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4 4 % $ % , % $ (
# !), . . 3 = 0, 0 F1 = F2 , 0 A1 = A2, B1 = B2 , C1 = C2 .
6
. 7 . - ( (. - : . 72 2. / 7 , 23 (;B1 A1) (;B2 A2). )
, ( = 6 0, ( A1 = A2
B1 = B2:
1 2:2 ( (x0 y0) . 4
A1x0 + B1y0 + C1 ; (A2x0 + B2y0 + C2) = 0 C1 ; C2 = 0 C1 = C2: 2 5 5.6. ( ), $ Ax + By + C = 0, 4 43 A + B = 0. . ? 2: ( ),
, ;! PQ, P , , Q, . 4 , P (xP yP ), Q(xQ yQ), AxP + ByP + C = 0
AxQ + ByQ + C = 0
(
A(xQ ; xP ) + B (yQ ; yP ) = 0 A + B = 0: ): , A + B = 0, ( (xP yP ) . 4 % (xQ yQ) = (xP + yP + ) 2 AxQ+ByQ+C = A(xP +)+B (yP + )+C = (AxP +ByP +C )+(A+B ) = 0+0 = 0: 2
7 5.7. A1x + B1y + C1 = 0 A2x + B2y + C2 = 0 A B1 = 4 ( 0), 1 A2 B2 6 0, $ ( . 0. %
A B 1 $), 1 A2 B2 = 0.
.
, 23
, . . (;B1 A1)
(;B2 A2), ( 7( 17
; B A 1 A1 1 B1 2 ;B A = A B . G 2( 2 2 2 2 ( . 2 / 5.8. " (!) F (x y) = Ax + By + C = 0. & $ $ F F+ ( (x y), 23 F (x y) > 0. , ( $ $ F; F (x y ) < 0. & ( 5.9. 7 , ( B .
7 5.10. A 0 P Q
, $ PQ . A P Q , PQ 4 4. 0 , F+ F; $ % , .
. P (xP yP ), Q(xQ yQ). / ( 7 PQ 2 4
8 <x = :y =
xP + xQ + yP + yQ +
> 0:
+ xQ +B yP + yQ +C + = 1 CF (P )+F (Q)] F (X ) = Ax+By +C = A xP + + + + ( . <(, P Q F+ F;, . . F (P ) F (Q) 7 , F (X ) 7 . J F (P ) F (Q) 7 7 , = jF (1P )j = jF (1Q)j 23 F (X ) :3 0. 2 & ( 5.11. ? (A B ) B \ 7" 2 23 . J ( (x0 y0) , % F+. - ,
A(x0 + A) + B (y0 + B ) + C = (Ax0 + By0 + C ) + A2 + B 2 = A2 + B 2 > 0:
/ 5.12. G , 3 (7
" 2 ( , 7 0 , " ( | 0 . G ,
, 7 0 . (4 7 .)
7 5.13. &
l F = Ax + By + C = 0 (-
) 0, 43 l1 l2 F1 = A1x + B1y + C1 = 0, F2 = A2x + B2y + C2 = 0, % $ % % $ l1 l2: F = F1 + F2.
18
. 1 ( ( : l1 \ l2 = P0(x0 y0). l B ( , P0 2 l. . P 6= P0 | 7 ( l. 1 Fe := F2(P0) F1 ; F1(P0) F2 = 0:
& H . B F1(P0) F2(P0) : e Be ) 6= 0. 0. 4 (A1 B1) (A2 B2)
, (, ( (A 4 :7 , B 7 2. P P0 Fe , : , ( B (7 , . . l. 5.5 F F = Fe = (F2(P0)) F1 + (;F1(P0 )) F2 = 0 6= 0: . F (P0) = F1(P0) + F2(P0) = 0, P0 2 l. 1 ( ( : l1kl2, l1 6= l2. . P0 | 7 ( l. 1 Fe := F2(P0) F1 ; F1(P0) F2 = 0: & H . B F1(P0) F2(P0) 2 e Be ) = 0, : 0. 4 (A1 B1) (A2 B2)
, (, ( : (A B
(A1 B1) (A2 B2). Fe = 0 e Be ) = 0 Ce = 0, . . F1 F2 H, , P0 , 7 (A % , 7(, 5.5 l1 = l2, ( ( . 4 :7 , B , 723 2, 32 (7 P0
2 l1 l2, . . l. - 7 : 7H , : (. . F = F1 + F2, 7(, (A B )
(A1 B1) (A2 B2). 17 B , (A B ) 6= 0. 9 , lkl1kl2. 2 5.14. ( Aix + Biy + Ci = 0, i = 1 2 3, 0 % $ % , %
A1 B1 C1 A2 B2 C2 = 0: A3 B3 C3
5.1. 5 5.15. n := (A B ) Ax + By + C = 0. . ? ,
, 72 ( .
5.6) A + B = 0 (. . ) hn ( )i = 0.
2
/ 5.16. ? n = (A B ) 7
$4 Ax + By + C = 0. ( " .) 19
2 5.17. 0 P (x0 y0) l,
Ax + By + C = 0
(P l) = jAxp+2By +2C j : A +B . P1(x1 y1) | 7 ( . 4 d ! ;;! nij = jA(x0 ;px1) + B (y0 ; y1)j = (P l) = jPP1j cos ; P;1! P n = jhP1jP nj A2 + B 2 = j(Ax0 + By0 +pC )2; (Ax2 1 + By1 + C )j = jAxp0 +2By0 +2 C j : 2 A +B A +B / 5.18. Ax + By + C = 0 7
$ , A2 + B 2 = 1, . . n = (A B ) (2 . & ( 5.19. / . ) (2 7 7 Ax + By + C = 0 ! B C A pA2 + B 2 x + pA2 + B 2 y + pA2 + B 2 = 0: / 5.20. - F (x y) = Ax + By + C = 0 ( F (x y) 7 ( (x y) . 0 ( ) ( +1 (x y) 2 F+ : F (x y) = " ((x y) l) " = ; 1 (x y) 2 F; 5.2. 2 A1x + B1y + C = 0 A2x + B2y + C2 = 0. 4
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4 ( . .)
20
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F
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n
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F
F
F
F
"
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6. 6.1. 7 "". ~a ~b | 7 ,
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~r = ~r 0 + t~a + s~b s t | . 07 B ( 7 ( : ) , ( ( - ~r , ~r ; ~r 0, ~a ~b 21
, . . 7 . "" 7 :, ( x ; x0 y ; y0 z ; z0 a1 a2 a3 = 0: b b b 1
): 7(
2
3
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3
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, (A B C ) 6= 0. B , , 7 23 . - , ai bj | ~a0 ~b0 "0 = (e01 e02 e03) %. & ( % , ( ~a0 ~b0
. <(, C~a0 ~b0] 6= 0. ! B ( "0) ( (A B C ). 0 , Ax + By + Cz + D = 0 | . ) 7 3 .
): , 7 Ax + By + Cz + D = 0. 4 7 B""% , , A, 0. 1 ( M (; DA 0 0) ~a = (;B A 0) ~b = (;C 0 A). ?
, B x + DA y z ;B A 0 = 0 ;C 0 A 7 , 32 (7 ( M
~a ~b. ! H , ( ( . 4 :7 , :( | B ( 7( " "" ). 22
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F+ = f(x y z) j F (x y z) > 0g
F; = f(x y z) j F (x y z) < 0g:
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5 6.2. ( ) Ax + By + Cz + D = 0 % $ % , %
A + B + C = 0.
. , ( . 2 7 6.3. & 1 2, A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0 $ % $ % , % (A1 B1 C1) (A2 B2 C2) , . . AA21 = BB21 = CC12 . B A1 = B1 = C1 = D1 . 4 % $ % , % A B2 C2 D2 2
. . 07 % , (
H A1 + B1 + C1 = 0 A2 + B2 + C2 = 0 2, . .
, 7(,
. . (G 7 3 " 7 , 7 ). ) 7 B""% : ( . >7 ( :3 , B A1. 4 ,
(;B1 A1 0) (;C1 0 A1)
1 , :7 , :72 :7 . 1 k 2,
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A2 (;C1) + B2 0 + C2 A1 = 0
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6.4.
2
& 1 2 ( 0 3 ) 4 ( ) % $ % , % (A1 B1 C1) (A2 B2 C2 ) .
23
/ 6.5.
7 , 3 (7 " 2 2. C 0
7 ,
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7 6.6. &$ F = Ax + By + Cz + D = 0 0 -
, 43 F1 = A1x + B1 y + C1 z + D1 = 0 F2 = A2x+B2y +C2z +D2 = 0 % $ % , % F = 1F1 +2F2, % 1 2 4.
. 2 ( (2 . ! B . 1 ( ( : 1 \ 2 = l. B ( , l . . P0 62 l | 7 ( . 1 Fe := F2(P0) F1 ; F1(P0) F2 = 0: & (A1 B1 C1) (A2 B2 C2)
(( : : ( ). 4 :7 , B 7 . B l P0 . <(, B . - H
. (. 1 ( ( : 1k2, 1 6= 2. . P0 | 7 ( ,
1 2. 1 Fe := F2(P0) F1 ; F1(P0) F2 = 0: & . - , (A1 B1 C1) (A2 B2 C2) e B e Ce ) = 0, : B
, : (A (A1 B1 C1) (A2 B2 C2). Fe = 0 H, , P0, 7 e B e Ce ) = 0 D f = 0, . . F1 F2 % , 7(, (A 1 = 2, ( ( . 4 :7 , B , 723 , 32 (7 P0
2 1 2, . . . - 7 : 7H , : (. (. 2 / 6.7. ! 7 , 3 (7 " 2 ( . C 7 ,
. & ( 6.8. 4 2: , 3 ( , 7( 2 7 . ( . 7( 7 7( 7 ) 24
7 6.9. &$ F = Ax + By + Cz + D = 0 -
, 43 Fi = Ai x + Bi y + Ci z + Di = 0, (i = 1 2 3) % $ % , % F = 1F1 + 2F2 + 3F3 ( , 0 $ 0 $ $, . . % ), , ,
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C1 C2 C3 C
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. B .
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7 . . J 2 :%2, 7 Ai + Bi + Ci = 0, (i = 1 2 3), , ( :% (1A1+2A2+3A3)+: : : 2. ) 7
. . N :% :% B""% ( 1) 0, ( ( 2 . 2 6.2. 2 6.10. $ Ax + By + Cz + D = 0. (% n := (A < B C ) .
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,
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$4 . 25
7 6.12. &$ $ Ax + By + Cz + D = 0, P0
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$ 0 . (%
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: 3 ; ; ; 0 ; ;
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~r
~r
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<, ( , , ( . - , ~a 6= 0, , ( 6= 0 7 2 23
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.
2 6.13. 0 43
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. <, ( 7 7, :7 : . ! 7, ( (1) 7 (2)
, . . ( A1 + B1 + C1 = 0 A2 + B2 + C2 = 0 !( (2): A1 B1 C1 C1 A1 + C1 A1 B1 = A1 B1 C1 = 0: 1 C1 A1 B + B 1 C2 A 2 A2 B2 A B C B2 C2 2
2
2
, ( , . (1). - , ( . 4 B1 = C1 C1 = A1 A1 = B1 B2 C2 C2 A2 A2 B2 (A1 B1 C1) (A2 B2 C2)
. (. (G 7, 7 .)
2
27
6.4.
-
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~r 1 ; ~r 0 ~a . 4 | B
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7. &
! , ( "" 7 ;! = x~e + y~e + z~e . Oe1e2e3, ( M : (x y z), ; OM 1 2 3 1 O0e01e02e03 232 . 17 :7 : 8 0 > < ~e 10 = c11 ~e 1 + c21 ~e 2 + c31 ~e 3 ~e = c ~e + c ~e 2 + c32 ~e 3 > : ~e 032 = c1312 ~e 11 + c22 e 2 + c33 ~e 3 23 ~ 28
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29
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Oe1 e2e3 Oe001 e002 e003 .
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7 t: (;c + t)2 + (t)2 = 1 a2 b2 (b22 + a2 2)t2 ; 2cb2t + (c2 ; a2)b2 = 0: - D ( c2 = a2 ; b2):
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48
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F 0(x0 y0) := F (x(x0 y0) y(x0 y0)) = 0:
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2
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2
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2
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7 10.12. ! 43 # : S := Tr Q
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! ! 0 ! ! x = c11 c12 x + x0 y c21 c22 y0 y0
! c 11 c12 C := c c | 7 %. ! C 21 22 3 3 3-% 0 1 c11 c12 x0 D := B @ c21 c22 y0 CA : 0 0 1 4 H 0 1 0 01 0 10 0 1 x x c11 c12 x0 B@ y CA = D B@ y0 CA = B@ c21 c22 y0 CA B@ xy0 CA : 1 1 0 0 1 1 - 2 .
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Q 4 % $ .
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54
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66
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67
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F (x y z) = |a11x2 + a22y2 + a33z2 + {z 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz} + q(x y z)
( ( + 2| a1x + 2a{z2y + 2a3z} +a0 = 0: (19) l(x y z) ( B : , ( : ( ( : ( . J : 7( 0a a a a 1 0 1 0 1 11 12 13 1 a11 a12 a13 x B C a C B B 12 a22 a23 a2 C Q := B a a a A := B yC C L := ( a a a ) X := @ 12 22 23 A @ A 1 2 3 @ A a a a a 13 23 33 3 a13 a23 a33 z a1 a2 a3 a0 91
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(i) (ii) (iii) (iv) (v)
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F = 1 x2 + 2y2 + 3z2 + 2b1x + 2b2y + 2b3z + b0 = 0: 1 7 (. 92
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2
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(iii) 3 = 3 = 0 12 6= 0 !2 !2 ! 2 2 b ( b ( b b 2 1) 2) 1 F = 1 x + + 1 y + + b0 ; ; = 1
2
1
2
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94
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(27)
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( ( 7 F2t2 + 2F1t = 0, ( ( F1 = 0, . . Fx(P ) + Fy (P ) + Fz (P ) = 0: & : (. , ( 7 , ( B H ( F2 6= 0 :723, F2 = 0. 2 107
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115
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