大学数学 流形上的微积分

面 向 2 1 世 纪 课 程 教 材 Tex tbook Series for 21 st Century

大 学 数 学 第二版

流形上的微积分 萧树铁 　 主编 陈维桓 　 编著

高 等 教育 出 版社

内客提要 本书是普通高等教育“十五”国 家级规 划教材 , 是高 等教 育出 版社 2000 年 版“大学 数 学”系列教材的第二版。 本书主要讲授定义在拓扑空间和微分流形上的连续函 数、光 滑函数和光 滑影射 , 并介 绍处理它们之间的关系的原理和 方法。全书 由 4 章 组成 : 拓扑 结构 , 光 滑结 构 , 外 微分 式 及其积分 , 黎曼流形上的微分算子等。 本书可作为高等学校理工科各专业的教材 , 也可供其他专业人员参考。

　 图书在版编目 ( CIP) 数据 　 大学数学 : 流形上的微积分/ 萧树铁主编 .—北京 : 高等 教育出版社 , 2000( 2001 重印 ) 　 ISBN 7 - 04 - 008818 - 5 　 Ⅰ .大… 　 Ⅱ .萧… 　 Ⅲ .①高等数学②微积分 　 Ⅳ .0 13 　 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2000) 第 60412 号 大学数学 　 流形上微积分 萧树铁 　 主编 出版发行 社 　 　址 电 　 　话 网 　 　址

　 　 　 　

高等教育出版社 北京市东城区沙滩后街 55 号 　 　 　 　 　 邮政编码 　 100009 010 - 64054588 传 　 　 真 　 010 - 64014048 htt p :/ / www .hep .edu .cn

经 　 　 销 　 新华书店北京发行所 印 　 　 刷 　 国防工业出版社印刷厂 开 　 　 本 　 787×960 　 1/ 16 印 　 　 张 　 23．75 字 　 　 数 　 434 000

版 　 　 次 　 2000 年 7 月第 1 版 印 　 　 次 　 2001 年 6 月第 2 次印刷 定 　 　 价 　 20．10 元

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版权所有 　 侵权必究

再 版 序 言 提高大学数学教学质量的关键在于教师 , 但一套较好的教材也是重要的 . 随着我国大学数学教学内容改革的逐 步深 入 , 当前 不少高 等学 校在基 础数 学 教学内容的改革方面有了一些进展 , 例如单纯“ 面向专业”的观念有所淡化 , 代 数课程的内容和学时有所增加 , 开设了 一些新 的课 程 , 如“ 数 学实验”和“随 机 数学”等 ; 相应地有一批新教材出版 .本套教材也在试用了两年多以后 , 进行了 部分修订 .这就是《大学数学》的第二版 . 在保持原有的指导思想和风 格的 前提 下 , 这一套 教材 由原 来的五 本 :《一 元微积分》、 《多元微积分及其应用》、 《代数与几何》、 《随机数学》及《数学实验》 改编、扩充为七本 , 即 :《微积分 ( 一 )》、 《微积分 ( 二 )》、 《多元微积分及其应用》、 《流形上的微积分》、 《代数与几何》、 《随机数学》及《数学实验》, 其中《流形上的 微积分》是新编入的 .其它几本修订的大致情况如下 : 《微积分 ( 一 )》以原来的《一元微积分》中的第一篇 , 即“ 直观基础上的微积 分”为其主要内容 , 力求做到“返璞归真”.除了进一步强调了计算和应用之外 , 还增加了一些对“极限”的朴素描述 . 《微积分 ( 二 )》是把原来《一元微积 分》中的 第二 篇 , 即“理 性微积 分”的 内 容作一些修改而成 .其中为了使读者能更好体会数学分析中的一些基本手法 , 对用阶梯函数逼近的办法来处理定积分 ( 即函数集扩张的思想 ) 又作了一些改 进 . 《多元微积分及其应用》是把原 书加 以适 当精简 而成 .原 书中“ 复变函 数” 部分重新改写以求突出重点和更加精练 ; 原书的“ 微分几何”部分移到《代数与 几何》 . 以上三本教材的习题也都作了调整 . 《流形上的微积分》与前面三本微 积分 教材 合在一 起 , 就显 示了微 积分 从 古典一直到现代的基本面貌 , 而且 也是一 个理 解当 代数学 和物 理的一 个不 可 缺少的台阶 .虽然目前它并不属于数学基础课的范围 , 但可供对此有兴趣的学 生选修 .此外 , 对从事微积分教学而在 这方 面有 所欠缺 的教 师来讲 , 不 妨顺 便 补上这一课 . 《代数与几何》内容的变动是适当精简了代数的内容 , 增加了“ 行列式的几 何意义”; 几何部分则增加了“微分几何”的基本内容 . 《随机数学》的一部分内容作了进 一步 精简 , 同 时增加 了一 些诸如 线性 回

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再 版 序 言

归和随机数学内容 , 补充了一些有趣的例子 . 《数学实验》是在几年来教学实践的基础上 , 对第一版的内容进行调整 , 以 了解基本原理和掌握实用方法为主线 , 使之适合更多学生的学习情况 , 并升级 书中所用的 MAT LAB 版本 , 同时出版供教师使用的电子教案 . 《代数与几何》中的几何部分包括了仿射、射影和微分几何 , 还有两个非欧 几何的模型 .它所需的学时不多 ( 不超 过 30 学 时 ) .这些内 容的 选取和 写法 是 否合适 , 能在多大程度上体现数学理 性思 维和“ 数学美”, 还 有待 进一步 讨论 . 人们对大学数学课程中几何被严重削弱的缺陷已有共识 , 但又往往以“ 课内学 时不够”或“没有用”等理由保留了 这个 缺陷 .精 简课内 学时 是必要 的 , 内容 的 选取更可以讨论 .希望有志于此的教师能先试开一些这方面的选修课 , 供大家 来讨论 . 这次内容的调整主要是为了增加 这套 教材 的灵活 性 , 不同 的学校 或专 业 在内容上可以有不同的选择 : 可以选择其中的某几本 , 或删去某些用小字写的 部分 .例如在清华 , 这套教材就初步适 应了 一个 较为稳 定的 教学计 划 .即除 了 部分文科和艺术类专业以外 , 数学 基础 课的 内容 确定 为 “ : 微 积分 ( 一 ) ”( 3 学 分)“ , 微积分 ( 二 )”(3 学 分 ) “ , 多元 微 积分 及 其应 用”( 4 学 分 ) “ , 代数”( 4 学 分)“ , 几何”(2 学分 ) “ , 随机数学”(3 学分 ) “ , 数学实验”( 3 学分 ) , 其中 1 学 分 表示一个学期 ( 实上课 15 周 ) 上 15 节课 ( 每节 45 分钟 ) , 另外适当安排少数课 外习题课 .这样数学基础课的总学时就是 330 学时 , 而其中被列为必修基础课 的只有“微积分 ( 一 )”和“代数”两门 .但实 际上 多数 专业的 学生 几乎都 选了 大 部分甚至全部数学基础课 . 参加这一版改写工作的有朱学贤、郑建华、章纪民、华苏、居余马、萧树铁、 李津、陈维桓等同志 ; 谭泽光、白峰杉同志参加了讨论并提出很多好的意见 .

编者于 清华园 2002 年 10 月

序　 　言 长期以来 , 我国高等学校各类 非数学 专业 的数 学基础 课都 限于以 微积 分 为主要内容的“高等数学”.面临 21 世纪各门知识的相互渗透和自身加速更新 的形势以及全面提高人才素质的需要 , 数学的作用将显得日益重要 .而作为高 等学校数学基础课的作用 , 除了作为各门学科的重要工具以外 , 它在提高人才 全面素质中起着重要作用的培育理性思维和审美功能方面也应得到充分的重 视 .这就需要一部与之相适应的教材 . 这套“大学数学”教材是在前国家教委“面向 21 世纪教学内容和课程体系 改革”研究课题的支持下完成的 .共 有五 本 :《一元 微积分》、 《多 元微积 分及 其 应用》、 《代数与几何》、 《随机数学》与《数学实 验》 .我们 认为它 们是 21 世纪 高 级人才应该普遍具备的数学基础 .希望学生通过对它们的学习 , 能在掌握数学 工具、提高理性思维和审美素质以 及获取 新知 识的 能力诸 方面 打下一 个良 好 的基础 .这种要求应该是针对任何专业的 , 只是在深度上及侧重的方面可能会 有些区别 . 在现行的《高等数学》中 , 微积 分和数 学分 析之 间的关 系一 直是一 个难 以 处理的问题 .1 9 世纪以前的 微积 分 , 以它 的 直观 性和 不断 扩展 的 应用 显示 了 数学的威力 , 但同时也暴露出其缺 乏严格 逻辑 基础 的缺点 .诞 生于 19 世纪 的 数学分析则以其逻辑的完美显示了数 学的 理性 精神 .这两 个方 面在教 材中 如 果结合得好 , 可以激发初学者对数 学的 兴趣 ; 但 如果结 合得 不好 , 则很 可能 失 去两者的活力而形成一堆枯燥的形式 推理 和繁 琐的计 算 .在本 书中我 们力 图 按其本来的面目来编写 , 把一元微 积分 分为两 部分 : 前 一部 分注重 直观 , 着 重 训练应用和运算 , 后一部分则着重培育理性思维 . 《多元微积分及其应用》的应用内容包括复变函数、微分几何及常微分方程 . 《代数与几何》的代数部分基本上是线性代数 , 其内容也可分为两部分 : 一 部分是以算法为主的求解一般线性方 程组 的内 容 ; 另一部 分则 主要研 究线 性 空间及其上的线性映射 .由于后者是前者的理论框架 , 而且它已成为近代数学 普遍使用的基本语言 , 因此本书 在集合、关 系、运算、代 数结 构之后 , 较 快地 进 入后者的讨论 , 并且通过数值表示把两者结合起来 . 至于几何, 尽管它在古希腊及 19 世纪有着辉煌的历史, 在本世纪后半叶也进 入了数学研究的主流行列 ,但近 50 年来,在我国高校的数学基础课中, 却一直被压

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序　 　言

缩到只剩下一点空间解析几何 .这 对培养学生的形象思维及理性思维的习惯极为 不利 .本书除了在多元微积分应用中加上古典微分几何基础 (曲线和曲面) 以外 , 在 几何部分则增加了 “仿射及射影几何”及非欧几何的两个初等模型 . 本世纪后半叶以来 , 人们对事 物认识 演化 的表 现之一 是从 单纯的 确定 性 思维模式进入确定—随机性模式 .这一趋势还在发展 , 在高校数学教学中已受 到广泛的关注 .我们提出把“ 随机数学”正式列入基础课 .本书内容的重点是通 过几个典型范例的讨论 , 使学习者学会描述与表达随机性及随机变化的过程 , 即集中于对随机模式认识的训练 . 这套系列教材中的《数学实验》有其独特性 .它的知识内容包含数值方法、 统计计算和优化计算的基本概念和初 等方 法 , 其目 的是为 学生 自已动 手解 决 问题提供必要的数学知识和软件平台 .这是一门以学生独立动手 , 教师起辅导 作用的课程 .这类课程的教材如何编写 , 本书只是一种尝试 . 以上是这套教材的一个简要介绍 .这套教材既是一个统一的整体 , 各部分 之间又有相对的独立性 , 可以独立 讲授 .在 内容 方面 , 它包 含了 现行的 高等 数 学、线性代数、复变函数、微分方 程、微分几 何、数值 分析、概 率统计、优 化计 算 等课程最基本的内容 , 而总学时则大为减少 .我们在清华大学几个班的试验表 明 : 全部讲完上述内容所需的学 时大约 为 340 左右 .除 数学 实验外 , 如 果再 减 掉一些内容 , 280 学时左右也是可以的 , 可由教师灵活掌握 . 这套教材在有些大段落后面 , 附有一段“ 评注”, 主要讲述这一段的重要思 想和可能的发展 , 为有兴趣的学生进一步学习数学开一点小小的窗口 . 大凡一本可用的教材 , 往往有两种写法 : 尽量多写一点 , 以便于教师选择 ; 或尽量写少一点 , 以便于教师发挥 .这 套教 材似 乎偏于 前者 .因 为这是 一个 尝 试 , 对习惯讲授传统“高等数学”的 教师 来说 , 对 这套教 材可 能不太 适应 , 也 许 需要多一些说明 . 这套教材原有的基础是清华大学出版社 1995 年出版、由萧树铁、居余马、 葛严林等主编的三卷本《高等数学》 .参与现在这套教材编写的有朱学贤、郑建 华、章纪民、居余马、李海中、钱敏平、叶俊、姜启源、高立、何青等人 .谭泽光、白 峰杉、韩云瑞等同志为本书的编写作了大量的工作 .高教出版社对本书的编写 和出版始终给予热情的支持 . 前面已说过 , 这套教材的编写是一个尝试 , 目的在于根据“百家争鸣”的精 神 , 参与探索大学数学基础课在培养下一世纪高素质人才中所应起的作用 , 以 及与之相适应的教材建设 .我们衷心欢迎各方人士对这套教材评头论足 , 指出 缺点和错误 .如果这套教材能起到抛砖引玉的作用 , 我们就很满足了 .

萧树铁 1999 年 6 月

前　 　言

本书是《大学数学》中的微积分的组成部分 . 通过前面各部分的学习 , 我们 对于一 元微 积分 和多元 微积 分的基 本概 念 已经有了相当深刻的理解 , 并且掌握了微分、积分的计算技巧及其应用 .但是 , 随着数学本身的发展 , 以及解决实际 问题 ( 特 别是 物理和 力学 中的 各种问 题 ) 的需要 , 仅仅考虑欧氏空间中的微 积分 是不够 的 .例如 , 只 知道 定义在 欧氏 空 间的开区域中的函数的连续性和可微 性 , 则尚 不能 对于定 义在 球面上 的函 数 的连续性和可微性有正确的、深刻的了解 .所以 , 有必要把数学—微积分的“ 演 出舞台”从欧氏空间进一步拓展到微分流形 .这就是本书的主要目标 . 流形的概念是由 伟大 的 数学 家黎 曼 ( B .Riemann) 在 1854 年 的 著名 演 讲 《关于几何学的基本假设》中提出来的 .在笛卡儿和费马发明坐标系之后 , 我们 所处的空间中的点与 3 个有次序的实数 的组 ( x , y , z ) 能够 建立 1 - 1 对应 关 系 .这是数学中的革命性创举 , 是牛顿 和莱 不尼 茨发明 微积 分的前 奏曲 .黎 曼 关注数学物理问题 , 特 别是 热 方程 .他把 物 理中 的 数据 看 成 是抽 象 空间 中 的 点 , 该数据成为“ 点”的坐标 .此时 , 坐标 不再有 具体 的几 何含义 .如 距离、夹 角 等 .黎曼引进的实际 上是 我 们现 在所 称的 局部 坐 标系 .在 20 世 纪 初 Poincare 提出拓扑学之后 , 拓扑概念很快成为数学的基础概念 .流形和微分流形的概念 在此基础上逐渐成熟 , 大范围分析 ( 即大 范围 的微 积分学 ) 和大 范围微 分几 何 学应运而生 , 成为 20 世纪的热门研究课题 .与此同时 , 微分流形的有关概念成 为现代数学的基本术语 , 出现在众多的数学文献中 .了解和掌握微分流形的基 本概念和术语是进入现代数学殿堂的前提 . 本课程的标题是《流形上的微积分》 .微分学在本质上是局部理论 , 它的基 本概念和技巧在前面已经学过了 .因此 , 本书的重点在于扩展我们对于空间本 身的了解 , 也就是介绍拓扑空间和微分流形的概念 , 介绍定义在拓扑空间和微 分流形上的连续函数、光滑函数和光滑映射 , 以及随之而产生的处理局部定义 的量和大范围定义的量之间关系的原理和方法 .所以 , 本课程的副标题可以是 《微积分的几何理论》 . 20 世纪的几何大师、中国现代数学的建筑大 师陈省身 曾经说过 “ : 要研 究 整个流形 , 流形论的基础便成为必要 .流形内的坐标是局部的 , 本身没有意义 ;

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前　 　言

流形研究的主要目的是经过坐标卡变换而保持不变的性质 ( 如切向量 , 微分式 等 ) .这是与一般数学不同的地方 .这些 观念经 过几 十年 的演变 , 渐 成定 型 .将 来数学研究的对象必然是流形 ; 传统的实数或复数空间只是局部的情形 ( 虽然 在许多情形下它会是最重要的 情形 )”这 一段话 为我 们指 明了 本 课程 的主 要 方向 . 在萧树铁先生的主持和指导下 , 以清 华大 学数 学科学 系的 老师为 主体 编 写的《大学数学》是非数学专业数学课 程教 育改 革的重 要成 果 .在萧树 铁先 生 亲自创导下 , 我们在 2001 年 和 2002 年 的 秋季 两次 为清 华大 学 理科 基地 班 2 年级同学在学习多元微积分之后开 设新 的选 修课程《流形 上的 微积分》, 本 书 是在该课程取得经验的基础上编写 的 .全书由 四章 组成 , 标 题分别 为 : 拓扑 结 构 , 光滑结构 , 外微分式及其积分 , 黎曼流形上的微分算子 . 在“拓扑结构”这一章 , 我们首 先说明 只有 定义 在欧氏 空间 上的函 数的 连 续性概念是不够的 , 经常需要考虑定 义在 3 维 欧氏 空间中 的曲 面上的 函数 的 连续性 .关于后者 , 传统的定义显得乏力 , 需要摒弃球状邻域的概念 , 代之以一 般的邻域概念 .拓扑结构是从欧氏 空间 的邻域 结构 抽象 出来的 .但 是 , 我们 感 兴趣的不是抽象集合上的各种各样怪 异的 拓扑 结构 , 而是 与欧 氏空间 相近 的 拓扑空间 , 所以我们在介绍了拓扑的一般概念之后 , 重点是介绍重要的拓扑空 间的例子和重要的拓扑性质 . 在“光滑结构”一章 , 首先说明 微分结 构对 于引 进函数 的可 微性概 念是 必 要的 .然后 , 主要介绍光滑流形的重要例子 , 光滑函数的概念 , 以及沟通局部定 义的数学对象和整体定义的数学 对象 的工 具—截断函 数和 单位分 解定 理 .切 向量和光滑切向量场是微分算子 , 是流形的光滑结构的衍生物 , 本章对此作了 系统的讨论 . “外微分式及其积分”是本书在微 积分 学方 面的主 要部 分 .在前面 两章 扩 展了我们所考虑的空间概念之后 , 在本章 需要 进一 步展开 和研 究该空 间上 的 微积分学 .主要内容有 : 外微分式 , 外微分运算 , 外微分式的积分 , Stokes 定理 . “黎曼流形上的微分算子”的主要 内容 首先 是以欧 氏空 间为例 子 , 介绍 光 滑切向量场的协变导数和协变微分 , 然后介绍 梯度 , 散度 , Laplace 算子等重 要 的微分算子 , 以及场论公式 , 最后把这些算子过渡到一般的黎曼流形上去 . 本书可以按周学时 4 的计划在一 学期内 讲完 , 其 中带 ＊ 的 章节用 小号 字 排出 , 在课堂上可以不讲 , 仅供学生自学和参考 .若周学时 为 3 , 则 前三章可 以 作为课程的内容 , 而第四章作为学生自学的材料 . 教学课程体系和教学内容的改革 是一 个不 断地适 应时 代发展 的需 要、不 断地反映学科创新成果的艰难过程 , 不是一朝一夕就能完成的 .对于目前的这 门新课程来说 , 从取材、内容到先后安 排和 讲法 更有一 个逐 步成熟 的过 程 , 恳

前　 　言

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请大家不吝指教 . 在本 书 写 作 过 程 中 作 者 得 到 国 家 自 然 科 学 基 金 项 目 ( 批 准 号 为 : 10271004 ) 的资助 , 在此作者对国家自然科学基金委员会的支持表示衷心的感 谢 .

陈维桓 　 2003 年 2 月

目　 　录 第一章 　 拓扑结构

……………………………………………………………………… ( 1 )

　 1．1 　 n 维欧氏空间 …………………………………………………………………… ( 1 ) 　 　 1．1．1 　 n 维欧氏向量空间 ………………………………………………………… ( 2 ) 　 　 1．1．2 　 n 维欧氏空间上的距离函数 ……………………………………………… ( 2 ) 　 　 1．1．3 　 n 维欧氏空间中的球状邻域 ……………………………………………… ( 2 ) 　 　 1．1．4 　 n 维欧氏空间中点列的极限 ……………………………………………… ( 3 ) 　 　 1．1．5 　 n 维欧氏空间上的连续函数 ……………………………………………… ( 3 ) 　 　 1．1．6 　 从 n 维欧氏空间到 m 维欧氏空间的连续映射

………………………… ( 4 )

　 1．2 　 拓扑空间 ………………………………………………………………………… ( 6 ) 　 　 1．2．1 　 拓扑 ………………………………………………………………………… ( 6 ) 　 　 1．2．2 　 拓扑基 ……………………………………………………………………… ( 7 ) 　 　 1．2．3 　 由拓扑直接派生的基本概念 ……………………………………………… ( 9 ) 　 　 1．2．4 　 拓扑子空间 ………………………………………………………………… (10) 　 　 1．2．5 　 连续映射 …………………………………………………………………… (10) 　 1．3 　 常见的拓扑空间 ………………………………………………………………… (12) 　 　 1．3．1 　 度量空间 …………………………………………………………………… (13) 　 　 1．3．2 　 乘积空间 …………………………………………………………………… (14) 　 　 1．3．3 　 商空间 ……………………………………………………………………… (16) 　 1．4 　 重要的拓扑性质 ………………………………………………………………… (18) 　 　 1．4．1 　 分离性公理 ………………………………………………………………… (18) 　 　 1．4．2 　 紧致性 ……………………………………………………………………… (19) 　 　 1．4．3 　 局部紧致性 ………………………………………………………………… (21) 　 　 1．4．4

＊

　 连通性和道路连通性 …………………………………………………… (24)

　 　 1．4．5 ＊ 　 局部连通性和局部道路连通性 ………………………………………… (25) 　 1．5 　 习题一 …………………………………………………………………………… (27) 第二章 　 光滑结构

……………………………………………………………………… (31)

　 2．1 　 微分流形 ………………………………………………………………………… (31) 　 　 2．1．1 　 拓扑流形 …………………………………………………………………… (31) 　 　 2．1．2 　 局部坐标的变换 …………………………………………………………… (32) 　 　 2．1．3 　 光滑微分结构 ……………………………………………………………… (34) 　 　 2．1．4 　 光滑流形的例子 …………………………………………………………… (35) 　 2．2 　 光滑函数 ………………………………………………………………………… (39) 　 　 2．2．1 　 光滑函数的定义 …………………………………………………………… (39)

目　 　录

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　 　 2．2．2 　 截断函数 …………………………………………………………………… (40) 　 　 2．2．3 　 单位分解定理 ……………………………………………………………… (42) 　 　 2．2．4 　 光滑映射 …………………………………………………………………… (43) 　 2．3 　 切空间 …………………………………………………………………………… (44) 　 　 2．3．1 　 切向量 ……………………………………………………………………… (44) 　 　 2．3．2 　 切空间 ……………………………………………………………………… (46) 　 　 2．3．3 　 自然基底 …………………………………………………………………… (47) 　 　 2．3．4 　 切向量的分量 ……………………………………………………………… (49) 　 　 2．3．5 　 光滑映射的切映射 ………………………………………………………… (51) 　 　 2．3．6 　 切映射的坐标表示 ………………………………………………………… (53) 　 2．4 　 子流形 …………………………………………………………………………… (54) 　 　 2．4．1 　 浸入子流形 ………………………………………………………………… (54) 3

　 　 2．4．2 　 R 中的正则曲线和正则曲面 ……………………………………………… (56) 　 　 2．4．3 　 光滑函数的水平面 ………………………………………………………… (58) 　 2．5 　 光滑切向量场 …………………………………………………………………… (61) 　 　 2．5．1 　 光滑切向量场 ……………………………………………………………… (61) 　 　 2．5．2 　 作为微分算子的光滑切向量场 …………………………………………… (62) 　 　 2．5．3 　 Poisson 括号积 ……………………………………………………………… (64) 　 　 2．5．4 　 在光滑映射下相关的光滑切向量场 ……………………………………… (67) 　 2．6 　 习题二 …………………………………………………………………………… (69) 第三章 　 外微分式及其积分

…………………………………………………………… (73)

　 3．1 　 外形式 …………………………………………………………………………… (73) 　 　 3．1．1 　 对偶向量空间 ……………………………………………………………… (73) 　 　 3．1．2 　 对偶基底 …………………………………………………………………… (74) 　 　 3．1．3 　 线性函数的分量的坐标变换公式 ………………………………………… (75) 　 　 3．1．4 　 多重线性函数 ……………………………………………………………… (77) 　 　 3．1．5 　 r 次外形式 ………………………………………………………………… (78) 　 　 3．1．6 　 反对称化算子 ……………………………………………………………… (79) 　 　 3．1．7 　 外形式的外积 ……………………………………………………………… (82) 　 　 3．1．8 　 外形式的坐标表达式 ……………………………………………………… (84) 　 　 3．1．9 　 外多项式 …………………………………………………………………… (86) 　 　 3．1．10 　 向量空间的线性映射在外形式空间上的诱导映射

…………………… (88)

　 3．2 　 外微分式 ………………………………………………………………………… (88) 　 　 3．2．1 　 余切向量和余切空间 ……………………………………………………… (88) 　 　 3．2．2 　 r 次外微分式 ……………………………………………………………… (89) 　 　 3．2．3 　 外微分 ……………………………………………………………………… (90) 　 　 3．2．4 　 外微分的运算规则 ………………………………………………………… (94) 　 　 3．2．5 　 外微分的求值公式 ………………………………………………………… (95)

目　 　录

・ 3・

　 　 3．2．6 　 拉回映射 …………………………………………………………………… (96) 　 3．3 　 可定向光滑流形和带边区域 …………………………………………………… (98) 　 　 3．3．1 　 向量空间的定向 …………………………………………………………… (99) 　 　 3．3．2 　 可定向光滑流形 …………………………………………………………… (99) 　 　 3．3．3 　 可定向性的判别准则 　 　 3．3．4 　 带边区域

…………………………………………………… (100)

………………………………………………………………… (102)

　 　 3．3．5 　 有向光滑流形在带边区域的边界上的诱导定向 　 3．4 　 外微分式的积分

……………………………………………………………… (105)

　 　 3．4．1 　 外微分式的支撑集包含在坐标域内的情形 　 　 3．4．2 　 一般情形

……………………… (103)

…………………………… (105)

………………………………………………………………… (106)

　 　 3．4．3 　 积分的性质

……………………………………………………………… (107)

　 　 3．4．4 　 在浸入子流形上的积分

………………………………………………… (108)

　 3．5 　 Stokes 定理 ……………………………………………………………………… (111) 　 　 3．5．1 　 Stokes 定理的叙述 ………………………………………………………… (111) 　 　 3．5．2 　 Stokes 定理的证明 ………………………………………………………… (114) 　 　 　 　 3．5．2．1 　 情形 U∩ D =

的证明 ………………………………………… (115)

　 　 　 　 3．5．2．2 　 情形 U∩ D≠

的证明 ………………………………………… (116)

　 3．6 　 习题三

………………………………………………………………………… (118)

第四章 　 黎曼流形上的微分算子 ……………………………………………………… (126) 　 4．1 　 黎曼流形

……………………………………………………………………… (126)

　 　 4．1．1 　 欧氏向量空间

…………………………………………………………… (126)

　 　 4．1．2 　 黎曼流形的定义

………………………………………………………… (127)

　 　 4．1．3 　 黎曼流形的例子

………………………………………………………… (128)

3

　 　 4．1．4 　 R 中的正则曲面 ………………………………………………………… (132) 　 4．2 　 梯度算子

……………………………………………………………………… (134)

　 　 4．2．1 　 欧氏向量空间与其对偶空间的自然同构

……………………………… (134)

＊

　 　 4．2．2 　 欧氏向量空间 V 和 V 的自然同构在任意的基底下的表示 ………… (135) 　 　 4．2．3 　 黎曼流形上的梯度算子 　 4．3 　 光滑切向量场的协变微分

………………………………………………… (137)

…………………………………………………… (141)

　 　 4．3．1 　 R n 上的光滑切向量场的微分 …………………………………………… (141) 　 　 4．3．2 　 黎曼流形上的光滑切向量场的协变微分 　 　 4．3．3

＊

……………………………… (146)

　 光滑切向量场的分量的协变导数及其坐标变换公式 ………………… (148)

　 4．4 　 散度算子和 Laplace 算子 ……………………………………………………… (152) 　 　 4．4．1 　 光滑切向量场的散度

…………………………………………………… (152)

　 　 4．4．2 　 散度的局部坐标表达式

………………………………………………… (153)

　 　 4．4．3 　 Laplace 算子 ……………………………………………………………… (155) 　 　 4．4．4 　 单位球面上的 Laplace 算子 ……………………………………………… (156) 　 4．5

＊

　 黎曼流形上的外微分学 ……………………………………………………… (159)

・4・

目　 　录

　 　 4．5．1 　 n 维欧氏向量空间中的 Hodge 星算子

………………………………… (159)

　 　 4．5．2 　 Hodge 星算子在非单位正交基底下的表达式 …………………………… (160) 　 　 4．5．3 　 Hodge 星算子在外微分式上的作用 ……………………………………… (162) 　 　 4．5．4 　 R3 中的场论公式 ………………………………………………………… (165) 　 　 4．5．5 　 有向黎曼流形上的 Hodge 星算子和余微分算子 　 4．6 　 习题四

……………………… (166)

………………………………………………………………………… (169)

参考文献 ………………………………………………………………………………… (172) 索引 ……………………………………………………………………………………… (173)

第一章 　 拓 扑 结 构 n

多元微积分是研究定义在 n 维欧氏空间 R 上的 函数的 微积 分理 论 .但 是 , 随着数学的发展 , 以及它的应用范 围的扩 大 , 把 我们所 考虑 的空间 局限 于 欧氏空间显然是不够的 .比如 , 要大范 围地研 究地 球的表 面 , 则 它在数 学上 只 能看作一个椭球面 , 尽管在每一点的附近可以近似地看作一小块平面 , 但是就 整个表面来说它不是 2 维的欧氏空间 .当然 , 在微积分“ 演出”的舞台从欧氏空 间扩展到一般的微分流形的过程中 , 始终是把欧氏空间作为参照物 , 把欧氏空 间作为模型 .我们要把在欧氏空间中籍以定义连续函数、可微函数的构造抽象 出来 , 移植到抽象的非空集合上来 .本章的目的是把欧氏空间的邻域结构抽象 出来 , 作为抽象集合上的拓扑结构 , 籍以定义该空间上的连续函数 .另外 , 我们 还要密切地注视欧氏空间特有的一些 拓扑性 质 , 把 它们添 加到 感兴趣 的拓 扑 空间上去 .

1．1 　 n 维欧氏空间 n

所谓的 n 维欧氏空间 R 是指有次序的 n 个实数的数组构成的集合 , 即 R

n

1

n

1

n

( x ,…, x ): x ,…, x ∈ R

=

.

在这里 , 与多元微积分中的记号不同 , 我们采用上指标表示该数组中的数的序 号 . 集合 R n 有双重身份 : R n 中的元素 x = ( x 1 , … , x n ) 称为 点 , 它代表的 是 n

n

1

n

空间 R 中的点的位置 ; R 中的元素 x = ( x , … , x ) 又可以 看作向 量 , 因 而 n

在 R 中又有加法和数乘法 : 1

n

1

n

1

n

1

1

n

n

( x , …, x ) + ( y , …, y ) = ( x + y ,…, x + y ), 1

n

λ・ ( x , … , x ) = (λx , … , λx ) , n

n

并且 R 关于这两种运算成为向量空间 .实际上 , 原点 O = (0 , … , 0) 是 R 中 的一个特殊点 , 而点 A 和有向 线段O A ( 向量 ) 是一一对应 的 .在 把 R n 中 的元 n

素看作向量时 , 实际上是在 R 的所有有向 线段之间建立了 一个等同关 系 , 即 向量 A B 和CD 是同一个 , 当且仅当 A BDC 成为一个平行四边形 .若设点 A = 1

n

1

n

1

n

1

( a , … , a ) , 点 B = ( b , … , b ) , 则有 向量 O A = ( a , … , a ) , OB = ( b , n

… , b ) .根据有向线段相加的三角形法则 , 存在向量 AB 满足条件

第一章 　 拓 扑 结 构

・2・

O A + A B = OB , 即 1

1

n

n

A B = OB - OA = ( b - a , … , b - a ) . n

究竟以哪一种身份来看待 R 取决于我们的研究对象是什么 .如果我们要研究 n

定义在 R 上的函数或 n 元函数在 R n

n+1

中的图像 , 则把它看作“点”的空间 ; 如

n

果考虑的是 R 的代数结构 , 则把 R 看成“向量”的空间 .

1．1．1 　 n 维欧氏向量空间 n

1

n

1

n

把 R 看作向量空间 , 则对于任意的 u = ( u , … , u ) , v = ( v , … , v ) ∈ n

R , 它们的内积是 n

〈u , v〉 =

∑uv i

i

.

i= 1

很明显 ,〈u , v〉作为二元函数关于每一个自变量 u 和 v 都是线性的 , 并且 n

〈u , v〉 = 〈v , u〉, 　〈u , u〉 =

∑( u )

i 2

≥ 0,

i= 1

n

其 中等号成立当且仅当 u = 0． 换句话说 , 内积〈・,・〉是定义在向量空间 R 上 的对称、正定的双线性形式 .给定了内积的向量空间称为欧氏向量空间 .

1．1．2 　 n 维欧氏空间上的距离函数 设 A = ( a1 , … , a n ) , B = ( b1 , … , bn ) 是 R n 中任意两个点 , 命 n

d( A , B) =

AB

〈A B, AB〉 =

=

∑( b

i

i

2

- a) .

i =1

很明显 , d( A , B) = d ( B , A ) ; d( A , B) ≥ 0 , 且等号成立当且仅当 A = B; 对 n

于任意三个点 A , B , C ∈ R , 则有 d ( A , C) ≤ d ( A , B) + d ( B , C) . 上式称为三角不等式 .满足上面三个条件的 2 元函数 d( A , B) 称为点 A 和 B 之间的距离 .

1．1．3 　 n 维欧氏空间中的球状邻域 n

设 X0 ∈ R , r > 0 , 命 B( X0 , r) = n

n

A ∈ R : d( X 0 , A ) < r ,

称为 n 维欧氏空间 R 中以 X 0 为中心、以 r 为半径的球状邻域 .

1．1 　 n 维欧氏空间

・ 3・

若 n = 1 , 则 X 0 ∈ R 是实数 , 于是球状邻域 B( X 0 , r ) 就是开区间 ( X 0 r , X0 + r ) . n

设 U 是 R 的子集 , A 是 U 中的任意一点 .如果存在正数 r , 使得 B( A , r) U , 则称 A 是 U 的内点 .如果 U 的每一点都是内点 , 则称 U 为 R n 的开 子 集 .很明显 , 开子集 U 必定能够表示成 R n 中 的若干球 状邻 域的并 集 ; 反之 亦 然 . n

R 的开子集有下列两个性质 : n

n

(1 ) R 的任意多个开子集的并集必是 R 的开子集 ; n

n

(2 ) R 的任意两个开子集的交集或者是空集 , 或者是 R 的开子集 . n

为了叙述简便起见 , 把空集看作是 R 的开子集 .于是从性质 ( 2) 得知 , R

n

n

的任意有限多个开子集的交集是 R 的开子集 . 球状邻域和开子集的概念是叙述 极限和 连续 函数的 定义 的基 础 .让我 们 来回顾 R n 中点列的极限和连续函数的定义 .

1．1．4 　 n 维欧氏空间中点列的极限 先考虑 n = 1 的情形 .设 X i 是 R 中的一个点列 , 即 X i 是一个实数 序 列 .用ε- N 语言叙述的“实数序列 X i 以实数 a 为极限”的定义是 : 对于任意 的 ε> 0 , 必能找到正整数 N , 使得当 i > N 时都有 X i - a < ε.最后的不等 n n 式可以改写为 X i ∈ B( a,ε) .因此 “ , R 中的点列 X i 以点 X0 ∈ R 为极限”

的定义可以用 ε- N 语言叙述为 : 对于任意的ε> 0 , 必能找到正整数 N , 使得 当 i > N 时都有 X i ∈ B( X 0 ,ε) , 　 　 即 　 d ( X0 , X i ) < ε, 记为 i →lim Xi = X0 ． +∞ 采用球状邻域的好处是可以用不 涉及维 数的 统一语 言来 表述 , 并 且直 观 意义更加清晰 .

1．1．5 　 n 维欧氏空间上的连续函数 同样 , 先考虑 n = 1 的情形 .用 ε - δ语言叙述的“ 函数 f : R → R 在 x 0 处 连续”的定义是 : 任意给定 ε> 0 , 必能找到 δ > 0 , 使得当 x - x0 有 f ( x ) - f ( x0 )

< δ时都

< ε.上面的说法可以改述为 : 任意给定 ε > 0 , 必能找 到

δ > 0 , 使得当 x ∈ B( x 0 ,δ) 时都有 f ( x ) ∈ B( f ( x0 ) ,ε) , 即 f ( B( x 0 ,δ) ) B( f ( x 0 ) ,ε) .

第一章 　 拓 扑 结 构

・4・

上面的说法在维数为 n 的情形也是适用的 : n

1

n

n

设 f = f ( X) 是定义在 R 上的实函数 . X 0 = ( x 0 , … , x0 ) ∈ R .如果对 于任意的 ε > 0 , 必能找到 δ > 0 , 使得当 X ∈ B( X 0 ,δ) 时都有 f ( X ) ∈ B( f ( X 0 ) ,ε) , 则称函数 f ( X) 在 X0 处是连续的 , 记为 Xlim f ( X ) = f ( X0 ) . → X 0

1．1．6 　 从 n 维欧氏空间到 m 维欧氏空间的连续映射 n

在 1．1．5 中所叙述的 R 上的连续函数的概 念可以 毫无困 难地扩 展成 为 “从 n 维欧氏空间到 m 维欧氏空间的连续映射”. n

m

n

设有映射 f : R → R , X0 ∈ R , Y 0 = f ( X0 ) ∈ R

m

.如果 对 于任 意 的

ε > 0 , 必能找到 δ> 0 , 使得当 X ∈ B( X0 ,δ) 时都有 f ( X) ∈ B( Y 0 ,ε) , 则称 n

映射 f 在点 X0 处是连续的 , 记为 Xlim f ( X) = f ( X0 ) .如果映射 f 在 R 上处处 → X 0

n

m

是连续的 , 则称 f 是从 n 维欧氏空间 R 到 m 维欧氏空间 R 的连续映射 . 很明显 , 由 于欧氏空 间中的 开子集是 若干球 状邻域的 并集 , 因此 当 U 是 n

R 的开子集 , 而 V 是 R

m

的开子集时 , 则同样能够定义连续映射 f : U → V .

定义的叙述留给读者自己来做 . n

定 义 1．1 　 设 U , V 是 R 的两个开子集 , f : U → V 是一一对应 ( 即 , f 是 单的满映射 ) , 并且 f 和 f

-1

都是连续的 , 则称 f : U → V 是同胚 .此时 , 称开子

集 U 和 V 是同胚的 . 在直观上 , 同胚就是 把 U 看作一张 橡皮膜在 既不撕 破、又不粘 连的条 件 下连续地变形为 V . 3

例 1 　 命 y = f ( x ) = x , ＂ x ∈ R , 则它有逆映射 x = f 显然 , f 和 f

-1

-1

( y) =

3

y .

都是从 R 到 R 的连续映射 , 所以 f : R → R 是同胚 .

例 2 　 命 y = f ( x ) = tan x , x ∈ = arctan y, y ∈ ( - ∞ , ∞ ) .显然 , f 和 f

-1

π π -1 , , 则它有逆映射 x = f ( y) 2 2 π π 都是连续的 .所以 f : , →R 2 2

π π , 和 R 是同胚的 . 2 2 任意一个非空开区间和 R 都是同胚的 .

是同胚 , 即开区间 -

2

2

例 3 　 定义映射 f : R → R , 使得 y1 = f 1 ( x 1 , x 2 ) = a1 + a11 x1 + a12 x 2 , 2

2

1

2

2

2

1

2

2

y = f ( x , x ) = a + a1 x + a2 x , i

i

1

2

1

2

其中 a , aj , 1 ≤ i , j ≤ 2 是给定的实数 , 并且 a1 a 2 - a2 a1 ≠ 0． 那么 f 有逆映

1．1 　 n 维欧氏空间

射 f

- 1

2

・ 5・

2

: R → R , 使得 1

-1

) ( y , y ) = b + b1 y + b2 y ,

2

-1

) ( y , y ) = b + b1 y + b2 y ,

x = ( f x = ( f

1

1

2

1

1

1

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

其中 1

2

2

2

1

a a2 - a a1 b = - 1 2 1 2 , a 1 a2 - a2 a1 2

1

1

a2 b = 1 2 1 2 , a1 a2 - a2 a1

a2 b = - 1 2 1 2 , a1 a2 - a 2 a1 1 2

2

1

a1 b = - 1 2 , a 1 a2 - a12 a21

a1 b = 1 2 . a 1 a2 - a12 a21

2 1

-1

2

2

1 1

由 此可见 , f 和 f

2

a a1 - a a1 b = - 1 2 1 2 , a1 a2 - a 2 a1

1

2 2

2

2

2

都是连续的 , 因此 f : R → R 是同胚 , 称为从 R 到它自身的

仿射变换 . 2

例4 　 设 M = R \

3

O , N = R ． 定义映射 f : M → N 为 u

1

x = f ( u, v) =

2

2

,

u + v v

2

y = f ( u , v) =

2

2

,

u + v 3

z = f ( u, v) =

1 2 2 ln ( u + v ) , 2

3

则 M 在 f 下的像 f ( M ) 是 R 中的圆柱面 Σ=

3

2

2

( x , y, z ) ∈ R : x + y = 1 , - ∞ < z < ∞

图1 - 1

( 参看图 1 - 1 ) .很明显 , f 是从 M 到Σ的一一对应 .实际上 , 对于任意的 ( x , y,

第一章 　 拓 扑 结 构

・6・

z ) ∈ Σ, 只要取 z

z

u = xe , 　 　 　 v = ye , 则 f ( u , v ) = ( x , y, z ) , 所以 f

-1

z

z

( x , y, z ) = ( xe , ye ) , 　 　 　 ＂ ( x , y, z) ∈ Σ .

　 　 因为 f 1 ( u , v ) , f 2 ( u , v ) , f3 ( u , v ) 都是 M 上的连续函数 , 所以 f 是从 M 3

3

到 R 的连续映射 .但是 Σ 不是 R 的开子集 , 那么 f 作为从 M 到 Σ 的映射是 否是连续的呢 ?反过来 , 逆映射 f

-1

: Σ→ M 是否是连续的呢 ?它们的连续性应 n

该怎样来定义呢 ?这些都是待解决的新 问题 .回顾 映射 f : R → R

m

的 连续 性

的定义 , 要定义映射 f : M → Σ的连续性 , 关键是要弄清楚圆柱面 Σ在它的任 意一点的邻域是什么 .一种办法是规定点 X 0 ∈ Σ在Σ中的ε邻域是 X0 在 R

3

中的 ε邻域 B( X0 ,ε) 与 Σ的交集 .这样 , 映射 g: M → Σ 在点 ( u 0 , v0 ) ∈ M 的连续性能够自然地定义为 : 对 于 任意 给 定的 ε > 0 , 必 能找 到 δ > 0 使 得 B( ( u 0 , v0 ) ,δ)

M , 并 且 当 ( u , v ) ∈ B( ( u0 , v 0 ) , δ) 时 , 都 有 g( u , v ) ∈

B( g ( u 0 , v0 ) ,ε) ∩ Σ .类似地 , 可以叙述映射 h: Σ→ M 在点 X0 ∈ Σ的连续 性 .此时 , 能够用 ε - δ语言证明上面定义的映射 f : M → Σ和它的逆映射 f - 1 : 2

Σ→ M 都是连续的 ( 习题 1．5 ) , 因此 R \

O 和圆柱面Σ是同胚的 .当然 , 证

明的过程要用到不少不等式估计 , 是比较烦琐的 .在下一节引进拓扑空间和连 续映射的一般概念之后 , 上述 问 题 的解 决 就变 得 容易 多 了 ( 参看 1．2．5 定 理 1．3) .

1．2 　 拓 扑 空 间 n

1．1．6 的例 4 说明 , 只考虑定义在 R 的开子集上的连续函数或连续映 射 是远远不够的 , 需要考虑定义在像圆柱面 Σ 那样的集合 上的连续 函数或连 续 映射 .如果要对定义在集合 X 上的 函数 能够 叙述连 续性 的概 念 , 必须 有一 种 方式在集合 X 上指定一些满足一定条件的子集 , 让这些子集作为 其中的每 一 个元素的邻域 .这正是本节要介绍的集合 X 的拓扑结构 .

1．2．1 　 拓扑 定义1．2 　 设 X 是一个非空集合 .如果 X 有一个子集族τ满足下列条件 : (1 ) X ∈ τ, 　

∈ τ;

1．2 　 拓 扑 空 间

・ 7・

(2 ) τ中任意多个成员的并集仍然是τ的成员 ; (3 ) τ中任意有限多个成员的交集仍然是τ的成员 , 则称 τ是 X 的一个拓扑 . n

定义 1．2 中 的 条 件 (2 ) 和 ( 3) 正 是 R 的 开 子 集 所 具 有 的 性 质 ( 参 看 1．1．3) . 非空集合 X 和它的一个拓扑τ合起来称为一个拓扑空间 , 记为 ( X ,τ) .此 时 ,τ中的每一个成员称为拓扑空间 ( X , τ) 的开子集 .设 Y 子集 , a ∈ Y .如果存在一个 U ∈ τ使得 a ∈ U

X 是 X 的一个

Y , 则称 a 是 Y 的一个内

点 , 并且称 Y 为元素 a 的一个邻域 .因此 , 开子集是它的每一个元素的邻域 . 例 1 　 设 X 是一个非空集合 , 则在 X 上有两个极端的拓扑 : 命 τ0 =

, 　 　 τ1 =

X,

U : U 是 X 的子集

.

容易验证 , 子集族 τ0 和 τ1 分别满足定义 1．2 中的条件 ( 1) , ( 2) , ( 3) .τ0 称为 X 的平凡拓扑 .在平 凡拓扑下 , 包含点 a ∈ X 的开子 集只有 一个 , 即 集合 X 自 身 .τ1 称为 X 的离散拓扑 .在拓扑空间 ( X , τ1 ) 中的每一个元素 a ∈ X 自己构 成的集合 a 都是 ( X ,τ1 ) 的开子集 . 例 2 　 设 X = R,命 τ=

U : U 是 R 的若干个开区间的并集

.

这里的“若 干”可 以是 无 限多 个 , 可以 是有 限多 个 , 也 可 以是 零 个 ( 一个 也 没 有 ) .因此

∈ τ .显然 , 这里的 τ就是在“一元微积分”中定义函数的极限和连

续性时所用的 R 的标准拓扑结构 .

1．2．2 　 拓扑基 在构造 X 的拓扑时 , 不必指定拓扑 τ的每一个成员 , 只 要指定 X 的满 足 一定条件的子集族 B, 然后由 B 生成拓扑 τ就行了 .例如 , 在 R 的情形 , 设 B 是 R 中所有的开区间的集合 ; 在一般的 R n 的情形 , 用 B 表示在 R n 中的所有的球 状邻域的集合 , 那么 R ( 或 R n ) 的开子集是 B 中的若干成员的并集 . 定义 1．3 　 设 X 是一个非空集合 .如 果 X 有一个子 集族 B 满足 下列 条 件: (1 )

B是

X 的覆盖 , 即 U∪ U = X; ∈ B

(2 ) 若 U , V ∈ B , 则 U ∩ V 必是 B 中若干成员的并集 , 则称 B 为 X 的一个拓扑基 . 定理 1．1 　 设 X 是一个非空集合 , B 是 X 的一个拓扑基 .命 τ=

U : U 是 B 的若干成员的并集 ,

则 τ是 X 的包含 B 在内的最小拓扑 .

第一章 　 拓 扑 结 构

・8・

这里的“最小”是指 : 如果珓 τ是 X 的另一个包含 B 在内的拓扑 , 则必有 τ 珓 τ .因此 , 这样的拓扑 τ是由拓扑基 B 惟一决定的 .定理的证明留作习题 . n

例 1 　 设 B ( x , a) , B( y , b) 是 R 中两个球状邻域 , 且 B( x , a) ∩ B ( y, b) ≠

.于是对于任意的 p ∈ B( x , a) ∩ B( y , b) 有 d( x , p) < a , 　 d( y , q) < b .

取 0 < δ< min a - d( x , p ) , b - d ( y, p ) , 则对于任意的 q ∈ B( p , δ) 有 d ( p , q) < δ, 故 d ( x , q) ≤ d ( x , p) + d( p , q) < a, d( y , q) ≤ d( y , p) + d( p , q) < b , 因此 B( x , a) ∩ B( y, b) .

B( p ,δ) n

由此可见 , R 中 全体球状 邻域构 成一个拓 扑基 .该 拓扑基生 成的拓扑 恰好 是 R n 的标准拓扑 . 1

n

n

例 2 　 对于 x = ( x , … , x ) ∈ R 和 r > 0 , 命 Q( x , r) =

1

n

n

i

( y ,…, y ) ∈ R : y - x

i

< r, 1 ≤ i ≤ n ,

n

n

称为在 R 中以 x 为中心、以 2 r 为边长的开正方体 .那么 , R 中的全体开正方 体也构成一个拓扑基 . 例 3 　 考虑 R 的子集族

B=

[ a , b) : a < b

.

显然定义 1．3 的条件 (1 ) 成立 .设 [ a1 , b1 ) , [ a2 , b2 ) 是 B 中的 任意两个成员 . 如果 x ∈ [ a1 , b1 ) ∩ [ a2 , b2 ) , 命 a = max a1 , a2 , b = min b1 , b2 , 则 x ∈ [ a , b) , 因此[ a , b) = [ a1 , b1 ) ∩ [ a2 , b2 ) , B 是 R 的拓扑基 .想一想 : 它所生成 的拓扑是什么 ? 我们知道 , 如果一个集合可以和自然数集建立一一对应 , 则称该集合为可 数集 .实际上 , 可数集是其元素可以编号的集合 .容易看出 , 两个可数集的并集 仍是可数集 ; 可数多个可数集的并集 也是可 数集 .事实上 , 我们 可以把 下面 的 集合 a1 1 ,

a1 2 ,

a1 3 ,

a1 4 ,

…

a2 1 ,

a2 2 ,

a2 3 ,

a2 4 ,

…

a3 1 ,

a3 2 ,

a3 3 ,

a3 4 ,

…

a4 1 ,

a4 2 ,

a4 3 ,

a4 4 ,

…

…

…

重新排列成 单行的 序列 a1 1 , a2 1 , a1 2 , a3 1 , a2 2 , a1 3 , … .特 别地 , 整数集 是可 数 集 , 有理数也是可数集 .

1．2 　 拓 扑 空 间

・ 9・

n

需要指出的是 , n 维欧氏空间 R 的标准拓扑是可以由含有可数多个成员 的拓扑基生成的 .例如设

B=

1

n

1

n

B( ( x , … , x ) , r ) : r > 0 , x , … , x 都是有理数 , n

那么 B 有可数多个成员 , 而 R 的每一个开子集都能够表示成 B 中的若干成员 的并集 .但是 , 对于一般的拓扑空间 而言 , 该性质未必是成 立的 .例如 : 在 R 中 考虑离散拓扑 τ1 , 那么拓扑空间 ( R , τ1 ) 的每一 个点构 成的 集合 都是开 子集 , 它的拓扑基必定包含 R 的每一个点所构成的集合 .因此 ( R ,τ1 ) 不可能有由可 数多个成员组成的拓朴基 . 定义 1．4 　 若拓扑空间 ( X ,τ) 有一个由可数多个成员组成的拓扑基 B , 则称该拓扑空间 ( X ,τ) 满足第 2 可数公理 ( 或 C2 公理 ) .

1．2．3 　 由拓扑直接派生的基本概念 设 ( X ,τ) 是一个拓扑空 间 , 则 τ是 X 的所有 开子集 的集合 .前 面已经 提 到 , 设 A 是 X 的一个子集 , x ∈ A , 如果存在 U ∈ τ使得 x ∈ U

A , 则称 x

是 A 的一个内点 , 并且称 A 是 x 的一个邻域 .开子集 U ∈ τ是它的任意一点 x ∈ U 的邻域 , 称为开邻域 . 如同在 n 维欧 氏空间的情形一 样 , 在开子集的基础上 可以派生出如下 的 一系列基本概念 : 设 A 是 X 的一个子集 , (1 ) A 的全体内点的集合记为 A°, 称为 A 的内部 ; c

(2 ) 若 A 的补集 A = X \ A 是 X 的开子集 , 则称 A 是 X 的闭子集 ; (3 ) 设 x0 ∈ X . 如 果 对 于 包 含 x 0 的 任 意 一 个 开 子 集 U ∈ τ, 都 有 ( U \

x0 ) ∩ A ≠

, 则称 x0 是 A 的一个聚点 . A 和它的聚点集的并集记

为 　A , 称为 A 的闭包 ; (4 ) 如果 X 的任意一个开子集 U ∈ τ与 A 的交集皆非空 , 则称子集 A 在 X 中是稠密的 ; (5 ) 设 ai 是 X 中的一个点列 .若有 a0 ∈ X 使得对于包含 a0 的任意一个 开子集 U 都能够找到一个自然数 N , 只要 i > N 便有 ai ∈ U , 则称点列 ai 是 收敛的 , 并且以 a0 为极限 , 记为lim ai = a0 ． i→ ∞ 需要指出的是 , 虽然概念的叙述和 n 维欧氏空间的情形是一样的 , 但是性 质有所不同 .例 如 , 在 平凡 拓 扑 空间 ( X ,τ0 ) 中 任 意 一 个点 列 ai 都 是 收 敛 的 , 而且它以 X 中的任意一点为极限 .若要收敛点列的极限是 惟一的 , 则必 须 对拓扑空间 ( X ,τ) 自身加适当的条件 ( 参看 1．4．1 ) .

第一章 　 拓 扑 结 构

・ 10 ・

1．2．4 　 拓扑子空间 设 ( X ,τ) 是一个拓扑空间 , Y 是 X 的子集 .命 τY =

U ∩ Y: U ∈ τ ,

则 τY 是 Y 的一个子集族 , 并且容易证明它满足定义 1．2 的三个条件 .因此 ,τY 是 Y 的一个拓扑 , 称为由拓扑空间 ( X ,τ) 在子集 Y 上的诱导拓扑 .拓扑空间 ( Y ,τY ) 称为 ( X ,τ) 的拓扑子空间 . 在 1．1．6 的例 4 所描述的圆柱面 Σ 上的点的邻 域 , 实际上就 是欧氏空 间 3

R 的标准拓扑在 Σ 上诱导的邻域 .

1．2．5 　 连续映射 定义 1．5 　 设 X 和 Y 是两个拓扑空间 , f : X → Y 是一个映射 , x ∈ X . 如果对于 y = f ( x ) ∈ Y 在 Y 中的任意一个邻域 V , 必能找到 x 在 X 中的邻 域 U , 使得 f ( U )

V , 则称映射 f 在 x 处是连续的 .

如果映射 f : X → Y 在 X 上处处是连续的 , 则称映射 f 在 X 上是连续的 . 定理 1．2 　 映射 f : X → Y 是连续的 , 当且仅当 Y 的任意一个开子集 V 的完全逆象 U = f

-1

x ∈ X: f ( x ) ∈ V 是 X 的开子集 .

( V) =

证 　 设映射 f : X → Y 是连 续的 , V 是 Y 的任意 一个开子 集 .任意取 定 x ∈ f - 1 ( V ) , 则 f ( x ) ∈ V , 故 V 是 f ( x ) 在 Y 中的开邻域 .根据连续性的定 义 , 存在 x 在 X 中的开邻域 U x , 使得 f ( U x ) f

- 1

( V) =

∪ -1

x∈ f

这说明 f

- 1

V , 即 Ux

f

-1

( V ) .因此

Ux ,

( V)

( V ) 是 X 的开子集 .

反过来 , 任意取定 x ∈ X , 设 V 是在 Y 中包含 y = f ( x ) 的开子集 .根据 假定 , f

-1

( V ) 是在 X 中包含 x 的开 子集 .由于 f ( f

-1

( V))

V , 故映 射 f :

X → Y 在 x 处是连续的 .证毕 . 定理 1．2 有很大的实用价值 .例如 , 利用定理 1．2 容易证明 1．1．6 的例 4 3

3

中的映射 f : M → Σ是连续的 .事实上 , 映射 f : M → R 作为从 M 到 R 的映 射显然是连续的 , 并且 f ( M ) = Σ .设 V 是Σ的任意一个开子集 , 则由诱导拓 3

3

扑的定义 , 存在 R 的开子集 W 使得 V = W ∩ Σ .由于映射 f : M → R 是连 续的 , 故 f f

-1

-1

( W) 是 M 的开子 集 .显然 f

-1

( W) = f

( V ) , 所以 f : M → Σ是连续的 . 上面的论证在实际上已经证明了下面的定理 :

-1

( W ∩ f ( M) ) =

1．2 　 拓 扑 空 间

・ 11 ・

定理 1．3 　 设 f : X → Y 是连续映射 , A 是 Y 的拓扑子空间 , 并且满足条 件 f ( X)

A , 则当 f 看作从 X 到 A 的映射时也是连续的 .

定理 1．4 　 设 f : X → Y , g: Y → Z 是两个连续映射 , 则复合映射 g

f:

X → Z 是连续的 . 事实上 , 若 U 是 Z 的任意一个开子集 , 由于 g 是连续映射 , 则 g - 1 ( U ) 是 Y 的开子集 .又因为 f 是连续映射 , 故 f 开子集 .由此可见 , g

-1

(g

-1

( U) ) = ( g

f)

-1

( U) 是 X 的

f : X → Z 是连续映射 .

例 1 　 设 A 是 X 的拓扑子 空间 , 则 恒同 映射 id: X → X 和包 含映 射 i: A → X , i( x ) = x , ＂ x ∈ A , 都是连续映射 . 事 实上 , 对于 X 的任意一个开子集 U , ( id) - 1 ( U ) = U , ( i) - 1 ( U ) = U ∩ A , 而 U ∩ A 是拓扑子空间 A 的开子集 . 例 2 　 设 X , Y 是两个拓扑空间 , 取 y ∈ Y , 定义常值映射 f : X → Y 使 得 f ( x ) = y , ＂ x ∈ X , 则 f 必是连续映射 .实际上 , 对于 Y 的任意一个开子 集 U, f

-1

( U ) 或者是

, 或者是 X 自己 .

把定理 1．4 和例 1 结合起来 , 可以得到下面的定理 : 定理 1．5 　 设 A 是 X 的拓扑子空间 , f : X → Y 是连续映射 , 则 f 在 A 上 的限制 f

A

: A → Y 也是连续的 .

很 明显 , 在 1．1．6 的例 4 中 , 逆映射 f

-1

: Σ→ M 的连续性可以从定理 1．5

导出 . 定义 1．1 可以移植到一般的拓扑空间的情形 : 定义 1．6 　 设 f : X → Y 是拓扑空间 X 和 Y 之间的一一对应 .如果 f 和 它的逆映射 f

- 1

: Y → X 都是连续的 , 则称 f : X → Y 是同胚 . n

n

n

例 3 　 设 B ( 1) =

x∈ R :

x

2

=

∑( x ) i

2

n

< 1 , 称为 R 中的单位

i =1

n

n

球 ( 用 1．1．3 的记号就是球状邻域 B( O , 1) ) .则 B ( 1) 和 R 是同胚的 , 同胚映 n

n

射 f : B ( 1) → R 是 f( x ) =

x 1 -

n

, 　 ＂ x ∈ B (1 ) ,

x

其逆映射是 f 　 　 例 4 　 Rn \

-1

( y) =

y 1+ y

n

.

0 和 R n \ B n (1 ) 是同胚的 , 同胚映射是 f( x) = x +

其逆映射是

, 　 ＂ y∈R

x , 　 ＂ x ≠ 0, x

第一章 　 拓 扑 结 构

・ 12 ・

f - 1 ( y) = y 2

　 　 例 5 　 设 S ( 1) =

y , 　 ＂ y ∈ R n \ B n (1 ) . y 3

2

2

2

3

( x , y, z ) ∈ R : x + y + z = 1 , 称为 R 中的单 2

位球面 .命 q = ( 0 , 0 , - 1) , 则 S ( 1) \

2

q 与 R 是同 胚 的 , 同 胚映 射是 ( 图

1 - 2) x y 2 , , 　 　 ＂ ( x , y, z ) ∈ S ( 1) \ 1+ z 1+ z

f ( x , y, z ) =

q .

设 u =

x y , 　 　 v = , 1+ z 1+ z

则 2

2

2

2

2

2

(1 + z) ( u + v ) = x + y = 1 - z , 于是 2

2

1 - z 1 - u - v u + v = , 　 z = . 1+ z 1 + u 2 + v2 2

2

所以 f 的逆映射是 f

-1

( u, v) =

2u 2v 1 - u2 - v2 2 2 , 2 2 , 2 2 1 + u + v 1+ u + v 1+ u + v

.

图1 - 2

1．3 　 常见的拓扑空间 有不少方法可以具体地构造拓扑 空间 .本 节就 是要介 绍几 种常见 的构 造 拓扑空间的途径 .用这些方法构造的拓扑空间将大大地开拓我们的视野 , 从而 使我们对于拓扑空间有更加具体、更加深入的了解 .

1．3 　 常见的拓扑空间

・ 13 ・

1．3．1 　 度量空间 定义 1．7 　 设 X 是一个非空集合 , d : X × X → R 是定义在 X 上的一个 二元函数 .如果 d 满足下列条件 : (1 ) d( x , y ) = d( y, x ) , 　 ＂ x , y ∈ X ; (2 ) d( x , y ) ≥ 0 , 　 ＂ x , y ∈ X , 而且等号成立当且仅当 x = y ; (3 ) 三角不等式成立, 即 d( x , z) ≤ d( x, y) + d( y, z) , 　 ＂ x , y, z ∈ X, 则称 d 是 X 上的距离函数 .对于 x , y ∈ X , d( x , y) 称为 x 和 y 之间的距离 . 非空集合 X 和它上面的一个距离函数 d 合起来称 为一个度 量空间 , 记 为 ( X , d) . n

在 1．1．3 中给出的 n 维欧氏空间 R 上的距离函数是定义 1．7 的具体 例 子 .下面的定理表明 , 在度量空间中存在一个自然的拓扑结构 . 定 理 1．6

　

设 ( X , d)

是 一 个 度 量 空 间 .

命

B( x, r)

=

y ∈ X: d( x , y) < r , 称为在 X 中以 x 为中心、以 r 为半径的球状邻域 .则

B=

B( x , r) : x ∈ X , 0 < r < + ∞

是 X 的一个拓扑基 .因此 , 度量空间 ( X , d) 有自然的拓扑结构 , 它的开子集是 任意多个球状邻域的并集 . 证 　 证明过程和 1．2．2 的例 1 中的证明是一 样的 , 只要证明任意两 个球 状邻域的交集必定能够表示 成若 干球 状邻域 的并 集 .设 B( x , a) ∩ B( y, b) ≠

, 则对于任意的 z ∈ B( x , a) ∩ B( y , b) 有 d( x , z ) < a , d ( y, z ) < b .

取 0 < r < min a - d( x , z ) , b - d( y, z) , 则由三角不等式容易得到 B( z , r)

B( x , a ) ∩ B( y , b) .由此可见 , B( x , a) ∩ B( y, b) 能够表示成球状邻

域的并集 . 例 1 　 用 X 表示定义在闭区间[ a , b] 上的连续函数的集合 .对于任意的 f , g ∈ X,命 b

d 1 ( f , g) =

∫ ( f ( x) a

2

- g( x)) d x ,

d 2 ( f , g) = amax f ( x ) - g( x ) , ≤ x≤ b 则 d 1 , d 2 都是 X 上的距离函数 .所以 , ( X , d 1 ) 和 ( X , d 2 ) 都是度量空间 . 思考题 : 设

f i 是 X 中的一个序列 , 那么

f i 在度量空间 ( X , d 1 ) 中收 敛

于 f 0 意味着什么 ? f i 在度量空间 ( X , d 2 ) 中收敛 于 珘 f 0 又 意味着 什么 ?极 限 f0 和 珘 f 0 有什么差别 ?

第一章 　 拓 扑 结 构

・ 14 ・

例 2 　 设 X 是非空集合 .命 d: X × X → R 使得 d ( x , y) =

1,

若 x ≠ y;

0,

若 x = y.

容易证明 : d 是 X 上的距离函数 , 并且 ( X , d) 的自然拓扑结 构恰好是 X 的 离 散拓扑 .

1．3．2 　 乘积空间 定理 1．7 设 ( X ,τ) 和 ( Y ,σ) 是两个拓扑空间 .设 X× Y =

( x , y) : x ∈ X, y ∈ Y ,

称为 X 和 Y 的笛卡儿积 .命

B=

U × V : U ∈ τ, V ∈ σ ,

则 B 是 X × Y 的一个拓扑基 .集合 X × Y 关于拓扑基 B 所生成的拓扑构成 的拓扑空间称为 ( X ,τ) 和 ( Y ,σ) 的乘积空间 . 定理的证明留给读者完成 . 乘积空间是从已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的重要途径 . 2

例 1 　 2 维欧氏空间 R = R × R . 2

2

在 R 中拓扑基由球状邻域 B( x , r) , x ∈ R , r > 0 , 组成 .在 R × R 中拓 扑基由开的矩形 ( a, b) × ( c, d) , a , b, c, d ∈ R , 组成 .容易证明 : 球状邻域可 以表示成开矩形的并集 ; 反过来 , 开矩形也能表示成球状邻域的并集 .所以 , 它 们所生成的拓扑是同一个 . n

一般地 , n 维欧氏空间 R 是 n 个 R 的乘积空间 . 1

2

2

1

1

例 2 　 用 S 表示 R 中的单位圆周 .乘积空间 T = S × S 称为 2 维环 面 . 2

1

1

需要指出的是 T 是作为 S 和 S 的乘积空间的抽象的环面 , 它也能具体 3

3

地实现为 R 中的圆环面 .例如 , 考虑 R 中的圆环面 Σ( 图 1 - 3) : x = ( R + rcos u) cos v , y = ( R + rcos u) sin v , z = rsin u , 其中 0 ≤ u < 2π, 0 ≤ v < 2π, 0 < r < R 是常数 . 当 u = 常数 , 而让 v 变化时 , 在圆环面 Σ 上画出一个圆周 , 称为 纬圆 ; 反 过来 , 当 v = 常数 , 而让 u 变化时 , 在圆环面 Σ上画出另一个圆周 , 称为经圆 . 2

很明显 , T 和圆环面 Σ可以建立同胚 , 因此圆环面 Σ 可以看作经圆和纬圆的 乘积空间 .

1．3 　 常见的拓扑空间

・ 15 ・

图1 - 3 2

例 3 　 在 R 中任意一个点 p 和任意两个彼此正交的单位向量 e1 , e2 构成 2 2 的图形 p; e1 , e2 称为在 R 上的一个单位正交标架 .在 R 上的一个特殊的单

位正交标架是由原点 O 和向量δ1 = (1 , 0 ) ,δ2 = ( 0 , 1) 组成的 .那么 , 任意一 个标架 p; e1 , e2 可以表示为 1

2

1

2

O p = ( a , a ) = a δ1 + a δ2 , e1 = ( a11 , a21 ) = a11 δ1 + a21 δ2 , e2 = ( a12 , a22 ) = a12 δ1 + a22 δ2 ． 向量 e1 , e2 的单位正交性条件是 1

2

2

2

1

2

2

2

1

1

2

2

( a1 ) + ( a1 ) = 1 , 　 ( a2 ) + ( a 2 ) = 1 , 　 a1 a2 + a 1 a2 = 0． 因此 , 1

2

2

1

a1 a2 - a 1 a2 =± 1． 如果上式的右端 取 正号 , 则称 标 架 p; e1 , e2 和 标 架 O ;δ1 , δ2 的 定向 是 一 致的 , 或称 p; e1 , e2 是正定 向单 位正 交标架 .很明 显 , 正 定向 单 位正 交标 架 p; e1 , e2 可以表示为 ( 图 1 - 4 ) 1

2

1

2

Op = ( a , a ) = a δ1 + a δ2 , e1 = ( cos θ, sin θ) = cos θδ1 + sin θδ2 , e2 = ( - sin θ, cos θ) = - sin θδ1 + cos θ δ2 ． 所以 , 正定向单位正交标架 p; e1 , e2 和点 p 及在点 p 的单位向量 e1 是彼此决 定的 .但是 , 在把单位向量 e1 的起点放在原点 O 时 , 它的终点的轨迹便是一个 1 2 单位圆周 S ． 由此可见 , 在 R 上的全体正定向单位正 交标架 p; e1 , e2 构 成

的集合可以看成是拓扑空间 R2 × S 1 ． 在这种拓扑下 , 两个正定向单位正交 标 2 架 p; e1 , e2 和 q; f 1 , f 2 认为是邻近的 , 当且仅当 p 和 q 作为 R 中 的点 是 1

邻近的 , 并且单位向量 e1 和 f 1 作为单位圆周 S 上的点是邻近的 .

・ 16 ・

第一章 　 拓 扑 结 构

图1 - 4

1．3．3 　 商空间 把 1．3．2 的例 2 中的圆环面 Σ沿经圆 v = 0 剪开 , 并且将它抻直 , 则得到 一段圆柱面 ; 再沿纬圆 u = 0 ( 即圆柱面的一条直母线 ) 剪开 , 并且把它平铺在 2

平面上则得到一个矩形 .反过来 , 取 R 中的单位正方形[ 0 , 1] × [0 , 1 ] , 将左右 两边等同起来 , 便得到一个圆柱 面 ; 再将 上下 两边 ( 即上 下 两个 圆周 ) 等同 起 来 , 便成为一个环面 .在这里 , 所谓的“ 等同”是指 在正方 形的边上 的点之间 建 立一个等同的关系 , 使得 ( u , 0) 和 ( u , 1) 是同一点 , (0 , v ) 和 (1 , v ) 是同一点 .

图1 - 5 2

上面的构造可以换一种观点来看 .在 R 中的 点之间 定义 下面 的关系 : 点 2 ( u , v ) 和 ( u 1 , v1 ) ∈ R 被认为是等同 的 , 记成 ( u , v ) ～ ( u1 , v 1 ) , 当 且仅 当 u - u 1 和 v - v1 分别是整数 ( 图 1 - 5 ) .在直观上 , 这是把 R2 先卷成一个长度

1．3 　 常见的拓扑空间

・ 17 ・ 2

无限长的圆筒 , 再将无限长的圆筒弯起 来套 成为一 个圆 环面 .在 R 上 两个 坐 2

标各相差一个整数的无限多个点都认为是同一个点 , 即环面 T 上的点 .这样 , 2

在环面上的任意一点的充分小的邻域可以用 R 中的邻域来代表 . 一般地 , 引进下面的概念 : 定义 1．8 　 在非空集合 X 中的两个元素 a, b 如果适合一定的条件 R, 则 称这两个元素有关系 R, 记为 aR b .在非空集合 X 中的一个关系 R 称为等价关 系 , 如果它满足下列条件 : (1 ) 自反性 : aR a , 　 ＂ a ∈ X; (2 ) 对称性 : 若 aR b, 则 bR a; (3 ) 传递性 : 若 aR b, 且 bR c, 则 aR c . 现在假定 ( X ,τ) 是 一个 拓 扑空 间 , ～ 是 在 X 中 的 一个 等价 关系 .对 于 x ∈ X , 用[ x ] 表示 x 的 ～ 等价类 , 即 [ x] = 记商集 X/ ～ =

[ x]: x ∈ X

y ∈ X: y ～ x

.

.定义映射π: X → X/ ～ , 使得对于任意的 x ∈

X 有 π( x ) = [ x ] , 称为自然投影 . 定义 1．9 　 在 珟 X = X/ ～ 上定义子集族 珓 τ=

-1

X/ ～ :π ( V ) ∈ τ ,

V

则它是 珟 X 上的一个拓扑 , 称为在商集 珟 X = X/ ～ 上的商拓扑 , 并且称 ( X/ ～ , 珓 τ) 为拓扑空间 ( X , τ) 关于等价关系“ ～”的商空间 . 2

例1 　 在定义 1．8 之前所描述的在 R 中的关系可以叙述如下 : 设 ( u , v ) , 2

( u1 , v 1 ) ∈ R , 则 ( u , v ) ～ ( u 1 , v1 ) 当且仅当存在整数 m , n 使得 u - u 1 = m , 　 　 v - v1 = n . 2

2

显然“ , ～”是等价关系 , 并且 T 是 R 关于等价关系 ～ 的商空间 . 2

2

例 2 　 在 R 中定义另一个关系 ≈ 如下 : 设 ( u , v ) , ( u1 , v 1 ) ∈ R , 则 ( u , v ) ≈ ( u 1 , v1 ) 当且仅当存在整数 m , n 使得 m

u - u 1 = m , 　 　 v - ( - 1) v 1 = n +

1 m (1 - ( - 1) ) . 2

2

可以证明 , ≈ 是 R 中的等价关系 . 2

思考题 : 商空间 R / ≈ 是什么 ? 2

若取 R 中的一个正方形 X = [0 , 1 ]× [ 0 , 1] , 如图 1 - 6 , 则上面的关系就 是把 ( u , 0) 和 ( u , 1 ) 等 同 起来 , 把 ( 0 , v ) 和 (1 , 1 - v ) 等 同 起 来 , 因 此 商 集 X/ ≈ 可以看成是把正方形的上下两 边等 同起 来 , 并 且把 左右 两 边中 的一 条 反向之后与另一边等同起来后得到的图形 .这样得到的空间称为 Klein 瓶 K . 例3 　 在 R 3 中所有通过原点 O 的直线组成的空间称为实射影空间 , 记作 2

RP ．

第一章 　 拓 扑 结 构

・ 18 ・

图1 - 6 3

2

3

如果把 R 看作向量空间 , 则 R P 是在 R 中的 1 维向量子空间的集合 .这 2

3

样 , R P 可以 看 作商 空间 .为 此 , 在 R \ 3

R \

0 中 引进 关系 ～ 如 下 : 设 u , v ∈

0 , u ～ v 当且仅当存在非零实数λ, 使得 u = λv .换言之 , 非零向量 u ,

v 有关系 ～ , 当且仅当 u , v 属于同一个 1 维向量空间 .容易证明 , ～ 是等价关 系 , 并且 R P2 和商空间 ( R3 \

0 )/ ～ 可以等同起来 .

1．4 　 重要的拓扑性质 许多实际问题需要我们把眼界从 欧氏空 间拓 展到更 一般 的拓 扑空间 .在 1．2 已经介绍了拓扑空间的概念 .从欧氏空间 到拓扑空 间的抽 象 , 只抓住了 开 子集的基本性质 , 因而这种一般化会失去欧氏空间的一些最重要的拓扑性质 . 所以 , 我们需要更密切地 注视 欧 氏空 间 , 把 它的 一 些重 要 的 拓扑 性 质提 炼 出 来 , 作为假设加到我们感兴趣的拓扑 空间上 去 .换 言之 , 我 们不 是去研 究最 一 般的拓扑空间 , 而是要考虑具有类似于欧氏空间的性质的拓扑空间 .采取这种 既与欧氏空间保持距离、又把欧氏空间作为参照系的方式 , 可以使我们对于欧 氏空间的性质有更加深入的了解 , 特别是弄清楚这些基本性质的意义和功用 .

1．4．1 　 分离性公理 n

在 n 维欧氏空间 R 中 , 任意两个不同点都可以用互不相交的两个球状邻 域包围起来 .一般的拓扑空间 ( 例如 : 平凡拓扑空间 ) 不具有这种性质 . 定义 1．10 　 设 ( X ,τ) 是拓扑空间 .如果对于 X 中的任意两个点 x , y, 都

1．4 　 重要的拓扑性质

・ 19 ・

存在 U , V ∈ τ, 使得 x ∈ U , y ∈ V , 并且 U ∩ V =

, 则称拓扑空间 ( X ,

τ) 满足第 2 分离公理 , 或 T 2 公理 . 满足第 2 分离公理的拓扑空间称为 Hausdorff 空间 . 度量空间必是 Hausdorff 空间 .在 Hausdorff 空间中 , 收敛点列的极限是惟 一的 .

1．4．2 　 紧致性 Uα: α∈ I 是τ的一个子集 , 并且对于任意

设 ( X ,τ) 是拓扑空间 , Σ =

的 x ∈ X , 必有某个 Uβ ∈ Σ使得 x ∈ Uβ, 则称 Σ是 X 的一个开覆盖 .若有 X 的另一个开覆盖 Σ0 , 使得 Σ0 是 Σ的子集 , 则称 Σ0 是 Σ的子覆盖 .如果 Σ0 只 含有有限多个成员 , 则称 Σ0 是 Σ 的有限子覆盖 . 定义1．11 　 设 ( X , τ) 是拓扑空间 .如果 X 的任意一个开覆盖Σ都有一个 有限的子覆盖 , 则称 ( X ,τ) 是紧致的 .若 X 的子集 A 作为 X 的拓扑子空间 是 紧致的 , 则称 A 是 X 的紧致子集 . 很明显 , 设 A 是 X 的紧致子集 , 如果 U i 是在 X 中覆盖 A 的任意一个开 子集族 , 则在 Ui 中必有有限多个成员覆盖了 A . 实数轴 R 不是紧致的 , 但是有限覆盖定理对于闭区间是成立的 , 因此任意 一个闭区间[ a , b] 是紧致的 .一般地 , 我们有下面的定理 : n

定理 1．8 　 R 的有界闭子集是紧致的 . 本定理是闭区间[ a , b] 的有限覆盖定理的推广 , 证明过程也是相仿的 . 2

证 　 假定 n = 2 , 更高维的情形是一样的 .设 A 是 R 的一个有界闭子集 . 2

用反证法 , 假定存在 R 的开子集族 Σ=

Vα:α∈ I 覆盖了 A , 但是其中任意

有限多个成员都不能覆盖 A .因为 A 是有界的 , 不妨用边长为 a 的闭正方形 D 把 A 包含在内 .将 D 分成 4 个边长为 a/ 2 的小的闭正方形 D (j 1 ) , 1 ≤ j ≤ 4 , (1)

命 Aj

(1)

Aj

(1)

D1

(1)

= Dj

(1)

2

∩ A, 则 Aj

都 是 R 的 有界 闭 子 集 .根 据 反 证 法 假 定 , 在

(1)

中至少有一个 ( 设为 A 1

≠

) 不能被 Σ中有限多个成员覆盖住 .对于

重复上面的过程 , 最后得到一系列非空闭子集 (1)

A1

(1)

D1

A

A1

D

D1

(2)

A1

(3)

…

(2)

D1

(3)

…

和一系列闭正方形 ( n)

满足下列条件 : A 1

( n)

D1

( n)

, D1

n

( n)

的边长是 a/ 2 , 并且每一个 A 1

不能被 Σ

中有限多个成员覆盖住 . 2

( n)

根 据区间套定理 , 在 R 中必有一点 p 使得 p ∈ D1

( n)

, ＂ n .在每一个 A 1

第一章 　 拓 扑 结 构

・ 20 ・

中任意取定一点 x n , 则得到一个点列 x n , 并且当 n → + ∞ 时 , 有 x n → p .因 2

为 A 是闭子集 , 故 p ∈ A .于是 , 存在 V ∈ Σ使得 p ∈ V , 并且根据 R 的拓 V .但是 p ∈ D1( n ) , ＂ n , 并且 D1( n) 的边长

扑结构 , 必有正数 r 使得 B( p , r )

a/ 2 n → 0 , 所以存在 N , 使得当 n > N 时都有 D1( n ) ( n)

( n)

V , 这与 A1

A1

B( p , r )

V .特别是 ,

不能被 Σ 中有限多个成员覆盖住的假定相矛盾 .证毕 .

定理 1．9 　 紧致拓扑空间的闭子集必是紧致的 . 这是紧致性定义 1．11 的直接推论 . 定理 1．10 　 Hausdorff 空间的紧致子集必定是闭子集 . 证 　 设 ( X ,τ) 是 Hausdorff 空间 , A 是 X 的紧致子集 .假设 x ｜

A , 则对

于任意的 y ∈ A , y ≠ x , 所以存在 x 和 y 在 X 中的开邻域 Uy 和 V y , 使得 Uy ∩ Vy =

V y : y ∈ A 是覆盖了 A 的开子集族 , 由 A 的紧致性

.现在 , Σ =

得知存在有限多个成员 V y i : 1 ≤ i ≤ r 覆盖住 A .命 U = 1 ≤∩ U yi , i≤ r 则 U 是 x 在 X 中的开邻域 , 并且 U∩ A 即 U

∩ Uy i ∩

∪ Vy j

1 ≤ i≤ r

1 ≤ j≤ r

∪

1 ≤ j≤ r

U yj ∩ V yj =

,

X \ A , 所以 X \ A 是开子集 , A 是闭子集 .

在定理 1．10 的证明中紧致性的用法是典型的 . 定理 1．11 　 紧致拓扑空间在连续映射下的像必是紧致的 . 这是紧致性定义 1．11 的直接推论 . 定理 1．12 　 设 f : X → Y 是从紧致拓扑空间 X 到 Hausdorff 空间 Y 的连 续的单的满映射 , 则 f 必是同胚 . 证 　 只要证明逆映射 f

-1

是连续的 .设 U 是 X 的开子集 , 则 A = X \ U

是 X 的闭子集 .因为 X 是紧致的 , 故 A 是 X 的 紧致 子集 ( 定 理 1．9) .由定 理 1．11 , f ( A) 是 Y 的紧致子集 .因为 Y 是 Hausdorff 空间 , 故由定理 1．10 得知 , f ( A ) 是 Y 的闭子集 , 因此 ( f Y 的开子集 , 这意味着 f

-1

-1

)

-1

( U ) = f ( U ) = f ( X \ A ) = Y \ f ( A) 是

: Y → X 是连续的 .

定理 1．13 　 若 X 和 Y 是紧致拓扑空间 , 则它们的乘积空间 X × Y 也是 紧致的 . 定理的证明需要下面的引理 : 引理 　 设 A 是拓扑空间 X 的紧致子集 , y ∈ Y , W 是在乘积空间 X × Y 中包含 A × y 的开子集 .则在 X 中存在包含 A 的开子集 U 和在 Y 中包含 y 的开子集 V , 使得 U × V

W .

证 　 对于任意的 x ∈ A , 因为 ( x , y ) ∈ W , 故存在 x 在 X 中的开邻域 U x 和 y 在 Y 中的开邻域 V x 使得 U x × V x

W .现在 Σ =

U x : x ∈ A 是在 X

1．4 　 重要的拓扑性质

・ 21 ・

中覆盖 A 的开 子集 族 .因 为 A 是 紧 致 的 , 故 在 Σ 中有 有 限 多 个 成员 , 设 为 U x 1 , … , U x r , 它们构成 A 的开覆盖 .设 V 是在 Y 中对应的 r 个开邻域 V x 1 , … , V x r 的交集 , 则 V 是在 Y 中包含 y 的开子集 , 并且 U x i × V

W, ＂ 1 ≤ i ≤

r ( 参看图 1 - 7) .命 U = 1 ≤∪ Uxi , 则 i≤ r A×

∪ Uxi × V

y

1 ≤ i≤ r

W .

图1 - 7

　 　 定理 1．13 的证明 　 设 Σ =

Wα: α∈ I 是 X × Y 的任意一个开覆盖 .对

于任意固定的 y ∈ Y , 由于 X × y 是 X × Y 的紧致子集 , 故有 Σ 的有限多 ( y)

个成员 , 设为 W i

, 1 ≤ i ≤ r ( y ) < + ∞ , 覆盖了 X × ( y)

W y = 1≤ ∪ Wi i≤ r( y )

y

.命

,

则 W y 是在 X × Y 中包含 X × y 的开子集 .根据引理 , 存在 y 在 Y 中的开邻 域 V y 使得 X × V y

Wy .现在 , Σ1 =

覆盖 , 故有 Σ1 的有限子覆盖 , 记为 珟 Σ1 =

V y : y ∈ Y 是紧致拓扑空间 Y 的开 V y 1 , … , V ys , 使得

Y = 1 ≤∪j≤ s V y j , 　 　 并且 X × V y j

Wy j .

对应地 , 命 珟 Σ=

( y )

Wi

j

: 1 ≤ j ≤ s , 1 ≤ i ≤ r ( yj ) ,

则珟 Σ 是 Σ 的有限子覆盖 .故 X × Y 是紧致的 .

1．4．3 　 局部紧致性 n

n 维欧氏 空间 R 虽然 不是紧 致的 , 但是 它具 有下面 所叙 述 的局 部紧 致 性:

第一章 　 拓 扑 结 构

・ 22 ・

定义 1．12 　 设 ( X , τ) 是拓扑空间 .如果对于每一点 x ∈ X , 都存在 x 的 开邻域 U , 使得 珡 U 是紧致的 , 则称 ( X , τ) 是局部紧致的 . 定理 1．14 　 若 ( X , τ) 是局部紧致的 Hausdorff 空间 , 则 (1 ) 对于任意一点 x ∈ X 以及 x 的任意一个开邻域 V , 必有 x 的一个开 邻域 U , 使得 珡 U

V , 并且 珡 U 是紧致的 ;

(2 ) X 的任意一个开子集也是局部紧致的 . 证 　 (2 ) 是 ( 1) 的直接推论 , 所以只要证明 (1 ) . 由 于 X 的局部紧致性 , 故有 x 的开邻域 W , 使得 W 是紧致的 .命 F = W , 则 F 是紧致的 Hausdorff 空间 .现在 , F ∩ V 是 x 在 F 中的开邻域 , 因此存在 x 在 F 中的开邻域 Z, 使得它在 F 中的闭包 ZF

F∩ V

因为 F 是 X 的闭子集 , 所以 Z F = F ∩ Z = Z , 故 Z

V ( 参看习题 36) . V .根据诱导拓扑的定

义 , 存在 x 在 X 中的开邻域珘 Z , 使得 Z = 珘 Z ∩ F .命 U = 珘 Z ∩ W,则 U 是 x 在 X 中的开邻域 , 并且 珡 U

Z

V .证毕 .

设 Σ是 ( X , τ) 的开覆盖 .如果对于每一点 x ∈ X , 必存在 x 的开邻域 U , 使得 U 只与 Σ中的有限多个成员相交 , 则称 Σ是局部有限的 .如果 珟 Σ是( X, τ) 的另一个开覆盖 , 并且对于任意的 U ∈ 珟 Σ, 必有 V ∈ Σ使得 U

V , 则称

珟 Σ 是 Σ的加细 .下面的定理是下一章要证明的单位分解定理的关键之一 : 定理 1．15 　 若 ( X ,τ) 是局部紧致的 Hausdorff 空间 , 并且满足 C2 公理 , 则 ( X ,τ) 的任意一个开覆盖 Σ必有一个局部有限的、由可数多个成员组成的 加细开覆盖 珟 Σ. 定理 1．15 的证明需要下面的引理 : 引理 　 设 ( X , τ) 是局部紧致的、满足 C2 公理的拓扑空间 , 则存在可数多 个紧致子集

Ki : 1 ≤ i < + ∞ , 使 得 K i

( Ki + 1 ) , 并且 它们 构成 M 的 覆

盖 . 证 　 因为 ( X , τ) 是局部紧致的 , 所以对于每一点 p ∈ X 存在 U p ∈ τ, 使 ＊

得 p ∈ Up , 并且 珡 U p 是紧致的 .于是 Σ =

U p : p ∈ X 是 X 的开覆盖 .由于

＊

( X ,τ) 满足 C2 公理 , 因 此 Σ 有一 个 由可 数 多个 成 员组 成 的子 覆 盖 , 记 为 ′

Σ =

Ui : 1 ≤ i < + ∞

命 K0 = Ki

. 现在用归纳法构造 Ki .

, K1 = 珡 U 1 ． 假定已经作出紧致子集 K1 , … , K r , 使得

( Ki + 1 ) , 　 0 ≤ i ≤ r - 1 , 　 且 U i

珡 Ui

Ki , 　 1 ≤ i ≤ r .

命 K′ r+ 1 = K r ∪ 珡 Ur +1 . 显然 , K′ r + 1 是 紧 致 子 集 , 故 在 Σ 中 有 有 限 多 个 成 员 , 不 妨 假 设 为 U1 , … , ′

U m r+ 1 , 覆盖了 K r+ 1 .取

1．4 　 重要的拓扑性质

K r+ 1 = 1 ≤ i≤ ∪m

・ 23 ・

珡 Ui , r+1

则 K r+ 1 是紧致的 , 并且 Kr

∪

K′r+ 1

1 ≤ i≤ m

Ui

( K r+ 1 ) , 　 U r+ 1

珡 U r+ 1

K r+ 1 .

r+1

证毕 . 定理 1．15 的证明 　 设 Ki 是如引理给出的可数多个紧致子集 .规定 K - 1 .命 ( 参看图 1 - 8)

= K0 =

\ K i - 2 , 　 　 E i = K i \ ( Ki - 1 ) , 　 　 1 ≤ i < + ∞ ,

W i = ( Ki + 1 ) 则 W i 是开子集 , E i

K i 是 Ki 的闭子集 , 因而 E i 是紧致 子集 , 并且

Wi 和

E i 都是 X 的覆盖 .

图1 - 8

由于 ( X ,τ) 满足 C2 公理 , 所以不妨假定开覆盖 Σ由可数多个成员组成 , 记为 Σ =

U i : 1 ≤ i ≤+ ∞

.因为 Ei 是紧致的 , 故在 Σ中有有限多个成员 ,

设为 U iα , 1 ≤ α≤ m i , 覆盖了 E i .命 V iα = U iα ∩ W i .于是 V iα :1 ≤ α≤ m i , 1 ≤ i < + ∞

珟 Σ= 是 Σ的加细 .

对于 x ∈ X , 设 U 是 x 的开邻域 , 并且 A = 珡 U 是紧致的 .因此 , 在 珟 Σ 中有 有限多个成员把 A 覆盖住 .假定在这些成员中出现的指标 i 的最大者是 s , 则 当 i ≤ s 时, V iα 故 A

Wi

( Ki + 1 )

( Ks+ 1 ) ,

( Ks+ 1 ) .当 t ≥ s + 3 时 , V tα = U tα ∩ ( ( K t + 1 )

\ Kt - 1 ) .

但是 t - 2 ≥ s + 1 , 故 Kt - 2 因此 V tα ∩ ( Ks+ 1 ) =

K s+ 1

, V tα ∩ A =

( K s+ 1 ) , , ＂ t ≥ s + 3 , 1 ≤ α≤ m t .由此可见 ,

第一章 　 拓 扑 结 构

・ 24 ・

U 与珟 Σ 中至多有限多个成员相交 .证毕 . ＊

1．4．4 　 连通性和道路连通性 拓扑空间的连通性是指它是连成一 片的 .但 是 , 通过仔 细的 分析 会发 现 , 对于 一般 的 拓扑空间 , 有两种不同的连通性 . 定义 1．13 　 设 ( X ,τ) 是拓扑空间 .如果 X 不能分解成两个非空的、互不相交的 开子 集的并集 , 则称( X ,τ) 是连通的 . 如果拓扑空间 ( X , τ) 的子集 A 关于从( X ,τ) 诱导拓扑是连通的 , 则称 A 是 X 的连通 子集 . 定理 1．16 　 连通拓扑空间在连续映射下的像必是连通的 . 定理的证明留作习题 . 定义 1．14 　 设 ( X , τ) 是拓扑空间 . X 的极大连通子集称为 X 的连通分支 .具体地说 , 设 A 是 X 的连通子集 .如果不存在 X 的连通子集 B , 使得 A 是 B 的真子集 , 则称 A 是 X 的 一个连通分支 . 2

例 1 　 设 X 是由 R 的子集 A 和 B 并起来构成的 ( 参看图 1 - 9) : A =

x , sin

1 x

: x ∈ ( 0 , 1) , 　 B =

(0 , y ) : - 1 ≤ y ≤ 1

.

图1 - 9 　 　 很明显 , A 和 B 作为 R2 的拓扑子空间都是连通的 .可以证明 : X = A ∪ B 也是连通的 . 2

事实上 , 若有 R 的开子集 U 包含 B , 则它必然含有 A 中的点 .因此 , A 和 B 不能分别包含 在 X 的两个互不相交的非空开子集内 .但是 , 当 x 趋向于零时 , 曲线 A 在 x 轴上下摆动 , 并 1 , 0) ) 不能用 X 中 π 的曲线连接起来 .因 此 , 连通性和任 意两点能用 连续曲线连 接起来是 两个不 同的概 念 .这 无限地接近 y 轴 .由此可见 , B 上的点( 例如 (0 , 0) ) 和 A 上的点 (例如 (

种现象导致下面的定义 : 定义1．15 　 设 ( X ,τ) 是拓扑空间 .如果对于 X 中的任意两个点 x , y , 都存在一个连续 映射 α: [0 , 1] → X 使得α(0 ) = x ,α(1 ) = y, 则称( X ,τ) 是道路连通的 .

1．4 　 重要的拓扑性质

・ 25 ・

定理 1．17 　 道路连通的拓扑空间必是连通的 . 证 　 用反证法 , 假定道路连通的拓扑空间 X 不是连通的 , 因此存在 X 的非空开 子集 U , V , 使得 U ∩ V =

, 并且 U ∪ V = X .任意取定 x ∈ U , y ∈ V , 则有连续映射 α:

[0 , 1] → X , 使得 α( 0) = x ,α(1 ) = y .根据定理 1．16 ,α( [ 0 , 1 ] ) 是连通的 .命 U1 = U ∩ α( [0 , 1] ) , V1 = V ∩ α( [0 , 1 ] ) .很明显 , U1 ≠

, V1 ≠

, U1 ∩ V1 =

, α( [0 , 1] ) = U1

∪ V1 ． 这与 α( [0 , 1 ] ) 的连通性相矛盾 .证毕 . ＊

1．4．5 　 局部连通性和局部道路连通性 定义 1．16 　 设 ( X ,τ) 是拓扑空间 .如果对于 X 中的每一点 x ∈ X 以及 x 的任意一个 开邻域 U , 都有 x 在 X 中的一个连通的开邻域 V

U , 则称 ( X , τ) 是局部连通的 .

定义 1．17 　 设 ( X ,τ) 是拓扑空间 .如果对于 X 中的每一点 x ∈ X 以及 x 的任意一个 开邻域 U, 都有 x 在 X 中的一个道路连通的开邻域 V

U , 则称 ( X ,τ) 是局部道路 连通

的 . 需要指出的是 , 连通拓扑空间未必是局部连通的 , 自然地 局部连通拓 扑空间也未 必是 连通的 ;道路连通拓扑空间未必是局部道路连通的 , 局部道路 连通拓扑空 间也未必是 道路 连通的 .例如 , 在 1．4．4 的例 1 中的连通拓扑空间 X 不是局部连通的 ;在 1．3．3 的例 1 给出 的环面 T2 中考虑映射 α: ( - ∞ , + ∞ ) → T 2 的像集 X = α( R ) ( 图 1 - 10) , 其中 α( t ) = ( t mod1 , λt mod1) = [ ( t , λt) ] ,

图 1 - 10 这里 λ是一个固定的无理数 .那么 α( R ) 在 T2 中是处处稠密的( 即 T2 中任意一个点 x 的 任意一个开邻域 U 必含有α( R ) 的点 ) , 显然 α( R ) 作为 T2 的拓扑子空间是道路连通的 , 但 不是局部道路连通的 . 定理 1．18 　 局部道路连通的连通拓扑空间必是道路连通的 . 证 　 任意取定 x0 ∈ X , 命 U =

x ∈ X :存在连续映射 α: [0 , 1 ] → X , 使得 α(0) = x0 ,α( 1) = x

由于 X 是局部道路连通的 , 所以 U ≠

.

.设 x ∈ U , 则有连续映射 α: [ 0 , 1 ] → X 使得α( 0)

第一章 　 拓 扑 结 构

・ 26 ・

= x 0 ,α(1 ) = x .由于 X 的局部道路连通性 , 故存在 x 的开邻域 V , 使得 V 是道路连通的 . 因此对于任意的 y ∈ V 必存在连续映射β: [0 , 1] → X , 使得 β(0 ) = x ,β( 1) = y .命 α(2 t ) ,

0≤ t≤

α・β = β(2 t - 1) ,

1 , 2

1 t ≤1, 2

那么 α・β: [ 0 , 1 ] → X 是连续映射 , 并且 α・β(0 ) = x0 ,α・β(1 ) = y .由此可见 , V 即 U 是 X 的开子集 .容易证明 U 也是 X 的闭子集 .因为 X 是连通的 , 故 X \ U =

U, ,即 X

= U .证毕 . 评注 　 拓扑学最初是几何学的一个分支 , 它研 究几何 图形在 连续变 形下保 持不变 的 性质 .现在 , 它已经发展成为研究连续性现象的数学分支 .从实数轴上的连续函数的定义可 以发觉 , 一旦有了“邻域”的概念 , 则“连续性”的定义 就完全可以形式地进行叙述 .所以“邻 域”, 或“开子集”成为形式地定义“连续性”的基础 .这种“邻域”构造 , 或“开子集”构造就是 在非空集合上的拓扑结构 .

图 1 - 11 拓扑学的思想大概是在 17、18 世纪孕育产生的 .例如 L .E uler 在 1736 年解决的哥尼斯 堡七桥问题和在 1750 年发表的凸多面体欧拉公式 .七桥问题是这样的 :流经哥尼斯堡的普 雷格河上有两个小岛 , 有七座桥连接普雷格河的两岸和 两个小岛 ( 如图 1 - 11 ) .提出 的问 题是 :在一次散步中 能否恰好通 过每座桥一 次 ?在这个问题 中完全不 涉及距 离、时间和 行 进的路线 , 有关的只是桥梁的配置 .因此 , 可以把两岸 的陆地及两 个小岛分别 设想为点 , 而 桥梁设想为连接两点之间的线 .于是哥尼斯堡七桥配 置成为连接 4 点的一张图 .问题 变成 该图能否一笔画成 .Euler 证明这张图不能一笔画成 , 而且给出在平面上一张图能够一笔画 成的充分必要条件是在该图中引出 奇数条 线的点 的个数 不超过 2． 凸 多面体 的欧 拉公 式 是: f - e + v = 2, 其中 f 是面数 , e 是棱数 , v 是顶点数 .这个公式与凸多面体的具体形状没有关系 , 甚至于在 凸多面体作不粘合、不撕破的连 续变形时该 公式也是不变 的 .进一步 , 如 果把多 面体放 进 一个球内 , 并且让球 心落在多面 体内 , 然后从球 心向球的表 面作投影 , 则 多面体 便映成 球

1．5 　 习题一

・ 27 ・

面上的一张图 .这张图的特点是 :每条边的端点是节点 ; 两条边至 多在节点处 相交 ;每 条边 都不会自交 .此时 , 欧拉公式仍然成立 , 而且它不会因 为球面作不 粘合、不 撕破的连续 变形 而改变 .由此可见 , 这里面必定隐藏着一种几何学 , 这就是拓扑学 . 另一方面 , 在建立严格的实数理论的过程中 , G .Cantor 系统地开展了 欧氏空间中 的点 集论研究 , 提出了许多拓扑概念 , 如聚点、开集、闭集、闭包、稠密性、连续性等 等 .于是 在 19 世纪 末 形 成 了 点 集 拓 扑 学 和 组 合 拓 扑 学 两 个 研 究 方 向 , 组 合 拓 扑 学 的 奠 基 人 是 H . Poincare , 而 Euler 的上面两个重要的贡献属于组合拓扑学的范畴 .现在 , 这两个研究方向演 化成现在的一般拓扑学和代数拓扑学 , 基本的问题仍然是拓扑空间在同胚意义下的分类 . 本章的主要目标是把欧氏空间 中开子 集的最 基本的 性质抽 象出 来 , 作为 非空 集合 上 的拓扑结构的定义 , 然后按照 Cantor 的做法定义聚点、开集、闭集、闭包、稠密 性、连续 性等 等概念 .但是 , 拓扑 的定义过于 一般 , 从而失去 了欧氏空间 的许多 重要的 特性 .因此 , 我 们 需要更加仔细地注视和分析欧氏空间 , 比如欧氏空间有可数拓扑基 , 有第 2 分离性公理 , 有 局部紧致性 , 有连通性 , 有道路 连通性 , 等等 .于是 我们把这些 性质加 到拓扑 空间上 去 , 从 而得到与欧氏空间在拓扑性质上十分相近的、但是已经 不再是欧氏 空间的拓扑 空间 .这是 n

2

一大类新的、需要我们进一步去研究的空间 , 例如 n 维球面 S , 环面 T , Klein 瓶 , n 维实射 影空间等等 .另外 , 在 本章还介绍了 从已知的拓 扑空间构造 新的拓扑 空间的 方法 , 如乘 积 空间和商空间等等 , 这样就大大地扩展了我们的空间观念 .

1．5 　 习题一 1． 证明 : R n 中的任 意 一个 开 子 集必 能 表示 成 R n 中 若 干 球状 邻 域 的 并 集 , 并且 R n 中若干球状邻域的并集必是 R n 的开子集 . n

n

2． 证明 : R 中任意两个开子集的交集仍然是 R 的开子集 . 3． 设 U 和 V 是 R2 的两个开子集 .试叙述“映射 f : U → V 在点 x 0 ∈ R 2 处连续”的定义 . 4． 证明 : 任意一个非空的开区间与 R 是同胚的 . 5． 按照 1．1．6 的例 4 中关于点 X0 ∈ Σ的ε邻域的规定 , 叙述映射 h: Σ→ M 在点 X 0 ∈ Σ 连续 的定义 , 并且 直接 验证 : 映射 f : M → Σ 和逆 映射 f

-1

:

Σ→ M 都是连续的 . 6． 证明定理 1．1． 7． 证明 : B =

B( x , r )

R : r > 0 , x 都是有理数 含有可数多个成员 ,

并且是 R 的标准拓扑的拓扑基 . n

8． 证明 :1．2．2 的例 2 给出的开正方体构成 R 的拓扑基 . 9． 证明 : 1．2．2 的例 3 给出的拓扑基生成的拓扑是否是 R 的标准拓扑 ?说

第一章 　 拓 扑 结 构

・ 28 ・

明理由 . 10． 在 R 中命

B=

[ a , b] : a < b

.

问 : B 是不是拓扑基 ?说明理由 . 11． 在 R 中命

B

1

=

[ a , b] : a ≤ b .

问 : B1 是不是拓扑基 ?说明理由 . 12． 证明 : B =

( - ∞ , a) : a 是有理数 是 R 的一个由可数多个成员组成

的拓扑基 .写出 B 所生成的拓扑 . 13． 假定 b是 X 的一个子集族 , 并且是 X 的覆盖 .命

B=

B: B 是 b中有限多个成员的交集

.

证明 : B 是 X 的一个拓扑基 . 14． 设 X 是满足第 2 可数公理的拓扑空间 , 则 X 的任意一个开覆盖必有 一个可数子覆盖 . 15． 举出非平凡拓扑空间的例 子 , 说 明 它的 收敛 点列 的极 限 未必 是惟 一 的 . 16． 设 ( X ,τ) 是拓扑空间 , Y 是 X 的子集 .证明 : τY =

U ∩ Y: U ∈ τ

是 Y 的一个拓扑 . 17． 证明定理 1．3． 18． 证明恒同映射和包含映射都是连续的 . 19． 证明常值映射是连续的 . 20． 用 τ0 表示 X 的平凡拓扑 , 用 τ1 表示 X 的离散拓扑 .证明 : 恒同映射 id: ( X ,τ1 ) → ( X ,τ0 ) 是连续的 , 但不是同胚 . 21． 定义映射 f : R \ [ 0 , 1) → R 为 f ( x) =

x,

x < 0,

x - 1,

x ≥ 1．

证明 : f 是连续映射 , 但不是同胚 . 22． 设 f : X → Y 是 连 续 映 射 .证 明 : 如 果 ai 是 X 中 的收 敛 点 列 , 则 f ( ai ) 是 Y 中的收敛点列 . 23． 证明定理 1．7． 24． 证明定义 1．9 中的子集族 珓 τ 是商集 X/ ～ 的一个拓扑 . 25． 证明 : 对于商空间 X/ ～ , 商拓扑 珓 τ是使自然投影π: X → X/ ～ 成为 连续映射的最大拓扑 . 26． 假定 X , Y 是两个拓扑空间 , ～ 是 X 上的一个等价关系 , g: X/ ～→

1．5 　 习题一

・ 29 ・

Y 是一个映射 ,π: X → X/ ～ 是自然投影 .证明 : g 是连续的 , 当且仅当 g π是 连续的 . 2

2

27． 在 1．3．3 的例 1 给出的环面 T 中考虑映射 α: ( - ∞ , + ∞ ) → T 的 像集 X = α( R ) , 其中 α( t ) = ( t mod1 ,λt mod1) = [ ( t ,λt ) ] , 2

这里 λ是一个固定的无理数 .证明 : α( R ) 在 T 中是处处稠密的 28． 证明 1．3．3 的例 2 中的关系 ≈ 是 R2 中的等价关系 . 29． 证明 : 度量空间必是 Hausdorff 空间 . 30． 设 X 是 Hausdorff 空 间 , f : X → X 是 连 续 映 射 . 证 明 : A = x ∈ X: f ( x ) = x 是 X 的闭子集 . 31． 设 Y 是 Hausdorff 空 间 , f : X → Y 是 连 续 映 射 . 证 明 : G f = ( x , f ( x ) ) : x ∈ X 是 X × Y 的闭子集 . 32． 设 X 是 Hausdorff 空 间 , 命 Δ =

( x, x): x ∈ X

. 证 明: X 是

Hausdorff 空间当且仅当 Δ是 X × X 的闭子集 . 33． 假定 A 是拓扑空间 ( X , τ) 的紧致子集 .证明 : 若 Σ是 X 的任意一个覆 盖了 A 的开子集族 , 则在 Σ中必有有限多个成员覆盖了 A . 34． 设 ( X ,τ) 是紧致拓扑空间 , f 是定义在 X 上的连续函数 .证明 : f 必在 X 上达到它的最大值和最小值 . 35． 证明定理 1．11． 36． 设 ( X ,τ) 是紧致的 Hausdorff 空间 , 则对于任意一点 x ∈ X 以及 x 的 任意一个开邻域 U , 必能找到 x 的一个开邻域 V , 使得 V

U .

37． 设 A , B 分别是 X , Y 的紧致子集 , W 是 X × Y 的包含 A × B 的开子 集 .证明 : 在 X , Y 中分别存在包含 A , B 在内的开子集 U , V , 使得 U × V W . 38． 设 ( X 1 , d1 ) 和 ( X 2 , d 2 ) 是两个度量空间 .试在 X 1 × X2 上定义一个距 离函数 d 使得 ( X 1 × X 2 , d ) 成 为 度量 空 间 , 并 且 它 给出 的 拓扑 恰 好是 ( X 1 , d 1 ) 和 ( X2 , d 2 ) 的乘积拓扑 . 39． 设 ( X1 , τ1 ) 和 ( X 2 ,τ2 ) 是两个拓扑空间 .定义投影映射 jα: X 1 × X 2 → Xα 使得 jα ( x1 , x2 ) = xα, 　 ＂ ( x1 , x2 ) ∈ X 1 × X 2 , 　 α = 1 , 2 证明 : ( 1) j1 和 j2 都是连续的 ; (2 ) 对于任意 的拓扑 空间 Y , 映射 f : Y → X 1 × X2 是连 续 的当 且仅 当 jα

f : Y → Xα ,α = 1 , 2 是连续的 . 40． 设 Q 是 R 中的有理数集 .证明 : Q 关于从 R 诱导的拓扑不是连通的 .

・ 30 ・

41． 设 A =

第一章 　 拓 扑 结 构 2

( x , y ) ∈ R : x , y 不全是无理数

2

.证明 : A 关于从 R 诱导

的拓扑是道路连通的 .它是不是局部道路连通的 ? 42． 设 X =

2

( x , y ) ∈ R : x 是有理数 , 或 y = 0

导的拓扑是道路连通的 , 但不是局部道路连通的 .

2

.证明 : X 关于从 R 诱

第二章 　 光滑结构 拓扑空间的拓扑结构是极限和连 续性 概念 的基础 .在 拓扑 空间中 能够 对 连续函数、连续映射和 同胚进 行研 究 .按照 F .Klein 的 Erlangen 纲 领的 观点 , 几何学研究的对象是空间在某个变换 群作 用之 下的不 变性 质 .虽然拓 扑学 是 在 Erlangen 纲领之后产生的 , 但是它可以看 成是研 究空间 在同 胚变换 群作 用 之下的不变性质的学问 .通俗地说 , 拓 扑学 是橡 皮膜的 几何 学 , 研究橡 皮膜 在 既不撕破、也不粘连的连续变形下 不变 的性质 .然而 , 在拓 扑空 间上仅 有拓 扑 结构 , 还没有办法引进可微函数和 可微 映射的 概念 .要 定义 可微性 概念 , 就 需 要在拓扑空间的基础上进一步引进局 部坐 标系 , 而 且要求 局部 坐标变 换的 函 数都是光滑的 , 这就是所谓的光滑结构 .本章的主要目的是介绍光滑流形的结 构 , 定义光滑流形上的光滑函数和 光滑 映射 , 以 及由此 派生 出的切 向量 , 切 空 间和光滑切向量场等概念 .

2．1 　 微 分 流 形

2．1．1 　 拓扑流形 定义 2．1 　 设 M 是 Hausdorff 空间 .如果对于每一点 p ∈ M , 都有 p 的 一个开邻域 U

m

M 与 m 维欧氏空间 R 中的一个开邻域同胚 , 则称 M 是 m

维拓扑流形 , 简称为 m 维流形 . m

既然 m 维拓扑流形在局部上和 m 维欧氏空间 R 是同胚的 , 因此 m 维欧 m

氏空间 R 的局部的拓扑性质在 m 维拓扑流形上仍然是成立的 .比如 , m 维拓 扑流形是局部紧致的 , 局部连通的 , 局 部道路 连通 的 , 等等 .特 别是 , 连 通的 拓 扑流形必定是道路连通的 .其他的重 要拓扑 性质 , 如满足 第 2 可数 公理 , 紧 致 性 , 连通性等 , 则需要作为假定加在拓扑流形上 .一般地 , 我们所考虑的拓扑流 形都是连通的 , 并且满足第 2 可数公理 . 拓扑流形的一个重要特征是存在局部坐标系 .设 M 是 m 维拓扑 流形 , 对 于 p ∈ M , 假定 U 是 p 的开邻域 , 并且它与 m 维欧氏空间 R 域是同胚的 .假定该同胚映射是 φ: U → φ( U )

m

m

中的一个开邻

R , 则 φ是 U 和φ( U ) 之

第二章 　 光滑结构

・ 32 ・ i

间的一一对应 .若用 x , 1 ≤ i ≤ m , 记 R i

m

中的笛卡儿直角坐标 , 并且命

i

u ( q) = x ( φ( q) ) , 　 　 ＂ q ∈ U , i

则 u ( q) , 1 ≤ i ≤ m 可以作为点 q ∈ U 的坐标 .我们把这样的 ( U , φ) 称为 m i

维拓扑流形 M 的一个坐标卡 , 把 φ称为坐标映射 , 并且把 ( U ; u ) 称为在拓扑 流形 M 上由坐标卡 ( U , φ) 给出的局部坐标系 . 2

2

2

例 1 　 R , S ( 1) (1．2．5 的例 5 ) , T ( 1．3．3 的例 1) 和 Klein 瓶 K ( 1．3．3 的例 2) 都是 2 维拓扑流形 . 例 2 　 在 1．3．3 的例 3 所描述的 R P2 也是 2 维拓扑流形 .用π: R3 \ 2

3

R P 表示自然投影 , 即 π( u ) = [ u ] , ＂ u ∈ R \

0

1

2

3

2

1

1

2

3

2

2

1

2

3

2

3

0 →

.命

U1 =

[( x , x , x ) ] ∈ R P : x ≠ 0 ,

U2 =

[( x , x , x ) ] ∈ R P : x ≠ 0 ,

U3 =

[( x , x , x ) ] ∈ R P : x ≠ 0

.

由于 -1

π ( U1 ) =

1

3

3

3

1

0 :x ≠0

3

3

= R \ 它是 R \

2

(x , x , x ) ∈R \ 1

2

3

1

(x , x , x ) ∈ R :x = 0 , 2

2

0 的开子集 , 故 U 1 是 R P 的开子集 .同理 , U 2 , U3 都是 R P 的开 2

子集 , 并且它们和 U 1 一起构成 R P 的开覆盖 . 2

2

每一个 U i 和 R 是同胚的 .例如 , 命 φ1 : U1 → R 为 2

1

2

φ1 ( [ x , x , x ] ) = 3

设π: R \

3

x x , x1 x1

3

.

2

0 → R P 是自然投影 , 记 ψ1 = φ1

3

1

π: R \

2

3

1

2

( x , x , x ): x = 0 → R ．

显然 2

1

2

3

ψ1 ( x , x , x ) =

3

x x 1 2 3 -1 , 　 　 ＂ ( x , x , x ) ∈π ( U 1 ) , 1 , 1 x x -1

2

可见 ψ1 是连续的 , 故 φ1 是连续的 ( 参看第一章的习题 26) .因为 φ1 : R → U 1 可以表示为 -1

1

2

1

2

1

2

2

φ1 (ξ ,ξ ) = π(1 ,ξ ,ξ ) , 　 ＂ (ξ ,ξ ) ∈ R , -1

2

显然 φ1 是连续的 .所以 φ1 : U1 → R 是同胚映射 .

2．1．2 　 局部坐标的变换 设 M 是 m 维拓扑流形 , ( Uα, φα ) :α∈ I 是 M 的坐标卡的集合 .取 α,β ∈ I , 则交集 Uα ∩ Uβ 可能是空集 .当 Uα ∩ Uβ ≠

时 , 由于 φα: Uα ∩ Uβ →

2．1 　 微 分 流 形 m

φα ( Uα ∩ Uβ) 1) , 故 φα

・ 33 ・

R 和φβ : Uα ∩ Uβ → φβ( Uα ∩ Uβ)

m

R

-1

都是同胚 ( 图 2 -

-1

φβ : φβ( Uα ∩ Uβ ) → φα ( Uα ∩ Uβ) 和 φβ φα : φα ( Uα ∩ Uβ) → - 1

φβ ( Uα ∩ Uβ) 都是连续映射 , 并且它们互为 逆映 射 .换言 之 , φα -1

φα 都是定义在 R -1

m

φβ 和 φβ

的开子集上的 m 个 m 元连续函数 , 所以可以把它们写成

1

m

1

1

m

m

1

1

m

1

1

m

m

1

m

φα

φβ ( x , … , x ) = ( f ( x , … , x ) , … , f ( x , … , x ) ) ,

φβ

φα ( y , … , y ) = ( g ( y , … , y ) , … , g ( y , … , y ) ) ,

-1

m

称为局部坐标变换 .

图2 - 1 3

例 1 　 R 中的圆柱面 Σ=

3

2

2

2

( x , y, z ) ∈ R : x + y + z = 1 , - ∞ < z < ∞

是一个 2 维拓扑流形 .例如 , 命 U 1 =

( x , y , z ) ∈ Σ: x > 0 , φ1 ( x , y , z ) = 1

2

( y , z ) , 则 ( U1 , φ1 ) 是 Σ 的一个坐标卡 .它给出的局部坐标系 是 ( U1 ;ξ ,ξ ) , 使得 -1

1

2

φ1 (ξ ,ξ ) =

1 - (ξ1 ) 2 ,ξ1 ,ξ2

.

　 　 在 U 1 上可以定义另一个坐标映射 , 比如设 U 2 = U 1 , φ2 ( x , y , z) = ( y, 3

1

2

z ) , 则 ( U2 , φ2 ) 也是 Σ 的一个坐标卡 .它 给出的 局部坐标 系是 ( U 2 ;ζ , ζ ) , 使得 -1

1

2

φ2 ( ζ ,ζ ) =

1 - ( ζ1 ) 2 , ζ1 ,

3

ζ2

那么局部坐标变换是

即

φ2

φ1- 1 (ξ1 ,ξ2 ) = (ξ1 , (ξ2 ) 3 ) ,

φ1

φ1 (ζ , ζ ) =

- 1

1

2

1

ζ,

3

2 ζ ,

.

第二章 　 光滑结构

・ 34 ・ 1

1

1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

1

2

2

1

2

2

3

ζ = f (ξ ,ξ ) = ξ , 　 　 ζ = f (ξ ,ξ ) = (ξ ) ; 1

3

ξ = g (ζ , ζ ) = ζ , 　 　 ξ = g (ζ ,ζ ) =

2

ζ .

上面的例子提供了一个值得我们注意的事实 , 即 : 虽然局部坐标变换函数都是 连续的 , 但是 φ1

-1

1

2

1

2

φ2 (ζ , ζ ) 在 (ζ , ζ ) = ( 0 , 0) 处却不是可微的 .这就导致

出现下面的情况 : 如果 F: Σ→ R 是定义在 Σ上的连续函数 , 那么对于 Σ的任 意一个局部坐标系 , 比如 ( U 1 ;ξ1 ,ξ2 ) , 函数 F 在 U1 上的 限制 F 1

U

通过坐 标 1

2

映射 φ1 可以表示为 (ξ ,ξ ) 的连续函数 F

- 1

1

同样地 , 函数 F 在 U1 上的限 制 F 1

2

1

2

φ1 (ξ ,ξ ) = F ^ (ξ ,ξ ) . U

= F

1

U

2

通 过坐标 映射 φ2 可以 表示 为

2

(ζ , ζ ) 的连续函数 F

-1

1

2

1

2

φ2 ( ζ ,ζ ) = 珟 F( ζ ,ζ ) -1

φ1 )

= (F 1

= F ^ (ζ ,

3

- 1

( φ1

1

2

φ2 ) (ζ ,ζ )

2

ζ),

即 1

2

1

珟 F (ζ ,ζ ) = F ^ (ζ ,

3

2

ζ) .

由此可见 , 即使假定 F ^ (ξ1 ,ξ2 ) 是 (ξ1 ,ξ2 ) 的可微函数 , 那么 珟 F(ζ1 , ζ2 ) 也不会 1

2

是 (ζ , ζ ) 的可微函 数 .换 言之 , 在拓扑 流形 上 , 函 数的可 微性 质依赖 于所 用 的是哪一个局部坐标系 ; 这就是说 , 在 拓扑流 形上 如果考 虑所 有的 坐标卡 , 要 想定义可微函数的概念是不可能的 .如果要在流形上能够定义可微函数 , 则必 须预先指定哪一些坐标卡是容许取的 , 哪一些坐标卡是不容许取的 , 这正是下 面要引进的微分结构的概念 .

2．1．3 　 光滑微分结构 定义 2．2 　 设 M 是 m 维拓扑流形 , ( U , φ) 和 ( V , ψ) 是 M 的两个坐标 卡 .如果 U ∩ V =

, 或者在 U ∩ V ≠

-1

时局部坐标变换φ ψ :ψ( U ∩

- 1

V ) → φ( U ∩ V ) 和 ψ φ : φ( U ∩ V ) → ψ( U ∩ V ) 的各个分量作为 m 元连续函数都有连续的、直到 r 阶的各种偏导数 , 则称 ( U , φ) 和 ( V , ψ) 是 Cr 相关的 . 如果局部坐标变换 φ ψ- 1 : ψ( U ∩ V ) → φ( U ∩ V ) 和 ψ φ- 1 : φ( U ∩ V ) → ψ( U ∩ V ) 的各个分量作为 m 元连续函数都有连续的、任意阶的各 种偏导数则称 ( U , φ) 和 ( V , ψ) 是 C 相关的 .

∞

相关的 , 或称 ( U , φ) 和 ( V , ψ) 是光滑

2．1 　 微 分 流 形

・ 35 ・

( Uα , φα) :α∈ I 是 M 的一些

定义 2．3 　 设 M 是 m 维拓扑流形 , Σ = 坐标卡的集合 .如果 Σ 满足下列条件 : Uα :α∈ I 是 M 的一个开覆盖 ;

(1 )

(2 ) Σ 中的任意两个成员都是光滑相关的 ; (3 ) Σ是极大的 , 即 : 倘若 ( U , φ) 是 M 的一个坐标卡 , 并且它和 Σ中的每 一个成员都是光滑相关的 , 则它本身也必定在 Σ 内 , 那么称 Σ为 M 的一个光滑结构 . 指 定了一个光滑结构 Σ的 m 维拓扑流形 M 称为 m 维光滑流形 , 记为 ( M , Σ) .简单地说 , 所谓 的一个光 滑流形 ( M , Σ) 就 是在拓扑 流形 M 的 坐标卡 集 合中选出了一部分坐标卡 构成 集合 Σ, 要求 它们 满足 定义 2．3 中的 条件 (1 ) , (2 ) , (3 ) . 当我们只在谈论一个固定的光滑流形 M 时 , 则所用的坐标卡都默认为是 属于它的光滑结构的坐标卡 , 它们 所确定 的局 部坐标 系称 为容 许的局 部坐 标 系 . 满足定义 2．3 中的条件 ( 1) 和 (2 ) 的坐标卡集称为 m 维拓扑流形 M 的一 个光滑坐标覆盖 .容易证明 , m 维拓扑流形 M 的任意一个光滑坐标覆盖 Σ0 惟 一地决定了 M 的、包含 Σ0 在内的光滑结构 ( 习题 1) .因此 , 以后要描述光滑流 形的光滑结构 , 只要指定它的一个光滑坐标覆盖就够了 , 不必要把它的光滑结 构全部写出来 .

2．1．4 　 光滑流形的例子 例 1 　 n 维欧氏空间 R n . n

n

命 U = R , φ = id, 则单个的坐标卡 ( U , φ) 就构成了 R 的一个光滑坐 n

标覆盖 , 它所决定的光滑结构就是光滑流形 R 的标准光滑结构 . 2

例 2 　 单位球面 S ( 1) . 如 1．2．5 中的例 5 , 命 p = (0 , 0 , 1 ) , q = (0 , 0 , - 1 ) , 设 2

U = S (1 ) \ 2

2

p , 　 　 V = S (1 ) \

q ,

2

定义映射 f : U → R 和 g: V → R 为 f ( x, y, z) =

x y , , 　 　 g( x , y, z) = 1 - z 1 - z

x y , , 1+ z 1 + z

则 ( U , f ) 和 ( V , g) 是 S 2 ( 1) 的两 个坐 标卡 .它 们构 成 S 2 ( 1) 的 光滑 坐标 覆 盖 .事实上 , 若命 1

ξ=

x y 2 , 　 　ξ = , 1 - z 1 - z

第二章 　 光滑结构

・ 36 ・

ζ1 =

x y , 　 　 ζ2 = , 1+ z 1+ z

则局部坐标变换的公式是 1

2

ξ 2 ξ 1 2 2 2 ζ = 1 2 2 2 , 　 　 ζ = 1 2 2 2 , 　 　 (ξ ) + (ξ ) ≠ 0 , (ξ ) + (ξ ) (ξ ) + (ξ ) 1

ζ1 ζ2 2 1 2 2 2 ξ = 1 2 2 2 , 　 　 ξ = 1 2 2 2 　 　 (ζ ) + (ζ ) ≠ 0． ( ζ ) + (ζ ) (ζ ) + (ζ ) 1

1

2

1

2

1

2

1

2

很明 显 ,ζ , ζ 是 ξ ,ξ 的 光 滑函 数 ; 同时 ξ ,ξ 是 ζ ,ζ 的光 滑 函数 .因 此 ( U , f ) 和 ( V , g) 是光 滑 相关 的 .由 ( U , f ) , ( V , g) 决 定 的 光滑 结 构 就 是 S2 (1 ) 的标准光滑结构 . n

一般地 , S (1 ) , n ≥ 1 的标准光滑结构可以类似地构造 . 例 3 　 设 ( X 1 , Σ1 ) 和 ( X 2 , Σ2 ) 分别是 m 维和 n 维光滑流形 , 其中 Σ1 = ( Uα , φα ) : α∈ I 1 , Σ2 =

( V a , ψa ) : a ∈ I2

.命

Wαa = Uα × V a , 　 ραa ( x , y) = ( φα ( x ) , ψa ( y ) ) , 　 ＂ ( x , y ) ∈ Wαa , 则 ( Wαa ,ραa ) : α∈ I 1 , a ∈ I 2 构成 X 1 × X 2 的光 滑坐 标覆 盖 , 它们 决定 的 光滑结构使 X1 × X 2 成为 m + n 维光滑流形 , 称为 ( X 1 , Σ1 ) 和 ( X2 , Σ2 ) 的乘 积流形 . 乘积流形是从已知光滑流形构造新的光滑流形的重要途径 . 2

1

1

例 4 　 环面 T = S × S ． 设 S 1 = S 1 ( 1) 是类似于例 2 的做法所给出的 1 维光滑流形 , 而 T2 是 S 1 1

1

1

和 S 的乘积流形 .在 S 上可以取两个坐标卡 ( U , f ) 和 ( V , g) 把 S 覆盖住 , 其中 U=

2

2

2

( x , y) ∈ R : x + y = 1 , y ≠ 1 1

2

= S ∩ ( x , y) ∈ R : y < 1 , 　 　 f ( x , y) = V=

x , 1 - y

( x , y) ∈ R 2 : x 2 + y2 = 1 , y ≠ - 1 1

2

= S ∩ ( x , y ) ∈ R : y > - 1 , 　 　 g( x , y ) =

x . 1+ y

2

另外 , 还可以按照 1．3．3 的例 1 的做法 , 取 R 的三个开正方形 : 2

V1 =

( u, v) ∈ R : 0 < u < 1, 0 < v < 1 ,

V2 =

( u, v) ∈ R :

V3 =

( u, v) ∈ R :

2

2

1 4 1 4 < u < , < v < , 3 3 3 3 2 5 2 5 < u < , < v < , 3 3 3 3 2

2

2

再命 Ui = π( V i ) , 1 ≤ i ≤ 3 , 其中π: R → R / ～ = T 是关于等价关系 ～ 的 - 1

自然投影 .由于 π ( U i ) 是将 V i 上下、左右平移 若干个 整数单位 所得到的 全

2．1 　 微 分 流 形 -1

・ 37 ・

2

2

体开正方形的并集 , 故π ( U i ) 是 R 的开子集 , 因而 U i 是 T 的开子集 .容易 Ui : 1 ≤ i ≤ 3 是 T 2 的开覆盖 .

验证 ,

注意到π

V

i

: V i → U i 是一一对应 , 于是可以命 φi = (π

V

i

)

-1

: U i → Vi ,

2 则 ( U i , φi ) : 1 ≤ i ≤ 3 是 T 的坐标覆 盖 .可以证 明 , 这些 坐标卡是 彼此 光 2

滑相关的 ( 习题 6 ) , 它们决定的正好是 T 的标准光滑结构 . 1

思考题 : 把单位圆周 S 等同于正方 形的一 条边 ( 其 端点看 作同 一个点 ) , 把另一个单位圆周 S1 等同于正方形的一条邻边 ( 同样把它的端点看作同一个 2

1

1

点 ) , 你能否把 T = S × S 的坐标卡 ( U × U , f × f ) 和 ( U 1 , φ1 ) 所给出的 局部坐标系的坐标变换公式显式地写出来 ? 例 5 　 Klein 瓶 K . 参看 1．3．3 的例 2． 命 2

V1 =

( u , v ) ∈ R :0 < u < 1 , 0 < v < 1 ,

V2 =

( u, v) ∈ R : -

V3 =

( u, v) ∈ R :

1 2 1 2 < u < , < v < 3 3 3 3

2

2

2

1 4 1 2 < u < , < v < 3 3 3 3

,

.

2

用 π: R → K = R / ≈ 表示关于等价关系 ≈ 的自然投影 , 记 Ui = π( V i ) .因 为π

V

i

: V i → U i 是一一对应 , 于是可以命 ψi = (π

V

) i

-1

: U i → Vi ,

则( U i , ψi ) , 1 ≤ i ≤ 3 , 是 K 的 坐 标 卡 , 它 们 构 成 K 的 坐 标 覆 盖 .事 实 上 , K \ ( U1 ∪ U 2 ) 由两个点组成 , 它们是π( 0 ,

2 1 2 ) = π(1 , ) 和 π( , 0) .很 明 3 3 3

显 , 这两个点落在 U 3 内 . 关于局部坐标变换 , 我们只在这 里写出 ψ2

ψ1

-1

的 公式 , 其余的 留给 读

者自己来完成 . U1 ∩ U 2 有 4 个连通分支 , 它们是 π( Wj ) , 1 ≤ j ≤ 4 , 其中 2

W1 =

( u , v) ∈ R : 0 < u <

W2 =

( u , v) ∈ R :

W3 =

( u , v) ∈ R : 0 < u <

W4 =

( u , v) ∈ R :

2

2

2

2 2 ,0 < v < 3 3

2 1 < u < 1, < v < 1 , 3 3 2 2 , < v < 1 , 3 3

2 1 < u < 1, 0 < v < 3 3

直接验证得到 ψ2

-1

,

ψ1 ( u , v ) = ( u , v ) , 　 　 ( u , v ) ∈ W1 ,

.

第二章 　 光滑结构

・ 38 ・ - 1

ψ2

ψ1 ( u , v ) = ( u - 1 , 1 - v ) , 　 　 ( u , v ) ∈ W 2 ,

ψ2

ψ1 ( u , v ) = ( u , v - 1 ) , 　 　 ( u , v ) ∈ W3 ,

ψ2

ψ1 ( u , v ) = ( u - 1 , - v ) , 　 　 ( u , v ) ∈ W4 ,

- 1 - 1

所以 ( U1 , ψ1 ) 和 ( U2 , ψ2 ) 是光滑相关的 .因此 , Klein 瓶是 2 维光滑流形 . 2

例 6 　 由 2．1．1 的例 2 所给出的 2 维实射影空间 R P 是 2 维光滑流形 . 在那里已经给出 了 坐标 覆 盖 ( U i , φi ) : 1 ≤ i ≤ 3 , 现 在只 要 指出 它 们 是彼此光滑相关的就行了 .以 i = 1 , 2 为例 , 其余情形是一样的 . 在 U1 上的局部坐标系是 2

3

1

3

x x 2 ξ = 1 , 　ξ = 1 ; x x 1

在 U2 上的局部坐标系是 x 2 x ζ = 2, 　ζ = 2 . x x 1

因此局部坐标变换 φ1

- 1

φ2 : φ2 ( U1 ∩ U2 ) → φ1 ( U1 ∩ U 2 ) 是 2

1 2 ζ ξ = 1, 　 　ξ = 1, ζ ζ 1

1

2

它们都是 ζ , ζ 的光滑函数 . 2 由光滑坐标覆盖 ( U i , φi ) : 1 ≤ i ≤ 3 决定的光滑结构是 R P 的标准光 n

滑 结构 .类似地 , 可以叙述 n 维实射影空间 R P = ( R

n+1

\

0 )/ ～ 的光滑结

构 . 例 7 　 开子流形 . 设 X 是 m 维光滑流形 ( M , Σ) 的开子集 .命 珟 Σ=

( Uα ∩ X ,ψα ) : ψα = φα

U ∩ X α

, ( Uα , φα ) ∈ Σ .

容易验证 珟 Σ 是 X 的光滑坐标覆盖 , 由它决定的光滑结构使 X 成为 m 维光滑流 形 , 称为 ( M , Σ) 的开子流形 . 例如 : R n \

0 是 R n 的开子流形 , R n \ B n (1 ) 也是 R n 的开子流形 ( 参看

1．2．5 的例 4) . 例 8 　 一般线性群 GL( n , R ) . 所谓的一般线性群 GL( n , R ) 是指其行列式不为零的 n × n 阶实系数 矩 阵

A =

a1 1

a1 2

…

a1 n

a2 1

a2 2

…

a2 n

… a n1

… an 2

…

an n

, 　 det A ≠ 0

2．2 　 光 滑 函 数

・ 39 ・

的集合 .GL( n , R ) 关于矩阵的乘法构成一个群 .每一个 A ∈ GL( n , R ) 可以看 作 M ( n , n) = R 合 .然而 , R

n

2

n

2

中的元素 , 在这里 M ( n , n) 是指 n × n 阶实系数矩阵的集

A ∈ M ( n , n) : det A = 0 是 M ( n , n ) 的闭子集 , 故 GL( n , R ) 是 2

的开子集 , 所以 GL( n , R ) 是 n 维光滑流形 .

2．2 　 光 滑 函 数

2．2．1 　 光滑函数的定义 在流形上引进光滑结构的主要目的是为了能够定义光滑函数的概念 . 定义 2．4 　 设 ( M , Σ) 是 m 维光滑流形 , f : M → R 是定义在 M 上的连 续函数 .如果在点 p ∈ M 存在一个坐标卡 ( U , φ) ∈ Σ使得 f R 在 φ( U )

-1

φ : φ( U ) →

m

R 上有连续的任意阶的各种偏导数 , 则称函数 f 在 p 点处是光

滑的 . 如果函数 f : M → R 在 M 上处处是光滑的 , 则称 f 在 M 上是光滑的 . ∞

∞

在 M 上的全体光滑函数的集合记为 C ( M ) .自然地 , 在 C ( M ) 中加法 和乘法都是封闭的 , 并且满 足结 合 律 , 交换 律 和分 配 律 .因此 , 在 代 数结 构 上 ∞

看 , C ( M ) 是一个环 . 若 U 是 M 的开子集 , 则 U 是 M 的开子流形 .因此 , 定义在 U 上的光滑函 数的概念同样是有意义的 .假定 f 是定义在 p ∈ M 的一个开邻域 U 上的光滑 函数 , 则称 f 是在点 p 的光滑函数 .全体在点 p ∈ M 的光滑函数的集合记 为 ∞

i

i

i

C p .若 ( U , φ) 是 M 的一个容许坐标卡 , 局部坐标系 u 由 u (・) = x ( φ(・) ) i

i

给出 .由于坐标函数 x 是 φ( U ) 上的一次函数 , 因而局部坐标函数 u 是开 子 集 U 上的光滑函数 . ∞

需要指出的是 , 在 C p 中的元素的定义域未必是彼此相同的 , 但是明显地 ∞

有 C ( M)

∞

∞

C p .反过来 , C p 中的元素是否能够扩展成为定义在 M 上的光

滑函数呢 ?这是我们所遇到的第一 个涉及 局部 定义 的量和 大范 围定义 的量 之 间的关系的问题 , 在下一段将解决这个问题 . 根据光滑结构的定义 , 函数 f : M → R 在点 p ∈ M 的光滑性与点 p 的容 许坐标卡 ( U , φ) 的取法没有关系 .一旦认定 f 在点 p 是光滑的 , 即存在点 p ∈ M 的坐标卡 ( U , φ) ∈ Σ 使得 f

- 1

φ : φ( U ) → R 在 φ( U )

的 , 则对于点 p 的任意一个容许坐标卡 ( V , ψ) , 函数 f

-1

R

m

上是光滑

ψ : ψ( U ∩ V ) → R

第二章 　 光滑结构

・ 40 ・

同样是光滑的 .

2．2．2 　 截断函数 在本段我们要描述一种定义在整 个光滑 流形 上的光 滑函 数 , 它在 一点 的 开邻域内恒等于 1 , 而在该点的某个坐标域外 恒等于 0． 这种函数 称为截断 函 数 , 是在局部定义的量和大范围定义的量之间建立联系的重要工具 .先叙述一 个引理 . n

引理 　 设 B( r1 ) , B( r2 ) 是 R 中以原点为中心、半径分别 为 r1 , r2 的 同 ∞

n

心开球 , 0 < r1 < r2 , 则有函数 F ∈ C ( R ) , 使得 F

B( r ) 1

≡ 1, 　 F 2

R

n

\ B( r ) 2

≡ 0．

2

　 　 证 　 首先定义函数 h: ( r1 , r2 ) → R , 使得 h( x ) =

1 , 2 ( x - r ) ( x - r2 ) 2 1

再令 e

h( x )

2

,

2

r1 < x < r2 ,

g( x ) =

2

2

x ≤ r1 或 x ≥ r2 .

0, 2

2

由于 g 的各阶导数当 x → r1 + 0 及 x → r2 - 0 时皆为零 , 故 g 是 R 上的光滑 2

2

函数 , 并且它在 ( r1 , r2 ) 内取正值 , 在该区间外取零值 ( 参看图 2 - 2) .

图2 - 2

其次 , 命

G( x )

∫ = ∫

∞

- ∞

则 G 仍然是 R 上的光滑函数 , 并且

g( x ) d x

x

,

∞

g( x)d x

2．2 　 光 滑 函 数

・ 41 ・ 2

1,

x ≤ r1 ,

0,

x ≥ r2 ．

G( x ) =

2

然后取 F( x1 , … , x n ) = G ( ( x 1 ) 2 + … + ( x n ) 2 ) , 则它满足引理的要求 . 定理 2．1 　 设 U , V 是 n 维光滑流形 M 的两个开子集 , 珡 U 是紧致的 , 并且 珡 U

∞

V , 则存在光滑函数 f ∈ C ( M ) , 使得 f 证 　 由于 珡 U

U

≡ 1, f

≡ 0．

M \ V

V , 故对于每一点 p ∈ 珡 U , 必有开邻域 Up , W p , 使得 p ∈ Up

珡 Up

Wp

Wp

Zp

V,

其中 Zp 是点 p 的一个坐标邻域 , 坐标映射为 φp .不妨假定 φp ( U p ) 和 φp ( W p ) 是 R n 中以原点为中心的同心开球域 , 则 根据引理 , 存 在函数 F p ∈ C∞ ( R n ) , 使得 Fp

φ ( U ) p

p

≡ 1 , 　 Fp

R

n

\ φ ( W ) p

p

≡ 0．

命 f p ( x) =

Fp ( φp ( x ) ) ,

＂ x ∈ Zp ,

0,

＂ x｜

∞

容易验证 f p ∈ C ( M ) , 并且 f p

U

≡ 1 , fp

p

M \ W

p

Zp ,

≡ 0．

U 中 必存在 有限 子覆 盖 , 记 由于 珡 U 是紧致的 , 在它的开覆盖 U p : p ∈ 珡 作 U a : 1 ≤ a ≤ r , 对应的光滑函数记为 f a : 1 ≤ a ≤ r

.命

f = 1 - (1 - f 1 ) … (1 - f r ) , ∞

则 f ∈ C ( M ) .并且 , 当 x ∈ U 时 , 必有某个指标 a , 1 ≤ a ≤ r 使得 x ∈ U a , 于是 f a ( x ) = 1 , f ( x ) = 1; 当 x ∈ M \ V 时 , 则对每一个指标 a 而言 , x ｜ W a , 故 f a ( x ) = 0 , 因此 f ( x ) = 0． 定理 2．1 的一个直接推论是 ∞

定理 2．2 　 设 U 是 n 维光滑流形 M 的一个开子集 , f ∈ C ( U ) , 则在任 ∞

意一点 p ∈ U , 必有 p 的一个开邻域 V

U , 以及光滑函数 珘 f ∈ C ( M) , 使

得 珘 f

V

= f

V

.

　 　 证 　 利用流形在局部上同胚于欧氏空间的开邻域的特征 , 可以取到点 p 的开邻域 V , W , 使得 V 是紧致的 , 并且 p∈ V

V

W

W

U .

∞

根 据定理 2．1 , 存在光滑函数 g ∈ C ( M ) 满足条件 g 命

V

≡1和 g

M \ W

≡ 0．

第二章 　 光滑结构

・ 42 ・

珘 f( x) =

f ( x ) ・ g( x ) ,

＂ x ∈ U,

0,

＂ x｜

U .

由于 M 是开子集 U 和 M \ W 的并集 , 而函数 珘 f 在 U 上是光滑的 , 在 M \ W 上恒等于零 , 自然是光滑的 , 因此 珘 f 是在 M 上的光滑函数 .当 x ∈ V 时 , g( x ) = 1,故 珘 f ( x ) = f ( x ) .证毕 .

2．2．3 　 单位分解定理 本节要利用定理 2．1 证明十分重 要的单 位分 解定理 .所谓 的单位 分解 定 理就是把“1”分解成若干个光 滑函 数之 和 , 而其 中每 一个 光滑 函 数在 某个 局 部坐标域之外恒等于零 .这样 , 任何大范围地定义在光滑流形上的量都能够分 解成若干个量之和 , 而其中每一个量在某个局部坐标域之外为零 , 在坐标域内 就能够用局部坐标表示出来了 .反过来 , 如果我们在每一个局部坐标域内都能 够用局部坐标表达某个量 , 则用单 位分解 定理 可以 把这些 量粘 合起来 成为 定 义在整个光滑流形上的量 .由此可见 , 单位分解定理是在局部量和整体量之间 建立联系的不可缺少的工具 .关 于单 位 分 解定 理 所涉 及 的拓 扑 概念 , 请 参 看 ∞

1．4．3 以及定理 1．15． 另外 , 对于任意的光滑函数 f ∈ C ( M ) , 命 Supp f =

p ∈ M : f ( p) ≠ 0 ,

称为 f 的支撑集 , 它是函数 f 在 M 上取非零值的点的集合的闭包 . 定理 2．3 　 设 M 是满足第 2 可数公理的 n 维光滑流形 , 则对于 M 的任 意一个开覆盖 Σ= 覆盖 珟 Σ =

Uα :α∈ I , 必存在 Σ的一个可数的、局部有限的加细开

Wi : 1 ≤ i < ∞ , 以 及 定 义 在 M 上 的 一 族 光 滑 函 数

∞

f i ∈ C ( M ) :1 ≤ i < ∞ , 使得 0 ≤ f i ≤ 1 , Supp f i 是包含在 W i 内的紧致 子集 , 并且 ∞

∑f

i

= 1．

i =1

　 　 这样的一族光滑函数

f i 称为从属于开覆盖 Σ 的单位分解 .

证 　 由于 M 满足第 2 可数公理 , 根据定理 1．15 , 存在 Σ的可数的、局部有 限的加细开覆盖 珟 Σ=

W i : 1 ≤ i < ∞ , 并且可以假定每一个 W i 是紧致的 .

利用数学归纳法不难证明 : 对于每一个 i, 存在开子集 V i , Z i , 使得 V i Zi

W i , 因而 V i 是紧致的 , 并且 Σ0 =

Zi

V i :1 ≤ i < ∞ 仍然构成 M 的开覆

盖 ( 参看习题 9 ) . ∞

根据定理 2．1 , 对于每一个 i, 存在光滑函数 F i ∈ C ( M ) , 使得 Fi 1 , Fi

M \ Z

i

≡ 0 , 并且 0 ≤ F i ≤ 1． 特别地 , Supp F i

W i .命

V

i

≡

2．2 　 光 滑 函 数

・ 43 ・

∞

F =

∑F

i

.

i= 1

由于 珟 Σ 是局部有限的 , 对于每一点 p ∈ M 都有 p 的一个开邻域 U , 它只与 珟 Σ ∞

的有限多个成员相交 , 故 F

U

=

∑F

i

U

只是有 限多 项之和 , 因此前 面所 定

i= 1

∞

义的 F 是有意义的 , 它在每一点的值是有限值 , 并且 F ∈ C ( M ) .因为 Σ0 是 M 的开覆盖 , 对于 p ∈ M , 必有 V i ∈ Σ0 使得 p ∈ V i , 因此 Fi ( p ) = 1． 由 此可见 , F( p) ≥ 1 , ＂ p ∈ M .命 fi =

Fi F

则函数族 f i : 1 ≤ i < ∞ 满足定理的要求 .

2．2．4 　 光滑映射 光滑流形上的光滑函 数 的概 念 很容 易 推广 成 为光 滑 流 形之 间 的光 滑 映 射 . 定义 2．5 　 设 M , N 分别是 m 维和 n 维光滑流形 , f : M → N 是从 M 到 N 的连续映射 , p ∈ M , q = f ( p ) ∈ N .如果点 p 有一个在 M 中的容许坐标 卡 ( U , φ) , 点 q 有一个在 N 中的容许坐标卡 ( V , ψ) , 使得 f ( U ) f

-1

φ : φ( U ) → ψ( V ) 是从 R

m

V , 并且 ψ

n

的开子集 φ( U ) 到 R 的开子集ψ( V ) 的

光滑映射 , 则称映射 f 在点 p 处是光滑的 . 如果映射 f : M → N 在 M 上处处是光滑的 , 则称 f 是光滑映射 . 很明显 , 光滑函数是光滑映射的特殊情形 .光滑映射的另一个特例是光滑 曲线 , 此时映射的定义域是开区间 ( a , b)

R , 它是 R 的开子流形 .

定义 2．6 　 从开区间 ( a , b) 到光滑流形 M 的一个光滑映射 f : ( a , b) → M 称为一条光滑曲线 . 定义 2．7 　 如果 f : M → N 是光滑流形 M 和 N 之间的同胚 , 并且 f 和它 的逆映射 f

- 1

: N → M 都是光滑的 , 则称 f : M → N 是光滑流形 M 和 N 之间

的光滑同胚 . 在 1．1．6 的例 2 , 例 3 , 例 4 , 和 1．2．5 的例 3 , 例 4 , 例 5 给出的同胚都是光 滑同胚 .

第二章 　 光滑结构

・ 44 ・

2．3 　 切 　 空 　 间

2．3．1 　 切向量 n

1

n

1

　 　 在 n 维欧氏空间 R 中任意一点 x = ( x , … , x ) 处的一个向量 v = ( v , n

… , v ) 给出了可微函数 f 在该点处的方向导数 Dv f , 它的定义是 1

1

n

n

1

n

f ( x + tv , … , x + t v ) - f ( x , … , x ) Dv f = lim t→ 0 t =

d dt

1

t=0

1

n

n

f ( x + t v , … , x + tv ) .

直接计算得到 n

Dv f =

∑v i= 1

i

f i x

x

.

很明显 , 方向导数算子是线性微分算子 . 在 m 维光滑流形 M 上 , 虽然有向线段 ( 或向量 ) 的概念不再有意义了 , 但 是光滑函数是有意义的 , 因而线性微分算子仍然是可以定义的 , 这就是所谓的 切向量的概念 . 定义 2．8 　 设 M 是 m 维光滑流形 , p ∈ M .所谓在点 p 的一个切向量 v ∞

指的是满足下列条件的一个映射 v : C p → R : ∞

(1 ) v ( f + λg) = v ( f ) + λv ( g) , 　 ＂ f , g ∈ C p ,λ∈ R ; ∞

(2 ) v ( f・ g ) = f ( p) v ( g) + g( p) v ( f ) , 　 ＂ f , g ∈ C p . 条件 (1 ) 表示 映射 v 是 线性的 ; 条件 ( 2) 是两 个函数 的乘 积 的求 导法 则 ( 通常称为 Leibniz 法则 ) . 例 1 　 设 M 是 m 维光滑流形 , γ: ( a , b) → M 是一条光滑曲线 .对于任意 的 t ∈ ( a , b) , 在点 p = γ( t ) 定义映射 v : C∞p → R 如下 : v ( f ) = lim

Δt→ 0

f ( γ( t + Δt ) ) - f (γ( t ) ) d = f ( γ( t ) ) , 　 　 ＂ f ∈ C∞p . Δt dt

d 是线性的 , 并且满足 Leibniz 法则 , 所以映射 v 满足定义 2．8 dt 的条件 (1 ) 和 ( 2) , 即 v 是在点 p = γ( t ) 的一个切向量 , 记为 γ′( t ) , 称为光滑 由于导数算子

曲线 γ的切向量 . i

例 2 　 设 ( U ; u ) 是 m 维光滑流形 M 的一个容许局部坐标系 , U 上的一 条光滑曲线 γ( t ) 的方程是

2．3 　 切 　 空 　 间 i

・ 45 ・

i

u = u ( t) , 　 　 - ε < t < ε, 　 　 1 ≤ i ≤ n , ∞

1

n

且点 p = γ( 0) .假定函数 f ∈ C p 的局部坐标表达式是 f ( u , … , u ) , 则 d d 1 n ( γ′(0 ) ) ( f ) = ( f γ( t ) ) = f ( u ( t) , … , u ( t ) ) t = 0 t = 0 dt dt m

=

i

d u (0 ) dt

∑ i= 1

f i u

p

.

3

　 　 例 3 　 设 M = R , 点 p 的坐标是 ( 1 , - 2 , - 1) , 在点 p 的一个切向量是 v = (5 , 2 , - 3 ) .命 γ( t ) = (1 , - 2 , - 1) + t (5 , 2 , - 3 ) = (1 + 5 t, - 2 + 2 t , - 1 - 3 t ) , ∞

这是经过点 p , 以 v 为方向向量的直线 .若 f ∈ C p , 则 3

Dv f =

∑v

f i x

i

i= 1

p

f 1 x

= 5

p

+2

f 2 x

2

2

p

f 3 x

- 3

p

.

如果 1

2

2

3

f = 3( x ) + ( x ) + 2 x x , 则 f 1 x f 3 x

1

p

= 6x

p

= 6, 　

p

= - 4．

2

p

= 2x

f 2 x

2

3

= (2 x + 2 x )

p

p

= - 6,

因此 Dv f = 5・6 + 2・ ( - 6) - 3 ・ ( - 4 ) = 30． 　 　 例 4 　 设 M 是 m 维光滑流形 , p ∈ M , ( U ; ui ) 是点 p 的一个局部坐标 系 , 对应的坐标映射是 φ .固定一个指标 i , 定义光滑曲线 γi : ( - ε,ε) → M , 使 得 j

j

j

j

u (γi ( t) ) = x ( φ(γi ( t ) ) ) = u ( p) + tδi , 　 1 ≤ j ≤ m . 显然 , p = γi (0 ) .于是 , 光滑曲线 γi ( t ) 在 点 p 的切 向量是 γ′ i (0 ) , 它在 f ∈ ∞

C p 上的作用是 (γ′ i (0 ) ) ( f ) =

d dt

t=0

=

d dt

( f t=0

=

d dt

( f

= 把切向量 γ′ i (0 ) 记为

t=0

( f

u

i

f (γi ( t) ) -1

φ ) ( φ( γi ( t ) ) ) -1

1

1

-1

φ ) i x p

m

m

φ ) ( u ( p) + tδi , … , u ( p) + tδi )

φ( p )

.

, 则上面的式子能够写成

第二章 　 光滑结构

・ 46 ・

u

i

p

( f) =

( f

-1

φ ) xi

φ( p )

, 　 ＂ f ∈ C∞p , i

这里 1 ≤ i ≤ m .换言之 , 在点 p 给定了一个局部坐标系 ( U ; u ) 之后 , 便在点 p 确定了 m 个切向量

.需要指出的是 , 左端的 i p 只是在点 p 的一个切 i u p u 向量的记号 .把它看成偏导数算子作用在函数 f 上时 , 其真正的意义是由右端 -1

1

m

给出的 , 即 : 首先把函数 f 通过坐标映射φ 变成坐标 x , … , x 的函数 , 再求 i

它关于第 i 个坐标 x 的偏导数 . 例 5 　 零切向量 . ∞

∞

对于任意的 f ∈ C p , 命 v ( f ) = 0 , 则映射 v : C p → R 自然 地满足定 义 2．8 的条件 ( 1) 和 ( 2) , 故 v 是在点 p 的切向量 , 称为零切向量 , 记为 0．

2．3．2 　 切空间 设 M 是 m 维光滑流形 , p ∈ M , 在点 p 的所有切向量的集合记为 T p M . 容易验证 T p M 是一个向量空间 .事实上 , 在 T p M 中可以定义加法和数乘法如 下 : 对于任意的 u , v ∈ T p M 和λ∈ R , 命 ∞

( u + v ) f = u ( f ) + v ( f ) , 　 (λ・ u) f = λ・ u ( f ) , 　 ＂ f ∈ C p . 那么 , u + v 和λ・ u 仍然是在点 p 的切向量 .因为 , 根据定义 , 对于任意的 f , g ∞

∈ C p 和 μ∈ R 有 ( u + v ) ( f + μg) = u( f + μg) + v ( f + μg) = u( f ) + μv ( g) + v ( f ) + μv ( g) = ( u + v ) f + μ( u + v ) g , ( u + v ) ( f ・ g) = u( f ・ g) + v ( f・ g ) = f ( p) u( g) + g( p) u ( f ) + f ( p) v ( g) + g( p) v ( f ) = f ( p) ( u ( g) + v ( g ) ) + g( p ) ( u( f ) + v ( f ) ) = f ( p) ( u + v ) g + g( p) ( u + v ) f . 同理可以证明 (λ・ u ) ( f + μg) = (λ・ u ) f + μ(λ・ u ) g; (λ・ u ) ( f ・ g) = f ( p ) (λ・ u ) g + g( p ) (λ・ u ) f . 　 　 很明 显 , T p M 关于 加 法和 数乘 法满 足向 量 空间 的下 述公 理 : 设 u , v ∈ T p M ,λ, μ∈ R , (1 ) u + v = v + u; (2 ) ( u + v ) + w = u + ( v + w ) ; (3 ) u + 0 = u ;

2．3 　 切 　 空 　 间

・ 47 ・

(4 ) 对于任意的 u ∈ T p M , 存在 - u = ( - 1) u , 使得 u + ( - u ) = 0; (5 ) 1 ・ u = u; (6 ) λ( μu) = (λμ) u; (7 ) ( λ+ μ) u = λu + μu ; (8 ) λ( u + v ) = λu + λv . 因此 T p M 是一个向量空间 , 称为光滑流形 M 在点 p 的切空间 . 切空间是光滑流形特有的概念 , 在一 般的 拓扑 空间和 拓扑 流形上 都不 能 够定义切空间 .切空间的概念是建立在光滑结构和光滑函数的基础之上的 .

2．3．3 　 自然基底 设 M 是 m 维光滑流形 , p ∈ M .既然切空间 T p M 是向量空间 , 则一个自 然的问题是 : 它的维数是多少 ?为此 , 我们必须找出 T p M 的基底 . i

设 ( U ; u ) 是点 p 的一个局部坐标系 , 则 2．3．1 的例 4 给出了在点 p 处的 m 个切向量

.我们要证明这 m 个切向量构成了 T p M 的基底 . i u p 定理 2．4 　 设 M 是 m 维光滑流形 , p ∈ M , ( U ; ui ) 是在点 p 处由坐标

映射 φ给出的局部坐标系 , 命 u

i

p

f =

- 1

φ ) xi

( f

φ( p )

, 　 　 ＂ f ∈ C∞p , 　 1 ≤ i ≤ m . i

则这 m 个切向量构成 T p M 的基底 , 称为切空间 T p M 在局部坐标系 ( U ; u ) 下 的自然基底 .因此 , dim T p M = dim M = m . 定理的证明需要两个引理 . 引理 1 　 在定理 2．4 的假定下 , 任意的 f ∈ C∞p 在点 p 的一个开邻域 V U 内能够表示成 m

f

V

= f( p) +

∑

i

i

u - u ( p)

gi ,

i =1

∞

其中 gi ∈ C ( V ) , 并且 gi ( p ) = 　 　 证 　 取点 p 的开邻域 V

u

i

p

f . m

U , 使得 φ( V ) 是在 R 中以 φ( p) 为中心的

球状邻域 .对于任意的 q ∈ V , 由微积分基本定理得到 　 f ( q) - f ( p) -1

= f

φ ( φ( q) ) - f

= f

φ

-1

1

-1

φ ( φ( p) ) m

x (φ( q) ) , … , x (φ( q) ) ) - f

-1

1

m

φ ( x ( φ( p) ) , …, x ( φ( p) )

第二章 　 光滑结构

・ 48 ・ 1

∫ ddt

=

φ- 1 φ( p) + t( φ( q) - φ( p) )

f

dt

0 1

m

∫∑

=

j

x (φ( q) ) - x ( φ( p) )

0 j= 1 m

=

∑

1

j

∫

j

-1

φ ) φ( p) + t(φ( q) - φ( p) ) d t . xj

( f

u ( q) - u ( p)

0

j= 1

-1

φ ) φ( p) + t(φ( q) - φ( p) ) d t j x

( f

j

命 1

∫

gj ( q) =

φ- 1 ) φ( p ) + t( φ( q) - φ( p) ) d t , j x

( f

0

∞

则 gj ∈ C ( V ) , 且满足引理的要求 . 引理 2 　 切向量 v ∈ T p M 在常值函数上的作用为零 . 证 　 由于 1 = 1 ・1 , 根据定义 2．8 的条件 (2 ) , v (1 ) = 1・ v ( 1) + v (1 ) ・1 = 2 v ( 1) , 　 v ( 1) = 0． 对于任意的常数 c = c・ 1 , 根据定义 2．8 的条件 (1 ) 得到 v ( c) = v ( c・1 ) = cv (1 ) = 0． ∞

i

　 　 定理 2．4 的证明 　 对于任意的 f ∈ C p , 把 f ( p ) 和 u ( p) 都看作常值函 数 , 则由引理 1 和引理 2 得到 m

v( f ) = v f( p ) +

∑

j

j

u - u ( p)

gj

j= 1 m

=

m

∑v

j

j

u - u ( p)

∑ v ( u ) g ( p) j

gj =

j

j=1

j=1

m

=

∑ v( u ) j

u

j=1

j

p

f,

即 m

∑ v( u ) j

v =

u

j=1

j

p

. m

j

　 　 假定有一组常数 c , 1 ≤ j ≤ m , 使得 v =

∑c

j

u

j= 1

j

p

是零切向量 , 将它

i

作用在坐标函数 u 上则得到 m

m

∑c

i

j

0 = v( u ) =

j= 1

由此可见 , 这 m 个切向量 的基底 .

u

i

p

i

u

j

p

(u) =

∑ cδ = j

i j

i

c .

j=1

, 1 ≤ i ≤ m , 是线性无关的 , 即它们构成 T p M

2．3 　 切 　 空 　 间

・ 49 ・

2．3．4 　 切向量的分量 i

设 M 是 m 维光滑流形 , p ∈ M , ( U ; u ) 是在点 p 处由坐标映射φ给出 的局部坐标系 , 则在定理 2．4 的证明中给出了切向量 v ∈ T p M 关于自然基底 u

i

, 1 ≤ i ≤ m 的表达式

p

m

v =

∑ v( u ) j

u

j=1

j

j

,

p

j

j

其中的 v = v ( u ) 称为切向量 v 在该自然基底下的分量 , 这里的 v ( u ) 是指 j

切向量 v 在坐标函数 u 上的作用 . 例 1 　 光滑曲线 γ: ( a , b) → M 的切向量 γ′( t ) 在自然基底下的分量 . i

i

i

在局部 坐 标 系 ( U ; u ) 下 , 设 曲 线 γ( t ) 的 方 程 是 u = u ( γ( t ) ) = i

u ( t ) .它的切向量 γ′( t ) 由 2．3．1 的例 1 所定义 , 因此 j

d j d u ( t) ( γ′( t ) ) ( u ) = u ( t) = , dt dt j

m

γ′( t ) =

∑ j=1

j

d u ( t) dt

u

j

γ( t )

. j

:1 ≤ i ≤ m 下的分量是 d u ( t ) . 所以 γ′( t ) 在自然基底 i u p dt i 如果 ( W ; w ) 是 在点 p 处 由 坐标 映 射 ψ 给出 的 另 一个 局 部 坐标 系 , 即 w i ( q) = yi ( ψ( q) ) , ＂ q ∈ W , 在这里 y i 是 R m 的坐标函数 x i 在开子集ψ( W ) 上的限 制 , 则 T p M 有 另 一 个 自 然 基 底 ui w

i

p

p

:1 ≤ i ≤ m 和

wi

p

w

i

p

:1 ≤ i ≤ m

.因 此, 基 底

: 1 ≤ i ≤ m 应 该 能 够 互 相 线 性 表 示 .由 于

∈ Tp M, 故 j

w

i

p

( u )=

(u m

w

i

p

=

∑ j=1

j

-1

ψ ) i y

-1

ψ( p ) -1

(φ ψ ) i y

(φ ψ ) i y

=

j ψ( p )

,

j ψ( p )

u

j

p

.

矩阵 - 1

J =

(φ ψ ) i y

j ψ( p)

- 1

称为坐标变换 φ ψ : ψ( U ∩ W ) → φ( U ∩ W ) 的 Jacobi 矩阵 .因为 x = -1

-1

- 1

φ ψ ( y) 有逆映射 y = ψ φ ( x ) , 即 ( φ ψ )

-1

(ψ φ ) = id , 因此

第二章 　 光滑结构

・ 50 ・ m

-1

j

- 1

k

(φ ψ ) (ψ φ ) ・ k y xi

∑ k=1

= δji ,

所以 Jacobi 矩阵 J 是非退化的 , 即它的行列式 det J 不为零 . 设 v ∈ T p M , 则它在两个自然基底下分别可以表示为 m

v =

m

∑v

j

u

j=1

j

j

∑ 珘v i

=

p

w

i= 1

i

p

,

i

其中 v 和 珘 v 分别是 切向量 v 在自然基底 w

i

p

uj

p

,1 ≤ j ≤ m 和

:1 ≤ i ≤ m 下的分量 .因此 m

v=

m

∑v

j

u

j=1 m

=

j

p

m

∑ 珘v i

- 1

∑ 珘v ∑ j= 1

w

i= 1

(φ ψ ) i y

i

i=1

=

i

p

j

u

ψ( p)

j

p

,

故 m

- 1

(φ ψ ) v = ∑珘 v yi i =1 j

j

i

.

ψ( p)

上式称为切向量 v 的分量在坐标变换下的变换公式 . 2

2

例 2 　 设 R 上的直角坐标系是 ( x , y ) , 在 R \ { ( x , 0) : - ∞ < x ≤ 0} 上有极坐标系 ( r ,θ) , 它们之间的坐标变换是 x = rcos θ, y = rsin θ, arccos r =

x 2 + y2 ,

x 2

2

y ≥ 0,

,

x + y

θ= - arccos

x 2

2

,

y ≤ 0．

x + y 那么自然基底的变换公式是 r

=

= θ x y

x ・ + r x

y ・ = cos θ・ + sin θ・ , r y x y

x y ・ + ・ = - rsin θ・ + rcos θ・ ; θ x θ y x y

=

r θ ・ + ・ = x r x θ

=

r θ ・ + ・ = y r y θ

x

y ・ , 2 2・ 2 2 r θ x + y x + y x ・ + . 2 2・ 2 2 r θ x + y x + y

2

　 　 例 3 　 设 R 在点 ( x , y) = (1 , y

, 求它在极坐标系 ( r ,θ) 下的表达式 .

y

3 ) 处的一个切向量是 v =

x

+ 3

2．3 　 切 　 空 　 间

・ 51 ・

解 　 点 ( x , y ) 的极坐标是 r = 2 ,θ = - π/ 3． 因此 , x

x

y ・ 2 2 2 r x + y2 x + y

=

θ

=

=

x ・ + 2 2 r x + y x 2 + y2

θ

= -

1 2

+

3 + 3 - 3 4 θ 2

+

1 4

y

y

1 2

r 3 2

+

r

3 , 4 θ +

1 4

, θ

所以 v =

r

r

θ

= -

r

+

3 . 2 θ

2．3．5 　 光滑映射的切映射 光滑流形之间的光滑映射自然地诱导出在对应点的切空间之间的线性映 射 .设 φ: M → N 是从 m 维光滑流形 M 到 n 维光滑流形 N 的光滑映射 , p ∈ ∞

∞

M , q = φ( p) ∈ N , 则对于任意的 f ∈ C q , f

φ∈ C p .由此可见 , 如果 v ∈

∞

∞

T p M , 即 v 是映射 v : C p → R , 则可以定义映射 φ＊ p ( v ) : C q → R , 使得对于任 意的 f ∈ C∞q 有 ( φ＊ p ( v ) ) ( f ) = v ( f

φ) .

容易验证 , φ＊ p ( v ) 是光滑流形 N 在点 q 的一 个切向量 .事 实上 , 对于 任意 的 ∞

f , g ∈ C q ,λ∈ R 有 (φ＊ p ( v ) ) ( f + λg) = v ( f

φ+ λg

φ)

= ( φ＊ p ( v ) ) ( f ) + λ(φ＊ p ( v ) ) ( g) , ( φ＊ p ( v ) ) ( f・ g) = v ( ( f = f

φ) ・ ( g

φ( p) ・ v ( g

φ) ) φ) + g

φ( p ) ・ v ( f

φ)

= f ( q) ( φ＊ p ( v ) ) ( g ) + g( q) (φ＊ p ( v ) ) ( f ) . 　 　 定理 2．5 　 设 φ: M → N 是从 m 维光滑流形 M 到 n 维光滑流形 N 的光 滑映射 , p ∈ M , q = φ( p) ∈ N , 则从 v ∈ T p M 到φ＊ p ( v ) ∈ T q N 给出的对 应 φ＊ p : T p M → T q N 是线性映射 , 称为由光滑映射 φ: M → N 在点 p ∈ M 处 诱导的切映射 . ∞

证 　 根据定义 , 若设 u , v ∈ T p M , f ∈ C q ,λ∈ R , 则有 φ＊ p ( u + v ) ( f ) = ( u + v ) ( f

φ) = u ( f

φ) + v ( f

φ)

= ( φ＊ p ( u ) ) ( f ) + ( φ＊ p ( v ) ) ( f ) = ( φ＊ p ( u ) + φ＊ p ( v ) ) ( f ) , φ＊ p (λu) ( f ) = λu( f

φ) = λ・ ( φ＊ p ( u) ) ( f ) = (λ・φ＊ p ( u ) ) ( f ) .

第二章 　 光滑结构

・ 52 ・

图2 - 3

　 　 切映射的另一个叙述方式如下 : 设 v ∈ T p M , 取光滑曲 线 γ: ( - ε,ε) → M 使得γ( 0) = p ,γ′(0 ) = v , 那么 ( 参看图 2 - 3) φ＊ p ( v ) = φ＊ p (γ′(0 ) ) = ( φ γ)′( 0) . 事实上 , 对于任意的 f ∈ T p M 有 φ＊ p ( v ) ( f ) = v ( f =

d dt

φ) = γ′( 0) ( f

t=0

f φ γ( t ) =

φ) ( φ γ)′( 0)

f .

　 　 上式的几何意义如下 : 光滑流形 M 中的光滑曲线γ经过光滑映射φ成为 光滑流形 N 中的一条光滑曲线 φ γ, 那么光滑曲线 φ γ( t) 的切向 量 ( φ γ)′( t ) 恰好是光滑曲线 γ( t ) 的切向量 γ′( t ) 在切映射 φ＊ γ( t ) 下的像 , 即 ( φ γ)′( t ) = φ＊ γ( t ) ( γ′( t ) ) . 如果进一步把 γ看作从 ( - ε,ε) 到 M 中的光滑映射 , 并且把 ( - ε,ε) 的自然基底记为

R上

d ,则 dt γ′( t ) = γ＊

d , dt

t

φ＊ γ( t ) ( γ′( t ) ) = φ＊ γ(

t)

γ＊

= ( φ γ) ＊ 在这里蕴涵着 φ＊ γ( t )

γ＊

t

t

t

d dt d = ( φ γ)′( t) . dt

= ( φ γ) ＊ t , 更一般地有下面的复合映射的切映

射的链式法则 : 定理2．6 　 设 φ: M → N , ψ: N → Z 是两个光滑映射 , p ∈ M , q = φ( p) ∈ N , s = ψ( q) , 则 ( ψ φ) ＊

p

　 　 证明留给读者自己完成 .

= ψ＊

q

φ＊ p : T p M → T s Z .

2．3 　 切 　 空 　 间

・ 53 ・

2．3．6 　 切映射的坐标表示 设 φ: M → N 是从 m 维光滑流形 M 到 n 维光滑流形 N 的光滑映射 , p ∈ α

i

M , q = φ( p) ∈ N .设 ( U ; x ) 是点 p 的局部坐标系 , ( W ; y ) 是点 q 的局部 坐标系 , 使得 φ( U )

V .那么光滑映射 φ在 U 上可以用局部坐标表示为 α

α

1

m

y = φ ( x , …, x ) . 在切空间 T p M 中有自然基底 基底 α

y

α

y q

q

:1 ≤ α≤ n

x

i

p

: 1 ≤ i ≤ m , 在切 空间 Tq N 中 有自 然

于 是 切 向 量 φ＊

.

p

x

i

在 自 然 基 底

p

:1 ≤ α≤ n 下可以表示为 n

φ＊

p

x

i

=

p

∑A

α i

α

y

α= 1

q

,

α

其中分量 A i 是 α

α i

α

φ＊

A =

p

x

i

α

(y ) =

p

xi

p

φ) =

(y

1

m

φ( x ,…, x ) xi

p

,

因此 n

φ＊

p

x

i

p

n

∑A

α i

=

α

y

α= 1

q

=

∑ α= 1

α

1

m

φ ( x ,…, x ) i x

p

・

α

y

q

.

α

矩阵 ( A i ) 称为光滑映射 φ: M → N 的 Jacobi 矩阵 . 例 1 　 设 ( U , φ) 和 ( V , ψ) 是 m 维光滑流形 M 的两个容许坐标卡 , U ∩ V≠

i

i

i

i

.设 u ( p) = x ( φ( p) ) , v ( p) = x ( ψ( p) ) , ＂ p ∈ U ∩ V , 于是在 i

i

-1

U ∩ V 上有两组局部坐标 u 和 v .局部坐标变换 σ= ψ φ

可以看成是光

i

滑映射 σ: φ( U ∩ V ) → ψ( U ∩ V ) .如果把 u 看作φ( U ∩ V ) 上的坐标系 , i

把 v 看作 ψ( U ∩ V ) 上的坐标系 , 则 σ的坐标表示就是坐标变换函数 i

i

1

m

-1

i

1

m

v = v ( u , … , u ) = (ψ φ ) ( u , … , u ) . 此时 , 光滑映射 σ的 Jacobi 矩阵就是坐标变换的 Jacobi 矩阵 : m

σ＊

u

i

φ( p )

=

∑ j =1

j

v i・ j u v

ψ( p )

.

　 　 定义 2．9 　 设 φ: M → N 是从 m 维光滑流形 M 到 n 维光滑流形 N 的光 滑映 射 , p ∈ M , q = φ( p ) ∈ N , 则 切 空 间 T p M 在 切 映 射 φ＊

p

下的 像

φ＊ p ( T p M ) 的维数称为光滑映射 φ在点 p 的秩 , 记为 rk p ( φ) . 根据切映射的坐标表示 , 光 滑 映 射 φ 在 点 p 的 秩 恰 好 是 光滑 映 射 φ 的 Jacobi 矩阵 ( Aαi ) 在点 p 的秩 .

第二章 　 光滑结构

・ 54 ・

2．4 　 子 　 流 　 形

2．4．1 　 浸入子流形 定义 2．10 　 设 f : M → N 是从 m 维光滑流形 M 到 n 维光滑流形 N 的光 滑 映射 , m ≤ n .如果对于每一点 p ∈ M , rk p ( f ) = m , 则称 f 是浸入 , 并且把 ( f , M ) 称为 N 的浸入子流形 . 定义 2．10 中的条件 rk p ( f ) = m 表明切映射 f ＊ p : T p M → T f ( p) N 是 单 的 . i

如果 ( U ; x ) 是光滑流形 M 在点 p 由坐标映射φ给出的局部坐标系 , ( V ; α

y ) 是光滑流形 N 在点 f ( p ) 由坐标映射 ψ给出的的局部坐标系 , 并且 f ( U ) V .那么光滑映射 f 在 U 上的限制可以表示为 yα = fα( x 1 , … , x m ) , 　 1 ≤ α≤ n , 　 ( x1 , … , x m ) ∈ φ( U ) . 因为 Jacobi 矩阵 1

2

y 1 x

n

y 1 x

y 1 x

…

…

…

1

2

y m x

n

y m x

y m x

…

的秩是 m , 故不妨假设它的第一个 m 阶子式 1

2

y 1 x

m

y 1 x

y 1 x

…

…

…

1

2

y m x 引进 n - m 个辅助变量 x

m+1

≠ 0．

m

y m x

y m x

… n

,…, x , 命

y1 = f 1 ( x 1 , … , x m ) , 　 　 　 …… y

m

y

m +1

m

1

m

= f ( x ,…, x ), = x

m+1

+ f

m+1

1

　 　 　 …… n

n

n

1

m

( x , …, x ), m

y = x + f ( x ,…, x ) ,

2．4 　 子 　 流 　 形

・ 55 ・

那么 Jacobi 行列式 1

n

1

( y , …, y ) = 1 n ( x , …, x )

m

( y , …, y ) ≠ 0． 1 m ( x , …, x )

因此 , 根据反函数定理 , x 1 , … , x n 可以作为点 f ( p) 在 N 中的一个邻域 W 内 1

n

的局部坐标系 , 记为 z , … , z .在此局部坐标系下 , 映射 f 可以表示为 z1 = x 1 , … , z m = x m , z m + 1 = 0 , … , zn = 0． 这就证明了下面的定理 : 定理 2．7 　 设 ( f , M ) 是在 n 维光滑流形 N 中的 m 维浸入子流形 , 则对于 i

每一点 p ∈ M 都有 p 在 M 中的局部坐标系 ( U ; x ) 和点 f ( p) 在 N 中的局 部坐标系 ( V ; yα) , 使得 f ( U ) 1

1

y = x ,…, y

V , 并且映射 f m

m

= x ,y

m+1

U

能够表示成 n

= 0 , … , y = 0．

　 　 定理 2．7 说明了浸入子流形的几何意义 : 浸入子流形 ( f , M ) 在每一点 p ∈ M 的一个开邻域 U 内的部分可以看成是在外围空间 N 中某个坐标域 V 内 该点的象点 f ( p) 所在的一个坐标面 ; 特别是 , 浸入映射 在局部上 必定是单 一 的 . 2

例 1 　 命 M = R , N = T ( 参看 1．3．3 的例 1 , 图 1 - 10) .考虑映射 α: 2

R → T 使得 α( t ) = [ ( t,λt ) ] , 　 　 ＂ t ∈ R , 其中 λ是无理数 , 比如取 λ =

2/ 2． 2

命 W = (0 , 1 ) , 并且在 T 上考虑局部坐标系 ( U1 ; u , v ) , 则映射 α的 坐 标表示是 u = t, 　 　 v =

2 t , 　 　 0 < t < 1． 2

因此 , 映射 α在区间 ( 0 , 1) 上各点的秩都是 1． 在别的开区间上的 情况也是 一 样的 , 故 α把 R 浸入到 T 2 中去作为 T 2 的 1 维浸入子流形 . 如果取 V = 常数 , 0 < ε<

2

( u, v) ∈ R : v -

2 u 2

< ε, 0 < u < 1 , 其 中 ε是 正

1 , 则π: R2 → T 2 在 V 上的限制是 1 - 1 的 .命 U = π( V ) , 并 2

2 2 u , 则 ( U ; y, z ) 是 T 的一个局部坐标系 , 并且映射 α: 2 2 R → T 在 W = (0 , 1 ) 上的限制表示为

且命 y = u , z = v -

y = y( t ) = t , 　 　 z = z( t ) = 0 , 　 　 ＂ t ∈ W . 这正是定理 2．7 的断言 .

第二章 　 光滑结构

・ 56 ・

2．4．2 　 R 3 中的正则曲线和正则曲面 3

假定 γ: ( a , b) → R 是光滑曲线 .如果 γ′( t ) ≠ 0 , ＂ t ∈ ( a , b) , 也就是 3

映射 γ的秩 rk t ( γ) 处处等于 1 , 则 γ是 ( a , b) 在 R 中的浸入 , 通常把 γ称为 R3 中的一条正则 ( 参数 ) 曲线 . 对于正则参数曲线 γ( t ) , 它在每一点有确定的切线 .此外 , 对于每一点 t0 ∈ ( a , b) 存在 ε > 0 , 使得 ( t0 - ε, t0 + ε)

( a, b) , 并且映射 γ在 ( t0 - ε,

t0 + ε) 和 γ( t0 - ε, t0 + ε) 之间是一一对应 . 2

3

设 D 是 R 中的一个区域 , 如果光滑映射 f : D → R 的秩 rk ( u , 3

v)

( f ) 处处

3

等于 2 , 则 ( f , D ) 是 R 中的 2 维浸入子流形 , 称为 R 中的一张正则参数曲面 . 在这里 , f ( u , v ) 被看作是 ( u , v ) 的向量函数 . 3

对于 R 中的正则参数曲面 f , 曲面 f 在每一点 f ( u , v ) 有两 个线性无 关 的切向量 f = f＊ u

, 　 　

u

f = f＊ v

v

,

它们张成一个 2 维平面 , 称为曲面 f 在该点的切平面 .因为 rk ( u ,

v)

( f) = 2, 即

矩阵 x u

y u

z u

x v

y v

z v

的秩等于 2 , 故不妨假设它的第一个子式 x u

y u

x v

y v

≠ 0．

根据反函数定理 , 对于 ( u0 , v 0 ) ∈ D 存在 ( u0 , v 0 ) 的开邻域 U

D, 使得函数

( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) 在 U 内有反函 数 ( u( x , y ) , v ( x , y ) ) ; 这就是说 , 映射 f 在 U 和 f( U)

3

R 之间是一一对应 .

下面是一些常见的正则参数曲线和正则参数曲面的例子 . 例 1 　 正螺旋线 ( 图 2 - 4 ) 是正则参数曲线 , 它的参数方程是 x = rcos t , 　 　 y = rsin t , 　 　 z = ct , 其中 - ∞ < t < ∞ , r , c 是常数 . 例 2 　 正螺旋面 ( 图 2 - 4 ) 的参数方程是 x = ucos v , 　 y = usin v , 　 z = cv , 　 - ∞ < u , v < ∞ .

2．4 　 子 　 流 　 形

・ 57 ・

图2 - 4

　 　 例 3 　 椭球面 , 单叶双曲面 , 双叶双曲面 , 椭圆抛物面和双曲抛物面在每 3

一点的邻域内都可以描述为 R 中的正则参数曲面 ( 图 2 - 5) , 例如 : (1 ) 椭球面的上半部分 : u 2 + v 2 < 1 , x = au , 　 y = bv , 　 z = c 2

2

2

1 - u - v ;

2

　 　 (2 ) 单叶双曲面的上半部分 : u + v > 1 , x = au , 　 y = bv , 　 z = c

2

2

u + v - 1;

　 　 (3 ) 双叶双曲面的上半部分 : - ∞ < u < ∞ , - ∞ < v < ∞ , x = au , 　 y = bv , 　 z = c

2

2

u + v + 1;

　 　 (4 ) 椭圆抛物面 : - ∞ < u < ∞ , - ∞ < v < ∞ , 2

2

x = au , 　 y = bv , 　 z = u + v ; 　 　 (5 ) 双曲抛物面 : - ∞ < u < ∞ , - ∞ < v < ∞ , 2

2

x = au , 　 y = bv , 　 z = u - v , 其中 a, b, c > 0 是常数 .

第二章 　 光滑结构

・ 58 ・

图2 - 5

2．4．3 　 光滑函数的水平面 3

在 R 中许多常见的曲面都是作为某 个光 滑函 数的水 平面 出现的 .例如 : 球面的方程是 2

2

2

2

x + y + z = a ．

2．4 　 子 　 流 　 形

・ 59 ・

若命 f ( x , y, z) = x2 + y2 + z2 , 3

则球面就是光滑函数 f 在 R 中的水平面 3

( x , y, z ) ∈ R : f ( x , y, z ) = a

2

.

一般地 , 我们可以叙述下面两个结果 : 定理 2．8 　 设 f : N → R 是 n 维光滑流形 N 上的光滑函数 , c 是常数 , 命 M =

q ∈ N : f ( q) = c

.如果 rk( f ) 在 M 上处处等于 1 , 那么 M 是单一地

浸入在 N 中的 n - 1 维子流形 . 定理 2．9 　 设 f : N → Z 是从 n 维光滑流形 N 到 r 维光滑流形 Z 的光滑 映射 , 如果 rk ( f ) 在 N 上处处等于常数 k , q 是象集 f ( N ) 固定点 , 那么 M =

Z 中的任意一个

p ∈ N : f ( p) = q 是单一地浸入在 N 中的 n - k 维子流

形 . 证明的方法还是利用反 函数 定 理 ( 或 隐函 数定 理 ) 引 进适 当 的局 部坐 标 系 , 在此不再赘述 . 4

例 1 　 在 2．1．4 的例 8 中已经知道 GL( 2 , R ) 是 R 的开子流形 .命 A ∈ GL(2 , R ) : det A = 1 ,

SL(2 , R ) =

称为 2 × 2 阶 特 殊 线 性 群 , 则 SL (2 , R ) 是 3 维 光 滑 流 形 , 是 单 一 地 浸 入 在 GL(2 , R ) 中的子流形 . 事实上 , 定义函数 f : GL(2 , R ) → R 为 f ( A ) = det A = a1 1 a2 2 - a1 2 a2 1 , 则 f 是 GL( 2 , R ) 上的光滑函数 .因为 f = a2 2 , 　 a1 1

f = a1 1 , 　 a2 2

f = - a2 1 , 　 a1 2

f a2 1

= - a1 2 ,

但是 f ( A) ≠ 0 , 所以 a1 1 , a1 2 , a2 1 , a2 2 不全为零 , 因而 rk( f ) 处处等于 1． 由此可 见, SL(2 , R ) 是 3 维光滑流形 .SL(2 , R ) 可以由两个坐标卡覆盖住 .比如 , 取 U1 =

A ∈ SL( 2 , R ) : a1 1 ≠ 0 ,

U2 =

A ∈ SL( 2 , R ) : a2 1 ≠ 0

.

坐标映射为 φ1 ( A ) = ( a 1 1 , a 1 2 , a 2 1 ) , 　 ＂ A ∈ U1 , φ2 ( A ) = ( a 1 1 , a 1 2 , a 2 2 ) , 　 ＂ A ∈ U2 ． 1

2

3

1

2

3

若记 U1 中的局部坐标是 x , x , x , 而 U 2 中的局部坐标是 y , y , y , 则坐标 变换 φ2

φ1

-1

3

3

: R → R 的公式是 2

3

1+ x x y = x , 　 y = x , 　 y = . 1 x 1

1

　 　 例 2 　 正交群 O (3 , R ) .

2

2

3

第二章 　 光滑结构

・ 60 ・

正交群是 T

A ∈ GL(3 , R ) : A・ A = I ,

O( 3 , R ) = T

其中 A 表示矩阵 A 的转置 , I 是 3 × 3 阶单位矩阵 .已知 GL( 3 , R ) 是 9 维光 滑流形 , 而正交群 O (3 , R ) 则是在 GL(3 , R ) 中满足方程组 2

2

2

2

2

2

2

2

2

( a1 1 ) + ( a 1 2 ) + ( a1 3 ) = 1 , ( a2 1 ) + ( a 2 2 ) + ( a2 3 ) = 1 , ( a3 1 ) + ( a 3 2 ) + ( a3 3 ) = 1 , a1 1 a2 1 + a1 2 a 2 2 + a1 3 a 2 3 = 0 , a1 1 a3 1 + a1 2 a 3 2 + a1 3 a 3 3 = 0 , a2 1 a3 1 + a2 2 a 3 2 + a2 3 a 3 3 = 0 的元素的集合 .用 SM (3 , R ) 表示 3 ×3 阶对称的实矩阵的集合 , 显然 SM (3 , R ) 6

等同于 6 维欧氏空间 R ． 定义映射 f : GL( 3 , R ) → SM (3 , R ) 使得 3

T

f ( A) = A・ A , 　 ( f ( A) ) k l =

∑a

kh

al h , 　 ＂ A ∈ GL(3 , R ) ,

h=1

则 f 是光滑映射 , 并且 O( 3 , R ) = f

-1

( I) .要说明 O (3 , R ) 是光滑流形 , 只需要

证明映射 f 的秩处处是常数 . 首先证明 rk I ( f ) = 6． GL(3 , R ) 在各点的自然基底是 aij

: 1 ≤ i, j ≤ 3

.

因此 f＊

I

∑

aij =

aij

k, l

∑a

=

kj

i, j

aij

属于 f ＊ f＊

I

I

kh

al h

ak l

h

aik

k

于是 ∑ cij

∑a +

ak i

I

=

aij

+

aji

I

.

的核 , 即

∑c

ij

i, j

aij

=

∑( c

ij

i, j

+ cji )

aij

= 0,

当且仅当 ci j + cji = 0 , ＂ 1 ≤ i , j ≤ 3． 这是关于 cij 的线性齐次方程组 , 即 c1 1 = c2 2 = c3 3 = 0 , c1 2 + c2 1 = 0 , 　 c1 3 + c3 1 = 0 , 　 c2 3 + c3 2 = 0． 由此 可 见 , 它 的 解 空 间 的 维 数 是 3 , dim ker( f ＊ I ) = 3． 这 意 味 着 dim f ＊ I T I ( GL( 3 , R ) ) = dim T I ( GL( 3 , R ) ) - dim ker( f ＊ I ) = 6． 对于任意的 A ∈ GL( 3 , R ) , 命 L A : GL(3 , R ) → GL (3 , R ) 使得 L A ( B) = A・ B , 　 ＂ B ∈ GL( 3 , R ) ,

2．5 　 光滑切向量场

则 ( LA )

-1

= L A - 1 , 其中 A

-1

・ 61 ・

是 A 的逆矩阵 , 因此 L A 是从 GL(3 , R ) 到它自身

的光滑同胚 . 同理 , 定义光滑同胚 R A : GL( 3 , R ) → GL(3 , R ) 为 R A ( B) = B・ A . 那么对于任意的 A ∈ GL( 3 , R ) 有 f

L A ( B) = ( AB ) ( A B) T = A( B・ B T ) A T f ( B) , 　 ＂ B ∈ GL(3 , R ) ,

RA T

= LA 即 f

LA = LA

RAT

f, 　 f ＊

( LA ) ＊

A

I

= ( LA ) ＊

A

T

由于光滑同胚的 切映 射 是线 性同 构 , 于 是 ( L A ) ＊ I , ( L A ) ＊

( RA T ) ＊ A

T

I

, ( RAT) ) ＊

f＊ I

I

.

都是

线性同构 , 因此 rk A ( f ) = rk I ( f ) = 6． 所以 O (3 , R ) 是 6 维光滑流形 . 请读者自己给出正交群 O( 3 , R ) 的光滑坐标覆盖 .

2．5 　 光滑切向量场

2．5．1 　 光滑切向量场 所谓“场”是指某种数学对象在空间中的 一个分布 , 即在空间 中的每一 个 点都指定了一个某种数学对象 .例如 , 在拓扑空间上的一个数量场就是定义在 该拓扑空间上的一个函数 .所谓在 m 维 光滑流 形 M 上的 一个 切向量 场 v , 就 是指在每一点 p ∈ M 都给定了一个切向量 v ( p) ∈ T p M .简单地说 , M 上的 一个切向量场是定义在 M 上的一个“ 函数”, 它在每一点的“值”是在该点的一 个切向量 . 所谓光滑切向量场是指以光滑的方式依赖于点的切向量场 .确切地说 , 有 下面的定义 : 定义 2．11 　 设 v 是 m 维光滑流形 M 上的一个切向量场 .如果对于每一 i

点 p ∈ M , 存在点 p 的局部坐标系 ( U ; x ) , 使得切向量场 v x

i

U

在用自然基底

:1 ≤ i ≤ m 线性地表示成 m

v

U

=

∑v i= 1

i

x

i

i

时 , 系数 v , 1 ≤ i ≤ m 都是 U 上的光滑函数 , 则称 v 是 M 上的光滑切向量场 . 光滑流形 M 上的零切向量场显然是光滑的 .一个自然的问题是 : 在 M 上

第二章 　 光滑结构

・ 62 ・

是否存在非零的光 滑切向量 场 ?在局部 坐标系 ( U ; x i ) 下 , 显 然

是 定义 在 xi U 上的光滑切向量场 .利用截断函数可以把局部地定义在 U 上的光滑切向量 场扩展成为定义在整个光滑流形 M 上的光滑切向量场 . 定理 2．10 　 设 v 是定义在光滑流形 M 的开子集 U 上的光滑切向量场 , 则对于任意一点 p ∈ U , 存在开子集 W 使得 p ∈ W

U , 以及定义在 M 上

的光滑切向量场 珘 v , 满足条件 珘 v

W

= v

W

.

　 　 证 　 对于任意一点 p ∈ U , 能够取点 p 的开邻域 W 和 V , 使得 p ∈ W W

V

V

U , 并且 W 是紧致的 .根 据定理 2．1 , 存 在光滑 函数 f ∈

∞

C ( M ) 使得 f

W

≡ 1, 　 　 f

M \ V

≡ 0．

命 珘 v ( q) =

f ( q) ・ v ( q) ,

＂ q ∈ U,

0,

＂ q｜

U,

那么 珘 v 是定义在整个 M 上的光滑切向量场 , 并且对于任意的点 q ∈ W 有 珘 v ( q) = f ( q) ・ v ( q) = v ( q) . 证毕 . 我们把定义在光滑流形 M 上的所有光滑切向量场的集合记为 X( M ) .很 明显 , 在 X( M ) 中有加法 , 以及光滑切向量 场和光滑 函数的 乘法 , 它们 分别 定 ∞

义为 : 对于任意的 u , v ∈ X( M ) 和 f ∈ C ( M ) 有 ( u + v ) ( p) = u ( p) + v ( p) , 　 　 ( f・ v ) ( p ) = f ( p) ・ v ( p) . 从代数 结 构 上 看 ,X( M ) 既 是 实 数 域 R 上 的 向 量 空 间 , 也 是 光 滑 函 数 环 ∞

C ( M ) 上的向量空间 .

2．5．2 　 作为微分算子的光滑切向量场 在上一节 , 我们把光滑切向量场定义为光滑流形上的“ 函数”.在本节要指 ∞

出光滑切向量场的另一个重要属性 , 即它 是作 用在 光滑函 数环 C ( M ) 上 的 线性微分算子 . 设 M 是 m 维光滑流形 , v ∈ X( M ) .在任意一点 p ∈ M , v ( p ) ∈ T p M , ∞

∞

即 v ( p) 是作用在 C p 上的微分算子 .因此 , 对于任意的 f ∈ C ( M ) , 可以定 义函数 v ( f ) : M → R 如下 : ( v ( f ) ) ( p ) = ( v ( p) ) f , 　 　 ＂ p ∈ M . i

容易验证 : v ( f ) 是 M 上的光滑函数 .事实上 , 设 ( U ; x ) 是 M 的 一个局部 坐

2．5 　 光滑切向量场

・ 63 ・

标系 , 那么光滑切向量场 v 在 U 上能够线性地表示成 m

v

U

=

∑v

i

x

i=1

i

,

i

其中 v 是 U 上的光滑函数 .根据 v ( f ) 的定义以及 v m

v ( f)

U

=

∑v

i

i =1

U

的上述表达式得知

f i . x

f U 是在 i 是在 U 上的光滑函数 , 因此 v ( f ) x ∞ ∞ U 上的光滑函数 .由此 得到 , v ( f ) ∈ C ( M ) .这样 , 我们有映 射 v: C ( M )

由于 f 是在 M 上的光滑函数 , 故

→ C∞ ( M ) . 定理 2．11 　 设 M 是 m 维 光 滑 流 形 , v ∈ ∞

X( M ) , 则

v 作为 映射 v:

∞

C ( M ) → C ( M ) 有下列两个性质 : ∞

(1 ) v ( f + λg) = v ( f ) + λv ( g) , 　 ＂ f , g ∈ C ( M ) , 　 λ∈ R ; (2 ) v ( f・ g ) = f・ v ( g) + g・ v ( f ) . ∞

∞

反过来 , 如果有满足上述两个条件的映射 σ: C ( M ) → C ( M ) , 则在 M ∞

上存在惟一的一个光滑切向量场 v , 使得对于任意的 f ∈ C ( M ) 成立 v ( f ) = σ( f ) . ∞

∞

　 　 证 　 光滑切向量场 v 作为映射 v: C ( M ) → C ( M ) 所具有的两个性质 是切向量的两个条件的直接推论 . 现在证明逆命题 .首先 , 需 要在每 一点 p ∈ M 定 义一个切 向量 v ( p) ∈ ∞

T p M .v ( p) 作为微分算子是作用在 C p 上的 , 然而已知的映射 σ却是作用 在 ∞

∞

∞

C ( M ) 上的 , 并且 C ( M )

C p .若要用映射 σ来定义 v ( p) , 需要建立集合

C∞p 和 C∞ ( M ) 之间的联系 .沟通这两者的桥梁就是定理 2．2． ∞

∞

对于任意一点 p ∈ M , 定义映射 v ( p ) : C p → R 如下 : 设 f ∈ C p , 它的 定义域是 p 的开邻域 U .根据定理 2．2 , 存在 p 的开邻域 W ∞

数珘 f ∈ C ( M ) 满足条件 f

W

=珘 f

U , 以及光滑函 ∞

W

.根据假定 ,σ(珘 f ) ∈ C ( M ) , 于是可以

命 v ( f ) = (σ(珘 f) ) ( p) . 上式右端与 珘 f 的取法无关 . 实 际上 , 若设 ^f ∈ C∞ ( M ) 是另一个满足条件 f 理 2．1 有点 p 的开邻域 V ≡ 1, h

M \ W

V

W

= ^f

的函数 , 根据定

W ∞

W , 以及光滑函数 h ∈ C ( M ) 使得 h

≡ 0 , 因此 h・ (珘 f - ^f ) ≡ 0． 由映射 σ所满足的条件 ( 1) 得知

σ(0 ) = σ(0 + 0) = σ( 0) + σ(0 ) = 2σ( 0) , 　 σ( 0) = 0． 所以 , 根据 σ所满足的条件 ( 1) 和 ( 2) 得到 0 = σ( h・ (珘 f - ^f ) ) = σ( h ) ・ (珘 f - ^f ) + h・ (σ(珘 f ) - σ( ^f ) ) .

V

第二章 　 光滑结构

・ 64 ・

将上式限制在点 p 便得知 (σ(珘 f ) ) ( p) = (σ( ^f ) ) ( p) . ∞

　 　 再依据 σ所满足的条件 ( 1) , ( 2) , 不难验证 : ＂ f , g ∈ C p , λ∈ R , ( v ( p) ) ( f + λg) = ( v( p) ) ( f ) + λ( v ( p) ) ( g) , ( v ( p) ) ( f・ g) = f ( p) ( v( p) ) ( g) + g( p) ( v ( p) ) ( f ) , 即 v ( p) ∈ T p M . i

对于 M 的任意一个局部坐标系 ( U ; x ) , 以及任意一点 p ∈ U , 都存在点 i

p 的开邻域 W

∞

U , 以及光滑函数 珘 x ∈ C ( M ) 使得 x

i

i

W

=珘 x

W

.于是 , 根

据切向量场 v 的定义成立 v i

因此 v = v

i

W

i

( x ) = σ(珘 x )

W

,

i

W

( x ) 是 W 上的光滑函数 , 即 v 是 M 上的光滑切向量场 . 　 证

毕 . ∞

光滑切向量场 v 既是光滑流形 M 上的“函数”, 又是作用在 C ( M ) 上的 微分算子 , 而公式 ∞

( v ( f ) ) ( p) = ( v ( p ) ) f , 　 　 ＂ f ∈ C ( M ) , p ∈ M 描述了光滑切向量场的这两种属性之间的联系 , 是十分重要的 .我们要善于交 替使用光滑切向量场的这两种角色 .

2．5．3 　 Poisson 括号积 设 X , Y ∈ X( M ) , 那么我们有映射 ∞

∞

∞

∞

X: C ( M ) → C ( M ) , 　 　 Y : C ( M ) → C ( M ) . 于是 , 它们的复合映射 X

∞

∞

Y : C ( M ) → C ( M ) 仍然把 M 上的一个光滑函

数映为 M 上的光滑函数 .一个自然的问题是 : 该映射是否满足定理 2．11 的条 件 (1 ) 和 ( 2) ? 因为 X 和 Y 是线性映射 , 所以 X

Y 也是线性映射 , 即 X

Y 仍然是线

∞

性微分算子 .需要验证的是条件 ( 2) .取 f , g ∈ C ( M ) , 则 　 X

Y ( f ・ g)

= X( f ・ Y ( g) + g・ Y ( f ) ) = f・ X( Y ( g) ) + X ( f ) Y ( g) + g・ X ( Y ( f ) ) + X( g) Y ( f ) = f・ ( X 可见 X

Y ) ( g) + g・ ( X

Y ) ( f ) + X( f ) Y ( g) + Y ( f ) X ( g) .

Y 不满足条件 (2 ) .但是 , 上面的计算告诉我们最后两项关于 X , Y 是

对称的 , 因此 　(X

Y - Y

= f・( X

X) ( f・ g)

Y - Y

X) ( g) + g・ ( X

Y - Y

X)( f),

2．5 　 光滑切向量场

即 X

Y - Y

分算子 X

・ 65 ・

X 是满足 Leibniz 法则的线性微分算子 .根据定理 2．11 , 该微 ∞

作[ X , Y ] = X

∞

X: C ( M ) → C ( M ) 是 M 上的一个光滑切向量场 , 记

Y - Y

X , 称为光滑切向量场 X 和 Y 的 Poisson 括号积 .

Y - Y

定理 2．12 　 Poisson 括号积[・, ・] :X( M ) ×X( M ) → X( M ) 是 X( M ) 上 的一个二元运算 , 遵循下列运算规律 : (1 ) 分配律 　 [ X + Y , Z] = [ X , Z] + [ Y , Z] ; (2 ) 反交换律 　 [ X , Y ] = - [ Y , X ] ; (3 ) Jacobi 恒 等 式 　 [ [ X , Y ] , Z] + [ [ Y , Z] , X ] + [ [ Z, X ] , Y] = 0 , ＂ X , Y , Z ∈ X( M ) . 定理的证明是直接验证 , 留给读者自己完成 . 例 1 　 Poisson 括号积的坐标表达式 . i

设 ( U ; x ) 是 m 维光滑流形 M 的局部坐标系 .设 X , Y ∈ X( M ) 在 U 上 的限制的坐标表达式是 m

X

U

m

∑X

=

i

x

i= 1

i

i

i

, 　 　 Y

∑Y

=

U

i

x

i =1

i

,

∞

其中 X , Y ∈ C ( U ) . 根据 Poisson 括号积的定义 , 不难知道 [ X , Y]

U

= [X

, Y

U

U

] .

∞

这是因为对于任意的 f ∈ C ( M ) , ＂ p ∈ U 有 ( [ X , Y] ( f ) ) ( p ) = ( X( Y ( f ) ) - Y ( X( f ) ) ) ( p) = X( p) ( Y ( f ) ) - Y ( p) ( X ( f ) ) = X( p) ( Y ( f )

U

) - Y ( p) ( X ( f)

U

= X( p) ( Y

U

( f

U

) ) - Y ( p) ( X

U

= (X

U

( f

U

)) - Y

U

= ([ X

( Y U

, Y

U

]( f

U

)

( f

(X

U

( f

, Y

U

]( f

U U

))

) ) ) ( p)

)) ( p) ,

U

即 [ X, Y]

U

( f

U

) = [ X, Y]( f )

= [X

U

U

因此根据定理 2．12 所叙述的运算法则得到 m

[X

U

, Y

U

]=

m

∑X

i

i= 1

x

i

,∑ Y

j

j= 1

x

j

m

=

∑

Xi

i, j = 1

x

i

, Yj

∞

然而 , 对于任意的 f ∈ C ( U ) 有 　

X

i

x

i

, Y

j

x

j

( f)

xj

.

U

) .

第二章 　 光滑结构

・ 66 ・

= X

i

x

Yj

i

2 i

= X Y

j

x j

= X =

X

f

i

Y i x

i

x x

+ X

j

Yj i x

i

x

X j x

- Y

j

x

xi

( f) 2

x

f

j

x

i

- Y

Xi j x

j

f i x

f i x

Xi j x

j

Xi

j

f i j j - X Y x

i

f j j - Y x

Yj i x

i

( f ) - Yj

j

x

( f),

i

所以 j

X

i

, Y

xi

j

= X

xj

i

Y xi

i

- Y

xj

X xj

j

xi

.

代入前面的式子得到 m

[ X, Y]

U

j

∑

=

X

i

X

i

i, j m

x

j

- Y

j

∑

=

i

Y i x

x

i

j

Y i i - Y x

i, j

X j x

j

X i x

xj

.

i

　 　 例 2 　 设 ( U ; x ) 是光滑流形 M 的局部坐标系 , 则 x

i

,

x

j

= 0, 　 ＂ 1 ≤ i , j ≤ m .

∞

实际上对于光滑函数 f ∈ C ( M ) 有 2

x

2

f

i

x

j

=

x

j

f xi

, 　 ＂ 1 ≤ i, j ≤ m ,

所以 2

x

i

,

x

j

( f) =

x

i

2

f x

j

-

x

j

f x

i

= 0．

∞

　 　 例 3 　 设 X , Y ∈ X( M ) , f , g ∈ C ( M ) , 则 [ f・ X , g・ Y ] = f X( g) ・ Y - g Y ( f ) ・ X + f g・[ X , Y ] . ∞

　 　 要验证上面的恒等式 , 只要取 h ∈ C ( M ) , 则 根据 Poisson 括号积的 定 义有 [ f ・ X , g・ Y ] ( h) = f・ X ( g・ Y ( h ) ) - g・ Y ( f ・ X ( h) ) = f・ ( X( g) ・ Y ( h ) + g・ X ( Y ( h) ) ) 　 - g・ ( Y ( f ) ・ X ( h ) + f ・ Y ( X( h) ) ) = f g・ X( Y ( h) ) - g f・ Y ( X( h) ) 　 + f・ X ( g) Y ( h) - g・ Y ( f ) X( h) = ( f g・ [ X , Y ] + f X ( g ) ・ Y - g Y ( f ) ・ X ) ( h) . 　 　 注记 　 例 1 所求的 Poisson 括号积的坐标表达式也可以直接从例 3 和例

2．5 　 光滑切向量场

・ 67 ・

2 推导出来 .

2．5．4 　 在光滑映射下相关的光滑切向量场 定义 2．12 　 设 f : M → N 是从 m 维光滑流形 M 到 n 维光滑流形 N 的光 滑映射 .如果有光滑切向量场 X ∈ X( M ) , 珟 X ∈ X( N ) 满足条件 f ＊ p( X( p)) = 珟 X ( f ( p) ) , 　 ＂ p ∈ M , 则称光滑切向量场 X ∈ X( M ) 和 珟 X ∈ X( N ) 是 f - 相关的 . 需要指 出 的 是 , 如 果 X ∈ X( M ) , 则 在 光 滑 映 射 f : M → N 下 , 虽 然 f ＊ p ( X p ) 对于 M 中的每一点 p 都是有意义的 , 但是 f 未必是单一的 , 也未 必 是满的 , 因而它们未必能够扩展成为 N 上的光滑切向 量场 Y , 谈不 上在 N 上 存在与 X 是 f - 相关的光滑切向量场 .由此可见 “ , f - 相关”的光滑切向量场 是一个重要的假定 .一般地 , 在不作此假定的情况下 , 只是把 f ＊ p ( X p ) , ＂ p ∈ M 称为在 N 上沿映射 f 定义的切向量场 . 定理 2．13 　 设 f : M → N 是从 m 维光滑流形 M 到 n 维光滑流形 N 的光 滑映射 .如果 X , Y ∈ X( M ) 和 珟 X,珦 Y ∈ X( N ) 分别是 f - 相关的光滑切向量 场 , 则[ X , Y ] 和[珟 X, 珦 Y ] 是 f - 相关的 . 证 　 只要逐点证明 f ＊ p ( [ X , Y ] ( p ) ) = [珟 X,珦 Y ] ( f ( p) ) , p ∈ M 成立 . ∞

为此 , 设 p ∈ M , h ∈ C f ( p ) , 并且设 h 在点 f ( p) 的一个开邻域 V 光滑的 , 点 p 在 M 中有开邻域 U 使得 f ( U )

V .那么

( f ＊ p ( [ X , Y ] ( p ) ) ) ( h) = ( [ X , Y ] ( p) ) ( h = X( p) ( Y ( h

N 内是

f)

f ) ) - Y ( p) ( X( h

f) ) .

但是 , 由于 X , Y ∈ X( M ) 和 珟 X, 珦 Y ∈ X( N ) 分别是 f - 相关的 , 因此 f ＊ p ( X ( p) ) = 珟 X ( f( p) ) = 珟 X

f ( p) ,

f ＊ p ( Y ( p) ) = 珦 Y ( f ( p) ) = 珦 Y

f( p) .

于是 , 对于任意的 q ∈ U 有 ( X( h

f ) ) ( q) = ( X ( q) ) ( h

f ) = ( f ＊ q ( X ( q) ) ) ( h)

= (珟 X ( f ( q) ) ) ( h ) = ( 珟 X ( h) ) ( f ( q) ) , 即在 U 上成立 X( h

f) = (珟 X( h))

f .

Y( h

f) = ( 珦 Y ( h) )

f .

同理 , 所以 ( f ＊ p ( [ X , Y] ( p) ) ) ( h) = X( p) ( ( 珟 Y ( h) )

f ) - Y ( p) ( (珟 Y ( h) )

f)

第二章 　 光滑结构

・ 68 ・

= ( f ＊ p ( X( p) ) ) (珟 Y ( h) ) - ( f ＊ p ( Y ( p) ) ) (珟 X ( h) ) = (珟 X ( f ( p) ) ) (珟 Y ( h) ) - (珟 Y ( f ( p) ) ) (珟 X( h) ) = ( [珟 X ,珟 Y] ( f ( p) ) ) ( h) . 4

　 　 例 1 　 考虑 R 中的单位球面 S3 (1) =

x = ( x1 , x2 , x 3 , x4 ) ∈ R4 : ( x1 ) 2 + ( x2 ) 2 + ( x3 ) 2 + ( x4 ) 2 = 1 .

命 2

1

4

3

2

1

X1 = ( x , - x , x , - x ) = x 3

4

1

2

3

2

- x

x

1

- x

x

1

+ x

3

1

4

2

+ x

2

- x

2

- x

x

4

X2 = ( x , - x , - x , x ) = x 4

x

1

4

+ x

2

3

- x

1

3

x

1

x

3

X3 = ( x , x , - x , - x ) = x

- x

3

3

x

2

x

x

4

,

4

,

4

,

x x x

4

那么 x , X 1 , X 2 , X 3 是 R 中 4 个处处正交的光滑向量场 .将 X1 , X 2 , X 3 限制在 3

3

S (1 ) 上 , 则得到单位球面 S ( 1) 上 3 个处处正交的光滑切向量场 .确切地说 , 3

在单位球面 S (1 ) 上有 3 个处处正交的光滑切向量场 Y 1 , Y 2 , Y 3 使得 i ＊ Y 1 = X1 3

3

S (1)

, 　 i ＊ Y 2 = X2

3

S (1)

, 　 i ＊ Y 3 = X3

3

S (1)

,

4

其中 i: S (1 ) → R 是包含映射 .因此 , Yα 和 Xα 是 i - 相关的 . 根据定理 2．13 , i ＊ ( [ Yα, Yβ] ) = [i ＊ Yα, i ＊ Yβ] = [ Xα, Xβ]

3

S (1)

.

直接计算得到 x

[ X1 , X2 ] =

2

x

3

　 x

1

- x

- x

1

x

x

4

2

= 2 - x

1 2

+ x

- x

2

x

x

- x

4

x

3

x

1

1

3

4

x

- x

+ x

3

+ x

3

4

,

2

4 1

x

x x

4

+ x

3 2

x

= 2 X3 ．

同理 , [ X2 , X3 ] = 2 X1 , 　 　 [ X3 , X1 ] = 2 X2 ． 因此 , [ Y 1 , Y 2 ] = 2 Y 3 , [ Y 2 , Y 3 ] = 2 Y 1 , [ Y 3 , Y 1 ] = 2 Y 2 ． 评注 　“流形”这个名词至少能够在 B .Riemann 于 1854 年给出的著名演讲《关于几何 学的基本假设》中找得到 .在他看来 , 一组有序的数代表一个点 , 而这些点组成可延展 的空 间 .在这里 , 这组数不再具有“距离”、 “ 角度”等等几何意义 , 于是这种空间看上去不再 具有 确定的形状 , 因此称为“Manifold”. 微分流形概念的精确叙述是数学家在 20 世纪上半叶努力的结果 .尤其是 , 我们现在所 采用的微分流形的 定义 在实 质上首 先是 由 H .Weyl 提出 来的 ( 参 看他 的《T he Concepts of

2．6 　 习 　 题 　 二

・ 69 ・

Riemann Surfaces》) .H .W hit ney 在 20 世纪 30 年代认真细致地研究了 n 维微分流形在高维 欧氏空间中的浸入问题 .此后 “微分流形”作为重要的数学概念频繁地出现在各种数 , 学文 献中 . 7

7

在 20 世纪 50 年代 J .Milnor 构造了著名的 7 维怪球 Σ , 它与标准的 7 维球 S 在拓扑 上是同胚的 , 但是这 两者却不是 可微同胚的 .由 此可见 , 微分 结构具有独 立于拓 扑结构 的 意义 .后来又有人构造出一个 10 维拓扑流形 , 它不具有 任何微分结 构 .引 起轰动的发 现是 在 20 世纪 80 年代 , M .Freedman 和 S .Donaldson 证明了 4 维欧氏空间有许多在本质上不同 的微分结构 , 而不同于 4 维的欧氏空间在光滑同胚意义下只有惟一的微分结构 . 流形的最重要特性是具有局部 坐标系 , 因而此 概念广 泛地出 现在 许多物 理学 和几 何 学问题中 , 使得人们 能够系统地 采用坐标方 法处理这些问 题 .从这个意 义上说 “ , 流 形论” 是现代版的解析几何 .微分结构是在流形上定义可微函 数的基础 , 而切向 量是作用在 可微 函数上的微分算子 .微分结构、可微函数、切向量、光滑切向量 场等等构成 了微分流形 理论 的灿烂图景 .我们需 要理解这些 概念 , 并且掌握 有关的术语 .流形论的主 要原理 是大范 围 地定义在整个流形上的数学对象是能 够用局 部坐标 表达的 , 但 是该数 学对象 及其 性质 应 该与局部坐标系的 选择是无关 的 .因此坐标 变换、截断函数、单位分解定 理都是 流形论 的 主要内容 .

2．6 　 习 　 题 　 二 1． 证明 : m 维拓扑流形 M 上的一个光滑坐标覆盖Σ0 惟一地决定了 M 的 包含 Σ0 在内的光滑结构 . n

i

i

1

n

2． 设 U 是 R 的一个开子集 , y = f ( x , … , x ) , 1 ≤ i ≤ n 是定义在 U n

上的 n 个光滑函数 , 定义映射 φ: U → R 使得 1

n

1

1

n

n

1

n

φ( x , … , x ) = ( f ( x , … , x ) , … , f ( x , … , x ) ) . n

i

i

1

n

试叙述 ( U , φ) 属于 R 的标准光滑结构时函数 y = f ( x , … , x ) 满足的 条 件 . 2

3

3． 在 2．1．4 的例 2 中令 W = S ( 1) ∩ ( x , y, z) ∈ R : z > 0 ,ρ: W → 3

R , 使得 ρ( x , y , z ) = ( x , y) , 　 　 ＂ ( x , y , z ) ∈ W . 验证 ( W ,ρ) 与 ( U , f ) 和 ( V , g) 分别是光滑相关的 . 4． 定义映射 ψ: R → R , 使得 ψ( t ) =

t ,

2

＂ t ≥ 0;

2

＂ t ≤ 0．

- t ,

证明 : ( R , ψ) 不是属于 R 的标准光滑结构的坐标卡 . 5． 验证: 在 2．1．4 的例 3 中给出的坐标卡集 ( Wαa ,ραa ):α∈ I1 , a ∈ I2 是

第二章 　 光滑结构

・ 70 ・

X 1 × X2 的光滑坐标覆盖 . 2 6． 验证 : 在 2．1．4 的例 4 中给出的坐标卡集 ( U i , φi ) : 1 ≤ i ≤ 3 是 T

的光滑坐标覆盖 . ψ3 - 1 和 ψ3

7． 写出在 2．1．4 的例 5 中的局部坐标变换 ψ1

ψ1 - 1 的表达

式 . 8． 验证 : 在 2．1．4 的例 7 中的 珟 Σ 是 X 的光滑坐标覆盖 . 9． 设 珟 Σ = W i : 1 ≤ i < ∞ 是局部紧致的 Hausdorff 空间 M 的可数开 覆盖 , 且每一个 W i 是紧致的 .证明 : 对于每一个 i, 存在开子集 V i , 使得 V i V i :1 ≤ i < ∞ 仍然是 M 的开覆盖 .

W i , 并且 Σ0 =

10． 在 1．1．6 的 例 5 中 , 给 出 圆 柱 面 Σ 的 光 滑 结 构 , 并 且 证 明 f : 2

R \

0 → Σ是光滑同胚 . 3

11． 给出单 叶双 曲面 Σ1 =

2

2

2

( x , y, z) ∈ R : x + y - z = 1 的光滑

结构 , 并且证明单叶双曲面 Σ1 和 1．1．6 的例 5 中的圆柱面 Σ 是光滑同胚的 . 3

12． 试给出 R 中圆环面 (

2

2

2

2

2

x + y - R ) + z = r ( r < R) 的光滑坐

标覆盖 . 13． 设 fα 和

Va : a ∈ I2 是 光 滑 流 形 M 的 两 个 开 覆 盖 ,

Uα :α∈ I1 和

ga 分 别 是 从 属 于 上 述 两 个 开 覆 盖 的 单 位 分 解 . 证 明 :

fα・ g a : α∈ I1 , a ∈ I 2 是从属 于 开覆 盖 Uα ∩ V a : α∈ I 1 , a ∈ I 2 的 单 位分解 . 14． 给出 O (3 ; R ) 的光滑坐标覆盖 . 15． 设 3 维光滑流形 M 在坐标卡 ( U , φ) 给出的局部坐标系 ( U ; ui ) 下有 曲线 γ的方程 1

2

3

φ( γ( t ) ) = ( u ( t ) , u ( t ) , u ( t ) ) 2

2

= ( t - 1 , 2sin t, sin t) , 　 　 - π≤ t ≤π . ∞

设 f ∈ C ( M ) 在 U 上的限制为 f

-1

1

2

3

1

2

2

2

3

2

φ (u , u , u ) = (u ) + (u ) + (u ) ．

π )) f . 2 16． 在 2．1．4 的例 2 中的局部坐标卡 ( U , f ) 和 ( V , g) 下 , 求相应的自然

求 ( γ′(0 ) ) f 和 (γ′(

基底 , 并且在 U ∩ V 上求基底变换公式 . 17． 在 2．1．4 的例 4 中的局部坐标卡 ( U 1 , φ1 ) 和 ( U 2 , φ2 ) 下 , 求相应的自 然基底 , 并且在 U 1 ∩ U2 上求基底变换公式 . 18． 在 2．1．4 的例 5 中的局部坐标卡 ( U 1 , ψ1 ) 和 ( U 2 , ψ2 ) 下 , 求相应的自 然基底 , 并且在 U 1 ∩ U2 上求基底变换公式 .

2．6 　 习 　 题 　 二

・ 71 ・

19． 设 M 是 n 维光滑流形 , 命 T M = p∪ T p M .证明 : TM 是 2 n 维光滑流 ∈ M 形 .通常称光滑流形 TM 为 M 的切丛 . 20． 证明定理 2．6． 21． 设 M , N 是光滑流形 , 且 M 是连通的 , f : M → N 是光滑映射 .证明 : 若在每一点 p ∈ M 都有 f ＊

= 0 , 则 f 是常值映射 .

p

n

22． 设 M 是紧致的 n 维连通光滑流形 , f : M → R 是光滑映射 .证明 : 在 M 上至少存在一点 p , 使得 rk p ( f ) < n . 23． 求下列映射的切映射 : 2

(1 ) f : R → R , 　 f ( t ) = ( t, αt ) ,α是固定的实数 . 2

2

2

2

(2 ) f : R → R , 　 f ( x , y ) = ( xcos y, xsin y ) ; 2

2

(3 ) f : R → R , 　 f ( x , y ) = ( x - y , 2 x y ) ; 3

(4 ) f : R → R , 　 f ( t ) = ( cos t , sin t, ct ) , c 是常数 . 2

2

24． 设映射 f : R → R 的定义是 y

y

u = xe + y , 　 　 v = xe - y, 证明 f 是光滑同胚 , 并求切映射 f ＊ . 2

2

25． 已知映射 T , S : R → R 的定义是 T ( x , y ) = (2 xy , x 2 + y2 ) , 　 　 S( x , y) = ( x - y , x + y ) . 求 S

T和 T

S , 以及它们的切映射 .

26． 设 M 是满足第 2 可数公理的 m 维光滑流形 , A , B 是 M 的闭子集 , 且 A∩ B = 1, f

B

∞

.证明 : 存在光滑函数 f ∈ C ( M ) , 使得 0 ≤ f ≤ 1 , 并且 f

A

≡

≡ 0． 2

27． 设 S 是在 R 中的单位圆周 , 参数方程是 x = cos t , 　 y = sin t , 　 0 ≤ t < 2π, 那么 v =

y

x

- x

y

S

= sin t

x

S

- cos t

y

S

2

是 S 的切向量场 .证明 : 在 R 上存在光滑切向量场 珘 v 使得珘 v

S

= v .

2

28． 设 γ( t ) 是 R 中光滑的简单正则闭曲线 , 其参数方程是 x = x( t) , 　 y = y( t) , 　 0 ≤ t ≤ l . 证明 : γ( t ) 的切向量场 v =

d x ( t) dt

x

γ( t)

+

d y( t) dt

y

γ( t )

2

能够扩展成为 R 上的光滑切向量场 . 29． 证明定理 2．12． 3

2

30． 设 a 是 R 中的常向量场 .对于任意的 p ∈ S (1 )

3

R , 命 u ( p) =

第二章 　 光滑结构

・ 72 ・

2

2

a - 〈p , a〉p 是 a 在切空间 T p S ( 1) 上的正交投影 , 则 u 是定义在 S ( 1) 上的 2

光滑切向量场 .试用 S ( 1) 的局部坐标系把 u 表示出来 . 3

31． ( 续上一题 ) 设 b 是 R 中的另一个常向量场 .用 v ( p ) = b - 〈p , b〉p 2

2

表示 b 在 p ∈ S (1 ) 的切空间 T p S (1 ) 上的正交投影 .求[ u , v ] . ∞

32． 设 f : M → N 是 光 滑 同 胚 , X ∈ X( M ) . 定 义 映 射 珟 X: C∞ ( N ) →

C ( N ) , 使得 珟 X ( g) = X( g

f)

f - 1 , 　 ＂ g ∈ C∞ ( N ) .

　 　 (1 ) 证明 : 珟 X 是 N 上的光滑切向量场 ; (2 ) 证明 : X 和 珟 X 是 f - 相关的 . 2

33． 假定光滑映射 f : R → R 的定义是 f ( t ) = t ． 求 f ＊

t

d dt

.试问 : 在 R

d 和 Y 是 f - 相关的 ?说明理由 . dt 34． 若在上题中将映射 f 换成 g: R → R , g( t ) = t3 , 则情况又如何 ?

上是否存在光滑切向量场 Y .使得 3

35． 在 R 中设 X = y

x

- x

y

, 　 Y = x

x

+ y

y

, 　 Z =

x

求[ X , Y ] , [ Y , Z] , [ Z , X] . 2

36． 在 R 中设 X = x 求[ X , Y ] .

2

x

, 　 Y =

2

x

+ y

y

.

+

y

+

z

.

第 三 章 　 外 微分 式 及 其 积 分 本章的目的是介绍光滑 流形 上的 外微 分 式及 其外 微分 的概 念 .首先 , 需 要在代数上做一些准备 .因此 , 我们先介绍向量空间的对偶空间 , 协变张量 , 外 形式 , 外积等概念 , 然后将这些概念用于 m 维光滑流形在每一点处的切空间 , 得到余切空间和余切向量 , 再如同光滑切向量场一样的做法 , 引进定义在光滑 流形上的 1 次微分式和 r 次外微分式 , 讨论作用在 r 次外微分式上的外微分运 算 .最后 , 定义 m 次外微分式在 m 维光滑流形上的积分 .

3．1 　 外 　 形 　 式

3．1．1 　 对偶向量空间 在本节 , 用 V 表示实数域上的 n 维向量空间 . 如果映射 f : V → R 满足下列条件 : (1 ) f ( v 1 + v2 ) = f ( v 1 ) + f ( v2 ) , 　 ＂ v1 , v 2 ∈ V ; (2 ) f (λ・ v ) = λf ( v ) , 　 ＂ v ∈ V ,λ∈ R , 则称 f 是向量空间 V 上的线性函数 .把向量空间 V 上的线性函数的全体组成 的集合记作 V

＊

.

向量空间 V 上的线性函数可以相加 , 可以与实数相乘 , 得到的仍然是 V 上 ＊

的线性函数 .具体地说 , 设 f , g ∈ V , c ∈ R , 则 f + g 和 c・ f 的定义如下: ( f + g) ( v ) = f ( v ) + g ( v ) , 　 ( c・ f ) ( v ) = c・ f ( v ) . 容易验证 ( f + g) ( v 1 + v2 ) = ( f + g ) ( v1 ) + ( f + g) ( v 2 ) , ( f + g) (λv ) = λ( f + g) ( v ) , ( c・ f ) ( v 1 + v2 ) = ( c・ f ) ( v1 ) + ( c・ f ) ( v2 ) , ( c・ f ) (λv ) = λ( c・ f ) ( v ) , 所以 f + g , c・ f ∈ V

＊

.由此可见 , V

＊

关于上面所定义的加法和数乘法成为

一个向量空间 , 称为 V 的对偶向量空间 , 简称为 V 的对偶空间 .

第三章 　 外微分式及其积分

・ 74 ・

3．1．2 　 对偶基底 对偶向量空间 V

＊

的维数是多少 ?要回答这 个问题 必须求出 V

基底 . 假定向量空间 V 的一个基底是 ei , 1 ≤ i ≤ n

＊

的一 个

.若 v ∈ V , 则 v 可以惟

一地表示为 n

∑ ve , i

v =

i

i=1

i ＊ 其中 v 是实数, 称为向量 v 关于基底 ei , 1 ≤ i ≤ n 的分量 .设 f ∈ V , 则 n

n

∑ve i

f ( v) = f

i

∑ v f( e ) i

=

.

i

i= 1

i= 1

命 f i = f ( ei ) , 即 f i 是线性函数 f 在基底向量 ei 上的值 .那么上面的式子说明 , 线性函数 f 被 它在基底向量 ei 上的值 f i , 1 ≤ i ≤ n , 完全确定 .于是 , 对于每一 个固定的 指 i

标 i , 1 ≤ i ≤ n , 可以定义一个线性函数 e : V → R 如下 : 1, 当 j = i, i i e ( ej ) = δj = 0, 当 j ≠ i, 这里的 δij 称为 K roneckerδ - 记号 .将线性函数 ei 在任意的向量 v ∈ V 上 求 值 , 则得 n

i

n

∑ ve

i

j

e ( v) = e

=

j

n

∑ ve(e)

j=1

j i

=

j

j=1

∑ vδ = j

i j

i

v .

j =1

i

因此 , 线性函数 e 就是取向量 v 关于基底 ej , 1 ≤ j ≤ n 的第 i 个分量 , 换句 话说 , ei 是在向量空间 V 中关于基底 ej 的第 i 个坐标函数 .我们断言 : 这 n 个 线性函数 ei , 1 ≤ i ≤ n 构成对偶空间 V ＊ 的基底 . 事实上 , 每一个线性函数 f ∈ V

＊

i

都能够表示成 e , 1 ≤ i ≤ n 的线性组

合 .根据前面得到的式子 , n

f ( v) =

n

∑fv

i

i

i= 1

=

n

∑ f e ( v) i

i

∑ fe

i

=

i

i= 1

( v) , 　 ＂ v ∈ V ,

i= 1

因此 n

f =

∑ fe, i

i

　 　 其中 f i = f ( ei ) .

i=1

i

如果 e , 1 ≤ i ≤ n 有一个线性组合 n

f =

∑ ae

i

i

i= 1

3．1 　 外 　 形 　 式

・ 75 ・

是 V 上的零函数 , 即它在任意的向量 v ∈ V 上的值是零 , 那么它在 ej 上的值 是 n

0 =

n

∑ ae( e ) i

i

∑ aδ = i i j

=

j

i=1

aj , 　 ＂ 1 ≤ j ≤ n ,

i= 1

i

这就是说该线性组合必定是平凡的 , 因此 e , 1 ≤ i ≤ n 是线性无关的 . i ＊ 由此 可 见 , e , 1 ≤ i ≤ n 是 V 的 一 个 基 底 , 称 为 与 V 的 基 底 ei , 1 ≤ i ≤ n 对偶的基底 .特别是 dim V ＊ = n .线性函数 f ∈ V ＊ 关于对 i

偶基底 e , 1 ≤ i ≤ n 的分量 f i 恰好是 f 在 ei 上的值 f ( ei ) .

3．1．3 　 线性函数的分量的坐标变换公式 线性函数在 V

＊

的基底下的分量是用来表示 线性 函数的 一种 方式 , 是 依

赖于基底的取法 的 .如果在 V 中取另一 个基底 , 那 么一个 给定的线 性函数 在 相应的对偶基底 下的分量 将是另 外一组数 .重要的是 需要知道 , 在 V 的基 底 作变换时 , 已知的线性函数的分量是怎样进行变换的 . ＊ 设 V 是 n 维向量空间 , V 是它的对偶空间 .假定 ei , 1 ≤ i ≤ n 是 V 的

一个基底 , 在 V

＊

i

中的对偶基底是 e , 1 ≤ i ≤ n , 那么 n

f =

∑ fe , 　 i

i

其中 f i = f ( ei ) .

i= 1

i 如果 δi , 1 ≤ i ≤ n 是 V 的另一个基底 , 它 的对 偶基 底是 δ , 1 ≤ i ≤ n ,

那么每一个 δi 必定能够表示成 ej , 1 ≤ j ≤ n 的线性组合 , 设为 n

δi =

∑ae , j i j

j= 1

j i

＊

i

j

其中 det( a ) ≠ 0． 由于 e ∈ V , 所以它应该能够表示成 δ 的线性组合 , 并且 n

i

e=

n

j

i

k j k

j

j= 1 n

=

n

∑ e (δ )δ = ∑ e ∑ a e i

j= 1

k= 1

n

n

n

∑ ∑ a e ( e )δ = ∑ ∑ a δδ k i j

j

k j

k

j= 1 k= 1

j= 1

n

=

j

δ

∑ aδ . i j

j

j= 1

因此 n

i

e =

∑ aδ . i j j

j= 1

反过来 , 有 n

i

δ =

∑be, i j j

j=1

k=1

i k

j

第三章 　 外微分式及其积分

・ 76 ・ i

i

其中 ( bj ) 是 ( aj ) 的逆矩阵 .将对偶基底所经受的 线性变 换和原基 底的线性 变 i

i

i

换相对照可知 , 前者的系数矩阵 ( bj ) 是 ( aj ) 的逆矩 阵 , 而且 前者 是关于 bj 的 下指标求和 , 后者是 关于 aji 的上指 标求和 .通常我们 称对偶 基底是按 照反 变 的线性变换规律进行变换的 . 现在假定 f ∈ V ＊ , 并且 f 在基底 ei , 1 ≤ i ≤ n 和 δi , 1 ≤ i ≤ n 下 的表达式分别是 n

f =

n

∑fe

j

=

j

j=1

∑珘f δ , i

i

i=1

其中 f j = f ( ej ) ,珘 f i = f (δi ) .于是用基底向量的变换公式代入便得到 n

n

∑ ae

j i j

珘 f i = f (δi ) = f

=

j= 1

n

∑ a f( e ) j i

=

j

j= 1

∑af

j i j

.

j=1

因此 , f 的分量所经受的线性变换和 V 的基底的线性变换是一致的 .我们 称 f 的分量是按照协变的线性变换规律进行变换的 . 作为对照 , 我们来考察 V 中元素的分量所经受的线性变换 .设 v ∈ V , 假 定 n

v =

n

∑ve j

=

j

j= 1

∑ 珘v δ , i

i

i= 1

那么 n

v =

n

n

∑珘v ∑ a e i

i= 1

j i j

=

j =1

n

∑ ∑珘v a i

j= 1

j i

ej ,

i=1

因此 n

j

v =

∑珘v a

i j i

.

i=1

这恰好与 对偶基 底的 线性变 换公 式是 一致的 .由此 可见 , V 中的 元素 的分 量 是按照反变的线性变换规律进行变换的 . 我们把 V 中的元素称为反变向量 , 把 V

＊

中 的元素 称为 协变 向量 .如 果

在 V 的每一个基底下都给定了一组有序的 n 个数 , 并且它们在基底变换时 是 按照反变的线性 变换规律 进行变 换的 , 那么 在 V 中存在 惟一的一 个元素 , 使 得它在每一个基底下的分 量 就是 对应 地给 定的 有 序数 组 .同 样 地 , 如 果在 V 的每一个基底下都给定了一组有序的 n 个 数 , 并且 它们在 基底 变换时 是按 照 协变的线性变换规律进行变换的 , 那么在 V ＊ 中有惟一的一个元素 , 使得它在 每一个基底下的分量是对应地给定的有序数组 .在实际构造 V 或 V 素时 , 这是一个十分有效的途径 .

＊

中的 元

3．1 　 外 　 形 　 式

・ 77 ・

3．1．4 　 多重线性函数 除了 V 上的线性函数以外 , 我们还经常需要考虑 V 上 的 2 重线 性函数 . 例如 , 在 R n 上的欧氏内积 n

〈u , v〉 =

∑uv i

i

i=1

n

就是 R 上的双线性函数 , 即 2 重线 性 函数 .更一 般地 , 可以 定义 r 重 线性 函 数 . 设 f : V × … × V → R 是定义在向量空间 V 上的 r 元函 数 .如 果 f ( v1 , r个

… , vr ) 对于每一个自变量 v i , 1 ≤ i ≤ r 都是线性的 , 则称 f 是 V 上的 r 重线 性函数 . 很明显 , V 上的任意两个 r 重线性函数能够相加 , 得到的仍然是 V 上的 r 重线性函数 . V 上的 r 重线性 函数 能够 与 实数 相乘 , 得到 的 也是 r 重 线性 函 0

数 .由此可见 , V 上的全体 r 重线性函数构成一个 向量空 间 , 记 成 T r ( V ) .通 常把 V 上的 r 重线性函数称为 r 阶协变张量或 (0 , r) 型张量 .这样 , V 自身记 1

成 T 0 ( V ) , 而 V 的对偶空间 V

＊

0

也记成 T 1 ( V ) .

例 1 　 设 f 1 , f 2 是 n 维向量空间 V 上的两个线性函数 .对于任意的 u , v ∈ V命 f ( u , v ) = f 1 ( u ) ・ f2 ( v ) , 那么 f 是定义在 V 上的 2 元函数 , 并且它对于自变量 u , v 分别是线性的 , 因此 f 是向量空间 V 上的 2 重线性函数 .以后 , 我们把这样定义的 2 重线性函数称 为 f 1 和 f 2 的张量积 , 记为 f = f 1 í

f2 ．

例 2 　 例 1 的做法可以推广为一般情形 .设 f 是向量空间 V 上的 r 重线 性函数 , g 是向量空间 V 上的 s 重线性函数 , 那么 f 和 g 的张量积 f í g 定义 为 : 对于任意的 v 1 , … , vr + s 有 ( fí 容易验证 : f í

g) ( v 1 , … , v r+ s ) = f ( v 1 , … , vr ) ・ g( v r+ 1 , … , vr+ s ) . g 确实是向量空间 V 上的 r + s 重线性函数 .

在定义了一般的多重线性函数的 张量积 之后 , 可以考 虑若 干个多 重线 性 函数的张量积 , 并且张量积运算遵循分配律和结合 律 ( 参看本 章的习 题 1) .由 此我们可以构造向量空间 V 0r 的基底 . ＊ i 设向量空间 V 的基底是 ei , 对偶空间 V 中的对偶基底是 e i

i

.任意取

定一组指标 1 ≤ i1 , … , i r ≤ n , 则有 r 重线性函数 e 1 í … í e r .设 v 1 , … , vr ∈ V , 并且

第三章 　 外微分式及其积分

・ 78 ・

n

∑v

j α j

vα =

e , 　 ＂ 1 ≤ α≤ r ,

j=1

则 i

i

i

i

i

i

( e 1 í … í e r ) ( v 1 , … , vr ) = e 1 ( v 1 ) … e r ( v r ) = v 1 1 … vr r . r

我们断言 : 这 n 个 r 重线性函数 i

i

e 1 í … í e r , 　 1 ≤ i1 , … , ir ≤ n 0

构成向量空间 T r ( V ) 的基底 .事实上对于任意的 r 重线性函数 f , 我们有 n

f ( v1 , … , v r ) = f

n

∑v

j

1 1

j = 1 1

ej1 , … , ∑ v1 r ej r j

j =1 r

n

∑

=

j

j ,… , j =1 1 r

j

v1 1 … v r r f ( ej1 , … , ej r )

n

=

∑

j

j ,… , j =1 1 r

j

f ( ej1 , … , ej r ) ( e 1 í … í e r ) ( v1 , … , v r )

n

=

∑

j ,… , j = 1 1 r

f ( ej1 , … , ej r ) ej1 í … í ej r ( v 1 , … , v r ) ,

因此 n

f =

∑

j

j ,…, j = 1 1 r

j

f ( ej1 , … , ej r ) e 1 í … í e r .

容易证明 ei1 í … í ei r , 1 ≤ i1 , … , i r ≤ n , 是线性 无关的 .我 们把 f j 1 … j r = i

f ( ej 1 , … , ej r ) 称为 r 重线性函数 f 关于基底 e 的分量 .

3．1．5 　 r 次外形式 设 f : V × V → R 是 V 上的双线性函数 .如果对于任意的 u, v ∈ V 都有 f( u, v) = - f ( v , u ) , 则称 f 是反对称的 . 一般地 , 设 f : V × … × V → R 是定义在 V 上的 r 重线性函数 .如果 f 关 r个

于它的任意两个自变量都是反对称的 , 则称 f 是反对称的 r 重线性函数 . 定义 3．1 　 在 n 维向量空间 V 上的反对称 r 重线性函数称为 r 次外形式 . V 上的线性函数被看成是 V 上的 1 次形式 , 或 1 次外形式 . n

例 1 　 假定 V = R , 任意 取定 两个 指 标 1 ≤ i < j ≤ n , 对于 任意 的 1

n

1

n

n

u = ( u , … , u ) 和 v = ( v , … , v ) ∈ R , 构造它们的第 i 个分量和第 j 个 分量组成的行列式

3．1 　 外 　 形 　 式

D ( u, v) =

u ij

i

v

i

j

v

j

u

ij

・ 79 ・

,

n

则 D 是定义在 R 上的 2 次外形式 . 例 2 　 设 u , v 是 R 3 中任意两个不共线的向量 , 命 A( u , v ) = u × v , 3

其中“×”是 R 中的向量的向量积 .那么 A( u , v ) = - A ( v , u ) , 因此 A 是定义在 R 3 上以向量为值的反对称双线性函数 , 换言 之 , A( u , v ) 的 分量是 R3 上的三个 2 次外形式 .实际上 2

2

u

A( u , v ) =

v

3

3

u

,

v

u

3

u

1

3

v

1

1

,

v

u

2

u

1

v

2

.

v

n

　 　 例 3 　 假定 V = R , 取定 r 个指标 1 ≤ i1 < … < i r ≤ n , 对于任意的 1

n

1

n

n

u 1 = ( u 1 , … , u1 ) , … , ur = ( u r , … , u r ) ∈ R , 构造它们的第 i1 个分量 , … , 第 i r 个分量组成的行列式 i

u 11 i … i

D1

r

…

( u 1 , … , ur ) =

i

u 1r i …i

则 D1

r

…

i

u r1 … ,

…

i

u rr

n

是定义在 R 上的 r 次外形式 .

例 4 　 设 f , g 是 n 维向量空间 V 上的线性函数 , 那么 f í g - g í

f是

V 上的 2 次外形式 .实际上 , 根据张量积的定义 , 对于任意的 u , v ∈ V 有 ( fí

g - gí

f ) ( u, v) = ( f í

g) ( u , v ) - ( g í

f)( u, v)

= f ( u ) g( v ) - g( u) f ( v ) = 因此 , f í g - g í

f ( u)

f( v)

g( u)

g( v )

.

f 是 V 上的反对称的 2 重线性函数 , 即它是 V 上的 2 次外

形式 .

3．1．6 　 反对称化算子 上一节的例 4 给出了得到 2 次外形式的途径 , 即 : 将张量积 f í

g 中的 f

和 g 的次序颠倒 , 然后加上正负交替的符号 , 再相加 , 得到 2 次外形式 f í g gí

f .一般地 , 可以引进 r 重线性函数的反对称化的概念 . 设 f 是 2 重线性函数 , 命

第三章 　 外微分式及其积分

・ 80 ・

1 ( f ( u, v) - f ( v , u ) ) , 　 ＂ u, v ∈ V . 2

[ f ]( u, v) =

很明显 , [ f ] 是反对称的 2 重线性函数 , 即 f 是一个 2 次外形式 . 设 g 是 3 重线性函数 , 命 1 ( g( u , v , w ) - g( v , u , w ) + g( v , w , u ) - g( w , v , u) 6

[ g] ( u , v , w ) =

　 + g( w , u , v ) - g( u , w , v ) ) , 　 ＂ u , v , w ∈ V , 那么[ g] 是反对称的 3 重线性函数 . 一般地 , 设 h 是 r 重线性函数 , 命 [ h] ( u 1 , … , ur ) = 这里

S

r

1 σ ( - 1) ・ h ( uσ( 1 ) , … , uσ( r ) ) , 　 ＂ u 1 , … , ur ∈ V , ∑ r !σ∈ S r

是指 1 , … , r 的全 体置 换组 成的 集 合 .若 σ是 1 , … , r 的偶 置 换 , 则

σ

σ

( - 1 ) = 1 ; 若 σ是 1 , … , r 的奇置换 , 则 ( - 1) = - 1． 容易验证[ h] 是 r 次 外形式 .我们把[ h] 称为 h 的反对称化 . 很明显 , 如果 h 原来就是反对称的 r 重线性函数 , 则必定有[ h ] = h .这是 因为当 h 是反对称的 r 重线性函数时 , 对于任意的 σ∈

S

r

有

σ

h( uσ( 1 ) , … , uσ( r ) ) = ( - 1) h( u1 , … , u r ) , 因此 [ h] ( u 1 , … , ur ) =

1 σ σ ( - 1 ) ・ ( - 1) h( u1 , … , u r ) ∑ r !σ∈ S r

= h( u 1 , … , ur ) . 下面我们来考察若干个线性函数的张量积在反对称化之后的结果 . 例 1 　 设 f 1 , f 2 是 V 上的两个线性函数 , 则 1

[f í

2

f ] =

1 1 ( f í 2

2

2

1

f - f í

f ) .

事实上根据定义 , 对于任意的 u , v ∈ V 有 1

[f í

2

f ] ( u, v) =

1

2

3

1 1 ( f í 2

2

1

f ( u , v) - f í

2

f ( v, u) )

=

1 1 2 1 2 ( f ( u ) ・ f ( v ) - f ( v ) ・ f ( u) ) 2

=

1 1 ( f ( u ) ・ f 2 ( v ) - f2 ( u) ・ f 1 ( v ) ) 2

=

1 1 ( f í 2

f 2 ( u , v ) - f2 í

=

1 1 ( f í 2

f - f í

2

2

1

f1 ( u , v ) )

f ) ( u, v) .

　 　 例 2 　 设 f , f , f 是 V 上的三个线性函数 , 则

3．1 　 外 　 形 　 式

[ f1 í

f2 í

1 1 ( f í 6

f3 ] =

f2 í

3

2

　 - f í

f í

f3 - f2 í 1

・ 81 ・

f1 í

3

f3 + f2 í

1

f + f í

2

f í

1

f - f í

f3 í 3

f í

f1 2

f ) .

请读者自己验证 . 1

r

例 3 　 设 f , … , f 是 V 上的 r 个线性函数 , 则 1

1 σ σ( 1 ) ( - 1) ・ f í …í ∑ r !σ∈ S

r

[f í …í

f ] =

σ( r )

f

.

r

事实上对于任意的 v1 , … , vr ∈ V 有 1

[f í …í

1 σ 1 ( - 1) ・ f í … í ∑ r !σ∈ S

r

f ] ( v1 , … , v r ) =

r

f ( vσ( 1 ) , … , vσ( r ) )

r

1 σ 1 r ( - 1) f ( vσ( 1 ) ) … f ( vσ( r ) ) . ∑ r !σ∈ S

=

r

注意到置换 σ是从集合 1 , … , r 到它自身的 1 - 1 映射 , 它的逆映射记为 τ= - 1

σ ,即 τ(σ( 1) ) = 1 , 　 … , 　 τ(σ( r) ) = r . 很 明显 , 如果 σ是偶置换 , 则 τ也是偶置换 ; 如果 σ是奇置换 , 则 τ也是奇置换 . 由此可见 , 1

r

　[f í …í

f ] ( v1 , … , v r )

=

1 ( - 1 ) σf 1 ( vσ( 1 ) ) … f r ( vσ( r ) ) ∑ r !σ∈ S r

=

1 τ τ( 1 ) τ( r ) ( - 1) f ( v1 ) … f ( vr ) ∑ r !σ∈ S r

=

1 τ τ( 1 ) ( - 1) ・ f í …í ∑ r !τ∈ S

τ( r )

f

( v1 , … , vr ) .

r

　 　 为了表达方便起见 , 下面引进广义的 K ronecker δ - 记号 i … i

δj11 … j rr =

1,

当 i1 … i r 互不相同 , 且 j1 … j r 是 i1 … i r 的偶排列 ,

- 1,

当 i1 … i r 互不相同 , 且 j1 … j r 是 i1 … i r 的奇排列 , 其余情形 .

0, 很明显 , 对于 σ∈

S

r

有 σ

σ( 1 ) … σ( r )

( - 1 ) = δ1 … r

1… r

= δσ( 1 ) … σ( r ) .

采用广义的 Kronecker δ - 记号的好处是可以把 反对称 化运算 的右端 写成 多 重和式 , 例如 : 1

[f í

1 f ]= 2 2

n

∑δ

12 i ij

i, j = 1

f í

j

f ,

第三章 　 外微分式及其积分

・ 82 ・

n

1

1 f ]= δ1ij2k3 f i í ∑ 6 i, j, k = 1

2

[f í

3

f í

1 f ]= r !i

1

r

[f í …í

fj í

fk ,

n

∑

,… , i =1 1 r

1… r

i

δi1 … i r f 1 í … í

f

i

r

.

3．1．7 　 外形式的外积 有了反对称化运算之后 , 不难 定义外 形式 的外 积 的概 念 .事 实上 , 如果 f 是 r 次外形式 , g 是 s 次外形式 , 则 f 是反对称的 r 重线性函数 , g 是反对称的 s 重线性函数 , 于是它们的张量积 f í g 是一个 r + s 重线性函数 , 将它作反对 称化便得到一个 r + s 次外形式[ f í

g] .

定义 3．2 　 设 f 是 V 上的 r 次外形式 , g 是 V 上的 s 次外形式 , 命 ( r + s) ! [fí r !s !

f∧ g =

g] ,

则 f ∧ g 是 r + s 次外形式 , 称为 f 和 g 的外积 . 定理 3．1 　 外形式的外积运算遵循以下的运算规律 : (1 ) 反交换律 : 设 f 是 r 次外形式 , g 是 s 次外形式 , 则 f ∧ g = ( - 1 ) rsg ∧ f ; 　 　 (2 ) 分配律 : 设 f , k 是 r 次外形式 , g 是 s 次外形式 , 则 ( f + k) ∧ g = f ∧ g + k ∧ g; 　 　 (3 ) 结合律 : 设 f 是 r 次外形式 , g 是 s 次外形式 , h 是 t 次外形式 , 则 ( f ∧ g) ∧ h = f ∧ ( g ∧ h) . 　 　 验证这些运算规律应该说是不困难的 , 留给读 者自己 完成 .在这里 , 我 们 只是在 f , g , k, h 都是线性函数的情形作一些说明 . 设 f 1 , f 2 ∈ V ＊ , 则根据定义 1

2

1

2

f ∧ f = 2[ f í 1

= f í

f ] 2

2

f - f í

2

1

2

f = - ( f í

1

1

f - f í

2

f )

1

= - f ∧ f ． 1

2

＊

3

设 f , f , f ∈ V , 则根据定义 1

2

3

1

2

( f + f ) ∧ f = 2[ ( f + f ) í = 2[ f 1 í

3

1

f ] = 2[ f í

f3 ] + 2 [ f2 í

3

2

f + f í

3

f ]

f 3 ] = f1 ∧ f 3 + f 2 ∧ f 3 ．

另外 , ( f1 ∧ f2 ) ∧ f3 =

3! [ ( f 1 ∧ f2 ) í 2 !1 ! 1

= 3( [ f í

2

f í

3

f 3 ] = 3[ ( f1 í 2

f ] - [f í

1

f í

f2 - f2 í 3

f ])

f1 ) í

f3 ]

3．1 　 外 　 形 　 式 1

2

= 6[ f í

・ 83 ・

3

f í

f ] .

同理 f1 ∧ ( f2 ∧ f3 ) =

3! [ f 1 í ( f2 ∧ f 3 ) ] = 3[ f 1 í ( f 2 í 1 !2 ! 1

2

= 3( [ f í

3

f í

1

2

= 6[ f í

1

3

f ] - [f í

f 3 - f3 í

f2 ) ]

2

f í

f ])

2

3

3

f í

f ] .

因此 1

2

3

1

( f ∧ f ) ∧ f = f ∧ ( f ∧ f ), 1

2

3

于是可以把上式记为 f ∧ f ∧ f , 即 1

2

3

1

2

f ∧ f ∧ f = 6[ f í

3

f í

f ] .

　 　 上面的公式可以通过 数学 归纳 法推 广 到任 意多 个线 性函 数 的外 积的 情 1

r

＊

形:设 f , … , f ∈ V , 则 1

r

1

r

f ∧ … ∧ f = r ![ f í … í 1

f ] .

r

　 　 需要指出的是 , f ∧ … ∧ f 恰好是 3．1．5 的例 3 所给出的行列式函数 . 实际上 , 对于任意的 v 1 , … , vr ∈ V , 则 1

r

1

r

f ∧ … ∧ f ( v 1 , … , v r ) = r ![ f í … í =

∑(-

1) ・ ( f í … í

∑S ( -

1) ・ f ( vσ( 1 ) ) … f ( vσ( r ) )

σ∈

=

f ] ( v 1 , … , vr )

σ∈

σ

1

Sr

σ

1

r

r

1

f ( v1 )

1

…

f ( vr )

…

=

r

f ) ( vσ( 1 ) , … , vσ( r ) )

f r ( v1 )

…

,

f r ( vr )

…

即 1

f ( v1 ) 1

r

f ∧ … ∧ f ( v1 , … , vr ) = r

i

e 是在 V

1

f ( vr )

… f ( v1 )

特别是 , 设 ei 是 V 的基底 ,

…

＊

… …

.

r

f ( vr )

中的对 偶基 底 .任意 固定一 组指 标

1 ≤ i1 < … < ir ≤ n , 则对于任意的 u1 , … , u r ∈ V 有 i

e 1 ( u1 ) i

i

( e 1 ∧ … ∧ e r ) ( u1 , … , u r ) =

…

… ei r ( u1 )

i

e 1 ( ur ) …

…

ei r ( ur )

.

第三章 　 外微分式及其积分

・ 84 ・

i

…

u 11 …

=

i

u r1 …

u1i r

…

.

uirr

与 3．1．5 的例 3 相对照得知 i

i …i

i

e1 ∧ … ∧ er = D 1 i …i

右端的 D 1

r

r

,

理解为在 V 的基底 ei 下 , 取 r 个向量 u 1 , … , u r 的第 i1 , … , ir

个分量组成的行列式 .

3．1．8 　 外形式的坐标表达式 r

＊

我们把向量 空间 V 上 的 r 次 外形 式的 全体 构成 的 集合 记 为 ∧ V , 则 r

∧ V

＊

r

是一个向量空间 .本节要求 ∧ V

＊

的基底 , 从而可以将 V 上的任意 一

个 r 次外形式用该基底线性地表示出来 . r 事实上 , 对于 V 的任意一个基底 ei , 在上一节已经给出了 Cn 个 r 次外 形式 i

i

e 1 ∧ … ∧ e r , 　 1 ≤ i1 < … < i r ≤ n . r

我们要证明 , 它们构成 ∧ V

＊

的基底 .

首先设 h 是向量空间 V 上的 r 次外形式 , 则它作为 r 重线性函数可以表示 i

i

成 e 1 í … í e r 的线性组合 ( 参看 3．1．4) , 即 n

∑

h =

i

i ,…, i = 1 1 r

i

h( ei1 , … , ei r ) e 1 í … í e r .

因为 h 是反对称的 , 所以 n

h = [ h] =

∑

i

i ,… , i =1 1 r

i

h( ei 1 , … , ei r ) [ e 1 í … í e r ]

n

1 i i = h( ei1 , … , ei r ) e 1 ∧ … ∧ e r . ∑ r !i 1 , … , i r = 1 i

i

然而 h( ei 1 , … , ei r ) 关于指标 i1 , … , ir 是反对称的 , 同时 e 1 ∧ … ∧ e r 关于指 标 i1 , … , i r 也是反对称的 , 所以对于 i1 , … , i r 的任意一个排列 j1 , … , j r 都有 i

i

j

j

h ( ei1 , … , ei r ) e 1 ∧ … ∧ e r = h( ej 1 , … , ej r ) e 1 ∧ … ∧ e r . 因此 , 在取定 1 ≤ i1 < … < i r ≤ n 之后 , 由它的排列所给出的 r !个项都是相 等的 , 于是 h =

∑

1≤ i < … < i ≤ n 1 r

i

i

h( ei1 , … , ei r ) e 1 ∧ … ∧ e r .

按惯例 , 记 hi1 … i r = h( ei 1 , … , ei r ) , 则上式成为

3．1 　 外 　 形 　 式

∑

h =

・ 85 ・

i

1≤ i < … < i ≤ n 1 r

i

h i1 … i r e 1 ∧ … ∧ e r .

　 　 至于 ei1 ∧ … ∧ ei r , 1 ≤ i1 < … < i r ≤ n , 的线性无关性是明显的 .若有 一组实数 hi1 … i r 使得线性组合

∑

i

1≤ i < … < i ≤ n 1 r

i

hi 1 … i r e 1 ∧ … ∧ e r = 0 ,

任意取定一组指标 1 ≤ j1 < … < j r ≤ n , 让上面的零函数在 ej1 , … , ej r 上求 值得到 0=

∑

i

1≤ i < … < i ≤ n 1 r

i

hi 1 … i r e 1 ∧ … ∧ e r ( ej1 , … , ej r ) i

δj11 =

∑

1≤ i < … < i ≤ n 1 r

i

…

δj1r

hi 1 … i r …

… = h j1 … j r .

i

δj 1r

i

…

δj rr

因此 , 上面的线性组合是平凡的 . 例 1(Darboux 定理 ) 　 设 f 是 n 维向量空间 V 上的 2 次外形式 , 则在 V ＊ 中必定存在一个基底 ei , 使得 f 能够表示成为 f = e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4 + … + e2 r - 1 ∧ e2 r . 　 　 事实上 , 任意取定 V ＊ 的一个基底 δi , 设在 V 中的对偶基底为 δi , 那 么 f =

∑ f δ ∧ δ, i

j

ij

i< j

其中 f i j = f ( ei , ej ) .如果 f ≠ 0 , 则不妨假定 f 1 2 ≠ 0 , 于是 f 可以写成 1

f = δ∧

∑f

j

∑

2

δ +δ ∧

1j

j ≥2

j

f2 jδ +

∑

i

3≤ i< j

j≥ 3

命

∑

2

e =

j

f1 jδ ,

j≥ 2

则 2

δ =

1 2 e f12

f1 j j δ. f12

∑ j ≥3

将上式代入 f 的表达式得到 f = δ1 ∧ e2 + 1

2

= e ∧ e +

1 2 e ∧ f1 2

∑

3≤ i < j

其中

i

∑f j≥ 3

j

δj +

2j

f′ ijδ ∧ δ ,

∑

3≤ i < j

j

f ijδ ∧ δ .

i j f′ ijδ ∧ δ

第三章 　 外微分式及其积分

・ 86 ・

f2 j j δ. f1 2

∑

e1 = δ1 -

j≥ 3

用数学归纳法继续上面的做法 , 不难得到我们所要的结论 . 例2 ( Cartan 引理 ) 　 假定 ω1 , … , ωr ,α1 , … ,αr 是向量空间 V ＊ 中的 2 r 个 1

r

元素 , 其中 ω , … , ω 是线性无关的 , 并且它们满足恒等式 r

∑α ∧ ω i

= 0,

i

i=1

那么 αi , 1 ≤ i ≤ r 可以用 ωi , 1 ≤ i ≤ r 线性表示为 r

αi =

∑ a ω, 　 j

＂ 1 ≤ i ≤ r,

ij

j= 1

并且 aij = aji . 1

r

　 　 事实上 , 将 ω , … , ω 扩充成为 V

＊

1

r

r +1

的 一个基底 ω , … , ω , ω

n

, …,ω ,

那么 αi 能够表示成 n

∑a

αi =

A

ω ,

iA

A= 1

于是 r

0=

r

∑α ∧ ω

i

i

=

i= 1

n

∑∑ a i=1

ωA ∧ ωi

iA

A= 1

r

=

∑( a

ji

i

j

- aij ) ω ∧ ω -

i< j

n

∑∑

i

p

ai pω ∧ ω ,

i = 1 p = r+ 1

因此 aij = aji 　 ＂ 1 ≤ i, j ≤ r , 　 　 ai p = 0 　 ＂ 1 ≤ i ≤ r < p ≤ n .

3．1．9 　 外多项式 现在我们可以更抽象地来看待外形式和外积运算 . 多项式是我们很熟悉的数学对象 .设 x1 , … , x n 是 n 个自 变量 , 那 么 x 1 , … , x n 的 r 次多项式是指如下的表达式 : f =

∑

i + … + i = r, 1 n i ≥0 α

i

i

f i1 … i n ( x 1 ) 1 … ( x n ) n ,

其中系数 f i 1 … i n 都是实数 .在这里 , 已经假定自变量之间的乘法是 一种形式 上 的可交换的乘法 , 把它们想象成实数的乘法 , 即 xi ・ xj = xj ・ xi . 　 　 如果我们把自变量之间的乘法 记成 ∧ , 规定 该乘法 是反 交换 的 , 并且 满

3．1 　 外 　 形 　 式

・ 87 ・

足结合律 , 即 xi ∧ x j = - xj ∧ xi , 　 ( xi ∧ xj ) ∧ x k = xi ∧ ( xj ∧ x k ) , 特别地 , x i ∧ x i = 0． 于是 , 这样组成的多项式称为外多项式 .此时 , 每一个自 变量在每一个单项式中至多只能出现一次 .特别是 , 没有非零的高于 n 次的 n 个自变量的外多项式 .我们把 上述 乘法称 为外 积 .这 样 , r 次外 多 项式 的表 达 式是 f =

∑

1≤ i , … , i ≤ n 1 r

f i1 … i r x i1 ∧ … ∧ x i r .

　 　 进一步 , 规定外积 ∧ 有分配律 , 即对于任意的实数 λ有 x i ∧ ( x j + λxk ) = x i ∧ x j + λx i ∧ x k , ( x j + λxk ) ∧ x i = x j ∧ x i + λx k ∧ x i , 那么任意两个外多项式都能够作外积 , 并 且外 多项 式的外 积有 下面的 反交 换 律 : 设 f 是 r 次外多项式 , g 是 s 次外多项式 , 则 f ∧ g = ( - 1 ) rsg ∧ f . 综合起来说 , n 个自变量的外多项式是下面这些单项式 1 , x i , x i ∧ x j ( i < j) , … , x i 1 ∧ … ∧ x i r ( i1 < … < ir ) , … , x1 ∧ … ∧ x n 的线性组合 . 例 1 　 化简 (3 x 1 + 5 x2 ) ∧ ( - 2 x 1 + 3 x2 - 4 x 3 ) . 解 　 根据外积的分配律和反交换律有 　 ( 3 x1 + 5 x 2 ) ∧ ( - 2 x1 + 3 x 2 - 4 x 3 ) = - 6 x 1 ∧ x 1 + 9 x1 ∧ x2 - 12 x1 ∧ x3 　 - 10 x 2 ∧ x 1 + 15 x 2 ∧ x 2 - 20 x2 ∧ x 3 = 19 x 1 ∧ x 2 - 12 x 1 ∧ x 3 - 20 x2 ∧ x 3 ． 　 　 例 2 　 假定 V 是以 d x , d y, d z 为基底的向量空间 , 化简 (1 ) ( Ad x + Bd y + Cd z ) ∧ ( Pd x + Qd y + Rd z ) ; (2 ) ( Ad x + Bd y + Cd z ) ∧ ( Pd y ∧ d z + Q d z ∧ d x + Rd x ∧ d y ) . 解 　 根据外积的分配律和反交换律得到 ( Ad x + Bd y + Cd z) ∧ ( Pd x + Qd y + Rd z) = APd x ∧ d x + AQd x ∧ d y + A Rd x ∧ d z + BPd y ∧ d x + BQd y ∧ d y + BRd y ∧ d z + CPd z ∧ d x + CQd z ∧ d y + CRd z ∧ d z = ( AQ - BP)d x ∧ d y + ( CP - A R) d z ∧ d x + ( BR - CQ) d y ∧ d z , ( Ad x + Bd y + Cd z) ∧ ( Pd y ∧ d z + Qd z ∧ d x + Rd x ∧ d y) = APd x ∧ d y ∧ d z + BQd y ∧ d z ∧ d x + CRd z ∧ d x ∧ d y = ( AP + BQ + CR)d x ∧ d y ∧ d z .

第三章 　 外微分式及其积分

・ 88 ・

3．1．10 　 向量空间的线性映射在外形式空间上的诱导 映射 假定 f : V → W 是从 n 维向量空间 V 到 m 维向量空间 W 的线性映射 , 则 ＊

＊

它在对应的对偶空间之间诱导出一个线性映射 f : W

＊

→ V , 定义如下 : 设

α∈ W ＊ , 则对任意的 v ∈ V 有 ＊

( f α) ( v ) = α( f ( v ) ) . ＊

＊

＊

很明显 , f α是 V 上的线性函数 , 即 f α∈ V , 并且由对应α∈ W ＊

∈ V

＊

给出的映射 f : W

＊

→ V

＊

＊

＊

→f α

是线性的 . ＊

一 般地 , 线性映射 f : V → W 诱导出 r 次外形式空间之间的线性映射 f : r

∧ W

＊

r

＊

＊

r

→∧ V , 其定义是 : 设 α∈∧ W , 则对任意的 v1 , … , vr ∈ V 有 ＊

( f α) ( v 1 , … , v r ) = α( f ( v1 ) , … , f ( vr ) ) . ＊

＊

r

＊

r

很明显 , f α∈∧ V , 并且映射 f : ∧ W ＊

r

线性映射 f : ∧ W

＊

r

→∧ V

＊

＊

r

→∧ V

＊

是线性的 .

也称为拉回映射 .

定理 3．2 　 设 f : V → W 是从向量空间 V 到 W 的线性映射 , 则拉回映射 ＊

r

f : ∧ W r

∈∧ W

＊

＊

r

＊

→∧ V , r > 0 和 外积 运 算 ∧ 是 可 交 换 的 , 即 对 于 任 意 的 α s

和 β∈∧ W

＊

有 f ＊ (α∧ β) = f ＊ α∧ f ＊ β.

　 　 证明留给读者自己完成 .

3．2 　 外 微 分 式

3．2．1 　 余切向量和余切空间 设 M 是 m 维光滑流形 , 在每一点 p ∈ M 有切空间 T p M . 定义 3．3 　 切空间 T p M 上的线性函数称为在点 p 的余切向量 ; 在点 p 的 余切向量的全体所组成的集合是一个向量空间 , 称为光滑流形 M 在点 p 的余 切空间 , 记为 T p＊ M , 它是切空间 T p M 的对偶空间 . ∞

＊

例 1 　 设 f ∈ Cp , 定义余切向量 df ∈ T p M 为 : 对于任意的 v ∈ T p M , d f( v) = v( f ) . 显然 , 上面定义的 d f 是 T p M 上的线性函数 , 称为光滑函数 f 在点 p 的微分 .

3．2 　 外 微 分 式

・ 89 ・

i

∞

i

例 2 　 设 ( U ; x ) 是 M 的一个局部坐标系 , 那么 x ∈ C ( U ) .因此 , 在 ＊

i

每一点 p ∈ U 有 m 个余切向量 d x ∈ T p M , 1 ≤ i ≤ m , 它们的定义是 : 对 于任意的 v ∈ T p M , m

i

i

∑v

i

d x ( v ) = v ( x ) = v , 　 　 其中 v =

j

x

j= 1

.

j

特别是 i

dx

j

=

j

x

x i j . j = δ x ＊

i

所 以, x

i

dx ,1 ≤ i ≤ m 是 在 余 切 空 间

中 与 自 然 标 架

Tp M

, 1 ≤ j ≤ m 对偶的基底 . ＊

i

按照 3．1．2 , T p M 中的每一个余切向量都是 d x 的线性组合 .特别地 , m

m

∑v

d f( v) = d f

j

x

j= 1

j

m

∑vdf j

=

x

j= 1

j

=

∑ f d x ( v) , j

j

j=1

于是光滑函数 f 的微分可以表示成 m

df =

∑ f dx , i

i

　 其中 f i = d f

i=1

x

i

=

f i . x i

由此可见 , 光滑函数 f 在点 p 的微分 d f 在局部坐标系 ( U ; x ) 下的上述表 达 式与我们在“多元微积分”的课上见到的是一样的 , 但是赋予微分 d f 的意义却 深刻得多 .在这里 , 微分 d f 理解成切空间 T p M 上的线性函数 : 设 m

∑v

v =

i

x

i= 1

i

,

m

那么

d f ( v) = v( f ) =

∑v i= 1

i

f i . x

3．2．2 　 r 次外微分式 设 M 是 m 维 光 滑 流形 , 在 每 一点 p ∈ M 有 切空 间 T p M 和 余 切 空 间 ＊

T p M .所以 , 把 3．1．5 和 3．1．7 的代数构造用于切空 间和余切 空间 , 得到在 点 p 的 r 次外形式 , 即它是切空间 T p M 上的反对称 r 重线性函数 .在点 p 的 r 次 r

＊

外形式的全体所组成的集合记为 ∧ T p M . 定义 3．4 　 如果在 m 维光滑流形 M 的每一点 p ∈ M 都指定了一个 r 次 r

＊

外形式 α( p) ∈∧ T p M , 则称 α是 M 上的一个 r 次外形式场 .如果在每一点 i

p ∈ M 都有一个局部坐标系 ( U ; x ) , 使得 r 次外形式场α在 U 上的限制α| U i

用局部坐标 x 表示成

第三章 　 外微分式及其积分

・ 90 ・

m

α

U

1 = αi 1 … i r d x i1 ∧ … ∧ d x i r ∑ r !i1 , … , i r = 1

时所有的系数 αi 1 … i r = α

U

i

x1

,…,

x

i

r

都是 U 上的光滑函数 , 则称 α是 M 上的 r 次外微分式 . 由此可见 , M 上的一个 r 次外微分式就是以 光滑地 依赖于点 的方式在 流 形 M 的每一点指定了一个 r 次外形式 .如同光滑流形上 的光滑切 向量场有 两 种属性一样 , r 次外微分式α除了可以看作定义在 M 上的“场”以外 , 还可以看 成是 定 义 在

X( M )

上 的 反 对 称 r 重 线 性 映 射 α:

X( M ) × … ×X( M )

→

r个

∞

C ( M ) , 其定义是 : 设 v1 , … , v r ∈ X( M ) , 则 (α( v1 , … , vr ) ) ( p ) = (α( p) ) ( v1 ( p) , … , vr ( p) ) , 　 ＂ p ∈ M . 　 　 根据 3．1．7 容易得到 i

v 11

m

α( v 1 , … , v r )

U

1 = αi1 … i r … r !i 1 , ∑ … , i =1 r i v 1r

…

i

v r1 … ,

…

i

v rr

其中 m

va

U

=

∑v

i a

i=1

x

i

, 　 　 1≤ a≤ r . r

　 　 M 上的 r 次外微分式的全体所组成的集合记为 A ( M ) .任意两个 r 次外 微分式可以相加 , 任意一个 r 次外微分式可以乘以一个光滑函数 , 得到的仍然 是 r 次外微分式 .另外 , r 次外微分式α和 s 次外微分式β可以作外积 , 得到的 是 r + s 次外微分式α∧ β, 并且满足分配律 (α+ 珘 α) ∧ β = α∧ β+ 珘 α∧ β, 反交换律 rs

β∧ α = ( - 1 ) α∧ β 和结合律 (α∧ β) ∧ γ = α∧ (β∧ γ) . 换言之 , 外微分式的代数运算是逐点进行的 , 在每一点处它化为相应的外形式 的相应的代数运算 , 所以后者的运算规律也就继承下来了 .

3．2．3 　 外微分 对于外微分式 除了可 以实施 3．2．2 所指出 的代数 运算以外 , 更重要的 是

3．2 　 外 微 分 式

・ 91 ・

还可以求外微分 . r

i

设 α∈ A ( M ) , 在局部坐标系 ( U ; x ) 下 , 假定 m

α

1 = αi1 … i r d x i1 ∧ … ∧ d x i r , ∑ r !i 1 , … , i r = 1

U

∞

其中 αi1 … i r ∈ C ( U ) .命 m

1 i i d(α U ) = dαi1 … i r ∧ d x 1 ∧ … ∧ d x r ∑ r !i1 , … , i r = 1 m αi1 … i r i 1 i i = dx ∧ d x1 ∧ … ∧ dxr, i ∑ r !i , i 1 , … , i r = 1 x

则 d(α

U

) 是定义在坐标域 U 上的 r + 1 次外微分式 .

我们要证明 , 在光滑流形 M 上存在一个 r + 1 次外微分式 , 记为 dα, 使得 对于 M 的任意一个坐标域 U 有 ( dα)

U

= d( α U ) .这样的 r + 1 次外微分式

dα称为 r 次外微分式α的外微分 .由于 d( α U ) 是在局部坐标系 ( U ; x i ) 下给 出的 , 要证明它们实际上在整个光滑流形 M 上定义了 一个 r + 1 次外微分 式 dα, 只要说清楚 d(α

) 的定义与局 部坐标 系的 取法 是无 关 的就 行了 .为此 ,

U

假设在 U 上有另一个局部坐标系 ( U ; yi ) , 并且 α

用局部坐标 y i 表示成

U

m

α

1 i i = αi1 … i r d y 1 ∧ … ∧ d y r , 珘 ∑ r !i1 , … , i r = 1

U

其中 珘 αi1 … i r = α

U

i

y1

∞

,…,

∈ C ( U) .

i

yr

因为 m

i

y

=

m

j

x i y

∑ j=1

x

j

j

x i i d y , y

∑

j

, 　dx =

i=1

所以 珘 αi 1 … i r = =

j

j

x1 … yi 1

∑

j ,… , j i r

j

∑α

j …j 1

j ,… , j i r

xr α yi r

r

x1 i … y1

xj 1

,…,

x jr

j

xr . i yr

这样 , d(珘 αi1 … i r ) =

∑ d (α

j … j

j ,… , j i r

　 +…+

1

r

x j1 i … y1

)

∑α

j … j

j ,… , j i r

1

x jr i + yr j

r

x1 i …d y1

∑α

j … j 1

j , …, j i r

xj r i yr

.

j

r

d

x1 … i y1

x jr i yr

第三章 　 外微分式及其积分

・ 92 ・

注意到外积的反交换性质 , 以及光滑函数的两次偏导数与求导的次序无关 , 因 此 m

j

x1 i 1 ∧ d y i y1

∑d

　

i = 1 1 m

2

x j1 i i 1 i i d y ∧ d y 1 y y

∑

=

i, i = 1 1 m

2

m

1 = 2

j

2

x1 + i y y i1

1 = 2 i ,∑ i =1 1

j

x1 i i i i d y ∧ d y1 y1 y m

2

x j1 i i 1 i i dy ∧ dy y y1

∑

i, i = 1 1

2

xj 1 i i 1 = 0． i id y ∧ d y y1 y

∑

i, i = 1 1

把上面的公式代入下式得到 m

∑

　

i

i ,… , i =1 1 r

=

m

m

∑

∑

j

m

m

∑

∑

m

m

∑

∑

i ,… , i =1 j ,… , j = 1 1 r i r

　 +

j

x1 i … y1

i ,… , i =1 j , …, j = 1 1 r i r

　 +

i

d(珘 αi1 … i r ) ∧ d y 1 ∧ … ∧ d y r

i ,… , i =1 j ,… , j = 1 1 r i r

xr i i i d(αj1 … j r ) ∧ d y 1 ∧ … ∧ d y r yr j

j

xr d y ir

j

x r- 1 d i y r -1

αj1 … j r

x2 … y i2

αj1 … j r

x1 i … y1

j

x1 i i 1 ∧ … ∧ dy r + … ∧ d y i y1

j

j

xr i i 1 ∧ … ∧ d y r ∧ d y i yr

m

∑

=

j ,… , j =1 1 r

d(αj1 … j r ) ∧ d x j1 ∧ … ∧ d x j r .

证毕 . 由此可见 , 如果 m

m

∑

i ,… , i =1 1 r

i

αi1 … i r d x 1 ∧ … ∧ d x

i

r

=

∑

珘 αi1 … i r d y i1 ∧ … ∧ d yi r ,

i ,… , i = 1 1 r

则有 m

∑

i ,… , i =1 1 r

m

i

dαi 1 … i r ∧ d x 1 ∧ … ∧ d x

i

r

=

∑

i ,… , i = 1 1 r

i

i

d珘 αi1 … i r ∧ d y 1 ∧ … ∧ d y r .

通常把上面的公式称为“外微分的形式不变性”, 它是微积分学中的“ 一次微分 的形式不变性”的推广 . 2

2

2

2

例 1 　 设 α = ( x + y + z ) d x + (2 x y - z ) d y + ( xy + yz + z x ) d z 3

是定义在 R 上的 1 次微分式 .求 dα. 解 　 根据外微分的定义 , 我们有

3．2 　 外 微 分 式 2

2

2

・ 93 ・

2

dα= d( x + y + z ) ∧ d x + d(2 xy - z ) ∧ d y + d( xy + yz + zx ) ∧ d z = (2 xd x + 2 yd y + 2 zd z) ∧ d x + (2 xd y + 2 yd x - 2 zd z) ∧ d y 　 + ( yd x + xd y + zd y + yd z + zd x + xd z) ∧ d z = ( - 2 y + 2 y)d x ∧ d y + (2 z - y - z) d z ∧ d x + (2 z + z + x ) d y ∧ d z = ( z - y) d z ∧ d x + (3 z + x )d y ∧ d z . 　 　 由外微分的定义 可 见 , 对 于 定义 在 整 个 光 滑流 形 上 的 外 微分 式 求 外 微 分 , 实际上都归结为在局部坐标系下来做 .因此 , 上面的计算是典型的例子 .下 面 , 我们举一个例子来印证外微分的计算不依赖局部坐标系的选择 . 例 2 　 设 ω = - yd x + xd y 是定义在 R3 上的 1 次微分式 , 将它限制在单 2

2

位球面 S = α =

ω

S

2

2

2

2

( x , y, z) : x + y + z = 1 上得到定义在 S 上的 1 次微分式 取

.

S

2

的 局 部 坐 标 系 ( U; u, v) ,

( x , y , z ) ∈ S2 : z > 0 , x = u , y = v , z = α 如 果 取

S

2

其 中

U

=

V

=

1 - u 2 - v 2 .这样 ,

= - vd u + ud v .

U

的 另 一 个 局 部 坐 标 系 ( V ;ξ, η) , 2

2

( x , y , z ) ∈ S : y < 0 , x = ξ, y = -

其 中

2

1 - ξ - η , z = η, 则这两个局部

坐标系的坐标变换是 u = ξ, 　 v = -

1 - ξ2 - η2 ; 　 　 ξ = u , 　 η =

1 - u 2 - v2 .

此时 , α

V

2

2

2

2

2

=

1 - ξ - η dξ - ξd

=

1 - ξ - η dξ - ξ・

=

2

1 - ξ - η - ξdξ - ηdη 2

2

1 - ξ - η

1 - η2

ξ η

dξ+ 2 2 1 - ξ - η

2

2

1 - ξ - η

dη .

　 　 求外微分得到 d(α

U

) = 2d u ∧ d v ,

d (α V ) =

2

2

1 - ξ - η

　 + =

2

- 2ηdη

+

2

1 - ξ - η 2η 2

2

1 - ξ - η

2

+

2

3

1 - ξ - η)

(

ηdξ+ ξdη 2

( 1 - η ) (ξdξ+ ηdη) ξη(ξdξ+ ηdη) 2

2

1 - ξ - η)

(

3

dξ∧ dη .

在 U ∩ V 上 , 将坐标变换公式代入 d(α

U

2d u ∧ d v = - 2dξ∧ d

) 的表达式得到 2

2

1 - ξ - η

∧ dξ

∧ dη

第三章 　 外微分式及其积分

・ 94 ・

= 2dξ∧

ξdξ+ ηdη 2

2η

=

2

1 - ξ - η

2

2

1 - ξ - η

dξ∧ dη .

由此可见 , 外微分运算的结果与所用的是哪一个局部坐标系是没有关系的 .

3．2．4 　 外微分的运算规则 r

定理 3．3 　 外微分运算 d: A ( M ) → A

r+ 1

( M ) , 0 ≤ r ≤ m 遵循下面的

运算规则 : r

(1 ) d( ω+ λη) = dω+ λdη, 　 ＂ ω, η∈ A ( M ) , 　 λ∈ R ; r

r

s

(2 ) d ( ω∧ η) = dω∧ η+ ( - 1 ) ω∧ dη, 　 ＂ ω∈ A ( M ) , η∈ A ( M ) ; ∞

0

(3 ) 对于任意的 f ∈ A ( M ) = C ( M ) , d f 是 f 的微分 ; r

(4 ) d( dω) = 0 , 　 ＂ ω∈ A ( M ) . 证 　 上 面 的 (1 ) 和 ( 3) 是 定 义 的 直 接 推 论 . 对 于 (2 ) , 不 妨 假 定 ω ∈ r

s

i

A ( M ) ,η∈ A ( M ) 在局部坐标系 ( U ; x ) 下的表达式是 i

i

j

j

ω = f d x 1 ∧ … ∧ d x r , 　 　 η = gd x 1 ∧ … ∧ d x s . 那么 i

i

j

j

ω∧ η = f gd x 1 ∧ … ∧ d x r ∧ d x 1 ∧ … ∧ d x s , 于是 i

i

j

j

d( ω∧ η) = d( f g) ∧ d x 1 ∧ … ∧ d x r ∧ d x 1 ∧ … ∧ d x s i

i

j

j

= ( gd f + f d g) ∧ d x 1 ∧ … ∧ d x r ∧ d x 1 ∧ … ∧ d x s i

i

j

j

= d f ∧ d x 1 ∧ … ∧ d x r ∧ gd x 1 ∧ … ∧ d x s r

i

i

j

j

　 + ( - 1) fd x 1 ∧ … ∧ d x r ∧ d g ∧ d x 1 ∧ … ∧ d x s = dω∧ η+ ( - 1) rω∧ dη . ∞

　 　 关于 (4 ) , 只要证明对于任意的 f ∈ C ( M ) 有 d( d f ) = 0． 由 ( 3) 得知 m

f i id x , x

∑

df =

i= 1

故 m

d( d f ) =

∑d i= 1

m

1 = 2 i∑ , j= 1 1 = 2

m

f i i ∧ d x = x

m

∑

i, j = 1

2

x

j

x 2

x

j

∑

+

i

x

i, j = 1

2

f

2

x

i

f

j

f

j

x

i

dx ∧ dx

j

x

dx ∧ dx

j

m

f

j

x

i

i

dx ∧ dx -

∑

i, j = 1

i

2

x

i

r

对于一般情形 , 不妨假定 ω∈ A ( M ) 的表达式是 i

i

i

ω = fd x 1 ∧ … ∧ d x r ,

f

i

x

j

dx ∧ dx

j

= 0．

3．2 　 外 微 分 式

・ 95 ・

那么 m

dω =

f i i i id x ∧ d x 1 ∧ … ∧ d x r, x

∑ i= 1

因此 m

2

∑

d( dω) =

x

i, j = 1

j

f x

i

d x j ∧ d x i ∧ d x i 1 ∧ … ∧ d x i r = 0．

　 　 需要指出的是 , 定理 3．3 的 ( 4) 的逆命题在局部上也是成立的 : r

定理 3．4 　 设 α∈ A ( M ) 是光滑流形 M 上的 r 次闭外微分式 ( r ≥ 1 ) , 即 dα = 0 , 则在每一点 p ∈ M 存在一个开邻域 U 和定义在 U 上的一个 r - 1 次外微分式 β, 使得 α = dβ. 定理的证明在这里省略了 .在 n = 3 , r = 2 的情形 , 定理的证明实际上已 经由习题 30 给出了 .一般情形的证明与此是类似的 .值 得注意的 是 , 定理 3．3 的 (4 ) 的逆命题在整 个光滑流形 M 上是 否成立与流形 M 本身的拓扑性 质有 n

n

十分密 切 的 联系 .例 如 , 在 R 上 定 理 3．3( 4) 的逆 命 题 成 立 ; 在 S 上 定 理 3．3( 4) 的逆命题对于 r 次外微分式 ( 1 ≤ r ≤ n - 1 ) 成立 , 对于 n 次外微分式 一般不成立 .

3．2．5 　 外微分的求值公式 1

定理 3．5 　 设 ω∈ A ( M ) , X , Y ∈ X( M ) , 那么 dω( X , Y ) = X ( ω( Y ) ) - Y ( ω( X) ) - ω( [ X , Y ] ) . i

　 　 证 　 假定 ( U ; x ) 是 M 的任意一个局部坐标系 , 设 m

ω

U

=

m

∑ωd x , 　 i

i

X

∑X

=

U

m

i= 1

i

x

i=1

i

, 　 Y

U

=

∑

Yi

i= 1

xi

那么 m

( dω)

= d( ω

U

U

) =

m

∑ dω ∧ d x i

i

∑

=

i=1

i, j = 1

ωi j i j d x ∧ d x , x

因此 　 ( dω( X , Y ) ) m

=

i, j, k , l = 1

=

∑

i, j = 1

∑

i, j = 1

U

)( X

k

X

x

k

U

, Y

, Y

U

)

l

x

l

ωi j i i j j ( X Y - X Y ) x i

m

=

= d( ω

ωi j i jd x ∧ d x x

∑ m

U

X

j

( ωi Y ) j - Y j x

i

( ωi X ) j - ωi X j x

Yi j j - Y x

Xi j x

.

第三章 　 外微分式及其积分

・ 96 ・

m

= X

U

( ω( Y )

U

) - Y

U

( ω( X )

U

) -

∑ ωd x ( [ X i

i

U

, Y

U

])

i= 1

= ( X( ω( Y ) ) - Y ( ω( X) ) - ω( [ X , Y ] ) )

U

.

证毕 . 一般地 , 对于 r 次外微分式的外微分有下面的求值公式 : r

定理 3．6 　 设 ω∈ A ( M ) , X 1 , … , Xr + 1 ∈ X( M ) , 那么 　 dω( X 1 , … , X r+ 1 ) r+ 1

=

∑( -

1)

α+ 1

Xα ( ω( X 1 , … , X ^α , … , X r + 1 ) )

α= 1

∑

　 +

( - 1 ) α+ βω( [ Xα , Xβ] , X 1 , … , X ^ α, … , X ^β , … , X r+ 1 ) .

1 ≤ α< β≤ r + 1

　 　 定理的证明留给读者自己完成 .

3．2．6 　 拉回映射 假定 f : M → N 是从 m 维光滑流形 M 到 n 维光滑流形 N 的光滑映射 , 则 在每一点 p ∈ M 有切映射 f ＊ p : T p M → T f ( p ) N , 并且它在余切空间之间诱导 出线性映射 f ＊ : T f＊ ( p) N → T ＊p M , 其定义是 : 对于任意的 ω∈ T f＊(

N和 v∈

p)

Tp M 有 ( f ＊ ω) ( v ) = ω( f ＊ p ( v ) ) . ＊

＊

＊

诱导映射 f : T f ( p ) N → T p M 称为余切映射 . ＊

r

＊

r

＊

按照 3．1．10 的做法 , 能够诱导出线性映射 f : ∧ T f ( p ) N →∧ T p M , 于 ＊

r

r

是以逐点定义的方式得到拉 回 映射 f : A ( N ) → A ( M ) , 使 得 对于 任意 的 r

ω∈ A ( N ) 有 ＊

＊

( f ω) ( p) = f ( ω( f ( p) ) ) . ＊

r

容易验证 , f ω∈ A ( M ) . α

i

事实上 , 如果设 ( U ; x ) 是 M 在点 p ∈ M 的局部坐标系 , ( V; y ) 是 N 在 点 f ( p ) ∈ N 的局部坐标系 , 并且 f ( U )

V , 则映射 f 可以用局部坐标表示

为 α

α

1

m

y = f ( x ,…, x ) . r

假定 ω∈ A ( N ) 在 V 上的局部坐标表达式是 ω

V

=

1 α α ωα1 … αr d y 1 ∧ … ∧ d y r , ∑ r !α , … ,α 1

r

于是对于任意的 q ∈ U 有 ＊

＊

( f ω) ( q) = f ( ω( f ( q) ) )

3．2 　 外 微 分 式

=

・ 97 ・

1 ωα1 , … , αr ( f ( q) ) f ＊ ( d yα1 ( f ( q) ) ) ∧ … ∧ f ＊ ( d yαr ( f ( q) ) ) . ∑ r !α1 , … , αr

∑v

设 v =

i

xi

i

＊

∈ Tq M , 则

q α

　 f ( d y ( f ( q) ) ) ( v ) β

α

∑v

α

= ( d y ( f ( q) ) ) ( f ＊ ( v ) ) = ( d y ( f ( q) ) )

y i x

i

i, β

β

∑v

=

α

y α id y x

i

i ,β

β

y

α

y i iv = x

∑

=

i

β

y

y i i d x ( v) , x

∑ i

因此 ＊

α

y i i d x ( q) . x

∑

α

f (d y ( f ( q) ) ) =

i

代入前面的式子得到 ＊

　 ( f ω) ( q) α

1 = ωα1 … αr ( f ( q) ) ∑ r !α1∑ ,…,α i ,… , i r 1 r 1 ∑ ( ωα1 … αr r !i1∑ , …, i α , …,α r 1 r

=

y1 … x i1

α

y r i1 ∧ … ∧ d x ir i d x xr

α

α

y1 f)・ i … x1

y r i1 ∧ … ∧ d x i r ( q) , i d x xr

所以 f ω

α

1 = ∑ ( ωα1 … αr r !i ∑ ,… , i α ,… ,α

＊

U

1

r 1

＊

f)

r

y1 i … x1

α

y r i1 i i d x ∧ … ∧ d x r, xr

r

由此可见 , f ω∈ A ( M ) .上面 的 式子 还 表明 , 所 谓 的拉 回 映射 f α

r

＊

就是把

α

ω∈ A ( N ) 的局部坐标表达式中的所有的自变量 y 及其微分 d y 通过映射 f 替换成自变量 x i 及其微分 d x i . ＊

r

r

定理 3．7 　 拉回映射 f : A ( N ) → A ( M ) 是线性的 , 和外积是可交 换 的 , 并且与外微分运算也是可交换的 , 即 f

＊

d = d

＊

r

f : A ( N) → A

r +1

( M) .

　 　 证明的过程与在 3．2．2 中外微分运算和局部坐标系选择无关的证明是类 似的 , 请读者自己完成 . 例 1 　 重 新 考 察 3．2．3 的 例 2． 单 位 球 面 S

2

3

( x , y, z ) ∈ R :

=

x 2 + y2 + z2 = 1 放在 R 3 中的映射记为 i, 称为包含 映射 .那么定 义在 R 3 上 2

的 1 次微分式 ω = - yd x + xd y 在 S 上的限制 α = ω

S

2

此, ＊

＊

＊

就是 α = i ω .因

＊

dα = d( i ω) = i (dω) = i ( 2d x ∧ d y ) . 它在局部坐标系 ( U ; u , v ) 和 ( V;ξ,η) 下的表达式分别是将

第三章 　 外微分式及其积分

・ 98 ・

x = u , 　 y = v, 　 z =

1 - u2 - v2

和 2

x = ξ, 　 y = -

2

1 - ξ - η, 　 z = η

代入上面的式子就行了 . 2

3

例 2 　 设 ω = xyd x + zd y - yzd z .光滑映射 f : R → R 由 f ( u , v ) = ( uv , u2 , 3 u + v ) ＊

＊

给出 .求 f ω和 f dω . 解 　 对 ω求外微分得到 dω= ( xd y + yd x ) ∧ d x + d z ∧ d y - ( yd z + zd y) ∧ d z = - xd x ∧ d y - (1 + z ) d y ∧ d z . 根据映射 f 的定义 , x = uv , 　 y = u 2 , 　 z = 3 u + v , 因此 f ＊ d x = vd u + ud v , 　 f ＊ d y = 2 ud u , 　 f ＊ d z = 3d u + d v , ＊

＊

＊

f ( d x ∧ d y ) = f d x ∧ f d y = ( vd u + ud v ) ∧ (2 ud u) 2

= - 2 u d u ∧ d v, ＊

＊

＊

f ( d y ∧ d z ) = f d y ∧ f d z = ( 2 ud u) ∧ ( 3d u + d v ) = 2 ud u ∧ d v , ＊

＊

＊

f ( d z ∧ d x ) = f d z ∧ f d x = (3d u + d v ) ∧ ( vd u + ud v ) = (3 u - v ) d u ∧ d v . 所以 f ＊ ω= u3 v ( vd u + ud v ) + (3 u + v ) ・2 ud u - u 2 ( 3 u + v ) ( 3d u + d v ) 3

2

2

3

2

4

3

2

= ( u v + 6 u + 2 uv - 9 u - 3 u v ) d u + ( u v - 3 u - u v ) d v , ＊

2

f dω= - uv ( - 2 u d u ∧ d v ) - ( 1 + 3 u + v )2 ud u ∧ d v 3

2

= ( 2 u v - 6 u - 2 uv - 2 u )d u ∧ d v .

3．3 　 可定向光滑流形和带边区域 我们知道定积分的积分区域是一个闭区间[ a , b] , 它有 一个自然 的定向 , 并且有两个端点 .由此可见 , 为了讨论外微分式在光滑流形上的积 分和 Stokes 公式 , 需要把光滑流形的概念延伸 , 引进可定向光滑流形以及光滑流形上的带 边区域的概念 .

3．3 　 可定向光滑流形和带边区域

・ 99 ・

3．3．1 　 向量空间的定向 在我们所处的 3 维欧 氏 空间 中 , 所 有的 标 架分 成 两 类 , 一类 称 为右 手 标 架 , 另一类称为左手标架 , 它们决定的 坐标系 分别 称为右 手系 和左 手系 .右 手 系和左手系给出了空间的两个不同的定向 .我们把建立了右手坐标系、或者建 立了左手坐标系的 3 维欧氏空间称 为有 向的 3 维 欧氏空 间 .通 常总是 把右 手 3

标架建立的定向规定为 R 的正定向 . 一般地 , 假定 δi 和 ei 是 n 维向量空间 V 的两个基底 , 它们必定可以互 相线性表示 , 设为 n

ei =

n

∑ aδ , j i j

　 　 δi =

j= 1

j

∑be, j i j

j=1

j

j

其中过渡矩阵 ( ai ) 和 ( bi ) 是互逆的 n 阶方阵 , 因此 det ( ai ) ≠ 0． 这样 , V 的 全体基底分为两类 : 如果两个基底的过渡矩阵的行列式是正的 , 则称这两个基 底属于同一类 ; 如果两个基底的过渡矩阵的行列式是负的 , 则称这两个基底属 于不同的类 .我们把 每一类基 底称为 向量空间 V 的一个 定向 .所谓 在向量 空 间 V 中给定一个定向 , 就是选定一类基底作为它的容许的基底 .

3．3．2 　 可定向光滑流形 定义 3．5 　 设 M 是 m 维光滑流形 .如果在 M 上存在一个光滑相关的坐 i i 标覆盖 Σ0 = ( Uα; xα ) : α∈ I , 使得对 于 Σ0 中的 任意 两个成 员 ( Uα; xα ) , i

( Uβ; xβ ) 在交集 Uα ∩ Uβ ≠

时 , 坐标变换的 Jacobi 行列式在 Uα ∩ Uβ 上处

处是正的 , 即 i

det

xα > 0, xβj

则称 M 是可定向的 .这样的 Σ0 称为 M 的一个定向一致的光滑坐标覆盖 . 如果在光滑流形 M 上不存在定向一致 的光滑 坐标覆 盖 , 则称 M 是不 可 定向的 . 如果在可定向光滑流形 M 上指定了一个定向一致的光滑坐标覆盖Σ0 , 则 称 M 是有向光滑流形 . M 的与 Σ0 的成员定向一致的极大容许坐 标卡集称 为 M 的一个定向 .连通的可定向光滑流形只有两个定向 ( 换句话 说 , 连通的可 定 向光滑流形的容许坐标卡分为两个大类 , 每一类是 M 的一个定向 ) .

第三章 　 外微分式及其积分

・ 10 0 ・

3．3．3 　 可定向性的判别准则 i

在一个局部坐标系 ( U ; x ) 下 , 在每一点 p ∈ U 的切空间 T p M 上由自然 标架 p;

x

i

给出了 一个 定向 .由于在 坐标 域 U 内 , 自 然标架 p ;

x

i

是随

着点 p 连 续地变 动的 , 因此 我们认 为由自然 标架 p;

i 给出的切 空间的 定 x 向在坐标域 U 内是连续变动的 .如果 M 是连通的可定向光滑 流形 , 那么借 助

于 M 的定向一致的光滑坐标覆盖 Σ0 在每一点 p ∈ M 的切空间 T p M 确定了 一个定向 .任意画一条从点 p 出发的连续曲线γ: [ 0 , 1] → M , 那么在曲线 γ上 各点的切空间借助于定向一致的坐标覆盖 Σ0 确定的 定向沿曲 线是连 续地 变 动的 .特别是 , 对于以点 p 为基点的闭路径γ, 在 Σ0 中存在有限多个成员把 γ 覆盖住 , 并且这些成员在两两之间的交集为非空时是定向一致的 , 因此切空间 T p M 的定向沿着闭路径 γ连续地变动回到点 p 时所得的定向 与 T p M 上原 来 的定向是相同的 .上述事实给我们 提供了 判别 连通 的光滑 流形 不可定 向的 一 个准则 : 定理 3．8 　 设 M 是 m 维连通的光滑流形 .如果在 M 中存在一条闭路径 γ: [0 , 1 ] → M ,γ(0 ) = γ(1 ) = p , 使得在切空间 T p M 上的一个定向沿着 闭 路径γ连续地变动回到点 p 时所得到的定向与 T p M 的原来的定向不一致 , 则 M 必定是不可定向的 . 例 1 　 Klein 瓶 K 是不可定向的 . 考虑图 1 - 6 中的闭路径 A BA , 它是在 R 2 中的曲线 γ( t ) = ( t , 0) , 0 ≤ t ≤ 1 在等价关系 ≈ 下的象 .很明显 , 在切空间 T A K 中的定向沿曲线 A B A 连续 变动回到点 A 时所得的定向和初始定向是相反的 .故 Klein 瓶 K 是不可定 向 的 . 例 2 　 2 维实射影空间 R P2 是不可定向的 . 把 2 维实射影空间 R P2 设想为在 3 维欧氏空间 R3 中对径点捏合的单位球 2

2

2

2

2

面 S , 对径映射记为 f : S → S , 则在 S 上的半个大圆周 pAq 是 R P 上的闭 路径 .对径映射 f 的切映射 f ＊

2

p

2

的作用把切空间 T p S 映为切空间 Tq S , 并且

2 把标架 p; e1 , e2 映为标架 q; e′ 1 , e′ 2 ( 见图 3 - 1) , 换言之它们代表了 R P

在同一个点的切空间中的同一个标架 .很明显 , 将 标架 p; e1 , e2 沿路 径 pAq 连续地变动到 q 点 时 得到 的标 架 将是 q; e′1 , - e′2 , 它与 q; e′ 1 , e′ 2 给出 2

2

的 T q S 定向是相反的 , 因此 R P 是不可定向的 . 定理 3．9 　 设 M 是满足第 2 可数公理的 m 维连通光滑流形 , 则 M 是可

3．3 　 可定向光滑流形和带边区域

・ 10 1 ・

图3 - 1

定向的当且仅当在 M 上存在一个处处不为零的 m 次外微分式 . 证 　 假设在 M 上有一 个处处 不为零的 m 次外 微分式 ω .对于 任意的 点 i

p ∈ M , 设 ( U ; x ) 是点 p ∈ M 的一个局部坐标系 , 那么 ω ω

1

U

U

可以表示为

m

= ad x ∧ … ∧ d x ,

∞

其中 a ∈ C ( U ) , 且 a 在 U 上处处不为零 .如果 a > 0 , 则把该 局部坐标 系 ( U ; x i ) 放入集合 Σ0 ． 如果 a < 0 , 则命 y1 = - x 1 , y i = x i , ＂ i ≥ 2 , 并且把 i

新的局部坐标系 ( U ; y ) 放入集合 Σ0 ． 那么 , 这样得到的集合 Σ0 显然是 M 的 光滑坐标覆盖 .容易证明 Σ0 中的成员彼此是定向一致的 . i

i

不妨设 ( U ; x ) 和 ( V ; y ) 是 Σ0 中的成员 , 并且 U ∩ V ≠

, 那么在 U

∩ V 上有 ω

1

U∩ V

= ad x ∧ … ∧ d x 1

m

1

= bd y ∧ … ∧ d y

m

m

( y , …, y ) 1 m = b・ 1 m d x ∧ … ∧ d x , ( x , …, x ) 并且 a > 0 , b > 0． 因此 , 坐标变换的 Jacobi 行列式 ( y1 , … , y m ) a = > 0． 1 m b ( x ,…, x ) 所以 M 是可定向的 . 反过来 , 假定 M 是可定向的 , Σ0 是 M 的定向一致的光滑坐标覆盖 .因为 M 满足第 2 可数公理 , 故不妨假定 Σ0 是由可数多个成员组成的局部有限开覆 i

盖 , 记成 ( Uα; xα ) , 并且有从属于 Σ0 的单位分 解, 即 有一组 光滑函数 fα ∈ C∞ ( M) , 使得 Supp fα

Uα, 0 ≤ fα ≤ 1 , 且 ∑ fα ≡ 1． 对于任意的 p ∈ M , 命 α

第三章 　 外微分式及其积分

・ 10 2 ・

1

ωα ( p ) =

m

fα ( p) ・ d x α ∧ … ∧ d xα ( p ) ,

当 p ∈ Uα ,

0,

当 p｜

Uα .

由于 Uα 和 M \ Supp fα 构成 M 的开覆盖 , 并且 ωα 在 Uα 上是光滑的 , 而 ωα 在 M \ Supp fα 上恒为零 , 因此 ωα 在整个 M 上是光滑的 , 故它是定义在 M 上的 m 次外微分式 .再命 ω=

∑ω , α

α

则容易验证 ω是满足定理要求的 m 次外微分式 ( 请读者自己验证 ) . 此定理的证明是单位分解定理的典型应用 . 2

3

2

3

2

2

2

例 3 　 设 i: S → R 是单位球面 S = { ( x , y , z ) ∈ R : x + y + z = 1} 在 R 3 中的包含映射 .命 ω = xd y ∧ d z + yd z ∧ d x + zd x ∧ d y ＊

3

2

是定义在 R 上的 2 次外微分式 , 那么 i ω是单位球面 S 上的 2 次外微分式 . 2

取 S 的局部坐标系 ( U ; u , v ) 使得 2

( x , y , z) ∈ S : z > 0 ,

U =

x = u, y = v, z =

2

2

2

2

1 - u - v , 　 u + v < 1,

则 ＊

i ω

U

= ud v ∧ 　 + = =

-

ud u + vd v ud u + vd v + v ∧du 2 2 2 2 1 - u - v 1 - u - v

2

2

1 - u - v du ∧ dv u

2

2

2

1 - u - v 1 2

2

2

u

+

2

2

+

2

2

1 - u - v

1 - u - v

du ∧ d v

du ∧ dv .

1 - u - v ＊

因此 , i ω

U

在 U 上处处不为零 .在其他局部坐标域上的情形是类似的 .

3．3．4 　 带边区域 根据定义 , 开区间 ( a , b) 是光滑流形 , 但是 闭区间 [ a , b] 不 是光滑 流形 . 2

2

同样道理 , 在 平面 上 的 开圆 盘 ( u , v ) ∈ R : u + v < 1 是 光滑 流 形 , 而 闭 的圆盘 ( u , v ) ∈ R : u 2 + v2 ≤ 1 不是 光滑 流 形 .由 此可 见 , 一 些 最常 见 的 空间不属于光滑流形之列 , 这自然是 不合理 的 .比 较上面 的例 子能 够发觉 , 问 题出在有没有边界上 , 以及如何刻画边界 . 定义 3．6 　 设 M 是 m 维光滑流形 , D 是 M 的一个子集 .如果对于每一点 p ∈ D 有以下两种情形之一发生 : ( 1) 存在点 p 的坐标卡 ( U , φ) , 使得 U

3．3 　 可定向光滑流形和带边区域

・ 10 3 ・

i

D ; ( 2) 存在点 p 的坐标卡 ( U , φ) , 使得 x ( φ( p) ) = 0 , ＂ i, 并且 φ( D ∩ U ) 1

m

m

m

m

= φ( U ) ∩ ( x , … , x ) ∈ R : x ≥ 0 = φ( U ) ∩ R + , 那么称 D 为 M 的 一个带边区域 . 带边区域 D 的第一类点称为 D 的内点 , 第二类点称为 D 的边界点 .D 的 全体边界点的集合记为

D, 称为 D 的边界 .很明显 1

φ( D ∩ U ) = φ( U ) ∩

m

m

( x , …, x ) ∈ R : x

m

= 0

.

满足条件 (2 ) 的坐标卡 ( U , φ) 称为边界点 p 的适用坐标卡 . 很明显 , 闭 区 间 [ a, b] 是 光 滑 流 形 R 的 带 边 区 域 , 平 面 上 的 闭 圆 盘 2

2

2

2

( u , v ) ∈ R : u + v ≤ 1 是光滑流形 R 的带边区域 . 带边区域 D 的内点的集合 D 是 M 的开子流形 .在带边区域 D 的边界 D 非空的情形下 , 其边界

D 是 m - 1 维光滑流形 , 并且是单一地浸入在光滑 流

形 M 中的子流形 , 其浸入就是包含映射 i: D → M .

3．3．5 　 有向光滑流形在带边区域的边界上的诱导定向 设 D 是 m 维光滑流形 M 的带边区域 , 并且 D ≠

.对于 p ∈ D , 设 ( U ;

α

i

x ) 是边界点 p 的适用坐标系 , 那么 ( D ∩ U ; x , 1 ≤ α≤ m - 1 ) 是 D 的 i

局部坐标系 .如果 M 是有向光滑流形 , ( U ; x ) 是边界点 p 的与 M 的定向 相 α

符的适用局部坐标系 , 那么由此给出的 D 的局部坐标系 ( D ∩ U ; x , 1 ≤ α ≤ m - 1) 必定是彼此定向一致的 , 因此 D 是可定向的 m - 1 维光滑流形 .为 了与 2 维和 3 维欧氏空间在它的带边 区域的 边界 上的诱 导定 向相 一致 , 我 们 规定 m 维有向光滑流形 M 在它的带边区域 D 的边界 m

1

( - 1) d x ∧ … ∧ d x

D 上的诱导定向是由

m-1

i

给 出的 , 其中 ( U ; x ) 是 D 的边界点 p ∈ D 的、与 M 的定向相符的适用局部 坐标系 . 2

例 1 　 设 D 是平面 R 的一个带边区域 , 见图 3 - 2．

图3 - 2

第三章 　 外微分式及其积分

・ 10 4 ・

在

D 上惯用的定向是如下规 定的 : 如果沿边界

D 的正向行进 , 则区 域

1

2

D 本身位于行进者的左侧 .在另一方面 , 如果 ( U ; x , x ) 是边界点 p 的适 用 2

局部坐标系 , 其定向与 R 的定向一致 ( 即反时 针旋 转方 向为平 面的 正定向 ) , 那么

D 相切 , 而 2 指向 D 的内部 , 即 2 指向沿 D 的正向行进者的 1 与 x x x 左侧 .根据本节的规定 , 在 D 上诱导的定向是由 ( - 1) 2 d x 1 = d x 1 给出的 .显 然 , 这两种定向的规定是一致的 . 例 2 　 设 D 是 3 维欧氏空间 R3 的一个带边区域 , 见图 3 - 3．

图3 - 3

在

D 上惯用的定 向是如下 规定的 : 在点 p ∈

p; e1 , e2 , e3 , 使得 e1 , e2 是 法向量 , 那么 常称

D 取右手 单位正 交标 架

D 的切向量 , 并且 e3 是

D 的指向区域 D 外的

D 在点 p 的切空间上的 定向 是用切 标架 p; e1 , e2 给出 的 .通

D 的上述定向为以外法向为正定向 . 1

在另一方面 , 取点 p ∈

2

3

D 的适用局 部坐标 系 ( U ; x , x , x ) , 其定向 与

R 的定向一致 , 那么在 D 上的诱导定向是由 ( - 1) d x ∧ d x = - d x ∧ d x

3

2

给出的 .根 据适用局 部坐标 系的定义 , 自然标架 p;

,

x

3

2

构成 D 的切标架 , 而

架向量

x

1

,

3

x

x

3

与

3

x

与

1

x

2

,

x

2

,

1

3

x

中的

1

x

D 横截 , 并且指向区域 D 的内部 .如果将标

同时反向 , 则标架 p; -

保持一致 , 但是标架向量 -

1

x

1

,

x

2

, -

3

3

x

仍然与 R 的定向

D 横截 , 并且指向区域 D 的外部 , 所以 在

1 2 D 的切空间上由 - d x ∧ d x 给出的定向正 好是由切 标架 -

1

x

,

x

2

给

3．4 　 外微分式的积分

出的定向 , 也就是以

・ 10 5 ・

D 的外法向为正定向 .

一般地 , 可以通俗地说 , m 维有向光滑流形 M 在带边区域 D 的边界 D 上 诱导的定向在 m 为偶数时以内法向为正定向 , 在 m 为奇数时以外法向为正定 向 .

3．4 　 外微分式的积分 本节的目的是对于 m 维有向光滑流形 M 上具有紧致支撑集的 m 次外微 分式 ω, 定义它在 M 上的积分 . r

假定 M 是 m 维有向的光滑流形 .若 ω∈ A ( M ) , 命 p ∈ M : ω( p) ≠ 0 ,

Suppω =

称为 ω的支撑集 .我们把定义在 M 上、有紧致支撑集的 r 次外微分式的集 合

∫:A

r

记为 A0 ( M ) .要定义的积分就是指映射

M

m 0

( M) → R .

3．4．1 　 外微分式的支撑集包含在坐标域内的情形 m

设 ω∈ A 0 ( M ) , 并且在 M 中有定向相符的坐标卡 ( U , φ) 使得 Suppω U , 用 ( U ; x i ) 记相应的局部坐标系 .此时 , ω在 U 以外为零 , 而在 U 内可以表 示为 1

ω

U

m

= a・ d x ∧ … ∧ d x ,

其中 a ∈ C∞ ( U ) .于是 , 命

∫ ω =∫ ω M

U

U

∫

=

1

φ( U )

ad x … d x

m

.

m

上式的右端是指光滑函数 a 在 R 中的开区域φ( U ) 上的 m 重积分 .由于 a 的 支撑集是紧致的 , 所以上面的积分是一个有限的实数值 . 需要指出的是 , 上式右端的积 分与所 用的 局部 坐标系 的取 法无关 .为此 , i

设 ( V , ψ) 是 M 的 另一 个定 向相 符的 坐 标卡 , 用 ( V ; y ) 记 相应 的 局部 坐 标 系 , 并且 Suppω ω

V .不妨假定 U = V .那么 1

U

= a・d x ∧ … ∧ d x = b

= b

y i i 1 m i d x ∧ … ∧ d x m x

1

y i1 … i m 1 m i δ1 … m d x ∧ … ∧ d x xm

∑ ∑

y i … x1

i ,… , i 1 m

1

= b・ d y ∧ … ∧ d y

1

y i … x1

i ,… , i 1 m

m

m

m

m

第三章 　 外微分式及其积分

・ 10 6 ・

i

y 1 m j d x ∧ … ∧ d x , x

= bdet 因此

i

y j x

a = bdet

. -1

从 区域 φ( U ) 到区域 ψ( U ) 的坐标变换是 ψ φ , 用坐标表示则是变量替换 i

i

1

m

-1

i

1

m

y = y ( x , … , x ) = (ψ φ ) ( x , … , x ) . i

y > 0． j x

由于坐标卡 ( U , φ) 和 ( U , ψ) 是定向一致的 , 因此 det 根据重积分的变量替换公式 , 我们有

∫

1

ψ( U )

m

∫

bd y … d y =

φ( U )

i

y j x

b det

i

bdet

∫

ad x …d x

=

φ( U )

φ( U )

m

y 1 m j d x …d x x

∫

=

1

d x …d x

1

m

.

由此可见 , 把上面的 m 重积分定义为 ω在 M 上的积分是合理的 .

3．4．2 　 一般情形 m

现 在假定 M 是满足第 2 可数公理的 m 维有向的光滑流形 , ω∈ A 0 ( M ) . 任意取 M 的一个定向相符的局部有限的可数坐 标覆盖 Σ0 =

( Uα, φα ) , 根

据单位分解 定 理 , 存 在从 属 于 Σ0 的 单 位 分 解 , 即 存 在 一 组 光 滑 函 数 fα ∈ C∞ ( M ) , 使得 Supp fα

Uα, 0 ≤ fα ≤ 1 , ∑ fα = 1． 命 α

ωα = fα・ω, 则 ωα ∈ A 0m ( M ) , Suppωα ω=

Uα, 并且

∑f

α

・ω =

α

∑ f ・ω = ∑ω α

α

α

.

α

∫ ω 是有意义的 , 于是可以命 ∫ ω = ∑∫ ω .

根据 3．4．1 , ωα 在 M 上的积分

α

M

α

M

α

M

　 　 但是 , 上式右端是在给定了 M 的定 向 相符 的局 部有 限的 可 数坐 标覆 盖 Σ0 以及从属于它的单位分解

fα 之后 才能 算出来 .因此 , 需要 证 明右 端的 数

值与 Σ0 和单位分解 fα 的取法无关 .

3．4 　 外微分式的积分

为此 , 假定 Σ1 = 坐 标 覆 盖,

・ 10 7 ・

( V a ,ψa ) 是 M 的另一个定向相符的局部有限的可数

g a 是 从 属 于 Σ1 的 任 意 一 个 单 位 分 解 . 很 明 显 , 珟 Σ =

Uα ∩ V a :1 ≤ α, a < ∞ 仍 然 是

M 的 局 部 有 限 的 可 数 开 覆 盖, ∞

fα・ g a : 1 ≤ α, a < ∞ 是从 属 于 珟 Σ 的单位 分解 .事实 上,

∑

fα ・ g a =

α, a = 1

∑f

α

・

α

∑g

a

= 1． 命

a

珘 ωa = ga ・ω, 　 　 ωαa = fα・ g a ・ω, 那么

∑ω

ω=

=

α

α

∑ω

αa

=

α, a

ω ∑珘

a

.

a

因此 ,

∑∫ ω

α

α

M

∑ ∑∫ g ・ω

=

α

M

a

α

a

∑∫ ω

=

αa

α, a

M

,

其中积分

∫ ω =∫ αa

U ∩ V

M

α

ωαa a

的数值无论是借助于坐标映射 φα, 还是借助 于坐标映 射 ψa 化为 m 重 积分 来 计算 , 所得的结果是一样的 ( 参看 3．4．1 的证 明 ) , 因而是 完全 确定 的数值 .在 另一方面 , 同样地有 ω ∑∫ 珘 M

a

a

∑ ∑∫

=

M

α

a

∑∫ ω

fα・珘 ωa =

αa

α, a

M

,

因此

∑∫ ω

α

M

α

=

ω ∑∫ 珘

a

a

.

M

证毕 .

∫ ω 称 为 m 次 外 微 分式 ω ∈

定义 3．7 　 由前 面 的式 子 所定 义 的 数值

M

m 0

A ( M ) 在满足第 2 可数公理的 m 维有向光滑流形 M 上的积分 .

3．4．3 　 积分的性质 m

m 次外微分式ω∈ A0 ( M ) 在满足第 2 可数公理的 m 维有向光滑流形 M

∫:A

上的积分给出了映射

M

m 0

( M ) → R , 根据 m 重积分的性质不难知道下面的

定理成立 :

∫:A

定理 3．10 　 积分

M

m 0

( M ) → R 是线性算子 , 即

第三章 　 外微分式及其积分

・ 10 8 ・

∫ ( ω+ η) =∫ ω +∫ η, 　 ＂ ω,η∈ A ( M ) ; (2 ∫ ) λω = ∫ λ ω, 　 ＂ ω∈ A ( M ) ,λ∈ R . (1 )

m 0

M

M

M

m 0

M

M

3．4．4 　 在浸入子流形上的积分 如 果 ω是有向光滑流形 M 上的 r 次外微分式 , r < m , 则能够定义 ω在 M 的 r 维有向的浸入子流形上的积分 . 设 f : N → M 是满足第 2 可数公理的 r 维有向光滑流形 N 在 M 中单一的 ＊

r

∫f

r

浸入 , ω∈ A 0 ( M ) , 那么 f ω∈ A 0 ( N ) .于是积分

∫

f ( N)

∫f

ω=

N

＊

N

＊

ω是有意义的 , 记成

ω.

需要指出的是 , 左端只是一个记号 , 其中 f ( N ) 不能简单地理解成 M 的子集 , 它的真实含义是“浸入在 M 中的子流形”.特别是 , 当 f 不是单一的浸入 , 而是 从 N 到 f ( N ) 上的有限重覆盖时 , 应该考虑 f ( N ) 在 M 的一个子集上的覆盖 重数 , 则上面的公式仍然是成立的 . 3

现在 , 3 维欧氏空间 R 中的第 2 型曲线积分和第 2 型曲面积分都能够看成 外微分式在子流形上的积分 . 例1 　 设 ω = Ad x + Bd y + Cd z 3

3

3

是 R 中的 1 次微分式 , γ是 R 中的一条有向光滑曲线 .把曲线 γ在 R 中的包 含映射记成 i: γ→ R3 ． 于是 , 第 2 型曲线积分是

∫ Ad x + Bd y +

∫i

Cd z =

γ

γ

＊

( Ad x + Bd y + Cd z) .

如果假定曲线 γ的参数方程是 x = x ( t ) , 　 y = y ( t ) , 　 z = z( t ) , 　 ＂ t ∈ [ a , b] , 则 b

∫ Ad x +

∫

Bd y + Cd z =

γ

a

A

d x ( t) d y( t) d z( t ) + B + C dt . dt dt dt

　 　 例2 　 设 ω = Pd y ∧ d z + Q d z ∧ d x + Rd x ∧ d y 3

是 R 中的 2 次外微分式 , S 是 R 3 中的一张有向的光滑曲面 .用 i: S → R 3 记光 3

滑曲面 S 在 R 中的包含映射 , 于是第 2 型曲面积分应该理解为

∫ Pd yd z +

　

S

Qd zd x + Rd xd y

3．4 　 外微分式的积分

∫i

=

S

＊

・ 10 9 ・

( Pd y ∧ d z + Qd z ∧ d x + Rd x ∧ d y ) .

实际上 , 如果曲面 S 的参数方程是 2

x = x ( u , v ) , 　 y = y( u , v ) , 　 z = z ( u , v ) , 　 ＂ ( u , v ) ∈ D

R ,

则曲面 S 的单位法向量是 ( y , z) ( z , x) ( x , y) , , ( u, v) ( u, v) ( u, v )

n = ( cosα, cosβ, cosγ) =

2

( y, z) ( u, v)

( z , x) ( u, v)

+

2

( x , y) ( u, v)

+

2

,

因此

∫ Pd y ∧ d z +

　

S

Q d z ∧ d x + Rd x ∧ d y

∫

P

( y , z) ( z, x ) + Q + R ( u, v) ( u, v)

( x , y) du ∧ dv ( u, v)

∫

P

( y , z) ( z, x ) + Q + R ( u, v) ( u, v)

( x , y) d ud v ( u, v)

=

D

=

D

∫ ( Pcosα+

=

D

Qcosβ+ R cosγ) d S ,

其中 ( y, z ) ( u, v)

dS =

2

+

( z, x) ( u, v)

2

2

( x , y) ( u, v)

+

d ud v

是曲面 S 的面积元素 . 3

例 3 　 设 ω = xd y ∧ d z + yd z ∧ d x + zd x ∧ d y 是定义在 R 上的 2 2

3

2

3

次外微分 式 .i: S → R 是 从 单 位 球 面 S 到 R 中 的 包 含 映 射 . 计 算 积 分

∫i S

＊

ω, 在这里单位球面 S 2 以外法向为正定向 .

2

解 　 根 据外 微分 式在光 滑流 形上的 积分 的定 义 , 应 该取 单位 分解 ∑ fα

∫

2

= 1 , 使得 Supp fα 落在 S 一个坐标域 Uα 内 , 然后求积分

＊

U

fα・i ω, 再把它们

α

∫i

加起来得到

S

2

＊

ω .但是 , 这只是理论上的做法 , 在实践中是行不通的 .由于外

微分式的积分最后是化为重积分来计 算的 , 因 此计 算重积 分的 一些原 理可 以 拿过来用 .例如 , 如果区域 D 和 珟 D 只差一 个测度 为零的集 合 ( 比如 , D 的维 数

∫ω 和∫ω 是相等的 .具体地 , 对于 单

较低的嵌入子流形是零测集 ) , 那么积分 2

2

D

珟 D

位球面 S 来说 , 把 S 分成两个闭的半球面 S 1 = S2 =

2

2

( x, y, z) ∈ S : z ≥ 0 和 2

( x , y, z) ∈ S : z ≤ 0 , 那么 S 1 和 S 2 合起 来 , 比 S 多算了一次“赤 2

道” ( x , y, z) ∈ S : z = 0

2

.后者是 S 的 1 维子流形 , 因而是零测集 .因此 ,

第三章 　 外微分式及其积分

・ 11 0 ・

∫i S

＊

2

∫i

ω=

S

＊

∫i

ω+

S

1

＊

ω.

2

( u , v ) ∈ R 2 : u 2 + v2 ≤ 1 , 命

　 　 设 ( u, v) ∈ D =

1 - u 2 - v2 ) ,

g1 ( u , v ) = ( u , v ,

2

g2 ( u , v ) = ( v , u , -

2

1 - u - v ),

那么 g1 , g2 分别给出了半球面 S1 和 S 2 的正定向的坐标表达 式 ( 注意到在 上 面右端的两个表达式 中 , 由 于定 向 相符 的 要求 , u 和 v 的 先 后次 序 是不 一 样 的 ) .于是 ＊

i ω

S

1

2

= ud v ∧ d 2

　 +

2

1 - u - v + vd

2

2

1 - u - v ∧ du

2

1 - u - v du ∧ dv 1

=

2

2

du ∧ dv .

1 - u - v 同理 , ＊

i ω

S

2

= - vd u ∧ d 2 2

　 -

2

1 - u - v - ud

2

2

1 - u - v ∧ dv

2

1 - u - v dv∧ du 1

=

2

2

du ∧ dv .

1 - u - v 因此

∫i S

＊

∫

ω=

1

1 2

D

du ∧ dv .

2

1 - u - v

在 D 上用极坐标 ( r ,θ) , 使得 u = rcosθ, 　 v = rsinθ, 　 0 ≤ r ≤ 1 , - π < θ< π, 则在 D0 = D \

( u , 0) ∈ D: - 1 ≤ u ≤ 0 上有 d u ∧ d v = rd r ∧ dθ.

因此

∫i S

∫i

同理 ,

S

＊

1

＊

∫

ω=

D

0

2π 1

∫∫ 1

r 2 d r ∧ dθ = 1 - r

0

ω = 2π, 故

2

∫i S

2

＊

ω = 4π .

0

r 2 d rdθ = 2π . - r

3．5 　 Stokes 定理

・ 11 1 ・

3．5 　 Stokes 定理 本节要介绍的 Stokes 定理把 m - 1 次外微分式的外微分在带边区域上的 积分化为原微分式在区域的边界上的积分 , 这是 Newton - Leibniz 的微积分基 本定理的推广 , 并且把关于 2 重积分的经典的 Green 公式 , 关于 3 重积分的 经 典 的 Ost rogradsky - Gauss 公式以及关于第 2 型曲面积分的经典的 Stokes 公式 统一起来 , 成为在形式上是相同的一个公式 .

3．5．1 　 Stokes 定理的叙述 定理 3．11( Stokes 定理 ) 　 设 D 是满足第 2 可数公理的 m 维有向光滑流 形 M 上的一个带边区域 , ω是在 M 上具有紧致支撑集的 m - 1 次外微分式 , 则

∫ dω =∫ ω . D

如果

D

,则

D =

∫ dω = 0． D

2

2

　 　 例 1 　 设 D 是 R 中的一个有界闭区域 ( 参看图 3 - 2) .D 具有 R 所赋 予的定向 , 在 D 上有从 D 的定向诱导的定向 , 即沿着 D 的正向行进时 , 区域 D 落在行进者的左侧 .设 P, Q 是在包含区域 D 在内的一个开区域 W 上的 光 滑函数 .命 ω = Pd x + Q d y, 则在 W 上有 dω =

Q x

P dx ∧ dy . y

这样 , 由 Stokes 定理有

∫

D

∫ ω =∫ dω =∫

Pd x + Q d y =

D

∫

=

D

D

Q x

D

Q x

P d x ∧ dy y

P d xd y . y

这就是经典的 Green 公式 . 3

3

例 2 　 设 D 是 R 中的一个有界闭区域 ( 参看图 3 - 3) . D 具有 R 所赋予 的定向 , 在 D 上有从 D 的定向诱导的定向 , 即在 D 上以外法向为正定向 .设

第三章 　 外微分式及其积分

・ 11 2 ・

P, Q , R 是在包含区域 D 在内的一个开区域 W 上的光滑函数 .命 φ = Pd y ∧ d z + Qd z ∧ d x + Rd x ∧ d y, 则在 W 上有 P + x

dφ =

Q + y

R d x ∧ dy ∧ d z . z

由 Stokes 定理得到

∫

　

∫

=

Pd yd z + Qd zd x + Rd xd y D

D

∫φ

Pd y ∧ d z + Qd z ∧ d x + Rd x ∧ d y =

∫ dφ =∫

=

D

P + x

D

∫

P + x

=

D

Q + y

Q + y

D

R dx ∧ dy∧ dz z

R d xd yd z . z

这就是经典的 Ostrogradsky - Gauss 公式 3

例 3 　 设 S 是在 R 中的一张有向曲面 , 其边界

S 由有限条光滑的简单

闭曲线组成 , 具有从 S 诱导的定向 .假定 P , Q, R 是定义在包含曲面 S 在内的 一个开区域 W 上的光滑函数 , 命 ω = Pd x + Qd y + Rd z , 则在 W 上有 R y

dω= 　 +

Q dy ∧ dz + z

Q x

P z

R dz∧dx x

P dx ∧ dy . y

根据 Stokes 定理 ,

∫ Pd x +

　

∫ ω =∫ dω

Qd y + Rd z =

S

S

∫

R y

Q dy∧ dz + z

　 +

Q x

P dx ∧ dy y

∫

R y

Q d yd z + z

　 +

Q x

P d xd y . y

=

=

S

S

S

P z

P z

R dz∧ dx x

R d zd x x

这正好是经典的 Stokes 公式 .

∫i

例 4 　 用 Stokes 定理重新计算 3．4．4 例 3 的积分

S

2

＊

ω.

3．5 　 Stokes 定理

・ 11 3 ・

3

解 　 用 B 表示在 R 中以原点为中心、以 1 为半径的闭球体 , 它的边界是 2

2

S , 并且在 S 上的诱导定向是以外法向为正定向 .因为 dω = d( xd y ∧ d z + yd z ∧ d x + zd x ∧ d y ) = 3d x ∧ d y ∧ d z , 故由 Stokes 定理得到

∫i S

2

＊

3 d x ∧ dy ∧ dz . ∫ ω =∫ dω = ∫

ω=

B

B

B

命 x = rcosφcosθ, 　 y = rcosφsinθ, 　 z = rsinφ, 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ≤ 2π, -

π π ≤ φ≤ , 2 2

则 d x ∧ d y ∧ d z = r2 cosφd r ∧ dθ∧ dφ, 并且

r

,

3

, 恰好构成右手系 , 即 它所 给 出的 定向 与 R 的 正 定向 一致 . θ φ

因此

∫ d x ∧ d y ∧ d z =∫ r cosφd r ∧ dθ∧ dφ =∫ r cosφd rdθdφ 2

B

2

B

1

B

π/ 2

2π

∫ ∫∫

=

0

2

r dr

dθ

0

- π/ 2

cosφdφ =

4π , 3

所以

∫i S

2

＊

ω = 4π .

事实上 ,

∫ d x ∧ d y ∧ d z =∫ d xd yd z B

B

是单位球体 B 的体积 , 即为 4π/ 3． 例 5 　 复变函数论中的 Cauchy 积分定理 : 设 D 是复平面 C 中的一个区域 ( 即 D 是 C 中的一个连通开子集 ) , f : D → C 是在 D 内解析的映射 , 并且它在 D 上是连续的 , 则它在有诱导定向的有向边界 解 　 设 C 的复坐标是 z = x +

D 上的积分为零 .

- 1 y , f ( z) = g ( x , y) +

- 1 h ( x , y) .

所谓“ f 在 D 内是解析的”是指在任意一点 z0 ∈ D , 极限 f′( z0 ) = zlim → z

0

f ( z ) - f ( z0 ) z - z0

是存在的 .上述条件等价于 f 的实部和虚部满足 Cauchy - Riemann 方程 g( x , y ) = x 命

h( x , y) , 　 　 y

g( x , y ) = y

h( x , y ) . x

第三章 　 外微分式及其积分

・ 11 4 ・

ω= f ( z ) d z = ( g( x , y ) +

- 1 h ( x , y) ) ( d x +

= ( g( x , y ) d x - h ( x , y ) d y) +

- 1d y)

- 1 ( h( x , y )d x + g( x , y )d y ) .

它的外微分 dω定义为它的实部和虚部分别作外微分 , 即 dω= d( g( x , y) d x - h( x , y)d y ) + =

-

h( x , y) + x

- 1d( h( x , y) d x + g( x , y)d y)

g( x, y ) + y

g( x , y) x

- 1

h( x , y) y

d x ∧ dy .

由此可见 , f 在 D 内是解析的 , 当且仅当在 D 内成立 dω = 0． 根据 Stokes 定理 ,

∫ dω =∫ ω =∫ D

D

f ( z)d z . D

因此 , 当 f 在 D 内解析时 , 积分

∫

D

f ( z ) d z = 0．

　 　 反过来 , 利用积分中值定理不难证明 : 如果连续映射 f : D → C 的实部 和 虚部在 D 内是连续可微的 , 并且对于任意一点 z0 ∈ D , 以及围绕 z0 的任意一 条光滑的简单闭曲线 C , 在它所包围的区域整个地落在 D 内时都有

∫ f ( z)d z = 0, C

则 f 在 D 内是解析的 .详细的证明留给读者自己完成 .

3．5．2 　 Stokes 定理的证明 任意 取 M 的 一 个 定 向 相 符 的 局 部 有 限 的 可 数 坐 标 覆 盖 Σ0 = ( Uα , φα ) , 设 hα 是从属于 Σ0 的单位分解 , 因此 ω=

∑h

α

∑ h ・ω .

・ω =

α

α

α

因为支撑集 Suppω是紧致的 , 故 Suppω只与 Uα 中有限多个成员相交 , 所以 上式的末端只是有限多项的和 , 于是

∫ dω = ∑∫ d( h ・ω) , α

D

D

α

并且

∫ ω = ∑∫ D

α

D

hα・ω .

由此可见 , 只要对每一个指标 α证明下面的式子成立就可以了 :

∫ d( h ・ω) =∫

hα・ω .

α

D

D

3．5 　 Stokes 定理

・ 11 5 ・

　 　 现在 , 外微分式 hα・ω的支撑集包含在坐标域 Uα 内 , 即 Supp( hα・ω)

Supp ( hα) ∩ Suppω

Uα .

这样 , 我们已经把问题归结为在一 个坐标 域内 的情 形 , 即证 明下 列断言 成立 : m -1

假定 ω∈ A0

, 并且有 M 的 定向相 符的 容许坐 标卡 ( U , φ) 使得 Suppω

U, 则

∫ dω =∫ ω . D

D

设 ω在 U 上的坐标表达式是 m

ω

=

U

∑( -

1)

^ j j 1 m a dx ∧ …∧ dx ∧… ∧ dx ,

j+ 1

j=1

j

∞

j

其中 a ∈ C ( U ) , 并且 Supp a

U .它的外微分的表达式是

m

dω

∑

=

U

j= 1

aj 1 m . j d x ∧ … ∧ d x x

下面需要分两种情况进行讨论 : ( 1) U ∩ 3．5．2．1 　 情形 U ∩

D =

; (2 ) U ∩

D≠

.

的证明

D =

∫ ω = 0． 因此 , 我们只要证明积分∫ dω =

此时 , ω在 D 上的限制为零 ,

D

D

0． 由于 Suppω

U , 所以 Suppdω

U .由此可见 , 在 U

D 上的限制为零 , 故所求的积分自然为零 .现在假定 U

M \ D 时 , dω在 D .由于 Suppω是紧

致的 , 不妨假设 φ( U ) 是 R m 的一个有界开区域 , 因此有充分大的正数 K 使得 φ( U ) 其中 C 是在 R

m

中边长为 2 K 的正方体 1

j

m

m

( x ,…, x ) ∈ R :

C = 由于 Supp( a

C,

-1

j

φ )

φ( U ) , 因此 a

x

i

≤ K, ＂ i

.

- 1

φ 可以光滑地延拓成为定义在 C 上

的光滑函数 , 只要让该 函数在 C \ φ( U ) 内为零 .这样 , 对于 每一个固 定的 指 标 j , 根据 Newton - Leibniz 定理有 K

∫

(a

　

j

- K

= a

j

-1

j

所以

1

φ ( x ,…, x

　 - a = 0．

-1

φ ) j dx j x

- 1

1

j-1

φ ( x ,…, x

, K, x j- 1

j+1

m

, …, x )

, - K, x

j+1

m

, …, x )

第三章 　 外微分式及其积分

・ 11 6 ・ m

j

a 1 m j d x ∧ … ∧ d x x

∫ dω=∫ ∑ D

U

j= 1

m

∫

=

(a

∑

φ( U )

-1

φ ) 1 m d x …d x j x

j= 1

m

=

j

K

∑∫

x

j= 1

i

∫

( aj

D≠

的证明

≤ K

φ- 1 ) j ^ d x d x1 … d xj… d x m j x

- K

i≠ j

= 0． 3．5．2．2 　 情形 U ∩

不妨假定 ( U , φ) 是带边区域 D 的定向相符的适用坐标卡 , 即 U∩ D =

p ∈ U : (φ( p) )

m

≥0

.

与上面的情形一样 , 可以取充分大的正数 K , 使得 m

φ( U )

1

R+ ∩ C =

m

m

( x , … , x ) ∈ C: x ≥ 0 , j

-1

其 中 C 是如上面的情形所定义的边长为 2 K 的正方体 .由于 Supp( a j

-1

φ( U ) , 因此 a

φ )

m

φ 可以光滑地延拓成为 R + ∩ C 上的光滑函数 , 只要让该函

m

数 在 ( R + ∩ C) \ φ( U ) 内为零 , 特别是经过延拓以后的函数 a

j

-1

m

φ 在 R+ ∩

m

C 的边界上除了 R + ∩ C 以外的点上的值皆为零 .这样 , 我们有 m

j

a 1 m j d x ∧ … ∧ d x x

∫ dω=∫ ∑ D

U

j= 1

m

∫

=

(a

∑

φ( U )

j= 1

m

=

∑∫ R

j= 1

(a

∑∫ j=1

∫

∫

= -

-1

φ ) 1 m d x …d x j x -1

φ ) 1 m d x …d x j x j

K

∫

i

x ≤ K i≠ j , m x

　 +

j

m ∩ C +

m-1

=

j

m

- 1

φ ) j ^ d x d x1 … d xj… d x m j x

(a

- K

≥0 K

∫

i

x ≤ K i≠ m

i

x ≤ K i≠ m

(a

m

x

0

a

m

-1

φ )

-1

m

1

dx

φ ( x , …, x

m

m -1

1

d x …d x 1

m -1

, 0) d x …d x

m- 1

.

对于边界 D 来说 , U ∩ D 是 D 的坐标域 , 具有诱导定向的局部坐标系是由 m

1

( - 1) x , …, x

∫ ω=∫ D

U∩

m- 1

给出的 , 并且 x

∫

ω= D

U∩

m

∑( -

D j=1

m

= 0． 因为 Suppω

D

U∩

D, 所以

^ 1 ) j + 1 aj d x 1 ∧ … ∧ d x j ∧ … ∧ d x m

3．5 　 Stokes 定理

∫

=

U∩

D

∫

= -

φ( U ) ∩ R

∫

= -

C∩ R

∫

m

m

(a

m

m

1

a dx ∧…∧dx - 1

1

φ ) d x …d x

m- 1

m-1

+

( am

φ- 1 ) d x 1 …d x m - 1

+

i

= -

m +1

( - 1)

・ 11 7 ・

x ≤ K i≠ m

a

m

-1

1

φ ( x ,…, x

m- 1

1

, 0) d x … d x

m-1

,

故有

∫ dω =∫ ω . D

D

证毕 . 评注 　 外代数 , 也称为 Grassmann 代数 , 是 H .G .Grassmann 在研究线性空间理论时发 展出来的代数结构 .但是 Grassmann 考虑的是向量的外积 , 即现在所称的外向量 .该理论超 出了当时数学家的接受能力 , 直到他逝世( 1877 年) 前后才受到重视 , 并获得应用 .后来 E . Car tan 系统地发展了外形式和外微分式理论 , 并且广 泛地用于几 何学的研 究 , 外 代数从 此 有了宽广的应用领地 .所谓的外形式就是反对称的多重 线性函数 , 可以表 示成若干个 线性 函数的外积之和 .线性函数的外积比向量的外积容易 理解 , 这 样一来 , Grassmann 的外 积运 算变得十分具体了 . 外形式和行列式理论有密切的关系 , 我们举一个例子 来说明 .设 V 是 n 维向 量空间 , V

＊

i ＊ 是它的对偶向量空间 .假定 δi 是 V 的一个基底 , δ 是它在 V 中的对 偶基底 , 则

如 3．1．7 中所说 v11 δ1 ∧ … ∧ δn ( v1 , … , vn ) =

… vn1

v1n

…

…

.

v nn

…

任意固定一个整数 r , 1 ≤ r < n , 则由外积的结合律和定义得到 1

n

1

r

r+ 1

δ ∧ … ∧ δ = (δ ∧ … ∧ δ ) ∧ (δ

n

∧ … ∧δ)

n ! [ (δ1 ∧ … ∧ δr ) í (δr + 1 ∧ … ∧ δn ) ] , r !( n - r) !

= 所以

　 δ1 ∧ … ∧ δn ( v1 , … , vn ) =

n ! 1 r r +1 n [ (δ ∧ … ∧ δ ) í (δ ∧ … ∧ δ ) ] ( v1 , … , vn ) r !( n - r) !

=

1 δ1i1…… nin (δ1 ∧ … ∧ δr ) í (δr+ 1 ∧ … ∧ δn ) ( v i1 , … , vi n ) ∑ r !( n - r) !i , …, i 1

=

n

1 i … i 1 r δ11… n nδ ∧ … ∧ δ ( v i1 , … , vi r ) r !( n - r) !i ∑ , …, i 1

n

第三章 　 外微分式及其积分

・ 11 8 ・

　 ・δr+ 1 ∧ … ∧ δn ( vi r+ 1 , … , vi n )

∑

= i

i …i

1

r

r+ 1

δ11… n nδ ∧ … ∧ δ ( vi1 , … , v i r )・δ

i < …< i 1 r <… < i r+ 1 n

n

∧ … ∧ δ ( vi r+ 1 , … , vi n ) .

用行列式表示则得 1

v1

1

…

vn

… n

v1

… n

…

vn v1i1

=

∑

i …i

δ11…

i <… < i 1 r i <… < i r+ 1 n

n

n

…

… vri1

…

v1i r

1 vr+ i r+ 1

… ・

…

virr

vinr+ 1

…

1 vr+ i n

… …

.

v inn

这就是关于行列式的 Laplace 展开定理 . 外微分式理论和活动标架相结合 , 成为微分几何和 大范围分析 的强有力的 工具 .继承 和发扬光大 E .Cartan 几何思想的最卓越的几何学家是陈省身 . 说到积分 , 第二型曲线积分和第二型曲面积分应该理解为 1 次外微分式和 2 次外微分 式在有向的曲线和有向的曲面上的积 分 , 然而外 微分式 在有向 光滑流 形上的 积分 最终 是 化为重积分来计算的 .在定义积分和证明 Stokes 定理时 , 单位 分解定理扮 演着不可缺 少的 角色 .它的作用是两方面的 :一方面是“分解”, 把问题化 到每一个局 部坐标域上 来处理 ; 另 一方面是“综合”, 把各个坐标域 上已经 做好的 东西综 合起来 成为定 义在整 个光滑 流形 上 的数学对象 . Stokes 定理是 Newton - Leibniz 的微积分基本定理在高维情形 的推广 , 它把多元 微积 分中经典的 Green 公式、Ost rogradsky - Gauss 公式和 Stokes 公式统一成为一个公式 .如果把

∫ω写成双线性形式〈D, ω〉, 则 Stokes 定理成为

积分

D

〈D , dω〉 = 〈 D, ω〉, 其中 D 是 m 维有向光滑流形 M 中的一个带边区域 , ω∈ A0m - 1 ( M) .由此可见 , 上面的公式 意味着对于配对〈・, ・〉而言 , 外微分算子 d 和边缘算子

是互为共轭的线性算子 .因此 , 外

微分算子 d 是拓扑学中的上边缘算子 .

3．6 　 习 　 题 　 三 1． 设 f1 , f 2 , f 3 是 n 维向量空间 V 上的 3 个线性函数 .对于任意的 u , v , w∈ V命 f ( u , v , w ) = f 1 ( u) ・ f 2 ( v ) ・ f 3 ( w ) , 验证 f 是向量空间 V 上的 3 重线性函数 , 并且证明 : f = ( f1 í

f2 ) í

f3 = f1 í ( f2 í

f3 ) .

3．6 　 习 　 题 　 三

・ 11 9 ・

以后 , 我们把上面所定义的 3 重线性函数 f 记为 f 1 í f1 í

f2 í

f3 = ( f1 í

f2 ) í

f2 í

f 3 , 因此

f3 = f1 í ( f2 í

f3 ) ,

这说明张量积运算满足结合 律 .一般 地 , 多 重线 性 函数 的 张 量积 也 满足 结 合 律 . ＊ 2． 设 n 维 向量 空 间 V 的 基 底 是 δi , 其 对偶 空 间 V 的 对 偶 基 底 是 i

δ .假定 f 是 V 上的 2 重线性函数 , 证明 : n

∑f δí i

f =

δj ,

ij

i, j

其中 f i j = f (δi , δj ) , ＂ 1 ≤ i, j ≤ n . ＊ 3． 设 n 维 向量 空 间 V 的 基 底 是 δi , 其 对偶 空 间 V 的 对 偶 基 底 是 i

δ .假定 g 是 V 上的 3 重线性函数 , 证明 : n

g =

∑g

i

j

k

δ í δí δ,

ij k

i, j, k

其中 gij k = g(δi ,δj , δk ) , ＂ 1 ≤ i, j, k ≤ n . ＊ 4． 设 n 维 向量 空 间 V 的 基 底 是 δi , 其 对偶 空 间 V 的 对 偶 基 底 是

∑uδ , v

δi .取 定 3 个 指 标 i, j, k , 对 于 任 意 的 u =

h

=

h

h

∑vδ , w h

h

h

∑w δ, 命 h

h

h

u

ij

D ( u, v) =

u

i

j

v

i

v

j

u ij k

i

v

uj

, 　 D ( u , v, w) =

u

k

i

vj v

k

w

i

wj , w

k

那么 Dij , D ijk 分别是 V 上的 2 次外形式和 3 次外形式 .证明 : ij

i

j

i

j

j

i

D = δ í δ - δ í δ, ij k

D

k

j

k

i

k

i

j

= δ í δí δ + δ í δ í δ + δ í δ í δ - δj í δi í δk - δk í δj í δi - δi í δk í δj . k … k

　 　 5． 　 验证 Kronecker 记号 δl11… l rr 等于下面的行列式 δl1 δlk11…… lkrr =

k

1

…

… δl1

k

δl r

k

1

… r

…

δl r

k

, r

　 　 6． 记号同第 4 题 , 对于任意取定的 r 个指标 i1 , … , i r 命 ui11 i … i

D1

r

( u1 , … u r ) =

…

… i

u1r

uir1 … ,

…

i

u rr

=

第三章 　 外微分式及其积分

・ 12 0 ・

i … i

其中 u 1 , … , u r ∈ V , 则 D 1 i …i

D1

r

r

是 V 上的 r 次外形式 .证明 :

∑δ

i …i j j1… j r 1

=

1

j ,… , j 1 r

r

　 　 7． 证明 : 对于任意的 f ∈∧ V

＊

j

δ í … í δr . r ＊

s

和 g ∈∧ V , 以及 任意 的 v1 , … , vr + s

∈ V有 f ∧ g( v1 , …, vr+ s ) =

k … k 1 1 r+ s δ ∑ 1 … ( r+ s ) f ( vk 1 , …, vkr ) g( vk r+1 , …, vk r+ s ) . r !s !k 1 , … , k r+ s

i

　 　 8． 设 δ 是 n 维向量空间 V 1

∑

n

δ∧…∧δ = i

＊

的基底 .证明 : 对于任意的 1 ≤ r ≤ n 有

1… n

i

i

i

i

δi1 … i n (δ1 ∧ … ∧ δr ) í (δr+ 1 ∧ … ∧ δn ) .

i <… < i 1 r < …< i r+ 1 n

　 　 9． 证明定理 3．1． ＊ 10． 设 2 维向量空间 V 的基底是 e1 , e2 , 在其对偶空间 V 中的对偶基 1

2

底是 e , e

＊ ; 3 维向量空间 W 的基底是 δ1 , δ2 , δ3 , 在其对偶空间 W 中的 1

2

3

对偶基底是 δ , δ ,δ .设线性映射 f : V → W 由 f ( e1 ) = - 3δ1 + 2δ2 + 5δ3 , 　 　 f ( e2 ) = 4δ2 - δ3 给出 .命 2

3

1

2

3

α = - 2δ + δ , 　 　 β = δ + δ + δ ． ＊

＊

　 　 (1 ) 求 f α, f β的表达式 ; ＊

(2 ) 求 f (α∧ β) 的表达式 . 11． 化简下面的式子 : (1 ) ( x 1 + 2 x 2 - x 3 ) ∧ ( 2 x 1 - x2 + 3 x 3 ) ; (2 ) ( 2 x1 + 3 x 2 - x3 ) ∧ ( - x 1 - 3 x 2 + 5 x3 ) ∧ ( x1 + 4 x 3 ) . 12． 设 n

f =

n

∑a x , 　 i

　 g =

i

i =1

∑bx i

i

.

i =1

证明 :

∑

f∧ g =

i< j

ai

aj

bi

bj

xi ∧ xj .

　 　 13． 设 n

fi =

∑a

ij

xj , 　 　 ＂ 1 ≤ i ≤ n ,

j=1

证明 : ai 1 j1 f i1 ∧ … ∧ f i r =

∑

j < …< j 1 r

…

… ai r j1

a i1 j r …

…

ai r j r

x j1 ∧ … ∧ x j r ,

3．6 　 习 　 题 　 三

…

a1 1 f1 ∧ … ∧ f n =

a1 n

…

… …

an 1

・ 12 1 ・

x1 ∧ … ∧ x n .

an n

　 　 14． 设 f = px 2 ∧ x3 + qx3 ∧ x1 + rx 1 ∧ x 2 , 　 g = ax 1 + bx2 + cx3 , 求 f∧ g . 15． 假定 x1 , …, x n , y1 , … , yn 是 m 维向量空间 V 中的元素, m ≥ 2 n , 命 n

∑x

ω=

i

∧ yi ,

i=1

证明 : n

ω = n !( - 1)

n( n - 1) 2

x1 ∧ … ∧ x n ∧ y1 ∧ … ∧ yn .

　 　 16． 假定 f = x i1 ∧ … ∧ x i r , 　 　 g = x j 1 ∧ … ∧ x j s , rs

验证 : f ∧ g = ( - 1 ) g ∧ f .一般地 , 假定 f=

∑

i ,… , i 1 r

g=

a i1 … i r x i1 ∧ … ∧ x i r ,

∑b

j …j

j ,… , j 1 s

1

s

x j1 ∧ … ∧ x j s ,

rs

验证 : f ∧ g = ( - 1 ) g ∧ f . 3

3

17． 设 x , y , z 是 R 的笛卡儿直角坐标系 , f , g , h 是 定义在 R 上的 光 滑函数 .证明 : (1 ) d f ∧ d g =

　 　 　 　 　 　 　 　 +

f x

f y

g x f z

g y f x

g z

g x f x

(2 ) d f ∧ d g ∧ d h =

g x

dx ∧ dy+

f y

f z

g y

g z

d z ∧ d x; f y

f z

g y

g dx ∧ dy∧ dz . z

h h h x y z 3 18． 在 R 中 x , y, z 是笛卡儿直角坐 标系 , 之间的关系由下面的公式给出 :

dy∧ dz

r ,θ, φ 是 球坐 标系 , 它 们

第三章 　 外微分式及其积分

・ 12 2 ・

x = rcos φcos θ, 　 y = rcos φsin θ, 　 z = rsin φ, π π < φ< . 2 2

0 ≤ r < ∞ , - π < θ < π, -

在球坐标系下把 d x , d y , d z , d x ∧ d y , d y ∧ d z , d z ∧ d x , d x ∧ d y ∧ d z 表示 出来 . 19． 用第 3．17 题的记号 , 设 2

2

2

α = yd x - xd y + zd z ,

f = x + y + z , 2

2

2

β = x d y ∧ d z + y d z ∧ d x + z d x ∧ d y,

γ = x yzd x ∧ d y ∧ d z .

在球坐标系下把 d f , α,β,α∧ β, γ, dα, dβ表示出来 . i

n

20． 已知 ω , 1 ≤ i ≤ n , 是定义在 R 的开区域 U 上的 n 个处处线性无关 的 1 次微分式 .命 1 aijkωj ∧ ωk , ∑ 2 j, k

dωi =

其 中 aijk = - aki j ∈ C∞ ( U ) .证明 : 存在惟一的一组 n2 个 1 次微分式 ωij 满足下 列条件 : i

dω =

∑ω ∧ ω , j

i j

i

j

　 　 ωj = - ωi ,

j

i j

i

并且把 ω 用 ω 及其相关的量表示出来 . 21． 用 O( 3) 表示 3 × 3 实正交矩阵的集合 , 它关于 矩阵的乘 法构成一 个 j

群 .设 A = ( ai ) ∈ O( 3) , 命 3

∑ a da k i

ωij =

k j

,

k=1

证明 : 3

ωij + ωji = 0 , 　 dωij =

∑ω

ik

∧ ωk j .

k= 1

22． 用 GL( n ) 表示非退化 n × n 实矩阵的集合 , 它关于矩阵的乘法构成 j

j

一个群 .设 A = ( ai ) ∈ GL( n) , 用 B = ( bi ) 表示 A 的逆矩阵 .命 n

∑ b da

j

k i

ωi =

j k

,

k=1

证明 : n

j

dωi =

∑ω ∧ ω k i

j k

.

k= 1

23． 设 A =

cos u

- sin u

v

sin u

cos u

w ,

0

0

1

3．6 　 习 　 题 　 三

・ 12 3 ・

-1

求 1 次微分式构成的矩阵 ω = A ・ d A , 其中 u , v , w 是自变量 . 24． 证明定理 3．6． 25． 设 V 是 n 维向量空间 , V r

义映射 i X : ∧ V

＊

→∧

r-1

V

＊

＊

是它的对偶空间 .对于任意的 X ∈ V .定 ＊

r

如下 : 设 ω∈∧ V , 则 i Xω∈∧

r- 1

＊

V , 使得对

于任意的 v1 , … , vr - 1 ∈ V 有 (i Xω) ( v 1 , … , v r - 1 ) = ω( X , v1 , … , vr - 1 ) . 通常把 i Xω称为 ω和 X 的内乘 .证明 : r

＊

(1 ) i X ( ω+ η) = i Xω + i Xη, 　 ＂ ω, η∈∧ V ; r

＊

(2 ) i X ( cω) = c・i Xω, 　 ＂ ω ∈∧ V , c ∈ R ; r

r

＊

s

＊

(3 ) i X ( ω∧ η) = i Xω∧ η+ ( - 1) ω∧ i Xη, 　 ＂ ω∈∧ V , η∈∧ V ; (4 ) i X

i X = 0．

26． 设 M 是 m 维光滑流形 , X ∈ X( M ) , 于是可以仿照第 25 题的做法定 r

义内乘 i X : A ( M ) → A

r-1

r

( M ) , 即对于任意的 ω∈ A ( M ) 和 v1 , … , v r - 1 ∈

X( M ) 有 (i Xω) ( v 1 , … , v r - 1 ) = ω( X , v1 , … , vr - 1 ) . 显然 , 第 25 题所列举的运算规则在这里仍然成立 . (1 ) 证明 : 对于任意的 ω∈ A 1 ( M ) , X , v ∈ X( M ) 成立 ( (i X

d+ d

i X ) ω) ( v ) = X( ω( v ) ) - ω( [ X , v] ) .

i

r

　 　 (2 ) 假定 ( U ; u ) 是 M 的一个局部坐标系 , 并且 ω∈ A ( M ) 的局部坐标 表达式是 ω

U

=

1 i i ωi1 … i r d u 1 ∧ … ∧ d u r , ∑ r !i1 , … , i r

X ∈ X( M ) 的局部坐标表达式是 m

X

U

=

∑X

i

u

i=1

i

.

求 i Xω的局部坐标表达式 . 3

3

27． 设 R 中的一个正则曲面 f : D → R 的参数方程是 x = x( u, v) , 　 y = y( u, v) , 　 z = z( u , v) . 命曲面的法向量 N 是

N =

f × u f × u

f v f v

.

试将 i N ( d x ∧ d y ∧ d z) 用曲面的参数 u , v 的微分表示出来 . 28． 设

第三章 　 外微分式及其积分

・ 12 4 ・

X = a1

x

+ a2

3

y

+ a3

z

1

2

3

是 定义在 R 上的光滑切向量场 .求 i X ( b d y ∧ d z + b d z ∧ d x + b d x ∧ d y) 和 iX ( d x ∧ d y ∧ d z ) . 2

29． 设 R 的笛卡儿直角坐标系是 x , y , 极坐标系是 r ,θ . 2

(1 ) 证明 : 在区域 D = R \

( x , 0) : x ≤ 0 上有

dθ = -

y x 2d x + 2 2 dy . x + y x + y

ω= -

y x 2 d x + 2 2d y, x + y x + y

2

　 　 (2 ) 记

2

这是 定 义 在 R \ 2

2

(0 , 0 ) 上 的 1 次 微 分 式 . 证 明 : dω = 0 , 并 且 在 2

(0 , 0 ) 上不存在光滑函数 h , 使得在 R \

R \

(3 ) 设 珟 D=

2

( x , y) ∈ R : y > 0

( 0 , 0) 上成立 d h = ω .

.证明 : 在 珟 D 上存在光滑函数 h 使得在

珟 D 上成立 d h = ω . 30． 设 ω = Ad y ∧ d z + Bd z ∧ d x + Cd x ∧ d y 3

是 R 上的 2 次外微分式 , 并且满足条件 dω = 0． 令 1

∫ t A ( tx , ty , tz ) d t・ ( yd z -

α=

zd y )

0

1

∫ tB( t x , ty , tz ) d t・ ( zd x

　 +

0

- xd z )

1

∫ tC( t x , ty , tz ) d t・ ( xd y

　 +

0

- yd x ) .

通过直接计算验证 dα = ω . 31． 设 M 是 m 维光滑流形 .证明 : M 的切丛 T M ( 参看习题二的第 19 题 ) 是可定向的光滑流形 . 32． 设 ( x , y , z ) 是射影空间 R P2 中的点的齐次坐标 .命 ξ1 =

y 2 z ,ξ = , U = x x

(ξ1 ,ξ2 ) : ξ1

< 2 , ξ2

< 2 ,

ζ1 =

z 2 x ,ζ = , V = y y

(ζ1 ,ζ2 ) : ζ1

< 2 , ζ2

< 2 ,

x 2 y ,η = , W = z z

(η , η ) : η

1

η =

1

2

1

2

< 2, η

< 2 ,

说明 ( U ;ξ1 ,ξ2 ) , ( V ; ζ1 ,ζ2 ) , ( W ; η1 ,η2 ) 构 成 R P2 的 光 滑 相关 的 坐 标 覆 2

盖 .证明 : 在 R P 上不存在处处非零的 2 次外微分式 . 3

33． 设映射 f : D → R 由

3．6 　 习 　 题 　 三 2

・ 12 5 ・ 2

f ( u, v) = ( u, v , u + v + 1 ) 给出, 其中 D =

2

2

2

( u, v) ∈ R : u + v < 1

∫f

. 求积分

＊

D

( yd y ∧ d z +

x zd x ∧ d z ) . n

34． 设 M 是嵌入在 R 中的 k + l + 1 维有向的无边子流形 , ω, η分别是 n

定义在 R 中包含 M 在内的一个开子集 D 上的 k 次和 l 次外微分式 .证明 : 存 在实数 a 使得 a dω∧ η, ∫ ω∧ dη = ∫ M

M

并确定 a 的值 . 2

35． 设 T =

3 2 2 2 2 2 ( x , y, z ) ∈ R : ( x + y - R ) + z = r (0 < r < R 是常数 ) 是 R 3 中的圆环面 , 用 i: T 2 → R 3 记包含映射 , 并且假定在 T2 上以

外法向为正定向 .

∫i

(1 ) 命 ω = xd y ∧ d z + yd z ∧ d x + zd x ∧ d y, 求积分

T

＊

2

ω.

2

(2 ) 假定 N 是 T 的单位外法向量 , 则 珘 ω = iN (d x ∧ d y ∧ d z)

T

2

是定义

ω. ∫珘

2

在 T 上的 2 次微分式 , 求积分

T

2

36． 利用 3．5．1 的例 5 中的记号 , 假定 f 是在 D =

z ∈ C: z

< 1 上

解析的函数 . (1 ) 证明函数 g( z ) = f ( z )/ z 在区域 D0 =

z ∈ C:0 <

z

< 1 上是

解析的 ; (2 ) 设 Cr ( t ) = ( rcos t , rsin t ) , 0 ≤ t ≤ 2π, C 是在 D 中 任 意一 条围 绕 z = 0 的光滑的简单闭曲线 , 并且取 区域 D 在 C 上 诱导的定向 .证明 : 对于 任 意的 0 < r < 1 有

∫

C

f( z) dz = z

∫

C

r

f ( z) dz . z

(3 ) 证明 : 对于 0 < r < 1 有

∫

C

r

1 d z = 2π z

- 1,

并据此证明 1 2π

∫ - 1

C

f ( z) d z = f ( 0) . z

第四 章 　 黎 曼 流形 上 的 微 分 算子 本章的目的是把多元微积分学中 的场 论推 广到一 般的 光滑流 形上 去 .在 光滑流形上定义各种微分算子的时候 , 需 要在 光滑 流形的 每一 点的切 空间 上 以光滑地依赖于点的方式给定一个欧氏内积 , 这种构造就是所谓的黎曼结构 . 给定了一个黎曼结构的 光滑 流 形称 为 黎曼 流 形 .黎 曼 结构 是 十分 重 要的 .首 先 , 在光滑流形上有了黎曼结构之后 , 我们才能够定义光滑流形上的光滑切向 量场的微分 ; 其次 , 切空间中的欧氏内积使我们能够在切空间和它的对偶空间 ( 即余切空间 ) 之间建立自然的同构关 系 , 从而 切空 间和余 切空 间中的 元素 能 够互相转换它们的身份 ; 另外 , 切空间中的欧氏内积使我们能够在次数互补的 外形式空间之间建立自然的同构关系 . 欧氏空间是最简单的光滑流形 , 也 是最简 单的 黎曼 流形 .在本 章 , 我们 先 回顾多元微积分中的场论 , 换言之 , 我 们先 研究 欧氏空 间上 的微分 算子 , 然 后 研究这些微分算子在局部坐标系下的 表达 式 .所有 这一切 都可 以搬到 一般 的 黎曼流形上去 , 得到黎曼流形上相 应的 微分算 子 .由此 可见 , 欧 氏空间 中的 各 种微分算子在任意的局部坐标系下的 表达 式是 本章最 主要 的学习 内容 , 是 与 “多元微积分”的不同之处 , 它们既是欧氏空间中微分算子的一般表达式 , 也是 在黎曼流形中定义微分算子的基础 .

4．1 　 黎 曼 流 形

4．1．1 　 欧氏向量空间 设 V 是一个 n 维向量空间 . V 上的欧氏内积 g: V × V → R 是指 g 是 V 上的双线性函数 , 并且满足条件 : (1 ) 对称性 : g( u , v ) = g( v , u) , 　 ＂ u , v ∈ V ; (2 ) 正定性 : g( u , u ) ≥ 0 　 ＂ u ∈ V , 且 g( u , u) = 0 当且仅当 u = 0． 给定了一个欧氏内积的向量空间称为欧氏向 量空间 .通 常把内 积 g 记 为 〈,〉, 即 〈u , v〉 = g( u , v ) , 　 　 ＂ u , v ∈ V .

4．1 　 黎 曼 流 形

・ 12 7 ・

设 ei 是 V 一个基底 , 假定 n

u =

n

∑ue, i

i

　 　 v =

i= 1

∑ve, j

j

j= 1

则 n

n

∑ u e ,∑ v e i

〈u , v〉 = g( u , v ) = g

j

i

j

i=1

j= 1

n

=

∑ u v g( e , e ) i

j

i

j

.

i, j = 1

记 gij = g( ei , ej ) , 则 n

〈u , v〉 = g( u , v ) =

∑g

ij

i

j

uv,

i, j = 1

并且欧氏内积所满足的条件成为 : gij = gj i , ＂ i, j; 且矩阵 ( gij ) 是正定的 . 如果 gij = δi j =

1,

i = j,

0,

i ≠ j,

则 ei 是 V 单位正交基底 .此时 , 内积的坐标表达式成为 n

〈u , v〉 =

∑uv i

i

.

i= 1

n

　 　 在 1．1．1 所说的欧氏向量空间 R 事实上是任意一个 n 维欧氏向量空 间 在取定一个单位正交基底之后的坐标表示 .

4．1．2 　 黎曼流形的定义 设 M 是 m 维光滑流形 .如果在每一点 p ∈ M 的切空间 T p M 上以光滑地 依赖点 p 的方式指定了一个欧氏内积 g( p ) = 〈 , 〉: T p M × T p M → R , 则称 ( M , g) 为一个 m 维黎曼流形 , g 称为黎曼度量 . 由此可见 , g( p ) 是定义在切空间 T p M 上的双线性函数 , 并且满足条件 (1 ) 对称性 : g( p) ( u , v ) = g( p) ( v , u ) , 　 ＂ u , v ∈ T p M ; (2 ) 正定性 : g( p ) ( u , u ) ≥ 0 , 　 ＂ u ∈ T p M , 且 g( p) ( u , u) = 0 当且仅 当 u = 0． 所谓“以光滑地依 赖点 p 的 方式”是指 对于任意的定义 在点 p 的 邻域 U 上的光滑切向量场 X , Y ∈ X( U ) , 函数 ( g ( X , Y ) ) ( q) = g( q) ( X

q

, Y

q

),

＂ q ∈ U , 是 U 上的光滑函数 . 换言之 , 黎曼流形 ( M , g) 在每一点 p ∈ M 的切空 间是一个 欧氏向量 空 i

间 ( T p M , g( p) ) .如果 ( U ; u ) 是光滑流形 M 的局部坐标系 , 它的自然标架场

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 12 8 ・

是 p;

u

1

i

,…,

u

, 对偶的余标架场是 d u , … , d u

m

gij = g

u

i

,

j

,

U

=

u

m

.命

那么对于任意的光滑向量场 X

U

=

∑X

i

u

i

i

, 　 　 Y

∑Y

j

uj

j

有 g( X , Y )

U

∑X

=

i

j

Yg

u

i, j

i

,

u

=

j

∑g

ij

i

j

X Y .

i, j

于是欧氏内积所满足的条件成为 : ( 1) gij = gji ; (2 ) 矩阵 ( gij ) 是正定 的 , 并 且 度量系数 gij 都是 U 上的光滑函数 . j

若 ( V; v ) 是 M 的另一个局部坐标系 , 并且 U ∩ V ≠ i

, 则在 U ∩ V 上

j

有两组局部坐标 ( u ) 和 ( v ) , 它们互为光滑的反函数 , 由于 v

=

j

ui j v

∑ i

u

i

,

所以 珘 gij = g

i

v

,

j

v

∑g

=

k

u i v

kh

k .h

h

u j . v

这就是度量系数在局部坐标变换时的变换公式 .因此 , 黎曼度量 g 可以表示为

g

U

=

∑g

i

ij

j

d u í du ,

i, j

此式与局部坐标系的取法无关 . 由于 gij = gji , 上式又能够写成 g

U

=

1 1 i j i j j i ( gij + gji ) d u í d u = gij ( d u í d u + d u í d u ) . ∑ ∑ 2 i, j 2 i, j

命 1 ( d ui í d uj + d uj í d ui ) , 2

d ui d u j = i

j

这是 d u 和 d u 的对称化张量积 , 于是 g

U

=

∑g

i

ij

j

dudu .

i, j

4．1．3 　 黎曼流形的例子 n

1

n

例 1 　 n 维欧氏空间 R 是有序的 n 元数组 ( x , … , x ) 的集合 .命

4．1 　 黎 曼 流 形

・ 12 9 ・

δi = ( 0 , … , 1 , … , 0) , 　 1 ≤ i ≤ n , ( i) n

1 n 则 δi , 1 ≤ i ≤ n 是 R 的基底, 于是任意一点 x = ( x , …, x ) 可以表示成 n

∑ xδ , i

Ox =

i

i=1

1 n 即 ( x , … , x ) 是点 x 关于标架 O;δi 的坐标 .约定 δi 是单位正交基底, 即

〈δi , δj〉 = n

1,

若 i = j,

0,

若 i≠ j .

n

n

n

很明显, R 在每一点 p ∈ R 的切空间 Tp R 和作为向量空间的 R 是等同的 .实 1

n

际上 , 固定一点 p = ( x0 , … , x0 ) , 则通过点 p 的第 i 条坐标曲线 γi 的方程是 j

j

i

i

x ( t ) = x0 , 　 ＂ j ≠ i, 　 x ( t ) = x 0 + t . 所以 n

∑ x ( t )δ , j

Oγi ( t) =

j

j= 1

于是 n

xi

p

∑

= γi′( t) =

j= 1

j

d x ( t) δj = δi , 　 　 ＂ 1 ≤ i ≤ n . dt

n 由此可见 , δi , 1 ≤ i ≤ n 也是切空间 T p R 的基底 , 因而

gij = 〈

x

i,

x

j〉 =

1,

若 i = j,

0,

若 i≠ j .

设有切向量 u , v ∈ T p R n 为 n

n

∑u

u =

i= 1

i

x

i

n

∑ uδ , i

=

　 v =

i

i=1

n

∑v

i

x

i= 1

i

=

∑ vδ . i

i

i=1

n

于是在切空间 T p R 中有欧氏内积 n

n

∑ u v 〈δ ,δ〉 = ∑ u v , i

〈u , v〉 =

j

i

i

i

j

i, j=1

i= 1

n

n

即切空间 T p R 是 n 维欧氏向量空间 , 所以 R 是 n 维黎曼流形 , 它的黎曼度量 是 n

2

ds =

∑d x

n

i

i

í dx =

i=1

∑ (d x ) i

2

．

i= 1

　 　 许多黎曼流形可以按照下面的方式得到 : 定理 4．1 　 设 ( N , h) 是 n 维黎曼流形 , f : M → N 是浸入在 N 中的 m 维 光滑子流形 , 在任意一点 p ∈ M , 命 g( p) ( u , v ) = h( f ( p ) ) ( f ＊ p u , f ＊ p v ) , 　 　 u , v ∈ T p M , 则 g 是在 M 上的黎曼度量 , 使得 ( M , g) 成为 m 维黎曼流形 .通常把 g 称为在

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 13 0 ・

光滑流形 M 上由黎曼流 形 ( N , h) 借助于浸入 f 诱 导的黎曼度量 , 记为 g = f

＊

h . 证 　 由于 h 是光滑流形 N 上的黎曼度量 , 所以如上所定义的 g( p) 显然

是定义在切空间 T p M 上 的 对称 双 线性 函 数 , 并 且 g ( p ) ( u , u ) ≥ 0 , ＂ u ∈ T p M .如果 g( p ) ( u , u ) = 0 , 即 h( f ( p ) ) ( f ＊ p u , f ＊ p u) = 0 , 因此 f ＊ p u = 0． 由于 f 是浸入 , 故 u = 0． 所以 , g( p ) 是定义在切空间 T p M 上的欧氏内积 . 假定 ( U ; ui ) 是点 p 在 M 中的局部坐标系 , ( V ; vα ) 是点 f ( p ) 在 N 中的 局部坐标系 , 并且 f ( U )

V , 浸入 f 的坐标表达式是 α

α

1

m

v = f ( u ,…, u ) , 那么 f＊

u

∑

=

i

α

f i u

α

α

v

,

并且 gi j = g =

i

u

,

u

fα i u

∑ α, β

= h f＊

j

fβ jh u

,

α

v

u β

v

i

=

, f＊

u

j

fα i u

∑h

αβ

α, β

fβ j . u

由此可见 , gij 是 U 上的光滑函数 , 因此 , g 是 M 上的黎曼度量 .证毕 . 例 2 　 R n + 1 中的单位球面 n

1

( x , …, x

S (1 ) =

n+1

) ∈R

n+1

:∑ ( x ) = 1 α 2

α

是 n 维黎曼流形 . 命 p = (0 , … , 0 , 1) , q = (0 , … , 0 , - 1 ) , 设 n

q =

( x ,…, x

n

p =

( x ,…, x

U1 = S (1 ) \ U2 = S (1 ) \

1

n+1

) ∈ S ( 1) : x

n

n+1

≠- 1 ,

1

n+1

) ∈ S ( 1) : x

n

n+1

≠1 ,

n n n 则 U1 , U2 是 S ( 1) 的开覆盖 , 作球极投影 π1 : U 1 → R 和 π2 : U 2 → R 如

下: 1

n+1

) = (ξ , … ,ξ ) , 　 ＂ ( x , … , x

1

n+1

) = (η , … ,η ) , 　 ＂ ( x , … , x

π1 ( x , … , x π2 ( x , … , x

1

n

1

n+ 1

) ∈ U1 ,

1

n

1

n+ 1

) ∈ U2 ,

其中 i

i

x i x ξ = n+1 , 　 　 η = n+1 . 1 + x 1 - x i

i

i

n

n

于是 ( U1 ;ξ ) 和 ( U 2 ;η ) 是 S (1 ) 的局部坐标系 , 构成 S (1 ) 的坐标覆盖 , 浸 n

入 i: S ( 1) → R

n+1

在 U 1 上的限制表示为

4．1 　 黎 曼 流 形

1 -

i

2ξ

i

x =

・ 13 1 ・

1 + ∑ (ξ)

2

, 　 　 x

n+1

=

∑ (ξ ) j

j

1+

∑ (ξ ) j

j

n

浸入 i: S ( 1) → R

n+1

2

2

.

j

在 U 2 上的限制表示为

∑ (η )

j 2

i

2η n+1 x = , 　 　 x = 2 (η) + 1 ∑ j

i

- 1

j

i

j 2 ∑ (η ) + 1

.

j

n

下面在局部坐标系 ( U1 ;ξ ) 下 , 计算 S (1 ) 的黎曼度量的表达式 , 直接计算得 到 i

i i j 2δj x 4ξξ j = k 2 2 , ξ 1 + ∑ (ξk ) 2 (1 + ∑ (ξ ) ) k

k

n+ 1

j

x 4ξ = j k 2 2 . ξ ( 1 + ∑ (ξ ) ) k

因此 gi j = 〈

i

ξ

,

j〉 = ξ

α

α 4δij x j = k 2 2 , ξ (1 + ∑ (ξ ) )

x i ξ

∑ α

k

即 4∑ dξ í dξ k

g

U

1

=

k

k

(1 + ∑ (ξ ) ) k

2

.

2

k

诱导度量 g 在 U2 上的限制的坐标表达式留给读者自己完成 . n

例 3 　 双曲空间 H . 模仿单位 球 面 的 做 法 , 我 们 可 以 得到 另 一 个 黎 曼流 形 .在 R

n+ 1

中定义

Lorentz 内积〈,〉1 如下 : 〈x , y〉1 =

∑x y i

i

- x

n+1

y

n+1

.

i

这样的内积仍然是对称的双线性函数 , 但是它不是正定的 .命 Hn = 很 明 显, H

n

1

( x ,…, x

n+ 1

) ∈ R

n+1

可 以 看 成 是 映 射

:〈x , y〉1 = - 1 , 且 x f: D → R

n+ 1

n+1

的 像,

n

n

k

2

k

1 + ∑ (ξ )

j 2

i

i

x =

2ξ n+1 = j 2 , 　 　 x 1 - ∑ (ξ ) 1 j

直接计算得到

j

∑ (ξ )

j 2

j

.

其 中

(ξ , … ,ξ ) ∈ R : ∑ (ξ ) < 1 , 而 f 的坐标表达式是 1

> 0

.

D

=

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 13 2 ・

i

i i j 2δj x 4ξξ = + , ξj 1 - ∑ (ξk ) 2 (1 - ∑ (ξk ) 2 ) 2 k

n+ 1

x = ξj (1 -

k

j

4ξ . k 2 2 (ξ ) ) ∑ k

这样 gij = 〈

i

ξ

,

〉1 = ξ j

k

k

x i ξ

∑ k

n+1

x j ξ

n+1

x i ξ

x j ξ

=

4δij (1 -

∑ (ξ ) ) k

2

2

.

k

于是 , ( R

n+1

n

,〈,〉1 ) 在 H 上诱导的对称双线性函数场通过映射 f 表示成 4∑ dξ í dξ k

g =

k

k

(1 -

k 2 2 ∑ (ξ ) )

,

k

n

这是光滑的 , 并且是正定的 , 故 ( H , g) 是一个 n 维黎曼流形 , 称为双曲空间 .

4．1．4 　 R 3 中的正则曲面 设 D 是 R 2 中的一个开区域 , ( u , v ) 是 R 2 中的笛卡儿直角坐标系 , 若有光 f f f f , 在 D 上是处处线性无关的 , 即 × u v u v 3 处处不为零 , 则称 f 是在 R 中的一张正则参数曲面 , 换句话说 , ( f , D ) 是浸入 3

滑映射 f : D → R , 使得切向量

3

在 R 中的 2 维光滑子流形 ( 参看 2．4．2) .命

n =

f f × u v , f f × u v

则 n 是该曲面的单位法向量 . 命 E =〈

f f f , 〉, 　 F = 〈 , u u u

f f 〉, 　 G = 〈 , v v

f 〉, v

3

则 R 在该曲面上的诱导黎曼度量是 d s2 = 〈d f , d f〉 =〈

f du + u

=〈

f f f , 〉d u2 + 2〈 , u u u 2

f f d v, du + v u

f d v〉 v

f f 〉d ud v +〈 , v v 2

= Ed u + 2 Fd ud v + Gd v ．

f 〉d v2 v

4．1 　 黎 曼 流 形

・ 13 3 ・

2

通常把 d s 称为曲面的第一基本形式 . 例 1 　 正螺旋面 ( 参看图 2 - 4 ) .它的参数方程是 r = ( ucos v , usin v , av ) , 　 　 a > 0． 直接计算得到 r = ( cos v , sin v , 0) , 　 　 u

r = ( - usin v , ucos v , a) , v

因此 2

2

E = 1, 　 F = 0, 　 G = u + a , 第一基本形式是 2

2

2

2

2

ds = d u + ( u + a )d v ．

图4 - 1

　 　 例 2 　 悬链面 ( 参看图 4 - 1 ) 的参数方程是 r = ( cosh ucos v , cosh usin v , u ) , 经计算得到 r = ( sinh ucos v , sinh usin v , 1) , 　 u

r = ( - cosh usin v , cosh ucos v , 0) , v

因此 2

2

2

E = sinh u + 1 = cosh u , 　 F = 0 , 　 G = cosh u , 第一基本形式是

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 13 4 ・

2

2

2

2

d s = cosh u( d u + d v ) .

4．2 　 梯 度 算 子 梯度场是在黎曼流形上由一个光 滑函数 决定 的光滑 切向 量场 , 在 这里 黎 曼度量为建立切空间和余切空间之间的自然同构起着关键的作用 .

4．2．1 　 n 维欧氏向量空间与其对偶空间的自然同构 众所周知 , 任意两个 n 维向量空间都是彼此同构的 , 建立同构关系的一种 方法是在这两个向量空间中分别取定基底 , 将基底向量对应起来 , 然后线性扩 张成为这两个向量空间的元素之间的 对应 .需 要指 出的是 这种 对应关 系是 依 赖于基底的选取的 ; 对于 不同 的 基底 , 如 上 建立 的 同构 关 系 一般 说 来是 不 同 的 .如果我们考虑 n 维向量空间 V 和它的对偶空间 V ＊ , 在 V 的基底变换时 , 在 V

＊

＊

中的对偶基底不是协同变换的 , 而是“ 反变”的 .因此 , 尽管在 V 和 V 之间能够建立同构关 系 , 比 如 让 V 中的 基 底 δi 的各 个 向 量分 别 对应 于 在 ＊

V

i

中的对偶基底 δ 的各个元素 , 但是 这种同构 关系在 V 的 基底变 换时 不

能够保持不变 , 也就 是说这 种同构不 是自然 的 .如果在 V 中取定了 一个内 积 ＊

〈・,・〉, 则在 V 和 V 之间便存在一个自然的同构 , 它与 V 中基底的取法是无 关的 . 设〈・,・〉是欧氏向量空间 V 中的内积 .对于任意的 u ∈ V , 定义 α( u ) ∈ V

＊

如下 : (α( u ) ) ( v ) = 〈u , v〉, 　 　 ＂ v ∈ V .

容易验证 , 映射 u →α( u) 是从 V 到 V

＊

的线性映射 , 即

α( u + w ) = α( u ) + α( w ) , 　 α( cu ) = cα( u ) , 　 ＂ u , w ∈ V , c ∈ R . 上 面所定义的映射α: V → V

＊

是单一的 .实际上 , 如果α( u ) = 0 , 也就是对于

任意的 v ∈ V 都有 (α( u) ) ( v ) = 0 , 即 〈u , v〉 = 0 , 　 　 ＂ v ∈ V , 则〈u , u〉= 0． 于是根据欧氏内积的正定性得到 u = 0 , 即映射 α: V → V ＊ 是 单一的线性映射 , 因此 α是从 V 到它的对偶空间 V

＊

的同构 .

注意到同构 α的定义不涉及向量空间 V 的基底的选取 , 因此 该同构必 定 是自然同构 .今后为方便起见 , 常常把向量 u 所对应的 1 - 形式 α( u ) 记为 u , #

把 1 - 形式 ω所对应的向量记为 ω , 即对于任意的 v ∈ V 有 #

#

u ( v ) = 〈u , v〉, 　 　〈ω , v〉 = ( ω ) ( v ) = ω( v ) .

4．2 　 梯 度 算 子

・ 13 5 ・

＊ 　 　 如果 δi , 1 ≤ i ≤ n 是 V 中的任意一个单位正交基底 , 在 V 中的对偶

∑ vδ ∈

基底是 δi , 1 ≤ i ≤ n , 那么对于任意的 v =

j

j

V 有

j

∑ v 〈δ ,δ〉 =

( δi ) ( v ) = 〈δi , v〉 =

j

i

i

i

v = δ( v ) .

j

j

由此可见 , i

i

(δi ) = δ , 　 　 (δ )

#

= δi .

＊ i 这 就是说 , 自然同构 α: V → V 把单位正交基底 δi 中的δi ∈ V 对应到δ ∈ ＊ V , 这种对应的关系与单位正交基底 δi 的取 法无关 .由此可 见 , 在 V 的 任

意一个单 位 正 交 基 底 δi 下 , 该 自 然 同 构 给 出 的 对 应 关 系 是 : 对 于 任 意 的 u =

∑ uδ 有 i

i

i

∑ uδ . i i

u =

i

同样地 , 对于任意的 ω =

∑ωδ 有 i

i

i

∑ωδ .

#

ω =

i i

i

4．2．2 　 欧氏向量空间 V 和 V ＊ 的自然同构在任意的 基底下的表示 在空间中取特殊的基底 ( 或坐标系 ) 虽然 会使表达 式变得 简单 , 但是这 种 做法往往会把一般的规律掩盖起来 , 不利于 我们 对事 物的了 解 .因 此 , 适当 的 做法应该是既在特殊情形下进行考察 , 也在 一般 情形 下进行 研究 .在下面 , 假 i ＊ 定 ei , 1 ≤ i ≤ n 是 V 的任意一个基底 , e , 1 ≤ i ≤ n 是在 V 中的对偶 基底 .命 gij = 〈ei , ej〉, ij

并且用 ( g ) 表示 ( gij ) 的逆矩阵 , 即

∑g

ik

gk j = δij .

k

那么 , 对于任意的 u , v ∈ V 有 〈u , v〉 =

∑g

ij

i

j

uv,

i, j

其中 u =

∑u e , i

i

　 　 v =

∑v e j

j

i

.

j

由此可见 u ( v ) = 〈u , v〉 =

∑g i, j

i j

ij

u e ( v) ,

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 13 6 ・

即

∑g

u =

ij

ui ej , 　 　 ( u ) j =

i, j

∑g

ij

ui .

i

以后 , 我们把 1 - 形式 u 的分量 ( u ) j 简单地记为 uj .因此 , 从 u 得到 u 的分 i

量的过程就是把 u 的分量 u 的上指标借助于度量的分量 gij 下降的结果 . #

同样地 , 从 1 - 形式 ω得到 ω 的分量的过程正好是把 ω的分量 ωi 借助 于 gij 上升的结果 , 即 #

〈ω , v〉 =

∑g

#

ij

i

j

( ω ) v = ω( v ) =

i, j

∑ω v , j

　 　 ＂ v ∈ V,

j

j

因此

∑g

#

ij

i

#

i

( ω ) = ωj , 　 　 ( ω ) =

i, j

∑g ω, ij

j

j

故 #

ω

∑ g ωe ij

=

.

j i

i, j

　 　 按照 3．1．3 中的说法 , V 中的元素称为反变向量 , 它的 分量在 V 的基 底 变换时遵循反变的线性变换规律 ; 而 V

＊

中的元素称为协变向量 , 它的分量在

V 的基底变换时遵循协变的线性变换规律 .现在 , 在 V 和 V i

向 量 u ∈ V 有分量 u , 而对应的 u 有分量 ui =

∑g

＊

的自然同构下 ,

j

ij

u .在 V 的基底变换时 ,

j

i

u 和 ui 分别遵循反变的线性变换规 律和协 变的 线性 变换规 律 .因 此 , 我们 也 i

把 u 称为向量 u 的反变分量 , 把 ui 称为向量 u 的协变分量 .当然 , 在用 ui 确定 向量 u 的时候 , 实际上是通过同构 ( ) u =

#

∑ue

i

=

i

#

得到的 , 即

∑u (e ) i

#

i

i

=

∑u g

ij

i

i

ej .

i, j

i

　 　 例 1 　 向量 u 的 反变 分 量 u 和 协变 分 量 ui 有 简单 的 几何 意 义 .假 定 dim V = 2． 高维的情形是类似的 . 设 e1 , e2 是 V 的一个基底 , 于是 1

2

u = u e1 + u e2 ． 1

2

这就是说 u 的反变分量 u , u 是把向量 u 分解成 e1 , e2 的线性组合时的组合 系数 .在另一方面 , 2

1

2

〈u , e1〉= u 〈e1 , e1〉+ u 〈e2 , e1〉 =

∑g

i1

i

u = u1 ,

i= 1 2

1

2

〈u , e2〉= u 〈e1 , e2〉+ u 〈e2 , e2〉 =

∑g

i2

i

u = u2 ．

i= 1

所以 , u 的 协 变 分 量 u1 , u2 恰 好 是 u 在 e1 , e2 的 方 向 上 的 正 交 投 影 的 e1 ,

e2

倍 ( 参看图 4 - 2) , 即

4．2 　 梯 度 算 子

u1 =

・ 13 7 ・

e1 ・ u cos∠ ( u , e1 ) , 　 　 u2 =

e2 ・ u cos∠ ( u , e2 ) .

图4 - 2

4．2．3 　 黎曼流形上的梯度算子 设 ( M , g) 是 m 维黎曼流形 , 由于在每一点 p ∈ M 的切空间 T p M 上有欧 氏内积 g( p) , 因此 4．2．1 的做法可以用到这里来 , 得到 T p M 和 T p

＊

M 之间的

自然同构 .设 f ∈ C∞ ( M ) , 则 f 的梯度 grad f 是在 M 上如下定义的光滑切向 量场 grad f = ( d f )

#

.

i

在局部坐标系 ( U ; u ) 下 , 梯度 grad f 的表达式是 f grad f U = ∑ gij . ui uj i, j n

欧氏空间是特殊 的黎曼流 形 .设 n 维欧 氏空间 R 中 的笛卡 儿直角坐 标系 是 1 n ( x , … , x ) , 对应的单 位 正交 基 底是 δi , 1 ≤ i ≤ n .于 是 , 在每 一 点 p ∈ n n ＊ n R 的切空间 T p R 中有单位正交基底 δi , 1 ≤ i ≤ n , 在余切空间 T p R 中

有对偶基底 δi , 1 ≤ i ≤ n , 即 p i i i, 　 　 d x p = δ . i = δ x 　 　 设 f ∈ C∞ ( R n ) , 则 f 的微分 d f 是定义在 R n 上的余切向量场 .将映射 # ＊

n

n

逐点地用于余切空间 T p R , 则得到定义在 R 上的光滑切向量场 grad f = ( d f )

#

=

∑ i

f i . iδ x

在多元微积分学中 , 常常把光滑函数 f 的梯度定义为向量场 grad f =

f 1 ,…, x

f , n x

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 13 8 ・

#

它的真正的意义应该是上面所说的 ( d f ) ∞

.

n

1

n

n

例 1 　 设 f ∈ C ( R ) .取定一点 x 0 = ( x0 , … , x 0 ) ∈ R , 命 1

n

c = f ( x 0 , … , x0 ) . 设 1

n

n

1

n

( x , … , x ) ∈ R : f( x , … , x ) = c ,

Mc =

称为 f 在 R n 中的一个等值面 . f n ( x 0 ) ≠ 0 , 于是存在点 x 0 在 x

如果在点 x 0 处 , grad f ( x 0 ) ≠ 0 , 不妨设

f n 在 U 上处 处不为零 .这样 , 根据反函 数定理 , 可以 在 x 点 x 0 的某个开邻域 V U 上引进新的局部坐标系 n

R 中的邻域 U , 使得

yi = x i , 　 　 1 ≤ i ≤ n - 1 , 　 　 yn = f ( x 1 , … , x n ) . 在 这 种 局 部 坐 标 系 下, 1

n

等值 面

Mc ∩

V 成为 V 中 的 坐 标 面

n

( y , … , y ) ∈ V: y = c ( 参看定理 2．8 ) .由此可见 , 在 grad f ≠ 0 的点上 , 相应的坐标面 Mc 是 n - 1 维光滑流形 . 设 γ: ( - ε,ε) → R n 是落在 Mc 中的任意一条经过点 x0 的光滑曲线 , 它的 参数方程是 i

i

i

i

x = x ( t ) , 　 x 0 = x ( 0) , 　 1 ≤ i ≤ n , 则有 1

n

f( x ( t) , … , x ( t) ) ≡ c . 对自变量 t 求导得到 n

0 =

∑ i =1

n

i

n

f d x ( t) = 〈∑ i dt x i= 1

j

f d x ( t) i,∑ δj〉 = 〈grad f iδ dt x j= 1

γ( t )

, γ′( t )〉 .

由 γ′( 0) 的任意性得知 , f 的梯度 grad f 是 f 的等值面 Mc 的法向量场 . 2

2

2

3

例 2 　 令 f ( x , y, z) = x + y + z , ＂ ( x , y, z) ∈ R , 则 grad f = 2 x

p + 2y x

p +2z y

p = 2( x , y, z) . z

　 　 根据黎曼流形上梯度场的定义 , 可以写出欧 氏空间 中光滑函 数的梯度 场 n 在任意的局部坐标系下的表达式 .设 δ1 , … ,δn 是在 n 维欧氏空间 R 中固定

的单位正交基底 , 即 δi 是第 i 个分量是 1 、其余分量都是 0 的向量 ( 0 , … , 1 , … , 1

n

i

n

0) .对应的笛 卡儿直角 坐标系记 为 ( x , … , x ) .假 定 ( U ; u ) 是 R 中的任 意 n

i

i

1

n

一个局部坐标系 , 即 U 是 R 的一个开子集 , u = u ( x , … , x ) 是定义在 U j

j

1

n

上的光滑函数 , 并且它们有光滑的反函数 x = x ( u , … , u ) 使得 i

1

1

n

n

1

n

i

i

1

1

n

n

1

n

i

u ( x ( u , … , u ) , … , x ( u , … , u ) )≡ u , x ( u ( x , … , x ) , … , u ( x , … , x ) )≡ x .

4．2 　 梯 度 算 子

・ 13 9 ・

p p , 在这 里 1 ,…, u un 1 1 n n 1 n p 被看成是点 p 的位 置向 量 , 即 向 量 ( x ( u , … , u ) , … , x ( u , … , u ) ) .在 n

这样 , 在每一点 p ∈ U 的切空间 T p R 上有自然基底

p i 常常记成 i .需要强调的是 , 在任 意两个点 的 u u p p q q n q; 1 , … , 自然标架 p; 1 , … , n 和 n 一般在 R 的刚体运动下是不 u u u u 能够彼此合同的 .特别地 , 设 微分流形理论中 , 切向量场

gij = 〈

p p 〉, i, u uj n

则一般说来 gi j 是 U 上的非常值的光滑函数 .我们把 gij 称为欧氏空间 R 在自 p p 1 ,…, n 下的度量 系数 .由于欧氏内积是 正定的 , 所以度量 矩 u u ij 阵 ( gij ) 是非退化的 , 它的逆矩阵记为 ( g ) , 因此 然标架 p;

∑g

ik

gk j = δij .

k

＊

n

　 　 另外 , 根据微分流形理论 ( 参看 3．2．1 , 例 2 ) , 在余 切空间 T p R 中与 自 然基底

p p 1 n 对偶的基底是 d u , … , d u 1 ,…, n u u f i df = ∑ id u . u i

∞

n

.设 f ∈ C ( R ) , 则

根据在 4．1．2 叙述的映射 ( ) # : T p R n → T ＊p R n 在非单位正交基底下的表达式 i

得知 , f 的梯度在局部坐标系 ( U ; u ) 下的表达式是 grad f =

f = (d f) # =

∑g i, j

ij

f ui

p . uj

图4 - 3

　 　 例 3 　 在平面 R2 上极坐标系 r ,θ 由下面的式子给出 ( 参看图 4 - 3) : x = rcos θ, 　 　 y = rsin θ,

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 14 0 ・

因此 p = r

p x

x + r

p = θ

p x + x θ

p y

y p p = cos θ + sin θ = cos θ δ1 + sin θ δ2 , r x y

p y p p = - rsin θ + rcos θ = - rsin θδ1 + rcos θδ2 ． y θ x y

直接计算得到 g1 1 = 〈

p p p p p p 2 , 〉 = 1 , 　 g2 2 = 〈 , 〉 = r , 　 g1 2 = 〈 , 〉 = 0 , r r θ θ r θ

因此 g1 1 = 1 , 　 g 2 2 = ∞

1 12 = 0． 2 , 　 g r

2

设 f ∈ C ( R ) , 则在 r ≠ 0 处有 11

grad f = g

f r

p f p 22 + g = r θ θ

f r

p 1 f p + 2 . r r θ θ

图4 - 4 3

　 　 例 4 　 在空间 R 上的球坐标系 ( r ,θ, φ) 由下面的公式给出 (参看图 4 - 4): x = rcos φcos θ, 　 y = rcos φsin θ, 　 z = rsin φ . 因此 p p p p = cos φcos θ + cos φsin θ + sin φ , r x y z p p p = - rcos φsin θ + rcos φcos θ , θ x y p p p p = - rsin φcos θ - rsin φsin θ + rcos φ , φ x y z

4．3 　 光滑切向量场的协变微分

・ 14 1 ・

于是 g1 1 = 〈

p p p p 2 2 , 〉 = 1 , 　 g2 2 = 〈 , 〉 = r cos φ, r r θ θ

g3 3 = 〈

p p 2 p p , 〉 = r , 　 g1 2 = 〈 , 〉 = 0 , φ φ r θ

g2 3 = 〈

p p p p , 〉 = 0 , 　 g1 3 = 〈 , 〉 = 0 , θ φ r φ

并且 11

g

22

= 1, 　 g

=

1 33 1 12 23 13 , 　 g = 2 , 　 g = g = g = 0． 2 r cos φ r 2

设 f ∈ C∞ ( R 3 ) , 则在 r ≠ 0 处有 f r

grad f = g 1 1 =

f r

p f p f p + g2 2 + g3 3 r θ θ φ φ

p 1 f p 1 + 2 2 + 2 r r cos φ θ θ r

f p . φ φ

4．3 　 光滑切向量场的协变微分 在 n 维欧氏空间 R n 中 , 在笛卡儿直角坐标系下 , 一个光滑切 向量场就 是 一个光滑的向量函数 , 也就是 n 个光滑函数 .因此 , 光滑 切向量场的微分 成为 光滑的向量函数的微分 , 即 n 个光滑函数的微分 .容易证明光滑切向量场的这 种微分与笛卡儿直角坐标系 的取法无关 .但是 , 如果在 欧氏空间 R n 中取局 部 n

坐标系 , 则情况就完全不同了 .在本节 , 我们首先导出 R 上的光滑切向量场的 微分在局部坐标系下的表达式 , 然 后说明 这种 表达 式可以 移植 到黎曼 流形 上 来 , 作为黎曼流形上光滑切向量场的协变微分的定义 .

4．3．1 　 R n 上的光滑切向量场的微分 1 n n 设 ( x , … , x ) 是在 R 中由单位正交标架 O ;δi 决定的直角坐标系 , 于

是 x 由此可见 ,

p;

i

=

i

p

p;δi

= δi , 　 　 ＂ p ∈ R .这就是说 ,

n

.

p;δi 是在 R n 上经 过平行移 动

x 彼此合同的 单位 正 交 标 架 场 , 或 者 说该 标 架 场 在 点 p 运 动 时 是 不 变 的 .若 p

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 14 2 ・

n X ∈ X( R ) , 则 X 可以用标架场 p ;

X( p) =

xi

∑ X ( p)

表示成

p

i

x

i

i

=

p

∑ X ( p)δ , i

i

i

所以 dX =

∑ d Xδ , i

i

i

即光滑切向量场 X 的微分就是它在直角坐标 系下的分 量的微 分 .光滑函数 f 的微分的几何意义是函数 f 在邻近两点的值之差 , 即 df =

f i 1 1 n n i n i d x ≈ f ( x + d x , … , x + d x ) - f( x , … , x ) . x

∑ i

同样地 , 光滑切向量场 X 的微分事实上也是它在邻近两点的值之差 , 即 1

1

n

n

i

n

d X ≈ X ( x + d x , … , x + d x ) - X( x , … , x ) . n

　 　 下面考虑 X 的微分在局部坐标系下的表达式 .假定 X ∈ X( R ) , 则在局 i

部坐标系 ( U ; u ) 下 , X

U

可以表示为 X

U

=

∑X

i

ui

i

,

i ∞ n 其中 X ∈ C ( R ) .首先注意到 , 自然标架 p;

1 , …, n 本身是随着点 p u u 的运动而变化的 , 因此我们需要计算自 然标架场的微分 , 即自然标 架的每一个

组成部分的微分 , 这就是所谓的自然标架场的运动公式 .为了更形象化起见, 我 们把

u

i

记成

p i i , 后者被看成是点 p 沿着 u - 曲线运动时的切向量 .很明显, u p i p i dp = ∑ , id u = ∑d u í u ui i i

p p 下的 1 ,…, n u u i i p 分量是 d u .特别地 , 位置向量 p 沿参数 u 曲线的变化率就是切向量 i . u p j 进一步 , 切 向 量 场 - 曲线的变化率应该是 偏导数 i 沿着 参数 u u p , 因为 它 仍 然 是 U 上 的 切 向 量 场 , 所 以 它 同 样 能 够 用 自 然 基 底 i j u u 换言之 , d p 看作是点 p 的一个无穷小位移 , 它在自然基底

p p 线性地表示出来 , 设 1 ,…, n u u u

j

p = i u k

∑Γ

k ij

k

p k . u

由于位置向量 p 的分量是局部坐标 u 的光滑函数 , 因此它的 2 次偏导数与求 导的次序无关 , 即

4．3 　 光滑切向量场的协变微分

u

p = ui

j

u

・ 14 3 ・

p , uj

i

故 p k = u

∑Γ

k ij

k

p k k k , 　 　 Γij = Γji . u

∑Γ

k ji

k

p h 作内积得到 u p p p p k k , h〉 = ∑Γij〈 k , h〉 = u u k u u

k

下面来求 Γij 的表达式 .将前面的式子与切向量 〈

u

p p k , i h〉 = 〈∑Γij u u k

j

∑g

k

Γij .

kh

k

但是 u

〈

j

p i, u

p p p , i h〉+〈 i, u u u

p h〉 = 〈 j u u

u

p h 〉, u

j

所以用上面的式子代入得到 gi h j = u

∑( g

k

k

Γij + g kiΓh j ) .

kh

k

分别交换指标 h , j 和 i , j 得到 gi j h = u

∑( g Γ

gj h i = u

∑( g

k ih

kj

k

+ g kiΓj h ) ,

k

k

k

Γj i + g kjΓh i ) .

kh

k

k

把第 1 式和第 3 式相加 , 再减去第 2 式 , 并且利用系数Γij 关于下指标的对称性 得到 gi h j + u

gj h i u

gij k h = 2∑ g khΓij , u k

因此 gi h j + u

1 gk h ∑ 2 h

Γijk =

gj h i u

gij h u

.

k

通常把 Γij 称为度量矩阵 ( gij ) 的 Christoffel 记号 .由此可见 , d

p = ui

∑d u j

j

u

j

p = ui

∑Γ d u k ij

j

p k . u

í

j, k

　 　 有了上面的准备 , 对光滑切向量场 X 求微分得到 dX

U

=

∑

dX

∑

d Xi

∑

dX +

i

i

=

i

=

i

i

p i i + X d u

p i u

p i k j i + X ∑Γij d u u j, k

∑ XΓ d u j

j, k

i jk

k

p i . u

p uk

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 14 4 ・

i

因此 , d X 在局部坐标系 ( U ; u ) 下的表达式是 i

dX

∑

=

U

X j i k k + ∑ X Γjk d u í u j

i, k

p i . u

　 　 例 1 　 继续 4．2．3 的例 3 , 求极坐标系下自然标架场 p;

p p , 的运动 r θ

公式 . 已知 g 1 1 = 1 , 　 　 g2 2 = r2 , 　 　 g1 2 = g2 1 = 0 , g

11

22

= 1, 　 　 g

1 12 21 = g = 0, 2 , 　 　 g r

=

因此 1

Γ1 1 =

Γ12 2 = Γ21 2 =

g1 1 1 1 11 = 0 , 　 　 Γ1 2 = g r 2

1 11 g 2

g1 1 = 0, θ

g2 2 1 22 = - r , 　 　 Γ21 1 = g r 2

1 11 g 2

g2 2 1 1 22 = , 　 　 Γ22 2 = g r r 2

1 22 g 2

g1 1 = 0, θ

g2 2 = 0, θ

所以 r

p 1 = Γ1 1 r

p p 2 + Γ1 1 = 0, r θ

θ

p = r

p 1 = Γ1 2 θ

r

p 1 = Γ2 2 θ θ

p 2 + Γ1 2 r

p 1 = θ r

p 2 p + Γ2 2 = - r r θ

p , θ

p . r

对于向量函数 p = ( rcos θ, rsin θ) 直接求偏 导数 能够验 证上 面的公 式的 正 确性 . 例 2 　 继续 4．2．3 的例 4 , 求球 坐标系下 自然标 架场 p;

p p p , , 的 r θ φ

运动公式 . 已知 2

2

2

g1 1 = 1 , 　 g2 2 = r cos φ, 　 g3 3 = r , g1 2 = g2 1 = 0 , 　 g1 3 = g3 1 = 0 , 　 g2 3 = g 3 2 = 0 , 11

22

g = 1, 　 g 12

21

g = g

=

1 33 1 , 　 g = 2, 2 r cos φ r 2

13

= 0, 　 g

31

= g

23

= 0, 　 g

= g

直接计算得到 1

2

1

Γ2 2 = - rcos φ, 　 Γ3 3 = - r ,

32

= 0．

4．3 　 光滑切向量场的协变微分

Γ21 2 = Γ22 1 =

・ 14 5 ・

1 , 　 Γ22 3 = Γ23 2 = - tan φ, r

3

3

3

Γ2 2 = cos φsin φ, 　 Γ1 3 = Γ3 1 =

1 , r

i

其余的 Γj k 全都是零 , 所以 r

p = 0, 　 r

r

p = Γ31 3 φ

p 1 = φ r

p , φ

θ

p 2 = Γ1 2 r

p 1 = θ r

p , θ

θ

p 1 = Γ2 2 θ

p p 2 = - rcos φ , r r

θ

p 2 = Γ2 3 φ

p p = - tan φ , θ θ

φ

p 3 = Γ1 3 r

p 1 = φ r

φ

p 2 = Γ2 3 θ

p p = - tan φ , r r

φ

p = Γ13 3 φ

p = - r r

r

p 2 p 1 = Γ1 2 = θ θ r

p , θ

p , φ

p . r

同样地 , 对向量函数 p = ( rcos φcos θ, rcos φsin θ, rsin φ) 直接求偏导数能 够验证上面的公式的正确性 . 例 3 　 位置向量场 X = xδ1 + yδ2 + zδ3 的微分在球坐标系下的表达式 . 在这里采用例 2 的记号 .将球坐标的表达式代入得到 X = xδ1 + yδ2 + zδ3 = x = rcos φcos θ

p + y x

p + z y

p z

p p p + rcos φsin θ + rsin φ = r x y z

p . r

由此得到 dX= dr

p + r・d r

= dr

p + r dr r

= dr

p 1 p 1 p + r・ dθ + r・ dφ r r θ r φ

= dr í

p + dθí r

p r r

p + dθ r θ

p + dφí θ

p + dφ r φ

p r

p . φ

注意到 X 就是位置向量 p , 所以上式的最右端恰好是 d p 的表 达式 , 这同时 表

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 14 6 ・

p p p , , 对偶的基底 . r θ φ

明 d r , dθ, dφ 是在余切空间 T p＊ R 3 中与

4．3．2 　 黎曼流形上的光滑切向量场的协变微分 欧氏空间上光滑切向量场的微分在局部坐标系下的表达式能够用来定义 黎曼流形上光滑切向量场的协变微分 . i

假定 ( M , g) 是 m 维黎曼流形 , ( U ; u ) 是 M 的一个局部坐标系 , 命 gij = g

u

i

,

,

j

u

ij

用 ( g ) 表示 ( gij ) 的逆矩阵 .命 gi h j + u

1 kh g ∑ 2 h

k

Γij =

gj h i u

gij , h u

称为度量矩阵 ( gij ) 的 Christoffel 记号 . i

设 X ∈ X( M ) , 它在局部坐标系 ( U ; u ) 下的表达式是 X

U

∑X

=

i

u

i

i

, 　 　 X i ∈ C∞ ( U ) .

命 i

X + uj

i ,j

X = DX

U

∑X

=

i , j

∑X Γ k

i kj

j

du í

u

i, j

在下一节我们将证明 D X

U

,

k

i

.

与 U 上的局部坐标系的取法是无关的 ( 参看定 理

4．6) , 因而是在整个光滑流形 M 上定义好 的 .这个 系数是 1 次 微分式 的切 向 量场 D X 称为光滑切向量场 X 的协变微分 . i

设 Y ∈ X( M ) 是 M 上的另一个光滑切向量场 , 它在局部坐标系 ( U ; u ) 下的表达式是 Y

U

=

∑Y

i

u

i

i

.

命 DY X

U

=

∑Y X , j

i, j

则 DY X

U

i

j

u

i

=

∑Y i, j

i

j

X j + u

∑X Γ k

k

i kj

u

i

,

与 U 上的局部坐标系的取法无关 , 因而是在整个光滑流形 M 上定

义好的一个光滑切向量场 D Y X , 称为光滑切向量场 X 沿 Y 的协变导数 . 从协变导数 D Y X 的表达式不难得到下面的定理 : 定理 4．2 　 在黎曼流形 ( M , g) 上的协变导数算子 D 遵循下列运算规律 :

4．3 　 光滑切向量场的协变微分

(1 ) 对于任意的 Y 1 , Y 2 , X ∈ X( M ) 有 D Y 1 +

Y

2

・ 14 7 ・

X = DY 1 X + D Y 2 X ;

∞

(2 ) 对于任意的 Y , X ∈ X( M ) 和 f ∈ C ( M ) 有 D f・ Y X = f ・ D Y X; (3 ) 对于任意的 Y , X 1 , X 2 ∈ X( M ) 有 D Y ( X1 + X2 ) = D Y X 1 + D Y X 2 ; (4 ) 对于任意的 Y , X ∈ X( M ) 和 f ∈ C∞ ( M ) 有 D Y ( f ・ X) = Y ( f ) X + f・ D Y X; 　 　 (5 ) 对于任意的 Y , X ∈ X( M ) 有 D X Y - D Y X = [ X , Y ] ; (6 ) 对于任意的 X , Y , Z ∈ X( M ) 有 Z ( g( X , Y ) ) = g( DZ X , Y ) + g( X , D Z Y ) . 　 　 定理的证明留给读者自己完成 . 例 1 　 继续 4．1．4 的例 1 , 已知正螺面的第一基本形式是 2

2

2

2

2

ds = d u + ( u + a )d v ． 求它的 Christoffel 记号 . 解 　 已知 2

2

g 1 1 = 1 , 　 g1 2 = g2 1 = 0 , 　 g2 2 = u + a , 11

12

21

g = 1, 　 g

= g

22

= 0, 　 g

1 2 , u + a

=

2

所以 1 11 g 2

1

Γ1 1 = 1

Γ2 2 = 2

Γ2 2 =

1 11 g 2 1 22 g 2

g1 1 1 11 1 1 = 0 , 　 　 Γ1 2 = Γ2 1 = g u 2 g2 2 1 22 2 = u , 　 　 Γ1 1 = g u 2

g1 1 = 0, v g1 1 = 0, v

g2 2 2 2 1 22 = 0 , 　 　 Γ1 2 = Γ2 1 = g v 2

由此可见 , 对于正螺面上的光滑切向量场 X = X

1

g2 2 = 0． u 2

u

+ X

1

X , u

1

X =

X 1 1 2 1 + X Γ1 2 + X Γ2 2 = v

X 2 + uX , v

2 ,1

X =

X2 1 2 2 2 + X Γ1 1 + X Γ2 1 = u

X2 , u

2 ,2

X 1 2 2 2 + X Γ1 2 + X Γ2 2 = v

1 ,1

X =

X 1 1 2 1 + X Γ1 1 + X Γ1 2 = u

1 ,2

2

X =

1

1

2

X , v

即 1

2

DX = ( d X + X ud v )

2

u

+dX

v

.

v

有

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 14 8 ・

2

　 　 例2 　 设 D =

2

( u , v ) : u + v < 1 , 在 D 上的黎曼度量是 2

2

du + dv g = . (1 - ( u 2 + v2 ) ) 2 求 ( D, g) 的 Christoffel 记号 . 解 　 由 g 的表达式得知 g1 1 =

1 2

2

(1 - ( u + v ) )

2

, 　 g1 2 = g2 1 = 0 , 　 g2 2 =

1 2

2

(1 - ( u + v ) )

2

,

g1 1 = ( 1 - ( u 2 + v2 ) ) 2 , 　 g1 2 = g2 1 = 0 , 　 g2 2 = ( 1 - ( u 2 + v2 ) ) 2 , 所以 g1 1 2u = , 2 2 u 1 - (u + v )

1 11 g 2

1

Γ1 1 =

1

Γ2 2 = 2

Γ1 1 = -

1 11 g 2

g2 2 2u = 2 2 , u 1 - (u + v )

1 22 g 2

g1 1 2v = 2 2 , v 1 - (u + v ) g2 2 2v = , 2 2 v 1 - (u + v )

1 22 g 2

2

Γ2 2 =

g1 1 2v = , v 1 - ( u2 + v 2 )

1 11 g 2

Γ11 2 = Γ12 1 =

g2 2 2u = . u 1 - ( u2 + v 2 )

1 22 g 2

Γ21 2 = Γ22 1 =

4．3．3 ＊ 　 光滑切向量场的分量的协变导数及其坐标 变换公式 本节采用 4．3．2 的记号 .设 ( M , g) 是 m 维黎曼流形 .假定 X ∈ X( M) , 则在局部坐标 i

系( U ; u ) 下 , X

U

可以表示为 X

U

=

∑X

i

ui

i

,

∞

i

其中 X ∈ C ( U ) .命 i

i

X ,j =

X + uj

∑XΓ k

i kj

i

i

, 　 DX = d X +

k

∑XΓ du k

k, j

i

i kj

j

=

∑X , i

j

j

du .

j

i

通常把 DX 称为切向量场 X 的分量 X 的协变微分 , 它正好是光滑切向量场 X 的协变微分 DX 在自然基底下的分量 , 即 DX

U

=

∑DX

i

i

í

u

i

.

同时 , 把 X i , j 称为切向量场 X 的分量 Xi 的协变导数 .在这里 “协变” , 的意思是上面的表达

4．3 　 光滑切向量场的协变微分

・ 14 9 ・

式与局部坐标系 ( U ; ui ) 的取法无关 , 也就是说在局部坐标变换时分量 DX i 是按照与自然 基底的变换反变的线性变换规律进行变换的 . i

事实上 , 设( V ; v ) 是 M 的另一个局部坐标系 , 并且 U ∩ V ≠

.则在 U ∩ V 上有局

部坐标变换 v i = v i ( u1 , … , u m ) , 　 　 ui = ui ( v1 , … , vm ) , 它们都是光滑函数 , 并且互为反函数 , 即 v i ≡ v i ( u1 ( v1 , … , vm ) , … , um ( v1 , … , v m ) ) . 所以 m

i

k

∑

v u i j , k・ j = δ u v

m

ui vk i ・ = δj . vk uj

k= 1

同理

∑ k=1

i

k

u 和 vk

这说明 Jacobi 矩阵

v 互为逆矩阵 .已知自然基底的变换公式是 uj uj = ∑j vi uj . vi

命 珘 gi j = 〈

i

v

,

v

〉,

j

则 珘 gij =

k

h

u i v

∑ k, h

u j〈 k , h〉 = v v v

∑gkh k, h

k

u i v

h

u j . v

ij

用(珘 g ) 记矩阵 (珘 gi j ) 的逆矩阵 , 即

∑珘g 珘g

kj

= δji .

ik

k

i

　 　 定理 4．3 　 在局部坐标变换 u = ui ( v1 , … , v m ) 时 , 度量矩阵 ( gij ) 的逆矩阵的元素 gi j 遵循如下的变换规律 : ij

g =

∑珘g

kh

k, h

ui k v

uj h . v

　 　 证 　 用矩阵表示比较方便 .设 g11 g =

… gm 1

-1

用珘 g 和珘 g

…

… …

11

g1 m

g , 　 　 g

-1

…

…

=

m1

gm m

g

ij

1m

g

… …

g

mm

分别表示由 珘 gij 和珘 g 如同上面的方式组成的矩阵 , 并且命 1

u v1 J=

1

…

…

…

m

u v1

u vm m

…

u vm

,

.

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 15 0 ・

那么 g , g - 1 以及 珘 g ,珘 g - 1 互为逆矩阵的关系意味着 -1

g・ g

-1

= I, 　 　珘 g・珘 g

= I,

其中 I 是 m × m 单位矩阵 .于是 gi j 在局部坐标变换 ui = ui ( v1 , … , vm ) 下的变换公式成 为 T

珘 g = J ・ g・ J, 其中 JT 是矩阵 J 的转置 .由此得到 珘 g・ J

-1

T

- 1

-1

= J ・ g, 　 J ・ g

-1

T

= 珘 g ・J , 　 g

-1

-1

T

= J・珘 g ・J .

把最后一个等式展开便得到 ij

∑珘g

i

i

ui vk

kh

g =

k, h

uj . vh

　 　 定理 4．4 　 在局部坐标变换 u = u ( v1 , … , v m ) 时 , 度量矩阵的 Christoffel 记号Γjki 遵 循如下的变换规律 : 2

∑

i

Γjk = 珟

r

u

i

v + ur

vj vk

r

s

t

u vj

∑Γst

r

r, s , t

i

u vk

v . ur

　 　 证 　 对于 gij 的坐标变换公式求导得到 珘 gij k = v

∑ r , s, t

ur i v

grs t u

us j v

ut k + v

∑g

grs ut

u vi

2

ur i k v v

rs

r, s

us j + v

ur i v

∑g

rs

r, s

2

us j k . v v

直接计算得到 　 =

珘 gkj 珘 gik i + j v v gts + ur

∑ r , s, t

珘 gi j k v grt us

r

s

t

u vj

u + vk

2

∑g

rs

r

u

vi vj

r, s

s

u . vk

由定理 4．3 得到 t

u = vh

∑珘g

kh

h

k

v . uh

∑g

ht

h

k ij

再根据珟 Γ 的表达式得到 k

Γij = 珟

珘 ghj 珘 gi h i + v vj

∑珘g

kh

h

vk h t hg u

∑

=

h, r , s, t

　 +

vk sh g grs uh

∑

h, r , s

=

gts r + u

k

r

v ut

∑Γ

t rs

r , s, t

u vi

珘 gi j vh grt s u

ur i v

grs t u

us j v

2

ur vi vj s

u + vj

∑ r

2

r

k

u

v . ur

vi vj

　 　 定理 4．5 　 假 定 光 滑 切 向 量 场 X 在 局 部 坐 标 系 ( V ; vi ) 下 的 表 达 式 是 X

∑珟X

i

i

v

i

, 则当 U ∩ V ≠ i

DX =

时 , 在 U ∩ V 上有

∑D珟X

j

j

　 　 证 　 在 U ∩ V 上有

i

u i j , 　 　 X ,j = v

∑珟X ,

i

k

k, l

l

u vk

l

v . uj

V

=

4．3 　 光滑切向量场的协变微分

∑

p i = u

Xi

p k = v

k ∑珟X k

・ 15 1 ・

ui k v

Xk ∑珟 k, i

p i , u

因此 ui k . v

Xk ∑珟

Xi =

k

对上式求导数得到 i

X j = u

珟 Xk l v

∑ k, l

ui Xk k + 珟 v

2

ui k l v v

l

v j . u

从定理 4．4 得到 2

ui

k

=

l

v

v

ui r v

珟klr ∑Γ r

us k v

i ∑Γst st

ut l , v

把它代入前面的式子便得到 i

X j = u =

k

i

珟 X l v

∑ k, l

珟 Xk l + v

∑ k, l

l

u k v

v j + u

l

v j u

k ∑珟X k, l

i

u k v

r k Γrl ∑珟X 珟 r

ui r v

珟klr ∑Γ r

l

v j u

us k v

i ∑Γst st

ut l v

∑X Γ , r

i rj

r

因此 i

X + uj

∑XΓ r

i rj

k

珟 X l + v

∑

=

r

k, l

i

l

u vk

Γ ∑珟X 珟 r

k rl

r

v , uj

即 i

l

u k v

Xk , l ∑珟

Xi , j =

k, l

v j , u

i j ∑X , jd u =

DX i =

ui k = v

k l ∑珟X , l d v

j

k, l

ui k . v

k ∑ D珟X k

i

i

　 　 定理 4．6 　 设 ( M , g) 是 m 维黎曼流形 , X ∈ X( M) , ( U ; u ) 和 ( V ; v ) 是 M 的两个 局部坐标系 , 且 U ∩ V ≠ X

.设 =

U

∑X

i

u

i

i

, 　 　 X

V

∑珟X

k

=

vk

k

,

命 i

X + uj

i

X ,j =

k

珟 X + vl

∑ X Γp j , 　 　 珟X , l = p

i

k

p

其中Γpi j 和珟 Γqlk 分别是关于 gij = g

u

i

gkl = g uj 和珘

,

k

v

Γ ∑珟X 珟 q

i

, j d uj

i

u

i, j

=

∑珟X , k

l

d vl

vl 的 Christoffel 记号 .那么

,

.

k

v

k, l

　 　 证 　 在 U ∩ V 上有局部坐标变换 i

i

1

m

i

i

1

m

v = v ( u ,… , u ) , 　 　 u = u ( v , … , v ) , 那么 ui

=

∑ j

j

v ui

j

vj

, 　 　 du =

∑ i

,

q

在 U ∩ V 上有

∑X

k ql

j

u i dv . vi

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 15 2 ・ 由定理 4．5 得知

i

l

u k v

k ∑珟X , l

Xi , j =

k, l

v j , u

因此

∑X , i

j

j

du í

u

i, j

i

=

∑ ∑珟X ,

i

i, j

l

u vk

k

l

k, l

v j j d u í u

u

=

i

∑珟X , k

l

l

dv í

k, l

vk

.

4．4 　 散度算子和 Laplace 算子

4．4．1 　 光滑切向量场的散度 设光滑切向量场 X ∈ X( M ) 在局部坐标系 ( U ; ui ) 下的表达式是 X

∑X

=

U

p i, u

i

i

i

那么 X 的分量 X 的协变导数是 i

X j + u

i

X ,j = i

∑X Γ k

i kj

.

k

i

i

1

m

根据定理 4．5 , X , j 在局部坐标变换 u = u ( v , … , v ) 下的变换公式是 i

X ,j =

∑珟X ,

ui k v

k

l

k, l

vl j . u

让上面式子中的 j = i , 并对 i 求和 , 则得

∑X , i

∑珟X ,

=

i

i

k

i

l

i , k, l

l

u k v

v i = u

X , ∑珟 k

k

,

k

这意味着数量 i

∑X , i

i

=

i

∑ i

X + xi

∑X Γ k

i ki

k

与 M 的局部坐标系 ( U ; u ) 的取法无关 .于是 ∑ X , i 是在整个流形上定义好 i

i

i

的光滑函数 , 称为光滑切向量场 X ∈ X( M ) 的散度 , 记为 div X . 例 1 　 设 ui 是 R n 的笛卡儿直角坐标系 , 则 gij = δij , 因此Γijk = 0 , ＂ k, i, j, 故 i

i

X ,j = 所以 div X =

∑X , i

i

i

=

∑ i

i

X j , u

X .这正好是在多元微积分中所定义的欧氏空间 ui

4．4 　 散度算子和 Laplace 算子

・ 15 3 ・

n

R 中的光滑切向量场 X ∈ X( M ) 的散度 .

4．4．2 　 散度的局部坐标表达式 设 X ∈ X( M ) .散度 div X 可以表示成更加简单的局部坐标表达式 . 用 Christoffel 记号的表达式代入得到

∑Γ

i ki

gk l i + u

1 gi l ∑ 2 i, l

=

i

gli k u

g ki l u

gli . uk

1 gil ∑ 2 i, l

=

如果把行列式 det ( gij ) 记成 G, 则根据行列式求导的法则得到 G = uk

gij ji k = G・ ∑ g u i, j

∑G

ij

i, j

gij , uk

其中 Gij 是指在行列式 G = det ( gij ) 中元素 gi j 的代数余子式 , 矩阵 ( gij ) 的逆 矩阵的元素恰好是 gij = Gji/ G .因此

∑Γ

i ki

1 2G

=

i

G k = u

1 G

G u

.

k

　 　 由此可见 , 光滑切向量场 X 的散度 div X 在局部坐标系 ( U ; ui ) 下的表达 式是 div X =

∑X ,

i

∑

X i + u

1

(

i

=

i

= =

G

∑ i

∑ i

i

i

Xi i + u

1 i X G

∑X Γ k

i ki

k

G u

i

i

GX ) . i u

　 　 例 1 　 在球坐标系 ( r ,θ, φ) 下求光滑切向量场 X = X X

3

1

p 2 p + X + r θ

p 的协变导数 , 协变微分和散度的表达式 . φ 采用 4．3．1 的例 2 的记号 .把 r ,θ, φ分别看作 u 1 , u 2 , u3 , 那么 1

X ,1 = 1

X ,2 = 1

X ,3 =

1

X , r

X 1 1 2 1 3 1 + X Γ1 2 + X Γ2 2 + X Γ3 2 = θ

1

X 2 2 - rcos φX , θ

X1 1 1 2 1 3 1 + X Γ1 3 + X Γ2 3 + X Γ3 3 = φ

X1 3 - rX , φ

X 1 1 2 1 3 1 + X Γ1 1 + X Γ2 1 + X Γ3 1 = r

2

2

X ,1 =

X 1 2 2 2 3 2 + X Γ1 1 + X Γ2 1 + X Γ3 1 = r

1

1

2

2

X X + , r r

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 15 4 ・ 2

X X + - tan φX 3 , θ r

2

2

X 2 - tan φX , φ

3

X X + , r r

X 1 3 2 3 3 3 + X Γ1 2 + X Γ2 2 + X Γ3 2 = θ

3

X 2 + cos φsin φX , θ

X3 1 3 2 3 3 3 + X Γ1 3 + X Γ2 3 + X Γ3 3 = φ

X3 X1 + . φ r

X + X1Γ21 2 + X 2Γ22 2 + X 3Γ23 2 = θ

2

X ,2 =

2

X 1 2 2 2 3 2 + X Γ1 3 + X Γ2 3 + X Γ3 3 = φ

2

X ,3 =

3

X 1 3 2 3 3 3 + X Γ1 1 + X Γ2 1 + X Γ3 1 = r

3

X ,1 = 3

X ,2 = 3

X ,3 =

1

3

3

因此 1

1

1

1

DX = X , 1 d r + X , 2 dθ+ X , 3 dφ 1

2

2

3

= d X - rcos φX dθ - rX dφ, DX 2 = X2 , 1 d r + X 2 , 2 dθ+ X2 , 3 dφ X2 = dX + dr + r

X1 3 2 - tan φX dθ - tan φX dφ, r

2

3

3

3

3

DX = X , 1 d r + X , 2 dθ+ X , 3 dφ X3 X1 2 = dX + d r + cos φsin φX dθ+ dφ . r r 3

所以切向量场 X 的散度是 1

2

3

div X = X , 1 + X , 2 + X , 3 1

=

2

X + r

X + θ

3

1

X 2X 3 + - tan φX ． φ r

　 　 例 2 　 继续 4．3．1 的例 3． 设在 R3 的笛卡儿直角坐标系下 , 光滑向量场 X 是位置向量场 , 即 X = ( x , y, z ) .在球坐标系 ( r ,θ, φ) 下 , p , r

X = r 因此 1

2

3

X = r , 　 　 X = X = 0． 已知在球坐标系 ( r ,θ, φ) 下 , 2

2

2

g1 1 = 1 , 　 　 g2 2 = r cos φ, 　 　 g3 3 = r , 4

2

g1 2 = g2 1 = g1 3 = g 3 1 = g2 3 = g3 2 = 0 , 　 G = r cos φ, 于是 div X =

1 G

(

1

GX ) ( + r

2

GX ) + θ

(

3

GX ) φ

4．4 　 散度算子和 Laplace 算子

・ 15 5 ・

3

1 ( r cos φ) = 2 = 3． r r cos φ 在笛卡儿直角坐标系下计算得到的是同一个结果 .

4．4．3 　 Laplace 算子 ∞

设 ( M , g) 是 m 维黎曼流形 , f ∈ C ( M ) , 则 grad f ∈ X( M ) .我们把光 滑切向量场 grad f 的散度 div(grad f ) 定义为 f 的 Laplacian 算子 , 记为 Δf = div( grad f ) . ∞

n

1

n

　 　 例 1 　 设 f ∈ C ( R ) .在直角坐标系 ( x , … , x ) 下 , n

f δi , xi

∑

grad f =

i=1

于是 n

Δf = div(grad f ) =

∑

x

i=1

∞

f = i x

i

n

2

∑

x

i =1

n

f

i

x

i

.

3

　 　 例 2 　 设 f ∈ C ( R ) .如果 Δf = 0 , 则称 f 是 R 上的调和函数 .很明 n

n

显 , 如果 f , g 是 R 上的调和函数 , 则 f + c・ g 也是 R 上的调和函数 , 其中 c n

是任意常数 .由此可见 , R 上的调和函数的全体组成一个向量空间 . 3

显然 , 在 R 上以笛卡儿 直角 坐 标为 自 变量 的 一次 多 项 式必 定 是调 和 函 3

1

2

3

3

数 .下面我们来求 R 上的全体 2 次调和多项式 .用 ( x , x , x ) 记 R 中的直角 坐标系 , 则 R 3 的 2 次多项式可以表示为 3

∑a

f =

i

ij

j

x x ,

i, j = 1

并且不妨假定 aij = aj i .那么 3

3

Δf =

∑ k= 1

x

k

x

3

=

k

∑a

ij

xi xj

i, j = 1

3

∑ k= 1

x

3

∑a

k

ij

(δ x + δ x ) = 2 ∑ a kk , i k

j

j k

i

i, j = 1

k=1

3

因 此 2 次多项式 f 是 R 上的调和函数的充分必要条件是 a1 1 + a2 2 + a 3 3 = 0． 于是 , 1

2

3

2

2

2

3

2

1

2

1

3

2

( x ) - ( x ) ,( x ) - (x ) , x x , x x , x x

3

都 是 R 3 上的 2 次调和多项式 , 并且 R 3 上的 2 次调和多项式必定是它们的线性 组合 . ∞

i

设 f ∈ C ( M ) , ( U ; u ) 是 黎曼 流 形 ( M , g) 的 一个 局 部坐 标 系 , 则 由 4．2．3 得知 f 的梯度在该局部坐标系下的表达式是

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 15 6 ・

grad f =

∑g

f =

f uj

ij

i, j

ui

.

再根据 4．4．2 中散度在局部坐标系下的表达式 , 得知 f 的 Laplace 在局部坐标 系下的表达式是 Δf = div( grad f ) =

1 G

∑ i, j

u

Gg

i

f j u

ij

.

　 　 例 3 　 Laplace 算子在平面极坐标系下的表达式 . 采用 4．2．3 中例 3 的记号 .因为 2

g1 1 = 1 , 　 g2 2 = r , 　 g1 2 = g2 1 = 0 , 所以 11

g

22

= 1, 　 g

=

1 12 21 2 = g = 0 , 　 G = det ( gij ) = r ． 2 , 　 g r

由此得到 , Δf = =

1 G 1 r 2

=

11

Gg

r

f 1 + r θ r

r

r

f + r θ

Gg

22

f θ

f θ

2

f

1 2 + r r

f 1 f + 2 2 . r r θ

　 　 例 4 　 Laplace 算子在空间球坐标系下的表达式 . 采用 4．2．3 中例 4 的记号 , 容易得到 2

Δf =

f

2 2 + r r

2 f 1 f tan φ f 1 + 2 2 + 2 2 2 r φ r cos φ θ r r

2

f . φ 2

细节请读者自己完成 .

4．4．4 　 单位球面上的 Laplace 算子 尽管在有向黎曼流形上如同有向的欧氏空间一样能够定义各种各样的微 分算子 , 它们在容许的局部坐标系下有相同的表达式 .但是黎曼流形可以有不 同于欧氏空间的拓扑性质 , 特别是黎曼流形有不同于欧氏空间的度量结构 , 通 常说欧氏空间是平直的 , 而一般的黎曼流形是弯曲的 , 因此这些微分算子应该 有不同的性态 .研究黎曼流形上微分算子的性态是引人注目的课题 , 许多学科 分支与此有关 .在我们的基础课程中不可能对此进行深入的讨论 , 只能结合具 体的例子说明在弯曲的黎曼流形上的微分算子的性态和在欧氏空间上的情形 是不同的 . 2

作为例子 , 考虑单位球面 S =

3

2

2

2

( x , y, z ) ∈ R : x + y + z = 1 和与

4．4 　 散度算子和 Laplace 算子 2

・ 15 7 ・

2

2

其对照的欧氏空间 R ． 它们的 不同之处 是 : S 是 紧致的 , 而 R 是 非紧的 ; 另 外 , S 2 是弯曲的 , 而 R 2 是平直的 , 不弯曲的 . 2

设 ( u , v ) 是 R 上的笛卡儿直角坐标系 , 则 Laplace 算子是 2

Δf =

2 2

u

+

2

v

f , 　 ＂ f ∈ C∞ ( R2 ) . 2

因此 , 1 次多项式都是调和的 , 它们是 u , v 任意的线性组合 .设 f 是 R 上的 r 次多项式 , r ≥ 2 , 于是可设 r

r

f = a0 u + a1 u

r- 1

v + … + ar - 1 uv

r-1

r

+ ar v =

∑au

r- i

i

i

v,

i=0

那么 r- 2

Δf =

r

∑( r

r- i-2

- i ) ( r - i - 1 ) ai u

i=0

i

v +

∑ i( i

- 1) ai u

r- i

v

i-2

i=2

r- 2

=

∑ (( r

- i ) ( r - i - 1) ai + ( i + 2) ( i + 1) ai + 2 ) u r -

i-2

vi .

i=0

因此 f 是 r 次调和多项式当且仅当它的系数满足条件 ( r - i ) ( r - i - 1) ai + ( i + 2) ( i + 1 ) ai + 2 = 0 , 　 ＂ 0 ≤ i ≤ r - 2 , 即 r ( r - 1) a0 + 2 a2 = 0 , ( r - 1) ( r - 2) a1 + 6 a3 = 0 , ( r - 2 ) ( r - 3 ) a2 + 12 a4 = 0 , …… 6 a r - 3 + ( r - 1) ( r - 2 ) ar - 1 = 0 , 2 ar - 2 + r( r - 1) a r = 0． 2

由此可见 , 在 R 上 r 次调和多项式构成一个 2 维的向量空间 .例如 , 在 r = 2 时 , f 是调和多项式的充分必要条件是 a0 + a2 = 0 , 所以 2 次调和多项式是 u 2

3

2

2

- v 和 uv 的任意的线性组合 .在 r = 3 时 , 调和多项式的基底是 u - 3 uv , 3 u2 v - v3 ． 因此 , 在 R 2 上有很多调和函数 .但是在单位球面上 , 情况就完全不 一样了 , 仅有常值函数是调和函数 ( 参看定理 4．16 ) . 下面我们来研究 S 2 上的 Laplace 算子和 R3 中的 Laplace 算子之间的关系 . 2

2

为此 , 考虑半径为 r 的球面 S ( r ) 上的 Laplace 算子 , 记为 Δr .单位球面 S 上 3

的 Laplace 算子记为 Δ, 即 Δ = Δ1 , 而欧氏空 间 R 中的 Laplace 算子 则记 为 Δ0 ． 在 4．2．3 的例 4 中已经建立了球坐标系 ( r ,θ, φ) , 即 x = rcos φcos θ, 　 y = rcos φsin θ, 　 z = rsin φ .

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 15 8 ・

2

特别地 , 当 r 为常数时 , (θ, φ) 是球面 S ( r) 上的局部坐标系 .这样 , ( rcos φcos θ, rcos φsin θ, rsin φ) = ( - rcos φsin θ, rcos φcos θ, 0) , θ ( rcos φcos θ, rcos φsin θ, rsin φ) = ( - rsin φcos θ, - rsin φsin θ, rcos φ) , φ 因此 , S 2 ( r ) 的度量系数是 2

2

2

g1 1 = r cos φ, 　 g1 2 = g 2 1 = 0 , 　 g2 2 = r ． 故 11

g

=

1 12 21 22 4 2 , 　 g = g = 0 , 　 , g = 1 , 　 G = det ( gij ) = r cos φ . 2 r cos φ 2

所以 1 G

Δr =

11

Gg

θ

θ

+

22

Gg

φ

2

φ

2

1 tan φ 1 = 2 + 2 2 2 φ r r cos φ θ r

2

φ

.

3

2

对照 4．4．3 的例 4 中的公式不难得知 , R 中的 Laplace 算子 Δ0 和 S ( r) 上的 ∞

3

Laplace 算子 Δr 之间有下列关系式 : 设 f ∈ C ( R ) , 则 2

Δ0 f =

f

r

2

+

2 r

3

f + Δr ( f r

2

S ( r)

) .

2

特别地, R 中的 Laplace 算子 Δ0 和单位球面 S 中的 Laplace 算子 Δ的关系是 2

( Δ0 f )

S

2

=

r

f 2

r=1

f r

+2

r=1

3

+ Δ( f

S

2

∞

3

), 　 ＂ f ∈ C (R ) .

2

实际上 , 上式对于只在 R 中包含单位球面 S 在内的 一个开邻 域上有 定义 的 光滑函数都是成立的 . 3

定 理 4．7 　 若 f 是定义在 R 上的 k 次齐次调和多项式 , 则 f

S

2

满足方程

式 Δ( f 即 f

S

2

S

2

) = - k( k + 1 ) f

S

2

,

2

是单位球面 S 上特征值为 - k( k + 1 ) 的特征函数 .

证 　 在球坐标系 ( r ,θ, φ) 下 , k 次齐次多项式 f 可以表示为 k

f = r f 0 (θ, φ) , 于是 Δ0 f = k ( k + 1) r k - 2 f0 (θ, φ) + r kΔf 0 (θ, φ) . 如果 f 是 R 3 上的调和函数 , 则在上面的方程式中命 r = 1 便得到 Δ( f

S

2

) = Δf 0 (θ, φ) = - k( k + 1 ) f0 (θ, φ) = - k ( k + 1) f 2

S

2

.

　 　 进一步还能够证明 : 在 S 上的所有特征函数都可以这样 得到 , 细节就 不

4．5 ＊ 　 黎曼流形上的外微分学

・ 15 9 ・

2

在 这里叙述了 .由此可见 , 在 S 上 Laplace 算子 Δ的特征值是 - k ( k + 1) , k 是 非负整数 .

4．5 ＊ 　 黎曼流形上的外微分学 n 维欧氏向量空间 V 中的内积〈,〉不仅建立了 V 和它的对偶空间 V ＊ 之间的自然同 构 , 而且在 外 形式 空间 ∧ r V ＊ 和 ∧ n - r V ＊ 之间 也 建立 了一 种 自然 同 构 , 这 种 同构 称 为 Hodge 星算子 , 在外微分式理论中起重要的作用 .在本节我 们先在有向 欧氏空间 的局部 坐 标系下进行讨论 , 然后把所有这些结果移植到有向黎曼流形上去 .

4．5．1 　 n 维欧氏向量空间中的 Hodge 星算子 假定 V 是有向的 n 维欧氏向量空间 , 也就是在 V 中只容许取与其定向一致的基底 .设 δ1 , … ,δn 是给出 V 的定向的单位正交基底 , 在 V ＊ 中的对偶 基底记 为 δ1 , … ,δn

.则

∧ r V ＊ 的基底是 δi1 ∧ … ∧ δi r , 　 1 ≤ i1 < … < ir ≤ n . 　 　 当 1 ≤ r ≤ n - 1 时 , 所谓的 Hodge 星算子 ＊ : ∧ r V ＊ →∧ n - r V ＊ 是由基底向量的下 述对应关系诱导的线性映射 : i

i

　 ＊ (δ1 ∧ … ∧ δr ) = 1≤ i

∑ r+ 1

i

i

<… < i ≤ n n

1 ( n - r ) !1 ≤ i

=

1… n

δi 1 … i nδr+ 1 ∧ … ∧ δn

∑ r+ 1

δ1i1…… ninδi r+ 1 ∧ … ∧ δi n .

,… , i ≤ n n

尽管上式第 1 个等号后面是一个和式 , 但是实际上只有一项 , 即指标 ir+ 1 < … < in 和 i1 < 1… n

… < ir 合在一起必须是 1 , … , n 的排列 , 而 δi 1 … i n 恰好是该排列的符号 ( 它反映了该 排列 的奇偶性 ) .在第 2 个等号后面 , 关于 ir+ 1 , … , in 是彼此独立地求和 . 另外 , 规定 ＊ 在 0 次外形式和 n 次外形式上的作用是 ＊ 1 = δ1 ∧ … ∧ δn , 　 　 ＊ (δ1 ∧ … ∧ δn ) = 1． 　 　 例 1 　 设 V = R2 , δ1 , δ2 是给出 R 2 的定向的单位正交基底 , 则 ＊ δ1 = δ2 , 　 　 ＊ δ2 = - δ1 ． 　 　 例 2 　 设 V = R3 , δ1 , δ2 , δ3 是给出 R 3 的定向的单位正交基底 , 则 ＊ δ1 = δ2 ∧ δ3 , 　 ＊ δ2 = δ3 ∧ δ1 , 　 ＊ δ3 = δ1 ∧ δ2 , 并且 2

3

1

3

1

2

1

2

3

＊ (δ ∧ δ ) = δ , 　 ＊ (δ ∧ δ ) = δ , 　 ＊ (δ ∧ δ ) = δ ． 　 　 很明显 , Hodge 星算子 ＊ : ∧ r V ＊ →∧ n - r V ＊ 与在 V 中定向相符的单位正交基底的选 取无关 .事实上 , 设 e1 , … , en 是 V 的另一个定向相符的 单位正交基底 , 在 V ＊ 中的 对偶

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 16 0 ・ 基底记为

e1 , … , en

.于是可设 n

ei =

∑ aδ, j i

j

j =1

其中( aji ) 是正交矩阵 , 并且 det ( aji ) = 1 , 那么 n

n

∑ ae , 　 e

j

j i i

δ =

i

∑ aδ , j i

=

i =1

j

j=1

所以 i

∑a

i

j

e1 ∧ … ∧ er =

j , …, j 1 r

i1 1

j

j

j

… ai rrδ1 ∧ … ∧ δr .

于是 　 ＊ ( ei 1 ∧ … ∧ ei r ) =

∑a

j ,… , j 1 r

=

j i1 1

… aji rr ＊ (δj1 ∧ … ∧ δj r )

1 j j 1… n j j a i11 … ai rrδj1 … j nδr+1 ∧ … ∧ δn ∑ ( n - r) !1 ≤ j ,… , j ≤ n 1

=

n

1 ( n - r) !1 ≤ j ∑ ,… , j ≤ n 1

n

1… n

k

∑δ r+ 1

,… , k

n

j

j …j 1 n

j

j

j

k

k

a i1 … ai r a kr+ 1 … ak n e r+ 1 ∧ … ∧ e n . 1

r

r+ 1

n

j

将行列式 det ( ai ) 展开得到

∑δ

j

1 = det ( ai ) =

1… n j j …j 11 1 n

j , …, j 1 n

j

a … ann ,

所以

∑δ j ,… , j 1 n

1… n j …j 1 n

j

j

j

1 … r r+ 1 … n

j

a i11 … ai rr a kr+r+11 … ak nn = δi 1 … i rk r+1 … k n .

因此 , 前面的式子成为 i

i

＊ ( e1 ∧ … ∧ er) =

1 ( n - r ) !1 ≤ k

∑ r+ 1

1 … r r +1… n

k

k

δi1 … i rk r+ 1 … k n e r+ 1 ∧ … ∧ e n .

,… , k ≤ n n

4．5．2 　 Hodge 星算子在非单位正交基底下的表达式 设 e1 , … , en 是 V 的一个定向相符的基底 , 但未必是单位正交的 .在 V ＊ 中的对偶基 底记为 e1 , … , en

.于是可设 n

ei =

∑ aδ, j i

j

j =1

其度量系数是 n

gij = 〈ei , e〉 j =

∑aa k i

k j

.

k= 1

通过直接验证可知 n

gij =

i j i ∑ bk bk , 　 bj = k= 1

i j

j i

其中( b ) 是 ( a ) 的逆矩阵 .

n

∑g

ik

k= 1

ajk ,

4．5 ＊ 　 黎曼流形上的外微分学

・ 16 1 ・

由此得到 n

n

∑ae , 　 e

j

j i i

δ =

i

∑ bδ . i j

=

i= 1

j

j= 1

因此 i

i

e 1 ∧ … ∧ er =

∑

i

j , …, j 1 r

i

j

j

　 b j11 … bj rrδ1 ∧ … ∧ δr ,

所以 　 ＊ ( ei1 ∧ … ∧ ei r ) =

∑

j , …, j 1 r

=

bij11 … bij rr ＊ (δj1 ∧ … ∧ δj r )

1 i i 1… n j j bj11 … bj rr δj 1 … j nδr+ 1 ∧ … ∧ δn ∑ ( n - r ) !j ,… , j 1

=

n

1 　 ( n - r ) !j ∑ ,… , j 1

i j

k

n

∑ r+ 1

,… , k

1… n

i

i

j

j

k

k

δj 1 … j n b j11 … bj rr a kr+r+11 … aknn e r+ 1 ∧ … ∧ e n . n

i j

用 b 和 a 的关系式代入得到 　

∑

　 δ1j1…… njn bij11 … bij rr ajkr+r+11 … akj nn

∑

　

j , …, j 1 n

=

j , …, j 1 n

=

∑δ

1… n j …j 1 n

l ,…, l 1 r

j

∑ det ( a )δ j i

l , …, l 1 r

j

j

j

l i

1… r r +1 … n l … l k … k 1 r r+ 1 n

gl 1 i 1 … gl r i r .

但是 , G = det ( gi j ) = ( det ( aji ) )2 , 且 det ( aji ) > 0 , 所以 det ( aji ) = 定理 4．8 　 Hodge 星算子 ＊ 在 V 中任意的一个基底 ＊ ( ei1 ∧ … ∧ ei r ) =

l i

al1 1 … al r r a kr+1 … aknn g 1 1 … g r r r+ 1

G .由此得到

ei 下的表达式是

G gi1 k 1 … gi r krδ1k 1……nk n ekr+ 1 ∧ … ∧ ek n . ( n - r ) !k ∑ ,… , k 1

n

　 　 定理 4．9 　 Hodge 星算子 ＊ 有下列性质 : ( 1) ＊

＊ = ( - 1)

( 2) ＊ 1 =

r ( n - r)

r

id: ∧ V

＊

r

＊

→∧ V , 　 ＂ 1 ≤ r ≤ n .

Ge1 ∧ … ∧ en , ＊ ( e1 ∧ … ∧ en ) = 1/

G , 其中 ei 是 V ＊ 的任意一

个定向相符的基底 , G 是对应的度量矩阵的行列式 . ( 3) 对于任意两组指标 ( i1 , … , ir ) 和 ( j1 , … , jr ) 有 　 ( ei1 ∧ … ∧ ei r ) ∧ ＊ ( ej 1 ∧ … ∧ ej r ) =

∑

k , …, k 1 r i j

g1 =

1

　 δkj11…… jkrr gi1 k 1 … gi rk r …

… i j

gr 1

i j

g1

r

… …

　 　 定理的证明留给读者自己完成 .

i j

Ge1 ∧ … ∧ en .

grr

Ge1 ∧ … ∧ en .

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 16 2 ・

4．5．3 　 Hodge 星算子在外微分式上的作用 n

n

有向 n 维欧氏空间 R 在每一 点 的切 空 间 Tp R 是 有向 的 n 维欧 氏 向量 空 间 , 所 以 n

r

n

Hodge 星算子 ＊ 可以逐点地作用于定义在 R 上的外微分式 , 成为从 A ( R ) 到 A

n- r

n

(R )

的线性映射 , 也就是对于 R n 上的任意的定向相符的局部坐标系( U ; ui ) 有 　 ＊ (d ui1 ∧ … ∧ d ui r ) =

G i k i k 1… n k k g 1 1 … g r rδk 1 … k n d u r+1 ∧ … ∧ d u n , ∑ ( n - r) !k , …, k 1

n

ij

其中( g ) 是( gij ) 的逆矩阵 , 而 p p i , j〉, 　 G = det ( gi j ) . u u

gij = 〈 n

　 　 例 1 　 R 的体积元素 . n

对于有向 n 维欧氏空间 R 来说 , n 次外微分式 Gd u1 ∧ … ∧ d un

dσ =

在保持定向的局部坐标变换下是不变 的 .特别是 , 在 R n 的 笛卡儿 直角坐 标系 ( x 1 , … , x n ) 下 1

n

dσ = d x ∧ … ∧ d x . n

因此 , 我们把 dσ称为 R 的体积元素 .根据定理 4．5 , ＊ 1 = dσ, 　 ＊ dσ = 1． 在习惯上 , 常常把体积元素写为 ＊ 1． 例 2 　 设 f ∈ C∞ ( R n ) , 则 d f ∈ A1 ( R n ) , 所以 ＊df= ＊

∑ i

=

f G i gij i du = ∑ ( n - 1) !i, j, k ,… , k u 1 n- 1

G ∑ ( - 1) j+ 1 gi j i, j

f 1… … n d uk 1 ∧ … ∧ d u k n - 1 jk … k iδ 1 n 1 u

f 1 j n i du ∧ … ∧ d u ∧ … ∧ d u . u

注意到 f 的梯度是 f i u

∑g

ij

grad f =

i, j

p j , u

由此可见 ＊ d f = igr ad f dσ . 　 　 例 3 　 例 2 启 示 我们 考 虑从 A

n-1

X( R

n

n- 1

) 到 A

n

( R ) 的线 性 同构 ＊

n

( R ) .设 X =

∑X

p i , u

i

i

则 X =

∑g

ij

i, j

i

j

Xdu ,

n

( ) :X( R ) →

4．5 ＊ 　 黎曼流形上的外微分学

∑

＊ (X )=

G( - 1)

j+ 1

j

^

1

・ 16 3 ・

j

X du ∧ … ∧ d u ∧ … ∧ d u

n

j

1

n

G 　 d u ∧ … ∧ d u ) = i X (dσ) .

= iX (

　 　 例 4 　 散度算子借助于 Hodge 星算子的表达式 div X = ＊ d( ＊ X ) = ＊ d(i X ( dσ) ) . 直接计算得到 d( ＊ X ) = d(i X (dσ) )

∑

= d

G( - 1 ) j+ 1 X j d u1 ∧ … ∧ d^ uj ∧ … ∧ d un

j

=

∑( -

1)

j+ 1

i, j

=

∑

(

j

GX ) i d u ∧ d u1 ∧ … ∧ d^ uj ∧ … ∧ d un i u

GX i ) 1 d u ∧ … ∧ d un , i u

(

i

所以 1 ( ∑ G i

＊ d( ＊ X ) = ＊ d(i X ( dσ) ) =

GX i ) = div X . i u

　 　 例 5 　 Laplace 算子借助于 Hodge 星算子的表达式 Δf = ＊ d( ＊ d f ) . 　 　 根据定义 Δf = div( d f )

#

, 故由例 4 和例 2 得到

Δf = ＊ d( ig rad f ( dσ) ) = ＊ d( ＊ d f ) . 2

　 　 定理 4．10 　 设( x , y ) 是 R 上的正定向的笛卡儿直角坐标系 , V ( x , y ) = ( X ( x , y ) , 2

Y ( x , y ) ) 是定义在 R 的有界连通闭区域 D 上的有 1 阶连续偏导数的向量场 , 则 D

其中 n 是沿边界

∮

div V 　 d xd y =

D

( V ・ n) d s,

D 定义的指向区域 D 的外部的单位法向量场 , d s 是

D 的弧长元素 .

证 　 根据外微分式的积分的定义和 Stokes 定理 , D

D 的单位切向量 是 ( (

∫ div V d x ∧ d y =∫ d( ＊

div V d xd y =

D

D

d x dy , ) , 所以沿 边界 ds ds

∫

V ) =

D

＊ V .

D 的指向 D 的 内部的 单位法 向量 - n 是 将

d x dy , ) 按反时针方向旋转 90 度得到的 , 因此 ds ds dy d x - n = , , s ds

所以 nd s = ( d y , - d x ) . 现在 ＊ X = ＊ ( X d x + Y d y ) = Xd y - Y d x = ( V ・ n) d s, 故 D

∮

div V 　 d xd y =

D

( V ・ n) d s .

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 16 4 ・

　 　 上上的正定向的笛卡儿直角坐标系 , V ( x , y , z) = ( X ( x , y , z ) , Y ( x , y , z) , Z( x , y , z ) ) 是定义在 R3 的有界连通闭区域 D 上的有 1 阶连续偏导数的向量场 , 则 div V d x d yd z =

D

其中 n 是沿边界

D

( V ・ n) d A ,

D 定义的指向区域 D 的外部的单位法向量场 , d A 是

D 的面积元素 .

证 　 根据外微分式的积分的定义 , D

　 　 在

∫ div V d x ∧ d y ∧ d z =∫ d( ＊

div V d x d yd z =

D

D

D 上取正定向的局部坐标系( u , v ) , 则

n=

=

p × u p × u 1 G

∫

V ) =

D

＊ V .

D 的单位外法向量是

p v p v y u

z u

y v

z v

,

z u

x u

z v

x v

,

x u

y u

x v

y v

x u

y u

x v

y v

,

其中

G =

并且

y u

z u

y v

z v

D 的面积元素是 d A =

dy ∧ d z=

dz ∧ dx=

d x ∧ dy=

2

+

z u

x u

z v

x v

2

+

2

,

Gd u ∧ d v .直接计算得到 y u

z u

y v

z v

z u

x u

z v

x v

x u

y u

x v

y v

du ∧ d v =

du ∧ d v =

du ∧ d v =

1 G

1 G

1 G

y u

z u

y v

z v

z u

x u

z v

x v

x u

y u

x v

y v

d A,

d A,

d A,

所以 ＊ V = Xd y ∧ d z + Yd z ∧ d x + Zd x ∧ d y

=

1 G

X

y u

z u

y v

z v

= ( V・ n) d A . 故定理 4．11 成立 .

+ Y

z u

x u

z v

x v

+ Z

x u

y u

x v

y v

dA

4．5 ＊ 　 黎曼流形上的外微分学

・ 16 5 ・

定理 4．12 　 设 ( x , y , z) 是在 R 3 上的正定向的笛卡儿直角坐标系 , f 是定义在 R 3 的 有界连通闭区域 D 上的有 2 阶连续偏导数的向量场 , 则 D

其中 n 是沿边界

Δf d xd yd z =

D

n( f)dA =

D

(grad f ・ n) d A ,

D 定义的指向区域 D 的外部的单位法向量场 , d A 是

D 的面积元素 .

证 　 因为 Δf = div( grad f ) , 在定理 4．7 中取 V = grad f 便得到所要的结论 .

4．5．4 　 R 3 中的场论公式 在上一节所叙述的关于梯度和散度的公式在 R3 中自然是成立的 , 即 grad f = (d f ) # , 　 div V = ＊ d( ＊ V ) , 　 Δf = ＊ d( ＊ d f ) . 3

在 R 中还有一个特殊的微分算子 , 即光滑向量场 V 的旋量 rot V , 它的定义是 rot V = ( ＊ d( V ) )

#

.

3

3

　 　 设( x , y, z ) 是在 R 上的正定向的笛卡儿直角坐标系 , V = ( X , Y , Z) ∈ X( R ) , 则 d( V ) = d( Xd x + Y d y + Zd z ) Z y

= 　 +

Y x

Y dy ∧ d z + z

X z

Z dz ∧ dx x

X d x ∧ dy . y

因此 rot V =

Z y

Y z

p + x

=

Z y

Y X , z z

X z Z , x

Y x

2

Z x

y X y

+

Y x

X y

p z

. ∞

3

3

3

　 　 定理 4．13 　 在有向 3 维欧氏空间 R 上 , 对于任意的 f ∈ C ( R ) 和 V ∈ X( R ) , 成 立恒等式 rot (grad f ) = 0 , 　 　 div( rot V ) = 0． 3

反过来 , 如果光滑向量场 V 的旋量 rot V = 0 , 则在每一点 p ∈ R 的一个邻域内存在光滑 3

函数 f , 使得 V = grad f ; 如果 V 的散度 div V = 0 , 则在每一点 p ∈ R 的一个邻域内存在 光滑向量场 W , 使得 V = rot W . 证 　 根据旋量 , 梯度和散度的表达式 , 我们有 rot ( grad f ) = ( ＊ d( d f ) )

#

= 0,

div( rot V ) = ＊ d( ＊ ( ＊ d( V ) ) ) = ＊ d( d( V ) ) = 0． 　 　 反过来 , 假定 rot V = 0 , 即 ＊ (d V ) = 0 , d( V ) = 0 , V 是闭的 1 次微分式 .根据定理 3．4 , 在每一点 p ∈ R3 的 一个邻 域内存 在光滑 函数 f , 使得 V = d f , 故 V = (d f ) # = grad f . 同理 , 如果 div V = 0 , 则 d( ＊ V ) = 0 , 即 ＊ V 是闭的 2 次外微分式 .根据定理 3．4 , 在 每一点 p ∈ R3 的一个邻域内存在 1 次微分式 α使得 ＊ V = dα .于是 , V = ＊ dα, V = ( ＊ dα)

#

#

.命 W = α , 则在该邻域内 V = rot W .

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 16 6 ・

定理 4．14 　 设 S 是有向欧氏空间 R3 中的一片有向曲面 , 其边界

S 是有限多条简单

闭曲线组成的 , 具有从 S 诱导的定向 .则对于任意的 具有一阶连续 偏导数 的向量 场 V , 下 列积分公式成立 : S

∮

( rot V )・ nd A =

S

( V・ t) d s ,

其中 n 是曲面 S 的正定向单位法向量 , d A 是 S 的面积元素 , t 是边界 量 ,ds 是

S 的正向单位切向

S 的弧长元素 . 3

证 　 在 R 的正定向笛卡儿直角坐标系( x , y , z) 下 , Z y

rot V =

Y X , z z

Z , x

Y x

X , y

nd A = (d y ∧ d z , d z ∧ d x , d x ∧ d y) , 所以 　 ( rot V ) ・ nd A Z y

=

Y dy∧ dz + z

X z

Z dz ∧ dx + x

Y x

X d x ∧ dy y

= d( X d x + Yd y + Zd z ) . 根据 Stokes 定理 , S

( rot V ) ・ nd A =

S

∮

=

d( X d x + Y d y + Zd z )

S

∮

Xd x + Y d y + Zd z =

S

( V・ t) ds .

4．5．5 　 有向黎曼流形上的 Hodge 星算子和余微分算子 有向 m 维黎曼流形 ( M , g) 在每一点 p ∈ M 的切空间 T p M 都是有向的 m 维欧氏向 量空 间 , 因 此 Hodge 星 算 子 ＊ : ∧ r T ＊p M →∧ m - r T ＊p M 在 外 形 式 空 间 ∧ r T ＊p M 和 ∧ m - r T ＊p M 之间建立了同构关系 , 因而在外微 分式空间 Ar ( M) 和 A m - r ( M) 之间建 立了 r

同构 ＊ : A ( M ) → A

m- r

i

( M ) .若( U ; u ) 是 M 的定向相符的局部坐标系 , 则 ＊ 由下列对

应 　 ＊ ( d ui 1 ∧ … ∧ d ui r ) =

G ( m - r) !k

1

∑

, …, k m

gi 1 k 1 … gi rk rδ1k 1……mk m d uk r+1 ∧ … ∧ d uk m

给出( 参看 4．5．3 ) , 其中( gij ) 是( gij ) 的逆矩阵 , 而 gi j = g

ui

,

, 　 　 G = det ( gi j ) .

uj

根据定理 4．10 , ＊

＊ = ( - 1) r(

m - r)

id : Ar ( M ) → A m - r ( M) , 　 　 ＂ 1 ≤ r ≤ m - 1． i

( M , g) 的体积元素在定向相符的局部坐标系 ( U ; u ) 下的表达式是 dσ =

1

m

Gd u ∧ … ∧ d u ,

4．5 ＊ 　 黎曼流形上的外微分学

・ 16 7 ・

它在定向相符的局部坐标变换下是不变的 .梯度 , 散度和 Laplace 算子可以用外微分算子和 Hodge 星算子 ＊ 表示如下: ∞

＊ d f = ig rad f dσ, 　 　 　 ＂ f ∈ C ( M) , div X = ＊ d( ＊ X ) = ＊ d(i X ( dσ) ) , 　 　 ＂ X ∈ X( M ) , Δf = ＊ d( ＊ d f ) . 　 　 将外微分 算子和 Hodge 星算 子 ＊ 结合起 来 , 得到 一个 新的微 分 算子 δ: Ar ( M) → r-1

A

( M) , 称为余微分算子 , 它的定义是 δω = ( - 1)

m r+ m + 1

r

＊ d( ＊ ω) , 　 　 ＂ ω∈ A ( M) , 1 ≤ r ≤ m .

若 ω∈ A0 ( M) = C∞ ( M) , 则定义 δω = 0． r

r- 1

定理 4．15 　 余微分算子 δ: A ( M) → A

( M ) 是线性算子 , 并且

δ δ= 0． r

r-1

　 　 证 　 根据定义 , 对于任意的 ω∈ A ( M) ,δω∈ A

( M ) , 所以

δ(δω) = ( - 1) n ( r - 1 ) + n + 1 ＊ d( ＊ δω) = ( - 1) n r + n + 1 ( - 1 ) n ( r - 1 ) + = ( - 1)

n + ( n - r+ 1 ) ( r - 1 )

n+1

＊ d( ＊ ＊ d ＊ ω)

＊ d( d ＊ ω) = 0．

　 　 由外微分算子和余微分算子 , 可以定义 Δω = ( dδ+ δd)ω = d(δω) + δ( dω) , 　 ＂ ω∈ Ar ( M ) . 珟 r

r

微分算子 珟 Δ: A ( M ) → A ( M) 称为 Hodge - Laplace 算子 , 很明显 ,珟 Δ作用在光滑函数上恰 好就是 - Δ, 即 珟 Δf = - ＊ d( ＊ d f ) = - Δf , 　 　 ＂ f ∈ C∞ ( M) . 　 　 在 m = 3 时 , 我们同样能够定义旋量 rot X = ( ＊ d( X ) ) # .因此 , 在 3 维有向黎曼流形 ( M , g) 上照常可以展开场论的研究 .特别地 , 定理 4．10 , 定理 4．11 , 定理 4．12 和定理 4．13 在把欧氏空间换成相应的黎曼流形时仍旧是成立的 . 定理 4．16 　 紧致的有向黎曼流形上的调和函数必定是常值函数 . 证 　 设( M , g) 是紧致的 m 维有向黎曼流形 , f ∈ C∞ ( M ) .因此在定向相符的局部坐 i

标系( U ; u ) 下有 (参看定理 4．5( 3) ) df ∧ ＊df=

f i u

∑ i, j

=

∑g

ij

i, j

f i j j d u ∧ ＊ du u f i u

f j u

Gd u1 ∧ … ∧ d um = grad f

2

dσ .

在另一方面 , d f ∧ ＊ d f = d( f ＊ d f ) - fd( ＊ d f ) = d( f ＊ d f ) - f ＊ d( ＊ d f ) dσ = d( f ＊ d f ) - fΔf dσ . 如果 f 是调和函数 , 则 Δf = 0 , 于是上面的式子成为 grad f

2

dσ = d( f ＊ d f ) .

将上式在 M 上积分 , 并且利用 Stokes 公式( 定理 3．9) , 则有

∫

M

故

grad f

2

∫ d( f ＊ d f ) =∫

dσ =

M

M

f ＊ d f = 0,

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 16 8 ・

2

grad f

= 0 , 　 　 grad f = 0 ,

即 f 是 M 上的常值函数 . 评注 　 黎曼流形的概念是 B .Riemann 于 1854 年在他的就职演说《关于几何学的基本 假设》中提出来的 .在此之前 , F .Gauss 发现 (1827 年 ) R3 中的曲面的 Gauss 曲率 ( 曲面 的两 个主曲率的乘积 ) 只与曲面的第一基本形式有关 , 而不依赖曲面在 R3 中的具体形状 , 由此 开创了曲面的内蕴几何学 .Riemann 把 Gauss 的思想推广到任意 n 维的情形 , 认为在流形上 展开几何学研究的基础是在每一点是在该点给定切向量的长度 d s, 它是切向量的分量的 2 次齐式的平方根 , 即 n 2

ds =

∑g dxdx i

ij

j

.

i , j= 1

这就是所谓的黎曼度量 . 在光滑流形上给定了黎 曼度 量的 最重 要功 用 是可 以对 流 形上 的 光滑 切向 量 场求 微 分 , 即本节所说的“协变微分”.另外 , 黎曼度量在每 一点是在该点 的切空间上 的欧氏内积 , 因而建立了切空间和余切空间之间的 自然同 构 , 从而切 向量和 余切向 量的角 色可 以互 相 转换 .换句话说 , 在黎 曼流形上切向 量和余切向 量是同一个 数学对象 的不同 表现形 式 .另 外 , 在 n 维有向黎曼流形上借助于黎曼度量在 r 次外形式 (外微分式 ) 和 n - r 次外形式( 外 微分式) 之间建立了对应关系 .这种角色的互相转换使得黎曼流形上的数学变得更加 丰富 多彩了 .特别是 , 经典的电磁场 论中的 麦克斯 韦尔方 程完全 可以用 外微 分式 理论来 叙述 , 这刺激了近代关于规范场论的讨论和研究 .下面作一些简要的介绍 . 设 E = ( E1 , E2 , E3 ) 是电场 , H = ( H1 , H2 , H3 ) 是磁场 , D = ( D1 , D2 , D3 ) 是电感 ,B = ( B1 , B2 , B3 ) 是磁感 ,J = ( J1 , J2 , J3 ) 是 电流密 度 ,ρ是 电荷 密度 , c 是 光速 , t 是 时间 , ( x1 , x2 , x3 ) 是空间坐标 , 则麦克斯韦尔方程是 rotE = rotH =

1 B , 　 　 divB = 0 , c dt

4π 1 J+ c c

D , 　 　 divD = 4πρ . t

命 α= ( E1 d x 1 + E2 d x2 + E3 d x3 ) ∧ ( cd t) + B1 d x2 ∧ d x3 　 + B2 d x3 ∧ d x1 + B3 d x1 ∧ d x 2 , β= - ( H1 d x 1 + H2 d x2 + H3 d x3 ) ∧ ( cd t ) + D1 d x 2 ∧ d x3 　 + D2 d x3 ∧ d x1 + D3 d x1 ∧ d x 2 , γ= ( J1 d x 2 ∧ d x3 + J2 d x3 ∧ d x 1 + J3 d x1 ∧ d x2 ) ∧ d t 　 - ρd x 1 ∧ d x2 ∧ d x3 , 那么麦克斯韦尔方程等价于 dα = 0 , 　 　 dβ+ 4πγ = 0． 　 　 在自由空间中 , 事情变得简单了 .此时 ,E = D , H = B, J = 0 , ρ= 0． 在四维时空 ( x1 , x 2 , x3 , t) 中 , 假定 Loren tz 度量是

4．6 　 习 　 题 　 四

・ 16 9 ・

d s2 = d x1 2 + d x2 2 + d x3 2 - c2 d t2 , 则 Hodge ＊ 算子在四维时空 ( x1 , x 2 , x3 , t ) 中仍然适用 , 并且 ＊ α = β, 于是麦克斯韦尔方程成为 dα = 0 , 　 　 ＊ dα = 0 , 或 dα = 0 , 　 　 δα = 0． 因此 珟 Δα = 0． 这样的 2 次外微分式 α称为是调和的 . 黎曼流形相对于欧氏空间来说 是作为 弯曲空 间出现 的 .反映 弯曲 程度的 几何 量是 所 谓的黎曼曲率张量 , 以及由此派生 出来的 截面曲 率等概 念 .这一些 内容 在本 节没有 涉及 , 读者可以参看有关的书籍 , 例 如 [1] , [2] .在 2 维黎曼流形的情形 , 即给定了第一基本 形式 的曲面 , 反映弯曲程度的几何量就是 Gauss 曲率 .若曲面的第一基本形式是 2

2

2

d s = Ed u + Gd v , 则 Gauss 的绝妙定理说 Gauss 曲率是 (

1 EG

K = -

E) v

(

+

G

G) u E

v

. u

Riemann 在他的著名演讲中给出了黎曼度量 n

∑( d x ) i

2

ds =

2

i =1

n

K i 2 1+ (x) 4 ∑ i= 1

2

,

并且断言它具有常曲率 K .后来 , 在 半个多世纪中经过 Christoffel , Ricci , Levi - Civita 等人 的努力 , 才弄清楚 Riemann 的这个断言的依据和意义 .在此过程中 , 逐渐认识到光滑切向量 场的协变微分 , 也就是现在所称的联络 , 是比黎曼度量更加 基本的几何 构造 .至今 , 光 滑切 向量场的协变微分 , 或联络是微分几何的最重要的概念 , 在数 学的许多分 支中有广泛 的应 用 .

4．6 　 习 　 题 　 四 3

1． 设 f ( u) , g( u ) 是可微函数 , f ( u ) > 0． 考虑 R 中的旋转面 r ( u , v ) = ( f ( u) cos v , f ( u) sin v , g( u) ) . α

3

求 R 在曲面 r ( u , v ) 上的诱导黎曼度量 , 以及对应的 Christoffel 记号Γβγ ( 在这 里假定 u 1 = u , u 2 = v ) . 2

1

2

1

2

2． 在 R 中定义等价关系 ～ 为 : ( x , x ) ～ ( y , y ) 2

2

2

2

1

1

2

2

x - y 和 x - y 2

都是整数 .命 T = R / ～ ,π: R → T 是自然投影 .试在 T 上定义黎曼度量 2

2

g , 使得 π: R → T 在局部上是等距映射 .

第四章 　 黎曼流形上的微分算子

・ 17 0 ・

3． 在 4．1．3 的例 2 中求 Christoffel 记号和 Δ 的表达式 . 4． 在 4．1．3 的例 3 中求 Christoffel 记号和 Δ 的表达式 . 5． 证明定理 4．2． 6． 命 M =

2

( x , y ) ∈ R : y > 0 , M 上的黎曼度量是 2

2

( d x) + ( d y) g = . 2 y α

1

2

　 　 (1 ) 计算 g 的 Christoffel 记号 Γβγ ( 命 u = x , u = y ) . (2 ) 设 X = X

1

2

是 M 上的光滑切向量场 , 求 DX . x y (3 ) 求 ＊ d x , ＊ d y , ＊ (d x ∧ d y ) . + X

3

7． 求 R 中的 3 次齐次调和多项式 . 3

8． 设 ( x , y , z) 是 R 中的笛卡儿直角坐标系 , 命 x = rcosθ, 　 　 y = rsinθ, 　 　 z = t , 则 ( r ,θ, t ) 给出 R3 中除原点以外的任意一点的一个开邻域 U 内的局部坐 标 系 , 称为柱坐标系 .求 grad , div 和 Δ 在柱坐标系下的表达式 . 9． 设 f = sin( xy ) 是 R 2 上的光滑函数 , 求 Δf 在直角坐标系 ( x , y ) 和极 坐标系 ( r ,θ) 下的表达式 . 3

3

3

10． 设 f = x + y + z , 求 grad f 和 Δf . 2

11． 设 ( x , y ) 是 R 中的笛卡儿直角坐标系 , 命 2

2

2

2

u = x - y , 　 　 v = x + y , 则 ( u , v ) 给出了除 x 轴和 y 轴以外的每点的某个开邻域内的 局部坐 标系 .求 grad , div , Δ 在该坐标系下的表达式 . 3

12． 求 R 在柱坐标系 ( r ,θ, t ) 下的 自然 标架 p;

p p p , , 的 运动 公 r θ dt

p 2 p 3 p + X + X 的协变导数和散度 . r θ dt 3 13． 设 ( x , y , z ) 是 3 维欧氏空间 R 中 的笛 卡儿 直角坐 标系 , f ( x , y, z)

式 , 以及光滑切向量场 X = X

1

3

和 g( x , y , z ) 是 R 上的光滑函数 .求 d f , ＊ d f 和 d f ∧ ＊ d g 的表达式 . 3

14． 设 ( u , v , w ) 是在 3 维欧氏空间 R 的开区域 U 中的局部坐标系 , 使 p p p , 和 是彼此正交的 .命 u v w p p p p p λ = 〈 , 〉, 　 　 μ = 〈 , 〉, 　 　 υ = 〈 , u u v v w

得坐标曲线的切向量

p 〉, w

求 grad f , ＊ d f 和 Δf 的表达式 . 15． 在平面极坐标系 ( r ,θ) 下 , 求 ＊ d r , ＊ dθ以及 ＊ (d r ∧ dθ) . 16． 在 空 间 球 坐 标 系 ( r ,θ, φ) 下 , 求 ＊ d r , ＊ dθ, ＊ dφ, ＊ ( d r ∧ dθ) , ＊ ( d r ∧ dφ) , ＊ ( dθ∧ dφ) 和 ＊ ( d r ∧ dθ∧ dφ) .

4．6 　 习 　 题 　 四

・ 17 1 ・

17． 证明定理 4．9． 1

2

18． 命 f = sin(2πx ) , 则 f 是定义在 T ( 参看习题 2) 上 的光滑 函数 .求 Δf 和δ( d f ) .

参 考文 献 1． 陈省身 , 陈维桓 .微分几何讲义( 第二版) .北京 : 北京大学出版社 , 2001 2． 陈维桓 .微分流形初步 ( 第二版) .北京 : 高等教育出版社 , 2001 3． 陈维桓 , 李兴校 .黎曼几何引论 .上册 .北京 : 北京大学出版社 , 2002 4． 尤承业 .基础拓扑学讲义 .北京 : 北京大学出版社 , 1997

索 　 　 引

B 边界 　 103

光滑相关 　 34 光滑映射 　 43 光滑坐标覆盖 　 35

边界点 　 103

J

不可定向 　 99

C 乘积空间 　 14

积分 　 107 加细 　 22 浸入 　 54

D

浸入子流形 　 54

带边区域 　 103

紧致的 　 19

单位分解 　 42

紧致子集 　 19

单位正交标架 　 15

局部道路连通 　 25

道路连通的 　 24

局部连通 　 25

等价关系 　 16

局部紧致 　 21

第 2 分离公理 　 18

局部有限 　 22

第 2 可数公理 　 9

局部坐标变换 　 33

第一基本形式 　 34

局部坐标系 　 32

定向 　 99

距离 　 13

度量空间 　 13

K

对偶基底 　 75

开覆盖 　 19

对偶向量空间 　 73

开邻域 　 9

F

开子集 　 3 , 6

反对称的 ( r 重线性函数 ) 　 78

可定向 　 99

反对称化 　 80

可数集 　 8

L

G 光滑函数 　 39

拉回映射 　 88 , 96

光滑结构 　 35

黎曼度量 　 127

光滑流形 　 35

黎曼流形 　 127

光滑切向量场 　 61

连通的 　 24

光滑曲线 　 43

连通分支 　 24

光滑曲线的切向量 　 44

连通子集 　 24

光滑同胚 　 43

连续映射 　 4 , 10

索　 　引

・ 17 4 ・ 离散拓扑 　 7

X

邻域 　 7

线性函数 　 73

N 内点 　 3 , 7

协变导数 　 146 协变微分 　 146

P

旋量 　 165

Y

平凡拓扑 　 7

Q 切空间 　 46

诱导定向 　 103 诱导拓扑 　 9 余切空间 　 88

切向量 　 44

余切向量 　 88

切映射 　 51

余切映射 　 96

球状邻域 　 2

余微分算子 　 167

R 容许的局部坐标系 　 35

S

Z 张量积 　 77 秩 　 53

散度 　 152

支撑集 　 42 , 105

商空间 　 17

子覆盖 　 19

商拓扑 　 17

自然基底 　 47

适用坐标卡 　 103

坐标卡 　 32

双曲空间 　 33

坐标映射 　 32

T 梯度 　 137

Cartan 引理 　 86 Christoffel 记号 　 143 , 146

调和函数 　 155

Darboux 定理 　 85

同胚 　 4 , 11

Hausdorff 空间 　 18

拓扑 　 6

Hodge 星算子 　 159

拓扑基 　 7

( 广义的 ) Kroneckerδ- 记号 　 81

拓扑空间 　 6

Laplace 算子 　 155

拓扑流形 　 31

Poisson 括号积 　 65

拓扑子空间 　 9

r 重线性函数 　 77

W

r 次外微分式 　 90

外多项式 　 87

r 次外形式 　 78

外积 　 82 , 87

r 阶协变张量 　 77

外微分 　 91

Stokes 定理 　 111

微分 　 88