ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàë...
31 downloads
303 Views
204KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ
¾ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿ Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê ÓÒÂÅÐÆÄÀÞ
Ðàññìîòðåíî è ðåêîìåíäîâàíî
Íà çàñåäàíèè êàôåäðû ÒÔ è ÔÀ ÐÃÓ Ïðîòîêîë 2005ã. Çàâ.êàôåäðîé
Äåêàí ôàêóëüòåòà (çàì. äåêàíà ïî ó÷åáíîé ðàáîòå) 2005ã.
Ó×ÅÁÍÎ-ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÎÌÏËÅÊÑ ó÷åáíîé äèñöèïëèíû ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ âóçîâñêîãî êîìïîíåíòà öèêëà ÎÏÄ ïî ñïåöèàëüíîñòè 010500 Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà êâàëèôèêàöèè è íàïðàâëåíèÿ ïîäãîòîâêè 010501 Ìàòåìàòèê, ñèñòåìíûé ïðîãðàììèñò
Ñîñòàâèòåëè: Â.Å.Êîâàëü÷óê, Ï.À.×àëîâ
Ðîñòîâ-íà-Äîíó 2005 1
Ðàáî÷àÿ ïðîãðàììà ïî äèñöèïëèíå Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç
äëÿ ñòóäåíòîâ äíåâíîãî îòäåëåíèÿ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ñïåöèàëüíîñòè 010500 Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà êâàëèôèêàöèè è íàïðàâëåíèÿ ïîäãîòîâêè 010501 Ìàòåìàòèê, ñèñòåìíûé ïðîãðàììèñò Ñîãëàñíî ãîñóäàðñòâåííîãî îáðàçîâàòåëüíîãî ñòàíäàðòà âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ îò 23 ìàðòà 2000 ãîäà íà èçó÷åíèå äèñöèïëèíû "Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç"îòâåäåíî 816 ÷àñîâ (204 ÷àñà ëåêöèîííûå + 204 ÷àñà ïðàêòè÷åñêèå àóäèòîðíûå çàíÿòèÿ + 408 ÷àñîâ ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòà) â òå÷åíèå ÷åòûðåõ ñåìåñòðîâ è ïðåäóñìîòðåíû ñëåäóþùèå ôîðìû îò÷åòíîñòè: 4 ýêçàìåíà, 4 çà÷åòà è 8 êîíòðîëüíûõ ðàáîò.
Öåëü è çàäà÷è êóðñà Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç îáùåîáðàçîâàòåëüíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ äèñöèïëèíà, îáúåêòîì èçó÷åíèÿ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ áîëüøàÿ îáëàñòü ìàòåìàòèêè, ñâÿçàííàÿ ñ ïîíÿòèÿìè ôóíêöèè, ïðîèçâîäíîé è èíòåãðàëà. Öåëü äèñöèïëèíû "Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç îçíàêîìëåíèå ñ ôóíäàìåíòàëüíûìè ìåòîäàìè èññëåäîâàíèÿ ïåðåìåííûõ âåëè÷èí ïîñðåäñòâîì àíàëèçà áåñêîíå÷íî ìàëûõ, îñíîâó êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò òåîðèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Îáúåêòàìè èçó÷åíèÿ â äàííîé äèñöèïëèíå ÿâëÿþòñÿ ïðåæäå âñåãî ôóíêöèè. Ñ èõ ïîìîùüþ ìîãóò áûòü ñôîðìóëèðîâàíû êàê çàêîíû ïðèðîäû, òàê è ðàçíîîáðàçíûå ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå â òåõíèêå. Îòñþäà îáúåêòèâíàÿ âàæíîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà êàê ñðåäñòâà èçó÷åíèÿ ôóíêöèé. Äèñöèïëèíà "Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç"îòðàæàåò âàæíîå íàïðàâëåíèå ðàçâèòèÿ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè.  íåé ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ ìåòîäàìè âû÷èñëåíèé, ÷òî âàæíî äëÿ ñòóäåíòîâ ýòîé ñïåöèàëüíîñòè.
2
1
Òåîðåòè÷åñêàÿ (ëåêöèîííàÿ) ÷àñòü
204 ÷àñà àóä. çàíÿòèÿ + 204 ÷àñà ñàì. ðàáîòà, îò÷åòíîñòè 4 ýêçàìåíà
1.1
Ïåðâûé ñåìåñòð (51 àóä. ÷àñ + 51 ÷àñ ñàì. ðàá., ýêçàìåí)
I. Ââåäåíèå (2 ÷àñà) Ïðåäìåò ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Åñòåñòâîçíàíèå, êàê èñòî÷íèê îñíîâíûõ ïîíÿòèé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Îáùåå ïîíÿòèå ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ èçó÷åíèåì ôóíêöèè. Èíúåêòèâíîå, ñþðúåêòèâíîå, áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèÿ. Êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé. Ïîíÿòèå îáðàòíîé ôóíêöèè. Ïðîñòåéøèå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè. Ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè. Ãðàôèê ôóíêöèè. Ãðàôèêè ïðîñòåéøèõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. II. Òåîðèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (4 ÷àñà) Ìíîæåñòâî ÷èñåë, ïðåäñòàâèìûõ áåñêîíå÷íûìè äåñÿòè÷íûìè äðîáÿìè, è åãî óïîðÿäî÷åííîñòü. Ìíîæåñòâà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë îãðàíè÷åííûå ñâåðõó, ñíèçó. Òî÷íûå ãðàíè ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ. Íàèáîëüøèé è íàèìåíüøèé ýëåìåíòû ìíîæåñòâà. Òî÷íûå ãðàíè êîíå÷íûõ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè òî÷íûõ ãðàíåé ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ. Íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà è èõ òî÷íûå ãðàíè. Ïëîòíîñòü êîíå÷íî-äåñÿòè÷íûõ ÷èñåë. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè è èõ êîððåêòíîñòü. Ñ÷¼òíûå ìíîæåñòâà. Òåîðåìû îá îáúåäèíåíèè êîíå÷íûõ (ñ÷åòíûõ) ìíîæåñòâ. Ñ÷¼òíîñòü ìíîæåñòâà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Íåñ÷åòíûå ìíîæåñòâà. Íåñ÷¼òíîñòü ìíîæåñòâà òî÷åê èíòåðâàëà (0; 1). III. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (9 ÷àñîâ) ×èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Îêðåñòíîñòü, ε-îêðåñòíîñòü òî÷êè. Ñõîäÿùèåñÿ è ðàñõîäÿùèåñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Åäèíñòâåííîñòü ïðåäåëà. Îãðàíè÷åííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ñâÿçü ìåæäó ñõîäèìîñòüþ è îãðàíè÷åííîñòüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä â íåðàâåíñòâàõ. Ïðèíöèï äâóñòîðîííåãî îãðàíè÷åíèÿ. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä ñõîäÿùèìèñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè. Áåñêîíå÷íî ìàëûå è áåñêîíå÷íî áîëüøèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ñâÿçü ìåæäó íèìè. Ðàñøè˙ è R. ¯ ðåíèÿ îáëàñòè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë R Ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òåîðåìà î ïðåäåëå ìîíîòîííîé îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïðèìåðû ìîíîòîííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé: ¶ µ 1 cn a , n ∈ N (a > 0). xn = , n ∈ N (c > 0); xn+1 = xn + n! 2 xn Áèíîì Íüþòîíà. Ñòÿãèâàþùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåãìåíòîâ; òåîðåìà Êàíòîðà. Âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è èõ ñâîéñòâà. Êðèòåðèé ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â òåðìèíàõ âåðõíåãî è íèæíåãî ïðåäåëîâ. Ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è èõ ñâîéñòâà. Òåîðåìà ÁîëüöàíîÂåéåðøòðàññà. ×àñòè÷íûé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. 3
Ôóíäàìåíòàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. IV. Ïðåäåë (ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå) ôóíêöèè â òî÷êå (4 ÷àñà) Ïðåäåëüíûå è èçîëèðîâàííûå òî÷êè, òî÷êè ïðèêîñíîâåíèÿ ìíîæåñòâà. Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà. Ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå ïî Êîøè è ïî Ãåéíå; èõ ýêâèâàëåíòíîñòü. Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà. Îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä ôóíêöèÿìè, èìåþùèìè ïðåäåë. Ïåðâûé è âòîðîé çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû. Ìîíîòîííûå è ñòðîãî ìîíîòîííûå ôóíêöèè. Ñóùåñòâîâàíèå îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ ó ìîíîòîííûõ ôóíêöèé. Áåñêîíå÷íî áîëüøèå è áåñêîíå÷íî ìàëûå ôóíêöèè. Ñðàâíåíèå áåñêîíå÷íî ìàëûõ (áåñêîíå÷íî áîëüøèõ) ôóíêöèé. Ýêâèâàëåíòíûå áåñêîíå÷íî ìàëûå ôóíêöèè. Ñèìâîëû î, O∗ è Î. V. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè (5 ÷àñîâ) Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå (îïðåäåëåíèÿ Êîøè è Ãåéíå). Îäíîñòîðîííÿÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè íà ìíîæåñòâå. Òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè. Êëàññèôèêàöèÿ ðàçðûâîâ. Òåîðåìà îá óñòîé÷èâîñòè çíàêà íåïðåðûâíîé ôóíêöèè. Ïåðâàÿ òåîðåìà Áîëüöàíî-Êîøè î ïðîõîæäåíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ÷åðåç íóëü ïðè ñìåíå çíàêîâ; å¼ ïðèìåíåíèå ê ðåøåíèþ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Âòîðàÿ òåîðåìà Áîëüöàíî-Êîøè î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè. Êðèòåðèé íåïðåðûâíîñòè ñòðîãî ìîíîòîííîé ôóíêöèè. Òåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèè è íåïðåðûâíîñòè îáðàòíîé ôóíêöèè. Íåïðåðûâíîñòü ñëîæíîé ôóíêöèè. Íåïðåðûâíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â èõ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ:
loga (1 + x) ; x→0 x lim
ax − 1 ; x→0 x lim
(1 + x)µ − 1 . x→0 x lim
Äâå òåîðåìû Âåéåðøòðàññà î íåïðåðûâíîé íà ñåãìåíòå ôóíêöèè. VI. Ïðîèçâîäíàÿ è äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè â òî÷êå (4 ÷àñà) Ïðèðàùåíèå ôóíêöèè. Ðàçíîñòíàÿ ôîðìà óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè â òî÷êå. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé. Äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè. Ñâÿçü äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè ñ ñóùåñòâîâàíèåì ïðîèçâîäíîé. Íåïðåðûâíîñòü äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè â òî÷êå. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè â òî÷êå è åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíîé ôóíêöèè. Ïðîèçâîäíàÿ îáðàòíîé ôóíêöèè è å¼ ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä äèôôåðåíöèðóåìûìè ôóíêöèÿìè. Ïðîèçâîäíûå ïðîñòåéøèõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ïðîèçâîäíàÿ. Ïðîèçâîäíàÿ ñòåïåííî-ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè. Èíâàðèàíòíîñòü ôîðìû ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëà. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè. VII. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ ÷èñëîâîé ôóíêöèè (2 ÷àñ) Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ ÷èñëîâîé ôóíêöèè âåùåñòâåííîãî ïåðåìåííîãî. Òåîðåìà Ëåéáíèöà. Ïàðàìåòðè÷åñêîå äèôôåðåíöèðîâàíèå. VIII. Îñíîâíûå òåîðåìû äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ ÷èñëîâûõ ôóíêöèé (11 ÷àñîâ) 4
Âîçðàñòàíèå è óáûâàíèå ôóíêöèè â òî÷êå. Ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì. Òåîðåìû Ôåðìà, Ðîëëÿ, Ëàãðàíæà, Êîøè. Ïîñòîÿíñòâî ôóíêöèè, èìåþùåé íà èíòåðâàëå ðàâíóþ íóëþ ïðîèçâîäíóþ. Êðèòåðèé ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè íà èíòåðâàëå. Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè íà èíòåðâàëå. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ. 0 ∞ Ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ ðàñêðûòèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé âèäà è . 0 ∞ Ôîðìóëà Òåéëîðà. Îñòàòî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû Òåéëîðà â îáùåé ôîðìå, â ôîðìå Ëàãðàíæà, Êîøè è Ïåàíî. Îöåíêà îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà. Ôîðìóëà Ìàêëîðåíà. Ðàçëîæåíèå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà è èõ ïðèëîæåíèÿ ê âû÷èñëåíèþ ïðåäåëîâ. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà ôóíêöèè â òî÷êå. Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà ñåãìåíòå. Âûïóêëûå ôóíêöèè. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë âûïóêëîñòè ôóíêöèè. Êðèòåðèè âûïóêëîñòè ôóíêöèè. Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñòðîãîé âûïóêëîñòè ôóíêöèè. Òî÷êè ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèÿ ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè. Àñèìïòîòû ãðàôèêà ôóíêöèè. Êðèòåðèè ñóùåñòâîâàíèÿ íàêëîííîé àñèìïòîòû. Îáùàÿ ñõåìà ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè. IX. Îñíîâíûå òåîðåìû î ôóíêöèÿõ, íåïðåðûâíûõ íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå (5 ÷àñîâ) Ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíûå ôóíêöèè. Òåîðåìà Êàíòîðà. Îòêðûòûå ìíîæåñòâà; êðèòåðèé îòêðûòîñòè ìíîæåñòâà. Êîìïàêòíûå ìíîæåñòâà. Ëåììà Ãåéíå-Áîðåëÿ äëÿ ñåãìåíòà. Ëåììà Ãåéíå-Áîðåëÿ äëÿ çàìêíóòîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà. Êðèòåðèé êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâà â R. X. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë (5 ÷àñîâ) Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè. Òàáëèöà îñíîâíûõ íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ. Îñíîâíûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ. Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé. Íåêîòîðûå êëàññû ôóíêöèé, èíòåãðèðóåìûõ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ.
1.2
Âòîðîé ñåìåñòð (51 àóä. ÷àñ + 51 ÷àñ ñàì. ðàá., ýêçàìåí)
I. Èíòåãðàë Ðèìàíà (10 ÷àñîâ) Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë Ðèìàíà. Óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà Ðèìàíà (òåîðåìà Äàðáó). Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé. Ñâîéñòâà èíòåãðàëà Ðèìàíà. Ñóùåñòâîâàíèå ïåðâîîáðàçíîé äëÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè. Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà. Çàìåíà ïåðåìåííîé è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë Ðèìàíà îò íåîãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé è îò ôóíêöèé îïðåäåë¼ííûõ íà íåîãðàíè÷åííûõ ïðîìåæóòêàõ. Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ. Ãëàâíîå çíà÷åíèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà. II. Ãåîìåòðè÷åñêèå è ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà (6 ÷àñîâ) Äëèíà äóãè êðèâîé. Ïëîùàäü ïëîñêîé ôèãóðû. Âû÷èñëåíèå íåêîòîðûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. III. Ïðîñòðàíñòâî Rn (4 ÷àñà) Ëèíåéíûå îïåðàöèè, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ìåòðèêà. Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà n R . Ïîíÿòèå îêðåñòíîñòè. Ñõîäÿùèåñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è èõ ñâîéñòâà. Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà. Ïðåäåëüíûå òî÷êè ìíîæåñòâà. Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà. Òåîðåìà Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà. 5
IV. Îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà G(⊂ Rn ) â Rm (3 ÷àñà) Ñêàëÿðíûå è âåêòîðíûå ôóíêöèè îäíîãî è íåñêîëüêèõ âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ. Ãðàôèê ôóíêöèè. Ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå. Ïîâòîðíûå ïðåäåëû. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå. Òåîðåìû Âåéåðøòðàññà. Ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíûå ôóíêöèè; òåîðåìà Êàíòîðà. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû. Íîðìà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. Ïîíÿòèå î ïîëèëèíåéíûõ ôîðìàõ. V. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñêàëÿðíûõ è âåêòîðíûõ ôóíêöèé (10 ÷àñîâ) ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé è èõ âû÷èñëåíèå. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ïðîèçâîäíàÿ è äèôôåðåíöèàë ôóíêöèé íåñêîëüêèõ âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ â òî÷êå. Ñâÿçü äèôôåðåíöèðóåìîñòè ñêàëÿðíûõ è âåêòîðíûõ ôóíêöèé ñ ñóùåñòâîâàíèåì ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Äèôôåðåíöèðóåìîñòü ñëîæíîé ôóíêöèè. Èíâàðèàíòíîñòü ôîðìû ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëà. Òåîðåìà Ëàãðàíæà äëÿ ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ. Ãðàäèåíò. VI. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ (3 ÷àñà) ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ. Òåîðåìà î ðàâåíñòâå ñìåøàííûõ ïðîèçâîäíûõ. Ôîðìóëà Òåéëîðà äëÿ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé. VII. Ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì (3 ÷àñà) Ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì ñêàëÿðíîé ôóíêöèè íåñêîëüêèõ âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ. Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà â òåðìèíàõ ïåðâîãî è âòîðîãî äèôôåðåíöèàëîâ. VIII. Íåÿâíûå ôóíêöèè (5 ÷àñîâ) Çàäà÷à î ðàçðåøèìîñòè ñèñòåìû óðàâíåíèé. Íåÿâíûå ôóíêöèè. Òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ, äèôôåðåíöèðóåìîñòè íåÿâíûõ ôóíêöèé. Âû÷èñëåíèå ïðîèçâîäíûõ íåÿâíûõ ôóíêöèé. Òåîðåìà îá îáðàòíîé ôóíêöèè. IX. Óñëîâíûé ýêñòðåìóì (4 ÷àñà) Ïîíÿòèå îá óñëîâíîì ýêñòðåìóìå. Ìåòîä Ëàãðàíæà. Îáùàÿ ñõåìà îòûñêàíèÿ íàèáîëüøèõ è íàèìåíüøèõ çíà÷åíèé ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. X. Ñèñòåìû ôóíêöèé (3 ÷àñà) Òåîðåìû î çàâèñèìîñòè è íåçàâèñèìîñòè ñèñòåìû ôóíêöèé.
1.3
Òðåòèé ñåìåñòð (51 àóä. ÷àñ + 51 ÷àñ ñàì. ðàá., ýêçàìåí)
I. ×èñëîâûå ðÿäû (8 ÷àñîâ) ×èñëîâîé ðÿä. ×àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà. Ñõîäÿùèåñÿ è ðàñõîäÿùèåñÿ ÷èñëîâûå ðÿäû. ×èñëîâûå ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Êðèòåðèé (íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå) ñõîäèìîñòè ðÿäîâ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà. Ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä. Ðàñõîäèìîñòü ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà. Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè. Ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Ïðèçíàêè Äàëàìáåðà è Êîøè. Ïðèëîæåíèå ÷èñëîâûõ ðÿäîâ ê âû÷èñëåíèþ ïðåäåëîâ. Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Î ïåðåñòàíîâêå ÷ëåíîâ ñõîäÿùèõñÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä ñõîäÿùèìèñÿ ðÿäàìè. Ïðèçíàêè Ëåéáíèöà, Àáåëÿ è Äèðèõëå ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. II. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû (18 ÷àñîâ)
6
Îïðåäåëåíèå ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäà. Ïîòî÷å÷íàÿ è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ. Ïðèçíàêè Âåéåðøòðàññà, Àáåëÿ, Äèðèõëå è Äèíè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè. Êðèòåðèé Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè. Íåïðåðûâíîñòü ïðåäåëüíîé ôóíêöèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ñóììû ðÿäà. Ïî÷ëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè è ôîðìóëà Êîøè-Àäàìàðà. Îñíîâíûå ñâîéñòâà ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Òåîðåìà Àáåëÿ. Ïî÷ëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Ðàâíîìåðíîå ïðèáëèæåíèå íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ìíîãî÷ëåíàìè (òåîðåìà Âåéåðøòðàññà îá àïïðîêñèìàöèè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ìíîãî÷ëåíàìè). III. Êðàòíûå èíòåãðàëû (14 ÷àñîâ) Çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ïîíÿòèþ êðàòíîãî èíòåãðàëà Ðèìàíà. Îïðåäåëåíèå n-êðàòíîãî èíòåãðàëà Ðèìàíà ïî n-ìåðíîìó ïðÿìîóãîëüíèêó. Âåðõíèé è íèæíèé èíòåãðàëû Äàðáó. Êðèòåðèé èíòåãðèðóåìîñòè ïî n-ìåðíîìó ïðÿìîóãîëüíèêó. Ìíîæåñòâà íóëåâîãî îáú¼ìà è íóëåâîé ìåðû. Îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà Ðèìàíà ïî ïðîèçâîëüíîé îáëàñòè â Rn . Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé. Îñíîâíûå ñâîéñòâà êðàòíûõ èíòåãðàëîâ. Ñâåäåíèå êðàòíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó (òåîðåìà Ôóáèíè). Ïðèìåíåíèå òåîðåìû Ôóáèíè ê âû÷èñëåíèþ äâîéíûõ è òðîéíûõ èíòåãðàëîâ. Çàìåíà ïåðåìåííûõ â n-êðàòíîì èíòåãðàëå. IV. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû (3 ÷àñà) Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ. Ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè. Íåñîáñòâåííûå êðàòíûå èíòåãðàëû. Îáùàÿ ñõåìà ïðèìåíåíèÿ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ Ðèìàíà â ãåîìåòðèè, ìåõàíèêå è ôèçèêå. V. Ðÿäû Ôóðüå (8 ÷àñîâ) Îðòîãîíàëüíûå ñèñòåìû â åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Ðÿäû Ôóðüå ïî îðòîãîíàëüíûì ñèñòåìàì. Íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ. Çàìêíóòûå è ïîëíûå îðòîíîðìèðîâàííûå ñèñòåìû. Ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà è å¼ çàìêíóòîñòü. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå. Ðÿä Ôóðüå â êîìïëåêñíîé ôîðìå. Óñëîâèÿ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè è ñõîäèìîñòè â òî÷êå. Ïðèíöèï ëîêàëèçàöèè. Óñëîâèÿ ïî÷ëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Ïîíÿòèå î êðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäàõ Ôóðüå.
1.4
×åòâåðòûé ñåìåñòð (51 àóä. ÷àñ + 51 ÷àñ ñàì. ðàá., ýêçàìåí)
I. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà (9 ÷àñîâ) Ñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà. Íåïðåðûâíîñòü, èíòåãðèðóåìîñòü è äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïî ïàðàìåòðó. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ïåðâîãî ðîäà, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà. Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü; êðèòåðèé Êîøè. Ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè. Íåïðåðûâíîñòü, èíòåãðèðóåìîñòü è äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïî ïàðàìåòðó. Èíòåãðàëû Ýéëåðà-Ïóàññîíà è Äèðèõëå. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû âòîðîãî ðîäà, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà. Èíòåãðàëû Ýéëåðà (ãàììà- è áåòà-ôóíêöèè); èõ îñíîâíûå ñâîéñòâà. II. Òåîðèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî (26 ÷àñîâ) 7
Êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Ñõîäÿùèåñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Ðàñøèðåííàÿ êîìˆ . Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. ïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü C Ôóíêöèè îäíîé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé. Ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå. Íåïðåðûâíîñòü â òî÷êå òî÷êè ðàçðûâà. Ïðîñòåéøåå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî (ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, äðîáíî-ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, ïîêàçàòåëüíàÿ è ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèè, ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ) è ñîîòâåòñòâóþùèå èì îòîáðàæåíèÿ. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. Èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Òåîðåìà Êîøè. Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé â îäíîñâÿçíûõ è ìíîãîñâÿçíûõ îáëàñòÿõ. Èíòåãðàë Êîøè è èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Êîøè. Èíòåãðàë òèïà Êîøè. Òåîðåìà î ñðåäíåì çíà÷åíèè. Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà î ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäàõ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè è èõ ðàçëîæåíèå â ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäû. Ñâîéñòâà ìàêñèìóìà àíàëèòè÷åñêèõ è ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé. Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè. Èçîëèðîâàííûå îñîáûå òî÷êè îäíîçíà÷íîãî õàðàêòåðà àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé è èõ êëàññèôèêàöèÿ. Íóëè àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ðÿä Ëîðàíà. Ïîâåäåíèå ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè. Âû÷åòû è îñíîâíàÿ òåîðåìà î âû÷åòàõ. Ïðèìåíåíèå òåîðèè âû÷åòîâ ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëîâ. Ëåììà Æîðäàíà. Ïðèíöèï àðãóìåíòà è åãî ïðèìåíåíèå. Àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ôóíêöèè. Ïîíÿòèå ïîëíîé àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè. Ðèìàíîâû ïîâåðõíîñòè ïðîñòåéøèõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. Òî÷êè ðàçâåòâëåíèÿ. Îäíîëèñòíûå ôóíêöèè. Îáðàùåíèå àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé. III. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà (16 ÷àñîâ) Ìåðà Ëåáåãà íà ïðÿìîé è â Rn . Èçìåðèìûå ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâà è èõ ñâîéñòâà. Ñâîéñòâà ìåðû Ëåáåãà. Ïðèìåðû èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ. Êàíòîðîâî ìíîæåñòâî. Èçìåðèìûå ôóíêöèè. Ñõîäèìîñòü ïî÷òè âñþäó è ñõîäèìîñòü ïî ìåðå; ñâÿçü ìåæäó íèìè. Àëãåáðà è σ -àëãåáðà ìíîæåñòâ, σ -àääèòèâíûå ìåðû. Ïðîñòûå ôóíêöèè. Èíòåãðàë Ëåáåãà è åãî ñâîéñòâà. Òåîðåìû Ëåáåãà, Ëåâè è Ôàòó î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå ïîä çíàêîì èíòåãðàëà Ëåáåãà. Èíòåãðàë Ëåáåãà íà ïðÿìîé è â ìíîãîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ñâÿçü èíòåãðàëà Ëåáåãà ñ èíòåãðàëîì Ðèìàíà. Ìåðà Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà. Èíòåãðàë Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà. Ïðîñòðàíñòâà Ëåáåãà Lp è èõ ïîëíîòà. Ïëîòíîñòü â Lp ìíîæåñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. Òåîðåìà Ôóáèíè.
2
Ïðàêòè÷åñêàÿ ÷àñòü
204 ÷àñà àóä. çàíÿòèÿ + 204 ÷àñà ñàì. ðàáîòà, îò÷åòíîñòè 8 êîíòðîëüíûõ ðàáîò, 4 çà÷åòà
2.1
Ïåðâûé ñåìåñòð
51 àóä. ÷àñ + 51 ÷àñ ñàì. ðàá., 2 êîíòðîëüíûå ðàáîòû, çà÷åò 8
1. Ââåäåíèå. Ôóíêöèÿ: îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ è îáëàñòü èçìåíåíèÿ. Ãðàôèêè ôóíêöèé â äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé è ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ïàðàìåòðè÷åñêîå çàäàíèå ôóíêöèé. (4 ÷àñà) 2. Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Îãðàíè÷åííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Áåñêîíå÷íî ìàëûå è áåñêîíå÷íî áîëüøèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. ×àñòè÷íûå ïðåäåëû. Âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû. (8 ÷àñîâ) 3. Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè. Ïðåäåë (ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå) è íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè. Ðàñêðûòèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé. Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû. Ýêâèâàëåíòíûå ôóíêöèè, ñèìâîëû Ëàíäàó. Íåïðåðûâíûå ôóíêöèè è òî÷êè ðàçðûâà. (10 ÷àñîâ) 4. Äèôôåðåíöèðîâàíèå. Âû÷èñëåíèå ïðîèçâîäíîé. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè è íåÿâíî. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ. (10 ÷àñîâ) 5. Ðàñêðûòèå íåîïðåäåëåííîñòåé. Ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ ðàñêðûòèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé. (3 ÷àñà) 6. Ôîðìóëà Òåéëîðà. Ôîðìóëû Òåéëîðà è Ìàêëîðåíà. Ðàçëîæåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà è èõ ïðèëîæåíèÿ ê ïðèáëèæåííûì âû÷èñëåíèÿì è ê âû÷èñëåíèþ ïðåäåëîâ. (8 ÷àñîâ) 7. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ ïðîèçâîäíîé. Ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì. Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà ñåãìåíòå. Òî÷êè ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé è ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ. (8 ÷àñîâ)
2.2
Âòîðîé ñåìåñòð
51 àóä. ÷àñ + 51 ÷àñ ñàì. ðàá., 2 êîíòðîëüíûå ðàáîòû, çà÷åò 1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè. Òàáëèöà îñíîâíûõ íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ. Îñíîâíûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ. Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé. Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé. Èíòåãðèðîâàíèå èððàöèîíàëüíîñòåé. (20 ÷àñîâ) 2. Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë Ðèìàíà. Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà. Çàìåíà ïåðåìåííîé è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Ïðèëîæåíèÿ îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà ê âû÷èñëåíèþ ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð è äëèí äóã ïëîñêèõ è ïðîñòðàíñòâåííûõ êðèâûõ. Âû÷èñëåíèå íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ. (10 ÷àñîâ) 3. Ñêàëÿðíûå ôóíêöèè íåñêîëüêèõ âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ. Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé è èõ âû÷èñëåíèå. Ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ. Çàìåíà ïåðåìåííûõ â äèôôåðåíöèàëüíûõ âûðàæåíèÿõ. Ëîêàëüíûé è óñëîâíûé ýêñòðåìóìû. Ìåòîä Ëàãðàíæà. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå íàèáîëüøèõ è íàèìåíüøèõ çíà÷åíèé ôóíêöèé. (23 ÷àñà)
2.3
Òðåòèé ñåìåñòð
51 àóä. ÷àñ + 51 ÷àñ ñàì. ðàá., 2 êîíòðîëüíûå ðàáîòû, çà÷åò 1. ×èñëîâûå ðÿäû. Ñõîäèìîñòü ÷èñëîâîãî ðÿäà. Ñõîäèìîñòü ðÿäîâ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Ïðèçíàêè Äàëàìáåðà è Êîøè. Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Ïðèçíàêè Ëåéáíèöà, Àáåëÿ è Äèðèõëå ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Ïðèëîæåíèå ÷èñëîâûõ ðÿäîâ ê âû÷èñëåíèþ ïðåäåëîâ. (8 ÷àñîâ) 2. Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû. Ïîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü, îáëàñòü ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ. Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëü9
íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ. Ïðèçíàêè Âåéåðøòðàññà, Àáåëÿ, Äèðèõëå è Äèíè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè. Ïî÷ëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ. 3. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè è ôîðìóëà Êîøè-Àäàìàðà. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ñòåïåííîé ðÿä. Ñóììèðîâàíèå ñòåïåííûõ ðÿäîâ. (10 ÷àñîâ) 4. Êðàòíûå èíòåãðàëû. Ñâåäåíèå êðàòíîãî (äâîéíîãî è òðîéíîãî) èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó. Çàìåíà ïåðåìåííûõ â êðàòíîì èíòåãðàëå. Ïîëÿðíàÿ, öèëèíäðè÷åñêàÿ è ñôåðè÷åñêàÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ äâîéíûõ è òðîéíûõ èíòåãðàëîâ. (20 ÷àñîâ) 5. Ðÿäû Ôóðüå. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ðÿä Ôóðüå. Ñóììèðîâàíèå ðÿäîâ Ôóðüå. (5 ÷àñîâ)
2.4
×åòâåðòûé ñåìåñòð
51 àóä. ÷àñ + 51 ÷àñ ñàì. ðàá., 2 êîíòðîëüíûå ðàáîòû, çà÷åò 1. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû. Ñõîäèìîñòü, ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ 1-ãî è 2-ãî ðîäà. (4 ÷àñà) 2. Ñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà. Íåïðåðûâíîñòü, èíòåãðèðóåìîñòü è äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïî ïàðàìåòðó. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ è äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî ïàðàìåòðó. (8 ÷àñîâ) 3. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà. Îáëàñòü ñõîäèìîñòè è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü. Ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè. Íåïðåðûâíîñòü, èíòåãðèðóåìîñòü è äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïî ïàðàìåòðó. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ è äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî ïàðàìåòðó. Èíòåãðàëû Ýéëåðà-Ïóàññîíà, Äèðèõëå, Ëàïëàñà. Èíòåãðàëû Ýéëåðà (ãàììà- è áåòà-ôóíêöèè). (16 ÷àñîâ) 4. Ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå. Íåïðåðûâíîñòü â òî÷êå òî÷êè ðàçðûâà. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà. Èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Òåîðåìà Êîøè. Èíòåãðàë Êîøè è èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Êîøè. Èíòåãðàë òèïà Êîøè. Ðÿä Ëîðàíà. Ðàçëîæåíèå àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè â ðÿä Ëîðàíà. Èçîëèðîâàííûå îñîáûå òî÷êè îäíîçíà÷íîãî õàðàêòåðà àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé è èõ êëàññèôèêàöèÿ. Âû÷åòû. Âû÷èñëåíèå âû÷åòîâ. Ïðèìåíåíèå òåîðèè âû÷åòîâ ê âû÷èñëåíèþ íåêîòîðûõ òèïîâ îïðåäåë¼ííûõ èíòåãðàëîâ. Ïðèíöèï àðãóìåíòà è åãî ïðèìåíåíèå. (23 ÷àñà)
Îáÿçàòåëüíàÿ ëèòåðàòóðà
1. Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×àñòè I,II, Ì.:Íàóêà, 1971, 1973. 2. Â.À. Èëüèí, Â.À. Ñàäîâíè÷èé, Áë.Õ. Ñåíäîâ, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, Ì.:Íàóêà, 1979. 3. Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Òîìà I,II,III, Ì.:Íàóêà, 1969, 1962, 1969. 4. Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Òîìà I,II, Ì.:Íàóêà, 1968. 5. À.Ã.Ñâåøíèêîâ, À.Í.Òèõîíîâ, Òåîðèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé, Ì.:Íàóêà, 1974. 6. À.Í. Êîëìîãîðîâ, Ñ.Â.Ôîìèí, Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà, Ì.:Íàóêà, 1968. 7. Á.Ï. Äåìèäîâè÷, Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó (äëÿ óíèâåðñèòåòîâ è ïåäàãîãè÷åñêèõ èíñòèòóòîâ), Ì.:Íàóêà, 1961.
10
8. Ë.È. Âîëêîâûñêèé, Ã.Ë. Ëóíö, È.Ã. Àðàìàíîâè÷, Ñáîðíèê çàäà÷ òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, Ì.:Íàóêà, 1970.
Äîïîëíèòåëüíàÿ ëèòåðàòóðà
1. Â.À. Çîðè÷, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×àñòè I,II, Ì.:Íàóêà, 1981, 1984. 2. Ó. Ðóäèí, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, Ì.:Ìèð, 1966. 3. È.È. Ëÿøêî, À.Ê. Áîÿð÷óê, ß.Ã. Ãàé, À.Ô. Êàëàéäà, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×àñòè I,II, Êèåâ:Âèùà øêîëà, 1983, 1985. 4. Ã.Å. Øèëîâ, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ôóíêöèè îäíîãî ïåðåìåííîãî. ×àñòè 1-2, Ì.:Íàóêà, 1969. 5. È.Ï. Íàòàíñîí, Òåîðèÿ ôóíêöèé âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé, Ì.:Íàóêà, 1974. 6. Ä.À. Ðàéêîâ, Îäíîìåðíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, Ì.:Âûñøàÿ øêîëà, 1982. 7. Ì.Ë. Êðàñíîâ, À.È. Êèñåë¼â, Ã.È. Ìàêàðåíêî, Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ. Ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. ... Ì.:Íàóêà, 1971. 8. È.È. Ëÿøêî, À.Ê. Áîÿð÷óê, ß.Ã. Ãàé, Ã.Ï. Ãîëîâà÷, Ñïðàâî÷íîå ïîñîáèå ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. ×àñòè I,II, Êèåâ:Âèùà øêîëà, 1978, 1979. 9. Â.À. Çíàìåíñêèé, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Âåùåñòâåííûå ÷èñëà. ×àñòü I, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1990. 10. Â.À. Çíàìåíñêèé, Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Âåùåñòâåííûå ÷èñëà. ×àñòè 2,3,4, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1992. 11. Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1988. 12. Â.À. Çíàìåíñêèé, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. ×àñòü II, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1988. 13. Â.À. Çíàìåíñêèé, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1991. 14. Å.Í. Áàáèêîâà, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë. ×àñòè I, II. Ìåòîäè÷åñêèå ðàçðàáîòêè äëÿ I êóðñà, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1984. 15. Å.Í. Áàáèêîâà, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë. Îïðåäåëåíèÿ, ñâîéñòâà, âû÷èñëåíèå. Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà äëÿ ñòóäåíòîâ I êóðñà, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1985. 16. Å.Í. Áàáèêîâà, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ. Âû÷èñëåíèå äëèí äóã êðèâîé, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1985. 17. Â.À. Çíàìåíñêèé, Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë (îïðåäåëåíèå, ñóùåñòâîâàíèå, ñâîéñòâà). Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ I êóðñà, Ðîñòîâ-íàÄîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1993. 18. Â.À. Çíàìåíñêèé, Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë. (âû÷èñëåíèå), Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1993. 19. Â.À. Çíàìåíñêèé, Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë. (ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ), Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1993. 20. Å.Í. Áàáèêîâà, Ë.Â. Ðóíîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Ýêñòðåìóìû ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. ×àñòü I, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1984. 21. Â.Ï. Çàõàðþòà, Ë.Â. Ðóíîâ, Ýêñòðåìóìû ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. ×àñòü II. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ I êóðñà, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1984.
11
22. Â.Ï. Çàõàðþòà, Ë.Â. Ðóíîâ, Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà ïî òåìå Ýêñòðåìóìû ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. ×àñòü III, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1984. 23. Â.À. Çíàìåíñêèé, Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ Ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. ×àñòè 1,2,3, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1995. 24. È.Á. Ñèìîíåíêî, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Çàìåíà ïåðåìåííûõ â âûðàæåíèÿõ, ñîäåðæàùèõ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå. ×àñòè I, II, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1980. 25. Â.À. Çíàìåíñêèé, Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå ×èñëîâûå ðÿäû. ×àñòè I, II, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1993. 26. Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà ïî òåìå Ïðèëîæåíèÿ ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1984. 27. Â.À. Çíàìåíñêèé, Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Êðàòíûé èíòåãðàë. Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà äëÿ ñòóäåíòîâ 2 êóðñà, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 2000. 28. Þ.Ô. Êîðîáåéíèê, Í.Í. Ðîæàíñêàÿ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ Ðÿäû Ôóðüå. ×àñòè 1,2, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1988. 29. Þ.Ô. Êîðîáåéíèê, Í.Í. Ðîæàíñêàÿ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ Ðÿäû è èíòåãðàëû Ôóðüå. ×àñòü 3, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1988. 30. Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà ïî òåìå Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäû, ñóììèðîâàíèå ðÿäîâ, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1982. 31. Þ.Ô. Êîðîáåéíèê, À.Â. Àáàíèí, Î.Â. Åïèôàíîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ Ñòåïåííûå ðÿäû è ðÿäû Ëîðàíà. Îñîáûå òî÷êè, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1988. 32. Â.Â. Ìîðæàêîâ, Þ.Ô. Êîðîáåéíèê, Þ.À. Êèðþòåíêî, Î.Â. Åïèôàíîâ, Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà ïî òåìå Âû÷èñëåíèå îïðåäåë¼ííûõ èíòåãðàëîâ ñ ïîìîùüþ òåîðèè âû÷åòîâ, Ðîñòîâíà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1979. 33. Þ.Ô. Êîðîáåéíèê, Þ.À. Êèðþòåíêî, Â.Â. Ìîðæàêîâ, Í.Í. Ðîæàíñêàÿ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ Âû÷åòû è èõ ïðèëîæåíèÿ ê âû÷èñëåíèþ îïðåäåë¼ííûõ èíòåãðàëîâ, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1988. 34. Â.À. Çíàìåíñêèé, Â.Å. Êîâàëü÷óê, Ë.Â. Ðóíîâ, Ï.À. ×àëîâ, Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî òåìå Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà. ×àñòè 1,2,3, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÓÏË ÐÃÓ, 1994.
12