الرياضيات للصف السادس العلمي

‫جمهورية العراق‬ ‫وزارة التربية‬ ‫املديرية العامة للمناهج‬

‫الريا�ضيات‬ ‫للصف السادس العلمي‬

‫المؤلفون‬ ‫الدكتور طارق شعبان رجب الحديثي‬

‫الدكتور رحيــم يــونس كـــــــرو‬

‫محمـــد عبــد الغفــــور الجواهـــــري‬

‫منعـــــم حســـــيـن التميـــمـــي‬

‫يــــوســــف شـــريـــــــف المعـمـــــار‬

‫جعفـــــر رضا هاشم الزبيــــــدي‬

‫امل�شرف العلمي على الطبع‪ :‬د‪.‬طارق �شعبان رجب احلديثي‬ ‫امل�شرف الفني على الطبـع ‪ :‬حممد �سعدي عزيز العبيـدي‬

‫رقم االيداع في دار الكتب والوثائق ببغداد ‪ 855‬لسنة ‪2010‬‬

‫مقدمة‬ ‫لقد ظهرت في الكثير من دول العالم املتقدم مناهج حديثة في الرياضيات‪ ،‬وطرائق جديدة لتناولها كانت‬ ‫سبب ًا في حركة ديناميكية ف ّعالة أثرت في العملية التعليمية في املدارس واجلامعات‪ ،‬وأحدثت فيها تطوير ًا‬ ‫جذرياً‪ ،‬وعليه أصبح من الضروري أن يلتحق العراق بهذا الركب وان يسارع في العمل لتطوير مناهج التعليم‬ ‫واساليبه وخاصة في الرياضيات التي تلعب دور ًا طليعي ًا في إرساء دعائم احلضارة واملدنية‪ ،‬فهناك عالقة‬ ‫طردية بني احتياجات التنمية الصناعية والزراعية واملدنية‪ ،‬والتكنولوجيه واالقتصادية بصفة خاصة وبني‬ ‫مناهج الرياضيات في املؤسسات التعليمية مبختلف مستوياتها ‪.‬‬ ‫وفي ضوء خطة تطوير املناهج الدراسية عامة ومناهج الرياضيات خاصة مت تأليف هذا الكتاب الذي هو‬ ‫آخر حلقة من سلسلة الرياضيات قبل اجلامعية‪ ،‬اذ تقع مادة هذا الكتاب في ستة فصول‪ ،‬تناول الفصل االول‬ ‫االعداد املركبة‪ ،‬والعمليات عليها وايجاد اجلذور وخواصها ‪ ،‬وحل معادالت من الدرجة الثانية في مجموعة‬ ‫االعداد املركبة‪ ،‬واالحداثيات القطبية واخير ًا مقياس العدد املركب وسعته وكتابته بداللتيهما‪.‬‬ ‫اما الفصل الثاني فقد احتوى على القطوع املخروطية متضمنة القطوع املخروطية (املكافيء‪ ،‬الناقص‪،‬‬ ‫الزائد) واملعادلة القياسية لكل منها في حاالت مختلفة‪ ،‬واالختالف املركزي لكل قطع مخروطي ‪.‬‬ ‫واشتمل الفصل الثالث على املشتقات العليا للدوال القابلة لالشتقاق واملعدّ الت الزمنية‬ ‫والقيم العظمى والصغرى احمللية ومبرهنة رول ومبرهنة القيمة املتوسطة والتقريب باستخدامها‪ ،‬والتقعر‬ ‫والتحدب ورسم بيان بعض كثيرات احلدود واحلدوديات النسبية‪ ،‬اما اشتقاق الدوال االسية واللوغارمتية‬ ‫فقد عرضت في الفصل الرابع الذي احتوى على موضوع التكامل وتطبيقاته‪ ،‬اذ مت التطرق الى التجزئة‬ ‫املنتظمة ومجموع رميان لكن بصورة مبسطة وعن طريق االمثلة بهدف التوصل الى املبرهنة االساسية للتفاضل‬ ‫والتكامل‪.‬‬ ‫ثم التركيز على ايجاد تكامالت الدوال اجلبرية واللوغارمتية واالسية والدائرية وايجاد املساحة بني منحنيني‬ ‫وبني منحني ومحور السينات وحجوم املجسمات الدورانية واحتوى الفصل اخلامس على موضوع املعادالت‬ ‫التفاضلية والذي اقتصر على املفاهيم اخلاصة باملعادالت التفاضلية (الرتبة‪ ،‬الدرجة‪ ،‬احلل)‪.‬‬ ‫ولم يركز عند حل املعادالت التفاضلية اال على فصل املتغيرات‪ ،‬واملعادالت املتجانسة‪.‬‬ ‫اما الفصل االخير فقد تضمن تكملة ملا درسه الطالب في الصف اخلامس العلمي من مادة الهندسة‬ ‫املجسمة واملتعلقة بالزاوية الزوجية واملستويات املتعامدة ومفاهيم االسقاط العمودي واملبرهنات املتعلقة‬ ‫بهذه املوضوعات كما اشتمل هذا الفصل على مساحات وحجوم بعض املجسمات ‪.‬‬ ‫وقد روعي في هذا الكتاب وجود قدر كاف من التطبيقات احلياتية والفيزيائية واالمثلة واملسائل والتمرينات‬ ‫املنوعة ‪ ،‬وتوخينا جهد امكاننا ان تترابط موضوعات هذا الكتاب مع كتب الرياضيات للصفوف التي سبقته‬ ‫ومع ما يدرسه الطلبة في دراستهم الالحقة فض ً‬ ‫ال عن مراعاة الفروق الفردية بني الطلبة‪.‬‬ ‫كما نثمن جهود اخلبيرين العلميني اللذين ساهما باجناز هذا الكتاب وهما‪:‬‬ ‫الدكتور علي يوسف عبد اهلل‬ ‫الدكتور نوري فرحان عذاب‬ ‫آملني ان نكون قد وفقنا في ذلك كله ‪ ،‬ومرحبني بكل نقد بناء من الطلبة واولياء امورهم او مدرسيهم او‬ ‫من ذوي االختصاص واالهتمام إلثراء الكتاب وتطويره‬

‫واهلل ولي التوفيق‬

‫املؤلفون‬

‫المحتويات‬

‫‪1‬‬

‫الفصل االول‬

‫(‪ )15‬حصـة‬

‫‪5‬‬

‫‪47‬‬

‫‪2‬‬

‫الفصل الثاني‬

‫(‪ )15‬حصـة‬

‫‪48‬‬

‫‪89‬‬

‫‪3‬‬

‫الفصل الثالث (‪ )40‬حصـة‬

‫‪151 90‬‬

‫‪4‬‬

‫الفصل الرابع‬

‫(‪ )30‬حصـة‬

‫‪213 152‬‬

‫‪5‬‬

‫الفصل اخلامس (‪ )15‬حصـة‬

‫‪233 214‬‬

‫‪6‬‬

‫الفصل السادس (‪ )10‬حصص‬

‫‪258 234‬‬

‫‬

‫‪1‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex numbers‬‬

‫الف�صل االول‬ ‫‪Chapter One‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫[‪]1-1‬‬

‫احلاجة الى توسيع مجموعة االعداد احلقيقية‪.‬‬

‫[‪]1-2‬‬

‫العمليات على مجموعة االعداد املركبة‪.‬‬

‫[‪]1-3‬‬

‫مرافق العدد املركب‪.‬‬

‫[‪]1-4‬‬

‫اجلذور التربيعية للعدد املركب‪.‬‬

‫[‪]1-5‬‬

‫حل املعادلة التربيعية في ‪.C‬‬

‫[‪]1-6‬‬

‫اجلذور التكعيبية للواحد الصحيح‪.‬‬

‫[‪]1-7‬‬

‫التمثيل الهندسي لالعداد املركبة‪.‬‬

‫[‪]1-8‬‬

‫الصيغة القطبية للعدد املركب‪.‬‬

‫[‪]1-9‬‬

‫مبرهنة دميواڤر‪.‬‬

‫املصطلح‬

‫اجلزء احلقيقي للعدد ‪R (z):z‬‬ ‫اجلزء التخيلي للعدد ‪I (z): z‬‬ ‫سعة العدد املركب ‪z‬‬ ‫مقياس العدد املركب ‪z‬‬ ‫الطرف االيسر‬ ‫الطرف االمين‬ ‫رمز االعداد الطبيعية‬ ‫رمز االعداد الصحيحة‬ ‫رمز االعداد النسبية‬ ‫رمز االعداد احلقيقية‬ ‫رمز االعداد املركبة‬

‫الرمز او العالقة الرياضية‬ ‫‪R(z) = x = r cos θ‬‬ ‫‪I (z) = y = r sin θ‬‬ ‫‪arg (z) = θ‬‬ ‫‪r = ||z|| = mod z‬‬ ‫‪LHS‬‬ ‫‪RHS‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪R‬‬

‫‪ £‬‬

‫‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬

‫[‪ ]1-1‬احلاجة الى توسيع مجموعة االعداد احلقيقية‪.‬‬ ‫لقد درسنا في الصفوف السابقة حل املعادلة اخلطية (‪ ،)Linear Equation‬وعرفنا انه يوجد حل‬ ‫واحد في مجموعة االعداد احلقيقية الية معادلة خطية‪.‬‬ ‫وعند دراستنا للمعادلة التربيعية تبني أنه لنوع معني منها حل في مجموعة االعداد احلقيقية‪ ،‬ونوع آخر ال‬ ‫يوجد لها حل في هذه املجموعة‪ ،‬مثل املعادالت ‪ )x2 + 4x+ 5 =0) ، ( x2 + 1 = 0(:‬وكما تعلمت‬ ‫ان املعادالت التربيعية التي يكون مميزها (‪ )b2 - 4ac‬عدد ًا سالب ًا ال يوجد لها حل في مجموعة االعداد‬ ‫احلقيقية‪.‬‬ ‫ان ظهور مثل هذه املعادالت في العديد من التطبيقات الفيزياوية والهندسية ادى الى احلاجة الى توسيع‬ ‫مجموعة االعداد احلقيقية الى مجموعة اوسع منها هي مجموعة االعداد املركبة والتي سوف تكون موضوع‬ ‫دراستنا في هذا الفصل‪.‬‬ ‫إننا عندما نريد حل املعادلة (‪ )x2+1=0‬أو (‪ )x2=-1‬الجند عدد ًا حقيقي ًا مربعه يساوي (‪)-1‬‬ ‫لذلك نفترض وجود عدد يساوي ‪ −1‬وهو غير حقيقي ونرمز له بالرمز (‪ )i‬ويسمى الوحدة التخيلية‬ ‫(‪ )Imaginary Unit‬وهو ليس من االعداد التي تقرن مع العد أو القياس‪.‬‬ ‫إن العدد (‪ )i‬يحقق اخلواص اجلبرية لالعداد احلقيقية ما عدا خاصية الترتيب‪ ،‬ولهذا نستطيع حساب‬ ‫قوى (‪ )i‬كما في األمثلة اآلتية‪:‬‬

‫‪i2 = -1‬‬ ‫‪i3 = i2. i = (-1).i = -i‬‬ ‫‪i4 = i2. i2 = (-1) (-1) = 1‬‬ ‫‪i27 = i26.i = (i2)13.i = (-1)13.i = -i‬‬ ‫‪i81 = i80.i= (i2)40.i = (-1)40.i = 1.i = i‬‬ ‫‪i-7 = (i)-8.i = (i2)-4.i = (-1)-4 . i = i‬‬ ‫‪i-15= i-16.i = (i2)-8.i = (-1)-8 . i = i‬‬

‫‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫وبصورة عامة يكون‬

‫حيث ‪i4n+r = ir , n ∈N , r= 0, 1, 2, 3‬‬

‫وهذا يعني انه عند رفع (‪ )i‬لعدد صحيح موجب فالناجت يكون احد عناصر املجموعة { ‪}- i, i , -1 ,1‬‬ ‫حيث نقسم أس (‪ )i‬على (‪ )4‬والباقي هو األس اجلديد الى (‪.)i‬‬

‫فمث ً‬ ‫ال ‪:‬‬

‫مثال‪-1 -‬‬

‫‪i25 = i‬‬ ‫‪i99 = i3 = -i‬‬

‫ألن ناجت قسمة ‪ 25‬على ‪ 4‬يساوي ‪ 6‬والباقي ‪.1‬‬ ‫ألن ناجت قسمة ‪ 99‬على ‪ 4‬يساوي ‪ 24‬والباقي ‪. 3‬‬

‫اكتب ما يلي في ابسط صورة‪:‬‬

‫‪(a) i16 (b) i58 (c) i93 (d) i-13‬‬

‫احلل‪:‬‬ ‫‪(a) i16 = i4 (4) + 0 = i0 = 1‬‬ ‫‪(b) i58 = i4 (14) + 2 = i2 = -1‬‬ ‫‪(c) i93 = i4(23)+1 = i1 = i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪i16‬‬ ‫‪-13‬‬ ‫‪(d) i = 13 = 13 =i3 = -i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬

‫مالحظـة‬

‫ميكننا كتابة اجلذور ألي عدد حقيقي سالب بداللة ‪ i‬فمث ً‬ ‫ال‪:‬‬ ‫‪−16 = 16 . −1 = 4 ii‬‬ ‫‪−25 = 25 . −1 = 5 ii‬‬ ‫‪−12 = 12 . −1 = 2 3 ii‬‬ ‫‪−15 = 15 . −1 = 15 ii‬‬

‫‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫وبصورة عامة يكون‬

‫‪if a ≥ 0 then −a = a . −1 = a ii , ∀ a≥0‬‬

‫واآلن بعد أن تعرفنا على العدد التخيلي ماذا نسمي العدد (‪ )a+bi‬حيث ‪ a‬عدد حقيقي‪ b ،‬عدد‬ ‫حقيقي‪ −1 = ii،‬؟‬ ‫تعـــريـف [‪]1-1‬‬ ‫يقــــال للعــــدد ‪ c = a+bi‬حيــث ‪ a,b‬عـــددان حقيقيـان ‪−1 = i i‬‬

‫مـــــركب‬ ‫عــــد ٌد‬ ‫ٌ‬

‫(‪ ،)Complex Number‬يسمى ‪ a‬جزؤه احلقيقي( ‪ ) Real Part‬ويسمى ‪ b‬جزؤه التخيلي‬ ‫(‪ .)Imaginary Part‬ويرمز الى مجموعة االعداد املركبة بالرمز ‪ £‬ويقال للصيغة ‪a +bi‬‬ ‫الصيغة العادية أو الصيغة اجلبرية للعدد املركب‪.‬‬

‫ان اي عدد مركب ‪ c = a + bi‬ميكن جعله مناظر ًا للزوج‬ ‫مالحظـة‬ ‫املرتب الوحيد (‪)a,b‬‬ ‫اذ أن ‪ b,a‬عددان حقيقيان‪ ،‬وبالعكس فالعدد احلقيقي ‪ a‬ميكن كتابته بالشكل ‪ a+0i‬أو (‪ .)a,0‬وان‬ ‫العدد ‪ ) Imaginary Unit) i‬حيث ان‪ i ⇔ (0,1 ( :‬او ‪. i= 0+1i‬‬ ‫يقال للعدد ‪ )0 , b( ⇔ bi‬عدد تخيلي بحت ( ‪ )pure Imaginary Number‬ويقال‬ ‫للعدد ‪ )a , 0( ⇔ a= a+0i‬إنه عدد حقيقي بحت (‪. )Pure Real Number‬‬ ‫فالعدد ‪ -2 + 3i‬عدد مركب ‪ ،‬جزؤه احلقيقي‬

‫‪ -2‬وجزؤه التخيلي ‪3‬‬

‫عدد مركب ‪ ،‬جزؤه احلقيقي‬

‫‪ -2‬وجزؤه التخيلي ‪0‬‬

‫والعدد‬

‫‪-2‬‬

‫اما العدد ‪-3i‬‬

‫‬

‫فهي عدد مركب ‪ ،‬جزؤه احلقيقي ‪ 0‬وجزؤه التخيلي ‪-3‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫مثال‪-2 -‬‬

‫اكتب األعداد اآلتية على صورة ‪: a+bi‬‬ ‫‪d) 1+ −25‬‬ ‫‪4‬‬

‫احلل‪:‬‬

‫‪c)−1− −3‬‬

‫‪b) −100‬‬

‫‪a)− 5‬‬

‫‪− 5 = −5 + 0a)i − 5 = −5 + 0 ii‬‬ ‫‪−1 =i10 i = 0 +10 ii‬‬ ‫)‪−100 = b‬‬ ‫‪100 −100‬‬ ‫‪−1 = =10 100‬‬ ‫‪i = 0 +10‬‬

‫‪−1 −3 −3‬‬ ‫)‪−1 − −3 c‬‬ ‫‪= −1−‬‬ ‫‪−1==−1−‬‬ ‫‪−1− 33 ii−1 = −1− 3 i‬‬

‫‪1+ −25 1 1+ 25−25−1 1 1 25‬‬ ‫‪5 i−1 1 5 i‬‬ ‫‪== ++ i‬‬ ‫‪= + i‬‬ ‫‪= d)+‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪44 4 4‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫مبا ان كل عدد حقيقي ‪ a‬ميكن كتابته بالشكل ‪ a+ 0i‬أو (‪ )a ,0‬اي ميكن كتابته على صورة عدد‬ ‫مركب جزؤه التخيلي صفر فان هذا يبني أن ‪:‬‬

‫مجموعة االعداد احلقيقية ‪ R‬هي مجموعة جزئية من مجموعة‬ ‫مالحظـة‬ ‫االعداد املركبة ‪ £‬اي ان ‪. R ⊃ £‬‬

‫تعـــريـف [‪]1-2‬‬ ‫اذا كان ‪c1 = a1 + b1i , c2 = a2 + b2i :‬‬ ‫فإ َّن ‪:‬‬

‫‪c1 = c2 ⇔ a1 = a2 , b1 = b2‬‬

‫اي يت�ساوى العددان املركبان اذا ت�ساوى جزءاهما احلقيقيان وت�ساوى جزءاهما التخيليان‬

‫وبالعك�س‪.‬‬

‫‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫مثال‪- 3 -‬‬

‫جد قيمة كل من ‪ y , x‬احلقيقيتني اللتني حتققان املعادلة في كل مما يأتي ‪.‬‬ ‫‪a) 2x -1 +2i = 1+(y+1)i .‬‬ ‫‪b) 3x+4i = 2 +8yi‬‬ ‫‪c) (2y+1) - (2x-1)i = -8+ 3i‬‬

‫احلل‪:‬‬ ‫‪a) ∵ 2x-1 +2i = 1+(y+1)i‬‬ ‫‪∴ 2x -1 = 1 ⇒ 2x = 2‬‬ ‫‪⇒ x =1‬‬ ‫‪2 = y+1 ⇒ y = 2-1‬‬ ‫‪∴ y=1‬‬ ‫‪b) 3x+4i = 2 + 8yi‬‬ ‫⇒ ‪∴ 3x = 2 , 4 = 8y‬‬ ‫‪x= 2 , y = 4 = 1‬‬ ‫‪8 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪c) ∵ (2y+1) - (2x-1)i = -8 + 3i‬‬ ‫⇒ ‪∴ 2y+1 = - 8 , - (2x -1 ) = 3‬‬ ‫⇒ ‪2y = -9 , -2x = 2‬‬ ‫‪y = −9 , x = -1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪10‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬

‫[‪ ]1-2‬العمليات على مجموعة االعداد املركبة‪.‬‬ ‫او ً‬ ‫ال‪ :‬عملية اجلمع على جمموعة االعداد املركبة ‪:‬‬ ‫تعـــريـف [‪]1-3‬‬ ‫ليكن ‪ c2 = a2 + b2i , c1 = a1 + b1i‬حيث ‪ c1, c2 ∋ £‬فان‬ ‫‪c1 + c2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) i‬‬ ‫وكما تعلم أن‪ ) a1 + a2) ∈ R ،(b1 +b2 ) ∈ R :‬الن مجموعة االعداد احلقيقية مغلقة‬ ‫حتت عملية اجلمع ‪.‬‬ ‫‪∴ (a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) i ∈ £‬‬ ‫اي ان مجموعة االعداد املركبة مغلقة حتت عملية اجلمع‪.‬‬

‫مثال‪-4 -‬‬

‫احلل ‪:‬‬

‫جد مجموع العددين املركبني في كل مما يأتي ‪:‬‬

‫‪a)3+ 4 2i,i 5 − 2 2ii‬‬ ‫‪b)3, 2 − 5ii‬‬ ‫‪c)1−i,‬‬ ‫‪i 3ii‬‬

‫‪a)(3+ 4 2i)+(5‬‬ ‫)‪− 2 2i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i = (3+ 5)+(4 2 −2 2 )ii‬‬

‫‪= 8+2 2 i‬‬

‫‪i = (3+ 0i)+(2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫)‪b)(3)+(2 − 5i‬‬ ‫)‪− 5i‬‬

‫‪= (3+ 2)+(0 − 5)ii = 5 − 5ii‬‬ ‫‪i 3ii = (1−i)+(0‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪c)(1−i)+‬‬ ‫)‪+ 3i‬‬ ‫‪= (1+ 0)+(−1+ 3)ii =1+ 2ii‬‬

‫‪11‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫خوا�ص عملية اجلمع على جمموعة االعداد املركبة‬ ‫تتمتع عملية اجلمع على االعداد املركبة باخلواص اآلتية‪:‬‬ ‫فان‪:‬‬

‫‪∀c1, c2, c3 ∈ £‬‬

‫‪(1) c1 + c2 = c2 + c1‬‬ ‫* اخلاصية االبدالية ‪(Commutativity) .‬‬ ‫‪(2) c1 + (c2 +c3) = (c1 + c2) +c3‬‬ ‫* اخلاصية التجميعية‪(Associativity) .‬‬ ‫* النظير اجلمعي‪(3) ∀ c ∈ £ , c= a+bi ∃ - c ∈ £ (Additive Inverse) .‬‬ ‫حيث ‪ -c = -a-bi‬يسمى (‪ )-c‬النظير اجلمعي للعدد املركب ‪c‬‬ ‫*العنصر احملايد اجلمعي‪ Additive Identity .‬يرمز له بالرمز ‪ e‬و ُيعرف ‪(4) e = 0 = 0 + 0i ∈ £‬‬ ‫مما سبق نستنتج أن‬

‫)‪ ( £ , +‬هي زمرة ابدالية )‪(Commutative Group‬‬

‫ان طرح أي عدد مركب من آخر يساوي حاصل جمع العدد‬ ‫مالحظـة‬ ‫املركب االول مع النظير اجلمعي للعدد املركب الثاني‪.‬‬

‫مثال‪-5 -‬‬

‫جد ناجت ‪:‬‬

‫)‪(7-13i) - (9+4i‬‬

‫احلل ‪:‬‬

‫)‪(7-13i) - (9+4i‬‬ ‫)‪=(7-13i) + (-9 -4i‬‬ ‫‪=(7-9) + (-13 - 4)i‬‬ ‫‪= -2 - 17i‬‬

‫‪12‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫مثال‪-6 -‬‬

‫حل املعادلة‪:‬‬

‫حيث ‪x ∈ £‬‬

‫‪(2-4i) +x=-5+i‬‬

‫احلل ‪:‬‬

‫‪(2-4i) +x= -5+i‬‬ ‫)‪(2-4i)+(-2+4i)+x = (-5+i)+(-2+4i‬‬

‫باضافة النظير اجلمعي للعدد (‪ )2-4i‬للطرفني‬

‫)‪∴ x = (-5+i)+(-2+4i‬‬ ‫‪= (-5-2)+(1+4)i‬‬ ‫‪x = -7+5i‬‬ ‫ثاني ًا‪ :‬عملية ال�ضرب على جمموعة االعداد املركبة ‪:‬‬ ‫اليجاد عملية ضرب عددين مركبني نقوم بضربهما بصفتهما مقدارين جبريني ونعوض بد ًال من ‪ i2‬العدد‬ ‫(‪ )-1‬كما يأتي‪:‬‬ ‫اذا كان ‪c1 = a1 +b1i‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ c2 = a2 + b2i‬فان‬ ‫)‪c1. c2 = (a1+b1i) (a2 + b2i‬‬

‫‪= a1a2 + + a1 b2i + a2 b1i + b1 b2i2‬‬ ‫‪= a1 a2 + a1 b2i + a2 b1i - b1b2‬‬ ‫‪= (a1a2 - b1b2 )+ (a1 b2 + a2b1)i‬‬

‫مالحظـة‬

‫اذا كان ‪،‬‬

‫‪k∈R‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ c = a + bi‬فان‬

‫‪kc = ka + kbi‬‬

‫‪13‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫تعـــريـف [‪]1-4‬‬ ‫ليكن ‪ c2 = a2 + b2i , c1 = a1 + b1i‬حيث ‪ c1,c2 ∈ £‬فان ‪:‬‬ ‫‪c1 . c2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i‬‬ ‫وكما تعلم ‪ (a1a2 - b1b2) ∈ R :‬وان ‪ (a1b2 + a2 b1) ∈ R‬الن‬ ‫‪ R‬مغلق حتت عملية الضرب‬ ‫لذلك فان ‪c1 . c2 ∈ £‬‬ ‫أي ان مجموعة االعداد املركبة مغلقة حتت عملية الضرب‪.‬‬

‫مثال‪-7 -‬‬

‫جد ناجت كال مما يأتي ‪:‬‬

‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪a)(2 − 3i)(3−‬‬ ‫)‪5i‬‬ ‫)‪b)(3+ 4i‬‬ ‫‪i2‬‬ ‫)‪c)i(1+i‬‬ ‫‪i i‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪d)− (4+3i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪e)(1+i‬‬ ‫)‪i +(1−i‬‬ ‫‪i‬‬

‫احلل ‪:‬‬ ‫‪a)(2 − 3i)(3−‬‬ ‫)‪5i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i = (6 −15)+ (−10 − 9)ii‬‬ ‫‪= −9 −19ii‬‬ ‫)‪b)(3+ 4i‬‬ ‫‪i 2 = 9 + 24ii +16ii2‬‬ ‫‪= 9 + 24ii −16‬‬ ‫‪= −7 + 24ii‬‬

‫أو‬

‫)‪(3+4i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i = (9 - 16) + (12+12) ii = -7 +24ii‬‬ ‫)‪i 2 = (3+4i)(3+4i‬‬ ‫)‪c)i(1+i‬‬ ‫‪i i = i +ii2 = −1+ii‬‬

‫‪14‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪d)− (4+3i)=−10−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪i 2 +(1−i‬‬ ‫‪i 2 =(1+2i+i‬‬ ‫‪i i2 )+(1−2i+i‬‬ ‫) ‪i i2‬‬ ‫)‪e)(1+i‬‬ ‫‪= 2ii + ( -2i)i = 0‬‬

‫خوا�ص عملية ال�ضرب على جمموعة االعداد املركبة‬ ‫تتمتع عملية الضرب على االعداد املركبة باخلواص اآلتية‪:‬‬

‫‪∀c1, c2, c3 ∈ £‬‬ ‫‪(1) c1 × c2 = c2 × c1‬‬ ‫* اخلاصية االبدالية ‪(Commutativity) .‬‬ ‫‪(2) c1 × (c2 ×c3) = (c1 × c2) ×c3‬‬ ‫* اخلاصية التجميعية‪(Associativity) .‬‬ ‫* يتوفر العنصر احملايد الضربي )‪ (Multiplicative Identity‬وهو )‪(3) 1= (1+0i‬‬ ‫* النظير الضربي (‪)Multiplicative Inverse‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ c × =(1+0i‬بحيث‪(4)∀c≠(0+0i),∃ c ∈C ,‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬

‫اي ان لكل عدد مركب ‪c‬عدا الصفر يوجد له نظير ضربي ينتمي الى مجموعة االعداد املركبة‪.‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫اي ان‪ (C-(0+0i) ,×) :‬زمرة ابدالية‬ ‫اي ان‪ (C, + , ×) :‬حقل يسمى حقل االعداد املركبة‬

‫[‪ ]1-3‬مرافــــق العــدد املــركب ‪Conjugate Number‬‬ ‫تعـــريـف [‪]1-5‬‬

‫مرافق العدد املركب ‪ c=a+bi‬هو العدد املركب ‪∀ a, b∈R ، c = a-bi‬‬

‫فمثالً‪ 3+i :‬هو مرافق العدد ‪ 3-i‬وبالعكس‪ ،‬وكذلك مرافق (‪ )i‬هو (‪ )-i‬وبالعكس ‪.‬‬ ‫وان ‪ 5-4i‬مرافق ‪ 5+4i‬وبالعكس‪ ،‬وكذلك مرافق العدد ‪ 7‬هو ‪. 7‬‬

‫‪15‬‬

Complex Numbers ‫االعداد املركبة‬ :‫يتضح من تعريف املرافق أنه يحقق اخلواص اآلتية‬

‫مالحظـة‬

1) c1 ± c2 = c1 ± c2 2) c1 g c2 = c1 g c2 3) c = c 4) c . c = a 2 + b2 ‫ فان‬c = a + bi ‫اذا كان‬ 5) c = c ‫ فان‬c ∈ R ‫اذا كان‬ 6) ⎛⎜ c1 ⎞⎟ = c1 , c2 ≠ 0 ⎝ c2 ⎠ c2 : ‫ فتحقق من‬c1 = 1 + i , c2 = 3 - 2i ‫اذا كان‬ (1) c1 ± c2 = c1 ± c2

(2) c1 g c2 = c1 g c2

-8 -‫مثال‬ :‫احلل‬

(1) c1 + c2 = (1+ ii) + (3 − 2i) i = (4 −i) i = 4 +ii c1 + c2 = (1+ ii) + (3 − 2i) i i i = 4 +ii = (1−i)+(3+ 2i) ∴ c1 + c2 = c1 + c2

c1 − c2 = c1 − c2 ‫تأكد بنفسك ان‬ (2) c1 g c2 = (1+i)(3− i 2i) i = 3− 2ii+ 3ii− 2ii2 = 5 + i = 5 − i c1 . c2 = (1+ ii) (3− 2i) i = (1- i) ( 3+2i) = (3+ 2)+ (2 − 3)ii = 5 −ii

∴

c1 g

c2 = c1 g c2

16

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫مثال‪-9 -‬‬ ‫احلل‪:‬‬

‫مثال‪-10 -‬‬ ‫احلل‪:‬‬

‫مثال‪-11 -‬‬

‫جد النظير الضربي للعدد ‪ c = 2 - 2i‬وضعه بالصيغة العادية للعدد املركب‪.‬‬ ‫النظير الضربي للعدد ‪ c‬هو ‪1‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪c 2 − 2ii‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 + 2ii‬‬ ‫‪2 + 2ii 2 + 2ii‬‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2 − 2ii 2 + 2ii‬‬ ‫‪4+ 4‬‬ ‫‪8‬‬

‫=‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪+ i‬‬ ‫‪4 4‬‬

‫=‬

‫‪x − yi 3,−3−‬‬ ‫‪2ii 2i‬‬ ‫بالصيغة العاد ّية‬ ‫العدد‬ ‫املركب‪.‬من ‪. x, y ∈ R‬‬ ‫للعددقيمة كل‬ ‫مترافقان فجد‬ ‫ضعكان‬ ‫اذا‬ ‫=‬ ‫‪1+ 5i 5 + iii‬‬

‫‪3 − 2ii 3 − 2ii 5 − i‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫‪3−‬‬ ‫‪5 +2iii = x5++yii 5 − ii‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪1− 5i‬‬ ‫‪− 2)+−(−3−10)i‬‬ ‫‪xi + yi 2==(15‬‬ ‫‪3−15i‬‬ ‫‪2i +10i 2 i = 13 − 13ii‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪25 +1‬‬ ‫‪xi −xiy−=y−7‬‬ ‫‪−17i‬‬ ‫‪7=−17i‬‬ ‫‪−7‬‬ ‫‪−17i‬‬ ‫∴∴‬ ‫‪x =x−17‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪= −17‬‬ ‫‪= − i‬‬ ‫‪y =y7= 7‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪⎞ c‬‬ ‫اذا كان ‪ c2 = 1 + i , c1 = 3 - 2i‬فتحقق من ‪:‬‬ ‫=⎟‬ ‫‪⎠ c‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫احلل ‪:‬‬

‫‪⎛c‬‬ ‫⎜‬ ‫‪⎝c‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫⎞ ‪⎛ c1 ⎞ ⎛ 3 − 2ii‬‬ ‫⎟‬ ‫⎜=⎟ ⎜‬ ‫⎠ ‪⎝ c2 ⎠ ⎝ 1+ i‬‬

‫‪17‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 3 − 2ii 1− i ⎞ ⎛ 3 − 3ii − 2ii + 2ii2‬‬ ‫⎜=‬ ‫×‬ ‫⎜= ⎟‬ ‫⎟‬ ‫⎝ ⎠ ‪⎝ 1+ ii 1− ii‬‬ ‫‪1+ 1‬‬ ‫⎠‬ ‫‪⎛ 1− 5ii ⎞ 1 5‬‬ ‫‪1 5‬‬ ‫⎜=‬ ‫‪⎟ = − i = + ii‬‬ ‫‪⎝ 2 ⎠ 2 2‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪c1 c1 3 − 2ii 3 + 2ii‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪i‬‬ ‫‪1− ii‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3 + 2ii 1+ ii 3 + 3ii + 2ii + 2ii2‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫‪1+ 1‬‬ ‫‪1− ii 1+ ii‬‬ ‫‪1+ 5ii 1 5‬‬ ‫‪= + ii‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫=‬

‫‪⎞ c‬‬ ‫=⎟‬ ‫‪⎠ c‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪⎛c‬‬ ‫⎜∴‬ ‫‪⎝c‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫الجراء قسمة العدد املركب ‪ c1‬على العدد املركب ‪ c2‬حيث‬ ‫مالحظـة‬ ‫‪ c2≠0‬فاننا نضرب بسط املقدار ‪ c1‬ومقامه مبرافق املقام‬ ‫‪c2‬‬ ‫فيكون‪:‬‬ ‫‪c1 c1 c2‬‬ ‫× =‬ ‫‪c2 c2 c2‬‬

‫مثال‪-12 -‬‬

‫ضع ك ً‬ ‫ال مما يأتي بالصورة ‪:a+bi‬‬

‫‪1+ 2ii‬‬ ‫‪−2 + ii‬‬

‫‪18‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪2 −i‬‬ ‫‪3+ 4ii‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪1+ ii‬‬ ‫‪1− ii‬‬

‫)‪a‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫احلل‪:‬‬

‫‪1+ i 1+ ii 1+ i 1+ 2ii + i 2 2ii‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫‪= = i = 0+i‬‬ ‫‪1− i 1− i 1+ i‬‬ ‫‪1+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 −i‬‬ ‫‪2 − i 3 − 4ii 6 − 8ii − 3ii + 4ii 2 = 2 −11ii = 2 − 11 i‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25 25‬‬ ‫‪3+ 4ii 3+ 4ii 3 − 4ii‬‬ ‫‪9 + 16‬‬ ‫‪−5ii‬‬ ‫‪= −ii = 0 − i‬‬ ‫‪5‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫)‪a‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪−2 − i − 4ii − 2ii‬‬ ‫‪1+ 2ii 1+ 2ii −2 − ii‬‬ ‫=‬ ‫)‪c‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫‪4 +1‬‬ ‫‪−2 + i −2 + i −2 − i‬‬

‫مالحظـة ميكن حتليل ‪ x2+y2‬الى حاصل ضرب عددين مركبني كل‬ ‫منهما من الصورة ‪ a+bi‬وذلك ‪:‬‬ ‫)‪x2 +y2 = x2 - y2 i2 = (x-yi)(x+yi‬‬

‫مثال‪-13 -‬‬ ‫احلل‪:‬‬

‫حلل ك ً‬ ‫ال من العددين ‪ 53 ، 10‬الى حاصل ضرب عاملني من صورة ‪ a+bi‬حيث ‪b,a‬‬ ‫عددين نسبيني ‪.‬‬ ‫‪10 = 1+9‬‬

‫او‬

‫‪✾ 10 = 9 + 1‬‬

‫‪= 1-9i2‬‬

‫‪= 9-i2‬‬

‫)‪= (1-3i)(1+3i‬‬

‫)‪= (3-i)(3+i‬‬

‫‪53 = 4 + 49‬‬

‫او‬

‫‪✾ 53 = 49 + 4‬‬

‫‪= 4 - 49i2‬‬

‫‪= 49 - 4i2‬‬

‫)‪= (2-7i)(2+7i‬‬

‫)‪= (7 - 2i ) (7 + 2i‬‬

‫‪19‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫‪)1‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-1‬‬

‫‪ .1‬ضع ك ً‬ ‫ال مما يأتي بالصيغة العادية للعدد املركب‪:‬‬ ‫)‪i5 , i6 , i124 , i999 , i4n+1 ∀ n ∈ N, , (2+3i)2 + (12+2i‬‬ ‫‪, 12 +ii , , 3+ 4ii ,‬‬ ‫‪3 − 4ii‬‬ ‫‪ii‬‬

‫‪(10 + 3i)(0 + 6i) , (1+i)4 - (1-i)4‬‬

‫‪2 + 3ii 1+ 4ii‬‬ ‫×‬ ‫‪. , (1+i)3 + (1-i)3‬‬ ‫‪1− i‬‬ ‫‪4 +i‬‬

‫‪ .2‬جد قيمة كل من ‪ y , x‬احلقيقيتني اللتني حتققان املعادالت اآلتية‪:‬‬ ‫)‪i + 2i‬‬ ‫‪i +1‬‬ ‫‪b) 8ii = (x + 2i)(y‬‬ ‫‪d) 2 − i x + 3 − i y = 1‬‬ ‫‪1+ i‬‬ ‫‪2+i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ .3‬اثبت ان ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪(1− i ) (1+ i‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪= −2‬‬ ‫‪1+ i‬‬ ‫‪1− i‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪3‬‬

‫⎞ ‪⎛ 3+ i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪⎟ ,,‬‬ ‫⎜ ‪,,‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2 + 3ii‬‬

‫‪i‬‬ ‫)‪a) y + 5ii = (2x + ii)(x + 2i‬‬

‫⎞ ‪⎛ 1− i‬‬ ‫‪i2‬‬ ‫)‪⎟+ (x + yi‬‬ ‫)‪i = (1+ 2i‬‬ ‫⎜ )‪c‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 1+ i‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪25‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬

‫‪( 2 + i )2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪1‬‬

‫‪( 2 − i )2‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪c) (1− ii)(1− i 2 )(1− i 3 ) = 4‬‬ ‫‪ .4‬حلل ك ً‬ ‫ال من االعداد ‪ 29 ،125 ، 41 ، 85‬الى حاصل ضرب عاملني من الصورة ‪ a+ bi‬حيث ‪b, a‬‬ ‫عددان نسبيان‪.‬‬ ‫‪ -5‬جد قيمة ‪ y , x‬احلقيقيتني اذا علمت ان ‪6‬‬ ‫‪ 3 + i ,‬مترافقان ‪.‬‬ ‫‪2−i‬‬ ‫‪x + yi‬‬

‫‪20‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬

‫[‪ ]1-4‬اجلذور التربيعية للعدد املركب ‪.‬‬ ‫لقد تعلمت أنه اذا كان ‪ a‬عدد ًا حقيقي ًا موجب ًا فانه يوجد عددان حقيقيان هما ‪ ± a‬يحقق كل منهما‬ ‫املعادلة ‪ x2 = a‬ويسمى ‪ ± a‬اجلذرين التربيعيني للعدد ‪ .a‬أما اذا كان ‪ a = 0‬فان له جذر واحد هو ‪.0‬‬ ‫واآلن سنتناول دراسة اجلذور التربيعية للعدد املركب ‪.‬‬ ‫مثال‪-14 -‬‬ ‫احلل‪:‬‬

‫جد اجلذور التربيعية للعدد ‪.c = 8 + 6i‬‬ ‫نفرض ان اجلذر التربيعي للعدد ‪ c‬هو ‪x + yi‬‬

‫⇒ ‪i 2 = 8 + 6ii‬‬ ‫)‪∴ (x + yi‬‬ ‫⇒ ‪x 2 + 2xyii+ i 2 y2 = 8 + 6ii‬‬ ‫⇒ ‪(x 2 − y2 ) + 2xyii = 8 + 6ii‬‬

‫⎫)‪x 2 − y2 = 8.................(1‬‬ ‫⎪‬ ‫من تعريف تساوي عددين مركبني ⎬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎪)‪2xy = 6 ⇒ y = .......(2‬‬ ‫⎭‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎞‪⎛ 3‬‬ ‫وبالتعويض من املعادلة (‪ )2‬في املعادلة (‪ )1‬ينتج ‪:‬‬ ‫⇒ ‪x2 − ⎜ ⎟ = 8‬‬ ‫⎠‪⎝x‬‬ ‫بضرب الطرفني في‪0‬‬

‫‪9‬‬ ‫⇒‪x − 2 =8‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ x2‬ينتج ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫⇒ ‪x 4 − 8x 2 − 9 = 0‬‬ ‫⇒ ‪(x 2 − 9)(x 2 +1) = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ) x = −1‬تهمل الن ‪( xX ∈ R‬‬ ‫وبالتعويض في املعادلة (‪ )2‬عن قيمة ‪ x‬نحصل على ‪:‬‬

‫‪x 2 = −1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪±3‬‬

‫او‬ ‫‪x = ±3 or‬‬

‫=‪y‬‬

‫‪∴ y = ±1‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫أي أن جذري العدد‬

‫‪ c‬هما‬

‫‪ c2 = -3 - i‬و ‪∴ c1 = 3 + i‬‬ ‫‪-3 -i , 3 + i‬‬

‫‪21‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫مثال‪-15 -‬‬

‫جد اجلذور التربيعية لالعداد ‪8i, -i ، -17 ، -25 :‬‬

‫احلل‪:‬‬ ‫نفرض ان ‪:‬‬

‫⇒ ‪c 2 = −25‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪c = ± −25 = ± 25ii = ±5ii‬‬ ‫نفرض ان ‪:‬‬

‫⇒ ‪c 2 = −17‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪c = ± −17‬‬ ‫‪⇒ c = ± 17 ii‬‬

‫نفرض ان )‪ (x+yi‬هو اجلذر التربيعي للعدد ‪-i‬‬

‫)‪c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪∴ (x + yi‬‬ ‫⇒ ‪i = −ii‬‬

‫)‪x 2 − y2 = 0.......(1‬‬ ‫‪2xy = −1‬‬

‫وبالتعويض من املعادلة (‪ )2‬باملعادلة (‪ )1‬ينتج‪:‬‬

‫بضرب الطرفني في ‪0‬‬

‫اما‬ ‫او‬

‫‪22‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x2 = −‬‬

‫‪ 4x2‬ينتج ‪:‬‬

‫‪−1‬‬ ‫)‪.........(2‬‬ ‫‪2x‬‬

‫=‪∴y‬‬

‫‪1‬‬ ‫⇒‪=0‬‬ ‫‪4x 2‬‬

‫‪x2 −‬‬

‫⇒ ‪4x 4 −1 = 0‬‬ ‫‪(2x 2 −1)(2x 2 +1) = 0‬‬

‫) يهمل الن ‪(x ∈ R‬‬

‫‪1‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 1‬‬ ‫‪x=±‬‬ ‫⎜‪∴ y = −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وبالتعويض في (‪ )2‬عن قيمة ‪ x‬جند ‪⎟ :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪±(2‬‬ ‫‪⎜ ±2x‬‬ ‫⎟‬ ‫⎝‬ ‫⎠‪2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪y =y±=+±‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪y‬‬ ‫∴ جذرا العدد ‪ -i‬هما‬

‫‪⎛ 1‬‬ ‫⎞ ‪1‬‬ ‫⎜‪±‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎟‪ii‬‬ ‫‪⎝ 2‬‬ ‫⎠ ‪2‬‬ ‫)‪∴ (x + yi‬‬ ‫⇒ ‪i 2 = 8ii‬‬

‫نفرض ان ‪ x+yi‬هو اجلذر التربيعي للعدد ‪8i‬‬

‫)‪d‬‬

‫⇒ ‪x 2 + 2xyii − y2 = 8ii‬‬

‫)‪x 2 − y2 = 0........................(1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪2xy = 8 ⇒ y = ..............(2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪16‬‬ ‫⇒‪=0‬‬ ‫‪x2‬‬

‫وبالتعويض من املعادلة (‪ )2‬في املعادلة (‪ )1‬ينتج ‪:‬‬ ‫وبضرب الطرفني في ‪0‬‬

‫‪x2 −‬‬

‫‪ x2‬ينتج‪:‬‬ ‫⇒ ‪x 4 − 16 = 0‬‬ ‫⇒ ‪(x 2 − 4)(x 2 + 4) = 0‬‬

‫‪x2 = -4‬‬

‫اما‬ ‫او‬

‫‪x 2 = 4 ⇒ x = ±2‬‬

‫) يهمل الن ‪(x ∈ R‬‬

‫وبالتعويض في املعادلة (‪ )2‬عن قيمة ‪ x‬ينتج‪:‬‬

‫‪-2‬‬ ‫‪-2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪= ±2‬‬ ‫‪±2‬‬

‫=‪y‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫∴ جذرا العدد ‪ 8i‬هما (‪± )2+2i‬‬

‫‪23‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬

‫[‪ ]1-5‬حل املعادلة التربيعية في ( ‪. ) £‬‬ ‫تعلمت من املرحلة املتوسطة ان للمعادلة ‪ ax2 + bx + c = 0‬حيث ‪ a ≠ 0‬وان ‪ a, b, c ∈ R‬حلني‬ ‫‪−b± b2 − 4ac‬‬ ‫ميكن ايجادهما بالدستور ‪:‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫سالب ًا فانه ال يوجد للمعادلة حلول حقيقية ولكن يوجد‬ ‫وعرفت أنه اذا كان املقدار املميز ‪ V= b − 4ac‬‬ ‫لها حالن في مجموعة االعداد املركبة ‪.‬‬

‫مثال‪-16 -‬‬ ‫احلل‪:‬‬

‫حل املعادلة ‪ x2 + 4x + 5 = 0‬في مجموعة االعداد املركبة‪.‬‬ ‫حسب القانون (الدستور)‪:‬‬

‫‪−b± b2 − 4ac‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫)‪−4 ± 16 − (4)(1)(5‬‬ ‫)‪2(1‬‬

‫=‬

‫‪−4 ± 16 − 20‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪−4 ± −4‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪−4 ± 2ii‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪= −2 ± ii‬‬ ‫اي ان للمعادلة جذرين هما ‪−2 − i , −2 + ii‬‬ ‫مالحظـة‬

‫من الدستور نعلم ان جذري املعادلة التربيعية ‪ ax 2 + bx + c = 0‬التي‬ ‫معامالتها حقيقية هما ‪:‬‬

‫‪−b− b2 − 4ac‬‬ ‫‪−b+ b2 − 4ac‬‬ ‫= ‪x2‬‬ ‫= ‪x1‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫وحاصل ضرب اجلذرين هو ‪c :‬‬ ‫ومجموع اجلذرين هو ‪−b :‬‬ ‫= ‪x1 . x2‬‬ ‫= ‪x1 + x2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪24‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫وميكن االفادة من هذه اخلواص كما يأتي ‪:‬‬ ‫او ًال ‪ :‬اذا كان ‪ x + yi‬احد جذري املعادلة ‪ a,b,c ∈ R , ax2+bx+c = 0 , a≠ 0‬فان ‪x - yi‬‬ ‫هو اجلذر اآلخر لها ‪.‬‬ ‫ثاني ًا ‪ :‬بقسمة طرفي املعادلة ‪ ax +bx+c = 0‬على ‪ a≠ 0‬نحصل على‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫والتي هي عبارة عن‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ) = 0‬حاصل ضرب اجلذرين( ‪ ) x +‬مجموع اجلذرين( ‪x2 -‬‬ ‫مثال‪-17 -‬‬ ‫احلل‪:‬‬

‫جد املعادلة التربيعية التي جذراها (‪. ± )2+2i‬‬ ‫مجموع اجلذرين هو‪:‬‬

‫حاصل ضرب اجلذرين هو ‪:‬‬

‫‪(2-2) + (2-2) i = 0‬‬ ‫‪(2+2i)(-2-2i) = -(2+2i)2‬‬ ‫)‪= -(4 + 8i + 4i2‬‬

‫∴ املعادلة التربيعية هي ‪:‬‬

‫‪= -8i‬‬ ‫⇒ ‪x − 0x + (−8i) = 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x 2 − 8ii = 0 ⇒ x 2 = 8ii‬‬

‫مثال‪-18 -‬‬ ‫احلل ‪:‬‬

‫كون املعادلة التربيعية التي معامالتها حقيقية وأحد جذريها ‪. 3-4i‬‬ ‫َّ‬

‫مبا أن معامالت املعادلة حقيقية وأحد جذريها‬ ‫∴ اجلذر االخر هو املرافق له وهو‬ ‫مجموع اجلذرين = ‪6‬‬

‫∴ املعادلة هي ‪:‬‬

‫‪3-4i‬‬ ‫‪3+4i‬‬

‫وحاصل ضربهما = ‪25‬‬

‫‪x2 - 6x + 25 = 0‬‬

‫‪25‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫‪)1‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-2‬‬

‫‪ .1‬حل املعادالت التربيعية اآلتية وبني اي منها يكون جذراها مترافقني؟‬ ‫‪b) z2 − 32z + 3 + i = 0‬‬ ‫‪d) z2 + 2z + ii(2 − ii) = 0‬‬ ‫‪f) z2 - 2z i + 3=0‬‬ ‫‪ .2‬كون املعادلة التربيعية التي جذراها ‪ m,L‬حيث‪:‬‬ ‫‪3− ii‬‬ ‫‪i2‬‬ ‫= ‪b) m‬‬ ‫)‪, L = (3− 2i‬‬ ‫‪1+ ii‬‬

‫‪a) z2 = −12‬‬ ‫‪c) 2z2 − 5z + 13 = 0‬‬ ‫‪e) 4z2 + 25 = 0‬‬

‫‪L = 1− i‬‬

‫‪a) m= 1+ 2ii‬‬

‫‪ .3‬جد اجلذور التربيعية لالعداد املركبة االتية‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1− 3 ii‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪b) 7 + 24ii‬‬

‫‪a) −8ii‬‬

‫‪ .4‬ما املعادلة التربيعية ذات املعامالت احلقيقية وأحد جذريها هو‪:‬‬ ‫‪2 + 3ii‬‬ ‫‪4‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪b) 5 − ii‬‬

‫‪a) i‬‬

‫‪ -5‬اذا كان ‪ 3 + i‬هو احد جذري املعادلة ‪ x 2 − ax + (5 + 5i) = 0‬فما قيمة ‪a‬؟ وما هو اجلذر االخر؟‬

‫‪26‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬

‫[‪ ]1-6‬اجلذور التكعيبية للواحد الصحيح‪.‬‬ ‫ليكن ‪ z3 =1‬ومنها ‪:‬‬

‫⇒ ‪z3 − 1 = 0‬‬ ‫⇒ ‪(z −1)(z2 + z +1) = 0‬‬ ‫أما ‪ z2 + z +1 = 0‬او‬ ‫‪either z = 1 or‬‬

‫وحلل املعادلة ‪ z2 + z +1 = 0‬نستخدم الدستور ‪:‬‬ ‫‪−b± b2 − 4ac‬‬ ‫=‪z‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫)‪−1± 1− (4)(1)(1‬‬ ‫)‪(2)(1‬‬

‫=‬

‫‪−1± −3‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪−1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪ii‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫اي ان اجلذور التكعيبية للواحد الصحيح املوجب هي ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3i‬‬ ‫‪ii , − −‬‬ ‫‪1 , − +‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫ان مربع أي من اجلذرين التخيليني يساوي اجلذر التخيلي االخر وهما مترافقان (حتقق من ذلك)‬ ‫فاذا رمزنا الحد اجلذرين التخيليني بالرمز ‪“ ω‬ويقرأ أوميكا ‪ ”Omega‬فان اجلذر اآلخر هو ‪. ω 2‬‬ ‫ولذلك ميكن كتابة اجلذور التكعيبية للواحد الصحيح على الصورة ‪:‬‬ ‫‪1, ω , ω 2‬‬

‫‪27‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫وهذه اجلذور حتقق اخلواص اآلتية‪:‬‬ ‫‪1) 1 + ω + ω 2 = 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2) ω = 1‬‬

‫ومن اخلاصية االولى نحصل على االتي‪:‬‬ ‫‪(3) 1+ ω 2 = - ω‬‬

‫‪(2) 1+ ω = - ω 2‬‬

‫‪1) ω + ω 2 = -1‬‬

‫‪(6) 1= - ω - ω‬‬

‫‪(5) ω 2 = - 1 - ω‬‬

‫‪4) ω = - 1 - ω 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7) ω −ω 2 = ± 3 i‬‬ ‫ومن اخلاصية الثانية ميكن التوصل الى النتائج االتية‪:‬‬

‫‪ω 4 = ω 3 . ω = 1. ω = ω‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1 ω3 1 ω3‬‬ ‫=‪ω = 4 = 3= == ω‬‬ ‫‪= ω2‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ω . ωω ω ω‬‬ ‫‪−4‬‬

‫‪ω 5 = ω 3 . ω 2 = 1. ω 2 = ω 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ω3‬‬ ‫= ‪ω = 5 = 3 2‬‬ ‫=‬ ‫‪=ω‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ω .ω‬‬ ‫‪1. ω 2 ω 2‬‬ ‫‪−5‬‬

‫‪ω 6 = (ω 3 )2 = (1)2 = 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪= =1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وباالستمرار على هذا النحو فان قوى ( ‪ ) ω‬العداد صحيحة تأخذ احدى القيم ‪:‬‬ ‫‪1, ω , ω 2‬‬ ‫وتتكرر هذه القيم كلما زادت االسس على التوالي مبقدار (‪. )3‬‬ ‫بمعنى أن ‪:‬‬ ‫‪ω 3n+r = ω r‬‬

‫حيث ‪ n‬عدد صحيح‬ ‫‪28‬‬

‫‪,‬‬

‫‪r = 0, 1, 2‬‬

‫= ‪ω −6‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫مثال‪-19 -‬‬ ‫احلل ‪:‬‬

‫جد ناجت ‪ω 33 ، ω -58 ، ω 25 :‬‬ ‫‪ω 33 = ω 3(11)+0 = ω 0 = 1‬‬ ‫‪ω 25 = ω 3(8 )+1 = ω1 = ω‬‬ ‫‪−60 )+2 2‬‬ ‫‪(ω3(−20‬‬ ‫‪)(ω=)1=. 1.‬‬ ‫‪= 2ω 2‬‬ ‫‪ω −58 = ω‬‬ ‫‪ω 2ω=2 ω‬‬

‫بمعنى أن ‪:‬‬

‫باقي قسمة أ س ( ‪ ) ω‬على (‪ )3‬هو االس اجلديد الى ‪ω‬‬

‫مثال‪-20 -‬‬

‫اثبت ان ‪:‬‬ ‫‪a) ω 7 +ω 5 + 1 = 0‬‬ ‫‪b) (5 + 3ω + 3ω 2 )2 = −4(2 +ω + 2ω 2 )3 = 4‬‬

‫احلل ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a) ω 7 +ω 5 + 1 = ω 67. ω +ω‬‬ ‫‪. ω 2 +1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪a) ω +ω + 1 = ω 6 . ω +ω 3 . ω 2 +1‬‬ ‫‪ω +ω 2 +1 = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(حسب اخلاصية االولى)‬ ‫َ‬ ‫‪= ω +ω +1 = 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫]) ‪b) (5 + 3ω + 3ω 2 )2 = [ 5 + 3(ω +ω 2‬‬

‫‪= [5 − 3]2 = (2)2 = 4‬‬

‫كذلك‬

‫‪−4(2‬‬ ‫‪+ω +‬‬ ‫‪+22ω‬‬ ‫‪ω 22 ))33‬‬ ‫‪−4(2 +ω‬‬ ‫‪= −4[2(1+ω 2 )+ω]3‬‬ ‫‪= −4[−2ω +ω]3 = −4 [ −ω] 3‬‬ ‫‪= −4(−1) = 4‬‬

‫‪∴(5 + 3ω + 3ω 2 )2 = −4(2 +ω + 2ω 2 )3 = 4‬‬

‫‪29‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫مثال‪-21 -‬‬

‫كون املعادلة التربيعية التي جذراها ‪i ω‬‬ ‫‪a( 1− iiω 2 , 1−ωi‬‬ ‫َّ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1−ω 1−ω 2‬‬

‫احلل ‪:‬‬

‫(‪b‬‬

‫حاصل ضرب اجلذرين‬

‫‪(1−iiω 2 ) (1−ωi‬‬ ‫)‪i ω‬‬ ‫‪= 1−iiω −iiω 2 + i 2ω 3‬‬ ‫‪= 1− ii(ω +ω 2 ) −1×1‬‬ ‫‪=i‬‬ ‫∴ املعادلة هي ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1−ω 1−ω 2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1−ω 2 −ω +ω 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪30‬‬

‫‪(1− iiω 2 ) + (1−ωi‬‬ ‫))‬ ‫‪iω‬‬ ‫)‪= 2 − ii(ω 2 +ω‬‬ ‫‪= 2 + ii‬‬

‫‪x2-(2+i)x+i=0‬‬

‫حاصل ضرب اجلذرين‬

‫∴ املعادلة هي ‪:‬‬

‫مجموع اجلذرين‬

‫)‪a‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫مجموع اجلذرين‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1−ω‬‬ ‫‪1−ω 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2ω‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2ω‬‬ ‫=‬ ‫‪1−ω 2 −ω +ω 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2(ω‬‬ ‫‪+ω‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫) ‪2 − (ω +ω 2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2-2x+‬‬

‫=‬

‫)‪b‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫‪)1‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-3‬‬

‫‪ .1‬اكتب املقادير االتية في ابسط صورة‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫حيث ‪d) (1+ω 2 )−4 e) ω 9 n+5 , n ∈ N‬‬ ‫‪−32 12‬‬ ‫) ‪(1+ω‬‬

‫‪b) ω −32 5‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪a) ω 64‬‬

‫كون املعادلة التربيعية التي جذراها‪:‬‬ ‫‪َّ .2‬‬ ‫‪a) 1+ω 2 , 1+ω‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ω2‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 −ω‬‬ ‫‪2 −ω‬‬ ‫‪3i‬‬ ‫‪−3ω 2‬‬ ‫‪c) 2 ,‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .3‬اذا كان ‪ z + z +1 = 0 :‬فجد قيمة ‪:‬‬

‫‪ .4‬اثبت ان ‪:‬‬

‫‪1+ 3z10 + 3z11‬‬ ‫‪1− 3z7 − 3z8‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ω14 +ω 7 −1 2‬‬ ‫‪b) 10‬‬ ‫=‬ ‫‪ω +ω 5 − 2 3‬‬

‫‪⎛ 1‬‬ ‫⎞ ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎜ )‪a‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫⎟‬ ‫⎠ ‪⎝ 2 +ω 2 +ω 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪d) (1+ω2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪(1+ω‬‬ ‫‪= −2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪d) 1+ω + 1+ω = −2‬‬

‫)‪c‬‬ ‫)‪c‬‬

‫⎛⎛‬ ‫‪22‬‬ ‫⎞ ‪22‬‬ ‫⎟⎞ ‪⎞⎟ ⎛⎛⎜1+ω − 55 ⎞= 18‬‬ ‫‪+ω‬‬ ‫‪⎜⎜1−‬‬ ‫⎠‪⎟ = 18‬‬ ‫‪2 +ω ⎟ ⎜1+ω −‬‬ ‫‪⎝⎝1− ω‬‬ ‫⎝⎝ ⎠⎠‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ω2‬‬ ‫⎠‪ω‬‬

‫‪31‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬

‫[‪ ]1-7‬التمثيل الهندسي لالعداد املركبة‪.‬‬ ‫‪Geometric Representation of Complex Numbers.‬‬ ‫اذا كان ‪( E2‬او ‪ )R2‬ميـثل املستــوي االقليـــدي املتعامــــد احملـــورين‪ .‬فانه باقران كـــل عــدد مركب‬ ‫‪( x+yi‬حيث ‪ )x,y ∈ R‬بالنقطة (‪ )x,y‬في ‪ E2‬نحصل على تطبيق تقابل من ‪ £‬الى ‪ . R2‬وفي‬ ‫هذا املستوي سنمثل هندسي ًا بعض العمليات اجلبرية البسيطة في اجلمع والطرح في ‪ £‬والتي تقابل هندسي ًا‬ ‫العمليات في ‪( E2‬او ‪.)R2‬‬ ‫سوف نتناول في هذا البند والبنود الالحقة متثيل بعض العمليات على االعداد املركبة هندسي ًا والتي سنطلق‬ ‫على االشكال التي متثلها اشكال ارجاند نسبة الى العالم ( ‪ )J. R . Argand, 1768 - 1822‬وسمي‬ ‫املستوي باسم العالم االملاني الشهير غاوس‪ ،‬مبستوي غاوس ( ‪ )C.F. Gauss 1777-1855‬أو بشكل‬ ‫مبسط املستوي املركب ( ‪)Complex Plane‬‬ ‫)‪P (x,y‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ x + yi‬يمُ ثل هندسي ًا بالنقطة (‪ )x,y‬الحظ الشكل (‪)1-1‬‬ ‫الشكل (‪)1-1‬‬

‫لو كان ‪z2 = x2 + y2 i , z1 = x1 + y1 i‬‬ ‫عــــــددان مركبـــــــان مـمثــــالن بالنـقطتيـن‬ ‫(‪ p2 (x2 , y2) , p1 (x1, y1‬فــــان ‪:‬‬ ‫‪z1 + z2 = (x1 +x2) + (y1 +y2)i‬‬ ‫ويـمكــن تـمثيــــــل ‪ z1 + z2‬بالنقطـــــــة‬ ‫( ‪p3 (x1 + x2 , y1 + y2‬‬ ‫مستخدمني الـمعلومات الـمتعلقة باملتجهات‪.‬‬ ‫كما في الشكل (‪: )1- 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⇀‪uuuv u‬‬ ‫⇀ ‪uuv‬‬ ‫‪uuuv‬‬ ‫⇀‬

‫اي ان‬ ‫‪ 0 p1 + 0 p2 = 0 p3‬‬

‫‪32‬‬

‫احملور التخيلي‬ ‫‪Imaginary axis‬‬

‫اذ يسمى احملور السيني (‪ )x-axis‬باحملـور‬ ‫احلقيقي حيث ميثل عليـــــه اجلــزء احلقيــقي‬ ‫للعــــدد املـــركب امــــا احملـــــــور الصـــادي‬ ‫(‪ )y - axis‬فيطلق عليــه اســم احملـــــــــور‬ ‫التخيلي والذي يـمثــل عليــه اجلزء التخيــلي‬ ‫للعدد املركب‪ .‬وبالتالي فان العدد املركب‬

‫‪y‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Real axis‬‬ ‫احملور احلقيقي‬

‫‪y‬‬ ‫)‪p3(z1+z2‬‬ ‫)‪p2(z2‬‬ ‫)‪p1(z1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫الشكل (‪)1-2‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬

‫‪uuuv‬‬ ‫ان العدد املركب ‪ x + yi‬ميكن متثيله باملتجه ‪ 0⇀p‬وعليه يكون جمع عددين مركبني هو جمع‬ ‫ ‬ ‫متجهني‪.‬‬ ‫‪uuuv‬‬ ‫⇀ حول ‪ 0‬نصف دورة ‪ ،‬وعليه‬ ‫اذا اعتبرنا ‪ p2‬ميثل العدد املركب ‪ - z2‬فإن ‪ p2‬هي ناجتة من دوران ‪0 p2‬‬ ‫فإن ‪:‬‬ ‫( ‪z1 - z2 = z1 +(-z2‬‬ ‫والذي يقترن بالنقطة ‪ p4‬حيث‬

‫‪0p1 p4 p2‬‬

‫يشابه متوازي االضالع‬

‫‪ 0p1 p3 p2‬كما‬

‫في الشكل (‪.)1-3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪p3(z1+z2‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪p2(z2‬‬

‫)‪p1(z1‬‬

‫⇀‪u‬‬ ‫⇀‪uuv u‬‬ ‫⇀ ‪uuuv‬‬ ‫⇀ ‪uuuv‬‬ ‫‪uuuv‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪p‬‬ ‫=‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0‬‬ ‫أي أن ‪p2‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 4‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪p4(z1- z2‬‬

‫)‪p2 (- z2‬‬

‫الشكل (‪)1-3‬‬

‫مالحظـة‬

‫(‪ )1‬ليكن ‪ k‬عدد حقيقي ال يساوي الصفر ‪ z .‬عدد مركب فان النقطة التي تمثل ‪ kz‬يمكن الحصول‬ ‫عليها بواسطة التكبير الذي مركزه ‪ 0‬ومعامله الثابت ‪.k‬‬ ‫(‪ )2‬لكل عدد مركب ‪ z‬فان النقطة ‪ iz‬يمكن الحصول عليها من دوران ربع دورة عكس عقارب‬ ‫الساعة‪.‬‬

‫‪33‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫مثال‪-22 -‬‬

‫مثّل العمليات االتية هندسي ًا في شكل ارجاند‪:‬‬ ‫)‪b) (6 - 2i) - (2 - 5i‬‬

‫احلل‪:‬‬ ‫)‪p1(z1) = p1 (3, 4‬‬ ‫)‪p2(z2) = p2(5, 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫الحظ ‪3 :‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫وهو مشابه الى جمع المتجهات‪.‬‬ ‫ويكــــــــون ‪0p p p‬‬ ‫⇀‪u‬‬ ‫‪uuv 1 3 2‬‬ ‫متوازي اضالع قـطره هـو ‪ op3‬‬

‫)‪p3(z3) = p3 (8, 6‬‬

‫‪a) (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6i‬‬ ‫‪z1 = 3 + 4i‬‬ ‫⇒‬ ‫‪z2 = 5 + 2i‬‬ ‫⇒‬ ‫‪y‬‬

‫⇀‪uuuv u‬‬ ‫⇀‪uuv u‬‬ ‫‪uuv‬‬ ‫⇀‬ ‫‪0p +0p = 0p‬‬

‫⇒‬

‫)‪a) (3+4i) + (5 + 2i‬‬

‫)‪p3(z3‬‬ ‫)‪p1(z1‬‬

‫‪6‬‬

‫)‪p2(z2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪8‬‬

‫‪z1+z2=z3 = 8 + 6i‬‬

‫الشكل (‪)1-4‬‬

‫‪b) (6 - 2i) - (2 - 5i) = (6 - 2i) + (-2 + 5i) = 4 + 3i‬‬ ‫)‪z1 = 6 - 2i ⇒ p1(z1) = p1( 6, -2‬‬ ‫)‪z2 = -2 + 5i ⇒ p2(z2) = p2(-2, 5‬‬ ‫‪y‬‬

‫=)‪p2(z2‬‬

‫=)‪p3(z3‬‬ ‫)‪p3(4, 3‬‬ ‫الشكل (‪)1-5‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪p3(z3) = p3 (4, 3‬‬

‫‪34‬‬

‫‪4‬‬ ‫= )‪p1(z1‬‬ ‫)‪p1(6, -2‬‬

‫⇒ ‪z3 = 4 + 3i‬‬

‫)‪p2(-2, 5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫‪)1‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-4‬‬

‫‪ .1‬اكتب النظير الجمعي لكل من االعداد اآلتية ثم مثّل هذه االعداد ونظائرها الجمعية على شكل‬ ‫ارجاند‪.‬‬ ‫‪z4 = i‬‬

‫‪z3 = 1-i ,‬‬

‫‪z2 = -1 + 3i ,‬‬

‫‪z1 = 2 + 3i ,‬‬

‫‪ .2‬اكتب العدد المرافق لكل من األعداد االتية ثم مثّل االعداد ومرافقاتها على شكل ارجاند‪.‬‬ ‫‪z4 = -2i‬‬

‫‪z3 = 1 - i ,‬‬

‫‪z1 = 5 + 3i , z2 = -3 +2i ,‬‬

‫‪ .3‬اذا كان ‪ z = 4 + 2i‬فوضح على شكل ارجاند ك ً‬ ‫ال من ‪:‬‬

‫‪ .4‬اذا كان ‪, z1 = 4 - 2i‬‬

‫ــ‬ ‫‪z , z , -z‬‬

‫‪ z2 = 1+ 2i‬فوضح على شكل ارجاند ك ً‬ ‫ال من‪:‬‬ ‫‪z1 + z2‬‬

‫‪2z1 , z1 - z2 ,‬‬

‫‪-3z2 ,‬‬

‫‪35‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬

‫[‪ ]1-8‬الصيغة القطبية ‪Polar Form‬للعدد املركب‪.‬‬ ‫في البنود السابقة درسنا العدد المركب بصيغته الجبرية ‪ z=x +yi‬والديكارتية ( ‪ z = (x, y‬وفي هذا‬ ‫البند سندرس صيغة اخرى للعدد المركب تدعى بالصيغة القطبية ‪ .‬وتحويل احدهما الى االخرى ‪.‬‬ ‫فلو كان لدينا العدد المركب ‪ z = x + yi‬ومثّلناه بالنقطة ( ‪ p (x,y‬كما في الشكل (‪ )1-6‬فان‪:‬‬ ‫) ‪ (r,θ‬همــا االحـــداثيــان القطبيــان‬

‫‪y‬‬

‫للنقطــــة ‪ p‬حيث ‪ 0‬يـمثـــــل القطب‬

‫)‪P (x,y‬‬

‫→ يمثــل الضلــع االبتدائي‪ ،‬وهذا‬ ‫و ‪ox‬‬ ‫يعني أن ‪:‬‬

‫⇀‬ ‫‪m‬‬ ‫‪= Sxop‬‬ ‫‪ r = op‬وان ‪xop‬‬ ‫= ‪ θ‬‬ ‫‪ θ S‬‬ ‫‪uuv‬‬ ‫‪uv‬‬ ‫‪u‬‬ ‫⇀‬ ‫⇀ الى‬ ‫‪op‬‬ ‫ويكون قياس ‪ θ‬من ‪ox‬‬ ‫ ‬

‫بأتجـاه عكس عقـارب الساعـة اذا كـان‬

‫‪r‬‬

‫‪y‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫القيـاس موجـبـاً‪ ،‬ومـع اتجــاه عقـارب‬ ‫الساعة اذا كـــان القياس سالب ًا وعليــه‬ ‫فأن ‪:‬‬

‫‪0‬‬

‫الشكل (‪)1-6‬‬

‫)‪R(z) = x = r cos θ ....(1‬‬ ‫)‪I(z) = y = r sin θ ....(2‬‬ ‫حيث( ‪ R(z‬يرمز للجزء الحقيقي للعدد المركب ‪ z‬بينما ( ‪ I (z‬يرمز للجزء التخيلي للعدد المركب‪z‬‬ ‫‪ r‬يسمى مقياس العدد المركب ‪)Modulus of Complex Number( z‬‬

‫ويرمز =له ‪r = z‬‬ ‫مقياس ‪x 2 +z‬‬ ‫وهو عدد حقيقي غير سالب ويقرأ “‪ ”mod z‬او ‪y2‬‬ ‫حيث ‪r = z = x 2 + y2‬‬ ‫ومن العالقتين (‪ )1‬و (‪ )2‬نحصل على‪:‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫=‬ ‫‪r z‬‬

‫= ‪cosθ‬‬

‫‪y y‬‬ ‫=‬ ‫‪r z‬‬ ‫اما ‪ θ‬فقياسها يسمى سعة العدد المركب (‪)Argument of Complex Number‬‬ ‫= ‪sinθ‬‬

‫واختصار ًا تكتب بالشكل )‪θ = arg(z‬‬

‫‪36‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫ميكن ان تاخذ ‪ θ‬عدد ًا غير منته من القيم التي تختلف كل منها‬ ‫مالحظـة‬ ‫عن االخرى لعدد صحيح من الدورات‪.‬‬ ‫فاذا كانت ‪ θ‬سعة عدد مركب فان ك ً‬ ‫ال من االعداد ‪ θ + 2nπ :‬حيث ‪ n‬عدد صحيح يكون ايض ًا سعة‬ ‫لنفس العدد المركب‪.‬‬

‫اما اذا كانت ) ‪ θ ∈ [0, 2π‬الدالة على سعة العدد المركب فيقال لها القيمة االساسية لسعة العدد‬ ‫المركب ( ‪.)principle Value‬‬ ‫مثال‪-23 -‬‬

‫‪ zz==1−‬فجد المقياس والقيمة االساسية لسعة ‪. z‬‬ ‫اذا كان ‪1− 3i3i‬‬

‫احلل‪:‬‬

‫‪mod z = z = x 2 + y2‬‬ ‫‪= 1+ 3 = 2‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫=‬ ‫‪z 2‬‬

‫نستنتج ان ‪ θ‬في الربع الرابع‬

‫مثال‪-24 -‬‬

‫= ‪cos θ‬‬

‫‪y − 3‬‬ ‫=‬ ‫‪z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫‪∴ arg ( z ) = 2π −‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪sin θ‬‬

‫اذا كان ‪ z = -1 - i‬فجد المقياس والقيمة االساسية لسعة ‪. z‬‬

‫احلل ‪:‬‬ ‫‪mod z = z = 1+1 = 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫=‬ ‫‪z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫نستنتج ان ‪ θ‬في الربع الثالث‬

‫= ‪cos θ‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫=‬ ‫‪z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪∴ arg ( z ) = π +‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪sin θ‬‬

‫‪37‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫‪)1‬ان سعة العدد املركب ‪ z = 0‬غير معرفة وذلك الن املتجه الصفري‬ ‫مالحظـة‬ ‫ليس له اجتاه‪.‬‬ ‫‪ )2‬ممكن االفادة من املقياس والقيمة االساسية لسعة العدد املركب‬ ‫بكتابة العدد املركب ‪ z = x+yi‬بصورة اخرى تسمى الصيغة القطبية‬ ‫‪ Polar From‬وكما يأتي ‪:‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪ x = r cosθ , y = r sinθ‬‬ ‫) ‪z = (r cos θ + iir sin θ ) = r (cos θ + ii sin θ‬‬ ‫))‪z = z ( cos(arg z)+ i sin(arg z‬‬ ‫او‬

‫‪Q‬‬ ‫‪ x = r cosθ , y = r sinθ‬‬

‫حيث ‪ θ = arg (z) ، r = mod z= z‬هي سعة العدد المركب ‪z‬‬

‫مثال‪-25 -‬‬

‫عبر عن كل من االعداد اآلتية بالصيغة القطبية ‪:‬‬ ‫‪b) 2 3 − 2ii‬‬

‫‪a) − 2 + 2ii‬‬

‫احلل ‪:‬‬ ‫‪a) let z = −2 + 2ii‬‬

‫‪ θ‬تقع في الربع الثاني‬

‫الصيغة القطبية للعدد المركب ‪ z‬هي ‪:‬‬

‫‪mod z = z = 4 + 4 = 2 2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪cos θ‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪sin θ‬‬ ‫=‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∴ arg ( z ) = π − −π = 3π .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫) ‪z = r (cos θ + i sin θ‬‬

‫‪38‬‬

‫‪3π‬‬ ‫) ‪3π‬‬ ‫‪+ ii sin‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪z = 2 2(cos‬‬

Complex Numbers ‫االعداد املركبة‬

b)b)let b) letzlet z==−2 z−2 = −2 33−−2i 32ii− 2i

mod z = 12 + 4 = 16 = 4 cos θ = sinθ =

2 3 3 =− 4 2

−2 −1 = 4 2 ‫ تقع في الربع الرابع‬θ

∴ arg ( z ) = 2π −

π 11π = 6 6

z =4 4= (cos

39

11π 11π + i sin ) 6 6

: ‫ هي‬z ‫∴ الصيغة القطبية للعدد المركب‬

Complex Numbers ‫االعداد املركبة‬ :‫عبر عن كل من االعداد االتية بالصيغة القطبية‬ a) 1

b) i

c) -1

-26 -‫مثال‬

d) -i : ‫احلل‬

: ‫الحظ االشكال اآلتية‬

y

(a)

y

(0,1)

(b)

(1,0) p(z1) = (1,0)= 1+0i

x p(z2) = (0,1)= 0+i mod z2 = 1 π arg z2 = 2

mod z1 = 1 arg z1 = 0

∴ z1 = 1 (cos 0 +i sin 0)

∴ z2 = 1 (cos

x

π π +i sin ) 2 2 y

y

(c)

(d)

x (-1,0) p(z3) =(-1,0)=-1+0i mod z3 = 1 arg z3 = π 2

∴ z3 = 1 (cos π +i sin π )

x p(z4) = (0,-1)=0-i (0,-1) mod z4 = 1 3π arg z4 =

2

∴ z4 = 1 (cos

3π 2

+i sin

3π 2

)

)1-7( ‫الشكل‬

40

Complex Numbers ‫االعداد املركبة‬ 1 = (cos 0 + i sin 0) −1 = (cos π + i sin π ) π π i = (cos + i sin ) 2 2 3π 3π −ii = (cos + i sin ) 2 2 i sin0)0) 33==33××11==(cos 3(cos00++i sin

:‫من املثال السابق نستنتج االتي‬

: ‫وبتطبيق االستنتاج السابق يمكن أن نضع‬

−2 = 2 × (−1) = 2(cos π + ii sin π ) π π + ii sin ) 2 2 3π 3π i = 7(cos −7ii = 7 × (−i) + i sin ) 2 2 5ii = 5 × i = 5(cos

.‫] مبرهنة دميواڤر‬1-9[

De Moivre’s Theorem z2 = cosφ + i sin φ , z1 = cosθ + i sinθ :‫ يمكن ان تكتب بصورة‬z2 , z1

‫ بالصيغة القطبية‬z1 . z2 ‫واالن سنجد‬

z1 × z2 = (cosθ + i sinθ )(cosφ + i sinφ) = cos(θ + φ) + i sin(θ + φ)

= cosθ cosφ + i cosθ sin φ + i sinθ cosφ + i 2 sinθ sin φ = [cosθ cosφ − sinθ sin φ]+ i [cosθ sin φ + sinθ cos sin φ] = cos(θ + φ)+ i sin(θ + φ) (cosθ + i sinθ )2 = cos θ ++iisin θ ‫( فان العالقة تصبح‬φ = θ ) ‫ولو كان‬ cos22θ sin2 2θ :‫ويمكن برهنتها كما يأتي‬

= (cosθ + i sinθ )2 = (cos 2 θ + 2ii sinθ cosθ − sin 2 θ ) LHS 22 22 == (cos cosθ = (cos 2θ))− sin 2θ ) + i(2 sinθ cosθ ) (cos 2 θθ -++ sin sin 2 θθ )+ )+ ii(2 i(2 sinθ sinθ cosθ == cos cos 2θ 2θ ++ ii sin sin 2θ 2θ ===RHS= (cos 2θ + i sin 2θ =

.‫) الى تعميم العالقة والتي سميت بمبرهنة ديمواڤر‬1664-1754( ‫وقد توصل العالم ديمواڤر‬

41

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫’‬

‫مبرهنة ديمواڤر‬

‫لكل ‪ θ ∈ R , n ∈ N‬فإن‬

‫‪(cosθ + i sinθ )n = cos n θ + i sin n θ‬‬

‫البرهان‪( :‬لالطالع فقط)‬

‫سنتوصل الى برهان هذه المبرهنة بطريقة االستقراء الرياضي وكما يأتي ‪:‬‬ ‫‪ )1‬لنعتبر ‪ n =1‬فان العالقة تصبح‪:‬‬ ‫‪ (cosθ + i sinθ )1 = cos1 θ + i sin1 θ‬وهي عبارة صحيحة ‪.‬‬ ‫‪ )2‬لنأخذ ‪ k≥ 1‬ونفترض ان العالقة صحيحة لكل ‪. n = k‬‬ ‫أي ان ‪ (cosθ + i sinθ )k = cos k θ + i sin k θ‬صحيحة فرضاً‪.‬‬ ‫‪ )3‬يجب ان نثبت ان العالقة صحيحة عندما ‪n = k + 1‬‬ ‫‪∴(cosθ‬‬ ‫‪∴(cosθ++i sinθ‬‬ ‫‪i sinθ)k+1‬‬ ‫‪)k = (cosθ + i sinθ )1 (cosθ + i sinθ )k‬‬ ‫) ‪= (cosθ + i sinθ )(cos kθ + i sin kθ‬‬ ‫) ‪= cos(θ + kθ ) + i sin(θ + kθ‬‬ ‫‪= cos(k +1)θ + i sin(k +1)θ‬‬

‫وعليه فاذا كانت العالقة صحيحة عند ‪ n‬أي ‪ n=k , k≥1‬فهي كذلك صحيحة عند ‪n = k + 1‬‬ ‫وبواسطة االستقراء الرياضي فان المبرهنة تعتبر صحيحة لجميع قيم ‪.n‬‬ ‫مثال‪-27 -‬‬

‫احلل‪:‬‬

‫‪42‬‬

‫احسب‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(cos π + i sin π )4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪334‬‬ ‫‪= (cos‬‬ ‫‪= (cos π +πi+sin‬‬ ‫= ‪i sin π )π )=4‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪3π3π‬‬ ‫‪3π3π‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪= cos + i+sin‬‬ ‫= = ‪i sin‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫)‪0=+0i(−i‬‬ ‫)‪+ ii(−i‬‬ ‫‪= −ii‬‬ ‫‪1= −i‬‬

Complex Numbers ‫االعداد املركبة‬ :‫ فان‬θ ∈ R , n ∈ N ‫بين انه لكل‬

-28 -‫مثال‬

(cosθ − i sinθ )n = cos n θ − i sin n θ : ‫احلل‬ n LHSQ(cosθ = − ii sinθ )n = [ cosθ + (−ii sinθ )]

= [(cosθ + − i sin(−θ )]

n

= [ cos(−θ ) + ii sin(−θ )]

n

φ = −θ

‫ تصبح العالقة‬φ = −θ ‫وبجعل‬

[ cosφ + i sinφ ] n = [ cosφ + i sin φ ] cos nφ + i sin nφ = = cos n φ + ii sin n φ cos(−nθ ) + i sin(−nθ ) = = cos(−n θ )+ i sin(−n θ )

cos nθ − i sin nθ = cos n θ − i sin n θ n

= RHS

‫الطرف االيسر‬

‫الطرف االيمن‬

(‫ م‬. ‫ هـ‬. ‫)و‬ :‫نتيجة ملبرهنة دميواڤر‬ N ‫ فان‬θ ∈ R , n ∈ Q

‫لكل‬

⎡nθ2π k2π +θ2π k2π ⎡⎡θθ=+⎡+r⎡θ2π ⎤2π 2πkn θ+++ 1θ(cos +++ 2π k2π kk1θ +θθi+sin θ52π kn kk⎤⎤⎤ z θ⎤k)i) + i sin cos + i sin 2(− + i ) = 2 (−1+ i) rcos + i sin zz r=rzzz2cos rr cos cos + i sin + i sin ⎢⎣⎢⎣ ⎢⎣⎢⎣⎢⎣n nn ⎥⎥ ⎥⎥=⎥ 32(−1+ k = 0,1, 2,..., n −1 n2n 2 nn nn⎦n⎦ ⎦⎦⎦

nn

1 1 111n nnnn n 5nnn

2,......., −1 k===0,1, 0,1, 2,......., −1 2,......., nnn−1 kk==k0,1, k0,1, 2,......., 0,1, 2,......., nn−1 −1

(1+i )11 ‫احسب باستخدام مبرهنة ديموافر‬

:‫احلل‬

(1+ i)" let

z = 1+ i

1 1 3 1 1 π π Q mod 2 , cosθ ∴ zarg Q mod z= z= 2 , cosθ = = , sinθ ∴ arg = z= x, sinθ +=1 ==0 ⇒ 4 4 2 2 3 2 2



x = −1

43

-29 -‫مثال‬

x 3 = cos π + i sin π ∴ x = (cos π + i sin π )

1 3

π Q mod z =Complex 2 ang z =Numbers ‫االعداد املركبة‬ 4 π π ∴ z = 2(cos + i sin ) 4 4 π π 11 ∴(1+ ii)"11 = ( 2 )"11 (cos + i sin )" 4 4 11 11 11π π 11π = 22 22 (cos + i sin ) ) 4 44 11 3π 3π = 2 2 (cos + i sin ) 4 4 11 1 1 1 1 = 2 2 (− +i ) = 25 2(− +i ) = 2 5 (−1+ i) = 32(−1+ i) 2 2 2 2 5

= 2 (i −1) = 32(i −1) ( cosθ + i sinθ )−1 = [ cos(−θ )+ i sin(−θ )] = (cosθ − i sinθ )

[)cosθ + ii sinθ ])

−n

= cos n θ − i sin n θ

3

x ∈ £ ‫ حيث‬x +1 = 0

x3 + 1 = 0 ⇒

:‫ويمكن تعميم هذه العالقة بالشكل االتي‬

‫حل المعادلة‬

-30 -‫مثال‬

:‫احلل‬

3

x = −1 x 3 = cos π + ii sin π

‫مالحظـة‬

1 3

∴ x = (cos π + i sin π ) π + 2nπ π + 2nπ k k ∴ x = cos + i sin 3 3 k = 0,1, 2 n ‫حيث‬ ‫النه جذر تكعيبي‬

44

Complex Numbers ‫االعداد املركبة‬ π π + i sin 3 3 1 3 i = + 2 2 x = cos π + i sin π = −1+ ii(0) x = cos

‫ يكون‬k= 0 ‫بوضع‬

‫ يكون‬k= 1

‫بوضع‬

x = −1 5π 5π ‫ يكون‬k= 2 ‫بوضع‬ + i sin 3 3 x= 1 − 3 i 2 2 ⎧1 ⎫ ⎨ + 3 i , −1 , 1 − 3 ii⎬ ⎩2 2 2 2 ⎭ : ‫اذ ًا مجموعة الحل للمعادلة هي‬ x = cos

( 3 + ii) cosθ =

3 4

sinθ

1 2

π π arg(z) = 6 6 z = 3+1 = 2 ⎛ 3 π π1 ⎞ 3∴ 13 3، + isinθ 1 1 1⎟ zcosθ == 2 ⎜3cos sin cosθ = sinθ cosθ sinθ cosθ sinθ =⎝ 4 sinθ cosθ = = =62 ⎠ 6 4 4 24 4 2 22 ⎛ π 2 π⎜ cos + i sin π ⎞⎟ π z = 4 ∴θ = ⎝ arg(z) =⎠ 3 3 6 6 ∴θ =

2 5

: ‫اوجد الصيغة القطبية للمقدار‬

:‫ بالصيغة القطبية‬z ‫ نضع‬z = 3 + i ‫ليكن‬

1

z =2 13 + 11=⎡ 2 π π ⎤5 ∴(z ) 5 = 4 5 ⎢cos + i sin ⎥ ⎛ π⎣ 3 π ⎞ 3⎦ ∴ z = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ ⎝ ⎠ π ⎤ 45 ⎡⎢ π6+ 2nπ 6 + 2nπ ⎥ ⎛ π3 π⎞ 5 3 = ⎥⎦ z2 =44 ⎜⎢⎣cos + i sin +⎟i sin 5 5 ⎝ ⎠ 3 3

-31 -‫مثال‬

:‫احلل‬

π π arg(z) = Complex6 Numbers ‫االعداد املركبة‬ 6 z = 3+1 = 2 π π 2 ⎛ π π⎞ 2 2 ∴ z = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ ⇒ z = 2 (cos + ii sin ) ⎝ 6 6 6 6⎠ ⎛ π π⎞ z2 = 4 ⎜ cos + i sin ⎟ ⎝ 3 3⎠ ∴θ =

1 2 5

1 5

1 5

⎡ π π⎤ ∴(z ) = 4 ⎢cos +ii sin ⎥ ⎣ 3 3⎦ ⎡ ⎤ π π k k + 2nπ + 2nπ ⎢ ⎥ = 5 4 ⎢cos 3 +ii sin 3 ⎥ ⎣ 5 5 ⎦

‫ النه جذر خامس‬k = 0, 1, 2,3,4 2 5

⎛ π π⎞ z = 5 4 ⎜ cos +ii sin ⎟ ⎝ 15 15 ⎠

⎡ 7π 7π ⎤ z = 5 4 ⎢cos + i sin ⎥ ⎣ 15 15 ⎦ 2 5

‫حيث‬

‫ يكون‬k=0 ‫وبوضع‬

‫ يكون‬k=1 ‫وبوضع‬

⎡ 13π 13π ⎤ z = 5 4 ⎢cos + i sin ⎣ 15 15 ⎥⎦

‫ يكون‬k=2 ‫وبوضع‬

2 5

2 5

⎡ 19π 19π ⎤ z = 5 4 ⎢cos + i sin ⎣ 15 15 ⎥⎦ 2 5

⎡ 25π 25π ⎤ z = 5 4 ⎢cos + i sin ⎣ 15 15 ⎥⎦ ⎡ 5π 25π ⎤ = 5 4 ⎢cos + i sin ⎥ ⎣ 3 3 ⎦



‫ يكون‬k=3 ‫وبوضع‬ ‫ يكون‬k=4 ‫وبوضع‬

46

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬

‫‪ .1‬احسب ما يأتي‪:‬‬

‫‪)1‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-5‬‬

‫‪4‬‬

‫⎡‬ ‫‪5‬‬ ‫⎤ ‪5‬‬ ‫⎥ ‪a) ⎢cos π + i sin π‬‬ ‫⎣‬ ‫‪24‬‬ ‫⎦ ‪24‬‬

‫‪c) (1− i)7‬‬

‫⎡‬ ‫‪7‬‬ ‫⎤ ‪7‬‬ ‫⎥ ‪b) ⎢cos π 4+ i sin π‬‬ ‫‪d) ( 3 + i)9 4‬‬ ‫⎤ ‪⎣ 512‬‬ ‫⎡ ⎦ ‪12‬‬ ‫⎡‬ ‫⎤ ‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪75‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪π‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪(1−‬‬ ‫)‪i‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪π‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪(1−‬‬ ‫)‪i‬‬ ‫⎢‬ ‫⎥‬ ‫⎣⎢‬ ‫⎣‬ ‫‪24‬‬ ‫⎦ ‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫⎦⎥ ‪24‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ .2‬احسب‪9‬باستخدام مبرهنة ديموافر⎤ما ‪77‬‬ ‫⎡ ⎤‬ ‫⎤ ‪⎡ 7 75‬‬ ‫‪7‬‬ ‫يأتي‪5 b)⎤ ⎡cos 79 π + i sin:‬‬ ‫)‪d) ( 3 + i‬‬ ‫)‪b)⎥ ⎢cos c)a‬‬ ‫‪π +(1−‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫⎥ ‪i) ππ⎥+ i sin d)π ⎥( ⎢ 3 + i) c) (1− i) π‬‬ ‫‪⎢⎣i cos‬‬ ‫⎣‬ ‫⎦‬ ‫⎦‬ ‫‪⎦ ⎣ 12‬‬ ‫⎦‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪−3‬‬

‫⎡‬ ‫‪7‬‬ ‫⎤ ‪7‬‬ ‫‪d)b)( ⎢3cos‬‬ ‫⎥ ‪+ i)9 π + i sin π‬‬ ‫‪d) ( 3 + i)9‬‬ ‫‪⎣ 12‬‬ ‫⎦ ‪12‬‬ ‫‪ .3‬بسط ما يأتي‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(cos(cos‬‬ ‫‪2θ +2θ2 +‬‬ ‫‪sini sin‬‬ ‫) ‪2θ )2θ‬‬ ‫)‪a) a‬‬ ‫‪b) (cosθ + i sinθ )8 (cosθ − i sinθ )4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+ i3θ‬‬ ‫‪sin) 3θ‬‬ ‫‪(cos(cos‬‬ ‫‪3θ +3θ‬‬ ‫‪i sin‬‬ ‫‪−3‬‬

‫‪ .4‬بأستخدام مبرهنة ديموافر جد الجذور التربيعية للعدد المركب ‪.5 - 5i‬‬ ‫‪ .5‬بأستخدام مبرهنة ديموافر جد الجذور التكعيبية للعدد ‪.27i‬‬

‫‪ .6‬جد الجذر الرابع للعدد (‪ )-16‬بأستخدام مبرهنة ديموافر‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫)‪ (−64i‬بأستخدام مبرهنة ديموافر‪.‬‬ ‫‪ .7‬اوجد قيم ‪i‬‬

‫‪47‬‬

‫‪−3‬‬

‫⎤‬ ‫⎥‪π‬‬ ‫⎦‬

‫‪2‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬

‫الف�صل الثاين‬ ‫‪Chapter Two‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫[‪]2-1‬‬

‫تعريف القطع املخروطي‪.‬‬

‫[‪]2-2‬‬

‫القطع املكافئ‪.‬‬

‫[‪]2-3‬‬

‫انسحاب احملاور للقطع املكافئ‪.‬‬

‫[‪]2-4‬‬

‫القطع الناقص‪.‬‬

‫[‪]2-5‬‬

‫انسحاب احملاور للقطع الناقص‪.‬‬

‫[‪]2-6‬‬

‫القطع الزائد‪.‬‬

‫[‪]2-7‬‬

‫انسحاب احملاور للقطع الزائد‪.‬‬ ‫املصطلح‬

‫الرمز او العالقة الرياضية‬

‫البؤرة قبل االنسحاب‬

‫‪F‬‬

‫البؤرة بعد االنسحاب‬

‫ʹ‪F‬‬

‫االختالف املركزي‬

‫‪48‬‬ ‫‪48‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪a‬‬

‫=‪e‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫القطوع المخروطية واهمية دراستها‪:‬‬ ‫لنبحث او ًال عن وجود مثل هذه القطوع في الكون والطبيعة سوف ترى الكواكب والنجوم تتحرك على‬ ‫مدارات اهليلجية ‪(.‬اي المدارات تشبه القطع الناقص)‬ ‫وفي الذرة وااللكترون يالحظ المختصون بان‬ ‫االلكلترونات تدور حول النواة على مــدارات‬ ‫اهليلجية ايضـــــاً‪ ،‬ومــن التطبيقات االخــرى‬ ‫للقطوع المخروطية استخدامهــا في انتشــار‬ ‫الصــوت حيث نـــالحظهــا في االت تكبيــر‬ ‫الصوت الحديثة وكذلك تستخدم في انتشار‬ ‫الضوء كما في ضوء السيــارة فهــو مجســـم‬ ‫مكافئ وضع في بؤرته مصبـــــاح ًا ‪ .‬عندمــــا‬ ‫ينطلق شعــاع ضــوئي من المصبـاح ينعـكس‬ ‫هذا الشعاع على السطح المجســم وبصــورة‬ ‫افقية‪ .‬وكذلك جميع االشعـــة المنطلقة مـن‬ ‫المصباح مما يؤدي الى انارة الطريق امام السيـارة‪.‬‬ ‫ومن التطبيقات االخرى نالحظها من خالل الصور‬ ‫التالية‪:‬‬

‫‪49‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫نالحظ مما سبق مدى اهمية القطوع المخروطية التي اصبحت دراستها محل اهتمام الرياضيين والفلكيين‬ ‫وعلماء الفضاء والميكانيكيين وكان للحضارة العربية االسالمية دور هام في مواصلة هذه الدراسات بعد‬ ‫اطالعهم على اعمال الرياضيين االغريق امثال مينشم ‪ ،‬وابولتيوس ‪ ،‬وبابوس ‪ .‬ومن العلماء العرب الذين‬ ‫اهتموا بالقطوع المخروطية ثابت بن قرة وابو جعفر الخازن ‪ ،‬واباسهل الكوهي ‪ ،‬وابن الهيثم وغيرهم‬ ‫كثيرون‪.‬‬ ‫سبق وتعرفنا في الصف الخامس العلمي على كيفية تولد القطوع المخروطية‪ :‬الدائرة ‪ -‬القطع المكافئ‪-‬‬ ‫القطع الناقص‪ -‬القطع الزائد‪ .‬حيث يتم الحصول على هذه القطوع هندسي ًا وكاالتي‪:‬‬

‫اذا قطع سطح المخروط الدائري القائم‬

‫✾ مبستو عمودي على محور املخروط الدائري القائم وال يحوي رأس املخروط الدائري القائم فان املقطع‬ ‫ميثل شك ً‬ ‫ال هندسي ًا يسمى دائرة (‪.)Circle‬‬ ‫مواز ألحد مولداته فأن املقطع ميثل شك ً‬ ‫ال هندسي ًا يسمى القطع املكافئ “ ‪. ”Parabola‬‬ ‫✾ مبستو ٍ‬ ‫مواز لقاعدته وال يوازي احد مولداته فأن القطع ميثل شك ً‬ ‫ال هندسي ًا يسمى القطع الناقص‬ ‫✾ مبستو غير ٍ‬ ‫“ّ‪.”Ellipse‬‬ ‫✾ مبستو يوازي محور املخروط الدائري القائم ويقطع مولدين من مولدات املخروط الدائري القائم فان‬ ‫املقطع ميثل شك ً‬ ‫ال هندسي ًا يسمى القطع الزائد “‪. ”Hyperbola‬‬ ‫الحظ االشكال التالية للقطوع املخروطية ‪:‬‬

‫دائرة‬

‫ناقص‬

‫مكافئ‬ ‫الشكل (‪)2-1‬‬

‫‪50‬‬

‫زائد‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬

‫[‪ ]2-1‬القطع املخروطي‪:‬‬ ‫لتكن (‪ )x1,y1‬نقطة ثابتة في المستوي وليكن ‪ ax + by + c = 0‬مستقيم ًا ثابت ًا في المستوي نفسه‪،‬‬ ‫عندئذ مجموعة كل النقاط التي نسبة ُبعد كل منها عن النقطة (‪ )x1, y1‬الى بعدها عن المستقيم‬ ‫‪ ax +by +c = 0‬تساوي عدد ًا ثابت ًا (‪ )e‬تكون شكل هندسي يسمى بالقطع المخروطي ‪.‬‬

‫مما سبق نالحظ ان لكل قطع مخروطي ثالثة مفاهيم اساسية يتعين بها هي‪:‬‬ ‫‪ -1‬النقطة الثابتة (‪ )x1,y1‬تسمى بؤرة القطع المخروطي “‪. ”Focus‬‬ ‫‪ -2‬المستقيم الثابت ‪ ax +by +c = 0‬يسمى دليل القطع المخروطي “‪.”Directrix‬‬ ‫‪ -3‬النسبة (‪ )e‬تسمى باالختالف المركزي “‪.”Eccentricity‬‬

‫مالحظـة‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫=‪e‬‬ ‫<‪e‬‬ ‫>‪e‬‬

‫في القطع املكافئ‬ ‫في القطع االناقص‬ ‫في القطع الزائد‬

‫»‪«Parabola‬‬ ‫»‪«Ellipse‬‬ ‫»‪«Hyperbola‬‬

‫[‪ ]2-1-1‬المعادلة العامة للقطع المخروطي‪:‬‬ ‫من تعريف القطع المخروطي نستنتج المعادلة العامة وذلك كما يأتي‪:‬‬ ‫لتكن (‪ )x, y‬نقطة على القطع المخروطي ‪ ،‬عندئــــذ المســافة بيـن (‪ )x ,y‬والبؤرة (‪ )x1 , y1‬هي ‪:‬‬

‫‪51‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫‪(x − x1 )2 + (y − y1 )2‬‬ ‫والبعد بين (‪ )x , y‬والدليل ‪ ax +by +c = 0‬هي ‪:‬‬

‫‪(x − x1 )2 + (y − y1 )2‬‬ ‫‪ax + by + c‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ax +aby++bc‬‬ ‫اي ان‬ ‫تساوي (‪2 )e‬‬ ‫وبموجب تعريف القطع المخروطي فان النسبة بين هاتين المسافتين ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪2 − x ) + (y − y‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a +b‬‬

‫‪(x − x1 )2 + (y − y1 )2‬‬ ‫‪=e‬‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪2+ by + c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪(x − x1 ) + (y − y1‬‬ ‫‪=e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ax + by + c‬‬ ‫‪aby‬‬ ‫‪++2bc2‬‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪⇒ (x − x1 ) + (y − y1 )2 = e .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪aby‬‬ ‫‪++bc2‬‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⇒ (x − x1 )2 + (y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 − y1 ) = 2e .‬‬ ‫‪2+ c ) 2‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪2 − x1 ) + (y‬‬ ‫‪2 − y21 ) ( ax + by‬‬ ‫‪(x − x1 ) + (y − y1 ) = e . = e 2 a 2+ b‬‬ ‫‪ax + by + c ( ax +aby++bc)2‬‬ ‫وبتربيع الطرفين نحصل على معادلة القطع‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(x − x1 ) + (y − y1 )2 = e2 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ax + by + c‬‬ ‫المخروطي العامة وهي معادلة من الدرجة‬ ‫‪⇒ (x − x1 )2 + (y − y1 )a2 =+eb.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a +b‬‬ ‫الثانية‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪( ax + by + c‬‬ ‫‪(x − x1 )2 + (y − y1 )2 = e2 .‬‬ ‫‪a 2 + b2‬‬

‫[‪ ]2-2‬القطع املكافئ‪Parabola :‬‬

‫القطع المكافئ هو مجموعة النقط ( ‪ M(x , y‬في المستوي والتي يكون ُبعد كل منها عن نقطة ثابتة‬ ‫)‪ F(p,0‬تسمى البؤرة حيث ‪ P> 0‬مساوي ًا دائم ًا لبعدها عن مستقيم معلوم “‪ ”D‬يسمى الدليل ال‬ ‫‪y‬‬

‫يحوي البؤرة ‪.‬‬ ‫اي ان‬

‫‪ MF = MQ‬الحظ الشكل (‪: )2 - 2‬‬

‫وتسمى النقطــــة “‪ ”O‬بــــرأس القطـــع‬

‫)‪M(x,y‬‬

‫)‪Q(-p,y‬‬

‫المكافئ “‪”Vertex‬‬ ‫ويسمـــى المستقيـــــم (‪ )x‬المــــــــار‬ ‫بالبؤرة والعمود على الدليـــــل بمحـــور‬

‫‪MF‬‬ ‫القطع المكافئ‪.‬حيث الحظ ان‪= e =1‬‬ ‫‪MQ‬‬

‫‪52‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪F(p,0‬‬ ‫الشكل (‪)2-2‬‬

‫‪O‬‬

‫‪D‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫[‪ ]2-2-1‬معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته تنتمي لمحور السينات(‪ )x-axis‬والرأس في نقطة األصل‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪D‬‬

‫)‪M(x,y‬‬

‫)‪M(x,y‬‬

‫)‪Q (p,y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪D‬‬ ‫)‪Q(-p,y‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪F(-p,0‬‬

‫)‪F(p,0‬‬

‫‪x=p‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪x = -p‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫الشكل (‪)2-3‬‬

‫في المستوي الديكارتي المتعامد المحورين وبناء ًا على تعريف القطع المكافئ يمكن ايجاد معادلة‬ ‫القطع المكافئ في ابسط صورة ممكنة وكما يأتي‪:‬‬ ‫لتكــن النقطـــة (‪ F(p,0‬هي بؤرة القطــع المكافئ والمستقيــم ‪ D‬هو دليل القطع المكافئ ‪ ،‬والنقطة‬ ‫(‪ Q(-p,y‬نقطة على الدليل حيث ‪ MQ‬عمودي على المستقيم ‪ ،D‬والنقطة (‪ M(x,y‬من نقط منحني‬ ‫القطع المكافئ والرأس في نقطة االصل (‪ . )0,0‬كما في الشكل(‪ .)A ( )2-3‬من تعريف القطع المكافئ‪.‬‬ ‫‪MF = MQ‬‬

‫‪53‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫بتربيع الطرفين‬

‫‪(x − p)2 + (y − 0)2 = (x + p)2 + (y − y)2‬‬ ‫‪x 2 − 2 px + p2 + y2 = x 2 + 2xp+ p2‬‬

‫‪x 2 − 2 px + p2 + y2 = x 2 + 2xp+ p2‬‬

‫بالتبسيط‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪M(x,y‬‬

‫) المعادلة القياسية للقطع المكافئ( ‪y2 = 4 px , ∀p > 0‬‬ ‫)‪Q(-p,y‬‬

‫ومعادلة الدليل ‪x=-p‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪F(p,0‬‬

‫‪O‬‬

‫‪D‬‬ ‫الشكل (‪)2-4‬‬

‫مثال ‪- 1-‬‬

‫جد البؤرة ومعادلة دليل القطع المكافئ ‪y2 = 8x‬‬

‫احلل‬ ‫‪y2 = 8x‬‬ ‫‪yy22 == 4px‬‬ ‫بالمقارنة مع المعادلة القياسية ‪4px‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪⇒ 4p = 8 ⇒ p = = 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪∴ p= 2‬‬ ‫)‪F ( p, 0) = F (2, 0‬‬ ‫معادلة الدليل ‪x = − p‬‬ ‫‪∴ x = −2‬‬

‫‪54‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫مثال ‪- 2-‬‬

‫جد معادلة القطع المكافئ اذا علم‪:‬‬ ‫أ) بؤرته (‪ )3,0‬والرأس نقطة االصل ‪.‬‬

‫ب) معادلة الدليل ‪ 2x - 6 = 0‬ورأسه نقطة االصل ‪.‬‬ ‫احلل‬ ‫)‪(p,0) = (3,0‬‬

‫أ(‬

‫‪⇒p=3‬‬

‫)المعادلة القياسية( ‪∴ y2 = 4px‬‬

‫‪⇒ y2 = (4) (3) x = 12x‬‬ ‫‪y2 = 12x‬‬

‫ب(‬

‫‪2x - 6 = 0‬‬

‫من معادلة الدليل‬

‫‪2x = 6 ⇒ x = 3‬‬ ‫)بفضل التعريف(‬

‫‪∴ p=3‬‬

‫بتطبيق المعادلة القياسية‬ ‫‪y2 = -4px‬‬ ‫‪y2 = (-4) (3) x = -12 x ⇒ y2 = -12x‬‬ ‫مثال ‪- 3-‬‬

‫احلل‬

‫جد بؤرة ومعادلة دليل القطع المكافئ ‪ y2 = 4x‬ثم أرسمه‪:‬‬

‫بالمقارنة مع معادلة القطع المكافئ ‪:‬‬

‫‪y2 = 4px‬‬

‫‪⇒ 4p = 4 ⇒ p =1‬‬ ‫البؤرة )‪F (1, 0‬‬

‫معادلة الدليل ‪x = -1‬‬ ‫‪y2 = 4x ⇒ y = ±2 x‬‬

‫‪55‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪±2 2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪±2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪D‬‬

‫)‪(1,2‬‬ ‫‪x = -1‬‬ ‫‪x‬‬

‫)‪F(1,0‬‬ ‫‪O‬‬ ‫)‪(1,-2‬‬

‫الشكل (‪)2-5‬‬

‫مثال ‪- 4-‬‬

‫باستخدام التعريف جد معادلة القطع المكافئ اذا علم ان بؤرته ) ‪ ( 3, 0‬والرأس في‬ ‫نقطة األصل‪.‬‬

‫احلل‬ ‫البؤرة )‪ ، F ( 3, 0‬ولتكن النقطة( ‪ M(x,y‬من نقط منحني القطع المكافئ‪ ،‬والنقطة‬ ‫‪sr‬‬ ‫)‪ Q(− 3, y‬هي نقطة تقاطع العمود المرسوم من ‪ M‬على الدليل ‪ D‬ومن تعريف القطع المكافئ‪.‬‬ ‫)بتربيع الطرفين(‬

‫‪(x − 3)2 + (y − 0)2 = (x + 3)2 + (y − y)2‬‬ ‫‪(x − 3)2 + y2 = (x + 3)2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪x 2 − 2 3x + 3+ y2 = x 2 + 2 3x + 3‬‬ ‫(بالتبسيط)‬ ‫‪y2 = 4 3x‬‬ ‫)‪Q(− 3, y‬‬ ‫)معادلة القطع المكافئ(‬

‫)‪M(x,y‬‬

‫‪x‬‬

‫) ‪F ( 3, 0‬‬

‫‪0‬‬

‫الشكل (‪)2-6‬‬

‫‪x=− 3‬‬

‫‪56‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫[‪ ]2-2-2‬معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته تنتمي لمحور الصادات(‪ )y-axis‬والرأس في نقطة األصل‬ ‫‪y‬‬

‫‪y‬‬ ‫)‪Q(x,p‬‬

‫‪y=p‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪F(0,p‬‬ ‫‪D‬‬ ‫)‪M(x,y‬‬

‫‪O‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪M(x,y‬‬ ‫)‪F(0, -p‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪Q(x,-p‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪y = -p‬‬

‫‪A‬‬ ‫الشكل (‪)2-7‬‬

‫في المستوي الديكارتي المتعامد المحورين لتكن النقطة ( ‪ F(0,p‬هي بؤرة القطع المكافئ ‪ ،‬والمستقيم‬ ‫‪ D‬دليل القطع المكافئ والنقطة( ‪ Q(x,-p‬هي نقطة تقاطع العمود المرسوم من ‪ M‬على الدليل ‪ ،‬والنقطة‬ ‫( ‪ M(x,y‬من نقط منحني القطع المكافئ والرأس في نقطة االصل (‪ )0, 0‬كما في الشكل (‪A )2-7‬‬ ‫وبناء ًا على تعريف القطع المكافئ فان ‪MF = MQ‬‬ ‫(بتربيع طرفي المعادلة) ‪⇒ (x − 0)2 + (y − p)2 = (x − x)2 + (y + p)2‬‬ ‫‪⇒ x 2 + (y − p)2 = (y + p)2‬‬

‫‪x 2 + y2 − 2 py + p2 = y2 + 2 py + p2‬‬

‫(بالتبسيط)‬

‫‪x 2 = 2 py + 2 py‬‬

‫المعادلة القياسية للقطع المكافئ‬

‫‪x 2 = 4 py , ∀p > 0‬‬

‫‪2‬‬ ‫حيث‪P>0x‬‬ ‫الجدول االتي يمثل المعادلة القياسية للقطع المكافئ الذي رأسه في نقطة االصل‬ ‫=‪⇔y‬‬ ‫املعــادلـــة‪4 p‬‬ ‫البؤرة‬ ‫الدليل‬ ‫احملور‬ ‫فتحة القطع‬ ‫نحو االعلى‬ ‫)‪(0 , p‬‬ ‫‪y= -p‬‬ ‫‪y- axis‬‬ ‫‪x2 = 4py‬‬

‫نحو االسفل‬

‫‪y- axis‬‬

‫‪y=p‬‬

‫)‪(0 , - p‬‬

‫‪x2 = - 4py‬‬

‫نحو اليمني‬

‫‪x- axis‬‬

‫‪x = -p‬‬

‫)‪(p , 0‬‬

‫‪y2 = 4px‬‬

‫نحو اليسار‬

‫‪x- axis‬‬

‫‪x=p‬‬

‫)‪(-p , 0‬‬

‫‪y2 = - 4px‬‬

‫‪57‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫مثال ‪- 5-‬‬

‫جد البؤرة ومعادلة دليل القطع المكافئ ‪.3x2 - 24y = 0‬‬

‫احلل‬ ‫‪3x2 - 24y = 0‬‬

‫] بقسمة طرفي المعادلة على )‪[ (3‬‬

‫‪x2 = 8y‬‬ ‫‪x2 = 4py‬‬

‫بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع المكافئ‬

‫‪⇒ 4p = 8 ⇒ p=2‬‬ ‫ومن قيمة ‪ P‬نجد‬ ‫البؤرة )‪F (0,2‬‬ ‫معادلة الدليل ‪y = -2‬‬ ‫مثال ‪- 6-‬‬

‫جد معادلة القطع المكافئ اذا علم ان ‪-:‬‬ ‫أ) بؤرته (‪ )0,5‬ورأسه نقطة االصل ‪.‬‬ ‫ب) معادلة الدليل ‪ y = 7‬ورأسه نقطة االصل ‪.‬‬

‫احلل (أ)‬ ‫‪F (0,5) ⇒ p =5‬‬ ‫المعادلة القياسية‬ ‫)معادلة القطع المكافئ(‬

‫‪x2 = 4py‬‬ ‫‪x2 = 20y‬‬

‫احلل (ب)‬ ‫‪y=7‬‬ ‫‪p=7‬‬ ‫)المعادلة القياسية(‬

‫‪x2=- 4py‬‬ ‫‪x2 = -28y‬‬

‫‪58‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫مثال ‪- 7-‬‬ ‫احلل‬

‫جد معادلة القطع المكافئ الذي يمر بالنقطتين (‪.)2 , -4( ، )2,4‬‬ ‫النقطتان متناظرتان حول المحور السيني‪.‬‬ ‫اذ ًا المعادلة القياسية‬

‫‪y2 = 4 px , ∀p > 0‬‬

‫نعوض احدى النقطتين اللتين تحققان المعادلة القياسية ولتكن النقطة (‪)2 ,4‬‬

‫نعوض ‪ p = 2‬في المعادلة القياسية‬

‫‪16‬‬ ‫‪⇒ p= 2‬‬ ‫‪8‬‬

‫)‪⇒ 16 = (4)( p)(2‬‬ ‫= ‪16 = 8 p ⇒ p‬‬

‫‪⇒ y2 = (4)(2)x‬‬ ‫‪⇒ y2 = 8x‬‬

‫معادلة القطع المكافئ‬ ‫مثال ‪- 8-‬‬

‫جد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة االصل ويمر دليل القطع المكافئ بالنقطة‬ ‫(‪)3 ,-5‬‬

‫احلل‬

‫يوجد احتمالين للمعادلة القياسية لعدم تحديد موقع البؤرة هما‪:‬‬

‫او ًال ‪ :‬البؤرة تنتمي لمحور الصادات‬

‫ثانياً‪ :‬البؤرة تنتمي لمحور السينات‬

‫‪x2 = 4py‬‬ ‫معادلة الدليل‬

‫‪y = -5‬‬

‫‪y2 = 4px‬‬ ‫معادلة الدليل‬

‫‪x=3‬‬

‫‪p=5‬‬

‫‪p=3‬‬

‫‪x2 = 4py‬‬

‫)المعادلة القياسية( ‪y2 = - 4px‬‬

‫‪x2 = 20y‬‬

‫‪y2 = -12x‬‬

‫‪59‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬

‫[‪ ]2-3‬إنسحاب احملاور للقطع املكافئ ‪:‬‬ ‫[‪ ]2-3-1‬المعادلة القياسية للقطع المكافئ الذي محوره يوازي أحد المحورين األحداثيين ورأسه‬ ‫النقطة (‪)h,k‬‬ ‫في البنود السابقة تعرفنا على المعادلتين القياسيتين للقطع المكافئ وهما‪:‬‬ ‫)‪y2 = 4px .......(1‬‬ ‫)‪x2 = 4py .......(2‬‬ ‫المعادلة االولى‪ :‬هي معادلة قطع مكافئ بؤرته تنتمي لمحور السينات ورأسه نقطة االصل (‪. )0,0‬‬ ‫المعادلة الثانية‪ :‬معادلة قطع مكافئ بؤرته تنتمي لمحور الصادات ورأسه نقطة االصل (‪. )0,0‬‬ ‫فاذا كان الرأس هو النقطة ( ‪ O )h , k‬فان المعادلتين القياسيتين هما ‪:‬‬ ‫)‪(y - k)2 = 4p(x - h) ...... (3‬‬ ‫)‪(x - h)2 = 4p(y - k) ...... (4‬‬ ‫المعادلة الثالثة‪ :‬تمثل المعادلة القياسية للقطع المكافئ الذي رأسه النقطة (‪ O )h , k‬ومحوره يوازي محور‬ ‫السينات‪ .‬الحظ في الشكل (‪ )2 - 8‬االنسحاب لمكونات القطع المكافئ ‪.‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪F (Q, k‬‬

‫‪x‬‬

‫‪D‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪(h,k‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪(0,0) F (p,0‬‬

‫‪h‬‬ ‫قبل االنسحاب‬

‫بعد االنسحاب‬ ‫‪ x = - p +h‬الدليل‬

‫‪60‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬ ‫الشكل (‪)2-8‬‬

‫‪A‬‬

‫‪x = -p‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫انسحاب (‪O )0,0‬‬

‫(‪O)h,k‬‬

‫انسحاب (‪F )p,0‬‬

‫(‪F)p + h,k‬‬

‫انسحاب ‪x = -p‬‬

‫معادلة المحور ‪y = k‬‬

‫‪x = -p + h‬‬

‫حيث (‪ )p‬في المعادلة (‪ )4( ، )3‬هو البعد البؤري للقطع المكافئ ويساوي المسافة بين الرأس ‪O‬‬ ‫والبؤرة ‪ F‬ويساوي البعد بين الرأس ومعادلة الدليل اي ان ‪P = |Q - h | :‬‬ ‫ويمكن ان تكون فتحة القطع المكافئ باالتجاه السالب لمحور السينات كما في الشكل (‪:)2 - 9‬‬

‫)‪(y - k)2 = -4p(x - h‬‬ ‫البؤرة )‪(Q , k ) = (h -p , k‬‬ ‫معادلة الدليل‬ ‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫معادلة المحور‬

‫‪x = p +h‬‬ ‫‪y=k‬‬

‫)‪F (Q,k) (h,k‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪D‬‬

‫الشكل (‪)2-9‬‬

‫‪61‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫في البند [‪( ]2 - 3‬انسحاب احملاور) سنكتفي فقط في‬ ‫مالحظـة‬ ‫ايجاد بؤرة ورأس القطع املكافئ ومعادلة الدليل ومعادلة احملور‪.‬‬

‫مثال ‪- 9-‬‬

‫من معادلة القطع المكافئ‬

‫)‪(y + 1)2 = 4(x-2‬‬

‫عين الرأس ‪ ،‬البؤرة ‪ ،‬معادلة المحور ‪ ،‬معادلة الدليل‪.‬‬

‫احلل‬

‫بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع المكافئ‪.‬‬ ‫)‪(y - k)2 = 4p(x - h‬‬ ‫‪⇒ h = 2 , k = -1‬‬ ‫)الرأس(‬

‫)‪∴ (h , k) = (2 , -1‬‬ ‫‪4p = 4‬‬ ‫‪⇒ p =1‬‬

‫)البؤرة(‬

‫)‪∴ F(p + h , k) = F(1 + 2, -1) = F(3, -1‬‬ ‫معادلة المحور ‪y = k‬‬ ‫‪∴ y = -1‬‬ ‫‪x = -p + h‬‬ ‫معادلة الدليل ‪x = -1 + 2 = 1 ⇒ x = 1‬‬

‫‪62‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫المعادلة الرابعة‪ :‬تمثل المعادلة القياسية للقطع المكافئ راسه النقطة (‪ )h , k‬ومحوره يوازي المحور‬ ‫الصادي الحظ االنسحاب لمكونات القطع المكافئ ‪ .‬كما في الشكل (‪. )2 - 10‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫انسحاب (‪O )0,0‬‬

‫(‪ O)h,k‬الراس بعد االنسحاب‬

‫(‪ F( h,iQ‬البؤرة بعد االنسحاب‬ ‫)‪F (h,p+k‬‬ ‫‪Q=p+k‬‬

‫انسحاب (‪F )0 ,p‬‬

‫)البعد البؤري( |‪p = |Q - k‬‬

‫⇒‬

‫‪x‬‬

‫‪D‬‬

‫معادلة المحور ‪x = h‬‬

‫)‪(h,k‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪(0,0‬‬

‫معادلة الدليل ‪y = k - p‬‬

‫الشكل (‪)2-10‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪(x- h)2 = -4p(y - k‬‬ ‫البؤرة‬

‫)‪(h , k- p‬‬

‫معادلة الدليل‬

‫‪y=k+p‬‬

‫معادلة المحور ‪x = h‬‬

‫‪y =k+p‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪D‬‬ ‫)‪(h,k‬‬

‫)‪F(h, k - p‬‬

‫الشكل (‪)2-11‬‬

‫‪63‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫مثال ‪- 10-‬‬ ‫احلل‬

‫ناقش القطع المكافئ‪y = x2 + 4x :‬‬ ‫نضيف ‪ 4‬الى طرفي المعادلة حتى نضع حدود ‪ x‬في شكل مربع كامل ‪ ،‬فنكتب‪:‬‬ ‫‪y + 4 = x2 + 4x + 4‬‬ ‫‪y + 4 = (x+2 )2‬‬ ‫هذه المعادلة من الشكل‪:‬‬ ‫)‪(x - h)2 = 4p (y - k‬‬ ‫حيث‬ ‫الرأس (‪)-2 , -4‬‬

‫هذا القطع المكافئ مفتوح الى االعلى الن‬

‫⇒‬

‫‪h = −2 , k = −4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫=‪4p=1 , p‬‬

‫من اجل قيم ‪ x‬الحقيقية ولقيم ‪ y ≥ − 4‬وراسه‬

‫‪3‬‬ ‫مواز‬ ‫( ‪ v( -2,-4‬تقع البؤرة على بعد ‪ 1‬وحدة من رأس القطع ونحو االعلى ‪ ،‬اي عند ) ‪ Ff (−2, −3‬وان الدليل ٍ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫للمحور ‪ x‬ويبعد ‪ 4 1‬وحدة من المحور ‪ . x‬ومعادلته هي ‪. y = −4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x= -2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫الدليل‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪64‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪F‬‬ ‫)‪v(-2,-4‬‬

‫‪y = −4‬‬

‫الشكل (‪)2-12‬‬

‫‪-5‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫‪)2‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-1‬‬

‫‪ .1‬جد المعادلة للقطع المكافئ في كل مما يآتي ثم ارسم المنحني البياني لها ‪.‬‬ ‫أ‪ -‬البؤرة (‪ )5 , 0‬والرأس نقطة االصل ‪.‬‬

‫ب‪ -‬البؤرة (‪ )0 ,-4‬والرأس نقطة االصل ‪.‬‬ ‫ج‪ -‬البؤرة ) ‪ (0, 2‬والرأس نقطة االصل‪.‬‬

‫د‪ -‬معادلة دليل القطع المكافئ ‪ 4y - 3 = 0‬والرأس نقطة االصل ‪.‬‬

‫‪ .2‬في كل مما يأتي جد البؤرة والرأس ومعادلتي المحور والدليل للقطع المكافئ‪-:‬‬ ‫)‪c)y2 = -4 (x-2‬‬ ‫‪f) x2+ 4x -y = 0‬‬

‫‪b) 2x + 16y2 = 0‬‬ ‫‪e) y2+4y + 2x =-6‬‬

‫‪a) x2 = 4y‬‬ ‫)‪d) (x - 1)2 = 8(y-1‬‬

‫‪ .3‬جد معادلة القطع المكافئ الذي يمر بالنقطتين (‪ )2 ,-5( ، )-2 , -5‬والراس في نقطة االصل‪.‬‬ ‫‪ .4‬اذا كان دليل القطع المكافئ يمر بالنقطة (‪ )-3 ,4‬والرأس في نقطة االصل جد معادلته علم ًا ان‬ ‫بؤرته تنتمي ألحد المحورين ‪.‬‬ ‫‪ .5‬اوجد قيمة ‪ A‬وبؤرة ودليل القطع المكافئ الذي معادلته ‪ Ax2+8y= 0‬المار بالنقطة (‪ )1, 2‬ثم‬ ‫أرسم القطع‪.‬‬ ‫‪ .6‬باستخدام التعريف ‪ .‬جد معادلة القطع المكافئ‬ ‫أ‪ -‬البؤرة (‪ )7 ,0‬والرأس نقطة االصل‪.‬‬ ‫ب‪ -‬معادلة الدليل ‪ . y = 3‬والرأس نقطة االصل ‪.‬‬

‫‪65‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬

‫[‪ ]2-4‬القطع الناقص‬

‫‪:Ellipse‬‬

‫تعـــريـف [‪]2-4‬‬ ‫القطع الناقص مجموعة من النقط في املستوي التي يكون مجموع بعديها عن نقطتني ثابتتني (البؤرتان)‬ ‫عدد ثابت‪.‬‬ ‫[‪ ]2-4-1‬قطع ناقص بؤرتاه على محور السينات ومركزه نقطة االصل‪.‬‬

‫كما في الشكل (‪)2 - 13‬‬ ‫)‪P(x,y‬‬ ‫‪F1‬‬

‫‪F2‬‬

‫الشكل (‪)2-13‬‬

‫بؤرتا القطع الناقص هما ( ‪F1 (c, 0‬‬

‫‪ F2 (-c , 0) ,‬والعدد الثابت هو ‪c > 0 , a > 0 , 2a‬‬

‫تسمى النقطة التي تقع في منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين البؤرتين بمركز القطع الناقص‬ ‫(‪ ،)Center‬ويسمى المستقيم المار بالبؤرتين بالمحور البؤري (‪ )Focal axis‬ويقطع القطع‬ ‫الناقص في نقطتين تسميان رأسا القطع وتسمى قطعة المستقيم الواصلة بين الرأسين بالمحور الكبير‬ ‫(‪ )Major axis‬وطولها (‪ )2a‬ايض ًا ويساوي مجموع بعدي اي نقطة ( ‪ P(x, y‬من نقاط القطع الناقص‬ ‫عن البؤرتين اي ان‪:‬‬

‫‪p F1 + pF2 = 2a‬‬

‫وتسمى القطعة المستقيمة الواصلة بين نقطتي تقاطع المستقيم العمود على المحور الكبير من مركز‬ ‫القطع الناقص‬

‫‪66‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫مع القطع الناقص بالمحور الصغير (‪ ) Minor axis‬وطولها (‪ )2b‬حيث ‪ b>0‬ونهايتاه تسميان‬ ‫‪y‬‬

‫القطبين‪.‬‬

‫)‪ (0,b) p(x ,y‬قطب‬

‫‪x‬‬

‫)‪v1(a,0‬‬ ‫رأس‬

‫)‪F1(c,0‬‬

‫)‪(0,0‬‬

‫)‪v2(-a,0‬‬ ‫)‪F2(-c,0‬‬

‫رأس‬

‫)‪ (0,-b‬قطب‬ ‫الشكل (‪)2-14‬‬

‫[‪ ]2-4-2‬معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه على محور السينات ومركزه نقطة االصل‪.‬‬ ‫الحظ الشكل (‪)2 - 14‬‬

‫‪PF1 + PF2 = 2a‬‬

‫‪pf1+ pf 2‬‬

‫‪⇒ (x − c)2 + (y − 0)2 + (x + c)2 + (y − 0)2 = 2a‬‬ ‫‪⇒ (x − c)2 + y2 + (x + c)2 + y2 = 2a‬‬ ‫(بتربيع طرفي المعادلة)‬

‫‪⇒ (x − c)2 + y2 =+ 2a − (x + c)2 + y2‬‬ ‫‪⇒ (x − c)2 + y2 += 4a 2 − 4a (x + c)2 + y2 + (x + c)2 + y2‬‬

‫‪⇒ x 2 − 2cx + c 2 + y2 = 4a 2 − 4a (x + c)2 + y2 + x 2 + 2cx + c 2 + y2‬‬ ‫(بقسمة طرفي المعادلة على ‪)4‬‬ ‫(بتربيع طرفي المعادلة)‬ ‫بالتبسيط‬

‫‪⇒ 4a (x + c)2 + y2 = 4a 2 + 4cx‬‬ ‫‪⇒ a (x + c)2 + y2 = a 2 + cx‬‬ ‫‪a 2 [ x 2 + 2cx + c 2 + y2 ] = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2‬‬ ‫‪a 2 x 2 + 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y2 = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2‬‬ ‫‪a 2 x 2 − c 2 x 2 + a 2 y2 = a 4 − a 2 c 2‬‬ ‫)‪x 2 (a 2 − c 2 ) + a 2 y2 = a 2 (a 2 − c 2 ) ..........(1‬‬

‫‪67‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫بما ان ‪ a> c‬دائم ًا فان ‪ a2 - c2 > 0‬وبفرض ان ‪ b2 = a2 -c2‬حيث ‪b> 0‬‬ ‫‪a 2 = b2 + c 2‬‬ ‫نعوض ‪ 2‬في ‪1‬‬

‫)‪⇒ b2 = a 2 − c 2 ...........(2‬‬

‫بقسمة طرفي المعادلة على ‪a2 b2‬‬

‫‪⇒ x 2 b2 + a 2 y2 = a 2 b2‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪⇒ 2 + 2 =1‬‬ ‫‪a b‬‬

‫تمثل المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي بؤرتاه على محور السينات ومركزه نقطة االصل‪.‬‬ ‫وتسمى النسبة ‪ c‬باالختالف المركزي ‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫أي ان = ‪ e‬ويكون دائم ًا اقل من الواحد‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫[‪ ]2-4-3‬معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل والبؤرتان تنتميان لمحور الصادات‪.‬‬ ‫الحظ الشكل (‪)2 - 15‬‬

‫‪y‬‬

‫بنفس خطوات االشتقاق السابق لمعادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه على‬ ‫)‪v1 (0,a‬‬

‫محور السينات ومركزه نقطة االصل وباستخدام التعريف‬ ‫نحصل على المعادلة‪:‬‬

‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪+ =1‬‬ ‫‪b2 a 2‬‬

‫حيث البؤرتان على محور الصادات والمركز في‬

‫)‪F1 (0, c‬‬ ‫‪x‬‬

‫)‪(b,0‬‬

‫)‪(0,0‬‬

‫نقطة االصل‪.‬‬ ‫نلخص ما سبق بالجدول اآلتي ‪:‬‬

‫)‪F2 (0, -c‬‬ ‫)‪v2 (0,-a‬‬

‫الشكل (‪)2-15‬‬

‫‪68‬‬

‫)‪(-b,0‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫قطع ناقص بؤرتاه على محور‬

‫قطع ناقص بؤرتاه على محور‬

‫الصادات ومركزه نقطة االصل ‪.‬‬

‫السينات ومركزه نقطة االصل ‪.‬‬

‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪+ =1‬‬ ‫المعادلة‬ ‫‪b2 a 2‬‬ ‫البؤرتان )‪F1(0,c) , F2(0,-c‬‬ ‫الرأسان )‪V1(0,a) , V2(0,-a‬‬

‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪+ =1‬‬ ‫(‪1‬‬ ‫‪a 2 b2‬‬ ‫)‪2) F1(c,0) , F2(-c,0‬‬ ‫)‪3) V1(a, 0) , V2(-a,0‬‬ ‫‪4) c = a 2 − b2‬‬ ‫‪5) a > c , a > b‬‬ ‫طول المحور الكبير = ‪6) 2a‬‬ ‫طول المحور الصغير = ‪7) 2b‬‬ ‫المسافة بين البؤرتين = ‪8) 2c‬‬ ‫= ‪9) A= abπ‬‬

‫مساحة منطقة القطع الناقص ويرمز لها ‪(Area) A‬‬ ‫‪22‬‬ ‫محيط القطع الناقص ويرمز له ‪(Perimeter) P‬‬ ‫‪7‬‬

‫=‪, π‬‬

‫”‪ “e‬االختالف المركزي ويكون دائم ًا اقل من الواحد)‪, (e < 1‬‬

‫مثال ‪- 11-‬‬

‫‪a 2 + b2‬‬ ‫‪10) P= 2π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪a 2 − b2‬‬ ‫= = ‪11) e‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬

‫في كل مما يأتي جد طول كل من المحورين واحداثي كل من البؤرتين والرأسين‬ ‫واالختالف المركزي ‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪25 16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪1‬‬

‫= ‪2) 4x 2 + 3y2‬‬

‫‪69‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫احلل (‪)1‬‬

‫‪x 2 y2‬‬ ‫بالمقارنة مع المعادلة القياسية ‪ 2 + 2 = 1‬حيث ‪. a > b‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫طول المحور الكبير‬

‫وحدة‬

‫طول المحور الصغير‬

‫وحدة‬

‫‪⇒ a 2 = 25 ⇒ a = 5 ⇒ 2a = 10‬‬ ‫‪b2 = 16 ⇒ b = 4 ⇒ 2b = 8‬‬

‫‪c = a 2 − b2 = 25 − 16 = 9 = 3‬‬ ‫‪∴ c=3‬‬ ‫البؤرتان‬

‫)‪∴FF11 (3, 0) , FF22 (−3, 0‬‬

‫)‪V22(−5, 0‬‬ ‫‪V11(5, 0) , V‬‬ ‫الرأسان‬ ‫)االختالف المركزي( ‪c 3 < 1‬‬ ‫= =‪e‬‬ ‫‪a 5‬‬ ‫احلل (‪)2‬‬

‫‪3‬‬ ‫بضرب طرفي المعادلة بـ‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪4x 2 + 3y2‬‬

‫‪9y2‬‬ ‫‪3x +‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪+ 4 =1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫طول المحور الكبير‬

‫وحدة‬

‫طول المحور الصغير‬

‫وحدة‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪⇒ a = ⇒ 2a‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪b2 = ⇒ b‬‬ ‫= ‪⇒ 2b‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪⇒ a2‬‬

‫‪4 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫= ‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪9 3‬‬ ‫‪9 3‬‬ ‫البؤرتان‬ ‫الرأسان‬ ‫)االختالف المركزي(‬

‫‪70‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c = aa2‬‬ ‫=‪⇒c‬‬ ‫‪−−bb2‬‬

‫⎛‬ ‫⎞‬ ‫⎛‬ ‫⎞‬ ‫⎟ ‪FF1 ⎜ 0, 1 ⎟ , FF22 ⎜ 0,− 1‬‬ ‫⎠‪⎝ 3‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‪3‬‬

‫⎞‪⎛ 2‬‬ ‫⎛‬ ‫⎞‪2‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪V11 ⎜ 0, ⎟ , V‬‬ ‫⎟ ‪V22 ⎜ 0,−‬‬ ‫⎠‪⎝ 3‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‪3‬‬ ‫‪1 <1‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪c‬‬ ‫= =‪∴e‬‬ ‫‪a‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫مثال ‪- 12-‬‬

‫جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه ( ‪ F2(-3,0) , F1(3,0‬ورأساه النقطتان‬ ‫)‪ V2 (-5,0) , V1 (5,0‬ومركزه نقطة االصل‪.‬‬

‫احلل‬

‫البؤرتان والرأسان يقعان على محور السينات والمركز في نقطة االصل‪:‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪∴ 2 + 2 =1‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪⇒ c = 3 ⇒ c2 = 9‬‬ ‫‪⇒ a = 5 ⇒ a 2 = 25‬‬ ‫‪⇒ c 2 = a 2 − b2 ⇒ b2 = a 2 − c 2 = 25 − 9 = 16‬‬

‫مثال ‪- 13-‬‬

‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫معادلة القطع الناقص‬ ‫‪25 16‬‬ ‫جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وينطبق محوراه على المحورين‬ ‫االحداثيين ويقطع من محور السينات جزء ًا طوله ‪ 8‬وحدات ومن محور الصادات‬ ‫جزء ًا طوله ‪ 12‬وحدة‪ ،‬ثم جد المسافة بين البؤرتين ومساحة منطقته ومحيطه‪.‬‬

‫احلل‬

‫‪2b = 8 ⇒ b = 4 ⇒ b2 = 16‬‬

‫‪2b=8‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪2a = 12 ⇒ a = 6 ⇒ a 2 = 36‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪16 36‬‬ ‫‪a 2 − b2‬‬ ‫‪b2 = 36 − 16 = 2 5‬‬ ‫‪c = a2‬‬ ‫المسافة بين البؤرتين‬ ‫وحدة ‪⇒ 2c = 4 5‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪b‬‬

‫‪x‬‬

‫‪a‬‬

‫‪2a=12‬‬

‫مساحة منطقة القطع الناقص ‪A = abπ‬‬

‫‪22‬‬ ‫⇒‪A‬‬ ‫‪== abπ‬‬ ‫= ‪)،π‬وحدة مربعة( ‪(6)(4)π = 24π‬‬ ‫‪7‬‬ ‫محيط القطع الناقص‬

‫الشكل (‪)2-17‬‬

‫‪a 2 + b2‬‬ ‫=‪∵P‬‬ ‫‪Q 2π‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪36 + 16‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪= 2π‬‬ ‫⇒‬ ‫وحدة ‪= 2π 26‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪= 2π‬‬ ‫⇒‪P‬‬ ‫ ‬

‫‪71‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫مثال ‪- 14-‬‬

‫لتكن ‪ kx2 + 4y2 = 36‬معادلة قطع ناقص مركزه نقطة االصل واحدى بؤرتيه‬ ‫)‪ ( 3 ,0‬جد قيمة (‪.)k‬‬

‫احلل‬

‫] ‪[÷ 36‬‬ ‫من البؤرة )‪( 3, 0‬‬

‫‪kx2 + 4y2 = 36‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪+ =1‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪94‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪⇒ c = 3 ⇒ c2 = 3‬‬

‫‪x 2 y2‬‬ ‫وبالمقارنة مع المعادلة القياسية‬ ‫‪+ 2 =1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪b2 = 9 , c2 = 3 .... (1‬‬ ‫)‪⇒ a 2 = ........(1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪=9‬‬ ‫‪c2 = a2 2 - b22 ......‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫(‪=)1‬في‪2(9‬‬ ‫‪c36= a − b2 ⇒ 3 = a 2 − 9 ⇒ a 2 =(3+‬‬ ‫بالتعويض عن ‪12‬‬ ‫=‪3‬‬ ‫‪−9 ⇒ k = 3‬‬ ‫‪∴ a 2k= 12‬‬ ‫‪36‬‬ ‫مثال ‪- 15-‬‬ ‫⇒‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫محور السينات‬ ‫على‬ ‫وبؤرتاه‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫‪k‬‬ ‫‪36‬‬ ‫وحدة‪.‬‬ ‫يساوي (‪⇒ k =)2‬‬ ‫والمسافة بين البؤرتين (‪ )6‬وحدات ‪ ،‬والفرق بين طولي المحورين ‪= 12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪k=3‬‬ ‫احلل‬ ‫‪2c = 6 ⇒ c = 3‬‬ ‫]‪[÷2‬‬

‫‪2a − 2b = 2‬‬

‫)‪a -= b = 1 ⇒ a = 1+ b .......(1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∵ c = a −b‬‬ ‫‪9 = (1+ b)2 − b2‬‬

‫∵‬

‫‪9 = 1+ 2b+ b2 − b2‬‬ ‫‪9 = 1+ 2b‬‬ ‫)‪b = 4........(2‬‬

‫‪72‬‬

‫‪a = 1+ 4 = 5‬‬ ‫‪2‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬

‫‪9 = 1+ 2b‬‬ ‫)‪b = 4........(2‬‬ ‫‪a = 1+ 4 = 5‬‬ ‫‪a 2 = 25‬‬

‫معادلة القطع الناقص‬

‫مثال ‪- 16-‬‬

‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪+ =1‬‬ ‫‪25 16‬‬

‫جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل واحدى بؤتيه بؤرة القطع المكافئ‬ ‫‪ , y2 - 12x =0‬وطول محوره الصغير يساوي (‪ )10‬وحدات ‪.‬‬

‫احلل‬ ‫‪y2 − 12x = 0‬‬ ‫‪y2 = 12x‬‬ ‫‪y2 = 4px‬‬

‫)بالمقارنة مع المعادلة القياسية(‬ ‫‪4 p = 12 ⇒ p = 3‬‬ ‫بؤرتا القطع الناقص هما ‪FF1 (3, 0) , FF22 (−3, 0) :‬‬ ‫‪⇒ c = 3 ⇒ c2 = 9‬‬ ‫‪2b = 10‬‬ ‫‪b = 5 ⇒ b2 = 25‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∵ c = a − 25‬‬ ‫‪9 = a 2 − 25‬‬

‫∵‬

‫‪a 2 = 34‬‬ ‫معادلة القطع الناقص‬

‫‪x 2 y2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪34 25‬‬

‫‪73‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫مثال ‪- 17-‬‬

‫باستخدام التعريف ‪ ،‬جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه ‪:‬‬ ‫( ‪ F2 (-2,0) , F1(2,0‬والعدد الثابت = ‪6‬‬

‫احلل‬

‫‪ ∀p(x,‬تنتمي للقطع الناقص‪:‬‬ ‫)‪P y)y‬‬ ‫‪∀p(x,‬‬

‫‪PF1 1++PF‬‬ ‫‪⇒ pF‬‬ ‫‪pF22 = 2a‬‬

‫‪(zx − 2)2 + y2 + (x + 2)2 + y2 = 6‬‬ ‫بتربيع الطرفين‬

‫‪(x − 2)2 + y2 = 6 − (x + 2)2 + y2‬‬

‫‪(x − 2)2 + y2 = 36 −12 (x + 2)2 + y2 + (x + 2)2 + y2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2 − 4x + 4 + y2 = 36 −12 (x + 2)2 + y2 + x 2 + 4x + 4 + y2‬‬ ‫بالقسمة على ‪4‬‬

‫‪12 (x + 2)2 + y2 = 36 + 8x‬‬

‫بتربيع الطرفين‬

‫‪3 (x + 2)2 + y2 = 9 + 2x‬‬ ‫‪9 [ x 2 + 4x + 4 + y2 ] = 81+ 36x + 4x 2‬‬ ‫‪9x 2 + 36x + 36 + 9y2 = 81+ 36x + 4x 2‬‬ ‫‪5x 2 + 9y2 = 81− 36‬‬ ‫‪5x 2 + 9y2 = 45‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫معادلة القطع الناقص ‪+ = 1‬‬ ‫‪9 5‬‬

‫[‪ ]2-4-4‬طريقة رسم القطع الناقص ‪.Graph The Ellipse‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫لتكن ‪ 2 + 2 = 1‬معادلة قطع ناقص بؤرتاه تنتميان لمحور السينات ولرسم هذا القطع ‪:‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪ .1‬نعين النقطتين ( ‪V1 (a , 0) , V2(-a,0‬‬ ‫‪ .2‬نعين النقطتين ( ‪M1 (0 , b) , M2(0,-b‬‬ ‫‪ .3‬نصل بين النقاط االربعة ‪ V1 M1 V2 M2‬على الترتيب بمنحني متصل‪.‬‬ ‫‪ .4‬نعين البؤرتين ( ‪F1 (c , 0) , F2(-c,0‬‬

‫‪74‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬

‫[‪ ]2-5‬انسحاب احملاور للقطع الناقص‪.‬‬ ‫تبينا ان مركز القطع الناقص بانه نقطة تقاطع محوري تناظره ‪ ،‬فاذا كان المركز عند النقطة ( ‪c (h,k‬‬ ‫والمحوران يوازيان المحورين االحداثيين فاننا نحصل على معادلة القطع الناقص في االحداثيات الجديدة‬ ‫كما يأتي‪:‬‬ ‫[‪ ]2-5-1‬المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي محوره االكبر يوازي المحور السيني ومركزه النقطة‬ ‫(‪. )h, k‬‬ ‫عند انسحاب مركز القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل (‪ )0,0‬على محور السينات بمقدار ‪ h‬من‬ ‫الوحدات وبمقدار ‪ k‬من الوحدات على محور الصادات ‪ ،‬تصبح المعادلة القياسية للقطع الناقص بالصورة‬ ‫‪2‬‬

‫االتية‪( y − k ) = 1 :‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪( x − h)2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪a2‬‬ ‫)‪(h,b+k‬‬

‫)‪V1(a+h,k‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪F1(c+h,k‬‬

‫)‪F2(-c+h,k‬‬

‫)‪V2(-a+h,k‬‬

‫)‪(h,-b+k‬‬

‫الشكل (‪)2-19‬‬

‫الحظ من الشكل (‪ )2 - 19‬ان المحور الكبير يوازي محور السينات وطوله (‪ )2a‬ومعادلته ‪y = k‬‬ ‫والمحور الصغير يوازي محور الصادات وطوله (‪ )2b‬ومعادلته ‪ x = h‬اما البؤرتان بعد االنسحاب فتصبحان‬

‫‪V‬‬ ‫)‪F11(c + h, k) , FF22 (−c + h, k‬‬ ‫‪ F‬والرأسان للقطع الناقص هما )‪V11(a + h, k) , VV22 (−a + h, k‬‬

‫‪75‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫[‪ ]2-5-2‬المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي محوره االكبر يوازي محور الصادات ومركزه النقطة‬ ‫(‪.)h, k‬‬ ‫بنفس االسلوب السابق لمعادلة القطع الناقص الذي محوره االكبر يوازي محور السينات ومركزه النقطة‬ ‫(‪ )h,k‬يمكن التعرف على المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي محوره االكبر يوازي محور الصادات‬ ‫ومركزه النقطة (‪ )h,k‬وهي‪:‬‬ ‫‪(x − h)2 (y − k)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪a2‬‬

‫الحظ الشكل (‪)2 - 20‬‬

‫حيث البؤرتان هما )‪F1 (h, c + k) , FF22 (h,−c + k‬‬ ‫والـــرأســــــــــــان )‪V22 (h,−a + k‬‬ ‫‪VV11 (h, a + k) , V‬‬ ‫والمحور الكبير يوازي محـور الصادات وطولــه (‪)2a‬‬ ‫ومعادلتـــه ‪ x = h‬اما المحـور الصغير فانه يـوازي محور‬ ‫السينات وطوله (‪ )2b‬ومعادلته ‪. y = k‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪V1(h,a+k‬‬

‫)‪F1(h,c+k‬‬ ‫‪x‬‬

‫)‪(-b+h,k‬‬

‫)‪(b+h,k‬‬ ‫)‪F2(h,-c+k‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪V2(h,-a+k‬‬

‫الشكل (‪)2-20‬‬

‫‪76‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫سنقتصر في البند [‪ ]2 - 5‬على إيجاد مركز القطع الناقص ‪،‬‬ ‫مالحظـة‬ ‫والبؤرتان والرأسان‪ ،‬وطول احملورين ومعادلة كل من احملورين فقط‪.‬‬

‫مثال ‪- 18-‬‬

‫جد البؤرتين والرأسين والقطبين‬

‫وطول ومعادلة كل من المحورين للقطع‬

‫الناقص ثم جد قيمة ‪.e‬‬ ‫‪(X − 2)2 (y −1)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪25‬‬ ‫احلل‬

‫بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع الناقص‪.‬‬

‫طول المحور الكبير‬ ‫طول المحور الصغير‬ ‫القطبان‬

‫)‪(X − h) (y − k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪⇒ (h, k) = (2,1‬‬

‫وحدة ‪⇒ a 2 = 25 ⇒ a = 5 ⇒ 2a = 10‬‬ ‫وحدة ‪b2 = 9 ⇒ b = 3 ⇒ 2b = 6‬‬

‫)‪c = a 2 +- b2 ⇒ c = 25 − 9 = 16 = 4 (-b + h,k) , (b+h,k‬‬ ‫)‪(-1, 1) , (5,1‬‬ ‫البؤرتان )‪F (h,−c + k‬‬ ‫‪FF (h, c + k) , F‬‬ ‫‪22‬‬

‫)‪FF22 (2,−3‬‬

‫الرأسان )‪V22(h,−a + kh‬‬ ‫‪V‬‬

‫‪,‬‬

‫‪11‬‬

‫)‪FF11 (2, 5‬‬

‫‪V‬‬ ‫‪V11(h, a + k) ,‬‬

‫‪V‬‬ ‫)‪V22(2,−4‬‬ ‫‪V11(2, 6) , V‬‬ ‫معادلة المحور الكبير ‪∴ x = 2‬‬

‫معادلة المحور الصغير ‪y = 1‬‬ ‫(االختالف المركزي)‬

‫‪c 4‬‬ ‫‪= <1‬‬ ‫‪a 5‬‬

‫=‪e‬‬

‫‪77‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫‪)2‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-2‬‬

‫‪ .1‬عين كل من البؤرتين والرأسين والقطبين والمركز ثم جد طول ومعادلة كل من المحورين واالختالف‬ ‫المركزي للقطوع الناقصة المبينة معادلتها في كل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪b) 9x 2 +13y2 = 117‬‬

‫‪a) x 2 + 2y2 = 1‬‬

‫‪(x + 3)2 (y + 2)2‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪(x − 4)2 (y +1)2‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪f) x2 + 25y2 + 4x - 150y + 204 =0‬‬

‫‪e) 9x2+16y2 -72x-96y+144 =0‬‬

‫‪ .2‬جد المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي مركزه في نقطة االصل في كل مما يأتي‪:‬‬ ‫أ‪ .‬البؤرتان هما النقطتان (‪ )5 ,0‬و (‪ )-5 ,0‬وطول محوره الكبير يساوي (‪ )12‬وحدة‪.‬‬ ‫ب‪ .‬البؤتان )‪0‬‬ ‫‪ )0 (±2,‬ويتقاطع مع محور السينات عند ‪. x = ±4‬‬ ‫هما(‪, 2‬‬

‫جـ‪ .‬احدى بؤرتيه تبعد عن نهايتي محوره الكبير بالعددين ‪ 5 ،1‬وحدة على الترتيب‪.‬‬ ‫د‪ .‬االختالف المركزي = ‪ 1‬وطول محوره الكبير (‪ )16‬وحدة طولية ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫هـ‪ .‬المسافة بين بؤرتيه تساوي (‪ )8‬وحدات ‪ ،‬ونصف محوره الصغير يساوي (‪)3‬وحدة ‪.‬‬ ‫‪ .3‬باستخدام التعريف جد معادلة القطع الناقص اذا علم‪:‬‬

‫أ‪ .‬بؤرتاه النقطتان )‪ (0,±2‬ورأساه النقطتان )‪ (0,±3‬ومركزه نقطة االصل ‪.‬‬

‫ب‪.‬المسافة بين البؤرتين(‪)6‬وحدة والعدد الثابت(‪)10‬والبؤرتان تقعان على محور السينات ومركزه‬ ‫نقطة االصل‪.‬‬ ‫‪ .4‬جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل واحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي‬ ‫‪2‬‬ ‫معادلته ‪ y + 8x = 0‬علم ًا بان القطع الناقص يمر بالنقطة )‪3‬‬

‫‪78‬‬

‫‪. (2 3 ,‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫‪ .5‬جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وبؤرتاه على محور السينات ويمر بالنقطتين‬ ‫(‪.)3 ,4( , )6, 2‬‬ ‫‪ .6‬جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وبؤرتاه نقطتا تقاطع المنحني‬ ‫‪ x2 + y2 -3x = 16‬مع محور الصادات ويمس دليل القطع المكافئ ‪. y2 = 12x‬‬ ‫‪ .7‬جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه تنتميان الى محور السينات ومركزه في نقطة االصل وطول‬ ‫محوره الكبير ضعف طول محوره الصغير ويقطع القطع المكافئ ‪ y2 + 8x = 0‬عند النقطة التي‬ ‫احداثيها السيني يساوي (‪. )-2‬‬ ‫‪ .8‬قطع ناقص معادلته ‪ hx 2 + ky2 = 36‬ومركزه نقطة االصل ومجموع مربعي طولي محوريه يساوي‬ ‫(‪ ، )60‬واحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته ‪ y2 = 4 3x‬ما قيمة كل من‬ ‫‪h,k‬؟‬ ‫‪ .9‬جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل واحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ ‪x2 = 24y‬‬ ‫ومجموع طولي محوريه (‪ )36‬وحدة‪.‬‬

‫‪79‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬

‫[‪ ]2-6‬القطع الزائد ‪. Hyperbola‬‬

‫تعـــريـف [‪]2-6‬‬ ‫القطع الزائد هو مجموعة النقط في املستوي التي تكون القيمة املطلقة لفرق بعدي اي منها عن‬ ‫نقطتني ثابتتني (البؤرتان) يساوي عدد ًا ثابت ًا ‪.‬‬ ‫كما في الشكل (‪)2 - 22‬‬ ‫‪y‬‬

‫البؤرتان هما ( ‪F1 (c , 0) , F2(-c,0‬‬ ‫الرأسان هما ( ‪V1 (a , 0) , V2(-a,0‬‬ ‫والنقطة ( ‪ P(x,y‬نقطــة مــن نقـــاط منحني‬

‫)‪P(x,y‬‬

‫القطــــــع الزائــد ومـــن التعــــريف [‪]2 - 6‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪| PF1 - PF2| = 2a‬‬ ‫حيث ‪ 2a‬عدد ًا ثابتــ ًا يمثـــل طــول المحـــور‬

‫)‪(0,b‬‬

‫)‪F1(c,0‬‬

‫‪O‬‬ ‫)‪v1(a,0‬‬

‫)‪v2(-a,0‬‬

‫)‪(0,-b‬‬

‫الحقيقي للقطــــع الزائـــد الــذي تقــع عليــه‬ ‫البــــؤرتيــــــن والــــرأسيـــن وكــــــل مـــــــن‬ ‫‪ pF1 , pF2‬يسميـــــان طـــــــــولي نصفـــــي‬ ‫القطريــــن البؤرييـن المرسوميـن مـن نقطــــة‬ ‫(‪ )p‬والمســـــافـــة ‪ F1 F2‬هي البعــــــد بين‬ ‫البؤرتين وتساوي ‪ 2c‬وطول المحـور المرافق‬ ‫او التخيلي هو (‪( )2b‬وهو المحور العمودي‬ ‫على المحور الحقيقي والمار بمركز القطع) ‪.‬‬

‫‪80‬‬

‫الشكل (‪)2-22‬‬

‫)‪F2(-c,0‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫[‪ ]2-6-1‬معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه على محور السينات ومركزه نقطة االصل‪.‬‬ ‫من الشكل (‪ )2 - 22‬وتبع ًا لتعريف القطع الزائد‪:‬‬

‫‪|PF1pF‬‬ ‫=|‪-PF−2‬‬ ‫‪pF2a= 2a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪⇒ PF‬‬ ‫‪pF11 − PF‬‬ ‫‪pF22 = ±2a‬‬ ‫‪⇒ (x − c)2 + y2 − (x + c)2 + y2 = ±2a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪⇒ (x − c)2 + y2 ±‬‬ ‫‪= 2a‬‬ ‫)‪±2a++ (x(x−+c)c‬‬ ‫‪++y2y‬‬

‫وبتربيع الطرفين والتبسيط كما مر في معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل والبؤرتان على‬ ‫محور السينات نحصل على المعادلة‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪a 2 a 2 − c2‬‬ ‫من الشكل (‪ )2 - 22‬فان‪c > 0 , a > 0 , c > a :‬‬ ‫‪c2 - a2 > 0‬‬ ‫وبفرض ان ‪b2 = c2 - a2‬‬

‫وبتعويض عن ‪ a2 - c2 = -b2‬في المعادلة القياسية السابقة نحصل على‪:‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪⇒ 2 − 2 =1‬‬ ‫‪a b‬‬

‫‪81‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫[‪ ]2-6-2‬معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه على محور الصادات ومركزه نقطة االصل ‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪F1(0,c‬‬

‫اذا كانت البؤرتان على محور الصـــادات‬ ‫‪suuur‬‬ ‫ومحورالسينات هو العمـــود على‬ ‫‪ F1 F2‬‬ ‫من نقطة االصل كما في الشكل(‪)2 - 23‬‬ ‫وبنفس الطريقة السابقة نجد المعادلــــــة‬ ‫القيــاسيـــــة للقـطـــــــع الزائـــــــــــــــد ‪.‬‬

‫)‪v1(0,a‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪(b,0‬‬

‫‪y2 x 2‬‬ ‫وهي‪− 2 = 1 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a b‬‬

‫)‪(-b,0‬‬ ‫)‪v2(0,-a‬‬ ‫)‪F2(0,-c‬‬ ‫الشكل (‪)2-23‬‬

‫مالحظـة‬

‫االختالف املركزي ‪ e‬للقطع الزائد يكون أكبر من واحد أي‬ ‫‪c‬‬ ‫‪>1‬‬ ‫‪a‬‬

‫=‪e‬‬

‫[‪ ]2-6-3‬طريقة رسم القطع الزائد ‪. Graph The Hyperbola‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫لتكن ‪ 2 − 2 = 1‬معادلة قطع زائد بؤرتاه تنتميان لمحور السينات ولرسم هذا القطع ‪:‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪ .1‬نعين النقطتين ( ‪. )a , 0) , (-a , 0‬‬ ‫‪ .2‬نعين النقطتين (‪.)0 ,-b) , (0 , b‬‬ ‫‪ .3‬نكون مستطي ً‬ ‫ال من هذه النقط أضالعه تــــوازي المحوريـن كمــــا في الشكـل (‪.)2 - 24‬‬

‫‪82‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪ .4‬نرســـــــم قطــــــــري المستطيــــــــــــل‬ ‫)‪(0,b‬‬

‫كما في الشكل (‪ )2 - 24‬فهما يمثالن‬ ‫المستقيمين المحاذيين لمنحني القطــع‬ ‫الزائد ‪.‬‬

‫)‪V1(a,0‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪V2(-a,0‬‬ ‫)‪(0,-b‬‬

‫الشكل (‪)2-24‬‬

‫‪ .5‬نعين البؤرتين ( ‪ F1 (c , 0) , F2(-c,0‬ثم نرسم ذراعي القطع الزائد كما في الشكل (‪.)2 - 25‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪F2(-c,0‬‬

‫)‪F1(c ,0‬‬

‫الشكل (‪)2-25‬‬

‫‪83‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫مثال ‪-19-‬‬

‫عين البؤرتين والرأسين والقطبين وطول كل من المحورين الحقيقي والمرافق للقطع‬

‫الزائد ثم أرسمه‪.‬‬

‫احلل‬

‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪64 36‬‬

‫بالمقارنة مع المعادلة القياسية‬

‫‪22‬‬

‫‪2‬‬

‫‪yx xy‬‬ ‫‪− 2 =1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫وحدة ‪⇒ a 2 = 64 ⇒ a = 8 ⇒ 2a = 16‬‬

‫طول المحور الحقيقي‬

‫وحدة ‪⇒ b2 = 36 ⇒ b = 6 ⇒ 2b = 12‬‬

‫طول المحور المرافق‬

‫‪c 2 = a 2 + b2 ⇒ c 2 = 64 + 36‬‬ ‫‪⇒ c 2 = 100 ⇒ c = 10‬‬

‫رأسا القطع الزائد هما ( ‪V1 (8 , 0) , V2(-8,0‬‬ ‫قطبا القطع الزائد هما‬

‫)‪y 0‬‬ ‫‪∴ F1 (10, 0) , F2 (−10,‬‬

‫(‪)0 ,6) , (0 , -6‬‬

‫)‪∴V1 (8, 0) , V2 (−8, 0‬‬

‫والبؤرتان هما ( ‪F1 (10 , 0) , F2(-10,0‬‬

‫)‪(0, 6‬‬

‫‪x‬‬ ‫الشكل (‪)2-26‬‬

‫مثال ‪-20-‬‬

‫)‪F1(10 ,0‬‬

‫)‪V2(-8,0‬‬

‫)‪V1(8,0‬‬

‫)‪F2(-10,0‬‬ ‫)‪(0, -6‬‬

‫جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل وطول محوره الحقيقي = ‪ 6‬وحدات‬ ‫واالختالف المركزي يساوي (‪ )2‬والبؤرتان على محور السينات‪.‬‬

‫احلل‬

‫‪2a = 6 ⇒ a = 3 ⇒ a 2 = 9‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪∴e= ⇒ 2 = ⇒ c = 6‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪∴ c 2 = a 2 + b2 ⇒ 36 = 9 + b2‬‬ ‫‪⇒ b2 = 36 − 9 ⇒ b2 = 27‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪∴ −‬‬ ‫معادلة القطع الزائد ‪= 1‬‬ ‫‪9 27‬‬

‫‪84‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫مثال ‪-21-‬‬

‫جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل وطول محوره المرافق ‪ 4‬وحدات‬ ‫وبؤرتاه هما النقطتان‪:‬‬

‫احلل‬

‫) ‪F1 (0, 8 ) , F2 (0,− 8‬‬

‫‪y2 x 2‬‬ ‫بما ان البؤرتين على محور الصادات فمعادلته القياسية ‪− 2 = 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a b‬‬

‫⇒ ‪2b = 4‬‬ ‫⇒‪2bb==42‬‬ ‫‪= bb2 ==24= b2 = 4‬‬

‫‪y‬‬

‫⇒ ‪c= 8‬‬ ‫‪c =c 2 8= 8⇒ c 2 = 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪Q c 2 = aQ‬‬ ‫‪+cb‬‬ ‫‪= a 2 + b2‬‬

‫) ‪F1 (0, 8‬‬

‫‪∴ 8 = a 2∴+84 = a 2 + 4‬‬

‫)‪(0, 2‬‬

‫‪a2 = 4 a2 = 4‬‬ ‫‪y2 x 2 y2 x 2‬‬ ‫‪− = 1− = 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 4 4‬‬ ‫ ‬

‫‪x‬‬

‫)‪(−2, 0‬‬

‫)‪(2, 0‬‬ ‫)‪(0, −2‬‬

‫) ‪F2 (0, − 8‬‬

‫الشكل (‪)2-27‬‬

‫مساو الى طول المحور المرافق مثل هذا النوع من القطوع الزائدة‬ ‫في هذا المثال طول المحور الحقيقي‬ ‫ٍ‬

‫يدعى بالقطع الزائد القائم او (المتساوي االضالع) الن النقاط االربع تشكل رؤوس مربع وفيه يكون‬ ‫االختالف المركزي (‪ )e‬مقدار ثابت قيمته ) ‪. ( 2‬‬

‫‪85‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬

‫[‪ ]2-7‬انسحاب محاور القطع الزائد ‪:‬‬ ‫معادلة القطع الزائد الذي مركزه النقطة (‪ )h,k‬ومحوراه يوازيان المحورين المتعامدين‪.‬‬ ‫اوالً‪ :‬عند انسحاب مركز القطع الزائد بمقدار (‪ )h‬من الوحدات على محور السينات وبمقدار (‪ )k‬من‬ ‫الوحدات على محور الصادات والمحور الحقيقي يوازي محور السينات تصبح المعادلة‪.‬‬ ‫‪(x − h)2 (y − k)2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫كما في الشكل (‪)2 - 28‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪(h,b+k‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪F1(h+c,k‬‬

‫)‪V1(h+a,k‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪(h,-b+k‬‬

‫الشكل (‪)2-28‬‬

‫حيث المحور الحقيقي يوازي محور السينات‬ ‫والبؤرتان هما‬

‫)‪FF11 (c + h, k) , FF22 (−c + h, k‬‬

‫‪V11 (a + h, k) , V‬‬ ‫‪V‬‬ ‫والرأسان هما )‪V22 (−a + h, k‬‬

‫‪86‬‬

‫)‪V2(h-a,k‬‬

‫)‪F2(h-c,k‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫ثانياً‪ :‬يمكن الحصول على معادلة القطع الزائد الذي محوره الحقيقي يوازي محور الصادات ومركزه‬ ‫نقطة(‪.)h,k‬‬ ‫في هذه الحالة تكون المعادلة للقطع الزائد هي ‪:‬‬ ‫وكما في الشكل (‪)2 - 29‬‬

‫‪(y − k)2 (x − h)2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪b2‬‬

‫البؤرتان هما )‪F11(h,c + k) , FF22(h,−c + k‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪y‬‬

‫والرأسان هما )‪V 11 (h,a + k) , VV22 (h,−a + k‬‬ ‫‪V‬‬ ‫)‪F1(h,c+k‬‬

‫)‪V1(h,a+k‬‬ ‫‪x‬‬

‫)‪(h,k‬‬

‫)‪V2(h,-a+k‬‬

‫)‪F2(h,-c+k‬‬

‫الشكل (‪)2-29‬‬

‫سنقتصر في البند [‪ ]2 - 7‬على ايجاد مركز القطع الزائد‬ ‫مالحظـة‬ ‫وبؤرتاه ورأساه وطول احملورين‪.‬‬

‫‪87‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫مثال ‪-22-‬‬

‫جد احداثيا المركز والبؤرتين والرأسين وطول المحورين واالختالف المركزي‬ ‫للقطع الزائد الذي معادلته ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪=1‬‬ ‫احلل‬ ‫بمقارنة هذه المعادلة ‪:‬‬

‫بالمعادلة القياسية‬

‫طول المحور الحقيقي‬ ‫طول المحور المرافق‬

‫)‪(x + 2) (y −1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(x + 2)2 (y −1)2‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(x − h)2 (y − k)2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪b2‬‬

‫نجد‪:‬‬ ‫‪(x − h)2 (y‬‬ ‫‪− k)2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫وحدة ‪⇒ a 2 = 9 ⇒ a = 3 ⇒ 2a = 6‬‬ ‫وحدة ‪⇒ b2 = 4 ⇒ b = 2 ⇒ 2b = 4‬‬ ‫‪⇒ ah2==−2‬‬ ‫⇒‪9‬‬ ‫‪, ka==13 ⇒ 2a = 6‬‬ ‫المركز‬ ‫‪∴(h,‬‬ ‫)‪⇒ b2k‬‬ ‫)‪= =4 (−2,1‬‬ ‫⇒‪⇒ b= 2‬‬ ‫‪2b = 4‬‬

‫⇒‬ ‫‪k =c12 = 9 + 4 = 13 ⇒ c = 13‬‬ ‫‪c 2 =h a=2−2‬‬ ‫⇒ ‪+ b,2‬‬ ‫‪∴(h,‬‬ ‫)‪F11(ck)+=h,(−2,1‬‬ ‫∴‬ ‫الن المحور الحقيقي يوازي محور السينات )‪k) , FF2 (−c + h, k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪c =F1a( +3 b− 2,1‬‬ ‫‪⇒ c, =F29(−+ 43=−13‬‬ ‫‪⇒ c = 13‬‬ ‫⇒‬ ‫)‪2,1‬‬ ‫∴‬ ‫‪+13‬‬ ‫‪h,h,‬‬ ‫)‪+ h, k‬‬ ‫‪F2 2(−a‬‬ ‫‪⇒FFFV111(c‬‬ ‫)‪−k)2,1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪k), ,F2,V(−c‬‬ ‫البؤرتان )‪h, −k)2,1‬‬ ‫‪1((a‬‬ ‫‪2 (− +13‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪⇒ FV11((1,1‬‬ ‫)‪3 − ,2,1‬‬ ‫)‪, F2 (− 3 − 2,1‬‬ ‫)‪V 2 (−5,1‬‬

‫‪k) , V‬‬ ‫)‪V 22 (−a + h, k‬‬ ‫‪V 1 (a‬‬ ‫‪c + h,13‬‬ ‫= ‪∴ e =1‬‬ ‫ ‪V 1‬‬ ‫‪(1,1) ,3V‬‬ ‫الرأسان )‪V22 (−5,1‬‬ ‫‪1a‬‬ ‫‪V‬‬

‫)االختالف المركزي( ‪>1‬‬

‫‪88‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪13‬‬ ‫ = ‪∴ e‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪3‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫‪)2‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-3‬‬

‫‪b) 16x 2 − 9y = 144‬‬

‫‪2‬‬ ‫للقطوع‪(x +‬‬ ‫المركزي ‪5)2‬‬ ‫واالختالف)‪(y −1‬‬ ‫الزائدة‬ ‫‪ .1‬عين كل من البؤرتين والرأسين ثم جد طول كل من المحورين‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a) 12x‬‬ ‫‪4y2 =6448‬‬ ‫‪b) 16x 2 − 9y2 = 144‬‬ ‫‪362 −−4y‬‬ ‫‪a) 12x‬‬ ‫‪= 48‬‬ ‫‪b) 16x 2 − 9y = 144‬‬ ‫االتية ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y x2‬‬ ‫‪(x + 5)2 (y −1)2‬‬ ‫)‪y2y+1‬‬ ‫)‪fc‬‬ ‫‪) 2(x‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪− x −=4(x‬‬ ‫‪3 −1)2 = 8‬‬ ‫‪d) (x + 5) − (y −1) = 1‬‬ ‫‪c) 3 − 2 = 3‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪36 − 64 = 1‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪ .2‬اكتب معادلة القطع الزائد في‪64‬‬ ‫‪36‬ثم ارسم القطع ‪:‬‬ ‫الحاالت االتية‬ ‫‪(y −1)22 (x − 2)22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(y −1‬‬ ‫االصل‪e).‬‬ ‫‪− (x − x2)= ±3‬‬ ‫السينات عند‪= 1‬‬ ‫محور) ‪f‬‬ ‫)‪+1‬مع‪2(x‬‬ ‫)‪−1‬‬ ‫‪2 − 4(x‬‬ ‫‪2 =8‬‬ ‫‪(±5,‬‬ ‫)‪0‬‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬ ‫ويتقاطع‬ ‫)‪e‬‬ ‫النقطتان )‪f ) 2(x +1) − 4(x −1‬‬ ‫أ‪ .‬البؤرتان هما ‪= 8‬‬ ‫‪4 −‬‬ ‫‪5 =1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫محوراه على‬ ‫ب‪ .‬طول محوره الحقيقي (‪ )12‬وحدة وطول محوره المرافق (‪ )10‬وحدات ‪5‬وينطبق‬ ‫المحورين االحداثيين ومركزه نقطة االصل‪.‬‬ ‫جـ‪ .‬مركزه نقطة االصل وبؤرتاه على محور الصادات وطول محوره المرافق ‪ 2 2‬وحدة واختالفه‬

‫المركزي يساوي (‪.)3‬‬ ‫‪ .3‬جــــــــــــــد باستخــــدام تعــريف معــادلـــة القطــع الـــزائـــد الــذي مركـزه نقطــة االصـــل وبؤرتيــه‬ ‫‪(2 (2‬‬ ‫‪2 0)2 , 0)(−2‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫)‪2 0)2 , 0‬‬ ‫)‪(−2 2 0‬‬ ‫وينطبق محوراه على المحورين االحداثيين والقيمــة المطلقة للفـــرق بيــن‬ ‫‪, (−2‬‬ ‫بعدي اية نقطة عن بؤرتيه يساوي (‪ )4‬وحدات‪.‬‬ ‫‪ .4‬قطع زائد طول محوره الحقيقي (‪ )6‬وحدات واحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة‬ ‫‪ . (1,−2‬جد معادلتي القطع المكافئ الذي رأسه نقطـــة‬ ‫االصل ويمر بالنقطتين ) ‪5 ) , (1, 2 5‬‬ ‫‪,‬‬

‫االصل والقطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل ‪.‬‬

‫‪ .5‬قطع زائد مركزه نقطة االصل ومعادلته ‪ hx2 - ky2 = 90‬وطول محوره الحقيقي )‪ (6 2‬وحدة وبؤرتاه‬ ‫تنطبقان على بؤرتي القطع الناقص الذي معادلته ‪ 9x2 + 16y2 = 576‬جد قيمة كل من ‪ h , k‬التي تنتمي‬ ‫الى مجموعة االعداد الحقيقية‪.‬‬ ‫‪ .6‬اكتب معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل اذا علمت ان احد راسيه يبعد عن البؤرتين‬ ‫بالعددين ‪ 1 , 9‬وحدات على الترتيب وينطبق محوراه على المحورين االحداثيين‪.‬‬

‫‪ .7‬جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه هما بؤرتا القطع الزائد الذي معادلته ‪ x2 - 3y2 = 12‬والنسبة‬ ‫بين طولي محوريه = ‪ 5‬ومركزه نقطة االصل ‪.‬‬ ‫‪ .8‬النقطة (‪3 p(6 , L‬‬ ‫تنتمي الى القطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل ومعادلته ‪ x2-3y2 =12‬جد ك ً‬ ‫ال من‪:‬‬ ‫ب‪ .‬طول نصف القطر البؤري للقطع المرسوم في الجهة اليمنى من النقطة ‪.P‬‬ ‫أ‪ .‬قيمة ‪. L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .9‬جد معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه هما بؤرتي القطع الناقص ‪ x + y = 1‬ويمس دليل القطع‬ ‫‪9 25‬‬ ‫المكافئ ‪. x2 + 12y = 0‬‬

‫‪89‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Application of Differentiation‬‬

‫الف�صل الثالث‬ ‫‪Chapter Three‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‬ ‫[‪]3-1‬‬

‫املشتقات ذات الرتب العليا‬

‫[‪]3-2‬‬

‫املعدالت املرتبطة‬

‫[‪]3-3‬‬

‫مبرهنتا رول والقيمة املتوسطة‬

‫[‪ ]3-4‬اختبار التزايد والتناقص للدالة باستخدام املشتقة االولى‬ ‫[‪ ]3-5‬النهاية العظمى والنهاية الصغرى احمللية‬ ‫[‪ ]3-6‬تقعر وحتدب املنحنيات ونقط االنقالب‬ ‫[‪ ]3-7‬اختبار املشتقة الثانية لنقط النهايات العظمى والصغرى احمللية‬

‫[‪ ]3-8‬رسم املخطط البياني للدالة‬ ‫[‪ ]3-9‬تطبيقات عملية على القيم العظمى او الصغرى‪.‬‬ ‫املصطلح‬ ‫املشتقات العليا‬ ‫التغير التقريبي عند ‪a‬‬

‫‪90‬‬ ‫‪90‬‬

‫الرمز او العالقة الرياضية‬

‫‪dn y‬‬ ‫)‪= n = f (n)(x‬‬ ‫‪cx‬‬ ‫‪dx‬‬

‫)‪(n‬‬

‫‪y‬‬

‫‪hf ʹ(a), h = b− a‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‬ ‫متهيد ‪ :‬لقد سبق أن تعلمت في الصف اخلامس العلمي متى تكون الدالة قابلة‬ ‫لالشتقاق وتعرفت على قواعد ايجاد مشتقات الدوال اجلبرية والدائرية والتفسير الهندسي‬ ‫والفيزيائي للمشتقة وفي هذا الفصل سنتناول بعض املفاهيم االخرى وبعض استعماالت‬ ‫وتطبيقات حساب التفاضل‬

‫[‪ ]3-1‬املشتقات ذات الرتب‬

‫العليا(‪)Higher- Order Dedrivatives‬‬

‫إذا كانت )‪ Y = f (x‬دالة تتوافر فيها شروط االشتقاق فان مشتقتها األولى (‪)First Derivative‬‬ ‫هي )‪ yʹ = dy = f ʹ(x‬ومتثل دالة جديدة‬ ‫‪dx‬‬ ‫والدالة اجلديدة هذه إذا توافرت فيها شروط االشتقاق أيض ًا فإن مشتقها دالة جديدة متثل املشتقة الثانية‬ ‫‪2‬‬ ‫( ‪ )Second Derivative‬ويرمز لها بالرمز )‪ yʹʹ = d y = f ʹʹ(x‬وهذه االخيرة ايض ًا دالة جديدة‬ ‫‪dx 2‬‬ ‫في املتغير‪x‬‬ ‫وإذا توافرت فيها شروط االشتقاق فإن مشتقتها تسمى املشتقة الثالثة‬ ‫(‪ :)Third Derivative‬ويرمز لها‬

‫‪d3 y‬‬ ‫)‪yʹʹʹ = 3 = f ʹʹʹ(x‬‬ ‫‪dx‬‬

‫وعلى هذا املنوال ميكن ايجاد مشتقات متتالية وبدء ًا من املشتقة الثانية يطلق على هذه املشتقات باملشتقات‬ ‫العليا (‪)Higher Derivatives‬وتكتب املشتقة من الرتبة ‪ n‬كما يأتي‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪ y(n) = d y = f (n) (x‬حيث ‪ n‬عدد صحيح موجب‪.‬‬ ‫‪dx n‬‬

‫‪91‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫ولنتعرف على رموز مختلفة للمشتقات املتتالية وكما يأتي‪:‬‬

‫)‪,...,f (n) (x‬‬ ‫‪f '(x), f ''(x), f '''(x), f (4 ) (x)....,‬‬

‫)‪y', y'', y''', y(4 ) ,...., y(n‬‬

‫‪dy d2 y d3 y d 4 y‬‬ ‫‪dn y‬‬ ‫‪, 2 , 3 , 4 ,..., n‬‬ ‫‪dx dx dx dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ومن تعريف املشتقات العليا يتضح لنا أن ‪:‬‬ ‫وأن ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫⎞ ‪d y d ⎛ dy‬‬ ‫⎟ ⎜ =‬ ‫⎠ ‪dx 2 dx ⎝ dx‬‬ ‫⎞ ‪d3 y d ⎛ d2 y‬‬ ‫⎜ =‬ ‫‪⎟ ,.....‬‬ ‫⎠ ‪dx 3 dx ⎝ dx 2‬‬

‫وكمثال للمشتقات املتتالية نأخذ الدالة االتية‪ s=f(t ( :‬حيث ‪ s‬متثل إزاحة جسم متحرك عند أي زمن‪،t‬‬ ‫‪d2 s‬‬ ‫فاملشتقة األولى )‪ ds = f ʹ(t‬متثل السرعة اللحظية لذلك اجلسم‪ ،‬واملشتقة الثانية‬ ‫ʹʹ‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt 2‬‬ ‫متثل معدل تغير السرعة أي التعجيل(‪ )Acceleration‬للجسم املتحرك‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أما املشتقة الثالثة لإلزاحة بالنسبة للزمن ‪ d s = f ʹʹʹ (t ) ,t‬فتمثل املعدل اللحظي لتغير التعجيل‬ ‫‪dt 3‬‬ ‫ومن األمثلة الفيزيائية ا ُألخرى‪ ،‬حساب درجة األمان في نظام فرامل سيارة ما يتوقف على أقصى تباطؤ‬ ‫(‪)Deceleration‬ميكن أن حتدثه الفرامل(وهو تعجيل سالب)‪.‬‬ ‫وعند اطالق صاروخ للفضاء فإن رائد الفضاء الذي في املركبة داخل الصاروخ يتعرض لتأثيرات صحية‬ ‫وهذه التأثيرات تعتمد على التعجيل الذي يتعرض له هذا الرائد ‪.‬‬ ‫وتستعمل املشتقة الثالثة لدراسة ما يتعرض له راكب قطارات األنفاق‪.‬‬

‫‪92‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-1-‬‬ ‫احلل‬

‫‪d4 y‬‬ ‫إذا كانت ‪ y= cos 2x‬فجد‬ ‫‪dx 4‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪= −2sin 2x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪d2 y‬‬ ‫‪= −(2)2 cos 2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪d3 y‬‬ ‫‪= 23 sin 2x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪d4 y‬‬ ‫‪= 24 cos 2x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫مثال‪-2-‬‬ ‫احلل‬

‫‪2‬‬

‫⎞ ‪d2 y ⎛ dy‬‬ ‫إذا علمت بأن ‪ y2+x2=1‬فبرهن على أن ‪y 2 + ⎜ ⎟ + 1 = 0 :‬‬ ‫⎠ ‪dx ⎝ dx‬‬

‫نشتق العالقة املعطاة اشتقاق ًا ضمني ًا ‪،‬أي نشتق الطرفني بالنسبة للمتغير ‪x‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪:‬ومن قسمة طرفي املعادلة على ‪ 2‬نحصل على‬ ‫‪2y + 2x = 0‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪dy‬‬ ‫‪+x=0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫والتنسى ان احلد االول هو حالة ضرب متغيرين‬ ‫‪d2 y dy dy‬‬ ‫‪y 2 + . +1 = 0‬‬ ‫‪dx dx dx‬‬ ‫‪y‬‬

‫ثم نشتق الطرفني بالنسبة للمتغير ‪x‬‬

‫وبهذا يتم املطلوب‬

‫‪d2 y dy 2‬‬ ‫‪y 2 +( ) +1 = 0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪93‬‬

Applications of Differentiations‫تطبيقات التفا�ضل‬ )

1 ( ‫ارين‬

‫تم‬

3-

d2 y :‫ لكل مما يلي‬2 ‫ جد‬.1 dx b)e)y = 2 − x , x ≠ −2 2+ x

a) y = 2 − x ,∀x ≤< 2

c) 2xy − 4y + 5 = 0, y ≠ 0, x ≠ 2 :‫ لكل مما يأتي‬f ʹʹʹ(1) ‫ جد‬.2 a) f (x) =y4= 62−−2xx ,∀x <≤ 3 2

b) f (x) = x sin π x

c) f (x) =

3 ,x ≠ 2 2−x

(2n+1)π d2 y x ≠ (2n+1)π ∀n ∈ Z, y = tan x ‫ إذا كانت‬.3 ‫حيث‬ x≠ , ∀n ∈ Z, y = tan 2x = 2y (1+ y2 ) ‫ أن‬,‫فبرهن‬ 2 dx 2 d2 y + y = 2 cos x ‫ فبرهن أن‬y=x sin x ‫ إذا كانت‬.4 dx 2

94

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬

‫[‪ ]3-2‬املعدالت املرتبطة ‪Related Rates‬‬ ‫إذا وجد أكثر من متغير بحيث تتوقف قيمة كل من هذه املتغيرات على متغير واحد يسمى (بارامتر)‬ ‫ومثال ُه الزمن فتتغير كل املتغيرات تبع ًا لتغيره وحيث أن العالقة هي ارتباط فإننا نسمي املعدالت الزمنية هذه‬ ‫باملعدالت الزمنية املرتبطة واحيان ًا باملعدالت املرتبطة أو املعدالت الزمنية فقط‪ ،‬فمث ً‬ ‫ال اذا كان‬ ‫)‪y = g(t), x = f (t‬‬ ‫فاملتغيران ‪ x,y‬متغيرين تابعني كل منهما مرتبط باملتغير املستقل ‪ ،t‬فمن املمكن ربط املتغيرين ببعضهما‪،‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪ dx‬والناجتان ميثالن املعدلني‬ ‫وميكن أن جند معدل تغير كل منهما وكما يأتي‪:‬‬ ‫)‪= f ʹ(t), = gʹ(t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫الزمنيني لتغير كل من ‪y,x‬‬ ‫وقد يتوافر الربط بني املتغيرين في مسألة ما مبعادلة وفي هذه احلالة نشتق الطرفني بالنسبة للزمن ‪ t‬فعلى‬ ‫سبيل املثال من املعادلة ‪ x2+y2-4y+6x=0‬ميكن ايجاد املعدل الزمني لتغير كل من ‪ x,y‬وكما يلي‪:‬‬ ‫‪d 2 2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫⇒ )‪(x + y − 4y + 6x) = (0‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫فيكون ‪ :‬املعدل الزمني لتغير ‪ y‬يساوي ‪dy‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪dx‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪+ 2y − 4 + 6‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪2x‬‬

‫‪dx‬‬ ‫واملعدل الزمني لتغير ‪ x‬يساوي‬ ‫‪dt‬‬

‫مالحظـة‬

‫حلل أي سؤال يتعلق باملعدالت املرتبطة حاول إتباع ما يلي إن أمكن‪:‬‬

‫‪ )1‬ارسم مخطط ًا للمسألة (أن احتجت الى ذلك)وحدد املتغيرات والثوابت وضع لها الرموز وحدد‬ ‫العالقة الرئيسية في حل السؤال‪.‬‬ ‫‪ )2‬حاول إيجاد عالقة أخرى بني املتغيرات لكي تقلل من عدد املتغيرات‪.‬‬ ‫‪ )3‬نشتق الطرفني بالنسبة للمتغير (الزمن) ‪.t‬‬ ‫‪ )4‬عوض معطيات السؤال من املتغيرات بعد االشتقاق‪.‬‬ ‫واالمثلة التالية توضح ذلك‪:‬‬

‫‪95‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-1-‬‬ ‫خزان مملوء باملاء على شكل متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة طولها ‪ 2m‬يتسرب منه املاء مبعدل‬ ‫‪ 0.4m3/h‬جد معدل تغير انخفاض املاء في اخلزان عند أي زمن ‪.t‬‬ ‫احلل‬ ‫ليكن حجم املاء في اخلزان عند أي زمن ‪ t‬هو (‪v(t‬‬ ‫(تسرب) ⇐ ‪( dv = −0.4‬االشارة السالبة تعني نقصان)‬

‫‪h‬‬

‫‪dt‬‬

‫وليكن ارتفاع املاء في اخلزان عند أي زمن هو ‪ h‬واملطلوب إيجاد‬ ‫أن املاء يأخذ شكل متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة‬

‫‪dh‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪2m‬‬

‫مساحة القاعدة = ‪∴V = Ah , A‬‬ ‫‪V=(2)(2)h V= 4h‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪dh‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪dh‬‬ ‫⇒‬ ‫‪dt‬‬

‫‪−0.4 = 4‬‬

‫‪dh‬‬ ‫معدل تغير انخفاض املاء في اخلزان ‪= −0.1 m / h‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫مثال‪-2 -‬‬ ‫صفيحة مستطيلة من املعدن مساحتها تساوي ‪ . 96cm2‬يتمدد طولها مبعدل‬ ‫‪2cm/s‬بحيث تبقى مساحتها ثابتة‪ ،‬جد معدل النقصان في عرضها وذلك عندما يكون عرضها ‪.8cm‬‬ ‫احلل‬

‫‪96‬‬

‫في أية حلظة ما نفرض طول املستطيل = ‪x‬‬ ‫وعرض املستطيل= ‪y‬‬ ‫‪ dx = 2cm/s‬معدل تغير الطول‬ ‫‪dt‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫?=‬ ‫‪dt‬‬

‫معدل تغير العرض‬ ‫‪A = xy‬‬ ‫‪∴ 96∴=96‬‬ ‫)‪xy...(1‬‬ ‫)‪= xy...(1‬‬

‫نشتق طرفي العالقة بالنسبة الى ‪t‬‬

‫)‪∴ 96 = xy...(1‬‬

‫‪∴ y = 8 ⇒ x = 12‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫)‪(96) = (xy‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪+ y.‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫)‪0 = 12 + 8(2‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪⇒ 0 = x.‬‬

‫‪dy −16 −4‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪cm/ ssec‬‬ ‫‪dt 12‬‬ ‫‪3‬‬

‫⇒‬

‫مثال‪-3 -‬‬ ‫مكعب صلد طول حرفه ‪ 8cm‬مغطى بطبقة من اجلليد بحيث شكله يبقى مكعباً‪،‬‬ ‫فإذا بدأ اجلليد بالذوبان مبعدل ‪ 6cm3/s‬فجد معدل النقصان بسمك اجلليد في اللحظة التي يكون فيها هذا‬ ‫السمك ‪.1cm‬‬ ‫احلل‬ ‫نفرض سمك اجلليد في أية حلظة = ‪ x‬واملطلوب حساب ‪ dx‬عندما ‪x=1‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫حجم اجلليد = حجم املكعب املغطى باجلليد‪ -‬حجم املكعب األصلي‬ ‫‪V=(8+2x (3-83‬‬

‫‪8cm‬‬

‫‪dv‬‬ ‫‪dxdx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-0‬‬ ‫= )‪(2‬‬ ‫)‪= 3(8 + 2x)(2‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dtdt‬‬ ‫وبالتعويض عن القيم املعطاة نحصل على‪:‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪−6 = 3(8 + (2)(1))2 .2‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪cm/s‬‬ ‫‪= −0.01cm/‬‬ ‫‪sec‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫معدل نقصان سمك اجلليد = ‪0.01cm/s‬‬

‫‪97‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-4 -‬‬ ‫سلم طوله ‪ 10m‬يستند طرفه األسفل على أرض أفقية وطرفه العلوي على حائط رأسي‪،‬‬ ‫فإذا انزلق الطرف األسفل مبتعد ًا عن احلائط مبعدل ‪ 2m/s‬عندما يكون الطرف األسفل على بعد ‪ 8m‬عن‬ ‫احلائط جد‪:‬‬ ‫‪ )1‬معدل انزالق الطرف العلوي‪.‬‬ ‫‪ )2‬سرعة تغير الزاوية بني السلم واألرض‪.‬‬ ‫احلل‬

‫‪θ‬‬ ‫ارض‬

‫‪x‬‬ ‫‪x 2 + y2 = 100‬‬

‫‪∴ x = 8, ⇒ y = 6‬‬

‫)‪1‬‬

‫= ‪∴ x = 8, ⇒ y‬‬

‫نفرض عند أية حلظة ‪:‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫⇐‪= 2 ,‬‬ ‫بعد الطرف االسفل عن احلائط= ‪x‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫بعد الطرف األعلى عن األرض =‪. y‬‬ ‫قياس الزاوية بني السلم واألرض = ‪( θ‬نصف قطرية)‬ ‫بتطبيق مبرهنة فيثاغورس نحصل على ‪:‬‬

‫‪10m‬‬

‫‪ y‬حائط‬

‫‪d 2 2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪(x + y ) = (100) ⇒ 2x + 2y = 0‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬

‫وبالتعويض عن القيم املعلومة نحصل على‪:‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dy −8‬‬ ‫⇒‪=0‬‬ ‫=‬ ‫معدل انزالق الطرف العلوي ‪m/ s‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt 3‬‬

‫‪98‬‬

‫)‪(2)(8)(2)+ (2)(6‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫‪8 dθ1 dy 11 dy−4‬‬ ‫‪y yy y d⇒dd(d sinθ‬‬ ‫) ‪d dyddyy y‬‬ ‫‪sinθ‬‬ ‫‪sinθ‬‬ ‫‪sinθ‬‬ ‫‪sinθ‬‬ ‫‪⇒sinθ‬‬ ‫‪sinθ‬‬ ‫‪sinθ‬‬ ‫⇒ ⇒=== =‬ ‫( ===) =‬ ‫‪⇒ cosθ‬‬ ‫) () (=== =‬ ‫‪⇒ cosθ‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1010dt dt‬‬ ‫‪dtdt dt dt‬‬ ‫‪dtdt‬‬ ‫‪1010‬‬ ‫‪10 dt‬‬ ‫‪10 dt 3‬‬ ‫‪10 10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10 dt10‬‬

‫(‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪x8 dθ1x dy 11 dy‬‬ ‫= ‪ cosθ‬ينتج) () (‬ ‫== =‬ ‫‪10dt10‬‬ ‫‪10 dt3‬‬ ‫وبالتعويض عن ‪10‬‬ ‫‪1010 dt‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪dy −8‬‬ ‫=‬ ‫ومن التعويض بقيمة ‪ x=8‬وعن قيمة‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪3‬‬

‫سرعة تغير الزاوية‬

‫نحصل على‪:‬‬ ‫‪8 dθ‬‬ ‫‪1 −8‬‬ ‫) () ( =‬ ‫‪10 dt‬‬ ‫‪10 3‬‬ ‫‪dθ −1‬‬ ‫‪s‬‬ ‫∴‬ ‫‪= rad / sec‬‬ ‫‪dt 63‬‬

‫مثال‪-5 -‬‬ ‫مرشح مخروطي قاعدته اُفقية ورأسه لألسفل‪ ،‬ارتفاعه يساوي ‪24cm‬وطول قطر‬ ‫قاعدته ‪ 16cm‬يصب فيه سائل مبعدل ‪5cm3/s‬بينما يتسرب منه السائل ‪ ،1cm3/s‬جد معدل تغير‬ ‫عمق السائل في اللحظة التي يكون فيها عمق السائل ‪. 12cm‬‬ ‫‪16‬‬ ‫احلل‬ ‫نفرض بعدي السائل‬ ‫(نصف القطر=‪ r‬واالرتفاع= ‪ )h‬عند أية حلظة‬ ‫نفرض حجم السائل عند أية حلظة (‪v(t‬‬ ‫‪r‬‬ ‫في الشكل املجاور من استعمال ‪ tanθ‬أو من تشابه مثلثني نحصل على‬ ‫‪r‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪⇒r = h‬‬ ‫‪h 24‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪tanθ‬‬

‫‪1‬‬ ‫⇒ ‪v = πr 2 h‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪h‬‬

‫‪24‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪2‬‬

‫⎞ ‪1 ⎛1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫الطرفني‬ ‫نشتق‬ ‫‪v‬‬ ‫=‬ ‫= ‪π ⎜ h⎟ h‬‬ ‫‪πh3‬‬ ‫‪t‬‬ ‫⎠ ‪3 ⎝3‬‬ ‫‪27‬‬

‫‪99‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫‪dv 1 2 dh‬‬ ‫‪= πh‬‬ ‫)‪....(1‬‬ ‫‪dt 9‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫معدل تغير حجم السائل في املخروط =معدل الصب ‪-‬معدل التسرب‪.‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪= 5 − 1 = 4 cm3/s‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫وبالتعويض في (‪ )1‬ينتج‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dh‬‬ ‫‪π(12)2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪dt‬‬

‫=‪4‬‬

‫‪dh‬‬ ‫‪dv = 1 cm/ sec‬‬ ‫‪= 5 − 1 = 4s‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪dt 4π‬‬ ‫مثال‪-6 -‬‬

‫لتكن ‪ M‬نقطة متحركة على منحني القطع املكافئ ‪ y2=4x‬بحيث يكون معدل‬

‫ابتعادها عن النقطة(‪ )7,0‬يساوي ‪ ، 0.2unit/s‬جد املعدل الزمني لتغير االحداثي السيني للنقطة ‪M‬‬ ‫عندما يكون ‪.x=4‬‬ ‫احلل‬

‫لتكن (‪ M(x,y‬ولتكن (‪ N(7,0‬ولتكن املسافة ‪ MN‬تساوي ‪S‬‬ ‫‪S = (x − 7)2 + (y − 0)2 ⇒ S = x 2 −14x + 49 + y2‬‬ ‫وبالتعويض عن ‪ y2=4x‬ينتج‬ ‫‪⇒ S = x 2 − 10x + 49‬‬ ‫‪8 −10 dx‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪10 dt‬‬

‫= ‪0.2‬‬

‫⇒‬

‫‪ds‬‬ ‫‪2x − 10‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪dt 2 x 2 − 10x + 49 dt‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪= −1unit / sec‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪100‬‬

‫⇒‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬

‫)‬

‫تم‬

‫رين (‪2‬‬ ‫ا‬

‫‪3-‬‬

‫‪ .1‬سلم يستند طرفه األسفل على أرض أفقية وطرفه األعلى على حائط رأسي فاذا أنزلق الطرف األسفل‬ ‫مبتعد ًا عن احلائط مبعدل ‪ ، 2m/s‬فجد معدل انزالق الطرف العلوي عندما يكون قياس الزاوية بني السلم‬

‫واألرض تساوي ) ‪. π2‬‬ ‫‪(0,‬‬ ‫‪43‬‬

‫‪ .2‬عمود طوله ‪ 7.2m‬في نهايته مصباح‪ ،‬يتحرك رجل طوله ‪ 1.8m‬مبتعد ًا عن العمود وبسرعة‬ ‫‪ ، 30m/min‬جد معدل تغير طول ظل الرجل‪.‬‬ ‫‪ .3‬لتكن ‪ M‬نقطة تتحرك على القطع املكافئ ‪، y=x2‬جد احداثيي النقطة ‪ M‬عندما يكون املعدل الزمني‬ ‫ألبتعادها عن النقطة ) ‪ (0, 3‬يساوي ثلثي املعدل الزمني لتغير االحداثي الصادي للنقطة ‪.M‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .4‬قطعة معدنية على شكل قطع ناقص مبساحة ثابتة تساوي ‪ 60π‬وحدة مربعة‪ ،‬فإذا أزداد طول محوره‬ ‫األصغر مبعدل ‪ 0.2‬وحدة طول‪/‬دقيقة‪ ،‬فجد معدل النقصان في طول محوره األكبر عندما يكون طول محوره‬ ‫األصغر ‪ 12‬وحدة طول‪.‬‬ ‫‪ .5‬جد النقط التي تنتمي للدائرة ‪ x 2 + y2 + 4x − 8y = 108‬والتي عندها يكون املعدل الزمني لتغير ‪x‬‬ ‫يساوي املعدل الزمني لتغير ‪ y‬بالنسبة للزمن ‪. t‬‬ ‫‪ .6‬متوازي سطوح مستطيلة أبعاده تتغير بحيث تبقى قاعدته مربعة الشكل‪ ،‬يزداد طول ضلع القاعدة مبعدل‬ ‫‪، 0.3cm/s‬وارتفاعه يتناقص مبعدل ‪، 0.5cm/s‬جد معدل تغير احلجم عندما يكون طول ضلع القاعدة‬ ‫‪ 4cm‬واالرتفاع ‪. 3cm‬‬

‫‪101‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬

‫[‪ ]3-3‬مبرهنتا رول والقيمة املتوسطة‬

‫‪Rolleُ s and Mean Value Theorems‬‬

‫قبل أن نتعرف في هذا البند الى مبرهنتي رول والقيمة املتوسطة نذكر بعض التعاريف واملبرهنة التي متهد‬ ‫لهاتني املبرهنتني‪( :‬لالطالع)‬

‫تعريف [‪]3-1‬‬ ‫إذا كانت ‪ f‬دالة معرفة على الفترة املغلقة [‪ ]a,b‬فإن‪:‬‬ ‫‪ f)1‬تأخذ قيمة عظمى عند ‪ c‬حيث [‪]a,b‬‬

‫‪ c‬اذا وفقط اذا‬

‫‪ f )2‬تأخذ قيمة صغرى عند ‪ c‬حيث [‪]a,b‬‬

‫‪ c‬اذا وفقط اذا‬

‫)‪ f (c) ≥ f (x‬لكل[ ‪[a ,b‬‬

‫(‪ f(c)≤f(x‬لكل[ ‪x [a ,b‬‬

‫مبرهنة(‪)3-1‬‬ ‫إذا كانت ‪ f‬دالة معرفة على الفترة املغلقة [‪ ]a,b‬وكان ‪:‬‬

‫للدالة ‪ f‬قيمة عظمى أو صغرى عند ‪ c‬حيث )‪ c ∈ (a,b‬وأن )‪ f ʹ(c‬موجودة‬ ‫فان ‪f ʹ(c) = 0‬‬

‫وسنكتفي بتوضيح هذه املبرهنة هندسي ًا كما يأتي‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫‪102‬‬

‫‪b‬‬

‫‪f ʹ(c) = 0‬‬

‫‪c‬‬

‫‪y‬‬

‫‪a‬‬

‫‪x‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫عند النقطة ‪ c‬املختلفة عن ‪ a,b‬والتي تأخذ عندها الدالة قيمة عظمى أو صغرى يكون املماس للمنحني‬ ‫البياني للدالة افقي ًا (اي موازي حملور السينات)‬ ‫واالن ميكن أن تفكر في اجابة للسؤال االتي‪:‬‬ ‫اذا كان للدالة ‪ f‬قيمة عظمى أو قيمة صغرى عند ‪ c‬حيث )‪ c ∈ (a,b‬فهل يشترط أن يكون ‪ f ʹ(c) = 0‬؟‬ ‫ولالجابة على السؤال اليك املثال االتي‪:‬‬ ‫مثال ‪-1-‬‬ ‫لتكن ‪f : [−1,1] → R, f (x) = x‬‬ ‫وكما تالحظ في الشكل أدناه فإن‬ ‫الدالة ‪ f‬متتلك اعظم قيمة عند كل من ‪x = 1 ، x = -1‬‬ ‫ومتتلك اصغر قيمة عند ‪x = 0‬‬ ‫وانت تعلم من دراستك السابقة أن الدالة ‪ f‬غير قابلة لالشتقاق عند ‪x = 0‬‬ ‫اي ان )‪ f ʹ(0‬غير موجودة ‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫∴ ال يشترط أن يكون ‪f ʹ(c) = 0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫تعريف[‪]3-2‬‬ ‫معرفة عند العدد ‪ . c‬يقال عن العدد ‪ c‬بأنه عدد حرج (‪ )Critical Number‬اذا‬ ‫لتكن الدالة ‪ّ f‬‬

‫كان ‪ f ʹ(c) = 0‬او ان الدالة غير قابلة لالشتقاق في ‪ c‬وتسمى النقطة ( )‪ ) c, f (c‬بالنقطة احلرجة‬ ‫ففي املثال السابق ‪:‬‬

‫‪f (x) = x‬‬

‫‪f :[−1,1] → R‬‬

‫تالحظ أن الدالة معرفة عند صفر ‪ ،‬وان )‪ f ʹ(0‬غير موجودة‬ ‫لذا يقال أن العدد “صفر” هو العدد احلرج للدالة ‪ f‬وان النقطة ))‪ (0, f (0‬هي النقطة احلرجة ‪.‬‬

‫‪103‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مبرهنة رول ‪Rolle’s Theorem‬‬ ‫مبرهنة رول‪ :‬لقد وضع العالم الفرنسي (متشل رول) مبرهنة مبسطة إليجاد نقط متثل نقط ًا حرجة للدالة في‬ ‫الفترة املعطاة وسميت هذه املبرهنة باسمه‪.‬‬

‫(‪ )3-2‬مبرهنة رول‬ ‫‪y‬‬

‫‪f ʹ(c) = 0‬‬

‫إذا كانت الدالة ‪: f‬‬ ‫‪ )1‬مستمرة في الفترة املغلقة [‪]a,b‬‬ ‫‪ )2‬قابلة لالشتقاق في الفترة املفتوحة (‪)a,b‬‬ ‫‪f(b)=f(a( )3‬‬

‫)‪f(b‬‬ ‫‪x‬‬

‫)‪f(a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪c‬‬

‫فإنه يوجد على األقل قيمة واحدة ‪ c‬تنتمي الى (‪ )a,b‬وحتقق ‪f ʹ(c) = 0 :‬‬ ‫مثال‪-2 -‬‬

‫بني هل أن مبرهنة رول تتحقق لكل من الدوال التالية؟ وجد قيمة ‪ c‬املمكنة‪:‬‬ ‫]‪, x ∈ [0,4‬‬

‫‪a)f(x) =(2-x)2‬‬

‫]‪b)f(x)=9x+3x2-x3 , x ∈ [-1,1‬‬

‫احلل‬

‫]‪, x ∈ [-1,2‬‬ ‫)‪, x ∈ [-4,-1‬‬

‫‪⎧x2+1‬‬ ‫⎨ =)‪c)f(x‬‬ ‫‪⎩ -1‬‬

‫]‪, x ∈ [a,b‬‬

‫‪d) f(x)=k‬‬

‫]‪a)f(x) =(2-x)2 , x ∈ [0,4‬‬

‫الشرط االول ‪ :‬الدالة مستمرة على الفترة املغلقة [‪ ]0,4‬ألنها كثيرة احلدود‪.‬‬ ‫الشرط الثاني ‪ :‬الدالة قابلة لالشتقاق على الفترة املفتوحة (‪ )0,4‬ألنها كثيرة احلدود‪.‬‬ ‫‪f(0)=(2-0)2=4‬‬ ‫الشرط الثالث‪:‬‬ ‫(‪f(4)=(2-4)2=4 ⇒ f(0)=f(4‬‬ ‫الدالة ضمن الفترة املعطاة حتقق مبرهنة رول‪.‬‬

‫‪104‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫)‪f ʹ(x) = −2(2 − x‬‬ ‫)‪f ʹ(c) = −2(2 − c‬‬ ‫‪f ʹ(c) = 0 ⇒ −2(2 − c) = 0‬‬ ‫]‪∴ c = 2 ∈ [0,4‬‬

‫]‪b)f(x)=9x+3x2-x3 , x ∈ [-1,1‬‬ ‫احلل‬ ‫الشرط االول‪ :‬الدالة مستمرة على الفترة املغلقة [‪ ]-1,1‬ألنها كثيرة احلدود‪.‬‬ ‫الشرط الثاني‪ :‬الدالة قابلة لالشتقاق على الفترة املفتوحة (‪ )-1,1‬ألنها كثيرة احلدود‪.‬‬ ‫‪f(-1)=-9+3+1=-5‬‬ ‫الشرط الثالث‪:‬‬ ‫)‪f(1)=9+3-1=11 ⇒ f (−1) ≠ f (1‬‬ ‫التتحقق مبرهنة رول ألن الشرط الثالث لم يتحقق‪.‬‬

‫احلل‬ ‫الشرط االول‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪⎧⎪ x⎪⎧2 x+1‬‬ ‫‪[−1,‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪x ∈x [∈−1,‬‬ ‫]‪2] 2‬‬ ‫)‪c) f (x‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫⎨ ⎨=‬ ‫‪⎪⎩−1 x ∈x [∈−4,‬‬ ‫‪[−4,‬‬ ‫‪⎪⎩−1‬‬ ‫]( ]‬ ‫‪−1−1‬‬

‫مجال الدالة = [‪]-4,2‬‬

‫‪⎧ lim (x 2 +1) = 2 = L 1‬‬ ‫‪⎪ x→−1‬‬ ‫⎨‬ ‫‪lim (−1) = −1 = L 2‬‬ ‫‪⎪⎩ x→−1‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫الدالة لسيت مستمرة ألن ‪ L 1 ≠ L 2‬في الفترة [‪]-4,2‬‬ ‫∴ ال حتقق مبرهنة رول‬ ‫)‪, x ∈ [a,b‬‬

‫‪d) f(x)=k‬‬

‫احلل‬ ‫الشرط االول‪ :‬الدالة مستمرة على [‪ ]a,b‬النها دالة ثابتة‪.‬‬ ‫الشرط الثاني‪ :‬الدالة قابلة لالشتقاق على الفترة (‪.)a,b‬‬ ‫الشرط الثالث‪f (a) = f (b) = k :‬‬ ‫∴ الدالة حتقق مبرهنة رول ‪ .‬وان قيمة ‪ c‬ميكن ان تكون اي قيمة ضمن الفترة (‪.)a, b‬‬

‫‪105‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬

‫(‪)3-3‬مبرهنة القيمة املتوسطة‬ ‫إذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة في الفترة املغلقة [‪ ]a,b‬وقابلة لالشتقاق على الفترة املفتوحة (‪)a,b‬‬ ‫فإنه يوجد على األقل قيمة واحدة ‪ c‬ينتمي الى (‪ )a,b‬وحتقق‪f ( b) − f ( a ) :‬‬ ‫= )‪f ʹ (c‬‬ ‫‪b− a‬‬ ‫او )‪f (b) − f (a) = f ʹ(c)(b− a‬‬

‫واملخطط التالي يعطي التفسير الهندسي ملبرهنة القيمة املتوسطة‪:‬‬

‫املماس يوازي الوتر ‪ ،‬ميل املماس = )‪f ʹ(c‬‬

‫‪y‬‬ ‫))‪B (b,f(b‬‬

‫)‪f '(c‬‬

‫))‪A(a,f(a‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a c‬‬

‫‪0‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫)‪Δy f (b) − f (a‬‬ ‫ميل الوتر املار بالنقطتني ‪ A,B‬يساوي‬ ‫=‬ ‫‪Δx‬‬ ‫‪b− a‬‬ ‫ميل املماس للمنحني عند ‪ = c‬املشتقة االولى للدالة ‪ f‬عند ‪) f ʹ(c) ( , c‬‬ ‫لكن املماس والوتر متوازيان لذا يتساوى ميالهما ) ‪f ( b) − f ( a‬‬ ‫‪b− a‬‬

‫‪106‬‬

‫= )‪f ʹ (c‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مالحظـة‬

‫أن مبرهنة رول هي حالة خاصة من مبرهنة القيمة املتوسطة ففي مبرهنة رول يجب توافر شرط ثالث‬ ‫)‪f (a) = f (b‬‬ ‫هو‪:‬‬ ‫أي أن الوتر واملماس يوازيان محور السينات‬

‫أي فرق الصادات =‪ 0‬لذا يصبح امليل =‪ 0‬فنحصل على ‪f ʹ(c) = 0 :‬‬ ‫مثال‪-3 -‬‬

‫برهن ان الدوال االتية حتقق شروط مبرهنة القيمة املتوسطة واوجد قيم ‪:c‬‬ ‫‪a)a)f f( (xx) )==xx2 2−−6x‬‬ ‫‪6x++4....on..‬‬ ‫‪4....on..‬‬ ‫] ]‪[ −1,7‬‬ ‫‪, x ∈ [ −1,7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b) fb)( xf )(=x ) =25 25‬‬ ‫‪− x−2 ...on..‬‬ ‫‪x‬‬ ‫] ]‬ ‫‪[ −4,0‬‬ ‫‪∈[ −4,0‬‬ ‫‪, x...on..‬‬

‫احلل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− 6x‬‬ ‫‪+ 4....on..‬‬ ‫] ]‪[ −1,7‬‬ ‫)‪a)a‬‬ ‫‪f (fx()x=) =x 2x− 6x‬‬ ‫‪+ 4....on..‬‬ ‫‪, x ∈[ −1,7‬‬

‫الشرط األول يتحقق ‪ :‬الدالة مستمرة في الفترة [‪ ]-1 ,7‬ألنها كثيرة احلدود‪.‬‬ ‫الشرط الثاني يتحقق‪ :‬الدالة قابلة لالشتقاق على الفترة (‪ )-1 ,7‬النها دالة كثيرة احلدود‪.‬‬ ‫ميل املماس‬ ‫ميل الوتر‬

‫)‪f ʹ(x) f=ʹ(x‬‬ ‫= ‪2x‬‬ ‫⇒ʹ ‪− 62x⇒− 6f‬‬ ‫)‪(c) f=ʹ(c‬‬ ‫‪2c = 2c −= 62c − 6‬‬ ‫)‪f (b)−−f f(a‬‬ ‫‪(a) f (7) − f (−1) 11− 11‬‬ ‫)‪f (b‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪a −ab‬‬ ‫‪7 +1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪b−‬‬ ‫ميل املماس = ميل الوتر‬

‫]‪0 = 2c − 6 ⇒ c = 3 ∈ [−1, 7‬‬

‫‪107‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∋‪x‬‬ ‫‪= −25‬‬ ‫)‪b) f (b‬‬ ‫‪x )f =( x )25‬‬ ‫‪x 2 −...on..‬‬ ‫‪[ −4,0[ −4,0‬‬ ‫] ]‬ ‫‪,x ...on..‬‬

‫احلل‬

‫الشرط األول (االستمرارية) ‪:‬‬

‫‪22‬‬ ‫‪∈ R‬‬ ‫‪∀a ∈ [ −4,0 ] ⇒ f (a) = 25 − a∀a‬‬

‫موجودة ‪25−−aa22‬‬ ‫‪lim f (x) = lim 25 − x 2 = 25‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪⇔ lim f (x) = f (a)Q‬‬ ‫‪ f‬مستمرة عند ‪⇔ lim f (x) = f (a)Q⇔ a‬‬ ‫‪ x→a‬‬ ‫‪ x→a‬‬ ‫لكن ‪ a‬متثل كل عنصر من عناصر املجال ⇔ ‪ f‬مستمرة في الفترة [‪]-4 , 0‬‬ ‫الشرط الثاني (قابلية االشتقاق )‪:‬‬ ‫‪∀x ∈ [)-4‬‬ ‫الدالة قابلة لالشتقاق (‪−4,0, ]0‬‬ ‫الشرط الثالث ‪:‬‬ ‫ميل املماس‬ ‫ميل الوتر‬ ‫ ‬

‫‪−c‬‬ ‫‪25 − c 2‬‬

‫= )‪⇒ f ʹ (c‬‬

‫‪−x‬‬ ‫‪25 − x 2‬‬

‫= )‪f ʹ ( x‬‬

‫‪f (b) − f (a) f (0) − f (−4) 5 − 3 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪b− a‬‬ ‫‪0+4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬

‫ميل الوتر = ميل املماس‬

‫‪1‬‬ ‫‪−c‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪25 − c 2‬‬ ‫⇒ ‪25 − c 2 = −2c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒ ‪25 − c = 4c ⇒ c‬‬ ‫= ‪⇒ cc‬‬ ‫‪=±‬‬ ‫‪m 55‬‬ ‫⇒‪= 55‬‬ ‫] ‪c = 5 ∉[ −4,0‬‬

‫] ‪ c = − 5 ∈[ −4,0‬‬

‫‪108‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-4 -‬‬

‫اذا كانت ‪f : [ 0,b] → R :، f ( x ) = x 3 − 4x 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫وكانت ‪ f‬حتقق مبرهنة القيمة املتوسطة عند‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪ c‬فجد قيمة ‪. b‬‬

‫احلل‬ ‫‪⎛ 2 ⎞ 4 16‬‬ ‫‪f ʹ ( x ) = 3x 2 − 8x ⇒ f ʹ ( c ) = 3c 2 − 8c ⇒ f ʹ ⎜ ⎟ = −‬‬ ‫ميل املماس ‪= −4‬‬ ‫‪⎝ 3⎠ 3 3‬‬ ‫‪f (b) − f (a) f (b) − f (0) b3 − 4b2 − 0‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ميل الوتر ‪= b2 − 4b‬‬ ‫‪b− a‬‬ ‫‪b− 0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ ‬ ‫ميل املماس = ميل الوتر‬ ‫‪2‬‬

‫‪2 2‬‬

‫‪2 2‬‬ ‫‪∴b‬‬ ‫‪−4b4b‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−4b4b‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∴b‬‬ ‫‪− ∴b‬‬ ‫= ‪=2‬‬ ‫⇒⇒‬ ‫‪b‬‬ ‫⇒‪2)2()b=−=020‬‬ ‫‪−4 4b‬‬ ‫⇒‪=2b4−2‬‬ ‫⇒‪b+2 +4− 4=4b=0+0‬‬ ‫⇒‪4‬‬ ‫⇒‪(=b(0−b‬‬ ‫‪) ⇒b= b=0 =2⇒2b = 2‬‬

‫التقريب باستخدام مبرهنة القيمة املتوسطة‬ ‫(‪)Approximation Using Mean Value Theorem‬‬ ‫مثال‪-5 -‬‬

‫استخدم مبرهنة القيمه املتوسطة في ايجاد قيمة تقريبية للعدد ‪26‬‬

‫احلل‬

‫]‪f (x) = x,∀x ∈ [25,26‬‬

‫‪ f‬مستمرة في الفترة [‪]25 , 26‬‬ ‫‪ f‬قابلة لالشتقاق في الفترة ( ‪)25 , 26‬‬ ‫‪1‬‬

‫)‪f ʹ(x‬‬ ‫=( ʹ ‪f‬‬ ‫‪x )1‬‬ ‫)‪f ʹ ( x‬‬

‫‪2 x‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪∴ f ʹ ( c ) =1‬‬ ‫‪∴ f ʹ (c) = 2 c‬‬ ‫‪2 c‬‬

‫‪109‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫) ‪f ( 26 ) − f ( 25‬‬ ‫‪26 − 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⇒ )‪= f ʹ (c‬‬ ‫=‬ ‫‪26 − 25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 c‬‬ ‫) ‪c ∈( 25, 26‬‬ ‫)اخترنا ‪ 36‬وهو مربع العدد الذي يلي ‪(5‬‬

‫< ‪∴ 25‬‬

‫يوجد ‪ c‬وإن ) ‪c ∈ ( 25, 26‬‬ ‫بحيث‬

‫⇒ ‪∴ 25 < c < 36‬‬

‫‪5 < c < 6 ⇒ 10 < 2 c < 12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪< 0.1‬‬ ‫‪12 2 c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫< ‪⇒ 0.083‬‬ ‫‪< 0.1‬‬ ‫‪2 c‬‬ ‫⇒‬

‫‪⇒ 0.083 < 26 − 5 < 0.1‬‬ ‫‪⇒ 5.083 < 26 < 5.1‬‬

‫واليجاد قيمه تقريبية أفضل جند متوسط العددين ‪5.1,5.083‬‬

‫‪5.083 + 5.1‬‬ ‫‪= 5.0915 ≅ 5.09‬‬ ‫‪2‬‬

‫≈ ‪∴ 26‬‬

‫نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة‬

‫إذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة ومعرفة على [‪ ]a,b‬وقابلة لالشتقاق في (‪ )a,b‬ولو اعتبرنا ‪h = b− a‬‬ ‫فأن ‪ b = a + h‬حيث ‪ h ≠ 0, h ∈R‬فانه مبوجب مبرهنة القيمة املتوسطة نحصل على‪:‬‬

‫)‪f (a + h) − f (a‬‬ ‫‪h‬‬

‫= )‪f ʹ(c‬‬

‫)‪⇒ f (a + h) = f (a)+ hf ʹ(c‬‬ ‫وعندما يكون اقتراب ‪ b‬من ‪ a‬قرب ًا كافي ًا تكون في هذة احلالة ‪ h‬صغيرة ويصبح الوتر صغير ًا ونهايتيه‬ ‫قريبتان من ‪ a‬أي أن املماس عند ‪ c‬سيكون مماس ًا للمنحني عند نقطة قريبة جد ًا من النقطة حيث ‪x=a‬‬ ‫ولذلك يصبح ‪:‬‬ ‫) ‪f ( a + h) ≈ f ( a ) + hf ʹ ( a‬‬ ‫يقال للمقدار )‪ hf ʹ(a‬التغير التقريبي للدالة‪.‬‬

‫‪110‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-6 -‬‬

‫اذا كان ‪ f ( x ) = x 3 + 3x 2 + 4x + 5‬فجد بصورة تقريبية )‪f (1.001‬‬

‫احلل‬ ‫‪f (1) = 1 + 3 + 4 + 5 = 13‬‬ ‫‪f ʹ ( x ) = 3x 2 + 6x + 4‬‬ ‫‪f ʹ (1) = 3 + 6 + 4 = 13‬‬ ‫) ‪f ( a + h) ; f ( a ) + hf ʹ ( a‬‬

‫‪b =1.001‬‬ ‫‪a=1‬‬

‫∴‬ ‫‪f (1.001)==f f(1(1) + (0.001‬‬ ‫)‪0.001)) f ʹ (1‬‬ ‫)‪ f(1.001‬‬ ‫)‪= 13 + ( 0.001) (13‬‬

‫‪h= b-a =0.001‬‬

‫مثال‪-7 -‬‬

‫‪= 13.013‬‬

‫مكعب طول حرفه ‪ 9.98cm‬جد حجمه بصورة تقريبية باستخدام مبرهنة القيمة‬ ‫املتوسطة‪.‬‬

‫احلل‬

‫ليكن ‪ V‬حجم املكعب الذي طول حرفه (‪) x‬‬ ‫‪b = 9.98‬‬ ‫‪a = 10‬‬ ‫‪h = b − a = −0.02‬‬

‫اي ان الدالة تكون على الصيغة‬

‫‪v ( xx) = L 3‬‬

‫)‪v(x‬‬ ‫] ‪=x‬‬ ‫‪L ∈[ 9.98,10‬‬ ‫‪v ( x ) =v L( x3 ) = L 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 2 ⇒ vʹ (10 ) = 3 (10 ) = 300‬‬ ‫∈(ʹ‪vvx‬‬ ‫]‪x))=[9.98,10‬‬ ‫‪=L3x‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪L ∈[ 9.98,10‬‬ ‫‪L ∈[ 9.98,10‬‬ ‫]‪] 3‬‬ ‫∈( ‪v‬‬ ‫‪10 ) = 102 =] 1000‬‬ ‫= ) ‪vʹ ( x‬‬ ‫‪10 )v=ʹ (10‬‬ ‫‪3 (10‬‬ ‫‪vLʹ 3x‬‬ ‫⇒( ʹ‪=⇒3xv‬‬ ‫‪( x[)29.98,10‬‬ ‫‪) =)23 (=10300‬‬ ‫‪)2 = 300‬‬ ‫‪2) ≅ 994 = 998cm3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪vvʹ((9.98‬‬ ‫‪≅ 1000‬‬ ‫‪−0.02‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪(10‬‬ ‫‪) ((10‬‬ ‫‪3 =) 3x‬‬ ‫‪3 ⇒ v+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 300‬‬ ‫ʹ‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪v (10 ) v=(10 ) = 10‬‬ ‫‪1000= 1000‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪) =) 10‬‬ ‫‪v ( 9.98vv)((10‬‬ ‫‪≅ 1000‬‬ ‫‪994‬‬ ‫‪998cm‬‬ ‫‪9.98‬‬ ‫‪≅+1000‬‬ ‫‪+ ( −0.02‬‬ ‫‪= 998cm‬‬ ‫‪(=−0.02‬‬ ‫‪) ( 300) (≅300‬‬ ‫‪) ≅=994‬‬ ‫‪v ( 9.98 ) ≅ 1000 + ( −0.02 ) ( 300 ) ≅ 994 = 998cm3‬‬

‫‪111‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-8 -‬‬

‫لتكن ‪ f (x) = 3 x 2‬فاذا تغيرت ‪ x‬من ‪ 8‬إلى ‪ 8.06‬فما مقدار التغير التقريبي‬ ‫للدالة؟‬

‫احلل‬ ‫الدالة ‪f : [ 8, 8.06 ] → R , f ( x ) = 3 x 2 :‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫املشتقة‪:‬‬ ‫‪f ʹ ( x) = 3‬‬ ‫‪3 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 0.333‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪33 8‬‬

‫‪b =8.06‬‬ ‫‪a= 8= 23‬‬ ‫‪h= b-a =0.06‬‬

‫= )‪f '(a) = f '(8‬‬

‫التغير التقريبي ‪hf ʹ(8) ≅ (0.06)(0.333) = 0.01998‬‬ ‫مثال‪-9 -‬‬

‫احلل‬

‫مكعب طول حرفه ‪ ، 10cm‬مغطى بطبقة من اجلليد بسمك ‪ 0.3cm‬جد كمية‬ ‫اجلليد بصورة تقريبية ‪ .‬وباستخدام مبرهنة القيمة املتوسطة‪.‬‬ ‫حجم املكعب الكبير ‪ -‬حجم املكعب الصغير = حجم اجلليد‬ ‫‪v(x) = x 3 − (10)3‬‬ ‫‪vʹ ( x ) = 3x 2 - 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪vʹ ( a ) = vʹ (10 ) = ( 3) (10 ) = 300‬‬

‫‪hvʹ (10‬‬ ‫حجم اجلليد بصورة تقريبية ‪a ) ≅ ( 0.6 ) ( 300 ) = 180cm3‬‬

‫‪112‬‬

‫‪b =10.6‬‬ ‫‪a= 10‬‬ ‫‪h= b-a = 0.6‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال ‪10‬‬

‫باستخدام مبرهنة القيمة املتوسطة جد وبصورة تقريبية ومقرب ًا لثالث مراتب عشرية‬ ‫على االقل ك ً‬ ‫ال من‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a) 5 ( 0.98 ) + ( 0.98 ) + 3‬‬ ‫‪b) 3 7.8‬‬ ‫‪d) 3 0.12‬‬

‫‪(0.98 )3 + (0.98 )4 + 3‬‬

‫احلل‬ ‫الدالة‪:‬‬ ‫املشتقة‪:‬‬

‫‪c) 17 + 4 17‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪f (x) = x + x 4 + 3‬‬

‫‪5‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪3 −23‬‬ ‫‪f ʹ(x) = x + 4x 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪f (a) = f (1) = 1 + 14 + 3 = 5‬‬

‫تعويض بالدالة‪:‬‬

‫‪3 3‬‬ ‫‪⎛ ⎛3 3⎞ ⎞3 2 2‬‬ ‫= )‪f ʹf(ʹa( a‬‬ ‫‪4( 4)3()1()1) ==4.6‬‬ ‫‪=⎜ ⎜ =⎟ ⎟(1()1x)53 5++(4x‬‬ ‫‪4.6‬‬ ‫)‪) =f ʹf(ʹ1()1f=)ʹ(x‬‬ ‫‪⎝ ⎝5 5⎠ ⎠5‬‬ ‫‪−2‬‬

‫تعويض باملشتقة ‪:‬‬ ‫تعويض بالقانون‬

‫‪ff((a‬‬ ‫)‪a ++hh‬‬ ‫)‪a ) + hfhf( aʹ(a‬‬ ‫‪) ≅≅f f( (a)+‬‬ ‫)‬

‫‪b = 0.98‬‬ ‫‪a= 1‬‬ ‫‪h= b-a = -0.02‬‬

‫‪(−0.02).‬‬ ‫)‪ff((0.98‬‬ ‫‪0.98 ) ==f f(1(1)+‬‬ ‫‪) + ( −0.02‬‬ ‫)‪) . f (f1ʹ)(1‬‬

‫‪f ( 0.98‬‬ ‫) ‪1 ) = +5 + ( −0.02) .( 4.6‬‬ ‫)‪f ʹ ( x‬‬ ‫‪2 x) = +5 − 0.092 = 4.908‬‬ ‫‪f ( 0.98‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪∴ 5f (ʹ 0.98‬‬ ‫‪( c ) =)3 + (0.98 )4 + 3 ≅ 4.908‬‬ ‫‪2 c‬‬

‫‪113‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫‪b) 3 7.8‬‬

‫احلل‬ ‫الدالة‪f (x) = 3 x :‬‬ ‫‪1‬‬

‫املشتقة‪ :‬‬

‫‪3 3 x2‬‬

‫‪b =7.8‬‬ ‫‪a= 8=23‬‬

‫= )‪ f ʹ ( x‬‬

‫ ‬ ‫التعويض بالدالة ‪:‬‬

‫‪h= b-a = -0.2‬‬

‫ ‬

‫‪f (a) = f (8) = 3 8 = 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 0.083‬‬ ‫‪12‬‬

‫التعويض باملشتقة‪:‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫= )‪f ʹ (a ) = f ʹ (8‬‬

‫‪3 8‬‬ ‫‪3‬‬

‫) ‪f ( a + h) ≅ f ( a ) + hf ʹ ( a‬‬

‫وبالتعويض بالقانون ‪:‬‬

‫نحصل على‬

‫‪1‬‬ ‫‪( 8 ) += ( f−0.2‬‬ ‫‪( 8 ) ≅) f2ʹ−( 8()0.2‬‬ ‫‪≅ 2) (−0.083‬‬ ‫‪( 8 ) )+f(ʹ−0.2‬‬ ‫)‪( 0.2 ) ( 0.083‬‬ ‫‪f ʹ (fx()7.8 ) =f (f7.8‬‬ ‫= ‪x= 2 −‬‬ ‫‪= 22− 0.0166‬‬ ‫‪1.9834= 1.9834‬‬ ‫‪0.0166‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪∴ f3ʹ (7.8‬‬ ‫‪c ) =≅ 1.9814‬‬ ‫‪7.8 ≅ :1.9814 :‬‬ ‫‪2 c‬‬ ‫‪17 + 4 17‬‬

‫)‪c‬‬

‫احلل‬ ‫الدالة‪ :‬لتكن‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ f ( x ) = x + x‬‬

‫املشتقة‪:‬‬

‫‪1 −12 1 − 34‬‬ ‫‪f ʹ ( x) = x + x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪b =17‬‬ ‫‪a= 16‬‬

‫تعويض بالدالة ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4 4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4 2‬‬

‫‪f (16) = (2 ) + (2 ) = 4 + 2 = 6‬‬

‫‪h=b-a = 17-16=1‬‬

‫تعويض باملشتقة‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞‪⎛ 1‬‬ ‫⎞‪⎛ 1‬‬ ‫⎟ ⎜ ‪= 2−2 + 2−3 = 0.5 ⎜ ⎟ + 0.25‬‬ ‫⎠‪⎝ 2‬‬ ‫⎠‪⎝ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪114‬‬

‫) (‬

‫) (‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪−‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪+ 24‬‬ ‫‪4‬‬

‫) (‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪f ʹ (16 ) = 24‬‬ ‫‪2‬‬

‫) (‬

Applications of Differentiations‫تطبيقات التفا�ضل‬ f ʹ(16) = (0.5)(0.5)2 + (0.25)(0.5)3 = (0.5)(0.25)+ (0.25)(0.125) = 0.125 + 0.031 = 0.156 ‫التعويض بالقانون نحصل على‬

f (fa(+a h+)h≅) ≅f (fa()a+)h+f hʹ (f aʹ ()a )

f (f17(17 ʹ (f16 ) ≅) ≅f (f16(16 ) +)1+f 1(1) ) ) ʹf(ʹ16 (16) f (f17(17 ) ≅) 6≅ +6(+1)(1(0.156 ) ) ) (0.156 4 ≅ 6.156 ∴∴1717 + 4+17 17 ≅ 6.156

d) 3 0.12

‫احلل‬ f (x) = x

1 3

‫الدالة‬

1 − 23 f ʹ ( x) = x 3

f (0.125) f (x) = (0.5)

(

‫املشتقة‬ 1 3 3

)

‫تعويض بالدالة‬

= 0.5 2

−2

1 1 ⎛ 1⎞ 1 2 4 3 − f ʹ(0.125) f ʹ ( x ) = ⎡⎣( 0.5 ) ⎤⎦ 3 = ⎜ ⎟ = ( 2) = = 1.333 3 3 ⎝ 2⎠ 3 3 f ( a + b) ≅ f ( a ) + h. f ʹ ( a )

‫تعويض باملشتقة‬

: ‫وبالتعويض بالقانون نحصل على‬

ff ( aa ++hbb) ≅≅f (ff0.12 aa) ) + ( −0.005 ) .(1.333) ( aa) ++) ≅h.h.ff ʹ(ʹ(0.125 ff ( 0.12 ++( −0.005 (0.125 ) ..(1.333 0.12) ≅≅f ff( 0.12 0.125 −0.005 1.333) − 0.006665 ) ≅)0.5 ff ( 0.12 −− 0.006665 0.12) ≅≅f0.5 0.5 0.006665 (0.12 ) ≅ 0.493335 3 ff ( 0.12 0.12) ≅≅∴0.493335 0.493335 0.12 ≅ 0.44935

0.493335 ∴ ∴ 33 0.12 0.12 ≅≅≅0.44935 0.44935 ≅≅ 0.493335 0.493335

115

b =0.120 a= 0.125 h= b-a = -0.005

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫‪)3‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-3‬‬

‫‪ .1‬اوجد قيمة ‪ c‬التي تعينها مبرهنة رول في كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪−3,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫]‬ ‫[ ∈‪a) f ( x ) = x − 9x ,x‬‬ ‫‪a) 63 + 3 63‬‬ ‫⎤ ‪⎡1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪1.04‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1.04‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∈‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪b) f ( x ) = 2x +‬‬ ‫‪⎢⎣ 2 ⎥⎦ 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a) 63 + 63‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪a) f (c‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪x )ff=((xxx))==−(xx −−3x) +−1,‬‬ ‫‪[+−1,1,3[ −1,‬‬ ‫‪]b) 31.04‬‬ ‫‪] 3 + 3 1.04 4 c) 31‬‬ ‫∈‪,xx‬‬ ‫]‪[−1,1‬‬ ‫) ( ‪( )3‬‬ ‫‪ .2‬جد تقريب ًا لكل مما يلي ‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫نتيجتها‪:‬‬ ‫او‬ ‫املتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪b)h (a‬‬ ‫‪b)h‬‬ ‫‪x ) =63‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪5,‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−1,‬‬ ‫‪5,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−1,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪( xx)+=− x4x‬‬ ‫[‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫]‬ ‫‪63‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪43 63‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫) ‪3(1.04 ) + 3 (1.04‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪(1.04‬‬ ‫]‪) 2‬‬ ‫‪101‬‬ ‫)‪c)g (b‬‬ ‫‪c)g‬‬ ‫‪x )(1.04‬‬ ‫‪=( x ) )= +, [3−1,‬‬ ‫‪,2[ −1,‬‬ ‫]‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x + 2x + 2‬‬ ‫‪b) (1.04‬‬ ‫‪11‬‬ ‫) ‪1 ) + 3 (1.04‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪d) 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫)‪e‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪d)B (d)B‬‬ ‫‪x )31=9( x )(=x + 1‬‬ ‫‪, [ 0,] 2π ] 101‬‬ ‫‪( x) +, [10,) 2π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c) 3‬‬ ‫باستخدام‬ ‫‪ .3‬كرة نصف قطرها ‪ 6cm‬طليت بطالء سمكه ‪ 0.1cm‬جد‪11‬كمية الطالء بصورة تقريبية‬ ‫‪19‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫)‪e‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪101‬‬ ‫مبرهنة القيمة املتوسطة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪101‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪ .4‬كرة حجمها ‪، 84π cm3‬جد نصف قطرها بصورة ‪1‬‬ ‫املتوسطة‪.‬‬ ‫تقريبية)‪e‬باستخدام مبرهنة القيمة‬ ‫‪101‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪e‬‬ ‫‪ .5‬مخروط دائري قائم ارتفاعه يساوي طول قطر قاعدته فاذا ‪2‬كان ارتفاعه يساوي ‪ 2.98cm‬فجد ‪1‬‬ ‫حجمه‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بصورة تقريبية باستخدام مبرهنة القيمة املتوسطة او نتيجتها‪.‬‬ ‫‪ .6‬بني أن كل دالة من الدوال التالية حتقق مبرهنة رول على الفترة املعطاة ازاء كل منها ثم جد قيمة ‪: c‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪44‬‬

‫‪44‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‪4‬‬ ‫‪41−‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪[ −1,‬‬ ‫‪[,3−1,‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1,‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫[‬ ‫)‪a) f (a‬‬ ‫‪x ) f=( (xx) −‬‬ ‫‪= 1( )x −, [1−1,‬‬ ‫‪) ,3[1)]−1,‬‬ ‫‪],)[,−1,‬‬ ‫] ]‪]33] 3‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪3 33‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫=‪3‬‬ ‫‪b)h‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x−−[x,‬‬ ‫‪b)h‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x,[x,‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪[]−1,1‬‬ ‫‪[ −1,1‬‬ ‫‪b)h‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪b)h‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x,‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1,1‬‬ ‫‪−1,1‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫[‬ ‫‪]]−−1,1‬‬ ‫]] ]‬ ‫‪b)h ( b)h‬‬ ‫= ) ‪x ) =( x‬‬ ‫‪− x,‬‬ ‫‪x [ −1,1‬‬ ‫‪−xx,‬‬ ‫‪22‬‬ ‫=‪xx)=)2=x‬‬ ‫‪x2−2−3x,‬‬ ‫‪−[3x,‬‬ ‫‪[ −1,‬‬ ‫‪[4−1,‬‬ ‫‪c)g‬‬ ‫‪==c)g‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪))c)g‬‬ ‫‪[−[2x−1,‬‬ ‫‪]−1,‬‬ ‫‪[ −1,‬‬ ‫‪c)g((xxc)g‬‬ ‫‪x()2 x(−‬‬ ‫=‬ ‫‪−x)(3x,‬‬ ‫‪3x,‬‬ ‫‪−1,‬‬ ‫‪3x,‬‬ ‫‪( xc)g‬‬ ‫‪]3x,‬‬ ‫] ]‪]44] 4‬‬

‫) (‬ ‫] [‬ ‫‪xcos‬‬ ‫=‬ ‫‪x)(2x‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪+[2[3+0,‬‬ ‫‪2cos‬‬ ‫‪)=)=++cos‬‬ ‫]‪] 3‬‬ ‫‪[x0,[2π‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫)‪xx))d‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪fcos‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪x,‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪][]−1,‬‬ ‫)‪d) ff ((d‬‬ ‫)‪f==d‬‬ ‫‪xf()fx(=2x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2(cos‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪x,xcos‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪x,‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪f2‬‬ ‫‪xcos‬‬ ‫‪=2x‬‬ ‫‪−2cos‬‬ ‫‪xcos‬‬ ‫‪+0,‬‬ ‫‪1,2π‬‬ ‫)‪(d‬‬ ‫‪)+2x‬‬ ‫‪[2x,0,]]−x,[x,2π‬‬ ‫‪]2π‬‬ ‫إزاءها مع ذكر السبب وإن‬ ‫املعطاة‪b)h‬‬ ‫على‪x 2 −‬‬ ‫التالية ‪4x‬‬ ‫للدوال[ ‪+ 5,‬‬ ‫‪ .7‬اختبر امكانية تطبيق مبرهنة القيمة املتوسطة] ‪−1, 5‬‬ ‫الفترة= ) ‪( x‬‬ ‫‪22‬‬ ‫حتققت املبرهنة‪ ،‬جد قيم ‪ c‬املمكنة‪.‬‬ ‫‪34‬‬ ‫)‪a) f ( x ) = x3333 − xa‬‬ ‫‪1, [x2−1,‬‬ ‫‪f ((xxxx+‬‬ ‫=‬ ‫‪−333x,]2 −1,‬‬ ‫]‪− x2+ 1, [ −1, 3‬‬ ‫)‬ ‫‪22 −‬‬ ‫‪3+‬‬ ‫)‪a) ff (xx ) == a‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪−1,‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪xx f−−(xxc)g‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪−1,‬‬ ‫]‪] 3‬‬ ‫‪) = − x[ − x ]+[ 1, [ −1,‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2+ 2‬‬ ‫‪b)h ( x ) = x22 − 4x‬‬ ‫‪5,x2)[ −1,‬‬ ‫‪b)h++(5,‬‬ ‫] ‪= x555]− 4x + 5, [ −1, 5‬‬ ‫‪b)h( xx) == xb)h‬‬ ‫‪x −−(4x‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪b)h‬‬ ‫‪x) +‬‬ ‫‪= 5,‬‬ ‫‪x [−1,‬‬ ‫‪−−1,‬‬ ‫‪4x3 +] 5, [ −1,‬‬ ‫]‪2 5‬‬ ‫‪d)B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫] ‪, [ 0, 2π‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ) ‪c)g ( x‬‬ ‫‪, [ −1,‬‬ ‫‪c)g‬‬ ‫=]‪x2‬‬ ‫]‪, −1, 2‬‬ ‫‪c)g( xx) == c)g‬‬ ‫‪−1,‬‬ ‫‪c)g‬‬ ‫‪=( 22)] x, [+−1,‬‬ ‫][‪2‬‬ ‫‪x + (2x,,[) −1,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪xx ++ 22‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪d)B ( x ) = 33 ( x +d)B‬‬ ‫‪1)22(,3x[ 0,‬‬ ‫‪2π3 ]( x2 +,[−2,‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫] ‪, 7]0, 2π‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪d)B ( xx) == d)B‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪d)B‬‬ ‫][‪+ 1]) , [ 0, 2π‬‬ ‫‪( xx(++x1)1)= ,,[0,(0,x2π‬‬ ‫‪116‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬

‫[‪ ]3-4‬اختبار التزايد والتناقص للدالة باستخدام املشتقة االولى‪.‬‬ ‫‪The First Derivative Test For Increasing And Decreasing For a Function‬‬ ‫نتيجة‬ ‫ان من النتائج املهمه ملبرهنة القيمة املتوسطة هي النتيجة االتية ‪:‬‬ ‫لتكن ‪ f‬مستمرة في الفترة املغلقة ]‪ [ a,b‬وقابلة لالشتقاق في الفترة املفتوحة )‪ ( a,b‬فإذا كانت‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪⎛ Increa‬‬ ‫⎞‬ ‫‪⎛⎛Icrea‬‬ ‫‪Increasing‬‬ ‫‪Icrea‬‬ ‫‪singg⎞sin‬‬ ‫‪⎞on (ga,b‬‬ ‫‪1‬‬‫)‪a‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫>‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪∀x‬‬ ‫∈‬ ‫‪a,b‬‬ ‫⇒‬ ‫‪f‬‬ ‫ʹ‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫⎜ ⎜⎜ ‪a) f ʹ(x) > 0, ∀x ∈( a,b) ⇒ f‬‬ ‫))‪⎟⎠⎟ on ( ⎟a,b‬‬ ‫⎝ ⎝⎝‬ ‫⎠‬ ‫⎠‬ ‫متزايدة‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪⎛⎛decrea‬‬ ‫⎞‪⎞⎞ g‬‬ ‫‪decrea‬‬ ‫‪singg‬‬ ‫⎛‬ ‫‪Decrea‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪Decreasing‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪2‬‬‫‪b)ffʹʹ((xx))<<0,0,∀x‬‬ ‫‪∀x∈∈((a,b‬‬ ‫⇒))‪a,b‬‬ ‫⎜ ⎜⎜ ‪⇒ ff‬‬ ‫‪on(⎟(a,b‬‬ ‫))‪a,b‬‬ ‫‪⎟⎠⎟on‬‬ ‫⎝⎝‬ ‫⎠‬ ‫⎠ متناقصة‬ ‫⎝‬ ‫أما بقية احلاالت فسوف النتطرق لها في هذه املرحلة‪.‬‬ ‫مثال‪-1 -‬‬

‫لتكن ‪ . y = f ( x ) = x 2‬جد مناطق التزايد والتناقص ‪yʹ = 2x‬‬ ‫‪y = f ( xy) ʹ==x02 ⇒ xy=ʹ =0 2x‬‬

‫احلل‬ ‫اشارة ‪yʹ = 2x‬‬

‫‪yʹ = 0 ⇒ x = 0‬‬ ‫‪----- --0 +++++++‬‬

‫‪Q f ʹ ( x ) > 0, ∀x > 0‬‬

‫‪f‬متزايدة في }‪∴ {xx=: 0x > 0‬‬ ‫‪Q f ʹ ( x ) < 0, ∀x < 0‬‬

‫‪ f‬متناقصة في }‪∴ {xx=: 0x < 0‬‬

‫‪117‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-2 -‬‬

‫جد مناطق التزايد والتناقص لكل من الدالتني االتيتني‪:‬‬

‫)(‬

‫‪b) f ( x ) = 3 x 2‬‬

‫احلل‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f x = 9x + 3x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪yʹ = 2x‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪a) f x = 9x + 3x 2yʹ−=x03 ⇒ x f=ʹ 0x = 9 + 6x − 3x 2‬‬

‫)(‬

‫)(‬

‫‪0 = 9 + 6x − 3x 2‬‬

‫‪0 = −3 x 2 − 2xyʹ−=32x‬‬

‫)‬

‫)‬

‫(‬

‫()‬

‫(‬

‫‪0 = − x − 3 xyʹ+1‬‬ ‫‪= 0 ⇒ x x= =0 3, x = −1‬‬ ‫نختبر على خط األعداد إشارة املشتقة األولى بالتعويض بقيم مجاورة للعددين ‪x = 3, x = −1 :‬‬ ‫اشارة ) ‪f ʹ ( x‬‬

‫‪- -- - - - - -1 + + + + + + + 3 - - - - - - -‬‬

‫‪x }<, {−1‬‬ ‫‪ f‬متناقصة }‪3:‬في> }‪x}: ,x{>x :3x‬‬ ‫‪{x : x{<x :−1‬‬ ‫‪( −1, 3( −1,‬‬ ‫‪ f‬متزايدة ‪ :‬في الفترة املفتوحة )‪) 3‬‬

‫احلل‬

‫‪2‬‬

‫‪33 x‬‬ ‫)‪f ʹ ( x‬‬

‫عدد حرج‬ ‫غير معرفه اذا كانت ‪ , x = 0‬اي ‪∴ x = 0‬‬ ‫اشارة ) ‪f ʹ ( x‬‬

‫‪ f‬متزايدة في‬ ‫‪ f‬متناقصة في‬

‫‪118‬‬

‫= ) ‪b) f ( x ) = 3 x 2 ⇒ f ʹ ( x‬‬

‫}‪{ x : x > 0‬‬ ‫}‪{ x : x < 0‬‬

‫‪- - - - - - - (0)+ + + + + + +‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬

‫[‪ ]3-5‬النهاية العظمى والنهاية الصغرى احمللية‬ ‫الحظ في الشكل أدناه أن الدالة ) ‪ y = f ( x‬متزايدة على الفترة ) ‪ ( a, c‬ألن ‪ ، f ʹf =( x0) > 0‬ومتناقصة‬ ‫على الفترة ) ‪ ( c, d‬الن ‪f ʹ ( x ) < 0‬‬ ‫ثم تتزايد في الفترة (‪. )d,b‬‬ ‫كما أن ‪ f ʹ = 0‬عند كل من ‪x=a , x=b , x=c , x=d‬‬ ‫تسمى نقطة )) ‪p ( c, f ( c‬نقطة نهاية عظمى محلية وإن ) ‪ f ( c‬هي النهاية العظمى احمللية‬ ‫(‪ )Local Maximam‬وتدعى النقطة )) ‪q ( d, f ( d‬نقطة نهاية صغرى محلية وان ) ‪ f ( d‬هي‬ ‫النهاية الصغرى احمللية (‪)Local Minimam‬‬

‫اشارة )‪f ʹ(x‬‬

‫‪b‬‬

‫‪++++++‬‬

‫‪d‬‬

‫‪c‬‬

‫‪++++++ ----- --‬‬

‫‪a‬‬

‫تعريف (‪)3-3‬‬ ‫لتكن ‪ f‬دالة مستمرة على الفترة ]‪ [ a,b‬وقابلة لالشتقاق عند ‪ x=C‬التي تنتمي الى الفترة املفتوحة‬ ‫)‪ ( a,b‬فاذا كانت‪:‬‬

‫)‪1) f ʹ ( c ) < 0; ∀x ∈( c,b‬‬ ‫) ‪f ʹ ( c ) > 0; ∀x ∈( a, c‬‬ ‫‪f ʹ (c) = 0‬‬ ‫فإن ) ‪ f ( c‬نهاية عظمى محلية‬ ‫)‪2) f ʹ ( c ) > 0; ∀x ∈( c,b‬‬ ‫) ‪f ʹ ( c ) < 0; ∀x ∈( a, c‬‬ ‫‪f ʹ (c) = 0‬‬ ‫فإن ) ‪ f ( c‬نهاية صغرى محلية‬

‫‪119‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مالحظـة‬

‫لكي نختبر القيمة العظمى والصغرى احمللية للدالة ‪ f‬بواسطة‬ ‫املشتقة االولى للدالة ‪ f‬نتبع اخلطوات االتية‪:‬‬

‫✾ جند االعداد احلرجة وذلك بحل املعادلة ‪ * f ʹ(x) = 0‬وليكن ‪ x = x1‬هو أحد هذه األعداد احلرجة‬ ‫إشارة= )‪ f ʹ(x‬بجوار ‪ x = x1‬فاذا كانت إشارة ) ‪ f ʹ ( x‬موجبة ‪∀x < x1‬‬ ‫✾ نختبر ‪0‬‬ ‫وسالبة ‪∀x > x1‬‬ ‫فهذا يعني أن النقطة )) ‪ ( x1 , f ( x1‬نقطة نهاية عظمى محلية‬ ‫أما إذا كانت اشارة ) ‪ f ʹ ( x‬سالبة ‪∀x < x1‬‬ ‫وموجبة ‪∀x > x1‬‬

‫فهذا يعني أن )) ‪ ( x1 , f ( x1‬نقطة نهاية صغرى محلية‬

‫أما إذا كانت اشارة ) ‪ f ʹ ( x‬التغير قبل وبعد ‪ x1‬فال يكون للدالة نقطة نهاية عظمى والصغرى عند‬ ‫هذه النقطة‬

‫* �سنقت�رص يف بحثنا على الدوال القابلة لال�شتقاق‪.‬‬

‫‪120‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-3 -‬‬

‫جد نقط النهايات العظمى والصغرى احمللية للدالة ‪f‬في حالة وجودها اذا علمت أن‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪a) f ( x ) = 1 + ( x − 2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪b) f ( x ) = 1 − ( x − 2‬‬

‫‪c) f ( x ) = x 3 − 9x 2 + 24x‬‬

‫احلل‬

‫‪2‬‬

‫) ‪a) f ( x ) = 1+ ( x − 2‬‬

‫)‪⇒ f ʹ ( x) = 2 ( x − 2‬‬ ‫‪when‬‬

‫‪f ʹ ( x) = 0 ⇒ 2 ( x − 2) = 0 ⇒ x = 2‬‬ ‫‪f (2) = 1+ (2 − 2)2 = 1‬‬

‫اشارة )‪f '(x‬‬

‫‪----- --2 ++++++‬‬ ‫تناقص‬

‫تزايد‬

‫‪ f‬متزايدة في }‪{ x : x > 2‬‬ ‫‪ f‬متناقصة في }‪{ x : x < 2‬‬ ‫∴ النقطة )) ‪ ( 2,1) = (( 2 ) , f ( 2‬متثل نقطة نهاية صغرى محلية ‪.‬‬

‫) ‪b) f ( x ) = 1− ( x − 2‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪⇒ f ʹ ( x ) = −2 ( x − 2‬‬

‫)‬

‫‪when‬‬ ‫) ‪b) f ( x ) = 1− ( x − 2‬‬ ‫⇒‪f‬‬ ‫‪⇒−2‬‬ ‫‪x =x2− 2‬‬ ‫= ‪ʹ ( xf)ʹ =x0‬‬

‫‪(2‬‬

‫) (‬

‫‪fwhen‬‬ ‫‪(2) = 1− (2 − 2) = 1‬‬

‫اشارة )‪f '(x‬‬

‫⇒‪f ʹ ( x+) =+ 0+‬‬ ‫= ‪+ +x‬‬ ‫ ‪+2 - - - - - -‬‬‫تناقص‬

‫تزايد‬

‫‪121‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫‪ f‬متزايدة في }‪on { x : x < 2‬‬ ‫‪ f‬متناقصة في }‪on { x : x > 2‬‬ ‫النقطة= )‪ ( 2,1‬متثل نقطة نهاية عظمى احمللية‬ ‫)) ‪(( 2 )∴, f ( 2‬‬

‫‪c) f ( x ) = x 3 − 9x 2 + 24x‬‬

‫‪⇒ f ʹ ( x ) = 3x 2 − 18x + 24‬‬ ‫‪when‬‬ ‫‪f ʹ ( x) = 0‬‬ ‫‪⇒ 3 x 2 − 6x + 8 = 0‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪⇒ 3( x − 4 ) ( x − 2 ) = 0‬‬ ‫‪x=2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪f (2) = 20‬‬

‫اشارة )‪+ + + + + + f '(x‬‬

‫‪4‬‬

‫تزايد‬

‫‪2‬‬

‫‪++++++ ----- -‬‬‫تناقص‬

‫‪ f‬متزايدة في‬ ‫‪on { x : x < 2} and‬‬ ‫}‪, { x : x > 4‬‬ ‫‪ f‬متناقصة في الفترة املفتوحة (‪)2 ,4‬‬

‫) ‪on ( 2, 4‬‬

‫نقطة النهاية العظمى احمللية ) ‪(( 2) f ( 2)) = ( 2, 20‬‬ ‫نقطة النهاية الصغرى احمللية ) ‪(( 4 ) f ( 4 )) = ( 4,16‬‬

‫‪122‬‬

‫تزايد‬

‫‪⇒x=4‬‬

‫‪f (4) = 16 ,‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬

‫[‪ ]3-6‬تقعر وحتدب املنحنيات ونقط االنقالب‬ ‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫منحني مقعر واملشتقة متزايدة‬

‫)‪(A‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫منحني محدب واملشتقة متناقصة‬

‫)‪(B‬‬

‫تعريف [‪]3-4‬‬ ‫إذا كانت ‪ f‬دالة قابلة لالشتقاق في الفترة املفتوحة (‪ )a,b‬فيقال عن الدالة ‪ f‬بأنها محدبة اذاكانت‬ ‫ʹ ‪ f‬متناقصة خالل تلك الفترة وتسمى مقعرة اذا كانت ʹ ‪ f‬متزايدة خالل تلك الفترة‪.‬‬

‫مالحظـة‬ ‫املنحني مقعر في (‪ ⇔ )Concave up) (a,b‬املنحني يقع فوق جميع مماساته في‬ ‫(‪)a,b‬‬ ‫واملنحني محدب في (‪ ⇔ ) Concave down) (a, b‬املنحني يقع حتت جميع مماساته في‬ ‫(‪ )a,b‬الحظ الشكلني( ‪) A ) ،( B‬‬

‫مربهنة (‪)3-4‬‬ ‫اذا كانت ‪ f‬معرفة في [‪ ]a,b‬ولها مشتقة أولى وثانية على (‪ )a,b‬فإنها تكون مقعرة على (‪)a,b‬‬ ‫اذا حققت الشرط االتي ‪:‬‬ ‫)‪f ʹʹ ( x ) > 0, ∀ ∈(a,b‬‬

‫لكل )‪f ʹʹ ( x ) > 0, ∀x ∈(a,b‬‬

‫تكون محدبة على (‪ )a,b‬اذا حققت الشرط االتي ‪:‬‬ ‫)‪ f ʹʹ ( x ) < 0, ∀x ∈(a,b‬لكل )‪x ∈(a,b‬‬ ‫‪f ʹʹ ( x ) < 0, ∀x‬‬

‫‪123‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-1 -‬‬

‫إدرس تقعر وحتدب كل من الدالتني‪:‬‬

‫‪a) f ( x ) = x 2‬‬ ‫‪b) f ( x ) = x 3‬‬

‫احلل‬

‫‪a) f (x) = x 2‬‬ ‫‪a) f ʹ ( x ) =2x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪f ʹʹ ( x ) = 2‬‬ ‫الدالة ‪ f‬مقعرة على ‪R‬‬

‫⇒ ‪∴ f ʹʹ ( x ) > 0, ∀x ∈R‬‬

‫‪3‬‬ ‫⇒ ‪b) f (x) = x‬‬

‫⇒ ‪f ʹ(x) = 3x 2‬‬ ‫‪f ʹʹ(x) = 6x‬‬ ‫‪f ʹʹ(x) = 0 ⇒ 6x = 0‬‬ ‫‪∴x = 0‬‬ ‫‪f (0) = 0‬‬

‫اشارة )‪f ʹʹ(x‬‬ ‫‪ f‬مقعرة في}‪{x:x>0‬‬

‫‪----- --0 ++++++‬‬ ‫تقعر‬ ‫‪ f‬محدبة في}‪{x:x<0‬‬

‫حتدب‬

‫في هذا املثال (‪ )b‬الحظ أن املنحني في {‪ }x:x< 0‬محدب وفي {‪ }x:x>0‬مقعر‪.‬‬ ‫‪0) = (0, (0,‬‬ ‫))‪f (0‬‬ ‫‪0) = (0,‬‬ ‫املنحني‪(0,‬محدب وبعدها مقعر‪.‬‬ ‫أي‬ ‫))‪(0, f0)(0‬‬ ‫النقطة=‬ ‫قبل‪(0, f‬‬ ‫))‪(0‬‬ ‫تسمى هذه النقطة نقطة انقالب (‪)Point of Inflection‬‬

‫‪124‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫تعريف [‪]3-5‬‬ ‫تدعى النقطة التي يتغير عندها منحني الدالة (من تقعر الى حتدب) أو بالعكس (من حتدب الى‬ ‫تقعر) بنقطة انقالب لهذا املنحني‪.‬‬ ‫مثال‪-2 -‬‬

‫جد نقطة االنقالب للمنحني‪f (x) = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1 :‬‬

‫احلل‬ ‫‪f (x) = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1‬‬ ‫‪f ʹ(x) = 6x 2 − 6x − 12‬‬ ‫‪f ʹʹ(x) = 12x − 6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫اشارة )‪f ʹʹ(x‬‬

‫= ‪12x − 6 = 0 ⇒ x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪f( )=−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪----- --2 ++++++‬‬ ‫تقعر‬

‫في جوار ‪1‬‬ ‫لندرس اآلن اشارة )‪f ʹʹ(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫نالحظ عن ميني تكون )‪ f ʹʹ(x‬موجبة‬ ‫‪2‬‬ ‫وعن يسار ‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪f ʹʹ(x) = 0‬‬

‫تكون )‪f ʹʹ(x‬‬

‫حتدب‬

‫=‪x‬‬

‫⎧‬ ‫⎪‬ ‫⎨‬ ‫سالبة ⎪‬ ‫⎩‬

‫∴ النقطة ) ‪ ( 1 ,− 11‬هي نقطة انقالب‪.‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪125‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-3 -‬‬

‫جد مناطق التحدب والتقعر ونقط االنقالب إن وجدت للدوال التالية‪:‬‬ ‫‪a) f (x) = 4x 3 − x 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b) f (x) = x + , x ≠ 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪c) −h(x‬‬ ‫)‪4(x=+4-(x+2‬‬ ‫‪2)4‬‬ ‫‪d) f (x) = 3 − 2x − x 2‬‬

‫‪e) f (x) = x 4 + 3x 2 − 3‬‬ ‫احلل‬ ‫‪a) f (x) = 4x 3 − x 4‬‬

‫)(‬ ‫‪f ʹʹ ( x ) = 24x −12x‬‬

‫‪f ʹ x = 12x 2 − 4x3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪f ʹʹ(x) = 0‬‬ ‫⇒ ‪0 = 12x 2 − x‬‬

‫)‬

‫محدبة‬

‫اشارة )‪f ʹʹ(x‬‬

‫مقعرة‬

‫‪x = 0or, x = 2‬‬ ‫‪f (0)=0 , f(2) = 16‬‬ ‫)‪(0,0‬‬ ‫)‪, (2, 16‬‬ ‫محدبة‬

‫‪- - - - - - -0 + + + + + + 2 - - - - - - -‬‬

‫‪ f‬محدبة في {‪ } x:x <2‬و {‪⎧ } x:x >0‬‬ ‫⎪‬ ‫⎨ ∴ نقطتا االنقالب هما ‪)0,0( ,)2,16( :‬‬ ‫‪ f‬مقعرة في الفترة املفتوحة‪⎪ )0,2( :‬‬ ‫⎩‬

‫‪126‬‬

‫(‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫‪b) f x = x + 1 , x ≠ 0‬‬ ‫‪x‬‬

‫)(‬

‫احلل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪f ʹ(x) = 1−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x3‬‬

‫)‪ f ʹʹ(0‬غير معرفة‬ ‫اشارة )‪f ʹʹ(x‬‬

‫)(‬

‫= ‪f ʹʹ x‬‬

‫‪----- --0 ++++++‬‬ ‫مقعر‬

‫‪ f‬محدبة ‪ :‬في {‪} x:x>0‬‬ ‫في {‪} x:x <0‬‬ ‫‪ f‬مقعرة ‪:‬‬ ‫التوجد نقطة انقالب ألن ‪ 0‬الينتمي ملجال الدالة‪.‬‬

‫محدب‬

‫‪4‬‬

‫‪c) h(x) = 4 − (x + 2)3‬‬

‫احلل‬

‫‪hʹ(x) = −4(x + 2)4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫(‬

‫)(‬

‫‪hʹʹ x = −12 x + 2‬‬

‫⇒ ‪hʹʹ(x) = 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪0 = −12 x + 2 ⇒ x = −2‬‬

‫إشارة )‪h''(x‬‬

‫‪f (−2) = 4‬‬ ‫)‪(−2, 4‬‬

‫‪- - - - - - - -2- - - - - - - -‬‬

‫محدبة‬ ‫الدالة ‪ h‬محدبة في {‪ } x:x>-2‬و {‪} x:x <-2‬‬

‫محدبة‬

‫التوجد نقطة انقالب عند ‪ x= -2‬ألن الدالة محدبة على جهتيها‬

‫‪127‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫‪d) f (x) = 3 − 2x − x 2‬‬

‫احلل‬

‫)(‬

‫)(‬

‫⇒ ‪f ʹ x = −2 − 2x ⇒ f ʹʹ x = −2 < 0‬‬ ‫‪f ʹʹ(x) = −2 > 0‬‬

‫∴ ‪ f‬الدالة محدبة في ‪ R‬لذا التوجد نقطة انقالب‪.‬‬

‫)(‬

‫‪e) f x = x 4 + 3x 2 − 3‬‬ ‫احلل‬

‫)(‬

‫)(‬

‫جلميع قيم ‪f ʹ x = 4x3 + 6x ⇒ f ʹʹ x = 12x 2 + 6 > 0 ⇒x ∈ R‬‬

‫الدالة(‪ f(x‬مقعرة في ‪ .R‬لذا التوجد نقطة انقالب‬

‫[‪ ]3-7‬اختبار املشتقة الثانية لنقط النهايات العظمى والصغرى احمللية‬ ‫بد ًال من مالحظة كيفية تغير اشارة ʹ ‪ f‬عند املرور بالنقطة احلرجة حيث ‪f ʹ(x) = 0‬‬

‫فانه بامكاننا استخدام االختبار التالي لنقرر فيما إذا كانت النقطة احلرجة متثل نقطة نهاية عظمى أو نهاية‬ ‫صغرى محلية ‪ .‬وذلك باستخدام اختبار املشتقة الثانية وكما يأتي‪:‬‬ ‫(‪ )1‬اذا كان ‪ f ʹ(c) = 0‬وإن ‪ f ʹʹ(c) < 0‬فإن ‪ f‬متتلك نهاية عظمى محلية عند ‪. x=c‬‬ ‫(‪ )2‬اذا كان ‪ f ʹ(c) = 0‬وإن ‪ f ʹʹ(c) > 0‬فإن ‪ f‬متتلك نهاية صغرى محلية عند ‪.x=c‬‬ ‫(‪ )3‬اذا كانت ‪ f ʹʹ(c) = 0‬او )‪ f ʹʹ(c‬غير معرفة فال يصح هذا االختبار‪.‬‬

‫‪128‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-1 -‬‬

‫باستخدام اختبار املشتقة الثانية ان أمكن‪ ،‬جد النهايات احمللية للدوال اآلتية‪:‬‬ ‫‪c) f (x) = x 3 − 3x 2 − 9x‬‬ ‫‪d) f (x) = 4 − (x +1)4‬‬

‫ ‪a) f x = 6x − 3x 2 −1‬‬

‫)(‬

‫‪4‬‬ ‫ ‪,x ≠ 0‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪b) f (x) = x −‬‬

‫احلل‬ ‫‪a) f x = 6x − 3x 2 −1‬‬

‫)(‬

‫)(‬

‫‪f ʹ x = 6 − 6x‬‬ ‫‪f ʹ(x) = 0‬‬ ‫‪0 = 6 − 6x ⇒ x = 1‬‬ ‫‪f ʹʹ x = −6 ⇒ f ʹʹ 1 = −6 < 0‬‬

‫)(‬

‫)(‬

‫مبا أن ‪ f ʹ(1) = 0 :‬و ‪ . f ʹʹ(1) < 0‬اذ ًا توجد نهاية عظمى محلية عند‪x=1‬‬ ‫∴ النهاية العظمى احمللية هي‪f 1 = 6 − 3 −1 = 2 =:‬‬

‫)(‬

‫‪x≠0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪b) f x = x − 4‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪f ʹ x = 1+ 3 ,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f ʹ(x) = 0‬‬

‫)(‬

‫)(‬

‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪⇒xx3 3=+−8x‬‬ ‫‪8 = 0= −2‬‬ ‫‪⇒ x = −2‬‬ ‫⇒‬ ‫=‬ ‫‪−1‬‬ ‫⇒‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪f ʹ(x) = 1+ 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−24‬‬ ‫‪f ʹʹ(x) = 4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪f ʹʹ −2 = − < 0,‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪0 = 1+‬‬

‫∵‬

‫) (‬

‫∵‬

‫‪129‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬

‫) )( (‬

‫‪ ⇐ f ʹf −2‬توجد نهاية عظمى محلية عند الـنقطة ‪x=-2‬‬ ‫مبا أن ‪ f ʹ −2 = 0 :‬و‬ ‫⇐ ‪ʹʹ −2= 0< 0‬‬ ‫النهاية العظمى احمللية هي ‪:‬‬ ‫= ‪f −2 = −2 −1 = −3‬‬

‫) (‬

‫) (‬

‫)(‬ ‫‪f ʹ ( x ) = 3x‬‬

‫∵‬

‫‪c) f x = x3 − 3x 2 − 9x‬‬ ‫‪− 6x − 9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪f ʹ(x) = 0‬‬

‫()‬

‫)‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫‪0 = 3 x 2 − 2x − 3 ⇔ 0 = 3 x − 3 x +1‬‬ ‫‪ x=-1‬او ‪⇒ x=3‬‬

‫)(‬

‫‪f ʹʹ x = 6x − 6‬‬

‫عندما‬ ‫توجد نهاية صغرى محلية عند‬

‫‪ x = 3‬فان ‪⇒ f ʹʹ(3) = 18 − 6 = 12 > 0‬‬

‫‪ f (3) = 27 − 27 − 27 = −27 , x=3‬النهاية الصغرى احمللية‬

‫) (‬

‫) (‬

‫فان ‪⇒ f ʹʹ −1 = −6 − 6 = −12 < 0 ⇒ f‬‬ ‫وعندما =‪−1x== 5-1‬‬ ‫∴ توجد نهاية عظمى محلية هي ‪f(-1)=5‬‬ ‫‪d) f (x) = 4 − (x + 1)4‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‬

‫)(‬

‫(‬

‫‪f ʹ x = −4 x +1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪f ʹ(x) = 0‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪0 = −4 x +1 ⇒ x = −1‬‬ ‫‪2‬‬

‫هذه الطريقة ال تصح نعود الى مالحظة تغير اشارة ʹ ‪ f‬بجوار ‪x=-1‬‬

‫اشارة )‪f ʹ(x‬‬ ‫‪130‬‬

‫‪----- -‬‬‫تناقص‬

‫‪+ + + + + + -1‬‬ ‫تزايد‬

‫)‬

‫(‬

‫)(‬ ‫) (‬

‫‪f ʹʹ x = −12 x +1‬‬ ‫⇒ ‪f ʹʹ −1 = 0‬‬

‫∵‬

Applications of Differentiations‫تطبيقات التفا�ضل‬ }x:x<-1{ ‫ متزايدة في‬f ‫ومبا أن‬ }x:x>-1{ ‫ومتناقصة في‬ ‫نهاية عظمى محلية‬

∴ f (−1) = 4 − (−1+ 1)2 = 4 f ( x ) = x2 +

a , x ≠ 0 ‫لتكن‬ x

-2 -‫مثال‬

a f x = 2x − ʹ ( ) ‫ المتتلك نهاية عظمى‬f ‫ثم بني أن الدالة‬x 2، x = 1 ‫ علم ًا أن الدالة متتلك نقطة انقالب عند‬a ‫فجد قيمة‬ .‫محلية‬ 2a f ʹʹ ( x ) = 2 − 3 = 0 a a f ʹ ( x ) = 2x − f2 ʹ ( x ) = 2x − (12 ) a ‫احلل‬ 2a axa 2 x f x = 2x − ʹ ʹʹ ( ) ⇒ 2 + 2a 0 ⇒ f (x) = 2 + ff ʹ((xx))==x2x+− , x ≠ 0 2 xx2a2 x3 2a x f ʹʹ ( x ) = 2 − f⇒ =a 0= −1 =0 ʹʹ 3 ( x) = 2 − 3 2a a 2a 2 1 ( ) 1 ( ) x( x) )===x22− +− 2a , x3 ≠==f00ʹʹ0( x ) =2 2 −a 3 = 0 ff ʹʹʹʹ((1) ∴ ) ==x0 + (1) ⇒ 2 + 2a = 0(x1 )3 2f +( x2a 1⇒ x ⇒ 2 + 2a = 0 ⇒ a2 += 2a −1 = 0 ⇒ a = −1 a ⇒⇒ f ʹ (ax )==−1 2x − 2 a1 a x ⇒ a = −1 ∵ ∴ f ( x ) = x 2 +−∴ f ( x ) = x 2 + x2 + a a ax⇒ ∴ f x = x ( ) 2 ∴ f ( x ) = x + a1f ʹ ( x ) = 0 ⇒ a2xx− x 2 = 0 x f ʹ ( x ) = 2x − ⇒ f ʹ ( x ) = 2x ⇒ −+ 2 a xa22⇒3 f ʹ ( x ) = 2x 3x − a ⇒ f ʹ ( x ) = 2x −⇒ 22x 1a= a ⇒ x = 2x 2a xf ʹ+ ⇒ f ʹ ( x) = 0 ⇒ −( x )22==00⇒ 2x − 2 =a0 ⇒2x x− ⇒ xfa3ʹ (ax ) = 0 ⇒ 2x =0 2 ⇒ x = ⇒ f ʹ ( x ) = 0 ⇒ 2x −a−12 = 0 x x a2⇒ x 3 = a ⇒ 2x 3 = −1 a⇒ xx3 3= ⇒⇒ =3 = 2x a a222x 3 = a2a⇒ x23 = 3 3 ⇒ ⇒ 2x = a ⇒ xf ʹʹ=( x ) = 2 + 2 a −1 a a 2 3 3 ⇒x= ⇒x= 3 2 2 2= 3 a2 a ⇒ x ⇒x= 3 2 0 2a 2 f ʹʹ ( x ) = 22 +2a 222af2=ʹʹ 6( x>) = 2=+−6 −>2022a = 2 − f⇒ f ʹʹf(x) (x)2 ⇒ ,⇒ ∀x f ʹʹ(x) R= 6= >6 0> 0, ∀x ∈∈ RR ʹʹ(x)2 fʹʹ= (x) f ʹʹ(x)2 f∈ʹʹ(x) , ∀x ʹʹ(1) 2= −2=−−2 −a3 ⇒ =⇒ 0f ʹʹ(x) a 1 1 1 2a x3 x3 x3 f x = 2 + ʹʹ ( ) − −a f ʹʹ ( x ) = 2(+−1)2 22 2 2a 2 =6>0 2= 6 > 0 =6>0 =6>0 −1 x= 3 ‫∴ توجد نهاية صغرى محلية عند‬ 2 ‫ نهاية عظمى محلية‬f ‫∴ المتلك‬

131

Applications of Differentiations‫تطبيقات التفا�ضل‬ 3 2 -3 -‫مثال‬ ‫ نهاية عظمى‬y = x + ax + bx ‫ لكي يكون ملنحني الدالة‬b,a ‫عني قيمتي الثابتني‬ . ‫ ثم جد نقطة االنقالب إن وجدت‬x = 2 ‫ ونهاية صغرى محلية عند‬، x = −1 ‫محلية عند‬

y = x 3 + ax 2 + bx dy dy ⇒ = 3x 2 +2ax 2a + b ∴ ]=0 dx dx dy dy x = −1 ‫مبا أن للدالة نهاية عظمى محلية عند‬ ∴ =∴dy 0 ] ]==00 ] dy ∴ 2 dx∴ dx ]=0 dx 3 ( −1) + 2a ( −1) + b = 0 ⇒ 3 − 2a + b = 0.. 3 2 dx y = x + ax + bx x = −1 xx==−1 −1 x 2= −1 2 dy=+xb3 =+20........... 22 3 ( −10= +2a b( −1 = 0) )+⇒ −02a 1) ) +33(2a ()−1 ax −1 +bb3⇒ 0y⇒ ⇒=333x 2a +b+b=+bx =0........... 1 ( ) ( −1 +)+2a == −−2a 2−1 ++2a b(0........... dy(1) (1( ) ) 3 ( −1) + 2a ( −1) + b = 0 ⇒dx 3 − 2a + b = 0........... ∴ ]=0 dy 2 dx ⇒ = 3x + 2a + b dx dy dy dy x = 2 ‫مبا أن للدالة نهاية صغرى محلية عند‬ ∴ =∴0 ] ]==00 ∴ ] dy 2 dx ∴ dx dx = 0 ⇒ 3 2 + 2a ( 2) + b = 0 ⇒ 12 + 4a + b = 3 2 ( ) ] y = x + ax + bx x = 2 xx=dx 2 =2 x2 += 2a 2 22 2 + b = 0 ⇒ 12 +dy 3 2 2 ==12 x+12 ax bx ⇒ 3 ( 2)0= 4a b++=4a 0........... ()) )+ 2a2a((22))++bb⇒ ( 2) ((22)) ⇒ ==00y⇒ ++b+ =b 3x +4a 2a ⇒33( (22 ⇒ b =0........... 0........... 2 ⇒ 3 ( 2) + 2a ( 2) + b = 0dx ⇒dy 12 + 4a2+ b = 0........... 2)‫) آني ًا‬2( ‫) و‬1( ‫وبحل املعادلتني‬ : ‫جند( ان‬ ⇒ = 3x + 2a + b dx −3 a a== −3,b,b==−6 −6 22 3 ∴∴y y==x 3x 3−− 3x 2x 2−−6x6x 22 dy 2 2 ⇒⇒ dy==3x3x −−3x3x−−6 6 dxdx 22 2 dy ddy y ⇒⇒ 2 ==6x6x−− a3 f ʹ (dx xdx)dx= 2x − 2 3 1 x 22 2 d dyy ----- --2 ++++++ 2a ⇒ dy = 0 ⇒ 6x − 3 = 0 1⎫ ⎧ 3= f ʹʹ(x) ‫اشارة‬ f dx − 6x − = 00 ʹʹ22(2x )==02⇒ dx x:x > ⎬ 3 ⎨ ‫تقعر‬ ‫حتدب‬ 1) ( 2 ⎩ ⎭ 11 ∴ ∴x2x=+=2a = 0 ⇒ 1⎫ 1⎫ ⎧ ⎧ 22 ⎨ x : x > ⎬‫ مقعرة في‬f ‫مبا أن‬ ⎨ x : x < ⎬ ‫ومحدبة في‬ 2⎭ 2⎭ ⇒ a = −1 ⎩ ⎩ 1 −26 a −13 1⎫ ⎧ ∴ f ( ∴ f (2x )) = = x82 + = ⎨x : x < ⎬ −26 ⎞ 2 ⎭⎛ 1 −13 x 4 ⎩ ∴ ‫ ⎜ نقطة انقالب‬, ⎝ 2 84 ⎟⎠ a ⇒ f ʹ ( x ) = 2x − 2 x a 132 ⇒ f ʹ ( x ) = 0 ⇒ 2x − 2 = 0 x

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-4 -‬‬ ‫مقعر في‬

‫اذا كان منحني الدالة ‪f ( x ) = ax 3 + bx 2 + c :‬‬

‫}‪ {x : x < 1‬ومحدب في }‪{x : x > 1‬‬ ‫فجد قيم االعداد احلقيقية ‪. c,b, a‬‬

‫وميس املستقيم ‪ ( y + 9x = 28 ):‬عند النقطة‬ ‫احلل‪:‬‬ ‫الدالة مستمرة ألنها كثيرة احلدود ‪،‬مقعرة في }‪ { x : x < 1‬ومحدبة في }‪ { x : x > 1‬فهي متتلك‬ ‫نقطة انقالب عند)‪( x = 1‬‬

‫)‪( 3,1‬‬

‫‪∴ f ʹ ( x ) = 3ax 2 + 2bx‬‬ ‫‪f ʹʹ ( x ) = 6ax + 2b‬‬ ‫‪f ʹʹ (1) = 0 ⇒ 6a +2b = 0‬‬

‫‪÷2‬‬ ‫)‪− − − − (1‬‬

‫ ‬

‫⇒ʹʹ ‪0f‬‬ ‫‪− 02a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b ==0...........‬‬ ‫‪( −1) + b =3a‬‬ ‫== )‪+(1b3‬‬ ‫⇒‪0‬‬ ‫‪∴b‬‬ ‫)‪−3a (1‬‬

‫‪dy‬‬ ‫ميل املماس ‪ y + 9x = 28‬هو ‪= 9−9‬‬ ‫‪dx‬‬

‫ )‪ f ʹ ( 3‬هو ميل املماس ملنحني الدالة ‪ f‬عند ‪x = 3‬‬ ‫‪f ʹ ( 3) = 27a + 6b‬‬ ‫‪- 9=27a+6b‬‬

‫‪÷3‬‬

‫‪f ʹʹ (12)) =+ b‬‬ ‫⇒‪0‬‬ ‫‪3 =129a+ +4a2b‬‬ ‫)‪− − − −( 2() 2‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫⇒‪= 0-‬‬ ‫‪+ b =−0...........‬‬ ‫ ‬

‫)‬

‫النقطة )‪ ( 3,1‬حتقق معادلة منحني الدالة ‪+ bx 2 + c‬‬

‫‪3‬‬

‫‪( y = f ( x ) = ax‬‬ ‫‪133‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬

‫)‪( 3‬‬ ‫ ‬

‫)‪∴1 = 27a + 9b + c ...(3‬‬ ‫‪−−−−−‬‬

‫وبالتعويض من )‪ (1‬في )‪( 2‬‬

‫ينتج‪:‬‬

‫‪0 ⇒ b=- 3(-1)= 3‬‬ ‫‪ʹʹ (a1)==1-1‬‬ ‫⇒‪- 3 = 9a + 2 ( −3a ) f‬‬ ‫وبالتعويض في املعادلة )‪ ( 3‬ينتج ‪:‬‬

‫ ‬

‫‪1 = −27 + 27 + c ⇒ c = 1‬‬

‫مثال‪-5 -‬‬ ‫اذا كان للدالة ‪ f ( x ) = ax 3 + 3x 2 + c‬نهاية عظمى محلية تساوي ‪ ،8‬ونقطة‬ ‫انقالب عند ‪ x = 1‬فجد قيمة ‪. a, c‬‬ ‫احلل‪:‬‬ ‫عند ‪ x = 1‬توجد نقطة انقالب‬ ‫‪⇒ f ʹʹ (1) = 0‬‬ ‫‪⇒ f ʹ ( x ) = 3ax 2 + 6x‬‬

‫‪f ʹʹ(x) = 6ax + 6 ⇒ f ʹʹ(1) = 0‬‬ ‫‪∴ 0 = 6a + 6 ⇒ a =−1‬‬ ‫⇒‬ ‫‪1‬‬

‫‪f ( x ) = −x 3 + 3x 2 + c‬‬ ‫= ‪⇒⇒f ʹf(ʹx( )x‬‬ ‫‪) =-3x3x2 2++6x6x‬‬ ‫⇒ ‪f ʹ ( x) = 0‬‬

‫)‪f ʹʹʹ (x‬‬ ‫اشارة )‪( 3‬‬

‫⇒ ‪−3x 2 + 6x = 0‬‬ ‫حرجتان ‪−3x ( x − 2) = 0 ⇒ x = 0 , x = 2‬‬ ‫‪- - - - - - -0‬‬

‫‪+ + + + + +2- - - - - - -‬‬

‫‪ f‬متتلك نهاية عظمى محلية عند ‪x = 2‬‬ ‫النقطة ) ‪ ( 2, 8‬نهاية عظمى محلية و حتقق معادلة منحني الدالة ‪:‬‬

‫‪f ( x ) = −x 3 + 3x 2 + c‬‬

‫‪1−8‬‬ ‫‪) +=+c012=⇒4+ c = 4‬‬ ‫∴= ‪∴ 8‬‬ ‫‪−88f +ʹʹ=(12‬‬

‫‪134‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬

‫‪)3‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪ .1‬لتكن ‪ f (x) = ax 2 − 6x + b‬حيث ان ‪ a ∈ {−4, 8}, b ∈ R‬جد قيمة ‪ a‬اذا كانت ‪:‬‬ ‫أ) الدالة ‪ f‬محدبة ب) الدالة ‪ f‬مقعرة ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ .2‬اذا كانت (‪ )2,6‬نقطة حرجة ملنحني الدالة )‪ f ( x) = a − ( x − b‬فجد قيمة ‪ a,b‬وبني‬ ‫نوع النقطة احلرجة‪.‬‬

‫‪ .3‬اذا كان ‪ g ( x) = 1−12x, f ( x) = ax + bx + cx‬وكان كل من ‪ g,f‬متماسان عند نقطة‬ ‫‪a ∈ {−4,‬‬ ‫االنقالب وكانت للدالة ‪ f‬نقطة انقالب هي (‪ )1 ,-11‬فجد قيمة الثوابت ‪8}, b ∈ R‬‬ ‫‪.a,b,c‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .4‬اذا كانت ‪ 6‬متثل نهاية صغرى محلية ملنحني الدالة ‪ f ( x) = 3x − x + c‬فجد قيمة ‪ c‬ثم‬ ‫جد معادلة مماس املنحني في نقطة انقالبه‪.‬‬

‫‪ ∀x〈1‬وللدالة ‪ f‬نقطة‬ ‫‪.5‬اذا كان ‪ f ( x) = ax + bx + cx‬وكانت ‪ f‬مقعرة ‪ ∀x〉1<1‬ومحدبة‪>1‬‬ ‫‪a ∈ {−4,‬‬ ‫نهاية عظمى محلية هي (‪ )-1,5‬فجد قيمة الثوابت ‪8}, b ∈ R‬‬ ‫‪.a,b,c‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .6‬لتكن ‪، x ≠ 0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪f ( x) = x 2 −‬‬

‫برهن أن الدالة ‪ f‬ال متتلك نهاية عظمى محلية‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a ∈ {−4, .8},‬‬ ‫‪ .7‬اذا كان ‪ f ( x) = ax + bx − 9x‬وكان ‪ f (−1) = 5 , f ʹ(3) = 0‬فجد قيمة ‪a,bb ∈ R‬‬

‫‪135‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬

‫[‪ ]3-8‬رسم املخطط البياني للدالة‬

‫‪Graphing Function‬‬

‫ولكي نرسم املخطط البياني لدالة معطاة نتبع اخلطوات االتية ‪:‬‬ ‫‪ )1‬نحدد أوسع مجال للدالة‪:‬‬ ‫فاذا كانت الدالة حدودية (‪ )Polynomial‬فإن أوسع مجال لها هو ‪R‬‬ ‫اما اذا كانت دالة نسبية )‪ f (x) = g(x‬فان اوسع مجال لها هو }‪R = {x ∈ R : h(x) ≠ 0‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫‪ )2‬نبني نوع التناظر للمنحني هل هومع محور الصادات أم مع نقطة االصل؟‬ ‫(‪ f : A → B )i‬متناظر حول محور الصادات ⇔‬ ‫‪∀x‬‬ ‫‪∀x∈∈A∃(−X‬‬ ‫‪A∃(−X‬‬ ‫∈∈‪f ʹʹ)()1‬‬ ‫)‪) =AA0 ⇒ f (−x) = f (x‬‬

‫(‪ f : A → B )ii‬متناظر حول نقطة االصل ⇔‬

‫‪∀x‬‬ ‫‪∀x∈∈A∃(−X‬‬ ‫‪A∃(−X‬‬ ‫∈∈‪f ʹʹ)()1‬‬ ‫)‪) =AA0 ⇒ f (−x) = − f (x‬‬ ‫‪ )3‬نبني إن كان املنحني يقطع احملورين أم ال؟‬ ‫اي جنعل ‪ x=0‬وجند قيمة أو قيم ‪( y‬ان امكن) فجد بذلك نقط التقاطع مع محور الصادات‪.‬‬ ‫وجنعل ‪ y=0‬وجند قيمة أو قيم ‪( x‬ان امكن) فجد بذلك نقط التقاطع مع محور السينات‬ ‫‪ )4‬جند املستقيمات احملاذية ا ُالفقية والعمودية في الدوال النسبية إن وجدت‪:‬‬ ‫(‪ )i‬فاذا كانت )‪ y = g(x‬جنعل‪ h(x(= 0‬وجند قيم ‪x‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫ولتكن ‪ x=a‬فهي متثل معادلة املستقيم احملاذي العمودي (‪)Vertical Asymptote‬‬ ‫(‪ )ii‬واذا كانت )‪ x = n(y‬جنعل‪ m(y ( = 0‬وجند قيم ‪ y‬ولتكن ‪ y= b‬فهي متثل احملاذي االفقي‬ ‫)‪m(y‬‬ ‫)‪(Horizontal Asymptote‬‬ ‫‪ )5‬جند )‪ f ʹʹ(x) , f ʹ(x‬ومنهما جند مناطق التزايد والتناقص والنقاط احلرجة ونوعها ومناطق التقعر‬ ‫والتحدب ونقط االنقالب إن وجدت ‪.‬‬ ‫‪ )6‬جند نقط اضافية إن احتجنا الى ذلك ثم نرسم منحني الدالة ‪.‬‬

‫‪136‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال ‪-1 -‬‬ ‫احلل‬

‫ارسم باالستعانة مبعلوماتك في التفاضل منحني الدالة ‪f(x)=x5 :‬‬ ‫(‪ )1‬اوسع مجال = ‪R‬‬

‫(‪ )0,0( )2‬نقطة التقاطع مع احملورين اإلحداثيني‪.‬‬ ‫(‪ )3‬املنحني متناظر حول نقطة االصل ألن‪:‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪∀x ∈R, ∃ (f−x‬‬ ‫‪ʹʹ ()1∈R‬‬ ‫) ‪) = 0 ⇒∍ f ( −x ) = ( −x‬‬

‫‪= −x 5‬‬ ‫)‪= − f ( x‬‬ ‫(‪ )4‬احملاذيات ‪ :‬ال توجد ألن الدالة ليست نسبية‪.‬‬ ‫‪f ʹ ( x ) = 5x 4‬‬

‫(‪)5‬‬

‫→‪f ʹʹʹ((x1) = 00f‬‬ ‫⇒‬ ‫) ‪ʹʹ (1x)== 00 ⇒ ( 0,0‬‬ ‫اشارة )‪f ʹʹʹ (x‬‬ ‫‪ f‬متزايدة في كل من‬

‫‪++++++‬‬

‫‪++++++ 0‬‬

‫}‪{ x : x < 0} ، { x : x > 0‬‬

‫) ‪ ( 0,0‬نقطة حرجة ال متثل نقطة نهاية‪.‬‬

‫اشارة )‪f ʹʹ(x‬‬

‫‪----- --0 ++++++‬‬

‫}‪{ x : x > 0‬‬ ‫}‪{ x : x < 0‬‬

‫تقعر‬

‫‪f ʹʹ ( x ) = 20x 3‬‬ ‫‪f ʹʹ ( x ) = 0 ⇒ x = 0‬‬

‫حتدب‬

‫‪ f‬مقعرة في‬ ‫‪ f‬محدبة في‬ ‫) ‪ ( 0,0‬نقطة االنقالب‬

‫‪137‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-32‬‬

‫‪-1 2‬‬ ‫‪-1 32‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬

‫)‪(1 ,1‬‬ ‫‪x‬‬

‫⚈‬

‫)‪(0 ,0‬‬

‫مثال ‪-2 -‬‬ ‫احلل‬

‫⚈‬

‫⚈ )‪(-1 ,-1‬‬

‫ارسم باالستعانة بالتفاضل منحني الدالة ‪:‬‬

‫‪y = x 3 − 3x 2 + 4‬‬

‫‪ )1‬اوسع مجال = ‪R‬‬ ‫)‪x = 0 ⇒ y = 04 ⇒ (0, 40‬‬ ‫‪ )2‬التقاطع مع محور الصادات‬ ‫‪ )3‬التناظر‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪∀x∈∈R∃(−x‬‬ ‫)‪R∃(−x‬‬ ‫)‪⇒f (−x‬‬ ‫)‪f (−x)==(−x‬‬ ‫)‪(−x)3 3−−3(−x‬‬ ‫‪3(−x)2 2++44‬‬ ‫‪∀x‬‬ ‫⇒‪∈∈RR‬‬

‫‪−x3 3++3x‬‬ ‫)‪3x2 2++44≠≠f (x‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪==−x‬‬ ‫ال يوجد تناظر مع محور الصادات او نقطة االصل ألن )‪f (−x) ≠ − f (x) , f (x) ≠ f (−x‬‬ ‫‪ )4‬احملاذيات ال توجد ألن الدالة ليست نسبية ‪.‬‬ ‫‪)5‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪f (x)== x 3 − 3x 2 + 4 ⇒ f ʹ(x) = 3x 2 − 6x‬‬ ‫)‪f ʹf(x‬‬ ‫‪ʹ(x)== 0 ⇒ 3x 2 − 6x = 0 ⇒ x = 0 , x = 2‬‬ ‫)‪f (0‬‬ ‫)‪f (0)== 4 ⇒ (0, 4‬‬

‫)‪f ʹʹʹ (x‬‬ ‫اشارة )‪( 3‬‬

‫‪138‬‬

‫‪+ + + + + +0 - - - - - - - 2 + + + + + +‬‬

‫)‪f (2‬‬ ‫)‪f (2)== 0 ⇒ (2, 0‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬

‫‪ f‬متزايدة في كل من }‪{x : x < 0} , {x : x > 2‬‬ ‫‪ f‬متناقصة في الفترة (‪)0 , 2‬‬ ‫(‪ )0, 4‬نقطة نهاية عظمى محلية ‪)2 , 0( ،‬نقطة نهاية صغرى محلية ‪.‬‬

‫‪f ʹʹ(x) = 6x − 6‬‬ ‫‪f ʹʹ(x) = 0 ⇒ 6x − 6 = 0 ⇒ x = 1‬‬ ‫)‪f (1) = 2 ⇒ (1, 2‬‬

‫اشارة )‪f ʹʹ(x‬‬

‫‪----- --1 ++++++‬‬ ‫تقعر‬

‫حتدب‬

‫‪ f‬مقعرة في }‪{x : x > 1‬‬ ‫‪ f‬محدبة في }‪{x : x < 1‬‬ ‫(‪ )1, 2‬نقطة انقالب‪.‬‬ ‫‪ )6‬اجلدول‬

‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪y‬‬ ‫)‪(0,4‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪(2,0‬‬

‫)‪(-1,0‬‬

‫‪139‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪- 3-‬‬

‫باالستعانة بالتفاضل ارسم منحني الدالة‪:‬‬

‫‪3x − 1‬‬ ‫‪x+1‬‬

‫= )‪f (x‬‬

‫احلل‬ ‫‪ )1‬اوسع مجال للدالة ‪x + 1 = 0 ⇒ x = −1 :‬‬ ‫∴ اوسع مجال للدالة هو }‪R − {−1‬‬ ‫‪ )2‬مبا أن ‪ 1‬ينتمي الى مجال الدالة لكن (‪ )-1‬الينتمي الى مجال الدالة لذلك فاملنحني غير متناظر مع‬ ‫محور الصادات وغير متناظر مع نقطة االصل‪.‬‬ ‫‪ )3‬نقاط التقاطع مع احملورين االحداثيني‪:‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫⇒ ‪if x = 0 ⇒ y = −1‬‬ ‫(‪∴(0,−1),‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫)‪,0‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪3x − 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫(‪= 0⇒ x∴(0,−1),‬‬ ‫⇒ ‪if y = 0‬‬ ‫هما نقطتا التقاطع مع احملورين )‪= ⇒ x = ,0‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪)4‬‬

‫املستقيم احملاذي الشاقولي‬

‫‪when x + 1 = 0 ⇒ x=-1‬‬ ‫‪3x − 1‬‬ ‫= ‪letff (x) = y‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪x+1‬‬ ‫⇒ ‪yx + y = 3x − 1 ⇒ yx − 3x = −1− y‬‬ ‫‪−1− y‬‬ ‫‪y−3‬‬ ‫املستقيم احملاذي االفقي ‪when y − 3 = 0 ⇒ y −= 3‬‬ ‫= ‪x(y − 3) = −1− y ⇒ x‬‬

‫‪)5‬‬

‫)‪(x + 1)(3) − (3x − 1)(1‬‬ ‫‪(x + 1)2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪3x + 3 − 3x −‬‬ ‫‪42‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(x + 1‬‬ ‫‪(x + 1)2‬‬

‫)‪f ʹ(x‬‬ ‫= ʹ‪y‬‬

‫‪∀x ∈ R − {−1} ، f ʹ(x) > 0‬‬ ‫ }‪ {x : x > −1‬والتوجد نقاط حرجة‪.‬‬ ‫الدالة متزايدة في }‪, {x : x < −1‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫)‪= 42(x +1‬‬ ‫)‪f ʹʹ(x‬‬ ‫= ʹ‪y‬‬ ‫)‪f ʹ(x‬‬ ‫‪y'' == -8‬‬ ‫= )‪−4(x + 1) (1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(x + 1)3‬‬ ‫‪−2‬‬

‫‪140‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫)‪ + 1)−3 (1‬اشارة‬ ‫)‪f ʹʹ(x‬‬ ‫''‪y‬‬ ‫‪= −4(x‬‬

‫ ‪+ + + + + +-1 - - - - - -‬‬‫تقعر‬

‫حتدب‬

‫الدالة مقعرة في {‪}x:x>-1‬‬ ‫الدالة محدبة في {‪}x:x<-1‬‬

‫‪y‬‬

‫الدالة المتتلك نقطة انقالب الن (‪ )-1‬التنتمي الى املجال ‪.‬‬

‫‪y=3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x=-1‬‬

‫مثال‪-4 -‬‬

‫باستخدام معلوماتك في التفاضل ارسم املنحني‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪f (x) = 2‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪y‬‬

‫احلل‬ ‫‪ )1‬اوسع مجال للدالة =‪R‬‬ ‫‪ )2‬نقاط التقاطع مع احملورين‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫عندما ‪ x=0‬فإن ‪ y=0‬وبالعكس‪.‬‬ ‫∴ (‪ )0،0‬نقطة التقاطع مع احملورين‪.‬‬ ‫‪ )3‬التناظر ‪:‬‬

‫‪y=1‬‬

‫∴ املنحني متناظر حول محور الصادات‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪−‬‬

‫‪(−x)2‬‬ ‫‪∀x‬‬ ‫‪−−xx∈=∈RR 2‬‬ ‫)‪f (−x‬‬ ‫∃‪∀x∈∈R,‬‬ ‫∃‪R,‬‬ ‫‪(−x) + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(−x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫= )‪f (−x‬‬ ‫=‬ ‫)‪= f (x‬‬ ‫‪(−x)2 + 1 x 2 + 1‬‬

‫‪141‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬

‫‪ )4‬احملاذيات ‪:‬‬ ‫لذلك اليوجد محاذي عمودي‬

‫‪x2 + 1 ≠ 0‬‬ ‫‪x 2 2x 2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+ y2 +‬‬ ‫‪= yx 2= x 2‬‬ ‫‪=+ y =2 x 2 = y =⇒y yx‬‬ ‫⇒ ‪yx‬‬ ‫‪⇒ yx‬‬ ‫)‪let= yy=⇒f (x‬‬ ‫‪x +x1 + 1‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪⇒ x 2 (y − 1) = −y ⇒ x 2 = −y‬‬ ‫‪y−1‬‬ ‫‪let y −1 = 0 ⇒ y = 1‬‬

‫∴ املستقيم احملاذي االفقي‬ ‫‪)5‬‬

‫)‪(x 2 +1)(2x) − x 2 (2x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫= )‪f ʹ(x‬‬ ‫=‬ ‫‪(x 2 +1)2‬‬ ‫‪(x 2 +1)2‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪f ʹ(x) = 0 ⇒ 2‬‬ ‫)‪= 0 ⇒ x = 0 ⇒ f (0) = 0 ⇒ (0, 0‬‬ ‫‪(x +1)2‬‬ ‫‪----- --0++++++‬‬ ‫)‪f ʹʹʹ (x‬‬ ‫اشارة )‪( 3‬‬ ‫تزايد‬

‫( ‪ f(x‬متزايدة في }‪{x : x > 0‬‬ ‫( ‪ f(x‬متناقصة في }‪{x : x < 0‬‬

‫تناقص‬

‫)‪(x 2 +1)2 (2) − 2x(2)(x 2 +1)(2x‬‬ ‫(‪ )0 ,0‬نقطة نهاية صغرى محلية‬ ‫= )‪f ʹʹ(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(x +1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x + 2 − 8x 2 2 − 6x 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪±‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(x 2 +1)3‬‬ ‫‪(x 2 +1)33‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ ‪- - - - - - - 3+ + + + + + 3 - - - - - -‬‬‫اشارة )‪f ʹʹ(x‬‬ ‫حتدب‬

‫‪1‬‬ ‫(‪ f (x‬محدبة في ‪1‬‬ ‫> ‪}, {x : x‬‬ ‫}‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫‪,‬‬ ‫(‪ f (x‬مقعرة في الفترة املفتوحة )‬ ‫‪3 3‬‬

‫حتدب‬

‫تقعر‬

‫‪{x : x < −‬‬

‫نقطتا االنقالب هما‪:‬‬

‫‪142‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪) = ⇒ ( , ), (−‬‬ ‫) ‪,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪3 4‬‬

‫(‪f‬‬ ‫‪f (±‬‬

Applications of Differentiations‫تطبيقات التفا�ضل‬ )3

( ‫مارين‬

‫ت‬

-5

: ‫أرسم بأستخدام معلوماتك في التفاضل الدوال التالية‬ 1) f (x) = 10 − 3x − x 2 2) f (x) = x 2 + 4x + 3 3) f (x) = (1− x)3 +1

4) f (x) = 6x − x 3 1 5) f (x) = x x 1-1 6) f (x) = x +1 7) f (x) = (x + 2)(x −1)2 x 2 −1 8) f (x) = 2 x +1 9) f (x) = 2x 2 − x 4 6 10) f (x) = 2 x +3

143

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬

‫[‪ ]3-9‬تطبيقات عملية على القيم العظمى او الصغرى‪.‬‬ ‫ظهرت في القرن السابع عشر الكثير من االسئلة دفعت الى تطور حساب التفاضل والتكامل ومن امثلة‬ ‫ذلك املسائل التي وردت في بحوث الفيزياء مثل اقصى ارتفاع تصله قذيفة اطلقت بزوايا مختلفة ‪ ،‬او اقصى‬ ‫ارتفاع يصله جسم مقذوف شاقولي ًا الى اعلى اواقل زمن وأقل كلفة ومسائل من الصناعات مثل أقل مساحة‬ ‫وأكبر حجم وأقل محيط ‪ ... ،‬الخ ‪.‬‬ ‫وحلل هذه املسائل نتبع اخلطوات اآلتية ‪:‬‬ ‫‪ .1‬نرسم مخطط ًا للمسألة (إن امكن ) ونعني عليه األجزاء املهمة في املسألة ‪.‬‬ ‫نكون الدالة املراد ايجاد قيمتها العظمى او الصغرى ونحدد مجالها على ان تكون في متغير واحد‪.‬‬ ‫‪ِّ .2‬‬ ‫‪ .3‬اذا كان املجال فترة مغلقة جند االعداد احلرجة وقيم الدالة في اطراف الفترة وفي االعداد احلرجة ‪.‬‬ ‫فأ ّيها اكبر هي القيمة العظمى و َأ ّيها أصغر هي القيمة الصغرى‪.‬‬ ‫مثال‪-1 -‬‬

‫جد العدد الذي اذا اضيف الى مربعه يكون الناجت اصغر ما ميكن ‪.‬‬

‫احلل‬ ‫ليكن العدد = ‪x‬‬ ‫∴ مربع العدد = ‪x2‬‬ ‫ولتكن ‪f(x) = x+x2‬‬

‫∴ توجد نهاية صغرى محلية عند ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∴العدد هو ⎟⎞ ‪. ⎛⎜− 1‬‬ ‫⎠‪⎝ 2‬‬

‫‪144‬‬

‫‪x=−‬‬

‫‪f ʹ(x) = 1+ 2x, f ʹʹ(x) = 2 > 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f ʹ(x) = 0 ⇒ x = −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f ʹʹ(− ) = 2 > 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-2 -‬‬ ‫صنع صندوق مفتوح من قطعة من النحاس مربعة الشكل طول ضلعها ‪ 12cm‬وذلك بقص أربعة مربعات‬ ‫متساوية األبعاد من أركانها األربعة ثم ثني األجزاء البارزة منها‪ .‬ما هو احلجم األعظم لهذة العلبة؟‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪-x‬‬

‫‪12 - 2x‬‬

‫‪12‬‬

‫احلل‬

‫‪x‬‬

‫نفرض طول ضلع املربع املقطوع يساوي ‪x cm‬‬ ‫∴ أبعاد الصندوق هي‪12 − 2x ;12 − 2x; x :‬‬ ‫احلجم = حاصل ضرب أبعاده الثالثة‪:‬‬

‫‪12 - 2x‬‬

‫) ( ) () () ( (‬

‫)‬

‫‪= −12‬‬ ‫‪v −= 2x‬‬ ‫‪12−−12‬‬ ‫‪2x− ∗2x‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪v = v12‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪x ∗− x2x ∗ x‬‬

‫( )(‬ ‫)‬ ‫‪V = f ( x ) = 144x − 48x + 4x‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪= f ʹ ( x ) = 144 − 96x +12x‬‬ ‫‪⇒ = 0 ⇒ 0=12(12-8x+x )⇒12(6-x)(2-x)=0‬‬ ‫‪when‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪V = f x = x 144 − 48x + 4x 4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫النقط احلرجة ‪⇒ x = 2 , ; x = 6‬‬ ‫)‪f ʹʹʹ (x‬‬ ‫اشارة )‪( 3‬‬

‫‪+ + + + + +2 - - - - - - - 6 + + + + + +‬‬

‫الحظ من الشكل أن ‪ 6‬يهمل‬ ‫النه غير معقول‬ ‫عند ‪ 2‬توجد نهاية عظمى للحجم وتساوي ‪v = f (2) = 2(12 − 4)2 = 128cm3‬‬

‫‪145‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-3 -‬‬ ‫جد بعدي أكبر مثلث متساوي الساقني ميكن أن يوضع داخل دائرة نصف قطرها ‪12cm‬‬ ‫ثم برهن أن نسبة مساحة املثلث إلى مساحة الدائرة كنسبة ‪3 3‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫احلل‬ ‫نفرض بعدي املثلث ‪ b = 2x , h :‬قاعدة املثلث (املتغيرات)‬ ‫لنجد عالقة بني املتغيرات‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مبرهنة فيثاغورس‪x 2 + h−12 = 144 :‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫‪x + h2 − 24h+144 = 144‬‬

‫(‬

‫‪12‬‬ ‫‪h‬‬

‫‪x 2 = 24h− h2‬‬ ‫‪x = 24h− h2‬‬

‫الدالة‪( :‬مساحة املثلث)‬

‫التعويض ‪ :‬‬

‫‪h -12‬‬

‫‪12‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫ ‬ ‫)‪A = (b)(h‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A = (2x)(h) = hx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A = f h = h 24h− h2‬‬

‫)(‬

‫الحظ املجال‪ 0 ≤ h ≤ 24 :‬وهذا يعني أن ‪ h‬موجبة فيمكن توحيد اجلذر‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫) ‪A = f (h) = h2 (24h − h2‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫املشتقة‬

‫)(‬

‫‪A = f h = 24h3 − h4‬‬ ‫‪dA‬‬ ‫‪72h2 − 4h3‬‬ ‫= )‪= f ʹ(h‬‬ ‫‪dh‬‬ ‫‪2 24h3 − h4‬‬

‫جند النقطة احلرجة لدالة املساحة‬ ‫ ‬ ‫وعندما‬

‫‪f ʹ(h) = 0 ⇒ 72h2 − 4h3 = 0‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪4h2 18 − h = 0 ⇒ h = 18cm‬‬

‫‪146‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬

‫)(‬

‫اشارة ‪f ʹ h‬‬

‫‪+ + + + + + 18- - - - - - -‬‬

‫ومن املخطط املجاور نتعرف على أن لدالة املساحة نهاية عظمى عند الـ ‪h = 18‬‬ ‫‪h =18‬‬ ‫االرتفاع يساوي=‪18cm‬‬

‫‪( )−182‬‬ ‫‪x = 24h− h2 ⇒ x = 24 ∗18‬‬

‫)‬

‫(‬

‫)‪(18) (6‬‬ ‫∗‪x = 18 24 −18 = 18‬‬ ‫‪3 = 6 3cm‬‬

‫∴ طول القاعدة = ‪b = 2x= 12 3cm‬‬ ‫مس الدائرة‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫مس املثلث‪:‬‬

‫‪A1 = π r 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪A11c= ππ(12‬‬ ‫⇐‬ ‫‪cm2 ⇐ 2 rA1π==π1Ar 2 ⇐ 2m‬‬ ‫‪π∗12‬‬ ‫‪4412==2144π‬‬ ‫‪21 ∗ π =cm‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪18 = 108‬‬ ‫)‪A2 = bh ⇒ A2 = 6 3(8‬‬ ‫‪180 3cm2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ ‬

‫‪A2 108 3 3 3‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪A1 144π‬‬ ‫‪4π‬‬

‫=‬

‫مساحة املثلث‬ ‫مساحة الدائرة‬

‫مثال‪-4 -‬‬ ‫جد بعدي أكبر مستطيل ميكن أن يوضع داخل مثلث طول قاعدته ‪ 24cm‬وارتفاعه‬ ‫‪ 18cm‬بحيث أن رأسني متجاورين من رؤوسه تقعان على القاعدة والرأسني الباقيني تقعان على ساقيه ‪.‬‬ ‫احلل‬ ‫‪ -‬نفرض طول كل من بعدي املستطيل‪x,y cm :‬‬

‫‪147‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪18 - x‬‬

‫‪a‬‬

‫‪s‬‬

‫‪n‬‬

‫‪18‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪p‬‬

‫‪c‬‬

‫⎧‬ ‫⎪‬ ‫⎪⎪‬ ‫⎨‬ ‫⎪‬ ‫⎪‬ ‫⎩⎪‬

‫⎧‬ ‫⎪‬ ‫⎪⎪‬ ‫⎨‬ ‫⎪‬ ‫⎪‬ ‫⎩⎪‬

‫‪y‬‬

‫‪24‬‬

‫العالقة بني املتغيرات‪ :‬املثلثان‪ bns , bcr :‬متشابهان لتساوي زواياهما املتناظرة لذا تتناسب أضالعهما‬ ‫املتناظرة وكذلك ارتفاعاهما‪.‬‬ ‫‪ns ba‬‬ ‫‪y 18 − x‬‬ ‫=‬ ‫⇒‬ ‫=‬ ‫‪cr bp‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪18‬‬

‫)‬

‫‪4‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪18 − x ⇒ y = − 18 − x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪18‬‬

‫(‬

‫(‬

‫)‬

‫=‪⇒ y‬‬

‫⇐ ‪A = xy‬‬

‫ ‬ ‫الدالة‪ :‬مساحة املستطيل = حاصل ضرب بعدية‬

‫‪4‬‬ ‫‪A = x (18 − x).x‬‬ ‫‪3‬‬

‫التحويل بداللة متغير واحد‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪4 44‬‬ ‫التبسيط قبل املشتقة‪ :‬‬ ‫‪f fx f x= xA= =A A18x‬‬ ‫‪− x−2 −x 2x 2‬‬ ‫‪18x‬‬ ‫‪18x‬‬ ‫‪3 33‬‬

‫)) )‬

‫( ( ( ) )( () (‬

‫ ‬ ‫جند النقط احلرجة‪:‬‬

‫)‬

‫‪4‬‬ ‫‪18 − 2x‬‬ ‫‪3‬‬

‫(‬

‫)(‬

‫= ‪fʹ x‬‬

‫‪f ʹ(x) = 0 ⇒ x = 9‬‬

‫‪148‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪−2 = −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫) (‬

‫)(‬

‫= ‪f ʹʹ x‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪f ʹʹ 9 = − < 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫وهذا يعني لدالة املساحة نهاية عظمى محلية عند ‪ x= 9 cm‬وميثل أحد البعدين‪.‬‬

‫)(‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y = f18‬‬ ‫‪ʹ(x)− =x 0 ⇒; xy==9 18 − 9 = 12 cm‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‬

‫ ‬ ‫البعد اآلخر‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫مثال‪-5 -‬‬ ‫مجموع محيطي دائرة ومربع يساوي ‪ 60cm‬أثبت أنه عندما يكون مجموع مساحتي‬ ‫الشكلني أصغر ما ميكن فإن طول قطر الدائرة يساوي طول ضلع املربع‪.‬‬ ‫احلل‬ ‫الفرضية‪ :‬نفرض نصف قطر الدائرة = ‪ r cm‬ونفرض طول ضلع املربع = ‪x cm‬‬ ‫العالقة‪ :‬محيط املربع ‪ +‬محيط الدائرة = ‪60 cm‬‬

‫‪∴60‬‬ ‫‪60 == 4x‬‬ ‫‪4x++2rπ‬‬ ‫⇒‪2πr‬‬ ‫⇒‬ ‫∴‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪r = (30 − 2x‬‬ ‫‪π‬‬

‫الدالة هي ‪ :‬مساحة الدائرة ‪ +‬مساحة املربع‬ ‫‪2‬‬

‫ ‬ ‫التحويل ملتغير واحد ‪:‬‬ ‫ ‬

‫)‬

‫ ‬

‫( (‬

‫) )‬

‫‪1‬‬ ‫‪900 −120x + 4x 2‬‬ ‫‪π‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ ‬ ‫نشتق‪:‬‬ ‫‪π‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎡‬ ‫⎤‬ ‫⎡‬ ‫⎤‬ ‫⎡‬ ‫⎤‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪A = x 2 + ⎢ 30A−=A‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪x=2 +‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪π‬‬ ‫⎢ ⎢⎥‬ ‫‪⎥ ⎥ π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪⎣π‬‬ ‫⎣ ‪⎦ ⎣π‬‬ ‫⎦ ⎦‬

‫(‬

‫)‬

‫)(‬

‫‪A = f x = x2 +‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪−120 + 8x‬‬ ‫‪π‬‬

‫(‬

‫)(‬

‫‪f ʹ x = 2x +‬‬

‫⊗‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ʹ(x)+ =2πr‬‬ ‫‪0 ⇒ 0 = 2x + −120 + 8x ⇒ 2 = xπ − 60 + 4x‬‬ ‫‪∴ 60 =f4x‬‬ ‫ ‬ ‫وعندما‬ ‫‪π‬‬

‫ ‬

‫)‬

‫(‬

‫‪0=π‬‬ ‫‪xπx + 4x − 60 ⇒ 60 = πxπx + 4x‬‬

‫‪149‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬

‫‪6060‬‬ ‫‪x(π‬‬ ‫)‪+ 4‬‬ ‫==‬ ‫‪6060‬‬ ‫= ‪⇒⇒x =x‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫‪x(π‬‬ ‫)‪+ 4‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫‪ππ‬‬ ‫‪+ 4+ 4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪120‬‬ ‫∴∴‬ ‫‪r =r = (30‬‬ ‫‪−−‬‬ ‫) )‬ ‫‪(30‬‬ ‫‪ππ‬‬ ‫‪ππ‬‬ ‫‪+ 4+ 4‬‬ ‫‪3030‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫== ‪r‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫‪ππ‬‬ ‫‪+ 4+ 4‬‬

‫مثال‪-6 -‬‬ ‫للنقطة (‪)0,4‬‬

‫) و ‪ .‬هـ ‪ .‬م(‬

‫‪∴ x = z2 r‬‬

‫جد نقطة أو نقاط تنتمي للقطع الزائد ‪ y2 − x 2 = 3‬بحيث تكون أقرب ما ميكن‬

‫احلل‬ ‫نفرض أن النقطة (‪ p(x,y‬هي من نقط املنحني ‪ y2 − x 2 = 3‬فتحقق معادلته ‪.‬‬ ‫‪∴ x2 = y2 _ 3‬‬

‫)‪... (1‬‬

‫‪s = (x − 0)2 + (y − 4)2‬‬ ‫)‪∴ s = x 2 + y2 − 8y +16...(2) ... (2‬‬

‫بالتعويض من املعادلة ‪ 1‬في ‪ 2‬ينتج ‪:‬‬

‫‪s = f (y) = 2y2 − 8y +13‬‬ ‫‪4y − 8‬‬

‫‪2 2y2 − 8y +13‬‬

‫= )‪f ʹ(y‬‬

‫‪f ʹ(y) = 0 ⇒ 4y − 8 = 0 ⇒ y = 2‬‬ ‫‪Q x 2 = y2 − 3‬‬ ‫‪∴ x 2 = 4 − 3 = 1 ⇒ x = ±1‬‬ ‫)‪ ⇒ (1, 2), (−1, 2‬‬

‫‪+ + + + + +-2 - - - - - - -2 + + + + + +‬‬ ‫(‪f ʹ ()y‬‬ ‫اشارة )‪3‬‬ ‫صغرى‬

‫‪150‬‬

‫عظمى‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬

‫‪)3‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪ .1‬جد عددين موجبني مجموعهما ‪ 75‬وحاصل ضرب أحدهما في مربع االخر أكبر ما ميكن‪.‬‬ ‫‪ .2‬جد ارتفاع اكبر اسطوانة دائرية قائمة توضع داخل كرة نصف قطرها ‪. 4 3cm‬‬ ‫‪ .3‬جد بعدي اكبر مستطيل يوضع داخل نصف دائرة نصف قطرها ‪. 4 2cm‬‬ ‫‪ .4‬جد اكبر مساحة ملثلث متساوي الساقني طول كل من ساقيه ‪. 8 2cm‬‬ ‫‪ .5‬جد اقل محيط ممكن للمستطيل الذي مساحته ‪.16 cm2‬‬ ‫‪ .6‬جد حجم اكبر مخروط دائري قائم ميكن وضعه داخل كرة نصف قطرها ‪.3 cm‬‬ ‫‪ .7‬جد معادلة املستقيم الذي مير من النقطة (‪ )6,8‬والذي يصنع مع احملورين في الربع االول أصغر مثلث‪.‬‬ ‫‪ .8‬جد محيط اكبر مستطيل يوضع داخل املنطقة احملددة بالدالة ‪ f ( x) = 12 − x 2‬ومحور السينات‪ ،‬رأسان‬ ‫من رؤوسه على النحني والرأسان االخران على محور السينات‪.‬‬ ‫‪ .9‬جد ابعاد اكبر اسطوانة دائرية قائمة توضع داخل مخروط دائري قائم ارتفاعه ‪ 8cm‬وطول قطر‬ ‫قاعدته ‪. 12cm‬‬ ‫‪ .10‬جد حجم اكبر مخروط دائري قائم ناجت من دوران مثلث قائم الزاوية طول وتره ‪ 64 3 cm‬دورة كاملة‬ ‫حول احد ضلعيه القائمني‪.‬‬

‫‪ .11‬حاوية اسطوانية الشكل مفتوحة من األعلى سعتها ‪ (125π ) cm3‬جد أبعادها عندما تكون مساحة‬ ‫املعدن املستخدم في صنعها اقل ماميكن‪.‬‬ ‫‪ .12‬خزان على شكل متوازي سطوح مستطيلة طول قاعدته ضعف عرضها فاذا كانت مساحة املعـــدن‬ ‫املستخدم في صناعته ‪ 108 cm2‬جد ابعاد اخلزان لكي يكون حجمه اكبر ما ميكن علم ًا ان اخلزان‬ ‫ذو غطاء كامل‪.‬‬

‫‪151‬‬

‫التكامل‬

‫‪4‬‬

‫‪Integration‬‬

‫الف�صل الرابع‬ ‫‪Chapter Four‬‬ ‫التكامل ‪Integration‬‬

‫[‪]4-1‬‬

‫املناطق احملددة مبنحنيات‬

‫[‪]4-2‬‬

‫املجاميع العليا واملجاميع السفلى‪.‬‬

‫[‪]4-3‬‬

‫تعريف التكامل‪.‬‬

‫[‪]4-4‬‬

‫النظرية االساسية للتكامل ‪ -‬الدالة املقابلة‪.‬‬

‫[‪]4-5‬‬

‫خواص التكامل احملدد‪.‬‬

‫[‪]4-6‬‬

‫التكامل غير احملدد‪.‬‬

‫[‪]4-7‬‬

‫اللوغاريتم الطبيعي‪.‬‬

‫[‪]4-8‬‬

‫إيجاد مساحة منطقة مستوية‪.‬‬

‫[‪]4-9‬‬

‫إيجاد حجم جســم ناشىء من دوران منطقة مستوية‪.‬‬ ‫املصطلح‬

‫جتزئة الفترة‬

‫‪152‬‬ ‫‪152‬‬

‫] ‪[x0 , xn‬‬

‫الرمز او العالقة الرياضية‬

‫) ‪σ = (x0 , x1 , x2 ....xn‬‬

‫اجملموع االسفل‬

‫) ‪L (σ , f‬‬

‫اجملموع االعلى‬

‫) ‪U (σ , f‬‬

‫اجملموع‬

‫∑‬

‫سيكما ) ‪σ = (x0 , x1 x2 ..., xn‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫[‪ ]4-1‬املناطق احملددة بـمنحنيات ‪.‬‬ ‫‪Regions Bounded by Curves.‬‬ ‫تعرفت من دراستك السابقة على مناطق مستوية مختلفة مثل الذي تراه في الشكل (‪: )4 - 1‬‬

‫‪A1‬‬

‫‪A4‬‬

‫‪A3‬‬

‫‪A2‬‬

‫الشكل (‪)4-1‬‬

‫حيث ‪ A1‬منطقة مستطيلة و ‪ A2‬منطقة مثلثة و ‪ A3‬منطقة شبه منحرف و ‪ A4‬منطقة دائرية والشك أنك‬ ‫تعرف إيجاد مساحات هذه المناطق ‪.‬‬

‫أما المنطقة ‪ A‬كما في الشكل (‪ )4 - 2‬والتي تسمى منطقة مضلعة فيمكنك حساب مساحتها بتقسيمها‬

‫الى مناطق مثلثة ‪.‬‬

‫‪A1 , A2 , A3 , A4‬‬

‫‪A1‬‬

‫وتكون مساحتها تساوي مساحة ‪ + A1‬مساحة ‪ + A2‬مساحة ‪+ A3‬مساحة ‪A4‬‬

‫‪A2‬‬

‫‪A3‬‬ ‫‪A4‬‬

‫‪A‬‬

‫الشكل (‪)4-2‬‬

‫وبالطريقة نفسها يمكننا ايجاد مساحة اي منطقة مضلعة بعد أن نقسمها الى مناطق مثلثة أو مربعة أو‬ ‫مستطيلة ‪.... ،‬‬

‫‪y‬‬

‫امـــا المنطقـــة ‪ A‬فـــي الشكـــــل (‪)4 - 3‬‬ ‫والتي تسمـى منطقــــــة تحت المنحنــــي ‪f‬‬

‫‪f‬‬

‫وهي مجموعـــة النقـــاط المحـصــورة بيـــن‬ ‫المنحنــي (بيان الــدالة ‪ )f‬والمستقيميــن‬

‫‪A‬‬

‫‪ x = b , x = a‬ومحـــور السينات فـال‬

‫يمكن تقسيمها الى مناطـق معلـومة لديــك‬ ‫مثل (مثلث‪ ،‬مربع‪ ،‬مستطيل‪ ،‬دائرة‪)... ،‬‬ ‫فكيف يمكنك حساب مساحتها؟‬

‫‪x‬‬ ‫الشكل (‪)4-3‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪153‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬ ‫‪y‬‬

‫تسميات‪:‬‬

‫‪y‬‬

‫‪f‬‬

‫‪f‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A1‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ A‬منطقة حتت املنحني‬

‫‪ A1‬اكبر منطقة مستطيلة‬ ‫داخل املنطقة ‪A‬‬ ‫(‪ A1‬محتواة في ‪)A‬‬

‫‪y‬‬

‫ʹ‪A1‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬

‫ʹ‪ A1‬أصغرمنطقةمستطيلة‬ ‫خارج املنطقة ‪A‬‬ ‫الشكل (‪)4-4‬‬

‫‪ .1‬مساحة أي منطقة مستوية هي عدد حقيقي غير سالب ‪.‬‬ ‫مالحظـة‬ ‫‪ Aʹ ⊆ A‬فان مساحة املنطقة ʹ‪ ≥ A‬مساحة املنطقة ‪.A‬‬ ‫‪ .2‬إذا كانت‬ ‫الحظ الشكل (‪)4 - 5‬‬

‫الشكل (‪)4-5‬‬

‫‪154‬‬

‫ʹ‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫إيجاد قيمة تقريبية لمساحة منطقة مستوية ‪:‬‬ ‫مثال ‪-1 -‬‬

‫في الشكل (‪ A ، )4 - 6‬هي المنطقة تحت منحني الدالة المستمرة ‪ , f‬أوجد قيمة‬ ‫تقريبية لمساحة هذه المنطقة حيث ‪:‬‬ ‫}‪A = {(x, y) : 2 ≤ x ≤ 5 , 0 ≤ y ≤ f (x), y = x −1‬‬

‫احلل‬

‫‪y‬‬

‫نحدد داخل المنطقة ‪ A‬اكبر منطقة مستطيلة‬ ‫(‪ ) a b c d‬بحيث تكـــون قاعـــدتهـــــــــــا‬ ‫من ‪ x=2‬الى ‪x=5‬‬

‫)‪cʹ(5, 2‬‬

‫ولتكــــن ‪ A1‬حيـــث ‪ A1 ⊆ A‬وعليـــــــــــه‬ ‫تكــــــون مسـاحـــــــــة هــــذه المنطقـــــــــــة‬ ‫‪A1 = ab × ad=(5-2)×1=3 uint2‬‬ ‫كذلك نحـدد خــارج المنطقـــة أصغـر منطقـة‬ ‫مستطيلـــــة )ʹ‪ (abcʹd‬ولتكــن ʹ‪ A1‬حيــث‬

‫‪c‬‬ ‫‪x‬‬

‫ʹ‪d‬‬ ‫ʹ‪A1‬‬

‫‪A‬‬

‫‪b‬‬

‫‪A1‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪a‬‬

‫(‪)2,1‬‬

‫الشكل (‪)4-6‬‬

‫ʹ‪ A ⊆ A1‬بحيث تكون قاعدتها من ‪ x=2‬الى ‪ x=5‬فتكون مساحة ʹ‪ A1‬تساوي‪:‬‬ ‫‪A1ʹ = ab× axdʹʹ= (5 − 2)× 2 = 6unit 2‬‬ ‫بما ان ʹ‪A1 ⊆ A ⊆ A1‬‬ ‫∴ مساحة ‪ ≥ A1‬مساحة ‪ ≥ A‬مساحة ʹ‪A1‬‬ ‫‪ ≥ 3‬مساحة المنطقة ‪126 ≥ A‬‬

‫‪3+ 6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫فتكون القيمة التقريبية االولى لمساحة المنطقة ‪ A‬تساوي ‪= 4 unit 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪155‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫الحظ في املثال ‪ 1‬ان ‪ A1‬هي املنطقة املستطيلة التي ارتفاعها‬ ‫مالحظـة‬ ‫(‪ )ad‬يساوي اصغر قيمة للدالة في [‪ ]2 ,5‬وسنرمز لها بالرمز‬ ‫(‪ )m‬اما ʹ‪ A1‬فهي املنطقة املستطيلة التي ارتفاعها ʹ‪ ad‬يساوي‬ ‫اكبر قيمة للدالة في [‪ ]2 ,5‬وسنرمز لها (‪ )M‬وكما تعرفت في فصل‬ ‫التفاضل فان(‪( )m‬اصغر قيمة للدالة املستمرة على [‪ ) ]a,b‬وكذلك‬ ‫(‪( )M‬اكبر قيمة للدالة املستمرة على [‪ )]a,b‬نبحث عنهما عند احد طرفي‬ ‫الفترة [‪ ]a,b‬أو عند النقطة احلرجة ان وجدت ‪.‬‬ ‫مثال ‪-2 -‬‬

‫}‪A = {(x, y) :1 ≤ x ≤ 24 , 0 ≤ y ≤ x 2 +1‬‬

‫اوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة ‪. A‬‬ ‫‪y‬‬

‫احلل‬

‫(‪)4 ,17‬‬

‫‪ A1‬اكبر منطقة مستطيلة داخل ‪(A‬محتواة في‪)A‬‬

‫ʹ‪A1‬‬

‫قــاعدتهـا من ‪ x=1‬الى ‪ x=2‬وارتفاعـهـا ‪m = 2‬‬ ‫هي ‪A1 = 2 ) 2 - 1( = 2 unit 2‬‬

‫‪A‬‬

‫ʹ‪ A1‬اصغر منطقة مستطيلة خارج ‪( A‬تحتوي ‪)A‬‬

‫(‪)1 ,2‬‬

‫قــاعدتهـا ايضـــــ ًا من ‪ x=1‬الى ‪ x=2‬وارتفاعهــــا ‪M = 5‬‬ ‫‪A1ʹ = 5 ) 2 - 1( = 5 unit 2‬‬

‫‪x‬‬

‫بما ان ʹ‪A1 ⊆ A ⊆ A1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪A1‬‬ ‫الشكل (‪)4-7‬‬

‫∴ مساحة المنطقة ‪ ≥ A1‬مساحة منطقة ‪ ≥ A‬مساحة منطقة ʹ‪A1‬‬ ‫∴ ‪ ≥ 2‬مساحة ‪5 ≥ A‬‬ ‫‪51‬‬

‫‪≥ A1+‬‬ ‫‪A1 A1ʹ 2 + 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫فتكون القيمة التقريبية لمساحة ‪ A‬تساوي ‪= 3 unit 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪156‬‬

‫‪1‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫مساحة منطقة مستوية بدقة اكبر‪:‬‬ ‫تمهيد‪ :‬لنفرض ان مع مهند ‪ 19000‬دينار ًا وأراد حسام ان يعرف هذا المبلغ فكان الحوار االتي بينهما‪:‬‬ ‫حسام‪ :‬كم معك من الدنانير؟‬ ‫مهند‪ :‬قدّ ر المبلغ بنفسك علم ًا بأنه بين عشرة آالف وعشرين الفاً‪.‬‬ ‫‪20000 + 10000‬‬ ‫‪.‬‬ ‫حسام‪ :‬أتوقع ان يكون معك ‪ 15000‬دينار ًا أي ‪= 15000‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مهند‪ :‬اقتربت قلي ً‬ ‫ألمح لك اكثر فالمبلغ الذي معي بين ‪ 20000 ، 15000‬دينار‪.‬‬ ‫ال ولكن ّ‬ ‫‪20000 + 15000‬‬ ‫حسام‪ :‬اذ ًا في حدود ‪ 17500‬دينار اي ‪= 17500‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مهند‪ :‬هذه القيمة اكثر دقة من القيمة االولى الن القيمة الصحيحة ‪ 19000‬دينار ‪.‬‬

‫من هذا المثال نستنتج األتي ‪:‬‬ ‫في المحاولة االولى ‪ < 10000 :‬المبلغ < ‪ 20000‬وكان الخطأ في القيمة التقريبية االولى‪:‬‬ ‫‪19000 - 15000 = 4000‬‬ ‫في المحاولة الثانية‪ < 15000 :‬المبلغ < ‪ 20000‬كانت القيمة التقريبية اكثر دقة ومقدار الخطأ‪:‬‬ ‫‪19000 - 17500 = 1500‬‬ ‫اذ ًا كلما استطعنا ان نجعل الفرق بين الحدين االعلى واالدنى اقل كانت القيمة التقريبية اكثر دقة ‪ ،‬وهكذا‬ ‫لحساب مساحة منطقة ‪ A‬بدقة اكبر نحاول ان نجعل مقدار هذه المساحة بين حدين بحيث يكون الفرق‬ ‫بينهما اقل ما يمكن ‪.‬‬ ‫والحدين االعلى واالدنى هما مجموع مساحات المناطق المستطيلة الداخلية (المحتواة في ‪،)A‬‬ ‫ومجموع مساحات المناطق المستطيلة خارج ‪ A‬واالشكال (‪ )4 - 10( ،) 4 - 9( ، )4 - 8‬توضح هذه‬ ‫الفكرة‪.‬‬

‫‪157‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫ʹ‪A1‬‬

‫‪f‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ A‬منطقة حتت املنحني ‪f‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ A1‬املنطقة املستطيلة داخل‬ ‫‪A‬‬

‫ʹ‪ A1‬املنطقة املستطيلة خارج‬ ‫‪A‬خارج ( ʹ‪ A1‬حتتوي ‪)A‬‬

‫الشكل (‪)4-8‬‬

‫الحظ ان هناك فرق ًا واضح ًا بين مساحة ‪ A1‬ومساحة ʹ‪ A1‬حيث مساحة ‪ A1‬أصغر بكثير من مساحة ‪, A‬‬ ‫اما مساحة ʹ‪ A1‬فهي اكبر كثير ًا من مساحة ‪.A‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪A2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪5‬‬

‫‪y‬‬

‫‪A1ʹf‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪A1‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪A1UA2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫ʹ‪A2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫منطقة‪ A‬حتت املنحني ‪f‬‬

‫مناطق مستطيلة داخل ‪A‬‬

‫‪5‬‬

‫ʹ‪A1‬‬ ‫‪3‬‬

‫ʹ‪A1ʹU A2‬‬

‫‪1‬‬

‫مناطق مستطيلة خارج ‪A‬‬

‫الشكل (‪)4-9‬‬

‫في الشكل (‪ )4 - 10‬تجزأت القاعدة [‪ ]1 , 5‬الى أربعة فترات جزئية ‪.‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪f‬‬

‫‪x‬‬

‫‪A1 A2 A3 A4‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3 4 5‬‬ ‫مناطق مستطيلة داخل ‪A‬‬

‫‪x‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪f‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫منطقة‪ A‬حتت املنحني ‪f‬‬ ‫الشكل (‪)4-10‬‬

‫‪158‬‬

‫‪y‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫ʹ‪A2ʹ A3ʹ A4‬‬

‫ʹ‪A1‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪3 4 5‬‬ ‫مناطق مستطيلة خارج ‪A‬‬ ‫(حتتوي ‪)A‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫‪ )1‬في الشكل (‪ )4 - 9‬جتزأت الفترة الـى فترتني جزئيتني همـــا‬ ‫مالحظـة‬ ‫[‪ , ]3 ,5[ ,]1 ,3‬في مثل هذه احلالة تسمي الثالثية املرتبة (‪)1 ,3 ,5‬‬ ‫جتزيئ ًا (‪ )partition‬للفترة [‪ ]1 ,5‬ويرمز لها بالرمز ‪ σ‬اي(‪σ =)1 ,3 ,5‬‬ ‫وبصورة عامة اذا كانت لدينــا [‪ ]a,b‬واردنــا ان نجزئهـــا الى ‪ n‬من الفترات المنتظمة فان‬ ‫طـول الفترة = ‪. b − a‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪)2‬‬

‫انظر الى الشكلني (‪ )4 - 12( ، )4 - 11‬جتد أنه كلما زادت نقاط‬ ‫مالحظـة‬ ‫التجزيء فان الفرق بني مجموع مساحات املناطق املستطيلة داخل ‪A‬‬ ‫ومجموع مساحات املناطق املستطيلة خارج ‪ A‬يقل تدريجي ًا‪ .‬وبالتالي فان‬ ‫القيمة التقريبية ملساحة املنطقة ‪ A‬تصبح اكثر دقة‪.‬‬ ‫∴مجموع مساحات المناطق المستطيلة داخل ‪ ≥ A‬مساحة ‪ ≥ A‬مجموع مساحات المناطق المستطيلة‬ ‫خارج ‪.A‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪f‬‬

‫‪f‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪fA1 A2 A3 A4‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f‬‬

‫‪A1‬‬

‫‪A2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪b‬‬

‫‪c‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪a‬‬

‫الشكل (‪)4-11‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪f‬‬

‫‪f‬‬

‫‪x‬‬

‫ʹ‪A1ʹ A2ʹ A3ʹ A4‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f‬‬

‫ʹ‪A1‬‬

‫‪x‬‬

‫ʹ‪A1‬‬

‫ʹ‪A2‬‬ ‫‪b‬‬

‫الشكل (‪)4-12‬‬

‫‪x‬‬

‫‪a‬‬

‫‪159‬‬

‫التكامل‬ ‫مثال ‪-3 -‬‬

‫‪Integration‬‬

‫أوجد قيمة تقريبية لمساحة المنطقة االتية‪:‬‬ ‫}‪A = {(x, y) : 2 ≤ x ≤ 5 , y0 =≤ xy2≤+ x1}2 − 2‬‬

‫وذلك باستخدام التجزئة‬ ‫)‪a) σ 1 = (2, 3, 5‬‬

‫)‪b) σ 2 = (2, 3, 4, 5‬‬ ‫احلل‬

‫)‪a) σ 1 = (2, 3, 5‬‬ ‫ان تجزئة (‪ σ1 = (2,3,5‬يعني ان الفترة [‪ ]2 ,5‬تجزأت)‪5‬الى‬ ‫الجزئية )‪b‬‬ ‫الفترات= ‪σ‬‬ ‫‪(2, 3, 4,‬‬ ‫‪2‬‬

‫[‪.]3 ,5[ , ]2 ,3‬‬

‫‪m = A1 + A2 = 1× 5 + 2 ×10 = 25unit 2‬‬ ‫كذلك‬ ‫‪M = A1ʹ + A2ʹ = 1×10 + 2 × 26 = 62unit 2‬‬ ‫بما ان مجموع مساحات المنطقة المستطيلة داخل ‪ < A‬مجموع مساحات المناطق المستطيلة خارج ‪A‬‬ ‫‪25 + 62‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪∴ 25 ≤ A ≤ 62 ⇒ A‬‬ ‫القيمة التقريبية لمساحة ‪= 43 unit 2 A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(5,26‬‬

‫‪y‬‬

‫ʹ‪A2‬‬

‫)‪(3,10‬‬

‫ʹ‪A1‬‬

‫‪A2 A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪160‬‬

‫‪5‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪3‬‬

‫الشكل (‪)4-13‬‬

‫)‪(2,5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫)‪a) σ 1 = (2, 3, 5‬‬

‫)‪b) σ 2 = (2, 3, 4, 5‬‬

‫ان تجزئة ( ‪ σ2 = (2,3,4,5‬يعني ان الفترة [‪ ]2 , 5‬تجزأت الى الفترات الجزئية [‪]4 ,5[,]3 ,4[,]2,3‬‬

‫‪2 2‬‬ ‫×‪∴ m = A1 + A2 + A3 = 1‬‬ ‫‪+1×14‬‬ ‫‪= 23unit‬‬ ‫×‪1×25+1‬‬ ‫‪+ 1×710‬‬ ‫‪+ 1× 17‬‬ ‫‪= 32unit‬‬

‫‪2‬‬ ‫×‪∴ M = A1ʹ + A2ʹ + A3ʹ = 1‬‬ ‫‪1× 10‬‬ ‫‪7 +1×14‬‬ ‫‪2326‬‬ ‫==‬ ‫‪44unit‬‬ ‫×‪+ 1× 17+1‬‬ ‫×‪+ 1‬‬ ‫‪53unit 2‬‬

‫‪32 + 53‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 42 unit 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪∴A‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪(5,26‬‬

‫ʹ‪A3‬‬ ‫)‪(4,17‬‬

‫ʹ‪A2‬‬

‫ʹ‪A1‬‬

‫‪A3‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪5‬‬

‫)‪(3,10‬‬

‫‪A2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪(2,5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫الشكل (‪)4-14‬‬

‫كما اوضحنا أنه كلما زادت عدد النقاط التجزيئية فان الفرق بني‬ ‫مالحظـة‬ ‫مجموع مساحات املناطق املستطيلة داخل ‪ A‬ومجموع مساحات‬ ‫املناطق املستطيلة خارج ‪ A‬يقل تدريجي ًا‪.‬‬ ‫ففي المثال السابق عندما كانت التجزئة (‪ )2 ,3 ,5‬كان الفرق ‪:‬‬ ‫وعندما كان تجزئة (‪ )2 ,3 ,4 ,5‬كان الفرق ‪:‬‬

‫‪62 - 25 = 37‬‬

‫‪53 - 32 = 21‬‬

‫‪161‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫[‪ ]4-2‬املجاميع العليا واملجاميع السفلى‪.‬‬ ‫تعلمت في البند السابق إيجاد مجموع مساحات المناطق المستطيلة الداخلية ومجموع مساحات المناطق‬ ‫‪f : [ a,b] → R‬‬

‫المستطيلة الخارجية‪ ،‬وفي هذا البند سوف نعتبر الدالة ‪:‬‬

‫مستمرة على [‪ ]a,b‬ونجد مجموع مساحات المستطيالت داخل المنطقة ‪ ) Lower Rectangles ( A‬ثم‬ ‫( ‪( )Upper Rectangles‬حيث ‪ A‬المنطقة تحت‬

‫مجموع مساحة المستطيالت خارج المنطقة ‪A‬‬ ‫المنحني ‪.)f‬‬

‫ال ‪ :‬نفرض أن ‪f (x) ≥ 0 , ∀x ∈ [a,b] :‬‬ ‫أو ً‬ ‫حيث ) ‪σ = (x0 , x1 , x2 , x3 , x4‬‬

‫فتكون مساحة المنطقة المستطيلة ‪ A1‬التي قاعدتها محصورة في الفترة [‪ ]x0, x1‬وارتفاعها ‪ m1‬تساوي‬ ‫( ‪ m1(x1-x0‬حيث ‪(m1‬اصغر قيمة للدالة في هذه الفترة) ‪.‬‬

‫وبالمثل مساحة المنطقة المستطيلة ‪ A2‬والتي قاعدتها محصورة في الفتــــرة [‪ ]x1, x2‬وارتفاعهـــــا ‪m2‬‬ ‫تساوي ( ‪ .... m2 (x2 - x1‬وهكذا‬

‫وبالتالي يكون مجموع مساحات المناطق المستطيلة داخل ‪ A‬والتي سنرمز لها بالرمز ) ‪ L (σ , f‬تساوي‬ ‫‪L (σ , f ) = m1(x1 - x0) + m2(x2-x1) + m3(x3-x2) + m4(x4- x3).‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪A4‬‬ ‫‪m4‬‬

‫‪A3‬‬ ‫‪m3‬‬

‫‪A2‬‬ ‫‪m2‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪m1‬‬

‫‪A2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x4 = b‬‬

‫‪x3‬‬

‫‪x2‬‬

‫الشكل (‪)4-15‬‬

‫‪162‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪a = x0‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫الحظ ان ‪ ≥ L (σ , f ) :‬مساحة ‪A‬‬

‫كذلك في الشكل (‪)4 - 16‬‬

‫‪y‬‬

‫‪f‬‬ ‫ʹ‪A4‬‬ ‫‪M4‬‬

‫ʹ‪A3‬‬ ‫‪M3‬‬

‫ʹ‪A1‬‬

‫ʹ‪A2‬‬

‫‪M1‬‬

‫‪M2‬‬

‫‪A2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x4 = b‬‬

‫‪x3‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪a = x0‬‬

‫الشكل (‪)4-16‬‬

‫مساحة المنطقة ʹ‪ A1‬التي قاعدتها محصورة في الفترة [‪ ]x0, x1‬تساوي ( ‪ M1(x1-x0‬حيث ‪ M1‬اكبر‬ ‫قيمة للدالة في الفترة [‪ ]x0,x1‬ومساحة المنطقة المستطيلة ʹ‪ A2‬التي قاعدتها محصورة في الفترة [‪]x1,x2‬‬ ‫تساوي (‪ ...... M2 )x2-x1‬وهكذا‬ ‫بالرمز ) ‪ U (σ , f‬تساوي‬ ‫سنرمز‪, f‬لها‪≥ L (σ‬‬ ‫فيكون مجموع مساحات المناطق المستطيلة خارج ‪ A‬تساوي والتي )‬ ‫‪U (σ , f ) = M1(x1-x0) + M2(x2-x1) + M3(x3-x2) + M4(x4 - x3).‬‬ ‫الحظ أن‪:‬‬

‫) ‪U (σ , f ) ≥ L (σ , f‬‬ ‫مساحة‪U (σ , f ) ≥ L (σ , f ) ≤ UA(σ‬‬ ‫) ‪, f ) ≤ U (σ , f‬‬

‫∴ أول قيمة تقريبية لمساحة ‪ A‬وفق التجزئة ‪ σ‬تساوي ) ‪. L (σ , f ) +U (σ , f‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪163‬‬

‫التكامل‬

‫ثانياً‪:‬‬

‫‪Integration‬‬

‫)‪f (x‬‬ ‫تكون ‪0 ,∀∀x ∈ [a,b] ، f (x) ≥ 0‬‬ ‫الشكل (‪ )4 - 17‬فانه من‬ ‫كما≥في‬ ‫النشترط∈ان‪, ∀x‬‬ ‫عندما ]‪[a,b‬‬

‫الممكن ان يكون ‪( m‬اصغر قيمة ممكنة للدالة) عدد ًا سالب ًا أو موجب ًا او صفر ًا وبالتالي فانه من المتوقع‬ ‫أن تكون ) ‪ L (σ , f‬عدد ًا سالب ًا أو موجب ًا أو صفر ًا ‪.‬‬

‫وبالمثل ) ‪ ≤ U (σ , f‬عدد موجب ًا أو سالب ًا أو صفر ًا وبما ان العدد السالب ال يقيس مساحة لهذا فاننا‬ ‫‪y‬‬

‫نسمي‪:‬‬

‫) ‪ L (σ , f‬المجموع االسفل‬

‫) ‪ U (σ , f‬المجموع االعلى‬ ‫الشكل (‪)4-17‬‬

‫‪f‬‬

‫‪x‬‬

‫مثال ‪-4 -‬‬

‫لتكن ‪f :[1, 4] → R , f (x) = 5 + 2x‬‬

‫جد المجموع االسفل ) ‪ L (σ , f‬والمجموع االعلى ) ‪U (σ , f‬‬

‫احلل‬ ‫نجزيء الفترة [‪ ]1 , 4‬الى ثالثة فترات منتظمة فيكون ‪.‬‬ ‫‪b− a 4 − 1‬‬ ‫=‪h‬‬ ‫=‬ ‫)‪= 1 ⇒ σ = (1, 2, 3, 4‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∴ الفترات هي‪:‬‬ ‫]‪[1, 2] , [2, 3] , [3, 4‬‬ ‫‪f (x) = 5 + 2x ⇒ f ʹ(x) = 2 > 0‬‬ ‫∴التوجد نقاط حرجة والدالة متزايدة في مجالها‪ .‬فجد قيمة الدالة في طرفي الفترات واليجاد‬ ‫) ‪ L (σ , f ) , U (σ , f‬نعمل الجدول اآلتي‪ :‬فأيهما أصغر فهو تمثل ‪ mi‬وايهما اكبر فهو ‪Mi‬‬

‫‪∑h M‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫) ‪=U (σ , f‬‬

‫‪∑ hm‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫) ‪= L (σ , f‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪11‬‬

‫‪9‬‬

‫‪13‬‬

‫‪11‬‬

‫‪33‬‬

‫‪27‬‬

‫‪Mi‬‬

‫‪mi‬‬

‫طول الفترة‬

‫الفترة الجزئية‬

‫‪h‬‬ ‫‪m1 = 5+2=7 M 1 = 5 + 4 = 9‬‬ ‫‪m2 = 5+4=9 M 2 =5+6=11‬‬

‫‪m3 = 5+6=11 M 3 =5+8=13‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪∴ L (σ , f ) = 27 , U (σ , f ) = 33‬‬

‫‪164‬‬

‫]‪[ a , b‬‬ ‫]‪[ 1 , 2‬‬ ‫]‪[ 2 , 3‬‬ ‫]‪[ 3 , 4‬‬

‫التكامل‬ ‫مثال ‪-5 -‬‬

‫‪Integration‬‬

‫اذا كانت ‪f :[0, 4] → R , f (x) = 3x − x 2‬‬ ‫اوجد كل من ) ‪ U (σ , f ) ، L (σ , f‬مستخدم ًا اربعة تجزيئات منتظمة‬

‫احلل‬

‫‪b− a 4 − 0‬‬ ‫=‪h‬‬ ‫=‬ ‫)‪= 1 ⇒ σ = (0,1, 2, 3, 4‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫]‪[0,1] , [1, 2] , [2, 3] , [3, 4‬‬ ‫‪f (x) = 3x − x 2 ⇒ f ʹ(x) = 3 − 2x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫]‪f ʹ(x) = 0 ⇒ x = ∈[1, 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫أي ان العدد الحرج يوجد في الفترة ]‪[1, 2‬‬ ‫‪++++++ -----------‬‬‫]‪[1, 2‬‬ ‫اشارة )‪[1, 2] f ʹ(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫القيمة االكبر‬

‫‪∑h M‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫= ‪Mi‬‬

‫القيمة االصغر‬

‫‪∑hm‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪f (1) = 2 , f ( ) = , f (2) = 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪mi = 2‬‬

‫‪Mi‬‬

‫‪mi‬‬

‫طول الفترة‬

‫الفترة الجزئية‬

‫‪h‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫]‪[ a , b‬‬ ‫]‪[ 0 , 1‬‬ ‫]‪[ 1 , 2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4‬‬

‫]‪[ 2 , 3‬‬

‫‪1‬‬

‫]‪[ 3 , 4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪8‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪∴ L (σ , f ) = −2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪∴ L (σ , f ) = −2 , U (σ , f ) = 8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪U (σ , f ) = 8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫الحظ ان ) ‪L (σ , f ) ≤ U (σ , f‬‬

‫‪165‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪)4‬‬

‫مارين (‬

‫ت‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫اوجد كل من ) ‪ U (σ , f ) ، L (σ , f‬لكل مما يأتي‪:‬‬ ‫)‪a) σ = (1, 2, 4‬‬

‫‪(1, 2,‬‬ ‫)‪let1. f :[−2,1] →b)R σ, =f (x‬‬ ‫‪= 3,‬‬ ‫‪5 −4)x‬‬

‫)‪a) σ = (−2, 0,1‬‬

‫منتظمة‪b) σ‬‬ ‫‪= (−2,−1,‬‬ ‫تقسيم الفترة [‪ ]-2 ,1‬الى ثالث )‪0,1‬‬ ‫فترات جزئية‬

‫‪2. f :[1, 5] →a)R σ‬‬ ‫‪let‬‬ ‫)‪, f=(x‬‬ ‫‪= 6x‬‬ ‫‪(1, 2,‬‬ ‫‪4) − x 2‬‬

‫‪σ 2,‬‬ ‫‪= (1,‬‬ ‫)‪2, 4, 5‬‬ ‫‪b) σ = (1,‬‬ ‫)‪3, 4‬‬ ‫اذا كان )‪σ = (0,1, 2, 3, 4‬‬

‫‪2 2‬‬ ‫‪3. f :[1, 4] → R , f (x) = x3x‬‬ ‫‪let‬‬ ‫‪+2x‬‬

‫)‪a) σ = (1, 2, 4‬‬

‫متساوية )‪b‬‬ ‫تجزيئات‪σ = (1,‬‬ ‫استخدم ثالث)‪2, 3, 4‬‬

‫‪166‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫[‪ ]4-3‬تعريف التكامل ‪.‬‬ ‫الحظت في البند السابق أنه إذا كانت ‪:‬‬

‫‪f :[a,b] → R‬‬

‫دالة مستمرة على الفترة [‪ ]a,b‬فانه وفق ًا للتجزئة ‪ σ‬يكون ) ‪U (σ , f ) ≥ L (σ , f‬‬ ‫واآلن نسأل السؤال اآلتي ‪ :‬هل يوجد عدد ‪ k‬بحيث ‪L (σ , f ) ≤ k ≤ U (σ , f ) :‬‬ ‫ألي تجزئة للفترة [‪ ]a,b‬؟‬ ‫والجواب‪ :‬هو ما تنص عليه المبرهنة التالية ‪:‬‬ ‫مربهنة ‪)4-1(:‬‬

‫اذا كانت ‪ f :[a,b] → R :‬دالة مستمرة على الفترة [‪ ]a,b‬فانه يوجد عدد وحيد ‪ k‬بحيث‬

‫ألي جتزيء ‪ σ‬للفترة [‪ ]a,b‬فان ) ‪L (σ , f ) ≤ k ≤ U (σ , f‬‬

‫نسمي العدد ‪ k‬التكامل المحدد للدالة ‪ f‬على [‪ ]a,b‬ونرمز له ‪f‬‬

‫للدالة ‪ f‬ونسمي ‪ b,a‬حدّ ي التكامل‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫∫‬

‫ويقرأ التكامل من ‪ a‬الى ‪b‬‬

‫مالحظات‬

‫‪ .1‬اذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة على [‪ ]a,b‬فان ‪f ≤ U (σ , f ) :‬‬ ‫وتكون القيمة التقريبية للتكامل ‪f‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫∫‬

‫‪ .2‬اذا كانت ‪f (x) ≥ 0 , ∀x ∈ [a,b] :‬‬ ‫ ‬ ‫فان ‪f‬‬

‫‪a‬‬

‫∫‬

‫‪a‬‬

‫) ‪L (σ , f ) +U (σ , f‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬

‫ ‬ ‫‪b‬‬

‫‪b‬‬

‫∫‬

‫≤ ) ‪L (σ , f‬‬

‫‪y‬‬

‫‪f‬‬

‫ ‬

‫يعطي مساحة المنطقة ‪ A‬تحت‬

‫منحني ‪ f‬وهو عدد غير سالب ‪.‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫الشكل (‪)4-19‬‬

‫‪167‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫‪ .3‬اذا كـانت ‪ ∀× ∈ [ a,b] ، f ( x ) ≤ 0‬فــــإن‪:‬‬ ‫‪f ≤0‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪y‬‬

‫∫‬

‫وهذا ال يــدل على المساحــــــــة ‪ ،‬أمــا مساحـــــــة‬ ‫المنطقة ‪ A‬الموضحة في الشكــل (‪ )4 - 20‬فهي تساوي‬ ‫‪f‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫∫‬

‫‪b‬‬

‫‪x‬‬

‫‪a‬‬

‫‪A‬‬

‫‪b‬‬

‫= ‪−∫ f‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪f‬‬

‫الشكل (‪)4-20‬‬

‫‪ .4‬إن قيمة ‪f‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫∫‬

‫تتوقف على الفترة [‪ ]a,b‬وعلى الدالة ‪ ،f‬واذا كان ‪ x‬رمز المتغير في قاعدة الدالة فإنه‬ ‫‪b‬‬

‫يمكن كتابة التكامل المحدد بالشكل التالي ‪∫ f ( x) dx :‬‬ ‫‪a‬‬

‫=‪f‬‬

‫حيث تشير ‪ dx‬الى أن حدّ ي التكامل ‪ b,a‬هما قيمتان للمتغير ‪. x‬‬ ‫مثال ‪-1 -‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫∫‬

‫‪2‬‬ ‫لتكن‪ f : [1, 3] → R , f ( x ) = x‬حيث ‪f : [1, 3] → R , f ( x ) = x 2‬‬

‫أوجد قيمة تقريبية للتكامل اذا جزئت الفترة [‪ ]1 ,3‬الى تجزئتين ‪.‬‬

‫ ‬ ‫احلل‬

‫‪x 2 dx‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫∫‬

‫‪let f (x) = x 2‬‬ ‫‪ f‬دالة مستمرة على الفترة [‪]1,3‬‬ ‫‪x ==00‬‬ ‫ ‪∴ f ʹ(x) = 2x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪f ʹ(x) = 0 ⇒ 2x‬‬ ‫‪∴x = 0‬‬ ‫أي أن النقطة الحرجة عند ‪ x = 0‬وأن ]‪0 ∉ [1, 3‬‬

‫‪Mi‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪168‬‬

‫‪mi‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪b− a 3−1 2‬‬ ‫=‬ ‫‪= =1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫طول الفترة ‪b - a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫=‪h‬‬ ‫الفترات اجلزئية ]‪[a , b‬‬ ‫]‪[1 , 2‬‬ ‫]‪[2 , 3‬‬

‫التكامل‬

‫‪L (σ , f ) =Integration‬‬ ‫)‪(1×1) + (1× 4‬‬

‫كل‪L‬‬ ‫طرفي‪(σ‬‬ ‫=) ‪, f‬‬ ‫‪= 1+‬‬ ‫)‪(1×1‬‬ ‫∴أعظم قيمة وأصغر قيمة للدالة تكون عند طرفي)‪4‬‬ ‫[‪L (σ], 2,3‬‬ ‫)‪f ) = ،(1×1‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫×‪=+5(1‬‬ ‫×‪(1‬من‪]1,2[+‬‬ ‫عند‬ ‫جزئية‪4‬اي‬ ‫كل فترة‬ ‫‪L (σ , f ) == 1+‬‬ ‫)‪(1×1‬‬ ‫)‪U (σ4‬‬ ‫‪, f )==1+‬‬ ‫)‪(1×44‬‬ ‫)‪= 5+ (1× 9‬‬ ‫×‪4 =+5(1‬‬

‫)‪(σ 9‬‬ ‫×‪, f )== 4(1‬‬ ‫×‪= 5+U(1‬‬ ‫‪U (σ , f )==1+‬‬ ‫)‪(1×44‬‬ ‫)‪+ 94)= +13(1× 9‬‬ ‫‪5 +13‬‬ ‫∴‪U‬‬ ‫==‪(σ , f3 )x‬‬ ‫×‪(1‬‬ ‫‪9 = 13‬‬ ‫تقريبا‪+ =94)= +13(1×=9)9 = 4 +‬‬ ‫‪∫1 2 4dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 4 + 9 = 13‬‬

‫مثال ‪-2 -‬‬ ‫لتكن‪ f :[2, 5] → R ,‬حيث ‪f :[2, 5] → R , f (x) = 2x − 3‬‬ ‫‪f (x) = 2x − 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫أوجد ‪∫ f‬‬ ‫‪2‬‬

‫احلل‬

‫الحظ ان‬

‫∴ يمكن ايجاد ‪f‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫∫‬

‫‪y‬‬

‫)‪(5,7‬‬

‫]‪f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [2, 5‬‬

‫من مساحة ‪ A‬وهي منطقة شبه منحرف‬

‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪5‬‬

‫)‪(2,1‬‬ ‫‪2‬‬

‫∴ مساحة المنطقة ‪ 1 = A‬مجموع طولي القاعدتين المتوازيتين × طول االرتفاع‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫)‪[1+ 7](3‬‬ ‫‪∴ A = [1+‬‬ ‫‪UUnit‬‬ ‫‪int222‬‬ ‫)‪7 ] × 3== (8)(3‬‬ ‫‪× 8 × 3==12‬‬ ‫‪12Unit‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫الشكل (‪)4-21‬‬

‫‪∴ ∫ f = 12‬‬ ‫‪5‬‬

‫أو يمكن إيجاد ‪f‬‬ ‫)‪L( σ , f‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫∫‬

‫‪2‬‬

‫بالطريقة السابقة وكما يأتي‪:‬‬

‫)‪U( σ , f‬‬

‫‪mi‬‬

‫‪Mi‬‬

‫طول الفترة‬ ‫‪hi=b-a‬‬

‫فترة التجزئة‬ ‫]‪[a,b‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫]‪[2,3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪14‬‬

‫‪3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫]‪[3,5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪17‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪17 +7 24‬‬ ‫‪∫ (2x − 3) dx = 2 = 2 = 12 Unit‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪169‬‬

‫التكامل‬ ‫مثال ‪-3 -‬‬

‫احلل‬

‫‪Integration‬‬

‫لتكن ‪ f:f [1, 5] → R , f (x) = 3‬أؤجد ‪f‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫‬

‫‪y‬‬

‫من الشكل (‪ )4 - 22‬نالحظ ان المنطقة ‪ A‬هي‬

‫)‪(5,3‬‬

‫منطقة مستطيلة طول قاعدتها = (‪4 = )5 - 1‬‬ ‫وعرضها = ‪3‬‬

‫)‪(1,3‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪∴ A = (4)(3‬‬ ‫‪4 × 3 ==1212Unit‬‬ ‫‪Unit 2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪∴ ∫ f = 12‬‬

‫الشكل (‪)4-22‬‬

‫‪1‬‬

‫طريقة ثانية‪:‬‬ ‫)‪U( σ , f‬‬

‫)‪L( σ , f‬‬

‫‪mi‬‬

‫‪Mi‬‬

‫طول الفترة‬ ‫‪hi=b-a‬‬

‫فترة التجزئة‬ ‫]‪[a,b‬‬

‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫]‪[1,3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫]‪[3,5‬‬

‫‪12‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪12 +12 24‬‬ ‫=‬ ‫‪= 12 Unit 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪170‬‬

‫= ‪3dx‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪ .1‬أوجد قيمة تقريبية للتكامل ‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .2‬لتكن ‪, f (x) = 3x − 32‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪)4‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-2‬‬

‫بأستخدام التجزئة )‪. σ = (1, 2, 3‬‬

‫∫‬

‫‪f : [1, 54 ] → R‬‬ ‫‪4‬‬

‫أوجد قيمة تقريبية للتكامل ‪f‬‬

‫‪1‬‬

‫∫‬

‫بأستخدام التجزئة ‪4‬‬ ‫)‪ σ = (1, 2, 3, 5‬ثم تحقق هندسي ًا‬

‫بحساب مساحة المنطقة تحت منحني ‪.f‬‬ ‫‪ .3‬أوجد قيمة التكامل ‪− 3) dx‬‬ ‫‪ .4‬أوجد قيمة تقريبية للتكامل ‪f‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪−3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪∫ (3x‬‬ ‫‪2‬‬

‫∫‬

‫باستخدام التجزئة )‪. σ = (2, 3, 4‬‬

‫‪f (x) = -4‬‬ ‫حيث ‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪.5‬اوجد قيمة التكامل‬

‫‪3‬‬

‫‪∫ x dx‬‬ ‫‪1‬‬

‫باستخدام اربعة تجزيئات منتظمة‪.‬‬

‫‪171‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫[‪ ]4-4‬النظرية االساسية للتكامل ‪ -‬الدالة املقابلة‪:‬‬ ‫لقد تعلمنا فيما سبق طريقة إيجاد قيمة للتكامل المحدد ‪f‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫حيث ‪ f‬دالة مستمرة على الفترة المغلقة‬

‫∫‬

‫[‪ ]a,b‬كما أوجدنا في بعض الحاالت الخاصة قيمة دقيقة لهذا التكامل المحدد (باستخدام المساحة)‪.‬‬ ‫والمبرهنة اآلتية تساعدنا في إيجاد قيمة التكامل المحدد ‪.‬‬

‫مربهنة ‪)4-2(:‬‬ ‫اذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة على الفترة [‪ ]a,b‬فانه توجد دالة ‪ F‬مستمرة على الفترة [‪ ]a,b‬بحيث ‪:‬‬ ‫)‪F ʹ(x) = f (x) , ∀x ∈ (a,b‬‬ ‫ويكون‪:‬‬

‫) ‪f = F (b) − F ( a‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫∫‬

‫تسمى ‪ F‬الدالة المقابلة للدالة ‪ )Antiderivative of The Function ( f‬على الفترة ]‪[a,b‬‬ ‫فمث ً‬ ‫ال ‪ :‬اذا كانت‬

‫‪, f (x) = 2x‬‬

‫‪f : [1, 2 ] → R‬‬

‫فان‬ ‫‪F : [1, 2 ] → R , F (x) = x 2‬‬ ‫)‪F ʹ(x) = 2x = f (x) , ∀x ∈ [(1,2‬‬ ‫]‪a,b‬‬ ‫وعليه فان ‪:‬‬

‫)‪f = F (2) − F (1‬‬ ‫‪= 4 −1 = 3‬‬

‫مالحظـة‬

‫‪172‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫‬

‫‪2‬‬ ‫ن�شري اىل أ�ن )‪ F (2) − F (1‬تكتب بال�صورة ‪[ F (x)]1‬‬

‫التكامل‬ ‫مثال ‪-1 -‬‬

‫‪Integration‬‬

‫إذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة على الفترة [‪ ]1,5‬بحيث ‪ F(x) = 3x2‬دالة مقابلة للدالة ‪f‬‬

‫فجد) ‪( ∫ f‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪.‬‬

‫احلل‬

‫‪2 5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪55‬‬

‫)‪⎡⎣3(25‬‬ ‫)‪⎤⎦ −=3(1‬‬ ‫)‪⎤⎦ F=(1‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪−= 375= −72‬‬ ‫‪= 372= 72‬‬ ‫)‪= 3(25‬‬ ‫)‪− 3(1‬‬ ‫‪753 −‬‬ ‫)‪(Fx)−(1‬‬ ‫)‪∫ f∫(=xfF) =(5)⎡⎣FF−(5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪11‬‬

‫ويمكن ان نكتب ذلك بالصورة اآلتية ‪:‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪f ( x ) = ⎡⎣F ( x )⎤⎦1 = ⎡⎣3x 2 ⎤⎦ = 75 − 3 = 72‬‬ ‫‪1‬‬

‫مثال ‪-2 -‬‬

‫ ‬

‫احلل‬ ‫مثال ‪-3 -‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫‬

‫‪π‬‬ ‫إذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة على الفترة ] ‪ [0,‬وإن الدالة المقابلة للدالة ‪ f‬هي ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪F (x) = sin x , F :[0, ] → R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫فأوجد‪f :‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫∫‬

‫‪⎛⎡π ⎞ π ⎤π25 ⎡ ⎛ π2 ⎤⎞5π‬‬ ‫)‪ff(=x )F=⎜[⎣F ⎟(x‬‬ ‫‪= ⎣F=3x‬‬ ‫‪72π0 −=sin‬‬ ‫)‪−x2)F]⎦1f(0‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪1 0 = 1− 0 = 1‬‬ ‫(‬ ‫‪⎜sin⎦⎟1 −=−F75‬‬ ‫==‪(0)−0=3‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫∫‬ ‫‪⎝2⎠ 0 0‬‬ ‫‪⎝ 2 ⎠2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬

‫∫‬

‫‪FF :[1,3‬‬ ‫أثبت فيما إذا كانت ‪:[1,3][ → RR , F (x) = x 3 +12‬‬ ‫هي دالة مقابلة للدالة‪f ( x ) = 3x 2 :‬‬

‫احلل‬

‫∵ ‪ Ff ( x ) = x 3 + 2‬دالــــــــة مستمـــــــرة وقـابـــلـة لالشتقـــاق على ‪R‬‬ ‫(النها دالة كثيرة الحدود)‬ ‫∴‪ F‬مستمرة على [‪ ]1,3‬وقابلة لالشتقاق على (‪. )1,3‬‬

‫‪2‬‬ ‫ʹ‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪F‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x‬‬ ‫)‪= f (x) , ∀x ∈ (1, 3‬‬ ‫ ‬ ‫∴‪ F‬هي دالة مقابلة للدالة ‪ f‬على[‪. ]1,3‬‬

‫‪173‬‬

‫التكامل‬ ‫مثال ‪-4 -‬‬

‫‪Integration‬‬

‫‪1‬‬ ‫أثبت أن الدالة‪ F : R → R , F (x) = sin 2x :‬هي دالة مقابلة للدالة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f : R → R , f (x) = cos 2x‬‬ ‫ثم اوجد ‪cos 2x dx‬‬

‫ ‬

‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬

‫∫‬

‫احلل‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪ f (x) = cos 2x , f : R → R‬‬ ‫هي دالة مستمرة وقابلة لالشتقاق على ‪ R‬كما تعلمنا في الصف الخامس العلمي كذلك فان ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪F (x) = sin 2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫هي دالة مستمرة وقابلة لالشتقاق على ‪R‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Q F ʹ(x) = (cos 2x)(2) = cos 2x = f (x) , ∀x ∈ R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫∴‪ F‬هي دالة مقابلة للدالة ‪f‬‬ ‫‪b‬‬

‫)‪Q ∫ bf = F (b) − F (a‬‬ ‫)‪∴ ∫a f = F (b) − F (a‬‬ ‫‪ a‬‬

‫حسب المبرهنة (‪)4-2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪⎡1‬‬ ‫⎤‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪cos 2x dx = ⎢ sin 2x⎥ = sin − sin 0 = ×1− 0 = .‬‬ ‫‪⎣2‬‬ ‫‪⎦x=0 2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪x‬‬

‫وفي ما يلي جدول مساعد يبين الدالة ‪ f‬والدالة المقابلة لها ‪ F‬في حاالت خاصة ‪ .‬وبإمكانك عزيزي‬ ‫الطالب أن تتحقق من صحة ذلك بإثبات أن ‪:‬‬ ‫)‪F ʹ(x) = f (x‬‬

‫‪174‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬

‫∫‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫وفيما يلي جدول مساعد يب ّين الدالة ‪ f‬والدالة المقابلة لها ‪F‬‬ ‫الدالة املقابلة لها( ‪F(x‬‬

‫الدالة (‪f(x‬‬

‫‪ax‬‬

‫‪a‬‬

‫‪xn+1‬‬ ‫‪n+1‬‬

‫‪, n ≠ −1‬‬

‫‪axn+1‬‬ ‫الدالة ‪n+1‬‬ ‫املقابلة لها ‪F‬‬

‫‪, n ≠ −1‬‬ ‫الدالة ‪f‬‬

‫])‪[ f (x‬‬

‫‪n+1‬‬

‫‪[ f (x)] . f ʹ(x) , n ≠ −1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬

‫)‪tan (ax+b‬‬

‫‪sec ax‬‬ ‫‪csc ax‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬

‫)‪cot (ax+b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪−‬‬

‫‪1‬‬

‫)‪sin (ax+b‬‬

‫‪−‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ax‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n +1‬‬ ‫)‪cos(ax+b‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x‬‬

‫‪−‬‬

‫)‪sin (ax+b‬‬ ‫)‪cos(ax+b‬‬ ‫)‪sec2(ax+b‬‬ ‫)‪csc2 (ax+b‬‬ ‫‪sec ax tan ax‬‬ ‫‪csc ax cot ax‬‬

‫مجموعة الدوال المقابلة الية دالة ‪ f‬كما في الجدول هي ‪ F + C‬حيث ‪ C‬عدد ثابت حقيقي‬ ‫‪.‬‬

‫‪175‬‬

‫التكامل‬

Integration

∫ ∫

π 4 0

π

sec 2 x dx = [ tan x ] = tan 4

0

π 4 0

∫

2

π 4

∫

2

π

π

csc 2 x dx = [− cot x ] = − cot 2

π

4

4

∫ ∫

π 3 0

π

π 3 0

π

π - ‫ مثال‬π [− cot x-6 ] = csc x dx =‫أوجد‬ − cot + cot 2 4

∫

1

2

2

π

4

‫احلل‬

sec x tan x dx ‫أوجد‬

-7 - ‫مثال‬

π − sec 0 = 2 − 1 = 1 3

‫احلل‬

∫ 3

3 1

x 3 dx

‫جد‬

⎡ x 4 ⎤ 34 1 81 1 80 3 x dx = ⎢ ⎥ = − = − = = 20 ⎣ 4 ⎦1 4 4 4 4 4 3

‫احلل‬

π π + cot = 0 +1 = 1. 2 4

sec x tan x dx = [sec x ]0 = sec 3

-5 - ‫مثال‬

π − tan 0 = 1− 0 = 1. 4 π

π

sec 2 x dx ‫أوجد‬

-8 - ‫مثال‬

‫احلل‬

176

‫التكامل‬

Integration

:‫] خواص التكامل احملدد‬4-5[ : ‫] فاذا كانت‬a,b[ ‫ دالة مستمرة على‬f .1

b

≥ 0]‫فان‬, f ( x ) ≥ 0 ( x)∈dx[a,b ∫ f∀×

:ً‫اوال‬

, ∀× ∈ [ a,b] , f ( x ) ≥ 0

a

2

a) ∫2 2x 2 dx ≥ 0 a) ∫ −1x22 dx ≥0 −1 2 x 22dx ≥ 0 a) 2≥ 0 a) ∫∫f∫−1(x) dx2x≥ a) xx2=dx ≥0 0 , ∀x ∈ [−1, 2] −1 −1 = x ≥ 0 , ∀x ∈ [−1, 2] f (x) 2 f3(x) = x 2 ≥ 0 , ∀x (x) ∀x ∈ ∈[−1, [−1,2] 2] ∈ [−1, 2] b) ∫3 ff(x) 3dx==≥xx20 ≥≥00 ,, ∀x b) ∫ −23dx ≥ 0 3 f−2∫(3x33)3dx = 3 ≥>≥000 , ∀× ∈ [−2, 3] b) b) 3dx −2( 3dx ∫ b) ≥ 0 >0 3 ) dx c) ∫ x +1 c) ∫ ∫ 2(−23−2 x3 +1) dx > 0 2 3 ( x +1) dx > 0 c) c) ∫∫∫f2(x) dx ((xx+1 ))dx =+1 (x +1)>>>000 , ∀x ∈ [2, 3] c) f (x) 22 = (x +1) > 0 , ∀x ∈ [2, 3] ff(x) (x 0 , ∀x (x)= (x+1) +1)> ∀x ∈ ∈[2, [2,3] 3] f (x) ==(x +1) >>00 ,, ∀x ∈ [2, 3]

a) a) a) : ‫ألن‬ :b) ‫ألن‬ b) b) c) c) c) :‫ألن‬

2

∫ xxdxdx≥≥00 ∫∫ x dx ≥ 0 2 2 2 2 −1 2 −1 −1

ً ‫فمث‬ : ‫ال‬

f (x) = x 2 2≥ 0 , ∀x ∈ [−1, 2] 2 x22 ≥ 0 , ∀x ∈ [−1, 2] f (x) = f3 (x) = xx dx ≥ 0≥ 0, ∀x ∈ [−1, 2] a) ∫ −1≥ 0 ∫ −2333dx 3dx ≥≥00= ∫∫3−2−23dxf (x) x 2 ≥ 0 , ∀x ∈ [−1, 2] ) dx > 0 ∫ 2 3(3(x( x+1+1 3 ) dx>≥>00 )3dx ∫22 x∫+1 dx ∫fb) (x) =−2(x +1) > 0 , ∀x ∈ [2, 3] (x)==3 (x (x+1) +1)>>00 ,, ∀x ∀x∈∈[2, [2,3] 3] ff(x) ) dx > 0 c) ∫ ( x +1 2

(x +1) f 2(x)2 < 0 ‫ فان‬f (x) ≤ 0 , ∀x ∈ [a,b] :‫] فاذا كانت‬a,b[f (x) ‫= على‬ ‫مستمرة‬ ‫>دالة‬f0.2 , ∀x ∈ [2, 3] ∫ −1 x dx ≥ 0 :ً‫فمثال‬ 2 2 2≤ 0 2 (−2)dx a) (−2)dx ≤ 0 a) 2 ) =<≥x0,∀X 2] ∈ [−1, 2] : ‫ ∫ الن‬1 (x) a) ∫∫F1f(X x dx 0≥ 0 ∈, [1,∀x

∫ a)

b

a

−1 3 −1

b)b)Ff∫(X 3dx ≥2≤≥ 000 ∈, [−2,−1] ) ≤dxx0,∀X ∀x ∈ [−1, 2] −2 x = ∫ (x)

−1

: ‫الن‬ b) ∫ x dx ≤ 0 −2

−2 33

( x +1 ≥ )0dx > 0 ∫∫ 3dx x +1=)(x dx+1) > 0c.>f0= ,c ∀xf ∈ [2, 3] ∫ f((x) ∫ ∫ :‫ عدد ًا حقيقي ًا ثابت ًا فان‬c

b)c)

−22 3

c)

2

b

b

a

a

، ]a,b[ ‫ دالة مستمرة على‬f

f (x) = (x +1) > 0 , ∀x ∈ [2, 3]

5

. ∫ 5f ‫فأوجد‬ 2

∫

5 2

5

5f = 5 ∫ f = 5 × 8 = 40

∫

5 2

f = 8 ‫اذا كان‬

:ً‫ثانيا‬

-9 - ‫مثال‬ ‫احلل‬

2

a) ∫ ( f1 + f2 ) = b

a

∫

b a

f1 +

∫

b a

f2

:‫] فان‬a,b[ ‫ مستمرتين على الفترة‬f2 , f1 ‫إذا كانت الدالتان‬

:ً‫ثالثا‬

]a,b[ ‫ويمكننا تعميم هذه الخاصية على مجموع أي عدد محدد من الدوال المستمرة على‬

177

‫التكامل‬ ‫مثال ‪-10 -‬‬

‫اذا كانت ‪f2 = 17‬‬ ‫) ‪− f2‬‬

‫‪Integration‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫‬

‫‪f1 = 15 ,‬‬

‫‪3‬‬

‫‪∫ (f‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫∫‬

‫فأوجد ك ً‬ ‫ال من‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫) ‪∫ (f + f‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫احلل‬ ‫‪f2 = 15 + 17 = 32‬‬ ‫‪f2 = 15 − 17 = −2‬‬ ‫مثال ‪-11 -‬‬

‫اذا كانت ‪ f (x) = 3x 2 + 2x‬فأوجد ‪f (X )dx‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫‬ ‫∫‪−‬‬

‫‪f1 +‬‬ ‫‪f1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫∫ =) ‪∫ (f + f‬‬ ‫∫ =) ‪∫ (f − f‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫∫‬

‫احلل‬ ‫‪2x dx‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫‬

‫‪(3x 2 + 2x)dx = ∫ 3x 2 dx +‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫∫‬

‫= ‪f (x)dx‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫‬

‫‪3 2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪[x‬‬ ‫]‬ ‫‪+[x‬‬ ‫‪]1 = (8 − 1)+ (4 − 1) = 7 + 3 = 10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬

‫رابعاً‪:‬‬

‫اذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة على الفترة [‪ ]a,b‬وكانت )‪ c ∈ (a,b‬فان ‪f :‬‬

‫مثال ‪-12 -‬‬

‫احلل‬

‫اذا كانت ‪f = 8‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬

‫∫‬

‫‪f =5 ,‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫‬

‫فأوجد ‪f‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬

‫∫‬

‫‪a‬‬

‫‪a‬‬

‫∫‬ ‫‪7‬‬

‫‪f + ∫ f = 5 + 8 = 13‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪178‬‬

‫‪f+‬‬

‫‪c‬‬

‫∫‬

‫=‪f‬‬

‫‪b‬‬

‫∫‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫‬

‫=‪f‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫‬

‫التكامل‬ ‫مثال ‪-13 -‬‬

‫احلل‬

‫لتكن‬

‫‪Integration‬‬

‫| ‪f (x) =| x‬‬

‫اوجد ‪f (x)dx‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪−3‬‬

‫∫‬

‫‪ f‬دالة مستمرة على [‪ ]-3 ,4‬ولها قاعدتان هما ‪:‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫⎤ ‪⎡ −x 2‬‬ ‫⎤ ‪⎡ x2‬‬ ‫⎢ = ‪xdx‬‬ ‫⎥ ⎢‪⎥ +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎣‬ ‫‪⎦−3 ⎣ 2 ⎦0‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬

‫∫‬

‫‪(−x)dx +‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪−3‬‬

‫‪⎧2x⎧⎪+1,‬‬ ‫‪x , ∀x‬‬ ‫‪Ax ≥ 10‬‬ ‫)‪f (x)f (x‬‬ ‫⎨ =⎨ =‬ ‫‪⎪⎩−x‬‬ ‫‪, ∀x‬‬ ‫‪Ax1 <≥01‬‬ ‫‪, +1,‬‬ ‫<‪∀x‬‬ ‫‪⎩ 3⎧2x‬‬ ‫⎨ = )‪f (x‬‬ ‫‪⎩ 3 , ∀x< 1‬‬

‫= ‪f (x)dx‬‬

‫∫‬

‫‪4‬‬

‫‪−3‬‬

‫∫‬

‫∴‬

‫‪=⎡0 + 9 ⎤ + ⎡16 − 0⎤ = 9 + 16 = 25‬‬ ‫⎢‬ ‫⎢ ⎥‬ ‫⎥‬

‫‪2‬‬

‫مثال ‪-14 -‬‬

‫احلل‬

‫⎦‬

‫‪⎧2x +1, ∀x ≥ 1‬‬ ‫⎨ = )‪f (x‬‬ ‫‪⎩ 3 , ∀x< 1‬‬

‫اذا كانت‪:‬‬

‫ ‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2⎦ ⎣ 2‬‬

‫‪f (x)dx‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬

‫⎣‬

‫فأوجد‬

‫∫‬

‫‪ f‬مستمرة على الفترة [‪ ]0 ,5‬وذلك النها‪:‬‬

‫مستمرة عند ‪x = 1‬‬

‫ألن‪:‬‬

‫معرفة ‪(i) f(1) =2(1)+1=3‬‬ ‫‪⎧lim(2x +1) = 3 = L 1‬‬ ‫‪(2 x+1)=3=L 1‬‬ ‫‪⎪ lim‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫‪f (x) = ⎨ lim 3=3=L 2‬‬ ‫‪x→1 3 = 3 = L 2‬‬ ‫‪⎪lim‬‬ ‫‪⎩ x→1‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫)‪f (x) = f (1‬‬

‫‪ ⇒∴ lim‬موجودة‬ ‫‪x→1‬‬

‫{‬

‫‪(ii) lim‬‬ ‫‪x→1‬‬

‫‪∵L1=L2‬‬

‫‪lim f (x) = 3‬‬ ‫‪x→1‬‬

‫∴‬

‫‪179‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫كذلك الدالة مستمرة على كل من }‪ . { x : x < 1} , { x : x > 1‬وبما ان الدالة مستمرة على [‪]0,5‬‬ ‫‪f (x)dx‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪f (x)dx +‬‬

‫∫‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫∫‬

‫‪5‬‬

‫= ‪∴ ∫ f (x)dx‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫⎦⎤‪= ∫ 3dx + ∫ (2x +1)dx = [ 3x] + ⎡⎣ x 2 + x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪= [ 3− 0 ] + [ 25 + 5 ] − [ 2 ] = 3+ 28 = 31‬‬

‫خامساً‪:‬‬

‫‪a‬‬

‫‪f =−∫ f‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫∫ )‪b‬‬

‫ ‬

‫‪a) ∫ f = 0‬‬

‫مثالً‪:‬‬

‫‪a‬‬

‫‪a‬‬

‫‪3‬‬

‫‪⎡x ⎤ 9 9‬‬ ‫‪a) ∫ x dx ⇒ ⎢ ⎥ = − = 0‬‬ ‫‪⎣ 2 ⎦3 2 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫او اختصار ًا وحسب القاعدة‬

‫‪3‬‬

‫‪∫ x dx = 0‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪b) ∫ 3 x dx = − ∫ 3x 2 dx‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪= − [ x 3 ]2‬‬ ‫‪= −[27] +‬‬ ‫‪− [8] = −19‬‬

‫‪180‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫التكامل‬

Integration )4 22

( ‫مارين‬

‫ت‬

-3

22

)dx 3x−−22)dx a)a) ∫∫ −2( (3x

−2 )dx 2x+1 +1)dx b)b) ∫∫ 1( (xx−2 ++2x

4 )dx 4x)dx c)c) ∫∫ 1( (xx4 ++4x

2 (3x )dx d) 12dx d)∫∫0∫ x( − 3x 2x+1 +1)dx d) ++2x −1

1 200

−2 33

1

−1

3 2 −1−1

3 2 3 2x − 4x + 5 x ( (− 13 3 22 ) ) 4xdx 6xg)+1 +1 ++6x f f) )∫∫∫ −2 4x dx ∫ 1 dxdx x2 3 −2 x −1

00 ππ −− 22

e)e) ∫∫

ً ‫ احسب ك‬.1 :‫ال من التكامالت االتية‬

)dx ( (xx++cos cosxx)dx

‫ حيث‬f(x) ‫ هي دالة مقابلة للدالة‬F ‫ أثبت أن‬.2

π π F :[0, ] → R , F (x) = sin x + x ‫ حيث‬F :[0, ] → R , F (x) = si 6 6 π . 6 f ‫ ثم احسب‬f :[0, π ] → R ‫حيث‬ , f (x) = 1+ cos x 0 6

∫

4

1

a) ∫ (x − 2)(x +1) dx 2

b) ∫ x +1 dx

1

c)

∫

3

2

ً ‫ أوجد ك‬.3 :‫ال من التكامالت االتية‬

−1

x4 − 1 dx x −1

d)

∫

4 1

∫

3 −1

f (x)dx

f (x)dx

‫جد‬

‫جد‬

∫

1

0

x( x + 2)2 dx

⎧⎪2x , ∀x ≥ 3 f (x) = ⎨ ⎩⎪6 , ∀x < 3

⎪⎧ 3x 2 , ∀x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩⎪2x , ∀x < 0

‫ إذا كانت‬.4

‫ إذا كانت‬.5

181

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫[‪ ]4-6‬التكامل غير احملدد‪Indefinite Integral :‬‬ ‫عرفنا في النظرية االساسية للتكامل أنه إذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة على الفترة ]‪ [ a, b‬فانه توجد دالة‬

‫مقابلة ‪ F‬مستمرة على [‪ ]a,b‬بحيث أن‪F ʹ(x) = f (x) , ∀x ∈ (a, b) :‬‬ ‫فمث ً‬ ‫ال ‪:‬‬

‫‪ F : [1, 3] → R , F (X ) = X 2‬هي دالة مقابلة للدالة ‪f :[1, 3] → R ,. f (x) = 2x‬‬ ‫ولكن هل ‪ F (x) = x 2‬دالة مقابلة وحيدة للدالة ‪ F ʹ(X ) = 2X‬؟‬ ‫وقبل االجابة عن هذا السؤال نتأمل الدوال اآلتية‪:‬‬

‫‪1) F1 :[1, 3] → R , F1 (x) = x 2 +1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2) F2 :[1, 3] → R , F2 (x) = x 2 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3) F3 :[1, 3] → R , F3 (x) = x 2 − 2‬‬ ‫‪4) F4 :[1, 3] → R , F4 (x) = x 2 − 5‬‬

‫ال من ‪ F1 ,F2 , F3 , F4‬لها صفات ‪ F‬نفسها أي َّأن ك ً‬ ‫اننا نالحظ أن ك ً‬ ‫ال منها‪:‬‬ ‫(‪ )i‬مستمرة على [‪]1,3‬‬ ‫(‪ )ii‬قابلة لالشتقاق على (‪)1,3‬‬

‫(‪. F1ʹ(x) = F2ʹ(x) = F3ʹ(x) = F4ʹ(x) = 2x , ∀x ∈ (1, 3) )iii‬‬ ‫وبناء ًا على ذلك يمكن القول بان ك ً‬ ‫ال من‪ F1 ,F2 , F3 , F4 :‬دالة مقابلة الى ‪.f‬‬ ‫أي انه توجد اكثر من دالة مقابلة للدالة المستمرة على [‪ ]1,3‬والفرق بين أي دالتين مقابلتين للدالة ‪f‬‬ ‫يساوي عدد ًا ثابت ًا الحظ أن‪:‬‬

‫وهكذا‬

‫‪182‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫= ) ‪F1 (x) − F2 (x) = (x 2 +1) − (x 2 +‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪F1 (x) − F4 (x) = (x +1) − (x − 5) = 6‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫وبصورة عامة‬ ‫اذا كانت للدالة ‪ f‬المستمرة على [‪ ]a,b‬دالة مقابلة ‪ F‬فان يوجد عدد النهائي من الدوال المقابلة للدالة‬ ‫‪ ،f‬كل منها تكون من الصورة ‪ F + C :‬حيث ‪ C‬عدد ًا ثابت ًا والفرق بين أي إثنتين منها يساوي عدد ًا‬ ‫ثابتاً‪.‬‬

‫تسمى مجموعة الدوال المقابلة التي على الصورة ‪ F + C‬بالتكامل غير المحدد للدالة ‪ f‬المستمرة على‬ ‫[‪ ]a,b‬ويرمز لها بالرمز ‪ ∫ f (x)dx‬إذا كان رمز المتغير ‪.x‬‬

‫كما يصطلح على كتابة التكامل غير المحدد على الصورة ‪:‬‬ ‫عدد ثابت ‪f (x)dx = F (x)+ C ... ,C ∈ R‬‬

‫مثال ‪-1 -‬‬

‫أوجد ‪f (x)dx‬‬

‫∫‬

‫∫‬

‫اذا علمت أن‪:‬‬

‫)‪a)a) f f(x‬‬ ‫‪(x)==3x‬‬ ‫‪3x2 2++2x‬‬ ‫‪2x+1‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪b) f (x) = cos x + x−2‬‬

‫‪c) f (x) = x + sec x tan x‬‬

‫)‪d)d) f (x‬‬ ‫‪f (x)==sin(2x‬‬ ‫)‪sin(2x++4)4‬‬

‫احلل‬

‫‪3x 3 2x 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪(3x + 2x +1)dx‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ x + c = x3 + x2 + x + c‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(cos x + x−2 )dx = sin x +‬‬ ‫‪+ c = sin x − + c‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪(x + sec x tan x)dx = + sec x + c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪sin(2x + 4)dx = cos(2x + 4)+ c‬‬ ‫‪2‬‬

‫∫‬

‫)‪a‬‬

‫∫‬

‫)‪b‬‬

‫∫‬

‫)‪c‬‬

‫∫‬

‫)‪d‬‬

‫‪183‬‬

‫التكامل‬

Integration

a. a)

∫

(x 2 + 3)2 (2x)dx =

∫ [ f (x)]

2

f (x) = x 2 + 3 ∴ f ʹ(x) = 2x

∫ (x2 + 3)2 (2x)dx =

b.

∫ [ f (x)]

2

f (x) = 3x 2 + 8x + 5 ⇒ f ʹ(x) = 6x + 8 1 2

: ‫نفرض أن‬



∫ (3x

2

+ 8x + 5)6 (6x + 8)dx

7

1 [ f (x)] 1 ʹ f (x) f (x)dx = × + c = (3x 2 + 8x + 5)7 + c [ ] ∫ 2 7 14 6

∫ sin

4

x cos xdx : ‫نفرض أن‬

⇒ ʹ(x)= =cos f (x) f (x) = =sinsinx x→ →f ʹf(x) cosx x ∴ ∫ sin x cos xdx = 4

d.

‫احلل‬

1 3 [ f (x)] + c 3 1 = (x 2 + 3)3 + c 3

2 6 (3x + 8x + 5) (3x + 4)dx ∫

1 2

-2 - ‫مثال‬

f ʹ(x)dx =

∴ ∫ (3x 2 + 8x + 5)6 (3x + 4)dx =

c.

:‫ لكل مما يأتي‬3‫جد التكامالت‬ [ f (x)] + c f ʹ(x)dx = 3 ‫لنفرض أن‬

∫ tan

6

∫ [ f (x)]

4

[ f (x)] . f ʹ(x)dx =

5

5

+c =

1 5 sin x + c 5

x sec 2 xdx

f (x) = tan x ⇒ f ʹ(x) = cos sec xx 2

∴ ∫ tan 6 x sec 2 xdx =

∫ [ f (x)]

6

: ‫نفرض أن‬



[ f (x)] f ʹ(x)dx = 7

7

+c =

1 tan 7 x + c 7

184

‫التكامل‬

Integration

‫تكامل الدوال املثلثية الرتبيعية‬ 1.

∫ sec θ dθ = tanθ + c

2.

∫ csc

2

θ dθ = − cotθ + c

3.

∫ tan

2

θ dθ =

∫ (sec

4.

∫ cot

2

θ dθ =

∫

2

5. ∫∫sin sin22θθ dθ dθ== ∫∫

2

θ −1)dθ =

∫ sec

2

θ dθ −

∫ dθ = tanθ −θ + c

(csc 2 θ −1)dθ = − cotθ −θ + c

1− cos 1− 11 11 1−cos cos22θ 2θθ dθ == ∫∫dθ dθ dθ−− ∫∫cos cos2θ(2)dθ 2θ(2)dθ 222 22 44

1 1 1 1 2θc + c == =θ −θ- −sin sin 2θ + 2 4 2 4 1+ cos 2θ 1 1 2 dθ = θ + sin 2θ + c 6. ∫ cos θdθ = ∫ 2 2 4

‫أمثلة‬

: ‫جد تكامالت كل مما يأتي‬ 1. ∫ 9 sin 3xdx = 3 ∫ 3sin 3xdx = −3cos 3x + c 2.

∫

3.

∫

1 3

∫

1− sin 2x dx =

∫

x 2 sin x 3 dx =

1 3x 2 sin x 3 dx = − cos x 3 + c 3 sin 2 x − 2 sin x cos x + cos 2 x dx =∫± ∫ (sin (sinxx−−cos cosx)x)2dxdx

x + cos 2 xdx== ± ∫ (sin x − cos x)dx = ±(cos x + sin x)+ c

(1− cos 2x)2 1 1 1 dx = ∫ dx − ∫ 2 cos 2xdx + 4. ∫ sin dx = ∫ 4 4 4 4 1 1 1 1 = ∫ dx − ∫ 2 cos 2xdx + ∫ dx + ∫ 4 cos 4xdx 4 4 8 32 4

=

∫ cos

1 1 1 1 x − sin 2x + x + sin 4x + c = 3 × − 1 sin 2x + 1 sin 4x + c 4 4 8 32 8 4 32

185

2

2xdx

‫التكامل‬

Integration

(sin x − cos x)8 +c 5. ∫ (sin x − cos x) (cos x + sin x)dx = 8 7

1+ tan 2 x dx = tan 3 x

6.

∫

7.

∫ cos

3

∫

tan −2 x −1 tan x sec xdx = +c = +c −2 2 tan 2 x 2

−3

∫ cos x(1− sin

xdx =

2

x)dx =

sin 3 x = sin x − +c 3

tan x dx = cos 2 x

8.

∫

9.

∫ sin 6x cos

2

∫

∫ cos xdx − ∫ sin

2

x cos xdx

tan 2 x tan x sec xdx = +c 2 2

3xdx =

∫ (2 sin 3x cos 3x) cos

2

3xdx = 2 ∫ cos 3 32x sin 3xdx

−2 cos 4 3x 1 = × + c = − cos 4 3x + c 3 4 6

10.

∫

cos 4x dx = cos 2x − sin 2x

∫

cos 2 2x − sin 2 2x dx cos 2x − sin 2x

(cos 2x − sin 2x)(cos 2x + sin 2x) 1 1 dx = − sin 2x − cos 2x + c cos 2x − sin 2x 2 2

=

∫

=

∫ ( cos 2x + sin 2 )dx =

1 1 sin 2x − cos 2x + c 2 2

1 1 × − sin 6x + c 2 12 1 12. ∫ cot 2 5xdx = − cos cot 5x + (x)+ c 5 1 13. ∫ tan 2 7xdx = tan 7x − x + c 7 11. ∫ sin 2 3xdx =

186

Integration )4

( ‫مارين‬

‫ت‬

-4

‫التكامل‬

: ‫جد تكامالت كل مما يلي ضمن مجال الدالة‬ (2x 2 − 3)2 − 9 dx 1. ∫ 2 x 3 cos x dx 3. ∫ 1− sin x x dx (3x 2 + 5)4

5.

∫

7.

∫ sin

9.

∫ (3x

11.

3

2

+1) dx

∫ (1+ cos 3x) dx 2

13 . ∫ csc 2 2x dx 15. ∫ cot 2 5x dx 17.

∫ sin

187

2

6. 8.

xdx

2

(3− 5x)74 3 Ans : dx x −12x + c 2. ∫ 7x 3 1 2 2 : sin x cos x xdx+ sin x + c 4. ∫ csc Ans 2

8x dx

∫ ∫

3

−1 x 2Ans +10x : + 25 dx +c 18(3x 2 + 5)3

cos 1− xcos 3 x Ans : dx − cos x + c 1− x 3

Ans :

−(3− 5 4 35

Ans : − csc x Ans :

3(x + 5

Ans : −2 sin 1−

x− x9 5 4 3 ,x >0 dx Ans : ( x ∫ 4Ans3 : x + 2x + x + c 3 x 5 3 2 1 2 Ansdx : x + sin 3x + sin 6x + c 12. ∫ sec 4x 2 3 12

10.

14. ∫ tan 2 8x dx 2 16. ∫ cos 2x dx 4 18. ∫ cos 3x dx

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫[‪ ]4-7‬اللوغارمت الطبيعي ‪The Natural Logarithmic‬‬ ‫درسنا دوا ًال مألوفة نوع ًا ما‪ .‬فكثيرات احلدود والدوال النسبية وغيرها من الدوال اجلبرية تنتج عن عمليات‬ ‫مألوفة في احلساب واجلبر‪ ،‬وميكن مطابقة قيم الدوال املثلثية باحداثيات نقط على دائرة الوحدة‪ .‬اما االن‬ ‫فندرس دالة اللوغارمت الطبيعي التي تعتمد على حساب التفاضل والتكامل حتى في تعريفها‪.‬‬ ‫تعريف [‪]4-1‬‬ ‫يعرف لوغارمت ‪ x‬الطبيعي‪ ،‬ويرمز له بـ (‪ )ln x‬بأنه ‪:‬‬ ‫َّ‬ ‫)‪......... (1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪dt ; ∀x > 0‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪x‬‬

‫∫‬

‫‪1‬‬

‫= ‪ln x‬‬

‫ميثل هذا التكامل لكل ‪ x‬اكبر من ‪ ، 1‬املساحة احملدودة من االعلى باملنحني ‪ y = 1‬ومن االسفل باحملور ‪، t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫ومن اليسار باملستقيم ‪ t = 1‬ومن اليمني باملستقيم ‪t = x‬‬ ‫اي اذا كان ‪ ، x = 1‬تطابق احلدان االمين وااليسر للمساحة واصبحت املساحة صفراً‪.‬‬ ‫‪⎛a‬‬ ‫⎞‬ ‫⎟‪⎜ ∫ f = 0‬‬ ‫‪⎝a‬‬ ‫⎠‬

‫‪1‬‬ ‫‪ln1 = ∫ dt = 0‬‬ ‫‪1 t‬‬ ‫‪1‬‬

‫اما اذا كانت ‪ x‬اصغر من ‪ 1‬واكبر من الصفر فعندئذ يكون احلد االيسر هو املستقيم ‪ ، t = x‬واحلد االمين‬ ‫هو ‪ t=1‬وفي هذه احلالة يكون التكامل‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dt = − ∫ dt‬‬ ‫‪x t‬‬ ‫‪t‬‬

‫مساويا للقيمة السالبة للمساحة حتت املنحني بني ‪ x‬و ‪. 1‬‬ ‫* ينسب اول اكتشاف للوغاريتم الطبيعي الى النبيل االسكتلندي ‪)1617 - 1550( John Napier‬‬

‫‪188‬‬

‫‪x‬‬

‫∫‬

‫‪1‬‬

‫= ‪ln x‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫وفي كل احلاالت ‪ x ،‬عدد ًا موجباً‪ ،‬فانه ميكن حساب قيمة التكامل احملدد في املعادلة (‪ )1‬الى اي عدد‬ ‫نرغب فيه من االرقام العشرية كما مر بنا في حساب املساحة حتت املنحني بالتقريب‪.‬‬ ‫ومبا ان الدالة ‪ F(x) = ln x‬معرفة بالتكامل‬ ‫‪x 1‬‬ ‫∫ = )‪F ( x‬‬ ‫‪dt , ∀x > 0‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫فانه من املبرهنة االساسية حلساب التكامل في البند (‪ )4-4‬نعلم ان‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اي ان‪:‬‬ ‫= ) ‪( ln x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬

‫= )‪F ʹ(x‬‬

‫كما ميكننا احلصول على صيغة أعـم عنـدمـا يكــون لدينــا ‪ ln u‬حيث ‪ u‬دالة موجبـــة قابلـــة لالشتقـــاق‬ ‫بالنسبة لـ ‪x‬‬ ‫فقاعدة السلسلة للمشتقات (‪ )Chain Rule‬تعطينا ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d dd ⇒ d‬‬ ‫‪1dd‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪=du du‬‬ ‫(‬ ‫‪lnuuu) du‬‬ ‫‪∴ ( lnlnu‬‬ ‫‪.. u‬‬ ‫===‪)u‬‬ ‫‪lnu‬‬ ‫‪dxdx‬‬ ‫‪u du‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪du dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪1 du‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪∴ ( ln u‬‬ ‫‪⇒ d ( ln u) = du‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪u dx‬‬ ‫‪u‬‬

‫مثال ‪-1 -‬‬

‫اذا كان ‪ y = ln 3x 2 + 4‬فاوجد ‪dy‬‬ ‫‪dx‬‬

‫)‬

‫(‬

‫احلل‬

‫)‬

‫(‬

‫‪2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+4‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪dy‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dxdy 3x + 4‬‬

‫‪6x‬‬ ‫‪3x 2 + 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪u‬‬ ‫=‬ ‫ان الصيغة ‪du‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫الى‬ ‫تقودنا‬ ‫=‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪∫u‬‬ ‫‪u‬‬

‫=‬

‫وبشرط ان تكون ‪ u‬موجبة‬

‫‪189‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫‪cosθdθ‬‬ ‫مثال ‪-2 -‬‬ ‫جد ‪∫ 1 + sinθ‬‬ ‫احلل‬

‫نفرض‬

‫ ‬

‫ ‬

‫‪u = 1+ sinθ‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪= cosθ ⇒ du = cosθdθ‬‬ ‫‪dθ‬‬ ‫‪cosθdθ‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪= ln u + c‬‬ ‫∫=‬ ‫‪1 + sinθ‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪= ln 1+ sinθ + c‬‬

‫∫∴‬

‫[‪ ]4-7-1‬دالة اللوغارمت الطبيعي‪.‬‬ ‫‪y = ln x‬‬

‫لتكن‬ ‫لو ابدلنا ‪ y , x‬في مجموعة االزواج املرتبة‪:‬‬

‫‪lnln‬‬ ‫‪= {=({x,( x,‬‬ ‫= ‪y)y:)y: =y‬‬ ‫‪lnln‬‬ ‫‪x, x,‬‬ ‫}‪x, >x 0>}0‬‬

‫‪y = ln −1 ( xyy) == ln‬‬ ‫‪ln−1−1((xyxx))==lnln−1‬‬ ‫ ) ‪ , y,( x‬‬ ‫حلصلنا على دالة نرمز لها‬ ‫‪y > 0,‬‬ ‫‪x ∈R‬‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫ويكون( ‪ln −1‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫مجال =) ‪= ln −1 ( xy‬هو‪ y‬مدى ( ‪ln (x‬‬

‫نتيجة ‪ :‬الدالة األسية ‪( ex‬اساس ‪ )e‬هي عكس دالة اللوغاريتم الطبيعي وتستنتج جميع خواصها‬ ‫من هذه احلقيقة‪.‬‬

‫‪190‬‬

‫التكامل‬

Integration

]4-2[ ‫مربهنة‬

d x e = ex dx

( )

‫البرهان‬

x

y=e ‫لتكن‬ ∴ x = ln y ⇒ 1 dy 1= . ⇒ y dx dy = y = ex dx d u du e = eu . dx dx

‫وبصورة عامة‬

( )

. d(etan x ) tan x d(tan x) =e . dx dx

⇒

dy x y = e2 tan =‫فجد‬ etan x .sec x dx

‫لتكن‬

-3 - ‫مثال‬ ‫احلل‬

dy = etan x .sec 2 x dx

‫مالحظـة‬

u

u

∫ e du = e

+ c : ‫ تقودنا الى صيغة التكامل‬d eu = eu du ‫ان صيغة التفاضل‬ dx

( )

2

x ∫ xe dx

xx2 2==uu→ ==du →2xdx 2xdx du ⇒ 1 1 1 ∴ ∫ ex xdx = ∫ euudu = eu + c = ex + c 2 2 2 2

‫جد‬

-4 - ‫مثال‬

‫احلل‬

: ‫نفرض ان‬

2

)4 - 2( ‫تعريف‬

a u = eu ln a ‫ فان‬، ‫ عددا موجب ًا‬a ‫اذا كان‬ u

191

‫التكامل‬

Integration

dauuu du da u du .lnaa d e ===aaeu .u. .ln dx dx dx dx

]4-3[ ‫مربهنة‬

( )

da u d u ln a = e dx dx

(

u ln a = eu ln a . uu

: ‫البرهان‬

)

d .ln a a) (u ln dx

da u du ∴ = a u . .ln a dx dx : ‫لكل مما يأتي‬ x−5 a) y = 322x−5

a) y = 32 x−5 ⇒ 2

b) y = 2−x ⇒

− x2

x−5 b) y = 2 22x−5

-5 - ‫مثال‬ dy =‫جد‬etan x .sec 2 x dx

sin xx c) y = 5 sin

dy = 32 x−5 (2).ln 3 dx = (2 ln 3) 3e2 x−5

‫احلل‬

2 dy = 2−x (−2x).ln 2 dx − x2 == (−2x ln22)(2 −2x ln (e−x )) 2

c) c) yy==55

) y = 5 sin x ⇒

sin sinxx

uu dy dy da dd u lnu5lna a da sin xx sin ⇒ .cos ⇒ ==55 .cos x.ln = ee 5 = x.ln dx dx dx dx dx dx

(( ))

dy = 5 sin x .cos=x.ln (lim55).5 sin x.cos x dx

192

‫التكامل‬

Integration )4

( ‫مارين‬

‫ت‬

-5

:‫لكل مما يأتي‬

a)

y = ln 3x

b)

⎛ x⎞ y = ln ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

c)

y = ln x 2

d)

y = ( ln x )

e)

⎛ 1⎞ 3 y = ln ⎜ ⎟ ⎝ x⎠

f)

y = ln ( 2 − cos x )

g)

y = e−5 x

h)

y = 9e

j)

y = x 2 ex − xex

i)

a) c) e) g)

i)

( )

2

+ 3x+5

−x 4

y = e7

∫

3

0

1 dx x +1

ln 5

∫

ln 3

b)

e2 x dx

1

d) 2

∫ (1+ e ) e dx x

x

0

∫

4

1

x

e dx 2 x

π 2

cos x dx ∫ π sin x

f) h)

j)

6

k)

193

π 2

∫ e sin x dx 0

cos x

l)

∫

0

ln 2

∫

0

∫ ∫

0 π 4

∫-2

−1

∫

2 1

:‫ جد التكامالت االتية‬- 2

e− x dx

sec 2 x

π − 4

21

x

3x 2 + 4 dx x 3 + 4x +1

1

‫ جد‬- 1

2

2x dx x2 + 9

4

dy dx

( 2 + tan x ) 3

x −1 dx

x e− ln x dx

dx

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫‪ - 3‬اثبت ان‪:‬‬ ‫‪++111‬‬ ‫‪xxx+‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪==14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫=‪dx‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪3 x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪333‬‬

‫‪44‬‬

‫‪4‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪−−666 dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪==30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪b)∫∫−2 3x‬‬ ‫‪3x−‬‬ ‫=‪dx‬‬ ‫‪30‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−2‬‬

‫‪ f(x (- 4‬دالة مستمرة على الفترة [‪ ]-2 , 6‬فاذا كان ‪f (x)dx = 6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪∫∫ [f (x)+ 3] dx = 32‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−2‬‬

‫فجد ‪f (x)dx‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪−2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫‬

‫‪27‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪27‬‬

‫)‪a‬‬ ‫‪a)∫∫0‬‬ ‫)‪a‬‬

‫‪00‬‬

‫وكان‬

‫∫‬

‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ - 5‬جد قيمة ‪ a ∈ R‬اذا علمت أن ‪∫ 2 )dx = 2 ∫ sec2 xdx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪ - 6‬لتكن ‪ f(x) = x2 +2x+k‬حيث ‪ ، k ∈ R‬دالة نهايتها الصغرى تساوي (‪ )-5‬جد ‪f (x)dx‬‬ ‫‪ - 7‬إذا كان للمنحني ‪ f (x) = (x − 3)3 +1‬نقطة انقالب (‪ )a,b‬جد القيمة العددية للمقدار‬ ‫‪f ʹʹ(x)dx‬‬

‫‪194‬‬

‫‪a‬‬

‫∫‬ ‫‪0‬‬

‫‪f ʹ(x)dx −‬‬

‫‪b‬‬

‫∫‬ ‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫∫‬ ‫‪1‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫[‪ ]4-8‬إيجاد مساحة املنطقة املستوية‪.‬‬ ‫‪Plane Area by Definite Integral‬‬ ‫[‪ ]4-8-1‬مساحة املنطقة املستوية احملددة مبنحني ومحور السينات‬ ‫‪The area between the x-axis and the Curve‬‬ ‫لتكن )‪ y = f (x‬دالة مستمرة على الفترة ]‪ [ a, b‬ولتكن ‪ A‬مساحة املنطقة التي يحدها منحني الدالة‬ ‫ومحور السينات واملستقيمني ‪: x = a, x = b‬‬ ‫اذا كانت ‪ f (x) > 0‬فان املساحة ‪ A‬تساوي ‪f (x)dx :‬‬

‫‪b‬‬

‫∫‬

‫=‪A‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫إذا كانت ‪ f (x) < 0‬فان املساحة ‪ A‬تساوي ‪A = − ∫ f (x)dx :‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪y‬‬

‫ ‬

‫امل‬ ‫نحن‬

‫ي‬

‫‪x‬‬

‫‪b‬‬

‫)‪(x‬‬ ‫‪=f‬‬

‫‪y‬‬

‫‪a‬‬

‫الشكل (‪)4-23‬‬

‫وعندما يقطع منحني الدالة( ‪ y=f(x‬محور السينات في ‪ x=a ، x=b‬نتبع اخلطوات االتية ‪:‬‬ ‫خطوات ايجاد املساحة عندما ‪ f‬متتلك قيم موجبة وقيم سالبة على الفترة [‪:]a,b‬‬ ‫‪ .1‬جند النقاط عندما ‪. f(x)=0‬‬ ‫‪ .2‬نستخدم قيم ‪ x‬التي جتعل ‪ f=0‬كموقع على [‪ ]a,b‬لتحصل على فترات جزئية من [‪. ]a,b‬‬ ‫‪ .3‬جنري عملية التكامل على كل فترة جزئية‪.‬‬ ‫‪ .4‬جنمع القيم املطلقة للتكامالت في اخلطوة (‪.)3‬‬

‫‪195‬‬

‫التكامل‬ ‫مثال ‪-1 -‬‬ ‫ ‬

‫جد مساحة املنطقة احملددة مبنحني الدالة ‪f ( x ) = x 3 − 4x‬‬ ‫ومحور السينات وعلى الفترة [‪. ]-2,2‬‬

‫احلل‬ ‫اخلطوة االولى ‪ :‬جنعل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪Integration‬‬

‫‪f ( x) = 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪∴ x − 4x = 0‬‬

‫‪x ( x 2 − 4) = 0‬‬

‫‪44)) == 00‬‬ ‫‪x = 0 orx =x 0= 2ororxxx=x((x2=x−−‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪or44))x((xx=++−2‬‬ ‫‪∴ x = 0 or, x = 2 or, x = −2‬‬

‫اخلطوة الثانية ‪ :‬فترات التكامل هي ‪]0,2[ ، ]-2,0[ :‬‬ ‫اخلطوة الثالثة ‪:‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪⎡ x 24‬‬ ‫⎤‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪⎥ = 0 − [4 − 8] = 4‬‬ ‫‪) ⎢⎣ 4‬‬ ‫( ‪A1= ∫ −2‬‬ ‫‪⎦−2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪⎡ x 24‬‬ ‫⎤‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪⎥ = [ 4 − 8 ] − 0 = −4‬‬ ‫‪) ⎢⎣ 4‬‬ ‫( ‪A2= ∫ 0‬‬ ‫‪⎦0‬‬ ‫‪3‬‬

‫ ‬

‫‪196‬‬

‫‪2‬‬

‫اخلطوة الرابعة‪ :‬جمع القيم املطلقة للتكامالت‬ ‫وحدة مربعة ‪A= |A1|+|A2| ⇒ A = 4 + −4 = 4 + 4 = 8‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬ ‫‪y‬‬

‫مثال ‪-2 -‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪x2‬‬

‫جد مساحة املنطقة التي يحدها مخطط الدالة ‪y = x2‬‬ ‫ومحور السينات واملستقيمان ‪. x = 1 , x = 3‬‬ ‫احلل‬ ‫نقاطع الدالة مع محور السينات بجعل ‪.y = 0‬‬ ‫]‪∴ x 2 = 0 ⇒ x = 0 ∉ [1, 3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪3‬‬

‫∴ ال جتزئة لفترة التكامل‬ ‫]‪∵f(x)≥ 0 , x ∈ [1,3‬‬ ‫ ‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫الشكل (‪)4-24‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪⎡ x 3 ⎤ 27 1 26‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ⎥ ⎢ = ‪x dx‬‬ ‫= ‪−‬‬ ‫وحدة مساحة ‪= 8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎣ 3 ⎦1 3 3 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫مثال ‪-3 -‬‬ ‫جد املساحة احملددة مبنحني الدالة‬ ‫‪ f (x) = x 3 − 3x 2 + 2x‬ومحور السينات‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫احلل‬ ‫نبحث عن نقاط التقاطع مع محور السينات أي عندما ‪y = 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫∫‬

‫=‪A‬‬

‫‪1‬‬

‫‪y‬‬

‫‪0‬‬

‫الشكل (‪)4-25‬‬

‫‪∴ x 3 − 3x 2 + 2x = 0 ⇒ x(x −1)(x − 2) = 0‬‬ ‫‪∴ x = 0, x = 1, x = 2‬‬ ‫∴ فترات التكامل هنا ‪]1,2[ ، ]0,1[ :‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪⎡ 2x 4 3 3 2 2 ⎤ ⎡ x 4‬‬ ‫⎤‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x)dx‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x)dx‬‬ ‫∫ =‪A1‬‬ ‫∫⎢‬ ‫⎢ ⎥‬ ‫⎥‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⎣‬ ‫⎦‬ ‫⎣‬ ‫‪⎦1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪116 1 1‬‬ ‫= ‪− (0) =+ ( + − =8 + 4) − ( −1+1) = +‬‬ ‫)‪= ( −1+1) − (0) + ( A−18==+ (4) −−1+1‬‬ ‫)‪( −1+1‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 4 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪444 2‬‬

‫‪197‬‬

‫التكامل‬ ‫‪2‬‬

‫‪Integration‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪21‬‬

‫‪⎡3x 4 2 3 2 ⎤ ⎡⎡xx44 33 22⎤⎤ ⎡ x 4‬‬ ‫⎤‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪− x ++2x)dx‬‬ ‫⎥ ‪x ⎥ += ⎢⎢ −−xx ++xx ⎥⎥ + ⎢ − x + x‬‬ ‫‪x − 3x + 2x)dx2 + ∫ =(x⎢ − 3x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⎣‬ ‫‪⎦0 ⎣⎣ 44‬‬ ‫‪⎦⎦10 ⎣ 4‬‬ ‫‪⎦1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 - 111+ 11) 1 11 1 1 16 16‬‬ ‫‪116‬‬ ‫‪16‬‬ ‫)‪=(0‬‬ ‫)‪(−4(+-1 8(−1+1‬‬ ‫)‪+ 4−)8-+=(4‬‬ ‫)‪= ( −1+1) − (0)= +( ( −1+1‬‬ ‫=‪−A82‬‬ ‫)‪+−4‬‬ ‫)‪−+ ( =−1+1‬‬ ‫)‪= ( = −1+1‬‬ ‫)‪=( −1+1‬‬ ‫)‪+ −=(0‬‬ ‫)‪− (0‬‬ ‫‪+ ( + (− 8 +− 48‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪4 44 2 4 44 4 2‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫|‪A= |A1|+|A2‬‬

‫‪1616 16 161 1 31 1 121113 1 1-1112 111 1 1 116 1216 16‬‬ ‫‪16 21 1 1 11 1 111 1 1 11 1‬‬ ‫مساحة‬ ‫)‪+−1+1‬‬ ‫)‪−+((0‬‬ ‫)‪( −+−−8((0‬‬ ‫)‪8+ +4)+−4)−8(−(+(4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪−1+1‬‬ ‫‪8−xA‬‬ ‫)‪+( 4‬‬ ‫)‪−1+1‬‬ ‫‪=−∫(=((x‬‬ ‫)‪=++−1+1‬‬ ‫)‪−1+1‬‬ ‫‪(2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=−=(3x‬‬ ‫=‬ ‫)‪−1+1‬‬ ‫⇒‪−(+‬‬ ‫)‪=(0‬‬ ‫)‪=−1+1‬‬ ‫‪−x(x‬‬ ‫)‪+(0‬‬ ‫‪−(−1)(x‬‬ ‫)‪(0‬‬ ‫)‪(0‬‬ ‫‪8(x‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫)‪+−3+2‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫=‪8(−‬‬ ‫‪+3x‬‬ ‫وحدة‪−‬‬ ‫)‪84‬‬ ‫)‪8−1+1‬‬ ‫)‪(+−4‬‬ ‫)‪(−1+1‬‬ ‫)‪−−1+1‬‬ ‫)‪(= −1+1‬‬ ‫= =‪=+ =+= =+= +‬‬ ‫)‪∴−1+1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪==+‬‬ ‫)‪0−1+1‬‬ ‫)‪0(+−+−4‬‬ ‫==‬ ‫‪2x)dx‬‬ ‫‪+=−(−∫+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2x)dx‬‬ ‫‪44 4‬‬ ‫‪44 4 4 0 4444 4 4442 244 4 2 4 4 21 4 4 4 4 4 4 44 4 442 4 2 42 2‬‬

‫مثال ‪-4 -‬‬

‫جد مساحة املنطقة احملددة باملنحني ‪ f (x) = x 2 −1‬ومحور السينات وعلى الفترة ]‪. [−2, 3‬‬

‫احلل‬ ‫جند تقاطع املنحني مع محور السينات‬ ‫‪x 2 −1 = 0‬‬ ‫]‪∴ x = ±1 ∈ [−2, 3‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪x=3‬‬

‫∴ جنزيء فترة التكامل الى الفترات اجلزئية اآلتية ‪:‬‬

‫‪x=-2‬‬

‫[‪]-2,-1[ ، ]-1,1[ ، ]1,3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪A3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪A2‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪-2 -1‬‬

‫الشكل (‪)4-26‬‬

‫‪198‬‬

‫التكامل‬

Integration 11

: ‫جند التكامالت‬

33

⎡⎡x1x33 2 ⎤⎤ ⎡⎡xx333 ⎤2⎤ ⎡⎡xx33 ⎤⎤ 22 22 22 22 22 xx⎥⎥ −1)dx ++ ⎢⎢ −−xx⎥⎥ == ++ ++ ++ ++ 66++ A1∴ = ∫ (x −1)dx==+⎢⎢∫ (x−−xx−1)dx ⎥⎥ ++ ⎢⎢+ ∫−−(x 33 ⎣⎣−133 ⎦⎦−2−2 ⎣⎣ 331 ⎦⎦−1−1 ⎣⎣ 33 ⎦⎦11 33 33 33 33 −2 −1

−1 −1

2

1

3

1

3

−1 3 3 ⎡ ⎤ x1⎤31 ⎡ x⎡⎤3x 3 ⎤⎡⎤x3 3 ⎡ x23⎤ 2 ⎤ 22 222 2 2 222 2 ⎡_x13 ⎡ x 3⎤1 ⎡-⎤x⎡2 22 x 8 2⎢⎥ −++ 4x⎥+− x=⎥+ =++ +++ 6+ ++ + + +6 + =+x+ x−9⎢⎥x⎥ +=−+⎢x‫ــــــــ‬ x⎥‫ـــــــــ‬ 6+ +2 − x⎥ − − x⎢2⎥ +==⎢−‫ــــــــــــ‬ + ⎢6⎥‫ـــــــــ‬ ⎢ −= A1===⎢1=3 ⎢+1 333 ⎣⎦−23⎦−1 ⎣ 33⎣⎦ 3 ⎦−1 ⎣ 3 ⎣ 3⎦3−2 ⎣ ⎦3⎣−2 33 ⎣3⎦13 ⎣ 33 ⎦1 3 ⎦1 33 333 3 3 333 3 −1

−1

−1

1

3

⎡ x23 ⎤ ⎡⎡3xx33 2 ⎤⎤−1 ⎡⎡xx33 ⎤⎤1 2⎡ x 32 ⎤23 22 2 22 2 2 − x⎥ += ⎢⎢∫ (x−−−1)dx xx⎥⎥ ++⎢⎢ −−xx⎥⎥ =+ ⎢ + −+x⎥ += ++ 6 ++ + + 6 + A2=+ =∫ ⎢(x −1)dx ∫ (x −1)dx 3 ⎦−2 ⎣⎣1 33 ⎦⎦−1−2 ⎣⎣ 33 ⎦⎦1−1 3⎣ 3 3 ⎦31 33 3 33 3 −2 −1 ⎣ 3 −1

1

2

−1

−1 −1 1 1 3 3 −1 3 13 3 3−11 3 3 3⎤31 3⎤13⎤ 3 ⎡ 3⎤3 ⎡ x 3⎤ ⎤⎡ x13 ⎡ x13⎤ ⎤2⎡ x⎡ 3x13⎡⎡1xx3⎤3⎤1−1 ⎡⎤-⎤2x⎡−1231x 3 22⎤⎡−1x1⎤3132 ⎡⎡xx⎡23⎤231x 3 2⎤⎡1⎡−1⎡x⎤xx33233⎡⎡⎡xx2x34⎤32⎤−1 ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ x 2 2 2 x x 2 x 2 x x 2 2 +222 +22 2 x+ 22 +22− 2 x2 2−=x222 2+ ‫ـــــــــ‬ = −⎢ x⎥ − x+=⎥⎢1 ++1 −⎢ x⎥ + −A6x+= + − x − = x + = = + = − + x − + x + 6 + + + 6 − + x − = + = − + − x + − =x⎥ + = = − x + + x = + + + + 6 + = − x + − x + − x +1 =⎢== − x + − x − x = + + + 6 = − x + + − x = + + 6 + ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 +1 + 6 = 9 9 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎥ 33 333⎥ 3 ⎣ 3⎦−2 ⎦−2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 ⎣ 33 ⎣ 33⎦−1 2 ⎦3−1 ⎣ ⎣3 33⎣⎣333⎦1⎦3−2 ⎣⎦1⎦33⎣−2333 33⎦⎣−23⎦3−13 ⎣⎣ 33⎣3⎦3−1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ 3 3 3 3 3 3 ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣−21 ⎦−21−1 1−2−1 −1 −2 −11 1 −11 1 3

1

3

−1 1 3 3 ⎡ 3 3 33 3 3 ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x x x 2 2 2 2 2 x x x 2 2 2 2 2 x+⎥ ∫+(x⎢2 −1)dx − x⎥ =+ ⎢⎢ −−xx⎥⎥ = + ⎢ + − x+⎥ + ⎢ + −6 x+⎥ = + + + + 6 + ∫ (x=2 ⎢⎣−1)dx A−3= 3 3 ⎦−2 1 ⎣ 3 ⎦−1 ⎣⎣ 33 ⎦⎦−21 ⎣33 3 ⎦−13 ⎣3 3 ⎦3 3 3 1 3 3 −1 −11 3 3 3 3 ⎤ ⎡x ⎤ ⎡x ⎤ 1 -111 ] 12 21 ⎡‫ــــــــــــ‬ 1x 2 20 = 6 + A3= [9 - 3 ] -=[1 =+1 + 6 = 9 1 +1 + 6 ==9⎢ − x⎥ + ⎢ − x⎥ + ⎢ − x⎥ = + 3 33 33 33 ⎣333 3 ⎦−2 ⎣ 3 ⎦−1 ⎣ 3 ⎦1 1

−1

A= |A1|+|A2|+|A3| : ‫جنمع القيم املطلقة للتكامالت‬

−1 3 16 11 31 1‫ــــــــــــ‬ 1421213 1111 2‫ــــــــــــ‬ 16 11216 1 ⎤11 111⎡1x13 11 1⎤13 11 121 12 1 ⎡ x16 ⎤ 211616 ⎡1x 316 41 1 1120 16 1 3 0) + ( −−(0) 8 ++4)( =− 1(−∴ + =−9(3x −1+1) (0) −(= − (−1+1) (0) (−+−(0) 4) 8− −+⎥8−4) 4) −1+1) (⎢+− 8(‫وحدة‬ −1+1) =x+−⎥4) = +−−1+1) ==0−−1+1) x(x −1)(x 2) = 0(+((0) +1 =(2x 1− ==+−3x +⇒ (x +−+ −1+1) 8−1+1) +xA4)− −1+1) = =2x)dx ++(0) (‫ـــــــــ‬ = =+−1+1) (=−(∫+⎢89−1+1) −− (0) +‫مساحة‬ (2x)dx −+−8−1+1) 4) −8 + (=+ −4) (⎢=−1+1) (−+=x−1+1) x+3x ∫6((=43(x=34+−1+1) ‫ـــــــــــ‬ ⎥2== =2+ =+ = +=+ 3 3 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 3 3 3 4 4 444 241 ⎣ 3 3 ⎦ 4 ⎣ 3 4 ⎦ 4 ⎣43 4 ⎦ 4 434 43 2 0 4 −2

199

−1

1

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫مثال ‪-5 -‬‬ ‫⎤ ‪⎡ π‬‬ ‫جد مساحة املنطقة احملددة مبنحني الدالة ‪ y = sin x‬ومحور السينات وعلي الفترة ⎦⎥ ‪⎢⎣− , π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎤ ‪⎡ π‬‬ ‫احلل‬ ‫جند نقاط تقاطع الدالة مع محور السينات وعلى الفترات ⎥ ‪. ⎢− , π‬‬ ‫⎦ ‪⎣ 2‬‬ ‫‪∵ sin x = 0 ⇒ x = 0 + n π , n∈ N‬‬ ‫⎤ ‪⎡ π‬‬ ‫⎥ ‪0 ∈ ⎢− , π‬‬ ‫⎦ ‪⎣ 2‬‬ ‫⎤ ‪⎡ π‬‬ ‫⎥ ‪π ∈ ⎢− , π‬‬ ‫⎦ ‪⎣ 2‬‬ ‫⎤ ‪⎡ π‬‬ ‫⎥ ‪2π ∉ ⎢− , π‬‬ ‫⎦ ‪⎣ 2‬‬ ‫⎤ ‪⎡ π‬‬ ‫⎥ ‪−π ∉ ⎢− , π‬‬ ‫⎦ ‪⎣ 2‬‬ ‫⎤ ‪⎡ π‬‬ ‫⎥ ‪−2π ∉ ⎢− , π‬‬ ‫⎦ ‪⎣ 2‬‬

‫∴ جنزيء فترة التكامل الى الفترات اجلزئية االتية‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫منحني اجليب‬ ‫‪x‬‬

‫‪2π‬‬

‫=‪n = 1 ⇒ x‬‬ ‫⇒‪nsin=x =2 0‬‬ ‫=‪⇒ x‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫=‪n =-1 ⇒ x‬‬ ‫=‪n =-2 ⇒ x‬‬

‫[‬

‫‪0‬‬

‫‪[π‬‬

‫‪π‬‬

‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+1‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪π‬‬

‫‪A2‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪-1‬‬

‫الشكل (‪)4-27‬‬

‫‪200‬‬

‫=‪∴ n = 0 ⇒ x‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−π‬‬

‫‪3π‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪−2π‬‬ ‫‪−‬‬

0

∫

0 0

0

− cos x ] ∫sinsinx xdxdx= [=−[cos x] 0

π − π 2 − 2

0

− Integration π 2 −

[ ] ∫∫ sin sin xx dx dx == [−− cos cos xx ]

π

2

0 0 π −π −2 2

‫التكامل‬

π = − cos(0)+ cos(− ) π A1= π = − cos(0)+ cos(− ) 2 −π −2 0 2 2 0 = −1− 0 π ∫ sin x dx = [− cos= −x]cos(0)+ π = −1− 0 π − cos(− )) π 2 = − cos(0)+ cos(− − = −1 2 A21= -1+0 = -1 = −1 2 π == π−1− 00 π π −1− = − cos(0)+ cos(− ) [− cos x] sin x dx = ∫ π 0 sin x dx =2 [− cos x]0 == ∫−1 0 −1 π = −1− 0 0 = − cos π + cos 0 π π A2= ∫ sin π cos π + cos 0 dx == [− [− cos cos x] x]00 = − ∫0 sin=xx−1dx = 1+1 0 = 1+1 π π = − cos π + cos =002 − cos π + cos ∫ sin x dx = [− cos= x] 0 =2 A0 2= 1+1=2 == 1+1 ∴ A = −1 +2 1+1 ∴ A = −1 + = − cos=π2+ cos=03 2 =2 =3 = 1+1 A= |A∴ |+|A | 1 A =2 −1 + 2 ∴ A = −1 + 2 == 23 =3 ∴ A = −1 + 2 ⇒ A= 3 ‫وحدة مساحة‬

: ‫ثم جند التكامل كما يأتي‬

=3

-6 - ‫مثال‬

[−π, π ] ‫ ومحور السينات وعلى الفترة‬y = cos x ‫جد مساحة املنطقة احملددة مبنحني الدالة‬

∴

n = 0 ⇒ x= n = -1 ⇒ x= ∴x = n = 1 ⇒ x= n = -2 ⇒ x=

‫احلل‬ :‫جند نقاط تقاطع الدالة مع محور السينات‬ π + nπ , n∈ n ∈N I cos x = 0 ⇒ x = π 2 ∈ [−π, π ] 2 π − ∈ [−π, π ] 2 3π ∉ [−π, π ] 2 3π − ∉ [−π, π ] 2 ‫جنزيء فترة التكامل الى الفترات اجلزئية االتية‬

⎡ π ⎤ ⎡ π π ⎤ ⎡π ⎤ −π ,− ⎢⎣ ⎥ , ⎢− , ⎥ , ⎢ , π ⎥ 2⎦ ⎣ 2 2⎦ ⎣2 ⎦

201

‫التكامل‬

Integration y

‫منحني اجليب متام‬ 3π − 2

−2π

−π

A1

A2 π − 2

π

0

π 2

A3

3π 2

x

2π

)4-28( ‫الشكل‬ ππ −− 22

ππ −− 22 −π−π

cosxxdx dx==[ [sin sinx]x] ∫∫cos

π − 2

π 2 −π 00 ππ −−−−πππ π− 2π −−π −2222 −π −π2 −π 2 −π

: ‫جند التكامالت‬ ∫ cos x dx = [ sin x] ππ ππ [[−−xcos sinxxAdx dx cos sin xdx dxxx=]]=[−[−cos cosxx] ] ==sin− =∫∫==sin sin− − sin− π = −sin sinππ==−1+ −1+00==−1 −1 − sin− π = −sin ++sin ∫∫ sin x dx = [ sin x] cos x dx = [ sin x] cos x dx = [ sin x] cos x dx = [ sin x] ∫∫∫∫cos π π 2 2 2 2 cos x dx ==[ sin sin−x] − sin− π = −sin + sin π = −1+ 0 = −1 00

ππ −− 22

1

0−− 0π−ππππ − − 222−π 2 2

ππ −− −π −π −π 2−π 2−π

−π−π

00 ππ −− 22

−

2 2 ππ πππππ π π π π π 0 2 π π++++sin 2 sin− sin− =x= A== ===− [sin− ]−sin sin− ππππ −sin −1+ −1 = −dx sin− −sin sinπππππ=====−1+ −1+00000=====−1 −1 sin− sin− −sin sin −1+ −1 ==−−cos(0)+ cos(0)+ cos(− cos(− )− )dx [sin sin x] cos(0)+ cos(0)+ )===)x] sin xcos dx =−−cos(− −==cos cos xx− [π πcos(− ∫sin− 1∫− ∫sin− = sin− −sin +sin sin −1+ −1 π ππ − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 π ππ 2 cos x dx x] − −=− [ sin 2 π ππππ∫ 2 2 2 π−1− =2= −1−00 ==−1− −1−00 πππππ− 2 222− π 2 2 ππ πππ 2222 cos x dx = [ sin x] cos x dx = [ sin x] cos x dx = [ sin x] cos x dx = [ sin x] 2ππ −= ∫=∫∫∫−1 = sin − sin− 1+11==22 π = cos(0)+ cos(− sin − sin− =)=1+ π A2== −1 cos x dx =−1[ sin x]−−−−π ==−1 π π ππππ − 2 2 2 2 2 2 2 2 − −π =π sin −22 sin− = 1+ 1 = 2 ππ π π−−− 2222 π 2 2π π= −1− 02 π π ππ sinxx dx dx∫∫==sin [− [−xcos cos x] x] sin xdx dx ==π0π0[−[−cos cos x] x] ∫∫ sin 0x0dx π π cos dx = [ sin x] = sin π − sin −1 cos x = [ sin x] = sin π − sin ==00−−11==−1 π π π π π π ∫ ∫ π π π π−−−−sin− π =====sin = 1+ 1 = 2 sin sin− = 1+ 1 = 2 00 sin sin− = 1+ 1 = 2 sin sin− = 1+ 1 = 2 00 π 2 2 π −1 π −=sin− 1+sin 2 21 = 2= 0 − 1 = −1 cos x dx =π sin [ sin 22222x] 22222 π= − A3= ==−∫−cos π = sin 2 2 cosππ=++=π− cos cos 00ππ++cos −cos cos cos 00 2 πππππ 2 π π π π π π π π π π 2 sin x x] dx cos x] cos [[[[sin πππππ−− cos dx ==== x] sin sin −1 cosxxxxxdx dx [sin sin x]πππππ=====[− =sin sin sin π=====00000−−−−−11111=====−1 −1 cos dx sin x] sin −−−sin sin −1 0sin ∫=∫=∫∫1+1 1+1 ==∫=1+1 1+1 cos dx sin x] sin −1 π 2 2 2 2 0 ππππ 2222 2 π 2 2= 2222 = 2 = = 2 2 = − cos π‫املطلقة‬ + cos‫القيم‬ 0 ‫جند مجموع‬ A= |A2 1|+|A2|+|A3| :‫للتكامالت‬ ∴ ∴AA== −1 −1∴∴ ++A2A 2==−1 −1++22 = 1+1 0

π 2

==33

ππ 22

==33

=2 ∴AA== −1 −1++ 22 + −1 A = −1 + 2 + −1 = =1+3 2 +1 = 4 ‫وحدة مساحة‬ = 1+ 2 +1 = 4

202

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫[‪ ]4-8-2‬مساحة املنطقة احملددة مبنحنيني‬ ‫سبق وأن درسنا كيفية أيجاد املساحة بني منحني دالة ومحور السينات ومستقيمني واآلن سندرس كيفية‬ ‫إيجاد مساحة املنطقة احملصور بني منحنيني ‪:‬‬ ‫لتكن )‪ g(x), f (x‬دالتني مستمرتني على الفترة ]‪ [ a, b‬فان مساحة املنطقة ‪ A‬احملصورة بني املنحنيني‬ ‫جندها كما يأتي‪:‬‬ ‫‪b a‬‬ ‫‪)1‬اذا كان ( ‪ f (x) > g (x‬في الفترة [‪ ]a,b‬فاملساحة ‪ A‬هي ‪A = ∫ ∫ [f (x) − g(x)]dx‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪b a‬‬

‫‪)2‬اذا كانت ( ‪ f (x) < g (x‬في الفترة [‪ ]a,b‬فاملساحة ‪ A‬هي ‪A = - ∫ ∫ [f (x) − g(x)]dx‬‬ ‫‪a b‬‬

‫‪ )3‬اذا تقاطع املنحنيان بني [‪ ]a,b‬جند نقاط التقاطع وذلك بجعل ( ‪ f (x) = g (x‬ثم جند قيم ‪ x‬التي‬ ‫تنتمي الى (‪ )a,b‬وجنزئة [‪ ]a,b‬الى فترات جزئية ثم جند تكامل الفرق بني الدالتني في كل فترة جزئية‬ ‫ثم بعد ذلك جند مجموع مطلق التكامالت والتي متثل املساحة املطلوبة ‪.‬‬ ‫مثال ‪-1 -‬‬ ‫جد مساحة املنطقة احملددة باملنحني ‪ y = x‬واملستقيم ‪y = x‬‬ ‫احلل‬

‫‪x‬‬

‫=‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫=‪y‬‬

‫جند تقاطع املنحنيني‪x = x :‬‬

‫‪y‬‬

‫الشكل(‪)4-29‬‬ ‫‪∴ x = x 2 ⇒ x(x −1) = 0‬‬

‫]‪∴ x = 0, x = 1 ⇒ x ∈ [0,1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫⎤ ⎤‪⎡ 2⎡ 2 3 3 x 2x⎤2 ⎤ ⎡ 2⎡ 2 1 1‬‬ ‫‪)dx==⎢ ⎢ x xx 3−− ⎥ ⎥ ==⎢ ⎢ −− ⎥ −⎥ −[0[0] =] =11‬‬ ‫‪A ==∫ ∫( ( x x−−x )xdx‬‬ ‫⎦ ⎦‪⎣ 3⎣ 3 2 2 2 2⎦0⎦0 ⎣ 3⎣ 3 2 2‬‬ ‫‪66‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫وحدة مساحة =‬ ‫‪6 6‬‬

‫= ‪∴A‬‬

‫‪203‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫مثال ‪-2 -‬‬ ‫جد مساحة املنطقة احملصورة بني املنحني ‪ y = x 3‬واملستقيم ‪y = x‬‬ ‫احلل‬

‫‪y‬‬ ‫‪y= x‬‬ ‫‪y=x3‬‬ ‫‪A2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪A1‬‬

‫الشكل (‪)4-30‬‬ ‫تقاطع الدالتني‬

‫ ‪x 3 = x‬‬ ‫‪x 3 − x = 0 ⇒ x(x − 1)(x + 1) = 0‬‬ ‫]‪x = 0, x = 1, x = −1 ⇒ [−1,0 ] , [0,1‬‬ ‫‪− x)dx‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪∫ (x‬‬

‫‪− x)dx +‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪∫ (x‬‬

‫= ‪A = A1 + A2‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪00‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪⎡x‬‬ ‫‪⎡x‬‬ ‫⎤ ‪x‬‬ ‫⎤ ‪x‬‬ ‫⎥ ‪=⎢ − ⎥ +⎢ −‬‬ ‫‪⎣ 4 2 ⎦ −1 ⎣ 4 2 ⎦ 0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪11 11 1 11 11 1‬‬ ‫‪11 11 111 1‬‬ ‫)‪==00=−−(0( −−(− (−++( (+−(− −(−(0‬‬ ‫)‪(0‬‬ ‫)‪− (0‬‬ ‫وحدة مساحة = =‪== =++ +=-‬‬ ‫‪44 422 2 44 422 2‬‬ ‫‪44 44 422 2‬‬

‫‪204‬‬

+ cos x ]

‫التكامل‬

Integration

-3 - ‫مثال‬ ‫ وعلى الفترة‬g(x) cosx ‫جد مساحة املنطقة احملددة باملنحنيني‬ == sinsix, x, f (x) = cayx g(x) ⎡ π π⎤ ⎢⎣− , ⎥⎦ 2 2 ‫احلل‬ sin x = cos x ⇒ tan x = 1 ‫تقاطع الدالتني‬ π ⎡ π π⎤ ∈ ⎢− , ⎥ 4 ⎣ 2 2⎦

∴x =

5π ⎡ π π ⎤ ∉ ⎢− , ⎥ ⎣ 2 2⎦ 4 ⎡ π π ⎤ ⎡π π ⎤ ⎢⎣− , ⎥⎦ , ⎢⎣ , ⎥⎦ 2 4 4 2

A= |A1|+|A2| π 4

π 2

π 2

π 4

∫ (cos x − sin x)dx + ∫ (cos x − sin x)dxi

∴A =

−

= [sin x + cos x ] π 2

π − 4

= (sin A=

205

‫∴جنزئ التكامل‬

π 4 π − 2

+ [sin x + cos x ]

π 2 −

π 4

= (sin

π π π π + cos ) − (sin + cos− 4 4 2 2

π π π π π π −ππ -π + cos ) − (sin + cos− ) + (sin + cos ) − (sin + cos ) 2 2 4 4 4 4 2 22

2 + 1 + 1− 2 == 2.4 0.4 =22.8 2 ++1+ − 1 = 2 2 ‫وحدة مساحة‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫[‪ ]4-8-3‬املسافة ‪The Distance‬‬ ‫مستو فأن املسافة املقطوعة في الفترة الزمنية‬ ‫لتكن (‪ V(t‬سرعة جسم يتحرك على خط مستقيم وفي‬ ‫ٍ‬ ‫‪t‬‬ ‫[‪ ]t1, t2‬هي ‪:‬‬ ‫‪d = ∫ V (t) dt‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪t1‬‬

‫حيث ‪ d‬متثل املسافة‪ ،‬املسافة كمية غير متجهة أما االزاحة والسرعة والتعجيل فان ك ً‬ ‫ال منها كمية متجهة لذا‬ ‫فان االزاحة (‪: )S‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪∫ V (t) dt‬‬

‫=‪S‬‬

‫‪t1‬‬

‫مثال ‪-1 -‬‬ ‫جسم يتحرك على خط مستقيم بسرعة ‪V (t) = 2t − 4 m/ s‬‬ ‫فجد‪:‬‬ ‫‪ )a‬املسافة املقطوعة في الفترة [‪]1,3‬‬ ‫‪ )b‬االزاحة املقطوعة في الفترة [‪]1,3‬‬ ‫‪ )c‬املسافة املقطوعة في الثانية اخلامسة‬ ‫‪ )d‬بعده بعد مضي (‪ )4‬ثواني من بدء احلركة‪.‬‬ ‫احلل‬ ‫من الواضح أن اجلسم يغير اجتاهه‬

‫ ‬

‫ ‬

‫(‪a‬‬

‫]‪∴ 2t − 4 = 0 ⇒ t = 2 ∈ [1, 3] ⇒ [1, 2] , [ 2, 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪− 4t ]1 + ⎡⎣t 2 − 4t ]2‬‬

‫ ‬

‫‪206‬‬

‫‪2‬‬

‫‪43‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪∫ (2t − 4)dt + ∫ (2t − 4)dt = ⎡⎣t‬‬

‫= ‪∴d‬‬

‫‪= (4 − 8) − (1− 4) + (9 − 12) − (4 − 8) = 1+ 1 = 2m‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬ ‫‪43‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪[16−12]−[1−‬‬ ‫]‪−16]− [ 0 ]4‬‬ ‫‪= =0 0‬‬ ‫‪(2t‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4)dt‬‬ ‫=‬ ‫‪[t‬‬ ‫‪−‬‬ ‫]‪4t‬‬ ‫‪= [9‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪01‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪(2t − 4)dt = [t 2 − 4t]54 = [ 25, 20 ] − [16 −16 ] = 5m‬‬ ‫‪(2t − 4)dt = [t 2 − 4t]04 = [16 −16]− [ 0 ] = 0‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬

‫∫‬

‫= ‪b) ds‬‬

‫∫‬ ‫∫‬

‫= ‪b) d‬‬ ‫)‪c‬‬

‫)‪d‬‬ ‫= ‪b) s‬‬

‫مثال ‪-2 -‬‬ ‫‪82))m‬‬ ‫‪m//sec‬‬ ‫جسم يتحرك على خط مستقيم بتعجيل قدره ‪s 2‬‬ ‫‪ ((18‬فأذا كانت سرعته قد أصبحت ‪(82) m / s‬‬ ‫‪2‬‬

‫بعد مرور ‪ 4‬ثواني من بد احلركة جد‪:‬‬ ‫‪)a‬املسافة خالل الثانية الثالثة‬ ‫‪)b‬بعده عن نقطة بدء احلركة بعد مرور ‪ 3‬ثواني‬ ‫احلل‬

‫‪V = ∫ a (t )dt ⇒ v = ∫ 18dt‬‬ ‫‪V = 82,t = 4‬‬

‫(‪a‬‬

‫‪∴V = 18t + c‬‬

‫‪∴82‬‬ ‫⇒‪4)))+++ccc‬‬ ‫‪⇒ccc===10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪∴82 == ((18‬‬ ‫‪18×× 44‬‬ ‫⇒‬ ‫‪10‬‬ ‫‪∴V = 18t +10‬‬ ‫مبا أن‬

‫‪18t +10 > 0 ⇒ t > 0‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪∴d = ∫ (18t +10 ) dt = ⎡⎣9t +10t⎤⎦ = [81+3 30 ] − [36 + 20 ] = 55m‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫⎦⎤‪+10t‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪∫ (18t +10) dt = ⎡⎣9t‬‬ ‫‪0‬‬

‫=‪S‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪+10t⎤⎦ = [ 81+ 30 ] − [ 0 ] = 111m‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪∫ (18t +10) dt = ⎡⎣9t‬‬

‫= ‪b) S‬‬

‫‪0‬‬

‫‪= [ 81+ 30 ] − [ 0 ] = 111m‬‬

‫‪207‬‬

‫‪)4‬‬

‫مارين (‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬

‫ت‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪ .1‬جد املساحة احملددة باملنحني ‪ y = x − x‬ومحور السينات واملستقيمني ‪. x=1 , x=-1‬‬

‫‪.2‬جد املساحة احملددة بالدالة ‪ f ( x ) = x 4 − 3x 2 − 4‬وعلى الفترة ]‪ [−2,3‬ومحورالسينات‪.‬‬ ‫‪ .3‬جد املساحة احملددة بالدالة ‪ f ( x ) = x 4 − x 2‬ومحور السينات‪.‬‬ ‫‪ .4‬جد املساحة احملددة باملنحني ‪ y=sin 3x‬ومحور السينات وعلى الفترة ⎤ ‪⎡ π‬‬ ‫⎦⎥ ‪⎢⎣0,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪ .5‬جد املساحة احملددة باملنحني ‪ y = 2cos 2 × −1‬ومحور السينات وعلى الفترة ] ‪.[0,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .6‬جد املساحة احملددة بالدالتني ‪x − 1‬‬

‫= ‪ y = 1 x, y‬وعلى الفترة ] ‪[2,5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ .7‬جد املساحة احملددة بالدالتني ‪. y = x , y = x − 12‬‬

‫‪ .8‬جد املساحة احملددة بالدالتني ‪ g ( x) = sin x cos x, f ( x) = sin x‬حيث ] ‪x ∈ [0,2π‬‬ ‫⎤ ‪⎡ 3π‬‬ ‫‪ .9‬جد املساحة احملددة بالدالتني ‪ g ( x ) = sin x, f ( x ) = 2sin x + 1‬حيث ⎥ ‪x ∈ ⎢0,‬‬ ‫⎦‪⎣ 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .10‬جد املساحة احملددة بالدالة ‪ y = x + 4x + 3x‬ومحور السينات‪.‬‬

‫‪208‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫‪ .11‬جسم يتحرك على خط مستقيم بسرعة ‪ v (t ) = (3t 2 − 6t + 3) m / s‬إحسب‪:‬‬ ‫‪ )a‬املسافة املقطوعة في الفترة ] ‪[2, 4‬‬ ‫‪ )b‬االزاحة في الفترة ]‪[0, 5‬‬ ‫‪ .12‬جسم يتحرك على خط مستقيم بتعجيل قدره ‪ ( 4t + 12) m / s‬وكانت سرعته بعد مرور (‪ )4‬ثواني‬ ‫تساوي ‪ 90m / s‬إحسب‪:‬‬ ‫‪ )a‬السرعة عندما ‪t=2‬‬ ‫‪)b‬املسافة خالل الفترة [‪]1,2‬‬ ‫‪ )c‬االزاحة بعد (‪ )10‬ثواني من بدء احلركة‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪v (t ) = ( 3t100t‬‬ ‫‪− 6t−+t 3)m‬‬ ‫‪m// sec‬‬ ‫‪ .13‬تتحرك نقطة من السكون وبعد ‪ t‬ثانية من بدء احلركة أصبحت سرعتها ‪s‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫أوجد الزمن الالزم لعودة النقطة الى موضعها االول الذي بدأت منه‪ ،‬ثم احسب التعجيل عندها‬

‫(‬

‫‪209‬‬

‫التكامل‬

‫[‪ ]4-8‬احلجوم‬

‫‪Integration‬‬

‫الدورانية‪Volumes of Revolution :‬‬

‫‪ .1‬حلساب حجم الشكل املتولد من دوران املنطقة احملددة بني منحني الدالة‬ ‫‪ x=a‬الى ‪ x=b‬حول محور السينات‬

‫)‪y = f ( x‬‬

‫املستمرة من‬

‫‪b‬‬

‫‪V = π ∫ y2 dx‬‬

‫نطبق العالقة التالية‬

‫‪a‬‬

‫‪ .2‬حلساب حجم الشكل املتولد من دوران املنطقة احملددة بني منحني الدالة‬ ‫‪ y= a‬الى ‪ y=b‬حول محور الصادات‬

‫)‪x = f ( y‬‬

‫املستمرة من‬ ‫‪b‬‬

‫‪V = π ∫ x 2 dy‬‬

‫نطبق العالقة التالية‪:‬‬

‫‪a‬‬

‫مثال ‪-1 -‬‬ ‫‪ y =y = x,0x,0‬ومحور السينات‪ ،‬دارت حول محور السينات‪ ،‬جد حجمها‪.‬‬ ‫املنطقة احملددة بني املنحني ‪, ≤≤xx≤≤44‬‬ ‫احلل‬

‫‪π y2 dx‬‬ ‫‪π x dx‬‬ ‫وحدة مكعبة‬

‫‪210‬‬

‫‪4‬‬

‫∫‬

‫‪0‬‬

‫= ‪π ( x )2 dx‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪b‬‬

‫∫‬

‫‪a‬‬ ‫‪4‬‬

‫∫‬

‫‪0‬‬

‫=‪v‬‬ ‫=‬

‫⎤ ‪⎡ x2‬‬ ‫‪= ⎢π ⎥ = 8π − 0 = 8π‬‬ ‫‪⎣ 2 ⎦0‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫‪11‬‬ ‫مثال ‪-2 -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫احملددة ‪4‬بني املنحني ‪ x =x = ،,1 ≤ y ≤ 4‬دارت حول محور الصادات‪ .‬جد‬ ‫‪π‬‬ ‫املنطقة ‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪V 4 =π∫ π x = ∫ dy‬‬ ‫‪yy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 y‬‬ ‫حجمها‪V =4 ∫ π x = ∫ 1 dy .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪dy = [ π ln y]1‬‬

‫∫‬

‫]‪y y‬‬ ‫‪= [ π1 ln‬‬ ‫‪= π ln 4 − 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪44 π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪vv == ∫ ππ xx22dy‬‬ ‫‪dy == ∫ dy‬‬ ‫وحدة مكعبة ‪dy = [ π ln y]1 = π ln 4 − 0 = 2π ln 2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11 y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪= π ln 4 − 0= 2π ln 2‬‬ ‫‪4‬‬

‫احلل‬

‫=‬

‫‪∫ πx‬‬

‫=‪V‬‬

‫‪1‬‬

‫‪= 2π ln 2‬‬

‫مثال ‪-3 -‬‬

‫أوجد احلجم الناجت من دوران املساحة احملددة بالقطع املكافئ الذي معادلته ‪y2 = 8x‬‬ ‫واملستقيمني ‪x=2 , x=0‬حول احملور السيني‪.‬‬ ‫احلل‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪b‬‬

‫وحدة مكعبة ‪v = π ∫ π y dx = π ∫ 8x dx = 4π ⎡⎣ x 2 ⎤⎦ 0 = 16π‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪a‬‬

‫مثال ‪-4 -‬‬

‫اوجد احلجم الناجت من دوران املساحة احملددة بالقطع املكافئ الذي معادلته ‪y = 2x 2‬‬ ‫واملستقيم ‪ x = 0, x = 5‬حول احملور السيني‪.‬‬ ‫احلل‬

‫‪5‬‬

‫‪4π 5 5‬‬ ‫= ⎤ ‪⎡x‬‬ ‫‪5 ⎣ ⎦0‬‬

‫‪b‬‬

‫‪V = π ∫ y dx = π ∫ 4x 4 dx‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ba‬‬

‫= ‪v = π ∫ π y52 dx = π ∫ 4x 4 dx‬‬

‫وحدة مكعبة‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫⎤ ‪4π a⎡ 5‬‬ ‫‪⎣ x ⎦0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫=‬ ‫‪× 625 = 2500π‬‬ ‫‪5‬‬

‫=‬

‫‪211‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫مثال ‪-5 -‬‬ ‫اوجد احلجم الناجت من دوران املساحة احملددة بالقطع املكافئ ‪ y = 4x 2‬واملستقيمني ‪y=0 , y=16‬حول‬ ‫احملور الصادي‪.‬‬ ‫احلل‬

‫‪b‬‬

‫‪v = π ∫ x dy‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪a‬‬

‫‪16‬‬

‫وحدة مكعبة‬

‫‪y‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪dy = [ y2 ] = [16 × 16 ] = 32π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪16‬‬

‫∫ ‪v=π‬‬ ‫‪0‬‬

‫مثال ‪-6 -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اوجد حجم املنطقة احملصورة بني منحني الدالة‬ ‫‪x‬‬ ‫كاملة حول احملور الصادي ‪.‬‬

‫= ‪ y‬واملستقيمني ‪ y = 1, y = 2‬ومحور الصادات دورة‬

‫احلل‬

‫‪b‬‬

‫‪v = π ∫ x 2 dy‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪2‬‬

‫وحدة مكعبة‬

‫‪212‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪⎡ −12 ⎤2‬‬ ‫⎡‬ ‫‪⎤ π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ⎥⎤‪⎤ ⎤⎥ = π ⎡−1⎡⎢11 +⎤1‬‬ ‫‪⎡⎢−1‬‬ ‫‪ππ‬‬ ‫‪v = π ∫1 12 dy =⎡π−1‬‬ ‫‪v v= =π π∫ ∫ 2 ydy‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪dy‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫⎣‬ ‫⎦‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎢‬ ‫⎥‬ ‫⎢‬ ‫⎥‬ ‫⎣‬ ‫⎦‬ ‫⎢‬ ‫⎥‬ ‫⎢‬ ‫⎥‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪⎣ 2⎣ 2 ⎦ ⎦ 2 22‬‬ ‫‪⎣ ⎣y y⎦1⎦11‬‬ ‫‪1 1y y‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫‪)4‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-7‬‬

‫‪ .1‬اوجد احلجم الدوراني املتولد من دوران املساحة احملددة بالقطع املكافئ ‪ y = x 2‬واملستقيمني‬ ‫‪ x = 1, x = 2‬حول احملور السيني‪.‬‬ ‫‪ .2‬اوجد احلجم الناجت من دوران املساحة احملصورة بني منحني الدالة ‪ y = x 2 + 1‬واملستقيم ‪ y=4‬حول‬ ‫احملور الصادي‪.‬‬ ‫‪ .3‬احسب احلجم املتولد من دوران املساحة احملصورة بني املنحني ‪ y2 + x = 1‬واملستقيم ‪ x=0‬حول احملور‬ ‫الصادي‪.‬‬

‫‪ .4‬احسب احلجم املتولد من دوران املساحة احملصورة بني املنحني ‪ y2 = x 3‬واملستقيمان ‪x = 0, x = 2‬‬ ‫حول احملور السيني‪.‬‬

‫‪213‬‬

‫املعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬

‫‪5‬‬

‫الف�صل اخلام�س‬ ‫‪Chapter Five‬‬ ‫املعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬

‫[‪ ]5-1‬مقدمة‪.‬‬ ‫[‪ ]5-2‬حل املعادلة التفاضلية‪.‬‬ ‫[‪ ]5-3‬املعادالت التفاضلية االعتيادية من املرتبة االولى‪.‬‬ ‫[‪ ]5-4‬طرق حل املعادالت التفاضلية‪.‬‬

‫املصطلح‬ ‫املعادلة التفاضلية االعتيادية‬ ‫املعادلة املتجانسة‬

‫‪214‬‬ ‫‪214‬‬

‫الرمز او العالقة الرياضية‬ ‫‪O.D.E‬‬ ‫⎞‪⎛ y‬‬ ‫⎠‪⎝x‬‬

‫⎟ ⎜ ‪yʹ = f‬‬

‫‪Ordinary Differential Equations‬‬

‫[‪ ]5-1‬مقدمة‬ ‫يعتبر موضوع املعادالت التفاضلية من املواضيع االساسية في الرياضيات التطبيقية لكثرة ظهورها في املسائل‬ ‫العلمية والهندسية‪ .‬في هذا الفصل سنتطرق وبشكل مبسط للمعادلةالتفاضلية وكيفية حلها‪.‬‬ ‫تعـــريـف [‪]5-1‬‬ ‫املعادلة التفاضلية (‪ )Differential Equation‬هي املعادلة التي حتتوي على مشتقة‬ ‫واحدة او أكثر للدالة املجهولة في املعادلة (اي للمتغير التابع في املعادلة)‬ ‫مالحظـة‬

‫مثالً‪:‬‬

‫املعادلة التفاضليــــــة االعتيادية هـــي عالقـــة بني متغـير مستقــل‬ ‫(‪ )Independt Variable‬وليكن (‪ )x‬ودالته غيـــر املعروفــة (‪)y‬‬ ‫(‪ )Dependt Variabie‬وبعض مشتقــــــات (‪ )y‬بالنسبـــــــة الى (‪)x‬‬ ‫ويــــــرمـــز لهــــا ‪ O . D . E‬والتـــــــي هـــــي مختصـــــر الى‬ ‫(‪)Ordinary Differential Equation‬‬

‫‪4) yʹ + x 2 y + x = y‬‬

‫‪1) dy = 3y − 4x‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪5) ( yʹʹ)3 + 2 yʹ + x 2 ln x = 5‬‬

‫‪2) x 2 yʹʹ + 5xyʹ − x 3 y = 0‬‬

‫‪6) y( 4 ) + cos y + x 2 y yʹ = 0‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪3) y3 + dy = y − 4‬‬ ‫‪dx dx‬‬

‫كلها معادالت تفاضلية اعتيادية الن املتغير ‪ y‬يعتمد فقط على املتغير ‪X‬‬

‫‪215‬‬

‫ااملعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬ ‫تعـــريـف [‪]5-2‬‬ ‫الدرجة ‪ :Degree‬تعرف درجة املعادلة التفاضلية بأنها‪ :‬اكبر قوة (أس) مرفوعة له اعلى مشتقة‬ ‫في املعادلة التفاضلية ‪.‬‬ ‫املرتبة او (الرتبة) ‪ :Order‬تعرف رتبة املعادلة التفاضلية بانها رتبة اعلى مشتقة‪.‬‬ ‫مثالً‪:‬‬

‫من الرتبة االولى والدرجة االولى‬ ‫من الرتبة الثانية والدرجة االولى‬

‫‪1) dy + x − 7y = 0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2) y = 5x − 3xy + 7‬‬ ‫‪dx 2‬‬

‫من الرتبة الثالثة والدرجة االولى‬

‫‪3) yʹʹʹ + yʹ − y = 0‬‬

‫من الرتبة الثانية والدرجة االولى ‪4) yʹʹ + 2y( yʹ)3 = 0‬‬ ‫من الرتبة االولى والدرجة االولى‬

‫‪dy‬‬ ‫‪= x3 − 5‬‬ ‫‪dx‬‬

‫)‪5‬‬

‫‪dy 4 d 3 y 2‬‬ ‫‪d2 y‬‬ ‫‪6) x ( ) + ( 3 ) + 2 2 = 0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬

‫من الرتبة الثالثة والدرجة الثانية‬

‫فهي من الرتبة الرابعة والدرجة االولى ‪7) y( 4 ) + cos y + x 2 y yʹ = 0‬‬ ‫مالحظـة‬

‫درجة املعادلة التفاضلية التي تكون جبرية في مشتقاتها هي الدرجة‬ ‫اجلبرية للمشتقة ذات اعلى رتبة تظهــر في املعـادلة ‪ .‬فمث ً‬ ‫ال املعادلـة‬ ‫‪2‬‬ ‫التفاضلية ‪( yʹʹ) = 1+ ( yʹ)2 :‬‬

‫من الرتبة الثانية الن اعلى مشتقة فيها ʹʹ‪y‬‬

‫‪2‬‬

‫حيث ميكن ازالة اجلذور او االسس الكسرية ونحصل على ‪( yʹʹ)4 = [1+ ( yʹ)2 ] :‬‬ ‫وبذلك تكون درجة املعادلة التفاضلية الرابعة‬

‫‪216‬‬

‫‪Ordinary Differential Equations‬‬

‫[‪ ]5-2‬حل املعادلة التفاضلية االعتيادية‬ ‫‪Solution of an Ordinary Differential Equation‬‬ ‫ان الغاية من دراسة املعادالت التفاضلية هي كيفية أيجاد حلو ًال لها‪ ،‬ويتم ذلك بأيجاد عالقة بني املتغير التابع‬ ‫(غير املستقل ) ‪ y‬واملتغير املستقل ‪ x‬بحيث تكون العالقة خالية من االشتقاقات وان حتقق املعادلة التفاضلية‬ ‫عند التعويض‬ ‫تعـــريـف [‪]5-3‬‬ ‫حل املعادلة التفاضلية هو اية عالقة بني متغيرات املعادلة التفاضلية بحيث ان هذه العالقة ‪:‬‬ ‫أ) خالية من املشتقة‬ ‫ب) معرفة على فترة معينة‬ ‫جـ) حتقق املعادلة التفاضلية‬ ‫اي ان احلل للمعادلة التفاضلية االعتيادية هو اي دالة ملجهول (املتغير التابع ) بداللة املتغير املستقل حتقق‬ ‫املعادلة التفاضلية‪.‬‬ ‫مثال ‪-1 -‬‬ ‫بني ان العالقة ‪ y = x 2 + 3x‬ح ً‬ ‫ال للمعادلة التفاضلية ‪xyʹ = x 2 + y‬‬ ‫احلل‬ ‫‪ y = x 2 + 3x‬جند ʹ‪ y‬فيكون‪:‬‬ ‫‪y = x 2 + 3x ... 1 ⇒ yʹ = 2x + 3 ... 2‬‬ ‫نعوض (‪ )1‬و (‪ )2‬في الطرف االمين وااليسر للمعادلة التفاضلية وكما يلي ‪:‬‬ ‫ʹ‪LHS= xy‬‬ ‫)‪3x2 += 3x‬‬ ‫‪2x 2 + 3x‬‬ ‫‪x 22++(x‬‬ ‫= )‪= x(2x + 3‬‬ ‫‪= 2x‬‬ ‫‪RHS = x 2 + y = x 2 + x 2 + 3x‬‬ ‫اذ ًا العالقة املعطاة هي حل للمعادلة التفاضلية اعاله‬

‫‪= 2x 2 + 3x = LHS‬‬

‫‪217‬‬

‫ااملعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬

‫[‪ ]5 - 3‬احلل اخلاص والعام للمعادلة التفاضلية االعتيادية‪:‬‬ ‫ان حل املعادلة التفاضلية االعتيادية كما اسلفنا هو اي عالقة بني ‪ y,x‬حتقق املعادلة ‪ ،‬غير ان احلل العام الي‬ ‫مساو لرتبة املعادلة ‪ ،‬فاذا كانت املعادلة من‬ ‫معادلة تفاضلية هو احلل املشتمل على عدد من الثوابت االختيارية ٍ‬ ‫الرتبة االولى وجب ان يكون حلها العام مشتم ً‬ ‫ال على ثابت اختياري واحد هو ثابت التكامل الذي يظهر عند‬ ‫اجراء خطوة التكامل الوحيدة ملعادالت الرتبة االولى ‪ .‬اما اذا كانت املعادلة من الرتبة الثانية وجب اشتمال‬ ‫حلها على ثابتي تكامل نظر ًا الجراء خطوتي تكامل عند حل معادلة الرتبة الثانية وهكذا ‪...‬‬ ‫فعلى سبيل املثال ‪:‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪− 5y = 0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫تعتبر معادلة تفاضلية من الرتبة االولى ويحققها احلل اخلاص ‪ y = e5x‬كما يبدو من التعويض في املعادلة‬ ‫التفاضلية الى ان حلها العام يجب ان يشتمل على ثابت اختياري واحد ‪ ، c‬فيكون ‪y =ce5x‬‬ ‫‪d2 y‬‬ ‫فهي من الرتبة الثانية وحتققها احللول اخلاصة ‪:‬‬ ‫اما املعادلة التفاضلية ‪+ y = 0‬‬ ‫‪dx 2‬‬ ‫‪ y = sin x, y = cos x‬غير ان حلها العام يجب ان يشتمل على ثابتي تكامل اختياريني‪ ،‬كان يكونا‬ ‫‪ A,B‬ويصبح احلل العام عندئذ بالصورة ‪y = A sin x + B cos x‬‬ ‫مثال ‪-2 -‬‬

‫احلل‬

‫اثبت ان ‪ y=x ln x - x‬احد حلول املعادلة ‪:‬‬

‫‪dy‬‬ ‫)‪= x + y , x > 0....(1‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪x‬‬

‫ان املعادلة ‪ y = x ln x-x‬خالية من املشتقات ومعرفة في ‪ x >0‬ولكي نثبت انها‬ ‫احد حلول املعادلة التفاضلية (‪ )1‬نقوم بالتعويض املباشر في (‪)1‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪LHS = x = x.(x. + ln x.1−1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= x.( 1 + ln x − 1 ) =xln x‬‬

‫‪RHS = x + y = x‬‬ ‫‪1 + x ln x − x1 = x.ln x‬‬ ‫‪⇒ LHS = RHS‬‬

‫اذ ًا الدالة املعطاة هي احد احللول اخلاصة للمعادلة التفاضلية (‪.)1‬‬

‫‪218‬‬

‫‪Ordinary Differential Equations‬‬ ‫مثال ‪-3 -‬‬ ‫بني ان ‪ ، a ∈ R ، ln y2 = x + a‬ح ً‬ ‫ال للمعادلة ‪2yʹ − y = 0‬‬

‫احلل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( yʹ) = 1‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪ln y2 = x + a ⇒ 2 ln y = x + a ⇒ 2‬‬ ‫‪⇒ 2yʹ = y ⇒ 2yʹ − y = 0‬‬

‫∴ ‪ ln y2 = x + a‬ح ً‬ ‫ال للمعادلة اعاله‬

‫مثال ‪-4 -‬‬ ‫‪d2 y‬‬ ‫هل ‪ y = x 3 + x − 2‬ح ً‬ ‫؟‬ ‫ال للمعادلة التفاضلية ‪= 6x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫احلل‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒‪y= x +x−2‬‬ ‫‪= 3x + 1 ⇒ y2 = 6x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx2‬‬ ‫‪33‬‬

‫‪d2 y‬‬ ‫ال للمعادلة ‪= 6x‬‬ ‫وعليه ‪ y = x 3 + x − 2‬هو ح ً‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪219‬‬

‫ااملعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬ ‫مثال ‪-5 -‬‬ ‫برهن ان ‪ y = 3 cos 2x + 2sin 2x‬هو ح ً‬ ‫ال للمعادلة التفاضلية ‪. yʹʹ + 4y = 0‬‬ ‫احلل‬ ‫‪∵ y = 3 cos 2x + 2sin 2x ... 1‬‬ ‫‪∴ yʹ = −6 sin 2x + 4 cos 2x‬‬

‫‪yʹʹ = −12 cos 2x − 8 sin 2x ... 2‬‬ ‫بالتعويض عن ① ‪ ② ،‬في الطرف االيسر للمعادلة التفاضلية ينتج‪:‬‬

‫⇒ ) ‪LHS = (−12 cos 2x − 8 sin 2x ) + 4 ( 3 cos 2x + 2sin 2x‬‬ ‫الطرف االمين ‪−12 cos 2x − 8 sin 2x + 12 cos 2x + 8 sin 2x = 0‬‬ ‫‪= RHS‬‬ ‫وعليه فان ‪ y = 3 cos 2x + 2sin 2x‬هو ح ً‬ ‫ال للمعادلة اعاله‪.‬‬ ‫مثال ‪-6 -‬‬ ‫هل ‪ y2 = 3x 2 + x 3‬هو ح ً‬ ‫ال للمعادلة ‪ yyʹʹ + ( yʹ)2 − 3x = 5‬؟‬ ‫احلل‬ ‫⇒ ‪∵ y2 = 3x 2 + x 3 ⇒ 2yyʹ = 6x + 3x 2‬‬ ‫‪2y ( yʹʹ) + yʹ ( 2) yʹ = 6 + 6x‬‬ ‫ ‬ ‫بالقسمة على ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪yʹ3x‬‬ ‫=‪)2 =⇒3 +yLHS‬‬ ‫‪+ ( y=ʹy)3−≠=3x‬‬ ‫⇒‪ʹʹ +‬‬ ‫‪yyʹʹ + ( yʹy)2yʹʹ=+3( +‬‬ ‫‪y3x‬‬ ‫‪( yʹy)y−ʹʹ3x‬‬ ‫الطرف االمين ‪53x= 3+≠x 5‬‬ ‫ ‬ ‫‪≠ RHS‬‬ ‫وعليه فان ‪ y2 = 3x 2 + x 3‬ليس ح ً‬ ‫ال للمعادلة اعاله‬

‫‪220‬‬

Ordinary Differential Equations -7 - ‫مثال‬ ً ‫ هو ح‬y = e2x + e−3x ‫بني ان‬ . yʹʹ + yʹ − 6y = 0 ‫ال للمعادلة التفاضلية‬ ‫احلل‬ 2x2x −3x 2x2x −3x −3x ∵ y y==e2xe2x++e−3x +9e−3x ʹʹ =4e4e −−3e3e ⇒⇒yʹʹy= 9e e−3x⇒⇒yʹy=ʹ =2e2e ‫وبالتعويض في الطرف االيسر للمعادلة‬ LHS= yʹʹ + yʹ − 6y

= ( 4e2x + 9e−3x ) + ( 2e2x − 3e−3x ) − 6 ( e2x + e−3x ) = 4e2x + 9e−3x + 2e2x − 3e−3x − 6e2x − 6e−3x = 0 = ‫الطرف االمين‬ =RHS 2x −3x ً ‫ ح‬y= e +e ‫ال للمعادلة اعاله‬ ‫وعليه يكون‬

221

‫ااملعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬ ‫‪)5‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-1‬‬

‫‪ .1‬بني رتبة ودرجة كل من املعادالت التفاضلية اآلتية‪:‬‬

‫‪a) (x 2 − y2 )+ 3xy dy = 0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪d2 y‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪− 5y = 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪c) ( yʹʹʹ)3 − 2 yʹ + 8y = x 3 + cos x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪d) ( d y )2 − 2( dy )5 + 3y = 0‬‬ ‫‪dx 3‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪ .2‬برهن ان ‪ y = sin x‬هو حل للمعادلة ‪yʹʹ + y = 0‬‬ ‫‪d2 s‬‬ ‫‪ .3‬برهن ان العالقة ‪ Ss = 8 cos 3t + 6 sin 3t‬هي حل للمعادلة ‪+ 9s = 0‬‬ ‫‪dt 2‬‬ ‫‪ .4‬هل ان ‪ y = x + 2‬ح ً‬ ‫ال للمعادلة ‪ yʹʹ + 3yʹ + y = x‬؟‬ ‫‪ .5‬هل ‪ y = tan x‬ح ً‬ ‫ال للمعادلة ) ‪ yʹʹ = 2y (1+ y2‬؟‬ ‫‪ .6‬هل ‪ 2x 2 + y2 = 1‬ح ً‬ ‫ال للمعادلة ‪ y3 yʹʹ = −2‬؟‬ ‫‪ .7‬هل ‪ yx = sin 5x‬ح ً‬ ‫ال للمعادلة ‪ xyʹʹ + 2yʹ + 5yx = 0‬؟‬ ‫‪ .8‬بني ان ‪ y = ae− x‬هو ح ً‬ ‫ال للمعادلة ‪ yʹ + y = 0‬حيث ‪a ∈ R‬‬ ‫‪ .9‬بني ان ‪ c ∈ R , ln y = x 2 + c‬هو ح ً‬ ‫ال للمعادلة ‪yʹʹ = 4x 2 y + 2y‬‬

‫‪222‬‬

‫‪Ordinary Differential Equations‬‬

‫[‪ ]5-3‬املعادالت التفاضلية االعتيادية من املرتبة االولى والدرجة االولى‬ ‫مقدمة ‪:‬‬ ‫ان حل املعادلة التفاضلية هو عمل معاكس لعملية التفاضل ‪ ،‬أي يقوم على عمليات التكامل ‪ ،‬ومن املعروف‬ ‫انه ال ميكن ايجاد عكس تفاضل (الصورة املباشرة) لكل دالة ‪ .‬اي ال نتوقع ان يكون لكل معادلة تفاضلية‬ ‫حل عام بداللة الدوال االولية املعروفة ‪ .‬وعليه فاملعادالت التفاضلية التي ميكن حلها تقسم الى انواع متعددة‬ ‫حسب طريقة احلصول على حلها العام‪.‬‬ ‫وفي هذا الفصل سوف نستعرض املعادالت التفاضلية من الرتبة االولى والدرجة االولى مبتغيرين ‪. y , x‬‬ ‫ومع ان هذا النوع من املعادالت التفاضلية قد تبدو بسيطة إال أنه ليس من املمكن ايجاد حل عام الي منها‬ ‫بصورة عامة ‪ ،‬وال توجد طريقة عامة للحل ‪ .‬وعليه فسوف نقسم هذه املعادالت والتي ميكن ايجاد حلها‬ ‫بطريقة مباشرة الى عدة انواع ‪ ،‬اهمها ‪:‬‬ ‫‪ .1‬املعادالت التي تنفصل متغيراتها ‪.‬‬ ‫‪ .2‬معادالت تفاضلية من النوع املتجانس ‪.‬‬ ‫‪ .3‬معادالت تفاضلية تامة‪.‬‬ ‫‪ .4‬معادالت تفاضلية خطية ‪ -‬معادلة برنولي ‪.‬‬ ‫وفي هذا الفصل سنقتصر على النوعني (‪ ) 1‬و (‪ ) 2‬وطرائق حليهما‪.‬‬ ‫فمث ً‬ ‫ال تأخذ املعادلة التفاضلية من املرتبة االولى والدرجة االولى الشكلني االتيني‪:‬‬

‫‪M ( x, y) ≠ 0‬‬

‫‪dy‬‬ ‫)‪1) = F ( x, y‬‬ ‫ ‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2)M ( x, y) dx + N ( x, y) dy = 0‬‬

‫حيث ‪N (x, y) ≠ 0 , M (x, y) ≠ 0‬‬ ‫فاملعادلة التفاضلية ‪:‬‬ ‫ميكن ان تكتب بالشكل‬ ‫حيث ان‬ ‫في البند الالحق سندرس بعض طرق حل املعادلة التفاضلية‪.‬‬

‫‪ dy = 3xy‬مث ً‬ ‫ال‬ ‫‪dx x + y‬‬

‫‪(3xy) dx = ( x + y) dy‬‬ ‫‪(3xy).dx - (x+y).dy=0‬‬ ‫)‪M = 3xy , N = x(x+y‬‬ ‫‪+y‬‬

‫‪223‬‬

‫ااملعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬

‫[‪ ]5-4‬طرق حل املعادالت التفاضلية‬ ‫او ًال ‪ :‬املعادالت التي تنفصل متغيراتها ‪Separation of Variables‬‬ ‫في هذا النوع من املعادالت وكما يظهر من اسمها نستطيع ان نعزل كل احلدود التي حتتوي على ‪ x‬فقط مع‬ ‫‪ dx‬في جانب واحلدود التي حتتوي على ‪ y‬فقط مع ‪ dy‬في اجلانب االخر فنحصل على‪:‬‬ ‫(‪f(x).dx = g(y)dy ... )1‬‬ ‫ثم نكامل طرفي املعادلة (‪ )1‬فيكون‬ ‫‪f (x)dx + c‬‬

‫حيث ‪ c‬ثابت اختياري (‪)Arbitrary Constant‬‬ ‫مثال ‪-1 -‬‬

‫∫ = ‪∫ g(y)dy‬‬

‫‪dy‬‬ ‫حل املعادلة ‪= 2x + 5‬‬ ‫‪dx‬‬

‫احلل‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪= 2x + 5 ⇒ dy = ( 2x + 5 ) dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪∫ dy = ∫ (2x + 5)dx ⇒ y = x2 + 5x + c‬‬ ‫مثال ‪-2 -‬‬ ‫احلل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫حل املعادلة ‪dy x −1‬‬ ‫=‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪y‬‬ ‫جنعل املعادلة بالصورة ‪g(y)dy = f (x)dx‬‬ ‫اي‪:‬‬ ‫باخذ التكامل للطرفني ‪:‬‬

‫‪ydy = (x −1)dx‬‬

‫‪∫ ydy = ∫ ( x −1)dx‬‬

‫‪1 2 1 2‬‬ ‫‪y = x − x+c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = x − 2x + 2c ⇒ y = ±(x − 2x + 2c) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪= ±(x − 2x + c1‬‬ ‫(لكون ‪ c‬ثابت اختياري فان ‪ 2c‬ثابت اختياري ايض ًا اسميناه ‪)c1‬‬

‫‪224‬‬

‫‪2‬‬

‫ ‬

Ordinary Differential Equations -3 - ‫مثال‬ ππ y ≠y (2n+ 1) 1) , cos ≠y 0≠ 0 ‫ حيث‬dy = sin x cos ≠ (2n+ , cos cos2 2ydx y dx ‫حل املعادلة التفاضلية‬ 22

g(y)dy = f (x)dx ‫جنعل املعادلة بالشكل‬ 1 dx dy = sin xdx cos 2 y

:‫اي‬

‫احلل‬



dx sec 2 ydy = sin xdx ⇒

∫ sec

2

ydy =

dx ∫ sin xdx

‫باخذ التكامل‬

tan y = − cos x + c ‫ ثابت اختياري‬c ‫حيث‬ -4 - ‫مثال‬ x= 2 , y= 9 ‫ عندما‬yʹ − x y = 0 ‫اوجد حل املعادلة التفاضلية‬ 1

1

‫احلل‬

dy dy yʹ − x y = 0 ⇒ − xy 2 = 0 ⇒ = xy 2 dx dx 1 1 1 1 1 1 − − −dy − dy 1 1 2 2 y2 ʹdy −=x=xdx y⇒ =⇒ 0 ∫⇒ −=xy =xdx 0 =⇒=2 2 y =y= = xy x2 2x+2 +c c y y2 dy dydy xdx =∫2 ∫xdx ∫y ydx dx 2 2 ‫ ينتج‬x= 2 , y= 9 ‫بالتعويض عن‬ 1 2 2 9 = (2) + c ⇒ 6 = 2 + c ⇒ c = 4 2 ‫∴ احلل هو‬ 1 1 2 y = x 2 + 4 ⇒ y = ( x 2 + 2)2 2 4

225

‫ااملعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬ ‫مثال ‪-5 -‬‬ ‫‪dy 2 x+y‬‬ ‫حل املعادلة‬ ‫‪=e‬‬ ‫‪dx‬‬

‫حيث ‪ y=0‬عندما ‪x=0‬‬

‫احلل‬

‫‪dy 2 x y‬‬ ‫‪= e .e ⇒ e− y dy = e2 x dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪− ∫ e− y (−1)dy = ∫ e2 x (2)dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بالتعويض عن ‪ x = 0 , y = 0‬ينتج‬ ‫‪−e− y = e2x + c‬‬ ‫‪y = 0, x = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⇒ −e−0 = e0 + c ⇒ −1 = + c ⇒ c = −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اذن احلل هو ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪−e− y = e2 x − ⇒ e− y = (3− e2 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 3 − e2x‬‬ ‫=‬ ‫‪ey‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪33−−eex2x‬‬ ‫وبأخذ ‪ ln‬للطرفني ينتج ‪:‬‬ ‫مثال ‪-6 -‬‬

‫‪dy‬‬ ‫جد احلل العام للمعادلة التفاضلية ‪= 2y :‬‬ ‫‪dx‬‬

‫احلل‬

‫‪2‬‬ ‫‪3 − e2x‬‬

‫= =‪⇒ ye‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪⇒ y = ln‬‬

‫)‪(x +1‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫⇒ ‪ln y = ln(x +1)2 + c‬‬ ‫⇒ ) ‪ln y = ln ((x +1)2 .ec‬‬ ‫‪y = ec (x +1)2‬‬

‫حيث ‪ c1= ec‬ثابت اختياري ‪.‬‬

‫‪226‬‬

‫‪y = c1 (x+1)2‬‬

Ordinary Differential Equations )5

( ‫مارين‬

‫ت‬

-2

:‫ حل املعادالت التفاضلية االتية بطريقة فصل املتغيرات‬- 1 a) yʹ cos 3 x = sin x c)

dy = (x +1)(y −1) dx

e) yyʹ = 4 (1+ y2 )3 g) yʹ = 2ex y3 ,

a) y=2ex

dy x 3 + y3 = b) dy + dx xy xy2 y, x = 10, y = 2 x 3 = 3x yʹ =dx 2e y , x = 0, y = 2 d) (y2 + 4y −1) yʹ = x 2 − 2x + 3 f) ex dx − y3 dy = 0

x = 0, y =

(b) y = 3x

1 2

(c) y = Aex + Bex yʹʹ(1− x)+ yʹx − y = 0

ً ‫ اثبت ان ك‬- 2 : ‫ال من‬ ‫ ثابتان‬B , A ‫حيث‬ : ‫هو حل للمعادلة التفاضلية‬

dy 2 xy + y = 1− y2 a) dx

: ‫ جد احلل العام للمعادالت التفاضلية االتية‬- 3 dy b) sin x cos y + cos x sin y = 0 dx

c) x cos 2 y dx + tan y dy = 0

d) tan 2 y dy = sin 3 x dx

e)

dy = cos 2 x cos 2 y dx

g) e

x+2 y

227

+ yʹ = 0

f)

dy cos x = 2 y dx 3y + e

2 d y h) − 4x = 0 dx 2

‫ااملعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬ ‫ثانياً‪ :‬املعادلة التفاضلية املتجانسة ‪Homogeneous Differential Equation‬‬ ‫قد تكون املعادلة التفاضلية ليست قابلة لفصل املتغيرات فيها ولكن قد تكون في الوقت نفسه بصورة‬ ‫معينة نستطيع حتويلها الى معادلة قابلة للفصل وذلك باستخدام بعض التحويالت ومن هذه الصور املعادلة‬ ‫التفاضلية املتجانسة وهي املعادلة التي ميكن كتابتها على الصورة‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪y‬‬ ‫) (‪= f‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎞‪⎛ y‬‬ ‫⎟ ⎜‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪ 4 4 dy‬ميكن كتابتها على الصورة االتية‪⎝ x ⎠ :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫فمث ً‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫ال املعادلة ‪y :‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫⎞‪⎛ y‬‬ ‫⎟ ⎜ ‪1+‬‬ ‫وذلك بالقسمة على ‪x4‬‬ ‫⎠‪⎝x‬‬ ‫مثال ‪-1 -‬‬ ‫بني اي املعادالت التفاضلية اآلتية متجانسة؟‬ ‫(‪ )1‬املعادلة التفاضلية‬

‫‪dy x 3 + y3‬‬ ‫=‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪3x 2 y‬‬

‫بقسمة البسط واملقام على ‪ x 3 ≠ 0‬ينتج‬

‫∴ املعادلة متجانسة‬

‫‪x 3 y3‬‬ ‫‪y 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫⇒‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪3x 2 y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫) (‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x3‬‬

‫(‪ )2‬املعادلة التفاضلية ‪2xyyʹ − y2 + 2x 2 = 0‬‬ ‫بقسمة املعادلة على ‪ x 2 ≠ 0‬ينتج‪:‬‬

‫∴ املعادلة متجانسة‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪x2 − y‬‬ ‫‪= yʹ = 3‬‬ ‫(‪ )3‬املعادلة التفاضلية‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎞‪⎛ y‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫هذه املعادلة غير متجانسة النه الميكن كتابتها بالصورة ‪= f ⎜ ⎟ :‬‬ ‫⎠‪⎝x‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪228‬‬

‫‪2xy‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪yʹ − 2 + 2 2 = 0‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2( ) yʹ − ( )2 + 2 = 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪Ordinary Differential Equations‬‬ ‫طريقة حل املعادلة املتجان�سة‬ ‫اذا كانت املعادلة التفاضلية متجانسة فاننا لغرض حلها نتبع اخلطوات االتية‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫⎞‪⎛ y‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫ثم نعوض ‪v‬عن=‬ ‫‪ )1‬نكتبها بالصورة ⎟ ⎜ ‪= f‬‬ ‫⎠‪⎝x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪dx‬‬

‫= ‪ v‬او ‪ y = vx‬حيث ‪ v‬متغير جديد وهو دالة لـ ‪x‬‬

‫‪ )2‬نشتق ‪ y = vx‬بالنسبة لـ ‪ x‬فنحصل على‬ ‫‪y‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫⇒ ‪= v ⇒ y = vx‬‬ ‫‪= x + v ... 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ )3‬بالربط بني ‪ 1‬و ‪ 2‬ينتج‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪x + v = f (v) ⇒ x = f (v) − v‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪f (v) − v x‬‬

‫‪ )4‬بعد فصل املتغيرات نحصل على‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ )5‬بأخذ تكامل الطرفني ‪+ c‬‬ ‫‪x‬‬

‫∫‬

‫‪dv‬‬ ‫=‬ ‫‪f (v) − v‬‬

‫∫‬

‫نحصل على احلل العام بداللة ‪v , x‬‬

‫‪ )6‬نعوض بعد ذلك عن ‪ v = y‬فنحصل على حل املعادلة بداللة املتغيرين ‪.y, x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫مثال ‪-1 -‬‬ ‫حل املعادلة التفاضلية‬

‫‪3y2 − x 2‬‬ ‫= ʹ‪y‬‬ ‫‪2xy‬‬

‫احلل‬ ‫بقسمة البسط واملقام بالطرف االمين على ‪ x2 ≠ 0‬نحصل على ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3( )2 −1‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪= x‬‬ ‫)‪...(1‬‬ ‫اي ان املعادلة متجانسة‬ ‫‪y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫) (‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫بوضع ‪ v = y‬تصبح املعادلة (‪ )1‬بالشكل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dy 3v −1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫(‪... 2)2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2v‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫⇒ ‪y = vx‬‬ ‫)‪= x + v ...(3‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫بالتعويض عن (‪ )3‬في (‪ )2‬ينتج‬

‫‪229‬‬

‫ااملعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬ dv 3v2 −1 dv 3v2 −1 x +v= ⇒x = −v dx 2v dx 2v dv v2 −1 x = dx 2v

:‫بفصل املتغيرات ينتج‬

1 2v dx = 2 dv x v −1 1

∫ x dx = ∫ v

2v 2 dv ⇒ ln x = ln v −1 + ln c 2 −1

,c > 0

ln x = ln c(v2 −1) ⇒ x = ±c(v2 −1) ⎡ y⎡2y⎡2y2⎤ ⎤ ⎤ yy y x 3x 3x 3 ∵ v v= =v =⇒⇒x⇒x= =xc±⎢= ± ⇒ c ⎢c2 ⎢−1−1 c= =c 2= ⎥−1 ⎥⇒ ⎥c⇒ xx x y y−2y−x2 2− x 2x 2 ⎣ x⎣ x⎣2x 2⎦ ⎦ ⎦

-2 - ‫مثال‬

2xyyʹ − y2 + x 2 = 0 ‫حل املعادلة التفاضلية‬ ‫احلل‬ 2

‫ تصبح املعادلة‬x 2 ≠ 0 ‫بقسمة املعادلة على‬

⎛ y⎞ y 2 yʹ − ⎜ ⎟ + 1 = 0 ⎝x⎠ x y v2 −1 2 ∵ v = ⇒ 2vyʹ − v +1 = 0 ⇒ yʹ = x 2v dy dv y = vx ⇒ = x + v ...(2) dx dx dv v2 − 1 x +v= dx 2v

...(1)

: )1( ‫) في‬2( ‫بالتعويض من‬

230

Ordinary Differential Equations dv v2 − 1 dv −1− v2 x = −v⇒ x = dx 2v dx 2v −1 2v dx = ∫ x ∫ 1+ v2 dv ⇒ − ln x = ln 1+ v2 + ln c

ln x(1+ v2) = ln c−1

1 ±x(1+ v2 ) = c2 1 ⇒ c=± c=± 2 x(1+ v )

11 x ⇒ c = ± y2 x 2 + y2 x(1+ 2 ) x (3x − y) yʹ = x + y

y x+ y x yʹ = ⇒ yʹ = y 3x − y 3− x dy 1+ v ∴ = ...(1) dx 3− v 1+

∵v = ∴

-3 - ‫مثال‬

x ≠ 0 ‫بالقسمة على‬

y dy dv ⇒ y = xv ⇒ = x +v x dx dx

d 1+ v x dv + v = dx 3− v

‫حل املعادلة‬

...(2)

:‫) ينتج‬2( ‫) في‬1( ‫نعوض من‬

dv 1+ v dv v2 − 2v+1 dv (v −1)2 x = −v⇒ x = ⇒x = dx 3− v dx 3− v dx 3− v − [(v −1) − 2 ] 1 3− v 1 dx = dv ⇒ dx = dv x (v −1)2 x (v −1)2 1 −1 2 2 v −1+ + cc ∫ x dx = ∫ (v −1) dv + ∫ (v −1)2 dv ⇒ ln x = − ln v −1 − v 2−1 y 2 ln x = − ln −1 − +c y x −1 x −2x ln y − x = +c y− x

231

‫احلل‬

‫ااملعادالت التفا�ضلية االعتيادية‬ ‫مثال ‪-4 -‬‬

‫‪dy‬‬ ‫جد احلل العام للمعادلة التفاضلية ‪= x 2 + y2‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪2x 2‬‬

‫‪dy x 2 + y2‬‬ ‫احلل‬ ‫=‬ ‫املعادلة التفاضلية ميكن كتابتها على الصورة االتية ‪K(1) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪ dx‬‬ ‫وفي هذه املعادلة ميكن التحقق من ان كال من البسط واملقام في الطرف االمين هو دالة متجانسة ومن الدرجة‬ ‫الثانية لذلك نعوض عن ‪ y = vx :‬وبالتالي فان ‪:‬‬ ‫‪dv x 2 + x 2 v2‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫(‪ )1‬ينتج= ‪v+ x‬‬ ‫)‪= v+ x K(2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫نعوض من (‪ )2‬في ‪2x 2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ ‬ ‫‪dv x 2 + x 2 v2‬‬ ‫) ‪x 2 (1+ v2‬‬ ‫ ‬ ‫= ‪v+ x‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪22‬‬ ‫) ‪dv 1+ vx (1+ v2‬‬ ‫⇒‪x = = −v‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2 2x 2‬‬ ‫‪dv 1+‬‬ ‫‪- 2v+ v2‬‬ ‫= ‪x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪2x = (v −1)2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪1 dx‬‬ ‫فبفصل املتغيرات نحصل على االتي‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(v −1‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫وباخذ التكامل للطرفني جند ان‬ ‫‪−1 1‬‬ ‫ʹ‪= ln x + c‬‬ ‫‪v −1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫حيث ʹ‪ c‬ثابت اختياري اي ان ‪:‬‬ ‫‪v = 1−‬‬ ‫ʹ‪ln x + 2c‬‬ ‫وبالتعويض عن ‪ v = y‬وبوضع ʹ‪ c = 2 c‬في املعادلة االخيرة نحصل على ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫=‪y= x‬‬ ‫‬‫‪ln x + c‬‬

‫‪232‬‬

Ordinary Differential Equations )5 1. yʹ = y + e x

y x

2. (y2 − xy)dx + x 2 dy = 0 3. (x + 2y)dx + (2x + 3y)dy = 0 2 2 dy x + y 4. = dx 2xy

5. (y2 − x 2 )dx + xydy = 0 6. x 2 ydx = (x 3 + y3 )dy 7. x(

dy y − tan ) = y dx x

233

‫ت‬

( ‫مارين‬ 3 -

:‫حل كال من املعادالت التفاضلية االتية‬

‫‪6‬‬

‫الهند�سة الف�ضائية ‪Space Geometry‬‬

‫الف�صل ال�ساد�س‬ ‫‪Chapter Six‬‬ ‫الهند�سة الف�ضائية ‪Space Geometry‬‬

‫[‪]6-1‬‬ ‫[‪]6-2‬‬ ‫[‪]6-3‬‬ ‫[‪]6-4‬‬ ‫[‪]6-5‬‬

‫‪234‬‬ ‫‪234‬‬

‫متهيد‬ ‫الزاوية الزوجية واملستويات املتعامدة‪.‬‬ ‫العالقة بني ثالثة مستويات‪.‬‬ ‫االسقاط العمودي‬ ‫املجسمات‬ ‫املصطلح‬

‫الرمز او العالقة الرياضية‬

‫الزواية الزوجية بني (‪)x) ، (y‬‬

‫)‪(x) - AB - (y‬‬

‫املساحة اجلانبية‬

‫‪L-A‬‬

‫املساحة الكلية‬

‫‪T-A‬‬

‫املستوي ‪x‬‬

‫(‪)x‬‬

‫↔‬

‫ ‬

‫الهند�سة الف�ضائية‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫[‪ ]6-1‬متهيد‪.‬‬ ‫سبق وان علمنا أن ك ً‬ ‫ال من املستقيم واملستوي مجموعة غير منتهية من النقط‬

‫ ‬

‫وأن كل نقطتني تعينان مستقيم ًا واحد ًا وواحد ًا فقط وكل ثالث نقط ليست على استقامة‬ ‫واحدة تعني مستوي ًا واحد ًا فقط‪ ،‬وكل اربعة نقط ال تقع في مستو واحد تعني فضاء‪.‬‬ ‫اي أن املستقيم يحتوي على نقطتني على اقل تقدير‪ ،‬واملستوي يحتوي على ثالث نقط على اقل تقدير‬ ‫ال يحتويها مستقيم واحد‪ ،‬والفراغ يحتوي على على اربع نقط على اقل تقدير ليست جميعها في مستو‬ ‫واحد‪.‬‬ ‫ ‬

‫كما تعرفنا في الصف اخلامس العلمي على عالقات بني املستقيمات واملستويات وبرهنا بعض‬

‫املبرهنات التي ميكن االفادة منها في مبرهنات جديدة ستتعرف عليها في هذا الفصل‪.‬‬ ‫ ‬

‫ولكي تتمكن من التواصل معنا وتتعرف على عالقات جديدة بني املستقيمات واملستويات‪،‬‬ ‫واملستويات واملستويات وتكتسب مفاهيم جديدة وتبرهن مبرهنات اخرىما عليك اال الرجوع الى مراجعة‬

‫ما درسته في هذا املوضوع في السنة السابقة‪.‬‬

‫‪235‬‬

‫ ‬

‫الهند�سة الف�ضائية ‪Space Geometry‬‬

‫[‪ ]6-2‬الزاوية الزوجية واملستويات املتعامدة‪.‬‬ ‫تعـــريـف [‪]6-1‬‬ ‫الزاوية الزوجية‪ :‬احتاد نصفي مستويني لهما حافة (‪ )Edge‬مشتركة‪.‬‬ ‫تسمى احلافه املشتركه بـ ( حرف االزاوية الزوجية ‪ )Edge of Dihedral‬ويسمى كل من نصفي املستويني‬ ‫بـ (وجه الزاوية الزوجية) كما فى الشكل (‪)6-1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪Y‬‬

‫‪A‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪B‬‬

‫الشكل (‪)6-1‬‬

‫حيث ‪ AB‬هو حرف الزاوية الزوجية و (‪ )X‬و (‪ )Y‬هما وجهاها‬ ‫ويعبر عن الزاوية الزوجية بالتعبير‪)X) -A B - (Y( :‬‬ ‫وقد يعبر عنها بحرف الزاوية الزوجية ان لم يكن مشترك ًا مع زاوية اخرى‪.‬‬ ‫مثالً‪:‬‬ ‫الزاوية الزوجية‬ ‫‪Y‬‬ ‫(‪)X) - A B - (Z‬‬ ‫‪A‬‬

‫(‪)X) - A B - (Y‬‬ ‫(‪)Y) - A B - (Z‬‬

‫‪X‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪B‬‬ ‫الشكل (‪)6-2‬‬

‫وال ميكن ان تكتب الزاوية الزوجية بشكل ‪ A B‬في هذا املثال ألن احلرف ‪ AB‬مشترك في اكثر من زاوية زوجية‪.‬‬

‫‪236‬‬

‫‪X‬‬

‫الهند�سة الف�ضائية‬

‫ ‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫مالحظـة عندما تكون اربع نقاط ليست في مست ٍو واحد‪ ،‬نكتب‬ ‫الزاوية الزوجية ‪ A - B C - D‬او الزاوية الزوجية‬ ‫بني املستويني (‪ . )ABC) , (DBC‬كما في الشكل (‪)6-3‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬ ‫الشكل (‪)6-3‬‬

‫وتقا�س الزاوية الزوجية آ‬ ‫كالتي‪:‬نأخذ نقطة ‪ D‬على احلافة املشتركة ‪ AB‬ونرسم من‪ D‬العمود‬ ‫‪ D C‬في (‪ )X‬والعمود ‪ D E‬في (‪ )Y‬على احلرف ‪ AB‬فيكون قياس الزاوية الزوجية بني املستويني‬ ‫هو قياس الزاوية‬

‫‪ C D E‬وتسمى الزاوية ‪ C D E‬الزاوية العائدة للزاوية الزوجية‪( .‬كما في الشكل‬

‫(‪))6-4‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪Y‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬ ‫الشكل (‪)6-4‬‬

‫بعبارة اخرى لدينا الزاوية الزوجية‬ ‫)‪(X) - A B - (Y‬‬

‫‪237‬‬

‫ ‬

‫الهند�سة الف�ضائية ‪Space Geometry‬‬

‫ولدينا‬ ‫)‪D C ⊂ (X) , D E ⊂ (Y‬‬ ‫‪DC⊥AB,DE⊥AB‬‬ ‫∴‪CDE‬‬

‫هي الزاوية العائدة للزاوية الزوجية ‪ A B‬او (‪)X) - AB -(Y‬‬

‫تعـــريـف [‪]6-2‬‬ ‫الزاوية املستوية العائدة لزاوية زوجية‪ :‬هي الزاوية التي ضلعاها عموديان على حرف الزاوية الزوجية من‬ ‫نقطة تنتمي اليه وكل منهما في أحد وجهي الزاوية الزوجية‬ ‫أو هي احتاد شعاعني عموديني على حرف الزاوية الزوجية من نقطة تنتمي اليه وكل منهما في احد وجهي‬ ‫الزاوية الزوجية‬ ‫ومن تعريف الزاويتني العائدة والزوجية ميكن ا�ستنتاج آ‬ ‫التي‬

‫‪ )1‬قياس زاوية عائدة لزاوية زوجية ثابت‬

‫‪ )2‬قياس الزاوية الزوجية يساوي قياس الزاوية العائدة لها وبالعكس‪.‬‬ ‫تعـــريـف [‪]6-3‬‬ ‫اذا كانت الزاوية الزوجية قائمة فان املستويني متعامدان وبالعكس‬

‫قياس ‪(X) ⊥ (Y) ⇔ (X) - A B - (Y) = 90°‬‬

‫‪X‬‬

‫‪Y‬‬ ‫‪A‬‬

‫الشكل (‪)6-5‬‬

‫‪238‬‬

‫‪B‬‬

‫الهند�سة الف�ضائية‬

‫ ‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫مبرهنة (‪:)7‬‬ ‫اذا تعامد مستويان فاملستقيم املرسوم في احدهما والعمودي على مستقيم التقاطع يكون عمودي ًا على‬ ‫املستوي اآلخر‬ ‫اي انه‪:‬‬ ‫اذا كان ) ‪(X ) ⊥ (Y‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪(X )∩ (Y ) = AB‬‬

‫‪E‬‬

‫في ‪D‬‬ ‫فان ) ‪CD ⊥ (X‬‬ ‫املعطيات‪:‬‬

‫‪A‬‬

‫‪X‬‬

‫‪CD ⊂ (Y ), CD ⊥ AB‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪(X‬‬ ‫‪(Y(Y),‬‬ ‫‪(X(X‬‬ ‫‪(Y(Y),‬‬ ‫⊂= )‬ ‫‪AB,‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫‪(YAB‬‬ ‫⊥‪),‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫⊥ ) ‪(X‬‬ ‫‪), (X‬‬ ‫‪),‬‬ ‫∩)‪)(X=(Y‬‬ ‫‪AB,‬‬ ‫⊂‪(Y‬‬ ‫‪), CD‬‬ ‫‪(X(Y‬‬ ‫⊥)‬ ‫⊥ )‪(Y‬‬ ‫∩)‪),‬‬ ‫‪(X‬‬ ‫∩)‬ ‫∩)‪(Y‬‬ ‫∩)‪),‬‬ ‫‪(X‬‬ ‫∩)‬ ‫‪) =(YCD‬‬ ‫‪AB,‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫⊂‪(Y‬‬ ‫⊥ ‪),‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫في نقطة ‪AB⊥ AB D‬‬

‫املطلوب اثباته‪:‬‬

‫) ‪CD ⊥ (X‬‬

‫الربهان‪:‬‬ ‫في (‪ )X‬نرسم ‪DE ⊥ AB‬‬

‫(في املستوي الواحد ميكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستقيم‬ ‫فيه من نقطة معلومة)‬

‫‪CD ⊂ (Y ), CD ⊥ AB‬‬

‫(معطى)‬

‫∴ ‪CDE‬‬ ‫∴‬

‫⊥ ) ‪( (X‬تعريف الزاوية العائدة)‬ ‫‪- (Y‬‬ ‫عائدة للزاوية الزوجية (‪AB) - )Y‬‬

‫‪CDE = 90°‬‬

‫∴ ‪CD ⊥ DE‬‬ ‫∴ ) ‪CD ⊥ (X‬‬

‫‪m‬‬

‫(قياس الزاوية الزوجية يساوي قياس الزاوية العائدة لها‬ ‫وبالعكس)‬

‫(اذا كان قياس الزاوية بني مستقيمني ‪ 90°‬فان املستقيمني متعامدان وبالعكس)‬ ‫(املستقيم العمودي على مستقيمني متقاطعني من نقطة تقاطعهما يكون عمودي ًا‬ ‫على مستويهما)‬ ‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬

‫‪239‬‬

‫الهند�سة الف�ضائية ‪Space Geometry‬‬

‫ ‬ ‫نتيجة مبرهنة (‪:)7‬‬

‫اذا تعامد مستويان فالمستقيم المرسوم من نقطة في احدهما عمودي ًا على المستوي اآلخر‬ ‫يكون محتوى فيه‪.‬‬ ‫اي انه‪:‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪X‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪B‬‬

‫‪CD ⊂ (Y ) ⇐ CD ⊥ (X ), C ∈ (Y ), (Y‬‬

‫) ‪CD ⊂ (Y ) ⇐ CD ⊥ (X ), C ∈ (Y ), (Y ) ⊥ (X‬‬

‫مبرهنة (‪:)8‬‬

‫) ‪CD ⊂ (Y ) ⇐ CD ⊥ (X ), C ∈ (Y ), (Y ) ⊥ (X‬‬

‫مستو آخر يكون عمودي ًا على ذلك املستوي‬ ‫مستو مار مبستقيم عمودي على‬ ‫كل‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫يتعامد املستويان اذا احتوى احدهما على مستقيم عمودي على اآلخر‬ ‫أو‬ ‫اي انه‪:‬‬ ‫⎧ ‪) X (⊥⊥(XB)A‬‬ ‫‪⎧ AB‬‬ ‫‪X ( (Y‬‬ ‫⊥‪⊥ ))Y‬‬ ‫) ‪( (X‬‬ ‫⇒) ⎨‬ ‫⎨ ) ‪(Y ) ⊥ (X‬‬ ‫⎩ ‪) Y(⊂⊂(YB)A‬‬ ‫‪⎩ AB‬‬

‫المعطيات‪:‬‬

‫‪240‬‬

‫) ‪AB ⊥ (X‬‬ ‫) ‪AB ⊂ (Y‬‬

‫‪E‬‬

‫‪Y‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪X‬‬

‫الهند�سة الف�ضائية‬

‫ ‬

‫المطلوب اثباته‪:‬‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫) ‪(Y ) ⊥ (X‬‬

‫البرهان‪:‬‬

‫ليكن ‪( (X )∩ (Y ) = CD‬يتقاطع المستويان بخط مستقيم)‬ ‫(مستقيم التقاطع يحتوي النقاط المشتركة)‬

‫‪B ∈ CD‬‬ ‫في (‪ )X‬نرسم ‪( BE ⊥ CD‬في المستوي الواحد يوجد مستقيم وحيد عمودي على مستقيم فيه‬ ‫من نقطة معلومة)‬ ‫∴ ) ‪AB ⊥ (X‬‬

‫(معطى)‬

‫∴ ‪( ∴ AB ⊥ CD, BE‬المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودي ًا على جميع المستقيمات‬ ‫المحتواة في المستوي والمارة من أثره)‬ ‫(معطى)‬ ‫∴ ) ‪AB ⊂ (Y‬‬ ‫∴ ‪ABE‬‬ ‫‪= 90°‬‬ ‫∴ ‪ABE‬‬

‫عائدة للزاوية الزوجية ‪( CD‬تعريف الزاوية العائدة)‬ ‫(الن ‪) AB ⊥ BE‬‬

‫‪m‬‬

‫∴ قياس الزاوية الزوجية ‪(Y ) − CD − (X ) = 90°‬‬

‫(قياس الزاوية الزوجية يساوي قياس الزاوية‬ ‫العائدة لها وبالعكس)‬

‫∴) ‪(Y ) ⊥ (X‬‬

‫(اذا كان قياس الزاوية الزوجية ْ‪ 90‬فان المستويين متعامدان وبالعكس)‬ ‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬

‫مبرهنة (‪:)9‬‬ ‫مستو وحيد عمودي على املستوي املعلوم‪.‬‬ ‫علىمستو معلوم يوجد‬ ‫من مستقيم غير عمودي‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫اي انه‪:‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ AB‬غير عمودي على (‪)X‬‬

‫‪Y‬‬

‫فيوجد مستوي وحيد يحتوي ‪AB‬‬

‫‪B‬‬

‫وعمودي على (‪)X‬‬ ‫المعطيات‪:‬‬ ‫‪ AB‬غير عمودي على (‪)X‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪241‬‬

‫ ‬

‫المطلوب اثباته‪:‬‬

‫الهند�سة الف�ضائية ‪Space Geometry‬‬

‫مستو وحيد يحوي ‪ AB‬وعمودي على (‪)X‬‬ ‫ايجاد‬ ‫ٍ‬ ‫البرهان‪:‬‬

‫مستو معلوم من نقطة ال تنتمي‬ ‫من نقطة (‪ )A‬نرسم ) ‪( AC ⊥ (X‬يوجد مستقيم وحيد عمودي على‬ ‫ٍ‬ ‫اليه)‬ ‫∵ ‪ AB , AC‬متقاطعان‬ ‫مستو وحيد يحويهما)‬ ‫مستو وحيد مثل (‪ )Y‬يحويهما (لكل مستقيمين متقاطعين يوجد‬ ‫∴ يوجد‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫∴ ) ‪(Y ) ⊥ (X‬‬

‫(مبرهنة ‪)8‬‬

‫ولبرهنة الوحدانية‪:‬‬ ‫ليكن (‪ )Z‬مستوي اخر يحوي ‪ AB‬وعمودي على (‪)X‬‬ ‫∵ ) ‪( AC ⊥ (X‬بالبرهان)‬ ‫∴) ‪( AC ⊂ (Z‬نتيجة مبرهنة ‪)7‬‬

‫مستو وحيد يحويهما)‬ ‫∴) ‪( (Y ) = (Z‬لكل مستقيمين متقاطعين يوجد‬ ‫ٍ‬

‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬

‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬

‫نتيجة مبرهنة (‪:)9‬‬

‫اذا كان كل من مستويين متقاطعين عمودي ًا على مست ٍو ثالث فان مستقيم تقاطعهما يكون‬ ‫عمودي ًا على المستوي الثالث‪.‬‬

‫المعطيات‪:‬‬

‫‪A‬‬

‫‪(X )∩ (Y ) = AB‬‬

‫‪X‬‬

‫‪Y‬‬

‫) ‪(X ), (Y ) ⊥ (Z‬‬

‫المطلوب اثباته‪:‬‬ ‫) ‪AB ⊥ (Z‬‬

‫‪B‬‬

‫البرهان‪:‬‬ ‫ان لم يكن ‪ AB‬عمودي ًا على (‪)Z‬‬ ‫لما وجد اكثر من مستوي يحوي ‪ AB‬وعمودي على (‪( )Z‬مبرهنة ‪)9‬‬ ‫‪Z‬‬

‫∴) ‪AB ⊥ (Z‬‬

‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬

‫نشـــاط‪ :‬توجد طرق اخرى لبرهان هذه المبرهنة ‪ ،‬حاول ذلك‪.‬‬

‫‪242‬‬

‫ ‬

‫الهند�سة الف�ضائية‬

‫‪Space Geometry‬‬ ‫‪D‬‬

‫مثال ‪-1 -‬‬

‫‪A = 30°‬‬

‫‪5 cm‬‬

‫في ‪ABC‬‬ ‫‪BD ⊥ (ABC ) , m‬‬

‫‪AB = 10 cm , BD = 5cm‬‬ ‫جد قياس الزاوية الزوجية ‪D − AC − B‬‬ ‫املعطيات‪:‬‬

‫‪30 0‬‬

‫‪10 c‬‬

‫‪m‬‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪, AB =10 cm, BD = 5 cm‬‬ ‫املطلوب اثباته‪:‬‬ ‫ايجاد قياس الزاوية الزوجية ‪D − AC − B‬‬

‫‪BAC = 30°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪BD ⊥ (ABC ), m‬‬

‫الربهان‪:‬‬ ‫في املستوي (‪ )ABC‬نرسم ‪ BE ⊥ AC‬في نقطة ‪( E‬في املستوي الواحد يوجد مستقيم وحيد عمودي‬ ‫على آخر من نقطة معلومة)‬ ‫∴‬ ‫(معطى)‬ ‫) ‪BD ⊥ (ABC‬‬ ‫∴ ‪( DE ⊥ AC‬مبرهنة االعمدة الثالثه)‬ ‫عائدة للزاوية الزوجية ‪( AC‬تعريف الزاوية العائدة)‬ ‫⇐ ‪DE B‬‬ ‫‪( DB ⊥ BE‬املستقيم العمودي على مستوي يكون عموديا على جميع املستقيمات احملتواة في‬ ‫املستوي واملارة من اثره)‬ ‫⇐ ‪DBE‬‬ ‫في‬

‫‪BE A‬‬

‫في‬ ‫⇐ ‪DBE‬‬

‫قائم الزاوية في ‪B‬‬ ‫القائم الزاوية في ‪E‬‬ ‫‪BE‬‬ ‫‪1 BE‬‬ ‫= ‪Sin30°‬‬ ‫= ⇒‬ ‫‪⇒ BE = 5cm‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪2 10‬‬ ‫القائم الزاوية في ‪:B‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪BE D = = 1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪tan‬‬

‫‪m‬‬ ‫∴ قياس ‪BE D = 45°‬‬ ‫الزاوية ‪− AC‬‬ ‫∴ قياس ‪− B‬‬ ‫‪ 45°‬الزاوية الزوجية هو قياس الزاوية العائدة‬ ‫الزوجية‪(= D − AC − B = 45° = D‬قياس‬ ‫لها وبالعكس)‬

‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬

‫‪243‬‬

‫الهند�سة الف�ضائية ‪Space Geometry‬‬

‫ ‬ ‫مثال ‪-2 -‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬

‫ليكن ‪ ABC‬مثلث ًا وليكن‬ ‫‪AF‬‬ ‫⊥ ‪AF‬‬ ‫‪⊥ (ABC‬‬ ‫)) ‪(ABC‬‬ ‫‪BD‬‬ ‫⊥ ‪BD‬‬ ‫‪⊥ CF‬‬ ‫‪CF‬‬ ‫‪BE‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫⊥ ‪BE‬‬ ‫‪⊥ CA‬‬ ‫‪CD‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫برهن ان‪:‬‬

‫) ‪BE ⊥ (CAF‬‬ ‫‪E D ⊥ CF‬‬

‫‪B‬‬

‫املعطيات ‪:‬‬

‫‪AF ⊥ (ABC ), BE ⊥ CA, BD ⊥ CF‬‬

‫املطلوب اثباته‪:‬‬ ‫) ‪DE ⊥ CF , BE ⊥ (CAF‬‬ ‫الربهان‪:‬‬ ‫∵ ) ‪( AF ⊥ (ABC‬معطى)‬

‫∴) ‪( (CAF ) ⊥ (ABC‬مبرهنة ‪: 8‬يتعامد املستويان اذا احتوى احدهما على مستقيم عمودي على‬ ‫اآلخر )‬

‫∵‬

‫‪BE ⊥ CA‬‬

‫(معطى)‬

‫∴) ‪( BE ⊥ (CAF‬مبرهنة ‪ :7‬اذا تعامد مستويان فاملستقيم املرسوم في احدهما والعمودي على‬ ‫مستقيم التقاطع يكون عمودي ًا على اآلخر )‬ ‫∵‬

‫‪BD ⊥ CF‬‬

‫∴ ‪E D ⊥ CF‬‬

‫(معطى)‬ ‫(نتيجة مبرهنة االعمدة الثالثة)‬ ‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬

‫‪244‬‬

‫ ‬

‫الهند�سة الف�ضائية‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫مثال ‪-3 -‬‬ ‫) ‪ (Y ), (X‬مستويان متعامدان‬

‫‪A‬‬

‫) ‪AB ⊂ (X‬‬ ‫‪ BC , BD‬عموديان على ‪AB‬‬

‫‪Z‬‬

‫ويقطعان (‪ )Y‬في ‪ C,D‬على الترتيب‬ ‫برهن ان‪:‬‬ ‫) ‪CD ⊥ (X‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫املعطيات ‪:‬‬

‫‪Y‬‬

‫إن ) ‪ BC ,BD ، AB ⊂ (X ) ، (X ) ⊥ (Y‬عموديني على ‪ AB‬ويقطعان (‪ )Y‬في ‪ C,D‬على الترتيب‬ ‫املطلوب اثباته‪:‬‬ ‫) ‪CD ⊥ (X‬‬ ‫الربهان ‪:‬‬ ‫ليكن (‪ )Z‬مستوي املستقيمني املتقاطعني ‪( BC ,BD‬لكل مستقيمني متقاطعني يوجد مستوي ًا وحيد ًا‬ ‫يحويهما )‬ ‫مبا ان ‪ ( AB ⊥ BC , BD‬معطى )‬

‫) ‪∴ AB ⊥ (Z ) ∴ AB ⊥ (Z‬‬

‫(املستقيم العمودي على مستقيمني متقاطعني من نقطة تقاطعهما يكون عمودي ًا على مستويهما)‬ ‫∴ ) ‪( AB ⊂ (X‬معطى)‬

‫∴ ) ‪( (X ) ⊥ (Z‬يتعامد املستويان اذا احتوى احدهما على مستقيم عمودي على اآلخر)‬ ‫∴ ) ‪( (X ) ⊥ (Y‬معطى)‬ ‫وملا كان ‪( (Z )∩ (Y ) = CD‬النه محتوى في كل منهما )‬

‫∴ ) ‪∴CD ⊥ (X‬‬ ‫مستو ثالث فان مستقيم تقاطعهما يكون عمودي ًا على‬ ‫(اذا كان كل من مستويني متقاطعني عمودي ًا على‬ ‫ٍ‬ ‫املستوي الثالث)‬

‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬

‫‪245‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪)6‬‬

‫مارين (‬

‫ت‬

‫ ‬

‫الهند�سة الف�ضائية ‪Space Geometry‬‬

‫‪ .1‬برهن ان مستوي الزاوية املستوية العائدة لزاوية زوجية يكون عمودي ًا على حرفها‪.‬‬ ‫مستو آخر فان املستويني متعامدان ‪.‬‬ ‫‪ .2‬برهن انه اذا وازى مستقيم مستوي ًا وكان عمودي ًا على‬ ‫ٍ‬ ‫‪ .3‬برهن ان املستوي العمودي على احد مستويني متوازيني يكون عمودي ًا على اآلخر ايض ًا ‪.‬‬ ‫مستو واحد بحيث ‪ E ∈ BC , AB = AC‬فاذا كانت‬ ‫‪ A,B,C,D .4‬اربع نقاط ليست في‬ ‫ٍ‬ ‫عائدة للزاوية الزوجية ‪ A- BC - D‬برهن ان ‪.CD = BD‬‬ ‫‪AED‬‬ ‫‪ .5‬برهن انه اذا وازى كل من مستقيمني متقاطعني مستوي ًا معلوم ًا وكانا عموديني على مستويني متقاطعني فان‬ ‫مستقيم تقاطع املستويني املتقاطعني يكون عمودي ًا على املستوي املعلوم ‪.‬‬ ‫‪ .6‬دائرة قطرها ‪ AC ، AB‬عمودي على مستويها ‪ D ،‬نقطة تنتمي للدائرة ‪ .‬برهن ان (‪)CDA‬‬ ‫عمودي على (‪.)CDB‬‬

‫‪246‬‬

‫ ‬

‫الهند�سة الف�ضائية‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫مستو‬ ‫(‪ )6-3‬االسقاط العمودي على‬ ‫ٍ‬ ‫‪The Orthogonal Projection on a Plane‬‬ ‫م�ستو‪ :‬هو أثر العمود املرسوم من تلك النقطة على املستوي‪.‬‬ ‫‪ )1‬م�سقط نقطة على‬ ‫ٍ‬

‫‪ )2‬م�سقط جمموعة نقط على م�ستوي‪ :‬لتكن ‪ L‬مجموعة من نقاط في الفراغ فان مسقطها هو‬ ‫مجموعة كل اثار االعمدة املرسومة من نقاطه على املستوي ‪.‬‬ ‫م�ستو معلوم‪ :‬هو قطعة املستقيم احملددة بأثري‬ ‫‪ )3‬م�سقط قطعة م�ستقيم غري عمودية على‬ ‫ٍ‬ ‫العمودين املرسومني من نهايتي القطعة على املستوي املعلوم‬ ‫‪B‬‬ ‫ليكن ‪ AB‬غير عمودي على (‪ )X‬وليكن‬

‫) ‪ ⇐ AC ⊥ (X‬مسقط ‪ A‬على (‪ )X‬هو ‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫) ‪ ⇐ BD ⊥ (X‬مسقط ‪ B‬على (‪ )X‬هو‪D‬‬ ‫∴ مسقط ‪ AB‬على (‪ )X‬هو ‪CD‬‬ ‫‪D‬‬ ‫مالحظـة‬

‫اذا كان ) ‪(X‬‬

‫‪C‬‬

‫‪X‬‬

‫‪AB‬‬

‫فان ‪AB = CD‬‬ ‫م�ستو‪ :‬هو املستقيم غير العمودي على املستوي وقاطع له‬ ‫‪ )4‬امل�ستقيم املائل (‪) Inclined Line‬على‬ ‫ٍ‬ ‫‪ )5‬زاوية امليل (‪ :) Angle of Inclination‬هي الزاوية احملددة باملائل ومسقطه على املستوي‪.‬‬ ‫ليكن ‪ AB‬مائ ً‬ ‫ال على (‪ )X‬في ‪B‬‬ ‫وليكن ) ‪ AC ⊥ (X‬في ‪C‬‬

‫‪247‬‬

‫ ‬

‫الهند�سة الف�ضائية ‪Space Geometry‬‬

‫∴ ‪ C‬مسقط ‪ A‬على (‪ )X‬حيث ) ‪A ∉ (X‬‬

‫‪A‬‬

‫كذلك ‪ B‬مسقط نفسها حيث ) ‪B ∈ (X‬‬ ‫⇐ ‪ BC‬مسقط ‪ AB‬على (‪)X‬‬ ‫اي ان ‪0 < θ < 90°‬‬ ‫)‪θ ∈ (0, 90°‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ )6‬طول امل�سقط‬

‫‪B‬‬

‫‪X‬‬

‫مستو = طول املائل × جيب متام زاوية امليل‪.‬‬ ‫طول مسقط قطعة مستقيم على‬ ‫ٍ‬

‫فعندما تكون ‪ AB‬مائ ً‬ ‫ال على (‪ )X‬وزاوية ميله ‪ θ‬ومسقطه ‪ BC‬فان ‪BC = AB cosθ‬‬

‫‪ )7‬م�سقط م�ستوي مائل(‪ )Inclined Plane‬على (‪)X‬‬ ‫مستو معلوم هو قياس الزاوية املستوية العائدة للزاوية الزوجية بينهما‬ ‫مستو على‬ ‫زاوية ميل‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫مستو معلوم = مساحة املنطقة املائلة × جيب متام زاوية امليل‬ ‫مساحة مسقط منطقة مائلة على‬ ‫ٍ‬ ‫لتكن ‪ A‬مساحة املنطقة املائلة ‪ Aʹ ،‬مساحة املسقط ‪ θ ،‬قياس زاوية امليل‬ ‫⇐ ‪Aʹ = A.cosθ‬‬ ‫مثال ‪-4 -‬‬ ‫اذا وازى احد ضلعي زاوية قائمة مستوي ًا معلوم ًا فان مسقطي ضلعيها على املستوي متعامدان‪.‬‬ ‫املعطيات‪:‬‬ ‫‪ABC‬‬

‫قائمة في ‪B‬‬

‫) ‪، AB / /(X‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪Y‬‬

‫ʹ ‪ AʹB‬هو مسقط ‪ AB‬على (‪)X‬‬

‫‪Z‬‬

‫ʹ ‪ B ʹC‬هو مسقط ‪ BC‬على (‪)X‬‬ ‫املطلوب اثباته ‪:‬‬ ‫ʹ ‪AʹB ʹ ⊥ B ʹC‬‬

‫‪248‬‬

‫َ‪A‬‬

‫َ‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫َ‪C‬‬

‫‪X‬‬

‫الربهان ‪:‬‬

‫ ‬

‫الهند�سة الف�ضائية‬

‫ʹ ‪ AʹB‬مسقط ‪AB‬‬ ‫ʹ ‪ B ʹC‬مسقط ‪BC‬‬

‫⎧‬ ‫⎨‬ ‫⎩‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫معطى‬

‫مستو معلوم هو القطعة احملددة بأثري العمودين‬ ‫⇐ ) ‪( C C ʹ, B B ʹ, AAʹ ⊥ (X‬مسقط قطعة مستقيم على ٍ‬ ‫املرسومني على املستوي من طرفي القطعة املستقيمة )‪.‬‬

‫مستو واحد متوازيان )‬ ‫ʹ ‪( B B ʹ / /C C ʹ ، AAʹ / /B B‬املستقيمان العموديان على‬ ‫ٍ‬

‫باملستقيمني املتوازيني ʹ ‪ AAʹ ، B B‬نعني (‪⎧ )Y‬‬ ‫مستو وحيد يحتويهما(‬ ‫⎨ (لكل مستقيمني متوازيني يوجد‬ ‫ٍ‬ ‫باملستقيمني املتوازيني ʹ ‪ B B ʹ ، C C‬نعني (‪⎩ )Z‬‬ ‫لكن ) ‪AB / /(X‬‬

‫(معطى )‬

‫ʹ ‪(Y )∩ (X ) = AʹB‬‬

‫(يتقاطع املستويان بخط مستقيم )‬

‫⇐ ʹ ‪AB / / AʹB‬‬

‫(اذا وازى مستقيم مستوي ًا معلوم ًا فانه يوازي جميع املستقيمات الناجتة‬ ‫من تقاطع هذا املستوي واملستويات التي حتوي املستقيم )‬

‫كذلك ʹ ‪B B ʹ ⊥ AʹB‬‬

‫(املستقيم العمودي على مستوي يكون عمودي ًا على جميع املستقيمات‬ ‫املرسومة من أثره ضمن ذلك املستوي )‬

‫ʹ ‪AB ⊥ B B‬‬

‫( في املستوي الواحد ‪ :‬املستقيم العمودي على احد مستقيمني متوازيني‬ ‫يكون عمودي ًا على اآلخر)‬

‫لكن‬

‫‪AB ⊥ BC‬‬

‫) ‪AB ⊥ (Z‬‬

‫(الن ‪ABC = 90°‬‬

‫‪ M‬معطى )‬

‫( املستقيم العمودي على مستقيمن متقاطعني من نقطة تقاطعهما يكون‬ ‫عمودي ًا على مستويهما )‬

‫⇐ ) ‪AʹB ʹ ⊥ (Z‬‬

‫(املستوي العمودي على احد مستقيمني متوازيني يكون عمودي ًا على اآلخر)‬

‫∴ʹ ‪AʹB ʹ ⊥ B ʹC‬‬

‫(املستقيم العمودي على مستوي يكون عمودي ًا على جميع املستقيمات‬ ‫املرسومة من أثره ضمن ذلك املستوي )‬ ‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬

‫‪249‬‬

‫الهند�سة الف�ضائية ‪Space Geometry‬‬

‫مثال ‪-5 -‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ ABC‬مثلث ‪BC ⊂ (X ) ،‬‬ ‫والزاوية الزوجية بني مستوي املثلث‬

‫‪13‬‬

‫‪ ABC‬واملستوي (‪)X‬‬ ‫قياسها ‪ 60°‬فاذا كان‬

‫‪13‬‬

‫‪AB = AC = 13cm, BC = 10cm‬‬ ‫جد مسقط املثلث (‪ )ABC‬على (‪)X‬‬ ‫ثم جد مساحة مسقط ‪ABC‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫على (‪)X‬‬

‫‪10‬‬

‫ ‬

‫‪C‬‬

‫املعطيات ‪:‬‬ ‫) ‪ABC, BC ⊂ (X‬‬

‫‪X‬‬

‫قياس ‪(ABC ) − BC − (X ) = 60°‬‬ ‫‪AB = AC = 13, BC = 10‬‬ ‫املطلوب اثباته‪:‬‬ ‫ايجاد مسقط ‪ABC‬‬

‫على (‪ )X‬وايجاد مساحة مسقط ‪ABC‬‬

‫على (‪)X‬‬

‫الربهان ‪:‬‬

‫‪⊥ (X‬في)‪D‬‬ ‫‪(X‬‬ ‫‪AD) ⊥ (X‬‬ ‫نرسم⊥ )‪AD‬‬ ‫‪AD‬‬

‫( ميكن رسم عمود على مستوي من نقطة معلومة )‬

‫∴ ‪ CD‬مسقط ‪AC‬‬ ‫⎧‬ ‫⎪‬ ‫‪ BD‬مسقط ‪AB‬‬ ‫⎨‬ ‫‪BC‬مسقط نفسه على (‪⎪ )X‬‬ ‫⎩‬ ‫∴ ‪BCD‬‬

‫مسقط ‪ABC‬‬

‫(مسقط قطعة مستقيم على مستو معلوم هو القطعة احملددة بأثري‬ ‫العمودين املرسومني على املستوي من طرفي القطعة املستقيمة )‬ ‫على (‪)X‬‬

‫في (‪ )ABC‬نرسم ‪ BC ⊥ AE‬في ‪( E‬في املستوي الواحد ميكن رسم مستقيم عمود على آخر من‬ ‫نقطة معلومة )‬ ‫ومبا أن ‪AC = AB‬‬

‫(معطى)‬

‫∴‪ ( E C = BE = 5cm‬العمود النازل من راس مثلث متساوي الساقني على القاعدة ينصفها )‬

‫‪250‬‬

‫ ‬

‫الهند�سة الف�ضائية‬

‫∴ ‪E D ⊥ BC‬‬ ‫∴ ‪DEA‬‬ ‫عائدة للزوجية ‪BC‬‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫(نتيجة مبرهنة االعمدة الثالثة)‬ ‫(تعريف الزاوية العائدة )‬

‫(معطى)‬ ‫‪BC =BC‬‬ ‫‪60°= 60°‬‬ ‫الزوجية= ‪BC‬‬ ‫لكن قياس الزاوية ‪60°‬‬ ‫في ‪AEB‬‬

‫القائم في ‪: E‬‬

‫في ‪AED‬‬

‫القائم في ‪D‬‬

‫‪AE = 169 − 25 = 144 = 12cm‬‬ ‫‪ED‬‬ ‫‪1 ED‬‬ ‫= ⇒‬ ‫‪⇒ E D = 6cm‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2 12‬‬ ‫‪AE‬‬

‫= ‪cos 60°‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مساحة‬ ‫املثلث ‪BCD‬‬ ‫‪= ×10‬‬ ‫‪× 6== 30cm‬‬ ‫‪BCD‬‬ ‫‪×10 ×2 6 = 30cm2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬ ‫مالحظـة‬

‫لو طلب مساحة املسقط فقط فيمكن ايجاده كاآلتي‪:‬‬ ‫مساحة ‪ = BCD‬مساحة ‪cos 60° × ABC‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= × (12 × 10 × ) = 30cm2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫و ‪ .‬هـ ‪ .‬م‬

‫‪251‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪)6‬‬

‫مارين (‬

‫ت‬

‫ ‬

‫الهند�سة الف�ضائية ‪Space Geometry‬‬

‫‪ .1‬برهن أن طول قطعة املستقيم املوازي ملستو معلوم يساوي طول مسقطه على املستوي املعلوم ويوازيه‪.‬‬ ‫‪ .2‬برهن أنه إذا قطع مستويان متوازيان مبستقيم فان ميله على أحدهما يساوي ميله على اآلخر ‪.‬‬ ‫‪ .3‬برهن على أن للمستقيمات املتوازية املائلة على مستو امليل نفسه‬ ‫‪ .4‬برهن على أنه إذا رسم مائالن مختلفان في الطول من نقطة ال تنتمي الى مستو معلوم فان أطولهما تكون‬ ‫زاوية ميله على املستوي أصغر من زاوية ميل اآلخر عليه‪.‬‬ ‫‪ .5‬برهن على أنه إذا رسم مائالن من نقطة ما الى مستو فأصغرهما مي ً‬ ‫ال هو االطول ‪.‬‬ ‫مستو اصغر من الزاوية احملصورة بني املستقيم نفسه‬ ‫‪ .6‬برهن على أن زاوية امليل بني املستقيم ومسقطه على‬ ‫ٍ‬ ‫واي مستقيم آخر مرسوم من موقعه ضمن ذلك املستوي‪.‬‬

‫‪252‬‬

‫ ‬

‫الهند�سة الف�ضائية‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫[‪ ]6-4‬املجسمات (‪)Solid‬‬ ‫سبق للطالب دراسة املجسمات في املرحلة املتوسطة ونلخص فيما يلي قوانني احلجوم واملساحات‬ ‫ ‬ ‫اجلانبية والكلية لبعض املجسمات علم ًا ان احلديث عن حجم مجسم نقصد به حجم املنطقة في الفراغ‬ ‫(الفضاء) الواقعة داخل املجسم‪.‬‬ ‫‪ )1‬املو�شور (املن�شور) القائم (‪)Right Prism‬‬ ‫الرسم‬ ‫‪Diagram‬‬

‫احلجم‬ ‫‪Volume‬‬

‫مساحة القاعدة × االرتفاع‬

‫املساحة اجلانبية‬ ‫‪Lateral Area‬‬

‫مجموع مساحات االوجه اجلانبية = محيط القاعدة × االرتفاع‬

‫املساحة الكلية‬ ‫‪Total Area‬‬

‫املساحة اجلانبية ‪ +‬مساحة قاعدتني‬

‫‪253‬‬

‫ ‬

‫الهند�سة الف�ضائية ‪Space Geometry‬‬

‫‪ )2‬متوازي ال�سطوح امل�ستطيلة (متوازي امل�ستطيالت) (‪)ParallelPiped‬‬ ‫الرسم‬ ‫‪Diagram‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪Y‬‬ ‫‪X‬‬

‫احلجم‬ ‫‪Volume‬‬ ‫املساحة اجلانبية‬ ‫‪Lateral Area‬‬ ‫املساحة الكلية‬ ‫‪Total Area‬‬

‫‪V= x y z‬‬ ‫‪L.A = 2(x + y)z‬‬ ‫‪T.A = 2(x + y)z + 2xy‬‬

‫‪ )3‬املكعب (‪)Cube‬‬ ‫الرسم‬ ‫‪Diagram‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬

‫احلجم‬ ‫‪Volume‬‬ ‫املساحة اجلانبية‬ ‫‪Lateral Area‬‬ ‫املساحة الكلية‬ ‫‪Total Area‬‬

‫‪254‬‬

‫‪V = x3‬‬ ‫‪L.A = 4x 2‬‬ ‫‪T.A = 4x‬‬ ‫‪6x23‬‬

‫ ‬

‫الهند�سة الف�ضائية‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫‪ )4‬اال�سطوانة الدائرية القائمة (‪)Right Circular Cylinder‬‬ ‫الرسم‬ ‫‪Diagram‬‬

‫‪h‬‬ ‫‪r‬‬ ‫احلجم‬ ‫‪Volume‬‬ ‫املساحة اجلانبية‬ ‫‪Lateral Area‬‬ ‫املساحة الكلية‬ ‫‪Total Area‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪V=π r h‬‬

‫‪L .A = 2πrh‬‬ ‫‪T .A = 2πrh+ 2πr 2‬‬

‫‪ )5‬الهرم (‪)Pyramid‬‬ ‫الرسم‬ ‫‪Diagram‬‬

‫ارتفاع جانبي‬

‫‪h‬‬ ‫‪b‬‬ ‫احلجم‬ ‫‪Volume‬‬ ‫املساحة اجلانبية‬ ‫‪Lateral Area‬‬ ‫املساحة الكلية‬ ‫‪Total Area‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪bh‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‪V‬‬

‫‪ : b‬مساحة القاعدة‬ ‫‪ : h‬االرتفاع‬

‫‪1‬‬ ‫طول االرتفاع اجلانبي × (محيط القاعدة)‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪L.A‬‬

‫املساحة اجلانبية ‪ +‬مساحة القاعدة = ‪T.A‬‬

‫‪255‬‬

‫ ‬

‫الهند�سة الف�ضائية ‪Space Geometry‬‬

‫‪ )6‬املخروط الدائري القائم (‪)Right Circular Cone‬‬ ‫الرسم‬ ‫‪Diagram‬‬

‫‪l‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪πr h‬‬ ‫‪3‬‬

‫احلجم‬ ‫‪Volume‬‬

‫=‪V‬‬

‫املساحة اجلانبية‬ ‫‪Lateral Area‬‬

‫‪L.A= πr l‬‬

‫املساحة الكلية‬ ‫‪Total Area‬‬

‫‪T.A= πr l + πr 2‬‬

‫‪ )7‬الكرة (‪)Sphere‬‬ ‫الرسم‬ ‫‪Diagram‬‬ ‫‪r‬‬

‫احلجم‬ ‫‪Volume‬‬ ‫مساحة سطح الكرة‬

‫‪4‬‬ ‫‪V= πr 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مساحة سطح الكرة = مساحة ‪ 4‬دوائر عظيمة = ‪4πr 2‬‬ ‫‪S = 4πr 2‬‬

‫‪256‬‬

‫ ‬

‫مالحظـة‬

‫‪X‬‬

‫الهند�سة الف�ضائية‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫‪ )1‬ذو الوجوه االربعة املنتظم‪ :‬هرم ثالثي قائم منتظم اوجهه االربعة مثلثات‬ ‫متساوية االضالع ومتطابقة‬ ‫‪ )2‬اذا قطع املخروط الدائري مبستوي مار من احد مولداته فان املقطع‬ ‫مثلث ويكون املثلث في املخروط الدائري القائم متساوي الساقني‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫مخروط دائري مائل‬ ‫⇐ ‪AC ≠ AB‬‬

‫مخروط دائري قائم‬ ‫⇐ ‪AC = AB‬‬

‫‪257‬‬

‫ ‬

‫الهند�سة الف�ضائية ‪Space Geometry‬‬

‫‪)6‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-3‬‬

‫‪ .1‬اذا كانت املساحة الكلية ملتوازي املستطيالت = ‪ 724cm2‬ومساحة قاعدته = ‪ 132cm2‬ومساحة احد‬ ‫اوجهه اجلانبية = ‪ 110cm2‬جد حجمه‪.‬‬ ‫‪ .2‬اسطوانة دائرية قائمة مساحتها اجلانبية ‪ 400πcm2‬وحجمها ‪ 2000πcm3‬اوجد ارتفاعها ونصف‬ ‫قطر قاعدتها‪.‬‬ ‫‪ .3‬برهن على ان حجم ذي الوجوه االربعة املنتظم والذي طول حرفه = ‪ l‬هو‬

‫‪3‬‬

‫‪2l‬‬ ‫‪12‬‬

‫وحدة مكعبة‪.‬‬

‫مستو فقطع قاعدته بقطعة مستقيم تبعد عن مركز القاعدة مبقدار ‪8cm‬‬ ‫مر برأسه‬ ‫ٍ‬ ‫‪ .4‬مخروط دائري قائم ّ‬ ‫فاذا كانت مساحة املقطع = ‪ 102cm2‬وارتفاع املخروط = ‪ 15cm‬احسب‪:‬‬ ‫‪ )3‬مساحته الكلية‬ ‫ ‬ ‫‪ )2‬مساحته اجلانبية‬ ‫ ‬ ‫‪ )1‬حجمه‬ ‫‪ .5‬اذا علمت انه ميكن رسم كرة خارج ذي الوجوه االربعة املنتظم‪.‬‬ ‫برهن ان نصف قطر الكرة = ‪ 3‬االرتفاع‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪258‬‬

‫متارين عامة‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x2 + 4‬‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .1‬جد قيمة ‪ x, y ∈ R‬والتي حتقق‬ ‫‪1+ i x + 2i‬‬ ‫‪2‬‬

‫⎛‬ ‫‪5‬‬ ‫⎞ ‪4‬‬ ‫‪ .2‬جد ناجت‪. ⎜ 3ω 9 n + 5 + 4 ⎟ :‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠ ‪ω ω‬‬ ‫‪1− 3 i‬‬ ‫= ‪ z‬عدد مركب ًا جد باستخدام مبرهنة دميوافر ‪.‬‬ ‫‪ .3‬اذا كان‬ ‫‪z‬‬ ‫‪1+ −3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .4‬قطع ناقص مركزه نقطة االصل وقطع زائد نقطة تقاطع محورية نقطة االصل‪ .‬احدهما مير بؤرة االخر‬ ‫فاذا كانت ‪ 9x 2 + 25y2 = 225‬معادلة القطع الناقص فجد ‪.‬‬ ‫أ) مساحة منطقة القطع الناقص‪.‬‬

‫ب) محيط القطع الناقص‪.‬‬

‫جـ) معادلة القطع الزائد ثم ارسمه‪.‬‬

‫د) االختالف املركزي لكل منهما‪.‬‬

‫‪ .5‬جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه تنتميان حملور السينات ومركزه نقطة االصل ومساحة منطقته ‪7π‬‬ ‫وحدة مربعة ومحيطه يساوي ‪ 10π‬وحدة ‪.‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪ .6‬جد‬ ‫‪dx‬‬

‫لكل مما يأتي‪:‬‬

‫‪b) y = (sin x + cos x)2‬‬

‫‪a) x 3 y2 − 2y = 5x + 3‬‬

‫)‪d) y = tan(cos x‬‬

‫‪c) y = ex ln 2x‬‬

‫‪2‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪f=) tan(cos‬‬ ‫‪ln(tan‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪f ) yln(tan‬‬ ‫)‪x) 2 x‬‬

‫‪e) y = x 2 ln x‬‬

‫) ‪h) y = cos(eπ x‬‬

‫‪ex + e− x‬‬ ‫‪g) y = x − x‬‬ ‫‪e −e‬‬

‫‪259‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ .7‬استخدم مبرهنة رول ثم مبرهنة القيمة املتوسطة اليجاد قيم ‪ C‬للدالة ]‪. f (x) = x 4 − 2x 2 , x ∈ [−2, 2‬‬ ‫تنتمي‬ ‫‪∃c =c=2‬‬ ‫كانت∈ ‪2‬‬ ‫فاذا‪[−1,‬‬ ‫‪ f (x) = ax 2 − 4x + 5 .8‬دالة حتقق شروط مبرهنة رول على الفترة ]‪b],[−1, b‬‬ ‫للفترة (‪ )-1 ,b‬فجد قيمة ‪r‬‬ ‫‪. a, b ∈ R‬‬ ‫‪ .9‬متوازي سطوح مستطية قاعدته مربعة وارتفاعه ثالثة امثال طول قاعدته ‪ ،‬جد احلجم التقريبي له‬ ‫عندما يكون طول قاعدته ‪. 2.97cm‬‬ ‫‪ .10‬مخروط دائري قائم حجمه ‪ 210πcm3‬جد القيمة التقريبة لنصف قطر قاعدته اذا كان ارتفاعه ‪.10cm‬‬ ‫‪ .11‬اذا كانت ‪ f (x) = 5 31x +1‬جد باستخدام مبرهنة القيمة املتوسطة القيمة التقريبية الى )‪. f (1.01‬‬ ‫‪ .12‬باستخدام معلوماتك في التفاضل ارسم املنحني البياني للدالة ‪. yx 2 = 1‬‬ ‫‪ .13‬جد تكامالت ك ً‬ ‫ال مما يأتي‪:‬‬ ‫‪b) ∫ (sin 2x −1)(cos 2x + 2)dx‬‬

‫‪a)a)∫−∫(cos‬‬ ‫‪−−sin‬‬ ‫‪a) ∫ (cos‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪(cosx)dx‬‬ ‫‪sin x)dx‬‬ ‫‪x)dx‬‬ ‫‪4 4‬‬

‫‪2‬‬

‫∫ )‪d‬‬

‫)‪ln(x‬‬ ‫∫ )‪c‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪f ) ∫ 3 3x 3 − 5x 5 dx‬‬

‫‪cotxxcsc‬‬ ‫‪csc3 3xxdx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪e)e)∫∫cot‬‬

‫‪tantan‬‬ ‫‪3x3x‬‬ ‫‪sec2 23xe‬‬ ‫‪3xe‬‬ ‫‪h)h)∫ ∫sec‬‬ ‫‪dxdx‬‬

‫∫ )‪g‬‬

‫‪dx‬‬

‫‪ .14‬حل املعادلة التفاضلية اآلتية‬

‫‪2 sin 3 x‬‬

‫‪44 4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪,x =1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫=‪, y‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x −14x + 49‬‬ ‫‪cos 2 y‬‬ ‫= ʹ‪. y‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪dy‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ .15‬حل املعادلة التفاضلية ‪= −2x tan y‬‬ ‫حيث ان ‪ x = 0‬عندما = ‪. y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .16‬حل املعادلة التفاضلية ‪ yʹ = 2ex y3‬حيث ان‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪. x = 0, y‬‬

‫‪ .17‬حل املعادلة التفاضلية االتية ‪.(x 2 + 3y2 )dx − 2xy dy = 0‬‬

‫‪260‬‬