Законы сохранения в ОТО и их приложения

Законы сохранения в ОТО и их приложения А.Н.Петров Государственный астрономический институт им. П.К.Штернберга МГУ Эти 5 лекций были прочитаны на международном семинаре в Тайване в 2000 году (см. ссылку [20]). Они были предназначены для аспирантов и сотрудников национального центра в Шинчжу вовсе не специализирующихся в области ОТО. Поэтому лекции построены так, что их первая часть, как правило служит простым введением в проблему с описанием результатов предшественников. Эти введения никак нельзя считать обзорами по теме. Заключительная часть лекций, как правило представляет оригинальные результаты автора с соавторами, которые могут быть интересны специалистам. В целом изложение должно быть доступно физикам, которые только в общих чертах знакомы с ОТО. Эта серия лекций объеденена проблемой постороения законов сохранения в ОТО, идеей использования заданного вспомогательного фона в ОТО и приложениями полученных теоретических результатов к самым различным проблемам. Обозначения поясняются в ходе изложения, некоторые из обозначений широко используются, предполагаются известными читателю и не определяются. Поскольку сохраняется стиль лекций, то некоторые формулы повторяются несколько раз для удобства восприятия.

Оглавление • •

•

Оглавление 1. Теорема Нетер: псевдотензоры и суперпотенциалы в ОТО o 1.1 Классические псевдотензоры и суперпотенциалы: краткая история, некоторые свойства и проблемы o 1.2 Суперпотенциал Каца-Крушциела -- обобщенный суперпотенциал Фрейда o 1.3 Построение сохраняющихся токов и суперпотенциалов на произвольном вспомогательном фоне. Проблема единственности o Литература к лекции 1 2. Развитие и обобщение метода Белинфанте o 2.1 Классический метод Белинфанте

2.2 Приложение процедуры Белинфанте к модели Каца, Бичака и Линден-Белла 2.3 Обобщенная процедура Белинфанте. Независимость обобщенных законов сохранения от дивергенций в лагранжианах o Литература к лекции 2 3. Конформные векторы Киллинга и линейные возмущения Фридмановской вселенной o 3.1 Введение o 3.2 Конформные векторы Киллинга для фридмановских моделей o 3.3 Законы сохранения и интегральные величины для возмущенной фридмановской модели o 3.4 Использование и интерпретация новых интегральных соотношений o Литература к лекции 3 4. Суперпотенциалы в полевом подходе к ОТО o 4.1 Фиксированные фоны в ОТО, линеаризованная гравитация, полевая формулировка ОТО o 4.2 Обобщенная полевая формулировка ОТО o 4.3 Проблемы полевой формулировки ОТО o 4.4 Метод Нетер-Белинфанте и полевой подход к ОТО o Литература к лекции 4 5. Интерпретация и приложения полевой формулировки ОТО o 5.1 Калибровочные преобразования в полевой формулировке ОТО o 5.2 Изолированные системы на пространнственной бесконечности o 5.3 Интерпретация заданного фона в полевой формулировке ОТО o 5.4 Некоторые проблемы интерпретации решений ОТО o Литература к лекции 5 o o

•

•

•

1. Теорема Нетер: псевдотензоры и суперпотенциалы в ОТО

Разделы • • •

• • • • • • •

1.1 Классические псевдотензоры и суперпотенциалы: краткая история, некоторые свойства и проблемы 1.2 Суперпотенциал Каца-Крушциела -- обобщенный суперпотенциал Фрейда 1.3 Построение сохраняющихся токов и суперпотенциалов на произвольном вспомогательном фоне. Проблема единственности 1.1.1 Псевдотензор Эйнштейна 1.1.2 Суперпотенциал Толмена 1.1.3 Суперпотенциал Фрейда 1.1.4 Вопрос единственности и процедура Нетер 1.1.5 Суперпотенциал Моллера 1.1.6 Нековариантность псевдотензоров и соответствующие проблемы 1.1.7 Ковариантизация псевдотензоров и корректные законы сохранения

1.1 Классические псевдотензоры и суперпотенциалы: краткая история, некоторые свойства и проблемы 1.1.1 Псевдотензор Эйнштейна Рассматривая проблему энергии гравитационного поля и, в частности, гравитационных волн, Эйнштейн [1] впервые для построения законов сохранения в ОТО предложил псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля. Он конструируется следуя определению канонического тензора энергии-импульса в обычной полевой теории. Вместо ковариантного лагранжиана используется так называемый усеченный нековариантный лагранжиан Эйнштейна: (1.1) который отличается от ковариантного лагранжиана Гилберта на дивергенцию, благодаря чему приводит к тем же уравнениям. В (1.1) и далее: -- постоянная Эйнштейна; греческие индексы являются четырехмерными и пробегают значения 0, 1, 2, 3; -- символы Кристоффеля; крышка над символами означает, что величина является плотностью веса +1 (например, это может быть достигнуто умножением тензора, или даже псевдотензора, на ). (Часто, на протяжении всех лекций, чтобы не загромождать текст, мы опускаем слово ,,плотность'', поскольку из формул точный математический смысл величин очевиден.) и только Преимущество лагранжиана (1.1) заключается в том, что он зависит от метрики ее первых производных. По стандартным правилам построения канонического тензора энергии-импульса конструируется объект, соответствующий лагранжиану (1.1): (1.2) Это и есть псевдотензор Эйнштейна. Из анализа лагранжиана (1.1) следует дифференциальный закон сохранения (1.3) который, собственно, является уравнением непрерывности: (1.4)

где латинские индексы отвечают пространственным координатам k = 1, 2, 3.

1.1.2 Суперпотенциал Толмена Закон сохранения (1.3) выполняется при выполненных уравнениях Эйнштейна в вакууме. Это означает, что при (1.5)

уравнение (1.3) выполняется тождественно: должен выражаться через некоторую величину образом:

. Но тогда псевдотензор Эйнштейна со свойством

следующим (1.6)

Обычно суперпотенциалом называют величину, двойная дивергенция которой тождественно обращается в нуль. Суперпотенциал , соответствующий псевдотензору Эйнштейна был найден Толменом [2] в начале 30-х и имеет явный вид: (1.7) Для невакуумного случая тождество (1.6) переходит в тождество (1.8) которое при выполненных уравнениях Эйнштейна переходит в уравнение (1.9) Фактически это другая форма уравнений Эйнштейна. Из (1.9) несложно видеть, что для невакуумных решений ОТО вместо (1.3) нужно использовать дифференциальный закон сохранения: (1.10)

1.1.3 Суперпотенциал Фрейда

Как правило, в качестве суперпотенциалов используют антисимметричные величины, так что становится очевидным тождественное равенство нулю двойной дивергенции от них. Суперпотенциал Толмена (1.7) не обладает этим свойством. В результате возникают неудобства при использовании, сложности при ковариантизации. Улучшить ситуацию удалось Фрейду [3]. Зараннее предполагая антисимметрию , соответствующего эйнштейновскому псевдотензору,

суперпотенциала

вместо уравнения (1.9) он предложил (1.11) с явной формой суперпотенциала: (1.12) Казалось бы существует противоречие между (1.9) и (1.11). В действительности оно видимое, поскольку

благодаря тому, что между суперпотенциалами существует связь

1.1.4 Вопрос единственности и процедура Нетер Даже имея в распоряжении вполне определенный псевдотензор мы только что убедились в неопределенности построения суперпотенциалов. Рассмотрим проблему единственности законов сохранения, таких как (1.3) или (1.10), подробнее. Используя метрику и ее первые производные построим произвольным образом величину

, потребуем только, чтобы она удовлетворяла тождеству

.

Затем определим величину (1.13) Но это означает, что уравнения Эйнштейна могли бы быть переписаны в форме: (1.14)

где играет роль суперпотенциала, а -- нового псевдотензора. Вместо (1.10) дифференциальный закон сохранения приобретает, вообще говоря, совершенно произвольную форму: (1.15) Такая неопределенность в законах сохранения не может быть удовлетворительной. Однако формула (1.2) указывает, что определение псевдотензора, в принципе, могло бы быть связано с выбором лагранжиана. Исследование этой проблемы было проведено детально, ей уделили внимание такие авторы как Бергман [4], Голдберг [5], Моллер [6], Траутман [7], Мицкевич [8]. Кратко результаты этих усилий сводятся к следующему. Несмотря на то, что лагранжиан (1.1) не является общековариантным, -- он инвариантен относительно линейных пребразований. Это позволяет для трансляций определенных вектором

написать тождество

Нетер: (1.16)

где -- производная Ли вдоль векторного поля , наше определение которой совпадает с определением Мицкевича [8]. Прямой, может быть громоздкий пересчет приводит (1.16) к виду: (1.17) который при использовании уравнений Эйнштейна дает закон сохранения (1.10). Таким образом: •

В смысле процедуры Нетер, эйнштейновский псевдотензор (1.2) единственно определяется эйнштейновским лагранжианом (1.1).

•

Если лагранжианы различаются на дивергенцию: , то они (хотя и приводят к одним и тем же уравнениям движения) дают различные псевдотензоры.

1.1.5 Суперпотенциал Моллера

Таким образом, свобода в выборе псевдотензора в принципе не ограничивается -она переходит в свободу выбора лагранжиана. То есть так или иначе, чтобы получить определенный результат необходимо использовать дополнительные ,,разумные'' требования при построении псевдотензоров и суперпотенциалов. Требования Моллера [6] при построении его псевдотензора

и суперпотенциала

следующие: •

(I) Для изолированных систем 4-импульс всей системы на пространственной бесконечности (1.18) •

•

должен преобразовываться как свободный 4-вектор при линейных координатных преобразованиях.

•

(II) должен алгебраически зависеть от метрики второго порядка.

•

(III) должен быть антисимметричным по первых производных.

•

(IV) Компоненты должны преобразовываться как 4-векторная плотность по отношению к чисто пространственным преобразованиям:

и

и производных от нее до

и зависеть от

и только ее

Важно заметить, что суперпотенциал Фрейда (1.12) не удовлетворяет требованию (IV). В качестве исходного равенства Моллер брал закон сохранения (1.10), добавлял к нему и подбирал так, чтобы удовлетворить (I) - (IV). В результате уравнения Эйнштейна приобретают вид: (1.19) с явной формой суперпотенциала: (1.20) Оказалось, что псевдотензор в (1.19) и суперпотенциал (1.20) соответствуют (в смысле процедуры Нетер) ковариантному лагранжиану Гилберта

.

1.1.6 Нековариантность псевдотензоров и соответствующие проблемы Нековариантные величины в физике вообще мало желательны. Однако ОТО занимает особое положение, поскольку простанство-время (в котором происходят взаимодействия) само является динамическим объектом. В силу принципа эквивалентности невозможно построить локальную плотность энергии гравитационного поля. В результате этого и появляются нековариантные псевдотензоры, значения которых в каждой точке могут буть обращены в нуль координатными преобразованиями. Кроме того, что дифференциальные законы сохранения полезны в локальном смысле (это уравнения непрерывности), они необходимы для построения так называемых глобальных законов сохранения. Если в дифференциальных законах (таких как (1.3), (1.4) или (1.10)) использование псевдотензоров выглядит более или менее естественно, то при построении глобальных законов на некоторые трудности приходится закрывать глаза. Это вынужденный шаг при наличии псевдотензоров, он часто встречается в учебниках, в частности в замечательном учебнике Ландау и Лифшица [9]. Сейчас мы проанализируем ситуацию.

Рис.1. В пространстве-времени рассматривается 4-мерный объем цилиндром с пространственноподобными сечениями

и

, ограниченный , и боковой

времениподобной стенкой S (Рис. 1). Пусть мы имеем в распоряжении дифференциальный закон сохранения для некоторого псевдотензора

: (1.21)

Как правило, сначала (1.21) просто интегрируется по

: (1.22)

а затем используется обобщенная теорема Гаусса (1.23) где для использовалось определение: t = x0 = const. Уравнение (1.23) как раз определяет глобальный (заключенный в 3-пространстве , ограниченном или неограниченном) 4импульс (1.24) Если последний интеграл в (1.23) исчезает, то 4-импульс (1.24) сохраняется; если последний интеграл в (1.23) не исчезает, то он определяет поток через боковую стенку цилиндра и изменяется в зависимости от этого. Критика (1.21) - (1.24) очевидна: 1) нельзя интегрировать нековариантные величины, 2) нельзя интегрировать величины с координатными индексами. Однако, несмотря на убийственнность аргументов ситуация может быть спасена.

1.1.7 Ковариантизация псевдотензоров и корректные законы сохранения Чтобы ковариантизовать псевдотензоры нужно представить, что существует

вспомогательное пространство Минковского, а все величины записаны в лоренцевых координатах. (Тогда при переходе к произвольным координатам частные производные естественнным образом переходят в ковариантные.) Таким образом, нужно считать, что в нековариантных формулах ,,запрятана'' метрика Минковсого и ее определитель

.

Замечание: Использование дополнительного заданного пространства-времени в теории, где его фактически не существует, кажется, недопустимым. Однако, очень многие задачи в ОТО, -- как чисто теоретические, так и расчеты экспериментов, -- как раз используют это предположение. Сам характер задач требует использования фона. Конечно внутренняя согласованность ОТО не нарушается -- уравнения Эйнштейна остаются уравнениями Эйнштейна.

Необходимо также избавиться от интегрирования векторных величин. В обычных полевых теориях сохраняющиеся интегралы соответствуют симметриям пространстве-времени, в котором эти теории рассматриваются. Давайте и теперь использовать векторы трансляций Киллинга

уже введенного

вспомогательного пространства Минковского, где нижний индекс есть лишь номер вектора Киллинга, это не координатный индекс. После этих предположений (1.21) переписывается в эквивалентной форме:

где слева, очевидно, скалярная плотность, которая без проблем интегрируется по 4-объему:

что приводит к корректному определению 4-импульса на сечении

:

Анализируя последние три формулы, можно сделать вывод, что сам псевдотензор играет лишь вспомогательную роль. На самом деле ,,дифференциально'' сохраняется векторная плотность (ток): (1.25) которая и участвует в построении глобальной сохраняющейся величины, соответствующей вектору Киллинга

: (1.26)

• • •

1.2.1 Законы сохранения Каца-Бичака-Линден-Белла 1.2.2 Суперпотенциал Каца-Крушциела 1.2.3 Сохраняющийся ток КБЛ

1.2 Суперпотенциал Каца-Крушциела -- обобщенный суперпотенциал Фрейда Нарисованная выше картина о законах сохранения в ОТО требует своего обобщения и развития. Какие же моменты должны быть учтены? Мы бы определили их так: •

(i) Законы сохранения и сохраняющиеся величины должны определяться сохраняющимся током (векторной плотностью):

.

•

(ii) Построение

определяется лавгранжианом и процедурой Нетер.

•

(iii) Модель должна быть ковариантной на выбранном фоне.

•

(iv) Законы сохранения должны ,,работать'' на произвольно искривленных фонах. Этого требуют задачи релятивистской астрофизики или космологии, где часто используются геометрии черных дыр или космологические решения, как заданные фоны.

•

(v) Может оказаться полезным обобщение на произвольные , например, в работах [10] [11] используются конформные векторы Киллинга космологического решения Фридмана, а не простые векторы Киллинга.

•

(vi) Для сохраняющегося тока должен быть построен соответствующий антисимметричный суперпотенциал

, так что

и

. Становится очевидным дифференциальный закон сохранения, кроме

того, сохраняющиеся интегралы естественным образом преобразуются в поверхностные.

•

(vii) Конечно, сконструированные законы и участвующие в них величины должны удовлетворять всем, так называемым, ,,естественным'' тестам. Это, как минимум: - Положительность плотности энергии гравитационных волн; - Правильное отношение массы к угловому моменту в решении Керра; - Правильные значения глобальных интегралов для островной системы на пространственной бесконечности, на нулевой бесконечности.

Отметим, что пункт (vii) мы не будем подробно обсуждать в этих лекциях. При необходимости будем лишь отмечать удовлетворяет или нет обсуждаемая модель этим естественным тестам.

1.2.1 Законы сохранения Каца-Бичака-Линден-Белла Кац, Бичак и Линден-Белл [12] (далее мы обозначаем эту работу как КБЛ) предложили такие законы сохранения, которые удовлетворяют предложенным требованиям. Построение основывается на лагранжиане

(1.27)

Здесь и далее используются обозначения: соответствующей ковариантной производной фоновую величину;

- физическая метрика;

- фоновая метрика с

; черта сверху над символом везде означает

и

;

,

.

Лагранжиан (1.27) обобщает для произвольных фонов известный ковариантный лагранжиан Розена на плоском фоне [13]. Если же

, тогда

и (1.27)

переходит точно в эйнштейновсий усеченный лагранжиан (1.1). Последовательное приложение процедуры Нетер к лагранжиану (1.27) с произвольным

:

дало возможность построить

сохраняющийся ток

и суперпотенциал

с соответствующим

дифференциальным законом сохранения: (1.28)

(1.29) Поскольку (1.28) прямо следует из (1.29), то соотношения типа последнего мы часто также называем законами сохранения.

1.2.2 Суперпотенциал Каца-Крушциела Суперпотенциалы играют очень важную роль в определении сохраняющихся величин. Дествительно, давайте подставим значение тока (1.29) в (1.26) и учтем антисимметрию

: (1.30)

то есть мы получили, что сохраняющийся интеграл представляется в виде поверхностного интеграла по границе .

Суперпотенциал в выражении КБЛ (1.29) был получен раньше независимо Кацем [14] и Крушциелом [15]. Тогда он был построен для более простых систем, тем не менее более сложная модель разработанная КБЛ не изменила его вид: (1.31)

Если

, а вектор

Минковского, то

выбрать как киллинговский вектор трансляций в пространстве

переходит в суперпотенциал Фрейда (1.12).

1.2.3 Сохраняющийся ток КБЛ Сохраняющаяся векторная плотность (ток КБЛ) в тождестве (1.28) имеет вид: (1.32) Его структура следующая. Обобщенный тензор энергии-импульса имеет вид: (1.33) который тоже нужно описать по частям. Первое слагаемое представляет возмущение материального тензора энергии-импульса по отношению к фоновому, второе -,,потенциальное'' взаимодействие с фоновой геометрией, а третье есть тензор энергииимпульса гравитационного поля: = -

(1.34)

Если

, то переходит в псевдотензор Эйнштейна. Второй член в (1.32) -- так называемый спиновый член: = Эта величина сама по себе также известна давно. Попытка построить сохраняющийся угловой момент с помощью псевдотензора Эйнштейна привела Папапетроу [16] к необходимости использовать выражение (1.35).

(1.35)

Структура последнего члена в (1.32) сложная и не так важна здесь, однако можно сказать, что

исчезает для киллинговых векторов фона.

Подведем некоторый итог. Величины КБЛ соответствуют всем сформулированным требованиям (i) - (vii). Это несомненное достоинство модели. Однако, вопрос единственности должен быть обсужден более подробно. Он может быть разделен на две части: а) Насколько однозначен выбор лагранжиана (1.27)? b) Насколько однозначны КБЛ величины при уже выбранном лагранжиане (1.27)? Пункт а) детально обсуждался в работах [17] [18]. Вывод такой, что требование использовать при варьировании граничные условия Дирихле единственным образом приводят к (1.27) и суперпотенциалу (1.31). Там же обсуждаются преимущества условий Дирихле. Независимо, развивая ковариантную Гамильтонову формулировку гравитационных теорий, к этому же выводу пришли авторы работы [19]. Слудующая часть лекции, c одной стороны, обобщает результаты КБЛ (в том смысле, что конструируются законы сохранения для произвольной полевой теории со вспомолательным фоном). Это позволяет ответить на вопрос пункта b). С другой стороны, результаты следующей части одновременно есть обобщение на

произвольно искривленный фон результатов Мицкевича [8], который сконструировал сохраняющиеся величины для произвольной теории, но на плоском фоне. • • • • •

1.3.1 Обобщенный ток 1.3.2 Обобщенный суперпотенциал 1.3.3 Вклад от дивергенции в лагранжиане 1.3.4 Неопределенность и единственность в определении токов и суперпотенциалов 1.3.5 Единственность токов и суперпотенциалов в определении КБЛ

1.3 Построение сохраняющихся токов и суперпотенциалов на произвольном вспомогательном фоне. Проблема единственности Рассмотрим произвольную ковариантную теорию с лагранжианом [20] (сначала он в неявно ковариантном виде):

, где AB -- это набор

динамических переменных, произвольных тензорных плотностей. Внешнее заданное фоновое пространство-время введем простой тождественной заменой: . Тогда лагранжиан перепишется в явно ковариантной форме: (1.36) Мы следуем Мицкевичу [8], чтобы определить производную Ли: (1.37) Поскольку лагранжиан (1.36) -- это скалярная плотность, составляем для него тождество , которое тождественно преобразуется в

Нетер: -

(1.38)

+ где коэффициенты однозначно определены лагранжианом следующим образом:

-

-

(1.39)

-

(1.40)

(1.41)

1.3.1 Обобщенный ток Подробный анализ (1.38) дает другое сильное тождество: (1.42)

использование которого в тождестве (1.38) приводит его к виду (1.43) Выражение под дивергенцией в этом тождестве вполне может быть интерпретировано как обобщенный ток: (1.44) а само тождество Нетер (1.43) переписывается в виде: (1.45)

1.3.2 Обобщенный суперпотенциал Перепишем тождество (1.43) в виде: (1.46)

Поскольку компоненты и производные от них произвольны в каждой точке, то коэффициенты в (1.46) по отдельности также тождественно равны нулю. Это дает набор тождеств: 0, 0, 0, 0. (1.47) Сама форма тождества (1.45) говорит о том, что обобщенный ток должен выражаться в виде: (1.48)

где суперпотенциал в правой части тождественно удовлетворяет: . Действительно, используя тождества (1.47) в определении тока (1.44) мы представляем его в виде (1.48), где обобщенный суперпотенциал имеет вид: (1.49) Учет третьего из тождеств (1.47) говорит, что суперпотенциал (1.49) явно антисимметричен.

1.3.3 Вклад от дивергенции в лагранжиане Простым, но очень важным является вопрос о вкладе в ток и суперпотенцил от дивергенции в лагранжиане. Ответ был дан еще Кацем [14]. Здесь мы кратко даем также является скалярной плотностью, то для

результат. Поскольку

этой добавки отдельно выполняется тождество Нетер:

,

простой анализ которого приводит к добавкам в коэффициентах (1.39) - (1.41) и в суперпотенциале (1.49): = =

= 0, =

(1.50)

Необходимо отметить, что форма этих добавок никак не зависит от структуры векторной плотности !

1.3.4 Неопределенность и единственность в определении токов и суперпотенциалов Хорошо известно, что без изменения тождества (1.45) к току добавлена произвольная величина тождественно обращалась в нуль:

может быть

, лишь бы дивергенция от нее . Однако, ,,испорченный'' ток тем

же самым способом может быть ,,исправлен''. Величина

не связана с

лагранжианом и процедурой Нетер. С другой стороны, в определении (1.44) все коэффиценты (1.39) - (1.41) строго определены лагранжианом, заданным в общей (неявной) форме. В формуле (1.44) нет ни одного члена дивергенция от которого

явно бы обращалась в нуль. Тождество (1.45) выполняется как все выражение в целом, как и должно быть для единого сохраняющегося тока Нетер. Таким образом, можно сделать утверждение:

•

Ток (1.44) -- -- в смысле процедуры Нетер определяется единственнным образом лагранжианом теории.

Подобные выводы справедливы и для определения суперпотенциала (1.49). В принципе, без изменения тока

к суперпотенциалу в (1.48) может быть добавлена

произвольная величина

, лишь бы дивергенция от нее тождественно

обращалась в нуль:

. Однако, эта добавка никак не связана с

лагранжианом и процедурой Нетер. Как ее добавили, точно также легко уничтожить. С другой стороны, в определении (1.49) все члены строго определены лагранжианом и описанной процедурой -- их невозможно откинуть. Поэтому мы делаем утверждение:

•

Суперпотенциал (1.49) --- в смысле процедуры Нетер определяется единственнным образом лагранжианом теории.

Сделав это утверждение, мы, кроме того, проиллюстрируем, что двусмысленность в суперпотенциале не опасна, во всяком случае для построения глобальных сохраняющихся величин. Так, тождество том, что добавка должна быть выражена как

в свою очередь говорит о , где

Сочетание требования ковариантности и необходимости использовать частные производные для построения законов сохранения и глобальных величин приводит к тому, что величина

, то есть должна быть антисимметрична по

всем индексам. Теперь перепишем закон сохранения (1.48) в измененном виде:

что дает возможность построить сохраняющиеся величины аналогично (1.30):

В силу теремы Стокса последний член не дает вклада в интеграл и, таким образом, не изменяет величину

.

.

1.3.5 Единственность токов и суперпотенциалов в определении КБЛ Вернемся к вопросу b) в конце предыдущей части о единственности величин в определении КБЛ. Прежде всего обсудим лагранжиан (1.27). Перепишем скалярную кривизну в явно ,,ковариантизованном'' виде:

где, напомним,

и

. С учетом того, что мы знаем какой вклад дают дивергенции (см. (1.50)), лагранжиан (1.27) является как раз того вида, что и лагранжиан (1.36) в этой части. Следовательно, лагранжиан (1.27) может быть подставлен в общие формулы этой части. Прямая подстановка показывает, что все формулы КБЛ получаются этим путем. Так, подстановка (1.27) в обобщенный ток (1.44) дает КБЛ ток (1.32). Более детально: Подстановка в коэффициент (1.39) и учет уравнений Эйнштейна дает тензор энергии-импульса (1.33). Подстановка в (1.40) дает спиновый коэффициент (1.35). Подстановка в (1.41) дает точно Z-член в (1.32). (Необходимо только учитывать разницу знаков в формулах (1.39) - (1.41) и в определении тока (1.44).) Такое же соответствие и между суперпотенциалами: (1.49) переходит точно в (1.31). Из сказанного остается сделать вывод:

•

Результаты КБЛ определены однозначно в смысле процедуры Нетер лагранжианом модели (1.27).

Литература к Лекции 1 1 A. Einstein, Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss. 2, 1111 (1916). 2 R.C. Tolman, Relativity, Thermodynamics, and Cosmology, (Oxford, Clarendon Press, 1969). 3 Von Ph. Freud, Ann. of Math., 40, 417 (1939). 4 P.G. Bergman, Phys. Rev., 75, 680 (1949). 5 J.N. Goldberg, Phys. Rev., 111, 315 (1958). 6 C. Møller, Ann. Phys., 4, 347 (1958). 7 A. Trautman, in Gravitation: an Introduction to Current Research, Ed. L. Witten (Wiley, New York, 1962). 8 Н.В. Мицкевич, Физические поля в общей теории относительности, Москва: Наука, 1969. 9 Л.Д. Ландау, М.Е. Лифшиц, Теория поля, Москва: Наука, 1988. 10 S. Veeraraghavan and A. Stebbin, Ap. J., 365, 37 (1990). 11 J.P. Uzan, N. Deruelle and N. Turok, Phys. Rev. D, 57, 7192 (1998). 12 J. Katz, J. Bicák and D. Lynden-Bell, Phys. Rev. D 55, 5759 (1997). 13 N. Rosen, Phys. Rev. 57, 147 (1940). 14 J. Katz, Class. Quantum Grav. 2, 423 (1985). 15 P.T. Chrusciel, Ann. Inst. Henri Poincaré 42, 267 (1985). 16 A. Papapetrou, Proc. R. Irish Ac. 52, 11 (1948). 17 B. Julia and S. Silva, Class. Quantum Grav. 15, 2173 (1998). 18 Silva, S. Nucl. Phys. B 558, 391 (1999). 19 C.M. Chen and J.M. Nester, Class. Quantum Grav. 16, 1279 (1999). 20 А.Н. Петров, Результаты последней части этой лекции были доложены на Международном Семинаре по Геометрической Физике, Шинчжу, Тайвань, 24 - 26 июля 2000 года.

2. Развитие и обобщение метода Белинфанте

Разделы • • •

2.1 Классический метод Белинфанте 2.2 Приложение процедуры Белинфанте к модели Каца, Бичака и Линден-Белла 2.3 Обобщенная процедура Белинфанте. Независимость обобщенных законов сохранения от дивергенций в лагранжианах

• • •

2.1.1 Проблемы определения углового момента в полевой теории 2.1.2 Симметризация Белинфанте 2.1.3 Теорема Нетер и метод Белинфанте

2.1 Классический метод Белинфанте

2.1.1 Проблемы определения углового момента в полевой теории Вначале мы коротко изложим основные положения оригинальной работы Белинфанте [1], во многом даже следуя его стилю и обозначениям. Рассмотрим теорию некоторых динамических полей представленных обобщенным символом

с

лагранжианом (2.1)

в пространстве Минковского с метрикой Минковского . Плотность канонического тензора энергии-импульса в такой теории определяется обычным образом: (2.2)

и сохраняется (2.3) на выполненных уравнениях движения. Следуя правилам обычной механики тензорную плотность углового (орбитального) момента следоволо бы определить как (2.4) Здесь возникает проблема: определенный таким образом угловой момент не сохраняется (2.5) даже с учетом закона сохранения (2.3). Дело в том, что тензор энергии-импульса определенный в (2.2) в общем случае не симметричен. Ситуацию в (2.5) мог бы спасти сохраняющийся симметричный тензор энергии-импульса, который можно было бы построить по другим правилам, или симметризовать уже имеющийся (2.2).

2.1.2 Симметризация Белинфанте Вторую из этих возможностей использовал Белинфанте [1], который предложил следующее. Пусть при бесконечно малых вращениях определяемых антисимметричным параметром

вариации координат и динамических

переменных имеют вид:

и

, где

-- оператор.

Определим величину (2.6) где (2.7)

Далее величину (2.6) или ее обобщения мы будем называть поправкой Белинфанте. Теперь добавим производную от (2.6) к каноническому выражению (2.2): (2.8)

Как и прежде, в (2.3): на уравнениях движения, но теперь еще: Благодаря этим двум равенствам ,,исправленный'' орбитальный угловой момент:

сохраняется

.

.

2.1.3 Теорема Нетер и метод Белинфанте В оригинальном изложении метод Белинфанте представлен, фактичести, на уровне уравнений движения. Сейчас мы опишем его единым образом в рамках лагранжевой теории. Для этого запишем лагранжиан (2.1) в общековариантном виде: (2.9)

где метрика может описывать любое фиксированное пространство-время, не обязательно плоское. Для ковариантного лагранжиана (2.9) запишем тождество Нетер: (2.10) с определенной как в лекции 1 производной Ли:

и произвольным вектором . Тождество (2.10) анализируется аналогично тому как это представлено в лекции 1 (более детально познакомиться с методом анализа тождеств типа (2.10) можно в книге Мицкевича [2]). В результате (2.10) переходит в закон сохранения для тока (2.11) Структура этого тока важна и мы ее обсудим подробно. Первый член -- это симметричный (так называемый метрический) тензор энергии-импульса полей

: (2.12)

второе слагаемое выражено уже известным каноническим тензором энергии-импульса (2.2), только теперь мы записываем его в явно ковариантном виде: (2.13) В третьем слагаемом в (2.11) главную роль играет спиновый тензор: (2.14) Мы предполагаем, что уравнения движения

выполняются и не будем больше учитывать предпоследний член в (2.11). Наконец, структуру Z-члена мы не выписываем, но отмечаем, что он исчезает на киллинговых векторах фона.

В силу тождества

должен существовать суперпотенциал, то есть

антисимметричная тензорная плотность. Действительно, такой суперпотенциал существует, и закон сохранения

может быть заменен законом сохранения: (2.15)

где величина (2.16)

антисимметрична по верхним индексам: , хотя (2.16) не показывает этого явно. Сравнивая определения (2.7) и (2.14) мы определяем поправку Белинфанте точно также как в (2.6): (2.17)

где

. Чтобы упростить изложение перепишем закон сохранения (2.15) для

произвольных киллинговых векторов фона

и добавим к обеим частям

:

: (2.18)

В силу определения (2.17) спиновый член в левой части (2.18) компенсируется добавкой Белинфанте. Кроме того, оказывается, что выражения в формулах (2.16) и (2.17) совпадают в ; в силу этого правая часть (2.18) обращается в нуль, то есть общем случае: после коррекции суперпотенциал исчезает. В результате (2.18) упрощается до равенства

Теперь запишем симметризованный с помощью метода Белинфанте, как это было сделано в (2.8), канонический тензор энергии-импульса: (2.19) Сравнивая последние два равенства находим, что симметризованный тензор энергииимпульса (2.19) равен метрическому тензору энергии-импульса (2.12): . Электординамика, лагранжиан которой соответствует форме (2.9),

является хорошей иллюстрацией изложенного. Канонический тензор энергии- импульса (2.13) и тензор спина (2.14) преобретают вид: =

= Тогда поправка Белинфанте (2.17) записывается как

и приводит к Белинфанте модифицированному тензору энергии-импульса (2.19):

С другой стороны, это есть известный симметричный, калибровочно инвариантный тензор энергии-импульса электоромагнитного поля, который получается варьированием • • •

по заданной метрике.

2.2.1 Обоснование использования метода Белинфанте в модели КБЛ 2.2.2 Приложение метода Белинфанте к КБЛ модели 2.2.3 Свойства новых законов сохранения

2.2 Приложение процедуры Белинфанте к модели Каца, Бичака и Линден-Белла 2.2.1 Обоснование использования метода Белинфанте в модели КБЛ Необходимость использования фона заложена в самом определении метода Белинфанте [1]. В теориях с лагранжианом (2.9) взаимодействия расссматриваются на заданном фоне, который является необходимой составляющей модели, и это приводит к успеху применения метода. Симметризуя псевдотензор Эйнштейна, Папапетроу [3] вынужден был использовать вспомогательную метрику Минковского. И, действительно, применение этого метода в ОТО без использования фона [4] дает ,,неразумные'' нулевые результаты для сохраняющихся величин. Можно ли в ОТО, в более сложных случаях, чем рассмотрел Папапетроу [3], применять этот метод? Cнова вспомним о модели Каца-Бичака-Линден-Белла [5] (КБЛ), которая была подробно изложена в лекции 1. С одной стороны, в модель КБЛ включена фоновая метрика, напомним, КБЛ лагранжиан есть (2.20) где

,

. С другой стороны, в законе сохранения КБЛ (2.21) форма тока стандартна: (2.22)

с обобщенным тензором энергии-импульса

и представленным явно спиновым членом

. Процедура Белинфанте как раз должна преобразовать так, чтобы спиновый член исчез из явного рассмотрения как это происходит в (2.19). Таким образом мы имеем хорошие предпосылки для применения метода Белинфанте к модели КБЛ. Возникает вопрос: А зачем как-то изменять КБЛ модель, которая обладает рядом достоинств, удовлетворяя требованиям (i) - (vii) отмеченным в лекции 1? Оказывается, кроме достоинств, существуют и проблемные вопросы, которые можно предъявить к КБЛ модели, и которые можно разрешить Белинфанте методом.

•

1. Один из них состоит в том, что невозможно построить угловой момент изолированной системы только с помощью , необходимо привлечь тензор спина . Представляется более предпочтительным, если одни и те же свойства модели описываются минимальным количеством объектов, а лучше единым. Именно для этого предназначен Белинфанте метод. Именно поэтому многие авторы 50-х годов, включая Ландау и Лифшица [6], Голдберга [7], стремились построить симметричные псевдотензоры. Стараясь избежать использования спинового члена, Папапетроу [3] применил метод Белинфанте к псевдотензору Эйнштейна.

•

2. Другой вопрос состоит в том, что форма канонических величин, определяемых методом Нетер, зависит от дивергенций, которые могут быть добавлены к лагранжиану. А это означает, что для разных граничных условий мы должны использовать каждый раз совсем различные величины. С одной стороны, в этом нет трагедии. В термодинамике так и происходит, и авторы работ [8] [9], аппелируя к такой аналогии находят в этом преимущество. С другой стороны, например, выражение для плотности энергии вибрирующей струны не зависит от того, как закреплены ее концы, оно всегда одно и то же. Исходя из этого мы хотели бы изменить так КБЛ модель, чтобы общая форма сохраняющегося тока и суперпотенциала не зависели от дивергенций в лагранжиане.

2.2.2 Приложение метода Белинфанте к КБЛ модели В остатке этой части лекции 2 излагаются результаты, опубликованные в работах [10] [12]. Итак, для спиновых коэффициентов КБЛ построим поправку Белинфанте по стандартным правилам (2.17): (2.23) Перепишем закон сохранения КБЛ (2.21) в эквивалентной форме:

где введем обозначения для новых тока и суперпотенциала, и представим структуру тока: (2.24) Заметим, что спиновый член, как и положено, отсутствует. ,,Симметризованный'' обобщенный тензор энергии-импульса имеет вид: (2.25) а Z-член, как и везде, обращается в нуль на киллинговых векторах фона. Новый суперпотенциал имеет форму: (2.26)

-- возмущение метрической плотности относительно фоновой. где Суперпотенгциал (2.26) антисимметричен, поскольку тензорная плотность антисимметрична по первым двум индексам. Величина (2.27)

интересна и сама по себе: для она переходит в известный суперпотенциал Папапетроу [3]. Таким образом суперпотенциал (2.26) является обобщением суперпотенциала Папапетроу на произвольно искривленный фон и для произвольных векторов

2.2.3 Свойства новых законов сохранения

.

В результате сохранены все полезные свойства КБЛ модели, коротко повторим их:

•

(i) Построен сохраняющийся ток:

.

•

(ii) определяется Нетер-Белинфанте процедурой и данным лагранжианом. См. обсуждение вопроса единственности в следующей части лекции 2.

•

(iii) Сохранена общая ковариантность.

•

(iv) Законы сохранения работают на произвольно искривленных фонах.

•

(v) Используются произвольные

•

(vi) Построен соответствующий антисимметричный суперпотенциал.

•

(vii) Удовлетворяются необходимые естественные тесты.

.

Кроме сохраненных свойств появились новые:

•

(viii) Спиновый член исчез из определения тока. Для любого фонового вектора Киллинга (в том числе для пространственных вращений, если они присутствуют) будет использоваться сохраняющийся ток, определяемый ТОЛЬКО обобщенным тензором энергии-импульса:

. См. также обсуждение далее.

•

•

(ix) Величины , и не зависят от дивергенций в лагранжиане. См. обсуждение в следующей части лекции 2.

(x) Свойства нового обобщенного тензора энергии-импульса. Tензор энергии-импульса в (2.24) имеет вид:

(2.28)

(a) Как и в каноническом аналоге, первое слагаемое -- это возмущение материального тензора энергии-импульса, правда теперь симметризованное. (b) Второй член -- это симметричный тензор энергии-импульса свободного гравитационного поля:

= + + + + +

(2.29)

(c) Последние два члена в (2.28) отвечают за ,,потенциальное'' взаимодействие с фоновой геометрией. Первый из них симметричен, второй --

если и только если

антисимметричен. Это приводит к тому, что с постоянной

, то есть если фоновое пространство-время -- это

пространство Эйнштейна по Петрову [13]. Таким образом, симметризация Белинфанте при обобщении на искривленные фоны оказалась ограниченной -в смысле ,,симметризации'' -- пространствами Эйнштейна. (d) В лекции 1 мы определились, что для построения глобальных законов сохранения важным является ,,дифференциальное'' сохранение тока. Тем не менее, интересно: выполняется ли дифференциальный закон сохранения для

если и

обобщенного тензора энергии-импульса? Оказывается, что

только если

, для более сложных

получим

.

(e) Несмотря на то, что в случае самого общего фона нет симметризации тензора энергии-импульса и нет дифференциального закона сохранения для тензора энергии-импульса, метод Белинфанте выпонил свою задачу. Ток сохраняется на всех произвольно искривленных фонах без явного участия спинового члена. В случае если

равен

-- вектору Киллинга фона, то этот

закон сохранения упрощается до:

хотя бы и не симметричный(!), хотя бы и

, где участвует только

,

(!). Это представляется

важным для приложений в космологических задачах. Действительно, решения Фридмана не являются пространствами Эйнштейна, но они обладают, например, киллинговыми векторами вращений помощью

. Это значит, что с

, могут быть расчитаны угловые моменты

астрофизических объектов на фоне фридмановской геометрии.

(f) Остался вопрос о вторых производных в тензоре энергии-импульса (2.29). Вообще говоря, в теории с уравнениями второго порядка их присутствие в тензоре энергии-импульса нежелательно в смысле постановки начальной задачи. Многие авторы (см., например, недавнюю работу [14]), предпочитают иметь только первые производные в тензоре энергии-им- пульса. Но давайте обсудим, так ли плохи наши дела. Пусть начальная гиперповерхность задается как x0=0. Глобальные величины, как мы их определили в лекции 1, задаются нулевой компонентой тока:

Нулевая компонента нового тока

выражается через ток КБЛ и поправку

Белинфанте как ; (k=1, 2, 3). Осталась только пространственная дивергенция по причине, что поправка атисимметрична по первым двум индексам. Но поскольку КБЛ ток и поправка зависят только от первых производных, то содержит только первые временные производные. Таким образом, начальная задача может быть определена корректно.

•

(xi) Наконец, обсудим свойства нового суперпотенциала (2.26). (a) Как мы уже отметили, (2.26) антисимметричен в силу антисимметрии величины

, определенной в (2.27). Мы также отметили, что

суперпотенциал (2.26) обобщает суперпотенциал Папапетроу [3]. (b) На наш взгляд кажется важным, что новый суперпотенцил линейно зависит от возмущений метрической плотности:

. Действительно,

модель построена без приближений, и в задачах, где рассмативаются возмущения относительно заданного фона мы могли бы не заботиться о

проблеме сходимости аппроксимаций в каждом следующем порядке в зависимости от малости

, так как наше выражение для суперпотенциала

точное. (c) Существует другая полезная форма нового суперпотенциала:

По форме этот суперпотенциал совпадает с суперпотенциалом Абботта-Дезера [15], однако они расходятся начиная со второго порядка возмущений, и это важно. Как было отмечено, наш новый суперпотенциал (2.26) удовлетворяет всем признанным естественным тестам, в то время как суперпотенциал Абботта-Дезера не дает правильного 4-импульса Бонди-Сакса для излучающей системы [12]. • •

2.3.1 Свойства новых законов сохранения и новых скорректированных величин 2.3.2 Независимость от дивергенций в лагранжиане

2.3 Обобщенная процедура Белинфанте. Независимость обобщенных законов сохранения от дивергенций в лагранжианах Напомним, что в лекции 1 процедура Нетер была приложена к общего вида теории с лагранжианом внешней фоновой метрики

, который был ,,ковариантизован'' введением и приведен к виду (2.30)

Был получен закон сохранения (2.31) с током и суперпотенциалом определенными в лекции 1:

коэффициенты в которых определены в формулах (39) - (41) лекции 1. Определяем поправку Белинфанте по стандартным правилам (2.17) (2.32)

и добавляем к обеим частям 2.31) величину . Получим обобщенный закон сохранения, соответствующий комбинации процедур Нетер и Белинфанте: (2.33) Теперь скорректированный ток приобретает вид: (2.34) а скорректированный суперпотенциал: (2.35)

2.3.1 Свойства новых законов сохранения и новых скорректированных величин (a) Как и должно быть в силу определения процедуры Белинфанте, ток (2.34) не содержит явно спинового члена. Законы сохранения теперь определяются единым обощенным ,,симметризованным'' тензором энергии-импульса

Z-член, как и прежде, обращается в нуль на киллинговых векторах фона. (b) В вопросе об единственности все те утверждения, которые были сделаны относительно обобщенных токов и суперпотенциалов

and

в лекции 1 остаются

в силе. Поправка Белинфанте (2.32) также определена однозначно лагранжианом (2.30).

•

Таким образом, мы утверждаем, что и единственным образом в смысле процедуры Нетер-Белинфанте определяются лагранжианом модели.

Этот вывод важен для нас по следующей причине. Подстановка в формулы (2.32) (2.35) конкретного лагранжиана КБЛ (

в (2.20)) дает точно те результаты, которые

предложены в предыдущей части. А это означает, что пункт (ii) в прошлой части этой лекции подтверждается, то есть результаты [10] [12], однозначны в смысле процедуры Нетер-Белинфанте. (c) Заметим, что суперпотенциал (2.35) зависит только от n-коэффициентов. Это хорошо соотносится с известными фактами. Например, более простая теория с лагранжианом (2.9) не содержит n-коэффициентов -- результат такой, что после приложения метода Белинфанте скорретированный суперпотенциал в (2.18) обращается в нуль. В более сложной модели Моллера [16], где ОТО представлена с помощью тетрад, но без вторых производных в ковариантном лагранжиане, также отсутствуют n-коэффициенты. Результат тот же: Белинфанте поправка дает нулевой суперпотенциал. В этом смысле модель с КБЛ лагранжианом более предпочтительна: она приводит к суперпотенциалу типа (2.35), который приводит к законам сохранения удовлетворяющим всем естественным тестам.

2.3.2 Независимость от дивергенций в лагранжиане Напомним, что вклады в ток и суперпотенциал (полученные методом Нетер) от дивергенции в лагранжиане:

соответствуют формулам:

(2.36) где = = (2.37)

=

Поправка Белинфанте (2.32) для добавки

имеет также простую форму: (2.38)

Применим Белинфанте метод к (2.36). В силу определения процедуры исчезнет спиновый член. А в силу значений (2.37) и (2.38) исчезнут и совместные поправки:

. •

Таким образом, комбинированная процедура Нетер-Белинфанте приводит к дивегентно независимым величинам в законах сохранения. Иначе, форма сохраняющихся тока и суперпотенциала не зависят от граничных условий при варьировании лагранжиана.

Этот результат подтверждает пункт (ix) прошлой части этой лекции. В работе [17] уже было отмечено, что метод Белинфанте, примененный как к усеченному лагранжиану Эйнштейна, так и лагранжиану Гилберта дает один и тот же результат. Фактически мы обобщаем этот результат на произвольные теории с произвольно искривленными фонами. Результаты этой части доложены на семинаре [18].

Литература к Лекции 2 1 F.J. Belinfante, Physica 6, 887 (1939). 2 Н.В. Мицкевич, Физические поля в общей теории относительности, Москва: Наука, 1969. 3 A. Papapetrou, Proc. R. Irish Ac. 52, 11 (1948). 4 L.B. Szabados, Class. Quantum Grav. 9, 2521 (1992). 5 J. Katz, J. Bicák and D. Lynden-Bell, Phys. Rev. D 55, 5759 (1997). 6 Л.Д. Ландау, М.Е. Лифшиц, Теория поля, Москва: Наука, 1988.

7 J.N. Goldberg, Phys. Rev., 111, 315 (1958). 8 C.C. Chang, J.M. Nester and C.M. Chen, Phys. Rev. Lett., 83 1897 (1999). 9 C.M. Chen and J.M. Nester, Class. Quantum Grav. 16, 1279 (1999). 10 A.N. Petrov, "Belinfante's "symmetrization" on curved backgrounds", in: Тезисы докладов 10-й Российской гравитационной конференции, Владимир, 20 - 27 июня 1999 г., Москва 1999, стр. 53. 11 A.N. Petrov and J.Katz, ``Conservation Laws for Large Perturbatons on General Backgrounds" in: Fundamental Interactions: From Symmetries to Black Holes, Eds.: J.M.Frere, M. Henneaux, A. Sevrin and Ph. Spindel, (Universite de Bruxelles, Belgium 1999), p.p. 147-157; см. также grqc/9905088. 12 A.N. Petrov and J.Katz, ``Conserved Carrents, Superpotentials and Cosmological Perturbations''. Принято к опубликованию в Proc. R. Soc. A; см. также gr-qc/9911025. 13 А.З. Петров, Новые методы в общей теории относительности, Москва: Наука, 1966. 14 S.V. Babak and L.P. Grishchuk, Phys. Rev. D 61, 24038 (2000). 15 L.F. Abbott and S. Deser, Nuclear Phys. B, 195, 76 (1982). 16 C. Møller, Ann. Phys., 12, 118 (1961). 17 D. Bak, D. Cangemi and R. Jackiw, Phys. Rev. D 49, 5173 (1994). 18 А.Н. Петров, Результаты последней части этой лекции были доложены на Международном Семинаре по Геометрической Физике, Шинчжу, Тайвань, 24 - 26 июля 2000 года.

3. Конформные векторы Киллинга и линейные возмущения Фридмановской вселенной

Разделы • • • •

3.1 Введение 3.2 Конформные векторы Киллинга для фридмановских моделей 3.3 Законы сохранения и интегральные величины для возмущенной фридмановской модели 3.4 Использование и интерпретация новых интегральных соотношений

3.1 Введение Законы сохранения, которые связаны с различными векторными полями на космологических фонах, не всегда киллинговыми, и не всегда даже конформно киллинговыми, не раз использовались в космологических исследованиях. Так, Трашен [1] ввела новые так называемые ,,интегральные связи'', то есть соотношения, где итегралы по ограниченному объему от некоторых величин,

построенных из материальных возмущений, определяются поверхностными интегралами по границам этого же объема, где задаются лишь гравитационные возмущения. Основную роль в этих связях играют ,,интегральные связевые векторы''. Анализируя измерительные эффекты космологического фонового излучения с помощью этих интегральных связей Трашен и Эрдли [2] пришли к выводу о возможной редукции эффекта Сакса-Вольфа [3]. В работе [4] интегральные связи появляются после рассмотрения законов сохранения с киллинговыми векторами деситтеровского фона. В работе [5] был найден некоторый псевдотензор энергииимпульса и дифференциальный закон сохранения для него, с помощью чего были проинтегрированы уравнения Эйнштейна со скалярными возмущениями и топологическими дефектами в длинноволновом приближении на фоне плоской фридмановской модели с k=0. Юзан, Дерюелль и Турок [6] нашли, что законы сохранения в работе [5] связаны с временным конформным вектором трансляций Киллинга фридмановского фона, и развили метод до описания фридмановской модели с

.

Замечание: Из этого краткого обзора видно, что, как правило, для фридмановского фона отдается предпочтение конформным векторам Киллинга (либо другим векторам смещений), но не обычным векторам Киллинга. Почему? Дело в том, что Фридмановская геометрия обладает только 6-ю векторами Киллинга, а не 10-ю. Среди них нет ,,главного'' -- вектора временных смещений. С другой стороны, она обладает полной 15-параметрической группой конформных преобразований, использование которой и представляется полезным (и оказывается таковым) в некоторых вопросах. Развитая нами теория [7] [9], основные элементы которой предложены в лекции 2, как раз может быть использована в исследованиях типа только что описанных. Действительно, мы предлагаем законы сохранения в форме

,

которая соответствует той, которая необходима для построения интегральных связей. Эти законы сохранения выполняются на произвольно искривленных фонах и с произвольными векторами смещений

. В этой лекции, чтобы проиллюстрировать

развитую нами терию, используя эти законы сохранения мы строим интегральнгые

связи для возмущений во фридмановской вселенной. В качестве векторов

мы

используем конформные векторы Киллинга определенные на фридмановском фоне. Детальное изложение можно найти в работе [9]. • • •

3.2.1 Метрика Фридмана. Конформные уравнения Киллинга 3.2.2 Конформные векторы Киллинга в пространстве Минковского 3.2.3 Конформные векторы Киллинга в геометрии Фридмана

3.2 Конформные векторы Киллинга для фридмановских моделей 3.2.1 Метрика Фридмана. Конформные уравнения Киллинга Напишем метрику

фридмановского фона в безразмерных координатах

с k,l,m=1,2,3 для которых симметричная роль xk очевидна: (3.1)

-- масштабный фактор, а fkl, fkl и f=det(fkl) заданы как

где

(3.2)

для всех

,и

. Ненулевые символы Кристоффеля имеют вид: (3.3)

где

-- ,,безразмерная'' постоянная Хаббла: (3.4)

В этих обозначениях ненулевые компоненты фоновых уравнений Эйнштейна приобретают вид:

(3.5) Для сравнения вспомним определение обычных киллинговых векторов. Они удовлетворяют уравнениям метрике

, то есть смещения вдоль этих векторов не индуцируют изменений в . Конформные киллинговы векторы удовлетворяют уравнениям (3.6)

а смещения вдоль этих векторов индуцируют конформные преобразования метрики (3.7) И, наоборот, преобразования (3.7) не изменяют уравнений (3.6). Таким образом, нам будут интересны решения уравнений (3.6) с фоновой метрикой (3.1). Существует 15 линейно независимых решений. В силу того, что сами уравнения (3.6) не зависят от масштабного фактора, они могут быть записаны в простой 3-ковариантной форме: (3.8)

где -- 3-ковариантная производная построенная с помощью fkl, и . Отметим также, что первое из этих уравнений есть след последнего. Несмотря на видимую простоту (3.8), решать их ,,напрямую'' непросто. К счастью, можно воспользоваться ,,конформными'' свойствами. В работе [10] конструируются и изучаются конформные киллинговы векторы плоского мира в координатах Минковского отношению к метрике Минковского

. Метрика

является конформной по

, то есть в соответствующих координатах

:

глобально. В то же самое время конформные киллинговы векторы остаются теми же самыми, как для пространства Минковского, так и для конформного пространства в Минковского, -- они не зависят от . Далее необходимо только компоненты координатах преобразовать в координаты в метрике (3.1). Преобразования координат от к в (3.1) уже построены в книге Пенроуза и Риндлера [11]. Осталось эти преобразования использовать, а для проверки подставить в (3.8).

3.2.2 Конформные векторы Киллинга в пространстве Минковского Форма конформных векторов Киллинга в пространстве Минковского в лоренцевых координатах наиболее очевидна и становится наиболее ясной их интерпретация.

Поэтому мы представляем их явный вид как это сделано в работе [10] и даем их краткое описание. Рассматривается метрика Минковского (3.9) Существует 15-параметрическая группа конформных преобразований (3.9) переходит в

, таких, что

Эти преобразоваания имеют вид (3.10)

где , , . Вариация уравнения (3.10) приводит к выражению, коэффициенты которого и есть компоненты конформных векторов Киллинга: (3.11) Первые два слагаемых представляют обычную группу движений, которая определяются ,,обычными'' векторами Киллинга, векторами 4-трансляций: (3.12) и 4-вращений: (3.13) Третий член в (3.11) отвечает так называемым дилатонным (dilatation) или масштабным преобразованиям: (3.14) И, наконец, последний член в (3.11) соответсвует ,,4-ускорениям'': (3.15)

3.2.3 Конформные векторы Киллинга в геометрии Фридмана Поскольку компоненты (3.12) - (3.15) те же самые как и в конформно-плоской космологической метрике, необходимо лишь с помощью преобразований [11] (которые связывают метрику (3.1) с конформно-плоской метрикой Фридмана) переписать их в координатах (

) метрики (3.1). Естественно, что все 15 линейно

независимых векторов останутся конформными киллинговыми для решения (3.1), однако не все 10 векторов (3.12) - (3.13) останутся ,,обычными'' киллинговыми: киллингов вектор временных трансляций из (3.12) и 3 вектора лоренцевых вращений из (3.13) перестают быть киллинговыми для (3.1). После несложных, но громоздких вычислений получаем компоненты всех 15 векторов. Здесь нет необходимости давать явный вид этих векторов, мы приводим только их список. Их названия соответствуют конформным киллинговым векторам пространства Минковского. Это вектор временных трансляций t, 3 вектора пространственных трансляций , 3 вектора пространственных вращений ( вращений

) и 3 вектора лоренцевых

. Кроме этих векторов с ,,обычными'' названиями существуют еще

дилатонный вектор

, вектор временнных ,,ускорений''

пространственных ,,ускорений''

и 3 вектора

. Безотносительно к нашим приложениям, эти

векторы интересны сами по себе. В недавней работе [12] были подробно изучены их групповые свойства. • •

3.3.1 Возмущенное фридмановское решение и линейные приближения 3.3.2 Интегральные величины и их связи

3.3 Законы сохранения и интегральные величины для возмущенной фридмановской модели

Квази-локальные, или глобально сохраняющиеся величины весьма интересны в космологии, и обычно расчитываются внутри сферы на сечениях постоянного времени

. Чтобы их получить обычно используется дифференциальный закон

сохранения типа (2.24) в лекции 2:

, который здесь (в линейном

приближении по возмущениям) мы используем, точнее, его нулевую компоненту: (3.16)

3.3.1 Возмущенное фридмановское решение и линейные приближения Обозначим возмущенную метрику (3.1) как это более принято

.

Таким образом имеем (3.17)

Кроме того, мы используем 3-мерные компоненты: поднимаются и опускаются с помощью fkl:

, индексы которых (3.18)

В модели, развитой в лекции 2 используются возмущения . Как было отмечено, преимущество этого в том, что модель, в принципе, может быть легко просчитана мы представляем точные до любого порядка по возмущениям, поскольку в терминах уравнения и точный, хотя и в линейной форме суперпотенциал. Здесь мы ограничиваемся лишь линейными приближениями и используем более популярную форму возмущений Поэтому здесь формулы лекции 2 мы пересчитываем в терминах справедливого в линейном приближении соотношения

Определим 3-тензоры:

с помощью

.

(3.19)

Кроме того, символом . Если

обозначим возмущенный след внешней кривизны гиперповерхности

является единичным вектором нормали к этой гиперповерхности, то (3.20)

Тогда для конформных киллинговых векторов, удовлетворяющих (3.8), расчет по формуле (24) лекции 2:

с

и

,

(где

), и с использованием обозначения (3.20) дает: (3.21)

где , Расчет по формуле (26) лекции 2:

и

где

и с использованием обозначений (3.19), дает:

.

(3.22)

3.3.2 Интегральные величины и их связи Теперь мы имеем все необходимое, чтобы проинтегрировать уравнение (3.16) по сферическому объему V с границей S в фиксированное время

. Определим (3.23)

Если этот интеграл (проще анализировать поверхностный интеграл, который зависит только от возмущений метрики) не зависит от , то F является интегралом движения. Фактически мы имеем 15 величин F, по одному на каждый конформный вектор Киллинга . Можно составить линейные комбинации из F с временизависимыми коэффициентами, скажем зависят от

. Поскольку выражения и (3.21), и (3.22) линейно

и только их пространственных производных, то

. Вообще

говоря, c уже не являются конформными векторами Киллинга, но как мы сейчас увидим некоторые такие комбинации оказываются крайне простыми и имеют физическую интерпретацию в подходящей каллибровке. Давайте представим эти удобные комбинации. Семь из определенных выше конформных киллинговых векторов мы оставляем без изменения, их компоненты определяются как (3.24)

где или в зависимости от k=1, 0 или -1; и r' -- производная по . Следующие 8 линейных комбинаций, обозначенные векторами с крестами, составлены с помощью временизависимых коэффициентов. В этих формулах используются обозначения для k = 1 (или для k= -1); где есть производная вектора не имеют пространственных компонент:

= =

по

. Следующие 4

=

(3.25)

Оставшиеся 4 комбинации не имеют временных компонент и представляют конформные киллинговы векторы на сечениях:

:

= = =

(3.26)

Как видно, комбинации подобраны так, что все компоненты всех векторов не зависят от времени. Подставляя в (3.21) и (3.22) векторы с компонентами (3.24), (3.25) и (3.26), получим интегральные соотношения (3.23), соответствующие каждой группе векторов (3.24) (3.26). В качестве элементов интегрирования следует считать

и

, используется также обычное определение постоянной Хаббла:

. Таким образом для векторов (3.24) имеем = =

(3.27)

Соответственно для (3.25): = =

=

(3.28)

и для (3.26): = + = + =

(3.29)

Интегральные величины для настоящих конформных киллинговых векторов фридмановской геометрии легко восстанавливаются из (3.28) и (3.29) с помощью обратных линейных комбинаций с временизависимыми коэффициентами. • •

3.4.1 Связевые интегральные векторы Трашен и эффект Сакса-Вольфа 3.4.2 Калибровочные условия и интегральные соотношения

3.4 Использование и интерпретация новых интегральных соотношений 3.4.1 Связевые интегральные векторы Трашен и эффект Сакса-Вольфа

На качественном уровне мы представляем результат [2], где показано, что если на возмущения материальной составляющей на космологическом фоне наложены ограничения, то есть они удовлетворяют так называемым интегральным связям, эффект Сакса-Вольфа может быть ослаблен. Для этого нужно представлять, что такое локализованные возмущения. Сначала определим их в плоском пространствевремени. Пусть в начальный момент времени t = 0 плотность В следующий момент t > 0 в объеме V возникают возмущения границе объема

является однородной. , которых нет на

. Эти возмущения называются локализованными, если они

удовлетворяют интегральным соотношениям (3.30) которые называются интегральными связями. В ОТО интегральные связи имеют вид: (3.31) Их смысл в том, что задавая граничные условия мы ограничиваем возмущения внутри объема. Аналогично (3.30), локализованные возмущения в ОТО определяются как (3.32) Для фридмановской модели существует 10 таких векторов , 6 из них -- это уже известные киллинговы векторы фридмановского фона. Оставшиеся 4 вектора -- это как раз векторы Трашен [1].

Рис.2. Эффект Сакса-Вольфа [3] заключается в том, что неоднородности

на пути

фонового космологического излучения (Рис. 2) вносят вклад в анизотропию фоновой температуры. Существование интегральных связевых векторов Трашен ведет к существованию локализованных возмущений типа (3.32), которые ослабляют этот эффект [2]. Теперь обратимся к объемным интегралам в (3.27) - (3.29). Кроме подинтегральные выражения в объемных интегралах содержат лишь Существуют 4 линейных комбинации F, которые не включают

и

.

; они связаны со

следующими линейными комбинациями конформных киллинговых векторов: (3.33)

Вектора and оказываются как раз векторами Трашен, а в калибровке соответствующие интегральные соотношения с F обращаются в интегральные связи Трашен.

3.4.2 Калибровочные условия и интегральные соотношения В соотношениях (3.27) - (3.29) не были фиксированы калибровочные условия, то есть свобода выбора в отображении возмущенного пространства-времени на фоновое не была использована. Одно из условий, которое упрощает почти все подинтегральные выражения есть так называемая калибровка ,,однородного хаббловского расширения''

активно обсуждаемая Бардином [13]. При этом 14 из 15

объемных подинтегральных выражений редуцируются в комбинации только

.

Таким образом, эти 14 соотношений вполне приобретают форму (3.31) и представляют новый набор интегральных связей. Объемные интегралы в этих интегральных связях представляют моменты материального тензора энергииимпульса порядков 0, 1 и 2 по xa, когда k=0, и близкую интерпретацию когда Оставшийся интеграл содержит как конформным временным трансляциям

, так и

: для

.

он относится к

, а для k=0 к временным ускорениям

. Часто используется другое калибровочное условие работу [14]), в котором

-- бесследовая часть

(см., например,

. Комбинируя

с

(эти

4 условия использовались Бичаком в неопубликованной работе) мы находим, что существуют 4 соотношения, которые не зависят от гравитацинного излучения:

и

Таким образом, в этой калибровке интегралы энергии определяются лишь следом

и центра масс

.

Литература к Лекции 3 1 J. Traschen, Phys. Rev. D, 31, 283 (1985). 2 J. Traschen and D.M. Eardley, Phys. Rev. D, 34, 1665 (1986). 3 R.K. Sachs and A.M. Wolfe, Ap. J., 147, 73 (1967). 4 J. Katz, J. Bicák and D. Lynden-Bell, Phys. Rev. D, 55, 5759 (1997). 5 S. Veeraraghavan and A. Stebbin, Ap. J., 365, 37 (1990). 6 J.P. Uzan, N. Deruelle and N. Turok, Phys. Rev. D, 57, 7192 (1998). 7 A.N. Petrov, "Belinfante's "symmetrization" on curved backgrounds", in: Тезисы докладов 10-й Российской гравитационной конференции, Владимир, 20 - 27 июня 1999 г., Москва 1999, стр. 53. 8 A.N. Petrov and J.Katz, ``Conservation Laws for Large Perturbatons on General Backgrounds" in: Fundamental Interactions: From Symmetries to Black Holes, Eds.: J.M.Frere, M. Henneaux, A. Sevrin and Ph. Spindel, (Universite de Bruxelles, Belgium 1999), p.p. 147-157; см. также grqc/9905088. 9 A.N. Petrov and J.Katz, ``Conserved Carrents, Superpotentials and Cosmological Perturbations''. Принято к опубликованию в Proc. R. Soc. A; см. также gr-qc/9911025. 10 T. Fulton, F. Rohrlich and L. Witten, Rev. Mod. Phys. 34, 442 (1976). 11 R. Penrose and W. Rindler, Spinors and Space-Time: Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1988). (Р. Пенроуз и В. Риндлер, Спиноры и пространство-время: Спинорные и твисторные методы в геометрии пространствавремени (Москва: Мир, 1988). 12 A.J. Keane and R.K. Barrett, Class. Quantum Grav., 17, 201 (2000). 13 J.M. Bardeen, Phys. Rev. D 22, 1882 (1980). 14 E. Bertschinger, In: Cosmology and large scale structures, Eds.: R. Schaefer, J. Silk, M. Spiro and J. Zin-Justin, (Amsterdam: North Holland, 1996), p.p. 273-347.

4. Суперпотенциалы в полевом подходе к ОТО

Разделы

• • •

4.1 Фиксированные фоны в ОТО, линеаризованная гравитация, полевая формулировка ОТО 4.2 Обобщенная полевая формулировка ОТО 4.3 Проблемы полевой формулировки ОТО 4.4 Метод Нетер-Белинфанте и полевой подход к ОТО

• • •

4.1.1 Геометрические и полевые теории 4.1.2 Развитие полевой формулировки ОТО 4.1.3 Формулировка Дезера

•

4.1 Фиксированные фоны в ОТО, линеаризованная гравитация, полевая формулировка ОТО 4.1.1 Геометрические и полевые теории Общая терия отностительности является геометрической теорией в том смысле, что арена физических взаимодействий -- это пространство-время, которое в свою очередь является динамическим объектом и в равной мере участвует в этих взаимодействиях. Эта особенность теории придает ей красоту, стройность и внутреннюю самосогласованность, законченность. Но это же свойство влечет за собой проблемы. Пожалуй главные из них встречаются при определении и интерпретации энергии, и при квантовании. Другая картина наблюдается в полевых теориях на фиксированном фоне (в частности в пространстве Минковского). Симметрии заданного пространствавремени очевидны и могут быть использованы для определения сохраняющихся величин, в частности -- энергии, для которой очевидно выделение вектора Киллинга временной трансляции на заданном фоне. В результате возникла идея: а нельзя ли построить теорию гравитации с заданным фоном? Может быть можно переформулировать ОТО с участием заданного фона и использовать преимущества такой формулировки? Кроме того, многие задачи в ОТО сами по себе требуют использования заданного вспомогательного пространства- времени. Для целей этих конретных задач часто вводились необходимые фоны, или вспомогательные метрики вводились. В результате, хотя бы и не имелось в распоряжении полной и

самосогласованной теории такой процедуры, успешно изучались требуемые свойства.

4.1.2 Развитие полевой формулировки ОТО Еще в 1918 году Эйнштейн [1] рассматривал гравитационные волны на фоне пространства Минковского. В последующие десятилетия, в разное время с разной интенсивностью, метод полевого подхода развивался. Многие исследователи в области ОТО либо ,,частным'' образом вводили и использовали заданный фон в ОТО, либо непосредственно развивали теорию метода. Во втором случае мы адресуем читателя к наиболее известным работам [2] [11]. Работу Дезера [11] можно считать итоговой из этой серии. Сейчас, во многом следуя введению в этой работе, которое лучшим образом обобщает результаты предшественников, мы опишем способ и результаты этих работ в построении полевой формулировки ОТО. Предположим, что требуется построить теорию гравитации (безотносительно к ОТО)

на плоском фоне в лоренцевых координатах. То есть попытаемся построить терию гравитации как обычную полевую теорию, скажем как электродинамику в специальной терии относительности. Обычно рассматривались скалярный, векторный и тензорный варианты теории. По известным причинам и после известных тестов (см. учебник [12]) выживает тензорный вариант, линейные уравнения для которого (4.1) описывают безмассовое поле спина 2. Уравнения (4.1) однозначно определяются квадрантичным лагранжианом L(2)gr. Развивая построение гравитационной теории, необходимо предположить, что источником оператора в уравнении (4.1) должен быть симметричный тензор энергииимпульса всех остальных полей

: (4.2)

Дивергенция левой части этих уравнений тождественно обращается в нуль этого следует, что должен выполняться дифференциальный закон сохранения:

и из .

Далее необходимо предположить, что уравнения (4.2) получаются не только эвристическим способом, но и варьированием некоторого общего ланранжиана, где поля взаимодействуют с гравитационным полем несоответствие закона сохранения

. Здесь появляется противоречие: с уравнениями движения взаимодействующих

полей . Другими словами: не могут поля сохраняться сами по себе. Взаимодействие проявляется в том, например, что в присутствие пробные частицы уже не будут двигаться по геодезическим фона. Формально дело обстоит так: все уравнение (4.2), а значит и правая часть, получаются варьированием по , но по определению есть также результат варьирования по фоновой метрике. Поэтому, как для аргументов материального лагранжиана, так и для тензора энергии-импульса необходимо сделать замену: . Кроме того поле рассматривается на равных основаниях с другими полями, поэтому оно само должно стать источником в (4.2). Чтобы избежать противоречий предполагают, что источником в уравнениях (4.2) наряду с должен быть симметричный тензор энергии-импульса варьированием L(2)gr по фоновой метрике:

поля

, получаемый (4.3)

Но тогда, уравнениям (4.3) должен соответствовать уже кубичный, а не квадратичный гравитационный лагранжиан, то есть вместо L(2)gr нужно использовать L(2)gr + L(3)gr. В результате противоречие возникнет на следующем уровне, и к правой части придется добавлять уже новый тензор энергии-импульса соответствующий новому гравитационному лагранжиану, и т.д. Чтобы полностью избежать противоречий, нужно эти итерации продолжить до бесконечности. В итоге, вместо (4.3) получим: (4.4)

где в материальной части фоновая метрика и гравитационное поле входят только в виде суммы. Оказывается, что ,,странные'' уравнения (4.4) есть не что иное, как уравнения Эйнштейна. Чтобы показать это, в них нужно сделать замену: (4.5)

и поле исчезают из явного рассмотрения и уравнения после которой фоновая метрика становятся обычными уравнениями ОТО зависимыми только от динамической энштейновской метрики

.

4.1.3 Формулировка Дезера Достижение Дезера [11] состоит в том, что он обобщил предшестваующие результаты и ему удалось представить полевую формулировку ОТО без разложений и без итераций. Для этого он использовал так называемый формализм 1-го порядка, то есть формализм, где уравнения теории представляются дифференциальными уравнениями 1-го порядка. В качестве динамических переменных теперь используются два поля:

и

. Теория построена также в пространстве

Минковского и в лоренцевых координатах. Таким образом, вместо уравнений (4.5) получены уравнения: (4.6) Эквивалентность ОТО устанавливается после отождествлений: (4.7) Подстановка (4.7) в уравнеия Дезера (4.6) приводит к уранениям ОТО в форме уравнений Палатини, где используется два независимых динамических поля: метрика • • •

и связность

.

4.2.1 Обобщение модели Дезера 4.2.2 Принципы построения обощенной полевой формулировки ОТО 4.2.3 Построение обощенной полевой формулировки ОТО с помощью разделения на фон и динамические поля

4.2 Обобщенная полевая формулировка ОТО 4.2.1 Обобщение модели Дезера В работах [13] [16] мы обобщили подход предложенный Дезером [11]. Прежде всего, вместо пространства Минковского в лоренцевых координатах мы предлагаем использовать произвольно искривленный фон с заданной метрикой

и заданными

фоновыми материальными полями

, удовлетворяющими фоновым уравнениям

Эйнштейна: (4.8)

Часто бывает полезным лишь Риччи-плоский фон: формулировка с фоном (4.8) является ковариантной.

. Естественно, наша полевая

Как оказалось, использование формализма 1-го порядка вовсе не обязательно для построения полной и замкнутой (без бесконечных разложений) теории. Терия может быть построена так, что некоторые функции не будут иметь явного выражения через динамические переменные, но уравнения, которым они удовлетворяют достаточно просты и исследование не вызывает трудностей. Часто такой формализм 2-го порядка более удобен и здесь мы используем именно его для представления результатов. Пока запишем действие, которое обобщает действие Дезера без конкретного вида лагранжианов (их мы определим позже) для гравитационного поля материальных полей

и набора

: (4.9)

Мы полагаем, что поля являются произвольными тензорными плотностями. Варьирование (4.9) по гравитационным переменным дает уравнение (4.10) где ковариантизованный оператор безмассового поля спина 2, обобщающий оператор в (4.1), есть (4.11)

Оператор определим позже, но заметим, что для Риччи-плоского фона исчезает и (4.10) преобразуется в

он (4.12)

Правая часть в уравнениях (4.10) и (4.12) является симметричным (метричесмким) тензором энергии-импульса системы, соответствующим действию (4.9):

(4.13) Оказывается, что для Риччи-плоского фона дивергенция от левой части уравнений (4.12) обращается тождественно в нуль: (4.14) а это ведет к закону сохранения (4.15) Такой закон не выполняется для общего фона в уравнениях (4.10) и эта проблема будет обсуждаться позже. Аналогично тому как построены гравитационные уравнения (4.10) строятся материальные уравнения, где левая часть линейна по динамическим переменным, а правая представляет некоторый ,,ток''. Эквивалентность ОТО устанавливается после отождествлений (4.16) которые обобщают (4.5) или (4.7). В сравнении с работой Дезера нами [13] [16] была подробно ,,обозначена'' и исследована калибровочная (так называемая внутренняя) инвариантность. То есть инвариантность относительно преобразований, которые не затрагивают ни координат, ни фоновой метрики с фоновыми полями. Эти преобразования выглядят так

=

=

(4.17)

где, вообще говоря, не предполагается ни малости полей, ни малости калибровочных функции (конечно, без предположений о малости необходимо учитывать все порядки в бесконечных рядах). Инвариантность состоит в следующем. Лагранжиан в (4.1) инвариантен для преобразований (4.17) с точностью до дивергенции на фоновых уравнениях движения. Таким образом, само действие (4.1) инвариантно с точностью до поверхностных членов. Уравнения движения являются калибровочно инвариантными на них самих (то есть, если они

удовлетворены) и на фоновых уравнениях. Тензор энергии-импульса калибровчно инвариантен, но с точностью до дивергенции: (4.18)

где оператор определен в (4.11) и является 4-ковариантной дивергенцией. Подробнее свойства и некоторые приложения калибровочных преобразований в полевом подходе будут даны в следующей лекции 5.

4.2.2 Принципы построения обощенной полевой формулировки ОТО Развивая полевую формулировку ОТО (см. уравнения (4.8) - (4.18)), для построения мы [13] использовали принцип предложенный Дезером: •

I.Источником линейного безмассового поля спина 2 в гравитационных уравнениях должен быть симметричный тензор энергии-импульса всех динамических полей, включая гравитационное поле.

Таким образом строятся уравнения (4.12). В более сложном случае уравнений (4.10) принцип построения источника в правой части сохраняется, усложняется лишь определение левой линейной части. Другой принцип, используется в работе Грищука [17] и может быть сформулирован как •

II.От гравистатики (от закона Ньютона) к гравидинамике (к уравнеиям Эйнштейна).

Способ построения по этому принципу заключается в обобщении закона Нютона на случай специальной теории относительности:

(i) Сначала одна компонента плотности тензора энергии-импульса

заменяется на 10 компонент материального

.

(ii) Из этого следует, что одну компоненту гравитационного потенциала заменить 10-ю гравитационными потенциалами

.

нужно

(iii) Далее необходимо лапласиан

заменить на даламбертиан, как это должно быть

в специальной теории относительности:

.

(iv) Следующий шаг -- это включение самодействия: . (v) И, наконец, добавление к левой части членов востанавливает калибровочную инвариантность теории.

В результате получаются уравнения

, которые есть уравнения (4.12) и

есть точно уравнения Эйнштейна. Третий принцип основывается на калибровочно инвариантных свойствах полевой формулировки [16] и близок к тому как могут быть построены многие из калибровочных теорий. Этот принцип построения заключается в локализации параметров некоторой группы преобразований, относительно которой исходная теория инвариантна. Локализация заключается в том, что постоянные параметры становятся зависимыми, скажем, от координат. Возникшая неинвариантность компенсируется как раз вновь введенными каллибровочными (компенсирующими) полями. Наш принцип звучит как

•

III. ,,Локализация'' фоновых векторов Киллинга

,

и сводится к следующему: (i) Рассмотрим систему динамических полей обладающим векторами Киллинга

на заданном фоне (с метрикой

) с лагранжианом

(ii) Относительно ,,калибровочных'' преобразований приближении по

и

. , в линейном

, уравнения системы инвариантны на самих себе, а лагранжиан

инвариантен с точностью до дивергенции.

(iii) Теперь ,,локализуем'' какой либо из векторов

, здесь под локализацией мы

понимаем замену вектора Киллинга на произвольный вектор

.

(iv) После этого требуем сохранения прежней инвариантности. Чтобы удовлетворить этому требованию необходимо ввести компенсирующее (гравитационное) поле таким образом, что

. Последовательное построение теории полей

приводит к обобщенной полевой формулировке ОТО.

4.2.3 Построение обощенной полевой формулировки ОТО с помощью разделения на фон и динамические поля Четвертый принцип построения обощенной полевой формулировки мы выделяем в отдельный подпункт, поскольку уделим ему больше внимания. Именно такое построение дает более наглядную связь между полевой формулировкой и обычной геометрической формулировкой ОТО. Действительно, если это есть всего лишь различные представления одной и той же теории и переход от полей формулировки к геометрической достигается с помощью отождествлений (4.16), то вероятно, что переход от геометрической формулировки к полевой мог бы осуществляться с помощью разбиения типа (4.16). Действительно, часто по тем или иным причинам в ОТО делают разбиение эйнштейновской метрики на фоновую и динамическую части: (4.19) Затем, подставляют (4.19) в уравнения Эйнштейна, оставляют в левой части лишь линейные по возмущениям члены, а все остальное переносят вправо и называют этот источник ,,эффективным'' тензором энергии-импульса: (4.20) В таком подходе нет ничего противоречивого. Однако само построение является эвристическим и многие его свойства не так уж просто выяснить. Мы [15] развили подход (4.19) - (4.20) как полевую теорию со всеми ее атрибутами. То есть представлен лагранжиан, из которого следуют уравнения и тензор энергии-импульса, следуют калибровочные свойства. Здесь мы представляем основные элементы этого подхода. Сначала сформулируем сам принцип построения:

•

IV. Полевая формулировка ОТО строится с помощью разбиений переменных обычной геометрической формулировки ОТО на фоновые и динамические части.

Рассмотрим обычное дествие ОТО: (4.21) Сделаем разложение переменных на фоновые и динамические части, (4.22) где фоновые переменные являются решениями фоновых уравнений Эйнштейна: (4.23)

(4.24) Разбиения (4.22) точно обратны отождествлениям (4.16) и обобщают (4.19), а уравнения (4.23) -- это уравнения (4.8). Построение динамического лагранжиана [15]: (4.25) -- это есть обощение конструкции Дезера [11]. Лагранжиан (4.25) -- это лагранжиан в действии (4.9):

где

,

пропорционален уравнениям (4.23) и (4.24), а

c

и , такая же как в КБЛ модели. Конкретно гравитационная и материальные части имеют следующее явное выражение: (4.26)

(4.27)

Варьирование действия (4.9) со значениями лагранжианов (4.26) и (4.27) по гравитационным переменным дает уравнение (4.10):

где гравитационная линейная часть (4.11) может быть записана как (4.28) а линейная материальная часть как (4.29)

Полный тензор энергии-импульса соответствующий (4.9) и по частям представленый в (4.13) есть (4.30) В следующей лекции 5, используя общековариантные свойства системы (4.21) и разбиения (4.22), мы покажем как получить все калибровочные свойства полевой формулировки. • • • •

4.3.1 Дифференциальные законы сохранения для обобщенной формулировки 4.3.2 Произвольные векторы смещений 4.3.3 Суперпотенциалы в полевой формулировке ОТО 4.3.4 Неопределенность Боульвара-Дезера

4.3 Проблемы полевой формулировки ОТО

4.3.1 Дифференциальные законы сохранения для обобщенной формулировки Для гравитационных уравнений (4.10) полевой формулировки дифференциальный закон сохранения (4.15) выполняется только для фонов, которые являются пространствами Эйнштейна по Петрову [18]. Таким образом, для Риччи-плоских фонов выполняется

, в самом общем случае для пространств Эйнштейна . Однако, для более общих фонов мы не имеем

тождества типа (4.14), приходится констатировать, что заключать, что

и

. Этот факт мы [13] объяснили как следсвтие

взаимодействия со сложным фоном, но только на качественном уровне. Таким образом, первую проблему мы формулируем так: •

I? Можно ли построить дифференциальные законы сохранения на самом общем фоне? Как они выглядят, как выглядят члены взаимодействия с фоном?

4.3.2 Произвольные векторы смещений Если фон -- это пространство Эйнштейна (то есть выполняется закон (4.14)) и фон имеет киллинговы векторы

, тогда несложно построить сохраняющийся ток

и соответствующие глобальные законы сохранения. Однако, как отмечалось в лекции 3 важными могут оказаться и не только киллинговы векторы. Ведь с помощью метода Нетер-Белинфанте оказалось возможным построить сохраняющиеся токи для произвольных векторов смещений. Поэтому вторую проблему мы сформулируем следующим образом: •

II? Можно ли построить сохраняющиеся токи для произвольных векторов они будут выглядеть

и как

(a) для случая

?

(b) несмотря на то, что

?

4.3.3 Суперпотенциалы в полевой формулировке ОТО Начиная с работ Толмена [19] и Фрейда [4.20] стало ясно, что суперпотенциалы в ОТО играют важную роль в построении законов сохранения. Есть также указания на то, что они имеют место и в обобщенной полевой формулировке ОТО. Давайте , где

рассмотрим уравнения полевой формулировки на плоском фоне: левая часть определенная в (4.11) может быть переписана в виде суперпотенциалом Папапетроу [21]:

с

. Таким образом, в этом простом случае

обобщенный тензор энергии-импульса выражается через дивергенцию от суперпотенциала. Абботт и Дезер [22] построили обобщенный суперпотенциал Папапетроу для случая деситтеровского и анти-деситтеровского фона с векторами Киллинга этих же фонов. Третью проблему мы формулируем поэтому в виде: •

III? Каковы суперпотенциалы в самой общей форме и с произвольными обобщенной полевой формулировке ОТО?

в

4.3.4 Неопределенность Боульвара-Дезера Рассматривая различные разбиения для определения возмущений на плоском фоне ,

типа

Боульвар и Дезер [23] установили, что

тензоры энергии-импульса соответствующие этим разбиениям различаются, начиная со второго порядка по возмущениям. Мы [15] исследовали эту проблему в самом общем случае для произволных фонов. Для всех возможных разбиений типа =

= = .... = ............. ,

(4.31)

был построен свой вариант полевой формулировки с уравнениями (4.32)

где гравитационные возмущения взятые в форме

обобщают

.В

общем случае была найдена неопределенность в тензоре энергии-импульса в уравнениях (4.32) для различных разбиений (4.31). Однако, до сих пор не ясно какое из разбиений (4.31) более предпочтительно. Четвертая проблема поэтому есть • • • • • •

IV? Определение критерия для выбора наилучших hA. 4.4.1 Тождество Каца-Бичака-Линден-Белла 4.4.2 Тождество Нетер для полевого лагранжиана 4.4.3 Суперпотенциал в полевой формулировке ОТО 4.4.4 Сравнение результатов метода Нетер-Белинфанте и полевого подхода 4.4.5 Разрешение неопределенности Боульвара-Дезера

4.4 Метод Нетер-Белинфанте и полевой подход к ОТО Комбинация этих двух методов позволяет разрешить описанные в предыдущей части проблемы. Результаты этой части были доложены на семинаре [24].

4.4.1 Тождество Каца-Бичака-Линден-Белла Напомним как был получен закон сохранения КБЛ [25]. Для лагранжиана (4.33)

c

и

было выписано тождество Нетер

(4.34) которое затем преобразовано в закон сохранения (см. (1.29) в лекции 1): (4.35) Если в процессе преобразований (4.34) не использовать уравнений Эйнштейна и не везде явно представлять

, то вместо (4.35) мы получим тождество +

(4.36)

+

где суперпотенциал как и прежде (см. (31) в лекции 1) имеет вид: (4.37) а ток в левой части (4.36) имеет более общий вид, чем в (4.35).

4.4.2 Тождество Нетер для полевого лагранжиана Гравитационный лагранжиан в полевой формулировке (см. (4.26)) есть (4.38)

Учтем связь и обозначим . После этого видно, что полевой лагранжиан (4.38) и лагранжиан КБЛ (4.33) связаны соотношением: (4.39) явная форма которого (4.40)

Теперь используем тождество Нетер его к виду:

, чтобы преобразовать

+

+

(4.41)

где (4.42) Вычтем из тождества (4.36) тождество (4.41), учтем равенство

связь (4.39), определение (4.42) и получим новое тождество: (4.43) представленное в терминах полевого подхода.

4.4.3 Суперпотенциал в полевой формулировке ОТО Еще раз запишем общее уравнение полевой вормулировки: (4.44) которое нужно использовать, чтобы превратить сильное тождество (4.43) в слабый закон сохраненния. Однако, что делать с величиной , которая отсутствует в (4.43)? Оказывается после использования определений (4.25), (4.29) и (4.30) уравнение (4.44) можно переписать в виде: (4.45) где

Теперь, конечно, источник в (4.45) не является симметричным тензором энергии-импульса, соответствующим динамическому лагранжиану (4.25): подстановки уравнения (4.45) в тождество (4.43) получим:

. После (4.46)

Обсудим это уравнение. Прежде всего, это есть аналог уравнения КБЛ (4.35), здесь в правой части также стоит дивергенция теперь от нового суперпотенциала . Следовательно, левая часть есть сохраняющийся ток. В законе сохранения участвуют произвольные векторы и оно справедливо на произвольно искривленных фонах. Таким образом можно заключить, что построение (4.46) решает сразу первые три проблемы полевого подхода, отмеченные в предыдущей части. Почему этот успех не был достигнут раньше? Оказывается было ошибочным предположение (для построения сохраняющегося тока на произвольном фоне) использовать источник

в правой части (4.44), определенный стандартным

образом в (4.30). Оказывается необходимо использовать возмущения . Отметьте также, что в левой части (4.46) содержится член взаимодействия с фоном, продекларированный качественно нами раньше [13]. Zчлен в (4.46), как и везде, обращается в нуль для векторов Киллинга фона.

4.4.4 Сравнение результатов метода Нетер-Белинфанте и полевого подхода Главным результатом лекции 2 было построение закона сохранения (см. (24) в лекции 2): (4.47) где обобщенный тензор энергии-импульса имеет вид

(4.48) а суперпотенциал представляет собой сумму КБЛ суперпотенциала и поправки Белинфанте: (4.49) Перепишем уравнение (4.46) в компактном виде: (4.50) где

= (4.51)

=

Оказывается, что поправка Белинфанте, определенная в (23) в лекции 2 и спиновый член (4.42) совпадают:

. Учитывая этот факт в (4.49) и в

суперпотенциале в (4.51), заключаем = =

и (последнее равенство проверяется также прямым вычислением). Поэтому для (4.47) и (4.50) следует: (4.52) Таким образом все свойства Подведем итог: •

исследованные в лекции 2 в полной мере относятся к

.

Закон сохранения (4.50) получен в рамках полевого подхода и является точно уравнением (4.47), которое есть следствие метода Нетер-Белин- фанте. Два разных подхода на уровне самых обобщенных законов сохранения дают единый ответ.

Сравнивая тензоры энергии-импульса (4.48) и в (4.51) находим, что тензоры энергииимпульса гравитационного поля не совпадают: и

мы получаем, что должно быть

. (Только для случая, когда .) Тем не менее, с

использованием фоновых и динамических уравнений Эйнштейна равенство (4.52) подтверждается прямыми расчетами. Такая ситуация говорит о сложности в определении, например, энергии гравитационных волн на достаточно сложных фонах. На эту проблему в частной беседе указал Копейкин [26].

4.4.5 Разрешение неопределенности Боульвара-Дезера Теперь рассмотрим последнюю: четвертую проблему полевого подхода -- это неопределенность в выборе разбиений (4.31). Если мы выберем произвольное из разбиений (4.31): (4.53) то шаг за шагом следуя способу построения полевой формулировки в работе [15] (последний метод изложенный в этой лекции) мы получим уравнения типа (4.10), затем типа (4.45), и, наконец, типа (4.50): (4.54) Разница лишь в том, что аргумент в этом уравнении зависит от выбора разбиения (4.53) и выражается через него как (4.55)

Напомним, что суперпотенциал , тогда

линеен по своим аргументам

. Но если

. Это означает, что неопределенность Боульвара-

Дезера в суперпотенциале имеет место начиная со второго порядка. Вернемся к методу Нетер-Белинфанте: не было ограничений в выборе переменных, мы могли выбрать любую из них:

! В результате, конечным и

линейным оказался единственно КБЛ суперпотенциал, суперпотенциал,

, а затем новый

. Только для выбора (4.31), или в (4.55), единственно

суперпотенциал

в (4.54) и

совпадают. Этот факт

свидетельствует о преимуществе выбора (4.22). Существуют и другие показания в пользу этого выбора и разбиения, соответвующего ему. Суперпотенциал АбботтаДезера [22] является одним из набора (4.54), а именно:

.

Однако мы [27] показали, что такой суперпотенциал не дает правильного БондиСакса импульса на нулевой бесконечности, то есть не удовлетворяет одному из основных естественных тестов, в то время как

дает нужный результат.

Литература к Лекции 4 1 A. Einstein, Acad. Wiss., 1, 154 (1918). 2 N. Rosen, Phys. Rev., 57, 147 (1940). 3 R.H. Kraichnan, Phys. Rev., 98, 1118 (1955). 4 S.N. Gupta, Rev. Mod. Phys. 29, 334 (1957). 5 И.И. Гутман, ЖЭТФ, 37, 1639 (1959). 6 W. Tirring, Ann. Phys., 16, 96 (1961). 7 Д.Е. Бурланков, ЖЭТФ, 44, 1641 (1963). 8 S. Weinberg, Phys. Rev. B, 138, 988 (1965). 9 V.I. Ogievetskii & I.V. Polubarinov, Ann. Phys., 35, 167 (1965). 10 R.A. Asaacson, Phys. Rev., 166, 1263 (1968). 11 S. Deser, Gen. Relat. Grav., 1, 9 (1970). 12 Ч. Мизнер, К. Торн, и Дж. Уилер, Гравитация, том 2, (Москва: Мир, 1977). (Ch. W. Misner, K. S. Thorne and J. A. Wheller, Gravitation, (San Francisco, Freeman, 1973). 13 L.P.Grishchuk, A.N. Petrov, A.D. Popova, Commun. Math. Phys., 94, 379 (1984) 14 Л.П. Грищук и А.Н. Петров, ЖЭТФ, 92, 9 (1987). 15 A.D. Popova and A.N. Petrov, Int. J. Mod. Phys. A, 3, 2651 (1988). 16 A.N. Petrov, Class. Quantum Grav., 10, 2663 (1993). 17 L.P. Grishchuk, in: ``Current topics in astrofundamental physics'' (World Scientific, 1992), 435. 18 А.З. Петров, Новые методы в общей теории относительности, Москва: Наука, 1966. 19 R.C. Tolman, Relativity, Thermodynamics, and Cosmology, (Oxford, Clarendon Press, 1969). 20 Von Ph. Freud, Ann. of Math., 40, 417 (1939). 21 A. Papapetrou, Proc. R. Irish Ac. 52, 11 (1948). 22 L.F. Abbott and S. Deser, Nuclear Phys. B, 195, 76 (1982). 23 D.C. Boulware and S. Deser, Ann. Phys., 89, 193 (1975). 24 А.Н. Петров, Доклады на Международном Семинаре по Геометрической Физике, Шинчжу, Тайвань, 24 - 26 июля 2000 года.

25 J. Katz, J. Bicák and D. Lynden-Bell, Phys. Rev. D 55, 5759 (1997). 26 Частная беседа с С.М. Копейкиным. 27 A.N. Petrov and J.Katz, ``Conserved Carrents, Superpotentials and Cosmological Perturbations''. Принято к опубликованию в Proc. R. Soc. A; см. также gr-qc/9911025. • • • •

5.1 Калибровочные преобразования в полевой формулировке ОТО 5.2 Изолированные системы на пространнственной бесконечности 5.3 Интерпретация заданного фона в полевой формулировке ОТО 5.4 Некоторые проблемы интерпретации решений ОТО

• • • • •

5.1.1 Смещения Ли и преобразования Ли геометрических объектов 5.1.2 Преобразования Ли в геометрической формулировке ОТО 5.1.3 Динамический лагранжиан 5.1.4 Калибровочные преобразования 5.1.5 Интепретация калибровочных преобразований

5.1 Калибровочные преобразования в полевой формулировке ОТО Калибровочные преобразования и их свойства в полевой формулировке прямо вытекают из общей ковариантности ОТО в обычной геометрической формулировке. Подробным образом эта связь исследована в работе [1] с помощью сложной и громоздкой математики. Здесь мы даем ключевые выводы [1] и даем качественные пояснения.

5.1.1 Смещения Ли и преобразования Ли геометрических объектов Определение преобразований Ли и производных Ли может быть найдено во многих учебниках и с разных позиций, например в работе [2]. Предположим, что некоторое координатное преобразование определено смещением вдоль конгруенции определенной векторным полем

. Тогда его можно представить в виде ряда (5.1)

где, вообще говоря, не делается предположений о малости и их производных, хотя должны быть введены необходимые предположения о дифференцируемости. Предположим, что на 4-многообразии определен некоторый набор геометрических объектов

. После

преобразований (5.1) получим . Теперь сделаем так называемое точечное преобразование, то есть отобразим пространство-время само на себя так что каждой точке со значением координат x в системе { x} сопоставим точку со значением координат x в системе { x'}. После этого сравним геометрические объекты исходного и отображенного пространств. Оказывается, что (5.2)

где

-- производная Ли, определенная еще в лекции 1.

Предположим, что другой геометрический объект

является функцией от

набора предыдущих и их производных, и не является явной функцией координат. С одной стороны, в силу определения геометрического объекта на многообразии, после точечного преобразования

должен удовлетворять соотношению типа

(5.2). С другой стороны, простая подстановка (5.2) в

дает тоже самое

соотношение: (5.3)

5.1.2 Преобразования Ли в геометрической формулировке ОТО Ковариантные свойства ОТО формально следуют из того, что лагранижиан в действии (5.4) является скалярной плотностью. Являясь геометрическим объектом, лагранжиан в действии (5.4) при точечных преобразованиях изменяется также как в (5.2):

(5.5)

Лагранжиан

не зависит явно от координат, поэтому просто подстановка =

=

(5.6)

-- скалярная плотность, то любой член в сумме дает тот же результат (5.5). Поскольку (5.5) является дивергенцией, следовательно, вся сумма также есть дивергенция. Изменение лагранжиана на дивергенцию, как известно, не изменяет результатов варьирования, то есть приведет к тем же самым уравнениям. Поэтому часто при исследовании симметрий действия вместо свойств ковариантности рассматривают инвариантность относительно Ли преобразований. Обычно ограничиваются лишь первым членом в суммах (5.6) и соответственно в (5.5), например, как в учебнике Ландау и Лифшица [3].

5.1.3 Динамический лагранжиан Давайте перепишем динамический лагранжиан полевой формулировки определенный в (4.25) лекции 4 в конкретной форме:

(5.7)

Обсудим смысл построения. Ясно, что простая подстановка разбиения (5.8) к новым свойствам не приводит. Как при варьировании по динамическим переменным, в так и при варьировании по фонововым получаются лишь уравнения Эйнштейна в прежней форме. Решающим является вычитание . С одной стороны, варьирование по не динамическим переменным дает те же уравнения Эйнштейна. Действительно, член дает вклада поскольку он линееен по и , и пропорционален, как это видно из (5.7), фоновым уравнениям, которые считаются выполненными после варьирования. С другой стороны, благодаря вычитанию

варьирование

в (5.7) по фоновой метрике

даст

неисчезающий полный тензор энергии-импульса (см. (30) в лекции 4) как источник в полевых уравнениях. Вычитание также необходимо, действительно, оно гарантирует, что в отсутствие всяких полей ( лагранжиан .

и

) отсутствует и сам динамический

Остается вопрос, который требует также обсуждения. Почему фоновые уравнения (их операторы входят в

-- см. (5.7)) мы не считаем выполненными до

варьирования? Дело в том, что точно такой же член содержится в первом слагаемом, только неяно. Действительно,

может быть разложен в ряд по динамическим

переменным с помощью вариационных производных. Тогда становится очевидным, что ряд содержит

, но только со знаком (+) и эти члены должны взаимно

сокращаться. Такое разложение как раз показывает, что квадратичен по

и

не менее, чем

, что естественно для обычной полевой теории.

5.1.4 Калибровочные преобразования Теперь поясним ту инвариантность, которая была продекларирована в лекции 4 относительно преобразований: =

=

(5.9)

с Подстановка (5.9) в первый из лагранжианов в (5.7) эквивалентна подстановке (5.6) в результатом (5.5), где ланранжиан приобретаеит лишь дополнительную дивергенцию. Подстановка (5.9) в член оставляет его пропорциональным фоновым уравнениям. Таким образом, мы доказали утверждение, что инвариантен относительно калибровочных преобразований (5.9) с точностью до дивергенций и на фоновых уравнениях. Инвариантность уравнений движения в полевой формулировке относитель- но (5.9) устанавливается также просто. Полевые уравнения эквивалентны обычным уранениям Эйнштейна на фоновых уравнениях. Значит, с точностью до фоновых уравнений аргументы входят в операторы уравнений только в виде сумм (5.8). А тогда подстановка калибровочных преобразолваний (5.9) в полевые уравнения

приведет к преобразованию типа (5.3) для операторов уравнений. А это значит, что если уравнения движения удовлетворены, то они инвариантны относительно (5.9). Другими словами, уравнения движения полевой формулировки ОТО инвариантны относительно калибровочных преобразований (5.9) на самих себе и на фоновых уравнениях. При преобразованиях (5.9) фоновая метрика не подвергается никаким преобразованиям, координаты тоже неизменны. Значит, (5.9) вполне можно интерпретировать как калибровочные (внутренние) преобразования, и забыть, что они являются результатом смещений Ли в геометрической формулировке и последующего перехода к полевой.

5.1.5 Интепретация калибровочных преобразований Мы показали как калибровочные преобразования (5.9) в полевой формулировке связаны с преобразованиями Ли в геометрической. Оказывается, что (5.9) также связаны с выбором фона для построения полевой формулировки. Рассмотрим некоторое решение уравнений Эйнштейна

и разобьем его на сумму фоновых и

динамических частей: (5.10) Сделаем произвольное координатное преобразование, представимое в виде (5.1): (5.11) Теперь преобразуем выбранное решение в новые координаты и сделаем разбиение (5.12) Главное свойство этого разбиения в том, что форма фоновой метрики та же самая, что и в разбиении (5.10), хотя и в новых координатах. Теперь в соотношении (5.9) в рамках системы { x'} перейдем от точек со значениями x' к точкам со значениями x. После этого, используя (5.10) и (5.11) в форме (5.1) получим, что (5.9).

и

связаны первым из преобразований

Рис.3. Вспомним, что и в (5.10), и в (5.12) фоновая метрика одна и та же. Но поскольку она выбрана в различных координатах, то это означает что фоновое пространствовремя, к которому относится эта метрика, выбирается двумя различными способами. Каждый способ определяет свои возмущения, которые связаны вполне определенными соотношениями (5.9). Качественно эта ситуация поясняется на Рис. 3, где кривая означает само решение, а две прямые означают выбор фона, скажем плоского, двумя различными способами. Отклонения кривой от каждой из прямой определяет два сорта возмущений, которые и связаны калибровочными преобразованиями. Таким образом, фиксация калибровки означает фиксацию способа задания фона. Как иллюстрацию рассмотрим решение Шварцшильда в двух системах координат: шварцшильдовой

и изотропной

. В обоих случаях в качестве

фона выберем плоский. В первом случае он описывается сферическими

координатами

, во втором случае сферическими координатами

. В каждом случае построим возмущения, а затем, скажем в первом случае, заменим R на

, тогда получим, что возмущения этих двух сортов связаны

преобразованиями типа (5.9), но сейчас без явного выражения через векторы • • •

.

5.2.1 Асимптотически плоское пространство-время 5.2.2 Глобальные сохраняющиеся величины 5.2.3 Наислабейшее убывание гравитационных потенциалов

5.2 Изолированные системы на пространнственной бесконечности 5.2.1 Асимптотически плоское пространство-время Мы называем пространство-время асимптотически плоским, если оно соответствует изолированной (островной) системе в плоском пространстве-времени (см., например, работы [4] [5]), и в качестве определения удовлетворяет следующим исходным ,,наивным'' требованиям: •

(1) На пространственной бесконечности мировые точки параметризуются

•

координатами такими, что . (2) В одной из этих систем метрика имеет поведение: (5.13) •

•

• •

при

, где

и

. Обозначение

соответствует асимптотическому поведению при . (3) Не существует координатных систем, для которых падение потенциалов гравитационного поля было бы быстрее, чем в (5.13). (4) Тензор энергии-импульса источников в системе (5.13) имеет поведение:

(5.14) •

Переформулируем это определение в рамках полевого подхода. Для этого нужно выбрать фон. Мы выбираем пространство Минковского в лоренцевых координатах (5.13). После выбора фона выбор координат (в силу ковариантности всех выражений полевой формулировки) не важен, но лоренцевы координаты здесь удобны, поскольку в них очевидно асимптотическое поведение. По этой же причине мы не используем крышки в этой части лекции. Итак, пункт (1) сохранится. •

(2) В одной из калибровок гравитационные потенциалы имеют поведение: (5.15) •

• •

(3) Не существует калибровок, где убывание было бы быстрее, чем в (5.15). (4) Условие для материальных источников также сохраняется: (5.16) •

5.2.2 Глобальные сохраняющиеся величины Для того, чтобы определить интегралы движения островной системы мы используем векторы Киллинга фонового пространства Минковского: (5.17)

Как в обычной полевой теории, глобальная величина соответствующая

определяется как (5.18)

где сечения определяются как t = const. Как всегда величины P(K) сохраняются, если граничные условия устроены так, что

(5.19) где d Sk элемент координатного объема на ,,стенках'' цилиндра (см. Рис. 1), окружающего изолированную систему. Уравнения Эйнштейна в полевой формулировке на плоском фоне могут быть переписаны в виде (см. (12) в лекции 4): (5.20) где мы определили (5.21)

Подстановка (5.20) и (5.21) в (5.18) и использование антисимметрии приводит эти интегралы к виду: = =

(5.22)

= = (5.23)

-

= = -

(5.24)

где dsi -- координатный элемент интегрирования на 2-сфере, окружающей изолированную систему.

5.2.3 Наислабейшее убывание гравитационных потенциалов Подстановка потенциалов с поведением (5.15) в интегралы движения приводит к тому, что (5.22) оказываются хорошо определенными, в то время как (5.23) и (5.24) расходятся. Чтобы избежать этого, достаточно усилить условия падения до = (5.25)

= где (+) и (-) означают четную и нечетную функции по отношению к изменению знака 3-

вектора . Такая асимптотика впервые была введена Редже и Тейтельбоймом [6]. Условия (5.25) должны быть Пуанкаре инвариантны, поэтому необходимо потребовать [5] = = ......... = ................................. ,

(5.26)

как это часто требуют при последующих интегрированиях [7]. Для реальной островой системы падение быстрее, чем в (5.15) (или в (5.25)) невозможно в силу необходимости соответствовать закону Ньютона в слабополевом приближении. А вот может ли оно быть слабее без изменения основных интегральных характеристик? Оказывается, что может [7] [9] [5]. Чтобы определить условия падения более слабые, чем (5.25) мы используем калибровочно инвариантные свойства полевой формулировки [5]. Как мы установили, уравнения движения калибровочно инвариантны на самих себе. Это означает, что для плоского фона полный тензор энергии-импульса при преобразованиях (5.9) преобразуется как: (5.27)

то есть, в силу определения оператора в (5.20), он инвариантен с точностью до ковариантной дивергенции. Тогда, калибровочная неинвариантность для интегралов движения (5.22) - (5.24) также скажется в поверхностных интегралах, а их значения могут регулироваться асимпототическим поведением

и их производных. Мы ставим задачу

найти самое слабое поведение и их производных, которое гарантирует калибровочную инвариантность (5.22) - (5.24), то есть инвариантоность интегралов (5.18) относительно подстановки (5.27). Важно отметить, что выражение

инвариантно (в абсолютном смысле,

безотносительно к условиям падения) относительно

что является самым первым членом суммы в (5.27), и, таким образом, больше не рассматривается. Теперь будем искать ограничения на поведение

. Используем следующие

очевидные требования:

•

(i) Динамические поля и падения (5.16) и (5.25), (5.26).

•

(ii) Каждая из исходных компонент является произвольной независимой величиной в каждой точке пространства Минковского. Естественна симметрия по нижним индексам.

•

(iii) Величины преобразованиях.

•

(iv) Функции являются класса и каждая следующая производная от падает быстрее предыдукщей на один порядок по степени r. Таким образом, все свойства сохраняются для .

Предположим условия падения для

удовлетворяют уравнениям Эйнштейна и условиям

изменяются как тензоры при Пуанкаре

в форме: (5.28)

Чтобы 4-импульс был инвариантен относительно калибровочных преобразований (5.9) необходимо предположить, что нечетная часть от калибровочной добавки убывает быстрее чем r-2, то есть

(5.29)

В силу пункта (ii) рассматриваем все члены типа

в (5.29) как независимые. Tогда, в

силу пункта (iv) неравенство (5.29) дает ограничение на поведение

: (5.30)

Этого условия достаточно, чтобы все оставшиеся члены в калибровочной сумме не давали вклада в . Аналогично, требование сохранения при калибровочных преобразованиях приводит к (5.31) Комбинирование (5.30) и (5.31) приводит к ограничениям на поведение (5.28) (5.32) которое одновременно гарантирует инвариантность относительно (5.9)

и

.

выражает тот факт, что в реальной островной системе гравитационные Условие переменные не могут падать быстрее ньютонова потенциала. Таким образом, подстановка (5.28) с условиями (5.32) в (5.9) дает поведение для гравитационных переменных в виде: (5.33) Асимптотика (5.33) с условиями (5.32) заметно слабее, чем исходная (5.25). Тем не менее все интегралы (5.18) (или в явном выражении -- (5.22) - (5.24)) сохраняют свои значения. Мало того, при каждом последующем калибровочном преобразовании (5.9) с (5.28) и (5.32):

мы уже не нарушим поведение (5.33), значения P(K) также остаются прежними.

Наислабейшее асимптотическое поведение (5.33) с условиями (5.32) являются новыми результатами, поскольку они уточняют и исправляют известные результаты [7] [9]. • •

5.3.1 Ненаблюдаемость фона в полевой формулировке 5.3.2 Замкнутая модель Фридмана в терминах полевой формулировки

5.3 Интерпретация заданного фона в полевой формулировке ОТО 5.3.1 Ненаблюдаемость фона в полевой формулировке Как мы уже отмечали, полевая и геометрическая формулировки ОТО -- это разные представления одной и той же теории, они эквивалентны. Наблюдательные предсказания должны быть одними и теми же. В ОТО принципиально нет наблюдаемого фиксированного пространства-времени. Действительно после отождествлений (5.34)

полевая формулировка переходит в геометрическую. Как метрика , так и поля исчезают из рассмотрения. Отождествление (5.34) говорит о том, что фоновые поля не участвуют во взаимодействиях независимо от динамических, таким образом -- это указание, что фоновые поля не наблюдаемы. Как проследить наглядно (физически) что фон действительно ненаблюдаем (см. подробнее работу [10])? Предположим, что пространство Минковского выбрано в качестве фона. В пространстве Минковского без всякой гравитации световой сигнал движется по прямым, его скорость и частота стабильны. Тем самым метрические свойства фона определяются однозначно стандартными процедурами с использованием света. В присутствии гравитационных полей

скорость световых

сигналов и частота изменяется. Тогда измерение расстояний становится сильно зависимым от

, то есть пространство Минковского перестает быть наблюдаемым

с помощью световых сигналов.

Оно также перестает быть наблюдаемым, если попытаться определить измерения с помощью гравитационно-волнового сигнала. Рассмотрим полевые уравнения полевой формулировки на плоском фоне (5.35) с левой частью (5.36) В необходимой калибровке в левой части (5.35), как видно из (5.36), может остаться лишь оператор Даламбера . Тем самым, казалось бы, определение пространства Минковского гарантировано. Но ,,не все карты открыты''! Необходимо учитывать самодействие в правой части (5.35). Среди всех членов там содержатся также члены типа , которые очевидно искажают даламбертиан пространства Минковского и делают это пространство ненаблюдаемым.

5.3.2 Замкнутая модель Фридмана в терминах полевой формулировки Здесь, на примере замкнутой Вселенной Фридмана мы покажем, что плоский фон можно использовать в самых казалось бы недопустимых ситуациях, когда топология фонового и физического пространства-времени не совпадают. С одной стороны, мы продемонстрируем условность такого выбора фона, с другой стороны, несмотря на это использование полевой формулировки приводит к вполне осмысленным результатам [11].

Рис.4. Стереографическая проекция Метрику замкнутого мира представим в виде: (5.37) Для построения полевой конфигурации выбираем фон как пространство Минковского с лоренцевыми координатами в (5.37) и разбиение: компоненты полевой конфигурации имеют значения:

Тогда ненулевые (5.38)

Такая конфигурация соответствует так называемой стереографической проекции 3-сферы на плоское 3-пространство (Рис. 4). ,,Нижний'' полюс сферы соответствует началу координат, ,,верхний'' полюс отождествляется сразу со всеми точками на формальной бесконечности плоского мира. Таким образом топология 3-сферы S3 как бы ,,упрощается'' до топологии плоского пространства E3. Поле (5.38) формально запоняет бесконечный объем. Если же производить физически разумные измерения с помощью реальных световых сигналов в гравитационном поле, то придем к стандартному значению объема 3-сферы.

Рис.5. Условность выбранного фона подчеркивается также следующим мысленным экспериментом. Представьте, что в пространстве Минковского, заполенном полем (5.38) лучи света движутся по окружностям с центром в начале координат (Рис. 5). Свободно свет не может двигаться таким образом, но картина может быть смоделирована с помощью системы зеркал и предельной процедуры. Тогда в сферической системе координат уравнение такой ,,геодезической'' имеет вид =

r

=

r0 = const,

=

Как видно, при ,,угловая'' скорость света становится бесконечной и для прохождения полной окружности на бесконечности времени совсем не требуется. При возвращении к физическому пространству-времени все становится на свои места, поскольку вся пространственная бесконечность пространства Минковского соответсвует одной единственной точке -- ,,верхнему'' полюсу 3-сферы. Несмотря на условность плоского фона в рамках замкнутой модели Фридмана, конфигурация (5.38) имеет вполне физическую интерпретацию. Действительно, посчитаем для нее интегралы движения (5.18), определяющие глобальные сохраняющиеся величины в пространстве Минковского. Мы получим все 10 величин равными нулю. Это как раз сооответствует возможному квантовому рождению замкнутого мира из ,,ничего'' [12]. • •

5.4.1 Проблемы интерпретации шварцшильдова решения 5.4.2 Решение методических проблем в рамках полевой формулировки

5.4 Некоторые проблемы интерпретации решений ОТО Интерпретация решений является одной из важных составляющих частей любой физической теории. Нарликаром [13] были описаны трудности, которые встречаются при описании распределения масс и энергии шварцшильдова решения в обычной геометрической формулировке ОТО. Мы приводим ниже эти аргументы. Затем, в рамках полевой формулировки, показываем, что эти интерпретационные (можно сказать методические) трудности становятся несущественными.

5.4.1 Проблемы интерпретации шварцшильдова решения Мы представляем проблемы, следуя работе [13]. Выпишем сферически симметричный элемент для статической системы в общем случае:

(5.39) Уравнения Эйнштейна приобретают вид [3]: (5.40)

(5.41)

(5.42)

где решение

,

и

. В пустом пространстве уранения (5.40) - (5.42) имеют (5.43)

Для выбора постоянной B предполагается, что на пространсвенной бесконечности гравитационные эффекты слабы и делается сравнение с ньютоновым законом тяготения: Тогда подстановка (5.43) в (5.39) и дает известное решение Шварцшильда. Строго говоря, такое определение B связано не только с гравитирующей массой, но и с ,,массой'' гравитационного поля, которое в рамках ОТО должно ,,весить'', а удаленный наблюдатель может чувствовать только массу всей системы в целом -- тела и гравитационного поля. Сначала опишем ПЕРВУЮ из проблем рассмотренных в работе [13]. Повторим упражнение предложенное в книге [3], то есть перепишем уравнение (5.40) в виде

и проинтегрируем его по объему до поверхности сферического тела с радиусом r = rs: (5.44) Такое определение массы не так естественно, как кажется с первого взгляда. Прежде всего, объемный элемент для гиперповерхности t = const в метрике (5.39) не будет больше как в

плоском мире , а на самом деле есть . Ландау и Лифшиц [3] интерпретируют этот факт как дефект масс. Однако этот вывод делается лишь на основании того, что значение интеграла (5.44) меньше, чем могло бы быть при интегрировании по без объяснений. Кроме того, интегрирование в (5.44) выполняется до r = rs, (то есть вся масса m определяется лишь материей), в то время как постоянная B была фактически определена материей с индуцированным ей гравитационным полем, как мы это отметили. То, что объяснение с помощью дефекта масс мало обосновано понимают давно. Поэтому в книге [14] предложена другая трактовка формулы (5.44): m = +

(5.45)

Здесь mN трактуется как нуклонная масса тела, как если бы оно было построено из свободных гравитационно невзаимодействующих частиц с плотностью

. Величина U определяется

, и, наконец, называется гравитационной как внутренняя энергия с плотностью потенциальной энергией. Название следует из того, что в слабополевом приближении

и находится в соответствии с ньютоновой потенциальной энергией. Но измененная формула (5.45) также не без изъянов, Бонди, еще в работе [15], отмечал, что член mN не является инвариантным.

ВТОРАЯ проблема рассмотренная Нарликаром [13] касается проблемы точечной массы. В ньютоновой гравитации такая проблема решается просто. Сама по себе она звучит так: Как описывать точечную массу, если мы желаем, чтобы ньютонов потенциал m/r имел смысл везде, включая точку r =0? Для этого достаточно предположить, что распределение масс задается в виде удовлетворяет обычному уравнеию Пуассона

, где

-функция

Мало того, как при обычном регулярном распределении точечной частицы того же интеграла:

, так и при распределении для

, полная масса системы расчитывается с помощью одного и

Если мы попытаемся в ОТО, используя Шварцшильдово решение, описать точечную массу, мы встретим концептуальные трудности. Предположим, что решение (5.43) имеет место во всем пространстве-времени, включая мировую линию r=0, тогда материальное распределение будет описываться компонентами тензора энергииимпульса: (5.46) Для такого распределения невозможно получить корректную массу системы интегрированием типа (5.44).

5.4.2 Решение методических проблем в рамках полевой формулировки Две отмеченные проблемы выглядят как методические, тем не менее они не разрешаются в рамках геометрической формулировки ОТО. Мы их разрешаем с помощью полевого подхода [16]. Для решения (5.39) выберем плоский фон в координатах этого же решения: (5.47)

Тогда в силу разбиения поля принимают вид:

ненулевые компоненты гравитационнгого

l00 = l22 =

(5.48)

Отметим, что если

-- это обычное решение Шварцшильда в вакууме, если

, то это решение в присутствии материи. Интеграл энергии с соответствующим вектором Киллинга (см. (5.18)) в координатах (5.47) приобретает вид: (5.49) где t00(tot) -- плотность распределения энергии обычной материи и гравитационного поля. В силу выполнения уравнений Эйнштейна (5.20) этот интеграл переписывается в виде поверхностного: (5.50) где вертикальная черта -- ковариантная производная по пространственной метрике в (5.47). Если есть необходимость, то интегрирование как в (5.49), так и в (5.50) может быть ограничено любой сферой r = r0. В случае интегрирования внутри материи (5.49), мы делаем предположение, что распределение достаточно регулярно, чтобы было допустимо интегрирование. Чтобы получить значение интеграла масс, как видно из (5.50), достаточно знать значения гравитационных потенциалов (5.48) на границе -- нет необходимости знать явные значения материальных переменных для вычисления (5.49), достаточно знать что они удовлетворяют уравнениям Эйнштейна. Так, для сферически симметричной островной системы интеграл (5.50) для полной массы дает естественный результат

mc2. В любом случае, уравнение (5.49) решает ПЕРВУЮ методическую проблему, действительно в (5.49) мы интегрируем в плоском пространстве и имеем правильный элемент интегрирования

.

Теперь перейдем ко ВТОРОЙ проблеме -- проблеме точечной массы. Поле (5.48) в ваккуме имеет вид: (5.51) Мы предполагаем, что это решение справедливо также на мировой линии r=0. Для (5.51), включая мировую линию r=0, формулы полевой формулировки позволяют посчитать полную плотность энергии

(5.52)

которая разбивается на материальную и гравитационнуую части: (5.53)

(5.54)

Формулы (5.52) - (5.54), может быть не так изящно как в ньютоновой гравитации, но вполне разумно (в отличие от геометрической формулировки) представляют плотность массы для точечной частицы в ОТО. Мало того, подстановка плотности энергии ttot00 из (5.52) в интеграл масс (5.49) вполне допустимо и прямое интегрирование дает ожидаемый результат mc2. Таким образом вторая методическая проблема также решается в рамках полевого формализма.

Литература к Лекции 5 1 A.D. Popova and A.N. Petrov, Int. J. Mod. Phys. A, 3, 2651 (1988). 2 J.A. Schouten, Tensor analysis for physics (Oxford: Clarendon Press, 1951). 3 Л.Д. Ландау, М.Е. Лифшиц, Теория поля, Москва: Наука, 1988. 4 Л.Д. Фаддеев, Успехи физ. наук, 136, 433 (1982). 5 А.Н. Петров, Int. J. Mod. Phys. D, 4, 451 (1995). 6 T. Regge and C. Teitelboim, Ann. Phys., 88, 286 (1974). 7 N. ÓMurchadha, J. Math. Phys., 27, 2111 (1986). 8 В.О. Соловьев, ТМФ, 65, 400 (1985). 9 P.T. Chrusciel, Class. Quantum Grav., 3, L115 (1988). 10 L.P.Grishchuk, A.N. Petrov and A.D. Popova, Commun. Math. Phys., 94, 379 (1984). 11 Л.П. Грищук и А.Н. Петров, Письма в АЖ, 12, 429 (1986). 12 Л.П. Грищук и Я.Б. Зельдович, в кн.: Я.Б. Зельдович, Избранные труды, II, 179 (1985). 13 J.V. Narlikar, "Some conceptual problems in general relativity and cosmology", in: A Random Walk in Relativity and Cosmology, eds.: N. Dadhich, J. Krishna Rao, J.V. Narlikar and C.V. Vishevara (New Delhi: Viley Eastern Limited, 1985) p.p. 171 - 183. 14 Ч. Мизнер, К. Торн, и Дж. Уилер, Гравитация, том 2, (Москва: Мир, 1977). (Ch. W. Misner, K. S. Thorne and J. A. Wheller, Gravitation, (San Francisco, Freeman, 1973). 15 H. Bondi, Proc. Roy. Soc. A, 281, 39 (1964). 16 A.N. Petrov and J.V. Narlikar, Found. Phys, 26, 1201 (1996); Erratum, Found. Phys, 28, 1023 (1998).