Введение в теорию механических колебаний

Я.Г.Пановко ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Дается изложение основ теории механических колебаний, которое опирается на общин курс теоретической механики и иллюстрируется рядом типовых примеров. Отличительной' особенностью изложения является разделение материала по главам не по признаку числа степеней свободы механической системы, а по признаку общности рассматриваемых, колебательных явлений. В соответствии с этим в главах I—IV рассматриваются определенные типы колебательных явлений (свободные колебания, вынужденные колебания, параметрические колебания, автоколебания). Особое внимание уделяется нелинейным задачам. Для студентов и аспирантов втузов, а также для инженеров, занимающихся задачами динамики механических систем. Содержание Предисловие Введение 1. Общие задачи и содержание теории 2. Составление механической модели; ограничение числа степеней свободы 3. Составление механической модели; силы, действующие при колебаниях 4. Понятие о фазовой плоскости Глава I. Свободные колебания § 1. Линейные системы с одной степенью свободы при отсутствии трения 1. Основное дифференциальное уравнение и его решение 2. Метод Рэлея 3. Зависимость устойчивости равновесия от коэффициента жесткости § 2. Системы с одной степенью свободы при наличии линейной восстанавливающей силы и трения 1. Линейное трение 2. Нелинейное трение 3. Гистерезисное трение 4. Ударное демпфирование § 3. Системы с одной степенью свободы при нелинейной восстанавливающей силе 1. Общие понятия 2. Точные решения 3. Приближенные способы § 4. Линейные системы с несколькими степенями свободы 1. Способы составления дифференциальных уравнений движения 2. Решение системы дифференциальных уравнений 3. Собственные формы

5 7 7 10 14 18 22 22 22 29 35 40 40 45 54 55 57 57 58 66 72 72 82 86

4. Ортогональность собственных форм 5. Роль начальных условий 6. Случай кратных и нулевых корней 7. Влияние трения Глава II. Вынужденные колебания § 5. Линейные системы с одной степенью свободы при отсутствии трения 1. Основное уравнение при силовом возбуждении 2. Случаи кинематического возбуждения 3. Действие гармонической вынуждающей силы 4. Действие произвольной вынуждающей силы 5. Действие периодической вынуждающей силы § 6. Системы с одной степенью свободы при наличии линейной восстанавливающей силы и трения 1. Действие гармонической вынуждающей силы 2. Действие произвольной вынуждающей силы 3. Действие периодической вынуждающей силы 4. Комплексная форма решения 5. Влияние нелинейно-вязкого трения при гармонической вынуждающей силе 6. Влияние гистерезиса 7. Случайные колебания § 7. Системы с одной степенью свободы при нелинейной восстанавливающей силе 1. Основные понятия 2. Основные колебания 3. Супергармонические колебания 4. Субгармонические колебания 5. Способ поэтапного интегрирования для кусочно-линейных систем § 8. Линейные системы с несколькими степенями свободы 1. Общие уравнения 2. Действие вынуждающих сил, изменяющихся по гармоническому закону; непосредственное решение 3. Действие произвольных вынуждающих сил; разложение по собственным формам 4. Действие периодических вынуждающих сил Глава III. Параметрические колебания § 9. Общие понятия 1. Основное дифференциальное уравнение 2. Параметрические колебания около положения равновесия 3. Параметрические колебания около стационарного режима движения § 10. Параметрическое возбуждение по периодическому кусочнопостоянному закону 1. Колебания при отсутствии трения

89 92 94 98 101 101 101 103 106 110 116 122 122 127 128 132 140 142 144 148 148 149 152 154 156 160 160 161 167 170 171 171 171 172 174 177 177

2. Влияние линейного трения 181 § 11. Параметрическое возбуждение по закону синуса 183 1. Общие сведения 183 2. Примеры 185 Глава IV. Устойчивость состояний равновесия и автоколебания 188 § 12. Устойчивость состояний равновесия 188 1. Вступительные замечания 188 2. Системы с одной степенью свободы 189 3. Системы с двумя степенямисвободы без трения 193 4. Системы с двумя степенями свободы с трением 200 § 13. Стационарные режимы и предельные циклы 203 1. Общие понятия 203 2. Способ поэтапного интегрирования для кусочно-линейных систем 209 3. Метод энергетического баланса 216 4. Метод малого параметра 218 § 14. Переходные процессы и устойчивость стационарных режимов 222 1. Вступительные замечания 222 2. Способ поэтапного интегрирования для кусочно-линейных систем 222 3. Метод энергетического баланса 224 4. Метод медленно меняющихся амплитуд 225 5. Метод точечных отображений 226 6. Устойчивость стационарных режимов 227 § 15. Явления синхронизации 231 1. Вступительные замечания 231 2. Синхронизация квазилинейной автоколебательной системы 231 3. Синхронизация маятника 234 § 16. Странные аттракторы 236 1. Генераторы стохастичности 236 2. Хаотический осциллятор Неймарка 238 3. Примеры странных аттракторов в неавтономных системах 242 Список литературы 246 Предметный указатель 249 Предметный указатель - странный 208, 236—244 Автоколебания 10 Аэрогидроупругость 190 - стационарные 215 Балочная система 81 Автоколебательные системы 17 Биения 86 Автопараметрические системы 10 Вековой член 109 Амплитуда 26 Вектор собственный 89 - комплексная 133 Виброгаситель динамический 163 Амплитудно-частотная Вибротранспортировка 8 характеристика 107 Возбуждение кинематическое 9 Амплитудный спектр 136, 137 Восстанавливающие силы 5 Антирезонанс 162 Вынуждающие силы 9, 101 Аттрактор 208

Вынужденные колебания 8, 101 Гамма-функция 47 Гаситель колебаний динамический 163 Генераторы стохастичности 235 Гистерезис 54, 142 Главные координаты 77, 167 Граничные условия 30 Движение относительное 104, 105 Декремент логарифмический 43 Детерминированные функции времени 144 Диаграмма Айнса—Стретта 184 - устойчивости 179 - фазовая 20 Дивергенция 188 Динамическая жесткость 107 - - комплексная 133 Динамический гаситель колебаний 163 Диссипативная функция Рэлея 41 Диссипативные силы 17, 190 Дифференциальное уравнение для огибающей 48 Добротность (системы) 124 Единичные перемещения 78 - реакции 79 Жесткое самовозбуждение 207 Жесткость динамическая комплексная 133 - отрицательная 36 Задача идентификации 145 - обратная 145 - о дивергенции 189 - о флаттере 194 - оптимизации 145 - прямая 145 - синтеза 145 - Циглера 189, 202 Закон сохранения энергии 60 Затухание критическое 44 Затухающие колебания 42 Захватывание 231 Значение критическое параметра 36

- собственное матрицы 89 Изгибные колебания 30 Изображающая точка 18 Импульсная реакция 111 Импульсы периодические 131 Инерционный коэффициент 23 Интеграл Фурье 138 Интегральное квадратическое уклонение 68 Интегрирование поэтапное 63, 156 Кривая скелетная 150 Критерий Рауса—Гурвица 201 - Сильвестра 73 Критическая угловая скорость 200 Критическое затухание 44 - значение параметра 36 Кулоново трение 49 Каноническая форма 76 Квадратическое трение 49 Квазиупругая характеристика 58 Квазиупругий коэффициент 24 Кинематические граничные условия 30 Кинематическое возбуждение 9 Колебания вынужденные 8 - затухающие 42 - изгибные 30 - моногармонические 107 - основные 148 - параметрические 10 - продольные 33 - свободные 8 - субгармонические 148, 154 - супергармонические 148, 152 - установившиеся вынужденные 107 Комплексная амплитуда 133 - динамическая жесткость 133 - - податливость 133 - обобщенная сила 132 Комплексное обобщенное перемещение 132 Координатные функции 14 Координаты главные 77, 167 - нормальные 77

Корреляционная функция 146 Коэффициент влияния для перемещений 78 - восстановления 158 - динамичности 107, 124 - инерционный 23 - квазиупругий 24 - обобщенный вязкости 41 - - жесткости 24 - передачи силы 127 - расстройки 231 - собственных форм 87 - эквивалентный линейного трения 141 Линеаризация прямая 67 Лобовое сопротивление 189 Логарифмический декремент 43 Масса обобщенная 23 - приведенная 23 Математическое ожидание 145 Матрица депфирования 99 - жесткости 89 - инерции 89 Метод гармонического баланса 69 - малого параметра 218 - медленно меняющихся амплитуд 50, 225 - Рэлея 14, 29—35 - точечных отображений 226 - энергетического баланса 46, 140, 216, 224 Модель Русакова — Харкевича 157 Моногармонические колебания 107 Мягкое самовозбуждение 206 Нестационарные позиционные силы 171 Неустойчивый предельный цикл 207 - узел 189, 191 - фокус 189, 191 Нормальные координаты 77, 167 Область притяжения 208 Обобщенная масса 23 - сила линейного трения 40 Обобщенные вынуждающие силы 15

- позиционные силы 15 - силы трения 16 Обобщенный коэффициент вязкости 41 - - жесткости 24 Обратный способ составления системы уравнений 74 Однородная система 82 Ортогональность собственных форм 89 Основной способ составления системы уравнений 75 Особые точки 21 Осциллятор хаотический Неймарка 236 Относительное движение 104, 105 Отрицательная жесткость 36 "Отрицательное трение" 180 Парадокс Циглера 203 Параметрические колебания 9 Параметрический резонанс 10, 172 Перемещения единичные 78 Переходный процесс 205 Период колебаний 26 Периодические импульсы 131 Периодическое изменение параметра 172 Петля гистерезиса 54 Плоскость фазовая 18 Плотность спектральная 147 Подъемная сила 189 Портрет фазовый 20 Построение Кенигса—Ламерея 227, 228 Поэтапное интегрирование 156 Преобразование Фурье 138 Приведенная масса 23 Приведенные вынуждающие силы 167 Припасовывание 63, 209 Продольные колебания 33 Процесс переходный 205 Прямая линеаризация 64

Прямой способ составления системы уравнений 74 Реакции единичные 79 Реакция импульсная 111 Режим- стационарный 211 Резонанс 109, 131 - параметрический 10, 172 Репеллер 208 Ротационное движение 60 Самовозбуждение 193 - жесткое 207 - мягкое 206 Свободные колебания 8 Седло 40 Сила кулонова трения 49 - обобщенная линейного трения 40 - подъемная 189 - чисто кубическая 65 Силовые граничные условия 30 Силы восстанавливающие 15 - вынуждающие 9 - диссипативные 17, 190 - нестационарные позиционные 171 - обобщенные вынуждающие 15 - приведенные вынуждающие 167 - смешанного характера 17 Система балочная 81 - однородная 82 Системы автоколебательные 17 Скелетная кривая 150 Скорость дивергенции 190, 197 - критическая 200 - флаттера 197 Собственная форма 87 - частота 26 Собственное значение 89 Собственный вектор 89 Сопротивление лобовое 189 Спектр собственных частот 83 Спектральная плотность 147 Способ построения системы уравнений обратный 74 - - основной 75 - - прямой 74

- поэтапного интегрирования 63, 156, 209 - прямой линеаризации 67 Способы приближенного определения частоты свободных колебаний 66 Среднеквадратическое значение 148 Стационарные случайные функции 145 Стационарный режим 211 - - неустойчивый 227 - - устойчивый 227 Странный аттрактор 208, 236—244 Субгармоника 154 Субгармонические колебания 148, 154 Супергармонические колебания 148, 152 Точка изображающая 18 Точки особые 21 Траектория фазовая 18, 39 Трение квадратическое 49 - кулоново 49 - линейное 40 - "отрицательное" 190 Угловая частота 26 Узел неустойчивый 189, 191 - устойчивый 44 Уклонение интегральное квадратичное 68 Уравнение в конечных разностях 48 - Ван дёр Поля 220 - дифференциальное для огибающей 48 - Лагранжа 75 - Матье 183 - Рэлея 204 - частотное 83 Условие синхронизации 235 - устойчивости 230 Условия граничные 30 - кинематические граничные 30 - начальные 63 - перехода 63

- периодичности 63, 118, 210 - силовые граничные 30 Устойчивость вращающегося вола 197 - равновесия 35 - стационарных режимов 222, 227 Устойчивый предельный цикл 205 - узел 44, 237 - фокус 44, 237 Фазовая диаграмма 20 - плоскость 18 - траектория 18, 39 Фазовый портрет 20 Флаттер 194 Фокус неустойчивый 189, 191 - устойчивый 44 Форма вынужденных колебаний 166 - каноническая кинетической энергии 76 - - потенциальной энергии 76 - решения комплексная 132 - собственная 87 Функции времени детерминированные 144 - - случайные 144

- координатные 14 - Матье 183 Функция диссипативная Рэлея 41 - корреляционная 146 - центрированная 146 Фурье интеграл 138 - преобразование 138 Хаотический осциллятор Неймарка 236 Характеристика амплитудночастотная 107 - жесткости 58 - квазиупругая 58 - частотная 133 Центрированная функция 146 Цикл предельный 205 - - неустойчивый 207 - - устойчивый 205 Частота собственная 26 - угловая 26 Частотная характеристика 133 Частотное уравнение 83 Эйлеров интеграл второго рода 47 Эквивалентный коэффициент линейного трения 141