Сибирский математический журнал Ноябрь—декабрь, 2003. Том 44, № 6
УДК 517.51
ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ ОПЕРАТОРОВ РИМАНА ––– ЛИУВИЛЛЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ Д. В. Прохоров Аннотация: Даны критерии ограниченности операторов дробного интегрирования типа Римана — Лиувилля с переменными пределами между пространствами Лебега на оси. Ключевые слова: оператор Римана — Лиувилля, ограниченность.
Введение В работе рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий (Lp , Lq )-ограниченности операторов дробного интегрирования типа Римана — Лиувилля: (Ta,b f )(x) := v(x)χ(a,b) (x)
φ(x) Z
ψ(x)
f (y)u(y) dy , (x − y)1−α
(1)
где α > 0, u, v — неотрицательные измеримые весовые функции, а граничные функции ψ, φ предполагаются абсолютно непрерывными строго возрастающими на [a, b] и удовлетворяющими условию 0 ≤ ψ(x) < φ(x) ≤ x, x ∈ (a, b). Данная задача тесно связана с характеризацией весовых неравенств kvIα (uf )kq ≤ Ckf kp
(2)
с оператором Римана — Лиувилля 1 (Iα f )(x) := (α)
Zx 0
f (y) dy , (x − y)1−α
где kf kp обозначает норму функции f в пространстве Лебега Lp на полуоси (0, ∞): ∞ p1 Z kf kp := |f (x)|p dx . 0
В работе автора [1] неравенство (2) было охарактеризовано в одновесовом случае, когда u ≡ 1, при α > 1/p, p > 1, 0 < q < ∞. На этой основе в [2] был Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 03–01–00017, 03–01–06360).
c 2003 Прохоров Д. В.
1338
Д. В. Прохоров
изучен оператор (1) также в одновесовом случае и при тех же ограничениях на параметры α, p и q. К сожалению, эти ограничения таковы, что из рассмотрения выпадал даже классический оператор Абеля f 7→ v(I1/2 f ) в пространстве L2 . Этот недостаток удалось устранить в недавней работе В. Д. Степанова и автора [3], где неравенство (2) охарактеризовано в случае 1 < p ≤ q < ∞ при более слабых ограничениях на параметр α и весовые функции u, v. При аналогичных ограничениях в настоящей работе изучаются операторы вида (1). Следует отметить, что случай α ≥ 1 отличается от нашего рассмотрения. Всю информацию о нем читатель найдет в работах [4–6]. Всюду в работе произведения вида 0 · ∞ полагаются равными 0. Соотношение A B означает A ≤ cB с константой c, зависящей только от α, p и q, A ≈ B равносильно A B A. Символ R обозначает множество всех действительных чисел, N — множество всех натуральных чисел, χE — характеристическую функцию (индикатор) множества E ⊂ R, p0 = p/(p − 1), q 0 = q/(q − 1). Мы используем значки := и =: для определения новых величин. Кроме того, используем сокращение kSk := kSkLp→Lq для произвольного оператора S : Lp → Lq . Данная работа была завершена во время визита автора в Корейский высший институт науки и технологий (KAIST) в г. Тэджоне. Автор выражает глубокую благодарность Отделению математики этого университета за финансовую поддержку и гостеприимство. Основные результаты Сначала мы находим критерии (Lp , Lq )-ограниченности операторов (Ra,b f )(x) := v(x)χ(a,b) (x)
φ(x) Z
φ(a)
(Wa,b f )(x) := v(x)χ(a,b) (x)
ψ(b) Z
ψ(x)
f (y)u(y) dy , (x − y)1−α
f (y)u(y) dy , (x − y)1−α
ψ(b) ≤ a,
(3)
(4)
а затем на их основе характеризуем ограниченность оператора Ta,b . Леммы 1, 2 дают критерии (Lp , Lq )-ограниченности, 1 < p ≤ q < ∞, оператора (3) при различных ограничениях на параметр α и функции φ, u, v. Лемма 1. Пусть 0 ≤ a < b < ∞, 1 < p ≤ q < ∞, 1 − q 0 /p0 < α ≤ 1, 1 − β := (1 − α)p0 /q 0 ; φ — абсолютно непрерывная строго возрастающая на [a, b] функция такая, что 0 ≤ φ(t) ≤ t, t ∈ (a, b) и φ−1 (x) − x ≤ 2(φ−1 (y) − y),
φ(a) ≤
φ(a) + x ≤ y ≤ x ≤ φ(b); 2
(5)
функция v неотрицательная и измеримая на (a, b), а u положительная, конечная и неубывающая на (φ(a), φ(b)). Тогда для ограниченности оператора Ra,b из Lp в Lq необходимо и достаточно, чтобы Zb φ−1 (s)
v(x)q dx < ∞ для почти всех s ∈ (φ(a), φ(b)) (x − s)1−α
Весовые оценки операторов Римана — Лиувилля
1339
и ARa,b < ∞, где
ARa,b
φ(b) Z p0 u(y) dy := ess sup (φ−1 (y) − s)1−β φ(a)<s<φ(b) s
Zb φ−1 (y)
p0 10 p v(x)q dx (x − y)1−α
×
Zb
− 10 q v(x) dx . 1−α (x − s) q
φ−1 (s)
Более того, kRa,b kLp →Lq ≈ ARa,b . Доказательство. Необходимость. Пусть оператор Ra,b ограничен из Lp в Lq , т. е. выполнено неравенство
Zb a
φ(x) q 1q Z f (y)u(y) dy q v(x) dx ≤ kRa,b k kf kp (x − y)1−α
(6)
φ(a)
для любой функции f ∈ Lp (φ(a), φ(b)). Фиксируем произвольное s ∈ (φ(a), φ(b)). Полагая в этом неравенстве f = χ(φ(a),φ(b)) , имеем u
φ(a) + s 2
bα−1
s − φ(a) 2
Zb φ−1 (s)
1q
1
v(x)q dx ≤ kRa,b k(φ(b) − φ(a)) p .
Поэтому Zb
v(x)q dx < ∞.
φ−1 (s)
Ввиду двойственности (6) выполнено тогда и только тогда, когда для любой 0 функции g ∈ Lq (a, b) справедливо
p u(y)
φ(b) Z φ(a)
Zb
0
φ−1 (y)
p0 10 p v(x)g(x) dx dy ≤ kRa,b k kgkq0 . (x − y)1−α
(7)
Отсюда при g(x) = v(x)q−1 χ(φ−1 (s),b) (x) вытекает, что φ(b) Z u(s) s
Zb φ−1 (y)
p0
10 p v(x) dx dy ≤ kRa,b k (x − y)1−α q
Zb φ−1 (s)
10 q
q
v(x) dx ,
и мы получаем первое условие леммы. Далее, для s ∈ (φ(a), φ(b)) положим φ(b) Z J0 (u, v) := s
p0
u(y) dy (φ−1 (y) − s)1−β
Zb φ−1 (y)
q
p0 10
v(x) dx (x − y)1−α
p
1340
Д. В. Прохоров
и рассмотрим срезки весовых функций vn := min{v, n}, un := min{u, n}, где n ∈ N. Заметим, что J0 (un , vn ) < ∞. Применяя неравенство треугольника, получим J0 (un , vn ) ≤ J1 + J2 , где min{2φ−1 (y)−s,b} p0 10 φ(b) p Z Z p0 q un (y) dy vn (x) dx , J1 := (φ−1 (y) − s)1−β (x − y)1−α s
φ(b) Z J2 := s
φ−1 (y)
0 un (y)p dy (φ−1 (y) − s)1−β
При gs (x) = vn (x)q−1 (x − s)
(α−1) q10
kgs kq0 =
Zb min{2φ−1 (y)−s,b}
p0 10 p vn (x)q dx . (x − y)1−α
χ(φ−1 (s),b) (x) имеем 10 q Zb vn (x)q dx < ∞. (x − s)1−α
φ−1 (s)
Поэтому, подставляя gs в неравенство (7), получим оценку 10 q Zb q v (x) dx n kRa,b k (x − s)1−α φ−1 (s)
φ(b) Z 0 ≥ un (y)p dy
−1 min{2φZ (y)−s,b}
s
φ−1 (y)
p0 10 p
q
vn (x) dx (x − y)1−α (x − s)
(1−α) q10
J1 ,
ибо x − s ≤ 2(φ−1 (y) − s). Для оценки J2 заметим, что для любых двух чисел z, y, удовлетворяющих соотношению φ(b) + z φ(a) ≤ z ≤ y ≤ ≤ φ(b), 2 условие (5) при x = 2y − z влечет неравенство φ−1 (2y − z) ≤ 2φ−1 (y) − z.
(8)
Отсюда, в частности, при y = φ(b)+z следует, что для любого z ∈ (φ(a), φ(b)) 2 φ(b)+z b+z выполнено φ 2 ≤ 2 . Применяя (8) при z = s, находим p0 10 φ( b+s ) p Z2 Zb p0 q un (y) dy vn (x) dx J2 = (φ−1 (y) − s)1−β (x − y)1−α s
2φ−1 (y)−s
≤
φ(b)+s 2
Z s
p0
un (y) dy (φ−1 (y) − s)1−β
Zb φ−1 (2y−s)
q
p0 10 p
vn (x) dx . (x − y)1−α
Делая замену 2y − s = τ , продолжим оценку: p0 10 φ(b) p Z Zb τ +s p0 q u ( ) dτ vn (x) dx 1 n −β 2 ≤ 2 p0 J0 (un , vn ), J2 ≤ τ +s τ +s 1−α −1 1−β 2 (φ ( 2 ) − s) (x − 2 ) s
φ−1 (τ )
Весовые оценки операторов Римана — Лиувилля в силу s ≤ s+τ 2 ≤ τ , монотонности u и соотношения (8) при y = Объединяя обе оценки, находим
J0 (un , vn ) ≤ CkRa,b k
Zb φ−1 (s)
10
q
vn (x) dx (x − s)1−α
1341 s+τ 2 ,
z = s.
q
− pβ0
+2
J0 (un , vn ),
где константа C зависит только от p, q и α. Следовательно,
J0 (un , vn ) kRa,b k
Zb φ−1 (s)
10 q v(x)q dx . (x − s)1−α
Переходя к пределу при n → ∞, по теореме Фату о монотонной сходимости получим 10 q Zb q v(x) dx J0 (u, v) kRa,b k . (x − s)1−α φ−1 (s)
Последнее неравенство вместе с доказанным выше первым условием леммы влекут конечность константы ARa,b и оценку kRa,b k ARa,b . Достаточность. Пусть f — неотрицательная ограниченная на [φ(a), φ(b)] функция с носителем supp f ⊂ (φ(a), φ(b)). Тогда y q−1 φ(x) Zb Z Z f (y)u(y) dy f (s)u(s) ds kRa,b f kqq ≤ q v(x)q dx (x − y)1−α (φ−1 (y) − s)1−α a
=q
φ(a)
φ(b) Z
φ(a)
f (y)u(y)
Zy φ(a)
φ(a)
q−1
f (s)u(s) ds (φ−1 (y) − s)1−α
Zb
q
φ−1 (y)
v(x) dx dy =: qJ. (x − y)1−α
Оценим J, применяя неравенства Г¨ельдера с показателями p и p0 и Минковского 0 с показателем pq0 ≥ 1:
J ≤ kf kp
φ(b) Z
u(y)
φ(a)
p0
Zy φ(a)
q p00 q
f (s)u(s) ds (φ−1 (y) − s)1−α
Zb φ−1 (y)
q
p0
10
v(x) dx dy (x − y)1−α
p
y s q−1 p00 φ(b) q Z Z Z f (s)u(s) ds f (t)u(t) dt p0 ≤ kf kp u(y) q (φ−1 (y) − s)1−α (φ−1 (s) − t)1−α φ(a)
×
Zb
φ−1 (y)
φ(a)
q−1 s φ(b) p10 Z Z q 1 v(x) dx f (t)u(t) dt q0 dy f (s)u(s) ≤ q kf kp (x − y)1−α (φ−1 (s) − t)1−α
φ(b) Z × s
φ(a)
p0
φ(a)
p0
u(y) dy (φ−1 (y) − s)1−β
Zb φ−1 (y)
q
φ(a)
p0 q00
v(x) dx (x − y)1−α
p
q10 1 1 q0 q0 ds ≤ q ARa,b kf kp J .
1342
Д. В. Прохоров
Заметим, что величина J конечна, ибо на отрезке [a1 , b1 ], где a1 := inf{supp f } и b1 := sup{supp f }, функция u ограничена и Zb φ−1 (s)
0 v(x)q dx ∈ Lp [a1 , b1 ] 1−α (x − s)
в силу условий леммы. Следовательно, kRa,b f kq ARa,b kf kp для любой функции с аналогичными свойствами. А так как каждую неотрицательную функцию можно приблизить поточечно снизу функциями рассмотренного класса, то теорема Фату о монотонной сходимости приводит к оценке kRa,b k ARa,b . Лемма 2. Пусть 0 ≤ a < b < ∞, 1 < p ≤ q < ∞, 1 − p/q < α ≤ 1, 1 − γ := (1 − α)q/p; φ — абсолютно непрерывная строго возрастающая на [a, b] функция такая, что 0 ≤ φ(t) ≤ t, t ∈ (a, b) и y+b ≤ b; (9) 2 функция u неотрицательная и измеримая на (φ(a), φ(b)), а v положительная, конечная и невозрастающая на (a, b). Тогда для ограниченности оператора Ra,b из Lp в Lq необходимо и достаточно, чтобы y − φ(y) ≤ 2(x − φ(x)),
φ(s) Z φ(a)
a≤y≤x≤
u(y)p dy < ∞ для почти всех s ∈ (a, b) (s − y)1−α 0
и A¯Ra,b < ∞, где
A¯Ra,b := ess sup a<s
Zs a
φ(x) q 1q φ(s) − p1 Z Z 0 0 v(x)q dx u(y)p dy u(y)p dy . (s − φ(x))1−γ (x − y)1−α (s − y)1−α φ(a)
φ(a)
Более того, kRa,b kLp →Lq ≈ A¯Ra,b . Доказательство. Необходимость. Пусть оператор Ra,b ограничен из Lp в Lq , т. е. выполнены неравенства (6) и (7). Фиксируем произвольное s ∈ (a, b). Полагая в неравенстве (7) g = χ(a,b) , имеем φ(s) 10 p Z 1 0 b + s α−1 b − s p b u(y) dy ≤ kRa,b k(b − a) q0 . v 2 2 φ(a)
Поэтому
φ(s) Z
u(y)p dy < ∞, 0
φ(a)
откуда подстановкой f (y) = u(y)p −1 χ(φ(a),φ(s)) (y) в (6) извлекаем первое условие леммы. Для s ∈ (a, b) положим φ(x) q 1q s Z Z q p0 v(x) dx u(y) dy J00 (u, v) := (s − φ(x))1−γ (x − y)1−α 0
a
φ(a)
Весовые оценки операторов Римана — Лиувилля
1343
и vn := min{v, n}, un := min{u, n}, где n ∈ N. При этом J00 (un , vn ) < ∞. Применяя неравенство треугольника, получим J00 (un , vn ) ≤ J10 + J20 , где q 1q s φ(x) Z Z q p0 v (x) dx u (y) dy n n , J10 := (s − φ(x))1−γ (x − y)1−α a
J20 :=
Zs a
max{φ(a),2φ(x)−s}
max{φ(a),2φ(x)−s} Z
vn (x)q dx (s − φ(x))1−γ
φ(a)
q 1q 0 un (y)p dy . (x − y)1−α 1
Заметим, что функция y 7→ fs (y) = un (y) (s − y)(α−1) p χ(φ(a),φ(s)) (y) принадp лежит пространству L и p1 φ(s) Z p0 un (y) dy kfs kp = . (s − y)1−α p0 −1
φ(a)
Подставляя fs в неравенство (6), получим оценку φ(s) p1 Z p0 un (y) dy kRa,b k (s − y)1−α φ(a)
≥
Zs a
vn (x)q dx
φ(x) Z
q 1q
un (y)p dy 0
1
max{φ(a),2φ(x)−s}
(x − y)1−α (s − y)(1−α) p
J10 ,
ибо s − y ≤ 2(s − φ(x)). Для оценки J20 заметим, что для любых двух чисел z, x, удовлетворяющих соотношению a+z a≤ ≤ x ≤ z ≤ b, 2 условие (9) при y = 2x − z влечет 2φ(x) − z ≤ φ(2x − z).
(10)
Отсюда, в частности, при x = a+z следует, 2 a+z −1 φ(a)+z . Применяя неравенство 2 ≤ φ 2
J20 = φ−1
что для любого z ∈ (a, b) выполнено (10) при z = s, находим q 1q 2φ(x)−s Zs Z 0 un (y)p dy vn (x)q dx 1−γ (x − y)1−α (s − φ(x)) φ(a)+s φ(a) 2
≤
Zs a+s 2
φ(2x−s) q 1q Z 0 vn (x)q dx un (y)p dy . (s − φ(x))1−γ (x − y)1−α φ(a)
Делая замену 2x − s = τ , продолжим оценку: φ(τ ) q q1 s Z Z s+τ q p0 γ v dτ 1 un (y) dy n 2 J20 ≤ ≤ 2− q J00 (un , vn ), 1−γ 1−α s+τ 2 −y s − φ s+τ a
2
φ(a)
2
1344
Д. В. Прохоров
в силу неравенства τ ≤ s+τ 2 ≤ s, монотонности v и соотношения (10) при x = s+τ , z = s. 2 Объединяя обе оценки, находим p1 φ(s) Z p0 γ u (y) dy n + 2− q J00 (un , vn ), J00 (un , vn ) ≤ CkRa,b k 1−α (s − y) φ(a)
где константа C зависит только от p, q и α. Следовательно, p1 φ(s) Z p0 u(y) dy J00 (un , vn ) kRa,b k . (s − y)1−α φ(a)
Переходя к пределу при n → ∞, по теореме Фату о монотонной сходимости получим p1 φ(s) Z p0 u(y) dy J00 (u, v) kRa,b k . (s − y)1−α φ(a)
Последнее неравенство вместе с доказанным выше первым условием леммы влекут конечность константы ARa,b и оценку kRa,b k ARa,b . Достаточность. Пусть g — неотрицательная ограниченная на [a, b] функция с носителем suppg ⊂ (a, b). Тогда b p0 −1 φ(b) Z Zb Z
∗ p0 0 v(x)g(x) dx v(s)g(s) ds
Ra,b g 0 ≤ p0 u(y)p dy p (x − y)1−α (s − φ(x))1−α φ(a)
= p0
Zb a
x
φ−1 (y)
v(x)g(x) dx
Zb x
p0 −1
v(s)g(s) ds (s − φ(x))1−α
φ(x) Z φ(a)
0 u(y)p dy =: p0 J 0 . (x − y)1−α
Применяя сначала неравенство Г¨ельдера с показателями q 0 и q, а затем неравенство Минковского с показателем pq ≥ 1, аналогично доказательству леммы 1 оценим J 0 : b p0 pq φ(x) q 1q b Z Z Z p0 v(s)g(s) ds u(y) dy J 0 ≤ kgkq0 v(x)q dx (s − φ(x))1−α (x − y)1−α a
x
φ(a)
b p0 −1 pq b Z Zb Z v(s)g(s) ds v(t)g(t) dt ≤ kgkq0 v(x)q p0 (s − φ(x))1−α (t − φ(s))1−α a
x
s
q
p0 −1 b b 1q φ(x) Z Z Z p0 1 u(y) dy v(t)g(t) dt 0 p v(s)g(s) 0 × dx ≤ (p ) kgkq (x − y)1−α (t − φ(s))1−α
a
φ(a)
×
Zs a
v(x)q dx (s − φ(x))1−γ
φ(x) Z φ(a)
q pq
s
0 1 u(y)p dy 0 p ¯R kgkq0 (J 0 ) p1 . ds ≤ (p ) A a,b 1−α (x − y) 1 p
Весовые оценки операторов Римана — Лиувилля
1345
При этом величина J 0 конечна, ибо на отрезке [a1 , b1 ], где a1 := inf{supp g} и b1 := sup{supp g}, функция v ограничена и φ(s) Z φ(a)
u(y)p dy ∈ Lq [a1 , b1 ] (s − y)1−α 0
в силу условий леммы. Следовательно, kR∗a,b gkp0 A¯Ra,b kgkq0 , что эквивалентно оценке kRa,b k A¯Ra,b . Следующая лемма дает критерий ограниченности оператора (4) с переменным нижним пределом. Лемма 3. Пусть α > 0, 0 < a < b ≤ ∞ и 1 < p ≤ q < ∞; ψ — неотрицательная абсолютно непрерывная строго возрастающая на [a, b] функция такая, что ψ(b) ≤ a; v и u — измеримые неотрицательные функции соответственно на (a, b) и (ψ(a), ψ(b)); кроме того, определим λ ∈ [a, b] и функцию l соотношениями λ + ψ(λ) = 2a, l(x) = 2a − x. Тогда kWa,b kLp→Lq ≈ AWa,b , где если 2a − ψ(b) ≥ b, A0 , AWa,b = A1 + A2 + A3 + A4 иначе, t q1 ψ(b) 10 p Z Z 0 0 q p (α−1)p A0 = sup A0 (t) = sup v(x) dx u(y) (a − y) dy , a
a
a
ψ(t)
A1 =
A2 =
sup
2a−ψ(b)
A3 =
Zt
sup
2a−ψ(b)
A4 = sup λ
Zt λ
Zλ
a
q
2a−ψ(b)
sup
1q
v(x) dx
q
v(x) (x − a)
A0 (t), Zl(t)
q1
dx
t
q
v(x) (x − a)
(α−1)q
u(y) (a − y)
(α−1)p
ψ(t)
(α−1)q
10 p
p
0
1q
dx
ψ(b) Z l(t)
ψ(b) Z ψ(t)
0
dy , 10 p
p
0
u(y) dy , 10 p
p
0
u(y) dy .
Доказательство. Не ограничивая общности, будем проводить рассуждения для неотрицательных функций f . Предварительно заметим, что для 0 ≤ y ≤ a ≤ x справедливо соотношение (x − a)α−1 , x + y ≥ 2a, (x − y)α−1 ≈ (11) (a − y)α−1 , x + y ≤ 2a. Начнем со случая 2a − ψ(b) < b. Запишем (Wa,b f )(x) в виде суммы (Wa,b f )(x) = (S1 f + S21 f + S22 f + S3 f + S4 f )(x), где (S1 f )(x) := v(x)χ(a,2a−ψ(b)) (x)
ψ(b) Z
ψ(x)
f (y)u(y) dy , (x − y)1−α
1346
Д. В. Прохоров (S21 f )(x) := v(x)χ(2a−ψ(b),λ) (x)
ψ(λ) Z
ψ(x) l(x) Z
(S22 f )(x) := v(x)χ(2a−ψ(b),λ) (x)
ψ(λ) ψ(b) Z
(S3 f )(x) := v(x)χ(2a−ψ(b),λ) (x)
l(x)
(S4 f )(x) := v(x)χ(λ,b) (x)
ψ(b) Z
ψ(x)
f (y)u(y) dy , (x − y)1−α f (y)u(y) dy , (x − y)1−α
f (y)u(y) dy , (x − y)1−α
f (y)u(y) dy . (x − y)1−α
Рассмотрим каждый оператор суммы по отдельности. 1. Если x ∈ [a, 2a − ψ(b)] и y ∈ (ψ(x), ψ(b)), то x + y ≤ 2a − ψ(b) + ψ(b) = 2a и (11) влечет kS1 f kq ≈ kH1 f kq , где ψ(b) Z
(H1 f )(x) = w(x)χ(a,b) (x)
f (y)u(y)(a − y)α−1 dy,
ψ(x)
а w(x) := v(x)χ(a,2a−ψ(b)) (x). Но H1 — оператор Харди, значит (см. [7]), его норма оценивается константой:
sup
a
Zt a
q
1q
w(x) dx
ψ(b) Z
10 p
p0
u(y) (a − y)
(α−1)p0
ψ(t)
dy
=
sup
a
A0 (t) = A1 .
2. Если x ∈ [2a − ψ(b), λ] и y ∈ (ψ(x), l(x)), то x + y ≤ x + 2a − x = 2a и из (11) следует, что kS21 f kq ≈ kH21 f kq , где (H21 f )(x) = v(x)χ(2a−ψ(b),λ) (x)
ψ(λ) Z
f (y)u(y)(a − y)α−1 dy.
ψ(x)
Поэтому норма оператора S21 оценивается константой A21 =
sup
2a−ψ(b)
Zt 2a−ψ(b)
q
1q
v(x) dx
ψ(λ) Z
10 p
p
0
u(y) (a − y)
(α−1)p
0
q
1q
ψ(t)
dy .
Для оценки kS22 k запишем
kS22 f kq ≈
Zλ 2a−ψ(b)
v(x)q
2a−x Z ψ(λ)
f (y)u(y)(a − y)α−1 dy dx .
Весовые оценки операторов Римана — Лиувилля
1347
Делая замену переменных 2a − x = t, ввиду 2a − λ = ψ(λ) получим t ψ(b) q 1q Z Z v(2a − t)q f (y)u(y)(a − y)α−1 dy dt . kS22 f kq ≈ ψ(λ)
ψ(λ)
Таким образом, норма оператора S22 характеризуется константой 1q l(t) 10 p Zt Z 0 0 A22 = sup v(x)q dx u(y)p (a − y)(α−1)p dy , 2a−ψ(b)
ψ(λ)
2a−ψ(b)
а сумма S21 + S22 — константой A2 . 3. Если x ∈ [2a − ψ(b), λ] и y ∈ (l(x), ψ(b)), то x + y ≥ x + 2a − x = 2a и согласно (11) имеем ψ(b) q 1q Zλ Z kS3 f kq ≈ v(x)q (x − a)(α−1)q f (y)u(y) dy dx . 2a−x
2a−ψ(b)
Делая замену переменных 2a − x = t, получим ψ(b) ψ(b) q q1 Z Z kS3 f kq ≈ v(2a − t)q (a − t)(α−1)q f (y)u(y) dy dt . t
ψ(λ)
Следовательно, норма S3 определяется константой A3 . 4. Если x ∈ [λ, b] и y ∈ (ψ(x), ψ(b)), то x + y ≥ x + ψ(x) ≥ x + 2a − x = 2a и kS4 f kq ≈ kH4 f kq , где (H4 f )(x) = v(x)(x − a)
α−1
χ(λ,b) (x)
ψ(b) Z
f (y)u(y) dy.
ψ(x)
Поэтому kS4 k ≈ A4 . В случае 2a − ψ(b) ≥ b норма оператора Wa,b оценивается константой A0 , так как kWa,b f kq ≈ kH1 f kq с w(x) := v(x). Применяя блок-диагональное разложения, охарактеризуем оператор (1). Теорема 1. Пусть 0 ≤ a < b ≤ ∞, 1 < p ≤ q < ∞, 1 − q 0 /p0 < α ≤ 1; ψ и φ — абсолютно непрерывные строго возрастающие на [a, b] функции, удовлетворяющие условиям ψ(a) = φ(a), ψ(b) = φ(b), 0 ≤ ψ(t) < φ(t) ≤ t, t ∈ (a, b), и на каждом отрезке [c, d] ⊂ (a, b) φ−1 (x) − x ≤ 2(φ−1 (y) − y),
φ(c) ≤
φ(c) + x ≤ y ≤ x ≤ φ(d); 2
(12)
функция v неотрицательная и измеримая на (a, b), а u положительная, конечная и неубывающая на (φ(a), φ(b)). Тогда для ограниченности оператора Ta,b из Lp в Lq необходимо и достаточно, чтобы для любого t ∈ (a, b) Zt φ−1 (s)
v(x)q dx < ∞ для почти всех s ∈ (ψ(t), φ(t)) (x − s)1−α
1348
Д. В. Прохоров
и ATa,b < ∞, где ATa,b := sup [ARφ−1 (ψ(t)),t + AWt,ψ−1 (φ(t)) ]. a
Доказательство. Необходимость. Фиксируем произвольное t ∈ (a, b). Из ограниченности оператора Ta,b : Lp → Lq следует ограниченность операторов Rφ−1 (ψ(t)),t и Wt,ψ−1 (φ(t)) . Поэтому, применяя леммы 1 и 3, получим требуемое. Достаточность. Разобьем интервал (a, b) точками {ξk }k∈Z следующим образом: −1 ψ (φ(ξk−1 )) при k > 0, ξ0 := min{a + 1, (a + b)/2}, ξk := φ−1 (ψ(ξk+1 )) при k < 0, и запишем оператор Ta,b в виде суммы двух блок-диагональных операторов: X X Ta,b = Rξk−1 ,ξk + Wξk ,ξk+1 . k∈Z
k∈Z
Охарактеризуем (Lp , Lq )-ограниченность оператора Ta,b через критерии для Rξk−1 ,ξk и Wξk ,ξk+1 . В силу блок-диагональности для произвольной неотрицательной f ∈ Lp имеем X X kTa,b f kqq = kRξk−1 ,ξk f kqq + kWξk ,ξk+1 f kqq ≤
X
k∈Z
k∈Z q
kRξk−1 ,ξk k kf χ(φ(ξk−1 ),φ(ξk )) kqp +
k∈Z
X
kWξk ,ξk+1 kq kf χ(ψ(ξk ),ψ(ξk+1 )) kqp .
k∈Z
Применяя к суммам неравенство Йенсена, получим kTa,b k sup(kRξk−1 ,ξk k + kWξk ,ξk+1 k), k∈Z
что вместе с утверждениями лемм 1 и 3 влечет соотношение kTa,b k ATa,b . При помощи лемм 2 и 3 аналогично доказывается
Теорема 2. Пусть 0 ≤ a < b ≤ ∞, 1 < p ≤ q < ∞, 1 − p/q < α ≤ 1; ψ и φ — абсолютно непрерывные строго возрастающие на [a, b] функции, удовлетворяющие условиям ψ(a) = φ(a), ψ(b) = φ(b), 0 ≤ ψ(t) < φ(t) ≤ t, t ∈ (a, b), и на каждом отрезке [c, d] ⊂ (a, b) y − φ(y) ≤ 2(x − φ(x)),
c≤y≤x≤
y+d ≤ d; 2
(13)
функция u неотрицательная и измеримая на (φ(a), φ(b)), а v положительная, конечная и невозрастающая на (a, b). Тогда для ограниченности оператора Ta,b из Lp в Lq необходимо и достаточно, чтобы для любого t ∈ (a, b) φ(s) Z ψ(t)
u(y)p dy < ∞ для почти всех s ∈ (φ−1 (ψ(t)), t) (s − y)1−α 0
и A¯Ta,b < ∞, где A¯Ta,b := sup [A¯Rφ−1 (ψ(t)),t + AWt,ψ−1 (φ(t)) ]. a
Весовые оценки операторов Римана — Лиувилля
1349
Замечания. Условию (5) удовлетворяет любая непрерывная строго возрастающая функция φ : [a, b] → R, 0 ≤ a < b < ∞, такая, что функция x 7→ φ−1 (x) − x неотрицательна и не возрастает, а условию (9) удовлетворяет φ, при которой неотрицательна и не убывает функция x 7→ x − φ(x). Отметим также, что если функция φ в некоторой точке ξ ∈ (a, b) принимает значение φ(ξ) = ξ, то выполнено φ(x) = x в случае условия (5) для всех x ∈ [ξ, b], а в случае условия (9) для всех x ∈ [a, ξ]. Пусть теперь a = 0, b = ∞. Условию (12) (или (13)) удовлетворяют не только линейные функции x 7→ kx при k ∈ (0, 1]. Например, функция x 7→ φ1 (x) := x2 χ[0,1] (x) + xχ(1,∞) (x) удовлетворяет условию (12), а функция x 7→ √ φ2 (x) := xχ[0,1] (x) + xχ(1,∞) (x) — условию (13). Результаты данной работы также характеризуют ограниченность из Lp в q L одновесового оператора вида (Hf )(x) := v(x)χ(a,b) (x)
φ(x) Z
f (y) dy , |x − y|1−α
0 ≤ a < b ≤ ∞,
(14)
ψ(x)
где v — неотрицательная измеримая на (a, b) функция; ψ, φ — абсолютно непрерывные строго возрастающие на (a, b) функции такие, что 0 ≤ ψ(x) < x < φ(x) при x ∈ (a, b), ψ(a) = φ(a), ψ(b) = φ(b) и φ−1 абсолютно непрерывна на (φ(a), φ(b)). Действительно, оператор (14) представим в виде суммы операторов H = H1 + H2 : Zx f (y) dy (H1 f )(x) := v(x)χ(a,b) (x) , (x − y)1−α ψ(x)
(H2 f )(x) := v(x)χ(a,b) (x)
φ(x) Z x
f (y) dy , (y − x)1−α
первый из которых удовлетворяет условиям теоремы 1, а сопряженный к второму — условиям теоремы 2. ЛИТЕРАТУРА 1. Prokhorov D. On the boundedness and compactness of a class of integral operators // J. London Math. Soc.. 2000. V. 61. P. 617–628. 2. Прохоров Д. В. Об операторах Римана — Лиувилля с переменными пределами // Сиб. мат. журн.. 2001. Т. 42, № 1. С. 156–175. 3. Прохоров Д. В., Степанов В. Д. Об операторах Римана — Лиувилля // Докл. РАН. 2002. Т. 382, № 4. С. 452–455. 4. Heinig H. P., Sinnamon G. Mapping properties of integral averaging operators // Studia Math.. 1998. V. 129. P. 157–177. 5. Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об интегральных операторах с переменными пределами интегрирования // Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 298–317. 6. Gogatishvili A., Lang J. The generalized Hardy operators with kernel and variable integral limits in Banach function spaces // J. Ineq. Appl.. 1999. V. 4. P. 1–16. 7. Bradley J. S. Hardy inequalities with mixed norms // Canad. Math. Bull.. 1978. V. 21, N 1. P. 405–408. Статья поступила 25 ноября 2002 г. Прохоров Дмитрий Владимирович Вычислительный центр ДВО РАН, ул. Тихоокеанская, 153, Хабаровск 680042
[email protected]
