Метод квазипотенциала в теории связанных состояний

Â.È. Ñàâðèí

ÌÅÒÎÄ ÊÂÀÇÈÏÎÒÅÍÖÈÀËÀ  ÒÅÎÐÈÈ ÑÂßÇÀÍÍÛÕ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ

Ñàìàpà 2006

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÒÅËÜÍÎÅ Ó×ÐÅÆÄÅÍÈÅ ÂÛÑØÅÃÎ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ¾ÑÀÌÀÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿

Â.È. Ñàâðèí ÌÅÒÎÄ ÊÂÀÇÈÏÎÒÅÍÖÈÀËÀ  ÒÅÎÐÈÈ ÑÂßÇÀÍÍÛÕ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ Ðåêîìåíäîâàíî ÓÌÎ ïî êëàññè÷åñêîìó óíèâåðñèòåòñêîìó îáðàçîâàíèþ ÐÔ â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé, îáó÷àþùèõñÿ ïî ñïåöèàëüíîñòè 010701  Ôèçèêà

Èçäàòåëüñòâî ¾Ñàìàpñêèé óíèâåpñèòåò¿ 2006

ÓÄÊ 530.145 ÁÁÊ 22.31 Ñ 136

Ðåöåíçåíòû: êàôåäðà îáùåé è òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà; ä-ð ôèç-ìàò. íàóê, ïðîô. Î.À. Õðóñòàëåâ, êàôåäðà êâàíòîâîé òåîðèè è ôèçèêè âûñîêèõ ýíåðãèé ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Ñàâðèí, Â.È.

Ñ 136. Ìåòîä êâàçèïîòåíöèàëà â òåîðèè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé: ó÷åáíîå ïîñîáèå /Â.È. Ñàâðèí  Ñàìàðà: Èçä-âî ¾Ñàìàðñêèé óíèâåðñèòåò¿, 2006.  134 ñ.

ISBN 5-86465-339-Õ

 îñíîâó èçäàíèÿ ïîëîæåí êóðñ ëåêöèé, ïðî÷èòàííûé àâòîðîì â 2005 ãîäó ñòóäåíòàì ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.  ëåêöèÿõ äàåòñÿ èçëîæåíèå ñõåìû ïîñòðîåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé íà ïðîñòðàíñòâåííî-ïîäîáíîé òðåõìåðíîé ãèïåðïîâåðõíîñòè â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî. Ïðåäëàãàåìàÿ ñõåìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîâàðèàíòíîå îáîáùåíèå èçâåñòíîé ïðîöåäóðû ïðèðàâíèâàíèÿ âðåìåí, êîòîðàÿ ëåæèò â îñíîâå îäíîâðåìåííîé ôîðìóëèðîâêè êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ è êâàçèïîòåíöèàëüíîãî ïîäõîäà. Îíà ïîçâîëÿåò îïèñûâàòü ñïåêòðû, ôîðìôàêòîðû è ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ñîñòàâíûõ ðåëÿòèâèñòñêèõ ñèñòåì íà ïðèâû÷íîì ÿçûêå êâàçèïîòåíöèàëà, âîëíîâîé ôóíêöèè è äèíàìè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ òèïà óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà â òðåõìåðíîì èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå. Èçäàíèå àäðåñîâàíî ñòóäåíòàì, àñïèðàíòàì è íàó÷íûì ñîòðóäíèêàì.

ÓÄÊ 530.145 ÁÁÊ 22.31

ISBN 5-86465-339-Õ

c Ñàâðèí Â.È., 2006

c Ñàìàðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé

óíèâåðñèòåò, 2006 c

Èçä-âî ¾Ñàìàðñêèé óíèâåðñèòåò¿, 2006

3

Îãëàâëåíèå Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. Îäíî÷àñòè÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Îäíî÷àñòè÷íûå ôóíêöèè Ãðèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3. Îäíîâðåìåííàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû . . . . . . . . . . . 22 4. Äâóõâðåìåííàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5. Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå è óñëîâèå íîðìèðîâêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 6. Óñëîâèå óíèòàðíîñòè è ñâîéñòâà êâàçèïîòåíöèàëà . . . . . . 38 7. Óðàâíåíèå Áåòå-Ñîëïèòåðà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 8. Êâàçèïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíãîãî âçàèìîäåéñòâèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 9. Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 10. Ðåëÿòèâèñòñêîå êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî . . . . . . 70 11. Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ïàðöèàëüíûõ âîëí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 12. Äâóõ÷àñòè÷íûé ðàñïàä ìåçîíîâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 13. Ðåäóêöèÿ êâàçèïîòåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . .101 14. Ðàññåÿíèå íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106 15. Ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ìåçîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Çàêëþ÷åíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4

Ââåäåíèå

Ââåäåíèå Êàê ïîêàçûâàþò ìíîãî÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû, áîëüøèíñòâî èçâåñòíûõ â íàñòîÿùåå âðåìÿ ÷àñòèö îáëàäàþò íåòðèâèàëüíîé âíóòðåííåé ñòðóêòóðîé, ò. å. ÿâëÿþòñÿ ñîñòàâíûìè îáúåêòàìè. Ýòî, â ïåðâóþ î÷åðåäü, êàñàåòñÿ àäðîíîâ, êîòîðûå ñîñòîÿò èç êâàðêîâ è ãëþîíîâ, îäíàêî óæå ñåé÷àñ èíòåíñèâíî âåäåòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûé ïîèñê ýêçîòè÷åñêèõ ÷àñòèö, íàïðèìåð, ëåïòîêâàðêîâ è âîçáóæäåííûõ ëåïòîíîâ, êîòîðûå òàêæå ìîãëè áû èìåòü ñîñòàâíóþ ïðèðîäó. Îïèñàíèå ñïåêòðîâ, øèðèí è ñå÷åíèé ðàññåÿíèÿ ñîñòàâíûõ îáúåêòîâ òðåáóåò ïîñòðîåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîé òåîðèè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé.  íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ïîäîáíàÿ òåîðèÿ ñòðîèòñÿ ñ ïîìîùüþ äèíàìè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà íà ÿçûêå êëàññè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà. Îäíàêî ïðè áîëüøèõ äåôåêòàõ ìàññû è âûñîêèõ ýíåðãèÿõ, êîòîðûìè îáëàäàþò ñîñòàâíûå ÷àñòèöû, ñîîòâåòñòâóþùàÿ òåîðèÿ äîëæíà áûòü ñóùåñòâåííî ðåëÿòèâèñòñêîé. Íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå óêàçàííûõ õàðàêòåðèñòèê ñîñòàâíûõ ñèñòåì â ðàìêàõ ëîêàëüíîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ âðÿä ëè âîçìîæíî, ïîñêîëüêó ïîêà åäèíñòâåííûé èçâåñòíûé ñïîñîá ðàñ÷åòà çäåñü áàçèðóåòñÿ íà òåîðèè âîçìóùåíèé, à ïðèðîäà îáðàçîâàíèÿ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, áåçóñëîâíî, äîëæíà îïðåäåëÿòüñÿ íåïåðòóðáàòèâíûìè ýôôåêòàìè. Ïîýòîìó ðàçóìíûì ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïóòü ðåøåíèÿ ïðîáëåìû, îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèè äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé â ëîêàëüíîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ, ïðèìåðàìè êîòîðûõ ìîãóò ñëóæèòü óðàâíåíèå Áåòå-Ñîëïèòåðà, óðàâíåíèÿ Òàììà-Äàí-

Ââåäåíèå

5

êîôôà, êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå Ëîãóíîâà-Òàâõåëèäçå. Äåëî â òîì, ÷òî äàæå åñëè ÿäðà ïåðå÷èñëåííûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé óäàåòñÿ ïîñòðîèòü òîëüêî â íèçøèõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé, ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ èõ òî÷íîãî èëè äàæå ïðèáëèæåííîãî (íî íå ïåðòóðáàòèâíîãî) ðåøåíèÿ ïîçâîëèò ó÷åñòü âêëàä íåïåðòóðáàòèâíûõ ýôôåêòîâ âçàèìîäåéñòâèÿ ïðè âû÷èñëåíèè íàáëþäàåìûõ õàðàêòåðèñòèê ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé.  îñíîâó íàñòîÿùåãî èçäàíèÿ ïîëîæåí êóðñ ëåêöèé, êîòîðûé àâòîð ÷èòàë â òå÷åíèå ðÿäà ïîñëåäíèõ ëåò ñòóäåíòàì 5-ãî êóðñà Îòäåëåíèÿ ÿäåðíîé ôèçèêè ôèçôàêà ÌÃÓ.  ëåêöèÿõ äàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîå èçëîæåíèå ñõåìû ïîñòðîåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé íà ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíîé òðåõìåðíîé ãèïåðïîâåðõíîñòè â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî. Ïðåäëàãàåìàÿ ñõåìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîâàðèàíòíîå îáîáùåíèå èçâåñòíîé ïðîöåäóðû ïðèðàâíèâàíèÿ âðåìåí, êîòîðàÿ ëåæèò â îñíîâå îäíîâðåìåííîé ôîðìóëèðîâêè êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ è êâàçèïîòåíöèàëüíîãî ïîäõîäà. Îñíîâíîé àðãóìåíò â ïîëüçó öåëåñîîáðàçíîñòè òàêîãî ïîñòðîåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî äëÿ ðàñ÷åòà íàáëþäàåìûõ õàðàêòåðèñòèê ïðîöåññà âçàèìîäåéñòâèÿ â ñèñòåìå ÷àñòèö íåò íåîáõîäèìîñòè â îïèñàíèè ïðîòåêàíèÿ ýòîãî ïðîöåññà âî âñåì ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî, à äîñòàòî÷íî ïðîñëåäèòü ýâîëþöèþ ñèñòåìû "íà ñðåçå"â âèäå ïðîèçâîëüíîé ïðîñòðàíñòâåííî-ïîäîáíîé ïîâåðõíîñòè. Ýòî ïðèâîäèò ê âîçìîæíîñòè îïèñàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ íà ïðèâû÷íîì ÿçûêå âîëíîâîé ôóíêöèè, êîòîðàÿ, êàê è â íåðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè, óäîâëåòâîðÿåò òðåõìåðíîìó äèíàìè÷åñêîìó óðàâíåíèþ è äîïóñêàåò âåðîÿòíîñòíóþ èíòåðïðåòàöèþ.  îòëè÷èå îò ÷åòûðåõìåðíîãî ôîðìàëèçìà Áåòå-Ñîëïèòåðà â äàííîé ñõåìå îòñóòñòâóþò îòíîñèòåëüíûå âðåìåíà ðàçëè÷íûõ ÷àñòèö â ñèñòåìå, è ïîýòîìó íå âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòè ôîðìóëèðîâàòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïî ýòèì ïåðåìåííûì, ÷òî áûëî áû ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî ñäåëàòü, èñõîäÿ èç êàêèõ-ëèáî ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. ßäðî òðåõìåðíîãî äèíàìè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ  êâàçèïîòåíöèàë  ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåëÿòèâèñòñêîå îáîáùåíèå êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà, íî â îòëè÷èå îò ïîñëåäíåãî, âîîáùå ãîâîðÿ, ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíûì è íåëîêàëüíûì è çà-

6

Ââåäåíèå

âèñèò îò ýíåðãèè ñèñòåìû, ÷òî îòðàæàåò, â ïåðâóþ î÷åðåäü, ÷èñòî ðåëÿòèâèñòñêèå ýôôåêòû ðîæäåíèÿ ÷àñòèö è çàïàçäûâàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ. ßâíàÿ àíàëîãèÿ îïèñàíèÿ ðåëÿòèâèñòñêèõ ñèñòåì íà áàçå òðåõìåðíîãî äèíàìè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ íåðåëÿòèâèñòñêîé êàðòèíîé âçàèìîäåéñòâèÿ îêàçûâàåòñÿ êðàéíå ïîëåçíîé, ïîñêîëüêó ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ÷èñòî ýìïèðè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè ïðè ïîñòðîåíèè êâàçèïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ. Òàêèì îáðàçîì, â íàñòîÿùèõ ëåêöèÿõ èçëîæåíà òåîðèÿ ðåëÿòèâèñòñêèõ ñîñòàâíûõ ñèñòåì, áàçèðóþùàÿñÿ íà ïðèíöèïàõ è ìåòîäàõ ëîêàëüíîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ. Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî îñíîâíûì îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ çäåñü âûñòóïàåò âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû, óäîâëåòâîðÿþùàÿ îïðåäåëåííîìó äèíàìè÷åñêîìó óðàâíåíèþ è ôèçè÷åñêèì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì. Ïîñëåäíèå ôàêòè÷åñêè çàäàþòñÿ ââåäåíèåì ïðîöåäóðû ïðîåêòèðîâàíèÿ è ñãëàæèâàíèÿ â ïðåäåëàõ âûáðàííîé ïðîñòðàíñòâåííî-ïîäîáíîé ãèïåðïîâåðõíîñòè.  ëåêöèÿõ â êà÷åñòâå ýòîé ãèïåðïîâåðõíîñòè ìû îãðàíè÷èâàåìñÿ ðàññìîòðåíèåì ïðîèçâîëüíîé ãèïåðïëîñêîñòè, à òàêæå êîíêðåòíîé åå êàëèáðîâêîé â ôîðìå Ìàðêîâà-Þêàâû. Èçëîæåííûé â ëåêöèÿõ ïîäõîä ïðèìåíÿåòñÿ ê ïîñòðîåíèþ êâàçèïîòåíöèàëà ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíà ñ ïîçèòðîíîì â íèçøåì ïðèáëèæåíèè îäíîôîòîííîãî îáìåíà. Ïîêàçàíî, ÷òî äàæå â ýòîì ïðèáëèæåíèè âçàèìîäåéñòâèå ðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö îïèñûâàåòñÿ íåëîêàëüíûì, êîìïëåêñíûì êâàçèïîòåíöèàëîì, ÿâíî çàâèñÿùèì îò ïîëíîé ýíåðãèè ñèñòåìû äâóõ ÷àñòèö. Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ èìïóëüñàõ ÷àñòèö êâàçèïîòåíöèàë ìîæåò áûòü ïðèáëèæåííî ñâåäåí ê ëîêàëüíîìó è èññëåäîâàí â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå îòíîñèòåëüíûõ ðàññòîÿíèé ìåæäó ÷àñòèöàìè. Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè ïîëîæèòåëüíûõ ýíåðãèÿõ ñâÿçè êâàçèïîòåíöèàë îñöèëëèðóåò, ïðè÷åì ÷àñòîòà îñöèëëÿöèé îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ýíåðãèè ñâÿçè.  ñëó÷àå ïðåíåáðåæèìî ìàëîé ýíåðãèè ñâÿçè îí ïåðåõîäèò â îáû÷íûé íåðåëÿòèâèñòñêèé êóëîíîâñêèé ïîòåíöèàë.  ëåêöèÿõ èçëàãàåòñÿ òàêæå êâàçèïîòåíöèàëüíûé ïîäõîä â ðåëÿòèâèñòñêîì êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå, ñâÿçàííîì ñ èìïóëüñíûì ïðîñòðàíñòâîì ïðåîáðàçîâàíèåì ñ ïîìîùüþ ôóíêöèé, ðåàëèçóþùèõ ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû äâèæå-

Ââåäåíèå

7

íèé â ïðîñòðàíñòâå Ëîáà÷åâñêîãî. Èññëåäîâàíà çàäà÷à âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö ïîñðåäñòâîì ýìïèðè÷åñêîãî êóëîíîâñêîãî êâàçèïîòåíöèàëà â òàêîì ïðîñòðàíñòâå. Ïîêàçàíî, ÷òî ýòîò êâàçèïîòåíöèàë ìîäåëèðóåò ñâîéñòâî òàê íàçûâàåìîé àñèìïòîòè÷åñêîé ñâîáîäû ("áåãóùåé"êîíñòàíòû ñâÿçè) â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå. Âàæíûì âûâîäîì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïîâåäåíèå ñïåêòðà ðåëÿòèâèñòñêèõ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé â êóëîíîâñêîì êâàçèïîòåíöèàëå ñ áîëüøîé êîíñòàíòîé ñâÿçè ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò íåðåëÿòèâèñòñêîãî êóëîíîâñêîãî ñïåêòðà. Äëÿ êâàçèïîòåíöèàëîâ áîëåå ñëîæíîé ôîðìû, ó÷èòûâàþùèõ "çàïèðàíèå"êâàðêîâ, äàíà ñõåìà ïðèìåíåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîãî êâàçèêëàññè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ. Êâàçèïîòåíöèàëüíûé ïîäõîä îêàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíûì è ïðè îïèñàíèè ôîðìôàêòîðîâ ðàñïàäà ìåçîíîâ.  ëåêöèÿõ äàíû ïðèìåðû ðàñ÷åòà îñíîâíûõ ðàñïàäîâ ïñåâäîñêàëÿðíîãî è âåêòîðíîãî ìåçîíîâ â ðàìêàõ îäíîâðåìåííîé ôîðìóëèðîâêè êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ. Êîíñòàíòû ðàñïàäà ïðîñòûì è åñòåñòâåííûì ñïîñîáîì îêàçûâàþòñÿ ñâÿçàííûìè ñ êâàçèïîòåíöèàëüíîé âîëíîâîé ôóíêöèåé ìåçîíà, ïðè÷åì ýòà ñâÿçü ìîæåò ñóùåñòâåííî îòëè÷àòüñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ôîðìóë íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè, îñîáåííî äëÿ ñîñòàâíûõ ñèñòåì ñ áîëüøèì äåôåêòîì ìàññû. Êâàçèïîòåíöèàëüíûé ïîäõîä ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé âçàèìîäåéñòâèÿ òðåõ è áîëåå ÷àñòèö, è çäåñü ìû äàåì ñõåìó ðåäóêöèè êâàçèïîòåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ðàññåÿíèÿ òðåõ ÷àñòèö, à òàêæå ðàññåÿíèÿ ÷àñòèöû íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè äâóõ äðóãèõ ÷àñòèö.  êà÷åñòâå ïðèëîæåíèÿ îáùåé ñõåìû ê êîíêðåòíûì ïðîöåññàì ìû îãðàíè÷èâàåìñÿ çäåñü óïðóãèì è èíêëþçèâíûì âçàèìîäåéñòâèåì ëåïòîíà è ìåçîíà ñ òåì, ÷òîáû ïðîäåìîíñòðèðîâàòü íà ýòèõ ïðîñòåéøèõ ïðèìåðàõ, êàê íàáëþäàåìûå ôîðìôàêòîðû è ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ìåçîíà ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç åãî âîëíîâóþ ôóíêöèþ è ÷òî îçíà÷àåò íà ýòîì ÿçûêå ïîíÿòèå ñêåéëèíãà.  îñíîâó ëåêöèé ëåãëè ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé öåëîãî ðÿäà àâòîðîâ, îäíàêî çäåñü ìû äàåì ññûëêè ëèøü íà îñíîâîïîëàãàþùèå êíèãè è ñåðèþ îáçîðîâ, ãäå ñîäåðæèòñÿ ïðàêòè÷åñêè âåñü ìàòåðèàë è èìååòñÿ ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî íåîáõîäèìûõ ññûëîê íà îðèãèíàëüíûå ðàáîòû.

8

1.Îäíî÷àñòè÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè

1. Îäíî÷àñòè÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè Ðàññìîòðèì ñâîáîäíîå ñïèíîðíîå ïîëå ψ(x), ïîä÷èíÿþùååñÿ óðàâíåíèþ Äèðàêà:

(i∂ˆx − m)ψ(x) = 0.

(1.1)

Çàïèøåì äëÿ íåãî ñòàíäàðòíîå ðàçëîæåíèå ïî îòðèöàòåëüíîè ïîëîæèòåëüíî-÷àñòîòíûì ðåøåíèÿì u(±) (x; k) óðàâíåíèÿ Äèðàêà

(i∂ˆx − m)u(±) (x; k) = 0,

(1.2)

êîòîðûå ìû áóäåì íàçûâàòü îäíî÷àñòè÷íûìè âîëíîâûìè ôóíêöèÿìè, îïèñûâàþùèìè ÷àñòèöó èëè àíòè÷àñòèöó ñ çàäàííûì èìïóëüñîì k : Z

n

o

d3 ωk u(−) (x; k)a(−) (k) + u(+) (x; k)a(+) (k) ,

ψ(x) =

(1.3)

ãäå d3 ωk = d3 k/(2π)3 2k 0  èíâàðèàíòíûé òðåõìåðíûé ýëåìåíò îáúåìà â èìïóëüñíîì √ ïðîñòðàíñòâå íà ìàññîâîì ãèïåðáîëîèäå k 2 = m2 , à k 0 = k2 + m2 . Àíàëîãè÷íî (1.3) ìîæíî çàïèñàòü ðàçëîæåíèå äëÿ äèðà∗ êîâñêè ñîïðÿæåííîãî ïîëÿ ψ¯ =ψ γ 0 :

¯ ψ(x) =

Z

n∗

∗

o

d3 ωk a (+) (k)¯ u(+) (k; x)+ a (−) (k)¯ u(−) (k; x) ,

(1.4)

1.Îäíî÷àñòè÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè

9

ïðè÷åì

u¯(±) (k; x)(i∂ˆx + m) = 0,

(1.5)

∗

à îïåðàòîðû a(±) (k) è a (±) (k) óäîâëåòâîðÿþò ñòàíäàðòíûì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì: h

∗

i

a(∓) (k), a (±) (k 0 )

+

= (2π)3 2k 0 δ (3) (k − k0 ).

(1.6)

Îäíî÷àñòè÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè êàê ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Äèðàêà (1.2) è (1.5) óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì ïîëíîòû: Z

i d3 ωk u(±) (x; k)¯ u(∓) (k; x0 ) = S (±) (x; x0 )

(1.7)

è íîðìèðîâêè: Z

dσµ (x) u¯(±) (k; x)γ µ u(∓) (x; k 0 ) = (2π)3 2k 0 δ (3) (k − k0 ),

(1.8)

σ

ãäå σ  ïðîèçâîëüíàÿ ïðîñòðàíñòâåííî-ïîäîáíàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî, à dσµ (x)  åå ýëåìåíò.  ñîîòíîøåíèè (1.7) S (±) (x; x0 )  ïîëîæèòåëüíî- è îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíàÿ ïåðåñòàíîâî÷íûå ôóíêöèè, ÷òî ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿ: h i ¯ 0 )]+ = 1 S (+) (x; x0 ) + S (−) (x; x0 ) = 1 S(x; x0 ), (1.9) [ψ(x), ψ(x i i

âûòåêàþùåãî èç ðàçëîæåíèé (1.3) è (1.4) è êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé (1.6).

10

1.Îäíî÷àñòè÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè

Ïåðåñòàíîâî÷íûå ôóíêöèè S(x; x0 ) è S (±) (x; x0 ) îáëàäàþò ðÿäîì èíòåðåñíûõ ñâîéñòâ. Íàïðèìåð, íåòðóäíî ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèÿ:

u

(±)

u¯

(±)

1Z (x; k) = dσµ (x0 ) S(x; x0 )γ µ u(±) (x0 ; k); iσ

(1.10)

1Z (k; x) = dσµ (x0 ) u¯(±) (k; x0 )γ µ S(x0 ; x), iσ

(1.11)

êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé àíàëîã èçâåñòíîãî â îïòèêå ïðèíöèïà Ãþéãåíñà. Ñìûñë ýòèõ ñîîòíîøåíèé ñîñòîèò â òîì, ÷òî åñëè îäíî÷àñòè÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè íàì çàäàíû íà ïðîèçâîëüíîé ïðîñòðàíñòâåííî-ïîäîáíîé ïîâåðõíîñòè σ , òî ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè S(x; x0 ) ìîæíî âîññòàíîâèòü èõ â ëþáîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà Ìèíêîâñêîãî. Äàëåå, íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ôóíêöèè S (±) (x; x0 ) îáëàäàþò ïðîåêöèîííûìè ñâîéñòâàìè:

1Z dσµ (x0 ) S (±) (x; x0 )γ µ ψ(x0 ); (x) = iσ

(1.12)

1Z (±) ¯ ¯ 0 )γ µ S (±) (x0 ; x). ψ (x) = dσµ (x0 ) ψ(x iσ

(1.13)

ψ

(±)

Íàêîíåö, îòìåòèì, ÷òî îïåðàòîðû "ðîæäåíèÿ"è "óíè÷òîæå∗ íèÿ"a(±) (k) è a (±) (k) â äàííîì ïîäõîäå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñãëàæåííûå è ñïðîåêòèðîâàííûå ñ ïîìîùüþ îäíî÷àñòè÷íûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé îïåðàòîðû ñâîáîäíîãî ñïèíîðíîãî ïîëÿ â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå: Z

a(±) (k) =

dσµ (x) u¯(∓) (k; x)γ µ ψ(x); σ

(1.14)

1.Îäíî÷àñòè÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè ∗ (±)

a

Z

(k) =

11

µ (∓) ¯ dσµ (x) ψ(x)γ u (x; k).

(1.15)

σ

Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîñòðàíñòâî Ôîêà âåêòîðîâ ñîñòîÿíèÿ è, â ÷àñòíîñòè, ñîñòîÿíèå âàêóóìà |0i, îïðåäåëÿåìîå óñëîâèÿìè ∗

a(−) (k)|0i =a (−) (k)|0i = 0,

(1.16)

è îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ äëÿ ÷àñòèöû ∗

|ki =a (+) (k)|0i

(1.17)

è àíòè÷àñòèöû ∗

| k i = a(+) (k)|0i.

(1.18)

Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèÿ (1.3) è (1.4) , à òàêæå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (1.6) è îïðåäåëåíèå âàêóóìà (1.16), ìîæíî ïðèäàòü íîâûé îáëèê îäíî÷àñòè÷íûì âîëíîâûì ôóíêöèÿì ÷àñòèöû è àíòè÷àñòèöû:

u(−) (x; k) = h0|ψ(x)|ki; ∗

¯ u¯(−) (k; x) = h0|ψ(x)| k i.

(1.19)

(1.20)

Ðàññìîòðèì òåïåðü ãàéçåíáåðãîâî ñïèíîðíîå ïîëå ψH (x). Åãî òàêæå ìîæíî ðàçëîæèòü ïî îäíî÷àñòè÷íûì âîëíîâûì ôóíêöèÿì àíàëîãè÷íî (1.3) è (1.4) : Z

ψH (x) =

n

o

d3 ωk u(−) (x; k)a(−) (k|σ) + u(+) (x; k)a(+) (k|σ) ; (1.21)

12

ψ¯H (x) =

1.Îäíî÷àñòè÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè Z

n∗

∗

o

d3 ωk a (+) (k|σ)¯ u(+) (k; x)+ a (−) (k|σ)¯ u(−) (k; x) , (1.22)

ãäå ñãëàæåííûå è ñïðîåêòèðîâàííûå îïåðàòîðû ïîëÿ â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå Z (±)

a

(k|σ) =

dσµ (x) u¯(∓) (k; x)γ µ ψH (x);

(1.23)

dσµ (x) ψ¯H (x)γ µ u(∓) (x; k)

(1.24)

σ ∗ (±)

a

Z

(k|σ) = σ

áóäóò ÿâíî çàâèñåòü îò ãèïåðïîâåðõíîñòè σ , è èõ óæå íåëüçÿ èíòåðïðåòèðîâàòü êàê îïåðàòîðû "ðîæäåíèÿ"è "óíè÷òîæåíèÿ", à èõ àíòèêîììóòàòîðû íå áóäóò ðàâíÿòüñÿ c-÷èñëîâûì ôóíêöèÿì, êàê â (1.6). Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî äëÿ ñòàáèëüíûõ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî

h0|ψH (x)|ki = h0|ψ(x)|ki = u(−) (x; k); ∗

∗

(−) ¯ h0|ψ¯H (x)| k i = h0|ψ(x)| k i = u¯ (k; x).

(1.25)

(1.26)

2.Îäíî÷àñòè÷íûå ôóíêöèè Ãðèíà

13

2. Îäíî÷àñòè÷íûå ôóíêöèè Ãðèíà Ðàññìîòðèì îäíî÷àñòè÷íóþ ïðè÷èííóþ ôóíêöèþ Ãðèíà ñâîáîäíîé ÷àñòèöû:

¯ 0 )}|0i = S c (x; x0 ) = ih0|T {ψ(x)ψ(x ¯ 0 )|0i−iθ(x00 −x0 )h0|ψ(x ¯ 0 )ψ(x)|0i. (2.1) = iθ(x0 −x00 )h0|ψ(x)ψ(x Åñëè ââåñòè íåêîòîðûé åäèíè÷íûé âðåìåíèïîäîáíûé 4-âåêòîð λ (λ2 = 1, λ0 > |λ|), òî âûðàæåíèå (2.1) ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

S c (x; x0 ) = ¯ 0 )|0i − iθ(λx0 − λx)h0|ψ(x ¯ 0 )ψ(x)|0i. = iθ(λx − λx0 )h0|ψ(x)ψ(x (2.2) Ýòî åñòü êîâàðèàíòíàÿ çàïèñü õðîíîëîãè÷åñêîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Ýêâèâàëåíòíîñòü (2.1) è (2.2) ëåãêî äîêàçàòü, îïèðàÿñü íà ñâîéñòâà 4-âåêòîðà λ, à òàêæå íà ïðèíöèï ìèêðîïðè÷èííîñòè: ¯ 0 )]+ = 0 ïðè (x − x0 )2 < 0. [ψ(x), ψ(x (2.3) Âîñïîëüçîâàâøèñü ðàçëîæåíèÿìè (1.3) è (1.4), íåòðóäíî ïîëó÷èòü, ÷òî Z

S c (x; x0 ) = iθ(λx − λx0 )

d3 ωk u(−) (x; k) u¯(+) (k; x0 )−

Z

−iθ(λx0 − λx)

d3 ωk u(+) (x; k)¯ u(−) (k; x0 ) =

14

2.Îäíî÷àñòè÷íûå ôóíêöèè Ãðèíà

= θ(λx − λx0 )S (−) (x; x0 ) − θ(λx0 − λx)S (+) (x; x0 ),

(2.4)

òî åñòü âûðàçèòü ñâîáîäíóþ ïðè÷èííóþ ôóíêöèþ Ãðèíà ÷åðåç îäíî÷àñòè÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè èëè ïåðåñòàíîâî÷íûå ôóíêöèè. Êðîìå ïðè÷èííîé ôóíêöèè Ãðèíà îáû÷íî ââîäÿò åùå "çàïàçäûâàþùóþ"è "îïåðåæàþùóþ"ôóíêöèè Ãðèíà:

S r (x; x0 ) = θ(λx − λx0 )S(x; x0 );

(2.5)

S a (x; x0 ) = −θ(λx0 − λx)S(x; x0 ).

(2.6)

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñãëàæåííóþ è ñïðîåêòèðîâàííóþ ôóíêöèþ Ãðèíà â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, îòâå÷àþùóþ ðàñïðîñòðàíåíèþ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû ñ ìàññîé m:

S c(−) (k; k0 |σ, σ 0 ) = Z

Z

dσµ (x) dσν (x0 ) u¯(+) (k; x)γ µ S c (x; x0 )γ ν u(−) (x0 ; k 0 ).

= σ

(2.7)

σ0

 äàëüíåéøåì ìû ÷àñòî â êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâåííî-ïîäîáíîé ïîâåðõíîñòè áóäåì âûáèðàòü ãèïåðïëîñêîñòü λx = τ ñ âðåìåíèïîäîáíûì âåêòîðîì íîðìàëè λ è èíâàðèàíòíûì âðåìåíåì τ .  ýòîì ñëó÷àå ñîîòíîøåíèå (2.7) ïðèîáðåòàåò âèä: Z

=

Z

S c(−) (k; k0 |τ, τ 0 ) =

ˆ c (x; x0 )λu ˆ (−) (x0 ; k 0 ). d4 x δ(λx−τ )! d4 x0 δ(λx0 −τ 0 ) u¯(+) (k; x)λS (2.8)

Èñïîëüçóÿ (2.4), à òàêæå óñëîâèÿ íîðìèðîâêè è îðòîãîíàëüíîñòè îäíî÷àñòè÷íûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé (1.8), ïîëó÷èì:

S c(−) (k; k0 |τ, τ 0 ) = iθ(τ − τ 0 )(2π)3 2k 0 δ (3) (k − k0 ).

(2.9)

2.Îäíî÷àñòè÷íûå ôóíêöèè Ãðèíà

15

Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîëíóþ îäíî÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ Ãðèíà:

G(x; x0 ) = = iθ(λx−λx0 )h0|ψH (x)ψ¯H (x0 )|0i−iθ(λx0 −λx)h0|ψ¯H (x0 )ψH (x)|0i. (2.10) Ïîñëå ñãëàæèâàíèÿ è ïðîåêòèðîâàíèÿ â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå èìååì: ∗

G(−) (k; k0 |τ, τ 0 ) = iθ(τ − τ 0 )h0|a(−) (k|τ ) a (+) (k 0 |τ 0 )|0i− ∗

−iθ(τ 0 − τ )h0| a (+) (k 0 |τ 0 )a(−) (k|τ )|0i,

(2.11)

∗

ãäå îïåðàòîðû a(−) (k|τ ) è a (+) (k 0 |τ 0 ) îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (1.23) è (1.24) ïðè ÷àñòíîì âûáîðå ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíîé ïîâåðõíîñòè. Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ ïîëíûì íàáîðîì ñîñòîÿíèé èç ïðîñòðàíñòâà Ôîêà è çàïèøåì (2.11) â ñëåäóþùåì âèäå:

= iθ(τ − τ 0 ) −iθ(τ 0 − τ )

Z X

Z X

G(−) (k; k0 |τ, τ 0 ) = ∗

h0|a(−) (k|τ )|Pn ihPn | a (+) (k 0 |τ 0 )|0i−

Pn ∗

h0| a (+) (k 0 |τ 0 )|Pn ihPn |a(−) (k|τ )|0i,

(2.12)

Pn

R P

îçíà÷àåò ñóììèðîâàíèå ïî âñåì âîçìîæíûì ãäå çíàê ñîñòîÿíèÿì ñ çàäàííûì 4-âåêòîðîì ýíåðãèè-èìïóëüñà Pn è ÷èñëîì ÷àñòèö n è èíòåãðèðîâàíèå ïî ôàçîâîìó îáúåìó ýòèõ ñîñòîÿíèé.  âûðàæåíèè (2.12), íàïðèìåð, ìàòðè÷íûé ýëåìåíò Z

h0|a(−) (k|τ )|Pn i =

ˆ d4 x δ(λx − τ )¯ u(+) (k; x)λh0|ψ (x)|Pn i = H

16

2.Îäíî÷àñòè÷íûå ôóíêöèè Ãðèíà Z

=

ˆ d4 x e−iPn x δ(λx − τ )¯ u(+) (k; x)λh0|ψ (0)|Pn i. H

(2.13)

 äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü îäíî÷àñòè÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè â âèäå ïëîñêèõ âîëí:

u(±) (x; k) = e±ikx v (±) (k);

(2.14)

u¯(±) (k; x) = v¯(±) (k)e±ikx ,

(2.15)

ãäå â ñèëó óðàâíåíèé (1.2) è (1.5) áèñïèíîðû v (±) (k) è v¯(±) (k) ïîä÷èíÿþòñÿ óðàâíåíèÿì:

(kˆ ± m)v (±) (k) = 0;

(2.16)

v¯(±) (k)(kˆ ∓ m) = 0,

(2.17)

à òàêæå óñëîâèÿì íîðìèðîâêè è ïîëíîòû:

ˆ (∓) v¯σ(±) (k)λv σ 0 (k) = 2εk δσσ 0 ; X σ

vσ(∓) (k)¯ vσ(±) (k) = kˆ ± m,

(2.18) (2.19)

ãäå εk = (λk). Â ðåçóëüòàòå (2.13) ïðèíèìàåò âèä: Z

h0|a(−) (k|τ )|Pn i =

ˆ d4 x ei(k−Pn )x δ(λx − τ )¯ v (+) (k)λh0|ψ (0)|Pn i. H (2.20)

2.Îäíî÷àñòè÷íûå ôóíêöèè Ãðèíà

17

Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà ïî x â (2.20) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ. Ïðîäåëàåì öåïî÷êó ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé: ∞ Z 1 Z dε d4 x exp{i(k − Pn − ελ)x + iετ } = 2π −∞

Z∞ 3

dε δ (4) (k − Pn − ελ)eiετ =

= (2π)

−∞

Z∞

= (2π)3

dε λ0 δ(εk − εPn − ε)δ (3) (k − Pn − ελ)eiετ =

−∞

= (2π)3 λ0 δ (3) [k − Pn − (εk − εPn )λ] ei(εk −εPn )τ .

(2.21)

Òàêèì îáðàçîì,

h0|a(−) (k|τ )|Pn i = (2π)3 λ0 δ (3) [k − Pn − (εk − εPn )λ] × ˆ ×ei(εk −εPn )τ v¯(+) (k)λh0|ψ (0)|Pn i. H

(2.22)

Íåòðóäíî, îäíàêî, ïîêàçàòü, ÷òî ïðè λ2 = 1 δ -ôóíêöèÿ â (2.22) íàêëàäûâàåò âïîëíå îïðåäåëåííóþ ñâÿçü íà 4-èìïóëüñû:

k − Pn − (εk − εPn )λ = 0,

(2.23)

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

m2 − Pn2 = ε2k − ε2Pn , è äëÿ δ -ôóíêöèè ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

λ0 δ (3) [k − Pn − (εk − εPn )λ] =

(2.24)

18

2.Îäíî÷àñòè÷íûå ôóíêöèè Ãðèíà  q   k 0 (3) 2 2 2 = δ k − Pn − εPn − Pn + m − εPn λ . εk

(2.25)

 ðåçóëüòàòå èìååì

h0|a(−) (k|τ )|Pn i = ˜ (−) = (2π)3 2k 0 δ (3) [k − Pn − (εk − εPn )λ] ei(εk −εPn )τ Ψ Pn ,

(2.26)

ãäå

ˆ ˜ (−) 2εk Ψ ¯(+) (k)λh0|ψ (0)|Pn i; Pn = v H q



ε2Pn − Pn2 + m2 − εPn

k = Pn +

(2.27) λ.

(2.28)

Åùå ðàç îáðàòèì âíèìàíèå íà ýòó ñâîåîáðàçíóþ ñâÿçü ìåæäó èìïóëüñàìè k è Pn . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ïðîèíòåãðèðîâàòü (2.20) ïî èíâàðèàíòíîìó âðåìåíè, òî Z∞

˜P . dτ h0|a(−) (k|τ )|Pn i = (2π)4 δ (4) (k − Pn )2εPn Ψ n (−)

(2.29)

−∞

Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü Z∞

∗

∗ ˜ (+) dτ h0| a (+) (k|τ )|Pn i = (2π)4 δ (4) (k + Pn )2εPn Ψ Pn ,

(2.30)

−∞

ïîýòîìó, â ñèëó óñëîâèé ñïåêòðàëüíîñòè k 0 = è Pn0 ≥ 0, ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ∗

h0| a (+) (k|τ )|Pn i ≡ 0.

√

k2 + m2 > 0 (2.31)

2.Îäíî÷àñòè÷íûå ôóíêöèè Ãðèíà

19

 ðåçóëüòàòå âûðàæåíèå äëÿ ïîëíîé îäíî÷àñòè÷íîé ôóíêöèè Ãðèíà (2.12) ïðèìåò âèä:

G(−) (k; k0 )|τ, τ 0 ) = 0

= iθ(τ − τ 0 )(2π)3 λ0 δ (3) [k − k0 − (εk − εk0 )λ] eiεk τ −iεk0 τ 2εk 2εk0 × ×

Z X

∗

0 ˜ (−) ˜ (+) (2π)3 λ0 δ (3) [Pn − k − (εPn − εk )λ] e−iεPn (τ −τ ) Ψ Pn Ψ Pn .

Pn

(2.32)

Âîñïîëüçîâàâøèñü ñîîòíîøåíèåì (2.25) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî k 2 = k 02 = m2 , ïîëó÷èì:

˜ (−) (k|τ − τ 0 ), G(−) (k; k0 |τ, τ 0 ) = (2π)3 2k 0 δ (3) (k − k0 )eiεk (τ −τ ) 2εk G (2.33) 0

ãäå

˜ (−) (k|τ − τ 0 ) = iθ(τ − τ 0 )× G ×

Z X

∗

0 ˜ (+) ˜ (−) (2π)3 λ0 δ (3) [Pn − k − (εPn − εk )λ ] e−iεPn (τ −τ ) Ψ Pn Ψ Pn .

Pn

(2.34)

Îïðåäåëèì òåïåðü Ôóðüå-îáðàç ýòîé ôóíêöèè Ãðèíà ïî ðàçíîñòè èíâàðèàíòíûõ âðåìåí τ − τ 0 :

˜ (−) (k|ε) = G

Z∞

0 ˜ (−) (k|τ − τ 0 ) = d(τ − τ 0 )eiε(τ −τ ) G

−∞

=

Z X Pn

∗

(2π)3 λ0 δ (3) [Pn − k − (εPn

˜ (−) ˜ (+) Ψ Pn Ψ Pn − εk )λ ] . εPn − ε − i0

(2.35)

20

2.Îäíî÷àñòè÷íûå ôóíêöèè Ãðèíà

Ñðåäè ñîñòîÿíèé â ïðîñòðàíñòâå Ôîêà, ïî êîòîðûì ïðîâîäèòñÿ ñóììèðîâàíèå â ôîðìóëå (2.35), âûäåëèì îäíî÷àñòè÷∗

˜ (−) =Ψ ˜ (+) = 1 â íîå ñ èìïóëüñîì p (p2 = m2 ), äëÿ êîòîðîãî Ψ p p ñèëó (2.27) è (2.18), òîãäà (

˜ (−)

G

Z X 1 (k|ε) = (2π)3 λ0 δ (3) × + 2εk (εk − ε − i0) Pn0





∗

)

˜ (−) ˜ (+) Ψ Pn Ψ Pn × Pn − k − (εPn − ε2Pn − Pn2 + m2 )λ , εPn − ε − i0 (2.36) ãäå ñóììèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå ïðîâîäÿòñÿ ïî âñåìó ïîëíîìó íàáîðó ñîñòîÿíèé, êðîìå îäíî÷àñòè÷íîãî ñ p2 = m2 . Âûðàæåíèå (2.36) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ïîëíîé îäíî÷àñòè÷íîé ôóíêöèè Ãðèíà. Ïðè ýòîì ñïðîåêòèðîâàííàÿ ñâîáîäíàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà (2.4) â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå èìååò âèä: q

S˜c(−) (k|ε) =

1 . 2εk (εk − ε − i0)

(2.37)

 äàëüíåéøåì (ðàçäåë 8) íàì ïîíàäîáèòñÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, îòâå÷àþùàÿ ðàñïðîñòðàíåíèþ àíòè÷àñòèöû, êîòîðóþ ñëåäóåò îïðåäåëèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñð. (2.7)):

G(+) (k; k0 |σ, σ 0 ) = Z

Z

dσµ (x) dσν (x0 ) u¯(−) (k; x)γ µ G(x; x0 )γ ν u(+) (x0 ; k 0 ). (2.38)

= σ

σ0

2.Îäíî÷àñòè÷íûå ôóíêöèè Ãðèíà

21

Ïðîäåëàâ òå æå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ÷òî è ñ ôóíêöèåé Ãðèíà äëÿ ÷àñòèöû, íåñëîæíî ïîëó÷èòü, ÷òî

˜ (+) (k|τ −τ 0 ), G(+) (k; k0 |τ, τ 0 ) = (2π)3 2k 0 δ (3) (k−k0 )e−iεk (τ −τ ) 2εk G (2.39) 0

ãäå

˜ (+) (k|τ − τ 0 ) = −iθ(τ 0 − τ )× G ×

Z X

∗

0 ˜ (−) ˜ (+) (2π)3 λ0 δ (3) [Pn − k − (εPn − εk )λ ] eiεPn (τ −τ ) Ψ Pn ΨPn ;

Pn

(2.40) ∗

¯ ˆ (+) (k). ˜ (−) 2εk Ψ Pn = h0|ψH (0)|Pn iλv

(2.41)

 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì: (

˜ (+)

G

Z X 1 (k|ε) = − − (2π)3 λ0 δ (3) × 2εk (εk + ε − i0) Pn0



× Pn − k − (εPn −

q



ε2Pn

∗

)

˜ (+) ˜ (−) Ψ Pn ΨPn 2 2 − Pn + m )λ . εPn + ε − i0 (2.42)

22

3.Îäíîâðåìåííàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû

3. Îäíîâðåìåííàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû Ðàññìîòðèì âîëíîâóþ ôóíêöèþ Áåòå-Ñîëïèòåðà äëÿ ñèñòåìû "÷àñòèöà-àíòè÷àñòèöà":

ΦP (x1 , x2 ) = h0|T {ψH (x1 )ψ¯H (x2 )}|P i,

(3.1)

ãäå âåêòîð èç ïðîñòðàíñòâà Ôîêà |P i îïèñûâàåò ñîñòîÿíèå ýòîé äâóõ÷àñòè÷íîé ñèñòåìû äî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ïîëíûì 4-èìïóëüñîì P . Îòìåòèì, ÷òî ýòî ñîñòîÿíèå ìîæåò áûòü: 1) îäíî÷àñòè÷íûì, è òîãäà ðå÷ü èäåò î âîëíîâîé ôóíêöèè ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû è àíòè÷àñòèöû; 2) äâóõ÷àñòè÷íûì, è òîãäà ìû áóäåì èìåòü âîëíîâóþ ôóíêöèþ, îòâå÷àþùóþ ðàññåÿíèþ; 3) ìíîãî÷àñòè÷íûì, è òîãäà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ (3.1) áóäåò îòâå÷àòü áîëåå ñëîæíîìó íåóïðóãîìó ïðîöåññó. Ïðåæäå âñåãî ìû ïðîâåäåì ñãëàæèâàíèå è ïðîåêòèðîâàíèå âîëíîâîé ôóíêöèè (3.1) â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðîöåäóðîé (1.23), (1.24) è ïîëó÷èì âîëíîâóþ ôóíêöèþ â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå: (−)

ΦP (k1 , k2 |σ) = Z

=

Z

dσν (x2 ) u¯(+) (k1 ; x1 )γ µ ΦP (x1 , x2 )γ ν u(+) (x2 ; k2 ) =

dσµ (x1 ) σ

σ ∗

= h0|a(−) (k1 |σ) a (−) (k2 |σ)|P i.

(3.2)

Ñãëàæèâàíèå çäåñü ïðîèçâîäèòñÿ ïî îäíîé è òîé æå ïðîñòðàíñòâåííî-ïîäîáíîé ïîâåðõíîñòè σ , ïîýòîìó êîîðäèíàòû

3.Îäíîâðåìåííàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû

23

÷àñòèöû è àíòè÷àñòèöû x1 è x2 âñåãäà ðàçäåëåíû ïðîñòðàíñòâåííî-ïîäîáíûì èíòåðâàëîì. Âàæíàÿ îñîáåííîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè (3.2) â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîèò â òîì, ÷òî ÷àñòèöà è àíòè÷àñòèöà çäåñü âñåãäà ëåæàò íà ìàññîâîì ãèïåðáîëîèäå k12 = k22 = m2 . Äâà òîëüêî ÷òî îòìå÷åííûõ ñâîéñòâà ïîçâîëÿþò ââåñòè âåðîÿòíîñòíóþ èíòåðïðåòàöèþ âîëíîâîé ôóíêöèè ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö è ïðîâåñòè îïèñàíèå òàêîé ñèñòåìû ïîëíîñòüþ â òðåõìåðíîé ôîðìå. Èç îïðåäåëåíèÿ (3.1) âûòåêàåò, ÷òî

ΦP (x1 , x2 ) = e−iP x2 ΦP (x, 0),

(3.3)

ãäå x = x1 − x2 . Òîãäà âûðàæåíèå (3.2) ïðè âûáîðå â êà÷åñòâå σ ïëîñêîñòè λx = τ è â ïðåäñòàâëåíèè ïëîñêèõ âîëí (2.14), (2.15) ïðèìåò âèä îäíîâðåìåííîé âîëíîâîé ôóíêöèè: Z

(−)

ΦP (k1 , k2 |τ ) = Z

×

d4 x2 δ(λx2 − τ )ei(k1 +k2 −P )x2 ×

ˆ P (x, 0)λv ˆ (+) (k2 ). d4 x δ(λx)eik1 x v¯(+) (k1 )λΦ

(3.4)

Ïîñòóïàÿ ñ èíòåãðàëîì ïî x2 òî÷íî òàê æå, êàê â (2.21), ïîëó÷àåì (−)

ΦP (k1 , k2 |τ ) = (2π)3 2εk2 λ0 δ (3) [k1 + k2 − P− ˜ P (k1 ), − (εk1 + εk2 − εP )λ ] ei(εk1 +εk2 −εP )τ Φ (−)

(3.5)

ãäå ââåäåíà ñòàöèîíàðíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ

˜ P (k1 ) = 2εk2 Φ (−)

Z

ˆ P (x, 0)λv ˆ (+) (k2 ), d4 x δ(λx)eik1 x v¯(+) (k1 )λΦ (3.6)

24

3.Îäíîâðåìåííàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû

ïðè÷åì áëàãîäàðÿ δ -ôóíêöèè â (3.5) è ñâîéñòâàì âåêòîðà λ èìååòñÿ ñëåäóþùàÿ ñâÿçü ìåæäó 4-èìïóëüñàìè:

k1 + k2 − P − (εk1 + εk2 − εP )λ = 0.

(3.7)

Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü àñèìïòîòè÷åñêîå óñëîâèå ËåìàíàÑèìàíçèêà-Öèììåðìàíà äëÿ ñãëàæåííûõ îïåðàòîðîâ (1.23) è (1.24) â âèäå ñëàáîé ñõîäèìîñòè èõ ê îïåðàòîðàì ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ â in- è out-ñåêòîðàõ: ∗

∗ (±)

lim hK| a (±) (k|τ )|P i = hK| a out/in (k)|P i;

(3.8)

τ →±∞

(±)

lim hK|a(±) (k|τ )|P i = hK|aout/in (k)|P i.

(3.9)

τ →±∞

Òåïåðü íåòðóäíî âûÿñíèòü àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà âîëíîâîé ôóíêöèè (3.5). Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåõîäÿ ê àñèìïòîòè÷åñêèì ïðåäåëàì â (3.2) è èñïîëüçóÿ (3.8), (3.9), ïîëó÷àåì: (−)

(−)

∗

∗ (−)

lim ΦP (k1 , k2 |τ ) = h0|ain (k1 ) a in (k2 )|P i = hk1 , k 2 |P i;

τ →−∞

(3.10) (−)

(−)

∗ (−)

lim ΦP (k1 , k2 |τ ) = h0|aout (k1 ) a out (k2 )|P i =

τ →+∞

∗

∗

∗

= hk1 , k 2 |S|P i = hk1 , k 2 |P i + ihk1 , k 2 |T |P i,

(3.11)

ãäå T  îïåðàòîð ñòîëêíîâåíèÿ, ñâÿçàííûé ñ S -ìàòðèöåé ñîîòíîøåíèåì S = I + iT . ∗ Åñëè âåêòîðû èç ïðîñòðàíñòâà Ôîêà |P i è |k1 , k 2 i îòâå÷àþò ðàçíûì ñîñòîÿíèÿì, òî â ñèëó îðòîãîíàëüíîñòè ∗

hk1 , k 2 |P i = 0.

(3.12)

3.Îäíîâðåìåííàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû

25

Åñëè æå â êà÷åñòâå |P i âçÿòü âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû "÷àñòè∗ öà-àíòè÷àñòèöà"|p1 , p2 i, ïðè÷åì P = p1 + p2 , òî ∗

∗

hk1 , k 2 |p1 , p2 i = (2π)3 2k10 δ (3) (k1 − p1 )(2π)3 2k20 δ (3) (k2 − p2 ) = = (2π)3 2εk2 λ0 δ (3) [k1 + k2 − p1 − p2 − (εk1 + εk2 − −εp1 − εp2 )λ ] (2π)3 2k10 δ (3) (k1 − p1 ),

(3.13)

è ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àå, îòâå÷àþùåì óïðóãîìó ðàññåÿíèþ ÷àñòèöû è àíòè÷àñòèöû, àñèìïòîòè÷åñêèå óñëîâèÿ (3.10), (3.11) ïðèíèìàþò âèä: 3 0 (3) lim Φ(−) [k1 + k2 − p1 − p2 − p1 p2 (k1 , k2 |τ ) = (2π) 2εk2 λ δ

τ →−∞

− (εk1 + εk2 − εp1 − εp2 )λ ] (2π)3 2k10 δ (3) (k1 − p1 );

(3.14)

3 0 (3) lim Φ(−) [k1 + k2 − p1 − p2 − p1 p2 (k1 , k2 |τ ) = (2π) 2εk2 λ δ

τ →+∞

h

−(εk1 + εk2 − εp1 − εp2 )λ ] (2π)3 2k10 δ (3) (k1 − p1 )+ +

i 2πi δ(εk1 + εk2 − εp1 − εp2 )M (k1 ; p1 |P ) , 2εk2

(3.15)

ãäå ââåäåíà àìïëèòóäà óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ M (k1 ; p1 |P ) ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîãî ñîîòíîøåíèÿ ∗

∗

hk1 , k 2 |T |p1 , p2 i = (2π)4 δ (4) (k1 + k2 − p1 − p2 )M (k1 ; p1 |P ). (3.16)

26

3.Îäíîâðåìåííàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû

Èç îïðåäåëåíèÿ (3.1) íåòðóäíî ïîëó÷èòü âîëíîâóþ ôóíêöèþ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, íàïðèìåð, â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ∗ ¯ p Φ(0) p1 p2 (x1 , x2 ) = h0|T {ψin (x1 )ψin (x2 )}|p1 , 2 i.

(3.17)

Âîñïîëüçîâàâøèñü ðàçëîæåíèÿìè (1.3) è (1.4), à òàêæå êîììóòàöèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè (1.6), ïîëó÷àåì: (−) Φ(0) (x1 ; p1 )¯ u(−) (p2 ; x2 ), p1 p2 (x1 , x2 ) = u

(3.18)

ò.å., êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ïðîèçâåäåíèå îäíî÷àñòè÷íûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé ÷àñòèöû è àíòè÷àñòèöû. Îòñþäà èìååì 3 0 (3) 3 0 (3) Φ(0) p1 p2 (k1 , k2 |τ ) = (2π) 2k1 δ (k1 − p1 )(2π) 2k2 δ (k2 − p2 ) =

= (2π)3 2εk2 λ0 δ (3) [k1 + k2 − p1 − p2 − (εk1 + εk2 − ˜ (0) (k1 ), −εp1 − εp2 )λ] Φ p1 p2

(3.19)

˜ (0) (k1 ) = (2π)3 2k 0 δ (3) (k1 − p1 ). Φ p1 p2 1

(3.20)

ãäå

Îáðàùàÿñü òåïåðü ê ôîðìóëå (3.15), ìû âèäèì, ÷òî àñèìïòîòèêà ââåäåííîé íàìè ðåëÿòèâèñòñêîé âîëíîâîé ôóíêöèè (3.2) ñîãëàñóåòñÿ ñ àñèìïòîòèêîé âîëíîâîé ôóíêöèè â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå â òîì ñìûñëå, ÷òî â îáîèõ ñëó÷àÿõ â êà÷åñòâå êîýôôèöèåíòà ïðè ðàñõîäÿùåéñÿ âîëíå ñòîèò àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ. Ýòî ïîäòâåðæäàåò ïðàâèëüíîñòü âûáîðà â êà÷åñòâå ðåëÿòèâèñòñêîé âîëíîâîé ôóíêöèè êîíñòðóêöèé (3.1) è (3.2).

4.Äâóõâðåìåííàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà

27

4. Äâóõâðåìåííàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà Ðàññìîòðèì äâóõ÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ Ãðèíà

G(x1 , x2 ; x01 , x02 ) = ih0|T {ψH (x1 )ψ¯H (x2 )ψH (x02 )ψ¯H (x01 )}|0i. (4.1) Ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû, àíàëîãè÷íîé (3.2), ñïðîåêòèðóåì ýòî âûðàæåíèå íà îäíî÷àñòè÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè ÷àñòèöû è àíòè÷àñòèöû, ïðè ýòîì â êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâåííî-ïîäîáíûõ ïîâåðõíîñòåé âûáåðåì, êàê âñåãäà, ãèïåðïëîñêîñòè λx = τ è λx0 = τ 0 â êîíå÷íîì è íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèÿõ. Òîãäà äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà (4.1) â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå èìååì (ñð. ôîðìóëó (2.11)) :

G(−) (k1 , k2 ; k01 , k02 |τ, τ 0 ) = ∗

∗

= iθ(τ − τ 0 )h0|a(−) (k1 |τ ) a (−) (k2 |τ )a(+) (k20 |τ 0 ) a (+) (k10 |τ 0 )|0i+ ∗

∗

+iθ(τ 0 − τ )h0|a(+) (k20 |τ 0 ) a (+) (k10 |τ 0 )a(−) (k1 |τ ) a (−) (k2 |τ )|0i. (4.2) Èñïîëüçóÿ òåïåðü ïîëíûé íàáîð ñîñòîÿíèé èç ïðîñòðàíñòâà Ôîêà, ìîæíî çàïèñàòü

G(−) (k1 , k2 ; k01 , k02 |τ, τ 0 ) = iθ(τ − τ 0 )× ×

Z X Pn

∗

∗

h0|a(−) (k1 |τ ) a (−) (k2 |τ )|Pn ihPn |a(+) (k20 |τ 0 ) a (+) (k10 |τ 0 )|0i+

28

4.Äâóõâðåìåííàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà 0

+iθ(τ − τ )

Z n X

∗

h0|a(+) (k20 |τ 0 ) a (+) (k10 |τ 0 )|Pn i×

Pn

o

∗

×hPn |a(−) (k1 |τ ) a (−) (k2 |τ )|0i .

(4.3)

Äàëåå ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ñèëó óñëîâèÿ ñïåêòðàëüíîñòè k10 + k20 > 0 è Pn0 ≥ 0 âòîðîå ñëàãàåìîå â (4.3) ðàâíî íóëþ. Òîãäà ñ ó÷åòîì (3.2) èìååì

G(−) (k1 , k2 ; k01 , k02 |τ, τ 0 ) = 0

= iθ(τ − τ )

Z X

(−)

∗ (+)

ΦPn (k1 , k2 |τ ) Φ Pn (k01 , k02 |τ 0 ).

(4.4)

Pn

Âîñïîëüçîâàâøèñü (3.5), ïîëó÷àåì:

G(−) (k1 , k2 ; k01 , k02 |τ, τ 0 ) = (2π)3 2εk2 2εk20 λ0 δ (3) × h

i

× k1 + k2 − k01 − k02 − (εk1 + εk2 − εk10 − εk20 )λ × ˜ (−) (k1 ; k01 |P, τ − τ 0 ), (4.5) × exp{i(εk1 + εk2 )τ − i(εk10 + εk20 )τ 0 }G ãäå 4-âåêòîð P îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì:

P − εP λ = k1 + k2 − (εk1 + εk2 )λ = k10 + k20 − (εk10 + εk20 )λ, (4.6) à

˜ (−) (k1 ; k0 |P, τ − τ 0 ) = iθ(τ − τ 0 ) G 1

Z n X

(2π)3 λ0 δ (3) ×

Pn

× [Pn − P − (εPn −

0 ˜ (−) εP )λ] e−iεPn (τ −τ ) Φ Pn (k1 )

∗

o

0 ˜ (+) Φ Pn (k1 ) . (4.7)

4.Äâóõâðåìåííàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà

29

Çäåñü ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî, â îòëè÷èå îò îáû÷íîé ôåéíìàíîâñêîé òåîðèè â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, íà÷àëüíûé 4-èìïóëüñ íå ðàâåí êîíå÷íîìó:

k1 + k2 6= k30 + k20 ,

(4.8)

íî ìåæäó íèìè èìååòñÿ ñîîòíîøåíèå (4.6), êîòîðîå îáóñëîâëåíî δ -ôóíêöèåé â (4.1) è îáåñïå÷èâàåò ñîõðàíåíèå ëèøü îðòîãîíàëüíîé ê λ êîìïîíåíòû èìïóëüñîâ. Êðîìå òîãî, âñå èìïóëüñû ÷àñòèö ëåæàò íà ìàññîâîì ãèïåðáîëîèäå

k12 = k202 = k22 = k302 = m2 ,

(4.9)

ïîýòîìó â ôóíêöèè Ãðèíà (4.7) äåéñòâèòåëüíî ìîæíî âûäåëèòü òðè íåçàâèñèìûå âåêòîðíûå ïåðåìåííûå: k1 , k01 è ïîëíûé 4-èìïóëüñ P , ïðè÷åì 



q

k2 = P − k1 − εP − εk8 −

(εP − εk5

)3

− (P − k1

)2

+

m2

λ;

(4.10) 

k20 = P − k10 − εP − εk10 −

q



(εP − εk10 )2 − (P − k10 )2 + m2 λ. (4.11)

Ñäåëàâ òåïåðü Ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèå ïî ðàçíîñòè âðåìåí τ − τ 0 , ïîëó÷àåì ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà:

˜(−)

J

Z∞

(k1 ; k01 |P, εP )

=

0 ˜ (−) (k1 ; k10 |P, τ −τ 0 ) = d(τ −τ 0 )eiεP (τ −τ ) G

−∞

=

Z X Pn

∗

(2π)3 λ0 δ (3) [Pn − P − (εPn

˜ (−) ˜ (+) 0 Φ Pn (k1 ) Φ Pn (k1 ) − εP )λ] , εPn − εP − i0 (4.12)

30

4.Äâóõâðåìåííàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà

ïðè÷åì ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü, êàê ìû âèäèì, âûðàæàåòñÿ ÷åðåç áèëèíåéíóþ ôîðìó îäíîâðåìåííûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé. ˜ (0) (k1 ; k01 |P, εP ) ìîæíî áûëî Ñâîáîäíóþ ôóíêöèþ Ãðèíà G áû âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ îïèñàííîé çäåñü ïðîöåäóðû íåïîñðåäñòâåííî èç ôîðìóëû (4.1), ïîäñòàâèâ òóäà àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîáîäíûå ïîëÿ âìåñòî ãàéçåíáåðãîâûõ. Îäíàêî ìû äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ íåïîñðåäñòâåííî ôîðìóëîé (4.12), âûäåëèâ â ýòîì áåñêîíå÷íîì ðàçëîæåíèè ÷ëåí ñ äâóõ÷àñòè÷íûì óïðóãèì ïðîìåæóòî÷íûì ñîñòîÿíèåì: Z

(

Z 5

p ωp1

3

d ωp2 (2π)3 λ2 δ (3) [p1 + p2 − P − (εp1 + εp2 − εP )λ] × ∗

˜ (−) (k1 ) Φ ˜ (+) (k0 ) ) Φ p1 p2 p2 p2 1 × , εp1 + εp2 − εP − i0

(4.13)

˜ (−) (k1 )  âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, îòâå÷àþùàÿ óïðóãîìó ðàñãäå Φ p1 p2 ñåÿíèþ ÷àñòèöû è àíòè÷àñòèöû. Ïîñêîëüêó íàñ èíòåðåñóåò ôóíêöèÿ Ãðèíà íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, ñëåäóåò âçÿòü â ôîðìyëå (4.13) ñâîáîäíûå âîëíîâûå ôóíêöèè, îïðåäåëÿåìûå âûðàæåíèåì (3.20).  ðåçóëüòàòå ˜ (0) (k1 ; k01 |P, εP ) = G ãäå

(2π)3 2k10 δ (3) (k1 − k01 ) , 2εk2 (εk1 + εk2 − εP − i0)

(4.14)

q

εk2 =

(εP − εk1 )2 − (P − k1 )2 + m2 .

(4.15)

5.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå è óñëîâèå íîðìèðîâêè

31

5. Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå è óñëîâèå íîðìèðîâêè Ðàññìîòðèì ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ äâóõ÷àñòè÷íîé ôóíêöèè Ãðèíà (4.12) è âûäåëèì èç áåñêîíå÷íîé ñóììû ñëàãàåìîå, îòâå÷àþùåå îäíî÷àñòè÷íîìó ïðîìåæóòî÷íîìó ñîñòîÿíèþ ñ èìïóëüñîì p, ìàññîé M è êàêèìè-òî äðóãèìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè, êîòîðûå ìû íå áóäåì âûïèñûâàòü ÿâíî:

˜ (−) (k1 ; k0 |P, εP ) = G 1 Z

=

d3 ωp (2π)3 λ0 δ (3) [p − P − (εp − εP )λ] × ∗

∗

˜ (+) 0 ˜ (+) 0 ˜ (−) ˜ (−) Φ Φ Bp (k1 ) Φ Bp (k1 ) Bp (k1 ) Φ Bp (k1 ) + ... = + ..., × εp − εP − i0 2εp (εp − εP − i0)

(5.1)

˜ (−) ãäå Φ Bp (k1 )  âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû è àíòè÷àñòèöû ñ êâàíòîâûìè ÷èñëàìè âûäåëåííîãî íàìè îäíî÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ è èìïóëüñîì p, ïðè÷åì q

p = P + (εp − εP )λ;

εp =

ε2P − P 2 + M 2 .

(5.2)

Èññëåäóåì âûðàæåíèå (5.1) âáëèçè çíà÷åíèÿ P 2 = M 2 . Ïîñêîëüêó âûïèñàííîå íàìè ÿâíî ñëàãàåìîå èìååò îñîáåííîñòü â ýòîé òî÷êå, à âñÿ îñòàâøàÿñÿ ñóììà ïî ïðîìåæóòî÷íûì ñîñòîÿíèÿì, îáîçíà÷åííàÿ ìíîãîòî÷èåì, ðåãóëÿðíà, ìû ìîæåì

32

5.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå è óñëîâèå íîðìèðîâêè

ïðèáëèæåííî íàïèñàòü: p ' P ; εp ' εP − (P 2 − M 2 )/2εP , è, ñëåäîâàòåëüíî, ∗

˜ (−) (k1 ; k01 |P, εP )|P 2 ≈M 2 G

0 ˜ (−) (k1 ) Φ ˜ (+) Φ BP (k1 ) ≈ BP 2 . M − P 2 − i0

(5.3)

Óìíîæàÿ ýòî ñîîòíîøåíèå ñëåâà íà îáðàòíóþ ôóíêöèþ Ãðèíà, îïðåäåëÿåìóþ ñîîòíîøåíèåì: Z

h

˜ (−) d3 ωp1 G

i−1

˜ (−) (p1 ; k0 |P, εP ) = (k1 ; p1 |P, εP )G 1

= (2π)3 2k10 δ (3) (k1 − k01 ),

(5.4)

è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó P 2 → M 2 , ìû âûíóæäåíû çàêëþ÷èòü, ÷òî Z

h

˜ (−) d3 ωk01 G

i−1

˜ BP (k0 ) = 0. (k1 ; k01 |P, εP )|P 2 =M 2 Φ 1 (−)

(5.5)

Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ðåëÿòèâèñòñêîé ñâÿçàííîé ñèñòåìû "÷àñòèöà-àíòè÷àñòèöà". Åñëè ââåñòè îáû÷íûì ñïîñîáîì êâàçèïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ

V (k1 ; k01 |P, εP ) = h

˜ (0) = G

i−1

h

˜ (−) (k1 ; k01 |P, εP ) − G

i−1

(k1 ; k01 |P, εP ),

(5.6)

òî íåòðóäíî èç (5.5) âûâåñòè ñëåäóþùåå êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå:

˜ (−) 2εk2 (εk1 + εk2 − εP )Φ BP (k1 ) =

Z

0 ˜ (−) d3 ωk01 V (k1 ; k01 |P, εP )Φ BP (k1 ).

(5.7)

5.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå è óñëîâèå íîðìèðîâêè

33

Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ëèøü ïîêàçàòü, ÷òî îáðàòíàÿ ê (4.14) ôóíêöèÿ èìååò âèä: h

˜ (0) G

i−1

(k1 ; k01 |P, εP ) = (2π)3 2k10 δ (3) (k1 −k01 )2εk2 (εk1 +εk2 −εP ). (5.8)

Âåðíåìñÿ ê ïðèáëèæåííîìó ðàâåíñòâó (5.3). Óìíîæèì åãî ñïðàâà íà îáðàòíóþ ôóíêöèþ Ãðèíà, à òàêæå íà âîëíîâóþ ˜ (−) ôóíêöèþ Φ BP (k1 ) è ïðîâåäåì ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî èìïóëüñàì:

˜ (−) ˜ (−) Φ BP (k1 )|P 2 →M 2 ≈ ΦBP (k1 )× Z

Z

d3 ωk01

×

h

˜ (−) G

∗

0 ˜ (+) d3 ωk001 Φ BP (k1 )

i−1

(k01 ; k001 |P, εP )

M 2 − P 2 − i0

00 ˜ (−) Φ BP (k1 ),

(5.9)

îòêóäà ñ ó÷åòîì (5.5) âûòåêàåò, ÷òî ïðè P 2 → M 2 : Z

Z 3

d ωk1 h

×

˜ (−) G

i−1

∗

˜ (+) d3 ωk01 Φ BP (k1 )× h

˜ (−) (k1 ; k01 |P, εP ) − G

i−1

(k1 ; k01 |P, εP )|P 2 =M 2

M 2 − P 2 − i0 ˜ BP (k0 ) ≈ 1, ×Φ 1 (−)

×

(5.10)

è ïðè P 2 = M 2 èìååì: Z

Z ∗ ∂ h ˜ (−) i−1 ˜ (+) d3 ωk1 d3 ωk01 Φ (k ) G (k1 ; k01 |P, εP )|P 2 =M 2 × 1 BP ∂P 2

34

5.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå è óñëîâèå íîðìèðîâêè

˜ BP (k01 ) = −1. ×Φ (−)

(5.11)

Ïîñêîëüêó èç ñîîòíîøåíèÿ (4.6) ñëåäóåò, ÷òî P 2 −(k1 +k2 )2 = = ε2P − (εp1 + εp2 )2 , çäåñü ìîæíî ïåðåéòè îò ïðîèçâîäíîé ïî P 2 ê ïðîèçâîäíîé ïî εP : ∂P 2 = 2εP ∂εP . Ôîðìóëà (5.11) äàåò óñëîâèå íîðìèðîâêè äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ðåëÿòèâèñòñêîãî ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ. Âûðàæàÿ òåïåðü îáðàòíóþ ôóíêöèþ Ãðèíà ÷åðåç êâàçèïîòåíöèàë ïî ôîðìóëå (5.6) è èñïîëüçóÿ (5.8), ïîëó÷àåì: Z

Z

+

∗

˜ (+) ˜ (−) d3 ωk1 Φ BP (k1 )2εk2 ΦBP (k1 )+

Z 3

d ωk1

3

dω

k01

∗ ∂ (+) ˜ V (k1 ; k01 |P, εP )|P 2 =M 2 × Φ BP (k1 ) ∂εP

˜ BP (k01 ) = 2εP . ×Φ (−)

(5.12)

Åñëè êâàçèïîòåíöèàë íå çàâèñèò îò ýíåðãèè, òî óñëîâèå íîðìèðîâêè êâàçèïîòåíöèàëüíîé âîëíîâîé ôóíêöèè ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ è ïî âèäó áëèçêî ê óñëîâèþ íîðìèðîâêè îáû÷íîé êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé âîëíîâîé ôóíêöèè: Z 3

d ωk1

∗

˜ (−) ˜ (+) Φ BP (k1 )2εk2 ΦBP (k1 ) = 2εP .

(5.13)

 äàëüíåéøåì ìû ÷àñòî áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ñèìâîëüíîé çàïèñüþ âûâåäåííûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, çàìåíÿÿ ââåäåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðàìè, à èíòåãðèðîâàíèå ïî èìïóëüñàì  îïåðàòîðíûì óìíîæåíèåì. Òàê, óðàâíåíèå (5.7) â ñèìâîëüíîé çàïèñè áóäåò èìåòü âèä: h

˜ (0) G

i−1

˜ (−) ˜ (−) (εP )Φ BP = V (εP )ΦBP .

(5.14)

5.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå è óñëîâèå íîðìèðîâêè

35

Óìíîæàÿ åãî (â îïåðàòîðíîì ñìûñëå) ñëåâà íà ñâîáîäíóþ ôóíêöèþ Ãðèíà, ïîëó÷èì:

˜ (−) ˜ (0) ˜ (−) Φ BP = G (εP )V (εP )ΦBP .

(5.15)

Óðàâíåíèå â òàêîì âèäå ñïðàâåäëèâî, áåçóñëîâíî, òîëüêî äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåé íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (3.10), (3.12).  ñëó÷àå ñîñòîÿíèÿ ðàññåÿíèÿ, ó÷èòûâàÿ àñèìïòîòè÷åñêîå óñëîâèå (3.14), ìû äîëæíû çàïèñàòü ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:

˜ (0) (εP )V (εP )Φ ˜ (−) . ˜ (−) = Φ ˜ (0) + G Φ p1 p2 p1 p2 p1 p2

(5.16)

Ââåäåì òåïåðü íîâûé îïåðàòîð T (εP ) ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ: ˜ (0) (εP )T (εP ). T (εP ) = V (εP ) + V (εP )G (5.17) Èñïîëüçóÿ ýòî îïåðàòîðíîå ñîîòíîøåíèå, ìîæíî èñêëþ÷èòü èç (5.16) îïåðàòîð êâàçèïîòåíöèàëà V (εP ):

˜ (−) ˜ (0) ˜ (0) ˜ (0) Φ p1 p2 = Φp1 p2 + G (εP )T (εP )Φp1 p2 .

(5.18)

Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå ýâîëþöèè, ñâÿçûâàþùåå âîëíîâóþ ôóíêöèþ ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö ñ âîëíîâîé ôóíêöèåé ñâîáîäíûõ ÷àñòèö â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè. Äëÿ òîãî ÷òîáû îïðåäåëèòü ôèçè÷åñêèé ñìûñë îïåðàòîðà T (εP ), óìíîæèì ñîîòíîøåíèå (5.18) íà exp{i(εk1 + εk2 − εP )τ } è óñòðåìèì τ → ∞. Âîñïîëüçîâàâøèñü òåïåðü èçâåñòíûì ïðåäåëüíûì ðàâåíñòâîì

exp{i(εk1 + εk2 − εP )τ } = 2πiδ(εk1 + εk2 − εP ) τ →∞ εk1 + εk2 − εP − i0 lim

(5.19)

36

5.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå è óñëîâèå íîðìèðîâêè

è ñðàâíèâàÿ â äàííîì ïðåäåëå âûðàæåíèÿ (5.18) è (3.15), ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî

T (k1 ; p1 |P, εP )|εk1 +εk2 =εp1 +εp2 = M (k1 ; p1 |P ).

(5.20)

Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ T (εP ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àìïëèòóäó óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ÷àñòèöû è àíòè÷àñòèöû âíå ýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè è, êàê ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà (5.20), ïðè ðàâåíñòâå íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé ýíåðãèé ñîâïàäàåò ñ ôèçè÷åñêîé àìïëèòóäîé ðàññåÿíèÿ. Âûïèøåì òåïåðü ñîîòíîøåíèå (5.17) â ïîëíîé ôîðìå:

T (k1 ; p1 |P, εP ) = V (k1 ; p1 |P, εP )+ Z

+ d3 ωk01

V (k1 ; k01 |P, εP )T (k01 ; p1 |P, εP ) . 2εk20 (εk10 + εk20 − εP − i0)

(5.21)

Ïðè çàäàííîì êâàçèïîòåíöèàëå V (εP ) ýòî ñîîòíîøåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå äëÿ àìïëèòóäû óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ âíå ýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè è ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì óðàâíåíèÿ Ëèïïìàíà-Øâèíãåðà. Ââåäåì òåïåðü íåêîòîðîå äðóãîå ÿäðî U (εP ) ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ: "

#

+ 1 (0) ˜ ˜ (0) (εP ) U (εP ), (5.22) U (εP ) = V (εP ) + V (εP ) G (εP )− G 2 +

˜ (0) (εP ) - îïåðàòîð, ýðìèòîâî ñîïðÿæåííûé ê G ˜ (0) (εP ). ãäå G Èñêëþ÷àÿ êâàçèïîòåíöèàë V (εP ) èç óðàâíåíèÿ äëÿ àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ, ïîëó÷èì: T (εP ) = U (εP ) + iU (εP )D(εP )T (εP ),

(5.23)

5.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå è óñëîâèå íîðìèðîâêè ãäå

"

37

#

+ 1 ˜ (0) ˜ (0) (εP ) . D(εP ) = G (εP )− G 2i

(5.24)

Âîñïîëüçîâàâøèñü ÿâíûì âûðàæåíèåì äëÿ ñâîáîäíîé ôóíêöèè Ãðèíà, ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîðó D(εP ) îòâå÷àåò ôóíêöèÿ:

D(k1 ; k01 |P, εP ) =

π δ(εk1 + εk2 − εP )(2π)3 2k10 δ 3 (k1 − k01 ), 2εk2 (5.25)

êîòîðàÿ îáóñëîâëèâàåò ïðèðàâíèâàíèå íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé ýíåðãèé ïîä çíàêîì èíòåãðàëà â (5.23). Ýòî ïîçâîëÿåò íàì ïðèðàâíÿòü âîîáùå âñå íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå ýíåðãèè â ýòîì ñîîòíîøåíèè è çàïèñàòü åãî ñëåäóþùèì îáðàçîì:

M = U (εP ) + iU (εP )D(εP )M.

(5.26)

 òîì ñëó÷àå, êîãäà ÿäðî U (εP ) çàäàíî, ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå íåïîñðåäñòâåííî äëÿ àìïëèòóäû óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ íà ýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè M (k1 ; p1 |P ), êîòîðîå â ðàçâåðíóòîì âèäå âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:

M (k1 ; p1 |P ) = U (k1 ; p1 |P, εP )+ Z

+iπ

d3 ωk01

δ(εk10 + εk20 − εP ) U (k1 ; k01 |P, εP )M (k01 ; p1 |P ). 0 2εk2 (5.27)

Ýòî óðàâíåíèå äëÿ ôèçè÷åñêîé àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðåëÿòèâèñòñêèì îáîáùåíèåì óðàâíåíèÿ Ãàéòëåðà â òåîðèè çàòóõàíèÿ, à ôóíêöèÿ U (k1 ; k01 |P, εP )  ðåëÿòèâèñòñêèì àíàëîãîì ìàòðèöû ðåàêöèé.

38

6.Óñëîâèå óíèòàðíîñòè è ñâîéñòâà êâàçèïîòåíöèàëà

6. Óñëîâèå óíèòàðíîñòè è ñâîéñòâà êâàçèïîòåíöèàëà Ðàññìîòðèì îäíîâðåìåííóþ âîëíîâóþ ôóíêöèþ äâóõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö â ñîñòîÿíèè ðàññåÿíèÿ, îïðåäåëÿåìóþ â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (3.5) ñëåäóþùèì îáðàçîì:

˜ (−) ˜ (−) Φ P (k1 |τ ) = exp{i(εk1 + εk2 − εP )τ }ΦP (k1 ),

(6.1)

ãäå τ  åäèíîå èíâàðèàíòíîå âðåìÿ. Äèôôåðåíöèðóÿ åå ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåì:

∂ ˜ (−) 1 h ˜ (0) i−1 1 ˜ (−) ˜ (−) ΦP (τ ) = G (εP )Φ V (εP )Φ P (τ ) = P (τ ). i∂τ 2εk2 2εk2 (6.2) Çäåñü ìû, êàê è â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, âîñïîëüçîâàëèñü ñèìâîëüíîé çàïèñüþ è ó÷ëè, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò êâàçèïîòåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (5.14). Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (6.2) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåëÿòèâèñòñêèé àíàëîã ˜ (−) óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, à âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ Φ P (k1 |τ ) ÿâëÿåòñÿ åãî ñòàöèîíàðíûì ðåøåíèåì. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëåäóþùóþ áèëèíåéíóþ ôîðìó (ìàòðèöó ïëîòíîñòè): Z 0

ρ(P ; P |τ ) =

∗

˜ (+) ˜ (−) d3 ωk1 Φ P 0 (k1 |τ )2εk2 ΦP (k1 |τ ).

(6.3)

Î÷åâèäíî, ÷òî äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ýòîé ìàòðèöû ïëîòíîñòè ïðè P 0 = P ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïîëíóþ âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ äâóõ÷àñòè÷íîé ñèñòåìû â ñîñòîÿíèè ñ

6.Óñëîâèå óíèòàðíîñòè è ñâîéñòâà êâàçèïîòåíöèàëà

39

çàäàííûìè èìïóëüñàìè ÷àñòèöû è àíòè÷àñòèöû p1 è p2 (P = = p1 + p2 ) è äðóãèìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè, êîòîðûå ìû ÿâíî íå âûïèñûâàåì. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ìàòðèöó ïëîòíîñòè (6.3) ïî âðåìåíè, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (6.1) è (6.2): Z h∗ ∂ ˜ (+) ρ(P 0 ; P |τ ) == d3 ωk1 Φ P 0 (k1 |τ )× i∂τ i

˜ (−) × [2εk2 (εk1 + εk2 − εP ) − 2εk2 (εk1 + εk2 − εP 0 )] Φ P (k1 |τ ) = Z

Z 3

=

d ωk01

∗

0 ˜ (+) ˜ (0) −1 0 d3 ωk1 Φ P 0 (k1 |τ ){[G ] (k1 ; k1 |P, εP )−

+

˜ (0) ]−1 (k0 ; k1 |P 0 , εP 0 )}Φ ˜ (−) −[ G P (k1 |τ ) = 1 Z

=

Z 3

d ωk01 +

−V

"∗

0 0 ˜ (+) d ωk1 Φ P 0 (k1 |τ ) {V (k1 ; k1 |P, εP )− 3



(k01 ; k1 |P 0 , εP 0 )

#

˜ (−) Φ P (k1 |τ ) .

(6.4)

Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü êâàçèïîòåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì, ñîïðÿæåííûì ê (5.14): ∗

+

∗

+

˜ (0) ]−1 (εP ) =Φ ˜ (+) ˜ (+) Φ P (τ ) V (εP ). P (τ )[ G

(6.5)

Ïîëàãàÿ òåïåðü â âûðàæåíèè (6.4) P 0 = P , ïîëó÷èì äëÿ ïðîèçâîäíîé äèàãîíàëüíîãî ýëåìåíòà ìàòðèöû ïëîòíîñòè ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå: +

∂ V (εP )− V (εP ) ˜ (−) ˜(−) ρ(P ; P |τ ) = −2hΦ ΦP i, P , ∂τ 2i

(6.6)

40

6.Óñëîâèå óíèòàðíîñòè è ñâîéñòâà êâàçèïîòåíöèàëà

ãäå ìû äëÿ êðàòêîñòè âîñïîëüçîâàëèñü ñèìâîëüíîé çàïèñüþ, ñìûñë êîòîðîé ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì èç ñðàâíåíèÿ (6.6) è (6.4). Èçâåñòíî, ÷òî èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ïîëíàÿ âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ñèñòåìû â çàäàííîì ñîñòîÿíèè äîëæíà ëèáî ñîõðàíÿòüñÿ, ëèáî óáûâàòü ñî âðåìåíåì (óñëîâèå ïîãëîùåíèÿ), ïîýòîìó åå ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè íèêîãäà íå ìîæåò áûòü ïîëîæèòåëüíîé. Ó÷èòûâàÿ ýòî è èñõîäÿ èç ðàâåíñòâà (6.6), ìû ïðèõîäèì ê îäíîçíà÷íîìó âûâîäó, ÷òî àíòèýðìèòîâà ÷àñòü êâàçèïîòåíöèàëà, óñðåäíåííàÿ ïî äàííîìó äâóõ÷àñòè÷íîìó ñîñòîÿíèþ, âñåãäà áóäåò íåîòðèöàòåëüíîé. Òàêèì îáðàçîì, êâàçèïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ÷àñòèö, â îòëè÷èå îò ïîòåíöèàëà â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå, ÿâëÿåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, íåýðìèòîâûì, ÷òî ñâÿçàíî ñ íàëè÷èåì ïîãëîùåíèÿ â ñèñòåìå äâóõ ÷àñòèö (íåóïðóãèõ ïåðåõîäîâ), ïðè÷åì óñðåäíåííàÿ àíòèýðìèòîâà ÷àñòü êâàçèïîòåíöèàëà äîëæíà áûòü çíàêîîïðåäåëåííîé. ×òîáû äåòàëüíåé ïîíÿòü ïðîèñõîæäåíèå ïîãëîùåíèÿ â ðåëÿòèâèñòñêîé çàäà÷å äâóõ÷àñòè÷íîãî ðàññåÿíèÿ, îáðàòèìñÿ ê óñëîâèþ óíèòàðíîñòè äëÿ îïåðàòîðà ñòîëêíîâåíèÿ: +

+

T − T = i T T.

(6.7)

Âçÿâ ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îò ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îäèíàêîâûìè äâóõ÷àñòè÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè, ïîëó÷èì: ∗

∗

∗

+

∗

hk1 , k 2 |T |p1 , p2 i − hk1 , k 2 | T |p1 , p2 i = =i

Z X

∗

+

∗

hk1 , k 2 | T |Pn ihPn |T |p1 , p2 i,

(6.8)

Pn

ãäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü ïîëíûì íàáîðîì âåêòîðîâ ñîñòîÿíèÿ èç ïðîñòðàíñòâà Ôîêà. Âûäåëèâ èç ñóììû ïî ïðîìåæóòî÷íûì ñîñòîÿíèÿì â ÿâíîì âèäå ñëàãàåìîå, îòâå÷àþùåå òîìó æå äâóõ÷àñòè÷íîìó ñîñòîÿíèþ, êîòîðîå ìû âûáðàëè â íà÷àëå è â êîíöå âçàèìîäåéñòâèÿ, è ââîäÿ àìïëèòóäó óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ïî ôîðìóëå (3.16), èìååì: +

M (k1 ; p1 |P )− M (k1 ; p1 |P ) =

6.Óñëîâèå óíèòàðíîñòè è ñâîéñòâà êâàçèïîòåíöèàëà Z

= 2πi d3 ωk01

41

δ(εk10 + εk20 − εP ) + 0 0 M (k1 ; k1 |P )M (k1 ; p1 |P )+ 2εk20 +iH(k1 ; p1 |P ),

(6.9)

ãäå ÷åðåç H(k1 ; p1 |P ) îáîçíà÷åí âêëàä âñåõ íåóïðóãèõ êàíàëîâ â óñëîâèå óíèòàðíîñòè:

(2π)4 δ (4) (k1 + k2 − p1 − p2 )H(k1 ; p1 |P ) = =

Z X

∗

+

∗

hk1 , k 2 | T |Pn0 ihPn0 |T |p1 , p2 i,

(6.10)

Pn0

ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåì âîçìîæíûì ïðîìåæóòî÷íûì ñîñòîÿíèÿì, êðîìå ñîâïàäàþùåãî ñ íà÷àëüíûì è êîíå÷íûì. Èñïîëüçóÿ ââåäåííóþ ðàíåå ôóíêöèþ (5.25), ìîæíî çàïèñàòü óñëîâèå óíèòàðíîñòè (6.9) â ïðèíÿòîé íàìè ñèìâîëüíîé ôîðìå: +

+

M − M = 2i M D(εP )M + iH.

(6.11)

Âåðíåìñÿ òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ ïðîèçâîäíîé îò äèàãîíàëüíîãî ýëåìåíòà ìàòðèöû ïëîòíîñòè (6.6) è, âîñïîëüçîâàâøèñü ñîîòíîøåíèåì ýâîëþöèè (5.18), çàïèøåì åå â âèäå: + + ∂ (0) ˜ ˜ (0) (εP )]× ρ(P ; P |τ ) = ihΦp1 p2 , [1+ T (εP ) G ∂τ +

h

i

˜ (0) ˜ (0) (εP )T (εP ) Φ ×[V (εP )− V (εP )] 1 + G p1 p2 i.

(6.12)

Ó÷èòûâàÿ òåïåðü óðàâíåíèå (5.16) äëÿ àìïëèòóäû óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ âíå ýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, ïîëó÷èì: 

+ + ∂ ˜ (0) , T (εP )− T (εP )− T (εP )[G ˜ (0) (εP )− ρ(P ; P |τ ) = ihΦ p1 p2 ∂τ

42

6.Óñëîâèå óíèòàðíîñòè è ñâîéñòâà êâàçèïîòåíöèàëà )

+

˜ (0) (εP )]T (εP ) Φ ˜ (0) −G p1 p2 i.

(6.13)

Ïîñêîëüêó â ïðàâîé ÷àñòè âñå îïåðàòîðû ëåæàò íà ýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ óñëîâèåì óíèòàðíîñòè (6.11) è îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì: +

∂ V (εP )− V (εP ) ˜ (−) ˜(−) ρ(P ; P | τ ) = −2hΦ ΦP i = P , ∂τ 2i ˜ (0) ˜ (0) = −hΦ p1 p2 , H Φp1 p2 i = −H(p1 ; p1 |P ).

(6.14)

Íåòðóäíî âèäåòü èç îïðåäåëåíèÿ (6.10) îïåðàòîðà H , ÷òî åãî äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ïîëîæèòåëüíû, ïîýòîìó, âî-ïåðâûõ, ìû ñíîâà ïðèõîäèì ê âûâîäó, î ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè óñðåäíåííîé àíòèýðìèòîâîé ÷àñòè êâàçèïîòåíöèàëà. Âî-âòîðûõ, çàêëþ÷àåì, ÷òî íàëè÷èå ïîãëîùåíèÿ â ñèñòåìå (óáûâàíèÿ âåðîÿòíîñòè) è àíòèýðìèòîâîé ÷àñòè êâàçèïîòåíöèàëà îäíîçíà÷íî ñâÿçàíî ñ ñóùåñòâîâàíèåì íåóïðóãèõ êàíàëîâ ðåàêöèè â ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè.  çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà ñîïîñòàâèì óðàâíåíèÿ (5.26) è (6.11) è èñêëþ÷èì èç íèõ àìïëèòóäó M .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì: +

+

U (εp )− U (εP ) = iH+ U (εP )D(εP )H − HD(εP )U (εP )+ +

+i U (εP )D(εP )HD(εP )U (εP ).

(6.15)

Èç ýòîãî óñëîâèÿ óíèòàðíîñòè äëÿ U -ìàòðèöû ñëåäóåò, ÷òî â îòëè÷èå îò íåðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè Ãàéòëåðà â äàííîì ñëó÷àå îíà, âîîáùå ãîâîðÿ, íåýðìèòîâà, è àíòèýðìèòîâà ÷àñòü åå íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàíà ñ âêëàäîì âñåõ íåóïðóãèõ êàíàëîâ ðåàêöèè.

7.Óðàâíåíèå Áåòå-Ñîëïèòåðà

43

7. Óðàâíåíèå Áåòå-Ñîëïèòåðà Äëÿ âûâîäà óðàâíåíèÿ Áåòå-Ñîëïèòåðà ìû âîñïîëüçóåìñÿ ðåäóêöèîííîé òåõíèêîé â ðàìêàõ ëîêàëüíîé òåîðèè êâàíòîâàííûõ ïîëåé. Áóäåì èñõîäèòü èç âûðàæåíèÿ (3.1) äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ñèñòåìû "÷àñòèöà-àíòè÷àñòèöà"â ñîñòîÿíèè ðàññåÿíèÿ:

¯ 2 )S}|p1 , p2 i = Φp1 p2 (x1 , x2 ) = h0|T {ψ(x1 )ψ(x ¯ 2 )S}a(+) (p2 ) a∗ (+) (p1 )|0i, = h0|T {ψ(x1 )ψ(x

(7.1)

ãäå ψ(x)  îïåðàòîð ôåðìèîííîãî ïîëÿ â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ. Âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèìè ïðàâèëàìè êîììóòàöèè îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ (óíè÷òîæåíèÿ) ñ ïðîèçâîëüíûì ¯ ñïèíîðíûõ ïîëåé: ôóíêöèîíàëîì F (ψ, ψ) h

i

∗

¯ a (±) (p) F (ψ, ψ),

h

a

(±)

±

¯ δF (ψ, ψ) u(∓) (x; p); δψ(x)

(7.2)

¯ δF (ψ, ψ) , ¯ δ ψ(x)

(7.3)

Z

i

¯ (p), F (ψ, ψ)

Z

= d4 x

±

= d4 x u¯(∓) (p; x)

ãäå ó êâàäðàòíîé ñêîáêè áåðåòñÿ çíàê "−", åñëè ôóíêöèîíàë ¯ ÷åòåí ïî ïîëÿì ψ è ψ¯, è çíàê "+", åñëè îí íå÷åòåí. F (ψ, ψ) Èñõîäíî â êà÷åñòâå ôóíêöèîíàëà F â âûðàæåíèè (7.1) ìû èìååì: ¯ = T {ψ(x1 )ψ(x ¯ 2 )S}, F (ψ, ψ) (7.4)

44

7.Óðàâíåíèå Áåòå-Ñîëïèòåðà

ïîýòîìó, äâàæäû êîììóòèðóÿ åãî ñ îïåðàòîðàìè ðîæäåíèÿ ÷àñòèöû è àíòè÷àñòèöû, ïîëó÷àåì: Z

Z

h

Φp1 p2 (x1 , x2 ) = d4 y10 d4 y20 u¯(−) (p2 ; y20 )h0|× i δ2 (−) 0 ¯ × ¯ 0 ; p ) T {ψ(x ) ψ(x )S}|0iu (y 1 2 1 1 . δ ψ(y2 )δψ(y10 )

(7.5)

Âû÷èñëèì òåïåðü âàêóóìíîå îæèäàíèå âòîðîé âàðèàöèîííîé ïðîèçâîäíîé, âõîäÿùåé â âûðàæåíèå (7.5): (

δ

(4)

(x1 − y10 )δ (4) (x2

− y20 ) − δ (4) (x1 (

(4)

−δ (x2 −

y20 )h0|T

− y10 )h0|T

)

¯ 2 ) δS ψ(x ¯ 20 ) |0i− δ ψ(y )

δS ψ(x1 ) |0i+ δψ(y10 ) )

(

δ2S ¯ 2) +h0|T ψ(x1 )ψ(x ¯ 20 )δψ(y10 ) |0i. δ ψ(y

(7.6)

Äëÿ äàëüíåéøåãî ðàñ÷åòà âàêóóìíûõ îæèäàíèé îò õðîíîëîãè÷åñêèõ ïðîèçâåäåíèé îïåðàòîðîâ ïîëÿ è íåêîòîðîãî ôóíêöèîíàëà ïîëåé ψ è ψ¯ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè: o ¯ 1Z 4 c δF (ψ, ψ) ¯ h0|T ψ(x)F (ψ, ψ) |0i = |0i; (7.7) d yS (x; y)h0| ¯ i δ ψ(y) n

n

o

¯ ψ(x ¯ 0 ) |0i = h0|T F (ψ, ψ)

¯ 1Z 4 δF (ψ, ψ) d yh0| |0iS c (y; x0 ). i δψ(y) (7.8)

7.Óðàâíåíèå Áåòå-Ñîëïèòåðà

45

 ðåçóëüòàòå âûðàæåíèå (7.6) ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

δ (4) (x1 − y10 )δ (4) (x2 − y20 ) − S c (x1 ; x2 )R(2) (y20 ; y10 )+ Z

+δ (4) (x1 − y10 ) d4 y2 R(2) (y20 ; y2 )S c (y2 ; x2 )+ Z (4)

+δ (x2 − +

y20 )

d4 y1 S c (x1 ; y1 )R(2) (y1 ; y10 )+

1Z 4 Z 4 d y1 d y2 S c (x1 ; y1 )R(4) (y1 , y2 ; y10 , y20 )S c (y2 ; x2 ), i

(7.9)

ãäå ââåäåíû âàêóóìíûå îæèäàíèÿ ðàäèàöèîííûõ îïåðàòîðîâ âòîðîãî è ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêîâ: + δ2S R(2) (x; x0 ) = ih0| ¯ S |0i; 0 δ ψ(x)δψ(x )

(7.10)

+ δ4S |0i. R(4) (x1 , x2 ; x01 , x02 ) = ih0| ¯ 0 0 S ¯ δ ψ(x1 )δψ(x2 )δ ψ(x2 )δψ(x1 ) (7.11)

Ïîäñòàíîâêà âûðàæåíèÿ (7.9) â ôîðìóëó (7.5) äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè äàåò:

Φp1 p2 (x1 , x2 ) = u¯(−) (p2 ; x2 )u(−) (x1 ; p1 )− Z

−S c (x1 ; x2 ) d4 y10 Z

Z

d4 y20 u¯(−) (p2 ; y20 )R(2) (y20 ; y10 )u(−) (y10 ; p1 )+

Z 4

d4 y20 u¯(−) (p2 ; y20 )R(2) (y20 ; y2 )S c (y2 ; x2 )u(−) (x1 ; p1 )+

+ d y2 Z

+ d4 y1

Z

d4 y10 u¯(−) (p2 ; x2 )S c (x1 ; y1 )R(2) (y1 ; y10 )u(−) (y10 ; p1 )+

46

7.Óðàâíåíèå Áåòå-Ñîëïèòåðà

+

1 Z 4 Z 4 Z 4 0 Z 4 0 h (−) d y1 d y2 d y1 d y2 u¯ (p2 ; y20 )S c (x1 ; y1 )× i i

×R(4) (y1 , y2 ; y10 , y20 )S c (y2 ; x2 )u(−) (y10 ; p1 ) .

(7.12)

Óñëîâèå ñòàáèëüíîñòè îäíî÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ, êîòîðîå áûëî ñôîðìóëèðîâàíî ðàíåå â âèäå ðàâåíñòâ (1.25) è (1.26), ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî âòîðîå, òðåòüå è ÷åòâåðòîå ñëàãàåìûå â âûðàæåíèè (7.12) çàíóëÿþòñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, èñïîëüçóÿ îïèñàííóþ çäåñü ðåäóêöèîííóþ òåõíèêó, ìû ïîëó÷àåì, íàïðèìåð, â ñëó÷àå óñëîâèÿ (1.25): ∗

h0|T {ψ(x)S} a (+) (k)|0i = Z

=u

(−)

(x; k) +

Z 4

c

d yS (x; y) d4 y 0 R(2) (y; y 0 )u(−) (y 0 ; k) = = u(−) (x; k),

(7.13)

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî Z

Z 4

dy

d4 y 0 S c (x; y)R(2) (y; y 0 )u(−) (y 0 ; k) = 0.

(7.14)

Ñëåäóåò çàìåòèòü, îäíàêî, ÷òî äëÿ òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî ñëàãàåìûõ â (7.12) íå âñå îáñòîèò òàê ïðîñòî. Èñïîëüçóÿ ðåäóêöèîííóþ òåõíèêó, ìû ìîæåì çàïèñàòü ïîëíóþ îäíî÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ Ãðèíà (2.10) ñëåäóþùèì îáðàçîì: Z

G(x; x0 ) = S c (x; x0 ) +

Z

d4 y

d4 y 0 S c (x; y)R(2) (y; y 0 )S c (y 0 ; x0 ). (7.15)

7.Óðàâíåíèå Áåòå-Ñîëïèòåðà

47

Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèå ñòàáèëüíîñòè â ôîðìå (7.14) ôàêòè÷åñêè îçíà÷àåò ñîâïàäåíèå îñîáåííîñòåé ïîëíîé è ñâîáîäíîé îäíî÷àñòè÷íûõ ôóíêöèé Ãðèíà â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå. Îäíàêî, êàê ìû çíàåì íà ïðèìåðå êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, â òåîðèÿõ, âêëþ÷àþùèõ ÷àñòèöû ñ íóëåâîé ìàññîé, òàêîå ñîâïàäåíèå ìîæåò è íå íàáëþäàòüñÿ. Âûõîä ìîæåò ñîñòîÿòü â òîì, ÷òîáû èñõîäíî â óêàçàííûõ òåîðèÿõ ïðèäàòü âñåì ÷àñòèöàì êîíå÷íûå ìàññû, à ïîñëå ïðîâåäåíèÿ âû÷èñëåíèé â ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëó÷àÿõ óñòðåìèòü èõ ê íóëþ. Äðóãîé ïóòü ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ñîõðàíèòü â âûðàæåíèè (7.12) òðåòüå è ÷åòâåðòîå ñëàãàåìûå è â äàëüíåéøåì ðàáîòàòü ñ ýòèì áîëåå ñëîæíûì ñîîòíîøåíèåì. Ìû, îäíàêî, äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëîæèì, ÷òî óñëîâèå ñòàáèëüíîñòè (7.14) âñå æå âûïîëíÿåòñÿ, è òîãäà ñîîòíîøåíèå (7.12) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:

Φp1 p2 (x1 , x2 ) = Φ(0) p1 p2 (x1 , x2 )+ Z

Z 4

+ d y1

Z 4

d y2

Z

d4 y10

h

d4 y20 G(0) (x1 , x2 ; y1 , y2 )× i

0 0 ×R(4) (y1 , y2 ; y10 , y20 )Φ(0) p1 p2 (y1 , y2 ) ,

(7.16)

ãäå âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèöû è àíòè÷àñòèöû îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (3.18), è ââåäåíà äâóõ÷àñòè÷íàÿ ñâîáîäíàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà

1 G(0) (x1 , x2 ; y1 , y2 ) = S c (x1 ; y1 )S c (x2 ; y2 ). i

(7.17)

Ñîîòíîøåíèå (7.16) ñâÿçûâàåò âîëíîâóþ ôóíêöèþ ñèñòåìû äâóõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö ñî ñâîáîäíîé âîëíîâîé ôóíêöèåé, ò.å. îïèñûâàåò ýâîëþöèþ âîëíîâîé ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ ÿäðà R(4) . Ââåäåì òåïåðü íåêîòîðóþ ôóíêöèþ K , ñâÿçàííóþ ñ R(4) ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:

R(4) (x1 , x2 ; y1 , y2 ) = K(x1 , x2 ; y1 , y2 )+

48

7.Óðàâíåíèå Áåòå-Ñîëïèòåðà Z

Z

d4 y10

+

Z

d4 y20

Z

d4 x01

d4 x02 ×

h

i

× K(x1 , x2 ; y10 , y20 )G(0) (y10 , y20 ; x01 , x02 )R(4) (x01 , x02 ; y1 , y2 ) . (7.18) Èñêëþ÷àÿ ôóíêöèþ R(4) èç âûðàæåíèÿ (7.16) ñ ïîìîùüþ ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ, ïîëó÷àåì:

Φp1 p2 (x1 , x2 ) = Φ(0) p1 p2 (x1 , x2 )+ Z

+ h

Z

d4 x01

Z

d4 x02

Z

d4 y1

d4 y2 × i

× G(0) (x1 , x2 ; x01 , x02 )K(x01 , x02 ; y1 , y2 )Φp1 p2 (y1 , y2 ) .

(7.19)

Åñëè ÿäðî K(x1 , x2 ; y1 , y2 ) çàäàíî, òî ñîîòíîøåíèå (7.19) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Áåòå-Ñîëïèòåðà äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ñèñòåìû äâóõ ðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö â ñîñòîÿíèè ðàññåÿíèÿ, ÷òî îïðåäåëÿåòñÿ íàëè÷èåì íåîäíîðîäíîãî ÷ëåíà â ýòîì óðàâíåíèè, ôèêñèðóþùåãî ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå âîëíîâîé ôóíêöèè è îòâå÷àþùåãî ñèñòåìå äâóõ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè. Òàêèì îáðàçîì, åñëè èçâåñòíî ÿäðî K , ðåøàÿ óðàâíåíèå (7.19), ìîæíî íàéòè âîëíîâóþ ôóíêöèþ, îïèñûâàþùóþ ñèñòåìó äâóõ ðåëÿòèâèñòñêèõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö. Îäíàêî ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå â óðàâíåíèè ÁåòåÑîëïèòåðà ïðîâîäèòñÿ ïî âñåìó ïðîñòðàíñòâó Ìèíêîâñêîãî íåçàâèñèìî ïî êîîðäèíàòàì êàæäîé ÷àñòèöû, ïîýòîìó îíè ìîãóò áûòü ðàçäåëåíû âðåìåíèïîäîáíûì èíòåðâàëîì â îòëè÷èå îò ñîîòíîøåíèÿ (3.2), ãäå ýòè êîîðäèíàòû âñåãäà ðàçäåëåíû ïðîñòðàíñòâåííî-ïîäîáíûì èíòåðâàëîì. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ïðè ðàññìîòðåíèè óðàâíåíèÿ ÁåòåÑîëïèòåðà ïðèâû÷íàÿ íàì âåðîÿòíîñòíàÿ òðàêòîâêà âîëíîâîé ôóíêöèè òåðÿåò ñìûñë, ïîñêîëüêó íå âñåãäà îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì îïðåäåëèòü êîîðäèíàòû îáåèõ ÷àñòèö â îäèí è

7.Óðàâíåíèå Áåòå-Ñîëïèòåðà

49

òîò æå ìîìåíò âðåìåíè. Êðîìå òîãî, èìååòñÿ íåîïðåäåëåííîñòü ïðè âûáîðå àñèìïòîòèêè âîëíîâîé ôóíêöèè, ïîñêîëüêó èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé íå ÿñíî, êàêîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå ñëåäóåò íàëîæèòü íà âîëíîâóþ ôóíêöèþ ïî îòíîñèòåëüíîìó âðåìåíè ÷àñòèö x01 − x02 . Ñäåëàâ ÷åòûðåõìåðíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ìû ìîæåì ïåðåâåñòè óðàâíåíèå (7.19) â èìïóëüñíîå 4-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî:

1 c 1 c Φp1 p2 (k1 , k2 ) = Φ(0) × p1 p2 (k1 , k2 ) + S (k1 )S (k2 ) i (2π)4 Z

×

d4 k10

1 Z 4 0 d k2 K(k1 , k2 ; k10 , k20 )Ψp1 p2 (k10 , k20 ), (2π)4

(7.20)

ãäå

S c (k) =

kˆ − m ; k 2 − m2 + i0

(7.21)

4 (4) 4 (4) (−) Φ(0) (p1 )¯ v (−) (p2 ); p1 p2 (k1 , k2 ) = (2π) δ (k1 −p1 )(2π) δ (k2 −p2 )v (7.22)

Z

Z

Z

Z

K(k1 , k2 ; k10 , k20 ) = d4 x1 d4 x2 d4 x01 d4 x02 × × exp{ik1 x1 + ik2 x2 − ik10 x01 − ik20 x02 }K(x1 , x2 ; x01 , x02 ). (7.23) Èñïîëüçóÿ òðàíñëÿöèîííîå ñâîéñòâî (3.3) âîëíîâîé ôóíêöèè, ìû èìååì:

˜ p1 p2 (k1 ), Φp1 p2 (k1 , k2 ) = (2π)4 δ (4) (k1 + k2 − p1 − p2 )Φ

(7.24)

50

7.Óðàâíåíèå Áåòå-Ñîëïèòåðà

ïðè÷åì

Z

˜ p1 p2 (k1 ) = d4 xeik1 x Φp1 p2 (x, 0); Φ ˜ (0) (k1 ) = (2π)4 δ (4) (k1 − p1 )v (−) (p1 )¯ v (−) (p2 ). Φ p1 p2

(7.25) (7.26)

Òàêèì îáðàçîì, â âîëíîâîé ôóíêöèè Áåòå-Ñîëïèòåðà ÿâíî âûäåëÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîãî 4-èìïóëüñà ñèñòåìû:

k1 + k2 = p1 + p2 ,

(7.27)

â îòëè÷èå îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó èìïóëüñàìè (3.7), êîòîðîå èìååò ìåñòî â ñëó÷àå îäíîâðåìåííîé âîëíîâîé ôóíêöèè (3.5). Îäíàêî ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â ôîðìàëèçìå Áåòå-Ñîëïèòåðà ìû èìååì äåëî ñ âèðòóàëüíûìè ÷àñòèöàìè, â òî âðåìÿ êàê â îäíîâðåìåííîé ôîðìóëèðîâêå âñå ÷àñòèöû (äàæå ïðîìåæóòî÷íûå) ëåæàò íà ìàññîâûõ ãèïåðáîëîèäàõ. Ñíîâà îáðàùàÿñü ê òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè, ìû ìîæåì çàïèñàòü:

˜ 1 ; k 0 |P ), (7.28) K(k1 , k2 ; k10 , k20 ) = (2π)4 δ (4) (k1 +k2 −k10 −k20 )K(k 1 ãäå P = k1 + k2 = k10 + k20  ïîëíûé ñîõðàíÿþùèéñÿ 4-èìïóëüñ ñèñòåìû, à

˜ (4) (k1 ; k 0 |P ). R(4) (k1 , k2 ; k10 , k20 ) = (2π)4 δ (4) (k1 + k2 − k10 − k20 )R 1 (7.29) Îêîí÷àòåëüíî óðàâíåíèå (7.20) äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ïðèíèìàåò âèä: ˜ p p (k1 ) = Φ ˜ (0) (k1 )+ Φ 1 2

p1 p2

1 1 Z 4 0 ˜ ˜ p1 p2 (k 0 ). (7.30) + S c (k1 )S c (P − k1 ) d k1 K(k1 ; k10 |P )Φ 1 i (2π)4

7.Óðàâíåíèå Áåòå-Ñîëïèòåðà

51

 ñâîþ î÷åðåäü ñîîòíîøåíèå (7.18) â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå áóäåò èìåòü ñëåäóþùèé âèä:

˜ (4) (k1 ; k 0 |P ) = K(k ˜ 1 ; k 0 |P )+ R 1 1 +

1 Z 4 ˜ ˜ (4) (q1 ; k 0 |P ), (7.31) d q1 K(k1 ; q1 |P )S c (q1 )S c (P −q1 )R 1 (2π)4 i

è åãî ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ íàõîæäåíèÿ ÿäðà óðàâíåíèÿ ˜ (4) : Áåòå-Ñîëïèòåðà ïóòåì èòåðàöèé, åñëè èçâåñòíà ôóíêöèÿ R

˜ 1 ; k 0 |P ) = R ˜ (4) (k1 ; k 0 |P )− K(k 1 1 1 Z 4 ˜ (4) ˜ (4) (q1 ; k 0 |P ) + . . . − d q1 R (k1 ; q1 |P )S c (q1 )S c (P − q1 )R 1 4 (2π) i (7.32) Òàêèì îáðàçîì, åñëè çàäàí ëàãðàíæèàí âçàèìîäåéñòâèÿ è óäàåòñÿ ïîñòðîèòü S -ìàòðèöó, ìû ìîæåì, èñïîëüçóÿ îïðåäå˜ (4) è ñ ïîìîùüþ (7.32) ëåíèå (7.11), âû÷èñëèòü ôóíêöèþ R ˜ .  ÷àñòíîñòè, èòåðàöèîííûé ïîïûòàòüñÿ ðàññ÷èòàòü ÿäðî K ðÿä äîëæåí õîðîøî ñõîäèòüñÿ â ñëó÷àå ìàëîé êîíñòàíòû âçà˜ èìîäåéñòâèÿ, è òîãäà îòêðûâàåòñÿ âîçìîæíîñòü íàõîäèòü K â ëþáîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé, åñëè èçâåñòíû íèçøèå ˜ (4) . Çíàíèå æå ÿäðà K ˜ ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêè ôóíêöèè R íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî ïîðÿäêà òåîðèè âîçìóùåíèé ïîñëå åãî ïîäñòàíîâêè â óðàâíåíèå Áåòå-Ñîëïèòåðà (7.30) è òî÷íîãî ðåøåíèÿ ïîñëåäíåãî ïîçâîëèò îïèñàòü äàæå íåêîòîðûå íåïåðòóðáàòèâíûå ýôôåêòû. Õîòÿ ìû çäåñü è îïèñàëè ïðèíöèïèàëüíóþ âîçìîæíîñòü ðåøåíèÿ äâóõ÷àñòè÷íîé ðåëÿòèâèñòñêîé ïðîáëåìû â ðàìêàõ ôîðìàëèçìà Áåòå-Ñîëïèòåðà, íå ñëåäóåò çàáûâàòü î òðóäíîñòÿõ, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ íà ýòîì ïóòè. Âî-ïåðâûõ, íàëè÷èå

52

7.Óðàâíåíèå Áåòå-Ñîëïèòåðà

âèðòóàëüíûõ ÷àñòèö íå ïîçâîëÿåò îäíîçíà÷íî ñôîðìóëèðîâàòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Âî-âòîðûõ, îòñóòñòâèå âåðîÿòíîñòíîé òðàêòîâêè âîëíîâîé ôóíêöèè ëèøàåò íàñ âîçìîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ íàãëÿäíîé ôèçè÷åñêîé êàðòèíû âçàèìîäåéñòâèÿ. Ïðîâåäåì òåïåðü ïðîöåäóðó ñãëàæèâàíèÿ è ïðîåêòèðîâàíèÿ (3.2) è (3.4) â ñîîòíîøåíèè (7.16). Äëÿ ýòîãî ìû âûïèøåì âíà÷àëå íåêîòîðûå ôîðìóëû, êîòîðûå ïîíàäîáÿòñÿ íàì ñåé÷àñ è â äàëüíåéøåì: Z

ˆ c (x; y) = d4 xδ(τ − λx)¯ u(±) (k; x)λS = ±iθ[±(τ − λy)]¯ u(±) (k; y);

Z

(7.33)

ˆ (±) (x0 ; k) = d4 x0 δ(λx0 − τ 0 )S c (y 0 ; x0 )λu = ∓iθ[∓(λy 0 − τ 0 )]u(±) (y 0 ; k).

(7.34)

Âîñïîëüçîâàâøèñü ïåðâîé ôîðìóëîé, ìû, î÷åâèäíî, ïðåîáðàçóåì ñîîòíîøåíèå (7.16) ê ñëåäóþùåìó âèäó: (0) Φ(−) p1 p2 (k1 , k2 |τ ) = Φp1 p2 (k1 , k2 |τ )+

Z

Z

Z

Z

+ d4 y1 d4 y2 d4 y10 d4 y20 iθ(τ − λy1 )iθ(τ − λy2 )× ×¯ u(+) (k1 ; y1 )¯ u(−) (p2 ; y20 )R(4) (y1 , y2 ; y10 , y20 )u(−) (y10 ; p1 )u(+) (y2 ; k2 ). (7.35) Äàëåå, âûáèðàÿ îäíî÷àñòè÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè â âèäå ïëîñêèõ âîëí è ïðåîáðàçóÿ R(4) â èìïóëüñíîå ïðîñòðàíñòâî ïî ôîðìóëå (7.23), ïîëó÷àåì: (0) Φ(−) p1 p2 (k1 , k2 |τ ) = Φp1 p2 (k1 , k2 |τ )+

7.Óðàâíåíèå Áåòå-Ñîëïèòåðà

+

53

1 Z 4 1 Z 4 0 (3) d q1 d q2 λ δ [q1 − k1 − (εq1 − εk1 )λ] × 2π 2π

×λ0 δ (3) [q2 − k2 − (εq2 − εk2 )λ] exp {i(εk1 + εk2 − εq1 − εq2 )τ } × v¯(+) (k1 )¯ v (−) (p2 )R(4) (q1 , q2 ; p1 , p2 )v (−) (p1 )v (+) (k2 ) × . (εk1 − εq1 − i0)(εk2 − εq2 − i0)

(7.36)

Ïðè âûâîäå ýòîé ôîðìóëû ìû èñïîëüçîâàëè ñëåäóþùèå èíòåãðàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ: Z

d4 yiθ[±(λy − τ )]e±i(p−k)y = = (2π)3 λ0 δ (3) [p − k − (εp − εk )λ]

exp{±i(εp − εk )τ } . (7.37) εk − εp − i0

Ó÷èòûâàÿ òåïåðü (7.27) è ñíèìàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî 3-èìïóëüñàì, ìû ïîëó÷àåì: (0) Φ(−) p1 p2 (k1 , k2 |τ ) = Φp1 p2 (k1 , k2 |τ )+

+(2π)3 λ0 δ (3) [k1 + k2 − p1 − p2 − (εk1 + εk2 − εp1 − εp2 )λ] × 1 Z 1 Z dεq1 dεq2 × × 2π 2π "

× exp {i(εk1 + εk2 − εq1 − εq2 )τ } 2πδ(εq1 + εq2 − εp1 − εp2 )× #

˜ (4) (q1 ; p1 |P )v (−) (p1 )v (+) (k2 ) v¯(+) (k1 )¯ v (−) (p2 )R . × (εk1 − εq1 − i0)(εk2 − εq2 − i0)

(7.38)

54

7.Óðàâíåíèå Áåòå-Ñîëïèòåðà

Ñðàâíèâàÿ òåïåðü ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñ ïðåäñòàâëåíèåì (3.5), ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó ñîîòíîøåíèþ äëÿ îäíîâðåìåííîé ôóíêöèè äâóõ ðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö â ñîñòîÿíèè ðàññåÿíèÿ:

˜ (0) (k1 )+ ˜ (−) (k1 ) = Φ Φ p1 p2 p1 p2 ˜ (4) (q1 ; p1 |P )v (−) (p1 )v (+) (k2 ) 1 Z v¯(+) (k1 )¯ v (−) (p2 )R + dεq1 , 2π 2εk2 (εk1 − εq1 − i0)(εq1 + εk2 − εP − i0) (7.39) ïðè÷åì èìååòñÿ ñâÿçü ìåæäó èìïóëüñàìè: q1 − k1 = (εq1 − εk1 )λ.

(7.40)

Ïðèíöèï ìèêðîïðè÷èííîñòè è ñâîéñòâî ñïåêòðàëüíîñòè â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ïîçâîëÿþò èññëåäîâàòü àíàëèòè÷åñêèå ñâîéñòâà îñíîâíûõ îáúåêòîâ òåîðèè ïî ðàçëè÷íûì ïåðåìåííûì è ïðåäñòàâëÿòü èõ â âèäå åäèíûõ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ê ÷èñëó òàêèõ îñíîâíûõ ˜ (4) , âõîäÿùàÿ â âûðàæåíèå îáúåêòîâ îòíîñèòñÿ è ôóíêöèÿ R (7.39). Ìû íå áóäåì çäåñü çàíèìàòüñÿ äîêàçàòåëüñòâîì åå àíàëèòè÷åñêèõ ñâîéñòâ, à òîëüêî ïðèìåì, ÷òî ýòè ñâîéñòâà òàêîâû, ÷òî îíà äîïóñêàåò ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå òèïà Éîñòà-Ëåìàíà-Äàéñîíà: ∞

˜ (4) (q1 ; p1 |P ) = R

1 Z 4 Z 2 ρ(k; p1 |P, µ2 ) d k dµ . (7.41) (4π)4 i (q1 − k)2 − µ2 + i0 2 µ0

ãäå ρ(k; p1 |P, µ2 )  ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü. Èñïîëüçóÿ ñâÿçü (7.40), ýòî ïðåäñòàâëåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îá-

7.Óðàâíåíèå Áåòå-Ñîëïèòåðà

55

ðàçîì: ∞

˜ (4) (q1 ; p1 |P ) = R

1 Z 4 Z 2 ρ(k; p1 |P, µ2 ) d k dµ , (7.42) (4π)4 i (εq1 − εk )2 − q 2 + i0 2 µ0

q

ãäå q = (εk − εk1 )2 − (k − k1 )2 + µ2 . Ïîäñòàâèâ òåïåðü ýòî ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå â ñîîòíîøåíèå (7.39) è âûïîëíèâ èíòåãðèðîâàíèå ïî εq1 ìåòîäîì âû÷åòîâ â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîëþñàõ (àíàëîãè÷íûå âû÷èñëåíèÿ îïèñàíû áîëåå ïîäðîáíî â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå), íåñëîæíî ñâåñòè ýòî ñîîòíîøåíèå ê óðàâíåíèþ ýâîëþöèè (5.18). Ïðè ýòîì äëÿ àìïëèòóäû óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ âíå ýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè âîçíèêàåò ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå: ∞ 1 Z 4 Z 2 T (k1 ; p1 |P, εP ) = d k dµ × (4π)4 2

"

1 × 2q

(

µ0

)

1 1 − × εP − εk2 − εk − q + i0 εk1 − εk + q − i0 #

(+)

ׯ v

(−)

(k1 )¯ v

2

(p2 )ρ(k; p1 |P, µ )v

(−)

(p1 )v

(+)

(k2 ) .

(7.43)

Äëÿ ôèçè÷åñêîé àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ (5.20), êîãäà εP = = εk1 + εk2 , ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå, î÷åâèäíî, ïðèíèìàåò âèä: 1 × M (k1 ; p1 |P ) == (4π)4 Z∞

Z

dµ2

4

× dk µ20

v¯(+) (k1 )¯ v (−) (p2 )ρ(k; p1 |P, µ2 )v (−) (p1 )v (+) (k2 ) . (k − k1 )2 − µ2 + i0 (7.44)

56

8.Êâàçèïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ

8. Êâàçèïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ Ðàññìîòðèì âçàèìîäåéñòâèå çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ñ àíòè÷àñòèöåé, íàïðèìåð, ýëåêòðîíà ñ ïîçèòðîíîì. Äâóõ÷àñòè÷íàÿ ïîëíàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà òàêîé ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (4.1) èëè â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ + ¯ 2 )ψ(x0 )ψ(x ¯ 0 )S} S G(x1 , x2 ; x01 , x02 ) = ih0|T {ψ(x1 )ψ(x |0i. (8.1) 2 1

S -ìàòðèöà â ñëó÷àå ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ èìååò âèä: 

Z

S = T exp ie



µ ¯ d x : ψ(x)γ ψ(x)Aµ (x) : , 4

(8.2)

ïîýòîìó, ïðîâîäÿ ðåäóêöèþ âûðàæåíèÿ (8.1) ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (7.7) è (7.8) ïî òîé æå ñõåìå, ÷òî è äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè Áåòå-Ñîëïèòåðà â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà (8.1):

G(x1 , x2 ; x01 , x02 ) = iS c (x1 ; x01 )G(x02 ; x2 ) + iG(x1 ; x01 )S c (x02 ; x2 )− −iS c (x1 ; x01 )S c (x02 ; x2 ) + iS c (x1 ; x2 )S c (x02 ; x01 )− −iS c (x1 ; x2 )G(x02 ; x01 ) − iG(x1 ; x2 )S c (x02 ; x01 )+ Z

+ d4 y1

Z

Z

d4 y10

Z

d4 y2

d4 y20 ×

8.Êâàçèïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ h

57 i

× S c (x1 ; y1 )S c (x02 ; y20 )R(y1 , y2 ; y10 , y20 )S c (y10 ; x01 )S c (y2 ; x2 ) . (8.3) Ïðîâåäåì òåïåðü ïðîöåäóðó ñãëàæèâàíèÿ è ïðîåêòèðîâàíèÿ ýòîãî âûðàæåíèÿ ñ ïîìîùüþ îäíî÷àñòè÷íûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (7.33) è (7.34).  ðåçóëüòàòå èìååì:

G(−) (k1 , k2 ; k01 , k02 |τ, τ 0 ) = iG(−) (k1 ; k01 |τ, τ 0 )S c(+) (k02 ; k2 |τ 0 , τ )+ +iS c(−) (k1 ; k01 |τ, τ 0 )G(+) (k02 ; k2 |τ 0 , τ )− −iS c(−) (k1 ; k01 |τ, τ 0 )S c(+) (k02 ; k2 |τ 0 , τ )+ Z

+

Z 4

Z

d4 y10

d y1

Z 4

d y2

d4 y20 iθ(τ − λy1 )iθ(τ − λy2 )×

ׯ u(+) (k1 ; y1 )¯ u(−) (k20 ; y20 )R(4) (y1 , y2 ; y10 , y20 )u(−) (y10 ; k10 )× ×u(+) (y2 ; k2 )iθ(λy10 − τ 0 )iθ(λy20 − τ 0 ).

(8.4)

Âõîäÿùèå â ýòî âûðàæåíèå îäíî÷àñòè÷íûå ôóíêöèè Ãðèíà áûëè îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (2.7) è (2.38). Âûäåëÿÿ òåïåðü ÿâíî â âèäå δ -ôóíêöèè ñâÿçü ìåæäó íà÷àëüíûìè è êîíå÷íûìè èìïóëüñàìè ïî ôîðìóëàì (4.5) è (4.7), ïîëó÷àåì äëÿ äâóõ÷àñòè÷íîé ôóíêöèè Ãðèíà ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:

˜ (−) (k1 ; k0 |P, τ − τ 0 ) = (2π)3 2k 0 δ (3) (k1 − k0 )× 2εk2 2εk20 G 1 1 1 n

0 ˜ (−) (k1 |τ − τ 0 )− × 2εk1 2εk20 e−iεk2 (τ −τ ) G

o

0 ˜ (+) (k2 |τ 0 − τ ) − −2εk2 2εk20 e−iεk1 (τ −τ ) G

58

8.Êâàçèïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ 0

−(2π)3 2k10 δ (3) (k1 − k01 )2εk20 e−i(εk1 +εk2 )(τ −τ ) iθ(τ − τ 0 )+ +

1 Z 1 Z 1 Z 1 Z dεp1 dεp01 dεp2 dεp02 × 2π 2π 2π 2π

×2πδ(εp1 + εp2 − εp01 − εp02 ) exp{−i(εp1 + εp2 )(τ − τ 0 )}× ×

˜ (4) (p1 ; p0 |P )v (−) (k 0 )v (+) (k2 ) v¯(+) (k1 )¯ v (−) (k20 )R 1 1 , (εk1 − εp1 − i0)(εk2 − εp2 − i0)(εk10 − εp01 − i0)(εk20 − εp02 − i0) (8.5)

ãäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü ôîðìóëîé (7.40), îáóñëîâëèâàþùåé ñëåäóþùóþ ñâÿçü ìåæäó èìïóëüñàìè:

p1 − k1 = (εp1 − εk1 )λ;

(8.6)

p01 − k10 = (εp01 − εk10 )λ,

˜ (4) îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâàìè (7.11), (7.23) è (7.29). à ôóíêöèÿ R Ñäåëàåì òåïåðü Ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèå ïî èíâàðèàíòíîìó âðåìåíè ôóíêöèè Ãðèíà (8.5): ˜ (−) (k1 ; k0 |P, εP ) = G 1 Z∞

=

˜ (−) (k1 ; k01 |P, τ − τ 0 ) = d(τ − τ 0 ) exp{iεP (τ − τ 0 )}G

−∞

(

= (2π)3 2k10 δ (3) (k1 − k01 )×

)

2εk1 ˜ (−) ˜ (+) (k2 | − εP + εk1 ) − × G (k1 |εP − εk2 ) − G 2εk2 −

1 Z 1 Z (2π)3 2k10 δ (3) (k1 − k01 ) + dεp1 dεp01 × 2εk2 (εk1 + εk2 − εP − i0) 2π 2π

8.Êâàçèïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ "

×

59

v¯(+) (k1 )¯ v (−) (k20 ) × 2εk2 (εp1 − εk1 + i0)(εp1 + εk2 − εP − i0) #

˜ (4) (p1 ; p01 |P )v (−) (k10 )v (+) (k2 ) R × , 2εk20 (εp01 − εk10 + i0)(εp01 + εk20 − εP − i0)

(8.7)

˜ (±) (k|ε) îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (2.36) è (2.42). Ñ äðóãäå G ãîé ñòîðîíû, ôóíêöèÿ Ãðèíà (8.7) â ñèëó (5.6) ñëåäóþùèì îáðàçîì ñâÿçàíà ñ êâàçèïîòåíöèàëîì âçàèìîäåéñòâèÿ: ˜ (−) (k1 ; k0 |P, εP ) − G ˜ (0) (k1 ; k0 |P, εP ) = G 1 1

Z

Z

d3 ωq1

d3 ωq01 ×

˜ (0) (k1 ; q1 |P, εP )V (q1 ; q0 |P, εP )G ˜ (−) (q0 ; k0 |P, εP ). ×G 1 1 1

(8.8)

Ïîýòîìó, ñðàâíèâàÿ (8.7) è (8.8), â íèçøåì ïðèáëèæåíèè íàõîäèì: 1 Z 1 Z 0 V (k1 ; k1 |P, εP ) = dεp1 dεp01 × 2π 2π "

×

(εk1 + εk2 − εP )¯ v (+) (k1 )¯ v (−) (k20 ) × 2εk2 (εp1 − εk1 + i0)(εp1 + εk2 − εP − i0)

˜ (4) (p1 ; p0 |P )v (−) (k 0 )v (+) (k2 )(εk0 + εk0 − εP ) # R 1 1 1 2 . × 2εk20 (εp01 − εk10 + i0)(εp01 + εk20 − εP − i0)

(8.9)

Èñïîëüçóÿ òåïåðü âûðàæåíèå (8.2) äëÿ S -ìàòðèöû, òàêæå â íèçøåì ïðèáëèæåíèè íåòðóäíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå (7.11), ÷òî c R(4) (y1 , y2 ; y10 , y20 ) = −e2 δ (4) (y1 −y10 )δ (4) (y2 −y20 )γ µ Dµν (y1 −y2 )γ ν + c +e2 δ (4) (y10 − y20 )δ (4) (y1 − y2 )γ µ Dµν (y1 − y10 )γ ν ,

(8.10)

60

8.Êâàçèïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ

èëè

˜ (4) (p1 ; p0 |P ) = −e2 γ µ Dc (p1 − p0 )γ ν + e2 γ µ Dc (P )γ ν , (8.11) R 1 µν 1 µν ãäå

gµν qµ qν + (d − 1) 2 , + i0 (q + i0)2

(8.12)

p1 − p01 = k1 − k10 + (εp1 − εp01 − εk1 + εk10 )λ.

(8.13)

c (q) = Dµν

q2

ïðè÷åì â ñèëó (8.6)

Òàêèì îáðàçîì, êâàçèïîòåíöèàë (8.9) ïðèíèìàåò âèä:

V

(k1 ; k01 |P, εP )

(

×

×{ −

1 Z 1 Z = dεp1 dεp01 × 2π 2π

εk1 + εk2 − εP × (εp1 − εk1 + i0)(εp1 + εk2 − εP − i0) e2 v¯(+) (k1 )γ µ v (−) (k10 )¯ v (−) (k20 )γµ v (+) (k2 ) − (εp1 − εp01 )2 − q 2 + i0

−(d − 1)

[(εp1 − εp01 )2 − (εk1 − εk10 )2 ] × [(εp1 − εp01 )2 − q 2 + i0]2

(−) 0 ˆ (+) ˆ (−) (k 0 )¯ ×e2 v¯(+) (k1 )λv (k2 )λv (k2 )+ 1 v 1 + 2 e2 v¯(+) (k1 )γ µ v (+) (k2 )¯ v (−) (k20 )γµ v (−) (k10 )− P

−

d − 1 2 (+) ˆ (+) (k2 )¯ ˆ (−) (k 0 ) }× e v¯ (k1 )λv v (−) (k20 )λv3 1 P2

8.Êâàçèïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ

61

)

εk10 + εk20 − εP , × (εp01 − εk10 + i0)(εp01 + εk20 − εP − i0)

(8.14)

q

ãäå q = (εk1 − εk10 )2 − (k1 − k10 )2 . Ïîëþñíûå çíàìåíàòåëè â ýòîì âûðàæåíèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì âèäå:

1 = (εp1 − εp01 )2 − q 2 + i0 1 = 2q

!

1 1 − ; εp1 − εp01 − q + i0 εp1 − εp01 + q − i0 1 [(εp1 − εp01

"

)2

− q 2 + i0]2

(8.15)

= #

εp1 − εp01 + 2q εp1 − εp01 − 2q 1 = 3 − . (8.16) 4q (εp1 − εp01 + q − i0)2 (εp1 − εp01 − q + i0)2 Òîãäà èíòåãðàëû â (8.14) ìîæíî ëåãêî âû÷èñëèòü ìåòîäîì âû÷åòîâ â ïîëþñàõ, è îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì:

e2 v¯(+) (k1 )γ µ v (−) (k10 )¯ v (−) (k20 )γµ v (+) (k2 ) √ − q( P 2 − εk1 − εk10 − q + i0) √ √ √ −(d − 1)( P 2 − 2εk1 )( P 2 − 2εk10 )( P 2 − εk1 − εk10 − 2q)× V (k1 ; k01 |P, εP ) = −

×

+

(−) 0 ˆ (+) ˆ (−) (k 0 )¯ e2 v¯(+) (k1 )λv (k2 )λv (k2 ) 1 v √ + 3 2 2q ( P − εk1 − εk10 − q + i0)2

e2 (+) v¯ (k1 )γ µ v (+) (k2 )¯ v (−) (k20 )γµ v (−) (k10 )+ P2

62

8.Êâàçèïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ

e2 (d − 1) (+) ˆ (+) (k2 )¯ ˆ (−) (k 0 ). + v¯ (k1 )λv v (−) (k20 )λv (8.17) 1 2 P √ √ Ìû ó÷ëè çäåñü, ÷òî λ = P/ P 2 , ò. å. εP = P 2 , è, ñëåäîâàòåëüíî, k1 + k2 = 2εk1 λ; (8.18) k10 + k20 = 2εk10 λ.  ôåéíìàíîâñêîé êàëèáðîâêå d = 1 êâàçèïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ôåðìèîíà è àíòèôåðìèîíà (íàïðèìåð, ýëåêòðîíà è ïîçèòðîíà) â ïðèáëèæåíèè îäíîôîòîííîãî îáìåíà ïðèíèìàåò äîñòàòî÷íî ïðîñòîé âèä:

V (k1 ; k01 |P, εP ) =

+

e2 v¯(+) (k1 )γ µ v (−) (k10 )¯ v (−) (k20 )γµ v (+) (k2 ) √ + q(q − P 2 + εk1 + εk10 − i0)

e2 (+) v¯ (k1 )γ µ v (+) (k2 )¯ v (−) (k20 )γµ v (−) (k10 ). P2

(8.19)

Çäåñü, î÷åâèäíî, ïåðâîå ñëàãàåìîå îòâå÷àåò îáìåíó ôîòîíîì â àííèãèëÿöèîííîì êàíàëå, à âòîðîå ñëàãàåìîå  îáìåíó â ïðÿìîì êàíàëå ðàññåÿíèÿ. Õàðàêòåðíîé îñîáåííîñòüþ ýòîãî êâàçèïîòåíöèàëà ÿâëÿåòñÿ ÿâíàÿ√è íåòðèâèàëüíàÿ çàâèñèìîñòü îò ïîëíîé ýíåðãèè ñèñòåìû P 2 . Ïîäñòàâèâ êâàçèïîòåíöèàë (8.19) â óðàâíåíèå (5.7), ìû ìîãëè áû ïðèñòóïèòü ê ðåøåíèþ ïðîáëåìû âû÷èñëåíèÿ ñïåêòðà ñâÿçàííîé ñèñòåìû äâóõ çàðÿæåííûõ ðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö. Îäíàêî óðàâíåíèå (5.7) âêëþ÷àåò â ñåáÿ âñå âîçìîæíûå ñïèíîâûå ñîñòîÿíèÿ â äàííîé ñèñòåìå, è ïîýòîìó â ñëåäóþùåì ðàçäåëå ìû ïîïûòàåìñÿ ïîëó÷èòü èç íåãî óðàâíåíèå äëÿ êîíêðåòíîãî, à èìåííî ïñåâäîñêàëÿðíîãî ñîñòîÿíèÿ.

9.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè 63

9. Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî íàèáîëåå îáùèé âèä îäíîâðåìåííîé âîëíîâîé ôóíêöèè ïñåâäîñêàëÿðíîãî ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ ôåðìèîíà è àíòèôåðìèîíà ñëåäóþùèé:

v¯(+) (k1 )γ 5 v (+) (k2 ) ˜ (−) Φ ϕP (k1 ), (k ) = 1 BP 2εk2

(9.1)

ãäå ϕP (k1 )  ñêàëÿðíàÿ ÷àñòü âîëíîâîé ôóíêöèè. Ñïèíîðíóþ ñòðóêòóðó êâàçèïîòåíöèàëà â ðÿäå ìîäåëåé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:

V (k1 ; k01 |P, εP ) = = v¯(+) (k1 )γµ v (−) (k10 )¯ v (−) (k20 )γ µ v (+) (k2 )V0 (k1 ; k01 |P, εP ),

(9.2)

÷òî ñîîòâåòñòâóåò òîê-òîêîâîìó òèïó âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ïðîèçâîëüíûì ïîêà ñêàëÿðíûì ÿäðîì V0 (k1 ; k01 |P, εP ). Çàìåòèì, ÷òî ïåðâîå ñëàãàåìîå â êâàçèïîòåíöèàëå ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ (8.19) ñîãëàñóåòñÿ ñ âûáðàííîé íàìè ôîðìîé (9.2). Ïîäñòàíîâêà (9.2) è (9.1) â êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (5.7) ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé äàåò:

2εk2 (εk1 + εk2 − εP ) Z

h

v¯(+) (k1 )γ 5 v (+) (k2 ) ϕP (k1 ) = 2εk2 i

= 2 d3 ωk01 v¯(+) (k1 ) (k10 + k20 )2 − m(kˆ10 + kˆ20 ) + 2m2 ×

64 9.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè

×γ 5 v (+) (k2 )V0 (k1 ; k01 |P, εP )

ϕP (k01 ) . 2εk20

(9.3)

Óìíîæàÿ ýòî óðàâíåíèå íà v¯(−) (k2 )γ 5 v (−) (k1 ), ñóììèðóÿ ïî ïîëÿðèçàöèÿì è âû÷èñëÿÿ ñëåäû γ -ìàòðèö, ïîëó÷àåì:

2εk2 (εk1 + εk2 − εP )ϕP (k1 ) Z 3

= 2 d ωk01

( h

(k1 + k2 )2 = 2εk2 i

(k1 + k2 )2 (k10 + k20 )2 − 2m2 (k1 + k2 )(k10 + k20 ) × ϕP (k01 ) 0 ×V0 (k1 ; k1 |P, εP ) 2εk20

)

.

(9.4)

Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå (4.6) ìåæäó 4-èìïóëüñàìè, ìîæíî çàïèñàòü ýòî óðàâíåíèå â ñëåäóþùåé ôîðìå: Z (εk1 + εk2 )2 − ε2P + M 2 2εk2 (εk1 + εk2 − εP )ϕP (k1 ) = 2 d3 ωk01 × 2εk2 "

h

ih

i

× { (εk1 + εk2 )2 − ε2P + M 2 (εk10 + εk20 )2 − ε2P + M 2 − h

i

−2m2 (εk1 + εk2 )(εk10 + εk20 ) − ε2P + M 2 }× ϕP (k01 ) ×V0 (k1 ; k01 |P, εP ) 2εk20

#

.

(9.5)

Òåïåðü âèäíî, ÷òî íàèáîëåå ïðîñòîé âèä ýòî óðàâíåíèå ïðèîáðåòàåò, êîãäà λ = P/M .  ýòîì ñëó÷àå εP = M è èç (4.6) âûòåêàåò, ÷òî

k1 + k2 = (εk1 + εk2 )λ = 2εk1 λ = 2εk2 λ; k10 + k20 = (εk10 + εk20 )λ = 2εk10 λ = 2εk20 λ,

(9.6)

9.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè 65 ïîýòîìó óðàâíåíèå (9.5) ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:

2εk1 (2εk1 − M )ϕP (k1 ) = Z

= 4 d3 ωk01 (2εk1 εk10 − m2 )V0 (k1 ; k01 |P, M )ϕP (k01 ).

(9.7)

Íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà òåïåðü, èñïîëüçóÿ âèä âîëíîâîé ôóíêöèè (9.1) è ñîîòíîøåíèå (5.12), íàéòè óñëîâèå íîðìèðîâêè äëÿ ñêàëÿðíîé âîëíîâîé ôóíêöèè ϕP (k1 ): Z

Z

Z

2M = d3 ωk1 2εk1 |ϕP (k1 )|2 + 4 d3 ωk1 d3 ωk01 × h

∗

× (2εk1 εk10 − m2 ) ϕP (k1 )

i ∂ V0 (k1 ; k01 |P, M )ϕP (k01 ) . ∂M

(9.8)

Òàêèì îáðàçîì, åñëè íàì èçâåñòåí êâàçèïîòåíöèàë V0 (k1 ; k01 |P, M ), òî, ðåøàÿ óðàâíåíèå (9.7) ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ íîðìèðîâêè (9.8), ìû ìîæåì íàéòè âîëíîâûå ôóíêöèè è çíà÷åíèÿ ìàññ ïñåâäîñêàëÿðíûõ äâóõ÷àñòè÷íûõ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé. Ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå êâàçèïîòåíöèàëà, îïèñûâàþùåãî âçàèìîäåéñòâèå êâàðêà è àíòèêâàðêà, ìîæíî èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèå (9.7) äëÿ ðàñ÷åòà ñïåêòðà ìàññ ïñåâäîñêàëÿðíûõ ìåçîíîâ. Ðàññìîòðèì òåïåðü áîëåå äåòàëüíî ïñåâäîñêàëÿðíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ýëåêòðîíà è ïîçèòðîíà, âçàèìîäåéñòâèå êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ êâàçèïîòåíöèàëîì (8.19). Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ òàêîãî ñîñòîÿíèÿ âòîðîå ñëàãàåìîå â êâàçèïîòåíöèàëå (8.19) íå äàåò âêëàäà âî âçàèìîäåéñòâèå â ñèëó ñîõðàíåíèÿ ñïèíà, ïîýòîìó âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äàííîãî ñîñòîÿíèÿ áóäåò ïîä÷èíÿòüñÿ óðàâíåíèþ (9.7), êîòîðîå â ñèñòåìå ïîêîÿ P = 0 èìååò ñëåäóþùèé âèä:

2k 0 (2k 0 − M )ϕM (k) = Z

= 16πα d3 ωk0

2k 0 k 00 − m2 ϕM (k0 ), |q|(|q| − M + k 0 + k 00 − i0)

(9.9)

66 9.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè

√ ãäå k 0 = k2 + m2 , q = k−k0 è k  èìïóëüñ ýëåêòðîíà. Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ M áóäåò îïðåäåëÿòü ðåëÿòèâèñòñêèé ñïåêòð ìàññ ïñåâäîñêàëÿðíîãî ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà è ïîçèòðîíà. Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî â êà÷åñòâå êâàçèïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ ðåëÿòèâèñòñêèõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö âûñòóïàåò ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ: 4πα √ . |k − − − P 2 + k 0 + k 00 − i0) (9.10) Îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåëÿòèâèñòñêîå îáîáùåíèå êóëîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà, ïîëó÷åííîå â íèçøåì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé â ðàìêàõ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Îáðàòèì âíèìàíèå íà ñâîéñòâà êâàçèïîòåíöèàëà (9.10), êîòîðûå îòëè÷àþò åãî îò îáû÷íîãî êóëîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà, èñïîëüçóåìîãî â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå èëè íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå äëÿ îïèñàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Âî-ïåðâûõ, êâàçèïîòåíöèàë (9.10) íåëîêàëåí, ò.å. çàâèñèò íå òîëüêî îò ðàçíîñòè k−k0 , íî è íåïîñðåäñòâåííî îò èìïóëüñîâ k è k0 . Âî-âòîðûõ, ìû âèäèì, ÷òî óæå â íèçøåì ïðèáëèæåíèè êâàçèïîòåíöèàë (9.10) â ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíîé ýíåðãèè ñâÿçè E = M − 2m > 0 èìååò δ -îáðàçíóþ ìíèìóþ ÷àñòü: V0 (k; k0 |P, εP ) =

ImV0 (k; k0 |P, εP ) =

k0 |(|k

k0 |

√ 4π 2 α 0 δ(|k − k | − P 2 + k 0 + k 00 ). (9.11) |k − k0 |

Íàêîíåö, êâàçèïîòåíöèàë (9.10) ÿâíî çàâèñèò îò √ ïîëíîé èíâàðèàíòíîé ýíåðãèè ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû P 2 . Ïîñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî ñóùåñòâåííî ìåíÿåò ïîñòàíîâêó çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (9.9), ïîñêîëüêó ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàññû M íåïîñðåäñòâåííî âõîäèò â ÿäðî ýòîãî óðàâíåíèÿ. Äëÿ òîãî ÷òîáû áîëåå íàãëÿäíî ïðåäñòàâèòü ñåáå õàðàêòåð âçàèìîäåéñòâèÿ, îïèñûâàåìîãî êâàçèïîòåíöèàëîì (9.10), ïåðåéäåì â ýòîì âûðàæåíèè ê íåðåëÿòèâèñòñêîìó ïðåäåëó.

9.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè 67 Îáû÷íî â ýòîì ïðåäåëå ïîëàãàþò, ÷òî èìïóëüñû ÷àñòèö ìíîãî ìåíüøå èõ ìàññ |k|  m è ýíåðãèÿ ñâÿçè òàêæå ìíîãî ìåíüøå ìàññû ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ |E|  M . Ìû æå îãðàíè÷èìñÿ çäåñü òîëüêî ïåðâûì èç ýòèõ óñëîâèé.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì äëÿ êâàçèïîòåíöèàëà:

V0 (k; k0 |P, M ) =

|k −

k0 |(|k

4πα . − k0 | − E − i0)

(9.12)

Òàêèì îáðàçîì, ìû ñîõðàíÿåì âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ñâÿçàííûõ ñèñòåì ñ áîëüøèìè äåôåêòàìè ìàññû (íàïðèìåð, ïîðÿäêà ñàìîé ìàññû), ÷òî íåëüçÿ çàâåäîìî èñêëþ÷èòü â ðåëÿòèâèñòñêèõ ñèñòåìàõ. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî â ðåçóëüòàòå ñîâåðøåííîãî íàìè ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà êâàçèïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ ñòàë çàâèñåòü òîëüêî îò ðàçíîñòè èìïóëüñîâ k − k0 , ò. å. ñòàë ëîêàëüíûì, è ïîýòîìó ìîæíî ïîïûòàòüñÿ îïèñàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ åìó ïðîñòðàíñòâåííóþ êàðòèíó ïîòåíöèàëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Íî ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê ýòîìó, îòìåòèì, ÷òî ïðè E > 0 êâàçèïîòåíöèàë (9.12) èìååò ñèíãóëÿðíîñòü ïðè |k − k0 | = E , à â ñëó÷àå ìàëûõ ýíåðãèé ñâÿçè â ïðåäåëå E → 0 ïåðåõîäèò â îáû÷íûé êóëîíîâñêèé ïîòåíöèàë (ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî çíàê êâàçèïîòåíöèàëà ïî îïðåäåëåíèþ ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó êëàññè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà):

V0 (k; k0 |P, M ) =

4πα . (k − k0 )2

(9.13)

Óðàâíåíèå (9.9) ïåðåõîäèò â ýòîì ïðåäåëå â îáû÷íîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå: !

Z k2 4πα − E ϕM (k) = d3 k0 ϕM (k0 ). m (k − k0 )2

(9.14)

68 9.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè Èòàê, ïåðåâåäåì êâàçèïîòåíöèàë (9.12) ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå:

exp{iqx} 4πα Z 3 dq . V0 (x|E) = 3 (2π) |q|(|q| − E − i0)

(9.15)

 îáëàñòè îòðèöàòåëüíûõ ýíåðãèé ñâÿçè E = −|E| èíòåãðàë (9.15) äàåò çàâèñÿùèé îò ýíåðãèè êâàçèïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ â êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå:

V0 (x|E) = −

2α [ci|Ex| sin |Ex| + si|Ex| cos |Ex|]. π|x|

(9.16)

Íåñìîòðÿ íà ýêçîòè÷åñêèé âèä ýòîãî êâàçèïîòåíöèàëà, ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîíîòîííî óáûâàþùóþ ïîëîæèòåëüíóþ ôóíêöèþ. Èíòåðåñíî èññëåäîâàòü àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ýòîãî êâàçèïîòåíöèàëà.  îáëàñòè ìàëûõ ðàññòîÿíèé |Ex|  1 èìååì: 

V0 (x|E) =



α 2 1 + |Ex|(ln γ|Ex| − 1) + . . . , |x| π

(9.17)

ò.å. êâàçèïîòåíöèàë âåäåò ñåáÿ ïî÷òè êóëîíîâñêèì îáðàçîì. Â îáëàñòè áîëüøèõ ðàññòîÿíèé |Ex|  1: 



2α 2 V0 (x|E) = 1 − 2 2 + ... , 2 π|E|x E x

(9.18)

ò.å. êâàçèïîòåíöèàë óáûâàåò êàê 1/x2 ñ ðàññòîÿíèåì, ÷òî ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ïðîÿâëåíèå íåêîòîðîé ýêðàíèðîâêè, âîçíèêàþùåé â ðåëÿòèâèñòñêîé çàäà÷å íà ôîíå êóëîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà.

9.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè 69  ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíîé ýíåðãèè E > 0 èíòåãðàë (9.15) äàåò:

2α [ciE|x| sin E|x| + siE|x| cos E|x| + π exp{iE|x|}], π|x| (9.19) è ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî êâàçèïîòåíöèàë ñòàíîâèòñÿ êîìïëåêñíûì è îñöèëëèðóþùèì, ïðè÷åì àìïëèòóäà îñöèëëÿöèé ìåäëåííî óáûâàåò ïî êóëîíîâñêîìó çàêîíó, à ÷àñòîòà èõ îïðåäåëÿåòñÿ ýíåðãèåé ñâÿçè E .  îáëàñòè ìàëûõ ðàññòîÿíèé êâàçèïîòåíöèàë (9.19) âåäåò ñåáÿ ïî-ïðåæíåìó ïî÷òè êóëîíîâñêèì îáðàçîì:

V0 (x|E) =



V0 (x|E) =



α 2 1 + 2iE|x| − E|x|(ln γE|x| − 1) + . . . , |x| π (9.20)

à â îáëàñòè E|x|  1 èìååì:

V0 (x|E) =

2α exp{iE|x|} + . . . |x|

(9.21)

Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî îñöèëëèðóþùèé õàðàêòåð êâàçèïîòåíöèàëà (9.21) ñâÿçàí ñ ðåëÿòèâèñòñêèìè ýôôåêòàìè, åñëè çàïèñàòü àðãóìåíò îñöèëëèðóþùåé ýêñïîíåíòû â åñòåñòâåííûõ åäèíèöàõ: E|x|/¯ hc, êóäà ÿâíûì îáðàçîì âõîäèò ñêîðîñòü ñâåòà c.  çàêëþ÷åíèå ýòîãî ïàðàãðàôà çàìåòèì, ÷òî êàðòèíà ðàññåÿíèÿ íà îñöèëëèðóþùèõ êâàçèïîòåíöèàëàõ, ê òîìó æå çàâèñÿùèõ îò ýíåðãèè, ìîæåò ñóùåñòâåííî îòëè÷àòüñÿ îò ïðèâû÷íîé íàì êàðòèíû ïîòåíöèàëüíîãî ðàññåÿíèÿ, ÷òî, â ÷àñòíîñòè, ïðîÿâëÿåòñÿ â ñóùåñòâîâàíèè äèñêðåòíûõ óðîâíåé, ïîãðóæåííûõ â íåïðåðûâíûé ñïåêòð.

70

10.Ðåëÿòèâèñòñêîå êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî

10. Ðåëÿòèâèñòñêîå êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî Çàïèøåì êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (9.7) â ñèñòåìå ïîêîÿ ïñåâäîñêàëÿðíîãî ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ:

2k 0 (2k 0 − M )ϕM (k) = Z

= 4 d3 ωk0 (2k 0 k 00 − m2 )V0 (k; k0 |P, M )ϕM (k0 ).

(10.1)

Ïåðåõîä ê îáû÷íîìó êîíôèãóðàöèîííîìó ïðîñòðàíñòâó ñ ïîìîùüþ òðåõìåðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå äëÿ ýòîãî òðåõìåðíîãî ðåëÿòèâèñòñêîãî óðàâíåíèÿ, î÷åâèäíî, òåðÿåò ñâîé ñìûñë, ïîñêîëüêó èíòåãðèðîâàíèå â ïðàâîé ÷àñòè ïðîâîäèòñÿ ïî ðåëÿòèâèñòñêè èíâàðèàíòíîìó îáúåìó d3 ωk , îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî îáû÷íûå ïëîñêèå âîëíû íå îáëàäàþò ñâîéñòâîì îðòîãîíàëüíîñòè: Z

0

d3 ωk eik(x−x ) =

m2 K1 (m|x − x0 |) , (2π)2 m|x − x0 |

(10.2)

ãäå K1  ôóíêöèÿ Ìàêäîíàëüäà âòîðîãî ðîäà. Ïîýòîìó â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå â êà÷åñòâå "ïëîñêèõ"âîëí âûáèðàþò ôóíêöèè, êîòîðûå ðåàëèçóþò ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû Ëîðåíöà êàê ãðóïïû äâèæåíèé â ïðîñòðàíñòâå Ëîáà÷åâñêîãî íà ìàññîâîì ãèïåðáîëîèäå ÷àñòèöû (k 0 )2 − k2 = m2 :

ξ(r; k) =

kn m

!−1−imr

,

(10.3)

10.Ðåëÿòèâèñòñêîå êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî

71

ãäå n = (1, r/r)  ñâåòîïîäîáíûé 4-âåêòîð. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòè ôóíêöèè îáëàäàþò íåîáõîäèìûìè ñâîéñòâàìè ïîëíîòû è îðòîãîíàëüíîñòè: Z

2m Z

∗

d3 ωk ξ(r; k) ξ (k; r0 ) = δ (3) (r − r0 );

∗

2m d3 r ξ (k; r)ξ(r; k0 ) = (2π)3 2k 0 δ (3) (k − k0 ).

(10.4)

(10.5)

Ðàçëîæåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè ïî "ïëîñêèì"âîëíàì ξ èìååò ñëåäóþùèé âèä: Z

∗

d3 r ξ (k; r)ϕM (r),

ϕM (k) =

(10.6)

è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå: Z

ϕM (r) = 2m

d3 ωk ξ(r; k)ϕM (k).

(10.7)

Àíàëîãè÷íîå ðàçëîæåíèå ìîæíî çàïèñàòü è äëÿ êâàçèïîòåíöèàëà:

V0 (k; k0 |P, M )|P=0 = Z

=

Z

∗

d3 r d3 r0 ξ (k; r)V0 (r; r0 |M )ξ(r0 ; k0 ).

(10.8)

Äëÿ òîãî ÷òîáû çàïèñàòü êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (10.1) â ðåëÿòèâèñòñêîì êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå, íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü â íåì îïåðàòîð ñâîáîäíîãî ãàìèëüòîíèàíà, óäîâëåòâîðÿþùèé óðàâíåíèþ:

ˆ (0) ξ(r; k) = 2k 0 ξ(r; k). H r

(10.9)

72

10.Ðåëÿòèâèñòñêîå êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî

Ýòîò äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð áûë íàéäåí â ñâîå âðåìÿ è èìååò ñëåäóþùèé âèä â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ: "

ˆ (0) H r

(

∂ iλ ∂ λ2 ∂ = 2m chiλ + shiλ + 2 ∆θ,ϕ exp iλ ∂r r ∂r 2r ∂r

)#

, (10.10)

ãäå λ = m−1  êîìïòîíîâñêàÿ äëèíà âîëíû ôåðìèîíà. Â ðåçóëüòàòå êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â ðåëÿòèâèñòñêîì êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå èìååò âèä: Z   0 ˆ (0) H ˆ (0) − M ϕM (r) = 1 H ˆ (0) d3 r0 V0 (r; r0 |M )H ˆ (0) H r r r0 ϕM (r )− m r Z

−2m

d3 r0 V0 (r; r0 |M )ϕM (r0 ).

(10.11)

Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ýòî óðàâíåíèå îêàçûâàåòñÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíûì, ïîñêîëüêó äåéñòâèå äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ, âõîäÿùèõ â âûðàæåíèå äëÿ ãàìèëüòîíèàíà (10.10), ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå êîíå÷íûõ ñäâèãîâ: )

(

∂ exp iλ f (r) = f (r + iλ); ∂r (

∂ 1 ∂ chiλ = exp iλ ∂r 2 ∂r (

∂ 1 ∂ exp iλ = shiλ ∂r 2 ∂r

)

)

(

∂ + exp −iλ ∂r (

∂ − exp −iλ ∂r

(10.12) )!

;

(10.13)

.

(10.14)

)!

 ðàìêàõ âîçíèêàþùåé çäåñü êîíå÷íî-ðàçíîñòíîé ñõåìû ìû äîëæíû âìåñòî îáû÷íîé ïðîèçâîäíîé îïðåäåëèòü îïåðàòîð êîíå÷íî-ðàçíîñòíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ: n

∆r (λ) =

∂ 1 − exp −iλ ∂r

iλ

o

,

(10.15)

10.Ðåëÿòèâèñòñêîå êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî

73

ò.å.

∆r (λ)f (r) =

f (r) − f (r − iλ) , iλ

(10.16)

êîòîðûé ïðè λ → 0 ïåðåõîäèò â îáû÷íóþ ïðîèçâîäíóþ:

lim ∆r (λ) =

λ→0

∂ . ∂r

(10.17)

 ÷àñòíîñòè, â ðàìêàõ äàííîé òåõíèêè ìîæíî îïðåäåëèòü îáîáùåííóþ ñòåïåííóþ ôóíêöèþ óñëîâèåì:

∆r (λ)r(α) = αr(α−1) ,

(10.18)

ò.å. êàê è â ñëó÷àå îáû÷íîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Äëÿ öåëîãî α = n, íàïðèìåð, èìååì:

r(n) = r(r + iλ)(r + 2iλ)...[r + i(n − 1)λ].

(10.19)

Ìû âîñïîëüçóåìñÿ ïðèâåäåííûìè çäåñü ôîðìóëàìè, ÷òîáû íåñêîëüêî óïðîñòèòü óðàâíåíèå (10.11). Íåòðóäíî ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå ñëåäóþùåãî ðàâåíñòâà: "

(

2 ˆ (0) f (r) = 2m chiλ ∂ + λ ∆θ,ϕ exp iλ ∂ H r r ∂r 2r(2) ∂r

1 ˆ (0) = H rf (r), r r

)#

rf (r) = (10.20)

ˆ (0) âûãëÿäèò çíà÷èòåëüíî êîìè ìû âèäèì, ÷òî îïåðàòîð H r ˆ r(0) . Ïîýòîìó ìû ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (10.11), ïàêòíåé, ÷åì H èñïîëüçóÿ ýòîò íîâûé îïåðàòîð ñâîáîäíîãî ãàìèëüòîíèàíà: 



ˆ (0) H ˆ (0) − M ϕ¯M (r) = H r r

74

10.Ðåëÿòèâèñòñêîå êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî

=

1 ˆ (0) Z 3 0 0 ˆ (0) H d r rV0 (r; r0 |M )r0−1 H r0 ϕM (r )− m r Z

−2m

d3 r0 rV0 (r; r0 |M )r0−1 ϕ¯M (r0 ),

(10.21)

ãäå ìû ïåðåîïðåäåëèëè òàêæå âîëíîâóþ ôóíêöèþ:

ϕ¯M (r) = rϕM (r).

(10.22)

Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèå íîðìèðîâêè âîëíîâîé ôóíêöèè (9.8) â êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå â ñëó÷àå íå çàâèñÿùåãî îò ýíåðãèè êâàçèïîòåíöèàëà âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: ∗ 1 Z Z ˆ r(0) ϕ¯M (r) = M. dr dΩr ϕ¯M (r)H 2m

(10.23)

Ðàññìîòðèì òåïåðü ëîêàëüíûé êâàçèïîòåíöèàë:

V0 (r; r0 |M ) = V0 (r|M )δ (3) (r − r0 ),

(10.24)

ãäå V0 (r|M ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àíàëîã ëîêàëüíîãî öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîãî ïîòåíöèàëà â ðåëÿòèâèñòñêîì êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå è çàâèñèò îò ïîëíîé ýíåðãèè ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ M . Ïîäñòàâëÿÿ (10.24) â ôîðìóëó (10.8), ïîëó÷àåì: Z 0

V0 (k; k |M ) =

∗

d3 r ξ (k; r)V0 (r|M )ξ(r; k0 ).

(10.25)

Èñïîëüçóÿ òåïåðü òåîðåìó ñëîæåíèÿ Z

∗

dΩr ξ (k; r)ξ(r; k0 ) =

Z

∗

dΩr ξ (k(−)k0 ; r),

(10.26)

10.Ðåëÿòèâèñòñêîå êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî

75

ãäå k(−)k0  ðàçíîñòü äâóõ âåêòîðîâ â èñêðèâëåííîì ïðîñòðàíñòâå Ëîáà÷åâñêîãî, ðåàëèçîâàííîì íà ìàññîâîì ãèïåðáîëîèäå ÷àñòèöû, êîòîðàÿ çàäàåòñÿ, êàê èçâåñòíî, âåêòîðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ëîðåíöà: !

k0 kk0 k(−)k = k − k 0 − 00 , m k +m 0

(10.27)

ìû ïîëó÷àåì: Z

V0 (q|M ) =

∗

d3 r ξ (q; r)V0 (r|M ),

(10.28)

ò.å. êâàçèïîòåíöèàë â äàííîì ñëó÷àå çàâèñèò îò ìîäóëÿ "êðèâîé"ðàçíîñòè q = k(−)k0 è â ýòîì ñìûñëå ìîæåò íàçûâàòüñÿ ëîêàëüíûì ðåëÿòèâèñòñêèì ïîòåíöèàëîì. Íåòðóäíî òåïåðü çàïèñàòü êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (10.21) äëÿ ëîêàëüíîãî êâàçèïîòåíöèàëà (10.24): 



ˆ (0) − M ϕ¯M (r) = ˆ (0) H H r r =

1 ˆ (0) ˆ r(0) ϕ¯M (r) − 2mV0 (r|M )ϕ¯M (r). H V0 (r|M )H m r (10.29)

ßñíî, ÷òî ïîÿâëåíèå êîíå÷íî-ðàçíîñòíûõ îïåðàòîðîâ â óðàâíåíèè (10.29) ñâÿçàíî ñ ÷èñòî ðåëÿòèâèñòñêèìè ýôôåêòàìè: ñ ðåëÿòèâèñòñêèì çàêîíîì äèñïåðñèè (ñâÿçü ýíåðãèè è èìïóëüñà ÷àñòèöû) è ñ íåëîêàëüíîñòüþ ÿäðà êâàçèïîòåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (10.1).  ñâîå âðåìÿ íåîáõîäèìîñòü ââåäåíèÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíûõ îïåðàöèé ïîðîäèëà ýâðèñòè÷åñêóþ èäåþ î êâàíòîâàíèè ðåëÿòèâèñòñêîãî êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà. Îäíàêî ýòà èäåÿ íå ïîëó÷èëà äàëüíåéøåãî ãëóáîêîãî ðàçâèòèÿ.

76

10.Ðåëÿòèâèñòñêîå êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî

Ïîïûòàåìñÿ ïðîñëåäèòü âûïîëíåíèå ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ óðàâíåíèÿ (10.29) â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå (λ = m−1 → 0) îáû÷íîé êâàíòîâîìåõàíè÷åñêîé êàðòèíå. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ýòîì ïðåäåëå ôóíêöèÿ ξ(r; k) ïåðåõîäèò â îáû÷íóþ ïëîñêóþ âîëíó:

lim ξ(r; k) = exp{ikr},

(10.30)

m→∞

è ðàäèóñ-âåêòîð r èãðàåò ðîëü ðàäèóñà-âåêòîðà â îáû÷íîì íåðåëÿòèâèñòñêîì êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå. Äàëåå ìû ìîæåì ïðîèçâåñòè ðàçëîæåíèå ñâîáîäíîãî ãàìèëüòîíèàíà ïî ñòåïåíÿì λ2 : "

ˆ r(0) H

#

1 2 ∂2 λ2 = 2m 1 − λ + 2 ∆θ,ϕ + O(λ4 ) . 2 2 ∂r 2r

(10.31)

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ðàçëîæåíèå â óðàâíåíèå (10.29) è îñòàâëÿÿ òîëüêî ÷ëåíû ïîðÿäêà λ2 , à òàêæå ïðåäïîëàãàÿ ìàëîñòü ýíåðãèè ñâÿçè è ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ, ìû ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ (E = M − 2m): !

1 ∂2 1 − + ∆θ,ϕ − E ϕ¯M (r) = V0 (r|2m)ϕ¯M (r), (10.32) 2 m ∂r mr2 êîòîðîå â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ íåðåëÿòèâèñòñêèì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà.  ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìû ïîñòðîèëè êâàçèïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â íèçøåì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé â ðàìêàõ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Îäíàêî ìîæíî íàäåÿòüñÿ, ÷òî ýòîò êâàçèïîòåíöèàë àäåêâàòíî îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèå òîëüêî â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà êîíñòàíòà ñâÿçè ìàëà. Åñëè æå, ê ïðèìåðó, ìû áóäåì îïèñûâàòü ïñåâäîñêàëÿðíûé ìåçîí êàê ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå êâàðêà è àíòèêâàðêà, òî òàêîå ïîñòðîåíèå óæå íå áóäåò êîððåêòíûì, ïî-

10.Ðåëÿòèâèñòñêîå êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî

77

ñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì äåëî ñ ñèëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì. Ïîýòîìó äëÿ ïîñòðîåíèÿ êâàçèïîòåíöèàëà êâàðêêâàðêîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìû ïîéäåì íåñêîëüêî ýâðèñòè÷åñêèì ïóòåì. Ïðåæäå âñåãî ìû áóäåì îïèðàòüñÿ íà àíàëîãèþ êâàçèïîòåíöèàëà è îáû÷íîãî ïîòåíöèàëà, à òàêæå ÿâíóþ ñõîæåñòü òðåõìåðíîãî ðåëÿòèâèñòñêîãî îïèñàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ, îñíîâàííîãî íà êâàçèïîòåíöèàëüíîì óðàâíåíèè, ñ îïèñàíèåì âçàèìîäåéñòâèÿ â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå.  òåîðèè ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé  êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå  âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó êâàðêàìè îñóùåñòâëÿåòñÿ ïóòåì îáìåíà áåçìàññîâûì ãëþîíîì, è ïîýòîìó åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî êâàçèïîòåíöèàë V0 (r|M ) â ðåëÿòèâèñòñêîì êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå èìååò êóëîíîâñêèé âèä: αs (10.33) V0 (r|M ) = , r ãäå êîíñòàíòà ñâÿçè, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò çàâèñåòü îò ýíåðãèè. Ïîäñòàâëÿÿ ýòîò êâàçèïîòåíöèàë â ïðåîáðàçîâàíèå (10.28), ïîëó÷àåì â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå:

V0 (q|M ) =

m|q| ln

4παs

q

,

1 + q2 /m2 + |q|/m

(10.34)

ïðè÷åì îáû÷íûé êâàäðàò ïåðåäà÷è 4-èìïóëüñà (k − k 0 )2 = = −Q2 ñëåäóþùèì îáðàçîì ñâÿçàí ñ êâàäðàòîì ðàçíîñòè òðåõìåðíûõ èìïóëüñîâ íà ìàññîâîì ãèïåðáîëîèäå (10.27): !

q 2 = Q2

Q2 1+ . 4m2

(10.35)

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî â îáëàñòè ìàëûõ Q2 (íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ) êâàçèïîòåíöèàë (10.34) ïðèíèìàåò âèä îáû÷íîãî êóëîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå:

78

10.Ðåëÿòèâèñòñêîå êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî

4παs , (10.36) Q2 îäíàêî íàäî èìåòü â âèäó, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå êâàðêîâ íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ íå ìîæåò îïèñûâàòüñÿ îäíèì òîëüêî êâàçèïîòåíöèàëîì îäíîãëþîííîãî îáìåíà (10.33), à òðåáóåòñÿ äîïîëíåíèå åãî ðàñòóùèì êâàçèïîòåíöèàëîì, îáåñïå÷èâàþùèì óäåðæàíèå êâàðêîâ. Çàìåòèì, ÷òî ïðèâåäåííàÿ íàìè àñèìïòîòèêà êâàçèïîòåíöèàëà (10.36) ñîîòâåòñòâóåò òàêæå íåðåëÿòèâèñòñêîìó ïðåäåëó. Õàðàêòåð ïîâåäåíèÿ êâàçèïîòåíöèàëà ñóùåñòâåííî ìåíÿåòñÿ â îáëàñòè ìàëûõ ðàññòîÿíèé èëè ïðè Q2 → ∞: V0 (q|M )|Q2 →0 ≈

V0 (q|M )|Q2 →∞ ≈

Q2

8παs . ln (Q2 /m2 )

(10.37)

Ìû âèäèì, ÷òî àñèìïòîòèêà êâàçèïîòåíöèàëà â ýòîì ñëó÷àå ñîãëàñóåòñÿ ñ èçâåñòíûì àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíûì ïîâåäåíèåì îäíîãëþîííîãî âêëàäà â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå, õîòÿ ìû íå äåëàëè íèêàêèõ ïðåäïîëîæåíèé îá ýêçîòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè αs îò ïåðåäà÷è èìïóëüñà, ò. å. â äàííîì ïîäõîäå íå âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòè ââåäåíèÿ "áåãóùåé"êîíñòàíòû ñâÿçè. Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ðîëü õîðîøî èçâåñòíîé â ÊÕÄ ìàñøòàáíîé êîíñòàíòû çäåñü èãðàåò ïðîñòî ìàññà êâàðêà. Äëÿ ïðîñòîòû ìû íå ðàññìàòðèâàëè çäåñü öâåòîâûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû, ïðèñóùèõ ÊÕÄ, îäíàêî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èõ ââåäåíèå íå èçìåíèëî áû êà÷åñòâåííî íàø âûâîä î òîì, ÷òî êâàíòîâî-õðîìîäèíàìè÷åñêîå âçàèìîäåéñòâèå íà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ âîñïðîèçâîäèòñÿ îáû÷íûì êóëîíîâñêèì ïîòåíöèàëîì, íî â ðåëÿòèâèñòñêîì êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå.  ðàìêàõ èçëîæåííîãî âûøå ýâðèñòè÷åñêîãî ìåòîäà ðàññìîòðèì òåïåðü äâà âîçìîæíûõ ðåëÿòèâèñòñêèõ îáîáùåíèÿ íåðåëÿòèâèñòñêîãî êóëîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà äëÿ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö:

V0 (k − k0 |M ) =

4πα . (k − k0 )2

(10.38)

10.Ðåëÿòèâèñòñêîå êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî

79

Ïåðâîå î÷åâèäíîå îáîáùåíèå ñîñòîèò â çàìåíå (k − k0 )2 íà Q2 , ÷òî îáåñïå÷èâàåò êàê ðåëÿòèâèñòñêóþ èíâàðèàíòíîñòü, òàê è âïîëíå åñòåñòâåííîå ïðîäîëæåíèå çà ýíåðãåòè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü ïîòåíöèàëà (10.38):

V0 (q|M ) =

4πα 4πα √ . = 2 Q 2m q2 + m2 − m

(10.39)

Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèå, îáðàòíîå (10.28), â ðåëÿòèâèñòñêîì êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå ïîëó÷àåì:

V0 (r|M ) =

αcth(πmr) . r

(10.40)

Âòîðîå îáîáùåíèå ñîñòîèò â íåïîñðåäñòâåííîé çàìåíå â ôîðìóëå (10.38) îáû÷íîé ðàçíîñòè èìïóëüñîâ k − k0 íà "êðèâóþ"ðàçíîñòü q:

V0 (q|M ) =

4πα 4πα = 2 . 2 q Q (1 + Q2 /4m2 )

(10.41)

 ðåëÿòèâèñòñêîì êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå ïîëó÷àåì:

V0 (r|M ) =

αth(πmr/2) . r

(10.42)

Îòìåòèì, ÷òî â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå ðàññìîòðåííûå ðåëÿòèâèñòñêèå îáîáùåíèÿ êóëîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà èìåþò ñóùåñòâåííî ðàçíóþ àñèìïòîòèêó ïðè Q2 → ∞.  êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå â îáëàñòè áîëüøèõ ðàññòîÿíèé îíè ñîâïàäàþò ìåæäó ñîáîé è ñ êóëîíîâñêèì ïîòåíöèàëîì, îäíàêî âáëèçè íà÷àëà êîîðäèíàò âåäóò ñåáÿ ñóùåñòâåííî ïî-ðàçíîìó: â òî âðåìÿ êàê êâàçèïîòåíöèàë (10.40) èìååò ïîëþñ âòîðîãî ïîðÿäêà ïðè r → 0, êâàçèïîòåíöèàë (10.42) âîâñå íå èìååò ñèíãóëÿðíîñòè.

80 11.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ïàðöèàëüíûõ âîëí

11. Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ïàðöèàëüíûõ âîëí Ðàçëîæèì âîëíîâóþ ôóíêöèþ ïñåâäîñêàëÿðíîãî ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ ôåðìèîíà è àíòèôåðìèîíà ϕ¯M (r) ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà:

ϕ¯M (r) =

∞ X l=0

(2l + 1)ϕ(l) (r)Pl (cos θr ), M

(11.1)

(l)

òîãäà ïàðöèàëüíûå âîëíîâûå ôóíêöèè ϕM (r) â ñèëó (10.29) óäîâëåòâîðÿþò ðàäèàëüíîìó óðàâíåíèþ: 



ˆ r(l) H ˆ r(l) − M ϕ(l) H M (r) = =

1 ˆ (l) (l) ˆ r(l) ϕ(l) H V0 (r|M )H M (r) − 2mV0 (r|M )ϕM (r), m r

(11.2)

ãäå "

(

2 ˆ (l) = 2m chiλ ∂ + λ l(l + 1) exp iλ ∂ H r ∂r 2r(2) ∂r

)#

.

(11.3)

Ðàçëîæåíèå ðåëÿòèâèñòñêîé "ïëîñêîé"âîëíû ïî ñôåðè÷åñêèì ôóíêöèÿì èìååò âèä: ∗

ξ (k; r) =

∞ ∗ 1 X (2l + 1) ξ kr l=0

(l)

(χ; r)Pl (cos θ) =

11.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ïàðöèàëüíûõ âîëí 81

=

∗ 1 X (l − m)! m (2l + 1)(−1)m Pl (cos θk) ξ kr l,m (l + m)!

(l)

(χ; r)Plm (cos θr ), (11.4)

ãäå θ  óãîë ìåæäó âåêòîðàìè k è r, −l ≤ m ≤ l è χ = = ln(k 0 + k)/m  òàê íàçûâàåìàÿ áûñòðîòà ÷àñòèöû, êîòîðóþ óäîáíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïàðàìåòðèçàöèè ýíåðãèè è èìïóëüñà ÷àñòèöû íà ìàññîâîì ãèïåðáîëîèäå, ïîñêîëüêó k 0 = m chχ è k = m shχ. Ïîäñòàâëÿÿ ðàçëîæåíèÿ (11.1) è (11.4) â ôîðìóëó (10.6), ïîëó÷àåì: ∞ Z1 X 2π Z (l − m)! ϕM (k) = dr d cos θr (2l + 1)(−1)m × k (l + m)! l,m 0

×Plm (cos θk )

∗

ξ

(l)

−1

(χ; r)Plm (cos θr )

∞ X

0

(2l0 + 1)ϕ(lM ) (r)Pl0 (cos θr ) =

l0 =0 ∞

Z ∞ ∗ 4π X (2l + 1)Pl (cos θk ) dr ξ = k l=0

(l)

(χ; r)ϕ(l) (r). M

(11.5)

0

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî 1 Z∞ ∗ k Z ϕM (χ) ≡ d cos θk ϕM (k)Pl (cos θk ) = dr ξ 8π (l)

−1

(l)

(χ; r)ϕ(l) (r), M

0

(11.6) ò.å. íàéäåíà ñâÿçü ìåæäó êîýôôèöèåíòàìè ïàðöèàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè â êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå (11.1) è â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå: ϕM (k) =

∞ 4π X (2l + 1)ϕ(l) (χ)Pl (cos θk ). M k l=0

(11.7)

82 11.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ïàðöèàëüíûõ âîëí Èç ðàçëîæåíèÿ (11.4) ñëåäóåò, ÷òî ∗

ξ

1

(l)

Z 1 (χ; r) = mr shχ d cos θ(chχ − shχ cos θ)imr−1 Pl (cos θ). 2 −1

(11.8)  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå S -âîëíû (l = 0), î÷åâèäíî, èìååì ∗

ξ

(0)

(χ; r) = sin(mrχ),

(11.9)

ïîýòîìó ñâÿçü (11.6) èìååò âèä: Z∞ (0)

(r), dr sin(mrχ)ϕ(0) M

ϕM (χ) =

(11.10)

0

è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå: ∞

2m Z ϕM (r) = dχ sin(mrχ)ϕ(0) (χ). M π (0)

(11.11)

0

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ S -âîëíû ðàäèàëüíûå âîëíîâûå ôóíêöèè â ïðîñòðàíñòâå áûñòðîò è ïðîñòðàíñòâå êîîðäèíàò ñâÿçàíû îáû÷íûì ñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå. Îòñþäà ñëåäóåò èíòåðåñíûé âûâîä î òîì, ÷òî, â îòëè÷èå îò íåðåëÿòèâèñòñêîé êàðòèíû, ðåëÿòèâèñòñêàÿ êîîðäèíàòà r ñîïðÿæåíà íå èìïóëüñó ÷àñòèöû, à åå áûñòðîòå χ. Ïðîâåäåì òåïåðü ðàçëîæåíèå êâàçèïîòåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (10.1) â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì. Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå (11.7) è ðàçëàãàÿ êâàçèïîòåíöèàë ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì:

V0 (k; k0 |M ) =

∞ 1 X (l) (2l + 1)V0 (χ; χ0 |M )Pl (cos θ), 0 kk l=0

(11.12)

11.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ïàðöèàëüíûõ âîëí 83 ãäå θ  óãîë ìåæäó èìïóëüñàìè k è k0 , íåñëîæíî âûâåñòè ïàðöèàëüíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå áûñòðîò χ è χ0 : 



M chχ chχ − ϕ(l) (χ) = M 2m ∞ 1 Z (l) = (χ0 ). dχ(2 chχ chχ0 − 1)V0 (χ; χ0 |M )ϕ(l) M 2 (2π)

(11.13)

0

 ñëó÷àå ëîêàëüíîãî êâàçèïîòåíöèàëà (10.28) ìû, î÷åâèäíî, ìîæåì çàïèñàòü: 1

(l) V0 (χ; χ0 |M )

Z 1 = m2 shχ shχ0 d cos θ V0 (m shy|M )Pl (cos θ), 2 −1

(11.14) ãäå m shy = |q| = |k(−)k0 |, ò.å. y  áûñòðîòà, îòâå÷àþùàÿ "êðèâîé"ðàçíîñòè íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî èìïóëüñîâ è, êàê íåòðóäíî ïîêàçàòü, ñëåäóþùèì îáðàçîì ñâÿçàííàÿ ñ áûñòðîòàìè χ è χ0 : chy = chχ chχ0 − shχ shχ0 cos θ.

(11.15)

 ïðîñòåéøåì ñëó÷àå S -âîëíû, ïðîâîäÿ çàìåíó ïåðåìåííîé, ïîëó÷àåì: 0 χ+χ Z 1 (0) V0 (χ; χ0 |M ) = m2 dy shy V0 (m shy|M ). 2 0

(11.16)

|χ−χ |

Âîçâðàùàÿñü ê êâàçèïîòåíöèàëàì, îáîáùàþùèì êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå ðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö, ìû ïîëó÷àåì

84 11.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ïàðöèàëüíûõ âîëí äëÿ ñëó÷àÿ (10.34): (0) V0 (χ; χ0 |M )

χ + χ0 = 2παs ln . |χ − χ0 |

(11.17)

Äëÿ êâàçèïîòåíöèàëà (10.39) èìååì: (0)

V0 (χ; χ0 |M ) = 2πα ln

sh(χ + χ0 )/2 , sh|χ − χ0 |/2

(11.18)

th(χ + χ0 )/2 . th|χ − χ0 |/2

(11.19)

è äëÿ (10.41): (0)

V0 (χ; χ0 |M ) = 2πα ln

Ïðîäîëæèì èññëåäîâàíèå ñëó÷àÿ S -âîëíû â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ãàìèëüòîíèàí (11.3) ïðèíèìàåò ñîâñåì ïðîñòîé âèä:

ˆ (0) = 2m chiλ ∂ . H r ∂r

(11.20)

Ïîïûòàåìñÿ íàéòè ñïåêòð ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé â ðåëÿòèâèñòñêîì êóëîíîâñêîì ïîòåíöèàëå (10.33). Äëÿ ýòîãî áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (11.2), èìåþùåå ñëåäóþùóþ àñèìïòîòèêó ïðè r → ∞:

ϕ(0) (r) ≈ rn e−mrχ0 , M

(11.21)

ãäå χ0  íåêèé ïàðàìåòð, à n  íîìåð ðàäèàëüíîãî âîçáóæäåíèÿ (n = 1 ñîîòâåòñòâóåò îñíîâíîìó ñîñòîÿíèþ). Ïîäñòàâëÿÿ âîëíîâóþ ôóíêöèþ (11.21) â óðàâíåíèå (11.2) â ïðåäåëå

11.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ïàðöèàëüíûõ âîëí 85

r → ∞ è ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ñòàðøèõ ñòåïåíÿõ rn è rn−1 , ïîëó÷àåì äâà ñîîòíîøåíèÿ: cos χ0 =

M ; 2m

(11.22)

tg 2χ0 =

α . n

(11.23)

Èç ñîîòíîøåíèÿ (11.22) ñëåäóåò, ÷òî ïàðàìåòð χ0 õàðàêòåðèçóåò äåôåêò ìàññû â ñâÿçàííîé ñèñòåìå, à ýíåðãèÿ ñâÿçè âûðàæàåòñÿ ÷åðåç íåãî ñëåäóþùèì îáðàçîì:

E = M − 2m = −4m sin2

χ0 . 2

(11.24)

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî êîìáèíàöèÿ äâóõ ñîîòíîøåíèé (11.22) è (11.23) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ñïåêòð ìàññ ðàäèàëüíûõ âîçáóæäåíèé ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ: 



Mn2 = 2m2 1 + q

1 1 + α2 /n2

.

(11.25)

Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî â ñëó÷àå ìàëîé êîíñòàíòû ñâÿçè α ýíåðãèÿ ñâÿçè äîëæíà áûòü ìàëà (Mn → 2m), è ñïåêòð (11.25) ñòàíîâèòñÿ áëèçêèì ê îáû÷íîìó íåðåëÿòèâèñòñêîìó êóëîíîâñêîìó ñïåêòðó:

En = Mn − 2m = −

α2 m . 4n2

(11.26)

 ñëó÷àå æå ñèëüíûõ ïîëåé ðåëÿòèâèñòñêèé ñïåêòð (11.25) ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò êóëîíîâñêîãî. Õîòåëîñü áû îáðàòèòü âíèìàíèå íà âàæíóþ îñîáåííîñòü ñïåêòðà (11.25), çàêëþ÷àþùóþñÿ â òîì, ÷òî äàæå â î÷åíü ñèëüíûõ ïîëÿõ ìàññà

86 11.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ïàðöèàëüíûõ âîëí

√ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ íå ìîæåò áûòü ìåíüøå âåëè÷èíû 2 m. Ïî-âèäèìîìó, ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî íèæå ýòîãî ïîðîãà â ñèëüíûõ ïîëÿõ äîëæíî ïðîèñõîäèòü ðîæäåíèå ïàð íîâûõ ÷àñòèö èç âàêóóìà, è, ñëåäîâàòåëüíî, òàêîå ñîñòîÿíèå óæå íåëüçÿ îïèñûâàòü êàê äâóõ÷àñòè÷íóþ ñèñòåìó, ÷òî ìû èñõîäíî çàêëàäûâàëè â ïîñòàíîâêó çàäà÷è. Êîíå÷íî, äëÿ îïèñàíèÿ ðåàëüíûõ ñïåêòðîâ ìåçîíîâ, ïðåäñòàâëÿåìûõ êàê ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ êâàðêîâ è àíòèêâàðêîâ, íåîáõîäèìî ââîäèòü "çàïèðàþùèé"ïîòåíöèàë, ïðåïÿòñòâóþùèé èõ âûëåòàíèþ. Êàê áûëî ïîêàçàíî â ðÿäå ðàáîò, õîðîøèå ðåçóëüòàòû ïðè îïèñàíèè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïî ñïåêòðàì ìàññ è øèðèíàì ðàñïàäîâ ìåçîíîâ ïîëó÷àþòñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè êîìáèíèðîâàííûõ ïîòåíöèàëîâ òèïà "âîðîíêè", íàïðèìåð: αs V0 (r|M ) = − + σr. (11.27) r Ïîëó÷èòü òî÷íîå ðåøåíèå ðàäèàëüíîãî êâàçèïîòåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (11.2) â ýòîì ñëó÷àå îêàçûâàåòñÿ íåðåàëüíûì, ïîýòîìó ïðèìåíèì çäåñü ìåòîä êâàçèêëàññè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ. Äëÿ íàãëÿäíîñòè ñíîâà ðàññìîòðèì ñëó÷àé S -âîëíû, òîãäà êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (11.2) äëÿ ïàðöèàëüíîé âîëíû ñ l = 0 ìîæíî çàïèñàòü â âèäå: !

∂ ∂ a − chiλ ϕ(0) (r) = chiλ M ∂r ∂r = 2chiλ

∂ ∂ (r) − v(r)ϕ(0) (r), v(r)chiλ ϕ(0) M ∂r ∂r M

(11.28)

ãäå a = M/2m è v(r) = V0 (r|M )/2m.  êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (11.28) ϕ(0) (r) èùåòñÿ â âèäå M 



i ϕM (r) ∼ exp g(r) , λ (0)

(11.29)

11.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ïàðöèàëüíûõ âîëí 87 ãäå g(r) ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä:

λ λ g(r) = g0 (r) + g1 (r) + i i

!2

g2 (r) + · · · .

(11.30)

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ðàçëîæåíèå â óðàâíåíèå (11.28) è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ λ, ïîëó÷àåì äëÿ ïåðâûõ äâóõ ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ

g00 (r) = ±χ(r);

(11.31)

1 g1 (r) = − ln sh χ(r) {2 [2v(r) + 1] ch χ(r) − a} , 2 ãäå

(11.32)

q

4v(r) [2v(r) + 1] + a2 + a

ch χ(r) =

2 [2v(r) + 1]

.

(11.33)

Î÷åâèäíî, êëàññè÷åñêàÿ òî÷êà ïîâîðîòà r+ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ñîîòíîøåíèåì: ch χ(r+ ) = 1, ÷òî, êàê íåòðóäíî ïîêàçàòü, ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó v(r+ ) = a − 1. Ìû ðàññìîòðèì çäåñü ñëó÷àé, êîãäà a > 1. Êâàçèêëàññè÷åñêîå ðåøåíèå êâàçèïîòåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â êëàññè÷åñêè äîñòóïíîé îáëàñòè ñëåâà îò ýòîé òî÷êè ïîâîðîòà áóäåò èìåòü âèä:

C

ϕ(0) (r) = q M

sh χ(r) {2[2v(r) + 1] ch χ(r) − a} 

r+

×



1Z π χ(r)dr +  . × sin  λr 4

(11.34)

88 11.Êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ïàðöèàëüíûõ âîëí Äðóãàÿ òî÷êà ïîâîðîòà r− < r+ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ðàâåíñòâîì 2v(r− ) + 1 = 0, ãäå ch χ(r) îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü, à âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà çàíóëÿòüñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèå ñïðàâà îò ýòîé òî÷êè ïîâîðîòà äîëæíî èìåòü âèä: (0)

ϕM

C0

(r) = q

sh χ(r) {2[2v(r) + 1] ch χ(r) − a}  1

× sin 

Zr

λr

×

 

χ(r)dr .

(11.35)

−

Òàêèì îáðàçîì, êâàçèêëàññè÷åñêîå óñëîâèå êâàíòîâàíèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé: Zr+

χ(r)dr = π(n + 3/4)λ.

(11.36)

r−

Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî òî÷êà ïîâîðîòà r− èìååò ÷èñòî ðåëÿòèâèñòñêîå ïðîèñõîæäåíèå, è ïðè óìåðåííûõ êîíñòàíòàõ â èñïîëüçóåìîì íàìè ïðèáëèæåíèè r− ' αs λ. Îòìåòèì, ÷òî ââåäåííàÿ çäåñü ôóíêöèÿ χ(r) èìååò ñìûñë áûñòðîòû ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ â ïîëå v(r). Òàêèì îáðàçîì, êàê è ïðè ðàññìîòðåíèè â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå íàèáîëåå åñòåñòâåííûì îêàçûâàåòñÿ îïèñàíèå â òåðìèíàõ áûñòðîòû, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì îáîáùåíèåì íåðåëÿòèâèñòq ñêîãî èìïóëüñà p(r) = m a − 1 − v(r) â êâàçèêëàññè÷åñêîì ïîäõîäå.

12.Äâóõ÷àñòè÷íûé ðàñïàä ìåçîíîâ

89

12. Äâóõ÷àñòè÷íûé ðàñïàä ìåçîíîâ Ïîñêîëüêó ìåçîí ñîñòîèò èç êâàðêà è àíòèêâàðêà, òî åãî ðàñïàä, íàïðèìåð, â äâà ëåïòîíà îïðåäåëÿåòñÿ àííèãèëÿöèåé êâàðê-àíòèêâàðêîâîé ïàðû â ëåïòîí-àíòèëåïòîííóþ. Äëÿ àíàëèçà ýòîãî ïðîöåññà íóæíî ïî àíàëîãèè ñ (4.1) è (8.1) ðàññìîòðåòü ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ Ãðèíà: +

Γ(x1 , x2 ; x01 , x02 ) = ih0|T {ψ`1 (x1 )ψ¯`2 (x2 )ψq2 (x02 )ψ¯q1 (x01 )S} S |0i, (12.1) ãäå ψ`i  ïîëÿ ëåïòîíîâ ñ ìàññàìè m`i , à ψqi  ïîëÿ êâàðêîâ ñ ìàññàìè mqi . Ñïðîåêòèðóåì ýòî âûðàæåíèå íà îäíî÷àñòè÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè ÷àñòèö è àíòè÷àñòèö, ïðè ýòîì â êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâåííî-ïîäîáíûõ ïîâåðõíîñòåé âûáåðåì, êàê è ðàíåå, ãèïåðïëîñêîñòè λx = τ è λx0 = τ 0 â êîíå÷íîì è íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèÿõ. Òîãäà äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ïîëó÷èòü ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå, àíàëîãè÷íîå (4.12): ˜ (−) (p1 ; k1 |P, εP ) = Γ =

Z X Pn

∗

(2π)3 λ0 δ (3) [Pn − P − (εPn

˜ (−) (p1 ) Φ ˜ (+) Φ qPn (k1 ) `Pn , − εP )λ] εPn − εP − i0 (12.2)

˜ (−) îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ãäå ôóíêöèè Φ `,qPn ˜ (−) (p1 ) = 2εk2 Φ `,qPn

90

12.Äâóõ÷àñòè÷íûé ðàñïàä ìåçîíîâ Z

=

(+) ˆ `,qPn (x, 0)λv ˆ (+) (p2 ), d4 x δ(λx)eip1 x v¯`1,q1 (p1 )λΦ `2,q2

(12.3)

÷åðåç ñîîòâåòñòâóþùèå àìïëèòóäû Áåòå-Ñîëïèòåðà: + Φ`,qPn (x1 , x2 ) = h0|T {ψ`1,q1 (x1 )ψ¯`2,q2 (x2 )S} S |Pn i.

(12.4)

Èç ñïåêòðàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (12.2) ñëåäóåò, ÷òî âáëèçè òî÷êè P 2 = M 2 , ãäå M  ìàññà ìåçîíà, ôóíêöèÿ Ãðèíà èìååò ñëåäóþùåå ïîâåäåíèå (ñì. (5.3)): ∗

˜ (−) (p1 ; k1 |P, εP )| 2 2 Γ P 'M

˜ (−) (p1 ) Φ ˜ (+) Φ qP (k1 ) `P , ' M 2 − P 2 − i0

(12.5)

˜ (−) ãäå Φ qP  îäíîâðåìåííàÿ ñòàöèîíàðíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ˜ (−) ñâÿçàíà ñ àìïëèòóäîé ðàñïàäà ýòîãî ìåçîíà, à ôóíêöèÿ Φ `P ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ íà ëåïòîí-àíòèëåïòîííóþ ïàðó ñëåäóþùèì ïðåäåëüíûì ñîîòíîøåíèåì: ˜ (p1 ) = 2πiδ(εp1 + εp2 − εP )M(p1 |P ). lim ei(εp1 +εp2 −εP )τ 2εp2 Φ `P (12.6) (−)

τ →∞

Ñâåðíåì òåïåðü ñïðàâà ñîîòíîøåíèå (12.5) ñ îáðàòíîé ôóíê˜ (−) (k1 ; k0 |P, εP ), ââåöèåé Ãðèíà ñèñòåìû "êâàðê-àíòèêâàðê"G q 1 äåííîé â ðàçäåëå 4, è âîëíîâîé ôóíêöèåé ìåçîíà, ïåðåéäåì ê ïðåäåëó P 2 → M 2 è âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì íîðìèðîâêè êâàçèïîòåíöèàëüíîé âîëíîâîé ôóíêöèè (5.12), â ðåçóëüòàòå:

˜ (−) (p1 ) = Φ `P Z

×

h

˜ (−) d3 ωk01 G q

Z

h

˜ (−) (p1 ; k1 |P, M )× d3 ωk1 Γ

i−1

i

0 ˜ (−) (k1 ; k01 |P, M )Φ qP (k1 ) .

(12.7)

12.Äâóõ÷àñòè÷íûé ðàñïàä ìåçîíîâ

91

Ñâÿçíóþ ÷àñòü ôóíêöèè Ãðèíà (12.5) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå: Z

Z 3

dω

p01

˜ (0) (p1 ; p0 |P, M )T (p0 ; k0 |P, M )G ˜ (0) (k0 ; k1 |P, M ), d3 ωk01 G 1 1 1 q 1 ` (12.8)

˜ (0) (P, M ) è G ˜ (0) ãäå G q (P, M )  ñâîáîäíûå ôóíêöèè Ãðèíà, ñî` îòâåòñòâåííî, ëåïòîí-àíòèëåïòîííîé è êâàðê-àíòèêâàðêîâîé ïàð, îïðåäåëÿåìûå ôîðìóëîé (4.14), à T (P, M )  àìïëèòóäà ïåðåõîäà ýòèõ ïàð äðóã â äðóãà âíå ýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1 Z 1 Z 0 T (p1 ; k1 |P, M ) = dεp1 dεk10 × 2π 2π "

(+)

(−)

(εp1 + εp2 − εP )¯ v`1 (p1 )¯ vq2 (k2 ) × × (εp1 − εp01 − i0)(εp01 + εp2 − εP − i0) # (−) (+) ˜ (4) (p01 ; k10 |P )vq1 R (k1 )v`2 (p2 )(εk1 + εk2 − εP ) , × (εk1 − εk10 − i0)(εk10 + εk2 − εP − i0)

(12.9)

ãäå R(4) (p1 ; k1 |P )  âàêóóìíîå ñðåäíåå îò ðàäèàöèîííîãî îïåðàòîðà

R(4) (x1 , x2 ; x01 , x02 ) = + δ4S = ih0| ¯ |0i S δ ψ`1 (x1 )δψ`2 (x2 )δ ψ¯q2 (x02 )δψq1 (x01 )

(12.10)

â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, 4-èìïóëüñû ñâÿçàíû ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:

p01 − p1 = (εp01 − εp1 )λ;

k1 − k10 = (εk1 − εk10 )λ.

(12.11)

92

12.Äâóõ÷àñòè÷íûé ðàñïàä ìåçîíîâ

Ïîäñòàâëÿÿ òåïåðü (12.8) â (12.7) è ó÷èòûâàÿ (12.6), ïîëó÷àåì: Z

M(p1 |P ) = Z

×

Z

h

˜ (0) (k1 ; k0 |P, M )× d3 ωk1 T (p1 ; k1 |P, M ) d3 ωk01 G q 1 h

˜ (−) d3 ωk001 G q

i−1

i

˜ qP (k001 ) , (k01 ; k001 |P, M )Φ (−)

(12.12)

èëè, åñëè ïðåíåáðå÷ü âçàèìîäåéñòâèåì êâàðêà è àíòèêâàðêà â ïðîìåæóòî÷íîì ñîñòîÿíèè, òî Z

M(p1 |P ) =

˜ (−) d3 ωk1 T (p1 ; k1 |P, M )Φ qP (k1 ).

(12.13)

Ðàññìîòðèì òåïåðü êîíêðåòíî ðàñïàä âåêòîðíîãî íåéòðàëüíîãî ìåçîíà íà ëåïòîí-àíòèëåïòîííóþ ïàðó. Àìïëèòóäà ðàñïàäà V → ``¯ èìååò ñëåäóþùóþ ñòðóêòóðó: (+)

(+)

M(p1 |P ) = 4παfV v¯` (p1 )ˆ ev` (p2 ),

(12.14)

ãäå fV  êîíñòàíòà ðàñïàäà, à eµ  4-âåêòîð ïîëÿðèçàöèè âåêòîðíîãî ìåçîíà, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì: (P e) = 0 è e2 = −1. Åñëè ðàññìàòðèâàåìûé ðàñïàä îáóñëîâëåí òîëüêî ýëåêòðîìàãíèòíûì âçàèìîäåéñòâèåì, ò.å. n

S = T exp ie

Z

d4 x [− : ψ¯` (x)γ µ ψ` (x)Aµ (x) : + o

+eq : ψ¯q (x)γ µ ψq (x)Aµ (x) :] ,

(12.15)

ãäå eq  çàðÿä êâàðêà, òî ïî ôîðìóëå (12.10) íåòðóäíî ðàññ÷èòàòü â íèçøåì ïðèáëèæåíèè ïî òåîðèè âîçìóùåíèé:

˜ (4) (p1 ; k1 |P ) = −e2 eq γ µ Dc (P )γ ν . R µν

(12.16)

12.Äâóõ÷àñòè÷íûé ðàñïàä ìåçîíîâ

93

Ïîäñòàâëÿÿ (12.16) â (12.9), ïîëó÷àåì:

T (p1 ; k1 |P, M ) = √ 4π 3αeq (+) (+) =− v¯` (p1 )γµ v` (p2 )¯ vq(−) (k2 )γ µ vq(−) (k1 ), (12.17) 2 M √ ãäå ââåäåí ôàêòîð 3, ó÷èòûâàþùèé íàëè÷èå òðåõ öâåòîâ ó êâàðêîâ.  îòëè÷èå îò (9.1) êâàçèïîòåíöèàëüíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ âåêòîðíîãî ìåçîíà èìååò ñëåäóþùóþ ñòðóêòóðó: v¯q(+) (k1 )ˆ evq(+) (k2 ) ˜ (−) ϕP (k1 ). Φ (k ) = 1 qP 2εk2

(12.18)

Ïîäñòàâëÿÿ (12.17) è (12.18) â (12.13), ïîëó÷àåì

√ 4π 3αeq (+) (+) M(p1 |P ) = − v¯` (p1 )γµ v` (p2 )× M2 Z

d3 ωk1 (−) v¯ (k2 )γ µ vq(−) (k1 )¯ vq(+) (k1 )ˆ evq(+) (k2 )ϕP (k1 ) = 2εk2 q √ 4π 3αeq (+) (+) = v¯` (p1 )γµ v` (p2 )× M2 Z 3 i d ωk1 h × 2 (k1 + k2 )2 eµ − 2(ek1 )k2µ − 2(ek2 )k1µ ϕP (k1 ). 2εk2 (12.19) ×

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî (ek2 ) = −(ek1 ) è (k1 + k2 )2 = (2εk1 )2 , ïîëó÷àåì äëÿ àìïëèòóäû ðàñïàäà ôîðìóëó (12.14), ïðè÷åì

√ ε2k1 − (ek1 )2 8 3eq Z 3 fV = d ω ϕP (k1 ). k1 M2 2εk1

(12.20)

94

12.Äâóõ÷àñòè÷íûé ðàñïàä ìåçîíîâ

Ïîñëå óñðåäíåíèÿ ïî ïîëÿðèçàöèÿì âåêòîðíîãî ìåçîíà ñ èñP ïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû eµ eν = −gµν + λµ λν ïîëó÷àåì pol

√ ! 2 3eq Z 3 εk1 − m2 fV = d ωk1 2εk1 1 − ϕP (k1 ). M2 3εk1

(12.21)

 ñèñòåìå ïîêîÿ êâàðêîíèÿ äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè â S -ñîñòîÿíèè ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî óãëàì èìååì:

√ # " ∞ 4 3eq Z k12 2 fV = dk1 k1 1 − ϕ (k1 ). (2π)2 M 2 3(k12 + m2q ) M

(12.22)

0

Ïîëíàÿ øèðèíà ðàñïàäà êâàðêîíèÿ â ñèñòåìå åãî ïîêîÿ äàåòñÿ èçâåñòíîé ôîðìóëîé: q

Γ=

M 2 − 4m2` Z 64π 2 M 2

dΩp1 |M(p1 |M )|2 .

(12.23)

Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà (12.14) è èíòåãðèðóÿ ïî òåëåñíîìó óãëó, ïîëó÷àåì q

Γ=

α2 M 2 − 4m2` 2M 2

Z

fV2

4m2` 4πα2 M 2 fV 1 − = 3 M2

h

i

dΩp1 M 2 − 4(ep1 )2 = !1 2

!

2m2` 1+ . M2

(12.24)

Óñëîâèå íîðìèðîâêè äëÿ êâàçèïîòåíöèàëüíîé âîëíîâîé ôóíêöèè (12.18) èìååò âèä: Z

∗

˜ (−) ˜ (+) d3 ωk1 Φ P (k1 )2εk1 ΦP (k1 ) =

12.Äâóõ÷àñòè÷íûé ðàñïàä ìåçîíîâ " # 2 Z 3 (ek1 )2 d k1 1 − 2 = |ϕM (k1 )|2 = 2M. 3 2 (2π) k1 + mq

95

(12.25)

Äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè S -ñîñòîÿíèÿ ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî óãëàì èìååì: " # ∞ k12 1 Z 2 dk1 k1 1 − |ϕM (k1 )|2 = M. 2π 2 3(k12 + m2q )

(12.26)

0

Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëàìè (10.7) è (10.23), íîðìèðîâàííóþ íà åäèíèöó âîëíîâóþ ôóíêöèþ S -ñîñòîÿíèÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò ìîæíî çàïèñàòü òàê:

ϕ˜M (0) =

m2q √

2π 2 M

Z∞ 0

dk1 k1 k10 + k1 ln ϕM (k1 ). k0 mq

(11.27)

Òîãäà â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå (k1  mq ) ëåãêî íàéòè ñâÿçü: √ 2 3eq ϕ˜ (0), (12.28) fV = M 3/2 M è èç ôîðìóëû (12.24), ïðåíåáðåãàÿ ìàññîé ëåïòîíà, âûâåñòè õîðîøî èçâåñòíóþ ôîðìóëó:

Γ=

16πα2 e2q | ϕ˜M (0)|2 . M2

(12.29)

Ðàññìîòðèì òåïåðü ðàñïàä çàðÿæåííîãî ïñåâäîñêàëÿðíîãî ìåçîíà íà ëåïòîí-àíòèëåïòîííóþ ïàðó. Ñòðóêòóðà àìïëèòóäû ðàñïàäà â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä:

G (+) (+) M(p1 |P ) = √ fπ v¯`1 (p1 )Pˆ (1 − γ 5 )v`2 (p2 ), 2

(12.30)

96

12.Äâóõ÷àñòè÷íûé ðàñïàä ìåçîíîâ

ãäå fπ  êîíñòàíòà ðàñïàäà. Î÷åâèäíî, ÷òî â íèçøåì ïðèáëèæåíèè áóäåò ó÷àñòâîâàòü òîëüêî ñëàáîå âçàèìîäåéñòâèå, è ïîýòîìó ìû ìîæåì çàïèñàòü

ig Z 4 S = T exp{− √ d x [: ψ¯`2 (x)γ µ (1 − γ 5 )ψ`1 (x)Wµ(+) (x) : + 2 2 + : ψ¯q1 (x)γ µ (1 − γ 5 )ψq2 (x)Wµ(−) (x) :]},

(12.31)

è â ñèëó ôîðìóëû (12.10) èìååì: 2

c ˜ (4) (p1 ; k1 |P ) = − g γ µ (1 − γ 5 )Dµν R (P )γ ν (1 − γ 5 ), 8

(12.32)

ãäå c Dµν (P ) =

2 gµν − qµ qν /MW . 2 MW − P 2 − i0

(12.33)

Ïîäñòàâëÿÿ (12.32) â (12.9), ïîëó÷àåì:

√ T (p1 ; k1 |P, M ) = √

3G (+) (+) v¯`1 (p1 )γ µ (1 − γ 5 )v`2 (p2 )× 2 − MW )

2(M 2

(−)

(−)

2 ×(MW gµν − Pµ Pν )¯ vq2 (k2 )γ ν (1 − γ 5 )vq1 (k1 ),

(12.34)

√ 2 ãäå G/ 2 = g 2 /8MW . Ïîäñòàâëÿÿ (12.34) è (9.1) â (12.13), ïîëó÷àåì: √ 3G (+) (+) M(p1 |P ) = √ v¯`1 (p1 )γµ (1 − γ 5 )v`2 (p2 )× 2 2(MW − M 2 )

12.Äâóõ÷àñòè÷íûé ðàñïàä ìåçîíîâ Z 2 ×(MW gµν − Pµ Pν )4

d3 ωk1

97

mq1 k2ν + mq2 k1ν ϕP (k1 ), 2εk2

(12.35)

îòêóäà íåñëîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî àìïëèòóäà ðàñïàäà äåéñòâèòåëüíî èìååò ñòðóêòóðó (12.30), ïðè÷åì

√ 4 3Z 3 mq1 εk2 + mq2 εk1 fπ = d ωk1 ϕP (k1 ). M 2εk2

(12.36)

Åñëè ïðåíåáðå÷ü ðàçíîñòüþ ìàññ êâàðêà è àíòèêâàðêà, òî â ñëó÷àå S -ñîñòîÿíèÿ èìååì:

√ √ ∞ 4 3mq Z 3 4 3mq Z dk1 2 fπ = d ωk1 ϕP (k1 ) = k ϕ (k1 ). M (2π)2 M k10 1 M 0 (12.37) Íàêîíåö, âû÷èñëèì øèðèíó ðàñïàäà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà àíòèëåïòîí (àíòèíåéòðèíî) èìååò íóëåâóþ ìàññó (mν = 0).  ýòîì ñëó÷àå àìïëèòóäà (12.30) ïðèíèìàåò âèä: Gm` (+) (+) M(p1 |P ) = √ fπ v¯`1 (p1 )(1 − γ 5 )v`2 (p2 ), 2 îòêóäà

m2 G2 M m2` 2 Γ= fπ 1 − `2 8π M

(12.38)

!2

.

(12.39)

Íàêîíåö èìååòñÿ åùå îäèí "êëàññè÷åñêèé"ðàñïàä êâàðêîíèÿ  ýòî ðàñïàä ïñåâäîñêàëÿðíîãî íåéòðàëüíîãî ìåçîíà íà äâà ôîòîíà.  ýòîì ñëó÷àå âìåñòî (12.1) íóæíî ðàññìîòðåòü ôóíêöèþ Ãðèíà

Γµν (x1 , x2 ; x01 , x02 ) =

98

12.Äâóõ÷àñòè÷íûé ðàñïàä ìåçîíîâ + = ih0|T {Aµ (x1 )Aν (x2 )ψq (x02 )ψ¯q (x01 )S} S |0i.

(12.40)

Àìïëèòóäà ðàñïàäà áóäåò ïî-ïðåæíåìó îïðåäåëÿòüñÿ âûðàæåíèåì (12.13), ãäå àìïëèòóäà àííèãèëÿöèè êâàðê-àíòèêâàðêîâîé ïàðû â äâà ôîòîíà äàåòñÿ âûðàæåíèåì:

T (p1 ; k1 |P, M ) = "

1 Z 1 Z dεp01 dεk10 × 2π 2π ∗

∗

(εp1 + εp2 − εP ) e ν (p1 ) e µ (p2 )¯ vq(−) (k2 ) × × (εp1 − εp01 − i0)(εp01 + εp2 − εP − i0) # (4) 0 ˜ µν R (p1 ; k10 |P )vq(−) (k1 )(εk1 + εk2 − εP ) × . (εk1 − εk10 − i0)(εk10 + εk2 − εP − i0)

(12.41)

Çäåñü ôóíêöèÿ R(4) (p1 ; k1 |P ), êàê è ðàíåå,  Ôóðüå-îáðàç âàêóóìíîãî ñðåäíåãî îò ðàäèàöèîííîãî îïåðàòîðà, êîòîðîå â äàííîì ñëó÷àå, â îòëè÷èå îò (12.10), èìååò âèä: (4) Rµν (x1 , x2 ; x01 , x02 ) = ih0|

+ δ4S |0i. 0 0 S µ ν ¯ δA (x1 )δA (x2 )δ ψq (x2 )δψq (x1 ) (12.42)

Èñïîëüçóÿ (8.2), â íèçøåì ïðèáëèæåíèè ïî òåîðèè âîçìóùåíèé èìååì: (4) ˜ µν R (p1 ; k1 |P ) = e2 e2q γµ S c (p1 − k1 )γν + e2 e2q γν S c (p2 − k1 )γµ , (12.43)

ãäå S c (q) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (7.21).  ðåçóëüòàòå íåòðóäíî âû÷èñëèòü ∗ √ 4π 3αe2q v¯(−) (k2 ) eˆ (p2 ) T (p1 ; k1 |P, M ) = × √ q 2 2 q 2 + m2q

"

12.Äâóõ÷àñòè÷íûé ðàñïàä ìåçîíîâ

99

h

×

i∗

ˆ − mq eˆ (p1 )v (−) (k1 ) # 2 pˆ1 − kˆ1 − (εp1 − εk1 )λ q

q 2 + m2q − M + εp1 + εk1 − i0 "

−

∗

4παe2q v¯(−) (k2 ) eˆ (p1 ) − × √ q 2 2 q 02 + m2q h

×

i∗

ˆ + mq eˆ (p2 )v (−) (k1 ) # 2 pˆ1 + kˆ1 − (εp1 + εk1 )λ q

q 02 + m2q − M + εp1 + εk1 − i0

,

(12.44)

ãäå

q 2 = (εp1 − εk1 )2 − (p1 − k1 )2 ;

q 02 = (εp1 + εk1 )2 − (p1 + k1 )2 . (12.45) Ñòðóêòóðó àìïëèòóäû ðàñïàäà ïñåâäîñêàëÿðíîãî êâàðêîíèÿ íà äâà ôîòîíà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå: ∗

∗

M(p1 |P ) = 4παf0 iµνρσ e µ1 e ν2 pρ1 pσ2 ,

(12.46)

èëè â ñèñòåìå ïîêîÿ: ∗

∗

M(p1 |M ) = 4παM f0 iijk e i1 e j2 pk1 ,

(12.47)

ãäå èíäåêñû i, j, k ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 1, 2, 3. Ïîäñòàâëÿÿ òåïåðü (12.44) è (9.1) â (12.13) è ñðàâíèâàÿ ñ (12.46), ïîëó÷àåì äëÿ êîíñòàíòû ðàñïàäà âûðàæåíèå:

√ " 4 3mq e2q Z 3 1 q f0 = d ωk1 q + M q 2 + m2q ( q 2 + m2q + εk1 − εp1 − i0)

100

12.Äâóõ÷àñòè÷íûé ðàñïàä ìåçîíîâ

+q

#

1

q

q 02 + m2q ( q 02 + m2q + εk1 − εp1 − i0)

ϕP (k1 ) =

√ " 8 3mq e2q Z d3 k1 1 q × = 0 3 (2π) M 2k1 (p1 − k1 )2 + m2q #

1

×q

(p1 − k1 )2 + m2q + k10 − p01 − i0

ϕM (k1 ) .

(12.48)

 ñëó÷àå S -ñîñòîÿíèÿ, èíòåãðèðóÿ ïî óãëàì, èìååì:

√ 2 3mq e2q f0 = × π2M 2 Z

×

q

(2k1 + M )2 + 4m2q + 2k10 − M dk1 k1 ln q ϕM (k1 ). (12.49) k10 (2k1 − M )2 + 4m2q + 2k10 − M

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ øèðèíû ðàñïàäà ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (12.23), ïîëîæèâ â íåé m` = 0. Ïîäñòàâëÿÿ â íåå àìïëèòóäó (12.47) è ñóììèðóÿ ïî ïîëÿðèçàöèÿì ôîòîíîâ, ïîëó÷èì 1 Γ = πα2 M 3 f02 . (12.50) 4 Ïðè âû÷èñëåíèè ìû ó÷ëè, ÷òî ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: X i,j

P i ∗ i0 0 e e = δ ii , è èñïîëüçîâàëè

pol

ijk ijk0 = 2δkk0 .

(12.51)

13.Ðåäóêöèÿ êâàçèïîòåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

101

13. Ðåäóêöèÿ êâàçèïîòåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Âûâîä êâàçèïîòåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ñèñòåìû òðåõ ÷àñòèö ïðèíöèïèàëüíî íå îòëè÷àåòñÿ îò ñëó÷àÿ äâóõ ÷àñòèö. Èñõîäíûì ïóíêòîì ñíîâà ñëóæèò âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÁåòåÑîëïèòåðà, êîòîðàÿ â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä: +

ΨP (x1 , x2 , x3 ) = h0|T {ψ1 (x1 )ψ2 (x2 )ψ3 (x3 )S} S |P i,

(13.1)

ãäå P  ïîëíûé 4-èìïóëüñ ñèñòåìû òðåõ ÷àñòèö. Ïîñëå óæå çíàêîìîé íàì ïðîöåäóðû ñãëàæèâàíèÿ è ïðîåêòèðîâàíèÿ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåõíèêîé, èçëîæåííîé â ðàçäåëàõ 5 èëè 7, è ïîëó÷èòü êâàçèïîòåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ àìïëèòóäû óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ òðåõ ÷àñòèö T (k1 , k2 ; p1 , p2 |P, εP ), àíàëîãè÷íîå óðàâíåíèþ (5.21), êîòîðîå â ñèìâîëüíîé çàïèñè íè÷åì íå áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò óðàâíåíèÿ (5.17):

˜ (0) (εP )T (εP ). T (εP ) = V (εP ) + V (εP )G

(13.2)

Ôîðìàëüíî îòëè÷èå ñîñòîèò ëèøü â óâåëè÷åíèè ÷èñëà èìïóëüñíûõ ïåðåìåííûõ âñëåäñòâèå íàëè÷èÿ äîïîëíèòåëüíîé ÷àñòèöû â ñèñòåìå. Ìåæäó 4-èìïóëüñàìè ÷àñòèö èìååòñÿ ñâÿçü, õàðàêòåðíàÿ äëÿ òðåõìåðíûõ äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ñì., íàïðèìåð, (4.6)):

P − εP λ = k1 + k2 + k3 − (εk1 + εk2 + εk3 )λ = = k10 + k20 + k30 − (εk10 + εk20 + εk30 )λ.

(13.3)

102

13.Ðåäóêöèÿ êâàçèïîòåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

 äàëüíåéøåì ìû óñëîâèìñÿ ïðè ðàçâåðíóòîé çàïèñè â êà÷åñòâå íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ èñïîëüçîâàòü èìïóëüñû ÷àñòèö 1 è 2, à èìïóëüñ ÷àñòèöû 3 âûðàæàòü ÷åðåç èìïóëüñû ïåðâûõ äâóõ ÷àñòèö è ïîëíûé 4-èìïóëüñ ñèñòåìû, èñïîëüçóÿ ñâÿçü (13.3). Êîíå÷íî, îòëè÷èå òðåõ÷àñòè÷íîãî ñëó÷àÿ îò äâóõ÷àñòè÷íîãî íå ñâîäèòñÿ òîëüêî ê óâåëè÷åíèþ ÷èñëà ïåðåìåííûõ  ãîðàçäî ñëîæíåå ñòàíîâèòñÿ êàðòèíà âçàèìîäåéñòâèÿ. Ïîïûòàåìñÿ ïîíÿòü ñòðóêòóðó êâàçèïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ òðåõ ÷àñòèö V (k1 , k2 ; k01 , k02 |P, εP ). ßñíî, ÷òî â ñèñòåìå òðåõ ÷àñòèö âîçìîæíû âçàèìîäåéñòâèÿ â ðàçëè÷íûõ ïîäñèñòåìàõ, ñîñòîÿùèõ èç îòäåëüíûõ ïàð ÷àñòèö. Îäíàêî, âîîáùå ãîâîðÿ, íåëüçÿ èñêëþ÷èòü è âîçìîæíîñòè âçàèìîäåéñòâèÿ îäíîâðåìåííî âñåõ òðåõ ÷àñòèö.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ìû ïðåäñòàâèì òðåõ÷àñòè÷íûé êâàçèïîòåíöèàë â âèäå ñëåäóþùåé ñóììû: X V (εP ) = Vα (εP ), (13.4) α

ãäå èíäåêñ α ïðîáåãàåò ñëåäóþùèé íàáîð çíà÷åíèé: (12), (23), (13), (0), ïðè÷åì ïåðâûå òðè çíà÷åíèÿ (ij) îòíîñÿòñÿ ê êâàçèïîòåíöèàëàì ïàðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö i è j , à îñòàëüíàÿ ÷àñòü êâàçèïîòåíöèàëà V0 (εP ) îïèñûâàåò ñîáñòâåííî òðåõ÷àñòè÷íîå âçàèìîäåéñòâèå, íå èìåþùåå àíàëîãà â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå.  ðàçâåðíóòîé ôîðìå, íàïðèìåð, ïàðíûé êâàçèïîòåíöèàë V12 (εP ) èìååò âèä:

V12 (k1 , k2 ; k01 , k02 |P, εP ) = = V12 (k1 ; k01 |P12 , εP12 )(2π)3 2k30 δ (3) (k3 − k03 ),

(13.5)

ãäå èìïóëüñ P12 îïðåäåëÿåòñÿ òàê, ÷òîáû äëÿ ñèñòåìû äâóõ ÷àñòèö 1 è 2 âûïîëíÿëîñü õàðàêòåðíîå äëÿ îäíîâðåìåííîé ôîðìóëèðîâêè ñîîòíîøåíèå ìåæäó 4-èìïóëüñàìè (ñì. (3.7)):

P12 −εP12 λ = k1 +k2 −(εk1 +εk2 )λ = k10 +k20 −(εk10 +εk20 )λ. (13.6)

13.Ðåäóêöèÿ êâàçèïîòåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

103

Ïðè ýòîì â ñèëó ðàâåíñòâà (13.3) P − k3 − (εP − εk3 )λ = P12 − −εP12 λ, è â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (13.5) èìïóëüñ ÷àñòèöû 3 ìîæåò áûòü âûðàæåí ÷åðåç P12 è ïîëíûé 4-èìïóëüñ ñèñòåìû:

k3

= P − P12 − (εP − εP12 − εk3 )λ;

εk3 =

q

(εP − εP12 )2 − (P − P12 )2 + m23 .

(13.7)

Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ñâîáîäíàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà òðåõ ÷àñòèö, âõîäÿùàÿ â óðàâíåíèå (13.2), îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: ˜ (0) (k1 , k2 ; k0 , k0 |P, εP ) = G 1

=

2

(2π)3 2k10 δ (3) (k1 − k01 )(2π)3 2k20 δ (3) (k2 − k02 ) . 2εk3 (εk1 + εk2 + εk3 − εP − i0)

(13.8)

 íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå èçâåñòíà òåõíèêà Ôàääååâà, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ñâåñòè çàäà÷ó òðåõ÷àñòè÷íîãî ðàññåÿíèÿ ê ðàññìîòðåíèþ ïðîöåññîâ òîëüêî ïàðíîãî ïåðåðàññåÿíèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî ñäåëàòü ýòî â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå íåâîçìîæíî èç-çà ïðèñóòñòâèÿ ñîáñòâåííî òðåõ÷àñòè÷íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Îäíàêî îáîáùåíèå ýòîé òåõíèêè íà ðåëÿòèâèñòñêèé ñëó÷àé îêàçûâàåòñÿ ïëîäîòâîðíûì è ïîçâîëÿåò ëó÷øå ïîíÿòü ñòðóêòóðó ïðîöåññîâ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ó÷àñòèåì òðåõ ÷àñòèö. Îïðåäåëèì àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ, îòâå÷àþùèå êàæäîìó èç êâàçèïîòåíöèàëîâ Vα (â äàëüíåéøåì äëÿ óïðîùåíèÿ ñèìâîëüíîé çàïèñè ìû áóäåì îïóñêàòü ó âñåõ àìïëèòóä è êâàçèïîòåíöèàëîâ àðãóìåíò ýíåðãèè), ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé, àíàëîãè÷íûõ (13.2):

˜ (0) Tα , Tα = Vα + Vα G

(13.9)

ïðè÷åì Tij , î÷åâèäíî, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé àìïëèòóäû óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ äâóõ ÷àñòèö i è j , à T0  àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ

104

13.Ðåäóêöèÿ êâàçèïîòåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

òðåõ ÷àñòèö, îïðåäåëÿåìàÿ ñîáñòâåííî òðåõ÷àñòè÷íûì âçàèìîäåéñòâèåì. Äàëåå ââåäåì âåëè÷èíû T α ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé: ˜ (0) T. T α = Vα + Vα G (13.10) Âåëè÷èíû T α îïðåäåëåíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî èõ ñóììà, î÷åâèäíî, ðàâíà ïîëíîé àìïëèòóäå ðàññåÿíèÿ òðåõ ÷àñòèö:

T =

X

T α.

(13.11)

α

˜ (0) ) è ó÷èÓìíîæàÿ ñîîòíîøåíèå (13.10) ñëåâà íà (1 + Tα G òûâàÿ óðàâíåíèÿ (13.9), êîòîðûì óäîâëåòâîðÿþò àìïëèòóäû Tα , ïîëó÷àåì ñèñòåìó çàöåïëÿþùèõñÿ óðàâíåíèé äëÿ âåëè÷èí T α : X ˜ (0) T α = Tα + Tα G T β. (13.12) β6=α

Ñèñòåìà óðàâíåíèé (13.12) ýêâèâàëåíòíà èñõîäíîìó óðàâíåíèþ (13.2), à åå ÿäðà Tα îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè (13.10), ôîðìàëüíîå ðåøåíèå êîòîðûõ ìîæåò áûòü çàïèñàíî â ñëåäóþùåé ôîðìå: ˜ (0) )−1 Vα . Tα = (1 − Vα G (13.13) Èòåðàöèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (13.12) ïðèâîäèò ê ïðåäñòàâëåíèþ ïîëíîé àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ òðåõ ÷àñòèö â âèäå:

T = T12 + T23 + T13 + Tc ,

(13.14)

ãäå ñâÿçíàÿ ÷àñòü àìïëèòóäû òðåõ÷àñòè÷íîãî ðàññåÿíèÿ Tc èìååò âèä:

Tc = T0 +

XX k=2

...

X

α1 6=...6=αk

˜ (0) Tα2 ...G ˜ (0) Tα . T α1 G k

(13.15)

13.Ðåäóêöèÿ êâàçèïîòåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

105

 ïðèáëèæåíèè ïàðíûõ âçàèìîäåéñòâèé ìû âèäèì, ÷òî ñâÿçíàÿ ÷àñòü àìïëèòóäû óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ òðåõ ÷àñòèö ïîëíîñòüþ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç àìïëèòóäû ïîñëåäîâàòåëüíûõ äâóõ÷àñòè÷íûõ ïåðåðàññåÿíèé. Óñëîâèå óíèòàðíîñòè äëÿ àìïëèòóäû óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ òðåõ ÷àñòèö T ìîæíî âûâåñòè, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â ðàçäåëå 6 äëÿ ñëó÷àÿ äâóõ ÷àñòèö.  ðåçóëüòàòå ìû áóäåì èìåòü ñîîòíîøåíèÿ: +

+

+

˜ (0) − G ˜ (0) )T = iH = T − T − T (G ++

+

˜ (0) )(V − V )(1 + G ˜ (0) T ), = (1+ T G

(13.16)

ãäå H  âêëàä âñåõ íåóïðóãèõ ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé â òðåõ÷àñòè÷íîå óïðóãîå ðàññåÿíèå. Àíàëîãè÷íûå ñîîòíîøåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü è äëÿ êàæäîé èç àìïëèòóä Tα : +

+

+

˜ (0) − G ˜ (0) )Tα = iHα = Tα − T α − T α (G + +

+

˜ (0) )(Vα − V α )(1 + G ˜ (0) Tα ). = (1+ T α G

(13.17)

Òåïåðü íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî èòåðàöèîííûé ðÿä äëÿ àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ (13.14), (13.15) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ óíèòàðíîñòè (13.16), åñëè âêëàäû íåóïðóãèõ êàíàëîâ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì:

H=

X XX

...

X

˜ (0) Tα2 ...G ˜ (0) Tαn−1 G ˜ (0) Hαn × T α1 G

n=1 m=1 α1 6=...6=αn+m+1 +

+

+

+

˜ (0) T αn+1 G ˜ (0) ... T αn+m+1 . ×G

(13.18)

106

14.Ðàññåÿíèå íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè

14. Ðàññåÿíèå íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè Óïðóãîå ðàññåÿíèå òðåõ ÷àñòèö, êîíå÷íî, ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü òîëüêî àêàäåìè÷åñêèé èëè âñïîìîãàòåëüíûé èíòåðåñ.  ðåàëüíîì ýêñïåðèìåíòå ìû âñåãäà èìååì äåëî ñ ðàññåÿíèåì äâóõ òåë. Îäíàêî, åñëè õîòÿ áû îäíî èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíûì, çàäà÷à, áåçóñëîâíî, îêàçûâàåòñÿ ìíîãî÷àñòè÷íîé. Ê ïðèìåðó, åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì ðàññåÿíèå ÷àñòèöû íà àòîìíîì ÿäðå, òî ìû äîëæíû ó÷èòûâàòü åå âçàèìîäåéñòâèå ñî âñåìè íóêëîíàìè, íî ïðè ýòîì íå çàáûâàòü, ÷òî îíè íàõîäÿòñÿ â ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè, è, ñëåäîâàòåëüíî, âàæíóþ ðîëü ïðè ýòîì áóäåò èãðàòü âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÿäðà. Òî æå îòíîñèòñÿ è ê ðåëÿòèâèñòñêîìó ðàññåÿíèþ, ñêàæåì, ýëåêòðîíà íà ïðîòîíå, êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå êâàðêîâ. Òåõíèêà, èçëîæåííàÿ â ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ, ïîçâîëÿåò íàì ïåðåéòè ê èçó÷åíèþ âçàèìîäåéñòâèÿ ñîñòàâíûõ ðåëÿòèâèñòñêèõ îáúåêòîâ íà ÿçûêå âîëíîâûõ ôóíêöèé è êâàçèïîòåíöèàëîâ.  êà÷åñòâå ïðîñòåéøèõ ïðèìåðîâ òàêèõ ïðîöåññîâ ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ óïðóãîå ðàññåÿíèå ïðîòîíà íà äåéòðîíå èëè ýëåêòðîíà íà ìåçîíå, êîòîðîå ñâîäèòñÿ êàê ðàç ê âçàèìîäåéñòâèþ òðåõ ÷àñòèö ïðè óñëîâèè ñâÿçàííîñòè äâóõ èç íèõ. Êàê ìû óæå îòìå÷àëè, âûâîä êâàçèïîòåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ñèñòåìû òðåõ ÷àñòèö ïðèíöèïèàëüíî íå îòëè÷àåòñÿ îò ñëó÷àÿ äâóõ ÷àñòèö, ïîýòîìó ìû ñðàçó çàïèøåì óðàâíåíèå äëÿ îäíîâðåìåííîé âîëíîâîé ôóíêöèè ñèñòåìû òðåõ ˜ (−) ÷àñòèö Ψ P (k1 , k2 ) â ñèìâîëüíîé ôîðìå: h

˜ (0) G

i−1

˜P . ˜ P = V (εP )Ψ (εP )Ψ (−)

(−)

(14.1)

 òàêîé çàïèñè ýòî óðàâíåíèå íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò óðàâ-

14.Ðàññåÿíèå íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè

107

íåíèÿ (5.14) äëÿ äâóõ÷àñòè÷íîé ñèñòåìû, îäíàêî ìû äîëæíû ïîìíèòü, ÷òî ñâîáîäíàÿ òðåõ÷àñòè÷íàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà çäåñü îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (13.8), à êâàçèïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ òðåõ ÷àñòèö èìååò ñòðóêòóðó (13.4).  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (14.1) ñëåäóþùèì îáðàçîì: h

˜ (0) G

i−1



˜ (−) ˜ (−) − Vα Ψ P = (V − Vα )ΨP ,

(14.2)

ãäå Vα  êâàçèïîòåíöèàë êàêîãî-ëèáî ïàðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ò. å. α =(12), (23) ëèáî (13). Äåéñòâóÿ íà ýòî óðàâíåíèå ñëåâà îáðàòíûì îïåðàòîðîì

h

˜ (0) G

i−1

−1

− Vα

, ïîëó÷èì:

˜ (−) ˜ (0) ˜ (−) ˜ (−) Ψ P = ΦPα + G Uα ΨP ,

(14.3)

˜ P ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äâóõ÷àñòè÷íîãî êâàïðè÷åì ôóíêöèÿ Φ α çèïîòåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ: (−)

h

˜ (0) G

i−1

˜ (−) ˜ (−) Φ Pα = Vα ΦPα ,

(14.4)

à ÿäðî óðàâíåíèÿ (14.3) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

˜ (0) )−1 (V − Vα ). Uα = (1 − Vα G

(14.5)

Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèâåëè óðàâíåíèå (14.1) äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ñèñòåìû òðåõ ÷àñòèö ê âèäó, êîãäà â êà÷åñòâå íåîäíîðîäíîãî ÷ëåíà â óðàâíåíèè (14.3) ñòîèò âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû äâóõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö. Íåòðóäíî çàïèñàòü ôîðìàëüíîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ: −1 ˜ (−) ˜ (0) ˜ (−) Ψ P = (1 − G Uα ) ΦPα =

108

14.Ðàññåÿíèå íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè

˜ (0) V )−1 (1 − G ˜ (0) Vα )Φ ˜ (−) = (1 − G Pα .

(14.6)

Íåîäíîðîäíûé ÷ëåí â óðàâíåíèè (14.3) çàäàåò ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå âîëíîâîé ôóíêöèè. Åñëè îíî ñîîòâåòñòâóåò ñîñòîÿíèþ óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ òðåõ ÷àñòèö, òî èç óðàâíåíèé (14.6) è (5.16) èìååì:

˜ (−) ˜ (0) −1 ˜ (0) Ψ P = (1 − G V ) ΨP .

(14.7)

˜ (−) Åñëè æå Φ Pα ÿâëÿåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé ñâÿçàííîãî ñî˜ (−) ñòîÿíèÿ, òî òðåõ÷àñòè÷íàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ Ψ îòâå÷àåò P ïðîöåññó ðàçâàëà ýòîãî ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ. Àìïëèòóäó óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ òðåõ ÷àñòèö íà ýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå: h

˜ (0) ˜ (0) M (p01 , p02 ; p1 , p2 |P ) = hΨ p0 p0 p0 , G 1 2 3

i−1

˜ (−) i = Ψ p1 p2 p3

˜ (−) i, ˜ 0 0 0, VΨ = hΨ p1 p2 p3 p p p (0)

1 2 3

(14.8)

ïðè÷åì p1 + p2 + p3 = p01 + p02 + p03 = P . Äëÿ ïîÿñíåíèÿ îáîçíà÷åíèé çàïèøåì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â ðàçâåðíóòîé ôîðìå:

M (p01 , p02 ; p1 , p2 |P ) = Z

Z

Z

Z

= d3 ωk01 d3 ωk02 d3 ωk1 d3 ωk2 × ∗

˜ (−) ˜ 0 0 0 (k01 , k02 )V (k01 , k02 ; k1 , k2 |P, εP )Ψ ×Ψ p1 p2 p3 (k1 , k2 ). p p p (0)

1 2 3

(14.9)

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñîîòíîøåíèÿ (14.8) ìû âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (14.7) è, ó÷èòûâàÿ, ÷òî èç óðàâíåíèÿ (13.2) ñëåäóåò, ÷òî ˜ (0) V )−1 = 1 + G ˜ (0) T, (1 − G (14.10)

14.Ðàññåÿíèå íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè

109

ïîëó÷àåì:

˜ (0) M (p01 , p02 ; p1 , p2 |P ) = hΨ p0 p0 p0 , 1 2 3

h

˜ (0) G

i−1



˜ (0) +T Ψ p1 p2 p3 i =

˜ (0) ˜ (0) = hΨ p0 p0 p0 , T Ψp1 p2 p3 i.

(14.11)

1 2 3

Àìïëèòóäó óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ÷àñòèöû íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè äâóõ äðóãèõ ÷àñòèö ìîæíî ïîñòðîèòü àíàëîãè÷íûì îáðàçîì. Äëÿ ýòîãî â ôîðìóëå (14.8) íóæíî ëèøü çàìåíèòü âîëíîâóþ ôóíêöèþ è îáðàòíóþ ôóíêöèþ Ãðèíà ñèñòåìû òðåõ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö íà ñîîòâåòñòâóþùèå âåëè÷èíû äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà äâå èç íèõ íàõîäÿòñÿ â ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè ñ èìïóëüñîì Pα :

˜ 0 , Mαα (p0 ; p|P ) = hΦ Pα (−)

h

˜ (0) G

i−1

˜ 0 , (V − Vα ) Ψ ˜ P p i. = hΦ Pα α (−)



˜ (−) − Vα Ψ Pα p i =

(−)

(14.12)

Ó÷èòûâàÿ ïîëó÷åííîå ðàíåå ðåøåíèå äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè, îòâå÷àþùåé ïðîöåññó ðàçâàëà ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ äâóõ ÷àñòèö (14.6), ìîæíî çàïèñàòü:

˜ 0 , (V − Vα ) (1 − G ˜ (0) V )−1 (1 − G ˜ (0) Vα )Φ ˜ P i. Mαα (p0 ; p|P ) = hΦ Pα α (14.13) (−)

(−)

Âî èçáåæàíèå íåäîðàçóìåíèÿ ïîÿñíèì, ÷òî õîòÿ ïîñëåäíèé îïåðàòîð â ñêîáêàõ, äåéñòâóÿ íà âîëíîâóþ ôóíêöèþ äâóõ÷àñòè÷íîãî ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ, ôîðìàëüíî êàê áû äàåò íîëü â ñèëó óðàâíåíèÿ (5.15), ýòîãî íå ïðîèñõîäèò, ïîñêîëüêó ïðåäûäóùèé îïåðàòîð äîëæåí êîìïåíñèðîâàòü åãî ñîîòâåòñòâóþùèì ïîëþñîì. Ïåðåïèøåì âûðàæåíèå (14.13) â íåñêîëüêî èíîì âèäå: Mαα (p0 ; p|P ) =

110

14.Ðàññåÿíèå íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè 

˜ (−) ˜ (0) = hΦ Pα0 , 1 − Vα G

h

˜ (0) G

i−1

˜ (0) V )−1 (1 − G ˜ (0) Vα )Φ ˜ (−) (1 − G Pα i (14.14)

è âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (14.10), òîãäà ìîæíî âûðàçèòü àìïëèòóäó óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè ÷åðåç àìïëèòóäó óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ òðåõ ÷àñòèö (13.14): 



˜ (0) T (1 − G ˜ (0) Vα )Φ ˜ (−) ˜ (−) Mαα (p0 ; p|P ) = hΦ Pα i. Pα0 , 1 − Vα G (14.15)  ñëó÷àå ìàëîé êîíñòàíòû ñâÿçè, ðàçëàãàÿ âûðàæåíèå (14.13) äî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî, ïîëó÷àåì:

Mαα (p0 ; p|P ) ≈ h

i

˜ (−) ˜ (−) ˜ (0) ≈ hΦ Pα0 , (V − Vα ) + (V − Vα )G (V − Vα ) ΦPα i.

(14.16)

Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè ñ ïåðåñòðîéêîé, ò.å. êîãäà ÷àñòèöà, ðàññåèâàÿñü íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè α, â ðåçóëüòàòå ñòîëêíîâåíèÿ âûáèâàåò îäíó èç ñâÿçàííûõ ÷àñòèö è ïðè ýòîì ñàìà îáðàçóåò ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå β ñ òðåòüåé ÷àñòèöåé. Àìïëèòóäó òàêîãî ïðîöåññà â ñîîòâåòñòâèè ñ (14.13) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:

˜ (0) −1 ˜ (0) ˜ (−) ˜ (−) Mαβ (p0 ; p|P ) = hΦ Pβ0 , (V − Vβ ) (1 − G V ) (1 − G Vα )ΦPα i. (14.17) Â íèçøåì ïðèáëèæåíèè ïî ïîòåíöèàëó, êàçàëîñü áû, èìååì:

˜ (−) ˜ (−) Mαβ (p0 ; p|P ) ≈ hΦ P 0 , (V − Vβ ) ΦPα i. β

(14.18)

Îäíàêî ìû äîëæíû çàìåòèòü, ÷òî òàêîå ôîðìàëüíîå ðàçëîæåíèå ïðèâîäèò ê íåïðàâèëüíîìó ôèçè÷åñêîìó ðåçóëüòàòó.

14.Ðàññåÿíèå íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè

111

Äåéñòâèòåëüíî, íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ïðè V −Vα −Vβ = 0 ïðîöåññ ñ ïåðåñòðîéêîé íåâîçìîæåí, è àìïëèòóäà Mαβ äîëæíà çàíóëÿòüñÿ, ÷òî ÿâíî íå ñëåäóåò èç (14.18). Ïîýòîìó äëÿ òîãî ÷òîáû ðàçëîæåíèå ïî ïîòåíöèàëó áûëî êîððåêòíûì, íåîáõîäèìî ïðåîáðàçîâàòü àìïëèòóäó (14.17) ñëåäóþùèì îáðàçîì:

˜ (−) ˜ (−) Mαβ (p0 ; p|P ) = hΦ P 0 , (V − Vβ ) ΨPα p i = β





˜ (−) ˜ (0) ˜ (−) = hΦ P 0 , V − Vα − Vβ + Vα G V ΨPα p i, β

(14.19)

÷òî ñïðàâåäëèâî â ñèëó ðàâåíñòâà 



˜ (0) ˜ (−) ˜ (−) hΦ P 0 , Vα 1 − G V ΨPα p i = 0. β

(14.20)

Òîãäà â íèçøåì ïðèáëèæåíèè èç (14.19) ñëåäóåò

˜ P i. ˜ 0 , (V − Vα − Vβ ) Φ Mαβ (p0 ; p|P ) ≈ hΦ P α (−) β

(−)

(14.21)

 êà÷åñòâå ïðèëîæåíèÿ èçëîæåííîé âûøå òåõíèêè ìû ðàññìîòðèì óïðóãîå ðàññåÿíèå ýëåêòðîíà íà çàðÿæåííîì ïèîíå, êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå êâàðêà è àíòèêâàðêà, ïîäðîáíî èçó÷åííîå íàìè â ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ. Ñèëüíîå âçàèìîäåéñòâèå êâàðêà è àíòèêâàðêà áóäåì îïèñûâàòü êâàçèïîòåíöèàëîì Vs , â òî âðåìÿ êàê ýëåêòðîí âçàèìîäåéñòâóåò ñ êâàðêîì è àíòèêâàðêîì ýëåêòîìàãíèòíûì îáðàçîì ïîñðåäñòâîì êâàçèïîòåíöèàëîâ Veq è Ve¯q . Êðîìå òîãî, íóæíî ïîìíèòü, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò ïðèñóòñòâîâàòü åùå è ñîáñòâåííî òðåõ÷àñòè÷íîå âçàèìîäåéñòâèå. Ìû áóäåì èñõîäèòü èç âûðàæåíèÿ (14.13) äëÿ àìïëèòóäû óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè

112

14.Ðàññåÿíèå íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè

è çàòåì ïðåîáðàçóåì åãî, èñïîëüçóÿ íåêîòîðûå ðàíåå âûâåäåííûå íàìè ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îïåðàòîðàìè êâàçèïîòåíöèàëîâ è àìïëèòóä:

˜ (−) ˜ (0) −1 ˜ (0) ˜ (−) Meπ (p0 ; p|P ) = hΦ Pπ0 , (V − Vs ) (1− G V ) (1− G Vs )ΦPπ i = h

˜ (0) Vs )−1 − ˜ 0 , (V − Vs ) (1 − G = hΦ Pπ (−)

˜ (0) Vs )−1 G ˜ (0) V −(1 − G

i−1

˜ (−) Φ Pπ i =

h

i−1

˜ (−) ˜ (0) −1 ˜ (0) = hΦ Pπ0 , (V − Vs ) 1 − (1 − G Vs ) G (V − Vs ) h

i−1

˜ (−) ˜ (0) ˜ (0) = hΦ Pπ0 , (V − Vs ) 1 − (1 + G Ts )G (V − Vs )

˜ (−) Φ Pπ i = ˜ (−) Φ Pπ i, (14.22)

˜ P  îäíîâðåìåííàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ïèîíà, Ts  àìãäå Φ π ïëèòóäà óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ êâàðêà íà àíòèêâàðêå âíå ýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, à p = P − Pπ è p0 = P − Pπ0  íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé 4-èìïóëüñû ýëåêòðîíà (P  ïîëíûé ñîõðàíÿþùèéñÿ 4-èìïóëüñ ñèñòåìû). Êâàçèïîòåíöèàë V − Vs ñîäåðæèò ýëåêòðîìàãíèòíîå âçàèìîäåéñòâèå, è, áîëåå òîãî, ïðè óñëîâèè ìàëîñòè êîíñòàíòû ýòîãî âçàèìîäåéñòâèÿ òàêæå ìîæåò îêàçàòüñÿ ìàëûì, ÷òî ïîçâîëÿåò ïðîâåñòè ðàçëîæåíèå ïî íåìó àìïëèòóäû (14.22): (−)

˜ 0 , (V − Vs ) Φ ˜ P i+ Meπ (p0 ; p|P ) = hΦ Pπ π (−)

(−)

˜ (−) ˜ (0) ˜ (−) +hΦ Pπ0 , (V − Vs ) G (V − Vs )ΦPπ i+ ˜ (−) ˜ (0) ˜ (0) ˜ (−) +hΦ Pπ0 , (V − Vs ) G Ts G (V − Vs )ΦPπ i + . . .

(14.23)

14.Ðàññåÿíèå íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè

113

Åñëè ïðåíåáðå÷ü ñîáñòâåííî òðåõ÷àñòè÷íûì âçàèìîäåéñòâèåì (V0 ≡ 0), òî êâàçèïîòåíöèàë V − Vs = Veq + Ve¯q è â ðàçâåðíóòîì âèäå áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Veq (p0 ; p|Peq , εPeq )(2π)3 2kq0¯δ (3) (kq¯ − k0q¯)+ +Ve¯q (p0 ; p|Pe¯q , εPe¯q )(2π)3 2kq0 δ (3) (kq − k0q ).

(14.24)

Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ïèîíà â ðàçâåðíóòîì âèäå çàïèñûâàåòñÿ òàê: 3 0 (3) ˜ (−) ˜ (−) Φ Pπ (k, kq ) = (2π) 2k δ (k − p)ΦBPπ (kq ).

(14.25)

Ïîäñòàâèì ýòè âûðàæåíèÿ â ôîðìóëó äëÿ àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ (14.23) è, ñíèìàÿ ÷àñòè÷íî èíòåãðèðîâàíèÿ çà ñ÷åò òðåõìåðíûõ δ -ôóíêöèé, ïîëó÷èì â íèçøåì ïîðÿäêå ïî ïîòåíöèàëàì ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:

Meπ (p0 ; p|P ) = Z

d3 ωkq

= Z

3

+ d ωkq

∗ εkq¯ ˜ (+) ˜ (−) Φ BPπ0 (k0q )Veq (p0 ; p|Peq , εPeq )Φ BPπ (kq )+ εkq0 ∗

˜ (+)0 (kq )Ve¯q (p0 ; p|Pe¯q , εPe¯q )Φ ˜ (−) Φ BPπ (kq ), BPπ

(14.26)

ãäå â ñèëó ñîîòíîøåíèé (13.3) è (13.6):

kq¯ = Pπ − kq − (εPπ − εkq − εkq¯ )λ; kq0 = kq + ∆ − (εkq − εkq0 + ε∆ )λ; kq0¯ = Pπ0 − kq − (εPπ0 − εkq − εkq0¯ )λ,

(14.27)

114

14.Ðàññåÿíèå íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè

ãäå ∆ = p − p0 = Pπ0 − Pπ . Çàìåòèì, ÷òî ïðè ñíÿòèè èíòåãðàëîâ çà ñ÷åò δ -ôóíêöèé ñî ñëîæíûìè àðãóìåíòàìè ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ òàêèì æå ïðèåìîì, êàê â ôîðìóëå (2.25). Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ïèîíà â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (9.1) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:

v¯(+) (kq )γ 5 v (+) (kq¯) ˜ (−) Φ ϕPπ (kq ), (k ) = q BPπ 2εkq¯

(14.28)

à êâàçèïîòåíöèàëû âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíà ñ êâàðêîì è àíòèêâàðêîì ñ ó÷åòîì îáùåé ñòðóêòóðû (9.2) îáìåíà:

Veq (p0 ; p|Peq , εPeq ) =

4παeq (+) 0 v¯ (p )γµ v (−) (p)¯ vq(+) (kq0 )γ µ vq(−) (kq ); ∆2 (14.29)

Ve¯q (p0 ; p|Pe¯q , εPe¯q ) =

4παeq¯ (+) 0 (+) (−) v¯ (p )γµ v (−) (p)¯ vq¯ (kq¯)γ µ vq¯ (kq0¯), ∆2 (14.30)

ãäå eq è eq¯  çàðÿäû êâàðêà è àíòèêâàðêà â åäèíèöàõ e, ñîîòâåòñòâåííî. Îáùàÿ ñòðóêòóðà àìïëèòóäû óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíà íà çàðÿæåííîì ïèîíå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå:

Meπ (p0 ; p|P ) =

4πα (+) 0 ˆ 0 v¯ (p )(Pπ + Pˆπ )v (−) (p)F (∆2 ), 2 ∆

(14.31)

ãäå F (∆2 )  ýëåêòðîìàãíèòíûé ôîðìôàêòîð ïèîíà. Ïîäñòàâëÿÿ òåïåðü âîëíîâóþ ôóíêöèþ (14.28) è êâàçèïîòåíöèàëû (14.29) è (14.30) â âûðàæåíèå (14.26), ñóììèðóÿ ïî ïîëÿðèçàöèÿì ôåðìèîíîâ è âû÷èñëÿÿ øïóðû γ -ìàòðèö, à çàòåì ñðàâíèâàÿ ñ ïðåäñòàâëåíèåì (14.31), ïîëó÷èì:

(εPπ0 + εPπ )F (∆2 ) =

14.Ðàññåÿíèå íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè

115

(

Z

d3 ωkq (εkq + εkq¯ )(εkq0 + εkq¯ )(εkq + εkq0 )+ 2εkq0 2εkq0¯

= eq h

i

h

i

+ Mπ2 − (mq − mq¯)2 − ε2Pπ0 εkq + Mπ2 − (mq − mq¯)2 − ε2Pπ εkq0 + ) 2

+(∆ − Z

+eq¯

∗

ϕPπ0 (k0q )ϕPπ (kq )+

ε2∆ )εkq¯

(

d3 ωkq (εkq + εkq¯ )(εkq + εkq0¯ )(εkq¯ + εkq0¯ )+ 2εkq¯ 2εkq0¯ i

h

h

i

+ Mπ2 − (mq − mq¯)2 − ε2Pπ0 εkq¯ + Mπ2 − (mq − mq¯)2 − ε2Pπ εkq0¯ + )

+(∆2 − ε2∆ )εkq

∗

ϕPπ0 (kq )ϕPπ (kq ),

(14.32)

ãäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü ñâÿçÿìè (14.27), èç êîòîðûõ òàêæå ñëåäóþò âûðàæåíèÿ:

εkq0 = εkq¯ = εkq0¯ =

q

(εkq + ε∆ )2 − (kq + ∆)2 + m2q ;

q

(εPπ − εkq )2 − (Pπ − kq )2 + m2q¯ ;

(14.33)

q

(εPπ0 − εkq )2 − (Pπ0 − kq )2 + m2q¯ .

Åñëè ïîëîæèòü λ = Pπ /Mπ è ïðåíåáðå÷ü ðàçíîñòüþ ìàññ êâàðêà è àíòèêâàðêà, òî εkq¯ = εkq , è ôîðìôàêòîð ïðèíèìàåò âèä:

(1 − ∆2 /4Mπ2 )F (∆2 ) = ∗ eq Z d3 ωkq = [(εkq +εkq0 )2 +∆2 (1−∆2 /4Mπ2 )] ϕPπ0 (k0q )ϕPπ (kq )+ 2Mπ 2εkq0

116

14.Ðàññåÿíèå íà ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè

∗ eq¯ Z d3 ωkq [(εkq + εkq0¯ )2 + ∆2 (1 − ∆2 /4Mπ2 )] ϕPπ0 (kq )ϕPπ (kq ). + 2Mπ 2εkq0¯ (14.34)

Òàêèì îáðàçîì, íàì óäàëîñü âûðàçèòü ðåëÿòèâèñòñêè èíâàðèàíòíûé ýëåêòðîìàãíèòíûé ôîðìôàêòîð çàðÿæåííîãî ìåçîíà, ñîñòîÿùåãî èç êâàðêà è àíòèêâàðêà, ÷åðåç îäíîâðåìåííóþ âîëíîâóþ ôóíêöèþ ìåçîíà, óäîâëåòâîðÿþùóþ êâàçèïîòåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (9.5) èëè (9.7). Çàäàâ êâàçèïîòåíöèàë ñèëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ Vs , ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå è âû÷èñëèòü ÿâíî ôîðìôàêòîð ìåçîíà ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (14.32). Ïîñìîòðèì, êàê íîðìèðîâàí ýòîò ôîðìôàêòîð â òî÷êå ∆2 = 0. Èç ôîðìóëû (14.32) ñëåäóåò, ÷òî

2εPπ F (0) = Z

=

d3 ωkq [(εkq + εkq¯ )2 + Mπ2 − (mq − mq¯)2 − ε2Pπ ]|ϕPπ (kq )|2 , 2εkq¯ (14.35)

è èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè âîëíîâîé ôóíêöèè äëÿ ñëó÷àÿ íåçàâèñÿùåãî îò ýíåðãèè êâàçèïîòåíöèàëà ñëåäóåò, ÷òî F (0) = = 1.  îòëè÷èå îò ôîðìóëû (9.8) çäåñü íàäî èñïîëüçîâàòü óñëîâèå íîðìèðîâêè âîëíîâîé ôóíêöèè ñèñòåìû äâóõ ÷àñòèö ñ ðàçíûìè ìàññàìè è ïðè ïðîèçâîëüíîì íàïðàâëåíèè âåêòîðà λ, êîòîðîå íåñëîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû ðàçäåëà 9.

117

15. Ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ìåçîíà

15. Ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ìåçîíà  ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ìû èññëåäîâàëè ýëåêòðîìàãíèòíóþ ñòðóêòóðó ìåçîíà, ïðîÿâëÿþùóþñÿ â óïðóãîì ðàññåÿíèè ýëåêòðîíà íà ìåçîíå. Êàê ìû âèäåëè, ýòà ñòðóêòóðà îïèñûâàåòñÿ ôîðìôàêòîðîì, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ âîëíîâûìè ôóíêöèÿìè ìåçîíà. Ïðè î÷åíü âûñîêèõ ýíåðãèÿõ ñòîëêíîâåíèÿ, êîãäà ïðàêòè÷åñêè âñå ðåàêöèè ñòàíîâÿòñÿ íåóïðóãèìè, âíóòðåííÿÿ ñòðóêòóðà ñîñòàâíîé ÷àñòèöû-ìèøåíè îïèñûâàåòñÿ òàê íàçûâàåìûìè ñòðóêòóðíûìè ôóíêöèÿìè.  ýòîì ðàçäåëå, èñõîäÿ îïÿòü æå èç âûðàæåíèÿ äëÿ àìïëèòóäû óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíà íà ìåçîíå (14.23), ìû íàéäåì ÿâíûé âèä ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé ìåçîíà, âûðàçèâ èõ ÷åðåç îäíîâðåìåííûå âîëíîâûå ôóíêöèè ìåçîíà. Ðàññìîòðèì âòîðîå ñëàãàåìîå â ðàçëîæåíèè (14.23). Ïîäñòàâèì â íåãî êâàçèïîòåíöèàë â âèäå (14.24) è âîëíîâóþ ôóíêöèþ â ôîðìå (14.25).  ðåçóëüòàòå ïîñëå ñíÿòèÿ ÷àñòè èíòåãðàëîâ ýòà ÷àñòü àìïëèòóäû óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ïðèìåò âèä: (2) Meπ (p 0 ; p|P ) =

Z

= ×

Z 3

d ωk

2εkq¯ Veq (p 0 ; k|Peq , εPeq )Veq (k; p|Peq , εPeq ) ˜ (−) ΦBPπ (kq )+ 2εkq0 2εkq00 (εk + εkq00 + εkq¯ − εP − i0) Z

+ ×

∗

˜ (+)0 (k0q )× d3 ωkq Φ BPπ

Z 3

d ωk

∗

˜ (+)0 (kq )× d3 ωkq Φ BPπ

Ve¯q (p 0 ; k|Pe¯q , εPe¯q )Ve¯q (k; p|Pe¯q , εPe¯q ) ˜ (−) ΦBPπ (kq ). 2εkq00¯ (εk + εkq + εkq00¯ − εP − i0)

(15.1)

118

15. Ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ìåçîíà

Ìû îñòàâèëè ëèøü äâà ñëàãàåìûõ èç ÷åòûðåõ, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî âûñîêèõ ýíåðãèÿõ ýëåêòðîí óñïåâàåò ïðîâçàèìîäåéñòâîâàòü ëèáî ñ êâàðêîì, ëèáî ñ àíòèêâàðêîì (èìïóëüñíîå ïðèáëèæåíèå). Êàê îáû÷íî, çäåñü èìåþòñÿ ñëåäóþùèå ñâÿçè ìåæäó 4-èìïóëüñàìè êâàðêîâ è àíòèêâàðêîâ:

kq + kq¯ − (εkq + εkq¯ )λ = Pπ − εPπ λ; kq0 + kq0¯ − (εkq0 + εkq0¯ )λ = Pπ0 − εPπ0 λ,

(15.2)

à êðîìå òîãî â ñèëó (13.3) â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè ïåðâîãî ñëàãàåìîãî ñëåäóåò ïîëîæèòü:

kq00 − εkq00 λ = kq + p − k − (εkq + εp − εk )λ; kq0 − εkq0 λ = kq + ∆ − (εkq + ε∆ )λ,

(15.3)

à âî âòîðîì ñëàãàåìîì 

kq00¯ − εkq00¯ λ = P − k − kq − (εP − εk − εkq )λ; kq0¯ − εkq0¯ λ = P − p0 − kq − (εP − εp0 − εkq )λ.

(15.4)

Ïîäñòàâèì òåïåðü â âûðàæåíèå (15.1) âîëíîâóþ ôóíêöèþ â ôîðìå (14.28) è êâàçèïîòåíöèàëû â âèäå (14.29) è (14.30). Ïîñëå ñóììèðîâàíèÿ ïî ïîëÿðèçàöèÿì è âû÷èñëåíèÿ øïóðîâ γ -ìàòðèö ïîëó÷èì: Z (2) Meπ (p 0 ; p|P ) =

Z

×{e2q

d3 ωk

(4πα)2 v¯(+) (p0 )γµ (kˆ + me )γν v (−) (p) × (p − k)2 (k − p0 )2

Aµν (kq0 ; kq |P − kq¯) ∗ d3 ωkq ϕPπ0 (k0q )ϕPπ (kq )+ 2εkq0 2εkq00 2εkq¯ (εk + εkq00 + εkq¯ − εP − i0)

119

15. Ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ìåçîíà Z

Aµν (kq0¯; kq¯|P − kq ) ∗ d3 ωkq ϕPπ0 (kq )ϕPπ (kq )}, 2εkq¯ 2εkq0¯ 2εkq00¯ (εk + εkq + εkq00¯ − εP − i0) (15.5) µν ãäå me  ìàññà ýëåêòðîíà, à òåíçîð A  ýòî ÿâíî âû÷èñëåííûé øïóð, ïîëó÷àþùèéñÿ ïîñëå ñóììèðîâàíèÿ ïî ïîëÿðèçàöèÿì: +e2q¯

Aµν (kq0 ; kq |P − kq¯) = 2(m2q − kq0 kq00 )2(mq mq¯ + kq kq¯)g µν + +2(m2q − kq kq00 )2(mq mq¯ + kq0 kq¯)g µν − −2(m2q − kq kq0 )2(mq mq¯ + kq00 kq¯)g µν + +2(mq mq¯ + kq kq¯)2(kq0µ kq00ν + kq0ν kq00µ )+ +2(mq mq¯ + kq0 kq¯)2(kqµ kq00ν + kqν kq00µ) − −2(mq mq¯+kq00 kq¯)2(kqµ kq0ν −kqν kq0µ )+2(m2q −kq kq0 )2(kq00µ kqν¯ +kq00ν kqµ¯ )+ +2(m2q − kq kq00 )2(kq0µ kqν¯ − kq0ν kqµ¯ ) − 2(m2q − kq0 kq00 )2(kqµ kqν¯ − kqν kqµ¯ ). (15.6) Âûðàæåíèå äëÿ àíàëîãè÷íîãî òåíçîðà âî âòîðîì èíòåãðàëå ôîðìóëû (15.5) ïîëó÷àåòñÿ èç òîëüêî ÷òî ïðèâåäåííîãî çàìåíîé êâàðêà íà àíòèêâàðê è íàîáîðîò. Äàëåå, êàê âñåãäà, óäîáíî ïåðåéòè ê êîíêðåòíîìó âûáîðó âåêòîðà λ, ïîëîæèâ åãî ðàâíûì Pπ /Mπ . Òîãäà ïåðâîå ñîîòíîøåíèå (15.2) ïðèíèìàåò âèä: kq + kq¯ − (εkq + εkq¯ )λ = 0,

(15.7)

à ñîîòíîøåíèÿ (15.4) âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì:

kq00¯ − εkq00¯ λ = p − k − kq − (εp − εk − εkq )λ; kq0¯ − εkq0¯ λ = ∆ − kq − (ε∆ − εkq )λ.

(15.8)

120

15. Ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ìåçîíà

Êðîìå òîãî, âîñïîëüçîâàâøèñü ñâÿçÿìè (15.7) è (15.3), â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè ïåðâîãî ñëàãàåìîãî ôîðìóëû (15.5) ñëåäóåò ïîëîæèòü:

εkq¯ = εkq00 = εkq0

=

q

ε2kq − m2q + m2q¯;

q

(εkq + εp − εk )2 − (kq + p − k)2 + m2q ;

q

(15.9)

(εkq + ε∆ )2 − (kq + ∆)2 + m2q .

à âî âòîðîì ñëàãàåìîì â ñèëó (15.7) è (15.8) 

εkq¯ = εkq00¯ = εkq0¯ =

q

ε2kq − m2q + m2q¯;

q q

(εkq − εp + εk )2 − (kq − p + k)2 + m2q¯;

(15.10)

(εkq − ε∆ )2 − (kq − ∆)2 + m2q¯.

Òàêèì îáðàçîì, íàì óäàëîñü âûðàçèòü âñå 4-èìïóëüñû â ïîäûíòåãðàëüíûõ âûðàæåíèÿõ (15.5) ÷åðåç èìïóëüñû kq , k, p è ∆. Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê óñëîâèþ óíèòàðíîñòè äëÿ àìïëèòóäû óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíà íà ïèîíå. Ðàññìîòðèì ðàññåÿíèå âïåðåä, êîãäà p0 = p, è ïåðåïèøåì ôîðìóëó (6.8) äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ:

hp, Pπ |T |p, Pπ i − hp, Pπ |T |p, Pπ i+ = Z

=i

d3 ωk

Z X

hk, Pn |T |p, Pπ i+ hk, Pn |T |p, Pπ i,

(15.11)

Pn

ãäå k  4-èìïóëüñ ýëåêòðîíà â ïðîìåæóòî÷íîì ñîñòîÿíèè, à Pn  íàáîð 4-èìïóëüñîâ âñåõ îñòàëüíûõ ðîæäàþùèõñÿ â ðåçóëüòàòå ñòîëêíîâåíèÿ ÷àñòèö. Ââîäÿ àìïëèòóäó óïðóãîãî

121

15. Ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ìåçîíà

ðàññåÿíèÿ ïî ôîðìóëå (3.16) è àíàëîãè÷íî àìïëèòóäó ìíîæåñòâåííîãî ðîæäåíèÿ:

hk, Pn |T |p, Pπ i = (2π)4 δ (4) (k + Pn − P )Meπ→eX (k, Pn−1 ; p|P ), (15.12) ïîëó÷àåì: +

Meπ (p; p|P )− M eπ (p; p|P ) = Z

=i

d3 ωk

Z h X

(2π)4 δ (4) (k + Pn − P )×

Pn

i

+

× M eπ→eX (k, Pn−1 ; p|P )Meπ→eX (k, Pn−1 ; p|P ) .

(15.13)

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî âíóòðåííèé èíòåãðàë ïî ôàçîâîìó îáúåìó âñåõ ðîæäàþùèõñÿ ÷àñòèö è ñóììèðîâàíèå ïî ÷èñëó ÷àñòèö â (15.13) îïðåäåëÿþò äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå èíêëþçèâíîãî ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíà íà ïèîíå: Z h X d3 σ 1 q = (2π)4 δ (4) (k + Pn − P )× 2 2 d3 ωk 4Mπ εp − m Pn i

+

× M eπ→eX (k, Pn−1 ; p|P )Meπ→eX (k, Pn−1 ; p|P ) .

(15.14)

Åñëè îãðàíè÷èòüñÿ íèçøèì ïðèáëèæåíèåì ïî êîíñòàíòå ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ò.å. îäíîôîòîííûì îáìåíîì, òî àìïëèòóäó ìíîæåñòâåííîãî ðîæäåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Meπ→eX (k, Pn−1 ; p|P ) = =

4πα¯ v (+) (k)γµ v (−) (p) µ A (Pn−1 ; p − k|P − k), (p − k)2

(15.15)

122

15. Ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ìåçîíà

ãäå àìïëèòóäà Aµ , î÷åâèäíî, îïèñûâàåò ìíîæåñòâåííîå ðîæäåíèå ÷àñòèö â ðåçóëüòàòå ñòîëêíîâåíèÿ âèðòóàëüíîãî ôîòîíà ñ èìïóëüñîì q = p − k è ìåçîíà. Ïîäñòàâëÿÿ (15.15) â èíêëþçèâíîå ñå÷åíèå (15.14), ïîëó÷àåì:

d3 σ (4πα)2 v¯(+) (p)γµ (kˆ + m)γν v (−) (p) µν q = W (p − k, Pπ ), d3 ωk 4Mπ ε2p − m2 [(p − k)2 ]2 (15.16) ãäå, î÷åâèäíî, òåíçîð

W µν (q, Pπ ) = =

Z X

+

(2π)4 δ (4) (Pn −q −Pπ ) A µ (Pn−1 ; q|q +Pπ )Aν (Pn−1 ; q|q +Pπ ).

Pn

(15.17)

Òåíçîð W µν íàçûâàåòñÿ ñòðóêòóðíûì òåíçîðîì, ïîñêîëüêó îí ñâÿçàí ñ ïðîöåññàìè ìíîæåñòâåííîãî ðîæäåíèÿ ÷àñòèö, à îíè, â ñâîþ î÷åðåäü, èíòåðïðåòèðóþòñÿ êàê ïðîöåññû äèññîöèàöèè ìåçîíà, êàê áû ñîñòàâëåííîãî èç òàê íàçûâàåìûõ ïàðòîíîâ, êîòîðûå îòîæäåñòâëÿþòñÿ ñî âñåìè ðîäèâøèìèñÿ ÷àñòèöàìè. Åñëè îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî ñèëüíûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè, òî ðîæäàòüñÿ áóäóò òîëüêî êâàðêè è ãëþîíû, êîòîðûå â ðåçóëüòàòå òàê íàçûâàåìîé àäðîíèçàöèè îáðàçóþò ñòðóè ðåàëüíûõ ÷àñòèö â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè íåóïðóãîãî ïðîöåññà. Èç ôîðìóëû (15.16) ìîæíî âèäåòü, ÷òî ýòîò òåíçîð îïðåäåëÿåò îòêëîíåíèå ñå÷åíèÿ èíêëþçèâíîãî ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíà íà ñîñòàâíîì ìåçîíå îò ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ íà òî÷å÷íîé ÷àñòèöå. Óñëîâèå óíèòàðíîñòè äëÿ àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ âïåðåä (15.13) òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü òàê: +

Meπ (p; p|P )− M eπ (p; p|P ) =

123

15. Ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ìåçîíà Z

(4πα)2 v¯(+) (p)γµ (kˆ + m)γν v (−) (p) µν W (p − k, Pπ ). [(p − k)2 ]2 (15.18) Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âû÷èñëåííóþ ðàíåå â íèçøåì ïðèáëèæåíèè àìïëèòóäó óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíà íà ñîñòàâíîì ìåçîíå (15.5), ïîëó÷àåì ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ ñòðóêòóðíîãî òåíçîðà â íàøåì ñëó÷àå, êîãäà ìåçîí ñîñòîèò èç äâóõ ïàðòîíîâ  êâàðêà è àíòèêâàðêà: = i d3 ωk

" e2q Z 3 W (q, Pπ ) = d ωkq 2πδ(εkq00 + εkq¯ − εq − Mπ )× 2 µν

#

Aµν (kq ; kq |P − kq¯) |ϕPπ (kq )|2 + × 2εkq 2εkq¯ 2εkq00 e2q¯ Z 3 Aµν (kq¯; kq¯|P − kq ) + d ωkq 2πδ(εkq +εkq00¯ −εq −Mπ ) |ϕPπ (kq )|2 , 2 (2εkq¯ )2 2εkq00¯ (15.19) ãäå, êàê îáû÷íî, εq = (λq) = (λp) − (λk). Ñ ó÷åòîì ôîðìóë (15.3) è (15.7) òåíçîð Aµν ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: Aµν (kq ; kq |P − kq¯) = (15.20) h

i

= 8(mq mq¯ + kq kq¯) (m2q − kq kq00 )g µν + kqµ kq00ν + kqν kq00µ ) .  îáùåì ñëó÷àå òåíçîð (15.19) èìååò ñëåäóþùóþ ëîðåíöåâó ñòðóêòóðó: µν

W (q, Pπ ) = −g εq + λ − 2 qµ q µ

!

µν

qµ qν + 2 q

εq λ − 2 qν q ν

!

!

F1 (q 2 , εq ) + 2Mπ

F2 (q 2 , εq ) q

ε2q − q 2

,

(15.21)

124

15. Ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ìåçîíà

ãäå Fi (q 2 , εq )  ñêàëÿðíûå ôóíêöèè, êîòîðûå íàçûâàþò ñòðóêòóðíûìè ôóíêöèÿìè ìåçîíà. Äëÿ òîãî ÷òîáû âû÷èñëèòü ýòè ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè, óäîáíî ñíà÷àëà ïîñòðîèòü ñëåäóþùèå ñêàëÿðû: V1 (q 2 , εq ) = gµν W µν (q, Pπ ); (15.22)

V2 (q 2 , εq ) = λµ λν W µν (q, Pπ ),

(15.23)

êîòîðûå, î÷åâèäíî, ñëåäóþùèì îáðàçîì ñâÿçàíû ñî ñòðóêòóðíûìè ôóíêöèÿìè:

1 q2 F1 (q 2 , εq ) = −V1 (q 2 , εq ) − 2 V2 (q 2 , εq ); Mπ εq − q 2

(15.24)

q

2 ε2q − q 2 q2

F2 (q 2 , εq ) = V1 (q 2 , εq ) +

3q 2 V2 (q 2 , εq ). ε2q − q 2

(15.25)

 äàëüíåéøåì, èñêëþ÷èòåëüíî äëÿ óïðîùåíèÿ ôîðìóë, ìû áóäåì ïðåíåáðåãàòü ðàçíîñòüþ ìàññ êâàðêà è àíòèêâàðêà, ò.å. ïîëîæèì mq¯ = mq .  ýòîì ñëó÷àå èç ôîðìóë (15.9) è (15.10) ñëåäóåò, ÷òî ïîä èíòåãðàëàìè â âûðàæåíèè (15.19) ìû ìîæåì ïîëîæèòü εkq¯ = εkq . Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ øïóðà (15.20) â ñòðóêòóðíûé òåíçîð (15.19), íåòðóäíî âû÷èñëèòü: "

Z 2

V1 (q , εq ) = 2

3

d ωkq

2πe2q δ(εkq00 + εkq¯ − εq − Mπ )+ 2εkq00 #

2πe2q¯ + δ(εkq + εkq00¯ − εq − Mπ ) × 2εkq00¯ h

× (2εkq )2 − 2(εq + Mπ )2εkq + q 2 + i

+ 2Mπ εq + Mπ2 + 2m2q |ϕPπ (kq )|2 ;

(15.26)

125

15. Ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ìåçîíà

V2 (q 2 , εq ) = (q 2 + 2Mπ εq + Mπ2 )× "

Z

×

3

d ωkq

2πe2q δ(εkq00 + εkq¯ − εq − Mπ )+ 2εkq00 #

2πe2q¯ + + δ(εkq + εkq00¯ − εq − Mπ ) |ϕPπ (kq )|2 . 2εkq00¯

(15.27)

Îáû÷íî ïðè ðàññìîòðåíèè èíêëþçèâíîãî ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíà íà àäðîíå ââîäÿò ñëåäóþùèå èíâàðèàíòíûå ïåðåìåííûå:

Q2

= −q 2 ;

ν

= εq =

qP ; Mπ

(15.28)

W 2 = (q + Pπ )2 = q 2 + 2Mπ ν + Mπ2 .  ñèñòåìå ïîêîÿ ìåçîíà ïåðåìåííàÿ ν = p0 − p00 , ò.å. ðàâíà ïåðåäàííîé ýíåðãèè îò íà÷àëüíîãî ýëåêòðîíà êîíå÷íîìó, à W 2 ðàâíà êâàäðàòó èíâàðèàíòíîé ìàññû ðîæäàþùåéñÿ àäðîííîé ñòðóè è ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ìåðèëîì íåóïðóãîñòè ïðîöåññà. Èñïîëüçóÿ (15.9) è (15.10), δ -ôóíêöèè ïîä èíòåãðàëàìè (15.26) è (15.27) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: h

i

δ(εkq00 + εkq − εq − Mπ ) = 2εkq00 δ ε2kq00 − (ν + Mπ − εkq )2 = h

i

= 2εkq00 δ 2qkq − (2ν + Mπ )2εkq + W 2 , h

(15.29) i

δ(εkq + εkq00¯ − εq − Mπ ) = 2εkq00¯ δ ε2kq00¯ − (ν + Mπ − εkq )2 = = 2εkq00¯ δ(2qkq + Mπ 2εkq − W 2 ).

(15.30)

126

15. Ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ìåçîíà

Ñäåëàâ óêàçàííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ â èíòåãðàëàõ ôîðìóë (15.26) è (15.27) è ïîäñòàâèâ èõ â âûðàæåíèÿ (15.24) è (15.25), ìîæíî âû÷èñëèòü ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ìåçîíîâ: Z 2

F1 (Q , ν) = Mπ

n

h

i

d3 ωkq 2πe2q δ 2qkq − (2ν + Mπ )2εkq + W 2 + o

+2πe2q¯δ(2qkq + Mπ 2εkq − W 2 ) × "

#

(2ν 2 + Q2 )W 2 × 8εkq (ν + Mπ − εkq ) − 4m2q − |ϕPπ (kq )|2 ; ν 2 + Q2 (15.31) Q2 F2 (Q2 , ν) = √ 2 × 2 ν + Q2 Z

×

n

h

i

d3 ωkq 2πe2q δ 2qkq − (2ν + Mπ )2εkq + W 2 + o

+2πe2q¯δ(2qkq + Mπ 2εkq − W 2 ) × "

#

(2ν 2 − Q2 )W 2 × 8εkq (ν + Mπ − εkq ) − − |ϕPπ (kq )|2 . ν 2 + Q2 (15.32)  ñèëó ðåëÿòèâèñòñêîé èíâàðèàíòíîñòè âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ϕPπ (kq ) äîëæíà çàâèñåòü òîëüêî îò ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (P kq ), ïîýòîìó ìû ââåäåì îáîçíà÷åíèå 4m2q

ϕPπ (kq ) = φ(εkq )

(15.33)

è ïðîèíòåãðèðóåì ïî ñôåðè÷åñêèì óãëàì ìåæäó âåêòîðàìè q è kq â ôîðìóëàõ (15.31) è (15.32), èñïîëüçóÿ δ -ôóíêöèè:

F1 (Q2 , ν) =

2Mπ (e2q + e2q¯) √ × 16π ν 2 + Q2

127

15. Ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ìåçîíà Zε+

"

#

dεkq 8εkq (ν + Mπ − εkq ) −

×

4m2q

ε−

(2ν 2 + Q2 )W 2 − |φ(εkq )|2 ; 2 2 ν +Q (15.34)

F2 (Q2 , ν) = Zε+

×

Q2 (e2q + e2q¯) × 16π(ν 2 + Q2 ) #

"

dεkq 8εkq (ν + Mπ − εkq ) −

4m2q

ε−

(2ν 2 − Q2 )W 2 |φ(εkq )|2 , − 2 2 ν +Q

ãäå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî εkq

(15.35) èìåþò ñëåäóþùèé âèä:

q

2ε± = ν + Mπ ± γ ν 2 + Q2 , ïðè÷åì

s

γ=

1−

4m2q . W2

(15.36)

(15.37)

 âûðàæåíèÿõ äëÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé (15.34) è (15.35) âñòðå÷àþòñÿ òðè ñòàíäàðòíûõ ïåðåìåííûõ Q2 , ν è W 2 , êîòîðûå ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé òðåòüèì èç ñîîòíîøåíèé (15.28), ïîýòîìó òîëüêî äâå ïåðåìåííûå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûì ÿâëÿåòñÿ âûáîð â êà÷åñòâå äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ Q2 è áåçðàçìåðíîé ìàñøòàáíîé ïåðåìåííîé (ïåðåìåííàÿ Áüåðêåíà)

x=

Q2 . 2Mπ ν

(15.38)

×àñòî èñïîëüçóþò òàêæå â êà÷åñòâå ìàñøòàáíîé ïåðåìåííîé ïåðåìåííóþ Íàõòìàíà ξ , êîòîðóþ ìîæíî îïðåäåëèòü ñëåäó-

128

15. Ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ìåçîíà

þùèì îáðàçîì:

√ ξ=

ν 2 + Q2 − ν Q2 √ 2 . = Mπ Mπ ( ν + Q2 + ν)

(15.39)

Îíà ñâÿçàíà ñ ïåðåìåííîé Áüåðêåíà ñîîòíîøåíèåì:

x=ξ

W 2 − (1 − ξ)Mπ2 . W 2 − (1 − ξ 2 )Mπ2

(15.40)

Ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ (15.36) ïðîñòûì îáðàçîì âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïåðåìåííóþ Íàõòìàíà: "

#

mq 2mq (1 ∓ γ)(1 − ξ)Mπ ε± = + . 2 (1 ∓ γ)(1 − ξ)Mπ 2mq

(15.41)

Ðàññìîòðèì òåïåðü îáëàñòü òàê íàçûâàåìîãî ãëóáîêîíåóïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíà íà ìåçîíå, êîãäà W 2  Mπ2 , à âåëè÷èíà ìàñøòàáíîé ïåðåìåííîé x ôèêñèðîâàíà íà èíòåðâàëå (0,1). Íåòðóäíî âèäåòü èç (15.40), ÷òî ïåðåìåííûå x è ξ â ýòîì ñëó÷àå ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò, à ñòðóêòóðíàÿ ôóíêöèÿ (15.34) ïðèíèìàåò âèä:

F1 (x, Q2 ) = Q2 /2xM π Z

×

!

"

dεkq 2εkq εmin

ãäå

#

2xMπ εkq − (1 − x)Mπ |φ(εkq )|2 , 1− Q2 (15.42)

"

εmin

(e2q + e2q¯)Mπ × 2π

#

mq mq (1 − x)Mπ + . = 2 (1 − x)Mπ mq

(15.43)

15. Ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ìåçîíà

129

Âòîðàÿ ñòðóêòóðíàÿ ôóíêöèÿ (15.35)

F2 (x, Q2 ) = x F1 (x, Q2 ),

(15.44)

ò.å. ñâÿçàíà ñ ïåðâîé ñîîòíîøåíèåì, èìåþùèì ìåñòî â ìîäåëè ñïèíîðíûõ ïàðòîíîâ. Åñëè âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ìåçîíà äîñòàòî÷íî áûñòðî óáûâàåò ïðè εkq → ∞, òî â âûðàæåíèè (15.42) ìîæíî ïåðåéòè ê ïðåäåëó Q2 → ∞ è òàêèì îáðàçîì ïîëó÷èòü àñèìïòîòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ ñòðóêòóðíîé ôóíêöèè, êîòîðîå çàâèñèò òîëüêî îò ìàñøòàáíîé ïåðåìåííîé: ∞

F2sc (x)

h i (e2 + e2q¯)Mπ Z = q x dεkq 2εkq − (1 − x)Mπ |φ(εkq )|2 . 2π ε min

(15.45)  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ïðè î÷åíü âûñîêèõ ýíåðãèÿõ â ãëóáîêîíåóïðóãîì ðàññåÿíèè èìååò ìåñòî ÿâëåíèå ñêåéëèíãà, èëè ìàñøòàáíîé èíâàðèàíòíîñòè ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé. Òàêèì îáðàçîì, â ðàìêàõ êâàçèïîòåíöèàëüíîãî ïîäõîäà ïîëó÷àþòñÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòûå ôîðìóëû äëÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé ìåçîíà, îòðàæàþùèå, ñ îäíîé ñòîðîíû, îñíîâíûå ÷åðòû ïàðòîííîé ìîäåëè, è, ñ äðóãîé ñòîðîíû, ó÷èòûâàþùèå ýôôåêòû ñâÿçàííîñòè â ñîñòàâíîé ñèñòåìå, çàêëþ÷åííûå â ðåëÿòèâèñòñêîé âîëíîâîé ôóíêöèè. Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî õàðàêòåð íàðóøåíèÿ ìàñøòàáíîé èíâàðèàíòíîñòè â ïðåäàñèìïòîòè÷åñêîé îáëàñòè ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåäåíèåì ýòîé âîëíîâîé ôóíêöèè, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà êàê ðåøåíèå êâàçèïîòåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â ñëó÷àå ðåàëèñòè÷åñêîãî çàäàíèÿ êâàçèïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ êâàðêà è àíòèêâàðêà.

130

Çàêëþ÷åíèå

Çàêëþ÷åíèå Íà ïðîòÿæåíèè áîëåå ÷åì 40 ëåò ñ ïîìîùüþ êâàçèïîòåíöèàëüíîãî ïîäõîäà Ëîãóíîâà-Òàâõåëèäçå áûëî ïîëó÷åíî ìíîæåñòâî ðåçóëüòàòîâ ïðè èññëåäîâàíèè ðàçëè÷íûõ àñïåêòîâ ôèçèêè ðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö: óïðóãîå ðàññåÿíèå, ýêñêëþçèâíûå è èíêëþçèâíûå ïðîöåññû, ñïåêòðû è ôîðìôàêòîðû ñîñòàâíûõ ñèñòåì, ðàñïàäû íåñòàáèëüíûõ ÷àñòèö è ïð.  ìíîãî÷èñëåííûõ ïóáëèêàöèÿõ, âûøåäøèõ çà ýòî âðåìÿ, àâòîðû ïðîäåìîíñòðèðîâàëè ýôôåêòèâíîñòü ýòîãî ïîäõîäà, åãî íàãëÿäíîñòü è àäåêâàòíîñòü ôèçè÷åñêîé êàðòèíå ðåëÿòèâèñòñêèõ âçàèìîäåéñòâèé. Âñå ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî äàâíî íàçðåëà íåîáõîäèìîñòü âûïóñêà ñïåöèàëüíîé ìîíîãðàôèè, ïîñâÿùåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîìó èçëîæåíèþ êâàçèïîòåíöèàëüíîãî ìåòîäà â òåîðèè ÷àñòèö è îáçîðó ðåçóëüòàòîâ åãî ïðèìåíåíèÿ. Òàêîå èçäàíèå ïîçâîëèëî áû ñîáðàòü âñå íàèáîëåå ÿðêèå äîñòèæåíèÿ, ïîëó÷åííûå â ðàìêàõ äàííîãî ïîäõîäà, è áîëåå ýôôåêòèâíî è ïîñëåäîâàòåëüíî îáó÷àòü ñòóäåíòîâ è àñïèðàíòîâ, ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ â ýòîì íàïðàâëåíèè.  íàñòîÿùåì ïîñîáèè ñîäåðæèòñÿ ëèøü ïîïûòêà êðàòêîãî ââåäåíèÿ â êâàçèïîòåíöèàëüíûé ìåòîä îïèñàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö, èçëîæåíà êîíöåïöèÿ åãî ïîñòðîåíèÿ è ïðèâåäåíû íåêîòîðûå ïðîñòåéøèå ïðèìåðû åãî ïðèìåíåíèÿ. Ïîíÿòíî, ÷òî â íåáîëüøîì êóðñå ëåêöèé íåâîçìîæíî îõâàòèòü âñå àñïåêòû ýòîãî ýôôåêòèâíîãî ïîäõîäà è, òåì áîëåå, âñå äàæå íàèáîëåå ñóùåñòâåííûå ðåçóëüòàòû. Òåì íå ìåíåå, îïûò ÷òåíèÿ òàêèõ ëåêöèé ñòóäåíòàì 5-ãî êóðñà ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ è ÑàìÃÓ ïîêàçàë, ÷òî îíè ìîãóò ñëóæèòü åñòåñòâåííûì äîïîëíåíèåì ê ñòàíäàðòíûì êóðñàì êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ è ôèçèêè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, õîðîøî âîñïðèíèìàþòñÿ è óñâàèâàþòñÿ ñòóäåíòàìè.  äàííûõ ëåêöèÿõ ïðè âûâîäå îñíîâíûõ ïîëîæåíèé êâàçèïîòåíöèàëüíîãî ïîäõîäà ìû îñîáî ñòàðàëèñü ïðîäåìîíñòðèðîâàòü, ÷òî îí îñíîâûâàåòñÿ íà îáùèõ ìåòîäàõ è ïðèíöèïàõ ëîêàëüíîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ, òàêèõ êàê ðåëÿòè-

Çàêëþ÷åíèå

131

âèñòñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü, çàêîíû ñîõðàíåíèÿ, óíèòàðíîñòü, ìèêðîïðè÷èííîñòü è äð. Ñóùåñòâåííîé îñîáåííîñòüþ èçëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè ÷àñòèö íà ïðîñòðàíñòâåííî-ïîäîáíîé òðåõìåðíîé ãèïåðïîâåðõíîñòè â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî. Ýòî äîñòèãàåòñÿ ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ ïðîöåäóðû ïðîåêòèðîâàíèÿ è ñãëàæèâàíèÿ â ïðåäåëàõ âûáðàííîé ïðîñòðàíñòâåííî-ïîäîáíîé ãèïåðïîâåðõíîñòè. Ïðåäëàãàåìàÿ ñõåìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîâàðèàíòíîå îáîáùåíèå èçâåñòíîé ïðîöåäóðû ïðèðàâíèâàíèÿ âðåìåí, êîòîðàÿ ëåæèò â îñíîâå îäíîâðåìåííîé ôîðìóëèðîâêè êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ è êâàçèïîòåíöèàëüíîãî ïîäõîäà.  ëåêöèÿõ ïîä÷åðêèâàåòñÿ îñîáàÿ ïðèâëåêàòåëüíîñòü êâàçèïîòåíöèàëüíîãî ìåòîäà  ýòî âîçìîæíîñòü îïèñàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ðåëÿòèâèñòñêèõ ñèñòåì íà ïðèâû÷íîì ÿçûêå âîëíîâîé ôóíêöèè, êîòîðàÿ, êàê è â íåðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè, óäîâëåòâîðÿåò òðåõìåðíîìó äèíàìè÷åñêîìó óðàâíåíèþ (ðåëÿòèâèñòñêîìó àíàëîãó óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà) ñ ôèçè÷åñêèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè è äîïóñêàåò âåðîÿòíîñòíóþ èíòåðïðåòàöèþ. ßäðî òðåõìåðíîãî äèíàìè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ - êâàçèïîòåíöèàë - ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåëÿòèâèñòñêîå îáîáùåíèå êëàññè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà è, êàê ïîêàçàíî â îáùåì ñëó÷àå è íà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ, îòðàæàåò ðÿä ýôôåêòîâ, õàðàêòåðíûõ äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ôèçèêè. Ïðè ýòîì ÿâíàÿ àíàëîãèÿ îïèñàíèÿ ðåëÿòèâèñòñêèõ ñèñòåì íà áàçå òðåõìåðíîãî äèíàìè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ íåðåëÿòèâèñòñêîé êàðòèíîé âçàèìîäåéñòâèÿ îêàçûâàåòñÿ êðàéíå ïîëåçíîé, ïîñêîëüêó ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ÷èñòî ýìïèðè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè ïðè ïîñòðîåíèè êâàçèïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ. Àâòîð èñêðåííå ïðèçíàòåëåí ðåêòîðó Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà ïðîôåññîðó Ã.Ï. ßðîâîìó è çàâåäóþùåìó êàôåäðîé îáùåé è òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè ïðîôåññîðó À.À. Áèðþêîâó çà ïðåäîñòàâëåííóþ âîçìîæíîñòü ïðî÷èòàòü ýòîò ñïåöèàëüíûé êóðñ ëåêöèé ñòóäåíòàì è àñïèðàíòàì ÑàìÃÓ, à òàêæå çà ïðåäëîæåíèå èçäàòü ýòî ó÷åáíîå ïîñîáèå â èçäàòåëüñòâå ¾Ñàìàðñêèé óíèâåðñèòåò¿. Ãëóáîêàÿ áëàãîäàðíîñòü ïðåïîäàâàòåëþ êàôåäðû îáùåé è òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè Ý.Í. Âîðîáüåâîé çà ïîäãîòîâêó ìàêåòà èçäàíèÿ è áîëüøóþ êîððåêòîðñêóþ ðàáîòó.

132

Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê

Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê 1. Áîãîëþáîâ,Í.Í., Øèðêîâ,Ä.Â. Ââåäåíèå â òåîðèþ êâàíòîâàííûõ ïîëåé./Í.Í. Áîãîëþáîâ, Ä.Â. Øèðêîâ  Ì.: Íàóêà, 1976. 2. Ãîëüäáåðãåð,Ì., Âàòñîí,Ê. Òåîðèÿ ñòîëêíîâåíèé./ Ì. Ãîëüäáåðãåð, Ê. Âàòñîí  Ì.: Ìèð, 1967. 3. Ôåéíìàí,Ð. Âçàèìîäåéñòâèå ôîòîíîâ ñ àäðîíàìè./ Ð. Ôåéíìàí  Ì.: Ìèð, 1975. 4. Logunov,À.À., Tavkhelidze,À.N. Quasipotential approach in quantum eld theory./À.À.Logunov, À.N.Tavkhelidze.// 29, Nuovo Cimento, 1963, Ð. 380. 5. Êàäûøåâñêèé,Â.Ã., Òàâõåëèäçå,À.Í. Êâàçèïîòåíöèàëüíûé ìåòîä â ðåëÿòèâèñòñêîé çàäà÷å äâóõ òåë./Â.Ã. Êàäûøåâñêèé, À.Í. Òàâõåëèäçå,À.Í.// "Ïðîáëåìû òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè",  Ì.: Íàóêà, 1969  Ñ. 261. 6. Ëîãóíîâ,À.À., Õðóñòàëåâ,Î.À. Ê ïðîáëåìå äâóõ òåë â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ./À.À. Ëîãóíîâ, Î.À. Õðóñòàëåâ// "Ïðîáëåìû òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè",  Ì.: Íàóêà, 1972  Ñ. 96. 7. Êàäûøåâñêèé,Â.Ã., Ìèð-Êàñèìîâ,Ð.Ì., Ñêà÷êîâ,Í.Á. Òðåõìåðíàÿ ôîðìóëèðîâêà ðåëÿòèâèñòñêîé ïðîáëåìû äâóõ òåë./Â.Ã. Êàäûøåâñêèé, Ð.Ì. Ìèð-Êàñèìîâ, Í.Á. Ñêà÷êîâ.// Ý×Àß, 2, 1972, Ñ. 635. 8. Faustov,R.N. Relativistic wave function and form-factors of the bound system./R.N. Faustov// Annals of Physics, 1973, 78, Ð. 176. 9. Ñàâðèí,Â.È., Òþðèí,Í.Å., Õðóñòàëåâ,Î.À. Ìåòîä U-ìàòðèöû â òåîðèè ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé./Â.È. Ñàâðèí, Í.Å. Òþðèí, Î.À. Õðóñòàëåâ.// Ý×Àß, 1976, 7, Ñ.21.

Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê

133

10. Ñêà÷êîâ,Í.Á., Ñîëîâöîâ,È.Ë. Ðåëÿòèâèñòñêîå òðåõìåðíîå îïèñàíèå âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ôåðìèîíîâ/ Í.Á. Ñêà÷êîâ, È.Ë. Ñîëîâöîâ //Ý×Àß, 1978 9, Ñ.5. 11. Ñàâðèí,Â.È., Ñêà÷êîâ,Í.Á. Ôîðìôàêòîðû è ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè àäðîíîâ â îäíîâðåìåííîé ôîðìóëèðîâêå êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ./Â.È. Ñàâðèí, Í.Á. Ñêà÷êîâ. // Òðóäû V ìåæäóíàðîäíîãî ñåìèíàðà ïî ôèçèêå âûñîêèõ ýíåðãèé è òåîðèè ïîëÿ  Ïðîòâèíî: ÈÔÂÝ, 1982, Ò. II, Ñ. 229. 12. Àðõèïîâ,À.À., Ñàâðèí,Â.È. Àñèìïòîòè÷åñêîå óñëîâèå LSZ è äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ./À.À. Àðõèïîâ, Â.È. Ñàâðèí.// Ý×Àß, 1985, 16, Ñ. 1091. 13. Àðõèïîâ,À.À. Ïðèíöèï ïðè÷èííîñòè â ïðîáëåìå îäíîâðåìåííîé ðåäóêöèè â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ./À.À. Àðõèïîâ.// ÒÌÔ, 1988, 74, Ñ. 69, Àðõèïîâ,À.À. Îäíîâðåìåííàÿ ðåäóêöèÿ ôîðìàëèçìà Áåòå-Ñîëïèòåðà äëÿ äâóõôåðìèîííîé ñèñòåìû/À.À. Àðõèïîâ.// 1990, ÒÌÔ, 83, Ñ. 247. 14. Ñàâðèí,Â.È., Ñêà÷êîâ,Í.Á. Òðåõìåðíàÿ êîâàðèàíòíàÿ ôîðìóëèðîâêà ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé./Â.È. Ñàâðèí, Í.Á. Ñêà÷êîâ.//Òðóäû V øêîëû ìîëîäûõ ó÷åíûõ ïî êâàíòîâîé òåîðèÿ ïîëÿ è ôèçèêå âûñîêèõ ýíåðãèé  Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1990, Ñ. 147. 15. Ñàâðèí,Â.È. Äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ è ðåëÿòèâèñòñêàÿ òåîðèÿ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé. Ñïåöèàëüíûé êóðñ ëåêöèé. Ì.: Èçäàòåëüñòâî ÌÃÓ, 1996. 16. Ìàòâååâ,Â.À.,Ñàâðèí,Â.È.,Ñèñàêÿí,À.Í.,Òàâõåëèäçå,À.Í. Ðåëÿòèâèñòñêèå êâàðêîâûå ìîäåëè â êâàçèïîòåíöèàëüíîì ïîäõîäå./ Â.À. Ìàòâååâ, Â.È. Ñàâðèí, À.Í. Ñèñàêÿí, À.Í. Òàâõåëèäçå.// ÒÌÔ, 2002, 132, Ñ. 267-287.

Ó÷åáíîå èçäàíèå Ñàâðèí Âèêòîð Èâàíîâè÷

ÌÅÒÎÄ ÊÂÀÇÈÏÎÒÅÍÖÈÀËÀ  ÒÅÎÐÈÈ ÑÂßÇÀÍÍÛÕ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ Ó÷åáíîå ïîñîáèå

Ðåäàêòîð Ò.È. Êóçíåöîâà Õóäîæåñòâåííûé ðåäàêòîð Ë.Â. Êðûëîâà Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà, ìàêåò Ý.Í. Âîðîáüåâà

Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü. Ôîðìàò 60×84/16. Áóìàãà îôñåòíàÿ. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Ó÷.-èçä.ë.8,5; óñë.-ïå÷.ë.7,8 Ãàðíèòóðà ¾Times New Roman¿. Òèðàæ 300 ýêç. Çàêàç  Èçäàòåëüñòâî ¾Ñàìàðñêèé óíèâåðñèòåò¿, 443011, ã.Ñàìàðà, óë.Àêàä.Ïàâëîâà, 1 Îòïå÷àòàíî â ÎÎÎ ¾Èçäàòåëüñêèé öåíòð ¾Êíèãà¿ ã. Ñàìàðà, óë. Íîâî-Ñàäîâàÿ, 106, òåë. 335-35-26.