Уравнения Лагранжа, Воронца, Чаплыгина в задачах динамики мобильных роботов: Методическое пособие

УДК 621.8 З-389 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ _________ МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) ________________________________________________________ М.Ф. ЗАЦЕПИН, Ю.Г. МАРТЫНЕНКО, Д.В. ТИНЬКОВ

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА, ВОРОНЦА, ЧАПЛЫГИНА В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ МОБИЛЬНЫХ РОБОТОВ

Методическое пособие по курсу

«Теоретические основы робототехники» для студентов, обучающихся по направлению «Роботы и робототехнические системы»

Москва

Издательство МЭИ

2005

УДК 621.8 З-389 УДК: 621.865.8(072)

Утверждено учебным управлением МЭИ Подготовлено на кафедре теоретической механики и мехатроники Рецензент: докт. техн. наук А.Д.Трухний

Зацепин М.Ф. Уравнения Лагранжа, Воронца, Чаплыгина в задачах З-389

динамики мобильных роботов / М.Ф. Зацепин, Ю.Г. Мартыненко, Д.В. Тиньков. – М.: Издательство МЭИ, 2005. – 32 с. В пособии на конкретных примерах излагается методика решения задач неголономной механики методами Лагранжа, Воронца, Чаплыгина. Дано необходимое теоретическое обоснование. Содержатся задачи для аудиторных занятий и самостоятельного решения. Пособие предназначено для студентов, изучающих курс «Теоретические основы робототехники».

© Московский энергетический институт, 2005

3

Введение Раздел неголономной механики является достаточно сложным, и его изложение в классических курсах ориентировано на чисто механические приложения. В робототехнике механическая система с неголономными связями служит объектом управления, и механические процессы в ней взаимосвязаны с информационными процессами обработки выходных сигналов чувствительных датчиков и формирования управляющих воздействий. Вывод уравнений движения механических систем с неголономными связями является одним из центральных моментов при изучении аналитической динамики. Опыт чтения этого раздела курса показывает, что существенное упрощение процесса получения уравнений Лагранжа с неопределенными множителями, уравнений Воронца и Чаплыгина [1] может быть достигнуто с использованием матричной формы записи. Преимуществом такой методики является не только уменьшение объема выкладок при выводе уравнений, но и упрощение использования методов компьютерной алгебры. 1. Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями Рассматривается натуральная механическая система, положение которой T определяется s-мерным вектором обобщенных координат q = ( q1 , q2 ,...qS ) . Здесь T – знак транспонирования. На систему наложено A дифференциальных неинтегрируемых (неголономных) стационарных связей, уравнения которых имеют вид B q = 0 . (1.1) Axs sx1

Ax1

Здесь q – вектор обобщенных скоростей (точка обозначает дифференцирование по времени); B – прямоугольная матрица ( A × s ), элементы которой являются функциями обобщенных координат (для простоты связи считаются стационарными, поэтому B явно от времени не зависит). Уравнения движения системы есть уравнения Лагранжа с неопределенными множителями: T

T

d ⎛ ∂T ⎞ ⎛ ∂T ⎞ −⎜ = Q + BT λ . (1.2) ⎜ ⎟ ⎟ dt ⎝ ∂q ⎠ ⎝ ∂q ⎠ Здесь T – кинетическая энергия системы; Q – вектор обобщенных сил; T λ = ( λ1 ,λ 2 ,...λ A ) – A -мерный вектор неопределенных множителей Лагранжа. Производная от скаляра T по вектору q определяется как вектор-строка: ∂T ⎛ ∂T ∂T ∂T ⎞ , ... =⎜ ⎟. ∂q ⎝ ∂q1 ∂q2 ∂qs ⎠ Уравнения (1.1), (1.2) образуют замкнутую систему ( s + A ) уравнений для ( s + A ) неизвестных q, λ. Механический смысл неопределенных множи-

4

телей λ состоит в том, что вектор B T λ представляет собой обобщенную реакцию неголономных связей. Задача 1.1

•

ϕ

•

ψ

Однородный диск массой m с радиусом r катится без скольжения так, что его плоскость остается перпендикулярной горизонтальной плоскости качения. Составить уравнения движения диска; определить движение, отвечающее начальным условиям x ( 0 ) = 0 , y ( 0) = 0 , ψ ( 0 ) = 0 , ψ ( 0 ) = Ωo , φ ( 0 ) = 0 , φ ( 0 ) = ωo ; найти реакцию неголономной связи.

Решение. Положение диска опредеT ляется четырехмерным вектором обобщенных координат q = ( x, y,ψ,φ ) , где x, y – координаты центра диска. На эти координаты наложена неголономная стационарная связь VP = 0 . Для получения уравнений этой связи составим выражение для скорости точки P в соответствии с графом C → P и приравняем его нулю. VP = VC + [ Ω1 , CP ] = 0 . В матричной форме в трехграннике Oxyz это выражение будет иметь вид  ψ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 0 − r 0 ⎞⎛ −φsin ∧ ⎟  VC + CP Ω1 = ⎜⎜ y ⎟⎟ + ⎜⎜ r 0 0 ⎟⎜ ⎟⎜ φcos ψ ⎟ = 0 . ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟⎜ ψ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Отсюда x − φ r cos ψ = 0; (1.3) y − φ r sin ψ = 0. Отвечающая этим уравнениям и вектору q матрица B имеет вид ⎛ 1 0 0 −r cos ψ ⎞ B=⎜ ⎟. 0 1 0 sin ψ − r ⎝ ⎠ Вычислим кинетическую энергию диска как функцию обобщенных координат и скоростей: 1 T = m( x 2 + y 2 ) + T от , 2 от где T – кинетическая энергия движения диска относительно точки C. Так как диск совершает пространственное движение, T от определим как для тела, вращающего около одной неподвижной точки:

5

T от

1 = Ω1T IΩ1 , 2

⎛1 0 0⎞ mr 2 ⎜ I= 0 2 0 ⎟⎟ , ⎜ 4 ⎜ ⎟ ⎝0 0 1⎠

⎛0⎞ Ω1 = ⎜⎜ φ ⎟⎟ . ⎜ ψ ⎟ ⎝ ⎠

Отсюда T от =

mr 2 (2φ 2 + ψ 2 ) . 8

Следовательно,

1 mr 2 2 2 (2φ 2 + ψ 2 ) . T = m( x + y ) + 2 8 В рассматриваемом движении диска вектор обобщенных сил Q = 0 и уравнение (1.2) примут вид T

T

d ⎛ ∂T ⎞ ⎛ ∂T ⎞ −⎜ = BT λ , λ = (λ1 ,λ 2 )T . ⎜ ⎟ ⎟ dt ⎝ ∂q ⎠ ⎝ ∂q ⎠ Выполняя все процедуры, предусмотренные этим уравнением, получим mr 2  = 0; mx = λ1 , my = λ 2 , ψ 4 (1.4) mr 2  = − r (λ1 cos ψ + λ 2 sin ψ). φ 2 Уравнения (1.3), (1.4) представляют замкнутую систему, определяющую движение диска и реакцию неголономной связи. Найдем движение, отвечающее заданным начальным условиям. Из третьего уравнения системы (1.4) находим ψ = Ωo , ψ = Ω ot . Из первого, второго и четвертого уравнений имеем mr 2  = − rm(  (1.5) φ x cos ψ +  y sin ψ) . 2 Продифференцировав (1.3) и подставив  x,  y в (1.5), получим

Отсюда

3mr 2  = 0 . φ 2

φ = ωo , φ = ωo t . Подставим φ и ψ в (1.3): x = ωo r cos Ωo t , y = ωo r sin Ωo t . (1.6) Параметрические уравнения движения центра C диска будут иметь вид ωr ωr x = o sin Ωot , y = o (1 − cos Ωot ) . Ωo Ωo Траекториями, отвечающими этим уравнениям, является семейство окωr ружностей радиуса RT = o , центр которых смещен по оси y на величину Ωo

6

этого радиуса. Такие же окружности описывает и точка касания диска с плоскостью качения – неподвижные центроиды, так как по условию задачи плоскость диска остается перпендикулярной плоскости качения. Центр C диска движется по траектории с постоянной скоростью V = x 2 + y 2 = ωo r . Для определения проекций Rx = λ1 , Ry = λ 2 реакции R неголономной связи x,  y в первое и второе уравнения продифференцируем (1.6) и подставим  (1.4): Rx = − mΩo ωo r sin Ωo t , Ry = mΩ o ωo r cos Ω o t ;

R = Rx2 + Ry2 = mΩo ωo r. Таким образом, реакция неголономной связи постоянна по величине и направлена к центру соответствующей неподвижной центроиды радиуса: ωr RT = o . Ωo Обсудим условия освобождаемости неголономной связи. Реакция неголономной связи во время движения реализуется силой кулонова трения Fтр ≤ fN = fmg . Следовательно, mΩoωo r ≤ fmg , где f – коэффициент трения скольжения. V Учитывая, что ωo r = VCx1 = VC , Ω o = C , получим ограничения по RT скорости VC : VC2 ≤ fgRT . Примечание. Запишем уравнения связи VP = 0 в осях Cx1y1z1: ⎛ VPx1 ⎞ ⎛ VCx1 ⎞ ⎛ 0 − r 0 ⎞⎛ 0 ⎞ ⎜ V ⎟ = ⎜ V ⎟ + ⎜ r 0 0 ⎟⎜ φ ⎟ . ⎜ Py1 ⎟ ⎜ Cy1 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟⎜ ψ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Отсюда VPx1 = VCx1 − φ r = 0, VPy1 = VCy1 = 0 . Учитывая, что VCx1 , VCy1 связаны с x , y матрицей направляющих косинусов: ⎛ VCx1 ⎞ ⎛ cos ψ sin ψ 0 ⎞⎛ x ⎞ ⎜ V ⎟ = ⎜ − sin ψ cos ψ 0 ⎟⎜ y ⎟ , ⎜ Cy1 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎜ 0 ⎟ 0 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ получим уравнения связи и соответствующую им и вектору q матрицу B1 : x cos ψ + y sin ψ − φ r = 0, − x sin ψ + y cos ψ = 0 ;

7

⎛ cos ψ sin ψ 0 − r ⎞ B1 = ⎜ ⎟. ⎝ − sin ψ cos ψ 0 0 ⎠ Вектор неопределенных множителей T λ 1 = ( λ11 ,λ12 ) . Уравнениями движения диска будут mx = λ11 cos ψ − λ12 sin ψ; my = λ11 sin ψ + λ12 cos ψ; (1.7) mr 2 mr 2  = 0;  = − λ11r. ψ φ 4 2 Если в уравнениях (1.4) и (1.7) исключить неопределенные множители, получим одну и туже систему  = 0, φ r = −2 (  ψ x cos ψ +  y sin ψ ) .

Задача 1.2 Составить уравнения движения одноколесной тачки под действием сил F1, F2. Корпус тачки массой m1 движется параллельно горизонтальной плоскости, по которой колесо массой m2 катится без скольжения. Силы F1, F2 параллельны оси Ax1, AC = a , точка С – центр масс ρCz = ρ , корпуса, радиус инерции BD = BE = b , колесо – однородный диск радиуса R.

Задача 1.3 Составить уравнения движения буера массой m по горизонтальной поверхности льда. Давление ветра на парус моделируется силой F, приложенной в точке D и направленной по нормали к плоскости паруса. Парус моделируется пластиной. Линия действия силы F проходит через точку A. Нормаль n направлена под углом γ к оси Ax1; AB=b, AC=a, точка С – центр масс буера; радиус инерции ρCz = ρ . В точке H – гладкая опора (свободный невесомый конек). Решение. Положение буера определяется трехмерным вектором T q = ( x, y,ψ ) , где x, y – координаты точки A. На систему наложена неголономная связь VAy1=0, уравнение которой найдем, перепроектировав вектор скорости точки A из неподвижной системы координат Oxyz в систему Ox1y1z1, связанную с буером:

8

⎛ VAx1 ⎞ ⎛ cos ψ sin ψ 0 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ x cos ψ + y sin ψ ⎞ ⎜ V ⎟ = ⎜ − sin ψ cos ψ 0 ⎟⎜ y ⎟ = ⎜ − x sin ψ + y cos ψ ⎟ . ⎜ Ay1 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 ⎠⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Отсюда уравнением связи VAy1 = 0 будет − x sin ψ + y cos ψ = 0 . (1.8) Матрица B, отвечающая этому уравнению и вектору q, имеет вид B = ( − sin ψ; cos ψ; 0 ) . Найдем выражение кинетической энергии плоского движения буера как функцию обобщенных координат и скоростей: 1 1 T = m( xC2 + y C2 ) + mρ 2 ψ 2 . 2 2 Выразим xC , y C через обобщенные скорости и координаты. В соответствии с графом A → C имеем ⎛ x ⎞ ⎛ 0 ψ 0 ⎞⎛ a cos ψ ⎞ ^ ⎟ VC = VA − Ω AC = ⎜⎜ y ⎟⎟ − ⎜⎜ − ψ 0 0 ⎟⎜ ⎟⎜ a sin ψ ⎟ . ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Отсюда xC = x − ψ a sin ψ, yC = y + ψ a cos ψ . Следовательно, 1 1 T = m( x 2 + y 2 + 2ψ a ( y cos ψ − x sin ψ)) + Iψ 2 , I = m(ρ 2 + a 2 ) . 2 2 Найдем вектор обобщенных сил

Q = ( Qx , Qy , Qψ ) . T

Для этого вычис-

лим мощность силы F на возможной скорости точки D: â N â = FxVDx + FyVDyâ . Выражение для проекций скорости точки D найдем в соответствии с графом A → D: ⎛ x ⎞ ⎛ 0 ψ 0 ⎞ ⎛ b1 cos ( ψ − γ ) ⎞ ^ ⎜ ⎟ VD = VA − Ω AD = ⎜⎜ y ⎟⎟ − ⎜⎜ − ψ 0 0 ⎟⎟ ⎜ b1 sin ( ψ − γ ) ⎟ . ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Отсюда VDx = x − ψ b1 sin ( ψ − γ ) , VDy = y + ψ b1 cos ( ψ − γ ) ,

где b1 = b cos γ . Так как связи стационарные, то возможные скорости VDxâ , VDyâ удовлетворяют также этим уравнениям, и выражение для мощности примет вид F cos ( ψ − γ ) ( x â − ψ âb1 sin ( ψ − γ ) ) + + F sin ( ψ − γ ) ( y â + ψ â b1 cos ( ψ − γ ) ) = Qx x â + Qy y â + Qψ ψ â .

9

Отсюда

Qx = F cos ( ψ − γ ) , Qy = F sin ( ψ − γ ) , Qψ = 0 . Выполним все процедуры в соответствии с (1.2): d ⎛ ⎞ m ( x − ψ a sin ψ ) ⎜ ⎟ dt ⎜ ⎟ ⎛ F co s ( ψ − γ ) ⎞ ⎛ − sin ψ ⎞ d ⎜ ⎟ = ⎜ F sin ( ψ − γ ) ⎟ + ⎜ co s ψ ⎟ λ . m ( y + ψ a co s ψ ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ dt ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ⎜  ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠   ⎜⎜ I ψ + m a ( y co s ψ − x sin ψ ) ⎟⎟ ⎝ ⎠ Запишем эту систему в скалярной форме и дополним уравнением связи (1.8), продифференцировав его по времени. Исключив неопределенный множитель λ , получим замкнутую систему уравнений движения буера: ⎧m(  x cos ψ +  y sin ψ − ψ 2 a) = F cos γ; ⎪  + ma(  y cos ψ −  x sin ψ) = 0; ⎨ Iψ ⎪ y cos ψ −   x cos ψ + y sin ψ) = 0. x sin ψ − ψ( ⎩  Задача 1.4 z

Пустотелый тонкостенный шар радиусом r катится по шероховатой наклонной плоскости. Внутри шара по экватору имеется кольцо массой m радиусом r1. Составить уравнения движения шара, если угол наклона плоскости равен α , а ось Ох направлена по склону вниз. Массой оболочки шара пренебречь.

y

O

C P α

x

Решение. Введем неподвижный трехгранник Oxyz. Положение шара определяется пятимерным вектором q = ( x, y, ϕ, ψ, θ)T , где x, y – координаты центра С шара; ϕ, ψ, θ – углы Эйлера. На систему наложена неголономная связь VP = 0 . Для получения уравнений этой связи составим выражение для скорости точки Р в соответствии с графом С→ Р и приравняем его нулю: VP = VC + [ Ω, CP ] . В матричной форме в трехграннике Oxyz это выражение будет иметь вид ⎛ x ⎞ ⎛ 0 − r 0 ⎞⎛ Ω x ⎞ ∧ ⎟ VP = VC + CP Ω = ⎜⎜ y ⎟⎟ + ⎜⎜ r 0 0 ⎟⎜ ⎟⎜ Ω y ⎟ . ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟⎜ Ω ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ z ⎠ Отсюда x − Ω y r = 0 , y + Ω x r = 0 . (1.9) Согласно кинематическим уравнениям Эйлера проекции Ω x , Ω y вектора угловой скорости шара на оси неподвижного трехгранника Oxyz имеют вид

10

 ψ.  θsin ψ + θ cos ψ ,  θ cos ψ + θsin Ω x = φsin Ω y = −φsin Подставляя эти выражения в (1.9), получим  ψ) = 0;  θ cos ψ − θsin x + r (φsin  θsin ψ + θ cos ψ) = 0. y + r (φsin

(1.10)

Отвечающая этим уравнениям и вектору q матрица В имеет вид ⎛ 1 0 r sin θcos ψ 0 −r sin ψ ⎞ B=⎜ ⎟. r r 0 1 sin θsin ψ 0 cos ψ ⎝ ⎠ Найдем выражения кинетической энергии как функции обобщенных координат и скоростей: 1 T = mVC2 + T от , 2 здесь VC2 = x 2 + y 2 . Так как шар совершает пространственное движение, T от определим по формуле для тела, вращающего около одной неподвижной точки:

⎛ Ω x1 ⎞ ⎛ ψsin  θsin φ + θ cosφ ⎞ ⎛1 0 0⎞ mr ⎜ 1 ⎟ , Ω = ⎜ Ω ⎟ = ⎜ ψsin  φ⎟.  − 0 1 0 θ cosφ θsin T от = ΩT IΩ, Ι = ⎜ ⎟ y ⎜ ⎟ 1 ⎟ 2 2 ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟  + φ ψcosθ ⎝0 0 2⎠ ⎠ ⎝ Ω z1 ⎠ ⎝ Отсюда mr12 2 mr12 2 2 2 2 от   cosθ , ψ sin θ + θ 2 + 2ψ 2 cos 2 θ + 2φ 2 + 4ψφ T = Ω x1 + Ω y1 + 2Ω z1 ) = ( 2 2 где Ω x1 , Ω y1 , Ω z1 – проекции вектора угловой скорости на оси, связанные с шаром. После преобразований получим: 1 mr 2  T = m( x 2 + y 2 ) + 1 2φ 2 + ψ 2 (1 + cos 2 θ) + θ 2 + 4φψcosθ . 2 4 Потенциальная энергия шара П = − mgx sin α . Уравнение (1.2) для консервативной системы запишем в виде 2 1

(

)

(

)

T

T

d ⎛ ∂L ⎞ ⎛ ∂L ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = B T λ, dt ⎝ ∂q ⎠ ⎝ ∂q ⎠ где L =T − П,

λ = (λ1 ,λ 2 )T .

Выполним все процедуры в соответствии с (1.11):

(1.11)

11

mx − mg sin α ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ my 1 0 ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ d 0 1  mr12 ( φ + ψcosθ ) ⎟⎛ λ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ dt ⎜ ⎟ = ⎜ r sin θ cos ψ r sin θsin ψ ⎟ ⎜ 1 ⎟ . ⎟ ⎝ λ2 ⎠ ⎜ mr12 d ⎟ ⎜ 2   0 0 + + ψ(1 cos θ) 2φcosθ ( ) ⎟ ⎜ 2 dt ⎟ ⎜ ⎜ − r sin ψ ⎜ ⎟ r cos ψ ⎟⎠ ⎝ 2 ⎜ mr1   2 ⎟  2θ − ψ sin 2θ − 4φψsin θ ⎟ ⎜ ⎝ 4 ⎠ Отсюда mx − mg sin α = λ1; my = λ 2 ;

(

)

d  ( φ + ψcosθ ) = r sin θ(λ1 cos ψ + λ 2 sin ψ); dt mr12 d  + cos 2 θ) + 2φcosθ  ψ(1 ( ) = 0; 2 dt mr12   2θ − ψ 2 sin 2θ − 4φψsin θ = − r (λ1 sin ψ − λ 2 cos ψ). 4 Полученные уравнения вместе с уравнениями связи (1.10) представляют замкнутую систему, определяющую движение шара и реакции неголономной связи. mr12

(

)

Задача 1.5 Составить уравнения движения тонкостенного шара радиусом r . Внутри шара имеется перегородка – тонкий однородный диск массой m , центр которого совпадает с центром шара. Шар катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Массой оболочки шара пренебречь. Задача 1.6 Составить уравнения движения однородного шара массой m радиусом r . Шар катится без скольжения по наклонной плоскости, угол наклона которой равен α . Задача 1.7 Составить уравнения движения тонкостенного шара радиусом r , через центр которого проходит тонкий однородный стержень массой m . Шар катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Массой оболочки шара пренебречь. Задача 1.8 Система, состоящая из двух одинаковых колёс радиуса R каждое, могущих независимо вращаться вокруг общей нормальной к ним оси DE, катится

12

•

y1

ϕ2

K

x1

E

z1

ψ C y O

φ 1

•

ϕ1

PD

x1

DE φ 2 x

PK

по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Колёса связаны пружиной жесткости c, работающей на кручение (упругий торсион). Составить уравнения движения системы, если колеса – однородные диски массой m1 , а ось DE – однородный стержень массой mo и длиной 2A . Точка C – середина стержня.

Решение. Положение диска определяется четырехмерным вектором T обобщенных координат q = ( φ1 ,φ 2 , x, y ) , где x, y – координаты точки C. На эти координаты наложена неголономная стационарная связь VP = 0 . Для получения уравнений этой связи составим выражение для скорости точки P в соответствии с графом C → D → P и приравняем его нулю: ∧

^

VP = VC − ΩCD + DP Ω1 . В трехграннике Oxyz это выражение будет иметь вид ⎛ x ⎞ ⎛ 0 ψ 0 ⎞⎛ A sin ψ ⎞ ⎛ 0 − R 0 ⎞⎛ −ϕ 1 sin ψ ⎞ ⎜ y ⎟ − ⎜ −ψ 0 0 ⎟⎜ −A cos ψ ⎟ + ⎜ R 0 0 ⎟⎜ ϕ cos ψ ⎟ = 0 , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟  ψ 0 0 0 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Отсюда x + ψ A c o s ψ − φ 1 R c o s ψ = 0 , (1.12) y + ψ A s in ψ − φ 1 R s in ψ = 0 .  . В соответствии с графом P → D → E → K Из условия VK = 0 найдём ψ VK В трехграннике Ox1 y1 z1 ⎛ 0 R 0 ⎞⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎜ − R 0 0 ⎟⎜ ϕ ⎟ + ⎜ 0 0 ⎜ ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 ⎟⎜ ψ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠⎝  ⎠ ⎝ 2A 0

∧

∧

∧

= VP + PDΩ1 + DEΩ + EK Ω 2 . это выражение будет иметь вид −2A ⎞⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 − R 0 ⎞⎛ 0 ⎞ ⎛ ϕ 1R − ψ 2A − ϕ 2 R ⎞ ⎟ = 0. ⎟ ⎜ ⎟⎜  ⎟ ⎜ 0 ⎟⎜ 0 ⎟ ⎟⎜ 0 ⎟ + ⎜ R 0 0 ⎟⎜ ϕ2 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜   0 ⎠⎝ ψ ⎠ ⎝ 0 0 0 ⎠⎝ ψ ⎠ ⎝ 0 ⎠

Отсюда

ψ = (φ 1 − φ 2 ) R 2A .  из (1.12) уравнения связи примут вид После исключения ψ R R x − φ 1 cos ψ − φ 2 cos ψ = 0, 2 2 R R y − φ 1 sin ψ − φ 2 sin ψ = 0. 2 2 Отвечающая этим уравнениям и вектору q матрица B имеет вид

(1.13)

(1.14)

13

R ⎛ R ⎞ − cos ψ − cos ψ 1 0 ⎟ ⎜ 2 2 B=⎜ (1.15) ⎟. R R ⎜ − sin ψ − sin ψ 0 1 ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ Интегрируя (1.13) при φ1 ( 0 ) = φ 2 ( 0 ) = 0 , получим ψ = (φ1 − φ2 ) R 2A . (1.16) Вычислим кинетическую энергию системы T = To + T1 + T2 . Кинетическая энергия оси DE 1 1 m0 A 2 2 2 2 ψ . T0 = mo ( x + y ) + 2 2 3 Кинетическая энергия колес 1 1 T1 = m1VD2 + T1от , T2 = m1VE2 + T2от . 2 2 Учитывая (1.13) и то, что VD = φ 1R, VE = φ 2 R , после несложных преобразований получим 1 1 3 T = m0 ( x 2 + y 2 ) + I 0 (φ 1 − φ 2 ) 2 + m1 R 2 (φ 12 + φ 22 ); 2 2 4 2 2 mR R I 0 = ( m0 A 2 + 1 ) 2 . 2 4A Вычислим потенциальную энергию пружины c 2 Π = ( φ1 − φ 2 ) . 2 Используя уравнения Лагранжа в форме (1.11.), получим 3 R 1 + I 0 ( φ 1 − φ  2 ) = −c ( φ1 − φ 2 ) − (λ1 cos ψ + λ 2 sin ψ), m1R 2φ 2 2 3 R  2 + I 0 ( φ 1 − φ  2 ) = c ( φ1 − φ 2 ) − (λ1 cos ψ + λ 2 sin ψ), m1R 2φ (1.17) 2 2 m0  x = λ1 , m0  y = λ2. Уравнения (1.14), (1.16), (1.17) представляют замкнутую систему, определяющую движение колёсной пары с упругой осью.

Задача 1.9 Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, определить движение системы, отвечающее начальным условиям: ϕ1 (0) = 0; ϕ 1 (0) = 0; ϕ2 (0) = 0; ϕ 2 (0) = ω. Массой оси пренебречь. Решение. Если m0 = 0 , то из (1.17) следует, что λ1 = 0; λ 2 = 0 . В этом случае уравнения движения колёсной пары примут вид 1 + I (ϕ 1 − ϕ  2 ) = −c(ϕ1 − ϕ2 ) ; aϕ (1.18)

14

 2 − I (ϕ 1 − ϕ  2 ) = c(ϕ1 − ϕ2 ) , aϕ где a = 3m1R 2 2; I = m1R 4 8A 2 . Сложив (1.18) и (1.19), получим 1 + ϕ 2 = 0 . ϕ Отсюда с использованием начальных условий находим ϕ 1 + ϕ 2 = ω, следовательно, ϕ1 + ϕ 2 = ω t . Вычитая (1.19) из (1.18), получим 1 − ϕ  2 ) + 2 I (ϕ 1 − ϕ  2 ) = −2c(ϕ1 − ϕ2 ) . a (ϕ

(1.19)

(1.20) (1.21) (1.22)

Обозначим (ϕ1 − ϕ2 ) через z, а 2c ( a + 2 I ) – через k 2 и перепишем (1.22) в следующем виде:  z + k 2z = 0 . После интегрирования данного уравнения для заданных начальных условий получим ω ω z = sin kt или ϕ1 − ϕ2 = sin kt . (1.23) k k Разрешим систему (1.21),(1.23) и найдём зависимость от времени углов ϕ1 , ϕ2 : 1 ω ϕ 1 = ( ω t + sin k t ); k 2 1 ω ϕ 2 = ( ω t − c o s k t ). k 2 Для определения движения точки C колёсной парой выпишем из решения предыдущей задачи уравнения связи в виде ⎡ ( φ − φ2 ) R ⎤ ⎡ ( φ − φ2 ) R ⎤ R R x = ( φ 1 + φ 2 ) cos ⎢ 1 y = ( φ 1 + φ 2 ) sin ⎢ 1 ⎥; ⎥. A A 2 2 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Перепишем эти уравнения с учетом (1.20), (1.23) R R ⎡ ωR ⎤ ⎡ ωR ⎤ y = ωsin ⎢ (1.24) ωcos ⎢ sin kt ⎥ ; sin kt ⎥ . 2 2 ⎣ 2Ak ⎦ ⎣ 2A k ⎦ Ниже на рисунке приведена траектория движения точки C, построенная по результатам интегрирования уравнения (1.24) с помощью математического пакета Maple 7 для начальных условий x ( 0 ) = y ( 0 ) = 0 при ω = 1; R = 0,15; A = 0,2; k = 0,2. x =

15

y

x

Задача 1.10 Трехколесный велосипед движется по горизонтальной плоскости под действием момента M1 , который передается от велосипедиста на педали ведущего колеса 1 с радиусом r . На вилку от велосипедиста передается управляющий момент M2 φ ( M '2 z = − M 2 z ) . Составить уравнения движения велосипеда, если его масса вместе с велосипедистом m ; AC = a ; C – центр масс; радиус инерции ρCz = ρ ; AB = b ; BD = h . Колеса катятся без проскальзывания. Их массой пренебречь. Решение. Положение системы определяется пятимерным вектором T q = ( x, y,ψ,β,φ ) , где x, y – координаты точки A. На систему наложены три неголономные связи VAy1 = 0; VPx 2 = 0; VPy 2 = 0 . Уравнение первой связи VAy1 = 0 получено в задаче 1.3: − x sin ψ + y cos ψ = 0 . (1.25) Для определения уравнений второй и третьей связи запишем выражение для скорости точки P в соответствии с графом A → B → D → P и приравняем его нулю: ^

∧

∧

VP = VA − Ω AB + BDΩ1 + DP Ω 2 = 0. В трехграннике Bx2y2z2 это выражение имеет вид ⎛ VAx 2 ⎞ ⎛ 0 ψ 0 ⎞⎛ A cosβ ⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 − r 0 ⎞⎛ 0 ⎞ ⎜ V ⎟ − ⎜ − ψ 0 0 ⎟⎜ −A sinβ ⎟ + ⎜ 0 0 h ⎟⎜ 0 ⎟ + ⎜ r 0 0 ⎟⎜ φ ⎟ = 0. ⎜ Ay 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 − h 0 ⎟⎜ ψ + β ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟⎜ ψ + β ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Отсюда получаем уравнения второй VPx 2 = 0 и третьей VPy 2 = 0 связей: (1.26) V + ψ A sin β − φ r = 0, V + ψ A cosβ + ψ + β h = 0. Ax 2

Ay 2

(

)

16

Здесь

VAx 2 = x cos ( ψ + β ) + y sin ( ψ + β ) ;

VAy 2 = − x sin ( ψ + β ) + y cos ( ψ + β ) . Матрица B , отвечающая уравнениям связи и вектору q , имеет вид

(1.27)

cos ψ 0 0 0⎞ ⎛ − sin ψ ⎜ ⎟ B = ⎜ cos ( ψ + β ) sin ( ψ + β ) A sinβ 0 −r ⎟ . ⎜ − sin ( ψ + β ) cos ( ψ + β ) A cosβ + h h 0 ⎟ ⎝ ⎠ Для записи выражения кинетической энергии T = T ( q, q ) воспользуемся результатами задачи 1.3. 1 1 T = m ( x 2 + y 2 + 2ψ a ( y cos ψ − x sin ψ ) ) + Iψ 2 ; I = m ( a 2 + ρ2 ). 2 2

Найдем вектор обобщенных сил Q = ( Qx , Qy , Qψ , Qβ , Qφ ) . Для этого заT

пишем выражение суммы мощностей всех активных сил на возможных скоростях: M 1 y 2φ â + M 2 z β â + ψ â + M '2 z ψ â =

(

)

= M 1φ â + M 2β â = Qx x â + Qy y â + Qψ ψ â + Qββ â + Qφφ â , отсюда Qx = 0; Qy = 0; Qψ = 0; Qβ = M 2 ; Qφ = M 1 . Выполним все процедуры, предусмотренные оператором (1.1), учитывая, T что λ = ( λ1 , λ 2 ,λ 3 ) : ⎛ m (   a sin ψ − ψ 2 a cos ψ ) ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ − sin ψ cos ( ψ + β ) − sin ( ψ + β ) ⎞ x−ψ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎜ m (   a cos ψ − ψ a sin ψ ) ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ cos ψ sin ( ψ + β ) cos ( ψ + β ) ⎟ ⎛ λ1 ⎞ y+ψ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A sinβ A cos ψ + h ⎟ ⎜ λ 2 ⎟ .  + ma (  y cos ψ −  x sin ψ ) ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 0 ⎜ Iψ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ M2 ⎟ ⎜ 0 h 0 ⎟ ⎝ λ3 ⎠ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ M ⎟ ⎜ 0 −r 0 ⎜ ⎟ ⎠ 0 ⎝ ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ Отсюда  a sin ψ − ψ 2 a cos ψ ) = − λ1 sin ψ + λ 2 cos ( ψ + β ) − λ 3 sin ( ψ + β ) ; m (  x−ψ

 a cos ψ − ψ 2 a sin ψ ) = λ1 cos ψ + λ 2 sin ( ψ + β ) + λ 3 cos ( ψ + β ) ; m (  y+ψ  + ma (  Iψ y cos ψ −  x sin ψ ) = λ 2 A sinβ + λ 3 ( A cosβ + h ) ; M 2 + λ 3 h = 0; M 1 − λ 2 r = 0. Исключим из полученных уравнений неопределенные множители. Для этого первое уравнение умножим на cos ψ , второе – на sin ψ и сложим их. Множители λ 2 , λ 3 найдем из последних уравнений. После несложных преобразований получим

17

cosβ sinβ ; + M2 r h (1.28) h⎞ A ⎛  + ma (  Iψ y cos ψ −  x sin ψ ) = M 1 sin β − M 2 ⎜ cosβ + ⎟ . r A⎠ ⎝ Уравнения (1.25)–(1.28) представляют замкнутую систему, определяющую движение трехколесного велосипеда. m (  x cos ψ +  y sin ψ − ψ 2 a ) = M 1

Задача 1.11 Трехколесный велосипед катится под горку с углом наклона α . На руль передается управляющий момент M ( M 'z = − M z ) . Силы сопротивления моделируются моментами M 1 y1 = −μφ 1 ; M 2 y1 = −μφ 2 , приложенными к задним колесам 1 и 2 соответственно. Составить уравнения движения велосипеда, если его масса вместе с велосипедистом m ; AC = a ; C – центр масс; радиус инерции ρCz = ρ ; AB = b ; BD = h ; AE = AH = A ; радиус колес r. Колеса катятся без проскальзывания, их массой пренебречь. Ось Ox направить по склону вниз.

Задача 1.12 Колесный трактор моделируется тележкой с двумя зубчатыми ведущими колесами радиусом r . Передние колеса моделируются рояльным колесом, к которому приложен момент M 3 ( M 3' = −M 3 ) . На ведущие колеса от электродвигателя через дифференциал передаются моменты M 1 = M 2 , M 2 = M 2 , где M – момент на выходном валу двигателя (передаточное число дифференциала i = 1). Составить уравнения движения трактора, если масса корпуса m ; радиус инерции ρCz = ρ ; точка C – центр масс корпуса; CB = b ; BD = h ; AE = AH = A . Рояльное колесо катится без скольжения, зубчатые колеса не скользят вдоль оси Ax1 и свободно скользят вдоль оси Ay1. Массой всех колес пренебречь. Решение. Положение системы определяется пятимерным вектором T q = ( x, y,ψ,β,φ ) , где x, y — координаты центра масс корпуса. На систему наложены две неголономные связи VKx1 = 0; VDy 2 = 0 , уравнения которых можно получить, если составить выражения для скоростей точек K и D по графам C → A → E → K и C → B → D соответственно:

18 ^

^

^

VK = VC − ΩCA − Ω AE + EK Ω1; ^

(1.29)

^

VD = VC − ΩCB + BDΩ 2 . (1.30) Проецируя выражение (1.29) на оси Ax1y1z1 , а выражение (1.30) — на Bx2y2z2, получаем VKx1 = VCx1 + ψ A − φ 1r ; (1.31)  β h . V = V + ψ b cos β + ψ+ Dy 2

(

Cy 2

)

Учитывая, что VCx1 = x cos ψ + y sin ψ; VCy 2 = − x sin ( ψ + β ) + y cos ( ψ + β ) и приравнивая выражения для VKx1 и VDy 2 к нулю, получим x cos ψ + y sin ψ + ψ A − ϕ 1r = 0;

(

)

− x sin ( ψ + β ) + y cos ( ψ + β ) + ψ b cos β + ψ + β h = 0.

(1.32)

Матрица B , отвечающая уравнениям (1.32) и вектору q , имеет вид cos ψ sin ψ A 0 −r ⎞ ⎛ B=⎜ ⎟. ⎝ − sin ( ψ + β ) cos ( ψ + β ) b cos β + h h 0 ⎠ Выражение для кинетической энергии T = T ( q, q ) будет иметь вид 1 T = m ( x 2 + y 2 + ρ2 ψ 2 ) . 2

Найдем вектор обобщенных сил Q = ( Qx , Qy , Qψ , Qβ , Qϕ ) . Для этого заT

пишем выражение суммы мощностей всех активных сил на возможных скоA ростях, учитывая (1.13): ϕ 2 = ϕ 1 − 2ψ ; r A⎞ ⎛ M 1ϕ 1â + M 2 ⎜ ϕ 1â − 2ψ â ⎟ + M 3 ψ â + β â = Qx x â + Qy y â + Qψ ψ â + Qββ â + Qϕϕ 1â . r⎠ ⎝ Принимая во внимание, что M 1 = M 2 = M 2 , получим Qx = 0; Qy = 0; Qψ = M A ; Qβ = M 3 ; Qϕ = M . r Выполним все процедуры, предусмотренные оператором (1.1.), учитыT вая, что λ = ( λ1 , λ 2 ) :

(

)

⎛ mx ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ cos ψ − sin ( ψ + β ) ⎞ ⎟ ⎜ my ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ sin cos ψ ψ + β ( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ λ ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ A ⎟⎜ 1 ⎟ . ⎜ mρ ψ  ⎟ = M +⎜ A b cos h β + r⎟ ⎜ ⎟ ⎝ λ2 ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 h ⎜ ⎟ M ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎟ ⎜ −r ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠ ⎝ M ⎠ ⎝ ⎠

19

mx = λ1 cos β − λ 2 sin ( ψ + β ) ; my = λ1 sin β + λ 2 cos ( ψ + β ) ;  = M A + λ1A + λ 2 ( b cos β + h ) ; mρ2 ψ r 0 = M 3 + λ 2 h; 0 = M − λ1r. После исключения неопределенных множителей λ1 , λ 2 получим 1 1 mx = M cos ψ + M 3 sin ( ψ + β ) ; r h 1 1 (1.33) my = M sin ψ + M 3 cos ( ψ + β ) ; r h b cos β ⎞  = − M 3 ⎛⎜ mρ2 ψ + 1⎟ . ⎝ h ⎠ Уравнения (1.32), (1.33) представляют замкнутую систему, определяющую движение тележки с зубчатыми колесами. 2. Уравнения Воронца и Чаплыгина

Уравнения Воронца получаются после исключения неопределённых множителей из системы уравнений (1.1), (1.2). Уравнения неголономных связей (1.1) представляются в виде: (2.1) q 2 = A q 1 , A×1

A×r r ×1

где для вектора обобщенных координат используется представление ⎛ qr +1 ⎞ ⎛ q1 ⎞ ⎛ q1 ⎞ r + A = s. q = ⎜ ⎟; q1 = ⎜⎜ .. ⎟⎟ ; q 2 = ⎜⎜ .. ⎟⎟ ; (2.2) q s×1 r ×1 A×1 ⎝ 2⎠ ⎜q ⎟ ⎜ q ⎟ ⎝ r⎠ ⎝ s ⎠ Вектор обобщенных сил тоже разбивается на две группы аналогично (2.2): ⎛ Qr +1 ⎞ ⎛ Q1 ⎞ ⎛ Q1 ⎞ Q = ⎜ ⎟; Q1 = ⎜⎜ .. ⎟⎟ ; Q 2 = ⎜⎜ .. ⎟⎟ . s×1 r ×1 A×1 ⎝ Q2 ⎠ ⎜Q ⎟ ⎜Q ⎟ ⎝ r⎠ ⎝ s ⎠ Дифференциальные уравнения T T T ⎛ ⎛ ∂Θ ⎞ ⎞ d ⎛ ∂Θ ⎞ ⎛ ∂Θ ⎞ T ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ = Q1 + A ⎜⎜ Q 2 + ⎜ ⎟ ⎟⎟ + q ∂ dt ⎝ ∂q 1 ⎠ ⎝ ∂q1 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎠ ⎝ (2.3) T T T ⎡ dA ⎛ ∂ ( Aq ) ⎞  1) ⎞ ⎤ T ⎛ ∂ ( Aq 1 +⎢ −⎜ − A ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ p2 q ∂ ⎢⎣ dt ⎝ ∂q1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ 2

20

называются уравнениями Воронца, где Θ = Θ(q1 , q 2 , q 1 ) = T (q1 , q 2 , q 1 , Aq 1 ) — T

⎛ ∂T ⎞ «приведенная» кинетическая энергия системы; p 2 = ⎜ ⎟ — вектор обоб q ∂ ⎝ 2⎠ щенного импульса, отвечающий исключаемым обобщенным скоростям. В (2.3) вводится понятие производной от вектора по вектору: если x, q ∂x соответственно A -, s - мерные вектора, то символ означает A × s -матрицу ∂q вида ∂x1 ⎤ ⎡ ∂x1 ... ⎢ ∂q ∂qs ⎥ 1 ⎢ ⎥ ∂x = ⎢ ... ... ... ⎥ ∂q ⎢ ⎥ ⎢ ∂xA ... ∂xA ⎥ ⎢⎣ ∂q1 ∂qs ⎥⎦ В частном случае, когда кинетическая энергия и уравнения неголономных связей не зависят от вектора обобщенных координат q 2 , уравнения Воронца переходят в уравнения Чаплыгина, которые в матричной форме имеют вид T T ⎡ dAT ⎛ ∂ ( Aq ) ⎞T ⎤ d ⎛ ∂Θ ⎞ ⎛ ∂Θ ⎞ T 1 −⎜ (2.4) ⎜  ⎟ −⎜ ⎟ = Q1 + A Q 2 + ⎢ ⎟ ⎥ p2 . dt ⎝ ∂q1 ⎠ ⎝ ∂q1 ⎠ ⎢⎣ dt ⎝ ∂q1 ⎠ ⎥⎦ Если действующие на систему силы потенциальны, а силовая функция U не зависит от обобщенных координат q 2 , то в уравнениях Чаплыгина (2.4) исчезает слагаемое, зависящее от Q 2 : T T T T d ⎛ ∂Θ ⎞ ⎛ ∂Θ ⎞ ⎛ ∂U ⎞ ⎡ dAT ⎛ ∂ ( Aq 1 ) ⎞ ⎤ −⎜ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ =⎜ ⎟ +⎢ ⎟ ⎥ p2 . dt ⎝ ∂q 1 ⎠ ⎝ ∂q1 ⎠ ⎝ ∂q1 ⎠ ⎢ dt ⎝ ∂q1 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

(2.5)

Задача 2.1 Система, состоящая из однородного диска массой m1, радиусом R и двух противовесов массой m2 каждый y1 z1 (модель Тримарана), движется по гориx1 y D зонтальной плоскости под действием M ψ момента M, приложенного к диску. СоA x1 ставить уравнения движения системы и φ A определить движение, отвечающее наB чальным условиям x (0) = 0 ; y (0) = 0 ; P x   φ(0) = 0 ; ψ(0) = 0 ; φ(0) = 0 ; ψ(0) =0, если диск катится без проскальзывания; AB = AD = A ; радиус инерции ρ Bz = ρ Dz = ρ . Трением между противовесами и плоскостью пренебречь.

21

Решение. Примем за обобщенные координаты x , y центра A колеса и

углы ψ , φ ( q = ( φ, ψ, x, y ) ). Эти координаты связаны двумя неинтегрируемыми уравнениями (1.3):  x − Rφ cos ψ = 0 , y − Rφsin ψ = 0, которые получены из условий VPx = 0 ; VPy = 0 (см. задачу 1.1). Найдем выражение кинетической энергии системы как функции обобщенных координат и скоростей: T = T1 + T2 + T3 . (2.6) Здесь кинетическая энергия колеса m1 R 2 1 от 2 2 от T1 = m1 ( x + y ) + T1 ; 2φ 2 + ψ 2 ) (см. задачу 1.1). T1 = ( 8 2 Кинетическая энергия противовесов 1 1 1 1 T2 = m2 ( x B 2 + y B 2 ) + m2 ρ2 ψ 2 ; T3 = m2 ( x D 2 + y D 2 ) + m2ρ2 ψ 2 . 2 2 2 2 Выразим x B , y B , x D , y B , через x , y , φ , ψ , ψ. Проведя вычисления в соответствии с графами A → B , A → D , получим x B = x + Aψ cos ψ; y B = y + Aψ cos ψ; (2.7) x D = x − Aψ cos ψ; y D = y − Aψ cos ψ. После несложных преобразований с учётом (2.7) кинетическая энергия системы примет вид m1 R 2 2 1 1 2 2 2  φ . (2.8) T = m( x + y ) + I 0 ψ + 2 2 4 m1R 2 2 I 0 = 2m2ρ + . Здесь m = m1 + 2m2 ; 2 Найдем обобщенные силы Qφ , Qψ , Qx , Q y . Для этого вычислим сумму мощностей активных сил на возможных скоростях: M y1ωây1 = Qφ φ â + Qψ ψ â + Qx x â + Qy y â . T

Здесь M y1 = M ; ωây1 = φ â , следовательно, Qφ = M ;

Qψ = 0 ;

Qx = 0 ;

Qy = 0 .

Представим вектор q в виде двух векторов: q1 = (φ,ψ)T ; q 2 = ( x , y )T . Векторы обобщенных сил Q1 и Q2 будут соответственно равны: Q1 = ( M ,0)T ; Q2 = 0 . Вычислим функцию Θ. Для этого исключим из (2.8) x , y . После несложных преобразований получим 3 1 Θ = ( Iφ 2 + I 0 ψ 2 ) ; I = m1R 2 + 2m2 R 2 . 2 2 Вектор обобщенного импульса

22 T

⎛ cos ψ ⎞ ⎛ ∂T ∂T ⎞ ⎛ mx ⎞ = ⎜ ⎟ = mRϕ ⎜ , p2 = ⎜ ⎟. ⎟    my sin ψ ∂ ∂ x y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Так как кинетическая энергия и вектор q 1 не зависят от q 2 , для составления уравнений движения воспользуемся уравнениями Чаплыгина (2.4). Уравнения неголономных связей запишем в виде (2.1): ⎛ cos ψ 0 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ φ ⎞ A ; A = R (2.9) = ⎜ sin ψ 0 ⎟ . ⎜ y ⎟ ⎜ ψ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Выполним все процедуры, предусмотренные (2.4): ⎛ − sin ψ cos ψ ⎞ ⎛ cos ψ sin ψ ⎞ dA T T  = R A = R⎜ ; ; ψ ⎜ 0 0 ⎟⎠ 0 ⎟⎠ dt ⎝ ⎝ 0 ⎛ ∂x ∂ ( Aq 1 ) ∂q 2 ⎜ ∂φ = =⎜ ∂q1 ∂q1 ⎜ ∂y ⎜ ∂φ ⎝

∂x ⎞  ψ⎞ ∂ψ ⎟ ⎛ 0 − Rφsin ⎟=⎜ ;  ∂y ⎟ ⎝ 0 Rφcos ψ ⎠⎟ ∂ψ ⎟⎠

0 ⎞ ⎛ ∂ ( Aq 1 ) ⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ = Rφ ⎜ ⎟; ⎝ − sin ψ cos ψ ⎠ ⎝ ∂q1 ⎠ T

⎡ dAT ⎛ ∂ ( Aq ) ⎞T ⎤   ψ ψcos ψ⎞ ⎛ − ψsin ⎛ cos ψ ⎞ 1 ⎢ −⎜ mRφ ⎜ ⎟ ⎥ p2 = R ⎜  ⎟ ⎟ = 0 , (2.10)  − φsin ψ φcos ψ sin ψ ∂ q dt ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1 ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ следовательно,

 = M ; ψ  = 0 . I0φ (2.11) Уравнения (2.9), (2.11) представляет собой замкнутую систему уравнений движения тримарана. Найдём решение этой системы для заданных начальных условий. Из (2.11) получим M φ = t ; ψ = Ω ; ψ = Ωt . I А из (2.9) — M M x = t cos(Ωt ) ; y = t sin(Ωt ) . (2.12) I I Результаты интегрирования для заданных начачальных условий уравнений (2.12) с помощью математического пакета Maple 7 представлены на рисунке траекторией движения точки A.

23

Задача 2.2 Составить уравнения движения тележки по x1 горизонтальной плоскости под действием моML B ментов M R , M L , приложенных к ведущим коy C лёсам A и D. Сопротивление движению моделиA M руется силой вязкого трения F = −μVB , прилоR женной в точке B. Масса тележки – m1 ; точка C x D – центр масс; AC=CB=AD=a, радиус инерции ρCz = ρ , колёса – однородные диски массой m2 и радиусом R . y1

Задача 2.3 Тележка с парусом («пляжная яхта») движется по горизонтальной плоскости. Давление ветра β x1 n на парус моделируется силой F, приложенной в ψ C точке A и направленной по нормали к плоскости A паруса. Парус моделируется пластиной. F Составить уравнения движения колесной D U яхты, если масса платформы – m1 ; AC=a; точка C x – центр масс; радиус инерции ρCz = ρ ; колёса – однородные диски массой m2 радиусом R; AD = AE = A ; β – угол между нормалью n и осью Ax1 ; колёса катятся без скольжения; рояльное колесо в точке B в постановке данной задачи не управляется, и считается, что в точке B гладкая опора. Решение. Положение яхты определяется четырёхмерным вектором T q = ( ϕ, ψ, x, y ) , где x, y – координаты точки A. На систему наложены две неголономные связи, уравнения которых (1.12) получены из условий VPx = 0 ; VPy = 0 (см. задачу 1.5). x = −ψ A cos ψ + ϕ 1 R sin ψ ; y = −ψ A sin ψ + ϕ 1 R cos ψ . Для определения T = T ( q, q ) воспользуемся результатами решения задачи (1.5): y

y1 E

24

1 1 3m2 R 2 2 2 2 2   T = m1 ( x + y + 2ψa ( y cos ψ − x sin ψ ) ) + I1ψ + ϕ 1 − 3m2ARϕ 1ψ , 2 2 2 где I1 = m1 ( a 2 + ρ2 ) + m2 R 2 / 2 + 6m2 A 2 . Найдём обобщённые силы Qϕ , Qψ , Qx , Q y . Для этого вычислим мощность силы F на возможных скоростях: Fx x â + Fy y â = Qϕϕ â + Qψ ψ â + Qx x â + Qy y â , отсюда Qφ = 0 ; Qψ = 0 ; Qx = Fx = F cos(ψ + β) ; Qy = Fy = F sin(ψ + β) . Представим вектор q в виде двух векторов: q1 = ( ψ, ϕ1 ) , q2 = ( x, y ) . Векторы обобщённых сил Q1 , Q2 будут соответственно равны: T

Q1 = 0 ;

T

Q2 = ( Fx , Fy ) . T

Вычислим функцию Θ. Для этого исключим из выражения T = T ( q 1 , q 2 , q ) вектор q 2 , используя уравнения связи (1.12). После несложных преобразований получим 1 1 Θ = ( I1 + m1A 2 ) ψ 2 + I 2 ϕ 12 − m0 ARϕ 1ψ ; m0 = 3m2 + m1 ; I 2 = m0 R 2 . 2 2 Вектор обобщённого импульса будет равен: T ⎛ Px ⎞ ⎛ ∂T ∂T ⎞ ⎛ x − ψ a sin ψ ⎞ , = m1 ⎜ P2 = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟. ⎟ P     + ψ ψ cos y a ∂ ∂ x y ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ y⎠ ⎝ Выполним все процедуры, предусмотренные оператором (2.4). Уравнения неголономных связей представим в виде (2.1): ⎛ ψ ⎞ ⎛ −A cos ψ R cos ψ ⎞ ⎛ x ⎞ (2.13) ⎜ y ⎟ = A ⎜ ϕ ⎟ , где A = ⎜ −A sin ψ R sin ψ ⎟ ; ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎠ ⎛ −A cos ψ −A sin ψ ⎞ dAT ⎛ ψ A cos ψ −ψ A sin ψ ⎞ A =⎜ =⎜ ⎟; ⎟;   R R R ψ R ψ −ψ ψ ψ ψ cos sin cos sin dt ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ∂x ∂x ⎞ ∂ ( Aq 1 ) ∂q 2 ⎜ ∂ψ ∂ϕ ⎟ ⎛ −( Rϕ 1 − Aψ )sin ψ 0 ⎞ ⎟=⎜ = =⎜ ⎟; ∂q1 ∂q1 ⎜ ∂y ∂y ⎟ ⎝ ( Rϕ 1 − Aψ )cos ψ 0 ⎠ ⎜ ∂ψ ∂ϕ ⎟ 1 ⎠ ⎝ T

⎡ dAT ⎛ ∂ ( Aq ) ⎞T ⎤ ⎛ Px ⎞ ⎛ Rϕ sin ψ − Rϕ cos ψ ⎞ ⎛ Px ⎞ ⎛ −ϕ 1ψ ⎞ 1 ⎢ ⎥ −⎜ = = m Ra ⎟ ⎜P ⎟ ⎜ 1 ⎟⎜ P ⎟ ⎜ ψ 2 ⎟ ;   − ψ sin ψ ψ cos ψ R R ∂ q ⎢⎣ dt ⎥ y y ⎝ ⎠ ⎠⎝ ⎠ 1 ⎝ ⎠ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎛ Fx ⎞ ⎛ −AF cos β ⎞ AT Q 2 = AT ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟, F cos β RF y ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ следовательно,

25

(I

1

 − RAm0 ϕ 1 = −AF cos β − m1 Raψ ϕ 1 ; + m1A 2 ) ψ

(2.14)

1 − RAm0 ψ  = RF cos β + m1 Raψ . I 2ϕ Система (2.14), (2.13) представляет собой замкнутую систему уравнений в форме Воронца – Чаплыгина, определяющих движение «яхты». 2

Задача 2.4 Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, определить движение «яхты», отвечающее начальным условиям x (0) = 0 ;  y (0) = 0 ; ϕ1 (0) = 0 ; ψ (0) = 0,3 рад ; φ 1 (0) = 3 рад/c ; ψ(0) = 0 , на интервале времени τ = 10 c , если m1=60 кг; m2=5 кг; R=0,3 м; l=0,5 м; β=0,3 рад; F = χ ( U − V, n ) . Ветер дует в направлении оси Ox, его скорость U=4 м/с; 2

χ=5 кг/м, V = x i + y j . Построить траекторию движения точки A, y=y(x) и график V=V(t). Решение. Приведём систему (2.14) к форме Коши. Для этого введём,  (V=VAx, VAy=0); ϕ 1 R = V + Aψ ; как в задаче 1.5, переменную V = ϕ 1 R − Aψ ψ = Ω и перепишем (2.14) в виде  + ( 3m2 + m1 ) A 2ψ  − RAm0ϕ 1 = −AF cos β − m1Raψϕ   1; I Aψ 1 − RAm0ψ  = RF cos β + m1Raψ 2 . m0 R 2ϕ Проделав замену переменных и исключив из первого уравнения Fcosβ, получим  = − m aV Ω; I AΩ 1  m V = F cos β + m aΩ 2 ; 0

1

I A = m1 (a + ρ ) + m2 R / 2 + 3m2 A 2 . Уравнения связей в новых переменных: x = V cos ψ ; y = V sin ψ . Начальное значение V (0) = ϕ 1 (0) R − ψ (0)A . 2

2

2

(2.15) (2.16)

Сила F = χ (U cos(ψ + β) − V cos(β) ) . Для интегрирования системы (2.15), (2.16) и построения графиков воспользуемся математическим пакетом Maple 7. Ниже приведены графики, полученные в результате интегрирования данных уравнений (ρ=0,7; a=0,5). 2

26

Задача 2.5 Мобильный робот движется по горизонтальной плоскости под действием момента M1, приложенного к ведущему колесу. Управление поворотом робота производится с помощью двигателя-маховика, ось вращения которого проходит через центр масс C платформы, момент на валу – M2. Составить уравнения движения робота, если ведущее колесо катится без скольжения; его масса – m1; радиус – r; масса платформы – m2; AC = a ; радиус инерции ρCz = ρ ; масса двигателя-маховика m3; радиус инерции ρ3Cz = ρ3 . Ведущее колесо считать однородным диском, а рояльные колеса D и E – гладкими опорами. Решение. Положение робота определяется пятимерным вектором T q = ( ϕ, ψ, δ, x, y ) , где x, y – координаты точки A. На систему наложены две неголономные связи VKx = 0 и VKy = 0 , уравнения которых (1.3.) представим в виде (2.1.): (2.17.) q 2 = Aq 1 , T ⎛ r cos ψ 0 0 ⎞ T    ; q 1 = φ,ψ,δ q 2 = ( x , y ) ; где A=⎜ ⎟. ⎝ r sin ψ 0 0 ⎠ Найдем выражение кинетической энергии T = T ( q1 , q 2 , q 1 , q 2 ) : T = T1 + T2 + T3 , где

(

)

27

m1r 2 1 2 2 (2ϕ 2 + ψ 2 ); T1 = m1 ( x + y ) + 2 8 1 1 T2 = m2 ( x 2 + y 2 ) + m2 ψ a ( y cos ψ − x sin ψ ) + m2 (ρ2 + a 2 )ψ 2 ; 2 2 1 1 T3 = m3 ( x 2 + y 2 ) + m3 ψ a ( y cos ψ − x sin ψ ) + m3ρ32 (ψ + δ ) 2 . 2 2 После несложных преобразований получим m1r 2 2 1 2 1 1 2 2 T = m0 ( x + y ) + m1ψ a ( y cos ψ − x sin ψ ) + ϕ + I ψ + m3ρ32 (ψ + δ ) 2 . 2 4 2 2 2 mr mC = m2 + m3 ; I = 1 + m2 (ρ2 + a 2 ) + m3 a 2 . Здесь m0 = m1 + mC ; 4 Найдем вектор обобщенных сил Q = (Qϕ , Qψ , Qδ , Qx , Qy )T , для чего вычислим мощность активных сил на возможных скоростях:  â + δ â ) − M 2 z ψ â = M 1ϕ â + M 2δ â = M 1 y1ϕ â + M 2 z (ψ

= Qϕϕ â + Qψ ψ â + Qδδ â + Qx x â + Qy y â . Отсюда Q = ( M 1 ,0, M 2 ,0,0)T = (Q1 , Q 2 )T ; Q1 = ( M 1 ,0, M 2 )T ; Q 2 = (0,0)T . Вычислим функцию θ = θ(q1 , q 2 , q 1 )T : 1 1 1 m θ = mr 2ϕ 2 + I ψ 2 + m3ρ32 (ψ + δ ) 2 ; m = m0 + 1 . 2 2 2 2 Вектор обобщенного импульса T  a sin ψ ⎞ ⎛ m0 ϕ r cos ψ − mC ψ a sin ψ ⎞ ⎛ Px ⎞ ⎛ ∂T ∂T ⎞ ⎛ m0 x − m0 ψ P2 = ⎜ ⎟ = ⎜ =⎜ , ⎟. ⎟=⎜ ⎟ ⎝ Py ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎝ m0 y + m0 ψ a cos ψ ⎠ ⎝ m0 ϕ r sin ψ + mC ψ a cos ψ ⎠

Выполним все процедуры, предусмотренные оператором (2.4): ⎛ r cos ψ r sin ψ ⎞ ⎛ −r ψ sin ψ r ψ cos ψ ⎞ dAT ⎜ ⎟; ⎜ ⎟ T A =⎜ 0 =⎜ 0 ⎟; 0 0 ⎟ dt ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ 0 0 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ∂ ( Aq 1 ) ⎛ 0 −ϕ r sin ψ 0 ⎞ =⎜ ⎟;  0 cos ϕ r ψ 0 ∂q1 ⎝ ⎠

⎛ mC raψ 2 ⎞ −r ψ sin ψ r ψ cos ψ ⎞ ⎛ ⎡ dA ⎛ ∂ ( Aq 1 ) ⎞ ⎤ ⎛ Px ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎛ Px ⎞ = ⎜ − m raϕψ   ⎟;   ⎢ ⎥ −⎜ = ϕ r ψ −ϕ r ψ sin cos ⎜ ⎟ ⎟ ⎜P ⎟ ⎜ C ⎜ ⎟ dt ⎝ ∂q1 ⎠ ⎥ ⎝ y ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ Py ⎠ ⎜ ⎟ ⎣⎢ ⎦ 0 0 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠  = M 1 + mC raψ 2 ; mr 2 ϕ  + m ρ2 (ψ  +   ; (2.18.) Iψ δ) = − m raϕψ T

T

3 3

 +  m ρ (ψ δ) = M 2 . 2 3 3

C

28

Система (2.17.), (2.18.) представляет собой замкнутую систему уравнений в форме Воронца-Чаплыгина, определяющих движение робота. Задача 2.6 Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, определить движение робота, отвечающее начальным условиям x ( 0 ) = 0 ; y ( 0 ) = 0 ; φ ( 0 ) = 0 ; ψ ( 0 ) = 0 ; δ ( 0 ) = 0 ; φ ( 0 ) = 0 ; ψ ( 0 ) = 0 ; δ ( 0 ) = 0 , если

m1 = 3 кг; m2 = 25 кг; m3 = 2 кг; r = 0,1 м; ρ = 0,3 м; ρ3 = 0,07 м; a = 0,3 м;  ; c11 = 0,75 Нм ; c21 = 0,7 Нм ; M 1 = c11U1 − c12 φ ; M 2 = −(c21U 2 − c22 δ) В В c12 = 0,36 Нмс ; c22 = 0,01 Нмс . По результатам интегрирования уравнений (2.17.), (2.18.) на интервале времени τ = 30 с построить траектории точки A y = y ( x ) и графики φ ( t ) , ψ ( t ) , δ ( t ) для трех значений напряжения U2 на управляющем двигателе (4 Â; 8 Â;12 Â) ; напряжение на ведущем двигателе U1 = 12 В . Решение. Для интегрирования системы (2.17.), (2.18.) и построения графиков воспользуемся математическим пакетом Maple 6. Результаты решения приведены на рис.

29

Задача 2.7

На вал длиной A в точке A свободно насажен однородный диск массой m1 радиусом r. В точке B к ваx лу жестко присоединен брус. Составить уравнения A ϕ 1 y1 движения системы по наклонной плоскости Oxy, если K диск катится без скольжения, брус скользит без треB x1 ния, ось x направлена по склону вниз, угол наклона ψ плоскости равен α . Массой вала пренебречь, а брус A считать материальной точкой массы m2 . Определить x движение системы, отвечающее начальным условиям x ( 0 ) = 0 ; y ( 0 ) = 0 ; φ ( 0 ) = 0 ; φ ( 0 ) = 0 ; ψ ( 0 ) = 0 ; ψ ( 0 ) = 0 при m1 = m2 = m , A = 3r = 0, 6 м; α = 0,3 рад. Построить траекторию точки A y = y ( x ) и графики φ = φ ( t ) ; ψ = ψ ( t ) ; ψ = ψ ( t ) на интервале времени τ = 7 с. Решение. Положение системы определяется четырехмерным вектором T q = ( φ,ψ, x, y ) , где x, y – координаты точки A. На систему наложены две неVKx = 0; VKy = 0 , уравнения которых (1.3) голономные связи x = φ r cos ψ; y = φ r sin ψ . Следовательно, система имеет две степени свободы. y

z1

Пусть q = ( q1 , q 2 ) , где q1 = ( φ,ψ ) , q 2 = ( x, y ) . Выражение для кинетической энергии T = T ( q, q 1 , q 2 ) будет T = T1 + T2 , T

T

T

m r2 1 где T1 = m1 ( x 2 + y 2 ) + 1 (2φ 2 + ψ 2 ) – кинетическая энергия колеса (полу2 8 чена в задаче 1.2); 1 T2 = m2 ( x B2 + y B2 ) – кинетическая энергия бруса. Здесь 2 (2.19) x B = x − ψ A cos ψ; y B = y − ψ A sin ψ . После несложных преобразований получим m1r 2 2 1 2 1 2 2      T = m0 ( x + y ) − m2Aψ( x cos ψ + y sin ψ) + φ + I1ψ ; 2 4 2 (2.20) m1r 2 m0 = m1 + m2 ; I1 = + m2A 2 . 4 Найдем вектор обобщенных сил:

Q = ( Qφ , Qψ , Qx , Qy ) = ( Q1 , Q 2 ) , T

T

для чего запишем выражение мощности активных сил на возможных скоростях: N â = P1x x â + P2 x x â ; P1x = m1 g sin α; P2 x = m2 g sin α . Так как система со стационарными связями, то x Bâ = x â − ψ â A cos ψ (2.19). Следовательно,

30

m1 g sin αx â + m2 g sin α( x â − ψ â A cos ψ) = Qφ φ â + Qψ ψ â + Qx x â + Qy y â . Отсюда Qy = 0; Qψ = − m2 g A sin α cos ψ; Qx = m0 g sin α; Qy = 0;

Q1 = ( 0; − m2 g A sin α cos ψ ) ; Q 2 = ( m0 g sin α; 0 ) . Вычислим функцию θ . Для этого, используя уравнения неголономных T связей, исключим из выражения (2.20.) вектор q 2 = ( x , y ) . После несложных преобразований получим 1 1 . θ = I 2 φ 2 + I1ψ 2 − I 3 ψφ 2 2 3 I 3 = m2Ar . Здесь I 2 = ( m1 + m2 )r 2 ; 2 Вектор обобщенного импульса, отвечающий исключенному вектору q 2 : T

T

T

 ψ⎞ ⎛ cos ψ ⎞ ⎛ ∂T ∂T ⎞ ⎛ Px ⎞ ⎛ m0 x − m2 Aψcos P2 = ⎜ ; =⎜ ⎟=⎜ = ( m0 rφ − m2 Aψ ) ⎜ ⎟ ⎟= ⎟  P    A ψsin ψ m y − m sin ψ ∂ x ∂ y ⎝ ⎠ ⎝ y⎠ ⎝ 0 ⎝ ⎠ 2 ⎠ ⎛ cos ψ ⎞  = f ( q 1 ) ⎜ где f ( q 1 ) = m0 rφ − m2 Aψ. ⎟, ⎝ sin ψ ⎠ Выполним все процедуры, предусмотренные (2.4.): ∂A ( q 1 ) ⎛ 0 −φ r sin ψ ⎞ ⎛ cos ψ sin ψ ⎞ ⎛ − sin ψ cos ψ ⎞ dAT T  = =⎜ A = r⎜ ; r ψ ; ⎜ 0 ⎟; 0 ⎟⎠ 0 ⎟⎠ ∂q1 dt ⎝ 0 ⎝ ⎝ 0 φ r cos ψ ⎠ ⎡ dAT ⎛ ∂A ( q ) ⎞T ⎤   ψ ψcos ψ⎞ ⎛ − ψsin ⎛ cos ψ ⎞ 1  ⎢ ⎥ P q −⎜ = r f ( ) ⎟ 2 1 ⎜ ⎜ φsin ⎟ = 0; ψ −φ cos ψ ⎟⎠ ⎢⎣ dt ⎝ ∂q1 ⎠ ⎦⎥ ⎝  ⎝ sin ψ ⎠ 0 ⎞ ⎛ cos ψ sin ψ ⎞⎛ gm0 sin α ⎞ d ⎛ ∂θ ⎞ ⎛ + r⎜ ⎜  ⎟=⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟. 0 0 0 dt ⎝ ∂q1 ⎠ ⎝ − gm2 A sin α cos ψ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Отсюда

 − I 3 ψ  = m0 gr sin α cos ψ; I2φ  + I1ψ  = − m2 g A sin α cos ψ. − I 3φ Подставим числовые значения параметров, разрешим систему относи ψ  , запишем в форме Коши и дополним уравнениями связей: тельно φ,    = 9,8cos ψ; ω = φ; Ω = ψ; ω  = −1,54cos ψ; Ω x = ωr cos ψ; y = ωr cos ψ. Результаты интегрирования полученной системы с помощью математического пакета Maple 7 приведены ниже.

31

t

Библиографический список 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Мартыненко Ю.Г. О матричной форме уравнений неголономной механики: Сборник научно-методических статей по теоретической механике. №23.–Издво МГУ, 2000.– С. 9–21. Нейман Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем.–М.: Наука, 1967.–520 с. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990.–416 с. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики: Учебник. СПб.: Лань, 2002.–736 с. Зацепин М.Ф., Новожилов И.В. Уравнения движения механических систем в избыточном наборе переменных: Сб. научно-метод. статей по теоретической механике. Вып.18.–М.: Высш. шк., 1987.– С. 62 – 66. Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчёты по теоретической механике на базе ЭВМ. М.: Высш. шк., 1986.–136 с. Алгоритмы решения задач кинематики системы твердых тел / Зацепин М.Ф., Кобрин А.И., Мартыненко Ю.Г., Новожилов И.В.–М.: Изд-во МЭИ, 1989.– 78 с. Климов Д.М., Руденко В.М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики. М.: Наука, 1989. 215 с.

32

Оглавление

Введение……………………………………................................... 1. Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями………. 2. Уравнения Воронца и Чаплыгина………………………………… Библиографический список………………………………………….

3 3 19 31

Учебное издание

Зацепин Михаил Федосеевич Мартыненко Юрий Григорьевич Тиньков Дмитрий Владимирович УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА, ВОРОНЦА, ЧАПЛЫГИНА В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ МОБИЛЬНЫХ РОБОТОВ Методическое пособие по курсу

«Теоретические основы робототехники» для студентов, обучающихся по направлению «Роботы и робототехнические системы»

Редактор издательства Г.Ф.Раджабова ЛР № 020528 от 05.06.97 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Темплан издания МЭИ 2004 (I), метод.

Формат 60 × 84/16

Физ. печ. л. 2,0

Подписано к печати Тираж 250

Изд. № 89

Заказ

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Издательство МЭИ, 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14 Типография ЦНИИ “Электроника”, 115417, Москва, просп. Вернадского, д. 39