Проблема движения тел в общей теории относительности

М.М. Абдильдин

ПРОБЛЕМА ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

2

Посвящаю памяти В.А. Фока

3

Монография посвящена изложению наших результатов, полученных по разработке одной из центральных проблем общей теории относительности (ОТО) Эйнштейна – проблемы движения тел в ОТО - за последние 20 лет. Она написана в рамках фундаментальной программы «Теоретические исследования гравитационных, электромагнитных, сильных и слабых взаимодействий» по теоретической физике. Книга рассчитана на магистрантов, аспирантов и научных сотрудников, работающих в области теории относительности и гравитации. Объем 112 стр.

4

Оглавление Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Глава 1. Метрика первого приближения механики тел в ОТО . . . 1.1. Уточненная метрика первого приближения . . . . . . . . . . . 1.2. Метрика вращающегося жидкого шара . . . . . . . . . . . .

8 8 19

Глава 2. Адиабатическая теория движения тел в ОТО . . . . . . 2.1. Векторные элементы в механике Ньютона . . . . . . . . . . . 2.2. Квазикеплерова задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Задача Шварцшильда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Задача Лензе-Тирринга и принцип суперпозиции релятивистских эффектов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Адиабатическая теория движения тел в механике ОТО . . . . . . 2.6. Задача Лензе-Тирринга и адиабатическая теория движения . . . .

25 25 26 31

Глава 3. Метод возмущений и метод гидродинамической механике ОТО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Метод возмущений и задача Шварцшильда . . . . . . 3.2. Метод возмущений и задача Лензе-Тирринга . . . . . 3.3. Гидродинамическая аналогия в механике ОТО . . . .

аналогии в . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 43 45

48 48 49 57

Глава 4. Проблема устойчивости движения в механике ОТО . . . . 60 4.1. Об орбитальной устойчивости и об устойчивости по отношению к векторным элементам орбиты в случае задачи Шварцшильда . . . . . 60 4.2. Об орбитальной устойчивости и об устойчивости по отношению к векторным элементам орбиты в случае задачи Лензе-Тирринга . . . . 63 Глава 5. Задача двух тел с собственным вращением . . . . . . . 5.1. Функция Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Усреднение уравнений движения . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Преобразование уравнений первого приближения (5.55) и (5.56) . 5.5. Пертурбационная функция и среднее от нее . . . . . . . . . . 5.6. Исследование уравнений первого приближения . . . . . . . . 5.7. О собственном вращении в задаче двух тел . . . . . . . . . . 5.8. Об орбитальной устойчивости и об устойчивости по отношению векторным элементам орбиты в задаче двух вращающихся тел . . . .

. . . . . . . . к .

69 69 69 71 79 83 85 89

Глава 6. Гипотеза гравимагнетизма . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. О странных гипотезах, связанных с проблемой магнетизма небесных тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Интерпретация уравнений Эйнштейна самим Эйнштейном в ОТО . . 6.3. Гипотеза гравимагнетизма . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

92

95 96 98

5

Глава 7. Идеи релятивизма, квантования, неравновесной термодинамики и гравимагнетизма в планетной космогонии . . . . 101 Глава 8. Метод Фока и уравнения движения материальной точки переменной массы в ОТО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8.1. Вывод уравнений движения материальной точки переменной массы в ОТО методом Фока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.2. Анализ уравнений движения материальной точки переменной массы в ОТО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Литература

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

6

Введение Современная теория гравитационных полей - общая теория относительности (ОТО), была создана Эйнштейном в 1916 году [1,2]. По словам Ландау [3] «Она является, пожалуй, самой красивой из существующих физических теорий». Существует несколько важнейших проблем этой теории: проблема движения тел в ОТО, проблема квантования гравитации, проблема релятивистской астрофизики и космологии, проблема гравитационного эксперимента и др. Предлагаемая книга посвящена проблеме движения тел в ОТО. Начало в изучении данной проблемы было положено в классических трудах Эйнштейна, Инфельда [4,5] и Фока [6,2] и продолжает разрабатываться в трудах их многочисленных последователей. Конечной целью этих исследований является построение механики ОТО, или другими словами, механики теории гравитации Эйнштейна (ТГЭ). Длительное время в ОТО происходило изучение отдельных, точных и в то же время все-таки частных метрик: метрики Шварцшильда [7], метрики Керра [8]. При этом сама проблема движения решалась довольно таки просто, как движение пробных тел по геодезической линии, т.е. независимо от уравнений гравитационного поля, т.е. уравнений Эйнштейна. Настоящая проблема движения, как таковая, начинается с вопроса о получении (выводе) уравнений движения масс (тел) из уравнений гравитационного поля Эйнштейна и их дальнейшего исследования. Это довольно сложная и громоздкая процедура. Существует ряд специальных и известных методов получения уравнений движения масс из уравнений поля: метод Эйнштейна-Инфельда-Гоффмана [1] (метод EIH, 1938), первый метод Фока [6] (1939), метод Инфельда [5] (1954) и второй метод Фока [2] (1955). Накопилось большое количество релятивистских уравнений поступательного и вращательного движений, которые, по идее, можно было положить в основу механики ОТО. Однако, эти уравнения, если даже выведены с одной и той же точностью и одним и тем же методом, но полученные разными авторами, частенько расходятся между собою. Возникает новая серьезная проблема - проблема однозначности релятивистских уравнений движения. Решить это довольно сложно и утомительно. В настоящее время не удалось сформулировать механику ОТО, как самостоятельную, логически выверенную научную дисциплину наподобие классической механики. Проблема движения в ОТО представляется как собрание отдельных, пусть даже важных, но недостаточно согласованных взаимно результатов, т.е. носит, в известной степени, незавершенный характер. Необходима оптимизация основ механики ОТО, более того, нужна некоторая новая основа для её формулировки. Старая основа с её громоздкими уравнениями движения, координатным представлением и привычными методами решения задач устарела и тормозит дальнейшее

7

развитие самой проблемы движения. Надо попытаться так подобрать соответствующие представления уравнений движения, методы их решения, чтобы учесть специфику именно механики ОТО. Тут нужны некоторые новые соображения и идеи в проблеме движения тел в ОТО. То, что ранее сделано, в свое время было превосходным, но сейчас, на данном этапе развития ОТО, таковым уже не является. Настоящая монография является попыткой в направлении преодоления этого пробела. Ее можно также рассматривать неким продолжением монографии Фока [2] «Теория пространства, времени и тяготения» и нашей монографии [11] «Механика теории гравитации Эйнштейна». В книге важное место занимает идеи Фока и их дальнейшее развитие. Сюда входят уточнение метрики первого приближения Фока и выяснение ее роли в проблеме движения тел в ОТО, вывод релятивистских уравнений поступательного движения тел в ОТО, задача двух вращающихся тел в ОТО с учетом внутренней структуры и собственных вращений, разработка и развитие адиабатической теории движения тел в ОТО, вопрос об устойчивости движения тел в ОТО, гипотеза гравимагнетизма, предположение о возможной роли идеи релятивизма, квантования, гравимагнетизма и неравновесной термодинамики в планетной космогонии и др. В заключении приведены несколько приложений, показывающих этапы эволюции идеи гравимагнетизма и высказывания Фока по принципиальным вопросам ОТО. Автор выражает благодарность своим ученикам Абишеву М.Е., Бейсен Н.А. и Комарову А.А. за помощь, оказанную в подготовке рукописи к печати.

8

Глава 1 Метрика первого приближения механики тел в ОТО 1.1.

Уточненная метрика первого приближения Фока

Проблему движения удобно начать с метрики первого приближения. Такую метрику Фок приводит в своей монографии [2]. При этом ход его рассуждений следующий. Исходим из уравнений Эйнштейна: 1 R µν − g µν R = −χT µν , µ,ν = 0, 1, 2, 3 , 2

(1.1)

где тензор Риччи R

µν

1 αβ ∂ 2 g µν =− g − Г µν + Г µ ,αβ Г ναβ . 2 ∂x α ∂x β

(1.2)

Здесь Γ µ, αβ есть величина, получаемая из символа Кристоффеля  ∂g µα ∂g µβ ∂g αβ  1 , Г ναβ = g µν  β + α − µ  2 ∂ x ∂ x ∂ x  

(1.3)

Г µ,αβ = g αρ g βσ Г µρσ .

(1.4)

поднятием значков:

Таким образом, последний член в (1.2) не содержит вторых производных, ν а представляет однородную квадратичную функцию от величин Γαβ , а значит и от первых производных фундаментального тензора g µν . Вторые производные входят, кроме первого члена, также и в величины µν Γ . Но эти последние содержат вторые производные только через посредство первых производных от величин: Г ν = g αβ Г ναβ .

(1.5)

Напомним, что оператор Даламбера от некоторой функции Ψ может быть написан как в виде

9

Ψ= g

αβ

∂ 2Ψ ν ∂Ψ − Γ , ∂x α ∂x β ∂x ν

(1.6)

так и в виде

Ψ=

∂  ∂Ψ  1 − g g αβ α  . β  ∂x  − g ∂x 

(1.7)

(

(1.8)

Откуда Γα = −

1 ∂ − g ∂x β

)

− gg αβ ,

а также

Γα = −x α .

(1.9)

Величины Γ µν получаются из Γ ν по правилу, формально совпадающему с правилом составления полусуммы контравариантных производных, а именно Γµν =

(

)

ν 1 µ ν ∇ Γ + ∇ Γµ , 2

(1.10)

или подробнее Γ

µν

µ 1  µα ∂Γ ν ∂g µν α  να ∂Γ =  g +g − Γ  . 2 ∂x α ∂x α ∂x α 

(1.11)

Разумеется, поскольку Γ ν не есть вектор, величины Γ µν не являются тензором. Этим обстоятельством можно воспользоваться для упрощения уравнений Эйнштейна. Уравнения Эйнштейна являются общековариантными и, следовательно, допускают преобразования координат, содержащие четыре произвольные функции. Пусть уравнения решены в каких-нибудь произвольных координатах. Мы можем перейти тогда к другим координатам, взяв в качестве независимых переменных четыре решения уравнения Ψ = 0. Но если каждая из координат x 0 , x1 , x 2 , x 3 удовлетворяет уравнению x α = 0 , то в данной координатной системе будет Γν = 0 ,

(1.12)

10

а следовательно, и Γ µν = 0 .

(1.13)

Такую координатную систему мы будем называть гармонической. В литературе также получило распространение название гармоническая система координат Фока, хотя условия Γ ν = 0 были впервые введены де-Дондером [9] и Ланчосом [10]. При получении метрики первого приближения мы будем исходить из предположения об островном характере распределения масс. Это предположение дает возможность поставить (как и в теории Ньютона) определенные предельные условия на бесконечности, что делает задачу математически определенной. При островном распределении масс поле тяготения на бесконечности стремится к нулю. Поэтому мы должны предположить, что на достаточно большом удалении от масс геометрия пространства-времени становится псевдоевклидовой. Но там, где геометрия псевдоевклидова, существуют галилеевы координаты x , y, z, t , в которых квадрат интервала имеет вид:

(

)

ds 2 = c 2 dt 2 − dx 2 + dy 2 + dz 2 .

(1.14)

Поскольку опыт показывает, что и во всем пространстве геометрия мало отличается от псевдоевклидовой, следует ожидать, что существуют такие переменные, в которых выражение для квадрата интервала мало отличаются от (1.14) во всем пространстве. Более точное математическое определение этих «квазигалилеевых» координат дано в монографии Фока [2]. Заметим, что теория Ньютона проще всего формулируется именно в галилеевых координатах (инерциальная система отсчета). Поэтому сравнение с ней теории Эйнштейна, которая является ее обобщением, следует производить в таких координатах, которые по своим свойствам ближе всего к галилеевым. Теория Ньютона является нерелятивистской. Но для перехода от релятивистской теории к нерелятивистской необходимо выделить в качестве большого параметра скорость света c . Поэтому мы не будем вводить величину c в выражение для временной координаты и положим:

x 0 = t , x1 = x , x 2 = y, x 3 = z .

(1.15)

Таким образом, переменная x 0 будет иметь значение времени t . Выражение (1.14) для квадрата интервала запишется теперь:

(

ds 2 = c 2 dx 0 − dx 1 + dx 2 + dx 3 2

2

2

2

).

(1.16)

11

Это выражение должно иметь место на достаточно большом расстоянии от масс, где геометрия является псевдоевклидовой. Из сравнения с общим выражением

ds 2 = g µν dx µ dx ν ,

(1.17)

мы получим следующие предельные значения g µν на бесконечности:

(g 00 )∞ = c 2 , (g 0i )∞ = 0  (g ik )∞ = −δik , (i, k = 1,2,3) .

(1.18)

Соответствующие предельные значения для контравариантных компонент метрического тензора будут равны

(g ) 00

∞

=

( )

1 , g 0i 2 c

∞

( )

= 0, g ik

∞

= −δik .

(1.19)

Эти формулы можно рассматривать как предельные условия для метрического тензора. Написанных предельных условий, однако, недостаточно, и к ним нужно присоединить другие, характеризующие асимптотическое поведение разностей g µν − (g µν )∞ на большом удалении от масс. Уравнения Эйнштейна представляют (по крайней мере, при условии Γ = 0 ) уравнения волнового типа, в которых главные члены имеют вид оператора Даламбера. Вне масс тензор T µν равен нулю, и уравнения приводятся к виду ν

R µν = 0 ,

(1.20)

где, при условии Γ ν = 0 , тензор R µν имеет вид:

∂ 2 g µν 1 ν R µν = − g αβ + Γ µ,αβ Γαβ . 2 ∂x α ∂x β

(1.21)

( )

Предположим, что на больших расстояниях разности g µν − g µν первые

и

вторые

производные

стремятся

к

нулю

как

∞

1 , r

и их где

r = x 1 + x 2 + x 3 . Тогда на больших расстояниях второй член в (1.21), представляющий однородную квадратичную функцию от первых производных, 2

2

2

12

будет стремиться нулю как

1

. Что касается оператора Даламбера, то с тем же r2 приближением коэффициенты в нем можно заменить их предельными значениями. После этих упрощений R

µν

1 ∂ 2 g µν 1  ∂ 2 g µν ∂ 2 g µν ∂ 2 g µν  ≅− 2 + + + . 2 2 2c ∂x 0 2 c 2  ∂x 12 ∂x 2 ∂x 3 

(1.22)

Для сравнения теории тяготения Эйнштейна с теорией Ньютона мы должны, прежде всего, определить постоянную χ , входящую в уравнения тяготения Эйнштейна

1   R µν = −χ T µν − g µν T  , 2  

(1.23)

R = χT .

(1.24)

где

Значение этой постоянной можно найти из сопоставления выражения для квадрата интервала в ньютоновом приближении

(

)

(

)

ds 2 = c 2 − 2 U dt 2 − dx 2 + dy 2 + dz 2 ,

(1.25)

где

U=γ

∫

ρ′ r r dx′dy′dz′ r − r′

(1.26)

ньютонов потенциал, с выражением, получаемым путем приближенного решения уравнений Эйнштейна. Для тензора массы в правой части (1.23) мы можем взять приближенные выражения, соответствующие евклидовой метрике и для случая упругого тела

    1 1     c 2 T 0i = ρv i + 2 v i  ρv 2 + ρ ⋅ Π  − Pik v k , c  2    c 2 T ik = ρv i v k − Pik .   c 2 T 00 = ρ +

1 1 2  ρv + ρΠ , 2  c 2 

(1.27)

13

Здесь ρ – плотность массы, v i – компоненты скорости, Π – упругая энергия единицы массы, Pik – трехмерный тензор напряжений. Выражение для тензора массы упругого тела (1.27) при наличии поля тяготения приобретает вид:

 1 1   c 2 T 00 = ρ1 + 2  v 2 + Π − U ,    c 2   1 1   1 c 2 T 0i = ρv i 1 + 2  v 2 + Π − U  − 2 Pik v k ,  c  c 2  2 ik  c T = ρv i v k − Pik .  

(1.28)

В нашем приближении мы должны здесь отбросить члены, соответствующие плотности и потоку энергии (скаляру и вектору Умова), и писать просто

c 2T 00 = ρ , c 2 T 0i = ρv i .

(1.29)

С той же точностью, с какой справедливы выражения (1.29), мы можем заменить инвариант тензора массы значением

T=ρ .

(1.30)

Формулы (1.29) и (1.30) позволяют вычислить приближенные значение тензора, входящего в правую часть уравнений Эйнштейна (1.23). Используя галилеевы значения g µν , мы получим

1 1  T 00 − g 00T = 2 ρ,  2 2c  1 0i 1  oi T − g T = 2 ρvi , 2 c  1 1  T ik − g ik T = ρδik .  2 2 

(1.31)

С другой стороны, в гармонической координатной системе мы приближенно имеем, согласно (1.22)

R µν =

1 µν 1 ∂ 2 g µν , ∆g − 2 2 2 2c ∂ t

(1.32)

14

где ∆ – обычный евклидов оператор Лапласа. Поскольку нас интересует квазистатическое решение, мы можем отбросить здесь член со второй производной по времени. Подставляя (1.32) и (1.31) в (1.23), будем иметь:

χ  ρ,  2 c  2χ  0i ∆g = − 2 ρvi , . c  ik ∆g = −χρδik .   

∆g 00 = −

(1.33)

Припомним теперь выражение для квадрата интервала в ньютоновом приближении. Согласно (1.25), в этом выражении

g 00 = c 2 − 2 U .

(1.34)

Остальные компоненты метрического тензора заменяются в этом приближении их галилеевыми значениями. Применяя формулу

g 00 g 00 + g 0i g i 0 = 1

(1.35)

и используя то обстоятельство, что произведения g 0i g i 0 весьма малы по сравнению с единицей, мы можем считать, что

g 00 g 00 = 1 ,

(1.36)

и, следовательно

g 00 =

1 2U + . c 2 c4

(1.37)

Но ньютонов потенциал U удовлетворяет уравнению

∆U = −4πγρ . Отсюда

∆g 00 = −

8πγ c2

ρ.

(1.38)

(1.39)

15

Сравнивая это уравнение с первым уравнением (1.33), мы получим совпадение, если эйнштейнова постоянная тяготения χ будет связана с ньютоновой постоянной γ соотношением

χ=

8πγ . c2

(1.40)

Ньютонов потенциал U есть то решение уравнения (1.38), которое удовлетворяет надлежащим предельным условиям на бесконечности и имеет вид (1.26). Введем, наряду с ньютоновым потенциалом, функции

Ui = γ

(ρvi )′ dx′dy′dz′ ,

∫ rr − rr′

(1.41)

удовлетворяющие уравнениям

∆U i = −4πγρvi

(1.42)

и условиям на бесконечности. Эти функции могут быть названы, по аналогии с соответствующими электродинамическими величинами, вектор-потенциалом тяготения. Тогда решения уравнений (1.33), после замены в них постоянной χ ее значением (1.40), напишутся:

1  2U  1 + 2 , c2  c  4 g 0i = 4 U i , c  2U  g ik = −1 − 2 δ ik c   g 00 =

       . 

(1.43)

Заметим, что U имеет размерность квадрата скорости, а U i – размерность третьей степени скорости. При оценке порядка величины можно считать, что U будет порядка q 2 , а U i – порядка q 3 , где q есть некоторая скорость, малая по сравнению со скоростью света. Из контравариантных компонент метрического тензора мы можем уже чисто алгебраическим путем найти ковариантные компоненты, а также определить и другие величины. Действительно, из алгебры известно, что g ασ =

алгебраическое дополнение элемента g ασ определителя g , g

(1.44)

16

алгебраическое дополнение элемента g ασ =

=(− 1)α + σ минор элемента g αβ определителя g . Однако для определения ковариантных величин g 0i соотношениями

(1.45)

мы воспользуемся

g µσg σν = δµν .

(1.46)

g 0σg σi = δi0 = 0 .

(1.47)

g 00 g oi + g ok g ki = 0

(1.48)

4U i . c2

(1.49)

 2U  g ik = −1 + 2 δik . c  

(1.50)

Если, µ = 0 , ν = i , то

Распишем это равенство:

или

c 2 g 0i = g 0i = Далее

Таким образом, метрика первого приближения по Фоку имеет вид ([2], с. 271)

(

)

(

)

2U   2 2 2 ds 2 = c 2 − 2 U dt 2 − 1 + 2  dx 1 + dx 2 + dx 3 + c   +

8 c2

(U 1dx 1 + U 2 dx 2 + U 3 dx 3 )dt

.

(1.51)

Относительно этой метрики можно сделать следующие замечания: 1. В g 00 компоненте метрического тензора отсутствует релятивистская добавка, тогда как такие добавки имеются в g ik и g 0i . Такое происходит изза того, что Фок одновременно решает две задачи: определение постоянной χ и метрики первого приближения. На самом деле эти задачи должны быть

17

разделены: в начале, уравнения Эйнштейна должны быть решены в нулевом приближении и сравнивая эти решения с ньютоновым интервалом, мы должны находить постоянную χ , а затем должны строить первое приближение, т.е. искать релятивистские поправки ко всем компонентам метрического тензора g µν . 2. Если применить (1.51) к задаче о движении пробного тела в центральносимметричном гравитационном поле, то не получится правильное выражение для смещения перигелия. 2 2 2 3. Для островной системы Udt 2 ∼ dx 1 + dx 2 + dx 3 , то есть релятивистская поправка к g 00 должна иметь такой же порядок, как и поправка к g ik . Учитывая эти замечания, определим поправку к g 00 . Тут нам следует составить уравнение относительно

g 00 =

1 c2

+

2U c4

+

Φ c6

,

(1.52)

где Φ – неизвестная пока функция. Тогда при сохранении предположения о квазистационарности искомой метрики имеем

R

00

1 2U 2 = ∆g 00 − 6 ∆U − 6 2 c c

2

 ∂U    . ∂ x  i

(1.53)

Соответствующее уравнение Эйнштейна будет

R 00 = −

8πγ  00 1 00  T − g T, 2 c2  

(1.54)

где 2

c T

00

  1  v2 = ρ 1 + 2  + Π − U  ,   c  2 c 2 T oi = ρv i , c 2 T ik = ρv i v k − Ρik .

(1.55)

В интересующем нас приближении

ρ  v2  Ρ T = ρ − 2  + 3U − Π  + kk2 , c 2  c

(1.56)

18

1 1  ρ T 00 − g 00T = 2 ρ + 2 2 2c  c

3 2  Ρ   v + Π − U  − kk2  . 2  c 

(1.57)

Теперь (1.54) запишется как 2

ρ 3 1 00 2 U 2  ∂U  4πγ   Ρ   = − 4 ρ + 2  v 2 + Π − U  − kk2  . ∆g − 6 ∆U − 6  2 c c  ∂x i  c  c 2  c 

(1.58)

Отсюда с учетом (1.52) для неизвестной функции Φ получим уравнение

(

)

 3   ∆ Φ − 2U 2 = −8πγ ρ v 2 + Π − U  − Ρkk  ,   2 

(1.59)

решение которого будет

′ 3 2   ρ′ v + Π − U  ′ (dx ′) 3 Ρkk 2   2 3 Φ = 2U + 2γ ∫ (dx ′) − 2γ ∫ r r . r r r − r′ r − r′

(1.60)

Соответствующая g 00 ковариантная компонента метрического тензора

3 ′ ρ′( v 2 + Π − U)′ − Ρkk 4U − Φ 2U 2γ 2 2 2 = c − 2U + = c − 2U + 2 − 2 (dx′)3 . (1.61) r r 2 r − r′ c c c 2

g 00

2

∫

Таким образом, уточненная метрика первого приближение Фока приобретает окончательный вид [11]

3   ′ ρ′( v 2 + Π − U)′ − Ρkk 2   2U 2γ 3 2 dt 2 − ′ ds 2 =  c 2 − 2U + 2 − 2 ( d x ) r r r − r′ c c      

∫

(

)

8  2U  2 2 2 − 1 + 2  dx 1 + dx 2 + dx 3 + 2 (U1dx1 + U 2 dx 2 + U 3dx 3 )dt . (1.62) c  c 

19

 1 Как видно из этой метрики, уже первое приближение  ∼ 2  в теории  c  гравитации Эйнштейна приводит к учету нелинейности поля, искривления трехмерного пространства, внутренней структуры и векторного гравитационного поля, связанного с вращением. Тогда как теория гравитации Ньютона с интервалом

(

)

ds 2 = c 2 − 2 U dt 2 − dx1 − dx 2 − dx 3 , 2

2

2

(1.63)

основана на допущениях линейности гравитационного поля, евклидовости трехмерного пространства и отсутствия поля сил, связанного с вращением.

1.2. Метрика вращающегося жидкого шара Выпишем явный вид уточненной метрики первого приближения (1.62) для вращающегося шара при следующих двух предположениях о его внутренней структуре: 1) жидкое тело с уравнением внутреннего движения [2]

 ∂U  ∂Ρ ρ − ωik ω jk x j  = ,  ∂x i  ∂x i

(1.64)

где ω jk – трехмерный антисимметричный тензор угловой скорости, Ρ – давление; 2) твердое тело с уравнением внутреннего движения [12]

ρ

∂U ∂Ρ = . ∂x i ∂x i

(1.65)

Распределение скоростей внутри тела предполагается как v i = ωij x j .

(1.66)

В начале вычислим интеграл, зависящий от внутренней структуры. Для жидкого шара [11]

∫

′ 3 2   ρ′ v + Π − U  + 3Ρ′ r r r r ξж 3 2  ′ (dx ) = − 2 S0∇  S0∇ 1 , r r r − r′ r 7m 0 r 

( )

(1.67)

20

r r ∂ где m 0 – масса шара, S0 – его угловой момент, ∇ = r . ∂r Напомним, что

( )

rr r r  r r 1 S02 3 r S0 S0 ∇  S 0 ∇  = − 3 + r r r5 

( )

2

.

(1.68)

Что касается ξ ж , то эта величина определяется соотношением

8 2 ξж = T + ε , 3 3

(1.69)

где T – кинетическая энергия вращения тела, ε – взятая с обратным знаком энергия взаимного притяжения частиц тела. При вычислении (1.67) появляется также интеграл

∫

Ρx k x l (dx ) 3 =

1 2 γm 02 R 2 δ kl − Tkl , 35 5

(1.70)

который вычислен в [11]. В (1.70)

∫

Tkl = ρΩ 0 x k x l (dx ) 3 ,

(1.71)

где потенциал центробежной силы

1 Ω 0 = ωik ω jk x i x j . 2

(1.72)

Тогда для вращающегося жидкого шара уточненная метрика первого приближения Фока (1.62) имеет вид [11, 13]  2  ξ ж  2U 2 4 γ r r  r r 1  2  ds = c − 2 U1 + + + S0∇  S0∇  dt − 2  2 2 r  m с c 7 m c    0  0

( )

2

(

)

8  2U  2 2 2 − 1 + 2  dx1 + dx 2 + dx 3 + 2 (U1dx1 + U 2 dx 2 + U 3dx 3 )dt , c  c  где

(1.73)

21

U=

[ ]

γm 0 r γ rr , U = − 3 r S0 . r 2r

(1.74)

Для твердого тела

∫

′ 3 2   ρ′ v + Π − U  + 3Ρ′ ξT 15 r r  r r 1  2  3 − (dx ′) = S0 ∇  S0 ∇  , r r r − r′ r 56m 0 r 

( )

(1.75)

где

ξ T = 4T +

2 ε . 3

(1.76)

Теперь метрика первого приближения для вращающегося твердого тела запишется как  2  ξ Т  2U 2 15γ r r  r r 1  2  ds = c − 2 U1 + + + S0 ∇  S0 ∇  dt − 2  2 2 r  m с c 28 m c     0 0

( )

2

(

)

8  2U  2 2 2 − 1 + 2  dx1 + dx 2 + dx 3 + 2 (U1dx1 + U 2 dx 2 + U 3dx 3 )dt . c  c 

(1.77)

В сферической системе координат уточненная метрика первого приближения Фока (1.73) и (1.77) соответственно для жидкого шара и твердого шара имеют вид 2  2  2  4 γ S0 ξ ж  2U 2 2  ds = c − 2 U1 + + + 1 − 3 cos θ  dt − 2  2 2 3 c 7 m c r m с  0  0  

(

2

(

)

)

4 γS  2U  − 1 + 2  dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdϕ 2 + 2 0 sin 2 θ dϕ dt , c  rc 

(1.78)

2  2  2  15γS0 ξ Т  2U 2 2  ds = c − 2U1 + + + 1 − 3 cos θ dt − 2  2 2 3 m с c 28 m c r   0 0  

(

2

(

)

)

4 γS  2U  − 1 + 2  dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdϕ 2 + 2 0 sin 2 θ dϕ dt . c  rc 

Если шар не вращается, то

(1.79)

22

S0 = 0 , ξ ж = ξ T =

2 ε , 3

(1.80)

и метрики (1.78) и (1.79) при одинаковых ε совпадают. Вид метрики в этом случае следующий  2  2 ε  2 U 2  2  2U  2  + 2 dt − 1 + 2  dr + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdϕ 2 . (1.81) ds = c − 2U1 + 2  c     3 m 0 с  c 

(

2

)

Для сравнения выпишем соответствующее разложение метрики Шварцшильда в гармонической системе координат [2]

(

)

 2 2U 2  2  2U  2 2 2 2 ds = c − 2 U + 2  dt − 1 + 2  dr + r dθ + r sin 2 θdϕ 2 . c  c    2

(1.82)

Различие между (1.81) и (1.82) сводится к несущественному перераспределению массы гравитирующего тела с учетом его внутренней структуры. Другая ситуация имеет место, когда мы учитываем вращение тела. Действительно, выпишем в начале метрику Керра в координатах Бойера и Линдквиста [12]

(

)

 ρ 2 + a 2 cos 2 δ 2 2µρ − 2 ds = c dt 1 − 2 dρ − ρ 2 + a 2 cos 2 δ dδ 2 − 2 2  2  ρ + a cos δ  ρ − 2µρ + a 2

2

2

 2 2µρa 2 sin 2 δ  2 4µρa sin 2 δ 2 2   sin δ dϕ − 2 − ρ + a + 2 cdt dϕ , 2 2  2 2 ρ + a cos δ ρ + a cos δ  

(1.83)

где µ=

S0 γm 0 , = − . a m0c c2

Разложим эту метрику в ряд с точностью ∼

1 . Тогда c2

 2   2 U′a 2 2U′ a 2 2  2 ds = c − 2 U′ + cos δ  dt − 1 + 2 − 2 sin 2 δ dρ 2 − 2 ρ c ρ     2

(1.84)

23

a2 a2  2 4 U′a 2 2  2 2 ρ 1 + 2 cos δ dδ − ρ 1 + 2  sin δ dϕ 2 − sin δ dϕdt . c ρ ρ     2

(1.85)

где U′ =

γm 0 . ρ

(1.86)

Теперь введем новые координаты

(r + µ )

2

= ρ + a sin δ, 2

2

2

sin θ = 1 +

a2 ρ

2 cos δ sin δ, ϕ = ϕ . 2

(1.87)

Тогда метрику Керра (1.85) можно привести к виду

(

)

  2 U 2 Ua 2 ds 2 = c 2 − 2 U + 2 − 2 1 − 3 cos 2 θ  dt 2 − c r  

(

)

4 Ua 2  2U  − 1 + 2  dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdϕ 2 − sin θ dϕdt . c c  

(1.88)

Здесь U определяется так же, как в (1.74). Проведем сравнение этой приближенной метрики Керра (1.88) с уточненными метриками первого приближения (1.78) и (1.79), полученными на основе метода Фока. Еще раз напомним, что метрики (1.78) и (1.79) получены для вращающегося жидкого и твердого шара методом Фока, вдали от тела с 1 точностью ∼ 2 . Если говорить более точно, то инвариант ds 2 определяется с c 2 q R2 2 точностью 2 2 dl , где q - характерная скорость в системе, R - порядок ее c D линейных размеров, D - порядок расстояния, на котором определяется поле, dl 2 - порядок элемента пространственной части интервала. При этом в соответствии с общими положениями метода Фока положено q 2 ~ U . Теперь сравним между собой все три метрики (1.78), (1.79) и (1.88). Основное различие заключается в расхождении численных коэффициентов при 2 члене, пропорциональном S0 . Причем получается неравенство 1>

4 15 > . 7 28

(1.89)

24

Хотя модель физического тела, создающего метрику Керра остается всетаки невыясненной, тем не менее, метрик (1.78) и (1.79) мы можем рассматривать как своеобразный вывод метрики Керра из уравнений q2 R 2 2 Эйнштейна с точностью 2 2 dl или другими словами, с точностью до c D 2 членов, пропорциональных S0 , тогда как известная метрика Лензе-Тирринга [3] удерживает члены, пропорциональные S0 , т.е. выведена с точностью до линейных по S0 членов.

25

Глава 2 Адиабатическая теория движения тел в ОТО 2.1. Векторные элементы в механике Ньютона Задача Кеплера, т.е. задача о движении пробного тела в центральном поле тяготения, в котором потенциальная энергия обратно пропорциональна r и соответственно сила обратно пропорциональна r 2 , элементарно решается, если же сразу исходить из двух векторных интегралов движения

r r rr r  p r  γmm 0 r M = [r p] , A =  M  − r, m r  

(2.1)

r r где M – момент импульса, A – вектор Лапласа.r Действительно, из сохранения вектора M следует, что орбита является плоской кривой. Умножая обе стороны второго из соотношений (2.1) скалярно r на r , имеем r r r  r p r   r A =  r  M   − γmm 0 r ,  m 

( )

(2.2)

или r=

P , 1 + e cos ϕ

(2.3)

где M2 A P= , e = , α = γmm 0 . γmm 0 γm 2 m 0

(2.4)

В этих выражениях P – параметр орбиты, e – эксцентриситет орбиты, ϕ – полярный угол. Само уравнение (2.3) – уравнение конического сечения с фокусом в начале координат. Таким образом, задача решена. r Сохраняющийся вектор A направлен вдоль большой оси от фокуса к перигелию. Появление такого интеграла движения, специфически именно для γm 0 поля U = , с любым знаком перед этим потенциалом, связано с так r называемым вырождением движения [14].

26

Если полная энергия системы Е<0, то эксцентриситет e < 1 , т.е. орбита является эллипсом и данное движение финитно. Для большой и малой полуоси эллипса имеют место формулы

a=

α P M P b = = = , . 2 1 − e2 2 Ε 2m Ε 1− e

(2.5)

Наименьшее допустимое значение энергии Ε min

mα 2 =− . 2M 2

(2.6)

При этом, согласно соотношению 2EM 2 e = 1+ , mα 2

(2.7)

эксцентриситет e = 0 , т.е. эллипс обращается в окружность. Отметим, что большая полуось эллипса зависит только от энергии, но не от момента пробного тела. Период движения Т удовлетворяет соотношениям 2mf = TM , T = 2πa

3

2

m m , = πα 3 α 2E

(2.8)

где f = πab - площадь орбиты.

2.2. Квазикеплерова задача Начнем с рассуждения о более общей задаче о движении в центральном поле, т.е. в поле, в котором потенциальная энергия пробного тела зависит только от расстояния r. При движении в таком поле сохраняется момент системы относительно центра поля

r rr M = [r p ] .

(2.9)

Это означает, что траектория движения пробного тела в центральном поле лежит целиком в одной плоскости. Введя в ней полярные координаты r, φ, напишем функцию Лагранжа в виде

27

L=

(

)

m 2 r& + r 2 ϕ& 2 − U(r ) . 2

(2.10)

Она не содержит в явном виде координату φ, которая в данном случае является циклической, и сохраняется соответствующий ей импульс p ϕ = M = mr 2 ϕ& = const .

(2.11)

Решение задачи о движении пробного тела в центральном поле можно получить, исходя из законов сохранения момента и энергии, не выписывая при этом самих уравнений движения. Закон сохранения энергии имеет вид E=

(

)

m 2 r& + r 2 ϕ& 2 + U(r ) . 2

(2.12)

Подставляя ϕ& из (2.11), получим mr& 2 M2 + + U(r ) . E= 2 2mr 2

(2.13)

Далее r& =

dr = dt

2 2 [E − U(r )] − M2 2 . m m r

(2.14)

Разделяя переменные и интегрируя, можем записать t=

∫

dr 2 2 [E − U(r )] − M2 2 m m r

+ const .

(2.15)

Из (2.11) находим, что dϕ =

M dt . mr 2

Подставив сюда dt из (2.14) и интегрируя, имеем:

(2.16)

28

ϕ=

∫

M dr r2 M2 2m[E − U(r )] − 2 r

+ const .

(2.17)

Формулы (2.15) и (2.17) дают в общем виде решение задачи о движении пробного тела в центральном поле. При этом, (2.17) определяет связь между переменными r и φ, т.е. уравнение траектории. Выражение (2.15) определяет в неявном виде расстояние r движущегося пробного тела от центра как функцию времени. Угол φ меняется со временем монотонным образом, а ϕ& , как это видно из (2.11), никогда не меняет знака. Радиальную часть движения можно рассматривать как одномерное движение в поле с "эффективной" потенциальной энергией U эфф

M2 = U(r ) + . 2mr 2

(2.18)

M2 называют центробежной энергией. 2mr 2 Если в законе сохранения энергии (2.13) положить r& = 0 , то

Величину

M2 E = U(r ) + . 2mr 2

(2.19)

Это выражение определяет границы движения по расстоянию от центра. В данном случае условие r& = 0 определяет "точку поворота" траектории, в которой функция r (t ) переходит от увеличения к уменьшению и наоборот. Если область изменения r имеет две границы rmin и rmax , то, согласно [14], движение является финитным и траектория целиком лежит внутри кольца, ограниченного окружностями с радиусами r = rmax и r = rmin . Это не означает, что траектория обязательно является замкнутой кривой. За время, в течение которого r изменяется от rmax до rmin и затем до rmax , радиус-вектор повернется на угол ∆φ, равный согласно (2.17) rmax

∆ϕ = 2

∫

rmin

M dr r2 2m(E − U ) −

2

.

(2.20)

M r2

Условие замкнутости траектории заключается в том, чтобы этот угол был равен рациональной части от 2π, т.е. имел вид ∆ϕ = 2πm n , где m, n - целые числа.

29

Существуют лишь два типа центральных полей, в которых все траектории финитных движений замкнутые. Это поля, в которых 1 потенциальная энергия пропорциональна или r 2 . Первое поле соответствует r задаче Кеплера, а второе поле имеет место в случае задачи о так называемом пространственном осцилляторе. Теперь наше общее рассуждение о движении в центральном поле более конкретизируем и рассмотрим задачу, когда потенциальная энергия пробного тела имеет вид U(r ) = −

α + δU(r ) , r

(2.21)

где δU(r ) - малая добавка. Такую задачу можно называть квазикеплеровой задачей. В этом случае траектории финитного движения перестают быть замкнутыми и при каждом обороте перигелий орбиты смещается на малую угловую величину δφ. Итак, согласно (2.20) M dr r2

rmax

∆ϕ = 2

∫

2m(E − U ) −

rmin

2

M r2

∂ = −2 ∂M

rmax

∫

rmin

Подставим сюда (2.21). Чтобы провести предварительно рассмотрим выражение 2m(E − U ) −

M2 2m(E − U ) − 2 dr , r

дальнейшее

(2.22)

вычисление,

2 α M2   M = 2 m E + − δ U ( r ) − ≈   2 r r2   r

2

α M  ≈ 2m E +  − 2 − r r 

mδU(r ) 2

α M  2 m E +  − 2 r r 

.

(2.23)

Подставим это в (2.22), тогда имеем

∂ ∆ϕ = ∂M

rmax

∫

rmin

π   ∂  2m 2 = r δU(r ) dϕ  ,  2 ∂M  M  α M  0   2 m E +  − 2 r r 

2mδU(r )dr

∫

(2.24)

30

где от интегрирования по dr мы перешли к интегрированию по dϕ вдоль траектории "невозмущенного" кеплерова движения. Представляет также интерес следующая запись (2.24). Для этого вспомним, что согласно (2.16)

dϕ =

M dt . mr 2

(2.25)

Подставляя это в (2.24), имеем T

∂ ∆ϕ = δU(r )dt . ∂M

∫

(2.26)

0

Поскольку эллипс вращается как "целое", rто приписав ему угловую скорость (например, скорость вращения перигелия) Ω , можем записать

∆ϕ = Ω ⋅ T ,

(2.27)

T

∂ 1 Ω= δU(r )dt , ∂M T

∫

(2.28)

0

ибо период Т зависит только от независимого интеграла движения Е. В заключение приведем еще несколько формул. Независимый интеграл движения Е в случае кеплерова движения, как видно из (2.5), равен

E=−

α , 2a

(2.29)

где a - большая полуось эллипса. Введем новую величину M 0 следующим образом 2

M a= 0 . mα

(2.30)

При этом M 0 имеет размерность "действия". Тогда,

E=−

mα 2 2M 0

2

.

(2.31)

31

Подставляя это выражение в (2.7), получим M0 =

M 1−

2

.

(2.32)

A α2

Таким образом, между интегралом движения M 0 , существование которого обусловлено законом сохранения энергии Е, и остальными интегралами движения М и А существует связь, определяемая соотношением (2.32). Наконец, так называемое среднее движение [15] 2π mα 2 ∂E = = . 3 T ∂M 0 M0

(2.33)

Формулы (2.28), (2.32) и (2.33) сыграют важную роль в построении адиабатической теории движения тел в механике ОТО [11].

2.3. Задача Шварцшильда Рассмотрим теперь на основе уточненной метрики первого приближения Фока для вращающегося жидкого шара (1.73) известную задачу механики ОТО - задачу Шварцшильда о движении пробного тела с массой m в центральном поле большой массы m 0 . Тогда метрика (1.73) примет вид

(

)

ж  2  ξ 0  2U 2  2  2 U  2 2 2  ds = c − 2 U 1 + + dt − 1 + 2  dx 1 + dx 2 + dx 3 . (2.34)  m c2  c2  c     0   2

γm 0 . r Для описания задачи используем векторные элементы

где U =

r rr M = [r p ] ,

(2.35)

r  pr r  γmm 0 r A =  M − r , A = γmm 0 e , r m 

(2.36)

r r совпадающие по направлению с ортами орбитальной системы координат k и i . Изменения векторных элементов во времени

32

[ ] [ ]

r& rr rr M = r& p + r p& ,

(2.37)

r r&  pr& r   pr r&  d r A =  M  +  M  − γmm 0   . dt  r  m  m 

(2.38)

r r Производные r& и p& будем подставлять из уравнений Гамильтона r& ∂H r& ∂H r = r , p=− r . ∂p ∂r

(2.39)

Определим гамильтониан Н, для чего в требуемом приближении из (2.34) находим ж 2  ξ0 1 2 3 1 4 2  U+ v U − Uv − v − U 2 2 8 m0  2 + ds = cdt1 − 2 4 c c   

   .   

(2.40)

Тогда лагранжиан имеет вид  ds v2  m 2  − 2 L = −mc = − mc + m U + dt 2   2c

ж  2   U − 3Uv 2 − 1 v 4 − 2ξ 0 U  . (2.41)   4 m0  

Обобщенный импульс

 v2  3U + r ∂L 2 p = r = 1 + 2 ∂v  c  

  mvr .   

(2.42)

И, наконец, гамильтониан

mξ 0 p2 mU 2 3Up 2 p4 H = mc + − mU + − − − U . 2m 2c 2 2mc 2 8m 3 c 2 m 0 c 2 ж

2

(2.43)

Подставляя это выражение в (2.39), получим

r r r r& p 3Up p2p r= − − , m mc 2 2m 3 c 2

(2.44)

33

γmm 0 r mU ∂U 3p 2 ∂U mξ 0 ∂U r& p=− 3 r− 2 r + r + r . r c ∂r 2mc 2 ∂ r m 0 c 2 ∂r ж

(2.45)

Теперь эти выражения подставим в (2.37). Тогда

r& M =0 .

(2.46)

r Таким образом, вектор M сохраняется и движение оказывается плоским. r Что касается вектора A , то он, если учесть (2.38) и (2.46), изменяется во времени согласно уравнению r r r dA  p& r  d r =  M  − γmm 0   . dt  m  dt  r 

(2.47)

r r rr r r r rr r rr r d  r  p ( r p )r 3Up p2p 3U( r p ) r p 2 ( r p ) r − − − + + .  = dt  r  mr mr 3 mc 2 r 2m 3 c 2 r mc 2 r 3 2m 3 c 2 r 3

(2.48)

При этом

Учитывая (2.45) и (2.48), перепишем (2.47)

r r ж ξ 0  r r 3γm 0 Up dA U r r  3p 2 = − 2 ∇UM +  + ∇U M + 2 + 2 2 2  dt r c 2 m c m c c 0  

[

]

[

]

rr r rr r r γm 0 p 2 p 3γm 0 U( r p )r γm 0 p 2 ( r p )r + − − , 2m 2 c 2 r c2r3 2m 2 c 2 r 3

(2.49)

r ∂ где ∇ - оператор r . ∂r Упростим правую часть этого уравнения, используя нерелятивистский закон сохранения энергии E=

γmm 0 p2 − mU = − . 2m 2a

(2.50)

где a - большая полуось эллипса. Тогда, после несложных выкладок, (2.49) запишется как

r 2 γm dA =− 20 dt c

[ ]

r ж  2E  rr M ξ 0   + 3U + . m  r3 2 m 0  

(2.51)

34

Это уравнение имеет довольно простой и наглядный вид, в чем и заключается r r одно из преимуществ использования векторных элементов M и A . Из (2.51) видно, положение перигелия кеплеровского эллипса не остается постоянным во 1 времени. Оно изменяется, причем довольно медленно из-за множителя 2 в c правой части (2.51). Уравнение (2.51) можно представить и в виде

r ж dA 1  4E ξ 0  r r 3 r 2 r = 2 + ∇ U M + ∇U M . dt c  m m 0  c2

[

[

]

]

(2.52)

r Интересуясь вековым ходом изменения A , усредним правую часть (2.51) по периоду Т обращения пробного тела. Для этого мы должны найти средние значения r r 1 = r3 T

T

∫ 0

r r r r 1 , dt = r3 r4 T

T

∫ 0

r r dt . r4

(2.53)

Они легко вычисляются, если воспользоваться нерелятивистским законом сохранения момента количества движения

M = mr 2 ϕ& .

(2.54)

Отсюда находим

dt =

mr 2 dϕ . M

(2.55)

Поэтому в (2.53) можно перейти от интегрирования по t к интегрированию по φ. Тогда 2π r r m r = e r dϕ = 0 , r 3 TM

(2.56)

r m 2 π e r dϕ πme r = = i . ∫ MTP r 4 TM 0 r

(2.57)

∫ 0

r r

Здесь Р - параметр эллипса, а

35

r r r r r e r = = cos ϕ i + sin ϕ j . r

(2.58)

Таким образом, (2.51) приобретает вид

r dA 6πγm 0 r r = eM A , dt TPc 2

(2.59)

r r r r M r r e M = = k , A = Ae A = γmm 0 e i . M

(2.60)

[

]

где

r r Из (2.59) видно, что вектор A вращается вокруг орбитального момента M с угловой скоростью r 6πγm 0 r ΩA = eM , TPc 2

(2.61)

r оставаясь неизменным по величине. Другими словами, вектор A вращается в плоскости орбиты с угловой скоростью (2.61): r r r dA = ΩAA . dt

[

]

(2.62)

r Если положение вектора A в плоскости орбиты описывать полярными координатами А и g, то из (2.61) получим

(

)

6πγm 0 6πγm 0 dg r r = Ω A eM = = . dt TPc 2 Ta 1 − e 2 c 2

(

)

(2.63)

Изменение полярного угла g за период Т будет равно

∆g =

6πγm 0 . a 1 − e2 c2

(

)

(2.64)

Это есть известная формула для смещения перигелия [16]. Следовательно, уточненная метрика первого приближения (1.62) правильно объясняет вопрос о смещении перигелия в задаче Шварцшильда.

36

2.4. Задача Лензе-Тирринга и принцип суперпозиции релятивистских эффектов Задача о финитном движении материальной частицы в поле вращающегося массивного шара была впервые исследована Лензе и Тиррингом [3, с.426]. Исходной метрикой у них является

[

(

]

)

 2U  2 2 2 ds 2 = c 2 − 2 U dt 2 − 1 + 2  dx1 + dx 2 + dx 3 + c  

+

8 c2

(U1dx1 + U 2 dx 2 + U 3dx 3 )dt

.

(2.65)

Мы же, сейчас, рассмотрим эту задачу на основе несколько урезанной метрики первого приближения

(

)

 2 2U 2  2  2U  2 2 2 ds = c − 2 U + 2  dt − 1 + 2  dx1 + dx 2 + dx 3 + c  c    2

+

8 c2

(U1dx1 + U 2 dx 2 + U 3dx 3 )dt .

(2.66)

Определим U i , причем сделаем это для системы более общей, чем шар, а именно для системы тел, движущихся стационарно в некоторой конечной области. Тогда r U=γ

(ρvr )′

∫ rr − rr ′ dV′ = γ∑ b

r mbvb r r . r − rb

(2.67)

r где rb - радиус-вектор тел, образующих систему. Имея в виду, что rr 1 1 ( r rb ) r r = + 3 + ... , r − rb r r

(2.68)

(rr rrb )vr b = 1 d rrb (rrb rr ) + 1 [rr [vr b rrb ] ] ,

(2.69)

2 dt

перепишем (2.67)

2

37

r γ d U= r dt

∑ b

r γ d m b rb + 3 2r dt

∑ b

r rr γ rb ( rb r ) + 3 2r

∑

rr r m b [r [v b rb ]] .

(2.70)

b

Усредним это выражение по времени. Тогда

[ ]

r γ rr γ r 1 r  U = − 3 r S0 = ∇ S0  , 2 r  2r

(2.71)

где введено обозначение r S0 =

∑[r m vr ], r

b

b

(2.72)

b

b

для момента количества движения системы. Теперь составим лагранжиан рассматриваемой задачи

L = −mc

ds . dt

(2.73)

Для этого из (2.66) находим

( )

rr  1 v2 1 2 3  U+ U − Uv 2 − v 4 + 4 Uv 2 8 2 +2 ds = cdt1 − 2 4  c c  

.   

(2.74)

Подставляя (2.74) в (2.73), имеем

( )

rr   v2  m  2 1 L = − mc + m U +  − 2  U − 3Uv 2 − v 4 + 8 Uv  . 2  2c  4   2

(2.75)

Импульс  v2  3U + r ∂L 2 p = r = 1 + 2 ∂v  c  

Гамильтониан

  r mvr − 4m U .  c2  

(2.76)

38

( )

rr r ∂L mv 2 m  2 3 4  4 pU 2 2 H = v r − L = mc + − mU + 2  U + 3Uv + v  + 2 = 2 4  ∂v 2c  c

( )

rr p2 mU 2 3Up 2 p4 4 pU = mc + − mU + − − + 2 . 2m 2c 2 2mc 2 8m 3c 2 c 2

(2.77)

Составим уравнения движения. Согласно (2.37) и (2.38)

[ ] [ ]

r& rr rr M = r& p + r p& ,

(2.78)

r r&  pr& r   pr r&  d r A =  M  +  M  − γmm 0   . dt  r  m  m 

(2.79)

r r r r r& p 3Up p2p 4U − + , r= − m mc 2 2m 3 c 2 c 2

(2.80)

Далее находим

γmm 0 r mU ∂U 3p 2 ∂U 4 ∂ r r r& p=− 3 r− 2 r + r − r pU , r c ∂ r 2mc 2 ∂r c 2 ∂ r

( )

(2.81)

rr r d  r   3U p 2  Mr 4 r rr  − r rU .   = 1 − 2 − dt  r   c 2m 2 c 2  mr 3 c 2 r 3

(2.82)

[ ]

[ [ ]]

Подставим (2.80)-(2.82) в (2.78) и (2.79). Тогда имеем r dM 2γ r r = 2 3 S0 M , dt c r

[

]

(2.83)

(

)[ ]

r r r γm 0 (4E + 6mU ) r r dA 2γ r r 6 γ S 0 M r r rM + 2 3 S0 A + =− rM . dt mc 2 r 3 c r mc 2 r 5

[ ]

[ ]

(2.84)

Усредним (2.83) и (2.84) по ньютоновскому эллипсу. В работе [3, с.426] указывается, что усреднение удобно произвести с помощью параметрического представления зависимости r от времени при движении по эллиптической орбите в виде

r = a (1 − e cos ξ ) , t =

T (ξ − e sin ξ) , 2π

(2.85)

39

Рис. 1 Схематическое изображение направлений векторных элементов в случае задачи Лензе-Тирринга. Например: T

∫

1 1 dt 1 = = 3 3 T r r 2πa 3 0

2π

dξ

∫ (1 − e cos ξ)

2

.

(2.86)

0

Для вычисления этих и подобных ему интегралов воспользуемся общей формулой [17, с.397] 2π

J n +1 =

dξ

∫ (1 − e cos ξ)

=

n +1

0

2π n +1 1 − e2 2

(

)

 1 Pn  2  1− e

 ,  

(2.87)

где Pn - полиномы Лежандра. Причем

P0 (x ) = 1 , P1 (x ) = x , P2 (x ) =

(

)

1 P4 (x ) = 35x 4 − 30x 2 + 3 , ... 8 Учитывая формулу (2.87), находим

(

)

(

)

1 1 3x 2 − 1 , P3 (x ) = 5x 3 − 3x , 2 2

,

(2.88)

40

1 1 = r3 a3 1 − e2

(

)

3

.

(2.89)

2

В этом параграфе усреднение проводится еще более простым способом, основанным на использовании нерелятивистского закона сохранения момента 1 количества движения. Снова рассмотрим среднее от 3 . Тогда, с учетом (2.3) и r (2.25), имеем

1 r3

=

1 T dt m 2 π dϕ m 2π = = ∫ ∫ ∫ (1 + e cos ϕ)dϕ . T 0 r 3 TM 0 r TMP 0

(2.90)

Этот интеграл элементарен, и для его вычисления нет необходимости в какойто специальной формуле типа (2.87). Далее,

1 r

3

=

m 2π . TMP

(2.91)

Чтобы это выражение совпало с (2.89), вспомним, что согласно кеплеровой задаче

(

)

TM = 2mf , f = πab , b = a 1 − e 2 , P = a 1 − e 2 ,

(2.92)

где, напомним еще раз, f - площадь орбиты, b - малая полуось эллипса. Тогда

1 r

3

=

π 1 = = fP abP

(

1

a 1− e 3

2

)

3

.

(2.93)

2

Из предыдущего изложения задачи Шварцшильда известно, что r r r r e = 0 , = r3 r 4 2a 3 1 − e 2

(

)

3

r i .

(2.94)

2

Наконец, r m 2π e r dϕ 2πme r e = = i = ∫ r 5 TM 0 r 2 TMP 2 a 4 1 − e2 r r

(

)

5

r i . 2

(2.95)

41

Учитывая найденные средние значения, уравнения движения (2.83) и (2.84) представим в виде r r r dM = ΩMM , dt

(2.96)

r r r dA = ΩAA . dt

(2.97)

[

]

[

]

Здесь введены угловые скорости r 2 γS0

r ΩM = r ΩA =

(

γ

c a 1− e 2 3

2

)

3

2

(

c a 1− e 2 3

2

)

3

,

(2.98)

2

(

(

) )

r r r r   3m 0 r M + 2 S − 3 S 0 0 eM eM  ,  m 

(2.99)

r где S0 - собственный угловой момент шара (системы тел). r r Вместо двух величин Ω M и Ω A можно рассматривать общую угловую скорость r r Ω = ΩA ,

(2.100)

r dM r r = ΩМ , dt

(2.101)

r dA r r = ΩA . dt

(2.102)

и переписать (2.96) и (2.97) в виде

[ ]

[ ]

r r Отсюда следует, что вектора M и A меняются не по величине, а по r r направлению. Вектор M прецессирует вокруг S0 с угловой скоростью (2.98). r r Вектор же A участвует сразу в двух движениях: в прецессии вокруг S0 с угловой скоростью (2.98) и во вращении в плоскости орбиты с угловой скоростью r Ωg =

(

γ

c a 1− e 2 3

2

)

3

2

(

)

r r r   3m 0 r M − 6 S 0eM eM  .  m 

(2.103)

42

Согласно (2.93)

(

γ

a 1− e 3

2

)

3

= 2

2πγm , TMP

(2.104)

тогда

(

)

r r r 6πγm 0 r 12πγm S0 e M r Ωg = eM − eM . TPc 2 TMPc 2

(2.105)

Первый член в правой части этого выражения совпадает с угловой скоростью в шварцшильдовой задаче (2.61), а второй член является поправкой, обусловленной вращением центрального тела. Как видно из (2.99), релятивистские эффекты, связанные с неньютоновостью центрального поля и собственным вращением тела, суперпонируют. Таким образом, можно изучать эти эффекты независимо друг от друга (принцип суперпозиции). r В заключение заметим, что Ω связана с производными по времени от углов Эйлера δ, g, i, которые определяют ориентацию подвижной системы координат x, y, z относительно неподвижной системы x 0 , y 0 , z 0 (с ортами r r r i0 , j0 , k 0 ). Тогда [18, с. 165]

r r r r Ω = δ& e z 0 + &ie δ + g& e z ,

(2.106)

r где e δ - единичный вектор линии узлов, которая образуется пересечением плоскостей xy и x 0 y 0 . r Если ось z 0 направить по S0 , то, сравнивая (2.106) и (2.99), получаем δ& =

2 γS0

(

c a 1− e 2 3

2

)

3

,

(2.107)

2

&i = 0 , g& =

(

γ

c a 1− e 2 3

Изменение g за один период равно

2

)

3

2

(2.108)

(

)

r r   3m 0 M − 6 S 0eM  .  m 

(2.109)

43

(

)

r r 6πγm 0 12πγm S0 e M ∆g = − . a 1 − e 2 c 2 a 1 − e 2 Mc 2

(

)

(

)

(2.110)

Аналогично

∆δ =

4πγmS0 . a 1 − e 2 Mc 2

(

)

(2.111)

r r В случае, когда S 0 ↑↑ M , т.е., если движение пробного тела происходит в экваториальной плоскости центрального тела, можно найти абсолютное смещение перигелия за период [19, с. 35]: ∆g абс = ∆g + ∆δ =

6πγm 0 8πγmS0 − . 2 2 a 1− e c a 1 − e 2 Mc 2

(

)

(

)

(2.112)

2.5. Адиабатическая теория движения тел в механике ОТО Под этим названием подразумевается подход, развитый нами для исследования эволюционного движения в механике ОТО [11, 20, 21, 22, 23]. Он основан на использовании векторных элементов для описания движения, на асимптотических методах теории нелинейных колебаний и на методе адиабатических инвариантов. Поясним это. Существует большой класс задач в механике ОТО, где исследуемые системы можно рассматривать как медленно эволюционирующие гамильтоновы системы. Другими словами, ряд задач механики ОТО может рассматриваться как возмущенная кеплерова задача. Функция Лагранжа для них имеет вид

r r mv 2 γmm 0 L = − mc + + + R (r , v ) , 2 r

(2.113)

r r p 2 γmm 0 H = mc + − − R (r , p ) , 2m r

(2.114)

2

а гамильтониан 2

1 r ∂L , p = r - импульс. ∂v с2 Описание движения можно производить с помощью векторных r r r r элементов M и A . Тогда, из-за векторного характера элементов M и A , мы можем написать самый общий вид уравнений движения автоматически где R - пертурбационная функция ~

44

r r r dM dM r = e M + ΩM , dt dt

[ ]

(2.115)

r rr dA dA r = e A + ΩA , dt dt

(2.116)

[ ]

r r r r где e M и e A - единичные вектора в направлениях векторов M и A . В этой общей записи уравнений движения пробного тела r m во внешнем гравитационном поле остается неизвестной угловая скорость Ω . Её конкретный вид должен зависеть от рассматриваемой физической системы. Действительно, в работе [11] нами показано, что r ∂H Ω= r , (2.117) ∂M где H - осредненное по кеплеровскому движению значение гамильтониана. r Причем H является функцией M и адиабатического инварианта системы M0 =

M 1−

2

A α2

, α = γmm 0 .

(2.118)

r Знание угловой скорости Ω позволяет вычислить большинство известных релятивистских эффектов, не прибегая даже к решению уравнений движения (2.115) и (2.116). Наличие инварианта (2.118) позволяет уравнениям движения (2.115) и (2.116) придать следующий вид r r r dM dM r = e M + ΩM , dt dt

(2.119)

r rr de A = Ωe A . dt

(2.120)

[ ]

[

]

Уравнения (2.119), (2.120) и соотношение (2.117) образуют математическую основу того подхода к исследованию задач механики ОТО, который назван нами адиабатической теорией движения тел в механике ОТО. Другими словами, эти уравнения вместе с соотношением (2.117) полностью решают вопрос об эволюционном движении в квазикеплеровой задаче. Для задачи Шварцшильда, например, с точки зрения адиабатической теории движения тел в механике ОТО, имеют место простые уравнения движения

45

r r rr dM dA =0 , = ΩA , dt dt

[ ]

(2.121)

где среднее значение гамильтониана H = mc − 2

mα 2 2M 0

2

 α2 1  15mα 2 m 3mα 4  + 2 − ξ0 . − c  8M 0 2 m 0  M 0 2 M 0 3 Mc 2

(2.122)

Напомним, что исходным гамильтонианом является (2.43). Угловая скорость

r ∂H 3mα 4 r 6πα 2 r Ω = r = 3 3 2 M = 2 2 eM ∂M M M 0 c M Tc

(2.123)

и смещение перигелия за период Т 6πγm 0 6πα 2 ∆g = ΩT = 2 2 = . M c a 1 − e2 c2

(

)

(2.124)

Мы снова получили известную формулу Эйнштейна. Все, что пришлось делать r , это элементарное взятие производной от H по векторному элементу M . Отсюда становится ясным, что эффект вращения перигелия в задаче Шварцшильда связан rс появлением в гамильтониане зависимости от орбитального момента M . В классической механике, т.е. в задаче Кеплера, такой зависимости нет и перигелий остается неподвижным. В случае задачи Кеплера гамильтониан зависит только от инварианта системы M 0 и, если составить производную

∂H mα 2 2π = = , ∂M 0 M 0 3 T

(2.125)

т.е. так называемое среднее движение.

2.6. Задача Лензе-Тирринга и адиабатическая теория движения Теперь рассмотрим задачу Лензе-Тирринга о финитном движении пробного тела в поле вращающегося массивного шара на основе метрики первого приближения (1.73) [24]. В этом случае гамильтониан принимает вид

46

p2 1  p 4 3Up 2 ξ0 mU 2  − H = mc + − mU − 2  3 + + mU − 2m 2m m0 2  c  8m 2

−

[ ] Sr 0∇r 1r   ,

2γ   r r 1 r  2 γm  r r S ∇ p −    S0∇ 2  0 r 2 c    7m 0 c 



(2.126)



а уравнения движения таковы:

( )[ ]

r r r& 2 γ r r 12γm S0 r r r M = 3 2 S0 M − r S0 , r c 7m 0 r 5 c 2

[

]

[

]

(2.127)

(

)[ ]

r r r r r&  m  ∇ UM 2 γ r r 6 γ S0 M r r A =  4E + 6mU + ξ0  + 3 2 S0 A + rM − 2 5 2 m mc r c mr c  0  −

[ ]

( ) [rrMr ] − 2(S rr )[S Mr ] + 2(S rr )[pr [rrS ] ] . (2.128)

[ ]

6γ  2 r r 5 r r S r M − S0 r  0 7m 0 r 5c 2  r2

r

2

r

0

r

0

r

0

0



Из этих уравнений следует, что учет интеграла, зависящего от внутренней структуры в (1.62), существенно изменяет уравнения движения задачи ЛензеТирринга по сравнению с уравнениями, приведенными в более ранних работах [3]. Рассматривая эту задачу на основе адиабатической теории движения тел в механике ОТО, в начале находим mα 2 1  15mα 2 m  α 2 3mα 4   H = mc − + 2  − ξ0 − + 2 c  8M 0 2 m 0  M 0 2 M 03M 2M 0 2

2  r r mS0 3m r r r r   + 2 S M + − S0 M S 0 M   . 0 3 2 3  7 m 7 m M m0M 0 M  0 0  

m 2α 4

(

)

(

)(

)

(2.129)

Уравнения движения в векторных элементах

r r r r r r r ∂H dM dA = ΩM , = ΩA , Ω = r , dt dt ∂M

[ ]

[ ]

(2.130)

где

(

)

(

)

rr rr  r 3m MS r 6m MS 2 r  r 3mα 4 r m 2α 4 0 0 Ω= 3 3 2M+ 2S0 − S0 + M − 3 2  2 3 7m0M 7m0M 4 M M0 c m 0 M M 0 c  

47

(

)

rr 2 r 3m MS0  3m 2 α 4 M  r r m 2 − S0 − 2 M S 0 + . 3 7m 0 7m 0 M 2  m 0 M 5 M 0 c 2 

(

)

(2.131)

Выражение (2.131) существенно дополняет результаты ранних исследований по задаче Лензе-Тирринга. Таким образом, учет интеграла, зависящего от внутренней структуры в метрике первого приближения механики ОТО, представляется необходимым. Для общего случая квазикеплеровых задач механики ОТО существует усредненный гамильтониан

(

)

r r H = H M 0 , M, δϕ ,

(2.132)

и имеют место автономные канонические уравнения [25, 26]

r r d M ∂H d ϕ ∂ H = r , = r , dt ∂ϕ dt ∂M r где δϕ - вектор бесконечно малого поворота.

(2.133)

48

Глава 3 Метод возмущений и метод гидродинамической аналогии в механике ОТО В предыдущей главе мы ознакомились, как работает асимптотический метод нелинейной механики - метод усреднения в механике ОТО. Исходные r r уравнения движения были записаны в представлении векторов M и A , что удобно для применения асимптотических методов нелинейной механики, поскольку налицо разделение переменных на быстрые и медленные. Последнее обстоятельство как раз и является характерной особенностью тех задач, для анализа которых применяются асимптотические методы исследования [27].

3.1. Метод возмущений и задача Шварцшильда Исходим из уравнения движения (2.51):

[ ]

[ ]

r rr rr 4 γm 0 E r M 6 γm 0 U r M dA =− − . dt mc 2 r 3 c2 r3

(3.1)

Здесь опущен член, не играющий существенной роли и пропорциональный ξ 0 . Проинтегрируем (3.1) по времени t. При этом: r [rrMr ]dt = [er M] mr dϕ = m [er Mr ]dϕ = m [(cos ϕ ri + sin ϕ rj )Mr ]dϕ = ∫ r ∫ r M M∫ M∫ ϕ

t

ϕ

2

ϕ

r

3

r

2

0

0

0

ϕ

∫(

0

)

r r r r = m sin ϕ i − cos ϕ j dϕ =m(1 − cos ϕ)i − m sin ϕ j .

(3.2)

0

Аналогично t

∫ 0

[rrMr ]dt = mϕ [er r k ]dϕ = r = r

∫

r4

0

=

r

r r P mϕ = ∫ (1 + e cos ϕ) sin ϕ i − cos ϕ j dϕ = 1 + e cos ϕ P 0

(

m  e 2 r  ϕ sin 2ϕ  r  1 − cos ϕ + sin ϕ i − sin ϕ + e + e    j P  2 2 4    

Учитывая (3.2) и (3.3) имеем

)

(3.3)

49

r r 2 γm A − A0 = − 2 0 c

+

3γm 0 m  e 2  r  ( ) 2 E 1 − cos ϕ + 1 − cos ϕ + sin ϕ  i +   2 P   

2γm 0  3γm 0 m  ϕ e sin 2ϕ  r 2 E sin ϕ + sin ϕ + e +   j.  P  2 4  c2 

(3.4)

Так как

[

]

[ ]

r r r r r rr δA = δA e A + δg A , j = k i ,

(3.5)

то сравнивая (3.5) с (3.4) находим

δA = −

2 γm 0  3 γm 0 m  e 2  2 E ( 1 − cos ϕ ) + 1 − cos ϕ + sin ϕ  ,   P  2 c2  

4α  3α  2 ϕ 3α 2 e A − A0 = − 2E + − sin 2 ϕ ,  sin 2 2 P  2 Pmc mc 

g − g0 =

3α  3α  1   2 E + sin ϕ − ϕ + sin 2 ϕ    . P  2 mec 2  Pmc 2   2

(3.6)

(3.7)

(3.8)

r Из этих выражений видно, что абсолютное значение вектора A , вообще говоря, не остается постоянным, а периодически меняется со временем. Однако изменение за период Т равно нулю, в соответствии с выводами параграфов 2.3. и 2.5. Это вполне понятно, ибо метод усреднения или адиабатическая теория дают картину эволюционного движения, тогда как метод возмущений выявляет также и периодические движения, в данном случае эллипс как бы «дышит». r То же самое относится и к изменению направления вектора A . Формула r (3.8) показывает, что направление A совершает не только эволюционное r движение, но и периодическое движение – направление вектора A как бы «дрожит».

3.2. Метод возмущений и задача Лензе-Тирринга Исходными уравнениями движения будут (2.127) и (2.128). Выпишем их:

( )[ ]

r r r dM 2 γ r r 12γm S 0 r r r = 2 3 S0 M − r S0 , dt c r 7m 0 c 2 r 5

[

]

(3.9)

50

[

]

(

)[ ]

r r r r r dA  m  ∇U M 2 γ r r 6 γ 0 S0 M r r =  4E + 6mU + ξ0  + 2 3 S0 A + rM − dt  m 0  mc 2 cr mc 2 r 5 −

]

( )2 [rr Mr ] + 2(S 0 rr )[S 0 Mr ] + 2 (S 0 rr )[pr [rr S 0 ] ] . (3.10)

[ ]

6γ

[

5 r r  2 r r S r M − S0 r  0 7m 0c 2 r 5  r2

r

r

r

r



r Для любого вектора, например для M , имеет место соотношение r r r dM dM r = eM + Ω М M . dt dt

[

]

(3.11)

Приведем (3.9) к виду (3.11). Для этого запишем, что

[rrSr ] = (xS 0

02

[ ]

S rr r − yS01 )e M + 03 r M , M

(3.12)

r где S01 и S02 - проекции углового момента S0 на орбитальную плоскость. Имея в виду (3.9), (3.11) и (3.12), получим, что

( )

r r dM 12γm S0 r (yS01 − xS02 ) , = dt 7m 0 c 2 r 5

(3.13)

( )

r r r 2 γ r 12γm S0 r S03 r Ω M = − 2 3 S0 − r . c r 7m 0 c 2 r 5 M

(3.14)

Проинтегрируем (3.13): 12γm M − M0 = 7m 0 c 2 ϕ

∫(

t

∫

(S rr )(yS r

0 5

r

0

01 − xS 02 )dt =

mr 2 dϕ = Mdt, x = r cos ϕ, y = r sin ϕ

=

)

12γm 2 12γm 2  2  2 sin 2ϕ = − S01S 02 cos 2ϕ (1 + e cos ϕ)dϕ = × S 01 − S 02 2 7m 0 c 2 MP  7m 0 c 2 MP  0

2  2  sin 2ϕ   e 2 sin 3 ϕ   2  sin ϕ 3   . (3.15) ×  S01 − S 02  + 1 − cos ϕ  − S01S02  + e sin ϕ −   2 3 2 3       

(

)

(

)

r Отсюда видно, что изменение абсолютного значения вектора M за период Т равно нулю, что подтверждает наши выводы, полученные в параграфах 2.4 и

51

2.6, когда мы пользовались методом усреднения и адиабатической теорией движения тел в механике ОТО. r Далее, вычислим сам вектор M :

[

]

r r 2 γ r r t dt 12γm M − M 0 = 2 S0 M ∫ 3 − 7m 0 c 2 c 0r

t

∫

(S0 rr )[rrS0 ]dt . r

r

r

0

(3.16)

5

Вначале вычислим интегралы t

∫ 0

dt mr 2 P m = dt = dϕ , r = = 3 M 1 + e cos ϕ M r =

ϕ

∫

dϕ m = r MP

0

ϕ

∫ (1 + e cos ϕ)dϕ = 0

m (ϕ + e sin ϕ) ϕ0 = m (ϕ + e sin ϕ) , MP MP

(3.17)

Теперь находим интеграл

(S0 rr )[rrS0 ]dt = m ϕ (S0 rr )[rrS0 ]dϕ = er r

t

∫

r

r

∫

r5

0

M0

( )[ ]

r

r3

r

r r = cos ϕ i + sin ϕ j =

rr rr r r r r m ϕ erS0 erS0 m ϕ = ∫ dϕ = cos ϕ sin ϕ S S j + S S 01 0 02 0 i + ∫ M0 MP 0 r

( [ ]

{

[ ]

[ ])

[ ]}

(3.18)

sin 2 ϕ e e cos 3 ϕ + − , 2 3 3

(3.19)

r r r r + S 02 sin 2 ϕ S 0 j + S 01 cos 2 ϕ S 0 i (1 + e cos ϕ )dϕ . Входящие сюда интегралы ϕ

∫

cos ϕ sin ϕ(1 + e cos ϕ)dϕ =

0 ϕ

ϕ sin 2ϕ e sin3 ϕ , sin ϕ(1 + e cosϕ)dϕ = − + 2 4 3

(3.20)

ϕ sin 2ϕ  sin3 ϕ  . cos ϕ (1 + e cos ϕ)dϕ = + + e sin ϕ −  2 4 3  

(3.21)

∫

2

0

ϕ

∫ 0

2

Подставляя (3.19), (3.20) и (3.21) в (3.18) имеем

52

t

(S rr )[rrS ]dt = r

∫

r

0

0

r5

0

( [ ]

[ ])

r r r r m  sin 2 ϕ e e cos 3 ϕ    S S j + S S + + −  02 0 i  01 0 MP  2 3 3 

[ ]

[ ]

 ϕ sin 2ϕ   ϕ sin 2ϕ e sin 3 ϕ  r r sin 3 ϕ   r r      + S02  − +  S0 j + S 01  2 + 4 + e sin ϕ − 3   S0 i  . (3.22) 2 4 3       Тогда

r r r r 2γm 12γm 2  sin 2 ϕ e e cos3 ϕ  M = M0 + (ϕ + e sin ϕ) S0 M + + −  × 3 3 MPc 2 7MPm0 c 2  2 

[

( [ ]

]

[ ])

[ ]

r r r r  ϕ sin 2ϕ e sin 3 ϕ  r r  S0 j + × S01 S0 j + S02 S0 i + S02  − +  2 4 3  

[ ]

 ϕ sin 2ϕ  sin 3 ϕ   r r     S0 i  . + S01  + + e sin ϕ − 4 3     2

(3.23)

r Отсюда видно, что учет нелинейных по S0 членов приводит к наложению r эволюционному движению вектора M быстрых периодических движений («дрожанию»). r Составим dM , введя углы Эйлера, связывающие орбитальную систему координат (x,y,z) с неподвижной системой координат (x0,y0,z0). Тогда:

(

)

(

r r r r r d M = d M sin i sin δ i0 − M sin i cos δ j0 + M cos i k 0 = dM sin i sin δ i0 −

)

(

)

r r r r r − sin i cos δ j0 + cos i k 0 + Mdi cos i sin δ i0 − cos i cos δ j0 − sin i k 0 +

(

)

r v r r r + M dδ sin i cos δ i0 + sin i sin δ j0 = dM eM + M di ei + M dδ eδ.

(3.24)

Здесь

r r v r e M = sin i sin δ i0 − sin i cos δ j0 + cos i k 0, r r r r e = cos i sin δ i − cos i cos δ j − sin i k  i 0 0 0, r r r e δ = sin i cos δ i0 + sin i sin δ j0.

(3.25)

53

er M 2 = sin 2 i sin 2 δ + sin 2 i cos2 δ + cos2 i = 1, r 2 2 2 2 2 2 ei = cos i sin δ + cos i cos δ + sin i = 1, r 2 2 2 2 2 2 eδ = sin i cos δ + sin i sin δ = sin i.

(3.26)

r r (e M ei ) = sin i cos i sin 2 δ − sin i cos i cos 2 δ − sin i cos i = 0,  r r 2 2 (e M e δ ) = sin i sin δ cos δ − sin i sin δ cos δ = 0, (er er ) = sin i cos i sin δ cos δ − sin i cos i sin δ cos δ = 0.  i δ

(3.27)

r r r Отсюда видно, что вектора ei и e δ перпендикулярны k 0 . Далее, запишем, что

r r r r v r e i = − sin g i − cos g j , e δ = sin i cos g i − sin i sin g j .

(3.28)

Напомним, что переход от орбитальной системы координат (x,y,z) к неподвижной системе координат (x0,y0,z0) осуществляется с помощью углов Эйлера и имеет вид: r r  i = ( cos δ cos g − cos i sin g sin δ) i0 + r r  + ( sin δ cos g + cos i sin g cos δ) j0 + sin i sin g k 0 , r r  j = ( − cos δ sin g − cos i sin δ cos g) i0 + r r  + ( cos i cos δ cos g − sin g sin δ) j + sin i cos g k 0 0, r r r v k = sin i sin δ i − sin i cos δ j + cos i k . 0 0 0 

(3.29)

r Составим выражение dM , используя (3.23), через единичные вектора rr r орбитальной системы координат: i , j , k . Тогда имеем: r r r 2 γm 12γm 2 dM = 2 (1 + e cos ϕ)(S02 i − S01 j )dϕ + {sin ϕ cos ϕ (1 + e cos ϕ) × 2 pc 7 Mpm 0 c

(

)

r r r r  1 cos 2ϕ r r × S01[S0 j ] + S02[S0 i ] + S02  − + e sin 2 ϕ cos ϕ [S0 j ] + 2 2 

}

 r r  1 cos 2ϕ + S01  + +e( cos ϕ sin 2 ϕ cos ϕ)  [S0 i ] dϕ . 2 2  Поскольку

(3.30)

54

r r r r r r r r [S0 i ] = S03 j − S02 k , [S0 j ] = −S03 i + S01k ,

(3.31)

то перепишем (3.30) в виде r r r 2 γm 12γm 2 {sin ϕ cos ϕ (1 + e cos ϕ) × dM = 2 (1 + e cos ϕ)(S02 i − S01 j )dϕ + 2 pc 7Mpm 0 c

( (

)

(

))

(

)

r r r r r r × S01 − S03 i + S01k + S02 S03 j + S01k + S02 sin 2 ϕ(1 + e cos ϕ) − S03 i + S01k +

(

)}

r r + S01 cos 2 ϕ(1 + e cos ϕ ) S03 j + S01k dϕ ,

(3.32)

или r r r 2 γm 12γm 2 dM = 2 (1 + e cos ϕ)(S02 i − S01 j )dϕ + (1 + e cos ϕ) × Pc 7 MPm 0 c 2

r r × {− S 03 (S 01 sin ϕ cos ϕ + S 02 sin 2 ϕ) i + S 03 (S 02 sin ϕ cos ϕ + S 02 cos 2 ϕ) j +

[(

)

)] }

(

r 2 2 + S01 − S02 sin ϕ cos ϕ + S01S02 sin 2 ϕ − cos 2 ϕ k dϕ .

(3.33)

r Умножая обе стороны этого соотношения скалярно на ei , имеем r r 2 γm 12 γm 2 dM ⋅ ei = Mdi = 2 (1 + e cos ϕ)( − S02 sin g + S01 cos g)dϕ + (1 + e cos ϕ) × Pc 7 MPm 0 c 2

{

}

× S03(S01 sin ϕ cos ϕ + S02 sin 2 ϕ) sin g − S03(S02 sin ϕ cos ϕ + S01 cos2 ϕ) cos g dϕ . (3.34) Отсюда 2 γm 12γm 2 di = (1 + e cos ϕ)( − S02 sin g + S01 cos g)dϕ + (1 + e cos ϕ) × MPc 2 7 M 2 Pm 0 c 2

{

× S03(S01 sin ϕ cos ϕ + S02 sin 2 ϕ) sin g −

}

− S03(S02 sin ϕ cos ϕ + S01 cos 2 ϕ) cos g dϕ . Проинтегрируем это выражение, предварительно вычисляя интегралы

(3.35)

55 ϕ

∫ (1 + e cos ϕ)dϕ = ϕ + e sinϕ ,

(3.36)

0

ϕ

 sin 2 ϕ e cos3 ϕ e  − + + (1 + e cos ϕ)(S01 sin ϕ cos ϕ + S02 sin 2 ϕ)dϕ = S01  2 3 3  0

∫

 ϕ sin 2ϕ e sin 3 ϕ  + S02  + + , 2 4 3  

(3.37)

ϕ

 sin 2 ϕ e cos3ϕ e  − +  + (S02 sin ϕ cos ϕ + S01 cos2 ϕ)(1 + e cosϕ)dϕ = S02  2 3 3  0

∫

 ϕ sin 2ϕ e sin 3ϕ    + S01  + + e sin ϕ − 2 4 3  

(3.38)

Тогда окончательно получим 12γm 2S03 2 γm × i = i0 + ( − S02 sin g + S01 cos g)(ϕ + e sin ϕ) + MPc 2 7 M 2 Pm 0 c 2

  sin 2 ϕ e cos 3 ϕ e   ϕ sin 2ϕ e sin 3 ϕ     sin g − × S01  − +  + S02  − + 3 3 4 3    2 2    sin 2 ϕ e cos 3 ϕ e   ϕ sin 2ϕ e sin 3 ϕ   cos g  . (3.39) − S02  − +  + S01  + + e sin ϕ − 3 3 4 3   2   2 Далее

(

)

r r 2 γm Mdδ = dM e δ = 2 (1 + e cos ϕ)sin i(S02 cos g + S01 sin g )dϕ = Pc 12γm 2S03 sin i  =  sin ϕ (1 + e cos ϕ)(S01 cos g + S02 sin g ) + 7MPm 0 c 2 

 1 cos 2ϕ  + S02  − + e sin 2 ϕ cos ϕ  cos g + 2 2 

56

 1 cos 2ϕ  + S01  + + e cos 3 ϕ S03 sin g dϕ . 2 2 

(3.40)

Имея в виду, что ϕ

e sin 2 ϕ sin ϕ(1 + e cos ϕ)dϕ = 1 − cos ϕ + , 2

(3.41)

ϕ sin 2ϕ e sin 3 ϕ  1 cos 2ϕ  2 + e sin ϕ cos ϕ dϕ = − + ,  − 2 2 4 3 2 

(3.42)

ϕ sin 2ϕ e sin 3 ϕ  1 cos 2ϕ 3  , + e cos ϕ dϕ = + + e sin ϕ −  + 2 2 4 3 2 

(3.43)

∫ 0

ϕ

∫ 0

ϕ

∫ 0

получим из (3.40) выражение 12γm 2S03 sin i 2 γm × δ = δ0 + sin i(S02 cos g + S01 sin g )(ϕ + e sin ϕ) − MPc 2 7 M 2 Pm 0 c 2

  e sin 2 ϕ   +S02 cos g × × (S01 cos g + S02 sin g )1 − cos ϕ + 2     ϕ sin 2ϕ  ϕ sin 2ϕ e sin 3 ϕ  e sin 3 ϕ   .  + S01 sin g + ×  − + + e sin ϕ − 2 4 3 2 4 3    

(3.44)

r Теперь рассмотрим уравнение для изменения вектора Α во времени r (3.10). Отсюда для абсолютного значения вектора Α находим: r r 2   6 γ( S 4α m 3α ϕ 3α e 2 0 M) ξ 0 +  sin 2 − sin ϕ + × А(t) − A(0) = − 2  2Ε + 2m 0 P 2 Pmc 2 mc  P 2c 2

{

[(

)

  ϕ e2 6 γm × 2 sin 2 + e sin 2 ϕ + (1 − cos 3 ϕ) − S01S02 4 1 + e 2 sin ϕ + 2 2 2 3   7m 0 c P

57

+

(

)

5e 3e 2  sin 2ϕ + sin 4ϕ − 7 + 8e 2 sin 3 ϕ + 2e2 sin 5 ϕ − 2 4 3 

(

)

(

)(

)

2 2 2 (cos ϕ − 1) − e S02 − S01 − S02 − 3S02 − 2S02 cos 2 ϕ − 1 −

−

(

[ (

)]

) (

1 2 2 2 2 2 2 e S0 − 2S01 − S02 − 3 S01 − S02 × 3

) (

)(

)

2 2 × cos 3 ϕ − 1 + e S01 − S02 cos 4 ϕ − 1 +

(

)(

)

 e2 2 2 S01 − S02 cos 5 ϕ − 1  . 5 

(3.45)

3.3. Гидродинамическая аналогия в механике ОТО До сих пор мы обсуждали вопрос о поступательном движении в задачах Шварцшильда и Лензе-Тирринга. Что же можно сказать о собственном вращении (о вращательном движении) пробного тела в этих задачах? Этот вопрос просто решается в рамках подхода с использованием гидродинамической аналогии в механике ОТО. В результате доказана теорема [11, 20, 28] о том, что вопрос о собственном вращении пробного тела в этих задачах решается с помощью простой гидродинамической формулы: r 1 r ω = rot v , 2

(3.46)

r r где ω – угловая скорость пробного тела, v – скорость пробного тела, r r рассматриваемая как функция канонически сопряженных переменных r и p . При таком подходе отпадает процесс получения уравнения вращательного движения пробного тела из уравнений поля Эйнштейна методом Фока. Действительно, обратимся к задаче Шварцшильда. Вначале запишем интервал (2.34):

(

)

(3.47)

  2ξ ds v2  m  1 = − mc 2 + m U +  − 2  U 2 − 3Uv 2 − v 4 − 0 U  . dt 2  2c  4 m0  

(3.48)

 2  ξ 0  2 U 2  2  2 U   ds = c − 2 U 1 + + 2  dt − 1 + 2  dx12 + dx 2 2 + dx 3 2 . 2  m c  c  c    0    2

Соответствующая функция Лагранжа

L = − mc

Обобщенный импульс

58

r ∂L  3U v 2  r p = r = 1 + 2 + 2 mv . ∂v  c 2c 

(3.49)

r r r r  1 p 2  p  v( r , p ) = 1 − 2  3U + . 2  m c 2 m   

(3.50)

Отсюда

Применим формулу (3.46). Тогда

3γm 0 r r r [r p ] . ω= 2mc 2 r 3

(3.51)

Рассмотрим теперь задачу Лензе-Тирринга. В этом случае интервал

 2  ξ 0  2U 2 4 γ  r r 1  2   ds = c − 2 U1 + + +  S0∇  dt − 2  2 r  7m 0 c 2    m 0c  c 2

(

)

8 r r  2U  r − 1 + 2 d r 2 + 2 Ud r dt . c  c 

(3.52)

Лагранжиан rr 2 2 2 4 ds mv mU 3 mUv mv 4 m ( U v) L = − mc = −mc 2 + + mU − + + − + dt 2 2c 2 2c 2 8c 2 c2

+

( )

mUξ 0 2 γm r r  r r 1  − S0 ∇  S0 ∇  . r m 0 c 2 7m 0 c 2 

(3.53)

Импульс r ∂L  1  v 2  r 4m r p = r = 1 + 2  3U +  mv − 2 U . ∂v  c  2  c

(3.54)

Разрешим это выражение относительно скорости. Тогда r r r r  1 p 2  p 2γ r r  v( r , p ) = 1 − 2  3U + S0 r . +  2  2 3 m c 2 m c r    

[ ]

(3.55)

59

Снова применяя гидродинамическую формулу (3.46), получим

[ ( )

]

(3.56)

[ ( )

]

(3.57)

r 2 3γm 0 r r r r rr γ [ ] ω= r p + 3 r r S − S , 0 0r 2mc 2 r 3 c2r 5 или r 2 3γm 0 r r r rr γ ω= M + 3 r r S − S . 0 0r 2mc 2 r 3 c2r5

Этот результат совпадает с другим результатом, найденным в [12] более сложным путем – путем интегрирования релятивистского уравнения вращательного движения, полученного методом Фока из уравнений поля. Таким образом, теорема доказана и мы убеждаемся, что гидродинамическая аналогия в некоторых случаях может оказаться весьма эффективным методом исследования задач механики ОТО. Как видно из (3.57), внутренняя структура не влияет на собственное вращение. Ещё одно замечание. Как видно также из (3.57), собственное вращение (спин) и в случае задачи Шварцшильда, и в случае задачи Лензе-Тирринга является чистым релятивистским эффектом. Наконец , если ввести векторr потенциал, создаваемый орбитальным моментом M , в виде

[ ]

r γ rv U M = 3 Mr , 2r

(3.58)

r и вспомнить, что вектор потенциал, создаваемый моментом S0 , равен

[ ]

r γ r r U = 3 S0 r , 2r

(3.59)

то (3.57) можно записать в виде

r r r 3m 0 2 ω=− rot U + rot U . M mc 2 c2

(3.60)

Отсюда ясно, что собственное вращение пробного тела индуцировано r r моментами M и S0 .

60

Глава 4 Проблема устойчивости движения в механике ОТО Одной из важнейших задач качественной небесной механики является проблема устойчивости движения. В классической механике мы сталкиваемся с разными формами устойчивости: асимптотическая, по Лагранжу, по Ляпунову, орбитальная, по Пуассону, по Хиллу, по Якоби и пр. В механике же ОТО этот вопрос, в смысле устойчивости по отношению к векторным элементам орбиты, обсуждается в нашей работе [29]. В смысле же Ляпунова рассматривается Пирагасом [30, 31] и особенно подробно устойчивость по Ляпунову изучался в монографии Рябушко [32]. В этой главе мы рассмотрим вопрос об орбитальной устойчивости и вопрос об особом типе устойчивости в механике ОТО – устойчивость по отношению к векторным элементам [33, 34]. В качестве примеров для иллюстрации снова обсуждаются задача Шварцшильда и задача Лензе-Тирринга.

4.1. Об орбитальной устойчивости и об устойчивости по отношению к векторным элементам орбиты в случае задачи Шварцшильда Исходим из метрики первого приближения (2.34)

 2   2U 2  2  2 U  r 2 2 ds = c − 2U1 + ε  + 2  dt − 1 + 2 d r , 2 0 3 m c c    0  c   2

где U =

(4.1)

γm 0 , ε 0 - взятая с обратным знаком энергия взаимного притяжения r

частиц. Тогда гамильтониан пробного тела с массой m, движущейся в метрике шара

H = mc 2 +

 P2 1  P4 3P 2 U 2ε 0 1 − mU − 2  3 + + mU − mU 2  , 2m 2m 3m 0 2 c  8m 

(4.2)

r ∂L где P = r - импульс пробного тела, L-функция Лагранжа. ∂V Уравнения движения пробного тела имеют вид r dM = 0, dt

[

]

r r r dA  2 m  ∇U ⋅ M =  4E + 6mU + ε0  , dt  3m 0  mc 2

(4.3)

61

r r где M, A - векторные элементы орбиты (момент импульса и вектор Лапласа), Енерелятивистская энергия,

r r  P r  γmm 0 r r rr M = rP , A =  M − r, m r  

[ ]

A = γmm 0 e = αe ,

(4.4)

e - эксцентриситет орбиты. Рассмотрим вначале только эволюционное движение пробного тела. Тогда из (4.3) асимптотическим методом нелинейной механики – методом усреднения, получим следующие уравнения эволюционного движения r dM = 0, dt

r rr dA = ΩA , dt

[ ]

(4.5)

где

r r ∂H 3mα 4 M Ω= r = 3 3 2. ∂M M M 0 c

(4.6)

Среднее значение гамильтониана

H = mc 2 −

mα 2 1  15mα 2 2m  α 2 3mα 4   − + − ε , 0 3m 0  M 02 M 30 Mc 2 2M 02 c 2  8M 02

(4.7)

где

M0 =

M A2 1− 2 α

,

(4.8)

инвариант системы. Из уравнений (4.5) следуют интегралы движения

M = const, A = const .

(4.9)

Отсюда вытекает орбитальная устойчивость движения пробного тела в задаче Шварцшильда. Действительно, под орбитальной устойчивостью движения пробного тела подразумевается свойство оскулирующего эллипса сохранять в любой момент времени свою форму и размеры близкими к форме и размерам невозмущенного кеплерова эллипса, определенного для начального момента времени. Форму и размеры эллипса характеризуют величины эксцентриситета

62

e и длина фокальной оси 2a . Если в формулах, определяющих e и a , отсутствуют вековые члены, то, согласно определению, эллиптическое движение обладает орбитальной устойчивостью [35]. Из соотношений (4.9) как раз и следует, что a =const,

e = const,

(4.10)

таким образом, движение пробного тела в поле жидкого шара является орбитально устойчивым. Изучим теперь общее движение. Для этого проинтегрируем точные уравнения движения (4.3) другим асимптотическим методом нелинейной механики – методом возмущений. Тогда получим [11]

M = const, A = A 0 −

4 γm 0  2mε 0 3α  2 ϕ 3γαm 0 e 2   sin 2 E + + − sin ϕ , 3m 0 P  2 c 2  Pc 2

(4.11)

где P – параметр орбиты. Отсюда видно, что общее движение складывается из эволюционного и периодического движений. Как видно из (4.11) и в случае общего движения имеет место орбитальная устойчивость, ибо ни эксцентриситет e , ни фокальная ось 2a не имеют вековых членов. Далее рассмотрим вопрос об устойчивости по отношению к векторным элементам орбиты в задаче Шварцшильда. r Для этого вспомним, что в кеплеровой задаче векторные элементы M и r A сохраняются, т.е. удовлетворяют условию

r r M = const, A = const .

(4.12)

Это можно считать как своеобразное условие устойчивости всех классических (эллиптических, параболических и гиперболических) орбит по отношению к векторным элементам в случае задачи Кеплера. Как видно из (4.5), в случае задачи Шварцшильда это условие (4.12) не выполняется, т.е. орбиты пробного тела движущегося в поле центрального тела становятся, в общем случае, как бы неустойчивыми – неустойчивость в отношении векторных элементов. Однако, существует некоторый узкий класс орбит, для которого выполняется условие (4.12), т.е. устойчивые в отношении векторных элементов орбиты. Для их определения потребуем, чтобы уравнения движения (4.5) удовлетворяли условию (4.12). Тогда мы получим решение

r r M = const, A = 0 .

(4.13)

63

Это означает, что в случае задачи Шварцшильда в механике ОТО существует класс устойчивых по отношению к векторным элементам орбит – это класс круговых орбит.

4.2. Об орбитальной устойчивости и об устойчивости по отношению к векторным элементам орбиты в случае задачи Лензе-Тирринга Итак, исходим из уточненной метрики первого приближения Фока для вращающегося жидкого шара (1.73)  2  ξ 0  2U 2 4 γ r r  r r 1  2   ds = c − 2U1 + + + S0 ∇  S0 ∇  dt − 2  2 r  7m 0 c 2    m0c  c

( )

2

(

)

8 r r  2U  r − 1 + 2 d r 2 + 2 Ud r dt , c  c 

(4.14)

Эта метрика свободна от некоторых недостатков аналогичных метрик, используемых при рассмотрении задачи Лензе-Тирринга в других работах [20]. В отличие от других подобных метрик первого приближения, метрика (4.14) правильно описывает задачу Шварцшильда, а также учитывает r нелинейный по S0 член, который существенен при изучении задачи ЛензеТирринга. Напомним, что

( )

rr r r  r r 1 S02 3 r S0 S0∇  S0 ∇  = − 3 + r r r5 

( )

2

(4.15)

Гамильтониан задачи Лензе – Тирринга запишется как H = mc 2 +

−

 P2 1  P4 3P 2 U ξ0 1 − mU − 2  3 + + mU − mU 2  − 2m 2m m0 2 c  8m 

[ ]

2γ   r r 1 r  2 γm  r r  r r 1   S ∇ P −    S0 ∇ S0 ∇  , 0 r   7 m 0 c 2  r с 2   

r ∂L где P = r - импульс пробного тела, L - функция Лагранжа. ∂V Уравнения движения имеют вид

(4.16)

64

[

]

( )[ ]

r& 2γ r r 12γm r r r r M = 2 3 S0 M − S0 r r S0 , c r 7m 0 c 2 r 5

[

]

(4.17)

(

)[ ]

r r r r r&   ∇U ⋅ M m 2γ r r 6γ S0 M r r A =  4E + 6mU + ξ 0  + 2 3 S0 A + rM − 2 2 5 m mc c r mc r 0   −

6γ 7m 0 c 2 r 5

[ ]

[ ]

( ) [rrMr ]− 2(S rr )[S Mr ]+ 2(S rr )[Pr [rrS ]],

5 r r  2 rr S r M − S0 r  0 r2 

2

r

r

0

r

0

r

0

0



(4.18)

r r где M и A - векторные элементы орбиты. r r Отсюда видно, что вектора M и A медленно изменяются со временем и участвуют в двух движениях: эволюционном и периодическом. Действительно, применим к (4.17) и (4.18) асимптотический метод нелинейной механики – метод усреднения (по ньютоновскому периоду T ). Тогда, дифференциальные уравнения первого приближения асимптотического метода (уравнения эволюционного движения) приобретают вид r r r r rr dM dA = ΩM , = ΩA , dt dt

[ ]

[ ]

(4.19)

где rr rr r ∂H 3mα 4 r m 2α 4  r 3m(MS0 ) r 6m(MS0 ) 2 r  Ω= r = 3 3 2M+ S0 + M − 2S0 − ∂M M M 0c 7m0M 2 7m0M 4 m 0 M 3M 30c 2   r r r 2 3m 2 α 4 M  r r m 2 3m − 2 ( M S ) + S − ( S  0 0 0 M)  , 7m 0 m 0 M 5 M 30 c 2  7m 0 M 2 

где M 0 =

M 2

(4.20)

- инвариант системы.

A α2 Гамильтониан 1−

 α 2 3mα 4 mα 2 1  15mα 2 m H = mc − +  − ξ0  − + m 0  M 02 M 30 M 2M 02 c 2  8M 02 2

m 2α 4 + m 0 M 30 M 3

 r r mS 02 3m r r r r   2 S M + − S0 M S0 M   .  0 2 7 m 7 m M 0 0   

(

)

(

)(

)

(4.21)

65

Теперь рассмотрим вопрос об устойчивости относительно элементов M и A , другими словами, интересуемся вопросом об устойчивости по отношению к r r абсолютным значениям векторных элементов M и A . Как легко видеть, из эволюционных уравнений движения (4.19) вытекают интегралы движения M = const, A = const .

(4.22)

Отсюда ясно, что эволюционное движение пробного телаr устойчиво r относительно элементов M и A (абсолютных значений векторов M и A ). С другой стороны, из (4.22) следует орбитальная устойчивость движения пробного тела в поле вращающегося центрального тела. Действительно, под орбитальной устойчивостью движения пробного тела подразумевается свойство оскулирующего эллипса сохранять в любой момент времени свою форму и размеры близкими к форме и размерам невозмущенного кеплерова эллипса, определенного для начального момента времени. Форму и размеры эллипса характеризуют величина эксцентриситета e и длина фокальной оси 2a . Если в формулах, определяющих e и a , отсутствуют вековые члены, то, согласно определению, эллиптическое движение обладает орбитальной устойчивостью. Из равенств (4.22), как раз и получаются следствия

a = const, e = const,

(4.23)

т.е. орбитальная устойчивость движения пробного тела в поле вращающегося массивного жидкого шара. r r Что же касается направлений векторов M и A , то они изменяются со r r временем. Вектора M и A участвуют во вращательном движении с угловой r скоростью Ω . Так что движение пробного тела в поле вращающегося тела устойчиво, вообще говоря, по отношению к углу наклонения i и неустойчиво по отношению к долготе восходящего узла δ и угловому расстоянию перигелия от входящего узла σ . Однако r , существуют орбиты, для которых сохраняется векторный элемент M , т.е. они устойчивы по отношению к этому векторному элементу (т.е. в отношении ориентации орбиты в пространстве). Для их определения достаточно ввести в виде (4.19) условие

[Ωr Mr ] = 0 .

(4.24)

Тогда имеем r r dM = 0, M = const . dt

(4.25)

66

r Каковы сами орбиты? Для ответа на этот вопрос подставим выражение для Ω (4.20) в условие устойчивости (4.24), тогда получим соотношение rr r r 3m(MS0 ) r  S 0  = 0 . M 2S0 − 7m 0 M 2   

(4.26)

Это соотношение выполняется: r 1. Когда M = 0 , т.е. когда орбита вырождается в прямые линии, проходящие через центр. r 2. Когда S 0 = 0 , т.е. задача вырождается в задачу Шварцшильда, т.е. в задачу о движении пробного тела в центрально-симметричном поле. Для этой задачи r r M = const, A ≠ const .

(4.27)

Эта задача допускает устойчивость движения пробного тела по отношению к r векторному элементу M , но вообще говоря не допускает устойчивость по r отношению к векторному элементу A . Напомним, что кеплерова задача допускает устойчивость движения материальной частицы по отношению к обоим векторным элементам: r r M = const, A = const .

(4.28)

r Таким образом, мы пришли к выводу, что для задачи Кеплера M = const, r r r A = const , для задачи Шварцшильда M = const, A ≠ const , а для исследуемой r r нами задачи Лензе-Тирринга, вообще говоря, M ≠ const, A ≠ const . Теперь выясним, как эти обстоятельства отражаются в гамильтониане. Для задачи Кеплера гамильтониан mα 2 H = mc − . 2M 02 2

(4.29)

Обратим внимание, что этот гамильтониан не зависит ни от векторного r r элемента M , ни от векторного элемента A , а зависит от инварианта системы M 0 (или другими словами от энергии E). Поскольку большая полуось [14] M 02 a= , mα

(4.30)

67

то (4.29) приобретает вид α2 H = mc − = mc 2 + E . 2a 2

(4.31)

Гамильтониан задачи Шварцшильда H = mc 2 −

mα 2 15mα 4 3mα 4 + − . 2M 02 8M 02 c 2 M 30 Mc 2

(4.32)

r Этот гамильтониан зависит от абсолютного значения векторного элемента M . r Если M рассматривается как обобщенный импульс, то соответствующий ему угловой элемент g удовлетворяет уравнению r dg ∂ H r 3mα 4 r = r =Ω= 3 3 2 M. dt ∂M M0M c

(4.33)

Отсюда, если переходить к кеплеровым элементам, имеем r Ω=

6πγm 0 Ta (1 − e 2 )c

r e , 2 M

(4.34)

r r где Т – период, eM - единичный вектор в направлении векторного элемента M . За период Т перигелий поворачивается на угол ∆g = Ω ⋅ T =

6πγm 0 . a (1 − e 2 )c 2

(4.35)

Итак, в классической механике, в задаче Кеплера, все орбиты устойчивы (относительно векторных элементов) и условиями устойчивости являются (4.28). Спрашивается, существуют ли такие же устойчивые, т.е. удовлетворяющие условиям (4.28) орбиты в задаче Лензе-Тирринга. Для определения таких орбит в (4.19) потребуем, чтобы было r r dM dA = 0, = 0, dt dt

(4.36)

или что то же самое r [Ωr Mr ] = 0 , [Ωr A] = 0 .

(4.37)

68

Это и есть условия устойчивости релятивистских орбит относительно векторных элементов. Они могут быть выполнены, если r r Ω ↑↑ M, A = 0 ,

(4.38)

r r Ω ↑↓ M,

(4.39)

или A = 0.

Таким образом, устойчивыми орбитами по отношению к векторным r r элементам M и A в задаче Лензе-Тирринга являются класс круговых орбит, лежащих в экваториальной плоскости центрального вращающегося тела. В заключение заметим, что условие устойчивости (4.12) учитывает векторные элементы только поступательного движения. Мы можем ожесточить это условие. Действительно, для кеплеровой задачи, строго говоря, имеется следующее условие r r r M = const, A = const , ω = 0 ,

(4.40)

r где ω – собственная угловая скорость. Тогда в случае задачи Шварцшильда этому условию устойчивости могут удовлетворять только орбиты, выродившиеся в прямые линии, лежащие в радиальном направлении. Условие (4.40) приобретает вид

r r r M = 0, A = const, ω = 0 .

(4.41)

69

Глава 5 Задача двух тел с собственным вращением (задача двух вращающихся тел) Мы вплотную подошли к задаче двух тел с собственным вращением. Она, в свое время, была подробно изучена в нашей работе [11]. Здесь мы рассмотрим эту задачу теперь с точки зрения проблемы устойчивости движения.

5.1. Функция Лагранжа Функцию Лагранжа пробного тела с собственным вращением в поле центрального тела тоже с собственным вращением запишем в виде [11] 1 1 1 3  1 r r 2 1 L = − mc 2 + mv 2 + T + 2  mv 4 +  ε + T  v 2 − J (ωv )  + 2 2  4 c 8 3 

γmm 0 + r

 3v 2 1 1 + 2 + 2 c  2c

+

 ξ0 γ ξ  γm   +  − 20  + 2  m 0 m  2c r  2c

([ ][ ])

(

)

r r r 1 r     3m 0 S + 4mS0 ∇  v  + r  

([ ][ ])

γ rr r r 1 2 γm r r r r 1 ∇ ∇ + , S S S0 ∇ S0 ∇ 0 r 7m 0 c 2 r c2

(5.1)

где J – момент инерции относительно оси вращения пробного тела.

5.2. Уравнения движения Запишем уравнения движения рассматриваемой задачи в представлении r r векторных элементов M и A , что удобно для применения асимптотических методов нелинейной механики, поскольку, в этом случае, в уравнениях движения налицо разделение переменных на быстрые и медленные. Последнее обстоятельство как раз и является характерной особенностью тех задач, для анализа которых применяются асимптотические методы исследования [27]. Итак, следуя методике, использованной в главе 2, составим

[ ] [ ]

r rr rr M = r&p + r p& ,

(5.2)

r&  pr& r   pr r&  r rr A =  M  +  M  − m ∇U r r& . m  m 

[ [ ]]

(5.3)

70

импульс r  r ∂L r mv  v 2  2ε 3T  p = r = mv + 2  +  +  + 3U  − ∂v c  2  3m m  

−

( )

(

)

r r r 1 1 rr r γ  S v ω + 3 m S + 4 m S 0 0 ∇ . r 2c 2 2c 2 

(5.4)

Гамильтониан

( )

p 2 S2 1  p4  1 3  p2 1 rr r r H = mc + + − mU − 2  3 +  ε + T  2 − Sp (ωp ) + 2m 2 J 2 m c  8m 4m 2 3 2

 ξ 3p 2 ξ 1 γ + U +  0 + mU − mU 2  − 2 2m 2  m0 m   2mc

−

([ ][ ])

(

)

r r r 1 r     3m 0 S + 4mS 0 ∇  p  − r  

[ ][ ]

γ rr r r 1 2 γm  r r r r 1  ∇ ∇ − S S  S0 ∇ S0 ∇  . 0 r 7m 0 c 2  r c2

(5.5)

Производные r r r& ∂H p  p2  2ε 3T  p r = r = − 3U + + + +  ∂p m  2m 2  3m m  mc 2 r r ( Sp )ω + − r

2m 2c 2

r r ∂H 1 p& = − r = m∇U + 2 ∂r c

−

[(

(

)

r r r 1 1  3 m S + 4 m S 0 0 ∇  , r 2mc 2 

(5.6)

 3p 2  ξ0 ξ  r   m∇U − − U + +  2 m m 2 m  0  

)]

([ (

)] )

r r r r rr r r γ 3γ p 3 m S + 4 m S + p 3 m S + 4 m S 0 0 0 0 r r − 2mc 2 r 3 2mc 2 r 5

−

[( ) ( ) ( ) ]

( )( )

3γ r r ∗ r r r r ∗ r ∗ r r 15γ r ∗ r r r r S S r + S r S + S r S + S r S0 r r , 0 0 0 c2r 5 c2 r 7

где введено обозначение

(5.7)

71

r r 2 m r S∗ = S + S0 . 7 m0

(5.8)

Подставляя (5.6) и (5.7) в (5.2)и (5.3), получим интересующие нас уравнения движения:

[

( )

]

[ ]

r& 3γm 0 r r 1 rr r r 2γ r r M = 2 Sv [ωv] + 3 2 S0 M + SM − 2с r c 2mr 3 c 2

−

( )[ ]

( )[ ]

3γ r ∗ r r r 3γ r r r r ∗ S r r S − S0 r r S , 0 r 5c 2 r 5c 2

(5.9)

[

]

r r r&   ∇ UM  m  2  A = 4E + 6mU +  ξ 0 + ξ  +  ε + 3T  + 2 m 3 mc    0   

+

( )[

( )

]

1 rr r r r 1 rr r r r [ [ ] ] S v v ω v + Sv ∇U[ω r ] + 2c 2 2c 2

[ ]

[ ]

(

)[ ]

( )[ ]

+

3γm 0 r r 9 γm 0 r r r r 2γ r r 6γ r r r r + S A + + SM r M − S A S M r M 0 0 r 3c 2 2mr 3 c 2 mr 5 c 2 2m 2 r 5 c 2

−

r∗r r r r r r∗ r 3γ  r ∗ r r r 5 r∗r r r r r S S r M − S r S r r M + S r S M + S  0 0 0 0r S M + mr 5 c 2  r2

(

)[ ]

( ) ( )[ ] ( )[

( )[ [ ] ] + (S rr )[pr [rrS ] ] }.

r r r rr + S∗ r p r S 0

r

r∗

0

] ( )[

]

(5.10)

5.3. Усреднение уравнений движения Точное интегрирование (5.9) и (5.10) очень громоздко. Поэтому к ним применим хорошо разработанные методы приближенного решения дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Особенно эффективными являются асимптотические методы нелинейной механики, которые уже использовались нами. Дифференциальные уравнения первого приближения асимптотического метода получаются осреднением правых частей уравнений (5.9) и (5.10) для медленных переменных по быстрым переменным, к тому же при осреднении подставляются кеплеровы (невозмущенные) значения переменных. Переходим к составлению уравнений первого приближения. При этом полезными являются формулы кеплерова движения [15]:

72

(

r

r

r

)

(

)

r = P(1 + e cos ϕ)−1 , r = r cos ϕ i + sin ϕ j , M 2 = γm 0 m 2 P = γm 0 m 2 a 1 − e 2 ,

{

}

r r r M M = mr 2 ϕ& , v = − sin ϕ i + (e + cos ϕ) j , MT = 2πmab , mP

(5.11)

rr r где r, φ - полярные орбитальные координаты; i , j, k - орты орбитальной r декартовой системы координат, причем i направлен в сторону перигелия. Теперь нетрудно видеть, что правые части уравнений движения (5.9) и (5.10), по существу, зависят только от одной переменной φ, которая в свою очередь является функцией времени. Поскольку мы, следуя методике, примененной раньше, собираемся усреднить правые части (5.9) и (5.10) по времени, то полезно заметить, что для любого члена правых частей (5.9) и (5.10) справедливо равенство T

∫

1 1 f (t )dt = T T

2π

0

∫ 0

dt m f dϕ = dϕ TM

2π

∫ 0

2π

∫ fr dϕ .

1 fr 2 dϕ = 2πab

2

(5.12)

0

Таким образом, усреднение по t сводится к усреднению по φ с весовой r2 функцией . В процессе усреднения приходится также пользоваться ab формулой (2.90) 2π

J n +1 =

dϕ

∫ (1 − e cos ϕ)

n +1

=

0

2π n +1 2 2 1− e

(

)

 1 Pn  2  1− e

 .  

(5.13)

В качестве примера рассмотрим среднее от некоторых членов правых частей (5.9) и (5.10).

1.

( )

1 rr r r 1 [ ] S v ω v = 2с 2 2с 2 T

T

∫( )

rr r r Sv [ωv]dt =

0

T

1 2с 2 T

r rr r [ ω(Sv )v ]dt = ? ∫ 0

Таким образом, мы должны найти среднее

( )

rr r Sv v =

M2 2πabm 2

2π

∫ [S sin 1

0

2

(

)

r r r ϕ i − sin ϕ(cos ϕ + e ) S 2 i + S1 j +

(5.14)

73

r 2 + S 2 (cos ϕ + e ) j

ϕ ](1 + edcos ϕ)

2

=?

(5.15)

r где S1 и S2 - проекции собственного момента пробного тела S на направления r r i, j . Далее, мы должны вычислить интегралы 2π

2π

sin 2 ϕdϕ

sin ϕ(cos ϕ + e )dϕ

∫ (1 + e cos ϕ) , ∫

(1 + e cos ϕ)2

2

0

0

2π

(cos ϕ + e )2 dϕ . (1 + e cos ϕ)2 0

∫

,

(5.16)

Рассмотрим первый из них. С помощью формулы sin 2 ϕ = 1 −

1 2 1 1 e cos + ( + ϕ ) − (1 + e cos ϕ)2 2 2 2 e e e

(5.17)

приводим его к сумме интегралов вида (5.13) 2π

sin 2 ϕdϕ

∫ (1 + e cos ϕ)

2

0

1  = 1 − 2   e 

2π

dϕ

∫ (1 + e cos ϕ)

2

0

2 + 2 e

2π

∫ 0

dϕ 2π − 2 =? (1 + e cos ϕ) e

(5.18)

Согласно (5.13) 2π

∫ 0

dϕ 2π , = (1 + e cos ϕ) 1 − e 2

2π

dϕ

∫ (1 + e cos ϕ)

2

=

0

(5.19)

2π

(1 − e ) 1 − e 2

2

.

(5.20)

Подставляя эти результаты в (5.18), имеем 2π

sin 2 ϕdϕ

∫ (1 + e cos ϕ)

2

0

=

 2π  1  . − 1 2   2 e  1− e 

(5.21)

Теперь вычислим второй интеграл в (5.16) 2π

∫ 0

sin ϕ(cos ϕ + e )dϕ

(1 + e cos ϕ)2

=0

(5.22)

74

в силу нечетности подинтегральной функции. Рассмотрим третий из интегралов (5.16) 2π

(cos ϕ + e )2 dϕ = ? (1 + e cos ϕ)2 0

∫

(5.23)

Подставляя сюда

(cos ϕ + e)2

=

[

(

)

)]

(

2 1 2 2 2 ( 1 + e cos ϕ ) + 2 e − 1 ( 1 + e cos ϕ ) + e − 1 e2

(5.24)

и имея в виду (5.19) и (5.20), получим 2π

2π

2π

 2 (cos ϕ + e )2 dϕ = 1 2π + 2(e 2 − 1) dϕ dϕ 2 = + (e − 1) 2 2 1 + e cos ϕ e2  ( ( 1 + e cos ϕ) 1 + e cos ϕ)    0 0 0

∫

∫

=

∫

)

(

2π 2π 1 − 1 − e2 = . 2 e 1 + 1 − e2

(5.25)

Подставляя (5.21) и (5.25) в (5.15), находим

( )

rr r Sv v =

r  S1 r   i + S 2 j . 2 2  2 1 + 1 − e abm  1 − e 

M2

(

)

(5.26)

Следовательно, искомое среднее (5.14) будет равно

( )

1 rr r r M2 [ ] S v ω v = 2с 2 2с 2 1 + 1 − e 2 abm 2

)

(

−

2.

r   r  S1 r   ω i + S   2 j  . 2    1 − e

( )[ ]

3γ r ∗ r r r S r r S0 = ? c2r5

(5.27)

(5.28)

Чтобы найти это среднее, достаточно вычислить

( )

r r r r r ∗ r rr 1 2 π S∗ e r e r 1 r∗ ∗ S r 5= d ϕ = S − S k 3 , ∫ r 2πab 0 2πabP r

( )

(

)

(5.29)

75

r r где S∗3 - проекция вектора S∗ на направление k . Подставляя (5.29) в (5.28), получим

−

([

( )[ ]

] ( )[ ] )

r∗r r∗r r r 3γ r ∗ r r r 3γ S r r S = S S − S k kS0 . 0 0 c2r5 2abPc 2

( )

1 rr r r r Sv [v[ωv] ] = ? 2c 2

3.

(5.30)

(5.31)

Для вычисления этого среднего воспользуемся равенством

(Svr )[vr [ωr vr ] ] = (Svr )v ωr − (Svr )(vrωr )vr . r

r

2

r

(5.32)

Мы должны найти средние

( )

rr r r r r v 2 v = ? , Sv (vω)v = ? .

(5.33)

Вычисляем первое из них r v2v =

r 1 2π 2 r 2 j M3 ∫ v vr dϕ = 2πab ePm3 × 2πab 0

2π 2π 2π   2 dϕ d ϕ  2  2 ×  e −1 + 3 e − 1 + 2 d ϕ = 2 1 + e cos ϕ ( ) 1 + e cos ϕ   0 0 0

(

=

)∫

r 2M 3 j

abePm 3

(

(1 −

1− e

2

)∫

)= abPm (1 +

∫

r 2M 3 e j

3

1 − e2

).

(5.34)

При этом оказывается полезной замена v2 =

2 (E + mU ) . m

(5.35)

Переходим к вычислению

( )

r r r r r Jp 2 Sv (ωv )v = 2πab

2π

(ωr vr )2 vr

∫ (1 + e cos ϕ) dϕ = ? , 2

0

(5.36)

76

где, как отмечалось выше, J – момент инерции пробного тела относительно оси вращения.

[

r r r rr 2r M3 (ωv ) v = 3 3 − ω12 sin 3 ϕ i + 2ω1ω2 sin 2 ϕ(cos ϕ + e )i − ω2 2 sin ϕ(cos ϕ + e)2 i + P m

]

r r r 2 2 2 3 + ω1 sin 2 ϕ(cos ϕ + e ) j − 2ω1ω 2 sin ϕ(cos ϕ + e ) j + ω 2 (cos ϕ + e ) j , r r r где ω1 , ω 2 - проекции ω на направления i и j . Подставляя только четную часть этой функции в (5.36), имеем r 2π sin 2 ϕ(cos ϕ + e )dϕ r 2π sin 2 ϕ(cos ϕ + e )dϕ  2 ω ω + ω + 2 i  1 2 ∫ 1 j∫ 2 2 2πabPm 3  (1 + e cos ϕ) (1 + e cos ϕ) 0 0

(Svr )(ωr vr )vr =

JM 3

r

r + ω2 j 2

2π

(cos ϕ + e )3 dϕ  = ? 2 ( 1 + e cos ϕ)   0

∫

(5.37)

Далее, 2π

∫

sin 2 ϕ(cos ϕ + e )dϕ

(1 + e cos ϕ)

0

2

=

(

[

2π

(cos ϕ + e )3 dϕ = 2π 2(1 − e 2 ) 2 e3 1 + e cos ϕ) ( 0

∫

)

(5.38)

]

(5.39)

2π 2 − e2 − 2 1 − e2 , 3 e

1 − e 2 + 3e 2 − 2 .

В силу этих выражений (5.37) запишется как

( )

rr r r r Sv (ωv )v =

[(2 − e abPm e JM 3

)(

)

3 3

r r − 2 1 − e 2 2ω1ω2 i + ω12 j −

(

(

2

) ]

)

r 2 − 2 − 3e 2 − 2 1 − e 2 1 − e 2 ω 2 j .

(5.40)

Преобразуем выражение (5.40) с помощью простых равенств

(

)(

)

(

)

2

e2 = 1 + 1− e2 1 − 1 − e2 , 2 − e2 − 2 1 − e2 = 1 − 1 − e2 ,

(

)

(

2 − 3e 2 − 2 1 − e 2 1 − e 2 = − 1 − 1 − e 2

) (1 + 2 1 − e ). 2

2

(5.41)

77

Тогда

( )

rr r r r Sv (ωv )v =

JM 2 e

(

abPm 1 + 1 − e 3

2

)

2

[2ω ω ri + (ω 1 2

2

1

)]

r + 2 1 − e 2 ω2 2 + ω2 2 j .

(5.42)

Теперь, зная (5.34) и (5.42), запишем искомое среднее (5.31) в виде

( )

r 1 rr r r r eM 3 [ [ ] ] S v v ω v = { 2 S ω − 2 2 3 2 2c 2 2c abPm 1 + 1 − e −

)

(

1

[2ω S ri + (ω S + (1 + 2 1 − e )ω S )rj] . 2

1 + 1 − e2

1 2

1 1

2 2

(5.43)



(Svr )[∇U[ωr rr ]] = − 12 (Svr )[vr[ωr vr ]] . r

4.

r

r

(5.44)

( ) ( )[ ]

15γ r ∗ r r r r r S r S0 r r M = ? с 2 mr 7

5.

(5.45)

Чтобы вычислить (5.45), достаточно найти r r ∗ r r r rr 1 2π 1 r ∗ r r r r e ∗ ∗ S r S0 r 7 = S e S e e d ϕ = 3 S S + S S r 0 r r 1 01 2 02 i + ∫ 2πab 0 r 2 4abP r r + S∗2S 01 + S1∗S02 j , (5.46)

( )( )

[(

( )( )

)

)]

(

r r r где S01 , S 02 - проекции вектора S0 на направления i и j .

( )[ [ ] ]

3γ r r r r r − 2 5 S∗ r p r S 0 с mr

6.

=−

3γMe 8abP 2 mc 2

[(7S

3γ = 2πabmc 2

) (

2π

r rr dϕ ( S e ) [p[e S ] ] = ∫ r r∗

r

r

r 0

0

)

]

r r r ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ S − 5 S S i − S S − S S j − 4 S S k 02 1 01 2 01 1 02 2 03 2 .

(5.47)

Приведенных примеров и формул (5.28), (5.39) и (5.42) вполне достаточно для того, чтобы полностью осуществить усреднение правых частей (5.9) и (5.10) по явно содержащемуся времени t [36]. Тогда, усредненные уравнения движения (5.9) и (5.10) будут иметь вид

78

r& M =

+ r& A=

+

[

γ

r r [ ω(S i + 2a m c (1 + 1 − e )

)]

r 1 − e 2 S2 j +

M2

2

2 2

1

2

[ ] (

]

)[

] (

ω2S2 − ω1S1

[ ]

)[

3m 0 r r 3 r∗r r r 3 r r r ∗r  r r 2 S M + S M − S e S e − S0 e M S e M  0 M 0 M 2m 2 2 abPc 2  r ω1S2 MA

(

2a 2 m 2 c 2 1 + 1 − e 2 3γm 0 abPmc

rr [ M A] + 2

)

2

+

(

4abm 2 c 2 1 + 1 − e 2

rr MA −

)

2

(Mr S) ω

(5.48)

r

(

2

2abm 2 c 2 1 + 1 − e 2

(

γ

] ,

[rj Ar ] +

)

)

r∗ 3m 0 r  r 3 ∗r 3 ∗ r r 2 S + S − S S + S S + S3S03 e M A  −  0 3 0 03  2m 2M M abPc 2   

[ ] (

rr 3m 0 r r 1 r ∗ r 3 γ MA  r r 3 ∗  − 2 M S + M S + S S − S3S03  ,  0 0 2m 2 2 abPM 2 c 2  

( ) (

)

)

(5.49)

r r r где e M - единичный вектор в направлении M , совпадающий с k . Эти уравнения можно привести к виду

(

)

r r r MS1ω2 1 − 1 − e 2 r dM =− M + ΩM M , dt 2aPm 2 c 2 1 + 1 − e 2

(

r MS2 ω1 dA = dt 2a 2 m 2 c 2 1 + 1 − e 2

(

)

[

]

(5.50)

[

]

(5.51)

r r r A + Ω AA , 2

)

в которых r ΩM = −

+ r ΩA =

+

γ

(Mr S) r

r  ω1 r   i + ω 2 j + 2 2 2  2 2abm c 1 + 1 − e  1 − e 

(

)

( )

γ

(

)

3m 0 r 3 r∗ r r 3 r r r∗   r 2 S + S − S M S − S0 M S  ,  0 0 2m abPc 2  2M 2 2M 2 

(ω2S2 − ω1S1 )

(

4abm c 1 + 1 − e 2 2

2

r M − 2

)

(( )

( )

rrr ω 2 MS j

(

2abm c 1 + 1 − e 2 2

(

) )

2

)

+

(5.52)

r 3γm 0 M abPmc 2

( )(

)

+

r r r∗ 3m 0 r 3 r∗ r r 3 r∗ r r r r   r 2 S + S − S M S + S M S + S M S0 M M  −  0 0 0 2m abPc 2  2M 2 M4 

79

−

r 3γM

(

( ) (

)

)

( )(

)

3m 0 r r 1 r∗r 3 r∗ r r r   r r 2 S M + S M + S S − S M S0 M  .  0 0 2m 2 abPM 2 c 2  2M 2 

(5.53)

Полученные уравнения движения можно r подвергнуть дальнейшему r преобразованию. Вместо двух угловых скоростей Ω M и Ω A введем общую для обоих уравнений (5.50) и (5.51) угловую скорость r r Ω = ΩA −

(Mr S)ω1 i

r

r

(

2aPm 2 c 2 1 + 1 − e 2

(Mr S)

)

(ω2S2 − ω1S1 )

=

(

4abm 2 c 2 1 + 1 − e 2

r M − 2

)

r

r r  3γm 0 M  ω1 r  − + i + ω2 j  + 2 2 2 2  2 a bPmc 2abm c 1 + 1 − e  1 − e 

)

(

+

(( )

γ

) )

(

( )(

)

r r r∗ 3m 0 r 3 r∗ r r 3 r∗ r r r r   r 2 S + S − S M S + S M S + S M S0 M M  −  0 0 0 2m abPc 2  2M 2 M4  −

r 3γM

(

( ) (

)

)

( )(

)

3m 0 r r 1 r∗r 3 r∗ r r r   r r 2 S M + S M + S S − S M S0 M  .  0 0 2m 2 abPM 2 c 2  2M 2 

(5.54)

Тогда уравнения движения (5.50) и (5.51) запишутся как

(

)

r r r MS1ω2 1 − 1 − e 2 r dM =− M + ΩM , dt 2aPm 2 c 2 1 + 1 − e 2

(5.55)

r MS2 ω1 dA = dt 2a 2 m 2 c 2 1 + 1 − e 2

(5.56)

(

(

)

[ ]

[ ]

r rr A + Ω A. 2

)

5.4. Преобразование уравнений первого приближения (5.55) и (5.56) Начнем с замечания, что из (5.55) и (5.56) немедленно следует интеграл движения

(

M 1 − e2

)

−1 2

= const .

Действительно, из (5.55) и (5.56) видно, что

(5.57)

80

M 2S1ω2 1 − 1 − e 2 dM =− , dt 2aPm 2 c 2 1 + 1 − e 2

) )

(5.58)

ω1S2 MA dA = dt 2a 2 m 2 c 2 1 + 1 − e 2

.

(5.59)

( (

(

)

2

Тогда dM e2M =− . dA 1 − e2 A

(5.60)

α = γmm 0 , A = αe ,

(5.61)

dM ede =− . M 1 − e2

(5.62)

(

)

Поскольку

то (5.60) запишется как

(

)

Отсюда уже получается интеграл движения (5.57). Таким образом, постоянная в правой части (5.57) есть адиабатический инвариант рассматриваемой нами задачи. Обозначим ее

(

M0 = M 1− e2

)

−1 2

.

(5.63)

Так как

(

)

(

)

M = m γm 0 a 1 − e 2 = mαa 1 − e 2 ,

(5.64)

то получается M 0 = m γm 0 a = mαa .

(5.65)

В конечном счете адиабатический инвариант M 0 связан с «нерелятивистской» энергией E=−

γmm 0 mα 2 =− . 2 2a 2M 0

(5.66)

81

Из (5.65) следует, что большая полуось орбиты не эволюционирует, сохраняя в среднем постоянное значение. Можно также записать 12

12

2    M 2  1 − M  . , e = 1 − A = α  M 2  M 2  0  0  

(5.67)

Благодаря найденному инварианту можно уменьшить на единицу число независимых переменных в уравнениях первого приближения. В качестве такой r переменной мы берем A . Тогда (5.55) и (5.56) будут содержать только r r переменные M и e A , а также адиабатический инвариант M 0 . Следовательно r r r S1ω 2 α 2 (M 0 − M ) r dM =− 2 2 e M + ΩM , dt 2c M 0 (M 0 + M )

[ ]

(

)

(5.68)

r 12 2 rr r dA S 2 ω1α 3 M M 0 − M 2 = e + Ω A, A 3 2 dt 2c 2 M 0 (M 0 + M )

[ ]

(5.69)

где r Ω=

r  3mα 4 M (ω 2S2 − ω1S1 ) r α 2 (MS)  M 0 ω1 r − i + ω M  2 j + 2 2 2 3 2 M 4MM 0 (M + M 0 ) c 2MM 0 (M + M 0 )c   M 3M 0 c 2 rr

r

+

r r r r ∗ 3M r ∗ r r r   r 3m 0 r 3 r∗ r r + S− S M S0 + S0 M S + 4 S M S0 M  − 2S0 + 3 2m 2M 2 M m 0 M 3M 0 c 2  

((

m 2α 4

−

r 3m 2 α 4 M

(

)

)

(

) )

( ) (

)

(

(

)(

)(

)

3m 0 r r 1 r∗r 3 r∗ r r r   r r 2 S M + S M + S S − S M S0 M  .  0 0 3 2m 2 2M 2 m0M5M0 c2  

r Преобразуем Ω . В силу очевидного тождества r r r r ∗ 3M r ∗ r r r  3m 0 r 1  r 3 r∗ r r S− S M S0 + S0 M S + 4 S M S 0 M  − 2S 0 + 2m M3  2M 2 M 

((

)

) )

(

(

)(

)

r 3m 0 r r 3M  r r 1 r r 3 r∗ r r r  − 5 2 S 0 M + SM + S ∗S 0 − S M S0 M  = 2m 2 M  2M 2 

(

)

( ) (

)

(

)(

)

)

(5.70)

82

=

(

( ) (

)

)

(

)(

)

3m 0 r r ∂ 1  r r 1 r∗r 3 r∗ r r r  r + + − 2 S M S M S S S M S0 M  ,  0 0 2m 2 ∂M M 3  2M 2 

(5.71)

(5.70) принимает вид

r Ω=

+

r  3mα 4 M (ω2S 2 − ω1S1 )α 2 r α 2 (MS)  M 0 ω1 r M− i + ω2 j  + 3 3 2  2 2 4MM 0 (M + M 0 ) c 2 2MM 0 (M + M 0 )c 2  M  M M0 c rr

(

m 2α 4

r

( ) (

)

)

(

)(

+

)

3m 0 r r ∂ 1  r r 1 r∗r 3 r∗ r r r  r + + − 2 S M S M S S S M S 0 M  . (5.72) 0 0 3 3  2m 2 2M 2 m 0 M 0 c 2 ∂M M  

Такое существенное упрощение, достигнутое с помощью введения r производной по векторному элементу M , подсказывает возможность еще больше упростить (5.72). ∂ Применяя оператор r более полно, чем мы это делали до сих пор, ∂M запишем

( [ ])

r  1 r rr 1 ∂  Jα 2  Ω= 2 r  M ωj c ∂M  4M 0 (M + M 0 )  M 2 +

2

( [ ])

r rr 1 + M iω MM 0

2

 3mα 4  − + 3 M M  0

3m 0 r r 1 r∗r 3 r ∗ r r r    r r 2 S M + S M + S S − S M S0 M   . 0  0 3 2m 2 2M 2 m0M0 M3    m 2α 4

(

)

( ) (

)

(

)(

)

(5.73)

Таким образом, итогом проведенных в этом параграфе преобразований являются уравнения первого приближения r r r S1ω 2 α 2 (M 0 − M ) r dM =− 2 2 e M + ΩM , dt 2c M 0 (M 0 + M )

[ ]

r rr de A = Ωe A , dt

[

]

(5.74)

(5.75)

r где Ω определяется формулой (5.73). Следует заметить, что в этих уравнениях r r величины M и M 0 имеют размерность действия, а e A является безразмерной.

83

5.5. Пертурбационная функция и среднее от нее Запишем исходную функцию Лагранжа нашей задачи (5.1) в виде mv 2 γmm 0 L = −mc + T + + + L' , 2 r 2

(5.76)

где

( )

1  mv 4  ε 3T  2 1 r r r r  3 2 ξ 0 ξ mU 2   L' = 2  + + + mU − +  v − Sv (ωv ) +  v + 4 m 0 m  2 c  8 3 2  2

(

( [ ][ ] )

)

r r r 1 r  r r r r 1 γ  +   3m 0 S + 4mS 0 ∇  v  + γ S∗∇ S 0 ∇  , 2 r  r

(5.77)

так называемая возмущающая или пертурбационная функция [12, 15]. Гамильтониан задачи (5.5) можно представить как p 2 S2 H = mc + + − mU + H ' , 2m 2J 2

1 H' = − 2 c −

(5.78)

( )

 p 4  ε 3T  p 2  ξ0 1 r r r r 3p 2 ξ mU 2  Sp (ωp ) + U +  + mU −  2 −  3 + + − 2 3 2 2 m m m 2 8 m m 4 m    0   

γ 2mc 2

(

[ ] Sr ∇r 1r   − 72mγmc  [Sr ∇r ] Sr ∇r 1r   .

)

r r r 1 r  γ  r r    3m 0 S + 4mS0 ∇  p  − 2  S∇ r  c  



0



2

0



0



0

 (5.79)

Причем, как это и должно быть [14] H ' = − L' .

(5.80)

Находим среднее от пертурбационной функции L' . Вначале вычисляем 2 γ 2 m 2 m 0  1 4 1  2 mv = − 3E + , 8 2m  ab 

(5.81)

 ε 3T  2  ε 3T  γm 0 ,  + v =  +  3 2  3 2  a

(5.82)

84

( )

− M2 1 rr r r Sv (ωv ) = 4 4 m 2 ab 1 + 1 − e 2

(

 S1ω1   , + ω S 2 2   2  1− e 

)

(5.83)

2  3 2 ξ0 ξ ξ 6E 2 3mγ 2 m 0 ξ  γmm 0  v + + mU = − + +  0 +  , m0 m  m ab 2  m0 m  a

(5.84)

mγ 2 m 0 1 − mU 2 = − , 2 2ab 2

−

(5.85)

[ ] Sr ∇r 1r   =

r r  r  γ  r ∗ r γm   m 0 r   3 S + 4 S  0 r v  + 2  S ∇  2c 2 r 3   m    c 

(

)

0





r∗r r r r  m S S   γ γ 3 rr rr    = − 2 3   3 0 S + 4S0 M  + 2  3 0 − 5 r S∗ r S0  = 2c r   m r   c  r  =−

γ

(

)

( ) (

)

( )( )

( )(

)

3m 0 r r 1 r∗r 3 r∗ r r r   r r + + − 2 S M S M S S S M S0 M  .  0 0 2m 2 c 2 abP  2M 2 

(5.86)

Теперь среднее от пертурбационной функции запишется как  γm 0 1  15E 2  ε 3T m M2 L ' = 2 − + + + ξ 0 + ξ  − a c  2m  3 2 m 0 4m 2 ab 1 + 1 − e 2 

(

( ) (

)

 S1ω1    S + ω 2 2+  2 1 − e  

)

( )(

3mγ 2 m 0 2 3m 0 r r γ  r r 1 r∗r 3 r ∗ r r r   + − 2 S M + S M + S S − S M S0 M   . 0 0 ab abP  2m 2 2M 2  

(

)

)

В векторных элементах она имеет вид 1 L' = 2 c −

 15mα 2 ε 3T m  α2  + + + ξ0 + ξ −  − 2 M 2 3 2 m0  8M 0  0

( [ ])

 1 r rr Jα 2  M ωj 4M 0 (M 0 + M )  M 2

2

+

( [ ])  + 3mα

r rr 1 M iω MM 0

2



4

MM 0

3

−

(5.87)

85

−

3m 0 r r 1 r∗r 3 r ∗ r r r    r r + + − 2 S M S M S S S M S0 M   . 0 0 3 2 3  2 m 2 2 M m0M0 M    m 2α 4

(

( ) (

)

)

(

)(

)

(5.88)

r С помощью этого выражения можно формулу (5.73) для угловой скорости Ω представить в виде r ∂ L' Ω=− r , ∂M

(5.89)

r ∂ H' Ω= r . ∂M

(5.90)

или

Таким образом , в уравнениях первого приближения (5.74) и (5.75) угловая r скорость Ω будет определяться вполне понятной физической величиной H' .

5.6. Исследование уравнений первого приближения Расщепим уравнения первого приближения (5.74) и (5.75) на три следующие уравнения S1ω 2 α 2 (M 0 − M ) dM =− 2 2 , dt 2c M 0 (M 0 + M )

(5.91)

r rr de M = Ωe M , dt

]

(5.92)

r rr de A = Ωe A . dt

(5.93)

[

[

]

1. Поскольку M 0 − M > 0 , то производная dM

dt

> 0 , если S1ω2 < 0 и

наоборот. Так как, согласно (5.63) M 0 e de dM =− , 2 dt dt 1− e

(5.94)

86

de совпадает со знаком S1ω 2 . dM = 0 , если S1 = 0 , ω2 = 0 или S1 = 0 , dt dt ω2 ≠ 0 , или S1 ≠ 0 , ω2 = 0 , или M 0 = M , т.е. когда e = 0 . 2. Уравнение (5.91) допускает интегрирование. Действительно, введя обозначение

то знак

β=

S1ω 2 α 2 2c 2 M 0

3

,

(5.95)

имеем  M M   = const + βt . + 2 ln1 − M0  M0 

(5.96)

или

)

(

1 − e 2 + 2 ln 1 − 1 − e 2 = const + βt .

(5.97)

Полагая

(

)

ln 1 − 1 − e 2 ≅ − 1 − e 2 ,

(5.98)

получим вместо (5.97) в грубом приближении выражение 1 − e 0 − 1 − e 2 = βt , 2

(5.99)

где e 0 - значение эксцентриситета в начальном времени. 3. Из (5.57) и (5.61) следует M2 +

A2 v

2

= M 0 = Inv. , 2

(5.100)

где v = 2

α2 M0

2

=

γm 0 a

- среднее от квадрата скорости. Если ввести «вектор состояния»

(5.101)

87

r A

r r F=M+

v

,

(5.102)

2

r r r то в фазовом пространстве векторов M и A конец вектора F описывает эллипс M2 M0

2

+

A2 2

M0 v

2

= 1.

(5.103)

4. Из (5.92) и (5.93) следует, что орбита пробного тела и жестко связанная с ней орбитальная система координат x, y, z вращается как твердое тело вокруг закрепленной точки с угловой скоростью

( )

r rr r r (ω2S 2 − ω1S1 )α 2 M r  3mα 4 M α 2 MS  M 0 ω1 r Ω= − e A + ω2 e p  + 3 3 2 +  2 2 4MM 0 (M + M 0 ) c 2 2MM 0 (M + M 0 )c 2  M  M M0 c r r r r ∗ 3M r ∗ r r r   r 3m 0 r 3 r∗ r r + S− S M S0 + S 0 M S + 4 S M S0 M  − 2S 0 + 3 2m 2M 2 M m 0 M 3M 0 c 2  

((

m 2α 4

−

r 3m 2 α 4 M

(

)

)

(

) )

( ) (

)

(

(

)(

)(

)

3m 0 r r 1 r∗r 3 r∗ r r r   r r 2 S M + S M + S S − S M S0 M  ,  0 0 3 2m 2 2M 2 m0M5M0 c2  

)

(5.104)

r r где e p - единичный вектор, совпадающий с j и могущий быть использованным r r как единичный вектор некоего вектор-параметра p = pe p . Имея ввиду, что r r r r r r rr rr ω 2 S 2 − ω1S1 = J (e M [e A ω])(e M [e A ω]) − J (ωe A )(ωe A ) ,

(5.105)

r M 0 ω1 r r r eA (M 0 − M )(ωr er A ) − (ωr er M )er M , e A + ω2 e p = ω + M M

(5.106)

преобразуем выражение (5.104) к виду

(

)

( )

rr r 2 rr 2 r r Jα 2 (er M [er A ω ] ) − (ωe A ) α 2 MS Ω= M− × 2 2 4MM 0 (M + M 0 ) c 2 2MM 0 (M + M 0 )c 2 r r rr r r r  3mα 4 M  r eA × ω + (M 0 − M )(ωe A ) − (ωe M )e M  + 3 3 2 + M   M M0 c

88

r r r r ∗ 3M r ∗ r r r   r 3m 0 r 3 r∗ r r + S− S M S0 + SM S + 4 S M S0 M  − 2S0 + 2m 2M 2 M m 0 M 3 M 0 3c 2  

(( )

m 2α 4

−

r 3m 2 α 4 M

(

)

( ) )

( ) (

)

(

( )(

)

)(

(5.107)

)

3m 0 r r 1 r∗r 3 r∗ r r r   r r + + − 2 S M S M S S S M S0 M  .  0 0 3 2m 2 2M 2 m0M5M0 c2  

r 5. Из (5.92) и (5.104) вытекает, что вектор e M прецессирует с угловой скоростью rr r r  α 2 MS  M 0 ω1 r ΩM = − e + ω e  A 2 p+ 2 2MM 0 (M + M 0 )c 2  M 

( )

+

((

m 2α 4

)

) )

(

r r r∗  3m 0 r 3 r∗ r r  r 2 S + S − S M S + S  0 0 0M S  . 3 2m 2M 2 m0 M3M 0 c 2  

В заключение рассматриваемой задачи H = mc − 2

mα 2 2M 0

2

выпишем

среднее

значение

(5.108)

гамильтониана

 α2 S 2 1  15mα 2 ε 3T m + +  − − − ξ0 − ξ + M 2 2J c 2  8M 0 2 3 2 m 0  0

 r r 2 M r r 2  3mα 4 Jα 2  (ωe A ) + (ωe p )  − + + 3 M   M MM 2 0  0   4M 0 1 +  M0  +

3m 0 r r 1 r∗r 3 r ∗ r r r    r r 2 S M + S M + S S − S M S 0 M   . (5.109) 0  0 3 2m 2 2M 2 m0M0 M3    m 2α 4

(

)

( ) (

)

(

)(

)

r Тогда, угловая скорость Ω в (5.92) и (5.93) запишется как r ∂H Ω= r , ∂M

(5.110)

т.е. вполне в духе адиабатической теории движения тел в ОТО, развитой в параграфе 2.5 главы 2.

89

5.7. О собственном вращении в задаче двух вращающихся тел До сих пор в этой главе мы обсуждали вопрос о поступательном движении пробного тела с собственным вращением в гравитационном поле центрального тела с собственным вращением. Что можно сказать о его вращательном движении? Ответ на этот вопрос начнем с определения вращательного импульса или, что то же самое, собственного углового момента пробного тела. Для этого у нас r есть возможность определить S по аналогии с поступательным импульсом r r p = ∂L ∂v как r ∂L S= r . ∂ω

(5.111) r

Тогда, беря векторную производную по ω от лагранжиана (5.1), имеем rr r r  3v 2 8U  r J  (ωv ) r 3γm 0 r S = J1 + 2 + 2 ω − 2  v+ M + 2 rot U . 3c  c  2 2mr 3   2c

(5.112)

Здесь использована формула типа (1.69) ξ=

2 8 ε+ Т. 3 3

(5.113)

Интересно отметить, что вращательный импульс (обобщенный r r вращательный импульс) S содержит не только член, пропорциональный ω , но r r r r и члены, пропорциональные v , M , S0 и r , ибо

( ) .

r r r γ  S 0 3rr rr S0 rotU =  − 3 + 2 r r5

(5.114)

 

В этом отношении есть определенное сходство с поступательным импульсом r r p . Согласно (5.4), поступательный импульс p также содержит не только член, r r r rr r пропорциональный v , но и члены, пропорциональные ω , S r и S 0 r . Если в начальный момент времени ω = 0 , то из (5.112) следует, что

[ ] [ ]

r r J  3γm 0 r S=− 2  M + 2 rot U . c  2mr 3 

(5.115)

Получается так, как будто возникает индуцированное вращение с угловой скоростью

90

r 3γm 0 r 2 r ωин = − M − rot U . 2mc 2 r 3 c2

(5.116)

Выражение (5.116) с точностью до знака совпадает с (3.57), подтверждая, таким образом, идеи, изложенные в параграфе 3.3. r Как же теперь найти форму уравнений для изменения вектора S во времени? Для того, чтобы разобраться в этом вопросе, выпишем исходный гамильтониан рассматриваемой нами задачи двух тел с собственным вращением (5.5)

( )

p 2 S2 1  p 4  ε 3T  p 2 1 rr r r H = mc + + − mU − 2  3 +  + Sp (ωp ) +  2 − 2m 2 J c  8m 4m 2 3 2 m 2

(

)

r r r 1 r   ξ0 3p 2 ξ mU 2  γ  + U +  + mU − 3 m S + 4 m S  − 0 0 ∇  p − 2m 2  2mc 2   r   m0 m  −

[ ] Sr ∇r 1r   − 72mγmc  [Sr ∇r ] Sr ∇r 1r   .

γ  rr  S∇ c2 



0



2

0



0



0



(5.117)

r Теперь следует заметить, что общий вид уравнения для изменения вектора S должен иметь следующий вид r r r dS dS r = e S + Ω SS . dt dt

[ ]

(5.118)

r dS Остается определить и Ω S . В этом пункте можно провести аналогию между dt r r M и S и воспользоваться r результатами, полученными при изучении поведения векторного элемента M . Действительно, поскольку гамильтониан (5.117) явно не зависит от вращательных координат, можно положить dS = 0. dt

(5.119)

r Что же касается Ω S , то по аналогии с (5.90) и (5.110) r ∂H ΩS = r . (5.120) ∂S Таким образом, уравнение вращательного движения пробного тела принимает вид

91

r dS r r = Ω SS . dt

[ ]

(5.121)

Любопытно отметить, что уравнение (5.121) допускает и следующую запись r dS r r = ωS . dt

[ ]

(5.122)

В монографии Брумберга [12, с. 311] получено уравнение вращательного движения. Оно применительно к нашей задаче имеет вид r dS r r = ωS , dt

[ ]

(5.123)

где r  v 2 3U  r J  S = J1 + 2 + 2 ω + 2 c  c  2c

( ( )

)

r  3γm 0 rr γ r rr 1 r r r 2 [ [ ] ] [ ] v v r v 3 r r S r S ω − − − 0 0 . 2 2r 3 r5   (5.124)

Сравнивая эти выражения с (5.112) и (5.122), убеждаемся, что наши результаты и результаты Брумберга совпадают, хотя они получены на основе разных подходов. Такой вывод станет еще более очевидным, если (5.112) представить в виде r  v 2 8U  r J S = J1 + 2 + 2 ω + 2 3c  c  c

r 3γm 0 r 1 r r r [ v [ ω v ] ] − M − 2 rot U 2 . 2mr 3  

(5.125)

Небольшое различие между первыми членами в правых частях (5.124) и (5.125) обусловлено различием в предположении относительно внутренней структуры тела, принятом в нашей работе и у Брумберга. Несколько слов об осредненном уравнении вращательного движения пробного тела. Выпишем L = mc − 2

mα 2 2M 0

2

1 +T− 2 c

 15mα 2 25 m − ε − T −  2 6 m0  8M 0

 α2 ξ + M 2  0

 r r 2 M r r 2  3mα 4 Jα 2  (ωe A ) + (ωe p )  − + + 3 M0 M   MM 0 2   4M 0 1 + M 0  

92

+

3m 0 r r 1 r∗r 3 r ∗ r r r    r r 2 S M S M S S S M S0 M   . + + − 0 0 3 2 3  2 m 2 2 M m0M0 M    m 2α 4

(

( ) (

)

)

(

)(

)

(5.126)

Напомним, что r r 2m r S∗ = S + S0 . 7m 0

(5.127)

Тогда r ∂L  25α 2  r J  S = r = 1+ Jω − 2 ∂ω  6M 0 2 c 2  c

  rr r α2 M rr r   (ωe A )e A + (ωe p )e p  +  2 M M + M M ( ) 0 0  0  

r  3m 0 r S0 3 r r r   + M+ − S0 e M e M   .  3 2 2 m 0 M 0 M 3  2m  

(

m2α4

)

(5.128)

Осредненное уравнение вращательного движения запишется как r dS r r = Ω SS , dt

[ ]

(5.129)

где r  rr r 1 ∂H α2 M rr r   (ωe p )e p  + ΩS = ( ω e ) e + r = A A S ∂eS 2M 0 (M 0 + M )c 2  M0  r  3m 0 r S0 3 r r r  + M+ − S0 e M e M  .  3 2 2 m 0 M 0 M 3  2m 

(

m2α4

)

(5.130)

5.8. Об орбитальной устойчивости и об устойчивости по отношению к векторным элементам орбиты в задаче двух вращающихся тел В случае этой задачи, из-за наличия инварианта (5.100), т.е. M + 2

A2 v

2

= M 0 = Inv. , 2

(5.131)

93

r r в абсолютных значениях векторных элементов орбиты M и A нет вековых членов, поэтому имеет место орбитальная устойчивость. Что же касается устойчивости по отношению к векторным элементам, то для ее исследования снова выпишем уравнения движения в первом приближении асимптотического метода (5.91)-(5.93) S1ω 2 α 2 (M 0 − M ) dM =− 2 2 , dt 2c M 0 (M 0 + M )

(5.132)

r rr de M = Ωe M , dt

]

(5.133)

r rr de A = Ωe A . dt

(5.134)

[

[

]

где, согласно (5.104)

( )

r rr r r (ω2S 2 − ω1S1 )α 2 M r  3mα 4 M α 2 MS  M 0 ω1 r e A + ω2 e p  + 3 3 2 + Ω= −  2 2 4MM 0 (M + M 0 ) c 2 2MM 0 (M + M 0 )c 2  M  M M0 c r r r r ∗ 3M r ∗ r r r   r 3m 0 r 3 r∗ r r + S+ S M S 0 + S 0 M S + 4 S M S0 M  − 2S0 + 2m 2M 2 M m 0 M 3 M 0 3c 2  

(( )

m 2α 4

−

r 3m 2 α 4 M

(

( ) (

)

) )

(

)

( )(

(

)(

)

)

3m 0 r r 1 r∗r 3 r∗ r r r   r r 2 S M + S M + S S − S M S 0 M  . (5.135)  0 0 3 2m 2 2M 2 m0M5M0 c2  

Напомним, что инвариант M 0 , как это следует из (5.67), имеет вид M0 =

M A2 1− 2 α

.

(5.136)

Чтобы определить устойчивые по отношению к векторным элементам орбиты, потребуем выполнения условий (4.28) r r M = const , A = const .

Тогда, если обратиться к уравнениям (5.91)-(5.93), мы получим условия:

(5.137)

94

r de M dM = 0, = 0, dt dt

(5.138)

или rr S1ω 2 (M 0 − M ) = 0 , Ωe M = 0 . (M 0 + M )

[

]

(5.139)

r Напомним, что Ω дается выражением (5.135):

( )

r rr r r (ω2S 2 − ω1S1 )α 2 M r  3mα 4 M α 2 MS  M 0 ω1 r Ω= − e A + ω2 e p  + 3 3 2 +  2 2 4MM 0 (M + M 0 ) c 2 2MM 0 (M + M 0 )c 2  M  M M0 c r r r r ∗ 3M r ∗ r r r   r 3m 0 r 3 r∗ r r + 2S + S+ S M S0 + S0 M S + 4 S M S 0 M  − 3 2  0 2 3 2 m 2 M M m0M M 0 c  

(( )

m 2α 4

−

r 3m 2 α 4 M

(

( ) (

)

) )

(

)

( )(

(

)(

)

)

3m 0 r r 1 r∗r 3 r∗ r r r   r r 2 S M + S M + S S − S M S 0 M  , (5.140)  0 0 3 2m 2 2M 2 m0M5M0 c2  

где M0 =

M 1− e

2

.

(5.141)

r r Условия устойчивости по отношению к векторным элементам орбиты M и A (5.139) выполняются для класса орбит, для которых имеют место соотношения r S1 = 0 , ω2 = 0 , M 0 = M , Ω ↑↓ e M .

(5.142)

Это означает, что для таких орбит r r r r e = 0 , M ↑↓ S0 , S 0 ↑↓ S ,

(5.143)

т.е. круговые орбиты, лежащие в экваториальной плоскости центрального тела, r r причем S0 ↑↓ S .

95

Глава 6 Гипотеза гравимагнетизма 6.1. О странных гипотезах, связанных с проблемой магнетизма небесных тел В свое время для объяснения магнетизма небесных тел был выдвинут ряд гипотез, которые приводят к правильным количественным результатам. Причем, замечательна совершенная необычность этих гипотез с точки зрения существующих физических представлений. Так, согласно гипотезе Вильсона [37] магнитные поля Земли и Солнца таковы, как если бы эти тела обладали отрицательным объемным «зарядом» с плотностью

σ = − γρ ,

(6.1)

где γ - гравитационная постоянная, ρ - плотность массы. Необычность здесь заключается в необходимости дополнительного допущения о том, что вильсоновский «заряд» (6.1) не должен создавать электростатического поля, что является полным абсурдом с точки зрения современной электродинамики. Другой гипотезой, также приводящей к правильным количественным результатам, считается гипотеза Блэкета [38]. Согласно Блэкету, всякое вращающееся тело, независимо от наличия зарядов в нем, должно обладать r r магнитным моментом M , пропорциональным его механическому моменту S . Это является новым законом природы, не связанным с обычными законами r r электродинамики. Связь между M и S была установлена Блэкетом по соображениям размерности в виде: r γr M = −β S, (6.2) 2c где β - числовой коэффициент порядка единицы. В полном согласии с этими гипотезами находится замечание Эйнштейна [39]: «Земля и Солнце обладают магнитными полями, ориентации и полярности которых приближенно определяются направлением вращения этих небесных тел. Согласно теории Максвелла, эти поля могли бы возникнуть благодаря электрическим токам, текущим вокруг осей вращения небесных тел противоположно вращению. Солнечные пятна, которые с хорошим приближением можно считать вихрями, также обладают аналогичными очень сильными полями. Однако едва ли можно думать, что во всех этих случаях действительно существуют электрические токи проводимости или конвекционные токи достаточной силы. Скорее похоже на то, как будто магнитные поля возникают при вращательном движении нейтральных масс. Подобное порождение полей не могут предсказать ни теория Максвелла в ее первоначальном виде, ни теория Максвелла, обобщенная

96

в смысле общей теории относительности. Здесь природа указывает нам, повидимому, фундаментальную, пока еще не объясненную теорией закономерность».

6.2. Интерпретация уравнений Эйнштейна самим Эйнштейном в ОТО В основе общей теории относительности лежат уравнения Эйнштейна 1 R µν − g µν R = −χT µν , 2

где R µν - тензор кривизны; T µν - тензор масс; χ =

(6.3) 8πγ ; γ - гравитационная c2

постоянная; µ, ν = 0,1,2,3 . Само по себе (6.3) есть уравнение геометродинамики и никакого отношения к физике не имеет. Действительно, в (6.3) в левой части – геометрия, а в правой части – материя. В целом (6.3) отражает идущую от Римана идею о связи метрики и распределения материи. Эйнштейн же вводит гипотезу о единстве метрики и гравитации. Таким образом, для описания гравитационного поля он не вводит других величин, кроме метрического тензора g µν = g µν (U µν ),

(6.4)

где U µν - гравитационные потенциалы. Если в ньютоновой теории тяготения для описания гравитационного поля было достаточно единственного гравитационного потенциала U, удовлетворяющего уравнению Пуассона ∆U = −4πγρ ,

(6.5)

где ρ - плотность массы, то Эйнштейн в своей теории предлагает использовать целых десять гравитационных потенциалов. Уравнения же (6.3), благодаря гипотезе Эйнштейна (6.4), превращаются в уравнения гравитационного поля в релятивистской теории гравитации. Действительно, выпишем метрику первого приближения для некоторого островного распределения незаряженных масс. При этом предполагается, что приближение квазистационарное, система координат – гармоническая, а условия на бесконечности: ds 2 = c 2 dt 2 − dx 1 − dx 2 − dx 3 , 2

2

2

(6.6)

97

g 00 (∞ ) = c 2 , g 0i (∞ ) = 0 , g ik (∞ ) = −δ ik , (i, k=1,2,3)

т.е. метрика на бесконечности псевдоевклидова. Выбирая тензор массы в виде T 00 =

ρv ρ , T 0i = 2 i , T ik = 0 , 2 c c

(6.7)

и подставляя эти выражения в уравнение (6.3), имеем по Фоку [2] для метрики первого приближения вдали от островного распределения масс выражения g 00 = c 2 − 2 U , g 0i =

4  2U  U i , g ik = −1 + 2 δ ik , 2 c c  

(6.8)

r где U – ньютонов гравитационный потенциал, U - векторный гравитационный потенциал (название, данное Фоком по аналогии с электродинамикой), удовлетворяющий уравнению ∆U i = −4πγρv i .

(6.9)

Решения уравнений (6.5) и (6.9) имеют вид U=γ

∫

Ui = γ

ρ' r r dx ' dy' dz' , ( r − r ')

∫

(ρv i )' dx ' dy' dz' . (rr − rr ')

(6.10)

(6.11)

Таким образом, как видно из формул (6.8), метрика вне нашего распределения масс определена, если нам известны функции U и U i . Физический смысл этих функций, если придерживаться гипотезы Эйнштейна о тождественности искривления метрики с гравитационным полем, заключается в интерпретации их как гравитационных потенциалов. При этом очевидно, U ньютонов скалярный потенциал, т.е. вне массы, как и в теории Ньютона, имеется скалярное гравитационное поле, U i - потенциал векторного гравитационного поля, отсутствующего в теории гравитации Ньютона. Векторное гравитационное поле создается благодаря токам незаряженных масс. Эйнштейн, веря в свой принцип эквивалентности, т.е. в единство и тождественность гравитации и инерции, интерпретировал векторное гравитационное поле как аналог кориолисова поля сил. Однако, учитывая ограниченный характер принципа эквивалентности, надо заметить, что речь может идти только об аналогии, но никак о тождественности в силу фиктивного характера кориолисова поля сил и в силу полнейшей реальности векторного

98

гравитационного поля. Первое можно уничтожить подходящим выбором системы координат, тогда как второе невозможно уничтожить из-за наличия граничного условия.

6.3. Гипотеза гравимагнетизма Теперь снова вернемся к обсуждению странных гипотез, связанных с проблемой магнетизма небесных тел. Это надо сделать еще и потому, что недавно вновь возрос интерес [40] к обсуждению вопроса о физических корнях «правила Блэкета» - утверждения о том, что отношения магнитных и механических моментов всех небесных тел примерно одинаковы. В работе [40] отмечается: «Поскольку теоретического обоснования правило Блэкета в то время не получило, да к тому же попытка автора подтвердить его лабораторными методами не увенчалась успехом, это правило стало восприниматься многими исследователями лишь как случайное совпадение, а не как след проявления некоей общей закономерности. Но уж слишком грандиозны масштабы этих «совпадений», так что естественно еще раз обратиться к вопросу о физических корнях правила Блэкета». В свое время [41] для обоснования гипотезы Вильсона, гипотезы Блэкета и выше приведенного замечания Эйнштейна: «Здесь природа указывает нам, по-видимому, фундаментальную, пока еще не объясненную теорией закономерность», нами была выдвинута гипотеза о гравимагнетизме, т.е. гравитация – источник магнетизма. Здесь и далее мы попытаемся дать более простой способ введения гипотезы гравимагнетизма и получить новые следствия, вытекающие из этой гипотезы. Действительно, обратимся к гипотезе Вильсона (6.1). Правая часть (6.1) есть не что иное, как гравитационный заряд, который создает скалярное гравитационное поле U. Тогда, требование Вильсона можно истолковать подругому, а именно: при вращении гравитационного заряда (6.1) должно создаваться магнитное поле. Этим самым мы приходим к гипотезе гравимагнетизма – скалярное гравитационное поле U при вращении тела создает вихревое магнитное поле: другими словами, гравитация – источник магнетизма. При этом сразу же снимается трудность гипотезы Вильсона, связанная с «электрическим полем», ибо мы имеем дело только с гравитацией и магнетизмом. r Рассмотрим теперь вопрос о вектор-потенциале A магнитного поля. Он, естественно определяется известной электродинамической формулой r r 1 r  A = ∇ M  .  r  r Подставляем сюда значение M из гипотезы Блэкета (6.2), тогда

(6.12)

99

r γ  r 1 r A = −β ∇ S . 2c  r 

(6.13)

Теперь вспомним, что среднее гравитационное поле на больших расстояниях от островного распределения масс, например, векторное гравитационное поле вокруг вращающегося шара, имеет вид r γ  r 1 r U = ∇ S . 2 r 

(6.14)

Тогда (6.13) приобретает вид r 1 r A = −β U. γc

(6.15)

Это говорит о том, что векторное гравитационное поле, появившееся в теории гравитации Эйнштейна из-за его гипотезы (6.4), должно уступить место магнитному полю, создаваемому скалярным гравитационным полем U. Это обстоятельство приводит к ряду важных следствий [42]: 1. Меняется интерпретация уравнений Эйнштейна (6.3), ибо гипотеза Эйнштейна о том, что скалярное гравитационное поле при вращении создает вихревое гравитационное поле, должна быть заменена гипотезой гравимагнетизма (6.15). Действительно, комбинируя вторую из формул (6.8) и (6.15), имеем g 0i = −

4 γ Ai . βc

(6.16)

Таким образом, получается, что смешанная компонента g 0i метрического тензора g µν связана с магнитным полем. Уравнения Эйнштейна (6.3) становятся уравнениями гравимагнетизма. 2. От обеих частей (6.15) берем оператор Лапласа: r r 1 ∆A = −β ∆U . γc

(6.17)

r β γ r ∆A = 4πρv . c

(6.18)

Учитывая (6.9), имеем

100

Получается, что магнитное поле порождается током незаряженных масс, т.е. вполне в духе замечания Эйнштейна, приведенного в начале этой работы. 3. Получаются правильные численные результаты для магнитных полей Луны ( ≈ 10 −5 Гс ) и пульсара ( ≈ 1010 Гс ) [43]. 4. Островное распределение масс излучает не чисто гравитационные волны, как в случае ОТО, а гравимагнитные волны. 5. Магнитное поле выступает как некоторое универсальное поле, возникающее при изменении во времени полей, порождаемых изолированными источниками (зарядами), таких как: электрическое, гравитационное и, быть может, других полей. Теперь о некотором расхождении между теоретическими результатами и фактическими данными касательно магнитных полей Земли, Солнца, нейтронных звезд и других небесных тел. Выяснилось, что такое положение обусловлено тем, что нами до сих пор рассматривалась простейшая модель небесного тела – вращающийся однородный жидкий шар. Следует учесть неоднородность распределения вещества внутри планет, Солнца и нейтронных звезд и других небесных тел. Действительно, сейсмические данные указывают, что ядро Земли занимает около одной восьмой ее объема. Вещество в нем должно быть в жидком состоянии и в то же время обладать большой плотностью [84]. Предполагается, что ядро может вращаться с несколько другой скоростью, чем оболочка Земли. Аналогичная ситуация, т.е. проявление неоднородности, может быть и у Солнца и у нейтронных звезд (пульсаров).

101

Глава 7 Идеи релятивизма, квантования, неравновесной термодинамики и гравимагнетизма в планетной космогонии Планетная космогония остается до сих пор вне пределов применения идей механики ОТО, идей квантования и идей неравновесной термодинамики. Она классическая. Однако думается, что такое положение останется не навсегда. Действительно, для этого, по-видимому, есть некоторые указания. Первое указание – это наличие класса круговых орбит пробного тела лежащих в экваториальной плоскости вращающегося центрального тела и являющихся устойчивымиr по отношению к векторным элементам орбиты r M (момент импульса) и A (вектор Лапласа). На самом деле, обратимся, к известной задаче механики ОТО, задаче Лензе-Тирринга, т.е. задаче о финитном движении пробного тела с массой m в поле вращающегося центрального тела с массой m 0 . Рассмотрение будем вести на основе уточненной метрики первого приближения Фока для вращающегося жидкого шара (1.73) [11]:  2  ξ 0  2U 2 4 γ r r  r r 1  2   ds = c − 2 U1 + + + S0∇  S0 ∇  dt − 2  2 r  7m 0 c 2   m0c  c 

( )

2

(

)

8 r r  2U  r − 1 + 2 d r 2 + 2 Ud r dt , c  c 

(7.1)

где U=

[ ]

γm 0 r γ rr 8 2 , U = − 3 r S0 , ξ 0 = T0 + ε 0 , r 3 3 2r

(7.2)

r S0 - угловой момент шара; T0 - кинетическая энергия вращения тела; ε 0 - взятая с обратным знаком энергия взаимного притяжения частиц тела. Напомним, что

( )

rr r r  r r 1 S02 3 r S0 S 0 ∇  S0 ∇  = − 3 + r r r5 

( )

2

.

(7.3)

В отличие от других аналогичных метрик первого приближения, метрика (7.1) правильно описывает задачу Шварцшильда [3], а также учитывает нелинейный r по S0 член, который существенен при рассмотрении задачи Лензе – Тирринга. Теперь гамильтониан задачи Лензе – Тирринга запишется как [1]

102

 P2 1  P4 3P 2 U ξ0 1 H = mc + − mU − 2  3 + + mU − mU 2  − 2m 2m m0 2 c  8m  2

−

[ ]

2 γ   r r 1  r  2 γm  r r  r r 1    S0∇  P  −  S0∇ S0∇  , r   7 m 0c 2  r с 2   

(7.4)

r ∂L где P = r - импульс частицы, L - функция Лагранжа. ∂V Уравнения движения имеют вид

[

]

( )[ ]

r& 2γ r r 12γm r r r r M = 2 3 S0 M − S0 r r S0 , c r 7m 0 c 2 r 5

[

]

(7.5)

(

)[ ]

r r r r r&  m  ∇U ⋅ M 2 γ r r 6 γ S0 M r r A =  4E + 6mU + ξ 0  + 2 3 S0 A + rM − 2 2 5 m mc c r mc r  0  −

[ ]

6γ

[ ]

( ) [rrMr ] − 2(S rr )[S Mr ] + 2(S rr )[Pr [rrS ]],

5 r r  2 rr S r M − S0 r  0 7m 0 c 2 r 5  r2

2

r

r

0

r

0

r

0

0



(7.6)

r r где M и A - векторные элементы орбиты

[ ],

r rr M = rP

r r  P r  γmm 0 r A =  M − r, m r  

A = γmm 0 e = αe ,

(7.7)

E - нерелятивистская энергия, e - эксцентриситет орбиты. r r Из уравнений (7.5) и (7.6) видно, что вектора M и A медленно изменяются со временем и участвуют в двух движениях: эволюционном и периодическом. Рассмотрим эволюционное движение материальной частицы с массой m в гравитационном поле вращающегося жидкого, массивного шара с массой m 0 . Для этого, применим к уравнениям (7.5) и (7.6) асимптотический метод нелинейной механики – метод усреднения (по ньютоновскому периоду T ). Тогда дифференциальные уравнения первого приближения асимптотического метода (уравнения эволюционного движения) приобретают вид

r dM r r = ΩM , dt

[ ]

где

r dA r r = ΩA , dt

[ ]

(7.8)

103

rr rr r ∂H 3mα 4 r m 2α 4  r 3m(MS0 ) r 6m(MS0 ) 2 r  Ω= r = 3 3 2M+ S0 + M − 2S0 − ∂M M M 0c m 0 M 3M 30c 2  7m0 M 2 7m0M 4  r 3m 2α 4 M  r r m 2 3m r r 2  − + − 2 ( M S ) S (S0 M )  .  0 0 7m0 m0 M 5M 30c2  7m0M 2 

Здесь M 0 =

(7.9)

M

- инвариант системы. A2 1− 2 α Усредненный гамильтониан  α 2 3mα 4 mα 2 1  15mα 2 m H = mc − +  − ξ0  − + m 0  M 02 M 30 M 2M 02 c 2  8M 02 2

m 2α 4 + m 0 M 30 M 3

 r r mS02 3m r r r r   2 S M + − S 0 M S0 M   .  0 2 7 m 7 m M 0  0  

(

)

(

)(

)

(7.10)

Теперь рассмотрим вопрос об устойчивости по отношению к абсолютным r r значениям векторных элементов M и A . Как легко видеть из уравнений эволюционного движения (7.8) и (7.9) вытекает сохранение абсолютных r r значений векторов M и A M = const, A = const .

(7.11)

Отсюда ясно, что эволюционное движение материальной частицы устойчиво r r относительно абсолютных значений векторных элементов M и A . С другой стороны из (7.11) следует орбитальная устойчивость движения материальной частицы в поле вращающегося тела. Действительно, под орбитальной устойчивостью движения материальной частицы подразумевается свойство оскулирующего эллипса сохранять в любой момент времени свою форму и размеры близкими к форме и размерам невозмущенного кеплерова эллипса, определенного для начального момента времени. Форму и размеры эллипса характеризуют величина эксцентриситета e и длина фокальной оси 2a . Если в формулах, определяющих e и a , отсутствуют вековые члены, то, согласно определению, эллиптическое движение обладает орбитальной устойчивостью. Из равенств (11), как раз получаются следствия a = const , e = const ,

(7.12)

104

т.е. орбитальная устойчивость движения материальной частицы в поле вращающегося массивного жидкого шара. А теперь, в наше рассмотрение введем новый тип устойчивости в механике ОТО – устойчивость по отношению к самим векторным элементам r r M и A ., т.е. мы потребуем выполнения следующих условий устойчивости движения материальной частицы r r M = const, A = const ,

(7.13)

т.е. для этих движений общие уравнения (7.8) должны принять вид r dM = 0, dt

r dA = 0, dt

(7.14)

или

[Ωr Mr ] = 0, [Ωr A] = 0 . r

(7.15)

r Отсюда вытекает, что устойчивыми по отношению к векторным элементам M r и A в задаче Лензе-Тирринга является класс круговых орбит, лежащих в экваториальной плоскости вращающегося тела. Второе указание – закон планетных расстояний О.Ю.Шмидта в космогонии [44]. Согласно О.Ю.Шмидту: разность квадратных корней из расстояний двух смежных планет от Солнца есть величина постоянная R n +1 − R n = R n − R n −1 ,

(7.16)

или R n = R 0 + b ⋅ n , n = 0,1,2,...

(7.17)

где b – постоянная разность смежных квадратных корней. Предполагая, что в Солнечной системе все орбиты круговые и что все планеты земной группы имеют одинаковую массу, мы можем переписать закон Шмидта т.е. равенства (7.16), (7.17), через моменты количества движения, используя известное соотношение: M 2n Rn = , α = γmm 0 . mα

Тогда, закон планетных расстояний Шмидта приобретает вид:

(7.18)

105

M n +1 − M n = M n − M n −1 ,

(7.19)

M n = mα (R 0 + b ⋅ n ) .

(7.20)

Таким образом, Шмидт в своей известной космогонической теории фактически пользуется законом квантования момента количества движения. Здесь также добавим, что Н.Г.Четаеву (1902-1959) – член-корр. АН ССР, выдающемуся советскому механику и математику, автору фундаментальных работ и идей в области теории устойчивости и аналитической механики, принадлежит интереснейшая мысль [27], [45]: «Устойчивость, явление принципиально общее, как-то должна, по-видимому, проявляться в общих законах природы». Последовательно развивая эту мысль, Н.Г.Четаев пришел, в частности, к гипотезе о квантовании устойчивых орбит динамики. По Н.Г.Четаеву, устойчивыми могут быть лишь некоторые, исключительные траектории-анологично тому, как в квантовой механике устойчивы лишь исключительные орбиты электронов» [27]. Заметим, что в космогонии много говорилось о роли вращения (Солнца, планет), причем как собственного, так и орбитального, в эволюции Солнечной системы. Однако, только учет механики ОТО делает эту задачу определенной, ибо с вращением связывает определенное поле сил - векторное гравитационное r поле, с вектор-потенциалом U . Третье указание – это соотношение релятивистских спин-спиновых и магнитно-магнитных взаимодействий в планетной космогонии. Для Солнечной системы спин-спиновое взаймодействие системы «Солнце + планета» такого же порядка, что и магнитно-магнитное взаимодействие в этой системе. Действительно, согласно ОТО, добавка к гамильтониану, учитывающая взаимодействие двух угловых моментов (собственных вращении «Солнце + планета») имеет вид [11]: δH = −

[ ]

[ ]

γ  r r  r r 1   2 γm  r r  r r 1    S∇ S0∇   −  S∇ S0∇   , r   7 m 0c 2  r c2   

(7.21)

r ∂ где ∇ – оператор r . ∂r Магнитно-магнитное взаимодействие системы «Солнце + планета» дает дополнительный член в гамильтониане [46]

(MM )r δH ′ = r r

0

2

( )(

rr r r − 3 Mr M 0 r r

5

).

(7.22)

Легко показать, что для Солнечной системы взаимодействия (7.21) и (7.22) имеют одинаковый порядок, если воспользоваться соотношением Блэкета (6.2)

106

r γr M = −β S, 2c

(7.23)

где β – числовой коэффициент. То, что спин-спиновое и магнитно-магнитное взаимодействия в планетной системе имеют одинаковый порядок, имеет важное значение. По Альвену [47] магнитно-магнитное взаимодействие играет важную роль в эволюции Солнечной системы. Теперь ясно, что мы также должны учитывать и спин-спиновое взаимодействие. Четвертое указание – это наличие ситуации в планетной космогонии, описываемых с помощью идей неравновесной термодинамики, хотя правда и сама термодинамика космических процессов находится в зачаточном состоянии [48]. Первая идея, за которую нам следует ухватиться, это принцип симметрии Кюри. В формулировке немецкого математика Г.Вейля принцип Кюри гласит: «Если условия, однозначно определяющие какой-либо эффект, обладают некоторой симметрией, то и результат их действия обнаруживает ту же симметрию» [48. с.27]. Поэтому, как нам кажется, формирование планетной системы, происходящее под постоянным действием скалярного и векторного гравитационных полей Солнца U=

[ ]

γm 0 r γ rr , U = − 3 r S0 , r 2r

(7.24)

r из которых U обладает сферической симметрией, U – аксиальной симметрией должно, в конечном счете, утвердить в планетной системе эти же симметрии. Другой идей, которой мы можем также воспользоваться из неравновесной термодинамики, является наличие так называемых стационарных состояний. При этом нельзя путать такие состояния и равновесия, которое характеризуется максимумом энтропии или равенством нулю производства энтропии. Стационарные состояния играют в физике огромную роль, поскольку подавляющую часть времени системы, подвергающиеся постоянным (или почти постоянным) внешним воздействиям, проводят в стационарном состоянии [48. c.32]. Стационарные состояния являются этапом в эволюции системы к равновесию. Переход системы к равновесию обычно распадается на два более или менее четко разделенных этапа [48]: формирование квазистационарных неравновесных состояний и эволюция квазистационарных состояний к полному статистическому равновесию. Слово «квазистационарное» здесь употребляется, чтобы подчеркнуть, что стационарные состояния существуют в ограниченном интервале времени. По мере выхода из этого интервала стационарные состояния начинают медленно эволюционировать в другие стационарные состояния или к равновесию. Так может происходить и в планетной системе с Солнцем и планетами, движущимися по орбитам.

107

Пятое указание – это гипотеза гравимагнетизма [41,42]. Эта гипотеза имеет определенное применение в планетной космогонии объясняя, например, магнетизм небесных тел. Об этом мы уже говорили в главе 6.

108

Глава 8 Метод Фока и уравнения движения материальной точки переменной массы В ОТО Проблема движения является одной из основных проблем общей теории относительности (ОТО). Главная задача в ней заключается в получении уравнений движения и их исследовании. При этом проблема движения в ОТО, вообще говоря, разделяется на проблему движения тел постоянной массы и проблему движения тел переменной массы. Проблему движения тел постоянной массы в ОТО, как говорилось выше, достаточно хорошо разработана. В ней развито несколько основных методов получения уравнений движения. Это метод Эйнштейна-ИнфельдаГоффмана (метод EIH) [4], метод Инфельда [5], первый и второй методы Фока [2, 6,]. Кроме того, развиты и различные методы исследования уравнений движения (метод Гамильтон-Якоби, метод адиабатических инвариантов, методы нелинейной механики и др.) [3, 11]. На их основе решен ряд модельных задач релятивистской небесной механики [11, 12, 32, 49]. Среди методов получения уравнений движения наиболее полные результаты получаются с помощью метода Фока. Это связано с тем, что, в отличие от методов EIH и Инфельда, рассматривающих только точечные тела, метод Фока позволяет рассматривать движение конечных тел. Наиболее явно преимущества подхода Фока проявляются при рассмотрении вращательного движения. Проблема движения тел переменной массы в ОТО разрабатывается с семидесятых годов рядом авторов как у нас в стране (Закиров, Розенберг, Павлов) [50-54], так и за рубежом (Меллер, Групи) [55, 56]. Интерес к проблеме движения переменных масс в ОТО стимулируется развитием релятивистской теории космического полета [57-72], а также тем обстоятельством, что все большее значение приобретает учет эффектов ОТО в движении небесных тел [12, 32, 49]. Заметим, что небесные тела часто являются переменными массами [73-78]. Для всех указанных выше работ по проблеме движения тел переменной массы в ОТО характерно: во-первых, уравнения движения тел переменной массы в ОТО получаются независимо от уравнений поля путем обобщения аналогичных уравнений СТО; во-вторых, рассматривается движение только одного точечного тела переменной массы. В тоже время вопрос о движении переменных масс в ОТО можно рассмотреть и с более общих позиций, рассмотрев движение системы конечных тел переменной массы в ОТО. Такое рассмотрение, как и в случае конечных тел постоянной массы, естественно провести с помощью метода Фока. Настоящая глава посвящена обоснованию применимости метода Фока к проблеме движения тел переменной массы в ОТО. Оно проводится на примере движения материальной точки переменной массы в ОТО. Основная задача при этом заключается в получении общековариантных уравнений движения

109

материальной точки переменной массы на основе второго метода Фока [79, 80, 81].

8.1. Вывод уравнений движения материальной точки переменной массы в ОТО методом Фока Как известно, метод Фока используется при выводе уравнений движения тел постоянной массы в ОТО [2, 11, 12 и др.]. Здесь мы рассмотрим вопрос о применимости метода Фока и для вывода уравнений движения материальной точки переменной массы во внешнем гравитационном поле в ОТО. При обосновании своего метода, Фок рассмотрел вначале вопрос о выводе уравнений движения материальной точки постоянной массы во внешнем гравитационном поле [2]. При этом он исходил из равенства нулю расходимости тензора массы ∇ ν T µν = 0 .

(8.1)

Используя тензор массы вида T µν = ρ ∗ U µ U ν ,

(8.2)

и интегрируя по объему, а затем, переходя к пределу сосредоточенной массы, Фок получает из условия (8.1) уравнения геодезической линии dU ν ν + Γαβ Uα Uβ = 0 . dτ

(8.3)

Оказывается, что аналогичным же путем из условия (8.1) можно получить и уравнения движения материальной точки переменной массы во внешнем гравитационном поле в ОТО. Для этого, вначале сделаем несколько предварительных замечаний. Под переменной массой в теории относительности понимается масса, у которой с течением времени изменяется масса покоя вследствие испускания (присоединения) частиц [53, 69, 81]. Далее для определенности мы ограничимся случаем вылета массы. Кроме того, при рассмотрении тел переменной массы в ОТО будем также пользоваться некоторыми соображениями классической механики тел переменной массы. Так, например, следуя Космодемьянскому, «… ограничимся рассмотрением таких тел переменной массы, для которых излучение (отбрасывание) частиц происходит с некоторой части поверхности тела, причем частицы, не имеющие относительной скорости по отношению к системе осей координат, связанной с телом, считаются принадлежащими телу, а частицы, имеющие относительную скорость, телу не принадлежит и никакого влияния на

110

его движение не оказывают. Реактивные силы и моменты понимаются во всем дальнейшем как результат контактного взаимодействия отбрасываемых частиц и тела в момент их отделения от основного тела. Основные кинетические величины: количество движения, кинетический момент и кинетическую энергию будем определять по формулам динамики системы точек постоянной массы, распространяя суммирование только на те точки тел, которые не имеют относительной скорости. Предположение о том, что взаимодействие отделяющихся частиц с основным телом происходит только в момент отделения… позволяет получить закономерности, не зависящие от процесса излучения частиц, предшествующего моменту отделения, т.е. не зависящие от «истории» движения струи отброшенных частиц до рассматриваемого момента времени t. В рамках принимаемой гипотезы частицы струи воздействуют на тело по поверхности контакта, отделяющей в данный момент частицы струи от частиц основного тела» [82, c.89-90]. Теперь перейдем непосредственно к выводу уравнений движения материальной точки переменной массы во внешнем гравитационном поле из условия (8.1). Перепишем выражение (8.1) в виде ∂ ∂t

(

)

− gT 0ν +

∂ ∂x k

(

)

ν − gT kν + − gΓαβ T αβ = 0 .

(8.4)

Умножим выражение (8.4) на (dx ) и интегрируем по объему, занимаемому пробным телом переменной массы. Тогда 3

d dt

∫

− gT 0ν (dx ) + 3

(a )

∫

ν − gΓαβ T αβ (dx ) +

3

(a )

∫

(a )

∂ ∂x k

(

)

− gT kν (dx ) = 0 . (8.5) 3

Подставляя в (8.5) выражение для компонент тензора массы (8.2) получаем d dt

∫

− gρ∗ U 0 U ν (dx ) + 3

(a )

+

∫

(a )

∂ ∂x k

(

∫

(a )

ν (dx ) + − gρ∗ U α U β Γαβ

3

)

− gρ∗U k U ν (dx ) = 0 . 3

(8.6)

В соответствии со сделанными выше замечаниями, массу пробного тела переменной массы в каждый момент времени определим, как

111

cm =

∫

ρ ∗ − g U 0 (dx ) , 3

(8.7)

(a )

т.е. аналогично случаю тел постоянной массы [2, c.314]. Переходя теперь в соотношении (8.6) к пределу сосредоточенной массы, получаем для первых двух интегралов выражения, совпадающие по виду с аналогичными выражениями для постоянных масс [2, c.315]

∫

− gρ ∗ U 0 U ν (dx ) = mcV ν , 3

(8.8)

(a )

∫

ν − gρ ∗ Γαβ U α U β (dx ) =

3

(a )

mc ν α β Γαβ V V , V0

(8.9)

где V α – 4-скорость материальной точки переменной массы. Следует помнить, что масса m в соотношениях (8.8) и (8.9) есть функция времени. Рассмотрим теперь третий интеграл в соотношении (8.6). Прежде всего преобразуем его, воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса

∫

(a )

∂ ∂x k

(

)

− gρ ∗ U ν U k (dx ) = 3

∫

− gρ ∗ U ν U k dS k .

(8.10)

Sa

Полагая, что вылет массы происходит с некоторой малой поверхности δS , получаем

∫

− gρ ∗ U ν U k dS k = A ν

∫

− gρ∗ A k dS k = −A ν m ∗ c ,

(8.11)

δS

Sa

где A ν – 4-скорость вылетающих частиц, а cm ∗ = −

∫

− gρ ∗ A k dS k

(8.12)

δS

есть расход в единицу времени вылетающих частиц. Таким образом, учитывая (8.8), (8.9) и (8.11), из соотношения (8.6) получаем

112 α β dmV ν ν V V + mΓαβ = A ν m∗ . 0 dt V

(8.13)

Переходя в соотношении (8.13) к собственному времени материальной точки переменной массы, имеем dmV ν ν + mΓαβ V α Vβ = A ν V 0 m∗ , dτ

где учтено, что V 0 =

(8.14)

dt . Запишем (8.14) в другом виде dτ

 dV ν dm DV ν ν α β ν dm V + m + Γαβ V V  = V +m = A ν V 0 m∗ . dτ dτ dτ  dτ  ν

(8.15)

Умножив выражение (8.15) скалярно на V ν , и учитывая, что ν

Vν V = 1 ,

DV ν V = 0, dτ

(8.16)

1 dm . A Vν dτ

(8.17)

ν

имеем V 0 m∗ =

ν

Соотношение (8.17) устанавливает связь между изменением массы покоя материальной точки переменной массы и массой покоя вылетающих частиц. Действительно, если соотношение (8.17) записать в собственной системе отсчета материальной точки переменной массы V 0 = 1 , то для единичного промежутка времени dτ получаем

(

m∗ =

dm . Vν A ν

)

(8.18)

Здесь m ∗ есть расход частиц в единицу собственного времени материальной точки переменной массы dτ . Так как [2, c.70] A ν Vν =

1 1−

Wk2 2 c

,

(8.19)

113

где Wk – 3-скорость относительного движения вылетающих частиц и материальной точки переменной массы, то соотношение (8.18) принимает вид m∗ W2 1 − 2k c

= dm .

(8.20)

Из соотношения (8.20) видно, что при Wk ≠ 0 изменение массы покоя материальной точки переменной массы не равно массе покоя вылетающих частиц. Возникающий дефект массы идет на придание вылетающим частицам кинетической энергии относительного движения. Неаддитивность массы покоя при процессе испускания частиц является существенным моментом, отличающим релятивистскую механику переменной массы от классической. Этот момент широко отражен в литературе [53,60,62,66]. Теперь подставим соотношение (8.17) в уравнения (8.15) и в результате окончательно получаем  dV ν 1 dm  A ν ν ν + Γαβ V α Vβ = − V .  dτ m dτ  A µ Vµ 

(8.21)

Это и есть уравнения движения материальной точки переменной массы в ОТО, полученные с помощью метода Фока. В следующем параграфе будет проведено сравнение этих уравнений с уравнениями движения материальной точки переменной массы в ОТО, полученными другими способами, и их анализ.

8.2. Анализ уравнений движения материальной частицы переменной массы в ОТО В данном параграфе рассмотрим получение с помощью метода Фока уравнения (8.21). Прежде всего покажем, что эти уравнения содержат в себе известное уравнения классической механики переменных масс – уравнение Мещерского [82, c.13] r dv r dm r r m = F+ (a − v ) , dt dt

а также релятивистский Федюшиным [69]

аналог

уравнения

(8.22)

Мещерского,

полученный

114

( )

r rr dm P v r r dm P vF r = F+a − 2 a, dt dt c

(8.23)

r где F обозначает внешнюю силу, а m P – релятивистскую массу. Для этого запишем (8.21) относительно времени t  Wk2 dv ν V 0 1 dm  ν 0 0 ν α β ν 0 + V Γαβ v v = a A 1− 2 − v V ,  dt m dt  c 

(8.24)

где A 0 и V 0 – нулевые компоненты 4-скорости, а dx ν , ν = 0,1,2,3 , x 0 = t . a ,v = dt ν

ν

(8.25)

В соотношении (2.3) учтено выражение (1.19). В начале рассмотрим нерелятивистское приближение уравнений (8.24) для пространственных компонент (ν = i ) . В этом случае имеем [2, c.317] i V 0 = A 0 = 1 , − Γ00 =

∂U . ∂x i

(8.26)

Тогда уравнения (8.24) принимает вид m

dv i ∂U dm −m = (a i − v i ) , dt ∂x i dt

(8.27)

то есть получаем известное классическое уравнения Мещерского для случая движения материальной частицы переменной массы в гравитационном поле. Теперь рассмотрим уравнения (8.24) для случая U << v i2 << c 2 .

(8.28)

В этом приближении  v2  V 0 = 1 + i 2  ,  2c  0 Γ00

 a2  A 0 = 1 + i 2  ,  2c 

1 ∂U 1 ∂U ∂U i =− 2 , Γ0i i = − 2 , Γ00 =− , ∂x i c ∂x i c ∂t

Wi2 Wi2 1− 2 = 1− 2 . c 2c

(8.29)

115

Преобразуем уравнения (8.24) к виду

(

)

Wk2 dm d ν 0 0 ν α β ν 0 mv V + V mΓαβ v v = a A 1 − 2 . dt c dt

(8.30)

С учетом (8.29) уравнения (8.30) для пространственных компонент принимают вид    v l2  v l2  ∂U a l2 Wl2  dm d  mv i  − m1 + 2    1 +  2c  ∂x = a i 1 + 2c 2 − 2c 2  dt . dt  2c 2     i  

(8.31)

Теперь запишем уравнения (8.30) для нулевой компоненты (закон изменения энергии)  v l2   1 ∂U 2v l ∂U a l2 Wl2  dm d   m − m− 2 m = 1 + 2 − 2  . (8.32)  1+ dt  2c 2   c 2 ∂t dt c ∂x l 2 c 2 c  

Так как ∂U ∂U dU + vl = , ∂t ∂x l dt

(8.33)

то, учитывая условие (8.28), соотношение (8.32) приводим к виду v l2   m ∂U  a l2 Wl2  dm d      m − v l = 1+ − .  1+ dt  2c 2   c 2 ∂x l  2c 2 2c 2  dt

(8.34)

Подставив соотношение (8.34) в уравнения (8.31) имеем   v l2  v l2  ∂U v l2   1  d  d  ∂U        1 + mv = m 1 + + a 1 + m − mv     i i k  2c 2  ∂x dt  2c 2  dt  2c 2   c 2  ∂x k    i

 a i .  (8.35)

Введем релятивистскую массу  v l2  m P = m1 + 2  .  2c 

(8.36)

116

Тогда уравнения (2.14) принимают следующий векторный вид

( )

r rr dm P v r r dm P vF r = F+a − 2 a, dt dt c

(8.37)

r где F = m P ∇U есть внешняя гравитационная сила. Уравнение (8.37), полученное нами из уравнений (8.21) при условии (8.28), совпадает по виду с уравнением (8.23), полученным Федюшиным, исходя из законов сохранения механики СТО. Рассмотрим теперь случай релятивистского движения материальной точки в пространстве без сил, то есть случай ν Γαβ = 0.

(8,38)

В этом случае из уравнений (8.21) получаем уравнения dmV ν A ν dm = µ , dτ A Vµ dτ

(8.39)

которые являются ковариантными уравнениями движения материальной точки переменной массы в рамках СТО [51, 53, 55]. Таким образом, нами показано, что уравнения (8.21) содержат в себе известные уравнения классической механики переменных масс и механики переменных масс СТО. Теперь рассмотрим уравнения (8.21), полученные с помощью метода Фока, с другой точки зрения: сравним их с уравнениями движения материальной точки переменной массы в ОТО, полученными другими способами. Одним из таких способов, как указывалось во введении, является полученные уравнений движения материальной точки переменной массы в ОТО независимо от уравнений поля, например, обобщая на случай ОТО уравнения движения механики переменных масс СТО. В качестве примера такого подхода рассмотрим простой способ получения уравнений движения материальной точки переменной массы в ОТО [81]. Из закона сохранения 4-импульсов механики СТО имеем

(

)

dP ν = d mV ν = −µ ∗ A ν ,

(8.40)

где m и V ν – масса покоя и 4-скорость материальной точки переменной массы, а µ ∗ и A ν – масса покоя и 4-скорость вылетающей частицы.

117

Записав соотношение (8.40) для ν = 0 в собственной системе отсчета материальной точки переменной массы, имеем dm = −

µ∗ Wk2 1− 2 2c

,

(8.41)

где Wk – относительная 3-скорость вылетающей частицы. Соотношение (8.41) устанавливает связь между изменением массы покоя материальной точки переменной массы и массой покоя и относительной скоростью вылетающей частицы. Воспользовавшись соотношением (8.19), выражение (8.41) запишем в виде µ∗ = −

dm . A µ Vµ

(8.42)

Подставим (8.42) в (8.41) и поделив на dτ , получаем уравнения движения материальной точки в рамках СТО dmV ν A ν dm = µ , dτ A Vµ dτ

(8.43)

т.е. получаем уравнения (8.39) Применим теперь обычный при обобщении уравнений СТО на случай d ОТО прием: заменим производную на абсолютную (ковариантную) dτ D производную . Тогда из уравнений (8.43) получаем следующие уравнения dτ движения материальной точки переменной массы в ОТО DmV ν A ν dm = µ , dτ A Vµ dτ

(8.44)

Dm dm = . dτ dτ На то, что уравнения движения материальной точки переменной массы в ОТО должны иметь вид

где учтено, что

DP ν = Πν , dτ

(8.45)

118

где Π ν – есть 4-импульс, теряемый частицей в единицу собственного времени, указывал еще Меллер [56, c.279]. При этом вид Π ν он не конкретизировал. Раскрыв левую часть (8.44), получаем уравнения движения материальной точки переменной массы в ОТО в виде  dm dV ν 1  Aν ν + Γαβ V α Vβ =  µ − Vν  ,  dτ dτ m  A Vµ 

(8.46)

которое совпадает с уравнениями (8.21). К уравнениям (8.46) приводятся и уравнения движения материальной точки переменной массы в ОТО, полученные итальянским физиком Групи [55], исходя из закона сохранения энергии – импульса в локально-лоренцевой системе отсчета. Отметим, что значительное внимание исследованию движения материальной точки переменной массы в ОТО уделялось Закировым [50, 51, 53, 83]. При этом в большинстве своих работ [50, 51, 53] уравнения движения он получает путем введения локально-лоренцевых систем отсчета и выбора локальных координат так, чтобы в них выполнялись уравнения движения точки переменной массы в предположениях СТО. В более поздних своих работах (например [83]) для вывода уравнений движения материальной точки переменной массы в ОТО Закиров использует тензор энергии-импульса t αν , определяющий взаимодействие вылетающих (присоединяющихся) частиц с материальной точки переменной массы. При этом найденные им уравнения движения совпадают с уравнениями (8.21), полученными с помощью метода Фока. Здесь заметим следующее. При выводе уравнений (8.21) считали, что материальная точка переменной массы меняет свою массу за счет вылета частиц. Если предположить, что изменение массы происходит за счет присоединения частиц, то аналогично §8.1 получаем уравнения движения такой материальной точки в ОТО. Эти уравнения имеют такой же вид (8.21), только A ν – 4-скорость присоединения частиц. Для случая, когда материальная точка переменной массы одновременно испускает и присоединяет частицы, получаем dm b A ν dm n W ν dmV ν ν α β + mΓαβ V V = + , dτ dτ A µ Vµ dτ W µ Wµ

(8.47)

где dm = dm b + dm n

(8.48)

119

Здесь A ν и W ν – 4-скорости вылетающих и присоединяющихся частиц, dm b и dm n – изменение массы материальной точки переменной массы за счет вылета и присоединение частиц. Таким образом, уравнения (8.21), полученные нами с помощью метода Фока, действительно являются уравнениями движения материальной точки переменной массы в ОТО. Они совпадают с аналогичными уравнениями, полученными другими способами. Уравнения (8.21) можно назвать аналогом в ОТО классического уравнения Мещерского.

120

Литература 1. Эйнштейн А. Сущность теории относительности. М., 1955, 159 с. 2. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. М., 1961, 563 с. 3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М., 1973, 400 с. 4. Эйнштейн А., Инфельд Л., Гоффман Б. Гравитационные уравнения и проблема движения // Эйнштейн А. Собр. научн. трудов. М., 1966. Т.2. с. 450513. 5. Инфельд Л., Плебанский Е. Движение и релятивизм. М., 1962, 204 с. 6. Фок В.А. О движении конечных масс в общей теории относительности// ЖЭТФ, 1939, Т.9. с. 375-410. 7. Schwarzschild, Sitzungsber. d. Preub. Akad.d.Wissensch., S.189, 1916. 8. Kerr R.P., Phys. Rev. Letters, 11,237(1963). 9. De Donder. La gravifique einsteinienne. Paris, 1921. 10. K.Lanczos. Phys.ZS. 23, 537, 1923. 11. Абдильдин М.М. Механика теории гравитации Эйнштейна. Алма-Ата. 1988, 198 с. 12. Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика. М., 1972, 382 с. 13. Абдильдин М.М. О метрике вращающегося жидкого шара. Вопросы теории поля. Алма-Ата, 1985, с. 20-25. 14. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М., 1973, 207 с. 15. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М., 1968, 799 с. 16. Бергман П. Введение в теорию относительности. М., 1947, 380 с. 17. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1962, 1094 с. 18. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. М., 1974, 569 с. 19. Иваницкая О.С. Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновской теории тяготения. Минск, 1979, 334 с. 20. Абдильдин М.М., Баимбетов Ф.Б., Жусупов М.А., Кожамкулов Т.А., Рамазанов Т.С., Омаров М.С. Исследование проблем фундаментальных взаимодействий в теоретической физике. Алматы. 1997. 141с. 21. Абдильдин М.М. Адиабатическая теория движения тел в ОТО. // Движение тел в релятивистской теории гравитации; Тезисы докл. второго всесоюзного симпозиума, Вильнюс-Каунас, 1986, с. 6-7. 22. Абдильдин М.М., Омаров М.С. Адиабатическая теория движения тел в ОТО. // Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации; Материалы VII Всесоюзного конф., Ереван, 1988, с. 3-4. 23. Abdildin M.M. Adiabatic theory of body motion in GR Mechanics // 15 th International Conference, Pune (India), 16-21 December, 1997. – Pune, 1997, -P.7071.

121

24. Абдильдин М.М., Омаров М.С. Анализ корректной метрики первого приближения в методе Фока в ОТО. // Проблемы физики звезд и внегалактической астрономии. Алматы, 1993, с. 170-178. 25. Абдильдин М.М., Омаров М.С. Об оптимизации выбора векторных элементов в адиабатической теории движения тел в ОТО. Известия НАН РК, Алматы, 1994, №4, сер. физ. -мат., с. 17-21. 26. Abdildin M.M., Omarov M.S., Abishev M.E. On optimization of the choice of vector elements in an adiabatic theory of body motion in General Relativity. Gravitation Cosmology, vol.7(2001), №4(28), pp. 332-332. 27. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. М., 1979. 430 с. 28. Abdildin M.M., Omarov M.S. On the hydrodynamical analogy in GR mechanics // 15 th International Conference, Pune (India), 16-21 December, 1997. – Pune, 1997, -P.73. 29. Абдильдин М.М. Некоторые следствия из теории тяготения Эйнштейна для космогонии солнечной системы. Вестник ЛГУ. Серия физ.-хим. 1964. №22.с. 19-25. 30. Пирагас К.А. – В сб.: «Гравитация и теория относительности», вып. 4-5. Казань, 1967, с.238. 31. Пирагас К.А. Об устойчивости движения в ОТО. Канд. дис. Казань, 1969, с.238. 32. Рябушко А.П. Движение тел в общей теории относительности. Минск. «Вышейшая школа», 1979, 237 с. 33. Абдильдин М.М., Абишев М.Е., Бейсенова Н.А. Об устойчивости по отношению к векторным элементам орбиты в механике ОТО. Вестник КазГНУ, серия физическая, 2001, №1(10). с. 10-15. 34. Абдильдин М.М. Об устойчивости по отношению к векторным элементам орбиты в механике ОТО. Сб. тезисов V международной конференции по гравитации и астрофизике стран Азиатско-тихоокеанского региона. Москва. 2001. с. 9. 35. Лахтин Л.М. Свободное движение в поле Земного сфероида. Москва, 1963. с.120. 36. Боголмолов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимметрические методы в теории нелинейных колебаний. М., 1974. 503 с. 37. Willson H.A. – Proc. Roy. Soc. A., 1923, 104. 38. Блэкет П.М. – УФН, Т.38, №1, 1947. 39. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т.2. М., «Наука», 1966. 40. Григорьев В.И., Григорьева Е.В. О гиромагнитном отношении небесных тел. Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. №3, 1966. 41. Абдильдин М.М. К интерпретации общей теории относительности. Известия АН КазССР, серия физ.-мат. №4, 1968, с. 76-82. 42. Abdildin M.M. On interpretation of the Einstein equations in General Relativity. Gravitation Cosmology, vol.5 (1999), №3 (19), pp. 219-221. 43. Абдильдин М.М. О магнитном поле пульсара. Фридмановские чтения, Пермь, 1998, с.26.

122

44. Шмидт О.Ю. Четыре лекции о теории происхождения Земли. Избранные труды. Геофизика и космогония, Изд. АН СССР, 1960, стр. 102. 45. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. Изд. АН СССР, М., 1962. 46. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. М., 1970,503 с. 47. Альвен Х., Аррениус Г. Эволюция Солнечной системы. ИЗД. «Мир», М, 1979. 48. Осипов А.И. Самоорганизация и хаос. Изд. «Знание», Москва, 1986/87. Cерия «Физика». 49. Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике. М.: Энергоатомиздат, 1985. –294. 50. Закиров У.Н. Уравнения движения космического тела переменного состава в предпосылках теории относительности. – ДАН СССР, 254, 1980, №1, с. 50-52. 51. Закиров У.Н. Уравнения движения точки переменной массы покоя и релятивистские решения некоторых траекторных задач. Автореферат дис. канд. физ.-мат. наук. – М., 1980. –15 с. 52. Розенберг Л.А. Уравнения движения тела переменной массы в общей теории относительности. – ПММ, 1968, вып.3., с.521-529. 53. Закиров У.Н. Механика релятивистских космических полетов. – М.: Наука, 1984. –152 с. 54. Павлов А.М. О принципе стационарного действия механики точки переменной массы к второй задаче К.Э.Циалковского в общей теории относительности. – В книге: Труды 13 чтений К.Э.Циолковского. Секция «Механика космического полета». М., 1978, с. 43-47. 55. Grupi G. Considerazioni generali sulla dinamica del punto a massa variabile in relativita generale. Aspetti newtoniani. Riv. mat. Univ. Parma. 5/1, 1979, 305-319. 56. Меллер К. Теория относительности. – 2-е изд., перераб. –М., Атомиздат, 1975. –400с. 57. Ackeret I. Zur theorie der raketen. Physika acta, 19, 1946, 103-112. 58. Bade W.L. Relativistic rocket theory. Am. I. Phys., 21, 1953, 310. 59. Krause H. Relativistic rocket mechanics. Astronautica acta, 2, 1956, 198. 60. Зенгер Е. К механике фотонных ракет. – М.: ИИЛ, 1956.– 143 с. 61. Bussard R.W. Galactic matter and Interstellar flight. Astronautica acta, 6, 1960, 179-194. 62. Станюкович К.П. Релятивистское обобщение формулы Циолковского. –В кн.: Некоторые вопросы механики. М., 1958, с.156-161. 63. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. – М.: Высшая школа, 1976. – 415 с. 64. Калицын Н.С. Релятивистская механика точки переменной массы. – ЖЭТВ, 28, 1955, вып.5, с.631-632. 65. Угаров В.А. Специальная теория относительности. – 2-е изд., перераб. –М.: Наука, 1977. –383 с. 66. Федюшин Б.К. О релятивистской ракетодинамике. – В кн.: Труды ЛИАП, вып.58, 1968, с.115-124.

123

67. М Федюшин Б.К., Грабун В.Я. К теории релятивистского космического корабля. – В кн.: Труды ЛИАП, вып.75, 1972, с.101-107. 68. Федюшин Б.К., Грабун В.Я. Алгоритмирование задачи о полете релятивистской ракеты. – В кн.: Труды ЛИАП, вып.85, 1974, с.163-165. 69. Федюшин Б.К. О релятивистской механике с переменной массой покоя. – В кн.: Труды ЛИАП, вып.97, 1976, с.109-113. 70. Федюшин Б.К., Базилевская Н.С., Щербак С.Я. Основная задача релятивистской ракетодинамики. – В кн.: Астрометрия и небесная механика. М.-Л., 1978, с. 511-519. 71. Закиров У.Н. О силе Минковского для точки переменной массы. – В кн.: Динамика и эволюция звездных систем. М.–Л., 1975, с. 230-237. 72. Закиров У.Н. Оптимальный подбор ступеней составной многоступенчатой слаборелятивистской микротермоядерной ракеты в рамках специальной теории относительности. – В кн.: Труды 14-х чтений К.Э.Циолковского. Секция «Проблемы ракетной и космической техники». М., 1980, с.58-65. 73. Зельдович Я.Б., Блинков С.И., Шакура Н.И. Физические основы строение и эволюции звезд. – М.: МГУ, 1981. –159 с. 74. Мещерский И.В. Работы по механике тел переменной массы. – М.-Л.: ГИТЛ, 1949. – 275 с. 75. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Теория тяготения и эволюция звезд. – М.: Наука, 1971. –484 с. 76. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. –3-е изд., перераб. –М.: Наука,1975. –799 с. 77. Беркович Л.М. Задача Гюльдена-Мещерского и законы изменения массы. – ДАН СССР, 250, 1980, №5, с.1088-1091. 78. Омаров Т.Б. Динамика гравитирующих систем метагалактики. – Алма-Ата: Наука, 1975. – 144 с. 79. Абдильдин М.М., Архипкин О.П. Об одном способе получения уравнений движения материальной точки переменной массы в общей теории относительности (ОТО). – В кн.: Физика атомного ядра космических лучей. Алма-Ата, 1980, с. 72-75. 80. Абдильдин М.М., Архипкин О.П. Обобщение метода Фока в ОТО на случай переменных масс. – В кн.: Тезисы докладов 5-Всесоюзной конференции «Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации». М., 1981, с.90. 81. Абдильдин М.М., Архипкин О.П., Омаров М.С. Об уравнениях движения материальной точки переменной массы в общей теории относительности. – В кн.: Вопросы теории поля. Алма-Ата, 1985, с. 112-120. 82. Космодемьянский А.А. Курс теоретической механики. – изд. 3-е перераб. – М.: Просвещение, 1966, Т.2. 398 с. 83. Закиров У.Н. Уравнения относительного движения двух близколетящих точек переменной массы покоя в поле Шварцшильда. – В кн.: Гравитация и теория относительности. Казань, издательство Казанского университета, 1986, с.54-62.

124

84. Н.В.Пушков. Магнетизм в космосе. Изд. “Знание”, М., 1961. Серия IX, Физика и Химия.

125

Приложение

Ю.С. ВЛАДИМИРОВ МГУ им. М.В. Ломоносова В.А. ФОК И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ Последнее публичное выступление академика Владимира Александровича Фока состоялось на физическом факультете Московского государственного университета 1 марта 1974 г. на семинаре "Геометрия и физика" (орган секции гравитации НТС Минвуза СССР) в большой физической аудитории. В связи с этим хотелось бы заметить, что Владимир Александрович, являясь академиком, всегда с гордостью относил себя к вузовским работникам. Большая часть его жизни связана с Ленинградским государственным университетом. Однако не многим известно, что в 40-х годах он короткое время работал на физическом факультете Московского государственного университета. У него были далеко идущие планы по реорганизации преподавания теоретической физики в МГУ, однако сотрудничество с университетскими теоретиками не сложилось, и он вернулся в Ленинградский университет. И вот так случилось, что его последнее публичное выступление состоялось именно в стенах МГУ. На его выступление собралось много студентов и преподавателей -еще бы, в то время академик В.А. Фок, можно сказать, был советским физикомтеоретиком номер один. Большая физическая аудитория была заполнена. В своем выступлении он поделился рядом мыслей в связи с вышедшей в 1973 г. на русском языке книгой физика-теоретика из ГДР Г. Тредера "Теория гравитации и принцип эквивалентности" [1]. В частности, он изложил свое понимание сущности общей теории относительности и роли в ней принципа эквивалентности. Выступление было интересным, однако было видно, что докладчик тяжело болен. Владимир Александрович говорил трудно - часто запинался, иногда паузы были слишком долгими и мучительными, порой даже терял нить рассуждений, повторялся. Владимир Александрович Фок внес огромный вклад в развитие теории гравитации, квантовой теории и в теорию распространения радиоволн. Достижения в этих областях физики отражены в его монографиях "Теория пространства, времени и тяготения" [2], ''Начала квантовой механики" [3] и "Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн" [4]. В этой статье хотелось бы остановиться на некоторых идеях и взглядах В.А. Фока по принципиальным проблемам теории пространства—времени и физических взаимодействий, в частности, в связи с развиваемой в наших работах бинарной геометрофизикой.

126

1. Прежде всего следует подчеркнуть, что В.А. Фок смог наиболее четко сформулировать суть общей теории относительности (ОТО), отличающуюся от понимания самим А. Эйнштейном созданной им теории. Напомним, что в статье 1918 г. А. Эйнштейн писал: "Теория, как мне кажется сегодня, покоится на трех основных положениях, которые ни в какой степени не зависят друг от друга... а) принцип относительности: законы природы являются лишь высказываниями о пространственно-временных совпадениях, поэтому они находят свое естественное выражение в общековариантных уравнениях; б) принцип эквивалентности: инерция и тяжесть тождественны...; в) принцип Маха: G-поле полностью определено массами тел" [5. С. 613]. Впоследствии А. Эйнштейн уже не настаивал на важности принципа 1 Маха в понимании уже созданной теории, хотя и не отрицал его значение в процессе ее создания. Владимир Александрович же считал: «Истинной логической основой теории тяготения Эйнштейна являются не идея общей относительности и не принцип эквивалентности, а другие две идеи, именно: идея объединения пространства и времени в единое хроногеометрическое многообразие с индефинитной метрикой (эта идея была осуществлена Эйнштейном уже в его теории 1905 года - в "частной" теории относительности) и отказ от "жесткости" метрики, позволившей связать ее с явлением тяготения, а тем самым и с весомой материей (уравнения тяготения Эйнштейна). Идеи же общей ковариантности уравнений (так называемая общая относительность) и кинематического толкования тяготения (так называемая эквивалентность) сыграли лишь эвристическую роль» [6. С. 5]. Далеко не сразу и не все согласились с трактовкой сути ОТО, данной В.А. Фоком. Были и высказывания такого рода: не слишком ли много берет на себя В.А. Фок, заявляя, что А. Эйнштейн не понял своей теории? Эту свою точку зрения на суть ОТО В.А. Фок повторил и в своем последнем выступлении в МГУ. 2. По окончании упомянутого выше доклада к В.А. Фоку посыпались вопросы по широкому кругу проблем. Среди них был вопрос о его отношении к модным в то время черным дырам. В середине 70-х годов о них много писалось в печати, говорилось в выступлениях ведущих физиков-теоретиков. Например, к тому времени уже были опубликованы книги академика Я.Б. Зельдовича и доктора физико-математических наук И.Д. Новикова по релятивистской астрофизике, где большое внимание уделялось черным дырам. Более того, в дальнейших исследованиях И.Д. Новикова черные дыры занимали ключевое место. Этой проблемой были увлечены не только в группе Я.Б. Зельдовича. От одного из учеников Л.Д. Ландау я слышал такую крылатую фразу: "Черные дыры есть везде, где не доказано их отсутствие". И вот теперь этот вопрос был поставлен перед академиком В.А. Фоком. Он попытался уйти от ответа, но вопрос был задан вторично. На это Владимир

1

Отметим, что термин "принцип Маха" был введен А. Эйнштейном в упомянутой здесь работе

127

Александрович сказал, что он уже отметил свой 75-летний юбилей и теперь уже не следит за литературой. Тогда профессор В.Б. Брагинский предложил: - Владимир Александрович, хотите, я вам подберу литературу по этому вопросу? - Нет, не надо. Все равно не поверю, - ответил, что называется, "прижатый к стенке" академик. Как я понял, Владимир Александрович не имел иллюзий на этот счет, не разделял господствовавшей тогда уверенности в возможности экстраполировать закономерности, вскрытые общей теорией относительности, как угодно далеко за пределы того круга явлений, где они установлены. Вместе с тем он, видимо, чувствовал, что обсуждение гипотезы черных дыр способствует привлечению внимания общественности к проблемам теории гравитации и вообще к фундаментальной теоретической физике, поэтому особо не стремился афишировать свое особое мнение. 3. Другая проблема, которая в начале 70-х годов остро волновала не только физиков-теоретиков, но и широкие круги общественности, - это вопрос об обнаружении гравитационных волн космического происхождения. Известно, что на рубеже 60-70-х годов Дж. Вебер (США) широко объявил о приеме своей установкой гравитационных волн. Уже публиковались его статьи с указанием конкретных источников этого излучения, обсуждались вопросы его поляризации и другие тонкости. На 6-й Международной гравитационной конференции в Копенгагене (1971), где присутствовал и автор этой статьи, Дж. Вебер доложил свои результаты, и многие физики-релятивисты были склонны считать, что уже состоялось эпохальное открытие гравитационных волн. Некоторые отечественные теоретики приветствовали это мировое достижение, даже был случай, когда кричали: "Ура Веберу — открывателю гравитационных волн!" Мир замер в ожидании дальнейших событий в этой области. Во многих лабораториях мира бросились создавать установки типа веберовской для продолжения исследований. Но вот в 1972 г. завершил наладку своей установки в МГУ профессор В.Б. Брагинский. Серия экспериментов показала, что на объявленном Дж. Вебером уровне чувствительности гравитационные волны не наблюдаются. Сложилась весьма острая ситуация. Физики-теоретики разделились на сторонников Дж. Вебера или В.Б. Брагинского. Летом 1972 г. на сессии Академии наук СССР В.Б. Брагинский докладывал свои результаты. Академик В.А. Фок, присутствовавший на этом заседании, встал, обнял докладчика и публично расцеловал... 4. Когда заходит речь о заслугах В.А. Фока в развитии общей теории относительности, то обычно сразу же называют его знаменитую работу конца 30-х годов [7], в которой он показал, что уравнения движения материальных объектов следуют из уравнений Эйнштейна. Этот результат он получил независимо и почти одновременно с известной работой трех авторов: А. Эйнштейна, Л. Инфельда и Б. Гоффмана [8]. В этих работах разными путями было показано принципиально важное свойство нелинейных уравнений Эйнштейна, однако у В.А. Фока, на наш взгляд, это сделано глубже. Это

128

существенно продвинуло понимание свойств эйнштейновской теории гравитации. 5. Следует особо подчеркнуть заслугу В.А. Фока в четком разграничении понятий "координатная система" и "система отсчета". Он писал: "Понятие физической системы отсчета (лаборатории) не равносильно в общем случае понятию системы координат, даже если отвлечься от всех свойств лаборатории, кроме ее движения как целого" [9]. Отмечу, что как в работах самого А. Эйнштейна, так и у многих других авторов вплоть до последнего времени не проводится четкой разницы между этими понятиями. В.А. Фок сразу же почувствовал важность работ А.Л. Зельманова по методу хронометрических инвариантов, именно он представлял его работы в "Докладах АН СССР". Я был свидетелем, как на 3-й Международной гравитационной конференции в Варшаве (1962) академик В.А. Фок "снизошел" до того, что взял на себя роль простого переводчика на английский язык выступления доцента А.Л. Зельманова на эту тему. В связи с этим хотелось бы заметить, что В.А. Фок прекрасно владел основными европейскими языками: английским, немецким и французским. Однако свой доклад он делал по-русски, а затем сам его переводил на... французский язык. В 70-х годах физиками-релятивистами было осознано, что в эйнштейновской теории гравитации недостаточно требований общей ковариантности: теория должна быть дополнена чрезвычайно важным блоком математическими методами задания систем отсчета. Без них возникают трудности с корректным описанием наблюдаемых следствий общей теории относительности. Наиболее четким и экономным является монадный метод задания систем отсчета, который удобно применять в так называемой хронометрической калибровке монады. В нем используется специальное соглашение о связи координатных систем и систем отсчета, в частности, выделяется подгруппа координатных преобразований, не выводящая за пределы используемой системы отсчета. Имеется и другая, кинеметрическая калибровка монадного метода, в которой используется иное соглашение о связи координатных систем и систем отсчета. Эти методы позволяют не только описывать экспериментальные следствия теории, но и более четко осознать суть принципиальных проблем теории гравитации. Исследования в этом русле А.Л. Зельманова, Н.В. Мицкевича, В.Д. Захарова и других отечественных авторов были поддержаны В.А. Фоком. В развиваемой нами бинарной геометрофизике предложено обобщение на микромир понятия классических систем отсчета в виде так называемых бинарных систем комплексных отношений различного ранга. 6. Следует упомянуть идею В.А. Фока, которой он остался верен до конца жизни, - о выделенности гармонических координатных условий. Все свои результаты по теории гравитации он получал именно в гармонических координатных системах [2], но потом оказывалось, что для их получения гармонические координатные системы были не обязательными. Подавляющее число физиков-гравитационистов относилось к этой идее В.А. Фока как к

129

заблуждению. Но не будем торопиться с выводами. Пока гармонические условия лишь облегчали решение некоторых задач, но кто знает, может быть, в будущем окажется, что В.А. Фок был прав. 7. В.А. Фок занимает особое положение в плеяде отечественных физиковгравитационистов - он одновременно являлся еще и физиком-квантистом мирового уровня. Многие его работы и идеи относятся к пограничной области двух ключевых разделов физики XX в.: квантовой теории и теории относительности. Полагаю, что большинством физиков-теоретиков в недостаточной мере была оценена вскрытая им аналогия между понятием системы отсчета в ОТО и макроприбором в квантовой теории. В.А. Фок писал: "Понятие относительности к средствам наблюдения (в квантовой механике. Ю.В.) есть в известном смысле обобщение понятия относительности к системе отсчета. Оба понятия играют в соответствующих теориях аналогичную роль. Но в то время как теория относительности, которая опирается на понятие относительности к системе отсчета, учитывает лишь движение средств наблюдения как целого, в квантовой механике необходимо учитывать и более глубокие свойства средств наблюдения" [9. С. 73]. Эта мысль В.А. Фока чрезвычайно помогла в наших работах по бинарной геометрофизике [10, 11], которая основана на: 1) идее о макроскопической природе классического пространства-времени, 2) принципах теории прямого межчастичного взаимодействия Фоккера-Фейнмана и 3) идеях о многомерных геометрических моделях физических взаимодействий типа теорий Калуцы и Клейна. Согласно этому подходу, имеется самостоятельная система понятий, принципов и закономерностей, описывающая явления микромира, из которой при переходе к макрообъектам возникают классические геометрические представления. На первичном уровне вместо систем отсчета выступают бинарные системы комплексных отношений. Элементарными базисами этих систем являются простые системы из нескольких элементарных частиц. При переходе к стандартной теории необходимо произвести суммирование по элементарным базисам, образующим макроприбор, т.е. макроскопический базис классической системы отсчета. Очевидно, что такой макроприбор совмещает в себе как характеристики движения средств наблюдения, так и "более глубокие свойства средств наблюдения", о чем говорил В.А. Фок. 8. Следующий важный результат В.А. Фока, опять-таки на границе квантовой теории и ОТО, состоит в записи важнейшего уравнения квантовой теории — уравнения Дирака (для спинорных частиц, каковыми являются все основные частицы мироздания) — в искривленном пространстве-времени общей теории относительности. Известно, что этой проблемой занимались многие физики, в том числе и Э. Шредингер. Впервые эта задача была решена в совместной работе В.А. Фока и Д.Д. Иваненко [12], состоящей из двух частей. Впоследствии В.А.Фок развил свою часть статьи в отдельной обстоятельной работе [13], которая была включена нами в сборник "Альберт Эйнштейн и теория гравитации", выпущенный к 100-летнему юбилею Эйнштейна. Для этой цели пришлось решать задачу о параллельном переносе спиноров в искривленном пространстве-времени. Это было сделано с помощью

130

тетрадной формулировки ОТО, позволяющей ввести понятие спинора в каждой отдельной точке искривленного пространства-времени. Далее, зная, как выражаются векторы через спиноры и как параллельно переносятся векторы в обычной метрической формулировке ОТО, удалось найти выражение для параллельного переноса спиноров Ψ и уравнение Дирака, которое было найдено в следующем виде: i mc  ~  µ ∂ − A µ γ µ + ∆ µνσ γ µ γ ν γ σ + Ψ=0  − iγ µ 4 h  ∂x  ,

(1)

~ µ Aµ γ где - коэффициенты вращения Риччи, - 4-рядные матрицы Дирака, произвольная векторная величина. 9. Любопытно, что в ковариантной производной от спинора и в уравнении Дирака наряду с коэффициентами вращения Риччи, описывающими ~ Aµ гравитацию, возникал как произвольный фактор некий вектор . В.А. Фок отождествил его через соответствующий размерный коэффициент с векторным электромагнитным потенциалом и на этом основании сделал, на наш взгляд, необоснованный вывод о ненужности исследований по геометрическому объединению гравитации и электромагнетизма. Они-де автоматически оказываются объединенными в процессе получения уравнения Дирака (1). Об этом он писал в письме к Г. Вейлю. Затем этого мнения придерживались и некоторые другие авторы. Однако анализ показал, что В.А. Фоком было открыто лишь место, куда должно попасть электромагнитное поле, введенное из каких-либо иных соображений. Но для получения таких соображений и стоило заниматься построением единых теорий гравитации и электромагнетизма. 10. Отдельно следует сказать о важной работе В.А. Фока 1926 г. по 5мерной теории гравитации. Именно исходя из 5-мерия, В.А. Фок [14] и параллельно с ним О. Клейн [15], а затем В. Гордон [16] получили релятивистское обобщение уравнения Шредингера - ключевого уравнения нерелятивистской квантовой механики. Впоследствии релятивистское уравнение стали называть уравнением Клейна-Гордона, однако мы согласны с мнением ряда отечественных физиков-релятивистов, что здесь допущена историческая несправедливость, - более правильно называть это уравнение "уравнением Клейна-Фока". Это уравнение было записано как волновое уравнение для безмассовой частицы в 5-мерном пространстве-времени ∆ µνσ

~ G AB ∇ A ∇ B Ψ = 0 , где А, В = 0,1,2,3,4,

(2)

при предположении, что 5-мерная волновая функция Ψ специальным циклическим образом зависит от дополнительной координаты х4

131

 imc 4  Ψ = Ψ ( x α ) exp x  h  ,

(3)

α

где Ψ ( x ) - общепринятая часть волновой функции, зависящая только от четырех классических координат, m - масса частицы. Очевидно, что при дифференцировании Ψ по дополнительной координате в уравнении (2) возникает квадрат массы, как и положено в уравнении Клейна-Фока. Таким образом, В.А. Фок был в числе первых теоретикрв, использовавших многомерный подход в теоретической физике. Отметим, что идею о возможности 5-мерного обобщения эйнштейновской ОТО В.А. Фок позаимствовал от своего коллегии Г. Манделя [17], который пришел к этим идеям независимо от Т. Калуцы, но несколько позже. 11. Интересна история включения электромагнитного взаимодействия в уравнение Клейна-Фока и вообще в 5-мерную теорию. В работах В.А. Фока и О. Клейна это предполагалось делать через дополнительные компоненты ~ метрики G 4α 5-мерного искривленного пространства-времени, которые представлялись в виде ~ G µ4 =

q mc

2

Aµ ,

(4)

A где µ - электромагнитный векторный потенциал, q и m — электрический заряд и масса рассматриваемой частицы. Однако при этом теория приобретает характер, отличающийся от ОТО, — метрика начинает зависеть от свойств рассматриваемой частицы, т.е. пространство-время становится не универсальным (как в ОТО), а конфигурационным. В дальнейшем эту идею развивал Ю.Б. Румер [18] в своей 5-оптике. Известно, сколько трудностей возникло у него при обсуждении соотношения универсального и конфигурационных пространств. Может быть, это понимал В.А. Фок, который впоследствии больше не возвращался к своей работе по 5-мерию. Отметим, что такая теория существенно отличается от варианта 5-мерной теории, основанного Т. Калуцей [19], где, как и в ОТО, пространство-время имеет универсальный характер. Напомним, что в теории Калуцы смешанные компоненты метрического тензора отождествляются с векторным потенциалом электромагнитного поля иначе 2 kg ~ G µ5 = Aµ 2 c ,

(5)

132

k где g - ньютоновская гравитационная постоянная. Здесь коэффициент не зависит от характеристик рассматриваемых частиц. В этом варианте теории электрический заряд частиц вводится с помощью постулата циклической зависимости 5-мерных волновых функций частиц от дополнительной координаты х5  iecε  5 5  Ψ = Ψ ( x ) exp x 2 k h  g  , µ

(6)

µ где опять Ψ ( x ) - общепринятая волновая функция частиц, зависящая от четырех классических координат, ε5 - целочисленная гармоника, характеризующая заряд частиц в единицах заряда электрона е. Легко видеть, что формулы (5) и (6) в 5-мерной теории Калуцы существенно отличаются от аналогичных формул (3) и (4) в варианте 5-мерной теории Клейна-Фока-Румера. Это разные каналы многомерного обобщения ОТО, поэтому теорией Калуцы-Клейна правильнее было бы называть 6-мерную теорию с двумя дополнительными координатами х4 и х5. Такой вариант теории был проанализирован в нашей работе [11]. Сопоставление 6-мерной теории с развиваемой нами бинарной геометрофизикой заставляет отождествить ~ G µ4 A компоненту метрики также с электромагнитным потенциалом µ , но с коэффициентом, как в [5]. Тогда возникает дополнительный канал взаимодействия частиц с электромагнитным полем, который приводит к ряду эффектов. В частности, таким образом можно теоретически обосновать возникновение магнитных полей Земли, Солнца и других вращающихся астрофизических объектов [Там же. С. 238]. 12. Хотелось бы упомянуть еще один чрезвычайно интересный результат, полученный молодым В.А. Фоком, - имеется в виду его работа 1935 г. "Атом водорода и неевклидова геометрия" [20], где показано, что к теории атома водорода можно подойти от уравнения Лапласа в 4-мерном импульсном пространстве. Для этого нужно выделить угловую часть (в 4-мерном смысле) и произвести процедуру стереографической проекции 3-мерной гиперсферы на 3мерную гиперплоскость. Собственные значения угловой части оператора Лапласа, оказывается, соответствуют собственным значениям уравнения Шредингера в задаче атома водорода. Показано, что если преобразованием Фурье осуществить переход от импульсного в координатное пространство, то получается общеизвестное уравнение Шредингера для задачи атома водорода, т.е. для частицы в центрально-симметричном электрическом поле. Этот результат часто трактуют как открытие скрытой О(4)-симметрии в задаче атома водорода. До сих пор этот результат удивляет и будоражит мысль. Нам представляется, что истинный смысл данного результата раскрывается с точки

133

зрения развиваемой нами бинарной геометрофизики, исходящей из более первичных, нежели классические геометрические представления, бинарных систем комплексных отношений. В нашем подходе импульсные понятия возникают из первичных отношений раньше координатного пространства, поэтому прообразы известных видов физических взаимодействий, в частности лагранжианов и прообраз полей, формулируются в терминах импульсов и других комбинаций первичных параметров. В наших работах показано, что они описываются как минимум бинарными системами комплексных отношений ранга (5,5)2. Прообразом действия взаимодействующих электрона и протона, образующих атом водорода, выступает так называемое базовое 5x5-отношение, представляющее собой объем бинарной геометрии (см. [10, 12]). Напомним, что в такой теории электрон (L) описывается двумя элементами (левой и правой компонентами), а протон (В) - тремя. Из базового 5х5-отношения естественным образом выделяются "диагональные слагаемые", описывающие электромагнитную часть взаимодействия двух частиц. Ее можно представить в виде ~ ~ P µ (L)P(B) µ = C

,

(7)

~ ~µ P(B) µ P ( L ) где С - некоторая константа, и - обобщенные импульсы соответственно лептона и бариона, которые известным образом строятся из первичных отношений бинарной системы комплексных отношений ранга (5,5). Постулируется, что в собственной системе отношений данной водородоподобной системы обобщенные импульсы имеют компоненты

{

}

{

}

~µ ~ ~ ~ ~ ~ P (B) = P 0 (B); P i ; P µ (L) = P 0 (L);− P i ,

(8)

Очевидно, что в такой системе отношений (7) принимает вид

(~P ) + (~P ) + (~P ) + (~P ) 0 2

1 2

2 2

3 2

= C,

(9)

(~P )

~ ~ = P 0 (B)P 0 (L) - Соотношение (9) означает, что где введено обозначение состояние водородоподобной системы характеризуется точкой на 3-мерной гиперсфере в обобщенном импульсном пространстве. В разных элементарных базисах состояние будет характеризоваться различными точками. Поскольку все такие точки эквивалентны, можно говорить об 0(4)-симметрии. 0 2

2

Ранг бинарных систем комплексных отношений соответствует классическому понятию геометрической размерности.

134

Возможные распределения точек в разных элементарных базисах можно ~ ~ Φ P . Именно для этой охарактеризовать некоей функцией распределения

()

функции вводится уравнение Лапласа на гиперсфере  ∂2 ∂2 ∂2 ∂ 2  ~ ~  + ~2 + ~2 + ~2 Φ P = 0 2  ∂~  P  0 ∂P0 ∂P0 ∂P0 

()

(10)

Дальнейший ход рассуждений соответствует работе В.А. Фока. Из угловой части этого уравнения находятся собственные значения, характеризующие энергетические состояния водородоподобной системы. Стереографическая проекция гиперсферы на 3-мерную гиперплоскость фактически выделяет из обобщенного импульса компоненты общепринятого импульса и дополнительное слагаемое, соответствующее электромагнитному (кулоновскому) векторному потенциалу. Чтобы перейти от получающегося выражения к стандартному уравнению, необходимо произвести суммирование по элементарным базисам, составляющим макроприбор. Последнее в работе Фока отражено преобразованием Фурье, приводящим к стандартному уравнению Шре-дингера для атома водорода в координатном пространстве. В.А. Фок связал этот результат с неевклидовой геометрией, поскольку в работе производилась стереографическая проекция с гиперсферы в 4-мерном (импульсном) пространстве, на которой, как известно, имеет место риманова геометрия (геометрия пространства постоянной положительной кривизны). Интересно отметить тот факт, что в последующие годы Владимир Александрович больше не возвращался к этому результату, в частности, в новое издание его "Начал квантовой механики" этот результат не включен. В заключение напомним слова В.А. Фока: "Неравенства Гейзенберга... указывают пределы применимости классического способа описания. Но они отнюдь не ставят каких-либо границ для более совершенных способов описания физических явлений и для более полного познания свойств физических объектов" [21. С. 10]. Отмечая 100-летний юбилей академика В.А. Фока, хотелось бы не только напомнить перечисленные выше и многие другие его блестящие научные результаты и идеи, но и воздать ему должное как замечательному человеку. Автору этой статьи посчастливилось многократно слушать выступления Владимира Александровича, совместно участвовать в конференциях, заседаниях и в частных беседах, и всегда бросались в глаза его глубокая обстоятельность, порядочность и внимание к коллегам и собеседникам.

ЛИТЕРАТУРА Тредер Г. Теория гравитации и принцип эквивалентности. М.: Атомиздат, 1. 1973. 168 с.

135

2. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: Физматгиз, 1961.564 с. 3. Фок В.А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976. 376 с. Фок В.А. Проблемы'дифракции и распространения электромагнитных 4. волн. М.: Сов. радио, 1970. 5. Эйнштейн А. Принципиальное содержание общей теории относительности // Собр. науч. тр. М.: Наука, 1965. Т. 1. С. 613-615. 6. Фок В.А. Об основных принципах теории тяготения Эйнштейна // Современные проблемы гравитации. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1967. С. 5-11. 7. Фок В.А. О движении конечных масс в общей теории относительности // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. С. 232-284. 8. Эйнштейн А., Инфельд Л., Гоффман Б. Гравитационные уравнениями проблема движения // Эйнштейн А. Собр. науч. тр. М.: Наука, 1966. Т. 2. С. 450-491. 9. Фок В.А. Квантовая физика и философские проблемы // Физическая наука и философия. М.: Наука, 1973. С. 55-77. 10. Владимиров Ю.С. Реляционная теория пространства-времени и взаимодействий. Ч. 1. Теория систем отношений. М.: Изд-во МГУ, 1996. 264 с. 11. Владимиров Ю.С. Реляционная теория пространства-времени и взаимо действий. Ч. 2. Теория физических взаимодействий. М.: Изд-во МГУ, 1998. 448 с. 12. Fock V., Ivanenko D. Geometrie quantique lineare et deplacement parallele // С. r. Acad. sci. 1929. Vol. 188. P. 1470-1472. 13. Фок В.А. Геометризация дираковской теории электрона // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. С. 415-432. 14. Fock V. Zur Schrodingerishen Wellenmechanik // Ztschr. Phys. 1926. Bd. 38. S. 242-250. 15. Klein O. Quantentheorie und funfdimensionale Relativitatstheorie // Ibid. Bd. S. 895. 16. Gordon W. Der Comptoneffekt nach der Schrodingerschen Theorie // Ibid. Bd. 40. S. 117-133. 17. Mandel H. Zur Herleitung der Feldgleichungen in der allgemeinen Relativitatsctheorie // Ibid. Bd. 39. S. 136-145. 18. Румер Ю.Б. Исследования по 5-оптике. М.: Гостехтеоретиздат, 1956. 152 с. 19. Калуца Т. К проблеме единства физики // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. С. 529-534. 20. Фок В.А. Атом водорода и неевклидова геометрия // Изв. АН СССР. ОТН. 1935. №2. С. 169-174. 21. Фок В.А. Квантовая физика и строение материи. Л.: Изд-во ЛГУ, 1965. 29 с.