dA  dE p (8) Из уравнений (7) и (8) следует, что  mv 2    dE p d  2   

или

92

 mv 2   Ep  0. d  2   

(9)

mv 2  E p  const . 2

Откуда

(10)

Что и требовалось доказать. Таким образом, для механической системы сумма кинетической энергии, зависящей от ее скорости, и потенциальной энергии, зависящей только от ее координат, не изменяется при движении системы. Если замкнутая система состоит из ряда движущихся относительно друг друга частиц, то закон сохранения энергии будет справедлив и в этом случае: E 

  m1v12 m2v2 2     E p r1, r2 ,   const , 2 2

(11)

где m1, m2,  – массы частиц; v1, v2 ,  – скорости их относительного движения;   E p r1, r2,  – потенциальная энергия взаимодействия частиц, за  висящая от их радиусов-векторов r1, r2,  .

4.4.1. Внутренняя энергия системы. Условие распада Как было сказано в п. 3.6, в случае сложной системы, состоящей из многих материальных точек (частиц), ее движение относительно неподвижной системы отсчета можно рассматривать как бы состоящим из двух движений: – движения центра инерции относительно неподвижной системы отсчета; – внутреннего движения частиц, составляющих систему, относительно центра инерции. Кинетическая энергия i-й частицы будет равна E ki



 mi v i  V  2



2







 mi vi 2 miV i 2   mi v i ,V , 2 2

(1)

где v i – скорость i-й частицы относительно центра инерции систе мы; V – скорость центра инерции относительно неподвижной сис-

93

темы отсчета. Кинетическая энергия всей системы представится суммой (1) по всем частицам. Ek 





 mi vi 2 mV 2  i   mi v i ,V . 2 2 i i i

 E ki   i

(2)

Первый член в уравнении (2) представляет собой полную кинетическую энергию внутреннего движения частиц в системе. Второй член в уравнении (2) выражает кинетическую энергию движения центра инерции системы: miV 2 mV 2  , 2 2 i



(3)

где m   mi – масса всей системы. i

Третий член будет равен нулю:

























 mi v i ,V  m1 v1,V  m2 v 2 ,V    V m1 v1  m2 v 2    0 i

(4)

Скобки в уравнении (4) выражают полный импульс движения частиц относительно центра инерции. Он будет равен нулю, так как внутренние силы не могут изменить импульс системы. Учитывая потенциальную энергию взаимодействия частиц, получим: E p   E pij . (5) i , j i

Внутренняя энергия системы представится в виде E вн   i

mi vi 2   E pij , 2 i , j i

(6)

где E pij – потенциальная энергия взаимодействия i-й частицы с j-й частицей. Очевидно, полная энергия сложной системы будет равна сумме кинетической энергии движения центра инерции и внутренней энергии системы:

94

E 

mV 2  E вн . 2

(7)

Используя закон сохранения энергии, можно выяснить вопрос о стабильности сложной системы. Рассмотрим самопроизвольный распад сложной системы на две части. Пусть массы этих частей соответственно равны m1 и m2 , а их скорости относительно центра инерции исходной системы v1 и v 2 . Тогда закон сохранения энергии в системе центра инерции будет иметь вид E вн 

m1v12 m v 2  E 1вн  2 2  E 2вн , 2 2

(8)

где E вн – внутренняя энергия исходной системы; E1вн и E 2вн – внутренние энергии обеих частей сложной систе-

мы. Так как кинетическая энергия всегда положительна, то из выражения (8) следует, что E вн  E1вн  E 2вн . (9) Формула (9) выражает условие возможности распада сложной системы на две части. Если внутренняя энергия исходной системы меньше суммы внутренних энергий ее составных частей, то сложная система будет устойчивой по отношению к распаду.

4.4.2. Столкновение двух тел Под столкновениями понимают процессы взаимодействия между телами. Различают упругие и неупругие столкновения. Упругими столкновениями называются такие столкновения, в результате которых взаимодействующие тела не изменяют своего внутреннего состояния, а процесс столкновения сводится лишь к обмену их количествами движения. Это значит, суммарная кинетическая энергия тел до и после столкновения остается неизменной. Неупругие столкновения – это такие столкновения, когда при взаимодействии тел изменяется их внутреннее состояние, их природа. В этом случае суммарная кинетическая энергия взаимодействующих 95

тел до и после столкновения не остается постоянной. Часть ее затрачивается на неупругие процессы (нагревание, возбуждение и т. д.). Упругое столкновение

Рассмотрим упругое столкновение (абсолютно упругий удар) двух абсолютно твердых упругих шаров с массами m1 и m2 . В случае абсолютно упругого удара происходит упругая деформация сталкивающихся тел, при которой кинетическая энергия переходит в потенциальную аналогично тому, что происходит при сжатии упругой пружины. Обратный процесс, связанный с переходом потенциальной энергии в кинетическую, сопровождается переходом тел в недеформированное состояние. Для простоты будем считать, что шар m2 покоится, а шар m1 движется со скоростью v 0 . После упругого удара шар m1 будет иметь скорость v1 , а шар m2 – скорость v 2 . Поскольку при таком ударе внутренняя энергия шаров не изменяется, закон сохранения энергии сводится к сохранению их кинетической энергии: m1v0 2 mv 2 m v 2  1 1  2 2 . 2 2 2

(1)

Закон сохранения импульса выразится векторным равенством: m1 v 0  m1 v1  m2 v 2 .

(2)

Из уравнения (2) следует, что скорость, приобретаемая шаром m2 , будет равна v2 





m1 v 0  v1 . m2

(3)

Рассмотрим частные случаи: 1. Масса шара m2 , первоначально покоившегося относительно Земли, значительно больше массы налетающего шара m1 m2  m1  . Тогда из формулы (3) следует, что v 2  0 и, следовательно, его кинетическая энергия

m2v2 2  0 . Отсюда можно заключить, что энер2

96

гия налетающего шара в результате столкновения не изменяется, т. е. не изменяется абсолютное значение скорости v 0 этого шара, а процесс столкновения сводится только к изменению направления его движения. 2. Массы сталкивающихся шаров равны m1  m2  . Тогда из формулы (3) следует, что v 2  v 0  v1

или

v 0  v1  v 2 .

(4) Из формулы (1) следует, что v0 2  v12  v2 2 , откуда

v0 

v12  v2 2 .

v0

900

v2

Рис. 50 v1

(5) (6)

Формулы (4) и (5) свидетельствуют о том, что векторы скоростей v 0 , v1, v 2 образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой v0 (рис. 50). Отсюда заключаем, что при столкновении двух шаров с одинаковыми массами они разлетаются под прямым углом. 3. «Лобовое» столкновение (центральный удар). Это такое столкновение, когда скорости шаров направлены вдоль прямой, соединяющей их центры (линия центров). В этом случае параметр удара  равен нулю   0 (рис. 51,а). Для нецентрального удара параметр удара   0 (рис. 51,б).

97

m1

m1 б

0

O1

а

m2

v0

v0

O2

m2

0

O1

O2

Рис. 51

В случае лобового столкновения оба шара будут двигаться вдоль одной прямой O1O2 (линии центров). Тогда в уравнении (2) векторы скоростей можно заменить их модулями: m1v0  m1v1  m2v2 . (7) Уравнения (1) и (7) перепишем в виде:





m2v 22  m1 v0 2  v12   m2v2  m1 v0  v1  

Поделив первое уравнение системы (8) на второе, получим: v2  v0  v1 .

(8)

(9)

Подставим уравнение (9) во второе уравнение системы (8): m2v0  m2v1  m1v0  m1v1 , откуда v1 

m1  m2 v0 . m1  m2

(10)

Подставив уравнение (10) в (9), получим: v2 

2m1 v0 . m1  m2

(11)

Налетающий шар m1 будет продолжать двигаться в том же направлении или же изменит свое направление на обратное в зависи-

98

мости от того, больше или меньше его масса по сравнению с массой m2 первоначально покоившегося шара. Если m1  m2 , то v1  0 , а v2  v0 , т. е. шары обмениваются своими скоростями. Если m2  m1 , то v1  v0 , а v2  0 , т. е. шар m1 отражается от шара m2 как от «стенки». При таком столкновении изменение импульса налетающего шара m1 будет равно p  m1v0   m1v0   2m1v0 .

(12)

4. «Нелобовое» столкновение (нецентральный удар). В этом случае налетающий шар m1 изменит первоначальное направление движения и будет двигаться к продолжению этого направления под углом  , а шар m2 (шар отдачи) – под Y  m1v1 углом  . Тогда уравнение (2), выражающее закон сохранения импульса, m1 v 0  следует записать в проекциях на оси X  X O и Y (рис. 52). m1v0  m1v1 cos   m2v2 cos  , (13) m2 v 2

Рис. 52

m1v1 sin   m2v2 sin   0 .

(14)

Решая систему уравнений (1), (13) и (14), найдем скорости шаров v1 и v2 после столкновения. Действительно, из формул (13) и (14) следует, что cos  

m1v0  m1v1 cos  m v sin  , sin   1 1 . m2v2 m2v2

Возведем их в квадрат и сложим:

m2v2 2  m1v1 2  m1v0 2  2m12v1v0 cos  Решая уравнение (15) совместно с уравнением (1), получим m1v0 2  m1v12  

m 

m12 2 m12 2 2m12 v1  v0  v1v0 cos  m2 m2 m2 m

m



или v12 1  1   2 1 v1v0 cos   v0 2  1  1  0 , m2  m2   m2  99

(15)

v12 m1  m2   2m1v1v0 cos   v0 2 m1  m2   0 ,

откуда v1 





2m1v0 cos   4m12v0 2 cos2   4v0 2 m12  m2 2  2m1  m2 

  2    m2  2   sin    cos     m1    v0   m2 1   m1    

Обозначая  

(16)

m2 , формулу (16) окончательно запишем в виде: m1  2 2  cos     sin  v1  v0  1   

    

(17)

Из формул (13) и (14) следует, что cos  

m1v0  m2v2 cos  m v sin  , sin   2 2 . m1v1 m1v1

Возведем их в квадрат и сложим:

m1v1 2  m2v2 2  m1v0 2  2m1m2v0v2 cos .

(18)

Решая уравнение (18) совместно с уравнением (1), получим: m1v0 2  m2v2 2 

или откуда

m2 2 2 v2  m1v0 2  2m2v0v2 cos  m1

m  2v0 cos    2  1v2 ,  m1  2m1 v0 cos  v2  m1  m2

(19)

В формуле (17) отклонение налетающего шара m1 от первоначального направления возможно на любые углы  0     при условии m1  m2 .

100

Если m1  m2 , то отклонение шара m1 от первоначального направления движения возможно только на углы  , заключенные в пределах 0     пр. , где  пр.  arcsin  – максимальный угол отклонения, определяемый из условия  2  sin 2  пр.  0 . Необходимо указать на то, что скорость шара m1 после столкновения не может быть меньше некоторого минимального значения, определяемого из случая центрального удара. При таком столкновении это минимальное значение скорости равно v1 min 

m1  m2 m1  m2

v0

(20)

В формуле (17) перед корнем стоят два знака   . В случае m1  m2 перед корнем берется только знак   . При лобовом столкновении шар m1 изменит направление скорости на противоположное   , cos   1 и будет иметь минимальное значение (20). В случае m1  m2 перед корнем берут оба знака. Знак   соответствует центральному удару. После такого столкновения шар m1 будет двигаться без изменения направления своего движения   0, cos   1 , но скорость уменьшится до минимального значения (20). Неупругое столкновение

При неупругом столкновении двух тел оба тела после столкновения движутся как одно целое. Законы сохранения энергии и импульса запишутся в виде:

m  m2 v 2  E , m1v12 m2v2 2   1 2 2 2

(21)

m1 v1  m2 v 2  m1  m2 v ,

(22)

где v1 и v 2 – скорости первого и второго тела до столкновения, v – их скорость после неупругого столкновения.

101

Если векторы скоростей v1 , v 2 и v лежат на одной линии (центральный удар), то векторное уравнение (22) можно представить в скалярном виде: m1v1  m2v2  m1  m2 v , v

откуда

m1v1  m2v2 . m1  m2

(23)

Так как при столкновении неупругих тел они деформируются и эта деформация не восстанавливается, то часть кинетической энергии теряется. Она идет на работу деформации. Эта потеря кинетической энергии при неупругом ударе будет равна E 

m v  m2v2 2   1  m1v12  m2v2 2  m1  m2  1 1 2  m1  m2 2 

(24)

m1m2 v1  v2 2 .  2m1  m2 

4.5. Момент силы и момент импульса относительно неподвижной точки. Закон сохранения момента импульса При вращательном движении с динамической точки зрения наряду с понятием силы вводится понятие о моменте силы и наряду с понятием импульса – понятие о моменте импульса. Момент силы относительно некоторой неподвижной точки O   есть векторное произведение вектора силы F на радиус-вектор r , соединяющий точку O с материальной точкой A , к которой приложена сила (рис. 53).

 

   M  r,F

(1)

 M

D  r



A

O l C Рис. 53

102

 F

Неподвижная точка О, относительно которой рассматривается момент силы, называется началом или полюсом. 

Момент силы – векторная величина. Вектор M перпендикулярен   к плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы r и F , а также начало О, и направлен в ту сторону, куда бы двигалось острие правовинтового буравчика, если его рукоятку вращать от первого перемножаемого вектора ко второму в сторону меньшего угла. Абсолютная величина момента силы равна M  Fr sin  , (2) 



где  – угол между векторами r и F . Величина l  r sin  называется плечом силы. Плечо силы – это перпендикуляр, опущенный из начала на линию действия силы CD . Из формулы (2) следует, что момент силы численно равен площа  ди параллелограмма, построенного на векторах r и F как на его сторонах. Нетрудно заметить, что момент силы не изменяется при изменении положения материальной точки на линии CD (т. е. точки приложения силы). В этом случае площадь параллелограмма остается неизменной. 



Если на материальную точку действуют две силы F1 и F2 , то момент равнодействующей этих сил относительно неподвижного начала O равен геометрической сумме моментов каждой силы в отдельности  F    r,F 

  F1  F2 ;     r , F1  r , F2 .

     

(3) (4)

Аналогично определяется момент импульса материальной точки относительно полюса О. Это есть векторное произведение вектора   импульса p материальной точки на радиус-вектор r , соединяющий ее с полюсом.    L  r , p ,

где L  pr sin   pl .

103

(5)





   

(6)

 

(7)

Найдем связь между моментом силы M и моментом импульса L материальной точки. Предположим, что начало О неподвижно. Дифференцируя формулу (5) по времени, получим:      L  r, p  r , p .

  dr Очевидно, r   v – скорость материальной точки А относиdt  тельно полюса О. Ее импульс равен p  mv . Поэтому первый член в   правой части уравнения (6) будет равен нулю, так как векторы p и r

коллинеарны. Тогда

   L  r , p ,

   dp где p  F. dt

 

    L  r,F  M

Следовательно,

(8)

Формула (8) называется уравнением моментов: производная момента импульса материальной точки относительно неподвижного начала равна моменту действующей силы относительно того же начала. Уравнение моментов (8) выполняется и для системы материальных точек. В этом случае момент всех сил, действующих на систему, определяется как векторная сумма моментов отдельных сил относительно неподвижного начала, а момент импульса системы относительно того же начала равен векторной сумме моментов импульсов всех ее материальных точек. 

В уравнении (8) под M понимают момент всех сил (внутренних и внешних), действующих на систему материальных точек. Однако полный момент всех внутренних сил будет равен нулю, поскольку согласно третьему закону Ньютона внутренние силы, входя попарно   f ik   f ki и имея противоположные направления, взаимно уничтожаются. Таким образом, третий закон Ньютона позволяет исключить из уравнения (8) внутренние силы и записать его в другом виде:





104

  L  M внеш ,

(9)

т. е. производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно неподвижного начала равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же нача  dL ла. Если M внеш  0 , то  0 , откуда dt  L  const

(10) Из формулы (10) следует, что в замкнутой системе материальных точек ее полный момент импульса относительно неподвижного начала остается постоянным во времени. Это уравнение выражает закон сохранения момента импульса. Наряду с законами сохранения импульса и энергии закон сохранения момента импульса является одним из фундаментальных законов физики.

4.6. Движение в поле центральных сил Движение материальной точки (частицы) в поле центральных сил характеризуется тем, что работа не зависит от формы пути и определяется как

Или

E p E p   E p dA  dE p x, y, z    dx  dy  dz  . y z   x   dA  F , dr  F x dx  F y dy  Fzdz ,



(1)



(2)

E p   x  E p  Fy    y  E p   Fz   z 

(3)

  E p , F r    r

(4)

Fx  

где

Или

105



т. е. потенциальная энергия E p r  характеризует внешнее воздействие. Изменение состояния частицы со временем в потенциальном поле описывается уравнениями Гамильтона:  H r   p  H p    r

  ,  

(5)

где H – функция Гамильтона. Для частицы, находящейся в потенциальном поле, функция Гамильтона представляет полную механическую энергию H 

 p2  E p r  . 2m

 p  r   m Тогда уравнения (5) примут вид  E p r    p   r 

(6)

(7)

Уравнения (5) или (7) являются системой конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. С их по  мощью по заданным значениям величин r 0 и p0 в начальный   момент времени t  0 можно определить их же величины r t  и pt  в любой другой момент времени. Применяя для частицы, находящейся в стационарных условиях, закон сохранения энергии E  E k  E p  const (8) и дифференцируя уравнение (8) по времени, получим:   dE p r  dE k  p  . dt dt

(9)

Из формулы (9) следует, что изменение кинетической и потенциальной энергии частицы со временем происходит синхронно: увеличение кинетической энергии на некоторую величину, немедленно приводит к уменьшению потенциальной энергии на ту же величину и наоборот. 106



0

A  rm

 r



 X

O Рис. 54

Знание только механической энергии E для полного описания стационарного состояния частицы, движущейся в пространстве, недостаточно. Поэтому для многих конкретных задач закон сохранения механической энергии (8) дополняют другими законами сохранения. В частности, записывают еще закон сохранения момента импульса

   L  r , p  const . (10)   Поскольку векторы L и r взаимно перпендикулярны, постоянст-

во момента импульса означает, что при движении частицы ее радиусвектор все время остается в одной плоскости, перпендикулярной  к L . Следовательно, траектория частицы в центральном поле лежит целиком в одной плоскости и поэтому движение удобно рассматривать в полярной системе координат r ,  (рис. 54), где неподвижный силовой центр расположен в полюсе О. Траектория симметрична по  отношению к rm , выражающему минимальное расстояние частицы от силового центра. Расстояние rm называется апсидальным расстоянием. (Пунктирные линии называются асимптотами.) Обе ветви траектории пересекают прямую ОА под одинаковыми углами 0 . Угол отклонения частицы от первоначального направления равен     20 (11)

Законы сохранения энергии и момента импульса в полярной системе координат представятся в виде

107

 mr 2 mr 2 2   E p r  2 2 ,  L  mr 2  E 

где r 

(12)

d dr – радиальная скорость;   – угловая скорость. dt dt

Здесь полная скорость частицы v представлена в виде двух со ставляющих: радиальной r , направленной по радиусу r , и азимутальной, r  , направленной перпендикулярно к радиальной. Из второго уравнения системы (12)  

L mr 2

.

(13)

Подставляя (13) в первое уравнение системы (12), получим E 

mr 2 L2   E p r  . 2 2mr 2

(14)

Выражение (14) показывает, что радиальную часть движения можно рассматривать как одномерное движение в поле с «эффективной» потенциальной энергией E рэф r   E p r  

где величину

L2

2mr 2

L2

2mr 2

,

(15)

называют центробежной энергией. Из урав-

нения (14) r 

dr  dt

2 L2 E  E p r   . m m2r 2





Разделяя переменные в формуле (16) и интегрируя, получим:

 dt  

dr 2 L2 E  E p r   2 2 m m r





108

(16)

или

t 

dr



L2 2 E  E p r   2 2 m m r





C ,

(17)

где С – постоянная интегрирования. Далее, из второго уравнения системы (12) следует, что d 

где

L mr 2

dt ,

(18)

dr

dt 

(19)

2 L2 E  E p r   2 2 m m r





Подставляя уравнение (19) в (18) и интегрируя, находим 

Ldr

 r





2m E  E p r  

2

L2

C ,

(20)

r2

где С – постоянная интегрирования. Формулы (17) и (20) решают в общем виде задачу о движении частицы в поле центральных сил. Первый интеграл [интеграл времени (17)] определяет в неявном виде расстояние r движущейся частицы от силового центра как функцию времени. Второй интеграл [формула (20)] определяет связь между координатами r и  , т. е. уравнение траектории. Если на бесконечности скорость частицы равна v0 , а прицельное расстояние равно  , то ее момент импульса, в силу постоянства (10), будет равен L  mv0 . Тогда угол отклонения частицы  от первоначального направления может быть найден по формуле 

  2

rm 2

r



dr

  2

2 E  E p r  mv0 2

109

r2

,

(21)

 Ze A

 rm

O

Рис. 55

где  – расстояние между силовым центром и прямой, по которой могла пройти мимо него частица, если бы взаимодействие отсутствовало. Величина  называется прицельным параметром. В качестве конкретного примера рассмотрим отражение  -частицы от тяжелого ядра Ze . Для простоты положим, что ядро неподвижно; оно удерживается силами связей в кристаллической решетке. Найдем расстояние наибольшего сближения rm  -частицы с ядром (рис. 55). На бесконечности  -частица свободна; она не испытывает действие потенциального поля и, следовательно, ее полная механическая энергия E будет равна кинетической энергии E 

m v 2 , 2

(22)

где v – скорость на бесконечности. Тогда законы сохранения энергии и момента импульса запишутся как m v 2 m v 2 Ze 2      rm  , 2 2  m v   m vrm 

где потенциальная энергия E p r  

(23)

Ze 2 ; v – скорость в точке А; e – rm

заряд электрона; Ze – заряд ядра. Исключая v из уравнений (23), найдем наибольшее сближение -частицы с ядром: 

110

2

 Ze 2  Ze2   2 . rm     2E  2E  

(24)

Таким образом, задавая параметры E и  на бесконечности, когда  -частица свободна, появляется возможность исследовать область воздействия на таких малых расстояниях, на которых применимость модели частицы не установлена. И наоборот, находя rm из опыта при разных E и  , можно установить форму функции E p r  , если она неизвестна.

4.6.1. Движение спутников. Космические скорости При движении спутника по круговой орбите вокруг Земли центростремительная сила равна силе притяжения к Земле mM 3 mv 2  , r r2

(1)

где r  R3  h – расстояние от центра Земли до спутника; h – высота спутника над поверхностью Земли; R3 – радиус Земли.

С другой стороны, без учета вращения Земли вокруг своей оси mgh  

mM 3

R3  h 2

,

(2)

где gh – ускорение свободного падения на высоте h. Из формулы (2) gh  

M3

R3  h 2

.

(3)

Формула (3) показывает зависимость ускорения свободного падения от высоты. В случае, когда h  R3 , g  

M3 R3

2

 9,8 м/с2.

Тогда из (1) скорость спутника будет равна vI  gR3 .

111

(4)

Скорость

называется

vI

первой

космической

скоростью

( vI  8 км/с ). Опыты и сложные вычисления показывают, что форма и вид орбиты спутника связаны с его начальной скоростью. Если в точке А (рис. 56) скорость спутника v'  vI , то спутник будет двигаться по эллипсу, причем Земля находится в дальнем фокусе эллиптической орбиты. (При v  vI спутник упадет на Землю.) v II  v vI v v A

A

A1

A

Рис. 56

Если в точке А скорость спутника v   vI , то он также будет двигаться по эллипсу, но при этом Земля будет находиться уже в ближнем фокусе эллипса. Движение по замкнутым орбитам будет происходить до тех пор, пока скорость спутника в точке А будет меньше второй космической скорости vII , соответствующей движению по параболе в этой точке. Поскольку движение спутника по замкнутым орбитам финитное, полная механическая энергия спутника меньше нуля. Нулевой отсчет потенциальной энергии принят на бесконечности от Земли. E 

mM 3 mv 2   0. 2 r

112

(5)

Если же спутник движется по параболе, то он может удалиться от Земли на бесконечно большое расстояние и быть свободным от силы земного тяготения. В этом случае E 

откуда при h  R3 vII

(6)

mvII 2 mM 3  , 2 R3  h

Из формулы (6)

Скорость

mM 3 mv 2  0 2 r

vII 

называется

(7)

2 gR3  vI 2

второй

(8)

космической

скоростью

( vII  11 км/с ). При Ek  

движении

по

гиперболической

орбите

E  0,

т. е.

mM 3 , и, следовательно, на бесконечности скорость спутника r

будет больше нуля. В точке А скорость спутника v  vII . Таким образом, при гиперболическом движении спутник приходит в бесконечность с конечной скоростью v , а при параболическом движении – с нулевой скоростью.

4.7. Законы сохранения и свойства симметрии пространства и времени Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса можно получить из второго закона Ньютона, если его дополнить еще одним качеством: свойством симметрии пространства и времени. Под симметрией пространства и времени понимают однородность пространства и времени, а также изотропность пространства. Однородность времени означает, что если в два произвольные момента времени все тела замкнутой системы поставить в абсолютно одинаковые условия, то, начиная с этих моментов, все явления в данной системе будут протекать совершенно одинаково.

113

Однородность пространства означает, что если замкнутую систему перевести из одного места пространства в другое и поставить все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем месте, то ход последующих явлений останется неизменным, т. е. таким же, как если бы перенос не проводился. Изотропность пространства означает, что поворот замкнутой системы в пространстве на любой угол не изменяет ход последующих явлений, протекающих в этой системе. Свойства симметрии пространства и времени рассматриваются в физике как фундаментальные обобщения опытных фактов. Рассмотрим доказательство закона сохранения энергии с учетом однородности времени. Из динамики известно, что следствием второго закона Ньютона является равенство работы сил (как внешних, так и внутренних) приращению кинетической энергии системы A  Ek 2  Ek1 . (1) Если работу совершают только консервативные силы, то она равна изменению потенциальной энергии системы: A  

E p x

dx 

E p y

dy 

E p z

dz ,

(2)

E p   x  E p  Fy   – y  E p   Fz   z  Fx  

где

(3)

проекции силы, действующей на материальные точки системы. Однако потенциальная энергия может зависеть явно не только от координат x, y, z, но и от времени t. Поэтому полный дифференциал потенциальной энергии будет равен dE p 

E p x

dx 

E p y

dy 

E p z

Интегрирование выражения (4) дает

114

dz 

E p t

dt .

(4)

E

E

E

E

p p p p  dE p   x dx  y dy  z dz   t dt .

(5)

С учетом формул (1) и (2) уравнение (5) представится в виде E p2  E p1  E k 2  E k 1   

или Если

dt ,

(6)

E k 2  E p2   E k 1  E p1    Et p dt .

(7)

система

E p  const и

E p

E p t

замкнута,

то

ввиду

t

однородности

времени

 0 . Следовательно, формула (7) представится в

виде E k 1  E p1  E k 2  E p2 .

(8)

Выражение (8) есть закон сохранения механической энергии. Теперь перейдем к рассмотрению доказательства законов сохранения импульса и момента импульса с учетом однородности и изотропности пространства. Пусть система материальных точек замкнута. Все силы, действующие на материальные точки системы, являются только внутренними силами; внешние силы отсутствуют. Перенесем систему из одного положения пространства в другое таким образом, чтобы все ее материальные точки сместились на одинаковую ве личину r , а их скорости v остались прежними по величине и направлению. Поскольку пространство однородно, работа по переносу системы будет равна нулю.

 



    A  r , F1  F2    Fn  0 , (9)    т. е. для замкнутой системы F1  F2    Fn  0 (третий закон Нью-

тона). А это значит, что суммарный импульс замкнутой системы остается постоянным: m1 v1  m2 v 2    mn v n  const

(10)

Формула (10) выражает закон сохранения импульса. По аналогии, пользуясь изотропностью пространства, поворот системы на некоторый угол не приведет к изменению суммарного

115

момента всех внутренних сил замкнутой системы, который будет равен нулю    M 1  M 2  M n  0 .

А это значит, что суммарный момент импульса замкнутой системы остается постоянным:    L1  L 2    L n  const

Формула (11) есть закон сохранения момента импульса.

116

(11)

Глава 5. Неинерциальные системы отсчета Как было сказано ранее, система отсчета называется инерциальной (ИСО), если она движется прямолинейно и равномерно или покоится. В соответствии с принципом относительности Галилея любое тело, находящееся в этой системе отсчета, будет также двигаться прямолинейно и равномерно или пребывать в состоянии относительного покоя, если внешние воздействия не выведут его из этого состояния. Движение всех тел, находящихся в ИСО, подчиняется законам Ньютона. Совершенно иначе обстоит дело в случае неинерциальных систем отсчета. Неинерциальной системой отсчета (НСО) называется система, движущаяся с ускорением. Если в ИСО считается, что всякое ускорение тела обусловлено действием на него других тел (второй закон Ньютона), то в НСО ускорение тел не может быть сведено к таким действующим силам. Поэтому в этих системах второй закон Ньютона не выполняется. Однако формально можно построить такую динамику в НСО, в которой бы выполнялся второй закон Ньютона. Для этого искусственно вводится сила инерции. Наличие силы инерции отражает ускоренное движение системы отсчета и определяет движение тел в этой системе. Принципиальное отличие сил инерции от сил, выражающих взаимодействие тел, заключается в том, что силы инерции не имеют противодействия, т. е. нельзя указать тело, со стороны которого приложены эти силы. Характерной особенностью сил инерции является их пропорциональность массе тела, на которое они действуют. Это свойство делает их аналогичными силам тяготения. Динамика Ньютона в НСО отсчета представляется в виде 





 Fi  Fи  ma , i

  где Fi – внешние силы, действующие на тело; Fи – сила инерции.

116

5.1. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета С кинематической точки зрения всякое движение материальной точки следует рассматривать как относительное, поэтому все системы отсчета являются равноправными. Любую систему отсчета условно можно считать неподвижной. Эту условно неподвижную систему отсчета мы будем называть основной системой отсчета K  , а всякую другую систему, совершающую движение относительно основной, назовем подвижной системой отсчета K  . Движение материальной точки относительно основной системы отсчета называется абсолютным, а движение относительно подвижной системы отсчета – относительным движением. Движение самой подвижной системы относительно неподвижной называется переносным движением. Пусть материальная точка М находится в системе K  , где ее положение в каждый момент времени определяется радиусом  вектором r  , а в основной системе – радиусом-вектором r (см. рис. 21). Эти векторы связаны между собой соотношением    r  r   r0 ,

(1)

 где радиус-вектор r0 определяет положение точки O  [начало K  ]

относительно точки О [начало K  ]. Дважды дифференцируя формулу (1), получим:    r  r   r0    r  r  r0

(2) (3) 



Вектор r всегда определяет абсолютную скорость ( r  v абс ), а    вектор r – абсолютное ускорение ( r  aабс ) материальной точки. 



Вектор r0 определяет абсолютную скорость, а вектор r0 – абсолютное ускорение начала координат O  подвижной системы.

117

При поступательном движении подвижной системы относительно   основной указанные величины r0 и r0 совпадают соответственно со скоростью и ускорением любой точки системы отсчета K  относительно системы K  , т. е.    r0  v пер , r0  aпер



( v пер и aпер – скорость и ускорение переносного движения). 



Аналогично, r  и r дают соответственно относительную скорость и относительное ускорение материальной точки М, т. е.    r   v отн , r  aотн .

Поэтому абсолютное ускорение материальной точки при поступательном движении подвижной системы отсчета будет складываться из относительного и переносного ускорений:    aабс  aотн  aпер (4)    maабс  maотн  maпер ,

или 



(5)



где maабс  F ( F – сила, действующая на материальную точку). Второй закон Ньютона всегда выполняется в неподвижной системе отсчета. Тогда

Величина

   maотн  F  maпер .   Fи  maпер

(6) (7)

называется силой инерции. В случае поступательного движения подвижной системы отсчета относительно основной сила инерции численно равна произведению массы материальной точки на ускорение подвижной системы. Таким образом, формально второй закон Ньютона выполняется и в НСО, если его записать в виде    maотн  F  Fи .

118

(8)

Сила инерции направлена в сторону, противоположную ускоре нию aпер системы K  . 

Сила F является результатом действия тел на материальную точку. Эта сила зависит только от разностей координат и разностей скоростей взаимодействующих тел. В нерелятивистской механике эти разности не изменяются при переходе от одной системы отсчета к  другой произвольно движущейся системе. Поэтому сила F также не изменяется при таком переходе, т. е. является инвариантом. 

Что касается силы Fи , то она возникает не из-за взаимодействия тел, а является «продуктом» ускоренного поступательного движения системы отсчета. При переходе к другой ускоренной системе отсчета меняется и сила инерции. Силы инерции не подчиняются третьему закону Ньютона; они не имеют противодействия. Силы инерции всегда являются внешними по отношению к любой движущейся материальной точке или системе материальных точек. Если материальная точка покоится относительно НСО, то первый закон Ньютона формально можно записать в виде   F  Fи  0 .

(9)

В качестве примера приведем поведение тела m в вагоне, движу щемся прямолинейно с ускорением a относительно Земли. Под дей ствием силы инерции Fи тело падает с полки вагона. И чтобы оно не падало, его следует закрепить к стенке вагона ВС ( Fи  F упр ). B    N Тогда первый закон Ньютона  F упр Fи a (рис. 57) запишется в виде

mg  N  Fупр   Fи  0 , (10)

 mg

  

C

где mg, N , F упр – соответственно силы тяжести, реакции опоры и Рис. 57

119

упругости элемента крепления тела.

5.2. Силы инерции при вращательном движении системы отсчета В случае поступательного движения НСО абсолютное ускорение материальной точки сводится к геометрической сумме относительного и переносного ускорений    aабс  aотн  aпер . (1) Совершенно иначе обстоит дело при вращательном движении НСО относительно основной системы отсчета. Пусть материальная точка движется равномерно со скоростью v отн по краю диска радиу са R, равномерно вращающегося с угловой скоростью  , в направлении вращения. Тогда vабс  vотн  R , (2) где vабс и vотн – скорости материальной точки относительно Земли и диска соответственно; R – линейная скорость той точки диска, в которой находится материальная точка в данный момент времени (переносная скорость). Поскольку vотн ,  и R – постоянные по величине, движение материальной точки в системе K  будет представлять собой равномерное движение по окружности со скоростью vабс  const , а ее абсолютное ускорение будет равно центростремительному v 2 aабс  абс , R

(3)

направленному по радиусу к неподвижному центру вращения. Подставляя уравнение (2) в (3), получим: v 2 aабс  отн  2R  2vотн  , R

120

(4)

где первый член правой части уравнения (4) выражает относительное ускорение материальной точки aотн 

vотн 2 , направленное также по R

радиусу к центру вращения. Два других члена учитывают движение вращающейся системы K  : aпер  2R – переносное ускорение, направленное по радиусу к

центру вращения; aкор  2vотн  – поворотное ускорение (ускорение Кориолиса),

направление которого определяется правилом правовинтового буравчика:





  aкор  2 , v отн .

(5)

Итак, в случае вращающейся системы отсчета абсолютное ускорение материальной точки складывается из трех слагаемых:     aабс  aотн  aпер  aкор , (6) т. е. добавляется еще третий член (Кориолиса ускорение), характеризующий поворотное движение.  Наличие Кориолиса ускорения aкор формально можно связать с действием на движущуюся материальную точку силы Кориолиса









    Fкор  maкор  2m , v отн  2m v отн ,  ,

(7)

направленной перпендикулярно вектору относительной скорости  v отн , а наличие переносного ускорения aпер – с действием центробежной силы инерции   Fи  maпер или

Fи  m2R ,

(8)

направленной по радиусу от центра вращения. Вообще говоря, обе эти псевдосилы являются силами инерции и характеризуют неинерциальность вращающейся системы отсчета. Центробежная сила инерции носит характер потенциальных сил (аналогичных силам тяготения), а сила Кориолиса является гироскопической (прецессионной) силой.

121

Если материальная точка покоится во вращающейся системе отсчета, то сила Кориолиса будет равна нулю и остается только центробежная сила инерции. Так, например, на маятник, подвешенный на горизонтальном равномерно вращающемся диске на расстоянии R  от оси вращения (рис. 58), действуют три силы: сила тяжести mg , 



сила натяжения нити T и центробежная сила инерции Fи . Состояние равновесия маятника в НСО описывается уравнением    mg  T  Fи  0 .

(9)

Формально уравнение (9) соответствует первому закону Ньютона в НСО. Можно показать, что сила Кориолиса существует при любом движении тела во вращающейся системе отсчета. Пусть по желобу OC (рис. 58), установленному вдоль радиуса равномерно вращающегося горизонтального диска K  , движется шарик со B

C B D

 T

K 

A O

A 

 Fи

R



 mg

скоростью v отн относительно этого диска. За время t он, двигаясь из точки A в точку B, пройдет путь S  vотн  t .

Рис. 58

(10)

В неподвижной системе K (Земля) за то же время желоб OC повернется на угол     t . (11) Следовательно, движение шарика в системе отсчета K  будет сложным. Оно состоит из двух движений: а) поступательного вдоль желоба с относительной скоростью v отн ; б) вращательного вместе с диском с угловой скоростью  . В результате такого движения шарик окажется в точке D. Поскольку линейная скорость vr при перемещении от A к B возрастает,

122

так как возрастает радиус вращения ( vr    r , 0  r  R ), результирующее движение шарика относительно системы K  будет с ускорением. Найдем величину этого ускорения. Если бы шарик не двигался по желобу, то за время t он описал бы 

дугу AA и оказался бы в точке A . Далее, если бы линейная скорость vr была постоянной, то шарик, двигаясь со скоростью vотн , оказался бы через время t в точке B  ( AB  AB  ). В действительности шарик окажется в точке D. Таким образом, за время t шарик пройдет 



добавочный путь B D с некоторым поворотным ускорением aкор (ускорением Кориолиса), равный 

B D  S  vотн   t 2 ,

(12)

т. е. добавочный путь возрастает пропорционально квадрату времени. Уравнение (12) похоже на уравнение пути при равноускоренном движении: 

B D 

aкор t 2 2

.

(13)

Из формулы (12) и (13) следует, что aкор  2vотн  . Это ускорение направлено перпендикулярно к вектору относительной скорости. Для того, чтобы сообщить шарику ускорение    aкор , необходимо приложить силу N  maкор . Этой силой в рассматриваемом случае является сила реакции свя зи боковой опоры желоба N . Не будь желоба, шарик отклонился бы от прямолинейного движения вдоль OC в сторону, противоположную вращению, под действием силы





   Fкор  N  2m v отн ,  ,

которая и есть сила Кориолиса. Направление силы Кориолиса определяется правилом буравчика. Наконец, покажем, что при любом направлении скорости относительного движения материальной точки во вращающейся системе отсчета действует сила Кориолиса. Пусть материальная точка движется 123

v отн v2 v1t R



v1 

O

 Рис. 59

v1n

со скоростью v отн под углом  к оси вращения диска (рис. 59). Разложим эту скорость на две составляющие: v1 , лежащую в плоскости вращения диска и v 2 , параллельную оси вращения. Очевидно, что составляющая v 2 не может внести вклад в появление добавочных сил, так как не обуславливает изменения расстояния материальной точки до оси вращения.

Начало вектора v1 отстоит на расстоянии R от оси вращения. Эту составляющую скорости в свою очередь разложим на две компоненты: нормальную v1n , направленную по радиусу, и тангенциальную v1t , направленную по касательной к радиусу. v1n  v1 cos  , v1t  v1 sin  

(14)

где v1  vотн sin  . Согласно формуле (5) компоненте v1t соответствует Кориолиса сила   2mv1t  2mvотн sin  sin  , (15) Fкор   2mv1n  2mvотн sin  cos  . а компоненте v1n : Fкор

(16)

 и Fкор  взаимно перпендикулярны, поэтому их резульСилы Fкор тирующая равна

F кор 

 2  F кор  2  2mvотн sin  . Fкор

(17)

Силы Кориолиса проявляются при движении тел по поверхности Земного шара, обладающего угловой скоростью вследствие суточного вращения вокруг своей оси. Так, при движении поезда на север по меридиану за счет сил Кориолиса правый рельс испытывает большее

124

давление, чем левый. По этой же причине правый берег северных рек, текущих по меридиану, подмывает. Другим проявлением сил Кориолиса является отклонение плоскости колебания маятника Фуко от первоначальной, лежащей в плоскости меридиана. В случае качания маятника на полюсе под действием сил Кориолиса ( Fкор  2mvотн  ) его плоскость качания будет поворачиваться относительно Земли и за сутки повернется на угол 2 . На широте  под действием сил Кориолиса ( Fкор  2mvотн  sin  ) плоскость качания маятника Фуко повернется на угол 2 sin  .

5.3. Зависимость силы тяжести от широты местности На любое тело m, находящееся на широте  (рис. 60), действует сила тяготения  F 

mM 3

(1)

R32

и, поскольку Земля вращается вокруг собственной оси, центробежная сила инерции Fи  m2r  m2R3 cos  .

r   F

Fи

 mg



(2)

Используя фундаментальный физический закон, установленный Галилеем, что все тела в данном месте Земли падают с  одинаковым ускорением g , можно записать    mg  F  Fи ,

Рис. 60

(3)

т. е. сила тяжести учитывает не только гравитационные свойства Земли, но и ее вращение. Численное значение силы тяжести найдем по формуле mg 

F 2  Fи 2  2FFи cos  .

125

(4)

Из формулы (4) следует, что сила тяжести, а следовательно, и ускорение свободного падения g зависят от широты местности. На экваторе (   0 ) сила тяжести mg  F  Fи  F  m2R3

(5)

и ускорение свободного падения gэ  9,78 м/с2 минимальны. На полюсе (   90 ) mg  F

(6)

и gп  9,832 м/с 2 максимальны. 2r sin  , (7) g  т. е. направление отвеса определяет вектор g , а не вектор гравитаци онной силы F . Направление отвеса совпадает с направлением гра-

Из рис. 60 по теореме синусов sin  

витационной силы только в двух местах Земли: на полюсах и на экваторе. Формулы (5) – (7) получены в предположении, что Земля имеет сферическую форму. Реально из-за действия центробежных сил Земля сплюснута у полюсов, поэтому точки экватора отстоят от ее центра дальше, чем точки полюсов, и, следовательно, слабее притягиваются к ней. Этот факт еще более усиливает различие величины g на экваторе и на полюсе и увеличивает значение sin  . Изменение силы тяжести (ускорения свободного падения) нельзя обнаружить с помощью рычажных весов, но это можно сделать с помощью пружинных весов. Пружинные весы показывают вес тела, который в данном случае равен P  mg . Если пружинные весы поместить в космическом корабле, то их показания будут равны нулю ( P  0 ), так как все тела внутри него находятся в состоянии невесомости (свободного падения). Если корабль заставить вращаться вокруг собственной оси, то за счет возникшей центробежной силы инерции появляется искусственная тяжесть на этом корабле. В равной степени она возникнет, если на космическом корабле включить двигатели, сообщающие ему ускоренное поступательное движение.

126

5.4 Отклонение падающих тел от направления отвеса Считая Землю неинерциальной системой отсчета, которая вращается относительно неподвижной системы (например, гелиоцентрической), уравнение движения тела в поле тяжести Земли представится в      виде ma  mg  2m v отн ,   F , где F – внешние силы, действую-







щие на тело. При F  0 ускорение свободно падающего тела a относительно Земли будет равнo





   a  g  2 v отн ,  .

(1)

Влияние вращения Земли сводится к действию центробежной силы инерции и силы Кориолиса. Действие первой силы учитывается  при определении силы тяжести mg , которая заменяет направление к центру Земли направлением отвеса. Действие Кориолиса силы приводит к отклонению свободно падающего тела к востоку и к экватору от направления отвеса. Считая для данного места Земли ускорение свободного падения постоянным, уравнение (1) эквивалентно системе трех линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Решение таких уравнений, вообще говоря, громоздко. Однако в данном случае решение уравнения (1) можно провести методом последовательных   приближений, поскольку ускорение 2 v отн ,   g . Величину









 2 v отн ,  следует рассматривать как малую поправку к (1). Тогда в

нулевом приближении, пренебрегая этой поправкой, имеем    a  g , v  v 0  gt ,

(2)

где v 0 – начальная скорость тела; v  v отн . В первом приближении с учетом поправки, подставляя уравнение (2) в (1), получим:





 

        a  g  2 v 0  gt ,   g  2 v 0 ,   2t g, 

или

 

    dv  g  2 v 0 ,   2t g,  . dt

127

(3) (4)

Разделяя переменные в формуле (4) и интегрируя, получим:

 

    v  v 0  gt  2t v 0 ,   t 2 g,  .

(5)

Подставляя выражение (5) в (1), получим выражение для ускоре ния a во втором приближении:

           dv  g  2v ,   2t g,   4t v , ,   2t dt

          a  g  2 v 0 ,   2t g,   4t v 0 ,  ,   2t 2 g, , 

или

0

0

2

g,  ,   .

(6) (7)

Опять разделяя переменные в уравнении (7) и интегрируя, получим:

 

  

         2 v  v 0  gt  2t v 0 ,   t 2 g,   2t 2 v 0 ,  ,   t 3 g, ,  . 3

(8)

Такую процедуру можно продолжить и дальше, но мы ограничимся вторым приближением. Запишем уравнение (8) в виде

 

  

          dr 2  v 0  gt  2t v 0 ,   t 2 g,   2t 2 v 0 ,  ,   t 3 g, ,  . dt 3

(9)

Разделяя в формуле (9) переменные и интегрируя, получим:

 

   1  t3   g,   r  r0  v 0t  gt 2  t 2 v 0 ,   2 3 .   2 3 t4    g, ,   t v 0,  ,   3 6

  

(10)

Если тело падает без начальной скорости ( v0  0 ), то его смеще  ние из начального положения r0 в конечное r будет равно    S  r  r0 . Тогда с учетом формулы (10) имеем

 1     1   1 S  gt 2  t 3 g,   t 4 g, ,  . 2 3 6

(11)

Введем прямоугольную систему координат X , Y , Z  с началом в точке A, где находится тело. При этом ось X направлена по параллели на восток, ось Y – по меридиану к экватору, ось Z – по отвесу вниз,  т. е. по направлению g (рис. 61). Угол  определяет географиче-

128

 



скую широту места A. Векторное произведение g,  есть вектор a ,   перпендикулярный к векторам g и  и направленный на восток.

Двойное векторное произведе    ние g, ,  есть вектор b , пер пендикулярный вектору  и направленный от оси вращения Земли. Спроектируем выражение (11) на координатные оси X, Y, Z:



  A

Sy 



З

X

 a  b

B

Z



1 S x  t 3 g sin 90     3

1  gt 3 cos  ; 3

 g

Y

(12)

Рис. 61

1 4 2 1 4 2 t g cos  sin   gt  sin 2 ; 6 12

(13)

1 2 1 4 2 gt  gt  cos2  . 2 6

(14)

Sz 

Очевидно, проекция Sz характеризует высоту h падающего тела. Пренебрегая поправкой

1 4 2 gt  cos2  , можно записать, что 6 h  Sz 

откуда t 

1 2 gt , 2

(15)

2h – время падения тела без начальной скорости в нулеg

вом приближении. С учетом формулы (15) выражения (12) и (13) можно записать в виде Sx 

2 ht cos  ; 3

129

(16)

Sy 

1 2 2 ht  sin 2 . 6

(17)

Таким образом, формулы (12) и (13) или (16) и (17) позволяют найти отклонение падающего тела от линии отвеса к востоку на величину Sx и к экватору на величину Sy за время t.

5.5. Инертная и гравитационная массы. Принцип эквивалентности Мерой инертности тела является масса, которая определяет величину его импульса. Эта масса называется инертной массой mи  . Тела, имеющие инертную массу, обладают не только инерционными свойствами, но и свойствами тяготения, т. е. способностью создавать в пространстве поле центральных сил. В этом отношении они подобны электрически заряженным телам, создающим электростатическое поле. По аналогии с электрическими зарядами можно сказать, что любое тело несет гравитационный заряд или гравитационную массу m( г ) , которая образует вокруг себя гравитационное поле. Сила взаимодействия двух гравитационных масс обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и по закону всемирного тяготения Ньютона равна mг mг  F  1 2 . (1) 2 r

Многочисленные опыты показывают, что отношение гравитационной массы к инертной массе есть величина постоянная. Вывод о пропорциональности этих масс следует на основании того природного факта, что ускорение свободного падения для всех тел различной массы одинаково в данном месте Земли. Поэтому силу тяготения можно записать как F  Сm г  , (2) где C – некоторая константа. Сила тяготения тела к Земле пропорциональна его гравитационной массе. С другой стороны, под действием этой силы данное тело движется к Земле с постоянным ускорением g : 130

F  gmи  .

(3)

Из формул (2) и (3) следует, что g С

mг 

mи 

.

(4)

Поскольку по Галилею ускорение свободного падения g одинаково для всех тел, инертная масса пропорциональна гравитационной. Если за единицу инертной массы принять 1 кг , то можно так выбрать единицу гравитационной массы, что С  g . При таком выборе единиц гравитационная масса будет равна инертной массе, т. е. mи   mг  . (5) Равенство (5) выражает фундаментальный физический закон равенства инертной и гравитационной масс, называемый принципом эквивалентности. Опыты Галилея, по сути дела, подтверждают равенство (5), хотя и не слишком точны. Большей точности достиг Ньютон в опытах с колебаниями математического маятника. Для периода малых колебаний математического маятника известна формула T  2

l , g

(6)

где l – длина маятника. Если бы инертная и гравитационная массы не были равны между собой, то для периода колебаний следовало бы записать формулу T  2

l l mи   2  . С g mг 

(7)

Но формула (6) для данного места Земли выполняется с большой точностью, что возможно только при выполнении равенства (5). Позже в опытах Этвеша с крутильными весами для грузов из разных материалов было еще раз подтверждено равенство (5) с относительной точностью до 109 . Никакого различия между инертной и гравитационной массами обнаружено не было. Эквивалентность инертной

131

и гравитационной масс позволяет считать поле сил инерции подобным гравитационному полю. Поведение тел в гравитационном поле совершенно аналогично их поведению в неинерциальных системах отсчета. Как и в гравитационном поле в неинерциальных системах все тела движутся с постоянным ускорением, равным ускорению этой неинерциальной системы. Поэтому силы инерции аналогичны силам тяготения. Эта аналогия явилась для Эйнштейна отправной точкой при построении общей теории относительности, называемой релятивистской теорией гравитации. Рассмотрим простой пример, указывающий на эквивалентность сил инерции и сил тяготения. Пусть лифт покоится или движется прямолинейно и равномерно в поле сил тяготения Земли. На тело  массой m , находящееся в лифте, действуют сила тяжести mg и сила 

связи (реакция опоры) N . Под действием этих сил тело будет нахо  диться в покое относительно лифта: mg  N  0 . Тогда вес тела будет равен P  mg . 

Если же лифт движется вверх с ускорением a относительно Земли, то условие покоя тела относительно лифта запишется в виде      mg  N  Fи  0 (где сила инерции Fи  ma ). Тогда вес тела будет равен P  mg  a  . Предположим, что лифт находится на бесконечно большом расстоянии от Земли (т. е. силы тяготения равны нулю) и движется в том   же направлении с ускорением a   g . Тогда g  0 и, следовательно, вес тела будет равен P  ma  mg . Это означает, что все механические движения и явления в таком лифте будут в точности такими же, как и в неподвижном лифте, находящемся в поле тяжести Земли. Эйнштейн распространил данное положение не только на механические, но и на любые физические явления. Он сформулировал принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции. Согласно этому принципу все физические явления в гравитационном поле происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности (ускорения) обоих полей в данных

132

точках пространства совпадают, а начальные условия одинаковы для всех тел замкнутой системы. Принцип эквивалентности не утверждает, что всякое гравитационное поле может быть заменено полем сил инерции и не утверждает, что любые силы инерции во всем пространстве можно заменить гравитационными. Данные утверждения верны только для однородных полей, у которых напряженность (ускорение) во всех точках пространства одинакова. Если снова обратиться к лифту, то можно заметить, что в неподвижном лифте, находящемся в поле тяжести Земли, направления отвеса в различных точках кабины не совсем параллельны; их продолжения пересекаются около центра Земли. Кроме того, напряженность (ускорение) поля возрастает в направлении к центру Земли. Таким образом, гравитационное поле Земли неоднородно. Напротив, поле сил инерции в любой точке пространства кабины лифта при его ускоренном поступательном движении однородно. Следовательно, оно не может во всех точках пространства внутри кабины лифта подменить неоднородное поле земного тяготения. Не может его подменить и поле сил инерции в случае вращающегося лифта, поскольку такое поле возрастает с увеличением расстояния от оси вращения, а гравитационное поле, наоборот, уменьшается с расстоянием от центра Земли. Гравитационное поле точечной массы Ньютона не может быть получено никаким вращением системы отсчета. Однако в небольших объемах пространства, в которых гравитационное поле можно считать однородным, оно может быть приближенно имитировано ускоренным движением системы отсчета. В этом случае говорят, что принцип эквивалентности имеет локальный характер.

133

Глава 6. Основы специальной теории относительности В основе релятивистской классической механики лежит специальная теория относительности (СТО), разработанная Эйнштейном в начале ХХ века. Эта теория представляет собой физическую концепцию единства пространства и времени. Она является фундаментом классической механики больших скоростей, сравнимых со скоростью света v  c . Для малых скоростей v  c  , как известно, справедлива нерелятивистская классическая механика, разработанная Галилеем и Ньютоном. В ее основе лежит положение о едином мировом времени, текущем равномерно и одинаково независимо от состояния движения физических тел. Согласно ньютоновской механике передача взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую происходит мгновенно с бесконечно большой скоростью t   t  . На самом деле она происходит с конечной скоростью, равной скорости света в вакууме c  3  108 м/с. Сигнал – это любой процесс, позволяющий передать силовое взаимодействие из одной точки пространства в другую. Наличие предельной скорости c передачи взаимодействий и сигналов приводит к несостоятельности классической механики для скоростей, сравнимых со скоростью света. Одним из доказательств сказанному является глубокое различие между уравнениями движения в классической механике и в электродинамике. Оно заключается в том, что уравнения электродинамики (уравнения Максвелла) содержат абсолютную скорость, равную скорости света c, которая вначале интерпретировалась как скорость относительно неподвижной среды – мирового эфира. (Предполагалось, что эфир заполняет все пространство и является той средой, в которой протекают все электромагнитные явления.) Согласно же принципу относительности Галилея абсолютного движения, а, следовательно, и абсолютной скорости не существует. Если источник света связать с покоящимся эфиром, а приемник движется относительно эфира со скоростью v , то по законам классической механики скорость света относительно прием134

ника будет равна c  v  или c  v  в зависимости от направления движения приемника. В этом случае эфир будет являться абсолютной неподвижной системой отсчета, а скорость по отношению к эфиру – абсолютной скоростью. Таким образом, наблюдая в движущейся системе отсчета распространение света, можно определить скорость движения этой системы относительно неподвижного эфира. Первой попыткой в этой области был опыт Майкельсона по обнаружению эфира. Суть опыта заключалась в следующем. Луч света от некоторого неподвижного источника S проходит равный путь до двух зеркал и возвращается обратно. При движении к первому зеркалу луч движется вдоль направления движения Земли, а ко второму зеркалу свет движется в перпендикулярном направлении. Измерялось время прохождения световым лучом пути до зеркал и обратно. Поскольку первое зеркало движется вместе с Землей относительно эфира со скоростью v в направлении движения луча света, время прохождения света от источника S до зеркала равно t1  обратном направлении t 2  T I  t1  t 2 

l ,а в cv

l . Полное время будет равно cv

l l 2l ,   c  v c  v c 1  v 2 / c2





(1)

где скорость света относительно неподвижного эфира считается постоянной и равной c. При движении ко второму зеркалу свет проходит относительно эфира путь, равный от t 

источника l c2  v 2

S

l 2  v 2t 2 . При этом время прохождения луча

до

зеркала

равно

t 

. Тогда полное время будет равно

135

l 2  v 2t 2 , c

откуда

T II 

2l c 1  v 2 / c2

.

(2)

Таким образом, с точки зрения неподвижного эфира луч света должен проходить оба пути до зеркал и обратно за разное время T. Измеряя разность времен T II  T I  , можно найти скорость движения Земли относительно эфира. Однако времена T I и T II с огромной степенью точности совпадали друг с другом, и найти скорость Земли из опыта Майкельсона не удалось. Этот опыт с точки зрения классической механики Галилея и Ньютона был совершенно необъясним. Опыт Майкельсона показал, что никакого эфира не существует, а скорость света c постоянна и абсолютна.

6.1. Постулаты специальной теории относительности Результаты опыта Майкельсона дали возможность Эйнштейну пересмотреть основные положения классической физики и в первую очередь представления о свойствах пространства и времени. Он создал специальную теорию относительности, в основу которой были положены два постулата или принципа. ПЕРВЫЙ ПОСТУЛАТ (принцип относительности): Явления природы во всех инерциальных системах отсчета (ИСО) протекают одинаково. ВТОРОЙ ПОСТУЛАТ (принцип постоянства скорости света): Скорость света в вакууме не зависит от движения источников или приемников и является универсальной постоянной. Между принципом относительности движения по Галилею и специальной теорией относительности Эйнштейна существует глубокое различие. Оно заключается в том, что у Эйнштейна переход от одной ИСО к другой не связывается с формулами преобразования координат и законом сложения скоростей классической механики, а осуществляется через преобразования Лоренца, полученные для распространения электромагнитных волн.

136

Другим важным различием является то, что в СТО постулируются существование предельной скорости распространения взаимодействия и ограничение скорости движения материальных тел, устанавливая тем самым связь между пространственными и временными промежутками.

6.2. Преобразования Лоренца Исходя из постулатов СТО можно найти закон преобразования, связывающий между собой пространственные координаты и время в двух ИСО. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета K  и K  с координатами X,Y,Z и X , Y , Z  и временем t и t  соответственно. Положим, что система отсчета K  неподвижна, а система K  движется относительно K  со скоростью

Y

v . Направим оси X и X  вдоль вектора скорости v , а оси Y и Y  , Z и Z  параллельны друг другу

(рис. 62). В силу первого постулата все системы отсчета равноправны. Следовательно, можно записать, что положение начала отсчета O  системы координат K  относительно системы K  определяется как

Y

t

K 

t

K  O

O v t

Z

x  v t ,

v

X

X

Z Рис. 62

а положение начала отсчета O системы координат K  системы K  как x   v  t  .

(1) относительно (2)

При этом y  y  . z  z 

(3)

Из формул (1) – (3) следует, что значения x и t не зависят от y и z , а значения x  и t  не зависят от y и z. Это значит, что x и t могут быть линейными функциями только x  и t  и наоборот.

137

Начало отсчета O имеет координату x = 0 в системе K  и x   v  t  в системе отсчета K  . Следовательно, выражение x   v  t  должно обращаться в нуль одновременно с обращением в нуль координаты x. Для этого линейное преобразование должно иметь вид x   x   v  t   , (4) где  – некоторая константа. Аналогично, начало отсчета O  имеет координату x   0 в системе K  и x  v  t в системе отсчета K  . Отсюда следует, что x    x  v  t  .

(5)

Коэффициент пропорциональности  в уравнениях (4) и (5) одинаков в силу равноправия систем отсчета K  и K  . Для нахождения коэффициента  воспользуемся II постулатом. Отсчет времени в обеих системах начнем с того момента, когда начала координат O и O  совпадают. В этот момент t  t   0 из начала координат произведем вспышку света. Распространение сферической световой волны в системе отсчета K  описывается уравнением x 2  y 2  z 2  c2t 2  0 ,

(6)

а в системе отсчета K 

или с учетом (3) Откуда

x 2  y 2  z2  c2t 2  0 ,

(7)

x 2  c2t 2  0  . x 2  c2t 2  0

(8)

x  ct  . x   ct 

(9)

Подставляя уравнение (9) в (4) и (5), получим: ct   c  v t  . ct    c  v t 

(10)





Перемножая уравнения (10), получим: c 2   2 c 2  v 2 ,

138

1



откуда

1  v 2 / c2

.

(11)

Подставляя выражение (11) в (4) и (5), имеем: x  v  t 

  1v / c  . x v t  x   1  v 2 / c2  x 

2

2

(12)

Подставляя уравнение (11) в (10) с учетом формул (9), имеем: t 

c  t cc  v   t    t   c  v   c2  v 2



t 



v t  t c



v  x   c2  1  v 2 / c 2  . vx  t   c2  1  v 2 / c 2  t 

1  v 2 / c2

ct cc  v   t    c  v   c 2  v 2



v t c

1  v 2 / c2





(13)

Таким образом, преобразования Лоренца будут иметь следующий вид: x  v  t    1  v 2 / c2   y  y  z  z  v  x   t   c2 t   1  v 2 / c 2 

(14)

x v t

  1v / c   y  y  z  z  v  x  t   c2 t   1  v 2 / c 2  x 

x 

2

2

(15)

Когда v  c , преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея:

139

x  x   v  t   y  y    zz   t  t

x  x  v  t   y  y    z z   t  t

(16)

(17)

6.3. Следствия из преобразований Лоренца Преобразования Лоренца приводят к выводам, коренным образом отличающимся от классических представлений о свойствах пространства и времени. Рассмотрим прежде всего понятие пространственной протяженности (длины) и длительности событий (промежутков времени).

6.3.1. Относительность длин отрезков Пусть в неподвижной системе отсчета K  вдоль оси X расположен отрезок (линейка) длиной l 0  x2  x1  x . (1) В подвижной системе отсчета K  , движущейся относительно

K  со скоростью v в направлении x , длина этого отрезка (линейки) равна l  x2  x1  x  . (2) Принимая во внимание, что x 

x  v  t 

1  v 2 / c2

, равенство (1) можно

записать в виде x 

x 2  v  t  2

1v / c

или

2



x1  v  t  2

1v / c

2

l  l 0 1  v 2 / c2 .



x 

1  v 2 / c2

(3)

Из формулы (3) следует, что длина отрезка относительна: она различна в разных системах отсчета. С точки зрения наблюдателя, нахо140

дящегося в неподвижной системе, длина отрезка, расположенного в подвижной системе в направлении движения, короче, чем в неподвижной.

6.3.2. Относительность промежутков времени Пусть в системе отсчета K  , движущейся относительно непод

вижной K  со скоростью v в направлении X , произошли два события: включили и выключили сигнал. Промежуток времени между этими событиями по часам t  подвижной системы отсчета будет равен 0  t 2  t1  t  . (1) Для наблюдателя в системе K  промежуток времени между этими событиями по часам t  будет равен   t 2  t1  t . t 

Принимая во внимание, что t 

t 

или

t 2 

v  x c

2

1  v 2 / c2





(2)

v  x c2

1  v 2 / c2

t1 

, получим:

v  x c2

1  v 2 / c2 0 1  v 2 / c2



.

t  1  v 2 / c2

(3)

Из формулы (3) следует, что промежуток времени между двумя событиями относителен: он разный в разных системах отсчета. С точки зрения наблюдателя, находящегося в неподвижной системе отсчета, время в движущейся системе протекает медленнее, чем в неподвижной, т. е. часы t  отстают от часов t  . Формула (3) была проверена на опыте по определению времени жизни  -мезона. В космических лучах наблюдается распад   мезона на позитрон (электрон) и два нейтрино. При этом распад на-

141

блюдался как заторможенных почти до полной остановки мезонов, так и движущихся со скоростью, близкой к скорости света ( v  c ). Ряд экспериментальных методов позволяет определить время жизни  -мезона в состоянии покоя. Оно оказалось равным   2  106 c . Если бы время жизни мезонов не зависело от скорости, то они пролетали бы путь, равный S  v    3  108  2  106  600 м . В действительности, как показывают измерения,  -мезоны распадаются, пройдя путь L  20 км . Такому пробегу отвечает время жизни 0 

L  7  10 5 c , т. е. 0  35 . Это изменение времени жизни явv

ляется проявлением релятивистского эффекта. Промежуток времени между двумя событиями в одной и той же точке системы, отсчитанный одними часами, называется промежутком собственного времени 0 . Промежуток времени, отсчитанный по двум синхронизированным часам некоторой системы отсчета, называется промежутком координатного времени  . Из уравнения (3) видно, что координатное время больше собственного времени. t 

Принимая во внимание, что t  

vx c2

1  v 2 / c2

, получим промежу-

ток времени между двумя событиями в подвижной системе K  : t  t  

v  x c2

1  v 2 / c2

,

(4)

где x  x2  x1 , t  t 2  t1 . Из формулы (4) следует, что одновременность событий в системе вытекает из их одновременности в системе K  t  0 только тогда, когда эти события происходят в одной и той же точке пространства x  0 . Для удаленных друг от друга событий x  0 из t  0 вовсе не следует, что t  должно равняться нулю.

K 

142

Таким образом, промежутки времени и длины отрезков в мире событий не являются инвариантами. Они не пригодны для объективного описания пространственно-временных отношений между событиями в совокупности произвольно движущихся инерциальных систем отсчета.

6.4. Интервал между событиями В трехмерном (евклидовом) пространстве расстояние между двумя точками x1, y1, z1  и x2, y2, z2  , характеризующими два события, определяется выражением l  x 2  y 2  z 2 ,

(1)

где x  x2  x1 , y  y2  y1 , z  z2  z1 . Это расстояние не зависит от выбора системы координат и является инвариантом. В случае четырехмерного пространства-времени расстояние между двумя мировыми точками x1, y1, z1, t1  и x2, y2, z2, t2  , характеризующими два события, выражается как





S  c2t 2  x 2  y 2  z 2  c2t 2  l 2 .

(2)

Это расстояние называется интервалом между событиями. Пространственно-временной интервал S является объективной характеристикой пространственно-временных отношений. Пространство, в котором расстояние между точками определяется выражением (2), называется псевдоевклидовым или пространством Минковского. Пусть рассматриваются два события, происходящие с одной и той же частицей. Тогда отношение l t дает скорость частицы v . Выражение (2) запишем в виде:  l  S  ct 1     ct 

2

 ct 1  v 2 / c 2 ,

143

(3)

где 0  t 1  v 2 / c 2 – промежуток собственного времени частицы между событиями, или S  c0 . (4) Поскольку скорость света c – константа, а 0 – инвариант, интервал между событиями S также должен быть инвариантом. Действительно, интервал между двумя событиями в системах K   и K  запишется S 2  c2 t 2  t1 2  x2  x1 2  y2  y1 2  z2  z1 2  . S 2  c2 t 2  t1 2  x2  x1 2  y2  y1 2  z2  z1 2 

(5)

Положив все координаты одного из событий равными нулю, выражения (5) перепишем в виде:  , S 2  c2t 2  x 2  y2  z2  S 2  c2t 2  x 2  y 2  z2

(6)

где y  y , z  z . t 

Принимая во внимание, что t  

vx c2 2

1v / c

2

и x 

x v t

1  v 2 / c2

,

выражение для S 2 представится в виде 2

vx  c  t  2 2  c    x  v  t   y 2  z 2  2 S   1  v 2 / c2 1  v 2 / c2 2

c t  v  x  

2

2



2 2



2

 c 2 x  v  t 2

c v

2

 

2



c t c  v 2  c2  v 2 x 2 2

c v

2

 y 2  z2   y 2  z 2  c 2t 2  x 2  y 2  z 2  S 2 ,

т. е. S   S . Таким образом, доказана инвариантность интервала между событиями в разных ИСО.

144

Заслуга Эйнштейна заключается в том, что он впервые вместо одних, на первый взгляд «очевидных», инвариантных величин ( l и t ) ввел другие инвариантные величины S  , более пригодные для отражения объективных свойств мира событий, установив тем самым подлинное единство пространственных и временных отношений. Проанализируем физическую сущность интервала между событиями (2). В отличие от расстояния l , квадрат которого всегда положителен ( l вещественно), квадрат интервала S 2 может быть: 1) положительным, если ct  l ; 2) отрицательным, если ct  l ; 3) равным нулю, если ct  l . В соответствии с этим интервал S может быть: вещественным, если S 2  0 ; мнимым, если S 2  0 и равным нулю (случай испускания светового сигнала). В силу инвариантности интервала это имеет место во всех инерциальных системах отсчета. Для вещественного интервала c2t 2  l 2  c2t 2  l 2  0 .

(7) Отсюда следует, что существует такая система K  , в которой l   0 , т. е. события, разделенные вещественным интервалом, могут быть пространственно совмещенными. Однако не существует системы, в которой t   0 , поскольку при таком значении t  интервал стал бы мнимым. Из формулы (7) следует, что события, разделенные вещественным интервалом, ни в Пространственнопоx добные интервалы какой системе отсчета не могут быть одновременными. Вещественные интервалы называются времениподобными. Для мнимого интервала t

Времениподобные интервалы

c2t 2  l 2  c2t 2  l 2  0 .

(8) Отсюда следует, что существует такая система K  , в которой 145

x  ct

x  c  t

Рис. 63

t   0 , т. е. события могут быть одновременными. Однако не существует системы, в которой l   0 , поскольку при таком значении l  интервал стал бы вещественным. Из формулы (8) следует, что события, разделенные мнимым интервалом, ни в какой системе отсчета не могут оказаться пространственно совмещенными. Мнимые интервалы называются пространственноподобными. Времениподобные и пространственноподобные интервалы разделены графиком движения света x  c  t (рис. 63).

Расстояние l между точками, в которых происходят события, разделенные пространственноподобным интервалом, превышает величину ct . Поэтому такие события не могут воздействовать друг на друга, т. е. не могут быть причинно связанными друг с другом, поскольку не существует воздействий, распространяющихся со скоростью, большей c. Следовательно, причинно связанные события могут быть разделены только времениподобным интервалом.

6.5. Преобразование и сложение скоростей 

Составляющие скорости u движущейся частицы в системе отсчета K  определяются как dx  dt  dy  uy  . dt  dz  uz  dt  ux 



(1)

Составляющие скорости u той же частицы в системе отсчета K  определяются как

146

dx   dt   dy  uy  . dt   dz  uz  dt   ux 

(2)

Принимая во внимание, что x  v  t    1  v 2 / c2   y  y  z  z , v  x   t   c2 t   1  v 2 / c 2 

(3)

dx   v  dt    1  v 2 / c2   dy  dy   dz  dz . v  dx   dt   c2  dt   1  v 2 / c 2 

(4)

x 

можно записать dx 

Тогда

147

      u y  1  v 2 / c 2  . uy   v  u x  1  c2  uz  1  v 2 / c 2  uz   v  u x  1  c2 u x  v ux  v  u x 1 c2

(5)

Аналогично, принимая во внимание, что x v t

  1 v / c   y  y  z  z , v  x  t   c2 t   1  v 2 / c 2  x 

2

2

(6)

можно записать dx  v  dt   1  v 2 / c2   dy   dy  dz  dz . v  dx  dt   c2 dt    2 2 1  v / c  dx  

Тогда

148

(7)

      u y  1  v 2 / c 2  u y  . v  ux  1  c2  uz  1  v 2 / c 2  uz   v  ux  1  c2 ux  v u x  v  ux 1 c2

(8)

Формулы (5) и (8) выражают закон преобразования скоростей по Эйнштейну. Для случая нерелятивистской механики v  c получаем закон сложения скоростей по Галилею: u x  u x  v   u y  u y   uz  uz 

(9)

u x  u x  v   u y  u y .  uz  uz 

(10) 



Пусть частица движется в направлении X со скоростью u относительно подвижной системы K  . Тогда u  ux . Скорость частицы относительно неподвижной системы отсчета K  (абсолютная скорость) будет равна u

u  v . v  u 1 c2

Максимально возможная скорость частицы u  c . Тогда

149

(11)

u

cv  c. v c 1 c2

(12)

Из уравнения (12) следует, что абсолютная скорость не может быть больше скорости света в вакууме. Скорость света во всех ИСО одинакова и равна c.

6.6. Масса и релятивистский импульс В ньютоновской механике инертная масса частицы постоянна. Это значит, что если на частицу действует постоянная сила, вызы

u t

вающая постоянное ускорение этой частицы  F  ma  m  , то ско

рость частицы будет неограниF t и при m t   скорость u   (рис. 64).

ченно возрастать: u 

u

Нерелятивистская

c

Релятивистская

Но это противоречит II постулату теории относительности о предельной скорости: скорость t O Рис. 64 частицы u не может быть больше скорости света c. Следовательно, согласовать закон Ньютона и наличие предельной скорости можно только в случае, если ввести релятивистский импульс   mu , (1) p 1  u2 / c2

где инвариантом является масса покоя m . Из формулы (1) видно, что при u  c релятивистский импульс бесконечно возрастает. Однако силы в природе конечны по величине, а их действие ограничено во времени. Поэтому они не могут сообщить частице бесконечно большой импульс. А это значит, что скорость частицы в любой инерциальной системе не может быть равна скорости света в вакууме, т. е. она всегда меньше c.

150

С учетом релятивистского импульса основное уравнение релятивистской динамики формально не отличается от классического:  dp . F  dt

(2)

Уравнение (2) перепишем в виде:   d mu F  dt  1  u 2 / c 2

 .  

(3)

Формула (3) выражает уравнение релятивистской механики.

6.7. Энергия в релятивистской механике 

В отличие от ньютоновской механики сила F в релятивистской механике не является инвариантом. В разных ИСО она имеет раз  личные модули и направления. Кроме того, ускорение a и сила F оказываются неколлинеарными, то есть их направления не совпадают друг с другом. Чтобы получить релятивистское выражение для кинетической энергии частицы, будем исходить из того, что работа, совершенная  над частицей силой F , равна приращению ее кинетической энергии: dA  dE k . (1) Умножив основное уравнение релятивистской механики    d mu  . F dt  1  u 2 / c 2  на dl  udt , получим:     mu , F , dl  ud   2 2   1 u /c    где F , dl  dA ,









151

(2)

  mu . dEk  ud   2 2   1 u /c  Перепишем уравнение (3) в виде  d mu   1 dEk  u   mud   2 2  1  u 2 / c 2  1 u /c

(3)

или





 mdu mu u / c 2 du  u   3 1  u 2 / c2 1  u2 / c2 

   

 mc 2  d  2 2  1 u /c

 .  





mudu

1  u



2 3

2



/c Интегрирование уравнения (4) дает Ek 

mc 2 1  u 2 / c2

    

(4)

C,

(5)

где постоянную интегрирования C находим из условия, что при u  0 кинетическая энергия должна быть равна нулю. Тогда C   mc 2 и выражение (5) для кинетической энергии представится в виде

Ek 

  1  mc 2  mc 2   1 .   2 2 1  u2 / c2  1 u /c  mc 2

При u  c разложим в ряд

1 1  u 2 / c2

1

(6)

1 u2   . Тогда 2 c2

уравнение (6) запишется в виде Ek 

mc 2u 2



mu 2 . 2

(7) 2c 2 Чтобы законы сохранения были инвариантны к преобразованиям Лоренца, мы должны в соответствии с формулой (6) частице припи-

152

сать кроме кинетической энергии E k еще дополнительную энергию mc 2 . Таким образом, свободная частица обладает энергией E  Ek  mc 2 

mc 2 2

1 u /c

2

,

(8)

которая называется полной энергией частицы. Неподвижная частица обладает энергией

E0  mc 2 ,

(9)

которая называется энергией покоя. Она представляет собой внутреннюю энергию частицы. В случае сложного тела, состоящего из многих частиц, его энергия покоя включает в себя помимо энергий покоя образующих тело частиц также кинетическую энергию всех частиц, обусловленную их движением относительно центра масс тела и энергию их взаимодействия друг с другом. В энергию покоя тела, как и в полную энергию частицы (8), не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле. Поскольку энергия покоя выражается через инвариантные величины m и c, она также является инвариантом, т. е. характеристикой, внутренне присущей частице. Таким образом, инвариантами являются скорость света, электрический заряд, масса, энергия покоя, промежуток собственного времени, собственная длина, интервал между событиями. Формула (9) несет глубокое физическое понимание; она дает связь между массой тела и его энергией. Из формулы следует, что всякое изменение массы тела на величину m сопровождается изменением энергии покоя на величину E 0 , причем E 0  mc2 .

(10)

Формула (10) выражает закон взаимосвязи массы и энергии покоя. Эта взаимосвязь приводит к тому, что суммарная масса взаимодействующих частиц не сохраняется. Убедительным примером этому служит радиоактивный распад ядер урана. Суммарная масса образовав153

шихся при распаде легких ядер (осколков) меньше массы ядра урана. Процесс деления сопровождается уменьшением энергии покоя ядра урана. Часть ее выделяется при распаде в виде энергии электромагнитного излучения. Термин "полная энергия" имеет различный смысл в ньютоновской и релятивистской механике. В ньютоновской механике полной энергией называется сумма кинетической и потенциальной энергий частицы. В релятивистской механике под полной энергией E подразумевается сумма кинетической энергии E k и энергии покоя E 0 частицы. Релятивистская энергия E не может быть инвариантом: она различна в разных ИСО. Из сопоставления формул для релятивистского импульса частицы   mu p 1  u2 / c2

и релятивистской энергии (8) следует, что  E  p u. c2

(11)

Для световой частицы (фотона) u  c и формулы (11) и (8) принимают вид:  E  p c c2  . E  pc 

(12)

Масса покоя фотона m = 0. Это значит, что для света импульс и энергия являются исходными фундаментальными понятиями, не связанными непосредственно со скоростью движения. Материальными объектами с массой покоя, равной нулю, являются не только электромагнитные частицы (фотоны), но и элементарные частицы – нейтрино, которые рождаются в процессе ядерных реакций.

6.8. Четыревектор Мир событий – это единое четырехмерное пространство Минковского. Мировая точка в мире событий является комплексной величи-

154

ной, а x, y, z, ict являются координатами пространства Минковского ( i   1 – мнимая единица). 

Единая физическая величина A , которая в каждой точке ИСО задается совокупностью четырех ее проекций: A1, A2, A3, A4 , называется четыревектором. Такой величиной, в частности, является четыревектор "энергии-импульса": px , py , pz , i

E . c

При переходе в другую инерциальную систему отсчета, движу щуюся относительно первой со скоростью v вдоль оси X , для  проекций четыревектора A справедливы прямые и обратные преобразования Лоренца: A1  A2  A3  A4 

A1  A2  A3  A4 

v  A4  c   1  v 2 / c2   A2  , A3  v  A1  A4  i  c  1  v 2 / c 2 

(1)

v  A4  c   1  v 2 / c2   A2  . A3  v  A1  A4  i  c  1  v 2 / c 2 

(2)

A1  i

A1  i

Например, для четыревектора "энергии-импульса" эти преобразования имеют вид:

155

vE    c2  Px  1  v 2 / c2    Py  Py    Pz  Pz     E   vPx  E  2 2  1  v / c 

(3)

   2 2  1v / c    Py  Py ,   Pz  Pz   E  vPx  E  1  v 2 / c 2 

(4)

Px  

Px  

где E 

mc 2

Px 

vE c2

 – релятивистская энергия; p 

 mu

– ре1  v2 / c2 1  v2 / c2  лятивистский импульс; u – скорость частицы в движущейся системе отсчета.

156

Глава 7. Кинематика абсолютно твердого тела Во многих случаях размеры и форма тела не играют существенной роли, поэтому мы часто принимаем его за материальную точку. Однако в ряде случаев размеры и форма тел определяют характер механического движения и принимать тело за материальную точку мы не имеем право. Если при этом оно является достаточно жестким, то его деформациями, возникающими при рассматриваемых движениях, можно пренебречь и считать, что упругие свойства тел не играют роли. Такое положение оказывается совершенно аналогичным тому, которое существует при жестких связях. В данном случае мы допускаем идеализацию тела как абсолютно твердого. Абсолютно твердое тело – это такое тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться, т. е. расстояние между двумя произвольно выбранными точками в теле остается неизменным. Абсолютно твердое тело – это абстракция. В реальном мире абсолютно твердых тел не существует. Однако при решении задач, когда их форма изменяется ничтожно мало, можно рассматривать законы движения твердого тела как абсолютно твердого.

7.1. Степени свободы абсолютно твердого тела Как было показано в п. 1.2, положение материальной точки в пространстве определяется тремя координатами: x, y, z – в прямоугольной системе координат или r , ,  – в сферической. В этом случае говорят, что материальная точка обладает тремя степенями свободы. Под числом степеней свободы понимают число независимых координат, которые необходимо задать, чтобы определить положение тела в пространстве. Если на материальную точку наложены связи, ограничивающие ее движение, то число ее степеней свободы уменьшается. Например, при движении материальной точки по сферической поверхности с фиксированным радиусом (шарик на нерастяжимой нити) она обла-

156

дает двумя степенями свободы ,  , а при движении по прямой линии – одной степенью свободы. Определим число степеней свободы абсолютно твердого тела. Помимо поступательного движения твердое тело, в отличие от материальной точки, может совершать вращательное движение относительно оси AA1 (рис. 65), проходящей через некоторую точку C, положение которой в пространстве определяется тремя координатами: x, y, z. Положение оси вращения AA1 в пространстве определяется двумя углами:  и  . (  – угол между осью OY и проекцией AA1 оси вращения на плоскость XOY;  – угол между осью OZ и осью вращения AA1 .) И, наконец, угол  определяет поворот тела относительно оси AA1 . Таким образом, твердое тело имеет шесть степеней свободы: x, y, z, , ,  . Z При ограничении свободы двиA жения число степеней свободы  C x, y, z  твердого тела уменьшается. Например, если одна из точек твердого те A1 ла закреплена и тело совершает Y O движение относительно этой непод вижной точки, то оно имеет всего X A1 три степени свободы. Если же тверA Рис. 65 дое тело может скользить вдоль закрепленной оси и одновременно вращаться вокруг нее, то число степеней свободы становится равным двум. Вращение твердого тела относительно закрепленной оси имеет одну степень свободы.

7.2. Углы Эйлера В случае, когда твердое тело имеет одну неподвижную точку (точка O), его положение относительно неподвижной системы отсчета XYZ определяется тремя углами: , ,  (рис. 66), называемыми   жестко свяжем с углами Эйлера. Подвижную систему отсчета X Y Z вращающимся твердым телом, причем начало совместим с его неподвижной точкой O, а ось OZ  направим через центр масс твердого тела. Линия пересечения плоскостей XOY и X OY  называется лини-

157

ей узлов OA. Угол поворота  вокруг оси OZ  (угол между линией узлов OA и осью OX  ) называется углом собственного вращения. Угол поворота  вокруг оси OZ Z (угол между осью OX и линией Z узлов OA) называется углом прецессии.  Y Угол поворота  вокруг линии  узлов OA (угол между осями OZ и OZ  ) называется углом нутаY O ции. На рис. 66 положительные X направления отсчета углов пока  заны дуговыми стрелками. Углы A X  и  изменяются от 0 до 2 , Рис. 66 а угол  – от 0 до  . Положение твердого тела с одной неподвижной точкой однозначно определено относительно неподвижной системы отсчета XYZ, если известны три угла: ,  и  . Углы Эйлера широко используются в теории гироскопа и в небесной механике.

7.3. Плоское движение. Мгновенная ось вращения Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси вращения (например, цилиндр относительно закрепленной собственной оси вращения), то все точки этого тела движутся в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Это значит, что тело можно считать как бы плоским. При этом точка O, через которую проходит ось вращения, неподвижна, а все другие точки тела движутся по концентрическим окружностям с центром в этой точке. Их скорости в случае равномерного движения равны   v вр  , r  ,

v вр O

Рис. 67

(1)

 (где r – расстояние от центра O до данной точки

твердого тела) и распределены в плоскости так, как показано на рис. 67. Другим примером плоского движения является

158

качение цилиндра по горизонтальной плоскости без проскальзывания (рис. 68). Этот случай движения твердого тела не имеет закрепленных точек. Ось цилиндра движется B поступательно с некоторой скоростью v0 относительно горизонтальной плоскости, а сам цилиндр вращается O относительно оси с угловой скоростью v0  v0 . v вр Поскольку цилиндр катится по A v плоскости без проскальзывания, скорость поступательного движения оси Рис. 68 вращения и линейная скорость точек поверхности цилиндра связаны соотношением v0  R , (2) где R – радиус цилиндра. Скорость любой точки цилиндра относительно горизонтальной плоскости определится по формуле   v  v 0  , r  ,

(3)

где r – расстояние от оси цилиндра до данной точки. В этом случае точка соприкосновения цилиндра с плоскостью (точка A) неподвижна. Совокупность таких точек образует неподвижную мгновенную ось вращения. Тогда величина скорости точки B относительно мгновенной оси пропорциональна расстоянию AB ( vB    AB ), а мгновенное распределение скоростей в теле в рассматриваемый момент времени будет в точности таким же, как и при вращении вокруг неподвижной оси, проходящей через точку A. В отличие от закрепленной оси, сохраняющей постоянным свое положение в теле и в пространстве сколь угодно долго, мгновенная ось вращения, вообще говоря, перемещается как в теле, так и в пространстве. Поэтому она служит для описания мгновенного распределения скоростей в плоскости движения. Данной осью нельзя пользоваться для описания мгновенного распределения ускорений, так как для их определения недостаточно знать распределение скоростей только в рассматриваемый момент времени; надо знать это распреде-

159

ление также в близкий момент времени. А в этот момент движение тела уже перестает быть вращением вокруг прежней мгновенной оси. Действительно, согласно (3) ускорение любой точки цилиндра относительно горизонтальной плоскости равно  dv0 d   , r  , a   dt dt

где

(4)

d   dv0 , r   d v вр  2r  0 (цилиндр катится равномерно) и dt dt dt

(центростремительное ускорение). Следовательно, ускорение равно центростремительному an  2r

(5)

и направлено в каждой точке цилиндра к оси цилиндра, а не к мгновенной оси вращения, проходящей через точку A. При качении цилиндра со скольжением мгновенная ось вращения уже не будет проходить через точку касания. При v0  R мгновенная ось проходит через точку A, лежащую ниже плоскости качения

v0

O

v0 A

v1

v1

A

O

Рис. 69

(рис. 69,а). Цилиндр скользит относительно горизонтальной плоскости со скоростью v1 . При v0  R мгновенная ось проходит над плоскостью качения (точка A, рис. 69,б), т. е. вращение преобладает над поступательным движением. Однако во всех случаях качения цилиндра мгновенная ось движется вдоль горизонтальной плоскости со скоростью v 0 , 160 а

б

равной скорости поступательного движения оси цилиндра.

7.4. Сложение вращений Рассмотрим сложение вращательных движений твердого тела на примере качения одного конуса по поверхности другого. Положим, что по поверхности неподвижного конуса 2 катится без скольжения другой конус 1. При этом вершины обоих коB C нусов находятся в одной и той же точке O A (рис. 70,а). При таком движении конус 1 вращается вокруг собственной оси OA с угловой   скоростью 1 , а его ось OA поворачивается 2  1 вокруг неподвижной оси OB конуса 2 с угло2  1 вой скоростью 2 . В отсутствии проскальзывания все точки соприкосновения поверхноO стей конусов будут неподвижны, образуя а мгновенную неподвижную ось вращения OC. B Найдем результирующие скорости (углоA  CM вую и линейную) некоторой точки M кону   са 1, отстоящей на расстоянии r от точки O r (рис. 70,б). Точка M в результате вращения  конуса 1 вокруг оси OA приобретает линей- 2  ную скорость  1

  v1  1, r  ,

(1)

б

O

а в результате второго вращения вокруг оси OB –

Рис. 70

  v 2  2 , r  .

(2)

Результирующая линейная скорость точки M будет равна векторной сумме        v  v1  v 2  1, r   2 , r   1  2 , r  .    Величина   1  2

(3) (4)

выражает результирующую угловую скорость суммарного вращательного движения. Она находится по правилу параллелограмма

161

(рис. 70,б). Положим, что точка M лежит на мгновенной оси вращения OC. Тогда ее линейная скорость будет равна нулю, так как все точки оси OC в данный момент времени неподвижны. Все другие точки  конуса 1 вращаются вокруг этой оси с угловой скоростью  и, следовательно, их линейная скорость относительно мгновенной оси будет равна   v  , r  ,

(5)

т. е. мгновенное результирующее движение твердого тела есть вращение вокруг мгновенной оси OC. Эта ось, вообще говоря, непрерывно перемещается как относительно самого твердого тела, так и относительно неподвижной системы отсчета.

7.5. Теорема Эйлера Твердое тело при плоском движении Положение твердого тела при плоском движении однозначно определяется заданием положения какой-либо прямой, выделенной в теле. Пусть выбранная прямая твердого тела перешла из положения AB в положение A1B1 (рис. 71). Покажем, что этот переход можно осуществить путем одного поворота вокруг некоторой точки в плоскости движения. Соединим точки A с A1 и B с B1 (рис. 71). К серединам отрезков AA1 E A A1 и BB1 восстановим перпендикуляры B и продолжим их до пересечения E1  друг с другом (точка O). Эта точка есть центр вращения, поворот во B1 круг которого прямой AB приводит  1 к ее совмещению с прямой A1B1 O  AB  A1B1  . Действительно, треугольник OAA1 – равнобедренный Рис. 71 ( OA  OA1 , так как AE  EA1 ). По162

этому при повороте на угол  в плоскости движения точка A совпадает с точкой A1 . Аналогично, треугольник OBB1 – равнобедренный ( OB  OB1 ,так как BE1  E1B1 ) и поэтому при повороте на угол 1 в плоскости движения точка B совпадает с точкой B1 . Но углы  и 1 равны между собой. Это следует из равенства треугольников OAB и OA1B1 (как треугольников с равными сторонами):      и 1     . Откуда   1 и, следовательно, достаточно одного поворота на угол  , чтобы прямая AB совпала с прямой A1B1 . Это положение является частным случаем теоремы Эйлера: при плоском движении твердое тело может быть переведено из любого положения в другое произвольное положение путем одного поворота вокруг некоторой оси. Поскольку любое произвольное плоское движение представляется совокупностью плоских движений из одного бесконечно близкого положения в другое, осуществляемых поворотом вокруг некоторой оси, это произвольное движение твердого тела можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, движущейся как в теле, так и в пространстве. Твердое тело с одной неподвижной точкой Если одна из точек твердого тела неподвижна (точка C), то его положение однозначно определяется заданием положения двух каких-либо точек A и B этого тела, не лежащих на одной линии с точкой C (рис. 72). Выделим точки A и B на A1 поверхности сферы с центром в точке E A C. Проведем плоскость через указанные точки A, B и C. Она пересечет сферу по O 

B1



дуге AB . Движение дуги AB по поверхности сферы однозначно определяет и движение всего твердого тела (по аналогии с движением прямой AB в плоском случае).

B

E1 C Рис. 72 

Действительно, пусть выбранная дуга перешла из положения AB

163



в положение A1B1 . Соединим дугами точки A с A1 и B с B1 . К серединам этих дуг восстановим перпендикуляры и продолжим их до пересечения друг с другом (точка O, перпендикуляры ЕО и Е1 О). Точку O 

соединим с центром сферы C. Докажем, что дуга AB может быть пе

реведена в положение A1B 1 путем одного поворота вокруг оси OC. По построению точки A и A1 , а также B и B1 равноудалены от точки O. При повороте вокруг оси OC точка A совпадет с точкой A1 . Но поскольку сферические треугольники AOB и A1OB1 равны, а тело – абсолютно твердое, точка B также совпадет с точкой B1 . Следовательно, 

достаточно одного поворота вокруг оси OC, чтобы дуга AB совпала 

с дугой A1B1 . Данное утверждение является общим случаем теоремы Эйлера: твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, может быть переведено из произвольного положения в другое произвольное положение путем поворота вокруг некоторой оси, проходящей через эту неподвижную точку. Как и в случае плоского движения из теоремы Эйлера следует, что любое движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через эту неподвижную точку. С течением времени мгновенная ось, вообще говоря, непрерывно перемещается как в теле, так и в пространстве.

7.6. Произвольное движение твердого тела Произвольное движение твердого тела можно разложить на два движения: поступательное и вращательное. Выберем в твердом теле произвольно некоторую точку O, движущуюся со скоростью v 0 относительно неподвижной системы отсчета. Тогда движение любой другой точки A в теле может быть представлено как поступательное  со скоростью v 0 и вращательное со скоростью  вокруг мгновенной оси, проходящей через точку O:

164

  v  v 0  , r  ,

(1)

 где r – радиус-вектор, соединяющий точку O с точкой A (рис. 73).

Покажем, что угловая скорость вращения твердого тела не зависит от выбора положения точки O в теле. Действительно, возьмем другую  точку C, через которую проходит O r мгновенная ось вращения. Тогда скоA рость точки A представится как     v  vC  , r  ,

(2)

r

R

где vC – скорость поступательного C движения точки C относительно неРис. 73 подвижной системы отсчета;  r  – радиус-вектор, соединяющий точку C с точкой A;   – угловая скорость точки A относительно мгновенной оси, проходящей через точку C. Поскольку рассматривается одна и та же точка A, выбранная в твердом теле, должно выполняться равенство    где r   R  r .

    v 0  , r   vC  , r  ,

 



(3)

 

         v 0  , r   vC  , R  r  vC  , r   , R .   Согласно (1) v 0  vC  , R .     Следовательно, , r   , r  , откуда      .

Или

 

(4) (5)

(6) Из уравнения (6) следует, что угловая скорость любой точки твердого тела при его вращательном движении одинакова.

165

Глава 8. Динамика абсолютно твердого тела 8.1. Движение центра масс твердого тела Вопрос о движении твердого тела может быть решен, если решен вопрос о движении каждого элемента этого тела. Под элементом понимается малая часть твердого тела, размерами которой можно пренебречь в данной задаче. Пусть на i-й элемент твердого тела действуют силы. Очевидно, что часть этих сил обусловлена действием других элементов того же  тела и они называются внутренними силами f i . Оставшаяся часть сил обусловлена действием внешних по отношению к рассматривае мому телу сил Fi . Тогда по отношению к любому элементу твердого тела должен выполняться второй закон Ньютона    Fi  f i  mi ai ,

(1)

где mi – масса i-го элемента. Суммируя (1) по всем элементам, получим: n









n

n



n



 Fi  f i   Fi   f i   mi ai .

i 1

i 1

i 1

(2)

i 1

Геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на твердое тело, есть равнодействующая этих сил и называется главным вектором внешних сил: 

n



 Fi  F .

(3)

i 1

По третьему закону Ньютона геометрическая сумма всех внутренних сил равна нулю: 

n

 fi  0 .

(4)

i 1

Таким образом, уравнение движения твердого тела запишется как 166

n   F   mi ai .

(5)

i 1

В случае поступательного движения ускорение любого элемента    твердого тела одинаково: ai  ak  a (где i  k ). Тогда формула (5) запишется в виде   F  ma ,

(6)

n

где m   mi – масса твердого тела. i 1

В случае произвольного движения твердого тела ускорения его   элементов не будут одинаковы, т. е. ai  ak . Однако и здесь можно найти такую точку, жестко связанную с твердым телом, которая будет двигаться также, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе m твердого тела, под действием силы, равной главному  вектору внешних сил F . Эта точка называется центром масс или центром инерции твердого тела:   F  maс .

(7)

Центр масс твердого тела всегда совпадает с его центром тяжести, т. е. с точкой приложения равнодействующей массовых параллельных сил. (Массовые силы – это силы тяжести, действующие на каждый элемент твердого тела.) Координаты, скорость и ускорение центра масс твердого тела определяются формулами (7) – (13) п. 3.6. Импульс твердого тела определяется как n  p  mv с   mi v i ,

(8)

i 1

где v с – вектор скорости центра масс. Из уравнения (8) следует, что твердое тело обладает таким импульсом, каким обладала бы материальная точка с массой, равной массе m, и движущаяся так, как движется центр масс этого тела. Если твердое тело представляет собой замкнутую систему  ( p  const ), то его центр масс будет двигаться прямолинейно и рав-

167

номерно независимо от характера движения его отдельных элементов. Центр масс твердого тела любой формы можно найти опытным путем за счет подвеса тела на шнуре. Всякое тело, если его подвесить на шнуре, всегда занимает такое положение, что его центр тяжести лежит на продолжении вертикально натянутого шнура (рис. 74). Точки A, B и D – точки подвеса, а точка C – точка пересечения подвесов AC и DC есть центр масс твердого тела. Центр тяжести однородных фигур находится в A B геометрическом центре. Вообще говоря, центр тяжести (центр масс) твердого тела может лежать и вне C D тела (например, центр тяжести кольца). Различают три вида равновесия твердого тела: усРис. 74 тойчивое, неустойчивое и безразличное. В случае устойчивого равновесия центр тяжести тела C расположен ниже оси вращения. Если же центр тяжести C лежит выше оси вращения, то тело будет занимать неустойчивое равновесие. Безразличное равновесие имеет место только в том случае, когда центр тяжести совпадает с осью вращения. Примером безразличного равновесия может быть однородный шар на горизонтальной плоскости.

8.2. Момент инерции. Основной закон динамики вращательного движения 

Пусть на i-й элемент твердого тела действует внешняя сила Fi . При вращательном движении i-й элемент описывает окружность радиусом ri относительно неподвижной оси OO  (рис. 75). Разложим O  M  

O



 Fi

 Fi 

 Fi   Fit

ri  Fin

Рис. 75



силу Fi на две компоненты: Fi  , лежащую в плоскости вращения элемента,  и Fi  , параллельную оси вращения. 

i

Сила Fi  будет уравновешиваться реакцией опоры закрепленной оси и

168

никакого влияния на характер вращательного движения тела оказы вать не будет. Силу Fi  разложим, в свою очередь, на две состав



ляющие: нормальную Fin и тангенциальную Fit . Нормальная со

ставляющая силы Fin будет обуславливать центростремительное ускорение i-го элемента, заставляя его вращаться по окружности радиусом ri : v2 ain  i . ri

(1) 

Тангенциальная составляющая силы Fit обуславливает тангенциальное ускорение i-го элемента F ait  it , mi

(2)

где mi – масса i-го элемента. Умножим обе части уравнения (2) на ri : Fit  ri  mi ait  ri ,

(3)

где Fit  Fi  sin  , ait    ri (  – угловое ускорение). Fi ri sin   mi ri 2 , (4)  где M i  Fi ri sin  – момент силы Fi  , действующей на i-й элемент

Или

твердого тела; J i  mi ri 2 – момент инерции i-го элемента. В векторном виде уравнение (4) представится как   M i  Ji  .

(5)

Просуммировав (5) по всем элементам твердого тела, получим:  где M 

  M  J ,

  M i – момент главного вектора внешних сил;

(6)

i

J   J i – момент инерции твердого тела относительно оси OO  . i



Ускорение  будет одинаковым для всех точек твердого тела. 169

Формула (6) выражает основной закон динамики вращательного движения твердого тела: момент внешних сил, действующих на твердое тело и приводящих его во вращательное движение относительно неподвижной оси, равен произведению момента инерции твердого тела относительно этой оси на угловое ускорение. 

Вектор момента M внешних сил совпадает по направлению с  вектором углового ускорения твердого тела  и лежит на неподвижной оси вращения.

8.3. Момент инерции некоторых тел вращения. Теорема Гюйгенса–Штейнера Сначала найдем момент инерции некоторых тел вращения относительно оси, проходящей через их центр масс и совпадающей с осью симметрии. Момент инерции полого тонкостенного цилиндра (кольца) Разобьем полый тонкостенный цилиндр (кольцо) радиусом R на малые элементы dl (рис. 76). Момент инерции элемента dl с массой dm  HdRdl относительно оси OO  равен dJ  dmR2  HdRdlR 2 , O

R

H

dl Рис. 76

Или

где H – высота цилиндра (кольца); dR – толщина стенки. Тогда момент инерции полого тонкостенного цилиндра (кольца) относительно оси симметрии OO  будет равен J   dJ  HdR  R 2

O

(1)

2R

2  dl  2RH dR  R , (2)

0

где m  2RH dR – масса цилиндра (кольца),  – плотность материала. J  mR 2 .

170

(3)

Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) Разобьем сплошной однородный цилиндр (диск) радиусом R на тонкие коаксиальные цилиндрические слои толщиной dr (рис. 77). Момент инерции слоя радиусом r и толщиной dr относительно оси OO  равен dJ  dm  r 2  2H r 3dr ,

(4)

где масса слоя dm  2rdrH  (H – высота цилиндра (диска)). Тогда момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси симметрии OO  будет равен R

J   dJ  2H   r 3dr  0

1 H R 4 , 2

O r dr

H

(5)

R

O

где m  R 2H  – масса цилиндра (диска).

Рис. 77

Или J 

1 mR 2 . 2

(6)

Момент инерции полого толстостенного цилиндра (кольца) Найдем момент инерции полого толстостенного цилиндра (кольца) радиусом R и внутренним радиусом R0 относительно оси симметрии. Для этого, изменив пределы интегрирования в формуле (5), получим:







R  R4 R 4  1 J  2H   r 3dr  2H   0   H  R 2  R02 R 2  R02 .  4 4  2 R0 



(7)



Масса такого цилиндра (кольца) равна m  H  R 2  R02 . Следовательно, J 





1 m R 2  R02 . 2

171

(8)

Момент инерции сплошного однородного шара Разобьем шар радиусом R на тонкие слои толщиной dr перпендикулярно оси вращения OO' (рис. 78). Момент инерции слоя dr с массой dm  r x 2dr относительно оси OO' равен dJ 

rx

dr r

1 1 dm  r x 2  r x 4dr , 2 2

(9)

где r x  R 2  r 2 . Тогда момент инерции шара относительно оси симметрии OO' будет равен

R

O

J   dJ 





R 2 1   R 2  r 2 dr  2 R

1  2 2R 2 4R 2  16  2R    R 5 , 5 3  30 2  4 где m  R 3 – масса шара. Следовательно, 3 2 (10) J  mR2 . 5

O



Рис. 78

Для тонкостенного полого шара (сферы) момент инерции равен J 

2 mR2 . 3

Момент инерции конуса O



r H

rx dr O

Разобьем конус с радиусом основания R и высотой H на тонкие слои толщиной dr, перпендикулярные оси симметрии OO' (рис. 79). Момент инерции слоя dr, отстоящего от вершины конуса на расстоянии r, относительно оси OO  равен dJ 

R

1 dm  r x 2 , 2

где масса слоя dm  r x 2dr . Рис. 79

172

(11)

dJ 

Или Из соотношения

1 r x 4dr . 2

(12)

rx r rR  следует, что r x  . Поэтому R H H dJ 

1 R4 4  r dr . 2 H4

(13)

Тогда момент инерции конуса относительно оси симметрии OO ' будет равен J   dJ 

где m 

R4 H 4 1  4 r dr  R H ,  4  2 10 H 0

(14)

1 R 2H – масса конуса. Следовательно, 3 J 

3 mR2 . 10

(15)

Теперь найдем момент инерции тела относительно оси, не являющейся осью симметрии. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину Разобьем стержень длиной l на малые элементы dr (рис. 80). Момент инерции малого элемента dr с массой O dm  dSdr относительно оси OO', прохоr dr дящей через середину стержня, равен dJ  dm  r 2  dSr 2dr ,

(16)

где dS – сечение стержня. Тогда момент инерции стержня l относительно оси OO', проходящей через его середину, будет равен l

J   dJ  dS



l

2 2

r 2dr 

O

l 2 Рис. 80

3

2 1 l  dS    dSl 3 , 3 2 12  

173

(17)

где m  dSl – масса стержня. Следовательно, J 

1 ml 2 . 12

(18)

Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его конец В этом случае надо изменить пределы интегрирования в формуле (17) от 0 до l: l

J  dS  r 2dr  0

J 

dSl 3 1 2  ml 3 3

(19)

1 2 ml . 3

В случае, когда вращение твердого тела происходит относительно произвольной оси, не проходящей через центр масс твердого тела, для определения его момента инерции пользуются теоремой Гюйгенса-Штейнера. Согласно этой теореме момент инерции твердого тела относительно произвольной оси равен его моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс твердого тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния от центра масс до оси вращения (20) J  JC  mr 2 .

8.4. Тензор инерции Найдем момент инерции твердого тела относительно произвольной оси OO' (рис. 81). Положим, что эта ось вращения проходит че рез начало O прямоугольной системы коордиO r  dm нат X,Y,Z. Разложим радиус-вектор r малого rII элемента массы dm твердого тела на две со  r ставляющие: параллельную оси вращения rII   и перпендикулярную к оси вращения r К O

   r  rII  r  .

Рис. 81

174

(1)

Момент инерции элемента dm относительно оси OO' равен





dJ  dm  r  2  dm r 2  rII 2 ,

(2)

r 2  x 2  y 2  z2 .

(3)  Введя единичный вектор k вдоль оси вращения OO', можно записать, что   (4) rII  r , k  xk x  yk y  zk z . где

 

k 2  kx2  k y2  kz2  1.

При этом

(5)

Учитывая уравнения (3) и (4), формулу (2) перепишем в виде dJ  dm( x 2  y 2  z 2  x 2 k x 2  y 2 k y 2  z 2 k z 2   2 xyk x k y  2 yzk y k z  2 zxk z k x 







 



 dm[ x 2 1  k x 2  y 2 1  k y 2  z 2 1  k z 2 

(6)

 2 xyk x k y  2 yzk y k z  2 zxk z k x ], или, принимая во внимание (5),







 



dJ  dm[ x 2 k y 2  k z 2  y 2 k x 2  k z 2  z 2 k x 2  k y 2   2 xyk x k y  2 yzk y k z  2 zxk z k x ] 

 dm[ x 2 k y 2  x 2 k z 2  y 2 k x 2  y 2 k z 2  z 2 k x 2  z 2 k y 2   2 xyk x k y  2 yzk y k z  2 zxk z k x ] 













 dm[ y 2  z 2 k x 2  x 2  z 2 k y 2  x 2  y 2 k z 2   2 xyk x k y  2 yzk y k z  2 zxk z k x ]

.

(7)

Тогда момент инерции твердого тела будет равен













J   dJ   y 2  z 2 k x 2 dm   x 2  z 2 k y 2 dm   x 2  y 2 k z 2 dm   2 xyk x k y dm  2 yzk y k z dm  2 zxk z k x dm .

Введем обозначения:

   x

J xx  J yy

 dm

2 2  y  z dm 2

 z2

175

(8)

J xy





2 2  x  y dm  J yx    xydm

J zz 

J yz  J zy    yzdm J zx  J xz    zxdm

Тогда выражение (8) перепишем в виде J  J xx k x 2  J yy k y 2  J zz k z 2  2 J xy k x k y  2 J yz k y k z  2 J zx k z k x , (9)

где J xx , J yy , J zz – моменты инерции твердого тела относительно координатных осей X,Y,Z соответственно. Величины J xy , J yz и J zx называются центробежными моментами инерции. Они являются характеристиками динамической неуравновешенности масс. Например, при вращении тела вокруг оси OZ от значения J xz и J yz зависят силы давления на подшипники в которых закреплена эта ось. Если же ось OZ свободна, то тело может продолжать вращение вокруг нее только тогда, когда она проходит через центр масс тела и J xz  J yz  0 . В этом случае говорят, что массы тела относительно оси OZ динамически уравновешены. Геометрически картина распределения момента инерции относительно пучка осей, проходящих через центр О, характеризуется построенным в точке О эллипсоидом инерции. Совокупность девяти величин J xx

J xy

J xz

J yx

J yy

J yz

J zx

J zy

J zz

(10)

называется тензором инерции твердого тела относительно точки O, а сами эти величины – компонентами тензора инерции. (Тензором называется многокомпонентная величина, характеризующаяся своим поведением при преобразованиях системы координат.) Тензор инерции симметричен, т. е. J ij  J ji . Формулу (9) можно записать в виде 176

3

3

J    J ij ki k j ,

(11)

i 1 j 1

где принято, что x  x1, y  x2, z  x3 . Если для данной координатной системы известны все шесть компонентов тензора инерции J xx , J yy , J zz , J xy , J yz , J zx , то по формуле (9) или (11) можно вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через начало координат O. Три взаимно перпендикулярных оси, проходящие через точку О, для которых J xy  J yz  J zx  0 , называются главными осями инерции. Тогда тендор инерции тела можно определить заданием главных осей инерции и моментом инерции относительно этих осей. Момент инерции относительно всякой другой оси, не проходящей через начало координат, можно вычислить, пользуясь теоремой Гюйгенса–Штейнера.

8.5. Момент импульса твердого тела. Закон сохранения момента импульса 

Пусть под действием внешней силы Fi i-й элемент твердого тела начинает вращаться по окружности радиуса ri относительно непод

вижной оси OO ' (рис. 82). Тангенциальная составляющая силы Fit создает тангенциальное ускорение этого элеO мента, равное ait 

Fit F sin   i , mi mi

(1) O

где mi – масса i-го элемента. dv С другой стороны, ait  i . dt

(2)

 L  

 ri Fin    i Fi F it

Из формул (1) и (2) mi dvi  Fi sin   dt . (3) Умножив уравнение (3) на ri , получим: mi ri dvi  Fi sin   ri dt ,

177

Рис. 82

d mi vi ri   M i dt ,

или

(4)

где L i  mi vi ri – момент импульса (момент количества движения) i-го элемента; M i  Fi ri sin  – момент силы, а M i dt – импульс момента силы, действующей на i-й элемент. Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси OO ' равен сумме моментов импульса всех его элементов L 

2  L i   mi vi ri , или L   mi ri   J ,

i

i

(5)

i

где J   mi ri 2 – момент инерции твердого тела относительно i



оси OO';  – угловая скорость вращения. 



В векторном виде L  J . (6) Следует отметить, что в общем случае (когда ось вращения не за креплена) вектор момента импульса L не совпадает по направлению  с вектором угловой скорости  . Суммируя (4) с учетом выражения (6), получим:   dL  M dt ,

(7) т. е. импульс момента внешних сил, действующих на тело, равен изменению момента импульса тела. Или

   dL L   M вн . dt

(8)

Уравнение (8) выражает уравнение моментов: производная по времени от момента импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равна моменту всех внешних сил, действующих на тело.

  dL Если момент внешних сил M  0 , то  0 и, следовательно, dt   L  J  const . (9)

Формула (9) выражает закон сохранения момента импульса твердого тела: в отсутствии действия внешних сил момент импульса твердого тела остается неизменным.

178



Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси при M  0 , т. е. с постоянным моментом импульса, аналогично прямолинейному движению тела по инерции mv  const .

(10) Однако между этими движениями существует принципиальное различие: движение по "инерции" есть движение с постоянной скоростью v , а вращение тела с постоянным моментом импульса не все гда есть движение с постоянной угловой скоростью  , так как момент инерции тела может изменяться во время движения, а, следова  тельно, должна изменяться и  , для того чтобы момент импульса L оставался постоянным в соответствии с уравнением (9).

8.6. Момент силы и момент импульса относительно неподвижной оси В общем случае момент вектора относительно точки и момент вектора относительно оси имеют разные понятия. Момент вектора относительно точки есть сам вектор (см. п. 4.5). Момент вектора относительно оси есть проекция на данную ось момента вектора относительно точки, лежащей на этой оси. Векторное уравнение моментов   L  M внеш

(1)

может быть представлено в проекциях на координатные оси X, Y, Z прямоугольной системы координат в виде трех уравнений: dL x   M x внеш  dt  dL y  , My внеш  dt  dL z   M z внеш  dt 

(2)

где L x , L y , L z – моменты импульса твердого тела (системы материальных точек) относительно осей X, Y, Z; M x внеш , M y внеш , M z внеш –

179

моменты внешних сил, действующих на систему, относительно тех же осей соответственно. Чтобы выяснить геометрический смысл проекций момента силы и   момента импульса на координатные оси, представим векторы r и F в виде двух составляющих относительно оси X.

 F

 r Рис. 83

перпендикулярные к оси X (рис. 83);

  rII и FII – составляющие тех же векторов, па-

 r

O

   r  r   rII     , (3) F  F  FII      где r и F – составляющие векторов r и F ,

раллельные оси X. Ось X перпендикулярна плоскости рисунка и проходит через полюс O. Тогда момент силы можно записать в виде

     



       M  r , F  r   rII , F   FII          . (4)  r  , F  r  , FII  rII , F   rII , FII   Последний член выражения (4) rII , FII  0 , так как векторы кол      линеарные ( rII  FII ). Сумма r  , FII  rII , F есть вектор, перпен-

  



     



дикулярный к оси X. Проекция данного вектора на ось X равна нулю. Следовательно, от выражения (4) остается только первый член    r , F . Поэтому составляющая вектора M , параллельная оси X, будет равна









   M II  r  , F .

(5)

Эта составляющая и определяет величину M x внеш . Аналогично, можно записать и для момента импульса    L II  r  , p  ,

 где L II определяет величину L x .

180

(6)

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси его   момент импульса L   r , v dm в проекциях на координатные оси запишется в виде:

 

L x  J xx  x  J xy  y  J xz z   L y  J yx  x  J yy  y  J yzz  ,  L z  J zx x  J zy y  J zzz 

т. е. компоненты вектора момента импульса твердого тела являются линейными функциями компонентов вектора угловой скорости.

8.7. Работа и кинетическая энергия вращательного движения Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси представляет собой сумму кинетических энергий вращения отдельных его элементов. Кинетическая энергия вращения i-го элемента твердого тела равна mi vi 2 m r 2 2 J 2  i i  i , 2 2 2

E ik 

(1)

где J i  mi ri 2 – момент инерции i-го элемента. Кинетическая энергия твердого тела будет равна Ek 

1 2

1 2

 E ik  2  J i  J2 , i

i

(2)

где J   J i – момент инерции твердого тела относительно неподi

вижной оси вращения. Пусть на твердое тело действуют  внешние силы, главный вектор F которых лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и приложен в точке A (рис. 84). Неподвижная ось вращения проходит через точку O и перпендикулярна плоскости рисунка. Работа главно-

181

O

l  d  r

Рис. 84

 dS

A 

 F



го вектора внешних сил F на элементарном участке пути dS будет равна





  dA  F , dS  F  dS cos  ,

(3)

где dS  rd , или dA  F  rd cos   F  ld  , (4)  где M  F  l – момент силы F , l  r cos  – плечо силы. Тогда ра-

бота на всем пути определится как A

2

 Md  .

(5)

1

8.8. Кинетическая энергия при произвольном движении твердого тела Рассмотрим движение твердого тела, когда его ось вращения проходит через центр масс и перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Пусть v i – скорость i-го элемента твердого тела относительно неподвижной системы отсчета; v с – скорость центра масс твердого тела относительно той же системы; v' i – линейная скорость вращения i-го элемента относительно центра масс. Согласно закону сложения скоростей (рис. 85) v i  v i  v с ,

где

vi 2  vix 2  viy 2  viz 2    v' i 2  v' ix 2 v ' iy 2 v ' iz 2   vс 2  vсx 2  vсy 2  vсz2  

182

(1)

(2)

vix  v' ix vсx   viy  v ' iy vсy   viz  v ' iz vсz 

(3)

Z

vi v i

vс vсx

vсz

O

vсy

v' iz v' iy Y

v' ix X

Рис. 85

Кинетическая энергия i-го элемента равна E ik 





mi vi 2 m  i vix 2  viy 2  viz 2 , 2 2

где mi – масса i-го элемента. Или с учетом формулы (3) E ik 









mi v'ix vсx 2  v'iy vсy 2  v'iz vсz 2  2



 



mi vсx 2  vсy 2  vсz 2  v ' ix 2 v ' iy 2 v ' iz 2  2  2 v ' ix vсx  v' iy vсy  v' iz vсz . 



(4)



(5)

Тогда кинетическая энергия твердого тела представится суммой кинетических энергий (5) всех его элементов: Ek 

i







mi vсx 2  vсy 2  vсz2  i 2

 E ik  



mi v ' ix 2 v' iy 2 v ' iz 2  2 i   mi v ' ix vсx  v ' iy vсy  v' iz vсz . 

 i





Рассмотрим все члены этого многочлена. 183

mi vс 2 mvс 2 ,  2 2 i



(6)

где m   mi – масса твердого тела. i

mi v' i 2 m J 2 ,   i ri 2  2  с  2 2 i i 2

(7)

где J с   mi ri 2 – момент инерции твердого тела относительно оси i



вращения, проходящей через центр масс;  – угловая скорость вращения.

 m v' i

ix



vсx  v'iy vсy  v'iz vсz  0 .

(8)

i

Докажем

 mi v' ix vсx

уравнение  0.

(8).

Здесь

достаточно

доказать,

что

i

 mi vix Известно, что vсx 

i

m

, откуда mvсx   mi vix .

(9)

i

 mi v'ix vсx   mi vix  vсx  vсx  i

i

   vсx   mi vix   mi vсx   i i 

где согласно (9)

  vсx   mi vix  vсx  mi i i vсx  mi   mi vix . i

   0,  

i

Таким образом, кинетическая энергия при произвольном движении твердого тела равна Ek 

mvс 2 J с 2  . 2 2

(10)

Она складывается из кинетической энергии поступательного движения центра масс твердого тела относительно неподвижной систе-

184

мы отсчета и энергии его вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс.

8.9. Свободные оси вращения. Гироскопы В случае, когда ось вращения твердого тела закреплена, зависимость его момента импульса (момента количества движения) от угловой скорости определяется как   L  J .

(1)

 При этом вектор момента импульса L совпадает по направлению  с вектором угловой скорости  . Если ось вращения твердого тела не

закреплена и сама поворачивается под действием внешних сил, то зависимость (1) будет иметь сложный характер. Симметричные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью вокруг свободной оси, называются гироскопами. Характерным свойством гироскопа является стремление сохранить неизменным направление своей оси вращения при воздействии на него внешних сил. Если к вращающемуся гироскопу приложить пару сил, стремящуюся повернуть его около оси, перпендикулярной к оси вращения, то он станет поворачиваться около третьей оси, перпендикулярной к первым двум. Этот эффект носит название гироскопического эффекта. Рассмотрим природу гироскопического эффекта. Пусть гироскоп,  представляющий собой кольцо, вращается с угловой скоростью  вокруг оси OO', жестко связанной с ним. Вектор момента импульса гироскопа определяется формулой (1) и лежит на оси OO ' (рис. 86).   Пусть к оси OO' приложена пара сил F и F  , лежащих в плоскости рисунка и стремящихся повернуть гироскоп около оси XX', перпендикулярной плоскости рисунка. Тогда под действием момента этих  сил M за время dt момент импульса гироскопа изменится на величину   dL  M dt .

185

(2)

 F  O

O X

v1

 

v Y

B v

v

Av

O

d

 M

1

v

v1 v

 M2

B A

Y

v

А



v1

 L

X

 F

  1 M 1

Рис. 86



Вектор момента внешних сил M лежит на оси XX' и, следова тельно, приращение момента импульса dL перпендикулярно к мо менту импульса L в данный момент времени (рис. 87). За время dt вектор момента импульса (а вместе с ним и ось OO' гироскопа) повернется на угол d относительно оси XX'. В результате ось вращения гироскопа OO' будет совершать вращательное движение вокруг оси XX', называемое прецессией. Угловая скорость прецессии равна O O  dL

 L  

d

X

  O

O Рис. 87

d . dt (3) Таким образом, каждую точку гироскопа относительно неподвижной системы отсчета теперь можно рассматривать участвующей в двух движениях: 1) движение с относительной 

 M

X

186



угловой скоростью  ;



2) движение с переносной угловой скоростью  . Но тогда у каждого элемента гироскопа появится дополнительное ускорение Кориолиса

 

  aкор  2 , v1 ,

(4)

вызванное кориолисовыми (гироскопическими) силами

 

  Fи  2m v1,  ,

(5)

где v1 – линейная скорость вращения элемента гироскопа, а m – масса этого элемента.  ^  Fи  2mv1 sin v1  .    

Или

(6)  ^ 



Из рис. 86 видно, что в точках A и A' угол  v1   и, следова2 



тельно, в этих точках ускорение Кориолиса будет наибольшее (вектор изменения линейной скорости v  v1  v наибольший). В точ ^ 

 ках B и B' угол  v1   0 и, следовательно, в этих точках кориолисо



во ускорение будет равно нулю (вектор изменения линейной скорости v  v1  v  0 , так как v1II v ). На полукольцо BA'B' будут действовать силы Кориолиса, направленные вверх и принимающие значения от 0 (точка B) до 2mv1 (точка A'), и от 2mv1 (точка A') до 0 (точка B'). На полукольцо BAB' будут действовать аналогичные силы, направленные вниз и принимающие значения от 0 (точка B и B') до 2mv1 (точка A) (рис. 88). В результате этого относительно оси YY' возникает момент гироскопи ческих сил M 1  0 , заставляющий гироскоп поворачиваться около оси YY', перпендикулярной к осям OO' и XX'. 187

  M 

O

Y

X

B

O

B

A

 M1

 1

A

Таким образом, действие момента внешних сил  M приводит к дополнительному вращательному движению (прецессии) гироскопа

X

Y

   L

 M2



с угловой скоростью  относительно оси, перпендикулярной к оси враРис. 88 щения гироскопа. В свою очередь это появившееся дополнительное вращение приво дит к возникновению момента сил Кориолиса M 1 , вызывающего вра

щение гироскопа с угловой скоростью 1 около третьей оси, перпендикулярной к первым двум. Но появление дополнительного вращения с угловой скоростью 1 вызовет появление новых дополнительных 

сил Кориолиса, направление момента M 2 которых будет повернуто 

на  2 по отношению к M 1 и будет противоположно моменту внеш



них сил M . Момент M 2 будет стремиться к тому, чтобы уравновесить действие внешних сил и, следовательно, погасить дополнитель ное вращательное движение гироскопа с угловой скоростью  .   Итак, если момент внешних сил M  const , то  растет и,  ввиду этого роста, момент сил Кориолиса M 1 будет расти, вызывая 



рост 1 . Тогда момент новых сил Кориолиса M 2 будет также расти и с течением времени достигнет значения M 2  M . Но тогда угло



вая скорость  станет постоянной. Она обуславливает M 1 , поэтому M 1  const . Этот момент создает дополнительное вращение с уг

ловой скоростью 1 , которая будет расти. Но так как она обуславли

вает момент M 2 , то этот момент будет также расти, достигая значения M 2  M . Но тогда  будет уменьшаться и, следовательно, будет уменьшаться M 1 , достигая значения M 1  0 . Тогда 1  const и 188

M 2  const .

В конечном   итоге гироскоп приобретает колебательное движение относительно оси XX', которое постепенно затухнет. Покачивание оси OO' называется нутацией. Примером гироскопа может служить волчок, имеющий одну точку опоры и вращающийся с угловой ско ростью  . Найдем скорость O прецессии волчка (рис. 89). На волчок действует сила  тяжести mg , приложенная к центру масс C. Момент силы тяжести равен

 dL

 dL

d

 L

90  

l  r

 L

C



d  mg

 M

O Рис. 89

относительно точки опоры O    M  r , mg ,

(7)

где r  OC , M  mgl ( l  r sin  – плечо силы). Вектор момента си

лы тяжести волчка M перпендикулярен плоскости, проходящей че рез ось волчка OC и вертикаль. Под действием M вектор момента  импульса волчка L (следовательно, и ось волчка) будет поворачиваться, оставаясь постоянным по величине и сохраняя постоянным угол  с вертикалью, описывая вокруг нее конус. Определим угловую скорость прецессии волчка  . За время dt  под действием момента силы тяжести M момент импульса волч ка L относительно неподвижной точки O изменится на величину dL  Mdt . С другой стороны, dL  L sin   d . Тогда Mdt  L sin   d , откуда или

d M  dt L sin 



mgr sin  mgr  , L sin  J

189

(8) (9)

где J – момент инерции волчка. Вращение около осей с наибольшим и наименьшим моментом инерции оказывается устойчивым, а вращение вокруг оси со средним моментом инерции – неустойчивым.

190

Глава 9. Механика жидкостей и газов Раздел механики, занимающийся изучением движения и равновесия жидкостей, называется гидродинамикой. При изучении движения жидкости принимается некоторая идеализация: жидкость несжимаема; жидкость не обладает внутренним трением (вязкостью). Для описания движения жидкости можно проследить не за движением отдельных ее частиц, а за тем, что происходит в каждой точке пространства жидкости с течением времени. При этом можно указать величины и направления скоростей различных частиц жидкости, которые в различные моменты времени проходят через одну и ту же точку пространства. Если взять все точки пространства для фиксированного момента времени t, то мы получим мгновенную картину распределения скоростей жидкости (поле скоростей). В каждой точке пространства будет указан вектор скорости той частицы жидкости, которая оказывается в этой точке в данный момент времени. Линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением скорости частицы жидкости в этой точке, называется линией тока. Если линии тока с течением времени не меняются, то движение жидкости называется стационарным или установившимся. Если же они меняются во времени, то движение называется нестационарным или неустановившимся. В случае нестационарного движения ско рость жидкости является функцией координат и времени: v  v r , t  . При стационарном движении скорость зависит только от координат:  v  v r  . В случае нестационарного движения линии тока, вообще говоря, не совпадают с траекториями частиц жидкости. Действительно, линия тока характеризует направления движения множества частиц и поэтому только при стационарном движении она совпадает с траекториями движения этих частиц.

9.1. Теорема о неразрывности струи

190

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Выберем трубку тока с сечениями S1 и S2 (рис. 90). Пусть за время t через сечение S1 протечет объем жидкости V1  S1v1t ,

(1)

S2

где v1 – скорость жидкости в месте сечения S1 . За то же время через сечение S2 протечет объем жидкости V 2  S2v2 t , (2) где v2 – скорость жидкости в месте сечения S2 . Поскольку жидкость несжимаема, можно утверждать, что S1v1t  S2v2 t . (3)

S1 Рис. 90

Откуда S1v1  S2v2 ,

или Sv  const . (4) Формула (4) выражает теорему о неразрывности струи. Из (4) следует, что при переходе жидкости из широкой части в узкую скорость ее увеличивается, т. е. она приобретает ускорение. Это возможно только за счет каких-то сил, действующих на жидкость. Очевидно, что это действие должно проявиться как давление внутри жидкости. Следовательно, мы должны предположить, что давление в текущей жидкости зависит от скорости в отличие от покоящейся жидкости, где давление определяется только внешним давлением и высотой столба жидкости над рассматриваемой точкой. Для покоящейся жидкости по закону Паскаля давление, оказываемое на некоторый объем жидкости одинаково передается по всему объему этой жидкости. В текущей жидкости давление будет больше там, где площадь сечения трубок тока больше. Протискиваясь через узкое сечение, жидкость испытывает всестороннее растяжение, в результате чего давление понижается и при больших скоростях падает до нуля; происходит разрыв жидкости. Это явление называется кавитацией.

191

9.2. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли Найдем количественную связь между давлением внутри жидкости и скоростью ее течения. С этой целью выделим из движущейся жидкости элемент массой m , протекающей вначале через сечение S1 , а  затем через сечение S2 трубки тока (рис. 91). Пусть v1 и p1 – ско рость и давление жидкости в месте сечения S1 , а v2 и p2 – скорость и давление жидкости в месте сечения S2 ; h1 и h2 – высоты, на которых расположены сечения S1 и S2 соответственно. S1  F1

P1

v1

S2 P2 v2

l1 h1

l h2 2

 F2

Рис. 91

Полная энергия элемента m в месте сечения S1 равна E1 

mv12  mgh1 , 2

а в месте сечения S2

192

(1)

E2 

mv2 2  mgh2 . 2

(2)

Изменение энергии элемента m равно работе сил, перемещающих его от сечения S1 к сечению S2 : A  E 2  E1 ,

(3)

т. е. работе, совершаемой внешними силами над массой жидкости, заключенной между сечениями S1 и S2 , за время t , в течение которого через указанные сечения протекает элемент жидкости m . Со стороны всей жидкости, лежащей слева от сечения S1 , под действием силы F1  P1S1 (4) совершается положительная работа A1  F1l1  F1v1t  P1S1v1t .

(5)

Со стороны всей жидкости, лежащей справа от сечения S2 , под действием силы F2  P2S2 (6) совершается отрицательная работа A2  F2l 2  F2v2 t  P2S2v2 t .

Полная работа будет складываться из выражений (5) и (7): A  A1  A2  P1S1v1t  P2S2v2 t ,

(7) (8)

или, учитывая формулы (1) – (3), mv2 2 mv12  mgh2  P2S2v2 t   mgh1  P1S1v1t . 2 2

(9)

Согласно теореме о неразрывности струи S1v1t  S2v2 t  V –

объем, занимаемый элементом жидкости m . Поделив (9) на V , получим: v2 2 v 2  gh2  P2  1  gh1  P1 , 2 2

193

(10)

или

v 2  gh  P  const – уравнение Бернулли, 2

(11)

v 2 m – гидродинамическое давление,   – плотность жидкоV 2 сти; gh – гидростатическое давление; P – внешнее давление.

где

Из уравнения (11) следует, что при стационарном движении жидкости сумма гидродинамического, гидростатического и внешнего давлений постоянна. Используя уравнение Бернулли, найдем P1 скорость истечения жидкости из узкого отверстия (рис. 92). Если сосуд широкий, а v1 отверстие мало v1  v2  , то уравнение h Бернулли представится в виде P2 h1

v2 h2

gh1  P1 

v2 2  gh2  P2 , 2

(12)

где P1  P2  Pa – атмосферное давление.

Рис. 92

Из уравнения (12) v2 

2 gh1  h2  

2 gh ,

(13)

где h  h1  h2 . Формула (13) – формула Торричелли. Она показывает, что при истечении из узкого отверстия жидкость приобретает такую скорость, какую получило бы тело, свободно падая с высоты h. Поэтому если изогнуть трубку, присоединенную к узкому отверстию, и направить струю вертикально вверх, то она в наивысшей своей точке достигнет уровня жидкости в сосуде.

9.3. Движение вязкой жидкости Как известно, реальные жидкости обладают вязкостью. Поэтому в таких жидкостях при перемещении одних слоев относительно других возникают силы трения. Со стороны слоя, движущегося быстро, на слой, движущийся медленно, действует ускоряющая сила и, наобо194

рот, со стороны медленно движущегося слоя на быстрый слой действует тормозящая сила. Эти силы называются силами внутреннего трения. Силы внутреннего трения направлены по касательной к поверхности слоев жидкости. Ньютоном было установлено, что силы внутреннего трения пропорциональны площади соприкасающихся слоев и градиенту скорости F 

dv S, dz

(1)

где  – коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость); зависит от природы жидкости и ее температуры. С повышением температуры динамическая вязкость Z уменьшается; S – площадь соприкасающихся слоев;

dv – градиент скороdz

dz

v2

v1 сти; характеризует быстроту изменеO Y ния скорости жидкости dv  v2  v1 по X Рис. 93 глубине z и перпендикулярен к направлению вектора скорости (рис. 93). Существуют два вида течения вязкой жидкости: ламинарное и турбулентное. При ламинарном течении слои жидкости скользят друг по другу со скоростями, направленными по оси трубы и увеличивающимися по мере удаления от стенок трубы к ее центру. В случае турбулентного течения жидкость движется с завихрениями, при которых возникает составляющая скорости, направленная перпендикулярно к оси трубы. Скорость, при которой ламинарное течение переходит в турбулентное, называется критической скоростью. Рассмотрим ламинарное    течение вязкой жидкости F4 F1 F3  по трубе длиной l и радиуF2 v R сом R. Предположим, что движение жидкости наO O r  v правлено слева направо  F2 (рис. 94). Из соображений F1 P2 P 1

dr

l Рис. 94

195

симметрии ясно, что слои жидкости будут представлять собой коаксиальные цилиндры. Выделим в жидкости цилиндрический слой с внутренним радиусом r и малой толщиной dr, при которой можно считать, что жидкость этого слоя движется с постоянной скоростью v . Это значит, что геометрическая сумма всех сил, действующих на данный слой, равна нулю. Поскольку скорость жидкости вне слоя меньше, а внутри него больше скорости v , на внешнюю поверхность слоя со стороны внешней по отношению к нему жидкости будет действовать сила  трения F1 , направленная против течения. На внутреннюю поверхность слоя со стороны внутри лежащей жидкости будет действовать  сила трения F2 , направленная по течению и увлекающая этот слой. 



Кроме сил F1 и F2 из-за перепада давлений в трубе на рассматри



ваемый слой будут действовать еще силы F3 и F4 давления жидкости, расположенной слева от переднего сечения слоя и справа от его  заднего сечения. Сила F3 численно равна F3  2rdr  P1  и направлена по течению, а сила F4 равна F4  2rdr  P2

(2) (3)

и направлена против течения. Тогда условие движения жидкости с постоянной скоростью v представится в виде: F2  F3  F1  F4  0

или

2rdr P1  P2   F1  F2   0 .

(4)

Очевидно, dF  F1  F2  0 , так как F3  F4 . Сила dF компенсируется силой, возникающей из-за разности давлений P1  P2  . Согласно формуле (1) сила трения F2 равна F2  

dv 2rl . dr

196

(5)

Тогда или

 dv  dF  2l   d  r   2rdr  P1  P2   dr 

 

(6)

dv P1  P2  2  r C . dr 2l

(7)

 dv  P1  P2  dr d r2 .  dr 2  l  

Интегрируя выражение (6), получим: r

Для нахождения в (7) постоянной интегрирования C воспользуемся граничными условиями: при r  0 (ось трубы OO') скорость жидкости будет максимальной, а градиент скорости

dv  0 . Следоваdr

тельно, постоянная C  0 . Тогда

P  P2  rdr . dv P1  P2   r или dv  1 2l 2l dr

(8)

При переходе от слоя жидкости с радиусом r к слою с радиусом r  dr ее скорость уменьшается на величину dv  

P1  P2  rdr

.

(9)

P1  P2  r 2  C ,

(10)

2l

Интегрируя выражение (9), получим: v

4l

где постоянная интегрирования C находится из условия: при r  R (стенка трубы) скорость жидкости равна нулю и, следовательно, C 

P1  P2 R 2 . 4l

Тогда скорость движения жидкости в зависимости от расстояния до оси трубы будет определяться по формуле v

P1  P2  R 2  r 2  . 4l

197

(11)

Зная скорость течения (11), можно найти объем вытекающей из трубы жидкости за время t. Действительно, из цилиндрического слоя радиусом r и толщиной dr за время t вытечет объем жидкости, равный dV  2rdr  v  t , или dV  2rdr  t 

P1  P2  R 2  r 2   P1  P2 t R 2r 4l

2l



 r 3 dr .

(12)

Интегрируя выражение (12), получим: V 

P1  P2 t 2l

R R 2 P1  P2 R 4t 3  .   R rdr   r dr   8l   0 0

(13)

Формула (13) представляет собой формулу Пуазейля для объема вытекающей из трубы жидкости за время t. Средняя скорость движения жидкости равна  v 

l V  , t S t

где S  R 2 – площадь сечения трубы. Тогда  v 

R 4 P1  P2   t 8l R 2  t



P1  P2   R 2 . l

8

(14)

Из формулы (14) перепад давления на единицу длины равен P1  P2 8    v , l R2

(15)

т. е. при ламинарном течении перепад давления на единицу длины пропорционален средней скорости движения жидкости. В случае турбулентного течения перепад давления на единицу длины пропорционален квадрату средней скорости движения жидкости P1  P2   v 2 ,  l 2R

198

(16)

где  – коэффициент сопротивления течению жидкости;  – плотность жидкости. Формула (16) называется формулой Шези. Итак, из рассмотрения вопроса о движении жидкости следует, что при стационарном течении идеальной жидкости в горизонтальной трубе постоянного сечения ее давление согласно уравнению Бернулли остается одним и тем же по всей длине трубы. В случае течения вязкой жидкости в такой трубе ее давление падает в направлении движения и для стационарности течения следует поддерживать на концах трубы постоянную разность давлений, уравновешивающую силы внутреннего трения, возникающие при движении жидкости.

9.4. Движение твердых тел в жидкостях При движении твердого тела в вязкой жидкости возникает сопротивление. В случае малых скоростей, когда отсутствуют вихри, сила сопротивления обусловлена непосредственно вязкостью жидкости. В этом случае по закону Стокса сила сопротивления прямо пропорциональна скорости движения тела, динамической вязкости и линейным размерам тела Fс  av , (1) где a – коэффициент, зависящий от линейных размеров и формы тела;  – динамическая вязкость; v – скорость тела. Для шара, движущегося в вязкой жидкости, сила сопротивления равна Fс  6rv , (2) где r – радиус шара. Определим скорость установившегося "падения" шара в вязкой жидкости. На шар действуют три силы: сила тяжести mg 

4 3 r g (  – плотность материала шара), 3

сила Архимеда Fa  gV 

4 3 r g (  – плотность жидкости) 3

и сила сопротивления по Стоксу (2). 199

Если шар движется с постоянной скоростью v , то результирующая всех сил, действующих на шар, равна нулю. mg  Fa  Fс  0 (3) или

4 3 2 g   2 r g    6vr , откуда v  r . 9  3

(4)

Измерив скорость установившегося движения v , по формуле (4) можно определить динамическую вязкость жидкости. При стационарном обтекании шара идеальной жидкостью линии тока совершенно симметричны по отношению к направлению течения (рис. 95). Скорости частиц жидкости в соответствующих точках (например, точки A и B) равны между собой. Согласно уравнению Бернулли A B давления в потоке перед и за шаром будут одинаковы. Это значит, что давление на переднюю поверхность шара Рис. 95 уравновешивается давлением на его заднюю поверхность. Вследствие этого лобовое сопротивление будет равно нулю. Этот неожиданный вывод получил название парадокса Д’Аламбера. Он указывает на то, что при определении лобового сопротивления, испытываемого телом при его равномерном движении в жидкости, последнюю нельзя рассматривать как идеальную.

9.5. Число Рейнольдса При движении тел в жидкости с большими скоростями возникают вихри. В этом случае сила сопротивления (лобовое сопротивление) пропорциональна квадрату скорости и площади проекции твердого тела на плоскость, перпендикулярную к направлению движения Fc  cx

v 2 S, 2

(1)

где  – плотность жидкости; v – скорость тела; cx – коэффициент лобового сопротивления, зависящий от формы тела.

200

Коэффициент лобового сопротивления c x является некоторой функцией динамической вязкости  , плотности  , скорости v и линейных размеров тела a: cx  f Re , (2) где Re 

av – число Рейнольдса. 

Отношение  

 называется кинематической вязкостью. 

Принимая во внимание это отношение, число Рейнольдса можно выразить формулой Re 

av . 

(3)

Для двух тел, движущихся с одинаковой скоростью, лобовые сопротивления равны, если числа Рейнольдса будут одинаковы.

9.6. Турбулентность и явление отрыва течения. Подъемная сила крыла В случае больших скоростей (больших чисел Рейнольдса) преобладающую роль играют силы, обусловленные разностью давлений в направлении движения, а силы вязкости жидкости не играют существенной роли вдали от поверхности обтекаемого тела. Совершенно иначе обстоит дело вблизи поверхности. Из-за сил вязкости происходит прилипание жидкости к поверхности твердого тела, вследствие чего скорость частиц жидкости будет малой. Вблизи поверхности создается пограничный слой с большим градиентом скорости, которая меняется в направлении, перпендикулярном к этому слою. Поэтому движение жидкости в пограничном слое является вихревым. Толщина слоя зависит не только от свойств жидкости, но и от формы поверхности обтекаемого тела. Причем она не остается постоянной на поверхности тела, а возрастает в направлении потока от передней части тела к задней. На задней части пограничный слой может отрываться от поверхности. Отрыв пограничного слоя приводит к качественным изменениям всей картины обтекания тела. 201

Рассмотрим это явление подробнее. Во внешнем потоке, обтекающем переднюю часть тела, давление уменьшается в направлении течения. То же самое происходит в пограничном слое. В связи с этим скорости частиц жидкости увеличиваются. При этом они движутся по поверхности тела, несмотря на действие сил внутреннего трения. В потоке, обтекающем заднюю часть тела, давление, наоборот, возрастает в направлении течения. Вследствие этого движение частиц жидкости замедляется как во внешнем потоке, так и в пограничном слое. Но поскольку в пограничном слое частицы движутся медленнее, чем во внешнем потоке, при достаточном замедлении последнего они могут остановиться и начать двигаться в обратную сторону. В результате около поверхности обтекаемого тела возникает возвратное движение жидкости. Новые потоки жидкости, подходя к месту возникновения возвратного течения, также сначала останавливаются, а затем начинают двигаться назад. Таким образом, количество заторможенной жидкости между поверхностью твердого тела и внешним потоком увеличивается, возвратное движение жидкости распространяется все шире и шире, оттесняя внешний поток от поверхности, в результате чего происходит отрыв течения от обтекаемого тела. Возникающая поверхность разрыва свертывается в вихрь, в который вовлекается часть заторможенной жидкости и затем уносится течением. За местом отрыва вихрей от тела возникает область течения (след) со средней скоростью, меньшей скорости набегающего потока. Течение жидкости в этой области является турбулентным, причем, чем шире область отрыва, т. е. чем шире след, тем больше лобовое сопротивление. Наличие такой области приводит также к возникновению подъемной силы. Аналогичная ситуация наблюдается при обтекании крыла самолета потоком воздуха. Вблизи острого заднего конца крыла (рис. 96) возникают вихри, вращающиеся против часовой стрелки при движении потока слева направо. Вихри, отрываясь, уносятся потоком, но благодаря им остальная масса воздуха в пограничном слое получает противоположное вращение (по часовой стрелке – пункРис. 96 тир), циркулируя вокруг крыла. 202

Эта циркуляция воздуха ускоряет движение потока над крылом и замедляет его движение под крылом. Вследствие этого над крылом давление понижается, а под крылом, наоборот, повышается. Данный перепад давлений создает подъемную силу крыла. Чем больше ско рость набегающего потока, тем больше подъемная сила Fпод и лобо

вое сопротивление Fc . Эти силы зависят от формы профиля крыла, от угла атаки (угла, под которым поток набегает на крыло) и от плотности набегающего потока. Подбирая форму крыла, можно добиться большой подъемной силы и малого лобового сопротивления. Для самолета, летящего горизонтально с постоянной скоростью,   сила тяги равна лобовому сопротивлению FТ  Fc , а сила тяжести 





равна подъемной силе mg  Fпод (рис. 97); f – результирующая  подъемной силы и лобового сопротивления  Fпод f (сила, действующая на крыло со стороны  набегающего потока). Лобовое сопротив- FТ   ление Fc слагается из двух сил: силы разFc ности давлений на переднюю и заднюю  mg кромку крыла и силы внутреннего трения. Рис. 97

9.7. О гидродинамическом подобии Пусть поток жидкости обтекает некоторое тело. Наряду с этим можно взять подобное тело, обтекаемое другой жидкостью. Возникает вопрос, каким условиям должны удовлетворять параметры потока и постоянные, характеризующие физические свойства жидкостей, чтобы оба течения были механически подобны? Если подобие имеет место, то, зная картину обтекания жидкостью первого тела, можно предсказать картину обтекания другого геометрически подобного тела. Это имеет важное значение в судостроении и самолетостроении. Вместо реальных кораблей и самолетов испытывают их уменьшенные геометрически подобные модели, а затем путем пересчета определяют соответствующие параметры для реальных систем.

203



Пусть r и v – радиус-вектор и скорость жидкости в подобно расположенных точках; l – характерный линейный размер; v0 – характерная скорость потока (например, скорость жидкости, с которой она "набегает" на тело). Физические свойства жидкости характеризуются ее плотностью  , динамической вязкостью  и сжимаемостью. Вместо сжимаемости можно пользоваться скоростью звука c в данной жидкости. Если учитывается сила тяжести, то вводится ускорение свободного падения g. Для нестационарного течения вводится характерное время  , за которое происходит изменение течения. Поскольку имеются уравнения движения жидкости, между вели чинами r , v, l , v0 , , , c, g,  должна существовать функциональная связь. Из этих девяти величин можно составить шесть независимых безразмерных комбинаций: r , l

v , v0 Re 

lv 0 

(1)

v 2 F  0 gl

(2)

v M  0 c

(3)

v  S  0 , l

(4)

где Re – число Рейнольдса; F – число Фруда; M – число Маха; S – число Струхаля. Согласно правилу размерности одна из этих безразмерных комбинаций является функцией остальных: v r   f  , Re, F , M , S  . v0 l  

(5)

Если для двух течений пять из шести указанных безразмерных комбинаций совпадают, то будут совпадать и шестые. Это есть общий закон подобия течений, а сами течения называются гидродинамически (механически) подобными. 204

Для стационарных течений характерное время  (следовательно, и число Струхаля) обращается в бесконечность, поэтому это число выпадает из формулы (5). Для несжимаемых жидкостей число Маха обращается в ноль. Следовательно, и это число выпадает из указанной формулы. Поэтому для стационарных течений несжимаемых жидкостей соотношение (5) переходит в v r   f  , Re, F  . v0 l 

(6)

Из выражения (6) следует, что в данном случае течения подобны, если они имеют одинаковые числа Рейнольдса и Фруда. Следует отметить, что если при испытаниях на моделях применяется та же жидкость, что и для реальных систем, то критерии подобия Рейнольдса и Фруда несовместимы друг с другом. В этом случае может выполняться лишь один из них: либо критерий Фруда, либо критерий Рейнольдса. Если число Рейнольдса велико, а число Фруда мало (порядка единицы), то движение жидкости в основном будет определяться инерцией и тяжестью. В этом случае для подобия течения необходимо выполнение одного лишь критерия Фруда. При малых числах Рейнольдса и больших числах Фруда определяющую роль играют инерция и вязкость, а влияние тяжести мало. В этом случае для подобия течения необходимо выполнение критерия Рейнольдса.

205

Глава 10. Механические колебания и волны 10.1. Общие представления о колебательных и волновых процессах Колебаниями называются процессы, повторяющиеся через определенные промежутки времени. Периодическими процессами называются такие процессы, при которых колеблющаяся величина f x, y, z, t  , взятая в любой момент времени, принимает через определенный промежуток времени T (период) то же значение f x, y, z, t   f x, y, z, t  T  . В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные, электромеханические и др. В зависимости от характера воздействия, оказываемого на колеблющуюся систему, различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания, параметрические колебания. Свободными (или собственными) называются колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она получила воздействие и в результате была выведена из положения устойчивого равновесия. Примером могут служить колебания математического маятника, выведенного из положения равновесия и предоставленного самому себе. Вынужденными называются такие колебания, которые происходят в системе, подвергающейся воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Например, колебания моста при прохождении по нему в ногу людей. Автоколебаниями называются колебания, происходящие в системе, которая подвергается воздействию внешней периодической силы и которая сама управляет этим воздействием, т. е. моменты времени, когда осуществляется внешнее воздействие, задаются самой колеблющейся системой. Примером автоколебательной системы являются ламповый генератор или часы, в которых маятник получает толчки за

206

счет энергии закрученной пружины или поднятой гири в те моменты, когда он проходит через среднее положение. Параметрическими колебаниями называются такие колебания, при которых за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра колеблющейся системы. Например, периодическое изменение длины нити математического маятника, совершающего колебания. Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом или волной. Пусть в какой-либо точке сплошной среды произошло возмущение. Тогда в силу связи среды с остальными точками, возмущение в данной точке повлечет за собой возмущение и в последующих точках; в среде будет распространяться волна. Поскольку связь среды не абсолютно жесткая, распространение волны будет происходить не мгновенно, а с конечной скоростью. Геометрическое место точек, до которых дошла волна в данный момент времени, называется фронтом волны. По форме фронта волны различают: сферические, цилиндрические и плоские. Если смещение элементов среды направлено перпендикулярно к направлению распространения волны, то такая волна называется поперечной. Если же элементы среды колеблются в направлении распространения волны, то волна будет называться продольной. Поперечные волны могут возникать, если при сдвиге одного слоя среды относительно другого возникают упругие силы, стремящиеся возвратить сдвинутый слой в положение равновесия. Если в среде не возникают упругие силы при сдвиге параллельных слоев относительно друг друга, то поперечные волны не могут образоваться. Например, жидкость или газ представляют среды, в которых поперечные волны не распространяются. В таких средах возникают силы упругости только при сжатии или растяжении, т. е. в них существуют только продольные волны. Наоборот, в твердых телах могут распространяться как продольные, так и поперечные волны. Примером поперечных волн могут служить также электромагнитные волны, у которых векторы напряженности электрического и магнитного полей колеблются в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Свет представляет собой электромагнитную волну. 207

10.2. Гармонический осциллятор 10.2.1. Гармонические колебания Гармоническими называются колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия описывается законом синуса или косинуса. Пусть точка М равномерно вращается по окружности с угловой скоростью  . Тогда проекция N этой точки на горизонтальную ось OX (рис. 98) будет совершать колебательное движение от положения N 1 до положения N 2 и обратно относительно начала координат О. x M  x0  t  N2

O

x N N1

T t

X

Рис. 98

Положение точки N в любой момент времени определяется координатой x, равной x  x0 cos t   , (1) 

где x0 – длина радиуса-вектора X 0 , соединяющего начало координат с точкой М;  t   – фаза колебания (угол между направле

ниями вектора X 0 и оси OX в момент времени t);  – начальная фаза 

(угол между X 0 и OX в момент времени t = 0);  – циклическая (круговая) частота. Величина x называется смещением колеблющейся точки от положения равновесия, а x0 – амплитудой колебания (максимальным смещением). Уравнение (1) можно представить также в виде (2) x  x0 sin  t   ,

208

где    

 . 2

Уравнения (1) и (2) выражают собой уравнения гармонического колебательного движения. Физическая система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. Время одного полного колебания называется периодом колебания осциллятора: T 

2 . 

(3)

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебания: 

1 , T

  c 1  Герц .

(4)

Из формул (3) и (4)   2 . (5) Дифференцирование (1) или (2) по времени дает скорость колебательного движения: v  x   x 0  sin  t   или v  x  x 0  cos  t   , (6) где v0  x 0  – амплитуда скорости. Уравнения (6) можно записать в виде:     v  v0 cos   t     или v  v0 sin   t     . 2 2    

(7)

Из уравнения (7) следует, скорость колебаний также изменяется по гармоническому закону, причем изменение скорости опережает по фазе изменение координаты колеблющейся точки на  2 (скорость опережает смещение на  2 ). Дифференцируя (6) по времени, получим ускорение гармонического колебательного движения: a  x   x 0 2 cos  t   или a  x   x 0 2 sin   t   , (8)

где a0  x02 – амплитуда ускорения. Учитывая формулы (1) и (2), уравнение (8) можно записать в виде: 209

a   x2

d 2x

или

dt 2

(9)

 2 x  0 .

(10)

Выражение (10) представляет собой динамическое уравнение общего вида (линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка). Общее решение этого уравнения имеет вид x  C1 sin   t  C 2 cos   t , (11) где постоянные C1 и C 2 определяются из начальных условий: C1 

1  dx    ; C 2  xt  0 . Легко проверить, общее решение (11)   dt t  0

приводится   arctg

к

виду

(1),

положить

x0  C12  C 22

и

C2 . C1  x0

O

если

 t  X

x

В ряде случаев, в частности при сложении нескольких колебаний одинакового направления и частоты, удобно представлять колебания с помощью так называемого вектора амплитуды (векторная диаграмма, рис. 99).

Рис. 99

10.2.2. Комплексное представление гармонических колебаний Часто для упрощения математических выкладок гармонические колебания удобно представлять в комплексной форме. Из теории комплексных чисел известно, что комплексные числа   a  bi или *  a  bi

(где a и b – вещественные (действительные) числа;

i   1 – мнимая единица) могут быть представлены в виде

210

  x0ei   x0 cos   i sin   *   x0ei   x0 cos   i sin 

(1)

– формулы Эйлера. Числа  и * являются комплексно сопряженными; они имеют одинаковый модуль x0  a 2  b 2 и их произведение является действительным числом, равным квадрату модуля. Сопряженным комплексным числом * называется такое число, которое получается из данного комплексного числа  путем замены знаков на противоположные у всех мнимых единиц. На числовой оси комплексным числам нет места. Комплексные числа изображаются точками на плоскости (рис. 100). Например, комплексное число (a+bi) изображаетY M a  bi  ся точкой М на плоскости (x=a, y=b). Действительные числа изображаютx0 ся точками на оси OX. В комплексной b  форме их можно представить как a+0i. Мнимые числа изображаются точками X O a на оси OY. В комплексной форме их Рис. 100 можно представить как 0+bi. Таким образом, уравнение гармонического колебательного движения x  x 0 cos  t   может быть представлено как вещественная часть x  Re  комплексного числа   x 0ei t    .

Для сопряженного комплексного числа *  x e i t    . 0

(2) (3)

Произведение уравнений (2) и (3) есть квадрат амплитуды колебаний:   *  x02 . Формулу (2) можно переписать в виде   x 0ei t ei   x~0ei t ,

где x~0  x0ei  – комплексная амплитуда. 211

(4)

Физический смысл имеет только действительная часть выражения (2), поэтому после проведения математических выкладок мнимая часть определяемой физической величины, характеризующей колебательный процесс, отбрасывается.

10.2.3. Примеры гармонических осцилляторов Примером гармонических осцилляторов могут служить шарик на упругой пружине, математический или физический маятник, совершающие малые колебания. Рассмотрим подробнее каждый из указанных осцилляторов. Шарик на пружине Пусть материальная точка массой m (шарик) закреплена на конце упругой пружины. Положение этой точки в каждый момент времени t определяется её смещением x относительно положения равновесия O (рис. 101). При x = 0 пружина свободна (не растянута). Если пруX O жину растянуть на малую величину (упругая Рис. 101 деформация), то на шарик будет действовать сила упругости, определяемая законом Гука:   f  kx ,

где k – коэффициент упругости (жесткость пружины). По II закону Ньютона в отсутствии всевозможных сил трения ma  kx

или

d 2x dt

2



k x 0. m

(1)

Сравнивая уравнение (1) с (10) из п. 10.2.1 получаем частоту собственных колебаний осциллятора: 0 

k . m

(2)

Из формулы (2) видно, что частота собственных колебаний зависит только от жесткости пружины и от массы материальной точки. Период собственных колебаний шарика на пружине будет равен

212

m . k

T  2

(3)

Математический маятник Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на длинной нерастяжимой невесомой нити в поле тяжести Земли. Пусть маятник колеблется относительно поO ложения равновесия OO1 (рис. 102). Угол отклонения  небольшой. Под действием квази упругой силы F маятник будет возвращаться в    положение равновесия с ускорением a . КвазиN упругой силой является равнодействующая сил    тяжести mg и натяжения нити N . (В отсутстF вии сил трения его колебания можно считать x O1  гармоническими.) По II закону Ньютона mg    ma  mg  N ,

(4)

Рис. 102

где m – масса материальной точки. F  mg sin  ,

(5)

x (l – длина нити, x – отклонение l

где для малых углов sin    

маятника от положения равновесия). Таким образом, уравнение (4) в проекциях на касательную к траектории движения шарика запишется mgx . Знак (–) указывает на то, что квазиупругая сила l  направлена в сторону, противоположную смещению x .

в виде ma   Или

d 2x dt

2



g x  0. l

(6)

Сравнивая уравнение (6) с динамическим уравнением (10) из п. 10.2.1, найдем частоту собственных колебаний математического маятника как гармонического осциллятора:

213

0 

g . l

(7)

Период собственных колебаний математического маятника будет равен T 

2 l .  2 g 0

(8)

Физический маятник Физическим маятником называется твердое тело, колеблющееся вокруг горизонтальной оси под действием силы тяжести. Ось вращения не проходит через центр тяжести тела. Пусть твердое тело массой m колеблется относительно горизонтальной оси О (рис. 103). Известно, что законы движения вращающегося твердого тела формально не отd l O личаются от законов движения материальной  d точки. При этом роль координаты x играет угол поворота тела  , роль массы – момент инерции C тела J относительно оси вращения, а вместо си   O лы F говорят о моменте силы M . mg В нашем случае момент силы тяжести отноРис. 103 сительно горизонтальной оси вращения О равен M  mgd sin  , (9) где d – расстояние от центра тяжести C до оси вращения;  – угол отклонения линии OC от вертикали. Знак минус указывает на то, что момент силы M стремится уменьшить угол  . При малых колебаниях sin    , поэтому M  mgd . (10) Запишем основное уравнение динамики вращательного движения M  J (где  – угловое ускорение) с учетом формулы (10) в виде J  mgd или

d 2 dt

2



mgd   0. J

(11)

Сравнивая уравнения (10) и (11) из п. 10.2.1, заключаем, что физический маятник будет совершать гармонические колебания с собственной частотой 214

0 

mgd . J

(12)

Сравнивая уравнения (8) и (12), заключаем, что свойства колебательного движения физического маятника совпадают со свойствами движения математического маятника с длиной нити l 

J , md

(13)

которая называется приведенной длиной физического маятника. Считая, что J  JC  md 2 (теорема Штейнера), получим выражение для приведенной длины в виде l d 

JC , md

(14)

где JC – момент инерции физического маятника относительно горизонтальной оси, проходящей через его центр тяжести. Тогда, собственная частота колебаний физического маятника будет равна 0 

а период колебаний T 

g J d C

,

(15)

md

2 d  JC md .  2 g 0

(16)

Из формулы (14) следует интересное заключение. Отложим на прямой OC отрезок OO   l . Точка O' называется центром качания. Представим теперь, что маятник подвешивается за ось, проходящую через точку O'. Приведенная длина полученного таким образом нового маятника, очевидно, будет равна l   d 

JC JC  l  d   md  m JC

l , md

т. е. точка подвеса О и центр качания O' являются сопряженными точками. Это значит, что если ось вращения маятника будет проходить через центр качания, то его период не изменится, а прежняя

215

точка подвеса О станет новым центром качания. Данное положение называется теоремой Гюйгенса. Формула (16) позволяет подробнее рассмотреть зависимость периода колебания Т физического маятника (а следовательно, и его приведенной длины l) от расстояния d точки подвеса О до центра тяжести С. Когда точка О бесконечно удалена от точки С, маятник ведет себя как математический. В этом случае его период колебания бесконечно велик. По мере приближения точки подвеса к центру тяжести период колебания уменьшается. Однако при малых расстояниях d он начинает снова увеличиваться, достигая бесконечно большого значения, когда точка подвеса совпадает с центром тяжести (состояние безразличного равновесия). На графике зависимость Т от d представится кривой с минимумом (рис. 104). Далее точка подвеса переходит через точку С на другую стоT рону прямой OO', период колебаний, перейдя через бесконечность, начнет уменьшаться. При этом ход зависимости Т от d повторится. Получаются две кривые, симметрично расположенные T l относительно оси ординат. На рисунке l одна ветвь соответствует случаю, когда d точка подвеса расположена по одну d2 d2 d1 0 d1 сторону от центра тяжести, а вторая – Рис. 104 по другую. Видно, что одному значению периода колебаний соответствуют на оси абсцисс четыре точки (две по одну и две по другую сторону от центра тяжести), попарно равноудаленные друг от друга на расстояние, равное приведенной длине l: l  d1  d2  . l  d2  d1 

(17)

Таким образом, имеются две точки подвеса и сопряженные им две точки качания, относительно которых период колебания физического маятника одинаков.

216

Итак, частота собственных колебаний гармонического осциллятора определяется исключительно свойствами колебательной системы и не зависит от амплитуды колебаний.

10.2.4. Энергия гармонических колебаний Пусть материальная точка массы m совершает колебания под действием квазиупругой силы (шарик на пружине). Тогда ее кинетическая энергия в любой момент времени будет равна 2

Ek 

mv 2 m  dx     , 2 2  dt  Ep 

а потенциальная Полная энергия равна

kx 2 . 2

E  Ek  E p .

(1) (2) (3)

Для гармонических колебаний с учетом (1) и (6) из п.10.2.1 полная энергия представится в виде E 





m    x 0 sin  t   2

2  k2 x0 cos t  2 .

(4)

Или, принимая во внимание, что k  m2 , получим: E 

kx 02 . 2

(5)

Из формулы (5) видно, что полная энергия гармонических колебаний пропорциональна коэффициенту упругости и квадрату амплитуды колебаний.

10.2.5. Сложение гармонических колебаний Сложение колебаний одинакового направления Рассмотрим сложение двух колебаний одинакового направления и одинаковой частоты, происходящих с некоторой разностью фаз и имеющих разные амплитуды:

217

x1  x01 cos  t  1   . x2  x02 cos  t  2 

(1)

Результирующее колебание представится алгебраической суммой x  x1  x2  x01 cos  t  1   x02 cos  t  2  . (2)  x0

 x 02

O

2 1  x1

 x 01

Амплитуду результирующего колебания нетрудно найти, если представить ее в векторном виде (векторная диаграмма, рис. 105):    x0  x01  x02 . (3) По теореме косинусов

x2

X

Рис. 105

x 0 2  x 012  x 022   2x 01x 02 cos   2  1   

x 012

(4)

 x 02  2x 01x 02 cos 2  1  . 2

Начальная фаза результирующего колебания равна tg 

x 01 sin 1  x 02 sin  2 . x 01 cos 1  x 02 cos  2

(5)

В том случае, если колебания происходят с разными частотами 1 и 2 , данная векторная диаграмма является мгновенной и позволяет определить амплитуду результирующего колебания в момент времени t. В формулах (4) и (5) фазы 1 и 2 являются фазами колебаний в этот момент времени: 1 t   1  t  01 ; 2 t   2  t  02 . Когерентными называются колебания, происходящие во времени с постоянной разностью фаз, т. е. 1 t    2 t   сonst . Это возможно, если 1  2   . Сложение колебаний можно также провести, воспользовавшись комплексной формой записи: x1  x 01 exp i   t  1 

x 2  x 02 exp i   t   2 

.

Результирующее колебание представится суммой 218

(6)

x~  x01 exp i   t  1   x02 exp i   t  2  .

(7)

Чтобы получить квадрат амплитуды результирующего колебания, надо выражение (7) умножить на комплексно сопряженную величину: x02  x~  x~ *  x01 exp i   t  1   x02 exp i   t  2  

 x01 exp i   t  1   x02 exp i   t  2  

 x 012  x 022  x 01x 02 exp i  2  1   exp i  2  1    x 012  x 022  2x 01x 02 cos 2  1 ,

(8)

где при выводе воспользовались формулой Муавра: expi  2  1   exp i  2  1   2 cos 2  1  .

Таким образом, получили такое же равенство, как и (4). Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Рассмотрим сложение двух колебаний, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях с одинаковой частотой, но с разными амплитудами: x  x 0 cos  t  1  , y  y0 cos  t   2 

(9)

где x0 и y0 , 1 и 2 – соответственно амплитуды и начальные фазы I и II колебаний. Определим уравнение траектории колеблющейся точки, для чего из уравнений (9) исключим время. Перепишем выражение (9) в виде: x  cos   t cos 1  sin   t sin 1 x0 y  cos   t cos  2  sin   t sin  2 . y0

(9')

Умножим первое уравнение (9') на cos2 , а второе на cos1 и вычтем одно из другого:

219

x y cos  2  cos 1  sin   t sin  2  1  . x0 y0

(10)

Умножим первое уравнение (9') на sin 2 , а второе на sin 1 и вычтем одно из другого: x y sin  2  sin 1  cos   t sin  2  1  . x0 y0

(11)

Возведем формулы (10) и (11) в квадрат и сложим: x2 x0

2



y2 y0

2

2

x y cos2  1   sin 2 2  1  . x0 y0

(12)

Уравнение (12) есть уравнение эллипса. Таким образом, в случае сложения гармонических колебаний одинаковой частоты во взаимно перпендикулярных направлениях траектория результирующего движения колеблющейся точки представляет собой эллипс. Рассмотрим частные случаи: а) Колебания происходят с одинаковой начальной фазой ( 1  2 ). Тогда уравнение (12) представится в виде: x2 x0 2

откуда y 

x y y2 2  2 0 x0 y0 y0

2

или

 x y    0 ,   x y 0  0

y0 x – уравнение прямой (рис. 106,а), проходящей через x0

начало координат и составляющей с осью OX угол  :

220

tg 

y0 . x0

По этой прямой точка совершает гармонические колебания с амплитудой x0 2  y0 2 .

S 

б) Колебания происходят с начальными фазами, различающимися на величину 2  1   . В этом случае выражение (12) примет вид: x2 x0 2

откуда y  

2

x y y2  0 x0 y0 y02

2

 x y     x  y   0, 0  0

или

y0 x – уравнение прямой, проходящей через начало коx0

ординат и составляющей с осью OX угол    (рис. 106,б). в) Колебания происходят с начальными фазами, различающимися на величину 2  1 

 . В этом случае уравнение (12) запишется в 2

x2

y2   1 , т. е. в этом случае точка будет описывать эллипс x02 y02

виде:

с полуосями x0 , y0 (рис. 10,в). Если x0  y0  R , эллипс вырождаетy

y

 S

y0



0

x0

y y0



x

x

0

в

б

а

x0 x

0

Рис. 106

ся в окружность радиусом R.

221

Если взаимно перпендикулярные колебания происходят с различной частотой, то в результате сложения колебаний получаются траектории более сложной формы: x  x 0 cosn  t  1   . y  y0 cosm  t   2 





Результат сложения колебаний в направлении x и y с кратными частотами представлен на рис. 107 ( 1  0 , 2  0 ). Эти траектории называются фигурами Лиссажу. Колебания, у которых со временем амплитуда то увеличивается, то уменьшается, называются биением.

Рис. 107

Биение – это процесс периодического усиления колебаний у одного из связанных осцилляторов и ослабление их у другого при наличии слабого взаимодействия между этими осцилляторами. Примером может служить биение между собственными и вынужденными колебаниями одного и того же осциллятора вблизи резонанса в течение времени t   (где  – время релаксации).

222

Рассмотрим случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. Результирующее движение при этих условиях можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Пусть складываются два колебания x1  x0 cos  t и x2  x0 cos  t , где    . Тогда результирующее движение

будет иметь вид





   x  x1  x2  x0 cos  t  cos  t   2x0 cos t  cos  t . 2  

Период пульсации амплитуды

определяется как T x 0 

2 

(рис. 108). Любое сложное колебание x (например, звуковые колебания) можно разложить на несколько 0 t простых гармонических колебаT x0 ний, частоты которых относятся как ряд натуральных чисел Рис. 108 (1:2:3:4:5…). Колебание с наименьшей частотой соответствует основному тону звука, колебания больших частот – обертонам, которые сообщают звуку тот или иной тембр (окраску).

10.3. Свободные затухающие колебания В реальной ситуации присутствует затухание, поскольку на шарик действуют еще и силы сопротивления среды, пропорциональные скорости шарика. Тогда II закон Ньютона запишется в виде: ma  kx  v , (1) где  – коэффициент сопротивления; v – скорость шарика в момент времени t. Дифференциальное уравнение представится в виде: d 2x dt

2

 2

dx  02 x  0 , dt

223

(2)

где  

 – коэффициент затухания, характеризующий быстроту 2m

затухания колебаний. Уравнение (2) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Решением этого уравнения при   0 является функция: x  x 0 exp   t   sin   t   ,

(3)

где   02  2 – частота затухающих колебаний. Таким образом, амплитуда затухающих колебаний экспоненциально убывает со временем, а их частота меньше частоты собственных колебаний. "Длительность" колебаний характеризуется временем затухания 

1 . 

(4)

По истечении времени затухания  амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,7 раза. За это время количество совершенных системой колебаний определится соотношением N 

x x  x0e

   . T 2

Экспоненциальный закон убывания амплитуды со временем (рис. 109) позволяет ввести безразмерный параметр – логарифмический декремент затухания  , который равен логарифму отношения амплитуд двух последовательных отклонений в одну и ту же сторону:

 t

0

t

Рис. 109

  ln

(5)

x0 t   T . x0 t  T 

Из формул (4), (5), (6) находим: 224

(6)



1 . N

(7)

Логарифмический декремент затухания можно оценить, если подсчитать число колебаний, совершенных системой за время  , т. е. до уменьшения амплитуды колебаний в e раз. Чем больше число этих колебаний, тем меньше потери энергии в системе. Проследить за убыванием энергии, запасенной осциллятором, с течением времени можно, воспользовавшись формулами (1), (2) п.10.2.4 и (3) данного подраздела. В случае слабого затухания (   0 ) получим: E t  

1 2 x 0 m0 2 exp 2  t   E 0 exp 2  t  . 2

Полная энергия осциллятора, равная вначале E 0 

(8)

1 2 x0 m02 , мо2

нотонно убывает со временем по экспоненциальному закону и уменьшается в е раз за время E 

1   . 2 2

(9)

"Качество" колебательной системы характеризуется безразмерным параметром Q, называемым добротностью. Добротность пропорциональна отношению запасенной энергии E (t ) к энергии ET , теряемой за период Т. Q  2

E 0 exp(2 t ) E (t )  2   ET E 0 exp(2 t )  E 0 exp(2(t  T ))

2  1  exp(2T )

(10)

Если число колебаний велико, то T  1 N  1 . Тогда Q 

2 2     N . 1  exp(2T ) 1  (1  2T  ) 

(11)

Если   0 (затухание сильное), то решением уравнения (2) будет функция:

225

x  C1 exp((   2  02 )t )  C 2 exp((   2  02 )t ) .

(12)

Из этой формулы следует, что отклонение x при любых начальных условиях асимптотически стремится к нулю, если t   . В данном случае колебаний не будет. Если   0 , то решением уравнения (2) будет функция: (13) x  C1  C 2t  exp  t  , откуда видно, что отклонение x также стремится к нулю при t   , однако не так быстро как в предыдущем случае (благодаря сомножителю C1  C 2t  ). Независимые константы C1 и C 2 определяются из начальных условий x 0 , v 0 .

10.4. Вынужденные колебания гармонического осциллятора. Резонанс Колебания под действием внешней силы называются вынужденными колебаниями. Если на колеблющуюся систему действует периодически изменяющаяся внешняя сила, то колебания этой системы будут являться вынужденными с частотой действия вынуждающей силы. Однако вынужденные колебания с навязанной частотой устанавливаются не сразу. В начальной стадии процесса система совершает свободные колебания, на которые накладываются вынужденные колебания. Таким образом, при слабом затухании колебания системы будут следовать за колебаниями вынуждающей силы с некоторым запаздыванием (т. е. сила опережает смещение). По истечении достаточно большого промежутка времени устанавливаются вынужденные колебания с частотой действия внешней силы, так как собственные колебания затухают и поэтому отсутствуют. Рассмотрим колебания шарика на уп ругой пружине под действием внешней F (t ) гармонической силы F (t )  F0 sin   t X O (рис. 110). Записав II закон Ньютона     ma  F упр  Fсопр  F (t ) ,

Рис. 110

226

получим уравнение движения шарика: F mx  x  kx  F0 sin   t или x  2  x  02 x  0 sin   t . (1) m

Маятник в установившемся режиме будет совершать гармонические колебания x (t )  x 0 sin(   t  ) , (2) амплитуду x0 и начальную фазу  которых можно определить подстановкой выражения (2) в (1). Проведем математические выкладки, используя метод комплексных амплитуд. Согласно формуле Эйлера ~ x (t )  x 0 exp(i (   t  ))  x 0 exp(i ) exp(i   t ) 

(2')

 x 0 cos(  t  )  ix 0 sin(   t  ) .

Откуда видно, что решение уравнения (2) является мнимой частью комплексного выражения: x (t )  Im ~ x (t )  Im ~ x 0 exp(i   t ) , где x~0  x 0 exp(i ) – комплексная амплитуда. Теперь уравнение (1) запишем в виде F~ ~ x  2 ~ x  02 ~ x  0 exp(i   t ) . m

(3)

После подстановки формулы (2') в (3) имеем ( 2  2i   02 ) x~0 exp(i   t ) 

F~0 exp(i   t ) . m

(4)

Отсюда получаем: ~ x0 

F~0 m( 02  2  2i )

.

(5)

Из выражения (5) находим амплитуду колебаний x0  ~ x0 : x0 

~ x0 ~ x0* 

F0 m

( 02

 2 ) 2  422

,

(6)

и фазу  : tg 

Im x~0 2  . 2 Re x~0   02

227

(7)

Выражение (6) называется амплитудно-частотной характеристикой, а выражение (7) – фазочастотной. Дифференцируя (6) по частоте вынуждающей силы найдем резонансную частоту  рез , при которой амплитуда колебаний достигает максимального значения:  рез 

2   2 

0 2  2 2 .

(8) Поскольку затухание всегда имеет место, резонансная частота всегда меньше собственной частоты колебаний. На рис. 111 приведена зависимость амплитуды вынужденных колебаний x0 от частоты  вынуждающей силы при большом затухании (кривая 1) и малом затухании (кривая 2). Из рисунка видно, что чем меньше затухание, тем ближе резонансная частота к частоте собственных колебаний, т. е. тем "острее" резонанс.

10.5. Ангармонические колебания В реальных колебательных системах строго гармонических колебаний не бывает. Колебания этих систем по форме отличаются от гармонических. Их частота становится зависимой от амплитуды колебаний. Эти колебания называются ангармоническими колебаниями. Рассмотрим колебания математического маятника при больших угловых амплитудах 0 . Разложив в ряд sin  sin    

1 3 1 5      и ограничившись двумя первыми члена6 5!

ми разложения, уравнение колебаний (6) из п. 10.2.3 запишем в виде: d 2 dt 2

 02 

02 3  . 6

(1) Решением этого уравнения уже не будет гармоническая функция вида (t )   0 sin(   t  ) . (2) Это следует непосредственно из

228

x0

2 1

0

 рез 0 Рис. 111

ω

подстановки (2) в (1) с учетом тригонометрического тождества: 3 1 sin 1  sin 31 (где 1   t   ). Получаем, что правая 4 4 часть уравнения (1) содержит не только основную частоту  , но и частоту 3 (частоту третьей гармоники). Соответственно решение sin 3 1 

уравнения (1) следует искать в виде (t )   0 sin(   t  )  s 0 sin 3(   t  ) ,

(3)

где s – безразмерный параметр. Подстановка (3) в (1) дает в правой части уравнения помимо частот  и 3 еще и частоту 9 . Это свидетельствует о том, что решение (3) не является полным (в нем отсутствуют высшие гармоники: 9 , 27 и т. д.). Будем искать решение уравнения (1) в виде (3) предполагая, что амплитуда колебаний достаточно невелика, так что s  1 . Для простоты положим   0 . Опуская величины порядка малости s2 и выше, каждый член уравнения (1) запишем в виде: d 2 dt 2

 20 sin  t  92s0 sin 3 t ;

02  02 0 sin  t  02s0 sin 3 t ; 

(4)

02 3 2 2 32    0 30 sin  t  0 30 sin 3 t  0 s30 sin 2  t sin 3 t 6 24 24 2

Отбросим третье слагаемое последнего равенства как малое по сравнению с двумя первыми и с учетом уравнения (4) запишем уравнение (1) в виде: 3 2 2   ) sin  t  24 0 0 1 2 2   0 ( 92 s  02 s    ) sin 3 t  0 24 0 0

 0 ( 2  02 

(5)

Равенство (5) выполняется для любого момента времени, если суммы в скобках равны нулю:  2  02 

3 2 2 00  0 24

229

(5')

 92s  02s 

1 2 2 00  0 . 24

Тогда из выражения (5') находим

(5'')

1   2  02 1  02  . Если 8  

02  1 , то для частоты получим 8  2    0 1  0   8  

1

2

 2   0 1  0  .  16  

(6)

Выражение (6) показывает, что с возрастанием амплитуды колебаний их частота уменьшается (период увеличивается). Из уравнения (5'') находим величину малого параметра s

 02 . 192

(7)

Итак, ангармонические колебания обладают следующими общими свойствами: – характерная частота ангармонических колебаний отличается от собственной частоты гармонических колебаний и зависит от амплитуды; частота уменьшается с ростом амплитуды; – наряду с колебаниями с основной частотой  появляются колебания с частотами n , называемые высшими гармониками.

10.6. Параметрические колебания Известно, что собственные колебания системы являются затухающими. В общем виде уравнение собственных затухающих колебаний запишется в виде d 2x dt

2



2 dx  02 x  0 ,  dt

(1)

где    1 – время релаксации (время возвращения системы в равновесное состояние). Если на какой-то параметр колеблющейся системы (например, на частоту  ) воздействовать извне, то возникает зависимость этого па-

230

раметра от времени, т. е. в системе будут происходить параметрические колебания. Примером осциллятора с параметрическими колебаниями может служить математический маятник с периодически изменяющейся длиной. Если периодически изменять длину маятника, увеличивая ее в моменты, когда маятник находится в крайних положениях, и уменьшая, когда он проходит положение равновесия, то маятник сильно раскачается. При этом увеличение энергии маятника происходит за счет работы, совершаемой силой, действующей на нить. Предположим, что квадрат собственной частоты осциллятора зависит от времени по закону: 0 2 t   0 2 1   sin   t  ,

где  – частота внешнего воздействия;  ~

1 – малый параметр. 0

Тогда уравнение (1) перепишем в виде d 2x dt

2







2 dx  02 1   sin  t x t   0 .  dt

(2)

В нулевом приближении x t   x0 sin 0t (где для простоты считаем, что   0 ). В первом приближении при подстановке x t  в (2) будут отличны от нуля члены с 1 и  , причем последний имеет вид  02 sin  t  x0 sin 0t  

x002 cos  0 t  cos  0 t  . 2

(3)

При произвольном значении  левая и правая части равенства (3) сложны. Однако, если положить   20 , то правая часть значительно упростится:  02 x0 sin 20t sin 0t  

x002 cos 0t  cos 30t  . 2

(4)

В этом случае появляется гармоническая функция исходной частоты 0 и кроме этого, как в ангармонических колебаниях, в реше-

231

ние войдет функция cos 30t утроенной частоты. Тогда уравнение (2) можно переписать в виде d 2x dt 2



2 dx x  2  02 x0 sin 0t  0 0 cos 0t  cos 30t   0 . 2  dt

(5)

Решение этого уравнения находим в виде   1     x t   x 0 exp 0  t    sin 0t  cos 30t  .    16   4

При выполнении условия

(6)

0 1 4   0 или   затухание от 4 0

сутствует и колебательное движение происходит в стационарном состоянии. Если выполняется условие

0 1 4   0 или   , ам4  0 

плитуда колебаний будет уже не убывать, а возрастать. Таким образом, даже при наличии сопротивления среды возможно возникновение колебательных движений осциллятора с постоянной или возрастающей по экспоненте амплитудой. Примером таких параметрических колебаний могут служить колебания качелей.

10.7. Автоколебания. Обратная связь Незатухающие колебания, создаваемые специальными источниками, называются автоколебаниями. Такие источники называются автоколебательными системами. Основными элементами автоколебательной системы являются: 1. Источник энергии, за счет которого поддерживаются незатухающие колебания. 2. Колебательная система, т. е. та часть автоколебательной системы, в которой непосредственно происходят колебания. 3. Устройство, регулирующее поступление энергии от источника в колебательную систему – "клапан". 4. Обратная связь, с помощью которой колебательная система управляет клапаном.

232

Обратная связь

Источник энергии

Клапан

Колебательная система

Классическим примером автоколебательной системы служат механические часы с маятником и гирями. Эти часы периодически "черпают" энергию при опускании гирь, подвешенных к цепочке, перекинутой через шестерню часового механизма. Количество энергии, поступающей в часовой механизм, равно по величине убыванию потенциальной энергии груза в поле силы тяжести.

10.8. Колебания системы с двумя степенями свободы. Моды Как было сказано выше, число степеней свободы i движущейся системы – это минимальное количество независимых координат, которые однозначно определяют положение системы в любой момент времени. Так материальная точка на прямой имеет одну степень свободы i = 1 – координату x(t); точка на плоскости – две степени; в пространстве – три степени свободы. Наложенные на систему связи, устанавливая границы движения, либо уменьшают, либо не изменяют число степеней свободы. Например, математический маятник имеет в общем случае две степени свободы (область движения – некоторая часть сферической поверхности), а если нить заменить пружиной, то i = Для 3. системы, состоящей из двух материальных точек, в общем случае i = 6 x1, y1, z1, x2, y2, z2  . Если при этом между частицами существует жесткая связь (диполь), то движение такой системы можно представить суперпозицией двух движений: движение центра масс системы xC (t ), yC (t ), zC (t )  и вращение частиц вокруг оси, проходящей через центр масс (два угла определяют положение оси в пространстве). Таким образом, число степеней свободы уменьшается до пяти.

233

Перейдем к рассмотрению колеблющихся систем. Пусть система представляет собой материальную точку (маленький шарик), закрепленную на легком натянутом резиновом шнуре (рис. 112). Колебания шарика возможны в трех направлениях OX, OY, OZ, т. е. система имеет три степени свободы. Однако это сложное колебание можно представить векторной суммой трех взаимно перпендикулярных колебаний, каждое из которых характеризуется одной степенью свободы – смещением S(t) из положения равновесия точки О. Таким образом, рассматривая колебания шарика по оси OZ, имеем движение с одной степенью свободы. Поместив на шнуре два шарика и рассматривая их колебания по оси OZ, получим связанную линейную систему с двумя степенями свободы (рис. 113). Колебания шариков в системе описываются двумя временными зависимостями их смещений S1(t ) и S2 (t ) . Положительные направления смещений на рисунке указаны стрелками. Опыт показывает, что при произвольном способе возбуждения колебания не будут гармоническими: амплитуда колебания каждой из масс будет периодически меS1 S2 няться во времени. Однако m2 m1 можно создать такие начальные l1

l2

l3

Z

Рис. 113

условия, при которых каждый груз будет совершать гармонические колебания с одной и той же частотой :

O

Y

X

S1(t )  S01 sin(  t  ); S2 (t )  S02 sin(  t  ).

Рис. 112

(1)

Частота этих колебаний  определяется свойствами системы. Отношение 

S02 S01

234

(2)

называется коэффициентом распределения амплитуд при гармоническом колебании и также определяется параметрами системы. Если   0 , то смещения обеих масс всегда происходят в одну сторону (синфазные колебания), а при   0 – в противоположные стороны (противофазные колебания). Гармонические колебания (1) называются нормальными колебаниями, или модами, а частота  называется нормальной частотой. Таким образом, мода характеризуется двумя параметрами: частотой  и коэффициентом  , определяющим "конфигурацию" моды. Практика показывает, что в системе с двумя степенями свободы могут существовать синфазные гармонические колебания с частотой I и противофазные гармонические колебания с частотой II  I . Следовательно, в системе могут быть возбуждены две моды: I S1I (t )  S01 sin( I t  I );

I мода

I S2I (t )  S02 sin( I t  I );

(3)

I I S01  I  S02  0. II S1II (t )  S01 sin( II t  II );

II мода

II S2II (t )  S02 sin( II t  II );

(4)

II II S01  II  S02  0.

Любое колебание связанной линейной системы с двумя степенями свободы может быть представлено в виде суперпозиции двух нормальных колебаний (3) и (4): I II S1 (t )  S1I (t )  S1II (t )  S01 sin( I t  I )  S01 sin( II t  II ); I II S2 (t )  S2I (t )  S2II (t )  S02 sin( I t  I )  S02 sin( II t  II ).

235

(5)

Вообще говоря, нахождение мод произвольного колебания представляется сложной задачей, однако практически важным является случай, когда m1  m2  m; l1  l 2  l 3  l (рис. 114,а). Для этого случая определим коэффициенты распределения амплитуд, а нормальные частоты будут получены ниже из более общих рассуждений. На рис. 114,б,в изображено синусоидальное представление (пунктир) расположения масс, которое позволяет легко описать конфигурацию мод. Действительно, амплитуды колебаний шариков для двух мод имеют вид: S0I ( x )  S0 sin k I x,

(6)

S0II ( x )  S0 sin k II x

2   2k I называются волновыми числами. и k II  3l 3l

где числа k I 

Их физический смысл будет выяснен ниже. Таким образом, из формул (2) и (6) следует, что роль коэффициентов  играет функция вида sin k p x (p = I, II), вычисленная в точках x  x1, x2 .

l

m

l

m

l

а

б

I

в

II

S0

0

x1

x

x2 Рис. 114

236

10.9. Колебания системы со многими степенями свободы Рассмотрим колебания трех одинаковых масс, закрепленных на одинаковых расстояниях на натянутом легком резиновом шнуре (рис. 115,а). Колебания этой системы могут быть представлены суперпозицией трех мод с частотами I , II и III , изобразить которые в данном случае не составляет труда (рис. 115,б,в,г). Очевидно, что III  II  I , а конфигурация каждой из мод может быть описана с помощью двух коэффициентов распределения амплитуд. Представив расположение масс как "синусоидальное" (на рис. 115 оно изображено пунктиром) запишем конфигурации мод:  ; 4l

I мода

S0I ( x )  S0 sin k I x , где k I 

II мода

S0II ( x )  S0 sin k II x , где k II 

III мода

S0III ( x )  S0 sin k III x , где k III 

  2k I ; 2l

(1)

3  3k I . 4l

Роль коэффициентов  выполняет функция sin k p x (p = I, II, III), вычисленная в точках x  x1  l ; x  x 2  2l ; x  x3  3l . Рассмотрим колебания системы, изображенной на рис. 116. Невеm m m l l l сомый шнур, l на котором закреплены N масс mа, имеет длину L  l ( N  1) и натянут с силой Т. При малых отклонениях масс от положения равновесия S<
б

I

в

II

г

III

s0 s0 s0 0

2

s0 x1

x2 237 Рис. 115

x3

2

l

m

x1

0

l

m

x2

m

x3

l

m l

xN 1 x N

xn

x

x

Рис. 116

Согласно рис. 117, на котором изображен фрагмент шнура, возвращающая сила, действующая на n-ю массу, равна f  T (sin 1  sin 2 )  T ( 1  2 ) ,

где 1 

(2)

Sn  Sn 1 S  Sn 1 ; 2  n . Знак (–) указывает на то, что возl l

вращающая сила направлена противоположно смещению. Тогда уравнение движения n-й массы запишется в виде  S  Sn 1 Sn  Sn 1   mSn  T  n . l l  

(3)

s 2

1 sn

sn 1

sn 1 0

xn

x n 1

x n 1

x

Рис. 117

Если колебания нормальные, то Sn 1 (t )  S0n 1 sin   t Sn (t )  S0n sin   t Sn 1 (t )  S0n 1 sin   t

Подставляя уравнения (4) в (3), получим:

238

(4)

S0n 1  S0n 1 ml2 2 ; S0n T

(5)

и, воспользовавшись "синусоидальной" конфигурацией (1), окончательно имеем ml2 sin k ( n  1)l  sin k ( n  1)l  2 cos kl  2  . T sin knl

(6)

Из формулы (6) можно определить нормальную частоту 2 

2T T kl (1  cos kl ) и   2 . sin 2 ml ml

Поскольку число нормальных частот соответствует количеству масс, каждой p-й моде соответствует частота p  2

k pl T . sin 2 ml

(7)

Из граничного условия SN 1  0 , следует sin k pl ( N  1)  0 , откуда

k pl ( N  1)  p , k p 

p . l ( N  1)

Из выражения (8) очевидны пределы изменения k p :

(8)    kp  . L l

После подстановки (8) в (7) p  2

T p . sin ml 2( N  1)

(9)

Формула (9) называется дисперсионным соотношением. Таким образом, нормальные частоты определяются соотношением (9), где N – количество частиц, а p – номер моды (p  N). Так для системы из двух масс: I 

T ; II  ml

3T . ml

Зная волновые числа k p и нормальные частоты  p , можно записать выражения для смещения всех масс, как функций времени. Для p-й моды: 239

S p ( xn , t )  S0 p sin k p xn  sin(  pt   p ) ,

(10)

где xn  nl ; n  1,2, , N . В общем случае колебаний линейной системы для смещения каждой частицы получаем выражение: S ( xn , t )   S p ( xn , t ) , (11) p

где суммирование проводится только по тем модам, которые "участвуют" в колебаниях.

10.10. Колебания в сплошной среде. Волны Рассмотрим колебания N масс ( N  1 ) на резиновом шнуре (рис. 116). Отклоним несколько масс в середине шнура от положения равновесия, а затем отпустим их в момент времени t = 0. Опыт показывает, что данная конфигурация представляет собой импульс, который с течением времени трансформируется в два одинаковых импульса, бегущих в противоположных направлениях с конечной скоростью v . Эти импульсы добегут до концов шнура, изменят полярность при отражении, побегут в обратном направлении. После встречи в середине шнура они отразятся еще раз, восстановят исходную полярность и встретятся, спустя время t 

2L . Затем этот процесс v

будет повторяться с периодом t до тех пор, пока импульсы не затухнут из-за диссипации энергии. Определим скорость v , представив данное биение, как суперпозицию нормальных колебаний с близкими частотами. Как было установлено ранее, дисперсионное соотношение имеет вид: p  2

k pl T , sin 2 ml

240

(1)

где k p 

p . l ( N  1)



Эта зависимость приведена на рис. 118. Из рисунка видно, что для малых k p за-

p

висимость ( k ) линейна. Действительно, если k p  1 , то

0

kp

Рис. 118

k

2

 1 , т. е. восполь-

зовавшись приближенным соотношением sin x  x при x  0 , можно переписать уравнение (1) в виде:

p 

T Tl k pl  k p . ml m

Замечая, что для малых частот 

k pl

(2)

  II  I  III  II 

T  , можно определить период биений N  1 ml

t 

ml 2  2( N  1) .  T

(3)

Если учесть, что длина шнура L  l ( N  1) , то скорость движения импульса в среде без дисперсии равна: v0 

2L  t

Tl . m

Сравнивая уравнения (2) и (4), получим для малых v0 

 p k p

(4) kp

, т. е. тангенс угла наклона касательной, проведенной к

дисперсионной кривой в данной точке, определяет скорость распространения возмущения данной частоты в среде. Так как для различных частот эта скорость не одинакова, понятно, что импульс, состоящий из некоторого количества гармонических колебаний с различными частотами, со временем размывается из-за дисперсии.

241

Переходя к непрерывному распределению масс, получим скорость распространения импульса в сплошной среде: v0 

T , l

где l  

s O

m – масса единицы длины или L

линейная плотность. A

X

10.11. Уравнение бегущей волны

Распространение колебания в пространстве называется волной. Если коРис. 119 лебания ортогональны направлению распространения волны, то волна называется поперечной. Если же колебания происходят в направлении распространения волны, то волна называется продольной. Поперечные волны, как правило, наблюдаются только в твердом теле, где при колебаниях элементов сплошной среды возникают силы упругости, возвращающие эти элементы в положение устойчивого равновесия. В отличие от поперечных волн, продольные волны существуют в любых средах: твердой, жидкой, газообразной. Пусть в некоторой точке О сплошной среды возникают возмущения, изменяющиеся со временем по гармоническому закону s  s0 cos   t . (1) x

Если скорость распространения возмущения в среде равна V, то это возмущение дойдет до точки A, отстоящей от точки O на расстоянии x (рис. 119), за время 

x . V

(2)

Как только возмущение дойдет до точки A, весь процесс будет протекать так же, как и в точке O. Следовательно, мы можем утверждать, что закон изменения возмущения в точке A будет таким же, как и в точке O

242

x  s  s0 cos  t   ,  V  

где  t  

(3)

x  – время, отсчитанное от того момента, когда возмущение V 

только что дошло до точки A. Из формулы (3) следует, что колебания в точке A отстают от ко

x  . Уравнение (3) выраV  

лебаний в точке O по фазе на величину  

жает уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси OX со скоростью V. Величина s представляет собой смещение точек среды с координатой x в момент времени t из положения равновесия. Зафиксируем какое-либо значение фазы в уравнении (3): x   t    сonst . V  

(4)

Выражение (4) дает связь между временем t и координатой x того места среды, в котором фаза колебания равна данному фиксированному значению. Продифференцировав уравнение (4) по времени, получим: V 

dx . dt

(5)

Таким образом, скорость распространения волны V в уравнении (3) есть скорость перемещения постоянной фазы. Эту скорость называют фазовой скоростью. Согласно (5) скорость волны в уравнении (3) положительна; она направлена в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид x  s  s0 cos  t   . V  

(6)

Волна, у которой колебание в любой точке среды является гармоническим, называется монохроматической.

243

Если рассмотреть в какой-то момент времени смещение из положения равновесия всех точек среды, то получим для гармонического колебания s  s0 cos

 x. V

(7)

Формула (7) представляет собой уравнение волны, где аргументом является только координата x. Запишем уравнение (3) в общем виде:    s  s0 cos   t  x     V   2    s0 cos   t  x     s0 cos  t  kx   VT  

(8)

(9) где VT   – расстояние между двумя соседними точками среды, колеблющимися в одинаковых фазах, называется длиной волны; 2   k– (10) V   волновое число. Волновым вектором k называется вектор, длина ко-

торого равна волновому числу, а направление совпадает с лучом. Лучом называется линия, касательная к которой в каждой ее точке совпадает с направлением распространения волны. В однородной среде лучи имеют вид прямых линий. Из уравнения (10) фазовая скорость волны равна V 

 . k

(11)

Итак, уравнение плоской монохроматической волны имеет вид: s  s0 cos  t  kx   , (12) или для произвольного направления





 s  s0 cos   t  k r   ,

 где r – радиус-вектор.

244

(12')

Уравнение плоской монохроматической волны для простоты математических выкладок часто представляют в комплексной форме:   s  s0 exp(i (   t  k r  ))  ~ s0 exp(i (   t  k r )) ,

(12'')

где ~s0  s0 exp(i ) – комплексная амплитуда. В случае, когда скорость распространения волны от точечного источника одинакова во всех направлениях, волна является сферической. Фронт этой волны представляет собой сферическую поверхность. Амплитуда колебаний в этом случае не остается постоянной, даже если не происходит диссипации (рассеивания) энергии. Она убывает с расстоянием от источника по закону r 1 . Поэтому уравнение сферической волны имеет вид:





 a cos   t  k r , r

s

(13)

где a – постоянная величина, численно равная амплитуде на единичном расстоянии от источника.

10.12. Волновое уравнение Уравнение волны





 s  s0 cos  t  k r  s0 cos  t  k x r x  k y r y  k zrz





(1)

является решением некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы найти общий вид волнового уравнения, продифференцируем уравнение (1) дважды по каждой из переменных. Тогда получим  2s t

2

 2s x

2

 2s y

2





  s02 cos  t  k r  2s ;









  s0k x 2 cos  t  k r  k x 2s ;

  s0k y 2 cos  t  k r  k y 2s ;

245

(2)

 2s z

2





  s0k z 2 cos  t  k r  k z 2s .

Сложим три последних уравнения системы (2)  2s dx 2



 2s dy 2



 2s dz 2

С учетом того, что

 2s

 k 2s или k2 2





 2s x 2

1 V2



x 2



 2s y 2



 2s z 2



k 2  2s 2 t 2

.

(3)

, получим:

 2s y 2



 2s



z 2

1  2s V 2 t 2

.

(4)

Уравнение (4) и есть искомое волновое уравнение. Всякая функ ция sr , t  , удовлетворяющая уравнению (1), описывает некоторую волну. Вводя оператор Лапласа  

2 x 2



2 y 2



2 z 2

, уравнение (4) мож-

но записать в более удобной форме: s 

1  2s V 2 t 2

.

(5)

10.13. Энергия и интенсивность волны Выделим некоторую область упругой среды объемом  , в которой распространяется волна с амплитудой s0 и частотой  . Среднее значение энергии волны (энергии упругих колебаний) в этом объеме равно  E p 

ks02 m2s02  , 2 2

(1)

где k – коэффициент упругости среды; m – масса среды объемом  . Разделив выражение (1) на объем  , получим формулу для средней плотности энергии волны  w p 

 E p  2 s0 2  ,  2

246

(2)

где  

m – плотность упругой среды. 

Интенсивностью волны называется величина, численно равная энергии, которую в среднем переносит волна через единицу площади в единицу времени I 

где P 

E p t

E p St



P 1  V2s02 , S 2

(3)

– мощность волны; S – площадь, на которую приходит-

ся данная мощность; V – скорость распространения волны. Из формул (3) и (1) следует, что интенсивность волны, как и среднее значение ее энергии, пропорциональна квадрату амплитуды колебания. Произведение плотности энергии волны на ее скорость называется вектором плотности потока энергии или вектором Умова:   J  wV .

(4) Абсолютная величина этого вектора соответствует интенсивности волны, а направление – направлению скорости ее распространения.

10.14. Интерференция и дифракция волн Если две различные системы волн, исходящие из разных источников, перекрываются в некоторой области пространства, а затем снова расходятся, то дальше каждая из них распространяется так, как если бы она не встречала на своем пути другую. Данный принцип независимости распространения волн получил название принципа суперпозиции. В области перекрытия волн колебания накладываются друг на друга. Это явление наложения волн называется интерференцией. Интерференция наблюдается только от когерентных источников, т. е. от таких, у которых частота и фаза колебания одинаковы, либо колебания происходят с постоянной во времени разностью фаз. Кроме того, направления колебаний предполагаются одинаковыми. Пусть два когерентных точечных источника находятся в точках O1 и O 2 r2

247

O1

r1 Рис. 120

A

 k2

 k1

O2 , отстоящих от некоторой точки A на расстоянии r1 и r2 соответ-

ственно (рис. 120). Уравнения колебаний I и II источника описываются гармоническим законом: sI  s0I cos   t  , sII  s0II cos   t 

(1)

где s0I , s0II – амплитуды колебания I и II источников. Начальные фазы положим равными нулю. Очевидно, уравнения волны в точке A от I и II источников запишутся соответственно как

 

  . 

  s1  s01 exp i   t  k1r1   s2  s02 exp i   t  k 2r 2



где k1  k 2 

(2)

2 . 

Тогда амплитуда результирующего колебания в точке A будет определяться выражением (4) из п. 10.2.5 s0 2  s012  s022  2s01s02 cos  ,

(3)

где разность фаз колебаний



 



    2 r1  r2   2 r .    2  1    t  k 2r 2    t  k1r1   

(4)

r называется разностью хода двух волн, исходящих от когерентных источников O1 и O2 .

Поскольку интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, уравнение (3) перепишем в виде:  2  I  I 1  I 2  2 I 1I 2 cos r  .   

(5)

Анализируя выражение (5), легко видеть, что интенсивность результирующей волны максимальна I   

 I1 

I2

2 , когда

2 r  2n; n  0; 1; 2;  или r  n . 

(6)

Формула (6) выражает условие интерференционного максимума.

248

Интенсивность I 

 I1 

I2

 

 , когда

результирующей

волны

минимальна

2

2  r  2n  1; n  0; 1; 2;  или r  2n  1 .  2

(7)

Формула (7) выражает условие интерференционного минимума. В общем случае, когда направления колебаний не совпадают, интенсивность результирующей волны равна I  I 1  I 2  2 I 1I 2 cos  cos  , (8) 

y

s01 

где  – угол между векторами k1

s02  k1

  k2

x

и k 2 . Для получения формулы (8) рассмотрим сложение двух поперечных колебаний одинаковой частоты с амплитудами s01 и s02 , которые 

распространяются в направлениях k1 

Рис. 121

где



s0

и k 2 соответственно (рис. 121). Амплитуда результирующего колебания может быть представлена в виде s0 2  s0 x 2  s0 y 2 ,

(9)

s0 x  s02x  s02 sin  ;

(9а)

Для определения y-компоненты амплитуды результирующего колебания s 0 y воспользуемся формулой (3) s0 y 2  s012  s022 cos2   2s01s02 cos   cos  .

(9б)

После подстановки (9а) и (9б) в (9) получаем выражение, аналогичное (8) s0 2  s012  s022  2s01s02 cos   cos  .

(10)

Под дифракцией понимается круг явлений, наблюдаемых при распространении волн в неоднородных средах, например, огибание волной препятствия. При этом на опыте наблюдается распространение волны в области "геометрической тени". 249

Рассмотрим распространение плоской волны в среде с препятствием, представляющим собой две стенки С, параллельные фронту волны и отстоящие на некотором расстоянии l друг от друга (рис. 122). Поскольку до препятствия C размер волнового фронта много больше длины волны, можно считать, что  волна распространяется прямолинейl 2l  но. После прохождения препятствия L волна начнет постепенно заходить в область геометрической тени, а ее C  Рис. 122 фронт искривляться. На некотором характерном расстоянии L волновой пучок лучей приобретет заметную угловую расходимость и далее будет распространяться в конусе с углом раствора 2 . При уменьшении зазора l между стенками угол 2 возрастет, а расстояние L уменьшится. Это отступление от прямолинейного распространения лучей является результатом дифракции и становится существенным тогда, когда размеры отверстия становятся сравнимыми с длиной волны ( l   ).

Теория дифракции, которая основывается на геометрическом построении, была разработана в XIX веке французским ученым Френелем. Согласно основополагающему принципу этой теории, участок волнового фронта волны рассматривается как совокупность отдельных точечных источников вторичных сферических волн. Колебания от этих источников, распространяющиеся во всех направлениях, интерферируют и дают дифракционную картину, состоящую из участков с максимальной и минимальной интенсивностью. Поэтому на рис. 122 после препятствия изображена не вся, а наиболее энергоемкая часть пучка. Как показывает строгий анализ, 90% всей энергии сосредоточено именно в этой части пространства.

10.15. Стоячие волны Стоячая волна – это особый вид интерференционной картины, когда две когерентные и одинаковые по интенсивности (амплитуде) волны распространяются навстречу друг другу. Наложение таких 250

волн происходит тогда, когда волна падает на хорошо отражающее препятствие, перпендикулярное к направлению ее распространения. Уравнения двух плоских когерентных волн, распространяющихся в противоположных направлениях, имеют вид s1  s0 exp(i   t  kx )  . s2  s0 exp(i   t  kx ) 

(1)

Складывая оба эти уравнения, получим для суммарного колебания s  s1  s2  s0 exp(i  t )  expikx   exp ikx   2s0 cos kx  exp(i  t ) , или, отбрасывая мнимую часть, получим: 2   s   2s0 cos x  cos   t .   

(2)

Уравнение (2) есть уравнение стоячей волны, где первый сомножитель представляет собой амплитуду стоячей волны. Как видно, амплитуда стоячей волны зависит от координаты x. 2 x  n; n  0; 1; 2;  , амплитуда колебания дос тигает максимального значения 2s0 . Эти точки называются пучно-

В точках, где

стями стоячей волны. Координаты пучностей: x n

В точках, где

 . 2

(3)

2 1  x   n  ; n  0; 1; 2;  , амплитуда колебаний  2 

обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов: 1   x  n   . 2 2 

(4)

Из формул (3) и (4) следует, что расстояние между соседними пучностями, так же, как и расстояние между соседними узлами, равно x 

 . 2

Пучности и узлы сдвинуты относительно друг друга на

251

(5)  . 4

Чем выше частота колебания нижнего конца шнура (рис. 123) под  действием периодической силы F , тем короче длина волны и тем больше узлов и пучностей укладывается на длине шнура l 

N ; N  1, 2, 3,... 2

Рис. 123

Известно, что упругая волна переносит энергию. Однако стоячие волны энергию не переносят. Энергия остается постоянной для каждой точки пространства, переходя только из одного вида в другой (кинетическая переходит в потенциальную и обратно). Между упругими колебаниями твердого тела и стоячими волнами в этом теле не существует различия. Колебания упругих тел представляют собой стоячие волны. Действительно, продифференцировав уравнение стоячей волны (2) по координате и времени, найдем закон, по которому изменяется деформация твердого тела   рость колеблющейся частицы твердого тела s 

ds и скоdx

ds : dt

2 2   sin x  cos   t .     2s0    

(6)

2   s    2s0  cos x  sin   t .   

(7)

252

Уравнение (6) описывает стоячую волну деформации, а уравнение (7) – стоячую волну скорости. Из сравнения (2) и (7) следует, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пучностями смещения. Из (6) и (2) следует, что узлы и пучности деформации совпадают соответственно с пучностями и узлами смещения. Соответственно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциальную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где находятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости или узлы деформации). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний поток энергии в любом сечении волны равен нулю.

10.16. Эффект Доплера в упругой среде Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний , 1 воспринимаемых наблюдателем, 2 И П при относительном движении исРис. 124 точника и наблюдателя. Пусть в упругой среде на некотором расстоянии от источника колебаний И располагается устройство П (приемник), воспринимающее колебания среды. Источник испускает колебания с периодом Т. Тогда число колебаний, испускаемых источником в единицу времени (частота колебаний источника), будет равно  u

v

0 

1 . T

(1)

Предположим, что скорость распространения колебаний в упругой среде равна V. Тогда длина волны будет равна  0  VT . Пусть  источник И движется относительно среды со скоростью u , а приемник П – со скоростью v (рис. 124). Заметим, что скорость распространения волны зависит от свойств упругой среды, но не зависит от движения источника. Так как источник движется относительно упругой среды, то за период колебаний Т он приблизится к приемнику на расстояние 253

uT cos1 , соответственно длина волны уменьшится на это расстоя-

ние и будет равна

   0  uT cos 1  VT  uT cos 1  T V  u cos 1  .

(2)

Так как приемник движется к источнику со скоростью v cos  2 , то волна идет мимо приемника со скоростью V  v cos  2 , и в единицу времени он зарегистрирует число колебаний, равное V  v cos  2 1 V  v cos  2     0  T V  u cos 1

v cos  2 V . u 1  cos 1 V

1

(3)

Формула (3) определяет частоту регистрируемых приемником колебаний при относительном движении источника и приемника. Рассмотрим ряд случаев, при которых регистрируются колебания. I случай: приемник и источник покоятся относительно среды ( v  0; u  0 ):   0 .

(4)

В этом случае частота колебаний  , воспринятых приемником, равна частоте колебаний источника 0 . II случай: приемник движется относительно среды со скоростью v , а источник неподвижен ( u  0 ). v     0 1  cos  2  , V  

т. е. частота колебаний   0 , если 0   2  ник сближаются), и   0 , если

(5)  (приемник и источ2

   2   (приемник и источник 2

удаляются друг от друга). III случай: источник движется относительно среды со скоростью u, а приемник неподвижен ( v = 0).   0

V , V  u cos1

254

(6)

т. е. частота регистрируемых приемником колебаний   0 , если 0  1 

  (взаимное сближение), и   0 , если  1   (взаим2 2

ное удаление). Из формул (5) и (6) следует, что при  2 

  и 1  изменения 2 2

частоты не наблюдается.

10.17. Звуковые волны Продольные волны, распространяющиеся в жидкостях и газах, как впрочем, и в твердых телах, называются акустическими волнами или звуком. Колебания, переносимые этими волнами, являются следствием деформаций сжатия и растяжения. Рассмотрим распространение таких колебаний в газе. Сила, ускоряющая элемент газа массой dm в направлении распространения звуковой волны x, определяется перепадом давления газа на малом участке dx: dm

 2s t 2

  p( x  dx, t )  p( x, t ) S ,

(1)

где s – смещение элемента; S – его сечение. Чтобы из формулы (1) получить волновое уравнение, необходимо знать материальное уравнение среды, устанавливающее зависимость давления от плотности среды: p  p . При малых возмущениях, когда p  p  p0  p0 ( p0 – равновесное давление), имеем  dp  p       c 2 ,  d   0

(2)

где введено обозначение  dp  c    .  d  0

С одной стороны, относительная деформация равна

255

(3)

( x, t ) 

s( x  dx, t )  s( x, t ) s ;  dx x

(4)

с другой стороны, из постоянства массы элемента имеем

0dx  ( 0  )dx  s( x  dx, t )  s( x, t )   ( 0  )dx (1  ) .

Откуда, пренебрегая величиной dx , имеем: 

 . 0

(5)

Тогда из уравнений (4) и (5) получим   0

s . x

(6)

С учетом (6) уравнение (2) примет вид: p   0c 2

s . x

(7)

Подставив (7) в (1), записывая dm  0Sdx и переходя к пределу при dx  0 , получим волновое уравнение:  2s

 2s  c2 . x 2 t 2

(8)

Из уравнения (8) видно, что скорость волны задается выражением (3) и не зависит от частоты (дисперсия отсутствует). Естественно, что с такой скоростью распространяются волны с длиной волны, много превосходящей длину свободного пробега молекул в газе или межатомные расстояния в жидкости. В этом случае жидкость и газ могут рассматриваться как сплошные среды. Для газа материальное уравнение является уравнением адиабаты и в акустике обычно записывается в виде: 

   p  p0   ,  0 

256

(9)

где  

Сp СV

– показатель адиабаты ( С p , СV – молярные теплоемко-

сти газа при постоянном давлении и постоянном объеме соответственно). Тогда скорость звука в газе получается равной c



RT , 

(10)

где  – молярная масса газа. Для жидкости материальным уравнением является полуэмпирическое уравнение Тета: Г       1 , p  pвн    0    

(11)

где pвн – характерное внутреннее давление, обусловленное межмолекулярным взаимодействием. Параметр Г имеет порядок несколько единиц (например, для воды Г  7 ). Наличие вязкости и теплопроводности среды приводит к потере энергии звуковой волны, и эта энергия расходуется на нагревание   среды. Волна давления p( r , t ) , а также волна смещения s( r , t ) и  волна скорости v( r , t )  s t по мере распространения затухают. В случае гармонической плоской волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, возмущения давления записываются в виде   x  p( x, t )  p0 exp(x )  sin  t   . c   

(12)

Из выражения (12) видно, что амплитуда этой волны экспоненциально убывает с пройденным расстоянием. Соответственно интенсивность волны, как величина пропорциональная квадрату амплитуды, равна I  I 0 exp(2x ) . (13) Если пренебречь потерями, связанными с теплопроводностью, то коэффициент затухания , как следует из гидродинамики, оказывается равным

257



4 2 , 3 20c3

(14)

где  – вязкость жидкости или газа. Из формулы (14) следует, что по мере распространения звук, в спектре которого присутствует широкий набор частот, становится низким в результате поглощения высоких частот. Поглощение звука в воде существенно меньше, чем в воздухе, а в твердых телах еще меньше.

10.18. Понятие солитона Рассмотрим импульс в виде холма, распространяющийся по водной поверхности. Его конфигурация в некоторый момент времени изображена на рис. 125. Импульс является суперпозицией колебаний с различными амплитудами и s частотами. Следовательно, в c s0 результате различия скоростей распространения этих колебаx ний (дисперсии), он должен с 0 течением времени "расплыl ваться". H Согласно уравнению Бернулли гидродинамическая скорость отдельных элементов Рис. 125 жидкости различна. Так скорость гребня будет больше скорости подножия водного холма. Тогда происходит превращение волны в пилообразную и крутой фронт под действием силы тяжести опрокидывается. Однако при определенной геометрии холма нелинейное искажение волны может компенсироваться дисперсией и тогда по поверхности побежит устойчивая структура в виде уединенной волны (солитона). Следует отметить, что солитон является устойчивой структурой. Если амплитуда s0 слишком велика, то водяной холм распадается на несколько небольших холмиков, из которых формируются солитоны. Напротив, если s0 слишком мала, то такой низкий холм распадется вследствие дисперсии.

258

Список литературы 1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика.  М.: Наука, 1989. 2. Матвеев А. Н. Механика и теория относительности.  М.: Высш. шк., 1986. 3. Стрелков С. П. Механика.  М.: Наука, 1975. 4. Хайкин С. Э. Физические основы механики.  М.: Наука, 1971. 5. Суханов А. Д. Фундаментальный курс физики. Т. 1. Корпускулярная физика.  М.: Агат, 1996. 6. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1. Механика.  М.: Наука, 1986. 7. Ландау Л. Д. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика / Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезер, Е. М. Лифшиц.  М.: Наука, 1969. 8. Алешкевич В. А. Университетский курс общей физики. Колебания и волны / В. А. Алешкевич, Л. Г. Деденко, В. А. Караваев.  М.: МГУ, 2001. 9. Фейнман Р. Фейнмановские лекции по физике. Т. 1, 2. Законы механики. Пространство. Время. Движение / Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс.  М.: Мир, 1976. 10. Киттель Ч. Механика. Берклеевский курс физики / Ч. Киттель, У. Найт, М. Рудерман. Т. 1.  М.: Наука, 1983.

259

Глава 11. Основные положения теории упругости твердых тел Ранее, рассматривая движение тел, использовалась модель абсолютно твердого тела, т. е. такого тела, которое не деформируется ни при каких воздействиях на него. В реальности воздействие на тело внешней силы приводит к его деформации, т. е. изменению формы или линейных размеров. Если деформация не велика, то после прекращения внешнего воздействия исчезает и вызванная этим воздействием деформация. Такие деформации, рассматриваемые в данной главе, называются упругими. Важнейшими из них являются упомянутые ранее в параграфе 3.3.2 продольные растяжение и сжатие, а также всестороннее растяжение и сжатие, сдвиг, кручение, изгиб. Некоторые из них будут рассмотрены ниже.

11.1. Упругие свойства изотропных тел Рассмотрим упругую деформацию твердого тела под действием внешней силы. В случае продольной деформации согласно закону Гука E

x , x

(1)

F – напряжение (величина, численно равная силе, дейстS вующей нормально на единицу площади поперечного сечения); x Е – модуль упругости (модуль Юнга);   – относительная деx формация (относительное изменение координаты некоторой точки тела в направлении деформации). Следует отметить, что продольная деформация приводит к изменению линейных размеров тела не только в направлении действующей силы, но и в поперечном направлении. Опыт показывает, что сжатие поперечного сечения стержня пропорционально деформации удлинения (рис. 126): где  

259

п     , (2)

a

a1   

a1   п  a Рис. 126

V  a 3 1   1   п 2  a 3 



где  п – относительное сжатие поперечного сечения;  – коэффициент Пуассона (модуль поперечного сжатия), являющийся, как и модуль Юнга, характеристикой упругих свойств материала. Можно показать, что коэффициент Пуассона не может быть больше 0,5. Действительно, изменение объема элементарного кубика, выбранного в теле (см. рис. 126, пунктир) не может быть отрицательным, если тело подвергается растяжению. Тогда

 



 a 3 1   1  2  1  a 3 1    2   2  2  2 2   2  3  1  0. Пренебрегая в скобках слагаемыми второго и третьего порядка малости, получим 1  2   0 . 1 Откуда, учитывая, что   0 , находим   . 2 Деформация сдвига Если сила действует по касательной к выбранному сечению, то она создает деформацию сдвига (рис. 127). При этом точка А данного сечения переходит в точку А . Величина смещения x по оси ОХ, очевидно, пропорциональна координате у точки А: x  y  tg ,

или, принимая во внимание, что для малых деформаций tg   , можно записать: x  y   .

260

y

A x



A



X

O Рис. 127

В связи с этим сдвиг удобнее характеризовать величиной угла  . Закон Гука для деформации сдвига имеет вид (3)   G  , где  – касательное (сдвиговое) напряжение (напряжение, прилоY женное перпендикулярно нормали к выбранной площадке); G – модуль сдвига. Как показывает теория, для изотропных материалов, свойства которых одинаковы по всем направлениям, величины модуля Юнга Е и модуля сдвига G связаны между собой через коэффициент Пуассона следующим образом:

G

E . 21   

(4)

Деформация кручения

Пусть дан стержень диаметром D и длиной l0 , нижнее основание которого жестко закреплено. Стержень изготовлен из материала с модулем сдвига G . Под действием момента внешних сил М стержень закручивается на угол 0 , т. е. его верхнее основание поворачивается относительно нижнего на данный угол (рис. 128). Найдем величину этого закручивающего момента М. 261

0

 F

φ+dφ

l0

dl φ

l  F

Рис. 128

Для этой цели вырежем из стержня диск малой высоты dl на расстоянии l от нижнего основания стержня. Нижнее основание диска будет повернуто на некоторый угол  , а его верхнее основание – на угол   d  относительно нижнего основания стержня. Из диска вырежем тонкое кольцо с внутренним радиусом r и внешним радиусом r+dr (рис. 129). r dr Верхняя поверхность этого d кольца будет сдвинута отноdl сительно нижней на угол d . d Из рис. 129 следует, что r d   dl d  , откуда Рис. 129 d d  r . (5) dl 262

Касательное напряжение на верхнюю поверхность кольца равно d   G d  G r , (6) dl d а сила – dF   dS   2r dr  G 2r 2 dr . (7) dl Момент этой силы будет равен d dM  dF r  G 2r 3 dr . (8) dl Полный момент сил М, под действием которого закручивается стержень, представится интегралом d M   dM  G 2 dl

D

2



r 3 dr 

0

D 4 d  . G 32 dl

(9)

Из уравнения (9) следует, что если стержень однороден, то d  сonst , и тогда dl d 0  l0 . dl d  0  . (10) Откуда dl l0 С учетом выражения (10) формула (9) для закручивающего момента окончательно представится в виде M

M  k 0 ,

Или где k 

D 4 0 G . 32 l0

(11) (12)

D G – коэффициент жесткости стержня на кручение. 32 l0 4

Поскольку величину k можно изменять в широких пределах, изменяя диаметр стержня D, деформацию кручения возможно наблюдать даже при очень малых закручивающих моментах (малых внешних силах). Этот факт широко применяется в экспериментах, в кото-

263

рых используется закручивание упругой тонкой нити. Достаточно вспомнить эксперименты Лебедева по обнаружению давления света или опыт Кавендиша по определению гравитационной постоянной.

11.2. Упругие свойства кристаллов. Тензор напряжений. Тензор упругости Выше, рассматривая упругие свойства тел, не было необходимости конкретизировать направления напряжений и деформаций в связи с тем, что для изотропного тела его физические свойства не зависят от направления. В изотропных материалах направления физически не различимы. Однако существует широкий ряд веществ, свойства которых существенно зависят от выбора направления. Это монокристаллические вещества. Расстояния между атомами решетки монокристалла и, следовательно, силы взаимодействия между ними различны в разных направлениях. В связи с этим для характеристики свойств монокристаллов требуется выбрать систему координат и рассматривать их упругие свойства в привязке к данной системе. На рис. 130 изображен X3 единичный кубик монокристалла. Все силы действую33 щие на данный кубик, раз32 ложим на компоненты, приложенные к соответствую 31  23 щим граням и ребрам. 13  22 На рис. 130  ij ( i 

O

11

X1

12

 21

X2

 j  1, 2, 3 ) – растягивающие (сжимающие) напряжения;

 ij ( i  j ) – сдвиговые Рис. 130

(касательные) напряжения, лежащие в плоскости тех

площадок, на которые они действуют. Девять компонент сил, действующих на куб, образуют тензор механических напряжений:

264

 11 12 13      21  22  23  .      31 32 33 

 Рассмотрим теперь малую деформацию U , вызванную этими силами. При этом начало координат О сохраняет свое положение, а координаты  x1 , x2 , x3  некоторой т. М изменяются на  x1, x2 , x3  :    r   r  U . Или в проекциях: xi  xi  U i (i = 1, 2, 3), где U i – проекции смещения на оси координат.

 x1 , x2 , x3  в результате деформакоординатами  x1, x2 , x3  . Смещение U1

Пусть т. М с координатами ции переходит в т. М  с

вдоль оси ОХ 1 обусловлено в общем случае растягивающим напряжением 11 , а также двумя сдвиговыми напряжениями  21 и 31 (рис. 131): X3

M

U  1

M U1

O

X2

U  X1

U  1 Рис. 131

U1  U   U   U  ,

265

(1)

где U   x1  1 ; U   x2  1 ; U   x3  1 ; 1 – относительное удлинение, вызванное напряжением 11 ; 1 и 1 – углы сдвига, вызванные напряжениями  21 и 31 соответственно. Таким образом,

U1  1  x1  1  x2  1  x3 .

(2)

Аналогично, для смещений по осям ОХ 2 и ОХ 3 можно записать U 2   2  x1   2  x2   2  x3 ;

(3)

U 3   3  x1   3  x 2   3  x 3 .

(4)

Таким образом, имеем     x    1 1 1  1 U    2  2  2    x2  .      x   3 3 3  3

Матрица

 1  ij    2   3

1 2 3

1   2  3 

(5)

(6)

является тензором второго ранга и называется тензором деформаций. Диагональные компоненты ii характеризуют относительные удлинения по осям, а компоненты ij (i ≠ j) определяют поворот линейного элемента, параллельного оси X i , происходящий в сторону X j вокруг третьей оси. Поскольку деформации (так же, как и напряжения) являются тензорами второго ранга, они связаны между собой сложным образом, а именно тензором упругих постоянных (тензором четвертого ранга):

ij  cijkl   kl .

(7)

Тензор cijkl имеет 34  81 компоненту и определяет упругие свойства анизотропного вещества.

11.3. Распространение импульса в упругом теле 266

Рассмотренные выше упругие деформации являются стационарными, т. е. слабо зависящими от времени. При их описании можно было использовать уравнения статики (т. е. условия равновесия). Однако существуют случаи, при которых деформация не может считаться стационарной в данной точке пространства. Эти случаи относятся к распространяющейся в упругом теле деформации. При этом распространение упругой деформации происходит с конечной скоростью. В качестве примера рассмотрим распространяющуюся в упругом теле деформацию, возникшую в результате кратковременного воздействия (удара) на его торец (рис. 132). S

dx

 

Рис. 132

Вследствие удара по левому торцу частицы поверхностного слоя приобретут импульс, направленный вправо. Этот импульс они передадут частицам следующего слоя и т. д. В стержне будет распространяться импульс с некоторой скоростью. Найдем эту скорость. Если обозначить толщину слоя dx , а сечение стержня S , то масса движущегося в данный момент слоя будет равна dm  1S  dx , (1) где 1 – плотность материала в области сжатия. При распространении деформации сжатия движется не вся масса слоя, а только «уплотнение», масса которого равна dm1   1     S  dx ,

где  – плотность недеформированного материала.

267

(2)

Отметим, что скорость движения частиц в импульсе не равна скорости распространения самого импульса. Количество движения распространяющегося импульса равно dp  v dm1 ,

(3)

где v – скорость импульса. С учетом формулы (2) выражение (3) перепишем в виде dp  v  1    S dx .

(4)

Считая сечение S неизменяющимся, нетрудно показать, что относительное изменение плотности (относительное уплотнение) 1   равно относительной деформации  .  Действительно, m m 1 1   x x0  x S 1S  1 1   .      m 1  x x 1S 1 Откуда 1    

и dp  v   S dx ,

где dx  v dt ( dt – время прохождения импульсом пути dx ). Таким образом, dp    v 2 S dt .

(5)

За время dt через поперечное сечение стержня пройдет импульс dp . При этом скорость изменения импульса в сечении будет равна dp    v2S . (6) dt dp  F  S  ES . С другой стороны, (7) dt Из формул (6) и (7) следует, что v 2 S  ES ,

268

откуда

v

E . 

(8)

Таким образом, скорость распространения импульса зависит от плотности среды и ее упругих свойств. Формула (8) представляет собой скорость звука в упругой среде.

269