КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
О.В. ВАКУЛЕНКО С.Є. ЗЕЛЕНСЬКИЙ С.В. КОНДРАТЕНКО
МЕХАНІКА Навчальний посібник для студентів геологічного факультету
УДК 531/534(075.8) ББК 22.2я73 В14 Рецензенти: д-р фіз.-мат. наук, проф. В . Ф . К о в а л е н к о , канд. фіз.-мат. наук, доц. Ю . А . М а р а з у є в
Рекомендовано до друку вченою радою фізичного факультету (протокол № 1 від 18 вересня 2006 року)
В14
Вакуленко О.В., Зеленський С.Є., Кондратенко С.В. Механіка : Навч. посіб. для студентів геологічного факультету. – К.: Видавничо-поліграфічний центр "Київський університет", 2007. – 127 с.
ISBN 966-594-906-3 Розглянуто фізичний зміст основних законів релятивістської (ньютонівської) і нерелятивістської механіки – закони руху та збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу. Наведено приклади застосувань законів і поради щодо їх використання. Для студентів природничих спеціальностей та учнів фізико-математичних ліцеїв, гімназій і шкіл.
УДК 531/534(075.8) ББК 22.2я73
ISBN 966-594-906-3
© О.В. Вакуленко, С.Є. Зеленський, С.В. Кондратенко, 2007 © Київський національний університет імені Тараса Шевченка, ВПЦ "Київський університет", 2007
2
ЗМІСТ ПЕРЕДМОВА ................................................................................................ 5 Розділ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МЕХАНІКИ................................................ 5 1.1. Механічний рух. Предмет механіки................................................. 5 1.2. Система відліку................................................................................. 7 1.3. Траєкторія, довжина шляху та вектор переміщення точки ........... 9 1.4. Швидкість ........................................................................................ 11 1.5. Прискорення ................................................................................... 12 1.6. Кінематика обертального руху матеріальної точки ..................... 13 1.7. Поступальний та обертальний рух твердого тіла ........................ 16 Розділ 2. ЗАКОНИ НЬЮТОНА.................................................................. 19 2.1. Перший закон Ньютона. Інерційні системи відліку ...................... 19 2.2. Сила................................................................................................. 20 2.3. Маса. Імпульс.................................................................................. 22 2.4. Другий закон Ньютона.................................................................... 23 2.5. Третій закон Ньютона. Рух центра інерції .................................... 25 2.6. Рух тіла змінної маси...................................................................... 26 2.7. Закон збереження імпульсу ........................................................... 28 2.8. Перетворення Галілея. Механічний принцип відносності ........... 29 Розділ 3. РОБОТА ТА МЕХАНІЧНА ЕНЕРГІЯ ........................................ 32 3.1. Енергія, робота та потужність........................................................ 32 3.2. Кінетична енергія ............................................................................ 35 3.3. Потенціальна енергія ..................................................................... 37 3.4. Закон збереження механічної енергії............................................ 40 3.5. Абсолютно пружний і непружний удари........................................ 44 Розділ 4. ДИНАМІКА ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ ........................................ 48 4.1. Момент сили та момент імпульсу.................................................. 48 4.2. Момент інерції................................................................................. 51 4.3. Основний закон динаміки обертального руху .............................. 54 4.4. Прецесія .......................................................................................... 57 4.5. Закон збереження моменту імпульсу............................................ 59 Розділ 5. ОСНОВИ СПЕЦІАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ ................... 63 5.1. Постулати спеціальної теорії відносності ..................................... 63 5.2. Одночасність подій. Синхронізація годинників............................. 64 5.3. Перетворення Лоренца .................................................................. 66 5.4. Відносність довжин і проміжків часу. Інтервал між двома подіями .......................................................... 67 5.5. Перетворення швидкостей і прискорень у релятивістській кінематиці .......................................................... 72 5.6. Основний закон релятивістської динаміки.................................... 75 5.7. Закон взаємозв'язку маси та енергії.............................................. 77 3
Розділ 6. ТЯЖІННЯ .................................................................................... 80 6.1. Закон всесвітнього тяжіння .......................................................... 80 6.2. Гравітаційне поле ......................................................................... 83 6.3. Закони Кеплера. Космічні швидкості ........................................... 87 Розділ 7. РУХ У НЕІНЕРЦІЙНИХ СИСТЕМАХ ВІДЛІКУ .......................... 91 7.1. Кінематика відносного руху.......................................................... 91 7.2. Сили інерції ................................................................................... 93 7.3. Вплив обертання Землі навколо осі на рух тіл. Сила зважування та вага тіла ...................................................... 95 7.4. Вплив Сонця й Місяця на рух тіл на Землі ................................. 98 7.5. Принцип еквівалентності.............................................................. 99 Розділ 8. МЕХАНІЧНІ ВЛАСТИВОСТІ РІДИН І ГАЗІВ.......................... 101 8.1. Рівняння руху ідеальної нестисливої рідини ............................ 102 8.2. Розподіл тиску в нерухомих рідинах і газах. Закон Паскаля... 104 8.3. Закон Архімеда ........................................................................... 106 8.4. Атмосфера в полі тяжіння. Барометрична формула ............... 107 8.5. Гравітаційне самостиснення планети ....................................... 109 8.6. Гідростатична модель обертання планети............................... 111 8.7. Кінематичний опис руху рідини. Теорема нерозривності ........ 112 8.8. Стаціонарний рух ідеальної рідини. Рівняння Бернуллі.......... 114 8.9. Витікання рідини з отвору. Формула Торічеллі ........................ 118 8.10. Застосування закону збереження імпульсу під час руху рідин ... 120 8.11. Сили в'язкості.............................................................................. 122 8.12. Рух тіл у в'язкому середовищі ................................................... 123 8.13. Стаціонарний рух в'язкої рідини в трубі. Формула Пуазейля ...................................................................... 125 8.14. Ламінарний і турбулентний рух ................................................. 126 ЛІТЕРАТУРА ............................................................................................. 127
4
ПЕРЕДМОВА Мета даного навчального посібника – розглянути основні закони механіки, зокрема закони руху та збереження енергії, імпульсу і моменту імпульсу, а також навести приклади, як слід застосовувати ці закони для розв'язання практичних задач. Навчальний посібник розрахований для студентів вищих навчальних закладів природничих спеціальностей. Завдання будь-якого курсу загальної фізики – по-перше, викласти студенту основні принципи та закони фізики, їх математичне представлення; по-друге, ознайомити його з основними фізичними явищами, методами їх спостереження, надати студенту уявлення про застосування фізичних моделей і теорій. Як правило, курс "Механіка" викладається студентам першого курсу в першому семестрі, коли курс "Математичного аналізу" ще не засвоєний. Тому, при написанні посібника основні зусилля були спрямовані на подання основних законів "Механіки" в описовій формі, щоб сформувати у студентів основні уявлення, необхідні для опису та розуміння основних фізичних явищ і процесів.
Розділ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МЕХАНІКИ 1.1. МЕХАНІЧНИЙ РУХ. ПРЕДМЕТ МЕХАНІКИ Найпростішим видом руху в природі є механічний рух, який полягає в зміні взаємного розташування тіл або їх частин у просторі з плином часу. Розділ фізики, який вивчає закономірності механічного руху, називається механікою. Найчастіше під механікою розуміють саме класичну механіку, в якій розглядаються рухи макроскопічних тіл зі швидкостями, набагато меншими від швидкості світла у вакуумі. В основі класичної механіки лежать закони Ньютона, тому її часто називають ньютонівською механікою. Закономірності руху тіл зі швидкостями, близькими до швидкості світла у вакуумі, є предметом релятивістської механіки, а закономірності руху мікрочастинок (наприклад, електронів у атомах, молекулах, кристалах тощо) – квантової механіки. У класичній механіці традиційно розрізняють такі основні розділи: кінематика, динаміка, статика. У кінематиці подається математичний опис усіх можливих видів механічного руху безвідносно до причин, які зумовлюють кожен конкретний вид руху. У динаміці розглядають причини змі5
ни руху тіл, вивчається вплив взаємодії між тілами на їх механічний рух. У статиці розглядаються закони складання сил і умови рівноваги тіл. Механічні властивості тіл визначаються їх хімічною природою, внутрішньою будовою і станом, розгляд яких є предметом не механіки, а інших розділів фізики. Тому для опису реальних рухів тіл у механіці користуються, залежно від умов кожної конкретної задачі, різноманітними спрощеними моделями: матеріальна точка, абсолютно тверде тіло, абсолютно пружне тіло тощо. Найпростішим об'єктом, рух якого вивчає класична механіка, є матеріальна точка. Матеріальною точкою називається тіло, розміри якого настільки малі, що при розгляді руху їх можна не враховувати. При цьому прийнято вважати, що вся речовина ніби зосереджена в одній геометричній точці, а отже форма й розміри тіла неістотні в умовах такої задачі. Матеріальних точок в природі не існує. Таке поняття є абстракцією, ідеалізованим образом, але те чи інше матеріальне тіло за певних обставин можна вважати матеріальною точкою. Наприклад, рух корабля з одного пункту в інший розглядають як рух матеріальної точки. Проте, якщо необхідно врахувати таку деталь, як гойданка корабля при хвилюванні моря, корабель слід розглядати як протяжне тіло, що має певну форму. Часто для скорочення замість "матеріальна точка" говорять просто "точка". Будь-яке протяжне тіло чи систему таких тіл, які утворюють досліджувану механічну систему, можна розглядати як систему матеріальних точок. Для цього всі тіла системи потрібно подумки розбити на таку велику кількість частин, щоб розміри кожної були нехтовно малі порівняно з розмірами самих тіл. Матеріальне тіло – це сукупність матеріальних точок, які можна ідентифікувати. Завдяки цьому можна говорити про взаємне розташування різних точок тіла. Абсолютно твердим тілом у механіці називають незмінну систему матеріальних точок, тобто таку ідеалізовану систему, в якій при будь-яких рухах взаємні відстані між матеріальними точками системи залишаються незмінними. При будьяких впливах відстань між будь-якими двома точками абсолютно твердого тіла не змінюється, і воно зберігає свою форму. Абсолютно тверде тіло можна розглядати як систему матеріальних точок, жорстко зв'язаних між собою. Такий підхід дозволяє описати складний рух матеріальних тіл, зокрема рух з обертанням. Усі реальні тіла деформуються, тобто змінюють свою форму чи об'єм під впливом прикладених сил. Для твердих тіл розрізняють два види деформацій: пружні та пластичні. П р у ж н и м и називають деформації, які зникають після усунення причин, що їх викликали. П л а с т и ч н и м и називають такі деформації які хоча б частково залишаються після припинення дії сил. Якою буде деформація – пружною чи пластичною – залежить від властивостей тіл і від прикладених навантажень. При описі деформації тіл користуються такими ідеалізованими поняттями: абсолютно пружне тіло та абсолютно непружне тіло. Абсолютно пружним тілом 6
називається тіло, деформація якого підкоряється закону Гука. Після припинення зовнішньої силової дії таке тіло повністю відновлює свої первісні розміри і форму. Абсолютно непружним називається тіло, яке після припинення зовнішнього силового впливу повністю зберігає деформований стан, спричинений цією дією.
1.2. СИСТЕМА ВІДЛІКУ У механіці рухом називають зміну положення тіла в просторі з плином часу. При цьому, визначають саме відносне положення, тобто розташування певного тіла відносно інших тіл. Наприклад, є сенс говорити про положення планети відносно Сонця, літака чи теплохода – відносно Землі, але не можна вказати їх положення в просторі "взагалі", безвідносно до якого-небудь конкретного тіла. Уявне абсолютно тверде тіло, відносно якого визначається положення інших тіл, називається системою відліку. У кожній конкретній задачі вибір системи відліку здійснюється так, щоб якнайбільше спростити розв'язання цієї задачі. Зазвичай у фізиці користуються інерціальними системами відліку. Для опису простору, в якому здійснюється рух матеріального тіла, з системою відліку пов'язують просторову систему координат. Найпоширенішою є прямокутна декартова система координат (рис. 1.1), ортонормований базис якої утворений трьома одиничними за модулем і взаємно ортогональними векторами i, j та k, проведеними з початку координат О. Слід підкреслити, що взаємне розташування ортів i, j та k не довільне, а однозначно задається співвідношенням [ i, j] = k . Положення довільної точки М характеризується радіус-вектором r, який з'єднує початок координат О з zk точкою М. Вектор r можна розкласти M(x,y,z) за базисом i, j, k : r = xi + yj + zk , де x r k i, y j та zk – компоненти (складові) векyj Y j тора r за осями координат. Коефіцієнxi i ти розкладу x, y, z – це декартові коx ординати точки М, а також, унаслідок X y M' ортогональності векторів базису, – проекції радіус-вектора r на відповідні Рис. 1.1 осі координат. Окрім декартової системи координат, часто вживають циліндричну і сферичну системи координат (рис. 1.2 і 1.3). У циліндричній системі координатами точки є три числа: r , ϕ, z . Як видно з рис. 1.2, циліндричні координати можна Z
виразити через декартові координати: x = r cos ϕ; y = r sin ϕ; z = z . 7
Z Z
z M
M Y X
ϕ
θ
r
r
Y
ϕ X
Рис. 1.2
Рис. 1.3
У сферичній системі координатами є радіус і два кути: r , θ, ϕ . Перехід від сферичних до декартових координат можна здійснити за формулами
x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ . Очевидно, що фізичний результат розв'язку тієї чи іншої задачі не повинен залежати від вибору системи координат. Вибір системи координат здійснюється дослідником з міркувань зручності розгляду та спрощення математичних перетворень. Одним з найважливіших моментів, що впливає на вибір системи координат, є симетрія задачі. Наприклад, для опису руху об'єкта по поверхні сфери доцільно застосувати сферичну систему координат (можна застосувати й декартову, але математичні викладки виявляться громіздкими). У фізичних задачах часто використовуються математичні вирази для нескінченно малих елементів об'єму dV . У декартовій системі координат диференціал об'єму виглядає найпростіше: dV = dx dy dz . У циліндричній і сферичній системах диференціали об'єму записують відповідно
dV = r d ϕ dr dz і dV = r 2 sin θ dr d θ d ϕ . Наведені вирази отримують з простих геометричних міркувань. Рух матеріальної точки повністю визначений, якщо задано три неперервні та однозначні функції її координат від часу t, наприклад,
x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) або r = r ( t ) , θ = θ ( t ) , ϕ = ϕ ( t ) . Ці рівняння називаються кінематичними рівняннями руху точки. Вони еквівалентні одному векторному рівнянню руху точки: r = r ( t ) .
8
1.3. ТРАЄКТОРІЯ, ДОВЖИНА ШЛЯХУ ТА ВЕКТОР ПЕРЕМІЩЕННЯ ТОЧКИ Задача кінематики полягає в описі руху матеріальної точки без з'ясування його причин. Описати рух матеріальної точки – означає вказати її положення в будь-який момент часу, тобто вказати для кожного моменту часу ту точку системи відліку, де перебуває матеріальна точка. Під час свого руху точка проходить неперервну послідовність точок систем відліку. Лінія, яку описує в просторі рухома точка, називається її траєкторією. Описати рух матеріальної точки можна в координатній формі. Матеріальна точка, яка вільно рухається в просторі, може здійснювати тільки три незалежних рухи, тобто такі, жоден з яких не можна подати у вигляді комбінації інших. І справді, рух точки вздовж кожної з осей прямокутної декартової системи координат не можна здійснити за рахунок її переміщення вздовж інших двох осей. Кількість незалежних змінних, якими описується механічна система, називається кількістю ступенів вільності цієї системи. Отже, матеріальна точка має три ступені вільності, і її положення визначається трьома координатами. Під час руху ці координати змінюються, тобто є деякими функціями часу. Описати рух – це вказати ці функції. У випадку прямокутної декартової системи координат для опису руху достатньо системи трьох рівнянь: x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) . Положення тіла можна задати за допомогою радіус-вектора r відносно деякої точки, яку прийнято за початок відліку. Таке задання положення тіла передбачає лише наявність системи відліку й не потребує введення системи координат. Радіус-вектор розглядається як величина, що задається для різних моментів часу. Описати рух матеріальної точки у векторній формі означає вказати залежність r = r ( t ) . Вищезгадані рівняння називаються кінематичними рівняннями руху. Вони задають рівняння траєкторії матеріальної точки в параметричній формі (параметр – час t). Залежно від форми траєкторії, розрізняють прямолінійний і криволінійний рух точки. Рух точки називається плоским, якщо її траєкторія цілком лежить в одній площині. У загальному випадку траєкторія матеріальної точки являє собою не плоску, а просторову криву. Для такої кривої вводиться поняття стичної площини. Стичною площиною в довільній точці М кривої називається граничне положення площини, яка проходить через будь-які три точки кривої, коли ці точки необмежено наближаються до точки М. Стичним колом у точці М кривої називається границя кола, яке проходить через три точки розглядуваної кривої, коли ці точки необмежено наближаються до точки М. Стичне коло лежить у стичній площині. Центр стичного кола та його радіус називаються відповідно центром і радіусом кривизни розглядуваної кривої в точці М. Пряма, що з'єднує точку М із 9
центром кривизни, називається головною нормаллю до кривої в точці М. Дотична до кривої в точці М перпендикулярна до головної нормалі в цій точці, і також лежить у стичній площині. Довжиною шляху точки називається сума довжин усіх ділянок траєкторії, пройдених цією точкою за розглядуваний проміжок часу. Момент часу t = t0 , з якого починає розглядатися рух точки, називається початковим моментом часу, а положення точки в цей момент (точка А на рис. 1.4) – початковим положенням. Через довільність вибору початку відліку часу зазвичай покладають t0 = 0 . Довжина шляху s, пройденого точкою з її початкового положення, є скалярною функцією часу: s = s (t ) , причому, як видно з самого означення, довжина шляху точки не може бути від′ємною величиною. Якщо точка рухається по дуговій траєкторії АВ (рис. 1.4) весь час в одному напрямку і в момент часу t знаходиться в точці М, то s (t ) = AM . Якщо ж точка рухається по більш складній траєкторії, наприклад на момент часу t1 < t переміщується з А в В, а потім, рухаючись у зворотному напрямку, на момент часу t повертається в точку М, то s (t ) = AD + BM . z M
A
B
r0 – r r
r(t)
O x Рис. 1.4
y
Вектором переміщення точки за проміжок часу від t = t1 до t = t2 називається вектор, проведений з положення точки в момент t1 в її положення в момент t2 . Він дорівнює приросту радіус-вектора точки за розглядуваний проміжок часу r2 − r1 = r ( t2 ) − r ( t1 ) . Вектор переміщення завжди спрямований уздовж хорди, що стягує відповідну ділянку траєкторії. На рис. 1.4 показано
вектор переміщення точки за проміжок часу від t0 до t , який становить величину r − r0 = r ( t ) − r ( t0 ) . Вектор переміщення точки за проміжок часу від t до t + Δt дорівнює
Δr = r ( t + Δt ) − r ( t ) = Δx i + Δy j + Δz k , де Δx , Δy і Δz – прирости (зміни) координат точки за розглядуваний проміжок часу. 10
1.4. ШВИДКІСТЬ Для характеристики швидкості руху тіл у механіці вводиться поняття швидкості. Середньою швидкістю рухомої точки в інтервалі часу від t до t + Δt називається вектор v сер , який дорівнює відношенню приросту Δr радіус-вектора точки в цей проміжок часу до тривалості руху Δt :
v сер =
Δr . Δt
Вектор v сер напрямлений так само, як і Δr , тобто вздовж хорди, яка стягує відповідну ділянку траєкторії точки. Швидкістю (або миттєвою швидкістю) точки називається векторна величина v , яка дорівнює першій похідній за часом від радіус-вектора r розглядуваної точки:
v=
dr . dt
Швидкість точки в момент часу t дорівнює границі середньої швидкості v сер при необмеженому зменшенні тривалості інтервалу Δt :
Δr = lim v сер . Δt →0 Δt Δt → 0
v = lim
Вектор v швидкості точки спрямований по дотичній до траєкторії в бік руху так само, як і вектор dr = v dt нескінченно малого переміщення точки за дуже короткий проміжок часу dt . Шлях ds , пройдений точкою за час dt , дорівнює модулю вектора переміщення: ds = dr . Тому модуль вектора швидкості точки дорівнює першій похідній від довжини шляху за часом:
v= v =
ds . dt
Як будь-який вектор, вектор v можна розкласти за базисом прямокутної декартової системи координат: v = vx i + vy j + vz k . Проекції швидкості точки на осі координат дорівнюють першим похідним за часом від відповідних координат точки:
vx =
dx dy dz , v y = , vz = , dt dt dt
а модуль вектора швидкості: 2
2
2
dx dy dz v = v = ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ . ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 11
Під час прямолінійного руху точки напрямок вектора її швидкості зберігається. Рух точки називається рівномірним, якщо модуль її швидкості не змінюється з часом: v = ds dt = const . При рівномірному русі точки довжина пройденого нею шляху s залежить від часу лінійно: s = vt (за умови, що t0 = 0 ). Якщо модуль швидкості точки зростає із часом ( dv dt > 0 ), то рух називається прискореним, а якщо спадає ( dv dt < 0 ), то рух називається сповільненим. Середньою швидкістю нерівномірного руху точки на даній ділянці її траєкторії називається скалярна величина vсер , рівна відношенню довжини Δs цієї ділянки траєкторії до тривалості Δt проходження його точкою:
vсер =
Δs . Δt
Вона дорівнює модулю вектора швидкості такого рівномірного руху, при якому на проходження цього самого шляху Δs витрачається стільки ж часу, скільки й під час розглядуваного нерівномірного руху. Під час криволінійного руху точки Δr < Δs . Тому в загальному випадку середня шляхова швидкість точки vсер не дорівнює модулю середньої швидкості v точки на тій самій ділянці траєкторії: vсер ≥ v , де знак рівності відповідає прямолінійній ділянці траєкторії.
1.5. ПРИСКОРЕННЯ Для характеристики зміни вектора швидкості точки із часом в механіці вводиться поняття прискорення. Середнім прискоренням точки в інтервалі часу від t до t + Δt називається вектор aсер , що дорівнює відношенню приросту Δv вектора швидкості v точки за цей проміжок часу до його тривалості Δt :
aсер =
Δv . Δt
Прискоренням (або миттєвим прискоренням) точки називається векторна величина a , рівна першій похідній за часом від швидкості v розглядуваної точки або, що те ж саме, другої похідної за часом від радіусвектора r цієї точки:
a=
dv d ⎛ dr ⎞ d 2r . = ⎜ ⎟= dt dt ⎝ dt ⎠ dt 2 12
Прискорення точки в момент часу t дорівнює границі середнього прискорення aсер при необмеженому зменшенні тривалості інтервалу Δt :
Δv = lim aсер . Δt →0 Δt Δt →0
a = lim
Розклад вектора a за базисом прямокутної системи координат:
a = ax i + a y j + az k . Проекції прискорення на осі координат дорівнюють першим похідним за часом від відповідних проекцій швидкості або, що те ж саме, другим похідним за часом від відповідних координат точки:
ax =
dv y d 2 y dvx d 2 x , ay = , = = dt dt dt 2 dt 2
az =
dvz d 2 z . = dt dt 2
Модуль вектора прискорення: 2
2
2
2
2 2 ⎛ d2x ⎞ ⎛ d2 y ⎞ ⎛ d2z ⎞ ⎛ dv ⎞ ⎛ dv y ⎞ ⎛ dvz ⎞ a = a = ⎜ x ⎟ + ⎜⎜ + = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ dt 2 ⎟ ⎜ dt 2 ⎟ ⎜ dt 2 ⎟ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎟⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1.6. КІНЕМАТИКА ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ Розглянемо матеріальну точку, яка рухається по колу з центром у точці
O (рис. 1.5). Така точка має один ступінь вільності, тобто її положення в просторі повністю визначається величиною ϕ кута повороту її радіусвектора r з деякого певного (початкового) положення. За проміжок часу dt радіус-вектор точки повертається на кут dϕ . Згідно з означенням кута як відношення дуги до радіуса, для нескінченно малих величин, очевидно, можна записати d ϕ =
dr . r
Введемо вектор d ϕ, довжина якого дорівнює куту нескінченно маdr лого повороту гвинта dϕ , а напряМ dϕ мок визначається напрямком оберr О тання матеріальної точки згідно з правилом правого гвинта. Іншими словами, вектор d ϕ напрямлений Рис. 1.5 уздовж осі обертання так, що з його кінця обертання точки видно як таке, що відбувається проти годинникової стрілки. Вектори, подібні до d ϕ, напрямок яких пов'язується з напрямком обертання й змінюється при переході від правої системи коорω
13
динат до лівої, називаються псевдовекторами, або аксіальними векторами (на відміну від звичайних, полярних векторів, що не змінюють свого напрямку при такому перетворенні координат). Зауважимо, що векторний добуток двох полярних векторів є псевдовектором, а векторний добуток псевдовектора та полярного вектора – полярним вектором. Введений таким чином вектор dϕ дозволяє записати просте векторне співвідношення між переміщенням і радіус-вектором dr = [ d ϕ, r ] . Розділимо ліву й праву частини цього рівняння на dt та отримаємо важливу формулу v = [ω, r ] , де введено векторну величину ω =
dϕ , яка називається dt
кутовою швидкістю. У кінематиці обертального руху вона відіграє таку ж важливу роль, як вектор швидкості v у кінематиці поступального руху. Аксіальні вектори d ϕ і ω не мають певних точок прикладання: вони можуть відкладатися з будь-якої точки осі обертання. На рис. 1.5 вони відкладені з деякої точки О нерухомої осі обертання, яка приймається одночасно за початок координат системи відліку. Напрямок вектора ω легше за все визначати за правилом правого гвинта: він збігається з напрямком поступального руху правого гвинта, який обертається разом з точкою. Наприклад, вектор кутової швидкості невеликого тіла, що лежить на поверхні Землі й обертається разом з нею навколо її осі, яка спрямована вздовж осі обертання Землі в напрямку від південного полюса до північного і за модулем становить приблизно
2π / 24 / 60 / 60 ≈ 7.3 ⋅10−5 c −1 . Обертання називається рівномірним, якщо числове значення кутової швидкості не змінюється з часом: ω = const . У цьому випадку кут повороту залежить лінійно від часу: ϕ = ωt . Періодом обертання називається проміжок часу T , протягом якого точка, рівномірно обертаючись з кутовою швидкістю ω , здійснює один оберт навколо осі обертання (повертається на кут ϕ = 2πν ): T =
2π . ω
1 ω = показує кількість обертів, здійснюваT 2π них за одиницю часу при рівномірному обертанні з кутовою швидкістю ω . Аналогічно тому, як було введено вектор прискорення a в кінематиці Частота обертання ν =
поступального руху, введемо ще одну векторну фізичну величину – кутове прискорення. Кутовим прискоренням називається вектор
β=
dω d ⎛ d ϕ ⎞ = ⎜ ⎟. dt dt ⎝ dt ⎠ 14
Шляхом диференціювання щойно отриманого виразу v = [ ω, r ] можна отримати важливе співвідношення між кутовим прискоренням β і прискоренням a :
a = [β, r ] + ⎡⎣ω, [ω, r ]⎤⎦ = [β, r ] − ω2r . Таким чином, вектор прискорення a , з яким рухається точка по колу, можна подати як суму двох взаємно перпендикулярних компонент:
a τ = [ β, r ] ,
a n = −ω2r .
Вектор a τ спрямований по дотичній до траєкторії, він називається дотичним, або тангенційним прискоренням точки. Дотичне прискорення характеризує швидкість зміни модуля вектора швидкості точки a τ = dv dt . Вектори a τ та v збігаються за напрямком під час прискореного руху точки; вектори a τ та v взаємно протилежні за напрямком, якщо рух точки сповільнений; a τ = 0 , якщо рух рівномірний. Якщо a τ = const ≠ 0 , то рух називається рівнозмінним. Під час такого руху модуль швидкості точки залежить від часу лінійно v = v0 + aτt , де v0 = v ( 0 ) – модуль початкової швидкості, тобто швидкості в початковий момент часу t = 0 . Складова a n прискорення a точки називається її нормальним прискоренням. Оскільки вона напрямлена протилежно до радіуса, то її часто називають також доцентровим прискоренням точки. Величину нормального прискорення можна розрахувати за формулою
an = a n = B
M τ
aτ
n an
C
a
v2 = ω2 r . r
Нормальне прискорення характеризує швидкість зміни напрямку вектора швидкості точки. Якщо точка рухається прямолінійно, то нормальне прискорення
a n = 0 і повне прискорення точки дорівнює її дотичному прискоренню: a = a τ .
У загальному випадку руху матеріальної точки по криволінійній траєкторії, вектор прискорення точки лежить у дотичній площині, проведеній у розглядуваній точці М траєкторії, і напрямлений у бік ввігнутості траєкторії Рис. 1.6
ВС (рис. 1.6). У цій самій площині лежать і вектори a τ та a n . 15
1.7. ПОСТУПАЛЬНИЙ ТА ОБЕРТАЛЬНИЙ РУХ ТВЕРДОГО ТІЛА Поступальним рухом твердого тіла називається такий його рух, при якому будь-яка пряма, жорстко пов'язана з тілом – наприклад, пряма АВ на рис. 1.7 – переміщується, лишаючись завжди паралельною до осі A0 B0 , напрямок якої визначається початковим положенням тіла. Під час поступального руху всі точки твердого тіла рухаються за однаковими траєкторіями (наприклад, траєкторії АA0 і ВВ0 на рис. 1.7). Розглянемо абсолютно тверді тіла, які для стислості називатимемо просто твердими тілами. Поступально рухаються відносно Землі, наприклад, кабіна ліфта, різець токарного верстата, стрілка компаса при переміщенні його корпуса в горизонтальній площині тощо. A
B
A0
A
B
O d
B0
ω Рис. 1.7
Рис. 1.8
Якщо рух твердого тіла поступальний, то всі його точки переміщуються цілком однаково: за малий час dt радіус-вектори цих точок змінюються на одну й ту саму величину dr . У кожний момент часу швидкості всіх точок тіла однакові й дорівнюють dr dt , а отже, однакові й їх прискорення. Тому кінематичний розгляд поступального руху твердого тіла зводиться до вивчення руху якоїсь з його точок. У динаміці зазвичай розглядають рух центра інерції тіла. Тверде тіло, що вільно рухається в просторі, має три поступальні ступені вільності, які відповідають його поступальному переміщенню вздовж трьох осей координат. Рух твердого тіла, при якому дві його точки А і В лишаються нерухомими, називається обертанням (або обертальним рухом) тіла навколо нерухомої осі (рис. 1.8). Нерухома пряма АВ називається віссю обертання тіла. При обертанні навколо нерухомої осі всі точки тіла описують кола, центри яких лежать на осі обертання, а площини перпендикулярні до неї. Подібний рух відносно Землі здійснюють, наприклад, ротори турбін, електродвигунів і генераторів, встановлених нерухомо на Землі. 16
Тверде тіло, яке обертається навколо нерухомої осі, має один ступінь вільності. Його положення в просторі повністю визначається величиною ϕ кута повороту тіла з деякого певного (початкового) положення. Характеристикою швидкості та напрямку Z обертання тіла навколо осі служить кутова швидкість ω . Усі точки твердого тіла обертаються з однаковими кутовими швидкостями. ρ v Довільна точка М твердого тіла, яке обертаO' ється навколо нерухомої осі OZ з кутовою M швидкістю ω , описує коло радіусом ρ із центром у точці О' (рис. 1.9). Швидкість v точки М, на відміну від кутової швидкості O тіла, часто називають лінійною швидкістю. Вона напрямлена перпендикулярно як до Рис. 1.9 осі обертання (тобто до вектора ω ), так і до радіус-вектора ρ , проведеного в точку М із центра кола О', і дорівнює їх ω
r
векторному добутку: v = [ω, ρ ] = [ω, r ] та v = ωρ . Тут r = OO '+ ρ – радіус-вектор точки М, проведений з точки О осі обертання, прийнятої за початок координат. Рух твердого тіла, при якому одна з його точок лишається на місці, називається обертанням тіла навколо нерухомої точки. Зазвичай цю точку приймають за початок координат нерухомої системи відліку. При обертанні навколо нерухомої точки всі точки тіла рухаються по поверхнях концентричних сфер, центри яких знаходяться в нерухомій точці. У кожний момент часу такий рух тіла можна розглядати як обертання навколо деякої осі, яка проходить через нерухому точку. Цю вісь називають миттєвою віссю обертання. У загальному випадку положення миттєвої осі обертання змінюється відносно як нерухомого початку відліку, так і системи відліку, жорстко зв'язаної з розглядуваним тілом. Швидкість v довільної точки М тіла дорівнює v = [ω, r ] та v = ωρ , де
ω – кутова швидкість тіла, напрямлена вздовж миттєвої осі обертання, r – радіус-вектор, проведений у точку М з нерухомої точки О, навколо якої обертається тіло, а ρ – відстань від точки М до миттєвої осі. Тіло може здійснювати три незалежних рухи: обертатися навколо кожної з трьох взаємно перпендикулярних осей, які проходять через нерухому точку О. Таким чином, воно має три ступені вільності. Для характеристики швидкості зміни вектора кутової швидкості тіла при нерівномірному обертанні тіла навколо нерухомої осі або при його обертанні навколо нерухомої точки вводиться вектор β кутового при17
скорення тіла, що дорівнює першій похідній від його кутової швидкості ω за часом t: β = d ω dt . Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, то вектори ω і β спрямовані вздовж цієї осі: при прискореному обертанні ( d ω dt > 0 ) вектор β напрямлений у той самий бік, що й ω , а при сповільненому ( d ω dt < 0 ) – у протилежний. Проекція кутового прискорення на нерухому вісь обертання OZ рівна βZ = d ωZ dt , де ωZ – проекція на ту ж вісь вектора ω . Прискорення a довільної точки М тіла, яке обертається навколо нерухомої точки О або нерухомої осі, що проходить через цю точку, часто називають, на відміну від кутового прискорення тіла, лінійним прискоренням. Воно дорівнює
a=
dv d = [ ω, r ] = a0 + a B , dt dt
де a0 = [β, r ] – обертальне прискорення точки, а a B = ⎡⎣ω, [ ω, r ]⎤⎦ – доосьове прискорення точки, спрямоване до миттєвої осі обертання. Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі OZ (рис. 1.9), то обертальне прискорення точки М збігається з її дотичним прискоренням a τ , а доосьове – з нормальним прискоренням a n . Будь-який складний рух твердого тіла можна розкласти на два простих: поступальний рух зі швидкістю v A деякої довільно вибраної точки А тіла та обертання навколо миттєвої осі, яка проходить через цю точку. Кутова швидкість обертання ω не залежить від вибору точки А. Швидкість довільної точки М тіла v = v A + ⎣⎡ω, ( r − rA ) ⎦⎤ , де r та rA – радіусвектори точок М та А. У динаміці твердого тіла зручно розглядати складний рух як сукупність двох одночасних рухів – поступального зі швидкістю центра інерції та обертання навколо центра інерції. Найпростіший випадок складного руху тіла – плоский, або плоскопаралельний рух, при якому всі точки тіла рухаються в паралельних площинах. Такий рух здійснює, наприклад, однорідний круговий циліндр, скочуючись з похилої площини. Під час плоского руху напрямок миттєвої осі обертання тіла навколо точки А не змінюється, а вектори ω і v A взаємно перпендикулярні.
18
Розділ 2. ЗАКОНИ НЬЮТОНА 2.1. ПЕРШИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ІНЕРЦІЙНІ СИСТЕМИ ВІДЛІКУ Як перший закон динаміки Ньютон прийняв закон, встановлений ще Галілеєм: тіло зберігає стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху доти, доки дія з боку інших тіл не виведе його із цього стану. Перший закон Ньютона показує, що стан спокою чи рівномірного й прямолінійного руху не вимагає для свого підтримання ніяких зовнішніх впливів. У цьому проявляється особлива динамічна властивість тіл, яка називається їх інертністю. Відповідно, перший закон Галілея – Ньютона називається законом інерції, а рух тіла за відсутності впливів з боку інших тіл – рухом за інерцією. Механічний рух відносний: його характер для одного й того самого тіла може бути різним у різних системах відліку, які рухаються одна відносно іншої. Наприклад, космонавт, який перебуває на борту штучного супутника Землі, нерухомий у системі відліку, пов'язаній із супутником. У той же час відносно Землі він рухається разом із супутником по еліптичній орбіті, тобто не рівномірно і не прямолінійно. Тому природно, що перший закон Ньютона справджуються не в кожній системі відліку. Наприклад, куля, що лежить на гладенькій підлозі каюти корабля, який іде рівномірно й прямолінійно, може розпочати рух по підлозі без усякої дії на неї з боку інших тіл: для цього достатньо, щоб швидкість корабля почала змінюватися. Система відліку, відносно якої матеріальна точка, вільна від зовнішніх впливів, перебуває у спокої або рухається рівномірно та прямолінійно, називається інерційною системою відліку. Зміст першого закону Ньютона зводиться до двох тверджень: по-перше, що всі тіла мають властивість інертності і, по-друге, що існують інерціальні системи відліку. Будь-які дві інерціальні системи відліку можуть рухатися одна відносно іншої тільки поступально й до того ж рівномірно та прямолінійно. Експериментально встановлено, що практично інерціальною є геліоцентрична система відліку, початок координат якої розташований у центрі інерції Сонячної системи (наближено – у центрі Сонця), а осі проведено в напрямку трьох віддалених зірок, вибраних, наприклад так, щоб осі координат були взаємно перпендикулярними. Лабораторна система відліку, осі координат якої жорстко зв'язані з Землею, неінерціальна головним чином через добове обертання Землі. Проте Земля обертається так повільно, що найбільше нормальне прискорення точок її поверхні в добовому обертанні не перевищує 19
2
0,034 м/с . Тому в більшості практичних задач таку лабораторну систему відліку можна наближено вважати інерційною. Інерційні системи відліку відіграють особливу роль не лише в механіці, але й в усіх інших розділах фізики. Це пов'язано з тим, що, згідно з принципом відносності Ейнштейна, математичний вираз будь-якого фізичного закону повинен мати один і той самий вигляд у всіх інерційних системах відліку. Тому надалі будемо користуватися, не застерігаючи про це щоразу, тільки інерційними системами відліку. Закономірності руху матеріальної точки відносно неінерційної системи відліку розглянуто в розд. 7.
2.2. СИЛА Силою називається векторна величина, що є мірою механічного впливу на розглядуване тіло з боку інших тіл. Механічна взаємодія між тілами може відбуватися як при безпосередньому їх контакті (наприклад, при терті, при тисненні тіл одне на одне тощо), так і між віддаленими тілами. Особлива форма матерії, що пов'язує частинки речовини в єдині системи і передає зі скінченною швидкістю дію одних частинок на інші, називається фізичним полем або просто полем. Взаємодія між віддаленими тілами відбувається шляхом створюваних ними гравітаційних і електромагнітних полів (наприклад, притягання планет до Сонця, взаємодія заряджених тіл, провідників зі струмом тощо). Механічна дія на дане тіло з боку інших тіл проявляється двоїсто. Вона здатна спричинити, по-перше, зміну стану механічного руху досліджуваного тіла, а по-друге, – його деформацію. Обидва ці прояви дії сили можуть правити за основу для вимірювання сил. Наприклад, вимірювання сил за допомогою пружинного динамометра ґрунтується на законі Гука для поздовжнього розтягу. Користуючись поняттям сили, у механіці зазвичай говорять про рух і деформацію тіла під дією прикладених до нього сил. При цьому, зрозуміло, кожній силі завжди відповідає деяке тіло, яке діє з цією силою на розглядуване тіло. Сила F повністю визначена, якщо задані її модуль, напрямок у просторі та точка прикладання. Пряма, уздовж якої спрямована сила, називається лінією дії сили. Поле, що діє на матеріальну точку з силою F, називається стаціонарним полем, якщо воно не змінюється з часом t, тобто якщо в будь-якій точці поля сила F не залежить явно від часу:
∂F = 0. Для стаціонарності ∂t
поля необхідно, щоб тіла, які його створюють, перебували у спокої відносно інерційної системи відліку, використовуваної при розгляді поля.
20
Одночасна дія на матеріальну точку М кількох сил F1 , F2 ,..., Fn (рис. 2.1, а) еквівалентна дії одної сили, яка називається рівнодійною, або результуючою, силою і дорівнює їх сумі n
F = ∑ Fi . i =1
Вона замикає багатокутник сил F1 , F2 ,..., Fn (рис. 2.1, б). F3
F1 F2
F3
M
M
Fn Fn–1
Fn–1
F2 F1 F Fn а) б)
Рис. 2.1
Якщо тіло абсолютно тверде, то дія на нього сили не змінюється при перенесенні точки прикладання цієї сили вздовж лінії її дії в межах тіла. Інакше кажучи, вектори сил, прикладених до абсолютно твердого тіла, можна розглядати як ковзні вектори. Тіло називається вільним, якщо на його положення в просторі не накладено ніяких обмежень. Наприклад, літак, що летить у небі, являє собою вільне тіло. У більшості випадків доводиться мати справу з тілами, які не є вільними: на їх можливі положення й рухи накладені ті чи інші обмеження, які в механіці називаються зв'язками. Наприклад, кулька, підвішена на нерозтяжній нитці, не може віддалитися від точки підвісу на відстань, більшу за довжину нитки; трамвай може рухатися тільки по рейках. Зв'язки здійснюються завдяки дії на розглядуване тіло інших тіл, які скріплені чи стикаються з ним (наприклад, нитки на прив'язану до неї кульку, рейок на трамвай і т.п.). Протидія зв'язків у кожній конкретній задачі може бути наперед невідома. Тоді вона підлягає визначенню в ході розв'язання задачі. Її значення має бути таким, щоб унаслідок сукупної дії всіх сил тіло здійснювало такий рух, який повністю узгоджується з обмеженнями, які накладають зв'язки на розглядуване невільне тіло. Тіла, які не входять до складу досліджуваної механічної системи, називаються зовнішніми тілами. Сили, що діють на систему з боку зовнішніх тіл, називаються зовнішніми силами, а сили взаємодії між частинами розглядуваної системи – внутрішніми.
21
Механічна система називається замкненою, або ізольованою (відокремленою) системою, якщо вона не взаємодіє із зовнішніми тілами. На жодне з тіл замкненої системи зовнішні сили не діють.
2.3. МАСА. ІМПУЛЬС
У класичній (ньютонівській) механіці масою матеріальної точки називається додатна скалярна величина, що є мірою інертності цієї точки. Під дією сили матеріальна точка змінює свою швидкість не миттєво, а поступово, тобто набуває скінченного за величиною прискорення, яке тим менше, чим більша маса матеріальної точки. Для порівняння мас m1 і m2 двох матеріальних точок достатньо виміряти модулі a1 та a2 прискорень, які набувають ці точки під дією одної й тої самої сили:
m2 a1 = . m1 a2
Зазвичай масу тіла визначають шляхом зважування на важільних вагах. У класичній (ньютонівській) механіці вважається, що: а) маса матеріальної точки не залежить від стану руху точки й є її незмінною характеристикою; б) маса – величина аддитивна (додавальна), тобто маса системи (наприклад тіла) дорівнює сумі мас усіх матеріальних точок, які входять до складу цієї системи; в) маса замкненої системи лишається незмінною при будь-яких процесах, які відбуваються в цій системі (закон збереження маси). Ці положення ньютонівської механіки були переглянуті та уточнені в релятивістській механіці. Густиною ρ тіла в даній його точці М називається відношення маси
dm малого елемента тіла, який включає точку М, до величини dV об'єму цього елемента:
ρ=
dm . dV
Розміри розглядуваного елемента мають бути настільки малі, щоб зміною густини в його межах можна було знехтувати. З іншого боку, вони мають бути значно більшими за міжмолекулярні відстані. Тіло називається однорідним, якщо в усіх його точках густина однакова. Маса однорідного тіла дорівнює добутку його густини на об'єм: m = ρV . Іноді виникають ситуації, коли густина тіла різна в різних його частинах. Такі тіла називаються неоднорідними. Маса неоднорідного тіла визначається шляхом потрійного інтегрування густини за об'ємом всього тіла m = ∫ dx ∫ dy ∫ dz ρ ( x, y, z ) = ∫∫∫ ρ dV = ∫ ρ dV , де ρ – густина як V
22
V
функція координат. Середньою густиною ρ неоднорідного тіла називається відношення його маси до об'єму:
ρ =
m . V
Центром інерції, або центром мас, системи матеріальних точок називається точка С, радіус-вектор rC якої дорівнює
rC =
1 n ∑ mi ri , m i =1
де mi і ri – маса й радіус-вектор і-ї матеріальної точки, n – загальна n
кількість матеріальних точок у системі, а m = ∑ mi – маса всієї системи. i =1
Центром інерції тіла називають точку з радіус-вектором
rC =
1 ∫ rρ dV . mV
Швидкість центра інерції
vC =
drC 1 n = ∑ mi vi . dt m i =1
Векторна величина pi = mi vi дорівнює добутку маси mi матеріальної точки на її швидкість vi , називається імпульсом, або кількістю руху, цієї матеріальної точки. Імпульсом системи матеріальних точок називається вектор p , що дорівнює геометричній сумі імпульсів усіх матеріальних точок системи: n
p = ∑ pi . i =1
Імпульс системи дорівнює добутку маси всієї системи на швидкість його центра інерції: p = mvC .
2.4. ДРУГИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА Основним законом динаміки матеріальної точки є другий закон Ньютона, який розглядає, як змінюється механічний рух матеріальної точки під дією прикладених до неї сил. Другий закон Ньютона свідчить: швидкість зміни імпульсу p матеріальної точки дорівнює силі F , що діє на неї, тобто
dp d = F або (mv ) = F , dt dt 23
де m і v – відповідно маса і швидкість матеріальної точки. Якщо на матеріальну точку одночасно діють кілька сил, то під силою F у другому законі Ньютона треба розуміти геометричну суму всіх сил, тобто результуючу силу. Векторна величина F dt називається елементарним імпульсом сили
F за малий час dt її дії. Імпульс сили F за скінченний проміжок часу від t2
t = t1 до t = t2 дорівнює означеному інтегралу ∫ F dt , де F , у загальному t1
випадку, залежить від часу t. Згідно з другим законом Ньютона, зміна імпульсу матеріальної точки дорівнює імпульсу сили, яка діє на неї: t2
dp = F dt та Δp = p 2 − p1 = ∫ F dt , t1
де p 2 = p ( t2 ) і p1 = p ( t1 ) – значення імпульсу матеріальної точки в кінці ( t = t2 ) і на початку ( t = t1 ) розглядуваного проміжку часу. Оскільки в ньютонівській механіці маса m матеріальної точки не залежить від стану руху точки, то dm dt = 0 . Тому математичний вираз другого закону Ньютона можна також представити у формі a =
a=
F , де m
dv d 2 r – прискорення матеріальної точки, r – її радіус-вектор. = dt dt 2
Відповідне формулювання другого закону Ньютона таке: прискорення матеріальної точки збігається за напрямком з діючою на неї силою і дорівнює відношенню цієї сили до маси матеріальної точки. Дотичне та нормальне прискорення матеріальної точки визначаються відповідними складовими сили F :
F aτ = τ , m
aτ =
dv Fτ = dt m
та
v 2 Fn = , R m де v – модуль вектора швидкості матеріальної точки, а R – радіус кривизни її траєкторії. Сила Fn , що надає матеріальній точці нормального прискорення, напрямлена до центра кривизни траєкторії точки й тому називається доцентровою силою. Якщо на матеріальну точку одночасно діють кілька сил F1 , F2 , ..., Fn , то її прискорення визначається їх векторною сумою:
F an = n , m
an =
24
a=
n 1 n ∑ Fl = ∑ al , m l =1 l =1
де ai = Fi m . Отже, кожна із сил, які одночасно діють на матеріальну точку, надає їй такого ж прискорення, як і за відсутності інших сил (принцип незалежності дії сил). Диференціальним рівнянням руху матеріальної точки називається рівняння
m
d 2r dt
2
n
= F = ∑ Fl . l =1
У проекціях на осі прямокутної декартової системи координат це рівняння має вигляд
m
d2x dt 2
= Fx , m
d2y dt 2
= Fy , m
d2z dt 2
= Fz ,
де x, y і z – координати рухомої точки.
2.5. ТРЕТІЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. РУХ ЦЕНТРА ІНЕРЦІЇ Механічний вплив тіл одне на одне має характер взаємодії. Це розглядає третій закон Ньютона: дві матеріальні точки діють одна на одну з силами, які чисельно рівні й напрямлені в протилежні боки вздовж прямої, яка проходить через ці точки. Якщо Fik – сила, що діє на і-ту матеріальну точку з боку k-ї, а Fki – сила, що діє на k-ту матеріальну точку з боку і-ї, то, відповідно до третього закону Ньютона, Fik = −Fki . Сили Fik і Fki прикладені до різних матеріальних точок і можуть взаємно зрівноважуватися тільки в тих випадках, коли ці точки належать одному й тому самому твердому тілу. Третій закон Ньютона є істотним доповненням до першого та другого законів. Він дозволяє перейти від динаміки окремої матеріальної точки до динаміки довільної механічної системи. Із третього закону Ньютона випливає, що в будь-якій механічній системі геометрична сума всіх внутрішніх сил дорівнює нулеві: n
n
∑ ∑ Fik = 0 ,
i =1 k =1
де n – кількість матеріальних точок, які входять до складу системи, а Fii = 0 . Вектор F зовн , рівний геометричній сумі всіх зовнішніх сил, які діють на систему, називається головним вектором зовнішніх сил:
25
n
F зовн = ∑ Fiзовн ,
i=1 зовн де Fi – результуюча зовнішніх сил, прикладених до і-ї матеріальної точки.
Із другого та третього законів Ньютона випливає, що перша похідна за часом t від імпульсу p механічної системи дорівнює головному вектору всіх зовнішніх сил, прикладених до неї:
dp = F зовн . dt Це рівняння виражає закон зміни імпульсу системи. Оскільки p = mv C , де m – маса системи, а vC – швидкість її центра інерції, то закон руху центра інерції механічної системи має вигляд
d ( mvC )
= F зовн або maC = F зовн , dt де aC = dvC dt – прискорення центра інерції. Таким чином, центр інерції механічної системи рухається як матеріальна точка, маса якої дорівнює масі всієї системи, і на яку діє сила, рівна головному вектору зовнішніх сил, прикладених до системи. Якщо розглядувана система – тверде тіло, що рухається поступально, то швидкості vi всіх точок тіла та його центра інерції vC однакові й дорівнюють швидкості v тіла. Прискорення тіла a = aC та основне рівняння динаміки поступального руху твердого тіла має вигляд ma = F зовн .
2.6. РУХ ТІЛА ЗМІННОЇ МАСИ У ньютонівській механіці маса тіла може змінюватися лише внаслідок відокремлення від тіла або приєднання до нього частинок речовини. Прикладом такого тіла є ракета. У процесі польоту маса ракети поступово зменшується, оскільки газоподібні продукти згоряння пального у двигуні ракети викидаються через сопло. Рівняння поступального руху тіла змінної маси (рівняння Мещерського):
dm ( t ) dv , = F зовн + ( v1 − v ) dt dt де m і v – відповідно маса і швидкість тіла в розглядуваний момент чаm (t )
су, F зовн – головний вектор зовнішніх сил, що діють на тіло; v1 – швидкість частинок, які відокремлюються, після їх відторгнення (якщо dm dt < 0 ), або ж частинок, що приєднуються, до їх приєднання (якщо
dm dt > 0 ). 26
Другий член правої частини рівняння Мещерського являє собою додаткову силу, яка діє на тіло змінної маси. Ця сила називається реактивною силою:
FP = ( v1 − v )
dm dm =u , dt dt
де u = v1 − v – відносна швидкість відокремлюваних або приєднуваних частинок, тобто їх швидкість відносно системи відліку, що рухається поступально разом з тілом. Реактивна сила характеризує механічну дію на тіло частинок, які відокремлюються чи приєднуються до нього (наприклад, дію на ракету струменя газів, що витікає з неї). Рівняння руху ракети за відсутності зовнішніх сил:
dv dm =u . dt dt Якщо початкова швидкість ракети дорівнює нулю, то ракета рухається прямолінійно в напрямку, протилежному відносній швидкості u струменя газу на виході із сопла двигуна. Припустимо u = const і проінтегруємо рівняння руху ракети: v m dm , ∫ dv = u ∫ 0 m m m
0
де m0 – початкова (стартова) маса ракети. Зв'язок між швидкістю ракети та її масою виражається формулою Ціолковського:
m v = −u ⋅ ln 0 . m Найбільша швидкість, яку може розвинути ракета за відсутності зовнішніх сил, називається характеристичною швидкістю. Ця швидкість досягається в момент закінчення роботи двигуна через використання всього запасу пального та окиснювача: m0 , vmax = u ⋅ ln m0 − mT де mT – початкова маса пального та окиснювача. Тяжіння Землі та опір повітря помітно зменшують максимальну швидкість, якої фактично набуває ракета в процесі роботи двигуна, порівняно з її характеристичною швидкістю. Характеристична швидкість складної (багатоступінчастої, або багатоступеневої) ракети: n
vmax = ∑ ui ⋅ ln i =1
27
m0i , m0i − mTi
де n – загальна кількість ступенів ракети, mTi – маса пального та окиснювача, призначених для роботи двигуна і-го ступеня, ui – відносна швидкість витікання газів із сопла двигуна і-ї ступеня, m0i – стартова маса частини складної ракети, яка включає всі ступені ракети з і-го до n-го. Збільшення характеристичної швидкості складної ракети в порівнянні з одноступінчастою, що має ту ж саму стартову масу й той самий запас пального та окиснювача, пов'язане з додатковим зменшенням маси ракети шляхом послідовного відокремлення від неї першого, другого та наступних ступенів після згоряння всього пального, наявного в цьому ступені.
2.7. ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ІМПУЛЬСУ Закон збереження імпульсу: імпульс замкненої системи не змінюється з часом, тобто
dp = 0 і p = const . dt На відміну від законів Ньютона, закон збереження імпульсу справедливий не лише в межах класичної механіки. Він належить до найосновніших (фундаментальних) фізичних законів, оскільки пов'язаний з певною властивістю симетрії простору – його однорідністю. Однорідність простору проявляється в тому, що фізичні властивості замкненої системи та закони її руху не залежать від вибору положення початку координат інерційної системи відліку, тобто не змінюються при паралельному перенесенні в просторі замкненої системи як цілого. Відповідно до сучасних уявлень, імпульс може мати не лише частинки та тіла, але також і поля. Наприклад, світло чинить тиск на поверхню тіла, що його відбиває чи поглинає, саме тому, що електромагнітне поле світлової хвилі має імпульс. Стосовно систем, які описуються класичною механікою, закон збереження імпульсу можна розглядати як наслідок законів Ньютона. Для замкненої механічної системи головний вектор зовнішніх сил F зовн = 0 , звідки випливає закон збереження імпульсу: n
p = ∑ mi vi = const , i =1
де mi і vi – відповідно маса і швидкість і-ї матеріальної точки механічної системи, яка складається з n точок. Не змінюються й проекції імпульсу замкненої механічної системи на осі декартових координат інерційної системи відліку: n
px = ∑ mi vix = const , i =1
n
p y = ∑ mi viy = const , i =1
28
n
pz = ∑ mi viz = const . i =1
Імпульс механічної системи p = mvC , де m – маса всієї системи, а vC – швидкість її центра інерції. Тому із закону збереження імпульсу випливає, що при будь-яких процесах, які відбуваються в замкненій системі, швидкість її центра інерції не змінюється з часом: vC (t ) = const . Якщо система не замкнена, але на неї діють такі сили, що їх головний вектор тотожно дорівнює нулю ( F зовн = 0 ), то, згідно із законами Ньютона, її імпульс не змінюється з часом: p = const . Наприклад, нехай розглядувана система – це більярдні кулі, що рухаються по столу без тертя. Ця система незамкнена, оскільки на кулі діють зовнішні сили – сили тяжіння і сили реакції опори (стола). Оскільки ці сили компенсуються, тобто
F зовн = 0 , то щодо імпульсу система більярдних куль поводить себе як замкнена, тобто її сумарний імпульс зберігається. Зазвичай F зовн ≠ 0 , а отже і dp ≠ 0 . Проте, якщо проекція головного вектора зовнішніх сил на яку-небудь нерухому вісь тотожно рівна нулю, то проекція на ту саму вісь вектора імпульсу системи не змінюється із часом. Так, p x = const за умови, що Fxзовн = 0 . Наприклад, якщо на систему не діють інші зовнішні сили, крім сили тяжіння, то перпендикулярна до напрямку цієї сили горизонтальна складова імпульсу системи не змінюється. У деяких процесах (наприклад, при ударі або пострілі) імпульси частин системи зазнають великих змін за порівняно короткі проміжки часу. Це пов'язано з виникненням у системі короткочасних, але значних за величиною внутрішніх сил взаємодії частин системи, у порівнянні з якими всі зовнішні сили, які постійно діють на систему (наприклад, сила тяжіння), виявляються малими. У такому процесі зазвичай можна знехтувати дією на систему зовнішніх сил – тобто можна наближено вважати, що імпульс усієї системи в цілому не змінюється.
2.8. ПЕРЕТВОРЕННЯ ГАЛІЛЕЯ. МЕХАНІЧНИЙ ПРИНЦИП ВІДНОСНОСТІ Перетвореннями Галілея називаються перетворення координат і часу, які застосовуються в ньютонівській механіці при переході від однієї інерційної системи відліку K ( x, y, z , t ) до іншої K ' ( x ', y ', z ', t ' ) , яка рухається відносно К поступально зі сталою швидкістю V . Перетворення Галілея спираються на аксіоми про абсолютність проміжків часу і довжин. Перша аксіома стверджує, що хід часу (проміжок часу між якими29
небудь двома подіями) однаковий в усіх інерційних системах відліку. Відповідно до другої аксіоми, розміри тіла не залежать від швидкості його руху відносно системи відліку. Якщо відповідні осі декарY' K' тових координат інерційних Y K систем відліку K і K ' проведені попарно паралельно одна r r' V одній і якщо в початковий момент часу ( t = t ' = 0 ) початки X' Vt координат O та O ' збігаються O' X (рис. 2.2), то перетворення ГаO лілея мають вигляд x ' = x − Vx t , y ' = y − V y t , Z' z ' = z − Vz t та t ' = t , Z або r ' = r − Vt і t ' = t , де x, y, z Рис. 2.2
і x ', y ', z ' – координати точки М у системах відліку K і K ' , r і r ' – радіус-вектори точки М у тих самих системах відліку, а Vx , V y , Vz – проекції швидкості V системи K ' на осі координат системи K . Зазвичай осі координат проводять Y K Y' K' так, що система K ' рухається вздовж додатного напрямку осі ОХ (рис. 2.3). У цьому випадку перетворення ГаліV лея мають найпростіший вигляд: x ' = x − Vt , y ' = y , z ' = z , t ' = t . O' O Із перетворень Галілея випливає X' X такий закон перетворення швидкості Vt довільної точки М (рис. 2.2) при переході від однієї інерційної системи відліZ' Z ку K (швидкість точки v = dr dt ) до іншої K ' (швидкість тієї ж точки Рис. 2.3 v ' = dr' dt ): v ' = v − V . Подібним чином перетворюються й проекції швидкості на відповідні осі координат: v ' x = vx − Vx , v ' y = v y − V y , v ' z = vz − Vz . Зокрема, під час руху системи K ' уздовж додатного напрямку осі ОХ (рис. 2.3) v ' x = vx − V , v ' y = v y , v ' z = vz . Прискорення точки М у системах відліку
K ( a = dv dt ) і K ' ( a ' = dv ' dt ) однакові: a ' = a . Отже, прискорення матеріальної точки не залежить від вибору інерційної системи відліку – тобто воно інваріантне відносно перетворень 30
Галілея. Сили взаємодії матеріальних точок залежать лише від їх взаємного розташування та від швидкості руху однієї відносно іншої. Взаємне розташування деяких точок 2 і 1 характеризується вектором, що дорівнює різниці радіус-векторів цих точок, тобто в системі K вектором r21 = r2 − r1 , а в системі K ' – вектором r21 ' = r2 '− r1 ' . Із перетворень Галілея випливає, що r21 = r21 ' . Тому відстані між точками 1 і 2 у системах K і K ' однакові: r21 = r21 ' або
( x2 '− x1 ')2 + ( y2 '− y1 ')2 + ( z2 '− z1 ')2 = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + ( z2 − z1 )2 . Швидкість руху точки 2 відносно точки 1 дорівнює різниці швидкостей цих точок: v 2 − v1 (у системі K ) і v 2 '− v1 ' (у системі K ' ). Із перетворень Галілея випливає, що v 2 '− v1 ' = v 2 − v1 . Отже, взаємне розташування і швидкість відносного руху будь-яких двох матеріальних точок не залежить від вибору інерційної системи відліку: вони інваріантні відносно перетворень Галілея. Інваріантні відносно перетворень Галілея й сили, які діють на матеріальну точку: F ' = F . Рівняння, які виражають закони Ньютона, інваріантні відносно перетворень Галілея, тобто не змінюють свого вигляду при перетворенні координат і часу однієї інерційної системи відліку ( K ) на іншу ( K ' ): ma = F, Fki = −Fik (у системі K ),
m ' a ' = F ', Fki ' = −Fik ' (у системі K ' ),
де m = m ' – маса розглядуваної матеріальної точки, однакова в усіх системах відліку. Таким чином, у класичній механіці справедливим є механічний принцип відносності (принцип відносності Галілея): закони механіки однакові в усіх інерційних системах відліку. Це означає, що в різних інерційних системах відліку всі механічні процеси за одних і тих самих умов відбуваються однаково. Отже, за допомогою будь-яких механічних експериментів, проведених у замкненій механічній системі тіл, неможливо встановити, перебуває ця система у стані спокою чи рухається рівномірно й прямолінійно (відносно якої-небудь інерційної системи відліку). Механічний принцип відносності свідчить про те, що в механіці всі інерційні системи відліку цілковито рівноправні. Серед них неможливо вказати якусь особливу, "головну" інерційну систему відліку, рух тіл відносно якої можна було б розглядати як "абсолютний рух". Узагальнення принципу відносності щодо всіх фізичних явищ було здійснено А. Ейнштейном у спеціальній теорії відносності. При цьому з'ясувалося, що координати і час у різних інерційних системах відліку пов'язані перетвореннями Лоренца, а не Галілея. Проте при малих швидкостях відносного руху систем відліку (порівняно зі швидкістю світла у вакуумі) перетворення Лоренца переходять у перетворення Галілея. 31
Розділ 3. РОБОТА ТА МЕХАНІЧНА ЕНЕРГІЯ 3.1. ЕНЕРГІЯ, РОБОТА ТА ПОТУЖНІСТЬ Енергією називається скалярна величина, що є мірою різних форм руху і взаємодії матерії, які розглядаються у фізиці. Енергія системи кількісно характеризує останню стосовно можливих у ній перетворень руху. Ці перетворення відбуваються завдяки взаємодії частин системи як однієї з іншою, так із зовнішніми тілами (зовнішнім середовищем). Для аналізу якісно відмінних форм руху і відповідних їм взаємодій у фізиці вводять різні види (форми) енергії: механічну, внутрішню, електромагнітну, ядерну тощо. Зміна механічного руху тіла зумовлюється силами, які діють на нього з боку інших тіл. Для кількісного опису такого процесу обміну енергією між тілами, що взаємодіють, у механіці користуються поняттям роботи сили, прикладеної до розглядуваного тіла. Елементарною роботою сили F на малому переміщенні dr називається скалярна величина δA = F dr = Fv dt , де r і v = dr dt – відповідно радіус-вектор і швидкість точки прикладання сили, а dt – малий проміжок часу, за який сила F виконує роботу δA . У прямокутних декартових координатах скалярний добуток векторів можна представити так:
(
)
δA = Fx dx + Fy dy + Fz dz = Fx vx + Fy v y + Fz vz dt , де x, y, z – координати точки прикладання сили, а Fx , Fy , Fz і vx , v y , vz – проекції на осі координат векторів F і v . Вираз для елементарної роботи можна також подати у вигляді δA = F ds cos α = Fτ ds , де ds = dr – елементарна довжина шляху точки прикладання сили за розглядуваний малий проміжок часу dt , α – кут між векторами F і dr . а Fτ = F cos α – проекція сили на напрямок переміщення dr . Тоді стає очевидним, що сила, нормальна до траєкторії точки її прикладання, роботи не виконує. Силу F називають рушійною силою, якщо Fτ > 0 , так що δA > 0 . Якщо ж Fτ < 0 , то δA < 0 , і тоді силу F називають гальмуючою силою (силою опору). Якщо на механічну систему одночасно діють сили F1 , F2 ,..., Fn , то робота δA , виконувана ними за малий час dt , дорівнює алгебраїчній сумі робіт, здійснюваних за той самий час dt кожною з них окремо,
32
n
n
n
i =1
i =1
i =1
δA = ∑ δAi = ∑ Fi dri = ∑ Fi vi dt , де ri , vi – радіус-вектор і швидкість точки прикладання сили Fi . Наприклад, для матеріальної точки ri = r – радіус-вектор цієї точки, а n
vi = v – її швидкість. Тоді δA = F dr = Fv dt , де F = ∑ Fi – рівнодійна i =1
сила. Із другого закону Ньютона випливає, що для матеріальної точки δA = v dp , де p = mv – імпульс точки, m – її маса. У випадку поступального руху абсолютно твердого тіла dri = drC і vi = vC , де rC і vC – радіус-вектор і швидкість центра інерції тіла. Робота внутрішніх сил під час будь-якого руху абсолютно твердого тіла дорівнює нулю. Тому при поступальному русі такого тіла
δA = F зовн drC = F зовн vC dt , де F зовн – головний вектор зовнішніх сил. Із закону руху центра інерції випливає, що δA = vC dp , де p = mvC – імпульс твердого тіла масою m, яке рухається поступально зі швидкістю v = vC . Робота A , виконувана силою F на скінченній ділянці траєкторії L точки її прикладання, дорівнює алгебраїчній сумі робіт на всіх малих частинах цієї ділянки, тобто виражається криволінійним інтегралом s
A = ∫ F dr = ∫ Fτ ds , 0 ( L) де s – довжина шляху, відлічувана вздовж траєкторії від початку розглядуваної ділянки, Fτ – проекція сили на напрямок переміщення dr точки її прикладання. Для обчислення цього інтегралу необхідно знати залежність Fτ від s уздовж даної траєкторії L . Якщо ця залежність представлена графічно (рис. 3.1), то робота A вимірюється площею, заштрихованою на рис. 3.1. Усі сили, що зустрічаються в класичній механіці, поділяють на консервативні та неконсервативні. Консервативними силами називаються такі, робота яких залежить лише від початкових і кінцевих положень точок їх прикладання і не залежить ні від виду траєкторій цих точок, ні від законів їх руху по траєкторіях. Наприклад, сили взаємодії частин системи (матеріальних точок) консервативні, якщо вони залежать тільки від конфігурації системи, тобто від взаємного розташування всіх точок системи, причому робота цих сил при переміщенні системи з одного довільного положення в інше не залежить від способу переміщення, а повністю визначається початковою та кінцевою конфігураціями системи. Прикладами подібних сил можуть бути сили гравітаційної взаємодії. Робота сили тя33
жіння не залежить від форми шляху, а визначається лише початковим і кінцевим положеннями тіла, що переміщується. Fτ
a 2
1
O
S
b
S
Рис. 3.1
Рис. 3.2
Стаціонарне поле називається потенціальним, якщо сила F , з якою воно діє на поміщену в нього матеріальну точку, консервативна. Це означає, що сила F залежить лише від положення матеріальної точки в полі, а робота сили F при переміщенні точки з одного довільного положення 1 в інше – 2 (рис. 3.2) уздовж будь-яких двох траєкторій, наприклад, 1а2 (робота A1a 2 ) і 1b2 (робота A1b 2 ) однакова: 2
A1a 2 = Ab 2 = ∫ F dr . 1
Робота консервативної сили при переміщенні точки її прикладання вздовж будь-якої замкненої траєкторії L (наприклад, 1а2b1) дорівнює нулю: ∫ F dr = 0 .
( L)
Усі сили, що не є консервативними, називаються неконсервативними силами. До них належать дисипативні та гіроскопічні сили. Дисипативними силами називаються сили, сумарна робота яких при будь-яких переміщеннях замкненої системи завжди від'ємна. До них належать, наприклад, сили тертя, які виникають при ковзанні якого-небудь тіла по поверхні іншого. Дисипативні сили, на відміну від консервативних, залежать не тільки від взаємного розташування тіл взаємодії, але й і від їх відносних швидкостей. Ці сили завжди спрямовані проти напрямку швидкості тіла відносно поверхні (або середовища), по якій воно рухається. Гіроскопічними силами називаються сили, що залежать від швидкості матеріальної точки, на яку вони діють, і напрямлені перпендикулярно до цієї швидкості. Прикладом гіроскопічної сили є сила Лоренца, яка діє з боку магнітного поля на заряджену частинку, що рухається в ньому. Робота гіроскопічних сил завжди нульова незалежно від того, як переміщується матеріальна точка. 34
Елементарну роботу сили F , що діє на матеріальну точку з боку стаціонарного потенціального поля, можна представити у вигляді повного диференціала скалярної функції координат Φ ( x, y, z ) , яка називається силовою функцією цього поля:
F dr = d Φ , або Fx dx + Fy dy + Fz dz =
∂Ф ∂Ф ∂Ф dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z
Отже,
∂Ф ∂Ф , Fz = . ∂z ∂y Елементарну роботу непотенціальної сили не можна представити у вигляді повного диференціала якої-небудь функції координат. Саме тому елементарна робота довільної сили позначена не dA , а δA . Для характеристики роботи, виконуваної за одиницю часу, у механіці користуються поняттям потужності. Потужністю (миттєвою потужністю) називається скалярна фізична величина N , рівна відношенню елементарної роботи δA до малого проміжку часу dt , протягом якого ця робота виконується, δA N= . dt Якщо F – сила, що виконує роботу δA , то потужність дорівнює скалярному добутку сили F на швидкість v точки її прикладання: N = Fv = Fτ v . У загальному випадку потужність може змінюватися із часом. Середньою потужністю в інтервалі від t до t + Δt називається фізична величина N , яка дорівнює відношенню роботи A , виконуваної за цей Fx =
∂Ф , ∂x
Fy =
проміжок часу, до його тривалості Δt :
N =
A . Δt
3.2. КІНЕТИЧНА ЕНЕРГІЯ Кінетичною енергією системи називається енергія її механічного руху. Зміна кінетичної енергії WK матеріальної точки під дією сили F дорівнює роботі, яку виконує ця сила, dWK = δA = v dp , де p = mv – імпульс матеріальної точки, а m, v – її маса та швидкість відповідно. У ньютонівській механіці m = const , і вираз для рухової енергії матеріальної точки має вигляд
35
mv 2 mv 2 . = 2 2 Кінетична енергія механічної системи дорівнює сумі рухових енергій усіх частин цієї системи. Наприклад, для системи, яка складається з n матеріальних точок, WK =
n m v2 n m v2 WK = ∑ i i = ∑ i i , i =1 2 i =1 2
де mi , v i – маса та швидкість і-ї точки системи. Кінетична енергія тіла визначається потрійним інтегралом
1 1 2 2 ∫ ρ v dV = ∫ ρ v dV , 2 (V ) 2 (V ) де v – швидкість точок малого елемента об'єму dV тіла густиною ρ і масою m , а інтегрування проводиться за всім об'ємом тіла V . Якщо абсолютно тверде тіло m рухається поступально зі швидкістю v , то його WК =
кінетична енергія дорівнює WK = mv 2 2 . Зміна кінетичної енергії механічної системи дорівнює алгебраїчній сумі робіт усіх зовнішніх і внутрішніх сил, які діють на цю систему:
dWK = δAзовн + δAвн . Наприклад, для системи, яка складається з n матеріальних точок: n
n
n
dWK = ∑ Fiзовн dri + ∑ ∑ Fik dri , i =1
i =1 k =1 зовн де ri – радіус-вектор і-ї точки, Fi – результуюча зовнішніх сил, які
діють на цю точку, а Fii = 0 . При фіксованому взаємному положенні частинок системи (або за відсутності деформації в абсолютно твердому тілі) робота внутрішніх сил δAвн = 0 і dWK = δAзовн . Наприклад, зміна кінетичної енергії абсолютно твердого тіла, яке рухається поступально,
dWK = F зовн dr , де F зовн – головний вектор зовнішніх сил, а dr – вектор елементарного переміщення тіла. Кінетична енергія механічної системи залежить від вибору системи відліку. Якщо в інерційній системі відліку K кінетична енергія системи дорівнює WK , а в системі відліку K ' , яка рухається відносно K поступально зі швидкістю V , вона дорівнює WK′ , то 36
WK = WK′ +
mV 2 + p 'V , 2
де m – маса системи, p ' = mvC ' – імпульс системи в його русі відносно системи відліку K ' , vC ' – швидкість центра інерції системи відносно K ' . Це співвідношення справедливе як при V = const , тобто коли K ' , інерційна система відліку, так і при dV dt ≠ 0 . Зокрема, якщо система відліку K ' рухається відносно K поступально зі швидкістю vC центра інерції системи, тобто V = vC ' , то vC = 0 і
WK =
mvC2 + WK′ . 2
Ця рівність виражає теорему Кеніга: кінетична енергія механічної системи дорівнює сумі кінетичної енергії, яку мала б матеріальна точка з масою, що дорівнює масі всієї системи, і яка рухається зі швидкістю його центра інерції, а також кінетичної енергії тієї ж системи в його русі відносно системи відліку з початком у центрі інерції, що рухається поступально. Із теореми Кеніга випливає, що рухова (тобто кінетична) енергія абсолютно твердого тіла дорівнює сумі кінетичної енергії поступального руху цього тіла зі швидкістю його центра інерції та рухової енергії обертання тіла навколо центра інерції.
3.3. ПОТЕНЦІАЛЬНА ЕНЕРГІЯ Потенціальною енергією називається частина енергії механічної системи, яка залежить тільки від її конфігурації, тобто від взаємного розташування всіх частинок (матеріальних точок), а також від їх положення в зовнішньому потенціальному полі. Зменшення потенціальної енергії при переміщенні системи з довільного положення 1 в інше довільне положення 2 вимірюється тією роботою A12 , яку виконують при цьому всі потенціальні сили (внутрішні та зовнішні), що діють на систему,
WП (1) − WП ( 2 ) = A12 , де WП (1) і WП ( 2 ) – значення потенціальної енергії системи в початковому та кінцевому положеннях. Отже, робота потенціальних сил при малій зміні конфігурації системи δA = − dWП . У найпростішому випадку, коли система являє собою матеріальну точку, що перебуває в потенціальному полі, зв'язок між силою F , яка діє на точку, і потенціальною енергією WП цієї точки в полі має вигляд
Fx = −
∂WП , ∂x
Fy = −
∂WП , ∂y
37
Fz = −
∂WП . ∂z
У векторному аналізі часто застосовують так званий оператор набла, який у прямокутних декартових координатах визначається як
∂ ∂ ∂ i + j+ k . ∂x ∂y ∂z Результат дії цього оператора на яку-небудь скалярну функцію Ψ просторових координат ( x, y, z ) називається градієнтом цієї функції. Граді∇≡
єнт позначається ∇Ψ або grad Ψ . Градієнт – це вектор, модуль якого дорівнює найбільшому значенню похідної за шляхом у даній точці, а напрямок градієнта збігається з напрямком, у якому це найбільше значення похідної досягається. Отже, отримані вище важливі співвідношення між зміною потенціальної енергії по координатах і силою часто записують у скороченій векторній формі F = − grad WП = −∇WП , тобто сила дорівнює градієнту потенціальної енергії зі знаком мінус. Отримані співвідношення дозволяють знайти залежність потенціальної енергії системи від її конфігурації тільки з точністю до довільного постійного доданка, який не впливає на зміну енергії. Для одержання залежності потенціальної енергії системи від його конфігурації в кожній конкретній задачі вибирають так звану нульову конфігурацію, в якій потенціальну енергію системи умовно вважають рівною нулю. Таким чином, потенціальна енергія системи в довільному стані дорівнює роботі, виконуваній усіма діючими на систему потенціальними силами при переведенні системи з розглядуваного стану в стан, який відповідає нульовій конфігурації. Приклад 1. Потенціальна енергія матеріальної точки в однорідному силовому полі. Нехай сила F , що діє на точку з боку поля, напрямлена вздовж осі OZ, тобто F = Fz k , де k – орт осі OZ, а проекція Fz сили F на вісь OZ не залежить від координат точки. Іншими словами, в усіх точках простору сила однакова і спрямована вздовж осі OZ. Тоді
dWП = −F dr = − Fz dz і WП ( z ) = − Fz z + WП ( 0 ) , де WП ( 0 ) – значення потенціальної енергії матеріальної точки на рівні
z = 0 . Зокрема, потенціальна енергія матеріальної точки масою m , яка знаходиться в однорідному полі сили тяжіння біля поверхні Землі (вісь OZ напрямлена вертикально вгору, Fz = −mg , g – прискорення вільного падіння), дорівнює WП ( z ) = mgz + WП ( 0 ) .
Приклад 2. Потенціальна енергія матеріальної точки в полі центральних сил. У потенціальному полі центральних сил на матеріальну точку діють сили F , які скрізь напрямлені вздовж прямих, що проходять через одну й ту саму нерухому точку – центр сил, і залежать лише від відстані r до центра сил: 38
r F = Fr ( r ) . r
Тут r – радіус-вектор, проведений із центра сил у розглядувану точку поля, а Fr ( r ) – проекція сили F на напрямок вектора r , яка залежить лише від відстані r . Якщо матеріальна точка притягується до центра сил, то Fr ( r ) = − F < 0 , якщо ж вона відштовхується від нього, то
Fr ( r ) = F > 0 . Елементарна робота сили F : δA = F dr = Fr ( r ) dr . Потенціальна енергія матеріальної точки ∞
WП ( r ) = ∫ Fr ( r ) dr + WП ( ∞ ) . r
Зазвичай за початок відліку потенціальної енергії приймають енергію матеріальної точки, віддалену на нескінченно велику відстань від центра сил, тобто покладають WП ( ∞ ) = 0 : ∞
WП ( r ) = ∫ Fr ( r ) dr . r
Прикладами центрального силового поля, в якому сила обернено пропорційна квадрату відстані до центра сил, F (r ) : ∞ ⋅ r −2 , можуть бути гравітаційні поля матеріальної точки та однорідної кулі, електростатичні поля точкового заряду, а також сфери та кулі, рівномірно заряджених по поверхні та об'єму. Приклад 3. Потенціальна енергія системи з двох матеріальних точок, між якими діють центральні сили, тобто сили, які залежать від відстані між точками і спрямовані вздовж прямої, що їх з'єднує. На рис. 3.3 показано сили взаємного відштовхування F12 і F21 = − F12 : F12
F21 = Fρ ( ρ )
1
де ρ = r2 − r1 – радіус-вектор, прове-
ρ 2
r1 r2
F21 O
ρ , ρ
дений з точки 1 у точку 2, а Fρ ( ρ ) –
проекція сили F21 на напрямок вектора ρ , яка залежить лише від відстані ρ між точками. Мала зміна потенціальної енергії системи
Рис. 3.3
dWП = − ( F12 dr1 + F21 dr2 ) = −F21 dρ = − Fρ ( ρ ) d ρ . 39
∞
Якщо прийняти, що WП → 0 при ρ → ∞ , то WП ( ρ ) = ∫ Fρ ( ρ ) dρ . Цю ρ
енергію часто називають взаємною потенціальною енергією двох матеріальних точок. Приклад 4. Потенціальна енергія пружного тіла (наприклад пружини) при його поздовжньому розтягненні чи стисненні. При деформації пружного тіла в ньому виникають потенціальні внутрішні сили (сили пружності), які перешкоджають деформації. За законом Гука, пружна X сила Fпр , з якою деформоване тіло А (рис. 3.4) A i
діє на тіло В, яке спричиняє його деформацію, пропорційна величині деформації: Fпр = − kxi .
x
O
FПР Рис. 3.4
B
Тут xi – вектор переміщення тіла В, який характеризує деформацію тіла А (у недеформованому стані x = 0 , при стисненні x > 0 , а при розтягненні x < 0 ), k > 0 – коефіцієнт (множень), що характеризує пружні властивості тіла А. Легко отримати, що потенціальна енергія деформованого тіла:
WП =
kx 2 . 2
Тут прийнято, що за відсутності деформації, тобто при x = 0 , потенціальна енергія дорівнює нулеві.
3.4. ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ МЕХАНІЧНОЇ ЕНЕРГІЇ Механічною енергією, або повною механічною енергією, називається енергія механічного руху та взаємодії. Механічна енергія W системи матеріальних точок дорівнює сумі їх кінетичної енергії WK і потенціальної енергії WП взаємодії цих точок одна з іншою та із зовнішніми тілами:
W = WK + WП . Елементарний приріст механічної енергії системи за малий проміжок часу dt : dW = δAНП +
∂WПЗ dt , ∂t
де δAНП – алгебраїчна сума елементарних робіт, виконуваних за час dt усіма діючими на систему внутрішніми та зовнішніми непотенціальними
40
силами. Доданок
∂WПЗ dt являє собою зміну за час dt потенціальної ∂t
енергії системи та її повної механічної енергії, зумовлену нестаціонарністю зовнішніх потенціальних сил. Якщо на систему матеріальних точок діють лише консервативні сили,
∂WПЗ ≡ 0 . Повна механічна енергія такої системи зберіга∂t ється W = const , тобто справедливим є закон, який називається зако-
то δAНП ≡ 0 і
ном збереження механічної енергії: під час руху системи матеріальних точок, на які діють лише консервативні (і гіроскопічні) сили, її механічна енергія не змінюється. Зокрема, цей закон справедливий для замкнених консервативних систем: механічна енергія замкненої системи не змінюється з часом, якщо всі внутрішні сили, які діють у цій системі, потенціальні або не виконують роботи. Закон збереження механічної енергії пов'язаний з однорідністю часу. Ця властивість часу проявляється в тому, що закони руху замкненої системи (або системи, що розташовані в стаціонарному зовнішньому полі) не залежать від вибору початку відліку часу. Наприклад, при вільному падінні тіла в стаціонарному потенціальному полі сили тяжіння біля поверхні Землі, швидкість тіла й пройдений ним шлях залежать тільки від тривалості вільного падіння тіла та від початкової швидкості, а не від того, в який конкретно момент часу тіло почало падати. Механічна енергія замкненої неконсервативної системи змінюється за рахунок роботи, виконуваної всіма непотенціальними внутрішніми силами dW = δAНП . Гіроскопічні сили роботи не виконують і внеску в
δAНП не дають, тобто існування таких сил у системі не призводить до зміни її механічної енергії. Дія дисипативних сил – наприклад, сил тертя – призводить до поступового зменшення механічної енергії замкненої системи. Цей процес називається дисипацією енергії, а система, механічна енергія якої неперервно зменшується з часом, називається дисипативною системою. При дисипації енергії відбувається перетворення механічної енергії системи на інші види енергії (наприклад, на енергію безладного руху молекул). Перетворення механічної енергії здійснюється у повній відповідності до загального закону природи – закону збереження енергії. Згідно із цим законом, енергія може переходити з однієї форми в іншу й перерозподілятися всередині системи, але її загальна кількість у замкненій системі повинна залишатися постійною. Із закону збереження та перетворення енергії випливає, що зміна енергії незамкненої системи, що відбувається при взаємодії системи із зовнішнім середовищем (зовнішніми тілами та полями), повинна бути чисельно рівною й протилежною за знаком зміні енергії зовнішнього середовища. Іншими словами, зміна енергії системи 41
при її взаємодії із зовнішнім середовищем повинна дорівнювати тій енергії, яку система отримує ззовні. У всіх реальних механічних системах діють сили опору та тертя, унаслідок чого всі ці системи неконсервативні. Проте в деяких випадках їх можна наближено вважати консервативними й застосовувати до них закон збереження механічної енергії. Такий підхід можливий, якщо в розглядуваному процесі робота AНП всіх непотенціальних сил, які діють на систему, нехтовно мала порівняно з механічною енергією системи W , тобто AНП W << 1 , так що ΔW W << 1 , де ΔW = AНП – зміна механічної енергії системи. Станом механічної рівноваги системи називається такий стан, з якого вона може бути виведена тільки в результаті зовнішньої силової дії. У цьому стані всі матеріальні точки системи перебувають у спокої, тому кінетична енергія системи дорівнює нулю. Стан механічної рівноваги називають стійким, якщо малий зовнішній вплив на систему спричиняє малу зміну її стану. При цьому в системі виникають сили, які прагнуть повернути систему в стан рівноваги. Стан механічної рівноваги називають нестійким, якщо система при як завгодно малому зовнішньому впливі виходить із цього стану і більше не повертається в нього. При цьому виникають сили, які спричиняють подальше відхиляння системи від стану рівноваги. Закон збереження механічної енергії дозволяє вказати умови рівноваги консервативних систем: у станах стійкої рівноваги потенціальна енергія системи має мінімуми, а в станах нестійкої рівноваги – максимуми. WП(x)
e a
W
g b
IV
III
I
I
d
c
V
WK(x) WП(x)
f O x1
x2
x3
x4
x
X
Рис. 3.5
На основі закону збереження механічної енергії можна з'ясувати, якою є область можливих конфігурацій консервативної системи. Кінетична енергія системи WK ≥ 0 . Тому при заданому значенні W механічної енергії системи остання може перебувати лише в таких станах, які задовольняють умову: WП ≤ W . Рис. 3.5 відповідає найпростішому випадку, коли матеріальна точка здійснює одновимірний рух уздовж осі ОХ у зовнішньому стаціонарному полі. Потенціальна енергія точки є функцією 42
лише одної координати х, тобто WП = WП ( x ) . Графік цієї залежності, показаний на рис. 3.5, називається потенціальною кривою. При фіксованому значенні W механічної енергії матеріальної точки, показаному на рис. 3.5, точка може рухатися, залишаючись в одній з таких трьох областей: x ≤ x1 (область І), x2 ≤ x ≤ x3 (область ІІІ), x ≥ x4 (область V). Вони відділені одна від одної областями ІІ і ІV так званих потенціальних бар'єрів aeb і cgd, у межах яких матеріальна точка знаходитися не може. На межах потенціальних бар'єрів (у точках a, b, c і d) матеріальна точка змінює напрямок свого руху на протилежний, причому в області І точка може необмежено віддалятися ліворуч від межі бар'єра, а в області V – праворуч від межі a бар'єра. В області ІІІ матеріальна точка коливається між точками b і c – вона розташована в так званій потенціальній ямі bfc. Приклад застосування законів збереження енергії та імпульсу. Розглянемо один з варіантів так званого балістичного маятниα ка (рис. 3.6). Тіло масою M підl вішене на двох однакових нитV Δh ках довжиною l . Куля масою m m летіла горизонтально, поM трапила в тіло й застрягла в Рис. 3.6 ньому, унаслідок чого нитки відхилились на максимальний кут α , який легко можна виміряти на експерименті. Розглянемо, як за результатами вимірювання кута α можна визначити швидкість кулі v . Для спрощення формул одразу припустимо, що m << M . Нехай куля й тіло в даній задачі утворюють механічну систему, до якої спробуємо застосувати закони збереження імпульсу та енергії. Запишемо імпульс і механічну енергію системи в три такі моменти часу: t1 – момент безпосередньо перед ударом кулі, t2 – момент безпосередньо після удару кулі, коли куля вже застрягла, але масивне тіло ще не встигло відхилитись від положення рівноваги, t3 – момент максимального відхилення тіла від положення рівноваги. У цій задачі будемо розглядати лише горизонтальну складову імпульсу системи. У момент t1 імпульс системи p1 (сума імпульсів кулі й тіла) і механічна енергія системи дорівнюють p1 = mv , E1 =
mv 2 . При цьому потенціаль2
на енергія кулі й тіла в полі тяжіння до Землі до співудару вважається такою, що дорівнює нулю. У момент t2 тіло із застряглою кулею отримало імпульс і почало рухатися з якоюсь швидкістю w . Тоді імпульс і енергія в цей момент дорівнюють 43
p2 = ( M + m ) w ≈ Mw ,
E2 =
( M + m ) w2 2
≈
Mw2 . 2
У момент максимального відхилення t3 тіло зупиняється:
p3 = 0 ,
E3 = ( M + m ) g Δh ≈ Mg Δh .
Строго кажучи, розглядувана система не є замкненою. На неї діють зовнішні сили – сили тяжіння до Землі та сили реакції підвісу. Але, незважаючи на це, ми зможемо застосувати закони збереження енергії та імпульсу. Дійсно, на етапі t1 → t2 зовнішні сили спрямовані вертикально й не впливають на розглядувану горизонтальну складову імпульсу. Отже, можна записати p1 = p2 або mv = Mw . Що стосується енергії, то на проміжку t1 → t2 під час гальмування кулі всередині тіла відбувається перетворення частини кінетичної енергії кулі на інші форми енергії, наприклад, на теплову. Отже, E1 ≠ E2 . На відрізку t2 → t3 зовнішні сили реакції підвісу змінюються, у них з'являється горизонтальна складова, отже на цьому відрізку імпульс системи не зберігається, тобто p2 ≠ p3 . Тут відбувається перетворення кінетичної енергії системи на потенціальну, отже E2 = E3 або
Mw2 = Mg Δh . 2 З отриманих співвідношень шляхом нескладних алгебраїчних перетворень можна отримати шукану величину v . З геометричних міркувань очевидно
Δh = l (1 − cos α ) = 2l sin 2
α . 2
Тоді отримаємо
v=2
M m
gl sin
α . 2
3.5. АБСОЛЮТНО ПРУЖНИЙ І НЕПРУЖНИЙ УДАРИ Ударом називається взаємодія матеріальних тіл, при якому у відносно малій області простору за дуже малий проміжок часу відбувається значна зміна швидкостей тіл. Наприклад, молот ударяє по виробу, який лежить на ковадлі, молоток ударяє по головці цвяха і т. п. Слід відзначити, що взаємодія може здійснюватись за відсутності безпосереднього дотику тіл, що взаємодіють. Наприклад, взаємодія комети, яка проходить поблизу Сонця, змінює свою швидкість і знову віддаляється в глибини Всесвіту в іншому напрямку, також є зіткненням. Хоча при такій взаємодії 44
відсутній безпосередній дотик, який має місце, наприклад, при зіткненні більярдних куль. Лінією удару називається спільна нормаль, проведена до поверхонь двох співударних тіл у місці їх дотику при ударі. Удар називається центральним, якщо в момент удару центри інерції взаємодіючих тіл перебувають на лінії удару. Прикладом такого удару може бути удар двох кульок. Удар називається прямим, якщо швидкості центрів інерції обох тіл перед ударом спрямовані паралельно лінії удару. У супротивному випадку удар називається косим. При ударі тіла деформуються, і в місцях їх дотику виникають короткочасні, але дуже значні сили, які називаються ударними силами. Для системи тіл ці сили є внутрішніми (приймається, що тіла або вільні, або накладені на них зв'язки такі, що ударні реакції зв'язків не виникають), тобто не змінюють сумарний імпульс системи. Зовнішні сили, які постійно діють на систему (наприклад, сила тяжіння), зазвичай дуже малі порівняно з ударними силами. Тому, хоч імпульси ударних сил за час τ тривалості удару порівнянні з імпульсами взаємодіючих тіл, сукупний імпульс усіх постійно діючих зовнішніх сил за той самий проміжок часу τ малий порівняно з імпульсами тіл. Відповідно й робота зовнішніх сил над системою за час τ мала в порівнянні з механічною енергією системи. Таким чином, систему тіл у процесі їх співудару можна наближено вважати замкненою, а при розрахунку результатів удару користуватися законами збереження імпульсу, моменту імпульсу та енергії. Якщо при ударі тіла деформуються як цілком пружні, то ударні сили потенціальні, і в системі виконується закон збереження механічної енергії. Удар двох тіл називається абсолютно непружним, якщо після удару обидва тіла рухаються як одне ціле. Доволі близькі до абсолютно непружного удару, наприклад, такі процеси, як удар молота по палі, яку він забиває, влучення кулі у візок із піском, у якому куля застряє. При непружному ударі відбуваються різноманітні процеси у співударних тілах (пластична деформація, тертя та ін.), унаслідок яких кінетична енергія системи частково або повністю перетворюється на її внутрішню енергію. Якщо два тіла з масами m1 і m2, які рухаються поступально з v1 і v2, зазнають абсолютно непружного прямого центрального удару, то після нього вони рухаються разом поступально зі швидкістю
m v + m2 v2 u= 11 . m1 + m2 (П р и м і тк а . У випадку довільного абсолютно непружного удару, що не є прямим центральним, ця формула дозволяє знайти швидкість центра інерції з'єднаних при ударі тіл. Проте внаслідок такого удару може також виникнути обертання системи навколо її центра інерції, яке узгоджується із законом збереження моменту імпульсу). Зміна кінетичної енергії системи двох взаємодіючих тіл при абсолютно непружному прямому центральному ударі 45
ΔWK =
m1 + m2 2 m1 2 m2 2 m1m2 u − v1 − v2 = − ( v1 − v 2 )2 < 0 . 2 2 2 2 ( m1 + m2 )
Зокрема, якщо друге тіло до удару перебуває в стані спокою (наприклад, паля, яку забивають за допомогою молота, або металевий виріб, що лежить на ковадлі), то відносне зменшення кінетичної енергії системи при абсолютно непружному центральному ударі матиме вигляд
−
ΔWK m2 = . WK1 m1 + m2
Абсолютно непружний прямий центральний удар використовують у техніці або для зміни форми тіл (кування, штампування, клепання тощо), або для переміщення тіл у середовищі з великим опором (забивання цвяхів, паль і т. п.). У першому випадку доцільно, щоб відношення – ΔWK WK1 було якнайближче до одиниці, тобто необхідно, щоб m2 m 1 (маса кованого виробу і ковадла мають значно перевищувати масу молота). У другому випадку, навпаки, потрібно, щоб втрати кінетичної енергії при ударі були якомога меншими, тобто щоб m2 m1 (маса молота має в багато разів перевищувати масу цвяха). Удар двох тіл називається абсолютно пружним, якщо механічна енергія системи на змінюється, тобто тіла є абсолютно пружними.
m1 V1
m2 V2
X
a) до зіткнення
m1
m2
U1
U2
X
б) після зіткнення
Рис. 3.7
Приклад 1. Абсолютно пружний прямий центральний удар двох тіл (наприклад, кульок) з масами m1 і m2, які перед ударом рухаються поступально зі швидкостями v1 і v2 уздовж осі ОХ, яка проходить через їх центри інерції (рис. 3.7, а). Швидкості тіл після удару u1 і u2 (рис. 3.7, б) можна знайти із законів збереження імпульсу та механічної енергії: m1u1 + m2 u 2 = m1 v1 + m2 v 2 ,
m1u12 + m2u 22 = m1 v12 + m2 v 22 . Швидкості u1 , u 2 спрямовані вздовж осі ОХ, а їх проекції на цю вісь дорівнюють
u1x =
( m1 − m2 ) v1x + 2m2 v2 x m1 + m2
u2 x =
,
46
2m1v1x + ( m2 − m1 ) v2 x
m1 + m2
.
Зокрема, якщо маси тіл однакові, то при ударі тіла обмінюються швидкостями: u1x = v2 x , u2 x = v1x . Якщо маса другого тіла значно більша за масу першого, то u1x ≈ 2v2 x − v1x і u2 x ≈ v2 x . Приклад 2. Абсолютно пружний косий центральний удар. Якщо тіла гладенькі, то імпульсом сил тертя при ударі можна знехтувати. У такому випадку не змінюються дотичні складові швидкостей тіл, тобто складові, перпендикулярні до лінії удару: u1τ = v1τ і u2τ = v2τ . Нормальні складові, напрямлені вздовж лінії удару, змінюються так само, як і при прямому ударі:
u1n =
( m1 − m2 ) v1n + 2m2 v2n m1 + m2
u2 n =
,
2m1v1n + ( m2 − m1 ) v2 n m1 + m2
.
Зокрема, при абсолютно пружному косому ударі гладенької кульки об нерухому плоску стінку ( m2 >> m1 , u2 = v2 = 0 ) u1τ = v1τ , u1n = −v1n , тобто кулька відскакує від стінки за законом дзеркального відображення: кут відбивання дорівнює куту падіння. Чисельне значення швидкості зберігається: u1 = v1 . Вектор зміни імпульсу кульки Δp1 при ударі спрямова-
ний перпендикулярно до стінки: Δp1 = m1 ( u1 − v1 ) . Імпульс ударної сили, яка діє на стінку, дорівнює 2m1v1n .
Приклад 3. Зіткнення астероїдів і комет із Землею. Кожен день відбувається зіткнення Землі з сотнями тонн метеорної речовини. За один рік на Землю падає приблизно 50000 т космічної матерії. Переважно – це частинки розміром до 1 мм і менше. Такі частинки повністю передають свою енергію атмосфері Землі й не досягають її поверхні. Енергія космічних частинок іде на нагрівання, випаровування речовини та на іонізацію молекул атмосфери. Якщо маса тіла метеора перевищує кілька десятків грамів, то втрати енергії будуть настільки великими, що спостерігач бачить метеор більш яскравим і може оцінити його кутові розміри. Таке тіло називається болідом. Після його прольоту в атмосфері протягом досить тривалого часу залишається яскравий слід іонізованого газу й пилу, який може набувати викривленої хвилеподібної форми. Швидкість входження метеоритних частинок, що належать Сонячній системі, коливається в межах від 11 до 73 км/с. Від швидкості й маси, а значить і від імпульсу, залежить результат взаємодії метеора із Землею. Далеко не всі космічні тіла можуть бути зупинені атмосферою. Вже при масі 100 т космічне тіло, що мало до входження в атмосферу швидкість 30 км/с, зіткнеться з поверхнею Землі зі швидкістю 20 км/с. При масі космічного тіла 100 т атмосфера мало вплине на його рух. Удар метеора з поверхнею Землі є непружним, відбувається вибух, і кінетична енергія метеора переходить в інші форми.
47
Розділ 4. ДИНАМІКА ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ 4.1. МОМЕНТ СИЛИ ТА МОМЕНТ ІМПУЛЬСУ Для характеристики зовнішньої механічної дії, яка призводить до зміни обертального руху тіла, вводять поняття моменту сили. Слід розрізняти момент сили відносно нерухомої точки та відносно нерухомої осі. Моментом сили відносно нерухомої точки О (полюса) називається векторна величина M , що дорівнює векторному добутку радіус-вектора r , проведеного з точки О в точку А прикладання сили (рис. 4.1), на вектор сили F : M = [r, F ] . Вектор моменту сили перпендикулярний площині, в якій розташовано радіус-вектор і вектор сили. Модуль моменту сили M = Fr sin α = Fl , де α – кут між вектора-
M = [r,F]
F
ми r і F , а l = r sin α – довжина перпендиОВ (рис. 4.1), який проведено з точки куляра A О до лінії дії сили. Величина l називається l плечем сили відносно точки О. При перенеB сенні точки прикладання сили F уздовж лінії її дії момент цієї сили відносно одної й Рис. 4.1 тої ж нерухомої точки О не змінюється. Якщо лінія дії сили проходить через точку О, то момент сили відносно цієї точки дорівнює нулеві. Головним моментом системи сил відносно нерухомої точки О (полюса) називається вектор M , що дорівнює геометричній сумі моментів відносно точки О всіх n сил системи: O
r
α
n
M = ∑ [ri ,Fi ] , i =1
де ri – радіус-вектор, проведений із полюса О в точку прикладання сили Fi . Із третього закону Ньютона випливає, що моменти відносно полюса О внутрішніх сил взаємодії матеріальних точок системи попарно компенсуються: [ri , Fik ] = − [rk , Fki ] . Отже, при обчисленні головного моменту сил слід враховувати тільки зовнішні сили, що діють на розглядувану механічну систему. Моментом сили F відносно нерухомої осі а називається скалярна величина M a , що дорівнює проекції на цю вісь вектора M моменту си48
ли F відносно довільної точки О осі а. Значення моменту M a не залежить від вибору положення точки О осі а. (П р и м і тк а . Іноді під моментом сили відносно нерухомої осі а розуміють векторну величину M a = M a i a , де i a – орт осі а. Вектор M a – складова вектора M моменту сили відносно полюса О, спрямована вздовж осі а).
Z
Якщо лінія дії сили перетинає вісь або паралельна їй, то момент сили відносно цієї осі дорівнює нулю. Нехай А – точка прикладання сили F , а O1 – основа перпендикуляра, опущеного з точки А на розглядувану вісь OZ (рис. 4.2). Силу F зручно розкласти на три взаємно перпендикулярні складові: осьову Fz – паралельну осі, радіальну
F
Fz
Fτ O1
ρ
A
Fn
Fn
– напрямлену вздовж вектора
ρ = O1 A , і дотичну Fτ – спрямовану перпендикулярно до осі та до вектора ρ . Момент сили F відносно осі OZ:
O Рис. 4.2
M z = [ρ, Fτ ]z , M z = [ρ, Fτ ] . Оскільки вектори ρ і Fτ взаємно перпендикулярні, то M z = M z = ρFτ . Головний момент системи сил відносно нерухомої осі дорівнює алгебраїчній сумі моментів відносно цієї осі всіх сил системи. Моментом імпульсу (моментом кількості руху) матеріальної точки відносно нерухомої точки О (полюса) називається вектор L , що дорівнює векторному добутку радіус-вектора r , проведеного з полюса О в місце розташування матеріальної точки, на вектор p її імпульсу:
L = [r, p ] = [r, mv ] , де m, v – маса і швидкість матеріальної точки. Моментом імпульсу системи матеріальних точок або частин твердого тіла L відносно нерухомої точки О називається геометрична сума моментів імпульсу відносно тієї самої точки О всіх матеріальних точок системи: n
n
i =1
i =1
L = ∑ [ri ,pi ] = ∑ [ri , mi vi ] , де mi , ri , v i – відповідно маса, радіус-вектор і швидкість і-ї матеріальної точки, а n – загальна кількість цих точок у системі. 49
Моментом імпульсу системи відносно нерухомої осі а називається величина La , що дорівнює проекції на цю вісь вектора L моменту імпульсу системи відносно якої-небудь точки О, яка належить цій осі: n
La = ∑ [ri , mi vi ]a . i =1
Вибір положення точки О на осі а не впливає на числове значення La . (П р и м і тк а . Іноді під моментом імпульсу системи відносно нерухомої осі а розуміють векторну величину L a = La i a , де i a – орт осі а. ) Момент імпульсу системи відносно нерухомої точки О, навколо якої це тіло обертається з кутовою швидкістю ω , дорівнює:
L = ∫ [r,v ] dm = ∫ ⎡⎣r, [ω, r ]⎤⎦ dm , (m) ( m) де r – радіус-вектор, проведений з точки О в малий елемент тіла масою dm , а
v = [ ω, r ] – швидкість цього елемента тіла. Оскільки ⎡⎣r, [ω, r ]⎤⎦ = r 2ω − ( ωr ) r , вектори L і ω у загальному випадку не збігаються за напрямком:
L = ω ∫ r 2 dm − ∫ ( ωr ) r dm . ( m) ( m) Момент імпульсу тіла, закріпленого в точці О, і його кутова швидкість збігаються за напрямком, якщо тіло обертається навколо однієї з його головних осей інерції: L = Iω , де I – момент інерції тіла відносно цієї головної осі. Значення M і M* головного моменту системи сил відносно двох різних нерухомих точок О та О* пов'язані співвідношенням:
M = M* + ⎡ r * , F ⎤ , ⎣ ⎦ де r* – радіус-вектор, проведений із початку О в точку О*, а F – головний вектор розглядуваної системи сил. Якщо F = 0 , то головний момент системи сил однаковий відносно будь-якої нерухомої точки: M = M* . Саме таку властивість має пара сил, тобто система з двох сил, які чисельно дорівнюють одна одній і спрямовані вздовж паралельних прямих у протилежні боки. Найкоротша відстань d між лініями дії сил пари називається плечем пари. Момент пари сил напрямлений перпендикулярно до площини, в якій лежать сили, а його модуль дорівнює M = Fd , де F – модуль кожної із сил пари. Головний момент M C відносно центра інерції С механічної системи всіх діючих на нього сил пов'язаний з головним моментом M цієї ж системи сил відносно нерухомої точки О співвідношенням: M = M C + [rC , F ] , 50
де rC – радіус-вектор, проведений із початку О в точку С, F – головний вектор системи сил. Значення моменту імпульсу механічної системи відносно її центра інерції С для абсолютного руху точок зі швидкостями vi (тобто відносно нерухомої інерційної системи відліку) і для їх відносного руху зі швидкостями vi ' = vi − v C (тобто відносно системи відліку з початком у точці С, що рухається поступально) однакові: n
n
i =1
i =1
∑ [ri ', mi vi ] = ∑ [ri ', mi vi '] = LC ,
де ri ' = ri − rC – радіус-вектор і-ї точки в системі відліку, що рухається разом із центром інерції. Зв'язок між значеннями моменту імпульсу механічної системи L відносно нерухомої точки О і відносно центра інерції LC має вигляд n
L = LC + [rC , p ] , де p = ∑ mi vi – імпульс системи в його абсолютному русі. i =1
4.2. МОМЕНТ ІНЕРЦІЇ Моментом інерції матеріальної точки масою m відносно нерухомої осі називається добуток її маси на квадрат відстані до осі, I = mρ2 . Як буде показано далі, не просто маса, а саме такий добуток характеризує інертність розглядуваної матеріальної точки у випадку обертального руху навколо осі. Моментом інерції механічної системи відносно нерухомої осі а називається фізична величина I a , що дорівнює сумі добутків мас усіх n матеріальних точок на квадрати їх відстаней до осі: n
I a = ∑ mi ρi2 , i =1
де mi , ρi – відповідно маса і-ї точки та її відстань від осі. Момент інерції тіла відносно нерухомої осі
I a = ∫ ρ2 dm , ( m) де dm = D dV – маса малого елемента об'єму тіла dV , D – густина, а ρ – відстань від елемента dV до осі а. Якщо тіло однорідне, тобто його густина скрізь однакова, то
I a = D ∫ ρ2 dV . (V ) 51
(П р и м і тк а . Зовсім не обов'язково, щоб вісь проходила крізь тіло. Вона може бути розташована довільно.) Момент інерції тіла Ia є мірою інертності тіла в обертальному русі навколо нерухомої осі а, подібно до того, як маса тіла є його мірою інертності в поступальному русі. П р и к л а д 1 . Момент інерції тонкого стрижня відносно осі, що проходить через кінець стрижня перпендикулярно до нього. Розглянемо нескінченно малий елемент довжиною dx , розташований на відстані x від осі (рис. 4.3). Маса цього елемента дорівнює dm =
m dx , де m, l – маса l
та довжина стрижня відповідно. За означенням, момент інерції еле-
x
мента дорівнює dI = x 2 dm . Тоді момент інерції стрижня отримаємо інтегруванням:
dx l
l
I = ∫ dI = ∫ x 2
Рис. 4.3
0
m ml 2 dx = . 3 l
П р и к л а д 2 . Момент інерції циліндра відносно осі симетрії. Зважаючи на симетрію задачі, обираємо для розрахунків циліндричну систему координат (див. рис. 1.2). Спрямуємо вісь OZ уздовж осі циліндра. Елеу циліндричній системі координат дорівнює мент об'єму dV dV = r dr d ϕ dz . Цей елемент розташований на відстані r від осі й має масу
dm = D dV =
m m dV = r dr d ϕ dz , V πR 2 h
де R, h, m – радіус, висота й маса циліндра, V = πR 2 h – об'єм циліндра. Момент інерції елемента dm за означенням становить dI = r 2 dm , звідки момент інерції всього циліндра буде R
2π
h
0
0
0
I = ∫ dI = ∫ rdr ∫ d ϕ ∫ dz r 2 D =
mR 2 . 2
Звертає на себе увагу той факт, що отриманий вираз для моменту інерції не містить висоти циліндра. П р и к л а д 3 . Момент інерції кулі відносно осі, що проходить через її центр. У цьому випадку доцільно застосувати сферичну систему координат (див. рис. 1.3). Спрямуємо вісь OZ уздовж осі обертання. Елемент
⎛4 ⎝3
⎞ ⎠
об'єму dV = r 2 sin θ dr d θ d ϕ має масу dm = m ⎜ πR3 ⎟ 52
−1
dV (тут m, R –
маса та радіус кулі). Як видно з рис. 1.3, елемент dV розташований на відстані r sin θ від осі. Аналогічно попереднім прикладам, момент інерції кулі отримаємо інтегруванням: R
2π
π
2 mR 2 . 5 0 0 0 (П р и м і тк а : при інтегруванні застосуйте формулу cos3 θ 3 sin θ d θ = − cos θ ). ∫ 3 Моменти інерції однорідних тіл найпростішої форми відносно деяких осей наведено у табл. 4.1. 2
I = ∫ r 2 dr ∫ d ϕ ∫ sin θ d θ ( r sin θ ) D =
Таблиця 4.1 Тіло Порожнистий тонкостінний циліндр радіусом R і масою m Суцільний циліндр (диск) радіусом R і масою m
Положення осі
Момент інерції
Вісь циліндра
mR2
Вісь циліндра
mR2/2
Куля радіусом R і масою m
Вісь проходить через центр кулі
(2/5) mR2
Тонкостінна сфера радіусом R
Вісь проходить через центр сфери
(2/3) mR2
Вісь перпендикулярна до стрижня та проходить через його середину
ml 2/12
і масою m Прямий тонкий стрижень довжиною l і масою m
Момент інерції тіла, як і його маса, характеризують інертність тіла. Але, на відміну від маси, момент інерції не є характеристикою тіла як такого. Значення моменту інерції залежить не лише від маси, форми та розмірів тіла, але й від вибору положення осі відносно тіла. Одне й те саме тіло відносно різних осей має різні значення моменту інерції. Іншими словами, не можна казати: "Момент інерції Землі дорівнює приблизно 37 2 9,7·10 кг м ", у той час як вислів "маса Землі приблизно дорівнює 24 6·10 кг" цілком правильний. (До речі, сучасні дані свідчать, що момент інерції Землі відносно власної осі обертання не відповідає значенню, яке можна отримати за вищенаведеною формулою для однорідної кулі,
0, 4 MR 2 . Відомо, що цей момент інерції помітно менший, ніж очікується за розрахунками, а саме, дорівнює близько 0,3308 MR 2 . Ця обставина вказує на те, що густина Землі суттєво збільшується з глибиною.) 53
Згідно з теоремою Штейнера (теоремою про перенесення осей інерції), момент інерції тіла I відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла IC відносно осі, яка проходить через центр інерції тіла паралельно (!) розглядуваній осі, і добутку маси тіла m на квадрат відстані d між осями: I = I C + md 2 . Наприклад, повернемось до рис. 4.3 і розрахуємо момент інерції стрижня відносно осі, що проходить через його центр мас перпендикулярно до стрижня. Очевидно, центр мас знаходиться посередині стрижня, тобто d = l 2 . Застосуємо теорему Штейнера та отримаємо:
I C = I − md 2 =
2
ml 2 1 ⎛l⎞ − m ⎜ ⎟ = ml 2 . 3 12 ⎝2⎠
4.3. ОСНОВНИЙ ЗАКОН ДИНАМІКИ ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ Розглянемо рух матеріальної точки масою m під дією сили F . Нехай точка має імпульс p = mv . Радіус-вектор точки позначимо r . Із закону Ньютона випливає, що dp dt = F . Домноживши це рівняння векторно на вектор r , отримаємо
⎡ dp ⎤ ⎢r, dt ⎥ = [r, F ] , ⎣ ⎦
d [r, p ] = [r, F ] , dt або, з урахуванням означень моментів імпульсу і сили, dL =M. dt Останнє рівняння має назву рівняння моментів, воно є найголовнішим рівнянням у динаміці обертального руху матеріальної точки. Особливо простого вигляду набуває рівняння моментів, коли матеріальна точка рухається по колу, тобто, коли радіус-вектор не змінює своєї довжини та дорівнює радіусу обертання. Візьмемо означення L = [r, mv ] і підставимо в нього відомий вираз з кінематики обертального руху v = [ω, r ] . Отримаємо L = m ⎡⎣r, [ω, r ]⎤⎦ = mr 2ω − m ( r, ω ) r . У цьому виразі другий доданок дорівнює нулю, оскільки скалярний добуток взаємно перпендикулярних векторів ( r, ω ) = 0 , отже L = mr 2ω , або L = Iω , де I = mr 2 – момент інерції точки відносно розглядуваної осі обертання. Тоді рівняння моментів набуває вигляду Iβ = M , де β = dω dt – кутове прискорення. Тепер розглянемо рух системи матеріальних точок. Запишемо закон Ньютона (рівняння руху) для кожної з n точок системи 54
⎧ dp1 зовн ⎪ dt = F12 + F13 + … + F1n + F1 ⎪ ⎪ dp 2 = F + F + … + F + F зовн ⎪ 21 23 2n 2 ⎨ dt ⎪ ... ⎪ ⎪ dp n зовн ⎪⎩ dt = Fn1 + Fn 2 + … + Fn, n −1 + Fn , де Fij – внутрішні сили. Кожне з отриманих рівнянь домножимо векторно на відповідний радіус-вектор точки ri і додамо ліві й праві частини системи рівнянь. При цьому доданки, що містять внутрішні сили, взаємно скоротяться. Тоді отримаємо, що перша похідна за часом t від моменту імпульсу L механічної системи відносно будь-якої нерухомої точки О дорівнює головному моменту M зовн відносно тієї ж точки О всіх зовнішніх сил, прикладених до системи:
dL = M зовн . dt Отримане рівняння – рівняння моментів – виражає закон зміни моменту імпульсу механічної системи. Як бачимо, рівняння моментів для системи точок виглядає аналогічно рівнянню моментів для однієї точки. Воно справедливе також для твердого тіла, яке шарнірно закріплене в точці О та обертається навколо неї. У такому випадку це рівняння виражає основний закон динаміки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої точки. У проекціях на осі нерухомої прямокутної декартової системи координат з початком у точці О закон зміни моменту імпульсу системи записується у вигляді
dLx = M xзовн , dt Тут Lx , L y , Lz ,
M xзовн ,
M yзовн ,
dL y dt
= M yзовн ,
dLz = M zзовн . dt
M zзовн – моменти імпульсу системи та го-
ловні моменти зовнішніх сил відносно відповідних осей координат. Якщо тверде тіло обертається навколо нерухомої осі OZ з кутовою швидкістю ω , то його момент імпульсу відносно цієї осі Lz = I z ω та
L z = I z ω . Тут I z – момент інерції тіла відносно осі OZ, який не змінюється з часом. Основний закон динаміки твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осі OZ: Iz
dω = M зовн або z dt 55
I z β = M зовн . z
Із останньої формули видно, що момент інерції твердого тіла відносно якоїсь нерухомої осі є мірою інертності цього тіла в обертанні навколо цієї осі: чим більший момент інерції тіла, тим меншого кутового прискорення воно набуває під дією одного й того самого моменту зовнішніх сил. Коли матеріальна точка обертається навколо осі з кутовою швидкістю ω , вона має кінетичну енергію, яку можна розрахувати як
mv 2 mω2 r 2 I ω2 = = . 2 2 2 Аналогічно, кінетична енергія твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі OZ з кутовою швидкістю ω , WK =
I ω2 WK = z . 2 Кінетична енергія твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої точки з кутовою швидкістю ω : I ω2 , 2 де I – момент інерції тіла відносно миттєвої осі обертання. Елементарна робота, що виконується за малий проміжок часу dt силою F , прикладеною до тіла, яке обертається навколо фіксованої осі, дорівнює δA = M z ω dt = M z d ϕ , де M z – момент сили F відносно осі обертання OZ (орт осі OZ збігається за напрямком з вектором ω ). Приріст кінетичної енергії твердого тіла за час dt дорівнює роботі зовнішніх сил: WK =
dWK = M zзовн d ϕ , де M zзовн – головний момент зовнішніх сил відносно осі обертання тіла. Елементарна робота, що виконується за малий проміжок часу dt силою F , яка діє на тіло, дорівнює δA = Mω dt = M d ϕ = M ω d ϕ , де
M = [r, F ] – момент сили F відносно точки О ( r – радіус-вектор, прове-
дений з т. О в точку прикладання сили F ), d ϕ = ω dt і d ϕ = ω dt відповідно кут повороту та вектор елементарного повороту тіла за час dt , а M ω – момент сили F відносно миттєвої осі обертання тіла, рівний проекції вектора M на напрямок вектора ω . Приріст кінетичної енергії твердого тіла за час dt дорівнює роботі зовнішніх сил: dWK = M зовн d ϕ , де M зовн – головний момент зовнішніх сил відносно миттєвої осі обертання тіла. Таким чином, рух вільного твердого тіла задовольняє такі два диференціальні рівняння: 56
dLC d зовн = MC . mvC = F зовн , dt dt Тут m – маса тіла, vC – швидкість його центра інерції С, F зовн – головний зовн вектор зовнішніх сил, прикладених до тіла, M C – головний момент зовнішніх відносно точки С сил, а LC – момент імпульсу тіла відносно тієї ж точки С. Перше рівняння описує поступальний рух вільного тіла зі швидкістю його центра інерції. Друге рівняння випливає із закону зміни моменту імпульсу та описує обертання твердого тіла навколо його центра інерції. Кінетична енергія вільного тіла може бути знайдена на основі теореми Кеніга:
mvC2 I C ω2 + , 2 2 де IC – момент інерції тіла відносно миттєвої осі обертання, яка проходить через його центр інерції С, ω – кутова швидкість тіла. У загальному випадку миттєва вісь переміщується в тілі й момент інерції IC змінюєтьWK =
ся з часом. Величина IC залишається сталою, якщо рух тіла є плоским. П р и к л а д . Кінетична енергія однорідного кругового циліндра, який скочується з похилої площини без проковзування. Рух циліндра – плоский: усі його точки рухаються в паралельних вертикальних площинах. Циліндр рухається поступально зі швидкістю vC , спрямованою вздовж похилої площини, й обертається навколо своєї осі ( IC = mR 2 2 , де m, R – відповідно маса та радіус циліндра) з кутовою швидкістю ω . З умови відсутності проковзування випливає, що миттєві швидкості точок торкання циліндра об похилу площину дорівнюють нулю, тобто ω = vC R . Тому кінетична енергія циліндра, що скочується, дорівнюватиме
WK =
mvC2 I C ω2 3 2 + = mvC . 2 2 4
4.4. ПРЕЦЕСІЯ Гіроскопом (симетричним, або співмірним гіроскопом) називається симетричне тверде тіло, яке швидко обертається навколо осі симетрії, що може змінювати свій напрямок у просторі. Гіроскоп має три ступені вільності, якщо він закріплений в одній нерухомій точці О, яка належить його осі й називається центром підвісу гіроскопа. Якщо центр підвісу збігається з центром ваги С гіроскопа, то такий гіроскоп називається зрівноваженим, або астатичним: дія на нього сили зважування не спричиняє зміни стану його обертання. У супротивному випадку гіроскоп називається важким. 57
Z
Z' α
ω Ω
r0 C
На рис. 4.4 зображено важкий гіроскоп, шарнірно закріплений у точці О. Гіроскоп швидко обертається навколо власної осі OZ'. Наближено можна вважати, що момент імпульсу гіроскопа L відносно точки О спрямований по осі OZ' і дорівнює L = Iω , де I – момент інерції гіроскопа відносно осі OZ'. На гіроскоп діють дві зовнішні сили – сила тяжіння до Землі, mg , і сила реакції опори. Сила реакції опори не створює моменту відносно точки О. А під дією моменту сили зважування відносно точки О:
mg O
M зовн = [rC , mg ] важкий гіроскоп
Рис. 4.4
рухається згідно з рівнянням
dL = M зовн , dt тобто повертається навколо цієї точки так, що його вісь OZ' рівномірно обертається навколо вертикальної осі OZ', описуючи конічну поверхню, показану на рис. 4.4 пунктиром. Такий рух гіроскопа називається регулярною прецесією. Стосовно систем, які описуються L sinα класичною (ньютонівською) механікою, dϕ закон збереження моменту імпульсу dL можна розглядати як наслідок законів Ньютона. Для замкненої механічної системи головний момент зовнішніх сил відносно будь-якої нерухомої точки (а також відносно центра інерції систе-
L
ми) тотожно дорівнює нулю: M зовн ≡ 0 зовн ≡ 0 , де ( MС
α
F = F зовн = 0 ), звідки
випливає закон збереження моменту імпульсу: n
L = ∑ [ri , mi vi ] = const . i =1
Рис. 4.5
Нехай за час dt вектор L набув приросту dL = M зовн dt (рис. 4.5). При цьому кінець вектора L рухався по колу радіусом L sin α і повернувся на кут d ϕ . Із геометричних міркувань очевидно, що dL = L sin α d ϕ . З іншого боку, 58
dL = M зовн dt = rC mg sin α dt . Поєднуючи останні два співвідношення, отримаємо вираз для кутової швидкості обертання вектора L навколо вертикальної осі OZ, тобто отримаємо кутову швидкість прецесії
mgrC . Iω
Ω=
Кутова швидкість прецесії Ω , як правило, відносно невелика, Ω << ω , оскільки гіроскопи зазвичай масивні (великий момент інерції I у знаменнику формули Ω ) і швидко обертаються (велика величина ω у тому ж знаменнику). Прецесія – досить поширений вид руху в природі. Наприклад, такі рухи виконують мікрочастинки (електрони, атоми) у зовнішніх магнітних полях.
4.5. ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ МОМЕНТУ ІМПУЛЬСУ Закон збереження моменту імпульсу: момент імпульсу замкненої системи відносно будь-якої нерухомої точки не змінюється з часом, тобто
dL =0 dt
і
L = const .
Момент імпульсу замкненої системи відносно його центра інерції також не змінюється з часом:
dLC =0 dt
і
LC = const .
Подібно до законів збереження імпульсу та енергії, закон збереження моменту імпульсу виходить далеко за межі класичної механіки. Він належить до ряду найфундаментальніших фізичних законів, оскільки пов'язаний з певною властивістю симетрії простору – його ізотропністю. Вона проявляється в тому, що фізичні властивості та закони руху замкненої системи не залежать від вибору напрямку осей координат інерціальної системи відліку, тобто не змінюються при повороті в просторі замкненої системи як цілого на будь-який кут. Згідно із сучасними уявленнями, момент імпульсу можуть мати не лише частинки та тіла, але й поля, причому елементарні частинки та побудовані з них системи (наприклад, атомні ядра) можуть мати момент імпульсу, не пов'язаний з їх рухом у просторі. Він називається їх спіном. Стосовно систем, які описуються класичною (ньютонівською) механікою, закон збереження імпульсу можна розглядати як наслідок законів Ньютона. Для замкненої механічної системи головний вектор зовнішніх сил відносно будь-якої нерухомої точки (а також відносно центра інерції системи) тотожно дорівнює нулю: M зовн ≡ 0 (де F = F зовн = 0 , звідки випливає закон збереження імпульсу 59
n
L = ∑ [ri mi vi ] = const , i =1
де mi , ri , vi – відповідно маса, радіус-вектор і швидкість і-ї матеріальної точки системи, що складається з n таких точок, або n
n
L C = ∑ ⎡ri' , mi vi' ⎤ = ∑ ⎡ri' , mi v i ⎤ = const , ⎣ ⎦ i =1 ⎣ ⎦ i =1 де ri' = ri − rC , vi' = v i − vC , а rC і vC – радіус-вектор і швидкість центра інерції системи. Якщо система не замкнена, але діючі на неї зовнішні сили такі, що їх момент відносно нерухомої точки О тотожно рівний нулю ( M зовн ≡ 0 ), то, згідно із законами Ньютона, момент імпульсу системи відносно тієї ж точки О не змінюється з часом: L = const . Цю умову практично задовольняє, наприклад, зрівноважений гіроскоп з трьома ступенями вільності, момент сил тертя в підвісі якого достатньо малий. При будь-яких поворотах підставки такого гіроскопа, яка утримує в стані спокою його центр підвісу, вісь гіроскопа зберігає свою орієнтацію відносно нерухомої інерціальної системи відліку. (Тут покладається, що вектор L спрямований по осі гіроскопа. У супротивному випадку вільний гіроскоп здійснює регулярну прецесію: його вісь описує колову конічну поверхню, вершина якої розташована в центрі підвісу, а вісь напрямлена вздовж вектора L = const ). Зазвичай M зовн ≠ 0 і L ≠ const . Втім, якщо головний момент зовнішніх сил відносно якоїсь нерухомої осі, що проходить через точку О, тотожно рівний нулю, то момент імпульсу системи відносно цієї осі не змінюється з часом. Наприклад, якщо M zзовн = 0 , то Lz = const . У випадку, коли система обертається навколо нерухомої осі OZ, а головний момент зовнішніх сил відносно цієї осі M zзовн = 0 , момент імпульсу системи відносно осі обертання не змінюється з часом: I z ω = const , де ω, I z – кутова швидкість і момент інерції системи. Якщо під дією внутрішніх сил, а також зовнішніх сил, які задовольняють умову M zзовн = 0 , система деформується, а її момент інерції Iz змінюється, то зростає або спадає кутова швидкість ω . Яскравий тому приклад можна побачити під час змагань із фігурного катання на ковзанах: коли спортсмен притискає до себе руки під час обертання навколо вертикальної осі, кутова швидкість його обертання помітно зростає. Вільними осями тіла називаються такі осі, навколо яких вільне тверде тіло може обертатися зі сталою кутовою швидкістю (за відсутності будь-яких зовнішніх впливів). Таке обертання тіла називається інерцій60
ним, або вільним, обертанням. Вільні осі тіла збігаються з його головними центральними осями інерції. У загальному випадку значення I1 , I 2 , I 3 головних центральних моментів інерції тіла різні. Вільне обертання такого тіла (наприклад, однорідного прямокутного паралелепіпеда з ребрами різної довжини) практично здійснюється тільки навколо двох вільних осей, які відповідають екстремальним значенням головних центральних моментів інерції – найбільшому та найменшому. Обертання тіла навколо його третьої головної центральної осі, яка відповідає проміжному значенню моменту інерції тіла, нестійке: навіть малі зовнішні впливи можуть спричиняти значні відхилення миттєвої осі обертання тіла від її первісного напрямку в тілі. Якщо значення двох головних центральних моментів інерції тіла однакові, I1 = I 2 ≠ I3 , то стійке вільне обертання такого тіла (наприклад, однорідного кругового циліндра) можливе тільки навколо тієї вільної осі, яка відповідає відмінному від них третьому значенню моменту інерції тіла I3 . Для однорідного кругового циліндра такою вільною віссю є його вісь симетрії. Проте, якщо довгий і тонкий циліндр здійснює обертальний рух за допомогою прикріпленої до кінця нитки, то стійким виявляється обертання циліндра навколо тої вільної осі, яка відповідає найбільшому значенню його моменту інерції. Ця вільна вісь перпендикулярна до осі симетрії циліндра. Розглянемо балістичний маятник як O п р и к л а д застосування закону збереження моменту імпульсу (рис. 4.6). Однорідний стрижень масою М і довжиною α l шарнірно підвішений у точці О. У нижній кінець стрижня потрапляє й застряє Δh l C там куля масою m . У результаті стрижень повертається на кут α . Користуючись законами збереження, потрібно визначити зв'язок між кутом відхилення α і m V швидкістю кулі v . M Розглядувана механічна система – стрижень плюс куля – незамкнена, оскільки Рис. 4.6 на тіла діють зовнішні сили. На відміну від розглянутого раніше прикладу балістичного маятника, у даному випадку горизонтальна складова імпульсу системи не зберігається, оскільки сили реакції, що виникають у точці підвісу, мають горизонтальну складову як під час повороту стрижня, так і під час удару кулі. (До речі, ці сили реакції мож61
на відчути навіть у повсякденному житті. Якщо взяти стрижень за кінець у руку й стукнути іншим кінцем стрижня об землю, то сили реакції будуть істотно відчутні.) Отже, закон збереження імпульсу тут застосувати неможливо. Залишаються закони збереження енергії та моменту імпульсу. Розглянемо момент імпульсу системи відносно осі, що проходить через точку О перпендикулярно до площини (рис. 4.6), у момент часу t1 (до удару) і в момент часу t2 (безпосередньо після удару, коли куля вже застрягла в стрижні, але він ще не встиг повернутись на помітний кут). Оскільки на інтервалі t1 → t2 усі зовнішні сили мають нульовий момент відносно обраної осі, можна застосувати закон збереження моменту імпульсу mvl = I ω , де I = Ml 2 3 – момент інерції стрижня відносно осі О,
ω – початкова кутова швидкість обертання стрижня. Закон збереження енергії застосуємо так само, як це було зроблено в попередньому прикладі балістичного маятника. Кінетична енергія обертального руху стрижня в момент часу t2 дорівнює його потенціальній енергії в момент максимального відхилення
I ω2 = Mg Δh , 2 l (1 − cos α ) – вертикальне зміщення центра мас стрижня при 2 відхиленні на кут α . Шляхом нескладних перетворень наведених вище рівнянь отримаємо шуканий вираз
де Δh =
v=
M m
2 gl α sin . 3 2
62
Розділ 5. ОСНОВИ СПЕЦІАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ 5.1. ПОСТУЛАТИ СПЕЦІАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ Спеціальна теорія відносності (її часто називають також частинною теорією відносності) являє собою сучасну фізичну теорію простору та часу. Вона та квантова механіка є теоретичною базою сучасної фізики (наприклад, ядерної) і техніки. Її часто називають релятивістською теорією, а специфічні явища, нею описувані, – релятивістськими ефектами. Як правило, такі ефекти виникають при швидкостях руху тіл, близьких за величиною до 8 швидкості світла у вакуумі с = 3 ⋅ 10 м/с, які називають релятивістськими швидкостями. Релятивістською механікою називається механіка рухів з релятивістськими швидкостями, заснована на спеціальній теорії відносності. У спеціальній теорії відносності так само, як і в класичній ньютонівській механіці, покладається, що час однорідний, а простір однорідний та ізотропний. В її основі лежать два основних принципи, які приймаються за вихідні постулати. Перший постулат є узагальненням механічного принципу відносності Галілея на будь-які фізичні процеси. Цей постулат, який називають принципом відносності, або релятивістським принципом відносності Ейнштейна, свідчить: у будь-яких інерційних системах відліку всі фізичні явища за одних і тих самих умов відбуваються однаково. Інакше кажучи, принцип відносності стверджує, що фізичні закони незалежні (інваріантні) відносно вибору інерційної системи відліку: рівняння, що виражають ці закони, мають однаковий вигляд в усіх інерційних системах відліку. Отже, на основі будь-яких фізичних експериментів, проведених у замкненій системі тіл, неможливо встановити, перебуває ця система в стані спокою чи рухається рівномірно й прямолінійно (відносно якої-небудь інерційної системи відліку). У фізиці всі інерційні системи відліку цілковито рівноправні. Спираючись на фізичні експерименти, неможливо вибрати з безлічі інерційних систем відліку якусь головну ("абсолютну"), яка має які-небудь якісні відмінності від інших. Другий постулат виражає принцип інваріантності швидкості світла: швидкість світла у вакуумі не залежить від руху джерела світла. Вона однакова в усіх напрямках і в усіх інерційних системах відліку, й є однією з найважливіших фізичних сталих. Досліди показують, що швидкість світла у вакуумі с – гранична швидкість у природі. Швидкість будь-яких частинок і тіл, а також швидкість поширення будь-яких взаємодій і сигналів не може перевищувати с. Згадані специфічні закономірності процесу поширення світла у вакуумі дозволяють використовувати цей реальний фізичний процес для 63
встановлення процедури хронометризації систем відліку, тобто для синхронізації годинників, які розміщені в різних точках простору й переміщуються разом із розглядуваною системою відліку. Постулати спеціальної теорії відносності суперечать тим уявленням про властивості простору та часу, які прийняті в класичній механіці й відображені в перетвореннях Галілея. Зокрема, це стосується твердження про однаковість ходу часу в усіх інерційних системах відліку, яке вважалося в механіці Ньютона "самим собою зрозумілим", а отже, і твердження про абсолютність проміжку часу між якими-небудь двома подіями. Наприклад, якщо дві події відбуваються одночасно за годинником в одній інерційній системі відліку, то вони, згідно з класичними уявленнями, відбуваються також одночасно за годинником у будь-якій іншій інерційній системі відліку. Цю суперечність можна пояснити на K K' такому прикладі (рис. 5.1): є дві інерційні Y' Y V системи відліку – нерухома К і система К', яка рухається вздовж осі ОХ зі стаVt лою швидкістю V. Нехай у момент початку відліку часу в обох системах К і К' O B O A ( t = t ′ = 0 ), коли їх початки координат О X' X та О' збігаються, у точці О відбувається ct ct миттєвий світловий спалах. На момент часу t > 0 світло, поширюючись у вакуZ' Z умі зі швидкістю с, досягне в системі відліку К точок поверхні сфери із центром у Рис. 5.1 точці О і радіусом, рівним ct. У системі К' можна вважати, що світловий спалах відбувся в момент часу t ′ = 0 у точці О'. Тому, згідно з постулатами спеціальної теорії відносності, на момент часу t = t ′ світло в системі К' досягне точок сфери того ж радіуса ct, що й у системі К, але з центром у точці О', яка розташована в цей час не в точці О, а на відстані Vt від неї. Таким чином, сполучення постулатів спеціальної теорії відносності й класичних уявлень про абсолютний час, який іде однаково в усіх системах відліку, призводить до абсурду: світло спалаху повинно одночасно досягати точок простору, які належать двом різним сферам.
5.2. ОДНОЧАСНІСТЬ ПОДІЙ. СИНХРОНІЗАЦІЯ ГОДИННИКІВ При проведенні різноманітних фізичних вимірювань широко користуються поняттям одночасності двох чи кількох подій. Наприклад, для визначення довжини l стрижня, який розташований уздовж осі ОХ системи відліку К і рухається відносно цієї системи, необхідно одночасно, тобто в 64
один і той самий момент часу t, зафіксувати значення x2 (t ) і x1 (t ) координат кінців стрижня: l = x2 (t ) − x1 (t ) . Визначення моменту часу, коли відбулася та чи інша подія (наприклад, старт чи посадка космічного корабля), зводиться до встановлення показання годинника, одночасного розглядуваній події. Це легко зробити за допомогою годинника, який знаходиться в тому ж місці, де відбувається подія. Таким чином, у кожній системі відліку має бути багато годинників, що знаходяться в різних точках простору. Зрозуміло, що всі вони мають йти узгоджено, синхронно: їх показання в кожний момент часу повинні бути однаковими. Синхронність ходу годинників, які розташовані поруч, тобто в одному й тому ж місці простору, можна перевірити за збігом їх показань у кожний довільний момент часу. А одночасність годинників, які знаходяться у віддалених одна від одної точках А і В, можна було б перевірити подібним чином, маючи можливість посилати сигнали точного часу, які поширюються з А в В миттєво. Проте досвід показує, що такий спосіб нездійсненний, оскільки швидкість будь-якого сигналу не може перевищувати швидкість світла у вакуумі. Можна вчинити так: перевезти годинник з точки В у А, переконатися в синхронності його ходу з годинником у точці А, а потім акуратно перевезти годинники назад у точку В. Перевірити, що привезений у точку В годинник продовжує йти однаково швидко з годинником у точці А, можна за допомогою сигналів часу, які висилаються з А в В через певні однакові проміжки часу за годинником у точці А. Проте таким способом неможливо встановити, чи не відбувся при перевезенні годинника зсув у початку відліку часу за ним, тобто чи не почав годинник, привезений у точку В, йти вперед чи відставати від годинника в точці А на постійну величину Δt. Питання про синхронність ходу годинників, які знаходяться в різних точках А і В, можна розв'язати тільки шляхом однозначної угоди (означення) стосовно того, коли ці годинники слід вважати синхронними. За основу такого означення Ейнштейн узяв реальний фізичний процес – поширення світла у вакуумі. При цьому він виходив з того, що швидкість світла у вакуумі, по-перше, є максимально можливою в природі швидкістю передавання сигналів, а по-друге, однакова в усіх напрямках та інерційних системах відліку. Нехай за годинником у точці А світловий сигнал висилається з цієї точки в момент часу t1 і після відбиття в точці В повертається в т. А в момент часу t3. Тоді, за означенням, годинник у точці В йде синхронно з годинником у точці А, якщо він іде однаково швидко і в момент приходу світлового сигналу в точку В встановлений у ній годинник показує час t2 = (t1 + t3 ) / 2 . 65
У спеціальній теорії відносності хід часу в різних інерційних системах відліку різний, тоді проміжок часу між якими-небудь двома певними подіями буде відносним: він змінюється при переході від однієї інерційної системи відліку до іншої. Зокрема, відносною є одночасність двох подій, які відбуваються в різних точках простору. Події, одночасні в одній інерційній системі відліку, зовсім не одночасні в інших, що рухаються відносно першої. В одних системах відліку перша з двох подій відбувається раніше другої, а в інших – пізніше. У прикладі, показаному на рис. 5.1, досягнення світлом спалаху точок А і В – події, одночасні в нерухомій системі відліку К. У рухомій системі відліку К' ці події не одночасні. У точку А, яка віддаляється від джерела світлового спалаху – точки О', світло потрапляє пізніше, ніж у точку В, що наближається до О'. Події, пов'язані причинно-наслідковим зв'язком, не можуть відбуватися одночасно ні в якій системі відліку, оскільки будь-який наслідок зумовлений якимось процесом, породженим причиною. Між тим ніякий процес (фізичний, хімічний, біологічний) не може відбуватися миттєво. Тому відносність жодною мірою не суперечить причинності. У будь-якій інерційній системі відліку подія – наслідок завжди відбувається пізніше, ніж подія, що є її причиною.
5.3. ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛОРЕНЦА Із постулатів спеціальної теорії відносності, а також з однорідності й ізотропності простору та однорідності часу випливає, що співвідношення між координатами і часом однієї й тієї ж події у двох інерційних системах відліку виражається перетвореннями Лоренца, а не перетвореннями Галілея, як це вважається в класичній (ньютонівській) механіці. Згідно з принципом відносності та вищезгаданими властивостями симетрії простору і часу, перетворення Лоренца мають бути лінійними. Перетворення Лоренца мають найпростіший вигляд у тому випадку, коли відповідні осі декартових координат нерухомої (К) і рухомої (К') інерційних систем попарно паралельні, причому система К' рухається відносно К зі сталою швидкістю V вздовж осі ОХ. Якщо за початок відліку в обох системах ( t = 0 і t ′ = 0 ) обрано той момент, коли початки координат О та О' обох систем відліку збігаються, то перетворення Лоренца мають вигляд:
x′ =
x − Vt 1−V
2
,
x=
x′ + Vt ′ 1−V
c2
y' = y, z' = z,
2
y = y' z = z' 66
c2
t′ =
Vx t− 2 c 2 1−V
t=
,
c2
Vx′ t′ + 2 c 2 1−V
,
c2
де с – швидкість світла у вакуумі. Перетворення Лоренца показують, що при переході від однієї інерційної системи відліку до другої змінюються не тільки просторові координати розглядуваних подій, але й відповідні їм моменти часу. Проте між просторовими координатами x′, y ′, z ′ події та часом t' її здійснення в довільній інерційній системі відліку К' існує певний взаємозв'язок, так що величина ⎡ ( x ′)2 + ( y ′) 2 + ( z ′)2 − c 2 (t ′)2 ⎤ не залежить від швидкості V сис-
⎣
⎦
теми К', тобто є однаковою в усіх інерційних системах відліку:
( x ′)2 + ( y ′)2 + ( z ′) 2 − c 2 (t ′)2 = x 2 + y 2 + z 2 − c 2t 2 . Координата x' і час t' не можуть бути уявними. Тому з перетворень Лоренца випливає, що швидкість відносного руху будь-яких двох інерційних систем відліку не може перевищувати швидкість світла у вакуумі ( V c ). Відповідно до принципу відносності Ейнштейна, фізичні закони мають задовольняти умову релятивістської інваріантності (Лоренц-інваріантності). Ця вимога означає таке: рівняння, що виражають фізичні закони, повинні зберігати свою форму при переході від однієї інерційної системи відліку до іншої, який відбувається згідно з перетвореннями Лоренца. Перетворення Лоренца переходять у перетворення Галілея при V c , або, точніше, у границі при V / c → 0 , тобто при c → ∞ . Іншими словами, перетворення Галілея та заснована на них класична (ньютонівська) механіка побудовані на припущенні про миттєве поширення взаємодій. Такий наближений підхід допустимий лише при розгляді закономірностей механічного руху тіл зі швидкостями, значно меншими від швидкості світла у вакуумі.
5.4. ВІДНОСНІСТЬ ДОВЖИН І ПРОМІЖКІВ ЧАСУ. ІНТЕРВАЛ МІЖ ДВОМА ПОДІЯМИ Із перетворень Лоренца випливає, що лінійний розмір тіла, яке рухається відносно інерційної системи відліку, зменшується в напрямку руху. Ця зміна поздовжнього розміру тіла під час його руху називається лоренцовим скороченням. Нехай l0 – довжина стрижня, що перебуває в стані спокою в системі відліку К'. Якщо стрижень розташований уздовж осі O'X' (рис. 5.2), то l0 = x2′ − x1′ , де x2′ і x1′ – координати кінців стрижня. Довжина l того ж стрижня в системі відліку К, відносно якого він рухаєть67
ся вздовж осі ОХ зі швидкістю V, дорівнює різниці значень координат кінців стрижня, виміряних в один і той самий момент часу t :
l − x2 (t ) − x1 (t ) = ( x2′ − x2′ ) 1 − K
Y
K'
V2 c2
= l0 1 −
V2 c2
.
Поперечні розміри тіла не залежать від швидкості його руху та однакові в усіх інерційних системах відліку:
Y' V
y2 − y1 = y2′ − y1′ і z2 − z1 = z2′ − z1′ . x1' X' x2' Отже, лінійні розміри тіла відносні. Вони максимальні в тій самій O' O x1(t) x2(t) X інерційній системі відліку, відносно якої тіло перебуває у спокої. Ці розміри тіла називаються йоРис. 5.2 го власними розмірами. Лоренцеве скорочення є кінематичним ефектом спеціальної теорії відносності. Воно не пов'язане з дією на тіло якихось поздовжніх сил, які стискають його вздовж напрямку руху. Це скорочення помітне тільки при швидкостях руху, близьких до швидкості світла у вакуумі. Із формули для лоренцевого скорочення випливає, що тіла не можуть рухатися зі швидкостями V ≥ c, оскільки при V = c поздовжній розмір тіла обертається на нуль, а при V > c він має стати уявним. Із перетворень Лоренца видно, що в теорії відносності можна говорити про певний "момент часу" лише стосовно якої-небудь одної певної інерційної системи відліку. Наприклад, одному "моменту часу" в системі відліку К (одному певному значенню часу t у цій системі) відповідає множина значень часу t' у системі відліку К' залежно від значень координати х: Vx t− 2 c . t′ = 2 1−V 2 c Навпаки, одному "моменту часу" в системі відліку К', тобто одному певному значенню часу t', відповідає множина значень часу t у системі відліку К залежно від значень координати х': Vx ′ t′ + 2 c . t= 2 V 1− c2 68
Ще один важливий наслідок перетворень Лоренца – відносність проміжку часу між якими-небудь двома подіями (наприклад, між початком і кінцем якого-небудь процесу), тобто залежність цього проміжку від вибору інерційної системи відліку. Нехай у рухомій інерційній системі відліку К' дві розглядувані події 1 і 2 відбуваються в одній і тій самій нерухомій відносно К' точці А ( x2′ = x1′ ) у моменти часу t1′ і t2′ , так що проміжок часу між цими подіями τ = t2′ − t1′ . Відносно нерухомої інерційної системи відліку К точка А рухається з тією ж швидкістю V, що й система К'. Тому в К події 1 і 2 відбуваються в різних точках простору з координатами x1 і x2, причому x2 − x1 = V τ , де
τ = t2 − t1 – проміжок часу між подіями 1 і 2 за годинником у системі відліку К. Із перетворень Лоренца випливає, що τ = t2 − t1 =
t2′ − t1′ 2 1−V
c2
=
τ0 2 1−V
.
c2
Таким чином, проміжок часу між двома подіями мінімальний у тій системі відліку, відносно якої обидві події відбуваються в одній і тій самій точці. Час, вимірюваний за годинником, який рухається разом з даним об'єктом, називається власним часом цього об'єкта. Розглянуті закономірності свідчать про існування релятивістського ефекту сповільнення ходу часу в рухомій інерційній системі відліку порівняно з нерухомою. Годинник, який рухається зі швидкістю відносно даної інерційної системи відліку, йде повільніше в
1−V
2
разів, ніж неруc2 хомий. За принципом відносності, усі фізичні процеси в рухомій системі відліку відбуваються повільніше, ніж у нерухомій. Ефект сповільнення ходу часу стає помітним тільки при дуже великих швидкостях руху V, близьких до швидкості світла у вакуумі. Він підтверджується експериментально, наприклад, у дослідах з мюонами. Мюон – нестабільна елементарна частинка. Середній власний час життя мюона (за годинником у тій інерційній системі відліку, відносно якої він перебуває у спокої) τ0 = 2, 2 ⋅10−6 с. Мюони народжуються у верхніх шарах атмосфери під дією первинного космічного проміння й рухаються відносно Землі зі швидкостями V, близькими до с. Якби релятивістського ефекту сповільнення ходу часу не було, то відносно земного спостерігача мюон міг би пройти за час свого життя шлях в атмосфері, який не перевищує в середньому τ0c = 660 м. Іншими словами, мюони не могли б досягати поверхні Землі. Насправді ж вони реєструються приладами, встановленими на поверхні Землі, оскільки середній час життя рухомого мюона за 69
годинником земного спостерігача τ = τ0 / 1 − V
2
c2
>> τ0 і шлях, пройде-
ний мюоном за цей час, τV >> 660 м. Релятивістський ефект сповільнення ходу часу в космічному кораблі, що рухається відносно Землі, відкриває можливість здійснення як завгодно далеких польотів і подорожей "у майбутнє". Згідно з принципом відносності, усі процеси на космічному кораблі, включаючи й процес старіння космонавтів, ідуть за тими ж законами, що й на Землі. Але при цьому час на кораблі треба вимірювати за годинником, який рухається разом з ним зі швидкістю V відносно Землі. Якщо V близька до с, то годинник на кораблі йде значно повільніше, ніж земний (на космодромі) – у
1/ 1 − V
2
разів. Наприклад, при β = V/c = 0,99999 хід годинника на c2 кораблі й на Землі відрізняється в 224 рази. Отже, на такому кораблі за проміжок часу τ0 = 10 років за корабельним годинником можна здійснити, постарівши всього лише на 10 років, космічний політ, який за годинником на Землі триватиме τ = 2240 років! При цьому корабель віддалиться від Землі на величезну відстань l = Vτ = β cτ = 2239,98 світлових років (світловим роком називається відстань, яку проходить світло у вакуумі за рік: 1 св. рік = 9,4605 (1015 м). Чим ближче V до с, тим більший шлях l може пройти корабель відносно Землі за один і той самий проміжок τ0 власного часу на кораблі, тобто тим більш далекий космічний переліт можуть здійснити космонавти за своє життя. Якщо космонавт, здійснивши космічний політ зі швидкістю V, близькою до с, повернеться на Землю, то він виявить, що люди на Землі (зокрема, його брат-близнюк, який залишився на Землі) постаріли за час польоту більше, ніж він. При достатньо малій відмінності V від с, коли (1 − V 2 / c 2 ) 1 , космонавт може пережити всіх своїх сучасників на Землі та опинитися після повернення серед представників наступних поколінь людей. На перший погляд здається, (виходячи з принципу відносності) що можна прийти до висновків, прямо протилежних до наведених у п. 6: годинник на Землі, який рухається зі швидкістю – V відносно космічного корабля, повинен відставати від годинника на кораблі. Тому тривалість польоту має бути більшою для космонавта, а не для мешканців Землі. Отже, за час польоту повинен більше постаріти той із двох близнюків, котрий летів на кораблі. Таким чином, різниця показань годинника на космодромі та на кораблі після приземлення має бути: з одного боку, додатною, а з другого – від'ємною. Цей абсурдний результат одержав назву парадоксу годинників, або парадоксу часу. Насправді ніякого парадоксу немає. Він виник унаслідок неправильного застосування принципу відносності. Цей прин70
цип вказує на повну рівноправність не будь-яких систем відліку, а лише інерційних. Між тим, система відліку, пов'язана з космічним кораблем, – на відміну від Земного – не весь час є інерційним, оскільки під час набору швидкості на старті, обльоту цілі та гальмування при спуску корабель рухається з прискоренням. Тому задача про хід годинника на космодромі, який весь час перебуває у спокої відносно однієї й тієї самої інерційної системи відліку, і годинника, який міститься на космічному кораблі, принципово несиметрична, а Земна та корабельна системи відліку – нерівноправні в даній задачі. Правильними є міркування, викладені в п. 6, оскільки вони засновані на використанні інерційної (Земної) системи відліку. Міркування на початку п. 7, що призвели до парадоксу годинника, – помилкові. У другому випадку слід користуватися не спеціальною, а загальною теорією відносності. Виявляється, щодо космонавта його годинник має іти повільніше, ніж на космодромі. Інтервалом, або просторово-часовим інтервалом, між двома подіями, виміряним в інерційній системі відліку К', називається величина 2
2
′ = c 2 ( t12 ′ ) − ( l12 ′ ) , s12 ′ = t2′ + t1′ – проміжок часу між розглядуваними подіями (за годинниде t12 ком у системі відліку К' ), а ′ = l12
( x2′ − x1′ )2 + ( y2′ − y1′ )2 + ( z2′ − z1′ )2
– відстань між точками, в яких відбуваються події 1 і 2, виміряна також в системі відліку К'. Із перетворень Лоренца випливає, що інтервал між даними двома подіями 1 і 2 інваріантний відносно вибору інерційної системи відліку, тобто не змінюється при переході від рухомої інерційної системи відліку К' до нерухомої К: ′ = s12 = inv , s12 де s12 = c 2 t122 − l122 . 2 Якщо s12 > 0 , тобто s12 – дійсне число, то інтервал s12 називається
часоподібним інтервалом. Інтервал s12 називається просторовоподіб2 ним інтервалом, якщо s12 < 0 , тобто s12 – уявне число. З інваріантності інтервалу відносно вибору інерційної системи відліку ′ і l12 ′ для даних К' випливає, що в усіх системах відліку К' значення t12 двох подій 1 і 2 задовольняють рівняння гіперболи: 2
2
′ ) − ( l12 ′ ) = s12 ′2 . c 2 ( t12 71
c t'12 I A C
O B II
Рис. 5.3
III
l'12
′2 > 0 , то зв'язок між t12 ′ і l12 ′ Якщо s12 у різних інерційних системах відліку К', які рухаються відносно нерухомої системи відліку К з усіма можливими швидкостями ( 0 ≤ V < c ), зображується графічно у вигляді двох гілок гіперболи І і ІІ (рис. 5.3). Отже, знак проміжку часу між подіями 1 і 2, пов'язаними часоподібним інтервалом, абсолютний. Він не залежить від вибору інерційної системи відліку: в усіх системах відліку К' друга подія відбувається або завжди пізніше першої, ′ > 0 (гілка І), або завжди раніше тобто t12 ′ < 0 (гілка ІІ). Відстань першої, тобто t12
′ відносна, причому можна вказати таку інерційну систему відліку К', в l12 ′ = 0 , тобто події 1 і 2 відбуваються в одному й тому ж місці (точки якій l12 А і В на гілках гіперболи І та ІІ). Двом подіям, пов'язаним причинно-наслідковим зв'язком, завжди повинен відповідати часоподібний інтервал або, у крайньому разі, нульовий інтервал ( s12 = 0 ). Це зумовлено тим, що сигнал, за допомогою якого подія 1 (причина) спричиняє появу події 2 (наслідок), не може поширюватися в про′ ≤ c(t2′ − t1′ ) . сторі зі швидкістю понад швидкості світла у вакуумі: l12 ′ < 0 ), знак Коли події пов'язані просторовоподібним інтервалом ( s12 ′ буде відносним: t12 ′ > 0 (верхня частина гіперболи ІІІ на рис. 5.3) в t12 ′ < 0 (нижня частина одних інерційних системах відліку К', а в інших t12 ′ = 0 , тобто гіперболи ІІІ). Точка С відповідає системі відліку К', в якій t12 події 1 і 2 відбуваються одночасно.
5.5. ПЕРЕТВОРЕННЯ ШВИДКОСТЕЙ І ПРИСКОРЕНЬ У РЕЛЯТИВІСТСЬКІЙ КІНЕМАТИЦІ Значення v і v' швидкості матеріальної точки у двох інерційних системах відліку К і К' дорівнюють:
v=
dr = vx i + vy j + vz k, dt
v′ =
dr ′ = v'x i' + v'y j' + v'z k', dt ′
де r = x i + y j + z k та r' = x' i' + y' j' + z' k' – радіус-вектори декартових координат систем відліку К і К'. Проекції швидкостей v і v' на осі декартових координат дорівнюють: 72
dx dy dz dx′ dy ′ dz ′ , vy = , vz = , vx′ ′ = , v ′y′ = , і vz′ ′ = . dt ′ dt ′ dt ′ dt dt dt Нехай відповідні осі декартових координат систем відліку К' і К попарно паралельні і система К' рухається відносно К зі сталою швидкістю V, напрямленою вздовж осі ОХ. Причому, у момент початку відліку часу в К і К' ( t = 0 і t ′ = 0 ) початки координат О і О' цих систем відліку збігаються. Із перетворень Лоренца випливає, що зв'язок між проекціями точки на осі декартових координат у системах К і К' має вигляд: vx − V vx′ ′ − V , vx = , vx′ ′ = 2 1 − V vx / c 1 + V vx′ ′ / c 2
vx =
v ′y′ =
v y 1 − V 2 / c2
1 − V vx / c 2
vy =
,
v 1 − V 2 / c2 , vz′ ′ = z 1 − V vx / c 2
v ′y′ 1 − V 2 / c 2
1 + V vx′ ′ / c 2
,
v′ 1 − V 2 / c 2 . vz = z ′ 1 + V v′x′ / c 2
Ці формули виражають закон складання швидкостей у релятивістській кінематиці. У граничному переході с→∞ вони призводять до звичайного закону складання швидкостей у класичній механіці: v'x' = vx – V, v'y` = vy, v'z' = vz та v' = v – V. Зв'язок між квадратами модулів векторів v і v':
(
2⎤ ⎡ ⎡ 2 2 ⎢ ⎣⎢1 − ( v ′ / c ) ⎦⎥ 1 − V / c v = c ⎢1 − 2 ⎢ 1 + V vx′ ′ / c 2 ⎣ 2
2
(
) ⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎦
)
та
(
)
⎡ ⎡ 2 2⎤ 2 2 ⎤ ⎢ ⎣1 − v / c ⎦ 1 − V / c ⎥ ( v′ ) = c ⎢1 − ⎥. 2 ⎢ ⎥ 1 − V vx / c 2 ⎣ ⎦ Зокрема, якщо v' = c, то v = c, і навпаки. Отже, якщо швидкість частинки відносно якої-небудь інерційної системи відліку дорівнює швидкості світла у вакуумі, то вона має бути такою самою за величиною відносно будь-якої іншої інерційної системи відліку незалежно від швидкості відносного руху цих систем відліку. Інакше кажучи, сума двох швидкостей завжди дорівнює с, якщо навіть одна з них дорівнює с. У цій закономірності, що виявляється під час руху таких елементарних частинок, як фотони та нейтрино, проявляється граничний характер швидкості світла у вакуумі. 73 2
2
(
)
З отриманих співвідношень видно, що частинка, яка рухається відносно якої-небудь інерційної системи відліку з меншою від с швидкістю, має швидкість відносно будь-якої іншої інерційної системи відліку теж меншу від с (наприклад, якщо v < c, то v' < c, і навпаки). Звідси, зокрема, випливає, що якими б не були близькими до с швидкості двох частинок, їх відносна швидкість завжди менша від с. Наприклад, нехай дві частинки рухаються вздовж осі ОХ системи відліку К зі швидкостями, відповідно рівними v1 = 0,8ci та v2 = – 0,8ci. Швидкість u21 другої частинки відносно першої не дорівнює, як це приймається в класичній механіці, геометричній різниці v2 – v1 = – 1,6ci хоча б тому, що модуль цієї швидкості переважає с. Шукана швидкість дорівнює швидкості другої частинки відносно інерційної системи відліку К', яка рухається разом з першою частинкою (V = 0,8ci), тобто u21 = v'2. Із наведених вище формул випливає, що
v2′ x′ =
v2 x − V 1, 6c = – 0,976с, =− V v2 x 1 + 0, 64 1 − 2 c
v2′ y′ = v2′ z ′ = 0,
тобто u21 = – 0,976ci та ⏐u21⏐< c. Проекції прискорення матеріальної точки на осі декартових координат двох інерційних систем відліку К і К', пов'язані між собою такими співвідношеннями: 3
⎛ ⎞ ⎜ 1 − V 2 / c2 ⎟ dvx′ ′ ⎟ , = ax ⎜ ax′ ` = dt ′ ⎜ 1 − Vvx ⎟ ⎜ ⎟ c2 ⎝ ⎠ dv′y′ ⎡⎛ Vvx ⎞ Vv y ⎤ 1 − V 2 / c 2 a ′y′ = = ⎢⎜ 1 − , ⎟ a y + 2 ax ⎥ 3 dt ′ ⎣⎝ c2 ⎠ c ⎦ ⎛ Vvx ⎞ ⎜1 − 2 ⎟ c ⎠ ⎝ 2 ⎡⎛ Vv ⎞ ⎤ 1 − V / c2 dv ′ Vv az′ ′ = z′ = ⎢⎜ 1 − x ⎟ az + z ax ⎥ , 3 dt ′ ⎣⎝ c2 ⎠ c2 ⎦ ⎛ Vvx ⎞ ⎜1 − 2 ⎟ c ⎠ ⎝
⎛ ⎜ 1 − V 2 / c2 dvx ax = = ax′ ′ ⎜ dt ⎜ 1 + Vvx′ ′ ⎜ c2 ⎝ 74
3
⎞ ⎟ ⎟ , ⎟ ⎟ ⎠
Vv y′ ⎡⎛ Vv′ ⎞ ⎤ 1 − V 2 / c2 ax′ ′ ⎥ , = ⎢⎜1 + x′ ⎟ a ′y′ − 3 dt c2 ⎠ c2 ⎣⎝ ⎦ ⎛ Vvx′ ′ ⎞ ⎜1 + 2 ⎟ c ⎠ ⎝ 2 ⎡⎛ Vv′ ⎞ ⎤ 1 − V / c2 dv Vv′ az = z = ⎢⎜1 + x′ ⎟ az′ ′ − z ′ ax′ ′ ⎥ . 3 dt ′ ⎣⎝ c2 ⎠ c2 ⎦ ⎛ Vvx′ ′ ⎞ ⎜1 + 2 ⎟ c ⎠ ⎝
ay =
dv y
5.6. ОСНОВНИЙ ЗАКОН РЕЛЯТИВІСТСЬКОЇ ДИНАМІКИ У класичній (ньютонівській) механіці вважалось, що маса тіла має одне й те саме значення в різних інерційних системах відліку. Досліди над тілами, швидкість руху яких менша від швидкості світла, підтверджували таке припущення. Проте відношення F a = m = const справедливе лише при достатньо невеликих швидкостях. Якщо швидкості тіл зростають, то це співвідношення починає зростати зі швидкістю. У релятивістській механіці, на відміну від класичної, маса матеріальної точки не є сталою, а залежить від швидкості v цієї точки. Її значення m різне у двох інерційних системах відліку, що рухаються одна відносно іншої. Залежність маси від швидкості виражається формулою
m=
m0 1 − v2 / c2
,
де m0 – маса спокою частинки (матеріальної точки), тобто її маса, виміряна в тій інерційній системі відліку, відносно якої частинка перебуває у спокої, с – швидкість світла у вакуумі. Масу m часто називають релятивістською масою. Іншими словами, маса однієї й тієї самої частинки різна в різних неінерційних системах відліку. Маса спокою частинки m0, на відміну від релятивістської маси, є інваріантною величиною, тобто вона однакова в різних системах відліку. Вплив швидкості частинки на величину її релятивістської маси стає суттєвим тільки при значеннях v, близьких до с. Наприклад, m/m0 = 1,005 при v/c = 0,1 і m/m0 = 2,29 при v/c = 0,9. Із закону залежності m від v видно, що частинки з масою спокою m0 не можуть рухатися зі швидкостями, більшими чи рівними с (v < c). Водночас частинки, маса спокою яких дорівнює нулю (фотони та нейтрино), не можуть мати швидкість, відмінну від с. За аналогією з класичною механікою вводиться імпульс релятивістської частинки:
p = mv =
m0 v 1 − v2 / c2 75
,
який є нелінійною функцією її швидкості. Вектор p іноді називають релятивістським імпульсом матеріальної точки (на відміну від значення m0v її імпульсу в класичній механіці). Імпульс m0v, який вводився в класичній механіці, не зберігається для замкненої системи релятивістських частинок. У результаті, виникла альтернатива: або відмовитися від класичного означення імпульсу, або від закону збереження цієї величини. Закони збереження відіграють дуже важливу роль у природі, тому в теорії відносності за фундаментальний беруть саме закон збереження імпульсу, і виходячи з цього знаходять вираз для самого імпульсу. Дослід показує, що саме релятивістський імпульс частинки, введений описаним вище способом, підкоряється закону збереження імпульсу незалежно від вибору інерційної системи відліку. Очевидно, що при v << c імпульс p = mv ≈ m0v. Унаслідок однорідності простору в релятивістській механіці справедливим є закон збереження релятивістського імпульсу: імпульс замкненої системи не змінюється з часом. Із цього закону випливає закон збереження релятивістської маси: при будь-яких процесах, які відбуваються в замкненій системі, її повна релятивістська маса не змінюється. За принципом відносності Ейнштейна, усі закони природи мають бути однакові в різних інерційних системах відліку. Тобто, математичні формулювання фізичних законів повинні мати однаковий вигляд у різних інерційних системах відліку. Це має стосуватись і динаміки. Але, як показує ретельний аналіз, основне рівняння динаміки Ньютона m
dv = F не dt
узгоджується з принципом відносності. Перетворення Лоренца, які застосовуються при переході до іншої інерційної системи відліку, надають основному рівнянню динаміки зовсім іншу форму. Очевидно, основне рівняння динаміки в релятивістському випадку повинно мати інший вигляд, і лише при v<
m0 v dp d⎛ ⎜ = F , або ⎜ dt dt ⎝ 1 − v 2 / c 2
⎞ ⎟=F. ⎟ ⎠
П р и м і тк а . Якщо на матеріальну точку одночасно діють кілька сил, то під силою F треба розуміти рівнодійну. Елементарна робота сили F на малому переміщенні dr точки її прикладання δA = (F dr) = (Fv) dt. Із основного закону релятивістської динаміки і формули залежності маси від швидкості випливає, що
F =m
dv dm +v dt dt
та 76
dm mv dv . = 2 dt c − v 2 dt
2
2
2
Тому δA = (Fv) dt = m (vdv) + v dm = mvdv + v dm = c dm. Прискорення, яке сила F надає матеріальній точці,
a=
dv F v dm 1 ⎡ v ⎤ = − = ⎢ F − ( Fv ) ⎥ . 2 dt m m dt m ⎣ c ⎦
Таким чином, на відміну від класичної механіки, у релятивістській механіці прискорення матеріальної точки не збігається за напрямком із силою, яка його спричиняє. Вектор а колінеарний силі F тільки у двох випадках: а) сила F спрямована перпендикулярно до швидкості v точки (поперечна сила), так що (Fv) = 0 і
a=
F F v2 = 1− ; m m0 c2
б) сила F напрямлена паралельно вектору v швидкості точки (поздов2 жня сила), так що v(Fv) = v F і 3
F ⎛ v2 ⎞ F ⎛ v2 ⎞ 2 a = ⎜1 − ⎟ = ⎜1 − ⎟ . m ⎜⎝ c 2 ⎟⎠ m0 ⎜⎝ c 2 ⎟⎠
2
2 –1
Поздовжня сила надає матеріальній точці прискорення у (1– v /c ) разів менше, ніж така ж за величиною поперечна сила. Це пов'язано з тим, що поперечна сила зумовлює зміну швидкості точки тільки за напрямком (модуль швидкості та релятивістська маса точки не змінюються), а поздовжня сила спричиняє зміну значення модуля швидкості точки та її маси. Якщо швидкість частинки близька до релятивістської, то для зміни абсолютного значення її швидкості треба прикласти значно більшу силу, ніж для зміни її напрямку. Тобто, дуже швидка частинка легше змінює напрямок швидкості, ніж її абсолютне значення.
5.7. ЗАКОН ВЗАЄМОЗВ'ЯЗКУ МАСИ ТА ЕНЕРГІЇ Приріст кінетичної енергії WK матеріальної точки дорівнює роботі, яку 2
виконує діюча на цю точку сила F: d WK = δA = c dm, де dm – відповідний приріст релятивістської маси частинки матеріальної точки. Звідси випливає
⎡ ⎤ 1 WK = m0 c 2 ⎢ − 1⎥ ⎢⎣ 1 − v 2 / c 2 ⎥⎦ , 2
2 –1/2
де m0 – маса спокою. Розкладаючи (1 – v /c ) жуємо:
у ряд Маклорена, одер-
⎡ 1 ⎛ v ⎞2 3 ⎛ v ⎞4 ⎤ WK = m0 c 2 ⎢ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ...⎥ ⎢⎣ 2 ⎝ c ⎠ 8 ⎝ c ⎠ ⎥⎦ . 77
При v << c ця формула призводить до звичайного виразу кінетичної енергії в класичній механіці:
WK =
m0 v 2 mv 2 . = 2 2
Збільшення кінетичної енергії тіла має супроводжуватися відповідним збільшенням його релятивістської маси m:
dm =
1 c2
dWK .
Зміна інших видів енергії тіла також пов'язана зі зміною його маси. Наприклад, якщо при нагріванні тіла у спокої його внутрішня енергія збільшується на dU, то маса m цього тіла, рівна його масі спокою m0, збільшується на
dm = dm0 =
1 c2
dU .
У загальному випадку зміна повної енергії W тіла на dW супроводжується зміною його релятивістської маси на величину
dm =
1 c2
dW.
Відповідно до цього, між W і m існує універсальне співвідношення:
W = mc2 =
m0 c 2 1 − v2 / c2
,
яке виражає закон взаємозв'язку маси та енергії: повна енергія тіла (або системи) дорівнює добутку релятивістської маси цього тіла (або системи) на квадрат швидкості світла у вакуумі. Унаслідок однорідності часу, у релятивістській механіці, як і класичній, витримується закон збереження енергії: повна енергія замкненої системи не змінюється з часом. Із закону взаємозв'язку маси та енергії випливає, що закони збереження релятивістської маси та повної енергії не є незалежними. Повна енергія частинки або системи частинок у стані спокою (наприклад, 2 атомного ядра, атома, молекули, тіла), що дорівнює W0 = m0 ⋅ c , де m0 – маса спокою, називається енергією спокою частинки або системи. Значення m0 і W0 не залежать від вибору інерційної системи відліку. Для безструктурної (елементарної) частинки вони є незмінними її характеристиками, подібно до електричного заряду та спіну частинки. Маса й енергія спокою системи частинок залежать від її складу та внутрішнього стану. Наприклад, маса спокою збудженого ядра (або атома) більша, ніж маса спокою того ж ядра (або атома) у нормальному стані. Повна енергія частинки W та її імпульс p пов'язані співвідношеннями:
p=
W c
2
v
і
W2 c
2
− p 2 = m02 c 2 , або W = 78
p 2 c 2 + m02 c 4 .
Значення повної енергії, релятивістської маси та імпульсу даної частинки, на відміну від її маси спокою m0, відносні, тобто відмінні у двох інерційних системах відліку К (W, m, p) і К' (W', m', p'). Проте різниця квадра2 та повної енергії частинки, поділеної на c , і квадрата імпульсу цієї частинки, подібно до інтервалу між двома подіями, не залежить від вибору інерційної системи відліку:
(W ′ )2 c2
2
− ( p′ ) =
W2 c2
− p 2 = m02 c 2 .
При переході від однієї інерційної системи відліку К до іншої К', яка рухається зі швидкістю вздовж осі ОХ, проекції імпульсу частинки на осі координат і її повна енергія перетворюються таким чином:
p − VW / c 2 p′ x′ = x , 1 − V 2 / c2 p′ y′ = p y , W′ =
p′ z ′ = pz , W − Vpx 1 − V 2 / c2
px =
p′ x′ + VW ′ / c 2 1 − V 2 / c2 p y = p′ y′ ,
W=
,
p z = p′ z ′ , W ′ + Vp′ x′ 1 − V 2 / c2
,
.
Із закону збереження релятивістської маси та повної енергії зовсім не випливає, що маса та енергія спокою замкненої системи не можуть змінюватися. Наприклад, сума мас спокою вільних протонів і нейтронів завжди більша, ніж маса спокою утвореного з них атомного ядра. Для характеристики систем, які мають запас міцності (наприклад, атомних ядер, атомів, молекул тощо), вводиться поняття енергії зв'язку. Енергія зв'язку системи вимірюється тією найменшою роботою, яку треба виконати, щоб розкласти систему на її складові частини (наприклад атом – на ядро та електрони). Енергія зв'язку системи n
Wзв
i =1
c2
Wзв = ∑ moi c 2 − M 0 c 2 =
,
де M0 – маса спокою системи, яка складається з n частинок, а moi – маса спокою і-ї частинки у вільному стані. Величину n
Wзв
i =1
c2
Δm = ∑ moi − M 0 = іноді називають дефектом маси системи.
79
Розділ 6. ТЯЖІННЯ 6.1. ЗАКОН ВСЕСВІТНЬОГО ТЯЖІННЯ Закон всесвітнього тяжіння І. Ньютона стверджує: між кожними двома матеріальними точками діють сили взаємного притягання, які прямо пропорційні масам точок і обернено пропорційні квадрату відстані між ними. Ці сили називаються силами тяжіння, або гравітаційними силами. Якщо m1 і m2 – маси розглядуваних матеріальних точок, а r1 і
r2 – їх радіус-вектори, то за законом всесвітнього тяжіння на 1-шу точку з боку 2-ї діє сила F12 , а на 2-гу з боку 1-ї – сила F21 , які рівні за модулем і протилежні за напрямком:
mm F12 = −γ 1 2 r12 , 3 r12
mm F21 = −γ 1 2 r21 . 3 r21
Тут r12 = r1 − r2 і r21 = r2 − r1 – радіус-вектори, проведені з 2-ї точку в 1-гу й із 1-ї в 2-гу, а r12 = r21 = r12 = r21 – відстань між цими точками. Коефіцієнт пропорційності γ називається гравітаційною сталою. Гравітаційна стала чисельно дорівнює силі взаємного тяжіння двох матеріальних точок одиничної маси, які розташовані на одиничній відстані одна від одної. Із дослідів –11 2 2 знайдено, що γ = (6,6720 ± 0,0041)⋅10 Н⋅м /кг .
dV1 V1
dV2
dF12 r12
V2 Рис. 6.1
Гравітаційна взаємодія двох тіл довільних розмірів і форми (рис. 6.1) описується формулою
ρρ F12 = −γ ∫ dV1 ∫ dV2 1 2 r12 , 3 r12 (V1 ) (V2 ) де r12 – радіус-вектор, проведений з малого елемента dV2 об'єму другого тіла в малий елемент dV1 об'єму першого тіла, ρ1 , ρ2 – густини вказаних елементів тіл, а інтегрування проводиться за всім об'ємом обох тіл. 80
П р и к л а д 1 . Розглянемо притягання тонкого стрижня масою m2 і
довжиною l до матеріальної точки масою m1 , яка розташована на осі стрижня на відстані a від його найближчого кінця (рис. 6.2). Виділимо елемент стрижня dx , маса якого dm =
m2 dx притягається до матеріаl
m dm . льної точки m1 із силою dF = γ 1 x2
dx
m1 O
a
m2
x
a+l
X
Рис. 6.2
Щоб знайти силу притягання матеріальної точки m1 з усім стрижнем, проінтегруємо отриманий вираз за x у межах стрижня: a +l m m mm F = ∫ dF = ∫ γ 1 2 dx = γ 1 2 . 2 a (a + l ) lx a
П р и к л а д 2 . Розглянемо тонку сферичну оболонку, усередині якої розташована матеріальна точка масою m (рис. 6.3). Побудуємо конус з малим просторовим кутом dΩ dr з вершиною в точці m . Цей конус виріже на оболонці два dm2 елементи, площа яких дорівнює m
a
a 2 dΩ і b 2 dΩ , де a, b – від-
b
стані від елементів до матеріальної точки. Маси елементів будуть відповідно дорівнювати
dΩ dm1
dm1 = D a 2 d Ω dr та
dm2 = D b 2 d Ω dr ,
Рис. 6.3
де D – густина матеріалу, з якого зроблена оболонка, dr – товщина оболонки. Припускається, що оболонка зроблена з однорідного матеріалу. Розглядувані два елементи діють на матеріальну точку з гравітаційними силами, які спрямовані в протилежних напрямках і відповідно дорівнюють 81
dF1 = γ
m dm1 a2
=γ
m D a 2 d Ω dr a2
= γm D d Ω dr
та
dF2 = γ
m dm2 b2
=γ
m D b 2 d Ω dr b2
= γm D d Ω dr .
Отже, дія на матеріальну точку двох протилежних елементів оболонки компенсується. Якщо проінтегрувати по всій поверхні оболонки (або за dΩ ), то стає очевидним, що сумарна сила, яка діє на матеріальну точку з боку всієї оболонки, дорівнює нулю. Іншими словами, матеріальна точка ніяк не відчуває присутності навколо неї однорідної оболонки. Розрахунок сили F12 значно спрощується в таких двох випадках: а) розподіл мас у тілах, які взаємодіють, сферично симетричний, тобто обидва тіла мають кулясту форму, а густина кожного з них залежить лише від відстані до його центра (зокрема, тіла можуть бути однорідними); б) одне з тіл має нехтовно малі розміри порівняно з другим, розподіл мас у якому сферично симетричний. У цих випадках використовується така сама формула, як при взаємодії двох матеріальних точок, а саме:
mm F12 = −γ 1 2 r12 , 3 r12 де m1 і m2 – маси тіл, а r12 – радіус-вектор, що з'єднує центри інерції другого та першого тіл. Можна вважати, що Земля має форму кулі, маса якої розподілена сферично симетрично. Тому сила тяжіння до Землі тіла масою m спрямована до центра Землі, а її модуль
F =γ
mM З r2
,
де M З – маса Землі, а r – відстань від тіла до центра Землі (розміри будьякого тіла на Землі нехтовно малі порівняно з радіусом Земної кулі). Наведена формула справедлива у випадку r ≥ RЗ , де RЗ – радіус Землі. У випадку r < RЗ , тобто коли тіло занурюється в Землю, сила тяжіння не підкоряється щойно записаній формулі й змінюється при зміні відстані до центра Землі за іншим законом. Дійсно, у цьому разі силу гравітаційної взаємодії між тілом і Землею можна представити у вигляді двох доданків. Перший доданок представляє собою тяжіння до кулі радіусом r із центром, розташованим у центрі Землі. Другий доданок – це тяжіння до сферичної оболонки товщиною ( RЗ − r ) , яка розташована зовні від 82
розглядуваного тіла. Як з'ясувалось, другий доданок дорівнює нулю, а перший можна подати у вигляді
F =γ
mM r2
=γ
⎛ M 4 D πr 3 = m ⎜ γ З ⎜ R2 r2 3 З ⎝ m
⎞ r r , = mg ⎟ ⎟R RЗ ⎠ З
тобто при зануренні в Землю тяжіння зменшується й прагне до нуля при r → 0 . Графік залежності модуля сили тяжіння до Землі від відстані r наведено на рис. 6.4.
F mg
O
r
RЗ Рис. 6.4
Стосовно таких мікрооб'єктів, як елементарні частинки, гравітаційна взаємодія не відіграє практично ніякої ролі, оскільки вона виявляється надслабкою порівняно з усіма іншими типами взаємодії – сильною, електромагнітною та слабкою. Наприклад, електрична сила взаємного відштовхування двох електронів переважає силу їх гравітаційного притя42 гання більш ніж у 10 разів! Та навіть для звичайних макроскопічних об'єктів на Землі сили гравітаційної взаємодії вкрай малі. Дві однорідні кулі масою по 1000 кг кожна, центри яких віддалені на 1 м один від одно–5 го, притягуються із силою, що дорівнює лише 7⋅10 Н. Водночас гравітаційні сили є визначальними під час руху об'єктів, що досліджуються в астрономії та космонавтиці (космічних кораблів, планет і їх супутників, планетних систем, зірок тощо). Це пов'язано, по-перше, з велетенськими розмірами астрономічних тіл і, по-друге, з малістю сил електромагнітної взаємодії між ними внаслідок їх електронейтральності.
6.2. ГРАВІТАЦІЙНЕ ПОЛЕ Гравітаційна взаємодія між тілами здійснюється за допомогою створюваного ними гравітаційного поля, яке називається також полем тяжіння. Відмітна особливість гравітаційного поля полягає в тому, що на поміщену в нього матеріальну точку діє сила, пропорційна масі цієї точки. Силовою характеристикою поля тяжіння є його напруженість – векторна величина 83
G , що дорівнює відношенню сили F , яка діє з боку поля на поміщену в нього матеріальну точку, до маси m цієї точки:
G=
F . m
Напруженість гравітаційного поля не залежить від маси матеріальної точки. Вона є функцією координат ( x, y, z ) точок розглядуваного поля. У випадку нестаціонарного поля напруженість залежить також від часу t. Поле тяжіння стаціонарне, якщо тіла, які його створюють, нерухомі відносно системи відліку, вибраної для опису поля. Напруженість стаціонарного гравітаційного поля залежить лише від координат: G = G ( x, y, z ) . Із другого закону Ньютона випливає, що під дією сил поля тяжіння вільна матеріальна точка набуває прискорення а, рівного напруженості цього поля:
a=
F =G. m
Нехай у початку координат розташовано матеріальну точку масою M . Із закону всесвітнього тяжіння випливає, що напруженість гравітаційного поля, створеного цією нерухомою матеріальною точкою, дорівнює
G = −γ
mM r2
r,
де r – радіус-вектор розглядуваної точки поля. Це поле потенціальне, оскільки сила, яка діє на внесену в нього матеріальну точку масою m – центральна сила:
F = mG = −γ
mM r . r2 r
Тоді потенціальна енергія матеріальної точки в такому полі дорівнює ∞ ∞ dr mM . WП = ∫ F dr = −γmM ∫ =−γ 2 r r r r
Ця енергія дорівнює роботі сил поля при повільному переміщенні матеріальної точки масою m від r до ∞ . Тут і скрізь у п. 6.2 та 6.3 за початок відліку потенціальної енергії обирається нескінченно віддалена точка, тобто вважається, що WП ( ∞ ) = 0 . Отриману величину WП можна також розглядати як потенціальну енергію матеріальної точки масою M у гравітаційному полі, створюваному матеріальною точкою масою m , або, нарешті, як взаємну потенціальну енергію двох матеріальних точок, зумовлену їх гравітаційною взаємодією. Гравітаційні поля задовольняють принцип суперпозиції полів: при накладанні кількох (n) полів тяжіння їх напруженості в кожній точці простору складаються геометрично, тобто напруженість результуючого поля 84
n
G = ∑ Gi , i =1
де G i – напруженість одного і-го поля в розглядуваній точці простору. Напруженість гравітаційного поля довільної системи, яка складається з нерухомих матеріальних точок: n m G = −γ ∑ i ρi , 3 i =1 ρi
де ρi = r − ri – радіус-вектор, проведений з і-ї матеріальної точки, радіусвектор якої ri , у розглядувану точку поля, яка визначається радіусвектором r . Потенціальна енергія матеріальної точки масою m у цьому полі тяжіння матиме вигляд n m WП = −γm ∑ i . i =1 ρi
Якщо гравітаційне поле створене тілом, масою М якого розподілена сферично симетрично, то поза цим тілом
G = −γ
M r
3
r і WП = −γ
mM , r
де r – радіус-вектор, проведений із центра тіла в розглядувану точку поля. Ці формули наближено справедливі, наприклад, для поля тяжіння Землі. Унаслідок потенціальності гравітаційного поля можна ввести його енергетичну характеристику – потенціал. Потенціалом гравітаційного поля називається скалярна величина ϕ , що дорівнює відношенню потенціальної енергії WП матеріальної точки, поміщеної в розглядувану точку поля, до маси матеріальної точки m :
WП . m Потенціал ϕ не залежить від маси m матеріальної точки, а є функцією ϕ=
координат точок поля тяжіння. Наприклад, потенціал гравітаційного поля, створюваного нерухомою матеріальною точкою масою М,
ϕ = −γ
M , r
де r – відстань від джерела поля до розглядуваної точки. Потенціал поля тяжіння, створюваного довільною системою з n нерухомих матеріальних точок, n m ϕ = −γ ∑ i , i =1 ρi
85
де ρi – відстань від матеріальної точки масою mi до розглядуваної точки поля. Таким чином, при накладанні гравітаційних полів їхні потенціали складаються алгебраїчно, тобто потенціал ϕ у будь-якій точці результуючого поля дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів у тій самій точці для всіх накладених полів окремо: n
ϕ = ∑ ϕi . i =1
(П р и м і тк а . При користуванні цією формулою необхідно, щоб початки відліків потенціалів ϕi всіх полів, що накладаються, були вибрані однаково: ϕi ( ∞ ) = 0 ).
Елементарна робота, виконувана силами гравітаційного поля при малому переміщенні dr матеріальної точки масою m у цьому полі, буде δA = F dr = mG dr . З іншого боку, ця робота δA дорівнює спаду потенціальної енергії матеріальної точки в полі тяжіння: δA = − dWП = − m d ϕ . Тому потенціал і напруженість поля пов'язані співвідношенням:
(
)
d ϕ = −G dr = − Gx dx + G y dy + Gz dz , де Gx , G y , Gz – проекції вектора G на осі прямокутних декартових координат. Оскільки
dϕ =
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dx + dy + dz , ∂x ∂y ∂z
то
∂ϕ = −Gx , ∂x
∂ϕ = −G y , ∂y
∂ϕ = −Gz ∂z
та
⎛ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎞ G = −⎜ i + j+ k ⎟ = − grad ϕ = −∇ϕ , ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x тобто напруженість гравітаційного поля чисельно рівна й протилежна за напрямком градієнту потенціалу цього поля. Зв'язок між ϕ та G можна представити також у вигляді
d ϕ = −G dl cos α = −Gl dl або Gl = −
dϕ , dl
де α – кут між векторами G і dr , dl = dr , а Gl – проекція вектора G на напрямок вектора dr . Таким чином, проекція вектора напруженості поля тяжіння на який-небудь напрямок чисельно рівна й протилежна за знаком зміні потенціалу поля на одиницю довжини в цьому ж напрямку. 86
Розглянута вище нерелятивістська теорія тяжіння, що ґрунтується на законі всесвітнього тяжіння Ньютона, є наближеною. Вона достатньо точно описує лише порівняно слабкі гравітаційні поля, потенціали яких 8 ϕ << c 2 , де с = 3⋅10 м/с – швидкість світла у вакуумі. Зокрема, вона
придатна для гравітаційних полів Землі та Сонця, оскільки абсолютні значення потенціалів цих полів біля поверхонь Землі та Сонця дорів7 2 2 11 2 2 нюють відповідно 6,3⋅10 м /с і 1,9⋅10 м /с . Релятивістську теорію тяжіння, яка представляє єдину теорію простору, часу та тяжіння, сформулював А. Ейнштейн і назвав загальною теорією відносності. Ще у спеціальній теорії відносності було показано існування тісного взаємозв'язку між простором і часом. Цей взаємозв'язок знайшов відображення в перетвореннях Лоренца та в інваріантності інтервалу між двома подіями. Виявилося, що для опису фізичних процесів необхідно використовувати чотиривимірний простір – час, положення точки в якому визначається трьома просторовими координатами і часовою координатою ict . Згідно з релятивістською теорією тяжіння, геометричні властивості (метрика) простору – часу залежать від розподілу в просторі мас тяжіння та їх руху. Тіла, що створюють гравітаційне поле, "викривлюють" реальний тривимірний простір і по-різному змінюють хід часу в різних його точках, тобто спричиняють відхилення його метрики від метрики "плоского" простору – часу, яке описується геометрією Евкліда та розглядається у спеціальній теорії відносності. Тому рух тіла в полі тяжіння виявилося можливим розглядати як рух за інерцією, але у "викривленому" (неевклідовому) просторі – часі. Отже, матеріальна точка, на яку діє поле тяжіння, рухається в реальному тривимірному просторі нерівномірно й непрямолінійно. У релятивістській теорії тяжіння було показано, що для довільних гравітаційних полів принцип суперпозиції (п. 3) не виконується. Цей принцип, як і вся нерелятивістська теорія тяжіння, достатньо точний тільки у випадку слабких полів ( ϕ << c 2 ) і рухів у цих полях з малими швидкостями v << c .
6.3. ЗАКОНИ КЕПЛЕРА. КОСМІЧНІ ШВИДКОСТІ Рух планет Сонячної системи по їх орбітах навколо Сонця задовольняє три закони Кеплера. Їх можна отримати із закону всесвітнього тяжіння Ньютона, розглядаючи Сонце та планети як матеріальні точки. У центральному силовому полі тяжіння Сонця на планету масою m діє сила тяжіння
F = −γ
mM C r3
87
r,
де M C – маса Сонця, r – радіус-вектор планети, проведений із центра сил О, прийнятого за початок координат. Момент сили F відносно центра сил M = [r, F ] = 0 , так що момент імпульсу L планети відносно тієї ж точки О не змінюється з часом: L = [r , mv ] = const . Таким чином, планета рухається по плоскій траєкторії (орбіті), площина якої перпендикулярна до вектора L . У випадку плоского руху точки М зручV но користуватися полярними координатами r , ϕ , де r – відстань від полюса О Vr до точки М, а ϕ – полярний кут, відлічу–Vϕ
r
ваний від полярної осі ОА (рис. 6.5). Швидкість v точки М можна розкласти на дві взаємно перпендикулярні складові – радіальну швидкість v r і трансверсальну
ϕ
швидкість v ϕ : v = v r + v ϕ , причому
M(r,ϕ)
A
O
vr =
Рис. 6.5
1 dr r r dt
і
vϕ =
dϕ [k , r ] . dt
Тут r – полярний радіус-вектор точки М, а k – одиничний вектор, напрямлений перпендикулярно до площини руху. Модуль вектора швидкості v точки М, яка здійснює плоский рух, дорівнює 2
2
dr dϕ ⎞ v = ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ r ⎟ . ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ За малий час dt полярний радіус-вектор r точки, яка здійснює плоский рух, прокреслює круговий сектор площею dS =
σ=
1 2 r d ϕ , тому величину 2
dS 1 2 d ϕ 1 = r = r vϕ dt 2 dt 2
називають секторною швидкістю.
Оскільки L = ⎡⎣r , mv ϕ ⎤⎦ , орбітальний рух планети задовольняє умову:
r2
dϕ L = = const , dt m
де r і ϕ – полярні координати планети. Друга умова накладається законом збереження механічної енергії: WK + WП = W = const , 88
mv 2 m ⎡⎛ dr ⎞ ⎛ d ϕ ⎞ = ⎢⎜ ⎟ + ⎜ r ⎟ 2 2 ⎢⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎣ 2
WK =
WП = − γ
2⎤
2 2 m ⎡⎛ dr ⎞ ⎛ L ⎞ ⎤ ⎥ = ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥, ⎥⎦ 2 ⎢⎣⎝ dt ⎠ ⎝ mr ⎠ ⎥⎦
mM C , r
звідки друга умова має вигляд 2
2
2γM C 2W ⎛ dr ⎞ ⎛ L ⎞ . = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ − dt mr r m ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Рівняння траєкторії планети (у полярних координатах r і ϕ ):
r=
p , 1 + e cosϕ
де
p=
L2 γm2 M C
і e=
2WL2 γ 2 m3 M C2
+1 .
Повна механічна енергія планети W < 0 , так що e < 1 і траєкторія має вигляд еліпса. Перший закон Кеплера: усі планети Сонячної системи рухаються по еліптичних орбітах, в одному із фокусів яких перебуває Сонце. Із цієї умови випливає, що секторна швидкість планети стала:
σ=
L 1 2 dϕ = = const . r dt 2m 2
Другий закон Кеплера: за однакові проміжки часу радіус-вектор планети прокреслює однакові площі. Згідно із цим законом, період T обертання планети навколо Сонця дорівнює відношенню площі S орбіти до секторної швидкості планети σ :
T=
(
де a = p 1 − e 2
) і b=a
S πab = , σ σ
1 − e 2 – велика та мала півосі еліптичної орбіти
відповідно. Отже, 89
T2 =
π2 p L2 / 4m 2
a3 =
4π2 3 a . γM C
Це рівняння виражає третій закон Кеплера: квадрати періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих півосей еліптичних орбіт цих планет. Першою космічною швидкістю називається найменша швидкість, яку треба надати тілу, щоб воно могло стати штучним супутником Землі. Цю швидкість називають також коловою, тому що вона дорівнює швидкості штучного супутника, який обертається навколо Землі по коловій орбіті за відсутності опору атмосфери. Перша космічна швидкість
v1 =
γM З , r
де M З – маса Землі, r – радіус колової орбіти. Біля поверхні Землі
v1 = 7,9 км/с. Другою космічною швидкістю називається найменша швидкість, яку треба надати тілу, щоб воно могло без дії будь-яких додаткових сил подолати земне тяжіння та перетворитися на штучний супутник Сонця. Цю швидкість називають ще параболічною, оскільки вона відповідає параболічній траєкторії тіла в полі тяжіння Землі (за відсутності опору атмосфери). Друга космічна швидкість
v2 =
2 γM З , r
де r – відстань від місця запуску тіла до центра Землі. Біля поверхні Землі v2 = 11,2 км/с. Третьою космічною швидкістю називається найменша швидкість, яку треба надати космічному апарату, що запускається з поверхні Землі, для того, щоб він подолав тяжіння Сонця і залишив Сонячну систему. Ця швидкість v3 = 16,7 км/с.
90
Розділ 7. РУХ У НЕІНЕРЦІЙНИХ СИСТЕМАХ ВІДЛІКУ 7.1. КІНЕМАТИКА ВІДНОСНОГО РУХУ У попередніх розділах розглядався рух матеріальних тіл в інерційних системах відліку. У таких системах основним рівнянням руху матеріальної точки є рівняння, яке виражає другий закон Ньютона. Поставимо за мету описати рух матеріальних тіл у неінерційних системах відліку. За визначенням, неінерційною системою відліку називається система, яка рухається з прискоренням відносно інерційної. Найпростішими неінерційними системами відліку є системи, які рухаються прямолінійно з прискоренням, а також системи, що обертаються. Розглянемо К – інерційну систему Y S відліку з початком координат у точці О*, і S – неінерційну систему відліку з M початком координат у точці О (рис. 7.1). У загальному випадку рух r j системи відліку S відносно К можна розглядати як суму двох рухів – поr* i ступального зі швидкістю v 0 точки О r*0 X O та обертання навколо цієї точки з k
кутовою швидкістю Ω . Значення r* і r радіус-вектора довільної матеріальної точки М, виміряні в системах відліку К і S, пов'язані співвідношен-
O* Z
ням r* = r0* + r , де r0* – радіус-вектор точки О, виміряний у системі відліку К. Рух матеріальної точки М відносно якої-небудь інерційної системи відліку К, яка умовно вважається нерухомою, далі будемо називати абсолютним рухом точки М. Рух тієї ж точки відносно неінерційної системи відліку S будемо називати відносним рухом. Відносна швидкість v відн точки М, тобто її швидкість відносно сисРис. 7.1
теми відліку S, дорівнює:
dx dy dz i + j+ k , dt dt dt де x, y, z – декартові координати точки М, а i, j, k – орти осей координат у системі відліку S.
v відн =
91
Абсолютна швидкість точки М, тобто її швидкість v відносно системи відліку К, дорівнює
dr* dr0* dr d = + =v 0 + ( xi + yj + zk ) = dt dt dt dt dx dy dz di dj dk di dj dk = v0 + i + = v 0 + v відн + x + y + z j+ k + x + y + z , dt dt dt dt dt dt dt dt dt
v=
де v 0 = dr0* dt – абсолютна швидкість точки О. Тут враховано, що орти рухомої системи S не є сталими векторами, а можуть змінюватися в системі відліку К унаслідок обертання системи S навколо точки О з кутовою швидкістю Ω . Застосуємо відомі співвідношення
di dj dk = [ Ω, i ] , = [ Ω, j] , = [ Ω, k ] . dt dt dt Тоді v = v відн + v пер , де v пер = v 0 + [ Ω, r ] – переносна швидкість точки
М. Вона дорівнює абсолютній швидкості тієї точки рухомої системи відліку S (тобто жорстко зв'язаної з цією системою), в якій перебуває в даний момент часу матеріальна точка М. Відносне прискорення aвідн точки М (її прискорення відносно системи відліку S) дорівнює:
aвідн =
d2x
i+
d2y
j+
d2z
k. dt 2 dt 2 Абсолютне прискорення точки М, тобто її прискорення а відносно системи відліку К, дорівнює: a= Тут aпер =
dt 2
dv = aпер + aкор + aвідн . dt
dv 0 ⎡ dΩ ⎤ + ,r + ⎡ Ω, [ Ω,r ]⎤⎦ – переносне прискорення точки М, dt ⎢⎣ dt ⎥⎦ ⎣
яке дорівнює абсолютному прискоренню тієї точки рухомої системи відліку S, в якій перебуває в даний момент часу матеріальна точка М,
aкор = 2 ⎡⎣Ω, v відн ⎤⎦ – коріолісове прискорення точки М. Коріолісове прискорення максимальне, якщо відносна швидкість точки v відн спрямована перпендикулярно до вектора Ω кутової швидкості обертання рухомої системи відліку. Воно дорівнює нулеві, якщо кут між векторами v відн і Ω рівний нулю або π , або якщо хоча б один із цих векторів дорівнює нулю. 92
7.2. СИЛИ ІНЕРЦІЇ В інерційних системах відліку єдиною причиною прискореного руху тіла є сили, які діють на нього з боку інших тіл. Сила завжди є результатом взаємодії матеріальних тіл. У неінерційних системах відліку тіло може рухатись з прискоренням лише за рахунок зміни стану руху системи відліку. Наприклад, якщо обрати за систему відліку автомобіль, який рухається з прискоренням, то небесні тіла (Сонце, Місяць та ін.) у такій системі відліку матимуть прискорення. Природно, що такі прискорення не є результатом дії на них яких-небудь сил з боку інших тіл. Таким чином, в неінерційних системах відліку існують прискорення, які не пов'язані з силами такого ж характеру, які відомі для інерційних систем відліку. У неінерційних системах відліку закони Ньютона не виконуються. Зокрема, матеріальна точка може змінювати стан свого руху відносно неінерційної системи відліку S без будь-якого впливу на цю точку з боку інших тіл. Наприклад, кулька, підвішена на нитці до стелі вагона поїзда, який рухається рівномірно та прямолінійно, відхиляється назад при прискоренні поїзда та вперед – при його сповільненні, тобто починає рухатися відносно неінерційної системи відліку, пов'язаної з вагоном. При цьому ніякі горизонтальні сили на кульку не діють. Для побудови теорії руху в неінерційних системах відліку фактори, які зумовлюють прискорення, були визнані за сили. Причому, ці сили пов'язані з прискореннями такими ж співвідношеннями, що й "звичайні" сили. При цьому, передбачається, що в неінерційних системах, так само, як і в інерційних, прискорення зумовлені лише силами. Проте поруч зі "звичайними" силами, з якими ми мали справу раніше, існують також сили особливої природи, які називають силами інерції. Такий підхід дозволяє сформулювати закони Ньютона без змін, якщо поруч із силами взаємодії врахувати сили інерції. Основний закон динаміки матеріальної точки в неінерційних системах відліку можна одержати, виходячи з другого закону Ньютона і зв'язку між абсолютним і відносним прискореннями матеріальної точки. Добуток маси m матеріальної точки на її відносне прискорення дорівнює:
maвідн = ma − maпер − maкор . Згідно з другим законом Ньютона, застосованим до абсолютного руху матеріальної точки, тобто до її руху відносно інерційної системи відліку К, ma = F , де F – геометрична сума всіх сил, що діють на матеріальну точку. Отже, основне рівняння динаміки відносного руху матеріальної точки має вигляд
maвідн = F − maпер − maкор . Його можна звести до виразу, аналогічного за формою основному закону динаміки абсолютного руху точки: 93
maвідн = F − I пер − I кор . Векторні величини I пер = − maпер і I кор = − maкор мають розмірність сили й називаються переносною силою інерції та коріолісовою силою інерції. У загальному випадку переносна сила інерції дорівнює сумі трьох доданків:
I пер = −m
dv 0 ⎡ dΩ ⎤ −m⎢ ,r ⎥ − m ⎡⎣ Ω, [ Ω,r ]⎤⎦ . dt ⎣ dt ⎦
Останній доданок правої частини цього виразу I вц = − m ⎡⎣ Ω, [ Ω,r ]⎤⎦ називається відцентровою силою інерції або просто відцентровою силою, через те що цей вектор перпендикулярний до миттєвої осі обертання (до вектора Ω ) неінерційної системи відліку S і спрямований від цієї осі. Чисельно відцентрова сила дорівнює: Iвц = mΩ 2ρ , де ρ – відстань від матеріальної точки масою m до миттєвої осі обертання системи відліку. Переносна сила інерції збігається з відцентровою, якщо неінерційна система відліку рухається поступально зі сталою швидкістю ( v 0 = const ) та обертається зі сталою кутовою швидкістю ( Ω = const ). Коріолісова сила інерції дорівнює I кор = 2m ⎣⎡ v відн , Ω ⎦⎤ . Ця сила діє на матеріальну точку тільки тоді, коли неінерційна система відліку обертається, а матеріальна точка рухається відносно неї. Наприклад, на частинки води в річках, які течуть у меридіональному напрямку, діють коріолісові сили інерції, що спрямовані перпендикулярно до швидкості течії ріки і спричиняють підмивання одного з берегів (у Північній півкулі – правого за течією берега). Коріолісова сила інерції не виконує роботи під час відносного руху матеріальної точки, оскільки ця сила спрямована перпендикулярно до швидкості відносного руху точки. Отже, коріолісова сила інерції є прикладом гіроскопічних сил. Сили інерції реальні в тому ж сенсі, в якому реальними є прискорення, що існують в неінерційних системах відліку. Вони також реальні в більш глибокому розумінні: при розгляді сил інерції можна вказати конкретні прояви їх дії. Сили інерції, що діють на матеріальну точку в неінерційній системі відліку і можуть бути виміряні, наприклад, за допомогою пружинного динамометра. У вагоні потягу, який набирає швидкість, пасажир відчуває на собі дію сили, яка спрямована проти руху потягу. Якщо ж пасажир сидить по ходу потягу, то сила інерції притискає його до спинки сидіння. Якщо ж потяг гальмує, то сила інерції в такому випадку буде намагатися віддаляти тіло людини від спинки. Проте, на відміну від звичайних сил взаємодії тіл, щодо сил інерції не можна сказати, дію яких конкретно тіл на розглядувану матеріальну точку вони відтворюють. Ця особливість сил інерції пов'язана з тим, що са94
ма поява векторних величин I пер і I кор в основному рівнянні динаміки відносного руху зумовлена лише неінерційністю системи відліку, який використовується для опису відносного руху точки. Додання до сили F , яка характеризує дію на матеріальну точку всіх інших тіл, сил інерції I пер і
I кор дозволяє записати основне рівняння динаміки відносного руху у формі, схожій на запис другого закону Ньютона в інерційній системі відліку. У неінерційних системах відліку не може бути замкнених систем тіл, оскільки для будь-якого з тіл системи сили інерції завжди є зовнішніми силами. Тому в неінерційних системах відліку не виконуються закони збереження імпульсу, моменту імпульсу та енергії.
7.3. ВПЛИВ ОБЕРТАННЯ ЗЕМЛІ НАВКОЛО ОСІ НА РУХ ТІЛ. СИЛА ЗВАЖУВАННЯ ТА ВАГА ТІЛА Система відліку, пов'язана із Землею, неінерційна з двох причин: поперше, унаслідок добового обертання Землі зі сталою кутовою швидкістю Ω і, по-друге, унаслідок дії на Землю гравітаційного поля Сонця, Місяця, планет та інших астрономічних тіл. Розглянемо ефекти, що пов'язані з першою із двох вищезгаданих причин. Рівняння відносного руху матеріальної точки масою m у системі відліку, пов'язаній із Землею, має вигляд
maвідн = F + Fтяж + I вц + I кор , де I вц та I кор – відповідно відцентрова та коріолісова сили інерції, Fтяж – сила тяжіння матеріальної точки до Землі, а F – сума всіх інших сил, що діють на матеріальну точку. Силою зважування тіла називається сила P , прикладена до тіла й рівна геометричній сумі m сили Fтяж тяжіння тіла до Землі Iцб Fтяж
ϕ
та відцентрової сили інерції I вц , зумовленої добовим обертанням Землі (рис. 7.2): P = Fтяж + I вц ,
P
O
тобто
P = −γ
mM З r3
r − m ⎡⎣Ω, [ Ω,r ]⎤⎦ .
Тут m і M З – маси тіла та Землі
Рис. 7.2
95
відповідно, r – радіус-вектор, проведений із центра Землі в місце, де розташовано тіло, Ω – кутова швидкість добового обертання Землі, γ – гравітаційна стала. Сила зважування спричиняє падіння на Землю незакріпленого тіла й прикладена до нього. Вона чисельно дорівнює силі, з якою нерухоме відносно Землі тіло тисне на горизонтальну опору (або діє на вертикальний підвіс) унаслідок тяжіння до Землі, і може бути виміряна в Земній системі відліку, наприклад, за допомогою пружинного силоміра. Точка прикладання сили зважування тіла, тобто точка прикладання результуючої сили зважування всіх частинок тіла, називається центром ваги тіла, або центром зважування тіла. Центр ваги тіла збігається з його центром інерції. Сила зважування тіла не залежить від швидкості його відносного руху. Вона пропорційна масі m тіла й може бути подана у вигляді: P = mg , де g – прискорення сили зважування, або прискорення вільного падіння. У кожному місці Землі вектор g однаковий для всіх тіл і змінюється зі зміною цього місця. Сила зважування тіла збігається із силою його тяжіння до Землі тільки на полюсах останньої, оскільки там відцентрова сила інерції I вц = 0 . Найбільша відмінність за модулем сили зважування тіла від сили його тяжіння спостерігається на екваторі, де сила I вц досягає найбільшого значення й напрямлена в бік, протилежний напрямку сили Fтяж . Та навіть на екваторі сила зважування відрізняється від сили тяжіння всього лише на 0,35 %. У всіх точках земної поверхні, крім полюсів та екватора, сили P і Fтяж не збігаються також і за напрямком (рис. 7.2), але максимальний кут між ними не переважає 6'. Сила зважування зменшується з підйомом на висоту. Поблизу поверхні Землі це зменшення становить приблизно 0,034 % на кожний кілометр підйому. Прискорення g поблизу поверхні Землі змінюється від значення 2 2 9,78 м/с на екваторі до значення 9,83 м/с на полюсах. Це пов'язано, поперше, із залежністю відцентрової сили інерції від географічної широти місця і, по-друге, з некулястістю Землі, яка дещо сплюснута вздовж осі обертання й має вигляд еліпсоїда обертання (полярний і екваторіальний радіуси Землі дорівнюють відповідно Rpol = 6357 км і Req = 6378 км). Стандартне значення прискорення вільного падіння, прийняте при побудові систем одиниць 2 і при барометричних розрахунках, дорівнює 9,80665 м/с . Вільним падінням тіла називається його рух, який відбувається під дією тільки поля тяжіння. У неінерційній системі відліку, яка обертається разом із Землею, прискорення тіла при його вільному падінні на Землю можна знайти з рівняння руху, 96
поклавши
в
ньому
F = 0,
Fтяж + I цб = mg
і
I кор = 2m ⎡⎣ v відн , Ω ⎤⎦ :
aвідн = g + 2 ⎡⎣ v відн , Ω ⎤⎦ . Якщо v відн = 0 , то aвідн = g . Таким чином, вектор g дорівнює прискоренню тіла, що вільно падає, виміряному відносно Земної системи відліку в той момент, коли відносна швидкість тіла дорівнює нулю. Із цієї причини вектор називають прискоренням вільного падіння. Якщо відносна швидкість тіла, що вільно падає, v відн ≠ 0 , то його прискорення відносно Землі не дорівнює g : g = aвідн + 2 ⎡⎣ v відн , Ω ⎤⎦ . Проте при швидкостях vвідн < 680 м/с значення g та a відн відрізняються менш ніж на 1 %. Тому в багатьох випадках можна вважати, що для спостерігача на Землі вільне падіння тіла спричиняється дією тільки сили зважування цього тіла, яка надає йому прискорення g . Дію на таке тіло коріолісової сили інерції можна розглядати як порівняно мале збурення. Наприклад, під впливом коріолісової сили тіло, яке вільно падає, відхиляється на схід від напрямку підвісу, тобто від напрямку вектора P = mg . Це відхилення s для тіла, яке вільно падає без початкової швидкості з висоти h , на широті ϕ дорівнює
2 2h cos ϕ . Ωh g 3 Наприклад, якщо h = 160 м і ϕ = 45°, то s = 1,55 см. Вагою тіла називається сила Q , з якою воно діє внаслідок тяжіння s=
до Землі на опору чи підвіс, які утримують його від вільного падіння. При цьому покладається, що тіло та опора (підвіс) зберігають стан спокою відносно системи відліку, в якій визначається вага тіла. З боку опори чи підвісу на тіло діє сила −Q . З основного рівняння динаміки відносного руху, де aвідн = aкор = 0 і F = Fтяж − Q , випливає, що Q = Fтяж + I пер . Тут
Fтяж – сила гравітаційного притягання тіла до Землі, а I пер – переносна сила інерції, зумовлена неінерційністю системи відліку. П р и к л а д 1 . Вага тіла в системі відліку, пов'язаній із Землею, дорівнює силі зважування тіла: Q = Fтяж + I цб = P . П р и к л а д 2 . Вага тіла в системі відліку, пов'язаній з ліфтом, який рухається відносно Землі поступально з прискоренням a0: Q = P − ma0 .
Якщо ліфт вільно падає, то a0 = g – прискорення вільного падіння, і вага тіла в ліфті Q = 0, тобто тіло перебуває в стані невагомості. Невагомістю називається такий стан механічної системи, при якому діюче на неї гравітаційне поле не зумовлює взаємного тиску частин сис97
теми одна на іншу та їх деформації. Такий стан реалізується в механічній системі, яка задовольняє такі три умови: а) на систему не діють ніякі інші зовнішні сили, крім сил поля тяжіння; б) розміри системи такі, що в її межах зовнішнє гравітаційне поле можна вважати однорідним; в) система рухається поступально. Стан невагомості характерний, наприклад, для тіл, які знаходяться в космічному кораблі, оскільки під час проходження основної частини траєкторії корабля в поля тяжіння його двигун вимкнений.
7.4. ВПЛИВ СОНЦЯ Й МІСЯЦЯ НА РУХ ТІЛ НА ЗЕМЛІ Розглянемо, як впливає Сонце на рух тіл на поверхні Землі. На рис. 7.3, а зображено сили, що діють на тіло масою m , яке знаходиться на поверхні Землі на освітленій (2) і неосвітленій (1) її частинах. Сила тяжіння до Землі дорівнює
F=γ
mM З RЗ 2
,
де M З – маса Землі, RЗ – радіус Землі. Якщо припустити, що відстань від Землі до Сонця значно перебільшує радіус Землі, RЗС >> RЗ , то сила тяжіння до Сонця дорівнює
f =γ (2)
(1) а)
б)
в)
ma
ma
f
F
f
F
f
ma
F
f
F
f1
ma
F
f2
F
mM С RЗС 2
,
де M С – маса Сонця. Із рис. 7.3, а, можна побачити, що на освітленій частині Землі (опівдні) сили F і f спрямовані в протилежні напрямки, і навпаки, опівночі ці сили діють в одному напрямку. Тоді логічно припустити, що вага тіл на Землі вдень і вночі різна й відрізняється на величину 2 f . Числові оцінки перекону-
ють, що f F ≈ 6 ⋅10−4 , тобто різниця у вазі вдень і вночі достатньо велика Рис. 7.3 для того, щоб її можна було помітити на експерименті. Наприклад, для дорослої людини очікувана зміна у вазі становить майже 1 Н. Але експериментальні дослідження не підтверджують цього висновку – вага тіл вдень і вночі практично однакова. Де ж міститься помилка в наших міркуваннях? Вона полягає в тому, що система відліку, пов'язана із Землею, неінерційна. Під дією тяжіння до Сонця Земля 98
рухається з прискоренням a = γ
MC 2 RЗС
. Отже, у системі відліку, пов'язаній із
Землею, необхідно врахувати сили інерції, що дорівнюють ma і спрямовані в напрямку від Сонця. Видно, що сили інерції та сили f (рис. 7.3, б) за модулем однакові й компенсують одна одну. Тоді, очевидно, отримаємо результат – вага тіла стала й дорівнює F . Аналогічні міркування можна вжити щодо Місяця (маса M М ). Але тоді виникає протиріччя. Усім добре відомо, що Місяць помітно впливає на рух тіл на Землі. Яскраве свідчення тому – припливи в океанах, які пов'язані з рухом Місяця навколо Землі. Отже, у наших міркуваннях щодо впливу небесних тіл на рух тіл на Землі знову міститься помилка. Щоб пояснити механізм впливу Місяця на рух тіл на поверхні Землі, зважимо на ту обставину, що відстань від Місяця до Землі, RЗМ , не настільки перебільшує розміри Землі, як відстань від Землі до Сонця. Застосоване RЗ не виконується. Тоді стає зронами наближення для Місяця RЗM зумілим, що сили тяжіння до Місяця, зображені на рис. 7.3, а, б як однакові сили f , насправді є різними силами, f1 ≠ f 2 (рис. .7.3, в). Ця різниця виникає за рахунок неоднорідності гравітаційного поля Місяця. Отже, на протилежних сторонах Землі (щодо Місяця) вага тіла відрізняється на величину ( F − ma + f1 ) − ( F + ma − f 2 ) = f1 + f 2 − 2ma , −2 . Числові розрахунки свідчать, що відносна зміна ваги де a = γM М RЗМ тіла на поверхні Землі, зумовлена гравітаційним впливом Місяця, стано-
вить порядку 8 ⋅10−9 . Для Сонця відповідна величина майже на три порядки менша.
7.5. ПРИНЦИП ЕКВІВАЛЕНТНОСТІ Сили інерції, що діють на тіла в неінерційній системі відліку, пропорційні їхнім масам і за інших однакових умов надають цим тілам однакові відносні прискорення. Іншими словами, усі тіла, вільні від зовнішніх впливів, рухаються в "полі сил інерції", тобто відносно неінерційної системи відліку, цілком однаково, якщо тільки початкові умови їх руху також однакові. Така ж закономірність спостерігається під час руху відносно інерційних систем відліку тіл, на які діють сили гравітаційного поля. У кожній точці поля ці сили, подібно силам інерції, пропорційні масам тіл і надають усім тілам однакові прискорення вільного падіння, рівні напруженості поля в розглядуваній його точці. 99
Наприклад, у неінерційній системі відліку, пов'язаній з ліфтом, який рухається рівноприскорено вертикально вгору з переносним прискоренням a0 = const , усі вільні тіла падають за відсутності поля тяжіння з однаковим відносним прискоренням aвідн = −a0 . Точнісінько так само поводять себе вільні тіла в тому ж ліфті, що рухається рівномірно в однорідному гравітаційному полі напруженістю G = −a0 . Таким чином, на основі експериментів з вільного падіння тіл усередині щільно зачиненого ліфта неможливо встановити, чи рухається ліфт рівномірно в полі тяжіння напруженістю G = −aвідн (зокрема, ліфт може бути у спокої в цьому полі) чи він рухається зі сталим переносним прискоренням aпер = −aвідн за відсутності гравітаційного поля. Локальний принцип еквівалентності: гравітаційне поле в обмеженій ділянці простору фізично еквівалентне (рівноцінне) "полю сил інерції" у відповідним чином вибраній неінерційній системі відліку. Ділянка простору має бути настільки малою, щоб поле тяжіння в ній можна було вважати однорідним. Принцип еквівалентності не слід розуміти як твердження про тотожність сил інерції та сил ньютонівського тяжіння між тілами. Справді, напруженість істинного гравітаційного поля, створюваного тілами, спадає в міру віддалення від цих тіл і на нескінченності обертається на нуль. Поля тяжіння, "рівноцінні" силам інерції, не задовольняють цю умову. Наприклад, напруженість гравітаційного поля, "еквівалентного" відцентровим силам інерції в системі відліку, що обертається, необмежено зростає в міру віддаляння від осі обертання. Напруженість поля, "рівноцінного" переносним силам інерції в системі відліку, яка рухається поступально, всюди однакова. Істинне гравітаційне поле, на відміну від "еквівалентного" силам інерції, існує як у неінерційних, так і в інерційних системах відліку. Ніяким вибором неінерційної системи відліку неможливо повністю виключити істинне гравітаційне поле, тобто скомпенсувати його в усьому просторі "полем сил інерції". Це випливає хоча б з різної поведінки "полів сил інерції" та істинних полів тяжіння на нескінченності. Таке виключення гравітаційного поля можна здійснити лише локально, тобто для малої області простору, у межах якої це поле можна вважати однорідним, і для проміжку часу, протягом якого поле можна вважати сталим. Відповідна цій операції неінерційна система відліку має рухатися з переносним прискоренням, рівним прискоренню вільного падіння тіл у розглядуваній області істинного гравітаційного поля. Так, у космічному кораблі, який здійснює вільний політ у гравітаційному полі, сили тяжіння компенсуються переносними силами інерції та не спричиняють відносного руху тіл на кораблі.
100
Розділ. 8. МЕХАНІЧНІ ВЛАСТИВОСТІ РІДИН І ГАЗІВ Механіка рідини та газу – це розділ механіки, який вивчає рух рідин і газоподібних середовищ, їх взаємодію між собою та зануреними в них тілами, а також їх рівновагу. Механіка рідин і газів поділяється на гідрота аеростатику, які вивчають рідини та гази в рівноважному стані (коли відсутні переміщення окремих частин середовища одне відносно одного й відносно тіл, які межують з ними) і гідро- та аеродинаміку, які вивчають рух рідин і газів. Рідинам і газам властиво те, що вони практично не опираються деформаціям зсуву й тому здатні змінювати свою форму під впливом незначних зусиль. Водночас для зміни об'єму рідини або газу необхідна суттєва дія зовнішніх сил. Зумовлена зовнішнім впливом зміна об'єму викликає появу пружних сил, які врівноважують дію зовнішніх. У рідинах при стисканні сили відштовхування можуть бути дуже великими. При цьому рідини хоча й не зберігають свою форму, проте залишають практично незмінним свій об'єм. Гази ж не зберігають ні фіксованого об'єму, ні форми. У рідинах і газах, як і у твердих тілах, при стисканні виникають внутрішні напруження, які зумовлені силами відштовхування між молекулами. Під механічним напруженням σ , далі будемо розуміти вектор, який дорівнює відношенню сили, що діє на виділену ділянку, до її площі. Пружні властивості рідин і газів проявляються в тому, що окремі їх частини діють одна на одну та на тіла, що межують з ними, із силою, що залежить від ступеня стиснення рідини або газу. У рівноважному стані напруження в рідині та газі завжди нормальні (перпендикулярні) до площадки, на яку вони діють. Така дія характеризується скалярною величиною, яка називається тиском: p = σ n = σn , де n – зовнішня нормаль до поверхні, p – тиск. Тиск визначається нормальною силою, що діє на поверхню з площею S :
p=
Fn Fn = . S S
Дотичні напруги викликають зміни форми елементарних об'ємів тіла (зсуви), і не зумовлюють зміни величин самих об'ємів. Для таких деформацій у рідинах і газах зусиль не потрібно, і тому в цих середовищах при рівновазі дотичні напруги не виникають. У стані рівноваги нормальне напруження (тиск) не залежить від орієнтації ділянки, на яку воно діє. Пружні властивості рідин при малих змінах об'єму (деформаціях) характеризується коефіцієнтом стисливості: 101
χ=−
1 ⎛ dV ⎞ . ⎜ ⎟ V ⎝ dp ⎠T =const
2
Одиницею коефіцієнта стисливості в системі СІ є: [χ] = 1/Па = м /Н. Коефіцієнт стисливості слабко залежить від температури та тиску. Рідинам властивий дуже малий коефіцієнт стисливості. Наприклад, для води χ = 0,47 ГПа–1. Величини такого порядку дозволяють у багатьох випадках нехтувати зміною об'єму рідини. Зважаючи на це, вводять поняття про абсолютно нестисливу рідину. Це – ідеалізація, якою користуються для спрощення розгляду багатьох практичних задач. Звичайно, і в нестисливій рідині величина тиску визначається ступенем стиснення даної рідини. Проте зміни об'єму настільки незначні, що ними можна знехтувати. Абсолютна нестислива рідина – це гранична межа реальних рідин, коли нескінченно малі зміни об'єму призводять до нескінченно великих тисків. Рідина, у якій під час будь-яких рухів не виникають сили внутрішнього тертя (в'язкості), називається ідеальною рідиною. В ідеальній рідині виникають лише нормальні напруження, які визначаються рівнянням стану речовини. Ідеальна рідина – це зручна абстракція, яка застосовується в багатьох задачах гідродинаміки.
8.1. РІВНЯННЯ РУХУ ІДЕАЛЬНОЇ НЕСТИСЛИВОЇ РІДИНИ Сили, які діють в рідині, зазвичай поділяють на об'ємні (масові) і поверхневі. Об'ємні сили виникають тоді, коли зовнішні поля діють безпосередньо на частинки рідини (на атоми та молекули). Наприклад, це можуть бути сили тяжіння, інерції. Поверхневі сили виникають унаслідок взаємодії молекул даної рідини з найближчими сусідніми молекулами цієї ж рідини або оточуючих тіл. Поверхневі сили – це сили, дії яких зазнає поверхня кожного об'єму з боку навколишніх частин рідини. Розглянемо елемент об'Z єму ідеальної нестисливої рідини dV (рис. 8.1). Маса P(x) dS P(x + dx) dS елемента dm = ρ dV . Очевидно, об'ємна сила, dF , що діє на цей елемент, пропорX ційна його масі dm , а значить і об'єму dV . Об'ємні Y сили зручно характеризувати величиною об'ємної густини Рис. 8.1 сили, f = dF dV , яка дорівнює силі, що діє на одиницю об'єму рідини. Наприклад, для сили тяжіння f = ρg , де ρ – густина рідини, g – прискорення вільного падіння. Отже, O
dF
102
об'ємна сила, що діє на елемент об'єму dV dF = f dV .
(рис. 8.1), дорівнює
Розглянемо сили, що діють на елемент об'єму рідини dV (рис. 8.1) у напрямку осі OX. Об'ємну силу позначимо dFx , а x-компоненту поверхневих сил представимо як ⎡⎣ p ( x ) − p ( x + dx ) ⎤⎦ dS , де p ( x ) , p ( x + dx ) – значення тиску на протилежних бічних поверхнях елемента об'єму, dS = dy dz – площа поверхні. Запишемо рівняння руху (другий закон Ньютона) елемента об'єму рідини dV у проекції на вісь OX:
dm
dvx = − ⎡⎣ p ( x + dx ) − p ( x ) ⎤⎦ dS + dFx . dt
Різницю тисків представимо через похідну за координатою:
dvx ∂p = − dx dS + dFx , ∂x dt Повністю аналогічні міркування для напрямків OY і OZ дозволяють запиdm
сати інші два рівняння:
dv y
dvz ∂p = − dz dS + dFz . ∂z dt dt Отримані рівняння руху елемента об'єму рідини dV у трьох проекціях на dm
=−
∂p dy dS + dFy , ∂y
dm
осі координат можна об'єднати в одне векторне рівняння. Для цього помножимо їх відповідно на орти i, j, k і додамо праві й ліві частини. Потім розділимо на dV = dx dy dz , врахуємо ρ = dm dV , та отримаємо
ρ
dv = −∇ p + f , dt
де ∇ p – градієнт тиску – вектор, який у декартових координатах має вигляд ∇ p = grad p =
∂p ∂p ∂p i+ j + k . Отримане рівняння називається ∂x ∂y ∂z
рівнянням Ейлера, воно є основним рівнянням динаміки ідеальної нестисливої рідини. Із рівняння Ейлера легко отримати основне рівняння гідростатики нестисливої рідини ∇ p = f . Тут враховано, що в умовах статики будь-які механічні рухи відсутні, отже похідна від швидкості в рівнянні Ейлера покладена рівною нулю. З основного рівняння гідростатики випливає, що за умови рівноваги густина сили f має виражатися градієнтом певної скалярної функції, що з іншого боку є умовою того, щоб сила f була консервативною. Таким чином, для рівноваги рідини необхідно, щоб поле, в якому вона перебуває, було консервативним. У супротивному випадку рівновага рідини неможлива. 103
8.2. РОЗПОДІЛ ТИСКУ В НЕРУХОМИХ РІДИНАХ І ГАЗАХ. ЗАКОН ПАСКАЛЯ Розглянемо окремий випадок, коли зовнішні об'ємні сили відсутні, тобто f = 0 . Тоді, з основного рівняння гідростатики випливає, що
∂p ∂p ∂p = = =0. ∂x ∂y ∂z Отже, за відсутності об'ємних сил, при рівновазі тиск у всіх точках рідини однаковий. Наведене твердження є законом Паскаля. Зокрема, якщо немає об'ємних (масових) сил, то рідина може перебувати в рівновазі лише тоді, коли зовнішній тиск на її поверхню однаковий у всіх точках цієї поверхні. У супротивному випадку виникає рух рідини. За відсутності об'ємних сил однаковий тиск на поверхню рідини зумовлює появу такого самого тиску в усіх точках рідини. Тобто, за законом Паскаля, у рівноважному стані рідини й гази передають тиск, прикладений до них, рівномірно за усіма напрямками. Розглянемо окремий випадок, коли рідина перебуває в полі тяжіння, тобто f = ρg , де ρ = const (наближення абсолютно нестисливої рідини). Спрямуємо вісь Z уздовж сили тяжіння. Основне рівняння гідростатики в такому випадку набуде вигляду
⎧ ∂p ∂p ⎪⎪ ∂x = ∂у = 0, . ⎨ ⎪ ∂p = ρg. ⎪⎩ ∂z Після інтегрування останнього рівняння отримаємо p ( z ) = p0 + ρgz , де
p0 – тиск на висоті z = 0 , тобто атмосферний тиск, якщо початок координат збігається з вільною поверхнею рідини. З отриманого розв'язку видно, що тиск не залежить від координат x та y, і залишається сталим у площинах z = const . Такі горизонтальні площини називаються площинами рівного тиску. Тиск, зумовлений висотою стовпа рідини, називається гідростатичним тиском. Відзначимо, що величина атмосферного тиску 5 3 3 ~ 10 Па, а густина води ρ = 10 кг/м . У такому випадку, з отриманого рівняння можна обчислити, що зі збільшенням глибини у воді на кожні 10 м, тиск додатково зростає на величину атмосферного тиску. Так, на глибині 100 м тиск p ≈ 10 p0 . Важливим є той факт, що зростання тиску з глибиною не залежить від форми посудини, в якій міститься рідина. Ілюстрацією цього є рівність рівнів рідини в посудинах різного розміру, які сполучені між собою (рис. 8.2, а). Рівність двох тисків у нижній частині посудини, яка забезпе104
чує рівновагу рідини, можлива лише за умови рівних висот стовпчиків води в цих посудинах.
ρ1
ρ1 P1 = P2 а)
б) Рис. 8.2
Змінимо умови експерименту й розташуємо в нижній горизонтальній частині U-подібної посудини рухому перепону, яка не дозволяє змішуватись двом рідинам з різними густинами (рис. 8.2, б). Нехай ліва частина заповнена рідиною з більшою густиною, наприклад ртуттю, а права – водою. Очевидно, що рівновага буде за різних висот стовпчиків рідин. Висота стовпчика ртуті h1 дорівнюватиме
h1 =
ρ2 h2 , ρ1
де h2 – висота стовпчика води, а ρ1 і ρ2 – густини ртуті та води, відповідно. Слід зазначити, що висота стовпчика ртуті буде приблизно в 10 разів меншою від висоти стовпчика води, оскільки густина ртуті майже на порядок перевищує густину води. Варто пам'ятати, що стовпчик ртуті, висотою 760 мм, врівноважує тиск майже десятикілометрового стовпа атмосфери. Тому атмосферний тиск іноді вимірюють у міліметрах ртутного стовпчика. Сила тиску рідини на дно посудини не залежить від її форми, а лише від площі дна, різниці рівнів поверхні рідини й дна, а також від густини рідини. Ця сила буде однією й тією самою для всіх трьох посудин, зображених на рис. 8.3, якщо вони мають однакову площу дна, а рідину налито до однакового рівня. Тоді здається логічним припустити, що при зважуванні (рис. 8.3) посудин з рідиною ваги мали Рис. 8.3 б показувати однакову вагу, оскільки показання ваг залежить від сили, з яким дно посудини тисне на чашку ваг. Виникає так званий гідростатичний парадокс. Що ж покажуть ваги? Вони покажуть різну вагу посудин (рис. 8.3). Розглянемо, у чому ж полягає помилка в наведеному міркуванні, яке призводить до 105
гідростатичного парадоксу. Його можна позбавитись, якщо врахувати, що ваги вимірюють силу тиску посудини на чашку, яка дорівнює силі, з якою рідина діє на всю посудину, а не тільки на дно. Тобто, слід також враховувати суму сил, що діють з боку рідини на бокові стінки посудини. Зокрема, для першої посудини (рис. 8.3) така сума спрямована вниз, а для третьої – навпаки, вгору. Загальна рівнодійна сил для всіх посудин буде дорівнювати вазі рідини.
8.3. ЗАКОН АРХІМЕДА Наслідком різних величин гідростатичного тиску на різних глибинах є наявність виштовхувальної сили, яка діє на тіла, що перебувають у рідині або газі. Цю силу називають силою Архімеда. Розглянемо більш детально фізичну природу виникнення виштовхувальної сили та визначимо її величину й напрямок. Виділимо в рідині довільний об'єм, який обмежений замкненою поверхнею S (рис. 8.4). S За умови механічної рівноваги рідини повинен F перебувати в рівновазі і виділений об'єм. Отже, має дорівнювати нулеві рівнодійна та моG мент всіх зовнішніх сил, що діють на розглядуваний об'єм рідини. Зовнішні сили – це сила зважування G виділеного об'єму рідини та тиск на поверхню Рис. 8.4 S з боку навколишньої рідини. Таким чином, рівнодійна F сил гідростатичного тиску, які діють на поверхню S , має дорівнювати вазі рідини в об'ємі, обмеженому поверхнею S . Ця рівнодійна повинна спрямовуватися вгору й проходити через центр мас А виділеного об'єму рідини. При цьому, повний момент зовнішніх сил, які діють на нього, має дорівнювати нулю. Уявімо, що рідина з виділеного об'єму видалена, а її місце зайняте твердим тілом такої самої форми. Якщо після цього тіло буде перебувати в механічній рівновазі, то це означає, що після зробленої заміни в навколишній рідині ніяких змін не відбудеться (у порівнянні з випадком, коли на місці твердого тіла перебувала рідина). Тобто не зміниться й гідростатичний тиск рідини на поверхню S. Звідси отримаємо закон Архімеда: якщо тіло, занурене в рідину, перебуває в механічній рівновазі, то з боку навколишньої рідини воно зазнає виштовхувальної сили гідростатичного тиску, яка чисельно дорівнює вазі рідини в об'ємі, що витіснений тілом: FA = V ρg , де FA – виштовхувальна сила, V – об'єм витісненої тілом рідини (газу), ρ – густина рідини (газу), g – прискорення вільного падіння. Виштовхувальна сила FA спрямована вгору й проходить через центр мас рідини (газу), яка витіснена тілом. 106
8.4. АТМОСФЕРА В ПОЛІ ТЯЖІННЯ. БАРОМЕТРИЧНА ФОРМУЛА Тиск повітря поблизу поверхні Землі зумовлений його власною вагою 5 2 й становить приблизно 10 Па, тобто на 1 м поверхні Землі повітря тис5 не із силою 10 H. Такий тиск називають атмосферним. Він зменшується при збільшенні відстані від поверхні Землі. Проте залежність тиску від висоти є нелінійною. Такий факт пояснюється тим, що густина атмосфери є змінною, тобто атмосферне середовище (повітря) є стисливим. Отримаємо закон, за яким зменшується тиск атмосфери при зростанні відстані від поверхні Землі. Скористаємося основним рівнянням гідростатики, а саме: grad p = f , де f = ρg . Вісь z спрямуємо вгору, перпендикулярно до поверхні Землі. Тоді основне рівняння гідростатики набуде вигляду
dp = −ρg . dz Тиск p , густина ρ і температура T повітря зв'язані між собою рівнянням стану. Якщо густина газу не дуже велика (газ можна вважати ідеальним), то стан газу маси M описується рівнянням Клапейрона:
M ρ RT або p = RT , μ μ де μ – молярна маса газу, R – газова стала. pV =
Рівняння Клапейрона робить можливим виключення з основного рівняння гідростатики густини, тоді отримаємо
dp pμ =− g. dz RT Скористаємося певною ідеалізацією. Зокрема, будемо вважати, що атмосфера є ізотермічною. Атмосфера називається ізотермічною, якщо вона перебуває в механічній і тепловій (термодинамічній) рівновазі. Механічною рівновагою називають такий стан атмосфери, при якому вона залишається нерухомою із часом, тобто в атмосфері відсутні повітряні потоки (вітри тощо). Теплова рівновага означає, що температура Т є однаковою в будь-якій точці атмосфери: T = const . Очевидно, що ізотермічна атмосфера є ідеалізацією. У такому наближенні отримане рівняння легко інтегрується:
ln
p gμ =− z p0 RT
або
⎛ gμ p = p0 exp ⎜ − ⎝ RT
⎞ z⎟ , ⎠
де p0 – величина атмосферного тиску на поверхні Землі. За аналогічним законом змінюється й густина повітря:
⎛ gμ ⎞ ρ = ρ0 exp ⎜ − z⎟, ⎝ RT ⎠ 107
де ρ0 – густина атмосфери на поверхні Землі. Отримані співвідношення називаються барометричними формулами. Численні дослідження атмосфери показують, що при збільшенні висоти тиск і густина монотонно зменшуються, а температура змінюється за більш складним законом. Нагадаємо, що барометричні формули отримані в наближенні, що температура не змінюється з висотою. Для того, щоб врахувати таку зміну та отримати більш коректну залежність тиску від висоти, слід у рівняння
dp pμg =− підставити реальну залежdz RT ( z )
ність T ( z ) . Розв'язок такої задачі є досить складним і тому обмежимося лише якісним розглядом процесів, що відбуваються в реальній атмосфері. Лише в нижньому десятикілометровому шарі температура монотонно зростає при збільшенні висоти від поверхні Землі, а в більш високих шарах залежність є немонотонною. Складна висотна залежність температури атмосфери є результатом спільного прояву зумовлених сонячним випромінюванням процесів переносу тепла та повітряних мас. Земля за відсутності атмосфери нагрілася б на екваторі до 270 К, на Південному полюсі – до 150 К і на Північному полюсі – до 170 К. При таких температурах встановилася б радіаційна рівновага: нагріта Земля випромінювала б у світовий простір стільки ж енергії, скільки одержувала від Сонця. Проте поверхня Землі значно тепліша, а різниця температур між екватором і полюсом набагато менша. Це є результатом поглинання сонячної енергії самою атмосферою. Крім того, атмосфера та океан переносять тепло від однієї області до іншої, що також впливає на енергетичний баланс. Поглинання сонячної енергії здійснюється переважно водяною парою, вуглекислим газом і озоном, унаслідок чого створюється "парниковий ефект", який призводить до додаткового нагрівання поверхні Землі. Повітря поблизу поверхні є більш теплим і легким, ніж повітря у верхніх шарах. Тому відбувається вертикальна конвекція – нижні шари атмосфери піднімаються вгору й перемішуються з масами повітря верхніх шарів. На практиці реалізується складний розподіл температури, який є результатом динамічної рівноваги атмосфери в полі сили тяжіння та дотримання балансу енергії. Атмосфера поділяється на окремі ділянки. Нижній шар атмосфери, який називається тропосферою, містить 80 % маси атмосфери, майже всю водяну пару й характеризується сильним вертикальним перемішуванням. Зверху тропосфера обмежена тропопаузою, де температура атмосфери змінюється дуже слабко. Вище розташована стратосфера, у якій повітряні маси перемішується слабко. Зростання температури закінчується в стратопаузі. Вище знаходиться мезосфера, де температура спадає. Мезосфера містить лише 0,1 % маси всієї атмосфери. Вище мезосферы (h > 100 км) знаходиться термосфера, де температура знову 108
зростає при збільшенні висоти від поверхні Землі й сягає 600 К у період спокійного Сонця та більше 2000 К у період сонячної активності. Відзначені вертикальні перемішування повітряних мас атмосфери є проявом її механічної нестійкості. Проаналізуємо більш детально фізичну природу такого процесу. Розглянемо порушення стану механічної рівноваги, коли певна маса повітря трохи піднімається вгору. У новому її положенні ця повітряна маса буде зазнавати меншого зовнішнього тиску, що зумовить її розширення, і, відповідно, зменшення її густини. Це відбудеться тому, що при малій теплопровідності повітря за час руху вгору розглядувана маса практично не буде обмінюватись теплом з оточенням. Якщо виявиться, що в новому положенні густина повітряної маси, яка піднялася, буде більшою за густину навколишнього повітря, то ця маса за законом Архімеда буде рухатись вниз, і рівновага відновиться. Якщо ж її густина виявиться меншою за густину навколишнього повітря, то вона буде підніматися ще вище, і механічна рівновага виявиться нестійкою. Буде відбуватись вертикальний переніс повітряної маси. Аналогічні міркування справедливі й для випадку, коли порушення механічної рівноваги відбувається шляхом невеликого зниження певної маси повітря. Дослідження атмосфери Землі показали, що ізотермічна атмосфера в розглядуваному контексті є стійкою. Ще більша стабільність атмосфери має місце, коли температура повітря зростає з висотою. Якщо ж температура зменшується при збільшенні висоти, то механічна рівновага повітря можлива лише тоді, коли ця зміна не є дуже швидкою. Так, при зменшенні температури з висотою більш ніж на один градус на кожні 100 м висоти атмосфера втрачає механічну стійкість – з'являються вертикальні потоки повітряних мас, які називаються конвекцією.
8.5. ГРАВІТАЦІЙНЕ САМОСТИСНЕННЯ ПЛАНЕТИ Неважко уявити, що в результаті гравітаційної взаємодії між різними частинами планети виникають сили притягання, що призводить до виникнення додаткового тиску всередині планети. Знайдемо цей тиск. Нехай планета являє собою однорідну кулю радіусом R0 і масою M . Застосуємо основне рівняння гідростатики: ∇p = f . Щоб записати вираз для об'ємної густини гравітаційних сил, згадаємо, що сила тяжіння всередині планети пропорційна відстані до її центра, тобто mg
r . Звідси очевидно, що густина сил тяR0
жіння всередині планети може бути представлена виразом
f = − Dg
r , R0
де D – густина, g = γM R02 – прискорення вільного падіння на поверхні планети. 109
Запишемо векторне основне рівняння гідростатики у вигляді системи рівнянь:
∂p x = −ρg , ∂x R0 ∂p y = −ρg , ∂y R0 ∂p z = −ρg . ∂z R0
Повний диференціал тиску можна записати як
dp =
∂p ∂p ∂p ρg dx + dy + dz = − ( x dx + y dy + z dz ) . ∂x ∂y ∂z R0
Проінтегруємо отримане диференційне рівняння:
p=−
(
)
ρg 2 x + y 2 + z 2 + const . 2 R0
Сталу інтегрування знайдемо з такої очевидної граничної умови: на поверхні планети тиск дорівнює нулю, а сума квадратів координат дорівнює квадрату її радіуса, тобто x 2 + y 2 + z 2 = R0 2 . Тоді
0=− Врахуємо також ρ =
ρg ρg R02 + const і const = R0 . 2 R0 2
3M 4πR03
і запишемо вираз для тиску гравітаційного
самостиснення:
p=
3γM 2 ⎛ r2 ⎜1 − 8πR04 ⎜⎝ R02
⎞ ⎟. ⎟ ⎠
Таким чином, з наближенням до центра планети тиск збільшується за квадратичним законом і в центрі планети ( r = 0 ) досягає величини
pmax =
3γM 2 8πR04
.
Якщо у цю формулу підставити чисельні значення параметрів Землі, 6 5 отримаємо pmax близько 1,8⋅10 атм (1 атм≈10 Па). При цьому слід зазначити, розглянута задача лише віддалено відповідає реальній ситуації для Землі. На початку розгляду було зроблено припущення про однорідність розглядуваної планети. Нашу Землю можна лише наближено вважати однорідною, оскільки експерименти свідчать про суттєве зростання густини з глибиною. 110
8.6. ГІДРОСТАТИЧНА МОДЕЛЬ ОБЕРТАННЯ ПЛАНЕТИ Розглянемо ізольовану кулю масою M з нестисливої рідини густиною ρ , яка обертається навколо власної осі з кутовою швидкістю ω . Оберемо декартову систему координат, яка обертається разом з планетою, причому початок координат знаходиться у центрі планети. Вісь OZ спрямуємо вздовж осі обертання. Радіус планети позначимо R0 . Розглянемо елемент об'єму Z dV , який розташований на відстані r від центра планети (рис. 8.5). На обраний елемент dV діє сила тяжіння, яка спрямована до центра планети й дорівнює f2 f1 r
⎛ r ⎞ ⎜ −ρ dV g ⎟, R0 ⎠ ⎝
Y
O
де r – радіус-вектор обраного елемента об'єму. Отже, вектор об'ємної густини гравітаційних сил може бути представлений як
X Рис. 8.5
f1 = −ρg
r . R0
Оскільки обрана система відліку неінерційна, то на обраний елемент діє відцентрова сила інерції, яка дорівнює ρ dV ω2 ( xi + yj) . Відповідний вектор густини сил інерції f2 = ρω2 ( xi + yj) . Запишемо основне рівняння гідростатики в проекціях на осі координат:
⎧ ∂p ⎪ ⎪ ∂x ⎪⎪ ∂p ⎨ ⎪ ∂y ⎪ ⎪ ⎪⎩
= −ρg
x + ρω2 x R0
= −ρg
y + ρω2 y R0
z ∂p . = −ρg R0 ∂z
Звідси повний диференціал тиску можна записати як
dp =
⎛ ∂p ∂p ∂p g ⎞ g dx + dy + dz = ρ ⎜ ω2 − z dz . ⎟ ( x dx + y dy ) − ρ ∂x ∂y ∂z R0 ⎠ R0 ⎝
Проінтегруємо отримане диференційне рівняння 111
p=
(
)
ρ⎛ 2 g ⎞ 2 g 2 2 z + const . ⎜ω − ⎟ x + y −ρ 2⎝ R0 ⎠ 2 R0
Скористаємось тією обставиною, що отриманий вираз дозволяє розрахувати тиск у будь-якій точці. Оскільки тиск на поверхні планети повинен бути скрізь однаковим, прирівняємо значення p на полюсі,
p ( x, y, z ) = p ( 0, 0, R1 ) , і на екваторі, p ( x, y, z ) = p ( R2 , 0, 0 ) . При цьому ми змушені припустити, що полярний і екваторіальний радіуси планети різні:
ρ⎛ 2 g ⎞ 2 g 2 R1 + const , ⎜ω − ⎟ R2 + const = −ρ 2⎝ R0 ⎠ 2 R0 де R1 , R2 – полярний та екваторіальний радіуси планети. Звідси
R2 − R1 =
ω2 R22 R0 . g ( R1 + R2 )
Оскільки очікується, що різниця радіусів буде невеликою, наближено покладемо R1 + R2 = 2 R0 . Тоді отримаємо відносну величину зміни радіуса
R2 − R1 ω2 R0 , ≈ R0 2g яка характеризує ступінь сплюснутості планети, що зумовлена її обертанням навколо власної осі. Якщо в отриману формулу підставити параметри Землі, отримаємо величину 0,0016, яка лише приблизно вдвічі відрізняється від відомої реальної величини сплюснутості Землі. Отримана узгодженість розрахункової величини з реальною свідчить про те, що Земля перебуває в стані, близькому до гідростатичної рівноваги.
8.7. КІНЕМАТИЧНИЙ ОПИС РУХУ РІДИНИ. ТЕОРЕМА НЕРОЗРИВНОСТІ Гідродинаміка вивчає рух рідин. Явища в гідродинаміці мають макроскопічний характер і рідина розглядається як суцільне середовище. Це означає, що будь-який малий елемент об'єму рідини вважається настільки великим, що містить у собі дуже велику кількість молекул. Відповідно до цього, коли в гідродинаміці кажуть про нескінченно малий елемент об'єму, то завжди мають на увазі, що він досить малий порівняно з об'ємом тіла, але великий порівняно з відстанями між молекулами. У такому ж контексті треба розуміти поняття "частинка рідини" або "точка рідини", якими користуються для опису руху рідин і газів. Якщо, наприклад, у механіці кажуть про рух певної частинки рідини, то при цьому йдеться не про рух окремої молекули, а про зсув елемента об'єму, що містить велику кількість молекул. 112
Таким чином, математично описати рух рідини можна двома способами. Можна простежити за рухом кожної окремої частинки рідини, тобто визначити її положення і швидкість у кожний момент часу. Тим самим будуть відомі й траєкторії всіх частинок рідини. Такий спосіб опису розроблявся Лагранжем. Існує простіший підхід до опису руху рідин. Основна його ідея полягає в тому, щоб спостерігати не за окремими частинками рідини, а за певними точками простору і визначати швидкість (точніше її модуль і напрямок), з якою проходять через кожну точку окремі частинки рідини в різні моменти часу. Такий спосіб називається методом Ейлера. Якщо охопити всі точки простору і фіксувати час t, то при другому способі опису руху рідин утвориться просторова картина розподілу швидкостей у рідині – поле швидкостей. Поле швидкостей можна зобразити таким чином. Проведемо в рідині, яка рухається, лінії так, щоб дотична до них у кожній точці збігалася за напрямком з вектором v (рис. 8.6). Ці лінії називаються лініями струму. Якщо поле швидкостей, а отже, і відповідні йому лінії струму не змінюються із часом, то рух рідини називається стаціонарним або сталим. Якщо ж вони змінюються в часі, то рух називається нестаціонарним. У випадку нестаціонарного руху при другому способі опису швидкість рідини залежить від координат і часу: v = v ( r,t ) і лінії струму не збігаються з траєкторіями частинок рідини. При стаціонарному русі залежності v від часу не-
має, і швидкість залежить лише від координат: v = v ( r ) . Тільки при стаці-
онарному русі лінії струму збігаються з траєкторіями частинок. Оберемо довільний замкнений контур і проведемо лінії струму через кожну точку його в певний момент часу (рис. 8.7). Ці лінії утворять поверхню, яка називається трубкою струму. V
V
Рис. 8.6
Рис. 8.7
113
Вектор v швидкості частинок рідини спрямований по дотичний до ліній струму, а значить під час руху частинки рідини не будуть перетинати бічну поверхню трубки струму. Трубка струму (яка є уявною) поводить себе подібно до бокової поверхні реальної трубки, в якій тече рідина. На такі трубки струму можна розбити весь простір, в якому відбувається рух рідини. Розглянемо два поперечні переS'2 різи S1 і S 2 , які перпендикулярні до S'1 v2 осьової лінії струму АВ (рис. 8.8). Поперечний переріз трубок струму S2 v1 зазвичай обирають настільки маS1 v2 dt лим, щоб можна було вважати швидкість однаковою в межах будьS v1 dt якого її поперечного перерізу й спрямованою вздовж осі трубки струму. Частинки рідини, які в певний момент A часу t знаходились у поперечному Рис. 8.8
перерізі S1 , через нескінченно малий проміжок часу dt пройдуть шлях, рівний v1 dt , та опиняться в перерізі S1' . Звідси випливає, що за час dt через поперечний переріз S1 проходить об'єм рідини: S1v1 dt . Водночас через поперечний переріз S 2 пройде об'єм рідини: S 2 v2 dt . Якщо рідина нестислива, то через обидва перерізи мають пройти однакові об'єми рідини. Звідси S1v1 = S2 v2 . Наведені міркування справедливі для будь-яких двох поперечних перерізів трубки струму. Тому, у загальному випадку для трубки струму можна вважати S1v1 = const , тобто добуток швидкості течії нестисливої нев'язкої рідини та поперечного перерізу трубки струму є величиною сталою для даної трубки струму. Це твердження відомо як теорема нерозривності. Із теореми нерозривності випливає, що швидкість рідини в трубці струму буде тим більша, чим вужчий поперечний переріз трубки. Швидкість у трубці обернено пропорційна площі даного поперечного перерізу.
8.8. СТАЦІОНАРНИЙ РУХ ІДЕАЛЬНОЇ РІДИНИ. РІВНЯННЯ БЕРНУЛЛІ Вивчення руху реальних рідин є досить складним завданням. Для спрощення користуються поняттям ідеальної рідини. Рідина, у якій при будь-яких рухах не виникають сили в'язкості (сили тертя), називається ідеальною. Розглянемо стаціонарний рух ідеальної рідини в полі тяжіння та застосуємо до неї закон збереження енергії. Нехай ідеальна рідина 114
рухається в трубці струму, поперечний переріз якої змінюється від S1 до S2 (рис. 8.9), у напрямку зліва направо. Відокремимо в трубці малий стовпчик S1S1′ і розглянемо роботу, яку виконують сили тиску при його переміщенні в нове положення S 2 S2′ .
v1 dt
F1 S
v2 dt
S'1 h1
S2
F2
S'2 h2 Рис. 8.9
На переріз S1 стовпчика рідини діє сила F1 , а на переріз S1′ – сила
F2 . Зазначимо, що сили тиску, які діють на бокову поверхню трубки, перпендикулярні напрямку руху й тому роботи не виконують. Через малий проміжок часу dt переріз S1 переміститься на відстань v1dt у положення S 2 , а переріз S1′ на відстань v 2 dt у положення S 2′ . При цьому, сили, що діють на рідину в трубці, виконують роботу: A = F1v1dt − F2 v2 dt . Оскільки тертя відсутнє, то ця робота має дорівнювати приросту енергії розглядуваного об'єму рідини. Можна уявити собі, що маса dm рідини між перерізами S1 і S1′ зникає, і така сама маса dm з'являється між перерізами S 2 і S2' . Кінетична та потенційна енергії стовпчика рідини S1S1′ дорівнюють відповідно:
dm v12 2
і
dm gh1 , а стовпчика S 2 S 2′ :
dm v22 2
і
dm gh2 ,
де h1 , h2 – висоти відповідних об'ємів рідини над певним умовно обраним горизонтальним рівнем. Запишемо умову рівності роботи А приросту повної енергії:
F1v1dt − F2 v2 dt =
dm v22 dm v12 + dm gh2 − − dm gh1 . 2 2 115
Сили F1 і F2 , обумовлені тиском рідини на розглядувані об'єми рідини, можна представити таким чином: F1 = p1S1 , F2 = p2 S 2 . Якщо підставити ці співвідношення в наведене вище рівняння і врахувати, що dm = ρ dV , де ρ – густина рідини, dV = S1v1dt = S2 v2 dt – об'єм, то за допомогою нескладних перетворень отримаємо:
p1 +
ρv12 ρv 2 + ρgh1 = p2 + 2 + ρgh2 . 2 2
Таке рівняння було вперше отримано Бернуллі і, відповідно, називається рівнянням Бернуллі. Виведення рівняння Бернуллі проведено для окремої трубки струму, проте воно справедливе для всього потоку рідини. Далі розглянемо окремі випадки практичного застосування рівняння Бернуллі. Для трубки струму, що розміщена горизонтально ( h1 = h2 ), рівняння Бернуллі є таким:
p1 +
ρv12 ρv 2 = p2 + 2 . 2 2
З отриманого рівняння та теореми нерозривності випливає, що під час руху рідини в трубці, що має різні площі поперечного перерізу, швидкість буде більшою у вужчих місцях, а тиск буде більшим у більш широких місцях. Це можна показати на досліді, якщо встановити вздовж трубки кілька манометричних трубок (рис. 8.10). Висота рідини в цих трубках показує величину тиску. Дослід підтверджує отриманий наслідок із закону Бернуллі, а саме: у манометричній трубці б, що розташована у вужчій частині трубки, рівень рідини нижчий, ніж у трубках a і в, що вимірюють тиск у частинах трубки з більшим поперечним перетином.
а)
б)
в)
Рис. 8.10
Наведена особливість течії рідини на практиці використовується в приладах для вимірювання витрат води (лічильниках води). В основу цих приладів покладено трубку зі змінним поперечним перерізом (трубка 116
Вентурі), яка оснащена манометрами для вимірювання тисків p1 , p2 у перерізах S1 , S2 . Витрата води (маса, що протікає в одиницю часу) визначається рівністю
dm = ρv2 S2 = ρv1S1 , dt яка, разом з рівнянням Бернуллі, утворюють систему рівнянь для визначення витрат води. З урахуванням того, що тиски p1 = ρgh1 і p2 = ρgh2 визначаються з показань h1 і h2 манометричних трубок, отримаємо:
dm = dt
2ρ ( p1 − p2 ) S2−2 − S1−2
а)
.
б) Рис. 8.11
Зупинимося детальніше на питанні вимірювання тисків у рідині, що рухається. Якщо в потік рідини помістити трубку, нижній кінець якої зігнутий у напрямку, протилежному потоку (рис. 8.11, а) – трубку Піто, то лінії струму зміняться поблизу неї. Швидкість руху рідини перед отвором буде дорівнювати нулю. Рівняння Бернуллі в такому випадку набуде вигляду
p2 = p1 +
ρv12 , 2
де p1 – тиск у рідині, який виміряв би манометр у разі його руху разом з рідиною. Манометр, приєднаний до трубки Піто вимірює тиск p2 , який на ρv12 2 більший за тиск p1 . Доданок ρv12 2 називається "динамічним тиском". Якщо ж у тонкій трубці зробити отвір у бічній поверхні вигнутої частини, то поблизу нього швидкість і тиск будуть мало відрізнятись від відповідних величин за відсутності трубки. Тому такий прилад (рис. 8.11, б) називають зондом. Приєднання манометра до зонду дасть можливість виміряти тиск рідини p1 , який існує в місці розташування отвору. Тиск p1 часто називають статичним, щоб підкреслити його відмінність від динамічного. Сума динамічного та статичного тисків і називається повним тиском p2 . 117
Якщо відомі динамічний і статичний тиски, то можна визначити швидкість руху рідини v . Такий принцип реалізовано в трубці Прандтля, яка поєднує зонд і трубку Піто (рис. 8.12). Якщо їх приєднати до диференційного манометра (манометра, який вимірює різницю тисків), то він покаже величину динамічного
потік рідини
тиску ρv12 2 . Це дозволить визначиРис. 8.12
ти швидкість рідини, якщо відома її густина.
Відомо, що літак В-52 має вісім двигунів, які створюють загальну силу 5 тяги близько 8⋅7,7 = 61,6 т (приблизно 6⋅10 Н). Вага літака становить більше 220 т, що в 3,5 рази більше сумарної сили тяги. Що ж утримує літак у польоті? Рівняння Бернуллі дозволяє поF1 яснити механізм виникнення підйомної сили крила літака. На рис. 8.13 наведено ідеалізовану картину обтіF кання крила літака струменями повітря. Оскільки переріз крила несиметричний (крило має вигин вгору), трубРис. 8.13 ки струму звужуються над крилом, і водночас практично не змінюються під ним. Звуження трубки струму призводить до збільшення швидкості потоку в ній і відповідно до зменшення статичного тиску над крилом. Так виникає підйомна сила F1 , яка утримує літак у повітрі. Крім підйомної сили, на крило з боку потоку повітря, що набігає, діє також сила опору F2 , яку долають двигуни літака. Слід також зазначити, що наведене пояснення є спрощеним і не враховує багатьох важливих факторів, наприклад, явище відриву потоку.
8.9. ВИТІКАННЯ РІДИНИ З ОТВОРУ. ФОРМУЛА ТОРІЧЕЛЛІ Розглянемо витікання ідеальної рідини з невеликого отвору в боковій стінці (рис. 8.14). В отворі розміщено трубку, яка спрямовує рідину, що витікає, у горизонтальному напрямку. Лінії струму в рідині будуть почина118
p0
S0
тися на вільній поверхні рідини й закінчуватися у вихідному отворі. На рис. 8.14, як приклад, зображено одну трубку струму. За теоремою неперервності: Sv = S0 v0 , де S , S0 – площі
h
v0
S
отвору та вільної поверхні, а v, v0 – швидкості рідини в цих площинах. Якщо S << S0 , то швидкістю v0 можна знехтувати порівняно з v , тобто вважати її рівною нулю v0 = 0 . Рівняння Бернуллі в такому випадку набуде вигляду
v
p0 Рис. 8.14
p0 + ρgh = p0 +
ρv 2 або v = 2 gh . Це формула Торічеллі. Вона показує, 2
що при витіканні з отвору рідина отримує таку саму швидкість, яку б отримало тіло, яке вільно падає з висоти h . Якщо на отворі, з якого витікає рідина, закріпити гнучку трубку і спрямувати потік рідини вгору, то струмінь рідини має піднятись знову на висоту h , тобто в найвищій точці своєї траєкторії вона сягне рівня рідини в посудині. У дійсності висота підйому буде трошки меншою внаслідок тертя та опору повітря, які при виведенні формули Торічеллі не враховувалися. Слід зазначити, що швидкість v змінюється із часом, оскільки рівень h рідини в посудині поступово зменшується внаслідок її витікання. Нехай за нескінченно малий проміжок часу dt рівень рідини зменшується на dh = v0 dt . З урахуванням теореми неперервності v0 = Sv S0 і формули Торічеллі отримаємо:
dh =
S S v dt = S0 S0
2 gh dt ,
або після відповідного інтегрування:
S S0
2 g
(
)
h0 − h = t .
Таким чином, рівень води в посудині зменшується з часом:
⎛ S h ( t ) = ⎜⎜ h0 − t 0 S ⎝
g 2
2
⎞ ⎟⎟ , ⎠
де h0 – рівень води в посудині в початковий момент часу t = 0 . Очевидно, що отримане рівняння справедливе для інтервалу часу 0 < t < t0 , де
t0 =
S S0
2h0 – час, за який рівень води в посудині зменшиться до h = 0 . g 119
Швидкість витікання рідини з отвору не змінюється із часом в посудині Маріотта. Він являє собою посудину з герметичною верхньою пробкою, в яку вставлена трубка, що сполучена з атмосферою (рис. 8.15). Швидкість виті2 кання рідини визначається формулою Торічеллі v = 2 gh , де h – висота нижнього отвору трубки над вихідним h 1 отвором посудини. Швидкість v не змінюється з часом тому, що при витіканні рідини з повністю заповненої посудини тиск під пробкою буде меншим від атРис. 8.15 мосферного, повітря буде затягуватись у посудину через трубку. У результаті, тиск у горизонтальній площині, що збігається з нижнім краєм трубки, дорівнює атмосферному. Якщо трубка розташована нижче отвору, то рідина витікати не буде (наприклад, з отвору 2 , рис. 8.15).
8.10. ЗАСТОСУВАННЯ ЗАКОНУ ЗБЕРЕЖЕННЯ ІМПУЛЬСУ ПІД ЧАС РУХУ РІДИН До будь-якого рухомого об'єму рідини (або газу) можна застосувати закони збереження імпульсу та моменту імпульсу. Це дозволяє розв'язати певні практичні задачі. Якщо імпульс певного об'єму рідини, що рухається, змінюється на величину Δp = m Δv , то в іншого об'єму рідини або іншого твердого тіла, з якими він межує, має відбутись зміна імпульсу на величину Δp ' = −Δp . Наприклад, рідина, яка витікає з отвору посудини, уносить із собою за інтервал часу Δt імпульс, що дорівнює Δp = Δm v = ρSvΔt v , де ρ – густина рідини, S – площа поперечного перерізу отвору, v – швидкість витікання рідини. Якщо зовнішні сили відсутні, то загальний імпульс системи "посудина + рідина" має залишитись незмінним. Тому імпульс посудини зміниться на величину Δp ' = −Δp = −ρSvΔt v . Посудина має почати рух у напрямку, протилежному до напрямку витікання рідини. Дійсно, якщо посудину, з якої витікає рідина, поставити на візок, то він почне рухатись (рис. 8.16). На посудину діятиме сила F , яка дорівнює:
F=
Δp ' = −ρSvv , а її проекція на напрямок руху: Δt
F = ρSv 2 .Отримане рівняння можна перетворити, якщо скористатися формулою Торічеллі: F = 2ρSgh . 120
v1
Δp
F
S1
p2
S2 v2
FR p1 Рис. 8.16
F
Δp Рис. 8.17
Реакція рідини (або газу), що витікає, використовується в реактивних двигунах і ракетах. У камері ракети відбувається згорання пального. Гази, що утворюються при цьому, виходять через спеціальне сопло ракети. Завдяки великій швидкості витоку газів, їх імпульс досить великий. Такий самий імпульс передається ракеті, що змушує її рухатись у протилежному напрямку (щодо напрямку виходу газів). Для реактивного руху не треба взаємодії її з іншими тілами, що дозволяє рухатись у безповітряному просторі. Варто ще раз підкреслити, що імпульс p є величиною векторною, тому зміна імпульсу певного об'єму рідини має місце не лише при зміні величини швидкості рідини, але й у випадку, коли швидкість v змінюється лише за напрямком. Це, наприклад, має місце під час руху рідини зі сталою швидкістю v у зігнутій трубі. Для спрощення проаналізуємо випадок, коли кут згину труби дорівнює 90° (рис. 8.17). Розглянемо об'єм рідини, який обмежується перерізами S1 і S 2 . За час Δt у переріз S1 входить Δm = ρvS Δt рідини, імпульс якої дорівнює p1 = ρvv1S Δt . За той самий проміжок часу через переріз S 2 пройде така сама кількість рідини. Її імпульс дорівнюватиме p 2 = ρvv 2 S Δt . Зміна напрямку руху рідини зумовлена стінками трубки, які змінюють імпульс рідини на величину Δp = p 2 − p1 . За другим законом Ньютона сила F дорівнює зміні імпульсу
dp . Таким чином, на рідину, яка рухається в dt трубці, її стінки діють із силою F : F = ρvS ( v 2 − v1 ) . в одиницю часу F = F =
З іншого боку, за третім законом Ньютона рідина буде діяти на стінки із силою FR , яка дорівнює за величиною силі F і спрямована в проти-
лежному напрямку: FR = −F = ρvS ( v1 − v 2 ) . 121
Таким чином, рідина, що тече по вигнутій трубі, діє на неї з силою реакції FR , яка спрямована в бік, протилежний вигину. Така властивість використовується у водяних і парових турбінах. Потік рідини (або газу) під час руху по викривленим каналам колеса турбіни створює сили реакції, момент яких зумовлює його обертання.
8.11. СИЛИ В'ЯЗКОСТІ Поняття ідеальна рідини, рух якої ми й розглядали в попередніх розділах, є наближенням. Реальним рідинам властива в'язкість або внутрішнє тертя. Так, у реальних рідинах при переміщенні одних шарів середовища відносно інших виникають сили тертя. З боку шару, який рухається більш швидко, на шар, що рухається повільніше, діє прискорювальна сила. Навпаки, з боку шару, що рухається повільніше, на більш швидкий шар діє гальмівна сила. Ці сили називаються силами внутрішнього тертя або силами в'язкості. Напрямок їх дії спрямований по дотичній до поверхні прошарків. Величина сили внутрішнього тертя тим більша, чим більша площа S поверхні розглядуваного шару і залежить від того, наскільки сильно відрізняються швидкості руху рідини в сусідніх шарах. В'язкість зумовлює те, що будь-який рух у рідині або газі поступово зникає після зникнення причин, через які він виник. Переконатися в існуванні сил внутрішнього тертя можна на таких дослідах. Якщо посудину з водою почати обертати навколо своєї осі зі сталою кутовою швидкістю, то рідина почне поступово обертатися. Спочатку почнуть обертатися шари, прилеглі до стінок посудини, і поступово почнуть залучатись більш віддалені шари доти, поки вся рідина не почне рівномірно обертатись. Такий результат можна пояснити лише наявністю сил взаємодії між стінками посудини та рідиною, а також між сусідніми шарами в самій рідині, що обертаються з різною кутовою швидкістю. Іншим проявом існування сил тертя в рідинах є поступове зменшення швидкості рідини під час її руху вздовж горизонтальної площини. Рівняння Бернуллі, отримане в наближенні ідеальної рідини, не передбачає такого ефекту. Унаслідок тертя частина кінетичної енергії рідини втратиться на подолання опору її руху – перейде в тепло. Із цієї ж причини потік рідини, який витікає з отвору посудини, при його спрямуванні вгору не підніметься до рівня води в посудині. Хоча за відсутності сил тертя це мало б мати місце – таким є результат застосування рівняння Бернуллі. Отримати основні закони в'язкості та показати основні їх закономірності можна на такому досліді. Розглянемо дві пластинки, між якими міститься тонкий шар рідини (рис. 8.18). Для того, щоб верхня пластинка 1 рухалась відносно нижньої зі швидкістю v 0 , необхідно прикласти постійну силу F у напрямку її руху. Оскільки під дією цієї сили пластина не прискорюється, то має існувати ще якась сила, яка її врівноважує. Такою силою є сила тертя, яка виникає при відносному русі пластини та рідини. Унаслідок дії 122
F
сил тертя на нижню пластинку 2 діє така ж сила F . Отже, щоб залишити пластинку 2 нерухомою, до неї треба прикласти силу F' . Взаємодія між пластинками зумовлена силами тертя (в'язкості), які виникають між пластинами та рідиною, і різними шарами рідини. З експерименту встановлено, що модуль сили внутрішнього тертя пропорційний швидкості v , площі пластинки
v0 1
2
F' Рис. 8.18
S та обернено пропорційний відстані між пластинками Δh : v F =η 0 S , Δh де η – коефіцієнт в'язкості. Коефіцієнт в'язкості не залежить від матеріалу пластинок і визначається властивостями рідини. Зокрема, η зменшується при збільшенні температури рідини. Отриману формулу можна поширити на випадок, коли обидві пластинки рухаються. Якщо швидкість першої пластинки v1 , а v2 – швидкість другої, то сила внутрішнього тертя дорівнюватиме:
v −v Δv F =η 2 1S =η S, Δh Δh або в більш загальному випадку:
F =η де
dv S, dz
dv – модуль градієнта швидкості, тобто величина, що показує наскіdz
льки сильно змінюється швидкість у напрямку, перпендикулярному до напрямку руху. Остання формула використовується для визначення сили тертя між будь-якими шарами.
8.12. РУХ ТІЛ У В'ЯЗКОМУ СЕРЕДОВИЩІ Коли тіло рухається в середовищі з в'язкістю, на нього діє сила опору, яка виникає внаслідок тертя між нерухомими шарами рідини і шарами, які рухаються разом з тілом. Згідно з вищенаведеними міркуваннями, можна очікувати, що сила опору буде пропорційна швидкості руху тіла відносно рідини. Експеримент підтверджує цей висновок тільки за умови, що швидкість руху невелика. (Яку швидкість можна вважати невеликою, обговорюється в п. 8.14). Отже, будемо вважати, що сила опору Fоп 123
пропорційна швидкості, тобто Fоп = const ⋅ v . Зокрема, якщо у в'язкому середовищі рухається сферичне тіло радіусом r , то сила опору дорівнює Fоп = 6πr ηv . Остання формула називається формулою Стокса. Нижче розглянуто два приклади руху кульки радіусом r у в'язкому середовищі. Нехай кулька радіусом r розпочала рух із початковою швидкістю v 0 . Єдина сила, що діє на кульку під час руху, є сила тертя. Рівняння руху кульки буде
m
dv = −6πr ηv , dt
де m – маса кульки, η – коефіцієнт в'язкості середовища. Після інтегрування отримаємо
⎛ 6πr η ⎞ v ( t ) = v0 exp ⎜ − t⎟, m ⎠ ⎝ тобто швидкість кульки експоненційно спадає з характерним часом загасання
τ=
m . 6πr η
Чим більша в'язкість середовища, тим швидше загасає рух тіла. Приблизно так буде поводити себе, наприклад, човен на воді, якого штовхнули з невеликою початковою швидкістю. Рух кулі у в'язкому середовищі під дією сталої сили. Нехай у початковий момент часу t = 0 до кульки масою m , яка перебувала у спокої, приклали сталу силу F = const , під дією якої вона почне рухатись у напрямку дії сили. Запишемо рівняння руху
m
dv = F − 6πr η v . dt
Отримане рівняння – лінійне диференціальне рівняння зі сталими коефіцієнтами. Розв'язок його відомий:
v (t ) =
F ⎡ ⎛ 6πr η ⎞ ⎤ 1 − exp ⎜ − t⎟ . ⎢ 6πr η ⎣ m ⎠ ⎥⎦ ⎝
Проаналізуємо отриманий результат. Залежність швидкості руху тіла від часу представляє собою плавно зростаючу функцію, яка в границі t → ∞ асимптотично наближується до значення швидкості v ( ∞ ) = F 6πr η . Графік функції v ( t ) наведено на рис. 8.19. Там же наведено графік зміни із часом прискорення тіла. Видно, що рух тіла не є рівноприскореним. З початку руху 124
прискорення зменшується від максимального значення a ( 0 ) = g до нуля
F/6πrη
при t → ∞ . Характерний час встановлення сталої швидкості τ зазвичай визначають як час, за який прискорення зменшується в e разів: τ = m 6πr η . Приблизно так буде поводити себе, наприклад, кулька, яка тоне в рідині під дією сталої сили тяжіння, або човен, що рухається за допомогою двигуна.
v(t) t g a(t)
τ
t Рис. 8.19
8.13. СТАЦІОНАРНИЙ РУХ В'ЯЗКОЇ РІДИНИ В ТРУБІ. ФОРМУЛА ПУАЗЕЙЛЯ Під час руху реальної рідини в трубі виникають особливості, зумовлені наявністю сил внутрішнього тертя. Зокрема, швидкість руху рідини поблизу стінок труби дорівнюватиме нулю, і буде максимальною в центрі труби. Для циліндричної труби можна довести, що швидкість течії змінюється вздовж радіуса за таким законом:
⎛ r2 ⎞ v ( r ) = v0 ⎜ 1 − ⎟, ⎜ R2 ⎟ ⎝ ⎠ де R – радіус труби,
p1 − p2 2 R – швидкість руху рідини на осі труби (максимальна швид4l η кість), p1 і p2 – величини тисків на вході і виході з труби, l – довжина труби. Графік залежності швидкості v від радіуса r наведено на рис. 8.20. Потік рідини Q , тобто об'v0 =
єм, який проходить через поперечний переріз труби в одиницю часу, дорівнює:
F F r
Q=
( p1 − p2 ) πR 4 8l η
.
Ця формула називається формулою Пуазейля. Вона дозволяє експериментально визначати Рис. 8.20 в'язкість рідин шляхом вимірювання об'єму рідини, який проходить в одиницю часу через трубу із заданими радіусом R і довжиною l . 125
Маса рідини, яка проходить в одиницю часу через поперечний переріз труби, дорівнює ρQ , а кінетична енергія, що переноситься через поперечний переріз в одиницю часу: WK = Qv02 4 . Робота, яка виконується над рідиною
p − p2 різницею тисків p1 і p2 , є: A = 1 Q . Таку саму роботу, але протилеρ
жну за знаком, виконують сили в'язкості, оскільки при стаціонарному русі кінетична енергія рідини залишається незмінною:
A′ = − A = −
4ηlv0
ρR 2
Q.
При розгляді руху рідини в трубах можна знехтувати в'язкістю та ко-
v R 2ρ ристуватись рівнянням Бернуллі, коли A′ << WK , тобто 0 >> 1 . 16ηl
8.14. ЛАМІНАРНИЙ І ТУРБУЛЕНТНИЙ РУХ Ламінарним рухом називають такий рух рідини, при якому її частинки рухаються вздовж паралельних траєкторій і не перемішуються. При ламінарному русі рідину можна представити як шари, які ковзають один відносно іншого. Якщо в реальну рідину, що рухається ламінарно, ввести кольоровий струмінь, то він збережеться без розмиття по всій довжині потоку. Тобто, частинки рідини (газу) при ламінарному русі не переходять з одного шару рідини в інший. При збільшенні швидкості або поперечних розмірів потоку характер руху рідини може істотно змінитись. Виникає енергійне перемішування рідини, швидкість і тиск рідини або газу нерегулярно (хаотично) змінюються із часом. Такий рух називається турбулентним. Якщо в такий потік ввести кольоровий струмінь, то на певній відстані від місця введення пофарбована рідина рівномірно розподілиться по всьому перерізу потоку. Турбулентний рух зустрічається дуже часто в природі та техніці. Виявляється, іноді можна з'ясувати характерні особливості руху рідини чи газу без розв'язування рівнянь руху, а шляхом підрахунків деяких комбінацій фізичних параметрів. Англійський вчений О. Рейнольдс встановив, що характер руху рідини (газу) – ламінарний чи турбулентний – залежить від безрозмірної величини
Re =
ρvl , η
де ρ – густина рідини (або газу), v – середня (по перерізу труби) швидкість потоку, η – коефіцієнт в'язкості рідини, l – характерний для поперечного перетину розмір. Величина Re називається числом Рейнольдса. При малих значеннях числа Рейнольдса спостерігається ламінарний рух. 126
З деякого значення Re, яке називається критичним, рух набуває турбулентного характеру. Критичне значення становить близько 1000–2000. Число Рейнольдса залежить від відношення двох величин, які визначаються властивостями рідини, – густиною ρ і коефіцієнтом в'язкості η . Їх відношення ν = η ρ називається кінематичною в'язкістю. Використовуючи кінематичну в'язкість, число Рейнольдса можна подати як:
Re =
vl
ν
.
Фізичний зміст числа Рейнольдса полягає в тому, що воно дорівнює відношенню енергії руху потоку до роботи сил внутрішнього тертя. Чим більше це відношення, тим меншу роль відіграють сили тертя під час течії рідини. Число Рейнольдса відіграє важливу роль при моделюванні потоків. Наприклад, щоб вивчити поведінку корабля в різних режимах руху, застосовують метод моделювання. У лабораторних умовах вивчають рух зменшеної моделі корабля. При цьому важливо забезпечити такі умови експериментів, щоб висновки, отримані за допомогою моделі, були справедливі й для повномасштабного об'єкта. Потрібно, щоб течія рідини в умовах моделювання була подібна до течії рідини в реальних умовах. Якщо обидві рідини – реальну й моделюючу – можна вважати нестисливими, то для забезпечення подібності створюють такі умови руху моделі, для яких число Рейнольдса буде таке саме, як в умовах руху реального корабля. При цьому, щоб не переходити до руху моделі при надто високих швидкостях потоку, слід обирати моделюючу рідину з меншим значенням кінематичної в'язкості. Метод моделювання застосовують також для літаків – зменшену модель випробовують у так званій аеродинамічній трубі.
ЛІТЕРАТУРА 1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1. Механика: Учеб. пособие. – М., 2005. 2. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности: Учебник. – М., 2003. 3. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. – М., 2002.
127
Навчальне видання
ВАКУЛЕНКО Олег Васильович ЗЕЛЕНСЬКИЙ Сергій Євгенович КОНДРАТЕНКО Сергій Вікторович
МЕХАНІКА Навчальний посібник для студентів геологічного факультету
Редактор Л.П. Львова
Оригінал-макет виготовлено Видавничо-поліграфічним центром "Київський університет"
Виконавець Л.П. Львова
Підписано до друку 31.05.07. Формат 60х841/16. Вид. № 494. Гарнітура Arial. Папір офсетний. Друк офсетний. Наклад 100. Ум. друк. арк. 7,4. Обл.-вид. арк. 9,5. Зам. № 27-3834. Видавничо-поліграфічний центр "Київський університет" 01601, Київ, б-р Т.Шевченка, 14, кімн. 43 (38044) 239 32 22; (38044) 239 31 61; /факс (38044) 239 31 28 e-mail:
[email protected] WWW: http://vpc.univ.kiev.ua Свідоцтво внесено до Державного реєстру ДК № 1103 від 31.10.02
128
О.В. ВАКУЛЕНКО С.Є. ЗЕЛЕНСЬКИЙ С.В. КОНДРАТЕНКО
МЕХАНІКА
129
