Элементарная теория устойчивости и бифуркаций

Ж.Йосс, Д.Джозеф ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И БИФУРКАЦИЙ Книга американских математиков, отражающая современное состояние теории устойчивости и бифуркаций. Простота изложения позволяет непосредственно использовать теорию в самых различных прикладных областях, в которых встречаются системы нелинейных дифференциальных уравнений. Для математиков-прикладников, инженеров, аспирантов и студентов институтов. Содержание Предисловие 5 Список обозначений 8 Глава I. Равновесные решения эволюционных задач 9 §I.1. Одномерная, двумерная, n-мерная и бесконечномерная 9 интерпретации уравнения (1.1) §I.2. Нетривиальные решения; стационарные и T-периодические решения; 11 автономные и неавтономные задачи §I.3. Редукция к локальной форме 12 §I.4. Равновесные решения 13 §I.5. Равновесные решения и бифуркационные решения 13 §I.6. Бифуркационные решения и линейная теория устойчивости 14 15 §I.7. Обозначение для функционального разложения F (t, µ, U) Глава II. Бифуркация и устойчивость стационарных решений 18 одномерных эволюционных уравнений § II.1. Теорема о неявной функции 18 § II.2. Классификация точек кривых, изображающих решения 19 § II.3. Характеристическая квадратичная форма. Двойные точки, точки 20 возврата и сопряженные точки § II.4. Двойная точка бифуркации и теорема о неявной функции 21 § II.5. Бифуркация в точке возврата и характеристические квадратные 22 уравнения § II.6. Тройная точка бифуркации 23 § II.7. Теорема о достаточных условиях устойчивости 24 § II.8. Теорема о факторизации в одномерном случае 26 § II.9. Эквивалентность строгой потери устойчивости и двойной точки 27 бифуркации § II.10. Смена устойчивости в двойной точке 28 § II.11. Смена устойчивости в двойной точке для задач, приведенных к 30 локальной форме § II.12. Смена устойчивости в точке возврата 33 § II.13. Смена устойчивости в тройной точке 33 § II.14. Глобальные свойства устойчивости изолированных решений 35 Глава III. Теория несовершенств и изолированные решения, 37 разрушающие бифуркацию § III.1. Структура задач, в которых происходит разрушение двойной точки 38

бифуркации § III.2. Теорема о неявной функции и седлообразная поверхность разрушения бифуркации § III.3. Примеры изолированных решений, разрушающих бифуркацию § III.4. Итеративные процедуры построения решений § III.5. Устойчивость решений, разрушающих бифуркацию § III.6. Изоляты Глава IV. Устойчивость стационарных решений эволюционных уравнений в двумерном и n-мерном случаях § IV.1. Собственные значения и собственные векторы (nхn)-матрицы § IV.2. Алгебраическая и геометрическая кратности, индекс Риса § 1V.3. Присоединенная задача на собственные значения § IV.4. Собственные значения и собственные векторы (2х2)-матрицы § IV.5. Спектральная задача и устойчивость решения u=0 в Rn § IV.6. Узлы, седла и фокусы § IV.7. Критическое значение и строгая потеря устойчивости Дополнение IV. 1. Биортогональность обобщенных собственных векторов Дополнение IV.2. Проекции Глава V. Бифуркация стационарных решений и устойчивость бифуркационных решений в двумерном случае § V.I. Вид стационарных бифуркационных решений и их устойчивость § V.2. Классификация трех типов бифуркации стационарных решений § V.3. Бифуркация в простом собственном значении § V.4. Устойчивость стационарного решения, ответвляющегося в простом собственном значении § V.5. Бифуркация в двойном собственном значении с индексом, равным двум § V.6. Устойчивость стационарного решения, ответвляющегося в двойном собственном значении с индексом, равным двум § V.7. Бифуркация и устойчивость стационарных решений в форме (V.2) в двойном собственном значении (полупростом) с индексом, равным единице § V.8. Бифуркация и устойчивость стационарных решений (V.3) в полупростом двойном собственном значении § V.9. Примеры анализа устойчивости в двойном полупростом (с индексом, равным единице) собственном значении Дополнение V.I. Теорема о неявной функции для системы двух уравнений с двумя неизвестными функциями от одной переменной Глава VI. Методы проекции для общих задач бифуркации в стационарные решения § VI.1. Эволюционное уравнение и спектральная задача § VI.2. Построение стационарных бифуркационных решений в виде степенных рядов от амплитуды § VI.3. R1 и R1 как проекция

39 40 42 44 46 49 50 50 51 52 55 55 57 59 62 66 66 68 69 70 71 72 74 76 79 84 90 90 91 93

§ VI.4. Устойчивость бифуркационного решения § VI.5. Добавочная малая часть для R1 как проекции § VI.6. Проекции задач высокой размерности § VI.7. Спектральная задача для анализа устойчивости решения u=0 § VI.8. Спектральная задача и преобразование Лапласа § VI.9. Проекции в R1 § VI.10. Метод проекции для изолированных решений, разрушающих бифуркацию в простом собственном значении (теория несовершенств) § VI.11. Метод проекции в двойном собственном значении с индексом, равным двум § VI.12. Метод проекции в двойном полупростом собственном значении Дополнение VI.1. Примеры применения метода проекции Глава VII. Бифуркация периодических решений из стационарных решений бифуркация Хопфа на плоскости § VII.1. Структура двумерной задачи, описывающей бифуркацию Хопфа § VII.2. Амплитудное уравнение для бифуркации Хопфа § VII.3. Решение в виде рядов § VII.4. Уравнения для коэффициентов рядов Тейлора § VII.5. Условия разрешимости (альтернатива Фредгольма) § VII.6. Теория Флоке § VII.7. Уравнения, определяющие устойчивость периодических решений § VII.8. Теорема о факторизации § VII.9. Интерпретация условия устойчивости Глава VIII. Бифуркация периодических решений в общем случае § VIII.1. Собственные проекции спектральной задачи § VIII.2. Уравнения для проекции и дополнительная проекция § VIII.3. Решение в виде рядов с использованием альтернативы Фредгольма § VIII.4. Устойчивость бифуркации Хопфа в общем случае Глава IX. Субгармоническая бифуркация нетривиальных Tпериодических решений § IX.1. Постановка задачи о субгармонической бифуркации § IX.2. Спектральные задачи и собственные значения σ(µ) § IX.3. Биоргогональность § IX.4. Критическая точка § IX.5. Альтернатива Фредгольма для J(µ)-σ(µ) и формула, выражающая строгое пересечение (IX.20) § IX.6. Предположения о спектре § IX.7. Рациональные и иррациональные значения отношения частот в критической точке § IX.8. Оператор J и его собственные векторы § IХ.9. Сопряженный оператор J*, биортогональность, строгое пересечение и альтернатива Фредгольма для J

94 95 97 100 102 105 106 108 111 115 128 128 129 130 130 130 131 138 138 140 145 45 146 148 153 163 164 166 167 168 168 169 170 171 172

§ IX.10. Амплитуда в и биортогональное разложение бифуркационных субгармонических решений § IX.11. Уравнения для определения производных от бифуркационных субгармонических решений по ε при ε=0 § IX.12. Бифуркация и устойчивость T-периодических и 2Tпериодичeских решений § IX.13. Бифуркация и устойчивость nT-периодических решений с n>2 § IX.14. Бифуркация и устойчивость 3T-периодических решений § IX.15. Бифуркация 4T-периодических решений § IX.16. Устойчивость 4T-периодических решений § IX.17. Несуществование субгармонических решений более высокого порядка и слабый резонанс § IX.18. Сводка результатов о субгармонической бифуркации § IX.19. Теория несовершенств с периодическим дефектом Глава X. Бифуркация нетривиальных T-периодических решений в асимптотически квазипериодические решения § X.1. Биортогональное разложение решения и биортогональное разложение уравнений § Х.2. Замена переменных § Х.3. Нормальная форма уравнений § Х.4. Нормальные уравнения в полярных координатах § Х.5. Тор и траектории на торе в иррациональном случае § Х.6. Тор и траектории на торе, если ω0T/2π—рациональная точка более высокого порядка ( n ≥ 5 ) § Х.7. Форма тора в случае n=5 § Х.8. Траектории на торе при n=5 § Х.9. Форма тора при n>5 § Х.10. Траектории на торе при n ≥ 5 § Х.11. Асимптотически квазипериодические решения § X.12. Устойчивость бифуркационного тора § Х.13. Субгармонические решения на торе § X.14. Устойчивость субгармонических решений на торе § Х.15. Захват частоты Дополнение Х.1. Построение асимптотически квазипериодических решении, ответвляющихся в рациональных точках более высокого порядка ( n ≥ 5 ) методом степенных рядов с использованием альтернативы Фредгольма Дополнение Х.2. Прямое построение асимтотически квазипериодических решений, ответвляющихся в иррациональных точках, методом, включающим две временные переменные, степенные ряды и альтернативу Фредгольма Дополнение Х.3. Прямое построение асимптотически квазипериодических решений, ответвляющихся в рациональных

174 174 176 179 180 184 187 190 191 192 194 194 197 200 206 208 212 214 215 217 221 223 224 225 229 230 235

239

243

точках более высокого порядка, методом двух временных переменных Глава XI. Вторичная субгармоническая и асимптотически квазипериодическая бифуркация периодических решении (типа Хопфа) в автономном случае § XI.1. Спектральные задачи § XI.2. Критическая точка и рациональные точки § XI.3. Предположения о спектре оператор J_0 § XI.4. Предположения о спектре оператора J в критической точке § XI.5. Строгая потеря устойчивости в просчом собственном значении оператора J0 § XI.6. Строгая потеря устойчивости в двойном полупростом собственном значении оператора J0 § XI.7. Строгая потеря устойчивости в двойном собственном значении с индексом два § XI.8. Постановка задачи о субгармонической бифуркации периодических решений автономных задач § XI.9 Амплитуда бифуркационного решения § XI.10. Решения бифуркационной задачи в форме степенных рядов § XI.11. Субгармоническая бифуркация для n=2 § XI.12. Субгармоническая бифуркация для n>2 § XI.13. Субгармоническая бифуркация для n=1 в полупростом случае § XI.14. "Субгармоническая" бифуркация для n=1 в случае, когда нуль является двойным собственным значением оператора J0 с индексом два § XI.15. Устойчивость субгармонических решений § XI.16. Обзор результатов о субгармонической бифуркации в автономном случае § XI.17. Бифуркация тора в автономных нерезонансных случаях § XI.18. Асимптотически квазипериодические решения на инвариантном торе § XI.19. Строго квазипериодические решения па бифуркационном торе Послесловие

252 254 256 257 258 260 261 262 265 266 267 269 271 274 276

278 282 283 286 288 291