Статистическая радиофизика: Программа и практические задания по курсу

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «Иркутский государственный университет»

Программа и практические задания по курсу СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОФИЗИКА Методические указания

Иркутск 2008.

Печатается по решению учебно-методической комиссии физического факультета ИГУ

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Сажин В.И. Составитель: д-р физ.-мат. наук, проф. Тинин М.В.

Содержатся программа курса «Статистическая радиофизика», список практических заданий и некоторые примеры их решения Предназначены для студентов 4-го курса физического факультета специальности 010801 «Радиофизика и электроника».

Печатается в авторской редакции

2

1. Программа курса СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОФИЗИКА Цели и задачи курса Статистическая радиофизика - это теория описания флуктуационных явлений в радиофизике Цель курса – обеспечить студента необходимыми знаниями из статистической радиофизики для проектирования и применения радиотехнических схем и устройств, используемых в приборах, лабораторных установках, измерительно-вычислительных системах, системах для научных исследований и т.д. Программа охватывает все основные разделы от простейших методов моделирования и анализа случайных процессов до элементов теории случайных полей. Место курса в системе образования . Математической основой курса являются разделы курса высшей математики: математический анализ, аналитическая геометрия, линейная алгебра, дифференциальные уравнения, теория функций комплексной переменной, методы математической физики и теория вероятностей. Приложение этого курса к выделению сигнала из шума и другие вопросы оптимальной обработки сигналов входят в курс «Теории передачи сигналов». Вопросы дифракции и взаимодействия случайных волн, а также рассеяние волн в случайно неоднородных средах рассматриваются в курсе «Распространение волн в неоднородных средах». Полученные в процессе изучения курса знания и навыки могут быть использованы при курсовом и дипломном проектировании, а также в процессе прохождения производственной практики и в дальнейшей профессиональной работе. Требования к уровню освоения содержания курса. В результате освоения курса студент должен знать основные статистические методы анализа и синтеза радиотехнических узлов и устройств, уметь применять эти методы для анализа и разработки узлов, приборов, комплексов в соответствии с реальными требованиями, предъявляемыми к этим устройствам, приобрести новое понимание процессов, происходящих в различных реальных системах, используемых для передачи, приема и анализа информации.

Содержание программы дисциплины Введение Предмет изучения статистической радиофизики. Физика возникновения флуктуаций. Единство случайных и детерминированных процессов. Примеры случайных явлений в различных областях радиофизики. Историческая справка. 1. Модели случайных процессов. 1.1. Определение и вероятностное описание случайного процесса. Понятие статистического ансамбля. Вероятностное описание случайного процесса с помощью многомерных плотностей вероятностей. Основные свойства

3

многомерных плотностей вероятностей. Условные плотности вероятностей, их свойства и связь с многомерными безусловными плотностями вероятностей. Корреляционная функция случайного процесса. Коэффициент корреляции. 1.2. Стационарные и эргодические случайные процессы. Понятие стационарности в узком и широком смысле. Усреднение по статистическому ансамблю и по времени. Эргодичность случайных процессов. Необходимые и достаточные условия эргодичности по отношению к среднему значению, корреляционной функции, одномерной плотности вероятности. Экспериментальное измерение основных статистических характеристик эргодических случайных процессов. 1.3. Гауссовские случайные процессы. Многомерная характеристическая функция и плотность вероятностей гауссовского процесса. Информация необходимая для полного описания гауссовского случайного процесса. Ковариационная матрица отсчетов случайного процесса. Основные свойства гауссовских случайных процессов. Обоснование использования гауссовской модели случайных процессов и центральная предельная теорема. 1.4. Марковские процессы и их описание. Уравнение Смолуховского для условной плотности вероятности марковского процесса. Уравнение ФоккераПланка. Пуассоновский процесс. Пуассоновский импульсный случайный процесс 1.5. Узкополосные случайные процессы Спектр мощности. Связь между спектром мощности и корреляционной функцией. Теорема Винера - Хинчина. Примеры спектров мощности и соответствующих корреляционных функций. Стационарный узкополосный шум. Функции корреляции и спектры АМ, ФМ и ЧМ модулированных случайных процессов. Огибающая, фаза, квадратурные компоненты. Узкополосный гауссовый шум. Распределение Релея. Детерминированный сигнал и гауссовый шум. Распределение Райса. 2 Воздействие шума на радиотехнические цепи. 2.1. Отклик линейной системы на шумовое воздействие Спектральное и временное описания линейных систем. Коэффициент передачи и функция Грина. Преобразования спектров и корреляционных функций линейными системами. Нормализация и денормализация шумов. 2.2. Отклик нелинейной системы на шумовое воздействие Преобразования вероятностей, спектров и корреляционных функций в нелинейных системах. Амплитудное квадратичное и линейное детектирование шумов. 3

Шумы и флуктуации в радиотехнических системах.

3.1 Тепловые флуктуации в радиотехнических системах Тепловые флуктуации в проводниках. Флуктуационно-диссипативная теорема. Формула Найквиста. Дробовой шум. Формула Шотки. 3.2. Флуктуации в автоколебательных системах

4

Техническая и естественная ширины спектральной линии автогенератора. Укороченные уравнения генератора. Флуктуации амплитуды и фазы в генераторе. Естественный спектр колебаний автогенератора. 4

Случайные поля и их модели

Однородные и изотропные поля. Пространственные корреляционные функции. Случайные волны. Угловой спектр. Понятие когерентности. Локально однородные поля, структурная функция. Примерный перечень контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы студентов: 2. Корреляционная функция случайного процесса. . 3. Спектр мощности. Связь между спектром мощности и корреляционной функцией. Теорема Винера - Хинчина. 4. Преобразование спектров и корреляционных функций линейными системами. 5. Преобразование вероятностей, спектров и корреляционных функций в нелинейных системах. Перечень вопросов к экзамену 1. Плотности вероятностей и функции распределения 2. Характеристическая функция. 3. Нормальный закон распределения. 4. Пуассоновский закон распределения. 5. Моменты непрерывных случайных величин. 6. Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение. 7. Случайные процессы. Классификация случайных процессов. 8. Многомерные плотности вероятностей. 9. Корреляционная функция случайного процесса. 10. Стационарный процесс. 11. Эргодичный процесс. 12. Марковские случайные процессы. 13. Пуассоновский импульсный процесс. 14. Нормальный (гауссов) процесс. 15. Спектр мощности. Связь между спектром мощности и корреляционной функцией. Теорема Винера - Хинчина. 16. Стационарный узкополосный шум. 17. Функции корреляции и спектры АМ, ФМ и ЧМ модулированных случайных процессов. 18. Огибающая, фаза, квадратурные компоненты квазигармонического случайного процесса. 19. Узкополосный гауссовый шум. Распределение Релея. 20. Детерминированный сигнал и гауссовый шум. Распределение Райса. 21. Преобразование спектров и корреляционных функций линейными системами. 22. Преобразование шума в узкополосных линейных системах. 23. Нормализация шумов.

5

24. Преобразование вероятностей, спектров и корреляционных функций в нелинейных системах. 25. Тепловые флуктуации в проводниках. Флуктуационно-диссипативная теорема. Формула Найквиста. 26. Техническая и естественная ширины спектральной линии автогенератора. 27. Укороченные уравнения генератора. Флуктуации амплитуды и фазы в генераторе. Естественный спектр колебаний автогенератора. 28. Однородные и изотропные поля. 29. Пространственные корреляционные функции. Случайные волны.

Список литературы Основная: 1 Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Части I и II. М.: Наука, 1978. 2 Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. 3 Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981. Дополнительная: 1 Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Сов. радио, 1975.. 2 Тихонов В.И. Бакаев Ю.Н. Статистическая теория радиотехнических устройств. М.: ВВИА, 1978.

2. Практические задания с примерами их решения I. Вероятность, плотность вероятности, случайные процессы и их модели 1

Случайная величина x имеет плотность вероятности ⎧0 ⎪ f ( x) = ⎨ a ⎪ (1 + x)3 ⎩

x<0 x≥0

.

Найти a , функцию распределения F(x) и вероятность попадания в отрезок [0,1]. Решение Коэффициент a найдем из условия нормировки ∞

∫

f ( x)dx = 1 .

−∞

Подставляя сюда плотность вероятности, получаем 6

∞

a

∫ (1 + x) 0

3

dx =

a = 1. 2

Отсюда a = 2 . При известной плотность вероятности f ( x) нетрудно найти функцию распределения F(x): x x<0 ⎧⎪0 F ( x) = ∫ f ( x ')dx ' = ⎨ 2 x≥0 ⎪⎩1 − (1 + x ) −∞ и вероятность попадания в отрезок [0,1]:

P(0 < x < 1) = F (1) − F (0) = 3 / 4

2. Случайная величина x имеет плотность вероятности x<0 ⎧0 ⎪ f ( x) = ⎨ 2 x≥0 ⎪ (1 + x)3 ⎩ Найти среднее x и ее дисперсию. 3. Непрерывная случайная величина x равномерно распределена на интервале a<x
x<0 x≥0

Найти среднее x и дисперсию. 5. Функция распределения F(x) задана графически

7

Найти ее аналитическое выражение, плотность вероятности, вероятность того, что x примет значение от 3,5 до 4,5. 6. Плотность вероятности f(x) случайной величины x имеет вид f ( x) = α exp(- x ) -∞ < x < ∞ Найти α , среднее, дисперсию и вероятность попадания x в интервал – 1<x<1. 7. Случайный процесс представляет собой аддитивную смесь полезного сигнала и шума y (t ) = S (t ) + n (t ) , где n(t) – помеха с известным математическим ожиданием mn(t) = 0 и дисперсией Dn(t) = Dn. Найти математическое ожидание и дисперсию процесса y(t) 8. При какой плотности вероятности fφ (φ ) процесс U (t ) = a cos(ωt + φ ) будет стационарным в широком смысле. 9. Случайный процесс имеет реализацию вида x(t ) = a cos ω0t + b sin ω0t с постоянным ω0 и случайными a и b . Найти условие стационарности в широком смысле. 10. Пусть x(t) - белый шум. Найти функцию корреляции Ψ y (t1 , t1 ) для

Винеровского случайного процесса y(t), интеграла от x(t) t

y (t ) = ∫ x(t ')dt ' 0

11. Найти корреляционную функцию Kξ (τ ) и спектральную плотность Sξ (ω ) для стационарного случайного процесса

ξ (τ ) = A0 cos(ω0t + φ ) где A0 и ω0 - постоянные амплитуда и частота, а начальная фаза φ равномерно распределена на интервале [−π , π ] , то есть fφ (φ ) =

1 2π

−π ≤ φ ≤ π

12. Найти корреляционную функцию Kξ (τ ) и спектральную плотность Sξ (ω ) для стационарного случайного процесса ξ (τ ) = A cos(ωt + φ )

8

где A, ω и φ - независимые случайные амплитуда, частота и начальная фаза; A, ω заданы одномерными плотностями вероятности f A ( A), fω (ω ) , а начальная фаза φ равномерно распределена на интервале [−π , π ] , то есть 1 −π ≤ φ ≤ π fφ (φ ) = 2π 13. Найти спектральную плотность процесса ξ (t ) с нулевым матожиданием и корреляционной функцией

Kξ (τ ) = σ 2 exp ( −α τ

)

14. Найти спектральную плотность процесса ξ (t ) с нулевым матожиданием и корреляционной функцией Kξ (τ ) = σ 2 exp ( −α τ ) cos(ω0τ ) 15. Найти корреляционную функцию Kξ (τ ) для низкочастотного прямоугольного спектра ⎪⎧ S0 Sξ (ω ) = ⎨ ⎪⎩0

ω ≤h ω >h

K (τ ) 16. Найти корреляционную функцию ξ для стационарного процесса с односторонней спектральной плотностью ⎧⎪C0 ω − ω0 ≤ Δω S0ξ (ω ) = ⎨ ω − ω0 > Δω ⎪⎩0 17. Найти корреляционную функцию Kξ (τ ) для стационарного процесса с односторонней спектральной плотностью ⎧ (ω − ω0 ) 2 ⎫ S0ξ (ω ) = C0 exp ⎨− ⎬ 2h 2 ⎭ ⎩ 18. Найти корреляционную функцию Kξ (τ ) и спектральную плотность Sξ (ω ) для случайного процесса с амплитудной модуляцией ξ (τ ) = A cos(ωt + φ ) где A, ω и φ - независимые случайные амплитуда, частота и начальная фаза; A, ω заданы одномерными плотностями вероятности f A ( A), fω (ω ) , а начальная фаза φ равномерно распределена на интервале [−π , π ] , то есть 1 fφ (φ ) = −π ≤ φ ≤ π 2π

9

II. Отклик линейной системы на шумовое воздействие

1. Найти корреляционную функцию на выходе идеальной дифференцирующей цепи dx(t ) y (t ) = , dt когда на входе стационарный процесс x(t ) . 2. Найти корреляционную функцию на выходе цепи, описываемой выражением dx(t ) y (t ) = + x(t ) , dt когда на входе стационарный процесс x(t ) . Решение: Учитывая линейность преобразования y ( x) , нетрудно найти математическое ожидание y (t ) dmx (t ) ⎡ dx(t ) ⎤ dM [ x(t )] m y (t ) = M [ y (t ) ] = M ⎢ + x(t ) ⎥ = + M [ x(t )] = + mx (t ) dt dt ⎣ dt ⎦ Для стационарного процесса mx (t ) = const = mx . Поэтому в нашем случае m y (t ) = mx (t ) Для определения корреляционной функции найдем центрированную случайную функцию y% (t ) ≡ y (t ) − my (t ) = =

dx(t ) ⎡ dm (t ) ⎤ d [ x(t ) − mx (t ) ] + x(t ) − ⎢ x + mx (t ) ⎥ = + [ x(t ) − mx (t ) ] dt dt ⎣ dt ⎦

dx% (t ) + x% (t ) dt

Теперь по определению корреляционной функции K y (t1 , t2 ) : K y (t1 , t2 ) = M [ y% (t1 ) y% (t2 ) ] .

Подставляя сюда y% (t ) , получаем

⎡⎛ dx% (t1 ) ⎞ ⎛ dx% (t2 ) ⎞⎤ + x% (t1 ) ⎟ ⎜ + x% (t2 ) ⎟ ⎥ = K y (t1 , t2 ) = M ⎢⎜ ⎠ ⎝ dt ⎠⎦ ⎣⎝ dt 2 ∂ K x (t1 , t2 ) ∂K x (t1 , t2 ) ∂K x (t1 , t2 ) + + + K x (t1 , t2 ) ∂t1∂t2 ∂t1 ∂t2 Для стационарного процесса K x (t1 , t2 ) = K x (t2 − t1 ) = K x (τ ) . Поэтому в нашем случае d 2 K x (τ ) K y (t1 , t2 ) = − + K x (τ ) = K y (τ ) dτ 2 То есть стационарный в широком смысле процесс остается стационарным. 3. Найти корреляционную функцию на выходе идеальной интегрирующей цепи 10

t

y (t ) = ∫ x(t ')dt ' , 0

когда на входе стационарный процесс x(t ) . 4. Найти спектр и корреляционную функцию на выходе дифференцирующей RC цепи, когда на входе белый шум. 5. Найти спектр и корреляционную функцию на выходе интегрирующей RC цепи, когда на входе белый шум. 6. Найти спектр и корреляционную функцию на выходе идеального фильтра с АЧХ ⎧⎪1 ω − ω0 ≤ Δ c / 2 ω≥0 C (ω ) = ⎨ ω ω − > Δ 0 / 2 ⎪⎩ 0 c когда на входе белый шум. 7. Найти спектр и корреляционную функцию на выходе идеального фильтра с АЧХ ⎧⎪ (ω − ω0 )2 ⎫⎪ C (ω ) = exp ⎨ − ω≥0 ⎬ 2 β 2 ⎭⎪ ⎩⎪ когда на входе белый шум. III. Отклик нелинейной системы на шумовое воздействие

1 Найти плотность вероятности напряжения y на выходе двустороннего квадратичного детектора

y = β x2 ,

β >0

когда входной шум x распределен по нормальному закону: ⎧⎪ ( x )2 ⎫⎪ 1 exp ⎨− 2 ⎬ f x ( x) = π 2σ 2 ⎩⎪ 2σ ⎭⎪ Решение: В нашем случае обратное преобразование x = h( y ) неоднозначно: имеются две ветви y y h1 ( y ) = h2 ( y ) = − ,

β

β

С учетом этого плотность вероятности напряжения y определяется суммированием плотностей вероятности по обеим ветвям:

11

⎧ dh1 ( y ) dh ( y ) + f x (h2 ( y )) 2 ⎪ f x (h1 ( y )) f y ( y) = ⎨ dy dy ⎪0 ⎩

y≥0 y<0

Подставляя h1,2 ( y ) и f x ( x) , получаем ⎧ ⎧ 1 y ⎫ exp ⎨− ⎪ 2⎬ f y ( y ) = ⎨ π 2 y βσ 2 ⎩ 2 βσ ⎭ ⎪ ⎩0

y≥0 y<0

2 Найти плотность вероятности напряжения y на выходе одностороннего линейного детектора

x≥0 ⎧β x y=⎨ x<0 ⎩0 β > 0 , когда входной шум x распределен по нормальному закону: ⎧⎪ ( x )2 ⎫⎪ exp ⎨− 2 ⎬ f x ( x) = π 2σ 2 ⎩⎪ 2σ ⎭⎪ 1

3 Найти плотность вероятности напряжения y на выходе одностороннего квадратичного детектора ⎧β x2 x≥0 y=⎨ x<0 ⎩0 β > 0 , когда входной шум x распределен по нормальному закону:

⎧⎪ ( x )2 ⎫⎪ exp ⎨− 2 ⎬ f x ( x) = π 2σ 2 ⎩⎪ 2σ ⎭⎪ 1

4 Найти плотность вероятности напряжения y на выходе кусочнолинейного детектора

5

x≥0 ⎧ β1 x y=⎨ x<0 ⎩β2 x когда входной шум x распределен по нормальному закону: ⎧⎪ ( x )2 ⎫⎪ 1 exp ⎨− 2 ⎬ f x ( x) = π 2σ 2 ⎩⎪ 2σ ⎭⎪ Найти среднее и дисперсию напряжения y на выходе двустороннего линейного детектора

12

x≥0 ⎧β x y=β x =⎨ x<0 ⎩− β x когда входной шум x распределен по нормальному закону: ⎧⎪ ( x )2 ⎫⎪ 1 exp ⎨− 2 ⎬ f x ( x) = π 2σ 2 ⎪⎩ 2σ ⎪⎭

13