Интегральное исчисление. Определенный интеграл: Лекции по математическому анализу

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî...

Author: Ковальчук В.Е. | Чалов П.А.

29 downloads 260 Views 968KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿ Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê Êàôåäðà òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà

Â.Å.ÊÎÂÀËÜ×ÓÊ, Ï.À.×ÀËÎÂ

ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓ Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

Ðîñòîâ-íà-Äîíó

Îãëàâëåíèå 1

Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1

2

2

Çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ïîíÿòèþ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Èíòåãðàëüíûå ñóììû. Èíòåãðèðóåìîñòü . . . . . . .

6

1.3

Âåðõíèå è íèæíèå ñóììû Äàðáó . . . . . . . . . . . . 12

1.4

Êðèòåðèé èíòåãðèðóåìîñòè îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè . 16

1.5

Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé . . . . . . . . . . . 20

1.6

Îñíîâíûå ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà . . . . 25

1.7

Îñíîâíàÿ ôîðìóëà èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ . . . . 41

1.8

Îñíîâíûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ . . . . . . . . . . . 47

Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû (îïðåäåëåíèÿ è âû÷èñëåíèå) . . . 52 2.1

Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ïåðâîãî ðîäà

. . . . . . . 52

2.2

Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû âòîðîãî ðîäà

. . . . . . . 58

2.3

Ñâÿçü ìåæäó íåñîáñòâåííûìè èíòåãðàëàìè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3

Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà . . . 62 3.1

Äëèíà äóãè êðèâîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2

Ïëîùàäü ïëîñêîé ôèãóðû . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.3

Êîíòðîëüíûå âîïðîñû, çàäà÷è, óïðàæíåíèÿ . . . . . 91

Ñïèñîê èñïîëüçîâàííîé ëèòåðàòóðû

1

. . . . . . . . . . . . . . . . 98

2

Îãëàâëåíèå

1 Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà, äàííîå â XIX âåêå Êîøè è Ðèìàíîì, îáåñïå÷èëî ðåøåíèå ìíîãèõ çàäà÷ ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè, ôèçèêè. Çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð, îáúåìîâ ïðîñòðàíñòâåííûõ òåë, äëèíû äóãè, îïðåäåëåíèå ðàáîòû, ïðîèçâåäåííîé ïåðåìåííîé ñèëîé, îïðåäåëåíèÿ ìàññ òåë ïî óäåëüíîé ïëîòíîñòè, íàõîæäåíèå öåíòðîâ òÿæåñòè, ïóòè ïî ñêîðîñòè, ñêîðîñòè ïî óñêîðåíèþ è ìíîãèå äðóãèå çàäà÷è ïðèâîäÿò ê ïîíÿòèþ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.

1.1 Çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ïîíÿòèþ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ãåîìåòðè÷åñêèõ è ôèçè÷åñêèõ çàäà÷, êîòîðûå, êàê ìû óáåäèìñÿ, ðåøàþòñÿ ñîâåðøåííî îäèíàêîâî, íåñìîòðÿ íà èõ âíåøíþþ íåñõîæåñòü.

Çàäà÷à î âû÷èñëåíèè ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè

Îïðåäåëåíèå 1.1 Êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèåé íàçûâàåòñÿ ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ ãðàôèêîì çàäàííîé íà ñåãìåíòå [a, b] íåïðåðûâíîé è íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè y = f (x), ïðÿìûìè x = a, x = b è îñüþ Ox. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè åñòåñòâåííî ïîñòóïèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ðàçîáüåì äàííóþ êðèâîëèíåéíóþ òðàïåöèþ íà ìåíüøèå êðèâîëèíåéíûå òðàïåöèè. Äëÿ ýòîãî åå îñíîâàíèå (ñåã-

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

y

3

6

y = f (x)

a = x0

O

ξ1 x1 ξ2 x2

xi−1

ξi xi xn−1 ξn

-

b = xn x

Ðèñ. 1: Êðèâîëèíåéíàÿ òðàïåöèÿ. ìåíò [a, b]) ðàçîáüåì íà n (íåîáÿçàòåëüíî ðàâíûõ) ÷àñòåé (ðèñ. 1) òî÷êàìè

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b. Íà êàæäîì ñåãìåíòå [xi−1 , xi ], i = 1, 2, . . . , n, âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ξi è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïëîùàäü òðàïåöèè ñ îñíîâàíèåì [xi−1 , xi ] ¾ïðèáëèæåííî¿ ðàâíà ïëîùàäè ïðÿìîóãîëüíèêà ñ òåì æå îñíîâàíèåì è âûñîòîé f (ξi ). Òîãäà ïëîùàäü S âñåé òðàïåöèè ¾ïðèáëèæåííî¿ ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé ïîñòðîåííûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, òî åñòü

S≈

n X

f (ξi ) ∆xi ,

ãäå ∆xi = xi − xi−1 ,

i = 1, 2, . . . , n.

i=1

Åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî ÷åì ¾ìåëü÷å¿ áóäóò ñåãìåíòû [xi−1 , xi ] íà êîòîðûå ìû ðàçáèâàåì ñåãìåíò [a, b], òåì ìåíüøå ñóììà ïëîùàäåé ïðÿìîóãîëüíèêîâ áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò ¾ïëîùàäè¿ òðàïåöèè. Òàêèì îáðàçîì ìû ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó

S = lim

∆→0

n X i=1

f (ξi ) ∆xi ,

ãäå ∆ = max {∆xi : i = 1, 2, . . . , n} .

4

Îãëàâëåíèå

y6 y = f (x)

O

x0

ξ1

x1

ξ2

x2 ξ3

x3

-

x

Ðèñ. 2: Òåëî âðàùåíèÿ (n = 3).

Çàäà÷à î âû÷èñëåíèè îáúåìà òåëà âðàùåíèÿ Ðàññìîòðèì òåëî, ïîëó÷åííîå âðàùåíèåì âîêðóã îñè Ox êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè. Ðàçîáüåì ñåãìåíò [a, b] íà n, íà êàæäîì ñåãìåíòå [xi−1 , xi ],

i = 1, 2, . . . , n, âûáåðåì ïî òî÷êå ξi è ðàññìîòðèì öèëèíäðû ñ âûñîòîé ∆xi = xi − xi−1 è ðàäèóñîì îñíîâàíèÿ f (ξi ) (ðèñ. 2). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ¾îáúåì¿ òåëà âðàùåíèÿ ¾ïðèáëèæåííî¿ ðàâåí ñóììå îáúåìîâ ïîëó÷åííûõ öèëèíäðîâ:

V ≈π

n µ X

¶2 f (ξi ) ∆xi .

i=1

Òîãäà, êàê è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ôîðìóëå:

V = lim

∆→0

n µ X

¶2 f (ξi ) ∆xi

ãäå ∆ = max {∆xi : i = 1, 2, . . . , n} .

i=1

Çàäà÷à î âû÷èñëåíèè ìàññû íåîäíîðîäíîãî ñòåðæíÿ

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë r

0 = x0

5

r

r

ξ1 x1 ξ2 x2

xi−1

r

ξi xi xn−1 ξn l = xn

-

x

Ðèñ. 3: Íåîäíîðîäíûé ñòåðæåíü. Ðàññìîòðèì íåîäíîðîäíûé ñòåðæåíü äëèíû l, ðàñïîëîæåííûé íà ñåãìåíò [0, l] îñè Ox (ðèñ. 3). Ïóñòü ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü ñòåðæíÿ â òî÷êå

x ∈ [0, l] ðàâíà ρ(x). Ðàçîáüåì ñòåðæåíü íà êóñî÷êè òî÷êàìè 0 = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = l. è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà êàæäîì èç ýòèõ êóñî÷êîâ ïëîòíîñòü ñòåðæíÿ ïîñòîÿííà è ðàâíà ρ (ξi ), ãäå ξi êàêàÿ-ëèáî òî÷êà ñåãìåíòà [xi−1 , xi ]. Êàê èçâåñòíî, ïðè ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòè ρ ìàññà M ñòåðæíÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: M = ρ · l. Òîãäà ìàññà i-òîãî êóñî÷êà ¾ïðèáëèæåííî¿ ðàâíà ρ (ξi ) · ∆xi . Ïîýòîìó ìàññà M âñåãî ñòåðæíÿ ¾ïðèáëèæåííî¿ íàn P ρ (ξi ) ∆xi , à òî÷íîå çíà÷åíèå ïî ñëåäóþùåé õîäèòñÿ ïî ôîðìóëå M ≈ i=1

ôîðìóëå:

M = lim

∆→0

n X

ρ (ξi ) ∆xi ,

ãäå ∆ = max {∆xi : i = 1, 2, . . . , n} .

i=1

Çàäà÷à î âû÷èñëåíèè ðàáîòû ïåðåìåííîé ñèëû

Ïóñòü ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà M ïåðåìåùàåòñÿ âäîëü îñè Ox èç òî÷êè

x = 0 â òî÷êó x = S ïîä äåéñòâèåì ïåðåìåííîé ñèëû F , íàïðàâëåííîé âäîëü îñè Ox. Êàê èçâåñòíî, ðàáîòà A ïî ïåðåìåùåíèþ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííîé ñèëû F íà ðàññòîÿíèå S âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå A = F · S . Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è, ðàçîáüåì ñåãìåíò [0, S] íà ñåãìåíòû [xi−1 , xi ], i = 1, 2, . . . , n, òî÷êàìè (ðèñ. 4)

0 = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = S è íà êàæäîì èç íèõ âûáåðåì êàêóþ-íèáóäü òî÷êó ξi . Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî îò òî÷êè xi−1 äî òî÷êè xi ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà M ïåðåìåùàåòñÿ

6

Îãëàâëåíèå

→ − F r

0 = x0 ξ1

-

r

r

r

x1 ξ2 x2

ξ3

x3 ξ4

r

-

x4 ξ5 S = x5

x

Ðèñ. 4: Ðàáîòà ïåðåìåííîé ñèëû. ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííîé ñèëû F (ξi ). Òîãäà A ≈

n P i=1

F (ξi ) · ∆xi , à ïðè

íåîãðàíè÷åííîì ¾èçìåëü÷åíèè¿ ñåãìåíòà [0, S] ïîëó÷èì

A = lim

∆→0

n X

F (ξi ) · ∆xi ,

ãäå ∆ = max {∆xi : i = 1, 2, . . . , n} .

i=1

Îòâëåêàÿñü îò êîíêðåòíîãî ñîäåðæàíèÿ ðàññìîòðåííûõ çàäà÷, âèäèì, ÷òî âñå îíè ðåøàþòñÿ îäíèì è òåì æå ìåòîäîì, à èìåííî, ñåãìåíò, íà êîòîðîì îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ, ðàçáèâàåòñÿ íà íåñêîëüêî ìåíüøèõ ñåãìåíòîâ, íà êàæäîì èç íèõ âûáèðàåòñÿ ïî îäíîé òî÷êå, ïîñëå ÷åãî ñîñòàâëÿåòñÿ ñóììà ïðîèçâåäåíèé çíà÷åíèè ôóíêöèè â âûáðàííûõ òî÷êàõ è äëèí ñîîòâåòñòâóþùèõ ñåãìåíòîâ ðàçáèåíèÿ è, íàêîíåö, ñîâåðøàåòñÿ ïðåäåëüíûé ïåðåõîä. Ìîæíî ïðèâåñòè åùå ìàññó çàäà÷ èç ñàìûõ ðàçíûõ îáëàñòåé åñòåñòâîçíàíèÿ è òåõíèêè, ðåøàåìûõ ýòèì æå ìåòîäîì. Èçó÷åíèå è îáîñíîâàíèå èçëîæåííîãî ìåòîäà è ïðèâîäèò íàñ ê ïîíÿòèþ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.

1.2 Èíòåãðàëüíûå ñóììû. Èíòåãðèðóåìîñòü Ñèìâîëîì T áóäåì îáîçíà÷àòü ðàçáèåíèå ñåãìåíòà [a, b] (a < b) ïðè ïîìîùè íåêîòîðûõ íåñîâïàäàþùèõ äðóã ñ äðóãîì òî÷åê

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b íà n ñåãìåíòîâ [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], . . . , [xn−1 , xn ]. Òî÷êè x0 ,x1 ,. . .,xn íàçûâàþò òî÷êàìè èëè óçëàìè ðàçáèåíèÿ T , à ñåãìåíòû [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], . . . , [xn−1 , xn ] ÷àñòè÷íûìè ñåãìåíòàìè .

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

7

×èñëà ∆xi = xi − xi−1 è ∆ = max {∆xi : i = 1, 2, . . . , n} ïðèíÿòî íàçûâàòü äëèííîé ÷àñòè÷íîãî ñåãìåíòà è ïàðàìåòðîì ðàçáèåíèÿ , ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü T1 è T2 äâà ðàçáèåíèÿ ñåãìåíòà [a, b]. Ðàçáèåíèå T2 íàçûâàþò

ïðîäîëæåíèåì ðàçáèåíèÿ T1 , åñëè êàæäûé óçåë ðàçáèåíèÿ T1 ÿâëÿåòñÿ óçëîì ðàçáèåíèÿ T2 .

Ïðèìåð 1.1 Ïóñòü xi è x0i óçëû ðàçáèåíèé T è T 0 ñåãìåíòà [a, b]. ßâëÿåòñÿ ëè îäíî èç ðàçáèåíèé ïðîäîëæåíèåì äðóãîãî, åñëè

b−a i, i = 0, 1, . . . , n; n b−a x0i = a + i, i = 0, 1, . . . , 2n; 2n b−a b) xi = a + i, i = 0, 1, . . . , n; n 2(b − a) x0i = a + i, i = 0, 1, . . . , n, n+i

a) xi = a +

n > 1.

Ðåøåíèå. a) Ðàçáèåíèå T íå ÿâëÿþòñÿ ïðîäîëæåíèÿìè ðàçáèåíèÿ T 0 ïîñêîëüêó êîëè÷åñòâî óçëîâ ðàçáèåíèÿ T 0 áîëüøå, ÷åì èìååò óçëîâ ðàçáèåíèå T . À ðàçáèåíèå T 0 ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ðàçáèåíèÿ T , òàê êàê

xi = x02i , i = 0, 1, . . . , n. b) Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ðàçáèåíèÿ T è T 0 èìåþò ïî n óçëîâ è ñðåäè óçëîâ êàæäîãî èç íèõ åñòü óçëû íå ïðèíàäëåæàùèå äðóãîìó ðàçáèåíèþ, íàïðèìåð, x1 íå ÿâëÿåòñÿ óçëîì ðàçáèåíèÿ T 0 , à x01 óçëîì ðàçáèåíèÿ

T . Ïîýòîìó ðàçáèåíèÿ T è T 0 íå ÿâëÿþòñÿ ïðîäîëæåíèÿìè äðóã äðóãà. Ïóñòü f : [a, b] −→ R, T ðàçáèåíèå ñåãìåíòà [a, b] ñ óçëàìè xi ,

i = 0, 1, . . . , n, à ξi ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ÷àñòè÷íîãî ñåãìåíòà [xi−1 , xi ], i = 0, 1, . . . , n, à ξi .

Îïðåäåëåíèå 1.2 ×èñëî I {xi , ξi } = I (x0 , x1 , . . . , xn ; ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) :=

n X i=1

f (ξi ) ∆xi

8

Îãëàâëåíèå

y6 ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢ ¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢ ¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

y = f (x)

O

x0

x1

ξ1

ξ2

x2 ξ3

x3

-

x

Ðèñ. 5: Èíòåãðàëüíàÿ ñóììà (n = 3).

íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé ôóíêöèè f , ñîîòâåòñòâóþùåé äàííîìó ðàçáèåíèþ T ñåãìåíòà [a, b] è äàííîìó âûáîðó ïðîìåæóòî÷íûõ òî÷åê ξi íà ÷àñòè÷íûõ ñåãìåíòàõ [xi−1 , xi ]. Èíòåãðàëüíàÿ ñóììà èìååò ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. Ðàññìîòðèì êðèâîëèíåéíóþ òðàïåöèþ. Èíòåãðàëüíàÿ ñóììà I {xi , ξi }, îòâå÷àþùàÿ âûáðàííîìó ðàçáèåíèþ T è äàííîìó âûáîðó òî÷åê ξi , ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîùàäü çàøòðèõîâàííîé ñòóïåí÷àòîé ôèãóðû (ðèñ. 5).

Ïðèìåð 1.2 Ñîñòàâèòü è âû÷èñëèòü èíòåãðàëüíûå ñóììû ôóíêöèè f : [a, b] −→ R, çàäàííîé ðàâåíñòâîì f (x) = C , ãäå C ∈ R, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîèçâîëüíîìó ðàçáèåíèþ T ñåãìåíòà [a, b] è ïðîèçâîëüíîìó íàáîðó ïðîìåæóòî÷íûõ òî÷åê ξi íà ÷àñòè÷íûõ ñåãìåíòàõ [xi−1 , xi ].

Ðåøåíèå. I {xi , ξi } =

n X

f (ξi ) ∆xi =

i=1

n X

C∆xi = C

i=1

n X

∆xi = C(b − a).

i=1

Îïðåäåëåíèå 1.3 ×èñëî I íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì èíòåãðàëüíûõ ñóìì I {xi , ξi } ïðè ∆ → 0, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T ñåãìåíòà [a, b] ñ ïàðàìåòðîì ðàçáèåíèÿ

∆ < δ è ïðè ëþáîì âûáîðå òî÷åê ξi íà ÷àñòè÷íûõ ñåãìåíòàõ [xi−1 , xi ] âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

|I {xi , ξi } − I| < ε.

(1.1)

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

9

Ïðè ýòîì ïèøóò

I = lim I {xi , ξi } . ∆→0

(1.2)

Îïðåäåëåíèå 1.4 Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé (ïî Ðèìàíó) íà ñåãìåíòå [a, b] (áóäåì ïèñàòü f ∈ R [a, b]), åñëè ñóùåñòâóåò (êîíå÷íûé) ïðåäåë I èíòåãðàëüíûõ ñóìì I {xi , ξi } ýòîé ôóíêöèè ïðè ∆ → 0. ×èñëî I íàçûâàåòñÿ îïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f ïî ñåãìåíòó [a, b] è îáîçíà÷àåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Zb (1.3)

f (x)dx.

I= a

Ïåðâûì, óäîâëåòâîðÿþùèì ñîâðåìåííûì òðåáîâàíèÿì ñòðîãîñòè, îïðåäåëåíèåì èíòåãðàëà ïðèíÿòî ñ÷èòàòü îïðåäåëåíèå, äàííîå Êîøè. Ïðåäïîëàãàÿ ÷òî ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b], Êîøè ðàññìàòðèâàë èíòåãðàëüíóþ ñóììó âèäà

S (x0 , x1 , . . . , xn ) :=

n X

f (xi−1 ) ∆xi .

i=1

Îïðåäåëåíèå èíòåãðàëüíûõ ñóìì ó Ðèìàíà òàêîå æå, êàê ó Êîøè, ñ òåì îòëè÷èåì, ÷òî çíà÷åíèå ôóíêöèè íà ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå [xi−1 , xi ] âûáèðàåòñÿ ïðîèçâîëüíî (äëÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ýòî íåñóùåñòâåííî). Îäíàêî, â îòëè÷èå îò Êîøè, è â ýòîì ïðèíöèïèàëüíûé øàã âïåðåä, Ðèìàí ðàññìàòðèâàåò âñþ ñîâîêóïíîñòü ôóíêöèé, ê êîòîðûì ïðèìåíèì ïðîöåññ èíòåãðèðîâàíèÿ, è âûÿñíÿåò íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ôóíêöèÿ îêàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé. Ïðèìåð 1.2 ïîêàçûâàåò, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) = C èíòåãðèðóåìà íà êàæäîì ñåãìåíòå [a, b] è

Zb

Zb f (x)dx =

a

Cdx = C(b − a). a

Ïðèìåð 1.3 Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) = x èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì ñåãìåíòå [a, b] è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

Zb

Zb f (x)dx =

a

xdx = a

b2 − a 2 . 2

(1.4)

10

Îãëàâëåíèå

Ðåøåíèå. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ðàçáèåíèÿ T è ëþáîãî âûáîðà òî÷åê ξi èíòåãðàëüíàÿ ñóììà äàííîé ôóíêöèè èìååò âèä:

I {xi , ξi } =

n X

ξi ∆xi .

i=1

Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåò, ñïðàâåäëèâà îöåíêà (1.5)

I1 ≤ I {xi , ξi } ≤ I2 , ãäå

I1 = I {xi , xi−1 } =

n X

xi−1 ∆xi ,

I2 = I {xi , xi } =

i=1

n X

xi ∆xi .

i=1

2ε . Òîãäà ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè T ñ b−a ïàðàìåòðîì ðàçáèåíèÿ ∆ < δ ñïðàâåäëèâà îöåíêà Çàôèêñèðóåì ε > 0, âîçüìåì δ =

I1 =

n X i=1

xi−1 ∆xi =

n X

xi−1 (xi − xi−1 ) =

i=1

= − x20 + x0 x1 − x21 + x1 x2 − x22 + x2 x3 − . . . − x2n−1 + xn−1 xn = 1 1 1 1 1 = − x20 − (x1 − x0 )2 − (x2 − x1 )2 − . . . − (xn − xn−1 )2 + x2n = 2 2 2 2 2 n n ¢ 1X ¢ 1X 1¡ 2 1¡ (∆xi )2 = b − a2 − ∆xi ∆xi ≥ = x2n − x20 − 2 2 i=1 2 2 i=1 n

¢ 1 X ¢ 1 1¡ 1¡ 2 ≥ b2 − a2 − ∆ ∆xi = b − a2 − (b − a) ∆ > 2 2 i=1 2 2 >

¢ 1 ¢ 1¡ 2 1¡ 2 b − a2 − (b − a) δ = b − a2 − ε. 2 2 2

Àíàëîãè÷íî âûâîäèì îöåíêó I2 < âåíñòâà (1.5) ïîëó÷àåì

1 2 (b − a2 ) + ε. Èç ýòèõ îöåíîê è íåðà2

b2 − a2 b2 − a2 − ε < I {xi , ξi } < + ε, 2 2 èëè

¯ ¯ 2 2¯ ¯ b − a ¯I {xi , ξi } − ¯ < ε. ¯ 2 ¯

(1.6)

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

11

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 íàéäåíî δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ êàæäîãî ðàçáèåíèÿ T , ïàðàìåòð êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ∆ < δ , ïðè ëþáîì âûáîðå òî÷åê ξi íà ÷àñòè÷íûõ ñåãìåíòàõ [xi−1 , xi ] âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (1.1). Â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèÿìè 1.3 è 1.4 ôóíêöèÿ

f (x) = x èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b] è Zb

Zb f (x)dx =

a

xdx =

b2 − a 2 . 2

a

Òåîðåìà 1.1 Åñëè ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b], òî îíà îãðàíè÷åíà íà íåì.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, òî åñòü ÷òî ôóíêöèÿ f íåîãðàíè÷åíà íà ñåãìåíòå [a, b]. Òîãäà äëÿ êàæäîãî ðàçáèåíèÿ T îíà áóäåò íåîãðàíè÷åííîé õîòÿ áû íà îäíîì èç ÷àñòè÷íûõ ñåãìåíòîâ [xk−1 , xk ]. Ïîýòîìó, çà ñ÷åò âûáîðà òî÷êè ξk íà ýòîì ñåãìåíòå, ñëàãàåìîå f (ξk )∆xk , à ñëåäîâàòåëüíî, è âñþ ñóììó I {xi , ξi } ìîæíî ñäåëàòü ñêîëü óãîäíî áîëüøèìè. Â òàêîì ñëó÷àå, î÷åâèäíî, íå ìîæåò áûòü è ðå÷è î êîíå÷íîì ïðåäåëå èíòåãðàëüíûõ ñóìì. Òàêèì îáðàçîì, f 6∈ R [a, b], ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Îäíàêî íå êàæäàÿ îãðàíè÷åííàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà íà íåì.

Ïðèìåð 1.4 Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ Äèðèõëå D(x) =

  1, åñëè x − ðàöèîíàëüíàÿ òî÷êà,  0, åñëè x − èððàöèîíàëüíàÿ òî÷êà,

íåèíòåãðèðóåìà íè íà êàêîì ñåãìåíòå [a, b].

Ðåøåíèå. Âîçüìåì ëþáîé ñåãìåíò [a, b] è ïðîèçâîëüíîå åãî ðàçáèåíèå T . Íà êàæäîì ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå [xi−1 , xi ] çàôèêñèðóåì îäíó ðàöèîíàëüíóþ òî÷êó ξi0 è îäíó èððàöèîíàëüíóþ òî÷êó ξi00 . Ñîñòàâèì èíòåãðàëüíûå ñóììû I {xi , ξi0 } è I {xi , ξi00 }. Î÷åâèäíî, ÷òî I {xi , ξi0 } = b − a, I {xi , ξi00 } = 0. Ñëåäîâàòåëüíî ôóíêöèÿ Äèðèõëå D íåèíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b].

12

Îãëàâëåíèå

y6

O

A AAA AAAA A A A A A A A A A AAA AA A AA AA AA AA AA AA A A A A A A A A A A A A A AA AA AAA AAAA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A AA AAA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A AA AA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A AA AA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A AA A AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA A AA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A AA A A AA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

x0

x1

x2

x3

x4 x5

x6

-

x

Ðèñ. 6: Âåðõíÿÿ ñóììà Äàðáó (n = 6).

1.3 Âåðõíèå è íèæíèå ñóììû Äàðáó Ïóñòü ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà ñåãìåíòå [a, b], à T ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå ñåãìåíòà [a, b] òî÷êàìè

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: ½ ¾ Mi = sup f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ] ,

½

¾ mi = inf f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ] . (1.7)

Îïðåäåëåíèå 1.5 Ñóììû S = S (T ) = Sf (T ) =

n X

Mi ∆xi è s = s (T ) = sf (T ) =

i=1

n X

mi ∆xi (1.8)

i=1

íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âåðõíåé è íèæíåé èíòåãðàëüíûìè ñóììàìè èëè âåðõíåé è íèæíåé ñóììàìè Äàðáó ôóíêöèè f äëÿ äàííîãî ðàçáèåíèÿ T ñåãìåíòà [a, b]. Î÷åâèäíî, ÷òî

sf (T ) ≤ Sf (T ) ,

(1.9)

òàê êàê mi ≤ Mi äëÿ êàæäîãî i. Áîëåå òîãî, ïîñêîëüêó íà êàæäîì ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå [xi−1 , xi ] ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà mi ≤ f (x) ≤ Mi , òî ëþáàÿ èíòåãðàëüíàÿ ñóììà I {xi , ξi } äàííîãî ðàçáèåíèÿ T ñåãìåíòà

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

13

y6

O

AAAA A AA AA AA AAAAA AAA AA A A AA AAAAAAAAAAA AAAA A AAAAAAAAAAAAAAA A AAA A AA A A A A A A A A A A A A A A A AA AA AA AA AA A AAA A A AAA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A AA A AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA A AA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A AA A A AA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

x0

x1

x2 x3

x4

x5

x6 x7 x8 x9

-

x

Ðèñ. 7: Íèæíÿÿ ñóììà Äàðáó (n = 9).

[a, b] çàêëþ÷åíà ìåæäó âåðõíåé è íèæíåé ñóììàìè Äàðáó S è s ýòîãî ðàçáèåíèÿ, òî åñòü

s (T ) ≤ I {xi , ξi } ≤ S (T ) .

(1.10)

Âûÿñíèì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë âåðõíåé è íèæíåé ñóìì Äàðáó. Ðàññìîòðèì êðèâîëèíåéíóþ òðàïåöèþ, îòâå÷àþùóþ çàäàííîé íà ñåãìåíòå

[a, b] íåïðåðûâíîé è íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè f . Òîãäà âåðõíÿÿ ñóììà Äàðáó ðàâíà ïëîùàäè ýëåìåíòàðíîé ñòóïåí÷àòîé ôèãóðû, ñîäåðæàùåé êðèâîëèíåéíóþ òðàïåöèþ (ðèñ. 6). Àíàëîãè÷íî íèæíÿÿ ñóììà Äàðáó ðàâíà ïëîùàäè ýëåìåíòàðíîé ñòóïåí÷àòîé ôèãóðû, ñîäåðæàùåéñÿ â êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè (ðèñ. 7). Òàêèì îáðàçîì, âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ñóììû Äàðáó ïðèáëèæàþò ¾ïëîùàäü¿ êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè ñ èçáûòêîì è ñ íåäîñòàòêîì. Ïîýòîìó äëÿ ¾ñóùåñòâîâàíèÿ ïëîùàäè¿ êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, ñêîðåå âñåãî, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ïðåäåëüíîå ðàâåíñòâî

lim (S − s) = 0.

∆→0

Ïîçæå ìû äîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ äëÿ íåïðåðûâíûõ è íåêîòîðûõ ðàçðûâíûõ ôóíêöèé, à ïîêà ïåðåéäåì ê èçó÷åíèþ ñâîéñòâ âåðõíèõ è íèæíèõ ñóìì Äàðáó ôóíêöèè f .

Ñâîéñòâî 1 Äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T ñåãìåíòà [a, b] âåðõíÿÿ ñóììà Äàðáó ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ, à íèæíÿÿ ñóììà Äàðáó òî÷íîé íèæíåé ãðàíüþ ìíîæåñòâà âñåõ èíòåãðàëüíûõ ñóìì I {xi , ξi }.

14

Îãëàâëåíèå

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî S = sup {I {xi , ξi }}. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ïðè êàæäîì i äëÿ ÷èñëà Mi = sup {f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]} íàéäåòñÿ ξi ∈ [xi−1 , xi ] òàêîå, ÷òî

Mi −

ε < f (ξi ) ≤ Mi . b−a

Óìíîæàÿ ýòî íåðàâåíñòâî íà ∆xi è ñóììèðóÿ ïî âñåì i, ïîëó÷àåì ¶ n n n µ X X X ε ∆xi < f (ξi ) ∆xi ≤ Mi ∆xi . Mi − b−a i=1 i=1 i=1 Îòñþäà ñëåäóåò îöåíêà

S − ε < I {xi , ξi } ≤ S, êîòîðóþ è òðåáîâàëîñü ïîëó÷èòü.

Ñâîéñòâî 2 Ïóñòü ðàçáèåíèå T 0 ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ðàçáèåíèÿ T ñåãìåíòà [a, b]. Òîãäà ñïðàâåäëèâû îöåíêè S (T 0 ) ≤ S (T ) è s (T 0 ) ≥ s (T ). Ãîâîðÿ äðóãèìè ñëîâàìè, ïðè èçìåëü÷åíèè ðàçáèåíèÿ âåðõíÿÿ ñóììà Äàðáó ìîæåò òîëüêî óìåíüøèòüñÿ, à íèæíÿÿ òîëüêî óâåëè÷èòüñÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî ðàçáèåíèå T 0 ìîæíî ïîëó÷èòü èç ðàçáèåíèÿ T ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî äîáàâëåíèÿ íîâûõ óçëîâ ê óçëàì xi ðàçáèåíèÿ T . Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ñâîéñòâî äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ðàçáèåíèå T 0 èìååò ïî ñðàâíåíèþ ñ T ëèøü îäèí íîâûé óçåë x0 . Ïóñòü

x0 ∈ (xk−1 , xk ). Òîãäà â ñóììàõ S (T ) è S (T 0 ) âñå ñëàãàåìûå îäèíàêîâûå, çà èñêëþ÷åíèåì ñëåäóþùèõ: ñëàãàåìîå Mk ∆xk , èìåþùååñÿ â ñóììå

S (T ), â ñóììå S (T 0 ) çàìåíåíî ñóììîé äâóõ ñëàãàåìûõ Mk0 ∆x0k + Mk00 ∆x00k , ãäå

½

¾ = sup f (x) : x ∈ [xk−1 , x ] , ½ ¾ 0 00 Mk = sup f (x) : x ∈ [x , xk ] ,

Mk0

0

∆x0k = x0 − xk−1 , ∆x00k = xk − x0 .

Íî òàê êàê Mk0 ≤ Mk è Mk00 ≤ Mk , òî è

Mk0 ∆x0k + Mk00 ∆x00k ≤ Mk ∆x0k + Mk ∆x00k = Mk (∆x0k + ∆x00k ) = Mk ∆xk .

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

15

Îòñþäà ñëåäóåò îöåíêà S (T 0 ) ≤ S (T ). Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ïðèâîäÿ è ê îöåíêå s (T 0 ) ≥ s (T ).

Ñâîéñòâî 3 Äëÿ ëþáûõ ðàçáèåíèé T 0 è T 00 ñåãìåíòà [a, b] ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî s (T 0 ) ≤ S (T 00 ).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîèì ðàçáèåíèå T ñåãìåíòà [a, b], ÿâëÿþùååñÿ ïðîäîëæåíèåì è ðàçáèåíèÿ T 0 è ðàçáèåíèÿ T 00 (âçÿâ, íàïðèìåð, â êà÷åñòâå óçëîâ ðàçáèåíèÿ óçëû îáîèõ ðàçáèåíèé T 0 è T 00 ). Òîãäà, ó÷èòûâàÿ (1.9), ïî ñâîéñòâó 2 ïîëó÷àåì s (T 0 ) ≤ s (T ) ≤ S (T ) ≤ S (T 00 ). Íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì ñâîéñòâà 3 ÿâëÿåòñÿ

Ñâîéñòâî 4 Ìíîæåñòâî {S} âåðõíèõ ñóìì Äàðáó ôóíêöèè f äëÿ âñåâîçìîæíûõ ðàçáèåíèé ñåãìåíòà [a, b] îãðàíè÷åíî ñíèçó, à ìíîæåñòâî

{s} íèæíèõ ñóìì îãðàíè÷åíî ñâåðõó. Íà îñíîâàíèè ýòîãî ñâîéñòâà è òåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèè òî÷íûõ ãðàíåé îïðåäåëåíû ÷èñëà

I := sup {s (T )} ,

I := inf {S (T )} ,

ãäå òî÷íûå ãðàíè áåðóòñÿ ïî âñåâîçìîæíûì ðàçáèåíèÿì T ñåãìåíòà [a, b].

Îïðåäåëåíèå 1.6 ×èñëà I è I íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî íèæíèì è âåðõíèì èíòåãðàëàìè Äàðáó îò ôóíêöèè f .

Ñâîéñòâî 5 Íèæíèé èíòåãðàë Äàðáó íå ïðåâîñõîäèò âåðõíåãî èíòåãðàëà Äàðáó, òî åñòü I ≤ I .

Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå T 0 ñåãìåíòà [a, b]. Ïî ñâîéñòâó 3 äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T 00 ñåãìåíòà [a, b] ñïðàâåäëèâà îöåíêà s (T 0 ) ≤ S (T 00 ). Ñëåäîâàòåëüíî ÷èñëî s (T 0 ) ÿâëÿåòñÿ êàêîé-òî íèæíåé ãðàíüþ ìíîæåñòâà {S (T )} âåðõíèõ ñóìì Äàðáó ôóíêöèè f äëÿ âñåâîçìîæíûõ ðàçáèåíèé T ñåãìåíòà [a, b]. Ïîýòîìó s (T 0 ) ≤ inf {S (T )} =

I . À ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ÷èñëî I åñòü êàêàÿ-òî âåðõíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà {s (T )}. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî I = sup {s (T )} ≤ I .

16

Îãëàâëåíèå

Ïðèìåð 1.5 Âû÷èñëèòü íèæíèé è âåðõíèé èíòåãðàëû Äàðáó îò ôóíêöèè Äèðèõëå D íà ñåãìåíòå [a, b].

Ðåøåíèå. Äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T èñõîäíîãî ñåãìåíòà èìååì: ½

¾ ½ ¾ mi = inf D(x) : x ∈ [xi−1 , xi ] = 0, Mi = sup D(x) : x ∈ [xi−1 , xi ] = 1.

Ïîýòîìó

s (T ) =

n X

0 · ∆xi = 0,

i=1

S (T ) =

n X

1 · ∆xi = b − a.

i=1

Ñëåäîâàòåëüíî, I = 0, I = b − a.

1.4 Êðèòåðèé èíòåãðèðóåìîñòè îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè

Îïðåäåëåíèå 1.7 ×èñëî A íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì âåðõíèõ (íèæíèõ) ñóìì Äàðáó S (s) ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ ïàðàìåòðà ðàçáèåíèé, åñëè äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε íàéäåòñÿ ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî δ òàêîå, ÷òî ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè T ñåãìåíòà [a, b] ñ ïàðàìåòðîì ðàçáèåíèÿ ∆ < δ ñïðàâåäëèâà îöåíêà |S − A| < ε (|s − A| < ε).

Òåîðåìà 1.2 Äëÿ òîãî, ÷òîáû îãðàíè÷åííàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ áûëà èíòåãðèðóåìà íà íåì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû

lim (S − s) = 0.

∆→0

(1.11)

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ôóíêöèÿ f ∈ R [a, b]. Ñëåäîâàòåëüíî (ñì. îïðåäåëåíèÿ 1.3 è 1.4) ñóùåñòâóåò ÷èñëî I , äëÿ êîòîðîãî ïî ëþáîìó ε > 0 ìîæíî óêàçàòü δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T ñåãìåíòà [a, b], ïàðàìåòð êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ∆ < δ , è ïðè ëþáîì âûáîðå òî÷åê ξi íà ÷àñòè÷íûõ ñåãìåíòàõ [xi−1 , xi ] âûïîëíÿåòñÿ ε íåðàâåíñòâî |I {xi , ξi } − I| < , òî åñòü 4 ε ε (1.12) I − < I {xi , ξi } < I + . 4 4

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

17

Íî â ñèëó ñâîéñòâà 1.2 íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ñóììû Äàðáó ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè âåðõíåé è íèæíåé ãðàíÿìè èíòåãðàëüíûõ ñóìì I {xi , ξi }. Ïîýòîìó ε ε èç (1.12) è (1.9) ñëåäóåò, ÷òî I − ≤ s ≤ S ≤ I + . Îòñþäà âûâîäèì 4 4 îöåíêó ³ ε´ ³ ε´ ε 0≤S−s≤ I + − I− = < ε. 4 4 2 À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî (1.11) âûïîëíÿåòñÿ.

Äîñòàòî÷íîñòü. Ñíà÷àëà äîêàæåì ðàâåíñòâî âåðõíåãî è íèæíåãî èíòåãðàëîâ Äàðáó. Ïî îïðåäåëåíèþ âåðõíåãî è íèæíåãî èíòåãðàëîâ Äàðáó è ñâîéñòâó 1.6 èìååì:

s ≤ I ≤ I ≤ S. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

0 ≤ I − I ≤ S − s. Ïî óñëîâèþ ïðåäåë ïðè ∆ → 0 ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà ðàâåí íóëþ. Ïîýòîìó è ðàçíîñòü I −I = 0. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî I = I . Îáîçíà÷èì îáùåå çíà÷åíèå èíòåãðàëîâ I è I áóêâîé I . Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî ÷èñëî I åñòü ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ ïàðàìåòðà ðàçáèåíèé. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Íà îñíîâàíèè (1.11) äëÿ âûáðàííîãî ε íàéäåì δ > 0 òàêîå, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ ∆ < δ áóäåò âûïîëíÿòüñÿ îöåíêà (1.13)

S − s < ε.

Ïóñòü T ëþáîå ðàçáèåíèå ñåãìåíòà [a, b] ñ ïàðàìåòðîì ∆ < δ è ξi ïðîèçâîëüíûå òî÷êè ÷àñòè÷íûõ ñåãìåíòîâ [xi−1 , xi ]. Ïîñêîëüêó

s ≤ I {xi , ξi } ≤ S

è

s ≤ I ≤ S,

òî, âû÷èòàÿ îäíî èç ýòèõ íåðàâåíñòâ èç äðóãîãî, ïîëó÷àåì:

− (S − s) ≤ I {xi , ξi } − I ≤ S − s.

18

Îãëàâëåíèå

Îòñþäà è (1.13) ñëåäóåò, ÷òî

|I {xi , ξi } − I| ≤ S − s < ε. Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà ε, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèé 1.3 è 1.4, f ∈ Rb R [a, b] è f (x)dx = I . a

Äàðáó íàçâàë ôóíêöèþ èíòåãðèðóåìîé, åñëè I = I . Êàê ìû âèäèì, ýòî îïðåäåëåíèå èíòåãðèðóåìîñòè ýêâèâàëåíòíî îïðåäåëåíèþ Ðèìàíà.

Îïðåäåëåíèå 1.8 Ïóñòü f : [a, b] −→ R îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ. Êîëåáàíèåì ôóíêöèè f íà ñåãìåíòå [a, b] íàçûâàþò ÷èñëî ω = M − m, ãäå

M è m òî÷íûå ãðàíè f íà ñåãìåíòå [a, b].

Ïðåäëîæåíèå 1.1 Ïóñòü f : [a, b] −→ R îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà åå êîëåáàíèå ω íà ñåãìåíòå [a, b] ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå ½ ¾ 0 00 0 00 ω = sup |f (x ) − f (x )| : x , x ∈ [a, b] . (1.14)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü M è m òî÷íûå ãðàíè ôóíêöèè f íà ñåãìåíòå [a, b]. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûå x0 , x00 ∈ [a, b]. Èç î÷åâèäíûõ íåðàâåíñòâ m ≤ f (x0 ) ≤ M,

m ≤ f (x00 ) ≤ M,

ïîëó÷àåì

−ω = − (M − m) ≤ f (x0 ) − f (x00 ) ≤ M − m = ω èëè

|f (x0 ) − f (x00 )| ≤ ω. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ω åñòü êàêàÿ-òî âåðõíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà ½ ¾ 0 00 0 00 L := |f (x ) − f (x )| : x , x ∈ [a, b] . Äîêàæåì, ÷òî ω òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà L. Ñ ýòîé öåëüþ, âîçüìåì ëþáîå ε > 0. Ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íûõ ãðàíåé, íàéäóòñÿ x0 , x00 ∈

[a, b] òàêèå, ÷òî

ε f (x0 ) > M − , 2

ε f (x00 ) < m + . 2

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

19

Âû÷èòàÿ èç ïåðâîãî íåðàâåíñòâà âòîðîå, ïîëó÷àåì

f (x0 ) − f (x00 ) > (M − m) − ε = ω − ε. Îòñþäà, â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà ε, ñëåäóåò äîêàçûâàåìîå ðàâåíñòâî. Ïóñòü ωi îáîçíà÷àåò êîëåáàíèå ôóíêöèè f íà i-îì ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå

[xi−1 , xi ]. Òîãäà S−s=

n X

Mi ∆xi −

i=1

n X

mi ∆xi =

i=1

n X

(Mi − mi ) ∆xi =

i=1

n X

ωi ∆xi .

i=1

Ïîýòîìó óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè (1.11) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå

lim

∆→0

n X

ωi ∆xi = 0

(1.15)

i=1

÷òî íà ÿçûêå ¾ε δ ¿ îçíà÷àåò: äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè T ñåãìåíòà [a, b] ñ ïàðàìåòðîì ðàçáèåíèÿ ∆ < δ ñïðàâåäëèâà îöåíêà

n X

ωi ∆xi < ε.

(1.16)

i=1

Â ýòîé ôîðìå åãî îáû÷íî è ïðèìåíÿþò. Äëÿ ïîëíîòû èçëîæåíèÿ ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà, õîðîøî èçâåñòíûé, êðèòåðèé èíòåãðèðóåìîñòè Ëåáåãà.

Îïðåäåëåíèå 1.9 Ãîâîðÿò, ÷òî ñèñòåìà ìíîæåñòâ {Σα } îáðàçóåò ïîêðûòèå ìíîæåñòâà X (èëè ïîêðûâàåò ìíîæåñòâà X ), åñëè ëþáàÿ òî÷êà x ìíîæåñòâà X ïðèíàäëåæèò õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ ñèñòåìû {Σα }.

Îïðåäåëåíèå 1.10 Ìíîæåñòâî X ⊂ [a, b] íàçûâàþò ìíîæåñòâîì ìåðû íóëü (ëåáåãîâîé ìåðû íóëü), åñëè äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 íàéäåòñÿ íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ïîêðûòèå ìíîæåñòâà X ñåãìåíòàìè [ak , bk ], n P k = 1, 2, . . . òàêîå, ÷òî lim (bk − ak ) < ε. n→∞ k=1

Î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì îïðåäåëåíèè ñåãìåíòû [ak , bk ] ìîæíî çàìåíèòü èíòåðâàëàìè (ak , bk ).

20

Îãëàâëåíèå

Òåîðåìà 1.3 (Êðèòåðèé Ëåáåãà). Äëÿ òîãî ÷òîáû îãðàíè÷åííàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ áûëà èíòåãðèðóåìîé ïî Ðèìàíó íà ýòîì ñåãìåíòå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ýòîé ôóíêöèè èìåëî ìåðó íóëü. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ èìååòñÿ, íàïðèìåð, â [3] (ñòð. 401 409), â [7] (ñòð. 409410) è äð..

1.5 Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé Ïðèìåíÿÿ äîêàçàííûé êðèòåðèé (òåîðåìó 1.2), âûäåëèì íåêîòîðûå êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé.

Èíòåãðèðóåìîñòü íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé

Òåîðåìà 1.4 Åñëè f ∈ C [a, b], òî f ∈ R [a, b] (òî åñòü ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà íà íåì).

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî òåîðåìå Êàíòîðà ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b], ïîýòîìó íàéäåòñÿ

δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ x0 , x00 ∈ [a, b], óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ |x0 − x00 | < δ ñïðàâåäëèâà îöåíêà |f (x0 ) − f (x00 )| <

ε . (b − a)

(1.17)

Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå T ñåãìåíòà [a, b] ñ ïàðàìåòðîì ∆ <

δ . Òàê êàê f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b], òî îíà íåïðåðûâíà è íà êàæäîì ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå [xi−1 , xi ] è ïî âòîðîé òåîðåìå Âåéåðøòðàññà äîñòèãàåò íà íåì ñâîè òî÷íûå ãðàíè. Ïóñòü x0i , x00i ∈ [xi−1 , xi ] òî÷êè, â êîòîðûõ äîñòèãàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî òî÷íàÿ âåðõíÿÿ è òî÷íàÿ

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

21

íèæíÿÿ ãðàíè ôóíêöèè f . Òîãäà, â âèäó âûáîðà ðàçáèåíèÿ T è îöåíêè (1.17), èìååì:

ωi = Mi − mi = f (x0i ) − f (x00i ) <

ε . b−a

Óìíîæàÿ ýòî íåðàâåíñòâî íà ∆xi è ñóììèðóÿ ïî âñåì i, ïîëó÷àåì óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè (1.16) n X i=1

ωi ∆xi <

n X i=1

n

ε X ε ε ∆xi = ∆xi = · (b − a) = ε. b−a b − a i=1 b−a

Èíòåãðèðóåìîñòü íåêîòîðûõ ðàçðûâíûõ ôóíêöèé

Òåîðåìà 1.5 Ïóñòü ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà ñåãìåíòå [a, b]. Åñëè äëÿ ëþáîãî σ > 0 ìîæíî óêàçàòü êîíå÷íîå ÷èñëî èíòåðâàëîâ, ïîêðûâàþùèõ ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ôóíêöèè f , ñ ñóììîé äëèí ìåíüøåé σ , òî

f ∈ R [a, b] (òî åñòü f èíòåãðèðóåìà íà [a, b]).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ââèäó îãðàíè÷åííîñòè ôóíêöèè f íàéäóòñÿ ïîñòîÿííûå M è m òàêèå, ÷òî

m ≤ f (x) ≤ M,

x ∈ [a, b] .

(1.18)

Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ôóíêöèÿ f èìååò õîòÿ áû îäíó òî÷êó ðàçðûâà íà ñåãìåíòå [a, b]. Íî òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî M > m, òàê êàê èíà÷å ôóíêöèÿ

f (x) ≡ c ≡ const, è ñëåäîâàòåëüíî, íåïðåðûâíà íà óêàçàííîì ñåãìåíòå. ε . Ïî óñëîâèþ, Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0 è ïîëîæèì σ = 4(M − m) íàéäåòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî èíòåðâàëîâ (αj , βj ), j = 1, 2, . . . , l, ïîêðûâàþùèõ âñå òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè f òàêèõ, ÷òî l X j=1

(βj − αj ) < σ.

(1.19)

22

Îãëàâëåíèå

Ìíîæåñòâî X òî÷åê ñåãìåíòà [a, b], íå ïðèíàäëåæàùèõ âûáðàííûì èíòåðâàëàì, ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ñåãìåíòîâ. Íà êàæäîì èç ýòèõ ñåãìåíòîâ ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà, à ïî òåîðåìå Êàíòîðà è ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ x0 , x00 îäíîâðåìåííî ïðèíàäëåæàùèõ îäíîìó èç ñåãìåíòîâ, îáðàçóþùèõ ìíîæåñòâî X , ñïðàâåäëèâà îöåíêà

|f (x0 ) − f (x00 )| <

ε 2(b − a)

(1.20)

êàê òîëüêî |x0 − x00 | < δ . Íå óìåíüøåíèÿ îáùíîñòè, ìîæíî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî

δ<

ε . 8l (M − m)

(1.21)

Òåïåðü âîçüìåì ëþáîå ðàçáèåíèå T ñåãìåíòà [a, b] ñ ïàðàìåòðîì ∆ < δ . n P Äëÿ ýòîãî ðàçáèåíèÿ ñëàãàåìûå ñóììû ωi ∆xi ðàçäåëèì íà òðè ãðóïïû: i=1

n X

ωi ∆xi =

X0

ωi ∆xi +

X00

ωi ∆xi +

X000

ωi ∆xi .

(1.22)

i=1

Â ñóììó

P0

ωi ∆xi âêëþ÷åíû òå ñëàãàåìûå, äëÿ êîòîðûõ [xi−1 , xi ] ⊂ X .

Ââèäó (1.20), êîëåáàíèå ôóíêöèè f íà êàæäîì èç ýòèõ ñåãìåíòîâ ìåíüøå ε . Ïîýòîìó 2(b − a) X0 X0 ε ε ε ∆xi ≤ ωi ∆xi < · (b − a) = . (1.23) 2(b − a) 2(b − a) 2 P Âî âòîðóþ ñóììó 00 ωi ∆xi âêëþ÷åíû òå ñëàãàåìûå, êîòîðûå îòâå÷àþò ÷àñòè÷íûì ñåãìåíòàì [xi−1 , xi ], öåëèêîì ñîäåðæàùèìñÿ â îáúåäèíåíèè ñåãìåíòîâ [αj , βj ] ïî âñåì j = 1, 2, . . . , l. Äëÿ ýòèõ ñåãìåíòîâ ωi ≤ M − m, ïîýòîìó, ó÷èòûâàÿ (1.19) è âûáîð σ , èìååì

P00

ωi ∆xi ≤ (M − m)

P00

∆xi ≤ (M − m)

l P j=1

Â òðåòüåé ñóììå

P000

(βj − αj ) <

ε < (M − m) σ = . 4

(1.24)

ωi ∆xi îñòàëèñü ñëàãàåìûå, îòâå÷àþùèå ÷àñòè÷-

íûì ñåãìåíòàì [xi−1 , xi ], íå ïîïàäàþùèì öåëèêîì íè â îáúåäèíåíèè ñåãìåíòîâ [αj , βj ], íè â X . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ýòèõ ñëàãàåìûõ íå áîëåå, ÷åì 2l,

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

23

è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (1.21), ïîëó÷àåì:

P000

ωi ∆xi ≤ (M − m)

P000

∆xi < (M − m) 2lδ < ε ε < (M − m) 2l = . 8l (M − m) 4

(1.25)

Èñïîëüçóÿ â (1.22) îöåíêè (1.23) - (1.25), ïîëó÷àåì óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè (1.16).

Ñëåäñòâèå 1.1 Îãðàíè÷åííàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà, èíòåãðèðóåìà íà ýòîì ñåãìåíòå. Â ÷àñòíîñòè, êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà íà ýòîì ñåãìåíòå.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü l êîëè÷åñòâî òî÷åê ðàçðûâà ôóíêöèè. Âîçüìåì ëþáîå σ > 0 è ïîêðîåì êàæäóþ òî÷êó ðàçðûâà èíòåðâàëîì äëèíû ìåíüøåé, ÷åì σl. Òîãäà ñóììà âñåõ èíòåðâàëîâ, ïîêðûâàþùèõ òî÷êè ðàçðûâà, áóäåò ìåíüøå σ . Íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî íåïðåðûâíîé íà ñåãìåíòå [a, b], åñëè îíà èìååò íà ýòîì ñåãìåíòå ëèøü êîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà. Ïîýòîìó êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà íà íåì.

Çàìå÷àíèå 1.1 Ïóñòü f ∈ R [a, b]. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ g : [a, b] −→ R îòëè÷àåòñÿ îò ôóíêöèè f ëèøü íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå òî÷åê, òî g ∈ R [a, b], ïðè÷åì

Zb

Zb g(x) dx =

a

f (x) dx. a

Ðàññìîòðèì ïðèìåð èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè, èìåþùåé áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà.

Ïðèìåð 1.6 Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f : [0, 1] −→ R, çàäàííàÿ ôîðìóëîé (ðèñ. 8)

24

Îãëàâëåíèå

y6 1r

O

1 1 6 5

1 4

1 3

1 2

1

-

x

−1 r Ðèñ. 8: Ãðàôèê ôóíêöèè (1.26).

 µ ¸ 1 1    1, åñëè x ∈ , ,    µ 2n 2n − 1 ¸  1 1 f (x) = −1, åñëè x ∈ , ,  2n + 1 2n      0, åñëè x = 0,

n ∈ N, n ∈ N,

(1.26)

èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [0, 1].

1 n Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî σ è ïîêðîåì òî÷êó x0 èíòåð³ σ σ´ . Â ýòîò èíòåðâàë ïîïàëè ëèáî âñå òî÷êè xn , n = 0, 1, . . . âàëîì − , 4 4 ëèáî òî÷êà x0 è âñå òî÷êè xn íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà. Ïðåäïîëî-

Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ f èìååò ðàçðûâû â òî÷êàõ x0 = 0 è xn = , n ∈ N.

æèì, ÷òî â óêàçàííûé èíòåðâàë íå ïîïàëî p òî÷åê. Ïîêðîåì êàæäóþ èç σ íèõ èíòåðâàëîì äëèíû ìåíüøåé, ÷åì . Â ëþáîì ñëó÷àå, ñóììà äëèí 2p èíòåðâàëîâ, ïîêðûâàþùèõ âñå òî÷êè ðàçðûâà ìåíüøå, σ . Ñëåäîâàòåëüíî âûïîëíÿþòñÿ âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 1.5. Ïîýòîìó f ∈ R [a, b].

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

25

Èíòåãðèðóåìîñòü ìîíîòîííûõ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé

Òåîðåìà 1.6 Åñëè ôóíêöèÿ f : [a, b] −→ R ìîíîòîííàÿ îãðàíè÷åííàÿ, òî f ∈ R [a, b].

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü, íàïðèìåð, f íå óáûâàåò íà ñåãìåíòå [a, b] (â ñëó÷àå, êîãäà f íå âîçðàñòàåò, äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî). Âîçüìåì T ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå ñåãìåíòå [a, b]. Ïóñòü ∆ ïàðàìåòð ýòîãî ðàçáèåíèå. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ÷àñòè÷íîãî ñåãìåíòà [xi−1 , xi ] èìååì:

ωi = Mi − mi = f (xi ) − f (xi−1 ) . Óìíîæàÿ ýòî íåðàâåíñòâî íà ∆xi è ñóììèðóÿ ïî âñåì i, ïîëó÷àåì n X i=1

ωi ∆xi ≤ ∆

n X

ωi = ∆

i=1

n X

(f (xi ) − f (xi−1 )) = ∆ (f (b) − f (a)) .

i=1

Ïåðåõîäÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè ∆ −→ 0, ïîëó÷àåì óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè (1.15).

1.6 Îñíîâíûå ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ïåðâûå äâà ñâîéñòâà îáîáùàþò ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.

Ñâîéñòâî 1 Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî Za f (x) dx = 0

(1.27)

a

äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f , îïðåäåëåííîé â òî÷êå x = a. Ôîðìóëà (1.27) ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñîãëàøåíèå. Åå íóæíî ñ÷èòàòü åñòåñòâåííûì ðàñïðîñòðàíåíèåì ïîíÿòèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà íà ñåãìåíò íóëåâîé äëèíû (íà âûðîæäåííûé ñåãìåíò). Za ×àñòî ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü f (x) dx, ãäå ïî ïðåæíåìó a < b. b

26

Îãëàâëåíèå

Ñâîéñòâî 2 Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè a < b è f ∈ R [a, b] Za

Zb f (x) dx = −

(1.28)

f (x) dx. a

b

Ýòà ôîðìóëà òàêæå ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñîãëàøåíèå. Åå íóæíî ñ÷èòàòü åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà íà ñëó÷àé, êîãäà àðãóìåíò ôóíêöèè f ïðîáåãàåò ñåãìåíò [a, b] ïðè a < b â íàïðàâëåíèè îò b ê a ( â ýòîì ñëó÷àå â èíòåãðàëüíîé ñóììå âñå ðàçíîñòè

∆xi = xi − xi−1 îòðèöàòåëüíû). Ñëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà ïîêàçûâàþò, ÷òî èíòåãðàë ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé íà ìíîæåñòâå R [a, b].

Ñâîéñòâî 3 Åñëè f ∈ R [a, b] è C ∈ R, òî Cf ∈ R [a, b] è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

Zb

Zb Cf (x) dx = C

a

(1.29)

f (x) dx. a

Ýòî ñâîéñòâî î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó èíòåãðàëüíûå ñóììû ôóíêöèé Cf è f îòëè÷àþòñÿ íà ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü C . Òàêèì îáðàçîì, ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü èç-ïîä çíàêà èíòåãðàëà.

Ñâîéñòâî 4 Ïóñòü f, g ∈ R [a, b]. Òîãäà f + g ∈ R [a, b] è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

Zb µ

Zb (f + g) (x) dx := a

¶ Zb Zb f (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx. (1.30)

a

a

a

Äîêàçàòåëüñòâî. ßñíî, ÷òî ëþáàÿ èíòåãðàëüíàÿ ñóììà If +g {xi , ξi } ôóíêöèè f + g ðàâíà ñóììå èíòåãðàëüíûõ ñóìì If {xi , ξi } è Ig {xi , ξi } ôóíêöèé f è g ñîîòâåòñòâåííî, òî åñòü ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

If +g {xi , ξi } = If {xi , ξi } + Ig {xi , ξi } .

(1.31)

À ïîñêîëüêó ïðè ∆ −→ 0 ïðåäåë ïðàâîé ÷àñòè (1.31) ñóùåñòâóåò, òî ñóùåñòâóåò è ïðåäåë ëåâîé ÷àñòè. Íî

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

27

Zb µ

Zb lim If +g {xi , ξi } =

(f + g) (x) dx =

∆→0

a

¶ f (x) + g(x) dx,

a

Zb lim If {xi , ξi } + lim Ig {xi , ξi } =

∆→0

Zb f (x) dx +

∆→0

a

g(x) dx. a

Îòñþäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî (1.30). Ê ñâîéñòâàì 3 è 4 åñòåñòâåííî ïðèìûêàåò óòâåðæäåíèå îá èíòåãðèðóåìîñòè ïðîèçâåäåíèÿ èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé.

Ñâîéñòâî 5 Åñëè f, g ∈ R [a, b], òî f · g ∈ R [a, b]. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó èíòåãðèðóåìûå íà ñåãìåíòå ôóíêöèè îãðàíè÷åíû íà íåì, ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ M > 0 òàêàÿ, ÷òî

|f (x)| ≤ M,

|g(x)| ≤ M,

x ∈ [a, b] .

(1.32)

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Òàê êàê f, g ∈ R [a, b], íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ êàæäîãî ðàçáèåíèÿ T ñåãìåíòà [a, b] ñ ïàðàìåòðîì ∆ < δ âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà n X i=1

ωif ∆xi

ε , < 2M

n X

ωig ∆xi <

i=1

ε , 2M

(1.33)

ãäå ωif êîëåáàíèå ôóíêöèè f , à ωig êîëåáàíèå ôóíêöèè g íà i-îì ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå. Çàôèêñèðóåì ëþáîå ðàçáèåíèå T ñåãìåíòà [a, b] ñ ïàðàìåòðîì ∆ < δ . Ïóñòü ωif g îáîçíà÷àåò êîëåáàíèå ôóíêöèè f g íà i-îì ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå ýòîãî ðàçáèåíèÿ. Åñëè ìû äîêàæåì, ÷òî

³ ´ ωif g ≤ M ωif + ωig , òî, èñïîëüçóÿ îöåíêè (1.33), ëåãêî ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ îöåíêó Ã n ! n n X X f X fg g ωi ∆xi ≤ M ωi ∆xi + ωi ∆xi < ε, i=1

i=1

i=1

(1.34)

28

Îãëàâëåíèå

òî åñòü óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè f g . Èòàê ïðèñòóïèì ê äîêàçàòåëüñòâó (1.34). Äëÿ ýòîãî, íà i-îì ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå âîçüìåì äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè x0 è x00 . Òîãäà, èñïîëüçóÿ (1.32) è ïðåäëîæåíèå 1.1, âûâîäèì

|f (x0 )g(x0 ) − f (x00 )g(x00 )| = = |f (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g(x00 ) + f (x0 )g(x00 ) − f (x00 )g(x00 )| ≤ ≤ |f (x0 )| |g(x0 ) − g(x00 )| + |g(x00 )| |f (x0 ) − f (x00 )| ≤ ´ ³ f g ≤M ωi + ωi . È, ñëåäîâàòåëüíî, ââèäó (1.14), ïîëó÷àåì (1.34).

Ñëåäñòâèå 1.2 Êâàäðàò (è âîîáùå ëþáàÿ íàòóðàëüíàÿ ñòåïåíü) èíòåãðèðóåìîé íà ñåãìåíòå [a, b] ôóíêöèè èíòåãðèðóåì íà [a, b]. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî: èç èíòåãðèðóåìîñòè f 2 íå ñëåäóåò, âîîáùå ãîâîðÿ, èíòåãðèðóåìîñòü f , íàïðèìåð, ôóíêöèÿ   1, åñëè x ðàöèîíàëüíîå, a ≤ x ≤ b, f (x) =  −1, åñëè x èððàöèîíàëüíîå,

(1.35)

íå èíòåãðèðóåìà íà [a, b], õîòÿ ôóíêöèÿ f 2 (x) = 1 èíòåãðèðóåìà íà ýòîì ñåãìåíòå. Òåïåðü ðàññìîòðèì ñâîéñòâî î ñóæåíèè ïðîìåæóòêà èíòåãðèðîâàíèÿ.

Ñâîéñòâî 6 Åñëè f ∈ R [a, b] è [c, d] ⊂ [a, b], òî f ∈ R [c, d]. Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Òàê êàê f ∈ R [a, b], íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ êàæäîãî ðàçáèåíèÿ T ñåãìåíòà [a, b] ñ ïàðàìåòðîì ∆ < δ ñïðàâåäëèâà îöåíêà (1.16). Òåïåðü âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå T 0 ñåãìåíòà [c, d] ñ ïàðàìåòðîì ∆ < δ è äîïîëíèì åãî äî ðàçáèåíèÿ T ñåãìåíòà [a, b] ñ òàêèì æå ïàðàìåòðîì ∆. Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîãî i ïðîèçâåäåíèå ωi ∆xi íåîòðèöàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî îöåíêà

X0

ωi ∆xi ≤

X

ωi ∆xi ,

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

29

ãäå ñóììà, ñòîÿùàÿ â ëåâîé ÷àñòè, ïîñòðîåíà ïî ðàçáèåíèþ T 0 ñåãìåíòà [c, d], à ñóììà, ñòîÿùàÿ â ïðàâîé ÷àñòè, ïî ðàçáèåíèþ T ñåãìåíòà P0 [a, b]. Îòñþäà è (1.16) ñëåäóåò îöåíêà ωi ∆xi < ε, êîòîðàÿ îçíà÷àåò èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèè f íà ñåãìåíòå [c, d]. Äàëåå íàì ïðåäñòîèò äîêàçàòü, ÷òî èíòåãðàë ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíîé ôóíêöèåé îòðåçêà èíòåãðèðîâàíèÿ. Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå àääèòèâíîé ôóíêöèè.

Îïðåäåëåíèå 1.11 Ïóñòü X íåêîòîðîå ìíîæåñòâî è E íåêîòîðûé êëàññ åãî ïîäìíîæåñòâ. Íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ϕ, îïðåäåëåííàÿ íà E , íàçûâàåòñÿ àääèòèâíîé, åñëè äëÿ ëþáûõ E1 ,E2 ∈ E òàêèõ, ÷òî E1 ∩ E2 = ∅, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

ϕ (E1 ∪ E2 ) = ϕ (E1 ) + ϕ (E2 ) .

Ñâîéñòâî 7 Åñëè f ∈ R [a, b] è c ∈ (a, b), òî Zb

Zc f (x) dx :=

a

Zb f (x) dx +

a

f (x) dx.

(1.36)

c

Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå êàæäîãî èç èíòåãðàëîâ, ñòîÿùèõ â ïðàâîé ÷àñòè (1.36), âûòåêàåò èç ïðåäûäóùåãî ñâîéñòâà. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûå ðàçáèåíèÿ T 0 è T 00 ñåãìåíòîâ [a, c] è [c, b] è ëþáûå, ñîîòâåòñòâóþùèå èì, èíòåãðàëüíûå ñóììû I 0 {xi , ξi } è I 00 {xi , ξi }. Ïóñòü T ðàçáèåíèå ñåãìåíòà [a, b], óçëàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ âñå óçëû ðàçáèåíèé T 0 è T 00 . Òîãäà èíòåãðàëüíàÿ ñóììà I {xi , ξi }, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàçáèåíèþ T ñåãìåíòà [a, b] ðàâíà ñóììà èíòåãðàëüíûõ ñóìì I 0 {xi , ξi } è

I 00 {xi , ξi }, òî åñòü I {xi , ξi } = I 0 {xi , ξi } + I 00 {xi , ξi } . Ïåðåéäåì â ýòîì ðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè ∆ −→ 0 ïîëó÷èì (1.36). Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå.

Ñâîéñòâî 8 Ïóñòü f ∈ R [a, c] è f ∈ R [c, b]. Òîãäà f ∈ R [a, b] è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (1.36).

30

Îãëàâëåíèå

Äîêàçàòåëüñòâî. Òî÷êà c ìîæåò íàõîäèòüñÿ êàê âíóòðè, òàê è âíå ñåãìåíòà [a, b]. Íà÷íåì ñî ñëó÷àÿ, êîãäà c ∈ (a, b). Òàê êàê f ∈ R [a, c] è f ∈ R [c, b], òî f îãðàíè÷åíà íà êàæäîì èç ñåãìåíòîâ [a, c] è [c, b], à ñëåäîâàòåëüíî è íà ñåãìåíòå [a, b]. Ïîýòîìó íàéäóòñÿ ÷èñëà m è M òàêèå, ÷òî

m ≤ f (x) ≤ M,

(1.37)

x ∈ [a, b] .

Åñëè M = m, òî f (x) = C = const. Ñëåäîâàòåëüíî, f ∈ R [a, b]. À ïîñêîëüêó

Zb

Zc f (x) dx = C (b − a) ,

a

Zb f (x) dx = C (c − a) ,

a

f (x) dx = C (b − c) . c

òî îòñþäà, çàìå÷àÿ, ÷òî C (b − a) = C (c − a) + C (b − c), ïîëó÷àåì (1.36). Ïóñòü M > m. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Èç èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè f íà ñåãìåíòàõ [a, c] è [c, b] ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà δ òàêîãî, ÷òî äëÿ ëþáûõ ðàçáèåíèé T 0 è T 00 ñåãìåíòîâ [a, c] è

[c, b] ñ ïàðàìåòðàìè ðàçáèåíèé ìåíüøèìè δ , ñïðàâåäëèâû îöåíêè X0

ε ωi ∆xi < , 4

X00

ε ωi ∆xi < , 4

(1.38)

ãäå ïåðâàÿ ñóììà ïîñòðîåíà ïî ðàçáèåíèþ T 0 ñåãìåíòà [a, c], à âòîðàÿ ïî ðàçáèåíèþ T 00 ñåãìåíòà [c, b]. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî

δ<

ε . 2 (M − m)

(1.39)

Òåïåðü âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå T ñ ïàðàìåòðîì ðàçáèåíèÿ ìåíüøèì δ . Ïóñòü a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b óçëû ðàçáèåíèÿ T . Åñëè x = c ÿâëÿåòñÿ óçëîì ðàçáèåíèÿ T , òî T åñòü îáúåäèíåíèå ðàçáèåíèé T 0 ñåãìåíòà [a, c] è T 00 ñåãìåíòà [c, b] ñ ïàðàìåòðàìè ðàçáèåíèé ìåíüøèìè δ . Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî n X i=1

ωi ∆xi =

X0

ωi ∆xi +

X00

ωi ∆xi ,

(1.40)

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ãäå

P0

31

ωi ∆xi ñîîòâåòñòâóåò ðàçáèåíèþ T 0 ñåãìåíòà [a, c], à

P00

ωi ∆xi

ðàçáèåíèþ T 00 ñåãìåíòà [c, b]. Îòñþäà, ââèäó (1.38), ïîëó÷àåì n X i=1

ε ωi ∆xi < . 2

(1.41)

Åñëè æå x = c íå ÿâëÿåòñÿ óçëîì ðàçáèåíèÿ T , òî ïðîäîëæèì ðàçáèåíèå T , äîáàâèâ ê åãî óçëàì òî÷êó x = c. Ïîëó÷èì ðàçáèåíèå Te. Ïóñòü

c ∈ (xk−1 , xk ). Ïîñêîëüêó ïàðàìåòð ðàçáèåíèÿ Te ìåíüøå δ , ïî äîêàçàííîìó âûøå, äëÿ ðàçáèåíèÿ Te âûïîëíÿåòñÿ (1.41), è òåì áîëåå ñëåäóþùàÿ îöåíêà

X i6=k

ε ωi ∆xi < . 2

(1.42)

Èñïîëüçóÿ (1.42) è (1.39), âûâîäèì îöåíêó n X

X

ωi ∆xi =

i=1

ωi ∆xi + ωk ∆xk <

i6=k

ε + (M − m) δ < ε. 2

(1.43)

Áëàãîäàðÿ (1.41) è (1.43), ïîëó÷àåì óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè (1.16). Ñëåäîâàòåëüíî, f ∈ R [a, b] è ïî ñâîéñòâó 7 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (1.36). Ïóñòü òåïåðü c ëåæèò âíå ñåãìåíòà [a, b], íàïðèìåð, c < a. Òîãäà, ïî ñâîéñòâó 7 (ïîñêîëüêó a íàõîäèòñÿ ìåæäó c è b), èìååì

Zb

Za f (x) dx :=

c

Zb f (x) dx +

c

f (x) dx. a

Îòñþäà, ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâî 2, âûâîäèì

Zb

Zb f (x) dx =

a

Za f (x) dx −

c

Zc f (x) dx =

c

Zb f (x) dx +

a

f (x) dx. c

Ñëó÷àé c > b àíàëîãè÷åí ïðåäûäóùåìó. Ñëåäóþùèå øåñòü ñâîéñòâ âûðàæàþòñÿ íåðàâåíñòâàìè.

Ñâîéñòâî 9 Åñëè f ∈ R [a, b] è f (x) ≥ 0, òî Zb f (x) dx ≥ 0. a

(1.44)

32

Îãëàâëåíèå

Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, êàæäàÿ èíòåãðàëüíàÿ ñóììà I {xi , ξi } íåîòðèöàòåëüíà, ñëåäîâàòåëüíî è ïðåäåë lim I {xi , ξi } íåîòðèöàòåëåí. ∆→0

Ñâîéñòâî 10 Åñëè f, g ∈ R [a, b] è âñþäó íà [a, b] (òî åñòü â êàæäîé òî÷êå x ∈ [a, b]) f (x) ≥ g(x), òî

Zb

Zb f (x) dx ≥

a

g(x) dx.

(1.45)

a

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê f (x) − g(x) ≥ 0, òî (1.45) ñëåäóåò èç ñâîéñòâ 9, 4 è 3.

Ñâîéñòâî 11 Åñëè f ∈ R [a, b] è óäîâëåòâîðÿåò íà íåì íåðàâåíñòâàì m ≤ f (x) ≤ M , òî Zb m(b − a) ≤

f (x) dx ≤ M (b − a).

(1.46)

a

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì g(x) ≡ m íà ñåãìåíòå [a, b]. Òîãäà f (x) ≥ g(x) âñþäó íà [a, b] è ïî ñâîéñòâó 10 Zb

Zb f (x) dx ≥

a

Zb g(x) dx =

a

m dx = m(b − a). a

Ïðàâàÿ ÷àñòü îöåíêè (1.46) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.

Ñâîéñòâî 12 Åñëè f ∈ C [a, b], íåîòðèöàòåëüíà è íå ðàâíà òîæäåñòâåííî íóëþ, òî

Zb f (x) dx > 0.

(1.47)

a

Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà [a, b], ïîñêîëüêó îíà íåïðåðûâíà íà íåì. À òàê êàê f íåîòðèöàòåëüíà è íå ðàâíà òîæäåñòâåííî íóëþ, ñóùåñòâóåò òî÷êà ξ ∈ [a, b] òàêàÿ, ÷òî f (ξ) = 2k > 0. Òîãäà ïî òåîðåìå îá óñòîé÷èâîñòè çíàêà íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íàéäåòñÿ ñåãìåíò

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

33

[α, β] ⊂ [a, b], ñîäåðæàùèé òî÷êó ξ , â ïðåäåëàõ êîòîðîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f áóäóò íå ìåíüøå ÷èñëà k > 0. Òåïåðü, ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâà 6, 7, 11 è 9, âûâîäèì

Zb

Zα f (x) dx =

a

Zβ f (x) dx+

a

Zb f (x) dx+

α

Zβ f (x) dx ≥

f (x) dx ≥ k(β−α) > 0. α

β

Ñëåäñòâèå 1.3 Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà íà ñåãZb

ìåíòå [a, b] è

f (x) dx = 0, òî f (x) ≡ o íà [a, b]. a

Ñâîéñòâî 13 Åñëè f ∈ R [a, b], òî è |f | ∈ R [a, b] è ñïðàâåäëèâî îöåíêà ¯ b ¯ ¯Z ¯ Zb ¯ ¯ ¯ f (x) dx¯ ≤ |f (x)| dx. ¯ ¯ ¯ ¯ a

(1.48)

a

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà äîêàæåì èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèè |f |. |f |

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå T ñåãìåíòà [a, b]. Ïóñòü ωif è ωi

êîëåáàíèÿ ôóíêöèé f è |f | íà ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå [xi−1 , xi ]. Ïîêàæåì, ÷òî |f |

ωi ≤ ωif .

(1.49)

Ïóñòü mf , M f , m|f | , M |f | îáîçíà÷àþò òî÷íûå ãðàíè ôóíêöèé f è |f | íà ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå [xi−1 , xi ]. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ãðàíåé mf è M f âîçìîæíû òîëüêî ñëåäóþùèå òðè ñëó÷àÿ:

(a) mf ≥ 0 (=⇒ M f ≥ 0); (b) M f ≤ 0 (=⇒ mf ≤ 0); (c) mf < 0,

M f > 0.

Â ñëó÷àå (a) ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà m|f | = mf è M |f | = M f (ðèñ. 9(a)). Ïîýòîìó (1.49) âûïîëíÿåòñÿ.

34

Îãëàâëåíèå

y 6

y 6 (a)

(b)

M |f | = M f r

m|f | = mf r -

x

O

−m

|f |

O = Mf r

-

x

−M |f | = mf r

y 6

y 6 (c1 )

(c2 ) M |f | = M f r

M fr Os m|f |

-

x

Os m|f | mf r

−M |f | = mf r

Ðèñ. 9: Êîëåáàíèÿ (íåïðåðûâíîé) ôóíêöèè f .

-

x

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

35

Â ñëó÷àå (b) èìååì: m|f | = −M f è M |f | = −mf (ðèñ. 9(b)). Îòñþäà ïîëó÷àåì

¡ ¢ |f | ωi = M |f | − m|f | = −mf − −M f = M f − mf = ωif , è ñëåäîâàòåëüíî (1.49) âûïîëíÿåòñÿ. Â ñëó÷àå (c) ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ (ðèñ. 9(c1 ), (c2 ))

¯ ¯ª © M |f | = max M f , ¯mf ¯ ,

¯ ¯ ωif = M f − mf = M f + ¯mf ¯ ,

0 ≤ m|f | ≤ M |f | .

Îòñþäà âûâîäèì

¯ ¯ª ¯ ¯ © |f | ωi = M |f | − m|f | ≤ M |f | = max M f , ¯mf ¯ ≤ M f + ¯mf ¯ = ωif . Òàêèì îáðàçîì, îöåíêà (1.49) âûïîëíÿåòñÿ è â ýòîì ñëó÷àå, à ñëåäîâàòåëüíî îíà âûïîëíÿåòñÿ âñåãäà. Óìíîæàÿ îáå ÷àñòè (1.49) íà ∆xi è ñóììèðóÿ ïî âñåì i, ïîëó÷àåì îöåíêó

n X

|f | ωi ∆xi

≤

i=1

n X

ωif ∆xi .

(1.50)

i=1

Ïîñêîëüêó f ∈ R [a, b], òî ïåðåõîäÿ â (1.50) ê ïðåäåëó ïðè ∆ −→ 0, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó

lim

∆→0

n X

|f |

ωi ∆xi = 0.

i=1

Ñëåäîâàòåëüíî, |f | ∈ R [a, b]. Òåïåðü äîêàæåì îöåíêó (1.48). Òàê êàê − |f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)| , òî ïî ñâîéñòâó 10 ïîëó÷àåì

Zb −

Zb |f (x)| dx ≤

a

Zb f (x) dx ≤

a

|f (x)| dx, a

à ýòè îöåíêè ðàâíîñèëüíû îöåíêå (1.48).

Çàìå÷àíèå. Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî èç èíòåãðèðóåìîñòè ìîäóëÿ ôóíêöèè, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñëåäóåò èíòåãðèðóåìîñòü ñàìîé ôóíêöèè. Òàêîé ôóíêöèåé, íàïðèìåð, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé (1.35).

36

Îãëàâëåíèå

Ñâîéñòâî 14 Åñëè f, g ∈ R [a, b], m ≤ f (x) ≤ M è g(x) ≥ 0 âñþäó íà [a, b], òî

Zb m

Zb g(x) dx ≤

a

Zb f (x)g(x) dx ≤ M

a

g(x) dx.

(1.51)

a

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâîñòü îöåíêè (1.51) âûòåêàåò èç î÷åâèäíûõ íåðàâåíñòâ mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ M g(x) è ñâîéñòâ 5, 10 è 3. Ñëåäóþùèå òðè ñâîéñòâà íàçûâàþòñÿ òåîðåìàìè î ñðåäíåì çíà÷åíèè.

Ñâîéñòâî 15 (Ïåðâàÿ òåîðåìà î ñðåäíåì çíà÷åíèè). Ïóñòü f ∈ R [a, b], è ïóñòü m è M òî÷íûå ãðàíè ôóíêöèè f íà ñåãìåíòå [a, b]. Òîãäà íàéäåòñÿ ÷èñëî µ, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâàì m ≤ µ ≤ M , òàêîå, ÷òî

Zb (1.52)

f (x) dx = µ (b − a) . a

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ñâîéñòâó 7 ñïðàâåäëèâû îöåíêè (1.47), èç êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî

1 m≤ b−a

Zb f (x) dx ≤ M. a

Zb Ïîëàãàÿ µ =

Zb

f (x) dx (b − a), ïîëó÷àåì ôîðìóëó (1.52). a

f (x) dx (b − a) íàçûâàåòñÿ ñðåäíèì çíà÷åíèåì ôóíêöèè f

×èñëî a

íà ñåãìåíòå [a, b].

Ñëåäñòâèå 1.4 Åñëè f ∈ C [a, b], òî íàéäåòñÿ òî÷êà ξ ∈ [a, b] òàêàÿ, ÷òî

Zb (1.53)

f (x) dx = f (ξ) (b − a) . a

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî âòîðîé òåîðåìå Âåéåðøòðàññà íà ñåãìåíòå [a, b] íàéäóòñÿ òî÷êè α è β â êîòîðûõ äîñòèãàþòñÿ òî÷íûå ãðàíè ôóíêöèè f òî åñòü òàêèå, ÷òî ½ ¾ f (α) = m = inf f (x) : x ∈ [a, b] ,

½

¾ f (β) = M = sup f (x) : x ∈ [a, b] .

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

37

Òîãäà, ïî òåîðåìå î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè, íà ñåãìåíòå [α, β], à ñëåäîâàòåëüíî, è íà ñåãìåíòå [a, b] íàéäåòñÿ òî÷êà ξ òàêàÿ, ÷òî f (ξ) = µ. Çàìåíèâ â (1.52) µ íà f (ξ), ïîëó÷èì (1.53). Ôîðìóëó (1.53), à èíîãäà è ôîðìóëó (1.52), íàçûâàþò ïåðâîé ôîðìó-

ëîé ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ .

Ñâîéñòâî 16 Ïóñòü f, g ∈ R [a, b], è ïóñòü m è M òî÷íûå ãðàíè ôóíêöèè f íà ñåãìåíòå [a, b]. Ïóñòü, êðîìå òîãî, ôóíêöèÿ g íåîòðèöàòåëüíà (èëè íåïîëîæèòåëüíà) íà âñåì ñåãìåíòå [a, b]. Òîãäà íàéäåòñÿ ÷èñëî µ, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâàì m ≤ µ ≤ M , òàêîå, ÷òî

Zb

Zb f (x)g(x) dx = µ

a

(1.54)

g(x) dx. a

Â ÷àñòíîñòè, åñëè f ∈ C [a, b], òî íàéäåòñÿ òî÷êà ξ ∈ [a, b] òàêàÿ, ÷òî

Zb

Zb f (x)g(x) dx = f (ξ)

a

(1.55)

g(x) dx. a

Ôîðìóëà (1.55) íàçûâàåòñÿ ïåðâîé ôîðìóëîé ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ â îáîá-

ùåííîé ôîðìå .

Äîêàçàòåëüñòâî. Íà÷íåì ñ äîêàçàòåëüñòâà ñïðàâåäëèâîñòè ôîðìóëû Zb

(1.54). Åñëè

Zb

g(x) dx = 0, òî, â ñèëó (1.51), èìååì: a

f (x)g(x) dx = a

0. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå µ ìîæíî âçÿòü ëþáîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâàì m ≤ µ ≤ M . Zb Ïóñòü g(x) dx 6= 0. Ðàçäåëèâ âñå ÷àñòè íåðàâåíñòâ (1.51) íà ÷èñëî

Zb

a

g(x) dx, ïîëó÷èì a



Zb

m≤ a

, b  Z  g(x) dx ≤ M. f (x)g(x) dx



a

Zb

Îòñþäà, ïîëàãàÿ µ =  ìóëó (1.54).

, f (x)g(x) dx

a

Zb



 g(x) dx, âûâîäèì ôîð-

a

38

Îãëàâëåíèå Åñëè æå ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b], òî êàê ïîêàçàíî ïðè

äîêàçàòåëüñòâå ñëåäñòâèÿ 1.4, íà óêàçàííîì ñåãìåíòå íàéäåòñÿ òî÷êà ξ òàêàÿ, ÷òî f (ξ) = µ, è ïîýòîìó ôîðìóëà (1.54) ïðèíèìàåò âèä (1.55).

Ñâîéñòâî 17 (Âòîðàÿ òåîðåìà î ñðåäíåì çíà÷åíèè). Ïóñòü f ∈ R [a, b], à g : [a, b] −→ R ìîíîòîííà. Òîãäà íà ñåãìåíòå [a, b] íàéäåòñÿ òî÷êà ξ òàêàÿ, ÷òî

Zb

Zξ f (x)g(x) dx = g(a)

a

Zb f (x) dx.

f (x) dx + g(b) a

(1.56)

ξ

Ôîðìóëà (1.56) íàçûâàåòñÿ âòîðîé ôîðìóëîé ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ èëè ôîðìóëîé Áîííå. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ìîæíî íàéòè â áîëüøèíñòâå ó÷åáíèêîâ (ñì., íàïðèìåð, [3], ñòð. 385389; [1], ñòð. 351352; [4], ñòð. 117119 è ò. ä.). Â çàêëþ÷åíèå ïðèâåäåì íåñêîëüêî ñâîéñòâ ÷àñòî ïðèìåíÿåìûõ â ïðîöåññå âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ.

Ñâîéñòâî 18 Åñëè ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ f ∈ R [−a, a], òî Za

Za f (x) dx = 2

−a

f (x) dx.

(1.57)

o

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ñâîéñòâó 6 f ∈ R [−a, 0] è f ∈ R [0, a], à ïî ñâîéñòâó 7 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

Za

Z0 f (x) dx =

−a

Za f (x) dx +

−a

f (x) dx.

(1.58)

o

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî îòîáðàæåíèå ϕ : [0, a] −→ [−a, 0], çàäàííîå ðàâåíñòâîì ϕ(x) = −x, ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé. Ïîýòîìó êàæäîé èíòåãðàëüíîé ñóììå I {xi , ξi }, ïîñòðîåííîé ïî íåêîòîðîìó ðàçáèåíèþ T ñåãìåíòà [0, a] ñîîòâåòñòâóåò èíòåãðàëüíàÿ ñóììà I {x0i , ξi0 } (è íàîáîðîò), ïîñòðîåííîé

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

39

ïî ðàçáèåíèþ T 0 ñåãìåíòà [−a, 0] ñ x0i = −xn−i è ξi0 = −ξn−i . Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî äëÿ êàæäîãî i ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî ∆x0i = ∆xn−i . Ïîýòîìó, ó÷èòûâàÿ ÷åòíîñòü ôóíêöèè f , âûâîäèì

I

{x0i , ξi0 }

= =

n X i=1 n X

f

(ξi0 ) ∆x0i

=

n X

f (−ξi ) ∆xi =

i=1

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

f (−ξn−i ) ∆xn−i =

i=1 n X

f (ξi ) ∆xi = I {xi , ξi } .

i=1

Z0

Za f (x) dx =

−a

f (x) dx.

(1.59)

o

Êîìáèíèðóÿ (1.58) è (1.59), ïîëó÷àåì (1.57).

Ñâîéñòâî 19 Åñëè íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ f ∈ R [−a, a], òî Za f (x) dx = 0.

(1.60)

−a

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññóæäàÿ òàê æå êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñâîéñòâà 18, âìåñòî ðàâåíñòâà (1.59) ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî

Z0

Za f (x) dx = −

f (x) dx.

−a

(1.61)

o

Ïîýòîìó èç (1.58) è (1.61), ñëåäóåò (1.60).

Ñâîéñòâî 20 Åñëè ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f ñ ïåðèîäîì τ èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì ñåãìåíòå [α, β] ⊂ R, òî b+kτ Z

Zb f (x) dx =

a+kτ

f (x) dx

(1.62)

a

ïðè âñåõ a, b ∈ R è k ∈ Z.

Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî îòîáðàæåíèå ϕ ñåãìåíòà [a, b] íà ñåãìåíò [a + kτ, b + kτ ], çàäàííîå ðàâåíñòâîì ϕ(x) = x + kτ , ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé. Ïîýòîìó êàæäîé èíòåãðàëüíîé ñóììå I {xi , ξi }, ïîñòðîåííîé ïî

40

Îãëàâëåíèå

ðàçáèåíèþ T ñåãìåíòà [a, b] ñîîòâåòñòâóåò èíòåãðàëüíàÿ ñóììà I {x0i , ξi0 }, ïîñòðîåííàÿ ïî ðàçáèåíèþ T 0 ñåãìåíòà [a + kτ, b + kτ ] ñ x0i = xi + kτ è

ξi0 = ξi + kτ (è íàîáîðîò). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ∆x0i = ∆xi , i = 1, 2, . . . , n. Ïîêàæåì, ÷òî I {x0i , ξi0 } =

I {xi , ξi }. Äåéñòâèòåëüíî, ó÷èòûâàÿ ïåðèîäè÷íîñòü ôóíêöèè f , èìååì I {x0i , ξi0 } =

n X

f (ξi0 ) ∆x0i =

i=1

=

n X

n X

f (ξi + kτ ) ∆xi =

i=1

f (ξi ) ∆xi = I {xi , ξi } .

i=1

Îòñþäà, ïóòåì ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà, ïîëó÷àåòñÿ ðàâåíñòâî (1.62).

Ñâîéñòâî 21 Åñëè ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f ñ ïåðèîäîì τ èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì ñåãìåíòå [α, β] ⊂ R, òî

Za+τ

Zτ f (x) dx =

a

(1.63)

f (x) dx 0

ïðè ëþáîì a ∈ R.

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ëþáîå a ∈ R. Ïóñòü k ∈ Z òàêîâî, ÷òî kτ ≤ a < (k + 1)τ . Åñëè a = kτ , òî a + τ = (k + 1)τ . Ïîýòîìó, íà îñíîâàíèè ñâîéñòâà 20, âûâîäèì ðàâåíñòâî (1.63):

Za+τ

τZ+kτ

f (x) dx = a

Zτ f (x) dx =

f (x) dx. 0

0+kτ

Åñëè æå a 6= kτ , òî kτ < a < (k + 1)τ = kτ + τ < a + τ < (k + 1)τ + τ . Ïîýòîìó, ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâà 7, 20 è 8, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî (1.63):

Za+τ

kτ Z +τ

f (x) dx = a

Za+τ f (x) dx +

a

(a−kτZ )+(k+1)τ

+

f (x) dx =

(k+1)τ

Zτ f (x) dx =

0+(k+1)τ

τZ+kτ

(a−kτ )+kτ a−kτ Z

f (x) dx + a−kτ

f (x) dx+ Zτ

f (x) dx = 0

f (x) dx. 0

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

41

1.7 Îñíîâíàÿ ôîðìóëà èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ Èíòåãðàë ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì Ïóñòü ôóíêöèÿ f ∈ R [a, b], è ïóñòü c ∈ [a, b] ïðîèçâîëüíàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà. Òîãäà, ïî ñâîéñòâàì èíòåãðàëà (ñâîéñòâî 6) f ∈ R [c, x] ïðè ëþáîì x ∈

[a, b]. Ïîýòîìó ìîæíî ðàññìîòðåòü ôóíêöèþ F : [a, b] −→ R, çàäàâàåìóþ ôîðìóëîé

Zx (1.64)

f (t) dt.

F (x) = c

Ôóíêöèþ (1.64) íàçûâàþò èíòåãðàëîì ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì . Èíòåãðàë ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì ìîæíî îïðåäåëÿòü íà èíòåðâàëå (a, b). Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f îïðåäåëåííóþ íà ýòîì èíòåðâàëå è èíòåãðèðóåìóþ íà ëþáîì ñåãìåíòå [α, β] ⊂ (a, b). Çàôèêñèðóåì ëþáóþ òî÷êó c ∈ (a, b) è çàäàäèì ôóíêöèþ F : (a, b) −→ R ôîðìóëîé (1.64).

Òåîðåìà 1.7 Åñëè ôóíêöèÿ f ∈ R [a, b], à F ôóíêöèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì (1.64), òî F ∈ C [a, b].

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê f ∈ R [a, b], òî îíà îãðàíè÷åíà íà ñåãìåíòå [a, b]. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ M > 0 òàêàÿ, ÷òî |f (x)| ≤ M ïðè âñåõ x ∈ [a, b]. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò x0 ∈ [a, b) è äîêàæåì íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè F â òî÷êå x0 ñïðàâà. Ñ ýòîé öåëüþ îöåíèì ðàçíîñòü |F (x) − F (x0 )| ïðè x ∈ [x0 , b]. Ïîñêîëüêó

Zx0

Zx f (t) dt −

F (x) − F (x0 ) = c

òî

Zx f (t) dt,

f (t) dt = c

x0

¯ ¯ x ¯ Zx ¯Z ¯ ¯ |F (x) − F (x0 )| = ¯¯ f (t) dt¯¯ ≤ |f (t)| dt ≤ M (x − x0 ) . ¯ ¯ x0

(1.65)

x0

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0 è âûáåðåì δ > 0 èç óñëîâèÿ δ ≤ εM . Òîãäà èç (1.65) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ [x0 , b] è óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ

42

Îãëàâëåíèå

x − x0 < δ ñïðàâåäëèâà îöåíêà |F (x) − F (x0 )| < ε, èç êîòîðîé âûòåêàåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè F â òî÷êå x0 ñïðàâà. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè F â ëþáîé òî÷êå x0 ∈ (a, b] ñëåâà.

Ñëåäñòâèå 1.5 Åñëè ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå (a, b) è èíòåãðèðóåìóþ íà ëþáîì ñåãìåíòå [α, β] ⊂ (a, b), òî ôóíêöèÿ F , çàäàííàÿ ôîðìóëîé (1.64), íåïðåðûâíà íà èíòåðâàëå (a, b).

Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x0 ∈ (a, b) è ëþáîé ñåãìåíò [α, β] ⊂ (a, b), ñîäåðæàùèé òî÷êó x0 . Ïî òåîðåìå 1.7 ôóíêöèÿ F íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [α, β], à ñëåäîâàòåëüíî, è â òî÷êå

x0 .

Ñóùåñòâîâàíèå ïåðâîîáðàçíîé äëÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè Òåîðåìà 1.8 (Îñíîâíàÿ òåîðåìà èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ). Åñëè f ∈ R [a, b], òî ôóíêöèÿ F , çàäàííàÿ ôîðìóëîé (1.64), äèôôåðåíöèðóåìà â êàæäîé òî÷êå x0 íåïðåðûâíîñòè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, ïðè÷åì

F 0 (x0 ) = f (x0 ). Îòìåòèì, ÷òî ïðè ñîâïàäåíèè òî÷êè x0 ñ òî÷êîé a èëè b ðå÷ü èäåò ñîîòâåòñòâåííî î ïðîèçâîäíîé ñïðàâà â òî÷êå a èëè ñëåâà â òî÷êå b. Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ ïðè ýòîì íå ìåíÿåòñÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü òî÷êà x0 ∈ [a, b] îäíà èç òî÷åê íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Òîãäà íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ [a, b] è δ -îêðåñòíîñòè U = Uδ (x0 ) òî÷êè x0 ñïðàâåäëèâà îöåíêà

|f (x) − f (x0 )| < ε. ¯ ¯ ¯ F (x) − F (x0 ) ¯ Îöåíèì ¯¯ − f (x0 )¯¯ ïðè |x − x0 | < δ . Òàê êàê x − x0 F (x) − F (x0 ) 1 = x − x0 x − x0

Zx f (t) dt, x0

(1.66)

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë òî

43

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Zx ¯ ¯ 1 ¯ F (x) − F (x0 ) ¡ ¢ ¯ ¯ − f (x0 )¯¯ = ¯¯ f (t) − f (x0 ) dt¯¯ ≤ ¯ x − x0 x − x 0 ¯ ¯ x0

≤

sgn (x − x0 ) |x − x0 |

Zx x0

¯ ¯ ¯f (t) − f (x0 )¯ dt < ε (x − x0 ) sgn (x − x0 ) = ε, |x − x0 |

ïîñêîëüêó, áëàãîäàðÿ (1.66) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |f (t) − f (x0 )| < ε ïðè âñåõ t, çàêëþ÷åííûõ ìåæäó x0 è x. Èç ïîëó÷åííîãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî F 0 (x0 ) ñóùåñòâóåò, ïðè÷åì F 0 (x0 ) = f (x0 ).

Ñëåäñòâèå 1.6 Ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòå [a, b] ôóíêöèÿ f èìååò íà ýòîì ñåãìåíòå ïåðâîîáðàçíóþ. Îäíîé èç ïåðâîîáðàçíûõ ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàë ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì, ò. å. ôóíêöèÿ F , çàäàííàÿ ôîðìóëîé (1.64).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî òåîðåìå 1.7, ôóíêöèÿ F íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b], à ñîãëàñíî òåîðåìå 1.8, îíà äèôôåðåíöèðóåìà â êàæäîé òî÷êå ýòîãî ñåãìåíòà (ïîñêîëüêó f íåïðåðûâíà íà íåì). Ïîýòîìó F ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f íà ñåãìåíòå [a, b].

Çàìå÷àíèå. Óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 1.8 è ñëåäñòâèÿ 1.6 ñïðàâåäëèâû è â ñëó÷àå, êîãäà ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå (a, b) è èíòåãðèðóåìóþ íà ëþáîì ñåãìåíòå [α, β] ⊂ (a, b).

Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà îñíîâíàÿ ôîðìóëà èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ Òåîðåìà 1.9 Åñëè f ∈ C [a, b], à Φ ïðîèçâîëüíàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f íà ñåãìåíòå [a, b], òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

Zb

¯b ¯ f (x) dx = Φ(b) − Φ(a) = Φ(x) ¯¯ .

a

(1.67)

a

Ôîðìóëà (1.67) ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé ôîðìóëîé èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ è íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Íüþòîíà-Ëåéáíèöà .

44

Îãëàâëåíèå

Äîêàçàòåëüñòâî. Áëàãîäàðÿ ñëåäñòâèþ 1.6, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ëþáàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ Φ ôóíêöèè f íà ñåãìåíòå [a, b] èìååò âèä

Zx Φ(x) =

(1.68)

f (t) dt + C, a

ãäå C íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.

Za

Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðàâåíñòâî

f (x) dx = 0 (ñì. ñâîéñòâî 1), a

íàõîäèì C = Φ(a). Òàêèì îáðàçîì èç (1.68) ïîëó÷àåì ôîðìóëó

Zx Φ(x) =

f (t) dt + Φ(a). a

Âû÷èñëÿÿ òåïåðü çíà÷åíèå ôóíêöèè Φ â òî÷êå b, ïðèõîäèì ê ôîðìóëå (1.67).

Ïðèìåð 1.7 Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà, íàéòè ñëåäóþùèå îïðåäåëåííûå èíòåãðàëû: π

Z6 x2 dx;

a)

Z1

Z2 b)

cos x dx;

3

c)

dx . 1 + x2

0

0

Ðåøåíèå. Z6

¯6 x3 ¯¯ 63 33 x dx = = − = 72 − 9 = 63; 3 ¯3 3 3 2

a) 3 π

Z2 b) 0

Z1 c) 0

¯π ¯2 π cos x dx = sin x ¯¯ = sin − sin 0 = 1 − 0 = 1; 2 0

¯1 ¯ dx ¯ = arctg 1 − arctg 0 = π − 0 = π . = arctg x ¯ 2 1+x 4 4 0

Z1

Ïðèìåð 1.8 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë

|x| dx. −1

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

45

Ðåøåíèå. Òàê êàê ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) = |x| ÷åòíàÿ, òî èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 18, ïîëó÷àåì

Z1

Z1 |x| dx = 2

−1

Z1 |x| dx = 2

0

0

Za

Ïðèìåð 1.9 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë

¯1 x2 ¯¯ = 1. x dx = 2 · 2 ¯0

√ 8 x7 a4 − x4 dx.

−a

Ðåøåíèå. Òàê êàê ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ, òî ïî ñâîéñòâó 19 èíòåãðàë ðàâåí íóëþ.

Z2π

Ïðèìåð 1.10 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë

sin x dx. 1 + cos4 x

0

Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ ïåðèîäîì 2π è íå÷åòíàÿ, òî ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâà 21 è 19, ïîëó÷àåì

Z2π

sin x dx = 1 + cos4 x

Zπ

sin x dx = 0. 1 + cos4 x

−π

0

Ñëåäóþùèå ïðèìåðû ïðèçâàíû ïðåäîñòåðå÷ü ÷èòàòåëÿ îò ÷àñòî ñîâåðøàåìûõ îøèáîê ïðè ïðèìåíåíèè ôîðìóëû Íüþòîíà-Ëåéáíèöà.

Ïðèìåð 1.11 Âåðíû ëè ñëåäóþùèå ïðèìåíåíèÿ ôîðìóëû Íüþòîíà-Ëåéáíèöà ïðè íàõîæäåíèè îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ:

Z1 a) −1

Z1 b) −1

¯1 ¯ dx = ln |x| ¯¯ = ln 1 − ln | − 1| = 0; x −1 ¯1 π π dx 1 ¯¯ π = − arctg ¯ = − − = − ? 2 1+x x −1 4 4 2

Ðåøåíèå. a) Ïðèâåäåííîå ðåøåíèå íåâåðíî, ïîñêîëüêó ïîäûíòåãðàëü-

1 íà ñåãìåíòå [−1, 1] íåîãðàíè÷åíà, è ñëåäîâàòåëüx íî, íåèíòåãðèðóåìà íà íåì (ñì. òåîðåìó 1.1). íàÿ ôóíêöèÿ f (x) =

46

Îãëàâëåíèå

1 òåðx ïèò ðàçðûâ â òî÷êå x = 0, ïðèíàäëåæàùåé ñåãìåíòó [−1, 1], ïîýòîìó íå 1 ìîæåò ñëóæèòü ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f (x) = íà ðàññìàòðè1 + x2 âàåìîì îòðåçêå. Âñïîìíèì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ ïåðâîîáðàçíàÿ äèôôåb) Çäåñü îøèáêà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ôóíêöèÿ F (x) = − arctg

ðåíöèðóåìàÿ, à ñëåäîâàòåëüíî, íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. ×òîáû ðåøåíèå áûëî ïðàâèëüíûì, íåîáõîäèìî ñëåäèòü, ÷òîáû ôóíêöèÿ, âûáèðàåìàÿ íà ðîëü ïåðâîîáðàçíîé, áûëà íåïðåðûâíà íà âñåì ïðîìåæóòêå èíòåãðèðîâàíèÿ, à åñëè ñäåëàòü ýòî íå óäàåòñÿ, òî ñëåäóåò ðàçáèòü îòðåçîê èíòåãðèðîâàíèÿ íà íåñêîëüêî îòðåçêîâ òàêèõ ÷òîáû íà êàæäîì èç íèõ ìîæíî áûëî ïîäîáðàòü íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ, ÿâëÿþùóþñÿ ïåðâîîáðàçíîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè. Òåïåðü ïðèâåäåì òðè ïðàâèëüíûõ ðåøåíèÿ ïðèìåðà b). Ïåðâîå ðåøåíèå. Îäíîé èç ïåðâîîáðàçíûõ äëÿ ôóíêöèè f (x) = íà ñåãìåíòå [−1, 1] ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ Φ(x) = arctg x, ïîýòîìó

Z1 −1

1 1 + x2

¯1 ¯ dx π ³ π´ π ¯ = . = arctg x ¯ = arctg 1 − arctg(−1) = − − 1 + x2 4 4 2 −1

Âòîðîå ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó lim arctg x→−0

ôóíêöèè

1 π 1 π = − , à lim arctg = , òî x→+0 x 2 x 2

  − arctg 1 , åñëè − 1 ≤ x < 0, x F1 (x) = π   , åñëè x = 0, 2  − arctg 1 , åñëè 0 < x ≤ 1, x F2 (x) = π  − , åñëè x = 0, 2 íåïðåðûâíû íà ñåãìåíòàõ [−1, 0] è [0, 1] ñîîòâåòñòâåííî. Ïîýòîìó, ðàçáèâàÿ èñõîäíûé èíòåãðàë íà äâà èíòåãðàëà, ïîëó÷àåì

Z1 −1

¯1 ¯0 Z0 Z1 ¯ ¯ dx dx dx ¯= ¯ +F (x) = + = F (x) 2 1 ¯ ¯ 1 + x2 1 + x2 1 + x2 0 −1 −1 0 µ ¶ µ ³ π ´¶ π ¢ π ¡ = − − arctg(−1) + − arctg 1 − − = . 2 2 2

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

47

Òðåòüå ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Φ : [−1, 1] −→ R, çàäàííóþ ôîðìóëîé

 1    − arctg ,   x  π Φ(x) = ,  2     π − arctg 1 , x Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ýòà

åñëè

− 1 ≤ x < 0,

åñëè

x = 0,

åñëè

0 < x ≤ 1.

ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà è äèôôåðåí-

öèðóåìà íà ñåãìåíòå [−1, 1], ïðè÷åì Φ0 (x) = f (x) ïðè âñåõ x ∈ [−1, 1]. Ïîýòîìó, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà, íàõîäèì

Z1 −1

¯1 ¯ ¡ ¢ dx ¯ = = (π − arctg 1) − (− arctg(−1)) = π . = Φ(x) ¯ 1 + x2 2 −1

1.8 Îñíîâíûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà ïóòåì ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà â èíòåãðàëüíûõ ñóììàõ, òî åñòü íåïîñðåäñòâåííî ïî îïðåäåëåíèþ, â îáùåì ñëó÷àå çàäà÷à äîñòàòî÷íî ñëîæíàÿ. Ïîýòîìó âîçíèêàåò âîïðîñ î áîëåå ïðîñòûõ ñïîñîáàõ âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ðèìàíà. Î÷åâèäíî, ÷òî ìåòîäû, ïðèìåíÿâøèåñÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, ãîäÿòñÿ è äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ.

Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ Ïóñòü ôóíêöèþ f : [a, b] −→ R ïðåäñòàâëåíà â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ôóíêöèé fj ∈ R [a, b], j = 1, 2, . . . , n, äëÿ êîòîðûõ èíòåãðàZb ëû fj (x) dx èçâåñòíû. Òîãäà, áëàãîäàðÿ ñâîéñòâàì (4) è (3), ôóíêöèÿ a

f ∈ R [a, b] è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî Zb f (x) dx = a

n X j=1

Zb fj (x) dx.

αj a

(1.69)

48

Îãëàâëåíèå π

Z2

Ïðèìåð 1.12 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë

sin(3x) cos(5x) dx. 0

Ðåøåíèå. Òàê êàê sin(3x) cos(5x) = π

π

Z2

sin(3x) cos(5x) dx = 0

1 = 2

1 sin(8x) − sin(2x), òî 2

1 2

Z2

¡

¢ sin(8x) − sin(2x) dx =

0

µ

cos(8x) cos(2x) − + 8 2

¶ ¯π µ ¶ ¯2 1 1 1 1 1 1 ¯ = − − + − =− . ¯ 2 8 2 8 2 2 0

Çàìåíà ïåðåìåííîé â èíòåãðàëå Ðèìàíà (ìåòîä ïîäñòàíîâêè) Òåîðåìà 1.10 Ïóñòü âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) ôóíêöèÿ ϕ : [α, β] −→ [a, b] íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìà (òî åñòü èìååò íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ) íà ñåãìåíòå [α, β];

2) ϕ(α) = a, ϕ(β) = b; 3) ôóíêöèÿ f ∈ C [a, b]. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

Zb

Zβ f (x) dx =

a

¡ ¢ f ϕ(t) ϕ0 (t) dt.

(1.70)

α

Ôîðìóëà (1.70) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé çàìåíû ïåðåìåííîé ïîä çíàêîì

îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Φ êàêàÿ-íèáóäü ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f íà ñåãìåíòå [a, b]. Òîãäà F : [α, β] −→ R, ãäå F = Φ ◦ ϕ ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè (f ◦ ϕ) ϕ0 : [α, β]µ−→ R, òàê ¶ êàê ïî òåîðåìå î äèôôåðåíöèðî¡ ¢ 0 ¡ ¢ âàíèè ñëîæíîé ôóíêöèè Φ ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ0 (t) íà [α, β]. Çàìåòèì, ÷òî f ∈ C [a, b] ïî óñëîâèþ, à (f ◦ ϕ) ϕ0 ∈ C [α, β] êàê ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ,

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

49

îáðàçîâàííàÿ íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó ÍüþòîíàËåéáíèöà (1.67) âûâîäèì

Zβ

¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ f ϕ(t) ϕ0 (t) dt =F (β) − F (α) = Φ ϕ(β) − Φ ϕ(α) =

α

Zb =Φ(b) − Φ(a) =

f (x) dx. a

Çàìå÷àíèå 1.2 Â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû 1.10 íå îáÿçàòåëüíî òðåáîâàòü, ÷òîáû çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ϕ íå âûõîäèëè çà ïðåäåëû ñåãìåíòà

[a, b], íî òîãäà ôóíêöèÿ f äîëæíà áûòü îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [A, B] ⊃ [a, b], íà êîòîðîì ðàñïîëîæåíû âñå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ϕ.

Çàìå÷àíèå 1.3 Ïðè çàìåíå ïåðåìåííîé â îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå ïîñëå íàõîæäåíèÿ ïåðâîîáðàçíîé íåò íàäîáíîñòè âîçâðàùàòüñÿ ê ñòàðîé ïåðåìåííîé, êàê â íåîïðåäåëåííîì èíòåãðàëå. Ïîñêîëüêó, åñëè âû÷èñëåí îäèí èç èíòåãðàëîâ â ôîðìóëå (1.70), ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ÷èñëî, òî òåì ñàìûì âû÷èñëåí è äðóãîé.

Ïðèìåð 1.13 Âû÷èñëèòü

Za √

a2 − x2 dx.

0

h

πi Ðåøåíèå. Ïîëîæèì x = a sin t. Òîãäà dx = a cos t dt. Ïðè t ∈ 0, çíà2 ÷åíèÿ ôóíêöèè ϕ(t) := a sin t çàïîëíÿþò ñåãìåíò [0, a], ïðè÷åì ϕ(0) = 0, ³π ´ ϕ = a. Ñëåäîâàòåëüíî âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 1.10 âûïîëíåíû, ïîýòîìó 2 Za √ 0

π

Z2 2

a2 cos t dt = 2

µ

2

a2 − x2 dx = a

0

¶ ¯ π2 ¯ πa2 1 ¯ . t + sin(2t) ¯ = 2 4 0

Zπ

Ïðèìåð 1.14 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë I = 0

x sin x dx. 1 + cos2 x

50

Îãëàâëåíèå

Ðåøåíèå. Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé, ïîëîæèâ x = π − t. Òîãäà, ïðè èçìåíåíèè x îò 0 äî π ïåðåìåííàÿ t èçìåíÿåòñÿ îò π äî 0 è dx = −dt. Ïî òåîðåìå 1.10 èìååì

Z0 I=−

(π − t) sin t dt =π 1 + cos2 t

π

Zπ

sin t dt − 1 + cos2 t

0

Zπ =π

Zπ

t sin t dt = 1 + cos2 t

0

sin t dt − I. 1 + cos2 t

0

Ðåøàÿ, äàííîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî I , ïîëó÷àåì

π I= 2

Zπ 0

¯π ¯ sin t π ³ π π ´ π2 π ¯ dt = − arctg (cos t) ¯ = − − − = . 1 + cos2 t 2 2 4 4 4 0

Ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì Òåîðåìà 1.11 Ïóñòü ôóíêöèè u, v : [a, b] −→ R íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìû (òî åñòü èìåþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå) íà ñåãìåíòå [a, b]. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì

Zb

¯b Zb ¯ u(x)v (x) dx = u(x)v(x) ¯¯ − u0 (x)v(x) dx. 0

a

a

(1.71)

a

Ôîðìóëà (1.71) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì äëÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Òàê êàê v 0 (x) dx = dv è u0 (x) dx = du, ýòó ôîðìóëó çàïèñûâàþò åùå â ñëåäóþùåì âèäå:

Zb

¯b Zb ¯ u dv = (uv) ¯¯ − v du. a

a

(1.72)

a

Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñïðàâåäëèâîñòè ôîðìóëû (1.71) óáåäèòüñÿ íåòðóäíî. Äåéñòâèòåëüíî ôóíêöèÿ uv ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè

(uv)0 = uv 0 + u0 v . Ñëåäîâàòåëüíî ïî ôîðìóëå Íüþòîíà-Ëåéáíèöà èìååì: Zb a

¡

¯b ¯ ¢ u(x)v (x) + u (x)v(x) dx = u(x)v(x) ¯¯ . 0

0

a

1. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

51

Îòñþäà, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 4, ïîëó÷àåì äîêàçûâàåìóþ ôîðìóëó (1.71).

Zπ

Ïðèìåð 1.15 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë

x sin x dx. 0

Ðåøåíèå. Ïîëîæèì u = x, dv = sin x dx. Òîãäà du = dx, v = − cos x è Zπ

¯π ¯π Zπ ¯ ¯ x sin x dx = −x cos x ¯¯ + cos x dx = π + sin x ¯¯ = π. 0

0

0

0

Z1

Ïðèìåð 1.16 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë

arctg x dx. 0

Ðåøåíèå. Ïîëàãàÿ u = arctg x, dv = dx, íàõîäèì du = Òîãäà

Z1 0

dx , v = x. 1 + x2

¯1 Z1 ¯ ¯ ¡ ¢ ¯1 π 1 x π 1 2 arctg x dx = x arctg x ¯¯ − dx = − ln 1 + x ¯¯ = − ln 2. 1 + x2 4 2 4 2 0 0 0

Zπ

Ïðèìåð 1.17 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë

ex cos x dx. 0

Ðåøåíèå. Ïîëîæèì u = ex , dv = cos x dx. Òîãäà du = ex dx, v = sin x è Zπ

¯π Zπ Zπ ¯ ex cos x dx = ex sin x ¯¯ − ex sin x dx = − ex sin x dx. 0

0

0

0

Åùå ðàç ïðîèíòåãðèðóåì ïî ÷àñòÿì, ïîëàãàÿ u = ex , dv = − sin x dx, ïðè ýòîì íàéäåì du = ex dx, v = cos x. Òîãäà

Zπ

¯π Zπ Zπ ¯ ex cos x dx = ex cos x ¯¯ − ex cos dx = −eπ − 1 − ex cos dx. 0

0

Îòñþäà íàõîäèì

Zπ 0

0

1 ex cos x dx = − (eπ + 1) . 2

0

52

Îãëàâëåíèå

2 Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû (îïðåäåëåíèÿ è âû÷èñëåíèå) Çàéìåìñÿ îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Ìû óæå Zb ïîçíàêîìèëèñü ñ ïîíÿòèåì îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà f (x) dx äëÿ ñëóa

÷àÿ ñåãìåíòà [a, b] ⊂ R è îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè f . Íî èíîãäà ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ëèáî ñ èíòåãðàëàìè ïî íåîãðàíè÷åííîìó ïðîìåæóòêó ëèáî ñ èíòåãðàëàìè îò íåîãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé. Òàêèå èíòåãðàëû íàçûâàþòñÿ

íåñîáñòâåííûìè. Ñíà÷àëà îïðåäåëèì èíòåãðàë íà îäíîìåðíîì íåîãðàíè÷åííîì ñâÿçíîì ìíîæåñòâå (òàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ ïîëóïðÿìûå [a, +∞),

(−∞, b] è âñÿ ïðÿìàÿ R), à çàòåì ââåäåì ïîíÿòèå èíòåãðàëà îò íåîãðàíè÷åííîé ôóíêöèè íà îãðàíè÷åííîì ïîëóèíòåðâàëå [a, b) èëè (a, b].

2.1 Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ïåðâîãî ðîäà Îïðåäåëåíèå 2.1 Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà ïîëóïðÿìîé [a, +∞) è èíòåãðèðóåìà (ïî Ðèìàíó) íà ëþáîì ñåãìåíòå [a, R] ⊂ [a, +∞). Ïðåäåë (êîíå÷íûé)

ZR f (x) dx,

lim

R→+∞

(2.1)

a

åñëè îí ñóùåñòâóåò, íàçûâàåòñÿ íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì ïåðâîãî ðîäà îò ôóíêöèè f ïî ïîëóïðÿìîé [a, +∞). Äëÿ ïðåäåëà (2.1) èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèå: Z∞ f (x) dx.

(2.2)

a

Ñàì ñèìâîë (2.2) òàêæå íàçûâàþò íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì ïåðâîãî ðîäà è ãîâîðÿò, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë (2.2) ñõîäèòñÿ , åñëè ïðåäåë (2.1) ñóùåñòâóåò, è ðàñõîäèòñÿ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.

Çàìå÷àíèå 1. Åñëè b > a, òî íàðÿäó ñ èíòåãðàëîì (2.2) ìîæíî ðàñZ∞

ñìàòðèâàòü èíòåãðàë

f (x) dx. Î÷åâèäíî, ÷òî èç ñõîäèìîñòè îäíîãî èç b

2. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû (îïðåäåëåíèÿ è âû÷èñëåíèå)

53

óêàçàííûõ èíòåãðàëîâ ñëåäóåò ñõîäèìîñòü äðóãîãî è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

Z∞

Zb

Z∞

f (x) dx = a

f (x) dx.

f (x) dx + a

b

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ïî ïîëóïðÿìîé

(−∞, b] è âñåé ïðÿìàÿ R: Zb

Zb f (x) dx := lim

f (x) dx,

R→−∞

−∞

ZR00

Z+∞ f (x) dx :=

f (x) dx.

R0 →−∞ R0 R00 →+∞

−∞

R

lim

Ïðèìåð 2.1 Ïóñòü a > 0. Èññëåäîâàòü, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ p ñõîäèòñÿ èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, îïðåäåëåí íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë

Z+∞

dx . xp

(2.3)

a

1 íåïðåðûâíà íà ïîëóïðÿìîé xp [a, +∞), îíà èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì ñåãìåíòå [a, R) ⊂ [a, +∞), ïðè÷åì  1−p ¯R ¯ x R1−p − a1−p   ¯ R  ïðè p 6= 1, = Z 1−p dx  1 − p ¯a = ¯R  xp ¯ R   a  ln x ¯¯ = ln ïðè p = 1. a a

Ðåøåíèå. Òàê êàê ôóíêöèÿ f (x) =

ZR Î÷åâèäíî, ÷òî ïðåäåë lim

R→+∞

dx a1−p ñóùåñòâóåò è ðàâåí òîëüêî ïðè xp p−1

a

p > 1. Ñëåäîâàòåëüíî, Z+∞

dx a1−p = xp p−1

ïðè

p > 1,

a

à ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ p èíòåãðàë (2.3) ðàñõîäèòñÿ, ò. å. íå îïðåäåëåí.

Ïðèìåð 2.2 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë Z+∞ 0

dx . 1 + x2

(2.4)

54

Îãëàâëåíèå

Ðåøåíèå. Z+∞

dx = lim 1 + x2 R→+∞

ZR

dx = 1 + x2 0 Ã ¯R ! ¯ π = lim arctg x ¯¯ = lim arctg R = . R→+∞ R→+∞ 2 0

0

Îñíîâíàÿ ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ Â ïðèâåäåííûõ ïðèìåðàõ ñíà÷àëà âû÷èñëÿëñÿ èíòåãðàë ïî îãðàíè÷åííîìó ïðîìåæóòêó, à çàòåì ïóòåì ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà âû÷èñëÿëñÿ íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë. Çàïèøåì ýòî îäíîé ôîðìóëîé. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà ïîëóïðÿìîé [a, +∞) è äëÿ êàæäîãî R > a èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, R], è ïóñòü äëÿ íåå ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ F íà âñåé ïîëóïðÿìîé [a, +∞). Òîãäà

ZR

¯R ¯ f (x) dx = F (R) − F (a) = F (x) ¯¯ . 0

a

Ïîýòîìó

Z+∞ f (x) dx = lim (F (R) − F (a)) = lim F (R) − F (a). R→+∞

R→+∞

(2.5)

a

Z+∞ Òåïåðü ïîíÿòíî, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë f (x) dx ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ïðåäåë

a

lim F (R) = F (+∞).

R→+∞

Èç (2.5) ñëåäóåò ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà äëÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ïåðâîãî ðîäà:

¯+∞ Z+∞ ¯ . f (x) dx = F (+∞) − F (a) = F (x) ¯¯ a

a

2. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû (îïðåäåëåíèÿ è âû÷èñëåíèå)

55

Ïðèìåð 2.3 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë Z+∞

dx . x2 + 2x + 5

(2.6)

−∞

Ðåøåíèå. Z+∞

Z+∞

dx = 2 x + 2x + 5

−∞

−∞

¯+∞ 1 ³π π ´ π dx 1 x + 1 ¯¯ = = arctg + = . (x + 1)2 + 22 2 2 ¯−∞ 2 2 2 2

Ïðèìåð 2.4 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë Z+∞

dx . x(1 + x2 )

(2.7)

1

Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà íàéäåì êàêóþ-íèáóäü ïåðâîîáðàçíóþ ôóíêöèè äëÿ f (x) =

1 íà ïîëóïðÿìîé [1, +∞) . Òàê êàê x(1 + x2 ) 1 1 x = − , 2 x(1 + x ) x 1 + x2

òî Z

dx = x(1 + x2 )

Z

dx − x

Z

x dx 1 1 x2 2 = ln |x|− ln(1+x )+C = ln +C. 1 + x2 2 2 1 + x2

Òàêèì îáðàçîì, îäíîé èç ïåðâîîáðàçíûõ ôóíêöèè f (x) ÿâëÿåòñÿ ôóíê1 x2 öèÿ F (x) = ln . Íàéäåì ïðåäåë (åñëè îí ñóùåñòâóåò) F (x) ïðè 2 1 + x2 x → +∞. µ ¶ 1 x2 x2 1 1 lim F (x) = lim ln = ln lim = ln 1 = 0. 2 2 x→+∞ x→+∞ 2 x→+∞ 1 + x 1+x 2 2 Ñëåäîâàòåëüíî, F (+∞) = 0, à ïîñêîëüêó F (1) = ôîðìóëå Íüþòîíà-Ëåéáíèöà

Z+∞ 1

1 1 1 ln = − ln 2, òî ïî 2 2 2

dx 1 = F (+∞) − F (1) = ln 2. 2 x(1 + x ) 2

56

Îãëàâëåíèå

Çàìåíà ïåðåìåííûõ Òåîðåìà 2.1 Ïóñòü âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) ôóíêöèÿ ϕ : [α, +∞) −→ [a, +∞) âîçðàñòàþùàÿ è íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìàÿ íà ïîëóïðÿìîé [α, +∞);

2) ϕ(α) = a, lim ϕ(t) = +∞ ; t→+∞

3) ôóíêöèÿ f : [a, +∞) −→ R íåïðåðûâíà. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ èç ñõîäèìîñòè îäíîãî èç ñëåäóþùèõ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ:

Z+∞ Z+∞ ¡ ¢ f (x) dx è f ϕ(t) ϕ0 (t) dt a

(2.8)

α

âûòåêàåò ñõîäèìîñòü äðóãîãî è èõ ðàâåíñòâî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ρ > α. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ϕ âîçðàñòàåò è íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [α, ρ], ýòîìó ñåãìåíòó ñîîòâåòñòâóåò ñåãìåíò [a, R] òàêîé, ÷òî ïðè èçìåíåíèè àðãóìåíòà ôóíêöèè ϕ íà ñåãìåíòå [α, ρ] åå çíà÷åíèÿ çàïîëíÿþò ñåãìåíò [a, R], ïðè÷åì ϕ(α) = a è

ϕ(ρ) = R. Òàêèì îáðàçîì, âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 1.10 î çàìåíå ïåðåìåííîé ïî çíàêîì îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

ZR

Zρ f (x) dx =

a

¡ ¢ f ϕ(t) ϕ0 (t) dt.

(2.9)

α

Â ñèëó âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè ϕ, R −→ +∞ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

ρ −→ +∞. Ïîýòîìó èç ôîðìóëû (2.9) ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ äîêàçûâàåìîé òåîðåìû.

Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì Òåîðåìà 2.2 Ïóñòü ôóíêöèè u è v íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìû íà ïîëóïðÿìîé [a, +∞) è ïóñòü ñóùåñòâóåò ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå

lim u(x)v(x) = A.

x→+∞

2. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû (îïðåäåëåíèÿ è âû÷èñëåíèå)

57

Òîãäà ñõîäèìîñòü îäíîãî èç èíòåãðàëîâ

Z+∞ u(x)v 0 (x) dx

è

a

Z+∞ u0 (x)v(x) dx

(2.10)

a

âëå÷åò ñõîäèìîñòü äðóãîãî è ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà

Z+∞ Z+∞ 0 u(x)v (x) dx = A − u(a)v(a) − u0 (x)v(x) dx. a

(2.11)

a

Ôîðìóëà (2.11) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ñåãìåíò [a, R]. Íà ýòîì ñåãìåíòå ôóíêöèè u è v óäîâëåòâîðÿþò âñåì óñëîâèÿì òåîðåìû 1.11. Ïîýòîìó

ZR

¯R ZR ¯ u(x)v 0 (x) dx = u(x)v(x) ¯¯ − u0 (x)v(x) dx. a

a

(2.12)

a

Ïîñêîëüêó ïðè R −→ +∞ ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë ïåðâîãî ñëàãàåìîãî ïðàâîé ÷àñòè (2.12), òî ïðåäåë âñåé ïðàâîé ÷àñòè (2.12) áóäåò ñóùåñòâîâàòü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà áóäåò ñóùåñòâîâàòü ïðåäåë ëåâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà, ÷òî îçíà÷àåì îäíîâðåìåííóþ ñõîäèìîñòü èëè ðàñõîäèìîñòü èíòåãðàëîâ (2.10). Â ñëó÷àå èõ ñõîäèìîñòè èç (2.12), ïóòåì ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî (2.11).

Ïðèìåð 2.5 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë Z+∞ 1

x ln x dx. (1 + x2 )2

Ðåøåíèå. Áóäåì èíòåãðèðîâàòü ýòîò èíòåãðàë ïî ÷àñòÿì. Ïîëîæèì u = ln x, dv =

x dx dx 1 . Òîãäà íàõîäèì du = èv=− . Ïîýòîìó 2 x 2(1 + x2 ) (1 + x2 )

Z+∞ 1

¯+∞ Z+∞ ¯ 1 x ln x ln x dx ¯ + . 2 dx = − ¯ 2 2 2(1 + x ) 1 2 x(1 + x2 ) (1 + x )

(2.13)

1

Ââåäåì îáîçíà÷åíèå: Φ(x) = òàëÿ, âû÷èñëÿåì

ln x . Ïðèìåíÿÿ âòîðîå ïðàâèëî Ëîïè2(1 + x2 )

ln x 1 = lim = 0. 2 x→+∞ 2(1 + x ) x→+∞ 4x2

lim Φ(x) = lim

x→+∞

58

Îãëàâëåíèå

À òàê êàê Φ(1) = 0, òî ó÷èòûâàÿ ðåçóëüòàò ïðèìåðà 2.4, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì

Z+∞ 1

x ln x 1 ln 2. 2 dx = 2 4 (1 + x )

2.2 Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû âòîðîãî ðîäà Îïðåäåëåíèå 2.2 Ïóñòü íà ïîëóèíòåðâàëå [a, b) çàäàíà ôóíêöèÿ f . Òî÷êà x = b íàçûâàåòñÿ îñîáîé òî÷êîé ôóíêöèè f , åñëè ôóíêöèÿ f íå îãðàíè÷åíà íà ïîëóèíòåðâàëå [a, b), íî îãðàíè÷åíà íà ëþáîì ñåãìåíòå

[a, b − α] ⊂ [a, b). Åñëè, êðîìå òîãî, ôóíêöèÿ f ∈ R [a, b − α] ïðè ëþáîì 0 < α ≤ b − a, òî íà ïîëóèíòåðâàëå (0, b − a] îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ

Zb−α F (α) := f (x) dx. a

Îïðåäåëåíèå 2.3 Åñëè ñóùåñòâóåò (êîíå÷íûé) ïðåäåë Zb−α lim f (x) dx,

α→+0

(2.14)

a

òî åãî íàçûâàþò íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì âòîðîãî ðîäà è îáîçíà÷àþò

Zb f (x) dx.

(2.15)

a

Ñèìâîë (2.15) òàêæå íàçûâàþò íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì âòîðîãî ðîäà. Ïðè÷åì, åñëè ïðåäåë (2.14) ñóùåñòâóåò, òî íåñîáñòâåííûé èíòå-

ãðàë íàçûâàþò ñõîäÿùèìñÿ , â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ðàñõîäÿùèìñÿ.

Zb

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà

f (x) dx, åñëè ôóíêöèÿ f íåîãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = a. a

Åñëè æå ôóíêöèÿ f íåîãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = c a < c < b,

2. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû (îïðåäåëåíèÿ è âû÷èñëåíèå)

Zc òî ñëåäóåò ðàññìîòðåòü îòäåëüíî äâà èíòåãðàëà

Zb åñëè êàæäûé èç íèõ ñõîäèòñÿ, òî ñõîäèòñÿ è

59

Zb f (x) dx è

a

f (x) dx è c

f (x) dx. a

Ïðèìåð 2.6 Îïðåäåëèòü ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà p ñõîäèòñÿ èíòåãðàë

Zb

dx . (b − x)p

(2.16)

a

Ðåøåíèå. Ýòîò èíòåãðàë ÿâëÿåòñÿ íåñîáñòâåííûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà p > 0. Î÷åâèäíî, ÷òî òî÷êà x = b îñîáàÿ òî÷êà ïîäûíòåãðàëüíîé 1 ôóíêöèè f (x) = . À òàê êàê ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà ïîëóèí(b − x)p òåðâàëå [0, b), îíà èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì ñåãìåíòå [a, b − α] è

Zb−α a

 (b − x)1−p    −  1−p

¯b−α 1−p ¯ − α1−p ¯ = (b − a) ¯ 1−p

dx a = ¯b−α (b − x)p  ¯ b−a   − ln (b − x) ¯¯ = ln α a Zb−α

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî lim

α→+0

ïðè

p 6= 1,

ïðè

p = 1.

dx (b − a)1−p ñóùåñòâóåò è ðàâåí (b − x)p 1−p

a

ïðè p < 1 è íå ñóùåñòâóåò ïðè p ≥ 1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûé íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ïðè p < 1 ñõîäèòñÿ, à ïðè p ≥ 1 ðàñõîäèòñÿ.

2.3 Ñâÿçü ìåæäó íåñîáñòâåííûìè èíòåãðàëàìè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà Ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ïîäûíòåãðàëüíûå ôóíêöèè, ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííîé, ìîæíî îò íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ îäíîãî ðîäà ïåðåõîäèòü ê íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëàì äðóãîãî ðîäà. Íàïðèìåð, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå

60

Îãëàâëåíèå

Ïðåäëîæåíèå 2.1 Ïóñòü ôóíêöèÿ f : [a, b) −→ R íåïðåðûâíà íà ïîëóñåãìåíòå [a, b) è b îñîáàÿ òî÷êà ýòîé ôóíêöèè. Òîãäà èç ñõîäèìîñòè îäíîãî èç èíòåãðàëîâ

Zb f (x) dx

è

a

¶ Z+∞ µ 1 1 f b− dt t t2 1 b−a

ñëåäóåò ñõîäèìîñòü äðóãîãî è èõ ðàâåíñòâî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå α ∈ (0, b − a]. Â èíòåãðàëå

Zb−α 1 f (x) dx ïðîèçâåäåì çàìåíó ïåðåìåííîé, ïîëàãàÿ x = b − . Òîãäà t a

dt , ïåðåìåííàÿ x ïðîáåãàåò ñåãìåíò [a, b − α] òîãäà è òîëüêî òît2 · ¸ 1 1 ãäà, êîãäà ïåðåìåííàÿ t ïðîáåãàåò ñåãìåíò , , ïðè÷åì òî÷êà a b−a α 1 1 ïåðåõîäèò â òî÷êó , à òî÷êà (b − α) â òî÷êó . Ñëåäîâàòåëüíî, ïî b−a α òåîðåìå î çàìåíå ïåðåìåííîé â îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå (òåîðåìà 1.10), dx =

èìååì

1

¶ Zα µ Zb−α 1 1 f b− dt. f (x) dx = t t2 a

1 b−a

Ýòî ðàâåíñòâî ïîêàçûâàåò, ÷òî èç ñóùåñòâîâàíèÿ îäíîãî èç ïðåäåëîâ

Zb−α lim f (x) dx è

α→+0

a

1

Zα lim

α→+0

µ ¶ 1 1 f b− dt t t2

1 b−a

ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå è äðóãîãî è èõ ðàâåíñòâî, ÷åì è çàâåðøàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ (2.1).

Ïðèìåð 2.7 Ïðåîáðàçîâàòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà Z2 0

dx √ (3 − x) 2 − x

â íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà.

2. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû (îïðåäåëåíèÿ è âû÷èñëåíèå)

61

Ðåøåíèå. Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà ïîëóñåãìåíòå [0, 2) è íåîãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = 2, òî åñòü x = 2 åå îñîáàÿ òî÷êà. Ïîýòîìó

Z2 0

dx √ = lim (3 − x) 2 − x α→+0 1 α

Z = lim

α→+0 1 2

dt

2−α Z

= 0

dx √ = (3 − x) 2 − x

Zα

lim ¡ ¢ q 1 = α→+0 1 2 t 1+ t 1 t 2

dt √ = (t + 1) t

Z+∞ 1 2

dt √ . (t + 1) t

62

Îãëàâëåíèå

3 Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà 3.1 Äëèíà äóãè êðèâîé Ìíîãèå âûäàþùèåñÿ ó÷åíûå çàíèìàëèñü èçó÷åíèåì êðèâûõ. Ìíîãèå ãîäû æèçíè îíè ïîñâÿòèëè ðåøåíèþ çàäà÷, êîòîðûå ñîâðåìåííûå ñòóäåíòû, ïðèìåíÿÿ èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå, ðåøàþò òåïåðü íà ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèÿõ. Íàïðèìåð, èçó÷åíèå öèêëîèäû ñâÿçàíî ñ èìåíàìè Ãàëèëåÿ, Òîððè÷åëëè, Âèâèàíè. Â ðàçëè÷íûõ ðàçäåëàõ ìàòåìàòèêè òåðìèí êðèâàÿ, àáñòðàãèðóþùèé íàøå îáûäåííîå ïðåäñòàâëåíèå î êðèâîé ëèíèè, îïðåäåëÿåòñÿ ïî ðàçíîìó, â çàâèñèìîñòè îò öåëåé è ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ. Â ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå ïîä êðèâîé ïîäðàçóìåâàþò ëþáîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå ñåãìåíòà (èëè ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ýòîãî îòîáðàæåíèÿ) â ïðîñòðàíñòâî Rn .

Ïëîñêàÿ êðèâàÿ Îäíèì èç ñïîñîáîâ çàäàíèÿ êðèâîé ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèé.

Îïðåäåëåíèå 3.1 Ïóñòü ôóíêöèè ϕ è ψ ∈ C [α, β]. Êðèâîé (ïëîñêîé êðèâîé) áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè, êîîðäèíàòû êîòîðûõ çàäàþòñÿ óðàâíåíèÿìè

x = ϕ(t),

y = ψ(t),

t ∈ [α, β] .

(3.1)

Ïðè ýòîì òî÷êó A (ϕ(α), ψ(α)) íàçîâåì íà÷àëîì êðèâîé, à òî÷êó

B (ϕ(β), ψ(β)) êîíöîì. Ïåðåìåííóþ t íàçûâàþò ïàðàìåòðîì , à óðàâíåíèÿ (3.1) ïàðàìåò-

ðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè êðèâîé . Åñëè ïàðàìåòð t èíòåðïðåòèðîâàòü êàê âðåìÿ, òî êðèâóþ, çàäàííóþ óðàâíåíèÿìè (3.1), ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òðàåêòîðèþ (ñëåä) äâèæåíèÿ òî÷êè íà ïëîñêîñòè. Ýòî ñîîáðàæåíèå äåëàåò ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå êðèâîé âïîëíå åñòåñòâåííûì.

3. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

63

Îòìåòèì, ÷òî îäíà è òà æå êðèâàÿ ìîæåò áûòü çàäàíà (ïàðàìåòðèçîâàíà) áåñ÷èñëåííûì ìíîæåñòâîì ñïîñîáîâ ïóòåì ïðåäñòàâëåíèÿ ïàðàìåòðà t â âèäå íåïðåðûâíîé ñòðîãî ìîíîòîííîé ôóíêöèè íåêîòîðîãî äðóãîãî ïàðàìåòðà. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî íàøå ïðåæíåå ïðåäñòàâëåíèå î êðèâîé êàê ãðàôèêå íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f : [a, b] −→ R ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì îïðåäåëåíèÿ 3.1. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëàãàÿ x = t, y = f (t), ïîëó÷àåì ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè f .

Îïðåäåëåíèå 3.2 Êðèâàÿ L, îïðåäåëÿåìàÿ óðàâíåíèÿìè (3.1), íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé, åñëè èç òîãî, ÷òî t1 6= t2 , (t1 ,t2 ∈ [α, β]) ñëåäóåò, ÷òî

(ϕ(t1 ), ψ(t1 )) 6= (ϕ(t2 ), ψ(t2 )). Òàêèì îáðàçîì, êàæäîé òî÷êå ïðîñòîé êðèâîé îòâå÷àåò òîëüêî îäíî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà t èç ñåãìåíòà [α, β]. Â äàëüíåéøåì ìû áóäåì èçó÷àòü òîëüêî òàêèå êðèâûå, îïðåäåëÿåìûå óðàâíåíèÿìè (3.1), äëÿ êàæäîé èç êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå ñåãìåíòà [α, β] òî÷êàìè α = t0 < t1 < . . . < tn = β íà ÷àñòè÷íûå ñåãìåíòû [ti−1 , ti ], i = 1, 2, . . . , n, òàêèå ÷òî äëÿ ëþáîãî i êðèâàÿ

x = ϕ(t),

y = ψ(t),

t ∈ [ti−1 , ti ]

ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé. Ïðèìåðû òàêèõ êðèâûõ ïðèâåäåíû íà ðèñóíêå 10.

Îïðåäåëåíèå 3.3 Êðèâàÿ L íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé çàìêíóòîé êðèâîé, åñëè åå êîíåö ñîâïàäàåò ñ åå íà÷àëîì, òî åñòü ϕ(α) = ϕ(β), ψ(α) =

ψ(β), íî äëÿ ëþáîãî γ ∈ (α, β) îáå êðèâûå x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ [α, γ] , x = ϕ(t), y = ψ(t),

t ∈ [γ, β]

ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè. Íà ðèñóíêå 10 èçîáðàæåíû êðèâûå: (a) ïðîñòàÿ çàìêíóòàÿ, (b) çàìêíóòàÿ, íî íå ïðîñòàÿ, (c) íå çàìêíóòàÿ è íå ïðîñòàÿ.

64

Îãëàâëåíèå

A (a)

(b)

(c)

B

Ðèñ. 10: Ïðèìåðû êðèâûõ.

y

6

M6 ©r © ¢ ©© ¢ aa M © 5 aa ¢ r © a© ¢ ¢ r¢

M4 Ã ra ÃÃ M3Ã Ã aa Ã r r M2 A A A Ar

M1

M7 rM

0

O

-

x

Ðèñ. 11: Ëîìàííàÿ, âïèñàííàÿ â ïðîñòóþ êðèâóþ (n = 7).

Ïóñòü L ïðîñòàÿ êðèâàÿ, îïðåäåëÿåìàÿ óðàâíåíèÿìè (3.1). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå T ñåãìåíòà [α, β] òî÷êàìè α = t0 < t1 < . . . <

tn = β . Ïóñòü M0 ,M1 ,. . ., Mn òî÷êè êðèâîé L, îòâå÷àþùèå çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà t0 , t1 , . . . , tn . Ñîåäèíèì ïîñëåäîâàòåëüíî òî÷êè M0 ,M1 ,. . ., Mn îòðåçêàìè. Ïîëó÷åííóþ ëîìàííóþ M0 M1 . . . Mn íàçîâåì ëîìàííîé, âïè-

ñàííîé â êðèâóþ L è îòâå÷àþùåé äàííîìó ðàçáèåíèþ T ñåãìåíòà [α, β] (ðèñ. 11). Î÷åâèäíî, ÷òî äëèíà `i (T ) çâåíà Mi−1 Mi ýòîé ëîìàíîé ðàâíà

3. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

q `i (T ) = =

(xi − xi−1 )2 + (yi − yi−1 )2 =

q¡

ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 )

¢2

¡

¢2 + ψ(ti ) − ψ(ti−1 ) .

65

(3.2)

Ïîýòîìó äëèíà ` (T ) âñåé ëîìàííîé, âïèñàííîé â êðèâóþ L è îòâå÷àþùåé äàííîìó ðàçáèåíèþ T , íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

` (T ) =

n X

n q X ¢2 ¡ ¢2 ¡ `i = ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ) + ψ(ti ) − ψ(ti−1 ) .

i=1

(3.3)

i=1

Îïðåäåëåíèå 3.4 Êðèâàÿ L íàçûâàåòñÿ ñïðÿìëÿåìîé, åñëè ìíîæå-

© ª ñòâî `(T ) äëèí âïèñàííûõ â íåå ëîìàííûõ, îòâå÷àþùèõ âñåâîçìîæ-

íûì ðàçáèåíèÿì T ñåãìåíòà [α, β], îãðàíè÷åíî. Ïðè ýòîì òî÷íàÿ âåðõ© ª íÿÿ ãðàíü ` ìíîæåñòâà `(T ) , òî åñòü ÷èñëî

© ª ` = sup `(T ) ,

(3.4)

íàçûâàåòñÿ äëèíîé äóãè êðèâîé L.

Ëåììà 3.1 Ïóñòü ïðîñòàÿ êðèâàÿ L, îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè (3.1), T è T ∗ ïðîèçâîëüíûå ðàçáèåíèÿ ñåãìåíòà [α, β], `(T ) è `(T ∗ ) äëèíû ëîìàíûõ, âïèñàííûõ â êðèâóþ L è îòâå÷àþùèõ ðàçáèåíèÿì T è T ∗ ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè ðàçáèåíèå T ∗ ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ðàçáèåíèÿ

T , òî `(T ) ≤ `(T ∗ ).

Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà ðàçáèåíèå T ∗ ïîëó÷åíî èç ðàçáèåíèÿ T äîáàâëåíèåì ëèøü îäíîãî íîâîãî óçëà t∗ . Ïóñòü çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà t∗ íà êðèâîé L ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà

C , ðàñïîëîæåííàÿ ìåæäó òî÷êàìè Mk−1 è Mk . Ëîìàííàÿ, îòâå÷àþùàÿ ðàçáèåíèþ T ∗ , îòëè÷àåòñÿ îò ëîìàííîé, îòâå÷àþùåé ðàçáèåíèþ T , ëèøü òåì, ÷òî îäíî çâåíî Mk−1 Mk çàìåíåíî äâóìÿ çâåíüÿìè Mk−1 C è CMk . Òàê êàê äëèíà ñòîðîíû Mk−1 Mk òðåóãîëüíèêà Mk−1 CMk íå ïðåâîñõîäèò ñóììû äëèí äâóõ äðóãèõ åãî ñòîðîí Mk−1 C è CMk , òî `(T ) ≤ `(T ∗ ).

66

Îãëàâëåíèå

Òåîðåìà 3.1 Åñëè ôóíêöèè ϕ è ψ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû íà ñåãìåíòå [α, β], òî êðèâàÿ L, îïðåäåëÿåìàÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè (3.1), ñïðÿìëÿåìà è äëèíà ` åå äóãè ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå

Zβ q

¡

`=

¢2 ¡ ¢2 ϕ0 (t) + ψ 0 (t) dt =

α

Zβ q (x0t )2 + (yt0 )2 dt .

(3.5)

α

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî êðèâàÿ L ñïðÿìëÿåìà. Äëÿ ýòîãî ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå (3.3) äëèíû `(T ) ëîìàíîé, âïèñàííîé â êðèâóþ L è îòâå÷àþùåé ïðîèçâîëüíîìó ðàçáèåíèþ T ñåãìåíòà [α, β]. Èç óñëîâèÿ òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîé èç ôóíêöèé ϕ è ψ íà êàæäîì ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå [ti−1 , ti ] âûïîëíÿþòñÿ âñå óñëîâèÿ òåîðåìû Ëàãðàíæà. Ïîýòîìó, äëÿ êàæäîãî i = 1, 2, . . . , n íàéäóòñÿ òî÷êè τi , τi∗ ∈ (ti−1 , ti ) òàêèå, ÷òî

ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ) = ϕ0 (τi )∆ti ,

ψ(ti ) − ψ(ti−1 ) = ψ 0 (τi∗ )∆ti .

Ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìóëà (3.3) ïðèíèìàåò âèä

` (T ) =

n q X ¡

¢2 ¡ ¢2 ϕ0 (τi ) + ψ 0 (τi∗ ) ∆ti .

(3.6)

i=1

Ïî óñëîâèþ ôóíêöèè ϕ è ψ èìåþò íà ñåãìåíòå [α, β] íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòè ïðîèçâîäíûå îãðàíè÷åíû. Ïîýòîìó íàéäåòñÿ ÷èñëî M > 0 òàêîå, ÷òî

|ϕ0 (t)| ≤ M,

|ψ 0 (t)| ≤ M,

t ∈ [α, β] .

Òåïåðü, èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå (3.6), âûâîäèì îöåíêó

` (T ) ≤

n X √ i=1

n √ X √ M 2 + M 2 ∆ti = M 2 ∆ti = M 2 (β − α), i=1

êîòîðàÿ ñïðàâåäëèâà ïðè ëþáîì ðàçáèåíèþ T . Ïî îïðåäåëåíèþ 3.4 êðèâàÿ L ñïðÿìëÿåìà. Òåïåðü ïðèñòóïèì ê äîêàçàòåëüñòâó ôîðìóëû (3.5).

3. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

67

Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî èíòåãðàë, ñòîÿùèé â ôîðìóëå (3.5), ñóùåñòâóåò. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ôóíêöèè ϕ è ψ èìåþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå íà ñåãìåíòå [α, β], ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà, à ñëåäîâàòåëüíî è èíòåãðèðóåìà íà ýòîì ñåãìåíòå. Ïóñòü I îáîçíà÷àåò óïîìÿíóòûé èíòåãðàë, òî åñòü

I :=

Zβ q ¡

¢2 ¡ ¢2 ϕ0 (t) + ψ 0 (t) dt .

(3.7)

α

Ñëåäîâàòåëüíî íóæíî äîêàçàòü, ÷òî ` = I . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Èç îïðåäåëåíèÿ ` ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå T ∗ ñåãìåíòà [α, β] ïðè êîòîðîì ñïðàâåäëèâà îöåíêà

ε 0 ≤ ` − ` (T ∗ ) < . 3

(3.8)

Ïî óñëîâèþ òåîðåìû ïðîèçâîäíàÿ ψ 0 ôóíêöèè ψ íåïðåðûâíà, ïîýòîìó ôóíêöèÿ ψ 0 èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [α, β]. Íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà è êðèòåðèÿ èíòåãðèðóåìîñòè íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ Te ñåãìåíòà [α, β] ñ

e < δ , ïðè ëþáîì âûáîðå òî÷åê τei íà ÷àñòè÷íûõ ïàðàìåòðîì ðàçáèåíèÿ ∆ £ ¤ ñåãìåíòàõ e ti−1 , e ti , âûïîëíÿþòñÿ îöåíêè ¯ © ¯ ε ª ¯I e ti , τei − I ¯ < , 3

ε S(Te) − s(Te) < , (3.9) 3 q¡ © ª ¢2 ¡ ¢2 e ãäå I ti , τei ëþáàÿ èíòåãðàëüíàÿ ñóììà ôóíêöèè ϕ0 (t) + ψ 0 (t) , ñîîòâåòñòâóþùàÿ äàííîìó ðàçáèåíèþ Te, à S(Te) è s(Te) ñóììû Äàðáó ôóíêöèè ψ 0 äëÿ ýòîãî æå ðàçáèåíèÿ Te ñåãìåíòà [α, β]. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå Te ñåãìåíòà [α, β] ñ ïàðàìåòðîì

e < δ è ïîñòðîèì íîâîå ðàçáèåíèå T ñåãìåíòà [α, β], äîáàâèâ ðàçáèåíèÿ ∆ ê óçëàì ðàçáèåíèÿ Te âñå óçëû ðàçáèåíèÿ T ∗ . Ðàçáèåíèå T ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ðàçáèåíèÿ T ∗ , ïîýòîìó ïî ëåììå 3.1 èìååì ` (T ∗ ) ≤ ` (T ). Îòñþäà è èç (3.8) ñëåäóåò îöåíêà

ε 0 ≤ ` − ` (T ) < . 3

(3.10)

68

Îãëàâëåíèå Ïóñòü I {ti , τi } èíòåãðàëüíàÿ ñóììà ôóíêöèè

q¡

¢2 ¡ ¢2 ϕ0 (t) + ψ 0 (t) ,

ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàçáèåíèþ T ñåãìåíòà [α, β] ñ òåìè æå òî÷êàìè τi , ÷òî è â ôîðìóëå (3.6), òî åñòü

I {ti , τi } =

n q X ¡

¢2 ¡ ¢2 ϕ0 (τi ) + ψ 0 (τi ) ∆ti ,

(3.11)

i=1

à S(T ) è s(T ) ñóììû Äàðáó ôóíêöèè ψ 0 ïîñòðîåííûå äëÿ ðàçáèåíèÿ

T ñåãìåíòà [α, β]. À ïîñêîëüêó ðàçáèåíèå T ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ðàçáèåíèÿ Te, òî ïàðàìåòð ∆ ðàçáèåíèÿ T óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ∆ < δ . Ââèäó ýòîãî, îöåíêè (3.9) âëåêóò ñëåäóþùèå îöåíêè ¯ ¯ ¯I {ti , τi } − I ¯ < ε , 3 ε S(T ) − s(T ) < . 3

(3.12) (3.13)

Ðàçíîñòü ` − I ïðåäñòàâèì â âèäå

¡ ¢ ¡ ¢ ` − I = ` − ` (T ) + ` (T ) − I {ti , τi } + (I {ti , τi } − I) è îöåíèì åå àáñîëþòíóþ âåëè÷èíó. Ïðèìåíÿÿ îöåíêè (3.10) è (3.12), ïîëó÷àåì

¯ 2ε ¯¯ + ` (T ) − I {ti , τi }¯ . (3.14) 3 ¯ ¯ Òåïåðü îöåíèì ¯` (T )−I {ti , τi }¯. Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèÿ (3.6), (3.11) |` − I| <

è îöåíêó (3.13), âûâîäèì ¯ ¯ ¯` (T ) − I {ti , τi }¯ = ¯ q ¯ n n q¡ ¯ ¯P ¡ ¢2 ¡ ¢ ¢2 ¡ ¢2 P ∗ 2 0 0 0 0 ¯ = ¯ ϕ (τi ) + ψ (τi ) ∆ti − ϕ (τi ) + ψ (τi ) ∆ti ¯¯ ≤ i=1 i=1 ¯ ¯ q¡ n ¯q¡ ¢2 ¡ ¢ ¢2 ¡ ¢2 ¯ P 2 ∗ 0 0 0 0 ¯ ϕ (τi ) + ψ (τ ) − ≤ ϕ (τi ) + ψ (τi ) ¯¯ ∆ti = i ¯ i=1 ¯¡¡ ¢2 ¡ ¢2 ¢¯ ¢2 ¡ 0 ∗ ¢2 ¢ ¡¡ 0 n ¯ ϕ0 (τ ) P − ϕ (τi ) + ψ 0 (τi ) ¯ + ψ (τi ) i q¡ q¡ = ¢2 ¡ ¢ ¢2 ¡ ¢2 ∆ti ≤ i=1 ∗ 2 0 0 0 0 ϕ (τ ) + ψ (τi ) + ϕ (τi ) + ψ (τi ) ¯ ¯¯ 0 ∗ ¯ 0 ∗ i 0 0 ¯ ¯ ¯ n P ψ (τi ) − ψ (τi ) ψ (τi ) + ψ (τi )¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ∆ti . ¯ψ 0 (τ ∗ )¯ + ¯ψ 0 (τi )¯ i=1 i ¯ ¯ 0 ∗ ¯ψ (τi ) + ψ 0 (τi )¯ ¯ Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ¯ 0 ∗ ¯ ¯ 0 ¯ψ (τ )¯ + ¯ψ (τi )¯ ≤ 1, ïîëó÷àåì i

¯ ¯ ¯` (T ) − I {ti , τi }¯ ≤

n X

¯ ¯ 0 ∗ ¯ψ (τi ) − ψ 0 (τi )¯ ∆ti ≤ S(T ) − s(T ) < ε . 3 i=1

(3.15)

3. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

69

Èç (3.14) è (3.15) ñëåäóåò îöåíêà |` − I| < ε. Â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ` = I . Òåîðåìà äîêàçàíà. Âûðàæåíèå

q q¡ ¢2 ¡ ¢2 0 0 d` = ϕ (t) + ψ (t) dt = (x0t )2 + (yt0 )2 dt

(3.16)

íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì äóãè. Ñ ó÷åòîì ýòîãî îáîçíà÷åíèÿ, ôîðìóëà (3.5) äëèíû äóãè êðèâîé ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå

Zβ `=

(3.17)

d` . α

Çàìå÷àíèå 3.1 Åñëè êðèâàÿ L ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé íà ñåãìåíòå [a, b] ôóíêöèè f , òî êðèâàÿ L ñïðÿìëÿåìà è äëèíà ` åå äóãè ìîæåò áûòü íàéäåíà ïî ôîðìóëå

Zb q d` = 1 + (f 0 (x))2 dx .

(3.18)

a

Äåéñòâèòåëüíî, êàê óæå îòìå÷àëîñü, ãðàôèê ôóíêöèè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êðèâóþ, îïðåäåëÿåìóþ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè

x = t,

y = f (t),

t ∈ [a, b] .

Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè òàêîì çàäàíèè êðèâîé L âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 3.1 âûïîëíÿþòñÿ.

Çàìå÷àíèå 3.2 Åñëè íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ r íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà ñåãìåíòå [θ1 , θ2 ], òî êðèâàÿ L îïðåäåëÿåìàÿ óðàâíåíèåì

r = r(ϕ),

ϕ ∈ [θ1 , θ2 ] ,

çàäàííûì â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, ñïðÿìëÿåìà è äëèíà ` åå äóãè ìîæåò áûòü íàéäåíà ïî ôîðìóëå

Zθ2 q r2 (ϕ) + (r0 (ϕ))2 dϕ .

d` = θ1

(3.19)

70

Îãëàâëåíèå

y

6

2a

πa

O

2πa

4πa

-

x

Ðèñ. 12: Öèêëîèäà. Äåéñòâèòåëüíî, âûáèðàÿ â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà ïåðåìåííóþ ϕ è ïîëàãàÿ

x = r(ϕ) cos ϕ,

y = r(ϕ) sin ϕ, ïîëó÷àåì (3.19).

Ïðèìåð 3.1 Âû÷èñëèòü äëèíó îäíîé àðêè öèêëîèäû (ðèñ. 12) x = a(t − sin t),

y = a(1 − cos t).

Ðåøåíèå. Âû÷èñëèì d`. Òàê êàê x0t = a(1 − cos t), yt0 = a sin t. Íàõîäèì ¡ ¢ t 2 2 (x0t ) + (yt0 ) = a2 (1 − cos t)2 + sin2 t = 2a2 (1 − cos t) = 4a2 sin2 . 2 t Ñëåäîâàòåëüíî, ó÷èòûâàÿ, ÷òî sin ≥ 0 ïðè 0 ≤ t ≤ 2π , èìååì d` = 2 t 2a sin dt. Ïîýòîìó 2 Z2π `= 0

¯2π t t ¯¯ 2a sin dt = −4a cos ¯ = 8a. 2 2 0

Ïðèìåð 3.2 Íàéòè äëèíó äóãè öåïíîé ëèíèè y = a ch A(0, a) äî òî÷êè B(a, a ch1) (ðèñ. 13).

x îò òî÷êè a

Ðåøåíèå. Äèôôåðåíöèàë äóãè íàõîäèì ïî ôîðìóëå (3.18): r

d` =

1 + sh2

x x dx = ch dx. a a

Òåïåðü âû÷èñëÿåì äëèíó äóãè

Za `=

Za d` =

0

0

¯a ¢ 1¡ x ¯¯ x e − e−1 . ch dx = a sh ¯ = a sh1 = a a 0 2

3. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

71

y6

a ch1

-

a

O

x

Ðèñ. 13: Öåïíàÿ ëèíèÿ

Ïðèìåð 3.3 Âû÷èñëèòü äëèíó äóãè êðèâîé L, îïðåäåëÿåìîé óðàâíåíèåì r = a sin4

ϕ (ðèñ. 14). 4

ϕ ÷åòíàÿ 4π ïåðèîäè÷åñêàÿ. Ñëåäîâàòåëüíî êðè4 âàÿ L ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ïîëÿðíîé îñè. Ïðè èçìåíåíèè ϕ îò 0

Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ sin4

äî 2π ôóíêöèÿ r âîçðàñòàåò îò 0 äî a, òî æå ïðîèñõîäèò è ïðè èçìåíåíèè ϕ îò 0 äî −2π . Ïîýòîìó ïðè èçìåíåíèè ϕ îò −2π äî 2π ïîëó÷àåòñÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 14. Ðàññìàòðèâàåìàÿ êðèâàÿ íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé, íî ñåãìåíò [−2π, 2π] ìîæíî ðàçáèòü íà ÷åòûðå ñåãìåíòà [−2π, −π] [−π, 0] [0, π] [π, 2π], íà êàæäîì èç êîòîðûõ êðèâàÿ L áóäåò ïðîñòîé. Ñëåäîâàòåëüíî äëèíà äóãè âñåé êðèâîé ðàâíà ñóììå äëèí äóã ñîñòàâëÿþùèõ åå ÷àñòåé, òî åñòü

Z−π −2π

−π

0

Z2π

Z2π

d`.

d` =

d` +

d` +

d` +

`=

Zπ

Z0

π

−2π

Íàéäåì äèôôåðåíöèàë d` ïî ôîðìóëå (3.19). Òàê êàê

³ ϕ ϕ ϕ´ ϕ 2 = a2 sin6 , r2 (ϕ) + (r0 (ϕ)) = a2 sin8 + sin6 · cos2 4 4 4 4 òî

d` =

q ϕ r2 (ϕ) + (r0 (ϕ))2 dϕ = a sin3 dϕ. 4

72

Îãëàâëåíèå

a

Ðèñ. 14: r = a sin4

-

r

ϕ 4

Ïîýòîìó

Z2π `=

Z2π d` =

−2π

ϕ a sin3 dϕ = 2a 4

−2π

Z2π = − 8a 0

Z2π sin3

ϕ dϕ = 4

0

µ ¶ ¯2π ³ ´ ³ ¯ ϕ´ ϕ 1 2 ϕ 3 ϕ ¯ = 16 a. 1 − cos d cos = −8a cos − cos 4 4 4 3 4 ¯0 3

Ïîíÿòèå ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé Ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâàÿ îïðåäåëÿåòñÿ â ïîëíîé àíàëîãèè ñ ïëîñêîé êðèâîé. Íàïðèìåð, ïðîñòîé ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé íàçûâàþò ìíîæåñòâî òî÷åê ïðîñòðàíñòâà, êîîðäèíàòû êîòîðûõ çàäàþòñÿ óðàâíåíèÿìè

x = ϕ(t),

y = ψ(t),

z = χ(t),

t ∈ [α, β] ,

(3.20)

ãäå ôóíêöèè ϕ, ψ è χ íåïðåðûâíû íà ñåãìåíòå [α, β], ïðè÷åì ðàçëè÷íûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà t ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûå òî÷êè óêàçàííîãî ìíîæåñòâà. Îòìåòèì, ÷òî âñÿ òåðìèíîëîãèÿ, ââåäåííàÿ äëÿ ïëîñêèõ êðèâûõ, åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïåðåíîñèòñÿ íà ïðîñòðàíñòâåííûå êðèâûå. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñïðÿìëÿåìîñòè ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé ôîðìóëèðóþòñÿ è äîêàçûâàþòñÿ ïîäîáíî ñëó÷àþ ïëîñêîé êðèâîé.

3. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

z

−a

73

6

a

O

-

y

a

x

Ðèñ. 15: Âèíòîâàÿ ëèíèÿ

Òåîðåìà 3.2 Åñëè ôóíêöèè ϕ, ψ è χ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû íà ñåãìåíòå [α, β], òî êðèâàÿ L, îïðåäåëÿåìàÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè (3.20), ñïðÿìëÿåìà è äëèíà ` åå äóãè ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå

¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢2 Rβ q¡ `= ϕ0 (t) + χ0 (t) + ψ 0 (t) dt = α Rβ q 0 2 = (xt ) + (yt0 )2 + (zt0 )2 dt .

(3.21)

α

Ïðèìåð 3.4 Âû÷èñëèòü äëèíó äóãè ÷àñòè âèíòîâîé ëèíèè (ðèñ. 15) x = a cos t,

y = a sin t,

z = bt,

0 ≤ t ≤ t0 .

Ðåøåíèå. Zt0 `=

d` = 0

Zt0 p

Zt0 √

0

0

a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 dt =

a2 + b2 dt =

√

a 2 + b2 t0 .

74

Îãëàâëåíèå

3.2 Ïëîùàäü ïëîñêîé ôèãóðû Ïëîùàäü ïðèíàäëåæèò ê íàèáîëåå èçâåñòíûì ìàòåìàòè÷åñêèì ïîíÿòèÿì. Ïðàêòè÷åñêîå çíàêîìñòâî ñ ïëîùàäÿìè ñäåëàëî ýòî ïîíÿòèå äëÿ íàñ åñòåñòâåííûì. Èç êóðñà ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêè èçâåñòíî ïîíÿòèå ïëîùàäè äëÿ ïðîñòûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð, íàïðèìåð, îãðàíè÷åííûõ îòðåçêàìè ïðÿìûõ. À ÷òî òàêîå ¾ïëîùàäü¿ ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé èíûìè ëèíèÿìè? Â ýëåìåíòàðíîé ãåîìåòðèè íå äàåòñÿ îïðåäåëåíèÿ ïëîùàäè òàêîé ôèãóðû. Òî÷íîå îïðåäåëåíèå ïëîùàäè ïðåäñòàâëÿåò çíà÷èòåëüíûå ëîãè÷åñêèå òðóäíîñòè. Äîëãîå âðåìÿ â ìàòåìàòèêå ãîñïîäñòâîâàëà òî÷êà çðåíèÿ, ÷òî ïëîùàäü ïåðâè÷íîå ïîíÿòèå, íå ïîäëåæàùåå îïðåäåëåíèþ. Íèêîìó è â ãîëîâó íå ïðèõîäèëî, ÷òî ïîíÿòèå ïëîùàäè íóæäàåòñÿ â ñïåöèàëüíîì îïðåäåëåíèè. Ìàòåìàòèêè íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ñòîëåòèé âû÷èñëÿëè ïëîùàäè ðàçëè÷íûõ ôèãóð. Î÷åâèäíî, ÷òî òàêèå âû÷èñëåíèÿ (ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà, òðåóãîëüíèêà, òðàïåöèè, êðóãà è ò. ä.) äîëæíû áûëè îïèðàòüñÿ íà íåêîòîðûå ïðèíöèïû, ñâîéñòâà ïëîùàäè, çàìåíÿþùèå îïðåäåëåíèå. Ïåðå÷èñëèì îñíîâíûå èç ýòèõ ñâîéñòâ. 1) Ïëîùàäü ôèãóðû íåîòðèöàòåëüíà. 2) Ïëîùàäü ôèãóðû, ñîñòàâëåííîé èç íåñêîëüêèõ ôèãóð áåç îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê, ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé ýòèõ ôèãóð. 3) Ðàâíûå ôèãóðû èìåþò ðàâíûå ïëîùàäè. 4) Ïëîùàäü åäèíè÷íîãî êâàäðàòà ðàâíà åäèíèöå. Ìåòîäû, ïîçâîëÿþùèå âû÷èñëÿòü ïëîùàäè ôèãóð íà îñíîâàíèè ýòèõ ñâîéñòâ, â ñâîèõ îñíîâíûõ ÷åðòàõ áûëè ðàçðàáîòàíû åùå â äðåâíîñòè. Ñíà÷àëà áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ îñíîâàíèÿ íà âûñîòó è ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè ïðîèçâîëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà äîñòàòî÷íî ðàçáèòü ìíîãîóãîëüíèê íà òðåóãîëüíèêè áåç îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê è ñëîæèòü ïëîùàäè ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ.

3. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

75

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ¾ïëîùàäè S(P )¿ ïðîèçâîëüíîé ôèãóðû P ðàññìàòðèâàëèñü ìíîãîóãîëüíèê QB , ñîäåðæàùèéñÿ â P , è ìíîãîóãîëüíèê QO , ñîäåðæàùèé P . Â ñèëó ìîíîòîííîñòè ïëîùàäè ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:

S (QB ) ≤ S (P ) ≤ S (QO ) . Òàêèì îáðàçîì, ïëîùàäè ìíîãîóãîëüíèêîâ QB è QO ñëóæàò ïðèáëèæåííûìè çíà÷åíèÿìè ¾ïëîùàäè¿ ôèãóðû P ñ íåäîñòàòêîì è ñ èçáûòêîì. Ïîãðåøíîñòü îáîèõ ïðèáëèæåíèé íå ïðåâûøàåò ðàçíîñòè QO − QB . Íî âñåãäà ëè ìîæíî ñäåëàòü ýòó ðàçíîñòü ñêîëü óãîäíî ìàëîé*? Ïðîñòîé ïðèìåð äàåò îòðèöàòåëüíûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ. Ïóñòü P ìíîæåñòâî òî÷åê êâàäðàòà E ñî ñòîðîíîé, ðàâíîé åäèíèöå, êîîðäèíàòû êîòîðûõ ðàöèîíàëüíû. Òàê êàê â ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè èç E èìåþòñÿ òî÷êè ìíîæåñòâà P , òî êàæäûé ìíîãîóãîëüíèê QO , ñîäåðæàùèé ìíîæåñòâî P , îáÿçàí ñîäåðæàòü è êâàäðàò E . Ñëåäîâàòåëüíî, S (QO ) ≥ 1. Íî ìíîæåñòâî P íå èìååò âíóòðåííèõ òî÷åê, ïîýòîìó

S (QB ) = 0 è QO − QB ≥ 1. Ïðèâåäåííûé ïðèìåð íàâîäèò íà ìûñëü, ÷òî ðàçóìíî îãðàíè÷èòü íåêîòîðûìè óñëîâèÿìè ìíîæåñòâî ôèãóð íà ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðûõ ìîæíî ââîäèòü ïîíÿòèå ïëîùàäè.

Îïðåäåëåíèå 3.5 Ïëîñêîé ôèãóðîé (èëè ïðîñòî ôèãóðîé) íàçûâàåòñÿ ÷àñòü ïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííàÿ ïðîñòîé çàìêíóòîé êðèâîé L. Êðèâóþ

L íàçûâàþò ãðàíèöåé ôèãóðû. Â ÷àñòíîñòè, åñëè L ïðîñòàÿ çàìêíóòàÿ ëîìàííàÿ, òî ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ìíîãîóãîëüíèêîì . Ïîíÿòèå ïëîùàäè ìíîãîóãîëüíèêà, ââåäåííîå â êóðñå ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêè, ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîíÿòèÿ êâàäðèðóåìîñòè (ñóùåñòâîâàíèÿ ïëîùàäè) ïëîñêîé ôèãóðû.

Îïðåäåëåíèå 3.6 Ãîâîðÿò, ÷òî ôèãóðà Q1 âïèñàíà â ôèãóðó Q2 èëè ôèãóðà Q2 îïèñàíà âîêðóã ôèãóðû Q1 , åñëè êàæäàÿ òî÷êà ôèãóðû Q1 è åå ãðàíèöû, ïðèíàäëåæèò ôèãóðå Q2 èëè åå ãðàíèöå.

76

Îãëàâëåíèå Ïóñòü {SB } ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî ïëîùàäåé ìíîãîóãîëüíèêîâ, âïè-

ñàííûõ â ïëîñêóþ ôèãóðó Q, à {SO } ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî ïëîùàäåé ìíîãîóãîëüíèêîâ, îïèñàííûõ âîêðóã ôèãóðû Q. ßñíî, ÷òî ìíîæåñòâî

{SB } îãðàíè÷åíî ñâåðõó (ïëîùàäüþ ëþáîãî ìíîãîóãîëüíèêà, îïèñàííîãî âîêðóã ôèãóðû Q), à ìíîæåñòâî {SO } îãðàíè÷åíî ñíèçó (íàïðèìåð, ÷èñëîì íóëü). Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò ÷èñëà

S = S {Q} = sup {SB } è S = S {Q} = inf {SO } .

Îïðåäåëåíèå 3.7 ×èñëà S è S íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî íèæíåé è âåðõíåé ïëîùàäÿìè ôèãóðû Q.

Ïðåäëîæåíèå 3.1 Äëÿ êàæäîé ïëîñêîé ôèãóðû ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî S ≤ S .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âîçìîæíî ïðîòèâíîå, òî åñòü, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé ïëîñêîé ôèãóðû âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî S > S . Òîãäà, ïîëîæèì ε =

S−S 2

> 0. Ïî îïðåäåëåíèÿì òî÷íûõ ãðàíåé íàéäóòñÿ

âïèñàííûé â ôèãóðó ìíîãîóãîëüíèê QB , è îïèñàííûé âîêðóã ôèãóðû ìíîãîóãîëüíèê QO , äëÿ ïëîùàäåé êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ îöåíêè

SB > S − ε,

SO < S + ε.

(3.22)

Íî èç âûáîðà ÷èñëà ε ñëåäóåò, ÷òî

S−ε=

S+S = S + ε. 2

Ïîýòîìó îöåíêè (3.22) âëåêóò SO < SB , ÷òî íåâîçìîæíî. Ïðåäëîæåíèå äîêàçàíî.

Îïðåäåëåíèå 3.8 Ïëîñêàÿ ôèãóðà Q íàçûâàåòñÿ êâàäðèðóåìîé, åñëè âåðõíÿÿ ïëîùàäü S , ýòîé ôèãóðû ñîâïàäàåò ñ åå íèæíåé ïëîùàäüþ S . Ïðè ýòîì èõ îáùåå çíà÷åíèå, òî åñòü ÷èñëî S = S = S , íàçûâàþò ïëîùàäüþ ôèãóðû Q.

3. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

77

Îòìåòåì, ÷òî ñóùåñòâóþò íåêâàäðèðóåìûå ïëîñêèå ôèãóðû (ñì., íàïðèìåð, [1], ñòð. 381).

Òåîðåìà 3.3 Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïëîñêàÿ ôèãóðà Q áûëà êâàäðèðóåìîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε ìîæíî áûëî óêàçàòü òàêèå îïèñàííûé âîêðóã ôèãóðû Q è âïèñàííûé â ôèãóðó Q ìíîãîóãîëüíèêè, ÷òîáû ðàçíîñòü èõ ïëîùàäåé SO − SB áûëà áû ìåíüøå ε, òî åñòü (3.23)

SO − SB < ε.

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ôèãóðà Q áûëà êâàäðèðóåìà, òî åñòü S = S . Èç îïðåäåëåíèÿ ÷èñåë S è S , êàê òî÷íûõ ãðàíåé ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíîæåñòâ, ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ìîæíî ïîñòðîèòü ìíîãîóãîëüíèê, âïèñàííûé â ôèãóðó Q ñ ïëîùàäüþ SB è ìíîãîóãîëüíèê, îïèñàííûé âîêðóã ôèãóðû Q ñ ïëîùàäüþ SO òàêèå, ÷òî

S − SB <

ε , 2

SO − S <

ε . 2

Ñêëàäûâàÿ ýòè íåðàâåíñòâà è ó÷èòûâàÿ, ÷òî S = S , ïîëó÷àåì îöåíêó (3.23).

Äîñòàòî÷íîñòü. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî óñëîâèþ, ñóùåñòâóþò ìíîãîóãîëüíèê, âïèñàííûé â ôèãóðó Q ñ ïëîùàäüþ SB è ìíîãîóãîëüíèê, îïèñàííûé âîêðóã ôèãóðû Q ñ ïëîùàäüþ SO òàêèå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (3.23). Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà è èç íåðàâåíñòâ

SB ≤ S,

S ≤ SO

ïî ïðåäëîæåíèþ 3.1 ïîëó÷àåì S − S < ε. Â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà

ε0, èç ïîñëåäíåé îöåíêè ñëåäóåò ðàâåíñòâî S = S . Ïî îïðåäåëåíèþ 3.8 ôèãóðà Q êâàäðèðóåìà.

Ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè Åñëè ïîíÿòèåì ïëîùàäè çàèíòåðåñîâàëèñü òîëüêî â XIX, òî ïðîáëåìîé âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé êîíêðåòíûõ ôèãóð ìàòåìàòèêè çàíèìàëèñü

78

Îãëàâëåíèå

ìíîãèå ñòîëåòèÿ è äàæå òûñÿ÷åëåòèÿ. Çàäà÷è ïîäîáíîãî ñîðòà (âû÷èñëåíèå äëèí äóã êðèâûõ, ïëîùàäåé ôèãóð, îáúåìîâ òåë) îñòàâàëèñü âàæíåéøèìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ïðîáëåìàìè äî çíàìåíèòûõ ðàáîò Íüþòîíà è Ëåéáíèöà, çàëîæèâøèõ îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå äàåò èñêëþ÷èòåëüíî ïðîñòîé ñïîñîá ðåøåíèÿ. Íàïîìíèì, ÷òî êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèåé íàçûâàþò ôèãóðó îãðàíè÷åííóþ ãðàôèêîì ôóíêöèè íåïðåðûâíîé è íåîòðèöàòåëüíîé íà ñåãìåíòå

[a, b], ïðÿìûìè x = a, x = b è îñüþ Ox. Çíàÿ, ÷òî âñÿêàÿ íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà íà íåì, ëåãêî äîêàçàòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.

Òåîðåìà 3.4 Êðèâîëèíåéíàÿ òðàïåöèÿ P ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðèðóåìóþ ôèãóðó, ïëîùàäü S(P ) êîòîðîé ìîæåò áûòü íàéäåíà ïî ôîðìóëå

Zb S(P ) =

f (x) dx.

(3.24)

a

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê f ∈ C [a, b], òî f ∈ R [a, b]. Ïóñòü I îáîçíà÷àåò

Zb

f (x) dx. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî êðèòåðèþ èíòåãðèðóåìîñòè a

íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T ñåãìåíòà [a, b] ñ ïàðàìåòðîì ðàçáèåíèÿ ∆ < δ âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà (3.25)

S − s < ε,

ãäå S è s ñîîòâåòñòâåííî âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ñóììû Äàðáó ôóíêöèè f , îòâå÷àþùèå ðàçáèåíèþ T . Íî S è s ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ïëîùàäÿì SO è SB ñòóïåí÷àòûõ ôèãóð (ìíîãîóãîëüíèêîâ), ïåðâàÿ èç êîòîðûõ îïèñàíà âîêðóã êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, à âòîðàÿ âïèñàíà â êðèâîëèíåéíóþ òðàïåöèþ (ðèñ. 16). Ïî òåîðåìå 3.3, ââèäó îöåíêè (3.25), êðèâîëèíåéíàÿ òðàïåöèÿ ÿâëÿåòñÿ êâàäðèðóåìîé ôèãóðîé. Ïóñòü S(P ) îáîçíà÷àåò åå ïëîùàäü. Èç íåðàâåíñòâ

s = SB ≤ S(P ) ≤ SO = S,

s ≤ I ≤ S,

3. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

79

y6

O

x0

x1

xn−1 xn

x2 x3

-

x

Ðèñ. 16: Ñóììû Äàðáó ñíîâà èñïîëüçóÿ îöåíêó (3.25), âûâîäèì

S(P ) − I ≤ S − s < ε. À ýòî, â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà ε, îçíà÷àåò, ÷òî S(P ) = I . Ïóñòü ôóíêöèè f, g ∈ C [a, b], ïðè÷åì f (x) ≥ g(x), x ∈ [a, b]. Ðàññìîòðèì ôèãóðó îãðàíè÷åííóþ ñâåðõó ãðàôèêîì ôóíêöèè f , ñíèçó ãðàôèêîì ôóíêöèè g è îòðåçêàìè âåðòèêàëüíûõ ïðÿìûõ x = a è x = b (ðèñ. 17). Åå ïëîùàäü ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà êàê ðàçíîñòü ïëîùàäåé êðèâîëèíåéíûõ òðàïåöèé ABDE è ABCF , òî åñòü

Zb S=

Zb f (x) dx −

a

Zb g(x) dx =

a

¡

¢ f (x) − g(x) dx.

(3.26)

a

Ïðè ýòîì íå èìååò çíà÷åíèÿ ðàñïîëîæåíèå ãðàôèêîâ ôóíêöèé f è g îòíîñèòåëüíî îñè Ox, ïîñêîëüêó ôèãóðó F CDE âñåãäà ìîæíî ïîäíÿòü âåðòèêàëüíî ââåðõ íàñòîëüêî, ÷òîáû îíà ðàñïîëîæèëàñü íàä îñüþ Ox, è âû÷èñëèòü åå ïëîùàäü. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè âåðòèêàëüíîì ñäâèãå ðàññìàòðèâàåìîé ôèãóðû åå ïëîùàäü íå ìåíÿåòñÿ è ïîñëåäíÿÿ ÷àñòü ôîðìóëû (3.26) íå ïðåòåðïåâàåò èçìåíåíèé. Íà ðèñóíêå 18 èçîáðàæåíà ôèãóðà îãðàíè÷åííàÿ ñëåâà ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé ôóíêöèè x = ψ(y), ñïðàâà ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé ôóíêöèè

x = ϕ(y), ñâåðõó îòðåçêîì ïðÿìîé y = d, à ñíèçó îòðåçêîì ïðÿìîé

80

Îãëàâëåíèå

y6

y = f (x)

E

¡¡¡¡¡ ¡¡¡ ¡ ¡¡¡ ¡ ¡¡ D ¡ ¡ ¡¡¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡¡¡¡ ¡¡ ¡¡¡ ¡¡¡ ¡ ¡¡ ¡¡¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡¡¡¡ C ¡¡ ¡¡¡¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡¡ ¡ F ¡ ¡¡¡ ¡

y = g(x)

A O

a

Bx b

Ðèñ. 17: Ðàçíîñòü ïëîùàäåé

y6 d ¡¡¡¡ ¡¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ O¡ ¡¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡¡ ¡ ¡¡¡¡¡ ¡ ¡ ¡¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡¡¡¡¡¡ ¡ ¡¡¡¡¡¡¡

-

x

c

Ðèñ. 18: Ïëîùàäü ôèãóðû

y = c. Ïîíÿòíî, ÷òî ïëîùàäü ýòîé ôèãóðû íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå Zd S=

(ϕ(y) − ψ(y)) dy.

(3.27)

c

Ïðèìåð 3.5 Âû÷èñëèòü ïëîùàäü ôèãóðû îãðàíè÷åííîé ýëëèïñîì x2 y 2 + 2 = 1. a2 b

Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó ýëëèïñ ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ îñåé, òî ïëîùàäü ôèãóðû áóäåò ðàâíà ó÷åòâåðåííîé ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè çàøòðèõîâàííîé íà ðèñóíêå 19.

3. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

81

y6 b

−a

O

¡¡¡ ¡ ¡¡¡ ¡¡¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡¡¡¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡¡¡¡¡ ¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡ ¡

-

a x

−b Ðèñ. 19: Ýëëèïñ

y6 `

−a

O

¡¡¡¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡¡¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡¡¡ ¡ ¡¡¡¡ ¡ ¡¡¡¡

a

-

x

−` Ðèñ. 20: Âûðàæàÿ y èç óðàâíåíèÿ ýëëèïñà íàõîäèì

b S=4 a

Za √

a2 − x2 dx.

0

Äåëàÿ çàìåíó ïåðåìåííîé x = a sin t, ïîëó÷àåì π

Z2

¶ ¯ π2 ¯ 1 cos t dt = 2ab t + sin(2t) ¯¯ = πab. 2 0 µ

2

S = 4ab 0

Ïðèìåð 3.6 Âû÷èñëèòü ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé âåòâÿìè ãèïåðáîëû

x2 y 2 − 2 = 1 è ïðÿìûìè y = ±` (ðèñ. 20). a2 b

Ðåøåíèå. Ââèäó ñèììåòðèè ôèãóðû îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ îñåé, èñêîìàÿ ïëîùàäü ðàâíà ó÷åòâåðåííîé ïëîùàäè ÷àñòè ôèãóðû, ðàñïîëî-

82

Îãëàâëåíèå

æåííîé â ïåðâîì êâàäðàíòå. Ðàçðåøèì óðàâíåíèå ãèïåðáîëû îòíîñèòåëüap 2 íî x, ïîëó÷èì x = ± b + y2. b Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (3.27), èìååì

a S =4· b

Z` p

(3.28)

b2 + y 2 dy.

0

Ïóñòü I îáîçíà÷àåò

Z` p

b2 + y 2 dy . Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà I äîìíî-

0

æèì è ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè íà ïîëó÷àåì

I=

Z` Èíòåãðàë 0

Z` 0

p

b2 + y 2 ,

R` p

R` b2 + y 2 p dy = b2 + y 2 0 0 R` R` dy y dy + y·p . = b2 p b2 + y 2 0 b2 + y 2 0 b2 + y 2 dy =

(3.29)

dy p òàáëè÷íûé; âû÷èñëèì åãî. 2 b + y2

dy

p b2 + y 2

³ ´ ¯¯` ´ ³ p √ 2 2 = ln y + b + y ¯¯ = ln ` + b2 + `2 − ln b.

(3.30)

0

Z`

y dy y·p , ïðèìåíèì ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àb2 + y 2 0 p y dy . Òîãäà du = dy , v = b2 + y 2 è ñòÿì. Ïîëîæèì u = y , dv = p b2 + y 2 ïîýòîìó Ê èíòåãðàëó

Z` y·p

y dy

0

b2 + y 2

=y

p

¯` Z ` p √ ¯ b2 + y 2 ¯¯ − b2 + y 2 dy = ` · b2 + `2 − I. (3.31) 0

0

Èç (3.29), (3.30) è (3.31), íàõîäèì ³ ³ ´ ´ 1 √ √ 1 I = · b2 ln ` + b2 + `2 − ln b + · ` · b2 + `2 . 2 2 Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííîå çíà÷åíèå èíòåãðàëà I â (3.28), ïîëó÷àåì √ ` + b2 + `2 2a` √ 2 + S = 2ab ln b + `2 . b b

3. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

83

y6 B

2

r r rr rr rr rrr Cr rr rr rr rrrrr rrrrrrr rrrrrrrr O r rrrrrr1rrrrr 2 rrrr rr −1

-

x

A

Ðèñ. 21:

Ïðèìåð 3.7 Âû÷èñëèòü ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîãî òðåóãîëüíèêà, îãðàíè÷åííîãî ïðàâûìè âåòâÿìè ïàðàáîë y = x2 − 2, y = âåòâüþ ïàðàáîëû y 2 = x (ðèñ. 21).

1 2 x è íèæíåé 2

Ðåøåíèå. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ áóäåì èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (3.24), ïîýòîìó ñíà÷àëà îïðåäåëèì àáñöèññû âåðøèí êðèâîëèíåéíîãî òðåóãîëüíèêà. Ðåøàÿ òðè ñèñòåìû óðàâíåíèé

  y = 1 x2 2  y2 = x

  y2 = x  y = x2 − 2

  y = 1 x2 2 ,  y = x2 − 2

(3.32)

íàõîäèì

xO = 0,

xA = 1,

xB = 2.

Êðèâîëèíåéíûé òðåóãîëüíèê OAB ñâåðõó îãðàíè÷åí âåòâüþ ïàðàáî1 ëû y = x2 , à ñíèçó, îò òî÷êè O äî òî÷êè A âåòâüþ ïàðàáîëû y 2 = x 2 è îò òî÷êè A äî òî÷êè B âåòâüþ ïàðàáîëû y = x2 − 2. Ðàçîáüåì òðåóãîëüíèê OAB íà äâå ÷àñòè îòðåçêîì AC ïðÿìîé x =

1. Ïëîùàäü êàæäîé èç îáðàçîâàâøèõñÿ êðèâîëèíåéíûõ òðåóãîëüíèêîâ

84

Îãëàâëåíèå

OAC è ABC ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå (3.24). Èòàê ïîëó÷àåì Z1 µ S=

1 2 ¡ √ ¢ x − − x 2

¶

Z2 µ dx +

0

¢ 1 2 ¡ 2 x − x −2 2

¶ dx =

1

¶ 1 2 = dx + − x + 2 dx = 2 0 1 µ ¶ ¯1 µ ¶ ¯2 ¯ ¯ 1 3 1 3 2 √ 1 2 8 1 5 ¯ = x + x x ¯ + − x + 2x ¯¯ = + − + 4 + − 2 = . 6 3 6 6 3 6 6 3 0 1 Z1

µ

1 2 √ x + x 2

¶

Z2

µ

Çàìåòèì, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèê OAB ìîæíî áûëî èñïîëüçîâàòü è ôîðìóëó (3.27), íî âñå ðàâíî ýòîò òðåóãîëüíèê ïðèøëîñü áû ðàçáèòü íà äâà òðåóãîëüíèêà îñüþ àáñöèññ. Íà ðèñóíêå 21 îòìå÷åíû îðäèíàòû òî÷åê A è B , íåîáõîäèìûå ïðè âû÷èñëåíèÿõ.

Ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîãî ñåêòîðà Íàïîìíèì, ÷òî êðóãîâûì ñåêòîðîì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü êðóãà, îãðàíè÷åííàÿ íåêîòîðîé äóãîé è äâóìÿ ðàäèóñàìè, ïðîâåäåííûìè ê êîíöàì ýòîé äóãè. Èç øêîëüíîãî êóðñà ìàòåìàòèêè èçâåñòíî, ÷òî êðóãîâîé ñåê-

òîð ÿâëÿåòñÿ êâàäðèðóåìîé ôèãóðîé è åãî ïëîùàäü ðàâíà äëèíå äóãè ñåêòîðà, óìíîæåííîé íà ïîëîâèíó ðàäèóñà

S=

ϕR2 , 2

(3.33)

ãäå R ðàäèóñ äóãè ñåêòîðà, à ϕ ðàäèàííîå èçìåðåíèå ýòîé äóãè. Îïèðàÿñü íà ýòè çíàíèÿ, äîêàæåì êâàäðèðóåìîñòü êðèâîëèíåéíîãî ñåêòîðà.

Îïðåäåëåíèå 3.9 Ïóñòü êðèâàÿ L çàäàíà â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèåì

r = r (ϕ) ,

ϕ ∈ [α, β] ,

(3.34)

ãäå ôóíêöèÿ r : [α, β] −→ R íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà íà ýòîì ñåãìåíòå.

3. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

85

¢¢

¢

¢ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ´ ´ ¡ ¢ ´ ´ ¡ ¢ © ´ ¡ ¢ ©© ´ © ´ ¡ ¢ ´ ©© ¡ ¢ © ´ © ´ ¡ ¢ ´ ©© ¡ © ¢ ´ © ´ ¡ ¢ » ´ ©© »»» » ¢ ¡ ´ ©© » » »» ¢ ¡ ´´©© ( »» (( » » ¢ ¡ ´ ©© » (((( » ( ( ´ » ( ¢ ¡´©© (( »» »»(((((( © »( ¢¡´ » ( © » ´ »((( ©»( ¢¡ ´ © »(»( »( © ( ¡ »( ¢´ ¢ ¢

O

-

r

Ðèñ. 22: Êðèâîëèíåéíûé ñåêòîð

Êðèâîëèíåéíûì ñåêòîðîì íàçûâàåòñÿ ïëîñêàÿ ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ êðèâîé L è äâóìÿ ëó÷àìè ϕ = α è ϕ = β (ëó÷àìè, ñîñòàâëÿþùèìè ñ ïîëÿðíîé îñüþ óãëû α è β ).

Òåîðåìà 3.5 Êðèâîëèíåéíûé ñåêòîð P ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðèðóåìóþ ôèãóðó, ïëîùàäü S(P ) êîòîðîé ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå

1 S(P ) = 2

Zβ r2 (ϕ) dϕ.

(3.35)

α

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî óñëîâèþ ôóíêöèÿ

r2 r2 ∈ C [α, β], à, ñëåäîâàòåëüíî, ∈ R [α, β]. 2 2 Ïî êðèòåðèþ èíòåãðèðóåìîñòè (òåîðåìà 1.2) íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî

r ∈ C [α, β],òî è ôóíêöèÿ

äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T ñåãìåíòà [α, β] òî÷êàìè

α = θ0 < θ1 < θ 2 < . . . < θ n = β ñ ïàðàìåòðîì ðàçáèåíèÿ ∆ < δ ñïðàâåäëèâà îöåíêà

S−s<

ε , 2

(3.36)

86

Îãëàâëåíèå

ãäå S è s âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ñóììû Äàðáó ôóíêöèè ùèå ðàçáèåíèþ T ñåãìåíòà [α, β].

r2 , ñîîòâåòñòâóþ2

Ïî îïðåäåëåíèþ ñóìì Äàðáó èìååì n

1X 2 S= R ∆ϕi , 2 i=1 i

n

1X 2 s= r ∆ϕi , 2 i=1 i

ãäå

Ri = sup {r(ϕ) : ϕ ∈ [θi−1 , θi ]} , ri = inf {r(ϕ) : ϕ ∈ [θi−1 , θi ]} . Ðàçîáüåì êðèâîëèíåéíûé ñåêòîð P íà n êðèâîëèíåéíûõ ñåêòîðîâ ëó÷àìè ϕ = θi , i = 1, 2, . . . , n−1. Î÷åâèäíî, ÷òî ñóììû S è s ðàâíû ïëîùàäÿì âååðîîáðàçíûõ ôèãóð ñîîòâåòñòâåííî îïèñàííîé âîêðóã êðèâîëèíåéíîãî ñåêòîðà è âïèñàííîé â êðèâîëèíåéíûé ñåêòîð è ñîñòîÿùèõ èç êðóãîâûõ ñåêòîðîâ (ðèñ. 22). Ïîñêîëüêó êðóãîâîé ñåêòîð ÿâëÿåòñÿ êâàäðèðóåìîé ôèãóðîé, â âååðîîáðàçíóþ ôèãóðó, âïèñàííóþ â êðèâîëèíåéíûé ñåêòîð, ìîæíî âïèñàòü ìíîãîóãîëüíèê QB , ïëîùàäü êîòîðîãî SB áóäåò îòëèε ÷àòüñÿ îò s ìåíüøå, ÷åì íà , à âîêðóã âååðîîáðàçíîé ôèãóðû, îïèñàí4 íîé âîêðóã êðèâîëèíåéíîãî ñåêòîðà, ìîæíî îïèñàòü ìíîãîóãîëüíèê QO , ε ïëîùàäü êîòîðîãî SO áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò S ìåíüøå, ÷åì íà , òî åñòü 4 áóäóò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà

ε s − SB < , 4

ε SO − S < . 4

(3.37)

Ïî ïîñòðîåíèþ ìíîãîóãîëüíèê QB âïèñàí â êðèâîëèíåéíûé ñåêòîð, à ìíîãîóãîëüíèê QO îïèñàí âîêðóã êðèâîëèíåéíîãî ñåêòîðà. Íî îöåíêè (3.37) è (3.36) âëåêóò îöåíêó (3.38)

SO − SB < ε.

Ñëåäîâàòåëüíî, ïî êðèòåðèþ êâàäðèðóåìîñòè (òåîðåìà 3.3) êðèâîëèíåéíûé ñåêòîð P êâàäðèðóåì. Ïóñòü S(P ) åãî ïëîùàäü. Èç î÷åâèäíûõ íåðàâåíñòâ

SB ≤ S(P ) ≤ SO ,

1 SB ≤ s ≤ 2

Zβ r2 (ϕ) dϕ ≤ S ≤ SO , α

3. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

2a

O

87

-

r

Ðèñ. 23: Êàðäèîèäà è èç îöåíêè (3.38) ïîëó÷àåì ¯ ¯ ¯ ¯ Zβ ¯ ¯ ¯S(P ) − r2 (ϕ) dϕ¯ < ε. ¯ ¯ ¯ ¯ α

Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà ε, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (3.35).

Ïðèìåð 3.8 Âû÷èñëèòü ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé êàðäèîèäîé r = a (1 + cos ϕ), a > 0 (ðèñ. 23).

Ðåøåíèå. Òàê êàê ôóíêöèÿ r = a (1 + cos ϕ) ÷åòíàÿ, êðèâàÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ïîëÿðíîé îñè. Êðîìå òîãî, ýòà ôóíêöèÿ 2π -ïåðèîäè÷íàÿ, ïîýòîìó

1 S =2 · 2

Zπ

a2 r (ϕ) dϕ = 2 · 2

Zπ (1 + cos ϕ)2 dϕ =

2

0

Zπ µ

0

¶ 1 + cos(2ϕ) =a 1 + 2 cos ϕ + dϕ = 2 0 ¶ ¯π µ ¯ 3πa2 ϕ 1 2 . =a ϕ + 2 sin ϕ + + sin(2ϕ) ¯¯ = 2 4 2 0 2

Íàïîìíèì îïðåäåëåíèÿ äâóõ âàæíûõ âèäîâ êðèâûõ.

88

Îãëàâëåíèå

´ ´ ¡ ´ ¡ ´ C r! » » @ ¡´´ !! »» » ! » @ ¡´!! »» !»»» @ ¡´ ! » ´ » ! » ¡ r r √ r @´ » ! @ ¡ A a 2B O @ ¡ ¡ @ @ ¡ @ ¡ @ ¡ @ @

r

2a

-

Ðèñ. 24:

Îïðåäåëåíèå 3.10 Ëåìíèñêàòîé Áåðíóëëè íàçûâàþò ïëîñêóþ àëãåáðàè÷åñêóþ êðèâóþ 4-ãî ïîðÿäêà, óðàâíåíèå êîòîðîé â äåêàðòîâûõ ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàòàõ èìååò âèä:

¡

x2 + y 2

¢2

¡ ¢ − 2a2 x2 − y 2 = 0;

â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ:

ρ2 = 2a2 cos 2ϕ.

Îïðåäåëåíèå 3.11 Ðîçàìè íàçûâàþò ïëîñêèå êðèâûå, óðàâíåíèÿ êîòîðûõ â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ èìåþò âèä

ρ = a sin kϕ, ãäå a è k ïîñòîÿííûå.

Ïðèìåð 3.9 Âû÷èñëèòü ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëåìíèñêàòîé Áåðíóëëè r2 = 2a2 cos 2ϕ, äâóõëåïåñòêîâîé ðîçîé r = 2a cos 2ϕ è ñîäåð√ æàùóþ a) òî÷êó A(a, 0); b) òî÷êó B(a 3, 0) (ðèñ. 24).

Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà âûðàçèì r èç óðàâíåíèÿ ëåìíèñêàòû. Ïîëó÷èì r = √ a 2 cos 2ϕ.

√ Î÷åâèäíî, ÷òî îáå ôóíêöèè r = a 2 cos 2ϕ è r = 2a cos 2ϕ îïðåäåëåíû

ëèøü äëÿ òåõ çíà÷åíèé ϕ ïðè êîòîðûõ cos 2ϕ ≥ 0. Ðåøàÿ ýòî íåðàâåíñòâî, íàõîäèì

−

π π + πk ≤ ϕ ≤ + πk, 4 4

k ∈ Z.

r

3. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

89

Íî ïîñêîëüêó îáå ôóíêöèè π -ïåðèîäè÷åñêèå, òî äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü äâà ïîñëåäîâàòåëüíûõ çíà÷åíèÿ k , íàïðèìåð, k = 0 è k = 1. Òîãäà àðãóìåíò ϕ ìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ

−

π π ≤ϕ≤ 4 4

è

3π 5π ≤ϕ≤ . 4 4

Ââèäó π -ïåðèîäè÷íîñòè îáåèõ ôóíêöèé, äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü îáå êðèâûå òîëüêî ïðè èçìåíåíèè àðãóìåíò ϕ íà ïåðâîì ñåãìåíòå, à çàòåì ïðîäîëæèòü èõ íà âòîðîé. À òàê êàê îáå ôóíêöèè åùå è ÷åòíûå, òî ïîñòðîh πi èòü êðèâûå äîñòàòî÷íî ëèøü ïðè ϕ ∈ 0, è îòîáðàçèòü ñèììåòðè÷íî 4 ïîëÿðíîé îñè. √ √ π Ïðè èçìåíåíèè ϕ îò 0 äî ôóíêöèÿ r = a 2 cos 2ϕ óáûâàåò îò a 2 4 äî 0, è ôóíêöèÿ r = 2a cos 2ϕ òîæå óáûâàåò, íî îò 2a äî 0. Âûÿñíèì ïåðåñåêàþòñÿ ëè êðèâûå, îïðåäåëÿåìûå ýòèìè óðàâíåíèÿh πi ìè, êîãäà ϕ ∈ 0, . Äëÿ ýòîãî ðåøèì ñèñòåìó óðàâíåíèé 4

  r = a√2 cos 2ϕ  r = 2a cos 2ϕ Èñêëþ÷àÿ r, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå

cos 2ϕ (2 cos 2ϕ − 1) = 0. h πi π Ýòî óðàâíåíèå èìååò (íà ñåãìåíòå 0, ) äâà ðåøåíèÿ ϕ = 0 è ϕ = . 4 6 Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ ϕ êðèâûå ïåðåñåêàþòñÿ. Òåïåðü ìîæåì ïîñòðîèòü îáå ýòè êðèâûå (ñìîòðèòå ðèñ. 24). Êðèâûå ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ O è C . Ðàññìîòðèì çàäà÷ó a). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïðè èçìåíåíèè ϕ îò 0 π äî ðàäèóñ-âåêòîð ìåíÿåòñÿ îò íóëÿ äî ëåìíèñêàòû, à ïðè èçìåíåíèè 6π π ϕ îò äî îò íóëÿ äî ðîçû. Ïîýòîìó, ó÷èòûâàÿ ñèììåòðèþ ôèãóðû 6 4

90

Îãëàâëåíèå

îòíîñèòåëüíî ïîëÿðíîé îñè ïîëó÷àåì  π  π Z6 Z4 1  S =2 ·  2a2 cos 2ϕ dϕ + 4a2 cos2 2ϕ dϕ = 2 π 6

0 π

π

Z6 =2a2

Z4 cos 2ϕ dϕ + 2a2

0

Ã =2a2

(1 + cos 4ϕ) dϕ = π 6

¯π sin 2ϕ ¯¯ 6 π π sin 4ϕ + − + 2 ¯0 4 6 4

¢ 2 ¯π ! ¡ √ ¯4 3 + 2π a 3 ¯ . = ¯π 12 6

Òåïåðü ðàññìîòðèì çàäà÷ó b). Î÷åâèäíî, ÷òî ϕ èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ π îò 0 äî , ïðè ýòîì ðàäèóñ-âåêòîð ìåíÿåòñÿ îò ëåìíèñêàòû äî ðîçû. 6 Ïîýòîìó π

1 2

S =2 ·

Z6

¡

¢ 4a2 cos2 2ϕ − 2a2 cos 2ϕ dϕ =

0 π 6

Z 2

=2a

(1 + cos 4ϕ − cos 2ϕ) dϕ = 0 Ã

=2a2

¯π π sin 4ϕ ¯¯ 6 sin 2ϕ − + 6 4 ¯0 2

√ ¢ 2 ¯π ! ¡ ¯6 4π − 3 3 a ¯ = . ¯ 12 0

Ïðèìåð 3.10 Âû÷èñëèòü ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé êðèâîé ¡ ¢ x4 + y 4 = a2 x2 + y 2 .

Ðåøåíèå. Ïåðåéäåì ê ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, ïîëîæèâ x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Óðàâíåíèå êðèâîé ïîñëå ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèìåò âèä (ðèñ. 25):

r2 =

2a2 2 − sin2 2ϕ

Òàê êàê ôèãóðà èìååò ÷åòûðå îñè ñèììåòðèè, äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü ïëîùàäü çàøòðèõîâàííîé ÷àñòè ôèãóðû (ñì. ðèñ. 25) è óìíîæèòü åå íà âîñåìü.

3. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

y @

6 ¡

@

¡ ¡

@

@

¡

@

@

@

¡

¡

¡

@ ¡ @ O¡ @ ¡

¡

¡

¡

-

x

@

¡

@

@

@ @

¡

¡

91

@ @

¡

Ðèñ. 25: π

Z4

dϕ 2 − sin2 2ϕ

Èòàê, S = 8a2 0

. Ñäåëàåì â ýòîì èíòåãðàëå çàìåíó ïå-

ðåìåííîé. Ïîëîæèì t = tg 2ϕ. Òîãäà

Z+∞ 2

S = 4a

0

¯+∞ √ √ dt t ¯¯ 2 2 √ = 2a 2 arctg 2. = πa t2 + 2 2 ¯0

3.3 Êîíòðîëüíûå âîïðîñû, çàäà÷è, óïðàæíåíèÿ 1. Ïðè êàêîì δ > 0 èç íåðàâåíñòâà max{∆xk : k = 1, 2, . . . , n} < δ ñëåäóåò îöåíêà

¯ ¯ π ¯ ¯Z n X ¯ ¯ ¯ < 0.001? ¯ sin xdx − sin ξ ∆x k k ¯ ¯ ¯ ¯ k=1 0

2. Ñ ïîìîùüþ îïðåäåë¼ííûõ èíòåãðàëîâ äîêàçàòü ðàâåíñòâà µ ¶ 1 1 1 + + ... + a) lim = ln 2; n→∞ 2n ¶ µ n+1 n+2 1 1 π 1 + 2 + ... + 2 = . b) lim n 2 2 2 n→∞ n +1 n +2 2n 4

92

Îãëàâëåíèå 3. Ñ ïîìîùüþ îïðåäåë¼ííûõ èíòåãðàëîâ íàéòè ïðåäåëû ñëåäóþùèõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé: µ ¶ 1 2π (n − 1)π π a) sn = sin + sin + . . . + sin ; nÃ n n n ! r r r 1 1 2 n b) sn = 1 + + 1 + + ... + 1 + ; n n n n √ 1 n! 2 2n − 1 c) sn = 2 + 2 + . . . + ; ; d) sn = 2 n n n n 13 23 (4n − 1)3 e) sn = 4 + 4 + . . . + ; n n n4 1 1 1 f ) sn = √ +√ + ... + √ ; 4n2 − 12 4n2 − 22 4n2 − n2 √ √ √ 1 + 3 2 + 3 3 + ... + 3 n √ g) sn = ; 3 4 n µ ¶ π π 2π (n − 1)π 1 + cos . h) sn = + cos + . . . + cos 2n 2n 2n 2n 4. Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó î ñðåäíåì çíà÷åíèè, îöåíèòü èíòåãðàë

Z1

√ 3 x10 1 + x7 dx.

0

Z1 5. Èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà, âû÷èñëèòü èíòåãðàë

xdx. 0

6. Ïóñòü óçëû 1 = x0 < x1 < . . . < xn = 4 îáðàçóþò ãåîìåòðè÷åñêóþ Z4 ïðîãðåññèþ. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë x3 dx, êàê ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì, âûáèðàÿ â êà÷åñòâå ξi

1

à) ëåâûå êîíöû ÷àñòè÷íûõ ñåãìåíòîâ; á) ïðàâûå êîíöû ÷àñòè÷íûõ ñåãìåíòîâ; â) ñåðåäèíû ÷àñòè÷íûõ ñåãìåíòîâ. 7. Ïóñòü ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a; b] è α ∈ (a; b). Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ

  f (x), åñëè x ≥ α, g(x) =  0, åñëè x < α

3. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

93

èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a; b].

8. Â èíòåãðàëå

Z1 √

1 − x2 dx ñäåëàåì çàìåíó x = sin t. Ìîæíî ëè â

0

êà÷åñòâå ïðåäåëîâ èçìåíåíèÿ t âçÿòü ÷èñëà π è

Z2π 9. Ìîæíî ëè â èíòåãðàëå

π ? 2

dx x ñäåëàòü çàìåíó t = tg ? 5 − 2 cos x 2

0

10. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè √

Zx3

Zx a) F (x) = cos t2 dt

(x > 0);

b) F (x) =

1 x

ln tdt

(x > 0).

x2

0

11. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ yx ôóíêöèè y, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè

Zt3 x=

√ 3

Z3 τ ln τ dτ ;

τ 2 ln τ dτ.

y= √ t

1

12. Íàéòè ñòàöèîíàðíûå òî÷êè ôóíêöèè

Z2x a) F (x) =

Zx2

sin t dt; t

b) F (x) =

t2 − 5t + 4 dt. 2 + et

0

0

13. Íå âû÷èñëÿÿ èíòåãðàëà, íàéòè òî÷êè ýêñòðåìóìà ôóíêöèè

Zx (t − 1)(t − 2)2 dt.

F (x) = 0

94

Îãëàâëåíèå

14. Íàéòè ïðåäåëû

Zx

Zx 2

(arctg t)2 dt

cos t dt a) lim

0

;

x

x→0

sin x Z √

x→+∞ Zx2

tgt dt

0 tg x x→+0 Z

c) lim

;

√

0

x→+∞

d) lim

√

x2 + 1 √ sin tdt

0

x3

x→0

;

;

sin t dt 2

Zx 2

 e) lim

0

b) lim

et dt 0

.

Zx 2

e2t dt 0

15. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ F, çàäàííàÿ â (1; +∞) èíòåãðàëîì F (x) = Zx dt , îáëàäàåò ñâîéñòâàìè t 1

µ F (x1 · x2 ) = F (x1 ) + F (x2 ),

F

x1 x2

¶ = F (x1 ) − F (x2 ).

16. Äîêàçàòü, ÷òî ïëîùàäè S0 , S1 , S2 , . . . , îãðàíè÷åííûå îñüþ Ox è ïîëóâîëíàìè êðèâîé y = e−αx sin βx (x > 0), îáðàçóþò ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ ñî çíàìåíàòåëåì q = e−απ/β . 17. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a; b] è Zβ f (x)dx > 0 äëÿ âñÿêîãî ñåãìåíòà [α; β] (a ≤ α < β ≤ b), òî α

f (x) ≥ 0 äëÿ ëþáîãî x ∈ [a; b]. 18. Äîêàçàòü, èñõîäÿ èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé, ÷òî åñëè íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåò è âûïóêëà íà ñåãìåíòå [a; b], òî

Zb (b − a)f (a) ≤

f (x)dx ≤ (b − a) a

f (a) + f (b) . 2

3. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

95

Zb e2x dx = e2ξ (b − a) ÷èñëî ξ >

19. Äîêàçàòü, ÷òî â ðàâåíñòâå

a+b . 2

a

Zπ 20. Èñõîäÿ èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé, äîêàçàòü, ÷òî

sin 2xdx = 0

0. 00

21. Ïóñòü f íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a; b]. Äîêàçàòü, ÷òî

Zb

³ 0 ´ ³ 0 ´ 00 xf (x)dx = bf (b) − f (b) − af (a) − f (a) .

a

Z1 22. Íå âû÷èñëÿÿ èíòåãðàëû

√

Z1 x3 dx, óñòàíîâèòü, êàêîé èç

xdx è

0

íèõ áîëüøå?

0

23. Äîêàçàòü ðàâåíñòâà

Zπ a)

π xf (sin x)dx = 2

Zπ

0

f (sin x)dx, 0

åñëè f íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [0; 1];

Zt b)

Zt f (x)g(t − x)dx =

0

f (t − x)g(x)dx, 0

åñëè f è g íåïðåðûâíû íà ñåãìåíòå [0; t];

Zb c)

Zb f (x)dx =

a

f (a + b − x)dx, a

åñëè f íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a; b];

π Z2

π Z2 (sin x)m dx =

d) a

(cos x)m dx,

(m > 0).

a

24. Ïóñòü ôóíêöèÿ F : R → R ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè f : R → R. ßâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ F ïåðèîäè÷åñêîé?

96

Îãëàâëåíèå

25. Ïóñòü ôóíêöèÿ F : R → R ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé íå÷¼òíîé ôóíêöèè f : R → R. ßâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ F ÷¼òíîé? 26. Ïóñòü ôóíêöèÿ F : R → R ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé ÷¼òíîé ôóíêöèè f : R → R. ßâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ F íå÷¼òíîé? 27. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) = sign(x) íå èìååò íà âñåé ÷èñëîâîé îñè íè îäíîé ïåðâîîáðàçíîé. 28. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèè f, g : [a; b] → R èíòåãðèðóåìû íà [a; b], åñëè äëÿ âñåõ x ∈ [a; b] âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî f (x) ≤ g(x) è ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà x0 ∈ [a; b], äëÿ êîòîðîé f (x0 ) < g(x0 ), ïðè÷¼ì îáå Zb Zb ôóíêöèè f è g íåïðåðûâíû â ýòîé òî÷êå, òî f (x)dx < g(x)dx. a

a

29. Áóäåò ëè èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, ó êîòîðîé èíòåãðèðóåìà íà ýòîì îòðåçêå å¼ àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà? 30. Åñëè ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà íåêîòîðîì îòðåçêå è íå îáðàùàåòñÿ íà í¼ì â íîëü, òî áóäåò ëè íà ýòîì îòðåçêå èíòåãðèðóåìà 1 ôóíêöèÿ ? f 31. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f óáûâàåò íà îòðåçêå [0; 1], òî äëÿ Z1 Zθ ëþáîãî θ ∈ (0; 1) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî θ f (x)dx ≤ f (x)dx. 0

0

32. Ïóñòü ôóíêöèÿ f : [a; b] → R èìååò íà ñåãìåíòå [a; b] íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ âòîðîãî ïîðÿäêà. Èçâåñòíî, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèπ êó ôóíêöèè f â òî÷êå ñ àáñöèññîé x = a ñîñòàâëÿåò óãîë , à â 3 Zb π 00 òî÷êå ñ àáñöèññîé x = b ñîñòàâëÿåò óãîë . Âû÷èñëèòü f (x)dx. 4 a

33. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå [a; b] ôóíêöèÿ f â òî÷a+b , ïðèíèìàåò ðàâêàõ, ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî òî÷êè ξ = 2

3. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà íûå çíà÷åíèÿ, òî

Zb

97

Zξ f (x)dx = 2

a

f (x)dx. a

34. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b], òî

Zb

Z1 f (x)dx = (b − a)

a

f (a + (b − a)x)dx. 0

35. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ íåïðåðûâíîé ïðè x ≥ 0 ôóíêöèè f ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

Za

1 x3 f (x2 )dx = 2

0

Za2 xf (x)dx,

a > 0.

0

36. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f íåïðåðûâíàÿ íà âñåé ÷èñëîâîé îñè ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ ïåðèîäîì T ôóíêöèÿ, òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà a âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

a+T Z

ZT f (x)dx =

a

f (x)dx. 0

98

Îãëàâëåíèå

Ëèòåðàòóðà [1] Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×àñòü

I, Ì.: Íàóêà, 1971. [2] Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×àñòü

II, Ì.: Íàóêà, 1973. [3] Â.À. Èëüèí, Â.À. Ñàäîâíè÷èé, Áë.Õ. Ñåíäîâ, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíà-

ëèç, Ì.: Íàóêà, 1979. [4] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñ-

ëåíèÿ. Òîì II, Ì.: Íàóêà, 1962. [5] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Òîì I, Ì.: Íàóêà, 1957. [6] Â.À. Çîðè÷, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×àñòü I, Ì.: Íàóêà, 1981. [7] È.È. Ëÿøêî, À.Ê. Áîÿð÷óê, ß.Ã. Ãàé, À.Ô. Êàëàéäà, Ìàòåìàòè÷å-

ñêèé àíàëèç. ×àñòü I, Êèåâ: Âèùà øêîëà, 1983. [8] Ã.Å. Øèëîâ, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ôóíêöèè îäíîãî ïåðåìåííî-

ãî. ×àñòè 1-2, Ì.: Íàóêà, 1969. [9] Ä.À. Ðàéêîâ, Îäíîìåðíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1982. [10] Á.Ï. Äåìèäîâè÷, Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêî-

ìó àíàëèçó (äëÿ óíèâåðñèòåòîâ è ïåäàãîãè÷åñêèõ èíñòèòóòîâ), Ì.: Íàóêà, 1961. 99

100

Ëèòåðàòóðà

[11] Â.Ãðýíâèëü è Í.Ëóçèí, Êóðñ äèôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ-

÷èñëåíèÿ. ×àñòü II. Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå, Ì.-Ë.: ÎÍÒÈ, 1934. [12] Í.Í.Ëóçèí, Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå, Ë.: Ñîâåòñêàÿ Íàóêà, 1949. [13] È.Í.Ïåñèí, Ðàçâèòèå ïîíÿòèÿ èíòåãðàëà, Ì.: Íàóêà, 1966. [14] Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ (â ïÿòè òîìàõ), Ì.: Ñîâåòñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ, 1977-1985. [15] ß.È.Ðèâêèíä, Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå â çà-

äà÷àõ, Ìèíñê: Âûøýéøàÿ øêîëà, 1971. [16] È.À.Ìàðîí, Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå â ïðè-

ìåðàõ è çàäà÷àõ, Ì.: Íàóêà, 1973.

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü öèêëîèäà, 70

Äàðáó

äëèíà

íèæíèé, 15

÷àñòè÷íîãî ñåãìåíòà, 7

âåðõíèé, 15

äóãè êðèâîé, 65

íåñîáñòâåííûé ïåðâîãî ðîäà, 52

ôèãóðà

íåñîáñòâåííûé âòîðîãî ðîäà,

êâàäðèðóåìàÿ, 76

58

îïèñàííàÿ, 75 ïëîñêàÿ, 75

îïðåäåëåííûé, 9

âïèñàííàÿ, 75

ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì, 41

ôîðìóëà Áîííå, 38

êîëåáàíèå ôóíêöèè, 18

Íüþòîíà-Ëåéáíèöà, 43, 54

êðèâàÿ, 62

èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ îñíîâ-

ïðîñòàÿ, 63 çàìêíóòàÿ, 63

íàÿ, 43

ïðîñòðàíñòâåííàÿ, 72

èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, 50, 57

ñïðÿìëÿåìàÿ, 65

çàìåíû ïåðåìåííîé, 48

ëèíèÿ öåïíàÿ, 70

ôîðìóëà ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ

ëîìàííàÿ, âïèñàííàÿ â êðèâóþ, 64

ïåðâàÿ, 37 ìåòîä

â îáîáùåííîé ôîðìå, 37

ðàçëîæåíèÿ, 47

âòîðàÿ, 38

ìíîãîóãîëüíèê, 75

ôóíêöèÿ àääèòèâíàÿ, 29

ìíîæåñòâî ìåðû íóëü, 19

èíòåãðèðóåìàÿ, 9

îáîçíà÷åíèÿ

èíòåãðàë

I {xi , ξi }, 8 101

102

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Zb f (x)dx, 9 a

lim I {xi , ξi }, 9

∆→0

f ∈ R [a, b], 9 ïàðàìåòð, 62 ïàðàìåòð ðàçáèåíèÿ, 7 ïëîùàäü ôèãóðû, 76 ïîêðûòèå ìíîæåñòâà, 19 ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì, 8 ïðîäîëæåíèå ðàçáèåíèÿ, 7 ðàçáèåíèå ñåãìåíòà, 6 ñåãìåíò ÷àñòè÷íûé, 6 ñåêòîð êðèâîëèíåéíûé, 85 êðóãîâîé, 84 ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, 52, 58 ñóììà Äàðáó íèæíÿÿ, 12 âåðõíÿÿ, 12 èíòåãðàëüíàÿ, 8 íèæíÿÿ, 12 âåðõíÿÿ, 12 òî÷êà îñîáàÿ, 58 ðàçáèåíèÿ, 6 òðàïåöèÿ êðèâîëèíåéíàÿ, 2 óðàâíåíèÿ êðèâîé ïàðàìåòðè÷åñêèå, 62

óçåë ðàçáèåíèÿ, 6 çíà÷åíèå ôóíêöèè ñðåäíåå, 36

Интегральное исчисление. Определенный интеграл: Лекции по математическому анализу

Recommend Documents