Единый государственный экзамен как экспериментальная педагогическая технология: Учебное пособие

Ф Е Д Е Р АЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О Б Р АЗО В АН И Ю В О Р О Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АР С Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т

В .Н . Д онцов

Е Д И Н Ы Й Г О С У Д АР С Т В Е Н Н Ы Й ЭК ЗАМ Е Н К АК ЭК С П Е Р И М Е Н Т АЛ Ь Н АЯ П Е Д АГ О Г И ЧЕ С К АЯ Т Е ХН О Л О Г И Я У чебноепособие С пециальность « М атем атик а» 010101 (010100)

В оронеж 2005

2

У т верж д ен о н а у чн о-м ет од ическим совет ом м а т ем а т ического ф а ку льт ет а (28 .02. 2005 г., п ротокол № 6)

А вт ор: Д он цов В.Н.

У чебн ое п особие п од гот овлен о н а ка ф ед ре т еории ф у н кций и геом ет рии м а т ем а т ического ф а ку льт ет а Ворон еж ского госу д а рст вен н ого у н иверситета . Реком ен д у ет сяд ляст у д ен тов 4 ку рса д н евн ого от д елен иям а т ем а т ического ф а ку льт ет а , изу ча ю щих т еорет ико-эксп ерим ен т а льн у ю д исцип лин у «М ет од ика п реп од а ва н иям а т ем а т ики»: О ПД .Р.04 и вып олн яю щих у чебн ый п ла н п о «Пед а гогической п ра кт ике».

3

СО Д Е РЖ А НИ Е Введ ен ие… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...4 § 1. О сн овн ые п олож ен ияп ед а гогической т еории ед ин ого госу д а рст вен н ого экза м ен а (Е Г Э )… … … … … … … … … … … … … 7 1.1. О п ред елен ият еорет ических п он ят ий… … … … … … … … … … .7 1.2. Психолого-д ид а кт ическа ят еория.… … … … … … … … … … … .9 § 2.М етод ические п рим еры кон т рольн ых изм ерит ельн ых м а териа лов.… .12 2.1. За д а н ияба зового у ровн яслож н ост и… … … … … … … … … .… 12 2.2. За д а н ияп овыш ен н ого у ровн яслож н ости… … … … … … … … .13 2.3. За д а н иявысокого у ровн яслож н ост и… … … … … … … … … … .18 § 3. И з оп ыт а п сихолого-д ид а кт ического п роект ирова н ияу роков п о п од готовке к Е Г Э … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 24 § 4. И з оп ыт а п сихолого-п ед а гогических п рилож ен ий м а тем а т ической ст а т ист ики к а н а лизу резу льт а т ов Е Г Э … … … … … … … … … … … … … … ...41 За клю чен ие … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 46 К он трольн ые воп росы и за д а н ия… … … … … … … … … … … … … … … … … .46 Л ит ера т у ра … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .47 Прилож ен ие А . О п рим ен ен ии ком п ью т ерн ой сист ем ы «Mathematica-5» п ри д ид а кт ическом кон ст ру ирова н ии сла йд ов… … … … … … … … … … … ..49 Прилож ен ие Б. Э м п ирические м а т ериа лы п ед а гогического эксп ерим ен т а Е Г Э -2003 и Е Г Э -2004 п о м а т ем а т ике в ш кола х г. Ворон еж а … … … … … ...56

4

ВВЕ ДЕ Н И Е Вкон т екст е а км еологического п од ход а к п роф ессион а льн ой м а тем а т ико-п ед а гогической п од готовке ст у д ен т ов кла ссического у н иверсит ет а су щест ву ет за д а ча а кт ивн ого обу чен ияих м ет од а м п сихологоп ед а гогического исслед ова н ия.1) Ву чебн о-м етод ическом п особии в ка чест ве п ред м ет н ого м а т ериа ла ку рса «М етод ика п реп од а ва н иям а тем а т ики» ра ссм от рен м ет од п ед а гогического эксп ерим ен т а . Э то н е слу ча йн о. С 2001 год а д лявып у скн иков сред н их (п олн ых) общеобра зова т ельн ых ш кол п ровод ит сяобщен а цион а льн ый п ед а гогический эксп ерим ен т п о введ ен ию Е д ин ого госу д а рст вен н ого экза м ен а . А н а логичн ый эксп ерим ен т п ред у см от рен и д ляу ча щихся, ока н чива ю щих сред н ю ю осн овн у ю ш колу . Перед ву за м и п ост а влен а за д а ча п од готовки ка д ров п о п роф ессион а льн ой обра зова т ельн ой п рогра м м е д оп олн ит ельн ой ква лиф ика ции «т ест олог» (сп ециа лист в обла ст и п ед а гогических изм ерен ий). Ворга н а х у п ра влен ияобра зова н ием созд а ё т сягосу д а рст вен н а яа тт ест а ц ион н а яслу ж ба , за д а чей крторой являет сяком п ет ен т н ое и коррект н ое исп ользова н ие резу льт а тов Е Г Э д ляоцен ки ка чест ва п ед а гогической д еят ельн ост и с целью своеврем ен н ого у п ра влен ияу чебн о-восп ит а т ельн ым п роцессом н а у ровн е регион а , от д ельн ой ш колы, кон крет н ого п реп од а ва т еля/у чит еля. Э ксп ерим ен т п о введ ен ию Е Г Э ест ь м ет од сист ем н ого п ед а гогического исслед ова н ия, в ход е которого эксп ерим ен т а т оры н а ф ед ера льн ом у ровн е цен т ра лизова н н о и п ред н а м ерен н о обн овляю т экза м ен а цион н у ю м ет од ику п ред м ет н ой ит оговой а т т ест а ции вып у скн иков сред н их общеобра зова т ельн ых у чреж д ен ий с ц елью обесп ечен иягосу д а рст вен н ых га ра н т ий её объект ивн ост и п осред ст вом ед ин ой т естовой т ехн ологии кон троля зн а н ий. Вед у ща яорга н иза цион н о-м ет од ическа я ид еяэксп ерим ен т а , реа лизу ем а ян а ед ин ом общен а цион а льн ом обра зова т ельн ом п рост ра н ст ве, сост оит в совм ещен ии итоговой а т т ест а ции вып у скн иков «п илот н ых» общеобра зова т ельн ых у чреж д ен ий со вст у п ит ельн ым и исп ыт а н иям и в госу д а рст вен н ые ву зы, ссу зы России. Согла сн о су щест ву ю щим кла ссиф ика ц иям эксп ерим ен т п о введ ен ию Е Г Э м ож ет быт ь ка т егоризова н с т очки зрен ияра зличн ых крит ериев. По крит ерию у словий реа лиза ции эт о – е ст е ст ве н н ы й эксп е р им е н т , т . к. он воссозд а ё т п ед а гогические сит у а ц ии и ф а кторы, близкие к реа льн ым и ба зисн ым у словиям п ровед ен ияит огового экза м ен а в общеобра зова т ельн ых ш кола х и н а вст у п ит ельн ых исп ыт а н иях в ву за х и ссу за х. Д ляу ча щихся, а бит у риен т ов и п реп од а ва т елей /у чит елей введ ен ие Е Г Э сегод н я– эт о 1) М ет од ы систем н ого п ед а гогического исслед ова н ия/ Н.В. К у зьм ин а , Г .В. Су ход ольский, В.Н. Д он цов; п од ред . Н.В. К у зьм ин ой. М .: На р. обра зова н ие, 2002. – 208 с.; А км еология: у чебн ик /п од общ. ред . А .А . Д ерка ча . – М .: И зд -во РА Г С, 2002. – С.130 – 217; Са ра н цев Г .И . М етод ика обу чен иям а т ем а т ике в сред н ей ш коле: у чеб. п особие / Г .И . Са ра н цев. – М .: Просвещен ие, 2002. – С.16-19.

5

п росп ект ирова н н ый эксп ерим ен т , н еза висим о вн осим ый д лян их ест ест вен н ой ш кольн ой и ву зовской ж изн ью . На п ра влен ие эксп ерим ен т ирова н ия зд есь кон цен т риру ет сян а т а ких н еза висим ых п ред икт ора х и п а ра м етра х, ка к кон крет н ост ь, чё ткост ь, д ет а льн ост ь, точн ост ь, регла м ен т ирова н н ост ь и объект ивн ост ь в т ест овой м етод ике кон т роляи оцен ива н ия. Реп резен т а т ивн ые м ед ико-п сихологические исслед ова н ияп сихического сост оян ия вып у скн иков, п роход ивш их ит огову ю а т т ест а цию в ф орм е Е Г Э и в т ра д ицион н ой ф орм е, н е обн а ру ж или ст а т истически зн а чим ых ра зличий м еж д у а льт ерн а т ивн ым и выборка м и. По крит ерию д ид а кт ических и а км еологических целей – эт о п р е обр азую щ ий (обучаю щ ий , восп ит ы ваю щ ий , фор м ир ую щий ) эксп е р им е н т , т .к. он н а п ра влен , с од н ой ст орон ы, н а соверш ен ст вова н ие когн ит ивн ой ст ру кт у ры и п ред м ет н ого сод ерж а н ияп озн а ва т ельн ой д еят ельн ост и ка ж д ого вып у скн ика ш колы, а с д ру гой ст орон ы, н а ра звит ие у ровн яп роф ессион а лизм а в п ед а гогической д еят ельн ост и п реп од а ва т еля/ у чит еляка к су бъект а , личн ост и, ин д ивид у а льн ост и. За висим ые п ерем ен н ые в эксп ерим ен т е п о введ ен ию Е Г Э – эт о ит оговые у ровн и ка к п озн а ва т ельн ой у чебн о - м а т ем а т ической д еят ельн ост и ш кольн иков, т а к и п ед а гогической д еят ельн ост и у чит елей, экст ериоризу ем ые в т естовых п ока за т елях п исьм ен н ых ра бот вып у скн иков. К орреляцион н ый а н а лиз, п ровед ё н н ый Фед ера льн ым цен т ром т ест ирова н ия, п ока за л, чт о вза им освязь м еж д у резу льт а т а м и Е Г Э и ит ога м и зим н ей сессии у ст у д ен тов п ервого ку рса выш е, чем соответст ву ю ща яза висим ость м еж д у резу льт а т а м и вст у п ит ельн ых исп ыта н ий в т ра д ицион н ой ф орм е и у сп ева ем ост ью п ервоку рсн иков. С д ру гой сторон ы, регион а льн ые, ра йон н ые и ш кольн ые коэф ф иц иен т ы ка чест ва обу чен ия вып у скн иков, вычислен н ые п о резу льт а та м Е Г Э , ст а ли объект ивн ым осн ова н ием д лявыбора род ит елям и и их д ет ьм и ш колы осн овн ого и п олн ого сред н его обра зова н ия. Послед н ее п овысило кон ку рен цию м еж д у ш кола м и, ст им у лирова ло ра звит ие п роф ессион а лизм а и соверш ен ст вова н ие а км еоп рогра м м у чит елей. На иболее рельеф н о эт о п роявилось в регион а х, которые п ереш ли н а сист ем у п од у ш евого ф ин а н сирова н ия. С 2004 год а эксп ерим ен т п о введ ен ию Е Г Э вп ервые ст а л п ровод ит ьсяв ф орм е т рё х т естовых т ехн ологий: ба зовой (бла н ковой), ком п ью т ерн ой и с исп ользова н ием а вт ом а т изирова н н ой сист ем ы «Э кза м ен ». Поэтом у им еет см ысл говорит ь о ком п ью т е р изир ован н ом / авт ом ат изир ован н ом (в от личие от бла н кового) эксп е р им е н т е п о введ ен ию Е Г Э . Е Г Э – ин н ова ц ион н ый п ед а гогический п роект . Восн ове у п ра влен ия им леж а т д ва ф у н д а м ен т а льн ых ф ед ера льн ых ресу рса : т естовые и ин ф орм а цион н ые т ехн ологии. Т естова ям ет од ика п ред у см а т рива ет цен т ра лизова н н ое кон стру ирова н ие кон трольн ых изм ерит ельн ых м а т ериа лов (К И М ), п озволяю щих ед ин ообра зн о п роверит ь, изм ерит ь и сра вн ит ь п ред м ет н у ю п од гот овлен н ост ь вып у скн иков и а бит у риен т ов. К а ж д ый т ест (ва риа н т п исьм ен н ой ра бот ы) им еет трё ху ровн еву ю д ид а кт ическу ю ст ру кт у ру и вклю ча ет в себя: 1) т естовые за д а н ияба зового у ровн яслож н ост и с м н ож е-

6

ст вен н ым выбором п ра вильн ого ответа (су бт ест у ровн яА ), п роверяю щие обяза т ельн ый у ровен ь п од готовлен н ости вып у скн иков п о «А лгебре и н а ча ла м а н а лиза » 10-11 кла ссов. И х вып олн ен ие оцен ива ет сяэксп ерт а м иэкза м ен а т ора м и п о н ом ин а льн ой ш ка ле (верн о - н еверн о); 2) т ест овые за д а н ияп овыш ен н ого у ровн яслож н ост и (су бт ест В), п роверяю щие п од гот овлен н ост ь н е т олько п о «А лгебре и н а ча ла м а н а лиза », н о и п о ра зличн ым ра зд ела м ку рсов а лгебры и геом ет рии осн овн ой и п олн ой сред н ей ш колы. О н и п ред у см а т рива ю т лиш ь кра т ку ю за п ись от вет а , а их вып олн ен ие п оп реж н ем у оцен ива ет сяп о а льт ерн а т ивн ой ш ка ле; 3) тест овые за д а н иявысокого у ровн яслож н ост и (су бт ест С), п ред п ола га ю щие ра звё рн у т ое, логически а ргу м ен т ирова н н ое п исьм ен н ое оф орм лен ие реш ен ия, кот орое оц ен ива ет сяп о орд ин а рн ой п ят иба лльн ой ш ка ле от 0 д о 4 ба ллов. Д о н а ст оящего врем ен и К И М ра зра ба т ыва лись н а осн ове п ред м ет н о - ориен т ирова н н ого п од ход а . Соверш ен ст вова н ие т ест овой т ехн ологии Е Г Э н а м ечен о п ровод ит ь в н а п ра влен ии у силен ияп ра кт ико-ориен т ирова н н ого п од ход а . К И М -ы ст а н овятсяп ед а гогической осн овой м он ит орин га ка чест ва обра зова н ия, а т т ест а ции общеобра зова т ельн ых у чреж д ен ий. К а к н а у чн о - исслед ова т ельский м ет од Е Г Э ест ь м ет од сбора п сихолого-п ед а гогических ф а кт ов. Поэт ом у он п ред у см а трива ет вн ед рен ие ком п ью т ерн ой т ехн ики в п роц есс ст а т ист ической обра ботки и а н а лиз д а н н ых с исп ользова н ием соврем ен н ых п рогра м м STATISTICA, SPSS д ля Windows. С целью у п ра влен ияка чест вом обра зова н иян а ра зличн ых у ровн ях и созд а н ияф ед ера льн ого ин ф орм а цион н ого обра зова т ельн ого п ростра н ст ва созд а н о п ят ь ин ф орм а ц ион н ых ресу рсов, сост а вляю щих целост н у ю ин ф ра ст ру кт у ру . Вн её вход ят : ба за д а н н ых вып у скн иков, сред н их обра зова т ельн ых у чреж д ен ий, у словий обу чен ия; ба за д а н н ых К И М ; ба за резу льт а т ов Е Г Э ; сет ь п еред а чи д а н н ых Е Г Э ; п орт а л ин ф орм а цион н ой п од д ерж ки Е Г Э (http:// ege.edu.ru:8080/ege/portal/map.nsf/map). Г ла вн ый вывод , сд ела н н ый коллегией М ин обрн а у ки России п о резу льт а т а м Е Г Э – 2004, сост оит в т ом , чт о в ход е эксп ерим ен та была п од т верж д ен а исслед ова т ельска ягип от еза о возм ож н ост и н а ф ед ера льн ом у ровн е, во-п ервых, обесп ечит ь госу д а рст вен н ые га ра н т ии объект ивн ост и и н еза висим ост и в ит оговой а т тест а ции вып у скн иков общеобра зова т ельн ых ш кол и п ри орга н иза ции вст у п ит ельн ых исп ыт а н ий а бит у риен т ов в ву зы и ссу зы; а во-вторых, исп ользова т ь резу льт а т ы Е Г Э п ри соверш ен ст вова н ии ст а н д а рт ов общего обра зова н ия, п ри созд а н ии н ового п околен ияу чебн ой и м ет од ической лит ера т у ры. Вча ст н ост и, в эксп ерт н ых м а т ериа ла х, п олу чен н ых Рособрн а д зором , выявлен о, что в ф ед ера льн ом ст а н д а рт е общего сред н его м а т ем а т ического обра зова н ияза лож ен избыт очн ый объё м у чебн ого м а т ериа ла , за выш ен м ин им у м обяза т ельн ых требова н ий, а в м ет од ике оцен ива н ияп исьм ен н ых ра бот вып у скн иков за выш ен о число за д а н ий, реш ен ие которых н еобход им о д ляп олу чен ияп олож ит ельн ой от м ет ки. С целью у чё т а п олн от ы ва рьиру ем ых и н екон т ролиру ем ых ф а кторов ра ссм а т рива ем ый эксп ерим ен т п риобрё л м н оголет н ий ха ра ктер.

7

§1. О С Н О В Н Ы Е П О Л О Ж Е Н И Я П Е Д АГ О Г И ЧЕ С К О Й Т Е О Р И И Е Д И Н О Г О Г О С У Д АР С Т В Е Н Н О Г О ЭК ЗАМ Е Н А 1.1. О пределения теоретическ их понятий Е Г Э п о м а т ем а т ике – н ова торска яэксп ерим ен т а льн а яп ед а гогическа ят ехн ологияп о м он иторин гу ка чест ва м а т ем а т ического обра зова н ия. Пе дагогиче ский м он ит ор ин г– это сист ем а сбора , обра бот ки, а н а лиза , визу а лиза ции, хра н ен ияи ра сп ростра н ен ияоцен очн ой ин ф орм а ции о п ед а гогической сист ем е (и/или её ком п он ен т а х), н а п ра влен н а ян а ин ф орм а цион н ое обесп ечен ие п роцесса у п ра влен ияею . Сф орм у лиру ем оп ред елен ияосн овн ых п он ят ий т еории Е Г Э и ра скроем т еорет ическое сод ерж а н ие н екот орых д ид а кт ических кон цеп ций, кот орые леж а т в ее осн ове. При этом бу д ем оп ира т ьсян а «Проект отра слевого терм ин ологического ста н д а рт а Ц ен тра т ест ирова н ия», оп у бликова н н ый Сервером ин ф орм а цион н ой п од д ерж ки Е Г Э н а стра н ица х Internet п о а д ресу http://www.ege.ru/dict/dict1.htm 1. Пед а гогическа я т ехн ология – это сист ем а н ескольких вза им освяза н н ых, логически и социа льн о-п сихологически у п оряд очен н ых в п рост ра н ст ве и врем ен и п ед а гогических м ет од ов обу чен ия, ра звит ия, восп ит а н ия, ха ра кт еризу ем а я ед ин ой целевой н а п ра влен н ост ью , восп роизвод им ост ью в схож их у чебн о – восп ит а т ельн ых сит у а циях и резу льт а т ивн остью . 2. Е Г Э п о м а т ем а т ике – эт о сист ем а д ву х вза им освяза н н ых м етод ов ф ед ера льн ой оцен ки (м он иторин га ) ка чества м а т ем а т ического обра зова н ия. О н а осу щест вляет сян а осн ове т естового м етод а сп лош н ой итоговой а т т ест а ции 11(12) - кла ссн иков в ф орм е вып у скн ого экза м ен а п о ку рсу «А лгебра и н а ча ла а н а лиза : 10 и 11 кла ссы» и н а осн ове т ест ового м ет од а вход н ой а т т ест а ции с п ослед у ю щим кон ку рсн ым отбором а бит у риен т ов, у ча ст ву ю щих во вст у п ит ельн ых исп ыт а н иях в ву зы и ссу зы п о ку рсу «М а т ем а т ика :5-11 кла ссы». 3. Пед а гогическое изм ерен ие – сист ем а п ра вил п о п рип исыва н ию свойст ва м п ед а гогических объект ов (т екст а м , за д а н иям , у чебн ика м , у ча щим ся, п реп од а ва т елям и т .д .) чисел н а осн ове их крит ериа льн ого сра вн ен ия с н екот орым эт а лон н ым объектом п осред ством исп ользова н ия од н ой из след у ю щих ш ка л (п о кла ссиф ика ции С. Ст ивен са , СШ А , 1951): н ом ин а т ивн ой, орд ин а рн ой, ин т ерва льн ой или от н ош ен ий. 4. Пед а гогическое т ест ирова н ие – это сист ем а п ед а гогических и орга н иза цион н ых м ер, обесп ечива ю щих 1) кон ст ру ирова н ие кон трольн о- изм ерит ельн ых м а т ериа лов (К И М -ов), 2) п роект ирова н ие и п ровед ен ие ста н д а рт изирова н н ой п роцед у ры п о оцен ке п од гот овлен н ост и, ком п ет ен т н ост и (п роф ессион а лизм а ) исп ыт у ем ых (у ча щихся, у чит елей, ру ковод ит елей), а т а кж е 3) ст а т ист ическу ю обра бот ку и гн ост ический а н а лиз резу льта тов. 5. Т ест д ост иж ен ий – п олим орф н ое м н ож ест во за д а н ий, п ред н а зн а чен н ое д лян еза висим ого и объект ивн ого оп ред елен ияу ровн яовла д ен ия(ком п ет ен т н ост и, п роф ессион а лизм а ) исп ыт у ем ым (у чен иком , п ед а гогом , ру ковод ит елем ) оп ред елен н ой обла ст ью зн а н ий, у м ен ий, н а выков (у чебн ых,

8

п ед а гогических, орга н иза т орских). Т ест овое за д а н ие – элем ен т т ест а , его ед ин ица . Вэксп ерим ен т е п о введ ен ию Е Г Э п о м а т ем а т ике (бла н ковый ва риа н т ) с 2001 год а ра злича ю т : 1) гом оген н ые т естовые за д а н ияба зового у ровн яслож н ост и с м н ож ествен н ым выбором п ра вильн ого от вет а из чет ырех дист р акт ор ов(п ред лож ен н ых ва риа н т ов ответ а ); 2) т ест овые за д а н ия от крытого т ип а , п ри вып олн ен ии которых исп ыт у ем ом у н е п ред ла га ю т ся ва риа н т ы от вет ов. Д ляка ж д ого за д а н иясу бт ест а п овыш ен н ого у ровн я слож н ост и п ред у см отрен а возм ож н ост ь вп иса т ь н а сп ец иа льн ом бла н ке лиш ь окон ча т ельн ый кра т кий резу льт а т его вып олн ен ия– от вет . Реш ен ие т ворческих (креа т ивн ых) т естовых за д а н ий из су бт ест а высокого у ровн я слож н ост и обяза т ельн о п ред п ола га ет ра звё рн у т ый от вет , т .е. п олн ое, логически а ргу м ен т ирова н н ое и за кон чен н ое п исьм ен н ое оф орм лен ие. 6. Су бт ест – эт о п од м н ож ест во гом оген н ых за д а н ий, вход ящих в стру кт у ру т ест а , ха ра кт еризу ем ых од н им у ровн ем слож н ост и и д оп у ска ю щих ед ин ообра зн у ю ст а т ист ическу ю обра бот ку и крит ериа льн ый а н а лиз резу льт а т ов. На Е Г Э ра злича ю т три гет ероген н ых п о у ровн ю слож н ост и су бтест а : ба зового, п овыш ен н ого и высокого. На п рим ер, су бт ест А н а Е Г Э п роверяет вла д ен ие ш кольн ика м и обяза т ельн ым м ин им у м ом м а тем а т ического обра зова н ияп о ку рсу «А лгебра и н а ча ла а н а лиза : 10 -11 кла ссы». 7. Ба лл н а Е Г Э - у словн а я ед ин ица д ля эксп ерт н ого оцен ива н ия п ред м ет н ой п од готовлен н ост и ка ж д ого исп ыт у ем ого п о ка ж д ом у за д а н ию н а осн ове ед ин ой, н а п рим ер, 5- или 100-ба лльн ой орд ин а рн ой ш ка лы.. 8. Первичн ый (сырой) т естовый ба лл вып у скн ика н а Е Г Э – эт о су м м а ба ллов, п рисвоен н ых ем у эксп ерт а м и-экза м ен а т ора м и за вып олн ен ие ка ж д ого за д а н ият ест а . 9. Т естовый ба лл н а Е Г Э п о м а т ем а т ике – это окон ча т ельн ый ба лл исп ыт у ем ого, выра ж ен н ый п о ст а н д а рт н ой 100- ба лльн ой ш ка ле н а осн ове т еории 1) м од елирова н ия и п а ра м етриза ц ии п ед а гогических т ест ов (а втор – п роф ессор М Г У Г иК Ю .М .Нейм а н ) и у чит ыва ем ый п ред м ет н ым и ком иссиям и ву зов и ссу зов п ри от боре и за числен ии а бит у риен тов н а п ервый ку рс. 10. О т м ет ка н а Е Г Э п о «А лгебре и н а ча ла м а н а лиза » - это окон ча т ельн ый ба лл вып у скн ика сред н ей п олн ой ш колы п о ку рсу «А лгебра и н а ча ла а н а лиза : 10 – 11 кла ссы», вн осим ый в его а т т ест а т зрелост и и выра ж ен н ый п о ст а н д а рт н ой 5 – ба лльн ой ш ка ле н а осн ове м ет од ики п еревод а п ервичн ых т ест овых ба ллов в от м етки. Ш ка ла п еревод а у ст а н а влива ет ся еж егод н о эксп ерт н о, реш ен ием ра бочей ком иссии п о Е Г Э , ф у н кцион иру ю щей п ри М ин обрн а д зоре. 1)

Нейм а н Ю .М . О сн овн ые п рин цип ы выст а влен ият ест ового ба лла п о резу льт а т а м Е Г Э 2002 год а : http: // www.ege.ru/technology/ball_ege2003.html

9

11. Тру д н ость (реа льн а я) тестового за д а н ия– это п роцен т н еп ра вильн ых от вет ов п ри его реа льн ом вып олн ен ии во всей реп резен т а т ивн ой выборке исп ыт у ем ых и п од счит ыва ем ый п осле п олу чен ияокон ча т ельн ой ин ф орм а ции из ген ера льн ой совоку п н ост и «п илот н ых» ш кол, у ча ст вова вш их в п ед а гогическом эксп ерим ен т е. Т ру д н ость i-ого т ест ового за д а н ия– его су бъект ивн а яха ра кт ерист ика . О н а м ож ет быт ь выра ж ен а в д олях ед ин ицы ка к n от н осит ельн а яча ст от а н еп ра вильн ых ответ ов: 0 ≤ i ≤ 1, гд е n – объем выn борки исп ыт у ем ых, n i – а бсолю т н а яча ст от а н еп ра вильн ых от вет ов н а i – т ое за д а н ие т ест а . А вт оры К И М п еред п ровед ен ием Е Г Э д оп олн ит ельн о ввод ят гип от ет ический (ож ид а ем ый) п ока за т ель п ла н иру ем ой т ру д н ост и за д а н ий в ка ж д ом су бт ест е. 12. Слож н ост ь т ест ового за д а н ия– эт о число элем ен т а рн ых ед ин иц зн а н ия, объект ивн о н еобход им ых д ляего а ргу м ен т ирова н н ого вып олн ен ия. Ч а сто слож н ост ь за д а н ияоцен ива ет сяэксп ертн ым м етод ом , а согла сова н н ост ь м н ен ий эксп ертов обосн овыва ет сяс п ом ощью коэф ф ициен т а кон корд а ции К ен д эла . 13. К оэф ф ициен т обу чен н ост и п о п ред м ет у – эт о п роцен т у ча щихся, вып олн ивш их у чебн ый п ла н н а п олож ит ельн у ю от м етку . 14. К оэф ф ициен т ка чества обу чен ияп ред м ет у – эт о п роцен т у ча щихся, вып олн ивш их у чебн ый п ла н н а «хорош о» (4) или «от личн о» (5).

1.2. Д идак тическ ая теория Выд еляю т сяд ве осн овн ые т еории, регу лиру ю щие исслед ова т ельску ю д еят ельн ость а второв п ри эксп ерим ен т а льн ом п роект ирова н ии Е Г Э . 2) 1. Ур овн е вая т е ор ия обуче н ия п о В.П. Бе сп ал ько. С п озиции этой т еории в п роц ессе обу чен иям а т ем а т ике м ож н о выд елит ь чет ыре п рин цип иа льн о д ост иж им ых у ровн яу своен ияод н ого и т ого ж е п ред м ет н о - т ем а т ического сод ерж а н ия. I ур ове н ь – ур ове н ь зн ан ий -зн аком ст в. У чен ик в сост оян ии ра сп озн а т ь, у зн а т ь, ра зличить объект ы п озн а н ия, соверш а яа кт ы н а гляд н о-обра зн ого или н а гляд н о-д ейст вен н ого м ыш лен ия. II ур ове н ь – ур ове н ь зн ан ий -коп ий . У чен ик в сост оян ии словесн о, д екла ра т ивн о восп роизвест и у чебн о-н а у чн у ю ин ф орм а цию обобъект е у своен иян а у ровн е п а м ят и или п он им а н ия, п роявляяд иа п а зон и ка чест во своего верба льн ого ин т еллект а и реп род у кт ивн ой у чебн о-м а т ем а т ической д еят ельн ост и п ри реш ен ии н екот орых за д а ч ба зового у ровн яп рогра м м ы. 2)

Бесп а лько В.П. Програ м м ирова н н ое обу чен ие: д ид а кт ические осн овы. – М .: Высш а яш кола , 1970. – 300 с.

10

III ур ове н ь – ур ове н ь зн ан ий -ум е н ий . У чен ик ха ра кт еризу ет сяст еп ен ью овла д ен ияп роцед у рн ым и зн а н иям и п о п рим ен ен ию у своен н ой ин ф орм а ции в зн а ком ых у чебн ых сит у а циях в за висим ост и от п олн от ы ориен т ировоч н ой осн овы д ейст вий п о реш ен ию за д а ч ба зового и п овыш ен н ого у ровн яслож н ост и. IV ур ове н ь – ур ове н ь зн ан ий -т р ан сфор м аций . У чен ик в сост оян ии вест и эврист ическу ю у чебн о-м а т ем а т ическу ю д еят ельн ост ь, п роявляясп особн ость гибко и са м остоят ельн о ком бин ирова т ь д екла ра т ивн ые и п роцед у рн ые зн а н ияв н езн а ком ых за д а чн ых сит у а циях п овыш ен н ого и высокого у ровн яслож н ост и, д ост ига яв н их су бъект ивн о или объект ивн о н ового резу льт а т а . Вт еории В.П. Бесп а лько н а ш ла отра ж ен ие гип от еза ф ра н цу зского п сихолога и п ед а гога Ж . Пиа ж е о п оэт а п н ом ф орм ирова н ии зн а н ий и п реобра зова н ии их п о ш ка ле т ру д н ост и в н екот ору ю иера рхию зн а н ий - н а выков. При кон ст ру ирова н ии кон трольн о-изм ерит ельн ых м а т ериа лов д ля Е Г Э а вт оры обычн о вклю ча ю т в т ест за д а н иян а п роявлен ие II, III и IV из ра ссм от рен н ых у ровн ей. И х у чет – од н о из п роявлен ий д еят ельн ост н ого 3) п од ход а в орга н иза ции соврем ен н ой т ехн ологии ит огового кон троля у ча щихсяп о м а т ем а т ике. 2.Те ор ия м оде л ир ован ия и п ар ам е т р изации п е дагогиче скихт е ст ов п р офе ссор а Ю .М . Н е й м ан а (М ГУГК) 4). Г ла вн а яцель т еории – м а т ем а т икост а т ист ически обосн ова т ь объект ивн ост ь в т естовом ба лле ин д ивид у а льн ого у ровн яп од гот овлен н ост и ка ж д ого вып у скн ика . Э т а объект ивн ость м ож ет быт ь д ост игн у т а , п о кра йн ей м ере, трем яп у т ям и: высоким ка чест вом К И М -ов, сост а влен н ых оп ыт н ым и п ед а гога м и – - п роф ессион а ла м и; м а т ем а т ически обосн ова н н ой м етод икой ш ка лирова н ия, сост оящей в п рип исыва н ии у ровн ю д ост иж ен ий у ча щихся(и, косвен н о, п реп од а ва т елей) числовых зн а чен ий, и н а кон ец, ком п ью териза цией т ехн ологии ст а т ист ической обра бот ки резу льт а т ов Е Г Э . Са м ым т ру д н ым м ом ен т ом п роф . Ю .М . Нейм а н н а зыва ет вт орой из п еречислен н ых м ом ен т ов. Не слу ча йн о он от м еча ет , чт о н у ж н ы серьезн ые у силиям а т ем а т иков, чтобы госу д а рст вен н а я а кцияим ела серьезн ое н а у чн ое обосн ова н ие. Вт еории п а ра м ет риза ции Ю .М . Нейм а н исход ит из д ву х осн овн ых п осылок. 1)Резу льт а т т ест ирова н ияп о ка ж д ом у за д а н ию д олж ен за висет ь ка к от у ровн явып олн ен ия, т а к и от у ровн яего т ру д н ост и. 3)

Е п иш ева О .Б. Т ехн ологияобу чен иям а т ем а т ике н а осн ове д еят ельн ост н ого п од ход а . – М .: Просвещен ие, 2003. – 223 с. 4) Нейм а н Ю .М . О сн овн ые п рин цип ы выст а влен ият ест ового ба лла п о резу льт а т а м Е Г Э 2002 год а : http: //www.ege.ru/technology/ball_ege2003.html

11

2) При выст а влен ии общего т ест ового ба лла вып у скн ику /а бит у риен т у н еобход им о п рин им а т ь в ра счет число и тру д н ость п ра вильн о и н еп ра вильн о вып олн ен н ых им за д а н ий. На сегод н яш н ий д ен ь в м ет од ике ш ка лирова н ияу д а лось обесп ечит ь д ва м ом ен т а : а ) ра вен ст во т естовых ба ллов (п о 100-ба лльн ой ш ка ле) у экза м ен у ю щихся, н а бра вш их од ин и т от ж е п ервичн ый (сырой) ба лл; и б) м он от он н у ю у п оряд очен н ость в ф орм е н елин ейн ой м од ели за висим ост и т ест ового ба лла от п ервичн ого: больш ем у п ервичн ом у ба ллу соот вет ст ву ет больш ий т естовый ба лл. К а кие н ереш ен н ые п роблем ы вид ит п роф ессорЮ .М . Нейм а н ? На зовё м их. 1. При выста влен ии т естового ба лла сегод н ян е у ка зыва ет сяп огреш н ость вып олн ен н ого п ед а гогического изм ерен ия, н а п рим ер, в ф орм е д оверит ельн ого ин т ерва ла , в кот ором н а ход ит сяист ин н ое зн а чен ие у ровн яп ред м ет н ой п од готовлен н ост и экза м ен у ю щегося. 2. Т а кие свойст ва тестовых за д а н ий, ка к их т ру д н ост ь, д иф ф ерен циру ю ща я сила п ри ра збиен ии исп ыт у ем ых, за ра н ее, д о п ровед ен ияЕ Г Э н еизвест н ы. 3. К орот ким (из 30 за д а н ий), 4-ча совым т естом н а Е Г Э п о м а т ем а т ике, н е у д а ё т сяод ин а ково н а д еж н о, п рием лем о и коррект н о оцен ит ь у чебн ые д ост иж ен иявып у скн иков ра зн ого у ровн яп од гот овлен н ост и, обу ча вш ихся, н а п рим ер, в ш кола х коррекцион н ого ра звит ияи в ш кола х с м а т ем а т ическим у клон ом . И х т ест овые ба ллы п олу ча ю т сяс ра зн ым и зн а чен иям и д оверит ельн ой вероят н ост и. И сслед ова н ие Ц Т п ока за ло, н а п рим ер, чт о д ля обесп ечен ияза д а н н ой д оверит ельн ой вероят н ост и p = 0,9 в лю бом д иа п а зон е ш ка лы изм ерен ий п ри извест н ом за ра н ее ра збросе зн а н ий (д исп ерсии) в т ест е д олж н о быт ь около 180 за д а н ий. К он ечн о, т а кой т ест эргологически н евозм ож ен хот ябы п о са н ит а рн о-гигиен ическим т ребова н иям . К том у ж е «сверхд лин н ый у н иверса льн ый » т ест д лявсех бессм ыслен ен . Г ла вн ый вывод п роф ессора Ю .М . Нейм а н а состоит в том , что н еобход им о п ереход ить н а м н огоэт а п н ые п роцед у ры т ест ирова н ияс 5-го п о 11ый кла сс (п ричё м 5-6 ра з в год у ). Т олько д лит ельн ые лон гитю д н ые п ед а гогические н а блю д ен ияза у чебн ым и д остиж ен иям и ш кольн иков м огу т быт ь осн овой госу д а рст вен н ой а кции п о п рием у в ву з. Пед а гогический эксп ерим ен т п о введ ен ию Е Г Э п о м а т ем а т ике п род олж а етсяи ра звива ет сяв общен а ц ион а льн ом м а сш т а бе. Ч а ст н о - м ет од ический а сп ект т еории Е Г Э п о м а т ем а т ике н а м и обзорн о ра скрыт в слд у ю щем п а ра гра ф е.

12

§2. М етодическ иеприм еры к онтрольны х из м ерительны х м атериалов Ра ссм от рим м ет од ические обра зцы п олн ого реш ен иян а у роке т ест овых за д а н ий т рё х у ровн ей слож н ост и: ба зового (А ), п овыш ен н ого (B), высокого (С), эксп ерим ен т а льн о п ред ла га вш ихсян а Е Г Э в ра зн ые год ы. 2.1 Задания базовог оуровня слож ности Задача А15 (дем оверсия Е Г Э-2003). Д ляф у н кции y = 2cosx н а йд ит е π 2

п ервообра зн у ю , гра ф ик кот орой п роход ит через точку M = ( ; 24). Ва риа н т ы от ветов: 1) Y = 2sinx +24 3) Y = – 2sinx + 26 2) Y = 2sin x+22 4) Y = 2cosx + 22 Р ешениена основетаблицы первообраз ны х 1) М н ож ество всех п ервообра зн ых д ляд а н н ой н еп рерывн ой н а R ф у н кции ест ь F(х) = ∫ 2 cos xdx = 2sin x + C д лялю бого x ∈ R. 2) Т а к ка к гра ф ик иском ой п ервообра зн ой Y п роход ит через точку π π π M( ;24),то вып олн яет сяра вен ст во F( ) = 24 , т .е. 2sin( ) + C = 24 , от 2 2 2 ку д а C=24 – 2·1 = 22 . Поэтом у Y = 2sinx + 22 . Пр авил ьн ы й от ве т – вт ор ой : 2) . М е т одиче ский ком м е н т ар ий . В2003 год у орга н иза т ора м и Е Г Э п рогн озирова лись сред н ие за тра т ы врем ен и н а вып олн ен ие ка ж д ого за д а н иясу бт ест а А (ба зовый у ровен ь слож н ост и) в объем е t ≈ 2,8 м ин у т ы. Ц ен а п ра вильн ого от вета за ка ж д ое за д а н ие су бт ест а А п ред у см а трива ла сь ра вн ой 1 ба ллу п ри п ервичн ой оц ен ке п исьм ен н ых ра бот вып у скн иков. ЗадачаА16 (дем оверсия Е Г Э-2003). При д виж ен ии т ела п о п рям ой ра сст оян ие S (в м етра х) от н а ча льн ой точки д виж ен ия изм ен яет сяп о за кон у t3 S(t) = – t2 + t – 1 3 (t– врем яд виж ен ияв секу н д а х). На йд ит е скорост ь (м /c) через 4 секу н д ы п осле н а ча ла д виж ен ия. Ва риа н т ы от ветов: 1) 1,75 2) 7,5 3) 3 4) 9 Р ешениена основеф из ическ ог осм ы сла произ водной И звест н о, чт о если S(t) – за кон п рям олин ейн ого д виж ен ият ела , т о п роизвод н а яS'(t) выра ж а ет м гн овен н у ю скорост ь в м ом ен т врем ен и t, п рош ед ш ий от н а ча ла д виж ен ия, т .е. V(t) = S′(t). t3 Вд а н н ом слу ча е V(t) = ( – t 2 + t – 1)′= t 2 – 2t + 1 = (t – 1) 2 , п оэт ом у 3 2 2 V(4) = (4 – 1) = 3 = 9 (м /с). Пр авил ьн ы й от ве т – че т ве р т ы й : 4)

13

2.2. Задания повы шенног оуровня слож ности ЗадачаВ 1 (дем оверсия Е Г Э-2003). Пу ст ь ( x ; y ) – реш ен ие сист ем ы 0 0   25 − 10 x + x 2 + y = 4,   y − 3x + 11 = 0.

На йд ит е п роизвед ен ие x ·y . 0 0 Р ешением етодом равносильны х переходов, с прим енением м етода подстановк и Г ла вн а яид ея вып олн ен ияза д а н ияВ1 сост оит в т ра д иц ион н ом реш ен ии а лгебра ической систем ы, н а хож д ен ии ( x ; y ) и п ослед у ю щем вычисле0 0 н ии п роизвед ен ия x ·y д ляза п иси кра т кого ответа в п рила га ем ый бла н к 0 0 от вет ов. Всп ом ога т ельн а яид ея: a 2 = a . И м еем :   5 − x = 4 − y,  5 − x = 15 − 3x,  (5 − x )2 + y = 4, ⇔  ⇔  ⇔   y = 3x −11;  y = 3x −11;  y = 3x −11; 5 − x ≥ 0 ( сл е дст вие ) ,   5 − x = 3 ( 5 − x ) ,  x = 5, ⇔  ⇔ 5 − x = 3( 5 − x ) , ⇔   y = 3x −11;  y = 4.  y = 3 x − 11; 

И та к, реш ен ие д а н н ой сист ем ы ( x ; y ) =(5;4). Поэт ом у x ·y =5 · 4=20. 0 0 0 0 О т ве т : 20. М е т одиче ский ком м е н т ар ий . В 2003 год у орга н иза тора м и Е Г Э п рогн озирова лись сред н ие за т ра т ы врем ен и н а вып олн ен ие за д а н ий су бт ест а „В“ (п овыш ен н ый у ровен ь слож н ост и) в объё м е t ≈ 9 м ин . Ц ен а п ра вильн ого от вет а за ка ж д ое за д а н ие су бт ест а „В“ п ред у см а трива ла сь ровн ой 1ба ллу п ри п ервичн ой оцен ке п исьм ен н ых ра бот . Задача B5 (дем оверсия Е Г Э-2003). Пу ст ь x 0 - н а им ен ьш ий п олож ит ельн ый корен ь у ра вн ен ия cos2 x − 5sin x cos x + 2 = 0. На йд ите tg x . 0 Р ешением етодом равносильны х переходов с прим енением г раф ическ их способов отбора к орней 1)Т а к ка к в О Д З исход н ого у ра вн ен ияcos x ≠ 0 , то, п рим ен яя д ве триго1 2tgx н ом ет рические ф орм у лы: cos2 x = и sin 2 x = , 1 + tg 2 x 1 + tg 2 x н е изм ен яю щие О Д З исход н ого у ра вн ен ия, п олу чим ра вн осильн ое у ра вн ен ие, кот орое п реобра зу ем след у ю щим обра зом : tgx = 1, 1 5tgx − + 2 = 0 ⇔ 2tg 2 x − 5tgx + 3 = 0 ⇔  tgx = 3/ 2. 1 + tg 2 x 1 + tg 2 x

14

2)Г ра ф ический от борп олож ит ельн ого н а им ен ьш его корн я x и вычис0 лен ие tgx . 0 1 способ: использ ованиетриг оном етрическ ог ок руг а (слайд N 1) И зобра зим н а т ригон ом етрическом кру ге м н ож ест во корн ей, п олу чен н ое н а п ред ыд у щем ш а ге и состоящее из д ву х п од м н ож ест в, обозн а чен н ых т очка м и “m” и “ж ”. На кру ге визу а льн о н а йд ем н а им ен ьш ий п олож ит ельπ н ый корен ь исход н ого у ра вн ен ия x = . Поэт ом у tgx = 1 . 0 4 0

Y tg x ж

Џ!!!

m

1 3 ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ 13

-1

Џ!!Џ!!! ж

m

p ЂЂЂЂЂ 4

1 2 - ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ - ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ 2 13

m

ж

0

Џ!!!Џ!!

2 1 ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ Ђ 13 2

11

X

Џ!!!

3 - ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ 13 -1

С лайд № 1 к урок у алг ебры и м атем атическ ог оанализ а в 10 к лассе.

О т ве т : 1 .

15

2 способ: использ ованиеэск из а г раф ик а ф унк ции y = tg x (слайд N 2) И зобра зим в од н ой коорд ин а т н ой п лоскост и xО y д ляx > 0 гра ф ики т рех ф у н кций y = tgx , y = 1 , y = 1.5 . Сред и т очек п ересечен ията н ген соид ы 1 2 3 с п рям ым и y = 1 и y = 3/ 2 визу а льн о н а йд ем точку с п олож ит ельн ой 2 3 π н а им ен ьш ей а бсциссой x = . Поэт ом у tgx = 1 . 0 4 0

Y y=tgx

2

HL

y=1.5

p ЂЂЂЂЂ ;1 4

y=1

0

p - ЂЂЂЂЂ 2

p 0.5 ЂЂЂЂЂ 4 3 arctg ЂЂЂЂЂ 2

p ЂЂЂЂЂ 2 2

X 2.5

p

5 4.5 3 ЂЂЂЂЂp ЂЂЂЂЂ p 4 2 3 arctg ЂЂЂЂЂ +p 2

-1

С лайд № 2 к урок у алг ебры и м атем атическ ог оанализ а в 10 к лассе О т ве т : 1.

16

ЗадачаВ 10 (дем оверсия Е Г Э-2003). Площа д ь т реу гольн ика ABC ра вн а 20 3 . На йд ит е AC , если сторон а AB ра вн а 8 и он а больш е п оловин ы ст орон ы AC , а м ед иа н а ВМ ра вн а 5.

B a

c= 8

A

hb

mb= 5

H M

C

С лайд № 3 к урок у планим етриив 9 к лассе. 1 способрешения алг ебраическ им м етодом Восн ове реш ен иялеж а т д ва элем ен т а рн ых у т верж д ен ия. У т верж д ение 1.М ед иа н а т реу гольн ика ра збива ет его н а д ва ра вн овеликих т реу гольн ика . Доказат е л ьст во. Т а к ка к S ∆ABM =

AM ⋅ BH CM ⋅ BH , S ∆CMB = , гд е AM = MC 2 2

(п о у словию ), т о S ∆А ВМ = S ∆С МВ . Ч . тр. д . У т верж д ение 2. Площа д ь треу гольн ика А ВС ра вн а

2 1 2 2  а2 + в2 − с 2  а в −  . 2 2   Доказат е л ьст во. По ф орм у ле Сн еллиу са (Г олла н д ия, 1580-1626) 1 аb sin C ab ab S ∆А ВС = = sin 2 C = 1 − cos2 C = (ab)2 − (ab cos C )2 . 2 2 2 2 a 2 + b2 − c 2 И з т еорем ы косин у сов след у ет , чт о cos C = . 2ab 2 1 2 2  а2 + в2 − с 2  Поэт ом у S∆А ВC = а в − . Ч . тр. д .  2 2   S∆А ВC =

17

Алг ебраическ оем оделированиез адачной ситуации: 1) Введ ен ие н еизвест н ой величин ы. Пу ст ь А М = x, гд е из у словия след у ет , что 0 < x < 8. Тогд а А С = 2x. 2) Т а к ка к S∆А ВC = 20 3 , т о п о у т верж д ен ию 1 S∆А ВM = 10 3 . 3) Сост а влен ие а лгебра ического (ирра цион а льн ого) у ра вн ен ия. По у т верж д ен ию 2 д ля ∆ А ВМ им еем у ра вн ен ие: 2 1 2 2  82 + 52 − x2  10 3 = , гд е 0 < x < 8. 8 ⋅5 − 2 2   



4) Реш ен ие ирра цион а льн ого у ра вн ен иям ет од ом ра вн осильн ых п реобра зова н ий (п ри 0 < x < 8): 2 2 89 − x2  89 − x 2   20 3 = 1600 −  ⇔ 400· 3 = 1600 – ⇔ 2   4

(



)



(

⇔ 3·1600 = 4· 1600 - 89 − x2

)

2

⇔

(

89 − x2

)

2

= 1600 ⇔ 89 − x2 = 40

(т а к ка к 0 < x < 8, то 0 < x 2 < 64 < 89 и 89 – x 2 >0) ⇔ 89 - x 2 = 40 ⇔ x>0 x 2 = 49 ⇔ x = 7 ⇔ x = 7 . Поэт ом у А С = 2x = 14 . О т ве т : 14 . 2 способрешения поэтапно-вы числительны м м етодом 1) Введ ен ие д ву х н еизвест н ых величин . Пу ст ь А М = М С = x , ∠ А ВМ = α , гд е 0 < α < π . Т огд а иском а явеличин а А С = 2x , гд е 0 < x < 8 . 2) Т а к ка к S ∆А ВМ = 20 3 , т о п о у т верж д ен ию 1 S ∆А ВМ = 10 3 . 3) Сост а влен ие т р игон ом е т р иче ского ур авн е н ия . По ф орм у ле Сн еллиу са S' =

А В⋅ ВМ ⋅ sinα 8⋅ 5 ⋅ sinα = = 20⋅ sinα , гд е 0 < α < π . Поэт ом у д ля 2 2

н а хож д ен ияα им еем у ра вн ен ие (0 < α < π) : α = π / 3, 3 20 sinα = 10 3 ⇔ sinα = ⇔  2 α = 2π / 3. 4) Сост а влен ие ал ге бр аиче ского ур авн е н ия н а осн ове п рим ен ен ият еорем ы косин у сов к вычислен ию сторон ы А М т реу гольн ика А ВМ : А М 2 = А В2 + ВМ 2 – 2А В·ВМ ·cosα ⇔ x 2 = 8 2 + 5 2 – 2·8·5·cosα ⇔ x 2 = 89 – 80 cosα , гд е 0 < x < 8. π 1 1 слу ча й: α = π/3 . Т огд а cosα = cos = и x 2 = 89 – 40 , от ку д а 3 2 x = 7 . Т а к ка к x > 0 , т о x = 7 и А С = 2x = 14 . 1 2 слу ча й: α = 2π/3 . Т огд а cos α = cos (2π/3) = – и x 2 = 89 + 40, отку д а 2

x 2 =129. Та к ка к 0 < x < 8 , т о 0 < x 2 < 64 и п оэт ом у у ра вн ен ие x 2 =129 н е им еет реш ен ий в своей обла ст и оп ред елен ия. О т ве т : 14.

18

2.3. Задания вы сок ог оуровня слож ности ЗадачаС 1 (дем оверсия Е Г Э-2003) . Реш ит е у ра вн ен ие 6   2   3  = log 12  −  +3 . 2log 12  x +  x −5  x − 2 x − 3 Р ешением етодом равносильны х переходов За м ет им , чт о п ри вып олн ен ии эт ого за д а н иявып у скн ики п отеряли экза м ен а ц ион н ое врем я, п отороп ивш ись п от ен цирова т ь у ра вн ен ие, н а ход ит ь его О Д З. 1)Преобра зу ем выра ж ен ия, ст оящие п од зн а ка м и лога риф м ов, п ривед яих к общем у осн ова н ию : 6 x 2 − 5 x + 6 ( x − 2 )( x − 3) = = ; x+ x −5 x−5 x −5 3 2 3x − 9 − 2 x + 4 x −5 − = = . x −2 x −3 ( x − 2 )( x − 3) ( x − 2 )( x − 3) Т а к ка к в О Д З у ра вн ен ияx ≠ 2 , x ≠3 ,x ≠5 , т о в О Д З −1  ( x − 2 )( x − 3)  x −5 . =  x −5 ( x − 2 )( x − 3)   2)Полу ча ем у ра вн ен ие, ра вн осильн ое д а н н ом у : ( x − 2 )( x − 3) = – log ( x − 2 )( x − 3) +3 ⇔ 3log ( x − 2 )( x − 3) = 3 2log 12 12 12 x −5 x −5 x −5 ( x − 2 )( x − 3) = 1 ⇔ ( x − 2 )( x − 3) = 12 ⇔  x2 − 5 x + 6 = 12( x − 5), ⇔ ⇔ log 12  x −5 x −5  x ≠ 5;  x 2 − 17 x + 66 = 0,  x = 6, ⇔  ⇔   x = 11.  x ≠ 5;

О т ве т : 6;11. ЗадачаС 2 (дем оверсия Е Г Э-2003) . При ка ких зн а чен иях п а ра м етра a x

у ра вн ен ие 15 * 10 – 20 = a – a ·10 x+1 н е им еет корн ей? Р ешением етодом исчерпы ваю щ ег оперебора случаев Преобра зу ем д а н н ое у ра вн ен ие, у ед ин ив член ы, сод ерж а щие н еизвест н у ю в его левой ча ст и: 15 ·10 x + 10а · 10 x = а + 20 ⇔ (15 + 10а ) · 10 x = а + 20 . Введ ян ову ю н еизвест н у ю t = 10 x , кот ора яп олож ит ельн а п о свойст ву п ока за т ельн ой ф у н кции, п олу чим лин ейн ое от н осит ельн о t > 0 у ра вн ен ие (15 + 10а ) · t = a + 20 с п а ра м етром a . Поэтом у за д а ча свод ит ся(п е р е фор м ул ир уе м е ё) к н а хож д ен ию т ех зн а чен ий п а ра м ет ра a, п ри кот орых лин ейн ое у ра вн ен ие либо вообще н е им еет корн ей, либо им еет н еп олож ительн ые корн и (t ≤0).

19

1 сл учай . Л ин ейн ое у ра вн ен ие вид а А · t = Вн е им еет корн ей t , если  А = 0, . Поэтом у п ост роен н ое лин ейн ое у ра вн ен ие н е им еет корн ей, если  В ≠ 0 15 + 10a = 0, т .е. п ри a = – 1,5, кот орое войд ё т в ответ.   a + 20 ≠ 0; 2 сл учай . Л ин ейн ое у ра вн ен ие вид а А ·t = Вим еет ед ин ст вен н ый н еп олож и А ≠ 0, т ельн ый корен ь t , если  Поэтом у д лян а хож д ен ияп а ра м ет ра a  В / А ≤ 0. им еем сист ем у : 15 + 10a ≠ 0,  a ≠ −1,5,  ⇔  ⇔ – 20 ≤a < – 1,5 .  a + 20 (a + 20)(a + 1,5) ≤ 0; 15 + 10a ≤ 0;  При реш ен ии вт орого н ера вен ст ва сист ем ы был п рим ен ен м етод ин т ерва лов (ка к ф орм а общего м етод а исчерп ыва ю щего п еребора слу ча ев). 3 сл учай . Л ин ейн ое у ра вн ен ие вид а А ·t = Вим еет бесчислен н ое м н ож ество  А = 0, корн ей, если  Но это у словие д а ет д ляп ост роен н ого лин ейн ого  В = 0. у ра вн ен ияп у ст ое м н ож ест во зн а чен ий п а ра м ет ра a. Д ейст вит ельн о, 15 + 10a = 0,  a = −1,5, чего быт ь н е м ож ет . ⇔    a + 20 = 0.  a = −20, О бъед ин им резу льт а т ы исслед ова н ияс п ом ощью п а ра м ет рической оси а :

t=0 t>0 – 20

t≤0

Ǿ t>0 – 1.5

a

О т ве т : [− 20;−1,5]. М е т одиче ский ком м е н т ар ий . В2003 год у орга н иза т ора м и Е Г Э п рогн озирова лись сред н ие за тра т ы врем ен и н а вып олн ен ие ка ж д ого за д а н иясу бт ест а высокого у ровн яслож н ост и в объем е t ≈ 26 м ин . О т м ет ка за реш ен ие ка ж д ого из чет ырех за д а н ий трет ьей ча ст и т ест а м огла быт ь п ри п ервичн ой оцен ке п исьм ен н ых ра бот вып у скн иков в д иа п а зон е от 0 д о 4 ба ллов.

20

ЗадачаС 3 (дем оверсия Е Г Э - 2003). О сн ова н ие п ира м ид ы MABCD – 0

ром б ABCD , в кот ором ∠ A = 60 . Все д ву гра н н ые у глы п ри ребра х осн ова н ияп ира м ид ы ра вн ы. Плоскост ь α , п а ра ллельн а яп лоскост и осн ова н ияп ира м ид ы , п ересека ет высот у М О п ира м ид ы в т очке P т а к , что MP : PO = 2 : 3. Вобра зова вш у ю сяу сечен н у ю п ира м ид у вп иса н цилин д р, ось кот орого леж ит н а высот е п ира м ид ы , а верхн ее осн ова н ие вп иса н о в сечен ие п ира м ид ы п лоскост ью α. На йд ит е объем п ира м ид ы , если объем ц илин д ра ра вен 9π 3 . Р ешениек ом бинированны м м етодом 1. О боснованиеиз ображ ения. 1) Провед ё м (м ыслен н о) из верш ин ы М в ка ж д ой боковой гра н и д а н н ой п ира м ид ы (сла йд N4) MABCD ее высот у . Т а к ка к все д ву гра н н ые у глы п ри ребра х осн ова н ияп ира м ид ы MABCD ра вн ы м еж д у собой , т о п роекции п остроен н ых ра вн ых м еж д у собой высот боковых гра н ей н а осн ова н ие п ира м ид ы т ож е ра вн ы. Поэтом у осн ова н ие О высот ы М О ест ь цен трокру ж н ост и, вп иса н н ой в осн ова н ие А BCD п ира м ид ы. Т а к ка к ABCD – ром б п о у словию , т о О есть точка п ересечен ия его д иа гон а лей (сла йд N5). Провед яв ром бе ABCD из т очки О п ерп ен д ику лярк сторон е AD , п олу чим изобра ж ен ие ра д иу са О Е вп иса н н ой в н его окру ж н ост и (сла йд ы N4 и N5). 2) Т а к ка к п лоскост ь α п а ра ллельн а п лоскост и осн ова н ияABCD п ира м ид ы, т о в сечен ии обра зу етсяром б A 1 B1 C 1 D 1 , п од обн ый (гом от ет ичн ый с цен т ром М ) ром бу ABCD с коэф ф ициен т ом п од обия (гом от ет ии) AD A P MP 2 = . Поэтом у от н ош ен ие ра д иу сов r и R окру ж н оk= 1 1 = 1 = AD AO MO 5 ст ей , вп иса н н ых соответствен н о в ром бы A 1B 1C 1D 1 и ABCD , ест ь r PE1 2 = = . R OE 5

2. Алг ебраическ оем оделирование. 1) Введ ё м обозн а чен ия. Пу ст ь ст орон а А Вром ба А ВСD , являю щегосяосн ова н ием п ира м ид ы М А ВСD , есть a , её высот а М О = Н . Т а к ка к п лоща д ь 0 а2 3 , т о иском ый объё м ром ба А ВСD ра вн а : S ABCD = a 2 Sin60 = 2 a2 H 3 1 1 а2 3 п ира м ид ы ест ь: V MABCD = S осн . ·H = · ·H = . Поэтом у 3 3 2 6 за д а ча свела сь к вычислен ию величин ы a 2 H.

21

4-У Г О Л Ь Н АЯ П И Р АМ И Д А В ЗАД АЧЕ С 3 Д Е М О В Е Р С И И Е Г Э-2003 M

B1

C1 P

A1

D1

B

C B2

C2 O

A2 A

D2 E

D

С лайд № 4 к урок у стереом етрии в 11 к лассе (вы полнен в к ом пью терной систем е« Mathematica-5»).

B

C

p ЂЂЂЂЂ

3

O

a

p ЂЂЂЂЂ

p ЂЂЂЂЂ

6

6

p ЂЂЂЂЂ

a 2

ЂЂЂЂЂ

6

A

E

D

С лайд № 5 к урок у стереом етрии в 11 к лассе.

22

2) Сост а влен ие ал ге бр аиче ского ур авн е н ия д лян а хож д ен ияa 2 H . а ) Та к ка к п о у словию объё м д а н н ого цилин д ра ра вен Vц = 9 π 3 ,т о п олу чим ра вен ст во π r 2 ·h = 9 π 3 , отку д а r 2 h = 9 3 , гд е r – ра д иу с осн ова н ия, а h – высот а цилин д ра . Выра зим r и h через a и H. б) Т а к ка к от н ош ен ие ра д иу сов окру ж н ост ей , вп иса н н ых в п од обн ые ром бы A 1 B 1 C 1 D 1 и ABCD, ра вн о коэф ф иц иен т у п од обия, то им еем ра вен ст во

r 2 = , гд е R = О Е – ра д иу с окру ж н ост и , вп иса н н ой в осн ова н ие R 5

ABCD п ира м ид ы (сла йд N5). Но в п рям оу гольн ом т реу гольн ике О Е D с π a π a 3 a 3 и О D = : О Е = R = OD·cos = · = . Поэт ом у 6 2 6 2 2 4 2 2 a 3 a 3 r= R = ⋅ = . 5 5 4 10 MP 2 h 3 3 = , то = , от ку д а h = H . в) Т а к ка к п о у словию PO 3 H 5 5 ∠Е ОD =

г) Т а к ка к r 2 h = 9 3 , то д лян а хож д ен ияa 2 H им еем у ра вн ен ие 3a2 3H ⋅ = 9 3 (см . эт а п 2а ), из которого a 2 H = 500 3 . 100 5 3) Поэт ом у иском ый объем п ира м ид ы V MABCD =

500 ⋅ 3 ⋅ 3 = 250 . 6

О т ве т : 250. Задача С 4 (дем оверсия Е Г Э-2003). На йд ит е все п олож ит ельн ые зн а чен ияп а ра м ет ра а, п ри кот орых в обла ст и оп ред елен ияф у н кции

у=

1 а х− а ах+2

ест ь д ву зн а чн ые н а т у ра льн ые числа , н о н ет н и од н ого трё хзн а чн ого н а т у ра льн ого числа . Р ешением етодом исчерпы ваю щ ег оперебора случаев попарам етру а Ι этап. О бла ст ь оп ред елен ияD(y) д а н н ой ф у н кции оп исыва ет сян ера вен ст вом ax > aax+2 , гд е a > 0 п о у словию . Вза висим ост и от осн ова н ияа ра ссм отрим 3 слу ча я. 1 случай. Пу сть а=1. Т огд а н ера вен ст во д ляобла ст и оп ред елен ияD(y) п рин им а ет вид 1 > 1, чт о лож н о. Поэт ом у п ри а = 1 обла ст ь D(y) п у ст а и а = 1 н е у д овлет воряет требова н ию за д а чи. x 2 случай. Пу сть а > 1. Т огд а п ока за т ельн а яф у н кц ияy = a возра ст а ю ща я и н ера вен ство д ляD(y) ра вн осильн о след у ю щем у : x > ax + 2 ⇔ (a – 1)x < –2 ⇔ x < –2 / (a – 1). За м ет им , чт о п ослед н яя д робь в д а н н ом слу ча е от рица т ельн а . Т а ким обра зом , обла ст ь

23

D(y) = (– ∞ ; –2/(a – 1)) сост оит из отрица т ельн ых чисел и н е сод ерж ит н и од н ого н а т у ра льн ого числа . Поэтом у все зн а чен ияп а ра м етра а > 1 н е у д овлет воряю т т ребова н ию за д а чи. x 3 случай. Пу ст ь 0 < а < 1. Т огд а п ока за тельн а яф у н кцияy = a у быва ет н а всей числовой оси О x и н ера вен ст во д ляобла ст и D(y) ра вн осильн о сле2 . За м ет им , чт о п ослед н яяд робь д у ю щем у : x
а ) Полезн о за м ет ит ь, чт о если если

2 = 10 , т .е. п ри а =0,8 , D(y)=( – ∞ ; 10); а 1− а

2 = 100 , т .е. п ри а =0,98 , D(y)=( – ∞ ; 100). Поэтом у а =0,8 н е у д ов1− а

лет воряет т ребова н ию за д а чи, н о а =0,98 у д овлет воряет т ребова н ию за д а чи. б) Вобщем слу ча е п ри а ∈ ( 0;1) т ребова н ию за д а чи у д овлет воряю т т е и т олько т е зн а чен ияп а ра м ет ра , кот орые являю тсяреш ен иям и след у ю щей сист ем ы н ера вен ст в: 2  ≤ 100, 10 −10a < 2 ≤ 100 −100a, 10 < ⇔ ⇔ 1− a  0 < a < 1;  0 < a < 1;  10a > 8, a > 0,8,  ⇔ 100a ≤ 98, ⇔ a ≤ 0,98, ⇔ 0,8 < a ≤ 0,98. 0 < a < 1; 0 < a < 1;   ∈ О т ве т : а (0,8; 0,98]. Вслед у ю щем п а ра гра ф е н а м и п ока за н у глу блё н н ый п рим ерп сихолого-д ид а кт ического п роект ирова н ияу рока – п ра кт ику м а п о а лгебре н а тем у , связа н н у ю с п ред м ет н ой п од готовкой вып у скн иков сп ециа лизирова н н ых м а т ем а т ических кла ссов к Е Г Э . Вего кон цеп т у а льн ой а км еологической осн ове леж ит д еят ельн ост н ый п од ход в обу чен ии м а т ем а т ике и п сихологическа яид еят а ксон ом ии за д а ч п о м етод а м их реш ен ия.

24

§3. И з опы та психолог о-дидак тическ ог опроек тирования урок ов поподг отовк ек Е Г Э Д а т а :___________ . Пред м ет : «А лгебра и м а т ем а т ический а н а лиз: 10 - 11 кла ссы». Проф ильн ый кла сс: 10-11 с у глу блен н ым изу чен ием м а т ем а т ики. Т ем а : «М ет од ы реш ен ияирра цион а льн ых у ра вн ен ий (их т а ксон ом ия)». Э п игр аф ур ока: «Реш ен ие за д а ч – п ра кт ическое иску сст во, п од обн ое п ла ва н ию , ка т а н ию н а лыж а х или игре н а ф орт еп иа н о; н а у чит ьсяем у м ож н о, только п од ра ж а яхорош им обра зца м и п остоян н о п ра кт ику ясь.» (Д ьерд ь Пойя (1887 - 1985) ) Ц ель и психолог о-педаг ог ическ иез адачи урок а (сд воен н ого): Ι. О бщ еобраз овательная (норм ативная) цель (н а эт а п е п од готовки к Е Г Э , Ц Т ): н а м а т ериа ле од н ого за д а н иявыборочн о п овт орит ь и за креп ить н екоторые м ет од ы реш ен ияирра цион а льн ых у ра вн ен ий п о д ид а кт ическом у п рин цип у см ен ы п риорит ет ов: «н а хож д ен ие ид ей реш ен ияи/или п олу чен ие ответ а » (А .А . Д ерка ч, Н.В. К у зьм ин а , В.А . Сла ст ё н ин , А .А . О ку н ев, И .Ф. Ш а рыгин ). ΙΙ. Задачи м атем атическ ог ораз вития учащ ихся: н а н ест а н д а рт н ом у чебн о-м а т ем а т ическом м а т ериа ле п род олж ит ь ра звит ие м ен т а льн ого оп ыт а у ча щихся, сод ерж а т ельн ой когн ит ивн ой стру кт у ры их м а т ем а т ического ин т еллект а , в т ом числе, сп особн ост ей к логико-д ед у кт ивн ом у и ин д у кт ивн ом у , а н а лит ическом у и син т ет ическом у обра т им ом у м ыш лен ию (Ж . Пиа ж е, В.А . К ру т ецкий ), к а лгебра ическом у и обра зн о-гра ф ическом у м ыш лен ию (В.И . А рн ольд , А .Г . М орд кович, Г .В. Д ороф еев, И .Ф. Ш а рыгин ), к сод ерж а т ельн ом у обобщен ию и кон крет иза ции (В.В. Д а выд ов, Л .В. За н ков), к реф лексии и са м остоят ельн ост и ка к м ет а когн ит ивн ой сп особн ост и (Р. Стерн берг, М .А . Х олод н а я) ш кольн иков; п род олж ит ь ра звит ие ку льт у ры у ст н ой и п исьм ен н ой речи ка к п сихологических м еха н изм ов у чебн о-м а т ем а т ического ин т еллект а . III. В оспитательны ез адачи: п род олж ит ь личн ост н о ориен т ирова н н ое восп ит а н ие у ш кольн иков п озн а ва т ельн ого ин т ереса к м а т ем а т ике, ответ ст вен н ост и, чу вства д олга , а ка д ем ической са м ост оят ельн ост и, ком м у н ика т ивн ого у м ен иясот ру д н ича т ь с кла ссом , у чит елем , сокла ссн ика м и; а у тогогической сп особн ост и к соревн ова т ельн ой у чебн о-м а т ем а т ической д еят ельн ост и, ст рем лен ияк высоким и высш им её резу льт а т а м (а км еический м от ив). Т ип урок а: п о крит ерию вед у щей цели – у рок п овторен ия, за креп лен ия, т а ксон ом ии м етод ов реш ен ияирра ц ион а льн ых у ра вн ен ий н а осн ове д еят ельн ост н ого п од ход а в обу чен ии; п о крит ерию вед у щего д ид а кт ического м ет од а – у рок эврист ической бесед ы, у рок п роблем н ого воссозд а н иям етод ов реш ен ияирра цион а льн ых у ра вн ен ий; п о крит ерию вед у щего м а т ем а -

25

т ического сод ерж а н ия– у рок од н ой за д а чи (од н ого у ра вн ен ия), у рок п ра кт ику м ; п о крит ерию т ип а ин ф орм а цион н ого вза им од ействияу ча щихся и у чит еля– у рок сот ворчест ва , сот ру д н ичества и соревн ова т ельн ост и. О бору д ова н ие у рока : 1. У чебн а ялитера т у ра : 1) Вилен кин Н.Я. А лгебра и м а т ем а т ический а н а лиз д ля11 кла сса : у чеб п особие д ляу ча щихсяш к. и кла ссов с у глу бл. изу ч. ку рса м а т ем а т ики /Н.Я. Вилен кин , О .С. И ва ш ев-М у са тов, С.И . Ш ва рцбу рд – М .: М н ем озин а , 2001. – С.111-114; 2) За д а чи п овыш ен н ой тру д н ост и п о а лгебре и н а ча ла м а н а лиза : у чеб. п особие д ля10-11 кл. сред . ш к. /Б.М . И влев [и д р.]. – М .: Просвещен ие, 1990. – С.19-20. 2. Э кра н , м у льт им ед ийн ый п роект ор, 4 сла йд а , п од гот овлен н ые в ком п ью т ерн ой систем е ««Mathematica-5»». Ход урок а I этап урок а. О бъявлен ие т ем ы и гла вн ой обра зова т ельн ой цели у рока ; ст им у лирова н ие чу вст ва д олга , ответ ствен н ост и, п озн а ва т ельн ого ин т ереса у ча щихсяп ри п од готовке к Е Г Э и Ц Т . II этап урок а. О ценк а к ачества и к оррек ция уровня вы полнения дом ашней работы . О т вет ы н а воп росы у ча щихся. Э ксп ресс-кон т роль са м остоят ельн ых реш ен ий след у ю щих ирра цион а льн ых у ра вн ен ий: 1. 4 x + 41 + 4 41 − x = 4 ( Р е ш е н ие м е т одом п е р е хода к сист е м е ур авн е н ий от н осит е льн о н овы хп е р е м е н н ы х. О т ве т : x = ±40 ); 2. (2 x + 1) 7 + (2 x + 1)2 + x x 2 + 7 = 0 ( Р е ш е н ие н а осн ове т е ор е м ы о

1 кор н е . О т ве т : x = − ); 3 3. 1 + x = x − 1 ( Р е ш е н ие н а осн ове исп ол ьзован ия м он от он н ост и 3+ 5 фун кции. О т ве т : x = ). 2 М е т одиче ские указан ия дл я н ачин аю щ е го учит е ля. Пр иве дём возм ож н ы е р е ш е н ия указан н ы х задан ий . 1. Реш ен ие у ра вн ен ия 4 x + 41 + 4 41 − x = 4 : Введ ё м в ра ссм отрен ие д ве н овые п ерем ен н ые: 4 х+ 41 = u ≥ 0 , (1) 4 41 − х = v ≥ 0 . (2) Т огд а u+v=4. Т а к ка к х+41= u4, 41 – х = v4 , то, слож ив п очлен н о эт и д ва ра вен ст ва , п олу чим : u4+ v4=82. Д лян а хож д ен ияu и v им еем сист ем у u + v = 4, (3)  4 u + v 4 = 82. 

26

Е ё реш им , исп ользу яд ву кра т н о ф орм у лу a2+b 2=(a+b)2 – 2ab. И з ра вен ст ва u 4 + v4 = 82 след у ет, что (u2+v2)2 – 2u2v2=82, т о ест ь ((u+v)2 – 2uv)2 – – 2u2v2=82. С у чет ом того, чт о u + v = 4 , п олу ча ем (16 – 2uv)2 – 2u2v2=82 ⇔ 256 – 64uv+4u2v2 – 2u2v2 – 82=0 ⇔ 2u2v2 – 64uv+174=0 ⇔ ⇔ (uv)2 – 32(uv)+87=0. По т еорем е, обра т н ой т еорем е Виет а , п олу ча ем , чт о uv=3 или uv=29. Поэтом у сист ем а (3) ра вн осильн а след у ю щей совоку п н ост и д ву х сист ем : u = 4 − v, u = 4 − v, u + v = 4,    v 2 − 4v + 3 = 0; − = ( 4 ) 3 ; v v = 3 ; uv   ⇔ u + v = 4, ⇔ u = 4 − v, u = 4 − v,    ( 4 − v )v = 29. uv = 29. v 2 + 4v + 29 = 0.  

Вт ора ясист ем а п ослед н ей совоку п н ост и реш ен ий н е им еет , т а к ка к в у ра вн ен ии v 2 + 4v + 29 = 0 д искрим ин а н т D<0. Зн а чит , он а ра вн осильн а след у ю щей совоку п н ост и: u = 3, u = 1, или   v = 1; v = 3. Возвра ща ясь к x, п олу ча ем : 4 х+ 41 = 3,  х+ 41 = 81,   4  41 − х = 1; ⇔ 41 − х= 1; ⇔  х= 40,   х+ 41 = 1, 4  х= −40.   х+ 41 = 1, 41 − х= 81. 4  41 − х = 3. О т ве т : ± 40. 2. Реш ен ие у ра вн ен ия (2 x + 1) 7 + (2 x + 1)2 + x x 2 + 7 = 0 : Введ ё м в ра ссм отрен ие ф у н кцию f(y)= y y 2 + 7 . Т огд а исход н ое у ра вн ен ие м ож н о п ред ст а вить в вид е f(2x+1)+f(x)=0 ⇔ f(2x + 1) = – f(x). За м ет им , чт о ф у н кцияf(y) являет сян ечё т н ой н а R, п оэтом у п ослед н ее у ра вн ен ие м ож н о п ереп иса т ь т а к: f(2x + 1) = f ( – x). (4) К ром е т ого, он а м он отон н о возра ст а ет н а всей своей обла ст и оп ред елен ия. Д ейст вит ельн о, её п роизвод н а яп олож ит ельн а н а R: у2 f /(y)= у2 + 7 + >0. 2 у +7 Поэт ом у н а осн ова н ии д оста точн ого у словиям он отон н ост и ф у н кц ияf(y) возра ст а ет н а R. Всилу т еорем ы о корн е из у ра вн ен ия(4) след у ет, что 1 2х + 1 = – х ⇔ х= − . 3 1 О т ве т : х= − . 3

27

3. Реш ен ие у ра вн ен ия 1 + х = х− 1 . Переп иш ем у ра вн ен ие в вид е 1 + 1 + х = х. Введ ё м в ра ссм от рен ие ф у н кцию f(x)=1+ х. Т огд а п олу чен н ое у ра вн ен ие п рим ет вид f(f(x))=x. Д ляреш ен ияу ра вн ен ий та кого вид а м ож н о п рим ен ить след у ю щее У т верж д ение. Е сли ф у н кцияf(x) н еп рерывн а и м он от он н о возра ст а ет н а п ром еж у т ке X, т о у ра вн ен ияf(x)=x и f(f(x))=x ра вн осильн ы н а X. Введ ё н н а яв ра ссм от рен ие н еп рерывн а яф у н кцияf(x)=1+ х м он от он н о возра ст а ет п ри x ≥ 0. Всоот вет ст вии с п ривед ё н н ым у т верж д ен ием им еем : f(x)= x ⇔ 1+ х=х ⇔ х = х− 1 ⇔  х≥ 1,  х− 1 ≥ 0,  х≥ 1, 3+ 5  ⇔ ⇔ ⇔ . ⇔ х =   3 5 ± 2 ;  х2 − 2 х+ 1 = х; ( х− 1) 2 = х;  х=  2 О т ве т : х=

3+ 5 . 2

ΙΙΙ этап урок а. Д еят ельн ост н ый п од ход в сист ем а т иза ции м етод ов реш ен ияирра цион а льн ых у ра вн ен ий т ип а х+ 1 − х2 = 2 (*). М е т одиче ские указан ия дл я н ачин аю щ е го учит е ля. Прин цип см ен ы п риорит ет ов п ри эврист ическом д иа логе, связа н н ом с ф рон т а льн ым п овт орен ием и обсу ж д ен ием п о выбору у ча щихсявосьм и м ет од ов реш ен ияирра цион а льн ых у ра вн ен ий, п ред п ола га ет : 1) п овт орен ие (у ст н о/п олу п исьм ен н о) ст ерж н евых ид ей и логики оп ера цион а льн ого сост а ва т ого или ин ого м ет од а ; 2) п исьм ен н ое реш ен ие у ра вн ен ияс целью п олу чен ияточн ого окон ча т ельн ого ответ а п ри реа лиза ции д ру гого м ет од а ; 3) сра вн ен ие м етод ов реш ен ий п о т а ким крит ериям , ка к: a) оригин а льн ост ь - тра д иц ион н ост ь ид еи, b) объё м логических а ргу м ен т а ц ий и вычислен ий, c) реа лиза циявн у т ри-, м еж п ред м ет н ых связей, d) скорост ь п олу чен ияот вет а , за тра т ы у чебн ого врем ен и, e) эст ет ическа яп ривлека тельн ост ь м ет од а , f) ра сп ростра н ен н ост ь м ет од а в за д а чн ом м а т ериа ле; g) сост а влен ие т а ксон ом ии за д а ч п о м ет од а м их реш ен ия (д еят ельн ост н ый п од ход ). Привед ем все 8 сп особов реш ен ия.

28

1 способрешения м етодом равносильны х переходов посхем е:  g ( x ) ≥ 0, f ( x) = g ( x) ⇔  2  g ( x) = f ( x ). И м еем : (*) ⇔

  2 − х≥ 0, 2 − x ⇔  ( 2 − х) 2 = 1 − х2 .

1− x2 =

Вып иш ем у ра вн ен ие п ослед н ей см еш а н н ой сист ем ы и реш им его: 2 + x2 – 2 2 x = 1 – x2 ⇔ 2x2 – 2 2 x + 1 = 0 ⇔ ( 2 x)2 – 2( 2 x)1 + 1 = 0 ⇔ ( 2 x - 1)2 = 0 ⇔ 2 x = 1 ⇔ x = 2 / 2. Возвра ща ясь к п рерва н н ой схем е ра вн осильн ост и, п олу чим :  х≤ 2 ,  ⇔ x = 2 / 2. О т ве т : x = 2 / 2 . (*) ⇔  2 ;  х= 2  Гр афиче ская ин т е р п р е т ация 1 сп особа р е ш е н ия вп лоскост и xOy.  у ≥ 0, Введ ё м в ра ссм от рен ие 2 ф у н кции: а ) y(x) = 1 − х2 ⇔   х2 + у 2 = 1; 

б) y(x) = 2 – x. Г ра ф иком п ервой из н их являет сяверхн яяп олу окру ж н ост ь окру ж н ост и x2 + y2 = 1, с цен тром (0; 0) и ра д иу сом R = 1. Г ра ф иком вт орой – п рям а я, ка са ю ща ясяеё в т очке с н а йд ен н ой выш е а бсциссой xo = 2 / 2, за м ет им , чт о yo = 2 / 2. (См . сла йд № 1).

Џ!!

y= 2 - x

Y 2

Џ!! 2

x2 + y2 = 1

Џ!! 1

1 ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ 2

-1

0

H Џ!!Џ!!L 1 1 ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ; ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ 2 2

Џ!! Џ!!

1 ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ 2

1

С Л АЙ Д № 1.

2

X 2

29

2 способ: прим енениепроиз водной ф унк ции к её исследованию на наибольшееи наим еньшеез начение Введ ё м в ра ссм от рен ие ф у н кцию f(x) = x + 1 − х2 , н а йд ё м её обла ст ь оп ред елен ияD(f) и м н ож ест во зн а чен ий Е (f). 1) D(f): 1 – x2 ≥ 0 ⇔ x2 ≤1 ⇔ | x | ≤ 1. И т а к, D(f) = [-1; 1]. 2) Т а к ка к ра ссм а трива ем а яф у н кциян еп рерывн а н а от резке [-1; 1], т о п о й т еорем е Вейерш т ра сса он а д ост ига ет н а н ё м своего н а ибольш его и н а им ен ьш его зн а чен ия. Ч тобы н а йт и н а ибольш ее и н а им ен ьш ее зн а чен иян еп рерывн ой н а от резке [a; b] ф у н кции, им ею щей н а ин т ерва ле (a; b) кон ечн ое число крит ических т очек, д ост а т очн о вычислить зн а чен ияф у н кции во всех крит ических т очка х, п рин а д леж а щих ин т ерва лу (a; b), а т а кж е в кон ца х от резка и из п олу чен н ых чисел выбра т ь н а ибольш ее и н а им ен ьш ее зн а чен ия.

а ) f´(x) = ( x + 1 − х2 )´ = 1 –

б) f´(x) = 0, если

1 − х2 = x ⇔

х 1 − х2

=

1 − х2 − х . 1 − х2

 х≥ 0,  х≥ 0, ⇔  1 ⇔x=  2 ;  х= ± 2 х = 1; 2 

1 2.

⇔ x= 1 2.

Т а к ка к x = 1 / 2 п рин а д леж ит ин т ерва лу ( – 1; 1), то x = 1 / крит ическа ят очка д а н н ой ф у н кции (п о оп ред елен ию ). в) Вычислим : f(– 1) = – 1, f(1) = 1, f( 1 / =2/

2 =

О т ве т :

2 ) + 1−

1 = 2

2.

Т а ким обра зом , max f ( x) = f( 1 / [−1; 1] Е (f) = [– 1;

2 ) = (1 /

2 -

2 )=

2 , min f ( x) = f(– 1) = – 1, [−1; 1]

2 ] и д а н н ое у ра вн ен ие им еет ед ин ст вен н ый корен ь x =

x = 2 / 2.

2 / 2.

30

Г раф ическ ая интерпретация 2-г оспособа решения в плоск ости xOy

Џ! ! ! ! ! L Џ!! H H Џ!!Џ!!L HL Y

Y x = x+ 1 - x2 1 ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ ; 2 2

2

1

-1

Џ!!

1 - ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ - 0.5 2

HL - 1,- 1

1,1

0

0.5

Џ!!

1 ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ 2

X 1

-1

С Л АЙ Д № 2 к урок у алг ебры и м атем атическ ог оанализ а в 11 к лассе.

31

3 способрешения м етодом перехода к систем е уравнений относительноновы х перем енны х t ≥ 0, 1 − х2 = t ⇔  t 2 + x 2 = 1. Поэтом у исход н ое у ра вн ен ие от н осит ельн о п ерем ен н ой x свод ит сяк реш ен ию (м ет од ом п од ст а н овки) след у ю щей см еш а н н ой сист ем ы: t = 2 − x, t = 2 − x, x + t = 2,  2 ,    x =     2 2 2 2 2 2  x + t = 1, ⇔  x + ( 2 − x) = 1, ⇔ 2 x − 2 2 x + 1 = 0, ⇔  2 t ≥ 0;  t ≥ 0; t ≥ 0;  t = 2 .  

Пу ст ь 1 − х2 = t. Т огд а

О т ве т :

x=

2 / 2.

4 способрешения м етодом рационализ ации бином иальног овы раж ения xm(a + bxn)p, г деa и b - постоянны е; m, n, p –рациональны ечисла Э врис т ичес кое правило. Е сли вбин ом иал ьн ом вы р аж е н ии xm(a + bxn)p: 1) p – це лое , т о возм ож н а п одст ан овка t = r x , где r – н аим е н ьш е е общ е е кр ат н ое зн ам е н ат е л е й р ацион ал ьн ы х чисе л m и n; 2) m / n - це л ое , т о возм ож н а п одст ан овка t = s a + bx n , где s –зн ам е н ат е ль др оби p; a + bx n 3)m / n + p - це лое , т о возм ож н а п одст ан овка t = s , где xm s –зн ам е н ат е ль др оби p.

Д ляд а н н ого у ра вн ен ия x + 1 − х2 = 2 бин ом иа льн ое выра ж ен ие 1 − х2 = х0 1 − х2 им еет след у ю щие зн а чен ияп а ра м етров: m = 0, n = 2, p = 1 / 2. Т а к ка к m / n = 0 - целое, то у д обн о сд ела ть п од ст а н овку t = 1 − х2 (зд есь s = 2). И реш ен ие д а н н ого у ра вн ен ия4-ым сп особом свелось к п ред ыд у щем у 3-м у сп особу . О т ве т :

x=

2 / 2.

32

5 способрешения м етодом ум нож ения иррациональног оуравнения на ф унк цию 1) Преж д е чем у м н ож ит ь исход н ое у ра вн ен ие x + 1 − х2 = 2 (*) н а ф у н кцию , «соп ряж ё н н у ю » его левой ча ст и, т .е. н а а лгебра ическое выра ж ен ие (x – 1 − х2 ), н а йд ё м его н оль м етод ом ра вн осильн ых п ереход ов:  x ≥ 0,  x ≥ 0, 2 1 − x 2 = x ⇔  ⇔x= ⇔ .  2 2 2 2 1 − x = x ; 2 x = 1;

Проверка п од ст а н овкой (у ст н о) в исход н ое у ра вн ен ие у беж д а ет , что x = 2 / 2 – его корен ь. Но он м ож ет быт ь н е ед ин ствен н ым д ля исход н ого у ра вн ен ия. 2) Перейд ё м к у ра вн ен ию -след ствию (*) ⇒ ( x + 1 − x 2 )( x − 1 − x 2 ) = 2 ⋅ ( х− 1 − x 2 ) ⇔ 2 x 2 − 1 = 2 ⋅ ( х− 1 − x 2 ) 1 |Ра зд елим обе ча ст и н а 2 | ⇔ x − 1− x2 = 2x2 − . 2

О т систем ы

 2  х+ 1 − х =    х− 1 − х2 = 

2 (исходн ое ур авн е н ие ), 1 ( ур авн е н ие − сл е дст вие ) 2 х2 − 2

п ерейд ё м к н овом у у ра вн ен ию -след ст вию , слож ив оба у ра вн ен ия: 2x = 2 x2 - 1 / 2 + 2 ⇔ ( 2 x – 1)2 = 0 ⇔ x = 2 / 2. И т а к, д ру гих корн ей, кром е x = 2 / 2, исход н ое у ра вн ен ие н е им еет . О т ве т :

x=

2 / 2.

Ме т одиче ское зам е чан ие . В н е кот ор ы х п особиях, адр е сован н ы х ш кол ьн икам и абит ур ие н т ам , оп р ом ёт чиво р е ком е н дуе т ся п одход, н азы вае м ы й м е т одом « исп ользован ия фор м улы сокр ащён н ого ум н ож е н ия А + В = (A2 – B) / (A – В )» . Н о он м ож е т п р иводит ь п р и п р им е н е н ии фор м улы “ сл е ва – н ап р аво” кп от е р е кор н е й , кот ор ы е явл яю т ся кор н ям и ур авн е н ия вида А –

В = 0.

33

6 способрешения м етодом триг оном етрическ ой подстановк и Э врис т ичес кое правило. Е сл и вир р ацион альн ое ур авн е н ие входит : 1) р адикал а 2 − х2 , где а ≠ 0, т о м ож н о сде л ат ь одн у из двух т р игон ом е т р иче скихп одст ан овок: a) x = |a|sint, где –π/2 ≤ t ≤ π/2, или б) x = |a|cost, где 0 ≤ t ≤ π; 2) р адикал а 2 + х2 , где а ≠ 0, т о м ож н о сде лат ь т р игон ом е т р иче скую п одст ан овку x = |a|tgt, где –π/2 < t < π/2; 3) р адикал х2 − а 2 , где а ≠ 0, т о м ож н о сде лат ь одн у из двух т р игон ом е т р иче скихп одст ан овок: a) x = |a| / cost, где 0 ≤ t ≤ π и t ≠ π/2, ил и б) x = |a| /sint, где –π/2 ≤ t ≤ π/2 и t ≠ 0. Ра ссм от рим д ва п риё м а (А ,Б) ра цион а лизиру ю щей тригон ом ет рической п од ст а н овки. А -п р иём . Т а к ка к О Д З реш а ем ого у ра вн ен ияx + 1 − х2 = 2 есть от резок [-1; 1], п ричё м числа x = ± 1 н е являю т сяего корн ям и, т о сд ела ем п од ст а н овку x = cost, гд е 0 < t < π, а п оэт ом у sint > 0. Д лян а хож д ен ия cost (н о н е t) п олу чим у ра вн ен ие cost + sint = 2 , кот орое зд есь у д обн ее всего реш а т ь м ет од ом возвед ен ияобеих ча ст ей в ква д ра т (п ереход ом к од н ород н ом у у ра вн ен ию -след ст вию ): cos t + sin t = 2 ⇒ (cos t + sin t)2 = 2 ⇔ cos2t + sin2t + 2 sin t cos t = 2 ⇔ 2 sin t cos t = cos2t + sin2t (од н ород н ое у ра вн ен ие). За м ет им , чт о из п ослед н его у ра вн ен иян еобход им о след у ет, что sin t cos t > 0 и т а к ка к п ри 0 < t < π sin t > 0, т о cos t > 0. Поэтом у в у ра вн ен ии cos t + sin t = 2 обе ча ст и п олож ит ельн ы и возвед ен ие его в ква д ра т н а п ред ыд у щем ш а ге н е п ривед ё т к п оявлен ию п осторон н их корн ей. И т а к, п ри 0 < t < π/2 им еем : (cos t – sin t)2 = 0 ⇔ cos t = sin t ⇔ tg t = 1. 1 Поэт ом у cos t = = 1 / 2 и x = 2 / 2. О т ве т :x = 2 / 2. 2 1 + tg t Б-п р иём . Пока ж ем реш ен ие у ра вн ен ияx + 1 − х2 = 2 , гд е − 1 < x <1, с п ом ощью тригон ом етрической п од ст а н овки x = sin t, гд е – π/2 < t < π/2, а п оэт ом у cos t > 0. Д лян а хож д ен ия sin t п олу чим у ра вн ен ие cos t + sin t = 2 , из кот орого след у ет , чт о (cos t + sin t)2 = 2 ⇔ tg t = 1. По-п реж н ем у зд есь sin t и cos t п олож ит ельн ы и 0 < t < π/2. Поэт ом у sin t = tgt ⋅ cos t =

tgt 1+ tg 2 t

=1/

2 и x=

2 / 2. О т ве т :

x = 2 / 2.

34

7 способрешения м етодом прим енения век торной ф орм ы неравенства К оши-Б уняк овск ог о-Ш варца

→→ → → u v ≤| u || v |

Введ ен ие в ра ссм от рен ие п ри |x| < 1 в коорд ин а т н ой ф орм е д вa н ен у ле→ → u ( x; 1 − x 2 ) и v (1; 1). Вычислим их ска лярн ое п роизвед евых вект ора − →→ → → н ие и д лин ы: u v = x + 1 − x2 , | u |= x2 + 1 − x2 = 1 , | v |= 12 + 12 = 2 . На векторн ом языке исход н ое ирра цион а льн ое у ра вн ен ие за п иш ет сяв вид е →→ → → u v =| u || v | . Вн ера вен ст ве К ош и-Бу н яковского-Ш ва рца ра вен ст во д ост ига етсят огд а и только тогд а , когд а векторы коллин еа рн ы, а д ляэт ого н еобход им о и д ост а точн о, чтобы их коорд ин а т ы были п роп орцион а льн ы. Д лян а хож д ен ия − 1 < x < 1 им еем у ра вн ен ие:  x ≥ 0,  x ≥ 0, х 1 − х2 2 2 = ⇔ 1− x = x ⇔  ⇔  2 1 ⇔ x = . 2 2 2 1 1 1 − x = x ; x = 2 ;  О т ве т : x = 2 / 2.

8 способрешения м етодом рационализ ирую щ ей подстановк и Эйлера Э врис т ичес кое правило. Е сл и фун кция R(x,

ax 2 + bx + c ) явл яе т ся р ацио-

н ал ьн ой от н осит е льн о вы р аж е н ий x и ax 2 + bx + c , гд е а ≠ 0 и D = = b2 – 4ac > 0, т о дл я е ё р ацион ал изации м ож н о сде л ат ь п одст ан овку Э й л е р а вида t = ax 2 + bx + c / (x – x1), где x1 – один из кор н е й квадр ат н ого т р ёхчл е н а ax2+bx + c. Так как указан н ая п одст ан овка п р и р е ш е н ии ур авн е н ия м ож е т п р иводит ь к п от е р е кор н я x= x1, т о н е обходим о все гда п р ове р ят ь, явл яе т ся ли зн аче н ие x= x1 е го кор н е м . Ра ссм отрим д ва п риё м а (А ,Б) ра цион а лизиру ю щей п од ст а н овки Э йлера п рим ен ит ельн о к исход н ом у у ра вн ен ию . A - п р иём . Д ляу ра вн ен ия x + 1 − х2 =

2 с О Д З = [– 1; 1] зн а чен ия ax2 + bx + c x = ± 1 н е являю т сякорн ям и, и п од ст а н овка Э йлера t = не x −1 п ривед ё т к п от ере корн ей. Причё м п ри – 1 < x < 1 x– 1 < 0, п оэт ом у t < 0. Выра зим x и 1 − х2 через t.

35

a) Д лявыра ж ен ия х∈ (−1; 1) через t < 0 им еем у ра вн ен ие: 1 − х2 = tx – t ⇔ | Т .к. х− 1<0 и t < 0, то t x – t > 0.| ⇔ (t x – t)2 = 1 – x2  x = 1∉ (−1; 1),  t 2 −1 2 И т а к, x = . ⇔ (t2 + 1)x2 − 2t2x + (t2 − 1) = 0 ⇔  t −1 2 x = ∈ (−1; 1). t +1  t 2 +1 t 2 −1 2 б) Выра зим через t < 0 выра ж ен ие 1 − х2 = 1 − = t 2 +1 2|t | 4t 2 − 2t = = = . Д лян а хож д ен иян ового н еизвест н ого t ( t< 0 ) t 2 +1 t 2 +1 t 2 +1 t 2 −1 2t – = 2 ⇔ ( 2 – 1)t2 + 2t + им еем ра цион а льн ое у ра вн ен ие: 2 2 t +1 t +1

(

)

+( 2 + 1) = 0 ⇔ t2 + 2t( 2 + 1) + ( 2 + 1)2 = 0 ⇔ (t + ( 2 + 1))2 = 0 ⇔ ( 2 + 1) 2 − 1 2 (2 + 2 ) t = – ( 2 + 1). Поэтом у x = = = 2 / 2. ( 2 + 1) 2 + 1 2(2 + 2 ) О т ве т : x = 2 / 2. Б - п р иём . Пока ж ем реш ен ие у ра вн ен ия x + 1 − х2 = 2 , гд е − 1 < x < 1, 1− x2 с п ом ощью п од ст а н овки Э йлера вид а t = , гд е t > 0 п ри x + 1 > 0. x +1 Выра зим x и 1 − х2 через t > 0. а ) Д ля– 1 < x < 1 и t > 0 им еем у ра вн ен ие: 1 − х2 = tx + t ⇔ (tx + t)2 = 1 – x2 ⇔ (t2 + 1)x2 + 2 t2 x + (t2 – 1) = 0 ⇔  x = −1∉ ( −1; 1),  t 2 −1 2 И т а к, x = – . ⇔  t −1 2 x = − ∈ (−1; 1). t +1  t 2 +1 t 2 −1 2 1− ( ) 2 +1 2t 2 t б) Выра зим через t > 0 выра ж ен ие 1 − х = = . 2t (t 2 +1) (t 2 +1)

Д лян а хож д ен иян ового н еизвест н ого t ( t> 0 ) им еем ра цион а льн ое у ра вн ен ие: (2t / (t2 + 1)) - ((t2 – 1) / (t2 + 1)) = 2 ⇔ ( 2 + 1)t2 – 2 t + ( 2 – 1) = 0 ⇔ (t – ( 2 – 1))2 = 0 ⇔ t = 2 – 1. Поэтом у x = – (( 2 – 1)2– 1)/(( 2 - 1)2+1) = 2 (2– 2 )/ (2(2– 2 ))= 2 /2. О т ве т : x = 2 / 2.

36

IV этап урок а (зап асн ой ). Повт орен ие ф у н кцион а льн о-гра ф ического м ет од а исслед ова н ияирра цион а льн ых у ра вн ен ий с п а ра м ет ром . Задан ие для сам ост оят е л ьн ой р абот ы учащихся (д ва ва риа т а ).Сколько корн ей в за висим ост и от п а ра м ет ра а им еет ирра цион а льн ое у ра вн ен ие: 1 ва риа н т . х+ 1 − х2 = а ? 2 ва риа н т . х+ 1 − х2 = а ? У п ра ж н ен ие целесообра зн о вып олн ит ь ф у н кцион а льн о-гра ф ическим м ет од ом в п лоскост и хО а с исп ользова н ием п риё м а сечен иягра ф ика ф у н кции а(х) сем ейст вом п рям ых а(х)=а0 (const), п а ра ллельн ых оси О х. М е т одиче ские м ат е р иал ы дл я учит е л я. Задан ие 1. Фу н кцион а льн о-гра ф ический м ет од реш ен ияп ред ст а влен н а сла йд е № 3. О т ве т : 1) п ри а ∈ (−∞;−1) U ( 2 ;+∞) реш ен ий н ет, 1) п ри а ∈ [−1; 1) U { 2} 1 корен ь, 2) п ри a ∈ [1; 2 ) 2 корн я. Задан ие 2. Фу н кцион а льн о-гра ф ический м ет од реш ен ияп ред ст а влен н а сла йд е № 4. 1. О т ве т : 1)

п ри а ∈ (−∞;0) U ( 2;+∞) реш ен ий н ет,

2. п ри а = 0 ил и а = 2

1 корен ь,

2 корн я, 3. п ри а ∈ (0;1) U (1; 2 ) 4. п ри а = 1 3 корн я. М е т одиче ское указан ие . При н а личии у чебн ого врем ен и в п роцессе вып олн ен иян иж е п ред ст а влен н ых за д а н ий у чит ель ф рон т а льн о в ф орм е ка т ехизической бесед ы кон т ролиру ет зн а н ияу ча щим исяслед у ю щих п олож ен ий и оп ред елен ий т еорет ических п он ят ий, ра зра бот а н н ых а вт ора м и соврем ен н ых у чебн иков м а т ем а т ики: С.М . Никольским , М .И . Ба ш м а ковым , Ю .М . К олягин ым , А .Г . М орд ковичем , Г .В. Д ороф еевым , Ю .Н. М а ка рычевым , Н.Г . М ин д ю к, А .Р. Ряза н овским , Н.Н. Реш ет н иковым , А .В. Ш евки1 н ым и д р . О п р е де л е н ие 1. У равнениеf(x,a ) = 0 с парам етром а – это сем ейст во у ра вн ен ий, оп ред еляем ых п а ра м ет ром , от кон крет н ых зн а чен ий кот орого 1

А .Г . М орд кович. А лгебра . 8 кл.: У чебн ик д лякл. с у глу блен н ым изу чен ием м а т ем а т ики. – М .: М н ем озин а , 2002. – С.247-249; А лгебра и н а ча ла а н а лиза : У чеб. д ля11 кл. общеобра зова т . у чреж д ен ий /С.М . Никольский, М .К . Пот а п ов, Н.Н. Реш ет н иков, А .В. Ш евкин . – М .: Просвещен ие, 2003. – С.342-343; А лгебра : Д оп . гла вы к ш к. у чеб. 8 кл.: У чеб. п особие д ляш к. и кла ссов с у глу бл. изу ч. м а т ем а тики /Ю .Н. М а ка рычев, Н.Г . М ин д ю к, п од ред . Г .В. Дороф еева . – М .: Просвещен ие, 1996. – С.161, 191-192; А .Р. Ряза н овский. А лгебра и н а ча ла а н а лиза : 500 сп особов и м етод ов реш ен ияза д а ч п о м а т ем а тике д ляш кольн иков и п ост у п а ю щих в ВУ Зы. – М .: Д роф а , 2001. – С.71 и д р.

37

за висит а ) а н а лит ический вид корн ей, б) количест во корн ей, в) свойст ва корн ей. (Сф орм у лирова н н ое оп ред елен ие п озволяет кон ста т ирова т ь н а личие трё х осн овн ых т ип ов за д а ч н а исслед ова н ие у ра вн ен ий с п а ра м ет ром .) О п р е де л е н ие 2. П арам етр а в уравнении f(x,a) = 0 - это величин а , числен н ые зн а чен иякоторой за ра н ее, д о исслед ова н ия, н еизвест н ы, н о от кот орых за висят а н а лит ический вид корн ей, их свойства и количество (свойст во д войствен н ост и п а ра м ет ра а). О п р е де л е н ие 3. О Д З уравнения f(x,a) = 0 с п а ра м етром а – эт о м н ож ест во т ех п а рчисел (х; а), п ри кот орых выра ж ен ие f(x,a) им еет см ысл. О п р е де л е н ие 4. Р ешить уравнениеf(x,a)=0 с п а ра м етром а – это зн а чит д ляка ж д ого д оп у ст им ого зн а чен ияп а ра м етра а у ст а н овить соответ ствие вид а х = х(а), с п ом ощью которого д ляка ж д ого зн а чен ияп а ра м етра а у ка зыва ет сям н ож ест во корн ей х д а н н ого у ра вн ен ия. О сновной м етод решения уравнения f(x,a) = 0 с п а ра м ет ром а – м ет од исчерп ыва ю щего п еребора слу ча ев, п ри кот ором обла ст ь д оп у ст им ого изм ен ен ияп а ра м етра а ра збива ет сян а кон ечн ое число п ром еж у т ков, в ка ж д ом из которых исслед ова н ие у ра вн ен иям ож ет быт ь п ровед ен о од н им и т ем ж е п риё м ом , сп особом и п ривод ит к од н ом у и том у ж е а н а лит ическом у вид у корн ей х=х(а) (а т а кж е их количест ву или свойству ). О твет при исследовании уравнения f(x,a) = 0 с п а ра м ет ром а – ва ж н а я сост а вн а яча ст ь реш ен ия, состояща яиз сп иска п ром еж у т ков изм ен ен ияп а ра м етра а с у ка за н ием д ляка ж д ого из н их а н а лит ического вид а корн ей х=х(а) (их количества или н екоторого их свойст ва ). V этап урок а. П остановк а вариативног одом ашнег оз адания (м етод распоряж ения, четк ог оинструк таж а). Е го сод ерж а н ие м ож ет быт ь выра ж ен о след у ю щим и эп ист ем ическим и т ребова н иям и: 1. Повт орит е п о у чебн ом у п особию Н.Я. Вилен кин а . А лгебра и м а т ем а т ический а н а лиз д ля11 кла сса /Н.Я. Вилен кин , О .С. И ва ш ев-М у са тов, С.И . Ш ва рцбу рд . – М .: Просвещен ие, 2000. – С. 111-114. 2. Вып олн ит е, п о м ен ьш ей м ере, д ву м ям ет од а м и след у ю щие за д а н ияиз у чебн ого п особия: За д а чи п овыш ен н ой тру д н ост и п о а лгебре и н а ча ла м а н а лиза : у чеб. п особие д ля10-11 кл. сред . ш к. /Б.М . И влев [и д р.]. – М .: Просвещен ие, 1990. – С.20 № 153 (а ,б): дл я каж дого де й ст вит е л ьн ого числ а а н ай дит е все р е ш е н ия ур авн е н ия: 2 а ) х+ 1 − х = а; О т ве т : 1) п ри а ∈ (−∞;−1)

U

( 2 ; ∞) н ет реш ен ий;

a − 2 − a2 2) п ри а ∈ [−1;1) x = , 2 a ± 2 − a2 3) п ри 1 ≤ a < 2 x = , 2 2 4) п ри a = 2 x = . 2

38

б)

x 2 − 1 + x = a;

О т ве т : 1) п ри a ∈ (−∞;−1) U [0;1) реш ен ий н ет, a2 +1 2) п ри a ∈ [−1;0) x = , 2a a2 +1 3) п ри а ∈ [1; ∞) х= . 2a За м ет ьт е, чт о в ответ е к № 153(б) есть оп еча т ка . 3. Вып олн ит е за д а н ие С4 из д ем о-версии Е Г Э -2003. На йд ит е все п олож ит ельн ые зн а чен ияп а ра м етра а, п ри которых в обла ст и оп ред елен ияф у н кции

у=

1 а х− а ах+2

ест ь д ву зн а чн ые н а т у ра льн ые числа , н о н ет н и од н ого трё хзн а чн ого н а т у ра льн ого числа . О т ве т : а ∈(0,8; 0,98]. VI этап урок а. Зак лю чениеурок а (п ед а гогические м етод ы кра ткого обобщен ия, п ед а гогической оцен ки и коррекции). Возм ож н ые а сп ект ы гн ост ической и реф лексивн ой а кт ивн ост и п реп од а ва т еля4): 1) т еорет ико-п рикла д н ые ит оги у рока (осн овн ые и н ест а н д а рт н ые м ет од ы реш ен ияирра цион а льн ых у ра вн ен ий, их т а ксон ом ия); д иф ф ерен цирова н н а яоцен ка у ровн ей м ен т а льн ого оп ыт а у ча щихся5): у ровн яу своен ияим и т ем ы, ком п ет ен т н ост и, ка чества у ст н ой и п исьм ен н ой м а т ем а т ической речи (когн ит ивн ый а сп ект ); у ровн я п роявлен н ого т ворчест ва (креа т ивн ый а сп ект ); у ровн яса м остоят ельн ост и и реф лексии (м ет а когн ит ивн ый а сп ект ); у ровн яин ициа т ивы, п озн а ва т ельн ого ин т ереса к от д ельн ым м ет од а м м а т ем а т ического м ыш лен ия(ин т ен цион а льн ый а сп ект ); у ровн ей сотру д н ичест ва , ин т еллект у а льн ой состяза т ельн ост и, ст рем лен ияк высоким / высш им п ока за т елям у чебн о-м а т ем а т ической д еят ельн ост и (а км еический а сп ект ); ку льт у ры общен иян а у роке (ком м у н ика т ивн ый а сп ект ) и д р.; 2) объявлен ие а ргу м ен т ирова н н ых от м еток, п оу рочн ого ба лла ; 3) сборт ет ра д ей с д ом а ш н ей ра ботой н а выборочн у ю или сп лош н у ю п роверку . Сп а сибо за у рок, д ет и! 4) А км еология: у чебн ик/ Под общ. ред . А .А . Д ерка ча . – М .: И зд -во РА Г С, 2002. – С.442-452 (Пед а гогическа яа км еология); К у зьм ин а Н.В. Проф ессион а лизм д еят ельн ост и п реп од а ва т еля/ Н.В. К у зьм ин а . – М .: Высш . ш к., 1989.-167с. 5) Х олод н а яМ .А . И н т еллект у а льн ое восп ит а н ие личн ост и в у словиях соврем ен н ого ш кольн ого обра зова н ия// Соврем ен н а яп сихология: Сп ра вочн ое ру ковод ст во. – М .: И НФРА -М , 1999. – С.668-680.

39

Ф У Н К Ц И О Н АЛ Ь Н О _Г Р АФ И ЧЕ С К О Е И С С Л Е Д О В АН И Е И Р Р АЦ И О Н АЛ Ь Н О Г О У Р АВ Н Е Н И Я x+ 1− x2 =a С П АР АМ Е Т Р О М

aВ

К О О Р Д И Н АТ Н О Й П Л О С К О С Т И

xО a

Џ! ! Џ! ! ! ! ! Џ!Џ!!! Џ!! H L H Џ!!Џ!!L HL a

при а > при а =

2 : нет корней

2 : 1 корень

a x = x+ 1 - x 2 1 ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ; 2 2

2

при 1< а < 2 : 2 корня при а = 1: 2 корня

-1

1

Џ!!

1 - ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ - 0.5 2

HL - 1,- 1

1,1

0

Џ!!

1 0.5 ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ 2

x 1

при - 1< а <1: 1 корень -1

при а = - 1: 1 корень при а <- 1: нет корней

С Л АЙ Д № 3 к урок у алг ебры и м атем атическ ог оанализ а в 11 к лассе (вы полнен в к ом пью терной систем е« Mathematica-5»).

40

Ф У Н К Ц И О Н АЛ Ь Н О -Г Р АФ И ЧЕ С К И Й М Е Т О Д И С С Л Е Д О В АН И Я У Р АВ Н Е Н И Я

аВ

С П АР АМ Е Т Р О М

Џ! ! Џ!! HЏ!!L Џ! ! Џ!! H L HL

x+ 1-x2 = a

П Л О С КО С ТИ

xО a

a

при а >

при а =

2 : нет корней

1 2 : 1 корень x ед. = ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ 2

при 1< а < 2 : 2 корня

при а = 1: 3 корня - 1; 0;+1 - 1;- 1

при 0< а <1: 2 корня

2

1.2 1

H LИЏ!Џ!!!!!!И H Џ!! L HL

a x = x+ 1 - x2 1 ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ ; 2 2

1;1

0.5

HЏ!!L Џ!!

1 при а = 0: 1 корень xед.= - ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ 2 1 0 -1 - ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ - 0.5 - 0.1 2

0.5

Џ!!

1 ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ 2

x 1

при а <0: нет корней

С лайд № 4 к урок у к урок у алг ебры и м атем атическ ог оанализ а в 11 к лассе

41

§4. И з опы та психолог о-педаг ог ическ их прилож ений м атем атическ ой статистик и к анализ у рез ультатов Е Г Э Ва ж н ейш им а км еологическим у словием н а коп лен ияп еред ового п ед а гогического оп ыт а н а чин а ю щим п реп од а ва т елем м а т ем а т ики с кла ссическим у н иверсит ет ским обра зова н ием являет сявн ед рен ие в п ед а гогическу ю д еят ельн ость м а т ем а т ико-ст а т ист ических м ет од ов её са м ост оят ельн ого м ет а когн ит ивн ого исслед ова н ия, в ча ст н ост и н а ба зе ком п ью т ерн ой сист ем ы «STATISTICA – 5.5». Ра скроем этот т езис н а п рим ере. И сследовательск ая з адача. Резу льт а т ы Е Г Э – 2003 п о «А лгебре и н а ча ла м а н а лиза : 10-11 кла ссы» визу а льн о, н а осн ове сост а влен ият а блицы № 1 кросст а бу ляц ии н а блю д а ем ых ча ст от т ип а 2×4 обн а ру ж или вн еш н ее ра зличие в резу льт а т а х, д ост игн у т ых в целом п о всем кла сса м в ворон еж ских п роф ильн ых ш кола х с п ед а гогическим у клон ом : гим н а зии № 5 и в ш коле-ин т ерн а т е № 4 Л евобереж н ого ра йон а . Возн икла н а у чн о - п ед а гогическа яза д а ча оп ред елен ияу ровн язн а чим ост и вскрыт ых ра зличий с п ом ощью м н огоклет очн ого критерияχ2 К . Пирсон а (27.03.1857 – 27.04.1930). Реш им её с исп ользова н ием ком п ью т ерн ой сист ем ы «STATISTICA – 5.5». Т аблица № 1 (тип 2×4). К росстабуляция наблю даем ы х частот рез ультатов Е Г Э – 2003 по« АН А – 10-11» в воронеж ск их шк олах: г им наз ии № 5 и шк оле-интернате№ 4 Ш к олы г. В оронеж а 1. Г им наз ия № 5 2. Ш к . - интернат № 4 И тогопо столбцам

О тм етк и по« АН А – 10-11» на Е Г Э – 2003 « 2» « 3» « 4» « 5» 8 18 32 44

И тогопо строк ам n1. = 102

8

38

38

3

n2. = 87

n.1 =1 6

n.2 = 56

n.3 = 70

n.4 = 47

n .. = n = 189

С татистическ ая м одель. Пу ст ь n = 189 – объё м объед ин ё н н ой слу ча йн ой выборки у ча щихсяд ву х (1 ≤ i ≤ 2) ворон еж ских ш кол (гим н а зии № 5 и ш колы-ин т ерн а т а № 4), у ча ст вова вш их в общен а цион а льн ом п ед а гогическом эксп ерим ен т е Е Г Э – 2003 п о м а т ем а т ике. Ч исло вып у скн иков из i-т ой выборки (1 ≤ i ≤ 2) с j-т ым у ровн ем (1 ≤ j ≤ 4) от м ет ки («2», «3», «4», «5») п о «А лгебре и н а ча ла м а н а лиза : 10-11» обозн а чим n i j. Т а ким обра зом , ка ж д ый из n ш кольн иков п оп а д а ет в од н у из 2×4 клет ок т а блицы кросст а бу ляц ии н а блю д а ем ых ча ст от т ип а r * s (зд есь r = 2, s = 4). Д ля ка ж д ой из выборок у ча щихсяд ву х ш кол д искрет н ое ра сп ред елен ие исход ов второго п ризн а ка (от м ет ки п о «А НА – 10-11» н а Е Г Э – 2003) являет сяп олин ом и-

42

а льн ым , п ред ст а вляю щим собой м н огом ерн ое обобщен ие бин ом иа льн ого ра сп ред елен ия.

Р ис. 1. Г раф ическ оесравнениеуровней подг отовк и пом атем атик е вы пуск ник ов двух воронеж ск их шк ол Л евобереж ног орайона: г им наз ии № 5 и шк олы -интерната № 4 (вы полненов к ом пью терной систем е« STATISTICA-5.5»). Г ипотез ы . Н уле вая гип от е за Н 0 (об од н ород н ост и д ву х выборок): обе выборки ш кольн иков с объё м а м и n 1. , n 2. , сд ела н н ые из д ву х ш кол г. Ворон еж а , п рин а д леж а т од н ой и т ой ж е ген ера льн ой совоку п н ост и. И н а че говоря, ин т еллект у а льн о-восп ит а т ельн а ясред а , созд а н н а яв н а зва н н ых ш кола х п ед а гогическим коллект ивом , н е влияет н а общеш кольн ый п ока за т ель ка чества обу чен ия а лгебре и н а ча ла м а н а лиза в ст а рш их кла сса х. А л ьт е р н ат ивн ая гип от е за Н 1 п рот иворечит н у левой: ст иль п ед а гогической д еят ельн ост и, слож ивш ийсяв н а зва н н ых ш кола х, су щест вен н о влияет н а ка чест во обу чен ияа лгебре и н а ча ла м а н а лиза в ст а рш их кла сса х. Е сли п од т верд ит сягип от еза Н 1, т о п ост а вим за д а чу вычислен иякоэф ф ициен т а С кон т ин ген ции К . Пирсон а , п ока зыва ю щего ст еп ен ь корреляцион н ого влиян ияизу ча ем ого ка чествен н ого п ризн а ка н а количест вен н ые п ока за тели Е Г Э . С татистическ ий к ритерий. Преж д е всего, введ ем след у ю щее оп ред елен ие. О ж ид а ем ой (т еорет ической) ча стот ой д ляклет ки ij, ра сп олож ен н ой н а п ересечен ии i-т ой ст роки и j-го ст олбца в та блиц е кросст а бу ляции, п ри вып олн ен ии н у левой гип от езы Н 0 н а зыва ет сявеличин а n i.*n.j/ n. Т еп ерь п ри у словии, чт о верн а м од ель, оп исыва ем а ян у левой гип от езой, вычисляет сяд лясра вн ен иян а блю д а ем ых и ож ид а ем ых (т еорет ических) ча ст от в

43

ка честве крит ериа льн ой ст а т ист ики крит ерий: s

r

χ 2факт . = ∑ ∑

i =1 j =1

след у ю щий м н огоклет очн ый χ2 -

(nij − ni. × n. j / n )2 ni. × n. j / n

.

(Зд есь r = 2, s = 4).

2

2

К ритическ ая область статистик и χ ф а кт . Ст а т ист ика χ ф а кт . ест ь м ера согла сия(близост и) н а блю д а ем ых и ож ид а ем ых ча стот . К рит ическа яоб2

ла ст ь ст а т ист ики χ ф а кт . – эт о обла ст ь, леж а ща явыш е р%-н ой крит ической т очки ра сп ред елен ияχ2 с df = (r – 1)(s – 1) ст еп ен ям свобод ы. И н а че 2

2

говоря, если н а п рин ят ом у ровн е зн а чим ост и р% χ ф а кт . > χ табл., гд е 2

χ та бл – крит ическое зн а чен ие ра сп ред елен ияхи-ква д ра т с числом ст еп ен ей свобод ы df = (r – 1)(s – 1), т о н у лева ягип от еза Н 0 от клон яет сяв п ользу а льт ерн а т ивн ой Н 1. Привед ё м т а блицу № 2 ож ид а ем ых ча ст от д ляра ссм а т рива ем ой исслед ова т ельской за д а чи, вычислен н у ю в ком п ью т ерн ой сист ем е STATISTICA – 5.5. Т аблица № 2 ож идаем ы х частот Ш к олы г . В оронеж а 1. Г им наз ия № 5 2. Ш к . - интернат № 4 И тогопо столбцам

О тм етк и по« АН А – 10-11» на Е Г Э – 2003 « 2» « 3» « 4» « 5» 8,09 30,76 37,78 25,36

В сегопо строк ам n1. = 102

6,9

26,24

32,22

21,63

n2. = 87

n.1 =1 6

n.2 = 56

n.3 = 70

n.4 = 47

n.. = n = 189

Т а к ка к n = 189 > 20 и н и д ляод н ой клетки ож ид а ем а яча стот а н е 2 м ен ьш е п ят и, т о н а м ечен н ое н а м и п рим ен ен ие крит ерияχ коррект н о (п о 1) К окрен у ) . П ринятиерешения. 1) По сп ец иа льн ой т а блице д ляд ву сторон н его крит ерияхи-ква д ра т н а п рин ят ом у ровн е зн а чим ост и р= 0,01 и числе ст еп ен ей 2

2

свобод ы df = 3 оп ред еляем , чт о χ та бл. = χ 3; 0,01 = 11,35. 2) С п ом ощью 2 ком п ью т ерн ой сист ем ы «STATISTICA – 5.5» н а ход им χ ф а кт .. = 42,87. 1)

Полла рд Д ж . Сп ра вочн ик п о вычислит ельн ым м ет од а м ст а т ист ики / Д ж . Полла рд . – М ., 1982. – С. 153 – 154.

44

2

2

3)Т а к ка к χ ф а кт . > χ та бл. н а у ровн е зн а чим ост и р= 0,01 (р% = 1%), т о н у лева ягип от еза Н 0 обод н ород н ост и выборок ш кольн иков д ву х ворон еж ских ш кол , отклон яет сяв п ользу а льт ерн а т ивн ой Н 1: ф а кт орст иляи у ровн яп ед а гогической д еят ельн ост и, созд а ю щий в д ву х ра зличн ых ш кола х с п ед а гогическим н а п ра влен ием п роф ессион а лиза ции ин т еллект у а льн о восп ит а т ельн у ю сред у , зн а чим о н а 1%-н ом у ровн е влияет н а общеш кольн ые п ока за т ели Е Г Э п о м а т ем а т ике: в гим н а зии № 5 он и зн а чим о выш е. Сист ем а STATISTICA – 5.5 д а ет более точн ый у ровен ь зн а чим ост и обн а ру ж ен н ых ра зличий, а им ен н о: р= 0,001 (р% = 0,1%). На п ом н им , чт о у ровен ь зн а чим ост и ст а т ист ического крит ерия– эт о вероят н ост ь от клон ен ияс его п ом ощью н у левой гип отезы Н 0, когд а он а в д ейст вит ельн ост и п ра вильн а я. И н а че говоря, м ет од ист -исслед ова т ель в 1 слу ча е из 1000 риску ет соверш ит ь ош ибку I род а , т о ест ь от вергн у т ь гип от езу Н 0, когд а он а п ра вильн а я, н о он этой ош ибкой п рен ебрега ет . М ера к орреляции двух приз нак ов « стиляп ед а гогической д еят ельн ост и в д ву х у ка за н н ых ш кола х г. Ворон еж а » и « у сп еш н ост и их вып у скн иков п ри сд а чи Е Г Э п о а лгебре и н а ча ла м а н а лиза » оп ред еляет сякоэф ф ициен т ом С кон т ин ген ции К . Пирсон а : χ2 факт . ≈ 0,43. C= n+ χ2 факт . Зам е чан ие 1. И звест н о, чт о зн а чен ияС м ен яю т сян а п олу ин т ерва ле [0;1). Д лясра вн ен иякоэф ф ициен тов С, п олу чен н ых д лят а блиц кросста бу ляции ра зличн ой ра зм ерн ост и, вычисляетсякоэф ф ициен т CП. соп ряж ё н н ост и Па влика :

C П. =

С С

max

, где Cmax =

r −1 , где r

r = min{r , s ).

0,43 = 0,43 ⋅ 2 = 0,61. Вн а ш ем слу ча е: C П. = 2 −1 2 Зам е чан ие 2.По а н а логии с ра ссм от рен н ой была п ост а влен а и реш ен а в сист ем е «STATISTICA – 5.5» за д а ча о влиян ии п ола вып у скн иков (n ю н . = 80, n д ев. = 79) ворон еж ской гим н а зии им ен и Н.Г . Ба сова н а от м ет ку п о «А лгебре и н а ча ла м а н а лиза : 10-11 кла сса » в п ед а гогическом эксп ерим ен т е 2 Е Г Э – 2003. Д ляэт их целей п о-п реж н ем у был п рим ен ен крит ерий χ К . Пирсон а и вычислялсякоэф ф ициен т кон т ин ген ции С. Резу льт а т ы ст а т ист ической обра бот ки выгляд ят след у ю щим обра зом . Фа кт ическое зн а чен ие

45

2

χ ф а кт . ока за лось ра вн ым 3,46. Э т о зн а чен ие н е зн а чим о д а ж е н а у ровн е р = 0,1 (зн а чим о лиш ь н а у ровн е р= 0,32, н о эт от у ровен ь в п сихологоп ед а гогической н а у ке и а км еологии н е п ризн а ё т сяза слу ж ива ю щим вн им а н ия). И н а че говоря, п о м а т ериа ла м ворон еж ской гим н а зии им ен и Н.Г . Ба сова н е у д а лось выявит ь влиян ие ф а ктора п ола н а высокие п ока за т ели вып олн ен иям а т ем а т ических т ест ов п о а лгебре и н а ча ла м а н а лиза н а Е Г Э – 2003. М ет од ика т ща т ельн ого кон ку рсн ого от бора ш кольн иков, п ост у п а ю щих п осле д евятого кла сса в п роф ильн ые д есят ые кла ссы гим н а зии, п озволяет сп роект ирова т ь д ост а т очн о од н ород н у ю восп ит а т ельн у ю и ин т еллект у а льн у ю сред у с точки зрен ияф а ктора п олового д им орф изм а (п о т ерм ин ологии Б.Г . А н а н ьева ).

46

ЗАК Л Ю ЧЕ Н И Е Е Г Э д олж ен ст а т ь обяза т ельн ой ф орм ой ит оговой а тт ест а ц ии вып у скн иков сред н их (п олн ых) ш кол, п о резу льт а т а м которой н а кон ку рсн ой осн ове осу ществляет сяп риё м в ву зы и ссу зы. В2005 год у п род олж а ет ся п роект ирова н ие н орм а т ивн ой п ра вовой ба зы д ляобесп ечен ияп ровед ен ия Е ГЭ вш т ат н ом р е ж им е , которое п ла н иру ет сяосу щест вит ь п оэт а п н о в 2006 - 2008 год а х н а всей т ерритории России. Введ ен ие Е Г Э н а ф ед ера льн ом у ровн е м ож ет ст а ть акм е ологиче ской т е хн ологие й эф ф ект ивн ого ст им у лирова н ия, н а п ра влен н ого н а ра звит ие п роф ессион а лизм а ка ж д ого п реп од а ва т еля/ у чит еляка к ин д ивид а , су бъект а , личн ост и, ин д ивид у а льн ост и. Вн ед рен ие т ест овых м етод ов а ка д ем ического кон т ролям а т ем а т ических зн а н ий п овысит н а д ё ж н ост ь оцен ок у чебн ых д ост иж ен ий (м икр о-, м е зо-, м акр оакм е ) ш кольн иков, что, в кон ечн ом счё т е, п ривед ё т к п овыш ен ию ка чества российского п р офил ьн ого м а т ем а т ического обра зова н ия. К онт рольны е вопрос ы и зад ания 1. Ра скройте сод ерж а н ие п он ят ия«эксп е р им е н т п о вве де н ию Е ГЭ ». 2. О босн у йт е а кт у а льн ост ь п ровед ен ияэксп ерим ен т а п о введ ен ию Е Г Э в отд ельн ой ш коле, ра йон е, регион е. 3. Сф орм у лиру йт е оп ред елен ияслед у ю щих м ет од ологических п он ят ий м ет од ики п реп од а ва н иям а т ем а т ики: « м е т од сист е м н ого п е дагогиче ского иссл е дован ия» ; « е ст е ст ве н н ы й » , « л абор ат ор н ы й » , « п р осп е кт ир ован н ы й » , « п р е обр азую щий » , « кон ст ат ир ую щий » , « ком п ью т е р изир ован н ы й » п е дагогиче ский эксп е р им е н т . 4. Ра скройте ф ед ера льн ые и регион а льн ые ресу рсы п ровед ен ияЕ Г Э . О ха ра кт еризу йт е сист ем у ин ф орм а цион н ой п од д ерж ки Е Г Э . 5. Сф орм у лиру йт е оп ред елен ие п он ят ия«кон трольн ые изм ерит ельн ые м а т ериа лы Е Г Э » и ра скройт е их м н огоу ровн еву ю стру кт у ру . 6. Д а йт е оп ред елен ияп он ят иям «т ру д н ост ь (п ла н иру ем а яу чит елем , реа льн а я)», «слож н ость» у чебн ого за д а н ия. К а кова роль коэф ф ициен т а кон корд а ции К ен д эла в оцен ке слож н ост и за д а ч? 7. К а ковы цели, осн овн ые п рин цип ы и п роблем ы т еории м оде л ир ован ия и п ар ам е т р изации п ед а гогических тест ов (п о Ю .М . Нейм а н у )? 8. Вчё м от личие п ра кт ико-ориен т ирова н н н ого п од ход а от п ред м ет н оориен т ирова н н ого п од ход а п ри кон ст ру ирова н ии т ест овых за д а н ий п о м а т ем а т ике? 9. О ха ра кт еризу йт е ст р укт ур у п е дагогиче ской де ят е л ьн ост и п реп од а ва т елям а т ем а т ики ка к т ест олога -п роф ессион а ла . Скон стру иру йт е п рим ерн у ю акм е оп р огр ам м у Ва ш его п роф ессион а льн ого ста н овлен ияка к п реп од а ва т еля-т естолога . 10.Сп роект иру йт е: 1) ф ра гм ен т у рока м а т ем а т ики п о п рим ен ен ию т е ст овой м е т одики кон т р оля м а т ем а т ических зн а н ий, у м ен ий, н а выков (задачн ы й п одход); 2) у рок м а т ем а т ики п о п од гот овке к Е Г Э н а осн ове кон цеп ц ии де ят е льн ост н ого п одхода.

47

Л И ТЕ РА Т У РА 1. А км еология: у чебн ик / К .А . А бу льха н ова -Сла вска я[и д р.]; п од общ. ред . А .А . Д ерка ча . – М . : И зд -во РА Г С, 2002. – 681с. – (У чебн ики РА Г С п ри Презид ен те Российской Фед ера ции) 2. А лгебра и н а ча ла а н а лиза : у чеб д ля10 кл. общеобра зова т . у чреж д ен ий / С.М . Никольский [и д р.]. – М . : Просвещен ие, 2001. – 383 с. 3. А лгебра и н а ча ла а н а лиза . 10 – 11 кл.: в д ву х ча ст ях. Ч 2: за д а чн ик д ляобщеобра зова т . у чреж д ен ий / А .Г . М орд кович [и д р.]; п од ред А .Г . М орд ковича .– М . : М н ем озин а , 2003.– 315 с. 4. А рн ольд В.И . И н т ервью /В.И . А рн ольд // К ва н т .– 1990.– № 7.– С.2– 7, 15. 5. Борисов И .И . О бесп ечен ие ка чест ва у н иверсит етского обра зова н ияв у словиях Болон ского п роцесса / И .И . Борисов, И .Г . К а релин а , В.П. Т роф им ов// Вест н . Ворон еж . гос. у н – т а . Сер. Проблем ы высш его обра зова н ия.– 2004.– № 1.– С.15– 18. 6. Воп росы п реп од а ва н иям а т ем а т ики / Ю .М . К олягин [и д р.] // М а т ем а т ика : Ш кольн а яэн ц иклоп ед ия/ п од ред . С.М . Никольского. – М ., 1997. – С.462 – 463. 7. Ворот н иков Д .А . И н д ивид у а льн ый п од ход к од а рен н ым п ри обу чен ии кон стру ирова н ию м а т ем а т ической теории за д а чи (н а п рим ере олим п иа д н ой за д а чи а ка д ем ика В.И . А рн ольд а ) / Д .А . Ворот н иков, В.Н. Д он цов, О .Ю . М а ка рен ков // Сборн ик т ру д ов м олод ых у чен ых м а т ем а т ического ф а ку льт ет а Ворон еж ского госу д а рст вен н ого у н иверсит ета . – Ворон еж , 2001. – С.43-48. 8. Вью н ова Н.И . Психологическа яготовн ост ь ребё н ка к обу чен ию в ш коле: п сихолого-п ед а гогические осн овы: у чеб. п особие / Н.И . Вью н ова , К .М . Г а йд а р, Л .В. Тем н ова . – М . : А ка д . Проект , 2003. – 253 с. 9. Г од н ик С.М . Ст а н овлен ие п роф ессион а льн ой ком п ет ен т н ост и у чит еля/ С.М . Г од н ик, Г .А . К озберг. – Ворон еж : Ворон еж . гос. у н -т , 2004. – 345 с. 10.Д он цов В.Н. У рок од н ой за д а чи п роект иру ет ст у д ен т -п ра кт ика н т / В.Н. Д он цов, М .В. Л окш ин , А .А . См ольян ов // Сборн ик ст а т ей а сп ира н т ов и ст у д ен тов м а т ем а т ического ф а ку льт ет а Ворон еж ского госу д а рст вен н ого у н иверсит ет а . – Ворон еж , 2000. – С.9-13. 11.Д ороф еев Г .В. Под гот овка к п исьм ен н ом у экза м ен у за ку рс сред н ей ш колы / Г .В. Д ороф еев, Г .К . М у ра вин , А .Г . Сед ова . – М ., 2000.– С.3– 352. 12.Е д ин ый госу д а рствен н ый экза м ен : м а т ем а т ика : 2004-2005: кон т рол. изм ерит. м а т ериа лы / Л .О . Д ен ищева [и д р.]; п од ред . Г .С. К ова лё вой. – М . : Просвещен ие, 2005. – 80 с. 13. М а н велов С.Г . К он стру ирова н ие соврем ен н ого у рока м а т ем а т ики / С.Г . М а н велов. – М .: Просвещен ие, 2002. – 175 с.

48

14.М а т ем а т ика . К он трольн ые изм ерит ельн ые м а т ериа лы ед ин ого госу д а рст вен н ого экза м ен а в 2003 г. – М . : Ц ен т рт ест ирова н ияМ ин обра зова н ияРоссии, 2003. – 65 с. 15. М ет од ы реш ен ияза д а ч п о а лгебре: от п рост ых д о са м ых слож н ых / С.В. К ра вцев [и д р.].– М . : Э кза м ен , 2003.– 544 с. 16.М ет од ы сист ем н ого п ед а гогического исслед ова н ия: у чеб. п особие / Н.В. К у зьм ин а , Г .В. Су ход ольский, В.Н. Д он цов; п од ред . Н.В. К у зьм ин ой. – М .: На р. обра зова н ие, 2002. – 208с. 17.М од ен ов В.П. М а т ем а т ика : п особие д ляп ост у п а ю щих в ву зы / В.П. М од ен ов. – М .: Нова яВолн а , 2002. – 800 с. 18. М орд кович А .Г . А лгебра и н а ча ла а н а лиза . 10– 11 кл.: в д ву х ча ст ях. Ч .1: у чеб. д ляобщеобра зова т . у чреж д ен ий.– М .: М н ем озин а , 2003.– 375 с. 19.М орд кович А .Г . А лгебра 8 кл. : у чебн ик д лякла ссов с у глу бл. изу ч. м а т ем а т ики /А .Г . М орд кович. – М .: М н ем озин а , 2002. – 280 с. 20.Нейм а н Ю .М . О сн овн ые п рин цип ы выст а влен ият ест ового ба лла п о резу льт а т а м Е Г Э // http://www.ege.ru/technology/ball_ege2003.html 21. О лехн ик С.Н. А лгебра и н а ча ла а н а лиза . У ра вн ен ияи н ера вен ст ва : у чебн о-м етод . п особие д ляу ча щихся10 – 11 кла ссов/ С.Н. О лехн ик, М .К . Пот а п ов, П.И . Па сичен ко.– М . : Э кза м ен , 1998.– 192 с. 22.О цен ка ка чест ва п од готовки вып у скн иков сред н ей (п олн ой) ш колы п о м а т ем а т ике / Г .В. Д ороф еев [и д р.] – М ., 2002. – С.3 – 48. 23. Проект отра слевого т ерм ин ологического ст а н д а рт а Ц ен т ра т ест ирова н ия// http://www.ege.ru/dict/dict1.htm 24.Розов Н.Х . Вечн ые воп росы о ш кольн ом ку рсе м а т ем а т ики. Ч ем у у чит ь? К а к п реп од а ва т ь?/Н.Х . Розов//М а т ем а т ика в ш коле.– 1999. – № 6.– С.36– 41. 25.Ряза н овский А .Р. А лгебра и н а ча ла а н а лиза : 500 сп особов и м етод ов реш ен ияза д а ч п о м а т ем а т ике д ляш кольн иков и п ост у п а ю щих в ву зы / А .Р. Ряза н овский.– М ., 2001.– С.3– 480. 26. Са ра н цев Г .И . М ет од ика обу чен иям а т ем а т ике в сред н ей ш коле: у чеб. п особие д ляст у д ен тов м а т . сп ец. п ед . ву зов и у н – т ов / Г .И . Са ра н цев.– М . : Просвещен ие, 2002. – 224с. 27. Сла ст ен ин В.А . Пед а гогика : ин н ова цион н а яд еятельн ост ь / В.А . Сла ст ё н ин , Л .С. Под ым ова .– М . : М а гист р, 1997. – 224 с. 28. Т ест овые кон трольн ые ра бот ы п о м а т ем а т ике : сод ерж а н ие, а н а лиз резу льт а т ов, м етод ические реком ен д а ц ии / Ю .А . Са вин ков [и д р.]. – Ворон еж : ВО И ПК РО , 2002. – 87 с. 29. Фу н кции. У ра вн ен ия. Нера вен ст ва . / М .К . Пот а п ов [и д р.] – М .: И зд а т ельский отд ел У НЦ Д О М Г У , 1995. – 164с. 30.Ш а рыгин И .Ф. Реш ен ие за д а ч: у чеб. п особие д ля11 кл. сред . ш к. / И .Ф. Ш а рыгин , В.И . Г олу бев.– М .: Просвещен ие, 1996.– 384 с.

49

П Р И Л О Ж Е Н И Е А. П рим енениек ом пью терной систем ы « Mathematica-5» при дидак тическ ом к онструировании слайдов к з анятию Вцелях эргологической ра цион а лиза ции п ед а гогической д еят ельн ост и и п овыш ен ияеё ка чества п олезн о н а чин а ю щем у у чит елю / п реп од а ва т елю м а т ем а т ики ш ироко исп ользова т ь возм ож н ост и ком п ью т ерн ых м а т ем а т ических сист ем , кот орые п озволяю т , в ча ст н ост и, оп ера т ивн о: - у ст ра н ят ь н еп олн от у в сп иска х от вет ов, им ею щихсяв д ейст ву ю щих у чебн ика х, у чебн ых п особиях и сборн ика х за д а ч; - визу а лизирова ть н екоторые т еорет ические п олож ен ия, кон ст ру иру ясоответству ю щие гра ф ические обра зы в ф орм е сла йд ов; - д оку м ен т ирова т ь и иера рхизирова т ь м ет од ические резу льт а т ы п ед а гогической д еят ельн ост и. Выд елим а сп ект , связа н н ый с визу а лиза цией, созд а н ием н а ком п ью т ере гра ф ических обра зов в ф орм е сла йд ов. Вп сихолого-п ед а гогической и м ет од ической лит ера т у ре обычн о выд еляю т т ри осн овн ых вид а н а гляд н ых п особий, д ем он стриру ем ых с п ом ощью Т СО : эп ид иа гра м м у , код огра м м у и сла йд (д иа п озит ив). 1. Э п ид иа гра м м а – это у чебн ый (д ид а кт ический) м а т ериа л в вид е н еп розра чн ого черт еж а , рису н ка , 2- или 3-м ерн ого гра ф ика , т екст а , д ем он ст риру ем ого с п ом ощью эп ископ а в сп ециа льн о за т ем н ё н н ом п ом ещен ии в целях ст а т ической д ем он ст ра ции. 2. К од огра м м а – эт о д ид а кт ический м а т ериа л в вид е у чебн ого текст а , рису н ка черт еж а , гра ф ика , вып олн ен н ый н а п розра чн ой п од лож ке (п лё н ке), п роец иру ем ый н а освет лё н н у ю кла ссн у ю д оску в освет лё н н ом п ом ещен ии и п озволяю щий ком бин ирова ть (н а кла д ыва т ь, п ерем еща т ь, д остра ива т ь) его с д ру гим а н а логичн ым и м а т ериа ла м и. 3. Сла йд (д иа п озит ив) – эт о д ид а кт ический м а т ериа л, вып олн ен н ый н а п розра чн ой п од лож ке (п лё н ке), п роециру ем ый н а белый экра н в за т ем н ё н н ом п ом ещен ии с целью ст а т ической д ем он стра ции и а н а лиза . Привед ё м п рим ерисп ользова н ияком п ью т ерн ой сист ем ы «Mathematica-5» п ри д ид а кт ическом кон ст ру ирова н ии сла йд ов к у рока м м а т ем а т ики. Выд елим а сп ект, связа н н ый с визу а лиза цией, созд а н ием н а ком п ью т ере гра ф ических сла йд ов Всоврем ен н ых у словиях ком п ью т ериза ции ш колы ва ж н у ю роль в п ед а гогической д еят ельн ост и игра ет м у льт им ед ийн ый п роект ор, п ред ст а вляю щий собой п роекцион н ое у стройст во, ф у н кцион иру ю щее п од у п ра влен ием ком п ью т ера и т ехн ологически п озволяю щее ин т егрирова т ь в ком п ь-

50

ю т ере всё м н огообра зие возм ож н ых ин ф орм а ц ион н ых сообщен ий: т екст , гра ф ику , а н им а цию , а у д ио- и вид еосообщен ияс целью а кт ивн ого возд ейст виян а у чен ика или вза им од ействияс п реп од а ва т елем -оп ера т ором в реа льн ом м а сш т а бе врем ен и. С 1998 г. ком п ью т ерсчит а ет сям у льт им ед ийн ым , если у н его, п о м ен ьш ей м ере, п роцессор– Pentium, т а кт ова яча ст от а – 166 М Г ц, оп ера т ивн а яп а м ят ь – 16 М ба йт , НЖ М Д – 2 Г ба йт а и т.д . П рим ер 1 Вп . 2.2 гла вы I ра ссм а т рива лсягра ф ический сп особ от бора корн ей т ригон ом ет рического у ра вн ен ия. Возн икла д ид а кт ическа яза д а ча кон ст ру ирова н иясла йд а с изобра ж ен ием н а т ригон ом етрическом кру ге д ву х п од м н ож ест в корн ей. О собен н остью кон ст ру ирова н ияв ра ссм а т рива ем ом п рим ере ин т ера кт ивн ого д иа лога с сист ем ой «Mathematica – 5» являет сяп рим ен ен ие, н а ряд у с д ву м явстроен н ым и ф у н кц иям и Plot и ListPlot сп ециа лизирова н н ых п а кет ов (п од д иректорий) `Arrow` и `ImplicitPlot`, сод ерж а щихсяв ст а н д а рт н ом ра сш ирен ии Graphics. Под д ирект ория`Arrow` п озволяет изобра ж а т ь н а гра ф ика х стрелки. Под клю чен ие к сист ем е п а кет а `Arrow` из ст а н д а рт н ого д оп олн ен ияGraphics след у ю щее: во ввод н ой ст роке н а д о н а бра т ь ком а н д у << Graphics`Arrow` и н а ж а т ь од н оврем ен н о кла виш и Shift и Enter. А н а логичн о п од клю чен ие п а кет а `ImplicitPlot`: во ввод н ой ст роке н а д о н а бра т ь ком а н д у << Graphics`ImplicitPlot`, и н а ж а т ь од н оврем ен н о кла виш и Shift и Enter. Пом им о эт ого ст а н д а рт н ое д оп олн ен ие Graphics п озволяет изобра зит ь т екст н а гра ф ике ка к гра ф ический п рим ит ив. Д ляком бин ирова н иягра ф иков н а од н ом черт еж е исп ользу ет сясп ециа льн а явстроен н а яф у н кция Show. Под робн ое оп иса н ие исп ользова н иявсех у ка за н н ых ф у н кций сод ерж ит ся, н а п рим ер, в кн иге: Д ьякон ов В.П. Mathematica 4: у чеб. ку рс /В.Д ьякон ов. – СПб: Питер, 2001. – 56 с. Возм ож н ый а лгорит м ин т ера кт ивн ого д иа лога с ком п ью т ерн ой сист ем ой «Mathematica – 5.0» п ри реш ен ии п ост а влен н ой в н а ча ле п у н кт а д ид а кт ической за д а чи и его резу льт а т (гра ф ик) т а ков.

B :88 <:Џ <Џ >:Џ8Џ<> 8 @ D < : ЏЏ Џ Џ > : Џ Џ >F

p1 = ListPlot

1, 1 ,

1

2

,

1

2

, -

1

2

,-

1

, PlotJoined ® True ,

2

AxesLabel ® "X", "Y" , AxesOrigin ® 0, 0 , AxesStyle ® Thickness .01 , 1 1 2 2 Ticks ® - 1, , ,, ,1 , 2 2 13 13 3 3 - 1, 1, , ; 13 13

Џ!!! Џ!Џ!!!! Џ!!Џ!!!

51

Y 3 1

ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ

13

2 1

1 2

ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ ЂЂЂЂЂЂЂЂ ЂЂ ЂЂЂЂ

- ЂЂЂЂЂЂЂЂ - ЂЂЂЂЂЂЂЂ ЂЂЂЂ ЂЂЂЂЂЂ

2 13

p5 = ListPlot p2 = ListPlot

1

X

13 2

@ 8 < 8 < D B :8<:Џ Џ >:Џ Џ > F 1, - 1.5 , 1, 1.5 , PlotJoined ® True ; 2 3 2 3 1, 1.5 , , , ,13 13 13 13

, PlotJoined ® True ;

1.5

1 0.5 - 0.5 - 0.25 - 0.5

0.25

0.5

0.75

1

@ 8D 8@ <<8
<< Graphics`ImplicitPlot` << Graphics`Arrow` p3 = ImplicitPlot x2 + y2 Љ 1, x, - 1, 1 , y, - 1, 1 , PlotStyle ® Thickness .01 , PlotPoints ® 100 ;

1

0.5

0

- 0.5

- 1 -1

@ 8 < 8 < 8 @ D < D 8 < - 0.5

0

0.5

1

p4 = ImplicitPlot x - 1 Љ 0, x, .5, 1.2 , y, - 1.5, 1.5 , PlotStyle ® Thickness .01 $TextStyle = FontFamily ® "Times ", FontSize ® 14, PageWidth ® Infinity ;

;

B : @ 8 < D B 8 < F B:Џ Џ > F@ 8< D@ 8< D @ 8< DB:Џ Џ > F B:Џ Џ > F@ 8< D B@ :Џ@ > F > F Џ 8 < 8 < D @ 8@ < 8 @ 8 < 8 < D 8<8D < D@ 8 <8 < D < 8<

txt = Graphics

Text "tg x", 1, 1.7 , Text "

Text "ж",

2

3

,

13

p 4

52

", .4, .15 ,

, Text "0", .065 , - .07 , Text "1", .95, - .07 ,

13

Text "ж", 1, 1.5 , Text "ж", -

2

,-

13

Text "m",

Text "m", -

1

2 1

1

,

3

,

13

, Text "m", 1, 1 ,

2

,-

1

; 2 2 g1 = Graphics Circle 0, 0 , .3, 0, .25 * p ; Show p1, p2, p3, p4, txt, g1 , Epilog ® Arrow .9, 0 , 1.07 , 0 , Arrow 0, 1.6 , 0, 1.812 , Arrow 1, 1.55 , 1, 1.61 , ImageSize ® 550 , 550 , AspectRatio ® Automatic ; Y tg x ж

Џ!!!

m

1 3 ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ 13

-1

Џ!!Џ!!! ж

m

p ЂЂЂЂЂ 4

1 2 - ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ - ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ 2 13

m

ж

0

Џ!!!

3 - ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ 13 -1

Џ!!!Џ!!

2 1 ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ Ђ 13 2

11

X

53

П рим ер 2 При исслед ова н ии количест ва корн ей у ра вн ен ия х+ 1 − х2 = а с п а ра м ет ром а возн ика ет н еобход им ость п резен т а ции н а у роке сла йд а с изобра ж ен ием в коорд ин а т н ой п лоскост и хО а гра ф ика ф у н кции а(х) = х+ 1 − х2 . Возм ож н ый а лгорит м ин тера кт ивн ого д иа лога с ком п ью т ерн ой сист ем ой «Mathematica – 5» и его резу льт а т (гра ф ик) т а ков.

" B F B88<< 88 <@ 8 < D < : Џ "Џ >: "> :88<: @ > D < F 1 - x2 ;

a1 = Abs x +

p1 = Plot a1, x, - 1, 1. , PlotRange ® - 0.3, 1.8 , AxesLabel ® "x", "a" , AxesOrigin ® 0, 0 , AxesStyle ® T hickness 0.01 , 1 1 Ticks ® - 1, , - 0.5, 0.5, , 1 , - 0.1, 0.5, 1, 1.2, 2 2 GridLines ®

, - .2, 0.4, 1, 1.2,

2

,

2 , 1.55 ,

Џ!!

PlotStyle ® Thickness 0.01 , PlotPoints ® 100 ;

a

2 1.2 1

Џ!B !:8<8<:Џ!Џ!>:Џ > 0.5

1- 0.5- 0.1 - 1- ЂЂЂЂЂЂЂЂ ЂЂЂЂ 2

1 1 0.5ЂЂЂЂЂЂЂЂ ЂЂЂЂ 2

x

8<:Џ ">8< > 8@ D@ D < F 8@ < 8 < 8 < 8 @ D @ 8 < D @ D < D "> B 8 < : Џ 8 @ D @ 8 < D @ D < F @ 8 <@ 88 @ D<@ 8< D D < D

p2 = ListPlot

- 1, 1 , 1, 0 , -

1

2

1, 1 ,

1

,

,0 ,

1

,0 ,

2

2 , 0, 1 , PlotStyle ® GrayLevel 0 , PointSize 0.02

2

<< Graphics`Arrow` << Graphics`ImplicitPlot` $TextStyle = FontFamily ® "Times", FontSize ® 16, PageWidth ® Infinity ; p3 = ImplicitPlot x + 1 Љ 0, x, - 1.1, 0 , a, 0, 1 , PlotStyle ® GrayLevel 0 , Dashing .03 , Thickness 0.001 ; 1 p4 = ImplicitPlot x Љ 0, x, .5, 1.01 , a, 0, 2 , 2

PlotStyle ® GrayLevel 0 , Dashing . 03 , Thickness 0.001

;

p5 = ImplicitPlot x - 1 Љ 0, x, .5, 1.01 , a, 0, 1 , PlotStyle ® GrayLevel 0 , Dashing .03 , Thickness 0.001

;

;

54

" :BB B H L И И 8 < F @ 8 < D "" 8 < F F B " HЏ L8 < B 8 < F @ H L 8 < D @ 8 < D B HЏ L8 < F" @ 8 < D B H L : > F Џ Џ @ HL8 < D@ HL8 < D > F @ 8@ < 8 @ 8 < 8 < D 8<8 < D < 8< D

txt = Graphics Text "a x = x+

1 - x2 ", 0.9, 1.5 , Text "0", 0.04, - 0.06 ,

Text "п ри а >

2 : н ет корн ей", - 0.7, 1.6 ,

Text "п ри а =

2 : 1 корен ь xед . =

Text "п ри 1< а <

1

", - 0.6, 1.465 ,

2

2 : 2 корн я", - 0.7, 1.245 ,

Text "п ри а = 1: 3 корн я - 1;0;+1 ", - 0.65, 1.045 , Text "п ри 0< а <1: 2 корн я", - 0.67, 0.445 , 1 Text "п ри а = 0: 1 корен ь xед .= ", - 0.6, .065 , 2 1 Text "п ри а <0: н ет корн ей", - 0.7, - .18 , Text " ; 2 Text " - 1;- 1 ", - .9, .95 , Text " 1;1 ", . 95, .95

1

2 ",

, 1.3 ,

2

;

Show p1, p2, p3, p4, p5, txt , Epilog ® Arrow 1, 0 , 1.0799999, 0 , Arrow 0, 1.79 , 0, 1.8299 , ImageSize ® 550, 550 , AspectRatio ® Automatic ;

Џ! ! Џ!! HЏ!!L Џ! ! Џ!! H L HL a

п ри а > п ри а =

Џ! ! ! ! H L И И H Џ!!Џ!!L HL

2 : н ет корн ей

1 2 : 1 корен ь xед. = ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ 2

п ри 1< а < 2 : 2 корн я

п ри а = 1: 3 корн я - 1;0;+ 1 - 1;- 1

п ри 0< а < 1: 2 корн я

a x = x+ 1 - x2

2

1

ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ; 2

2

1.2 1

1;1

0.5

HЏ!!L Џ!!

1 п ри а = 0: 1 корен ь xед. = - ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ 2 1 0 -1 - ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ - 0.5 - 0.1 п ри а < 0: н 2ет корн ей

0.5

Џ!! 1

ЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂЂ

2

x 1

55

П РИ Л О Ж Е Н И Е Б. Эм пирическ ием атериалы педаг ог ическ ог оэк сперим ента Е Г Э-2003 и Е Г Э-2004 пом атем атик ев шк олах г орода В оронеж а

Р ис.1.

Рис. 2.

56

К оэф ф ициен т ы ка чест ва (%) обу чен иям а т ем а т ике п о резу льт а т а м п ед а гогического эксп ерим ен т а Е Г Э -2003

Р айо н ы

г. В о р о н еж а

Ж е л е зно д о р о жны й Ко м инте р но вск ий Ц е нтр ал ьны й Ле во бе р е жны й Ле нинск ий Со ве тск ий

Р ис. 3.

57

Р ис. 4.

58

Р ис. 5.

59

А вт ор: ка н д ид а т п ед а гогических н а у к, д оцен т , член -корр. М А А Н Д он цов Ва д им Никола евич Ред а кт орТ ихом ирова О .А .