Математическая логика и теория алгоритмов

Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ”

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

Для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654600 – “Информатика и вычислительная техника” по специальности 220100 – “Вычислительные машины, комплексы, системы и сети”

Санкт-Петербург

2002

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет “ЛЭТИ”

“УТВЕРЖДАЮ”

Проректор по учебной работе проф. ___________ Ушаков В.Н. “_____”_______________2002 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

Для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654600 – “Информатика и вычислительная техника” по специальности 220100 – “Вычислительные машины, комплексы, системы и сети” Факультет компьютерных технологий и информатики Кафедра вычислительной техники

Курс – 2 Семестр – 3 Лекции

48 ч.

Практические занятия

16 ч.

Курсовая работа

16 ч.

Аудиторные занятия Самостоятельные занятия Всего часов

Экзамен

80 ч. 65 ч. 145 ч.

2002

семестр 3

Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры вычислительной техники “____”_______________ 2002 г., протокол № ______. Рабочая программа согласована с рабочими программами изученных ранее дисциплин: 1) Дискретная математика Рабочая программа одобрена методической комиссией факультета компьютерных технологий и информатики “____”_____________2002 г.

Цели и задачи дисциплины: Цель дисциплины – ознакомление с основными понятиями и методами математической логики и теории алгоритмов с ориентацией на их использование в практической информатике и вычислительной технике. Требования к уровню освоения дисциплины В результате изучения дисциплины студенты должны: 1. Знать основные понятия и методы математической логики и теории алгоритмов, используемые в информатике и вычислительной технике. 2. Уметь использовать их для построения несложных логических моделей предметных областей, реализации логического вывода и оценки вычислительной сложности алгоритмов 3. Иметь представление о направлениях развития данной дисциплины и перспективах ее использования в информатике и вычислительной технике.

Содержание рабочей программы ВВЕДЕНИЕ Предмет курса, его связь с другими дисциплинами учебного плана, значение в подготовке специалистов по направлению "Информатика и вычислительная техника" и инженеров-системотехников по специальности 220100 – “Вычислительные машины, комплексы, системы и сети”. Обзор литературы по курсу. Раздел 1. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ Тема 1. Основы логики высказываний Язык логики высказываний. Синтаксис языка: алфавит и правила построения формул. Семантика языка, интерпретация формул. Свойства формул: общезначимость, выполнимость, противоречивость. Методы анализа выполнимости и общезначимости формул: семантическое дерево, тривиальный алгоритм, алгоритм Квайна, алгоритм редукции, алгебраический подход. Алгоритм преобразования формул в КНФ. Базовый алгоритм проверки общезначимости КНФ, модификация Девиса-Патнема. Тема 2. Вывод в логике высказываний Понятие логического следования, проблема дедукции. Принцип дедукции. Правило резолюций, метод резолюций. Стратегии метода резолюций. Раздел 2. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ Тема 3. Язык логики предикатов Синтаксис языка логики предикатов: алфавит, термы, атомы, правила построения формул. Свободные и связанные вхождения переменных, замкнутые формулы. Семантика языка логики предикатов, интерпретация формул.

Тема 4. Логический вывод в логике предикатов Предваренная, сколемовская и клаузальная формы. Алгоритм получения клаузальной формы. Метод резолюций в логике предикатов. Теорема Робинсона. Подстановка, композиция подстановок, унификатор. Алгоритм построения наиболее общего унификатора. Хорновские дизъюнкты и метод резолюций на хорновских дизъюнктах. Принцип логического программирования. Раздел 3. ФОРМАЛЬНЫЕ (АКСИОМАТИЧЕСКИЕ) СИСТЕМЫ Тема 5. Основы теории формальных систем Понятия формальной системы и формального вывода. Исчисление высказываний как формальная система, множественность аксиоматизаций. Теорема дедукции. Связь выводимости и истинности формул в логике высказываний. Исчисление предикатов как формальная система. Примеры формального вывода. Тема 6. Метатеория формальных систем Основные свойства формальных систем: непротиворечивость, полнота, разрешимость. Теоремы о неполноте формальных систем, смысл и значение теорем Геделя для практической информатики. Раздел 4. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ Тема 7. Алгоритмические системы. Алгоритмически разрешимые и неразрешимые задачи Понятие алгоритмической системы. Частично-рекурсивные функции, тезис Черча. Машины Тьюринга, тезис Тьюринга. Рекурсивные и рекурсивно-перечислимые множества и языки. Алгоритмически разрешимые и неразрешимые задачи. Проблема остановки, проблема пустой ленты, метод сведения. Тема 8. Сложность алгоритмов Меры сложности алгоритмов: временная и емкостная сложность. Асимптотическая сложность, порядок сложности. Сложность в среднем и в худшем случае. Языки и задачи. Легко- и трудноразрешимые задачи, классы задач P и NP. NP-полные задачи. Недетерминированная машина Тьюринга (НМТ). Сложность моделирования НМТ с помощью ДМТ. Примеры NP-полных задач. Полиномиальная сводимость и полиномиальная трансформируемость. Теорема Кука. Примеры практически значимых NP-полных задач. Задача 3-выполнимости, доказательство NP-полноты методом сведения. Тема 9. Алгоритмическая логика Алгоритмическая логика Хоара. Предусловие и постусловие алгоритма. Тройки Хоара. Формальная постановка задачи верификации. Понятие слабейшего предусловия и его основные свойства. Верификация операторов присваивания и их последовательностей. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Перспективы развития методов математической логики для решения задач спецификации и верификации программно-аппаратных средств, создания систем искусственного интеллекта и Семантического Web.

№ 1

Перечень практических занятий Наименование темы занятия

Номер темы программы 1

Язык логики высказываний, анализ свойств логических формул. Преобразование формул в КНФ. Метод резолюций в логике высказываний. Сравнение эффективности различных стратегий. Язык логики предикатов. Преобразование формул в предваренную форму. Преобразование формул логики предикатов в сколемовскую и клаузальную формы. Метод резолюций в логике предикатов. Унификация атомов, построение наиболее общего унификатора. Примеры логического программирования, реализация логического вывода на хорновских дизъюнктах. Примеры формального вывода в логических исчислениях Оценка сложности алгоритмов

2 3 4 5 6 7 8

2 4 4 4 4 5 8

Цели и содержание курсовой работы Цель курсовой работы – получение практических навыков алгоритмизации и программной реализации логического вывода с использованием метода резолюций, а также теоретической и экспериментальной оценки сложности построенных алгоритмов. Таким образом, курсовая работа направлена на практическое закрепление ключевых теоретических вопросов данной дисциплины как в части логики, так и в части теории алгоритмов. Содержание курсовой работы включает: 1. Разработку укрупненного алгоритма метода резолюций для заданного набора стратегий и детализированных алгоритмов отдельных процедур. 2. Теоретическую оценку сложности разработанных алгоритмов. 3. Разработку и отладку программы, экспериментальное исследование сложности алгоритмов. Распределение учебных часов по темам и видам занятий № темы

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Название разделов и тем ВВЕДЕНИЕ Раздел 1. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ Основы логики высказываний Вывод в логике высказываний Раздел 2. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ Язык логики предикатов Логический вывод в логике предикатов Раздел 3. ФОРМАЛЬНЫЕ (АКСИОМАТИЧЕСКИЕ) СИСТЕМЫ Основы теории формальных систем Метатеория формальных систем Раздел 4. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ Алгоритмические системы. Алгоритмически разрешимые и неразрешимые задачи. Сложность алгоритмов Алгоритмическая логика ЗАКЛЮЧЕНИЕ Курсовая работа

ИТОГО:

Объем учебных часов Лекции

Лабор. занятия

Практ. занятия

1

Аудит. занятия

Самост. Работа

1

Всего

Семестр

1

3

2 5

2 2

4 7

2 4

6 11

3 3

4 6

8

4 14

2 6

6 20

3 3

8 4

2 4

10 8

6

6

12

3 3 3 3

10 4 2 16 80

4 4 1 30 65

14 8 3 46 145

6 4

2

6 8 4 2

2

48

16

3

ЛИТЕРАТУРА Основная

№

Название, библиографическое описание

1

Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. – М.: Энергоатомиздат, 1988 Исследование вычислительной сложности алгоритмов логического вывода: Методические указания к курсовой работе по дисциплине "Математическая логика и теория алгоритмов"/ Сост.: M.Г. Пантелеев, А.С. Календарев; ГЭТУ. СПб., 1997. Логический вывод и сложность алгоритмов: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине "Математическая логика и теория алгоритмов"/ Сост.: M.Г. Пантелеев, А.С. Календарев; ГЭТУ. СПб., 1998. Ковальски Р. Логика в решении проблем. – М.: Наука, 1990 Тейз А. и др. Логический подход к искусственному интеллекту. - М.: Мир, 1990.3

2

3

4 5

Л

Пз

Кр

К-во экз. в библ. (на каф.)

3

3

3

79(0)

3

3

3

20(60)

3

3

3

24(60)

3

3

3

36(0)

3

3

3

26(0)

Гриф

Дополнительная №

Название, библиографическое описание

1

Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. - М.: Мир, 1979. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и трудно решаемые задачи. - М.: Мир, 1982. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. - М.: Наука, 1971 Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. М.: Наука, 1983.

2 3 4

К-во экз. в библ. (на каф.)

11(0) 15())

Автор к.т.н., доцент

Пантелеев М.Г.

Рецензент к.т.н., доцент кафедры МО ЭВМ

Ивановский С.А.

Зав. кафедрой вычислительной техники д.т.н., профессор

Пузанков Д.В.

Декан факультета компьютерных технологий и информатики д.т.н., профессор

Герасимов И.В.

Программа согласована: Зав. кафедрой вычислительной техники д.т.н., профессор

Пузанков Д.В.

Зав. отделом учебной литературы

Смирнова О.Н.

Председатель методической комиссии факультета компьютерных технологий и информатики к.т.н., доцент

Чугунов Л.А.

Руководитель методического отдела к.т.н., доцент

Марасина Л.А.