Математические методы аналитической механики: Рабочая программа дисциплины

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Механико-математический факультет Кафедра механики сплошных сред

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе В.П. Гарькин «

»

2006 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Математические методы аналитической механики (блок «специальные дисциплины», раздел «федеральный компонент»; основная образовательная программа специальности 010501 «прикладная математика»)

Самара — 2006 г.

Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования специальности 010501 «Прикладная математика».

Составитель рабочей программы: Бахарева Юлия Николаевна. Рецензент: Рабочая программа утверждена на заседании кафедры механики сплошных сред от « » 2006 г.) (протокол № Заведующий кафедрой «

»

2006 г.

Ю.Н. Радаев

2006 г.

В.И. Астафьев

2006 г.

Н.В. Соловова

СОГЛАСОВАНО Декан факультета «

»

СОГЛАСОВАНО Начальник методического отдела «

»

ОДОБРЕНО Председатель методической комиссии факультета «

»

2006 г.

И.А. Власова

2

1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе, требования к уровню освоения содержания дисциплины 1.1. Цели и задачи изучения дисциплины Цель дисциплины — изучение основных понятий, концепций и методов аналитической механики. Задачи дисциплины: • ознакомление слушателей с основными понятиями аналитической механики; • ввести основные гипотезы аналитической механики; • продемонстрировать основные методы и приемы решения задач.

1.2. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение данной дисциплины В результате изучения дисциплины слушатели должны Иметь представление: об основных понятиях аналитической механики. Знать: основные теоретические результаты; основные методы решения задач аналитической механики; основные результаты решений краевых задач. Уметь: применять математические методы решения этих задач; сделать анализ полученных результатов.

1.3. Связь с предшествующими дисциплинами Дисциплина основывается на знаниях, полученных слушателями при изучении дисциплин «Теоретическая механика».

1.4. Связь с последующими дисциплинами Знания и навыки, полученные при изучении дисциплины «Аналитическая механика», используются слушателями при изучении специальных дисциплин, а также при выполнении курсовых и дипломных работ.

2. Содержание дисциплины 2.1. Объём дисциплины Дневная форма обучения; 8-й семестр - экзамен. Вид учебных занятий Всего часов аудиторных занятий Лекции Практические занятия (семинары) Лабораторные занятия Всего часов самостоятельной работы Подготовка к практическим занятиям Разработка творческого проекта Изучение тем, вынесенных на самостоятельную проработку (рефераты) Всего часов по дисциплине 3

Количество часов 67 40 27 36 24 8 103

2.2. Разделы дисциплины и виды занятий п/п

Название раздела дисциплины лекции

1 2 3 4 5

Основные понятия. Принцип виртуальных перемещений Дифференциальные уравнения движения Вариационные принципы Канонические преобразования Метод Гамильтона-Якоби

6 10 6 8 10

Количество часов практические лабораторные занятия занятия 6 6 4 6 5

2.3. Лекционный курс Тема 1. Основные понятия. Принцип виртуальных перемещений 1. Понятия о системах и связях. Свободные и несвободные системы. Связи. Обобщенные координаты. Истинные и виртуальные перемещения. 2. Принцип виртуальных перемещений. Общее уравнение динамики. Уравнение Лагранжа первого рода. Тема 2. Дифференциальные уравнения движения произвольной системы материальных точек 1. Уравнения Лагранжа второго рода. Первые интегралы уравнений Лагранжа второго рода. Интеграл энергии. 2. Канонические уравнения Гамильтона. Уравнения Рауса. Циклические координаты. Скобки Пуассона. Тема 3. Вариационные принципы 1. Функционал действия. Вариационный принцип Гамильтона. Тема 4. Канонические преобразования 1. Канонические преобразования. Свободные канонические преобразования. Производящая функция свободного канонического преобразования. Замена переменных в канонических уравнениях Гамильтона. Тема 5. Метод Гамильтона-Якоби 1. Принцип переменного действия. Производные главной функции Гамильтона. Дифференциальное уравнение Гамильтона-Якоби. 2. Метод разделения переменных. Пример: движение материальной точки в поле притяжения двух центров.

4

2.4. Практические (семинарские) занятия п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Номер раздела 1.1. 1.2. 1.2. 2.1. 2.2. 2.2. 3.1. 4.1. 4.1.

Количество часов 2 2 2 2 2 2 4 2 2

10

4.1.

2

11

5.1.

2

12

5.2.

3

Тема практического занятия Обобщенные координаты. Принцип виртуальных перемещений. Уравнение Лагранжа первого рода. Уравнения Лагранжа второго рода. Канонические уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона. Вариационный принцип Гамильтона. Канонические преобразования. Производящая функция свободного канонического преобразования. Замена переменных в канонических уравнениях Гамильтона. Дифференциальное уравнение ГамильтонаЯкоби. Метод разделения переменных.

2.5. Лабораторный практикум Не предусмотрен.

3. Организация текущего и промежуточного контроля знаний Промежуточный контроль знаний проводится по результатам проведения практических занятий. Итоговый контроль проводится в виде экзамена в конце семестра.

4.Технические средства обучения и контроля, использование ЭВМ • Использование для проведения расчетов системы символьных вычислений Maple V.

5. Активные методы обучения (деловые игры, научные проекты) • Выполнение индивидуальных практических задания с элементами исследования.

6. Материальное обеспечение дисциплины • Учебные классы.

7. Литература 7.1. Основная литература 1. Гантмахар Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физматлит, 2001. 264 с. 2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 408 с. 3. Пятницкий Е.С., Трухан Н.М., Ханукаев Ю.И., Яковенко Г.Н. Сборник задач по аналитической механике. М.: Физматлит, 2002. 400 с.

7.2. Дополнительная литература 1. Шмутцер Э. Основные принципы классической механики и классической теории поля. Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. 158 с.

5

2. Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике. Ижевск: НИЦ «Регурярная и хаотическая динамика», 2001, 352 с.

6

7.3 Требования к промежуточному контролю и средства диагностики знаний Программа экзамена Основные понятия. Принцип виртуальных перемещений • Понятия о системах и связях. Свободные и несвободные системы. Связи. Обобщенные координаты. Истинные и виртуальные перемещения. • Принцип виртуальных перемещений. Общее уравнение динамики. Уравнение Лагранжа первого рода. Дифференциальные уравнения движения произвольной системы материальных точек • Уравнения Лагранжа второго рода. Первые интегралы уравнений Лагранжа второго рода. Интеграл энергии. • Канонические уравнения Гамильтона. Уравнения Рауса. Циклические координаты. Скобки Пуассона. Вариационные принципы • Функционал действия. Вариационный принцип Гамильтона. Канонические преобразования • Канонические преобразования. Свободные канонические преобразования. Производящая функция свободного канонического преобразования. Замена переменных в канонических уравнениях Гамильтона. Метод Гамильтона-Якоби • Принцип переменного действия. Производные главной функции Гамильтона. Дифференциальное уравнение Гамильтона-Якоби. • Метод разделения переменных. Пример: движение материальной точки в поле притяжения двух центров.

7

ВАРИАНТ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА

1. Принцип виртуальных перемещений. 2. Метод разделения переменных. Пример: движение материальной точки в поле притяжения двух центров. ВАРИАНТЫ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ

1. Составить уравнения движения системы, функция Лагранжа которой: L(x, x, ˙ t) =

1 αt 2 e (x˙ − ω 2 x2 ) 2

. 2. Найти каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией F (q, Q, t) =

1 mω(t)q 2 ctg Q 2

. 3. Найти траекторию и закон движения частицы в поле U (r) с помощью уравнения Гамильтона-Якоби a) U (r) = −F x; b) U (r) =

mω22 y 2 mω12 x2 + . 2 2

8

Методические рекомендации студенту по освоению учебной программы Проработку лекционного материала рекомендуется проводить не после каждой лекции, а по завершении темы. Это позволит связать воедино полученные знания и составить цельную картину изучаемой проблемы. Не следует стремиться к механическому запоминанию формулировок, приведенных положений, определений и теорем. Основное внимание рекомендуется уделить математической стороне предмета. Хотя при изучении этой дисциплины физические проблемы рассматриваемых явлений будут затронуты в меньшей степени, надо стремиться понять в первую очередь «рабочий» инструмент аналитической механики. Необходимо выработать свое отношение, опираясь на собственный опыт, полученный в результате выполнения аудиторных домашних и индивидуальных заданий, и на материал, содержащийся в рекомендуемой литературе.

Методические рекомендации преподавателю дисциплины Дисциплина «Математические методы аналитической механики» изучается в течении одного семестра. Материал состоит из пяти разделов. В данном курсе излагаются основные задачи, принципы и методы аналитической механики. Основное внимание рекомендуется уделить математической стороне предмета. Хотя физические проблемы рассматриваемых явлений затронуты в меньшей степени, надо стремиться изложить в первую очередь «рабочий» инструмент аналитической механики. Предполагается изучить основные математические модели классической механики, которые обычно используют для описания движения реальных механических систем. Для проверки усвоения этого материала рекомендуется провести контрольную работу. В конце семестра проводится экзамен по результатам контрольной работы и ответа по лекционному курсу.

ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ В РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ за

/

учебный год

В рабочую программу «Математические методы аналитической механики» для специальности вносятся следующие дополнения и изменения:

9