ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(государственный университет) ____________________________________________________
В. В. НЕЧАЕВ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЯДЕРНОЙ ТЕХНОЛОГИИ
Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений
МОСКВА 2007
УДК 539.1.01(075) ББК 22.38я7 Н 59 Нечаев В.В. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЯДЕРНОЙ ТЕХНОЛОГИИ. Учебное пособие. М.: МИФИ, 2007. – 80 с. Целью настоящего издания является изложение базовых знаний, необходимых для проведения численных расчетов тепловых и гидродинамических задач, возникающих при разработке технологий ядерных материалов. Сюда входит освоение работы со справочниками физических и термохимических величин, приобретение опыта написания компьютерных программ, проведение практических численных расчетов в соответствии с основными положениями теории тепло- и массопереноса, с учетом особенностей проявления этих явлений в технологических процессах. Т.е. читатель знакомится с практическими методами расчета процессов тепло- и массопереноса с последующим их применением для решения задач по усовершенствованию существующих, исследованию и проектированию новых технологических процессов и аппаратов. Указанные проблемы занимают важное место в преподавании фундаментальных дисциплин физического материаловедения. Освещаемые в учебном пособии вопросы изучаются в дисциплинах «Физика конденсированного состояния», «Теоретическое и прикладное материаловедение», «Физические основы компьютерного проектирования материалов», «Моделирование технологических процессов» – базовых для студентов кафедры «Физические проблемы материаловедения» Московского инженерно-физического института. Пособие предназначено для студентов, аспирантов и специалистов в области материаловедения, металлургии, физической химии. Подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы. Рецензент проф. В.В. Сергиевский ISBN 978-5-7262-0808-4
©
Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2007
СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................................4 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ .................................................................................................5 1.1. ПРИНЦИПЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ........................................................5 1.2. ПРОЦЕССЫ ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ ЯДЕРНОЙ ТЕХНИКИ .................................11 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ..........................................................................................15 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕПЛОФИЗИКИ И МАССОПЕРЕДАЧИ ......................................................16 2.1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ДИФФУЗИЯ ....................................................................17 2.2. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ ...............................................................................20 2.3. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ .............................................................................23 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ..........................................................................................30 3. СТАЦИОНАРНОЕ СОСТОЯНИЕ. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ...................................................31 3.1. СТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ОДНОСЛОЙНОЙ СТЕНКЕ ..................................31 3.2. МНОГОСЛОЙНАЯ СТЕНКА. ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ 1-ГО РОДА .............................34 3.3. СТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛООБМЕН. ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ 3-ГО РОДА .....................39 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ..........................................................................................44 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛООБМЕНА В ВАКУУМНЫХ УСТАНОВКАХ............................45 4.1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕПЛООБМЕНА ИЗЛУЧЕНИЕМ .............................................45 4.2. ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН ПРИ НАЛИЧИИ ЭКРАНОВ .............................................48 4.3. АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ....................................................................51 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ..........................................................................................53 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛООБМЕН ...........................................................................54 5.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕПЛООБМЕНА .....................54 5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ НАГРЕВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ ........................................................56 5.3. БЕЗРАЗМЕРНЫЕ КРИТЕРИИ ..................................................................................60 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ..........................................................................................66 6. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ ..................................................................................67 6.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ .................................................................................67 6.2. ДИФФУЗИОННЫЙ И ТЕПЛОВОЙ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ .........................................69 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ..........................................................................................71 ПРИЛОЖЕНИЯ ................................................................................................................72 ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНОГО ТЕПЛООБМЕНА В МНОГОСЛОЙНОЙ СТЕНКЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПЕЧИ..................................................72 ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛООБМЕНА В ВАКУУМНОЙ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЕЧИ С ЭКРАННОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ ....................75 ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА НАГРЕВА ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА ...........................................................................77 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ..................................................................................................79
3
ВВЕДЕНИЕ
Уже сам факт рождения ядерной науки потребовал масштабного расширения номенклатуры выпускаемых в значительных количествах чистых веществ (с содержанием нерегулируемых примесей на уровне 10-2–10-3 %) и прецизионных (с регулируемым до десятых долей процента составом) сплавов на их основе. В подавляющем большинстве случаев это оказались весьма тугоплавкие и всегда химически активные вещества – сплавы и соединения редких металлов. Среди последних надо выделить прежде всего уран, плутоний, цирконий, гафний, гадолиний, ниобий, ванадий, молибден, вольфрам, а также углерод (графит) и бор. Номенклатура новых материалов определилась из ядерно-физических свойств элементов (способностью ядер к делению, сечением захвата нейтронов). Повышенные требования к чистоте и точности по составу появились в связи как с ядерными, так и физико-химическими и механическими свойствами редких тугоплавких металлов: обычно они становятся пластичными только при содержании некоторых примесей внедрения (кислород, углерод, азот, водород) на уровне 10-2–10-3 %. Появилось и качественно новое требование – чистота по изотопному составу. Дальнейшее становление и развитие ядерной отрасли потребовало производства чистых металлов и прецизионных сплавов уже в крупнотоннажном масштабе. Задача была решена за счет появления тонких, специфических металлургических процессов, названных ядерными технологиями. Последующее совершенствование ядерной технологии редких и рассеянных элементов позволило плавно перейти к созданию промышленного производства материалов космической техники и твердотельной электроники. Особенность процессов получения и обработки материалов ядерной, космической и полупроводниковой техники в том, что их проводят при высоких температурах, в глубоком и сверхглубоком вакууме, в особо чистых инертных газовых средах. Для нагрева часто принципиально необходимо использовать высокочастотные или электронно-лучевые установки с малым тепловым КПД. При прокатке, волочении и других методах обработки давлением необходимо использовать скорости, значительно меньшие, чем в черной 4
и цветной металлургии. Нередко такие материалы используются в виде монокристаллов, т.е. изделия из них состоят из одного большого кристалла. Понятно, что стоимость самих редких тугоплавких металлов, также как и высокотемпературных процессов для их получения и обработки весьма высока. Поэтому чисто экспериментальный подход к оптимизации существующих и, тем более, созданию новых промышленных технологических процессов производства и обработки редких металлов стал неприемлем из-за слишком большого расхода дорогостоящих материалов, энергии, сложности изготовления и модернизации установок для проведения натурных экспериментов. Стала очевидной актуальность использования теоретико-расчетных методов, которые помогают технологу находить ответы на вопросы о необходимых и предельно допустимых параметрах процесса, влиянии технологических факторов на скорость получения, состав и свойства материала. К таким передовым методикам теоретического исследования технологических процессов с целью их разработки, совершенствования и оптимизации относятся различные методы математического моделирования. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 1.1. Принципы численного моделирования Виды математического моделирования. Место и роль детерминированного математического моделирования в научном исследовании. Вычислительный эксперимент. Стадии создания математической модели. Физическая модель. Структура математических моделей. Краевые, начальные и граничные условия. Физический смысл и математическое описание граничных условий.
Под математическим моделированием понимается методика научного исследования, в которой реальный процесс заменяется математической моделью – его математическим описанием, некоторой системой уравнений, передающей свойства объекта. Процессом собственно моделирования является теоретическое математическое исследование свойств построенной системы уравнений. 5
Конечно, этими же вопросами занимается теоретическая физика. Но отличие от нее, при математическом моделировании не ограничиваются изучением общих свойств объекта, а доводят решение до конкретного численного результата. Чаще всего, из-за сложности получаемых уравнений, исследование сразу проводится методами прикладной математики, численными расчетами на компьютерах, не получая аналитического решения. Математическое моделирование дает менее общие результаты, чем теоретическая физика, но отвечает на конкретные вопросы, в определенном смысле более соответствуя экспериментальной физике. Можно говорить, что натурные эксперименты на реальном объекте заменяются в математическом моделировании на вычислительные эксперименты, т.е. на серии численных расчетов на компьютерах. Поэтому математическое моделирование часто называется численным моделированием. Последнее время распространенным становится также термин компьютерное моделирование. Численное математическое моделирование делится на два направления. Первое, называемое индетерминировенным (неопределенным), основано на проведении предварительных натурных экспериментов на имеющемся оборудовании, по уже предложенной технологии, и установлением формальных математических зависимостей между входными параметрами технологического процесса и свойствами получаемого материала. Далее, исследуя свойства этой математической модели, полученной в результате обработки экспериментальных данных уже теоретически, определяются или оптимизируются условия получения материала с заданными свойствами. При этом не выясняется (точнее, и не ищется) физический смысл получаемых математических зависимостей, не вскрывается сущность технологического процесса. Этот факт и дал название данному научному направлению – индетерминированное моделирование. Технологическая установка здесь рассматривается как некоторый «черный ящик», в котором протекают неопределенные, не понятые и не объясненные процессы. Главным достоинством индетерминированного моделирования является то, что с его помощью можно исследовать процессы практически любой сложности. Главным недостатком – то, что он может быть применен только для совершенствования уже существующего технологического процесса на реально изготовленной установке. Кроме того, поскольку остается неизвестной физика 6
происходящих явлений, всегда остается открытым вопрос: достигнут ли глобальный экстремум по технологическим характеристикам. Причем только данного процесса на конкретной установке. Бурный прогресс вычислительной техники в последней четверти XX века открыл возможность выполнения очень больших объемов вычислительной работы за реальное время. Это позволило использовать наиболее информативную численную методику научных исследований, а именно детерминированное математическое моделирование. Под детерминированной математической моделью понимается создание системы уравнений, описывающей физические явления, реально происходящие в изучаемом объекте – технологическом процессе, установке, материале. При наличии хорошей детерминированной модели вычислительный эксперимент является самым экспрессным и экономически выгодным среди всех методов исследования. Действительно, такие модели допускают возможность изучения свойств реально еще не существующего, виртуального объекта, который только еще требуется разработать. Строго говоря, сегодня к созданию реального объекта и следует приступать только после теоретического, пусть и предварительного, определения условий проведения технологического процесса и/или выбора конструкции соответствующей установки. Кстати, ничто не мешает исследователю, после создания уже реальной установки, использовать индетерминированное моделирование для уточнения и оптимизации технологических параметров. Созданию детерминированной математической модели объекта исследования предшествует выбор физического приближения – построение физической модели. На этом этапе решается вопрос о том, какие реальные факторы необходимо учесть, а какими можно пренебречь. Здесь подробно рассматриваются физические явления, ответственные за прохождение интересующего процесса, и выбираются главные, превалирующие. Излишняя детализация приведет к математической модели, не имеющей на данный момент времени даже численного решения. Излишнее упрощение сделает модель слишком грубой, в которой будут упущены принципиальные свойства исследуемого объекта. Любая детерминированная математическая модель состоит из двух частей: 7
1) основной системы уравнений (обычно в частных производных второго порядка), описывающей физическое явление в целом и имеющей бесконечное множество решений. Такие уравнения чаще всего известны из теоретической физики и требуют только конкретной детализации; 2) дополнительной системы уравнений, являющейся краевыми условиями и выделяющими решение, соответствующее физическому (если хотите – технологическому) процессу в конкретной геометрии (в установке конкретной конструкции) при конкретных физических условиях (технологических параметрах). Краевые условия характеризуют взаимодействие изучаемого устройства с окружающей средой и обычно выражают некоторые законы сохранения – массы, заряда, энергии, количества движения и т.п. В качестве примера в табл. 1.1 приведена структура математической модели, основанной на термодинамических представлениях о технологическом процессе. В основе разработки любой технологии практически всегда прежде всего лежит поиск такого распределения температуры в пространстве (теплового поля) как технологического аппарата, так и внутри изделия, такого его изменения во времени (нестационарный процесс), которое и обеспечивает в конечном счете процесс получения материала с заданными свойствами. Поэтому технологу материалов ядерных реакторов очень важно знать теплофизику – науку, занимающуюся изучением процессов распространения тепла в пространстве и времени, созданием методов расчета и практического формирования тепловых полей. Поэтому краевые условия рассмотрим на примере теплофизических задач. Краевые условия разделяются на начальные (временные) и граничные (пространственные). Начальные условия описывают распределение какой-либо субстанции или ее характеристики (например, тепла, вещества, температуры Т или концентрации C) внутри системы в начальный момент времени (τ = 0). В общем виде они должны выражать некоторую функциональную зависимость типа: Тнач = T(r,τ=0) = f(r) или Снач = C(r,τ=0) = f(r). Возможны разные случаи, но очень распространено на практике условие, когда температура или концентрация в начальный момент времени во всех точках одинакова. 8
Таблица 1.1 Структура детерминированных математических моделей на базе термодинамических представлений Основные блоки математических моделей
1. Описание физического явления в целом
2. Описание конкретного процесса в конкретном аппарате
Термодинамический вариант
Общематематический вариант
Дифференциальные уравнения, дающие общее математическое описание явления и имеющие бесконечное множество решений
Уравнения, описывающие максимальность энтропии
Уравнения, описывающие начальные и граничные условия, выделяющие единственное решение
Уравнения, описывающие законы сохранения энергии, массы, заряда
Связь с законами термодинамики, математическая интерпретация 2-й закон термодинамики – необходимость требования экстремума функции состояния (энтропии) в равновесии; 3-й закон термодинамики – обоснование достаточности требования Закон сохранения энергии – 1-й закон термодинамики; Законы сохранения материи (материального баланса, заряда и др.); уравнение состояния
Граничные условия описывают характер взаимодействия между окружающей средой и системой через ее поверхность. На практике различают три типа граничных условий. Граничные условия 1-го рода в математическом описании соответствуют заданию значения искомой функции (например, температуры Т) на поверхности системы S. В общем случае это значение может меняться во времени τ : Тпов = T(r =S,τ) = ϕ(τ), но чаще всего это будет константа. 9
Физический смысл граничных условий 1-го рода – наличие внешнего источника (или стока) бесконечной мощности на поверхности раздела системы и среды. Например, этот вариант граничных условий описывает случай, когда все количество тепла или массы, ушедшее с поверхности в глубь тела, тут же компенсируется внешним источником: отвод субстанции в глубь тела идет значительно медленнее, чем ее получение поверхностью тела из окружающей среды. Граничные условия 2-го рода соответствуют заданию значения первой производной на поверхности. Физический смысл первой производной – плотность потока некоторой субстанции. Например, для тепловых задач плотность теплового потока qпов на границе S задается уравнением: –λ·grad(T)|S = qпов(τ), где λ – коэффициент теплопроводности. Т.е., здесь задается распределение плотности теплового или концентрационного потока через границу раздела система – среда на этой поверхности раздела. Физическая интерпретация граничных условий 2-го рода может быть и такой: наше тело – это внутренний сток бесконечной мощности. Т.е., этот вариант граничных условий описывает случай, когда все количество тепла, поступившее на поверхность, тут же уходит в глубь тела: отвод тепла внутрь тела идет значительно быстрее, чем получение теплоты из окружающей среды через его поверхность. Граничные условия 3-го рода соответствуют по физическому смыслу сравнимым по мощности источнику во внешней среде и стоку в теле. Они описываются заданием на поверхности тела S уравнения связи между значением функции и ее первой производной. В одномерном случае имеем: ∂T ( x = S , τ) = Ψ[Т(x=S,τ)]. ∂x Задачи с граничным условием 3-го рода являются наиболее сложными задачами математической физики. Методом их численного решения является многократное итерационное решение более простых краевых задач 1-го или 2-го рода и выбор из полученного класса решений единственного, которое удовлетворяет требуемому условию 3-го рода. 10
К сожалению, общих рецептов по созданию наиболее простой, но еще адекватной физико-математической модели реального процесса, а также поиск эффективного пути численного или аналитического решения получающихся уравнений не существует. Здесь пока еще многое зависит от таланта и квалификации исследователя. 1.2. Процессы получения материалов ядерной техники Основные технологические процессы получения материалов, сопровождающие их физические и химические процессы. Глубокая очистка исходных материалов. Физические и химические методы, их предельные возможности. Водородное восстановление элементов. Термодинамический блок математической модели.
Для правильного построения математической модели и проведения ее исследования необходимым условием является знание теоретической и математической физики, прикладной математики и многих других разделов современной науки и техники. Но, прежде всего, необходимо хорошо знать технологические приемы и обеспечивающие их физические процессы, используемые для получения требуемого материала. Это необходимо для грамотной постановки задачи исследования и разработки эффективного технологического процесса. В табл. 1.2 очень схематично приведены основные технологические процессы и физические явления, используемые для получения материалов ядерных реакторов. Конечно, таблица далеко не полная и не очень строгая, но она дает общее представление о процессах и явлениях, изучаемых в технологии материалов ядерной энергетики. Методы гидрометаллургии обычно легко дают чистоту 10-2%. Например, гидролизом тетрахлорида GeCl4 получают GeO2 чистотой 99,99%. Из газовой фазы с участием химических реакций степень очистки легко доходит до 10-3% (99,999%). Примером является получение циркония, титана, гафния ядерной чистоты методом термической диссоциации их тетрайодидов на раскаленной проволоке (процесс Ван Аркеля). Заметим, что этот метод до сих пор является единственным промышленным способом глубокой очистки данных металлов от азота. 11
Таблица 1.2 Стадии изготовления материалов Стадия
Процесс, метод, явление, особенности
1. Глубокая очистка исходных веществ
В них используются фазовые и химические превращения: испарение, сублимация, конденсация, ионообменные реакции
2. Получение чистых и особо чистых металлов; требуется чистота: в ядерной технике 10-2 % – 10-3 % в полупроводниковой: 10-4 % и меньше 3. Выращивание монокристаллов
4. Получение рабочего слоя или защитного покрытия 5.Формирование композита
Промышленные химические методы дают обычно до 10-3 % – 10-4 %; физические – до 10-6 %. Осуществляется в расплаве или из парогазовой смеси за счет химических превращений. Для создания эффективного процесса требуется подробное изучение явлений тепло- и массопереноса, физико-химической гидродинамики Рост монокристалла проводится: из расплава или раствора в расплаве; из пара; из химически активной парогазовой смеси. Очень часто стадия 3 совпадает со стадией 2. Изучение явлений тепло- и массопереноса, физикохимической гидродинамики имеет особое значение Осаждение из жидкости или из газовой фазы; напыление; ионная имплантация. Требуется знание происходящих фазовых и химических превращений, тепло- и массопереноса в средах и в вакууме Термическая обработка для проведения твердотельной диффузии. Главную роль играют нестационарные процессы
Распространенной схемой осуществления процесса получения чистого вещества является водородное восстановление газообразного или парообразного соединения водородом в трубчатом реакторе. Например, особо чистый мышьяк (99,999%) получают по гомогенной реакции: 4AsCl3 + 6H2 = As4+ 12HCl восстановления паров трихлорида мышьяка водородом до паров тетрамера мышьяка. Здесь требуется только подвод тепла к газовому потоку для осуществления эндотермической реакции – реагенты дозированы и перемешаны заранее. Другим примером является промышленная технология восстановления трихлорсилана SiHCl3 водородом, которая устойчиво да12
ет чистоту материала до 10-4% (99,9999%) по реакции, проводимой на раскаленных стержнях: SiHCl3 + H2 = Si(тверд) + 3HCl Особо чистый ниобий получают по гетерогенной реакции 3H2 + 2NbCl3(тверд) = 2Nb + 6HCl восстановления твердого трихлорида ниобия, помещаемого в длинном тигле – лодочке, до твердого же металлического ниобия. В двух последних случаях, кроме разогрева газа, должна произойти доставка водорода к поверхности диффузией через противоток образующихся паров хлористого водорода. В технологии реакторных материалов нагрев используется только электрический: резистивный, индукционный, электронно-лучевой, лазерный или дуговой – для обеспечения высокой чистоты обрабатываемого материала. Следовательно, для проектирования и/или конструирования химического или химико-металлургического реактора, надо уметь, как минимум: • рассчитывать печное устройство, т.е. распределение температур в многослойных средах: нагреватель – огнеупор – теплоизоляторы – стенка печи – окружающая среда; • рассчитывать расход тепла на нагрев, кроме стенок печи, также на нагрев движущейся многокомпонентной газовой смеси, в которой идут химические реакции, требующие расхода энергии; • рассчитывать количественно явления переноса: вязкость, теплопроводность и диффузию в сложных неизотермических химически реагирующих смесях. Какие явления при этом надо понимать и знать? Перечислим только некоторые из них: • теплопередачу в неподвижной среде – теплопроводность; • теплопередачу в движущейся среде – термокинетику; • особенности нагрева газов как прозрачных тел; • характер движения газа: газо-, а вернее гидродинамику (из-за малых скоростей его движения в наших устройствах – значительно меньше скорости звука); • химические процессы: химическую термодинамику и кинетику, и, следовательно, физико-химическую гидродинамику; 13
• особенности тепло- и массопереноса в многокомпонентных химически реагирующих неизотермических движущихся газовых средах. К условиям выбора режима процесса относится также определение режимов, обеспечивающих минимальные удельные затраты (себестоимость единицы продукции). Материальные затраты в основном определяются факторами: • количеством электроэнергии, расход и потери которой резко увеличиваются с увеличением температуры; • количеством и соотношением исходных компонентов парогазовой смеси, что определяет термодинамически предельно достижимый выход; • скоростью подачи компонентов в реактор, с которой связан коэффициент использования подаваемых веществ. Практически в любой математической модели в обязательном порядке имеется термодинамический блок, в котором с помощью методов макроскопической физики исследуются возможные состояния большого, макроскопического, или, по-другому, термодинамического объекта, определяются его свойства и предельно достижимые параметры получения. Тот факт, что макроскопические объекты состоят из очень большого количества частиц, позволяет применить к их изучению термодинамический подход. В нем исследователь абстрагируется от дискретной сущности вещества и конкретных путей перехода, все основные законы (начала) поведения макросистем устанавливаются экспериментально ( феноменологически). Такая концепция сплошной среды, в которой отказываются от излишней детализации явлений (а именно от строгого описания поведения всех частиц, составляющих макросистему), открывает реальный путь для практических вычислений. Связано это с тем, что здесь требуется значительно меньшее число исходных феноменологических констант, давая в то же время ответы на весьма важные для технолога вопросы, например: • При каких условиях – температуре, давлении, начальных количествах исходных веществ требуемый материал устойчиво существует; другим словами, можно узнать, при каких условиях следует получать (синтезировать) требуемое вещество. 14
• Какая часть исходных веществ превратится в требуемый материал; обычно говорят, каков будет термодинамический выход процесса получения требуемого материала. Поэтому практическая ценность феноменологической термодинамики остается очень высокой. Заключение: Технологу материалов ядерной энергетики надо хорошо знать следующие разделы науки: явления переноса, а именно: теплопередачу, диффузию, вязкое течение жидкости, теорию подобия; физическую химию, а именно: химическую термодинамику, фазовые равновесия, теорию растворов, диаграммы состояния, химическую кинетику; физико-химическую гидродинамику; термодинамику необратимых явлений; математическую физику; прикладную математику и многие другие науки. Контрольные вопросы 1. Какие Вы знаете виды математического моделирования? 2. Каковы место и роль детерминированного математического моделирования в научном исследовании? 3. Что такое «вычислительный эксперимент»? 4. Перечислите стадии создания математической модели. 5. Опишите структуру математических моделей. 6. Дайте определения краевых, начальных и граничных условий. 7. Раскройте физический смысл и дайте математическое описание граничных условий. 8. Опишите основные технологические процессы получения материалов. 9. Опишите сопровождающие физические и химические процессы, сопровождающие технологические процессы. 10. Как осуществляется глубокая очистка исходных материалов? Опишите физические и химические методы, их предельные возможности. 11. Каковы возможности термодинамического блока математической модели?
15
2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕПЛОФИЗИКИ И МАССОПЕРЕДАЧИ
Нагрев изделия или заготовки до определенной температуры, с целью получения возможности провести обработку изделия или чтобы в нем произошли определенные явления, например, диффузионное перераспределение вещества – наиболее распространенная операция, используемая практически в любом технологическом процессе. Поэтому инженеру-технологу необходимо, прежде всего, уметь рассчитывать тепловые явления, происходящие в различных нагревательных устройствах. Далее, с помощью математического моделирования, проведения серий численных расчетов – вычислительных экспериментов – уметь выбирать оптимальную конструкцию такого устройства, а также оптимальный режим отжига изделия для получения материала с заданными свойствами. В технологии производства чистых металлов, прецизионных сплавов и полупроводниковых материалов используются два типа нагревательных установок (технологических печей): резистивные муфельные печи, сообщающиеся с атмосферой, и вакуумные высокотемпературные печи. Умение рассчитывать тепловые устройства описанного типа, их энергетику – тепловые потери или, что то же, необходимую подаваемую мощность при стационарном режиме работы печи – является важной практической задачей. Ее реализация заключается, как мы увидим ниже, в умении составлять математические модели и решать (аналитически или численно) краевые задачи математической физики. Явления теплопроводности и диффузии описываются аналогичными математическими дифференциальными уравнениями. Т.е., они имеют одну математическую модель и носят общее название явлений переноса – поскольку здесь идет перенос физических субстанций, а именно тепловой энергии и массы. Поэтому ниже кратко одновременно разберем механизмы тепло- и массопередачи. Это физические явления, с помощью которых осуществляется передача тепловой энергии и массы как внутри одного тела, так от тела к телу. Они различны в различных средах: твердых телах, газах, жидкостях, вакууме.
16
2.1. Теплопроводность и диффузия Механизмы передачи тепла и массы: теплопроводность, диффузия, лучистый теплообмен, химические реакции. Закон Фурье (1-й закон Фика). Возрастание энтропии как движущая сила процессов переноса. Механизмы теплообмена теплопроводностью: решеточный, электронный, соударениями.
В XIX веке были установлены основные экспериментальные зависимости плотности потоков тепла q и массы j от характера распределения температуры и концентрации вещества в пространстве твердого тела, в неподвижной среде. Эти зависимости, так же как и закон Ома, отражают линейную связь между потоком субстанции /энергии, массы/ и градиентом величины, характеризующей количество этой субстанции. Первым хорошо исследованным механизмом теплопередачи была теплопроводность, когда передача тепла – внутренней энергии тела, заключенной в кинетической энергии частиц, его составляющих – осуществляется в момент непосредственного контакта (и именно через этот контакт) материальных частиц, из которых состоит реальное тело. В твердых непрозрачных телах теплопроводность является единственным механизмом теплопередачи. Плотность потока тепловой энергии, вызванного теплопроводностью, в стационарном, не зависящим от времени состоянии, описывается эмпирически установленным законом Фурье, который в векторной форме имеет вид: q = – λ·grad(T), (2.1.1) где λ – коэффициент пропорциональности, называемый в данном случае коэффициентом теплопроводности, Т – температура. (Отметим, что здесь и ниже векторные величины будут выделены полужирным шрифтом.) В одномерном варианте закон Фурье записывается, в соответствии с определением градиента: q = – λ·dT/dx. (2.1.1') Закон Фика для переноса массы диффузией в трехмерном и одномерном варианте записывается, соответственно: j = –D·grad(C) и j = –D·dC/dx, (2.1.2) где D – коэффициент диффузии, С – концентрация вещества, распределенного в некоторой матрице. 17
Законы Фурье и Фика количественно описывают стремление большой (макроскопической) системы перейти в состояние термодинамического равновесия, при котором энтропия максимальна и когда температура и концентрации постоянны по всему объему. Действительно, второй закон термодинамики утверждает, что энтропия возрастает (т.е. тело стремится к состоянию термодинамического равновесия), когда тепло переходит из более горячей части тела в более холодную. С точки зрения концентраций второй закон термодинамики требует, чтобы вещество из области с высокой концентрации перемещалось в более бедную. Что в законах Фурье/Фика и отражено в знаке "минус" перед градиентом. Напомним, что градиент направлен в сторону возрастания функции – поскольку, как принято в векторном анализе по определению, градиент – это "производная в максимальном направлении", т.е. в сторону возрастания функции. Частицы, из которых состоят твердые тела – это атомы и свободные электроны. Атомы в твердых кристаллических телах располагаются в местах, называемых узлами кристаллической решетки, около которых они непрерывно колеблются в энергетических потенциальных ямах, но в среднем остаются на одном месте. Каждый атом находится под влиянием силового поля других атомов, и через это силовое поле он ощущает колебания ближайших соседей. Любое возмущение в колебаниях атомов твердого тела передается по всему его объему со скоростью звука в этом теле. Нагреву тела соответствует увеличение его внутренней энергии, накапливаемой в виде кинетической энергии колебаний атомов в узлах решетки: с увеличением температуры амплитуда тепловых колебаний возрастает. Кстати отметим, что именно увеличение с температурой амплитуды колебаний атомов около узла кристаллической решетки вызывает эффект теплового расширения тел. Из сказанного выше следует, что передача усиленных тепловых колебаний атомов в решетке твердого тела в зоне с более высокой температурой к атомам в более холодной зоне – т.е., собственно процесс теплопроводности – осуществляется со скоростью звука в данном теле. Этот механизм теплопередачи носит название решеточной теплопроводности. Второй тип частиц, встречающийся в твердых телах – свободные (валентные) электроны, которые свободно передвигаются по всему объему тела со скоростью своего теплового движения, и тем самым переносят тепловую энергию, способствуя распростране18
нию температуры. Электроны – легкие частицы, их масса в тысячи раз меньше массы атомов. Соответственно и скорость их теплового движения огромна, во много раз превосходящая скорость звука в твердых телах. Поэтому они быстрее (по сравнению с решеточной теплопроводностью) передают тепло от точки к точке тела. Эта составляющая теплопроводности носит название электронной теплопроводности. Соотношение интенсивности решеточной и электронной составляющей определяется количеством свободных электронов: число атомов (узлов решетки) примерно одинаково для всех веществ и не зависит от температуры. Количество свободных электронов сильно зависит от природы вещества. Например, в металлах их много, и именно поэтому металлы хорошо проводят как электричество, так и тепло при любых температурах. В неметаллах число свободных электронов растет с температурой. Поэтому в подавляющем большинстве случаев теплопроводность неметаллов также увеличивается с температурой, на практике описываемая линейным законом возрастания коэффициента теплопроводности: λ = b + k·T. (2.1.3) Порядки величин коэффициентов теплопроводности следующие. В металлах это 100 Вт/(м·К), в диэлектриках и жидкостях это 0.1 ÷ 0.5 Вт/(м·К). В газах, где плотность вещества мала, мало столкновений частиц и нет свободных электронов, порядок величины коэффициентов теплопроводности 0.01 Вт/(м·К). Самый теплопроводный газ – самый легкий, т.е. водород, ибо у него наибольшая скорость теплового движения молекул. Есть особый класс веществ, используемых как теплоизоляторы – это вещества, с коэффициентом теплопроводности λ < 0.02 Вт/(м·К). Теплоизоляторы – обычно пористые или волокнистые тела, т.е. они в основном состоят из небольшой доли твердого вещества, поры которого наполнены газом. Теплопроводность и диффузия имеют место также в жидкостях и газах. Но в этих средах теплопроводность и диффузия чаще всего не главные механизмы переноса энергии и массы. В отличие от твердых тел газ и жидкость могут течь как целое, и в них появляется новый механизм переноса тепла (и массы): своим внутренним перемещением как сплошной среды – конвекцией. Этот механизм переноса называется конвективной теплопередачей или конвективной диффузией. 19
2.2. Теплообмен излучением Электромагнитное и тепловое излучение. Коэффициенты излучения, поглощения, отражения и пропускания. Абсолютно черное и абсолютно белое тело. Серые тела. Прозрачные тела. Закон Стефана – Больцмана.
Теплообмен излучением играет очень большую роль в металлургических процессах, причем, чем выше температура, тем его вклад значительней. Начиная с 500 ºС это превалирующий механизм теплообмена. В вакууме это вообще единственный механизм передачи тепла. Механизм теплообмена излучением связан с переносом энергии электромагнитными квантами – фотонами. При температуре выше абсолютного нуля молекулы и атомы находятся в состоянии непрерывного поступательного или колебательного теплового движения. При столкновениях или из-за флуктуаций энергии атомы переходят в возбужденное состояние – его электроны переходят на более дальние от ядра атома орбиты, соответствующие более высоким энергетическим уровням. Это положение электронов неустойчиво, они самопроизвольно возвращаются на низшие орбиты, сбрасывая избыточную энергию в виде электромагнитного кванта – фотона. Фотон – частица, названная так из-за того, что она при определенных энергиях воспринимается как видимый свет (‘фотос’ погречески "свет"). Она со скоростью света достигает другого тела. Поскольку фотон может существовать только в движении, то при остановке он исчезает. Его энергия или возбуждает какой-либо атом, или переходит в усиленные тепловые колебания узлов решетки. При этом непосредственно излучением нагревается поверхность непрозрачного тела. Если тело прозрачно (причем не только в видимой области спектра!), то фотоны проникают в глубину и нагрев излучением идет по всему объему. Так, например, нагреваются газы. Однако тело прозрачно для фотонов определенных энергий потому, что они слабо взаимодействуют со средой – не отдают и не получают энергию, и прозрачные тела плохо греются излучением. Поскольку нагрев стимулирует генерацию фотонов – частиц, существующих и в вакууме – теплообмен излучением не требует специальной среды для передачи энергии от тела к телу. Наоборот, любая среда только поглощает фотоны и мешает передаче тепла. 20
Одиночный атом имеет строго определенные разрешенные орбиты для движения электронов. Перескок с орбиты на орбиту вызывает (или поглощает) фотон совершенно определенной энергии, и поэтому спектр излучения или поглощения газов линейчатый. Фотоны больших или меньших энергий свободно проходят через газ. Это обстоятельство собственно и делает газы прозрачными и плохо греющимися объектами. Особенно это относится к газам из одно- и двухатомных молекул. В твердых телах и жидкостях атомы расположены близко друг к другу, взаимодействуют между собой, что приводит к расщеплению разрешенных уровней для электронов на множество почти непрерывных подуровней. Внешне это явление выражается в том, что спектр излучения (или поглощения) конденсированных тел является непрерывным; они хорошо греются лучистым теплообменом. Теоретически спектр излучения твердого тела при любой температуре содержит весь набор длин волн – от длинноволнового инфракрасного до дальнего ультрафиолета и рентгеновского излучения. Однако наибольшая интенсивность приходится при разумных в земных условиях (до 3000 градусов) температурах на инфракрасную часть спектра. ∞
Мощность излучения Q = ∫ I ⋅ d ω , падающая на какую-либо 0
поверхность, называется лучистым потоком. Мощность излучения с единицы поверхности называют плотностью излучения: q = Q/F. При взаимодействии лучистого потока с телом в общем случае происходит частичное поглощение потока телом (Q Adsorbtion), частичное отражение (QReflect) и частичное пропускание (QDeflect). По определению, имеем: QA + QR + QD = Q. Обозначим QA/Q = A, QR/Q = R, QD/Q = D. Безразмерные величины A, R, D называются соответственно коэффициентами поглощения, отражения и пропускания тела. Очевидно, что A + R + D = 1. Рассмотрим некоторые предельные случаи. • Если D = 1, то А = R = 0. Это справедливо для тела, называемого абсолютно прозрачным. Оно пропускает весь тепловой поток без взаимодействия, и абсолютно прозрачное тело не нагревается излучением. • Если R = 1, то A = D = 0. Это справедливо для тела, называемого зеркальным, если оно полировано и отражает свет по законам геометрической оптики, или абсолютно белым, если оно шерохо21
вато и отражает свет диффузно. Такие теоретические тела тоже не нагреваются излучением. • Если А = 1, то тело будет поглощать всю поступающую лучистую энергию, и называется оно абсолютно черным. Такие тела лучше всего греются излучением. Большинство материалов, используемых на практике, не пропускают тепловое излучение (D = 0), не полностью его отражают (0
22
2.3. Явления переноса в газах Коэффициенты переноса: динамической и кинематической вязкости, тепло- и температуропроводности, диффузии. Внутреннее трение – вязкость. Кинематическая и динамическая вязкость. Теоретический расчет коэффициентов переноса в газах. Зависимость от давления, температуры и массы молекул. Интегралы столкновений. Эффективное сечение. Механизмы диффузии в газах и твердых телах. Энергия активации. Коэффициенты переноса в многокомпонентных газовых смесях.
Выше обсуждались явления теплопередачи, в частности, теплопроводность в твердых телах. В других курсах подробно излагается явление взаимопроникновения твердых веществ друг в друга – диффузия. Явления диффузии и теплопроводности описываются аналогичными математическими дифференциальными уравнениями. Т.е., они имеют одну математическую модель и носят общее название явлений переноса – поскольку здесь идет перенос физических субстанций, а именно тепловой энергии и массы. Перейдем теперь к рассмотрению математических моделей явлений переноса в газах и жидкостях, обладающими по сравнению с твердыми телами, еще и дополнительным свойством – текучестью, т.е. способностью легко изменять форму и неразрывно перемещать свои части относительно друг друга. Естественно, что газы и жидкости, как и твердые тела, обладают свойствами переноса энергии и массы путем теплопроводности и диффузии, а каждое вещество имеет свои индивидуальные коэффициенты переноса – теплопроводности, температуропроводности и диффузии. В газах и жидкостях из-за явления текучести следует принять во внимание еще одну физическую субстанцию – количество движения подвижной среды как целого, когда средние значения скоростей молекул отличны от нуля, а проще говоря, когда жидкость или газ текут как целое. Поэтому в явления переноса следует включить и вязкостные процессы – внутреннее трение. При теоретическом изучении вязкостных явлений можно строить двоякую картину: либо поле скоростей, либо поле импульсов. Соответственно при изучении этого явления используют два коэффициента пропорциональности, входящие в уравнение переноса: 23
- коэффициент динамической вязкости η, который имеет размерность [H.c/м2], используя который получаем поле импульсов; - кинематической вязкости ν = η/ρ [м2/с], используя который, из решения дифференциального уравнения получаем поле скоростей. Коэффициенты переноса – важные фундаментальные свойства веществ, зависящие от многих составляющих, и их желательно определять экспериментально. Однако часто экспериментальные данные отсутствуют или их трудно провести в реальных условиях. Поэтому при проведении вычислительного эксперимента часто встает задача теоретического расчета значений величин коэффициентов переноса – диффузии, вязкости, теплопроводности. Поставленная задача достаточно хорошо решается для газов и жидкостей в молекулярно-кинетической теории, в разделе, где изучается взаимодействие частиц (атомов или молекул) между собой. При этом учитываются диаметры молекул, их жесткость и шероховатость, параметры силового взаимодействия – притяжения и отталкивания и др. В зависимости от выбранной физической модели молекул и их взаимодействия, различные эффекты могут по-разному описываться математически (иметь разные математические модели). Более того, даже появляться и исчезать. Так, например, рассматривая молекулы как математические точки, вообще не может появиться ни одно явление переноса. Абсолютно гладкие и абсолютно упругие (с бесконечной жесткостью) молекулы-сферы не опишут явления вязкости. Если принять зависимость сил отталкивания молекул пропорционально пятой степени расстояния между их центрами (как сделал Дж. Максвелл в целях упрощения математических выкладок; такой газ даже называют максвелловским), то нельзя описать явление термодиффузии – явления возникновения градиента концентраций и потока массы под влиянием градиента температуры. Чем меньшую жесткость мы будем приписывать молекулам, тем сильнее будет температурная зависимость всех коэффициентов переноса из-за уменьшения эффективного сечения столкновения. Будем придерживаться наиболее распространенной модели молекул по Леннард – Джонсу, по которой сферические молекулы при столкновении притягиваются с силой, пропорциональной шестой степени расстояния, и отталкиваются с силой, пропорциональной двенадцатой степени расстояния. 24
В соответствии с моделью Леннард – Джонса коэффициент динамической вязкости неполярного газа, состоящего из атомов или неполярных почти сферических молекул, следует рассчитывать по формуле: η = 2.669.10-8(M.Т)0.5/(σ2ω ) [Н.с/м2], (2.3.1) где М – молекулярная масса, Т – абсолютная температура, σ – диаметр молекулы, ω – интеграл столкновений, учитывающий деформацию молекул при соударениях; для абсолютно упругих сфер он тождественно равен 1. Истинное значение интеграла столкновений рассчитывается по формуле: ω = 1.161/(Т*) 0.14874 + 0.52487exp(-0.7732Т*), * где Т – приведенная температура, равная Т/(ε/k) и где, в свою очередь, ε – потенциал Ленарда-Джонса, k – постоянная Больцмана. Обычно табулируют сразу величину ε/k. Если ее значение неизвестно, то ее можно оценить по одной из следующих зависимостей: ε/k = 0.77Ткр; ε/k = 1.15Ткип; ε/k = 1.92Тпл , где Ткр, Ткип, Тпл – критическая температура и температуры кипения и плавления, соответственно, при нормальном атмосферном давлении. Диаметры молекул также табулируются в справочниках. Если же его нет в литературе, то за диаметр молекулы можно принять диаметр сферы, объем которой равен сумме объемов ионов, образующих данную молекулу. Анализируя (2.3.1), видно, что коэффициент динамической вязкости не зависит от давления и зависит, но не очень сильно, от температуры. Причем эта зависимость не только явная, но и через интеграл столкновений: чем выше температура, тем выше кинетическая энергия молекул, тем больше они деформируются при столкновениях и тем меньше кажущийся диаметр (эффективное сечение) молекул. Коэффициент кинематической вязкости ν [м2/с] связан с динамической вязкостью очевидным соотношением (как скорость с импульсом): ν = η/ρ, где ρ – плотность газа. Поскольку плотность газа зависит прямо пропорционально от давления Р: ρ = P.M/R/Т [кГ/м3], где М – молекулярная масса компонента, R=0.082 [м3. атм/(кмоль. К)] – газовая постоянная, то точно так же зависит от давления и коэффициент кинематической вязкости. Выше мы привели формулы для расчета коэффициентов вязкости полностью теоретическим методом. Если известно эксперимен25
тальное значение коэффициента динамической вязкости при какойто температуре Тo, то его можно экстраполировать на нужную температуру по эмпирической формуле: η= ηо(То+ C)/(Т + C)/(Т/То)1.15, где С – опять же эмпирическая величина. Для полярных газов уравнение (2.3.1) также справедливо по форме, но с несколько другим значением величины интеграла столкновений: ω2 =ω1+ 0.2δ2/Т *, где δ2 – некоторая эмпирическая безразмерная величина, связанная с характеристической температурой Дебая. Обычно табулируются температуры Дебая, но иногда и сами безразмерные величины. Коэффициент теплопроводности λ, [Вт/(м·К)], для неполярного газа, рассчитывают как среднее арифметическое по двум уравнениям: λ = 1320η(11.17 + (Cp – R))/M; λ = 1000η(18.71 + (Cp – R))/M, где Cp – молярная теплоемкость при постоянном давлении, [Дж/(моль·К)], R – газовая постоянная, здесь равная 8.314 [Дж/(моль·К)]. Коэффициент температуропроводности а [м2/с] химически инертных газовых смесей рассчитывается по формуле (2.3.2) а = 0.001.λ.M/Cp/ρ . Эта же формула справедлива и для твердых тел, работой расширения которых при изменении температуры можно пренебречь, поэтому для них теплоемкость при постоянном объеме Ср и теплоемкость при постоянном давлении Сv практически не отличаются. Если в газовой среде идут химические реакции, то Cp в (2.3.2) следует заменить на d∆Hсмеси/dТ – производную от теплосодержания смеси по температуре, вычисленную с учетом тепловых эффектов реакций. Такие нюансы связаны с тем, что через коэффициент температуропроводности рассчитывается температура, определяемая количеством тепла, пришедшем в данную точку тела. Если тело твердое (практически не расширяется), все тепло пошло только на его разогрев. Тогда для определения численного значения изменения температуры (какую температуру "привело" с собой пришедшее тепло) нужно использовать значение теплоемкости при постоянном объеме. Если тело состоит из химически инертного газа или смеси газов, то при определении температуры следует учесть работу расширения, на которую расходуется тепловая энергия, и в (2.3.2) 26
следует использовать теплоемкость при постоянном давлении. Если же при нагреве идут химические реакции (согласно принципа Ле Шателье, эндотермические, с поглощением тепла), то на их осуществление также потребуется некоторое количество тепла. Поэтому кажущееся значение теплоемкости возрастет, а коэффициент температуропроводности уменьшится. Для его расчета в (2.3.2) необходимо использовать изменение полного теплосодержания смеси с изменением температуры. Рассмотренные выше явления теплопроводности и вязкости наблюдаются как в смесях, так и в чистых материалах – ведь это явления переноса, связанные с переносом некоторых характеристик материи, а именно энергии и импульса. Третье явление переноса, которое мы будем изучать – диффузия, связано с переносом реальной материи – вещества примеси в матрице основного. Для простоты мы будем рассматривать только разбавленные растворы, где легко идентифицировать растворитель и растворенные вещества. Это дает основание часто говорить не о взаимодиффузии, а просто о диффузии. В бинарной смеси коэффициент взаимодиффузии D12 [см2/с] описывается формулой из молекулярно-кинетической теории газов: D12 = 1.883.T1.5 .((M1+ M2)/M1/M2)0.5 /P/σ212/ω3 , (2.3.3) где P – давление, Па; σ12 = 0.5.(σ1 + σ2) – среднеарифметический диаметр молекул первого и второго сорта, или характеристическое расстояние между центрами разнородных молекул во время столкновения; M1 и M2 – соответственно массы молекул первого и второго сорта; интеграл столкновений для диффузии, рассчитываемый по формуле: ω3 = 1.06.(T*)0.1561 + 0.193.exp(-0.476.T*) + 1.036.exp(–1.530.T*), причем для расчета приведенной температуры используют среднегеометрическое значение параметров взаимодействия Леннард – Джонса: T * = T/[(ε1/k)(ε2/k)]0.5. Характерным для коэффициента диффузии является его обратная зависимость от суммарного давления (см. (2.3.3)), ибо от него зависит длина свободного пробега молекул. Диффузия в газах не является активируемым процессом, поскольку молекулам до их непосредственного контакта не надо преодолевать энергетических барьеров, как в твердом теле. Поэтому величина коэффициента диффузии в газах возрастает от температуры не по экспоненциальному, а по степенному закону. Как видно из (2.3.3), для абсолютно упругих сфер это степень 1.5; для реальных газов, из-за деформации молекул, учитываемой интегралом 27
столкновений, величина степени будет несколько большей и обычно лежит в пределах от 1.7 до 2.0. Чаще всего для практических расчетов значений коэффициента диффузии при произвольных P и Т, исходя из известной из эксперимента его величины Dо при некоторых Pо и То, используют экстраполяционную формулу: D = Dо(T/Tо )1.75(Pо/P), причем значение степени 1.75 может уточняться в процессе работы. Приведем еще эмпирическую формулу для расчета коэффициента диффузии в водороде при нормальных условиях (Т = 273К, P = 1 атм) компонента с молекулярной массой Мi, количество которого менее 5% объемных: lg(Dоi) = 1.0507 – 0.8189lg(Mi). Коротко остановимся на процессе диффузии в твердых телах. Общепринято использование эмпирической экстраполяционной формулы зависимости коэффициентов диффузии в твердых телах и жидкостях, аналогичной формуле Аррениуса для скорости химической реакции как активируемого процесса: D = Dо exp(- ∆E/(RT)), где Dо – предэкспоненциальный множитель, ∆E – энергия активации процесса диффузии. Величины предэкспоненциального множителя и энергии активации зависят от природы примеси и матрицы, т.е. от механизма и конкретных особенностей процесса диффузии данной пары веществ. Природа же возникновения энергии активации диффузии в твердом теле или в жидкостях, в отличие от диффузии в газах, очевидна: твердые и жидкие тела потому твердые и жидкие, потому что их молекулы находятся в силовом поле их взаимного притяжения, и не могут свободно перемещаться в пространстве. Чтобы их переместить на новое место, надо сначала разорвать связи молекулы на прежнем месте, т.е. затратить энергию активации. Кинематическая вязкость смеси связана с динамической соотношением: ν =η/ρ [м2/с], . 2 3 где η [Н с/м ] и ρ [кГ/м ] – соответственно динамическая вязкость и плотность смеси . Динамическая вязкость смеси приближенно рассчитывается по аддитивному закону для обратных величин : M x ∑ i i ηi 1/η = Σ(yi/ηi) = , M ∑ i xi 28
где yi = Mixi/Σ(Mixi) – массовая доля i-того компонента. Более точные значения вязкости смеси дает формула: ∑ ηi y i η= , ∑ Aij η j где
Aij = [1+(ηi/ηj)0.5.(Mi/Mj)0.25 ] / {8.[1+(Mi/Mj)]}0.5.
(2.3.4)
Плотность смеси газов рассчитывается из объединенного закона газового состояния по формуле: ρ =Σ(Мiхi.Pi)/(RT), где хi – мольная доля i-го компонента, Pi [атм] – его парциальное давление, R = 0.082 [м3. атм/(кмоль.К)] – универсальная газовая постоянная, P – общее давление. Величины Dj – коэффициенты диффузии каждого компонента в многокомпонентной смеси рассчитываются по формуле Уилке: x 1 = ∑ i . D j i ≠ j Dij Коэффициент теплопроводности смеси рассчитывается из коэффициентов теплопроводности отдельных компонентов по формуле, аналогичной (2.3.4) для динамической вязкости: ∑ λ i yi λ= , ∑ Aij λ j где Aij = [1+(λi/λj)0.5.(Mi/Mj)0.25 ] / {8.[1+(Mi/Mj)]}0.5. Таким образом, имеем все необходимые формулы и уравнения для моделирования и расчета явлений переноса в газах.
29
Контрольные вопросы 1. Перечислите механизмы передачи тепла и массы. 2. Сформулируйте закон Фурье и 1-й закон Фика. 3. Что такое коэффициенты излучения, поглощения, отражения и пропускания? 4. Запишите закон Стефана – Больцмана для серых тел. 5. Дайте определение коэффициентов динамической и кинематической вязкости. 6. Дайте определение коэффициентов тепло- и температуропроводности, диффузии. 7. Что такое внутреннее трение? 8. Как зависит от давления, температуры и массы молекул коэффициент теплопроводности в газах? 9. Как зависит от давления, температуры и массы молекул коэффициент диффузии в газах? 10. Что такое интегралы столкновений и эффективное сечение? 11. В чем различие механизмов диффузии в газах и твердых телах? 12. Как рассчитываются коэффициенты переноса в многокомпонентных газовых смесях?
30
3. СТАЦИОНАРНОЕ СОСТОЯНИЕ. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
3.1. Стационарный теплообмен в однослойной стенке Стационарное состояние процессов теплопереноса в неподвижной среде. Решение уравнения теплопроводности для одного слоя с учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры.
Рассмотрим простейший с математической точки зрения случай тепловой задачи – стационарную теплопередачу через одну стенку толщиной s, причем заданы значения температуры на ее обеих сторонах. Строгое задание температур бывает оправдано, например, тем, что более высокая температура – это та, что необходима для проведения технологического процесса, и она задается как необходимое условие; наименьшая температура часто определяется условиями мощного теплосьема, например потоком воды с определенной температурой. В математической физике такие задачи называются задачами с граничным условием I рода, когда считается заданным значение самой искомой функции на внешней границе тела. По физическому смыслу граничные условия первого рода часто называют условиями с источником бесконечной мощности на поверхности тела – потеря всей субстанции (тепла, вещества, количества движения и т.п. за счет ухода в глубь тела) мгновенно компенсируется некоторыми внешними силами. Практическая задача, соответствующая рассматриваемому случаю, может быть сформулирована так: определить мощность нагревателя для обеспечения требуемой температуры в муфельной электропечи с водоохлаждаемым кожухом. Построим физическую, и, одновременно, математическую модели нашего теплового устройства. Постоянство температуры во времени – стационарность задачи – означает, что мощность нагревателя равна тепловым потерям через стенки печи за счет теплопроводности. Следовательно, наше явление в целом описывается законом Фурье (2.1.1). Для простоты рассмотрим одномерный вариант – потери тепла только через одну стенку единичной площади. Тогда, с учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры, закон Фурье запишется: 31
q = – (b + kT)·(dT/dx). (3.1.1) Температура внутри печи (при х = 0) строго задана – определена техническим заданием и равна Т1. Следовательно, здесь по определению выполняется граничное условие первого рода: Т|х = о = Т1. (3.1.2) Кожух печи охлаждается потоком воды, температура которого Т2 известна и незначительно меняется при прохождении через наше устройство. Т.е., будем считать, что и на второй границе выполняется граничное условие первого рода: Т|х = s = Т2. (3.1.3) Система уравнений (3.1.1) – (3.1.3) является математической моделью поставленной задачи о стационарном потоке тепла в однослойной стенке. Для ее решения разделим переменные в (3.1.1) и, используя (3.1.2), (3.1.3), запишем определенные интегралы: s
T2
0
T1
∫ q ⋅ dx = − ∫ ( b + k ⋅ T ) dT .
(3.1.4)
Из условия сохранения энергии тепло нигде не рождается внутри тела – если только там не идут химические реакции – в стационарном состоянии поток постоянен на всем пути от 0 до s. Тогда, после выполнения интегрирования, получаем формулу для расчета величины потока тепла: q·s = –b·(T2 – T1) – 0.5·k·(T22 – T12) , q = b·(T1 – T2)/s + 0.5·k·(T12 – T22)/s . Для построения графика зависимости Т(x) внутри слоя перепишем (3.1.4) в виде интегралов-параметров как функций верхнего предела: x
T
0
T1
∫ qdx = ∫ (b + k ⋅ T )dT ,
откуда после интегрирования получаем неявную функцию Т(x): q·х = -b·(T – T1) – 0.5·k·(T2 – T12), линейная часть
квадратичное отклонение
из которой легко получить явную функцию x(T): x = [(bT1+0.5·kT12) – bT – 0.5·kT2]/q, (3.1.5) которая есть уравнение квадратичной параболы. Из математического анализа известно, что если k > 0, то парабола расположена ветвями вниз, если k < 0 – ветвями вверх. Отсюда следует картина, 32
показанная на рис. 2.3.1, иллюстрирующая вогнутости кривых x(T) для разных знаков при k.
Рис. 2.3.1. Стационарное распределение температуры в одиночном плоском слое: 1 – теплопроводность не зависит от температуры (k = 0 ); 2 – k > 0; 3–k<0
На практике, в прикладных расчетах, обычно вычисляют поток при постоянном значении λ, равном среднему значению коэффициента теплопроводности, которое вычисляют при среднем значении температуры в слое. Покажем это теоретически. Поскольку λ − линейная функция температуры, то, согласно определению среднеарифметического, имеем: _
λ=
1 T2 1 T2 ∫ (b + k ⋅ T )dT = b+k·(T1+T2)/2. ∫ λ(T )dT = T1 − T2 T T1 − T2 T 1
1
Или, что и требовалось доказать: _
_
λ = λ (T ) (3.1.6) Здесь и далее черта над буквой означает ее среднее значение, в соответствии с принятой в теоретической физике символике.
33
3.2. Многослойная стенка. Граничное условие 1-го рода Устройство муфельной печи. Многослойная стенка с граничным условием первого рода. Математическая модель и алгоритм решения.
Рассмотрим теперь более сложный, но очень распространенный случай многослойной теплоизолирующей стенки. Такие стенки делают практически у всех нагревательных муфельных печей, устройство которых схематично показано на рис 3.2.1.
1
2
3
4
5
Рис. 3.2.1. Принципиальная схема трубчатой муфельной печи: 1 - муфель; 2 - нагреватель в керамике; 3 - слой огнеупорного материала; 4 - слои теплоизоляционного материала; 5 - кожух
В печах рассматриваемого типа технологическую камеру образует муфель, выполненный из химически и термостойких материалов. Часто муфелем установки является кварцевая труба. Использование трубы (реактора), изготовленной из высокочистого кварца, исключает загрязнение материала от стенок аппаратуры при их непосредственном контакте или через газовую среду. Поэтому в муфелях подобного типа материал может помещаться в открытом контейнере, если нет технологической необходимости защиты нагреваемого образца от воздействия атмосферного воздуха, или нужно создать регулируемое давление пара одного из компонентов 34
(например, при синтезе и направленной кристаллизации разлагающихся соединений). В таких случаях процессы часто осуществляют в откачанной и запаянной кварцевой ампуле, помещенной в технологическую тепловую зону. Кварц обладает очень малой газопроницаемостью даже при высоких температурах, поэтому в кварцевом муфеле можно проводить процессы в токе водорода или инертного газа. Если муфель изготовлен из огнеупорного, но газопроницаемого материала, например корунда (SiC) или алунда (Al2O3), то часто обрабатываемый термически материал помещают в кварцевую ампулу. Поверх муфеля располагается резистивный нагреватель. Выделяемая им теплота распространяется не только внутрь образуемой реактором технологической камеры, но и стремится распространиться в противоположном направлении – в окружающее муфель пространство. Поэтому поверх нагревателя необходимо располагать материалы, препятствующие этому явлению, т.е. уменьшить тепловые потери. Так как температура нагревателя и вблизи его, определяемая технологическими параметрами процесса, обычно высока, то поверх нагревателя располагается слой огнеупорного материала, выдерживающего высокие температуры. Однако их высокая теплопроводность вынуждает, для уменьшения тепловых потерь, поверх слоя огнеупорного материала укладывать один или несколько слоев материалов с низкой теплопроводностью (теплоизоляционных материалов). Несколько слоев из разных материалов используются из экономических соображений – обычно более низкотемпературные материалы более дешевы и одновременно более эффективны как теплоизоляторы. Вся описанная выше система муфеля, нагревателя, огнеупорных и теплоизоляционных материалов помещается в металлический кожух. Кожух может быть водооохлаждаемым или охлаждаемым воздухом. Водяное охлаждение более интенсивно, дает более низкие температуры кожуха – они практически равны температуре охлаждающей воды (граничное условие 1-го рода), и тем самым обеспечивает более комфортные условия работы. Воздушное охлаждение менее эффективно (граничное условие 3-го рода), дает более высокие температуры кожуха, но поэтому обеспечивает меньшие теплопотери и большую экономическую эффективность. Сначала для упрощения математической задачи примем, что заданы обе температуры – на внутренней стенке муфеля и на кожухе печи. Т.е., будем рассматривать первую краевую задачу математической физики. 35
На рис. 3.2.2 показан вариант теплообмена в трехслойной стенке. В общем случае каждый слой имеет свою толщину Si, площадь внешней поверхности Fi, и коэффициент теплопроводности λi. В каждом из N слоев можем записать уравнение для стационарной теплопроводности через всю стенку: Qi = – λi ·dT/dx·Fi(x) (i = 1,2,..N), (3.2.1) где Qi – полный поток через всю стенку реальной площадью Fi.
Рис. 3.2.2. Схематическое изображение стационарного состояния теплообмена в трехслойной стенке
Если принять значения теплопроводности и сечения слоя не зависящими от температуры и координаты, и считать их равными среднеарифметическим величинам, то интегрирование дает: _
F ⋅ λ i ⋅ (Ti −1 − Ti ) (i = 1,2,......N ) , Q= i si
(3.2.2)
_ T −T F − Fi λ i = λ( i −1 i ); F = i −1 (3.2.3) 2 2 и Тi – температура на внешней границе i-го слоя. Введем теперь понятие теплового сопротивления: s (3.2.5) Ri (Ti ) = i λi F i и учтем, что в стационарном состоянии в силу закона сохранения энергии потоки тепловой энергии Qi во всех слоях равны между
где
36
собой и имеют некоторое значение Q. Это дает возможность переписать систему (3.2.2) в виде: Ti-1 – Ti = Q·Ri (i = 1,2,…N). (3.2.6) Уравнений в системе (3.2.6) равно N – числу слоев. Неизвестных величин в ней тоже N, а именно: N-1 значений температур на промежуточных границах плюс 1 (одно) значение потока. Просуммировав (3.2.6) по всем слоям, т.е. по индексу i от 1 до N, получим:
N
T0 − TN = Q ⋅ Σ Ri , i =1
(3.2.7)
T −T (3.2.8) Q= 0 N . ΣRi Если коэффициенты теплопроводности не зависят от температуры (а с ними и тепловые сопротивления), то по формулам (3.2.5) и (3.2.8) сразу вычисляется значение потока Q. Далее, используя уравнения (3.2.6), можно последовательно, начиная с первого, рассчитать промежуточные температуры Ti на границах слоев: Ti = Ti −1 − Q(Ti ) ⋅ Ri (Ti ) (i = 1,2......N ). (3.2.9) Промежуточные температуры необходимо знать, кроме соблюдения математической полноты задачи, и для чисто практических целей. Ведь только исходя из них можно проверить и уточнить выбор теплоизоляционных материалов по их соответствию максимальным температурам эксплуатации. Выше специально, для упрощения задачи, не учитывалось, что коэффициент теплопроводности зависит от температуры. В реальности, до установления значений температур на границах слоев, мы не можем рассчитать методами классической математики фактические значения величин коэффициентов теплопроводности для всех слоев. Выход из создавшегося положения предоставляет прикладная математика, наука, специализирующаяся на решении задач численными, прежде всего итерационными методами. Заметим теперь, что поскольку Ri = f(Ti), то уравнения (3.2.9) являются классической формой рекуррентной записи для их решения методом последовательных приближений (или простых итераций), когда неизвестная величина является функцией самой себя. Т.е. форма записи функциональной зависимости имеет вид: (3.2.10) Хi = f(Хi). Алгоритм решения системы (3.2.6) следующий. Сначала, вне цикла вычисляем постоянные величины – средние площади сечения слоев: или:
37
F −F F = i −1 i 2 и назначаем начальные значения Ti(0) и потока Q(0), т.е. выбираем по какому-либо правилу нулевое приближение для всех неизвестных величин. Во всех итерационных методах всегда имеются две фундаментальные проблемы: 1) как выбрать начальное (нулевое) приближение, исходя из которого итерационный процесс всегда сходился бы; 2) что считать решением? и одна техническая – какая форма записи рекуррентного уравнения более удобна или логична для построения итерационного цикла, и обеспечивает ли она сходимость этого цикла. В нашем случае сходимость решения абсолютная, и за нулевое приближение можно принять любые числа. Например, положить все температуры Тi(0) равными (То+ТN)/2, а поток Q(0) равным нулю. Начало итерационного цикла. 1. Рассчитываем значения коэффициентов теплопроводности: λi(m) = bi + ki·(Ti-1(m)+Ti(m))/2 , где (m) – номер итерации, равный последовательно 1, 2,..., m,... 2. Рассчитываем значения тепловых сопротивлений по (3.2.5): Ri(m) = Si/(λi(m) · Fi). 3. Рассчитываем приближенное значение Q(m) по (3.2.8): N
Q(m) = (То – ТN)/ Σ Ri(m). i =1
4. Сравниваем значения Q(m) и прежнего Q, и выполняем логические действия: а) если Q(m) и Q отличаются не более чем на несколько процентов (например, 2 %), прекращаем вычисления; б) если расхождение больше – запомним новое численное значение потока Q(m), выполнив операцию: Q = Q(m). 5. Рассчитываем уточненные значения температур Тi(m+1) на внутренних стенках по (3.2.9): Ti(m+1) = Ti-1(m) – Q·Ri(m). 6. Повторяем итерацию, переходя к этапу 1, т.е. повторяя действия для вычисления нового уточненного значения потока Q(m+1).
38
3.3. Стационарный теплообмен. Граничное условие 3-го рода Многослойная стенка с граничным условием третьего рода. Математическая модель и алгоритм решения. Пример компьютерной программы.
Выше была рассмотрена математическая модель с граничным условием первого рода, а именно жесткого задания температуры на внешней стенке (кожухе) печи. Реально этот вариант соответствует мощному теплоотводу, например, сильным потоком воды в кожухе. Однако такое охлаждение достаточно сложно и дорого, и на практике чаще используют воздушное охлаждение, которое значительно менее интенсивно, чем водяное. При воздушном охлаждении температура кожуха достаточно высока и сильно меняется от изменения окружающих условий. В математическом плане наша задача, по сравнению с предыдущей, также усложняется: появляется еще одна неизвестная величина – температура кожуха ТN. Но одновременно возникает дополнительное к системе (3.2.5), (3.2.8) уравнение, отражающее связь температуры кожуха с потоком тепла и температурой окружающей среды. Из условий связи на границе значения функции (температуры Т в нашем случае) и ее первой производной (потока тепла) наиболее простым является условие линейной связи потоков внутри стенки и во внешней среде, предложенное И.Ньютоном: Q = –λ·dT/dx = α· (T – Tсреды), (3.3.1) внутри стенки
во внешней среде
где α – эмпирический коэффициент теплоотдачи. Ньютон считал этот коэффициент постоянным, но на практике коэффициент теплоотдачи чаще всего является функцией температуры. В случае воздухоохлаждаемой печи эта зависимость имеет вид: α = A·(T – Tсреды)0,25 + ε ·σ· (T 4 – T 4среды)/(T – Tсреды) (3.3.2) Подставляя (3.3.2) в (3.3.1), получаем формулу для вычисления потока тепла во внешнюю среду со стенки печи: Qвнешн = A·(Tстенки – Tсреды)1 · (Tстенки – Tсреды)0,25 + теплопроводность
конвекция
+ ε·σ· (T 4стенки – T 4среды) , лучистый теплообмен
(3.3.3)
которое является трансцендентным уравнением относительно температуры, и заведомо не имеющим аналитического решения. Подписи под формулой (3.3.3) раскрывают физический смысл ее членов: первое слагаемое отражает теплопроводящую и конвек39
тивную составляющую теплосъема с кожуха, второе – теплоотдачу излучением. "А" – эмпирический коэффициент, отражающий геометрию системы. Для горизонтальной нижней стенки прямоугольной печи "А" равно 1.63, для верхней стенки – 3.26, для боковой – 2.56. Для цилиндрической печи "А" равно 2.40. Через ε в (3.3.1) обозначена безразмерная величина – степень черноты кожуха, через σ – постоянная Стефана-Больцмана, равная 5.67·10-8 Вт/м/К4. Уравнение (3.3.1) устанавливает связь между неизвестной величиной (температурой) и ее первой производной. Этот вариант краевого условия носит название третьей краевой задачи. Решение таких задач значительно сложнее первой краевой. Нахождение алгоритма численного решения получаемых уравнений является одним из важнейших вопросов в математическом моделировании. Как общую рекомендацию для облегчения поиска алгоритма можно учесть, что очень часто процесс решения третьей краевой задачи сводится к поиску его в классе решений первой краевой. В том числе и при использовании численных методов. Очень часто выбору алгоритма помогает мысленное исследование физической модели с привлечением математического описания. Например, для выбора алгоритма решения системы уравнений (2.14), (3.2.10), (3.3.1) поставим мысленный эксперимент для определения характера зависимости от температуры TN кожуха печи двух потоков тепла: Qвнутр = (То – TN)/ΣRi внутри твердой стенки и Qвнешн = α· (TN – Tсреды) во внешнюю среду при фиксированных температурах в пространстве печи и окружающей среды. Из физических соображений очевидно, а из (3.2.8) строго вытекает, что при мысленном увеличении ТN поток из центра печи к наружной стенке Qвнутр уменьшается. Обратная картина наблюдается для потока Qвнешн с этой стенки во внешнюю среду: согласно (3.3.3), он увеличивается. Следовательно, варьируя ТN, можно подобрать такое ее значение, при котором расчетные значения потоков в стенке и в среде будут равны, что и соответствует стационарному состоянию (рис. 3.3.1).
40
Тепловые потоки
Qвнешн
Qвнутр
Qистин
ТN Tсреды
(истинная)
Тпечи
Температура кож уха (итерационная)
Рис. 3.3.1. Зависимость тепловых потоков в стенке печи и в окружающей среде от температуры кожуха
Из рис.3.3.1 видно, что при произвольном значении температуры ТN один поток (внутренний или внешний) будет завышен, а другой занижен по сравнению с истинным значением. Следовательно, их полусумма будет всегда ближе к искомой величине. Основываясь на этом факте, можно предложить следующий алгоритм решения нашей системы уравнений, близкий по смыслу к широко известному методу половинного деления. 0. Задаемся некоторыми значениями (нулевым приближением) для Тi(0), в том числе и для ТN(0). 1. Выполняем пункты 1 - 4 из алгоритма для решения первой краевой задачи, описанного выше, где определяем величину потока Qвнутр в стенке печи (и, естественно, новые, улучшенные значения температур внутри стенки). 2. Вычисляем по формуле (3.3.3) величину потока Qвнешн во внешнюю среду. 3. Если mod((Qвнутр – Qвнешн)/Qвнутр) < eps ( eps около 2 %), то команда «Конец счета» (нашли решение третьей краевой задачи); иначе выполнить команду «Значение потока взять посередине двух рассчитанных величин»: Qвнутр = (Qвнутр – Qвнешн)/2. 41
4. Из (3.3.1) вычисляем следующее итерационное значение температуры стенки TN(m): TN = Qвнутр/(α·FN ) + Tсреды. 5. Идем в начало цикла, т.е. к пункту 1 данного алгоритма. Пример программы расчета на языке "Паскаль Program Тeplo_1; uses CRT; Var N : byte; { число слоев} a, b, h, R : array [1..10] of extended; F, T : array [1..11] of extended; Q, Qn, A0, Eps, Tfurn, Ts, Lambd, Fs, Rs, C, C1, A1 : extended; i, k, x, y : byte; BEGIN Clrscr; WRITELN (' ВВОД данных для расчета многослойной теплоизоляции '); write(' УКАЖИТЕ требуемую температуру печи Т [Цельсий] = '); readln(Tfurn); write(' УКАЖИТЕ площадь поверхности стенки печи F, кв.м : '); readln(F[1]); write (' УКАЖИТЕ число теплоизолирующих слоев N = '); readln(N); for i:=1 to N do begin writeln (' УКАЖИТЕ характеристики слоя N ',i:1,': '); write (' Его толщину, Метров : '); readln(h[i]); writeln (' Коэффициенты уравнения a + b*T температурной'); writeln (' зависимости Теплопровoдности, Вт/м/К '); write (' a = '); x:=wherex; y:=wherey; read(a[i]); gotoxy(x+5, y); write(' b*E3 = '); readln(b[i]); b[i]:=b[i]*1E-3; write (' Площадь его внешней поверхности F, кв.м : '); readln(F[i+1]); end; write (' УКАЖИТЕ параметр А внешней стенки : '); read(Alf); write (' Степень ее черноты, eps : '); readln(Eps); textbackground(7); Clrscr; textcolor(2); writeln (' Исходные данные для расчета : '); textcolor(0); writeln (' Печь с температурой ',T[1] :5:0,' град. Цельсия,'); writeln (' площадью стенки ',F[1]:4:2 ,' кв.м'); writeln (' теплоизолирована ',N:2,' слоями'); writeln (' с характеристиками : '); 42
for i:=1 to N do begin T[i+1]:=T[1]/2; write (' F[',i:1,'] =',F[i+1]:5:2,' h =',h[i]:4:2); writeln(' a =',a[i]:5:3,' b =',b[i]*1.E3:5:3); end; write (' Степень черноты Eps =',Eps:4:2,' Параметр А =',A0:5:2); x := wherex+3; writeln; write (' ВВЕДИТЕ Температуру окружающей среды : '); y := wherey; readln(Ts); gotoXY(1,y); Clreol; textcolor(2); gotoXY(x,y-1); writeln ('Т среды = ',Ts:4:0,';'); textcolor(11); writeln(' Итерации :'); textcolor(1); k := 0; { Нулевое приближение } Q := 100.0; Qn := 1000.0; T[n+1] := Ts+50.; C := (Ts+273.0)*(Ts+273.0); C := C*C; WHILE abs(Q-Qn) > 1 do Begin {Начало итераций для решения III краевой задачи } k:=k+1; { Начало блока расчета потока и температур внутри стенок печи – решения первой краевой задачи} Rs:=0; FOR i:=2 to N+1 do begin Lambd := a[i-1] + b[i-1]*(T[i-1]+T[i])/2; Fs := (F[i-1]+F[i])/2; R[i] := h[i-1]/Fs/Lambd; { теплов. сопротивл. i-того слоя } Rs := Rs + R[i]; end; { Вычисляем значение потока в стенке: } Q := (T[1] – T[N+1])/Rs; textcolor(11); write(k:2); textcolor(1); { Блок расчета новых значений температур } FOR i := 2 to N+1 do begin T[i] := T[i-1] – Q*R[i]; write(' T',i-1:1,'=',t[i]:6:2); end; { Конец блока расчета потока и температур внутри стенок печи – решения первой краевой задачи} 43
{ Блок расчета потока в окружающую среду с кожуха } C1 := sqr(sqr(T[N+1]+273)); A1 := A0*sqrt(sqrt(T[N+1]-Ts)); A1 := A1+ 5.67E-8*eps*(C1 – C )/( T[N+1] -Ts ); Qn := A1*(T[N+1]-Ts)*F[N+1]; writeln(' Qвнутр= ', Q :6:2,' Qнар= ', Qn :6:2); { Итерация половинным делением } Q := (Q+Qn)/2; T[N+1] := Q/A1/F[N+1] + Ts; y := wherey; { textcolour:= 3;} gotoxy(1,y); { textcolour(0); } End; { Конец итераций для III краевой задачи } textcolor(14); writeln( ' Решение : '); textcolor(0); writeln(' Tпечи = ',T[1]:6:0,' Град Цлс'); for i := 2 to N do writeln(' T',i-1:1,' = ',T[i]:6:0,' Град Цлс'); writeln(' Tстенки = ',T[N+1]:6:0,' Град Цлс, Q = ',q:6:0, ' Ватт'); write (' Нажмите любую клавишу для завершения работы'); readkey; END. { всей задачи }
Контрольные вопросы 1. Опишите принципиальную схему устройства нагревательной печи. 2. Что такое теплопроводность? 3. Что такое теплоизоляторы? Приведите примеры. 4. Дайте определение стационарного состояния. 5. Дайте определение математической модели. Структура математической модели. 6. Напишите закон Фурье. 7. Сформулируйте смысл граничного условия 1-го рода. 8. Дайте определение метода простых итераций. 9. Опишите алгоритм решения первой краевой задачи. 10. Раскройте определение граничного условия 3-го рода. 11. Дайте обоснование граничного условия Ньютона. 12. Поясните, в чем разница граничных условий при охлаждении водой и воздухом. 13. Покажите сущность метода половинного деления. 14. Опишите общий алгоритм решения третьей краевой задачи. 44
4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛООБМЕНА В ВАКУУМНЫХ УСТАНОВКАХ
4.1. Основные законы теплообмена излучением Закон Кирхгофа. Закон Ламберта. Точечный источник – закон квадратов расстояний. Закон Стефана. Предельный переход уравнения теплообмена по Стефану в условие Ньютона. Угловые коэффициенты. Правила: замыкаемости, взаимности, невогнутости.
Закон Кирхгофа устанавливает связь между излучательной и поглощательной способностями серых тел. Для его обоснования поставим мысленный эксперимент. Представим две бесконечно большие плоскопараллельные пластины, температуры которых одинаковы и не меняются во времени. Т.е., они находятся в стационарном состоянии теплового равновесия. Пусть одна из пластин является абсолютно черным телом, излучающим тепловой поток с плотностью qо = = σоT 4, а другая – серым телом с коэффициентом поглощения "А", и, следовательно, поглощающее поток с мощностью qпогл = А. qо = A. σоT 4. (4.1.1) В свою очередь серое тело, естественно, излучает свой тепловой поток с плотностью qизл = ε . σоT 4 . (4.1.2) Поскольку мы рассматриваем стационарное состояние, количество получаемого и излучаемого тепла должно быть равно – ведь температура серого тела не меняется. Т.е., qпогл = qизл , и из (4.1.1), (4.1.2) сразу следует, что А = ε. Это и есть формулировка закона Кирхгофа: степень черноты серого тела тождественно равна его коэффициенту поглощения. Из закона Кирхгофа сразу следует и другое правило: коэффициент отражения серого тела R равен (1 – ε). На практике принимается, что шероховатые поверхности (а таких на практике большинство) излучают тепло или рассеивают тепловое излучение в пределах полусферы во всех направлениях равноправно (закон Ламберта). Однако плотность излучения каждого элемента поверхности зависит от угла ϕ между нормалью к излучающему элементу dF и рассматриваемым направлением. Действительно, из рис. 4.1.1 ясно, что видимая площадь поверхности – 45
именно с которой мы принимаем излучение – изменяется в зависимости от угла зрения на нее по закону косинусов: qϕ = qn. cos(ϕ).
Рис.4.1.1. Излучение поверхности по закону Ламберта а – двумерная картина; б – трехмерный вариант
Теплообмен излучением между твердыми телами В электрических печах сопротивления излучение от нагревательных элементов служит основным механизмом нагрева полезного объекта, а также вспомогательной оснастки – стен, свода, пода, держателей и т.п. Для определения режима работы в замкнутом пространстве печи надо решать задачу теплообмена между разными поверхностями, находящимися в различных положениях относительно друг друга – под разными углами. В целях получения практических способов расчета излучаемой энергии, попадающей на ту или иную поверхность, вводится понятие углового коэффициента. Рассмотрим процесс передачи теплоты в электрической печи сопротивления с арочным сводом, на котором смонтированы нагревательные элементы (рис.4.1.2). Весь поток излучения свода Q распределяется между стенками Q1 и Q3 подом Q2 и сводом Q4, излучающим "сам на себя". Очевидно: Q1 + Q3 + Q2 + Q4 = Q. Поделим в последнем выражении левую и правую части на Q, и тогда получим: (4.1.3) Q1/Q + Q3/Q + Q2/Q + Q4/Q = 1, где Q1/Q, Q3/Q, Q2/Q, Q4/Q выражают доли излученной сводом энергии, попадающие на каждую из поверхностей. Эти величины называются угловыми коэффициентами и обозначаются ϕ41, ϕ43, ϕ42, ϕ44 соответственно. Таким образом, угловым коэффициентом 46
называется доля лучистой энергии, попадающая на рассматриваемую поверхность от другой поверхности.
Рис. 4.1.2. Схема излучения арочного свода
Переписав (4.1.3) с использованием введенных обозначений, получаем первое свойство угловых коэффициентов – правило замыкаемости: ϕ41 + ϕ43 + ϕ42 + ϕ44 = 1, или, в общем виде:
N
∑ ϕij = 1 ,
j =1
т.е. сумма угловых коэффициентов излучения поверхности i на все N поверхностей в замкнутой системе равна 1. Это, вообще говоря, специфическая для теплообмена излучением форма записи закона сохранения энергии. Из этого же закона следует и другое правило для угловых коэффициентов – правило взаимности. Оно формулируется так: если две поверхности площадями F1 и F2 излучают друг на друга и имеют угловые коэффициенты соответственно ϕ12 и ϕ21, то в стационарных условиях справедливо равенство: F1. ϕ12 = F2. ϕ21 , где ϕ12 – угловой коэффициент излучения с поверхности 1 на поверхность 2; ϕ21 – угловой коэффициент излучения с поверхности 2 на поверхность 1. Из закона косинусов легко получить правило невогнутости: плоские и выпуклые тела не излучают сами на себя (ϕ > π/2). Например, для системы двух плоскопараллельных пластин имеем: для первой пластины: ϕ11 + ϕ12 = 1; для второй пластины: ϕ21 + ϕ22 = 1; Но, так как ϕ11 = ϕ22 = 0, то ϕ12 = ϕ21 = 1. 47
4.2. Лучистый теплообмен при наличии экранов Экранная изоляция. Плоскопараллельные системы. Коаксиальные цилиндры. Приведенные коэффициенты. Физическая и математическая модели теплообмена при наличии экранов.
Экранная изоляция. Покажем теперь, что если основным механизмом теплообмена является излучение, весьма эффективным средством теплоизоляции являются теплоотражающие экраны. При очень высоких температурах и в вакууме этот способ является вообще практически единственным реальным способом уменьшения теплопотерь. Экраны часто изготавливаются из плотного графита или тонких листов молибдена, а также других металлов в зависимости от температуры внутри камеры и технологических требований к чистоте процесса. Тепловой поток, доходящий до внутренних стенок камеры, отводится от них с охлаждающей водой, пропускаемой внутри кожуха. Охлаждение водой вакуумных печей необходимо, чтобы вакуумные уплотнения оставались работоспособными. Для простоты рассуждений примем, что степени черноты поверхностей и экрана равны между собой (ε1 = ε2 = ε3 = ε). При отсутствии экрана плотность теплового потока между двумя плоскопараллельными бесконечными поверхностями с температурами Т1 и Т2 равна: qо = ϕ12·ε·σ·T14 – ϕ21· ε·σ· T24 = ε·σ·(T14 – T24), поскольку для плоских поверхностей ϕ12 = ϕ21 = 1. Допустим теперь, что между нашими поверхностями помещена очень тонкая металлическая пластина – тепловой экран. Он приобретает некоторую температуру Тэ и изменяет величину плотности потока до значения q1. В стационарном состоянии, когда температура экрана становится постоянной во времени, плотности тепловых потоков с первой поверхности на экран и с экрана на вторую равны: Q1 = ε·σ·(T14 – Tэ4) = ε·σ·(Tэ4 – T24). (4.2.1) 4 4 4 Откуда имеем : 2Tэ = T1 + T2 , или Q1 = ε·σ·(T14 – 0.5·(T14 + T24) = 0.5·ε·σ·(T14 – T24).
48
(4.2.2)
T.e. один экран вдвое уменьшил поток энергии. Проведя аналогичные расчеты для случая n экранов, получим, что тепловые потери снизятся в n+1 раз. Если сделать экраны из более светлого вещества (εэ < εпов), то уменьшение потока с горячей поверхности, т.е. снижение величины потерь, будет еще значительней. Для плоскопараллельных пластин положение экрана между ними не вошло в конечное выражение для теплового потока и, следовательно, не влияет на величину снижения тепловых потерь. Объясняется это тем, что угловые коэффициенты здесь не зависят от координаты, ибо тождественно равны единице. В общем случае эффективность экрана зависит от положения экрана в пространстве и площади его поверхности. В качестве примера рассмотрим очень часто встречающуюся на практике систему из двух концентрических (коаксиальных) цилиндров большой длины. Для пространства между цилиндрами запишем правило замыкаемости для обеих поверхностей: ϕ11 + ϕ12 = 1; (4.2.3) ϕ21 + ϕ22 = 1. (4.2.4) Но из правила невогнутости ϕ11 = 0 – выпуклая поверхность не излучает сама на себя. Тогда имеем: ϕ12 = 1, (4.2.5) т.е. все излучение с внутренней поверхности уходит на внешнюю. По правилу взаимности F1. ϕ12 = F2. ϕ21, и, подставляя сюда (4.2.5), получаем для доли излучения внешнего цилиндра, попадающей на внутренний: ϕ21 = F1/F2 (4.2.6) или, для коаксиальных цилиндров: ϕ21 = D1/D2 , (4.2.7) где D – диаметры цилиндров. Наконец, из (4.2.4) и (4.2.7) имеем для излучения внутренней поверхности самой на себя: ϕ22 = 1 – D1/D2 . (4.2.8) Рассмотрим теперь систему из коаксиальных цилиндров, выполненных из разных материалов, т.е. имеющих разные степени черноты. Для них тепловой поток с одной поверхности i на другую j, при произвольных степенях черноты, рассчитывается по при49
кладной формуле: Qij = 5.67. εпр. Fi. [(0.01. Ti)4 – (0.01. Тj)4] Qji = 5.67. εпр. Fj. [(0.01. Tj)4 – (0.01. Тi)4]
[Вт], [Вт],
где εпр – приведенная степень черноты, зависящая от степени черноты материалов εi и εj и взаимных угловых коэффициентов луче1 . испускания ϕij и ϕji : ε пр = (1 / εi − 1)ϕij + (1 / ε j − 1)ϕ ji + 1 Если обменивающиеся теплом поверхности плоскопараллельны и бесконечны, то все излучение с каждой поверхности полностью попадает на другую, и ϕij = (ϕ12)= ϕji = (ϕ21)= 1. Если цилиндр i находится внутри цилиндра j, то ϕij = 1, ϕji = Di/Dj,. Для двух цилиндров, следовательно, выражение для расчета приведенной степени черноты имеет вид: 1 ε пр = . Di 1 1 ( − 1) + ( − 1) +1 Dj εi εj Тепловой поток от внешней поверхности нагревателя высотой Н и диаметром Dн к внутренней стенке рабочей камеры диаметром Dс, температура которой Тс (при ее охлаждении водой может быть принята равной 320–340 К), в отсутствие экранов рассчитывается по следующей формуле: Qнс = Снс. [(0.01. Tн)4 – (0.01. Тс)4], 5.67 ⋅ πDн H . где Снс = 1 1 D ( − 1) + ( − 1) н + 1 εн εс Dc Поместим теперь между стенкой и нагревателем систему из N цилиндрических экранов, имеющих одинаковую с нагревателем высоту Н. Теплопередача в теле каждого экрана осуществляется теплопроводностью. Изготавливают экраны в большинстве случаев малой толщины и из материалов с высокой теплопроводностью. Это позволяет при расчетах считать экраны математическими поверхностями и принимать температуры внешней и внутренней поверхностей экранов равными. При этом число объектов, обменивающихся теплом, в нагревательной системе станет равным N+2. В стационарных условиях работы установки температуры нагревате50
ля и экранов не меняются во времени, т.е. потоки тепла между всеми объектами равны между собой: Qн,1э = Q1э,2э = ... = Q(N–1)э,Nэ = QNэ,c = Qэ. Поэтому в рассматриваемой задаче число неизвестных величин принимаем равным N+1, а именно: N температур экранов плюс одно значение величины стационарного потока. Для каждой пары соседних поверхностей с номерами i, i+1 (в том числе поверхности нагревателя (i=1) и стенки камеры (i=N+2)) запишем через их свойства N+1 уравнений для расчета теплового потока Qэ в системе: Qэ = Сi, i+1. [(0.01. Ti)4 – (0.01. Тi+1)4] (i=1,2,...N+1) [Вт], (4.2.9) 5.67 ⋅ πDi H . где С i, i+1 = Di 1 1 ( − 1) + ( − 1) +1 εi (Ti ) εi+1(Ti +1) Di +1 4.3. Алгоритм численного решения Общая методика решения. Численные методы. Проблемы численного решения. Начальное приближение. Выбор рекуррентной записи. Окончание счета.
Если бы степень черноты не зависела от температуры, то система (4.2.9) весьма просто решалась бы аналитически. Поделив левые и правые части уравнений (4.2.9) на свои постоянные в этом случае коэффициенты Сi, i+1 и просуммировав их, для расчета величину потока тепла Qэ в системе с экранами получаем формулы, в которые входят только температуры нагревателя и стенки: N +1 1 Qэ. ∑ = [(0.01. Tн)4 – (0.01. Тс)4], (4.3.1) C i =1 i,i +1 или
N +1
Qэ = [(0.01. Tн)4 – (0.01. Тс)4] / ∑
1
i =1 Ci,i +1
.
(4.3.2)
Tемпературы экранов Ti+1 (i = 1,2,...N), необходимые для коррекции выбора материала для их изготовления, последовательно рассчитываются по N уравнениям системы (4.2.9): Тi+1 = 100. [Сi,i+1. (0.01. Ti)4 – Qэ]0.25. (4.3.3) Но поскольку степень черноты имеет температурную зависимость: εi = ai + bi. Ti , то при расчете тепловых потерь излучени51
ем, так же как и в случае теплопроводности, вычисления необходимо проводить численными, итерационными методами прикладной математики. Одним из простейших численных методов, а именно методом последовательных приближений, называемом также методом простых итераций. Этим методом можно пользоваться, если уравнение вместо обычного в классической математике вида F(X) = 0 записать в рекуррентной формe: X = f ( X ). Из (4.2.9), (4.3.1), (4.3.2) следует, что в системе с экранами можно представить в виде рекуррентных функций двa типа величин: 1) величину потока тепла: Qэ = Q{ Ci { ε [Ti(Qэ) ] } } ; 2) температуры экранов : Ti = Т{ Q { C[ ε (Τi ) ] } } . Не останавливаясь на проблемах сходимости процесса решения, в данном случае более логичным оказывается итерирование по температурам экранов. Сходимость решения здесь абсолютная, и за нулевое приближение можно принять любые числа. Например, положить все Тi(0) равными (Т1+ТN+2)/2. Задавшись некоторыми начальными значениями температур экранов Тi(0) (нулевое приближение), вычисляем последовательно : εi(0) = ai + bi. Тi(0) ; (4.3.4)
Ci(,0i =) 1 =
5.67 ⋅ πDi H ; Di 1 ( (0) − 1) + ( (0) − 1) +1 Di +1 εi εi +1
(4.3.5)
1
N +1
1
i =1
( 0)
Qэ(0) = [(0.01. Tн)4 – (0.01. Тс)4] / ∑
,
(4.3.6)
Ci,i +1
и, наконец, получаем следующее (первое) приближение для значений температур:
Ti(+11) = 100. [С(0)i,i+1. (0.01. Ti(0))4 – Qэ(0)]0.25 .
(4.3.7)
Повторяя расчет по формулам (4.3.4)–(4.3.7) с новыми значениями температур, получаем все более точные значение для искомого потока тепла Qэ(1) … Qэ(m) , Qэ( m +1) . В качестве условия нахождения решения принимается условие достижения разностями значений расчетных величин на двух последовательных (m и m+1) итерациях величин, меньших некоторой наперед заданной точно52
сти “δ”. В данной задаче удобно выбрать за критерий окончания счета оценку величины потока тепла – одной величины, а не нескольких температур всех экранов. Можно добиваться абсолютной точности: mod( Qэ(m) – Qэ( m +1) ) < δ; или относительной: mod[( Qэ(m) – Qэ( m +1) )/ Qэ(m) ] < δ. На практике ограничиваются относительной точностью в 1%. Контрольные вопросы 1. Какие свойства тел характеризуют коэффициенты излучения, поглощения, отражения и пропускания? 2. Чем отличаются законы излучения для абсолютно черных и серых тел? 3. Сформулируйте и докажите закон Кирхгофа. 4. В чем заключается закон Ламберта? 5. В чем природа угловых коэффициентов? Сформулируйте для них правила: замыкаемости, взаимности, невогнутости. 6. Почему тонкий экран эффективно уменьшает теплопотери? 7. Выведите формулы теплообмена излучением в системе коаксиальных цилиндров. 8. Что такое «приведенные коэффициенты»? 9. В чем заключается общая методика решения системы уравнений для теплообмена излучением в системе коаксиальных цилиндров? 10. Каковы основные проблемы численного решения?
53
5. НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
5.1. Математическая модель нестационарного теплообмена Второй закон Фурье (Фика). Коэффициент температуропроводности. Его физический смысл и связь с теплопроводностью. Условие теплоотдачи (массоотдачи) по Ньютону.
Выше мы рассматривали процессы, установившиеся во времени. Такое стационарное состояние установки, процесса обычно является наиболее важным и распространенным. Но очень часто требуется знать и путь, которым идет наше тело, установка, процесс к своему стационарному состоянию или хотя бы время выхода на стационар. Например, надо определить время разогрева печи до рабочей температуры, или надо подобрать плавный разогрев кристалла полупроводника, чтобы не допустить растрескивания. Для простоты рассуждений будем исследовать одномерный вариант. Рассмотрим некоторый элементарный объем около точки xо, который, имея размеры ∆x·∆S, содержал количество тепла : Т·Cp·ρ ·∆x·∆S, (5.1.1) где Cp – теплоемкость, [кДж/кГ/К], ρ – плотность, [кГ/куб.м]. Из-за разности градиента температуры у левой и правой стенки элемента за время ∆τ в этот элемент вольется тепла: ⎛ ∂T ⎞ Q+ = –λ· ⎜ ∆S·∆τ, (5.1.2) ⎟ ⎝ ∂x ⎠ x = x0 а выйдет из него другое количество: ⎛ ∂T ⎞ ·∆S·∆τ . (5.1.3) Q – = –λ· ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ x = x0 + ∆x Изменение теплосодержания ∆Q = Q+ – Q– дает приращение температуры ∆Т, вычисляемое из уравнения: ∆Q = Q+ – Q –= ∆Т·Cp·ρ·∆x·∆S. (5.1.4) Выражения (5.1.2) и (5.1.3) отличаются только тем, что относятся к разным точкам пространства. Тогда, используя прием разложения функций в ряд Тейлора, выразим значение Т(xо+∆x) через Т(xо), ограничившись первым членом разложения: 54
⎛ ∂T ⎞ Т(xо+∆x) = Т(xо) + ⎜ ·∆x + ... , (5.1.5) ⎟ ⎝ ∂x ⎠ x = x0 откуда для первой производной имеем: ∂T ( x0 + ∆x) ∂T ( x0 ) ∂ 2T ( x0 ) = + ·∆x + ... (5.1.6) ∂x ∂x ∂x 2 Подставляя (5.1.6) в (5.1.3), а (5.1.2) и (5.1.3) в (5.1.4), имеем: ∂T ( x0 ) ∂T ( x0 ) ∂ 2T ( x0 ) ∆Q = –λ· ·∆S·∆τ –(–λ· ·∆S·дτ –λ· ·∆x·∆S·дτ) = ∂x ∂x ∂x 2 ∂ 2T ( x0 ) ·∆x·∆S·∆τ = ∆Т·Cp·ρ·∆x·∆S . (5.1.7) = λ· ∂x 2 Разделив во второй строке равенства (5.1.7) левую часть на правую и проведя перегруппировку членов, получим уравнение в частных производных, которое описывает изменение температуры во времени в каждой точке пространства: ∆T ∂T λ ∂ 2T . (5.1.8) = = ∆τ ∂τ C p ρ ∂x 2 Из аналогичных рассуждений для концентраций можно получить II закон Фика – уравнение нестационарной диффузии: ∂ 2C ∂C = D· 2 , (5.1.9) ∂τ ∂x где D – коэффициент диффузии, С – концентрация. Для полной аналогии уравнений диффузии и теплопроводности перепишем (5.1.8) в виде: ∂ 2T ∂T =а 2 , (5.1.10) ∂τ ∂x где через а обозначен коэффициент температуропроводности: λ , (5.1.11) a= C pρ необходимый для расчетов полей температуры. По физическому смыслу коэффициент температуропроводности – это способность тела к выравниванию температуры. Уравнения (5.1.9) или (5.1.10) описывают связь функции – температуры или концентрации – с аргументами – временем и координатой – в самом общем виде без учета конкретных условий нагрева 55
или охлаждения, распределения температуры или концентрации в начале процесса, и имеют бесконечное множество решений. Если такая связь линейна, то такой тип граничных условий называют условием Ньютона. Для тепловых задач граничное условие по Ньютону записывается как уравнение: ∂T ( x = S , τ) –λ· = α·[Тсреды – Т(x=S,τ)]·k , (5.1.12) ∂x где α – коэффициент теплоотдачи, показывающий количество теплоты, получаемой (или отдаваемой) единицей поверхности в единицу времени при разности температур поверхности и окружающей среды в один градус. Через k в (5.1.12) обозначен некоторый коэффициент пропорциональности, учитывающий разницу величин: a) потока тепла, поступающего на поверхность тела извне: qпов(τ) = α·[Tсреды – Т(x=S,τ); б) потока тепла, уходящего от поверхности тела в его глубину: ∂T ( x = S , τ) . qвнутр(τ) = –λ· ∂x Именно различие величин этих потоков и делает задачу нестационарной – некоторая часть тепла накапливается (или уходит) из слоя толщиной dx, изменяя его температуру во времени. Для диффузионных задач граничное условие по Ньютону записывается аналогично: jпов = β·(Cвнешн – Cпов), (5.1.13) где β – коэффициент массоотдачи.
5.2. Моделирование нагрева твердых тел Тонкие и массивные тела. Вывод критерия Био. Его физический смысл. Лимитирующая стадия. Вывод уравнения нагрева тонкого тела. Задача Эйлера. Качественная картина нагрева массивного тела.
Остановимся подробнее на том, какой тип граничных условий выбирать в каждом конкретном случае или, с физической точки зрения, как определить лимитирующую стадию нагрева тела. Запишем (5.1.12) более подробно, чтобы стал яснее ее физический смысл: 56
⎛ ∂T ⎞ q = λ· ⎜ (5.2.1) ⎟ = α·(Тпечи – Тпов). ⎝ ∂x ⎠ пов Очевидно, что в (5.1.12) в левой части стоит уравнение закона Фурье, описывающее мощность теплоотвода внутрь нагреваемого тела, а справа – уравнение, описывающее мощность теплоподвода к поверхности из внешней среды. Заменим дифференциалы на конечные приращения, учитывая, что в первом приближении в производной можно взять за разницу температур перепад температуры между поверхностью тела и его центром, а за разницу координат – половину толщины тела L: λ·(Тпов – Тцентр)/L = α·(Тпечи – Тпов). (5.2.2) Еще более загрубим (5.2.2), заменив разность температур на максимальную температуру в системе среда – тело (разность двух величин всегда меньше максимального из них): λ·Тпечи/L =α·Тпечи . (5.2.3) Равенство (5.2.3) выглядит еще более справедливым, если учесть, что в конце процесса нагрева наступит состояние, в котором: Тпов = Тцентр = Тпечи . (5.2.4) Поделив правую часть (5.2.3) на его левую, получим безразмерную величину, называемую безразмерным критерием Био Bi : α⋅L , (5.2.5) Bi = λ смысл которого легко понять, если (5.2.5) переписать в виде: L / λ Internal Heat Resist = . Bi = 1 / α External Heat Resist Если критерий Био большой (Bi >0.5), то внутреннее сопротивление большое – тело плохо воспринимает подаваемый тепловой поток, внутри него существуют значительные градиенты температуры. Тело тогда называется массивным в тепловом отношении, и для определения распределения температур внутри него надо решать в общем случае уравнение нестационарной теплопроводности с граничным условием 3-го рода. Если критерий Био очень большой (Bi > 10), то можно решать уравнение теплопроводности с граничным условием 1-го рода, приравняв Тпов и Тпечи с самого начала процесса нагрева. Если критерий Био мал (Bi < 0.25), то внутреннее тепловое сопротивление мало, градиенты температуры внутри него малы, тело 57
хорошо прогревается, и перепада температур между центром и поверхностью почти не образуется. Такое тело называется тонким в тепловом отношении. Т.е., оно воспринимает весь поток, который на него приходит – это соответствует граничному условию 2-го рода. Для изделий, имеющих большой коэффициент теплопроводности, малое значение критерия Био Bi получается даже при их большой физической толщине. В то же время, если поместить "тонкое" в одних условиях тело в более мощный источник тепла, то критерий Био увеличится и тело надо будет рассматривать как массивное. Легко видеть, что, поскольку разницы температур в разных точках тонкого тела практически нет, то в качестве математической модели его нагрева нет необходимости использовать дифференциальное уравнение в частных производных: здесь имеется только одна температура, но меняющаяся во времени. Время нагрева определяется мощностью теплоподвода и способностью тела к тепловосприятию (граничное условие 2-го рода) и теплоемкостью тела. Поскольку теплоемкость тела есть его фундаментальная характеристика, то скорость нагрева лимитируется теплоподводом, мощность которого изменяется во времени из-за изменения температуры тела. Вообще говоря, достаточно очевидно, что за конечное время тело не приобретет температуру окружающей среды. Поэтому температуру печи для сокращения времени нагрева надо выбирать заведомо больше, чем требуемая конечная температура ТК. Выведем формулу для расчета времени нагрева тела от начальной температуры То до заданной температуры ТК тонкого тела массой М, теплоемкостью Ср и с тепловоспринимающей поверхностью F. В произвольный момент времени тело, имеющее температуру Т за элемент времени dτ получит из окружающей среды элементарное количество тепла δQ: δQ = a·(Tпечи – T(τ)) ·F dτ , которое нагреет тело на dT градусов: dT·(M·Cp)= a·(Tпечи – T) ·F dτ . (5.2.6) Перепишем (5.2.6) в форме уравнения для dτ : M ⋅Cp dτ = dτ . (5.2.7) a ⋅ (Tпечи − T ) Если считать теплоемкость и коэффициент теплоотдачи не зависящими от температуры, имеем: 58
M ⋅Cp
dτ , α ⋅ F T0 Tпечи − T 0 откуда для времени нагрева получаем следующую формулу: M ⋅ C p Tпечи − T0 τ= ln . (5.2.8) α⋅F Tпечи − TK Как видим из (5.2.8), время нагрева тонких тел во многом зависит от разности температур источника (печи) и конечной (требуемой) температуры. Для нагрева тела до нужной температуры за конечное время необходимо, чтобы температура печи была выше, чем требуемая. Выше были рассмотрены простейшие случаи решения уравнений в частных производных, когда собственно дифференциальное уравнение и не решалось. Перейдем к более общему и наиболее часто встречающемуся случаю граничных условий 3-го рода. Впервые уравнение в частных производных, иначе – уравнения математической физики, составил и решил в Петербурге Леонард Эйлер, рассмотрев задачу о промерзании грунта при годичных колебаниях температуры. Как известно, начиная с глубины 30 метров температура Земли практически постоянна и не зависит ни от времени года, ни от географического положения. Однако сезонные колебания температуры на поверхности Земли проникают на некоторую глубину с течением времени. Эйлер к уравнению нестационарной теплопроводности (5.1.10) записал следующие граничные условия. На поверхности Земли (х = 0) температура изменяется периодически, по синусоидальному закону: T(0,τ) = sin(τ). В глубине Земли (условно х= ∞ ) температура равна некоторой константе: T( ∞ ,τ) = const . В начальный момент времени примем, например, что температура всюду постоянна и также равна const: T(x,0) = const. (5.2.9) Обращаем внимание, что при больших временах решение вообще не зависит от начальных условий! Эйлер предложил решать уравнения в частных производных методом разделения переменных, который остается основным и до настоящего времени. Чтобы уравнения в частных производных разделялись, надо искать решение в классе функций, представτ
∫ dτ =
TK
∫
59
ляющих собой произведение двух: одна зависит только от времени, вторая – только от координаты: T(x,τ) = ϕ(x)·f(τ). (5.2.10) Подставляя (5.2.10) в уравнение теплопроводности (5.1.10), получаем: ∂ 2 ϕ( x) ∂f ( τ) ϕ(x) = a· f(τ) . (5.2.11) ∂τ ∂x 2 Разделяем переменные, поделив правую и левую части (5.2.11) на (5.2.10): ∂ 2 ϕ( x) 1 ∂f (τ) 1 /f(τ) = a = –ξ2 , ∂τ f (τ) ∂x 2 ϕ( x) где ξ – некоторая произвольная постоянная. Теперь уравнение в частных производных превратилось в систему обычных дифференциальных уравнений: ∂f ( τ) – ξ·f(τ) = 0 с условием f(0) = const; ∂τ ∂ 2 ϕ( x) – ξ·ϕ(x) = 0 с условиями: ϕ(0) = sin(τ); a· ∂x 2 ϕ( ∞ ) = const, методы решения которых достаточно разработаны. 5.3. Безразмерные критерии Метод Гухмана. Безразмерные время и координата. Критерий Фурье. Безразмерная температура. Особенности нагрева цилиндрических тел. Практический пример.
Заметим, что условие (5.2.10) очень редко выполняется в элементарных функциях (как, например, в задаче Эйлера с синусоидальной функцией). Решение обычно находится в различных классах специальных (неэлементарных) функций, представляемых бесконечными рядами разложения по ортогональным функциям или полиномам. Для плоских задач это прежде всего ряды Фурье по тригонометрическим функциям. Для цилиндрических задач более удобными, дающими более быстро сходящиеся числовые ряды, оказываются функции Бесселя. Последние часто так и называются цилиндрическими функциями. Для задач со сферической симметрией следует пользоваться сферическими полиномами Лежандра. 60
Следовательно, при рассмотрении нагрева массивного тела, общее решение записывается в виде некоторой функции: T = f(τ,x,a,α). (5.3.1) Поскольку функция f – неэлементарна, расчет ее следует проводить с использованием вычислительной техники или некоторых специальных приемов. Прежде чем перейти к практическим приемам счета, рассмотрим физическую картину нагрева массивного тела, чтобы понять смысл получаемых в конце счета результатов. В каждый момент времени на поверхность поступает (и тело принимает) извне следующее количество тепла: (5.3.2) α·(T∞ – Tпов ). В этот же момент в глубину тела уходит меньшее количество тепла: λ·дТ/ дх. (5.3.3) За счет разности в потоках тепла в глубь тела и на поверхность температура последней непрерывно возрастает. Одновременно, конечно, растет поток и внутрь тела, увеличивается температура и внутренних участков, но несколько отстающими темпами. При бесконечном времени температуры печи, поверхности тела и его центра, естественно, сравниваются. На практике за многие десятилетия сложились определенные приемы счета без вычислительной техники. Для этого используют метод безразмерных переменных и предварительно рассчитанные номограммы. Смысл безразмерных переменных в том, что для совершенно различных тел и процессов, если они будут описываться одними и теми же значениями безразмерных переменных, исследуемые явления будут подобными. В уравнении (5.3.1) все величины имеют размерность. Однако одну безразмерную величину, в которую входят коэффициенты теплоотдачи и теплопроводности, и которую можно использовать для расчета, мы уже получили – это критерий Био Bi. Вторую безразмерную характеристику – безразмерное время, или критерий Фурье Fo, получим из самого дифференциального уравнения нестационарной диффузии. Смысл процесса получения критерия Bi сводится к замене дифференциалов в уравнении на сами переменные. Формально это выглядит как простое вычеркивание знаков дифференциалов. Такой прием носит название метода Гухмана. Таким образом, убирая знаки дифференциала из уравнения (5.1.10), получаем соотношение: (5.3.4) T/τ = a·T/L2 , откуда получаем критерий Фурье Fo : 61
Fo = τ ·a/L2, (5.3.5) в который вошел также и коэффициент температуропроводности а. Следующая безразмерная величина, а именно безразмерная координата, естественным образом получается из отношения реальной координаты x к характерному размеру системы L ( например, толщине пластины). Смысл безразмерного времени и координаты в том, что для нестационарных процессов нагревов разных тел в одно и то же безразмерное время в одной и той же безразмерной координате будет одна и та же безразмерная температура θ, определяемая также по очевидному соотношению: T −T θ= ∞ = f(Fo, Bi, x/L), (5.3.6) T∞ − To в котором через Т∞ обозначена температура окружающей тело среды (стенок печи), а То есть начальная температура тел. Для практических расчетов без средств вычислительной техники используют номограммы, в которых графически отражена функциональная зависимость безразмерной температуры θ от безразмерного времени Fo для различных значений критериев Био. Обсуждаемые функции различны для центра и поверхности тела. Отличаются они и для различных форм тела, например плоского и цилиндрического. В качестве характерного размера для плоских тел берут обычно половину его толщины (обычно нагрев бывает двусторонним). Для цилиндрических тел за характерный размер всегда выбирают его радиус. Т.е. имеем Bi = αR/λ. Номограммы для поверхности и центра цилиндрических тел, как примеры, приведены на рис. 5.3.1 и 5.3.2. Как видим, они обладают существенными различиями в численных значениях. На практике обычно встречаются два типа задач. В первом из них требуется определить время нагрева тела до заданной температуры Ткон; обычно за такое время выбирается время нагрева центра тела. Алгоритм расчета следующий. ♦ Рассчитываем критерий Био для тела: Bi = α·L/λ и определяем соответствующую прямую на номограмме для центра тела. ♦ Из Ткон рассчитываем требуемую безразмерную температуру: θ = (T∞ –Tкон )/(T∞ – To) (5.3.7) ♦ Откладывая ординату θ на номограмме и проводя прямую до пересечения с линией номограммы для данного значения критерия Био, получаем абсциссу – значение безразмерного времени Fo. ♦ По формуле τ = Fo·L2/a рассчитываем обычное время в секундах. 62
Рис. 5.3.1. Номограмма соотношений безразмерных величин для поверхности цилиндра 63
Рис. 5.3.2. Номограмма соотношений безразмерных величин для центра цилиндра 64
Второй часто встречающейся задачей является определение временных количественных зависимостей нагрева тела на поверхности и в его середине. Здесь алгоритм расчета такой. ♦ Рассчитываем критерий Био для тела: Bi = α . L/λ и определяем соответствующие прямые на номограммах для поверхности и центра тела. ♦ Задаем набор значений естественного времени процесса τ, сек. ♦ Вычисляем соответствующий набор безразмерных времен для поверхности и центра тела: Fo = τ .a/x2, которые задают абсциссы на номограмме. ♦ По пересечению перпендикуляра к оси абсцисс с прямой, соответствующей значению критерия Био, находим ординаты – значения безразмерных температур θ для поверхности и центра тела. ♦ Вычисляем обычные температуры по формуле: Т = T∞–θ. (T∞–Tо) для поверхности Тпов и центра тела Тц. ♦ Строим графики временной зависимости температур для поверхности Тпов и центра тела Тц. Пример. Слитки меди и никеля толщиной 300 мм нагреваются от начальной температуры 20 до 500°С. Температура в печи 550°С. Нагрев проводится с одной стороны. Коэффициент теплоотдачи в печи 100 [Вт/(м2К)]. Определить время нагрева медного и никелевого слитков до заданной температуры и перепад температуры по толщине слитка. 0. Проведем основные определения требуемых констант. По справочнику физико-химических величин находим плотность меди, равную 8,92. 103 [кГ/м3], никеля 8,63. 103[кГ/м3]. Теплоемкость меди при средней температуре металла 260°С равна 407 [Дж/(кг. К)], никеля – 472 [Дж/(кг·К)]. Теплопроводность меди при средней температурe равна 376 [Вт/(м·К)], никеля – 57 [Вт/(м·К)]. При одностороннем нагреве за характерный размер принимаем полную толщину слитка. 1. Вычисляем значения критериев Био. a. Для меди имеем: Вi = (100·0,3)/376 = 0,08 << 0,25. б. Для никеля Вi = (100·0,3)/57 = 0,53 > 0,50. 2. Поскольку для нашего слитка меди Вi<0,25, время нагрева рассчитываем по уравнению для тонкого тела. Принимая для простоты поверхность нагрева равной 1 м2: 0,3 ⋅ 8,92 ⋅1000 ⋅ 407 550 − 20 ln = 7,1 ч. τ= 100 ⋅ 3600 550 − 500 65
Перепад температуры по толщине слитка при столь малом значении Вi ничтожно мал. 3. Расчет времени нагрева никелевого слитка следует проводить по формуле для массивного изделия. Находим безразмерную температуру для нижней поверхности слитка: θ = (550 – 500)/(550 – 20) = 0,094. Из номограммы находим критерий Фурье, который в данном случае равен 5,2. Определяем коэффициент температуропроводности как 57 = 1,34·10 –5 [м2/с]. а = λ/(Cр·ρ) = 492 ⋅ 8,63 ⋅ 1000 Из выражения для критерия Фурье находим время нагрева слитка: τ = 5,2·
0,32
= 9,7 [ч]. 1,34 ⋅ 10 − 5 ⋅ 3600 Нагрев никеля будет протекать медленнее меди. Найдем температуру, которую будет иметь верхняя поверхность слитка Ni в конце процесса нагрева. Для этого из номограммы по значениям Вi и Fо находим θпов = 0,083. Температура верхней поверхности будет: Тпов = 550 – 0,083. (550 – 20) = 506°С. Таким образом, температура верхней поверхности слитка будет всего на 6°С выше температуры нижней поверхности, что связано со все-таки не очень большим значением критерия Био (0,53). Контрольные вопросы 1. Выведите уравнение нестационарной теплопроводности, основываясь на законе Фурье. 2. В чем смысл коэффициента температуропроводности? 3. Каков физический смысл решения уравнения нестационарной теплопроводности (диффузии)? 4. Какие Вы знаете типы краевых условий? Где требуется начальное условие? 5. Напишите граничное условие теплоотдачи (массоотдачи) по Ньютону. В чем его недостаток? 6. Проиллюстрируйте использование метода Гухмана на примере введения безразмерного времени. 7. Как вводятся безразмерные время и температура? 8. Что характеризует критерий Фурье? 66
6. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ
6.1. Основные определения Режимы течения жидкостей и газов. Пограничные слои. Приближение Лэнгмюра. Физический смысл слоев. Внешняя и внутренняя задачи. Вращающийся диск.
При течении среды вдоль неподвижной поверхности ее скорость u(x,у) по сечению потока не остается постоянной. Рассмотрим двухмерную задачу и направим ось X вдоль поверхности, а ось Y – перпендикулярно к ней. Слой среды, прилегающей к поверхности пластины (y = 0), неподвижен: u(x,0) = 0. Его толщина зависит от расстояния, пройденного средой от передней кромки пластины. Это условие является граничным условием, используемым для решения дифференциального уравнения движения среды. При увеличении y скорость возрастает от нуля до некоторого постоянного значения, равного скорости среды в ядре потока u. За толщину динамического пограничного слоя принимают расстояние y = δо , на котором достигается значение скорости, равное 0.99 от скорости в ядре потока. Возрастание скорости в пограничном слое говорит о преобладающем влиянии в этом слое сил внутреннего трения (вязкости). За пределами пограничного слоя действие этих сил не оказывают существенного влияния, и инерционные силы преобладают над силами вязкости. Согласно допущению Ленгмюра, скорость в пограничном слое возрастает линейно с удалением от поверхности пластины или другого обтекаемого тела. Это, вообще говоря, справедливо только для малых толщин слоев; реальное распределение скорости – параболическое, но обычно этим пренебрегают, за исключением установившегося (стабилизированного) течения среды, когда уже нельзя говорить о приближении пограничного слоя. Используя понятие толщины динамического пограничного слоя, можно определить понятие внешней задачи: в условиях внешней задачи толщина пограничного слоя значительно меньше расстояния до любой другой поверхности. Во внутренней задаче при установившемся течении среды действие сил вязкости проявляется во всем потоке между ограничи67
вающими стенками. В этом случае на некоторой длине l гидродинамического начального участка пограничные слои смыкаются (рис. 6.1.1) и устанавливается стабилизированный профиль распределения скорости.
Рис. 6.1.1. Профиль скоростей в установившемся режиме течения жидкости: а – ламинарный поток; б – турбулентный
Уравнение пограничного слоя можно получить из уравнения движения среды и уравнения сплошности при допущении малой толщины пограничного слоя по сравнению со значением координаты x вдоль неподвижной поверхности, когда можно опустить члены д2u/дx2, но следует оставить члены д2u/дy2. В противном случае понятие пограничного слоя теряет смысл и для определения поля скоростей необходимо решать строгие дифференциальные уравнения с соответствующими условиями однозначности, т.е. граничными и начальными условиями. Общим для всех случаев обтекания неподвижной поверхности будет условие прилипания, т.е. неподвижности среды у поверхности: u(0) = 0. Решив соответствующее уравнение, для определения толщины пограничного слоя в зависимости от расстояния x от передней кромки неподвижной поверхности до текущей точки получим выражение: δо(х) = A· (хν/u)0.5. (6.1.1) Экспериментально определенный коэффициент пропорциональности А для ламинарного продольного обтекания плоской пластины равен 5,6; для трубы А равно 2,44. Отсюда можно легко получить формулу для расчета длины, на которой стабилизируется поток, т.е. длину lо, на которой имеет смысл говорить о пограничном слое: lо = 0,168·(D/2)2·u/ν. (6.1.2) 68
Заметим, что при малых скоростях толщина пограничного слоя большая, и задача всегда будет внутренней, т.е. приближение пограничного слоя при малых скоростях не применимо. Для вращающегося диска (6.1.1) можно переписать как: δо = A· (r/wr )0.5 = A· (1/w )0.5. (6.1.3) Т.е. для него толщина пограничного слоя не зависит от расстояния от оси вращения. Вращающиеся диски очень эффективно используют для исследования кинетики гетерогенных процессов под названием метод равнодоступной поверхности. Коэффициент А здесь равен 3,6. Для метода Чохральского, где монокристаллы выращиваются из расплава с вращением не только кристалла, нижняя поверхность которого и является вращающимся диском, но и встречным вращением среды (тигля), коэффициент А равен 5,0; за скорость вращения берут угловую скорость вращения кристалла. 6.2. Диффузионный и тепловой пограничные слои Рабочие формулы в теории подобия. Соотношение толщин пограничных слоев для газов и жидкостей.
Если на твердой поверхности (ось Х), вдоль которой движется химически активная среда, протекает гетерогенная реакция, то концентрация реагентов у поверхности C|y=о=Спов может значительно отличаться от их концентраций в ядре потока – основном объеме среды. Эти концентрации в ядре потока сразу после внешней границы гидродинамического пограничного слоя при больших значениях критерия Пекле и больших скоростях движения среды остаются постоянными. В то же время внутри пограничного гидродинамического слоя концентрация меняется, в связи с чем можно говорить о диффузионном пограничном слое. Если поверхность и обтекающая среда имеют разные температуры, то можно говорить и о тепловом пограничном слое – естественно, когда он лежит внутри гидродинамического, и, конечно, только для внешней задачи, когда вообще имеет смысл говорить о пограничных слоях. Можно считать, что в пределах диффузионного (теплового) пограничного слоя массообмен (теплопередача) идет только молекулярными механизмами по закону Фика (Фурье), а вне его – конвекцией. Т.е. внешние границы диффузионного или теплового погра69
ничных слоев лежат внутри или в крайнем случае на внешней границе гидродинамического слоя – там, где скорость движения среды уже имеет заметную величину и полностью определяет количественную меру переноса вещества или тепловой энергии. Естественно, что толщины диффузионного и теплового слоев связаны с толщиной гидродинамического слоя. Функционально эта связь выражается уравнением для диффузионного слоя: δj(х) = A·δо(х)·(Dj/ν)–0.33, а для теплового: δт(х) = A·δо(х)·(а/V)–0.33, где величина А зависит от вида и характера задачи. Для продольного обтекания пластины А равно 3; для вращающегося диска оно равно 1,6; для метода Чохральского А = 2,2. Для газов значения толщин гидродинамического, теплового и диффузионного слоев близки по порядку величин, и чаще всего толщина гидродинамического слоя в 2-4 раза больше, чем толщина теплового или диффузионных слоев. Для жидкостей эта величина составляет обычно 5-10 раз по отношению к диффузионному слою. Но для теплового слоя в расплавах полупроводников картина обратная – тепловой пограничный слой значительно больше гидродинамического. Причина явления – очень большая теплопроводность расплавов полупроводников (и жидких металлов) за счет электронной составляющей. Поскольку диффузионный и тепловой слои по своему физическому смыслу лежат внутри гидродинамического, то они могут существовать для внутренней задачи и на несколько больших расстояниях вдоль обтекаемого объекта, чем начальный гидродинамический участок, находясь внутри уже стабилизированного потока. При стабилизированном параболическом профиле скорости толщина диффузионного слоя рассчитывается по уравнению: δj(х)=0.94·(Vhx/U)-0.33·(Dj/v)-0.33 , (6.2.1) где h – расстояние от пластины до ближайшей неподвижной стенки по нормали; величина U равна средней скорости движения среды в реакторе. Для теплового слоя в (6.2.1) Dj нужно просто заменить на коэффициент температуропроводности а. Из (6.2.1) легко определить максимальную длину пробега газовой смеси вдоль реактора, на которой еще можно говорить о существовании теплового или диффузионного пограничного слоя. Т.е., 70
определить условия, когда можно для этих задач пользоваться теорией подобия и не решать дифференциальных уравнений. Смыкание внешних границ тепловых слоев происходит при таком значении x = lт, когда они достигнут половины расстояния между ближайшими неподвижными стенками: h/2=0.94·(vhlт /U)0.33·(а/v)-0.33, откуда, возводя в куб: h3/8=0.83·(vhlт /U)·(а/v)-1 = 0.83· (v2hlт/а/U), имеем: lт = 1.51·ah2U/ v2. И, аналогично для смыкания диффузионных слоев для каждого j-го компонента, имеющего свой коэффициент диффузии Dj, получаем: lj = 1.51·Dj h2U/ v2. Если представить распределение тепла и вещества внутри пограничных слоев линейным в направлении поверхности, что особенно справедливо для тонких пограничных слоев, то для потоков субстанции из ядра потока к поверхности можно использовать первый закон Фика или Фурье в интегральной форме. Тогда имеем: qт = λ·[(Cя.п. – Спов)/δт ] = (λ / δт)·(Cя.п. – Спов), откуда видно, что под коэффициентом теплоотдачи в приближении пограничного слоя следует понимать величину: α = (λ / δт), а под коэффициентом массоотдачи соответственно: βj = (Dj / δт). Таким образом, выше приведены все необходимые формулы для численных расчетов процессов передачи тепла и массы в движущейся среде газа или жидкости. Контрольные вопросы 1. Какие бывают гидродинамические режимы течения жидкостей и газов? 2. Почему возникают пограничные слои? Раскройте физический смысл слоев. 3. В чем заключается приближение Лэнгмюра? 4. Что такое внешняя и внутренняя задачи? 5. В чем особенность пограничного слоя у вращающегося диска? 6. Укажите примерное соотношение толщин пограничных слоев для газов и жидкостей. 71
ПРИЛОЖЕНИЯ Домашнее задание № 1. Моделирование стационарного теплообмена в многослойной стенке технологической печи Цель работы На примере написания программы на алгоритмическом языке высокого уровня и выполнения компьютерного моделирования стационарного состояния муфельной печи с многослойной теплоизоляцией освоить приемы численного решения краевых задач математической физики методом итераций и половинного деления. Освоить методику проведения вычислительного эксперимента. Практические навыки Освоение инженерного расчета интенсивности теплопередачи, т.е. теплопотери печного устройства; расчет мощности требуемого нагревателя для поддержания постоянной температуры в пространстве печи. Определение оптимальной конструкции печного устройства. Построение графиков средствами EXCEL. Содержание работы А. Для Вашего варианта задания (см. табл. Д1.1), т.е. для конкретной температуры в камере печи и температуры окружающей среды 20ºС для воздухоохлаждаемой прямоугольной печи подобрать: • материалы и количество слоев теплоизоляции в одной стенке, • материал поверхности кожуха печи, обеспечивающих выполнение одновременно трех условий оптимальности конструкции: 1) температура кожуха………….≤ 80 ºС; 2) мощность теплопотерь 2 со стенки………………………..≤ 1,0 кВт/м ; 3) общая толщина стенки……… ≤ 40 см.
Толщину стенок выбирать таким образом, чтобы одно из условий (1 или 2), выполнялось на пределе. Физические константы брать из табл. Д1.2 и Д1.3.
72
Б. Для выбранной оптимальной конструкции провести численное исследование влияния на величину теплопотерь и температуру внешней стенки печи: • температуры среды (20…100ºС); • температуры камеры печи (±100ºС; • степени черноты материала кожуха (от алюминиевой краски до окисленной стали). Порядок оформления задания На первой странице представляемого выполненного задания указать фамилию, группу, номер варианта. В описании привести принципиальную схему рассчитываемой установки, дать краткое теоретическое описание. Исходные физические данные и результаты расчета для конечного варианта, принятого за оптимальный, привести в виде таблицы (желательно в виде машинной распечатки). Результаты исследования зависимости тепловых потерь от температуры среды и камеры печи, степени черноты материала кожуха представить в виде графиков зависимости, построенных средствами EXCEL: Q = f (Tпечи), Q = f (Tсреды), Тстенки = f (Tпечи),
Тстенки = f (Tсреды),
Q = f (ε); Тстенки = f (ε). Таблица Д1.1
Варианты заданий
1
t печи, ºС 1100
2
1100
Нижняя
12
1250
Верхняя
3
1100
Боковая
13
1250
Нижняя
4
1150
Верхняя
14
1250
Боковая
5
1150
Нижняя
15
1300
Верхняя
6
1150
Боковая
16
1300
Нижняя
7
1200
Верхняя
17
1300
Боковая
8
1200
Нижняя
18
1400
Боковая
9
1150
Боковая
19
1250
Нижняя
10
1100
Верхняя
20
1250
Боковая
№
Положение стенки Верхняя
№ 11
73
t печи, ºС 1200
Положение стенки Боковая
Таблица Д1.2 Свойства некоторых огнеупорных и теплоизоляционных материалов Материал Алунд Динас Магнезит Динас–легковес Кирпич–огнеупор Шамот Пеношамот Шамот–легковес Шамот–ультралегковес Пенодиатомит–кирпич Шлак–вата Асбест распушенный Вулканит Стекловата
Максимальная рабочая температура, ºС 1700 1650 1650 1500 1500 1400 1350 1300 1100 900 750 600 600 450
Коэффициенты ряда зависимости λ(t,ºC), Вт. К/м 2.090 + 1.864. 10–3. t 0.930+ 0.697. 10–3. t 6.160 – 2.670. 10–3. t 0.470 + 0.464. 10–3. t 1.340 – 2.210. 10–3. t 0.700 + 0.640. 10–3. t 0.290 + 0.232. 10–3. t 0.500 + 0.163. 10–3. t 0.093 + 0.162. 10–3. t 0.078 + 0.314. 10–3. t 0.050 + 0.151. 10–3. t 0.157 + 0.186. 10–3. t 0.086 + 0.232. 10–3. t 0.037 + 0.256. 10–3. t
Степень черноты ε некоторых материалов Материал Графит Сталь окисленная Сталь 1Х18Н10Т Молибден Вольфрам Платина Алюминиевая краска Алюминий окисленный Алюминий полирован. Серебро полированное
Температурный интервал, ºС 300 … 2500 200 … 600 400 … 1250 300 … 2200 725 … 2600 25 … 1200 25 … 150 200 … 600 200 … 500 225 … 625
74
Таблица Д1.3
Коэффициенты ряда зависимости ε(T, K) 0.800 0.900 0.142 + 2.35. 10–4. T –0.023 + 1.38. 10–4. T –0.008 + 1.04. 10–4. T 0.150 0.550 0.477 + 3.24. 10–4. T 0.055 0.020
Домашнее задание № 2. Моделирование процесса теплообмена в вакуумной высокотемпературной печи с экранной изоляцией Цель работы На примере написания программы на алгоритмическом языке высокого уровня и выполнения компьютерного моделирования стационарного состояния вакуумной печи с многослойной экранной изоляцией освоить приемы численного решения первой краевой задачи математической физики методом итераций. Освоить методику проведения вычислительного эксперимента. Практические навыки студента по выполняемой работе Расчет интенсивности теплопередачи излучением, т.е. теплопотери печного устройства; расчет мощности требуемого нагревателя для поддержания заданной температуры в пространстве печи. Оптимизация конструкции печного устройства. Содержание работы Написать программу расчета тепловых потерь в системах с тепловыми экранами. С помощью отлаженной программы, для заданной температуры нагревателя (см. табл. Д2.1 вариантов) в камере печи высотой 0,25 м, при фиксированной температуре внутренней стенки водоохлаждаемой камеры 25°С, методами численного математического моделирования провести следующее теоретическое исследование: 1. Рассчитать тепловые потери в системе без экранов. Определить, как изменится эта величина, если поток воды ослабнет и она закипит в кожухе печи. Какая величина потерь будет, если изготовить стенку камеры из полированного серебра? 2. Поместить в систему один экран из материала, указанного в Вашем варианте, и выявить зависимость от положения экрана: • величины тепловых потерь между нагревателем и стенкой; • температуры самого экрана. 3. Установить, как изменится картина явления, если степень черноты экрана уменьшить вдвое. 4. Найдите вариант системы (изменяя число и положение экранов), в которой тепловые потери будут в 10 раз меньше, чем в системе без экранов. 75
Порядок оформления задания В описании привести принципиальную схему рассчитываемого процесса, дать краткое теоретическое описание. Исходные физические данные и результаты расчета привести в виде таблиц (желательно в виде машинной распечатки). Результаты исследования зависимости тепловых потерь и температуры экрана от положения экрана и степени его черноты представить в виде графиков, построенных в среде EXCEL или программным способом. Таблица Д2.1
Варианты заданий №
НАГРЕВАТЕЛЬ Температура,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
°С 1700 1600 1800 2000 1900 1900 1800 1800 1900 1900 1700 1800 1800 2000 2100 1700 1700 1600 1800 2000
Материал
Диаметр, м
Mo Mo C W W C Mo C C W C Mo C C W W Mo Mo C W
0.10 0.15 0.10 0.15 0.18 0.20 0.05 0.08 0.10 0.05 0.20 0.05 0.08 0.10 0.15 0.18 0.10 0.15 0.10 0.15
Материал экранов Mo W Mo C Mo W C W Mo C W C W Mo C Mo Mo W Mo C
КАМЕРА Диаметр, Материал м Сталь 0.40 Сталь 0.45 Нерж.ст. 0.50 Сталь 0.40 Сталь 0.45 Сталь 0.50 Сталь 0.55 Нерж.ст. 0.60 Нерж.ст. 0.60 Нерж.ст. 0.50 Сталь 0.50 Сталь 0.55 Нерж.ст. 0.60 Нерж.ст. 0.50 Сталь 0.40 Сталь 0.45 Сталь 0.40 Сталь 0.45 Нерж.ст. 0.50 Сталь 0.40
Температурные зависимости степени черноты различных материалов приведены в табл. Д1.3 из задания №1.
76
Домашнее задание № 3. Моделирование нестационарного процесса нагрева цилиндрического тела Нагрев изделия или заготовки до определенной температуры – наиболее распространенный технологический процесс или его составная часть. Разогрев тел производят в нагревательных устройствах (печах) разных конструкций, две из которых были изучены нами выше. Обычная печь чаще всего уже находится в разогретом стационарном состоянии, и в нее помещают для нагрева холодное изделие. Поскольку оно имеет конечные размеры, то и время нагрева тоже конечно. Поэтому необходимо знать способы расчета времени, необходимого для достижения телом требуемой температуры. Цель работы На примере расчета нагрева цилиндрических тел освоить решение нестационарных задач с использованием элементов теории подобия. Практические навыки студента по выполняемой работе Умение рассчитывать время нагрева заготовки до заданной температуры с помощью номограмм. Содержание работы По Вашему варианту задания (см. табл. Д3.1) выполнить: 1) используя данные табл. Д3.1, определить через критерий Био тепловой тип тел; 2) рассчитать изменение во времени температуры тонкого тела; 3) используя номограммы рис. 5.3.1 и 5.3.2, рассчитать изменение во времени температуры поверхности, центра и разности этих температур для массивного тела. Порядок оформления задания Средствами EXCEL построить графики всех полученных зависимостей.
77
Табл. Д3.1. Варианты заданий NN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Me
R мм
Tпечи оС
α Вт/(м2. К)
Tнач о С
Tкон оС
Аl U Be Th Cu Bi Mo Hf Ag Zr W Ti Au Nb Ta Fe Pt Ni Cr C
150 200 60 200 300 250 180 180 200 150 190 190 50 150 150 300 50 300 200 250
700 1000 1200 900 900 500 1600 1600 1000 1200 1700 1300 1000 1600 1600 1500 1600 1500 1200 1300
100 300 200 300 250 300 1000 1000 500 700 1200 1200 500 1200 1200 1000 1200 1000 1000 1300
25 25 100 25 100 25 300 200 25 200 500 25 25 300 300 100 500 100 25 25
600 800 1150 800 800 450 1500 1500 800 1100 1600 1250 800 1500 1550 1475 1550 1400 1180 1280
Табл. Д3.2. Физические свойства некоторых металлов NN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Meт Аl U Be Th Cu Bi Mo Hf Ag Zr W Ti Au Nb Ta Fe Pt Ni Cr C
ρ Г/см3 2,71 19,05 1,82 11,66 8,92 9,84 10,20 13,09 10,49 6,49 19,23 4,50 19,30 8,57 16,60 7,86 21,50 8,96 7,16 1.80
Cp Дж/(кГ. моль. К) 20,7+0,012. T 14,19+0,034. T 19,01+0,008. T 26,80+0,013. T 22,65+0,006 31,40+0,000. T 22,94+0,005. T 24,24+0,002. T 21,31+0,008. T 28,60+0,005. T 24,03+0,003. T 22,11+0,010. T 23,70+0,005. T 23,70+0,004. T 24,37+0,003. T 17,50+0,025. T 24,03+0,006. T 25,24-0,010. T 24,45+0,007. T 17,16+0,004. T
78
λ Вт/(м. К) 238,80−0,0590. T 018,48+0,0281. Т 217,26−0,1135. Т 022,34+0,023. Т 431,98−0,0891. Т 004,35+0,0138. Т 138,87−0,0303. Т 023,60−0,0038. Т 506,01−0,1973. Т 031,19−0,0062. Т 138,90−0,0180. Т 022,48−0,0020. T 310,00−0,0000. T 041,12+0,0149. T 039,30+0,0216. T 091,37−0,0617. T 072,25−0,0040. T 084,21−0,0588. T 096,71−0,0282. T 105,90−0,0440. T
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Крапухин В.В., Соколов И.А., Кузнецов Г.Д.. Технология материалов электронной техники. Изд. 2-е. М.: МИСиС, 1995. 2. Соколов И.А. Расчеты процессов полупроводниковой технологии. М.: Металлургия, 1994. 3. Крапухин В.В. Печи для цветных и редких металлов. М.: Металлургия, 1993. 4. Соколов И.А. Технология материалов электронной техники. М.: МИСиС, 1990. 5. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987. 7. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1987.
79
Владимир Викторович Нечаев
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЯДЕРНОЙ ТЕХНОЛОГИИ
Редактор Н.В. Шумакова
Подписано в печать 15.10.2007. Формат 60х84 1/16 Печ.л. 5,0 Уч.-изд.л. 5,0 Тираж 200 экз. Изд. № 4/12 Заказ № Московский инженерно-физический институт (государственный университет) 115409, Москва, Каширское шоссе, 31 Типография издательства «Тровант» г. Троицк Московской области
