Ì èíèñòåðñòâî îáù åãî è ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ô åäåðàöèè Ï åðìñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåð...
4 downloads
168 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Ì èíèñòåðñòâî îáù åãî è ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ô åäåðàöèè Ï åðìñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Êàôåäðà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñèñòåì è ïðîöåññîâ
Ï .Ã.Ô ðèê
ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÜ: Ì ÎÄÅËÈ È Ï ÎÄÕÎÄÛ Êóðñ ëåêöèé ×àñòü II
Ðåêîìåíäîâàíî ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèì ñîâåòîì ïî íàïðàâëåíèþ «Ýëåêòðîíèêà è ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà» â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ ñïåöèàëüíîñòè «Ï ðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà»
Ï åðìü 1999
2
ÓÄÊ 532.517.4 Ô 88 Òóðáóëåíòíîñòü: ìîäåëè è ïîäõîäû. Êóðñ ëåêöèé. / Ï .Ã.Ô ðèê; Ï åðì. ãîñ. òåõí. óí-ò. ×àñòü II. Ï åðìü, 1999. 136 ñ. Âòîðàÿ ÷àñòü êóðñà ëåêöèé âêëþ ÷àåò â ñåáÿ ââåäåíèå è ÷åòûðå èç ñåìè ðàçäåëîâ êóðñà «Òóðáóëåíòíîñòü: ìîäåëè è ïîäõîäû» (òðè ïåðâûõ ðàçäåëà: «Îñíîâû», «Õàîñ â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ»è «Ï îëóýìïèðè÷åñêèåìîäåëè» âîø ëè â ïåðâóþ ÷àñòü êóðñà).  ÷åòâåðòîì ðàçäåëå èçëàãàþòñÿ ìîäåëè îäíîðîäíîé è èçîòðîïíîé òóðáóëåíòíîñòè, íà÷èíàÿ ñ òåîðèè Êîëìîãîðîâà è êîí÷àÿ ñîâðåìåííûìè ìîäåëÿìè ïåðåìåæàåìîñòè â ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè. Ï ÿòûé ðàçäåë ïîñâÿù åí íåêîòîðûì ñïåöèàëüíûì òóðáóëåíòíûì ïîòîêàì. Ðàññìîòðåíû îñîáåííîñòè ïîâåäåíèÿ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè è òóðáóëåíòíîñòè, âûçâàííîé ñèëàìè Àðõèìåäà.  ø åñòîì ðàçäåëå èçëàãàþ òñÿ ìîäåëè, îñíîâàííûå íà ïðèìåíåíèè ñïåöèàëüíûõ ôóíêöèîíàëüíûõ áàçèñîâ, íàçâàííûõ èåðàðõè÷åñêèìè, è äàåòñÿ êðàòêîå èçëîæåíèå âåéâëåòàíàëèçà, ñ ïðèìåðàìè åãî ïðèìåíåíèÿ ê ãèäðîäèíàìè÷åñêèì ñèñòåìàì. Ï îñëåäíèé, ñåäüìîé ðàçäåë ïîñâÿù åí êàñêàäíûì ìîäåëÿì òóðáóëåíòíîñòè ïðîñòåéø èì ìîäåëÿì ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè, äîêàçàâø èì ñâîþ ýôôåêòèâíîñòü â ìîäåëèðîâàíèè ñâîéñòâ òóðáóëåíòíîñòè â èíåðöèîííûõ èíòåðâàëàõ ïðè î÷åíü âûñîêèõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà. Äëÿ ñòóäåíòîâ è àñïèðàíòîâ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé. È ë.89. Áèáëèîãð.: 35 íàçâ. Ðåöåíçåíòû:
êàôåäðà îáù åé ôèçèêè Ï åðìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà, ä-ð ôèç.-ìàò.íàóê, ïðîôåññîð Ä.Â.Ëþáèìîâ
ISBN 5-88151-193-Õ 1.
1999
©
Ï åðìñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò,
3
ÂÂÅÄÅÍ È Å
4
1. ÎÑÍ Î ÂÛ
5
2. ÕÀÎÑ Â ÄÈ Í À Ì È × ÅÑÊÈ Õ ÑÈÑÒÅÌ ÀÕ
5
3. ÏÎËÓÝÌ Ï È ÐÈ × ÅÑÊ È Å Ì ÎÄÅËÈ
5
4. ÎÄÍ Î ÐÎÄÍ À ß ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÜ
6
4.1. Î Ä Í Î ÐÎ Ä Í À ß È È ÇÎÒÐÎ Ï Í À ß ÒÓÐÁÓËÅÍÒÍÎÑÒÜ 4.2. ÁÀËÀÍÑ ÝÍÅÐÃÈ È Ï Î Ì ÀÑØ ÒÀÁÀÌ . ÊÀÑÊÀÄ 4.3. ÒÅÎÐÈ ß Ê ÎËÌ ÎÃÎÐÎÂÀ 1941 ÃÎÄÀ (Ê41) 4.4. Ë ÎÃÍ Î ÐÌ ÀËÜÍÀß Ì ÎÄÅËÜ (Ê62) 4.5. Ô ÐÀÊÒÀËÛ È ÒÓÐÁÓËÅÍÒÍÎÑÒÜ 4.6. Ë ÎÃÏÓÀÑÑÎÍÎÂÑÊÈÅ Ì ÎÄÅËÈ 5. ÄÂÓÌ ÅÐÍ À ß ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÜ 5.1. ÇÀÊÎÍÛ ÑÎÕÐÀ Í ÅÍ È ß È È Í ÅÐÖ È Î Í Í Û Å È Í ÒÅÐÂÀËÛ 5.2. Ë ÀÁÎÐÀÒÎÐÍ Û Å ÝÊÑÏÅÐÈ Ì ÅÍÒÛ 5.3. × ÈÑËÅÍ Í Û Å ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß 5.4. Ï ÅÐÅÌ ÅÆ ÀÅÌ ÎÑÒÜ Â ÄÂÓÌ ÅÐÍ Î É ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍÎÑÒÈ 5.5. Ê Î Í ÂÅÊÒÈ ÂÍÀß ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍÎÑÒÜ 6. È ÅÐÀ ÐÕ È × ÅÑÊ È Å Ì ÎÄÅËÈ ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÈ È ÂÅÉ ÂËÅÒÛ 6.1. È ÅÐÀÐÕ È × ÅÑÊÈ É ÁÀÇÈÑ ÄËß ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Û Õ ÏÎËÅÉ 6.2. È ÅÐÀÐÕ È × ÅÑÊÀß Ì ÎÄÅËÜ ÄÂÓÌ ÅÐÍ Î É ÒÓÐÁÓËÅÍÒÍÎÑÒÈ 6.3. ÂÅÉ ÂËÅÒÛ 6.4. Í ÅÏ ÐÅÐÛ ÂÍÎÅ ÂÅÉÂËÅÒ-Ï ÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ 6.5. Ä ÈÑÊÐÅÒÍ Î Å ÂÅÉÂËÅÒ-Ï ÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ 6.6. ÂÅÉ ÂËÅÒ-À Í À Ë È Ç ÂÐÅÌ ÅÍ Í Û Õ ÊÎËÅÁÀ Í È É ÃÈÄÐÎ Ä È Í À Ì È×ÅÑÊÈ Õ ÑÈÑÒÅÌ 7. ÊÀÑÊÀÄÍ Û Å Ì ÎÄÅËÈ ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÈ 7.1. Ê ÀÑÊÀÄÍ Û Å Ì ÎÄÅËÈ 7.2. Ì ÎÄÅËÜ Í ÎÂÈÊÎÂÀ - Ä ÅÑÍ ß Í ÑÊÎÃÎ 7.3. Ì ÎÄÅËÜ GOY 7.4. Ñ ÊÅÉ Ë È Í Ã È Ï ÅÐÅÌ ÅÆ ÀÅÌ ÎÑÒÜ Â ÊÀÑÊÀÄÍ Û Õ Ì ÎÄÅËßÕ ÐÀÇÂÈÒÎÉ ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÈ 7.5 Ì ÎÄÅËÜ ÊÎÍÂÅÊÒÈ ÂÍÎÉ ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍÎÑÒÈ 7.6. Ê ÀÑÊÀÄÍ Û Å Ï ÐÎ Ö ÅÑÑÛ Â Ì ÃÄ-ÒÓÐÁÓËÅÍÒÍÎÑÒÈ 8. ÇÀÊËÞ ×ÅÍ È Å
6 9 13 22 27 35 45 46 51 53 59 65 71 71 80 87 90 95 102 109 109 110 113 119 124 130 136
4
ÂÂÅÄÅÍ È Å Í àñòîÿù èé êóðñ ëåêöèé ñòàâèò ñâîåé öåëüþ äàòü ïðåäñòàâëåíèÿ î ðàçíîîáðàçíûõ ïîäõîäàõ è ìåòîäàõ, ïðèìåíÿåìûõ â èññëåäîâàíèÿõ ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè. Êóðñ ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé. Ï åðâàÿ ÷àñòü âêëþ ÷àëà òðè ãëàâû: 1.Îñíîâû, 2.Õàîñ â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, 3.Ï îëóýìïèðè÷åñêèå ìîäåëè. Ï åðâàÿ ãëàâà ñîäåðæàëà áàçîâûå ñâåäåíèÿ îá óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ èäåàëüíîé è ðåàëüíîé æèäêîñòè è êðàòêèé îáçîð ìåòîäîâ è íåêîòîðûõ ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Âî âòîðîé ãëàâå îáñóæäàëèñü ìåòîäû è ïîäõîäû òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ïîçâîëèâø åé çíà÷èòåëüíî óãëóáèòü ïîíèìàíèå ïðîöåññîâ ïåðåõîäà îò äåòåðìèíèðîâàííîãî ïîâåäåíèÿ ê õàîòè÷åñêîìó. Òðåòüÿ ãëàâà êðàòêî çíàêîìèëà ñ ïîäõîäîì Ðåéíîëüäñà ê îïèñàíèþ ñðåäíèõ ïîëåé â ðàçâèòûõ òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèÿõ è âûòåêàþ ù èìè èç íåãî ïîëóýìïèðè÷åñêèìè ìîäåëÿìè òóðáóëåíòíîñòè. Í óæíî îòìåòèòü, ÷òî â ïåðâóþ ÷àñòü êóðñà áûëè âêëþ÷åíû â îñíîâíîì ñâåäåíèÿ, êîòîðûå ìîæíî íàéòè â ðàçëè÷íûõ ó÷åáíèêàõ è ìîíîãðàôèÿõ. Í àñòîÿù àÿ, âòîðàÿ ÷àñòü ñîäåðæèò ðåçóëüòàòû, êîòîðûå, çà ðåäêèì èñêëþ ÷åíèåì, íå âîø ëè åù å â êíèãè è ìîãóò áûòü íàéäåíû òîëüêî â îðèãèíàëüíûõ ñòàòüÿõ. Ýòà ÷àñòü, ïðåäëàãàåìàÿ âíèìàíèþ ÷èòàòåëÿ, ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ãëàâ (ñ ÷åòâåðòîé ïî ñåäüìóþ , òàê êàê äëÿ îáåèõ ÷àñòåé ïðèíÿòà ñêâîçíàÿ íóìåðàöèÿ). ×åòâåðòàÿ ãëàâà ïîñâÿù åíà ìîäåëÿì îäíîðîäíîé è èçîòðîïíîé òóðáóëåíòíîñòè. Çäåñü ñîáðàíû ìîäåëè ìåëêîìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè, íà÷èíàÿ ñî çíàìåíèòîé òåîðèè Êîëìîãîðîâà 1941 ãîäà. Îïèñàíû ïåðâûå ïîïûòêè ó÷åòà ïåðåìåæàåìîñòè (ëîã-íîðìàëüíàÿ ìîäåëü, áåòà-ìîäåëü). Ï îêàçàíî, ÷òî äàëî ïðèìåíåíèå ê òåîðèè òóðáóëåíòíîñòè èäåè ôðàêòàëüíîñòè è êàê èñïîëüçîâàíèå íîâûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ î ñòðóêòóðå ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè è î ïîâåäåíèè âûñø èõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ ïðèâåëî ê ïîÿâëåíèþ íîâûõ ìîäåëåé, îñíîâàííûõ íà ëîã-ïóàññîíîâñêîé ñòàòèñòèêå òóðáóëåíòíûõ ïîëåé. Ï ÿòûé ðàçäåë ïîñâÿù åí íåêîòîðûì ñïåöèàëüíûì òóðáóëåíòíûì ïîòîêàì. Ðàññìîòðåíû îñîáåííîñòè ïîâåäåíèÿ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè, â êîòîðîé íàëè÷èå äîïîëíèòåëüíîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ïðèâîäèò ê êà÷åñòâåííî èíîìó ïîâåäåíèþ ìåëêîìàñø òàáíîãî òå÷åíèÿ. Í à ïðèìåðå òóðáóëåíòíîñòè, âûçâàííîé ñèëàìè ïëàâó÷åñòè (ò.å. êîíâåêòèâíîé òóðáóëåíòíîñòè), ïîêàçàíî, êàê ìîæåòìåíÿòüñÿ äèíàìèêà èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïîä äåéñòâèåì äîïîëíèòåëüíîãî ñèëîâîãî ïîëÿ.
5
 ø åñòîì ðàçäåëå èçëàãàþ òñÿ ìîäåëè, îñíîâàííûå íà ïðèìåíåíèè ñïåöèàëüíûõ ôóíêöèîíàëüíûõ áàçèñîâ, âîñïðîèçâîäÿù èõ ñòðóêòóðó òóðáóëåíòíûõ ïîòîêîâ. Ýòè áàçèñû ïîëó÷èëè íàçâàíèå èåðàðõè÷åñêèõ è ïî ñîâðåìåííîé òåðìèíîëîãèè îòíîñÿòñÿ ê âåéâëåò-áàçèñàì. Âåéâëåò-àíàëèç (âîçíèêø èé çàìåòíî ïîçæå ïåðâûõ èåðàðõè÷åñêèõ ìîäåëåé) ïðåâðàòèëñÿ íà ñåãîäíÿ â ðàçâèòóþ îáëàñòü ìàòôèçèêè è åãî çíà÷åíèå äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì è òóðáóëåíòíîñòè íå èñ÷åðïûâàåòñÿ ïðèìåíåíèåì âåéâëåò-áàçèñîâ äëÿ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ òå÷åíèé. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äî íàñòîÿù åãî âðåìåíè ëèòåðàòóðà î âåéâëåòàõ íà ðóññêîì ÿçûêå ïðàêòè÷åñêè îòñóòñòâóåò, â ýòîé æå ãëàâå äàåòñÿ êðàòêîå èçëîæåíèå îñíîâ âåéâëåò-àíàëèçà, ñ ïðèìåðàìè åãî ïðèìåíåíèÿ ê ãèäðîäèíàìè÷åñêèì ñèñòåìàì. Ï îñëåäíèé, ñåäüìîé ðàçäåë ïîñâÿù åí êàñêàäíûì ìîäåëÿì òóðáóëåíòíîñòè - ïðîñòåéø èì ìîäåëÿì ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè, äîêàçàâø èì ñâîþ ýôôåêòèâíîñòü â ìîäåëèðîâàíèè ñâîéñòâ òóðáóëåíòíîñòè â èíåðöèîííûõ èíòåðâàëàõ ïðè î÷åíü âûñîêèõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà. Ýòè ìîäåëè, ÿâëÿÿñü äèíàìè÷åñêèìè ñèñòåìàìè îòíîñèòåëüíî âûñîêîãî ïîðÿäêà (íåñêîëüêî äåñÿòêîâ óðàâíåíèé), îïèñûâàþ ò êàñêàäíûå ïðîöåññû â ø èðîêîì èíòåðâàëå ìàñø òàáîâ. Äàíî èçëîæåíèå ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé ýòîãî òèïà, ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé äëÿ ðàçëè÷íûõ òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèé è ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû èõ ïðèìåíåíèÿ. Êóðñ ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ñòóäåíòîâ ñïåöèàëüíîñòè "Ï ðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà", îðèåíòèðóþ ù èõñÿ íà ðàáîòó â íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèõ ó÷ðåæäåíèÿõ è íà êàôåäðàõ, â îñîáåííîñòè òåõ, ÷òî ñâÿçàíû ñ ðåø åíèåì çàäà÷ ìåõàíèêè æèäêîñòè è ãàçà.  òî æå âðåìÿ, â êóðñå ðàññìàòðèâàþ òñÿ è îáù èå ïîäõîäû ê ìîäåëèðîâàíèþ ñëîæíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëåçíûìè ñïåöèàëèñòàì, çàíèìàþ ù èìñÿ ìîäåëèðîâàíèåì ñàìûõ ðàçëè÷íûõ (è íåòîëüêî ìåõàíè÷åñêèõ) ñèñòåì è ÿâëåíèé.
1. ÎÑÍ Î ÂÛ 2. ÕÀÎÑ Â Ä È Í À Ì È × ÅÑÊ È Õ ÑÈÑÒÅÌ ÀÕ 3. ÏÎËÓÝÌ Ï È ÐÈ × ÅÑÊ È Å Ì ÎÄÅËÈ
6
4. ÎÄÍ Î ÐÎÄÍ À ß ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÜ 4.1. Îäíîðîäíàÿ è èçîòðîïíàÿ òóðáóëåíòíîñòü Í à÷èíàÿ èçó÷åíèå ñâîéñòâ ìåëêîìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè, ñäåëàåì íåñêîëüêî âàæíûõ çàìå÷àíèé, ÷àñòè÷íî ïîâòîðÿþ ù èõ âûâîäû, îáñóæäàâø èåñÿ â ïåðâîé ÷àñòè êóðñà. Ï ðåæäå âñåãî íàïîìíèì, ÷òî ìû îãðàíè÷èâàåìñÿ ðàññìîòðåíèåì òå÷åíèé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, îïèñûâàåìûõ óðàâíåíèÿìè Í àâüå- Ñòîêñà, êîòîðûåçàïèø åì â âèäå ¶t vi + v j ¶ j vi = - r - 1¶i p + n¶2jj vi + f i , ¶k v k = 0 .
(4.1) (4.2)
Çäåñü v i - êîìïîíåíòû ñêîðîñòè, f i - êîìïîíåíòû ñèëû, r - ïëîòíîñòü, p - äàâëåíèå, n - âÿçêîñòü. Ï ðè ýòîì íóæíî íå çàáûâàòü, ÷òî ñàìà âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ óðàâíåíèé (4.1)-(4.2) ê îïèñàíèþ òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèé ïðè îãðîìíûõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà Ðåéíîëüäñà íå ÿâëÿåòñÿ î÷åâèäíîé, òàê êàê ïðè èõ âûâîäå èñïîëüçîâàíî ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî òåíçîð âÿçêèõ íàïðÿæåíèé ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé òîëüêî ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ ïîëÿ ñêîðîñòè (ñì. ââîäíûåçàìå÷àíèÿ ê ðàçäåëó 3). Âàæíî òàêæå ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ ðàçâèòàÿ òóðáóëåíòíîñòü, õàðàêòåðèçóåìàÿ íàïîëíåííûìè ñïåêòðàìè Ô óðüå (êàê âðåìåííûìè, òàê è ïðîñòðàíñòâåííûìè), ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î ñóù åñòâîâàíèè ìíîãîìàñø òàáíîé ñòðóêòóðû ïîëÿ ñêîðîñòè. È ìåííî ìíîãîìàñø òàáíîñòü è ÿâëÿåòñÿ âàæíåéø èì ïðèçíàêîì ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè, ïðèâîäÿ ê âîçáóæäåíèþ ãèãàíòñêîãî ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ì û óæå ãîâîðèëè î òîì, ÷òî ëþ áîé ïîäõîä ê îïèñàíèþ ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè ïî ñóòè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òîò èëè èíîé ñïîñîá îãðàíè÷åíèÿ ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû, ïðèâîäÿù èé ê ñîîòâåòñòâóþ ù èì ìîäåëÿì.  ãëàâå 3 áûë ðàññìîòðåí ïîäõîä Ðåéíîëüäñà, ñîñòîÿù èé â ïðåäñòàâëåíèè âõîäÿù èõ â (4.1)-(4.2) ïîëåé â âèäå ñóìì ñðåäíèõ ïîëåé è ïóëüñàöèé: r r r vi (r , t ) = U i ( r , t ) + u i ( r , t ) ,
r r r r r r p (r , t ) = P (r , t ) + p ¢(r , t ) , f (r , t ) = F (r , t ) + f ¢(r , t ) . (4.3)
Ï îäõîä ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì äëÿñðåäíèõ âåëè÷èí ¶tU i + U j ¶ jU i = - r - 1¶i P + n¶2jjU i - ¶ j u j ui + Fi ,
¶k U k = 0 ,
(4.4) (4.5)
7
âêëþ ÷àþ ù èì íîâûé ÷ëåí - òåíçîð íàïðÿæåíèé Ðåéíîëüäñà (óãëîâûå ñêîáêè ïî-ïðåæíåìó îáîçíà÷àþò îñðåäíåíèå ïî àíñàìáëþ ðåàëèçàöèé). Ðàçëè÷íûå ñïîñîáû çàìûêàíèÿ óðàâíåíèé (4.4)-(4.5) ñîñòàâëÿþ ò ñóòü ïîëóýìïèðè÷åñêèõ ìîäåëåé. Ï îäõîä Ðåéíîëüäñà (è ñâÿçàííûå ñ íèì ïîëóýìïèðè÷åñêèå ìîäåëè) íàïðàâëåí íà îïèñàíèå ñðåäíèõ ïîëåé ñêîðîñòè, âîçíèêàþ ù èõ â êîíêðåòíûõ ïîòîêàõ. Êàæäàÿ ïîëóýìïèðè÷åñêàÿ ìîäåëü àäàïòèðóåòñÿ äëÿ çàäàííîãî (êàê ïðàâèëî, äîñòàòî÷íî óçêîãî) êëàññà òå÷åíèé è âêëþ÷àåò ðÿä ïàðàìåòðîâ, ýêñïåðèìåíòàëüíî îïðåäåëÿåìûõ èìåííî äëÿ äàííîãî êëàññà òå÷åíèé è ñïðàâåäëèâûõ â îïðåäåëåííîì äèàïàçîíåçíà÷åíèé ÷èñëà Ðåéíîëüäñà. Òàêèì îáðàçîì, äåëàåòñÿ ïîïûòêà îãðàíè÷èòüñÿ îïèñàíèåì êðóïíîìàñø òàáíûõ ïîëåé, à âëèÿíèå ìåëêîìàñø òàáíûõ ïîëåé îõàðàêòåðèçîâàòü ñ ïîìîù üþ íåáîëüø îãî ÷èñëà ïàðàìåòðîâ. Çàäàäèìñÿ òåïåðü âîïðîñîì î òîì, åñòü ëè ó òóðáóëåíòíîñòè íåêèå óíèâåðñàëüíûå ñâîéñòâà, íå çàâèñÿù èå îò êîíêðåòíûõ óñëîâèé åå âîçáóæäåíèÿ? Î÷åâèäíî, ÷òî ðàññ÷èòûâàòü íà îáíàðóæåíèå òàêèõ óíèâåðñàëüíûõ ñâîéñòâ ìîæíî òîëüêî âäàëè îò ãðàíèö è íà ìàñø òàáàõ, ñóù åñòâåííî ìåíüø èõ ðàçìåðîâ îáëàñòè, çàíÿòûõ òóðáóëåíòíûì òå÷åíèåì. Òàêèì îáðàçîì, ìû íà÷èíàåì èçó÷åíèå ìåëêîìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè, â ñìûñëå, ÷òî îñíîâíîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò äëÿ íàñ ìàñø òàáû l << L ( L - âíåø íèé, èëè èíòåãðàëüíûé ìàñø òàá òóðáóëåíòíîñòè).  òî æå âðåìÿ, ãîâîðÿ î ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè, ìû ïîäðàçóìåâàåì, ÷òî ÷èñëà Ðåéíîëüäñà ñòîëü âåëèêè, ÷òî îñòàåòñÿ ø èðîêèé äèàïàçîí âîçáóæäåííûõ ìàñø òàáîâ, óäîâëåòâîðÿþ ù èõ ýòîìó óñëîâèþ . È íà÷åãîâîðÿ, l << l << L , ãäå l - ìèêðîìàñø òàá òóðáóëåíòíîñòè, õàðàêòåðèçóþ ù èé ìàñø òàáû ïóëüñàöèé ñêîðîñòè, íà êîòîðûõ ñòàíîâèòñÿ ñóù åñòâåííîé âÿçêàÿ äèññèïàöèÿ. Í à ðèñ.4.1 ñõåìàòè÷åñêè ïîêàçàíû òðè ðàçëè÷íûõ òóðáóëåíòíûõ ïîòîêà (òóðáóëåíòíûé ñëåä, òå÷åíèå â òðóáå è êîíâåêòèâíûé ôàêåë) è îáëàñòè
Ðèñ.4.1 â íèõ, èçîáðàæåííûå â âèäå êóáîâ, â êîòîðûõ ìîæíî íàäåÿòüñÿ íà âûÿâëå-
8
íèå òàêèõ óíèâåðñàëüíûõ ñâîéñòâ. Ï ðè íàëè÷èè îñðåäíåííîãî òå÷åíèÿ (ïîòîê â òðóáå) âûäåëåííûé êóá äâèæåòñÿñî ñðåäíåé ñêîðîñòüþ ýòîãî ïîòîêà. Âûäåëåííûå îáëàñòè íå ñëó÷àéíî èìåþò êóáè÷åñêóþ ôîðìó. Äåëî â òîì, ÷òî, æåëàÿ èçáåæàòü âëèÿíèÿ ãðàíèö, ìû â òî æå âðåìÿ õîòèì ðàññìàòðèâàòü îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü ïîòîêà, ïðè÷åì ñâîéñòâà òå÷åíèÿ â ýòîé îáëàñòè íå äîëæíû çàâèñåòü îò åå òî÷íîãî ïîëîæåíèÿ (äðóãèìè ñëîâàìè, èñïîëüçóåòñÿãèïîòåçà îá îäíîðîäíîñòè òóðáóëåíòíîñòè íà ìàñø òàáàõ, ìíîãî ìåíüø èõ ìàñø òàáà åå âîçáóæäåíèÿ L ). Í àèáîëåå ïðîñòîé ïóòü óäîâëåòâîðåíèÿ ýòèõ ïðîòèâîðå÷èâûõ òðåáîâàíèé ñîñòîèò â ðàññìîòðåíèè êóáè÷åñêîé îáëàñòè ñ ðåáðîì D , íà ãðàíÿõ êîòîðîãî âûïîëíÿþ òñÿ ïåðèîäè÷åñêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Ýòî óñëîâèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî äëÿ âñÿêîé ôóíêöèè è ëþ áûõ öåëûõ n, m, q f ( x + nD, y + mD, z + qD ) = f ( x, y, z ) .
(4.6)
Òàêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è î÷åíü óäîáíà äëÿ ïðÿìûõ ÷èñëåííûõ ðåø åíèé óðàâíåíèé (4.1)-(4.2). È ìåííî äëÿ êóáà ñ ïåðèîäè÷åñêèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (äëÿ êâàäðàòà â ñëó÷àå äâóìåðíûõ òå÷åíèé) âûïîëíåíû ïðàêòè÷åñêè âñå ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû ïî èññëåäîâàíèþ ñâîéñòâ îäíîðîäíîé òóðáóëåíòíîñòè. Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå îäíîðîäíîñòè íåìåäëåííî ïðèâîäèò êr òîìó, ÷òî óðàâíåíèå (4.4) äîïóñêàåò òîëüêî òðèâèàëüíîå ðåø åíèå r U (t , r ) = 0 . Êóáè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ è óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè ñîçäàþ ò èäåàëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ïðèìåíåíèÿ ñïåêòðàëüíûõ (è ñïåêòðàëüíî-ñåòî÷íûõ) ìåòîr äîâ, òàê êàê ëþáàÿ ôóíêöèÿ f (t , r ) ìîæåòáûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå r f ( t ,r ) =
å n ,m ,q
r
ãäå k =
2pi rr ) ) ( nx + my + qz ) = år f k ( t )e ik r , f nmq ( t )e D
(4.7)
k
r r 2p r (ne x + me y + qe z ) åñòü âîëíîâîé âåêòîð, à êîýôôèöèåíòû Ô óðüå îïD
ðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé
) 1 fk ( t ) = 3 D
DDD
òòò
r rr r f ( t ,r )e - ik r dr .
(4.8)
0 0 0
 ñâåòå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèå óäîáíî òåì, ÷òî êàæäàÿ ãàðìîíèêà ñîîòâåòñòâóåò äâèæåíèþ îïðåäåëåííîãî ïðîñòðàíñòâåííîãî ìàñø òàáà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ýíåðãèþ âñåõ äâèæåíèé çàäàííîãî ìàñø òàáà l = 2p k , íóæíî ïðîñóììèðîâàòü âñå ãàðìîíèêè, âîëíîâûå âåêòîðû êîòîðûõ ðàâíû ïî ìîäóëþ )r 2 E( k ) = å | v (4.9) k | . r |k |= k
9
4.2. Áàëàíñ ýíåðãèè ïî ìàñø òàáàì. Êàñêàä Äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþ ù åãî áàëàíñ ýíåðãèè â îäíîì îòäåëüíî âçÿòîì ìàñø òàáå, íóæíî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ Í àâüå- Ñòîêñà (4.1)(4.2) â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå. Ï ðè ýòîì ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ðÿäàìè Ô óðüå âèäà (4.7), èìåÿ â âèäó êóáè÷åñêóþ ãåîìåòðèþ ñ ïåðèîäè÷åñêèìè óñëîâèÿìè, ëèáî èíòåãðàëàìè Ô óðüå, îïèðàÿñü íà ðàññìîòðåíèå òóðáóëåíòíîãî òå÷åíèÿ â îãðàíè÷åííîé ÷àñòè áåñêîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà. ×òîáû íå ñîçäàòü âïå÷àòëåíèå, ÷òî ïîëó÷àþ ù èåñÿ óðàâíåíèÿ ñâÿçàíû ñ èñêóññòâåííî âûáðàííîé ôîðìîé îáëàñòè, âîñïîëüçóåìñÿ â äàííîì ïàðàãðàôå èíòåãðàëàìè Ô óðüå (âûâîä óðàâíåíèé äëÿ ðÿäîâ îñòàâèì äëÿ äîìàø íèõ óïðàæíåíèé). È òàê, ïóñòü òå÷åíèå çàíèìàåò îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü, çàòóõàÿ íà áåñêîíå÷íîñòè, è âñå âõîäÿù èå â óðàâíåíèÿ Í àâüå - Ñòîêñà âåëè÷èíû äîïóñêàþ ò ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ¥ rr r ) r r 1 f ( r ,t ) = 3 òf ( k ,t )e ik r dk , 8p - ¥
(4.10)
ãäå ) r f ( k ,t ) =
¥
rr r - ik r r f ( r , t ) e dr , ò
(4.11)
-¥
r r r = ( x, y, z ) - ðàäèóñ-âåêòîð, k = (k x , k y , k z ) - âîëíîâîé âåêòîð.
Âñåâåëè÷èíû â óðàâíåíèè (4.1) âûðàçèì ÷åðåçôóðüå-îáðàçû (4.10) ¥
rr r ) r r ¶t òv ( k ¢,t )e ik ¢r dk ¢+ -¥
¢ ¥ rr r r ¥ ) r rr r )r r r 1 ik ¢¢r ik ¢¢¢r ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ v ( k , t ) e d k Ñ v ( k , t ) e dk ¢¢¢= ò 8p 3 -ò ¥ -¥
¥ rr r rr r r¥ ) r )r r ik ¢r ¢ ¢ = - r Ñ òp( k ,t )e dk + nD òv ( k ¢,t )e ik ¢r dk ¢+ -1
-¥
-¥
¥
rr r ) r ik ¢r ¢ f ( k , t ) e dk ¢ ò
-¥
è âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé î äèôôåðåíöèðîâàíèè (ñì. ïàðàãðàô 2.4.2 ÷àñòè 1) ¥ )r r r r r ¶t òv ( k ¢)e ik ¢r dk ¢+ -¥
=-
¥ ¥ r r r r r r r r )r r i [ v?( k ¢¢)k ¢¢¢] v ( k ¢¢¢)e i ( k ¢¢+ k ¢¢¢) r dk ¢¢dk ¢¢¢= 3 ò ò 8p - ¥ - ¥
¥ ¥ ) r ikr¢rr r i r ) r ikr¢rr r 2r ¢ ¢ ¢ ¢ n k p ( k ) e d k k v ò ( k ¢)e dk ¢+ r -ò ¥ -¥
¥
) r ikr¢rr r f ò ( k ¢)e dk ¢.
-¥
10
Äëÿ óïðîù åíèÿ çàïèñè âî âñåõ ôóíêöèÿõ çäåñü è äàëåå îïóñêàåòñÿ àðrr r - ik r ãóìåíò t . Óðàâíåíèå óìíîæàåòñÿ íà e è èíòåãðèðóåòñÿ ïî dr . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ¥ r r r r r r 2p òe i ( k ¢- k ) r dr = d( k ¢- k ) , à -¥
r
¥
r
r
òf (k ¢)d(k ¢-
r r r k )dk ¢= f (k ) ,
-¥
r
è ïåðåîáîçíà÷èâ k ¢¢= q , ïîëó÷àåì ) r r ¶t v ( k ) +
¥ r) r ) ) ) r r r r r ) r r r r r r i [ v ( q )( k - q )] v ( k - q )dq = - ir - 1k p( k ) - nk 2 v ( k ) + f ( k ). 3 ò 8p - ¥
(4.12) âèä
Óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè (4.2) â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå èìååò ïðîñòîé r )r r k ×v ( k ) = 0
(4.13)
è ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿr èñêëþ ÷åíèÿ èç óðàâíåíèÿ (4.12) ÷ëåíà ñ äàâëåíèåì. Óìíîæåíèå (4.12) íà k ñ ó÷åòîì (4.13) ïðèâîäèò ê âûðàæåíèþ r - k ) r r p( k ) = 3 2 8p k -1
r ) r r r r ) r r r r ik ) r ò[ v ( q )( k - q )] v ( k - q )dq - k 2 f ( k ) . -¥ ¥
r
r r
(4.14) r rr
r rr
Ï îäñòàâëÿÿ (4.14) â (4.12) è èñïîëüçóÿ ôîðìóëó a ´ (b ´ c ) = b (ac ) - c (ab ) äëÿ îáúåäèíåíèÿ íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ )r r ¶t v ( k ) +
i 8p 3
r )r r r r ) r ) r [ k ´ ( v ( k - q ) ´ k )] )r r r r r 2r = n + [ v ( q )( k q )] d q k v ( k ) f '( k ), ò k2 -¥ ¥
(4.15)
)r r r ) r r -2 ãäå f ' ( k ) = k [ k ´ ( f ´ k )] .
Ö åëüþ ïðîâîäèìûõ ïðåîáðàçîâàíèé ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå äëÿ ýíåðãèè, çàêëþ ÷åííîé â äàííûõ ìàñø òàáàõ (âîëíîâûõ ÷èñëàõ), êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ êâàäðàòà ìîäóëÿ ôóðüå-êîìïîíåíò ïîëÿ ñêîðîñòè ïî r âñåì âîëíîâûì âåêòîðàì ñçàäàííûì çíà÷åíèåì ìîäóëÿ | k |= k : E( k ) =
) r r 2 r | v ò ( k ) | dk .
r r k =|k |
(4.16)
11
Ñîîòâåòñòâóþ ù åå óðàâíåíèå ïîëó÷àåòñÿ èç (4.15) ïóòåì åãî äîìíîæår r íèÿ íà v?* (k ) è èíòåãðèðîâàíèÿ â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå ïî ïîâåðõíîñòè ñôåðû çàäàííîãî ðàäèóñà k è èìååòñëåäóþ ù óþ ñòðóêòóðó ¶t E ( k ) = T ( k ) - D ( k ) + F ( k ) .
(4.17)
Çäåñü T (k ) - ÷ëåí, ïîëó÷àþ ù èéñÿ èç íåëèíåéíîãî ñëàãàåìîãî óðàâíåíèÿ (4.15) è îïèñûâàþ ù èé ïåðåíîñ ýíåðãèè â çàäàííûé ìàñø òàá â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ ïóëüñàöèé ñêîðîñòè ðàçëè÷íîãî ìàñø òàáà, D(k ) = - nk 2 E (k ) è îïèñûâàåò ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíåðãèè çà ñ÷åò äåéñòâèÿ ìîëåêóëÿðíîé âÿçêîñòè, à F (k ) õàðàêòåðèçóåò ïðèòîê ýíåðãèè çà ñ÷åò ñèë, ïîääåðæèâàþ ù èõ òóðáóëåíòíîå òå÷åíèå (ðàáîòà âíåø íèõ ñèë). Òî÷íûé âèä äëÿ T (k ) è F (k ) ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ èç (4.15). Ì û íå âûïèñûâàåì ñîîòâåòñòâóþ ù èõ âûðàæåíèé, òàê êàê èíòåðåñóþ ù èå íàñ âûâîäû ìîæíî ñäåëàòü èñõîäÿ èç îáù èõ ñîîáðàæåíèé îá èõ ñòðóêòóðå. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ñòàöèîíàðíîãî òóðáóëåíòíîãî ïîòîêà. Ñòàöèîíàðíîñòü îçíà÷àåò, ÷òî ýíåðãèÿ, ââîäèìàÿ â ïîòîê çà åäèíèöó âðåìåíè, â òî÷íîñòè ðàâíà ýíåðãèè, ïðåâðàù àþ ù åéñÿ â òåïëî çà ñ÷åò äåéñòâèÿ âÿçêîñòè, à ¶t E (k ) = 0 äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ âîëíîâîãî ÷èñëà (äëÿ ëþáîãî ìàñø òàáà). Ñëåäîâàòåëüíî, T (k ) - D (k ) + F (k ) = 0 ,
ïðè÷åì ïðèòîê ýíåðãèè â òå÷åíèå è åå äèññèïàöèÿ ïðîèñõîäÿò â ðàçëè÷íûõ ìàñø òàáàõ. Ñèòóàöèþ ïîÿñíÿåò ðèñ.4.2, ãäå ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåíû ôóíêöèè D(k ) è F (k ) . Ï ðèòîê ýíåðãèè ïðîèñõîäèò âáëèçè âîëíîâîãî ÷èñëà k L , ñîîòâåòñòâóþ ù åãî ìàêðîìàñø òàáó òóðáóëåíòíîñòè L . Äèññèïàöèÿ ñòàíîâèòñÿ ýôôåêòèâíîé òîëüêî íà ìàëûõ ìàñø òàáàõ (áîëüø èõ âîëíîâûõ ÷èñëàõ), òàê êàê D(k ) » k 2 è ôóíêöèÿ D(k ) ëîêàëèçîâàíà âáëèçè âîëíîâîãî ÷èñëà k l ( l - ìèêðîìàñø òàá òóðáóëåíòíîñòè, íàçûâàåìûé ÷àñòî ìàñø òàáîì Êîëìîãîðîâà). Îòìåòèì, ÷òî ïëîù àäè, çàêëþ ÷åííûå ïîä îáåèìè êðèâûìè, äîëæíû áûòü â òî÷íîñòè ðàâíû äðóã äðóãó. Ì åæäó äâóìÿ êðèâûìè îñòàåòñÿ çíà÷èòåëüíûé (òåì áîëüø èé, ÷åì áîëüø å ÷èñëî Ðåéíîëüäñà) èíòåðâàë ìàñø òàáîâ k L << k << k l , â êîòîðûõ D(k ) = F (k ) = 0 , à ñëåäîâàòåëüíî è T (k ) = 0 . Ýòîò èíòåðâàë ìàñø òàáîâ íàçûâàþ ò èíåðöèîííûì èíòåðâàëîì è åãî ïðè-
Ðèñ.4.2
12
ñóòñòâèå ÿâëÿåòñÿ ïðèçíàêîì ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè. Ï îñêîëüêó ýíåðãèÿ âíîñèòñÿ â ïîòîê íà îäíîì êðàþ èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà, à âûíîñèòñÿ - íà äðóãîì, òî îíà î÷åâèäíûì îáðàçîì äîëæíà áûòü ïåðåíåñåíà âäîëü âñåãî èíòåðâàëà. Óñëîâèå T (k ) = 0 îçíà÷àåò, ÷òî ïðèòîê â äàííûé ìàñø òàá èç áîëüø èõ ìàñø òàáîâ â òî÷íîñòè ðàâåí îòòîêó ýíåðãèè èç äàííîãî ìàñø òàáà â ìåíüø èå. Ï îëåçíî ðàññìîòðåòü âåëè÷èíó k
E(k ) = òE (k ¢)dk ¢, 0
ðàâíóþ ýíåðãèè, çàêëþ ÷åííîé âî âñåõ ìàñø òàáàõ, áîëüø èõ äàííîãî ( k ¢< k ). Ñîîòâåòñòâóþ ù åå óðàâíåíèå ïîëó÷àåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì óðàâíåíèÿ (4.17) îò íóëÿ äî òåêóù åãî çíà÷åíèÿ âîëíîâîãî ÷èñëà è èìååò âèä k
¶t E(k ) = P (k ) -
òD(k ¢)dk ¢+ 0
k
òF (k ¢)dk ¢ . 0
Åñëè ðàññìîòðåòü ìàñø òàá, ïðèíàäëåæàù èé èíåðöèîííîìó èíòåðâàëó, è ñ÷èòàòü òå÷åíèå ñòàöèîíàðíûì, òî P (k ) = F = const . P (k ) åñòü ïîòîê ýíåðãèè ÷åðåç òåêóù èé ìàñø òàá k . Ýòîò ïîòîê ðàâåí ñóììàðíîé ýíåðãèè F , âíîñèìîé â ïîòîê çà åäèíèöó âðåìåíè íà åäèíèöó ìàñ-
ñû. Ýòîò ïîòîê ðàâåí è ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè, òî åñòü ýíåðãèè, ïðåâðàù àþ ù åéñÿ â òåïëî çà åäèíèöó âðåìåíè íà åäèíèöó ìàññû. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîäîø ëè ê êëþ ÷åâîìó ìîìåíòó òåîðèè ìåëêîìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè, ñîñòîÿù åìó â òîì, ÷òî ïðîöåññû âîçáóæäåíèÿ òå÷åíèÿ, íåëèíåéíûõ âçàèìîäåéñòâèé âèõðåé è âÿçêîé äèññèïàöèè, ñîñóù åñòâóþ ù èå â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå, ñòðîãî ðàçíåñåíû â ïðîñòðàíñòâå ìàñø òàáîâ. Ï åðâûé ø àã â ïîíèìàíèè ïðîáëåìû ñäåëàë Ë.Ðè÷àðäñîí, êîòîðûé âûäâèíóë â 1922 ãîäó èäåþ êàñêàäà ýíåðãèè, òî åñòü ïðîöåññà ïåðåäà÷è ýíåðãèè ïî öåïî÷êå îò áîëüø èõ âèõðåé - ìåíüø èì. Ñòðîãóþ ôîðìóëèðîâêó ïðîáëåìû, äàâø óþ êîëè÷åñòâåííûå ðåçóëüòàòû, ïðåäëîæèë À.Í .Êîëìîãîðîâ â ñåðèè ðàáîò 1941 ãîäà.
13
4.3. Òåîðèÿ Êîëìîãîðîâà 1941 ãîäà (Ê41) 4.3.1. Àíàëèç ðàçìåðíîñòåé À.Í .Êîëìîãîðîâ â ñâîåé êëàññè÷åñêîé ðàáîòå, ïîëîæèâø åé íà÷àëî ñèñòåìàòè÷åñêîìó èçó÷åíèþ ìåëêîìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè, ñôîðìóëèðîâàë äâå ãèïîòåçû, êàñàþ ù èåñÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ îäíîðîäíîé è èçîòðîïíîé òóðáóëåíòíîñòè ïðè áîëüø èõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà. 1-ÿ ãèïîòåçà Êîëìîãîðîâà. Ñòàòèñòè÷åñêèåñâîéñòâà â èíåðöèîííîì è äèññèïàòèâíîì èíòåðâàëå ( ò.å. íà ìàñø òàáàõ l << L ) íå çàâèñÿò îò ñïîñîáà âîçáóæäåíèÿ òóðáóëåíòíîñòè è óíèâåðñàëüíûì îáðàçîì îïðåäåëÿþ òñÿ òðåìÿ ïàðàìåòðàìè: ñêîðîñòüþ äèññèïàöèè ýíåðãèè e , êèíåìàòè÷åñêîé âÿçêîñòüþ n è ñàìèì ìàñø òàáîì l . 2-ÿ ãèïîòåçà Êîëìîãîðîâà. Ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà òóðáóëåíòíîñòè â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå óíèâåðñàëüíû è çàâèñÿò òîëüêî îò ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè e è ìàñø òàáà l . Ýòè ãèïîòåçû ñîäåðæàò îòâåò íà âîïðîñ, êàêèå âåëè÷èíû ìîãóò âëèÿòü íà äèíàìèêó èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà. Ãîâîðÿ î ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ, ìû â ïåðâóþ î÷åðåäü èìååì â âèäó ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè ìåæäó äâèæåíèÿìè ðàçëè÷íîãî ìàñø òàáà, õîòÿ, êîíå÷íî æå, ïîìíèì, ÷òî ïîëå ñêîðîñòè - ýòî ïîëå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è ÷òîáû îïèñàòü åãî, íóæíî çíàòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè, ëèáî, ÷òî òî æå ñàìîå, ñîâîêóïíîñòü âñåõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ ýòîé âåëè÷èíû. Ðàññìîòðèì äâå òî÷êè, îòñòîÿù èå äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèè l (ðèñ.4.3), è â êà÷åñòâå õàðàêòåðèñòèêè ïóëüñàöèé ñêîðîñòè íà ìàñø òàáå l âûáåðåì ðàçíîñòü ïðîåêöèé ñêîðîñòè â ýòèõ òî÷êàõ íà íàïðàâëåíèå, ñâÿçûâàþ ù ååýòè òî÷êè r r r dv l = v l (r + l ) - v l (r ) .
(4.18)
Ââåäåííàÿ òàêèì îáðàçîì âåëè÷èíà dv l õàðàêòåðèçóåò ïðîäîëüíûå ïóëüñàöèè ñêîðîñòè (íà ñâÿçè ïðîäîëüíûõ è ïîïåðå÷íûõ ïóëüñàöèé ìû îñòàíîâèìñÿíèæå). Ñòàòèñòè÷åñêèåìîìåíòû ýòîé âåëè÷èíû S q (l ) =< dv l > q
Ðèñ.4.3
(4.19)
íàçûâàþò ñòðóêòóðíûìè ôóíêöèÿìè è â ñèëó èçîòðîïèè òå÷åíèÿ îíè íå äîëæíû r çàâèñåòü îò íàïðàâëåíèÿ îòðåçêà l . Í àðÿäó ñî ñòðóêòóðíûìè ôóíêöèÿìè S q ðàññìàòðèâàþ ò è ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè âèäà
14
Tq (l ) =<| dv l | q > .
(4.20)
Î÷åâèäíî, ÷òî ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè (4.19) è (4.20) ÷åòíûõ ïîðÿäêîâ q èäåíòè÷íû è îòëè÷èÿ ïîÿâëÿþ òñÿòîëüêî â ôóíêöèÿõ íå÷åòíûõ ïîðÿäêîâ. Âòîðàÿ ãèïîòåçà Êîëìîãîðîâà óòâåðæäàåò, ÷òî â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè çàâèñÿò òîëüêî îò ìàñø òàáà è ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè S q (l ) = f (e, l ) . Äàëåå äåëàåòñÿ ñàìîå ñèëüíîå ïðåäïîëîæåíèå, ÿâëÿþ ù ååñÿ ïî ñóòè ãëàâíîé ãèïîòåçîé òåîðèè Ê41. Îíî ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíåðãèè ñ÷èòàåòñÿ óíèâåðñàëüíîé êîíñòàíòîé äëÿ çàäàííîãî òå÷åíèÿ, òî åñòü â ëþ áîé ìîìåíò âðåìåíè è â ëþáîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà äèññèïàöèÿ ýíåðãèè çà åäèíèöó âðåìåíè íà åäèíèöó ìàññû ðàâíà e . Âåëè÷èíà e îïðåäåëÿåòñÿ ýíåðãèåé, ââîäèìîé â ïîòîê íà åäèíèöó ìàññû, è õàðàêòåðèçóåò ïîòîê ýíåðãèè, ïðîêà÷èâàåìîé âäîëü âñåãî èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà äî äèññèïàòèâíûõ ìàñø òàáîâ. Ï ðèíÿâ ñôîðìóëèðîâàííûå ãèïîòåçû, ìîæíî ïîëó÷èòü ðÿä âàæíûõ ðåçóëüòàòîâ, ïîëüçóÿñü òîëüêî ñîîáðàæåíèÿìè ðàçìåðíîñòè. Í àïîìíèì, ÷òî, ãîâîðÿ îá ýíåðãèè, ìû âñå âðåìÿ èìååì â âèäó ýíåðãèþ íà åäèíèöó ìàññû, òî åñòü ýíåðãèÿ èçìåðÿåòñÿ â ì 2 ñ2 . Òîãäà ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè åñòü ì 2 ñ3 , è äëÿ ïóëüñàöèé ñêîðîñòè ìîæíî ñîñòàâèòü òîëüêî îäíó êîìáèíàöèþ âåëè÷èí e è l ñ òðåáóåìîé ðàçìåðíîñòüþ ( ì ñ ) dvl ~ (el )1/ 3 .
(4.21)
Ýòó çàâèñèìîñòü íàçûâàþò çàêîíîì Êîëìîãîðîâà - Îáóõîâà. Ï îïûòêà ïðèìåíèòü ñîîáðàæåíèÿ ðàçìåðíîñòè ê ñòðóêòóðíûì ôóíêöèÿì ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà î÷åâèäíûì îáðàçîì ïðèâîäèò ê ôîðìóëå S q (l ) ~ (el ) q / 3 .
(4.22)
Ñîîáðàæåíèÿ ðàçìåðíîñòè ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü è ôîðìó ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà ïóëüñàöèé ñêîðîñòè (4.16). Ðàçìåðíîñòü ýíåðãèè èìååò âåëè÷èíà E (k )dk . Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçìåðíîñòü âåëè÷èíû E (k ) åñòü ì 3 ñ2 . Ï îñêîëüêó ñïåêòð ýíåðãèè ìîæåò çàâèñåòü òîëüêî îò âåëè÷èí e è k , òî åäèíñòâåííî âîçìîæíàÿ êîìáèíàöèÿ åñòü E (k ) = Ce 2 / 3 k - 5 / 3 . (4.23)
15
Ô îðìóëó (4.23) íàçûâàþ ò çàêîíîì Êîëìîãîðîâà, à âõîäÿù óþ â íåå êîíñòàíòó C - êîíñòàíòîé Êîëìîãîðîâà. ×òîáû óâèäåòü ñòåïåííîé çàêîí, ñîîòâåòñòâóþ ù óþ çàâèñèìîñòü íóæíî ïðåäñòàâèòü â ëîãàðèôìè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (ðèñ.4.4).  òàêîì ïðåäñòàâëåíèè èíåðöèîííîìó èíòåðâàëó ñîîòâåòñòâóåò ïðÿìîëèíåéíûé ó÷àñòîê ñïåêòðà, íàêëîí êîòîðîãî äîëæåí áûòü ðàâåí ïîêàçàòåëþ ñòåïåíè â çàêîíå (4.23). Ì îæíî ëè îöåíèòü äèññèïàòèâíûé ìàñø òàá l ? È ñõîäÿ èç ïåðâîé ãèïîòåçû Êîëìîãîðîâà ýòîò ìàñø òàá ìîæåò çàâèñåòü òîëüêî îò ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè è âåëè÷èíû ìîëåêóëÿðíîé âÿçêîñòè (ðàçìåðíîñòü êèíåìàòè÷åñêîé âÿçêîñòè [n ] = ì 2 / ñ). Òîãäà ïîäáîð íóæíîé ðàçìåðíîñòè ïðèâîäèò ê ôîðìóëå æn 3 l~ç çe è
1/ 4
ö ÷ ÷ ø
.
(4.24) Ðèñ.4.4
È íòåðåñíî âûðàçèòü äèññèïàòèâíûé (âíóòðåííèé) ìàñø òàá ÷åðåç ìàêðîïàðàìåòðû òóðáóëåíòíîñòè. Ï óñòü òå÷åíèå íà ìàêðîìàñø òàáå L õàðàêòåðèçóåòñÿ ñêîðîñòüþ U . Õàðàêòåðèñòèêîé òå÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî Ðåéíîëüäñà R = UL / n . Ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíåðãèè, ðàâíàÿ ñêîðîñòè ïîäâîäà ýíåðãèè â òóðáóëåíòíîñòü, ìîæåò áûòü âûðàæåíà è ÷åðåç ìàêðîïàðàìåòðû e ~ U 3 L- 1 . Òîãäà æn 3 l~ç çe è
1/ 4
ö ÷ ÷ ø
1/ 4
æn 3 L ö ~ç çU 3 ÷ ÷ è ø
æn 3 L4 ~ç çU 3 L3 è
1/ 4
ö ÷ ÷ ø
~ LR - 3 / 4 .
(4.25)
Ô îðìóëà (4.25) äàåò âîçìîæíîñòü îöåíèòü ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû, âîçáóæäåííûõ â òóðáóëåíòíîì òå÷åíèè ïðè çàäàííîì ÷èñëå Ðåéíîëüäñà. Ñ÷èòàÿ, ÷òî N ~ ( L / l) 3 , íåìåäëåííî ïîëó÷àåì 3
æ L ö N ~ ç - 3/ 4 ÷ ~ R9 / 4 . è LR ø
(4.26)
Âûðàæåíèå (4.26) ìîæåòñëóæèòü îöåíêîé ðàçìåðîâ ñåòêè, íåîáõîäèìîé äëÿ ïðÿìîãî ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ òóðáóëåíòíîãî òå÷åíèÿ ñ çàäàííûì ÷èñëîì Ðåéíîëüäñà.
16
4.3.2. Êîððåëÿöèîííûåôóíêöèè Ì åòîäîì àíàëèçà ðàçìåðíîñòåé óäàëîñü ïîëó÷èòü îöåíêè (4.21)(4.22), êà÷åñòâåííî îïèñûâàþ ù èå êîððåëÿöèè ñêîðîñòè â äâóõ òî÷êàõ îäíîðîäíîãî è èçîòðîïíîãî òóðáóëåíòíîãî òå÷åíèÿ, îòñòîÿù èõ äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå l . Ï ðîäîëæàÿ ñëåäîâàòü ðàáîòàì Êîëìîãîðîâà 1941 ãîäà, ïîêàæåì, ÷òî ñóù åñòâóåò è òî÷íûé ðåçóëüòàò, êàñàþ ù èéñÿ ñòðóêòóðíîé ôóíêöèè òðåòüåãî ïîðÿäêà. Ðàññìîòðèì äâóõòî÷å÷íûé êîððåëÿöèîííûé òåíçîð âòîðîãî ðàíãà B ik =< (v 2i - v1i )(v 2 k - v1k ) > ,
r
(4.27)
r
ãäå v1 è v 2 - ñêîðîñòè â äâóõ òî÷êàõ, îòñòîÿù èõ íà ðàññòîÿíèè l (ñì. ðèñ.4.3). Ñ÷èòàåì, ïî-ïðåæíåìó, ÷òî òóðáóëåíòíîñòü îäíîðîäíà è èçîòðîïíà, à ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ðàâíà íóëþ. Ââåäåííûé òåíçîð â ñèëó èçîòðîïèè è îäíîðîäíîñòè ïîòîêà ìîæåò r çàâèñåòü òîëüêî îò ìîäóëÿ âåêòîðà l , ñîåäèíÿþ ùråãî äâå òî÷êè. Ââåäåì r åäèíè÷íûé âåêòîð n , íàïðàâëåííûé âäîëü âåêòîðà l , è çàïèø åì îáù èé âèä ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà âòîðîãî ðàíãà, çàâèñÿù åãî îò ðàññòîÿíèÿ l , B ik = A(l )dik + B (l )n i n k .
(4.28)
×òîáû ïðèäàòü ôèçè÷åñêèé ñìûñë ôóíêöèÿì A(l ) è B (l ) , íàïðàâèì r âåêòîð l âäîëü îäíîé èçîñåé êîîðäèíàò (ýòî âîçìîæíî îïÿòü æå áëàãîäàðÿ èçîòðîïèè). Êîìïîíåíòó ñêîðîñòè âäîëü ýòîé îñè îáîçíà÷èì êàê vl , à ïåðïåíäèêóëÿðíóþ êîìïîíåíòó - êàê v n .  òàêîì ïðåäñòàâëåíèè êîìïîíåíòà Bll ðàâíà ñðåäíåìó êâàäðàòó îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè ÷àñòèö â äâóõ òî÷êàõ â íàïðàâëåíèè äðóã ê äðóãó. Êîìïîíåíòà Bnn ðàâíà ñðåäíåìó êâàäðàòó îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè ÷àñòèö â ïåðïåíäèêóëÿðíîì íàïðàâëåíèè è õàðàêòåðèçóåò, òàêèì îáðàçîì, âðàù àòåëüíîå äâèæåíèå ÷àñòèö îòíîñèòåëüíî äðóã r äðóãà. Ï ðè âûáðàííîì íàïðàâëåíèè îòðåçêà åäèíè÷íûé âåêòîð n = (1,0,0) è ñîãëàñíî (4.28) Bll (l ) = A(l ) + B (l ), Bnn (l ) = A(l ), Bln (l ) = 0.
(4.29)
È ñïîëüçóÿ (4.29), ïåðåïèø åì (4.28) â âèäå Bik = B nn (l )dik + ( Bll (l ) - Bnn (l ) )ni n k .
Ðàñêðîåì ïðîèçâåäåíèå â îïðåäåëåíèè (4.27)
(4.30)
17
B ik =< v 2i v 2 k > - < v1i v 2 k > - < v1k v 2i > + < v1i v1k >
è ó÷òåì, ÷òî â ñèëó îäíîðîäíîñòè ïîòîêà îäíîòî÷å÷íûå êîððåëÿöèè íå çàâèñÿòîò ïîëîæåíèÿ òî÷êè < v 2i v 2 k >=< v1i v1k >=
à â ñèëó èçîòðîïèè
dik < v2 > , 3
< v1i v 2 k >=< v1k v 2i >
(ïðè ïåðåñòàíîâêå òî÷åê ìåñòàìè ðåçóëüòàò íå ìåíÿåòñÿ). Òîãäà B ik =
2 < v 2 > dik - 2bik , 3
(4.31)
ãäå bik =< v1i v 2k > åñòü âñïîìîãàòåëüíûé, ñèììåòðè÷íûé òåíçîð, êîìïîíåíòû êîòîðîãî ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè l ® ¥ (áåñêîíå÷íî óäàëåííûå òî÷êè ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìû). Âûðàæåíèå (4.31) ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî êîîðäèíàòàì òî÷êè 2 è âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì íåðàçðûâíîñòè: ¶2 k B ik = - 2¶2 k bik = - 2 < v1i ¶2 k v 2 k >= 0 .
(4.31)
Äèôôåðåíöèðîâàíèå Bik ïî êîîðäèíàòå âòîðîé òî÷êè ýêâèâàëåíòíî äèôôår ðåíöèðîâàíèþ ïî ñîîòâåòñòâóþ ù åé ïðîåêöèè âåêòîðà l , ïîñêîëüêó òåíçîð çàâèñèò òîëüêî îò ýòîãî âåêòîðà. Ñëåäîâàòåëüíî, ¶2 k Bik = ¶k Bik = 0 è, ïîäñòàâëÿÿ â ýòó ôîðìóëó âûðàæåíèå (4.30), ïîëó÷èì ¢ (l )¶k l + (Bll¢(l ) - Bnn ¢ (l ) )ni nk ¶k l + (Bll (l ) - B nn (l ) )¶k (ni n k ) = ¶k Bik = dik Bnn 2 æ ö = çBll¢ + ( Bll - B nn )÷ni = 0 l è ø
ãäå ø òðèõîì îáîçíà÷åíî äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî l . Ï ðè âû÷èñëåíèÿõ áûëî ó÷òåíî, ÷òî ¶k l = ¶k x i = x k / l = n k , 2
¶k ni = ¶k ( xi / l ) = (dik - ni n k ) / l , ¶k n k = 2 / l , ¶k ( n i n k ) = n k ¶ k n i + n i ¶k n k = 2 n i / l .
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå, íàçûâàåìîå ïåðâûì óðàâíåíèåì Êàðìàíà - Õîâàðòà, ïîëó÷åííîå ýòèìè àâòîðàìè â 1937 ãîäó.
18
Bll¢ +
2 (Bll - Bnn )= 0 . l
(4.32)
Ýòî óðàâíåíèå äàåò ñâÿçü ìåæäó ïðîäîëüíûìè è ïîïåðå÷íûìè êîððåëÿöèÿìè Bll è Bnn . Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïðè åãî âûâîäå èñïîëüçîâàëîñü òîëüêî óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè. Óðàâíåíèå (4.32) ïåðåïèø åì â âèäå B nn
¶l (l 2 Bll ) l ¢ = Bll + Bll = 2 2l
(4.33)
è ïîñìîòðèì, êàê âûãëÿäèò ñâÿçü ìåæäó âåëè÷èíàìè Bll è Bnn ïðè êîíêðåòíûõ ñòåïåííûõ çàêîíàõ äëÿ êîððåëÿöèé. Ï óñòü l ñòîëü ìàëû, ÷òî ñîîòâåòñòâóþò äèññèïàòèâíîìó èíòåðâàëó ( l < l ).  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿïåðâûì ÷ëåíîì ðÿäà Òåéëîðà è, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî dv l ~ l , çàïèñàòü B ll = cl 2
(4.34)
ãäå c - íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. Ï îäñòàâëÿÿ (4.34) â (4.33), ëåãêî ïîëó÷àåì, ÷òî Btt n = 2cl 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, â äèññèïàòèâíîì èíòåðâàëå êîððåëÿöèè ñâÿçàíû êàê B nn = 2 Bll .
 èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ( l << l << L ) ñîãëàñíî (4.21) èìååì îöåíêó B ll = c1l 2 / 3 . Ñ ïîìîù üþ (4.33) âíîâü ïîëó÷àåòñÿ ñâÿçü ïðîäîëüíûõ è ïîïåðå÷íûõ êîððåëÿöèé, êîòîðàÿ â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä Bnn =
4 Bll . 3
Âàæíûé âûâîä, êîòîðûé ñëåäóåò èç óðàâíåíèé (4.32), ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè ëþáîì ñòåïåííîì ïîâåäåíèè êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè Bll è Bnn ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ ñëåäóþò îäíîìó è òîìó æå ñòåïåííîìó çàêîíó. Òåïåðü ââåäåì êîððåëÿöèîííûé òåíçîð òðåòüåãî ðàíãà Bikm =< ( v 2i - v1i )( v 2 k - v1k )( v 2 l - vim ) >
è âñïîìîãàòåëüíûé òåíçîð
(4.35)
19
bik ,m =< v1i v1k v 2 m >= - < v 2i v 2 k v1m > .
(4.36)
Òåíçîð bik ,m ñèììåòðè÷åí ïî ïåðâîé ïàðå èíäåêñîâ, îòíîñÿù èõñÿ ê îäíîé òî÷êå, è ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêåròî÷åê ìåñòàìè, òàê êàê ýòà ïåðåñòàíîâêà ýêâèâàëåíòíà èçìåíåíèþ çíàêà l , à èíâåðñèÿ êîîðäèíàò ìåíÿåò çíàê òåíçîðà òðåòüåãî ðàíãà. Ï ðè l ® ¥ âñå êîìïîíåíòû òåíçîðîâ (4.35) è (4.36) äîëæíû ñòðåìèòüñÿê íóëþ. Ðàñêðûâàÿ ïðîèçâåäåíèå â (4.35) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî < v1i v1k v1m >=< v 2i v 2 k v 2 m >= 0 (ñðåäíåå çíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ íå÷åòíîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ ñîìíîæèòåëåé, ñðåäíåå çíà÷åíèå êàæäîãî èç êîòîðûõ ðàâíî íóëþ ), ïîëó÷àåì Bikm = 2(bik ,m + bkm ,i + bmi ,k ) . (4.37) Çàòåì çàïèñûâàåì îáù èé âèä òåíçîðà, ñèììåòðè÷íîãî ïî ïåðâîé ïàðå èír äåêñîâ è çàâèñÿù åãî îò êîìïîíåíò åäèíè÷íîãî âåêòîðà n : bik ,m = C (l )dik n m + D (l )(dim n k + dkm ni ) + F (l )ni n k n m .
(4.38)
Òðåáóåòñÿ âûðàçèòü ôóíêöèè C (l ) , D(l ) è F (l ) ÷åðåç èìåþ ù èå ôèçè÷åñêèé ñìûñë êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè òðåòüåãî ïîðÿäêà. Äëÿ ýòîãî ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì íåðàçðûâíîñòè, èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ¶2 m bik ,m =< v1i v1k ¶2 m v 2 m >= 0 .
(4.39)
Ï îäñòàâëÿåì â (4.39) âûðàæåíèå (4.38) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ¶2 m (ni nk nm ) =
2ni nk , l
ïîëó÷àåì äâà óðàâíåíèÿ, ïîçâîëÿþ ù èå âûðàçèòü ôóíêöèè D(l ) è F (l ) ÷åðåç C (l ) : D=-C-
lC ¢ , 2
F = lC ¢- C .
 ðåçóëüòàòå bik , m = Cdik n m - (C +
1 lC ¢)(dim n k + dkm ni ) + (lC ¢- C )ni n k n m 2
è âûðàæåíèå äëÿ êîððåëÿöèîííîãî òåíçîðà òàêæå âêëþ ÷àåò òîëüêî îäíó íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ C (l ) : Bikm = - 2(lC ¢+ C )(dik n m + dim n k + dkm ni )+ 6(lC ¢- C )n i n k n m .
(4.40)
20
r
r
Âíîâü íàïðàâèì âåêòîð l âäîëü îäíîé èç îñåé êîîðäèíàò ( n = (1,0,0) ) è âûïèø åì êîìïîíåíòû òåíçîðà (4.40): B lll = - 12C , Blnn = - 2(C + lC ¢) ,
Blln = B nnn = 0 .
(4.41)
Òàêèì îáðàçîì, îòëè÷íû îò íóëÿ òîëüêî äâå êîìïîíåíòû òåíçîðà, êîòîðûå ìîæíî ñâÿçàòü ñîîòíîø åíèåì Blnn =
1 (lBlll )¢. 6
(4.42)
Êîìáèíèðóÿ ôîðìóëû (4.38)-(4.41), âûðàçèì âñïîìîãàòåëüíûé òåíçîð bik , m ÷åðåç êîìïîíåíòû òåíçîðà Bikm (ýòî åñòü 2-å óðàâíåíèå Êàðìàíà - Õîâàðòà) bik ,m = -
1 1 (lBlll¢ + 2 Blll )(dim nk + dkm ni )- 1 (lBlll¢ - Blll )ni nk nm . Bllldik n m + 12 24 12
(4.43)
Åù å ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðè âûâîäå óðàâíåíèé Êàðìàíà - Õîâàðòà èñïîëüçîâàëîñü òîëüêî óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè. ×òîáû ñâÿçàòü êîððåëÿöèîííûå òåíçîðû âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêà íóæíî èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèåÍ àâüå- Ñòîêñà. Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò òåíçîðà bik =< v1i v 2k > , èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå Í àâüå- Ñòîêñà äëÿ ïðîèçâîäíûõ îò ñêîðîñòè ¶t bik =< v2 k ¶t v1i > + < v1i ¶t v2 k >=
= - ¶1 j < v1 j v1i v2 k > - ¶2 j < v1i v2 k v2 j > - r - 1 (¶1i < p1v2 k > + ¶2 k < p2 v1i > )+
(
)
+ n ¶12 jj < v1i v2 k > + ¶22 jj < v1i v2 k > .
Äâóõòî÷å÷íàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ äàâëåíèÿ è ñêîðîñòè ðàâíà íóëþ . Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî â ñèëó èçîòðîïèè ýòà ôóíêöèÿ äîëæíà èìåòü âèä r r < p1 v 2 >= n f (l ) ,
à åå äèâåðãåíöèÿ äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ ( ¶2 k < p1v 2k >=< p1¶2 k v 2 k >= 0 ). Äåéñòâèòåëüíî, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü ïîñëåäíåìó òðåáîâàíèþ, íóæíî ïîëî- 2 2 1 2ö n k + 2 ÷ = 0 ), à òàê êàê ïðè l ® 0 êîððå3 l lø èl
æèòü f ( l ) = c / l 2 (òîãäà ¶2 k æç nk ö÷ = cæç c èl
ø
ëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà áûòü êîíå÷íà, òî åäèíñòâåííî âîçìîæíîå çíà÷åíèå êîíñòàíòû åñòü c = 0 .
21
Ñëåäóþ ù èé ø àã ñîñòîèò â çàìåíå ïðîèçâîäíûõ ïî êîîðäèíàòàì òîr ÷åê 1 è 2 íà ïðîèçâîäíûå ïî êîìïîíåíòàì âåêòîðà l . Ýòî îïðàâäûâàåòñÿ òåì, ÷òî âñåêîððåëÿöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè â îäíîðîäíîì ïîòîêåçàâèñÿò òîëüêî îò ýòîãî âåêòîðà. Ï ðè ýòîì ¶1k = - ¶k , à ¶2 k = ¶k . Ï îëó÷àåì ¶t bik = ¶ j < v1 j v1i v 2 k > - ¶ j < v1i v 2 k v 2 j > + 2nD < v1i v 2 k >
è, îêîí÷àòåëüíî,
¶t bik = ¶ j (bij , k + bkj ,i ) + 2nDbik .
(4.44)
 óðàâíåíèå (4.44) íåîáõîäèìî ïîäñòàâèòü âûðàæåíèÿ äëÿ òåíçîðîâ bij ,k (4.43) è bik (4.34). Ï ðè âû÷èñëåíèè ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ïîñëåäíåãî ïîÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè îò ñðåäíåãî êâàäðàòà ñêîðîñòè, êîòîðàÿ åñòü ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíåðãèè ¶t
< v2 > 3 = e. 3 2
Îïóñêàÿ äîñòàòî÷íî äëèííûå âû÷èñëåíèÿ, ïðèâåäåì îêîí÷àòåëüíîå óðàâíåíèå -
¢ n ¢ 2 1 1 e - ¶t B ll = 4 l 4 Blll - 4 l 4 Bll¢ . 3 2 6l l
(
)
(
)
(4.45)
Ðàññìàòðèâàÿ ñòàöèîíàðíóþ èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, êâàçèñòàöèîíàðíóþ òóðáóëåíòíîñòü, êîãäà ÷ëåí ¶t Bll âñå ðàâíî ìíîãî ìåíüø å ñêîðîñòè äèññèïàöèè, ìîæíî îòáðîñèòü ñëàãàåìîå ñ ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè. È íòåãðèðîâàíèå(4.45) ïî l äàåò óðàâíåíèå Êîëìîãîðîâà Blll = -
4 el + 6nBll¢. 5
(4.46)
Êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ ïðèíÿòà ðàâíîé íóëþ â ñèëó òðåáîâàíèÿ îáðàù åíèÿ â íóëü êîððåëÿöèé ïðè l ® ¥ . Óðàâíåíèå (4.46), êàê è óðàâíåíèå (4.45), âêëþ ÷àåò äâå íåçàâèñèìûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè è íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì äëÿ èõ íàõîæäåíèÿ. Ï îïûòêà íàïèñàòü äîïîëíèòåëüíîå óðàâíåíèå äëÿ êîððåëÿöèîííîãî òåíçîðà òðåòüåãî ïîðÿäêà ïðèâåäåò ê óðàâíåíèþ , ñîäåðæàù åìó òåíçîð ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà è ò.ä. Òàêèì îáðàçîì, ñíîâà âîçíèêàåò ïðîáëåìà çàìûêàíèÿ, ñ êîòîðîé ìû óæå ñòàëêèâàëèñü ïðè ðàññìîòðåíèè óðàâíåíèé äëÿ îäíîòî÷å÷íûõ ìîìåíòîâ òóðáóëåíòíûõ ïîëåé. Óðàâíåíèå (4.46) ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ l << L , òî åñòü è äëÿ èíåðöèîííîãî, è äëÿ äèññèïàòèâíîãî èíòåðâàëîâ.  èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ïîñëåä-
22
íèì ñëàãàåìûì, ïðîïîðöèîíàëüíûì âÿçêîñòè, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü è ïîëó÷èòü çàìêíóòîå óðàâíåíèå äëÿ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè òðåòüåãî ïîðÿäêà B lll = -
4 el . 5
(4.47)
Óðàâíåíèå (4.47), êîòîðîå ÷àñòî íàçûâàþò «çàêîíîì 4/5», îñòàåòñÿ îäíèì èç âàæíåéø èõ ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ äëÿ ìåëêîìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè. Ñëåäóåò åù å ðàç ïîä÷åðêíóòü, ÷òî çàêîí (4.47) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òî÷íûé ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé äëÿ èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà òîëüêî íà îñíîâå óðàâíåíèé Í àâüå - Ñòîêñà. Òàêèì îáðàçîì, ñðåäè îöåíîê (4.22) åñòü îäíà, ñïðàâåäëèâîñòü êîòîðîé ÿâëÿåòñÿäîêàçàííîé, à èìåííî, S 3 (l ) ~ el .
Äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé ôîðìóëà (4.22) ÿâëÿåòñÿ ëèø ü îöåíêîé, íà ñëàáîñòü êîòîðîé âïåðâûå óêàçàë Ë.Ëàíäàó óæå â 1942 ãîäó. Ñóòü çíàìåíèòîãî çàìå÷àíèÿ Ëàíäàó ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû ñòîèò ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíåðãèè e , êîòîðàÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè íå ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé, à òàêæå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, õàðàêòåðèçóåìóþ ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ.  âûðàæåíèå äëÿ ñòðóêòóðíîé ôóíêöèè òðåòüåãî ïîðÿäêà âõîäèò ñîáñòâåííî ñðåäíåå çíà÷åíèå ñêîðîñòè äèññèïàöèè è ïðîáëåìû ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ íå âîçíèêàåò. Âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ â îöåíêè âõîäÿò ðàçëè÷íûå ñòåïåíè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è, åñòåñòâåííî, ñðåäíåå çíà÷åíèå îò âåëè÷èíû â íåêîòîðîé ñòåïåíè íå åñòü ýòà æåñòåïåíü îò ñðåäíåãî.
4.4. Ëîãíîðìàëüíàÿ ìîäåëü (Ê62) Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìåëêîìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè âåäóòñÿ, íà÷èíàÿ ñ ïÿòèäåñÿòûõ ãîäîâ. Í à ïåðâûõ ïîðàõ îñíîâíîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿëî ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå çàêîíà «ïÿòè òðåòåé» (4.23) è îïðåäåëåíèå âõîäÿù åé â íåãî êîíñòàíòû.  ìíîãî÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ áûëî ïîäòâåðæäåíî ñóù åñòâîâàíèå èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ñ ðàñïðåäåëåíèåì ýíåðãèè ïóëüñàöèé ñêîðîñòè, áëèçêèì ê çàêîíó «5/3». È çìåðåíèÿ âõîäÿù åé â çàêîí êîíñòàíòû äàëè çíà÷åíèÿ C » 1.5 , íî èíòåðåñ ê òî÷íîìó èçìåðåíèþ ýòîé âåëè÷èíû óïàë ïîñëå òîãî,
23
êàê ñòàëî ÿñíî, ÷òî çàêîí (4.23) îïèñûâàåò ðåàëüíóþ ñèòóàöèþ òîëüêî ïðèáëèçèòåëüíî. Í àèáîëåå òî÷íûå èçìåðåíèÿ ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà îäíîðîäíîé òóðáóëåíòíîñòè ïîêàçûâàþ ò, ÷òî îí ïîä÷èíÿåòñÿñòåïåííîìó çàêîíó âèäà (4.48)
E (k ) ~ k - a
ñ ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè a = 1.71 ± 0.02 . Îòëè÷èå îò ïÿòè òðåòåé, íà ïåðâûé âçãëÿä, íå âåëèêî, íî îíî ïðèíöèïèàëüíî. Áîëåå ïîëíóþ êàðòèíó ìîæíî ïîëó÷èòü, èññëåäóÿ ïîâåäåíèå ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé âûñîêèõ ïîðÿäêîâ. Í à ïðàêòèêå èçìåðÿþ ò çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè â äâóõ òî÷êàõ, âû÷èñëÿþ ò ñòðóêòóðíûåôóíêöèè (4.19) è, îæèäàÿ ñóù åñòâîâàíèÿ ñòåïåííûõ çàêîíîâ âèäà V
S q (l ) ~ l q ,
(4.49)
ñòðîÿò ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè â äâîéíîì ëîãàðèôìè÷åñêîì ìàñø òàáå. Ï ðè âûïîëíåíèè (4.49) äîëæíà ïîëó÷èòüñÿ êàðòèíêà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ.4.5,à - â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå âîçíèêàþ ò ëèíåéíûå ó÷àñòêè, íàêëîí êîòîðûõ äàåò âåëè÷èíó ñòåïåííûõ ïîêàçàòåëåé Vq . Êà÷åñòâåííî âèä ïîëó÷àþ ù åãîñÿ ãðàôèêà äëÿ ïîêàçàòåëåé ñòåïåíè ïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå 4.5,á. Ï óíêòèðíàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò çàâèñèìîñòè (4.20) è ïîìå÷åíà íàäïèñüþ «Ê41». Í à ýòîé ëèíèè âûäåëåíû äâå òî÷êè, äëÿ êîòîðûõ îöåíêà (4.22) ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé. Ýòî íà÷àëî êîîðäèíàò ( V0 = 0 ) è òî÷êà V3 = 1 , ñîîòâåòñòâóþ ù àÿ çàêîíó «÷åòûðåõ ïÿòûõ» (4.47). Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ êðèâàÿ äåéñòâèòåëüíî ïåðåñåêàåò ýòè äâå òî÷êè, óäàëÿÿñü îò ïðÿìîé Vq = q / 3 ïî ìåðå ðîñòà ïîðÿäêà q . Ï îä÷åðêíåì, ÷òî èçìåðåíèå ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé âûñîêèõ ïîðÿäêîâ ÿâëÿåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî ñëîæíîé çàäà÷åé è òîëüêî â ïîñëåäíèå ãîäû ïîÿâèëèñü íàäåæíûå èçìåðåíèÿ äëÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé ïîðÿäêà q > 10 . Òåì íå ìåíåå, óæå ïåðâûå èçìåðåíèÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé îòíîñèòåëüíî íåâûñîêèõ ïîðÿäêîâ ïîäòâåðäèëè ñïðàâåäëèâîñòü çàìå÷àíèÿ Ëàíäàó - ëîêàëüíûå âàðèàöèè ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè íà-
Ðèñ.4.5
24
ðóø àþ ò êîëìîãîðîâñêèé ñöåíàðèé îäíîðîäíîé òóðáóëåíòíîñòè. Í àðóø åíèå ëîêàëüíîé îäíîðîäíîñòè òóðáóëåíòíîñòè ïîëó÷èëî íàçâàíèå «ïåðåìåæàåìîñòè». Ñóòü ýòîãî ÿâëåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî â òóðáóëåíòíîñòè äàæå ïðè ñêîëü óãîäíî áîëüø èõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà àêòèâíûå îáëàñòè ñîñóù åñòâóþ òñïàññèâíûìè, â êîòîðûõ òå÷åíèå êâàçèëàìèíàðíî. Ï åðâóþ ïîïûòêó ñêîððåêòèðîâàòü çàêîí (4.22) ïóòåì ó÷åòà ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè ñäåëàë ñàì Êîëìîãîðîâ â 1962 ãîäó (ýòó ìîäåëü áóäåì íàçûâàòü Ê62). Äëÿ ó÷åòà ñòðóêòóðû ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè Êîëìîãîðîâ ââåë â ðàññìîòðåíèå âåëè÷èíó el , êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñðåäíþ þ ñêîðîñòü äèññèïàöèè, èçìåðåííóþ âíóòðè îáúåìà ñ õàðàêòåðíûì ðàçìåðîì l (íàïðèìåð, ñôåðû èëè êóáà). Ì îäåëü äåðæèòñÿ íà äâóõ äîïîëíèòåëüíûõ ãèïîòåçàõ. Ï åðâàÿ ãèïîòåçà- ýòî ãèïîòåçà ïîäîáèÿ S q (l ) =< dv l > ~< elq / 3 > l q / 3 , q
(4.50)
îáîáù àþ ù àÿ ôîðìóëó (4.22) â òîì ñìûñëå, ÷òî òåïåðü â ïðàâîé ÷àñòè ñòîèò íå ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà e â ñòåïåíè q / 3 , à ñòàòèñòè÷åñêèé ìîìåíò ïîðÿäêà q / 3 , õàðàêòåðèçóþ ù èé ñòðóêòóðó ñëó÷àéíîãî ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè íà ñîîòâåòñòâóþ ù èõ ìàñø òàáàõ l . Ãèïîòåçó ïîäîáèÿ (4.50) ìîæíî çàïèñàòü â äðóãîì âèäå. Åñëè ïðåäïîëîæèòü ñóù åñòâîâàíèå ñòåïåííûõ çàêîíîâ âèäà (4.49) è äëÿ ìîìåíòîâ ïîëÿ äèññèïàöèè, òî åñòü t q < el > ~ l , (4.51) q
òî ãèïîòåçà (4.50) âûðàæàåòñÿ â âèäå ïðîñòîãî ñîîòíîø åíèÿ ìåæäó ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíè â (4.49) è (4.51): Vq =
q + tq/3. 3
(4.52)
Î÷åâèäíî, ÷òî (4.52) âîçâðàù àåò íàñ ê ìîäåëè Ê41, åñëè t q = 0 äëÿ ëþ áûõ q . Âòîðàÿ ãèïîòåçà Ê62 êàñàåòñÿ âèäà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè äëÿ âåëè÷èíû el . Îáû÷íî â êà÷åñòâå ïðîñòåéø åé âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè ðàññìàòðèâàåòñÿ íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, îäíàêî, â íàø åì ñëó÷àå îíî íå ãîäèòñÿ, òàê êàê äèññèïàöèÿ - âåëè÷èíà ñóãóáî ïîëîæèòåëüíàÿ, à õâîñò íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óõîäèò â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé. Êîëìîãîðîâ ïðåäëîæèë èçáåæàòü ýòó òðóäíîñòü ïóòåì ðàññìîòðåíèÿ ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåí ëîãàðèôì äèññèïàöèè ýíåðãèè)
25
P (el ) = ce
-
(ln e- a ) 2 2sl 2
.
(4.53)
Çäåñü P - ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè, a = ln e , sl 2 - äèñïåðñèÿ, ðàâíàÿ íà ìàñø òàáå l âåëè÷èíå s l = A + m ln( L / l ) . 2
(4.54)
Ëîãíîðìàëüíàÿ ìîäåëü ïðèâîäèò ê ñëåäóþ ù èì âûðàæåíèÿì äëÿ ïîêàçàòåëåé ñòåïåíè: tq =
m q (1 - q ), 2
Vq =
q m + q (3 - q ) . 3 18
(4.55)
Âåëè÷èíà m , íàçûâàåìàÿ êîýôôèöèåíòîì ïåðåìåæàåìîñòè, èìååò ïðîñòîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë - ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà ýòî ïîêàçàòåëü ñòåïåíè äëÿ ìîìåíòà âòîðîãî ïîðÿäêà ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè ( t 2 = - m ), ò.å. < el > ~ l - m . 2
Ñâÿçàííûé ñî âòîðûì ìîìåíòîì ïîëÿ äèññèïàöèè ø åñòîé ìîìåíò ïîëÿ ñêîðîñòè òàêæå ïîçâîëÿåò ïðîñòî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò ïåðåìåæàåìîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî (4.55), V6 = 2 - m , òî åñòü êîýôôèöèåíò ïåðåìåæàåìîñòè ðàâåí îòêëîíåíèþ ñòåïåííîãî ïîêàçàòåëÿ V6 îò çíà÷åíèÿ, ñëåäóþ ù åãî èç ìîäåëè îäíîðîäíîé òóðáóëåíòíîñòè Ê41. Ãèïîòåçà î ëîãíîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè áûëà îïðîâåðãíóòà è ýêñïåðèìåíòàëüíî, è òåîðåòè÷åñêè. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èçìåðåíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïîêàçûâàþò, ÷òî â êîîðäèíàòàõ ( lne, ln P ) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò íåñèììåòðè÷íûé âèä, â òî âðåìÿ êàê ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå â òàêèõ êîîðäèíàòàõ äîëæíî ïðèâîäèòü ê ïàðàáîëå. Îòíîñèòåëüíî ñâîéñòâ ôóíêöèè V(q ) áûëî äîêàçàíî äâà óòâåðæäåíèÿ 1 . Âî-ïåðâûõ, V(q ) - ôóíêöèÿ âûïóêëàÿ, ò.å. V¢¢< 0 è, âî âòîðûõ, Vq + 1 ³ Vq äëÿ ëþ áûõ q . Ô îðìóëà (4.55) óäîâëåòâîðÿåò ïåðâîìó òðåáîâàíèþ (à òàêæå îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèå óñëîâèé V0 = 0 è V3 = 1 ), íî íå óäîâëåòâîðÿåò âòîðîìó - ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè q ôóíêöèÿ (ýòî ïàðàáîëà) èìååò ìàêñèìóì, ïîñëå êîòîðîãî çíà÷åíèÿ V(q ) íà÷èíàþ ò óáûâàòü. 1
U.Frisch. Turbulence. Cambridge University Press. 1995. 296 p.
26
 îòëè÷èå îò âòîðîé ãèïîòåçû, ãèïîòåçà ïîäîáèÿ (4.50) èñïîëüçóåòñÿ äî íàñòîÿù åãî âðåìåíè, õîòÿ åå èíòåðïðåòàöèÿ ïðåòåðïåëà ñóù åñòâåííûå èçìåíåíèÿ. Äåëî â òîì, ÷òî â ôîðìóëèðîâêå (4.50) ýòà ãèïîòåçà íåñåò â ñåáå äâà ïðîòèâîðå÷èÿ. Âî-ïåðâûõ, ëåâàÿ ÷àñòü âûðàæåíèÿ ñîäåðæèò âåëè÷èíó, îòíîñÿù óþ ñÿ ê èíåðöèîííîìó èíòåðâàëó, à ïðàâàÿ - âåëè÷èíó, ýôôåêòèâíóþ òîëüêî â äèññèïàòèâíîì. Âî-âòîðûõ, äèññèïàöèÿ ýíåðãèè åñòü âåëè÷èíà ñóãóáî ïîëîæèòåëüíàÿ, à ïóëüñàöèè ñêîðîñòè - íåò.  òàêîì ñëó÷àå òðóäíî ðàññ÷èòûâàòü, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà ýòèõ âåëè÷èí îäèíàêîâû, à èìåííî â ýòîì è ñîñòîèò ñóòü ãèïîòåçû ïîäîáèÿ. È çáåæàòü îòìå÷åííûõ ïðîòèâîðå÷èé ìîæíî ñëåäóþ ù èì îáðàçîì. Âûäåëèì â ïðîñòðàíñòâå, çàíÿòîì òóðáóëåíòíûì òå÷åíèåì, ïðîèçâîëüíûé îáúåì ñ õàðàêòåðíûì ðàçìåðîì l è ðàññìîòðèì èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè ýíåðãèè ïóëüñàöèé ñêîðîñòè â ýòîì îáúåìå: ¶t el = ¶t
r n r r r 1 rr r 1 v2 r 1 r rr r 1 r dr = - òv(Ñ v)vdr vÑ Pdr + òvDvdr + òvfdr = ò ò VV 2 VV Vr V VV VV =
éæv2 P örù r 1 div êç + ÷ ÷v údr - el + ql = V Vò ëç è 2 rø û
1 æv2 P ör r ç ç2 + r÷ ÷vds - el + ql = Vò ø Sè = h l - el + ql .
=
Çäåñü el åñòü äèññèïàöèÿ ýíåðãèè çà åäèíèöó âðåìåíè íà åäèíèöó ìàññû, q l - ïðèòîê ýíåðãèè çà ñ÷åò ðàáîòû âíåø íèõ ñèë (òàêæå çà åäèíèöó âðåìåíè è íà åäèíèöó ìàññû). Ï åðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè, îáîçíà÷åííîå êàê h l , îïèñûâàåò ïðèòîê ýíåðãèè â âûäåëåííûé îáúåì ÷åðåç åãî ïîâåðõíîñòü. È çñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè ìîæíî âûäåëèòü åå ñðåäíåå çíà÷åíèå el = e + el¢. Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ñòàöèîíàðíî âîçáóæäàåìàÿ òóðáóëåíòíîñòü, òî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü äèññèïàöèè äîëæíà áûòü ðàâíà ïëîòíîñòè ïðèòîêà ýíåðãèè çà ñ÷åò âíåø íèõ ñèë, ò.å. ql = e . Òîãäà ¶t el = h l - el¢,
(4.56)
òî åñòü èçìåíåíèÿ ýíåðãèè â âûäåëåííîì îáúåìå îïðåäåëÿþòñÿ ïîòîêîì ýíåðãèè ÷åðåç åãî ïîâåðõíîñòü è âàðèàöèÿìè äèññèïàöèè. È çáåæàòü îòìå÷åííûõ âûøå ïðîòèâîðå÷èé ìîæíî ïóòåì ðàññìîòðåíèÿ íå ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè â îáúåìå çàäàííîãî ìàñø òàáà, à ïîòîêîâ ýíåðãèè ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ýòîãî îáúåìà. Ï îñëåäíèé îïðåäåëÿåòñÿ äåéñòâèåì íåëèíåéíîãî
27
÷ëåíà â óðàâíåíèè Í àâüå - Ñòîêñà, òî åñòü èìåííî òîãî ÷ëåíà, êîòîðûé îïðåäåëÿåò íåëèíåéíóþ äèíàìèêó ïîòîêà ïðè áîëüø èõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà. È ìåííî âåëè÷èíà h l è áóäåò èñïîëüçîâàíà â äàëüíåéø åì êàê õàðàêòåðèñòèêà ïîòîêîâ ýíåðãèè íà ðàçëè÷íûõ ìàñø òàáàõ äâèæåíèÿ. Í åîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî ïåðåõîä îò èñïîëüçîâàíèÿ el ê h l ïðîèçîø åë ñîâñåì íåäàâíî, à òðàäèöèÿ ïðèìåíåíèÿ â ìîäåëÿõ ìåëêîìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè ñòîëü êðåïêà, ÷òî ÷àñòî äàæå â ðàáîòàõ, ãäå ðåàëüíî ïîëüçóþòñÿ âåëè÷èíîé h l , àâòîðû, òåì íå ìåíåå, èñïîëüçóþò òåðìèí «ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíåðãèè».
4.5. Ô ðàêòàëû è òóðáóëåíòíîñòü Êîëìîãîðîâñêàÿ ìîäåëü îäíîðîäíîé òóðáóëåíòíîñòè (Ê41) ïîäðàçóìåâàåò ðàâíîìåðíîå çàïîëíåíèå ïðîñòðàíñòâà âèõðÿìè êàæäîãî ìàñø òàáà. Òàêóþ ñòðóêòóðó òóðáóëåíòíîñòè èëëþñòðèðóåò ðèñ.4.6,à, íà êîòîðîì ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåí êàñêàä ýíåðãèè îò âèõðåé áîëüø åãî ìàñø òàáà ê âèõðÿì ìåíüø åãî ìàñø òàáà è äëÿ ïðîñòîòû ïðåäñòàâëåíà ñèòóàöèÿ, êîãäà êàæäûé âèõðü äàííîãî ìàñø òàáà èìååò ïîä ñîáîé äâà âèõðÿ ìåíüø åãî. Ï ðè ýòîì âèõðè êàæäîãî ìàñø òàáà çàíèìàþò âñå ïðîñòðàíñòâî (íà ðèñóíêå îíî îäíîìåðíî). È íàÿ êàðòèíà ñîîòâåòñòâóåò òóðáóëåíòíîñòè ñ ïåðåìåæàåìîñòüþ (ðèñ.4.6,á).  ðàìêàõ àíàëîãè÷íîé ñõåìû â ýòîì ñëó÷àå ÷àñòü âèõðåé íå ïîëó÷àåò ýíåðãèþ îò âèõðåé âåðõíåãî óðîâíÿ. Í à ñëåäóþ ù åì óðîâíå ýíåðãèÿ îñòàâø èõñÿ (àêòèâíûõ) âèõðåé âíîâü ïåðåäàåòñÿ òîëüêî ÷àñòè âèõðåé è òàê äàëåå.  ðåçóëüòàòå â ïðîñòðàíñòâå îáðàçóåòñÿ ìíîãîìàñø òàáíàÿ ñèñòåìà àêòèâíûõ è ïàññèâíûõ îáëàñòåé, êîòîðàÿ ïî ïîñòðîåíèþ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôðàêòàëüíîå ìíîæåñòâî (ñì. ï.2.6 ÷àñòè 1).
Ðèñ.4.6 È äåÿ èñïîëüçîâàíèÿ ôðàêòàëîâ äëÿ îïèñàíèÿ ñòðóêòóðû ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè âïåðâûå áûëà âûñêàçàíà â ðàáîòå Í îâèêîâà è Ñòüþ àðòà â
28
1964ã.2 Ï ðîñòåéø àÿ äèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà, ïðèâîäÿù àÿ ê ôðàêòàëàì, ïðåäëîæåíà â ðàáîòå 3. Ýòà ìîäåëü, íàçâàííàÿ àâòîðàìè b -ìîäåëüþ , îïèñàíà â ñëåäóþ ù åì ïàðàãðàôå. Ô ðàêòàëû ïðèíåñëè â òåîðèþ òóðáóëåíòíîñòè åù å îäíó âàæíóþ èäåþ - èäåþ î íåîäíîçíà÷íîñòè ìàñø òàáíûõ ïîêàçàòåëåé, èíà÷å ãîâîðÿ, èäåþ î ñîñóù åñòâîâàíèè â ðàçâèòûõ òóðáóëåíòíûõ ïîëÿõ ïîäìíîæåñòâ ñ ðàçëè÷íûìè çàêîíàìè ìàñø òàáíîãî ïîäîáèÿ (ñêåéëèíãà). Í àïîìíèì, ÷òî óðàâíåíèÿ Í àâüå - Ñòîêñà ïîä÷èíÿþ òñÿ ø åñòè ïðèíöèïàì èíâàðèàíòíîñòè, òî åñòü, äîïóñêàþ ò ø åñòü âèäîâ ïðåîáðàçîâàíèé, rr ïðè êîòîðûõ ëþ áîå ðåø åíèå óðàâíåíèé v (r , t ) îñòàåòñÿ ðåø åíèåì ýòèõ óðàâíåíèé: 1) ïðîñòðàíñòâåííûé ñäâèã, 2) ñäâèã ïî âðåìåíè, 3) ïðåîáðàçîâàíèå Ãàëèëåÿ, 4) ÷åòíîñòü, 5) âðàù åíèå, 6) ìàñø òàáíàÿ èíâàðèàíòíîñòü (ñêåéëèíã). Ï îñëåäíåå ñâîéñòâî îçíà÷àåò, ÷òî óðàâíåíèÿ Í àâüå - Ñòîêñà èíâàðèàíòíû ê ïðåîáðàçîâàíèþ r r r r t , r , v a l1+ a t , lr , l- a v . Äåéñòâèòåëüíî, òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ â óðàâíåíèè äâèæåíèÿ ñëåäóþ ù èõ ìíîæèòåëåé r rr r r l- 2a - 1¶t v + l- 2a - 1 [(v Ñ )v + r - 1Ñ P ] = nl- a - 2 Dv .
Ï ðè êîíå÷íîé âÿçêîñòè èíâàðèàíòíîñòü (ïîäîáèå) îáåñïå÷èâàåòñÿ åäèíñòâåííî âîçìîæíûì ðåø åíèåì a = 1 , ýêâèâàëåíòíûì òðåáîâàíèþ ïîñòîÿíñòâà ÷èñëà Ðåéíîëüäñà (âî ñêîëüêî ðàç óâåëè÷èâàåòñÿ ìàñø òàá, âî ñòîëüêî æå ðàç äîëæíà áûòü óìåíüø åíà ñêîðîñòü). Îäíàêî, ïðè n ® 0 ìàñø òàáíîå ïîäîáèå îáåñïå÷èâàåòñÿ ëþ áûì a . Ê41 äàåò ðåø åíèå a = 1 / 3 , ìîíîôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü òèïà b -ìîäåëè ïðèâîäèò ê äðóãîìó, íî òàêæå åäèíñòâåííîìó, ðåø åíèþ. Áèôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü (ïàðàãðàô 4.5.2) ïðåäïîëàãàåò ñîñóù åñòâîâàíèÿ â ïîòîêå äâóõ ïîäìíîæåñòâ ñ ðàçëè÷íûìè çàêîíàìè ïîäîáèÿ (ðàçëè÷íûìè a ), à ìóëüòèôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü (ïàðàãðàô 4.5.3) ðàññìàòðèâàåò íåïðåðûâíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàêèõ ïîäìíîæåñòâ, ïðèâîäÿ ê ïîíÿòèþ ìóëüòèôðàêòàëüíîãî ñïåêòðà.
2
Í îâèêîâ Å.À., Ñòüþ àðò Ð.Â. Ï åðåìåæàåìîñòü òóðáóëåíòíîñòè è ñïåêòð äèññèïàöèè ýíåðãèè // È çâ.ÀÍ ÑÑÑÐ: Ñåðèÿ ãåîôèçè÷åñêàÿ. 1964. N.3. C.408-413. 3 Frisch U., Sulem P.-L., Nelkin M. A simple dynamic model of intermittent fully developed turbulence // J.Fluid Mechanics. 1978. Vol.87. P.719-736.
29
4.5.1. b -ìîäåëü Îáðàòèìñÿ ê òóðáóëåíòíîñòè â êóáè÷åñêîé îáëàñòè è ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìàñø òàáîâ ln = l0 2 - n . Í à êàæäîì ìàñø òàáå n èñõîäíàÿ îáëàñòü ðàçáèâàåòñÿ íà êóáèêè ñ ðåáðîì l n , îáù åå÷èñëî êîòîðûõ åñòü N = (l 0 / l n ) 3 = 2 3n . Ñëåäóÿ ñõåìå ðèñ.4.6,á, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè ïåðåõîäå ê êàæäîìó ñëåäóþ ù åìó ìàñø òàáó àêòèâíîé îñòàåòñÿ òîëüêî çàäàííàÿ ÷àñòü êóáèêîâ b , ïðè÷åì ýòà ÷àñòü åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ, ÿâëÿþ ù àÿñÿ ïàðàìåòðîì ìîäåëè. Äâóìåðíàÿ êàðòèíêà, ñîîòâåòñòâóþ ù àÿ òàêîìó ïîñòðîåíèþ ñ b = 3 / 4 , ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ.4.7. Í à ìàñø òàáå n ÷èñëî àêòèâíûõ âèõðåé åñòü M = Nb n , ãäå æl 0 bn = b = ç çl èn n
D- 3
ö ÷ ÷ ø
= 2 n ( D - 3) ,
(4.57)
à D åñòü ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü àêòèâíîé îáëàñòè. Âåëè÷èíà d = 3 - D , ðàâíàÿ ðàçíîñòè ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà è ðàçìåðíîñòè ôðàêòàëüíîãî ìíîæåñòâà, íàçûâàåòñÿ êîðàçìåðíîñòüþ è ïðîñòî ñâÿçàíà ñ ïàðàìåòðîì b : d=
ln 2 . ln b
(4.58)
Ðèñ.4.7
Ðàññìîòðèì òåïåðü êàñêàä ýíåðãèè â òàêîé ìîäåëè. Õàðàêòåðíîå çíà÷åíèå ïóëüñàöèè ñêîðîñòè íà ìàñø òàáå l n îáîçíà÷èì êàê dv n . Òîãäà õàðàêòåðíîå âðåìÿ (âðåìÿ îáîðîòà âèõðÿ ñîîòâåòñòâóþ ù åãî ìàñø òàáà) åñòü t n ~ l n / dv n . Ï ðè ñïëîø íîì çàïîëíåíèè ïðîñòðàíñòâà (ñëó÷àé îäíîðîäíîé òóðáóëåíòíîñòè) ïëîòíîñòüýíåðãèè ïóëüñàöèé ìàñø òàáà n E n ~ dv n2 ,
à ñêîðîñòü ïåðåíîñà ýíåðãèè ÷åðåç äàííûé ìàñø òàá åñòü
(4.59)
30
E dv en ~ n ~ n . tn ln 3
(4.60)
Òîãäà èç ãèïîòåçû ïîñòîÿíñòâà ïîòîêà ýíåðãèè â ëþáîì ìàñø òàáå, îòíîñÿù åìñÿê èíåðöèîííîìó èíòåðâàëó, en = e = const (4.61) íåìåäëåííî ïîëó÷àåòñÿêîëìîãîðîâñêîå âûðàæåíèå dv n ~ (l n e ) .
(4.62)
1/ 3
 b - ìîäåëè ýíåðãèÿ äàííîãî ìàñø òàáà ñîñðåäîòî÷åíà òîëüêî â àêòèâíîé ÷àñòè ïîòîêà è ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè íà ýòîì ìàñø òàáå ðàâíà 2
E n ~ dv n b n .
(4.63)
Ãèïîòåçà (4.61) îñòàåòñÿ â ñèëå - ïîòîê ýíåðãèè ïî-ïðåæíåìó ïîñòîÿíåí, íî, ïî ìåðå äâèæåíèÿ ê ìàëûì ìàñø òàáàì, îí ñîñðåäîòà÷èâàåòñÿ âñå â ìåíüø åé ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà. Ñëåäîâàòåëüíî, E n b n dv n =e, ~ tn ln 3
en ~
(4.64)
à âìåñòî (4.62) ïîëó÷àåòñÿñëåäóþ ù àÿ îöåíêà äëÿ ïóëüñàöèé ñêîðîñòè: dv n ~ (l n e ) b - n / 3 ~ e 1 / 3 l n 1/ 3
( D - 2 )/ 3
.
(4.65)
Î÷åâèäíî, ÷òî ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü D íå ìîæåò áûòü ìåíüø å äâóõ, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå èíòåíñèâíîñòü ïóëüñàöèé ñêîðîñòè áóäåò íàðàñòàòü ñ óìåíüø åíèåì ìàñø òàáîâ. Ï îëó÷èì òåïåðü îöåíêó äëÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà. È ìååì S q (l n ) =< dv l > ~ b n dv n ~ e q / 3 l n q
q
èëè Vq =
q/3
b n (1- q / 3) ~ e q / 3 l n
q (3 - D )(3 - q ) + . 3 3
q / 3+ (3- D )(3- q )/ 3
(4.66) (4.67)
 îòëè÷èå îò ëîãíîðìàëüíîé ìîäåëè, êîòîðàÿ äàåò êâàäðàòè÷íóþ ïîïðàâêó ê êîëìîãîðîâñêîìó çàêîíó q / 3 äëÿ ìàñø òàáíûõ ïîêàçàòåëåé, b -
31
ìîäåëü äàëà ëèíåéíóþ ïîïðàâêó, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ V3 = 1 , íî íàðóø àåò òðåáîâàíèå V0 = 0 .
4.5.2. Áèôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü  îñíîâå b -ìîäåëè ëåæèò ïðåäñòàâëåíèå î òóðáóëåíòíîì ïîëå ñêîðîñòåé, êàê îá îäíîðîäíîì ôðàêòàëå, õàðàêòåðèçóåìîì åäèíñòâåííûì ïàðàìåòðîì. Äàâàåìûé ýòîé ìîäåëüþ ðåçóëüòàò ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðàçóìíûì äëÿ áîëüø èõ q , ãäå ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü V(q ) õîðîø î ñîãëàñóåòñÿ ñ èçâåñòíûìè ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè, îäíàêî âñòóïàåò â ÿâíûå ïðîòèâîðå÷èÿ è ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè, è ñ òåîðåòè÷åñêèìè ñîîáðàæåíèÿìè ïðè q ® 0. Ñðåäè ïîïûòîê óñîâåðø åíñòâîâàíèÿ b -ìîäåëè ìîæíî âûäåëèòü äâå. Ï åðâàÿ - ýòî òàê íàçûâàåìàÿ ñëó÷àéíàÿ b -ìîäåëü. Åñëè â ñòàíäàðòíîé b -ìîäåëè îáëàñòè äåëÿòñÿ íà àêòèâíûå è ïàññèâíûå, òî åñòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òóðáóëåíòíîñòü â äàííîé òî÷êå ñóù åñòâóåò, ðàâíà ëèáî íóëþ, ëèáî åäèíèöå, òî â ñëó÷àéíîé b -ìîäåëè ââîäÿòñÿ äâà äîïîëíèòåëüíûõ ïàÐèñ.4.8 ðàìåòðà p1 è p 2 , îïðåäåëÿþ ù èå âåðîÿòíîñòü ñóù åñòâîâàíèÿ òóðáóëåíòíîñòè ïðè î÷åðåäíîì äðîáëåíèè íà áîëååàêòèâíóþ è ìåíåå àêòèâíóþ ÷àñòè. Îñòàíîâèìñÿ áîëåå ïîäðîáíî íà âòîðîé ìîäèôèêàöèè b -ìîäåëè, ïîëó÷èâø åé íàçâàíèå áèôðàêòàëüíîé ìîäåëè. È äåÿ ýòîé ìîäåëè ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðåäïîëàãàåòñÿ ñîñóù åñòâîâàíèå äâóõ ôðàêòàëüíûõ ïîäìíîæåñòâ ñ ðàçëè÷íûìè çàêîíàìè ñêåéëèíãà âèäà (4.65) è ñîîòâåòñòâóþ ù èìè ðàçìåðíîñòÿìè D1 è D2 . Äëÿ ïóëüñàöèé ñêîðîñòè íà ìàñø òàáå n ïîëó÷àåì îöåíêó a
a
dv n ~ m1l n 1 P1 + m 2 l n 2 P2 ,
32
ãäå m i - íåêîòîðûå ÷èñëîâûå ìíîæèòåëè, à âåðîÿòíîñòè ïîÿâëåíèÿ ýëåìåíòîâ ïîäìíîæåñòâ îïðåäåëÿþòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê â ïðåäûäóù åì ïàðàãðàôå è ðàâíû Pi = b i n = (l n / l 0 ) 3- D .  ðåçóëüòàòå, äëÿ ïóëüñàöèé ñêîðîñòè èìååì i
dv n ~ m1 (l n / l 0 ) a 1 + 3- D1 + m 2 (l n / l 0 ) a 2 + 3- D2 ,
à äëÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà S q (l n ) =< dv l > ~ m1l n q
qa 1
P1 + m 2 l n
qa 2
P2 ~ m1 (l n / l 0 ) qa 1 + 3- D1 + m 2 (l n / l 0 ) qa 2 + 3- D2 . (4.68)
Í àñ èíòåðåñóåò âèä ìàñø òàáíûõ ìíîæèòåëåé â ñòåïåííûõ çàêîíàõ V S q (l ) ~ l (4.49). Ï îñêîëüêó (l n / l 0 ) åñòü âåëè÷èíà ìàëàÿ, òî îïðåäåëÿþ ù èé âêëàä â âûðàæåíèè (4.68) äàåò ñëàãàåìîå ñ íàèìåíüø èì ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè. È çýòîãî ñëåäóåò, ÷òî Vq = min (qa 1 + 3 - D1 , qa 2 + 3 - D 2 ). (4.69) q
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà îäíî èç äâóõ ïîäìíîæåñòâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîðîäíîå êîëìîãîðîâñêîå ïîëå ( D1 = 3, a 1 = 1 / 3 ), à âòîðîå- ôðàêòàëüíîå( 2 < D2 < 3, a 2 = ( D2 - 2) / 3 ). Óñëîâèå (4.69) ïðèâîäèò ê ìq ï ï3 Vq = í ïðè ï q + (3 - D 2 )(3 - q ) ï 3 î3
q£3
(4.70) q > 3.
Ï îëó÷åííûé ðåçóëüòàò èëëþ ñòðèðóåò ðèñ.4.8, íà êîòîðîì ïîêàçàíû ðåø åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþ ù èå Ê41, b -ìîäåëè è èõ êîìáèíàöèè (4.70), ê êîòîðîé ïðèâîäèò áèôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü.
4.5.3. Ì óëüòèôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü Åñòåñòâåííûì îáîáù åíèåì îïèñàííîé âûøå áèôðàêòàëüíîé ìîäåëè ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü, êîòîðàÿ îñíîâàíà íà ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî â òóðáóëåíòíîñòè ñóù åñòâóåò íåïðåðûâíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäìíîæåñòâ, êàæäîå èç êîòîðûõ õàðàêòåðèçóåòñÿ ñâîèì ïîêàçàòåëåì a . Çíà÷åíèÿ a ëåæàò â èíòåðâàëå a min < a < a max . Ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ïîëó÷àþò âêëàä îò âñåõ ïîäìíîæåñòâ è îïðåäåëÿþ òñÿ èíòåãðàëàìè
33
qa
a max
ö ÷ ÷ P (a )da , ø
æl S q =< dv l > ~ ò ç çl a min è 0 q
æl â êîòîðûõ ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè çàïèñûâàåòñÿ â âèäå P (a ) ~ çç èl 0
- f (a )
ö ÷ ÷ ø
.
Òîãäà a max
æl S q =~ ò ç çl a min è 0
qa - f (a )
ö ÷ ÷ ø
da .
(4.71)
Ï îñêîëüêó l / l 0 << 1 , òî íàèáîëüø èé âêëàä â èíòåãðàë äàåò ñîñòàâëÿþ ù àÿ ñ ìèíèìàëüíûì ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè. Ñëåäîâàòåëüíî, Vq = min (qa - f (a ) ).
Óñëîâèå ìèíèìóìà äàåò
q = f ¢(a ) .
(4.72) (4.73)
 òàêîé ìîäåëè a åñòü ëîêàëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ñêåéëèíãîâûõ ñâîéñòâ, à ôóíêöèÿ f (a ) , íàçûâàåìàÿ ìóëüòèôðàêòàëüíûì ñïåêòðîì, îïèñûâàåò ãëîáàëüíóþ ïðèðîäó ðàñïðåäåëåíèÿ îáëàñòåé ñ ðàçëè÷íûì ñêåéëèíãîì. Î÷åâèäíî, ÷òî ìóëüòèôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü èìååò ïî ñóòè áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ïàðàìåòðîâ è ìîæåò îïèñàòü ëþ áóþ ýêñïåðèìåíòàëüíî îáíàðóæåííóþ çàâèñèìîñòü V(q ) . Ðàññìîòðèì àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ìóëüòèôðàêòàëüíîãî ñïåêòðà. Ï óñòü èìååòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ âåëè÷èíà x (ýòî ìîæåò áûòü ïëîòíîñòü ýíåðãèè, çàâèõðåííîñòè, ñêîðîñòè äèññèïàöèè è ò.ä.). È ññëåäóåìóþ îáëàñòü ðàçîáüåì íà êóáèêè ñ ðåáðîì l (âñåãî N êóáèêîâ) è ââåäåì âåëè÷èíû ri =
xi
,
N
åx i =1
i
ãäå x i åñòü ñðåäíåå ïî êóáèêó i çíà÷åíèå ðàññìàòðèâàåìîé âåëè÷èíû. Îïðåäåëèì ñòðóêòóðíûåôóíêöèè q (4.74) S q = å ri , i
è âñïîìíèì ââåäåííîå â ïàðàãðàôå 2.6.3 ÷àñòè 1 ïîíÿòèå îáîáù åííîé ðàçìåðíîñòè, êîòîðàÿ åñòü (ñì. ôîðìóëó (2.37) )
34
D q = lim l® 0
ln å r i i
q
(q - 1)lnl
.
(4.75)
È ñõîäÿ èç ìóëüòèôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû ðàññìàòðèâàåìîãî ïîëÿ, òî åñòü ñ÷èòàÿ, ÷òî â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà èññëåäóåìàÿ âåëè÷èíà ïîä÷èíÿåòñÿ ìàñø òàáíîìó çàêîíó òèïà r (l ) ~ l a ñ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ïîêàçàòåëÿ a , ñòðóêòóðíûåôóíêöèè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå(4.71), à èìåííî a max
Sq ~
òl
qa - f (a )
da .
(4.76)
a min
Ï ðè l ® 0 â èíòåãðàëå (4.76) äîìèíèðóþ ù óþ ðîëü èãðàþ ò îáëàñòè, îáåñïå÷èâàþ ù èå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè. Ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷åíèå âåëè÷èíû Vq îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè (4.72)-(4.73). Ï óñòü a~ (q ) åñòü çíà÷åíèå a , îáåñïå÷èâàþ ù ååóñëîâèå ìèíèìóìà (4.73) äëÿ çàäàííîãî çíà÷åíèÿ q . Òîãäà ~ ~ S q ~ l qa - f (a ) . Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ (4.75) D q = lim l® 0
èëè
ln S q
(q - 1)lnl
@
qa~ - f (a~ ) (q - 1)
f (a~ ) = qa~ (q ) - D q (q - 1) .
Âûðàæåíèå (4.77) äèôôåðåíöèðóåì ïî q . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî óñëîâèå (4.73), ïîëó÷àåì
[
]
d a~ (q ) = (q - 1)Dq . dq
Ðèñ.4.9
(4.77) df df da = è dq da dq
(4.78)
35
Òàêèì îáðàçîì, àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ìóëüòèôðàêòàëüíîãî ñïåêòðà ñîñòîèò â ñëåäóþ ù åì. È ìåÿ èçìåðåíèÿ xi , ïî ôîðìóëå (4.75) âû÷èñëÿþ ò ðàçìåðíîñòü D(q ) äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé q (êàê ïîëîæèòåëüíûõ, òàê è îòðèöàòåëüíûõ). Çàòåì ïî ôîðìóëå (4.78) îïðåäåëÿþ ò çíà÷åíèÿ a~ (q ) , îáåñïå÷èâàþ ù èå ìèíèìóì (4.72) äëÿ äàííîãî q . Ï îñëå ýòîãî ïî ôîðìóëå (4.77) âû÷èñëÿþ òñïåêòð f (a ) . Òèïè÷íûé âèä ôóíêöèé D(q ) è f (a ) ïîêàçàí íà ðèñ.4.9. Ô óíêöèÿ D(q ) ïåðåñåêàåò îñü îðäèíàò â òî÷êå, äàþ ù åé ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà (òðè, åñëè ðå÷ü èäåò îá îáû÷íîì òðåõìåðíîì ïîòîêå, ëèáî äâà, åñëè èññëåäóåòñÿ äâóìåðíàÿ êàðòèíà). Í à ãðàôèêå f (a ) òî÷êà ìàêñèìóìà ñîîòâåòñòâóåò ìîìåíòó íóëåâîãî ïîðÿäêà ( f ¢(a ) = q = 0 ). Àáñöèññà ýòîé òî÷êè, îáîçíà÷åííàÿ íà ðèñóíêå êàê a 0 , äàåòñðåäíåå çíà÷åíèå ïîêàçàòåëÿ ñêåéëèíãà a . Í àèáîëåå âåðîÿòíîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû a äàåò òî÷êà a 1 , îïðåäåëÿþ ù àÿ òî÷êó êðèâîé, â êîòîðîé q = f ¢= 1 .
4.6. Ëîãïóàññîíîâñêèå ìîäåëè  ýòîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì ìîäåëè ïîñëåäíåãî ïîêîëåíèÿ, âîçíèêø èå â ñåðåäèíå 90-õ ãîäîâ. Ï åðâîé îïèñàíà ìîäåëü, ïðåäëîæåííàÿ Ø å è Ëåâåêîì â 1994 ãîäó 4. Îñíîâàííàÿ íà òðåõ ãèïîòåçàõ, èç êîòîðûõ äâå êàçàëèñü íå î÷åíü óáåäèòåëüíûìè, ìîäåëü äàëà ïðîñòóþ ôîðìóëó äëÿ çàâèñèìîñòè Vq . Ï î ñ÷àñòëèâîìó ñòå÷åíèþ îáñòîÿòåëüñòâ, â ýòî æå âðåìÿ ãðóïïîé èòàëüÿíñêèõ è ôðàíöóçñêèõ èññëåäîâàòåëåé ýêñïåðèìåíòàëüíî áûë îáíàðóæåí ëþáîïûòíûé ôàêò, ïîëó÷èâø èé íàçâàíèå ðàñø èðåííîé àâòîìîäåëüíîñòè, êîòîðûé ïîçâîëèë ñóù åñòâåííî ïîâûñèòü òî÷íîñòü ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ ïîêàçàòåëåé Vq äëÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé âûñîêèõ ïîðÿäêîâ. Í îâûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû óäèâèòåëüíî õîðîø î ñîâïàëè ñ ôîðìóëîé Ø å - Ëåâåêà. Ñóù åñòâåííîå îáîáù åíèå ýòîé ìîäåëè áûëî ñäåëàíî Á.Äþáðþëü5, êîòîðàÿ âêëþ ÷èëà â ìîäåëü è èäåþ ðàñø èðåííîé àâòîìîäåëüíîñòè. Ðàñø èðåííîé àâòîìîäåëüíîñòè ïîñâÿù åí âòîðîé ïàðàãðàô ðàçäåëà. Ì îäåëü Äþáðþ ëü îïèñàíà â ïîñëåäíåì ïàðàãðàôåýòîãî ðàçäåëà.
4
She Z.S., Leveque E. Universal scaling laws in fully developed turbulence // Physical Review Letters, 1994. Vol.72. P.336-339. 5 Dubrulle B. Intermittency in fully developed turbulence: log-Poisson statistics and generalized scale covariance // Physical Review Letters, 1994. Vol.73. P.959-962.
36
4.6.1. Ì îäåëü Ø å- Ëåâåêà Ì îäåëü Ø å- Ëåâåêà äåðæèòñÿ íà òðåõ ãèïîòåçàõ. Ï åðâàÿ - ýòî ãèïîòåçàïîäîáèÿ, ââåäåííàÿ Êîëìîãîðîâûì â ìîäåëè Ê62 S q (l ) =< dv l > ~< elq / 3 > l q / 3 ,
(4.50)
q
êîòîðàÿ çàïèñûâàëàñü âûøå è â âèäå Vq =
q + tq/3, 3
(4.52)
ïðåäïîëàãàþ ù åì ñóù åñòâîâàíèå ñòåïåííîãî çàêîíà < el q > ~ l t äëÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè. Ì îäåëü ñîäåðæèò â ñåáå è èäåþ ìóëüòèôðàêòàëüíîñòè ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè. Í àïîìíèì, ÷òî îñíîâíîé (êà÷åñòâåííûé) âûâîä èç ìóëüòèôðàêòàëüíîãî ïîäõîäà ê ïðîáëåìå ìåëêîìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ïîòîêå ñîñóù åñòâóþ ò îáëàñòè ñ ðàçëè÷íûìè çàêîíàìè ñêåéëèíãà è ÷òî äëÿ ìîìåíòîâ (ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé) ðàçëè÷íîãî ïîðÿäêà îïðåäåëÿþ ù óþ ðîëü èãðàþò îáëàñòè ñ ðàçëè÷íûì ñêåéëèíãîì.  ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî äèññèïàöèÿ ýíåðãèè el õàðàêòåðèçóåòñÿ «èåðàðõèåé ôëóêòóèðóþ ù èõ ñòðóêòóð» el (q ) , êîòîðûå îïðåäåëÿþ òñÿ êàê îòíîø åíèå ïîñëåäóþ ù èõ ìîìåíòîâ ïîëÿ äèññèïàöèè q
el
(q)
=
< el
q+ 1
>
< el > q
.
(4.79)
Ï îñëåäîâàòåëüíîñòü îòíîñèòåëüíûõ ìîìåíòîâ el (q ) îãðàíè÷åíà, ñ îäíîé ñòîðîíû, ÷ëåíîì el (0) , êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò ñðåäíåìó çíà÷åíèþ ñêîðîñòè äèññèïàöèè ( el (0) = e ), è ÷ëåíîì el
(¥ )
= lim q® ¥
< el
q+ 1
>
< el > q
(4.80)
ñ äðóãîé ñòîðîíû. Îòíîñèòåëüíûå ìîìåíòû (4.79) óäîáíû òåì, ÷òî âñå îíè èìåþ ò ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè äèññèïàöèè. Ï îëå äèññèïàöèè êðàéíå íåîäíîðîäíî è ôîðìèðóåòñÿ ñòðóêòóðàìè ñ ðàçëè÷íûìè ñêåéëèíãîâûìè ñâîéñòâàìè. ×åì áîëüø å íîìåð îòíîñèòåëüíîãî ìîìåíòà q , òåì áîëåå íåîäíîðîäíûå ñòðóêòóðû îí îïèñûâàåò. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (4.80) ñóù åñòâóåò è îïðåäåëÿåòñÿ âèäîì ïðåäåëüíûõ äèññèïàòèâíûõ ñòðóêòóð, â êîòîðûõ ñêîðîñòü äèññèïàöèè äîñòèãàåò ýêñòðåìàëüíî áîëüø èõ çíà÷åíèé. È ñõîäÿ èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ íàáëþ äåíèé ïîñëåäíèõ ëåò, àâòî-
37
ðû ìîäåëè ïðåäïîëîæèëè, ÷òî ýòè ïðåäåëüíûåñòðóêòóðû èìåþ ò âèä âèõðåâûõ íèòåé ñ ðàçìåðíîñòüþ D = 1 . Äâå îñòàâø èåñÿ ãèïîòåçû êàñàþòñÿ ñâîéñòâ îòíîñèòåëüíûõ ìîìåíòîâ (q ) el . Ãèïîòåçà 2 ââîäèò óíèâåðñàëüíóþ ñâÿçü, ñâÿçûâàþ ù óþ ñòàðø èé ìîìåíò ñ ìëàäø èì, ( q + 1) (q) b ( ¥ ) (1- b ) el = Aq el el . (4.81) Ñîîòíîø åíèå âêëþ÷àåò íåèçâåñòíûé ïîêà ïàðàìåòð b è ÿâëÿåòñÿ, ïîæàëóé, ñàìûì ñèëüíûì ïðåäïîëîæåíèåì, ñäåëàííûì ïðè ïîñòðîåíèè ìîäåëè. ßñíî, ÷òî ëþáàÿ ãèïîòåçà îòíîñèòåëüíî ñâÿçè ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ ðàçëè÷íûõ ïîðÿäêîâ åñòü, ïî ñóòè, ãèïîòåçà îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ìîìåíòû êîòîðîé ðàññìàòðèâàþòñÿ. Çàáåãàÿ âïåðåä, ñêàæåì, ÷òî ãèïîòåçà (4.81) ïîäðàçóìåâàåò ëîãïóàññîíîâñêóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ (ýòîò ôàêò áûë îáíàðóæåí ïîçæå, íåçàâèñèìî ×.-Ç.Ø å è Á.Äþáðþëü). Òðåòüÿ ãèïîòåçà êàñàåòñÿ âåëè÷èíû el (¥ ) . Ï ðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îíà ïîä÷èíÿåòñÿñòåïåííîìó çàêîíó (¥ ) el ~ l - 2 / 3 . (4.82) Ô èçè÷åñêàÿ ìîòèâèðîâêà (4.82) ñîñòîèò â ñëåäóþ ù åì. Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, âåëè÷èíà el (¥ ) çàâèñèò îò ïðåäåëüíûõ äèññèïàòèâíûõ ñòðóêòóð è èìååò ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè. Ñëåäîâàòåëüíî, èç ðàçìåðíûõ ñîîáðàæåíèé el
(¥ )
~
dE ¥ , tl
ãäå dE ¥ åñòü ïëîòíîñòü ýíåðãèè, äîñòóïíîé äèññèïàöèè â òåõ íèòåâèäíûõ ñòðóêòóðàõ, î êîòîðûõ èäåò ðå÷ü. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî â ýòèõ äèññèïàòèâíûõ ñòðóêòóðàõ èìååò ìåñòî êâàçèðàçðûâ, òî åñòü íåçàâèñèìî îò ìàñø òàáà dv l » dv 0 è ýíåðãèÿ íå çàâèñèò îò ìàñø òàáà l . Ì àñø òàá âðåìåíè ïðèíèìàåòñÿêîëìîãîðîâñêèì ( t l ~ e - 1 / 3 l 2 / 3 ), ÷òî ïðèâîäèò ê îöåíêå el
(¥ )
~
1 ~ l - 2/3. tl
Í à îñíîâå ââåäåííûõ ãèïîòåç ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé ïîëÿ äèññèïàöèè, à çàòåì è ïîëÿ ñêîðîñòè. È ç òðåòüåé ãèïîòåçû (4.82) ñëåäóåò, ÷òî ïðè q ® ¥ el
(q)
=
< el
q+ 1
>
< el > q
~
l
tq+ 1
l
tq
~ l - 2/3
38
è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè áîëüø èõ q tq = -
2 q+ C. 3
(4.83)
Ï îëüçóÿñü ïðåäñòàâëåíèÿìè î ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðå ñ ðàçìåðíîñòüþ D ìîæíî çàïèñàòü (ïî-ïðåæíåìó äëÿ áîëüø èõ q ) < el > ~ l - 2 q / 3l 3- D , q
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî êîíñòàíòà C èìååò ñìûñë êîðàçìåðíîñòè, à ïîñêîëüêó ñäåëàíî ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ñòðóêòóðû åñòü íèòè, òî èõ êîðàçìåðíîñòü ðàâíà äâóì. Òàêèì îáðàçîì, C = 2 . Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèé q ê âûðàæåíèþ (4.83) ñëåäóåò äîáàâèòü ôóíêöèþ, âèä êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîù üþ âòîðîé ãèïîòåçû. È òàê, t q = f (q ) -
2 q + C, 3
(4.84)
ïðè÷åì f (q ) ® 0 ïðè q ® ¥ . Âûðàæåíèå (4.81) ïåðåïèø åì â âèäå < el
q+ 2
< el
q+ 1
b
æ< el q + 1 > ö ( ¥ ) (1- b ) ÷ el = Aq ç , q ç ÷ > è < el > ø >
ýêâèâàëåíòíîì óðàâíåíèþ t q + 2 = (1 + b )t q + 1 - bt q -
2 (1 - b ) . 3
Ï îëüçóÿñü ôîðìóëîé (4.84), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè f (q ) f ( q + 2 ) - ( 1 + b ) f ( q + 1 ) + bf ( q ) = 0 ,
(4.85)
ðåø åíèå êîòîðîãî åñòü f (q) = ab q è, ñëåäîâàòåëüíî, t q = ab q -
2 q + C. 3
Âõîäÿù èå â ðåø åíèå êîíñòàíòû îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèé t 0 = t 1 = 0 ( < el 0 >= 1, < el 1 >= e ~ l 0 ). È çïåðâîãî óñëîâèÿ èç âòîðîãî -
a = - C = - 2,
39
b=
C - 2/3 2 = . C 3
Îêîí÷àòåëüíî èìååì æ æ 2 öq ö 2q tq = + 2ç1 - ç ÷ ÷ , ç è3 ø ÷ 3 è ø
(4.86)
à ïîëüçóÿñü ïåðâîé ãèïîòåçîé - ãèïîòåçîé ïîäîáèÿ Ê62 (4.52), ïîëó÷àåì èñêîìóþ ôîðìóëó äëÿ ïîêàçàòåëåé ñòåïåíè ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé ïîëÿ ñêîðîñòè q Vq = + 9
Ì îäåëü Ø å - Ëåâåêà ïðåòåíäóåò íà òî, ÷òî îíà ëèø åíà ïàðàìåòðîâ. Ýòî íå ñîâñåì òàê, ïîñêîëüêó ëåæàù èå â åå îñíîâå ãèïîòåçû ñîäåðæàò â ñåáå êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè (íàïðèìåð, ñòåïåíü äâå òðåòè â ãèïîòåçå 3). Òåì íå ìåíåå, ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà çàìå÷àòåëüíûì îáðàçîì âîñïðîèçâîäèò ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå äëÿ âåëè÷èí Vq . Í à ðèñ.4.10 ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå, âçÿòûå èç ðàçëè÷íûõ ðàáîò, ïðèâåäåíû âìåñòå ñ êðèâûìè, ñîîòâåòñòâóþ ù èìè âñåì ðàññìîòðåííûì íàìè ìîäåëÿì.
q ö æ ç æ2 ö3 ÷ 2ç1 - ç ÷ ÷ . ç è3 ø ÷ ø è
(4.87)
Ðèñ.4.10
4.6.2. Ðàñø èðåííàÿ àâòîìîäåëüíîñòü Ðàñø èðåííàÿ àâòîìîäåëüíîñòü (â îðèãèíàëå - Extended Self Similarity, äàâø àÿ óæå óñòîÿâø óþ ñÿ àááðåâèàòóðó ESS, êîòîðîé ìû òàêæå áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ) - ýòî ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåííûé ôàêò, íå íàø åäø èé åù å äîñòàòî÷íîãî òåîðåòè÷åñêîãî îñìûñëåíèÿ. Ï åðâûå ðåçóëüòàòû áûëè ïîëó÷åíû ïðè èçìåðåíèÿõ ñâîéñòâ ìåëêîìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè â àýðîäèíàìè÷åñêîé òðóáå è îïóáëèêîâàíû â
40
ðàáîòå 6. Ö åëü ðàáîòû ñîñòîÿëà â èçó÷åíèè ñâîéñòâ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé S q (l ) è Tq (l ) =<| dv l | q > (4.20). Âî-ïåðâûõ, â ýòîé ðàáîòå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ôóíêöèè Tq ñòàòèñòè÷åñêè áîëåå óñòîé÷èâû (äëÿ èõ îïðåäåëåíèÿ òðåáóåòñÿ ìåíüø åå ÷èñëî ðåàëèçàöèé) è ïîä÷èíÿþòñÿ òåì æå ñòåïåííûì çàêîíàì, ÷òî è ôóíêöèè S q (ðå÷ü èäåò î ôóíêöèÿõ íå÷åòíûõ ïîðÿäêîâ, ïîñêîëüêó äëÿ ÷åòíûõ ôóíêöèè ïðîñòî ñîâïàäàþ ò). Âî-âòîðûõ, áûëà îáíàðóæåíà èíòåðåñíàÿ ñâÿçü ìåæäó ñòðóêòóðíûìè ôóíêöèÿìè ðàçëè÷íûõ ïîðÿäêîâ. Í àïîìíèì, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòåïåííûõ ïîêàçàòåëåé Vq îáû÷íî èñïîëüçóþò äâîéíûå ëîãàðèôìè÷åñêèå êîîðäèíàòû, îòêëàäûâàÿ ëîãàðèôì ñîîòâåòñòâóþ ù åé ñòðóêòóðíîé ôóíêöèè â çàâèñèìîñòè îò ëîãàðèôìà ìàñø òàáà. Í à ãðàôèêàõ âûäåëÿþ ò ïðÿìîëèíåéíûé ó÷àñòîê è, ñ÷èòàÿ, ÷òî èìåííî îí ñîîòâåòñòâóåò èíåðöèîííîìó èíòåðâàëó, îïðåäåëÿþ ò ïî åãî íàêëîíó ïîêàçàòåëü Vq . ×åì âûøå ïîðÿäîê ñòðóêòóðíîé ôóíêöèè, òåì êîðî÷å è ìåíåå âûðàæåííûì ñòàíîâèòñÿ ïðÿìîëèíåéíûé ó÷àñòîê íà ãðàôèêå. Í à ðèñ.4.11 ïîêàçàíû ðåçóëüòàòû èçìåðåíèÿ ñòðóêòóðíîé ôóíêöèè âòîðîãî ïîðÿäêà, ïîëó÷åííûå äëÿ òå÷åíèÿ â àýðîäèíàìè÷åñêîé òðóáå ïðè òðåõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà Ðåéíîëüäñà (êâàäðàòû - Re = 6000 , êðóæêè - Re = 22500 è êðåñòû - Re = 47000 ). È çó÷àÿ ýòè äàííûå, ìîæíî âèäåòü, ÷òî âîïðîñ îá èäåíòèôèêàöèè èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà äàëåêî íå ïðîñò äàæå äëÿ äîñòàòî÷íî âûñîêèõ çíà÷åíèé ÷èñëà Ðåéíîëüäñà. Îáðàáàòûâàÿ ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé ïóëüñàöèé ñêîðîñòè, àâòîðû ïðåäëîæèëè íåîáû÷íîå ïðåäñòàâëåíèå äàííûõ. Ï î îñè àáñöèññ âìåñòî ìàñø òàáà l áûëà îòëîæåíà ñòðóêòóðíàÿ ôóíêöèÿ òðåòüåãî ïîðÿäêà S 3 .  èíåðöèîííîì èíòåðâàëå, ñîãëàñíî çàêîíó «÷åòûðåõ ïÿòûõ» (4.46), ýòà çàìåíà òîæäåñòâåííà è íå ìîæåò èçìåíèòü íàêëîí êðèâîé. Í åîæèäàííûé ðåçóëüòàò ñîñòîÿë â òîì, ÷òî ïðè ïðåäñòàâëåíèè ðåçóëüòàòîâ â êîîðäèíàòàõ (ln S q , ln S 3 ) èíåðöèîííûé èíòåðâàë ñòàíîâèòñÿ áîëåå âûðàæåííûì - ïðÿìîëèíåéíûé ó÷àñòîê ãðàôèêà ïðîäëÿåòñÿ äî ìàñø òàáîâ,
6
Benzi R., Ciliberto S., Tripiccione R., Baudet C., Massaioli F., Succi S. Extended self-similarity in turbulent flows // Physical Review E, 1993. Vol.48. P.R29-R32.
Ðèñ.4.11
Ðèñ.4.12
41
ëèø ü â íåñêîëüêî ðàç ïðåâûøàþ ù èõ äèññèïàòèâíûé ìàñø òàá l . Âàæíî, ÷òî íàêëîí êðèâîé îñòàåòñÿ ïðè ýòîì ïðåæíèì. Í à ðèñ.4.12, âçÿòîì èç òîé æå ðàáîòû, âñå äàííûå ïðåäûäóù åãî ðèñóíêà ïðåäñòàâëåíû â òàêèõ êîîðäèíàòàõ. Âèäíî, ÷òî âñå äàííûå (äàæå ïðèíàäëåæàù èå ðàçíûì ðåæèìàì òå÷åíèÿ) ëåãëè íà îäíó ïðÿìóþ, îïðåäåëåíèå íàêëîíà êîòîðîé íå âûçûâàåò òðóäà. Òàêèì îáðàçîì, îáíàðóæåííûé ýôôåêò ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èòü òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ ïîêàçàòåëåé Vq . È íòåðåñíî, ÷òî ESS ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ «èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà» è ïðè îòíîñèòåëüíî íèçêèõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà Ðåéíîëüäñà, êîãäà â îáû÷íîì ïðåäñòàâëåíèè èíåðöèîííûé èíòåðâàë íå îáíàðóæèâàåòñÿâîâñå.  áîëååîáù åì âèäå ðàñø èðåííàÿ àâòîìîäåëüíîñòü (ESS) ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè ëþáîì ïðåäñòàâëåíèè âèäà S q (l ) = S p
Vq / Vp
,
(4.88)
òî åñòü ðàñø èðåíèå èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïðîèñõîäèò ïðè èñïîëüçîâàíèè â êà÷åñòâå îñåé êîîðäèíàò ëþáîé ïàðû ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé.
4.6.3. Ì îäåëü Ø å- Ëåâåêà - Äþáðþ ëü  çàêëþ ÷åíèå ðàññìîòðèì îáîáù åíèå ìîäåëè Ø å - Ëåâåêà, ïðåäëîæåííîå Á.Äþáðþ ëü.  îñíîâå îáîáù åíèÿ ëåæàò ñëåäóþ ù èå èäåè. Âîïåðâûõ, èñïîëüçóÿ ðàñø èðåííóþ àâòîìîäåëüíîñòü, èçáàâèòüñÿ îò àáñîëþ òíîãî ìàñø òàáà l . Âî-âòîðûõ, îòêàçàòüñÿ îò ïîïûòêè ïîëó÷åíèÿ áåñïàðàìåòðè÷åñêîé ìîäåëè. Ï îñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî óìåíüø àåòñÿ ÷èñëî ãèïîòåç, àïðèîðíî çàëîæåíûõ â ìîäåëü, íî â ðàñïëàòîé çà ýòî ÿâëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ïàðàìåòðû, òðåáóþ ù èå ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ. Âòðåòüèõ, âìåñòî âåëè÷èíû el ðàññìàòðèâàåòñÿ áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà pl =
el el
(¥ )
,
(4.89)
ÿâëÿþ ù àÿñÿ áåçðàçìåðíîé õàðàêòåðèñòèêîé ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè (ëèáî ïîòîêà ýíåðãèè) íà ìàñø òàáå l . Â ôîðìóëèðîâêå Äþáðþ ëü òðè ãèïîòåçû Ø å - Ëåâåêà ïðèîáðåòàþò ñëåäóþ ù èé âèä: I) ìîäèôèöèðîâàííàÿ ãèïîòåçà ïîäîáèÿ
42
dvl
3
stat
=
< dvl > 3
el pl = , < el > < p l >
(4.90)
stat
ãäåçíàê = îçíà÷àåòíàëè÷èå îäèíàêîâûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ; II) èåðàðõèÿ ìîìåíòîâ < pl
q+ 1
< pl
q
b
æ < pl q > ö ÷ ; = Aq ç ç< p q - 1 > ÷ > ø è l >
(4.91)
III) ãèïîòåçà î ïåðåìåæàåìîñòè (î íàëè÷èè ñòåïåííîãî çàêîíà äëÿ âåëè÷èíû < p l > ) D
æ< dvl 3 > ö ÷ < pl > ~ ç ç el ÷ . ø è
(4.92)
Ñâÿçü ìîäèôèöèðîâàííîé ãèïîòåçû ïîäîáèÿ ñ ãèïîòåçîé ïîäîáèÿ Ê62 áóäåò îáñóæäåíà íèæå. Âòîðàÿ ãèïîòåçà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òî÷íóþ êîïèþ ñîîòâåòñòâóþ ù åé ãèïîòåçû Ø å - Ëåâåêà, ïåðåïèñàííîé â òåðìèíàõ âåëè÷èíû p l .  òðåòüåé ãèïîòåçå ïîÿâèëñÿ íåçàâèñèìûé ïàðàìåòð D , õàðàêòåðèçóþ ù èé ñêåéëèíãîâûå ñâîéñòâà ýêñòðåìàëüíûõ ñòðóêòóð (â âûðàæåíèè (4.98) âçíàìåíàòåëå ñòîèò âåëè÷èíà el (¥ ) ). Ãèïîòåçû (4.90)-(4.92) ïîçâîëÿþ ò ïîëó÷èòü ïîñëå íåñëîæíûõ âû÷èñëåíèé ôîðìóëó äëÿ ïîêàçàòåëåé Vq . Äëÿ ýòîãî, ïîëüçóÿñü âòîðîé ãèïîòåçîé, ïîëó÷àåì ñâÿçü âûñø èõ ìîìåíòîâ âåëè÷èíû p l ñ ïåðâûì. Äåéñòâèòåëüíî, (4.91) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå q+ 1 q q- 1 < p l >=< p l > b + 1 < p l > - b (4.93) è ïîñòðîèòü öåïî÷êó âûðàæåíèé < p l >=< p l > 1+ b , 2
< p l >=< p l > 1+ b < p l > - b =< p l > 1+ b + b , 3
2
2
..........................., q- 1
å
< p l >=< p l > k = 0 q
bk
.
Âû÷èñëèâ ñóììó ðÿäà q- 1
å
k =0
ïîëó÷àåì
¥
bk = å bk k =0
¥
å
k =q
bk =
1 bq 1- b q , = 1- b 1- b 1- b
43
< p l >=< p l > q
1- b q 1- b
.
(4.94)
È ñïîëüçóÿ òðåòüþ ãèïîòåçó (4.92), ïðèõîäèì ê âûðàæåíèþ < p l > ~< dvl > q
D
1- b q 1- b
.
(4.95)
×òîáû ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé ïóëüñàöèé ïîëÿ ñêîðîñòè, íóæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïåðâîé ãèïîòåçîé (4.90) < dvl > ~ < dvl > 3
q/3
q
(1- D ) + D < pl > 3 3 v =< > d l < pl > q /3 q/3
q
1- b q / 3 1- b
.
Òîãäà ôîðìóëà äëÿ ïîêàçàòåëåé ñòåïåíè åñòü Vq =
q/3 q (1 - D )+ D 1 - b . 3 1- b
(4.96)
 ðåçóëüòèðóþ ù óþ ôîðìóëó âõîäÿò äâà ïàðàìåòðà, êîòîðûå äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû îïûòíûì ïóòåì: b è D .  ïîñëåäóþ ù èõ ãëàâàõ ìû óâèäèì, ÷òî ýòè ïàðàìåòðû â ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿõ ìîãóò ïðèíèìàòü ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ, äåëàÿ ìîäåëü ðàáîòîñïîñîáíîé â ñàìûõ ðàçíîîáðàçíûõ òóðáóëåíòíûõ ïîòîêàõ. Î÷åâèäíî, ÷òî âûáîð b = D = 2 / 3 äåëàåò ôîðìóëó (4.96) ýêâèâàëåíòíîé ôîðìóëåØ å- Ëåâåêà (4.87). Åù å îäèí âàæíûé ðåçóëüòàò ðàáîòû Äþáðþ ëü ñîñòîÿë â òîì, ÷òî áûë ïîêàçàí ñìûñë ãèïîòåçû îá «èåðàðõè÷åñêîé ñâÿçè ìîìåíòîâ». Òî÷íåå ãîâîðÿ, åé óäàëîñü äîêàçàòü, ÷òî ãèïîòåçà (4.91) ïðè Aq º 1 ñîîòâåòñòâóåò òðåáîâàíèþ î ëîã-ïóàññîíîâñêîì ðàñïðåäåëåíèè âåëè÷èíû p l . Ðàñïðåäåëåíèþ Ï óàññîíà ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè âèäà P ( y) =
m y e - my , G( y + 1)
(4.97)
ãäå m =< y > , à G åñòü ãàììà-ôóíêöèÿ. Ëîãïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå, óäîâëåòâîðÿþ ù ååãèïîòåçå(4.91), ïîëó÷àåòñÿïðè y=
ln p l . ln b
Í åêîòîðûå àðãóìåíòû â ïîëüçó ëîãïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè â òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèÿõ áóäóò äàíû íèæå. Ñïðàâåäëèâîñòè ðà-
44
äè, ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â ïîñëåäíèå ãîäû áûëè ñäåëàíû ïîïûòêè îïèñàòü ñëó÷àéíûåòóðáóëåíòíûå ïîëÿ è ñ ïîìîù üþ äðóãèõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ (íàïðèìåð, ëîã-ëåâè) è îêîí÷àòåëüíûé îòâåò íà âîïðîñ î çàêîíàõ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè â òóðáóëåíòíûõ ïîòîêàõ äàëåêî íå ÿñåí.
Ñïèñîê ðåêîìåíäóåìîé ëèòåðàòóðû 1. ËàíäàóË.Ä., Ëèôø èö Å.Ì . Ãèäðîäèíàìèêà. Ì .: Í àóêà, 1988. 736 ñ. 2. Ì îíèí À.Ñ., ßãëîì À.Ì . Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ãèäðîìåõàíèêà. Ì .: Í àóêà, 1965. ×.1. 639 ñ. 3. Ì îíèí À.Ñ., ßãëîì À.Ì . Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ãèäðîìåõàíèêà. Ì .: Í àóêà, 1967. ×.2. 720 ñ. 4. Frisch U. Turbulence. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. 296 p.
45
5. ÄÂÓÌ ÅÐÍ À ß ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÜ Ðàñïðîñòðàíåííûì ñïîñîáîì óïðîù åíèÿ ôèçè÷åñêîé çàäà÷è ïðè åå òåîðåòè÷åñêîì è ÷èñëåííîì ðåø åíèè ÿâëÿåòñÿ ñíèæåíèå ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà. È ìåííî äëÿ äâóìåðíîé ïîñòàíîâêè ïîëó÷åíû ïî÷òè âñå òî÷íûå ðåø åíèÿ óðàâíåíèé Í àâüå- Ñòîêñà. Êàê ïðàâèëî, è ÷èñëåííûå ðåø åíèÿ çàäà÷ î ëàìèíàðíîì òå÷åíèè æèäêîñòè ïðîâîäÿò äëÿ äâóìåðíîé ãåîìåòðèè. Ï ðè ïåðåõîäå ê òóðáóëåíòíûì òå÷åíèÿì, êîãäà ÷èñëî òî÷åê, íåîáõîäèìûõ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïîòîêà, ðàñòåò ñîãëàñíî îöåíêå (4.26) êàê ÷èñëî Ðåéíîëüäñà â ñòåïåíè «9/4»è áûñòðî äîñòèãàåò ïðåäåëîâ âîçìîæíîñòåé âû÷èñëèòåëüíûõ ìàø èí, òàêæå êàæåòñÿ åñòåñòâåííûì íà÷àòü ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå òóðáóëåíòíîñòè ñ ðàññìîòðåíèÿ ïëîñêèõ òå÷åíèé. Îäíàêî, òóðáóëåíòíîñòü - ÿâëåíèå ñóù åñòâåííî òðåõìåðíîå è â ñëó÷àå òóðáóëåíòíûõ ïîòîêîâ ïåðåõîä ê ïëîñêîé ãåîìåòðèè ïðèâîäèò ê êà÷åñòâåííûì èçìåíåíèÿì ñâîéñòâ òå÷åíèé. Ô àêò, ÷òî äâóìåðíàÿ òóðáóëåíòíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ óïðîù åííîé ìîäåëüþ òðåõìåðíîé, áûë óñòàíîâëåí íåçàâèñèìî Êðåé÷íàíîì è Áýò÷åëîðîì â ñåðåäèíå ø åñòèäåñÿòûõ ãîäîâ. Ï ðàêòè÷åñêè ñðàçó ñòàëî ÿñíî è òî, ÷òî ø àíñîâ íà ðåàëèçàöèþ ÷èñòî äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè â ïðèðîäíûõ è äàæå â ëàáîðàòîðíûõ óñëîâèÿõ ôàêòè÷åñêè íåò. Í åñìîòðÿ íà ýòî, äâóìåðíàÿ òóðáóëåíòíîñòü ïðèâëåêëà ê ñåáå çíà÷èòåëüíîå âíèìàíèå èññëåäîâàòåëåé, êîòîðîå íå îñëàáåâàåò è ïî ñåãîäíÿø íèé äåíü. Îáúÿñíÿåòñÿ ýòî íåñêîëüêèìè ïðè÷èíàìè. Âî-ïåðâûõ, êà÷åñòâåííîå ñâîåîáðàçèå äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè äàåò ïðåêðàñíûå âîçìîæíîñòè äëÿ îïðîáîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ ìîäåëåé òóðáóëåíòíîñòè (ìîäåëü, ïðåòåíäóþ ù àÿ íà àäåêâàòíîå îïèñàíèå òóðáóëåíòíîñòè, äîëæíà áûòü ÷óâñòâèòåëüíîé ê èçìåíåíèþ ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà è ïðàâèëüíî îòðàæàòü åå ñâîéñòâà â ñëó÷àå òðåõ è äâóõ èçìåðåíèé). Âî-âòîðûõ, äâóìåðíàÿ òóðáóëåíòíîñòü ñòàëà äîñòóïíîé äëÿ ïðÿìûõ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ óæå â 70-õ ãîäàõ (â 80õ ñ ïîÿâëåíèåì ÝÂÌ òèïà «Cray» óäàëîñü âûéòè íà ñåòêè ðàçìåðîì 1024õ1024, äîñòàòî÷íûå äëÿ ïðèëè÷íîãî âîñïðîèçâåäåíèÿ èíåðöèîííûõ èíòåðâàëîâ), à òàêîå æå ðàçðåø åíèå äëÿ òðåõìåðíûõ ïîòîêîâ ñòàëî âîçìîæíûì òîëüêî â ïîñëåäíèå ãîäû. Òðåòüÿ ïðè÷èíà ñîñòîèò â òîì, ÷òî, õîòÿ ñòðîãî äâóìåðíûõ òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèé è íå ñóù åñòâóåò, íåêîòîðûå ÷åðòû äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ïðîÿâëÿþò ìíîãèå êðóïíîìàñø òàáíûå ãåîôèçè÷åñêèå è àñòðîôèçè÷åñêèå òå÷åíèÿ (â ýòèõ ñëó÷àÿõ îáû÷íî ãîâîðÿò î êâàçèäâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè).
46
5.1. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ è èíåðöèîííûå èíòåðâàëû Ñíîâà âåðíåìñÿ ê óðàâíåíèÿì Í àâüå - Ñòîêñà è îñòàíîâèìñÿ íà âîïðîñå îá èíòåãðàëàõ äâèæåíèÿ, òî åñòü âåëè÷èíàõ, ñîõðàíÿåìûõ óðàâíåíèÿìè ïðè íåâÿçêîé ýâîëþ öèè. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ çàïèø åì â ïåðåìåííûõ Ëàãðàíæà r r r d t v = - r - 1Ñ p + nDv ,
(5.1)
óìíîæèì íà ñêîðîñòü è ïðîèíòåãðèðóåì ïî îáúåìó V , âêëþ ÷àþ ù åìó âñþ äâèæóù óþ ñÿæèäêîñòü r r r r v2 d t ò dV = - r - 1 òÑ pv dV + n òv Dv dV . 2 V V V
(5.2)
Ï åðâûé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (5.2) ðàâåí íóëþ . Äåéñòâèòåëüíî, r r
r
rr
r
r
r r
r
òÑ pv dV = òÑ ( pv )dV - òpÑ v dV =òÑ ( pv )dV = òpv dS = 0.
V
V
V
V
S
Ï ðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà èñïîëüçîâàíî óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè è òåîðåìà Ãàóññà, ñ ïîìîù üþ êîòîðîé îò èíòåãðàëà ïî îáúåìó ïåðåø ëè ê èíòåãðàëó ïî ïîâåðõíîñòè. Ï îâåðõíîñòü âûáèðàåòñÿ òàêîé, ÷òî îíà îõâàòûâàåò âåñü îáúåì, çàíÿòûé äâèæóù åéñÿ æèäêîñòüþ , è ñêîðîñòü â ëþáîé òî÷êå ýòîé ïîâåðõíîñòè ðàâíà íóëþ. Ï îñëåäíåå ñëàãàåìîå â (5.2) ïðåîáðàçóåì, èñïîëüçóÿ äâå ôîðìóëû âåêòîðíîãî àíàëèçà, r r r r r rr Ñ ´ (Ñ ´ A )= Ñ (Ñ A )- DA , (5.3)
(
) (
) (
)
))
( (
))
r r r rr r rr r Ñ A´ B = B Ñ ´ A - A Ñ ´ B ,
è ïîëó÷èì
( (
(5.4)
rr r r r r rr r v v D v dV = v Ñ ´ Ñ ´ v dV = Ñ ò ò ò v ´ Ñ ´ v dV -
r r ò(Ñ ´ v )(Ñ ´ v )dV =
V
V
V
r r r = ò(v ´ rot v )dS S
Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå r
V
r2 ò(rot v ) dV = -
V
r r w = rot v
r
r
r2 ò(rot v ) dV .
V
(5.5)
(íàïîìíèì, ÷òî w íàçûâàåòñÿ çàâèõðåííîñòüþ ), ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ äëÿ ýâîëþ öèè îáù åé ýíåðãèè äâèæåíèÿ æèäêîñòè
47
r d t Å = - n ò| w | 2 dV = - 2nW ,
(5.6)
V
ãäå âåëè÷èíà W=
1 r 2 | w | dV , 2 Vò
(5.7)
ðàâíàÿ èíòåãðàëó îò êâàäðàòà çàâèõðåííîñòè ïî âñåìó îáúåìó, íàçûâàåòñÿýíñòðîôèåé. Ñâîáîäíàÿ ýâîëþ öèÿ òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ñîïðîâîæäàåòñÿ, êàê ìû âûÿñíèëè âûøå, ïåðåíîñîì ýíåðãèè ê ìàëûì ìàñø òàáàì.  òåðìèíàõ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè E (k ) ýòî ñîîòâåòñòâóåò ïåðåíîñó ýíåðãèè ê áîëüø èì âîëíîâûì ÷èñëàì. Äëÿ ýíñòðîôèè òàêæå ìîæíî ââåñòè ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü W (k ) , ïðè÷åì â ñèëó (5.5) îíà ñâÿçàíà ñî ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ïðîñòûì ñîîòíîø åíèåì W (k ) ~ k 2 E (k ) , (5.8) èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ïåðåíîñ ýíåðãèè ê áîëüø èì âîëíîâûì ÷èñëàì (ìàëûì ìàñø òàáàì) âëå÷åò çà ñîáîé ðîñò ýíñòðîôèè. Ðîñò ýíñòðîôèè, â ñâîþ î÷åðåäü, ñîãëàñíî (5.6) ïðèâîäèò ê ðîñòó ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè ( e º d t E ). Ýòè ðàññóæäåíèÿ ïðèâîäÿò ê ñëåäóþ ù åé êà÷åñòâåííîé êàðòèíå äëÿ ýâîëþ öèè ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè â òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè (ðèñ.5.1): íà ðàííèõ ýòàïàõ ïðîèñõîäèò óâåëè÷åíèå ñêîðîñòè äèññèïàöèè ñ ïîÐèñ.5.1 ñëåäóþ ù èì åå óáûâàíèåì. È çìåíåíèå e íîñèò ïðè ýòîì êðàéíå íåðåãóëÿðíûé õàðàêòåð, èçîáèëóÿ êðàòêîâðåìåííûìè âñïëåñêàìè è ïðîâàëàìè. Êà÷åñòâåííî ïðîöåññû ïåðåäà÷è ýíåðãèè ê ìàëûì ìàñø òàáàì ñ îäíîâðåìåííûì ðîñòîì çàâèõðåííîñòè îïèñûâàþòñÿ òàê íàçûâàåìûì «ìåõàíèçìîì ðàñòÿæåíèÿ âèõðåâûõ òðóáîê». Ýòîò ìåõàíèçì ñîñòîèò â ñëåäóþ ù åì. Âèõðü, ïîïàäàÿ â çîíó äåôîðìàöèè âèõðÿ áîëüø åãî ìàñø òàáà, ðàñòÿãèâàåòñÿ è ðàñêðó÷èâàåòñÿ â ñèëó äåéñòâèÿ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà. Ï ðè ýòîì äåôîðìèðóþòñÿ âèõðè, îðèåíòèðîâàííûå ïåðïåíäèêóëÿðíî áîëüø îìó âèõðþ , òî åñòü ìåõàíèçì èìååò ïðèíöèïèàëüíî òðåõìåðíóþ ïðèðîäó. Îòìåòèì, ÷òî òðåõìåðíûå óðàâíåíèÿ Í àâüå - Ñòîêñà èìåþò åù å îäèí èíòåãðàë äâèæåíèÿ.  íåâÿçêîì ïðåäåëå ñîõðàíÿþ ù åéñÿ âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿñïèðàëüíîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ êàê
48
H=
1 rr v w dV . 2 Vò
(5.9)
 îòëè÷èå îò ýíåðãèè è ýíñòðîôèè, ñïèðàëüíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé âåëè÷èíîé. Îíà ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîñêàëÿðîì (ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåõîäå îò ïðàâîâèíòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ê ëåâîâèíòîâîé) è îòëè÷íà îò íóëÿ â ñëó÷àå, åñëè â òå÷åíèè ñóù åñòâóþ ò ñïèðàëüíûå âèõðè è êîëè÷åñòâî ñïèðàëåé ñ ïðàâîé çàêðóòêîé áîëüø å (ìåíüø å), ÷åì ëåâîé. Ýòà âåëè÷èíà ñòàíîâèòñÿ ñóù åñòâåííîé òîëüêî â íåêîòîðûõ ñïåöèàëüíûõ òå÷åíèÿõ, êàê ïðàâèëî, àíèçîòðîïíûõ. Ê òàêèì òå÷åíèÿì îòíîñÿòñÿ ìíîãèå ãåîè àñòðîôèçè÷åñêèå òå÷åíèÿ. Îñîáåííî âàæíóþ ðîëü èãðàåò ñïèðàëüíîñòü â çàäà÷àõ âîçáóæäåíèÿ ìàãíèòíûõ ïîëåé â òå÷åíèÿõ ïðîâîäÿù åé æèäêîñòè (ïðîáëåìà ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêîãî äèíàìî). Çàïèø åì óðàâíåíèå äëÿ çàâèõðåííîñòè, äëÿ ÷åãî íà óðàâíåíèå (5.1) íåîáõîäèìî ïîäåéñòâîâàòü îïåðàòîðîì rot , r rr r rr r r ¶t w + (v Ñ )w = - (w Ñ )v + nDw
(5.10)
è ðàññìîòðèì âîïðîñ îá èíòåãðàëàõ äâèæåíèÿ ïðè äâóìåðíîì äâèæåíèè æèäêîñòè. Äâóìåðíîñòü äâèæåíèÿ ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî âåêòîð ñêîðîñòè r èìååò òîëüêî äâå îòëè÷íûå îò íóëÿ êîìïîíåíòû v = (v x , v y ,0) , à çàâèõðåír íîñòü - òîëüêî îäíó w = (0,0, w ) , ñòàíîâÿñü, òàêèì îáðàçîì, ïñåâäîñêàëÿðíîé âåëè÷èíîé. Óðàâíåíèå (5.10) ïðèíèìàåò â ýòîì ñëó÷àå ÷ðåçâû÷àéíî ïðîñòîé âèä rr ¶t w + (v Ñ )w = nDw ,
(5.11)
ñîâïàäàÿ ñ óðàâíåíèåì ïåðåíîñà ñêàëÿðíîé ïðèìåñè. Í à ñõîäñòâå è ðàçëè÷èè óðàâíåíèÿ äëÿ çàâèõðåííîñòè è óðàâíåíèÿ äëÿ ïàññèâíîé ïðèìåñè ìû îñòàíîâèìñÿ áîëåå ïîäðîáíî íèæå, à ñåé÷àñ çàïèø åì (5.11) â ïåðåìåííûõ Ëàãðàíæà d t w = nDw .
(5.12)
È ç (5.12) î÷åâèäíûì îáðàçîì ñëåäóåò, ÷òî ïðè n ® 0 æèäêàÿ ÷àñòèöà ïåðåíîñèò çàâèõðåííîñòü áåç èçìåíåíèé, à ñëåäîâàòåëüíî, ëþ áàÿ ôóíêöèÿ f (w ) ñòàíîâèòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, äâóìåðíûé ïîòîê â íåâÿçêîì ïðåäåëå îáëàäàåò áåñêîíå÷íûì íàáîðîì èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ. Ñðåäè ýòèõ èíòåãðàëîâ îñîáîå ìåñòî çàíèìàåò ýíñòðîôèÿ (5.7), êîòîðàÿ, êàê è ýíåðãèÿ, îñòàåòñÿ ñîõðàíÿþ ù åéñÿ âåëè÷èíîé è ïðè êîíå÷íîìåðíîì ïðåäñòàâëåíèè ïîëåé ñêîðîñòè è çàâèõðåííîñòè (ïðè îáðûâå ðÿäîâ Ô óðüå, åñëè ãîâîðèòü î ñïåêòðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ïîëåé). Çàïèø åì óðàâíåíèå äëÿ ýâîëþ öèè ýíñòðîôèè ïðè äâóìåðíîì òå÷åíèè
49
( )
r r w2 d t W = d t ò dV = n òw Dw dV =n òw Ñ Ñ w dV = 2 V V V r r r 2 r 2 = n òÑ w Ñ w dV - n òÑ w dV = - n òÑ w dV .
(
)
V
Òàêèì îáðàçîì,
( )
V
( )
r 2 d t W = - n òÑ w dV = - ew ,
( )
V
(5.13)
V
ãäå ew åñòü ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíñòðîôèè. Îòëè÷èÿ â ñâîáîäíîé ýâîëþ öèè äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè îò ýâîëþ öèè òðåõìåðíîé ñëåäóþ ò èçñîâìåñòíîãî àíàëèçà óðàâíåíèé (5.6) è (5.13). Ï ðè íóëåâîé âÿçêîñòè ýíñòðîôèÿ åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ, à ïðè êîíå÷íîé âÿçêîñòè ýíñòðîôèÿ, êàê âèäíî èç (5.13), ìîæåò òîëüêî óáûâàòü ñî âðåìåíåì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî è ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíåðãèè â äâóìåðíîì ïîòîêå ìîæåò ëèø ü ìîíîòîííî óáûâàòü ñî âðåìåíåì (ðèñ.5.2). Ô èçè÷åñêè â äâóìåðíîì ïîòîêå áëîêèðîâàí ìåõàíèçì ðàñòÿæåíèÿ âèõðåâûõ òðóáîê, êîòîðûé îáåñïå÷èâàåò ðîñò ýíñòðîôèè â òðåõìåðíîì òå÷åíèè. Ï îÿâëåíèå âòîðîé ñîõðàíÿþ ù åéñÿ âåëè÷èíû ìåíÿåò è õàðàêòåð êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ â òóðáóëåíòíîñòè.  äâóìåðíîì òóðáóëåíòíîì ïîòîêå èìåþ òñÿ äâå êâàäðàòè÷íûå âåëè÷èíû, ïåðåíîñèìûå îò îäíèõ ìàñø òàáîâ ê äðóãèì, è ïðîöåññû ïåðåíîñà îïðåäåëÿþòñÿ òåïåðü äâóìÿ âåëè÷èíàìè - ñêîðîñòüþ äèññèïàöèè ýíåðãèè e è ñêîðîñòüþ äèññèïàöèè ýíñòðîôèè ew . Åñëè ýíåðãèÿ è ýíñòðîôèÿ âíîñÿòñÿ â ïîòîê íà íåêèõ ïðîìåæóòî÷íûõ ìàñø òàáàõ k I , äàëåêèõ îò äèññèïàòèâíîãî ìàñø òàáà, òî îíè îáå äîëæíû âîâëåêàòüñÿ â êàñêàäÐèñ.5.2 íûé ïðîöåññ. Îäíàêî, ñâÿçü ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé ýíåðãèè è ýíñòðîôèè (5.8) çàïðåù àåò îäíîâðåìåííûé ïåðåíîñ îáåèõ âåëè÷èí ê ìåëêèì ìàñø òàáàì. Ï ðè ñâîáîäíîé ýâîëþ öèè òóðáóëåíòíîñòè ñðåäíèå ñïåêòðàëüíûå ïîòîêè ýíåðãèè è ýíñòðîôèè äîëæíû áûòü íàïðàâëåíû ê ïðîòèâîïîëîæíûì êîíöàì ñïåêòðà, ïðè÷åì ê ìàëûì ìàñø òàáàì íàïðàâëåí ïîòîê ýíñòðîôèè, à ê áîëüø èì - ïîòîê ýíåðãèè.  ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè ìîæíî îæèäàòü ïîÿâëåíèÿ äâóõ èíåðöèîííûõ èíòåðâàëîâ.  áîëüø èõ ìàñø òàáàõ (ìàëûõ âîëíîâûõ ÷èñëàõ k < k I ) êàñêàäíûé ïðîöåññîïðåäåëÿåòñÿ ñêîðîñòüþ äèññèïàöèè ýíåðãèè e è àíàëèç ðàçìåðíîñòè åñòåñòâåííî ïðèâîäèò íàñ ê ôîðìóëåÊîëìîãîðîâà
50
E ( k ) = Ce 2 / 3 k - 5 / 3
(5.14)
ñ òåì ñóù åñòâåííûì îòëè÷èåì, ÷òî ýíåðãèÿ ïåðåäàåòñÿ îò ìåíüø èõ ìàñø òàáîâ ê áîëüø èì - èìååò ìåñòî îáðàòíûé (êðàñíûé) êàñêàä ýíåðãèè. Äëÿ ìàëûõ ìàñø òàáîâ ( k > k I ) îïðåäåëÿþ ù åé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíñòðîôèè. Åå ðàçìåðíîñòü [ew ] = 1 / ñ3 è åäèíñòâåííî âîçìîæíàÿ êîìáèíàöèÿ äàåòñïåêòðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå E (k ) = Cw ew
2/3
k-3,
(5.15)
îïèñûâàþ ù åå èíåðöèîííûé èíòåðâàë ïåðåíîñà ýíñòðîôèè. Êàñêàä ýíñòðîôèè - ýòî ïðÿìîé êàñêàä, òî åñòü ýíñòðîôèÿ ïåðåíîñèòñÿ îò áîëüø èõ ìàñø òàáîâ ê ìåíüø èì. Êà÷åñòâåííóþ ñòðóêòóðó ñïåêòðà äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè èëëþ ñòðèðóåò ðèñ.5.3. Í à ðèñóíêå ïîêàçàíû îáà èíåðöèîííûõ èíòåðâàëà ñ çàêîíàìè (5.14) è (5.15) è íàïðàâëåíèÿ ïåðåíîñà Ðèñ.5.3 ïî ñïåêòðó ýíåðãèè è ýíñòðîôèè. Ãðàíèöà èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíñòðîôèè îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé âÿçêîñòè è ïîòîêîì ýíñòðîôèè îò áîëüø èõ ìàñø òàáîâ. Òðåáóåìóþ ðàçìåðíîñòü äàåò âûðàæåíèå æe ö kn ~ ç w3 ÷ . èn ø 1/ 6
(5.16)
Ëåâàÿ ãðàíèöà èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíåðãèè íå ìîæåò áûòü ïîñòîÿííîé, òàê êàê äèññèïàöèè ýíåðãèè â ýòèõ ìàñø òàáàõ íå ïðîèñõîäèò. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàñø òàá, íà êîòîðûé ïðèõîäèòñÿ ìàêñèìóì ýíåðãèè â ñïåêòðå, k E = f (e, t ) è ñîîáðàæåíèÿ ðàçìåðíîñòè äàþ ò îöåíêó - 1/ 2
æe ö kE ~ ç 3 ÷ èt ø
,
(5.17)
êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåò ïðîöåññ íàêîïëåíèÿ ýíåðãèè â áîëüø èõ ìàñø òàáàõ è ñîîòâåòñòâóþ ù èé äðåéô ìàêñèìóìà â ñïåêòðå â ñòîðîíó ìàëûõ âîëíîâûõ ÷èñåë.
51
5.2. Ëàáîðàòîðíûåýêñïåðèìåíòû Ñîâåðø åííî îñîáåííîå ïîâåäåíèå äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè äåëàåò èíòåðåñíûì äåòàëüíîå èçó÷åíèå åå ñâîéñòâ è çàñòàâëÿåò çàäóìàòüñÿ íàä âîïðîñîì, ñóù åñòâóåò ëè òóðáóëåíòíîñòü ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè. Í àäåÿòüñÿ íà ñóù åñòâîâàíèå ÷èñòî äâóìåðíîãî òóðáóëåíòíîãî ïîòîêà ïðè áîëüø èõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà, ïî-âèäèìîìó, íå ïðèõîäèòñÿ. Îäíàêî, ìîæíî ðàññ÷èòûâàòü íà ñóù åñòâîâàíèå «êâàçèäâóìåðíûõ ïîòîêîâ», îáëàäàþ ù èõ íåêîòîðûìè ÷åðòàìè äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè. Ï ðîñòåéø èé ôàêòîð, ïðèâîäÿù èé ê «äâóìåðèçàöèè» òóðáóëåíòíîãî ïîòîêà - ýòî ãåîìåòðèÿ ïîëîñòè, â êîòîðîé ñóù åñòâóåò òóðáóëåíòíîñòü. Òî÷íåå ãîâîðÿ, ðå÷ü èäåò î òîíêèõ ñëîÿõ æèäêîñòè, â êîòîðûõ îäèí ðàçìåð îáëàñòè çíà÷èòåëüíî ìåíüø å äâóõ äðóãèõ. Í à÷èíàÿ ñ ïåðâûõ æå ðàáîò ïî äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè, îáñóæäàëàñü âîçìîæíîñòü îáíàðóæåíèÿ ñâîéñòâ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè â êðóïíîìàñø òàáíûõ òå÷åíèÿõ îêåàíà è àòìîñôåðû. Äåéñòâèòåëüíî, òîëù èíà ïëîòíîé àòìîñôåðû âñåãî ëèø ü 10 êì, â òî âðåìÿ êàê õàðàêòåðíûé ìàñø òàá êðóïíîìàñø òàáíûõ âèõðåé (öèêëîíîâ è àíòèöèêëîíîâ) ñîñòàâëÿåò òûñÿ÷è êèëîìåòðîâ. Ãåîìåòðèÿ - òîëüêî îäèí èç âîçìîæíûõ ñïîñîáîâ ïîäàâëåíèÿ äâèæåíèé âäîëü îäíîé èç êîîðäèíàò. Ê äðóãèì âîçìîæíîñòÿì îòíîñÿòñÿ óñòîé÷èâàÿ ñòðàòèôèêàöèÿ æèäêîñòè, ñèëüíîå âðàù åíèå, ìàãíèòíûå ïîëÿ. Ï åðâàÿ ïîïûòêà ðåàëèçîâàòü äâóìåðíóþ òóðáóëåíòíîñòü â ëàáîðàòîðíûõ óñëîâèÿõ áûëà îñíîâàíà íà èäåå ïîäàâëåíèÿ îäíîé êîìïîíåíòû ïîëÿ ñêîðîñòè ìàãíèòíûì ïîëåì. Îïûòû ïðîâîäèëèñü â È íñòèòóòå ôèçèêè â Ðèãå, ãäå èññëåäîâàëîñü òóðáóëåíòíîå òå÷åíèå æèäêîãî ìåòàëëà (ðòóòè) çà ðåø åòÐèñ.5.4 êîé ïðè âêëþ ÷åíèè ñèëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Óäàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî äâèæåíèÿ âäîëü ïîëÿ äåéñòâèòåëüíî ìåíåå èíòåíñèâíû, ÷åì â äâóõ äðóãèõ íàïðàâëåíèÿõ, íî èçìåðåííûå ñïåêòðû ñ òðóäîì ïîääàâàëèñü äàæå êà÷åñòâåííîé èíòåðïðåòàöèè. Ñëåäóþ ù èé ýêñïåðèìåíò ïî äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè áûë ïðîâåäåí È .Êóäåðîì, êîòîðûé èçó÷àë äâèæåíèÿ æèäêîñòè â ìûëüíûõ ïëåíêàõ. Â
52
ýòèõ îïûòàõ óäàëîñü ïîêàçàòü íàëè÷èå îáðàòíîãî êàñêàäà ýíåðãèè (òî÷íåå ãîâîðÿ, áûë çàôèêñèðîâàí ðîñòñðåäíåãî ðàçìåðà âèõðÿ ñî âðåìåíåì). Í àèáîëåå óäà÷íûì ýêñïåðèìåíòîì ïî äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè îñòàåòñÿ ðàáîòà Ñîììåðèà7, êîòîðóþ ìû ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî.  ýòîé ðàáîòå èññëåäîâàëñÿ îáðàòíûé êàñêàä ýíåðãèè â ïëîñêîì òå÷åíèè â òîíêîì ñëîå ðòóòè, âîçáóæäàåìîì ýëåêòðîìàãíèòíûìè ñèëàìè íà ìàëûõ ìàñø òàáàõ. Ñõåìà ýêñïåðèìåíòà ïîêàçàíà íà ðèñ.5.4. Í à ïëîñêóþ ãîðèçîíòàëüíóþ êþ âåòó ðàçìåðàìè 120õ120õ22ìì, çàïîëíåííóþ ðòóòüþ , íàêëàäûâàëîñü âåðòèêàëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå, äîñòèãàâø åå âåëè÷èíû 1 Òë. Òàêîå ñèëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå ïðàêòè÷åñêè ïîäàâëÿåò âåðòèêàëüíûå äâèæåíèÿ è ïðèâîäèò ê ôîðìèðîâàíèþ ãîðèçîíòàëüíîãî òå÷åíèÿ ñ âåðòèêàëüíûì ïðîôèëåì, îïèñûâàåìûì èçâåñòíûì ðåø åíèåì Ãàðòìàíà. Ãàðòìàíîâñêèé ïðîôèëü õàðàêòåðèçóåòñÿ íàëè÷èåì ÿäðà ñ îäíîðîäíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñêîðîñòè è óçêèì ïîãðàíè÷íûì ñëîåì, òîëù èíà êîòîðîãî òåì ìåíüø å, ÷åì ñèëüíåå íàëîæåííîå Ðèñ.5.5 ìàãíèòíîå ïîëå. Ï ðåäïîëàãàåìûé ïðîôèëü ñêîðîñòè òàêæå èçîáðàæåí íà ðèñ.5.4. Äëÿ îïèñàíèÿ ïëîñêèõ òå÷åíèé â òîíêèõ ñëîÿõ æèäêîñòè ñóù åñòâóåò ïðîñòîé, íî ýôôåêòèâíûé ñïîñîá, ñîñòîÿù èé â òîì, ÷òî ïîëå ñêîðîñòè r v = (v x , v y ,0) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå r r v ( x, y , z ) = v ( x, y ) f ( z ) , (5.18) ãäå ôóíêöèÿ f (z ) îïèñûâàåò ñòðóêòóðó ïðîôèëÿ ïîïåðåê ñëîÿ ( â íàø åì ñëó÷àå ýòî ðåø åíèå Ãàðòìàíà). Âûðàæåíèå (5.18) ïîäñòàâëÿåòñÿ â òðåõìåðíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, êîòîðûå èíòåãðèðóþòñÿ çàòåì ïîïåðåê ñëîÿ
( )
rh rh r r rh rh rh ¶t v òf ( z )d z + v Ñ v òf 2 ( z )d z = - r - 1Ñ òpdz + nD ^ v òf ( z )d z + nv òf ¢¢( z )d z . 0
0
0
0
0
Îïåðàòîð Ëàïëàñà ïðåäñòàâëåí â âèäå D = D ^ + ¶zz , ãäå D ^ = ¶xx + ¶ yy . Ï îëó÷àåòñÿäâóìåðíîå óðàâíåíèå
( )
r r rr r r r ¶t v + a v Ñ v = - r - 1Ñ p + nD ^ v - mv ,
(5.19)
â êîòîðîì êîýôôèöèåíòû a è m çàâèñÿò îò êîíêðåòíîãî ïðîôèëÿ òå÷åíèÿ â ñëîå. Óðàâíåíèå (5.19) íàçûâàþ ò ÷àñòî óðàâíåíèåì ñ ëèíåéíûì òðåíèåì. 7
Sommeria J. Experimental study of the two-dimensional inverse energy cascade in a square box // J.Fluid Mechanics. 1986. Vol.170. P.139-168.
53
Ëèíåéíîå òðåíèå, â îòëè÷èå îò îáû÷íîé âÿçêîñòè, îäèíàêîâî ýôôåêòèâíî íà âñåõ ìàñø òàáàõ (ôèçè÷åñêè ýòî òðåíèå â âÿçêîì ïîãðàíñëîå) è îñóù åñòâëÿåò îòâîä ýíåðãèè èç òå÷åíèÿ íà ýíåðãîñîäåðæàù èõ ìàñø òàáàõ k E . Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ýòîò ìàñø òàá ïåðåñòàåò çàâèñåòü îò âðåìåíè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî òðåíèÿ m èìååò ðàçìåðíîñòü îáðàòíîé ñåêóíäû, ëåãêî ïîëó÷èòü îöåíêó k E = k E ( e, m ) ~
m3 . e
(5.20)
Âîçáóæäåíèå òå÷åíèÿ â îïûòàõ ïðîèçâîäèëîñü ñ ïîìîù üþ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñèë.  äíî êþâåòû áûëè âñòðîåíû 36 òî÷å÷íûõ ýëåêòðîäîâ, ê êîòîðûì ïîäâîäèëîñü ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå (ïîëÿðíîñòü ÷åðåäîâàëàñü â ø àõìàòíîì ïîðÿäêå). Ðàñòåêàþ ù èåñÿ â ñëîå ýëåêòðè÷åñêèå òîêè âçàèìîäåéñòâîâàëè ñ âåðòèêàëüíûì ìàãíèòíûì ïîëåì è ïðèâîäèëè ê ôîðìèðîâàíèþ 36 ïëàíàðíûõ âèõðåé, çàêðó÷åííûõ òàêæå â ø àõìàòíîì ïîðÿäêå. Âàðüèðóÿ çíà÷åíèÿ ïðèëîæåííîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ è ñèëû òîêà, ìîæíî áûëî ìåíÿòü èíòåíñèâíîñòü äâèæåíèÿ è âåëè÷èíó ëèíåéíîãî òðåíèÿ.  îïûòàõ èññëåäîâàëèñü òóðáóëåíòíûå ðåæèìû, â êîòîðûõ óäàëîñü íàáëþ äàòü ôîðìèðîâàíèå îáðàòíîãî êàñêàäà ýíåðãèè ñî ñïåêòðîì «-5/3» è ïîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü îöåíêè (5.20). Í à ðèñ.5.5 ïðèâåäåí ýêñïåðèìåíòàëüíûé ñïåêòð ïóëüñàöèé ñêîðîñòè, ïîëó÷åííûé â ýòîé ðàáîòå, è îòìå÷åí îæèäàåìûé íàêëîí ñïåêòðà. Î÷åâèäíî, ÷òî äèàïàçîí ìàñø òàáîâ, â êîòîðîì ìîæíî îæèäàòü ôîðìèðîâàíèÿ èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà, äîñòàòî÷íî ìàë è ðåçóëüòàò íîñèò ñêîðåå êà÷åñòâåííûé õàðàêòåð, íî èìåííî ýòà ðàáîòà óáåäèòåëüíî äîêàçàëà âîçìîæíîñòü ñóù åñòâîâàíèÿ (è íàáëþ äåíèÿ) îáðàòíîãî êàñêàäà ýíåðãèè â êâàçèäâóìåðíûõ òóðáóëåíòíûõ ïîòîêàõ.
5.3. ×èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ Ì û óæå óïîìèíàëè î òîì, ÷òî îñíîâíûì îáúåêòîì ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé îäíîðîäíîé òóðáóëåíòíîñòè ÿâëÿþòñÿ äâóìåðíûå òå÷åíèÿ. Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ïî äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ïîëó÷åíû ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè. Ì û êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà ìåòîäàõ ðåø åíèÿ óðàâíåíèé è ïåðå÷èñëèì îñíîâíûå ðåçóëüòàòû.  ñëåäóþ ù åì ïàðàãðàôå ìû îòäåëüíî îáñóäèì ðåçóëüòàòû ïðèìåíåíèÿ ê äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ìîäåëè, îïèñàííîé â ïàðàãðàôå4.5.3. Ï ðè ÷èñëåííûõ ðåø åíèÿõ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðàññìàòðèâàþ òñÿ, êàê ïðàâèëî, â ïåðåìåííûõ ôóíêöèÿ òîêà - çàâèõðåííîñòü (âûâîä ýòèõ óðàâíåíèé ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â ïàðàãðàôå1.5 ÷àñòè 1) ¶t w + {y , w }= nDw + f + D , w = Dy ,
(5.21) (5.22)
54
ãäå y - ôóíêöèÿ òîêà, w -çàâèõðåííîñòü. Óðàâíåíèÿ äîïîëíåíû äâóìÿ ÷ëåíàìè: f - ýòî ôóíêöèÿ, îïèñûâàþ ù àÿ ñèëû, âîçáóæäàþ ù èå òå÷åíèå, D ôóíêöèÿ, îïèñûâàþ ù àÿ äîïîëíèòåëüíóþ äèññèïàöèþ ýíåðãèè. Ââåäåíèå âíåø íèõ ñèë íåîáõîäèìî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñòàöèîíàðíîé òóðáóëåíòíîñòè. Äîïîëíèòåëüíàÿ äèññèïàòèâíàÿ ôóíêöèÿ òàêæå íåèçáåæíà äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñòàöèîíàðíîé êàðòèíû, òàê êàê â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ïðîèñõîäèò íàêîïëåíèå ýíåðãèè íà êðóïíûõ ìàñø òàáàõ, è òðåáóåòñÿ îáåñïå÷èòü åå îòâîä èìåííî èçáîëüø èõ ìàñø òàáîâ. Ðåø åíèå ïðîâîäèòñÿ ïðàêòè÷åñêè âñåãäà äëÿ êâàäðàòíîé îáëàñòè ñ ïåðèîäè÷åñêèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè.  êà÷åñòâå ìåòîäîâ ðåø åíèÿ â ðàííèõ ðàáîòàõ èñïîëüçîâàëè ëèáî ñåòî÷íûå, ëèáî ñïåêòðàëüíûå ìåòîäû, íî ïîñëå ïîÿâëåíèÿ àëãîðèòìîâ áûñòðîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ô óðüå (ÁÏ Ô ) ïðàêòè÷åñêè âî âñåõ âû÷èñëåíèÿõ èñïîëüçóþ ò ñïåêòðàëüíî-ñåòî÷íûé ìåòîä Îðñçàãà. Ñóòü ìåòîäà ñîñòîèò â ñëåäóþ ù åì: 1) íà êàæäîì ø àãå ïî âðåìåíè ñíà÷àëà ðåø àåòñÿ óðàâíåíèå (5.21) ìåòîäîì ñåòîê è ïîëó÷àþ ò ïîëå çàâèõðåííîñòè, 2) èñïîëüçóÿ ÁÏ Ô , ïîëó÷àþ ò ôóðüå-ðàçëîæåíèå ïîëÿ çàâèõðåííîñòè, 3) â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå ðåø àþ ò óðàâíåíèå (5.22) (ìû óæå ãîâîðèëè î òîì, ÷òî ðåø åíèå óðàâíåíèÿ Ï óàññîíà â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå òðèâèàëüíî, òàê êàê ñâîäèòñÿ ê äåëåíèþ àìïëèòóäû êàæäîé ãàðìîíèêè íà êâàäðàò âîëíîâîãî ÷èñëà), 4) âíîâü èñïîëüçóþò ÁÏ Ô äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîëÿ ôóíêöèè òîêà â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå. Ì åòîä èñïîëüçóåò ëó÷ø èå ñâîéñòâà è ñåòî÷íûõ, è ñïåêòðàëüíûõ ìåòîäîâ è äàåò çíà÷èòåëüíûé âûèãðûø â ñêîðîñòè âû÷èñëåíèé. Âñå ÷èñëåííûåýêñïåðèìåíòû ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå ãðóïïû. Ï åðâàÿ ãðóïïà - ýòî ýêñïåðèìåíòû ïî ñâîáîäíîìó âûðîæäåíèþ òóðáóëåíòíîñòè, âòîðàÿ - ïî ñòàöèîíàðíî âîçáóæäàåìîé òóðáóëåíòíîñòè. Ñâîáîäíîå âûðîæäåíèå ïîäðàçóìåâàåò îòñóòñòâèå âíåø íèõ ñèë.  ýòîì ñëó÷àå â (5.20) f = D = 0 è ðåø åíèå çàâèñèò òîëüêî îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Ñ òî÷êè çðåíèÿ äèíàìèêè èíåðöèîííûõ èíòåðâàëîâ (5.14) è (5.15) áîëåå èíòåðåñíû ýêñïåðèìåíòû ïî ìîäåëèðîâàíèþ ñòàöèîíàðíîé òóðáóëåíòíîñòè. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ðåæèìîâ íåîáõîäèìî îáåñïå÷èòü ïîäâîä ýíåðãèè.  äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè èíòåðåñíû äèíàìè÷åñêèå ïðîöåññû ïî îáå ñòîðîíû îò ìàñø òàáîâ âîçáóæäåíèÿ, ïîýòîìó ñèëà f çàïèñûâàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå òàêèì îáðàçîì, ÷òî îíà ïîääåðæèâàåò íà çàäàííîì óðîâíå ýíåðãèþ ãàðìîíèê ñ çàäàííûì ìîäóëåì âîëíîâîãî ÷èñëà r | k |= k I . Îñîáîãî ðàçãîâîðà çàñëóæèâàåò äèññèïàòèâíûé ÷ëåí D . Âî-ïåðâûõ, îí äîëæåí îáåñïå÷èòü îòâîä ýíåðãèè èç òå÷åíèÿ íà áîëüø èõ ìàñø òàáàõ (ìàëûõ âîëíîâûõ ÷èñëàõ). Âî-âòîðûõ, äëÿ ïîëó÷åíèÿ áîëåå âûðàæåííîãî èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíñòðîôèè ÷àñòî ìîäèôèöèðóþò è õàðàêòåð òðåíèÿ â ìàëûõ ìàñø òàáàõ (áîëüø èõ âîëíîâûõ ÷èñëàõ). Ï ðè íàïèñàíèè îáû÷íîãî äèññèïàòèâíîãî ñëàãàåìîãî â ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèè ïîëó-
55
÷àåì ÷ëåí âèäà D(k ) ~ nk 2 .  ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ èñêóññòâåííûì îáðàçîì ïîâûøàþòñòåïåíü âîëíîâîãî ÷èñëà è çàïèñûâàþò äèññèïàöèþ â âèäå D (k ) = - mk - n - nk m
(5.23)
ñ òèïè÷íûì çíà÷åíèåì ïîêàçàòåëåé ñòåïåíè n = m = 8 . Äèññèïàòèâíûé ÷ëåí âèäà (5.23) ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî äåéñòâèå äèññèïàöèè êîíöåíòðèðóåòñÿ â óçêèõ èíòåðâàëàõ âáëèçè ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé ðàññìàòðèâàåìûõ âîëíîâûõ ÷èñåë. ×èñëåííûå ðåø åíèÿ óðàâíåíèé (5.21)-(5.22) äëÿ áîëüø èõ ÷èñåë Ðåéíîëüäñà ïðèíåñëè ìíîãî íåîæèäàííûõ ðåçóëüòàòîâ. Áîëüø îé íåîæèäàííîñòüþ ñòàë î÷åíü êðóòîé ñïåêòð â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ïåðåíîñà ýíñòðîôèè. Âìåñòî çàêîíà (5.15) ñ íàêëîíîì «-3» ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû äàëè çíà÷åíèÿ îò -3.5 äî -5. Í àïîìíèì, ÷òî â òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ïåðåìåæàåìîñòü äàåò ïîïðàâêè ê çàêîíó «-5/3» ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ñîòûõ, à â äâóìåðíîé ðàñõîæäåíèå ñîñòàâèëî åäèíèöû! Ðàññìîòðèì òðè ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòà, êîòîðûå áóäåì íàçûâàòü À,  è Ñ, âçÿòûå èç ðàáîòû 8. Ýêñïåðèìåíò À ìîäåëèðóåò ïðÿìîé êàñêàä ýíñòðîôèè. È ñïîëüçóåòñÿ ñåòêà 1024õ1024, ñëó÷àéíàÿ ñèëà äåéñòâóåò íà âîëíîâûõ ÷èñëàõ k I = 10 , äèññèïàòèâíûé ÷ëåí èñïîëüçóåòñÿ â ôîðìå (5.23). Ýêñïåðèìåíò  ìîäåëèðóåò îáðàòíûé êàñêàä ýíåðãèè. Ñåòêà òàêæå 1024õ1024, íî ñèëà äåéñòâóåò íà ìàëûõ ìàñø òàáàõ ( k I = 256 ).  òðåòüåì ÷èñëåííîì ýêñïåðèìåíòå (Ñ) äåëàåòñÿ ïîïûòêà îäíîâðåìåííî ïîëó÷èòü îáà èíåðöèîííûõ èíòåðâàëà. È ñïîëüçîâàíà ñåòêà 1728õ1728 è âîçáóæäåíèå íà ïðîìåæóòî÷íûõ ìàñø òàáàõ ( k I = 40 ). Í à ðèñóíêàõ 5.6-5.8 ïîêàçàíû ñïåêòðû ýíåðãèè äëÿ âñåõ òðåõ ñëó÷àåâ.
8
Babiano A., Frick P., Dubrulle B. Scaling properties of numerical two-dimensional turbulence // Physical Review E, 1995. Vol.52. N.4. P.3719-3729.
56
Ðèñ.5.6
Ðèñ.5.7
Ðèñ.5.7
Ðèñ.5.8
Ðèñ.5.10
Í à ðèñ.5.9 ïîêàçàí ãðàôèê çàâèñèìîñòè ïîòîêà ýíñòðîôèè ïî ñïåêòðó, ïîëó÷åííûé â ýêñïåðèìåíòå À. Âèäíî, ÷òî â êðóïíûõ ìàñø òàáàõ (ìàëûõ k ) ïîòîê ýíñòðîôèè ïðàêòè÷åñêè îòñóòñòâóåò, à â ìàëûõ ìàñø òàáàõ âûäåëÿåòñÿ èíòåðâàë ñ ïîñòîÿííûì çíà÷åíèåì âåëè÷èíû, ïåðåíîñèìîé ïî
57
Ðèñ.5.11
Ðèñ.5.12
ñïåêòðó ýíñòðîôèè. Í à ñëåäóþ ù åì ðèñóíêå (ðèñ.5.10) ïîêàçàí ñïåêòðàëüíûé ïîòîê ýíåðãèè, ñîîòâåòñòâóþ ù èé ÷èñëåííîìó ýêñïåðèìåíòó Â.  ýòîì ñëó÷àå âèäåí ó÷àñòîê ñ ïîñòîÿííûì îòðèöàòåëüíûì ïîòîêîì, ÿâëÿþ ù èìñÿ ïðèçíàêîì èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíåðãèè ê êðóïíûì ìàñø òàáàì (îáðàòíûé êàñêàä). È ìåííî íàëè÷èå èíòåðâàëîâ ñ ïîñòîÿííûì ïîòîêîì è ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþ ù èì ïðèçíàêîì íàëè÷èÿ èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà (ñîîòâåòñòâóþ ù àÿ êâàäðàòè÷íàÿ âåëè÷èíà ïåðåíîñèòñÿ îò ìàñø òàáà ê ìàñø òàáó áåçäèññèïàöèè). Í à ðèñ.5.11 ïîêàçàí ïðèìåð ïîëÿ çàâèõðåííîñòè, ïîëó÷åííûé ïðè ìîäåëèðîâàíèè èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíñòðîôèè (ýòîò è äâà ïîñëåäóþ ù èõ ðèñóíêà âçÿòû èç ðàáîòû 9). Í à ðèñóíêå ïîêàçàíû ëèíèè ðàâíîé çàâèõðåííîñòè. Òåìíûå ïÿòíà óêàçûâàþ ò íà îáëàñòè ñ âûñîêîé çàâèõðåííîñòüþ , õàðàêòåðèçóåìûå áîëüø îé ïëîòíîñòüþ èçîëèíèé. Ýòè îáëàñòè èìåþ ò áëèçêèå ðàçìåðû è ïîëó÷èëè íàçâàíèå«êîãåðåíòíûõ ñòðóêòóð», õîòÿ ýòî íàçâàíèå íåëüçÿ ïðèçíàòü óäà÷íûì. Ï ðàâèëüíåå ãîâîðèòü îá èçîëèðîâàííûõ âèõðÿõ, êîòîðûå, êàê áóäåò âèäíî èç äàëüíåéø åãî èçëîæåíèÿ, ñëàáî âçàèìîäåéñòâóþ ò ñ îêðóæàþ ù èì èõ òóðáóëåíòíûì ïîòîêîì. È ìåííî ýòè èçîëèðîâàííûå âèõðè è ÿâëÿþòñÿ ïðè÷èíîé âîçíèêíîâåíèÿ ñòîëü êðóòûõ ñïåêòðîâ.  öèòèðóåìîé ðàáîòå áûë ïðîâåäåí èíòåðåñíûé ýêñïåðèìåíò. È çîëèðîâàííûå âèõðè ðàçðóø àëèñü èñêóññòâåííî òàêèì îáðàçîì, ÷òî ïðè ýòîì íå èçìåíÿëîñü ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè ïî ñïåêòðó (ýòî äåëàåòñÿ ïóòåì âíåñåíèÿ ñëó÷àéíûõ ñäâèãîâ ôàç â ôóðüå- êîìïîíåíòû).  ðåçóëüòàòå ñïåêòðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè âîçâðàù àëîñü ê âèäó (5.15). 9
Babiano A., Basdevant C., Legras B., Sadourny R. Vorticity and passive-scalar dynamics in two-dimensional turbulence // J. Fluid Mechanics. 1987. Vol.183. P.379-397.
58
Ì û óæå ãîâîðèëè î òîì, ÷òî óðàâíåíèå äëÿ çàâèõðåííîñòè (5.11) ñîâïàäàåò ïî âèäó ñ óðàâíåíèåì äëÿ ïåðåíîñà ïàññèâíîé ñêàëÿðíîé ïðèìåñè.  êà÷åñòâå ïàññèâíîé ïðèìåñè ìîæåò âûñòóïàòü, íàïðèìåð, òåìïåðàòóðà, óðàâíåíèå äëÿ êîòîðîé èìååò âèä ¶t T + {y , T }= cDT , (5.24) ãäå c - òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòü æèäêîñòè.  èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ïåðåíîñà ýíñòðîôèè, ãäå ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ñëåäóåò çàêîíó (5.15), ñïåêòð ýíñòðîôèè ñîãëàñíî ñîîòíîø åíèþ (5.8) ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó W (k ) ~ k - 1 .
(5.25)
Ñîîáðàæåíèÿ ðàçìåðíîñòè î÷åâèäíûì îáðàçîì ïðèâîäÿò ê òàêîé æå ôîðìåçàâèñèìîñòè è äëÿñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû. Îäíàêî, àíàëîãèÿ ìåæäó óðàâíåíèÿìè (5.11) è (5.24) íå ðàáîòàåò. Í à ðèñ.5.12 ïîêàçàíî ïîëå êîíöåíòðàöèé ïàññèâíîé ïðèìåñè (òåìïåðàòóðû), ïîëó÷åííîé â òîì æå ÷èñëåííîì ýêñïåðèìåíòå, ÷òî è ïîëå çàâèõðåííîñòè, ïîêàçàííîå íà ïðåäûäóù åì ðèñóíêå. Ñóù åñòâåííîå îòëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ïîëå ïàññèâíîé ïðèìåñè íåò ñòîëü âûðàæåííûõ èçîëèðîâàííûõ ñòðóêòóð. Ñëåä îò êàæäîãî èçîëèðîâàííîãî âèõðÿ ìîæíî ÿñíî óâèäåòü è â ïîëå ïàññèâíîé ïðèìåñè, è ýòî êàæåòñÿ åñòåñòâåííûì, íî ïðè ýòîì íå íàáëþ äàåòñÿ èíòåíñèâíûé ðîñò êîíöåíòðàöèè ê öåíòðó âèõðÿ, êàê ýòî èìååò ìåñòî â ñëó÷àå çàâèõðåííîñòè. Í à ðèñ.5.13 ïîêàçàíû ñïåêòðû ïóëüñàöèé çàâèõðåííîñòè è êîíöåíòðàöèè ïàññèâíîé ïðèìåñè, ñîîòâåòñòâóþ ù èå ïîêàçàííûì ïîëÿì. Ì îæíî âèäåòü, ÷òî ñïåêòð ïàññèâíîé ïðèìåñè ñîîòâåòñòâóåò çàêîíó (5.25), â òî âðåìÿ êàê ñïåêòð çàâèõðåííîñòè (ýíñòðîôèè) ïîñëå ñðàâíèòåëüíî êîðîòêîãî ó÷àñòêà, áëèçêîãî ê íàêëîíó «-1», äàåò êðóòîé ñïàä ñ çàêîíîì, áëèçêèì ê «-3»(ýòî çàêîí «-5» äëÿ ñïåêòðà ýíåðãèè). Ðàçëè÷èå â ñïåêòðàëüíîì ïîâåäåíèè çàâèõðåííîñòè è ïàññèâíîé ïðèìåñè îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ïðè âñåì ñõîäñòâå óðàâíåíèé (5.11) è (5.24) ìåæäó íèìè ñóù åñòâóåò ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå. Ñîñòîèò îíî â òîì, ÷òî â óðàâíåíèè (5.24) ôóíêöèÿ òîêà (ïîëå ñêîðîñòè) äåéñòâèòåëüíî íå çàâèñèò îò ïîëÿ òåìïåðàòóðû (ïðèìåñü ïàññèâíà), à â óðàâíåíèè (5.11) ôóíêöèÿ òîêà è çàâèõðåííîñòü îäíîçíà÷íî ñâÿçàíû óðàâíåíèåì (5.12). Ñïåêòð ýíåðãèè, ïîëó÷åííûé â ýêñïåðèìåíòå Ñ (ñì. ðèñ.5.8) ïîêàçûâàåò îáù óþ ñòðóêòóðó ñïåêòðà äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ïðè íàëè÷èè ø èðîêîãî èíòåðÐèñ.5.13 âàëà ìàñø òàáîâ è âîçáóæäåíèè íà ïðî-
59
ìåæóòî÷íûõ ìàñø òàáàõ. Âëåâî îò ìàñø òàáà âîçáóæäåíèÿ ôîðìèðóåòñÿ èíåðöèîííûé èíòåðâàë ïåðåíîñà ýíåðãèè è ñïåêòð áëèçîê çàêîíó «-5/3» (5.14). Ñïðàâà îò ìàñø òàáà âîçáóæäåíèÿ ïðèñóòñòâóåò äîñòàòî÷íî ø èðîêàÿ îáëàñòü ( k I < k < k KS ), â êîòîðîé íåò âûðàæåííîãî ñòåïåííîãî çàêîíà. Ýòà îáëàñòü ìàñø òàáîâ ñîîòâåòñòâóåò òåì ñàìûì èçîëèðîâàííûì âèõðÿì (êîãåðåíòíûì ñòðóêòóðàì), î êîòîðûõ ø ëà ðå÷ü âûøå. Äàëåå( k KS < k < k D ) âèäåí èíåðöèîííûé èíòåðâàë ïåðåíîñà ýíñòðîôèè, íàêëîí ñïåêòðà â êîòîðîì â ýòîì ÷èñëåííîì ýêñïåðèìåíòå áëèçîê ê «-4».
5.4. Ï åðåìåæàåìîñòü â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè Ì û âèäåëè, ÷òî â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè, êàê è â òðåõìåðíîé, ïîëó÷àåìûå ñïåêòðàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ îòëè÷àþ òñÿ îò çàêîíîâ, ïðåäñêàçûâàåìûõ èç ñîîáðàæåíèé ðàçìåðíîñòè. Ëîêàëüíàÿ ñòðóêòóðà îêàçûâàåòñÿ çíà÷èòåëüíî ñëîæíåé, ÷åì ïðåäïîëàãàåò ãèïîòåçà î ñòàòèñòè÷åñêîé îäíîðîäíîñòè òóðáóëåíòíîñòè.  ýòîì ïàðàãðàôå ìû ïîïûòàåìñÿ äàòü êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ïåðåìåæàåìîñòè â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè íà îñíîâå ìîäåëè Ø å - Ëåâåêà - Äþáðþ ëü è ñðàâíèòü ïîëó÷åííûå õàðàêòåðèñòèêè ñ òåìè, ÷òî áûëè ïîëó÷åíû äëÿ òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè. Ì û áóäåì èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàòû òåõ æå òðåõ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ (À, Â, Ñ), î êîòîðûõ óæåø ëà ðå÷ü âûø å. Ï ðèëîæåíèå ìîäåëè, îïèñàííîé â ïàðàãðàôå 4.5.3, ê äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè òðåáóåò ðÿäà äîïîëíèòåëüíûõ êîììåíòàðèåâ. Ï ðåæäå âñåãî, íóæíî îñòàíîâèòüñÿ íà âîïðîñå î òîì, ÷òî ïîíèìàòü ïîä âåëè÷èíîé p l . Ýòîò âîïðîñ ðàñïàäàåòñÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, íà äâà: êàêóþ èç äâóõ êâàäðàòè÷íûõ âåëè÷èí (ýíåðãèè è ýíñòðîôèè) ðàññìàòðèâàòü è ÷òî êîíêðåòíî è êàê èçìåðÿòü â ÷èñëåííîì
Ðèñ.5.14
60
ýêñïåðèìåíòå? Ì û óæå îáñóæäàëè âûøå âîïðîñ î òîì, ÷òî âìåñòî ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè, êîòîðàÿ òðàäèöèîííî ïðèñóòñòâóåò âî âñåõ ìîäåëÿõ òóðáóëåíòíîñòè, ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü ñïåêòðàëüíûé ïîòîê, êîòîðûé ðåàëüíî îïðåäåëÿåò äèíàìèêó èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà.  äâóìåðíîì ñëó÷àå ðå÷ü ìîæåò èäòè î ïîòîêå ýíåðãèè, ëèáî î ïîòîêå ýíñòðîôèè. ×èñëåííûå îïûòû ïîêàçûâàþò, ÷òî èñïîëüçîâàòü ìîæíî è òó è äðóãóþ âåëè÷èíó, ïðè÷åì íåçàâèñèìî îò òîãî, ðàññìàòðèâàåòñÿ ëè èíòåðâàë ïåðåíîñà ýíåðãèè èëè ýíñòðîôèè. Ñòàòèñòè÷åñêè áîëåå óñòîé÷èâûå ðåçóëüòàòû ïîëó÷àþòñÿ ïðè âû÷èñëåíèè ïîòîêîâ ýíñòðîôèè. È òàê, îïðåäåëèì â êà÷åñòâå õàðàêòåðèñòèêè ñïåêòðàëüíîãî ïîòîêà íà ìàñø òàáå l âåëè÷èíó
( )
rr h l = l - 2 ò| w v Ñ w | dS = l - 2 òw 2 v n dl , S
(5.26)
L
ðàâíóþ ïîòîêó çàâèõðåííîñòè ÷åðåç ãðàíèöó îáëàñòè (êâàäðàòà) ñî ñòîðîíîé l . Äàëåå, ñëåäóÿ ìîäåëè Ø ËÁ (ñì. ï.4.5.3), ââåäåì âåëè÷èíó pl =
Ðèñ.5.15
hl hl
¥
,
¥
h l = lim q® ¥
< hl
q+ 1
>
< hl > q
. (5.27)
Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ãèïîòåç è ïðåäïîëîæåíèé, ëåæàù èõ â îñíîâå ìîäåëè. Ì îäåëü Ø ËÁ âêëþ ÷àåò â ñåáÿ èäåþ ðàñø èðåííîé àâòîìîäåëüíîñòè (ESS). Äëÿ íà÷àëà íåîáõîäèìî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî îíà ðàáîòàåò â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè. Í à ðèñ.5.14,à ïîêàçàíû ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ïîëÿ ñêîðîñòè ÷åòíûõ ïîðÿäêîâ ( q = 2,3,4,6,8,10,12. ) è òðåòüåãî ïîðÿäêà, âû÷èñëåííûå â ýêñïåðèìåíòå  è ïðåäñòàâëåííûå â äâîéíûõ ëîãàðèôìè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ êàê ôóíêöèè ìàñø òàáà. Í à ðèñ.5.14,á ýòè æå ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ïðåäñòàâëåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì èäåè ðàñø èðåííîé àâòîìîäåëüíîñòè, òî åñòü ïî îñè àáñöèññ îòëîæåíà ñòðóêòóðíàÿ ôóíêöèÿ òðåòüåãî ïîðÿäêà. Ì îæíî âèäåòü, ÷òî ëèíèè íà ãðàôèêå âûïðÿìëÿþ òñÿ, íî îñîáåííî íà-
61
ãëÿäíî ýôôåêò âèäåí íà ðèñ.5.15, ãäå ïîêàçàíû ñòåïåííûå ïîêàçàòåëè Vq ,
Ðèñ.5.16
Ðèñ.5.17
âû÷èñëåííûå ñîîòâåòñòâåííî ïî äàííûì ðèñóíêà 5.14,à è 5.14,á. Åñëè â ïåðâîì ñëó÷àå (ðèñ.5.15,à) íà ãðàôèêå âîâñå îòñóòñòâóþò ãîðèçîíòàëüíûå ó÷àñòêè (à èìåííî îíè è äîëæíû ïîäòâåðæäàòü íàëè÷èå èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà), òî âî âòîðîì ñëó÷àå (ðèñ.5.15,á) âûðàæåííûå ãîðèçîíòàëüíûå ó÷àñòêè ïîÿâëÿþ òñÿ, ïî êðàéíåé ìåðå, äëÿ q < 8 . Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, êàê áûñòðî ðàñòåò óðîâåíü îø èáîê ñ ðîñòîì ïîðÿäêà ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé. Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíåíèå ESS äåéñòâèòåëüíî ïîìîãàåò âûäåëèòü èíåðöèîííûé èíòåðâàë è îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ ñòåïåííûõ ïîêàçàòåëåé. Ñëåäóþ ù èì ïîëîæåíèåì, òðåáóþ ù èì ïðîâåðêè, ÿâëÿåòñÿ ñóù åñòâîâàíèå ïðåäåëüíîé âåëè÷èíû ¥ h l (5.27) è âîçìîæíîñòü åå ïîëó÷åíèÿ ñ ïîìîù üþ ïîääàþ ù èõñÿ èçìåðåíèþ ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî íåáîëüø îãî ïîðÿäêà. Í àëè÷èå ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (5.27) ïîäòâåðæäàåò ðèñ.5.16, ïðè÷åì ìîæíî âèäåòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ óæå ïðè q » 10 . Óáåäèâø èñü â ñóù åñòâîâàíèè ïðåäåëüíîé âåëè÷èíû h l ¥ , ìîæíî ïðèñòóïèòü ê íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêå òðåòüåé ãèïîòåçû ìîäåëè Ø ËÄ (4.92), êàñàþ ù åéñÿ íàëè÷èÿ ñòåïåííîãî çàêîíà ó âåëè÷èíû p l . Í à ðèñ.5.17 Ðèñ.5.18 ïîêàçàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãðà-
62
ôèêîâ âåëè÷èí< h l > / < h l (q) > äëÿ âñå âîçðàñòàþ ù èõ çíà÷åíèé q , ïîëó÷åííûõ òàêæå äëÿ äàííûõ ýêñïåðèìåíòà Â. Ï î îñè àáñöèññ îòëîæåíû çíà÷åíèÿ ñòðóêòóðíîé ôóíêöèè ïîëÿ ñêîðîñòè òðåòüåãî ïîðÿäêà. È ñïîëüçîâàíû ëîãàðèôìè÷åñêèå êîîðäèíàòû. Ì îæíî âèäåòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ è â èíòåðâàëå êàñêàäíîãî ïåðåíîñà ýíåðãèè ( k E < k < k I ) ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ïîä÷èíÿåòñÿ ñòåïåííîìó çàêîíó. Í àêëîí ïðÿìîé äàåò çíà÷åíèå ïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè â çàêîíå (4.92) D = 0.47 . Àíàëîãè÷íûå èçìåðåíèÿ, ïðîâåäåííûå â ýêñïåðèìåíòå À äëÿ èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíñòðîôèè, äàëè çíà÷åíèå D = 0.13 . Áëèçêèå çíà÷åíèÿ áûëè ïîëó÷åíû è â ýêñïåðèìåíòå Ñ, ãäå îäíîâðåìåííî íàáëþ äàëèñü îáà èíòåðâàëà ( D = 0.4 äëÿ èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíåðãèè è D = 0.1 äëÿ èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíñòðîôèè). Çàìåòèì, ÷òî ìàëûå çíà÷åíèÿ D ñîîòâåòñòâóþò íèçêîìó óðîâíþ ïåðåìåæàåìîñòè (â òðåõìåðíîì ñëó÷àå D = 0.67 ) è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî èìåííî â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ïåðåíîñà ýíñòðîôèè ïåðåìåæàåìîñòü ïî÷òè îòñóòñòâóåò (íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî îòêëîíåíèå îò îæèäàåìîãî çàêîíà «-3» î÷åíü çíà÷èòåëüíî). Âòîðàÿ ãèïîòåçà ìîäåëè Ø ËÄ (4.91) ìîæåò áûòü ïðîâåðåíà äâóìÿ ñïîñîáàìè. Ì îæíî ñòðîèòü ìîìåíòû ðàçëè÷íîãî ïîðÿäêà < p l q > êàê ôóíêöèè ìîìåíòà ïåðâîãî ïîðÿäêà, ïðîâåðÿÿ òåì ñàìûì ñïðàâåäëèâîñòü ñîîòíîø åíèÿ (4.94), âûòåêàþ ù åãî èç (4.92). Ï ðè âûïîëíåíèè ãèïîòåçû íà ãðàôèêàõ äîëæíû âûäåëÿòüñÿ èíåðöèîííûå èíòåðâàëû, à óãëû íàêëîíà äàäóò îöåíêó ïàðàìåòðà b . Òàêîé ãðàôèê, ïîñòðîåííûé äëÿ ýêñïåðèìåíòà Ñ, ïîêàçàí íà ðèñ.5.18, íà êîòîðîì õîðîø î ðàçëè÷èìû îáà èíåðöèîííûõ èíòåðâàëà. Âîçìîæíà è ïðÿìàÿ ïðîâåðêà ôîðìóëû (4.92). Ýòîò ñïîñîá èëëþ ñòðèðóåò ðèñ.5.19, íà êîòîðîì ñâåäåíû âìåñòå ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé äëÿ ýêñïåðèìåíòîâ À è Â.  òî÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (4.92) ñòðîÿòñÿ îòíîø åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ìîìåíòîâ äðóã îò äðóãà. Êàæäàÿ ãðóïïà òî÷åê ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííîìó çíà÷åíèþ âåëè÷èíû q . Ï ðè íåâûïîëíåíèè ñâÿçè (4.92) ýòè ãðóïïû òî÷åê äàëè áû íåïàðàëëåëüíûå îòðåçêè (ëèáî âîîáù å íå îòðåçêè), à ïðè âûïîëíåíèè ðàâåíñòâà ñ îòëè÷àþ ù èìèñÿ êîíñòàíòàìè Aq îòðåçêè áûëè áû ïàðàëëåëüíû, íî íå ëåæàëè áû íà îäíîé ïðÿìîé.
Ðèñ.5.19
63
Òàêèì îáðàçîì, ðèñóíîê ñâèäåòåëüñòâóåò î âûïîëíåíèè ñîîòíîø åíèÿ (4.92), ïðè÷åì ñ îäèíàêîâûìè êîíñòàíòàìè Aq . Ï îñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî ñâèäåòåëüñòâóåò â ïîëüçó ëîãïóàññîíîâñêîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Âû÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà b äàëè áëèçêèå, íî îòëè÷àþ ù èåñÿ çíà÷åíèÿ ( b = 0.7 â èíòåðâàëå ïåðåíîñà ýíåðãèè è b = 0.55 - â èíòåðâàëå ïåðåíîñàýíñòðîôèè). Âåðíåìñÿ ê âîïðîñó î ôèçè÷åñêîì ñìûñëå ãèïîòåç, ëåæàù èõ â îñíîâå ìîäåëè.  ñîîòíîø åíèå (4.91) (è/èëè (4.81)) âõîäÿò îòíîñèòåëüíûåìîìåíòû, êàæäûé èç êîòîðûõ òàêæåìîæíî çàïèñàòü â ñòåïåííîé ôîðìåâèäà hl
(q )
=
< hl
q+ 1
>
< hl > q
~l
- dq
.
(5.28)
Ï îñëåäîâàòåëüíîñòü ïîêàçàòåëåé dq îãðàíè÷åíà, ñ îäíîé ñòîðîíû, ÷ëåíîì d0 , õàðàêòåðèçóþ ù èì ïîâåäåíèå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ïîòîêà h l
( 0)
=< h l > , è
÷ëåíîì d¥ , îòâå÷àþ ù èì çà ïîâåäåíèå h l (¥ ) , ñ äðóãîé ñòîðîíû. Ðÿä dq îáðàçóåò íåóáûâàþ ù óþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü è ìîæåò èìåòü îäíó èç ñëåäóþ ù èõ ÷åòûðåõ ôîðì (ðèñ.5.20): ñëó÷àé à) ñîîòâåòñòâóåò ìîäåëè Ê41 ( dq º 0 ); ñëó÷àé á) õàðàêòåðèçóåò ñèòóàöèþ , êîãäà äàæå ìîìåíò ïåðâîãî ïîðÿäêà çàâèñèò îò ìàñø òàáà, íî ñòåïåíü íåîäíîðîäíîñòè íå ðàñòåò ñ ðîñòîì ïîðÿäêà ( dq º Ñ ); ñëó÷àé â) âîñïðîèçâîäèò êàðòèíó, çàëîæåííóþ â ìîäåëü Ø å - Ëåâåêà (ñðåäíåå çíà÷åíèå íå çàâèñèò îò ìàñø òàáà óñðåäíåíèÿ, íî ñóù åñòâóåò ïðåäåë äëÿ áîëüø èõ ìîìåíòîâ, d0 = 0 , d¥ = 2 / 3 ); è ïîñëåäíèé ñëó÷àé ã) îïèñûâàåò ñèòóàöèþ, êîãäà ñðåäíåå çíà÷åíèå çàâèñèò îò ìàñø òàáà, íî ïîêàçàòåëü ðàñòåòñðîñòîì q . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ãèïîòåçà (4.92) ýêâèâàëåíòíà óòâåðæäåíèþ D=
d¥ - d0 , V3
(5.29)
òî åñòü ïàðàìåòð D â ìîäåëè Ø ËÄ õàðàêòåðèçóåò ðàçíîñòü d¥ - d0 . Ðÿä dq ìîæíî ïðåäñòàâèòü òîãäà â âèäå
Ðèñ.5.20
64
dq = d¥ + V3 Dh(q ) ,
(5.30)
ãäå h(q ) åñòü ìîíîòîííî óáûâàþ ù àÿ ôóíêöèÿ, òàêàÿ, ÷òî h(0) = 1 , à h(¥ ) = 0 . Ï ðîñòåéø àÿ ïîäõîäÿù àÿ ôóíêöèÿ åñòü ýêñïîíåíòà h(q ) = exp{- aq} , ïðè÷åì ¢ a = dq (0) /(V3 D ) . Í åïîñðåäñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà (5.30) â (4.81) ïîêàçûâàåò,
÷òî âòîðàÿ ãèïîòåçà Ø å - Ëåâåêà ðàâíîñèëüíî ïðåäïîëîæåíèþ îá ýêñïîíåíöèàëüíîé ôîðìåôóíêöèè h(q ) è b = exp{- a} . Âîçâðàù àÿñü ê ðåçóëüòàòàì ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè, íóæíî îòìåòèòü, ÷òî åå ïîâåäåíèå ðàçëè÷íî â èíòåðâàëàõ ïåðåíîñà ýíåðãèè è ýíñòðîôèè, íî íèãäå íå ñîîòâåòñòâóåò ìîäåëè Ø åËåâåêà (ò.å. ðèñ.5.20,â).  èíòåðâàëå ïåðåíîñà ýíñòðîôèè óðîâåíü ïåðåìåæàåìîñòè íèçîê ( D áëèçêà ê íóëþ ), íî ïåðâûé ìîìåíò ïîòîêà h (ñðåäíåå çíà÷åíèå) çàâèñèò îò ìàñø òàáà óñðåäíåíèÿ. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ îòâå÷àåò ñëó÷àþ, ïîêàçàííîìó íà ðèñ.5.20,á, è âûçâàíà íàëè÷èåì ñèëüíûõ èçîëèðîâàííûõ âèõðåé. È ìåííî ñ âèõðÿìè ñâÿçàíî ñèëüíîå îòëè÷èå â ñïåêòðå èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ýíñòðîôèè (à íåñïåðåìåæàåìîñòüþ, êàê òàêîâîé). Áîëåå ñëîæíî ïîâåäåíèå â èíòåðâàëå îáðàòíîãî êàñêàäà ýíåðãèè. Óðîâåíü ïåðåìåæàåìîñòè â íåì áëèçîê òîìó, ÷òî ïîëó÷àåòñÿ â òðåõìåðíûõ òå÷åíèÿõ, íî â îòëè÷èå îò ïîñëåäíèõ d0 ¹ 0 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íàðóø àåòñÿ îñíîâíàÿ ãèïîòåçà Êîëìîãîðîâà îòíîñèòåëüíî ïîñòîÿíñòâà ïîòîêà ýíåðãèè ïî ñïåêòðó! Åñòåñòâåííî, ðå÷ü íå èäåò î íàðóø åíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è íóæíî åù å ðàç îáðàòèòü âíèìàíèå íà îïðåäåëåíèå Ðèñ.5.21 âåëè÷èí h l (5.26) (è âåëè÷èíû el â ñëó÷àå òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè). Ýòà âåëè÷èíà õàðàêòåðèçóåò èíòåíñèâíîñòü ïðîöåññîâ ïåðåíîñà ýíåðãèè íåçàâèñèìî îò èõ íàïðàâëåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîëó÷åííûé íàìè ðåçóëüòàò ñâèäåòåëüñòâóåò î íàëè÷èè ïîòîêîâ ýíåðãèè, îáðàòíûõ îñíîâíîìó íàïðàâëåíèþ ïåðåíîñà, è îáù àÿ èíòåíñèâíîñòü ïîòîêîâ èçìåíÿåòñÿ ñ èçìåíåíèåì ìàñø òàáà. Êà÷åñòâåííî òàêîé ñöåíàðèé ïåðåíîñà ýíåðãèè ïî ñïåêòðó èëëþñòðèðóåò ðèñ.5.21. Ï îñëåäíèé âàæíûé âîïðîñ êàñàåòñÿ ñâÿçè ãèïîòåçû ïîäîáèÿ â ôîðìå (4.90), èñïîëüçîâàííîé â ìîäåëè Ø ËÄ ñ ãèïîòåçîé ïîäîáèÿ Ê62 (4.50). È ç (4.90) ñëåäóåò, ÷òî
65
< dvl > q
< dvl > 3
q/3
~
q/3
> q/3
,
à ýòî ðàâíîñèëüíî óòâåðæäåíèþ q Vq = (V3 + d0 ) + t q / 3 . 3
(5.31)
Î÷åâèäíî, ÷òî (5.31) ñîâïàäàåò ñ ìîäèôèöèðîâàííîé ãèïîòåçîé ïîäîáèÿ Êîëìîãîðîâà (Ê62) òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà V3 = 1 è d0 = 0 . Îáà óñëîâèÿ âûïîëíÿþòñÿ â òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè, íî íàðóø àþ òñÿ â äâóìåðíîé, ãäå, òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíèìà òîëüêî ãèïîòåçàïîäîáèÿ â âèäå(4.90).
5.5. Êîíâåêòèâíàÿ òóðáóëåíòíîñòü  çàêëþ ÷åíèå ýòîé ãëàâû ðàññìîòðèì ïðèìåð òóðáóëåíòíîñòè, ðàçâèâàþ ù åéñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëîâîãî ïîëÿ, ñâÿçàííîãî ñ ñàìèì òå÷åíèåì. Òàêèì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ êîíâåêòèâíîå òå÷åíèå ïðè áîëüø èõ ÷èñëàõ Ðåëåÿ (Ãðàññãîôà). Ì û ðàññìîòðèì ñïåöèôèêó êîíâåêòèâíîé òóðáóëåíòíîñòè êàê â ñëó÷àåòðåõìåðíîãî, òàê è â ñëó÷àå äâóìåðíîãî äâèæåíèÿ. Âûïèø åì óðàâíåíèÿ òåðìîãðàâèòàöèîííîé êîíâåêöèè â ïðèáëèæåíèè Áóññèíåñêà, êîòîðûåìû âûâîäèëè â ðàçäåëå1.3 ÷àñòè 1 ýòîãî êóðñà, r r r r r ¶t v + (v Ñ )v = - Ñ P + Dv + GTe z , r ¶t T + (v Ñ )T = s - 1 DT , r div v = 0.
(5.32) (5.33) (5.34)
Óðàâíåíèÿ çàïèñàíû â áåçðàçìåðíîé ôîðìå è âêëþ ÷àþ ò äâà áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðà: ÷èñëî Ãðàññãîôà G = gbT0 L3 /n 2 è ÷èñëî Ï ðàíäòëÿ s = n / c (ñìûñë ýòèõ áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ îáñóæäàëñÿ â ï.1.3). Ì àëûå ÷èñëà Ãðàññãîôà ñîîòâåòñòâóþ ò ñèòóàöèè, êîãäà âëèÿíèå òåìïåðàòóðû íà ïîëå ñêîðîñòè ìàëî è òåìïåðàòóðà âåäåò ñåáÿ êàê ïàññèâíàÿ ïðèìåñü, íå âëèÿÿ íà ñâîéñòâà ïîëÿ ñêîðîñòè. Îñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíåå íà âîçìîæíîì ïîâåäåíèè ïàññèâíîé ïðèìåñè â òóðáóëåíòíîì ïîòîêå ñ çàäàííûìè ñâîéñòâàìè. Âèä ñïåêòðà ïóëüñàöèé ïàññèâíîé ïðèìåñè ìîæíî îöåíèòü, èñõîäÿ èç ñëåäóþ ù èõ ñîîáðàæåíèé.  ïðåäåëå ìàëîé òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè ñèñòåìà (5.32)-(5.34) ñîõðàíÿåò êâàäðàò ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû, à âåëè÷èíîé, ðåãóëèðóþ ù åé ïðîöåññû ïåðåíîñà ýíåðãèè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû ïî ñïåêòðó, ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíà eT - ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíåðãèè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû. Ýòà âåëè÷èíà ñâÿçàíà ñ ïóëüñàöèÿìè òåìïåðàòóðû dTl íà ìàñø òàáå l ñîîòíîø åíèåì
66
dT eT ~ l . tl 2
Ï îâòîðÿÿ êîëìîãîðîâñêèå ðàññóæäåíèÿ, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íåîäíîðîäíîñòü òåìïåðàòóðû âíîñèòñÿ â ïîòîê íà ìàêðîìàñø òàáå, à òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòü (äèññèïàöèÿ) ñòàíîâèòñÿ ñóù åñòâåííîé òîëüêî íà ìèêðîìàñø òàáå è â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå äîëæåí ñóù åñòâîâàòü ïîñòîÿííûé, íå çàâèñÿù èé îò ìàñø òàáà ïîòîê ýíåðãèè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû, ðàâíûé ñêîðîñòè åå äèññèïàöèè. Ñëåäîâàòåëüíî, dT dT dv eT ~ l ~ l l = const . tl l 2
2
(5.35)
×òîáû ïîëó÷èòü çàâèñèìîñòü ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû îò ìàñø òàáà, íóæíî â (5.35) ïîäñòàâèòü ñîîòâåòñòâóþ ù óþ çàâèñèìîñòü äëÿ ïóëüñàöèé ñêîðîñòè. Òàê, åñëè ñïåêòð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñëåäóåò çàêîíó Êîëìîãîðîâà «-5/3»(5.14) è dvl ~ e1 / 3l 1 / 3 , òî ïîëó÷àåì îöåíêó dTl ~ eT
1/ 2
e- 1 / 6l 1/ 3 ,
(5.36)
ñîîòâåòñòâóþ ù óþ ñïåêòðó ýíåðãèè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû âèäà ET (k ) = CT eT e - 1 / 3 k - 5 / 3 .
(5.37)
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ñïåêòð (5.37) èìååò îäèíàêîâûé âèä è äëÿ òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè è äëÿ èíòåðâàëà îáðàòíîãî ïåðåíîñà ýíåðãèè â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè, ïðè÷åì è â òîì è â äðóãîì ñëó÷àå íàïðàâëåíèå êàñêàäà ýíåðãèè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû ïðÿìîå, òî åñòü ýíåðãèÿ ïóëüñàöèé ïåðåíîñèòñÿ â ìàëûå ìàñø òàáû íåçàâèñèìî îò íàïðàâëåíèÿ êàñêàäà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè.  èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ïåðåíîñà ýíñòðîôèè, ãäå ñïåêòð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñëåäóåò çàêîíó (5.15), à ïóëüñàöèè ñêîðîñòè îöåíèâàþòñÿ êàê 1/ 3 dvl ~ ew l , (5.35) ïðèâîäèò ê ñîîòíîø åíèþ dTl ~ eT
1/ 2
ew
- 1/ 6
è ñïåêòðó ET (k ) = CT¢eT ew
- 1/ 3
k - 1.
(5.38)
Ï ðîâåäåííûå îöåíêè ñïðàâåäëèâû, âîîáù åãîâîðÿ, äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ÷èñëî Ï ðàíäòëÿ s ~ 1 , òî åñòü âÿçêîñòü è òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòü èìåþ ò îäèí ïîðÿäîê âåëè÷èíû. Ï îñìîòðèì òåïåðü, êàê âåäåò ñåáÿ ïàññèâíàÿ ïðèìåñü ïðè ýêñòðåìàëüíûõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà Ï ðàíäòëÿ. Ï óñòü s << 1 , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðàñ-
67
ñìîòðåíèþ æèäêîñòè ñ î÷åíü õîðîø åé òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòüþ (äëÿ îïðåäåëåííîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì òóðáóëåíòíîñòü â ðòóòè èëè äðóãîì æèäêîì ìåòàëëå).  òàêîé ñðåäå äèôôóçèÿ òåïëà ýôôåêòèâíåé êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ. Åñëè òóðáóëåíòíîñòü ñóù åñòâóåò è åñòü êàñêàä êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñ çàêîíîì (5.14), òî ïîëå ñêîðîñòè íåïðåðûâíî ñîçäàåò è ïóëüñàöèè òåìïåðàòóðû, íî ïîñëåäíèå ðàññàñûâàþ òñÿ íà òåõ æå ìàñø òàáàõ, ÷òî è ñîçäàþ òñÿ, íå óñïåâàÿ âñòóïèòü â íåëèíåéíûé êàñêàäíûé ïðîöåññ. È ñòî÷íèêîì ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû ñëóæèò êðóïíîìàñø òàáíîå ïîëå dT0 , à îöåíêó äëÿ âåëè÷èíû ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû íà ìàñø òàáå l ïîëó÷àåì, ñðàâíèâàÿ âåëè÷èíó êîíâåêòèâíîãî è äèññèïàòèâíîãî ñëàãàåìûõ â óðàâíåíèè (5.32) dvl
dT0 dTl ~ 2 . L l
È ñïîëüçóÿ êîëìîãîðîâñêóþ îöåíêó äëÿ ïóëüñàöèé ñêîðîñòè, ïîëó÷àåì dTl ~ l 7 / 3 , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñïåêòðó ET (k ) ~ k - 17 / 3 .
(5.39)
È íòåðâàë ìàñø òàáîâ ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè íàçûâàþò èíåðöèîííîäèôôóçèîííûì èíòåðâàëîì.  äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ýíñòðîôèè ïðè ñïåêòðå ñêîðîñòè «-3» àíàëîãè÷íûå îöåíêè äàþ ò åù å áîëåå áûñòðîåñïàäàíèåñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè ïóëüñàöèé E T (k ) ~ k - 7 .
Äðóãîé ïðåäåëüíûé ñëó÷àé, ýòî áîëüø èå ÷èñëà Ï ðàíäòëÿ s >> 1 : âÿçêàÿ æèäêîñòü ñ ïëîõîé òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòüþ (òàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàþò ìíîãèå ìàñëà).  ýòîì ñëó÷àå êàñêàä ïóëüñàöèé ñêîðîñòè áûñòðî çàòóõàåò ïîä äåéñòâèåì âÿçêèõ ñèë, íî ïóëüñàöèè òåìïåðàòóðû óíîñÿòñÿ â çíà÷èòåëüíî áîëåå ìåëêèå ìàñø òàáû, ÷åì ìàñø òàá âÿçêîé äèññèïàöèè. Ñóù åñòâóåò òàê íàçûâàåìûé âÿçêî-êîíâåêòèâíûé èíòåðâàë. Åãî äèíàìèêà îïðåäåëÿÐèñ.5.22 åòñÿ êðóïíîìàñø òàáíûì ïîëåì ñêîðîñòè, òàê êàê íà ýòèõ ìàñø òàáàõ ïóëüñàöèè ñêîðîñòè ïîäàâëåíû âÿçêîñòüþ . Òîãäà
(5.40)
68
dT eT ~ l = const tL 2
è dTl ~ l 0 . Ï îëó÷àåì ñïåêòð, íà êîòîðûé âïåðâûå óêàçàë Áýò÷åëîð, ET (k ) ~ k - 1 .
(5.41)
Ñâîäíàÿ êàðòèíà âîçìîæíûõ ñïåêòðàëüíûõ çàêîíîâ äëÿ ïóëüñàöèé ïàññèâíîé ïðèìåñè ïðèâåäåíà íà ðèñ.5.22. Îáðàòèìñÿ òåïåðü ñîáñòâåííî ê êîíâåêòèâíîé òóðáóëåíòíîñòè, òî åñòü òóðáóëåíòíîñòè, â êîòîðîé îñíîâíîé äâèæóù åé ñèëîé ÿâëÿåòñÿ íåîäíîðîäíîñòü òåìïåðàòóðû. ×èñëî Ãðàññõîôà G >> 1 , à ÷èñëî Ï ðàíäòëÿ äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü ïîðÿäêà åäèíèöû. Ï óñòü äâèæåíèå âûçûâàåòñÿ íåîäíîðîäíûì íàãðåâîì íà ìàêñèìàëüíîì ìàñø òàáå L , è âîçíèêàþ ù åå äâèæåíèå ñòîëü èíòåíñèâíî, ÷òî äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ òóðáóëåíòíûì.  ýòîì ñëó÷àå âîçìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå äâà ñöåíàðèÿ ðàçâèòèÿ òóðáóëåíòíîñòè. Ï åðâûé (êîëìîãîðîâñêèé) ñîñòîèò â òîì, ÷òî òóðáóëåíòíîñòü ðàçâèâàåòñÿ ïî îáû÷íîìó èçîòåðìè÷åñêîìó ñöåíàðèþ è äèíàìèêà ìåíüø èõ ìàñø òàáîâ îïðåäåëÿåòñÿ ñïåêòðàëüíûì ïîòîêîì ýíåðãèè, êîòîðûé îêàçûâàåòñÿíà ýòèõ ìàñø òàáàõ ñóù åñòâåííåå, ÷åì ðàáîòà ñèë Àðõèìåäà. Í à âîçìîæíîñòü äðóãîãî ñöåíàðèÿ âïåðâûå óêàçàëè íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà À.Îáóõîâ è Ð.Áîëäæèàíî. Ýòîò ñöåíàðèé (áóäåì íàçûâàòü åãî îáóõîâñêèì) ïðåäïîëàãàåòñóù åñòâåííóþ ðîëü ñèë Àðõèìåäà â ø èðîêîì èíòåðâàëåìàñø òàáîâ. Òàê êàê ðåæèì äâèæåíèÿ çàâåäîìî íåëèíåéíûé, òî ýòî âîçìîæíî â ñëó÷àå, åñëè íà êàæäîì ìàñø òàáå èìååò ìåñòî áàëàíñ ìåæäó íåëèíåéíûì è àðõèìåäîâûì ñëàãàåìûìè â óðàâíåíèè (5.32). Ýòî óñëîâèå âûðàæàåòñÿ (â ðàçìåðíîì âèäå) ñîîòíîø åíèåì dvl ~ gbd Tl . l 2
(5.42)
Í àðÿäó ñ ýòèì óñëîâèåì îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì óñëîâèå (5.35), òðåáóþ ù åå ïîñòîÿíñòâà ïîòîêà ýíåðãèè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû ïî ñïåêòðó. Îíî äàåò âòîðîåñîîòíîø åíèå dTl dvl . l 2
eT ~
(5.43)
Ðåø àÿ ñèñòåìó (5.42)-(5.43), ïîëó÷àåì
( gb )2 / 5 l , 2/5 - 1/ 5 ~ eT ( gb ) l 1 / 5 .
dvl ~ eT
dTl
1/ 5
3/5
(5.44) (5.45)
69
Îöåíêè (5.44)-(5.45) ñîîòâåòñòâóþ òñïåêòðàëüíûì çàêîíàì Å(k ) ~ k - 11 / 5 , E T (k ) ~ k - 7 / 5 .
(5.46) (5.47)
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïîëó÷åííûå ñïåêòðàëüíûå çàêîíû íå çàâèñÿò îò ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà, òî åñòü îíè ìîãóò âîçíèêíóòü êàê â òðåõ-, òàê è â äâóìåðíîì òå÷åíèè. Ï îä äâóìåðíûì êîíâåêòèâíûì äâèæåíèåì ìû ïîäðàçóìåâàåì ïðè ýòîì òå÷åíèå â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè, òî åñòü ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæèò âåêòîð óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. Òàêèå äâóìåðíûå êîíâåêòèâíûå òå÷åíèÿ ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû â âåðòèêàëüíîé ù åëè ñ íåðàâíîìåðíûì íàãðåâîì. Êîíâåêòèâíûé (îáóõîâñêèé) èíòåðâàë âèäà (5.46)-(5.47) íå ìîæåò ðàñòè íåîãðàíè÷åííî äàæå â ïðåäåëå áåñêîíå÷íî áîëüø èõ çíà÷åíèé ÷èñëà Ãðàññãîôà. Äåëî â òîì, ÷òî ðàáîòà, ñîâåðø àåìàÿ ñèëàìè Àðõèìåäà çà åäèíèöó âðåìåíè íà åäèíèöó ìàññû 3/ 5 P A ~ ( gb )dvl dTl ~ eT ( gb ) 6 / 5 l 4 / 5 , (5.48) ïàäàåò ñ óìåíüø åíèåì ìàñø òàáà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äîëæåí ñóù åñòâîâàòü ìàñø òàá, íà êîòîðîì îáû÷íûé êîëìîãîðîâñêèé ìåõàíèçì ñòàíåò ýôôåêòèâíåé êîíâåêòèâíîãî è íà ñìåíó îáóõîâñêîìó ðåæèìó äîëæåí ïðèéòè êîëìîãîðîâñêèé. Ýòîò ìàñø òàá ïðèíÿòî íàçûâàòü ìàñø òàáîì Áîëäæèàíî è îí ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ïðèðàâíÿòü (5.48) ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè L B ~ ( gb )
- 3/ 2
e5 / 4eT
- 3/ 4
.
(5.49)
Îæèäàåìàÿ êàðòèíà ñïåêòðàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé ýíåðãèè äëÿ òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè ïîêàçàíà íà ðèñ.5.23.  äâóìåðíîì ñëó÷àå ñèòóàöèÿ íà ìàñø òàáàõ l > LB ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íà ñèòóàöèè â òðåõìåðíîì òå÷åíèè. Îòëè÷èÿ âîçíèêàþò íà ìàëûõ ìàñø òàáàõ, òàê êàê ïðÿìîé êàñêàä ýíåðãèè â äâóìåðíîì ïîòîêå íåâîçìîæåí.
Ðèñ.5.23
Ðèñ.5.24
70
Êîíâåêòèâíûé èíòåðâàë îáåñïå÷èâàåò ïðÿìîé ïîòîê ýíåðãèè ïî ñïåêòðó, à íà ìàñø òàáå Áîëäæèàíî êàñêàä áëîêèðóåòñÿ. Ñïðàâà îò ýòîãî ìàñø òàáà äîëæåí óñòàíîâèòüñÿ èíòåðâàë ïåðåíîñà ýíñòðîôèè, à ñëåâà íà÷íåòñÿ ôîðìèðîâàíèå èíòåðâàëà îáðàòíîãî êàñêàäà ýíåðãèè. Îáù àÿ êàðòèíà ñïåêòðîâ â äâóìåðíîé êîíâåêòèâíîé òóðáóëåíòíîñòè ïîêàçàíà íà ðèñ.5.24. Îòìåòèì åù å îäèí èíòåðâàë, êîòîðûé ìîæåò ïîÿâèòüñÿ ïðè òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè â æèäêîñòè ñ áîëüø èì ÷èñëîì Ï ðàíäòëÿ. Ñèëüíàÿ âÿçêîñòü ïîäàâëÿåò äâèæåíèå íà ìàñø òàáàõ, íà êîòîðûõ åù åñóù åñòâóþò ïóëüñàöèè òåìïåðàòóðû. Áåç ó÷åòà ñèë ïëàâó÷åñòè ýòî ïðèâîäèò ê ñïåêòðó Áýò÷åëîðà (5.41). Ï ðè áîëüø èõ ÷èñëàõ Ãðàññãîôà âîçìîæíà ñèòóàöèÿ, êîãäà íåëèíåéíûå ÷ëåíû â óðàâíåíèè äëÿ ñêîðîñòè ñòàíîâÿòñÿ ìàëû, à äèíàìèêà ïóëüñàöèé îïðåäåëÿåòñÿ áàëàíñîì ñèë Àðõèìåäà è ñèë âÿçêîñòè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî gbd Tl ~
dvl . l2
(5.50)
Ñ÷èòàÿ, ÷òî ïóëüñàöèè òåìïåðàòóðû ñëåäóþ ò çàêîíó Áýò÷åëîðà (5.41), ïîëó÷àåì èç(5.50) ñïåêòðàëüíûé çàêîí äëÿ ïóëüñàöèé ñêîðîñòè E (k ) ~ k - 5 .
(5.51)
 çàêëþ ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî âîïðîñ î ñïåêòðàëüíûõ çàêîíàõ â êîíâåêòèâíîé òóðáóëåíòíîñòè äàëåê îò ñâîåãî îêîí÷àòåëüíîãî ðåø åíèÿ. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èçìåðåíèÿ êàñàþ òñÿ, â îñíîâíîì, òîëüêî ïîëåé òåìïåðàòóðû è äàþ ò ðàçíîðå÷èâûå ðåçóëüòàòû. Í à ñåãîäíÿ íåò äàæå åäèíîãî ìíåíèÿ îòíîñèòåëüíî òîãî, ìîæåò ëè ðåàëèçîâàòüñÿ èíåðöèîííûé èíòåðâàë Îáóõîâà. Ê ýòîìó âîïðîñó ìû âåðíåìñÿ â ïîñëåäíåé ãëàâå êóðñà.
71
6. È ÅÐÀÐÕ È × ÅÑÊÈ Å Ì ÎÄÅËÈ ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÈ È ÂÅÉ ÂËÅÒÛ Â ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì ìîäåëè, îñíîâàííûå íà èäåå ïðèìåíåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî áàçèñà ñïåöèàëüíîãî òèïà, íàèáîëåå òî÷íî ñîîòâåòñòâóþ ù åãî ñòðóêòóðå òóðáóëåíòíûõ ïîëåé. È äåÿ òàêîãî áàçèñà âïåðâûå áûëà ïðåäëîæåíà Â.Çèìèíûì â êîíöå ñåìèäåñÿòûõ ãîäîâ è ñîñòîÿëà â èñïîëüçîâàíèè ñåìåéñòâà ñàìîïîäîáíûõ ôóíêöèé ïðîãðåññèâíî óáûâàþ ù åãî ìàñø òàáà10. Áàçèñ áûë íàçâàí èåðàðõè÷åñêèì è íà åãî îñíîâå áûëè ïîñòðîåíû è èññëåäîâàíû ìíîãî÷èñëåííûå ìîäåëè, òàêæå íàçâàííûå èåðàðõè÷åñêèìè (ñì. êíèãó Â.Çèìèíà è Ï .Ô ðèêà11).  êîíöå âîñüìèäåñÿòûõ ãîäîâ â íàó÷íîé ëèòåðàòóðå ïîÿâèëîñü ñëîâî «âåéâëåò», à ê íà÷àëó äåâÿíîñòûõ âåéâëåòàíàëèç ïðåâðàòèëñÿ â ñàìîñòîÿòåëüíóþ, õîðîø î ðàçâèòóþ îáëàñòü ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. È äåè, ëåæàù èå â îñíîâå òåîðèè âåéâëåòîâ, ñîâïàäàþ ò ñ èäåÿìè èåðàðõè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ òóðáóëåíòíûõ ïîëåé è â òåðìèíàõ ýòîé ìîëîäîé íàóêè èåðàðõè÷åñêèå ìîäåëè - ýòî ìîäåëè, ïîñòðîåííûå ñ ïîìîù üþ âåéâëåò-ïðåäñòàâëåíèÿ îïèñûâàåìûõ ïîëåé. Ï îñêîëüêó öåëü íàø åãî êóðñà ñîñòîèò â èçëîæåíèè ïîäõîäîâ ê ìîäåëèðîâàíèþ òóðáóëåíòíîñòè, òî ãëàâó ìû íà÷íåì ñ èäåé, ïðèâåäø èõ ê èåðàðõè÷åñêèì ìîäåëÿì.  òî æå âðåìÿ, íåëüçÿ íå îñòàíîâèòüñÿ è íà ôîðìóëèðîâêå îñíîâíûõ ïîëîæåíèé âåéâëåò-àíàëèçà, êîòîðûé îêàçûâàåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî ïîëåçíûì ïðè àíàëèçå âðåìåííîé è ïðîñòðàíñòâåííîé ñòðóêòóðû íåëèíåéíûõ ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Êðàòêîå èçëîæåíèå îñíîâíûõ èäåé íåïðåðûâíîãî è äèñêðåòíîãî âåéâëåò-àíàëèçà è íåêîòîðûå ïðèìåðû åãî èñïîëüçîâàíèÿ ñîñòàâÿò âòîðóþ ïîëîâèíó ýòîé ãëàâû.
6.1. È åðàðõè÷åñêèé áàçèñ äëÿ òóðáóëåíòíûõ ïîëåé Ðàññìàòðèâàÿ ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåø åíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ æèäêîñòè, ìû ãîâîðèëè î òîì, ÷òî ÷àù å âñåãî äëÿ ýòèõ öåëåé èñïîëüçóþòñÿ ëèáî ñåòî÷íûå, ëèáî ñïåêòðàëüíûåìåòîäû, ëèáî èõ êîìáèíàöèÿ. È òå, è äðóãèå ìîæíî îòíåñòè ê ïðîåêöèîííûì ìåòîäàì ðåø åíèÿ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, êîãäà äëÿ ðåø åíèÿ èñïîëüçóþò ïðîåêöèè âñåõ ïîëåé íà ôóíêöèîíàëüíûå áàçèñû.  ñåòî÷íûõ ìåòîäàõ ôóíêöèè ïðåäñòàâëåíû çíà÷åíèÿìè â òî÷êàõ, ïëîòíîñòü êîòîðûõ ñâÿçàíà ñî ñïåêòðàëüíûìè ñâîéñòâàìè ðàññìàòðèâàå10
Çèìèí Â.Ä. È åðàðõè÷åñêàÿ ìîäåëü òóðáóëåíòíîñòè // È çâåñòèÿ À Í ÑÑÑÐ: Ô èçèêà àòìîñôåðû è îêåàíà. Ò.17. N.12. Ñ.1265-1273. 11 Çèìèí Â.Ä., Ô ðèê Ï .Ã. Òóðáóëåíòíàÿ êîíâåêöèÿ. Ì .: Í àóêà, 1988. 178 ñ.
72
ìûõ ïîëåé (ìåëêîìàñø òàáíûå âèõðè íå äîëæíû ïðîâàëèâàòüñÿ ìåæäó òî÷êàìè ñåòêè). Áîëåå ñòðîãî ýòà ñâÿçü âûðàæàåòñÿ òåîðåìîé Êîòåëüíèêîâà, ñîãëàñíî êîòîðîé ôóíêöèÿ f (x) , ñïåêòð êîòîðîé îãðàíè÷åí ïðîñòðàíñòâåííîé ÷àñòîòîé 2p / h , ìîæåòáûòü ïðåäñòàâëåíà ñóììîé ôóíêöèé îòñ÷åòîâ (ñèíêóñîâ), öåíòðû êîòîðûõ ðàçìåù åíû íà ñåòêå ñ ø àãîì h . Î÷åâèäíî, ÷òî ñåòî÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ýôôåêòèâíî ïðè îïèñàíèè ëîêàëüíûõ ñòðóêòóð ìåëêîìàñø òàáíûé âèõðü îïèñûâàåòñÿ íåáîëüø èì ÷èñëîì òî÷åê, íàõîäÿù èõñÿ â ñîîòâåòñòâóþ ù åé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà.  òî æå âðåìÿ, äëÿ îïèñàíèÿ äàæå î÷åíü ïðîñòîãî ïî ñòðóêòóðå êðóïíîìàñø òàáíîãî âèõðÿ òðåáóåòñÿèñïîëüçîâàíèå âñåõ áàçèñíûõ ôóíêöèé. Ñïåêòðàëüíûåìåòîäû èñïîëüçóþ ò ðàçëîæåíèå ïî ôóðüå-ãàðìîíèêàì.  ýòîì ñëó÷àå êàæäàÿ áàçèñíàÿ ôóíêöèÿ îïèñûâàåò, ïî ñóòè, ñèñòåìó êîãåðåíòíûõ âèõðåé, çàíèìàþ ù óþ âñå ïðîñòðàíñòâî.  òàêîì ïðåäñòàâëåíèè î÷åíü ïðîñòî îïèñàòü âèõðü, çàíèìàþ ù èé âñþ îáëàñòü, èëè ïåðèîäè÷åñêóþ ñèñòåìó âèõðåé - è â òîì, è â äðóãîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî îäíîé áàçèñíîé ôóíêöèè. Îäíàêî, åñëè òðåáóåòñÿ îïèñàòü îòäåëüíûé âèõðü, çàíèìàþ ù èé ìàëóþ ÷àñòü ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè, òî ïîòðåáóåòñÿ âåñü ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä. Âûø å óæå îáñóæäàëèñü è ïðåèìóù åñòâà è íåäîñòàòêè îáîèõ ìåòîäîâ ñ òî÷êè çðåíèÿ ðåø åíèÿ óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè. Ñåòî÷íûå ìåòîäû ýôôåêòèâíû ïðè âû÷èñëåíèè íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ, òàê êàê ïîçâîëÿþò âûðàçèòü çíà÷åíèå â òî÷êå ÷åðåç íåáîëüø îå ÷èñëî ñîñåäíèõ òî÷åê, íî ïðèâîäÿò ê áîëüø èì çàòðàòàì ìàø èííîãî âðåìåíè ïðè ðåø åíèè óðàâíåíèÿ Ï óàññîíà, òðåáóþ ù åãî ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà, â êîòîðûé âîâëå÷åíû âñå òî÷êè îáëàñòè. Ñïåêòðàëüíûå ìåòîäû, íàîáîðîò, äåëàþò ðåø åíèå óðàâíåíèÿ Ï óàññîíà òðèâèàëüíûì, íî ïðèâîäÿò ê î÷åíü ñëîæíîé ñòðóêòóðå íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ. Ï ðîáëåìû äâóõ ôóíêöèîíàëüíûõ áàçèñîâ ñâÿçàíû ñ èõ ëîêàëèçîâàííîñòüþ â ôèçè÷åñêîì è â ôóðüå-ïðîñòðàíñòâàõ. Ñåòêè ñòðîãî ëîêàëèçîâàíû â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå, íî ñïåêòð òî÷êè (äåëüòà-ôóíêöèè) åñòü áåëûé ø óì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèè äåëîêàëèçîâàíû â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå. Îáðàòíàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò ïðè ðàçëîæåíèè Ô óðüå. Êàæäàÿ ãàðìîíèêà ïðåäñòàâëÿåò ñòðîãî îäíó ÷àñòîòó, íî ñîîòâåòñòâóþ ù àÿ åé ôóíêöèÿ çàíèìàåòâñåôèçè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.  òóðáóëåíòíîì ïîòîêå ñîñóù åñòâóþò âèõðè ñàìîãî ðàçëè÷íîãî ìàñø òàáà, íî íàèáîëåå ýôôåêòèâíûå âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîèñõîäÿò ìåæäó âèõðÿìè (ñòðóêòóðàìè), áëèçêèìè è â ôèçè÷åñêîì, è â ôóðüå-ïðîñòðàíñòâå. Ï åðâîå î÷åâèäíî - ÷òîáû âèõðè âçàèìîäåéñòâîâàëè, îíè äîëæíû ïåðåêðûâàòüñÿ â ïðîñòðàíñòâå. Âòîðîå óòâåðæäåíèå ñîñòàâëÿåò îñíîâó êîíöåïöèè êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ - âçàèìîäåéñòâóþò âèõðè ñðàâíèìûõ ðàçìåðîâ (åñëè ðàçìåðû íå ñîïîñòàâèìû, òî ìàëåíüêèå âèõðè ïðîñòî ïåðåíîñÿòñÿ áîëüø èìè áåçîáìåíà ýíåðãèåé). Ýòî çàñòàâëÿåò îáðàòèòüñÿ ê ïîèñêó ñïåöèàëüíûõ ôóíêöèé, áîëååòî÷íî ñîîòâåòñòâóþ ù èõ ñòðóêòóðå òóðáóëåíòíîãî ïîòîêà.
73
 òåîðèè òóðáóëåíòíîñòè âàæíóþ ðîëü èãðàåò èäåÿ ìàñø òàáíîãî ïîäîáèÿ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî èñêîìûé áàçèñ äîëæåí áûòü ñîñòàâëåí èç ïîäîáíûõ ôóíêöèé. Åù å îäèí íåäîñòàòîê èñïîëüçîâàíèÿ ðÿäîâ Ô óðüå ñîñòîèò â íèçêîé èíôîðìàòèâíîñòè âûñîêèõ ÷àñòîò. Õîðîø î ïîíÿòåí ñìûñë ðàññìîòðåíèÿ âèõðåé ñ õàðàêòåðíûì ðàçìåðîì L, L / 2, L / 3,... , íî îòäåëüíîå îïèñàíèå ìàñø òàáîâ L / 957, L / 958, L / 959,... è ò.ä. ìàëî îïðàâäàíî. Ýòî ñîîáðàæåíèå íàâîäèò íà ìûñëü î íåîáõîäèìîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ôóíêöèé, ìàñø òàá êîòîðûõ èçìåíÿåòñÿ ïðîãðåññèâíî - òàêîå ñîîòíîø åíèå ïîëó÷àåòñÿ ïðè ðàâíîìåðíîì ðàçáèåíèè ïðîñòðàíñòâà ìàñø òàáîâ â ëîãàðèôìè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè. Ñóììèðóÿ ñêàçàííîå, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òðåáîâàíèÿ, êîòîðûì äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü ôóíêöèîíàëüíûé áàçèñ, ïðåäíàçíà÷åííûé äëÿ îïèñàíèÿ òóðáóëåíòíûõ ïîòîêîâ: 1) ôóíêöèè áàçèñà äîëæíû áûòü ëîêàëèçîâàíû è â ôèçè÷åñêîì, è â ôóðüå-ïðîñòðàíñòâàõ; 2) ôóíêöèè äîëæíû áûòü ïîäîáíû è îïèñûâàòü èåðàðõèþ âèõðåé ïðîãðåññèâíî óáûâàþ ù èõ ìàñø òàáîâ; 3) ìåëêîìàñø òàáíûå âèõðè äîëæíû ïåðåíîñèòüñÿ â ïîëå âèõðåé áîëüø åãî ìàñø òàáà; 4) ïðè ïîäñòàíîâêå â óðàâíåíèÿ Í àâüå - Ñòîêñà ôóíêöèîíàëüíûé áàçèñ äîëæåí ïðèâîäèòü ê ñëàáîñâÿçàííîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå.
Ðèñ.6.1 Ï îïðîáóåì ïîñòðîèòü áàçèñ, óäîâëåòâîðÿþ ù èé ýòèì òðåáîâàíèÿì. Ï îñòðîåíèÿ áóäåì ïðîâîäèòü äëÿ äâóìåðíîãî ñëó÷àÿ, òàê êàê ýòî óïðîù àåò èëëþ ñòðàöèþ ðåçóëüòàòîâ è çàïèñü ôóíêöèé. r È òàê, èìååì äâóìåðíîå ïðîñòðàíñòâî r = ( x, y ) è ñîîòâåòñòâóþ ù åå åìó r ïðîñòðàíñòâî âîëíîâûõ âåêòîðîâ k = (k x , k y ) . Ô óðüå-ïëîñêîñòü ðàçîáüåì íà êîëüöåâûåçîíû (ðèñ.6.1) òàêèì îáðàçîì, ÷òî äëÿ çîíû ñ íîìåðîì N
74
r k N <| k |< k N + 1 ,
kN = p2N ,
N = 0,±1,±2,... .
(6.1)
Êàæäàÿ êîëüöåâàÿ çîíà âêëþ ÷àåò, òàêèì îáðàçîì, îäíó îêòàâó âîëíîâûõ ÷èñåë (íàïîìíèì, ÷òî îêòàâîé íàçûâàåòñÿ èíòåðâàë, â ïðåäåëàõ êîòîðîãî ÷àñòîòà èçìåíÿåòñÿ â äâà ðàçà). Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ïîëå çàâèõðåííîñòè w (t , x, y ) è ïðåäñòàâèì åãî â âèäå w (t , x, y ) = å w N (t , x, y ) , (6.2) N
ãäå êàæäàÿ ôóíêöèÿ w N åñòü ðåçóëüòàò ôèëüòðàöèè â ôóðüå-ïëîñêîñòè ïî ñîîòâåòñòâóþ ù åìó êîëüöó (6 .1): w N (t , x, y ) = òòw (t , x ¢, y ¢) g N ( x - x ¢, y - y ¢)dx ¢dy ¢.
(6.3) r
r
Çäåñü g N (r ) åñòü ôóíêöèÿ, ôóðüå-îáðàç êîòîðîé g?N (k ) ëîêàëèçîâàí â êîëüöå ) r ì1 g( k ) = í î0
â êîëüöåN , âíåêîëüöà N .
(6.4)
 ñèëó îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèè ôèëüòðàöèè (6.3)-(6.4)
òw
N
r w M dr ~ dNM
è, ñëåäîâàòåëüíî, ýíñòðîôèÿ ðàñïàäàåòñÿ íà ñóììó W=
r 1 w 2 dr = å W N , ò 2 N
WN =
1 2 r w N dr . ò 2
(6.5)
Òàêóþ æå îïåðàöèþ ôèëüòðàöèè ìîæíî ïðèìåíèòü è ê ïîëþ ñêîðîñòè, ðàçáèâ òåì ñàìûì è ýíåðãèþ íà ñóììó ýíåðãèé, ïðèíàäëåæàù èõ ðàçëè÷íûì îêòàâàì âîëíîâûõ ÷èñåë E = å EN = å N
N
1 r 2 r vN dr . 2ò
(6.6)
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðîâåëè ïåðâóþ ÷àñòü ïîñòðîåíèÿ - ðàçáèëè èñõîäíîå ïîëå ïî ìàñø òàáàì. Í à âòîðîì ýòàïå íóæíî ïðîâåñòè ðàçáèåíèå ïîëó÷åííûõ ïîëåé w N íà ñóììó ôóíêöèé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ õàðàêòåðèçóåò ïîëå çàâèõðåííîñòè äàííîãî ìàñø òàáà òîëüêî â îïðåäåëåííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà
75
r r w N = å w Nn (t ) f N (r - rNn ) ,
(6.7)
n
r
r
ãäå f N (r ) åñòü áàçèñíûå ôóíêöèè ìàñø òàáà N , rNn - ðàäèóñ-âåêòîð öåír òðà âèõðÿ (ôóíêöèè). Ô óíêöèè f N (r ) äîëæíû áûòü ïîäîáíû è îáåñïå÷èâàòü ðàçðÿæåííóþ ìàòðèöó íåëèíåéíûõ âçàèìîäåéñòâèé XNnMmLl â óðàâíåíèè d t w Nn = å X NnMmLl w Mmw Ll + ... ,
(6.8)
ïîëó÷àþ ù åìñÿ ïðè ïðîåêòèðîâàíèè óðàâíåíèé Í àâüå - Ñòîêñà íà ôóíêöèîíàëüíûé áàçèñ. Ï ðè ýòîì õîòåëîñü áû èìåòü ïîëíûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ôóíêöèé. Óâû, óäîâëåòâîðèòü âñåì ïðèâåäåííûì òðåáîâàíèÿì íå óäàåòñÿ. Çàäà÷à èìååò ðåø åíèå â òàêîé ïîñòàíîâêå òîëüêî â îäíîìåðíîì ñëó÷àå. Îäíîìåðíûé áàçèñ, êîíå÷íî, íå èìååò èíòåðåñà ñ òî÷êè çðåíèÿ îïèñàíèÿ òóðáóëåíòíîñòè, íî åãî ïîñòðîåíèå ïðåäñòàâëÿåò ìåòîäè÷åñêèé èíòåðåñ è ìû åãî ïðîâåäåì. 6.1.1. Îäíîìåðíûé èåðàðõè÷åñêèé áàçèñ Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) , äëÿ êîòîðîé ñóù åñòâóåò ïðåîáðàçîâàíèå Ô óðüå, ) f ( g) =
¥
òf ( x )e
dx .
- 2pig x
(6.9)
-¥
Îñü âîëíîâûõ ÷èñåë g (íàïîìíèì, ÷òî k = 2pg) ðàçáèâàåì íà îêòàâû gN = 2 (ðèñ.6.2) è ââîäèì ôóíêöèè N
) ) ì f ( g) f N ( g) = í î0
gN <| g|< gN + 1 âíåçîíû
(6.10)
Ðèñ.6.2
) ) Î÷åâèäíî, ÷òî f ( g) = å f N ( g) . Ï îëó÷åííûå ôóíêöèè f?N îáëàäàþò çà-
ìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì - îíè äîïóñêàþò ïåðèîäè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå íà âñþ îñü gñ ïåðèîäîì 2gN (ðèñ.6.3)
76
) ì ) ï f N ( g- 2(m + 1)gN ) FN ( g) = í ) ï î f N ( g- 2(m - 1)gN )
åñëè
2gN m < g< (2m + 1)gN (2m - 1)gN < g< 2mgN
Ðèñ.6.3 )
Ýòî ïîçâîëÿåòðàçëîæèòü ôóíêöèè FN ( g) â ðÿä Ô óðüå ) FN ( g) = h N
åA
Nn
e - 2pihN ng ,
(6.11)
n
ãäå hN = 1 /(2gN ) . Ô óíêöèè hN e - 2pinh g îáðàçóþò ïîëíûé áàçèñ â êëàññå ôóíêöèé F?N , à òå æå ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå âíóòðè çîíû (6.10), - ïîëíûé áàçèñ â êëàññå ôóíêöèé f?N . ×òîáû ïîëó÷èòü âèä áàçèñíîé ôóíêöèè â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå, íóæíî âçÿòü îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ô óðüå. Ï îëó÷àåòñÿôóíêöèÿ âèäà N
f Nn ( x) =
ép ù sin ê ( x - hN n )ú 1 ë2h N û cos é 3p ( x - h n )ù . N ê ú p hN ë2hN û ( x - hN n ) 2
(6.12)
Âèä ôóíêöèè (6.12) äëÿ n = 0 ïîêàçàí íà ðèñ.6.4. Ýòè ôóíêöèè èçâåñòíû â ìàòåìàòèêå êàê ôóíêöèè Ëèòëâóäà - Ï åëëè. Ô óíêöèè ìåäëåííî óáûâàþ ò â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ( f Nn ( x) ~ x - 1 ), ÷òî ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì îáðûâà ôóíêöèé â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå. Âñå áàçèñíûå ôóíêöèè âçàèìíî îðòîãîíàëüíû, òî åñòü Ðèñ.6.4
77
òf
Nn
( x) f Mm ( x)dx = dNM dnm ,
÷òî ñëåäóåò èç îðòîãîíàëüíîñòè ôóíêöèé â ôóðüå-ïðîñòðàíñòâå è èíâàðèàíòíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ô óðüå. Êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè (6.11) îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé ANn = òf ( x) f Nn ( x)dx .
(6.13)
Áàçèñíûå ôóíêöèè èìåþ ò äâîéíóþ èíäåêñàöèþ . Áîëüø îé èíäåêñ îòâå÷àåò çà ìàñø òàá, ìàëûé - çà ïîëîæåíèå ôóíêöèè â ïðîñòðàíñòâå. Óâåëè÷åíèå èíäåêñà N íà åäèíèöó ñæèìàåò ôóíêöèþ âäâîå, óâåëè÷åíèå èíäåêñà n íà åäèíèöó ñäâèãàåò ôóíêöèþ âäîëü îñè x íà âåëè÷èíó hN . 6.1.2. Äâóìåðíûé áàçèñ Ï ðîñòåéø èé ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ äâóìåðíîãî áàçèñà ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè äâóìåðíîé ôóíêöèè êàê ïðîèçâåäåíèÿ îäíîìåðíûõ f NnMm ( x, y ) = f Nn ( x) f Mm ( y ) ,
îäíàêî, òàêèå ôóíêöèè íå ÿâëÿþ òñÿ èçîòðîïíûìè è íå óäîâëåòâîðÿþ ò òðåáîâàíèþ ïîäîáèÿ. Ï îñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî íå îñòàâëÿåò íàäåæä íà ïîëó÷åíèå ïðîñòîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ. È ñõîäÿ èç ëîêàëüíîé èçîòðîïèè ìåëêîìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè è ñòðåìëåíèÿ ïîëó÷èòü áàçèñ, îáðàçîâàííûé ðàçíîìàñø òàáíûìè, íî îäíîòèïíûìè ôóíêöèÿìè, ïîñòðîèì îòíîñèòåëüíî ïðîñòîé, íî «íå ñîâñåì îðòîãîíàëüíûé» áàçèñ. È òàê, ðàñêëàäûâàåì ïîëåçàâèõðåííîñòè â ðÿä r r w (t , x, y ) = å ANn (t )w Nn (r - rNn ) ,
(6.14)
Nn
ãäå ANn - çàâèñÿù àÿ îò âðåìåíè àìïëèòóäà, w Nn - îñåñèììåòðè÷íàÿ áàçèñíàÿ ôóíêöèÿ, ó êîòîðîé áîëüø îé èíäåêñ îòâå÷àåò çà ìàñø òàá, à ìàëûé r çàïîëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå, è rNn - ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà ôóíêöèè. È ñïîëüçóåì ââåäåííîå âûøå ðàçáèåíèå ñïåêòðàëüíîé ïëîñêîñòè íà ðàñø èðÿþ ù èåñÿ êîëüöåâûå çîíû (6.1) è îïðåäåëèì áàçèñíóþ ôóíêöèþ òàêèì îáðàçîì, ÷òî åå ôóðüå-îáðàç ðàâåí êîíñòàíòå â ïðåäåëàõ ñîîòâåòñòâóþ ù åãî êîëüöà:
78 rr
- 2pig rNn ) r ìae w Nn ( g) = í î0
gN <| g|< gN + 1
(6.15)
âíåçîíû
Ýêñïîíåíöèàëüíûé ìíîæèòåëü çàäàåò ñäâèã öåíòðà âèõðÿ â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (ñì. òåîðåìó î ñäâèãå è äðóãèå ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ô óðüå â ïàðàãðàôå 2.4.2 ÷àñòè 1). Êîýôôèöèåíò a ìîæåò áûòü âûáðàí èç r ) óñëîâèÿ íîðìèðîâêè òw Nn 2 dg= 1 , êîòîðîå äàåò a=
2 3p
2- N .
(6.16)
Í àðÿäó ñ áàçèñíûìè ôóíêöèÿìè äëÿ çàâèõðåííîñòè ìîæíî çàïèñàòü è ôóíêöèè äëÿ ôóíêöèè òîêà è ñêîðîñòè. Â ôóðüå ïðîñòðàíñòâå âñå òðè ôóíêöèè ñâÿçàíû ïðîñòûìè ñîîòíîø åíèÿìè: r -1 ) r y Nn ( g) = w? Nn ( g) , 2 2 4p g ) r r r r r v Nn ( g) = 2pi( e ´ g)y? Nn ( g) ,
r
ãäå e åñòü åäèíè÷íûé âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ðàññìàòðèâàåìîé ïëîñêîñòè. ×òîáû ïîëó÷èòü âèä ôóíêöèè â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå, íóæíî âçÿòü îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ô óðüå îò (6.15). Ñîîòâåòñòâóþ ù èå âû÷èñëåíèÿ äàþ ò r r 2- N y Nn (r - rNn ) = 3p 3
2s
J 0 ( z) dz , z
ò s
(6.17)
r r r r r 2 - N ( s ´ e ) æ J 0 (2s) - J 0 ( s) ö v Nn (r - rNn ) = ç ÷, s 3p è ø
(6.18)
r r p - N æ 2 J 1 (2s ) - J 1 ( s) ö w Nn (r - rNn ) = 2 ç ÷, s 3 è ø
(6.19)
r r
ãäå s = p 2 N | r - rNn | , à J 0 (s) , J 1 (s ) åñòü ôóíêöèÿ Áåññåëÿ. Áàçèñíûå ôóíêöèè äëÿ ñêîðîñòè è çàâèõðåííîñòè ïîêàçàíû íà ðèñ.6.5. Ì û îñòàâèëè áåç âíèìàíèÿ âîïðîñ î êîëè÷åñòâå áàçèñíûõ ôóíêöèé è îá èõ ðàñïðåäåëåíèè â ïðîñòðàíñòâå. Ï ëîòíîñòü ôóíêöèé â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî îöåíèòü èñõîäÿ èç ïðèíöèïà íåîïðåäå-
Ðèñ.6.5
79
r
r
ëåííîñòè. Åñëè îáëàñòè ëîêàëèçàöèè â r è k ïðîñòðàíñòâàõ èìåþò, ñîîòâåòñòâåííî, ðàçìåðû Dr è Dk , òî, òðåáóÿ DrDk = 2p ,
(6.20)
ïîëó÷àåì, ÷òî ïëîòíîñòü ôóíêöèé çàäàííîãî ìàñø òàáà r N ñâÿçàíà ñ ïëîù àäüþ îáëàñòè ëîêàëèçàöèè ôóíêöèè â ïðîñòðàíñòâå ôóðüå DS k êàê rN =
DS k 3p 2 N = 2 . 4 4p 2
(6.21)
Ï ðè âû÷èñëåíèè (6.21) ó÷ëè, ÷òî DS k åñòü ïëîù àäü êîëüöåâîé îáëàñòè (6.1). Ô îðìóëà (6.21) îòðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî ÷èñëî âèõðåé ïðè ïåðåõîäå îò ìàñø òàáà ê ìàñø òàáó ðàñòåò â ÷åòûðå ðàçà (åñòåñòâåííî, ÷òî â òðåõìåðíîì ñëó÷àåýòî îòíîø åíèå áóäåò ðàâíî âîñüìè). Âîïðîñ î ðàñïðåäåëåíèè ôóíêöèé â ïðîñòðàíñòâå áîëåå ñëîæåí. Ô îðìóëèðóÿ òðåáîâàíèÿ ê áàçèñó, ìû õîòåëè âîñïðîèçâåñòè ñòðóêòóðó òóðáóëåíòíîãî ïîòîêà, â êîòîðîì ìåëêèå âèõðè ïåðåíîñÿòñÿ êðóïíûìè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà ôóíêöèè äîëæåí ïîä÷èíÿòüñÿ óðàâíåíèþ r d t rNn =
r
å åv
M
Mm
r r (rNn - rMm ) .
(6.22)
Ï îä÷åðêíåì, ÷òî ñóììèðîâàíèå â (6.22) âåäåòñÿ ïî âñåì ìàñø òàáàì, áîëüø èì äàííîãî. Ââåäåííûé òàêèì îáðàçîì áàçèñ îðòîãîíàëåí ïî èíäåêñó N , òàê êàê â ôóðüå-ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèè ðàçëè÷íîãî ìàñø òàáà çàíèìàþò íåïåðåêðûâàþ ù èåñÿ îáëàñòè. Í åîðòîãîíàëüíîñòü ôóíêöèé ïî ìàëîìó èíäåêñó, îòâå÷àþ ù åìó çà ïîëîæåíèå âèõðåé â ïðîñòðàíñòâå, ìîæíî îöåíèòü ïóòåì r âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà òw Nnw Mm dr äëÿ äâóõ âèõðåé îäíîãî ìàñø òàáà, ðàñïîëîæåííûõ äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèè r N - 1 / 2 , ðàâíîì ñðåäíåìó ðàññòîÿíèþ ìåæäó âèõðÿìè äàííîãî ìàñø òàáà. Òàêàÿ îöåíêà äàåò äëÿ ôóíêöèé (6.19) çíà÷åíèå ïîðÿäêà 0,1.
6.1.3. Òðåõìåðíûé áàçèñ Ï îñòðîåíèå èåðàðõè÷åñêîãî áàçèñà äëÿ òðåõìåðíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ïðèíöèïèàëüíî íå îòëè÷àåòñÿ îò äâóìåðíîãî ñëó÷àÿ.  ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå ôóíêöèè ëîêàëèçóþòñÿ â ñôåðè÷åñêèõ ñëîÿõ è, ïîñëå ïåðåõîäà â ôèçè÷åñêîå
80
ïðîñòðàíñòâî, ïîëó÷àþ òñÿ ôóíêöèè ñî ñôåðè÷åñêîé ñèììåòðèåé, èìåþ ù èå âèä f Nn ( s) = a 2 3 N / 2
sin 2s - 2 s cos 2 s - sin s + s cos s , s3
(6.23)
ãäå a - íîðìèðîâî÷íûé êîýôôèöèåíò, à s èìååò òîò æåñìûñë, ÷òî è â äâóìåðíûõ ôóíêöèÿõ. Äëÿ âåêòîðíûõ ïîëåé ñèòóàöèÿ îòëè÷àåòñÿ, òàê êàê ïîÿâëÿåòñÿ òðåòèé èíäåêñ, ñâÿçàííûé ñ îðèåíòàöèåé âèõðÿ â ïðîñòðàíñòâå. Òàê, íàïðèìåð, ôóíêöèþ äëÿ ïîëÿ ñêîðîñòè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå r r r v Nnn = a (en ´ s )f Nn (s) .
(6.24)
r
Çäåñü en - åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé âäîëü îäíîé èç îñåé êîîðäèíàò, à f Nn (s) - ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿñø àðîâîé ñèììåòðèåé.
6.2. È åðàðõè÷åñêàÿ ìîäåëü äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè È ñïîëüçóåì ôóíêöèîíàëüíûé áàçèñ, ââåäåííûé â ï.6.1.2 äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè. Ðå÷ü èäåò èìåííî î ìîäåëè, à íå î ïðÿìîì ÷èñëåííîì ðàñ÷åòåñïîìîù üþ ýòîãî ôóíêöèîíàëüíîãî áàçèñà, òàê êàê áàçèñ íå ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî îðòîãîíàëüíûì è íå ðåø àåò ïðîáëåìû ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå äëÿ çàâèõðåííîñòè rr ¶t w + (v Ñ )w = nDw
(6.25)
è ñïðîåêòèðóåì åãî íà áàçèñ (6.14)-(6.19). Ï îëó÷àåì óðàâíåíèå âèäà
ådA t
Mm
ãäå
Mm
PNnMm = å
åR
Mm Ll
NnMmLl
AMm ALl + n å AMm K NnMm ,
(6.26)
Mm
r PNnMm = òw Nnw Mm dr ,
(6.27)
r K NnMm = òw Nn Dw Mm dr ,
(6.28)
r r r R NnMmLl = òw Nn (v Mm Ñ )w Ll dr .
(6.29)
81
Ýëåìåíòû ìàòðèö PNnMm , K NnMm è R NnMmLl çàâèñÿò îò âðåìåíè, òàê îíè çàâèñÿò îò âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ âçàèìîäåéñòâóþ ù èõ âèõðåé, à ïîëîæåíèÿ âèõðåé ìåíÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì (6.22). Ýíñòðîôèÿ è ýíåðãèÿ ñèñòåìû îïðåäåëÿþ òñÿ âûðàæåíèÿìè W =å
åP E = å å P¢
NnMm
ANn AMm ,
(6.30)
NnMm
ANn AMm ,
(6.31)
Nn Mm
Nn Mm
ãäå
r r r ¢ = òv Nn v Mm dr . PNnMm
(6.32)
Í à ýòîì ýòàïå äåëàåòñÿ ïåðâîå ñèëüíîå ïðåäïîëîæåíèå, ñîñòîÿù åå â òîì, ÷òî ìû ïðåíåáðåãàåì íåäèàãîíàëüíîñòüþ ìàòðèö P , P ¢ è K ïî ìàëîìó èíäåêñó (ïî áîëüø îìó èíäåêñó ìàòðèöû äèàãîíàëüíû â ñèëó ñïîñîáà ðàçáèåíèÿ ïðîñòðàíñòâà âîëíîâûõ âåêòîðîâ). Òîãäà W = å ANn ,
E = E 0 å 2 - 2 N ANn ,
(6.33)
AMm ALl - nK 0 2 2 N ANn .
(6.34)
2
2
Nn
Nn
à óðàâíåíèå (6.26) ïðèíèìàåò âèä d t ANn = å
åR
NnMmLl
Mm Ll
Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî äèàãîíàëüíîñòü ìàòðèöû P íå âëå÷åò çà ñîáîé äèàãîíàëüíîñòè ìàòðèöû K (ýòèì çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì îáëàäàåò ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèé â ðÿä Ô óðüå) è ïîñëåäíåå ÿâëÿåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíûì ïðåäïîëîæåíèåì. ßñíî, ÷òî ñòåïåíü ïðîñòîòû (èëè ñëîæíîñòè) ïîëó÷àåìîé ìîäåëè çàâèñèò îò ñòðóêòóðû ìàòðèöû íåëèíåéíûõ âçàèìîäåéñòâèé R NnMmLl . Ï åðåä òåì, êàê ïðèñòóïèòü ê ñëåäóþ ù èì êîíêðåòíûì ø àãàì ïî óïðîù åíèþ ìîäåëüíûõ óðàâíåíèé, ïðîàíàëèçèðóåì îáù óþ Ðèñ.6.6 ñòðóêòóðó ýòîé ìàòðèöû. Äëÿ ýòîãî çàïèø åì âèä ååýëåìåíòîâ â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå
82
[
]
r r r r r ) r r r ) r r r) R NnMmLl = òw Nn ( v Mm Ñ )w Ll dr = 2pi òòw Nn ( g) g¢ v Mm ( g- g¢) w Ll ( g¢)dg dg¢.
(6.35)
È íòåãðèðîâàíèå â (6.35) âåäåòñÿ ïî ïåðåñå÷åíèþ îáëàñòåé r 2 N <| g|< 2 N + 1 ,
r r 2 M <| g- g¢|< 2 M + 1 ,
r 2 L <| g¢|< 2 L + 1 ,
(6.36)
÷òî è îïðåäåëÿåò õàðàêòåð çàïîëíåíèÿ ìàòðèöû. Âñå òðè óñëîâèÿ (6.36) âûïîëíÿþ òñÿ òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè äâà èçòðåõ èíäåêñîâ N , M è L îòëè÷àþ òñÿ íå áîëüø å, ÷åì íà åäèíèöó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå íåíóëåâûå ýëåìåíòû ìàòðèöû ñîñðåäîòî÷åíû âáëèçè äèàãîíàëåé N = M , N = L è L = M , ïðè÷åì òðåòèé èíäåêñ ìîæåò ñèëüíî îòëè÷àòüñÿ îò äâóõ, áëèçêèõ ïî çíà÷åíèþ , íî áûòü ìåíüø å ïîñëåäíèõ (ìîæíî ïîñòðîèòü òðåóãîëüíèê èç äâóõ äëèííûõ îòðåçêîâ è îäíîãî êîðîòêîãî, íî íåëüçÿ ïîñòðîèòü èç îäíîãî äëèííîãî è äâóõ êîðîòêèõ). Ñòðóêòóðó ìàòðèöû èëëþ ñòðèðóåò ðèñ.6.6, íà êîòîðîì ïîìå÷åíû âñå íåíóëåâûåýëåìåíòû ìàòðèöû. ×åðíûì öâåòîì âûäåëåí ýëåìåíò TNNN , à êðåñòèêàìè - äèàãîíàëü TNMN . Äàëüíåéø åå ïîñòðîåíèå ìîäåëè òðåáóåò íîâûõ ïðåäïîëîæåíèé è ãèïîòåç, êîòîðûåìîãóò áûòü ñäåëàíû ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Í å îñòàíàâëèâàÿñü íà àëüòåðíàòèâíûõ ñïîñîáàõ, ìû êðàòêî îïèø åì ìîäåëü, ðàññìîòðåííóþ â ðàáîòå12, è ïðèâåäåì íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû. Ì îäåëü íàçûâàåòñÿ èåðàðõè÷åñêîé ïîòîìó, ÷òî áàçèñíûå ôóíêöèè îáðàçóþ ò èåðàðõè÷åñêóþ ñòðóêòóðó, óñëîâíî èçîáðàæåííóþ íà ðèñ.6.7. Ñîâîêóïíîñòü âèõðåé îäíîãî ìàñø òàáà áóäåì íàçûâàòü ÿðóñîì. Êàæäûé âèõðü äàííîãî ÿðóñà íåñåò íà ñåáå ÷åòûðå âèõðÿ ñëåäóþ ù åãî è òàê äàëåå. Ï ðè ýòîì Ðèñ.6.7 ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìåíüø èé âèõðü ïåðåíîñèòñÿ áîëüø èì áåç äåôîðìàöèè, òî åñòü ìåíüø èé ñîâåðø àåò ñòðîãî îñåñèììåòðè÷íîå îòíîñèòåëüíî áîëüø åãî äâèæåíèå, êîòîðîå îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè äëÿ öåíòðà âèõðÿ (6.22). Ýòî ïðåäïîëîæåíèå îçíà÷àåò, ÷òî ðàññòîÿíèåìåæäó öåíòðàìè ïàðû âèõðåé, ñâÿçàííûõ âåðòèêàëüíîé ñâÿçüþ íà ñõåìå ðèñ.6.7, îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì. Ñëåäóþ ù èé ø àã êàñàåòñÿ âèäà ìàòðèöû íåëèíåéíûõ âçàèìîäåéñòâèé (6.29). Îáÿçàòåëüíûì óñëîâèåì ÿâëÿåòñÿ ñîáëþ äåíèå çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ 12
Aurell E., Frick P., Shaidurov V. Hierarshical tree-model of two-dimensional turbulence // Physica D, 1994. Vol.72. P.95-109.
83
óðàâíåíèÿ ïðè îòñóòñòâèè äèññèïàòèâíîãî ÷ëåíà äîëæíû ñîõðàíÿòü ýíåðãèþ è ýíñòðîôèþ, îïðåäåëåííûå âûðàæåíèÿìè (6.33). Äëÿ òîãî, ÷òîáû îáåñïå÷èòü ñîõðàíåíèå êâàäðàòè÷íûõ âåëè÷èí, íóæíî ÷òîáû îíè ñîõðàíÿëèñü â åäèíè÷íîì âçàèìîäåéñòâèè òðåõ âèõðåé. Ï åðåïèø åì óðàâíåíèå (6.34) â âèäå d t ANn =
ååT
L > M ml
NnMmLl
AMm ALl - nK 0 2 2 N ANn ,
(6.37)
ãäå ìàòðèöà T âêëþ ÷àåò âñå âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó äàííîé òðîéêîé âèõðåé (ìàòðèöó R ñëîæèëè âäîëü äèàãîíàëè L = M ) TNnMmLl = R NnMmL + R NnLlMm è çàìåòèì, ÷òî ýëåìåíòû ìàòðèöû T çàâèñÿò òîëüêî îò îòíîñèòåëüíîãî ïîëîæåíèÿ òðåõ âèõðåé è îòíîø åíèÿ èõ ìàñø òàáîâ (íîìåðîâ ÿðóñîâ) r r r r r r r TNnMmLl (rNn , rMm , rLl ) = T NML (rmn , rln ) = 2 N T0, M - N , L - N (2 N rmn ,2 N rln ) , r
r
r
r
r
(6.38)
r
ãäå rmn = rMm - rNn è rln = rLl - rNn . Ñ ó÷åòîì (6.38) çàïèø åì óñëîâèÿ ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è ýíñòðîôèè, èñïîëüçóÿ òîëüêî áîëüø èå èíäåêñû ìàòðèöû: TN , N -
j,N + 1
+ 2 j TN , N +
TN , N -
j,N + 1
+ 2 - j TN , N +
j ,N + j + 1
+ 2 - 1 TN , N -
j,N + j+ 1
+ 2TN , N -
j - 1, N - 1
j - 1, N - 1
= 0,
(6.39) (6.40)
= 0.
Îòìåòèì, ÷òî íàëè÷èå äâóõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ èñêëþ ÷àåò íàëè÷èå íåíóëåâûõ äèàãîíàëüíûõ ÷ëåíîâ è îñòàâëÿåò â ìàòðèöå òîëüêî ýëåìåíòû òðåõ òèïîâ, âîø åäø èå â ñîîòíîø åíèÿ (6.39)-(6.40). Ðåø àÿ ñèñòåìó (6.39)-(6.40), âûðàæàåì âñå ýëåìåíòû ÷åðåç îäèí, êîòîðûé äëÿ óïðîù åíèÿ îáîçíà÷åíèé ïåðåîáîçíà÷èì êàê Tj (èíäåêñ j õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü óäàëåííîñòè âçàèìîäåéñòâóþ ù èõ âèõðåé: j = 1 îçíà÷àåò, ÷òî âçàèìîäåéñòâóþ ò âèõðè èç òðåõ ïîñëåäóþ ù èõ ÿðóñîâ; j = 2 ñîîòâåòñòÐèñ.6.8 âóåò âçàèìîäåéñòâèþ äâóõ âèõðåé èç ñîñåäíèõ ÿðóñîâ ñ òðåòüèì, êîòîðûé îòñòîèò îò íèõ ÷åðåç îäèí ÿðóñ, è ò.ä.), TN , N -
TN , N -
j ,N + 1
= 2 N T0, -
j - 1, N - 1
j ,1
= 2 N T¢ j =
= 2 N Tj ,
(
) )
2 N 1 - 2- 2 j Tj , 2- 2 j- 1 - 2
(
84
TN , N +
j ,N + j + 1
¢ = 2 N T¢ j =
3 ×2 N 2 - j - 2 2+
(
j
)T . j
(6.41)
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþ áîé òðîéêè âçàèìîäåéñòâóþ ù èõ âèõðåé îñòàëàñü îäíà âåëè÷èíà Tj , òðåáóþ ù àÿ âû÷èñëåíèÿ ïðè èõ çàäàííîì âçàèìíîì ïîëîæåíèè. Çàìåòèì, ÷òî ïîëîæåíèå âèõðåé ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì óãëîâ b ìåæäó âåêòîðàìè, ñîåäèíÿþ ù èìè öåíòðû áîëüø åãî âèõðÿ ñ ìåíüø èì è ò.ä. (ðèñ.6.8). Âåëè÷èíà Tj âû÷èñëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ïî ôîðìóëå (6.35) ñ ó÷åòîì âèäà ôóíêöèé (6.18)-(6.19) è òàáóëèðóåòñÿ äëÿ âñåâîçìîæíûõ çíà÷åíèé óãëîâ. Ñóììèðóÿ ñêàçàííîå, çàïèø åì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ äâóõ ïåðåìåííûõ, õàðàêòåðèçóþ ù èõ êàæäûé âèõðü n ÿðóñà (ìàñø òàáà) N : àìïëèòóäû ANn è óãëà b Nn J ì d t ANn = 2 N å í AN- j =1 î
+
2
J
2
¢ j - 1 AN - 1Tj ( b N - 1 , b N - 2 ,..) + AN -
J+1
åå
i =1 k =1
d t b Nn = ANn .
A
+ N + j ,i
A
+ N + j + 1, k
4
j
å
i =1
AN+ + 1,i Tj ( b N , b N - 1 ,..) +
ü 2N ¢ T¢ ANn + f Nn j ( b N + 1 , b N + 2 ,..) ý - nK 0 2 þ
(6.42) (6.43)
Ðèñ.6.9 Ðèñ.6.10  óðàâíåíèè (6.42) èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ AN- - k äëÿ èíäèêàöèè âèõðÿ, íàõîäÿù åãîñÿ â èåðàðõè÷åñêîì äåðåâå íà k ÿðóñîâ âûøå äàííîãî, è AN+ + k ,i äëÿ i -ãî âèõðÿ, íàõîäÿù åãîñÿ â äåðåâå íà k ÿðóñîâ íèæå äàííîãî (òàêèõ âèõðåé âñåãî 2 2k ø òóê). Ñèñòåìà (6.42)-(6.43) õîðîø à òåì, ÷òî â íåé êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ (êàæäûé âèõðü) ñâÿçàíà ëèø ü ñ íåáîëüø èì ÷èñëîì ñîñåäåé ïî èåðàðõè÷åñêîìó äåðåâó, èçîáðàæåííîìó íà ðèñ. 6.7. Òàêîãî òèïà ñèñòåìû óäîáíû äëÿ ïðèìåíåíèÿ ñèñòåì ìàññèðîâàííîãî ïàðàëëåëüíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.  öèòèðóåìîé ðàáîòå ýòà ñèñòåìà ðåø àëàñü íà ïàðàëëåëüíîì êîìïüþòåðå òèïà
85
ÑÌ -200 ôèðìû Thinking Machines Corporation, èìåþ ù åì 8192 ïðîöåññîðà. Êîìïüþ òåð îòíîñèòñÿ ê ïàðàëëåëüíûì ñèñòåìàì òèïà SIMD (Single Instruction Multi Data), äîïóñêàþ ù èì îäíîâðåìåííîå âûïîëíåíèå âñåìè ïðîöåññîðàìè òîëüêî îäíîé è òîé æå îïåðàöèè. Òàêèå âû÷èñëèòåëüíûå ñèñòåìû ýôôåêòèâíû òîëüêî ïðè ðåø åíèè çàäà÷, â êîòîðûõ òðåáóåòñÿ îäíîâðåìåííîå âûïîëíåíèå áîëüø îãî ÷èñëà îäèíàêîâûõ äåéñòâèé ñ ðàçëè÷íûìè äàííûìè. Ðàññìàòðèâàåìàÿ èåðàðõè÷åñêàÿ ìîäåëü êàê ðàçè îòíîñèòñÿ ê òàêèì çàäà÷àì.
Ðèñ.6.11 Ðåø àëàñü ñèñòåìà äëÿ 12 ÿðóñîâ ( N îò 0 äî 11), âêëþ ÷àþ ù àÿ âñåãî 5592405 âèõðåé. Ì îäåëèðîâàëñÿ èíåðöèîííûé èíòåðâàë ïåðåíîñà ýíñòðîôèè - ïîäêà÷êà îñóù åñòâëÿëàñü â ïåðâîì è âòîðîì ÿðóñå, à îòâîä ýíåðãèè â íóëåâîì.  ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå èçìåðÿëèñü èíòåãðàëüíûå è ëîêàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè ïîëåé çàâèõðåííîñòè è ñêîðîñòè. Í à ðèñ.6.9 ïîêàçàíû îñðåäíåííûå ïî âðåìåíè ðàñïðåäåëåíèÿ ýíåðãèè è ýíñòðîôèè ïî ÿðóñàì. Í àêëîí ãðàôèêà ýíåðãèè â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ñîîòâåòñòâóåò ñïåêòðàëüíîìó çàêîíó E (k ) ~ k - 3.3±0.05 . Ï ðåèìóù åñòâî èåðàðõè÷åñêîé ìîäåëè ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíà ïîçâîëÿåò íåïîñðåäñòâåííî ïðîíàáëþ äàòü ëîêàëüíûå âàðèàöèè íàêëîíà ñïåêòðàëüíîãî çàêîíà äëÿ ïëîòíîñòè ýíåðãèè. Äåéñòâèòåëüíî, ëîêàëüíûé íàêëîí ñïåêòðà ìîæåò áûòü îïðåäåëåí ïî îòíîø åíèþ ýíåðãèè ïàðû âåðòèêàëüíûõ ñîñåäåé â èåðàðõè÷åñêîì äåðåâå. Ðèñ.6.10 ïîêàçûâàåò ãèñòîãðàììó òàêèõ ëîêàëüíûõ íàêëîíîâ (òî÷íåå, íà ãðàôèêå ïîêàçàí ëîãàðèôì îòíîø åíèÿ ýíåðãèé ïîñëåäîâàòåëüíîé ïàðû âèõðåé â äåðåâå). Ðàçíûìè çíà÷êàìè îáîçíà÷åíû äàííûå, îòíîñÿù èåñÿ ê ðàçëè÷íûì ÿðóñàì. Ëîêàëüíûå çíà÷åíèÿ íàêëîíà ñïåêòðà ëåæàò â ø èðîêîì èíòåðâàëå çíà÷åíèé, íåïîñðåäñòâåííî ïîäòâåðæäàÿ êîíöåïöèþ ìóëüòèôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû òóðáóëåíòíîãî ïîòîêà.  ïðåäåëàõ èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà òî÷êè, îòíîñÿù èåñÿ ê ðàçëè÷íûì ÿðóñàì, ëîæàòñÿ íà ãèñòîãðàììàõ íà îäíó êðèâóþ ëèíèþ, îäíàêî, áî-
86
ëåå òù àòåëüíîå èññëåäîâàíèå ñâîéñòâ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïîêàçûâàåò ñèñòåìàòè÷åñêîå èçìåíåíèå åå ñòðóêòóðû ïî ìåðå óìåíüø åíèÿ ìàñø òàáîâ.  êà÷åñòâå ìåðû îòëè÷èÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè îò íîðìàëüíîãî ÷àñòî èñïîëüçóþ ò êîýôôèöèåíò ýêñöåññà, îïðåäåëÿåìûé â íàø åì ñëó÷àå äëÿ êàæäîãî ÿðóñà, êàê < ( ANn ) 4 > 2
gN =
(< ( ANn ) 2 > 2 ) 2
- 3.
(6.44)
Í à ðèñ.6.11 ïîêàçàíî èçìåíåíèå âî âðåìåíè êîýôôèöèåíòîâ ýêñöåññà, âû÷èñëÿåìûõ äëÿ ø åñòîãî è âîñüìîãî ÿðóñîâ (îáà âíóòðè èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà). Ãëÿäÿ íà ðèñóíîê, ìîæíî ñäåëàòü äâà âàæíûõ âûâîäà. Âîïåðâûõ, ãðàôèêè ñâèäåòåëüñòâóþ ò î ñèëüíîé âðåìåííîé ïåðåìåæàåìîñòè â îòäåëüíûå ìîìåíòû âðåìåíè ýêñöåññ ðàñòåò äî çíà÷åíèé, ðàâíûõ íåñêîëüêèì ñîòíÿì. Âî-âòîðûõ, ìîæíî âèäåòü, ÷òî êîýôôèöèåíò ýêñöåññà âîñüìîãî ÿðóñà ñèñòåìàòè÷åñêè ïðåâûøàåò êîýôôèöèåíò ø åñòîãî ÿðóñà. Ýòîò ôàêò ïîäòâåðæäàåò è ðèñ.6.12, íà êîòîðîì ïîêàçàíû ñðåäíèå ïî âðåìåíè çíà÷åíèÿ ëîãàðèôìà êîýôôèöèåíòîâ (6.44) äëÿ âñåõ ÿðóñîâ (òî÷êè 1). Âèäåí ìîíîòîííûé ðîñò ýêñöåññà ñ ðîñòîì íîìåðà ÿðóñà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷åì ìåíüø å ìàñø òàá, òåì áîëüø èå âûáðîñû âîçíèêàþò â ôóíêöèÿõ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè (íà ãèñòîãðàììàõ ýòè âûáðîñû ïðàêòè÷åñêè íå
Ðèñ.6.12 Ðèñ.6.13 âèäíû, òàê êàê ñëèâàþ òñÿ ñ îñüþ àáñöèññ). Í à ýòîì æå ðèñóíêå äëÿ ñðàâíåíèÿ ïðèâåäåíû êîýôôèöèåíòû ýêñöåññà, ïîëó÷åííûå â êàñêàäíîé ìîäåëè äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè. Îá ýòèõ ìîäåëÿõ ðå÷ü ïîéäåò â ïîñëåäíåé ãëàâå è òàì ìû âåðíåìñÿê îáñóæäåíèþ ýòîãî ãðàôèêà. Ï îñëåäíèé ðèñ.6.13 ïîêàçûâàåò ðåçóëüòàòû íåïîñðåäñòâåííîãî âû÷èñëåíèÿ ôðàêòàëüíîãî ñïåêòðà f (a ) ïî àëãîðèòìó, îïèñàííîìó â ïàðàãðàôå 4.5.3. Ãðàôèê ïîäòâåðæäàåò âûâîäû, ñôîðìóëèðîâàííûå ïðè îáñóæäåíèè ìóëüòèôðàêòàëüíûõ ìîäåëåé, à èìåííî òîò ôàêò, ÷òî, ÿâëÿÿñü ïî ñóòè ìîäåëüþ ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ïàðàìåòðîâ, òàêàÿ ìîäåëü îïèñûâàåò ëþ áîé ñïåêòð. Âèä ôóíêöèè f (a ) âñåãäà îäèíàêîâ. È íòåðåñ â íåé ïðåäñòàâëÿþ ò ëèø ü íåñêîëüêî òî÷åê, íàïðèìåð âåðø èíà, àáñöèññà êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåòñðåäíåìó íàêëîíó ñïåêòðà.
87
Ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷àåìûõ ïðè ðåø åíèè èåðàðõè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ñ ðåçóëüòàòàìè ïðÿìîãî ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ïîêàçûâàåò, ÷òî ìîäåëü íå âîñïðîèçâîäèò õàðàêòåðíûõ äëÿ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè êîãåðåíòíûõ âèõðåé è ñâÿçàííîãî ñ íèìè êðóòîãî ó÷àñòêà ñïåêòðà. Ï ðè÷èíîé òîìó ñëóæèò îòñóòñòâèå â ìîäåëè âçàèìîäåéñòâèé ìåæäó âèõðÿìè-ñîñåäÿìè (íåò ãîðèçîíòàëüíûõ ñâÿçåé â èåðàðõè÷åñêîì äåðåâå ðèñ.6.7.). Ì îäåëü òåðÿåò, òàêèì îáðàçîì, ÷åðòû òóðáóëåíòíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ïðîöåññàìè ñàìîîðãàíèçàöèè â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå.  òî æå âðåìÿ îíà íàãëÿäíî èëëþ ñòðèðóåò òîò ôàêò, ÷òî íåîäíîðîäíîñòü êàñêàäíîãî ïðîöåññà (ïåðåìåæàåìîñòü) âîçíèêàåò è áëàãîäàðÿ ñàìèì íåëèíåéíûì âçàèìîäåéñòâèÿì îáìåíà ýíåðãèè â èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðå.
6.3. Âåéâëåòû  ñàìûõ ðàçíûõ îáëàñòÿõ íàóêè âîçíèêàþ ò çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ àíàëèçîì ïðîñòðàíñòâåííûõ ïîëåé ñî ñëîæíîé, ìíîãîìàñø òàáíîé ñòðóêòóðîé ëèáî âðåìåííûõ ñèãíàëîâ ñ ìåíÿþ ù èìñÿ ñî âðåìåíåì ñïåêòðàëüíûì ñîñòàâîì. Ýòè çàäà÷è çàñòàâëÿëè èññëåäîâàòåëåé äåëàòü ïîïûòêè ïîñòðîåíèÿ ñïåöèàëüíûõ ôóíêöèîíàëüíûõ ðàçëîæåíèé, áëèçêèõ ïî ñâîåé èäåîëîãèè îïèñàííîìó âûøå èåðàðõè÷åñêîìó áàçèñó. Ö åíòðàëüíîé èäååé âñåõ ýòèõ ïîäõîäîâ áûëî èñïîëüçîâàíèå áàçèñà, êàæäàÿ ôóíêöèÿ êîòîðîãî õàðàêòåðèçóåò êàê îïðåäåëåííóþ ïðîñòðàíñòâåííóþ (âðåìåííóþ ) ÷àñòîòó, òàê è ìåñòî ååëîêàëèçàöèè â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (âî âðåìåíè). Ñëîâî «âåéâëåò» (àíãëèéñêîå ñëîâî «wavelet» îçíà÷àåò ìàëåíüêóþ âîëíó èëè ðÿáü) áûëî ââåäåíî À.Ãðîññìàííîì è Æ .Ì îðëå â 1984 ãîäó â ðàáîòå13, âûïîëíåííîé â ñâÿçè ñ ïðîáëåìîé àíàëèçà ñåéñìè÷åñêèõ ñèãíàëîâ, â êîòîðûõ òðåáóåòñÿ âûäåëèòü è âðåìÿ (ïîëîæåíèå) âñïëåñêà â ñèãíàëå è åãî ñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ (ìàñø òàá).  ýòîé ñòàòüå áûëè ñôîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è äîêàçàíû îñíîâîïîëàãàþ ù èå òåîðåìû. Ðàáîòà âûçâàëà îãðîìíûé èíòåðåñ è óæå ê íà÷àëó 90-õ ãîäîâ âåéâëåò-àíàëèç ïðåâðàòèëñÿ â ðàçâèòóþ îáëàñòü ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, íàø åäø åé ø èðîêîå ïðèìåíåíèå â çàäà÷àõ àíàëèçà âðåìåííûõ ñèãíàëîâ, ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ è ñèíòåçà èçîáðàæåíèé, ø èôðîâêè è äåø èôðîâêè èíôîðìàöèè è ìíîãèõ äðóãèõ. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, âåéâëåòû èñïîëüçóþ òñÿ êàê ïðè àíàëèçå âðåìåííûõ ñèãíàëîâ, òàê è ïðè èñÐèñ.6.14 13
Grossmann A., Morlet J. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape // SIAM J.Math.Analysis, 1984. Vol.15. N.4. P.723-736.
88
ñëåäîâàíèè ñòðóêòóðû ïðîñòðàíñòâåííûõ ïîëåé. Âðåìåííûå ðÿäû ïðåäñòàâëÿþ ò ñîáîé îäíîìåðíûé ñèãíàë è âñå îñíîâíûå èäåè ïðîù å ïðîäåìîíñòðèðîâàòü íà çàäà÷àõ àíàëèçà âðåìåííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Ï î ýòîé ïðè÷èíåìû çàáóäåì íà íåêîòîðîå âðåìÿ î ïðîñòðàíñòâåííûõ ïîëÿõ è ïåðåêëþ ÷èìñÿíà ñèãíàëû âèäà f (t ) . Ï åðâàÿ ïîïûòêà ïîñòðîèòü ôóíêöèîíàëüíûé áàçèñ, ñîñòîÿù èé èç ôóíêöèé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ õàðàêòåðèçóåò ïóëüñàöèè îïðåäåëåííîé ïðîäîëæèòåëüíîñòè â îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìåíè, ïðèíàäëåæèò À.Õààðó (1909ã.). Ï åðâûå ñåìü ôóíêöèé Õààðà, ïîñòðîåííûå íà åäèíè÷íîì îòðåçêå, ïîêàçàíû íà ðèñ.6.14. Êàæäàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðó ñëåäóþ ù èõ äðóã çà äðóãîì ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ ñ ðàçíûìè çíàêàìè è îäèíàêîâîé äëèòåëüíîñòüþ . Ñðåäíåå çíà÷åíèå ëþáîé ôóíêöèè ðàâíî íóëþ , à ñîâîêóïíîñòü ôóíêöèé îáðàçóåò ïîëíûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ. Êàæäàÿ ôóíêöèÿ ñòðîãî ëîêàëèçîâàíà â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (âî âðåìåíè), íî õàðàêòåðèçóåòñÿìåäëåííî ñïàäàþ ù èì ñïåêòðîì ÷àñòîò (êàê 1 / n ). Ñëåäóþ ù èì ø àãîì ñòàëè ôóíêöèè Ëèòëâóäà - Ï åëëè (1937ã.). È ìåííî ýòî ñåìåéñòâî ôóíêöèé ïîëó÷àåòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè îäíîìåðíîãî èåðàðõè÷åñêîãî áàçèñà. Ô óíêöèè ñòðîÿòñÿ ïóòåì âûðåçàíèÿ ïîëîñû ÷àñòîò â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå. Ýòî äàåò ñòðîãóþ ëîêàëèçàöèþ â ïðîñòðàíñòâå ÷àñòîò, íî ìåäëåííîå çàòóõàíèå ôóíêöèè â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (âî âðåìåíè): ôóíêöèè îïèñûâàþ ò îñöèëëÿöèè, àìïëèòóäà Ðèñ..6.15 êîòîðûõ ïàäàåòêàê 1 / t . Âàæíûì ýòàïîì â ðàçâèòèè èäåè ëîêàëüíîãî àíàëèçà ñïåêòðàëüíûõ (÷àñòîòíûõ) ñâîéñòâ ñòàëî ïðåîáðàçîâàíèå Ãàáîðà (1946ã.), íàçûâàåìîå òàêæå ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèåì â îêíàõ. Ô óíêöèè Ãàáîðà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ãàðìîíè÷åñêèé ñèãíàë, ìîäóëèðîâàííûé ôóíêöèåé Ãàóññà. Îíè õîðîø î ëîêàëèçîâàíû è âî âðåìåíè è â ÷àñòîòàõ, íî êàæäàÿ ôóíêöèÿ Ãàáîðà õàðàêòåðèçóåòñÿ òðåìÿ ïàðàìåòðàìè: ïîëîæåíèåì öåíòðà îêíà t 0 , ø èðèíîé îêíà t è ÷àñòîòîé îñöèëëÿöèé n (ðèñ.6.15). Ï ðè ýòîì ôóíêöèè ðàçëè÷íîãî ìàñø òàáà íå ÿâëÿþ òñÿ ïîäîáíûìè (èìåþ ò ðàçëè÷íîå ÷èñëî îñöèëëÿöèé). Âåéâëåòû îáúåäèíèëè â ñåáå äâà âàæíûõ ñâîéñòâà - ïîäîáèå è âûðàæåííóþ ëîêàëèçîâàííîñòü â ôèçè÷åñêîì è ôóðüå-ïðîñòðàíñòâàõ. Ñôîðìóëèðóåì òðåáîâàíèÿ, êîòîðûì äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ñåìåéñòâî ôóíêöèé, ÷òîáû áûòü âåéâëåòàìè. 1) Äîïóñòèìîñòü. Ô óíêöèÿ y (t ) , êîòîðóþ áóäåì íàçûâàòü àíàëèçèðóþ ù èì âåéâëåòîì (óïîòðåáëÿþ ò òàêæå òåðìèí ìàòåðèíñêèé âåéâëåò), äîëæíà èìåòü íóëåâîå ñðåäíåå çíà÷åíèå:
89
¥
òy (t )dt = 0 .
(6.45)
-¥
Ýòî óñëîâèå ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíî è áîëåå ñòðîãî. Ãîâîðÿò, ÷òî y (t ) åñòü âåéâëåò ïîðÿäêà M , åñëè äëÿ âñåõ m £ M âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ¥
òt
y (t )dt = 0 ,
m
(6.46)
-¥
òðåáóþ ù ååðàâåíñòâà íóëþ M ïåðâûõ ìîìåíòîâ âåéâëåòà. 2) Ï îäîáèå. Âñå ôóíêöèè ñåìåéñòâà ïîëó÷àþòñÿ èç àíàëèçèðóþ ù åãî âåéâëåòà ïóòåì ìàñø òàáíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ è ñäâèãà, y
a ,b
æt - b ö (t ) = y ç ÷. è a ø
(6.47)
Òàêèì îáðàçîì, âåéâëåòû îáðàçóþò äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ôóíêöèé, â êîòîðîì ïàðàìåòð a îòâå÷àåò çà ìàñø òàá (ðàñòÿæåíèå) ôóíêöèè, à ïàðàìåòð b - çàååïîëîæåíèå (ñäâèã). 3) Îáðàòèìîñòü. Âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå äîëæíî áûòü îáðàòèìî, òî åñòü äîëæíî ñóù åñòâîâàòü îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå, îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàþ ù ååèñõîäíóþ ôóíêöèþ ïî ååâåéâëåò-ïðåäñòàâëåíèþ . 4) Ðåãóëÿðíîñòü. Ô óíêöèÿ y (t ) äîëæíà áûòü õîðîø î ëîêàëèçîâàíà è â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå è â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå. Ñîãëàñíî ïîñëåäíåìó òðåáîâàíèþ è ôóíêöèè Õààðà è ôóíêöèè Ëèòëâóäà - Ï åëëè íå ïîïàäàþò ïîä îïðåäåëåíèå âåéâëåòîâ. Ï î ñóòè, îíè ÿâëÿþ ò ñîáîé äâà ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿ (â îäíîì ñëó÷àå ðåçêèå ãðàíèöû â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ïðèâîäÿò ê áåñêîíå÷íûì â ïðèíöèïå õâîñòàì â ïðîñòðàíñòâå ÷àñòîò è, íàîáîðîò, îáðûâ â ïðîñòðàíñòâå ÷àñòîò äàåò äëèííûå õâîñòû â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå â äðóãîì).  îòëè÷èå îò ïðåîáðàçîâàíèÿ Ô óðüå, âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå äîïóñêàåò ø èðîêèé âûáîð àíàëèçèðóþ ù åé ôóíêöèè. Ñîãëàñíî ïåðâîìó òðåáîâàíèþ , âåéâëåò âñåãäà ÿâëÿåòñÿ çíàêîïåðåìåííîé ôóíêöèåé, âêëþ ÷àþ ù åé îáû÷íî íåáîëüø îå êîëè÷åñòâî îñöèëëÿöèé. Âûáîð êîíêðåòíîãî âèäà âåéâ-
Ðèñ.6.16
90
ëåòà çàâèñèò îò öåëåé ïðîâîäèìîãî àíàëèçà. Ï ðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ø èðîêî èñïîëüçóåìûõ âåéâëåòîâ. Ï ðîñòûì âåù åñòâåííûì âåéâëåòîì, ø èðîêî èñïîëüçóåìûì â çàäà÷àõ, òðåáóþ ù èõ õîðîø åãî ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåø åíèÿ è íå òðåáîâàòåëüíûõ ê ñïåêòðàëüíîìó ðàçðåø åíèþ , ÿâëÿåòñÿ âåéâëåò, ïîëó÷èâø èé íàçâàíèå «ìåêñèêàíñêàÿ ø ëÿïà»(ðèñ.6.16,à), y (t ) = (1 - t 2 )e - t / 2 . (6.48) 2
 çàäà÷àõ, òðåáóþ ù èõ ëó÷ø åãî ñïåêòðàëüíîãî ðàçðåø åíèÿ, ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ âåéâëåòÌ îðëå - êîìïëåêñíàÿ ôóíêöèÿ âèäà y (t ) = e - t
2
/ 2 iw 0 t
e
.
(6.49)
Í à ðèñ.6.16,á ñïëîø íîé ëèíèåé ïîêàçàíà åãî âåù åñòâåííàÿ ÷àñòü, à ïóíêòðèíîé - ìíèìàÿ. Ñàìà ôóíêöèÿ (6.49) ñîâïàäàåò ñ âèäîì ôóíêöèé, èñïîëüçóåìûõ â ïðåîáðàçîâàíèè Ãàáîðà, íî ñåìåéñòâî âåéâëåòîâ îòëè÷àåòñÿ îò ôóíêöèé Ãàáîðà òåì, ÷òî îäèí ðàç âûáðàâ ÷àñòîòó w 0 äëÿ àíàëèçèðóþ ù åãî âåéâëåòà è çàäàâ òåì ñàìûì ÷èñëî îñöèëëÿöèé, ìû â äàëüíåéø åì ñæèìàåì èëè ðàñòÿãèâàåì ôóíêöèþ êàê öåëîå, íå íàðóø àÿ ïîäîáèÿ îòäåëüíûõ ôóíêöèé ñåìåéñòâà.
6.4. Í åïðåðûâíîåâåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå Í åïðåðûâíîåâåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå îäíîìåðíîé ôóíêöèè f (t ) åñòü ¥
æt - b ö w( a ,b ) = a k òf ( t )y * ç ÷dt , a è ø -¥
(6.50)
ãäå y (t ) - âåù åñòâåííàÿ èëè êîìïëåêñíàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþ ù àÿ òðå) áîâàíèÿì 1-4 ðàçäåëà 6.4. Åñëè y ( w ) = òy ( t )e - iw t dt åñòü ôóðüå-îáðàç àíàëèçèðóþ ù åãî âåéâëåòà è âûïîëíåíî óñëîâèå ) |y ( w ) |2 Cy = ò dw < ¥ , |w | -¥ ¥
(6.51)
òî äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ (6.50) ñóù åñòâóåòôîðìóëà îáðàù åíèÿ f(t)=
1 Cy
¥ ¥
dadb æt - b ö ÷w (a ,b ) 3+ k . a ø a
òòy çè 0 -¥
(6.52)
91
Óñëîâèå (6.51) ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ (6.45), òàê êàê èíòåãðàë (6.51) ðàñõîäèòñÿ ïðè íàëè÷èè â ñïåêòðå âåéâëåòà íóëåâûõ ÷àñòîò, ÷òî ðàâíîñèëüíî îòëè÷íîìó îò íóëÿ ñðåäíåìó çíà÷åíèþ .  îïðåäåëåíèè (6.50) ïðèñóòñòâóåò ïàðàìåòð k - ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ìàñø òàáíîãî ìíîæèòåëÿ. Êîíêðåòíûé âûáîð ýòîãî ïàðàìåòðà çàâèñèò îò öåëåé àíàëèçà. Ø èðîêî èñïîëüçóåòñÿ íîðìèðîâêà k = - 1 , ïðè êîòîðîé ðàâíûå çíà÷åíèÿ âåéâëåò-êîýôôèöèåíòîâ w(a, b) ñîîòâåòñòâóþ ò ðàâíûì àìïëèòóäàì ïóëüñàöèé ñèãíàëà, íåçàâèñèìî îò ìàñø òàáà ïóëüñàöèé. Âåéâëåò-îáðàç w(a, b) ôóíêöèè f (t ) ìîæíî âûðàçèòü è ÷åðåç åå ôóðüåîáðàç f?(w ) . Äåéñòâèòåëüíî, ) 1 f (w ) = Cy
¥ ¥
) òòy (aw )w(a ,b)e
- iw b
0 -¥
dadb , a 2+ k
(6.53)
à w( a ,b ) =
¥ ) a k+ 1 )* y (aw )f ( w )e ibw dw . 2 ò 4p - ¥
(6.54)
Ï îëüçóÿñü ñîîòíîø åíèÿìè (6.53)-(6.54) è òåîðåìîé Ï àðñåâàëÿ (2.26) íåñëîæíî ïîëó÷èòü àíàëîãýòîé òåîðåìû äëÿ âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèÿ ¥
òf1( t ) f 2 ( t )dt = *
-¥
1 2 Cy
¥ ¥
òòw ( a ,b )w 1
* 2
( a ,b )
0 -¥
dadb , a 3+ 2k
(6.55)
èç êîòîðîãî, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò ¥
1 | f ( t ) | dt = ò 4p 2 -¥ 2
¥
1 | ?f ( w ) |2 dw = 2 ò Cy -¥
¥ ¥
òò| w ( a , b ) |
2
0 -¥
dadb . a 3+ 2k
(6.56)
Í àïîìíèì, ÷òî â ôóðüå-àíàëèçå ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíà E (w ) =| f?(w ) | 2 (íàçûâàåìàÿ òàêæå ñïåêòðîì ýíåðãèè) è ââåäåì âåëè÷èíó ¥
M (a ) = ò| w(a, b) | 2 db ,
(6.57)
-¥
êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåò èíòåíñèâíîñòü âñåõ ïóëüñàöèé çàäàííîãî ìàñø òàáà. Åñëè â îïðåäåëåíèè âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëîæèòü k = - 1 / 2 , òî ôîðìóëó (6.56) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
92
¥
¥
0
0
E = òE (w )dw = òM (a )
da . a2
(6.58)
 ýòîì ñëó÷àå M (a ) îïèñûâàåò ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè ïóëüñàöèé ïî ìàñ-
Ðèñ.6.17 Ðèñ.6.18 ø òàáàì è íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíûì âåéâëåò-ñïåêòðîì. È ç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî íîðìèðîâêà k = - 1 / 2 äîëæíà èñïîëüçîâàòüñÿ, åñëè ðåçóëüòàòû âåéâëåò-àíàëèçà ïðåäïîëàãàåòñÿ ñîïîñòàâëÿòü ñ ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèåì ñèãíàëà. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ôóðüå-ñïåêòð ñëåäóåò ñòåïåííîìó çàêîíó E (w ) ~ w a , òî ïðè ýòîé íîðìèðîâêå èíòåãðàëüíûé âåéâëåò-ñïåêòð áóäåò èìåòü òîò æå ñòåïåííîé çàêîí M (a) ~ a - a ~ w a (ýòî ñëåäóåò èç ôîðìóëû (6.58) ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî w ~ 1 / a , à dw ~ - da / a 2 ). Âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå îòîáðàæàåò ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé (âðåìÿ) â ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ (âðåìÿ è ÷àñòîòà, èëè âðåìÿ è ìàñø òàá) è ÿâëÿåòñÿ èçáûòî÷íûì. È çáûòî÷íîñòü íåïðåðûâíîãî âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæàåòñÿ â êîððåëèðîâàííîñòè âåéâëåò-êîýôôèöèåíòîâ, êîòîðàÿ òåì áîëüø å, ÷åì áîëüø å ðàññìàòðèâàåìûé ìàñø òàá a . È íà÷å ãîâîðÿ, ÷åì áîëüø å ìàñø òàá, òåì ìåíüø å íåçàâèñèìûõ òî÷åê â âåéâëåò-ðàçëîæåíèè. Ýòîò íåäîñòàòîê óñòðàíÿåòñÿ â äèñêðåòíîì âåéâëåò-ïðåäñòàâëåíèè (ïðèìåð òîìó - ðàññìîòðåííûé âûøå èå-
93
Ðèñ.6.19 ðàðõè÷åñêèé áàçèñ, â êîòîðîì ÷èñëî ôóíêöèé ãåîìåòðè÷åñêè óìåíüø àåòñÿ ñ ðîñòîì ïðîñòðàíñòâåííîãî ìàñø òàáà). Ï ðåèìóù åñòâî âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåä ïðåîáðàçîâàíèåì Ô óðüå ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíî ïîçâîëÿåò ïðîñëåäèòü çà èçìåíåíèåì ñïåêòðàëüíûõ ñâîéñòâ ñèãíàëà ñî âðåìåíåì, óêàçàòü, êàêèå ÷àñòîòû (ìàñø òàáû) äîìèíèðóþò â ñèãíàëå â êàæäûé êîíêðåòíûé ìîìåíò âðåìåíè. Í à ðèñ.6.17 è 6.18 ïîêàçàíû äâà ïðèìåðà âåéâëåò-ðàçëîæåíèÿ ïðîñòûõ âðåìåííûõ ñèãíàëîâ ñ ïîìîù üþ âåéâëåòà Ì îðëå (6.49).  âåðõíåé ÷àñòè êàæäîãî ðèñóíêà ïîêàçàí ìîäóëü âåéâëåò-ðàçëîæåíèÿ íà ïëîñêîñòè (a, b) , à â íèæíåé - ôàçà. Í à ðèñ.6.17 ñèãíàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ äâóõ ãàðìîíèê, à â ñèãíàëå íà ðèñ.6.18 ýòè æå äâå ÷àñòîòû ïîÿâëÿþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî äðóã çà äðóãîì. Ô óðüå-ïðåîáðàçîâàíèÿ ýòèõ äâóõ ñèãíàëîâ ïðàêòè÷åñêè íå îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà, òàê êàê ñïåêòð Ô óðüå òåðÿåò âñÿêóþ èíôîðìàöèþ î òîì, êîãäà êàêàÿ ãàðìîíèêà ïðèñóòñòâîâàëà â ñèãíàëå. Âåéâëåò-àíàëèç ïîçâîëÿåò âîññòàíîâèòü ïîëíóþ ýâîëþ öèþ ñïåêòðàëüíîãî ñîñòàâà ñèãíàëà âî âðåìåíè. Îáù ååïðåäñòàâëåíèå î ñïåêòðàëüíî-âðåìåííîé ñòðóêòóðå ñèãíàëà ìîæíî ïîëó÷èòü ïî ðàñïðåäåëåíèþ ìîäóëÿ âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ø èðèíà ïîëîñû, ïîëó÷àåìîé ïðè ðàçëîæåíèè ãàðìîíè÷åñêîãî ñèãíàëà, õàðàêòåðèçóåò ñïåêòðàëüíîå ðàçðåø åíèå èñïîëüçóåìîãî àíàëèçèðóþ ù åãî âåéâëåòà. Ðàñïðåäåëåíèå ôàçû âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå ìåíåå èíôîðìàòèâíî, îñîáåííî äëÿ ñëîæíûõ ñèãíàëîâ.  òî æå ñàìîå âðåìÿ, èìåííî ôàçà äàåò íàèáîëåå òî÷íóþ èíôîðìàöèþ îá îñîáåííîñòÿõ (ñèíãóëÿðíîñòÿõ) â ñèãíàëå. Òàê íà ðèñ.6.18 ìîæíî âèäåòü, ÷òî èìåííî ïî ðàñïðåäåëåíèþ ôàçû ìîæíî ñ áîëüø îé òî÷íîñòüþ èäåíòèôèöèðîâàòü ìîìåíò ñìåíû ÷àñòîòû.
94
Í à ðèñ.6.19 ïîêàçàí ðåçóëüòàò âåéâëåò-ðàçëîæåíèÿ ñèãíàëà, ïðåäñòàâëÿþ ù åãî ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþ ù èõ ñ íåïðåðûâíî ìåíÿþ ù èìèñÿ ÷àñòîòàìè (ñíîâà èñïîëüçîâàí âåéâëåò Ì îðëå). Ñàì ñèãíàë ïîêàçàí â íèæíåé ÷àñòè ðèñóíêà, ìîäóëü âåéâëåò-ðàçëîæåíèÿ â âåðõíåé ÷àñòè. Âåéâëåò-ïðåäñòàâëåíèå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü òî÷íûé âèä ýâîëþ öèè ÷àñòîòû êàæäîãî èç äâóõ ñèãíàëîâ. Í à ðèñ.6.20 äàí ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ äåéñòâèòåëüíîãî âåéâëåòà òèïà (6.48).  êà÷åñòâå ñèãíàëà èñïîëüçîâàí òîò æå âðåìåííîé ðÿä, ÷òî è â ïðèìåðå íà ðèñ.6.18 ( óäâîåíèå ÷àñòîòû ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé).  ýòîì
Ðèñ.6.20 ñëó÷àå ðåçóëüòàòîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà, ìîäóëü êîòîðîé ïîêàçàí íà ðèñóíêå. Áåëûå ïîëîñû íà âåéâëåò-ïëîñêîñòè, íåèçáåæíî ïîÿâëÿþ ù èåñÿ ïðè ðàáîòå ñ âåù åñòâåííûìè ôóíêöèÿìè, ñîîòâåòñòâóþò ñìåíå çíàêà âåéâëåò-êîýôôèöèåíòîâ è ñîäåðæàò, ïî ñóòè, èíôîðìàöèþ , êîòîðóþ â êîìïëåêñíîì ïðåäñòàâëåíèè íåñåò ôàçà.  çàêëþ ÷åíèå îòìåòèì âàæíîå ñâîéñòâî âåéâëåò-ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé, ñîñòîÿù åå â òîì, ÷òî íà ýòàïå ðàçëîæåíèÿ ñèãíàëà ïî âåéâëåòàì (àíàëèçà) è ýòàïå âîññòàíîâëåíèÿ èñõîäíîãî ñèãíàëà ïî åãî âåéâëåò-îáðàçó (ñèíòåçà) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷íûå ñåìåéñòâà âåéâëåòîâ. Ï óñòü äëÿ àíàëèçà èñïîëüçóåòñÿ âåéâëåò y (t) , à äëÿ ñèíòåçà - âåéâëåò j (t) . Òîãäà ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå ïî-ïðåæíåìó îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì (6.50), à ôîðìóëà âîññòàíîâëåíèÿ ñèãíàëà (6.52) ïðèìåò âèä 1 f (t) = Cy j
¥ ¥
dadb æt - b ö ÷w(a, b) 3+ k . a ø a
òòj çè 0-¥
(6.59)
Âîññòàíîâëåíèå (6.59) âîçìîæíî, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå ) ) |y ( w )j * ( w ) = ò dw < ¥ . |w | -¥ ¥
Cjy
Ýòî óñëîâèå ìÿã÷å, ÷åì óñëîâèå (6.51), òàê êàê òåïåðü îäèí èç äâóõ âåéâëåòîâ ìîæåò è íå óäîâëåòâîðÿòü òðåáîâàíèþ (6.51) (íî, ïðè óñëîâèè, ÷òî åãî «íåäîñòàòêè» êîìïåíñèðóåò âåéâëåò, èñïîëüçóåìûé íà âòîðîì ýòàïå). Ï ðå-
95
èìóù åñòâî âîññòàíîâëåíèÿ ïî ôîðìóëå (6.59) ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíà ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü íà îäíîì èç ýòàïîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèíãóëÿðíóþ ôóíêöèþ (íàïðèìåð, d- ôóíêöèþ ), êîòîðàÿ ñàìà ïî ñåáå íå ïîïàäàåò ïîä îïðåäåëåíèå âåéâëåòà.
6.5. Äèñêðåòíîå âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå Í àðÿäó ñ íåïðåðûâíûì âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèåì ìîæíî ðàññìîòðåòü ðàçëîæåíèå ïî êîíå÷íîìó íàáîðó âåéâëåò-ôóíêöèé, çàäàííûõ íà íåêîòîðîé ñåòêå è ïîëó÷àåìûõ îïðåäåëåííûì ìàñø òàáíûì ïðåîáðàçîâàíèåì. Åñëè îãðàíè÷èòüñÿ ëîãàðèôìè÷åñêèì ìàñø òàáèðîâàíèåì è ðàâíîìåðíîé äëÿ çàäàííîãî ìàñø òàáà ïðîñòðàíñòâåííîé ñåòêîé, òî îäíîìåðíóþ áàçèñíóþ ôóíêöèþ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå y
Mm
æ x - mba M =y ç ç aM è
ö ÷ ÷, ø
äëÿ êîòîðîãî äîêàçàíà âîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ ïîëíîãî îðòîãîíàëüíîãî ôóíêöèîíàëüíîãî áàçèñà. Ï îñëåäíåå âîçìîæíî íå ïðè ëþáîì âûáîðå çíà÷åíèé âåëè÷èí a è b . Í àèáîëåå åñòåñòâåííûì ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðèíÿòîå è â èåðàðõè÷åñêèõ ìîäåëÿõ ðàçáèåíèå ñïåêòðàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà íà îêòàâû, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ a = 2 . Äëÿ îäíîìåðíîé ôóíêöèè f (x) ñîîòâåòñòâóþ ù åå ðàçëîæåíèå â ðÿä âûãëÿäèò êàê f ( x )=
¥
¥
å åw
M =¥ m = - ¥
y
Mm
M
(x -
)
m ×2 M ,
(6.60)
ãäå y
M
(x)= 2
-
M 2
æ x ö y ç M ÷. è2 ø
Çäåñü è äàëååâ äàííîì ïàðàãðàôå ïðèíÿòà íîðìèðîâêà k = - 1 / 2 è äëÿ óäîáñòâà çàïèñè ýòà íîðìèðîâêà âêëþ ÷åíà â îïðåäåëåíèå âåéâëåòà. Çàäà÷à î âûáîðå ôóíêöèè y ( x ), îáåñïå÷èâàþ ù åé îðòîãîíàëüíîñòü ðàçëîæåíèÿ (6.60), ò.å. ñîáëþ äåíèå óñëîâèÿ ¥
òy (x M
) (x -
m ×2 M y
N
)
n ×2 N dx = dNM dnm
(6.61)
-¥
äàëåêî íå òðèâèàëüíà è áûëà ðåø åíà ëèø ü íåäàâíî (È .Ì åéåð,1986; È .Äîáåø è, 1988). Óñëîâèÿì (6.59)-(6.61) ñîîòâåòñòâóþò, ïðàâäà, è äàâíî
96
èçâåñòíûå ôóíêöèè Õààðà, íå óäîâëåòâîðèòåëüíûå, êàê îòìå÷àëîñü âûøå, ñ òî÷êè çðåíèÿ ëîêàëèçàöèè â ôóðüå-ïðîñòðàíñòâå. Ï ðèìåðîì ãëàäêèõ ôóíêöèé, îáðàçóþ ù èõ îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ÿâëÿåòñÿ âåéâëåò, îáîçíà÷àåìûé ïî ôàìèëèÿì àâòîðîâ àááðåâèàòóðîé LMB (Lemarie, Meyer, Battle). Ãðàôèêè ôóíêöèè LMB è åå ôóðüå-îáðàçà ïðèâåäåíû íà ðèñ.6.21. Ô óíêöèÿ LMB óáûâàåò ýêñïîíåíöèàëüíî â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå è ïî k - 4 çàêîíó - â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå. Äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå ââîäèòñÿ äëÿ ôóíêöèè f ( x ), çàäàííîé íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå xi = iDx , ãäå Dx - ø àã ñåòêè. Îáîçíà÷àÿ f i = f ( xi ) è ñ÷èòàÿ Dx = 1 , çàïèø åì âìåñòî (6.60) fi =
¥
¥
å åw
M =0 m = - ¥
y
Mm
M
(i -
)
m ×2 M ,
(6.62)
ãäå êîýôôèöèåíòû w Mm îïðåäåëÿþòñÿ êàê ¥
å
w Mm =
i =- ¥
f iy
M
(i -
)
m ×2 M ,
à óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïðèíèìàåò âèä ¥
¥
å å
M =1 m= - ¥
2 wMm =
¥
å
i =- ¥
fi . 2
Ô óíêöèÿ y M (i ), ÿâëÿþ ù àÿñÿ äèñêðåòíûì àíàëîãîì ôóíêöèè y ( x ), äîëæíà âìåñòî (6.61) óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ
å y (i ¥
i =- ¥
M
) (i -
m ×2 M y
N
)
n ×2 N = dNM dnm .
(6.63)
Ï åðåõîä îò ôóíêöèè y M ( x ) ê åå äèñêðåòíîé âåðñèè y M (i ) òðåáóåò äîïîëíèòåëüíûõ ïîÿñíåíèé, ñâÿçàííûõ ñ òåì, ÷òî âûáîðêà f i ïðîèçâîäèòñÿ íå ñ ïî-
Ðèñ.6.21 ìîù üþ d-ôóíêöèé, à ñ ïîìîù üþ íåêîòîðîé ñãëàæèâàþ ù åé ôóíêöèè f( x ).
97
Áîëåå ïîäðîáíî ïðîöåäóðó ïîñòðîåíèÿ äèñêðåòíîãî âåéâëåòïðåîáðàçîâàíèÿ ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå àëãîðèòìà Ì àëëà ñ ïåðåìåííûì ðàçðåø åíèåì (multiresolution wavelet algorithm), êîòîðûé ïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëÿåò êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ, ïåðåõîäÿ îò ìåíüø èõ ìàñø òàáîâ ê áîëüø èì. Ï óñòü èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ f ( x )ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó èíòåãðèðóåìûõ â êâàäðàòå ôóíêöèé L2 (R ). Îáîçíà÷èì ïîäïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, àïïðîêñèìèðóþ ù èõ L2 (R ) ñ ðàçðåø åíèåì a M = 2 M êàê V M . Ï ðè ýòîì V M + 1 Ì V M . Ï îñòðîåíèå íà÷èíàåòñÿ ñ ðàçðåø åíèÿ a 0 = 1 (M = 0). Îòìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò èåðàðõè÷åñêèõ ìîäåëåé çäåñü óâåëè÷åíèþ èíäåêñà M ñîîòâåòñòâóåò ïåðåõîä ê áîëüø èì ìàñø òàáàì (áîëåå ãðóáîìó ðàçðåø åíèþ ). Îáîçíà÷àåì çà f M ñîîòâåòñòâóþ ù óþ àïïðîêñèìàöèþ ôóíêöèè f . Í à ïðàêòèêå ôóíêöèÿ f 0 ñ òî÷íîñòüþ äî çàäàííîé ïîãðåø íîñòè ñîâïàäàåòñ f è ñëóæèò èñõîäíîé äëÿ íà÷àëà âû÷èñëåíèé. Ï ðåäïîëàãàåì íàëè÷èå áàçèñíûõ ôóíêöèé f0 ( x - i ), êîòîðûå òîëüêî ïóòåì ñäâèãà âäîëü îñè ñîçäàþò ïîëíûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå V0 f 0 ( x) =
¥
å s f (x - i ), 0 i
i =- ¥
(6.64)
0
ãäå si0 - êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ si ( x) = 0
¥
òf (x)f (x - i )dx . 0
0
(6.65)
-¥
f( x ) - áûñòðî óáûâàþ ù àÿ ôóíêöèÿ, ÷òî ïîçâîëÿåò èíòåðïðåòèðîâàòü êî-
ýôôèöèåíòû si0 êàê äèñêðåòíóþ âûáîðêó ôóíêöèè f 0 ñ ðàçðåø åíèåì ñåòêå ñø àãîì a = 1 . Óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè åñòü ¥
òf (x - i )f (x - j )dx = d . 0
0
ij
íà
(6.66)
-¥
Ï ðè ïåðåõîäå ê áîëåå ãðóáîìó ðàçðåø åíèþ a M = 2 M èñïîëüçóåòñÿ ïðîñòðàíñòâî V M , îïèñûâàþ ù ååñÿ áàçèñîì fM , ôóíêöèè êîòîðîãî ïîëó÷àþ òñÿðàñòÿæåíèåì èñõîäíîé ôóíêöèè f0 f
M
( x)= 2
-
M 2
(
)
f0 2 - M x .
(6.67)
Äèñêðåòíàÿ âûáîðêà ôóíêöèè f 0 ( x ) ñ ðàçðåø åíèåì a M = 2 M åñòü íàáîð êîýôôèöèåíòîâ siM ¥
si
M
=
òf (x )f (x 0
M
)
2 M i dx .
(6.68)
-¥
Ï îñêîëüêó V M + 1 Ì V M , òî áàçèñíûå ôóíêöèè ìàñø òàáà M + 1 ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç áàçèñ ìàñø òàáà M :
98
fM + 1 (x - 2 M + 1 i ) =
é¥ M + 1 ù M M+1 M M M ê òf (x ¢- 2 i )f (x ¢- 2 j )dx¢úf (x - 2 j ) å j = - ¥ ë- ¥ û ¥
(6.69)
èëè fM + 1 (x - 2 M + 1 i )=
¥
åh
j=- ¥
j - 2i
fM (x - 2 M j ),
(6.70)
ãäå hk = 2
-
1 ¥ 2
æ x ¢ö òf çè 2 ÷øf (x¢- k )dx ¢. 0
0
(6.71)
-¥
È ç(6.69)-(6.70) ñëåäóåò, ÷òî êîýôôèöèåíòû s M+ 1 ìîæíî îïðåäåëèòü, èñïîëüçóÿ òîëüêî êîýôôèöèåíòû s M : siM + 1 =
¥
åh
j =- ¥
j - 2i
s Mj .
(6.72)
Ï åðåõîä îò s M ê s M + 1 ñîîòâåòñòâóåò î÷åðåäíîìó îãðóáëåíèþ èñõîäíûõ äàííûõ ïóòåì èõ âûáîðêè èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè s M ñ âåñîâîé ôóíêöèåé h . C óâåëè÷åíèåì ÷èñëà òî÷åê êîëè÷åñòâî îïåðàöèé ðàñòåò òîëüêî ãåîìåòðè÷åñêè è (6.71)-(6.72) ìîæåò ñëóæèòü îñíîâîé áûñòðîãî âåéâëåòïðåîáðàçîâàíèÿ (ÁÏ Â, ïî àíàëîãèè ñ áûñòðûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ô óðüå ÁÏ Ô ). Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèè fM + 1 íå ìîãóò áûòü îðòîãîíàëüíûìè M ôóíêöèÿì f , òàê êàê îáðàçóåìîå èìè ïðîñòðàíñòâî V M + 1 ñîäåðæèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå V M . Îñíîâíàÿ èäåÿ àëãîðèòìà ÁÏ Â ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè âåéâëåò-áàçèñà ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ ðàçíîñòè èíôîðìàöèè, ñîäåðæàù åéñÿ â ðàçëè÷íûõ ìàñø òàáàõ. Ñîîòâåòñòâóþ ù åå ïðîñòðàíñòâî îáîçíà÷àåòñÿ êàê OM + 1 . OM + 1 îðòîãîíàëüíî V M + 1 (OM + 1 ^ V M + 1 ), à OM + 1 è V M + 1 ñîñòàâëÿþ ò V M (OM + 1 Å V M + 1 = V M ). Âåéâëåò y M + 1 (x - 2 M + 1 i ) îïðåäåëÿåòñÿ êàê áàçèñíàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ïðîñòðàíñòâà OM + 1 . Ï ðè ýòîì îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì ñîîòíîø åíèåòèïà (6.67): y
M
( x)= 2
-
M 2
y
0
(2
-M
)
(6.73)
x,
ïðåäïîëàãàþ ù åå, ÷òî ñîâîêóïíîñòü ôóíêöèé y M + 1 îáðàçóåò îðòîíîðìàëüíûé áàçèñ â OM + 1 . Òîãäà ñîâîêóïíîñòü âñåõ y M (M = 0,1,2K) îáðàçóåò ïîëíûé îðòîãîíàëüíûé áàçèñ äëÿ V0 . Êîýôôèöèåíòû âåéâëåò-ðàçëîæåíèÿ åñòü ¥
wi
M
=
òf (x )y (x 0
-¥
M
)
2 M m dx ,
(6.74)
99
à òàê êàê ôóíêöèè y y
M+1
(x -
îòíîñÿòñÿ ê ïðîñòðàíñòâó OM + 1 , à OM + 1 Ì V M , òî
M+1
2 M + 1 i )=
é¥ å ê òy j = - ¥ ë- ¥ ¥
M+1
(x¢-
ù 2 M + 1 i )fM (x¢- 2 M j )dx¢úfM (x - 2 M j ), û
(6.75)
÷òî ïðèâîäèò ê ôîðìóëå wiM + 1 =
¥
åg
j =- ¥
j - 2i
s Mj ,
(6.76)
ãäå gk = 2
-
1 ¥ 2
0 æ x ¢ö 0 y ç ÷f ( x ¢- k )dx ¢. ò è2 ø -¥
(6.77)
Âèäíî, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ âåéâëåò-ïðåäñòàâëåíèÿ äàííîãî ìàñø òàáà òðåáóþòñÿ íå èñõîäíûå äàííûå, à òîëüêî ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ ïðåäûäóù åãî ìàñø òàáà. Ï ðè âîññòàíîâëåíèè ôóíêöèè f ïðîöåññèäåò îò êðóïíûõ ìàñø òàáîâ ê ìåëêèì è íà êàæäîì ø àãå siM =
å [h ¥
i- 2 j
j =- ¥
]
s Mj + 1 + g i - 2 j w Mj + 1 .
(6.78)
Ñëåäóåò óêàçàòü òàêæåñâÿçüìåæäó êîýôôèöèåíòàìè g k , hk è äèñêðåòíîé ôîðìîé âåéâëåò-ôóíêöèè y M (k ) . Òàê êàê wiM + 1 =
¥
å
j =- ¥
g j - 2i s Mj =
¥
¥
å åg
j =- ¥ k =- ¥
j - 2i
hk - 2 j s kM - 1 = KK
òî, â êîíå÷íîì èòîãå, wiM + 1 =
ãäå y
M
(j -
) å
2M i =
å y (j ¥
M
j =- ¥
j ( M - 1)
h j ( M )- 2 j M - 1
)
2 M i s 0j ,
å Kå h
j(M - 2)
j (1 )
(6.79)
j ( 2 )- 2 j (1 )
g j (1)- 2i .
Îñòàíîâèìñÿòåïåðü íà âîïðîñåî âûáîðå êîíêðåòíûõ ôóíêöèé y è j . Âûø å äëÿ íèõ áûëè ñôîðìóëèðîâàíû ñëåäóþ ù èå òðåáîâàíèÿ: 1) âñå âåéâëåò-ôóíêöèè îðòîíîðìàëüíû ¥
òy (x -
) (x - n ×2 )dx = d d , ñãëàæèâàþ ù èå ôóíêöèè f (x - 2 i ) îðòîíîðìàëüíû M
m ×2 M y
N
N
NM
nm
(6.80)
-¥
2) çíà÷åíèÿ M
M
M
äëÿ çàäàííîãî
100
¥
òf (x -
) (
)
2 M i fM x - 2 M j dx = dij ,
M
(6.81)
-¥
3) âåéâëåò-ôóíêöèè îðòîãîíàëüíû ñãëàæèâàþ ù èì ôóíêöèÿì òîãî æå ìàñø òàáà ¥
òf (x -
2 M i )y
M
M
(x - 2 j )dx = d .
(6.82)
M
ij
-¥
Ï ðèâåäåì ïðèìåðû îðòîãîíàëüíûõ âåéâëåòîâ è ñîîòâåòñòâóþ ù èõ èì äèñêðåòíûõ ôèëüòðîâ hi , g i . à) Ï ðîñòåéø åé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìîé ÿâëÿåòñÿ, êàê óæå îòìå÷àëîñü, ñèñòåìà ôóíêöèé Õààðà. Äëÿ íåå ì 1 ïðè 0 £ x £ 0.5 ï y (x )= í- 1 ïðè 0.5 £ x £ 1 ï 0 äëÿ ïðî÷èõ x , î
à ñãëàæèâàþ ù àÿ ôóíêöèÿ f ì 1 ïðè 0 £ x £ 1 f(x )= í î 0 äëÿ ïðî÷èõ x .
Äèñêðåòíûåôèëüòðû äëÿ ÁÏ Â ïîëó÷àþòñÿ èç(6.71) è (6.77) è, ñîîòâåòñòâåííî, ðàâíû h0 = h1 = g 0 = 2 - 1 / 2 , g1 = - g 0 . (6.83) á) Äðóãîé ïðåäåëüíûé ñëó÷àé - îäíîìåðíûå èåðàðõè÷åñêèå ôóíêöèè (îíè æå ôóíêöèè Ëèòëâóäà-Ï åëëè) äëÿ êîòîðûõ äîêàçûâàåòñÿ ïîëíîòà è îðòîãîíàëüíîñòü. È õ æå íàçûâàþò èíîãäà ïîëîñîâûìè ôèëüòðàìè è, â ïîñëåäíåå âðåìÿ, ôóðüåëåòàìè. Òàê êàê îíè âûðåçàþò îïðåäåëåííóþ ïîëîñó â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå, òî óäîáíåé è äåéñòâèÿ ïðîâîäèòü â ïðîñòðàíñòâå ÷àñòîò, à âìåñòî h è g ïîëüçîâàòüñÿèõ ôóðüå-îáðàçàìè h? è g? . ) h (k )=
¥
å
j= - ¥
h je - ijk ,
) g (k )=
¥
åge
j= - ¥
j
- ijk
.
Äëÿ íèõ ì 12 p p ) ïðè - £ k £ ï 2 h (k )= í 2 2 ï 0 ïðè ïðî÷èõ k î ì 12 ijk p £ k £p ) ïðè ï 2 e g (k )= í 2 ï 0 ïðè ïðî÷èõ k î
(6.84)
Í å òðóäíî ïîëó÷èòü è ñîîòâåòñòâóþ ù èå äèñêðåòíûå ôèëüòðû â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå
101
2 æp j ö sin ç ÷ , pj è2 ø
hi = gj =
2 2 æp ( j - 1)ö æ3p ( j- 1)ö sin ç ÷cosç ÷. p (- 1) è 4 ø è 4 ø
(6.85)
Ñóù åñòâåííàÿ íåëîêàëüíîñòü áàçèñíûõ ôóíêöèé â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå äåëàåò áîëåå ïðàêòè÷íîé ðåàëèçàöèþ áûñòðîãî àëãîðèòìà äëÿ ôóðüåîáðàçà èñõîäíîãî ñèãíàëà. â) Âåéâëåò LMB.  ôóðüå ïðîñòðàíñòâå 1
2 é æ k ö -1 ) - 1 æ k öù y (k )= e 2 k - n êG2 n ç ÷G2 n (k )G2 n ç ÷ú è 2 øû ë è2 + p ø 1 ) f(k )= k - n [ G2 n (k )]2 1 ) h (k )= 21- 2 n G2 n (k )G2-n1 (2k ) 2 ) * g (k )= e - ik h?(k + p ) ik
[
ãäå Gn (k )=
¥
å (k +
]
(6.86)
2pm ) . -n
m =- ¥
ã)  êà÷åñòâå ïîñëåäíåãî ïðèìåðà ïðèâåäåì ñåìåéñòâî âåéâëåòîâ Äîáåø è. Ô óíêöèè Äîáåø è çàìå÷àòåëüíû òåì, ÷òî îïðåäåëåíû íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå, çà ïðåäåëàìè êîòîðîãî îíè òîæäåñòâåííî ðàâíû íóëþ è, â òî æå âðåìÿ, ôóíêöèè n ðàç äèôôåðåíöèðóåìû. Ï ëàòà çà ýòî - íåñèììåòðè÷íîñòü ôóíêöèé. Í èæå ïðèâîäÿòñÿ òàáëèöû çíà÷åíèé äëÿ 4 è 8 òî÷å÷íûõ ôèëüòðîâ, ñîîòâåòñòâóþ ù èõ ôóíêöèÿì Äîáåø è ïåðâîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêà (ôóíêöèè Äîáåø è íóëåâîãî ïîðÿäêà ñîâïàäàþ òñôóíêöèÿìè Õààðà). ×åòûðåõòî÷å÷íûé ôèëüòð Äîáåø è:
(
3 4× 2
(
3 4× 2
h0 = 1 + h2 = 3 -
(3 + 3 ) (4 × 2 ) (1 - 3 ) = (4 × 2 )
)(
)
h1 =
)(
)
h3
g 0 = h3 , g 1 = - h2 , g 2 = h1 , g 3 = - h0
Âîñüìèòî÷å÷íûé ôèëüòð Äîáåø è:
(6.87)
102
h- 2 = 0.230377813309
g - 2 = h5
h- 1 = 0.714846570553
g - 1 = - h4
h0 = 0.630880767930
g 0 = h3
h1 = - 0.27983769417
g 1 = - h2
h2 = - 0.187034811719
g 2 = h1
h3 = 0.30841381836
g 3 = - h0
h4 = - 0.010597401785
g 4 = h- 1
h5 = - 0.010597401785
g 5 = - h- 2
(6.88)
6.6. Âåéâëåò-àíàëèç âðåìåííûõ êîëåáàíèé ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì Âî âòîðîé ãëàâå ìû ïîäðîáíî ðàññìàòðèâàëè õàðàêòåð êîëåáàíèé, âîçíèêàþ ù èõ â ñèñòåìàõ ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà â íàäêðèòè÷åñêèõ ðåæèìàõ, òî åñòü ïðè îòíîñèòåëüíî íåáîëüø îì ïðåâûøåíèè õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ïàðàìåòðîì (íàïðèìåð, ÷èñëîì Ðåëåÿ) êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ. Ï ðè ýòîì ïî ìåðå ñòîõàñòèçàöèè òå÷åíèÿ ñïåêòðû ñòàíîâÿòñÿ ñïëîø íûìè, à ïðèçíàêîì ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè ñëóæèò ðàçâèòûé èíåðöèîííûé èíòåðâàë. Îäíàêî, ýòî íå îçíà÷àåò, ÷òî â ðàçâèòûõ òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèÿõ îòñóòñòâóþò âûäåëåííûå êðóïíîìàñø òàáíûå ïóëüñàöèè. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè â çàìêíóòûõ îáúåìàõ ïîêàçûâàþò, ÷òî òå÷åíèÿ íà ìàñø òàáàõ, ñðàâíèìûõ ñ ðàçìåðàìè ñàìîé ïîëîñòè, õàðàêòåðèçóþ òñÿ öåëûìè ñåðèÿìè âûäåëåííûõ ÷àñòîò, ïðè÷åì ïåðèîäû êîëåáàíèé ìîãóò â òûñÿ÷è ðàç ïðåâûøàòü âðåìÿ îáîðîòà æèäêîñòè â ïîëîñòè. Ýòè ðåçóëüòàòû ïîäêðåïëÿþ òñÿ è íàáëþ äåíèÿìè çà ïðèðîäíûìè ñèñòåìàìè. Òàê Ñîëíöå, ÿâëÿþ ù åå ñîáîé êðóïíåéø óþ èç äîñòóïíûõ ïðÿìîìó íàáëþ äåíèþ êîíâåêòèâíûõ ÿ÷ååê (èìåííî êîíâåêöèÿ ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì èñòî÷íèêîì äâèæåíèÿ íà Ñîëíöå è õàðàêòåðèçóåòñÿ îíà ãèãàíòñêèì çíà÷åíèåì ÷èñëà Ðåëåÿ), äåìîíñòðèðóåò öåëûé íàáîð öèêëîâ ñ ïåðèîäàìè îò íåñêîëüêèõ äíåé äî òûñÿ÷ ëåò.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèëîæåíèÿ âåéâëåò-àíàëèçà ê èññëåäîâàíèþ âðåìåííîé èçìåí÷èâîÐèñ.6.22 ñòè ñëîæíûõ ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ìû ðàññìîòðèì ðåçóëüòà-
103
òû àíàëèçà ñîëíå÷íîé àêòèâíîñòè ïî äâóì õàðàêòåðèñòèêàì: âàðèàöèÿì ÷èñëà ãðóïï ñîëíå÷íûõ ïÿòåí è âàðèàöèÿì ñîëíå÷íîãî äèàìåòðà. Î òîì, ÷òî íà Ñîëíöååñòü ïÿòíà, çíàåò êàæäûé ø êîëüíèê. Î òîì, ÷òî ÷èñëî ýòèõ ïÿòåí êîëåáëåòñÿ è äîñòèãàåò ìàêñèìóìà ïðèìåðíî êàæäûå 11 ëåò, çíàþò ïî÷òè âñå. Ì åíåå èçâåñòåí ôàêò, ÷òî ÷èñëî ïÿòåí ñâÿçàíî ñ èíòåíñèâíîñòüþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ Ñîëíöà. Ýòó ñâÿçü ïîÿñíÿåò ðèñ.6.22. Ì àãíèòíîå ïîëå Ñîëíöà èìååò ïîëîèäàëüíóþ êîìïîíåíòó (ñèëîâûå ëèíèè âûõîäÿò íà ïîâåðõíîñòü âáëèçè îäíîãî ïîëþ ñà è çàõîäÿò âáëèçè äðóãîãî) è áîëåå ìîù íóþ àçèìóòàëüíóþ - åå ñèëîâûå ëèíèè îáðàçóþ ò çàìêíóòûå êîëüöà âíóòðè êîíâåêòèâíîé îáîëî÷êè Ñîëíöà. Êîãäà íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàñòåò, òî âñëåäñòâèå íåóñòîé÷èâîñòè íà ýòèõ ìàãíèòíûõ ëèíèÿõ âîçíèêàþ ò ãèãàíòñêèå ïåòëè, âûõîäÿù èå çà ïðåäåëû êîíâåêòèâíîé îáîëî÷êè.  ìåñòàõ âûõîäà ìàãíèòíîå ïîëå íàïðàâëåíî âåðòèêàëüíî è ïîäàâëÿåò êîíâåêòèâíîå òå÷åíèå, ïðèíîñÿù åå ãîðÿ÷óþ ïëàçìó èç íåäð Ñîëíöà.  ðåçóëüòàòå òåìïåðàòóðà îêàçûâàåòñÿ íèæå, ÷åì íà îñòàëüíîé ïîâåðõíîñòè, òàê ÷òî ýòà îáëàñòü âèäíà êàê òåìíîå ïÿòíî. ×åì ñèëüíåå ìàãíèòíîå ïîëå, òåì áîëüø å ïåòåëü è òåì áîëüø å ïÿòåí âèäíî íà ïîâåðõíîñòè Ñîëíöà. Ñâÿçü ïÿòåí ñ ìàãíèòíûìè ïîëÿìè ñòàëà ïîíÿòíà íå òàê äàâíî, íî ñàìî ñóù åñòâîâàíèå ïÿòåí íà Ñîëíöå â ñâîå âðåìÿ òàê âçâîëíîâàëî ÷åëîâå÷åñòâî, ÷òî àñòðîíîìû íà÷àëè âåñòè ñèñòåìàòè÷åñêèé ïîäñ÷åò ýòèõ ïÿòåí ïðàêòè÷åñêè ñ òîãî ìîìåíòà, êàê Ãàëèëåé ïîñòðîèë ïåðâûé òåëåñêîï (êîíå÷íî, èíîãäà ñîëíå÷íûå ïÿòíà íàáëþ äàëè íåâîîðóæåííûì ãëàçîì è ðàíüø å). Äîëãîâðåìåííàÿ çàïèñü ñðåäíåìåñÿ÷íûõ ÷èñåë ñîëíå÷íûõ ïÿòåí íà÷èíàåòñÿ ñ íàáëþ äåíèé Ãàëèëåÿ â ôåâðàëå 1610 ãîäà, à ñ îêòÿáðÿ 1611 ãîäà íàáëþ äåíèÿ ñòàíîâÿòñÿ äîâîëüíî ðåãóëÿðíûìè. È ìåþ ù èéñÿíà ñåãîäíÿ ðÿä äàííûõ íå èìååò â àñòðîíîìèè àíàëîãîâ ïî ðåãóëÿðíîñòè è ïðîäîëæèòåëüíîñòè íàáëþ äåíèé. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ ÷èñëà ñîëíå÷íûõ ïÿòåí óæå ñòîëåòèÿ ïðèâëåêàåò âíèìàíèå ó÷åíûõ, òàê êàê äîêàçàíî, ÷òî ìíîãèå ïðîöåññû íà Çåìëåñâÿçàíû
Ðèñ.6.23
104
ñ óðîâíåì ñîëíå÷íîé àêòèâíîñòè. Ï åðâîå, ÷òî áðîñàåòñÿ â ãëàçà ïðè âçãëÿäå íà ãðàôèê (ðèñ.6.23) ñîëíå÷íîé àêòèâíîñòè - ýòî ÷åðåäà ïèêîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ îõâàòûâàåò ïðèáëèçèòåëüíî 11 ëåò. Ýòî è åñòü çíàìåíèòûé îäèííàäöàòèëåòíèé ñîëíå÷íûé öèêë, õàðàêòåðèçóþ ù èé ðàáîòó ñîëíå÷íîãî äèíàìî - ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêîãî ãåíåðàòîðà ïîëÿ. Ì îæíî, îäíàêî, çàìåòèòü, ÷òî àìïëèòóäà öèêëîâ íåïðåðûâíî èçìåíÿåòñÿ, à âðåìåíàìè â ðàáîòå äèíàìî âîçíèêàþ ò ñáîè. Ñàìûé çàìåòíûé ñáîé èìåë ìåñòî â êîíöå 17 - íà÷àëå 18 âåêîâ, êîãäà â òå÷åíèå ïî÷òè 50 ëåò ïÿòåí íà Ñîëíöå ïðàêòè÷åñêè íå áûëî. Ýòîò ïåðèîä íàçûâàþò ìèíèìóìîì Ì àóíäåðà. Äðóãîå çàìåòíîå îñëàáëåíèå ñîëíå÷íîé àêòèâíîñòè èìåëî ìåñòî â íà÷àëå XIX âåêà è íàçûâàåòñÿìèíèìóìîì Äàëüòîíà.
×òî íîâîãî ìîãóò äàòü âåéâëåòû â èçó÷åíèè çàïèñè ÷èñëà ñîëíå÷íûõ ïÿòåí, åñëè ó÷åñòü, ÷òî ñîòíè ëþ äåé óæå àíàëèçèðîâàëè ýòîò ñèãíàë ñàìûìè ðàçíûìè ìåòîäàìè? Äëÿ îòâåòà íà ýòîò âîïpîñ îápàòèìñÿ ê påçóëüòàòàì pàáîò 14 è 15. Âåéâëåò-ïðåäñòàâëåíèå ïðîåêòèðóåò îäíîìåðíûé ñèãíàë (êîòîðûé áûë ôóíêöèåé òîëüêî âðåìåíè) íà ïëîñêîñòü âðåìÿ - ÷àñòîòà è ïîçâîëÿåò óâèäåòü èçìåíåíèå âî âðåìåíè ñïåêòðàëüíûõ ñâîéñòâ ñèãíàëà. Í à ðèñ.6.24 ïîêàçàí ìîäóëü âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèÿ äàííûõ ñ ðèñ.6.23, ïîëó÷åííîãî ñ ïîìîù üþ âåéâëåòà Ì îðëå. Í à âåéâëåò-ïëîñêîñòè îäèííàäöàòèëåòíåìó öèêëó ñîîòâåòñòâóåò òåìíàÿ ãîðèçîíòàëüíàÿ ïîëîñà. Ï ðè ýòîì íàïîìíèì, ÷òî èäåàëüíî ðîâíàÿ ãîðèçîíòàëüíàÿ ïîëîñà ñîîòâåòñòâîâàëà áû óñòîé÷èâîìó ïåðèîäè÷åñêîìó êîëåáàíèþ . Ì û âèäèì, ÷òî êðîìå îñíîâíîãî, îäèííàäöàòèëåòíåãî êîëåáàíèÿ, â èññëåäóåìîé çàïèñè ïðèñóòñòâóåò åù å îäíà ïðèáëèçèòåëüíî 100-ëåòíÿÿ ïåðèîäè÷íîñòü. Îñîáåííî õîðîø î ýòè ïåðèîäè÷íîñòè âèäíû íà èíòåãðàëüíîì âåéâëåò-ñïåêòðå (êðèâàÿ b íà ðèñ.6.25). Í à ýòîì æåpèñóíêå äëÿ ñpàâíåíèÿ ïîêàçàí è ñïåêòp Ô ópüå òîãî æåñèãíàëà (êðèâàÿ a), â êîòîpîì îäèííàäöàòèëåòíèé öèêë âûäåëÿåòñÿ íà ôîíå ñïëîø 14
Frick P., Galyagin D., et al. Wavelet analysis of solar activity recorded by sunspot groups // Astronomy and Astrophysics, 1997. Vol.328. P.670-681. 15 Nemes-Ribes E., Frick P. Et al. Wavelet analysis of Maunder minimum as recorded in Solar diameter data // Comptes Rendues Acad.Sciences Paris, Serie IIb, 1995. V.321. P.525-532.
105
íîãî ÷àñòîêîëà ïèêîâ. Ï î ïîâîäó çíà÷èìîñòè ýòèõ ïèêîâ âåëèñü ñïîðû äîëãèå äåñÿòèëåòèÿ. Ñðàâíèâàÿ äâà ñïåêòðà íà ðèñóíêå, åù å ðàç âñïîìíèì, ÷òî âåéâëåò-ñïåêòð ÿâëÿåòñÿ ñãëàæåííîé âåðñèåé ñïåêòðà Ô óðüå è ÷òî âåéâëåò-ñïåêòð íå äàåò êðàòíûõ ãàðìîíèê ïðè íåãàðìîíè÷åñêîì õàðàêòåðå êîëåáàíèé. Âåéâëåò-àíàëèç ïîçâîëÿåò ïðîñëåäèòü êàê ìåíÿåòñÿ äëèòåëüíîñòü íîìèíàëüíîãî 11-ëåòíåãî öèêëà ñî âðåìåíåì, ïîêàçûâàÿ, ÷òî 100-ëåòíèé öèêë ôèêñèðóåò ïåðèîäè÷åñêèå ïîïûòêè ìåõàíèçìà ãåíåðàöèè ñîëíå÷íîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ äàòü ñáîé è ñâåðíóòü ñ îáû÷íûõ 11-ëåòíèõ êîëåáàíèé â íîâûé ýïèçîä òèïà ìèíèìóìà Ì àóíäåðà. Óäàåòñÿ ïîëó÷èòú è íåèçâåñòíóþ ðàíåå êîëè÷åñòâåííóþ çàêîíîìåðíîñòú â ôîðìèðîâàíèè ñáîåâ â ðàáîòå ñîëíå÷íîãî äèíàìî. Í à ðèñ.6.26 ïðèâåäåí ãðàôèê èçìåíåíèÿ äëèíû ñîëíå÷íîãî öèêëà ñî âðåìåíåì. Ýòîò ãðàôèê ïîëó÷åí ïóòåì îöèôðîâêè ìàêñèìóìà â òåìíîé ïîëîñå, ñîîòâåòñòâóþ ù åé íà âåéâëåò-ïëîñêîñòè 11-ëåòíåìó öèêëó. Í à ýòîì ðèñóíêå âåðòèêàëüíûìè ëèíèÿìè îòìå÷åíû èçâåñòíûå íàáëþ äàòåëÿì ïåðèîäû ñíèæåíèÿ ñîëíå÷íîé àêòèâíîñòè. Í åîæèäàííûé ðåçóëüòàò ñîñòîèò â òîì, ÷òî âñå ýòè ïåðèîäû ñîâïàäàþò ñî ñïàäàþ ù èìè ó÷àñòêàìè íà ãðàôèêå T(t) . Ï ðè÷åì, ÷åì âûøå áûëî çíà÷åíèå T ïåðåä íà÷àëîì î÷åðåäíîãî ìèíèìóìà, òåì ãëóáæå áûë ñàì ìèíèìóì. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, ñîâìåñòíî ñ èìåþ ù èìñÿ íà ñåãîäíÿ çíà÷åíèåì ïåðèîäà ñîëíå÷íîãî öèêëà ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä, ÷òî õîòÿ î÷åðåäíîé ñáîé â ñîëíå÷íîé àêòèâíîñòè è ìîæíî îæèäàòü â íà÷àëå ñëåäóþ ù åãî ñòîëåòèÿ, íîâîãî ìèíèìóìà Ì àóíäåðà ñëó÷èòüñÿíå äîëæíî. Í à ïðèìåðå àíàëèçà ñîëíå÷íîé àêòèâíîñòè ïîêàæåì ýôôåêòèâíîñòü âåéâëåò-àíàëèçà â ôèëüòðàöèè ñèãíàëîâ è ñîâìåñòíîé îáðàáîòêå ñèãíàëîâ.  ýïîõó çíàìåíèòîãî ìèíèìóìà Ì àóíäåðà ïîñòîÿííî èçìåðÿëàñü åù å îäíà õàðàêòåðèñòèêà Ñîëíöà - ñîëíå÷íûé äèàìåòð. Âàðèàöèè âèäèìîãî ñîëíå÷-
Ðèñ.6.25
Ðèñ.6.26
íîãî äèàìåòðà íåïðåðûâíî ðåãèñòðèðîâàëèñü â ïàðèæñêîé îáñåðâàòîðèè ñ 1683 ïî 1718 ãîäû (îòäåëüíûå ñåðèè èçìåðåíèé ïðîâîäèëèñü ðàçëè÷íûìè àñòðîíîìàìè è ðàíåå). È íòåðåñ ê ñèñòåìàòè÷åñêèì èçìåðåíèÿì âàðèàöèé ñîëíå÷íîãî äèàìåòðà âíîâü ïîÿâèëñÿ òîëüêî â íàø å âðåìÿ è èçìåðåíèÿ áûëè âîçîáíîâëåíû, íà÷èíàÿ ñ1978ã.
106
Ðèñ.6.27 Âñå ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé ñîáðàíû íà ðèñ.6.27. Áðîñàåòñÿ â ãëàçà ñóù åñòâåííîå îòëè÷èå ñîâðåìåííûõ äàííûõ îò òåõ, ÷òî áûëè âûïîëíåíû ÷åòûðå ñòîëåòèÿ íàçàä. Í àïðàø èâàåòñÿ ïðîñòîå îáúÿñíåíèå ýòîìó ôàêòó, ñîñòîÿù ååâ òîì, ÷òî êà÷åñòâî èçìåðåíèé â òî äàëåêîå âðåìÿ áûëî ñóù åñòâåííî íèæå, è ýòî îáóñëîâèëî âûñîêèé óðîâåíü ïóëüñàöèé ñèãíàëà (ñèñòåìàòè÷åñêîå îòëè÷èå â óðîâíå ñèãíàëà îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî âèäèìûé äèàìåòð Ñîëíöà - âåëè÷èíà ñóáúåêòèâíàÿ è çàâèñèò îò ñïîñîáà åãî îïðåäåëåíèÿ). Âåéâëåòû äàþ ò âîçìîæíîñòü èçó÷èòü ñòåïåíü êîððåëèðîâàííîñòè äâóõ ñèãíàëîâ îòäåëüíî íà êàæäîì âðåìåííîì ìàñø òàáå.  ñëîæíîé ñèñòåìå, êàêîâîé ÿâëÿåòñÿ Ñîëíöå, âïîëíå âîçìîæíî ïðåäñòàâèòü ñèòóàöèþ, êîãäà êàêèå-ëèáî äâà ñèãíàëà ñêîððåëèðîâàíû íà îäíèõ ìàñø òàáàõ è ïðàêòè÷åñêè íåçàâèñèìû íà äðóãèõ. Îïðåäåëèì êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ äâóõ ñèãíàëîâ â âèäå
òw (a, b)w (a, b)db C(a) = (òw (a, b)dbòw (a, b)db) *
1
2
2
1
2
1/ 2
,
2
(6.89) ãäå w1 è w2 - âåéâëåò-îáðàçû ðàññìàòðèâàåìûõ ñèãíàëîâ. Íà ðèñ.6.28 ïîêàçàíà êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ (6.89), âû÷èñëåííàÿ äëÿ âàðèàöèé ÷èñëà ãðóïï ïÿòåí è âàðèàöèé äèàìåòðà ïî ïåðåêðûâàþ -
Ðèñ.6.29
107
ù èìñÿ èíòåðâàëàì íàáëþ äåíèé. Âèäíî, ÷òî íà âðåìåíàõ ïîðÿäêà 2 ëåò èìååòñÿ óçêèé ïîëîæèòåëüíûé ïèê, à íà âðåìåííûõ ìàñø òàáàõ ïîðÿäêà 10 ëåò è áîëååñèãíàëû ñòàíîâÿòñÿ ñòðîãî àíòèêîððåëèðîâàíû (áîëüø å ïÿòåí ìåíüø å äèàìåòð). Í àèáîëüø èé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ÷àñòîòà îñíîâíîãî (11ëåòíåãî) ñîëíå÷íîãî öèêëà. Âûäåëÿÿ èç âåéâëåò-ïðåäñòàâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþ ù èé âðåìåííîé ìàñø òàá, ïîñòðîèì çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè âåéâëåò-êîýôôèöèåíòîâ w(a, b) äëÿ a = 11ëåò . Ãðàôèêè îòôèëüòðîâàííûõ 11-ëåòíèõ âàðèàöèé äèàìåòðà è ÷èñëà ãðóïï ïÿòåí äëÿ èíòåðâàëà âðåìåíè 1666-1718 ïîêàçàíû íà ðèñ.6.29. Áåññïîðíîé íàó÷íîé óäàÐèñ.6.28 ÷åé ìîæíî ñ÷èòàòü òîò ôàêò, ÷òî íàáëþ äåíèÿ çà èçìåíåíèÿìè ñîëíå÷íîãî äèàìåòðà íà÷àëèñü âî âðåìÿ ìèíèìóìà Ì àóíäåðà è ïðîäîëæàëèñü âî âðåìÿ âûõîäà èçìèíèìóìà. Ðåçóëüòàòû âåéâëåò-ôèëüòðàöèè äàííûõ íàáëþ äåíèé, ïðåäñòàâëåííûå íà ðèñóíêå äàëè ñîâåðø åííî íåîæèäàííûé ðåçóëüòàò, ñîñòîÿù èé â òîì, ÷òî 11-ëåòíèå âàðèàöèè ñîëíå÷íîãî äèàìåòðà èìåëè íàèáîëüø óþ àìïëèòóäó êàê ðàç âî âðåìÿ ãëóáîêîãî ìèíèìóìà ñîëíå÷íîé àêòèâíîñòè. Ï î ìåðå âûõîäà èç ìèíèìóìà âàðèàöèè ÷èñëà ïÿòåí íà÷èíàþò íàðàñòàòü, à âàðèàöèè äèàìåòðà ñïàäàòü. Ýòîò ðåçóëüòàò äàåò âîçìîæíîñòü îáúÿñíèòü ðàçèòåëüíîå îòëè÷èå ñîâðåìåííûõ äàííûõ îò äàííûõ XVIII âåêà: â ñðàâíåíèè ñ 1718 ãîäîì, êîãäà áûëè ïðåêðàù åíû èçìåðåíèÿ äèàìåòðà, ñðåäíåå êîëè÷åñòâî ãðóïï ïÿòåí âîçðîñëî ïðèìåðíî íà ïîðÿäîê, à â ñâåòå ïîëó÷åííîé çàêîíîìåðíîñòè ýòî äîëæíî ïðèâåñòè ê ñóù åñòâåííîìó ñíèæåíèþ èíòåíñèâíîñòè âàðèàöèé äèàìåòðà - ÷òî è ïîäòâåðæäàþòñîâðåìåííûå íàáëþäåíèÿ. Ï îëó÷åííûé ðåçóëüòàò çàñòàâëÿåò ïåðåñìîòðåòü ñëîæèâø èéñÿ âçãëÿä íà ïðèðîäó ñîëíå÷íîãî öèêëà. 11-ëåòíèé öèêë îáúÿñíÿþ ò, èñõîäÿ èç òî÷êè çðåíèÿ, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâîì äèíàìî-ïðîöåññîâ. Ñëåäóÿ ýòîé òî÷êå çðåíèÿ, íóæíî ïðèçíàòü, ÷òî âî âðåìÿ îñòàíîâêè äèíàìî äîëæåí èñ÷åçíóòü è ýòîò öèêë. Ï ðèâåäåííûé ðåçóëüòàò çàñòàâëÿåò äóìàòü, ÷òî ïðèðîäà 11ëåòíåãî öèêëà íå ñâÿçàíà ñîáñòâåííî ñ äèíàìî-ïðîöåññîì. Ì åõàíèçì åãî çàðîæäåíèÿ íå ÿñåí, íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ, ÷òî îí äåéñòâóåò íåçàâèñèìî îò äèíàìî, ìîäóëèðóÿ àêòèâíîñòü ïîñëåäíåãî. Êîãäà äèíàìî íå ðàáîòàåò, ýíåðãèÿ ýòîãî ïðîöåññà âûëèâàåòñÿ â ãèäðîäèíàìè÷åñêóþ ìîäó, ïðèâîäÿ ê 11ëåòíèì âàðèàöèÿì äèàìåòðà çâåçäû.
Ñïèñîê ðåêîìåíäóåìîé ëèòåðàòóðû
108
1. Çèìèí Â.Ä., Ô ðèê Ï .Ã. Òóðáóëåíòíàÿ êîíâåêöèÿ. Ì .: Í àóêà, 1988. 178 ñ. 2. Ô ðèê Ï .Ã. Âåéâëåò-àíàëèçè èåðàðõè÷åñêèå ìîäåëè òóðáóëåíòíîñòè // È Ì ÑÑ ÓðÎ ÐÀ Í . Ï åðìü, 1992. 40ñ. 3. Àñòàôüåâà Í . Ì . Âåéâëåò-àíàëèç: îñíîâû òåîðèè è ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ // Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê, 1996. Ò.166. N.11. 4. Holschneider M. Wavelets: An Analysis Tool. Oxford University Press, 1995.
109
7. ÊÀÑÊÀÄÍ Û Å Ì ÎÄÅËÈ ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÈ 7.1. Êàñêàäíûåìîäåëè Âî âòîðîé ãëàâå ìû âèäåëè, íàñêîëüêî ïîëåçíûìè îêàçàëèñü ìàëîìîäîâûå äèíàìè÷åñêèåñèñòåìû äëÿ ïîíèìàíèÿ ïóòåé ïåðåõîäà îò äåòåðìèíèðîâàííûõ äâèæåíèé ê õàîñó.  ýòîé ãëàâå ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ ïðîñòåéø èìè ìîäåëÿìè ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè, ïî ñóòè, òàêæå ïðåäñòàâëÿþ ù èìè ñîáîé äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, íî îòíîñèòåëüíî âûñîêîé ðàçìåðíîñòè (íåñêîëüêî äåñÿòêîâ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé). Îòìåòèì, ÷òî ïðè ïîñòðîåíèè ïðîñòûõ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé òå÷åíèé (òèïà ìîäåëè Ëîðåíöà äëÿ êîíâåêöèè â ïîäîãðåâàåìîì ñíèçó ñëîå æèäêîñòè) âñå ìîäû îïèñûâàþ ò ñòðóêòóðû áëèçêîãî ìàñø òàáà. Îñíîâíûì ïðèçíàêîì ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå ø èðîêîãî äèàïàçîíà âîçáóæäåííûõ ìàñø òàáîâ è ñîîòâåòñòâóþ ù åãî åìó áîëüø îãî ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ñïðàø èâàåòñÿ, ìîæíî ëè ïîñòðîèòü ìàëîìîäîâóþ ìîäåëü ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè, êîòîðàÿ íå îãðàíè÷èâàåòñÿ ðàññìîòðåíèåì êðóïíîìàñø òàáíîãî ïîòîêà (êàê ïîëóýìïèðè÷åñêèå ìîäåëè), à îïèñûâàåò êàñÐèñ.7.1 êàäíûå ïðîöåññû ïåðåíîñà ýíåðãèè ïî ñïåêòðó îò èíòåãðàëüíîãî ìàñø òàáà äî äèññèïàòèâíîãî. È äåÿ ìîäåëåé ýòîãî òèïà, ïîëó÷èâø èõ íàçâàíèå«êàñêàäíûõ ìîäåëåé» (â ïîñëåäíåå âðåìÿ ñòàëî óïîòðåáëÿòüñÿ è ïðèø åäø åå ñ çàïàäà íàçâàíèå «îáîëî÷å÷íûå ìîäåëè» - ïåðåâîä àíãëèéñêîãî òåðìèíà «shell models»), ñîñòîèò â ðàññìîòðåíèè öåïî÷êè ïåðåìåííûõ, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îïèñûâàåò ïóëüñàöèè ïîëÿñêîðîñòè îïðåäåëåííîãî ìàñø òàáà. Äëÿ ðåàëèçàöèè ýòîé öåëè îñü âîëíîâûõ ÷èñåë ðàçáèâàåòñÿ íà ïðîãðåññèâíî ðàñø èðÿþ ù èåñÿçîíû r kn <| k |< kn+ 1 ,
kn = q n k0
(7.1)
(ýòîò ø àã ïîâòîðÿåò èäåîëîãèþ ïîñòðîåíèÿ èåðàðõè÷åñêèõ ìîäåëåé). Äàëåå, äëÿ êàæäîé çîíû ââîäèòñÿ îäíà (äåéñòâèòåëüíàÿ èëè êîìïëåêñíàÿ) ïåðåìåííàÿ Un , êâàäðàò êîòîðîé ðàâåí ýíåðãèè âñåõ ïóëüñàöèé, çàêëþ ÷åí-
110
íûõ â ñîîòâåòñòâóþ ù åé îáëàñòè âîëíîâîãî ïðîñòðàíñòâà (ðèñ.7.1). Âåëè÷èíó Un íàçûâàþ ò èíîãäà êîëëåêòèâíîé ïåðåìåííîé äëÿ âñåõ ïóëüñàöèé, ëåæàù èõ â âûäåëåííîì äèàïàçîíå âîëíîâûõ ÷èñåë. Äëÿ ïåðåìåííûõ Un òðåáóåòñÿ íàïèñàòü óðàâíåíèÿ, êîòîðûå áóäóò ìîäåëèðîâàòü «áàçîâûå ñâîéñòâà» óðàâíåíèé äâèæåíèÿ æèäêîñòè (êàê ïðàâèëî, ðå÷ü èäåò îá óðàâíåíèÿõ Í àâüå- Ñòîêñà äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè). Ï îä «áàçîâûìè» ñâîéñòâàìè ïîíèìàåòñÿ, êàê ìèíèìóì, âûïîëíåíèå çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ è êâàäðàòè÷íàÿ íåëèíåéíîñòü óðàâíåíèé. Îáù èé âèä êàñêàäíûõ óðàâíåíèé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå dtUn = å TnmlUmUl - KnUn + fn .
(7.2)
Êîíêðåòíûå ìîäåëè îòëè÷àþòñÿ, â îñíîâíîì, âèäîì ìàòðèöû íåëèíåéíûõ âçàèìîäåéñòâèé Tnml . Ï àðàìåòð q , îïðåäåëÿþ ù èé ø èðèíó îòäåëüíîé çîíû, êàê ïðàâèëî, âûáèðàþò ðàâíûì äâóì, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðàçáèåíèþ ïðîñòðàíñòâà âîëíîâûõ âåêòîðîâ íà îêòàâû. Äèññèïàòèâíîå ñëàãàåìîå çàïèñûâàåòñÿ â âèäå KnUn = kn 2Un , ïîâòîðÿþ ù åì âèä äèññèïàòèâíîãî ÷ëåíà óðàâíåíèÿ Í àâüå - Ñòîêñà â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå, à ïåðåìåííàÿ fn îïèñûâàåòäåéñòâèå âíåø íèõ ñèë âçàäàííîé îêòàâå âîëíîâûõ ÷èñåë.
7.2. Ì îäåëü Í îâèêîâà - Äåñíÿíñêîãî Êàñêàäíûå ìîäåëè ÿâëÿþòñÿ ñïåêòðàëüíûìè ìîäåëÿìè òóðáóëåíòíîñòè, òàê êàê îïèñûâàþ ò ïðîöåññû ïåðåíîñà ýíåðãèè ïî ñïåêòðó. Ï îêàæåì, êàê ïîëó÷èòü ïðîñòóþ êàñêàäíóþ ìîäåëü ñ ïîìîù üþ ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé Í àâüå - Ñòîêñà. Äëÿ ýòîãî çàïèø åì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò ïîëÿ ñêîðîñòè 2 ¶t v j = - (v k ¶k )v j - r - 1¶ j P + n¶kk vj ,
(7.3)
à ñêîðîñòü ïðåäñòàâèì â âèäå ðÿäà Ô óðüå ) r rr v j ( r ) = år v j ( k )e ik r .
(7.4)
k
Ï îäñòàâèì (7.4) â (7.3) ) r rr ¶t å v j ( p )e ipr = r p
) r
å å v ( p )e r p
r q
k
rr ipr
) r rr ) r rr ) r ( iqk )v j ( q )e iqr - r - 1 å ( ip j )P( p )e ipr - n å p 2 v j ( p ) r p
r p
111
r
rr
r
(çäåñü p è q - âîëíîâûå âåêòîðû) è, ïîñëå óìíîæåíèÿ óðàâíåíèÿ íà e - ikr , r èíòåãðèðóåì åãî ïî dr .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ) r ) r ) r r ) r ) r ¶t v j ( k ) = - i å vk ( k - q )qk v j ( q ) - ir - 1k j P( k ) - nk 2 v j ( k ) . r q
Ï îëüçóÿñü óðàâíåíèåì íåðàçðûâíîñòè, êîòîðîå â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå èìååòâèä k i vi = 0 ,
(7.5)
èñêëþ ÷èì èç óðàâíåíèÿ äàâëåíèå. Äëÿ ýòîãî óìíîæèì óðàâíåíèå íà k j è ïîñëå ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ) r r - 1 P( k ) = -
å r q
qk k l ) r r ) r vk ( k - q )vl ( q ) . k2
Ï îñëå ïîäñòàíîâêè ïîëó÷àåì kl k j æ ) r dlj - 2 ¶t v j ( k ) = - i å ç ç r k q è
r ö) r r ) r 2) ÷ v ( k q ) q v ( q ) k v ( k ). n k l j ÷k ø
(7.6)
Ñòðóêòóðà íåëèíåéíîãî ñëàãàåìîãî â (7.6) òàêîâà, ÷òî âî âçàèìîäåéñòâèÿõ )r r )r r )r r r âñåãäà ó÷àñòâóþ ò òðè ìîäû Ô óðüå v ( k ) , v ( q ) è v ( k - q ) - ýòî çíà÷èò, ÷òî âçàèìîäåéñòâóþ ò òðè âîëíû, âîëíîâûå âåêòîðû êîòîðûõ îáðàçóþò òðåóãîëüíèê. r Ðàññìîòðèì âûáîðêó âîëíîâûõ ÷èñåë, òàêèõ, ÷òî | k n |= k 0 2 n è âûáåðåì èç ñóììû (7.6) òîëüêî ñëàãàåìûå, îïèñûâàþ ù èå âçàèìîäåéñòâèÿ ñîîòâåòñòâóþ ù èõ ìîä. Í àáîð âîçìîæíûõ êîìáèíàöèé íà òàêîì íàáîðå âåêòîðîâ îãðàíè÷åí, òàê êàê èç íèõ ìîæíî ïîñòðîèòü òîëüêî ðàâíîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè, â êîòîðûõ îñíîâàíèå ìåíüø å èëè ðàâíî áîêîâûì ñòîðîíàì (âîçìîæåí, êîíå÷íî, è ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê, íî îí ñîîòâåòñòâóåò âçàèìîäåéñòâèÿì âíóòðè äàííîé îêòàâû âîëíîâûõ ÷èñåë, êîòîðûå â ðàìêàõ äàííûõ ìîäåëåé íå ðàññìàòðèâàþ òñÿ), è ïðåäåëüíûé ñëó÷àé, êîãäà äâå áîêîâûå ñòîðîíû âäâîå ìåíüø å îñíîâàíèÿ, è òðåóãîëüíèê âûðîæäàåòñÿ â ïðÿìóþ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè ìû ïðèìåì çà êàñêàäíûå ïåðåìåííûå ñîîò) r âåòñòâóþ ù èå ãàðìîíèêè Ô óðüå ( U n = v ( k n ) ), òî â ìàòðèöå Tnml óðàâíåíèÿ (7.2) îñòàíóòñÿ òîëüêî äèàãîíàëüíûå ÷ëåíû Tnmm è Tmnm ( m = n - 1, n + 1, n + 2,...... ).  ïðîñòåéø åì ñëó÷àå ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì ëèø ü ëîêàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé, òî åñòü âçàèìîäåéñòâèÿìè áëèæàéø èõ ñîñåäåé â öåïî÷êå. Òîãäà îäíà èçâîçìîæíûõ ôîðì ìîäåëüíûõ óðàâíåíèé åñòü
112
U&n = k n (U n2- 1 - bU nU n + 1 ) - nk 2U n .
(7.7)
Ö åïî÷êà óðàâíåíèé (7.7) è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êàñêàäíóþ ìîäåëü Í îâèêîâà - Äåñíÿíñêîãî16 - ïåðâóþ êàñêàäíóþ ìîäåëü òóðáóëåíòíîñòè. Óðàâíåíèÿ ñîäåðæàò îäíó êîíñòàíòó b , êîòîðàÿ âûáèðàåòñÿ, èñõîäÿ èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âñåé ñèñòåìû åñòü E = å En =
1 U n2 . å 2
(7.8)
Åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ïðè îòñóòñòâèè äèññèïàòèâíîãî ñëàãàåìîãî ñèñòåìà óðàâíåíèé (7.7) ñîõðàíÿëà ýíåðãèþ, òî èç ýòîãî óñëîâèÿ ëåãêî íàõîäèòñÿ çíà÷åíèå êîíñòàíòû: b = 2 . Àíàëîãîì ýíñòðîôèè â êàñêàäíîé ìîäåëè ÿâëÿåòñÿâåëè÷èíà W=
1 2 2 kn U n . å 2
(7.9)
Òðåáîâàíèå ñîõðàíåíèÿ ýíñòðîôèè (7.9) ïðèâîäèò ê çíà÷åíèþ êîíñòàíòû b =8. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ìîäåëü (7.7) ìîæåò îäíîâðåìåííî óäîâëåòâîðÿòü òîëüêî îäíîìó çàêîíó ñîõðàíåíèÿ. Óðàâíåíèÿ (7.7) èìåþò ñòàöèîíàðíûå ðåø åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþ ù èå íàëè÷èþ èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà. Ýòè ðåø åíèÿ ìîãóò ðåàëèçîâàòüñÿ ïðè ìàëîé âÿçêîñòè (áîëüø îì ÷èñëå Ðåéíîëüäñà) è äîëæíû èìåòüñòåïåííîé âèä a U n = U 0kn . (7.10) Í åòðóäíî óâèäåòü, ÷òî äëÿ k n = k 0 2 n ñòàöèîíàðíîå ðåø åíèå âèäà (7.10) âîçíèêàåòïðè a =-
log 2 b . 3
(7.11)
Ï ðè b = 2 (ñîõðàíÿåìîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ ýíåðãèÿ) ýòî äàåò ðåø åíèå -
n 3
U n = U 0 2 , à ïðè b = 8 (ñîõðàíÿåòñÿ ýíñòðîôèÿ) ðåø åíèå åñòü U n = U 0 2 - n . Ï åð-
âîå ðåø åíèå ñîîòâåòñòâóåò êîëìîãîðîâñêîìó ñïåêòðó äëÿ èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíåðãèè E (k ) ~ k - 5 / 3 , à âòîðîå - ñïåêòðó Êðåé÷íàíà E (k ) ~ k - 3 äëÿ èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíñòðîôèè, ðåàëèçóþ ù åìóñÿ â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè. Îòìåòèì, ÷òî åñëè ñïåêòð ýíåðãèè ïîä÷èíÿåòñÿñòåïåííîìó çàêîíó E (k ) ~ k l , òî ýíåðãèÿ îêòàâû n En =
kn + 1
òE (k )dk ~ k
l+ 1 n
,
(7.12)
kn 16
Äåñíÿíñêèé Â.Í ., Í îâèêîâ Å.À. Ì îäåëèðîâàíèå êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ â òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèÿõ // Ï ðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà, 1974. Ò.38. N.3. Ñ.507-513.
113
è èçñðàâíåíèÿ (7.12) ñ(7.10) ñëåäóåò, ÷òî a=
l+ 1 . 2
(7.13)
Ï ðîñòåéø ååîáîáù åíèå ìîäåëè (7.7) ñîñòîèò â äîáàâëåíèè äîïîëíèòåëüíîé ïàðû ÷ëåíîâ
[
]
U&n = k n U n2- 1 - 2U nU n + 1 + Ñ (U n - 1U n - 2U n2+ 1 ) - nk 2U n .
(7.14)
 óðàâíåíèÿõ ïîÿâëÿåòñÿ åù å îäèí ïàðàìåòð C , êîòîðûé, îäíàêî, íå ïîçâîëÿåò ïîñòàâèòü âòîðîå óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ, òàê êàê äâå íåëèíåéíûõ ïàðû ñëàãàåìûõ ïîäîáíû.
7.3. Ì îäåëü GOY Ê ìîäåëÿì âèäà (7.2) ìîæíî ïðèéòè ðàçëè÷íûìè ïóòÿìè. Áîëåå ôîðìàëèçîâàíûé ïóòü îñíîâàí íà ââåäåííîì À.Ì .Îáóõîâûì ïîíÿòèè ñèñòåìû ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà (ÑÃÒ). Ñèñòåìîé ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà íàçûâàåòñÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, óäîâëåòâîðÿþ ù àÿ ÷åòûðåì óñëîâèÿì: 1) â áåçäèññèïàòèâíîì ïðåäåëå ñèñòåìà ñîõðàíÿåòôàçîâûé îáúåì; 2) ñèñòåìà èìååò íå ìåíåå îäíîãî êâàäðàòè÷íîãî èíòåãðàëà äâèæåíèÿ; 3) óðàâíåíèÿ ñîäåðæàò êâàäðàòè÷íóþ íåëèíåéíîñòü; 4) ïðè ðàññìîòðåíèè äëèííûõ öåïî÷åê óðàâíåíèé, ïîñëåäíèå îãðàíè÷èâàþòñÿ ëîêàëüíûìè âçàèìîäåéñòèÿìè, òî åñòü âçàèìîäåéñòâóþò òîëüêî áëèæàéø èå ñîñåäè. Ï ðîñòåéø àÿ ÑÃÒ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðèïëåò. Ñîáèðàÿ öåïî÷êó èç îòäåëüíûõ òðèïëåòîâ, ìîæíî ïðèéòè ê ñèñòåìàì âèäà (7.2). Óäàåòñÿ ïîñòðîèòü ñèñòåìû ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà, îáëàäàþ ù èå íåñêîëüêèìè èíòåãðàëàìè äâèæåíèÿ. ÑÃÒ ñ äâóìÿ èíòåãðàëàìè äâèæåíèÿ áûëà ïîñòðîåíà â ðàáîòå17, à íà ååîñíîâå ïîçæå áûëà ïîñòðîåíà êàñêàäíàÿ ìîäåëü äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè âèäà18 2 U&n = k n (aU n - 2U n - 1 + bU n - 1U n + 1 + cU n + 1U n + 2 ) - nk n U n .
17
(7.15)
Ãëåäçåð Å.Á. Ñèñòåìà äèíàìè÷åñêîãî òèïà, äîïóñêàþ ù àÿ äâà êâàäðàòè÷íûõ èíòåãðàëà äâèæåíèÿ // Äîêëàäû Àêàäåìèè Í àóê CCCÐ, 1973. Ò.209. N.5. 18 Ãäåäçåð Å.Á., Ì àêàðîâ À.Ë. Î ïîñòðîåíèè êàñêàäíîé ìîäåëè äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè // È çâåñòèÿ À Í ÑÑÑÐ, Ô èçèêà àòìîñôåðû è îêåàíà, 1979. Ò.9. N.7.Ñ.899-906.
114
 ìîäåëè òèïà (7.15) â êàæäîì âçàèìîäåéñòâèè ó÷àñòâóþò òðè ñîñåäíèõ ÷ëåíà öåïî÷êè ïåðåìåííûõ Un . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðèöà Tnml íå ñîäåðæèò äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ - ýòî íå ñëó÷àéíî, òàê êàê äèàãîíàëüíûå ÷ëåíû íå ìîãóò îäíîâðåìåííî îáåñïå÷èòü ñîõðàíåíèå äâóõ êâàäðàòè÷íûõ âåëè÷èí. Óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äàåò óðàâíåíèå dt å En = å UnU&n = ..........+ n
n
+ kn- 1 (aUn- 3Un- 2Un- 1 + bUn- 2Un- 1Un + cUn- 1UnUn+ 1 ) + + kn (aUn- 2Un- 1Un + bUn- 1UnUn+ 1 + cUnUn+ 1Un+ 2 ) +
(7.16)
+ kn+ 1 (aUn- 1UnUn+ 1 + bUnUn+ 1Un+ 2 + cUn+ 1Un+ 2Un+ 3 ) + +
............... = 0,
êîòîðîå âûïîëíÿåòñÿ, åñëè ðàâíà íóëþ ñóììà êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäèíàêîâûõ êîìáèíàöèÿõ ïåðåìåííûõ (â óðàâíåíèè ñîîòâåòñòâóþ ù àÿ òðîéêà ÷ëåíîâ âûäåëåíà ïîä÷åðêèâàíèåì). Òîãäà óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè åñòü k n - 1c + k n b + k n + 1 a = 0 ,
(7.17)
à óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ ýíñòðîôèè àíàëîãè÷íûì îáðàçîì äàåò k n- 1 c + k n b + k n+ 1 a = 0 . 3
3
(7.18)
3
Îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ îñòàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì. Ï îëàãàÿ, íàïðèìåð, c = 1 , ïîëó÷àåì a=
1 , 16
b=-
5 . 8
(7.19)
Óðàâíåíèå (7.15) èìååò äâà ñòàöèîíàðíûõ ðåø åíèÿ âèäà (7.10). Ï îäñòàâëÿÿ (7.10) â (7.15) è îáîçíà÷àÿ 2 3a = x , ïîëó÷àåì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, êîðíè êîòîðîãî ( x1 = 1 / 2 , x2 = 1 / 8 ) äàþ ò a 1 = - 1 / 3 , a 2 = - 1 . Ýòè ðåø åíèÿ ñîîòâåòñòâóþò äâóì ñïåêòðàëüíûì çàêîíàì, ïðåäñêàçûâàåìûì äëÿ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ñîîáðàæåíèÿìè ðàçìåðíîñòè. Óïîìÿíåì è òðåòèé ïóòü ïîëó÷åíèÿ êàñêàäíûõ ìîäåëåé, êîòîðûé îñíîâàí íà ðåäóêöèè èåðàðõè÷åñêîé ìîäåëè. È äåÿ ýòîãî ïîäõîäà ñîñòîèò âî ââåäåíèè îäíîé àìïëèòóäíîé õàðàêòåðèñòèêè äëÿ âñåõ ôóíêöèé âûäåëåííîãî ÿðóñà (ìàñø òàáà) è âû÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû íåëèíåéíûõ âçàèìîäåéñòâèé íà îñíîâå îöåíêè ñðåäíåãî ðåçóëüòàòà âçàèìîäåéñòâèÿ òðåõ âèõðåé ñîîòâåòñòâóþ ù èõ ìàñø òàáîâ ïðè èõ ðàçëè÷íîì âçàèìíîì ïîëîæåíèè. Ï ðåèìóù åñòâî òàêîãî ïîäõîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî íå òðåáóåòñÿ èñêóññòâåííî îãðàíè÷èâàòüñÿðàññìîòðåíèåì òîëüêî ëîêàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé.
115
Êàñêàäíàÿ ìîäåëü òàêîãî òèïà áûëà âïåðâûå ïîñòðîåíà â ðàáîòå19 äëÿ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè (äâóìåðíàÿ òóðáóëåíòíîñòü ïðèâëåêàòåëüíà íàëè÷èåì âòîðîãî ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà äâèæåíèÿ, êîòîðûé ïîçâîëÿåò èçáåæàòü íåîïðåäåëåííîñòè ïðè âûâîäå óðàâíåíèé). Óðàâíåíèÿ ìîäåëè èìåþ ò âèä J
U&n = å (Tn ,n j =1
U n-
j - 1, n - 1
U n - 1 + Òn , n -
j- 1
U n - j U n + 1 + Tn , n +
j ,n + 1
U n + jU n +
j ,n + j + 1
) - nk n U n 2
j+ 1
(7.20)
è ïðè J = 1 ñîâïàäàþ ò ñ óðàâíåíèÿìè (7.15). Í àëè÷èå äâóõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ïîçâîëÿåò ïåðåïèñàòü (7.20) â âèäå J æ 22 j - 1 U&n = kn å Tj ç ç 2 2 j + 3 - 2 U nj =1 è
3 ×2 j + Un+ jUn+ 4 - 2- 2 j
Un- 1 + Un- jUn+ 1 +
j- 1
ö 2 j+ 1 ÷ ÷ - nkn Un , ø
(7.21)
ñîäåðæàù åì òîëüêî âåëè÷èíû T j = T0, - j ,1 . Ï åðâûå æå ïîïûòêè ÷èñëåííûõ ðåø åíèé êàñêàäíûõ óðàâíåíèé ïîêàçàëè, ÷òî ñòàöèîíàðíûå ðåø åíèÿ íå óñòîé÷èâû.  êà÷åñòâå ïðèìåðà, íà ðèñ.7.2 ïîêàçàíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ðåø åíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (7.21) ñ çàäàííûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè è íóëåâîé âÿçêîñòüþ. Í à ãðàôèêå ïîêàçàíû çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ U n (íà êàðòèíêå ñòîèò îáîçíà÷åíèå AN ) äëÿ ðàçëè÷íûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè.  íà÷àëüíûé ìîìåíò ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè èìååò ìàêñèìóì íà ïðîìåæóòî÷íûõ ìàñø òàáàõ (êðèâàÿ à). Êðèâàÿ á ñîîòâåòñòâóåò ìîìåíòó âðåìåíè, êîãäà â ìåëêîìàñø òàáíîé ÷àñòè ñïåêòðà çàêàí÷èâàåòñÿ óñòàíîâëåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ U n ~ 2 - n , îòâå÷àþ ù åãî ñïåêòðó E (k ) ~ k - 3 . Êðèâàÿ â ôèêñèðóåò íà÷àëî ðàçâèòèÿ íåóñòîé÷èâîñòè, íà÷èíàþ ù åéñÿ íà ìàëûõ ìàñø òàáàõ. Ï îñëåäíÿÿ êðèâàÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî ê ìîìåíòó, êîãäà íà áîëüø èõ ìàñø òàáàõ óñòàíàâëèâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå âèäà U n ~ 2 - n / 3 ( E (k ) ~ k - 5 / 3 ), íåóñòîé÷èâîñòü äîñòèãàåò ãðàíèöû äâóõ èíòåðâàëîâ. 19
Ðèñ.7.2
Ô ðèê Ï .Ã. È åðàðõè÷åñêàÿ ìîäåëü äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè // Ì àãíèòíàÿ ãèäðîäèíàìèêà. 1983. N.1. C.60-66.
116
Í à ðèñ.7.3 ïðèâåäåí ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèé ñ ó÷åòîì âÿçêîñòè. Ï îêàçàíû äâà ìîìåíòà âðåìåíè: ÷åðíûå òî÷êè ôèêñèðóþò ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóä íà ìîìåíò óñòàíîâëåíèÿ ñòåïåííîãî çàêîíà â ìåëêîìàñø òàáíîé ÷àñòè ñïåêòðà, à ñâåòëûå - íà ìîìåíò ôîðìèðîâàíèÿ ñòåïåííîãî çàêîíà â êðóïíîìàñø òàáíîé ÷àñòè ñïåêòðà è íà÷àëà ðàçâèòèÿ íåóñòîé÷èâîñòè ðåø åíèÿ. Âèäíî, ÷òî ââåäåíèå âÿçêîñòè ñòàáèëèçèðóåò ïðàâûé êðàé èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà è âîçìóù åíèÿ íà÷èíàþò ðàçâèâàòüñÿ, õîòÿ è ìåäëåííåå, íà åãî ëåâîì êðàþ . ×èñëåííûå ðåø åíèÿ êàñêàäíûõ óðàâíåíèé íà áîëüø èõ èíòåðâàëàõ âðåìåíè ïîêàçûâàþò, ÷òî êàñêàäíûå ïåðåìåííûå ñîâåðø àþò ñòîõàñòè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, àñòåïåííûåçàêîíû ðåàëèçóþ òñÿ â ñðåäíåì. È ìåííî óðàâíåíèÿ âèäà (7.15) ïîëó÷èëè íàèáîëüø ååðàñïðîñòðàíåíèå â ìîäåëèðîâàíèè êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè. È íòåðåñ ê íèì áûë âûçâàí ðàáîòîé20, â êîòîðîé âïåðâûå â ðàìêàõ òàêèõ ìîäåëåé èññëåäîâàëîñü ïîâåäåíèå ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé âûñø èõ ïîðÿäêîâ.  öèòèðóåìîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàëèñü êîìïëåêñíûå ïåðåìåííûå U n , à óðàâíåíèÿ (7.15) áûëè çàïèñàíû â âèäå e ( e - 1) * * ö æ 2 U&n = ikn çU n* + 1U n* + 2 - U n* - 1U n* + 1 + U n - 2U n - 1 ÷ - nkn U n . 2 4 è ø
(7.22)
 òàêîì âèäå ñèñòåìà ñîäåðæèò ñâîáîäíûé ïàðàìåòð e , ïðè÷åì íåçàâèñèìî îò åãî çíà÷åíèÿ ñèñòåìà îáåñïå÷èâàåò ñîõðàíåíèå ýíåðãèè. È íòåðå-
Ðèñ.7.3 20
Yamada M., Okhitani K. // J. Physical Society of Japon, 1987. V.56. P.4210.
117
ñóÿñü îáû÷íîé òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòüþ , àâòîðû âûáðàëè äëÿ ýòîãî ïàðàìåòðà çíà÷åíèå e = 1 / 2 . Ï ðè e = 5 / 4 óðàâíåíèÿ (7.22) ñîâïàäàþò ñ ìîäåëüþ Ãëåäçåðà (7.15). Ýòà ìîäåëü èçâåñòíà ïîä èìåíåì GOY (GledzerOhkitani-Yamada) è ÿâëÿåòñÿ íà ñåãîäíÿ íàèáîëåå èññëåäóåìîé êàñêàäíîé ìîäåëüþ òóðáóëåíòíîñòè. Ñâîéñòâà ýòîé ìîäåëè îáñóäèì áîëåå ïîäðîáíî. Ðàññìîòðèì êâàäðàòè÷íóþ âåëè÷èíó W = å z n | U n |2 n
è çàïèø åì óñëîâèå åå ñîõðàíåíèÿ
(
)
W& = å z n U n*U&n + ê.ñ. = n
e e- 1 æ ö = ........ + içk n - 1 z n - 1 - k n z n + k n + 1 z n + 1 ÷U n*- 1U n*U n*+ 1 + ....... = 0. 2 4 è ø
Ï ðè âûáðàííîì ðàçáèåíèè (k n = 2 n ) óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ, åñëè ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå 1 - ez + (e - 1) z 2 = 0 , èìåþ ù ååäâà êîðíÿ z1 = 1, z2 =
1 . e- 1
Ï åðâûé êîðåíü íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðà e è ñîîòâåòñòâóåò ñîõðàíåíèþ ýíåðãèè ( W1 = E = å | U n | 2 ). Âòîðîé êîðåíü ñîîòâåòñòâóåò êâàäðàòè÷íîé âåëè÷èíå W2 = å (e - 1) - n | U n | 2 , êîòîðàÿ èìååò ðàçëè÷íûé ñìûñë ïðè e > 1 è e < 1 .  ïåðâîì ñëó÷àå êâàäðàòè÷íàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé è ìîæåòáûòü ïåðåïèñàíà â âèäå l W2 = W = å k n | U n | 2 , (7.23) ãäå l = - log 2 | e - 1 | . (7.24) Âåëè÷èíà (7.23) ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê îáîáù åííàÿ ýíñòðîôèÿ (îíà ñîâïàäàåòñîáû÷íîé ýíñòðîôèåé ïðè e = 5 / 4 ). Âî âòîðîì ñëó÷àå, êîãäà e < 1 , ñîõðàíÿåòñÿâåëè÷èíà l W 2 = H = å (- 1) n k n | U n | 2 (7.25) ñ ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè, òàêæå îïðåäåëÿåìûì ïî ôîðìóëå (7.24). Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ñîõðàíÿåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå çíàêîïåðåìåííàÿ âåëè÷èíà. Åå íàçûâàþ ò îáîáù åííîé ñïèðàëüíîñòüþ , òàê êàê ñîõðàíÿåìûìè çíàêîïåðåìåííûìè êâàäðàòè÷íûìè ôîðìàìè â ãèäðîäèíàìèêå ÿâëÿþ òñÿ èìåííî ñïèðàëüíîñòè (ïîìèìî óïîìèíàâø åéñÿ â ãëàâå 4 ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñïèðàëü-
118
íîñòè, â ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêå âàæíóþ ðîëü èãðàþ ò ìàãíèòíàÿ ñïèðàëüíîñòü è ïåðåêðåñòíàÿ ñïèðàëüíîñòü). Ï ðè e = 1 / 2 ðàçìåðíîñòü ýòîé âåëè÷èíû ñîâïàäàåò ñ ðàçìåðíîñòüþ ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñïèðàëüíîñòè. Ëþ áîïûòíî îòìåòèòü, ÷òî ñàì ôàêò íàëè÷èÿ ýòîãî èíòåãðàëà â ñèñòåìå óðàâíåíèé (7.22) áûë îáíàðóæåí çíà÷èòåëüíî ïîçæå ðàáîòû Îõèòàíè è ßìàäû, â êîòîðîé èìåííî ýòî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà áûëî âûáðàíî, ïî-âèäèìîìó, ñëó÷àéíî. Í èæå ìû óâèäèì, ÷òî òîëüêî ïðè ýòîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà e è äîñòèãàåòñÿ òî çàìå÷àòåëüíîå ñîâïàäåíèå ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìîäåëè è ðåàëüíîé òóðáóëåíòíîñòè, êîòîðîå ïðèâëåêëî ø èðîêèé èíòåðåñ ê êàñêàäíûì ìîäåëÿì. Ñèñòåìà (7.22) èìååò äâà ñòàöèîíàðíûõ ðåø åíèÿ âèäà U n = U 0 k n a , çàâèñÿù èõ îò ïàðàìåòðà e . Ï îäñòàâëÿÿ (7.10) â (7.22) è îáîçíà÷àÿ 2 3a = x , ëåãêî ïîëó÷àåì èñêîìûå ðåø åíèÿ a1 = -
1 , 3
1 e- 1 . a 2 = log 2 2 3
(7.26)
Ï åðâîå ðåø åíèå ñîîòâåòñòâóåò êîëìîãîðîâñêîìó ñïåêòðó k - 5 / 3 è ïðèñóòñòâóåò â ñèñòåìå ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà. ×èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (7.22) ïîêàçàëè, ÷òî ïðè e < e1 = 0.384 êîëìîãîðîâñêîå ðåø åíèå ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì ôîêóñîì ñèñòåìû. Ï ðè e = e1 èìååò ìåñòî áèôóðêàöèÿ Õîïôà, à ïðè e = e2 = 0.395 ïðîèñõîäèò íîâàÿ áèôóðêàöèÿ, ïîñëå êîòîðîé â ñèñòåìå âîçíèêàåòõàîñ. Åù å ðàç îòìåòèì, ÷òî òî÷êà e = 1 ÿâëÿåòñÿ îñîáîé òî÷êîé íà îñè çíà÷åíèé ïàðàìåòðà.  ýòîé òî÷êå ìåíÿåòñÿ òèï èíòåãðàëà äâèæåíèÿ, à ïðè ïðèáëèæåíèè ê íåé èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ ñòàíîâèòñÿ âåëè÷èíà (7.23) èëè (7.25) ñ ïîêàçàòåëåì l ® ¥ . Ýòî çíà÷èò, ÷òî íè î êàêîì êàñêàäå â ñèñòåìå íå ìîæåò áûòü è ðå÷è. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî â òî÷êå e = 2 îáà ðåø åíèÿ (7.26) ñîâïàäàþò, à åäèíñòâåííûì èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ýíåðãèÿ ((7.23) ñîâïàäàåò ñýíåðãèåé).
119
7.4. Ñêåéëèíã è ïåðåìåæàåìîñòü â êàñêàäíûõ ìîäåëÿõ ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè  ïàðàãðàôå 4.6.3 áûëà îïèñàíà ìîäåëü ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè Ø ËÄ (Ø å - Ëåâåê - Äþáðþ ëü), ïðåòåíäóþ ù àÿ íà òî, ÷òî èìåþ ù èåñÿ â íåé ïàðàìåòðû ïîçâîëÿþò îïèñàòü ø èðîêèé êëàññ òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèé (íàïîìíèì, ÷òî ïðåäø åñòâîâàâø àÿ åé ìîäåëü Ø å - Ëåâåêà áûëà ñòðîãî îðèåíòèðîâàíà íà îïèñàíèå ÷èñòî ãèäðîäèíàìè÷åñêîé òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè). Ï åðâîå òåñòèðîâàíèå ìîäåëè Ø ËÄ íà óíèâåðñàëüíîñòü áûëî âûïîëíåíî ñ ïîìîù üþ êàñêàäíîé ìîäåëè (7.22) â ðàáîòå21. Êàñêàäíàÿ ìîäåëü òèïà GOY äàåò ïðåêðàñíóþ âîçìîæíîñòü äëÿ òàêîãî òåñòà, òàê êàê ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü öåëûé êëàñññèñòåì ñ ðàçëè÷íûìè çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ. Âî âñåõ ìîäåëÿõ ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè (è/èëè ïåðåìåæàåìîñòè) ðàññìàòðèâàþ òñÿ ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ïîëÿ ñêîðîñòè.  êàñêàäíîé ìîäåëè ñòðóêòóðíîé ôóíêöèåé ïîðÿäêà q ÿâëÿåòñÿâåëè÷èíà S q =< U n > ,
(7.27)
q
ãäå óãëîâûå ñêîáêè îçíà÷àþ ò óñðåäíåíèå ïî âðåìåíè. Í àïîìíèì, ÷òî äëÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé ïðåäïîëàãàåòñÿ íàëè÷èå ñòåïåííûõ çàêîíîâ âèäà S q ~ l V , à èñïîëüçîâàâø àÿñÿ â ìîäåëè Ø ËÄ ðàñø èðåííàÿ àâòîìîäåëüíîñòü óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó ëþáîé ïàðîé ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé â âèäå q
Sq ~ S p
Vq / Vp
.
(7.28)
Ì û âèäåëè, ÷òî ðàñø èðåííàÿ àâòîìîäåëüíîñòü ïîçâîëÿåò ïîâûñèòü òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ ñêåéëèíãîâûõ ïîêàçàòåëåé Vq . Ðèñ.7.4 ïîêàçûâàåò, ÷òî ðàñø èðåííàÿ àâòîìîäåëüíîñòü ïðîÿâëÿåò ñåáÿ â ïîëíîé ìåðå è â êàñêàäíûõ ìîäåëÿõ. Äëÿ ñëó÷àÿ e = 5 / 4 íà ðèñ.7.4,à ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü âå21
Ðèñ.7.4
Frick P.G., Babiano A., Dubrulle B. Scaling properties of a class of shell models // Physical Review E, 1995. Vol.51. P.5582-5593.
120
ëè÷èí Vq îò íîìåðà ÿðóñà n (òî åñòü îò ìàñø òàáà) äëÿ ø èðîêîãî èíòåðâàëà q (âïëîòü äî 25). Çàìåòèì, ÷òî íè ýêñïåðèìåíò, íè ïðÿìîå ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå íå ìîãóò îáåñïå÷èòü íè òàêîãî äèàïàçîíà ìàñø òàáîâ, íè òàêîãî âûñîêîãî ïîðÿäêà q . Ì îæíî âèäåòü, ÷òî äàæå äëÿ íèçêèõ ïîðÿäêîâ çíà÷åíèå ñêåéëèíãîâûõ ïîêàçàòåëåé ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, íà÷èíàÿ ñ ñàìîãî íà÷àëà èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà. Í à ðèñ.7.4,á ïîêàçàíû îòíîñèòåëüíûå ïîêà~ = V / V . ßñíî âèäíî, çàòåëè V q q 3 ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïîÿâëÿåòñÿ ø èðîêèé èíòåðâàë ìàñø òàáîâ, â êîòîðîì ïîêàçàòåëè ñîõðàíÿþò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå (ãîðèçîíòàëüíûå ëèíèè íà ãðàôèêàõ). Ö åíòðàëüíîé âåëè÷èíîé âî âñåõ ìîäåëÿõ ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè, íà÷èíàÿ ñ òåîðèè Êîëìîãîðîâà, ÿâëÿåòñÿ ñêîðîñòü Ðèñ.7.5 äèññèïàöèè ýíåðãèè, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ïîòîê ýíåðãèè, ïðîíèçûâàþ ù èé âåñü èíåðöèîííûé èíòåðâàë è, êàê ñëåäñòâèå, îïðåäåëÿåò äèíàìèêó ïîñëåäíåãî.  ãëàâå 5 ìû óæå îñòàíàâëèâàëèñü íà âîïðîñå î òîì, ÷òî ðåàëüíîé âåëè÷èíîé, îïðåäåëÿþ ù åé äèíàìèêó èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà, ÿâëÿåòñÿ íå ñêîðîñòü äèññèïàöèè, à ñàì ïîòîê ýíåðãèè, êîòîðûé ê òîìó æå íå âñåãäà ïîñòîÿíåí âäîëü èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà.  êàñêàäíîé ìîäåëè ïîòîê ýíåðãèè, ïðîõîäÿù åé ÷åðåç ìàñø òàá n (òî÷íåå, ýíåðãèÿ, ïåðåäàâàåìàÿ îò âñåõ ÿðóñîâ ñ m < n ÿðóñàì ñ m ³ n ), åñòü ì æe - 1 1 öü P n = å E n = Im ík n ç U n - 2U n - 1U n - U n - 1U nU n + 1 ÷ý . 2 øþ m³n î è 4
(7.29)
Åñëè êîìïëåêñíûå ïåðåìåííûå çàïèñàòü â âèäå U n = r n e if , òî âûðàæåíèå(7.29) ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó n
1 æe - 1 ö P n = kn ç Q n - 1 - Q n ÷, 2 è 4 ø
ãäå Q n = r n - 1 r n r n + 1 sin(fn - 1 + fn + fn + 1 ) .
(7.30)
121
Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì îñíîâíûå ãèïîòåçû ìîäåëè Ø ËÁ â òåðìèíàõ êàñêàäíûõ ïåðåìåííûõ. Ï åðâàÿ ãèïîòåçà - ãèïîòåçà ïîäîáèÿ (4.90), äåêëàðèðóþ ù àÿ íàëè÷èå îäèíàêîâûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ, ïðèíèìàåò ôîðìó rn
3
rn
3
stat
=
| P n | stat | Q n | = . | Pn | |Qn |
(7.31)
 êà÷åñòâå áåçðàçìåðíîé õàðàêòåðèñòèêè ïîòîêà ýíåðãèè ïî ñïåêòðó (4.89) â äàííîì ñëó÷àå âûñòóïàåò âåëè÷èíà pn =
ãäå Pn
| Pn | , P (¥ )
(¥ )
= lim
(7.32) | P n | p+ 1
p® ¥
| Pn |p
.
(7.33)
Âòîðàÿ ãèïîòåçà - ãèïîòåçà îá èåðàðõèè ìîìåíòîâ áåçðàçìåðíîãî ïîòîêà ýíåðãèè (4.91) ñîõðàíÿåò ñâîé âèä pn
p+ 1
pp
æ pn p ç = Ap ç ç p n p- 1 è
b
ö ÷ , ÷ ÷ ø
(7.34)
à òðåòüÿ (ãèïîòåçà î ïåðåìåæàåìîñòè) - çàïèñûâàåòñÿêàê p n ~ rn
3 D
.
(7.35)
Í àïîìíèì, ÷òî ðåçóëüòàòîì ïðèìåíåíèÿ òðåõ ãèïîòåç ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà äëÿ ñêåéëèíãîâûõ ýêñïîíåíò 1- b q/3 q Vq = (1 - D )+ D . 1- b 3
Ðèñ.7.6 (7.36)
Ï ðîâåðêà ïåðâîé ãèïîòåçû òðåáóåò ñîïîñòàâëåíèÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè äëÿ âñåõ òðåõ âåëè÷èí.  ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ñðàâíåíèåì íèçø èõ ìîìåíòîâ, èëè êîýôôèöèåíòîâ àñèììåòðèè è ýêñöåññà. Çàâèñèìîñòü àñèììåòðèè è ýêñöåññà âñåõ âåëè÷èí îò ìàñø òàáà (íîìåðà ÿðóñà) ïðèâåäåíà íà ðèñ.7.5 äëÿ ñëó÷àÿ e = 0.5 .
122
Òî÷êè, ïðèíàäëåæàù èå ðàçëè÷íûì âåëè÷èíàì, õîðîø î ñîâïàäàþ ò. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ìîäåëü äåìîíñòðèðóåò ñóù åñòâåííûé ðîñò íåðàâíîìåðíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñ ðîñòîì âîëíîâîãî ÷èñëà - êîýôôèöèåíò ýêñöåññà âîçðàñòàåò â 1000 ðàç. Ðèñ.7.6 ïîêàçûâàåò ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè âòîðîé ãèïîòåçû.  äâîéíîì ëîãàðèôìè÷åñêîì ìàñø òàáå ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü âåëè÷èí < p np + 1 > / < p np > îò ñîîòâåòñòâóþù èõ çíà÷åíèé < p np > / < p np - 1 > . Âåðõíèé ãðàôèê ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ e = 0.42 (ïàðàìåòð íåçíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò çíà÷åíèå, ïðè êîòîðîì íàñòóïàåò ñòîõàñòèçàöèÿ ðåø åíèé) è ïîêàçûâàåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå, ãèïîòåçà íå Ðèñ.7.7 âûïîëíÿåòñÿ - ãðóïïû òî÷åê, îòíîñÿù èåñÿ ê ìîìåíòàì ðàçëè÷íîãî ïîðÿäêà, îáðàçóþò îòðåçêè ñ ðàçíûìè óãëàìè íàêëîíà. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ ñîõðàíÿåòñÿ äëÿ e < 0.45 . Ï ðè áîëüø èõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà (ïîêàçàíû ñëó÷àè: b) e = 0,7 ; c) e = 1,25 ; d ) e = 3,0 ñîîòíîø åíèå (7.34) õîðîø î âûïîëíÿåòñÿ - âñå òî÷êè ëîæàòñÿ íà îáù óþ ïðÿìóþ , íàêëîí êîòîðîé ïîçâîëÿåò îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü ñîîòâåòñòâóþ ù ååçíà÷åíèå ïàðàìåòðà b . Ðèñ.7.7 êàñàåòñÿ ïðîâåðêè òðåòüåé ãèïîòåçû. Îí äàåò çàâèñèìîñòü áåçðàçìåðíîãî ïîòîêà ýíåðãèè îò ñòðóêòóðíîé ôóíêöèè òðåòüåãî ïîðÿäêà äëÿ òðåõ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà e . Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ìîæíî âûäåëèòü ïðÿìîé ó÷àñòîê, ñîîòâåòñòâóþ ù èé ñòåïåííîìó çàêîíó (7.35), è îïðåäåëèòü çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà D . Âåðõíÿÿ ãðóïïà òî÷åê ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ e = 5 / 4 (ïðè ýòîì ìîäåëèðóåòñÿ èíåðöèîííûé èíòåðâàë ïåðåíîñà ýíñòðîôèè â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè). Òî÷êè ëåæàò ïî÷òè ãîðèçîíòàëüíî ( D = 0.013 ), ÷òî ãîâîðèò îá î÷åíü íèçêîì Ðèñ.7.8 óðîâíå ïåðåìåæàåìîñòè. Ýòîò
123
ðåçóëüòàò õîðîø î ñîãëàñóåòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè ïðè îáðàáîòêå äàííûõ ïðÿìîãî ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíñòðîôèè â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè (ïàðàãðàô 5.4). Ðåçóëüòàòû îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ D è b ñóììèðóåò ðèñ.7.8, íà êîòîðîì ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü ýòèõ âåëè÷èí îò ïàðàìåòðà ìîäåëè e (íàïîìíèì, ÷òî ýòîò ïàðàìåòð ñâÿçàí ñ çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ). Í à ðèñóíêå ðàçäåëåíû ðåçóëüòàòû äëÿ e < 1 è e > 1 , òàê êàê ñâîéñòâà ñèñòåìû â ýòèõ äâóõ îáëàñòÿõ îòëè÷àþ òñÿ ïðèíöèïèàëüíî, î ÷åì ñâèäåòåëüñòâóåòè ðèñ.7.8. Ï îñëåäíèé ðèñ.7.9 ïîêàçûâàåò ðåçóëüòàòû íåïîñðåäñòâåííîãî âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè äëÿ ïîòîêà ýíåðãèè P (p n ) ïðè äâóõ çíà÷åíèÿõ e : à) e = 0.42 , á) e = 3.0 . Í à îáîèõ ãðàôèêàõ ïóíêòèðîì ïðîâåäåíà ëèíèÿ, ñîîòâåòñòâóþ ù àÿ ëîã-ïóàññîíîâñêîìó ðàñïðåäåëåíèþ .  ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äàëåêà îò ýòîé êðèâîé (÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ ðèñ.7.6,à), â òî âðåìÿ êàê íà âòîðîì - ñîâïàäåíèå äîñòàòî÷íî õîðîø åå. Âèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåñèììåòðè÷íà (íàïîìíèì, ÷òî ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå â òàêîì ïðåäñòàâëåíèè äîëæíî áûëî áû äàòü ñèììåòðè÷íóþ ïàðàáîëó).  çàêëþ ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ b è D ïðè ïîäñòàíîâêå â ôîðìóëó (7.36) äàëè çíà÷åíèÿ Vq , ñîâïàäàþ ù èå ñ òî÷íîñòüþ íå íèæå10% ñî çíà÷åíèÿìè, ïîëó÷åííûìè íåïîñðåäñòâåííî ïî ðàñ÷åòàì íàêëîíà ãðàôèêîâ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé. Ï îäòâåðæäåíèå ôîðìóëû (7.36) ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíîé ïðîâåðêîé ðàáîòîñïîñîáíîñòè ìîäåëè òóðáóëåíòíîñòè Ø ËÄ. Ðèñ.7.9
124
7.5 Ì îäåëü êîíâåêòèâíîé òóðáóëåíòíîñòè Ðàññìîòðèì òóðáóëåíòíûå òå÷åíèÿ, îïèñûâàåìûå â ðàìêàõ ïðèáëèæåíèÿ Áóññèíåñêà äëÿ òåðìîãðàâèòàöèîííîé êîíâåêöèè íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ çàïèø åì â áåçðàçìåðíîé ôîðìå r r r r r ¶t u + ( u ×Ñ )u = - Ñ P + Gr - 1/ 2 Du + eT , r ¶t T + u ×Ñ T = s- 1Gr - 1/ 2 DT , r Ñ ×u = 0 , r
(7.36) (7.37) (7.38)
r
ãäå u - ñêîðîñòü, P - äàâëåíèå, T - òåìïåðàòóðà, e - åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü âåðòèêàëüíîé îñè, Gr = gbL3T * n- 2 - ÷èñëî Ãðàññãîôà,s = n c - ÷èñëî Ï ðàíäòëÿ, n - êèíåìàòè÷åñêàÿ âÿçêîñòü, c - òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòü.  êà÷åñòâå åäèíèöû äëèíû âûáðàí ìàêðîìàñø òàá L, åäèíèöû òåìïåðàòóðû - õàðàêòåðíàÿ äëÿ ýòîãî ìàñø òàáà ðàçíîñòü òåìïåðàòóðû T * , åäèíèöû ñêîðîñòè V = ( gbLT * )1/ 2 è åäèíèöû âðåìåíè - t=L/V. Ï ðè âûáðàííîé åäèíèöå ñêîðîñòè ÷èñëî Ãðàññãîôà ïðîñòî ñâÿçàíî ñ ÷èñëîì Ðåéíîëüäñà Gr = V 2 L2 n- 2 = Re 2 . Ì û ïîñòðîèì êàñêàäíóþ ìîäåëü, ïîçâîëÿþ ù óþ ðàññìîòðåòü ñïåöèôèêó êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ âáëèçè ìàñø òàáà Áîëäæèàíî â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè (ñìîòðè ïàðàãðàô 5.5), à òàêæå êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ ïðè î÷åíü íèçêèõ è î÷åíü âûñîêèõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà Ï ðàíäòëÿ. Ýòè çàäà÷è âûáðàíû ïîòîìó, ÷òî ÿâëÿþòñÿ ïðèìåðîì ñëó÷àÿ, êîãäà ðàññìîòðåíèå íåëîêàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé ñòàíîâèòñÿ ïðèíöèïèàëüíûì è ìîäåëü òèïà GOY ìîæåòïðèâåñòè ê íåïðàâèëüíûì ðåçóëüòàòàì. Êàñêàäíàÿ ìîäåëü äëÿ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè, âêëþ ÷àþ ù àÿ íåëîêàëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ, áûëà ïîñòðîåíà â ðàáîòå 22 è èìåëà âèä d t U n = å Tn ,m ,l U mU l - Re - 1 k n2U n + Fn Q n ,
(7.39)
m ,l
d t Q n = å H n ,m ,l U m Q l - k n2 ( s Re) - 1 Q n ,
(7.40)
m ,l
ãäå Fn = F0 2 n , Tn ,m,l = 2 N T0,m- n ,l - n , H n ,m,l = 2 N H 0,m- n ,l - n , à çíà÷åíèÿ ýëåìåíòîâ äëÿ öåíòðàëüíûõ ÷àñòåé ìàòðèö T0,m,l è H 0,m,l ïðèâåäåíû â òàáëèöàõ. Ñòðóêòóðà ìàòðèö ñëåäóåò èç ðàçáèåíèÿ ïðîñòðàíñòâà âîëíîâûõ âåêòîðîâ íà îêòàâû è 2 èç òðåáîâàíèÿ ñîõðàíåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè EV = å n U n , ýíñòðîôèè W=
22
å
2
2n U n è ýíåðãèè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû E T = n
å
2
2n Q n . n
Ô ðèê Ï .Ã. Ì îäåëèðîâàíèå êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè // Æ óðíàë ïðèêëàäíîé ìåõàíèêè è òåõíè÷åñêîé ôèçèêè. 1986. N.2. Ñ.71-79.
125
T0,m ,l l \m
4 3 2 1 0 1 2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3 0.155
0.242 0.431 -0.0088
-0.0257
-0.0796
0.0032
0.0096
0.0269
-0.269
H 0,m ,l l\m
4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-0.0058
-0.0145
-0.0374
-0.0996
-0.221
-0.125 -0.365
0.0018
0.00468
0.0125
0.0277 0.00196 0.00018 0.00001
0.0457 0.0113 0.00291 0.00073
0.0181 0.00239 0.00030 0.00004
-0.0941 -0.720 -0.145
3 -0.0537 -1.493 -0.153
Ýòà ìîäåëü áûëà ìîäèôèöèðîâàíà â ðàáîòå 23. Âî-ïåðâûõ, â ðàññìîòðåíèå áûëè ââåäåíû êîìïëåêñíûå ïåðåìåííûå, èñïîëüçîâàíèå êîòîðûõ ñóù åñòâåííî ñíèæàåò âðåìÿ èíòåãðèðîâàíèÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ ïîëó÷åíèÿ óñòîé÷èâûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê. Âî-âòîðûõ, â ìàòðèöå H n ,m,l áûëè îñòàâëåíû òîëüêî ÷ëåíû, îïèñûâàþ ù èå ãåíåðàöèþ íåîäíîðîäíîñòåé òåìïåðàòóðû êðóïíîìàñø òàáíûì ïîëåì ñêîðîñòè (ñòðîêè l = ±1, m < 0 ), è äèàãîíàëè m=n è l=m, êîòîðûå î÷åâèäíî äîìèíèðóþ ò íàä ñîîòâåòñòâóþ ù èìè áîêîâûìè ñòîëáöàìè. Òîãäà, ñ ó÷åòîì ñâÿçåé ìåæäó ýëåìåíòàìè ìàòðèöû, ñëåäóþ ù èõ èççàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ, ìîæíî çàïèñàòü ì 3 ×2 j d t U n = i2 å T0 ,- j ,- 1 í U n*+ j U n*+ -2j j =1 î4 - 2 J
n
dt Q n = i 2
n
(
å {H J
j =1
0, - j , - 1
j+ 1
(U
- U
* n- j
* n- j
U
ü U n*- 1 ý þ 2 -1 - k n Re U n + Fn Q n ,
* n+ 1
Q *n- 1 - 8Un*-
)}
22 j - 1 * + 2 j+ 3 U n- 2 2
j+ 1
)
Q *n+ 1 +
+ H0,0,- j Un*Q *n- j - 2 3 j Un*+ j Q *n+ 1 - kn2 (s Re) Q n .
j- 1 j
(7.41)
(7.42)
-1
Ï àðàìåòð J ôèêñèðóåò íàèáîëåå äàëåêèå âçàèìîäåéñòâèÿ (ïðè J =1 ñèñòåìà âîçâðàù àåòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó âèäó êàñêàäíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþ ù èõ òîëüêî ëîêàëüíûåâçàèìîäåéñòâèÿ). 23
Ëîæêèí Ñ.À., Ô ðèê Ï .Ã. Ì îäåëèðîâàíèå êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ â òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè ïðè ýêñòðåìàëüíûõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà Ï ðàíäòëÿ // Ì àòåìàòè÷åñêîåìîäåëèðîâàíèåñèñòåì è ïðîöåññîâ, Ï åðì. ãîñ. òåõí. óí-ò, Ï åðìü, 1996. N.4, Ñ.53-60.
126
äåëè.
Ï åðå÷èñëèì íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ñ ïîìîù üþ ýòîé ìî-
Óìåðåííûå ÷èñëà Ï ðàíäòëÿ ( s ~ 1 ). Ðàññìîòðèì ýâîëþ öèþ ñïåêòðîâ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè ïðè î÷åíü áîëüø èõ ÷èñëàõ Ãðàññãîôà, êîãäà áîëüø îé èíòåðâàë çíà÷åíèé âîëíîâûõ ÷èñåë ïîçâîëÿåò ïðîñëåäèòü çà ôîðìèðîâàíèåì ñïåêòðîâ ïî îáå ñòîðîíû îò ìàñø òàáà Áîëäæèàíî. Ñèñòåìà óðàâíåíèé (7.41)-(7.42) äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ÷èñëî Ï ðàíäòëÿ ðàâíî åäèíèöå, à ÷èñëî Ãðàññãîôà Gr = 1014 (÷òî ñîîòâåòñòâóåò Re = 10 7 ), èíòåãðèðîâàëàñü ìåòîäîì Ðóíãå - Êóòòà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì ø àãîì ïî âðåìåíè äëÿ 0 £ n £ 30. Ðàâíîìåðíûé íàãðåâ íà ìàêðîìàñø òàáå ìîäåëèðîâàëñÿ ïóòåì ïîääåðæàíèÿ ñòàöèîíàðíîãî çíà÷åíèÿ ìîäóëÿ ïåðåìåííîé | Q 0 |= 1 .  îòëè÷èå îò òðåõìåðíîãî ñëó÷àÿ, â äâóìåðíîé ãèäðîäèíàìè÷åñêîé òóðáóëåíòíîñòè ñóù åñòâîâàíèå èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ñ ïðÿìûì êàñêàäîì ýíåðãèè íåâîçìîæíî. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðåïÿòñòâóåò óñòàíîâëåíèþ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ýíåðãèè ïî ñïåêòðó. Ï ðîöåññ ïåðåäà÷è ýíåðãèè ê ìåëêîìàñø òàáíîìó äâèæåíèþ áëîêèðóåòñÿ íà ìàñø òàáå Áîëäæèàíî L B , âïðàâî îò êîòîðîãî ôîðìèðóåòñÿ èíåðöèîííûé èíòåðâàë ïåðåíîñà ýíñòðîôèè. Âëåâî îò LB ðàçâèâàåòñÿ èíòåðâàë îáðàòíîãî ïåðåíîñà ýíåðãèè ê êðóïíûì ìàñø òàáàì ñî ñïåêòðàëüíûì çàêîíîì "-5/3", ïðè÷åì ãðàíèöà ýòîãî èíòåðâàëà ïðîäâèãàåòñÿâëåâî ïî ìåðå íàêîïëåíèÿ ñèñòåìîé ýíåðãèè. Ñòàöèîíàðíîé ñèòóàöèè óäàåòñÿ äîáèòüñÿ ïóòåì ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíîé äèññèïàöèè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè íà áîëüø èõ ìàñø òàáàõ (â óðàâU n , òàê íàçûâàåìîå ëèíåéíîå íåíèå äëÿ U n äîïèñûâàåòñÿ ÷ëåí âèäà - g òðåíèå, îáû÷íî èñïîëüçóåìîå è ïðè ïðÿìûõ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ ñ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòüþ ). Í à ðèñ.7.10 ïîêàçàíû îñðåäíåííûå ïî âðåìåíè çíà÷åíèÿ ýíåðãèè ïóëüñàöèé ñêîðîñòè è òåìïåðàòóðû â îòäåëüíûõ îêòàâàõ EV n è E T n . Ï ðîâåäåíû ëèíèè, ñîîòâåòñòâóþ ù èå ñòåïåííûì çàêîíàì äëÿ ñïåêòðîâ EV ( k ) è E T ( k ) . Ýòîò ðèñóíîê íóæíî ñðàâíèòü ñ ðèñ.5.24, ãäå êà÷åñòâåííî áûëè èçîáðàæåíû îæèäàåìûå ñïåêòðàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè. Ï ðè ðàññìàòðèâàíèè ðèñóíêîâ ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî ïîêàçàòåëü ñòåïåíè äëÿ âåëè÷èíû E n ( k n ) íà åäèíèöó ìåíüø å, ÷åì äëÿ ñàìîãî ñïåêòðà E ( k ) , ÷òî ñâÿçàíî ñ ïðèíÿòûì äåëåíèåì îñè âîëíîâûõ âåêòîðîâ íà îêòàâû. Ãðàíèöû ðàçëè÷íûõ èíòåðâàëîâ áîëåå÷åòêî âûðàæåíû â ñïåêòðå ïóëüñàöèé ñêîðîñòè.  ñïåêòðå ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû ïåðåõîäû ðàçìûòûå è ñòåïåííûå ó÷àñòêè íåñòîëü ÿðêî âûðàæåíû. Ì àëûå ÷èñëà Ï ðàíäòëÿ ( s << 1) ïðèâîäÿò ê âîçíèêíîâåíèþ èíåðöèîííî-äèôôóçèîííîãî èíòåðâàëà â ñïåêòðå ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû. Îí âîçíèêàåò â ìàñø òàáàõ, íà êîòîðûõ ñîõðàíÿåòñÿ îáû÷íûé èíåðöèîííûé èíòåðâàë â ïîëå ñêîðîñòè, íî ñóù åñòâåííà òåïëîâàÿ äèôôóçèÿ. È ç ñîïîñòàâ-
127
ëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþ ù èõ ÷ëåíîâ óðàâíåíèÿ (7.37) dVl dT0 L- 1 ~ dTl l - 2 è ñïåêòðà Êðåé÷íàíà äëÿ ïóëüñàöèé ñêîðîñòè â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ïåðåíîñà ýíñòðîôèè E ( k ) ~ k - 3 ïîëó÷àåòñÿ ET ( k ) ~ k - 7 . (7.43) Ï ðè ñòîëü áûñòðîì çàòóõàíèè ýíåðãèè ïóëüñàöèé òðóäíî ðàññ÷èòûâàòü íà ôîðìèðîâàíèå ïðîòÿæåííîãî èíòåðâàëà. Ýòî ïîäòâåðæäàþ ò è ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ñ÷åòà äëÿ ñëó÷àÿ s = 10 - 8 , ïðèâåäåííûå íà ðèñ.7.11, ãäå íå óäàåòñÿ âûäåëèòü èíòåðâàëà ñ ïîñòîÿííûì ñòåïåííûì çàêîíîì.
Ðèñ.7.10 Í à ðèñóíêå äàíû ðåçóëüòàòû ñ÷åòà ñ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðà J.  êîíâåêòèâíîì èíòåðâàëå îòëè÷èå íåâåëèêî, òàê êàê çäåñü äîìèíèðóþ ò ëîêàëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ ïîëåé ñêîðîñòè è òåìïåðàòóðû. Ðàçëè÷èÿ õîðîø î âèäíû â ìåëêîìàñø òàáíîé ÷àñòè ñïåêòðà, ãäå ôîðìèðóåòñÿ èíåðöèîííûé èíòåðâàë ïåðåíîñà ýíñòðîôèè. È çâåñòíî, ÷òî êàñêàäíûå ìîäåëè èñïûòûâàþ ò ïðîáëåìû ñ îïèñàíèåì êàñêàäà ýíñòðîôèè, âûðàæàþ ù èåñÿ â òîì, ÷òî ïîòîê ýíñòðîôèè â íèõ ñëàá â ñðàâíåíèè ñ ïóëüñàöèÿìè ýíñòðîôèè â îòäåëüíîì ìàñø òàáå è ïàäàåòñðîñòîì n, à ñïåêòðû ýíåðãèè íå ñëåäóþò åäèíîìó ñòåïåííîìó çàêîíó. Óâåëè÷åíèå J óñèëèâàåò ïîòîê ýíñòðîôèè è ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ïðîòÿæåííîãî èíòåðâàëà, â êîòîðîì ñïåêòð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñëåäóåò ñòåïåííîìó çàêîíó ñ íàêëîíîì E ( k ) ~ k - 10 / 3 . È íòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî èìåííî òàêîé íàêëîí ñïåêòðà áûë ïîëó÷åí ïðè èññëåäîâàíèè äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ñ ïîìîù üþ èåðàðõè÷åñêîé ìîäåëè, â êîòîðîé ÷èñëî ïåðåìåííûõ ðàñòåò êàê 2 2n ïî ìåðå ðîñòà âîëíîâîãî
128
÷èñëà k n = 2 n , ÷òî ïîçâîëÿåò â îòëè÷èå îò êàñêàäíûõ ìîäåëåé ó÷èòûâàòü è ïðîñòðàíñòâåííóþ íåîäíîðîäíîñòü òóðáóëåíòíîãî òå÷åíèÿ.
Ðèñ.7.11 Áîëüø èå ÷èñëà Ï ðàíäòëÿ ( s >> 1) ñïîñîáñòâóþò ôîðìèðîâàíèþ âÿçêî-êîíâåêòèâíîãî èíòåðâàëà, â êîòîðîì ñîîòâåòñòâóþ ù èå ìàñø òàáû ïîëÿ ñêîðîñòè ïîäàâëåíû âÿçêîñòüþ , íî îñòàåòñÿ ñïåêòðàëüíûé ïîòîê ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû, ïîääåðæèâàåìûé ëèø ü êðóïíîìàñø òàáíûì ïîëåì ñêîðîñòè. Ï îñêîëüêó äèôôóçèÿ òåïëà ïðîèñõîäèò íà ñóù åñòâåííî ìåíüø èõ ìàñø òàáàõ, òî ïîòîê ýíåðãèè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû ïî ñïåêòðó îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì, íî õàðàêòåðíîå âðåìÿ ïåðåíîñà îïðåäåëÿåòñÿ êðóïíîìàñø òàáíûìè ïóëüñàöèÿìè ñêîðîñòè è ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ äëÿ ýòîãî èíòåðâàëà ïîñòîÿííûì. Ýòè ðàññóæäåíèÿ ïðèâîäÿò ê ñïåêòðó Áýò÷åëîðà (5.41), ET ( k ) ~ k - 1 .
(7.44)
Ì åæäó êîíâåêòèâíûì (îáóõîâñêèì) è âÿçêî-êîíâåêòèâíûì èíòåðâàëàìè ìîæíî îæèäàòü ïîÿâëåíèÿ èíòåðâàëà (5.51), â êîòîðîì âÿçêèé ÷ëåí ñòàíîâèòñÿ âåñîìåå íåëèíåéíîãî, íî îñòàåòñÿ ñóù åñòâåííîé ñèëà ïëàâó÷åñòè. Òîãäà áàëàíñ àðõèìåäîâûõ è âÿçêèõ ñèë âìåñòå ñ (7.44) ïðèâîäèò ê ñïåêòðó EV ( k ) ~ k - 5 .
(7.45)
Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé äëÿ ñëó÷àÿ s = 10 6 ,Re = 10 ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ.7.12 è ïîêàçûâàþò, ÷òî èíòåðâàë, â êîòîðîì óñòàíàâëèâàþòñÿ çàêîíû (7.44-7.45), ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íî ïðîòÿæåííûì. Ì îæíî âèäåòü, ÷òî óâå-
129
ëè÷åíèå J ïðèâîäèò ê ðàñòÿæåíèþ èíòåðâàëà (7.44), íî ïðàêòè÷åñêè íå âëèÿåòíà ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè ïóëüñàöèé ñêîðîñòè.
Ðèñ.7.12
130
7.6. Êàñêàäíûå ïðîöåññû â Ì ÃÄ-òóðáóëåíòíîñòè  êà÷åñòâå ïîñëåäíåãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì ìîäåëü ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè ïðîâîäÿù åé æèäêîñòè. Ñïåöèôèêà äâèæåíèé æèäêîñòè ñ ýëåêòðè÷åñêîé ïðîâîäèìîñòüþ ñîñòîèò â òîì, ÷òî æèäêîñòü íå òîëüêî ïîäâåðæåíà äåéñòâèþ äîïîëíèòåëüíîãî ñèëîâîãî ïîëÿ (â ìàãíèòíîì ïîëå âîçíèêàåò ñèëà Ëîðåíöà), íî è ñàìà îêàçûâàåò âîçäåéñòâèå íà ìàãíèòíîå ïîëå. Ï ðè ýòîì âàæíî, ÷òî âîçäåéñòâèå íå ñâîäèòñÿ ê çàïóòûâàíèþ ñèëîâûõ ëèíèé è ðàçìåëü÷åíèþ ñòðóêòóðû ïîëÿ (êàê ýòî ïðîèñõîäèò ïðè ïåðåìåø èâàíèè ïàññèâíîé ïðèìåñè èëè òåïëà), à ìîæåò, â îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ, è ãåíåðèðîâàòü ìàãíèòíûå ïîëÿ. Õîðîø î ïðîâîäÿù èå æèäêîñòè - ýòî æèäêèå ìåòàëëû, íî â ñôåðó äåéñòâèÿ ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè (Ì ÃÄ) ïîïàäàþò è ìíîãèå äðóãèå ñðåäû - ýëåêòðîëèòû, ïëàçìà (îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþòñîëíå÷íàÿ è çâåçäíàÿ ïëàçìà), ìåæçâåçäíàÿ ñðåäà.
Ñèëîâîé õàðàêòåðèñòèêîé ìàãíèòíîãî ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ âåêòîð ìàãíèòr íîé èíäóêöèè B . Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ âêëþ ÷àþò óðàâíåíèå Í àâüå - Ñòîêñà, äîïîëíåííîå ñèëîé Ëîðåíöà, óðàâíåíèå äëÿ âåêòîðà èíäóêöèè, óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè è óñëîâèå ñîëåíîèäàëüíîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîæíî çàïèñàòü â áåçðàçìåðíîì âèäå r r r ræ r rr r B2 ¶t v + (v Ñ )v = ( BÑ ) B - Ñ ç + P ç 2 è r rr r rr r 1 r ¶t B + (v Ñ ) B = ( BÑ )v + DB , Rm rr Ñv = 0, rr ÑB = 0.
ö 1 r ÷ ÷ + Re Dv , ø
(7.46) (7.47) (7.48) (7.49)
Çäåñü Re = UL /n - îáû÷íîå ãèäðîäèíàìè÷åñêîå ÷èñëî Ðåéíîëüäñà, à Rm = UL / n m = Re×Prm - ìàãíèòíîå ÷èñëî Ðåéíîëüäñà, îïðåäåëåííîå ÷åðåç ìàãíèòíóþ âÿçêîñòü n m = 1 / ms ( m - ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû, s - ýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîâîäèìîñòü). Îòíîø åíèå êèíåìàòè÷åñêîé âÿçêîñòè ê ìàãíèòíîé âÿçêîñòè íàçûâàåòñÿìàãíèòíûì ÷èñëîì Ï ðàíäòëÿ Prm = n / n m . Îñíîâíûå îñîáåííîñòè Ì ÃÄ-òå÷åíèé ñâÿçàíû ñ òåì, ÷òî ïðîâîäÿù àÿ æèäêîñòü óâëåêàåò ñèëîâûå ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ.  ïðåäåëå èäåàëüíîé ïðîâîäèìîñòè íàñòóïàåò ýôôåêò âìîðîæåííîñòè - ñèëîâûå ëèíèè ïîëÿ îêàçûâàþòñÿ ñâÿçàííûìè ñ æèäêèìè ÷àñòèöàìè. Í àèáîëåå èíòðèãóþ ù èì ñâîéñòâîì Ì ÃÄ-ïîòîêîâ ÿâëÿåòñÿ èõ ñïîñîáíîñòü ãåíåðèðîâàòü ìàãíèòíûå ïîëÿ. Âïåðâûå èäåþ Ì ÃÄ-äèíàìî, à èìåííî èäåþ î òîì, ÷òî èñòî÷íèêîì ìàãíèòíîãî ïîëÿ Ñîëíöà ÿâëÿþòñÿ òå÷åíèÿ â åãî íåäðàõ, âûñêàçàë Ëàðìîð åù å â 1919 ãîäó. Îäíàêî, ïîïûòêè ïîñòðîèòü òåîðèþ äèíàìî èëè õîòÿ áû äàòü ïðèìåðû òå÷åíèé, ñïîñîáíûõ ãåíåðèðîâàòü ìàãíèòíûå ïîëÿ, äîëãîå âðåìÿ îñòàâàëèñü íåóäà÷íûìè. Ï åðâûå òî÷íûå ðåçóëüòàòû áûëè íåãàòèâíûìè è âûëèëèñü â òàê íàçûâàåìûå
131
òåîðåìû çàïðåòà (èëè àíòèäèíàìî òåîðåìû). Ï åðâóþ òåîðåìó äîêàçàë Êàóëèíã (1934ã.), ïîêàçàâ, ÷òî íèêàêîå îñåñèììåòðè÷íîå òå÷åíèå íå ìîæåò ãåíåðèðîâàòü ìàãíèòíîå ïîëå. Âòîðóþ òåîðåìó çàïðåòà äîêàçàë Çåëüäîâè÷ â 1956ã. Ñóòü òåîðåìû â òîì, ÷òî ìàãíèòíûå ïîëÿ íå ìîãóò ãåíåðèðîâàòüñÿ äâóìåðíûìè ïîòîêàìè (ýòî íå èñêëþ ÷àåò âîçìîæíîñòè âðåìåííîãî óñèëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, íî çàïðåù àåò åãî óñòîé÷èâûé ðîñò è ñòàöèîíàðíîå ïîääåðæàíèå). Òàêèì îáðàçîì, áûëî äîêàçàíî, ÷òî ìåõàíèçì äèíàìî ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàí òîëüêî â ñóù åñòâåííî òðåõìåðíîì ïîòîêå, ïðè÷åì âàæíåéø óþ ðîëü â ýòîì ïðîöåññåèãðàåò ñïèðàëüíîñòü.  êîíòåêñòå èçëîæåíèÿ ñâîéñòâ è âîçìîæíîñòåé êàñêàäíûõ ìîäåëåé Ì ÃÄ-òóðáóëåíòíîñòü èíòåðåñíà êàê ïðèìåð ñëîæíîãî òóðáóëåíòíîãî òå÷åíèÿ, õàðàêòåðèçóåìîãî îñîáûì íàáîðîì èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ. Óðàâíåíèÿ (7.46)-(7.49) â áåçäèññèïàòèâíîì ïðåäåëå ñîõðàíÿþò òðè êâàäðàòè÷íûå âåëè÷èíû.  ñëó÷àå òðåõìåðíîãî äâèæåíèÿ ýòî îáù àÿ ýíåðãèÿ E , ïåðåêðåñòíàÿ ñïèðàëüíîñòü H C è ìàãíèòíàÿ ñïèðàëüíîñòü H B :
(
)
r r r E = òv 2 + B 2 dr , r r r H C = òv ×B dr , r r r H B = ò A ×B dr ,
( (
) )
(7.50) (7.51) (7.52)
r
r
r
ãäå A åñòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ìàãíèòíîãî ïîëÿ ( B = rot A ).  ñëó÷àå äâóìåðíîãî òå÷åíèÿ ïîñëåäíèé èíòåãðàë çàìåíÿåòñÿ êâàäðàòîì âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
( )
r r a = ò A 2 dr .
(7.53)
Í àëè÷èå ó êàñêàäíûõ ìîäåëåé òèïà (7.22) çíàêîïåðåìåííûõ èíòåãðàëîâ ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòûâàòü íà ïîñòðîåíèå ìîäåëè, óäîâëåòâîðÿþ ù åé âñåì èçâåñòíûì â Ì ÃÄ çàêîíàì ñîõðàíåíèÿ. Òàêàÿ ìîäåëü áûëà ïðåäëîæåíà â ðàáîòå24 â ôîðìå
(d
2
t
) -
(d
)
e * * (1 - e) * ü Un- 1Un+ 1 - Bn*- 1 Bn*+ 1 + Un- 2Un*- 1 - Bn*- 2 Bn*- 1 ý + fn , 2 4 þ
(
)
(
)
)
- Rm - 1 k n Bn = ik n {( 1 - e - em )(U n* + 1 Bn* + 2 - Bn* + 1U n* + 2 )+ 2
t
+
24
{(
- nkn Un = ikn Un*+ 1Un*+ 2 - Bn*+ 1 Bn*+ 2 -
em * * (U n - 1Bn + 1 - Bn* - 1U n* + 1 )+ ( 1 - em ) (U n* - 2 Bn* - 1 - Bn* - 2U n* - 1 )üý + g n . 2 4 þ
(7.54)
(7.55)
Frick P.G., Sokoloff D.D. Cascade and dynamo action in a shell model of turbulence // Physical Review E, 1998, Vol.57.N.4. P.4155-4164.
132
Ï ðè Bn º 0 ñèñòåìà (7.54)-(7.55) ñîâïàäàåò ñ ìîäåëüþ GOY (7.22).  îáù åì ñëó÷àå ìîäåëü ñîäåðæèò äîïîëíèòåëüíûé ïàðàìåòð em . Îòìåòèì, ÷òî ýíåðãèÿ è ïåðåêðåñòíàÿ ñïèðàëüíîñòü, âûðàæàåìûå â ìîäåëè â âèäå
(
) B ),
E = å | U n | 2 + | Bn | 2 , n
(
H C = å U n B n* + U n*
n
(7.56) (7.57)
n
ñîõðàíÿþòñÿ ñèñòåìîé ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà em . Òðåáîâàíèå ñîõðàíåíèÿ âåëè÷èíû -1 (7.58) H B = å (- 1) n k n | Bn | 2 , n
ñëóæàù åé àíàëîãîì ìàãíèòíîé ñïèðàëüíîñòè (7.53), ïðèâîäèò ê îäíîçíà÷íîìó îïðåäåëåíèþ îáîèõ ïàðàìåòðîâ: e = 1 / 2 , em = 1 / 3 . Îòìåòèì, ÷òî ïàðàìåòð e ñîâïàäàåòïðè ýòîì ñî çíà÷åíèåì, ïîëó÷àåìûì â ìîäåëè òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè èç òðåáîâàíèÿ ñîõðàíåíèÿ ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñïèðàëüíîñòè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ïðèáëèæåíèè ñëàáûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé ñèñòåìà (7.54)-(7.55) âíîâü ñîõðàíÿåòãèäðîäèíàìè÷åñêóþ ñïèðàëüíîñòü. Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äâóìåðíîé Ì ÃÄ-òóðáóëåíòíîñòè íóæíî ïîòðåáîâàòü ñîõðàíåíèÿ âåëè÷èíû -2 (7.59) a = å k n | Bn | 2 n
(êâàäðàòà âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà), ÷òî ïðèâîäèò ê ñëåäóþ ù èì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ: e = 5 / 4 , em = - 1 / 3 . Ì û ïðèâåäåì òîëüêî íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû, êàñàþ ù èåñÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïîâåäåíèÿ ñâîáîäíî âûðîæäàþ ù åéñÿ Ì ÃÄ-òóðáóëåíòíîñòè, õîòÿ êàñêàäíàÿ ìîäåëü, î êîòîðîé èäåò ðå÷ü, äàëà íîâûå ðåçóëüòàòû è ïðè èññëåäîâàíèè ïîâåäåíèÿ ñòàöèîíàðíî âîçáóæäàåìîé Ì ÃÄ-òóðáóëåíòíîñòè. Ñâîáîäíîå âûðîæäåíèå ïîäðàçóìåâàåò ðàâåíñòâî íóëþ ñèë f n è g n â óðàâíåíèÿõ (7.54)-(7.55) è ðåø åíèå çàäà÷è ñ çàäàííûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè.  êà÷åñòâå íà÷àëüíûõ óñëîâèé ðàññìàòðèâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè ïî ñïåêòðó, ñîîòâåòñòâóþ ù åå ñïåêòðàëüíûì çàêîíàì âèäà EV ~ E B ~ k - 2 (äëÿ âñåõ n ³ 0 ), óðîâåíü ìàãíèòíîé ýíåðãèè ñóù åñòâåííî íèæå ñîîòâåòñòâóþ ù åãî óðîâíÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ( EV » 1, E B » 0,0001 ). ×èñëî Ðåéíîëüäñà Re = 10 7 , ìàãíèòíîå ÷èñëî Ï ðàíäòëÿ Prm = 10 - 3 . Í à ðèñ.7.13 ïîêàçàí õàðàêòåð ýâîëþ öèè êèíåòè÷åñêîé (ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ) è ìàãíèòíîé (òîíêàÿ ñïëîø íàÿ ëèíèÿ) ýíåðãèè â òðåõìåðíîé Ì ÃÄòóðáóëåíòíîñòè (óðàâíåíèÿ ðåø àþ òñÿ äëÿ ñëó÷àÿ : e = 1 / 2 , em = 1 / 3 ). Âèäíî, ÷òî çà êîðîòêîå âðåìÿ (áåçðàçìåðíîå âðåìÿ, îïðåäåëåííîå ïî õàðàêòåðíîìó âðåìåíè îáîðîòà ìàêðîñêîïè÷åñêîãî âèõðÿ L / U , ïîðÿäêà åäèíèöû) ìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ äîñòèãàåò óðîâíÿ ïîðÿäêà 1/10 îò óðîâíÿ êèíåòè÷åñêîé
133
ýíåðãèè. Çàòåì íàñòóïàåò îòíîñèòåëüíî äîëãèé ïðîìåæóòî÷íûé ýòàï (ïîðÿäêà äâàäöàòè áåçðàçìåðíûõ åäèíèö âðåìåíè), â òå÷åíèå êîòîðîãî ìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ îñòàåòñÿ íà òîì æå óðîâíå. Ï îñëå ýòîãî ïðîèñõîäèò íîâûé ðîñò ìàãíèòíîãî ïîëÿ è åãî ýíåðãèÿ ñòàíîâèòñÿ ñðàâíèìîé ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé, îñòàâàÿñü âñå æå ìåíüø å åå. Îäíîâðåìåííî ïðîèñõîäèò ìåäëåííîå ñíèæåíèå îáù åãî óðîâíÿ ýíåðãèè, îáóñëîâëåííîå âÿçêèìè è îìè÷åñêèìè ïîòåðÿìè. Í à òîì æå ðèñ.7.13 òîëñòîé ñïëîø íîé ëèíèåé ïîêàçàíà ýâîëþ öèÿ ìàãíèòíîé ýíåðãèè â òàê íàçûâàåìîì êèíåìàòè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè. Êèíåìàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå ïðåäïîëàãàåò ðàññìîòðåíèå óðàâíåíèÿ èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ äëÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëÿ ñêîðîñòè, òî åñòü ïðåíåáðåæåíèå îáðàòíûì äåéñòâèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ïîëå ñêîðîñòè.  íàø åì ñëó÷àå ýòî ïðèáëèæåíèå ñîîòâåòñòâóåò îòáðàñûâàíèþ ÷ëåíîâ ñ ïåðåìåííûìè Bn èç óðàâíåíèÿ (7.54). Ñîîòâåòñòâóþ ù àÿ êðèâàÿ ýâîëþ öèè ìàãíèòíîé ýíåðãèè äàåò íåîãðàíè÷åííûé ðîñò (ñèñòåìà óðàâíåíèé íå óäîâëåòâîðÿåò áîëåå çàêîíàì ñîõðàíåíèÿ), õîòÿ íàðàñòàíèå ýíåðãèè è íå ïðîèñõîäèò ìîíîòîííûì îáðàçîì, à âêëþ ÷àåò è îòäåëüíûå èíòåðâàëû, â òå÷åíèå êîòîðûõ ýíåðãèÿ ïîëÿ ïàäàåò. Òàêîå ïîâåäåíèå ñîîòâåòñòâóåò êà÷åñòâåííûì ïðåäñòàâëåíèÿì î ïîâåäåíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â òóðáóëåíòíîé ïðîâîäÿù åé ñðåäå.  òî æå âðåìÿ, èçâåñòíûå ïîïûòêè ïðÿìîãî ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ Ì ÃÄòóðáóëåíòíîñòè, âîïðåêè îæèäàíèÿì, äàþò ðîñò ìàãíèòíîãî ïîëÿ òîëüêî äî óðîâíÿ, â íåñêîëüêî ðàç ìåíüø åãî óðîâíÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ïîòîêà. Ï ðèâåäåííûé ðåçóëüòàò ðåø åíèÿ êàñêàäíûõ óðàâíåíèé äàåò âîçìîæíóþ èíòåðïðåòàöèþ ýòîãî ôàêòà. Äåëî â òîì, ÷òî ñàìûå ïðîäîëæèòåëüíûå ÷èñëåííûå ðåø åíèÿ ïîëíûõ óðàâíåíèé íå âûõîäÿò çà âðåìåííîé èíòåðâàë
Ðèñ.7.13
Ðèñ.7.14
( t » 10 ).  ñâåòå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèñòåìà íå óñïåâàåò âûéòè çà ðàìêè ïðîìåæóòî÷íîãî ýòàïà ýâîëþöèè. Í à ðèñ.7.14 ïîêàçàíû ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ ïîâåäåíèÿ âûðîæäàþ ù åéñÿ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè. Ï óíêòèð ïî ïðåæíåìó ïîêàçûâàåò óðîâåíü êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, êîòîðàÿ â äâóìåðíîì ïîòîêå óáûâàåò êðàé-
134
íå ìåäëåííî. Òîíêàÿ ñïëîø íàÿ ëèíèÿ îïèñûâàåò ïîâåäåíèå ìàãíèòíîé ýíåðãèè â ïîëíîé íåëèíåéíîé ñèñòåìå, à òîëñòàÿ ëèíèÿ - â êèíåìàòè÷åñêîé ïîñòàíîâêå. Çàìå÷àòåëüíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå è ðåø åíèÿ ïîëíîé íåëèíåéíîé ñèñòåìû, è ðåø åíèÿ â êèíåìàòè÷åñêîé ïîñòàíîâêå äàþ ò çàòóõàíèå ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñî âðåìåíåì (âûïîëíÿåòñÿ òåîðåìà çàïðåòà Çåëüäîâè÷à, èñêëþ ÷àþ ù àÿ âîçìîæíîñòü óñòîé÷èâîãî äèíàìî â äâóìåðíîì ïîòîêå). Õàðàêòåðíîå âðåìÿ çàòóõàíèÿ â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäèíàêîâî, õîòÿ ýâîëþ öèÿ â íåëèíåéíîì ñëó÷àå èìååòçíà÷èòåëüíî áîëååãëàäêèé õàðàêòåð.  òî æå âðåìÿ õàðàêòåð ñâîáîäíîé ýâîëþ öèè äâóìåðíîé Ì ÃÄòóðáóëåíòíîñòè ñóù åñòâåííî îòëè÷àåòñÿ è îò õàðàêòåðà ýâîëþ öèè äâóìåðíîé ãèäðîäèíàìè÷åñêîé òóðáóëåíòíîñòè. Í àïîìíèì, ÷òî â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ýíñòðîôèÿ, à âìåñòå ñ íåé è ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíåðãèè, ñî âðåìåíåì ìîãóò òîëüêî óáûâàòü. Ï ðèñóòñòâèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ íàðóø àåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíñòðîôèè.  ïðîöåññå ñâîáîäíîãî âûðîæäåíèÿ ýíñòðîôèÿ âîçðàñòàåò, à ýòî ïðèâîäèò ê ðîñòó ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè. Ï ðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå â ïîâåäåíèè ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè â âûðîæäàþ ù åéñÿ äâóìåðíîé ãèäðîäèíàìè÷åñêîé è ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêîé òóðáóëåíòíîñòè èëëþ ñòðèðóåò ðèñ.7.15 (ñðàâíèòå ñ ðèñ.5.2, ãäå ïîêàçàíà ýâîëþ öèÿñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè). Ï îìèìî ýâîëþ öèè èíòåãðàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê, êàñêàäíûå ìîäåëè ïîçâîëÿþò ïðîñëåäèòü è çà èçìåíåíèåì ñïåêòðàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé ýíåðãèè. Í à ðèñ.7.16 ïîêàçàíû ðàñïðåäåëåíèÿ êèíåòè÷åñêîé (ñâåòëûå òî÷êè) è ìàãíèòíîé (òåìíûå òî÷êè) ýíåðãèè äâóìåðíîé Ì ÃÄ-òóðáóëåíòíîñòè ïî ñïåêòðó (òî÷íåå, ïî îêòàâàì), ïîëó÷åííûå îñðåäíåíèåì ïî ðàçëè÷íûì èíòåðâàëàì âðåìåíè. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî, íåñìîòðÿ íà çíà÷èòåëüíîå ïðåâûøåíèå îáù åãî óðîâíÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè íàä ìàãíèòíîé, ñóù åñòâóåò äèàïàçîí ìàñø òàáîâ, â êîòîðîì ìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ èìååò òîò æå ïîðÿäîê, ÷òî è êèíåòè÷åñêàÿ. Ýòî îòíîñèòåëüíî ìåëêèå ìàñø òàáû, íåïîñðåäñòâåííî ïðèëåãàþ ù èå ê äèññèïàòèâíîìó Ðèñ.7.15 èíòåðâàëó ( 5 £ n £ 8 ). Ýâîëþ öèÿ ñïåêòðîâ ýíåðãèè â òðåõìåðíîé Ì ÃÄ-òóðáóëåíòíîñòè ïîêàçàíà íà ðèñ.7.17.  ýòîì ñëó÷àå ñóù åñòâóåò ïðîòÿæåííûé èíòåðâàë ìàñø òàáîâ, â êîòîðîì ìàãíèòíàÿ è êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèè áëèçêè ïî âåëè÷èíå. Ì àãíèòíàÿ ýíåðãèÿ çàòóõàåò íà áîëåå êðóïíûõ ìàñø òàáàõ, ÷åì êèíåòè÷åñêàÿ - ýòî åñòåñòâåííûé ðåçóëüòàò, òàê êàê ìàãíèòíîå ÷èñëî Ï ðàíäòëÿ ìàëî (10 - 3 ). Ñïåêòð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñ õîðîø åé òî÷íîñòüþ ñëåäóåò çàêîíó «-5/3» ( íà ðèñóíêå ýòîìó çàêîíó ñîîòâåòñòâóåò ïðÿìàÿ ëèíèÿ). Ñïåêòð ìàãíèòíîé ýíåðãèè áîëåå êðóò (÷òî-òî ïîðÿäêà «-2»).
135
 çàêëþ ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ïðèíöèïèàëüíûå îòëè÷èÿ â ïîâåäåíèè äâóìåðíûõ è òðåõìåðíûõ Ì ÃÄ-ïîòîêîâ ïðèíÿòî îáúÿñíÿòü òîïîëîãè÷åñêèìè àðãóìåíòàìè è òîò ôàêò, ÷òî ïðîñòûå êàñêàäíûå ìîäåëè, êîòîðûå òåðÿþ ò âñÿêóþ èíôîðìàöèþ î ïðîñòðàíñòâåííîé ñòðóêòóðå òå÷åíèé, âîñïðîèçâîäÿò ýòè ðàçëè÷èÿ, ñâèäåòåëüñòâóåò, ñ îäíîé ñòîðîíû, î ÷ðåçâû÷àéíî âàæíîé ðîëè çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ (òîëüêî ÷åðåç íèõ è ñîõðàíÿåòñÿ â ìîäåëè ïàìÿòü î ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà) è, ñ äðóãîé ñòîðîíû, î òîì, ÷òî âîçìîæíîñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì â ìîäåëèðîâàíèè ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ ñèñòåì äàëåêî íå èñ÷åðïàíû.
Ðèñ.7.16
Ðèñ.7.17
Ñïèñîê ðåêîìåíäóåìîé ëèòåðàòóðû 1. Ãëåäçåð Å.Á., Äîëæàíñêèé Ô ., Îáóõîâ À.Ì . Ñèñòåìû ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà è èõ ïðèìåíåíèå. Ì .: Í àóêà, 1981. 366 ñ. 2. Çèìèí Â.Ä., Ô ðèê Ï .Ã. Òóðáóëåíòíàÿ êîíâåêöèÿ. Ì .: Í àóêà, 1988. 178 ñ.
136
8. ÇÀÊËÞ ×ÅÍ È Å Òóðáóëåíòíîñòü, ñîñòàâèâø àÿ ïðåäìåò íàñòîÿù åãî êóðñà, ñòîëü ñëîæíà è ïîäõîäû ê åå èçó÷åíèþ ñòîëü ðàçíîîáðàçíû, ÷òî îíà íå îñòàâëÿåò ø àíñîâ íà ñèñòåìàòè÷åñêîå è, ãëàâíîå, ïîëíîå èçëîæåíèå â ðàìêàõ ãîäîâîãî êóðñà. Àâòîð ñòàâèë ïåðåä ñîáîé áîëåå ñêðîìíóþ öåëü, ñîñòîÿù óþ â òîì, ÷òîáû îñòàâèòü ó ñëóø àòåëåé öåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå îá ýòîì ðàçäåëå ãèäðîäèíàìèêè è äàòü ïðåäñòàâëåíèå î òîì ø èðîêîì íàáîðåìåòîäîâ è ìîäåëåé, êîòîðûå ïðèìåíÿþ òñÿ â ýòîé îáëàñòè. Óäàëîñü ëè äîñòè÷ü ýòó öåëü ñóäèòü ÷èòàòåëþ. Ëþáûå êðèòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ è ñîâåòû áóäóò âîñïðèíÿòû àâòîðîì ñ áëàãîäàðíîñòüþ .
137
138
Ô ðèê Ï åòð Ãîòëîáîâè÷
ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÜ: Ì ÎÄÅËÈ È Ï ÎÄÕÎÄÛ Êóðñ ëåêöèé
×àñòü II
Ðåäàêòîð È .Í .Æ åãàíèíà Êîððåêòîð Â.À.Êîçüìèíà
Ëèöåíçèÿ ËÐ-020370 îò 29.01.97 Ï îäïèñàíî ê ïå÷àòè 15.03.99. Ô îðìàò 60 õ 90/16. Óñë.ïå÷.ë.
Ï å÷àòü îôñåòíàÿ.
Í àáîð êîìïüþòåðíûé. Òèðàæ 100 ýêç.
Çàêàç88 Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé îòäåë è ðîòàïðèíò Ï åðìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà Àäðåñ: 614600, Ï åðìü, Êîìñîìîëüñêèé ïð., 29à
