Электричество и магнетизм: Лабораторный практикум

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ Лабораторный практикум

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2001

УДК 53 ББК 223 Э45 Авторы: Г. А. Весничева, И. И. Коваленко, М. Н. Кульбицкая, Г. Л. Плехоткина, В. К. Прилипко, Е. В. Рутьков, Ю. Н. Царев, Б. Ф. Шифрин, С. Я. Щербак, В. Н. Разумовский Э45 Электричество и магнетизм: Лаб. практикум/ Под ред. Б. Ф. Шифрина / СПбГУАП. СПб., 2001. 73 с.: ил. Приведены краткие теоретические и методические указания к выполнению лабораторных работ по разделу “Электричество и магнетизм”. Лабораторный практикум рекомендован студентам 1-го курса всех факультетов и специальностей. Рецензенты: кафедра ТОЭ СПбГУАП; кандидат физико-математических наук доцент А.С.Будагов Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве лабораторного практикума

Учебное издание Весничева Галина Андреевна Коваленко Иван Иванович Кульбицкая Мария Никандровна Плехоткина Галина Львововна Прилипко Виктор Константинович Рутьков Евгений Викторович Царев Юрий Николаевич Шифрин Борис Фридманович Щербак Сергей Яковлевич Разумовский Владимир Николаевич

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ Лабораторный практикум Редактор А. В. Семенчук Компьютерная верстка А. Н. Колешко Лицензия ЛР №020341 от 07.05.97. Сдано в набор 16.09.01. Подписано к печати 26.11.01. Формат 60×84 1/16. Бумага тип. №3. Печать офсетная. Усл. печ. л. 4,18. Усл. кр.-отт. 4,30. Уч. -изд. л. 4,5. Тираж 500 экз. Заказ № Редакционно-издательский отдел Лаборатория компьютерно-издательских технологий Отдел оперативной полиграфии СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67

© 2

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, 2001

Лабораторная работа № 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОЕМКОСТИ КОНДЕНСАТОРА С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ГАЛЬВАНОМЕТРА Цель работы. Ознакомление с устройством и принципом работы баллистического гальванометра, с методикой определения электроемкости конденсатора с помощью баллистического гальванометра. Методические указания. Зеркальные гальванометры магнитоэлектрической системы служат для обнаружения и измерения слабых токов порядка 10–10А, напряжений порядка 10–8В, а также для измерения количества электричества, протекающего по цепи за промежуток времени, малый по сравнению с периодом собственных колебаний рамки гальванометра. Магнитоэлектрическая система гальванометра смонтирована внутри цилиндрического кожуха 1 (рис. 1). Она состоит из неподвижного постоянного магнита 2, подвижной 1 рамки 3, подвешенной на тонкой 8 ленте из фосфористой бронзы или спирали. На конце ленты около 9 рамки укреплено небольшое зер2 кальце 4. При протекании тока рам3 ка вместе с укрепленным на ней 4 зеркальцем поворачивается в маг5 нитном поле постоянного магнита. На некотором расстоянии от галь6 ванометра расположены шкала 6 и 7 осветитель 7, выполненный в виде цилиндрической трубки, внутри Рис. 1 которой вмонтированы электричес3

кая лампочка и собирающая линза. Свет от осветителя попадает на зеркальце гальванометра и, отразившись от него и зеркала 5, дает на шкале 6 изображение нити лампочки. При повороте рамки гальванометра изображение нити (“зайчик”) смещается по шкале. Это смещение и принимается за линейную меру поворота рамки гальванометра. Баллистический гальванометр отличается от обычного гальванометра магнитоэлектрического типа значительной величиной момента инерции подвижной системы. Если через рамку гальванометра в течение некоторого времени протекает ток, то со стороны магнитного поля постоянного магнита на рамку с током действует вращающий момент M = I N S B sin α, (1) где INS – магнитный момент рамки с током; N – число витков, намотанных на рамку; S – площадь витка; B – магнитная индукция; α – угол между нормалью к плоскости рамки и вектором магнитной индукции. Будем считать, что до протекания тока α= 1 π. Запишем для рамки 2 с током основной закон динамики вращательного движения

d ( J ω ) = Jd ω = Mdt ,

(2)

где J – момент инерции рамки. Из-за инерционности рамки (и смежных частей баллистического гальванометра) поворот рамки начинается лишь после окончания кратковременного протекания тока. Угол α за время t остается неизменным и равным начальному значению α0 = 1 π, а M ≈ NSBI. С учетом этого 2 уравнение (2) интегрируется простейшим образом

J ω = NSBq,

(3)

где ω – угловая скорость, которую приобретает рамка за время протекания тока; q – полный заряд, прошедший через рамку за то же время t, τ

q = ∫ I (t )dt.

(4)

0

Если угловая скорость ω, то рамка приобретает кинетическую энергию

T=

2 2 2 2 1 2 1N S B q Jω = . 2 2 J

(5)

Значение T относится к моменту, когда рамка еще практически не отклонилась от положения равновесия. В дальнейшем при повороте 4

рамки эта энергия будет расходоваться на работу против упругих сил кручения. Рамка представляет собой пример баллистического крутильного маятника. Обозначим через ϕ угол отклонения рамки от положения равновесия (ϕ = 1/2 π – α). Момент силы кручения подвеса рамки пропорционален углу поворота рамки от положения равновесия M = –Скрϕ.

(6)

Знак минус в (6) показывает, что момент упругих сил кручения M стремится вернуть рамку в положение равновесия (Скр – модуль кручения). Энергия крутильных колебаний W = Скрϕ2 /2 + Jω2/2; первое слагаемое выражает потенциальную энергию, второе – кинетическую. В начальный момент ϕ = 0, а кинетическая энергия Jω02 /2 равна полной энергии колебаний. Рамка начинает отклоняться и потенциальная энергия растет, достигая значения полной энергии при наибольшем угле отклонения ϕmax (в этот момент ω = 0 ). Согласно закону сохранения энергии,

Cкрϕ2max 2

=

J ω20 . 2

(7)

Из сравнения (7) и (5) нетрудно получить соотношение

q = K ϕmax .

(8)

Коэффициент пропорциональности определяется по формуле

K=

JCкр NSB

(9)

и называется постоянной баллистического гальванометра. Электроемкость конденсатора – величина, определяемая отношением заряда q одной из пластин конденсатора к напряжению между пластинами (обкладками) конденсатора,

q C= . u

(10)

При измерении электроемкости конденсатора с помощью баллистического гальванометра необходимо быстро разрядить конденсатор через гальванометр, и измерить максимальное смещение n “зайчика” по шка5

ле. Согласно (8), заряд, прошедший через гальванометр, пропорционален величине n q = Kn. (11) Для определения постоянной K баллистического гальванометра разряжают конденсатор известной емкости.C0. При этом на основании равенств (10) и (11) имеют место соотношения q0 = C0u; (12) q0 = Kn0. Исключая из (12) и (13) заряд q0, получим K=

(13)

C0 u . n0

(14)

Воспользовавшись равенствами (10) и (11), выразим емкость неизвестного конденсатора

C=

Kn . u

(15)

Если напряжение u не изменяется в процессе измерений, то, подставив из (14) значение постоянной гальванометра K в (15), находим C=

C0 n . n0

(16)

Описание лабораторной установки. Схема лабораторной установки изображена на рис. 2. При помощи ключа П1 схема подсоединяется к источнику питания, напряжение на выходе которого измеряется при помощи вольтметра V. Сопротивление R ограничивает зарядный ток. Ключ П2 служит для зарядки (положение 1) и разрядки (положение 2) конденсаторов. При помощи ключа П3 производится подключение конденсаторов C0, неизвестных конденсаторов C1, C2, а также последова1 П2 УИП-2

V С0

П1

П3 1 5 2 34 С1 С1 С2 С1 С2 С2 Рис. 2

6 R

Г

П4

тельно или параллельно соединенных конденсаторов C1 и C2. Ключ П4 замыкает рамку гальванометра и служит для быстрого его успокоения. Порядок выполнения работы. После ознакомления с принципиальной схемой установки, изображенной на рис. 2, и сопоставления ее с лабораторным макетом включают источник питания, и дают ему прогреться. Затем замыкают ключ П1, замеряют напряжение на выходе источника и записывают в табл. 1. Ключом П3 подключают конденсатор известной емкости C0. При помощи переключателя П2 заряжают конденсатор C0 (положение 1) и при его разрядке через гальванометр Г (положение 2 переключателя П2) измеряют максимальное отклонение “зайчика” n0. Измерение повторяют не менее шести раз. Далее проводят аналогичные измерения, подключая конденсаторы C1 и C2, а также их последовательное и параллельное соединения. Каждое измерение проводят также не менее шести раз. Данные измерений заносят в табл. 1. Таблица 1 u, B

n0

n1

n2

n3

n4

Средние

Вычисление результатов и оформление отчета. 1. Вычислить средние значения отклонений баллистического гальванометра n!0 , n!1 , n!2 , n!3 , n!4 . Результаты занести в табл. 1. 2. Вычислить среднее значение постоянной гальванометра K! , используя найденное значение n!0 (формула (14)). 3. Определить средние значения емкостей неизвестных конденсаторов C!1 , C! 2 , C! 3 , C! 4 (формулы (16) или (15)). 4. Воспользовавшись средними значениями емкостей C!1 и C! 2 , рассчитать емкости последовательного и параллельного соединений этих конденсаторов C3выч и C4выч. Результаты расчетов занести в табл. 2. Таблица 2 K!

C! 1 , мкФ

C! 2 , мкФ C! 3 , мкФ

С3выч, мкФ

C! 4 , мкФ С4выч, мкФ

5. Вычислить среднеквадратические погрешности результатов прямых и косвенных измерений (отклонений баллистического гальванометра,. постоянной гальванометра, емкостей конденсаторов). 7

6. Рассчитать предельные систематические погрешности постоянной гальванометра и измеренных емкостей конденсаторов. 7. Записать окончательные результаты вычислений средних значений K! , C!1 , C! 2 , C! 3 , C! 4 с указанием среднеквадратической погрешности и предельной систематической погрешности. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ 1. Приведите определение электроемкости уединенного проводника и конденсатора. 2. В каких единицах измеряется электроемкость? 3. Приведите определение напряженности электрического поля, разности потенциалов и электроемкости плоского конденсатора. 4. Как найти электроемкость батареи при параллельном и последовательном соединениях конденсаторов ? 5. Опишите устройство и принцип работы баллистического гальванометра. 6. Какова принципиальная схема лабораторной установки?

8

Лабораторная работа № 2 ИЗУЧЕНИЕ РЕЗОНАНСА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ Цель работы. Построение резонансных кривых при различных значениях электроемкости и активного сопротивления колебательного контура. Определение резонансной частоты и добротности контура. Методические указания. Электрическим колебательным контуром называют цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора C, катушки индуктивности L и активного сопротивления R (на практике R – активное сопротивление катушки индуктивности и соединительных проводов). Если колебательный контур подсоединить к источнику переменной (“гармонической”) ЭДС с амплитудой ε0, циклической частотой ω и начальной фазой ε = ε0 cos (ω t + ϕ), (1) то, в соответствии со вторым законом Кирхгофа, сумма падений напряжения на каждом элементе контура равна действующей ЭДС L

dI 1 + IR + C q = ε0 cos (ω t + ϕ), dt

(2)

где I – сила тока в цепи; q – заряд на обкладках конденсатора. Известно, что общее решение неоднородного дифференциального уравнения (2), равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (уравнения с нулевой правой частью) и какого-либо частного решения исходного неоднородного уравнения. Все решения однородного дифференциального уравнения со временем затухают (становятся пренебрежимо малыми), и в установившемся режиме решение уравнения (2) практически совпадает с упомянутым частным решением. Для нахождения частного решения используем метод комплексных амплитуд. Предварительно напомним, что произвольное комплексное число z характеризуется модулем z  и аргументом α = arg z, и может 9

быть представлено в тригонометрической или экспоненциальной форме (ниже j = −1 )

z = z (cos α + j sin α) = z e jα .

(3)

Если комплексная функция является решением линейного дифференциального уравнения с вещественными коэффициентами и комплексной правой частью, то вещественная часть этой функции – решение того же уравнения, в правой части которого стоит вещественная часть комплексного выражения. Исходя из этого, заменим уравнение (2) эквивалентным уравнением с комплексной правой частью

L

qˆ dIˆ + RIˆ + = εˆ , dt C

(4)

где Iˆ – комплексная сила тока; εˆ – комплексная запись внешней ЭДС

εˆ = ε0e j ( ωt +ϕ) = εˆ 0e jωt .

(5)

В этой записи ε0 =  εˆ  – “обычная” амплитуда (положительная величина), тогда εˆ 0 = ε (cos ϕ + j sin ϕ) – “комплексная амплитуда”. Уравнение (4) эквивалентно (2) в следующем смысле: вещественная часть решения уравнения (4) является решением исходного уравнения (2). Подставив (5) в (4), продифференцируем левую и правую части полученного равенства

L

d 2 Iˆ dIˆ 1 + R + Iˆ = jωεˆ 0e jωt . 2 dt C dt

(6)

Суть этой выкладки в том, что теперь переходим к уравнению с одной неизвестной функцией, т. е. Iˆ = Iˆ(t ) . Будем искать решение в комплексной форме

Iˆ = Iˆ0e jωt ,

(7)

где Iˆ0 – комплексная амплитуда тока. Подставим (7) в (6). После несложных преобразований получим

1 εˆ 0 . = R + jωL + jωC Iˆ 0 10

(8)

Таким образом, отношение в левой части равенства (8) равно комплексному сопротивлению, и называется импедансом. Импеданс колебательного контура будем обозначать Z = R + jωL +

1 1 = R + j (ωL – ). jωC ωC

(9)

Активным сопротивлением колебательного контура называется действительная часть импеданса Re (Z) = R. Реактивным сопротивлением называется мнимая часть импеданса Im(Z) = ωL –

1 . ωC

(10)

Реактивное сопротивление – разность индуктивного и емкостного сопротивлений. В экспоненциальной записи импеданс колебательного контура имеет вид Zˆ = Z 0e jψ , где

(

Z 0 = R 2 + ωL − 1 ωC

ψ = arctg

),

ωL − 1 ωC . R

2

(11)

(12)

Модуль Z0 импеданса называют полным сопротивлением колебательного контура на частоте ω. Аргумент ψ импеданса равен разности фаз колебаний вынуждающей ЭДС и силы тока в контуре (это следует из определения импеданса (8); напомним, что аргумент отношения двух комплексных чисел равен разности аргументов делимого и делителя). Из (8) также следует, что амплитуда силы тока связана с амплитудой ЭДС соотношением

I 0 = ε0 . Z0

(13)

Полное сопротивление колебательного контура (11) минимально при равенстве нулю реактивного сопротивления

ωL − 1 = 0. ωC

(14) 11

Равенство (14) является условием резонанса в цепи колебательного контура. Циклическая частота, определяемая при решении уравнения (14), называется резонансной частотой

1 . (15) LC Резонансная частота ωр не зависит от активного сопротивления контура, и совпадает с частотой незатухающих колебаний ω0. При стремлении частоты ω, вынуждающей ЭДС к резонансной частоте ωр, амплитуда тока резко возрастает, и на резонансной частоте достигает максимального значения ωр =

I 0 max =

ε0 . R

(16)

При этом разность фаз ψ становится равной нулю. Резкое возрастание амплитуды тока при стремлении ω к ωр называется явлением резонанса, а кривая зависимости I0 от ω – резонансной кривой. На рис. 1 приведены резонансные кривые для трех значений сопротивления колебательного контура R1
(17)

где ω1 и ω2 – значения циклических частот, на которых 2 I 02 = 1 I 0max . 2

(18)

I0

I0

I0max I 0max

R1

2

R2 0

ωρ Рис. 1

12

R3 ω

0

ω1 ωρ ω2 Рис. 2

ω

Можно показать, что

∆ω = R . (19) L Избирательные свойства колебательного контура зависят от “остроты” резонансной кривой. О форме этой кривой можно судить по ее относительной ширине ∆ω /ωр (или по обратной величине Q). Важная характеристика колебательной системы – добротность. Эта величина не зависит от режима вынужденных колебаний (от приложенной к контуру ЭДС ε). Свободные колебания системы (случай ε = 0) являются затухающими вследствие потерь на джоулево тепло. При этом средняя за период энергия колебаний E экспоненциально убывает, а, отношение ∆E/E остается неизменным (здесь ∆E = E(t+T) – E(t); T – период колебаний). Добротность контура Q характеризуют обратной величиной E /∆E Q = 2π (E /∆E) (20 ) Итак, добротность контура Q показывает, во сколько раз запасенная в контуре энергия превосходит среднюю энергию, теряемую за один период колебаний. Добротность – величина безразмерная. B теории колебаний доказывается, что добротность может быть найдена по ширине резонансной кривой (17) Q≈

ωр ∆ω

(21)

(это соотношение выполняется с большой точностью в случае, когда потери сравнительно невелики, или, что то же, когда ∆ω << ωр). Преобразуя (20) с помощью (15) и (19), находим ρ , (22) R где ρ = L C – величина, называемая волновым сопротивлением контура. Описание лабораторной установки. Схема лабораторной установки приведена на рис. 3. В качестве источника вынуждающей гармонической ЭДС используется звуковой генератор ЗГ. При помощи ключа П1 колебательный контур подключается к генератору колебаний. Переключатель П2 позволяет включить в цепь контура конденсатор с известной емкостью С0, или с неизвестной емкостью Сx. При помощи переключа13 Q=

L

R1

П3

R2 ЗГ

Сx П1

С0 П2

мА Рис. 3

теля П3 можно изменить активное сопротивление контура, подключая сопротивления R1 или R2. Сила тока в контуре измеряется при помощи миллиамперметра. Значения параметров колебательного контура указаны на лабораторном макете. Порядок выполнения работы. Ключ П1 установить в положение “Выкл.” Включить звуковой генератор и дать ему прогреться 10 мин. В цепь колебательного контура включить конденсатор известной емкости С0 и сопротивление R1. При помощи ключа П1 замкнуть цепь контура и убедиться, что на генераторе установлены рекомендуемые диапазон частот и выходное напряжение. Провести измерения силы тока в контуре, последовательно изменяя частоту подаваемой ЭДС. Убедившись в наличии резонанса, следует с особой тщательностью провести измерения силы тока вблизи резонансной частоты (эти измерения нужно проводить через меньшие интервалы частот). Заменив в контуре сопротивление R1 на R2, повторить измерения. Далее, включив в контур конденсатор C0, провести аналогичные измерения с активными сопротивлениями в контуре R1 и R2. По окончании измерений выключить звуковой генератор и разомкнуть ключ П1. Вычисление результатов и оформление отчета. По результатам измерений при включенном в контур конденсаторе C0 постройте на одном графике две резонансные кривые, соответствующие включенным в контур сопротивлениям R1 и R2. По оси абсцисс следует отложить циклическую частоту ω, связанную с частотой колебаний f соотношением ω = 2πf. По оси ординат следует откладывать действующее значение силы тока I, измеряемое при помощи миллиамперметра. 14

Далее проводят анализ графиков (резонансных кривых). В итоге этого анализа определяются резонансные частоты и ширина кривых на уровне половинной мощности ω1 и ω2 (рис. 2). Следует также вычислить добротности контуров Q1 и Q2, сопротивления R1 и R2, волновые сопротивления ρ1 и ρ2. Теоретические значения резонансных частот можно получить по формуле (15), исходя из соответствующих значений L и С. Однако отметим, что данные, приведенные на лабораторном макете, не учитывают емкость и индуктивность включенного в цепь миллиамперметра. Поэтому экспериментальные и расчетные значения резонансных частот, могут ощутимо расходиться. По результатам измерений, выполненных с включенным в контур конденсатором неизвестной емкости Cx и сопротивлениями в контуре R1 и R2, постройте две резонансные кривые на одном графике. По экспериментально найденным значениям резонансных частот и известной индуктивности контура L вычислите значение Cx. По графикам определите ширину резонансных кривых на уровне половинных мощностей, вычислите добротности Q3 и Q4, волновые сопротивления ρ3 и ρ4, активные сопротивления R1 и R2. Сравните результаты с ранее найденными значениями. Оцените систематические погрешности вычисленных величин. Дополнение: о добротности колебательного контура. 1. При выводе формулы для добротности (22) опираемся на формулу ширины резонансной кривой (19). Наметим вывод этого факта. Максимум тока достигается при минимальном значении импеданса Z0min = R. Соотношение (18) (с учетом (13) и (16)) означает, что (Z0)2 / (Z0min )2 = 2 для ω = ω1, ω2. Отсюда, по формуле (11) получаем

(ωL − 1 )2 = R 2 ; ωC

(23)

или 2

ω R = ω− 1 = ω− 0 , LC ω L ω

(24)

где учитываем, что (LC)–1 = ω02 (ниже принято традиционное обозначение ω0 = ωр). Обозначая γ = R/L, запишем (23) 2 2 γω = γω = ω − ω .

(25) 15

Здесь ω = ω1, ω2. При этом ω1 < ω0, ω2 > ω0, следовательно, γw 1 = ω02 − ω12 , γw 2 = ω22 − ω20 .

(26)

Отсюда γ(ω2 + ω1) = ω22 − ω12 . Сокращая обе части этого соотношения на (ω2 + ω1) и вспоминая, что g = R/L, получаем R/L = ω2 – ω1, (27) т. е. приходим к формуле (19). 2. Добротность полезно связать с величиной, называемой временем релаксации. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид

L

dI 1 + IR + q = 0 dt C

(уравнение (2 ), где ε = 0 ), или q'' + 2βq' + ω02 q = 0 (2β = R/L, ω02 = 1/LC ). Для таких колебательных процессов известно, что частота колебаний ω = (ω02 – β2) 1/2, а амплитуда убывает по закону

A = A0e −βt = A0e −t / τ .

(28)

Параметр τ – время релаксации. По определению, τ – это такой промежуток времени, за который амплитуда колебаний убывает в e раз. Добротность колебательной системы пропорциональна числу колебаний N, совершаемых за время релаксации Q = πN = πτ /T. (29) Переходя к параметрам β = 1 /τ, ω = 2π/T и считая β << ω0, можно записать формулу (28)

Q = ω ≈ ω0 = ω0 = 1 L . C 2β 2β R / L R

(30)

Определение (29) приводит к той же формуле (22) (и при этом не опирается на свойства резонансных кривых). 16

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ 1. Приведите схему включения колебательного контура. 2. Какой вид имеет уравнение затухающих колебаний в комплексной форме? Как выражается его решение? 3. Что называют импедансом колебательного контура? 4. В чем состоит явление резонанса? Что такое резонансная частота? 5. Какую величину называют добротностью колебательного контура, по каким формулам она вычисляется? 6. Дайте определение волнового сопротивления колебательного контура.

17

Лабораторная работа № 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ, ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОСТОЯННОЙ СИСТЕМЫ СИ И СКОРОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ВАКУУМЕ Цель работы. Определение горизонтальной составляющей напряженности магнитного поля Земли, электрической постоянной СИ и скорости электромагнитных волн в вакууме. Методические указания. Направление линий напряженности магнитного поля можно определить с помощью магнитного диполя. Магнитный диполь – это виток с током. Предположим, что виток может поворачиваться вокруг закрепленной вертикальной оси. В магнитном поле виток установится так, что нормаль к нему укажет направление вектора напряженности H. Если отклонить виток в сторону от направления поля, то возникнет момент сил, стремящийся вернуть виток в исходное положение. Аналогом магнитного диполя является магнитная стрелка. Размещенная на вертикальной оси стрелка застывает в положении устойчивого равновесия, показывая направление магнитного поля. Информацию о направлении поля H можно использовать и для нахождения величины напряженности поля, вернее, величины одной из компонент этого поля по другой известной его компоненте. Если горизонтально расположенную магнитную стрелку поместить в центре круговой катушки с током, то на стрелку будет действовать магнитное поле Земли и магнитное поле тока. Горизонтальное магнитное поле H в этом случае H = H1 + H2, (1) где H1 = Hг – горизонтальная составляющая напряженности магнитного поля Земли; H2 – напряженность магнитного поля тока. Пусть плоскость катушки вертикальна и совпадает с плоскостью магнитного меридиана, тогда векторы H1 и H2 будут в центре катушки 18

взаимно перпендикулярны, а тангенс угла, на который отклонится стрелка при включении тока, будет равен (рис. 1) tg α = H2 / H1.

(2)

В центре круговой катушки напряженность H2 магнитного поля определяется по формуле

H2 =

IN . 2R

(3)

Таким образом, измерив силу тока в круговом проводнике, определив угол α, на который отклоняется магнитная стрелка, а также, зная радиус витка R и число витков N, можно определить горизонтальную составляющую напряженности магнитного поля Земли

Hг =

IN . 2 Rtg α

(4)

Известно, что электроемкость конденсатора С пропорциональна диэлектрической проницаемости ε вещества, заполняющего пространство между обкладками. Поэтому можно записать (5) С = Kεε0, где ε0 – электрическая постоянная системы СИ; ε – диэлектрическая проницаемость (для воздуха ε ≈1); K – коэффициент пропорциональности, величина которoго зависит от формы, размеров обкладок конденсатора и расстояния между ними. Емкость конденсатора можно измерить различными способами и, в частности, пользуясь тангенс-гальванометром. Для этого собирают электрическую схему, включающую тангенс-гальванометр Г, источник питания Б, конденсатор С, электромагнитный переключатель П (рис. 2). В положении переключателя а конденсатор заряжается до напряжения U, при этом на пластинах конденсатора скапливается заряд q = CU = Kεε0 U.

(6)

В положении переключателя П, обозначенном на рис. 2 буквой b, конденсатор разряжается через тангенс-гальванометр. Если ν – число переключений в секунду, то сила тока, протекающего через тангенсгальванометр, I = n q = K νεε0 U. (7) 19

Расположив ветки обмотки тангенс-гальванометра параллельно плоскости магнитного меридиана и измерив угол поворота магнитной стрелки α1, из формулы (4) определим силу тока I=

2 RH г tgα1 . N

(8)

Значение горизонтальной составляющей напряженности магнитного поля Земли Hг определено в предыдущем опыте. На основании формул (8) и (9) определяется электрическая постоянная системы СИ (при ε = I). ε0 =

2 RH г tgα1 , NvU

(9)

(численное значение коэффициента K указано на макете установки). Определив ε0, найдем электродинамическую постоянную с, численно равную скорости распространения электромагнитных волн в вакууме

c=

1 , ε0µ 0

(10)

где µ0 = 4π·10–7 Гн/м – магнитная постоянная системы СИ. Описание лабораторной установки. Электрическая схема установки для определения горизонтальной составляющей напряженности магнитного поля Земли приведена на рис. 3. Необходимая величина силы тока через тангенс-гальванометр устанавливается с помощью реостата R и контролируется миллиамперметром мA. Тангенс-гальванометр состоит из деревянного круга, на внешней стороне которого намотана катушка, содержащая N витков. В центре круга горизонтально расположена магнитная стрелка, которая может вращаться вокруг вертикальной оси. Для определения электрической постоянной системы СИ собирают схему, представленную на рис. 2. В качестве переключателя используется реле, обмотка которого включается в сеть. При этом число переключений в секунду равно частоте переменного напряжения в сети (ν = 50 Гц). Порядок выполнения работы. Устанавливают тангенс-гальванометр таким образом, чтобы магнитная стрелка располагалась в плоскости круга. Затем собирают схему, приведенную на рис. 3. Перед включением схемы необходимо ввести полное сопротивление реостата R. После проверки схемы преподавателем замыкают ключ П и при помощи реос20

H1

N

H

0

α

S

П

M

H2

a

N 0'

Г

b c C

Б П1

S Рис. 1

Рис. 2 0 S

N 0'

Г

Б R

П мА Рис. 3

тата R устанавливают ток, при котором магнитная стрелка тангенс-гальванометра отклоняется на угол 30–35°. Измеряют угол отклонения стрелки α1 и силу тока I. Далее, изменяют направление силы тока, не меняя его величины, и измеряют угол отклонения магнитной стрелки α2. Опыт повторяют три раза при различных значениях силы тока в цепи. Результаты измерений заносятся в табл. 1. Таблица 1 I, A

α1

α2

α!

H, A/м

Собирают электрическую схему, приведенную на рис. 2. Устанавливают плоскость круга тангенс-гальванометра параллельно магнитному меридиану. После проверки схемы преподавателем схему включают в сеть. Включают в сеть также и электромагнитный переключатель (реле). Измеряют угол отклонения магнитной стрелки под действием магнитной катушки с током, намотанной на каркас тангенс-гальванометра. Установочные данные заносятся в табл. 1. 21

Вычисление результатов и оформление отчета. В отчете приводятся расчетные формулы, формулы для вычисления систематических погрешностей определяемых величин, примеры вычислений, изображения электрических схем. Полученное значение скорости электромагнитных волн с можно сравнить со значением, взятым из справочника. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ 1. Каково устройство и принцип работы тангенс-гальванометра? 2. Как охарактеризовать магнитное поле, создаваемое круговым током? 3. Дайте определения магнитной индукции и напряженности магнитного поля. В каких единицах измеряются эти величины? 4. Как вывести формулу для вычисления напряженности горизонтальной составляющей магнитного поля Земли? 5. Как получается расчетная формула для определения электрической постоянной системы СИ? 6. Изобразите электрические схемы лабораторных макетов.

22

Лабораторная работа № 4 ИССЛЕДОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ СОЛЕНОИДА Цель работы. Экспериментальное и теоретическое исследование распределения напряженности магнитного поля вдоль оси соленоида. Методические указания. Закон Био –Савара –Лапласа позволяет получить выражение для определения напряженности магнитного поля, создаваемого током соленоида на его оси

1 nI (cos α − cos α ), (1) 2 1 2 где H – напряженность магнитного поля; n – число витков на один метр длины обмотки; I – сила тока соленоида; α1 и α2 – углы, под которыми из точки на оси соленоида “видны” радиусы витков соленоида у его ближнего и дальнего концов (рис. 1, а). Если точка на оси соленоида, в которой вычисляется напряженность магнитного поля, расположена внутри соленоида (рис. 1, б), то один из углов тупой, и формула (1) может быть преобразована к следующему виду: H=

H = 1 nI (cos α2 + cos α3 ) , (2) 2 где α3 = π – α1. В центре соленоида, длина которого значительно больше его радиуса ( рис. 1, а и б), напряженность магнитного поля приближенно H=nI. (3) Соответственно, на концах соленоида H = 1 nI . (4) 2 При многослойной обмотке соленоида магнитное поле на его оси является результатом наложения полей, создаваемых отдельными слоями. Поля, создаваемые каждым слоем обмотки соленоида, рассчитыва23

а)

б) α1

α2

α3

0

α1

α2

0

Рис. 1

ются по формулам (1) и (2). Таким образом, магнитное поле на оси многослoйного соленоида качественно не отличается от магнитного поля однослойного соленоида. Количественное различие учитывается при определении числа витков на единицу длины соленоида в формулах (1) и (2). Описание лабораторной установки.Определение напряженности магнитного поля можно производить различными способами. В данной лабораторной работе для этого используется баллистический гальванометр, устройство и принцип действия которого описаны в лабораторной работе № 1. Измерительная часть лабораторной установки состоит из двух индуктивно связанных цепей (рис. 2). Одну цепь образует гальванометр Г, соединенный последовательно с двумя катушками K1 и K2. Другая цепь состоит из катушек K и Kх, на оси которых измеряется напряженность магнитного поля. Они поочередно подключаются с помощью переключателя П1 к источнику постоянного напряжения. В этой же цепи имеются реостат Rш и амперметр A для регулировки и измерения силы тока в катушках K и Г Rш K1

K2 П1

K

Kx П2

R

Рис. 2

24

Kх. Переключатель П2 позволяет изменять направление силы тока в подключенной катушке. Катушка K и измерительная катушка K1 служат для градуировки баллистического гальванометра, заключающейся в определении его баллистической постоянной. Катушка K1 представляет собой первичную обмотку трансформатора, на которую в виде вторичной обмотки намотана катушка K. Напряженность магнитного поля в центре катушки K определяется по формуле (3). Магнитный поток Ф1, пронизывающий обмотку измерительной катушки K1 (5) Φ1 = µµ0 HS1N1 = µµ0 S1N1In, N где n = – число витков на единицу длины катушки K; N – общее L число витков катушки K; L – длина катушки; µ0 – магнитная постоянная системы СИ; µ – магнитная проницаемость сердечника катушки (в нашем случае µ = 1); N1 – полное число витков катушки K1; H = nI – напряженность магнитного поля в центре катушки K, создаваемого током I. При изменении направления тока в катушке K на противоположное магнитный поток, пересекающий витки измерительной катушки K1, изменится на величину 2Ф1, и в катушке K1 возникнет ЭДС индукции. В замкнутой цепи баллистического гальванометра потечет кратковременный электрический ток. Рамка гальванометра повернется вместе с зеркальцем, укрепленным на ней. Световой указатель сместится по шкале гальванометра на количество делений β. Количество электричества, прошедшего через катушку K1 при протекании кратковременного индукционного тока, пропорционально смещению светового указателя по шкале гальванометра, q1 = Cβ,

(6)

где C – баллистическая постоянная гальванометра, выраженная в кулонах на величину деления шкалы. Количество электричества q1 определяется из закона электромагнитной индукции Фарадея 2Ф1 , (7) R где R – полное сопротивление цепи баллистического гальванометра. Из (6) и (7) находим q1 =

C=

2Ф1 . βR

(8) 25

Подставляя значение Ф1 из (5) в (8), получим

С=

2µ 0nS1N1I 2 MI = , βR βR

(9)

где M – коэффициент взаимной индукции катушек K и K1

M = µ0nN1S1Φ1.

(10)

При всех измерениях катушки K и K1 остаются соединенными последовательно, и поэтому сопротивление цепи гальванометра остается неизменным. Исходя из этого, при практических измерениях более удобно пользоваться не баллистической постоянной гальванометра C, а величиной C' = CR, которую следует назвать баллистической постоянной установки. Тогда, воспользовавшись равенством (9), найдем

C′ =

2 MI . β

(11)

Таким образом, зная ток I, протекающий через катушку K, и измерив отклонение светового указателя β, можно вычислить баллистическую постоянную установки C'. Пусть N2 – полное число витков; S2 – поперечное сечение измерительной катушки Kx. Если в катушке Kx, на оси которой следует измерить напряженность магнитного поля, изменить направление тока на противоположное, то витки катушки K2 пересечет магнитный поток

2Φ 2 = 2µ0 H x N 2 S2 .

(12)

При этом через рамку гальванометра протечет заряд q2, равный q2 =

2Ф2 C′ = C λ = λ, R R

(13)

где λ – отклонение светового указателя по шкале гальванометра. Подставив в (13) выражение для Ф2, определим напряженность магнитного поля в произвольной точке оси катушки Hx =

C ′λ . 2µ0 N 2 S 2

(14)

Порядок выполнения работы. После ознакомления со схемой установки и лабораторным макетом определяют баллистическую постоян26

ную установки C'. Для этого подключают с помощью переключателя П1 катушку K к источнику питания и устанавливают реостатом R ток, указанный преподавателем (100–150 мА). Изменив направление тока в катушке K переключателем П2, измеряют отклонение светового указателя β и по формуле (11) вычисляют баллистическую постоянную установки. Измерения следует производить не менее шести раз при двух значениях силы тока I в катушке K. Далее измерительную катушку K2 располагают внутри катушки Kx, и при помощи переключателя П1 подключают катушку Kx к источнику питания. Изменив направление силы тока в катушке Kx при помощи переключателя П2, измеряют отклонение светового указателя λ. Для измерения величины перемещения катушки K2 относительно исследуемого соленоида Kx на стержне, совмещенном с осью соленоида Kx, нанесены деления. Цена деления ∆l = 5 мм. Последовательно перемещая катушку K2 внутри соленоида Kx через одно деление, повторяют измерения. Измерения производят до тех пор, пока катушка K2 не будет полностью выдвинута из соленоида Kx. Данные измерений заносятся в табл. 1. Вычисление результатов и оформление отчета. Рассчитывают средние значения отклонений светового указателя β и баллистическую постоянную C' для двух значений силы тока. По средним значениям отклонений светового указателя λ вычисляют величины напряженностей магнитного поля на оси исследуемого соленоида Kx, измерения проводят для двух значений силы тока, указанных преподавателем. По формулам (1) и (2) с учетом размеров катушки Kx рассчитывают напряженность магнитного поля. Таблица 1 x, м

λ1

λ2

λср

Hx, А/м

В табл. 1 через x обозначено расстояние, отсчитываемое от центральной точки на оси соленоида до точки, в которой производится вычисление напряженности магнитного поля (рис. 1, б). Строят графики зависимости Hx от x по экспериментально полученным данным и данным, полученным в результате вычислений Hx по формулам (1) и (2). Оба графика строят на одном листе миллиметровки. Рассчитывают систематические погрешности для β и одного из значений C', а также для одного из значений λ и Hx при неизменном значении силы тока. 27

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ 1. Дайте определения магнитной индукции, напряженности магнитного поля, магнитного потока. 2. В каких единицах измеряются магнитная индукция, напряженность магнитного поля, магнитный поток? 3. В чем состоит закон электромагнитной индукции Фарадея? 4. Дайте определение коэффициента взаимной индукции. 5. Напишите и поясните формулу для вычисления напряженности магнитного поля на оси соленоида. 6. Опишите принцип действия баллистического гальванометра. 7. Дайте вывод формулы для вычисления баллистической постоянной установки C', опишите методику измерений.

28

Лабораторная установка № 5 ИССЛЕДОВАНИЕ МАГНИТНОГО ГИСТЕРЕЗИСА Цель работы. Изучение магнитных свойств ферромагнетика, построение по экспериментальным данным петли гистерезиса Методические указания. Все вещества в природе способны в той или иной степени намагничиваться во внешнем магнитном поле, и поэтому называются магнетиками. Намагниченное вещество создает дополнительное магнитное поле, индукцию которого обозначим через B1. Внешнее магнитное поле и добавочное магнитное поле магнетика создают при наложении результирующее поле, магнитная индукция которого B = B0 + B1, (1) где B0 – магнитная индукция внешнего поля, создаваемого проводниками с током (макротоками), или постоянными магнитами; B1 – магнитная индукция поля, создаваемая магнетиком вследствие упорядочения ориентации электронных орбит (вследствие возникновения микротоков). Экспериментально установлено, что добавочное магнитное поле одних веществ ослабляет внешнее поле B1↑↓ B0, у других веществ добавочное магнитное поле усиливает внешнее поле B1 ↑↑ B0. Первые из них называются диамагнетиками, другие – парамагнетиками. Добавочное магнитное поле диамагнетиков и парамагнетиков незначительно по сравнению с внешним магнитным полем B1 << B0, и исчезает при исчезновении внешнего. В то же время имеются вещества, добавочное магнитное поле у которых может значительно превышать внешнее магнитное поле. Такие вещества называются ферромагнетиками. Свойства ферромагнетиков нельзя объяснить с позиции наличия микротоков. Лишь в квантовой механике эти свойства находят исчерпывающее объяснение. Если возникает необходимость охарактеризовать только поле, создаваемое проводниками с токами (поле макротоков), то вводят в рассмот29

рение вектор напряженности магнитного поля H. В однородной изотропной среде вектор магнитной индукции и вектор напряженности магнитного поля связаны соотношением

B = µ0µH,

(2)

где µ0 = 4π·10–7 Гн/м – магнитная постоянная системы СИ; µ – относительная магнитная проницаемость магнетика (для вакуума µ = 1). Степень намагничения магнетика принято характеризовать вектором намагничения J, численно равным сумме магнитных моментов всех молекул, находящихся в единице объема вещества

J=

∑ p mi , ∆V

(3)

где p mi – магнитный момент i-й молекулы; ∆V – объем магнетика, в котором производится суммирование магнитных моментов молекул. Опыт показывает, что вектор намагничения и вектор напряженности магнитного поля связаны соотношением J = χ H, (4) где χ – безразмерный коэффициент, называемый магнитной восприимчивостью. Для парамагнетиков этот коэффициент положителен, для диамагнетиков – отрицателен. По абсолютной величине магнитная восприимчивость диамагнетиков и парамагнетиков на несколько порядков меньше единицы ( χ ~ 10–4 – 10–6). Между относительной магнитной проницаемостью и магнитной восприимчивостью существует связь µ = 1+ χ. (5) Ферромагнетики обладают важной особенностью, сходной с запоминанием информации. Намагниченность ферромагнетика зависит не только от напряженности магнитного поля в момент наблюдения, но и от намагниченности его в предыдущие моменты времени. Поэтому магнитная проницаемость ферромагнетика является сложной функцией напряженности магнитного поля (рис. 1). Если ненамагниченный ферромагнетик поместить в постепенно нарастающее магнитное поле, то зависимость B от H будет нелинейна, и на рис. 2 соответствует участку 0А (основная кривая намагничения). При дальнейшем увеличении на30

пряженности магнитного поля намагниченность магнетика становится постоянной J = const, наступает состояние насыщения и магнитная индукция B возрастает только за счет увеличения напряженности магнитного поля. Поэтому в соответствии с (2) кривая намагничения перейдет в пологий линейный участок. При последующем уменьшении напряженности магнитного поля график намагничения или график зависимости B от H не совпадает с первоначальной кривой намагничения, а соответствует на графике участку АВ (рис. 2). Когда напряженность магнитного поля H становится равной нулю, то намагничение не исчезает и характеризуется величиной B, называемой остаточной индукцией. Намагничение обращается в нуль лишь под действием внешнего магнитного поля Hc, направление которого противоположно первоначальному. Напряженность магнитного поля Hc носит название коэрцитивной силы. При дальнейшем возрастании напряженности магнитного поля, обратного по направлению, вновь достигается насыщение (точка D). Если от точки насыщения уменьшать обратное магнитное поле до нуля, а затем его увеличивать до точки насыщения A, то получится замкнутая кривая, называемая петлей гистерезиса. Теория ферромагнетизма была разработана Я. И. Френкелем и В. Гейзенбергом. Из нее следует, что ответственными за магнитные свойства ферромагнетиков являются собственные (так называемые, спиновые), магнитные моменты электронов. При определенных условиях в кристаллах могут возникать, так называемые силы обменного взаимодействия, под действием которых спиновые магнитные моменты электронов выстраиваются параллельно друг другу. В результате возникают области самопроизвольного или спонтанного намагничения, которые называются доменами. При отсутствии внешнего магнитного поля векторы магнитных моментов отдельных доменов ориентированы в пространстве хаотически, так что результирующий магнитный момент ферромагнетика равен нулю. Внешнее магнитное поле, в которое помещается ферромагнетик, ориентирует магнитные моменты не отдельных молекул, как в случае парамагнетиков, а целых областей спонтанной намагниченности. Коэрцитивная сила характеризует свойство ферромагнетика сохранять намагниченность и, наряду с относительной магнитной проницаемостью, определяет возможности его применения для тех или иных практических целей. Большой коэрцитивной силой обладают углеродистые, вольфрамовые и хромовые, алюминиево-никелевые и другие стали. Эти 31

материалы дают широкую петлю гистерезиса, и называются “твердыми” магнитными материалами. Из них изготавливаются постоянные магниты. К “мягким” магнитным материалам, обладающим малой коэрцитивной силой, относятся: “мягкое” железо, сплавы железа с никелем. Эти материалы используются для изготовления сердечников трансформаторов. Перемагничивание ферромагнетика связано с поворотом векторов намагничения доменов на 360°. Работа, необходимая для этого, совершается за счет энергии внешнего магнитного поля. Количество тепла, выделяющегося при перемагничивании, пропорционально площади петли гистерезиса. Нарушение преимущественной ориентации векторов намагничения доменов может быть вызвано ударом или нагреванием ферромагнетика. С повышением температуры остаточная намагниченность ферромагнетика уменьшается и при некоторой температуре, называемой точкой Кюри, исчезает полностью. Это объясняется тем, что тепловое движение молекул ферромагнетика становится столь интенсивным, что области спонтанной намагниченности распадаются. При температурах, которые выше точки Кюри, ферромагнетик во внешнем магнитном поле ведет себя как парамагнитное вещество. Он не только теряет свои ферромагнитные свойства, но и изменяет теплоемкость, электропроводность и некоторые другие физические характеристики. Упражнение 1 Исследование магнитного гистерезиса с помощью электронного осциллографа Описание лабораторной установки. Исследуемый ферромагнетик имеет форму тороида (рис.3), на который намотаны две обмотки. При протекании по первичной обмотке тока I1 внутри обмотки возникает магнитное поле. Ферромагнетик намагничивается и добавочное магнитное поле усиливает внешнее. Для определения напряженности магнитного поля, создаваемого внутри тороида первичной обмоткой, воспользуемся известной формулой H = n1I1 =

N1 I , 1 l

(6)

где N1 – число витков первичной обмотки; l – длина средней линии внутри тороида. Если первичную обмотку тороида подключить к ис32

точнику переменного напряжения, то в ней возникает переменный ток I = I0 sin ωt, Напряженность магнитного поля внутри тороида будет изменяться по тому же закону, что и ток в первичной обмотке. Поэтому падение напряжения на сопротивлении R1, включенном последовательно в цепь вторичной обмотки, будет пропорционально напряженности магнитного поля внутри тороида H. Переменное магнитное поле, создаваемое током первичной обмотки, вызывает появление во вторичной обмотке ЭДС индукции

ε2 = −

dΦ N2 , dt

(7)

где Ф = BS – поток магнитной индукции, пронизывающий каждый из витков вторичной обмотки; S – площадь витка; N2 – число витков вторичной обмотки. Если концы вторичной обмотки подсоединить к интегрирующей цепочке, состоящей из последовательно соединенных сопротивления R2 и конденсатора C2, и удовлетворяющей условию R2 >>1/(ωC2) (рис. 3), то напряжение U2 на обкладках конденсатора C2 будет изменяться пропорционально величине магнитной индукции поля, пронизывающего витки вторичной обмотки. Действительно, сила тока в цепи вторичной обмотки I 2 = ε2 = Z

ε2 R +  ωL − 1  ωC 2   2

2

,

(8)

где Z – полное сопротивление цепи вторичной обмотки; L2 – индуктивность вторичной обмотки. При незначительной величине индуктивности L2 и при R2 >> 1/(ωC2) будем иметь Z ≈ R 2 и

I 2 = ε2 . R2

(9)

С другой стороны,

I2 =

dq 2 d (C2u2 ) du = = C2 2 . dt dt dt

(10) 33

Из (9) и (10) следует очевидное равенство

C2

du2 ε 2 = . dt R2

(11)

Преобразуем равенство (11) и проинтегрируем полученное выражение

du2 =

ε2dt R 2C 2

, u2 =

1 ∫ ε2dt. R 2C 2

(12)

Подставим в (12) величину ЭДС (7) и, произведя интегрирование, получим Φ

B

N 2 d Φ = N 2 S 2 dB = N 2 S 2 B . u2 = ∫ ∫ R 2C 2 0 R 2C 2 0 R 2C 2

(13)

Если напряжение u2, пропорциональное магнитной индукции B, подать на вертикально отклоняющие пластины электронного осциллографа, а на горизонтально отклоняющие пластины подать напряжение u1, пропорциональное напряженности магнитного поля H, то луч на экране осциллографа будет описывать кривую зависимости u2 от u1, т. е. функциональную зависимость B от H в некотором масштабе. Последовательно увеличивая ток в первичной обмотке, можно получить семейство кривых, изображенных на рис. 4. Соединяя точки семейства кривых, имеющих максимальные и минимальные ординаты, получим основную кривую перемагничивания ферромагнетика (петля гистерезиса). Порядок выполнения работы. 1. Включить осциллограф С1–77 и звуковой генератор Г3-56/1. Правый тумблер синхронизации по “х” (“Канал–2”) на передней панели осциллографа поставить в нижнее положение. Рукоятками “↔” и “ " ” вывести сфокусированное пятно в центр сетки на экране. Наружную рукоятку переключателя “ В /дел.” (“Канал–1”) поставить в крайнее положение по часовой стрелке; внутреннюю рукоятку – в положение “0,05” или “0,01”. Это будет означать, что напряжение U = 0,05 или 0,01 В, подаваемое на вертикально отклоняющие пластины, вызывает отклонение луча по вертикали на одно большое деление. Вход “время/дел.” не используется. Подключить к лабораторному макету осциллограф в соответствии со схемой (рис. 3). Напря34

µ

A B Hc

H C 0

H

F

0 D

Рис. 1

Рис. 2 B

N2

N1 R

ЗГ x

R2

С2

H y

0

R1

Рис. 3

Рис. 4

жение с гнезд “х” лабораторного макета подается на клеммы “Внешн. синхр.” (положение “земля” и “1:1”), расположенные на правой боковой стенке осциллографа. Напряжение с гнезд “у” лабораторного макета подается на вход “Канал–1”, В/дел. (вертикально отклоняющие пластины “у”). 2. С клемм генератора звуковой частоты подается максимальное напряжение на гнезда лабораторного макета “ЗГ”. Рукоятки на передней панели генератора устанавливаются в следующие положения: – шкала вольтметра – 63,2 В; – внешняя нагрузка – 600 Ом; – предел шкалы вольтметра – 30 В; – частота в пределах (30–40)·102 или (140–170)·103 Гц; – регулятор выхода – против часовой стрелки до отказа; – внутренняя нагрузка “выкл”. При сборке схемы обратить внимание на правильное присоединение проводов заземления. 35

3. Вращая по часовой стрелке рукоятку “регулятор выхода” звукового генератора, добиться получения петли гистерезиса, имеющей максимальную площадь на экране осциллографа. Пользуясь координатной сеткой, нанесенной на экран, определить координаты “у” вершин петли гистерезиса (отсчеты производить в больших делениях и их долях). Уменьшая (той же рукояткой) напряжение, подаваемое с выхода звукового генератора на вход лабораторного макета, можно получить 8–10 петель гистерезиса, записывая каждый раз координаты правой вершины кривой. Перед каждым измерением, повернув “регулятор выхода” до отказа против часовой стрелки, убеждаются в том, что световое пятно находится в центре сетки. При необходимости рукоятками “↔” и “ " ” восстановить центральное положение пятна. Измерить число делений, соответствующих коэрцитивной силе Hс. Все результаты измерений занести в табл. 1. Таблица 1 nX i

nY i

UXi , B

UY i , B

H, A/м

B, Тл

µI

Uc, B

Hc , A/м

Вычисление результатов и оформление отчета. Вычислить в вольтах координаты вершин всех полученных петель гистерезиса по формулам u xi = α x n xi ; u yi = α y n yi ,

(14)

где αx = 4,1 В; αy = 0,05 В (или 0,01 В) – чувствительность усилителей каналов горизонтального и вертикального отклонения луча осциллографа; nx и ny – координаты вершин кривой гистерезиса х и у в больших делениях сетки осциллографа. Подсчитать максимальные значения напряженности и индукции магнитного поля для каждой петли гистерезиса по формулам Hi =

RC u N1u xi ; B i = 2 2 yi , lR lR

(15)

где N1= N2 =23 витка; l – длина средней линии тороида (диаметр средней линии равен 8 мм); R1 = 73,0 Ом, R2 = 10,0 Ом, C2= 2,5·10–7 Ф; S – площадь поперечного сечения ферромагнитного сердечника 10–5 м2. По расчетным значениям Bi и Hi построить основную кривую намагничивания B = f(H). Построить график зависимости µ= f(H). 36

Определить коэрцитивную силу ферромагнетика по формуле Hc =

N1uc . lR

(16)

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ 1. Какие виды магнетиков существуют в природе? 2. Какова физическая природа ферромагнетиков? 3. Дайте объяснение основной кривой намагничивания и петли гистерезиса. 4. Объясните принципы получения на экране осциллографа петли магнитного гистерезиса. Упражнение 2 Исследование магнитного гистерезиса с помощью баллистического гальванометра Описание лабораторной установки. Электрическая схема лабораторной установки для получения петли гистерезиса с помощью баллистического гальванометра приведена на рис. 5. Основным элементом схемы является ферромагнитное кольцо или тороид. На тороид намотаны две обмотки, играющие роль первичной и вторичной обмоток трансформатора. Через штепсельный реостат первичная обмотка подсоединяется (при помощи ключа П1) к источнику постоянного напряжения u0. Ток первичной обмотки измеряется амперметром А. Переключатель П2 служит для изменения направления тока в цепи первичной обмотки. Баллистический гальванометр включен в цепь вторичной обмотки. Демпфирование (успокоение) баллистического гальванометра произво-

N1

N 2 П3 Г

u0 П1

А

П2

Рис. 5

37

дится при помощи ключа П3, закорачивающего цепь рамки гальванометра. C принципом действия баллистического гальванометра следует ознакомиться в лабораторной работе № 1. При протекании электрического тока в цепи первичной обмотки внутри ферритового кольца возникает магнитное поле, напряженность которого H=

N1 I, l

(17)

где N1 – число витков первичной обмотки; l – длина тороида; I – сила тока в цепи первичной обмотки. Индукция магнитного поля и магнитный поток через поперечное сечение тороида S по определению

B = µµ0 N 1 I ; Ф = µµ 0 N 1 IS. l l

(18)

Изменяя ток через первичную обмотку при помощи штепсельного реостата R, тем самым изменим и магнитный поток, пронизывающий поперечное сечение ферромагнитного тороида (19) ∆Φ = S ∆B. Отсюда следует, что для построения петли гистерезиса методом последовательного перехода от одной точки к другой необходимо изменять ток в первичной и намагничивающей обмотках, каждый раз находя изменение магнитной индукции ∆B от предыдущего зафиксированного значения

∆B =

∆Φ . S

(20)

При этом напряженность магнитного поля следует вычислять по формуле (17), сняв показание амперметра. Изложим метод определения ∆Ф (а, тем самым, и ∆B ). Изменение тока в первичной обмотке и, следовательно, изменение магнитного потока (19), приводит к возникновению ЭДС индукции во вторичной обмотке. Вследствие этого через баллистический гальванометр пройдет кратковременный электрический ток i=−

38

N2 dΦ , Rг dt

(21)

где N2 – число витков вторичной обмотки; Rг – сопротивление электрической цепи гальванометра. При протекании тока через рамку баллистического гальванометра, расположенную между полюсами постоянного магнита, возникает момент пары сил. Рамка с током поворачивается вместе с закрепленным на ней зеркальцем. Поворот зеркальца приводит к отклонению светового указателя (“зайчика”). В баллистическом гальванометре аппаратным способом реализуется интегрирование импульса тока (21) по времени. В результате определяется величина заряда, прошедшего через рамку гальванометра, t2 q = ∫ idt = N 2 ∆Φ. t1 Rг

(22)

При малых углах поворота рамки β отклонение светового указателя на шкале баллистического гальванометра практически пропорционально величине угла поворота, а значит и величине заряда q, прошедшего через рамку. В этом случае можно положить q = C ∆n,

(23)

где C – баллистическая постоянная; ∆n – число делений, на которое отклонялся световой указатель. Из (20), (22) и (23) находим ∆B =

CRг ∆n = γ∆n. SN 2

(24)

При помощи штепсельного реостата R ток в первичной обмотке изменяется дискретно от начального значения I0 = 0 ( H0= 0, B0= 0). Если от начального значения тока I0 = 0 произведено m дискретных изменений силы тока ∆Ik, то магнитная индукция в конце опыта определится суммой дискретных изменений m

Bm = γ ∑ ∆nk , k =1

(25)

где γ – коэффициент пропорциональности; ∆nk – число делений, на которое отклоняется “зайчик” на шкале баллистического гальванометра при k-м изменении силы тока. Величина напряженности магнитного поля Hm в опыте m определяется по измеренному току в данном опыте по формуле (17). 39

Порядок выполнения работы. Перед началом выполнения работы производится полное размагничивание исследуемого тороида при помощи дросселя, включенного в сеть. При этом предварительно отключают баллистический гальванометр (замыкают ключ П3) и источник постоянного напряжения (ключ П1). После размагничивания ключом П3 размыкают соответствующие контакты, переключатель П2 устанавливают в одно из рабочих положений. Ключом П1 подсоединяют схему к источнику постоянного напряжения u0. При этом все выключатели штепсельного реостата R должны находиться в разомкнутом положении. Затем включают осветитель баллистического гальванометра, и фиксируют положение светового указателя (“зайчика”) на шкале предпочтительно в нулевом положении. Выполнение измерений начинают с включения одного сопротивления штепсельного реостата. Тем самым замыкают цепь первичной обмотки. Фиксируют количество делений, на которое отклонился “зайчик” по шкале баллистического гальванометра, и записывают показания амперметра. При этом силу тока и напряженность магнитного поля следует считать положительными. Измеренные значения величины отклонения “зайчика” ∆n1 и силы тока I1 заносятся в табл. 2. Для того чтобы быстрее вернуть “зайчик” в первоначальное положение, замыкают ключ П3 (“успокаивают” гальванометр). После того, как “зайчик” установится в первоначальном положении, ключ П3 размыкают и включают второе сопротивление реостата. При этом также фиксируют отклонение “зайчика” ∆n2 и измеряют силу тока в первичной обмотке I2. При вычислении магнитной индукции B2 по формуле (25) при двух включенных сопротивлениях реостата следует брать сумму двух отклонений “зайчика” в формуле (25). В то же самое время при вычислении напряженности магнитного поля H2 величину силы тока в формуле (17) следует положить, равной I2. Для определения последующих точек на всем участке кривой намагничения 0A (рис. 2) поступают аналогичным образом. При определении значений напряженности магнитного поля и магнитной индукции на участке AB петли гистерезиса сопротивления реостата выключаются последовательно в обратном порядке. Отклонения “зайчика” баллистического гальванометра от первоначального положения следует считать отрицательными, а значения силы тока через первичную обмотку – положительными. Поэтому сумма значений ∆nk в формуле (25), приобретает смысл алгебраической суммы. 40

После выключения всех сопротивлений штепсельного реостата переключатель П2 перебрасывают во второе рабочее положение, и повторяют последовательное включение сопротивлений. Фиксируют отрицательные отклонения “зайчика” на шкале гальванометра, и измеряют силу тока в первичной обмотке. Так как ток изменил направление, то в каждом опыте силу тока следует считать также отрицательной. Сняв данные для построения участка BD петли гистерезиса, вторично изменяют направление тока в первичной обмотке при помощи переключателя П2 и приступают к определению данных для вычисления значений H и B на участках петли гистерезиса DF и FA. Таким образом, при экспериментальном определении точек кривой намагничения и петли гистерезиса каждому значению силы тока в первичной обмотке сопоставляется алгебраическая сумма тех значений отклонения “зайчика”, которые наблюдались в процессе установления данного значения силы тока. По величине токов с учетом знака и соответствующим алгебраическим суммам величин отклонения “зайчика” на шкале гальванометра вычисляются значения напряженности магнитного поля H и магнитной индукции B по формулам (17) и (25). Вычисленные значения H и B позволяют графически представить сложный процесс изменения состояния намагничивания ферромагнетика в виде кривой намагничения (участок 0A) и петли гистерезиса (рис. 2). Отметим, что если в каком-либо наблюдении отклонение “зайчика” баллистического гальванометра определено недостаточно четко, или измерение не проведено, то повторять это измерение нельзя. В этом случае следует все наблюдения начинать сначала, предварительно размагнитив ферромагнитный тороид. Вычисление результатов и оформление отчета. Отчет должен содержать расчетные формулы и электрическую схему установки и установочные данные. Приводятся примеры вычислений. Результаты измерений и вычислений заносятся в табл. 2. Таблица 2 ∆n, дел.

I, A

H = αI, A/м

Σ∆ni, дел.

B = γΣ∆ni, Tл

Строится график, показывающий зависимость магнитной индукции от напряженности магнитного поля. Для начальной кривой намагничения 0A (рис. 2) определяется зависимость магнитной проницаемости µ 41

от напряженности магнитного поля H. Расчет провести по экспериментально полученным данным, результаты занести в табл. 2 и построить график. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ 1. Какие виды магнетиков существуют в природе? 2. Какова физическая природа ферромагнетиков? 3. Объясните устройство и принцип работы баллистического гальванометра. 4. Получите формулу для вычисления магнитной индукции.

42

Лабораторная работа № 6 ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ УСТАНОВЛЕНИЯ ТОКА ПРИ РАЗРЯДКЕ И ЗАРЯДКЕ КОНДЕНСАТОРА Цель работы. Изучение зависимости зарядного и разрядного тока от времени; определение электроемкости конденсатора и активного сопротивления. Методические указания. 1. Установление тока при разрядке конденсатора. Если обкладки заряженного конденсатора соединить проводником, то по проводнику потечет ток. Найдем зависимость разрядного тока конденсатора от времени. Обозначим через I, q и u – мгновенные значения тока заряда положительной обкладки и разности потенциалов между обкладками конденсатора. Для этих величин справедливы соотношения RI = u; I = −

dq ; q = Cu, dt

(1)

где C – емкость конденсатора; R – сопротивление проводника. Исключая u и I из формул (1), как из системы трех уравнений, получим

dq dt =− . q RC

(2)

Интегрирование дифференциального уравнения (2) приводит к выражению

ln q = −

t + ln A, RC

(3)

где A – постоянная интегрирования. Потенцируя (3) и используя определение логарифма, находим

q = Ae

−

t RC .

(4) 43

Постоянную A найдем из начального условия: q(0) = q0, где q0 – первоначальный заряд конденсатора. Подставляя t = 0 в (4), имеем q(0) = A. Таким образом,

q = q 0e

−

t RC .

(5)

Продифференцировав равенство (5) и учитывая (1), получим зависимость разрядного тока конденсатора от времени t

t

− q − I = 0 e RC = I 0e τ , RC

(6)

где I0 – начальное значение силы тока (ток в момент времени t = 0). На рис. 1 приведен график зависимости разрядного тока конденсатора от времени. Постоянная τ = RC имеет размерность времени и называется временем релаксации. Из формулы (6) следует, что за время τ разрядный ток уменьшается в e раз. Поэтому значение τ может быть найдено из графика разрядного тока конденсатора (рис. 1). 2. Установление тока при зарядке конденсатора. Аналогично решается задача о нахождении зарядного тока конденсатора. Предположим, что в цепь конденсатора включены сопротивление R и источник питания с электродвижущей силой ε. При замыкании цепи возникает ток, заряжающий конденсатор. Накапливающиеся на обкладках конденсатора электрические заряды, препятствуют прохождению тока, уменьшая его величину. Заряд на обкладках конденсатора и зарядный ток в произвольный момент времени по определению будет

q = Cu, I =

dq . dt

(7)

Из второго закона Кирхгофа имеем R I + u = ε,

(8)

где R – полное сопротивление цепи, включая внутреннее сопротивление источника тока. Воспользовавшись равенствами (7), исключим u и I из (8). После преобразования полученного выражения будем иметь

dq 1 ε + q= . dt RC R 44

(9)

Неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка (9) можно свести к однородному, если ввести новую зависимую переменную по формуле y = q – εC. В этом случае уравнение (9) преобразуется

dy y =− . dt RC Решение уравнения (10) после преобразований будет

q = εC + Ae

−

(10)

t RC ,

(11)

где A – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Поскольку в начальный момент времени t = 0 заряд на обкладках конденсатора отсутствует q(0) = 0, то из (11) находим A = –εC. Подставим найденное значение постоянной интегрирования в (11), и преобразуем полученное выражение

q = εC (1 − e

−

t RC ).

(12)

Из (12) следует, что при t → ∞ заряд на обкладках конденсатора стремится к своему предельному значению q∞ = εC. Продифференцировав равенство (12) по времени, найдем ток зарядки конденсатора t

I=

t

− ε − RC = I 0 e RC , e R

(13)

где I0 – значение силы тока разрядки конденсатора в начальный момент времени t0 = 0. Из сравнения (6) и (12) следует, что функциональная зависимость от времени токов зарядки и разрядки конденсатора одинакова. Графики этих зависимостей приведены на рис. 1. 3. Определение емкости и сопротивления в цепи зарядки и разрядки конденсатора. Вычислим натуральный логарифм разрядного тока (6) ln I = ln I0 –

1 t. RC

(14)

Уравнение (14) эквивалентно уравнению прямой. Действительно, если ввести обозначения y = ln I, a = ln Ic, b = – (RC)–1 = tg ϕ, то получим y = a + b x. (15)

I I0

I0 e 0

τ

t Рис. 1

45

График линейной зависимости натурального логарифма силы тока разрядки конденсатора приведен на рис. 2. Сняв экспериментально зависимость разрядного тока конденсаln I тора от времени I(t), и вычислив натуln I0 ральные логарифмы полученных значений, можно найти параметры a и b анаϕ литически или из графика (прямой (15)), t 0 а затем вычислить сопротивление R и t0 электроемкость C. Изложим эти два споРис. 2 соба. Для определения R и C графическим способом строят график зависимости ln I = f(t) в виде отрезка прямой (рис. 2). Продолжая прямую до пересечения с осями координат, находим a = ln I0, t0, b = tgϕ = −

1 ln I 0 . t0

Затем по найденному значению lnI0 определяют начальное значение разрядного тока I0, и вычисляют R и C по формулам R=

U0 1 , C= , I0 Rb

(16)

где U0 – напряжение на выходе источника питания. 4. Аналитический способ определения параметров a и b. Он основан на применении метода наименьших квадратов. Предположим, что опытным путем для каждого из дискретного ряда значений независимой переменной xi получены значения зависимой переменной yi (в данной работе xi = ti, yi = ln Ii ). По этим данным можно провести наилучшую прямую, параметры которой находятся из условия n

∑ σi [ yi − (a + bxi )]

2

= min,

i =1

(17)

и вычисляются по формулам

b=

46

xy − x y , a = y −b x , D( x )

(18)

где n

n

n

1 1 1 x = ∑ xi , y = ∑ yi , xy = ∑ xi yi . n i =1 n i =1 n i =1 x2 = 1 n

n

∑ xi2 , D( x) =

2

x2 − x .

i =1

(19)

(20)

В (17) σi – весовые коэффициенты, величина которых зависит от точности измерений. В данной работе относительная погрешность силы тока увеличивается с увеличением времени разряда t. Поэтому весовые коэффициенты должны быть различны для разных значений силы тока Ii. Однако для упрощения вычислений можно положить все σi = 1. Тогда следует избегать использования в формуле (17) экспериментальных значений Ii при относительно больших t, так как формулы (18) и (19) получены при условии, что все σi = 1. Метод наименьших квадратов позволяет также определить среднеквадратические погрешности параметров а и b Sb =

1 n

D( y ) D( x )

− b2 Sa = Sb D( x ) ,

(21)

где D(y) = – 2. Найденные значения параметров a и b используются для вычисления R и C по формулам (16). Погрешности вычислений определяются на основании вычисленных среднеквадратических погрешностей Sb и S a. Описание лабораторной установки. Электрическая схема лабораторной установки изображена на рис.3. В качестве источника питания используется универсальный источник питания УИП-2, напряжение на выходе которого измеряется вольтметром V. Сила тока зарядки и разрядки конденсаторов измеряется при помощи микроамперметра; R0 и Rp – сопротивления цепей зарядки и разрядки конденсаторов. Переключатель П1,2 служит для подключения к схеме конденсаторов С1 или С2; П3 – для зарядки и разрядки конденсаторов; П5 – для включения схемы. Переключатели П4 и П6 используются для приведения схемы в рабочее состояние, а также для ускорения процессов зарядки и разрядки конденсаторов. В рабочем состоянии П4 и П6 – разомкнуты. 47

R0

Rp

П3

П6

П4

V

УИП-2

мкА П1,2 С1

С2

П5 Рис. 3

Порядок выполнения работы. Изучить электрическую схему, изображенную на рис. 3, и сопоставить ее с лабораторным макетом. Перед началом работы проверить при помощи ключа П4 разряжены ли конденсаторы С1 и С2. Включить в цепь источник питания УИП-2 и дать прогреться пять минут. Установить напряжение источника питания U0 таким, чтобы наибольшее отклонение стрелки микроамперметра при зарядке и разрядке конденсаторов C1 и C2 было близко к максимальному. Записать напряжение источника питания U0. Измерить зависимости зарядного и разрядного тока конденсаторов C1 и C2 от времени. Порядок измерений продумать самостоятельно и обсудить с преподавателем. Данные измерений занести в табл. 1. Таблица 1 Зарядка конденсатора C1 C2

t, c I1

I2

Iср lnIср

I1

I2

Iср ln Iср

Разрядка конденсатора C1 C2

t, c I1

I2

Iср

LnIср

I1

I2

Iср

lnIср

Вычисление результатов и оформление отчета. Отчет должен содержать расчетные формулы и схему установки. Графики зависимостей разрядного и зарядного токов конденсаторов C1 и C2 от времени, а также логарифмов этих значений построить на миллиметровке. Из графиков определить время релаксации τ и параметры прямых a и b для вычисления сопротивлений и емкостей. Определить величины сопротивлений и емкостей методом наименьших квадратов. При этом рекомендуется использовать порядка десяти значений логарифма силы тока ln I, выбранных в средней части прямой. Результаты промежу48

точных вычислений методом наименьших квадратов оформить в виде таблицы значений величин <X>, , <XY> и т. д. Результаты вычислений параметров прямых и электрических параметров установки занести в табл. 2. Таблица 2 Методы

a = lnI0

I0

t0

b = tgϕ

R0

Rp

C1

C2

Графический Наименьших квадратов

По формулам (21) произвести вычисления среднеквадратических погрешностей параметров Sa и Sb. По найденным значениям этих погрешностей вычислить среднеквадратические погрешности сопротивлений и емкостей, воспользовавшись формулами (16). Значения C1 и C2 занести в табл. 3. Таблица 3 Значения

Зарядка конденсатора C1 C2

Разрядка конденсатора C1 C2

τграф τрасч

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ 1. Как выводится зависимость зарядного тока от времени? Изобразите график I = I(t). 2. Как выводится зависимость разрядного тока от времени? Изобразите график I = I(t). 3. Покажите, что при разрядке конденсатора через сопротивление выполняется закон сохранения энергии. 4. Как определяется время релаксации τ? 5. Как выглядят графики зависимости логарифмов зарядного и разрядного токов конденсатора от времени? Как представить графически основные параметры этих процессов? 6. Напишите формулы для вычисления R и C. 7. Изобразите схему лабораторной установки.

49

Лабораторная работа № 7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА РЕЛАКСАЦИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЕКТРОННОГО ОСЦИЛЛОГРАФА Цель работы. Рассчитать периоды релаксационных колебаний в RC-контуре при различных электроемкостях контура. Измерить те же периоды релаксационных колебаний при помощи электронного осциллографа, и сравнить теоретические и экспериментальные данные. Методические указания. Релаксационные электрические колебания возникают в контуре, содержащем неоновую лампу тлеющего разряда Л, высокоомное сопротивление R и конR денсатор C (рис. 1). Если на вход контура подать постоянное напряжение U0, то возЛ C никает электрический ток, заряжающий u0 конденсатор. Закон нарастания напряжения на обкладках конденсатора можно получить из следующих соображений. В проРис. 1 извольный момент времени напряжение на обкладках при заряжении конденсатора Uc = U0 – I R, (1) где I – сила заряжающего тока. Если q – заряд положительной обкладки конденсатора, то сила заряжающего тока по определению

I=

dq . dt

(2)

Заряд на обкладках конденсатора q и напряжение Uc связаны соотношением q = CUc, поэтому I =C

Подставив (3) в (1), находим 50

dU c . dt

(3)

dU c . dt

U c = U 0 − RC

(4)

Разделяя переменные в дифференциальном уравнении (4), приходим к выражению, удобному для непосредственного интегрирования −

dU c dt =− . RC U0 − Uc

(5)

При интегрировании дифференциального уравнения (5) следует учесть, что в начальный момент времени t0 = 0 напряжение на обкладках конденсатора Uс0 = 0. Проинтегрируем левую и правую части уравнения (5) t

U0

0

0

t − dt = RC ∫

dU

∫ U 0 − Uc c .

(6)

Выполнив интегрирование в (6), находим −

Uc t = ln . RC U0 − Uc

(7)

После простых алгебраических преобразований получим закон нарастания напряжения на обкладках конденсатора

U c = U 0 (1 − e

−

t RC

).

(8)

Длительность процесса зарядки тем больше, чем больше электроемкость C и сопротивление R. Произведение RC имеет размерность времени и называется временем релаксации τ. График зависимости Uc от t представлен на рис. 2. Напряжение Uл, при котором загорается Uc лампа тлеющего разряда, называется потенциалом зажигания. Если потенциал зажиU0 B гания меньше напряжения источника пиUл тания U0, то напряжение на обкладках конденсатора может достичь лишь величины 0 t Uл. После этого лампа тлеющего разряда загорается, и, так как горящая лампа имеет Рис. 2 51

малое сопротивление, через нее начинает разряжаться конденсатор. Но конденсатор разряжается лишь частично, так как разряд прекращается в момент погасания лампы. Момент погасания лампы наступает при уменьшении напряжения до так называемого потенциала погасания лампы Uz. По сравнению с заряжением конденсатора частичная его разрядка происходит практически скачком. Далее начинается подзарядка конденсатора от величины потенциала погасания лампы до потенциала зажигания. На рис. 3 графически отображен периодический процесс заряжения и разрядки конденсатора в RC-контуре. В отличие от графика, приведенного на рис. 2, начальный момент времени на оси абсцисс t0 = 0 для удобства выбран в момент нарастания напряжения на обкладках конденсатора от поUc тенциала погасания лампы Uz. Участок AB на графике соответствует стадии зарядки конденU0 B Uл сатора от потенциала погасания лампы Uz до потенциала зажигания Uл. Участок BD на граD Uz A t фике соответствует стадии разрядки конденT 2T 3T 0 сатора от потенциала зажигания до потенциаРис. 3 ла погасания. Процесс периодически повторяется с периодом Т, что и означает возникновение релаксационных колебаний напряжения на обкладках конденсатора. Форма релаксационных колебаний на графике (рис. 3) определяется кривой ABD. Поскольку время заряжения конденсатора намного больше времени его разрядки, то период релаксационных колебаний практически равен времени заряжения конденсатора. Поэтому при выводе расчетной формулы будем исходить из следующих соображений. Предположим, что в момент времени t1 напряжение на обкладках конденсатора Uс равно потенциалу погасания лампы Uz. При t > t1 конденсатор подзаряжается от источника питания ( Uz
Uл

t1

Uz

1 dt = RC ∫ 52

dU

∫ U 0 − Uc c .

(9)

Выполнив интегрирование, находим U −Uz t2 − t1 . = ln 0 RC U0 − U л

(10)

Учитывая, что период релаксационных колебаний приближенно равен времени подзарядки конденсатора t2 – t1, будем иметь T ≈ RC ln

U0 − U z . U0 − U л

(11)

Описание лабораторной установки. Для наблюдения релаксационных колебаний и измерения их периода в работе используется электронный осциллограф, основной частью которого является электроннолучевая трубка (ЭЛТ). Трубка представляет собой стеклянный баллон с люмиA1 A2 несцирующим экраном и впаянными электродами (рис. 4). Между подогреЭ P2 P1 K ваемым катодом K, являющимся источником свободных электронов, и анодами A1 и A2, играющими роль фокусиРис. 4 рующей системы, прикладывается высокое напряжение, ускоряющее движение свободных электронов. Пройдя ускоряющую разность потенциалов, пучок электронов попадает на экран и вызывает его свечение. При этом на пути к экрану пучок электронов последовательно проходит между двумя парами отклоняющих пластин P1 и P2. Если к пластинам P1 присоединить источник переменного напряжения, например синусоидального, то между пластинами возникает переменное электрическое поле. Под действием этого поля пучок электронов будет колебаться в вертикальном направлении, а светящееся пятно на экране будет совершать колебания вдоль вертикальной прямой. При подаче напряжения на горизонтально отклоняющие пластины P2 светящееся пятно на экране будет перемещаться вдоль горизонтальной прямой. Обычно в осциллографах на пластины подается напряжение, линейно возрастающее со временем и с последующим резким спадом. Тогда, при отсутствии напряжения на вертикально отклоняющих пластинах P1, светящееся пятно на экране будет двигаться с постоянной скоростью вдоль горизонтальной прямой. Как только пятно достигает крайней точки эк53

рана, напряжение на пластинах P2 резко падает, и пятно практически мгновенно возвращается в исходное положение. Нарастание и спад напряжения на пластинах P2 повторяется многократно с определенным периодом, который можно измерить. Для того чтобы движение пятна начиналось не из центра экрана, а из крайнего положения, на одну из пластин подается отрицательный потенциал. Смещение пятна под действием линейного напряжения, подаваемого на пластины P2, называется разверткой во времени. Для получения линейного напряжения развертки в осциллографе смонтирован генератор пилообразных колебаний. Если теперь к пластинам P1 подключить переменное напряжение с периодом T1, к пластинам P2 подключить пилообразное напряжение с периодом T2 = nT1, где n – целое число, то на экране можно будет увидеть неподвижную картину, отражающую изменение напряжения на пластинах P1 как функцию времени в течение нескольких периодов. Для измерения амплитуды и периода колебаний напряжения, подаваемого на пластины P1, на экран осциллографа наносится сетка. Для градуировки сетки с делителя напряжений, подключенного к сети переменного тока, подается синусоидальное напряжение, и на экране осциллографа наблюдается синусоида с частотой f =50 Гц (период T0 = 0,02 с). Наблюдение синусоиды позволяет отградуировать “ось времени” на сетке экрана. Далее проводят наблюдения релаксационных колебаний, и определяют их периоды для различных электроемкостей, включенных в цепь RC-контура. Амплитудное значение напряжения пропорционально количеству делений на сетке, укладывающихся в пределах амплитуды наблюдаемых колебаний. Постоянное напряжение источника питания U0 измеряется при помощи вольтметра V. Электрическая схема лабораторной установки приводится на рис. 5 и на передней панели лабораторного макета. R П

С1

С2

С3

K4

K3

U0

Л ЭО K1

Рис. 5

54

K2

Порядок выполнения работы. Ознакомьтесь с электронным осциллографом и источником питания, а также с назначением рукояток управления приборами, размещенных на передних панелях. Желательно обратить особое внимание на те рукоятки, которые позволяют включать луч, усиливать яркость пятна и его резкость, а также перемещать пятно на экране осциллографа в горизонтальном и вертикальном направлениях. Подключите к макету лабораторной установки осциллограф и источник питания. Макет, осциллограф и источник питания включите в сеть переменного напряжения частотой f0 =50 Гц. Аттенюатор выходного напряжения источника питания следует установить в крайнее левое положение, соответствующее минимуму выходного напряжения. Замыкая ключи K1, K2 и K3 магазина емкостей, установите наибольшую емкость. Переключатель П нужно зафиксировать в положении “релаксационные колебания”. После этого приступайте к наблюдению релаксационных колебаний. Включите источник питания и осциллограф. После прогрева осциллографа на экране появляется электрический луч и высвечивается горизонтальная полоса. Соответствующими рукоятками горизонтальную полосу установите в центре экрана осциллографа. Замкните ключ K4. Медленно увеличивайте напряжение на входе RC-контура до момента возникновения релаксационных колебаний. Показание вольтметра, контролирующего напряжение на входе контура, будет соответствовать напряжению зажигания лампы тлеющего разряда Uл. Увеличьте входное напряжение на 15–20 В и снимите показания вольтметра U0. Показания вольтметра Uл и U0 запишите в табл. 1. Следует подобрать время развертки таким образом, чтобы на экране осциллографа можно было наблюдать не более трех полных колебаний. Отсчитайте число делений вдоль вертикальной прямой, укладывающихся между минимальными и максимальными значениями наблюдаемых колебаний, и умножьте на цифровую отметку переключателя “В/дел.” или “В/см”. Полученный результат будет равен амплитуде релаксационных колебаний Uа. Потенциал погашения лампы определяется по формуле Uz = Uл – Uа. Вдоль горизонтальной прямой определяется число делений n, в пределах которых укладывается одно полное колебание. 55

С делителя напряжения, смонтированного внутри макета, при помощи переключателя П на вход осциллографа следует подать синусоидальное напряжение частоты f0 =50 Гц. Вдоль горизонтальной прямой на экране осциллографа отсчитывается число делений n1, укладывающихся в пределах одного периода синусоиды. При этом время развертки должно оставаться прежним. Включая и выключая синусоидальное напряжение переключателем П, повторите измерения не менее трех раз. Для каждого измерения найдите цену деления сетки на экране осциллографа ∆t1 =

T0 . n1

Затем рассчитайте среднее значение цены деления. При помощи ключей K1, K2 или K3 измените емкость контура и проделайте еще две аналогичных серии измерений. Все данные заносятся в табл. 1 и 2. Таблица 1 Контур

n, дел.

T, изм

U0, В

UЛ, В

UZ, В

∆T

R, КОм С, мкФ T, выч

Таблица 2 n1

∆t1

n2

∆t2

n3

∆t3

Вычисление результатов и оформление отчета. 1. По результатам измерений следует вычислить периоды релаксационных колебаний для каждого значения емкости, включаемой в контур. Для этого умножьте число делений n, в пределах которых укладывается одно полное колебание, на цену деления сетки экрана осциллографа ∆ t в секундах T = n ∆tср. 2. Рассчитайте по формуле (11) периоды тех же релаксационных колебаний. 3. На основании экспериментально полученных результатов постройте графики зависимости периода релаксационных колебаний от емкости, включенной в контур. Для сравнения на том же графике постройте аналогичную теоретическую кривую. 4. Для каждого вычисленного значения периода релаксационных колебаний определите неисключенную систематическую погрешность. 56

Отчет должен содержать электрическую схему лабораторной установки, расчетные формулы и примеры вычислений, численные результаты, графики и выводы. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ 1. Дайте определение релаксационных колебаний. 2. Изобразите электрическую схему, используемую в лабораторном макете для изучения релаксационных колебаний. 3. Опишите устройство и принцип работы электронного осциллографа. 4. Выведите формулу нарастания напряжения при зарядке конденсатора. 5. Нарисуйте график релаксационных колебаний. 6. Выведите расчетную формулу для определения периода релаксационных колебаний.

57

ПРИЛОЖЕНИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ Погрешности могут быть обусловлены природой измеряемой величины, несовершенством измерительных приборов или обеими причинами сразу. В том случае, когда измеряемая величина случайна по своей природе, т. е. не имеет точного значения, правильнее говорить не об ошибках, а о разбросе экспериментально измеренных значений. Ошибки, связанные с несовершенством измерительных средств, бывают случайными и неслучайными. Неслучайные ошибки корректируются введением соответствующих поправок. Случайные же ошибки приборов и других измерительных средств описываются погрешностями, т.е. интервалами возможного отклонения измеренного значения величины от ее истинного значения. Систематическая погрешность. Интервал допустимого отклонения измеренной величины от ее истинного значения называется систематической погрешностью прибора. Обычно систематическая погрешность обозначается большой греческой буквой θ, нижним индексом указывается измеряемая величина. Например, систематическая погрешность времени обозначается θt; тока – θI; напряжения – θU; длины – θl; массы – θm. Систематическую погрешность прямого измерения можно рассчитать по шкале прибора. Обычно на ней крупной цифрой указывается класс точности. Класс точности – это число, показывающее, сколько процентов от максимального значения по шкале в выбранном диапазоне составляет систематическая погрешность. Таким образом, систематическая погрешность величины θx определяется пределом шкалы прибора X max и его классом точности K θx =

X max K . 100

(1)

Если цифра, обозначаюшая класс точности на шкале прибора, помещена в кружок, в формулу (1) следует подставлять не X max , а измеренное значение Х

θx =

XK . 100

(2)

В тех случаях, когда класс точности прибора не указан (линейка, секундомер, термометр), систематическую погрешность обычно принимают равной половине цены деления шкалы. 58

По формулам (1) или (2) можно найти систематическую погрешность прямого измерения, однако чаще приходится проводить косвенные измерения. Косвенным называется такое измерение, которое сводится к определению по прибору величины или величин, не являющихся искомыми, и вычислению искомой по ним. Измеряются величины X1, X2, X3, …, и по ним вычисляется искомая функция f(x1,x2,x3, …,). Например, определение электрического сопротивления резистора R, сводящееся к измерению силы тока I, напряжения U и вычислению R=U/I, является косвенным. В данном случае U = x1, I = x2, R = f. Систематическая погрешность косвенного измерения θf выражается через систематические погрешности прямых измерений θ x , θ x , θ x , ..., 1 2 3 θf =

∂f ∂f ∂f θ x1 + θ x2 + θ x + ... +, ∂x1 ∂ x2 ∂ x3 3

(3)

Здесь ∂f/∂xi – частные производные функции по соответствующей переменной. Частной производной функции нескольких переменных называется производная по одной из них, взятая при условии, что другие переменные принимают в этот момент фиксированные значения. Вычисление погрешности по формуле (3) является оценкой, поэтому полученное значение θf принято округлять до одной значащей цифры. Вторую цифру можно сохранять (можно и не сохранять) лишь в том случае, если первая оказалась единицей. Погрешность при округлении можно увеличивать, но лучше не уменьшать (об этом пойдет речь ниже). Пример 1 Измерение электрического тока проводится амперметром, имеющим предел измерения Im =10 A и класс точности KI =1,0. Напряжение измеряется вольтметром с пределом измерения Um = 250 B и классом точности KU = 2,0. Показания приборов: I = 4 A, U = 220 B. Найти электрическую мощность и ее систематическую погрешность. Решение Систематические погрешности прямых измерений тока и напряжения найдем по формуле (1).

θI =

I m K I 10 ⋅ 1 U K 250 ⋅ 2 = = 0,1 A; θU = m U = = 5 B. 100 100 100 100 59

Мощность электрического тока вычисляется по известной формуле: P = IU. Поскольку имеем дело с косвенным измерением, систематическую погрешность мощности θP выразим при помощи формулы (3) через погрешности тока θI и напряжения θU

θP =

∂P ∂P θI + θU = U θ I + I θU ; θ P = 220 ⋅ 0,1 + 4 ⋅ 5 ≅ 40 Bт. ∂I ∂U

Теперь найдем мощность электрического тока P = IU = 880 Вт. Ответ

P = 880 ± 40, Вт. Случайная погрешность. При многократном повторении измерений полученные результаты будут отличаться друг от друга. В качестве результата серии из N измерений (как прямых, так и косвенных) в таком случае разумно взять среднее арифметическое: N

X + X 2 + X 3 + ... + X N X = 1 = N

∑ Xi i =1

N

.

(4)

Среднее квадратическое отклонение этой величины обычно обозначается S X и вычисляется по формуле N

SX =

∑ (Xi − X )

2

i =1

N ( N − 1)

.

(5)

Рассмотрим серию косвенных измерений. Пусть в опыте с номером i измеряются величины X1i, X2i, X3i , …, по которым вычисляется искомая величина – функция f(x1i,x2i,x3i, …,). Следует различать два случая при проведении таких измерений. Сначала рассмотрим случай, когда внешние условия не меняются от опыта к опыту. При такой постановке эксперимента значения каждой переменной меняются лишь вследствие случайных ошибок измерений. В таком случае по формуле (4) находят средние значения каждой переменной X 1, X 2 , X 3 , ..., а по формуле (5) – их случайную погрешности. Среднее значение величины f вычисляют по формуле 60

f = f ( x1, x2 , x3 , ...,).

(6)

Среднее квадратическое отклонение этой величины можно выразить через средние квадратические отклонения каждой из переменных

 ∂f  Sf =    ∂x1 

2

( ) SX1

2

 ∂f  +   ∂x2 

2

( ) SX 2

2

 ∂f  +   ∂x3 

2

(S X )

2

3

+ .... +

(7)

Отметим, что эта формула получена в предположении, что все случайные ошибки прямых измерений независимы, т. е. ошибка измерения одной величины не влечет за собой автоматически ошибки другой. Кроме описанного выше метода обработки серии косвенных измерений, существует и другой, который применим в случае проведения серии измерений как при неизменных, так и при меняющихся внешних условиях. Состоит он в том, что по результатам i – го измерения сначала находится величина fi = f(x1i,x2i,x3i, …), а затем получившийся набор значений fi обрабатывается так же, как и в случае прямых измерений. Это значит, что по формуле (4) находится среднее значение величины f , а по формуле (5) – среднее квадратичное отклонение S f . В случае, когда число измерений N невелико (~10 или меньше), среднее квадратическое отклонение округляют по тем же правилам, что и систематическую погрешность, т.е. сохраняют одну значащую цифру, вторую сохраняют в случае, когда первая равна единице. Пример 2 Определяется электрическое сопротивление – R. Для этого проводится серия измерений силы тока I в зависимости от приложенного напряжения – U. В табл. П.1 приведена серия измеренных значений I от U. Таблица П.1

I, A U, B R, Ом

1,1 57,2 52

1,2 64,8 54

1,3 74,1 57

1,4 77,0 55

1,6 81,0 54

1,7 85,0 50

1,8 97,2 54

1,9 2,0 104,5 110,0

55

55

Требуется найти электрическое сопротивление – R и среднее квадратическое отклонение S R . Обе эти величины измеряются в Ом. Решение Очевидно, что серия опытов проводилась при меняющихся внешних условиях, т. е. при измерениях сила тока намеренно менялась в широ61

ком диапазоне значений. Значит, применим лишь второй метод обработки результатов измерений. Сначала найдем серию значений Ri, где i – номер опыта. Для этого воспользуемся формулой: Ri = Ui /Ii. Теперь найдем среднее значение электрического сопротивления

R=

52 + 54 + 57 + 55 + 54 + 50 + 54 + 55 + 55 486 = = 54,0 Ом . 9 9

Зная его, можно вычислить среднее квадратическое отклонение

SR =

SR =

N

∑ ( Ri − R )

2

N ( N − 1) ;

i =1

(52 − 54 )2 + 3 ⋅ (54 − 54 )2 + (57 − 54 )2 + 3 ⋅ (55 − 54 )2 + (50 − 54 )2 9 (9 − 1)

=

= 0,7 Ом. Ответ

R = 54,0 Ом ; S R = 0,7 Ом при N = 9. Результатами математической обработки серии измерений, как прямых, так и косвенных, являются: среднее значение, вычисленное по формуле (4) или (6), среднее квадратическое отклонение, вычисленное по формулам (5) или (7), и полное число измерений N. Полная погрешность измерений. Как уже отмечалось выше, ошибки могут быть обусловлены природой измеряемой величины, несовершенством измерительных приборов или обеими причинами сразу. Приборные ошибки и, соответственно, приборные погрешности полностью исключить невозможно. Можно лишь априори установить их границы с помощью систематической погрешности. Погрешности, обусловленные всеми возможными причинами вместе, называют полными. Обычно их обозначают большой греческой буквой ∆, нижним индексом указывают измеряемую величину или записывают рядом с измеренным значением через знак ±. Договоримся считать, что полная погрешность задает интервал, в который с вероятностью 95%, попадает истинное значение измеряемой величины. В большинстве лабораторных работ по курсу физики проводятся измерения неслучайных по своей природе величин, разброс значений ко62

торых обусловлен лишь случайными ошибками измерительных приборов. В таком случае среднее квадратическое отклонение измеряемой величины должно всегда получаться меньше интервала, определяемого систематической погрешностью

Sx < θx.

(8)

Невыполнение этого условия обычно бывает связано с промахами, т.е. грубыми ошибками экспериментатора при измерениях. И, наоборот, его выполнение в более жестком виде

S x << θ x

(8, а)

свидетельствует о старательности, аккуратности экспериментатора и о надежности полученных результатов. В описываемом случае полная погрешность среднего значения определяется только систематической

∆ x = θx .

(9)

В случае проведения технических испытаний обычно имеют дело с величинами, случайными по своей природе. Разброс измеряемых параметров при таких испытаниях связан с различными характеристиками испытуемых образцов и с ошибками, вносимыми измерительными приборами. Среднее квадратическое отклонение, определенное по формулам (5) или (7), включает в себя обе названные причины и поэтому не ограничено интервалом систематической погрешности. В этой ситуации случайную погрешность серии измерений и систематическую погрешность, связанную с несовершенством измерительных приборов, объединяют в полную погрешность

∆ X = θ X + kS X .

(10)

В этой формуле k-й коэффициент, зависящий от количества проведенных измерений в серии, будет N = 5, k = 2,5; N = 10, k = 2,3; N = 20, k = 2,0. Обработка серии измерений и представление результатов. По результатам серии измерений нужно по формулам (4) или (6) найти среднее значение, после этого по формулам (5) или (7) – среднее квадрати63

ческое отклонение. Для одного, нескольких или всех полученных значений по формулам (1), (2) и (3) рассчитать систематическую погрешность. Дальнейший порядок обработки результатов измерений зависит от того, какие величины измеряются: случайные или неслучайные. Измеряемую величину следует считать случайной по своей природе, если при ее измерении возникают неконтролируемые экспериментатором факторы, или физический процесс протекает так быстро, что экспериментатор не успевает провести достоверные измерения. Если измеряемая величина по своей природе не является случайной, и ее случайные ошибки связаны лишь с влиянием измерительных приборов на процесс измерений, систематические и случайные погрешности нужно сравнить по критерию (8). В качестве полной погрешности, в соответствии с формулой (9), взять систематическую. Если измеряемая величина является случайной по своей природе, то случайную и систематическую погрешности следует объединить в полную по формуле (10). Результатом серии измерений при любом способе обработки должны быть: среднее значение и полная погрешность измеряемой величины. Кроме того, приводят среднее квадратическое отклонение и полное число измерений. Для единичного измерения указывают полученное значение и систематическая погрешность. Округление результатов. При записи окончательного результата обязательно проводят округление. Сначала округляют погрешность, а затем измеренную величину. Погрешность округляют до одной значащей цифры. Если эта цифра равна единице, то можно сохранить следующую. В полученном результате сохраняют последним тот десятичный разряд, до которого округлена погрешность. При этом правила округления результата и его погрешности разные. 1. В измеряемой величине последняя сохраняемая цифра не меняется, если старшая из отбрасываемых меньше 5, и увеличивается на 1, если – больше. Если же отбрасываемая цифра равна 5 и все последующие цифры нули, или неизвестны, то последнюю сохраненную цифру при округлении нужно сделать четной. 2. В погрешности округление проводится в большую сторону, если старшая отбрасываемая цифра 3 и более. Сохранение лишних цифр при записи результата измерения или его погрешности является грубой ошибкой. 64

Пример 3 Неправильно

Правильно

R = 621,54 Ом; θR = 1,27 Oм →

R = 621,5 Ом; θR = 1,3 Oм

t = 16,33333 c; θt = 0,33333 c →

t = 16,3 c; θt = 0,4 c

m = 33,450 кг; θm = 0,277 кг → m = 33,4 кг; θm = 0,3 кг Допустимые расхождения между результатами измерений. В тех случаях, когда это возможно, нужно сравнивать полученное экспериментально значение Х с теоретическим или табличным ХТ. В тех случаях, когда выполняется условие  Х – ХТ  ≤ ∆ X ,

(11)

расхождение величин Х и ХТ следует считать допустимым, и не требующим объяснения. Этот факт нужно обязательно отметить в отчете. Если же условие (11) нарушается, то это свидетельствует об ошибках в проведении, постановке эксперимента или в расчетах величин Х и ∆ X . В этом случае нужно обязательно еще раз проверить свои измерения, расчеты и в отчете попытаться объяснить причину имеющихся расхождений или хотя бы выдвинуть правдоподобную гипотезу. Объединение результатов различных измерений. Иногда физическая величина определяется двумя или несколькими разными способами. Если значения получаются разными, то встают вопросы, что взять в качестве окончательного результата, и допустимы ли имеющиеся расхождения экспериментальных значений. Сначала, если это возможно, нужно все результаты сравнить с табличным или теоретическим значением по критерию (11). Однако зачастую такое сравнение невозможно, поскольку в эксперименте, как правило, стремятся определить именно неизвестную величину. Остановимся подробнее на этом случае. Если разные значения Xi одной и той же величины получены в нескольких независимых опытах, то их надо усреднять с весовыми множителями gi, обратно пропорциональными квадратам полных погрешностей

(∆ X ) . gi = −2 ∑ (∆ X ) −2

i

i

i

(12) 65

Объединенное или среднее взвешенное значение найдем

Х = ∑ gi Х i . i

,

(13)

Погрешность среднего взвешенного ∆ X можно оценить

∆ X = ∑ gi ∆ X i . i

(14)

В случае, когда все измерения получены с одинаковой точностью, коэффициенты gi одинаковы и равны gi =1/N, где N – число усредняемых значений. В таком случае формула (13) преобразуется в обычную формулу для среднего арифметического, а формула (14) даст ∆ X = ∆ X i . Отметим, что весовые коэффициенты gi допустимо вычислять с меньшей точностью, чем сами погрешности. Обычно при вычислении этих коэффициентов принято оставлять один, редко – два знака. После того, как значения среднего взвешенного и его погрешности найдены, нужно опять вернуться к исходным значениям и проверить допустимость отклонения каждого из них от среднего взвешенного. Для каждого опыта должно выполняться неравенство

Xi − X ≤ ∆ Xi .

(15)

Если для одного из опытов неравенство (15) не выполняется, то это свидетельствует о допущенной экспериментальной, вычислительной или методической ошибках. В таком случае, либо следует считать, что объединение результатов невозможно, либо нужно повторить обработку, исключив из рассмотрения результаты “ошибочного” опыта. Пример 4 В двух независимых измерениях электрического сопротивления получены значения R1 = 1,73 ± 0,18 Ом; R2 = 1,64 ± 0,12 Ом. Таким образом, ∆ R1 = 0,18 Ом; ∆ R2 = 0,12 Ом. Найти среднее значение сопротивления и его погрешность. Решение Сначала по формуле (12) вычислим весовые множители 2 ∆R ) ( 1 0,18 ) ( 31 = = ≅ 0,3; g1 = −2 −2 2 2 (∆ R ) + (∆ R ) (1 0,18) + (1 0,12 ) 31 + 69 −2

1

1

66

2

2 ∆R ) ( 1 0,12 ) ( 69 = = ≅ 0,7. g2 = −2 −2 2 2 (∆ R ) + (∆ R ) (1 0,18) + (1 0,12 ) 31 + 69 −2

2

1

2

Теперь по (13) вычислим среднее взвешенное значение сопротивления R .

R = g1R1 + g 2 R2 = 0,3 ⋅ 1,73 + 0,7 ⋅ 1,64 = 0,519 + 1,148 = 1,667 ≅ 1,67 Ом. Прежде, чем вычислять по (14) полную погрешность ∆ R и давать окончательный ответ, нужно проверить выполнение критерия (15)

R1 − R =1,73 – 1,67 = 0,06 Ом < ∆ R1 , R2 − R = =1,67 – 1,64 = 0,03 Ом < ∆ R2 . Неравенство выполняется для результатов обоих опытов, значит усреднение проведено корректно, и можно искать погрешность сопротивления ∆ R = g1∆ R1 + g 2 ∆ R2 = 0,3 ⋅ 0,18 + 0,7 ⋅ 0,12 = 0,054 + 0,084 ≅ 0,14 Ом,

Ответ

R = 1,67 ± 0,14 Ом . Графическая обработка результатов измерений. Графики следует строить на миллиметровой бумаге, которая выступает в роли одного из измерительных инструментов. 1. Сначала нужно решить, какая из наблюдаемых величин будет функцией или аргументом. В соответствии со сделанным выбором график нужно озаглавить. После этого следует разумно выбрать масштабы по обеим осям. Их нужно выбирать с учетом значений тех величин, которые по этим осям будут откладываться. Единица масштабной сетки должна соответствовать 1, 2, 5, 10 и т. д. единицам измеряемой величины. Представляемые на осях интервалы значений должны быть такими, чтобы по возможности использовать все поле графика. В некоторых случаях координатные оси разумно изобразить с разрывом. 2. После выбора масштаба нужно начертить координатные оси и подписать, какие величины, и в каких единицах откладываются на оси. На 67

осях нужно нанести узлы координатной сетки. Под осью абсцисс и слева от оси ординат эти узлы нужно подписать. Подписываются только числа; единицы их измерения указываются на осях. Значения, полученные на опыте, на осях не отмечаются. 3. На график обязательно наносятся все экспериментальные точки. Около них двумя вертикальным и двумя горизонтальным отрезками откладываются систематические погрешности измеряемых величин. 4. Для большей наглядности, для возможности получения параметров функциональной зависимости, и для получения градуировочных графиков через экспериментальные точки проводят линию. Ее следует проводить не через конкретные точки, а плавно вблизи них, избегая изломов и пересекая “крестики” погрешностей. Если известен теоретический закон, связывающий измеряемые величины, то линия на графике должна ему соответствовать (рис. 1). I 6 5 4 3 2 1

θI

1

2

θl 3

4

5

6

7

8

l

Рис. 1. Образец оформления графика

Графическое определение параметров линейной зависимости. Если теоретический закон, связывающий две измеряемые величины x и f, записывается в виде f = kx + b , ( 16) то на графике должна получиться прямая линия. Ее нужно провести по линейке через имеющийся набор точек по возможности ближе к максимальному числу точек. Проводя прямую линию (рис. 2), нужно руководствоваться следующими правилами: – прямая должна пересечь все или почти все крестики, обозначающие систематические погрешности отложенных величин; – число точек, оказавшихся выше и ниже проведенной прямой, должно быть примерно одинаковым; – экспериментальные точки должны быть и выше, и ниже прямой во всем диапазоне значений х. 68

а)

б)

f

¦

г)

в)

f

x

д)

f

x

f

x

x

f

x

Рис. 2. Прямая f = kx + b , проведенная через экспериментальные точки: а – неправильно; б – неправильно; в – правильно; г – промах; д – прямую провести невозможно

Иногда получается, что через набор точек невозможно провести прямую, руководствуясь сформулированными правилами (рис. 2, г, д). Если из общего набора выпадает только одна точка (рис. 2, г), то ее следует считать промахом и в дальнейшем не учитывать. Если же сильно выбиваются несколько точек или явно видна нелинейность (рис. 2, д), то отсюда следует, что экспериментальные данные противоречат теоретической зависимости (16). Если же наблюдаются случаи, показанные на рис. 2, в или г, то можно говорить о том, что экспериментальные данные подтверждают теоретическую зависимость. В случае, когда через экспериментальные точки удалось провести прямую, по графику находят параметры k и b уравнения (16). Параметр b равен отрезку, отсекаемому на оси f при х = 0, а угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой, который можно найти по катетам треугольника, изображенного на рис. 3. Обратим внимание на то, что катеты ∆х и ∆f измеряются не между экспериментальными точками, а по проведенной линии. 1. Систематическую погрешность величины b разумно принять, равной значению систематической погрешности θf . 69

f ∆f α

∆x

b x Рис. 3. Графическое определение параметров прямой: k = tg α =

∆f ; b = f( x = 0) . ∆x

2. Систематическую погрешность величины k разумно принять равной

 θf θ  θk = k  + x ,  ( ∆f ) ( ∆x ) 

(17)

где ∆f и ∆х – катеты треугольника на рис. 3, а θf и θx – систематические погрешности величин f и х. 3. Для оценки случайных погрешностей Sk и Sb проводят следующие действия: – по имеющемуся набору точек проводят еще одну прямую; – для нее находят новые значения величин k' и b'; – считают, что Sk = k – k' , а Sb =  b – b' .

70

Библиографический список 1. Савельев И. В. Курс общей физики. М.: Наука. Т. 2. 1988. 2. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. М.: Наука. 1990. 3. Трофимова Т. И. Курс физики. М.: Высш. шк. 1994. 4. Сивухин Д. В. Курс общей физики. М.: Физматлит. Т. 3 1996. 5. Калашников С. Г. Электричество. М.: Наука. 1977. 6. Парселл Э. Берклеевский курс физики. М.: Наука. Т. 2. 1972.

71

Содержание Лабораторная работа № 1. Определение электроемкости конденсатора с помощью баллистического гальванометра ............................... Лабораторная работа № 2. Изучение резонанса в электрическом колебательном контуре .......................................................................... Лабораторная работа № 3. Определение горизонтальной составляющей напряженности магнитного поля земли, электрической постоянной системы СИ и скорости электромагнитных волн в вакууме .. Лабораторная работа № 4. Исследование магнитного поля соленоида ................................................................................................ Лабораторная установка № 5. Исследование магнитного гистерезиса ............................................................................................. Лабораторная работа № 6. Изучение процессов установления тока при разрядке и зарядке конденсатора .................................................. Лабораторная работа № 7. Определение периода релаксационных колебаний при помощи электронного осциллографа ......................... Приложение ............................................................................................ Библиографический список ..................................................................

72

3 9 18 23 29 43 50 58 71