Дифференцирование: Методические указания к типовому расчету

Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Методические указания к типовому расчету

Составители: М.О.Акимов Р.А.Богомолов

Ульяновск 2001

УДК 51(076) ББК 22.161.1я7 Д50

Рецензент доцент кафедры математического анализа УГПУ, кандидат физико-математических наук Чунаева М.С. ^ Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета

Дифференцирование: Методические указания к типовому расчету /Сост. М.Ю.Акимов, Р.А.Богомолов. - Ульяновск: УлГТУ, 2001. - 26 с. Методические указания к типовому расчету составлены в соответствии с программой курса высшей математики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Изложены и продемонстрированы на конкретных примерах методы решения задач указанного типового расчета. Методические указания предназначены для студентов УлГТУ всех специальностей и форм обучения. Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» УлГТУ. ^ *-

УДК 51(076) ББК 22.161.1я7 Оформление .УлГ У, 2001

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Ильин В.А. Основы математического анализа. Т.1. - М.:Наука, 1973. 2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, Т. 1. -М.:Высшая школа, 1981. 3. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1. - М.:Наука, 1973. 4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1.М.:Наука, 1978. 5. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.1. - М.:Наука, 1974.

Учебное издание ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Методические указания к типовому расчету ,, Составители: АКИМОВ Михаил Юрьевич БОГОМОЛОВ Роман Анатольевич Редактор Н.А.Евдокимова Подписано в печать 20.09.01. Формат 60x84/16. Бумага писчая, печать трафаретная. Усл.печ.л. 1,40. Уч.-изд. л. 1,20. Тираж 200 экз. Заказ 1894. Ульяновский государственный технический университет, 432027, Ульяновск, Северный Венец, 32. Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Северный Венец, 32.

СОДЕРЖАНИЕ 1. ВВЕДЕНИЕ.......................................................................... 4 2. СПИСОК ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ОБОЗНАЧЕНИЙ, УТВЕРЖДЕНИЙ И ФОРМУЛ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ................ 5 2.1 Определение производной ................................................. 5 2.2 Уравнения касательной и нормали ...................................... 5 2.3 Дифференциал и его связь с производной ............................. 5 2.4 Использование дифференциала в приближенных вычислениях .. 6 2.5 Свойства дифференцирования ........................................... 6 2.6 Таблица производных основных элементарных функций ......... 7 2.7 Логарифмическая производная. Производная сложно-показательной функции ....................... 7 2.8 Определение производных произвольного порядка ................. 8 2.9 Свойства дифференцирований произвольных порядков ............ 8 2.10 Таблица производных произвольных порядков некоторых основных элементарных функций ....................................... 8 2.11 Производные первого и второго порядков функции, заданной параметрически............................................................. 9 3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ... О 3.1 Указания к задаче 1 ......................................................... О 3.2 Указания к задаче 2 ......................................................... 3.3 Указания к задаче 3 ......................................................... 12 3.4 Указания к задаче 4 ......................................................... 14 3.5 Указания к задачам 6-10 и 12-14 ................…...................... 14 3.6 Указания к задаче 11 ....................................................... 18 3.7 Указания к задаче 15 ........................................................ 19 3.8 Указания к задаче 16 ........................................................ 19 3.9 Указания к задаче 17 ........................................................ 21 3.10 Указания к задаче 18 ........................................................ 23 3.11 Указания к задаче 19 ........................................................ 24 3.12 Указания к задаче 20 ........................................................ 24 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ........................................................... 26

1. ВВЕДЕНИЕ Предлагаемое методическое пособие служит руководством для выполнения типового расчета по теме "Дифференцирование" из сборника типовых расчетов Л.А. Кузнецова "Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты", стр.22-40. В пособии даны указания к решению всех задач расчета, приведены примеры подобных задач с подробным изложением их решений. Для удобства в состав пособия включена краткая сводка основных определений и утверждений, используемых при решении задач расчета; более полные сведения можно почерпнуть из учебников [1-5].

2. СПИСОК ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ОБОЗНАЧЕНИЙ, УТВЕРЖДЕНИЙ И ФОРМУЛ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 2.1 Определение производной Если числовая функция y=f(x) определена в некоторой окрестности гонки х 0 , то (первой) производной функции y=f(x) в указанной точке называется конечный предел

обозначаемый через , то говорят, что производная F'(*) функции f(x) в точке x0 обращается в бесконечность, и обозначают это обстоятельство символически записью f'(x) = оо. Процесс нахождения производной, а также операция перехода от функции к ее производной называются дифференцированием. 2.2 Уравнения касательной и нормали Уравнения касательной (Lt) и нормали (Ln) к графику функции y=f(x) в точке графика с абсциссой х0 и ординатой у0 = f(x0) 1) если значение f'(xn) определено, то

(последнее при f'(xQ) Ф 0). 2) если значение f'(xQ) оо, то L t : х = x0; L n : У = У0.

(4) (5)

2.3 Дифференциал и его связь с производной Пусть числовая функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х 0 . Функция f(x) называется дифференцируемой в точке *0, если ее приращение ) может быть представлено в виде где А - величина, не зависящая от ∆х, а функция а(∆х) - бесконечно малая при х->0. Линейная часть А(∆х) приращения ∆у указанным условием определена однозначно, называется дифференциалом функции y=f(x) в точке х 0 , соответствующим приращению ∆х, и обозначается

символом dy.

Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке необходимо и достаточно, чтобы существовала производная Таким образом, выражение для дифференциала приобретает вид (7) где принято обозначение 2.4 Использование дифференциала в приближенных вычислениях Из определения дифференциала (см. формулу (7)) следует, что если то при приращение функции и ее дифференциал dy в точке х0 являются эквивалентными бесконечно малыми величинами, что позволяет записать приближенное равенство при достаточно малых (по модулю) Следовательно, для всех значений х, достаточно близких к X0 , справедлива формула (8) 2.5 Свойства дифференцирования Связь дифференцирования с производимыми над функциями. Пусть с - постоянная величина и функции. Тогда:

арифметическими

действиями,

- дифференцируемые

(Свойства 4 и 5 могут быть распространены на случай произвольного числа сомножителей).

Дифференцирование сложной функции ("цепное правило"). Пусть функция дифференцируема в точке д:0, а функция

дифференцируема в точке

Тогда сложная

функция дифференцируема в точке х0, и её производная равна

правило может быть распространено на случаи сложной функции, полученной последовательными подстановками из произвольного числа дифференцируемых функций. JTO

2.6 Таблица производных основных элементарных функций

2.7 Логарифмическая производная. Производная сложно-показательной функции Логарифмической производной функции y=f(x) называется производная натурального логарифма этой функции, т.е. выражение

2.8 Определение производных произвольного порядка Если числовая функция определена в точке , то производной функции порядка нуль в точке называется значение Производной n-го порядка (или п-й производной) функции в точке называется производная в указанной точке от производной рассматриваемой функции порядка (п-1), т.е.

dnx

dx Если значение определено , то о функции п раз дифференцируема в точке дг0.

говорят ,что она /

2.9 Свойства дифференцирований произвольных порядков Пусть а,Ь,с - постоянные величины, и(х) и v(x) дифференцируемые функции. Тогда:

n

2.10 Таблица производных произвольных порядков некоторых основных элементарных функций Всюду ниже а- вещественное число.____________________ 17.1 Отсюда следует, что еслир(х) многочлен степени k, то

2)

(17.2)

2.11 Производные первого и второго порядков функции, заданной параметрически Пусть величина у как функция величины х задана параметрически уравнениями х = q>(t), у = ф(г), где /-вещественный параметр. Тогда:

(при условии, что производные соответствующих порядков функции (p(t) и i//(t) существуют, и #>'(0^0).

3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 3. Указания к задаче 1 Формулировка задачи. Исходя из определения производной, для заданной функцииy=f(x) найти /'(0). Способ решения. Сначала необходимо удостовериться в том, что заданная функция определена в некоторой окрестности указанной точки 0, после чего вычислить значение /'(0), непосредственно опираясь на определение производной (см. формулу(1)); при этом решение вопроса о существовании производной совмещается с её вычислением. Пример 1.

Решение. Проверим, что функция j(x) определена в некоторой окрестности точки 0. По условию в самой точке 0 функция/(5cj определена; таким образом, (остаточно указать 8>О ,такое, что для ненулевого x e R , по модулю еныпего S, значение y=f(x) определено. Известно, что значение арифметического корння 4-й степени определено тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно; следовательно, при х Ф 0 значение/fo) определено в том и только в том случае, если 1 - 4х2 cos(7 /х) > О, т.е. х2 cos(7 /х) < 1 /4. 1оскольку значения функции косинус по модулю не превосходят 7, то с2 cos(7/;c)< х 2 ; таким образом, неравенство 1 - 4л:2 cos(l/x)> следует из неравенства х2 < 1/4, равносильного неравенству х < 1/2 (х Ф 0). Итак, в качестве 8 можно взять любое число из промежутка (0,1/2], например, 1/2. Вычислим /'(())• Придадим аргументу функции в точке х0 приращение Дх О < Ах < £). Тогда соответствующее приращение величины у есть

откуда

Прежде чем переходить в полученном выражении Ay/Ах к пределу при Ах -»• 0, заменим в этих условиях величину более простую ей эквивалентную. -заметим, что при АХ —> и величина ^f/дх cos^ / / isx) представляв гобой произведение бесконечно малой величины Ах2 на ограниченную 4cos(?/Ax), и потому сама есть бесконечно малая. Следовательно, MI можем воспользоваться эквивалентностью (l + t)a -1 ~ at при t -> ( (а е R), положив здесь а = 1 / 4 , t = -4Ax2 cos(? / Ах) Таким образом, при Ах —» О Следовательно,

Величина Ах • cos(7 / Ах) при Ах -> 0 есть произведение бесконечно малой Дх на ограниченную величину cos(7 / Ах), и потому сама также есть бесконечно малая. Таким образом, lim (Ах • cos(7 / Ах)) = 0, откуда

Итак, /'(0) существует и равна 3/2.

3.2 Указания к задаче 2 Формулировка задачи. Составить уравнение нормали (в вариантах 2.1-2.12) или уравнение касательной (в вариантах 2.13.-2.31) к данной кривой у = f(x) в точке графика с заданной абсциссой х0. Способ решения. Применить одну из формул (2-5).

ПримерЗ. Решение. Заметим, что откуда видно, что при х=1 полученная формула для производной теряет смысл; подчеркнём, однако, что это обстоятельство никоим образом не позволяет сделать вывода о существовании либо несуществовании производной в точке д:0 или определить значение f'(xQ). Следовательно, необходимо попытаться вычислить f'(x0) непосредственно по определению (см. формулу (1)). Покажем, что f'(xQ) = оо. f В самом деле.

Таким образом, уравнение касательной есть х=1 а уравнение нормали есть у=0. 3.3 Указания к задаче 3 Формулировка задачи. Найти дифференциал dy заданной функции У f(x). Способ решения. Проще всего воспользоваться формулой (7) dy = y'dx, сводящей задачу вычисления дифференциала функции к вычислению производной этой функции. Отметим, что при преобразовании получающихся выражений следует учесть ограничения, налагаемые на область аргумента х, присутствующие в некоторых вариантах задачи.

Пример 4.

Решение. Используя свойства дифференцирования (формулы (9.1-9.6) и (10)) и таблицу производных основных элементарных функций (формулы (11.1-11.15)), получаем последовательно:

14

3.4 Указания к задаче 4 Формулировка задачи. Вычислить приближённо с помощью дифференциала значение заданной функции у = f(x) в указанной точке х. Способ решения. Следует применить формулу С целью достижения приемлемой точности вычисляемого значения f(x) рекомендуется точку д:0 выбирать так, чтобы, вопервых, х0 была бы удалена от точки х на расстояние, не превышающее 7, и, во-вторых, значения f(x0) и f'(xQ) были определены и их можно было бы вычислить точно. Пример 5. Решение. Положим XQ = 3. Обоснуем правильность такого выбора точки д:0. Ясно, что х0 достаточно близка к заданной точке х = 2,995. Далее, ,

\.t

3.5 Указания к задачам 6-10 и 12-14 Формулировка задачи. Найти производную заданной функции f{x). Способ решения. Прямое вычисление с использованием свойств дифференцирования (формулы (9.1-9.6) и (10)) и таблицы производных основных элементарных функций (формулы (11.1-11.15)). При преобразовании получающихся выражений следует учитывать ограничения, налагаемые на область изменения величины л:, присутствующие в некоторых вариантах рассматриваемых задач. Отметим

в этой связи, что упомянутые ограничения надлежит рассматривать в области определения соответствующей функции. В некоторых вариантах в записи функции /(*), помимо переменной величины х, участвуют один или несколько вещественных параметров, обозначаемых в тексте буквами а,/3,а,Ь,т. При вычислении f'(x) эти параметры следует рассматривать как неопределённые, но постоянные величины. Пример 6.

Решение. Поскольку выражение arcsin(l /(х +1)) в записи данной функции встречается неоднократно, то полезно его производную вычислить отдельно заранее. Обозначив указанное выражение, скажем, буквой z, имеем тогда:

Учитывая условие х + > 0, получаем, что х +1 = х +1, откуда, 1

наконец, Отметим также, что при jc +1 > О Вычислим теперь у'. Имеем:

является постоянной

Решение. Поскольку может быть

Заметим, что выражение

промежуточная

представлено в виде

переменная. Это обстоятельство позволяет существенно ускорить вычисление w' = w'x, если воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции (формула (10)), согласно которому >i/ = w'z -z'x. Вычислим по отдельности w'z и z'x. Имеем:

(мы применили формулу l + sh x = ch x, которая непосредственно следует Л

Л

из тождества ch х - sh х = 1). Далее, z' = chx, так что

*

Пример 8.

Решение.

18

Отметим, что для преобразования получающихся выражении мь; воспользовались тождествами b2 -a1 = ( a - b)(a + b),cos21 - sin2 / = cos2/ и cos2f + sin2/ = l.

3.6 Указания к задаче 11 Формулировка задачи. Найти производную заданной функции вида у = u(x)v(x) либо вида у = w(x) • u(x)v(x). Способ решения. Помимо обычных свойств дифференцирования (формулы (9.1-9.6) и (10)) и таблицы производных основных основных элементарных функций (формулы (11.1-11.15)), для^ дифференцирования сложно-показательной функции u(x)v(x) следует воспользоваться формулой (14). Пример 9. Решение. Положим /=(10*-z)'=z-10*lnlO + 10*.z'. Вычислим z':

Тогда y = 10*-z,

и

3.7 Указания к задаче 15 Формулировка задачи. Найти производную ух; величина у как функция величины х задана параметрически. Способ решения. Применить формулу (18).

3.8 Указания к задаче 16 Формулировка задачи. Составить уравнение касательной и нормали < кривой, заданной параметрически, в точке, отвечающей указанному шачению параметра t = tQ. Способ решения. Пусть наша кривая задана параметрически функциями jt = #?(>), .у = ИХ)изначения ^'('оХуЧ'о) определены. Известно, ITO если (p\tQ)* 0,то в некоторой окрестности точки х0 = > тредставима в виде функции величины jc и дифференцируема в точке *0,

20

причём соответствующая производная х 0 может быть найдена по формуле (18). Таким образом, в этих условиях можно воспользоваться формулами (2-3). Аналогично, если ^'(/ 0 )^0, то в некоторой окрестности точки у0 = ИУо) величина х представима в виде функции величины у и дифференцируема в точке у0, причём x'(yQ) также может быть найдена по формуле (18), если в ней поменять местами символы jc и у а также отвечающие им производные х\у0) и У'(*О)- Подобные изменения следует произвести и в формулах (2-3). Разумеется, если одновременно q>\to)* Q,i//\tQ)* О, то оба подхода применимы и дают одинаковые результаты. Отметим, что в некоторых вариантах задачи в записи функций q>(t) и if/(t} участвует неопределенная постоянная величина, обозначаемая в тексте через а. Пример

Решение. Следователь но, У(*0) = 2/(-1) =-2. Таким образом, касательная ( L t ) n нормаль (£„)к данной кривой в точке (х0,у0) существуют, и их уравнения таковы: ^ 1 ( =у-1 = -2(х\/4),илиу = -2х + 3/2; L =(jt-l/4) + (-2)Q>- =0,или.у = х/2 + 7/8. Пример 12. x=a/cht, у = а-aicsm(tht), tQ = 0 (аФ0). Решение.

Таким образом, касательная (£г)и нормаль (Ln) к данной кривой в точке (х0 уQ) существуют, и их уравнения таковы:

L, :х-а = 0-(у-0), или х = а; L n : (y - 0 ) + 0(д: - а) = 0, или у = 0.

21

3.9 Указания к задаче 17 Формулировка задачи. Найти производную п-го порядка заданной функции y=f(x). Способ решения. Отметим сразу, что, поскольку число п не указано, то условие задачи заключается в том, чтобы вывести "общую" формулу для у(п\ иначе говоря, пред ставить у(п) в виде некоторой элементарной функции, зависящей от вещественной величины х и от натурального параметра п. Для отыскания у(п) следует использовать свойства дифференцирований произвольных порядков (формулы (16.1-16.5)) и таблицу производных произвольных порядков некоторых основных элементарных функций (формулы (17.1-17.7)); при этом в ряде случаев необходимо предварительно представить функцию y-f(x) в виде суммы слагаемых, производные и-го порядка которых могут быть найдены относительно легко. Аналогично, если предполагается применение формулы Лейбница, то надлежит сначала разложить функцию f(x) в произведение двух сомножителей, производные которых всех порядков, не превосходящих п, известны, либо могут быть легко вычислены. Следует иметь в виду, что в некоторых вариантах задачи в записи функции/ft) могут присутствовать неопределённые постоянные величины (параметры), обозначаемые в тексте буквами ank.

Рассмотрим три стандартных варианта решения задачи. Решение I. Разложим сначала величину у в сумму удобных щя

последующего дифференцирования слагаемых: 1оскольку для функции z=x

Решение II. Применим к у = (1 - jc)(2jc + 5)" формулу Лейбница (формула (16.4)). Поскольку (1 - х)' = -1, (1 - х)(1с) О при k > 1, а С\ =

'

и, то при п > О

Решение

Как уже отмечалось в решении I,

III.

Выведем

сначала рекуррентную формулу, выражающую УИ) через производные функции y=f(x) порядков, меньших п. Имеем (2х + 5)у = 1 - х. Продифференцируем полученное равенство почленно п раз; при этом для вычисления производной п-го порядка левой части равенства применим формулу Лейбница (16.4). Поскольку (2х + 5)' = 2 и (2х + 5)(Л) = 0 при k> 1 и С1п = п, то получим при п—1 Л

.

4

РЧ

= —————, а при п>1 2х + 5 (2х + 5)2 9 „,,(«-!) (2jc + 5)^(п) + 2пу(п~1) = 0, откуда у(п) = -=^-—— (2х + 5)/ + 2у = -1, откуда / = -

У

Следовательно, пои «>0

Пример 14. _у = х • sin(ax -1) Решение. Заметим сначала, что х' = 1 и x(k) = 0 при k> Далее, по формуле (17.4) (sinx)(k) =sm(x + kft/2), откуда по формуле (16.5)

(sin(ox- 1))(Л) = акsm(ax-\ + knl2). Следовательно, применение формулы Лейбница (16.4) будет успешным, если положить в ней и(х) = х, и v(x) = sin(ox-l). Поскольку С\=п, имеем:

23

Заметим, что полученному ответу можно придать хотя и несколько громоздкий, но более наглядный вид, а именно:

3.10 Указания к задаче 18

Формулировка задачи. Найти производную заданной функции y=f(x) указанного порядка п. Способ решения. Применить формулу 'Лейбница (16.4), предварительно представив функцию f(x) в виде произведения двух сомножителей, призводные которых всех порядков, не превосходящих п, известны, либо могут быть легко вычислены. Пример 15.

Решение. Положим и(х) = х2 - х, v(x) = ln(l + 2*). Применим формулу Лейбница к функции у=u(x)v(x) при п=4. Оформим результаты вычисления величин u(-k\x),v(k\x)nCkl в виде ТябтТИТТЫ!

* С* 1 х х 2*) 26 0 -96/(1 + 2*)4

'

«<*>(*) ln(l + 2x) 4 2 16/(1 + 2д;)3 4

Таким образом,

v(t)(*) 0 2х-\ 4/(1 + 2х)2 34

2 /(1 + 0

L'

3.11 Указания к задаче 19 Формулировка задачи. Найти производную второго порядка у^ от функции, заданной параметрически. Способ решения. Применить формулы (18-19). Пример 16. Решение.

3.12 Указания к задаче 20 Формулировка задачи. Показать, что данная функция y=f(x) удовлетворяет указанному уравнению (*). Способ решения. Подставить в левую и правую части уравнения (*) вместо символов у,у' и dy выражения /(*),/'(*) и f'(x)dx соответственно, вычислить результаты указанных подстановок и убедиться в том, что после их осуществления левая и правая части уравнения (*) тождественно совпадают. Следует иметь в виду, что в некоторых вариантах задачи в записи как функции Дх), так и уравнения (*) могут присутствовать неопределенные постоянные величины (параметры), обозначаемые в тексте буквами а,Ь,с и п. Пример 17. Решение. Имеем

Подставим полученные выражения величин у и у' в левую и правую части уравнения (*); получим:

1аким образом, после подстановки левая и правая части уравнения (*) тождественно совпадают, что и означает по определению, что данная функция y=f(x) является решением уравнения (*).

Решение. Имеем

Поставим полученные выражения величин у и ау в левую часть уравнения (*) и получим:

Таким образом, после указанной подстановки левая и правая части уравнения (*) совпадают, так что функция y = l/^3-2ecosx является решением уравнения (*).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Ильин В.А. Основы математического анализа. Т.1. - М.:Наука, 1973. 2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, Т.1. - М.:Высшая школа, 1981. 3. Никольский С.М. Курс математического анализа, Т. 1. - М.:Наука, 973. 4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1.М.:Наука, 1978. 5. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.1. - М.:Наука, 1974.

Учебное издание ~: ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Методические указания к типовому расчету

Е

Составители: АКИМОВ Михаил Юрьевич БОГОМОЛОВ Роман Анатольевич Редактор Н.А.Евдокимова Подписано в печать 20.09.01. Формат 60x84/16. Бумага писчая, печат ьтра^аретная. УСЛ.ПСЧ.Л. 1,40. Уч.-изд. л. 1,20. Тираж 200 экз. Заказ 1894. Ульяновский государственный технический университет, ~ 432027, Ульяновск, Северный Венец, 32. Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Северный Венец, 32,