Основы вариационного исчисления с приложениями к механике деформируемого твердого тела: Рабочая программа дисциплины

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Механико-математический факультет Кафедра механики сплошной среды

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе

________________В.П. Гарькин «____»_______________ 2006 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Основы вариационного исчисления с приложениями к механике деформируемого твердого тела (блок «Дисциплины специализации»; раздел «Федеральный компонент»; основная образовательная программа специальности 010501 Прикладная математика)

Самара 2006

Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования специальности 010501 Прикладная математика, утвержденного 15.03.00 (номер государственной регистрации 415 ЕН/СП) и типовой (примерной) программы дисциплины «Основы вариационного исчисления с приложениями к механике деформируемого твердого тела», одобренной Советом по математике и механике УМО по классическому университетскому образованию. Составитель рабочей программы С.А. Пантелеев Рецензент к. ф.-м. н., доцент С. А. Лычев Рабочая программа утверждена на заседании кафедры механики сплошных сред (протокол № от «____» _________ 2006 г.) Заведующий кафедрой ″____″ _____________ 2006 г.

_______________

Ю.Н. Радаев

Декан факультета ″____″ _____________ 2006 г.

_______________

В.И. Астафьев

Начальник методического отдела ″____″ _____________ 2006 г.

_______________

Н.В. Соловова

________________

И.А. Власова

СОГЛАСОВАНО

ОДОБРЕНО Председатель методической комиссии факультета ″____″ _____________ 2006 г.

2

1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе, требования к уровню освоения содержания дисциплины 1.1. Цели и задачи изучения дисциплины Цель дисциплины – изучение основ вариационного исчисления и демонстрация их применения к задачам механики сплошных сред. Задачи дисциплины: 1. ознакомление слушателей с основами вариационного исчисления ; 2. изучение методов решения задач механики сплошных сред при помощи методов вариационного исчисления.

1.2. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение данной дисциплины Студенты, завершившие изучение данной дисциплины, должны: Иметь представление: Об основах вариационного исчисления . Знать: Различные виды предельных условий возникающих при решении задач вариационного исчисления; аналитические и численные методы решения задач вариационного исчисления. Уметь: правильно формулировать вариационные задачи. 1.3. Связь с предшествующими дисциплинами Математическая теория пластичности активно использует такие дисциплины как математический анализ, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных. 1.4. Связь с последующими дисциплинами Знание математической теории пластичности поможет студента при написании курсовых и дипломных работ, а также при изучении последующих дисциплин закрепленных за кафедрой МСС. 3

2. Содержание дисциплины 2.1. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах) ОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ, 1-й семестр – зачет. Вид учебных занятий

Количество часов

Всего часов аудиторных занятий Лекции Практические занятия (семинары) Лабораторные занятия Всего часов самостоятельной работы Подготовка к лекционным и практическим занятиям Подготовка к экзамену Всего часов по дисциплине

100 32 68 80 50 30 180

2.2. Разделы дисциплины и виды занятий № Раздел дисциплины п/п 1 2 3 4 5

Уравнения Эйлера Связанные задачи вариационного исчисления Общая форма первой вариации. Предельные условия. приложения к механике Осесимметричная деформация.

Количество часов лекции

практические лабораторные занятия занятия

8

16

–

6

12

–

6

12

–

6

12

–

Прямые методы вариационного исчисления. приложения к математической физики

6

12

–

Итого

32

68

⎯

4

2.3. Лекционный курс ТЕМА 1. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА Общие замечания. Понятие о функционале. Основная лемма вариационного исчисления. Постановка основной задачи. Первая вариация, уравнение Эйлера. Некоторые случаи интегрируемости уравнения Эйлера. Некоторые обобщения основной задачи. Экстремум двойного интеграла. Уравнения Эйлера для параметрической формы задания кривых. ТЕМА 2. СВЯЗАННЫЕ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Голономные связи. Неголономные связи. Изопериметрическая задача. ТЕМА 3. ОБЩАЯ ФОРМА ПЕРВОЙ ВАРИАЦИИ. ПРЕДЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ Общая форма первой вариации. Естественные предельные условия. Условия трансверсальности. Вариационные принципы механики. Приложение вариационных принципов к некоторым задачам математической физики. ТЕМА 4. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ: ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ, РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ УСЛОВИЯ ЯКОБИ Достаточные условия существования экстремума. Два примера на абсолютный экстремум. Разрывные решения. Условия Якоби. ТЕМА 5 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Общие замечания. Идея прямых методов. Метод Ритца. Метод функций бесконечного множества аргументов. Метод Эйлера. Примеры применения прямых методов.

5

2.4. Практические (семинарские) занятия № п/п

Номер Количество Тема практического занятия темы часов

1,2

1

4

Первая вариация, уравнение Эйлера

3,4,5

1

6

Некоторые случаи интегрируемости уравнения Эйлера

6,7,8

1

6

Уравнения Эйлера для формы задания кривых

9,10

2

4

Голономные связи

11,12

2

4

Неголономные связи

13,14

2

4

Изопериметрическая задача

15,16

3

4

Естественные предельные условия.

17,18

3

4

Условия трансверсальности.

19,20

3

4

Приложение вариационных принципов к некоторым задачам математической физики

21,22

4

4

Достаточные условия существования экстремума

23,24

4

4

Разрывные решения

25,26

4

4

Условия Якоби

27,28

5

4

Метод Ритца

29,30

5

4

Метод функций бесконечного множества аргументов

31,32

5

4

Метод Эйлера

параметрической

2.5. Лабораторный практикум Лабораторный практикум по курсу не предусмотрен.

6

3.Организация текущего и промежуточного контроля знаний По курсу предусмотрены зачет и экзамен. Зачет ставится по результатам контрольных работ, проводимых на практических занятиях. Контрольные работы Контрольные работы проводятся по окончанию очередной темы 3.3. Самостоятельная работа Тематика рефератов Написание рефератов по курсу не предусмотрено 4.Технические средства обучения и контроля, использование ЭВМ Технические средства обучения и контроля, ЭВМ не используются. 5. Активные методы обучения (деловые игры, научные проекты) Выполнение индивидуального задания с элементами исследования. 6. Материальное обеспечение дисциплины Оборудования для проведения лабораторных занятий по курсу не требуется. 7. Литература 7.1. Основная (одновременно изучают дисциплину 8 человек). 1. Гельфанд, И.М. Вариационное исчисление / И.М. Гельфанд, С.В. Фомин. – М.: Физматгиз, 1961. – 228 с. 2. Бердичевский, В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды / В.Л. Бердичевский. – М.: Наука, 1983. 7.2. Дополнительная 1. Смирнов, В.И. Вариационное исчисление / В.И. Смирнов, В.И. Крылов, Л.В. Канторович. КУБУЧ, 1933. 7.3. Учебно-методические материалы по дисциплине Учебно-методические материалы по курсу отсутствуют.

7

ТРЕБОВАНИЯ ПО ПРОМЕЖУТОЧНОМУ КОНТРОЛЮ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ» Программа экзамена Понятие о функционале. Основная лемма вариационного исчисления. Постановка основной задачи. Первая вариация, уравнение Эйлера. Некоторые случаи интегрируемости уравнения Эйлера. Некоторые обобщения основной задачи. Экстремум двойного интеграла. Уравнения Эйлера для параметрической формы задания кривых. Голономные связи. Неголономные связи. Изопериметрическая задача. Общая форма первой вариации. Естественные предельные условия. Условия трансверсальности. Вариационные принципы механики. Приложение вариационных принципов к некоторым задачам математической физики. Достаточные условия существования экстремума. Два примера на абсолютный экстремум. Разрывные решения. Условия Якоби. Общие замечания. Идея прямых методов. Метод Ритца. Метод функций бесконечного множества аргументов. Метод Эйлера. Примеры применения прямых методов. Пример экзаменационного билета 1. Некоторые случаи интегрируемости уравнения Эйлера. 2. Условия трансверсальности.

8

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЮ.

При изучении курса «Устойчивость упругих систем» должны быть активизированы остаточные знания студентов по таким математическим математический анализ, дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, механика сплошных сред, теория упругости. При чтении лекционного курса представляется целесообразным вовлекать студентов в дискуссию, предлагать им высказать свою точку зрения по данному вопросу. В качестве раздаточного материала предлагается использовать макет рабочей программы и список тем для докладов студентов на семинарских занятиях. Целесообразно акцентировать практическую значимость соответствующих проблем, обратить внимание на требования, предъявляемые современному специалисту - прикладному математику, пояснить необходимость использования полученных знаний при изучении последующих курсов, при выполнении студентами дипломной работы. При организации самостоятельной работы студентов следует указать им на наличие в сети Интернет полного описания всех ГОС и многих программ учебных дисциплин, находящихся в «страничках» Федерального портала Российского образования (www.edu.ru).

9

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ ПО ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ И ОСВОЕНИЮ УЧЕБНОГО КУРСА «ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ» К моменту изучения данной дисциплины вы уже освоили большинство дисциплин. Поэтому советуем Вам просмотреть конспекты Ваших лекций по изученным дисциплинам и освежить знания. Проработку лекционного материала можно проводить как после каждого занятия, так и по завершению темы. Это позволит связать воедино полученные сведения и составить цельную картину. Не следует стремиться к механическому запоминанию формулировок приведенных определений и положений, если требования к Вам прямо не указывают на это. Вполне эффективной может оказаться попытка понять суть явления, выработать свое отношение к нему, опираясь на материал, содержащийся в рекомендованной литературе. Сказанное особенно эффективно, когда речь идет о таких требованиях, как «понимает» или «имеет представление». Напротив, если Вы имеете дело с требованием к деятельности «должен уметь», то рекомендуется поупражняться в соответствующем виде деятельности. Все это имеет непосредственное отношение к подготовке к семинарским занятиям. Старайтесь быть активным участником занятия. Это нужно не преподавателю, а в первую очередь Вам, поскольку умение обосновывать свою точку зрения, найти компромиссное решение в этически выдержанной дискуссии не только важно для лучшего усвоения материала, но и ценится в реальной жизни.

10