Теория вероятностей и математическая статистика

ГОУ ВПО «Дагестанский государственный институт народного хозяйства Правительство РД»

Бабичева Татьяна Анатольевна Магомедова Вазипат Гусеновна Кафедра математики Учебно-методический комплекс по дисциплине

«Теория вероятностей и математическая статистика» для специальностей «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Менеджмент организации», «Налоги и налогообложение», «Маркетинг и коммерция», «Прикладная информатика (в экономике)»

Махачкала – 2007

УДК 591.2(075.8) ББК 22.17я73 Составители: Бабичева Татьяна Анатольевна, преподаватель кафедры математики Дагестанского государственного института народного хозяйства, Магомедова Вазипат Гусеновна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики Дагестанского государственного института народного хозяйства Внутренний рецензент: Агарагимов Магомед Расулович, доцент кафедры «Математические методы в экономике» Дагестанского государственного института народного хозяйства Внешний рецензент: Алиев Рзахан Гюльмагомедович, доктор физико математических наук, профессор кафедры математического анализа Дагестанского государственного университета Учебно-методический комплекс разработан с учетом п.41 Типового положения об образовательном учреждении высшего профессионального образования(высшем учебном заведении) РФ, утвержденного постановлением Правительства РФ от 5 апреля 2001г. №204, а также в соответствии с письмом Министерства образования и науки РФ от 19.05 2000г.,№14-52-357ин/13 «О порядке формирования основных образовательных программ высшего учебного заведения на основе государственных образовательных стандартов» Бабичева Т.А., Магомедова В.Г. Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для специальностей «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Менеджмент организации», «Налоги и налогообложение», «Маркетинг и коммерция», «Прикладная информатика (в экономике)». – Махачкала: «Формат», 2007.– 145с. Рекомендовано к утверждению Начальник департамента по учебной работе, председатель методического совета ДГИНХ, д.э.н., профессор Казаватова Н.Ю _________________________________

Одобрено Кафедрой математики, зав.кафедрой Назаров А.Д.

« 28 »августа 2007 г.

« 15 »мая 2007 г.

____________________

2

АННОТАЦИЯ В современной эпохе, эпохе научно – технической революции, возрастают требования к экономистам, программистам по составлению экономических прогнозов, оптимизации принимаемых решений и выбору правильной экономической политики. Для этого требуется достаточно высокий уровень подготовки по математике, теории вероятностей и математической статистике. Математика имеет исключительно важное значение, как в процессе самого обучения, так и в последующей деятельности экономиста как специалиста. Исследование многих процессов в промышленной технологии и экономике связаны с разработкой математической модели данного явления. Для успешного исследования полученной математической модели нужно обладать определенной математической культурой. Изучаемый на экономических специальностях курс математики включает следующие темы: элементы линейной алгебры, элементы аналитической геометрии, введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функции одной и многих переменных, дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятностей и математическая статистика. Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей массовых случайных явлений. Изучив эти закономерности, человек получает возможность в известной степени управлять случайными процессами, ограничивать их явления, предсказывать результаты их действия и даже целенаправленно использовать их в своей практической деятельности. Как и всякая прикладная наука, теория вероятностей нуждается в исходных экспериментальных данных расчетов. Раздел теории вероятностей, изучающий методы обработки данных для расчетов. Раздел теории вероятностей, изучающий методы обработки результатов опытов и получения из них необходимых данных, называется математической статистикой. Практический в любой области, - политической, финансовой, технической и т.д., где невозможно учитывать все влияющие факторы, применяются методы математической статистики. Данный курс «Теория вероятностей и математическая статистика» является базовым для изучения методов математической статистики, используемых в экономике и предназначен для руководителей (менеджеров) практиков среднего уровня любой сферы деятельности, желающих получить базовые знания в области теории вероятностей и математической статистики в качестве основы для принятия решения в условиях неопределенности. Учебно-методический комплекс составлен на основе учебников: 1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов.– Спб., 2004. 2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М., 2000. 3. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. — М., 2002. 3

УМК составлен согласно требованиям Государственного образовательного стандарта по специальности «Финансы и кредит», «Бухучет, анализ и аудит», «Менеджмент организации», «Налоги и налогообложение», «Маркетинг и коммерция» Всего часов по специальности «Финансы и кредит», «Бухучет, анализ и аудит», «Менеджмент организации», «Налоги и налогообложение», «Маркетинг и коммерция» 84, в т.ч. на лекции 28, на практические занятия 28, на самостоятельную работу 28. Форма контроля 4 семестр – зачет. По специальности «Прикладная информатика в экономике» всего часов 68, в т.ч. на лекции 34, на практические занятия 34, на самостоятельную работу 52. Форма контроля 4 семестр – экзамен. УМК составлен преподавателями кафедры: Бабичевой Т.А. и Магомедовой В.Г. Курс лекций обсужден на заседании кафедры 25 мая 2007 г. протокол №10, рекомендован к использованию студентами в учебном процессе.

1. Цели преподавания дисциплины Цель преподавания данного курса «Теория вероятностей и математическая статистика» – освоение студентами основных терминов теории вероятностей и математической статистики; развитие и формирование логического и алгоритмического мышления, интеллекта и эрудиции, научного мышления; творческое овладение основными методами и технологиями решения задач по теории вероятностей и математической статистике; научить студентов мыслить вероятностными и статистическими методами при решении практических задач.

2. Задачи преподавания дисциплины К основным задачам данного курса относятся: Ø освоение теоретических основ теории вероятностей и математической статистики; Ø развитие практических навыков по использованию аппарата теории вероятностей и математической статистики для решения экономических и организационных задач; Ø формирование навыков работы с литературой по дисциплине.

3. Рекомендации по изучению дисциплины Данный курс является базовым для изучения методов математической статистики, используемых в экономике, он знакомит с основными понятиями теории вероятностей и математической статистики, а также методами 4

исследования математических и прикладных задач. Теория вероятностей и математическая статистика повышает уровень фундаментальной математической подготовки студентов с усилением ее прикладной, экономической и другой направленности. Поэтому от студентов требуется определенный уровень освоения содержания курса. Студент должен знать: Ø основы теории вероятностей и математической статистики, предусмотренные программой курса; Ø основные законы распределения; Ø основы математической теории выборочного метода; Ø проверку статистических гипотез. Студент должен уметь: Ø формулировать и решать основные задачи теории вероятностей и математической статистики; Ø внедрять математико-статистические методы исследования при решении прикладных задач информатики, экономики; Ø самостоятельно расширять и углублять знания по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика».

4. Требования к минимуму содержания дисциплины Элементы комбинаторики (понятие факториала, размещения, сочетания и перестановки). Случайные события, элементарные события, действия над событиями. Классическое определение вероятности случайного события. Свойства вероятностей. Противоположные события, несовместные события. Зависимые и независимые события. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности и Байеса. Случайные величины: дискретные и непрерывные, задание случайных величин и их числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Функция распределения случайных величин и ее свойства. Распределение Бернулли (биномиальное распределение) и Пуассона. Плотность вероятностей. Вероятность попадания в интервал. Равномерное распределение вероятностей. Нормальное (гауссовское) распределение вероятностей. Функция Лапласа и его свойства Основные задачи мат.статистики. Выборочный метод. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма. Статистические оценки параметров распределения. Интервальные оценки параметров распределения. Статистическая проверка гипотез.

5

5. Содержание теоретического материала (лекций) по «Теории вероятностей и математической статистике». № 1

Наименование тем и содержание лекций (план) Элементы комбинаторики Тема 1. Понятие факториала. Размещения, сочетания и перестановки. 1.Комбинаторика, типы соединений. 2.Факториал, перестановки. 3.Размещения и сочетания. Необходимо показать различие при применениях указанных формул; привести примеры экономического характера по всем перечисленным формулам.

2

3

Тема 2. Случайные события. 1.Испытания, опыт, результат испытания. 2.Случайные события, элементарные события. 3.Противоположные события, несовместные события. 4.Действия над событиями. 5.Принципы умножения и сложения. Довести до сведения студентов важные понятия теории вероятности, объяснить их смысл; рассмотреть задачи экономического характера, для решения которых используются принципы умножения и сложения. Тема 3. Вероятность событий. 1.Классическое определение вероятности случайного события. 2.Свойства вероятностей. 3.Относительная частота. Статистическое определение случайного события. 4.Геометрическая вероятность. Довести до сведения студентов основные понятия теории вероятности с указанием их сущности; рассмотреть задачи экономического характера при решении которых применяется классическая вероятность; указать свойства вероятности. Привести исторические примеры подхода к определению статистической вероятности. 6

Количество часов

2

2

2

4

5

6

7

Тема 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей 1.Сложение вероятностей несовместимых событий. 2.Независимые события. Умножение вероятностей независимых событий. 3.Зависимые события, условная вероятность. 4.Умножение вероятностей независимых событий. 5.Совместимые события, сложение их вероятностей. Надо довести до сведения студентов важные теоремы о сумме и произведении вероятности событий; рассмотреть задачи экономического характера, для решения которых используются эти теоремы. Тема 5. Формулы полной вероятности и Байеса. 1. Формула полной вероятности. 2. Формула Байеса. Надо довести до сведения студентов значение формулы Байеса; рассмотреть задачи экономического характера, для решения которых используются эти формулы. Тема 6. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная формула Лапласа. 1.Повторение испытаний. Формула Бернулли. 2.Наивероятнейшее число наступления события 3.Формула Пуассона. 4.Локальная и интегральная формула Лапласа. Необходимо показать различие при применениях указанных формул; привести примеры по всем перечисленным приближенным формулам. Тема 7. Дискретные случайные величины. 1. Определение случайной величины, примеры случайных величин. 2.Задание дискретных случайных величин (ДСВ). 3.Числовые характеристики ДСВ – математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и их свойства. Необходимо показать способы построения 7

2

2

2

2

рядов распределения дискретных случайных величин, формулы и свойства числовых характеристик. 8

9

10

Тема 8. Основные законы распределения дискретных случайных величин. 1. Биномиальный закон распределения (распределение Бернулли). 2 .Закон распределения Пуассона. 3.Геометрическое распределение. Необходимо показать ряды распределения и числовые характеристики указанных случайных величин; привести различные примеры по всем перечисленным формулам. Тема 9. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики. 1. Функция распределения случайной величины и ее свойства. 2. Понятие непрерывной случайной величины (НСВ). 3. Свойства функции распределения и плотности вероятностей. Связь функции распределения с плотностью распределения. Вероятность попадания в интервал. 4. Числовые характеристики непрерывных случайных величин: математическое ожидание и дисперсия. Дать определение функции распределения, указать ее связь с плотностью распределения. Привести определение и числовые характеристики непрерывных случайных величин. Тема 10. Основные законы распределения непрерывных случайных величин. 1.Равномерный закон распределения, показательное распределение 2.Нормальный (гауссовский) закон распределения. 3.Функция Лапласа и его свойства. Вероятность попадания в интервал, «правило трех сигм». Необходимо показать функции и плотности распределения указанных случайных величин, их числовые характеристики; привести различные примеры по всем перечисленным формулам. 8

2

2

2

11

Элементы математической статистики Тема 11. Основные задачи математической статистики. Выборочный метод. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма. 1.Цели и задачи математической статистики. 2. Выборочный метод: выборки, способы отбора. 3.Статистическое распределение выборки. 4. Полигон и гистограмма. Довести до сведения студентов цели и задачи математической статистики; объяснить важность применения методов математической статистики в различных науках; рассмотреть задачи экономического характера с использованием выборочных данных, решениями которых являются полигон и гистограмма.

12

13

Тема 12. Статистические оценки параметров распределения. 1.Смещенные, несмещенные, эффективные, состоятельные оценки. 2.Точечные оценки: выборочная средняя, выборочная дисперсия, эмпирический стандарт. Показать смещенность, эффективность и состоятельность статистических оценок параметров распределения; возможность «исправления» некоторых. Тема 13. Интервальные оценки параметров распределения. Точность и надежность этих оценок. Доверительные границы и доверительный интервал. 1.Интервальные оценки, их точность и надежность. 2.Доверительный интервал и доверительные границы. Показать точность и надежность интервальных оценок;рассмотреть некоторые частные случаи построения доверительных интервалов и определения доверительных границ.

9

4

2

4

14

Тема 14-15. Статистическая проверка статистических гипотез. Элементы теории корреляций. 1.Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотеза. 2.Ошибки первого и второго рода 3.Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. 4.Критическая область. Наблюдаемое значение критерия. 5. Коэффициент корреляции. 6. Функции и коэффициенты регрессии.

4

ИТОГО

34

6. Содержание практических занятий Количество часов № п/п 1

Тема и развернутый план практических занятий

Всего

Элементы комбинаторики

В том числе СамостоВ ятельная аудиторабота рии студентов

6

2

4

6

2

4

4

2

4

Тема 1. Понятие факториала. Размещения, сочетания и перестановки. 1.Комбинаторика, типы соединений. 2.Факториал, перестановки. 3.Размещения и сочетания. 2 3

Тема 2. Случайные события. Классическое определение вероятности случайного события. Тема 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей 1.Сложение вероятностей несовместимых событий. 2.Независимые события. Умножение вероятностей независимых событий. 10

3.Зависимые события, условная вероятность. 4.Умножение вероятностей независимых событий. 5.Совместимые события, сложение их вероятностей. Тема 4. Формулы полной вероятности и Байеса. 1. Формула полной вероятности. 2. Формула Байеса.

6

2

4

Тема 5-6. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная формула Лапласа. 1.Повторение испытаний. Формула Бернулли. 2.Наивероятнейшее число наступления события 3.Формула Пуассона. 4.Локальная и интегральная формула Лапласа. Тема 7. Дискретные случайные величины. 1.Задание дискретных случайных величин (ДСВ). 2. Функция распределения случайной величины

10

4

6

6

2

4

8

Тема 8. Числовые характеристики дискретных случайных величин. 1.Математическое ожидание. 2.Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

6

2

4

9

Тема 9. Основные законы распределения дискретных случайных величин. 1. Биномиальный закон распределения (распределение Бернулли). 2 .Закон распределения Пуассона. 3.Геометрическое распределение.

6

2

4

10

Тема

4

2

2

4

5-6

7

10.

Непрерывные 11

случайные величины. 1.Функция и плотность распределения. 2.Числовые характеристики непрерывных случайных величин. 11

Тема 11. Законы распределения непрерывных случайных величин. 1.Равномерный закон распределения. 2.Нормальный (гауссовский) закон распределения. 3.Функция Лапласа и его свойства. Вероятность попадания в интервал, «правило трех сигм», показательное распределение.

8

4

4

12

Элементы математической статистики Тема 12. Статистическое распределение выборки. 1.Эмпирическая функция распределения. 2. Полигон 3.Гистограмма.

8

4

4

1314

Тема 13-14. Статистические оценки параметров распределения. Интервальные оценки параметров распределения. 1.Интервальные оценки, их точность и надежность. 2.Доверительный интервал и доверительные границы.

8

4

4

15

Тема 15. Элементы теории кореляций 1. Коэффициент корреляции. 2. Функции и коэффициенты регрессии.

8

4

4

12

ИТОГО

86

13

34

52

7. Лекционный материал по дисциплине. Введение Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками: Ферма, Бернулли, Паскаля. Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения многих наук. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники. Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин. Мы ежедневно принимаем многие решения в условиях неопределенности. Принято различать неопределенность и риск. Риск - это когда можно сказать, что человек знает, на что он идет, шансы известны, вероятности оценены. Конечно, не всякую неопределенность можно превратить в риск. Но там, где это несложно сделать, это может оказать реальную помощь в принятии решения. Этот курс предназначен для руководителей (менеджеров) - практиков среднего уровня любой сферы деятельности, желающих получить базовые знания в области теории вероятностей и математической статистики в качестве основы для принятия решения в условиях неопределенности. Задача любой науки, в. т. е. и экономической состоит в выявлении и исследовании, которой подчиняется реальный процесс. Найденные закономерности относятся к экономике, имеют не только теоретическую ценность они широко применяются на практике – в планировании, управлении и прогнозировании Теория вероятностей – наука изучающая закономерности случайных 14

явлений. Математическая статистика – раздел математики, изучающий математические методы сбора, систематизации, обработки разделов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей. Свой взгляд в возникновение и развитие ТВ и МС внесли Кардано, Пирсон, Бернулли, Фишер, Виет. Отечественные – Колмогоров, Чебышев, Ляпунов, Марков. Лекция №1. Элементы комбинаторики Тема 1. Понятие факториала. Размещения, сочетания и перестановки. План: 1. Комбинаторика, типы соединений. 2. Факториал, перестановки. 3. Размещения и сочетания. Вопрос 1. Комбинаторика, типы соединений. Комбинаторика – (от лат. «соединение») занимается подсчетом количества элементов различных множеств. Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий. Определение. Произведение n натуральных чисел 1 × 2 × 3 × ... × п называется факториалом. Пишут: n! (n-факториал). n!= 1 × 2 × 3 × ... × п , 1!=1, 2!=1*2=2, 3!=1*2*3=6. Принято считать: 0!=1 Группы, составленные из каких-либо предметов, букв, чисел, шаров называется соединениями. Сами предметы называются элементами соединения. Различают 3 типа соединений: 1. Перестановки Р n ; 2.

Размещение А mn;

3.

Сочетания С mn.

15

Вопрос 2. Факториал, перестановки. Определение. Перестановками из n элементов называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только порядком элементов P n = n! Задача 1.Сколько всевозможных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2, 3, если каждая цифра участвует в изображении числа один раз? Решение:В создаваемых числах цифры попросту переставляют. Дело имеем с перестановкой 123, 213, 321, 231, 132, 312. Р 3 = 3! = 1* *2 * 3 = 6 чисел Вопрос 3. Размещения и сочетания. Определение. Размещениями из n элементов называются такие соединения, которые отличаются либо самими элементами либо порядком элементов. А mn =

n! ( n - m )!

Определение. Сочетаниями из n элементов по m называются такие соединения, составленных из n по m, , которые отличаются хотя бы одним элементом С mn =

n! m ! ( n - m )!

Замечание. Нужно уметь различать сочетание от размещения. Например, если в группе 25 студентов и 10 человек из них вышли из аудитории, стоят и беседуют, то порядок , в котором они стоят не существенно. В этом случае речь идет о сочетаниях: С 10 25 Если же эти десять студентов отправились в буфет, то тогда существенно в каком порядке они стали в очередь. В этом случае речь идет о размещениях: А 10 25 Задача 2. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человека на различные должности. Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из его кандидатов. Решение: Кандидатов нужно разместить по доминантным , т.е. имеем дело с размещениями. 3 А 10 =8*9*10=720 гр. 16

Задача 3. Правление коммерческого банка выбирает из 10-ти кандидатов на одинаковые должности. Сколько всевозможных групп по три человека можно составить из 10-ти кандидатов Решение: 10 !

3 С 10 = 3! (10 - 3 )

=

1/ * 2/ * 3/ * 4/ * 5/ * 6/ * 7/ * 8/ * 9/ * 10 = 120 гр 1 * 2/ * 3/ * 1/ * 2/ * 3/ * 4/ * 5/ * 6/ * 7/

или 3

=

10!

С 10 3!(10 - 3)!

=

7!* 8 * 9 * 10 = 120 гр . 1 * 2 * 3 * 7!

Задача 4. Сколько 9-значных чисел можно составить из цифр 12345? Решение: Будем брать соединения из 5 чисел по 3 n = 5, m =3. Например: 345 и 543 – разные. И значит порядок расположения в числах существует. И речь идет о размещениях А 35 =

5! 5! 2/ * 3 * 4 * 5 = = = 60 чисел. (5 - 3)! 2! 2/ !

Лекция № 2. Тема 2: Случайные события. 1. 2. 3. 4. 5.

План: Испытания, опыт, результат испытания. Случайные события, элементарные события. Противоположные события, несовместные события. Действия над событиями. Принципы умножения и сложения. Вопрос 1. Испытания, опыт, результат испытания.

Испытание (опыт, эксперимент) — это процесс, включающий определенные условия и приводящий к одному из нескольких возможных исходов. Исход или результат некоторого опыта, эксперимента, испытания называют событием. Исходом опыта может быть результат наблюдения или измерения.

17

Испытание Подбрасывание монеты Контроль качества деталей Продажа квартиры Результат футбольного матча

Исход испытания Цифра, герб Годная, бракованная Продана, не продана Победа, проигрыш, ничья

Вопрос 2. Случайные события, элементарные события. Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания. В дальнейшем для простоты мы будем опускать термин «случайный». События обозначаются большими латинскими буквами А,В,С, А1, А2, А……. Единичный, отдельный исход испытания называется элементарным событием. Случайное событие может состоять из нескольких элементарных событий, подразделяющихся на достоверные, невозможные, совместные, несовместные, единственно возможные, равновозможные, противоположные. Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным. Например, если в урне содержатся только белые шары, то извлечение из нее белого шара есть событие достоверное; другой пример, если мы подбросим вверх камень, то он обязательно упадет на землю в силу действия закона притяжения, т. е. результат этого опыта заведомо известен. Достоверные события условимся обозначать символом Q. Событие, которое не может произойти в результате данного опыта (испытания), называется невозможным. Извлечение черного шара из урны с белыми шарами есть событие невозможное; выпадение выигрыша на все номера облигаций в каком-либо тираже выигрышного займа также невозможное событие. Невозможное событие обозначим 0. Достоверные и невозможные события, вообще говоря, не являются случайными. Вопрос 3. Противоположные события, несовместные события. Несколько событий называются совместными, если в результате эксперимента наступление одного из них не исключает появления других. Например, при бросании 3 монет выпадение цифры на одной не исключает появления цифр на других монетах. В магазин вошел покупатель. События 18

«В магазин вошел покупатель старше 60 лет» и «В магазин вошла женщина» – совместные, так как в магазин может войти женщина старше 60 лет. Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появление других. Примеры: 1) выигрыш, ничейный исход и проигрыш при игре в шахматы (одной партии) — 3 несовместных события. 2) При подбрасывании игральной кости могут наступать события: А1- выпадение 1, А2- выпадение 2, А3- выпадение 3 и т. д. Эти события несовместимые , т.к. при однократном бросании может произойти только одно из этих событий. События называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет (или 1, или 2, или... или все события из рассматриваемой совокупности событий произойдут; одно точно произойдет). Несколько событий называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие. При бросании игральной кости появление каждой из ее граней — события равновозможные. Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными. Или: 2 события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит. Противоположное событие обозначают А . Примеры: 1) Выпадение герба и выпадение цифры являются противоположными событиями. 2) Купля и продажа определенного вида товара есть события противоположные. Совокупность всех единственно возможных и несовместных событий называется полной группой событий. Вопрос 4. Действия над событиями. Пересечение А и В (обозначается как А Ç В) есть набор, содержащий все элементы, которые являются членами и А и В Объединение А и В (обозначается A U В) есть набор, содержащий все элементы, которые являются членами или А, или В, или А и В вместе. Определение. Суммой событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А и В т.е С = А + В. Пример. Испытание – стрельба из двух винтовок. Событие – попадание в мишень. А – первой винтовкой, В – попадание в мишень второй винтовкой. Суммой А + В будет С = А + В, состоящее в попадании в мишень хотя бы одной винтовкой. 19

Определение. Произведением событий А и В называется событие С = А · В, состоящее в наступлении как события А, так и события В. Если события А, В и С считать некоторыми множествами, то произведение событий можно представить в виде пересечения множеств:

А

В

АВ АВС ВС АС С

АВ А ÇВ

АС А ÇС

ВС В ÇС

АВС А Ç В ÇС

Вопрос 5. Принципы умножения и сложения. Принцип умножения. Если из некоторого конечного множества А объект (элемент) а может быть выбран т способами, затем для каждого из этих т выборов объекта х из множества В объект b может быть выбран п способами, то оба объекта (элемента) и а и b в указанном порядке могут быть выбраны тп способами. Примечание. Сформулированный принцип распространяется на три и более объектов (элементов) или действий. Задача. Имеется группа из 10 солдат и 7 офицеров. Сколькими способами можно образовать группу дозора из 5 солдат и двух офицеров? Решение. Здесь можно применять прием определения группы, состоящей из двух частей. Анализ позволяет приходить к действию умножения чисел соответствующих частей: C105 × C72 =

10! 7! 10! 7! × = × = 252 5!(10 - 5)! 2!(7 - 2)! 5!5! 2!5! .

Принцип сложения. Если некоторый объект (элемент) х можно выбрать т способами, а объект у можно выбрать п способами, причем эти способы не пересекаются (не совмещаются), то выбор «или х или у» можно сделать т + п способами. Примечание. Принцип сложения распространяется на любое конеч20

ное число объектов (элементов). Задача. В вазе имеются 10 яблок и 8 груш. Сколькими способами можно выбрать из вазы один плод (одно яблоко или одну грушу)? Решение. Одно яблоко можно выбрать 10 способами, т = 10. Одну грушу можно выбрать 8 способами, п =8. По принципу сложения одно яблоко или одну грушу (один плод) можно выбрать т+п = 10 + 8 = 18 способами. Задача. На полке магазина лежат 5 черных и 4 цветных карандаша. Сколькими способами покупатель может выбрать 2 карандаша одного цвета (одинаковых, черных или цветных)? Решение. 1) Скольким способами можно брать 2 черных карандаша из 5? Поскольку формул для подсчета этого числа не имеем, найдем его эмпирически (непосредственно). Пронумеруем черные карандаши цифрами 1 2, 3, 4, 5. В качестве вариантов выбора представляются следующие комбинации карандашей: 12, 13, 14, 15; 23, 24, 25; 34, 35; 45. Всего 4 + 3+2 + 1 = 10 способов. Принимаем т = 10. Сколькими способами можно брать 2 цветных карандаша из 4? Поступаем так, как в предыдущем случае. Вот все эти возможности (варианты): 12, 13, 14; 23,24; 34. Всего 3 + 2+1=6 способов, п = 6. Два черных карандаша можно выбрать 10 способами, 2 цветных карандаша можно выбрать 6 способами. Очевидно, что эти способы отличны друг от друга, а значит 2 карандаша либо черных, либо цветных можно брать т +п =10 + 6=16 способами.

Лекция №3. Тема3. Вероятность событий. 1. 2. 3. 4.

План: Классическое определение вероятности случайного события. Свойства вероятностей. Относительная частота. Статистическое определение случайного события. Геометрическая вероятность. Вопрос 1. Классическое определение вероятности случайного события.

Под вероятностью в широком смысле понимают количественную меру неопределенности или число, которое выражает степень уверенности в наступлении того или иного случайного события. Например, нас может интересовать вероятность того, что объем продаж некоторого продукта не 21

упадет, если цены вырастут, или вероятность того, что строительство нового дома завершится в срок. Количественной мерой наступления случайных событий служит вероятность. Пусть проводится некоторое испытание. И пусть нас интересует один из его исходов – событие А. Обозначим п количество всевозможных исходов испытания; количество исходов благоприятствующих наступлению событию А обозначим т. Определение (классическое определение вероятности). Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов. Р(А) = m

(m
n

Вопрос 2. Свойства вероятностей. Свойства вероятности, вытекающие из классического определения: 1. Вероятность достоверного события равна 1, т. е. Р(П) = 1. 2. Если событие невозможное, то его вероятность равна 0, т. е. Р(0)= 0. 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1: О< т/п < 1, т. е. 0 < Р(А) < 1. 4.Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т. е. Р(А) + Р( А ) = 1. Пример 1. Найти вероятность выпадения герба при однократном бросании монеты. Решение: Событие А – выпадение герба . Число всевозможных исходов n=2. Число исходов, благоприятствующих событию А m=1. Р(А) = m = 1 n

2

Пример 2. Найти вероятность выпадения числа очков равных 5 при бросании игр кости. Решение: Событие А-выпадение 5 очков. Число всевозможных исходов: n =6 Число исходов, благоприятствующих событию А: m =1. Р(А) = 1 6 . Пример 3. Лотерея состоит из 1000 билетов, среди них 200 выигрышных. Наугад вынимается один билет из 1000. Чему равна вероятность того, что этот 22

билет выигрышный? Решение: различных исходов в этом примере 1000 (n=1000). В интересующее нас событие А входят 200 исходов (m=200). Таким образом,

Пример 4. В коробке лежат 200 белых, 100 красных и 50 зеленых шаров. Наудачу вынимается один шар. Чему равны вероятности получить шар белого, красного или зеленого цвета? Решение: Рассмотрим события: А={вынули белый шар}, В={вынули красный шар}, С={вынули зеленый шар}. Число всевозможных исходов n=350, тогда

Вопрос 3. Относительная частота. Статистическое определение случайного события. Другой тип объективной вероятности определяется исходя из относительной частоты (частости) появления события. Например: если некоторая фирма в течение времени провела опрос 1 000 покупателей нового сорта напитка и 20 из них оценили его как вкусный, то мы можем оценить вероятность того, что потребителям понравится новый напиток как 20/1 000 = 0,02. В этом примере 20 – это частота наступления события, а 20/1 000 = 0,02 – это относительная частота. Относительной частотой события называется отношение числа испытаний т, при которых событие появилось, к общему числу проведенных испытаний w (А ) = m 0 < m < n. n , Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний. Будем обозначать ее Р* (А): Р* (А)=m/n. При очень большом числе испытаний статистическая вероятность приближенно равна классической вероятности. Факт приближения относительной частоты, или частости, события к его вероятности при 23

увеличении числа испытаний, сводящихся к схеме случаев, подтверждается многочисленными массовыми экспериментами, проводимыми разными лицами со времен возникновения теории вероятностей. Так, например, в опытах Бюффона (XVIII в.) относительная частота (частость) появления герба при 4040 подбрасываниях монеты оказалась равной 0,5069, в опытах Пирсона (XIX в.) при 23000 подбрасываниях — 0,5005, практически не отличаясь от вероятности этого события, равной 0,5. Для определения вероятности выпадения 1 или 2 при подбрасывании кости нам необходимо только знать «модель игры», в данном случае — кость с 6 гранями. Мы можем определить наши шансы теоретически, без подбрасывания кости, это априорная (доопытная) вероятность. Во втором примере мы можем определить вероятность только по результатам опыта, это — апостериорная (послеопытная) вероятность. То есть классическая вероятность — априорная, а статистическая — апостериорная. Вопрос 4. Геометрическая вероятность. Пусть D – плоская фигура, является частью некоторой фигуры G. Пусть случайным образом на G бросают маленький металлический шарик. Он может попасть в D. Вероятность такого попадения зависит от площадей этих фигур. Геометрической вероятностью события А – попадание шарика в Dназывается отношением площадей этих фигур

S P(A)= S

D

.

G

Пример . Два лица — А и В условились встретиться в определенном месте, договорившись только о том, что каждый является туда в любой момент времени между 11 и 12 ч и ждет в течение 30 мин. Если партнер к этому времени еще не пришел или уже успел покинуть установленное место, встреча не состоится. Найти вероятность того, что встреча состоится. Решение. Обозначим моменты прихода в определенное место лиц А и В соответственно через х и у. В прямоугольной системе координат Оху возьмем за начало отсчета 11 ч, а за единицу измерения — 1 ч. По условию 0 £ x £ 1 , 0 £ y £ 1 . Этим неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату OKLM со стороной, равной 1. Событие С — встреча двух лиц— произойдет, если разность между х и у не превзойдет 0,5 ч (по абсолютной величине), т.е. y - x £ 0,5. Решение последнего неравенства есть полоса х-0,5 £ у £ х+0,5, которая внутри квадрата представляет заштрихованную область g. По формуле геометрической вероятности, получаем

Sg

1 - 2 × 12 × 0,52 = = 0,75 P(C ) = 12 SG

24

так как площадь области g равна площади квадрата G без суммы площадей двух угловых (незаштрихованных) треугольников.

Лекция № 4 Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей. 1. 2. 3. 4.

План: Сложение вероятностей несовместимых событий. Независимые события. Умножение вероятностей независимых событий. Зависимые события, условная вероятность. Умножение вероятностей независимых событий. Совместимые события, сложение их вероятностей. Вопрос 1. Сложение вероятностей несовместимых событий.

Напомним, что суммой событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А и В т.е. С = А + В. Теорема 1 (сложение вероятностей несовместимых событий). Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А + В) = Р(А) + Р(В) В следствие, сумма вероятностей противоположных событий А и А равна 1, т.е. Р(А) + Р( А ) = 1. Пример. В урне 10 шаров: 3 синих, 5 красных, 2 белых. Найти вероятность вынимания из урны цветного шара. Обозначим: А – вынимание синего шара, В – вынимание красного шара, n = 10 – всевозможных исходов, m = 3. m 3 5 P( A ) = = , P( B ) = n 10 10 Пусть С – вынимание цветного шара, очевидно С = А + В. 3 5 8 По теореме Р(С) = Р(А) + Р(В) = + = = 0 ,8 . 10 10 10 Решим задачу другим способом. Найдём вероятность вынимания не цветного шара, т. е. белого. Событие Д – вынимания белого шара. 25

2 . Тогда вероятность противного события С – 10 вынимание цветного шара (С и Д – противоположные). Р(С) = 1 – Р(Д) = 1 – 0,2 = 0, 8. Его вероятность Р(Д) =

Вопрос 2. Независимые события. Умножение вероятностей независимых событий. Напомним что, произведением событий А и В называется событие С = А · В, состоящее в наступлении как события А, так и события В. Определение. Событие А называется независимым по отношению к событию В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Иначе, событие А называется зависимым от В. Теорема 2 (умножение вероятностей независимых событий). Если события А и В независимы, то вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей Р(А · В) = Р(А) · Р(B) Пример. В урне находятся 3 белых и 4 чёрных шара, из урны наудачу вынимают 1 шар, затем этот шар не возвращают обратно, испытание повторяют заново. Решение. Обозначим через В появление белого шара при первом испытании, А – появление белого шара во втором испытании. Вопрос 3. Зависимые события, условная вероятность. Умножение вероятностей независимых событий. Определение. Вероятность наступления события А, вычисленного при условии, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью. Обозначается РВ ( А ) или Р( А В ) . Теорема 3 (умножение вероятностей зависимых событий) Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности А на условную вероятность события В, найденного в предположении, что событие А уже произошло, т. е. Р(А · В) = Р(В) · Р(A/B) Пример. В ящике 2 белых и 3 чёрных шара. Чему равна вероятность появления белого шара при втором извлечении из ящика, если учесть предположение, что после первого извлечения (белого шара) он (шар) не возвращается в ящик? Решение. Обозначим событие А – извлечение белого шара при втором

26

опыте. Вероятность этих событий Р( А) =

2 5

; вероятность появления белого

шара при втором извлечении будет условной Р( В А ) =

1 . 4

По теореме, вероятность искомого события 2 1 1 Р(А / В) = Р(А) + Р(В/A) = × = . 5 4 10 Задача. В районе 100 посёлков, в 5-ти из них находятся пункты проката сельхозтехники. Случайным образом отобраны 2 посёлка. Какова вероятность того, что в них окажутся пункты проката? Решение. Обозначим: А – пункт проката в первом посёлке, В – во втором посёлке. 5 1 4 Их вероятности Р( А ) = = , Р( В А ) = . 100 20 99 1 4 1 По теореме, т. к. А и В зависимые, Р( АВ ) = Р( А )× Р( В ) = × = . 20 99 495 Пример. Найти вероятность поражения цели при совместной стрельбе тремя орудиями, если вероятности поражения цели равны соответственно для 1-го орудия – 0,9 2-го орудия – 0,8 3-го орудия – 0,7 Решение. События А, В и С – независимы. По условию Р(А) = 0,9 , Р(В) = 0,8 и Р(С) = 0,7. По теореме Р(АВС) = Р(А) · Р(В) · Р(С) = 0,9 · 0,8 · 0,7 = 0,504. Вопрос 4. Совместимые события, сложение их вероятностей. Очень часто при решении задач приходится рассматривать вероятность совместных событий. А и В называют совместными (совместимыми), если в одном и том же испытании появление одного из них не исключает появление другого. Например: выпадение нечётного числа очков при бросании игральной кости не исключает появление пятёрки. Теорема 4 (сложение вероятностей совместимых событий). Вероятность суммы двух совместимых событий вычисляется по формуле: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ), где Р(АВ) – вероятность совместного события. Пример. Какова вероятность, что из колоды карт в 52 карты будет извлечена или туз или карта треф. Решение. Обозначим событие А – извлечение туза, В – извлечение треф. 27

4 13 , Р( В ) = . 52 52 Однако, возможно событие, состоящее в том, что будет извлечён туз трефовой масти, вероятность такого события такова: 1 Р( АВ ) = 52 4 13 1 16 4 По теореме Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = + = = . 52 52 52 52 13 Пример. Вероятность поражения цели первым и вторым орудиями равны соответственно 0,8 и 0,9. Найти вероятность поражения цели при залпе. Решение. По условию Р(А) = 0,8 и Р(В) = 0,9 События А и В независимые, совместные. Поэтому Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0. Т. к. А и В независимые, то Р(А + В) = 0,8 + 0,9 – 0,72 = 0,98. Пример. Фирма претендует на два заказа от двух крупнейших корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения работы первой корпорации равна 0,45. Эксперты полагают, что если фирма получит заказ от первой корпорации, то вероятность того, что вторая корпорация обратится к ним, равна 0,9. Какова вероятность того, что фирма получит оба заказа? Решение. Обозначим А – получение работы в первой корпорации, В – получение работы во второй корпорации. Поскольку мы находим вероятность получения работы и первой и второй, то искомой вероятностью будет вероятность событие АВ. А и В зависимые, поэтому согласно условию Р(А) = 0,45, Р(В/А) = 0,9. По теореме Р(АВ) = 0,45 · 0,9 = 0,405. Их вероятности Р( А ) =

Лекция №5 Тема: Формулы полной вероятности и Байеса. План: 1. Формула полной вероятности. 2. Формула Байеса.

Вопрос 1. Формула полной вероятности. События А1, А2, …, Аn образуют полную группу, если в результате испытания хотя бы одно из них является достоверным событием. Для этих 28

событий сумма их вероятностей равна 1, т. е. Р(А1 ) + Р(А2 ) + … + Р(Аn ) = 1. События А1, А2, …, Аn являются несовместимыми. Например, при бросании игральной кости выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 образуют полную группу событий. Следствием двух теорем сложения и умножения вероятностей являются формулы полной вероятности и Байеса. Пусть событие А может произойти лишь вместе с одним из событий H1, H2, …, Hn. Эти события Hi образуют полную группу, т. е. n

å1 P( H =i

i

)= 1

.

Пусть вероятности P(Hi) известны. Известны также, пусть, условные вероятности события А: Р(А/H), P(A, H2)…, т. к. заранее неизвестно с каким из событий Hi произойдёт событие А. События H1, H2, …, Hn называют гипотезами. Теорема (формула полной вероятности) Если событие А может наступить вместе с одним из Hi (т. е. при выдвижении какой-нибудь гипотезы), то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей гипотез на соответствующую условную вероятность события А, т. е. n

P( A ) = å P( H i ) p( A H i )

(1)

i =1

или P( A ) = P( H i )P( A H 1 ) + P( H 2 )P( A H 2 ) + ... + P( H n )P( A H n ) Задача 1. В двух ящиках находятся шары: в первом ящике – 4 белых и 5 красных, во втором ящике – 7 белых и 3 красных. Из второго ящика случайным образом взяли 1 шар и переложили его в первый ящик. Затем из второго ящика случайным образом взяли 1 шар. Какова вероятность, что вынутый шар белый? Решение. 4 бел. и 5 кр.

7 бел. и 3 кр.

1 шар Обозначим событие А – вынут белый шар из первого ящика после перекладывания. Гипотезы: H1 – вынут из второго ящика один белый шар, 29

H2 – вынут красный шар из второго. 7 3 и Р(H2) = . Их вероятности будут Р(H1 ) = 10 10 Найдем условные вероятности события А:

5 ; 10 4 если предположить, что переложен красный шар P( A / H 2 ) = , тогда 10 искомая вероятность 7 5 3 4 47 P( A ) = P( H 1 )P( A / H 2 ) + P( H 2 )P( A / H 2 ) = × + × = . 10 10 10 10 100 если предположить, что переложили белый шар P( A / H 1 ) =

Формула (1) позволяет найти вероятность события А, рассматривая и учитывая всевозможные гипотезы Hi. Вопрос 2. Формула Байеса. Если же событие А уже произошло и требуется определить вероятность той гипотезы вместе с которой оно произошло, то найти условную вероятность гипотезы можно по формуле Байеса:

P( H i / A ) =

P( H i ) × P( A / H i ) , P( A )

i = 1, 2, 3, .., n,

(2)

где в знаменателе формулы (2) записана полная вероятность события А (см. формулу (1)). Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события А возможно проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход (Байесовский) даёт возможность корректировать управленческие решения в экономике. Задача 2. Имеются 3 одинаковых по виду ящика. В первом 20 белых шаров; во втором ящике 10 белых, 10 чёрных; в третьем ящике 20 чёрных. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Какова вероятность того, что шар вынут из первого ящика? Решение. Событие А – вынут белый шар – произошло. Рассмотрим гипотезы H1 – выбран первый ящик H2 – выбран второй ящик H3 – выбран третий ящик. Вероятность выбора любого ящика равновозможно. 1 P( H 1 ) = P( H 2 ) = P( H 3 ) = . 3 Условные вероятности события А равны: 30

1 если выбран первый ящик P( A / H 1 ) = =1 (т. к. там белые шары); 1 10 1 если выбран второй ящик P( A / H 2 ) = = ; 20 2 если выбран третий ящик P( A / H 2 ) = 0 (т. к. там чёрные шары). Искомая вероятность, т. е вероятность того, что белый шар вынут из первого ящика, равна P( H 1 )P( A / H 1 ) P( H 1 / A ) = = P( H 1 )P( A / H 1 ) + P( H 2 )P( A / H 2 ) + P( H 3 )P( A / H 3 ) 1 1 1 2 3 = = 3 =3 = . 1 1 1 1 1 1 3 3 ×1 + × + × 0 + 3 3 2 3 3 6 6 1×

Лекция № 6. Тема: Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная формула Лапласа. 1. 2. 3. 4.

План: Повторение испытаний. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступления события А. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формула Лапласа Вопрос 1. Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Схема Бернулли состоит в следующем: производится последовательность испытаний, в каждом из которых вероятность наступления определенного события А одна и та же и равна р. Испытания предполагаются независимыми (т.е. считается, что вероятность появления события А в каждом из испытаний не зависит от того, появилось или не появилось это событие в других испытаниях). Наступление события А обычно называют успехом, а ненаступление - неудачей. Обозначим вероятность неудачи q=1-P(A)=(1-p). Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно m раз, выражается формулой Бернулли. Пусть производится несколько испытаний, в результате которых событие А может произойти с определённой вероятностью. Если вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно 31

события А. Пусть производится n независимых испытаний, вероятность появления события А в каждом испытании равна р. Если вероятность появления события А равна р, то вероятность не появления события А равняется q = 1 – p. Найдём вероятность того, что событие А в n испытаниях наступит ровно m раз (m ≤ n). Пусть событие А наступило в первых m испытаниях, и не наступило во всех последующих. Такое сложное событие можно записать в виде A ×4 A2 × ... A× 1 A ×42 A × ... ×A. 1 4×3 43 m m 144 44244n -4 4 3 n штук

Таких сложных событий будет Сnm . Вероятность появления сложного события равна p( A × ...× A × A × ...× A ) = p( A ) × ...p( A ) p( A ) × ...× p( A ) = p × p × ...× p × q × q × ...× q = p m q n-m . 3 14243 1424 3 144424443 144244 сложн.соб.

m

m

n- m

Вероятность же появления события А равно m раз в n испытаниях определяется по формуле:

Pn ( m ) = C nm p m q n -m или Pn (m) =

(1)

n! p m q n -m m! (n - m)!

(1) – формула Бернулли, а приведённая выше схема называется схемой повторных испытаний Бернулли. Задача 1. При бросании игральной кости выпадает число 5. Чему равна вероятность, что пятёрка выпадает 4 раза при семикратном бросании кости. 1 Решение. А – выпадение 5, Р(А) = . По условию проводится n = 7, m 6 = 4. По формуле (1) 4 3 7! æ1 ö æ5 ö 4 4 7 -4 P7 ( 4 ) = C7 {{ p q = ç ÷ ç ÷ = 4 ! 3 ! è6 ø è6 ø 1 5 6

6

4 !×5 × 6 ×7 1 125 1 125 125 × × = 35 × × = 35 × = 0 ,0156. 4 !×1 × 2 × 3 1296 216 1296 216 279936 Задача 2. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении суток не превысит установленную норму, равна 0,75. Найти вероятность =

32

того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение четырёх из них не превысит нормы. Решение. Условие задачи соответствует схеме Бернулли. По условию р = 0,75 Þ q = 1 – 0,75 = 0,25 ; n = 6 и m = 4. Искомая вероятность 6! P6 ( 4 ) = C64 ( 0 ,75 )4 × ( 0 ,25 )2 = × ( 0 ,75 )4 × ( 0 ,25 )2 = 4 !2 ! 4 !×5 × 6 = × ( 0 ,75 )4 × ( 0 ,25 )2 = 15 × 0 ,316 × 0 ,625 =0 ,296. 4 !×1 × 2 Вопрос 2. Вероятность Рn(m) при данном n сначала увеличивается при увеличении m от 0 до некоторого значения m0, а затем уменьшается при изменении m от m0 до n. Поэтому m0, называют наивероятнейшим числом наступлений успеха в опытах. Это число m0, заключено между числами np-q и np+p (или, что то же самое, между числами n(p+1)-1 и n(p+1)) .Если число np-q - целое число, то наивероятнейших чисел два: np-q и np+p. Важное замечание. Если np-q< 0, то наивероятнейшее число выигрышей равно нулю. Задача 1. Игральная кость бросается 4 раза. При каждом броске нас интересует событие А={выпала шестерка}. Решение: Здесь четыре испытания, и т.к. кубик симметричен, то p=P(A)=1/6, q=1-p=5/6. Вероятность того, что в 4 независимых испытаниях успех наступит ровно m раз (m < 4), выражается формулой Бернулли:

Посчитаем эти значения и запишем их в таблицу: m P(m)

0 0,482253

1 0,096451

2 0,01929

3 0,003858

4 0,000772

Самое вероятное число успехов в нашем случае m0=0. Задача 2. Вероятность появления успеха равна 3/5. Найти наивероятнейшее число наступлений успеха, если число испытаний равно 19, 20. Решение:

3 2 np - q = 19 × - = 11. 5 5

Таким образом, максимальная вероятность достигается для двух значений m0, равных 11 и 12. Эта вероятность равна P19(11)=P19(12)=0,1797. При n=20 максимальная вероятность достигается только для одного значения 33

m0, т.к. 3 2 2 np - q = 20 × - = 12 - . 5 5 5

не является целым числом. Наивероятнейшее число наступлений успеха m0 равно 12. Вероятность его появления равна P20(12)=0,1797. Совпадение чисел P20(12) и P19(12) вызвано лишь сочетанием значений n и p и не имеет общего характера. Вопрос 3. Формула Пуассона. При больших n и малых p вычисления по формуле Бернулли затруднены(обычно при p < 0,1 и npq < 10). В этих случаях обычно используется приближенная формула Пуассона: Pn (m) =

lm -l e , l = np. m!

Пример. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года равна 0,002. Какова вероятность отказа двух элементов за год? Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год? Решение: будем рассматривать работу каждого элемента как отдельное испытание. Обозначим А={отказ элемента за год}. P(A)=p=0,002, l=np=1000*0,002=2 По формуле Пуассона Обозначим через P1000( > 2) вероятность отказа не менее двух элементов за год. Переходя к противоположному событию, вычислим P1000( > 2) как:

Вопрос 4. Локальная и интегральная формула Лапласа. Если число испытаний n велико, то вычисление по формуле Бернулли становятся затруднительными и громоздкими. Эту проблему преодолел Лаплас. Если вероятность появления события А равно р, 0 < р < 1, вероятность не появления равна q=1-p, тогда вероятность появления события А в n испытаниях равна m раз вычисляется по формуле 34

1 npq

Pn ( m ) =

где φ(х) =

1 2p

e

-

x2 2

æ m - np ö ÷, φ çç ÷ npq è ø

(2)

, e ≈ 2,7, π ≈ 3,14.

В локальной формуле (2) Лапласа значения функций φ(х) являются табличными. Задача 3. Вероятность поражения цели стрелком при одиночном выстреле равна 0,2. Какова вероятность, что при 100 выстрелах цель будет поражена ровно 20 раз. Решение. По условию p = 0,2 , n = 100 , m = 20 , q = 1 – 0,2 = 0,8 ö 1 æ 1 1 20 - 20 ÷÷ = φ ( 0 ) = × 0 ,4 =0 ,1. P100 ( 20 ) = φ çç 4 100 × 0 ,2 × 0 ,8 è 100 × 0 ,2 × 0 ,8 ø 4 ( φ(0) = 0,4 определяем по таблице ). Поставим вопрос: какова вероятность, что событие А при n – испытаниях появится не менее k раз, и не более l раз. На этот вопрос отвечает интегральная формула Лапласа: xl

Pn (k , l ) = ò j ( x )dx = xk

где

xk =

k - np , npq

1 2p

xl

òe

-

x2 2

dx ,

xk

xl =

l - np . npq

35

(3)

Лекция № 7. Случайные величины Тема 7. Дискретные случайные величины. План: 1. Определение случайной величины, примеры случайных величин. 2.Задание дискретных случайных величин (ДСВ). 3.Числовые характеристики ДСВ – математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и их свойства. Вопрос 1. Определение случайной величины, примеры случайных величин. Одним из важнейших понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины. Величина называется случайной, если в результате опыта она может принимать любые заранее неизвестные значения. Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Величина называется дискретной, если она может принимать определенные, фиксированные значения. Примеры дискретных случайных величин: 1) число родившихся детей в течение суток в г.Москве; 2) количество бракованных изделий в данной партии; 3) число произведенных выстрелов до первого попадания; Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга. Примеры непрерывных случайных величин: 1) время заправки автомашины на автозаправочной станции; 2) дальность полета артиллерийского снаряда; 3) расход электроэнергии на предприятии за месяц. Случайная величина обычно обозначается прописной буквой латинского алфавита (X, У), ее конкретные значения – строчными буквами (х, у). Для дискретных случайных величин при решении конкретных задач указываются их возможные числовые значения. Например, x1=3, x2 =1, x3=5. Вопрос 2. Задание дискретных случайных величин (ДСВ). Распределение дискретной случайной величины. Пусть дискретная случайная величина X может принимать n значений x1, x2,..., хп. Для полной характеристики этой случайной величины должны быть заданы еще и вероятности появления указанных значений p1, p2 ...,pn. Дискретные значения случайной величины и вероятности их появления 36

удобно записывать в следующем виде: X P

x1

x2 p2

p1

xn pn

K K

Пример. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 100 000 р., 10 выигрышей по 10 000 р. и 100 выигрышей по 100 р. при общем числе билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета. Решение. Здесь возможные значения для X есть: х1=0, х2=100, х3=10000, х4=100000. Согласно классическому определению вероятности события (p(A )=

m , где m – число благоприятствующих исходов и n – число n

всевозможных 100 р2 = = 0,01, 10000

исходов)

вероятностями

10 р3 = =0,001, 10000

1 p4 = =0,0001. 10000

будут:

Поскольку число

всевозможных исходов равно количеству билетов п=10000, а число благоприятствующих исходов соответственно 100, 10, 1. Зная, что p1+p2 +p3 +p4 =1, находим p1=1–0,01–0,001–0,0001=0,9889. Следовательно, закон распределения выигрыша X может быть задан таблицей: X

0

100

10 000

100 000

р

0,9889

0,01

0,001

0,0001

Пример. Монету подбрасывают 1 раз. Найти закон распределения случайной величины X – выпадение герба. Решение. При подбрасывании монеты герб может выпасть (x1 =1) или не выпасть (x2=0). Вероятностями этих событий будут, соответственно, p1=

1 1 и p2 = . Поскольку число всевозможных исходов равно количеству 2 2

сторон монеты п=2, а число благоприятствующих исходов соответственно m=1. Тогда закон распределения имеет вид X

1

0

р

1 2

1 2

37

Вопрос 2. Числовые характеристики дискретных случайных величин и их свойства. Установленный закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто используются числовые характеристики случайной величины, которые дают некоторое осредненное описание случайной величины, получаемое на основе закона ее распределения. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Пусть случайная величина X имеет закон распределения X P

x1 p1

x2 p2

K K

xn pn

. Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности: M ( X ) = x1 p1 + x2 p 2 + K + xn pn

Из этого определения следует, что математическое ожидание есть некоторая постоянная (неслучайная) величина. Вероятностный же смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно равно (в особенности для большого числа испытаний) среднему арифметическому значению случайной величины. Укажем основные свойства математического ожидания. 1. Математическое ожидание постоянной величины С равно С: M(C)=C, C=const; 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=C M(X); 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y)=M(X)+M(Y), для любых X и Y; 4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий M(XY)=M(X)M(Y) Пример. Найти математическое ожидание случайной величины Z=X+2Y, если известны математические ожидания случайных величин X и Y: М(Х)=5, M(Y)=3. Используя свойства математического ожидания, получаем 38

Пример. Независимые распределения: X P

1 0,2

случайные 2 0,8

величины Y p

заданы 0,5 0,3

законами 1 0,7

Найти математическое ожидание случайной величины XY. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

Случайные величины математическое ожидание

X

и

Y

независимы,

поэтому

искомое

Задача 1. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в автосалоне составляют в среднем 120 тыс. ден. ед., а число продаж X автомашин в течение дня подчиняется закону распределения Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при цене машины в 150 тыс. ден. ед. Решение. Ежедневная прибыль подсчитывается по формуле: Искомая характеристика М(П) находится с использованием указанных ранее свойств математического ожидания (в тыс. ден. ед.): , где M(X) = 0 × 0,25 + 1 × 0,02 + 2 × 0,1 + 3 × 0,1 + 4 × 0,1 + 5 × 0,1 + 6 × 0,05 + 7 × 0,05 + + 8 × 0,025 + 9 × 0,025 = 2,675 Дисперсия дискретной случайной величины. Определение. Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением: X - М (X). Определение. Дисперсией или рассеянием называется математическое ожидание квадрата разности отклонения (X-M(X)): D ( X ) = M ( X - M ( X ))2 .

39

Формула дисперсии в развернутом виде:

При вычислении дисперсии удобно воспользоваться формулой, которая непосредственно выводится из формулы: D( X ) = M ( X 2 ) - M 2 ( X ). Задача 2. Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным задачи 1. Решение. Для решения будем использовать формулу 2 2 D( X= ) M ( X ) - M ( X ). Закон распределения случайной величины X2 имеет вид

Математическое ожидание М (X2 ) подсчитывается из этой таблицы:

Математическое ожидание М (X) = 2,675. величину дисперсии:

Тогда получаем искомую

D ( X ) = M ( X 2 ) - M 2 ( X ) = 13,475 - 7,156 = 6,319 .

Приведем основные свойства дисперсии. 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(C)=0, где C=const. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: 2 D(CX)= C D(X) 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y), Из свойств 1 и 3 следует важный вывод: D(X+С)=D(X), где С – постоянная величина. Пример. Дисперсия случайной величины X равна 3. Найти дисперсию следующих величин: а) -3X; б) 4Х + 3. Согласно свойствам 2, 3 и 4 дисперсии имеем а) D(-3X) =9D(X)=9×3 = 27; б) D(4X+3) = D(4X)+D(3) = 16D(X)+0 = 16×3 = 48.

40

Среднее квадратическое отклонение. Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины X (стандартом) называется квадратный корень из ее дисперсии Свойства среднего квадратического отклонения s ( CX ) = | C |s (X ) 1.

( X + Y ) = (s ( X )) 2 + (s (Y )) 2 , 2. s Пример. Случайная величина X – число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определить числовые характеристики M(X), D(X) и s (Х) этой случайно величины. Решение. Составим ряд распределения. Случайная величина X может принимать значения:

1,

2,

3,

4,

5,

6.

С вероятностями

1 6

pi = ,

i=1, 2, 3, 4, 5, 6, т.к. игральная кость имеет 6 граней и выпадение каждой из них равновозможно. Тогда ряд распределения имеет вид: X

1

2

3

4

5

6

p

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

Получаем

41

Лекция № 8. Тема8. Основные законы распределения дискретных случайных величин. План: 1. Биномиальный закон распределения (распределение Бернулли). 2 .Закон распределения Пуассона. 3.Геометрическое распределение. Вопрос 1. Биномиальный закон распределения (распределение Бернулли). Пусть производится n независимых испытаний, и в каждом из них событие А может либо появиться, либо не появиться. Пусть также вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна. В качестве дискретной случайной величины X рассмотрим число появления события А в этих п испытаниях. Очевидно, что х1 =0, х2 =1, х3 =2, ..., хn+1=п. Вероятности этих возможных значений k даются формулой Бернулли: (*) где q=1-р — вероятность противоположного события (непоявление события А в одном испытании). Формула (*) представляет собой аналитическую форму закона распределения случайной величины (числа появления события А в n независимых испытаниях), которое называется биномиальным; правая часть в (*) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона. Используя формулу (*), можно составить таблицу биномиального распределения. Сумма всех вероятностей биномиального распределения равна единице, т. е.

Определение. Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения с параметрами n и p, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m,..., n с вероятностями где 0<р<1, q=1-p. Как видим, вероятности P(Х=m) находятся по формуле Бернулли. Следовательно, биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа Х=m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р. Ряд распределения биномиального закона имеет вид: 42

Пример. Баскетболист делает три штрафных броска. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,7. Построить ряд распределения числа попаданий мяча в корзину. Решение. Пусть X – случайная величина числа попаданий мяча в корзину. Баскетболист может не попасть ни разу, один раз, два раза и все три раза, т.е. x1=0, х2=1, х3=2, х4=3. Вероятности вычисляем по формуле Бернулли, при этом п=3, р=0,7, q=0,3:

Проверяем выполнение соотношение:

Тогда ряд распределения случайной величины числа попаданий мяча в корзину при трех бросках примет вид X р

0 0,027

1 0,189

2 0,441

3 0,343

Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, а ее дисперсия Пример. Случайная величина X определена как число выпавших гербов в результате 100 бросаний монеты. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X. Решение. Вероятность появления герба в каждом бросании монеты p=

1 . 2

Следовательно,

вероятность

непоявления

герба

1 1 q= 1 - = . 2 2

Случайная величина X имеет биномиальное распределение при п=100 и 43

p=

1 . Поэтому 2

Вопрос 2. Закон распределения Пуассона. Пусть в каждом из п производимых испытаний вероятность появления события А равна р. Для случая малых значений р и больших значений п используется асимптотическая формула Пуассона. Эта формула выведена при важном допущении, что произведение пр является постоянной величиной, т. е. пр= l . Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно k раз, дается формулой, которая представляет собой закон распределения Пуассона вероятностей массовых и редких событий

Определение. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона с параметром l > 0, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

Значения функции e - x затабулированы (см. Приложение). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру l этого закона, т.е.

Пример. На базу отправлено 10 000 изделий. Вероятность того, что изделие в пути получит повреждение, равна 0,0003. Найти вероятность того, что на базу прибудут 4 поврежденных изделия. Решение. По условию задачи п = 10 000, р = 0,0003, k = 4. Находим l , а затем по формуле

44

и искомую вероятность:

Вопрос 3. Геометрическое распределение. Определение. Дискретная случайная величина Х=m имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает значения 1, 2, ..., m ... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями где 0
1-1

P(x=1)= p × q = p × q = p , 3-1 2 4 -1 3 P(x=3)= p × q = p × q , P(x=4)= p × q = p × q , … где

0

Математическое ожидание случайной геометрическое распределение с параметром р,

, 2 -1 P(x=2)= p × q = p × q ,

величины

X,

имеющей

а ее дисперсия где q=1-p. Пример. Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Составить закон распределения числа проверенных деталей. Найти его математическое ожидание и дисперсию, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1. Решение. Случайная величина X – число проверенных деталей до обнаружения бракованной – имеет геометрическое распределение с параметром р=0,1. Тогда q=1-p=1-0,1=0,9. Вычислим pi i=1, 2, 3, 4, …, m, … p1=0,1; p2 =pq= 0,1× 0,9 = 0,09 ; p3 = pq 2 = 0,1× 0,92 = 0,081 ; p4= pq3 = 0,1 × 0,93 = 0,0729 ; …; pm= pq m -1 = 0,1 × 0,9m -1 ; … Поэтому ряд распределения имеет вид

45

Лекция № 9. Тема 9. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики. 1. 2. 3. 4.

План: Функция распределения случайной величины и ее свойства. Понятие непрерывной случайной величины (НСВ). Свойства функции распределения и плотности вероятностей. Связь функции распределения с плотностью распределения. Вероятность попадания в интервал. Числовые характеристики непрерывных случайных величин: математическое ожидание и дисперсия.

Вопрос 1. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Для дискретной случайной величины, так же как и для непрерывной, вводится понятие функции распределения, которая представляет собой вероятность события X < х, где х – задаваемые непрерывно изменяющиеся значения, т.е. F(x) = Р(Х < х). Если дискретные значения случайной величины х1, х2, ..., хп расположены, в порядке возрастания, то каждому значению хi этих величин ставится в соответствие сумма вероятностей всех предыдущих значений и вероятности рi:

Так как до значения х1 случайная величина Х не встречалась, то и вероятность события X < х1 равна нулю. Для всех значений х1 < х £ х2 вероятность события X< х совпадает с вероятностью значения х1, т.е. p1. Но при х > х2 случайная величина уже может принимать два возможных значения х1 и х2, поэтому вероятность события X < х для х2 < х £ х3 будет равна сумме вероятностей р1 и р2 и т.д. Нанося на график возможные дискретные значения случайной величины х и соответствующие суммы вероятностей, получаем ступенчатую фигуру, которая и является графиком 46

функции распределения вероятностей.

Поскольку в одном испытании случайная величина принимает только одно возможное значение, то события Х=х1, Х=х 2, ..., Х=х n образуют полную группу, т. е. сумма их вероятностей равна единице: Пример. Дан ряд распределения случайной величины

Найти и изобразить графически ее функцию распределения. Решение. Будем задавать различные значения х и находить для них F(x) = Р(Х < х). 1. Если х<1, то, очевидно, F(x)=0 (в том числе и при х=1 F(1)= P(х<1)=0). 2. Пусть 1<х<4 (например, х=2) F(х)=P (X=1)=0,4. Очевидно, ЧТО И F(4)=P(X<4)=0,4. 3. Пусть 4<х<5 (например, х=4,25);

Изобразим функцию F(x) графически.

47

Заметим, что при подходе слева к точкам разрыва функция сохраняет свое значение (про такую функцию говорят, что она непрерывна слева). Эти точки на графике выделены. Этот пример позволяет прийти к утверждению, что функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(x) равна 1. Свойства функции распределения: 1. Область значений функции распределения лежит на отрезке [0,1]: 2. Функция распределения является неубывающей, т.е. 3.Если возможные значения случайной величины находятся на интервале (a,b), то F(x)=0 при хb. 4 . F (-¥) = 0, F (+¥) = 1 Из указанных свойств вытекают важные следствия: 1. Вероятность того, что случайная величина X принимает значения, заключенные внутри интервала (а,b), равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: P (a < X < b ) = F ( b ) - F (a ) 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю. 3. Если возможные значения непрерывной случайной величины X расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие пределы:

48

Вопрос 2. Понятие непрерывной случайной величины (НСВ). Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал. Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей р(х). Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х). Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек. Таким образом, и здесь функция F(х) определена на всей числовой оси, и ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х. Эта функция определяется точно так же, как и в случае дискретной случайной величины: F(x) = Р(Х < х). Вопрос 3. Плотность распределения вероятностей. Связь функции распределения с плотностью распределения. Вероятность попадания в интервал. Плотностью распределения (дифференциальной непрерывной случайной величины называется функция f ( x ) = F ¢( x) .

функцией)

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения или неопределенным интегралом от нее. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от a до b (включая a ) выражается формулой:

P (a £ X < b ) = F ( b ) - F (a ). Связь между функцией распределения и плотностью распределения вероятностей устанавливается формулой: x

F ( x) = ò f ( x)dx. -¥

49

Свойства плотности распределения: 1) f ( x ) ³ 0 для любой случайной величины; +¥

2)

ò f ( x)dx = 1.

-¥

3) Если все возможные значения случайной величины X лежат внутри интервала (a,b), то

Вероятность попадания в интервал: b

P (a < X < b ) = ò f ( x)dx. a

Вопрос 4. Числовые характеристики непрерывных случайных величин: математическое ожидание и дисперсия. Определения числовых характеристик дискретных случайных величин распространяются и на непрерывные величины. Математическое ожидание и дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и прежде, по формуле:

Для вычисления дисперсии употребляется более удобная формула.

Пример. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной плотностью распределения на отрезке [0, 1]:

50

Решение.

Лекция № 10. Тема 10. Основные законы распределения непрерывных случайных величин. План: 1. Равномерный закон распределения, показательное распределение. 2. Нормальный (гауссовский) закон распределения. 3. Функция Лапласа и его свойства. Вероятность попадания в интервал, «правило трех сигм». Вопрос 1. Равномерный закон распределения, показательное распределение. Определение. Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [а,b], если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

Кривая распределения j (х) и график функции распределения F(x) случайной величины X приведены на рисунках:

51

Теорема. Функция распределения случайной распределенной по равномерному закону, есть

величины

X,

ее математическое ожидание

а дисперсия

Пример. Найти среднеквадратическое отклонение величины X, распределенной равномерно на интервале (1, 5).

случайной

Решение.

ожидания

поезда

Пример. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания поезда. Решение. Случайная величина X – время на временном (в минутах) отрезке [0;2] имеет 1 2

равномерный закон распределения j (x ) = . 52

Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более полминуты, равна 1/4 от равной единице площади прямоугольника (рисунок), т.е.

Определение. Непрерывная случайная величина X имеет показательное распределение с параметром l , если ее плотность вероятности имеет вид: ìle -lx , x ³ 0, p( x) = í x < 0. î 0, где l > 0 . Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна ì1 - e -lx , x ³ 0, F ( x) = í x < 0. î 0, Математическое ожидание и дисперсия показательно распределенной случайной величины X: MX =

1 1 ; DX = 2 . l l

Вопрос 2. Нормальный закон распределения. Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Определение. Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и s 2 , если ее плотность вероятности имеет вид:

53

p( x) =

-

1

s 2p

e

( x-a )2 2s 2

,

где s > 0. Функция распределения нормальной случайной величины имеет вид:

F ( x) =

1

+¥

s 2p

-¥

ò e

-

( x - a )2 2s 2

dt.

Термин «нормальный» не совсем удачный. Многие признаки подчиняются нормальному закону, например, рост человека, дальность полета снаряда и т.п. Но если какой-либо признак подчиняется другому, отличному от нормального, закону распределения, то это вовсе не говорит о «ненормальности» явления, связанного с этим признаком. Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой. На рисунках приведены нормальная кривая с 2 параметрами а и s и график функции распределения случайной величины X, имеющей нормальный закон. Обратим внимание на то, что нормальная кривая симметрична относительно прямой х=а. Теорема. Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по нормальному закону, равно параметру а этого закона, а ее дисперсия – параметру s 2 , т.е. MX = a; DX = s 2 . Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами a=0, s 2=1, т.е. N(0; l), называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

54

Вопрос 3. Функция Лапласа и его свойства. Вероятность попадания в интервал, «правило трех сигм». Сложность непосредственного нахождения функции распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону и вероятности ее попадания на некоторый промежуток связана с тем, что интеграл от функции j (x ) является «неберущимся» в элементарных функциях. Поэтому их выражают через функцию – функцию (интеграл вероятностей) Лапласа, для которой составлены таблицы (см.Приложения).

Теорема. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле:

Значения функции Лапласа Ф(х) занесены в таблицу (см. Приложение ). Рассмотрим свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону. 1. Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по нормальному закону, в интервал [х1, x2 ] равна P( x1 £ X £ x2 ) = Ф(t2 ) - Ф(t1 ) , где

55

2. Вероятность того, что отклонение случайной величины X, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину D >0 (по абсолютной величине), равна

где

«Правило трех сигм»: Если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и s 2, т.е. N(a; s 2), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (а–3 s , а+3 s ). Пример. Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величинах Х с параметрами а=173 и s 2=36, найти: 1. а) выражение плотности вероятности и функции распределения случайной величины X; б) доли костюмов 4-го роста (176-182 см) и 3-го роста (170-176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы; 2. Сформулировать «правило трех сигм» для случайной величины X. Решение. 1. а) Запишем

б) Доля костюмов 4-го роста (176-182 см) в общем производства определится как вероятность:

объеме

P(176 £ X £ 182) = Ф(t2 ) - Ф(t1 ) = Ф(1,50) - Ф(0,50) = 0,8664 - 0,3829 = 0,4836

где

Из таблицы Ф(t2 )=Ф(1,50)=0,8664; Ф(t1)=Ф(0,50)=0,3829. Долю костюмов 3-го роста (170-176 см) определяем, учитывая, что данный интервал симметричен относительно математического ожидания а=М(Х)=173, т.е. неравенство 170<X<176 равносильно неравенству |Х-173|<3: 56

2. Практически достоверно, что рост мужчин данной возрастной группы заключен в границах от а-3 s =173-3•6=155 до

Пример. Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 10, а среднее квадратичное отклонение равно 2. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (9, 12). Решение. Воспользуемся формулой P( x1 £ X £ x2 ) = Ф(t2 ) - Ф(t1 ) :

По таблице функции Лапласа (см. Приложение) находим: Ф(1)=0,3413, Ф(0,5) = 0,1915. Тогда Р(9<Х<12)=0,5328.

Лекция № 11. Элементы математической статистики. Тема 11. Основные задачи математической статистики. Выборочный метод. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма. План: 1.Цели и задачи математической статистики. 2. Выборочный метод: выборки, способы отбора. 3. Статистическое распределение выборки. 4. Полигон и гистограмма. Вопрос 1. Цели и задачи математической статистики. Математическая статистика является частью общей прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», однако задачи, решаемые ею, носят специфический характер. Если теория вероятностей исследует явления, полностью заданные их моделью, то в математической статистике вероятностная модель определена 57

с точностью до неизвестных параметров. Отсутствие сведений о параметрах компенсируется «пробными» испытаниями, на основе которых и восстанавливается недостающая информация. Цель математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов. Первая задача математической статистики состоит в указании методов сбора и группировки статистических сведений, которые получены в результате экспериментов или наблюдений. Вторая задача — это разработка методов анализа статистических данных: оценки неизвестных вероятности события, а также функций и параметров распределения; оценка зависимости случайной величины от других случайных величин; проверка статистических гипотез о виде и величинах параметров неизвестного распределения. На практике сплошное исследование (каждого объекта из интересующей нас совокупности) проводят крайне редко. К тому же, если эта совокупность содержит большое число объектов или исследование объекта требует нарушения его функционального стандарта, то сплошное исследование нереально. В таких случаях из всей совокупности случайно отбирают ограниченное число объектов и подвергают их исследованию. Вопрос 2. Выборочный метод: выборки, способы отбора. Выборки. Введем основные понятия, связанные с выборками. Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка. Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности. Число объектов в совокупности называется ее объемом. Пример. Пусть из 2000 изделий отобрано для обследования 100 изделий. Тогда объем генеральной совокупности N= 2000, а объем выборки n= 100. Выборку можно осуществлять двумя способами. Если после исследования объект из выборки возвращается в генеральную совокупность, то такая выборка называется повторной (возвратной); если объект не возвращается в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной (безвозвратной). Выборка называется репрезентативной (представительной), если по ее данным можно достаточно уверенно судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности. Способы отбора. Различают два вида способов отбора: без расчленения генеральной совокупности на части и с расчленением. К первому виду относятся простые случайные отборы (повторные либо бесповторные), когда объекты извлекают по одному из генеральной совокупности; такой отбор можно производить с использованием таблицы случайных чисел. 58

Второй способ отбора включает в себя следующие разновидности соответственно способам расчленения генеральной совокупности. Отбор, при котором объекты отбираются из каждой «типической» части генеральной совокупности, называется типическим. Например, отбор деталей из продукции каждого станка, а не из их общего количества, является типическим. Если генеральную совокупность делят на число групп/равное объему выборки, с последующим отбором из каждой-группы по одному объекту, то такой отбор называется механическим. Серийным называется отбор, при котором объекты отбираются не по одному, а сериями; этот способ используется, когда исследуемый признак имеет незначительные колебания в различных сериях. На практике часто употребляется комбинирован0ие перечисленных способов отбора. Например, генеральную совокупность разбивают на серии одинакового объема, затем случайным образом отбирают несколько серий и в завершение случайным извлечением отдельных объектов составляют выборку. Конкретная комбинация способов отбора объектов из генеральной совокупности определяется требованием репрезентативности выборки. Вопрос 3. Статистическое распределение выборки. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n в которой значение

x1 некоторого исследуемого признака X наблюдалось n1

Расположение раз, значение x 2 - n2 раз, значение x k - nk раз. выборочных значений в порядке неубывания называется ранжированием.

xi называются вариантами, а их последовательность, записанная в возрастающем порядке, — вариационным рядом. Числа ni ni W = называются частотами, а их отношения к объему выборки i n Значения

относительными частотами. При этом

n=

k

ån i= 1

i

. Модой

M 0 называется

варианта, имеющая наибольшую частоту. Медианой me называется варианта, которая делит пополам вариационный ряд на две части с одинаковым числом вариант в каждой. Если число вариант нечетно, т. е. к=2l+1, то me = xi +1 ; если же число вариант четно к=2l , то me =

xl + xl +1 . 2

Размахом варьирования называется разность между максимальной и минимальной вариантами или длина интервала, которому принадлежат все варианты выборки: R = x max - x min . Перечень вариант и соответствующих им частот называется статистическим распределением выборки. Здесь имеется аналогия с законом 59

распределения случайной величины: в теории вероятностей — это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике — это соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами (относительными частотами). Нетрудно видеть, что сумма относительных частот равна единице: å Wi = 1 . Дискретным вариационным рядом распределения (распределением частот) называется ранжированная совокупность вариант xi c cooтветствующими им частотами или относительными частотами. Если наблюдаемая случайная величина непрерывна или дискретная величина такова, что число ее возможных значений велико, то для построения вариационного ряда используют интервальный ряд распределения. В этом случае весь возможный интервал варьирования разбивают на конечное число частичных интервалов и подсчитывают частоту попадания значений величины в каждый частичный интервал. Интервальным вариационным рядом (интервальным распределением частот) называется упорядоченная последовательность интервалов варьирования случайной величины с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них значений случайной величины Пример. Выборка задана в виде распределения частот: 4 7 8 12 17 ni 2 4 5 6 3 Найти распределение относительных частот и основные характеристики вариационного ряда (Mo, me, R) Решение: n=2+4+5+6+3=20 n 2 4 5 6 3 = 0,1 ; w 2 = w1 = 1 = = 0,2 ; w 3 = = 0,25 ; w 4 = = 0,3 ; w 5 = = 0,15 . n 20 20 20 20 20 х1 4 7 8 12 17 w1 0,1 0,2 0,25 0,3 0,15 xi

М0=12, me=8, R=17-4=13. k

Ясно, что n = å ni , i =1

n

å w1 = 1 1=1

Контроль: 0,1+0,2+0,25+0,3+0,15=1 Вопрос 4. Полигон и гистограмма. Наблюденные данные, представленные в виде вариационного ряда, можно изобразить графически. Полигон. Если вариационный ряд дискретной случайной величины

60

xi mi

x1 m1

x2 m2

x3 m3

… …

xn mn

представить графически в виде ломаной линии, связывающей на плоскости точки с координатами (xi, тi), то такой график называют полигоном или многоугольником распределения. Можно также построить полигон, где точками являются пары чисел (xi, pi*). Выборка дана в виде распределения частот: xi mi

2 10

5 9

7 21

8 25

11 30

13 5

Найти распределение относительных частот и построить полигон относительных частот. Решение. Оценим объем выборки: 6

åmm å 6

i =1

i

= 100

i =1

Тогда вариационный ряд можно записать в виде

xi pi*

2 0,10

5 0,09

7 0,21

8 0,25

11 0,30

13 0,05

На рис. приведен полигон относительных частот.

Заметим, что полигон, построенный по дискретному вариационному ряду, является выборочным аналогом многоугольника распределен дискретной случайной величины. Гистограмма. Интервальный вариационный ряд графически изображают с помощью гистограммы. Для ее построения в прямоугольной системе координат на оси Ох откладывают отрезки частичных интервалов 61

варьирования и на этих отрезках, как на основаниях, строят прямоугольники с высотами, равными частотам или относительным частотам соответствующих интервалов. Если относительную частоту разделить на длину каждого интервала , то полученная величина будет представлять собой выборочную оценку плотности вероятности: f(xi) = w /hi Пример. Выборка задана интервальным вариационным рядом i хi<Х<хi+1 mi 1 1—5 10 2 5—9 20 3 9—13 50 4 13—17 12 5 17—21 8 Построить гистограмму выборочной оценки плотности вероятности. Решение. Длина каждого интервала равна h = 4. Объем выборки n= 100. Подсчитаем значения mi /(hn)

Xi<X<xi+1

1—5

5—9

9—13

13—17

17—21

mi /(hn)

25/1000

50/1000

125/1000

30/1000

20 /1000

На рисунке представлена гистограмма данного распределения.

Графическое изображение вариационных рядов в виде полигона и гистограммы позволяет получить первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в совокупности наблюдений.

62

Лекция № 12 Тема 12. Статистические оценки параметров распределения. План: 1. Смещенные, несмещенные, эффективные, состоятельные оценки. 2. Точечные оценки: выборочная средняя, выборочная дисперсия, эмпирический стандарт. Вопрос 1. Смещенные, несмещенные, эффективные, состоятельные оценки. Одной из центральных задач математической статистики является задача оценки теоретического распределения случайной величины на основе выборочных данных. При этом предполагается, что закон распределения генеральной совокупности известен, но неизвестны его параметры, такие, например, как математическое ожидание и дисперсия. Требуется найти приближенные значения этих параметров, т. е. получить их статистические оценки. Оценки параметров генеральной совокупности, полученные на основании выборки, называются статистическими * Обозначим через q оценку некоторого теоретического параметра q закона распределения случайной величины X. Рассматривая выборочные значения x1 x2 ,..., xn как реализации случайных величин X 1 , X 2 ,..., X n , получивших конкретные значения в результате опытов, можно представить * оценку q как функцию этих случайных величин q * = j ( X 1 , X 2 ,..., X n ).

Это значит, что оценка тоже является случайной величиной. Если для оценки некоторого параметра 0 взять несколько (к) выборок, то в общем случае получим столько же разных случайных оценок q1 ,q 2 ,...,q n . * Математическое ожидание случайной величины q , имеющей отмеченные, реализации, может как совпасть, так и не совпасть с оцениваемым параметром q . * Несмещенной называется статистическая оценка q , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру * М (q ) = q . * Смещенной называется оценка q , математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Так же как и для любой случайной * величины, оценка q может иметь большой или небольшой разброс (дисперсию) относительно математического ожидания. Эффективной называется статистическая оценка, которая при одних и тех же объемах выборки имеет наименьшую дисперсию. В некоторых случаях становится интересным поведение оценки при *

63

*

*

неограниченном увеличении объема выборки. Состоятельной называется статистическая оценка, которая при увеличении объема выборки стремится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е.

(

)

P q* =q /n ® ¥ =1 В частности, если дисперсия оценки n ® ¥ стремится к нулю, то такая

оценка является состоятельной. Вопрос 2. Точечные оценки: выборочная средняя, выборочная дисперсия, эмпирический стандарт. Если статистическая оценка характеризуется одним числом, она называется точечной. К числу таких оценок относятся выборочная средняя и выборочная дисперсия. Выборочная средняя определяется как среднее арифметическое полученных по выборке значений: k

x В = å ni xi / n i =1

где xi — варианта выборки; n i –частота варианты; n– объем выборки. Выборочная дисперсия представляет собой среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от их выборочной средней: k

d В = å ni (xi - x В ) 2 / n i =1

Для расчетов может быть использована также формула dВ = x2 - (x В )2 ,

где x 2 — выборочная средняя квадратов вариант выборки. Теорема. Выборочная средняя является несмещенной оценкой, а выборочная дисперсия — смещенной оценкой.(без доказательства). Для устранения смещенности выборочной дисперсии ее умножают на величину п/(п - 1) и получают s2 =

n dВ n -1

Величину s 2 называют несмещенной или «исправленной» выборочной дисперсией. Определение. Эмпирическим стандартом называется квадратный корень из дисперсии

В некоторых случаях для удобства расчетов при определении статистических оценок переходят к условным вариантам. Например, если варианты xi — большие числа, то используют разности 64

ui = xi - С, где С — произвольно выбранное число (ложный нуль), такое, при котором условные варианты принимают небольшие значения. В этом случае k

x В = С + å ni xi / n i =1

dВ = x - (x В ) 2

,

2

Для изменения значения варианты можно ввести также условные варианты путем использования масштабного множителя: ui = Cxi

где С = 10b (b выбирается положительным или отрицательным целым числом). В некоторых случаях выборочные значения случайной величины целесообразно разбивать на отдельные группы. В каждой группе можно найти ее среднюю. Групповой средней х Г 1 называют среднее арифметическое значений выборки, принадлежащих группе. По этим групповым средним можно найти среднее для всей выборки. Общей средней х называют среднее арифметическое значение групповых средних. Пример. Найти общую среднюю на основе выборки: Группа Значение варианты Частота Объем

1

2

1 10

6 15

1 20

25

5 30 50

Решение. Находим групповые средние

1 × 10 + 6 × 15 100 = = 4, 25 25 1 × 20 + 5 × 30 170 хГ2 = = = 3,4 . 50 50 4 × 25 + 3,4 × 50 270 Общая средняя х = = = 3,6 . 75 75

х Г1 =

Лекция № 13. Тема13. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительные границы и доверительный интервал. План: 1. Интервальные оценки, их точность и надежность. 2. Доверительный интервал и доверительные границы. 65

Вопрос 1. Интервальные оценки, их точность и надежность. Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше, — точечные. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок. Интервальные оценки позволяют построить с заданной вероятностью интервал, в котором находится оцениваемый параметр генеральной совокупности. Таким образом, интервальные оценки характеризуются двумя числами — концами интервала. * Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика q служит оценкой неизвестного параметра q . Будем считать q постоянным * числом ( q может быть и случайной величиной). Ясно, что q тем точнее * определяет параметр q , чем меньше абсолютная величина разности | q — q |. * Другими словами, если d >0 и | q — q | < d то чем меньше d , тем оценка точнее. Таким образом, положительное число d характеризует точность оценки. Однако статистические методы не позволяют категорически * * утверждать, что оценка q удовлетворяет неравенству | q — q | < d ; можно лишь говорить о вероятности g , с которой это неравенство осуществляется. * Надежностью (доверительной вероятностью) оценки q по q называют * вероятность g , с которой осуществляется неравенство | q — q | < d . Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве g берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999. Число a = 1 - g называется уровнем значимости. * Пусть вероятность того, что | q — q | < d , равна g : P(q - q * ád ) = g . Заменив неравенство * |q —q | < d равносильным ему двойным неравенством * -d < q —q < d , или q * - d
Вопрос 2. Доверительный интервал и доверительные границы. Метод доверительных интервалов был разработан американским статистиком Ю. Нейманом и получил. широкое применение. Определение. Доверительным интервалом для параметра q с надежностью оценки g называется числовой промежуток ( q * - d ,q * + d ) содержащий истинное значение данного параметра с вероятностью, равной g: Р( q * - d áq áq * + d ) = g , (1) где q * — оценка неизвестного параметра q (например, точечная оценка), d > 0 — некоторое число. Другими словами, доверительным называют * * интервал( q - d , q + d ), который покрывает неизвестный параметр с g заданной надежностью . * * границами Границы q - d и q + d называются доверительными интервала. Действительно, в разных выборках получаются различные * значения q . Следовательно, от выборки к выборке будут изменяться и концы доверительного интервала, т. е. доверительные границы сами являются случайными величинами — функциями от х1 , х2 ,..., хп . Так как случайной величиной является не оцениваемый параметр q , а доверительный интервал, то более правильно говорить не о вероятности попадания q в доверительный интервал, а о вероятности того, что доверительный интервал покроет q . Общая схема построения доверительных интервалов сводится к следующему: 1. Рассматриваются теоретические выборки случайных величин, с распределениями которых связан параметр q . 2. Подбирается случайная величина Y с известным распределением, | значения которой определяются выборками и параметром q : Y= Y( q ). 3. По известному распределению Y подбираются числа Y 1 и Y2 такие, чтобы выполнялось равенство P( Y 1 0 при известном значении q * . Таким образом условие (1) будет выполнено и доверительный интервал построен. Замечание. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения определяется исходя из s ö æ Pç xв - M x á x ÷ = 2Ф( x ) = g . nø è

Пример. Нормальная случайная величина X имеет среднее квадратическое отклонение s =3. Найти доверительный интервал надежности g = 0,95 для оценки неизвестного математического ожидания по выборочному среднему xв при объеме выборки n=36. 67

Решение. Сначала находим x из Ф(x) = g /2 = 0,475. По таблице определяем х= 1,96. s 3 = 0,98 . Определяем теперь величину d > 0: d = x = 1,96 × n 36 Доверительный интервал запишется в виде: ( xв -0,98; xв +0,98). При разных xв границы интервала меняются.

Лекция № 14 – 15. Тема 14. Статистическая проверка статистических гипотез. План: 1. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотеза. 2. Ошибки первого и второго рода 3. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. 4. Критическая область. Наблюдаемое значение критерия. 5. Отыскание критических областей. 6. Элементы теории кореляций. Введение. 7. Коэффициент корреляции. 8. Функции и коэффициенты регрессии. Вопрос 1. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотеза. При статистическом анализе важно знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет определенный вид, то говорят: генеральная совокупность распределена по закону А. Если закон известен, но неизвестны его параметры и, например, есть основания предполагать, что q = q 0 , то выдвигают гипотезу: q = q 0 (здесь речь идет о гипотезе: равенстве q 0 параметру закона). Возможны и другие гипотезы: 1. о равенстве параметров двух или нескольких распределений; 2. о независимости выборок и др. Статистической называют гипотезу если идет речь о виде неизвестного распределения или о значениях параметров известных распределений. Например, статистическими являются гипотезы: генеральная совокупность распределена по закону Пуассона; дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой. 68

В первой гипотезе сделано предположение о виде неизвестного распределения, во второй—о параметрах двух известных распределений. Гипотезы о наличии жизни на комете Хейла-Ботте, на Марсе не являются статистическими, т.к. поскольку в них не идет речь ни о виде, ни о параметрах распределения. Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоположную ей. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоположная ей. По этой причине гипотезы делят на: 1. Нулевую. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н0; 2. Конкурирующую. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1, которая противоречит основной. Кроме того гипотезы делят на простые и сложные. Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Сложной называют гипотезу, содержащую несколько простых гипотез. Например гипотеза Н: l > 5 содержит бесчисленное множество простых гипотез Нi: l = bi ,где bi -любое число большее 5. Вопрос 2. Ошибки первого и второго рода. Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной. Поэтому необходима ее проверка. Проверку осуществляют статистическими методами. При проверке возможны ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Подчеркнем, что последствия этих ошибок могут оказаться весьма различными. Например, если отвергнуто правильное решение «продолжать строительство жилого дома», то эта ошибка первого рода повлечет материальный ущерб; если же принято неправильное решение «продолжать строительство», несмотря на опасность обвала стройки, то эта ошибка второго рода может повлечь гибель людей. Можно привести примеры, когда ошибка первого рода влечет более тяжелые последствия, чем ошибка второго рода. Замечание 1. Правильное решение может быть принято также в двух случаях: 1) гипотеза принимается, причем и в действительности она правильная; 2) гипотеза отвергается, причем и в действительности она неверна. Замечание 2. Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через a ; ее называют уровнем значимости. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень значимости, равный 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста имеется риск допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу). Вероятность ошибки 2-го 69

рода обозначается как b . Вероятность 1 - b называют мощностью критерия. При фиксированном объеме выборки можно выбрать по своему усмотрению величину вероятности только одной из ошибок a или b . Увеличение вероятности одной из них приводит к снижению другой. Принято задавать вероятность ошибки 1-го рода — уровень значимости. Как правило, пользуются некоторыми стандартными значениями уровня значимости a : 0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,001. Вопрос 3. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Критическая область. Наблюдаемое значение критерия. Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистического критерия (назовем его в общем виде К), являющего функцией от результатов наблюдения. Статистический критерий - это правило (формула), по которому определяется мера расхождения результатов выборочного наблюдения с высказанной гипотезой Н. Другими словами, для проверки нулевой гипотезы используют случайно подобранную случайную величину, распределение которой будет известно. Статистическим критерием называют случайную величину К, которая служит для проверки высказанной гипотезы Н. Статистический критерий, как и всякая функция от результатов наблюдения, является случайной величиной и в предположении справедливости нулевой гипотезы Н подчинен некоторому хорошо изученному (и затабулированному) теоретическому закону распределения с плотностью распределения f(k). Значение критерия, рассчитываемое по специальным правилам на основании выборочных данных, называется наблюдаемым значением критеК рия набл. Если проверяют гипотезу о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей, то в качестве критерия К принимают отношение исправленных выборочных дисперсий F=

S12 . S 22

(эта величина распределена по закону Фишера-Снедекора). Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют его частное значение К1. Наблюдаемым значением Кнабл называют значение критерия, вычисленное по выборкам. После выбора критерия множество его возможных значений разбивают на два непересекающихся множества: 1. значения критерия, при которых Н0 отвергается; 2. значения критерия, при которых Н0 принимается. 70

Критической областью называют совокупность значений критерия К, при которых Н0 отвергается, т.е. первая область. Областью принятия гипотезы Н0 называют совокупность значений критерия К, при которых Н0 принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез: если Кнабл Î области принятия гипотез, то гипотезу принимают. К –одномерная случайная величина. Ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Критическими точками называют точки отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Различают следующие критические области: 1. правостороннюю критическую область: К>ккр; 2. левостороннюю критическую область: К<ккр; 3. односторонней называют право- или левостороннюю критическую область; 4. двухсторонней называют область, у которой К>ккр1 ,К<ккр2. Вопрос 4. Отыскание критических областей. Для отыскания правосторонней критической области достаточно найти Ккр. Для ее нахождения задаются достаточно малой вероятностью –уровнем значимости a = 0.05,0.01,0.001 . ккр ищут исходя из требования, чтобы при условии справедливости Н0 вероятность того, что К примет значение > ккр была бы равна a , т.е. Р(К> ккр)= a . Из этого уравнения и находят ккр. Почему для нахождения ккр требуется выполнение условия Р(К> ккр)= a . Т.к. Р(К> ккр) –мала, то событие при справедливости Н0 не должно наступить в единичном испытании, если все же оно наступило (Кнабл> ккр), то это можно обьяснить тем, что Н0 ложно, и следовательно Н0 должна быть отвергнута. Т.о. условие Р(К> ккр)= a определяет такие значения критерия, при которых Н0 отвергается, и следовательно, такие К составляют критическую область. Введем понятие мощности критерия. Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза (Н1). Другими словами мощность критерия есть вероятность того, что Н0 будет отвергнута, если верна Н1. Если вероятность ошибки второго рода равна b , то мощность равна 1- b . Если для проверки гипотезы принят определенный уровень значимости a и выборка имеет фиксированный объем, то остается произвол в выборе критической области. Критическую область необходимо строить так, чтобы мощность критерия была максимальна. Алгоритм проверки статистических гипотез сводится к следующему: - сформулировать нулевую H и альтернативную Н1 гипотезы; 71

- выбрать уровень значимости a ; - в соответствии с видом выдвигаемой нулевой гипотезы Н выбрать статистический критерий для ее проверки, т.е. — специально подобранную случайную величину К, точное или приближенное распределение которой заранее известно; - по таблицам распределения случайной величины К, выбранной в качестве статистического критерия, найти критическое значение К (критическую точку или точки); - на основании выборочных данных по специальному алгоритму вычислить наблюдаемое значение критерия Кнабл; - по виду конкурирующей гипотезы Н1 определить тип критической области; - определить, в какую область (допустимых значений или критическую) попадает наблюдаемое значение критерия Кнабл, и в зависимости от этого — принять решение относительно нулевой гипотезы. Вопрос 5. Элементы теории корреляций. Введение. В математике мы имеем дело с функциональной зависимостью между двумя переменными величинами, при которой каждому значению одной их них соответствует единственное значение другой. Однако часто приходится иметь дело с более сложной зависимостью, чем функциональная. Такая зависимость возникает тогда, когда одна из величин зависит не только от другой, но и от ряда прочих меняющихся факторов, среди которых могут быть и общие для обеих величин. Так, например, с увеличением высоты сосны увеличивается диаметр ее ствола. Однако если исследовать эту зависимость по опытным данным, то может оказаться что для отдельных сосен с большей высотой диаметр ствола окажется меньше, чем для сосен с меньшей высотой. Это объясняется тем, что диаметр ствола сосны зависит не только от ее высоты, но и от других факторов (например, от свойств почвы, количества влаги и т.д.). В рассмотренном примере мы имеем две случайные величины:

- высота

сосны и - диаметр ее ствола. Каждому значению x величины соответствует множество значений , которые она может принимать с различными вероятностями. Говорят, что между и корреляционная зависимость. Этот пример приводит нас к следующему определению.

существует

Две случайные величины и находятся в корреляционной зависимости, если каждому значению одной из этих величин соответствует определенное распределение вероятностей другой.

72

Таким образом, корреляционный анализ используют тогда, когда анализируются два различных параметра качества. Возможны следующие варианты их взаимной связи: 1. параметры тесно связаны функциональной зависимостью y=f(x); 2. параметры совершенно не связаны между собой и, следовательно, переменные x и y независимы; 3. параметры связаны между собой не строго. В этом случае говорят о статистической зависимости. Для характеристики корреляционной зависимости между случайными величинами вводится понятие коэффициента корреляции. Вопрос 6. Коэффициент корреляции. Как мы знаем, если и - независимые случайные величины, то по свойству математического ожидания (1) Если же и не являются независимыми случайными величинами, то, вообще говоря, . Условились за меру связи (зависимости) двух случайных величин принять безразмерную величину

и

, определяемую соотношением

(2), и называемую коэффициентом корреляции. Рассмотрим некоторые свойства коэффициента корреляции. 1) Если и - независимые случайные величины, то коэффициент корреляции равен нулю. Заметим, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т. е. если , то отсюда еще не следует, что и независимы. 2) Заметим, что случайными величинами линейная зависимость.

. При этом если , то между и имеет место функциональная, а именно

73

Замечание.

Двумерная

случайная

нормально, если плотность имеет вид

величина

распределена

распределения системы величин

3) Постоянная R равна коэффициенту корреляции величин

и

. Следует заметить, что в случае, когда система величин распределена нормально и коэффициент корреляции величины

и

и

, т.е. и , то

независимы. Вопрос 7. Функции и линии регрессии.

Пусть и - две случайные непрерывные величины, находящиеся в корреляционной зависимости. Это значит, что каждому значению x случайной величины вероятностей величины

соответствует вполне определенное распределение . Плотность

распределения величины

при

условии, что , называется условной плотностью распределения случайной величины . Вычислим для данного случая так называемое условное величины при условии, что . математическое ожидание Согласно определению математического ожидания непрерывной случайной величины, имеем

Каждому возможному значению x случайной величины соответствует определенное значение условного математического ожидания . Таким образом, получаем функцию

переменной x.

Эта функция y=f(x) называется функцией регрессии величины

на

график - линией регрессии на . Аналогично определяется

ожидание

величины

при условии, что

условное

математическое

:

, 74

, а ее

где - условная плотность вероятности случайной величины условии, что . Функция x=g(y) называется функцией регрессии величины

при

на

, а

ее график - линией регрессии на . Cледует иметь в виду, что функции y=f(x) и x=g(y) не являются обратными по отношению друг к другу. Если обе функции и линейны, то линиями регрессии являются прямые. В этом случае говорят, что случайные величины

и

связаны линейной корреляционной зависимостью. Можно

показать, что уравнение прямой регрессии

на

имеет следующий вид: ,

- условное математическое ожидание случайной величины

где при

(3)

. Аналогично записывается уравнение прямой регрессии ,

где при

на

:

(4)

- условное математическое ожидание случайной величины . Величины

называются коэффициентами регрессии соответственно Из этих формул следует, что

на

и

на

.

Это равенство показывает, что оба коэффициента регрессии имеют одинаковые знаки. Если они положительны (отрицательны), то с возрастанием аргумента возрастают (убывают) соответствующие условные математические ожидания. Если математические

,

то,

и ожидания

как

следует

из

уравнений

, т.е. в этом постоянны и равны

(3)

и

(4),

случае условные соответствующим

математическим ожиданиям случайных величин и . На практике чаще всего уравнения регрессии получают линейными. В тех случаях, когда зависимость нелинейна, ее линеаризуют посредством преобразований. 75

Линейную регрессию записывают ввиде: y = y + b( x - x ) , y =

1 n 1 n y i , x = å xi . å n i =1 n i =1

Коэффициент b называют коэффициентом регрессии и вычисляют по формуле: n

b=

å (x

i

i= 1

- x)( yi - y )

n

å (x

i

- x)

.

2

i= 1

8. Задачи и примеры для текущего контроля усвоения материала. Элементы комбинаторики Занятие № 1. Тема 1. Понятие факториала. Размещения, сочетания и перестановки. 1.Комбинаторика, типы соединений. 2.Факториал, перестановки. 3.Размещения и сочетания. Комбинаторика присходит от латинского слова "соединение". Группы, составленные из каких--либо предметов (безразлично каких, например, букв, цветных кубиков, шаров, чисел и т.п.), называются соединениями (комбинациями). Предметы, из которых состоят соединения, называются элементами.Различают три типа соединений: размещения, перестановки и сочетания. Произведение n натуральных чисел от 1 до n обозначается сокращенно n!, т.е. 1 × 2 × 3 × K × (n - 1)n = n! (читается: n факториал). Например, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. Считается, что 0!=1. Подмножества из n элементов по m в каждом, отличающиеся друг от друга либо порядком расположения элементов, либо самими элементами (но не количеством), называются размещениями из n элементов по m. Число размещений из n элементов по m вычисляется по формуле n! Anm = = n(n - 1) × K × (n - m + 1) . (n - m)! Задача 1. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на различные должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов? Решение. В условии задачи речь идет о расчете числа комбинаций из 10 элементов по 3. Так как группы по три человека могут отличаться и составом 76

претендентов, и заполняемыми ими вакансиями, т.е. порядком, то для ответа необходимо рассчитать число размещений из 10 элементов по 3: 3 N = A10 = 10 × 9 × 8 = 720 . Можно составить 720 групп по 3 человека из 10. Сочетаниями из n различных элементов по m называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m вычисляется по формуле: n! C nm = . m!(n - m)! Задача 2. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на одинаковые должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов? Решение. Состав различных групп должен отличаться по крайней мере хотя бы одним кандидатом и порядок выбора кандидата не имеет значения, следовательно этот вид соединений представляет собой сочетания. По условию задачи n=10, m=3. 10! 3 C10 = = 120. 3!7! Можно составить 120 групп по 3 человека из 10. Перестановками из n элементов называется такие соединения, из которых каждое содержит все n элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов. Число перестановок из n элементов равно Pn = n! = 1 × 2 × 3 × K × n . Задача 3. Менеджер ежедневно просматривает 6 изданий экономического содержания. Если порядок просмотра случаен, то сколько существует способов его осуществления? Решение. Способы просмотра изданий различаются только порядком, так как число, а значит, и состав изданий при каждом способе неизменны. Следовательно, при решении этой задачи необходимо рассчитать число перестановок. По условию задачи n=6. Следовательно, P6 = 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720. Можно просмотреть 720 способами.

77

Аудиторные задания. Задача 1. Сколько существует способов составления в случайном порядке списка из 7 кандидатов для выбора на руководящую должность? Задача 2. Руководство фирмы выделило отделу рекламы средства для помещения в печати объявлений о предлагаемых фирмой товарах и услугах. По расчетам отдела рекламы выделенных средств хватит для того, чтобы поместить объявления только в 15 из 25 городских газет. Сколько существует способов случайного отбора газет для помещения объявлений? Задача 3. Фирма нуждается в организации 4 новых складов. Ее сотрудники подобрали 8 подходящих одинаково удобных помещений. Сколько существует способов отбора 4 помещений из 8 в случайном порядке? Задача 4. Для разгрузки поступивших товаров менеджеру требутся выделить 6 из 20 имеющихся рабочих. Сколькими способами можно это сделать, осуществляя отбор в случайном порядке? Задача 5. Сколько существует способов составления списка 20 деловых звонков случайным образом? Задача 6. По сведениям геологоразведки 1 из 15 участков земли по всей вероятности содержит нефть. Однако компания имеет средства для бурения только 8 скважин. Сколько способов отбора 8 различных скважин у компании? Занятие № 2. Тема 2. Случайные события. Классическое определение вероятности случайного события. Случайным называется событие, которое может как произойти так и не произойти в результате некоторого испытания (выпадение орла при бросании монеты, выигрыш по облигации, увеличение курса доллара в следующем месяце). Несколько событий называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие (при бросании игральной кости появление каждой из ее граней является равновозможными событиями). Совокупность всех единственно возможных и несовместных событий называют полной группой событий (в примере бросании монеты появление герба и появление цифры образуют полную группу). Относительной частотой события A называется отношение числа m испытаний, в результате которых событие A наступило, к числу n всех произведенных испытаний: 78

m n. Например, из 5000 взятых наудачу деталей оказались 32 бракованные. Поэтому относительная частота появления бракованных деталей в данной партии равна отношению количества наступления события m=32 к числу испытаний n=5000, т.е. 32 W ( A) = = 0,0064. 5000 Вероятностью события A называется отношение числа m исходов опыта, благоприятствующих данному событию, к числу n всевозможных исходов: m P ( A) = n. Например, если среди 30 деталей, каждая из которых могла быть утеряна,было 10 нестандартных, то вероятность того, что потеряна нестандартная деталь равна 10 1 P ( A) = = . 30 3 W ( A) =

Задача 1. Набирая номер телефона абонент забыл последнюю цифру и набрал ее случайным образом ее случайным образом. Какова вероятность, что набрал нужный номер. Решение: Событие А - набран нужный номер m =1, т.к. один единственный номер, n= 10, т.к. цифр всего 10 Р(А) = 1 ; 10

Задача 2. В группе 20 студентов из них 8 юношей. Преподаватель вызвал к доске 1 студ. Какова вероятность того, что это был юноша? Решение: Событие А- к доске вызвали юношу: n = 20 (т.к. могли вызвать любого студента), m - 8 (т.к. могли вызвать любого из 8 мальчиков), Р(А)= 8 = 2 20 5 . Задача 3. В ящике 5 деталей причем 3 из них окрашены. Какова вероятность, что среди взятых 2-х деталей обе будут окрашены? Решение: Событие А- взяли 2 окрашенные детали: 3! 2/ !* 3 2 = = 3 m=C 3 = 2! 2/ ! n=C 5 = 2

5! 3/ * 4/ 2 * 5 = 10 = 2!3! 2/ !*3/ 1

Р(А)=

3 10 .

Задача 4. Слово «теория» разрезали на отдельные буквы. В случайном порядке берут эти буквы и прикладывают друг к другу. 79

а) какова вероятность, что из 3 взятых букв получилось слово «тор». б) из 6 взятых снова получилось слово «теория» Решение: a) Событие А - из 3 взятых букв получилось слово «тор»: n=A 36 =

6! 3/!* 4 * 5 * 6 = = 120 ; (6 - 3)! 3/!

P(A)=

m=1,

1 120

. б) Событие А – получение слова «теория»: m=1; n=1*2*3*4*5*6=720, P(A)=

1 1 . = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 720

Аудиторные задания. Задача 1. В магазин поступило 30 холодильников, 5 из них имеет заводской дефект. Случайным образом берут 1 холод. Какова вероятность того, что он будет без дефекта? Задача 2. В колонне из 35 автомобилей 15 легковые, а остальные грузовые. Найти вероятность того, что наудачу выбранный автомобиль окажется легковым. Задача 3. В ящике 20 шаров: 8 белых и 12 черных. Найти вероятность того, что наудачу выбранный шар окажется черным. Задача 4. Лотерея состоит из 1000 билетов, среди них 200 выигрышных. Наугад вынимается один билет из 1000. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный? Задача 5. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется разыскиваемая. Задача 6. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

Занятие № 3. Тема 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей 1. 2. 3. 4. 5.

Сложение вероятностей несовместимых событий. Независимые события. Умножение вероятностей независимых событий. Зависимые события, условная вероятность. Умножение вероятностей независимых событий. Совместимые события, сложение их вероятностей. 80

Суммой нескольких событий A1 , A2 , K , An называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Произведением нескольких событий A1 , A2 , K , An называется событие, состоящее в одновременном появлении всех событий. Сумму и произведение над событиями можно представить как операции над множествами. При этом сумме событий A+B соответствует объединение A È B этих множеств, а их произведению A × B - пересечение A Ç B . Эти операции в графическом виде иллюстрируются следующим образом AÈ B

AÇ B

Вероятность события B, найденная в предположении, что другое событие A уже произошло называется условной вероятностью и обозначается PA (B) . 1) P ( A1 + K + An ) = P ( A1 ) + K P( An ) , где A1 , K , An - попарно несовместные события. 2) P ( A + B ) = P ( A) + P ( B) - P( AB) , где A, B - совместные события. 3) P ( AB ) = P( A) P ( B ) , где A, B - независимые события. 4) P ( AB ) = P( A) PA ( B) = P( B ) PB ( A) , где A, B - зависимые события. Задача 1. В ящике 5 деталей причем 3 из них окрашены. Найти вероятность, что среди 2-х извлеченных деталей только 1 будет окрашенной. Решение: Событие А- 1 окрашенная и 1 неокрашенная. Число всевозможных способов n= C52 = 10. 1 окрашенную деталь можно взять 3 способами, 1 неокрашенную -2 способами, значит m =3*2. Тогда P(A) = 6 . 10

Задача 2. Монета брошена 2 раза, найти вероятность того, что хотя бы 1 раз выпадет герб. Решение: Событие А - хотя бы 1 раз был герб («хотя бы» - означает, что герб мог выпасть 1 или 2 раза). Число всевозможных способов n = 4: при первом бросании 2 исхода, и, при втором бросании 2 исхода, 2+2=4. Число благоприятствующих способов m =2. 2 5 Таким образом, P( A) = = . 4 10 81

Задача 3. Компания производит 40 000 холодильников в год, которые реализуются в различных регионах России. Из них 10 000 экспортируются в страны СНГ, 8 000 продаются в регионах Европейской части России, 7 000 продаются в странах дальнего зарубежья, 6 000 в Западной Сибири, 5 000 в Восточной Сибири, 4 000 в Дальневосточном районе. Чему равна вероятность того, что определенный холодильник будет: а) произведен на экспорт; б) продан в России? Решение. Обозначим события: A - холодильник будет продан в странах СНГ; B - холодильник будет продан в Европейской части России; C - холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья; D - холодильник будет продан в Западной Сибири; E - холодильник будет продан в Восточной Сибири; F - холодильник будет продан в Дальневосточном районе. Соответствующие вероятности будут равны: 10000 P ( A) = = 0,25, 8000 40000 P(B) = = 0,20, 40000 000 P (C ) = = 0 ,175 , 40000

6000 5000 4000 = 0,15, P ( E ) = = 0,125, P ( F ) = = 0,10. 40000 40000 40000 a) Событие, состоящее в том, что холодильник произведен на экспорт, означает, что холодильник будет продан или в страны СНГ, или в страны дальнего зарубежья. Отсюда P ( A + C ) = P ( A) + P(C ) = 0,25 + 0,175 = 0,425. б) Событие, состоящее в том, что холодильник будет продан в России, означает, что холодильник будет продан или в Европейской части России, или в Западной Сибири, или в Восточной Сибири, или на Дальнейм Востоке. Находим P ( B + D + E + F ) = P ( B ) + P ( D) + P( E ) + P( F ) = 0,20 + 0,15 + 0,125 + 0,10 = 0,575. P( D) =

Задача 3. На рекламной фирме 21% работников получают высокую зарплату. Известно также, что на фирме работают 40% женщин, а 6,4% работников - женщины, получающие высокую заработную плату. Выяснить, существует ли на фирме дискриминация женщин в оплате труда. Решение. Введем события: A - случайно выбранный работник получает высокую зарплату, B – случайно выбранный работник - женщина. Тогда, по условию задачи, P(A)=0,21; P(B)=0,4; а вероятность того, случайно что выбранный работник - женщина, получающая высокую зарплату P ( AB ) = 0,064 . Найдем вероятность того, что случайно выбранный работник 82

получает высокую зарплату, при условии, что выбрана женщина. По определению условной вероятности P( AB) 0,064 PB ( A) = = = 0,16. P( B) 0,4 Так как PB ( A) < P( A) , то труд женщины является менее оплачиваемым. Аудиторные задания. Задача 1. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,75, а при наличии конкурирующего товара равна 0,25. Вероятность выпуска конкурентом товара равна 0,35. Найти вероятность того, что товар будет иметь успех. Задача 2. В ремесленном цехе трудятся 3 мастера и 6 их учеников. Мастер допускает брак при изготовлении изделия с вероятностью 0,05; ученик - с вероятностью 0,15. Поступившее из цеха изделие оказалось бракованным. Какова вероятность, что его изготовил мастер? Задача 3. В магазин поступила обувь, 60% которых доставила первая фабрика, 25% - вторая и 15% - третья. Какова вероятность того, что купленная наугад пара обуви изготовлены на первой или третьей фабрике? Задача 4. Данное предприятие в среднем дает 21% продукции высшего сорта и 70% продукции первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта. Задача 5. В коробке лежат 200 белых, 100 красных и 50 зеленых шаров. Наудачу вынимается один шар. Чему равны вероятности получить шар белого, красного или зеленого цвета? Задача 5. Студент знает 20 из 25 экзаменационных вопросов. Найдите вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса. Занятие № 4. Тема № 4. Формулы полной вероятности и Байеса. Пусть событие A может осуществиться лишь вместе с одним из событий B1 , B2 , K , B n , образующих полную группу. Пусть известны вероятности

P ( B1 ), P ( B 2 ), K , P( Bn ) . Так как события

Bi образуют полную группу, то

n

å P ( Bi ) = 1

i= 1

, а также известны и условные вероятности события A: PB1 ( A), PB2 ( A), K , PBi ( A), K , PBn ( A). Так как заранее неизвестно, с каким из событий Bi произойдет событие A, то события Bi называются гипотезами. Вероятность события A определяется как 83

n

P( A) = å P( Bi ) PBi ( A). i=1

Эта вероятность называется полной вероятностью. Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле P ( Bi ) PBi ( A) PA ( Bi ) = P( A) или PA ( Bi ) =

P( Bi ) PBi ( A)

å

n

P( Bi ) PBi ( A) i =1

.

Эти формулы называются формулами Байеса, выражение в знаменателе - формула полной вероятности. Задача 1. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году будет равна 0,75, если экономика страны будет на подъеме; и эта же вероятность будет равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в новом году равна 0,80. Используя предположения экономиста, найдите вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году. Решение. Определим события: A - "Акции компании поднимутся в цене в будущем году". Событие A может произойти только вместе с одной из гипотез: B1 - "Экономика страны будет на подъеме",

B 2 - "Экономика страны не будет успешно развиваться". По условию известны вероятности гипотез: P ( B1 ) = 0,80; P ( B 2 ) = 0,20

P ( A) = 0,75; PB2 ( A) = 0,30. и условные вероятности события A: B1 Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие A - это или B1 A , или B 2 A . Эти события несовместные попарно, так как события B1 , B2 - несовместны. События B1 и A, B 2 и A зависимые. Поэтому для определения искомой вероятности события A можно применить формулу полной вероятности P ( A) = P( B1 ) PB1 ( A) + P ( B 2 ) PB2 ( A) = 0,80 × 0,75 + 0,20 × 0,30 = 0,66. Ответ: Вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году равна 0,66. Задача 2. Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,70, в период умеренного роста он подорожает с вероятностью 0,40 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,20. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста - 0, 30; умеренного роста - 0,50 и низкого роста - 0,20. Найти вероятность 84

экономического роста, при условии, что доллар дорожает. Решение. Определим события: A - "Доллар дорожает". Оно может произойти только вместе с одной из гипотез: B1 - "Активный экономический рост"; B 2 - "Умеренный экономический рост";

B3 - "Низкий экономический рост". По условию известны вероятности гипотез и условные вероятности события A: P ( B1 ) = 0,30, P ( B2 ) = 0,50, P ( B3 ) = 0,20,

PB1 ( A) = 0,70, PB2 ( A) = 0,40, PB1 ( A) = 0,20. Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. События B1 A , B 2 A и B3 A - несовместные попарно, так как события B1 , B 2 , B3

- несовместны. События B1 и A, B 2 и A, B3 и A - зависимые. Требуется найти уточненную вероятность первой гипотезы, т.е. вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает (событие A уже произошло), т.е. PA ( B1 ) . Используя формуму вероятностей, имеем

PA ( B1 ) =

Байеса

и

подставляя

P ( B1 ) PB1 ( A) P( B1 ) PB1 ( A) + P ( B2 ) PB 2 ( A) + P( B3 ) PB3 ( A)

заданные

значения

=

0,30 × 0,70 = 0,467. 0,30 × 0,70 + 0,50 × 0,40 + 0,20 × 0,20 Ответ: Вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает, составляет 0,467. =

Аудиторные задания. Задача 1. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев с вероятностью 0,9, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0,5. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, равной 0,7, экономическая ситуация в регионе в течение следующих 6 месяцев будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок буде продан в течение ближайших 6 месяцев? Задача 2. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае - в 0,25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта? 85

Задача 3. При слиянии акционерного капитала 2 фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагаю, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха будет равна 0,30. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,70. Чему равна вероятность успеха сделки? Занятие № 5-6. Тема № 5-6. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная формула Лапласа. 1. 2. 3. 4.

Повторение испытаний. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступления события Формула Пуассона. Локальная и интегральная формула Лапласа.

Пусть производится серия из n испытаний, в каждом из которых событие A может наступить, а может и не наступить. Пусть при этом выполнено следующее условие: вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна, т.е. не зависит ни от номера испытания, ни от результатов предыдущих испытаний. Это условие означает, что последовательность испытаний независима. Последовательность испытаний, удовлетворяющих указанному условию, называется последовательностью независимых испытаний или схемой Бернулли). Схема Бернулли полностью определяется двумя числами количеством испытаний n, и числом p (0
г) Pn (0) + Pn (1) + K + Pn (m). Наивероятнейшее число наступления события А.Вероятность Рn(m) при данном n сначала увеличивается при увеличении m от 0 до некоторого значения m0, а затем уменьшается при изменении m от m0 до n. 86

Поэтому m0, называют наивероятнейшим числом наступлений успеха в опытах. Это число m0, заключено между числами np-q и np+p (или, что то же самое, между числами n(p+1)-1 и n(p+1)) .Если число np-q - целое число, то наивероятнейших чисел два: np-q и np+p. Важное замечание. Если np-q< 0, то наивероятнейшее число выигрышей равно нулю. Задача 1. Игральная кость бросается 4 раза. При каждом броске нас интересует событие А={выпала шестерка}. Решение: Здесь четыре испытания, и т.к. кубик симметричен, то p=P(A)=1/6, q=1-p=5/6. Вероятность того, что в 4 независимых испытаниях успех наступит ровно m раз (m < 4), выражается формулой Бернулли:

Посчитаем эти значения и запишем их в таблицу: m P(m)

0 0,482253

1 0,096451

2 0,01929

3 0,003858

4 0,000772

Самое вероятное число успехов в нашем случае m0=0. Задача 2. Вероятность появления успеха равна 3/5. Найти наивероятнейшее число наступлений успеха, если число испытаний равно 19, 20. Решение:

3 2 np - q = 19 × - = 11. 5 5

Таким образом, максимальная вероятность достигается для двух значений m0, равных 11 и 12. Эта вероятность равна P19(11)=P19(12)=0,1797. При n=20 максимальная вероятность достигается только для одного значения m0, т.к. 3 2 2 np - q = 20 × - = 12 - . 5 5 5

не является целым числом. Наивероятнейшее число наступлений успеха m0 равно 12. Вероятность его появления равна P20(12)=0,1797. Совпадение чисел P20(12) и P19(12) вызвано лишь сочетанием значений n и p и не имеет общего характера. При больших n и малых p вычисления по формуле Бернулли затруднены. В этих случаях обычно используется формула Пуассона: Pn (m) =

lm -l e , l = np. m!

87

Интегральная теорема Лапласа. В прикладных вопросах теории вероятностей наиболее употребимы определения вероятности события A в n испытаниях, когда k изменяется в заданном интервале значений l < k < m . Соответствующую вероятность обозначают Pn (l, m) . Пусть вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна, причем 0
Pn (l, m) »

1 2p

2 b -z e 2 dz ,

ò

(2)

a

где m - np l - np a= , b= npq npq . Формула (2) применяется в случае больших значений n и k. При вычислениях по этой формуле пользуются специальными таблицами (см.Приложения) для функции

1

F ( x) =

2 x -z e 2 dz ,

ò

2p 0 которая называется функцией Лапласа. Более удобно использовать формулу (2) в виде формулы Ньютона-Лейбница: Pn (l, m) = F(b) - F(a ). (3) Задача 3. Известно, что в определенном городе 20% горожан предпочитают добираться на работу личным автотранспортом. Случайно выбраны 4 человека. Чему равна вероятность того, что среди 4 случайно отобранных человек: а) не будет ни одного человека, предпочитающего добираться на работу личным автотранстпортом; б) окажется, что хотя бы 1 человек предпочитает добираться на работу личным автотранспортом; в) будет не больше 2 человек, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом? Решение. В качестве случайной величины выступает число людей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом. Обозначим ее через X. Перечислим всвозможные значения случайной величины X: 1, 2, 3, 4. Вероятность того, что каждый из отобранных людей предпочитает добираться на работу личным автотранспортом, постоянна и равна 0,2 (p=0,2). Вероятность противоположного события составляет 0,8 (q=1-p=1-0,2=0,8). Все 4 испытания - независимы. Очевидно, что случайная величина X 88

подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами n=4, p=0,2. Итак, по условию задачи: n=4; p=0,2; q=0,8; X=m. Определим вероятность того, что среди 4 случайно отобранных человек: а) Не будет ни одного человека, предпочитающего добираться на работу личным автотранспортом. Расчет искомых вороятностей осуществляется по формуле Бернулли n! P ( X = m) = Pn (m) = C nm p m q n - m = p m q n-m . m!(n - m)! Получим: P( X = 0) = 0,4096.

б) Будет хотя бы один человек, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом. "Хотя бы 1" - "как минимум 1" - "1 или больше". Другими словами, "хотя бы 1" - это "или 1, или 2, или 3, или 4". Исходя из этого, для определения вероятности того, что среди 4 случайно отобранных будет хотя бы 1, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом, можно использовать теорему сложения вероятностей несовместных событий: P ( x ³ 1) = P( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3) + P( X = 4) =

= 0,4096 + 0,1536 + 0,0256 + 0,0016 = 0,5904. С другой стороны, всевозможные значения случайной величины образуют полную группу событий, а сумма их вероятностей равна 1. По отношению к событию ( X ³ 1) до полной группы событий не хватает события (X=0), которое является противоположным событию ( X ³ 1) . Поэтому искомую вероятность того, что среди 4 случайно отобранных человек будет хотя бы один человек, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом, проще найти следующим образом: P ( X ³ 1) + P ( X < 1) = 1, отсюда P ( X ³ 1) = 1 - P( X = 0) = 1 - 0,4096 = 0,5904. в) Будет не больше 2, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом. "Не больше 2" - "2 или меньше", т.е. "или 0, или 1, или 2". Используем теорему сложения вероятностей вероятностей несовместных событий P ( X £ 2) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) = 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 = 0,9728. Задача 2. В страховой компании 10 тыс. клиентов, застраховавших свою недвижимость. Страховой взнос составляет 2000 рублей, вероятность страхового случая p=0,005, страховая выплата клиенту при страховом случае составляет 200 тыс. рублей. Определить размер прибыли страховой компании с 89

вероятностью p=0,9. Решение. Прибыль компании зависит от числа страховых выплат k при страховых случаях. Будем полагать, что величина ее равна разности между суммами страховых взносов и страховых выплат: R = (20 - 0,2k ). Теперь задача состоит в нахождении такого числа N, чтобы вероятность страхового случая P10000 (k > N ) была бы не больше заданной величины 1-p, или, что то же самое, чтобы выполнялось условие P10000 ( N < k < 10000) £ 1 - p . Тогда с вероятностью p прибыль компании составит (20-0,2 N) млн. руб. Предварительные вычисления значений аргумента функции F(x) при n=10000,

a=

l = N и m=10000 по формуле (3) дают Подставляя в приведенное неравенство, получаем æ N - 50 ö 0,5 - Fç ÷ £ 1 - p. 7 , 05 ø è Тогда имеем

N - 50 , 7,05

b=

9550 = 1411,34. 7,05

æ N - 50 ö æ N - 50 ö 0,5 - Fç Fç ÷ £ 0,1 ÷ ³ 0,4. 7 , 05 7 , 05 ø ø è или è

N - 50 ³ 1,28. F ( x ) = 0 , 4 7 , 05 По таблице находим, что при x=1,28 . Поэтому Отсюда получаем, что N ³ 60 . Компании гарантирована прибыль R= 20 - 0,2 × 60= 8 млн. руб. Аудиторные задания. Задача 1. В городе 10 коммерческих банков. У каждого риск банкроства в течение года составляет 10%. Составьте ряд распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года. Чему равна вероятность того, что в течение года обанкротится не больше одного банка? Задача 2. В сборочный цех поступили детали, содержащие 10% нестандартных. Наудачу отобраны три детали. Написать закон распределения дискретной случайной величины X- числа нестандартных деталей среди отобранных. Задача 3. Нефтеразведывательная компания получила финансирование для проведения 6 нефтеразработок. Вероятность успешной нефтеразведки 0,05. Предположим, что нефтеразведку осуществляют независимые друг от друга разведывательные партии. Составьте ряд распределения числа успешных нефтеразведок. Чему равна вероятность того, что как минимум 2 нефтеразведки принесут успех? Задача 4. В партии из 15 деталей имеется 10 стандартных. Наудачу отобраны 4 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

90

Задача 5. В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 клиентов. Каждому из клиентов выдается кредит 500 тыс. ден. ед. при условии возврата 110% от этой суммы. Вероятность невозврата кредита каждым из клиентов в среднем составляет p=0,01. Какая прибыль гарантирована банку с вероятностью p=0,8? Занятие № 7. Случайные величины. Тема 7. Дискретные случайные величины. 1. Задание дискретных случайных величин (ДСВ). 2. Функция распределения случайной величины. Величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, заранее неизвестное, называется случайной величиной. Дискретной случайной величиной называется такая переменная величина, которая может принимать конечную или бесконечную сопокупность значений, причем принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определенной вероятностью. Соотношение, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины. Если обозначить возможные числовые значения случайной величины X через x1 , x 2 , K , x n , K , а через p i = P( X = x i ) вероятность появления значения x i , то дискретная случайная величина полностью определяется таблицей 1. X x1 x2 xn K P p1 p2 pn K Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая вероятность того, что X примет значение, меньшее чем, x: F ( x) = P( X < x) = å p i xi < x . (1) Здесь для каждого значения x суммируются вероятности тех значений x i , которые лежат левее точки x. Функция F(x) есть неубывающая функция. Для дискретных случайных величин функция распределения F(x) есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева (рис. 2).

91

F(x)

p3 p2 p1 x1

x2

xi

0 Рис. 2.

Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от a до b (включая a ) выражается формулой

P (a £ X < b ) = F ( b ) - F (a ).

(2)

Задача 1. Всхожесть семян данного растения определяется вероятностью 0,6. Пусть X - случайная величина - число появившихся растений из 5 семян. Найти закон распределения X. Решение. Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, и ее закон распределения определяется вероятностями P(X=k), k = 0,1, K ,5. Вычислим эти вероятности. Можно считать, что имеется схема n=5 испытаний Бернулли с вероятностью успеха p=0,6. Тогда по формуле k k n-k Бернулли p k = C n p q . При n=5, p=0,6, q=0,4 получим p 0 = 0,01024,

p1 = 0,0768 , p 2 = 0,2304 , p 3 = 0,3456 , p 4 = 0,2592 , p 5 = 0,07776 .

Закон распределения случайной величины X задается таблицей 0 1 2 3 4 5 xk 0,01024 0,0768 0,2304 0,3456 0,2592 0,07776 pk Задача 2. Партия изделий содержит 10% нестандартных. Пусть X случайная величина - число стандартных в выборке из 5 изделий. Найти функцию распределения X и вероятность P(X>1). Решение. Случайная величина X может принимать значения x k = 0,1,2,3,4,5. Найдем их вероятности по формуле Бернулли

p k= C nk p k q n - k , где n= k, p 0 = 0.00001 , получим: p 4 = 0,32085 , p 5 = 0.59049 .

p = 0.9,

q = 0.1 . Вычислив вероятности, p1 = 0,00045 , p 2 = 0,0081`, p 3 = 0,0729 ,

92

По определению функции распределения F ( x) = P( X < x) = å p k k , xk < x

При x £ 0 , очевидно, F ( x) = 0 ; при 0 < x £ 1 F ( x) = p 0 = 0.00001 ; при 1 < x £ 2 F ( x) = p 0 + p1 = 0.00046 ;

при 2 < x £ 3 F ( x) = p 0 + p1 + p 2 = 0.00856 ; при 3 < x £ 4 F ( x) = p 0 + p1 + p 2 + p 3 = 0.08146 ; при 4 < x £ 5 F ( x) = p 0 + p1 + p 2 + p 3 + p 4 = 0.40951 ; при x > 5 F ( x) = 1.

График функции распределения F (x) изображен на рис. 3 1--

0,4--

| 0

1

|

|

2

|

3

|

4

5

Рис. 3. Аудиторные задания Задача 1. Вероятность выигрыша облигации равна 0,05. Пусть X случайная величина, число выигрышных облигаций из 6. Составить закон распределения, найти функцию распределения и нарисовать ее график. Задача 2. В магазине имеются 10 телевизоров, из которых 4 дефектные. Пусть X - случайная величина - число исправных телевизоров среди трез выбранных. Составить закон распределения, найти функцию распределения и нарисовать ее график. Задача 3. Дан закон распределения случайной величины X - прибыли фирмы

xk pk

0 0,1

100 0,4

200 0,2

300 0,2

400 0,1

Найти функцию распределения F(X) и построить ее график. 93

Занятие № 8. Тема 8. Числовые характеристики дискретных случайных величин. 1. Математическое ожидание. 2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Одной из важных числовых характеристик случайной величины X является математическое ожидание M ( X ) = x1 p1 + x2 p 2 + K + xn pn . M(X) представляет собой среднее ожидаемое значение случайной величины. Оно обладает следующими свойствами: 1) M(C)=C, C=const; 2) M(CX)=C M(X); 3) M(X+Y)=M(X)+M(Y), для любых X и Y; 4) M(XY)=M(X)M(Y), если X и Y независимы. Для оценки степени рассеяния значений случайной величины около ее среднего значения M(X) вводится понятие дисперсии D(X) и среднего квадратического отклонения s (X ) . Дисперсией называется математическое ожидание квадрата разности (X-M(X)), n

D ( X ) = M ( X - M ( X )) 2 = å ( xi - M ( X )) 2 p i , s ( X ) = i= 1

D( X ) .

Для вычисления дисперсии пользуются формулой D( X ) = M ( X 2 ) - M 2 ( X ).

(4) Свойства дисперсии и среднего квадратического отклонения: 1) D(C)=0, где C=const; 2 2) D(CX)= C D(X), s (CX ) =| C | s ( X ) ;

3) D(X+Y)=D(X)+D(Y), s ( X + Y ) = независимые.

(s ( X )) 2 + (s (Y )) 2 , если X и Y

Задача 1. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в автосалоне составляют в среднем 120 тыс. ден. ед., а число продаж X автомашин в течение дня подчиняется закону распределения Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при цене 94

машины в 150 тыс. ден. ед. Решение. Ежедневная прибыль подсчитывается по формуле: Искомая характеристика М(П) находится с использованием указанных ранее свойств математического ожидания (в тыс. ден. ед.): , где M(X) = 0 × 0,25 + 1 × 0,02 + 2 × 0,1 + 3 × 0,1 + 4 × 0,1 + 5 × 0,1 + 6 × 0,05 + 7 × 0,05 + + 8 × 0,025 + 9 × 0,025 = 2,675 Задача 2. Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным задачи 1. Решение.

Для

решения

будем

использовать

формулу

Закон распределения случайной величины X2 имеет вид

Математическое ожидание М (X2 ) подсчитывается из этой таблицы:

Математическое ожидание М (X) = 2,675. величину дисперсии: Задача 3. распределения X P

Тогда получаем искомую

Независимые случайные величины заданы законами 1 0,2

2 0,8

Y p

0,5 0,3

1 0,7

Найти математическое ожидание случайной величины XY. Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

Случайные величины математическое ожидание

X

и

Y

95

независимы,

поэтому

искомое

Задача 4. Дисперсия случайной величины X равна 3. Найти дисперсию следующих величин: а) -3X; б) 4Х + 3. Решение. Согласно свойствам 2, 3 и 4 дисперсии имеем а)D(-3X) =9D(X)=9×3 = 27; б)D(4X+3) = D(4X)+D(3) = 16D(X)+0 = 16×3 = 48. Аудиторные задания. Задача 1. Дан закон распределения случайной величины X: Х 3 4 6 7 Р 0,2 0,1 0,3 0,4 Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Задача 2. Дискретная случайная величина X принимает три возможные значения: x1 = 1 с вероятностью p1 = 0,3 ; x 2 = 4 с вероятностью

p 2 и x 3 с вероятностью p 3 = 0,5 . Найти x 3 и p 2 , если M(X)=5. Задача 3. Дан закон распределения случайной величины X:

Х 2 4 5 8 Р 0,1 0,3 0,4 0,2 Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Задача 4. Дискретная случайная величина X задана законом распределения: Х 1 2 4 7 Р 0,1 0,3 0,4 0,2 Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Задача 5. Дискретная случайная величина X задана законом распределения: Х 3 4 6 9 Р 0,2 0,1 0,4 0,3 Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Задача 6. Производятся два выстрела с вероятностями попадания в цель, равными p1 =0,4, р2=0,3. Найдите математическое ожидание общего числа попаданий. 96

Задача 7. Найдите математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей. Задача 8. Найдите математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей. Задача 9. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения: X p

2 4 5 0,1 0,3 0,6

Y p

и

7 0,8

9 0,2

Найти математическое ожидание случайной величины XY. Задача 10. Найдите дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения: X p

1 0,3

2 0,5

5 0,2

Задача 11. Известны дисперсии двух независимых случайных величин X, Y: D(X) = 4, D(Y) = 3. Найдите дисперсию суммы этих величин. Задача 12. Дисперсия случайной величины X равна 5. Найдите дисперсию следующих величин: а) Х – 1; б) -2Х; в) 3X + 6. Занятие № 9. Тема 9. Основные законы распределения дискретных случайных величин. 1. Биномиальный закон распределения (распределение Бернулли). 2 .Закон распределения Пуассона. 3.Геометрическое распределение. Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения с параметрами n и p, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m,..., n с вероятностями где 0<р<1, q=1-p. Как видим, вероятности P(Х=m) находятся по формуле Бернулли. Следовательно, биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа Х=m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р. Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

97

Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, а ее дисперсия Задача 1. В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 4 пары обуви. Найти закон распределения числа купленных пар обуви, изготовленной первой фабрикой. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Решение. Вероятность того, что случайно выбранная пара обуви изготовлена первой фабрикой, равна p=2/(2+3)=0,4. Случайная величина X — число пар обуви среди четырех, изготовленных первой фабрикой, имеет биномиальный закон распределения с параметрами n= 4, p= 0,4. Значение q=1-p=1-0,4=0,6. Значит для x1=0 получаем q4 =0.64=0.1296; 4! 0,4 × 0,63 = 0,3456 ; 1!(4 - 1)! 4! 0,42 × 0,6 2 = 0,3456 ; для x3=2 p3 = С42 p 2 q 4-2 = 2!(4 - 2)! 4! 0,43 × 0,6 = 0,1536 ; для x4=3 p4 = С43 p 3q 4-3 = 3!(4 - 3)! 4! 0,44 × 0,60 = 0,0256 . для x5=4 p5 = С44 p 4 q 4-4 = 4!(4 - 4)!

для x2=1 p2 = С41 pq 4-1 =

Таким образом, ряд распределения X имеет вид:

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. Задача 2. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 2:3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 90%, а на другом - 80%. В магазине куплено 3 банки консервов. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа банок с продукцией высшего качества. Решение. Вначале составим закон распределения случайной величины X - числа банок с продукцией высшего качества среди купленных трех 98

банок. Вероятность появления события A - куплена банка с продукцией высшего качества - найдем по формуле полной вероятности: 2 3 P ( A) = 0,9 + 0,8 = 0,84. 5 5 Закон распределения случайной величины X можно определить, Pn (m) = C nm p m q n - m используя формулу Бернулли . Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Закон ее распределения (с учетом того, что p=0,84, q=0,16) примет вид Х Р

0 0,004

1 0,066

2 0,337

3 0,593

) 0 × 0,004 + 1 × 0,066 + 2 × 0,337 + 3 × 0,593 = 2,519, Тогда M ( X= 2 D( X= ) 1 × 0,066 + 4 × 0,337 + 9 × 0,593 - 2,519= 0,406,

) 0,406 » 0,64. s ( X= Задача 3. Известно, что в определенном городе 20% горожан предпочитают добираться на работу личным автотранспортом. Случайно выбраны 4 человека. 1) Составьте ряд распределения числа людей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом. 2)Найти числовые характеристики случайной величины. Решение. 1) В качестве случайной величины выступает число людей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом. Обозначим ее через X. Перечислим всвозможные значения случайной величины X: 1, 2, 3, 4. Вероятность того, что каждый из отобранных людей предпочитает добираться на работу личным автотранспортом, постоянна и равна 0,2 (p=0,2). Вероятность противоположного события составляет 0,8 (q=1-p=10,2=0,8). Все 4 испытания - независимы. Очевидно, что случайная величина X подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами n=4, p=0,2. Итак, по условию задачи: n=4; p=0,2; q=0,8; X=m. Чтобы построить ряд распределения, необходимо вычислить вроятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений, и записать полученные результаты в таблицу. Расчет искомых вороятностей осуществляется по формуле Бернулли n! P ( X = m) = Pn (m) = C nm p m q n - m = p m q n-m . m!(n - m)! Подставим в эту формулу данные задачи получим: 99

P(0)=0,4096; P(1)=0,4096; P(2)=0,1536; P(3)=0,0256; P(4)=0,0016. Получим ряд распределения числа людей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом Х 0 1 2 3 4 Р 0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0,0016 Так как всевозможные значения случайной величины образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей должна быть равна 1. Проверка: 0,4096+0,4096+0,1536+0,0016=1. 2) Найдем основные числовые характеристики распределения данной случайной величины: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. n

M ( X ) = å xi p i = 0 × 0,4096 + 1 × 0,4096 + 2 × 0,1536 + 3 ×0,0256 + 4 × 0,0016 = 0,8. i =1

Но, ввиду того, что в данном случае речь идет о математическом ожидании частоты, для его расчета можно воспользоваться более простой формулой M ( X = m) = np = 4 × 0,2 = 0,8. Расчитаем дисперсию числа человек, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом, среди 4 отобранных. Дисперсия любой дискретой случайной величины может быть расчитана по формуле n

D ( X ) = å ( x i - M ( X )) 2 p i = (0 - 0,8) 2 × 0,4096 + (1 - 0,8) 2 × 0,4096 + i =1

+ (2 - 0,8) 2 × 0,1536 + (3 - 0,8) 2 × 0,0256 + (4 - 0,8) 2 × 0,0016 = 0,64. В данном случае речь идет о дисперсии частоты, а ее можно найти по формуле D ( X = m) = npq = 4 × 0,2 × 0,8 = 0,64. Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле s ( X ) = D( X ) = 0,64 = 0,8. Задача 4. В магазин поступают n1 = 100 изделий первого завода и

n 2 = 200 - второго. Первый завод выпускает некачественные изделия в 5% случаев, второй - в 8%. Найти среднее число, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа X качественных изделий, поступающих в магазин. Решение. Пусть X 1 - число качественных изделий, поступающих с

первого завода, X 2 - со второго. Тогда X = X 1 + X 2 . Можно считать, что случайные величины распределены по биномиальным законам с параметрами p1 = 0,95, q1 = 0,05 , p 2 = 0,92 , q 2 = 0,08 соответственно. Тогда

MX = MX 1 + MX 2 = n1 p1 + n 2 p 2 = 100 × 0,95 + 200 × 0,92 = 279. 100

Так как X 1 и X 2 независимые величины, то DX = DX 1 + DX 2 = n1 p1 q1 + n 2 p 2 q 2 = 100 × 0,95 × 0,05 + 200 × 0,92 × 0,08 = 19,47;

sX = DX = 4,4123. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона с параметром l > 0, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру l этого закона, т.е.

Дискретная случайная величина Х=m имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает значения 1, 2, ..., m ... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями где 0
1-1

где P(x=1)= p × q = p × q = p , 4 -1 3 P(x=4)= p × q = p × q , … 0

P(x=2)= p × q

2 -1

, = p × q , P(x=3)= p × q3-1 = p × q 2 ,

Математическое ожидание случайной геометрическое распределение с параметром р,

101

величины

X,

имеющей

а ее дисперсия где q=1-p. Аудиторные задания. Задача 1. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,1. Составить закон распределения числа выигравших облигаций среди приобретенных 19. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Задача 2. Составить функцию распределения случайной величины, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами п и р. Задача 3. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени равна 0,002. Необходимо: а) составить закон распределения отказавших за время элементов; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) определить вероятность того, что за время t откажет хотя бы один элемент. Задача 4. Вероятность поражения цели равна 0,05. Производится стрельба по цели до первого попадания. Необходимо: а) составить закон распределения числа сделанных выстрелов; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не менее 5 выстрелов. Задача 5. Имеются три базы с независимым снабжением. Вероятность отсутствия на базе нужного товара равна 0,1. Предприниматель решил закупить некий товар. Составить закон распределения числа баз, на которых в данный момент этот товар отсутствует. Задача 6. Бросают три игральных кубика. Составить закон распределения числа выпавших «шестерок» на трех кубиках. Задача 7. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента 0,15. Составить закон распределения отказавших элементов. Задача 8. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса допущена ошибка, равна 0,3. Аудитору на заключение представлено 3 баланса предприятия. Составить закон распределения числа положительных заключений на проверяемые балансы. Задача 9. Вероятность того, что аудитор допустит ошибку при проверке 102

бухгалтерского баланса, равна 0,05. Аудитору на заключение представлено 2 баланса. Составить закон распределения числа правильных заключений на проверяемые балансы. Задача 10. Вероятность сбоя в работе АТС равна ОД. Составить закон распределения числа сбоев, если в данный момент поступило 5 вызовов. Задача 11. Имеется 4 различных ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа опробованных ключей, если опробованный ключ в дальнейшем не участвует в испытаниях. Занятие № 10. Тема 10. Непрерывные случайные величины. 1.Функция и плотность распределения. 2.Числовые характеристики. Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и имеет производную. Свойства функции распределения: 1) Вероятность попадания случайной величины в промежуток от a до b равна приращению функции распределения на концах этого промежутка

P (a < X < b ) = F ( b ) - F (a ) .

2) F (-¥) = 0, F (+¥) = 1 . Плотностью распределения (дифференциальной непрерывной случайной величины называется функция f ( x ) = F ¢( x) .

функцией)

Свойства плотности распределения: 1) f ( x ) ³ 0 для любой случайной величины; +¥

2)

ò f ( x)dx = 1.

-¥

b

P (a < X < b ) = ò f ( x)dx.

a 3) Функция распределения F(x), выражаемая через плотность f(x), имеет

вид x

F ( x) = ò f ( x)dx. -¥

Математическое ожидание величины вычисляются

и дисперсия

103

непрерывной

случайной

по формулам +¥

M ( X ) = ò xf ( x )dx, -¥

+¥

D ( X ) = ò ( x - M ( X )) 2 f ( x )dx. -¥

p( x) =

c

1+ x2 . Задача 1. Пусть случайная величина X имеет плотность Определить константу c и найти вероятность p=P(|X|<1). Решение. Определим константу c из 2) свойства плотности. Получим +¥ c æp p ö +¥ 1= ò = arctg | = c c ç + ÷ = cp ¥ 2 è2 2ø -¥ 1 + x .

c= Тогда Так как для любых a и b

1 1 . , p( x) = p p (1 + x 2 ) b

P (a < x < b) = ò p ( x)dx a

1

p = P (| X |< 1) = P (-1 < X < 1) = ò

dx

-1p (1 +

x2)

=

, то

1 1 arctg x -1 = p

1 æp 1 ö 1 ç + ÷= . p è4 pø 2 Задача 2. Пусть случайная величина X имеет плотность 6 2 p ( x )= ( x + x + 1) 11 при 0<x<1 и p(x)=0 при x<0 и x>1. Найти математическое ожидание и дисперсию X. Решение. По определению математического ожидания +¥ 61 MX = ò xp( x)dx = ò x ( x 2 + x + 1)dx = 11 0 -¥ =

61 3 6 æ 1 1 1 ö 13 2 ò ( x + x + x)dx = ç + + ÷ = = 0,5909. 11 0 11 è 4 3 2 ø 22 Найдем +¥ 61 MX 2 = ò x 2 p ( x)dx = ò x 2 ( x 2 + x + 1)dx = 11 0 -¥ =

=

61 4 6 æ 1 1 1 ö 47 3 2 . ò ( x + x + x )dx = ç + + ÷ = 11 0 11 è 5 4 3 ø 110 104

2

47 æ 13 ö DX = MX - ( MX ) = - ç ÷ = 0,0781. 110 è 22 ø Тогда 2

2

Аудиторные задания. Задача 1. Плотность случайной величины X: 3 p ( x) = (1 - x 2 ) 4 x Î [1 , 1 ] x при и p(x)=0 при Ï [-1,1] . Найти M(X) и D(X). Задача 2. Функция распределения случайной величины X: x £ 0, ì 0, ï 3 F ( x) = í x , 0 < x £ 1, ï 1, x > 1. î Найти M(X) и D(X). Задача 3. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X: ì 0, x £ 0, F ( x) = í x î x + 2 , x > 0. Найти M(X) и D(X). Задача 4. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X: x £ 1, ì 0, ï p ( x ) = í2( x - 1), 1 < x £ 2, ï 0, x > 2. î Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу 5 4

а) (0, ), b) (1,5; 1,8). Задача 5. Непрерывная случайная величина X имеет функцию распределения ìa + be -l , x > 0, F ( x) = í x £ 0, l > 0. î 0, Найти a, b, плотность X, MX, DX. Задача 6. Случайная величина X задана плотностью распределения 1 2

f(x)= x в интервале (0; 2), вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. 105

Занятие № 11. Тема 11. Законы распределения непрерывных случайных величин. 1.Равномерный закон распределения. 2.Нормальный (гауссовский) закон распределения. 3.Функция Лапласа и его свойства. Вероятность попадания в интервал, «правило трех сигм», показательное распределение. Непрерывная случайная величина X распределена равномерно на отрезке [a;b], если ее плотность вероятности p(x) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е. ì 1 , a £ x £ b, p( x) = í b-a î 0, x < a, x > b. Функция распределения равномерной случайной величины имеет вид: x £ a, ì 0, ï x-a F ( x) = í b - a , a < x £ b, ï 1, x > b. î Математическое ожидание и дисперсия равномерной случайной величины: (b - a ) 2 a+b ; DX = MX = . 2 12 Непрерывная случайная величина X имеет показательное распределение с параметром l , если ее плотность вероятности имеет вид: ìle -lx , x ³ 0, p( x) = í x < 0. î 0, l > 0. где Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна ì1 - e -lx , x ³ 0, F ( x) = í x < 0. î 0, Математическое ожидание и дисперсия показательно распределенной случайной величины X: MX =

1 1 ; DX = 2 . l l

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон a s распределения с параметрами и , если ее плотность вероятности имеет вид:

106

-

1

p( x) =

( x-a )2 2s 2

, e s 2p где s > 0. Функция распределения нормальной случайной величины имеет вид: F ( x) =

1

+¥

-

( x - a )2 2s 2

dt. ò e s 2p - ¥ Математическое ожидание и дисперсия: MX = a; DX = s 2 . Задача 1. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1,6]. Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины. Решение. Плотность вероятности для величины X имеет вид x £ 1, ì 0, ï1 p ( x ) = í 5 , 1 < x £ 6, ï 0, x > 6. î Следовательно, функция распределения, вычисляемая по формуле x

F ( x) = ò p ( x)dx, -¥

запишется в виде x £ 1, ì 0, ïï x F ( x) = í 15 ò dx = 15 x |1x = x5-1 , 1 < x £ 6, ï 1 ïî 1, x > 6. Так как отрезок [a,b]=[1,6], то математическое ожидание будет равно a + b 1+ 6 MX = = = 3,5. 2 2 Находим дисперсию и среднее квадратичное отклонение (b - a ) 2 (6 - 1) 2 25 5 DX = = = , sX = . 12 12 12 2 3 Задача 2. Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 10, а среднее квадратичное отклонение равно 2. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (9, 12). Решение. Воспользуемся формулой P( x1 £ X £ x2 ) = Ф(t2 ) - Ф(t1 ) :

По таблице функции Лапласа (см. Приложение) находим: Ф(1)=0,3413, 107

Ф(0,5) = 0,1915. Тогда Р(9<Х<12)=0,5328. Аудиторные задания Задача 1. Математическое ожидание показательно распределенной случайной величины X равно MX=5. Найти вероятность P(X<5). Задача 2. Число вызовов "скорой помощи" за время t образует пуассоновский поток событий с параметром 2t. Чему равно среднее число вызовов за время 1/2? Задача 3. Пусть X - нормально распределенная случайная величина с параметрами a=1, s = 2 . Найти вероятность P(|x|>1), P(|x-1|<2). Задача 4. Пусть X - равномерно распределенная случайная величина, для которой MX=1 и DX=1. Найти закон ее распределения. Задача 5. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [0; 6]. Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность попадания ее в интервал (1; 3). Задача 5. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого числа. Полагая, что при отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Задача 6. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед. 1. Найти вероятность того, что цена акции: а) не выше 15,3 ден. ед.; б) не ниже 15,4 ден. ед.; в) от 14,9 до 15,3 ден. ед. 2. С помощью правила трех сигм найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции. Задача 7. Цена некой ценной бумаги нормально распределена. В течение последнего года 20% рабочих дней она была ниже 88 ден. ед., а 75% – выше 90 ден. ед. Найти: а) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цены ценной бумаги; б) вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 83 до 96 ден. ед. Задача 8. Случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а=25. Вероятность попадания Х в интервал (10; 15) равна 0,09. Чему равна вероятность попадания X в интервал: 108

а) (35;40); б) (30;35)?

Занятие № 12. Математическая статистика. Тема 12. Статистическое распределение выборки. 1. Эмпирическая функция распределения. 2. Полигон 3. Гистограмма. Пусть некоторый признак генеральной совокупности описывается случайной величиной X. Рассмотрим выборку { x1 , x 2 , K , x n } объема n из генеральной совокупности. Элементы этой выборки представляют собой значения случайной величины X. Различные элементы выборки называются вариантами. Частотой варианты x i называется число m i , показывающее сколько раз эта варианта встречается в выборке. Относительной частотой варианты m называется число wi = i . n Ряд вариант, расположенных в порядке возрастания их значений, с соответствующими им частотами и относительными частотами называется вариационным рядом. Для наглядности представления используют графические изображения вариационных рядов в виде полигона и гистограммы. Полигон представляет собой ломаную, соединяющую точки плоскости с координатами ( x i , m i ), i = 1,2, K , n . Гистограмма имеет вид ступенчатой фигуры из прямоугольников с основаниями, равными длине интервалов D с высотами, равными частотам m i интервалов. Эмпирической функцией распределения Fn (x) называется функция, значение которой в точке x равно накопленной частоте, т.е. m Fn ( x ) = w x = x . n Задача 1. В магазине за день было продано 45 пар мужской обуви. Имеется выборка значений случайной величины X - размера обуви: 39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 40, 43, 42, 41, 43, 39, 42, 41, 42, 39, 41, 37, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44, 109

40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 41, 42. Построить дискретный вариационный ряд, полигон и эмпирическую функцию распределения. Решение. Для построения вариационного ряда различные значения признака располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем его частоту 37 38 39 40 41 42 43 44 xi 3 5 8 12 9 5 2 mi 1 Полигон этого распределения изоражен на рис. 4 m

·

12--

8--

·

4--

| 0 35 36

·

·

·

·

·

·

|

|

|

|

|

|

|

|

|

37

38

39

40

41

42

43

44

45

х

Рис. 4. По данным таблицы находим накопленные частоты и относительные частоты

xi m xi

37 0

38 1

39 4

40 9

w xi

0

0,022 0,089 0,2

41 17

42 29

43 38

44 43

45 45

0,378 0,644 0,844 0,978 1

На рисунке 5 изображена эмпирическая функция распределения

110

wi 1 --

0,5--

| 0 35 36

|

|

|

|

|

|

|

|

|

37

38

39

40

41

42

43

44

45

х

Рис. 5. Задача 2. Результаты измерений отклонений от номинала диаметров 50 подшибников дали численные значения (в мкм), приведенне в таблице -1,752 -0,291 -0,933 -0,450 0,512 -1,256 1,701 0,634 0,720 0,490 1,531 -0,433 1,409 1,730 -0,266 -0,058 0,248 -0,095 -1,488 -0,361 0,415 -1,382 0,129 -0,361 -0,087 -0,329 0,086 0,130 -0,244 -0,882 0,318 -1,087 0,899 1,028 -1,304 0,349 -0,293 -0,883 -0,056 0,757 -0,059 -0,539 -0,078 0,229 0,194 -1,084 0,318 0,367 -0,992 0,529 Для данной выборки построить интервальный вариационный ряд, построить полигон, гистограмму, график эмпирической функции распределения. Решение. По данным таблицы определяем x min = -1,752 , x max = 1,73 . Разобъем множество значений выборки на интервалы. Число интервалов по формуле k = 1 + 1,4 ln n равно k = 1 + 1,4 ln 50 » 6,447. Выберем k=7, начало первого интервала a1 = -1,75 , а конец последнего,

седьмого, интервала a 7 = 1,75. При этом варианту x1 = -1,752 отнесем в первый интервал. Длина каждого интервала будет равна a - a1 1,75 + 1,75 D= 7 = = 0,5. k 7 Подсчитывая число вариант, попадающих в каждый интервал, получим вариационный ряд (табл.)

111

xi mi

[-1,75;-1,25)

[-1,25;-0,75)

[-0,75;-0,25)

[-0,25;0,25)

5

8

9

12

xi mi

[0,25;0,75) 9

[0,75;1,25) 3

[1,25;1,75) 4

По данным таблицы строим полигон и гистограмму (рис. 6) m 15 --

10 --

5

| 0 –1,75 -1,25

| -0,75

|

|

|

|

|

-0,25

0,25

0,75

1,25

1,75

x

Рис. 6. Для

построения

накопленные частоты

ai w ai

эмпирической

w ai

функции

распределения

(табл.)

-1,75 -1,25 -0,75 -0,25 0,25 0,75 1,25 1,75 0 0,1 0,26 0,44 0,68 0,86 0,92 1

На рис.7 изображена эмпирическая функция распределения.

112

вычислим

Fn (x) 1--

0,5 --

|

|

0 –1,75 -1,25

-0,75

|

|

|

|

|

-0,25

0,25

0,75

1,25

1,75

x

Рис. 7.

Аудиторные задания. Задача 1. Наблюдения за межремонтыми интервалами T (в месяцах) работы зерноуборочного комплекса дали результаты, приведенные в таблице 0,000 0,001 0,003 0,012 0,044 0,156 0,534 0,802 0,007 0,822 0,873 0,838 0,170 0,476 0,322 0,648 0,991 0,107 0,726 0,393 Построить вариационный ряд выборки, полигон, гистограмму, график эмпирической функции распределения. Задача 2. Выборка задана в виде распределения частот

xi ni

1 4

4 3

6 2

8 1

Построить полигон, гистограмму, эмпирическую функцию распределения. Задача 3. Выборка задана в виде распределения:

x i + x i +1 ni

3-5 5

5-7 10

7-9 15

9-11 11-13 13-15 15-17 30 20 5 15

Построить полигон, гисторамму, эмпирическую функцию распределения.

113

Занятие № 13-14. Тема 13. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценкию Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом. Несмещенной называют точечную статистическую оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Смещенной называют статистическую оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя 1 n x = å ni x i , n i =1 n

n = å ni

i =1 где x i - варианта выборки; n i - частота варианты x i ; - объем выборки. Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия 1 n D B = å ni ( x i - x ) 2 . n i =1 Несмещенной оценкой дисперсии является "исправленная" дисперсия: 1 n n s2 = DB = å ni ( xi - x ) 2 . n -1 n - 1 i =1 Точечными оценками среднего квадратичного отклонения s является выборочное квадратичное отклонение s B = D B и эмпирический стандарт

n DB . n -1 Задача 1. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором получены следующие результаты (в мм): x1 = 92, x 2 = 94 , x 3 = 103 , x 4 = 105 , x 5 = 106 . Найти: s=

а) выборочную среднюю длину стержня, б) выборочную и исправленную дисперсию ошибок прибора. Решение. a) Найдем выборочную среднюю: 1 n 1 x = å x i = (92 + 94 + 103 + 105 + 106) = 100. n i =1 5 б) Найдем выборочную дисперсию:

114

DB =

1 n 1 å ( x i - x ) 2 = ((92 - 100) 2 + (94 - 100) 2 + (103 - 100) 2 + (105 - 100) 2 n i =1 5

+ (106 - 100) 2 ) = 34. Найдем исправленную дисперсию: n 5 D B = × 34 = 42,5 s2 = n -1 4 . Задача 2. Найти несмещенную оценку дисперсии случайной величины X на основании данного распределения выборки: 9 10 xi 2 7 n i 8 14 10 18 Решение. Находим выборочную среднюю 1 x = (8 × 2 + 14 × 7 + 10 × 9 + 18 × 10) = 7,68. 50 Для вычисления выборочной дисперсии

используем

формулу

D B= x 2 - (x ) 2 1 x 2= (8 × 4 + 14 × 49 + 10 × 81 + 18 × 100= ) 66,56, 50 D B= 66,56 - 7,689 2= 7,58. Находим несмещенную оценку дисперсии n 7,58 s2 = = 7,73. D B = 50 × n -1 49 Аудиторные задания. Задача 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=60: 6 26 xi 1 3 n i 8 40 10 2 Найти несмещенную оценку генеральной средней. Задача 2. Выборка задана таблицей распределения 3 5 xi 1 2 n i 1 20 10 5 5 Найти выборочные характеристики: среднюю, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.

115

Тема 14. Интервальные оценки. 1. Интервальные оценки, их точность и надежность. 2. Доверительный интервал и доверительные границы. При малом объеме выборки применяются интервальные оценки, т.е. определяется интервал, покрывающий неизвестный параметр с заданной вероятностью. ~ Доверительной вероятностью или надежностью оценки a параметра a ~ называют вероятность g , с которой осуществляется неравенство | a - a |< d : P (| a~ - a |< d ) = g P (a~ - d < a < a~ + d = ) g . При этом интервал или (a~ - d ; a~ + d ) называют доверительным интервалом, число d - точностью оценки. 1. Интервальной оценкой с надежностью g неизвестного математического ожидания a нормально распределенной случайной величины X при известном среднем квадратическом отклонении s генеральной совокупности служит доверительный интервал: ts ts
0 < s < s(1 + q ) при q ³ 1 , где q находят по таблице приложения по заданным n иg.

Задача. Для определения среднего процентного содержания белка в зернах пшеницы было отобрано 626 зерен, обследование которых показало, что 2 выборочное среднее равно x = 16,8 , а выборочная дисперсия s = 4 . Чему равна с вероятностью 0,988 точность оценки выборки? 116

Решение. Считаем, что объем генеральной совокупность бесконечен, тогда выборку можно считать повторной. Так как g = 0,988 , то по таблицам

t = 2,5 функции F(t ) = 0,988 ; g . Тогда точность оценки выборки равна tg s 2,5 × 2 d= = = 0,2. n 625 Аудиторные задания Задача 1. На основании опытной носки 64 пар обуви установили, что средний срок службы испытываемой обуви 200 дней, а "исправленная" 2 2 выборочная дисперсия s = 100 (дней ). Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего срока службы обуви. Задача 2. Производится выборочное обследование среднего дохода семьи г. Махачкалы. Сколько семей надо обследовать, чтобы с вероятностью g = 0,99 можно было утверждать, что выборочная средняя отклонится от генеральной средней не более, чем на 10 тыс. руб., если считать среднее квадратическое отклонение равным 50 тыс. руб., а закон распределения уровня дохода нормальным? Задача 3. Известно, что прожолжительность горения электрических лампочек подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием a=1000 часов и средним квадратическим отклонением 40 часов. Из большой партии ламп извлечена выборка объема n=64. Найти с надежностью g = 0,996 доверительный интервал для средней продолжительности горения ламп всей партии. Задача 4. При формировании для фирмы портфеля поставок был произведен случайный отбор 100 поставщиков, которые осуществляли поставки сырья в прошлом году. Для процента w несвоевременно отгрузивших сырье поставщиков необходимо определить доверительные границы на уровне 0,997, если в выборке оказалось 25 таких поставщиков. Занятие № 15. Тема 15. Элементы теории корреляции. Линейная корреляция. 1. Коэффициент корреляции. 2. Функции и коэффициенты регрессии При решении задач математической статистики одним из главных моментов является установление вида зависимости выходной переменной Y от входной переменной X, т.е. вида уравнения регрессии Y = j (X ) . Это связано в первую очередь с необходимостью прогнозирования исследуемых процессов. Если функция j в этом уравнении линейна по X, т.е. Y = a + bX , то говорят, что имеет место линейная регрессия Y по X. Если регрессии Y на X и X на Y - линейные, то корреляцию называют 117

линейной. Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид sy y x - y = rB ( x - x ), sx где y x - условная средняя; x и y - выборочные средние признаков X и Y; s x и sy -выборочные средние квадратические отклонения; rB - выборочный коэффициент корреляции, причем

rB =

å n xy xy - nx y

. ns x s y Если данные наблюдений над признаками X и Y заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целесообразно перейти к условным вариантам y j - C2 x - C1 ui = , vj = , h1 h2 где C1 - "ложный нуль" вариант x (новое начало отсчета); в качестве ложного нуля выгодно принять варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (условимся принимать в качестве ложного нуляварианту, имеющую наибольшую частоту); h1 - шаг, т.е. разность между двумя соседними вариантами X; C 2 - ложный нуль вариант Y. В этом случае выборочный коэффициент корреляции å nuv uv - nu v . rB = ns u s v Величины u , v , s u , s v могут быть найдены по формулам 1 1 u = å nu u , v = å n v v, s u = u 2 - (u ) 2 , s v = v 2 - (v ) 2 . n n Зная эти величины, можно определить входящие в уравнение линейной регрессии величины по формулам: x = u h1 + C1 , y = v h2 + C 2 , s x = s u h1 , s y = s v h2 . Задача. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X по данным, приведенным в корреляционной таблице.

118

X Y 4 8

5 2

15 1

12 16 20 24

4 2 2

nx

7

25 2 4

35

3

10 2

9

45

55

65

ny 4 5

12

3 5 8

6 4 1 11

17 13 9 2 n=50

1 1

Решение. Составим корреляционную таблицу в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей C1 = 35 и C 2 = 12 (каждая из этих вариант расположена в середине соответствующего вариационного ряда) u v -2 -1 0 1 2 3 nu

-3 -2 2 1 4

-1 2 4

0

3

10

2 2

7

2

3

4 5 2

9

1

nv

12

17

3 5 8

6 4 1 11

13 9 2 n=50

1 1

Найдем u и v : 1 1 u = å n u u = (2 × (-3) + 7 × (-2) + 9 × (-1) + 8 × 1 + 11 × 2 + 1 × 3) = 0,08; n 50 1 1 v = å n v v = (4 × (-2) + 5 × (-1) + 13 × 1 + 9 × 2 + 2 × 3) = 0,48. n 50 2 2 Найдем вспомогательные величины u и v : 1 1 u 2 = å nu u 2 = (2 × 9 + 7 × 4 + 9 × 1 + 8 × 1 + 11 × 4 + 1 × 9) = 2,32; n 50 1 1 v 2 = å n v v 2 = (4 × 4 + 5 × 1 + 13 × 1 + 9 × 4 + 2 × 9) = 1,76. n 50 Найдем s u и s v

s u = 2,32 - 0,08 2 = 1,52; s v = 1,76 - 0,48 2 = 1,24. Найдем å nuv uv , для чего составим расчетную таблицу

119

u

-3

v -2

-2

-1

6 2

0

1

2

I

2

16

1

6

II

2

-1

2 1

4

0 1

-2

1

2

3

III -4

2

2 5

4

26

4

3

6 1 12

2 -4

8

II IV

IV 15

6

2

I II

3

13

34

9

15

1 9

22 -4

56

Сложив числа итоговых клеток (4 клетки в нижнем правом углу таблицы), получим å nuv uv = 22 - 4 + 56 = 74. Найдем искомый коэффициент корреляции å nuv uv - nu v = 74 - 50 × 0,08 × 0,48 = 0,76. rB = ns u s v 50 × 1,52 × 1,24 x, y, s x , s y : Найдем x = u h1 + C1 = 0,08 × 10 + 35 = 35,8; y = v h2 + C 2 = 0,48 × 4 + 12 = 13,92; s x = h1s u = 10 × 1,52 = 15,2; s y = h2s v = 4 × 1,24 = 4,96. Подставив найденные величины в уравнение (1), получим 4,96 ( x - 35,8), y x - 13,92 = 0,76 15,2 или окончательно y x = 0,25 x + 4,97. Аудиторные задания. Задача. Найти выборочное уравнение прямых линий регрессии Y на X по данным корреляционным таблицам: 1) ny X 5 10 15 20 25 30 35 40 Y 100 2 1 3 120 3 4 3 10 140 160 180 nx

5 5

5

8

10 1

8

11

8

6 6

1 4 4

1 1 2 120

23 9 5 n=50

2) X Y 125 150 175 200 225 250 nx

1 8 1

23 1 2 3

1

6

28

33

38

43

48

1 8

5 2 1 8

ny

12 8 20

7 3 10

3 1 4

17 16 6 2 n=50

1 1

121

ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица I. Значения функции х 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95

0.3989 0.3984 0.3970 0.3945 0.3910 0.3867 0.3814 0.3752 0.3683 0.3605 0.3521 0.3429 0.3332 0.3230 0.3123 0.3011 0.2897 0.2780 0.2661 0.2541

х 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95

0.2420 0.2299 0.2179 0.2059 0.1942 0.1826 0.1714 0.1604 0.1497 0.1394 0.1295 0.1200 0.1109 0.1023 0.0940 0.0863 0.0790 0.0721 0.0656 0.0596

х 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30 2.35 2.40 2.45 1.50 2.55 2.60 2.65 2.70 2.75 2.80 2.85 2.90 2.95

0.0540 0.0488 0.0440 0.0396 0.0355 0.0317 0.0283 0.0252 0.0224 0.0198 0.0175 0.0154 0.0136 0.0119 0.0104 0.0091 0.0079 0.0069 0.0060 0.0051

х 3.00 0.0044 3.05 0.0038 3.10 0.0033 3.15 0.0028 3.20 0.0024 3.25 0.0020 3.30 0.0017 3.35 0.0015 3.40 0.0012 3.45 0.0010 1.50 0.0009 3.55 0.0007 3.60 0.0006 3.65 0.0005 3.70 0.0004 3.75 0.0003 3.80 0.0002 3.85 0.0002 3.90 0.0002 3.95 0.0002 4.00 0.0001

Таблица II. Значения функции х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х 0.00 0.00000 0.85 0.30234 1.70 0.45543 2.55 0.05 0.01994 0.90 0.31594 1.75 0.45994 2.60 0.10 0.03983 0.95 0.32894 1.80 0.46407 2.65 0.15 0.05962 1.00 0.34134 1.85 0.46784 2.70 0.20 0.07926 1.05 0.35314 1.90 0.47128 2.75 0.25 0.09871 1.10 0.36433 1.95 0.47441 2.80 122

Ф(х) 0.49461 0.49534 0.49598 0.49653 0.49702 0.49744

0.30 0.11791 1.15 0.37493 2.00 0.47725 2.85 0.49781 0.35 0.13683 1.20 0.38493 2.05 0.47982 2.90 0.49813 0.40 0.15542 1.25 0.39435 2.10 0.48214 2.95 0.49841 0.45 0.17364 1.30 0.40320 2.15 0.48422 3.00 0.49865 0.50 0.19146 1.35 0.41149 2.20 0.48610 3.20 0.49931 0.55 0.20884 1.40 0.41924 2.25 0.48778 3.40 0.49966 0.60 0.22575 1.45 0.42647 2.30 0.48928 3.60 0.499841 0.65 0.24215 1.50 0.43319 2.35 0.49061 3.80 0.499928 0.70 0.25804 1.55 0.43943 2.40 0.49180 4.00 0.499968 0.75 0.27337 1.60 0.44520 2.45 0.49286 4.50 0.499997 0.80 0.28814 1.65 0.45053 2.50 0.49379 5.00 0.5

9.2 Задания для итогового контроля остаточных знаний по дисциплине. 9.2.1. Задачи в экзаменационных билетах. 1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет кратна 2. 2. Дискретная случайная величина задана законом распределения Х Р

1 0.2

2 0.1

4 0.4

6 0.3

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х. 3. Найти вероятность того, что при написании трех различных цифр получится число 158. 4. Вероятность попадания в цель 1-го стрелка равна 0.9, а для второго 0.8. Найти вероятность, что при залпе двумя стрелками одновременно попадет только один из них. 5. В колонне из 35 автомобилей 15 легковые, а остальные грузовые. Найти вероятность того, что наудачу выбранный автомобиль окажется легковым. 6. Вероятность попадания в ворота при одном ударе мяча равна 0.7. Написать закон распределения дискретной случайной величины Х – попадания в ворота при трех ударах по мячу. 7. На предприятии работают 10 мужчин и 8 женщин. Найти вероятность того, что среди 5 случайно выбранных рабочих окажется 3 мужчины и две женщины. 8. Дискретная случайная величина задана законом распределения

123

Х Р

1 0.5

2 0.1

3 0.4

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х. 9. Найти вероятность того, что при бросании монеты 4 раза герб выпадет ровно три раза. 10. При сдаче экзамена по математике ученики 11 класса получили следующие оценки: “5”- 3 ученика, “4” – 11 учеников, “3”- 17 учеников, “2”- 4 ученика. Построить вариационный ряд и полигон распределения частот. 11. В группе из 10 стрелков - 5 отличных, 3 – хороших и 2 посредственных. Вероятность попадания в цель для отличного стрелка равна 0.9, для хорошего – 0.8, а для посредственного – 0.7. Найти вероятность, что наудачу выбранный стрелок попадет в цель. 12. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей сумма выпавших очков будет больше 9. 13. Вероятность попадания в цель при одном выстреле по мишени равна 0.7. Найти вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах по мишени. 14. Заработная плата рабочих фирмы распределена следующим образом: до 6000 р. – 2 чел., 6000-10000 р. – 8 чел., 10000-14000 р. – 10 чел., 1400020000 р. – 6 чел., свыше 20000 р. – 2 чел. Составить интервальный вариационный ряд и построить гистограмму частот. 15. Вероятность того, что первый автомобиль доедет до финиша равна 0.9, второй – 0.8. Найти вероятность того, что финишируют обе машины. 16. Дана функция распределения НСВ Х ì0 ï ï 3 ïx F ( x) = í ï 27 ï ï1 î

x £ 0, 0 < x < 3, x ³ 3.

Найти f(x) – плотность распределения НСВ Х. 17. Найти вероятность того, что при бросании двух игровых костей сумма выпавших очков будет равна 7. 18. На склад доставили телевизоры с двух заводов, с первого завода 60%, со второго завода 40%. Вероятность того, что телевизор с первого завода окажется бракованным, равна 0.1, а со второго завода – 0.2. Купленный телевизор оказался бракованным. Найти вероятность того, что этот телевизор был произведен на втором заводе. 19. Сколько слов можно составить из 5 различных букв? 20. Дискретная случайная величина задана законом распределения 124

Х Р

1 0.1

3 0.3

5 0.6

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х. 21. В ящике 20 шаров: 8 белых и 12 черных. Найти вероятность того, что наудачу выбранный шар окажется черным. 22. В партии из 15 деталей 10 стандартные. Написать закон распределения ДСВ Х – числа стандартных деталей среди трех случайно выбранных деталей. 23. В команде 8 парней и 6 девушек. Найти вероятность того, что среди двух случайно выбранных спортсменов окажется 1 парень и 1 девушка. 24. Стрелок стреляет по мишени. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0.7, а при втором 0.8. Найти вероятность того, он не попадет в мишень ни разу. 25. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из 10 различных цифр. 26. На заводе два станка по производству деталей некоторого вида. Вероятность того, что выйдет из строя первый станок, равна 0.95, а вероятность что выйдет из строя второй станок 0.92. Найти вероятность того, что оба станка будут работать без поломки. 27. Вероятность того, что в игре двух соперников выиграет первая команда, равна 07. Найти вероятность того, что в пяти играх вторая команда выиграет три раза. 28.Дана функция распределения НСВ Х ì0 ï ï 2 ïx F ( x) = í ï4 ï ï1 î

x £ 0, 0 < x < 2, x ³ 2.

Найти f(x) – плотность распределения НСВ Х. 29. С первого станка-автомата на сборку поступают 40%, со второго 35%, с третьего 25% деталей. Среди деталей выпущенных первым станком 10% бракованных, вторым – 5 %, третьим 2%. Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется набракованная. 30. Найти вероятность того, что при трех бросаниях монеты герб выпадет три раза. 31. В ящике 20 шаров: 12 белых и 8 черных. Найти вероятность того, что второй шар будет белым, если первый шар был черным. 32. Дана плотность распределения НСВ Х

125

ì0 ï ï ï 2x f ( x) = í ï9 ï ï1 î

x £ 0, 0 < x < 3, x ³ 3.

Найти F(x) – функцию распределения НСВ Х. 33. Постройте гистограмму частот, найдите среднюю заработную работников одного из цехов промышленного предприятия. 175200Заработная 150-175 50-75 75-100 125-150 200 225 плата, у.е. Число 12 23 37 19 15 9 работников Рассчитайте среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации заработной платы. 34. Для оценки остаточных знаний по общеэкономическим предметам были протестированы 25 студентов 2-го курса факультета. Получены следующие результаты в баллах: 107, 90, 114, 88, 117, 110, 103, 120, 96, 122, 93, 100, 121, 110, 135, 85, 120, 89, 100, 126, 90, 94, 99, 116, 111. По этим данным найдите 95%-й доверительный интервал для оценки среднего балла тестирования всех студентов 2-го курса факультета. 35. Для оценки состояния деловой активности промышленных предприятий различных форм собственности были проведены выборочные бизнес обследования и получены следующие результаты: Интервалы значений показателя деловой 0-8 8-16 16-24 24-32 активности, бал Число предприятий (акционерные общества 10 15 8 5 открытого типа) Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднее значение показателя деловой активности, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объясните полученные результаты. 36. Продажа акций на аукционе акционерными обществами города характеризуется следующими данными: Продажа акций, % от 9-15 15-21 21-27 27-33 уставного капитала Число акционерных обществ 3 5 4 2 открытого типа Постройте гистограмму распределения частот. Найдите средний процент продажи акций. Охарактеризуйте колеблемость процента продажи акций с помощью соответствующих показателей.

126

37. Имеются выборочные данные о числе сделок, заключенных брокерскими фирмами и конторами города в течение месяца: Число заключенных сделок 10-30 30-50 50-70 70-90 Число брокерских фирм и 20 18 12 5 контор Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднее число заключенных сделок, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, размах вариации. Объясните полученные результаты. 38. Кредиты ЦБ РФ предприятиям России за 7 месяцев 1992 г. (с апреля по октябрь) характеризуются следующими данными: Месяц Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Размер кредитов, 918,1 1025,3 1041,8 1393,0 1860,0 2153,2 2731,0 млрд. руб. Найдите среднемесячный размер кредита за указанный период. 39. Число пассажиров компании “Аэрофлот-Дон” одного из рейсов на рейсах между Ростовом и Москвой за 30 дней между апрелем и маем текущего года составило: 128, 121, 134, 118, 123, 109, 120,116,125,128,121,129,130,131, 127, 119, 114, 124, 110, 126, 134, 125, 128, 123, 128, 133, 132,136, 134,129. Составьте вариационный ряд. Чему равно среднее число пассажиров в рейсе? Рассчитайте показатели вариации. Сделайте анализ полученных результатов. 40. Администрацию универсама интересует оптимальный уровень запасов продуктов в торговом зале, а также среднемесячный объем покупок товаров, не являющихся предметом ежедневного потребления в семье (таких, например, как сода). Для выяснения этого вопроса менеджер универсама в течение января регистрировал частоту покупок стограммовых пакетиков с содой и собрал следующие данные ( xi ) : 8, 4, 4, 9, 3, 3, 1, 2, 0, 4, 2, 3, 5, 7, 10, 6, 5, 7, 3, 2, 9, 8, 1, 4, 6, 5, 4, 2, 1, 0, 8. Постройте вариационный ряд, определите его числовые характеристики. Какие рекомендации вы дали бы администрации универсама? 41. Имеются данные о числе тонн грузов, перевозимых еженедельно паромом некоторого морского порта в период навигации: 398, 412, 560, 474, 544, 690, 587, 600, 613, 457, 504, 477, 530, 641, 359, 566, 452, 633, 474, 499, 580, 606, 344, 455, 505, 396, 347, 441, 390, 632, 400, 582. Составьте вариационный ряд. Найдите среднюю арифметическую. Рассчитайте показатели вариации ряда. 42. Постройте гистограмму частот, найдите среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для данных о дневной выручке в магазине электроники: Выручка, 3004005006002000-200 у.е. 300 400 500 600 700 Число дней 3 5 9 14 8 3 127

43. Имеются выборочные данные о числе сделок, заключенных брокерскими фирмами и конторами города в течение месяца: Число заключенных сделок 10-30 30-50 50-70 70-90 Число брокерских фирм и 20 18 12 5 контор Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднее число заключенных сделок, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, размах вариации. Объясните полученные результаты. 44. По результатам выборочного обследования торговых киосков города получены следующие данные о дневной выручке частного бизнеса: Выручка от 2,0 и продажи товара, до 1 1-1,2 1,2-1,4 1,4-1,6 1,6-1,8 1,8-2,0 выше тыс. у.е. Число торговых 10 12 22 26 18 7 5 киосков Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднедневную выручку от продажи товаров, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. 1

9.2.2. Материалы итогового тестирования по дисциплине. В коробке 5 одинаковых изделий, причём 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлечённых изделий окажутся два окрашенных изделия. 3 ; 10

а) 2

7 ; 20

в)

3 . 5

Сколько 9-значных чисел можно составить из цифр 12345? а)120;

3

б)

б)60;

в) 80;

г)20.

Какова вероятность, что из колоды карт в 52 карты будет извлечена или туз или карта треф? а)

13 ; 20

б)

7 ; 13

в)

4 . 13

4

Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее выиграть: не менее двух партий из четырёх или не менее трёх партий из пяти? а) две из четырёх; б) три из пяти; в) равновозможно.

5

Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет менее двух раз. а)

5 ; 32

б)

128

3 ; 16

в)

1 . 16

6

7

8

В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей два мальчика. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51. а) »0,306; б) »0,26; в) »0,118 Найти вероятность поражения цели при совместной стрельбе тремя орудиями, если вероятности поражения цели равны соответственно для 1-го орудия – 0,9; 2-го орудия – 0,8;3-го орудия – 0,7. а) 0,504; б) 0,206; в) 0,108 В коробке лежат 200 белых, 100 красных и 50 зеленых шаров. Наудачу вынимается один шар. Чему равны вероятности получить шар красного или зеленого цвета? а)

9

1 ; 400

12

13

1 ; 7

в) 1;

г) 0.

б)

7 ; 100

в)

1 . 495

Имеются 3 одинаковых по виду ящика. В первом 20 белых шаров; во втором ящике 10 белых, 10 чёрных; в третьем ящике 20 чёрных. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Какова вероятность того, что шар вынут из первого ящика? а)

11

б)

В районе 100 посёлков, в 5-ти из них находятся пункты проката сельхозтехники. Случайным образом отобраны 2 посёлка. Какова вероятность того, что в них окажутся пункты проката? а)

10

5 ; 7

2 ; 5

б)

2 ; 3

в)

1 . 2

Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года равна 0,002. Какова вероятность отказа двух элементов за год? а) »0,2707; б) »0,0526; в) »0,1108. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года равна 0,002. Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год? а) »0,0526; б) »0,594; в) »0,7108. Случайная величина X – число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определить числовые характеристики M(X), D(X) этой случайно величины. а) 2,8 и

2 ; 5

б) 3,5 и

129

35 ; 12

в)5,3 и

1 . 2

14

Дан закон распределения случайной величины X: Х 3 4 6 7 Р 0,2 0,1 0,3 0,4 Найти математическое ожидание. а) 3,2; б)5,6; в) 2,8

15 Дисперсия случайной величины X равна 3. Найти дисперсию случайной величины Y= 4Х + 3. а) 12; б) 48; в) 36. 16

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной плотностью распределения на отрезке [0, 1]:

а)

3 2 и ; 16 5

б)

1 1 и ; 2 12

в) 1 и

1 . 2

17 Пусть

случайная

величина

X

имеет

плотность

6 2 ( x + x + 1) 11 при 0<x<1 и p(x)=0 при x<0 и x>1. Найти математическое ожидание и дисперсию X. p (= x)

а) 18

3 и 0,125; 16

б)

13 и 0,0781; 22

в) 1 и 0,035.

В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором получены следующие результаты (в мм): x1 = 92, x 2 = 94 , x 3 = 103 , x 4 = 105 ,

x 5 = 106 . Найти выборочную среднюю длину стержня. а) 120; б) 100; в) 80.

В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором получены следующие результаты (в мм): x1 = 92, x 2 = 94 , x 3 = 103 , x 4 = 105 ,

x 5 = 106 . Найти выборочную и исправленную дисперсию ошибок прибора. а) 49 и 62,5; б) 34 и 42,5; в) 86 и 73.

19

Телефонный номер состоит из 7 цифр. Какова вероятность, что в нем все цифры различные? 1)0,2703; 2)0,1235; 3) 0,3024.

130

20

В коробке находятся кубики четырех цветов: белых – 50%, красных – 20%, зеленых – 20%, синих – 10%. Какова вероятность того, что взятый случайным образом кубик окажется зеленым или синим? 1)0,5; 2)0,3; 3)0,7.

21

В вазе 5 белых и 4 красных гвоздики. Берут подряд 3 гвоздики. Найти вероятность того, что все гвоздики белые? 1 1) 3 ;

5 2) 18 ;

11 3) 18 .

22

Найти вероятность поражения цели при совместной стрельбе двумя орудиями, если вероятности поражения цели равны соответственно для 1-го орудия – 0,9 и для 2-го орудия – 0,8 1)0,32; 2)0,17; 3) 0,72.

23

Сколько раз надо подбросить монету, чтобы наивероятнейшее число выпадения герба было равно 32? 1)от 63 до 65; 2)90; 3)от 38 до 60.

24

Случайные величины X задана функцией распределения F(x) = x/3 + +1/3, X из [-1; 2]. Найти вероятность того что случайная величина попадет в результате испытания в (0,1). 1 1) 3 ;

25

3 2) 14 ;

1 3) 6 .

Найти дисперсию случайной величины X, заданной плотностью распределения f(x)=2 на отрезке [0, 1]. 1 1) 3 ;

3 2) 14 ;

1 3) 6 .

10. Задания для самостоятельной работы студентов. 10.1. Перечень вопросов по дисциплине для самостоятельного изучения. 1. Случайные события, пространство событий. Элементарные события. Действия над событиями, вычисление вероятности сложных событий, примеры. Таблица вероятностей 2. Понятие условной вероятности. Зависимые и независимые события. Вероятность хотя бы одного появления события. Вероятность появления 131

события не меньше данного числа раз. 3.Распределение Пуассона. Пуассоновское приближение биномиального распределения 4.Вероятность попадания в интервал, случай симметричного интервала, "правило трёх сигм". 5.Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения. 6.Оценки числовых характеристик случайной величины (мат. ожидания, дисперсии). Точность и надежность этих оценок. 7. Доверительные границы и доверительные интервалы. 8.Проверка статистических гипотез. Понятие критерии согласия. 9. Оценка влияния некоторого фактора на характер случайной величины. 10.Зависимость между двумя случайными величинами. Коэффициент корреляции 10.3. Задачи для самостоятельного решения Тема 1. Понятие факториала. Размещения, сочетания и перестановки. Задача 1. Сколько существует способов составления в случайном порядке списка из 7 кандидатов для выбора на руководящую должность? Задача 2. Руководство фирмы выделило отделу рекламы средства для помещения в печати объявлений о предлагаемых фирмой товарах и услугах. По расчетам отдела рекламы выделенных средств хватит для того, чтобы поместить объявления только в 15 из 25 городских газет. Сколько существует способов случайного отбора газет для помещения объявлений? Задача 3. Фирма нуждается в организации 4 новых складов. Ее сотрудники подобрали 8 подходящих одинаково удобных помещений. Сколько существует способов отбора 4 помещений из 8 в случайном порядке? Задача 4. Для разгрузки поступивших товаров менеджеру требутся выделить 6 из 20 имеющихся рабочих. Сколькими способами можно это сделать, осуществляя отбор в случайном порядке? Задача 5. Сколько существует способов составления списка 20 деловых звонков случайным образом? Задача 6. По сведениям геологоразведки 1 из 15 участков земли по всей вероятности содержит нефть. Однако компания имеет средства для бурения только 8 скважин. Сколько способов отбора 8 различных скважин у компании? Тема 2. Случайные события. 132

Задача 1. В магазин поступило 30 холодильников, 5 из них имеет заводской дефект. Случайным образом берут 1 холод. Какова вероятность того, что он будет без дефекта? Задача 2. В колонне из 35 автомобилей 15 легковые, а остальные грузовые. Найти вероятность того, что наудачу выбранный автомобиль окажется легковым. Задача 3. В ящике 20 шаров: 8 белых и 12 черных. Найти вероятность того, что наудачу выбранный шар окажется черным. Задача 4. Лотерея состоит из 1000 билетов, среди них 200 выигрышных. Наугад вынимается один билет из 1000. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный? Задача 5. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется разыскиваемая. Задача 6. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что номер набран правильно. Тема 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Задача 1. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,75, а при наличии конкурирующего товара равна 0,25. Вероятность выпуска конкурентом товара равна 0,35. Найти вероятность того, что товар будет иметь успех. Задача 2. В ремесленном цехе трудятся 3 мастера и 6 их учеников. Мастер допускает брак при изготовлении изделия с вероятностью 0,05; ученик - с вероятностью 0,15. Поступившее из цеха изделие оказалось бракованным. Какова вероятность, что его изготовил мастер? Задача 3. В магазин поступила обувь, 60% которых доставила первая фабрика, 25% - вторая и 15% - третья. Какова вероятность того, что купленная наугад пара обуви изготовлены на первой или третьей фабрике? Задача 4. Данное предприятие в среднем дает 21% продукции высшего сорта и 70% продукции первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта. Задача 5. В коробке лежат 200 белых, 100 красных и 50 зеленых шаров. Наудачу вынимается один шар. Чему равны вероятности получить шар белого, красного или зеленого цвета? Задача 5. Студент знает 20 из 25 экзаменационных вопросов. Найдите вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса. Тема 4. Формулы полной вероятности и Байеса. Задача 1. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев с вероятностью 0,9, если экономическая ситуация в регионе не будет 133

ухудшаться. Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0,5. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, равной 0,7, экономическая ситуация в регионе в течение следующих 6 месяцев будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок буде продан в течение ближайших 6 месяцев? Задача 2. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае - в 0,25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта? Задача 3. При слиянии акционерного капитала 2 фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагаю, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха будет равна 0,30. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,70. Чему равна вероятность успеха сделки? Тема 5-6. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная формула Лапласа. Задача 1. В городе 10 коммерческих банков. У каждого риск банкроства в течение года составляет 10%. Составьте ряд распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года. Чему равна вероятность того, что в течение года обанкротится не больше одного банка? Задача 2. В сборочный цех поступили детали, содержащие 10% нестандартных. Наудачу отобраны три детали. Написать закон распределения дискретной случайной величины X- числа нестандартных деталей среди отобранных. Задача 3. Нефтеразведывательная компания получила финансирование для проведения 6 нефтеразработок. Вероятность успешной нефтеразведки 0,05. Предположим, что нефтеразведку осуществляют независимые друг от друга разведывательные партии. Составьте ряд распределения числа успешных нефтеразведок. Чему равна вероятность того, что как минимум 2 нефтеразведки принесут успех? Задача 4. В партии из 15 деталей имеется 10 стандартных. Наудачу отобраны 4 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Задача 5. В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 клиентов. Каждому из клиентов выдается кредит 500 тыс. ден. ед. при условии возврата 110% от этой суммы. Вероятность невозврата кредита каждым из клиентов в среднем составляет p=0,01. Какая прибыль гарантирована банку с вероятностью p=0,8? Тема 7. Дискретные случайные величины. 134

Задача 1. Вероятность выигрыша облигации равна 0,05. Пусть X случайная величина, число выигрышных облигаций из 6. Составить закон распределения, найти функцию распределения и нарисовать ее график. Задача 2. В магазине имеются 10 телевизоров, из которых 4 дефектные. Пусть X - случайная величина - число исправных телевизоров среди трез выбранных. Составить закон распределения, найти функцию распределения и нарисовать ее график. Задача 3. Дан закон распределения случайной величины X - прибыли фирмы

xk pk

0 0,1

100 0,4

200 0,2

300 0,2

400 0,1

Найти функцию распределения F(X) и построить ее график. Тема 8. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Задача 1. Дан закон распределения случайной величины X: Х 3 4 6 7 Р 0,2 0,1 0,3 0,4 Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Задача 2. Дискретная случайная величина X принимает три возможные значения: x1 = 1 с вероятностью p1 = 0,3 ; x 2 = 4 с вероятностью

p 2 и x 3 с вероятностью p 3 = 0,5 . Найти x 3 и p 2 , если M(X)=5. Задача 3. Дан закон распределения случайной величины X:

Х 2 4 5 8 Р 0,1 0,3 0,4 0,2 Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Задача 4. Дискретная случайная величина X задана законом распределения: Х 1 2 4 7 Р 0,1 0,3 0,4 0,2 Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Задача 5. Дискретная случайная величина X задана законом распределения: Х 3 4 6 9 Р 0,2 0,1 0,4 0,3 Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Задача 6. Производятся два выстрела с вероятностями попадания в 135

цель, равными p1 =0,4, р2=0,3. Найдите математическое ожидание общего числа попаданий. Задача 7. Найдите математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей. Задача 8. Найдите математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей. Задача 9. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения: X p

2 4 5 0,1 0,3 0,6

Y p

и

7 0,8

9 0,2

Найти математическое ожидание случайной величины XY. Задача 10. Найдите дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения: X p

1 0,3

2 0,5

5 0,2

Задача 11. Известны дисперсии двух независимых случайных величин X, Y: D(X) = 4, D(Y) = 3. Найдите дисперсию суммы этих величин. Задача 12. Дисперсия случайной величины X равна 5. Найдите дисперсию следующих величин: а) Х – 1; б) -2Х; в) 3X + 6. Тема 9. Основные законы распределения дискретных случайных величин. Задача 1. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,1. Составить закон распределения числа выигравших облигаций среди приобретенных 19. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Задача 2. Составить функцию распределения случайной величины, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами п и р. Задача 3. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени равна 0,002. Необходимо: а) составить закон распределения отказавших за время элементов; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) определить вероятность того, что за время t откажет хотя бы один элемент. Задача 4. Вероятность поражения цели равна 0,05. Производится стрельба по цели до первого попадания. Необходимо: а) составить закон распределения числа сделанных выстрелов; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) определить 136

вероятность того, что для поражения цели потребуется не менее 5 выстрелов. Задача 5. Имеются три базы с независимым снабжением. Вероятность отсутствия на базе нужного товара равна 0,1. Предприниматель решил закупить некий товар. Составить закон распределения числа баз, на которых в данный момент этот товар отсутствует. Задача 6. Бросают три игральных кубика. Составить закон распределения числа выпавших «шестерок» на трех кубиках. Задача 7. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента 0,15. Составить закон распределения отказавших элементов. Задача 8. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса допущена ошибка, равна 0,3. Аудитору на заключение представлено 3 баланса предприятия. Составить закон распределения числа положительных заключений на проверяемые балансы. Задача 9. Вероятность того, что аудитор допустит ошибку при проверке бухгалтерского баланса, равна 0,05. Аудитору на заключение представлено 2 баланса. Составить закон распределения числа правильных заключений на проверяемые балансы. Задача 10. Вероятность сбоя в работе АТС равна ОД. Составить закон распределения числа сбоев, если в данный момент поступило 5 вызовов. Задача 11. Имеется 4 различных ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа опробованных ключей, если опробованный ключ в дальнейшем не участвует в испытаниях. Тема 10. Непрерывные случайные величины. Задача 1. Плотность случайной величины X: 3 p ( x) = (1 - x 2 ) 4 при x Î [-1,1] и p(x)=0 при x Ï [-1,1] . Найти M(X) и D(X). Задача 2. Функция распределения случайной величины X: x £ 0, ì 0, ï F ( x) = í x 3 , 0 < x £ 1, ï 1, x > 1. î Найти M(X) и D(X). Задача 3. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X: 137

ì 0, x £ 0, F ( x) = í x î x + 2 , x > 0. Найти M(X) и D(X). Задача 4. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X: x £ 1, ì 0, ï p ( x ) = í2( x - 1), 1 < x £ 2, ï 0, x > 2. î Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу 5

а) (0, 4 ), b) (1,5; 1,8). Задача 5. Непрерывная случайная величина X имеет функцию распределения ìa + be -l , x > 0, F ( x) = í x £ 0, l > 0. î 0, Найти a, b, плотность X, MX, DX. Задача 6. Случайная величина X задана плотностью распределения 1 2

f(x)= x в интервале (0; 2), вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Тема 11. Законы распределения непрерывных случайных величин. Задача 1. Математическое ожидание показательно распределенной случайной величины X равно MX=5. Найти вероятность P(X<5). Задача 2. Число вызовов "скорой помощи" за время t образует пуассоновский поток событий с параметром 2t. Чему равно среднее число вызовов за время 1/2? Задача 3. Пусть X - нормально распределенная случайная величина с параметрами a=1, s = 2 . Найти вероятность P(|x|>1), P(|x-1|<2). Задача 4. Пусть X - равномерно распределенная случайная величина, для которой MX=1 и DX=1. Найти закон ее распределения. Задача 5. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [0; 6]. Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность попадания ее в интервал (1; 3). Задача 5. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. 138

Показания прибора округляют до ближайшего целого числа. Полагая, что при отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Задача 6. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед. 1. Найти вероятность того, что цена акции: а) не выше 15,3 ден. ед.; б) не ниже 15,4 ден. ед.; в) от 14,9 до 15,3 ден. ед. 2. С помощью правила трех сигм найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции. Задача 7. Цена некой ценной бумаги нормально распределена. В течение последнего года 20% рабочих дней она была ниже 88 ден. ед., а 75% – выше 90 ден. ед. Найти: а) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цены ценной бумаги; б) вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 83 до 96 ден. ед. Задача 8. Случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а=25. Вероятность попадания Х в интервал (10; 15) равна 0,09. Чему равна вероятность попадания X в интервал: а) (35;40); б) (30;35)? Тема 12. Статистическое распределение выборки. Задача 1. Постройте гистограмму частот, найдите среднюю заработную работников одного из цехов промышленного предприятия . Заработная плата, у.е.

50-75

75-100

125-150

150-175

175-200

200-225

Число работников

12

23

37

19

15

9

Рассчитайте среднюю арифметическую, среднее отклонение, коэффициент вариации заработной платы.

квадратическое

Задача 2. По данным выборочного обследования получено следующее распределение семей по среднедушевому доходу Среднедушевой

доход

семьи в месяц, у.е. Количество обследованных семей

до 25

25-50

50-75

75-100

100-125

125-150

46

236

250

176

102

78

150

и

выше 12

Постройте гистограмму распределения частот. Найдите Среднедушевой доход семьи в выборке, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Задача 3. Для оценки состояния деловой активности промышленных предприятий различных форм собственности были проведены выборочные бизнес обследования и получены следующие результаты: Интервалы значений показателя деловой активности, бал

0-8

8-16

139

16-24

24-32

Число предприятий (акционерные общества открытого типа)

10

15

8

5

Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднее значение показателя деловой активности, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объясните полученные результаты. Тема 13. Статистические оценки параметров распределения. Интервальные оценки параметров распределения. Задача 1. Для оценки остаточных знаний по общеэкономическим предметам были протестированы 25 студентов 2-го курса факультета. Получены следующие результаты в баллах: 107, 90, 114, 88, 117, 110, 103, 120, 96, 122, 93, 100, 121, 110, 135, 85, 120, 89, 100, 126, 90, 94, 99, 116, 111. По этим данным найдите 95%-й доверительный интервал для оценки среднего балла тестирования всех студентов 2-го курса факультета. Задача 2. При выборочном опросе 1200 телезрителей оказалось, что 456 из них регулярно смотрят программы телеканала НТВ. Постройте 99%-й доверительный интервал, оценивающий долю всех телезрителей, предпочитающих программы телеканала НТВ. Задача 3. Известно, что прожолжительность горения электрических лампочек подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием a=1000 часов и средним квадратическим отклонением 40 часов. Из большой партии ламп извлечена выборка объема n=64. Найти с надежностью g = 0,996 доверительный интервал для средней продолжительности горения ламп всей партии. Задача 4. При формировании для фирмы портфеля поставок был произведен случайный отбор 100 поставщиков, которые осуществляли поставки сырья в прошлом году. Для процента w несвоевременно отгрузивших сырье поставщиков необходимо определить доверительные границы на уровне 0,997, если в выборке оказалось 25 таких поставщиков. Тема 14-15. Статистическая проверка статистических гипотез. Элементы теории корреляций. Задача 1. Компания, производящая средства для потери веса, утверждает, что прием таблеток в сочетании со специальной диетой позволяет сбросить в среднем в неделю 400 г. веса. Случайным образом отобраны 25 человек, использующих эту терапию, и обнаружено, что в среднем еженедельная потеря в весе составила 430 г. со средним квадратическим отклонением 110 г. Проверьте гипотезу о том, что средняя потеря в весе составляет 400 г. Уровень значимости a = 0,05 . Задача 2. Выборочные обследования показали, что доля покупателей, предпочитающих новую модификацию товара А, составляет 60% от общего числа покупателей данного товара. Каким должен быть объем выборки, чтобы 140

можно было получить оценку генеральной доли с точностью не менее 0,05 при доверительной вероятности 0,90? Задача 3. Производитель некоторого вида продукции утверждает, что 95% выпускаемой продукции не имеют дефектов. Случайная выборка 100 изделий показала, что только 92 из них свободны от дефектов. Проверьте справедливость утверждения производителя продукции на уровне значимости a = 0,05 . Задача 4. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X по данным, приведенным в корреляционной таблице. X Y 4 8

5 2

1

12 16 20 24

nx

15

4 2 2

7

25 2 4

35

3

10 2

9

45

55

65

ny 4 5

12

3 5

6 4 1 11

8

17 13 9 2 n=50

1 1

10.4. Материалы для самостоятельного тестирования по дисциплине. -3) -2)

-2)

Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность, что в нем все цифры различные? 1)0,2703; 2)0,1235; 3) 0,3024. В ящике находятся шары четырех цветов: белых – 50%, красных – 20%, зеленых – 20%, синих – 10%. Какова вероятность того, что взятый случайным образом шар окажется зеленым или синим? 1)0,5; 2)0,3; 3)0,7. В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее берут подряд 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые? 1)

1 ; 3

2)

5 ; 18

3)

141

11 . 18

-3)

Найти вероятность поражения цели при совместной стрельбе тремя орудиями, если вероятности поражения цели равны соответственно для 1-го орудия – 0,9 2-го орудия – 0,8 3-го орудия – 0,7 1)0,302; 2)0,365; 3) 0,504.

-1)

Сколько раз надо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадения двойки было равно 32? 1)от 191 до 197; 2)190; 3)от 98 до120. Рекламная вывеска состоит из 1000 ламп. Вероятность отказа одной лампы в течение года равна 0,002. Какова вероятность отказа двух ламп за год? Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год? 1)0,3024; 2)0,2707; 3) 0,5703. Рекламный щит состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года равна 0,002. Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год?

-2)

-3)

-1) -3)

1)0,024; 2)0,277; 3) 0,554. Дисперсия случайной величины X равна 3. Найти дисперсию следующих величин У= -3X. 1)27; 2)35; 3)9. Найти дисперсию случайной величины X, заданной плотностью распределения f(x)=1 на отрезке [0, 1]. 1)

-1)

1 ; 3

2)

5 ; 18

3)

1 . 12

Нормальная случайная величина X имеет среднее квадратическое отклонение s =3. Найти доверительный интервал надежности g = 0,95 для оценки неизвестного математического ожидания по выборочному среднему xв =1 при объеме выборки n=36. 1) (0,02; 1,98); 2) (1,25;2); 3) (0,36; 1,56)

142

В городе 10 коммерческих банков. У каждого риск банкротства в течение года составляет 10%. Составьте ряд распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года; постройте его график. Найдите числовые характеристики этого

распределения.

Запишите

в

общем

виде

функцию

распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что в течение года обанкротятся не больше одного банка? Главный бухгалтер большой корпорации провел обследование по данным прошедшего года с целью выяснения доли некорректных счетов. Из 2000 выбранных счетов в 25 оказались некорректные проводки. Для уменьшения доли ошибок он внедрил новую систему. Год спустя он решил проверить, как работает новая система, и выбрал для проверки в порядке случайного отбора 3000 счетов компании. Среди них оказалось 30 некорректных. Можем ли мы утверждать, что новая система позволила уменьшить долю некорректных проводок в счетах? Принять уровень значимости a = 0,05 . В налоговом управлении работает 120 сотрудников, занимающих различные должности. Все

Руководители

сотрудники

Рядовые

Итого

сотрудники

Мужчины

29

67

96

Женщины

4

20

24

Итого

33

87

120

На профсоюзном собрании женщины заявили о дискриминации при выдвижении на руководящие должности. Правы ли они?

143

Для оценки остаточных знаний по общеэкономическим предметам были протестированы 25 студентов 1-го курса факультета. Получены следующие результаты в баллах: 107, 90, 114, 88, 117, 110, 103, 120, 96, 122, 93, 100, 121, 110, 135, 85, 120, 89, 100, 126, 90, 94, 99, 116, 111. По этим данным найдите 95%-й доверительный интервал для оценки среднего балла тестирования всех студентов 1-го курса факультета .Постройте гистограмму.

11. Информационное обеспечение дисциплины 11.1. Обеспеченность основной учебной литературой

№

Автор издания

1

Красс М.С., Чупрынов П.

2

Кремер Н.Ш.

3

Гмурман В.Е.

4

Ермаков В.И.

5

Ермаков В.И.

6

Гнеденко А.В.

7

Ниворожкина Л.И., Морозова З.А.

Название Математика для экономистов Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика математика для экономистов Сборник задач по математике для экономистов Курс теории вероятностей Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов.

144

Место, год издания, издательство Санкт-Петербург, 2004г., ПИТЕР. Москва: ЮНИТИ, 2007. Москва: школа, 1975. Москва: ИНФРА_М, 2007. Москва: ИНФРА_М, 2007. Москва: Наука, 1969. Ростов-на-Дону, 1999.

11.2. Обеспеченность учебно-методической литературой

№ 1

2

3

Автор издания Гмурман В.Е.

Белько И.В., Свирид Г.П.

Бабичева Т.А.

Название Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике Теория вероятностей и математическая статистика. Примеры и задачи. Случайные величины

145

Место, год издания, издательство Москва: школа, 1975.

Минск, 2002.

Махачкала: Формат, 2005.