Молекулярная физика: Методические указания к лабораторным работам

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М.ГУБКИНА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

В.П.СОКОЛОВ, Л.М.ФАБЕЛИНСКАЯ

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА Лабораторные работы № 150, № 151

Москва 1995

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М.ГУБКИНА –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Кафедра физики

В.П.СОКОЛОВ, Л.М.ФАБЕЛИНСКАЯ

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА Лабораторные работы № 150, № 151 для студентов всех специальностей

Под редакцией доц. А.И.Светличного

Москва 1995

УДК 53

В.П.Соколов; Л.М.Фабелинская, Молекулярная физика. Лаб. раб.-М.:РГУ, 1998. – 16 с.

Рецензент – профессор И.Б.Нагаев.

© Российский государственный университет нефти и газа им. И.М.Губкина, 1995 Лабораторная работа № 150

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗА ПО МЕТОДУ КЛЕМАНА-ДЕЗОРМА I. Цель и содержание работы Целью настоящей работы является изучение процессов, происходящих в газе при измерении отношения удельных теплоемкостей cp cV . Содержание работы состоит в определе-

нии c

p

c

V

для воздуха. II. Краткая теория работы

Удельной теплоемкостью газа называется количество тепла, необходимое для нагревания единицы массы газа на один градус. Величина теплоемкости газов зависит от условий их нагревания. Запишем первое начало термодинамики: dQ = dU + dA

(1)

где dQ – количество тепла, подводимое к термодинамической системе и затрачиваемое на увеличение ее внутренней энергии dU и на работу dA, совершаемую системой против внешних сил. По определению теплоемкости C=

dQ dU dA = + dT dT dT

(2)

где элементарная работа dA = pdV. Рассмотрим два случая. 1. Газ нагревается при неизменном объеме V = const. В этом случае dV = 0 и работа внешних сил равна нулю dA = pdV = 0, следовательно, все сообщаемое газу извне тепло идет на увеличение его внутренней энергии dU. Тогда из уравнения (2) следует, что теплоемкость при постоянном объеме равна: C = V

dU . dT

(3)

2. Газ нагревается при постоянном давлении p = const. В этом случае получаемое газом извне тепло идет не только на увеличение его внутренней энергии dU, но и на совершение газом работы dA против внешней силы давления. Тогда теплоемкость при постоянном давлении равна: C = p

dU dA + dT dT .

(4)

Следовательно, для нагревания единицы массы газа на один градус при p = const потребуется больше тепла, чем при V = const. Найдем связь между cp и cV . Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа для единицы массы идеаль1 ного газа pV = RT , получим: μ

pdV + Vdp =

(5)

R dT μ

При p = const, dp = 0, и тогда pdV =

R dT μ

Подставив это выражение в (4) и заменив

dU на cV согласно (3) (для единицы масdT

сы), получим: cp = cV +

R . μ

(6)

Таким образом, удельная теплоемкость cp больше удельной теплоемкости cV на велиR , которая представляет собой работу, совершаемую единицей массы газа при расшиμ рении, происходящем при постоянном давлении в результате повышения его температуры на один градус. Наряду с удельной теплоемкостью c, часто пользуются молярной теплоемкостью C (теплоемкость одного киломоля вещества). Между ними имеется очевидное соотношение C c= . μ

чину

Тогда соотношение (6) можно записать в виде: C p = CV + R . Согласно закону равнораспределения энергии по степеням свободы на каждую степень 1 свободы молекулы идеального газа приходится в среднем одинаковая энергия, равная kT 2 (k – постоянная Больцмана). Поэтому внутреннюю энергию одного киломоля идеального газа можно найти по формуле: i i U = N АkT = RT 2 2 . Здесь NА – число Авогадро, i – число степеней свободы молекулы газа. Подставив это выражение в (3), получим: i CV = R. 2 Число степеней свободы определяется числом атомов в молекуле и характером связи между ними. Для одноатомного газа i = 3; для двухатомного – i = 5 (жесткая связь), i = 6 (упругая связь); для трех и более атомов в молекуле i = 6 (жесткая связь, нелинейная молекула). Так как R C p = CV + R (или cp = cV + ), μ то i +2 i +2 R Cp = R (или cp = ⋅ ) 2 μ 2 и

Cp CV Величины c и c p

V

=

cp cV

=

i +2 . i

можно определить экспериментально. Однако существует способ cp

= γ, которое зависит только от числа степеcV ней свободы молекул газа. Это отношение входит в выражение закона Пуассона

непосредственного определения отношения

pV γ = const,

(7)

описывающего адиабатический процесс в газах. Адиабатическим процессом называется процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой. Такой процесс будет происходить в системе, окруженной совершенно нетеплопроводными стенками. Так как совершенно нетеплопроводных стенок не бывает, реально процесс может лишь приближаться к адиабатическому. Если процесс протекает достаточно быстро, так что система не успевает вступить в теплообмен с окружающей средой, то его можно считать практически адиабатическим и при отсутствии хорошей тепловой изоляции (например, при быстром сжатии или расширении газа). Первое начало термодинамики для адиабатического процесса принимает вид: dA = −dU = −cV dT ,

(8)

то есть при адиабатическом расширении работа совершается газом только в результате изменения запаса его внутренней энергии. Адиабатическое расширение сопровождается понижением температуры, а адиабатическое сжатие – повышением температуры. Выведем уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона). Поскольку dA = pdV, то, использовав выражение (8), найдем pdV = −cV dT .

(9)

Поделив уравнение (5) на (9) и приняв во внимание (6), получим 1+

cp − cV V dp ⋅ =− p dV cV

откуда dp dV = −γ ⋅ , p V

(10)

где γ=

cp cV

.

После интегрирования и потенцирования (10) получим уравнение Пуассона pV γ = const.

(11)

III. Приборы, необходимые для выполнения работы Прибор Клемана-Дезорма, с помощью которого можно определить величину cp cV

(рис. 1). Он представляет собой баллон А (на 10 л) с воздухом, накачиваемым ручным насосом Н до некоторого давления p, избыток которого h = p − p0 над атмосферным p0 определяется по водяному манометру, соединенному с баллоном А резиновым шлангом Ш. Для осуществления быстрого (адиабатного) расширения воздуха из баллона А в атмосферу служит клапан К.

Рис. 1 Выделим (мысленно) внутри воздуха, находящегося в баллоне А, некоторую массу m и проследим за изменением ее состояния во время опыта при одновременном изменении давления p и температуры T. Если клапан К открыт, то давление в сосуде равно атмосферному p0 ; температура воздуха в сосуде равна T – температуре окружающей среды. Тогда параметрами мысленно вы0

деленной массы воздуха будут V , p0 , T0 где V 0 – объем рассматриваемой массы воздуха 0

при давлении p0 и температуре T0 . Если теперь закрыть клапан К и накачать с помощью насоса в сосуд некоторое количество воздуха, то рассматриваемая нами масса воздуха сожмется, а температура и давление ее повысятся. Через некоторое время вследствие теплообмена с окружающей средой температура воздуха в сосуде станет равной T0 . Давление же будет равно:

p = p +h , 1

0

1

(12)

где h1 – окончательная (после установления теплового равновесия с окружающей средой) разность уровней жидкости в манометре. Состояние рассматриваемой массы воздуха определяется теперь параметрами V1 , p1 , T0 – это I состояние выделенной массы воздуха; V1 – объем рассматриваемой массы воздуха при давлении p1 и температуре T0 . Если на короткое время (∼ 1 ÷2 с) открыть клапан К, то воздух, находящийся в баллоне, быстро (адиабатически) расширится и вследствие этого охлаждается. В конце этого малого промежутка времени, в течение которого клапан К открыт, и баллон сообщается с атмосферой, давление воздуха внутри сосуда станет равным давлению атмосферы p0 , и состояние рассматриваемой массы воздуха будет определяться в этот момент следующими пара-

метрами V 2 , p0 , T1 – это II состояние выделенной массы воздуха; V 2 – объем рассматриваемой массы воздуха при давлении p0 и температуре T1 . При этом T1 < T0 . Когда давление в сосуде А сделается равным давлению атмосферы (через 1 ÷2 с), клапан К закрывают. Воздух, находящийся в баллоне, начинает нагреваться от T1 до T0 вследствие получения тепла окружающей среды, давление в сосуде начинает повышаться и станет равным: p 2 = p0 + h2 ,

(13)

где h2 – разность уровней жидкости в манометре после того, как температура газа в баллоне станет равной температуре окружающей среды. Рассматриваемая масса воздуха теперь характеризуется параметрами V 2 , p2 , T0 – это III состояние рассматриваемой массы воздуха. Итак, рассматриваемая масса воздуха во время опыта находилась последовательно в трех состояниях: I. V1 , p1 , T0 . II. V 2 , p0 , T1 . III. V 2 , p2 , T0 . Переход из состояния I в состояние II происходит адиабатно, из состояния II в – состояние III – изохорно.

Рис. 2 На рис. 2 изображены графики процессов: кривая I–II – адиабата, кривая II–III – изохора, кривая III–I – изотерма. Газ в состояниях I–III имеет одинаковую температуру. Переход из состояния I в состояние II описывается уравнением Пуассона:

p1V1γ = p0V 2γ Параметры состояний I и III удовлетворяют закону Бойля-Мариотта1: 1

(14)

Закон Бойля-Мариотта описывает изотермический процесс в газе – процесс, происходящий при неизменной температуре.

p1V1 = p2V 2 .

(15)

Возведя уравнение (15) в степень γ и разделив его почленно на (14), получим:

p1γ p2γ = p1 p0 , отсюда

⎛ p2 ⎜⎜ ⎝ p1

γ

⎞ p ⎟⎟ = 0 , p1 ⎠

(16)

Учитывая равенства (12) и (13), получаем, что

p0 = p1 − h1 , p2 = p1 − h1 + h2 = p1 − (h1 − h2 )

и, подставляя их в равенство (16), имеем ⎛ h1 − h2 ⎜⎜1 − p1 ⎝

γ

⎞ h ⎟⎟ = 1 − 1 . p1 ⎠

(17)

Так как (h1 − h2 ) << p1 , то, разложив в ряд левую часть (17) и ограничившись первым членом разложения, получим ⎛ h1 − h2 ⎜⎜1 − p1 ⎝

γ

⎞ h − h2 ⎟⎟ ≈ 1 − γ 1 . p1 ⎠

(18)

Приравняв правые части (17) и (18), получим следующую формулу: γ=

h1 , h1 − h2

(19)

которая и используется в этой работе для экспериментального определения γ. IV. Порядок выполнения работы

1. При закрытом клапане К ручным насосом осторожно накачивают воздух в баллон А до разности уровней жидкости в манометре 30 ÷ 35 см. 2. Выжидают 2 ÷ 3 минуты, пока уровни жидкости в манометре не перестанут изменяться; затем отсчитывают их разность h1 с точностью до 1 мм. 3. Нажимая рукой на клапан К, открывают его; при этом слышится шипение выходящего из баллона воздуха. Клапан остается открытым в течение 1 ÷ 2 секунд, пока не прекратится шипение выходящего из баллона А воздуха, после чего клапан закрывают. 4. Выжидают 2 ÷ 3 минуты, следя за изменением уровней жидкости в манометре; когда уровни установятся, отсчитывают их разность h2 с точностью до 1 мм. 5. Опыт проделывают 10 раз. Результаты измерений записывают в таблицу. Таблица № п/п

Разность уровней жидкости Разность уровней жидкости h1 h1 − h2 , мм γ = в манометре h1 , мм в манометре h2 , мм h1 − h2

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. среднее V. Обработка результатов измерений

1. Найти абсолютную и относительную погрешности измерения γ на основании формул обработки результатов прямых измерений (см. "Обработка результатов измерений"): n

Δγ = t n (α )

∑ Δγ

2 i

εγ =

i =1

n(n − 1)

Δγ γ

2. Окончательный результат записать в виде γ = (γ ± Δγ )

VI. Контрольные вопросы

1. Дайте определение удельной и молярной теплоемкостей при а) постоянном давлении; б) при постоянном объеме. 2. Выведите соотношение между теплоемкостями при постоянном давлении и постоянном объеме. 3. Какие процессы изменения состояния воздуха имеют место в данной работе? 4. Чему равен показатель γ в уравнении Пуассона? Каково его численное значение для одноатомного и многоатомного газов? 5. Вычислите теоретическое значение γ для воздуха, считая его двухатомным газом. 6. Какой процесс называется адиабатическим? Выведите уравнение адиабатического процесса. 7. Какой процесс называется изохорическим? изотермическим? изобарическим? Нарисуйте в координатах p,V графики этих процессов. 8. Как меняется внутренняя энергия газа при адиабатическом процессе? 9. Как меняется температура газа при адиабатическом процессе? 10. Выведите формулу, выражающую зависимость молярной теплоемкости идеального газа при постоянном давлении от числа степеней свободы молекулы. Лабораторная работа № 151 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ВОЗДУХА ПО ЗНАЧЕНИЮ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ

I. Цель и содержание работы

Целью настоящей работы является изучение метода измерения отношения удельных теплоемкостей cp cV по значению скорости звуковых волн. Содержание работы состоит в измерении скорости распространения звука в воздухе и определении cp cV . II. Краткая теория работы

(Предварительно следует изучить краткую теорию к лабораторной работе № 150.) Рассмотри процессы, протекающие при распространении звуковой волны в газе. Пусть в газ помещена пластина больших размеров, совершающая колебательное движение вдоль нормали к ней. Движение пластины будет вызывать повышение давления газа в прилегающем слое с той стороны, куда направлена мгновенная скорость пластины, и разрежение – с противоположной стороны. Вследствие движения молекул газа сжатие и разрежение будут передаваться от слоя к слою. В газе возникнут чередующиеся слои сжатия и разрежения, движущиеся вдоль нормали к пластине, то есть будет распространяться волна. Для определения скорости v распространения этой волны рассмотрим движение некоторой области сжатия. Пусть давление в некоторой части газа отличается от среднего значения на Δ p, а плотность – на Δ ρ. Через площадку S , перпендикулярную направлению движения области сжатия, за время Δ t проходит в направлении распространения волны избыточная масса Δm = ΔρSvΔt . Суммарный импульс, перенесенный частицами газа через площадку S , равен Δmv = ΔρSv 2 Δt . По второму закону Ньютона, этот импульс равен F Δt , а сила связана с разностью давлений по обе стороны площадки соотношением F = SΔp . Следовательно, ΔρSv 2 Δt = ΔpSΔt

v 2 = Δp Δρ

(1)

В обычных условиях изменение давления Δ p и плотности Δ ρ в звуковой волне малы по сравнению со средним значением давления p0 и плотности ρ 0 соответственно. Поэтому отношение Δp Δρ можно заменить на производную dp d ρ , и формула (1) примет вид: (2) dp v2 = dρ В звуковой волне, распространяющейся в воздухе, сжатия и разрежения происходят столь быстро, что обмен теплом между соседними слоями воздуха не успевает произойти. Это позволяет считать процесс распространения звука в воздухе адиабатическим. Уравнение адиабатического процесса имеет следующий вид: cp pV γ = const, где γ = cV m С учетом выражения плотности ρ = найдем: V (3) pρ − γ = const Используя уравнение (3) и формулу (2), получим

v2 = γ или

p0 ρ0

γ=

v 2ρ 0 p0

(4)

Скорость звука в данной работе измеряется методом сложения колебаний (См. также лабораторную работу № 148).

Рис.1. Общая схема установки

III. Описание установки

Схема установки показана на рис. 1. Установку составляют: 1 – звуковой генератор, 2 – источник звука (динамик), 3 – микрофон, 4 – усилитель, 5 – электронный осциллограф, 6 – вертикальная стойка с указателем положения микрофона, 7 – цифровой частотомер. IV. Порядок выполнения работы

1. Включить звуковой генератор, осциллограф, усилитель и частотомер. 2. Установить на шкале звукового генератора первую из частот по указанию преподавателя (2000 – 5000 Гц). Точное значение этой частоты, измеренное частотомером, занести в таблицу. 3. Перемещая источник звука относительно микрофона, получить на экране наклонную прямую линию. Определить положение источника звука по вертикальной шкале и записать полученное значение (l) в таблицу. 4. Плавно удаляя источник звука от микрофона, добиться того, чтобы на экране возникла прямая линия с тем же наклоном, как и исходная. Определить и записать новое положение источника звука (l1). Измерения l и l1 повторить еще два раза. 5. Проделать те же измерения для второго и третьего значений частот, указанных преподавателем, согласно п.п. 3 и 4. Таблица Частота, Гц

Расстояние l, см

Расстояние l1, см

Скорость звука, м/с

ν1 =

1. 2. 3.

1. 2. 3.

v1 =

ν2 =

1. 2. 3.

1. 2. 3.

v2 =

ν3 =

1. 2. 3.

1. 2. 3.

v3 =

V. Обработка результатов измерений

1. Для каждого значения частоты определить средние значения l и l i . 2. По формуле v i = ν i (l-l i ) , где i = 1, 2, 3, определить скорость звука. 3. Определить среднее значение скорости звука 1 v = (v1 + v 2 + v 3 ) 3 4. Использовав найденное значение скорости звука v и формулу (3), найти γ. Атмосферное давление p0 определяют по барометру, находящемуся в лаборатории. Плотность воздуха ρ 0 при атмосферном давлении p0 берут из таблицы. VI. Контрольные вопросы

1. Дайте определение удельной и молярной теплоемкостей при а) постоянном давлении; б) при постоянном объеме. 2. Выведите соотношение между теплоемкостями при постоянном давлении и постоянном объеме. 3. Чему равен показатель γ в уравнении Пуассона? Каково его численное значение для одноатомного и многоатомного газов? 4. Вычислите теоретическое значение γ для воздуха, считая его двухатомным газом. 5. Какой процесс называется адиабатическим? Выведите уравнение адиабатического процесса. 6. Как меняется температура газа при адиабатическом процессе? 7. Почему процесс распространения звука в воздухе можно считать адиабатическим? 8. Выведите формулу (4) данной работы для скорости звука через коэффициент Пуассона γ. 9. Как, используя формулу (4) и уравнение Клапейрона–Менделеева, найти зависимость скорости звука от температуры. 10. Вычислить скорость звука при нормальных условиях в а) гелии, б) углекислом газе. VII. Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. т. I.–М.: Наука, 1977, §§ 87, 88, 97. 2. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. т. I.–М.: Наука, 1972, §§ 32, 33.