Ширина степени свободной нильпотентной группы ступени два

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2000. Том 41, № 1

УДК 512.54

ШИРИНА СТЕПЕНИ СВОБОДНОЙ НИЛЬПОТЕНТНОЙ ГРУППЫ СТУПЕНИ ДВА Е. Г. Смирнова t свободной нильпотентАннотация: Вычислена ширина произвольной степени Nn2 ной группы Nn2 конечного ранга n ≥ 2 ступени 2. Доказано, что для четного t она равна 2[n/2] + 1, а для нечетного t равна 1. Библиогр. 16.

Введение Пусть G — произвольная группа, wG — ее вербальная подгруппа, определенная словом w. Шириной wid(g, w) элемента g ∈ wG относительно слова w назовем наименьшее число l такое, что g представим как произведение l значений слов w±1 в группе G. Определим ширину произвольного подмножества M ⊆ wG как wid(M, w) = max wid(g, w). Заметим, что wid(M, w) может быть g∈M

бесконечной. Понятие ширины вербальной подгруппы wG идет от Ф. Холла. Термин «ширина», как и приведенное выше обозначение, ввел Ю. И. Мерзляков в [1] (см. также [2, § 12]). Зарубежные авторы используют также термины «эллиптическая» для вербальных подгрупп конечной ширины и «параболическая» для вербальных подгрупп бесконечной ширины. Через Nnk будем обозначать свободную нильпотентную группу ранга n ступени k, а через Mn — свободную метабелеву группу ранга n. Пусть A обозначает многообразие всех абелевых групп, Nk — многообразие всех нильпотентных групп ступени не больше чем k, P — класс всех полициклических групп и F — класс всех конечных групп. Через C D обозначим произведение классов групп C и D, т. е. класс всех групп, являющихся расширениями групп из класса C с помощью групп из класса D, через (x, y) — коммутатор x−1 y −1 xy. Приведем основные известные результаты о ширине вербальных подгрупп. 1. Ширина wid(Mn0 , (x, y)) коммутанта свободной метабелевой группы конечного ранга n конечна, а бесконечного ранга бесконечна. Первое утверждение фактически доказано А. И. Мальцевым в [3], второе следует из результатов работ [4–6]. 2. Ширина произвольной вербальной подгруппы wG алгебраической группы матриц G конечна. Это теорема Ю. И. Мерзлякова [1] (см. также [2]). 3. Если G ∈ A Nk — конечно порожденная группа, то любая ее вербальная подгруппа wG имеет конечную ширину. Этот результат принадлежит Строуду — ученику Ф. Холла, погибшему вскоре после защиты диссертации [7], в которой есть его доказательство. Оно Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 98–01–00932).

c 2000 Смирнова Е. Г.

Ширина степени группы ступени два

207

известно специалистам. Основным утверждением в нем является теорема (ее можно найти в [8]), согласно которой некоторый член нижнего центрального ряда группы G пересекается с ее центром по единице. Автора познакомил с теоремой Строуда профессор В. А. Романьков. 4. Если G ∈ A C — конечно порожденная разрешимая группа, где C — класс, в котором каждая конечно порожденная группа удовлетворяет условию максимальности для нормальных подгрупп, то ее коммутант G0 имеет конечную ширину относительно слова (x, y). По известной теореме Ф. Холла конечно порожденные группы из произведения A P удовлетворяют условию максимальности для нормальных подгрупп, поэтому приведенное утверждение, в частности, верно для A A P-групп. Это теорема Ремтуллы [9]. 5. Если G ∈ P или G ∈ Nk F — конечно порожденная группа, то любая ее вербальная подгруппа wG имеет конечную ширину. Это теорема В. А. Романькова [10], в частном случае внешнекоммутаторного слова w и полициклической группы G она доказана в [11]. 6. Любая нетривиальная собственная вербальная подгруппа wG свободного произведения групп G = A ∗ B, |A| ≥ 3, |B| ≥ 2, имеет бесконечную ширину. Это хорошо известный результат Ремтуллы [12]. Аналогичные утверждения получены для некоторых HN N -расширений В. Г. Бардаковым [13]. Приведенный список результатов далеко не полон. Данная работа, впрочем, направлена не на доказательство конечности или бесконечности ширины вербальной подгруппы, а на ее точное вычисление. Работ, в которых ширина точно вычисляется или оценивается, не так много. Отметим некоторые из них. 7. При n ≥ 2
0 wid Nn2 , (x, y) = [n/2]; при k ≥ 3
0 wid Nnk , (x, y) = n. Результат доказан Х. С. Алламбергеновым и В. А. Романьковым в [4] (см. также [5]). Отсюда, кстати, вытекает, что ширина коммутанта свободной нильпотентной группы бесконечного ранга бесконечна. К сожалению, в работе [4] не разобран случай n = 2, k = 3, закрытый в работе [14]. 8. При n ≥ 2
wid Mn0 , (x, y) = n. Это теорема анонсирована Х. С. Алламбергеновым [15] и полностью им доказана в его кандидатской диссертации. Она следует из результатов работы [14]. В работе [6] было только замечено, что [n/2] ≤ wid(Mn0 , (x, y)) ≤ n. Настоящая работа посвящена вычислению ширины степени свободной нильпотентной группы ступени 2. Основной результат составляет Теорема. 1. При n ≥ 2, произвольном k ≥ 1
2k wid Nn2 , x2k = 2[n/2] + 1. 2. При любых n, k
2k+1 wid Nn2 , x2k+1 = 1. Дальнейшая часть статьи посвящена доказательству теоремы. Начнем рассмотрение с наиболее трудного и принципиального случая степени 2. Этому посвящены пп. 2, 3. Отметим, впрочем, что утверждение 2 теоремы — хорошо известный факт (например, оно содержится в диссертации Olivier Chapuis

208

Е. Г. Смирнова

«Contribution a la theorie des groupes resolubles: elliptisme et theorie (universelle) du premier ordre», защищенной 14.12.1994 г. в Университете «Париж 7», Франция). Оно легко доказывается и включено в теорему для полноты формулировки. Утверждение 1 теоремы при n = 2 доказано в [16]. 1. Сведение к группе Gn
2
2 4 0 0 Пусть Gn = Nn2 /Nn2 Nn2 , Hn = Nn2 / Nn2 . Лемма. Справедливы равенства


2 wid G2n , x2 = wid Hn2 , x2 = wid Nn2 , x2 . Доказательство. Так как ширина вербальной подгруппы при гомоморфизме не увеличивается, то


2 wid G2n , x2 ≤ wid Hn2 , x2 ≤ wid Nn2 , x2 . (1) Достаточно доказать противоположные неравенства в (1). Докажем вна

2 , x2 . Для этого достаточно установить, что чале, что wid Hn2 , x2 ≥ wid Nn2 wid(¯ g , x2 ) ≥ wid(g, x2 ) для любого элемента g¯ ∈ Hn2 и любого его прообраза 2 g ∈ Nn2 . 0 . Но в этом случае Пусть g¯ = g¯12 . . . g¯s2 , тогда g = g12 . . . gs2 c2 , где c ∈ Nn2 2 2 2 g = (g1 c) g2 . . . gs , что доказывает требуемое неравенство. ¯ ∈ G2 , любого его прообраза Докажем теперь, что для любого элемента h n 2 2 2 ¯ h ∈ Hn имеем wid(h, x ) ≥ wid(h, x ). Заметим, что в Hn справедливы тож¯ =h ¯2 . . . h ¯ 2 , тогда h = h2 . . . h2 d4 , где дества (x2 , y) = 1, x4 y 4 = (xy)4 . Пусть h s s 1 1 2 2 2 2 d ∈ Hn . Отсюда следует, что h = (h1 d ) h2 . . . hs . Лемма доказана. Справедливость леммы позволяет перевести основные рассмотрения на группу Gn . 2. Доказательство основного результата Пусть Gn имеет базис x1 , x2 , . . . , xn . Шаг 1. Докажем, что
wid G0n , x2 = 2[n/2] + 1. Рассмотрим вначале случай четного ранга n = 2m и докажем, что
wid G02m , x2 = 2m + 1. Возьмем элемент f = (x2 , x1 )(x4 , x3 ) . . . (x2m , x2m−1 ) ∈ G02m . Докажем, что ширина любого элемента h ∈ G02m удовлетворяет неравенству wid(h, x2 ) ≤ wid(f, x2 ). В силу теоремы из [4] любой элемент из коммутанта представляется в виде произведения [2m/2] = m коммутаторов: h = (c2 , c1 )(c4 , c3 ) . . . (c2m , c2m−1 ). Если f = f12 . . . ft2 , то, определив эндоморфизм ϕ : x1 → c1 , . . . , x2m → c2m , получим равенство
2
2 h = f ϕ = f1ϕ . . . ftϕ .

Ширина степени группы ступени два

209

Докажем, что wid(f, x2 ) = 2m+1. Представим f в виде произведения 2m+1 2 квадратов, например, следующим образом: f = f12 f22 . . . f2m+1 , где f1 = x1 x3 x5 . . . x2m−1 , −1 −1 −1 −1 f2s = x−1 2s−1 x2s x2s+1 x2s+3 . . . x2m−1 ,

f2s+1 = x2s x2s+1 x2s+3 . . . x2m−1 ,

s = 1, . . . , m − 1,

s = 1, 2, 3, 4, . . . , m − 1,

(2)

−1 f2m = x−1 2m−1 x2m ,

f2m+1 = x2m . Тем самым доказано, что wid(f, x2 ) ≤ 2m + 1. Докажем обратное неравенство wid(f, x2 ) ≥ 2m + 1. Предположим, что f можно представить в виде произведения 2m квадратов: 2 f = g12 . . . g2m ,

gi ∈ G2m .

Как произвольные элементы группы G2m элементы gi имеют вид Y i i2m (xk , xj )akj , gi = xa1 i1 xa2 i2 . . . xa2m k>j

где можно считать, что aij ∈ Z4 , aikj ∈ Z2 . Возведя каждый gi в квадрат и перемножив, получим P P P P2m 2 2m ai1 2 2m ai2 2 2m ai2m Y f = x1 i=1 x2 i=1 . . . x2m i=1 (xi , xj ) k=1 aki akj . i>j

Воспользуемся свойствами сравнений и, не меняя для простоты обозначения элементов aij , из того, что f = (x2 , x1 )(x4 , x3 ) . . . (x2m , x2m−1 ), получим систему равенств над Z2 :  2m P   aij , j = 1, . . . , 2m, 0=   i=1      2m P 1= ak,2i ak,2i−1 , i = 1, . . . , m, (3)  k=1       2m P   0= aki akj при остальных i, j. k=1

Столбцы матрицы A = (aij ) обозначим через bi , i = 1, . . . , 2m. Из системы (3) следует, что скалярное произведение bi bj равно нулю или единице. Отметим, что bi ∈ Z22m , где Z22m — линейное пространство размерности 2m над полем Z2 . Рассмотрим подпространство V0 ⊆ Z22m , состоящее из всех векторов (z1 , . . . , z2m ) 2m P таких, что zi = 0. Из системы (3) вытекает, что bi ∈ V0 , i = 1, . . . , 2m. i=1

Очевидно, что dim V0 = 2m − 1. Построим граф T , вершинами которого являются элементы пространства V0 . Вершины (векторы) соединены ребром тогда и только тогда, когда скалярное произведение векторов равно единице. Задача о разрешимости системы (3) равносильна задаче о поиске подграфа R ⊂ T , обладающего такими свойствами: R имеет 2m вершин и из каждой вершины исходит только одно ребро.

210

Е. Г. Смирнова

Пусть вершина a ∈ T принадлежит и подграфу R. Из a должно выходить одно ребро, например, в вершину b ∈ R. Рассмотрим ортогональные подпространства a⊥ , b⊥ и их пересечение V1 = a⊥ ∩ b⊥ . Тогда dim a⊥ = 2m − 2, dim b⊥ = 2m − 2, dim V1 ≤ 2m − 3. Докажем последнее неравенство. Предположим, что dim V1 = 2m − 2. Тогда a⊥ = b⊥ , следовательно, b ∈ a⊥ и a ∈ b⊥ , что неверно. В подпространстве V1 (или в подграфе) выберем элементы c и d, соединенные ребром. Тем самым dim c⊥ ≤ 2m − 4, dim d⊥ ≤ 2m − 4, dim V2 ≤ 2m − 5, где V2 = c⊥ ∩ d⊥ . Продолжив этот процесс, получаем, что для подпространства Vk его размерность не превосходит 2m − (2k + 1). Так как в R должно быть 2m вершин, остановим этот процесс на пространстве Vm−1 . В этом пространстве должны лежать недостающие вершины (2m − 1)-я и 2m-я, однако dim Vm−1 ≤ 1. Следовательно, граф R построить невозможно, и система (3) неразрешима. Значит, наше предположение неверно и wid(f, x2 ) ≥ 2m + 1. Пусть теперь ранг нечетен: n = 2m + 1. Докажем, что
wid G02m+1 , x2 = 2m + 1. Произвольный элемент h ∈ G02m+1 по теореме из [4] имеет относительно слова (x, y) ширину [(2m + 1)/2] = m . Это означает, что элемент h допускает представление вида h = (c2 , c1 ) . . . (c2m , c2m−1 ). Рассмотрим гомоморфизм ϕ группы G2m в группу G2m+1 , при котором ϕ(x1 ) = c1 , . . . , ϕ(x2m ) = c2m . Тогда элемент h является образом элемента f = (x2 , x1 ) . . . (x2m , x2m−1 ), который, как мы знаем, представляется как произведение 2m + 1 квадратов. Значит, h представим в виде произведение 2m + 1 квадратов. Так как h — произвольный элемент из G02m , отсюда следует, что
wid G02m+1 , x2 ≤ 2m + 1. С другой стороны, можно считать группу G2m естественной подгруппой группы G2m+1 . При этом как G2m является ретрактом группы G
2m+1 , так и G02m — ретрактом группы G02m+1 . Отсюда следует, что wid G02m , x2 не превос
0 2 ходит wid G2m+1 , x , тем самым
wid G02m+1 , x2 = 2m + 1. Шаг 2. Докажем, что
wid G2n , x2 = 2[n/2] + 1. Рассмотрим сначала случай четного ранга: n = 2m + 2. Тогда должно быть
wid G22m+2 , x2 = 2m + 3. Возьмем произвольный элемент g ∈ G22m+2 . Меняя, если нужно, базис, считаем, что g = x21 (c2 , c1 ) . . . (c2m+2 , c2m+1 ). (4) Пусть ci = xε1i c0i , εi ∈ {0, 1}, c0i ∈ hx2 , . . . , x2m+2 i. Приведенная запись (4)
переписывается как g = x21 (x1 , d)(c02 , c01 ) . . . c02m+2 , c02m+1 , где элементы d, c0i (i = 1, . . . , 2m + 2) принадлежат подгруппе, порожденной элементами x2 , . . . , x2m+2 .

Элемент c02 , c01 . . . c02m+2 , c02m+1 записывается как произведение 2m+1 квадратов. Остается показать, что элемент x21 (x1 , d) представляется как произведение двух квадратов, что следует из равенства d−2 (x1 d)2 = x21 (x1 , d).

Ширина степени группы ступени два

211

Теперь для нечетного ранга n = 2m + 1 докажем, что
wid G22m+1 , x2 = 2m + 1. Рассмотрим элемент f¯ = x22m+1 (x2 , x1 ) . . . (x2m , x2m−1 ) = x22m+1 f. Докажем вначале, что wid(f¯, x2 ) = 2m + 1. Нам известно, что wid(f, x2 ) = 2 2m+1. Существует представление f = f12 . . . f2m+1 , где fi ∈ hx1 , . . . , x2m i ∼ = G2m 2 (i = 1, . . . , 2m + 1). Остается заметить, что f¯ = f¯12 . . . f¯2m+1 , где f¯i = x2m+1 fi (i = 1, . . . , 2m + 1). Действительно, при собирании степени элемента x2m+1 , 2(2m+1) которая будет равна x2m+1 = x22m+1 , возникает произведение (f1 , x2m+1 )(f2 , x2m+1 ) . . . (f2m+1 , x2m+1 ) = (f1 f2 . . . f2m+1 , x2m+1 ) = 1, так как (f1 f2 . . . f2m+1 )2 ≡ f mod G02m+1 ≡ 1 mod G02m+1 , следовательно, f1 f2 . . . f2m+1 ∈ G22m+1 , т. е. f1 f2 . . . f2m+1 — центральный элемент группы G2m+1 . Отсюда wid(f¯, x2 ) = 2m + 1. Пусть g — произвольный элемент подгруппы G22m+1 . Существует представление 2 g = g2m+1 (g2 , g1 ) . . . (g2m , g2m−1 ). Возьмем эндоморфизм ϕ группы G2m+1 , для которого ϕ(xi ) = gi . Тогда ϕ(f¯) = g, значит, wid(g, x2 ) ≤ 2m + 1, что и требовалось доказать. 3. Ширина произвольной степени Пусть x1 , x2 , . . . , xn — базис группы Nn2 . Произвольный элемент g ∈ Nn2 однозначно записывается в виде Y g = xa1 1 . . . xann (xi , xj )aij , i>j

где ai , aj , aij ∈ Z. Прямые вычисления показывают, что для любого натурального t Y 2 tan 1 g t = xta (xi , xj )taij +((t −t)/2)ai aj . (5) 1 . . . xn i>j 0 t Аналогично п. 2 вводим в рассмотрение группу Hn (t) = Nn2 /(Nn2 ) и доказываем, что

t wid Hnt (t), xt = wid Nn2 , xt .

Для простоты обозначим через x1 , x2 , . . . , xn индуцированный базис группы Hn (t). Рассмотрим случай нечетного t = 2k + 1. Легко видеть, что тогда в группе Hn (t) выполнено тождество (xy)2k+1 = x2k+1 y 2k+1 . Отсюда следует, что wid(Hn (2k + 1)2k+1 , x2k+1 ) = 1 и
2k+1 wid Nn2 , x2k+1 = 1. Утверждение 2 теоремы доказано.

212

Е. Г. Смирнова

Остается рассмотреть случай составного четного показателя t = 2k. Формула (5) индуцирует в группе Hn (2k) формулу Y 1 n g 2k = x2ka . . . x2ka (xi , xj )k(2k−1)ai aj . n 1 i>j

Произвольный элемент из Hn (2k) ∩ Hn (2k)0 имеет вид Y h= (xi , xj )krij , rij ∈ Z. 2k

(6)

i>j

Введем, как и ранее, элемент f = (x2 , x1 )(x4 , x3 ) . . . (x2m , x2m−1 ) группы Hn (2k), где n = 2m или n = 2m + 1. Произвольный элемент h из (6) представляется в виде h = dk . По теореме из [4] существует запись элемента d в виде произведения m коммутаторов. Значит, существует представление h = (c2 , c1 )k (c4 , c3 )k . . . (c2m , c2m−1 )k . Определим эндоморфизм ϕ группы Hn (2k) отображением xi → ci (i = 1, . . . , 2m), и x2m+1 → 1, если n = 2m + 1. Тогда h = f kϕ . Отсюда следует, что wid(h, x2k ) ≤ wid(f k , x2k ) и wid(Hn (2k)0 , x2k ) = wid(f k , x2k ). Вычислим ширину элемента f k относительно слова x2k . Оценим ширину сверху. Существует представление 2k f k = f12k . . . f2m+1 ,

где fi , i = 1, . . . , 2m+1, определены в (2). Следовательно, wid(f k , x2k ) ≤ 2m+1. Докажем обратное неравенство wid(f k , x2k ) ≥ 2m + 1. Предположим, что k f можно представить в виде произведения 2m элементов в степени 2k: 2k f k = g12k . . . g2m ,

gi ∈ H2m (2k).

Как произвольные элементы группы H2m (2k) элементы gi имеют вид Y i i2m gi = x1ai1 xa2 i2 . . . xa2m (xl , xj )alj , l>j

где можно считать, что aij ∈ Z2 . Возведя каждый gi в степень 2k и перемножив, получим 2m

2k

f = x1

P i=1

2m

2m

ai1 2k

x2

P i=1

ai2

2k

P i=1

. . . x2m

ai2m

Y

(xi , xj )k(2k−1)

P

ali alj

.

i>j

Так как f k = (x2 , x1 )k (x4 , x3 )k . . . (x2m , x2m−1 )k , имеем систему уравнений, в которой первая группа уравнений над Z, а вторая и третья над Z2k :  2m P   0 = 2k aij , j = 1, . . . , 2m,    i=1    2m P k = k(2k − 1) al,2i al,2i−1 , i = 1, . . . , m, (7)  l=1     2m P    0 = k(2k − 1) ali alj при остальных i, j. l=1

Разделим каждое уравнение из первой группы на 2k. Остальные уравнения формально разделим на k, переходя к вычислениям mod(2). Можно считать,

Ширина степени группы ступени два

213

что все вычисления ведутся по mod(2). Тогда система (7) превращается в систему (3). Остается заметить, что равенство wid(Hn (2k)2k , x2k ) = 2[n/2] + 1 доказывается так же, как и в п. 3 (шаг 2). Автор благодарит научного руководителя профессора В. А. Романькова за постановку задачи и помощь в работе. ЛИТЕРАТУРА 1. Мерзляков Ю. И. Алгебраические линейные группы как полные группы автоморфизмов и замкнутость их вербальных подгрупп // Алгебра и логика. 1967. Т. 6, № 1. С. 83–94. 2. Мерзляков Ю. И. Рациональные группы. М.: Наука, 1987. 3. Мальцев А. И. О свободных разрешимых группах // Докл. АН СССР. 1960. Т. 130, № 3. С. 495–498. 4. Алламбергенов Х. С., Романьков В. А. О произведениях коммутаторов в группах. М., 1985. 19 с. Деп. в ВИНИТИ, № 4566–85. 5. Алламбергенов Х. С., Романьков В. А. О произведениях коммутаторов в группах // Докл. АН Уз ССР. 1981. Т. 4. С. 14–15. 6. Bavard C., Meighiez G. Commutateurs dans les groupes metabeliens // Indag. Math. New Ser.. 1992. V. 3, N 2. P. 129–135. 7. Stroud P. Thesis. Cambridge: Cambridge Univ., 1966. 8. Robinson D. A course in the theory of groups. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verl., 1982. 9. Rhemtulla A. H. Commutators of certain finitely generated soluble groups // Canad. J. Math.. 1969. V. 21. P. 1160–1164. 10. Романьков В. А. О ширине вербальных подгрупп разрешимых групп // Алгебра и логика. 1982. Т. 21, № 1. С. 60–72. 11. Wilson J. On outer-commutator words // Canad. J. Math.. 1974. V. 26, N 3. P. 608–620. 12. Rhemtulla A. H. A problem of bounded expessibility in free products // Proc. Cambridge Phil. Soc.. 1968. V. 64, N 3. P. 573–584. 13. Бардаков В. Г. Ширина вербальных подгрупп некоторых HNN-расширений. Новосибирск, 1995. (Препринт/Институт математики РАН. Сиб. отд-ние; № 9). 14. Akhavan M., Rhemtulla A. H. Commutator length of abelian-by-nilpotent groups // Glasgow Math. J.. 1998. V. 40, N 1. P. 117–121. 15. Алламбергенов Х. С. О ширине коммутанта свободной метабелевой группы // 10-й Всесоюз. симпоз. по теории групп: Тезисы. докл.. Минск, 1986. С. 5. 16. Бардаков В. Г. К теории групп кос // Мат. сб.. 1992. Т. 183, № 6. С. 3–42. Статья поступила 13 июля 1998 г. г. Омск