Методические рекомендации по выполнению контрольных работ по математике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра прикладной математики

Н.В. КУЛИШ, О.Н. КАЗАКОВА

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО МАТЕМАТИКЕ

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»

Оренбург 2002

ББК 22.1 я7 К 14 УДК 51 (07)

Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент Ким В.С.

К 14

Кулиш Н.В., Казакова О.Н. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ по математике. – Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ, 2002. – 60 с.

Методические указания предназначены, в первую очередь, студентам заочной формы обучения первых курсов экономических специальностей. Но также могут быть использованы для организации работы студентов очной и очно-заочной формы обучения.

ББК 22.1 я7

© Кулиш Н.В., 2002 © Казакова О.Н., 2002 © ГОУ ВПО ОГУ, 2002 2

ВВЕДЕНИЕ

Цель преподавания математики в вузе, где ведется подготовка специалистов экономических специальностей, – ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развить логическое и алгоритмическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; развить навыки математического исследования прикладных вопросов и умения сформулировать задачу на математическом языке. Настоящая работа, предназначенная для студентов заочной формы обучения, содержит контрольные задания из разделов «Аналитическая геометрия», «Линейная алгебра», «Элементы математического анализа», «Теория поля», «Числовые и функциональные ряды», «Дифференциальные уравнения».

3

1 РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

При подготовке к выполнению контрольных работ студент должен изучить соответствующие разделы по пособиям и учебникам (список литературы прилагается). При выполнении работы и ее оформлении необходимо придерживаться следующих правил (работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студентам для переработки): 1) работа должна быть выполнена в тетради, имеющей поля для замечаний рецензента. Чернила можно использовать любого цвета, кроме красного; 2) на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, номер контрольной работы, название дисциплины; а также дата отсылки работы и адрес студента; 3) перед решением каждой задачи нужно привести полностью ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачу своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера; 4) следует придерживаться той последовательности при решении задач, в какой они даны в задании, строго сохраняя при этом нумерацию примеров (задач); 5) в работу должны быть включены все задачи, указанные в задании по своему варианту. Не допускается замена задач контрольного задания другими. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также содержащие задачи не своего варианта, не зачитываются; 6) решения задач должны сопровождаться развернутыми пояснениями; нужно привести в общем виде все используемые формулы с объяснением употребляемых обозначений; объяснить и мотивировать все действия по ходу решения; сделать необходимые чертежи. Чертежи должны быть выполнены в прямоугольной системе координат в полном соответствии с данными условиями задач и теми результатами, которые получены; 7) если вычисления, выполняемые при решении задач, приближенные, то следует придерживаться правил приближенных вычислений; 8) после получения прорецензированной работы (как не зачтенной, так и зачтенной) студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты выполнить все рекомендации рецензента. Если работа получила в целом положительную оценку, но в ней есть отдельные недочеты (указанные в рецензии в тетради), то нужно сделать соответствующие исправления и дополнения в той же тетради (после имеющихся решений и записи «Работа над ошибками») и предъявить на экзамене или собеседовании. Если работа не 4

зачтена, то ее необходимо в соответствии с требованиями рецензента частично или полностью переделать. Повторную работу надо выполнять в той же тетради (если есть место) или в новой тетради с надписью на обложке «Повторная», с указанием фамилии рецензента, которым работа была ранее не зачтена, и вместе с не зачтенной работой направить ее на новую проверку. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается. Прорецензированную работу вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, студент представляет к защите. Распределение контрольных работ по семестрам устанавливается вузом для студентов в соответствии с распределением по семестрам материала и сообщается студентам каждой специальности дополнительно. Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре. При решении заданий контрольной работы можно использовать различные методы решений. 2 ПРОГРАММА КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

2.1 Элементы теории множеств Числовые множества, натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа. Выпуклые множества и их свойства. 2.2 Элементы высшей алгебры, линейной алгебры и аналитической геометрии Матрицы: основные понятия, действия над ними, элементарные преобразования матриц, приведение к треугольному виду, трансформирование. Линейное пространство: определение, примеры. Линейная комбинация векторов: определение, понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Конечномерное линейное пространство: определение, базис, размерность. Способ выбора базиса в конечномерном линейном пространстве. Координаты вектора: определение, единственность разложения по базису. Критерии линейной независимости векторов в конечномерном линейном пространстве. Формулы перехода от одного базиса к другому в одном и том же конечномерном линейном пространстве. Формулы для связи координат одного и 5

того же вектора в двух базисах одного и того же конечномерного пространства. Подпространство. Ранг матрицы, базисный минор, теорема Кронекера-Капелли, пространство решений однородной линейной системы. Евклидово пространство: основные определения и понятия, неравенство Коши-Буняковского, ортонормированный базис, процесс ортогонализации, разложение вектора по ортонормированному базису. Аффинное пространство. Математическая модель линейных пространств: /векторы на плоскости и в реальном пространстве/. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов: определения, свойства, формулы для нахождения в случае, когда векторы представлены в координатной форме, приложения. Плоскость и прямая в аффинном пространстве: различные виды уравнений, взаимное расположение. Собственные векторы и собственные значения матриц. Свойства собственных векторов и собственных значений матриц. Линейные и квадратичные формы в Rn. Условия знакоопределённости. Приведение к каноническому виду.

2.3 Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция одной переменной, определение, основные понятия. Функция нескольких переменных: определение, график. Понятие предела функции одной и нескольких переменных в точке, непрерывность функции одной и нескольких переменных в точке, на множестве, односторонние пределы и непрерывность; свойства соответствующих функций. Производная функции одной и нескольких переменных и частные производные функций нескольких переменных в точке: определение, правила нахождения. Производная по направлению. Геометрический смысл. Дифференцируемость функций одной и нескольких переменных в точке: определения, свойства, необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков. Обратные и неявные функции: условия существования, производные. Свойства функции, непрерывной в замкнутой ограниченной области. Свойства функции одной переменной, дифференцируемой на интервале: теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лапиталя-Бернулли. Формулы Тейлора для функции одной и нескольких переменных. Понятие о локальном экстремуме функции одной и нескольких переменных: определение, необходимые и достаточные условия существования. Наибольшее и наименьшее значение функций на множестве.

6

2.4 Интегральное исчисление функции одной и нескольких переменных Первообразная функция: определение, свойства. Неопределённый интеграл: определение, свойства, таблица, методы интегрирования. Интегральная сумма: определение, геометрический смысл. Определённый интеграл: определение, необходимые и достаточные условия существования, геометрический смысл, свойства. Интеграл с переменным верхним пределом: определение, свойства. Методы вычисления определённых интегралов: формула Ньютона-Лейбница, метод интегрирования по частям, метод замены. Приложения определённых интегралов. Двойной интеграл, двукратный интеграл. Основные определения, теорема существования, свойства /n = 2.3/. Метод замены переменной: общий случай, переход в двойном интеграле к полярной системе координат. Приложения двойных интегралов. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и для разрывных функций.

2.5 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения: определение, основные понятия. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной: теоремы существования и единственности решения задач Коши. Понятие общего и частного решений. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с непрерывными коэффициентами: теореме существования и единственности решения, простейшие свойства решений однородного уравнения. Понятие о линейной независимости (зависимости) системы функций на множестве. Определитель Вронского: определения, свойства. Критерии линейной независимости решений однородного линейного уравнения n-го порядка. Теорема о структуре общих решений однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений n-го порядка с непрерывными коэффициентами. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами, фундаментальная система решений однородного уравнения, частное решение однородного уравнения.

7

2.6 Числовые и функциональные ряды Последовательности: основные определения, свойства. Предел последовательности, свойства последовательностей, имеющих предел. Признаки существования предела у последовательности, число e. Числовые ряды: основные понятия и определения, необходимый признак сходимости, достаточный признак расходимости числовых рядов; свойства сходящихся числовых рядов. Ряды с положительными членами: определение, основные признаки сходимости (признаки, основанные на сравнении, интегральный признак Коши, признак Коши, признак Даламбера). Знакопеременные ряды: определение, достаточный признак сходимости. Знакочередующие ряды: определение, признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Понятие об абсолютной и условной сходимости знакопеременного ряда. Свойства абсолютно и условно сходящихся числовых рядов. Функциональные ряды: основные понятия и определения, понятия о равномерной сходимости функционального ряда, признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов. Степенные ряды: определение, теорема Абеля, сходимости степенного ряда, свойства степенных рядов. Ряды Тейлора: определение, признак сходимости, разложение функций в степенные ряды. Элементы численных методов. 2.7 Рекомендуемая литература Основная литература: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

8

Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1980. – 336 с. Бугров Я.С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для инж.-техн. спец. вузов/ 3-Е ИЗД., ИСПР – М.: Наука, 1988. – 431 с.: ил. Бугров Я.С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1981. Головина М.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. – М.: Наука, 1985. – 408 с. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 1986. – 415 с: ил. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1984. – 447 с. Ильин В.А., Позняк В.Г. Основы математического анализа. Часть 1. – М.: Наука, 1980. – 448 с.

8. 9. 10. 11. 12. 13.

Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1986. – 240 с. Краснов М.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа 1983. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1. – М.: Наука, 1981. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 431 с. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов/ Под редакцией Демидовича Б.П. – М.: Наука, 1978. Толстов Г.П. Элементы математического анализа. – М.: Наука, 1974. Дополнительная литература:

1. 2. 3. 4. 5.

Волкова И.Г., Ким В.С., Тарасова Т.А. Задания для Т.Р. по теме «Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье». – Оренбург: ОрПтИ 1988. – 37 с. Ким В.С. Задания для типового расчета по теме «Дифференциальные уравнения». – Оренбург: ОрПтИ, 1988. – 44 с. Ким В.С. Задания для типового расчета по теме «Исследование функций». – Оренбург: ОрПтИ, 1988. – 15 с. Ким В.С. Задания для типового расчета по теме «Определённый интеграл». – Оренбург: ОрПтИ, 1987. – 30 с. Ким В.С. Сборник задач для типового расчета «Определенные интегралы». – Оренбург: ИПК ОГУ, 2002. – 50 с.

3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НУЛЕВОГО ВАРИАНТА

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

2 x + y − z = 5,  3 x + 3 y − 2 z = 8,  x + y + z = 6.  Требуется: 1) найти её решения с помощью формул Крамера; 2) записать систему в матричном виде и решить её средствами матричного исчисления: Решение: 1) Рассмотрим матрицу системы линейных уравнений 9

2 1 − 1   А =  3 3 − 2 . 1 1 1    Главный определитель матрицы 2 1

−1

d = 3 3 −2. 1 1 1 Тогда для системы трех уравнений с тремя неизвестными формулы Крамера имеют вид: x=

d1 , d

y=

d2 , d

z=

d3 , d

где d1, d2 и d3 – получаются из определителя d заменой соответственно первого, второго и третьего столбца на столбец из свободных членов. Составим и вычислим эти определители, используя, например, правило треугольника. 2 1

−1

d = 3 3 − 2 = 2 ⋅3 ⋅ 1 + 1 ⋅ (–2) ⋅ 1 + 1⋅ 3 ⋅ (–1) – (–1) ⋅ 3 ⋅ 1 – 1⋅ (–2) ⋅ 2 –1⋅ 3 ⋅1 = 5. 1 1

1

Так как d = 5 ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: 5 1

−1

d1 = 8 3 − 2 = 5 ⋅ 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ (−2) ⋅ 6 + 1 ⋅ 8 ⋅ (−1) − (−1) ⋅ 3 ⋅ 6 − 1 ⋅ (−2) ⋅ 5 − 1 ⋅ 8 ⋅ 1 = 15 , 6 1

10

1

2 5

−1

d 2 = 3 8 − 2 = 2 ⋅ 8 ⋅ 1 + 5 ⋅ (−2) ⋅ 1 + 6 ⋅ 3 ⋅ (−1) − (−1) ⋅ 8 ⋅ 1 − 6 ⋅ (−2) ⋅ 2 − 5 ⋅ 3 ⋅ 1=15 , 1 6

1

2 1 5 d 3 = 3 3 8 = 2 ⋅ 3 ⋅ 6 + 1 ⋅ 8 ⋅ 1 + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 − 5 ⋅ 3 ⋅ 1 − 1 ⋅ 8 ⋅ 2 − 1 ⋅ 3 ⋅ 6 = 10 . 1 1 6 По формулам Крамера получаем:

х=

d1 15 = = 3, d 5

у=

d2 5 = = 1, d 5

z=

d 3 10 = = 2. d 5

2) Данную систему можно представить в матричном виде: А⋅Х=В,  5  x 2 1 − 1       где А =  3 3 − 2  – матрица системы уравнений, Х =  y  , В =  8  .  6 z 1 1 1        Умножим слева обе части уравнения на А–1, т.к. произведение матриц не коммутативно. А–1 – обратная для матрицы А. Тогда A −1 ⋅ A ⋅ X = A −1 B, A −1 A = E , т.е. X = A −1 B . Значит, решение матричного уравнения А⋅Х=В будем искать в виде

Х=А–1⋅ В, где А–1 – матрица, обратная матрице А. Так как определитель матрицы А не равен нулю (d=5), то обратная матрица существует и равна: А −1

 A11 1 =  A12 d  A13

A21 A22 A23

A31   A32  , A33 

где Aij – алгебраическое дополнение для элемента аij. Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы А: 11

A11 = (−1)1+1 ⋅

3 −2 = 3 ⋅ 1 − ( −2 ) ⋅ 1 = 5 ; 1 1

A12 = (−1)1+ 2 ⋅

3 −2 = −(3 ⋅ 1 − (−2) ⋅ 1) = −5 ; 1 1

A13 = (−1)1+3 ⋅

3 3 = (3 ⋅ 1 − 3 ⋅ 1) = 0 ; 1 1

A21 = (−1) 2+1

1 −1 = −(1 ⋅1 − (−1) ⋅1) = −2 ; 1 1

A22 = (−1) 2+ 2 ⋅

2 −1 = 2 ⋅ 1 − (−1) ⋅ 1 = 3 ; 1 1

A23 = (−1) 2+3 ⋅

2 1 = −(2 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1) = −1 ; 1 1

A31 = (−1) 3+1 ⋅

1 −1 = 1 ⋅ (−2) − (−1) ⋅ 3 = 1; 3 −2

A32 = (−1) 3+ 2 ⋅

2 −1 = −(2 ⋅ (−2) − (−1) ⋅ 3) = 1; 3 −2

A33 = (−1) 3+3 ⋅

2 1 = 2 ⋅ 3 − 1⋅ 3 = 3. 3 3

 5 − 2 1  1 Получаем A =  − 5 3 1  . Тогда 5   0 − 1 3 −1

 5 ⋅ 5 + (−2) ⋅ 8 + 1 ⋅ 6   5 − 2 1  5 15   3   1       1 1 X =  − 5 3 1 ⋅  8  =  − 5 ⋅ 5 + 3 ⋅ 8 + 1 ⋅ 6  =  5  =  1  . 5   6  5  0 ⋅ 5 + (−1) ⋅ 8 + 3 ⋅ 6  5 10   2  − 0 1 3           Ответ: х = 3; y = 1; z = 2. Задача 2.

12

Построить пространство решений линейной однородной системы трех уравнений с четырьмя неизвестными, определить размерность этого пространства и указать какой-нибудь базис:

 x1 + 4 x 2 − 3 x 3 − 9 x 4 = 0,  3 x1 − 2 x 2 + 4 x 3 + x 4 = 0,  x + 18 x − 16 x − 37 x = 0. 2 3 4  1 Решение: С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы системы. Для этого приведём матрицу к трапециевидному виду, число ненулевых строк в трапециевидной матрице будет равна рангу матрицы. −3 −9  1 4   1  3 − 2 4 1 18 − 16 − 37   

(-3) (-1)

+

−3 −9  − 3 − 9 1 4 1 4     0 14 13 28 ∼ ∼ + 0 14 13 28 − − .    + 0 0  0 14 0 0  − 13 − 28   

Получили трапециевидную матрицу, в которой только две ненулевые строки. Значит, ранг r = 2. Число неизвестных в системе n = 4. Так как r < n, то система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от n – r = 4 – 2 = 2 параметров. Базисный минор – это отличный от нуля минор, порядок которого 1 4 равен рангу матрицы. Пусть d = = − 14 ≠ 0 – базисный минор. Тогда x1 и х2 3 −2 – базисные неизвестные, т. к. коэффициенты перед ними образуют базисный минор, x3 и х4 – параметры. Обозначим x3 = С1, х4 = С2 и выразим базисные неизвестные через параметры. Так как r = 2, то достаточно взять два уравнения:  x1 + 4 x 2 = 3C1 + 9C 2 ,  3 x1 − 2 x 2 = −4C1 − C 2 . Решим эту систему с помощью формул Крамера. d1 =

3C1 + 9C 2 − 4C1 − C 2

4 = −2(3C1 + 9C 2 ) − 4(− 4C1 − C 2 ) = −2

= −6C1 − 18C 2 + 16C1 + 4C 2 = 10C1 − 14C 2 ; d2 =

4 3C1 + 9C 2 = 4(− 4C1 − C 2 ) − (−2)(3C1 + 9C 2 ) = − 2 − 4C1 − C 2 13

= −16C1 − 4C 2 + 6C1 + 54C 2 = −10C1 + 50C 2 . Тогда: х1 =

d 1 10C1 − 14C 2 , = d − 14

х2 =

− 10С1 + 50С 2 . − 14

Общее решение исходной системы имеет вид: 10C1 − 14C 2  , = x 1  − 14  − 10C1 + 50C 2  , x2 = 14 −   x 3 = C1 , x = C .  4 2 Частные решения системы линейных уравнений получаем, придавая параметрам конкретные числовые решения. Множество решений однородной системы линейных уравнений образует линейное пространство размерности n – r = 4 – 2 = 2, т.е. базис в этом пространстве состоит из двух линейно независимых решений. Придадим параметрам С1 и С2 следующие значения: С1 = 1, С2 = 0 и С1 = 0, С2 = 1, тогда получим два частных решения системы    10 10  50 Е1 =  − ; ; 1; 0  , Е 2 = 1; ; 0; 1 . Эти решения линейно независимы, т.к.    14 14  14 ранг матрицы этих векторов равен двум. Решения E1 и E2 образуют один из базисов пространства решений данной системы, которое можно записать, как L = C1⋅ E1 + C 2 ⋅ E 2 ; оно состоит из множества четверок чисел  10С1 − 14С 2 − 10C1 + 50C 2  ; ; C1 ; C 2   ,  − 14 − 14   где С1 и С2 принимают произвольные значения. Размерность этого пространства равна двум. Задача 3.

По координатам вершин пирамиды АВСD найти: а) длины ребер АВ и АС;

14

б) угол между векторами AB и AC ; в) объем пирамиды АВСD; г) высоту, опущенную из вершины D на грань АВС; д) уравнение прямой АВ; е) уравнение плоскости ВСD. А (3; – 2; 2), В (1; – 3; 1), С (2; 0; 4), D (6; – 4; 6). Решение: Найдем координаты векторов АВ , АС , АD : АВ = (1 − 3; − 3 − (− 2 ) ; 1 − 2 ) = (− 2; − 1; − 1) ; АС = (2 − 3; 0 − (− 2 ) ; 4 − 2 ) = (− 1; 2; 2 ) ; АD = (6 − 3; − 4 − (− 2 ) ; 6 − 2 ) = (3; − 2; 4 ).

а) Длины ребер АВ и АС найдем как длины векторов АВ и АС : AB = (−2) 2 + (−1) 2 + (−1) 2 = 6 ,

AC = (−1) 2 + 2 2 + 2 2 = 9 = 3 ,

т.е. AB = 6 (ед.), АС = 3 (ед.). б) Угол между векторами AB и AC найдём, используя скалярное произведение векторов: ∧   AB ⋅ AC cos  AB , AC  = , AB ⋅ AC  

AB ⋅ AC = 6 ⋅ 3 = 3 6 ,

AB ⋅ AC = −2 ⋅ (− 1) + (− 1) ⋅ 2 + (− 1) ⋅ 2 = −2;

∧   −2 cos  AB , AC  = .   3 6

в) Объём пирамиды равен 1 6 объёма параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD , как на сторонах. Объём параллелепипеда найдём, используя смешанное произведение векторов:

15

(AB

)

−2

AC AD = − 1

3

−1 −1 2 −2

2 = −30 . 4

Объём параллелепипеда равен V = − 30 = 30 (ед3). 1 Объём пирамиды равен V = ⋅ 30 = 5 (ед3). 6 г) Из школьного курса известна формула объёма пирамиды: 1 V = S осн. ⋅ h . 3 Отсюда h = Площадь векторов:

3V . S осн.

основания i

[AB, AC ] = − 2

j

h=

[

используя

векторные

произведения

k

− 1 − 1 = 5 j − 5k ,

−1

S осн =

найдём,

2

2

]

( )

1 1 2 5 2 AB, AC = 0 + 52 + − 52 = (ед.2). 2 2 2

3⋅5 3⋅ 2 6 6 2 = = = = 3 2 (ед.). 2 5⋅ 2 2 2 2

д) Для нахождения уравнения прямой АВ используем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: x − x1 y − y1 z − z1 . = = x2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1 Имеем: x−3 y+2 z−2 , = = 1 − 3 − 3 − (− 2 ) 1 − 2 16

x−3 y+2 z −2 = = −2 −1 −1

– канонические уравнения искомой прямой. е) Для нахождения уравнения плоскости ВСD используем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки: x − x1

y − y1

z − z1

x2 − x1

y 2 − y1

z 2 − z1 = 0 .

x3 − x1

y3 − y1

z3 − z1

Имеем: x −1

y+3

z −1

2 −1

0+3

4 − 1 = 0,

6 −1 − 4 + 3 6 −1

x −1 y + 3 z −1 1

3

3

5

−1

5

= 0,

т.е.: 18 ⋅ ( x − 1) + 10 ⋅ ( y + 3) − 16 ⋅ ( z − 1) = 0,

18 x − 18 + 10 y + 30 − 16 z + 16 = 0.

18 x + 10 y − 16 z + 28 = 0 – искомое уравнение, или 9 x + 5 y − 8 z + 14 = 0 . −2 x−3 y +2 z −2 = ; ; в)5; г) 3 2 ; д) = −2 −1 −1 3 6 е)9 x + 5 y − 8 z + 14 = 0 .

Ответ: а) 6 ; 3 ; б)

Задача 4.

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы: 1 2 − 2    A = 1 0 3  . 1 3 0    Решение: Составим характеристическое уравнение для матрицы А:

17

det ( A − λE ) = 0 , где Е – единичная матрица. Имеем 1− λ 2 1

−λ

1

3

−2 3 = 0 или

(1 − λ ) ⋅ (λ2 − 9) = 0.

−λ

Получим три собственных значения матрицы А: λ 1 = 1, λ 2 = 3, λ 3 = −3. Определим собственные векторы матрицы А для каждого собственного  x1    значения. По определению вектор Х =  x 2  является собственным вектором x   3 матрицы А если: 1) Х – ненулевой вектор; 2) существует число λ такое, что AX = λX , т.е. ( A − λE )X = 0 , т.е. вектор Х является решением системы уравнений, записанной в матричном виде

( A − λE )X

= 0,

где λ собственное значение матрицы А. Пусть λ 1 = 1 : 0 ⋅ x1 + 2 ⋅ x 2 − 2 ⋅ x 3 = 0, 1 − 1 2 − 2   x1   0         − 1 3  ⋅  x 2  =  0  ⇔  x1 − x 2 + 3 ⋅ x3 = 0,  1  1  x + 3 ⋅ x − x = 0. 3 − 1   x 3   0   2 3  1 Найдём ранг с помощью элементарных преобразований:  0 2 − 2 0 2     1 − 1 3  х (-1) ~  0 − 4 1 3 − 1 1 3    Ранг r = 2, число неизвестных множество решений, зависящих от 18

− 2 0 0 0   х1  2 ~ 0 − 4 4  4 .  1 3 − 1 − 1    n = 3. Система имеет бесчисленное n − r = 3 − 2 = 1 параметра. Пусть

0 2 ≠ 0 – базисный минор, тогда x1 , x 2 – базисные неизвестные, х3 – 1 −1 параметр. Обозначим х 3 = С1 и выразим неизвестные через параметр: d=

 2 x 2 = 2C1 ,   x1 − x 2 = −3C1 ,

 x1 = −2C1 ,   x 2 = C1 .

 − 2C1    Тогда X 1 =  C1  , где C1 ≠ 0 , собственный вектор матрицы А с  C   1  собственным значением λ 1 = 1. Пусть λ 2 = 3 : − 2 x1 + 2 x 2 − 2 x 3 = 0, 1 − 3 2 − 2   x1   0         − 3 3  ⋅  x 2  =  0  ⇔  x1 − 3 x 2 + 3 x 3 = 0,  1  1  x + 3 x − 3 x = 0. 3 − 3   x 3   0   2 3  1 Решим эту систему:  − 2 2 − 2    1 −3 3   1 3 − 3  

0  0 0  0 8 − 8  Х 14  0 2 − 2   1      ~ 0 − 6 6  Х 3 ~ 0 − 2 2  ~ 0 − 2 2 .  1 3 − 3  1 3 − 3 1 3 − 3      

х2 х (-1)

1 −3 ≠ 0 – базисный минор, тогда х1, х2 – базисные 1 3 неизвестные, х3 – параметр. Обозначим x3 = C 2 и выразим базисные неизвестные через параметр: Пусть d =

 x1 − 3 x 2 = −3C 2 ,   x1 + 3 x 2 = 3C 2 ,

 x1 = 0,  x2 = C2 .

 0    Тогда X 2 =  C 2  , где C 2 ≠ 0 , собственный вектор матрицы А с C   2 собственным значением λ 2 = 3 . Пусть λ 3 = −3 : 19

4 x1 + 2 x 2 − 2 x 3 = 0, 1 + 3 2 − 2   x1   0         3 3  ⋅  x 2  =  0  ⇔ 1x1 − 3 x 2 + 3 x 3 = 0,  1  1 1x + 3 x + 3 x = 0. 3 3   x 3   0   2 3  1 Решим эту систему:  4 2 − 2   1 3 3  1 3 3   

х (-4) х (-1)

 0 − 10 − 14    0 0 . ~ 0 1 3 3  

4 2 ≠ 0 – базисный минор, тогда х1 и х2 – базисные 1 3 выразим базисные неизвестные, х3 – параметр. Обозначим x3 = C 2 и неизвестные через параметр: Пусть d =

4 x1 + 2 x 2 = 2C 3 ,   x1 + 3 x 2 = −3C 3 ,

12  x C3 , = 1  10   x = − 14 C . 3  2 10

Тогда  12 C 3   65 C 3  10     7 X 3 =  − 14 C = − C  ,  10 3 5 3  C   C  3 3    

где C 3 ≠ 0 , собственный вектор матрицы А с собственным значением λ 2 = −3 .  65 C3   − 2C1  0       Ответ: X 1 =  C1  , X 2 = C2  , X 3 =  − 75 C3  , где C1 ≠ 0 , C2 ≠ 0 , C 3 ≠ 0 .  C   C  C   1   2  3 

Задача 5.

20

Исследовать функцию и построить её график: f ( x) = 3 x 3 − 3 x .

Решение: 1. Область определения: D(f)=R. Точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет. 2. Нули функции: промежутки знакопостоянства. f ( x) = 0 ⇒

(

3

x 3 − 3x = 0 ⇒ x 3 − 3x = 0 ⇒

)

x ⋅ x 2 − 3 = 0 ⇒ х1 = 0, х 2,3 = ± 3 .

–

+

–

0

(

(

(

f ( x ) > 0 при x ∈ − 3;0

x

3

Точки пересечения с осями − 3; 0 f ( x ) < 0 при x ∈ − ∞;− 3

f(x)

+

) (0; 0), (

)

3; 0 .

) Υ(0; 3 ),

) Υ(

)

3;0 .

3. Исследуем функцию на чётность. Для любого значения х значение − x ∈ D( y ) и f (− x ) = 3 (− x )3 − 3(− x ) = −3 x 3 − 3x , т.е. f (− x ) = − f ( x ) и область определения (R) симметрична относительно х=0, значит, функция y = 3 x 3 − 3x нечётная, а значит, график её симметричен относительно начала координат (0;0). 4. Функция не периодическая, т.к. представляет собой многочлен. 5. Критические точки. Интервалы возрастания и убывания.  f ′( x ) =  x 3 − 3 x  

(

)

1 3

′  1 3  = x − 3x  3 

(

)

1 −1 3

(

)

(

)

1 3x 2 − 3 ⋅ 3x − 3 = ⋅ = 2 3 x 3 − 3x 3 2

(

)

21

(

) )

1 3 x2 −1 = ⋅ 3 3 3 x − 3x

(

x2 −1

=

2

3

(x

3

− 3x

)

2

.

Найдём критические точки, т.е. те точки, в которых производная равна нулю или не существует:

x 2 − 1 = 0, x = ±1; x 3 − 3x = 0, т.е. x = 0 или x = ± 3 .

+

+

–

–

–1 0 точка максимума

− 3

+

+

1 точка минимума

f ' (x) x

f(x)

3

Функция возрастает на промежутках (– ∞; –1) и (1; + ∞). Функция убывает на промежутке (–1;1).

(

)

Точка максимума х = –1, f (−1) = 3 (−1) 3 + 3 = 3 2 , т.е. − 1; 3 2 .

(

)

Точка минимума х = 1, f (1) = 3 (1) 3 + 3 = −3 2 , т.е. − 1;−3 2 . 6. Выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.

  x2 −1 f ′′( x ) =   3 х 3 − 3х 

(

(

3

=

(

)

2

= 2 x ⋅ х − 3х

2x

′    2 3  =  х − 1 х − 3х   

)

−2

3

−

(

)(

)

)

−2

(

3

′   = 

 − 2 2 + x −1  x − 3x  3  2

(

)(

)=

−5 3

) (3x 2 − 3) =

3⋅ 2 х2 −1 х2 −1

(х 3 − 3х )2 33 (х 3 − 3х )5 2 2 x (x 3 −3 x ) − 2(x 2 − 1) 2x 4 − 6x 2 − 2x 4 + 4x 2 − 2 = = = 5 5 3 3 3 (x − 3x) (x − 3x) 3

22

− 2x 2 − 2

= 3

(x

3

− 3x

)

5

(

).

− 2 x2 + 1

=

(x

3

3

− 3x

)

5

f ′′( x ) ≠ 0 ни при каких значениях х,

f ′′( x ) не определено при х = 0, x = ± 3 .

+

–

+

− 3

(

точка перегиба

) (

f ''(x)

3

0

точка перегиба

Точки перегиба:

–

x

f(x)

точка перегиба

(

)3

)

f − 3 = 3 − 3 + 3 3 = 0 , точка − 3;0 ,

x = − 3,

f (0 ) = 0, точка (0;0 ),

x = 0, x = 3,

f

( 3 ) = 3 ( 3 )3 − 3

3 = 0 , точка

(

)

3;0 .

7. Наклонные асимптоты. 3 3 f (x ) x − 3x = lim = 1, Уравнение асимптоты y = kx + b , где k = lim x →∞ x x →∞ x

b = lim ( f ( x ) − kx ) = lim x →∞

3

3

( x − 3x − x) (x − 3x) 3

= lim

x →∞

( x − 3x − 1x ) =

3

3

(

3 3  x − 3x 

x →∞

3

)

2

 + 3 x 3 − 3x ⋅ x + x 2   =  + 3 x 3 − 3x ⋅ x + x 2   2

x 3 − 3x − x 3

= lim

x →∞  3

 

(

)

 x 3 − 3x + 3 x 3 − 3x ⋅ x + x 2   2

=

23

= lim

− 3x

x→∞  3

(

)

  x 3 − 3x + 3 x 3 − 3x ⋅ x + x 2    2

= 0.

Значит, уравнение асимптот: у = х. 8. Построим график функции y = 3 x 3 − 3x . Y

у =x 1 – 3

X 1

–1 –1

3

Рисунок 1 Задача 6.

Экспериментальным путём получены следующие данные (в таблице 1). Требуется с помощью метода наименьших квадратов найти линейную зависимость y = ax + b. Таблица 1. 1 2 3 4 5 Xi 6 8 10 9 12 Yi Решение: Для нахождения значений а и b воспользуемся формулами:

24

6 11

n n  n 2 a ∑ xi + b∑ xi = ∑ xi yi ,  i =1 i =1 i =1  n n a x + nb = y . ∑ i  ∑ i i =1  i =1

Результаты вычислений запишем в таблице 2. Таблица 2. 1 2 3 4 5 6

xi 1 2 3 4 5 6

yi 6 8 10 9 12 11

xi2 1 4 9 16 25 36

xi ⋅ yi 6 16 30 36 60 66

21

56

91

214

n

∑

i =1

Получаем систему: 91a + 21b = 214,  21a + 6b = 56. Решив систему, получаем a = y=

36 86 , b= и искомая функция имеет вид: 35 15

36 86 x+ . 35 15

Ответ:

36 86 x+ . 35 15

Задача 7. Исследовать функцию z = f ( x, y ) на экстремум.

f ( x, y ) = − x 2 − xy − y 2 + x + y . Решение: Используя необходимые условия экстремума, найдём стационарные точки: 25

(

)

(

)

∂z = − x 2 − xy − y 2 + x + y x ′ = −2 x − y + 1; ∂x ∂z = − x 2 − xy − y 2 + x + y y ′ = − x − 2 y + 1; ∂y 1  x= ,  2 x + y = 1, − 2 x − y + 1 = 0,  3 ⇔  ⇔   x + 2 y = 1 − x − 2 y + 1 = 0 y = 1 .  3 1 1 Получаем одну стационарную точку M  ;  . Исследуем функцию на  3 3 экстремум в точке М. Обозначим:

∂2z

∂2z ∂2z (M ), C = 2 (M ) . A = 2 (M ), B = ∂ x dy ∂y ∂x

∂2z ∂x2

= (− 2 x − y + 1) x ′ = −2,

∂2z = (− 2 x − y + 1) y ′ = −1, ∂ x dy ∂2z ∂y2

= (− x − 2 y + 1) y ′ = −2.

Тогда: A = −2, B = −1, C = −2 . Вычислим ∆=

A B B C

:∆ =

−2

−1

−1 − 2

= 4 − 1 = 3.

1 1 Так как ∆ = 3 > 0 , то в точке M  ;  экстремум есть. Так как  3 3 1 1 A = −2 < 0 , то в точке M  ;  функция z = f ( x, y ) имеет строгий локальный  3 3 максимум. 26

1 1 Ответ: максимум в точке M  ;  .  3 3 Задача 8.

Найти угол между градиентами скалярных полей u ( x, y, z ) и v( x, y, z ) в точке М. u = ln x 2 + y 2 + z 2 , v = zx + xy + yz − 18 x − 6 z − y; M (3; 5; 4 ).

(

)

Решение: Найдём градиенты скалярных полей:  dv dv dv   du du du  grad U =  ; ; , grad V =  ; ; ;  dx dy dz   dx dy dz 

( (

))x ′ =

((

))y ′ =

((

))z ′ =

∂u = ln x 2 + y 2 + z 2 ∂x ∂u = ln x 2 + y 2 + z 2 ∂y ∂u = ln x 2 + y 2 + z 2 ∂z

2x

,

x2 + y2 + z2 2y x2 + y2 + z2 2z 2

2

x +y +z

2

,

,

∂v = (zx + xy + yz − 18 x − 6 z − y ) y ′ = z + y − 18, ∂x ∂v = (zx + xy + yz − 18 x − 6 z − y ) y ′ = x + z − 1, ∂y ∂v = (zx + xy + yz − 18 x − 6 z − y ) z ′ = x + y − 6. ∂z Градиенты скалярных полей в произвольной точке равны:

27

  2y 2x 2z grad U (M ) = − 2 ; ; , 2 2 2 2 2 2 2 2 x +y +z x +y +z   x +y +z grad V (M ) = {z + y − 18; x + z − 1; x + y − 6}. Градиенты скалярных полей в точке М(3;5;4) равны:  6 10 8  grad U (M ) =  ; ; , grad V (M ) = {− 9; 6; 2}.  50 50 50  Обозначим угол между градиентами скалярных полей через б . Найдём угол между градиентами скалярных полей, используя скалярное произведение векторов:

cos α =

grad U (M ) ⋅ gradV (M ) ; grad U (M ) ⋅ grad V (M )

grad U (M ) ⋅ grad V (M ) =

2

22 8 10 6 ⋅ (− 9 ) + ⋅6+ ⋅2= ; 50 50 50 50

2

2

2  6   10   8  grad U (M ) =   +   +   = , 5  50   50   50  grad V (M ) =

(− 9 )2 +6 2

+ 2 2 = 11;

22 2 2 cos б = 50 = , б = arccos . 10 10 2 ⋅ 11 5 Ответ: arccos Задача 9.

28

2 . 10

Найти неопределённые интегралы. результатов проверить дифференцированием. а)

∫

6 x − arctg 4 x

dx , б)

1 + 16 x 2

∫ x ⋅ arctg x dx ,

в)

Правильность

3х 2 − х + 2

∫ (1 + х 2 )(х − 1) dx ,

г)

полученных 6

x

∫ 1 + 3 x dx .

Решение: а)

∫

6 x + arctg 4 x 1 + 16 x 2

dx = ∫

6x 1 + 16 x 2

dx + ∫

arctg 4 x 1 + (4 x )2

dx =

6 32 x dx + ∫ 32 1 + 16 x 2

1 6 1 (arctg 4 x ) + ∫ arctg 4 x ⋅ d (arctg 4 x ) = ⋅ ln 1 + 16 x 2 + ∫ +C = 4 32 4 2 2

=

3 1 ⋅ ln 1 + 16 x 2 + (arctg 4 x )2 + C. 16 8

При решении использован метод подведения под знак дифференциала и f ′( x ) правило ∫ ⋅ dx = ln f ( x ) + C. f (x ) Проверка: ′ 1 3  2 2  ⋅ ln 1 + 16 x + (arctg 4 x ) + C  = 8  16  =

=

1 1 3 1 ⋅ ⋅ x + ⋅ arctg x ⋅4+0= 32 2 4 8 16 1 + 16 x 2 1 + 16 x 2 6x 1 + 16 x

2

+

arctg 4 x 1 + 16 x

2

=

6 x + arctg 4 x 1 + 16 x

2

.

29

б)

∫ x ⋅ arctg x dx =

u = arctg x du =

dx

2 2 1 + x 2 = arctgx x − x ⋅ dx = x2 2 ∫ 2 1 + x2 v= 2

dv = x dx

x2 1 x2+ 1 − 1 x2 1 x2 dx = dx = arctg x = arctg x − − 2 2 ∫ x2+ 1 2 2 ∫ x2+ 1 x2 1 1 1 dx x2 1 x2+ 1 = arctg x − ∫ dx + arctg x = = arctg x − ∫ 2 dx + ∫ 2 2 2 x +1 2 x +1 2 2 2

= arctg x

x2 1 1 − x + arctg x + C. 2 2 2

При решении использован метод интегрирования по частям:

∫ u ⋅ dv = uv − ∫ v ⋅ du. Проверка:

′ 2   x 1 1  arctg x − x + ⋅ arctg x + C  =  2 2 2    x2 x2 ′ = (arctg x ) ⋅ + arctg x 2  2

′  1 1  − + ⋅ 1 +0=  2 2 x2 + 1 

x2 2x 1 1 = 2 ⋅ + arctg x − + = 2 2 2 1 + x2 x +1 2 1

=

= 30

(

x2

21 + x2

(

x2

21 + x2

(

) )

+ x ⋅ arctg x −

+ x ⋅ arctg x −

)

1 + x2 −1

(

21 + x2

(

x2

2 1 + x2

)

)

=

= x ⋅ arctg x.

в)

3x 2 − x + 2

∫ (1 + x 2 )(x − 1) ⋅ dx .

Представим дробь 3x 2 − x + 2

(1 + x )⋅ (x − 1) 2

=

3x 2 − x + 2

(1 + x )⋅ (x − 1) в виде суммы простейших дробей: 2

Ax + B 1+ x

2

+

(

( Ax + B ) ⋅ (x − 1) + C 1 + x 2 C = x −1 1 + x 2 ⋅ ( x − 1)

(

3 x 2 − x + 2 = ( Ax + B ) ⋅ ( x − 1) + C 1 + x 2

( ),

)

)

⇔

3 x 2 − x + 2 = Ax 2 + Bx − Ax − B + C + Cx 2 . Сравним коэффициенты при одинаковых степенях х: x2: 3 = A + C  A = 1,  x 1: − 1 = B − A ⇒  B = 0, C = 2  x 0 : 2 = − B + C. Получаем: x 3x 2 − x + 2 2 = + . 1 + x 2 ⋅ ( x − 1) 1 + x 2 x − 1

(

)

Тогда искомый интеграл будет равен:  x 2  + dx = ∫  2  dx = ( ) 1 − x 1 ⋅ ( x − 1) + x  

3x 2 − x + 2

∫ (1 + x 2 ) =∫

=

x 1 + x2

dx + ∫

(

)

2 dx = x −1

dx 1 1 2x 2 ln 1 + x 2 + 2 ln x − 1 + C. + = ∫ ∫ 2 x −1 2 2 1+ x 31

Проверка: ′ 1 x 1 2 1  1 2 ⋅ + + = + = 2 2 x 0  ln 1 + x + 2ln x − 1 + C  = ⋅ 2 − x −1 x 1 2  2 1 + x2 1+ x =

г)

(

) = x − x + 2 + 2 x = 3x − x + 2 . )⋅ (x − 1) (1 + x )⋅ (x − 1) (1 + x )⋅ (x − 1)

x( x − 1) + 2 1 + x 2

(1 + x 6

2

2

2

2

2

НОК (3; 6) = 6

x

∫1+ 3 x

2

=∫

dx = x = t 6 dx = 6t 5 dt

t 1+ t

2

⋅ 6t 5 dt = 6∫

t6 1+ t

2

dt =

t5 t3  1   4 2  − + t − arctg t  + C = dt = 6 = 6∫  t − t + 1 −  5  3 1+ t2     6 6 = t 5 − 2t 3 + 6t − 6arctg t + C = 6 x 5 − 2 x + 66 x − 6 arctg 6 x + C. 5 5 При решении использован метод замены переменной для интегралов от иррациональных функций вида R x; (ax + b )б , (ax + b ) в , ... .

(

)

Проверка: ′ 66 5  6 6 x − 2 x + 6 x − 6 arctg x + C  =  5  1

5

1

5

6 5 6 1 − 1 − 1 1 −6 ⋅ ⋅ x − 2⋅ ⋅ x 2 + 6⋅ ⋅ x 6 −6⋅ ⋅ ⋅x = 5 6 2 6 1+ 3 x 6 5 5 1  −1 −  − − 3   6 6 2 5 x −x +x ⋅ 1+ x − x 6 − 1 5 1   − − − x 6   = x 6− x 2+ x 6− = = 3 3 1+ x 1+ x

(

= 32

x

−

1 6

−x

−

1 2

+x

−

5 6

+

1 x6

−x

1+ 3 x

−

1 6

+x

−

1 2

−x

−

5 6

=

1 x6

1+ 3 x

)

=

6

x

1+ 3 x

.

Задача 10.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 − x2 и y = x2 − 2x. Решение: Построим графики функций y = 4 − x 2 и y = x 2 − 2 x – это параболы: y = 4 − x 2 – ветви параболы направлены вниз, y = x 2 − 2 x – ветви параболы направлены вверх. Определим точки их пересечения x 2 − x − 2 = 0, x1 = −1, x 2 = 2.

4 − x 2 = x 2 − 2 x, 2 x 2 − 2 x − 4 = 0,

Две точки пересечения парабол А(–1;3) и В(2;0). Построим эти точки и параболы.

Y

.

A

y = x2 – 2x C

y = 4 – x2

–2

A1

.

0

В

Х

D

Рисунок 2 Искомую площадь S можно найти по формуле: S=

2

∫ ( f ( x ) − ϕ ( x ) ) dx ,

−1

где

f ( x) = 4 − x 2 , ϕ ( x) = x 2 − 2 x . 33

S=

∫ ( y1 − y 2 ) dx = ∫ ((4 − x 2

2

−1

−1

Отсюда S =

∫ (4 + 2 x − 2 x 2

−1

2

2

)

) − (x

2

))

− 2 x dx =

∫ (4 + 2 x − 2 x 2

2

) dx .

−1

2   dx =  4 x 2 + x 2 − x 2  3  

2

= 9. −1

Ответ: 9 кв. ед. Задача 11.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: +∞

dx

∫ 1 + x2 .

−∞

Решение: Подынтегральная функция чётная, поэтому: +∞

dx

∫ 1 + x2

−∞

+∞

=2∫ 0

dx 1 + x2

.

Найдём +∞

dx

∫ 1 + x2

= lim

b → +∞

0

b

dx

∫ 1 + x2 0

= lim arctg 0 = lim (arctg b − arctg 0 ) = b

b → +∞

b → +∞

р . 2

Тогда +∞

∫

dx

−∞ 1 +

x2

= 2⋅

р =р, 2

т.е. несобственный интеграл сходится. Ответ: π .

Задача 12.

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

34

∞

n+3

∑

n =0 n

2

+1

⋅ ( x + 2 )n .

Решение: Для построения интервала и радиуса сходимости воспользуемся признаком Даламбера:

(

)

a n +1 (n + 4 ) ⋅ (x + 2 )n +1 ⋅ n 2 + 1 lim = lim = n→∞ a n n → ∞ (n + 1)2 + 1 ⋅ (n + 3) ⋅ ( x + 2 )n

(

=

)

(n + 4 ) ⋅ (n 2 + 1) x + 2 ⋅ lim 2 = n → ∞ (n + 2n + 2 ) ⋅ (n + 3)

Ряд абсолютно сходится при

x + 2.

x + 2 < 1, − 1 < x + 2 < 1, − 3 < x < −1.

Ряд расходится при x ∈ (− ∞; − 3) Υ (− 1; + ∞ ). Радиус сходимости равен 1. Исследуем ряд на сходимость на концах интервала: x = −3 :

∞

∑

n+3

n =0 n

2

+1

⋅ (− 3 + 2 ) = n

∞

∑

n+3

n =0 n

2

+1

⋅ (− 1)n – знакочередующийся ряд.

Так как: 1. a1 > a 2 > a 3 > ... 2.

x = −1 :

lim an = lim

n+3

= 0 , т.к. выполняются оба условия теоремы +1 Лейбница, то этот знакочередующийся ряд сходится. n→∞

∞

∑

n+3

2 n =0 n + 1

n→∞ n 2

∞

⋅ (− 1 + 2 )n = ∑

Рассмотрим ряд

n+3

2 n =0 n + 1

∞

1

∑n

– числовой положительный ряд.

– гармонический ряд, он расходится.

n =1

35

Так как n 2 + 3n n+3 1 lim : = lim 2 = 1, n→∞ n 2 + 1 n n →∞ n + 1 то по признаку сравнения ряд

Тогда ряд

∞

∑

n+3

n =0 n

2

+1

∞

∑

n+3

2 n =0 n + 1

– расходится.

⋅ (− 1)n – сходится условно.

Ответ: − 3 ≤ х < −1, в точке х = – 3 ряд сходится условно. Задача 13.

Вычислить приближённо с точностью до 0,001 определённый интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд. 0

∫

− 0, 6

dx 3

1 + x2

.

Решение: Воспользуемся разложением функции в биномиальный ряд:

1 3

1+ x

2

(

= 1+

1 2 −3 x

)

=1−

1 2 1 4 4 1⋅ 4 ⋅ 7 6 x + ⋅ ⋅x − ⋅ x + ..., 3 3 6 3⋅ 6⋅ 9

x < 1.

Так как отрезок интегрирования [– 0,6; 0] находится внутри интервала сходимости биномиального ряда, то ряд можно почленно интегрировать. Получаем: 0

∫

− 0, 6

dx 3

1 + x2

=

0

 1 2 1⋅ 4 4 1⋅ 4 ⋅ 7 6  ⋅x − ⋅ x + ...  dx = 1 − x + 3 3⋅6 3⋅6⋅9  − 0, 6 

∫

1 1⋅ 4 1⋅ 4 ⋅ 7   =x − ⋅ x3 + ⋅ x5 − ⋅ x 7 + ... 3⋅3 3⋅6⋅5 3⋅6⋅9⋅7  

36

0

= − 0, 6

3 5 7   ( ) ( ) ( ) 0 , 6 2 0 , 6 14 0 , 6 = − − 0,6 + − + − ....   9 45 567  

Вычислим эту сумму с точностью до 0,001. a1 = 0,6 > 0,001,

a2

( 0,6 )3 =

= 0,024 > 0,001,

9

2 ⋅ (0,6 )5 a3 = ≈ 0,003 > 0,001, 45 14 ⋅ (0,6 )7 a4 = ≈ 0,007 < 0,001. 567 Поэтому: 0

∫

− 0, 6

dx 3

1+ x

2

= −(− a1 + a 2 − a 3 ) ± 0,001 =

( 0,6 )3 = 0,6 − 9

2 ⋅ (0,6 )5 + ± 0,001 = 0,579 ± 0,001. 45

Ответ: 0,579 ± 0,001. Задача 14.

Решить уравнение

dy − y cos x = sin 2 x. dx

Решение: Это уравнение линейное относительно неизвестной функции и её производной. Данное уравнение может быть проинтегрировано следующим образом. Полагаем

y = u ( х ) ⋅ v ( х ).

37

где u(x) и v(x) – новые неизвестные функции. Имеем

dy du dv = v+u . dx dx dx Подставляя у и

dy в исходное уравнение, получим: dx

du dv v+u − uv cos x = sin 2 x, dx dx du  dv  v + u  − v cos x  = sin 2 x. dx  dx  Функцию v(x) найдём из условия решение этого уравнения. переменными,

dv − v cos x = 0. Берём любое частное dx

dv = v cos x – это уравнение с разделяющимися dx

dv = cos x dx. v

dv = ∫ cos x dx + C , ln v = sin x, v ( x ) = ± e sin x – это его частное решение, v берем v ( x ) = e sin x .

∫

Тогда esinx ⋅

du = sin2x. Откуда dx

u( x ) = ∫ e − sin x sin 2 x dx = ∫ e − sin x 2 sin x cos x dx , т. к. sin 2 x = 2 sin x cos x . Далее

сделаем

замену

переменной

−t

u = 2∫ e dt . Проинтегрируем по частям −t

∫ ud v = uv − ∫ vd u, u = t , e dt = d v. Отсюда v = ∫ e −t dt = −e −t , du = dt , значит: 38

sin x = t, cos x dx = dt ,

тогда

(

) (

)

u = 2 − te −t + ∫ e −t dt = 2 − te −t − e −t + C ,

(

)

u ( x ) = 2 − sin xe − sin x − e − sin x + C = −2e − sin x (sin x + 1) + C. Следовательно, общее решение будет:

(

)

y = u ( x ) ⋅ v( x ) = e sin x − 2e − sin x (sin x + 1) + C = −2 sin x − 2 + Ce sin x . Ответ: y = −2 sin x − 2 + Ce sin x .

Задача 15.

Решить задачу Коши. y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 25e x sin x,

y (0) = 1,

y ′(0) = 2.

Решение: Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения имеет вид: yон = yоо + yчн (общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения). Решим однородное уравнение y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 0 – это линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение k 2 − 6k + 9 = 0, (k − 3)2 = 0, имеет корни k1 = k 2 = 3. Общее решение однородного уравнения: y оо = c1 e 3 x + xc 2 e 3 x = (c1 + c 2 x ) ⋅ e 3 x , где С1, С2 – произвольные постоянные. Частное решение однородного уравнения имеет вид yчн = e x ( A cos x + B sin x ) , где А, В – некоторые постоянные, подлежащие определению. ′ = e x ( A cos x + B sin x ) + e x (− A sin x + B cos x ), y чн ′′ = e x ( A cos x + B sin x ) + 2e x (− A sin x + B cos x ) + e x (− A cos x − B sin x ). y чн

39

′ , yчн ′′ в исходное неоднородное уравнение, получим: Подставляя yчн , yчн e x (3 A − 4 B )cos x + e x (4 A + 3B )sin x = 25e x sin x . Разделим обе части уравнения на e x , т.к. e x ≠ 0 , получим:

(3 A − 4 B )cos x + (4 A + 3B )sin x = 25 sin x . Сравнивая коэффициенты при cos x, sin x, получим систему уравнений: 3 A − 4 B = 0 × 3 9 A − 12 B = 0, =   4 A + 3B = 25 × 4 16 A + 12 B = 100. Значит, решение этой системы A = 4, B = 3 и, следовательно: yчн = e x (4 cos x + 3 sin x ) . Общее решение данного уравнения: y он = (c1 + xc 2 ) ⋅ e 3 x + e x ⋅ (4cos x + 3 sin x ) . Найдём частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y (0 ) = 1, y ′(0 ) = 2 , т.е. найдём значения произвольных постоянных c1 и c2 ′ = c 2 e 3 x + (c1 + xc 2 ) e 3 x + e x (4 cos x + 3 sin x ) + e x (− 4 sin x + 3 cos x ) . y ом ′ : Подставим заданные начальные условия в yон и yон

1 = (c1 + 0) e 0 + e 0 (4 + 0),  2 = c 2 + (c1 + 0) e 0 + e 0 (4 + 0) + e 0 (0 + 3);

c1 = −3,  2 = c 2 + c1 + 7,

c1 = −3,  c 2 = −2,

т.е. частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям y (0 ) = 1, у ′(0 ) = 2 :

y = (− 3 − 2 x ) e 3 x + e x (4 cos x + 3 sin x ) = = − e 3 x (3 + 2 x ) + e x (4 cos x + 3 sin x ).

Ответ: yон= (c1 + c2x)e3x + ex (4cosx + 3sin x); частное решение, удовлетворяющее начальным 40

условиям y(0) = 1, y'(0) = 2: y = −e3x (3 + 2x) + ex (4 cos x + 3 sin x) . 4 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

Задача 1.

Дана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: а) найти её решение с помощью формул Крамера; б) записать систему в матричном виде и решить её средствами матричного исчисления.

− 2 x + y − 3 z = −4,  1. 4 x + 7 y − 2 z = −6,  x − 8 y + 5 z = 1; 

 x + 3 y − 2 z = −5,  2.  x + 9 y − 4 z = −1, − 2 x + 6 y − 3 z = 6; 

− 3 x + 5 y − 6 z = −5,  3. 2 x − 3 y + 5 z = 8,  x + 4 y − z = 1; 

 x + 2 y − z = 1,  4. − 3 x + y + 2 z = 0,  x + 4 y + 3z = 2; 

2 x − 4 y + 9 z = 28,  5. 7 x + 3 y − 6 z = −1, 7 x + 9 y − 9 z = 5; 

 x + 2 y − z = 2,  6. 2 x − 3 y + 2 z = 2, 3x + y + z = 8; 

 x + 2 y + 3z = 5,  7. 2 x − y − z = 1,  x + 3 y + 4 z = 6;  2 x + 4 y + 3z = −10,  9. − x + 5 y − 2 z = 5, 3x − 2 y + 4 z = 3; 

2 x − y + z = 2,  8. 3 x + 2 y + 2 z = −2,  x − 2 y + z = 1;  4 x + 7 y − 3z = −10,  10. 2 x + 9 y − z = 8, − x + 6 y − 3 z = 3; 

 x + 7 y − 2 z = 3,  11. 3 x + 5 y + z = 5, − 2 x + 5 y − 5 z = −4; 

2 x + 3 y + z = 4,  12. 4 x − y + 5 z = 6,  x − 2 y + 4 z = 9; 

41

3 x − 9 y + 8 z = 5,  13. 2 x − 5 y + 5 z = 4, 2 x − y + z = −4; 

− 2 x + 5 y − 6 z = −8,  14.  x + 7 y − 5 z = −9, 4 x + 2 y − z = −12; 

 x − 5 y + 3z = −1,  15. 2 x + 4 y + z = 6, − 3 x + 3 y − 7 z = −13; 

− x + 2 y + z = 5,  16. 2 x − 3 y + 3z = 1,  y − 5 z = −9; 

− x + 2 z = 5,  17. 2 x + 2 y + 5 z = 10, 3x − 2 y + 2 z = −1; 

2 x − y − 3z = 3,  18. 3x + 4 y − 5 z = −8, 2 y + 7 z = 17; 

3 x − y + z = 4,  19. 2 x − 5 y − 3 z = −17,  x + y − z = 0; 

 x + y + z = 2,  20. 2 x − y − 6 z = −1, 3 x − 2 y = 8. 

Задача 2.

Построить пространство решений однородной линейной системы трёх уравнений с четырьмя неизвестными, определить размерность этого пространство и указать какой-нибудь базис.

3 x1 − 5 x 2 − x 3 − 2 x 4 = 0,  1. 8 x1 − 6 x 2 + 3 x 3 − 7 x 4 = 0, 2 x + 4 x + 5 x − 3 x = 0; 2 3 4  1

3 x1 + 2 x 2 − x 3 − 9 x 4 = 0,  2. 5 x1 − 3 x 2 + 4 x3 − 13 x 4 = 0,  x + 7 x − 6 x − 15 x = 0; 2 3 4  1

 x1 − x 2 + x 3 − 2 x 4 = 0,  3.  x1 + x 2 − 2 x 3 − x 4 = 0,  x − 3 x + 4 x − 3 x = 0; 2 3 4  1

6 x1 + 3 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 0,  4. 4 x1 + 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 0, 2 x + x + x + x = 0; 2 3 4  1

2 x1 − 2 x 2 − 3 x 3 − 7 x 4 = 0,  5.  x1 + 11x 2 − 12 x 3 + 34 x 4 = 0,  x − 5 x + 2 x − 16 x = 0; 2 3 4  1

3 x1 + x 2 + x3 − 3 x 4 = 0,  6.  x1 + 3 x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = 0, 5 x + 7 x − 3 x + x = 0; 2 3 4  1

42

3 x1 − x 2 + 2 x 3 + x 4 = 0,  7. − 4 x1 + 5 x 2 − 3 x 3 − x 4 = 0, 2 x + 3 x + x + 3 x = 0; 2 3 4  1

2 x1 + x 2 − 4 x 3 + 2 x 4 = 0,  8. 4 x1 − 9 x 2 + 2 x 3 + 4 x 4 = 0, − x + 5 x − 3 x − x = 0; 2 3 4  1

 x1 + 3 x 3 + x 4 = 0,  9. 3 x1 − 2 x 2 + 8 x 3 + 4 x 4 = 0, − x + 2 x − 2 x − 2 x = 0; 2 3 4  1

3 x1 − 8 x 2 − 7 x 3 − x 4 = 0,  10. − x1 + 7 x 2 − 5 x 3 − 5 x 4 = 0,  x + 6 x − 3 x + 5 x = 0; 2 3 4  1

 x1 + 2 x 2 + x 3 + 4 x 4 = 0,  11. 2 x1 − x 2 + 3 x 3 + x 4 = 0,  x + 3 x − x − 6 x = 0; 2 3 4  1

7 x1 + 2 x 2 − x 3 − 2 x 4 = 0,  12.  x1 − 3 x 2 + x 3 − x 4 = 0, 2 x + 5 x + 2 x + x = 0; 2 3 4  1

3 x1 + x 2 − 3x 3 − 10 x 4 = 0,  13. 4 x1 + 5 x 2 − 7 x 3 − 20 x 4 = 0, 2 x − 3 x + x = 0; 2 3  1

 x1 + x 2 − 3 x 3 − 6 x 4 = 0,  14. 7 x1 − 3 x 2 − 7 x 3 − 18 x 4 = 0, 4 x − x − 5 x − 12 x = 0; 2 3 4  1

3 x1 − 5 x 2 + 2 x 3 + 4 x 4 = 0,  15. 7 x1 − 4 x 2 + x 3 + 3 x 4 = 0, 5 x + 7 x − 4 x − 6 x = 0; 2 3 4  1

 x1 + 3 x 2 − x 3 + 12 x 4 = 0,  16. 2 x1 − 2 x 2 + x 3 − 10 x 4 = 0, 3 x + x + 2 x = 0; 2 4  1

6 x1 + 3 x 2 − 2 x 3 + 4 x 4 = 0,  17. 7 x1 + 4 x 2 − 3 x 3 + 2 x 4 = 0,  x + x − x − 2 x = 0; 2 3 4  1

 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 − x 4 = 0,  18. 5 x1 − 7 x 2 − 2 x 3 − 5 x 4 = 0, 3 x − 2 x + x − 3 x = 0; 2 3 4  1

2 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 0,  19. 5 x1 − 2 x 2 + 4 x 3 − 4 x 4 = 0,  x + 2 x − 2 x − 6 x = 0; 2 3 4  1

2 x1 − 2 x 2 + x 3 − x 4 = 0,  20. 2 x1 − 3 x 2 + 5 x 3 + 4 x 4 = 0, − 2 x + x + 3 x + 6 x = 0. 1 2 3 4 

Задача 3.

По координатам вершин пирамиды ABCD найти: а) длины рёбер AB и AC; б) косинус угла между векторами AB и AC ; в) объём пирамиды ABCD; г) высоту, опущенную из вершины D на грань ABC; 43

д) уравнение прямой AB; е) уравнение плоскости BCD. 1. A(− 1; 2;1), B(− 2; 2; 5), C (− 3; 3; 1), D(− 1; 4; 3); 2. A(2; 0; 3), B(1; 0; 7 ), C (0; 1; 3), D(2; 2; 5); 3. A(− 2; 1; − 1), B(− 3; 1; 3), C (− 4; 2; − 1), D(− 2; 3; 1); 4. A(2; − 1; 2 ), B(1; − 1; 6 ), C (0; 0; 2 ), D(2;1; 4 ); 5. A(1;1; 2 ), B(0; 1; 6 ), C (− 1; 2; 2 ), D(1; 3; 4 ); 6. A(− 1; 0; 2 ), B(− 2; 0; 6 ), C (− 3; 1; 2 ), D(− 1; 2; 4 ); 7. A(2; 3; 2 ), B(1; 3; 6 ), C (0; 4; 2 ), D(2; 5; 4 ); 8. A(− 1; − 2; 1), B(− 2; − 2; 5), C (− 3; − 1; 1), D(− 1; 0; 3); 9. A(4; − 1; 3), B(− 2; 1; 0 ), C (0; − 5; 1), D(3; 2; − 6 ); 10. A(− 1; 2; − 3), B(4; − 1; 0 ), C (2; 1; − 2 ), D(3; 4; 5); 11. A(− 3; 4; − 7 ), B(1; 5; − 4 ), C (− 5; − 2; 0 ), D(2; 5; 4 ); 12. A(1; 3; 0 ), B(4; − 1; 2 ), C (3; 0; 1), D(− 4; 3; 5); 13. A(− 3; − 5; 6 ), B(2;1; − 4 ), C (0; − 3; 1), D(− 5; 2; − 8); 14. A(1; − 1; 2 ), B(2; 1; 2 ), C (1;1; 4 ), D(6; − 3; 8); 15. A(3; 10; − 1), B(− 2; 3; − 5), C (− 6; 0; − 3), D(1; − 1; 2 ); 16. A(− 2; − 1; − 1), B(0; 3; 2 ), C (3; 1; − 4 ), D(− 4; 7; 3); 17. A(0; 3; 2 ), B(− 1; 3; 6 ), C (− 2; 4; 2 ), D(0; 5; 4 ); 18. A(− 1; 2; 0 ), B(− 2; 2; 4 ), C (− 3; 3; 0 ), D(− 1; 4; 2 ); 19. A(1; 2; 1), B(0; 2; 5), C (− 1; 3; 1), D(1; 4; 3); 20. A(2; 2; 3), B(1; 2; 7 ), C (0; 3; 3), D(2; 4; 5).

44

Задача 4.

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

−1 − 2 3    1.  1 − 2 1  ; 1 3 − 4  

4 3   1   2.  − 8 2 − 5  ;  − 2 − 8 − 6  

1  − 2 1   3.  − 2 − 1 3  ;  3 1 − 4  

1 − 4 3   4.  1 − 2 1  ;  3 − 2 − 1  

8 5   2   5.  − 4 1 3 ;  8 − 2 − 6  

 2 − 8 − 5   6.  4 1 3 ;  − 8 − 2 − 6  

 − 1 3 − 2   7.  1 − 4 3  ; 1 1 − 2  

2 − 8 5    8.  4 1 − 3  ; 8 2 − 6  

−3 − 2 1    9.  − 2 − 3 − 1 ;  4 3 − 1 

 − 6 8 − 2   10.  5 2 8 ;  3 −4 1    4  −1 3   13.  − 1 − 3 − 2  ;  1 − 2 − 3  

 − 3 − 2 − 1   11.  − 2 − 3 1  ;  3 4 − 1  − 6 − 2 8    14.  3 1 − 4 ;  5 8 2  

 1  12.  − 8  2  − 3  15.  4 − 2 

 1 −4 3    16.  8 2 5 ;  − 2 8 − 6  

3  −1 4   17.  1 − 3 − 2  ;  − 1 − 2 − 3  

 − 6 − 8 2   18.  − 5 2 8  ;  − 3 − 4 1  

3  − 4 1   19.  3 − 1 − 2  ;  1 1 − 2  

 2 − 5 − 8   20.  − 8 − 6 − 2  .  4 3 1  

4 2 8 1 −1 −1

− 3  5 ; − 6  − 2  3 ; − 3 

Задача 5. Исследовать функцию и построить ее график.

1. y =

x3 4−x

2

;

2. y =

x2 1 + ; x 2

3. y =

4 x − 12 ( x − 2)

2

;

4. y =

3x − 9 ( x − 1)

2

;

45

5. y =

9. y =

x4 x3 − 1

2 − 4x 3 1 − 4x 2

13. y =

4x 2 3

6. y =

;

x −1

x 4x 2 − 1

;

;

( x − 3) 2 10. y = ; 4( x − 1)

;

x 2 −2 x + 2 14. y = ; x −1

3 1 17. y = − 3 ; x x

4 18. y = x + ; x+2

7. y =

16

x 2 ( x − 4)

11. y =

15. y =

19. y =

2x 2 4x 2 − 1

2

x − 2x 2x 3

x2 +1

;

12. y =

;

x2 − x −1

1

8. y = x +

;

;

16. y =

20. y =

2x 2

;

x ( x − 1) 2

x 2

x −4 1 − x3

x2

;

;

.

Задача 6. Экспериментальным путем получены следующие данные (в таблице). Требуется с помощью метода наименьших квадратов найти линейную зависимость y = ax + b .

1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19.

46

xi 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 y i 4,3 5,3 3,8 1,8 2,3 xi 0,5 0,8 1,2 1,3 4,0 y i 6,3 7,0 9,0 9,3 16,8 xi 0,1 0,3 0,5 1,2 2,1 y i 1,0 1,1 1,2 1,4 1,6 xi 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 y i 4,7 5,7 4,2 2,2 2,7 xi 2,1 2,5 3,0 3,1 3,3 y i 11,1 12,8 13,9 14,5 15,1 xi 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 y i 5,1 6,1 4,6 2,6 3,1 xi 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 y i 5,7 6,7 5,2 3,2 3,7 xi 2,2 3,1 4,5 5,3 5,7 y i 0,1 -0,4 -1,2 -1,6 -1,8 xi 1,0 3,7 5,8 6,1 7,2 y i 2,8 6,8 10,0 10,4 12,1 xi 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 y i 3,9 4,9 3,4 1,4 1,9

2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20.

xi 0,7 0,9 1,3 1,6 2,3 y i 7,0 8,0 9,0 10,0 12,0 xi 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 y i 4,5 5,5 4,0 2,0 2,5 xi 1,1 1,3 1,7 1,9 2,2 y i 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 xi 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 y i 5,5 6,5 5,0 3,0 3,5 xi 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 y i 4,9 5,9 4,4 2,4 2,9 xi 1,3 2,4 3,5 4,1 5,5 y i 3,4 4,7 5,5 6,5 7,8 xi 2,1 3,0 3,2 3,9 4,1 y i 3,4 8,1 9,2 12,6 13,3 xi 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 y i 5,9 6,9 5,4 3,4 3,4 xi 3,2 3,8 4,7 5,1 5,4 y i 10,5 12,3 14,9 16,4 16,9 xi 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 y i 5,2 2,0 4,7 2,7 3,2

Задача 7.

Исследовать функцию z = f ( x, y ) на локальный экстремум. 1. z = x 2 − xy + y 2 + 9 x − 6 y + 20 ;

2. z = 3 xy − x 2 − 3 y 2 − 6 x + 9 y + 2 ;

3. z = 3 xy − x 2 − y 2 − 10 x + 5 y + 3 ;

4. z = 3 x 2 + 5 xy + 3 y 2 + 4 x + 7 y + 1 ;

5. z = 3 xy − x 2 − 3 y 2 + x + 3 ;

6. z = 5 + 4 x + 10 y − 4 xy − 2 x 2 − 3 y 2 ;

7. z = 1 − x + y − 5 xy − 3 x 2 − 3 y 2 ;

8. z = xy − 2 x 2 − y 2 + 7 x − 7 y − 10 ;

9. z = x 2 + 3 xy − 2 y 2 + 2 x + 3 y + 1;

10. z = 3 xy − x 2 − 4 y 2 + 4 x − 6 y + 5 ;

11. z = x 2 + 3 xy + y 2 − x − 4 y + 3 ;

12. z = x 2 − xy + y 2 + x + y + 4 ;

13. z = x 2 + xy + y 2 −13x −11y +17 ;

14. z = x 2 + xy + y 2 + 4 x − y + 5 ;

15. z = xy − x 2 −2 y 2 + x + 10 y −6 ;

16. z = 3 x 2 + 3 xy + y 2 − 6 x − 2 y + 7 ;

17. z = x 2 − xy + 2 y 2 + 2 x − 8 y + 3 ;

18. z =2 x 2 + 3 xy + 2 y 2 −4 x −10 y + 12 ;

19. z =2 x 2 − 3 xy + 2 y 2 −9 x +12 y +10 ;

20. z = x 2 + xy − y 2 − 5 x + 5 y − 2 .

Задача 8.

Найти угол между градиентами скалярных полей U(x; y; z) и V(x; y; z) в точке М. 1. u =

1  1 1  , v = x 2 + 9 y 2 + 6 z 2 , M 1; ; ; xyz  3 6

2. u =

 1 1 1  2 2 2 , 3 , ; ; v = x − y − z M  ; yz 2  2 2 3

3. u =

x

x2z y3

, v=

 2 3 1 2 2y3 + + 8 3z 3 , M  ; ; ; 3 2  3 2 2

− 3x 3

47

4. u =

x y2z3

5. u = x 2 yz, v =

6. u =

y2z3 x2

1

, v=

2x

 1 2 2 3 3 3 ; − , M  ; 2;  2z 2 y 2  

−

2 1 −4 2  1 1  + + , M  2; ; ; x 9y 3z  3 6

, v=

x3 2

7. u = x 2 y ⋅ z 3 , v =

−

y3 2

−

 3 ; , M  2 ; 2 ;  2 3  

8z 3

 1 3 3 2 ; x + 3 y 2 − 2 z 2 , M  2; ;  2 3 2  

1 3  ;2; ; M ,  3 2  2 2 3 z 3 3y 2 1  2 1  2 − 6 2 ⋅ z 2 , M 1; ; 9. u = 2 , v = 2 x − ; 2 xy z  3 6

8. u =

xy 2

10. u =

3

, v=9 2⋅x −

z2 x2 y2

, v=

3x 2 2

−

y3

−

4z 3

2 2 . + 2 ⋅ z 2 , M  ;2;  3 3 2  

y2

yz 2  1 1 1  11. u = , v = x 2 − y 2 − 3z 2 , М  ; ; ; x  2 2 3 12. u =

 1 1  3 3 3 , v = 6 6 x − 6 6 y + 2 z , М ; ;0 ;  xz 2  6 6  y

 1 y2z3 1 2 2 3 3 3 ; − − , v= , М  13. u = ; 2;  2z 2 y x 2x 2   14. u =

x2 y2z3

, v=

 6 2 3 3 3 ; + − , М  2 ; 2 ;  x y 2 2z 2  

 1 1  15. u = xyz, v = x 2 + 9 y 2 + 6 z 2 , М 1; ; ; 3 6   16. u = 48

y3 x2z

, v=

 2 3 1 2 3 6 + − , М  ; ; ; 3 2 2 x 2 y 4z 

x3 y 2 3 4 1 1   17. u = , v= + − , М 1;2; ; z x y 6z 6  18. u =

19. u =

z2 xy 2

2

, v=3 2⋅x −

z x3 y 2

, v=

20. u = x 2 yz 3 , v =

1 2 ; − 3 2 z 2 , М  ;2;  3 3 2  

y2

3 4 1 1   + − , М 1;2; ; x y 6z 6   4 6 6 3 1   − + , М 1;2; . x 9y z 6 

Задача 9.

Найти неопределенные интегралы. результатов проверить дифференцированием. 1. a) ∫

в) ∫

2. a) ∫

в) ∫

3. a) ∫

в) ∫

8 x − arctg 2 x 1 + 4x

2

( x + 3) x 3 + x 2 − 2x arctgx + x 1+ x

2

x3 + 1 x 2 − 3x + 2

б) ∫ ln x 2 + 4 dx,

dx,

г) ∫

б) ∫ (4 x − 3)e − 2 x dx,

dx,

г) ∫

x2 2

x+2 dx; x

dx,

x −5 x + 8 x + 4

б) ∫

dx,

(

полученных

)

dx,

1+ln( x −1) dx, x −1

3

(

Правильность

3x

(x + 1)

3

dx;

)

2 +3 x sin 3 x dx,

г) ∫

1 2+ 4 x −1

dx;

49

4arctgx − x

4. a) ∫

в) ∫

1 + x2

2 x 2 − 3x + 1

x3 + 1

в) ∫ 6. a)

в)

7. a)

в)

x3 − 2 x 2 − 5x + 6

∫

∫

в) ∫

1− x

x2 −1

∫

dx,

2

г)

(arcsin x )2 + 1 1− x

2

2 x 2 − 3x + 1 x3 + 1

x + cos x x 2 + 2 sin x x2 x 4 − 81

dx,

dx,

1

x +5

dx;

x dx; 4−x

б)

∫ arctg (

∫

1 3

2

∫x

2

5− x

б)

dx,

dx,

dx,

г) ∫

dx,

dx,

x

б) ∫ x 3 ⋅ ln x dx,

dx,

(arccos x )3 − 1

3x 2 + 1

∫

8. a) ∫

50

(x sin x )

2

ln x

г) ∫

dx,

x cos x + sin x

5. a) ∫

б) ∫

dx,

г)

∫3

3

)

5 x − 1 dx,

dx;

sin 3 x dx,

x2 2

x +3

dx;

б) ∫ (1 − ln x ) dx,

г) ∫

1

x ( x − 1)

dx;

9. a)

в)

∫

(x

x2 +1 3

)

+ 3x + 1

x 3 − 17

∫ x 2 − 4x + 3

10. a) ∫

в) ∫

11. a) ∫

в) ∫

12. a) ∫

в) ∫

13. a) ∫

в) ∫

dx,

2

dx,

x + (arctg x )2 1 + x2 x3 − 5 x 2 − 6x + 5 3x − 1 2

x +9

x2 − x − 2

x3 + 4 x 2 − 4x + 3

1− x

2

2 x + 27 x 2 − x − 12

∫

x −3

dx;

(

)

x

г) ∫

г) ∫

dx,

dx,

2 x − arcsin x

1

(5 − x )

3

dx;

б) ∫ (7 x − 10 ) sin 4 x dx,

dx,

2

)

2 − 8 x sin 3 x dx,

б) ∫ x 2 − 3 cos 2 x dx,

dx,

arcsin x + 3 x 1− x

г)

dx,

dx,

x3 + 2

∫(

б)

dx,

dx,

1 2 − 1+ x

dx;

б) ∫ (4 x + 3) sin 5 x dx,

г) ∫

1 3

8+ x

2

dx;

б) ∫ x ln (1 − 3 x ) dx,

г) ∫

1 1 + 3x + 1

dx;

51

14. a)

в)

15. a)

в)

16. a)

в)

17. a)

в)

18. a)

в)

52

∫

2 arctgx + 2 x

dx,

б)

∫ xe

∫ 2 x 2 + x − 3 dx,

г)

∫

1 + x2 19 − 4 x

∫

e arcsin x − 2 x 1 − x2 x3 + 6

∫ x 2 − 2x − 3 ∫

2 x 3 + 3x x4 + 1

dx,

dx,

dx,

x3 − 4

∫ x 2 − x − 6 dx, ∫ ∫

∫ ∫

arctgx + 3x 1+ x

2

dx,

2x 5 − 8x 3 + 3 x 2 − 2x

x 3 + 3x 7 1− x

8

dx,

dx,

3 x 5 − 12 x 3 − 7 x 2 + 2x

dx,

−7 x

dx,

x 2x + 7

dx;

б)

−3 x ∫ e (2 − 9 x ) dx,

г)

x ∫ 4 + x dx;

 x

б)

∫ arcsin 3  dx,

г)

∫

x−3 dx; x

б)

∫ (3x + 4)e

г)

∫

x dx; x−6

б)

∫ arctg (

г)

∫

3x

dx,

)

4 x − 1 dx,

x 2x + 7

dx;

19. a)

в)

20. a )

в)

∫

x 2 − 2x 5 6+ x

6

dx,

б)

3 x 3 + 25

∫ x 2 + 3x + 2 dx,

г)

2 + ln x

∫ x(1 + ln 2 x ) dx, ∫

− x 5 + 25 x 3 + 1 x 2 + 5x

dx,

∫ x ⋅ ln ∫

2

x dx,

x2 + 1 + x

dx;

1+ x

б)

∫ x⋅e

г)

∫

3x

dx,

x 3x − 5

dx.

Задача 10.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Построить чертёж. 1. y = ( x − 2) 3 , 3. y = x 9 − x 2 ,

y = 4 x − 8; y = 0,

(0 ≤ x ≤ 3);

2. y = 4 − x 2 ,

y = x 2 − 2 x;

4. y = x ⋅ 36 − x 2 ,

y = 0,

5. y = 4 − x 2 , x = y 2 − 2 y;

6. y 2 = 9 x, x 2 = 4 y;

7. y 2 = 4 x, x 2 = 4 y;

8. y = x 2 + 2, x + y = 4;

9. y = x 2 ,

10. xy = 6, x + y − 7 = 0;

11. y = x 2 ,

y 2 = 4 x; y = 2 − x2;

12. y = x 2 + 4 x,

(0 ≤ x ≤ 6 );

y = x = 4;

13. y = x + 3, xy = 4, x = 0, x = 4, y = 0 ; 14. y = x 2 − 2 x, x − y + 4 = 0; 15. y = 4 x − x 2 , 17. y = x 2 + 1,

16. y = x 2 , xy = 8,

y = x; y = x,

y = 5, x = 0;

18. y = e x ,

y = 9;

y = e − x , x = 1; 53

x

19. y = 2 ,

y = 2, x = 0;

20. y =

1 1 + x2

x2 y= . 2

,

Задача 11.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. ∞

1.

∞

1

∫ x ⋅ ln 2 x dx ;

∫ x⋅e

2.

e

∞

4.

∞

∫ (x 3 + 3) dx ;

0

∫ 9 x 2 + 1 dx ;

8.

1

∫ x 2 + 2x + 5

dx ;

11.

0

∞

13.

∫ 0

(e

3x

∞

16.

∫ 0

(x

∞

19.

+3

+5

∫ x⋅e

−x

)

)

4

∫

6.

0

14.

∫ 0

dx ;

17.

∫

(x

dx ;

∞

dx ;

20.

0

x5 6

+6

)

1 + x2

∫x

2

(1 + e )

x 2

9.

5

dx ;

1

∫ 4 x + 2 dx ;

14 ∞

12.

1

∫ 4 x 2 + 1 dx ; 0

∞

(arctgx )3

0

dx ;

ex

∞

0

dx ;

3

− x2

dx ;

−5 x ∫ x ⋅ e dx ;

∞

x4 5

∫x⋅e

∞

e 3x

−2 x

∫ x⋅e ∞

−∞ ∞

0

10.

3.

0

1 + x2

0

1

∞

dx ;

arctg 2 x

∫

5.

0

7.

∞

0

x2

∞

− x2

dx ;

15.

∫ x⋅e

−3 x

dx ;

0

∞

dx ;

18.

∫ 0

arctgx 1 + x2

dx ;

⋅ e − x dx .

0

Задача 12.

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости. 1.

∞

∑

n =3

54

n2 − 6 6

n

(x − 6)

n

;

2.

∞

∑

n =3

n2 − 4 4

n

(x − 4)

n

;

3.

∞

∑

n=2

n2 + 6 6

n

( x + 6 )n ;

4.

7.

∞

n2 + 4

n=2

4n

∞

( x − 3)n

n =1

n ⋅ 5n

∑

∑

10.

13.

∞

∑

5.

;

5n

∞

(х − 3)п 2

∞

n2 − 3

n =1

3n

∑ ∞

∑

8.

;

n

∑ ∞

∑

n=2

∞

∑ (3п − 1) ⋅ (x + 2)

n

;

17.

5

∑ (2п ∞

2

∞

xn 19. ∑ ; n − 2 1 n =1 Задача 13.

20.

n =1

3n

∞

∑

9.

n

( x + 5)

n

;

( x + 5) n ; n2 ⋅ 4n

xn ∑ n! . n =1 ∞

∑

15.

n2 − 5 5

n =3

)

− 1 ⋅ (x − 2) ; n

( x + 3 )n ;

∞

12.

n =1

n=2

n2 + 3

∑

6.

;

n2 + 5 n

∞

n =1

xn

n =1 n ⋅ 2

14.

;

4n

∞

11.

( x − 3)

n

(x − 1)n ;

n =1

n =1

∑

;

(x + 1)n ;

n =1

16.

(x + 4)

n

∞

∑

18.

n

хп

n =1 п

2

( x − 5)n ;

;

∞

∑ (3п − 2 ) ⋅ (x + 2 )n .

n=2

Вычислить приближенно с точностью до 0,001 определенный интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд. 0

10 x 2 1. ∫ cos dx ; 3 0,3 0

sin

− 0, 4

0,16

7.

∫

e

5x dx ; 2

10.

x

∫3 0

5.

sin 2 x ∫1 x dx ; −

 x2 8. ∫ sin   5 −1

dx ;

−2 x3

dx 8 + x3

 dx ;  

∫

3.

dx ;

11. ∫ cos 2 x dx ;

;

14.

∫ 0

sin 0,8 x dx ; x

x2

3

dx ;

1 5

6.

1 − cos 2 x ∫ x dx ; 0 0

9.

∫ arctg x

2

dx ;

− 0,5

0,1 − 2 x

12.

0

0 ,8

1 − cos 3 x

−1

1

− 0,5

13.

0

0

0

∫ x⋅e

0,1

)

4

0

0

(

ln 1 − 2 x 3 dx ; 2. ∫ x − 0, 2

2

∫

4.

0

∫

e

0

0, 6

15.

∫ 0

x

−1

dx ;

sin 0,6 x dx ; x 55

(

0

)

ln 1 − x 2 16. ∫ dx ; x −1

1

17.

19. ∫ e

x

0, 2

dx ;

0,5

dx ;

18.

−1

2

1 2

∫ sin x

2

20.

∫ 0

0

∫e

− x3

dx ;

0

e −2 x − 1 dx . x

Задача 14.

Проинтегрировать уравнение.

(

)

1. x 2 + 2 x − 1 y ′ − ( x + 1) y = x − 1 ;

2. x ln x ⋅ y ′ − y = x 3 (3 ln x − 1) ;

3. 2 хy ′ − y = 3x 2 ;

4. y ′ + y cos x = sin x cos x ;

5. y ′ − y ⋅ tgx =

1 ; cos x

6. y ′( x + 1) − 2 y − ( x + 1) 4 = 0 ;

7. (4 − x 2 ) y ′ + xy = 4 ;

8. х ′ − x cos y = sin 2 y ;

9. x( x − 1) y ′ + y = x 2 (2 x − 1) ;

10. y ′ − 2 xy = 2 xe x ;

11. y ′ −

13.

2y = ( x + 1) 3 ; x +1

dy 1 + y cos x = sin 2 x ; dx 2

15. y ′ = 2 ln x +

y ; x

2

12.

dy cos x + y sin x = 1; dx

14. y ′ − 2 16. y ′ −

2

2 xy 1 + x2

2 y e−x 17. y ′ + = ; x x

18. x 2

19. y ′ cos x − y sin x = sin 2 x ;

20. y ′ −

56

y x +1 = ; x x = 2arcgx ;

dy = 2 xy − 3 y (−1) = 1; dx 5 y = e x x5 . x

Задача 15.

Решить задачу Коши. 1. y ′′ − 5 y ′ + 6 y = (12 x − 7)e − x , 2. y ′′ + 9 y = 6e 3 x ,

y (0) = y ′(0) = 0 ;

y (0) = y ′(0) = 0 ;

3. y ′′ − 4 y ′ + 5 y = 2 x 2 e x , 4. y ′′ + 6 y ′ + 9 y = 10 sin x, 5. y IV − y = 8e x ,

y (0) = y ′(0) = 0 ;

y (0) = 0,

6. y ′′ + y = 2 cos x,

y ′(0) = 3 ;

y (0) = 2,

y ′(0) = 2,

y (0) = 1,

y ′′(0) = 4,

y ′′′(0) = 6 ;

y ′(0) = 0 ;

7. y ′′ − 4 y ′ + 4 y = e 2 x , y (0) = 2, y ′(0) = 8 ; 8. y ′′ + 4 y = 4(sin 2 x + cos 2 x), y (π ) = y ′(π ) = 2π ; 9. y ′′ − y ′ = −5e − x (sin x + cos x), 10. y ′′ − 2 y ′ + 2 y = 4e x cos x,

y (π ) = πe π ,

11. y ′′′ − y ′ = −2 x,

y (0) = 0,

y ′(0) = 1,

12. y IV − y = 8e x ,

y (0) = −1,

13. y ′′′ − y = 2 x,

17. y ′′ + y = 4 x cos x,

y ′′(0) = 1,

y ′′′(0) = 0 ;

y ′′(0) = 2 ;

y (0) = y ′(0) = 1 ;

15. y ′′ − 6 y ′ + 9 y = x 2 − x + 3, 16. y ′′ + y ′ = x 2 + x,

y ′(π ) = e π ;

y ′′(0) = 2 ;

y ′(0) = 0,

y (0) = y ′(0) = 0,

14. y ′′ + 4 y = sin x,

y ′(0) = 5 ;

y (0) = −4,

4 y (0) = , 3

y ′(0) =

1 ; 27

y ′(0) = y (0) = 0 ; y (0) = 1,

18. y ′′ + 2 y ′ + 5 y = e1+ x sin 2 x,

y ′(0) = 2 ; y ( 0) = −

1 , 10

y ′(0) = 0 ; 57

19. y ′′ − y ′ = e x sin x,

y (0) = 0,

20. y ′′ − 3 y ′ + 2 y = xe x ,

58

y ′(0) = 0 ;

y (0) = 2,

y ′(0) = 3 .

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер и др. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ, 2000. – 471 с. 2. Гусак А.А. Справочное пособие по решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра. – Минск: ТетраСистемс, 1998. – 288 с. 3. Гусак А.А. Справочное пособие по решению задач: математический анализ и дифференциальные уравнения. – Минск: ТетраСистемс, 1998. – 416 с. 4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Учебное пособие для втузов. – 5-е изд., испр. – М.: Высшая школа, 1993. – 416 с. 5. Красс М.С. Математика для экономических специальностей.– М.: ИНФРА-М, 1988. – 398 с. 6. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. – 2-е изд., испр. – М.: Дело, 2001. – 688 с. 7. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2001. –575 с. 8. Шипачев В.С. Задачи по высшей математике: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1997. – 304 с.

59