Нечеткие модели дискретной математики: Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

А.Н. Тихомирова, М.Г. Клейменова

Нечеткие модели дискретной математики Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2011

УДК 519.17(075) ББК 22.176я7 Т46 Тихомирова А.Н., Клейменова М.Г. Нечеткие модели дискретной математики: Учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2011. – 108 с. Содержит полные тексты лабораторных работ и указаний к их выполнению, а также тестовые задания по всем темам для самостоятельной подготовки. Для каждого задания лабораторной работы приведен минимальный объем теоретической информации, в этой связи предполагается знакомство читателями с основным лекционным материалом курса. Пособие оформлено в стиле рабочей тетради, все практические здания снабжены удобными полями для записи ответов. Предназначено студентам НИЯУ МИФИ, изучающим курс «Нечеткие модели дискретной математики». Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ. Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Костерев

ISBN 978-5-7262-1493-1

© Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2011

Содержание Предисловие.................................................................................. 4 Введение в теорию нечетких моделей ....................................... 5 Лабораторный практикум ............................................................ 8 Работа 1 «Построение функций принадлежности»........... 8 Работа 2 «Операции над нечеткими множествами» ....... 15 Работа 3 «Нечеткие отношения»....................................... 45 Работа 4 «Нечеткие числа. Нечеткий логический вывод» ................................................................................. 51 Тестовые задания для самопроверки ........................................ 69 Тема 1 «Введение в теорию нечетких моделей» ............. 69 Тема 2 «Основные понятия нечетких множеств» ........... 72 Тема 3 «Основные операции над нечеткими множествами» ..................................................................... 76 Тема 4 «Дополнительные операции над нечеткими множествами» ..................................................................... 79 Тема 5 «Свойства операций над множествами» ............. 82 Тема 6 «Индекс нечеткости» ............................................. 85 Тема 7 «Нечеткие бинарные отношения» ........................ 88 Тема 8 «Операции над нечеткими отношениями» .......... 93 Тема 9 «Нечеткие числа и операции над ними».............. 96 Тема 10 «Нечеткая лингвистическая логика» ............... 100 Тема 11 «Приближенные рассуждения» ........................ 102 Список рекомендуемой литературы ....................................... 107

3

Предисловие Большинство задач управления сложными экономическими и техническими системами преследует цель достижения определенного эффекта в будущем времени. В этом случае управление протекает в условиях неопределенности относительно будущего состояния как самих объектов управления, так и их окружения. Курс «Нечеткие модели дискретной математики» ставит своей целью ознакомление с базовыми понятиями и методами учета неопределенности при решении ряда практических задач. В рамках учебного курса рассматриваются следующие темы: «Нечеткие множества», «Нечеткие отношения», «Нечеткие числа», «Нечеткая логика», «Исчисление нечетких высказываний». Эти темы в их классическом, «четком», представлении изучаются на младших курсах НИЯУ МИФИ, в связи с чем при изложении материала предполагается, что элементарные определения и термины из области теории множеств, алгебры логики, исчисления высказываний и теории графов известны читателю.

4

Введение в теорию нечетких моделей Фундаментальный принцип современной науки состоит в том, что явление нельзя считать хорошо понятым до тех пор, пока оно не описано посредством количественных характеристик. Научное знание представляет собой совокупность принципов и методов, необходимых для конструирования математических моделей различных систем. Развитие вычислительных машин эффективно сказывалось на развитии методов анализа механических систем, поведение которых определяется законами механики, физики, химии и электромагнетизма. Однако этого нельзя сказать об анализе гуманистических систем, т.е. систем, в которых участвует человек. Неэффективность вычислительных машин в изучении гуманистических систем является подтверждением так называемого принципа несовместимости – высокая точность системы несовместима с большой сложностью системы. Для систем, сложность которых превосходит некоторый пороговый уровень, точность и практический смысл становятся почти исключающими друг друга характеристиками. Возможная причина неэффективности ЭВМ – неспособность машины охватить огромную сложность процессов человеческого мышления и принятия решений. Ведь одно из примечательных свойств человеческого интеллекта – способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от «принадлежности к классу» к «непринадлежности» не скачкообразен, а непрерывен. В основе процесса мышления человека лежит не традиционная двузначная или даже многозначная логика, а логика с нечеткой истинностью, нечеткими связями и нечеткими правилами вывода. 5

Поэтому для действенного анализа гуманистических систем нужны подходы, для которых точность, строгость и математический формализм не являются чем-то необходимым и в которых используется методологическая схема, допускающая нечеткости и частичные истины. Один из таких подходов – применение нечетких моделей, которые имеют следующие отличительные черты: • использование так называемых лингвистических переменных вместо числовых переменных или в дополнение к ним; • простые отношения между переменными описываются с помощью нечетких высказываний; • сложные отношения между переменными описываются нечеткими алгоритмами. Применение нечетких моделей целесообразно в случаях, когда имеются недостаточность и неопределенность знаний об исследуемой системе, например если: • получение информации сложно, трудно, долго, дорого, невозможно, • источником основной информации являются экспертные данные, эвристические описания процессов функционирования, • информация о системе разнокачественная или оценка параметров проводится с использованием разных шкал. Теория нечетких моделей представляет собой обобщение и переосмысление важнейших направлений классической математики. У ее истоков лежат идеи и достижения многозначной логики, которая указала на возможность перехода от двух к произвольному числу значений истинности и поставила проблему оперирования понятиями с изменяющимся содержанием. Кроме того, значительный вклад внесла теория вероятностей, которая, породив большое количество различ6

ных способов статистической обработки экспериментальных данных, открыла пути определения и интерпретации функции принадлежности. Наконец, у классической дискретной математики был взят инструментарий для построения моделей многомерных и многоуровневых систем, удобный при решении практических задач. Получившийся результат открыл действительно богатейшие возможности для анализа сложных систем в условиях неопределенности.

7

Лабораторный практикум Работа 1 «Построение функций принадлежности» 1.1. Непрерывная функция принадлежности Исходные данные Вариант Переменная 1

время года = ВЕСНА

2

время года = ЛЕТО

3

время года = ОСЕНЬ

4

время года = ЗИМА

5 6 7 8 9 10 11 12 13

температура воды = = ЛЕДЯНАЯ температура воды = = ХОЛОДНАЯ температура воды = = ТЕПЛАЯ температура воды = = ГОРЯЧАЯ з/п программиста = = НИЗКАЯ з/п программиста = = СРЕДНЯЯ з/п программиста = = ВЫСОКАЯ з/п программиста = = ЗНАЧИТЕЛЬНАЯ вероятность банкротства = НИЗКАЯ

8

Множество значений температура воздуха [-20;+30], 0С температура воздуха [-20;+30], 0С температура воздуха [-20;+30], 0С температура воздуха [-20;+30], 0С температура воды [0;100], 0С температура воды [0;100], 0С температура воды [0;100], 0С температура воды [0;100], 0С з/п программиста [10;120], тыс. руб. з/п программиста [10;120], тыс. руб. з/п программиста [10;120], тыс. руб. з/п программиста [10;120], тыс. руб. вероятность [0;100], %

Вариант

Переменная вероятность банкротства = СРЕДНЯЯ вероятность банкротства = БОЛЬШАЯ вероятность банкротства = ОГРОМНАЯ температура воздуха = = ХОЛОДНАЯ температура воздуха = = ПРОХЛАДНАЯ температура воздуха = = ТЕПЛАЯ температура воздуха = = ЖАРКАЯ

температура воздуха [-50;100], 0С температура воздуха [-50;100], 0С температура воздуха [-50;100], 0С температура воздуха [-50;100], 0С

21

возраст = ЮНЫЙ

возраст [0;80], годы

22

возраст = МОЛОДОЙ

возраст [0;80], годы

23

возраст = СРЕДНИЙ

возраст [0;80], годы

24

возраст = СТАРЫЙ

возраст [0;80], годы

14 15 16 17 18 19 20

Множество значений вероятность [0;100], % вероятность [0;100], % вероятность [0;100], %

Задание 1. На основании исходных данных придумать функции принадлежности указанных элементов к заданным нечетким множествам. 2. Полученные функции принадлежности представить в аналитическом и графическом виде с помощью средств Microsoft Excel.

9

Аналитический вид функции принадлежности Использовать один из типов функций принадлежности, наилучшим образом описывающий данную ситуацию. Подобрать соответствующие коэффициенты.

Графический вид функции принадлежности

10

1.2. Дискретная функция принадлежности Исходные данные Цена

Расход

Мощность

Разгон

Скорость

Air bag s

Багаж ник

223 000

17,1

450

4,7

300

4

195

70 000

10,3

250

5,9

250

4

290

Bently Azure

475 000

18,7

426

6,2

249

8

200

BMW X5 4.8 Sport

110 000

12,5

355

6,5

240

6

620

Daewoo Nexia

10 400

6,3

85

11,0

185

0

405

Ferrari F430 4.3 Spider

245 000

18,3

490

4,0

315

2

260

Hummer H2 6.0

94 500

20,0

321

10,5

180

4

1130

635 000

14,5

626

3,8

334

6

270

47 000

10,6

280

5,7

250

2

430

44 900

9,9

277

6,8

230

6

535

Авто Aston Martin DB9 5.9 Volante Audi TT 3.2 quattro coupe

MercedesBenz SLR MCLaren Mitsubishi Lancer EUO IX Sport Toyota Camry

11

Вариант

Множество А

1

Дорогой

2

Медленный

3

Средней стоимости

Множество В Невместительный Средней мощности Слабой мощности

4

Быстрый

Дешевый

Средней экономичности

5

Нединамичный

Средней вместительности

Экономичный

6

Безопасный

Неэкономичный

Средней быстроты

7

Среднединамичный

Мощный

Небезопасный

8

Медленный

Средней вместительности

Дорогой

9

Средней экономичности

Вместительный

10

Дешевый

Безопасный

11

Средней динамичности

Экономичный

12

Мощный

Средней быстроты

Небезопасный

13

Дешевый

Вместительный

Средней безопасности

14

Быстрый

Средней мощности

Нединамичный

15

Средней стоимости

Мощный

16

Медленный

Дорогой

17

Динамичный

Средней вместительности

12

Множество С Средней безопасности Динамичный Вместительный

Слабой мощности Средней мощности Невместительный

Невместительный Средней экономичности Неэкономичный

Вариант

Множество А

Множество В

18

Небезопасный

Экономичный

19

Среднединамичный

20

Быстрый

21

Средней экономичности

Слабой мощности Средней вместительности Невместительный

22

Дорогой

Небезопасный

Средней мощности

Неэкономичный

Вместительный

Средней быстроты

Безопасный

23 24

Средней динамичности Слабой мощности

Множество С Средней быстроты Безопасный Дешевый Мощный

Задание 1. На основании исходных данных придумать функции принадлежности указанных элементов к заданным нечетким множествам. 2. Полученные функции принадлежности представить в аналитическом и графическом виде с помощью средств Microsoft Excel. Аналитический вид функций принадлежности Авто А В Aston Martin DB9 5.9 Volante Audi TT 3.2 quattro coupe Bently Azure BMW X5 4.8 Sport

13

С

Авто Daewoo Nexia Ferrari F430 4.3 Spider Hummer H2 6.0 MercedesBenz SLR MCLaren Mitsubishi Lancer EUO IX Sport Toyota Camry

А

В

Графический вид функций принадлежности

14

С

Работа 2 «Операции над нечеткими множествами» 2.1. Операция «отрицание» Исходные данные • классическое отрицание: λ (μ ) = μ ( х) = 1 − μ ( х) ; • • •

квадратичное отрицание: λ(μ) = 1 − μ 2 ; 1− μ отрицание Сугено: λ(μ) = , −1 < k < ∞ ; 1+ k ⋅ μ ⎧⎪1, если μ ≤ α; дополнение порогового типа: λ(μ) = ⎨ ⎪⎩0, если μ > α.

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Множество А

{x1

; x2

;

x3

; x4

x5

;

x6

;

x7

;

x8

} 0.9 0.7 0.2 1 0.1 0.5 0.8 0.2 x x x x x x x x {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.5 0.2 0 0.4 0 0.7 0.8 0 x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0 0.5 1 0.7 0.2 0.4 0.8 0 x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.1 0.5 0.3 0.8 1 1 0 0 x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.4 0 1 0.7 0 0 0.8 0.9 x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0 0 0.7 1 0.3 0.2 0.8 0.9 x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.1 0.7 1 0 0.5 0.4 0.3 0.1 x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.7 0.2 0.3 0.8 0.5 0.4 1 0.5 x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.2 0.7 0.8 0.4 0.7 0.1 0.3 0 15

;

Вариант

Множество А

10

{x1

11

{x1

12 13 14 15 16

19 20 21 22 23 24

0.9

; x2

0 0

; ;

x3

x3

0.7 0.5

; x4

; x4

0.8

0.7

;

;

x5

x5

1

;

0.4

x6 ;

0

x6

;

0

x7 ;

0.4

x7

x8

;

0.6

;

} 0.2

x8

} 0.1

x x x x x ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.2 1 0.4 0.8 0.4 0.9 0 0.1 x x x x x x x x {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.3 0.5 1 0.2 1 0.2 0.7 0.9 x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 3; 8 } 0 0.6 1 0.1 0.7 0 1 1 x x x x x x x x { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 1 0.9 0.8 0.5 0.9 0.1 0.5 1 x x x x x x x { 1 ; 2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.1 1 0.3 0.9 0.2 1 0. 4 0. 4 {x1

17 18

0.5

; x2

{

x1

0 .8

;

x2

0 .3

;

x3

0 .5

;

0 .2

;

x5

1

;

x6

1

;

x7

0

;

x8

1

}

x x x x ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0 0.2 0 .7 0.8 0 . 1 0 .6 x x x x x { x1 ; ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0 .3 0 .4 0 .6 0 .7 0 .1 0 .1 1 0 x x x x x { x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0 0.9 0.1 1 0 .4 0.9 0 1 x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.2 0.6 0.8 1 0.9 0.7 0.5 0.3 x x x x x { x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0 .7 1 0 .6 0 0 .1 0 0 .3 0 .9 x x x x x { x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0 .4 0.8 1 1 0 .3 0.8 0.1 0.5 x x x x x { x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 1 0 .4 0 .5 0 .2 0 .2 0 0 .7 0 .2

{ x1

1

; x2

1 x2

;

x3

x4

16

Задание Для каждого отрицания исходного множества А определить, к какому типу оно относится. Решение: Отрицание

Условие А Б 1 2 3 4

В 5

Вывод

Классическое отрицание Квадратичное отрицание Отрицание Сугено Дополнение порогового типа Графический вид операций «отрицание» для заданного множества А

17

2.2. Треугольные нормы и конормы Исходные данные Определение функции ⎧⎪0, если max( x, y ) < 1 ⎨ ⎪⎩min( x, y ), если max( x, y ) = 1 max(0, x + y − 1)

Имя функции

Ограниченное произведение Пересечение по Лукасевичу Произведение Эйнштейна Алгебраическое произведение Произведение Гамахера Пересечение по Заде Объединение по Заде Сумма Гамахера Алгебраическая сумма Сумма Эйнштейна Объединение по Лукасевичу

x ⋅ y /[1 + (1 − x)] x⋅ y x ⋅ y /[1 − (1 − x) ⋅ (1 − y )] min( x, y ) max( x, y ) 1 − (1 − x) ⋅ (1 − y ) /(1 − x ⋅ y ) 1 − (1 − x) ⋅ (1 − y ) 1 − (1 − x) ⋅ (1 − y ) /(1 + x ⋅ y ) min(1, x + y )

⎧⎪1, если min( x, y ) > 0 ⎨ ⎪⎩max( x, y ), если min( x, y ) = 0

Ограниченная сумма

Задание 1. Заполнить таблицу исходных данных, распределив 12 известных функции (см. лекцию) на Т-нормы и ⊥ -конормы. 2. Упорядочить по убыванию значений исходные Т-нормы и ⊥ -конормы. 18

3. Значения х и у подобрать самостоятельно (!!!), так что х+у<1 (значения х и у задать с точностью до двух знаков после запятой). Аналитический вид Т-норма

Имя функции

⊥ -конорма

х= у=

х= у=

19

х= у=

Графический вид (по оси абсцисс отложить номер пары х,у (1, 2 и 3), а по оси ординат – значения функций)

2.3. Операции над нечеткими множествами

Исходные данные и задание Вариант 1 Дано универсальное множество U = {собаки}, два нечетких множества: А = «лохматая собака» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0.9 0.7 0.2 1 0.1 0.5 0.8 0.2 В = «умная собака» = x x x x x x x ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, ={ 1 ; 2 0.1 0.7 1 0 0.5 0.4 0.3 0.1

20

где х1 х2 х3

х4 х5 х6 х7 х8

6) 7) 8) 9)

Найти 1) множество С = «нелохматая собака»; 2) множество D = «лохматая и неПудель умная собака»; множество Е = «лохматая или 3) Доберман умная собака»; Терьер 4) степень включения множества Йоркшир «нелохматая собака» в множество «неумная собака» (и наоборот); Ротвейлер 5) степень равенства множества «лохматая и умная собака» и множества «умная собака»; множество F = «очень лохматая собака»; множество G = «более-менее умная собака»; уменьшить нечеткость множества Е; увеличить нечеткость множества D. Болонка Водолаз Овчарка

Вариант 2 Дано универсальное множество U = {собаки}, два нечетких множества: А = «вислоухая собака» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0.5 0.2 0 0.4 0 0.7 0.8 0 В = «умная собака» = x x x x x x x ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, ={ 1 ; 2 0.1 0.7 1 0 0.5 0.4 0.3 0.1 где Болонка х1 Водолаз х2 Овчарка х3

21

Найти 1) множество С = «неумная собака»; 2) множество D = «невислоухая и Терьер умная собака»; Йоркшир 3) множество Е = «умная или вислоухая собака»; Ротвейлер 4) степень включения множества «умная собака» в множество «неумная и невислоухая собака» (и наоборот); степень равенства множества «неумная или вислоухая собака» и множества «невислоухая собака»; множество F = «очень умная собака»; множество G = «более-менее вислоухая собака»; уменьшить нечеткость множества Е; увеличить нечеткость множества D. Пудель Доберман

х4 х5 х6 х7 х8

5) 6) 7) 8) 9)

Вариант 3 Дано универсальное множество U = {собаки}, два нечетких множества: А = «лохматая собака» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0.9 0.7 0.2 1 0.1 0.5 0.8 0.2 В = «вислоухая собака» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.5 0.2 0 0.4 0 0.7 0.8 0 где Болонка Йоркшир х1 х7 Водолаз Ротвейлер х2 х8 Овчарка х3 Найти Пудель х4 1) множество С = «невислоухая Доберман х5 собака»; Терьер х6 2) множество D = «нелохматая и не-

22

вислоухая собака»; 3) множество Е = «лохматая или вислоухая собака»; 4) степень включения множества «нелохматая и вислоухая собака » в множество «лохматая и невислоухая собака» (и наоборот); 5) степень равенства множества «лохматая и вислоухая собака» и множества «лохматая собака»; 6) множество F = «очень вислоухая собака»; 7) множество G = «более-менее лохматая собака»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D. Вариант 4 Дано универсальное множество U = {собаки}, два нечетких множества: А = «лохматая собака» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0.9 0.7 0.2 1 0.1 0.5 0.8 0.2 В = «собака с короткими лапами» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.7 0.2 0.3 0.8 0.5 0.4 1 0.5 где Найти Болонка х1 1) множество С = «собака с длинВодолаз х2 ными лапами»; Овчарка х3 2) множество D = «лохматая собака

х4 х5 х6 х7 х8

Пудель Доберман

с короткими лапами»; 3) множество Е = «нелохматая собака или собака с короткими лапаТерьер ми»; Йоркшир 4) степень включения множества «нелохматая собака» в множество Ротвейлер «нелохматая собака с длинными лапами» (и наоборот); 23

5) степень равенства множества «лохматая собака» и множества «собака с короткими лапами»; 6) множество F = «собака с очень короткими лапами»; 7) множество G = «более-менее лохматая собака»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D. Вариант 5 Дано универсальное множество U = {собаки}, два нечетких множества: А = «собака с длинным хвостом» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0.2 0.7 0.8 0.4 0.7 0.1 0.3 0 В = «умная собака» = x x x x x = {x1 ; x 2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.1 0.7 1 0 0.5 0.4 0.3 0.1 где Найти Болонка х1 1) множество С = «неумная собака»; Водолаз х2 2) множество D = «умная собака с Овчарка х3 коротким хвостом»; Пудель х4 3) множество Е = «неумная собака или собака длинным хвостом»; Доберман х5 4) степень включения множества Терьер х6 «умная собака» в множество «неЙоркшир х7 умная собака с длинным хвостом» (и наоборот); Ротвейлер х8 5) степень равенства множества «умная собака с длинным хвостом» и множества «собака с коротким хвостом»; 6) множество F = «очень умная собака»; 7) множество G = «собака с более-менее длинным хвостом»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 24

9) увеличить нечеткость множества D. Вариант 6 Дано универсальное множество U = {собаки}, два нечетких множества: А = «собака с короткими лапами» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.7 0.2 0.3 0.8 0.5 0.4 1 0.5 В = «вислоухая собака» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.5 0.2 0 0.4 0 0.7 0.8 0 где Найти Болонка х1 1) множество С = «невислоухая соВодолаз х2 бака»; Овчарка х3 2) множество D = «вислоухая собака Пудель х4 с короткими лапами»; 3) множество Е = «невислоухая соДоберман х5 бака или собака с длинными лаТерьер х6 пами»; Йоркшир х7 4) степень включения множества «вислоухая собака» в множество Ротвейлер х8 «собака с длинными лапами» (и наоборот); 5) степень равенства множества «невислоухая собака с длинными лапами» и множества «собака с короткими лапами»; 6) множество F = «очень вислоухая собака»; 7) множество G = «собака с более-менее короткими лапами»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D.

25

Вариант 7 Дано универсальное множество U = {собаки}, два нечетких множества: А = «собака с длинным хвостом» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0.2 0.7 0.8 0.4 0.7 0.1 0.3 0 В = «вислоухая собака» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.5 0.2 0 0.4 0 0.7 0.8 0 где Найти Болонка х1 1) множество С = «собака с коротВодолаз х2 ким хвостом»; Овчарка х3 2) множество D = «вислоухая собака Пудель х4 с длинным хвостом»; множество Е = «собака с корот3) Доберман х5 ким хвостом или невислоухая соТерьер х6 бака»; Йоркшир х7 4) степень включения множества «вислоухая собака с коротким Ротвейлер х8 хвостом» в множество «собака с длинным хвостом» (и наоборот); 5) степень равенства множества «вислоухая собака или собака с длинным хвостом» и множества «вислоухая собака»; 6) множество F = «собака с очень длинным хвостом»; 7) множество G = «более-менее вислоухая собака»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D.

26

Вариант 8 Дано универсальное множество U = {собаки}, два нечетких множества:

А = «собака с длинным хвостом» = x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0.2 0.7 0.8 0.4 0.7 0.1 0.3 0 В = «собака с короткими лапами» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.7 0.2 0.3 0.8 0.5 0.4 1 0.5 где Найти Болонка х1 1) множество С = «собака с длинВодолаз х2 ными лапами»; Овчарка х3 2) множество D = «собака с коротПудель Доберман

х4 х5 х6 х7 х8

5) 6) 7) 8) 9)

кими лапами и коротким хвостом»; 3) множество Е = «собака с длинТерьер ным хвостом или короткими лаЙоркшир пами»; степень включения множества 4) Ротвейлер «собака с длинным хвостом» в множество «собака с длинными лапами и коротким хвостом» (и наоборот); степень равенства множества «собака с длинным хвостом» и множества «собака с короткими лапами»; множество F = «собака с очень короткими лапами»; множество G = «собака с более-менее длинным хвостом»; уменьшить нечеткость множества Е; увеличить нечеткость множества D.

27

Вариант 9 Дано универсальное множество U = {собаки}, два нечетких множества: А = «собака с короткими лапами» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0.7 0.2 0.3 0.8 0.5 0.4 1 0.5 В = «умная собака» = x x x x x = {x1 ; x 2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.1 0.7 1 0 0.5 0.4 0.3 0.1 где Найти Болонка х1 1) множество С = «неумная собака»; Водолаз х2 2) множество D = «умная собака с Овчарка х3 длинными лапами»; Пудель х4 3) множество Е = «неумная собака или собака с длинными лапами»; Доберман х5 4) степень включения множества Терьер х6 «неумная собака» в множество Йоркшир х7 «собака с длинными лапами» (и наоборот); Ротвейлер х8 5) степень равенства множества «умная собака с короткими лапами» и множества «умная собака или собака с длинными лапами»; 6) множество F = «очень умная собака»; 7) множество G = «собака с более-менее короткими лапами»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D.

28

Вариант 10 Дано универсальное множество U = {торты}, два нечетких множества: А = «торт с фруктами» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0.4 0 1 0.7 0 0 0.8 0.9 В = «торт с кремом» = x x x x x = {x1 ; x 2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.1 0.5 0.3 0.8 1 1 0 0 где Найти Торт «Ягодный» х1 1) множество С = Торт «Медовый» х2 = «торт без крема»; Торт «Поляна» х3 2) множество D = Торт «Праздничный» х4 = «торт с кремом и фруктами»; Торт «Сказка» х5 3) множество Е = Торт «Наполеон» х6 = «торт без фруктов Торт «Солнышко» х7 или без крема»; 4) степень включения Торт «Низкокалорийный» х8 множества «торт с кремом» в множество «торт с кремом, но без фруктов» (и наоборот); 5) степень равенства множества «торт без фруктов» и множества «торт с фруктами или с кремом»; 6) множество F= «торт с очень многими фруктами»; 7) множество G= «торт более-менее содержащий крем»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D.

29

Вариант 11 Дано универсальное множество U = {торты}, два нечетких множества: А = «торт с орехами» = x x x x x = {x1 ; x 2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0 0.5 1 0.7 0.2 0.4 0.8 0 В = «торт с кремом» = x x x x x = {x1 ; x 2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.1 0.5 0.3 0.8 1 1 0 0 где Найти Торт «Ягодный» х1 1) множество С = Торт «Медовый» х2 = «торт без ореТорт «Поляна» х3 хов»; Торт «Праздничный» х4 2) множество D = = «торт без крема и Торт «Сказка» х5 без орехов»; Торт «Наполеон» х6 3) множество Е = Торт «Солнышко» х7 = «торт с орехами или без крема»; Торт «Низкокалорийный» х8 4) степень включения множества «торт с кремом без орехов» в множество «торт с кремом и орехами» (и наоборот); 5) степень равенства множества «торт без орехов» и множества «торт с орехами или с кремом»; 6) множество F= «торт с очень многими орехами»; 7) множество G= «торт более-менее содержащий крем»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D.

30

Вариант 12 Дано универсальное множество U = {торты}, два нечетких множества: А = «торт с фруктами» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0.4 0 1 0.7 0 0 0.8 0.9 В = «торт с мармеладом» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.5 0 0.7 0.8 1 0 0.4 0.2 где Найти Торт «Ягодный» х1 1) множество С = Торт «Медовый» х2 = «торт без мармеТорт «Поляна» х3 лада»; Торт «Праздничный» х4 2) множество D = = «торт с мармелаТорт «Сказка» х5 дом, но без фрукТорт «Наполеон» х6 тов»; Торт «Солнышко» х7 3) множество Е = «торт с фруктами Торт «Низкокалорийный» х8 или без мармелада»; 4) степень включения множества «торт с фруктами» в множество «торт без фруктов и мармелада» (и наоборот); 5) степень равенства множества «торт без фруктов» и множества «торт без фруктов или с мармеладом»; 6) множество F= «торт с очень большим содержанием мармелада»; 7) множество G= «торт более-менее содержащий фрукты»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D.

31

Вариант 13 Дано универсальное множество U = {торты}, два нечетких множества: А = «торт с повидлом» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0.9 0 0.5 0.7 0.4 0 0.6 0.1 В = «торт с мармеладом» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.5 0 0.7 0.8 1 0 0.4 0.2 где Найти Торт «Ягодный» х1 1) множество С = Торт «Медовый» х2 = «торт без повидТорт «Поляна» х3 ла»; Торт «Праздничный» х4 2) множество D = = «торт с мармелаТорт «Сказка» х5 дом и повидлом»; Торт «Наполеон» х6 3) множество Е = Торт «Солнышко» х7 «торт без мармелада или без повидТорт «Низкокалорийный» х8 ла»; 4) степень включения множества «торт с повидлом» в множество «торт с повидлом, но без мармелада» (и наоборот); 5) степень равенства множества «торт без мармелада» и множества «торт без повидла или с мармеладом»; 6) множество F = «торт с очень большим содержанием повидла»; 7) множество G = «торт более-менее содержащий мармелад»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D.

32

Вариант 14 Дано универсальное множество U = {собаки}, два нечетких множества: А = «собака с короткими лапами» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0.7 0.2 0.3 0.8 0.5 0.4 1 0.5 В = «вислоухая собака» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.5 0.2 0 0.4 0 0.7 0.8 0 где Найти Болонка х1 1) множество С = «собака с длинВодолаз х2 ными лапами»; Овчарка х3 2) множество D = «невислоухая соПудель х4 бака с короткими лапами»; множество Е = «вислоухая собака 3) Доберман х5 или собака с короткими лапами»; Терьер х6 4) степень включения множества Йоркшир х7 «невислоухая собака» в множество «собака с длинными лапами» Ротвейлер х8 (и наоборот); 5) степень равенства множества «вислоухая собака с длинными лапами» и множества «собака с короткими лапами»; 6) множество F = «собака с очень короткими лапами»; 7) множество G = «более-менее вислоухая собака»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D.

33

Вариант 15 Дано универсальное множество U = {торты}, два нечетких множества: А = «торт с фруктами» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0.4 0 1 0.7 0 0 0.8 0.9 В = «торт с кремом» = x x x x x = {x1 ; x 2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.1 0.5 0.3 0.8 1 1 0 0 где Найти Торт «Ягодный» х1 1) множество С = Торт «Медовый» х2 = «торт без фрукТорт «Поляна» х3 тов»; Торт «Праздничный» х4 2) множество D = = «торт без крема и Торт «Сказка» х5 с фруктами»; Торт «Наполеон» х6 3) множество Е = Торт «Солнышко» х7 «торт с фруктами или с кремом»; Торт «Низкокалорийный» х8 4) степень включения множества «торт с кремом» в множество «торт с кремом с и фруктами» (и наоборот); 5) степень равенства множества «торт без фруктов» и множества «торт без фруктами или с кремом»; 6) множество F = «торт с очень большим количеством крема»; 7) множество G = «торт более-менее содержащий фрукты»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D.

34

Вариант 16 Дано универсальное множество U = {торты}, два нечетких множества: А = «торт с орехами» = x x x x x = {x1 ; x 2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0 0.5 1 0.7 0.2 0.4 0.8 0 В = «торт с фруктами» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.4 0 1 0.7 0 0 0.8 0.9 где Найти Торт «Ягодный» х1 1) множество С = Торт «Медовый» х2 = «торт без фрукТорт «Поляна» х3 тов»; Торт «Праздничный» х4 2) множество D = = «торт с фруктами Торт «Сказка» х5 без орехов»; Торт «Наполеон» х6 3) множество Е = Торт «Солнышко» х7 «торт без фруктов или с орехами»; Торт «Низкокалорийный» х8 4) степень включения множества «торт с орехами» в множество «торт без фруктов и без орехов» (и наоборот); 5) степень равенства множества «торт с фруктами и орехами» и множества «торт без орехов»; 6) множество F = «торт с очень многими фруктами»; 7) множество G = «торт более-менее содержащий орехи»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D.

35

Вариант 17 Дано универсальное множество U = {торты}, два нечетких множества: А = «торт со сливками» = x x x x x = {x1 ; x 2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0 0 0.7 1 0.3 0.2 0.8 0.9 В = «торт с повидлом» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.9 0 0.5 0.7 0.4 0 0.6 0.1 где Найти Торт «Ягодный» х1 1) множество С = Торт «Медовый» х2 = «торт без слиТорт «Поляна» х3 вок»; Торт «Праздничный» х4 2) множество D = «торт с повидлом и Торт «Сказка» х5 сливками»; Торт «Наполеон» х6 3) множество Е = Торт «Солнышко» х7 «торт без повидла или со сливками»; Торт «Низкокалорийный» х8 4) степень включения множества «торт с повидлом» в множество «торт с повидлом или без сливок» (и наоборот); 5) степень равенства множества «торт без повидла, но со сливками» и множества «торт без повидла и без сливок»; 6) множество F = «торт с очень большим содержанием сливок»; по7) множество G = «торт более-менее содержащий видло»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D.

36

Вариант 18 Дано универсальное множество U = {торты}, два нечетких множества: А = «торт со сливками» = x x x x x = {x1 ; x 2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0 0 0.7 1 0.3 0.2 0.8 0.9 В = «торт с сахарной пудрой» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.2 1 0.4 0.8 0.4 0.9 0 0.1 где Найти Торт «Ягодный» х1 1) множество С = Торт «Медовый» х2 = «торт без сахарТорт «Поляна» х3 ной пудры»; Торт «Праздничный» х4 2) множество D = = «торт с сахарной Торт «Сказка» х5 пудрой и сливкаТорт «Наполеон» х6 ми»; Торт «Солнышко» х7 3) множество Е = «торт без сливок Торт «Низкокалорийный» х8 или без сахарной пудры»; 4) степень включения множества «торт с сахарной пудрой» в множество «торт без сливок» (и наоборот); 5) степень равенства множества «торт без сахарной пудры и без сливок» и множества «торт со сливками»; 6) множество F = «торт с очень большим содержанием сахарной пудры»; 7) множество G = «торт более-менее содержащий сливки»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D.

37

Вариант 19 Дано универсальное множество U = {собаки}, два нечетких множества: А = «лохматая собака» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0.9 0.7 0.2 1 0.1 0.5 0.8 0.2 В = «вислоухая собака» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.5 0.2 0 0.4 0 0.7 0.8 0 где Найти Болонка х1 1) множество С = «нелохматая Водолаз х2 собака»; Овчарка х3 2) множество D = «лохматая и неПудель х4 вислоухая собака»; множество Е = «нелохматая или 3) Доберман х5 вислоухая собака»; Терьер х6 4) степень включения множества Йоркшир х7 «лохматая и вислоухая собака » в множество «нелохматая и невисРотвейлер х8 лоухая собака» (и наоборот); 5) степень равенства множества «нелохматая и вислоухая собака» и множества «вислоухая собака»; 6) множество F = «очень лохматая собака»; 7) множество G = «более-менее вислоухая собака»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D.

38

Вариант 20 Дано универсальное множество U = {собаки}, два нечетких множества: А = «собака с длинным хвостом» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0.2 0.7 0.8 0.4 0.7 0.1 0.3 0 В = «вислоухая собака» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.5 0.2 0 0.4 0 0.7 0.8 0 где Найти Болонка х1 1) множество С = «собака с коротВодолаз х2 ким хвостом»; Овчарка х3 2) множество D = «невислоухая соПудель х4 бака с коротким хвостом»; множество Е = «собака с длин3) Доберман х5 ным хвостом или невислоухая Терьер х6 собака»; Йоркшир х7 4) степень включения множества «невислоухая собака с длинным Ротвейлер х8 хвостом» в множество «собака с длинным хвостом» (и наоборот); 5) степень равенства множества «вислоухая собака или собака с коротким хвостом» и множества «вислоухая собака»; 6) множество F = «собака с очень длинным хвостом»; 7) множество G = «более-менее вислоухая собака»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D.

39

Вариант 21 Дано универсальное множество U = {торты}, два нечетких множества: А = «торт с орехами» = x x x x x = {x1 ; x 2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0 0.5 1 0.7 0.2 0.4 0.8 0 В = «торт с сахарной пудрой» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.2 1 0.4 0.8 0.4 0.9 0 0.1 где Найти Торт «Ягодный» х1 1) множество С = Торт «Медовый» х2 = «торт без ореТорт «Поляна» х3 хов»; Торт «Праздничный» х4 2) множество D = = «торт с орехами Торт «Сказка» х5 без сахарной Торт «Наполеон» х6 пудры»; Торт «Солнышко» х7 3) множество Е = «торт без орехов Торт «Низкокалорийный» х8 или с сахарной пудрой»; 4) степень включения множества «торт с орехами и сахарной пудрой» в множество «торт без сахарной пудры» (и наоборот); 5) степень равенства множества «торт без орехов» и множества «торт без орехов или без сахарной пудры»; 6) множество F = «торт с очень большим содержанием орехов»; 7) множество G = «торт более-менее содержащий сахарную пудру»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D.

40

Вариант 22 Дано универсальное множество U = {собаки}, два нечетких множества: А = «лохматая собака» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0.9 0.7 0.2 1 0.1 0.5 0.8 0.2 В = «умная собака» = x x x x x = {x1 ; x 2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.1 0.7 1 0 0.5 0.4 0.3 0.1 где Найти Болонка х1 1) множество С = «неумная собака»; Водолаз х2 2) множество D = «нелохматая и Овчарка х3 умная собака»; Пудель х4 3) множество Е = «лохматая или неумная собака»; Доберман х5 4) степень включения множества Терьер х6 «нелохматая собака» в множество Йоркшир х7 «умная собака» (и наоборот); 5) степень равенства множества Ротвейлер х8 «нелохматая и неумная собака» и множества «неумная собака»; 6) множество F = «очень умная собака»; 7) множество G = «более-менее лохматая собака»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D.

41

Вариант 23 Дано универсальное множество U = {собаки}, два нечетких множества: А = «собака с короткими лапами» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0.7 0.2 0.3 0.8 0.5 0.4 1 0.5 В = «умная собака» = x x x x x = {x1 ; x 2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0.1 0.7 1 0 0.5 0.4 0.3 0.1 где Найти Болонка х1 1) множество С = «собака с длинВодолаз х2 ными лапами»; Овчарка х3 2) множество D = «неумная собака с Пудель х4 длинными лапами»; множество Е = «умная собака или 3) Доберман х5 собака с длинными лапами»; Терьер х6 4) степень включения множества Йоркшир х7 «не умная собака» в множество «собака с короткими лапами» (и Ротвейлер х8 наоборот); 5) степень равенства множества «неумная собака с короткими лапами» и множества «умная собака или собака с длинными лапами»; 6) множество F = «собака с очень короткими лапами»; 7) множество G = «более-менее умная собака»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D.

42

Вариант 24 Дано универсальное множество U = {торты}, два нечетких множества: А = «торт с фруктами» = x x x x x = {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }; 0.4 0 1 0.7 0 0 0.8 0.9 В = «торт со сливками» = x x x x x = {x1 ; x 2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }, 0 0 0.7 1 0.3 0.2 0.8 0.9 где Найти Торт «Ягодный» х1 1) множество С = Торт «Медовый» х2 = «торт без фрукТорт «Поляна» х3 тов»; Торт «Праздничный» х4 2) множество D = = «торт с фруктами Торт «Сказка» х5 и со сливками»; Торт «Наполеон» х6 3) множество Е = Торт «Солнышко» х7 «торт без фруктов или без сливок»; Торт «Низкокалорийный» х8 4) степень включения множества «торт с фруктами» в множество «торт без фруктов и со сливками» (и наоборот); 5) степень равенства множества «торт без сливок или с фруктами» и множества «торт без фруктов»; 6) множество F = «торт с очень многими фруктами»; 7) множество G = «торт более-менее содержащий сливки»; 8) уменьшить нечеткость множества Е; 9) увеличить нечеткость множества D.

43

Аналитический вид х1 х2 1

х3

х4

2

3 4 5 6 7 8 9

44

х5

х6

х7

х8

Работа 3 «Нечеткие отношения» 3.1. Операции над нечеткими отношениями

Исходные данные Нечеткие отношения А, В, Е заданы в виде следующих таблиц: А="нравится" Вася Дима Оля Катя 0,7 0,7 0,3 0,8 Вася 0,5 1 1 0,5 Дима 0,7 0 0 1 Оля 1 0,6 0,9 0,5 Катя В="красивее" Вася 1 Вася 0,5 Дима 0,4 Оля 0,7 Катя

Дима 0,5 1 0 0,5

Оля 0,6 1 1 0,8

Катя 0,3 0,5 0,2 1

Е="быстрее бегает" Вася Дима 0 0,5 Вася 0,5 0 Дима 0,7 0 Оля 0,8 0,5 Катя

Оля 0,3 1 0 0,1

Катя 0,2 0,5 0,9 0

45

Задание Найти все композиции нечетких отношений R1 и R2, если Вариант R1 и R2 −1 R1 = B ∪ Е 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

R2 = ( А ∩ В ) ∩ А R1 = В ∪ Е R2 = ( А ∩ В ) −1 ∩ ( А ∪ В ) R1 = ( А ∪ В ) −1 ∩ В R2 = Е ∪ ( А ∩ В ) R1 = ( A ∪ B) ∪ A−1 R2 = ( А ∩ В) ∩ E R1 = ( B ∩ A−1 ) ∪ E R2 = ( А ∩ В) ∩ ( E −1 ∪ A) R1 = A ∪ Е −1 R2 = ( А ∩ B) −1 ∩ E ∪ B

R1 = ( A ∪ B) −1 ∩ В R2 = Е ∪ ( А−1 ∩ В −1 ) R1 = ( A ∪ E ) −1 ∪ B R2 = ( А ∩ В) ∪ ( B −1 ∩ E ) R1 = ( B −1 ∪ Е ) ∩ A R2 = ( E ∩ В) ∩ А−1

R1 = ( A ∪ Е ) −1 R2 = ( А ∩ В) −1 ∪ ( A ∪ B) 46

Вариант

R1 и R2 R1 = ( E ∪ В) ∩ B −1

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

R2 = A ∪ ( A ∩ E ) −1 R1 = ( A ∪ B −1 ) −1 R2 = ( E −1 ∩ B ) ∩ A

R1 = B −1 ∩ Е R2 = ( А ∩ В) ∪ E R1 = В ∪ Е R2 = ( А ∩ E ) −1 ∪ ( А ∪ В) R1 = ( А ∩ В) −1 ∩ E R2 = Е ∪ ( А ∩ В) R1 = ( E ∪ B ) ∪ A−1 R2 = ( А ∩ В ) ∪ B

R1 = ( B ∪ A−1 ) ∩ E R2 = ( А ∩ В) ∪ ( E −1 ∪ B) R1 = A ∩ Е −1 R2 = ( А ∪ B ) −1 ∩ E ∪ B R1 = ( A ∪ E ) −1 ∩ В R2 = Е ∩ ( А−1 ∪ В −1 )

R1 = ( A ∩ E ) −1 ∪ B R2 = ( А ∪ В ) ∩ ( B −1 ∩ E ) R1 = ( B −1 ∩ Е ) ∪ A R2 = ( A ∩ В) ∩ E −1

47

R1 и R2

Вариант 22

23

24

R1 = ( A ∩ Е )

−1

R2 = ( А ∪ В ) −1 ∩ ( E ∪ B )

R1 = ( E ∩ В ) −1 ∪ B R2 = A ∪ ( A ∪ E ) −1 R1 = ( A ∩ B −1 ) −1 R2 = ( E −1 ∩ B ) ∪ A

Решение Отношение R1 (вставить условие своего варианта) Вася Дима Оля Катя Вася Дима Оля Катя Отношение R2 (вставить условие своего варианта) Вася Дима Оля Катя Вася Дима Оля Катя Максиминная композиция Вася Дима Вася Дима Оля Катя

Оля

48

Катя

Минимаксная композиция Вася Дима Вася Дима Оля Катя

Оля

Катя

Максимультипликативная композиция Вася Дима Оля Катя Вася Дима Оля Катя 3.2. Свойства нечетких отношений

Исходные данные Отношение R1 (вставить условие своего варианта) Вася Дима Оля Катя Вася Дима Оля Катя Отношение R2 (вставить условие своего варианта) Вася Дима Оля Катя Вася Дима Оля Катя 49

Задание Для нечетких отношений R1 и R2 определить их свойства. Решение Свойство рефлексивное Рефлексивность иррефлексивное симметричное антисимметричное Симметричность совершенно антисимметричное Транзитивность транзитивное

50

R1

R2

Работа 4 «Нечеткие числа. Нечеткий логический вывод» 4.1. Операции над нечеткими числами

Исходные данные (варианты 1–12) Даны два нечетких трапезоидных числа х и у. х 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

у 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 3

4

5

6

7

51

8

9

10

Исходные данные (варианты 13–24) Даны два нечетких трапезоидных числа х и у. x

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

y 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 3

4

5

6

7

8

9

10

Задание Найти нечеткое число z = x ⋅ y , используя принцип обобщения Заде на заданных дискретах. Вариант 1 х у

1 3

Дискреты 2 4 4 5

52

6 6

7 7

Вариант 2 х у

2 4

Дискреты 3 7 5 7

8 8

9 10

1 3

Дискреты 2 3 5 7

6 8

8 9

1 5

Дискреты 2 7 6 8

8 9

9 10

3 3

Дискреты 5 7 6 7

8 8

9 9

1 3

Дискреты 2 4 4 5

6 6

7 7

2 4

Дискреты 5 7 6 7

8 8

9 10

Вариант 3 х у Вариант 4 х у Вариант 5 х у Вариант 6 х у Вариант 7 х у

53

Вариант 8 х у

Дискреты 3 4 5 6

7 7

8 8

Дискреты 5 6 6 8

7 9

9 10

1 3

Дискреты 4 7 4 6

8 8

9 10

3 3

Дискреты 5 6 5 8

8 9

9 10

1 5

Дискреты 4 7 6 7

8 9

9 10

1 3

Дискреты 2 4 4 5

6 6

7 7

2 4

Вариант 9

4 х 3 у Вариант 10 х у Вариант 11 х у Вариант 12 х у Вариант 13 х у

54

Вариант 14 Дискреты 3 7 5 7

8 8

9 10

Дискреты 2 3 5 7

6 8

8 9

Дискреты 2 7 6 8

8 9

9 10

3 3

Дискреты 5 7 6 7

8 8

9 9

1 3

Дискреты 2 4 4 5

6 6

7 7

2 4

Дискреты 5 7 6 7

8 8

9 10

2 4

Дискреты 3 4 5 6

7 7

8 8

2 х 4 у Вариант 15 х у

1 3

Вариант 16

1 х 5 у Вариант 17 х у Вариант 18 х у Вариант 19 х у Вариант 20 х у

55

Вариант 21 Дискреты 5 6 6 8

7 9

9 10

Дискреты 4 7 4 6

8 8

9 10

Дискреты 5 6 5 8

8 9

9 10

Дискреты 4 7 6 7

8 9

9 10

Аналитический вид нечеткого числа z μ ( х) μ( у) у* х у

min

4 х 3 у Вариант 22 х у

1 3

Вариант 23

3 х 3 у Вариант 24 х у

1 5

56

μ ( у*)

у*

х

у

μ ( х)

57

μ( у)

min

μ ( у*)

Графический вид нечеткого числа z

58

4.2. Нечеткий логический вывод

Исходные данные (варианты 1–12) Пусть существует некоторая система, описываемая тремя параметрами: температура, давление и расход рабочего вещества. Все показатели измеримы, и множество возможных значений известно. Температура: высокая 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

средняя 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

низкая 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

59

Давление: высокое 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

60

70

80

90

100

среднее 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

10

20

30

40

50

низкое 1,5 1 0,5 0 0

10

20

30

40

50

60

60

70

80

90

100

Расход: большой 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0

0,5

1

1,5 2

2,5

3

3,5 4

4,5

5

5,5 6

6,5

7

7,5 8

5,5

6,5

7

7,5

средний 1,5 1 0,5 0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

6

8

малый 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

61

5

5,5

6

6,5

7

7,5

8

Исходные данные (варианты 12–24) Существует некоторая система, описываемая тремя параметрами: температура, давление и расход рабочего вещества. Все показатели измеримы, и множество возможных значений известно. Температура: высокая

90 10 0 11 0 12 0 13 0 14 0 15 0

80

70

60

50

40

30

0 10 20

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

средняя

90 10 0 11 0 12 0 13 0 14 0 15 0

80

60 70

50

40

30

0 10 20

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

низкая

90 10 0 11 0 12 0 13 0 14 0 15 0

80

70

60

50

40

30

0 10 20

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

62

Давление: высокое 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90 100

60

70

80

90 100

60

70

80

90 100

среднее 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0

10

20

30

40

50

низкое 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0

10

20

30

40

50

63

Расход: большой 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

средний 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

малый 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Из опыта работы с системой известны некоторые правила, связывающие значения этих параметров. ƒ если температура низкая и расход малый, то давление низкое; 64

ƒ ƒ

если температура средняя, то давление среднее; если температура высокая или расход большой, то Давление высокое.

Задание Найти значение параметра «давление», если значения температуры и расхода равны соответственно: Вариант Температура 60 1 90 2 65 3 75 4 120 5 80 6 50 7 55 8 45 9 60 10 85 11 70 12 60 13 90 14 65 15 75 16 120 17 80 18 50 19 55 20 45 21 60 22 85 23 70 24

Расход 3 4,5 3 5,5 1 6,5 7 8 4,5 6,5 7 3,5 3 4,5 3 5,5 1 6,5 7 8 4,5 6,5 7 3,5

65

Значение параметра «давление» найти четырьмя способами: MF (максимум функции принадлежности, только если функция принадлежности получилась одноэкстремальной), COG (Center Of Gravity – «центр тяжести», для приближенного решения использовать не менее 10 значений), MOM (Mean Of Maximum – «центр максимумов»), FM (First Maximum – «первый максимум»). При решении использовать импликацию в интерпретации Мамдани.

Графическая интерпретация

Решение MF

COG MOM FM

Давление =

66

4.3. Упорядочение операторов импликации

Исходные данные В таблице показаны различные интерпретации понятия оператора импликации: Larsen μ А→ В ( х , у ) = μ A ( x ) μ B ( y ) Lukasiewicz μ А→ В ( х, у ) = min{1,1 − μ A ( x) + μ B ( y )} Mamdani Standard Strict (Godel) Gaines

Kleene-Dienes

μ А→ В ( х, у ) = min{μ A ( x), μ B ( y )} ⎧⎪1, если μ А ( х) ≤ μ В ( у ) ⎪⎩0, в противном случае

μ А→ В ( х , у ) = ⎨

⎧1, если μ А ( х) ≤ μ В ( у ) ⎪ μ А→ В ( х , у ) = ⎨ μ В ( у ) ⎪ μ ( х) , в противном случае ⎩ А μ А→ В ( х, у ) = max{1 − μ A ( x), μ B ( y )}

Kleene-Dienes- μ А→ В ( х, у ) = 1 − μ А ( х) + μ A ( x) μ B ( y ) Lu Задание Проверить на 10 наборах μ A ( x), μ B ( y ) (с точностью до двух знаков после запятой!!!), можно ли упорядочить представленные интерпретации.

Аналитический вид

67

Графический вид

68

Тестовые задания для самопроверки Тема 1 «Введение в теорию нечетких моделей» 1

2

3

Один верный ответ Кто является основателем теории нечетких множеств и нечеткой логики? A Кайберг B Гасанов C Заде D Кантор Импликативные схемы – это: A логико-вероятностные схемы дедуктивного вывода вероятностей простых событий на основе перебора сложного множества данных гипотез о реализации простых событий, входящих составными частями в исследуемое простое событие B логико-вероятностные схемы дедуктивного вывода интегральных вероятностей сложных событий на основе перебора полного множества исходных гипотез о реализации простых событий, входящих составными частями в исследуемое сложное событие C схемы индуктивного вывода интегральных вероятностей событий на основе выбора полного множества исходных гипотез о реализации данных событий, входящих частями в исследуемое событие D вероятностные схемы индуктивного вывода интегральных вероятностей простых событий на основе перебора полного множества исходных гипотез о реализации простых событий, входящих составными частями в исследуемое сложное событие Фундаментальный принцип современной науки – явление нельзя считать хорошо понятным до тех пор, пока: A оно не описано посредством не качественных характеристик

69

B

4

5

6

7

оно не описано посредством не количественных характеристик C оно не описано посредством количественных характеристик D оно не описано посредством качественных характеристик В методе Гурвица учитываются: A наилучший и наихудший сценарии совместно B наилучшие сценарии C наихудшие сценарии D нет правильного ответа Несколько верных ответов Нечеткие модели имеют следующие отличительные черты: A использование так называемых лингвистических переменных вместо числовых переменных или в дополнении к ним B простые отношения между переменными описываются с помощью нечетких высказываний C отношение между переменными описываются простыми алгоритмами D сложные отношения между переменными описываются нечеткими алгоритмами E все ответы верны Использовать нечеткие механизмы моделирования можно: A при описании переменных B при описании системы C при задании параметров системы D при задании входов (выходов) состояний системы E все ответы верны Сфера применения нечетких моделей: A получение информации сложно, трудно, долго, дорого, невозможно B получение информации возможно, легко, быстро, дешево

70

C

8

9

10

источником основной информации являются экспертные данные, эвристические описания процессов функционирования D источником основной информации являются заданные параметры E информация о системе разнокачественная, или оценка параметров, проводится с использованием разных шкал Благодаря чьим работам появились субъективные (аксиологические) вероятности? A Пойа B Фишер C де Финетти D Сэвидж E Финерр Практические задания Определить, какие нечеткие (возможные) значения подходят для температуры {–400С; 400С}: A холодно B жарко C тепло D все ответы верны Определить, какие базовые (точные) значения подходят для нечеткого множества «Зима»: A январь, май, апрель B июнь, июль, август C декабрь, январь, февраль D сентябрь, октябрь, март

Ответы 1

2

3

4

5

6

71

7

8

9

10

Тема 2 «Основные понятия нечетких множеств» 1

Один верный ответ Функция принадлежности нечёткого множества μ A ( x) : A задает степень принадлежности каждого элемента х пространства рассуждения U к данному нечёткому множеству А B совокупность абстрактных сущностей или объектных переменных C совокупность пар <x, μ A ( x) >, где U – область рассуждений, μ А ( х) – область принадлежности задает степень принадлежности одного элемента х пространства рассуждения U к данному нечёткому множеству А Нечеткое множество А называется унимодальным, если: A μ А ( х) =1 только для единственного x ∈ U B μ А ( х) =1 для многих значений x ∈ U D

2

C 3

D его носитель состоит из единственной точки Чему равняется μ A ( x) в точке перехода нечеткого множества А? A μ A ( x) = 0 B μ A ( x) = 0,25 C D

4

∀x ∈ U : μ A ( x) = 0

μ A ( x) = 0,5 μ A ( x) = 0,75

Нечеткое множество А называется пустым, если: A ∀x ∈ U : μ A ( x) = 0 B C D

∀x ∈ U : μ A ( x) > 0 ∀x ∈ U : μ A ( x) = 1 ∀x ∈ U : μ A ( x) = 0,5 72

5

6

Несколько верных ответов Высота h(A) нечеткого множества А A величина супремума для значений функции принадлежности подмножества А области рассуждений U B величина инфимума для значений функции принадлежности подмножества А области рассуждений U C это число, которое в случае дискретного универсума определяется как сумма всех степеней принадлежности нечеткого множества D величина, равная верхней границе всех степеней нечеткого множества E значение в любой точке любого отрезка [0,1] F элемент с ненулевой степенью принадлежности Какой функцией принадлежности задается четкое множество А*, ближайшее к нечеткому множеству А? A ⎧0, x < 0,4;

B

C

D

⎪ ⎪ x − 0,4 μ А* ( x) = ⎨ , 0,4 ≤ x ≤ 0,6; ⎪ 0,6 − 0,4 ⎪⎩1, x > 0,6 ⎧0, μ А ( х) < 0,55; ⎪ μ А* ( x) = ⎨1, μ A ( x) > 0,55; ⎪ ⎩0 или 1, иначе ⎧⎪0, μ А ( х) < 0,5; μ А* ( x) = ⎨ ⎪⎩1, μ A ( x) ≥ 0,5 ⎧⎪0, μ А ( х) ≤ 0,5; μ А* ( x) = ⎨ ⎪⎩1, μ A ( x) > 0,5

73

E

7

⎧1, x < 0,4; ⎪ ⎪ 0,6 − x μ А* ( x) = ⎨ , 0,4 ≤ x ≤ 0,6; ⎪ 0,6 − 0,4 ⎪⎩0, x > 0,6

Функция принадлежности нечёткого множества μ A ( x) : A задает степень принадлежности каждого элемента х пространства рассуждения U к данному нечёткому множеству А B задает степень принадлежности одного элемента х пространства рассуждения U к данному нечёткому множеству А C совокупность абстрактных сущностей или объектных переменных D совокупность пар <x, μ A ( x) >, где U – область рассуждений, μ A ( x) – область принадлежности представляет собой обобщение характеристической функции классического множества, которая принимала значения 0 или 1 Нечеткое множество А содержится в нечетком множестве В: A множество А является подмножеством B B A ⊂ B ⇔ μ A ( x ) ≤ μ B ( x) , x ∈ U C A = B ⇔ μ A ( x) = μ B ( x), ∀x ∈ U E

8

D E F

множество В является подмножеством A значение функции принадлежности любого элемента x ∈ U к множеству А равно значению функции принадлежности этого элемента к множеству В значение функции принадлежности любого элемента x ∈ U к множеству А меньше или равно значению функции принадлежности этого элемента к множеству В

74

9

10

Практические задания Шторм оценивается по 10-балльной системе – U=[0,10]. [3,10] – шторм, [5,10] – буря. Найти точки перехода: A 3и7 B 4и8 C 4и6 D 2и5 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} А = «несколько» = {0,5/3, 0,8/4, 1/5, 0,9/6, 0,8/7, 0,5/8} Каким является данное множество? A нормальным B субнормальным C пустым D непустым E унимодальным F одноточечным

Ответы: 1

2

3

4

5

6

75

7

8

9

10

Тема 3 «Основные операции над нечеткими множествами» 1

2

Один верный ответ Каким необходимым свойством должны обладать операции, определенные для нечетких множеств? A результатом всех операции над нечеткими множествами должны являться 1 или 0 B все операции над нечеткими множествами не имеют смысловой интерпретации C все операции над нечеткими множествами должны обобщать соответствующие операции над обычными множествами D все операции над нечеткими множествами должны иметь только один способ их вычисления Какой из формул соответствует ограниченная операция пересечения нечетких множеств? A μ A∩ B ( x) = min{μ A ( x), μ B ( x)} B C

3

μ A∩ B ( x) = max{μ A ( x), μ B ( x)} μ A∩ B ( x) = μ A ( x) + μ B ( x) − μ A ( x)μ B ( x)

D нет правильного ответа Степенью включения нечеткого множества А в нечеткое множество В называется величина, T = {x ∈ U , μ A ( x) > μ B ( x)} A η( A ⊂ B) = 1 − max (μ A ( x) − μ B ( x)) x∈T

B

η( A ⊂ B ) = min (μ A ( x) − μ B ( x))

C

η( A ⊂ B) = 1 − max (μ A ( x) − μ B ( x) + μ А ( х)μ B ( x))

x∈T

x∈T

D

η( A ⊂ B ) = 1 + max(μ A ( x)μ B ( x)) x∈T

4

Нечеткое множество А является подмножеством В, если: A каждый элемент В есть элемент А

76

B

5

6

7

для всех элементов U значение функции принадлежности к множеству В больше или равно значению функции принадлежности к множеству А C для всех элементов U значение функции принадлежности к множеству В меньше или равно значению функции принадлежности к множеству А D для всех элементов U значение функции принадлежности к А совпадает со значением функции принадлежности к множеству В Несколько верных ответов Какие из перечисленных операций над нечеткими множествами могут быть произведены? A включение B дополнение C композиция D равенство E проекция F разность Дизъюнктивная сумма двух нечетких множеств определяется по следующей формуле: A А ⊕ В = ( А − В) ∪ ( В − А) B А ⊕ В = ( А ∩ В) ∪ ( А ∩ В) C

А ⊕ В = ( А − В) ∪ ( В − А)

D

А ⊕ В = ( А ∩ В) ∪ ( А ∩ В)

E

А ⊕ В = ( А ∩ В) ∪ ( A ∩ В)

Свойствами дизъюнктивной суммы являются: A эквивалентность B любое множество обратно само себе относительно операции симметрической разности C идемпотентность D коммутативность E рефлексивность F транзитивность

77

8

Укажите верные операции для пересечения нечетких множеств: A μ A∩ B ( x) = min{μ A ( x), μ B ( x)} B C D E F

9

μ A∩ B ( x) = min{1, μ A ( x) + μ B ( x)} μ A∩ B ( x) = μ A ( x) + μ B ( x) − μ A ( x)μ B ( x) μ A∩ B ( x) = μ A ( x)μ B ( x) − μ A ( x) + μ B ( x) μ A∩ B ( x) = μ A ( x)μ B ( x) μ A∩ B ( x) = max{0, μ A ( x) + μ B ( x) − 1}

Практические задания Определите степень включения нечеткого множества А в нечеткое множество В: A = {< 0,2 / x 2 >, < 0,7 / x3 >, < 0,5 / x5 >} ;

B = {0,9 / x1 >, < 0,4 / x2 >, < 0,5 / x3 >, < 0,8 / x5 >}

10

A 0,8 B 0,7 C 0 D 1 Даны два нечетких множества:

А = {(15,1), (16,0.9), (17,0.8), (18,0.4), (19,0.3), ( 20,0)} B = {(15,0), (16,0.1), (17,0.2), (18,0.6), (19,0.7), (20,1)}

Найти максиминное объединение этих множеств: A {(15,0), (16,0.1), (17,0.3), (18,0.9), (19,0.), (20,1)} B C D Ответы 1 2

{(15,0.6), (16,0.4), (17,0.7), (18,0.2), (19,0.1), (20,1)} {(15,0), (16,0.1), (17,0.2), (18,0.4), (19,0.3), (20,0)} {(15,1), (16,0.9), (17,0.8), (18,0.6), (19,0.7), (20,1)} 3

4

5

6

78

7

8

9

10

Тема 4 «Дополнительные операции над нечеткими множествами» 1

2

3

4

Один верный ответ Степенью е нечеткого множества А называется нечеткое множество: А Ae={<xe/μA(x)>} B Ae={<x/μAe(x)>} C Ae={<xe/μA(x)>} D Ae={<x/μA(xe)>} В естественном языке применение операции растяжения к значению лингвистической переменной соответствует использованию слов: А «достаточно» или «более-менее» B «очень-очень» или «совсем» C «сильнее» или «более» D «средне» или «вполне» Какая операция уменьшает нечеткость нечеткого множества? А отрицание B растяжение C контрастная интенсификация D строгое отрицание Пусть задано некоторое отображение λ : [0,1] → [0,1] . Это отображение будет называться оператором отрицания в теории нечетких множеств, если выполняются следующие условия: А λ(0) = 0, λ (1) = 1 и μ А ≥ μ В ⇒ λ (μ А ) ≤ λ(μ В ) B

λ(0) = 1, λ(1) = 0 и μ А ≤ μ В ⇒ λ(μ А ) ≤ λ(μ В )

C

λ(0) = 0, λ(1) = 1 и μ А ≤ μ В ⇒ λ(μ А ) ≥ λ(μ В )

D

λ(0) = 1, λ(1) = 0 и μ А ≤ μ В ⇒ λ(μ А ) ≥ λ(μ В )

79

5

6

Несколько верных ответов Отрицание называется строгим, если выполняются следующие свойства: А λ(А) = А-1, где А – нечеткое множество B если μА(х) ≤ μВ(х), то λ(μА(х)) ≥ λ(μВ(х)) C если μА(х) = μВ(х), то λ(μА(х)) ≠ λ(μВ(х)) D λ(0) = 1, λ(1) = 0 Е λ(λ(μА(х))) = μА(х) F λ(0) = 1, λ(1) = 1 Операция увеличения нечеткости: А противоположна операции контрастной интенсивности и выполняет процедуру превращения четкого множества в нечеткое или увеличения степени нечеткого множества B синонимична операции контрастной интенсивности и выполняет процедуру превращения четкого множества в нечеткое или увеличения степени нечеткого множества C противоположна операции контрастной интенсивности и выполняет процедуру превращения нечеткого множества в четкое или увеличения степени четкого множества D определяется следующим образом:

Ф( A) = 2 ⋅ μ A ( x) ⋅ (1 − μ A ( x)) ⋅ (0,5 − μ A ( x)) + μ A ( x) Е

определяется следующим образом:

Ф( A) = 2 ⋅ μ A ( x) ⋅ (1 − μ A ( x)) + (0,5 − μ A ( x)) + μ A ( x) F 7

8

определяется следующим образом:

Ф( A) = 2 ⋅ μ A ( x) ⋅ (1 − μ A ( x)) ⋅ (0,5 − μ A ( x)) Отрицание λ называется сжимающим отрицанием в точке μ, если выполняется неравенство: А λ(μ) ∧ λ(λ(μ)) ≤ μ ≤ λ(μ) ∨ λ(λ(μ)) B μ ∧ λ(μ) ≤ λ(λ(μ)) ≤ μ ∨ λ(μ) C λ(μ) ∧ λ(λ(μ)) ≥ μ ≥ λ(μ) ∨ λ(λ(μ)) D верных ответов нет μ – инволютивный элемент, если: А λ(λ(1–μ)) = μ B λ – сжимающее отрицание в точке μ

80

C D Е F 9

10

λ – отрицание порогового типа λ – строгое отрицание λ(λ(μ)) = μ λ – разжимающее отрицание в точке Практические задания Дано нечеткое множество А={x1/0,2; x2/1; x3/0,7; x4/0,5}. Результат применения отрицания Сугено с коэффициентом Сугено, равным 3, следующий: А {x1/0,5; x2/0; x3/0,1; x4/0,2} B {x1/0,6; x2/0; x3/0,1; x4/0,2} C {x1/0,5; x2/0; x3/0,3; x4/0,4} D {x1/0,7; x2/0,1; x3/0,2; x4/0,5} Дано нечеткое множество А = {x1/0,1; x2/1; x3/0,8; x4/0,4}. Результат применения операция контрастной интенсификации следующий: А {x1/0,17; x2/1; x3/0,7; x4/0,45} B {x1/0,99; x2/0; x3/0,6; x4/0,92} C {x1/0,02; x2/1; x3/0,92; x4/0,32} D {x1/0,13; x2/1; x3/0,82; x4/0,44}

Ответы 1 2

3

4

5

6

81

7

8

9

10

Тема 5 «Свойства операций над множествами» 1

2

3

Один верный ответ Треугольная конорма называется строгой, если: А функция ⊥ строго увеличивается по обоим аргументам B для любого нечеткого множества μ А выполнено неравенство ⊥ (μ A , μ А ) ≥ μ A C функция ⊥ строго убывает по обоим аргументам D верны A и B Понятие множества уровня α, представляет собой: А счетное число интервалов B объединение не более чем счетного числа интервалов C пересечение – Т ( х, у ) = x ⋅ y D четкое подмножество универсального множества U Какой из способов можно использовать для определения осредненного значения функций принадлежности множеств, если один из аргументов равен нулю? А X +Y

M ( X ,Y ) =

B C 4

2 1 1 1 X +Y M ( X ,Y ) = ⋅ ( + ) = 2 X Y 2 ⋅ X ⋅Y M ( X ,Y ) = X ⋅ Y

D M(X,Y )= X+Y Любое нечеткое множество А можно представить в виде: А А = max α/ Аα α

B

А = maxα× A α α

C

А = minα× A α α

D

А = minα/ A α α

82

5

6

7

8

Несколько верных ответов Для каждой пары Т-норм и ⊥ -конорм справедливы следующие уравнения: А Т(x,y)=1– ⊥ (1/x,1/y) B Т(x,y)=1– ⊥ (1-x,1–y) C ⊥ (x,y)=(1–T(1–x,1–y))^2 D ⊥ (x,y)=1–T(1–x,1–y) Примерами треугольных ⊥ -конорм являются следующие операторы: А сумма Гамахера B объединение по Заде C алгебраическое произведение D ограниченная сумма Примерами треугольных Т-норм являются: А x ⋅ y /[1 − (1 − x) ⋅ (1 − y )] B 1 − (1 − x) ⋅ (1 − y ) /(1 + x ⋅ y ) C x ⋅ y /[1 + (1 − x) ⋅ (1 − у )] D 1 − (1 − x) ⋅ (1 − y ) /(1 − x ⋅ y ) Треугольная норма, удовлетворяет следующим условиям: А μ A ≤ μ C , μ B ≤ μ D ⇒ T(μ A , μ B ) ≤ T(μ C , μ D ) B

μ A ≤ μ C , μ B ≥ μ D ⇒ T(μ A , μ B ) ≤ T(μ C , μ D )

C

T(μ A , μ B ) ≠ T(μ В , μ А ) T(μ A ,1) = T(1, μ А ) = μ А

D 9

Практические задания При у = 0,8 значение произведения Гамахера равно 0,10. Чему равно х? А 0,20 B 0,10 C 0,12 D 0,21

83

10

Дано нечеткое множество А = {x1/0,5; x2/0; x3/0,7; x4/0,8; x5/1; x6/0; x7/0,4; x8/0,2}. Найти А0,7. А x1, x2, x6, x7, x8 B x4, x5 C x3, x4, x5 D x3

Ответы 1 2

3

4

5

6

84

7

8

9

10

Тема 6 «Индекс нечеткости» 1

2

Один верный ответ В каком методе оценки нечетности необходимо рассчитать нормировочный коэффициент (–1/lnn )? А аксиоматический подход B расстояние между нечеткими множествами C оценка нечеткости через энтропию D подсчет индекса нечеткости При каких значениях степени принадлежности индекс нечеткости будет максимален? А μ А ( х) = μ ( х) = 0,5 А

3

B

μ А ( х) = μ А ( х) = 1

C

μ А ( х) = 1 и μ А ( х) = 0

D

μ А ( х) = 0 и μ А ( х) = 1

Какая из приведенных формул описывает относительное евклидово расстояние между двумя нечеткими множествами? А n

e' ( A, B) =

B

e( A, B) =

1

n

4

e' ( A, B) =

i =1

n

∑ (μ i =1

C

∑ (μ

1 n

A

B

( xi ) + μ A ( xi )) 2

( xi ) − μ B ( xi )) 2

n

∑ (μ i =1

A

( xi ) − μ B ( xi )) 2

D нет верного ответа В каких пределах изменяются значения энтропии системы после нормирования? А [–1;1] B [0;1] C [0; lnn] D [–lnn; 0]

85

5

Несколько верных ответов При метрическом подходе к оценке нечеткости линейный индекс нечеткости возможно рассчитать следующим способом: А 1 n

⋅ ∑ max(μ A ( xi ), μ A ( xi )) n i =1 1 d r ( A) = ⋅ r ( A, A) n

d r ( A) =

B C D 6

7

d r ( A) = d r ( A) =

1 n

⋅

n

∑ min(μ i =1

2 A

( xi ), μ 2A ( xi ))

n

1 ⋅ ∑ min(μ A ( xi ), μ A ( xi )) n i =1

К недостаткам оценки нечеткости через энтропию можно отнести: А нечеткость четкого множества U (содержащего все элементы) максимальна B степень нечеткости множеств (как четких, так и нечетких) минимальна (равна нулю) в случае, если имеется единственный нулевой элемент C рассчитанное с помощью энтропийного подхода значение степени нечеткости зависит от собственного значения функции принадлежности D если все элементы U имеют равную, отличную от нуля или единицы степень принадлежности (например 0,5 или 0,1), то степень нечеткости четкого множества U (содержащего все элементы) минимальна Выберите выражения, являющиеся условиями того, что r(A, B) – расстояние между нечеткими множествами A и B А r(A, B) ≥ 0 B r(A, B) ≤ 0 C r(A, B) ≤ r(A, C) + r(C, B) D r(A, B) ≤ r(A, C) – r(C, B) E r(A, A) = 1 F r(A, B) = r(B, A)

86

8

Отметьте условия, которым должен удовлетворять функционал, определяющий, в общем виде, показатель размытости нечеткого множества: А d (A) = 0 ⇔ А – четкое множество B d ( A) = d ( A) C D

9

d ( A ∪ B) + d ( A ∩ B) = d ( A) − d ( B) d(A) минимально ⇔ μ А ( х) = 0 для всех x ∈ U

Практические задания Дано универсальное множество U = {вольеры в зоопарке}

x x ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 } 0,9 0,7 0,2 1 0,1 x x x B = «теплое» = { 1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 } 0,3 0,1 0,5 0 0,7 А = «популярное» = {

10

x1

Найти четкое множество, которое является ближайшим к множеству «Средне популярное и холодное»: А E = {1, 1, 1, 0, 1} B E = {1, 1, 0, 1, 0} C E = {0, 0, 1, 0, 1} D E = {1, 0, 0, 1, 0} Дано нечеткое множество А={x1/0,1; x2/0,7; x3/1; x4/0,2; x5/0,8}. Найти энтропию данной системы: А 0,31 B 0,16 C 0,98 D 0,84

Ответы 1 2

3

4

5

6

87

7

8

9

10

Тема 7 «Нечеткие бинарные отношения» 1

Один верный ответ Бинарным отношением R на множестве U называется: A некоторое подмножество U B некоторое подмножество декартова произведения U×U C некоторое подмножество Ū D такое отношение, где значение функции принадлежности

μ R ∉ [0;1]

2

Пусть на множестве U × U заданы два отношения А и В, множество А определяется матрицей А = аij , а В – матрицей

B = bij , C = cij

3

4

Отношение C = A ∪ B называется объединением двух отношений А и В если: A cij = max(aij;bij) B сij = min(aij ,bij) C сij = max(min(aij;bij)) D cij = min(max(min(aij;bij) Каким свойством обладает бинарное отношение, если ( х, х) ∈ R для любого x ∈ R ? A симметричность B рефлексивность C иррефлексивность D транзитивность Пусть на множестве U × U заданы два отношения А и В, множество А определяется матрицей А = аij , а В – матрицей

B = bij . Отношение D называется пересечением отношений А и В, если? A dij = max(1–aij; bij) B dij = min(0; aij –bij)

88

C D

5

dij = min(aij; bij) dij = max(aij; bij) Несколько верных ответов Какие из утверждений о произведение отношений Е = А ⋅ В на декартовом произведении U × U являются верными? A определяется тогда, когда существует такой z ∈U , для которого выполнены отношения либо xAz , либо zBy ,но не одновременно B определяется тогда, когда существует такой z ∈ X , для которого выполнены одновременно отношения xAy и

yBz C

определяется тогда, когда существует такой

z ∈ U , для

которого выполнены одновременно отношения

xAz

и

zBy D

определяется, когда все элементы матриц отношений связаны следующим образом: eij = min max{ a ik , bkj } k

E

определяется, когда все элементы матриц отношений не связаны следующим образом: e ij = max min{ a ik , bkj } . k

F

определяется, когда все элементы матриц отношений связаны следующим образом: e ij = max min{ a ik , b kj } . k

6

7

Какими свойствами могут обладать нечеткие бинарные отношения? A противоречивость B симметричность C рефлексивность D коммутативность E транзитивность F дистрибутивность В каком виде можно задать бинарное отношение? A системы B матрицы

89

8

9

C функции D графов E числового ряда F неравенства Какие из перечисленных операций над четкими бинарными отношениями могут быть произведены? A объединение B пересечение C коммутативная сумма D дистрибутивное обращение E обратное отношение F произведение Практические задания Даны два отношения: отношение А = «быстрый» поезд автобус самолет

поезд 0

автобус 1

самолет 0

0

0

0

1

1

0

отношение В = «некомфортный» поезд автобус самолет

поезд 0 1 0

автобус 0 0 0

самолет 1 1 0

Произведение отношений А и В выглядит следующим образом:

90

10

A

поезд автобус самолет поезд 1 0 1 автобус 1 1 1 самолет 0 0 1

B

поезд автобус самолет поезд 0 0 1 автобус 1 0 1 самолет 0 0 0

C

поезд автобус самолет поезд 0 1 0 автобус 1 1 1 самолет 0 1 0

D

поезд автобус самолет поезд 1 0 1 автобус 0 0 0 самолет 1 0 1

Пусть дано множество U = (х1, х2, х3), где х1 – ребенок, х2 – мама, х3 – бабушка. Отношение А = «старше» задается в виде матрицы следующим образом: A ребенок мама бабушка ребенок 0 0 0 мама 1 0 0 бабушка 1 1 0 B ребенок мама бабушка

ребенок 0 0 0

мама бабушка 1 1 0 1 0 0

91

C ребенок мама бабушка

ребенок 1 1 1

ребенок мама бабушка

ребенок 0 1 1

D

Ответы: 1 2

3

4

мама бабушка 0 0 1 0 1 1 мама 1 0 1

5

6

92

бабушка 0 1 0

7

8

9

10

Тема 8 «Операции над нечеткими отношениями» 1

2

3

4

Один верный ответ Пусть даны нечеткие отношения R1 и R2. Если функция принадлежности нечеткого отношения R определяется выражением μ R ( х, у ) = max{μ R1 ( x, y ), μ R2 ( x, y )} , то это отношение является: А пересечением B объединением C первой проекцией D максимультипликативной композицией Если глобальная проекция h(R)=1, то отношение нормально. При каком значении h(R) отношение будет субнормальным? А h(R)>1 B h(R)=0 C h(R)<1 D не зависит от h(R) Композиция нечетких отношений, обозначаемая R = R1 D R2 , называется: А максиминная B минимаксная C максимультипликативная D все ответы верны Вторая проекция нечеткого отношения определяется следующим образом: А μ ( 2) ( y ) = min μ ( x, y ) R

B

x

R

μ (R2) ( y ) = max μ R (1 − x, y ) x

C D

μ

( 2) R

( y ) = min μ R ( x,1 − y )

μ

( 2) R

( y ) = max μ R ( x, y )

x

x

93

Практические задания Дано отношение А = «нравится»

5

Вася Дима Оля Катя

Вася 0,7 0,5 0,7 1

Дима 0,7 1 0 0,6

Оля 0,3 1 0 0,9

Катя 0,8 0,5 1 0,5

Тогда обычное подмножество α-уровня (α = 0,8) имеет следующий вид: А G0,8 = {( Вася, Катя ), ( Дима, Дима ), ( Дима, Оля ),

10

B

(Оля, Катя ), ( Катя, Вася), ( Катя, Оля)} G0,8 = {( Вася, Вася), ( Вася, Дима ), ( Вася, Оля ),

C

( Дима, Вася), ( Дима, Катя ), (Оля, Дима ), (Оля, Оля ), ( Катя, Дима ), ( Катя, Катя )} G0,8 = {( Дима, Дима ), ( Дима, Оля ), (Оля, Катя ),

D

( Катя, Вася), ( Катя, Оля )} G0,8 = {( Вася, Катя ), (Оля, Катя ), Катя , Оля )}

Пусть заданы два нечетких отношения А и В А Вася Дима

Оля 0,3 1

Катя 0,8 0,5

В Вася Дима

Оля 0,3 1

Катя 0,2 0,5

Тогда максиминная композиция нечетких отношений выглядит следующим образом: А 0,3 0,3

μ=

1

0,5 94

B C D

Ответы 1 2

μ=

0,8 0,4 0,5 0,25

μ=

0,8 0,4 0,5 0,5

μ=

0,8 0,5 0,5 0,5

3

4

5

6

95

Тема 9 «Нечеткие числа и операции над ними» 1

Один верный ответ Пусть L(у) и R(у) – функции (L – R)-типа. Унимодальное нечеткое число А с модой а (т.е. μ А (а ) = 1 ) задается с помощью L(у) и R(у) следующим образом: A ⎧ x−a

B

C

D

2

3

⎪⎪ L( α ), μ А ( х) = ⎨ ⎪ R ( x − a ), ⎪⎩ β ⎧ a−x ⎪⎪ L( α ), μ А ( х) = ⎨ ⎪ R ( x − a ), ⎪⎩ β ⎧ a−x ⎪⎪ L( α ), μ А ( х) = ⎨ ⎪ R ( a − x ), ⎪⎩ β ⎧ x−a ⎪⎪ L( α ), μ А ( х) = ⎨ ⎪ R ( a − x ), ⎪⎩ β

если х ≤ а; если х ≥ а если х ≤ а; если х ≥ а если х ≤ а; если х ≥ а если х ≤ а; если х ≥ а

Толерантные нечеткие числа (L – R)-типа называют: A треугольными B альфа-уровневыми C трапециевидными D трапезоидными Принцип обобщения Заде: A y = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) функция от n переменных и Если ~

96

x1 , x 2 ,..., x n заданы нечеткими числами ~ ~ ~ x1 , x 2 ,..., x n соответственно, то значением функции ~ y = f (~ x1 , ~ x 2 ,..., ~ x n ) называется нечеткое число ~y с

аргументы

функцией принадлежности

μ ~у ( у*) = B

max

y *= f ( x1 *,..., xn *) xi *∈max( ~ xi )

min(μ ~xi ( xi *))

y = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) Если ~

функция от n переменных и

x1 , x 2 ,..., x n заданы нечеткими числами ~ ~ ~ x1 , x 2 ,..., x n соответственно, то значением функции ~ y = f (~ x1 , ~ x 2 ,..., ~ x n ) называется нечеткое число ~y с

аргументы

функцией принадлежности

μ ~у ( у*) = C

min

y *= f ( x1 *,..., xn *) xi *∈max( ~ xi )

max(μ ~xi ( xi *))

Если y = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) функция от n независимых переменных и аргументы x1 , x 2 ,..., x n заданы нечеткими

числами ~ x1 , ~ x 2 ,..., ~ x n соответственно, то значением функ-

ции ~ y = f (~ x1 , ~ x 2 ,..., ~ x n ) называется нечеткое число ~y с функцией принадлежности

μ ~у ( у*) = D

max

y *= f ( x1 *,..., xn *) xi *∈max( ~ xi )

min(μ ~xi ( xi *))

Если y = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) функция от n независимых переменных и аргументы x1 , x 2 ,..., x n заданы нечеткими

числами ~ x1 , ~ x 2 ,..., ~ x n соответственно, то значением функ-

ции ~ y = f (~ x1 , ~ x 2 ,..., ~ x n ) называется нечеткое число ~y с функцией принадлежности

μ ~у ( у*) =

min

y *= f ( x1 *,..., xn *) xi *∈max( ~ xi )

max(μ ~xi ( xi *))

97

4

Треугольным нечетким числом А называется тройка (a≤b≤c) действительных чисел, через которые его функция принадлежности μ А ( х) определяется следующим образом: A ⎧x − a

B

C

D

⎪ b − a , если х ∈ [a; b]; ⎪ ⎪x − c μ А ( x) = ⎨ , если х ∈ [b; c]; ⎪b − c ⎪0, в противном случае ⎪ ⎩ ⎧x − a ⎪ b , если х ∈ [a; b]; ⎪ ⎪x − c μ А ( x) = ⎨ , если х ∈ [b; c]; ⎪ c ⎪0, в противном случае ⎪ ⎩ ⎧a − x ⎪ b − a , если х ∈ [a; b]; ⎪ ⎪x − c μ А ( x) = ⎨ , если х ∈ [b; c]; b c − ⎪ ⎪1, в противном случае ⎪ ⎩ ⎧x − a ⎪ b + a , если х ∈ [a; b]; ⎪ ⎪c − x μ А ( x) = ⎨ , если х ∈ [b; c]; b c + ⎪ ⎪0, в противном случае ⎪ ⎩

98

5

Применение α-уровневого принципа обобщения сводится к решению для каждого α-уровня следующей задачи оптимизации: A найти максимальное и минимальное значения функции y = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) при условии, что аргументы могут принимать значения из α-уровневых множеств B найти максимальное значение функции y = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) при условии, что аргументы могут принимать значения из соответствующих α-уровневых множеств C найти минимальное значение функции y = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) при условии, что аргументы могут принимать значения из соответствующих α-уровневых множеств D найти все значения функции y = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) при условии, что аргументы могут принимать значения из соответствующих α-уровневых множеств

Ответы 1 2

3

4

5

99

Тема 10 «Нечеткая лингвистическая логика» 1

Лингвистическая

переменная

описывается

набором

( x, T ( x),U , G, M ) ,

2

3

4

где G – это: A совокупность ее лингвистических значений (терммножеств) B семантическое правило, которое каждому лингвистическому значению ставит в соответствие его смысл C синтаксическое правило, порождающее термины множества D название переменной Лингвистической переменной присущи следующие правила: A семантическое B аксиоматическое C синтаксическое D все ответы верны Терм – это: A конкретное название, порожденное синтаксическим правилом B подмножество универсального множества C смысл лингвистической переменной D нечеткая переменная, к которой применили квантификатор Отличие лингвистической переменной от нечеткой переменной состоит в том, что: A значениями лингвистической переменной являются слова или предложения B значениями нечеткой переменной являются атомарные термы C значениями нечеткой переменной являются лингвистические переменные D значениями лингвистической переменной являются нечеткие переменные

100

5

Пусть f(x)=«молодой», тогда функция f(1–x) будет интерпретироваться термом: A «не молодой» B «старый» C «среднего возраста» D нет верного ответа

Ответы 1 2

3

4

5

101

Тема 11 «Приближенные рассуждения» 1

Один верный ответ Пусть U и V — два универсальных множества с базовыми переменными u и v, соответственно. Пусть A и F — нечеткие подмножества множеств U и U × V . Тогда композиционное правило вывода утверждает, что из нечетких множеств A и F следует нечеткое множество B = A D F , где функция принадлежности множества В определяется следующим образом: A μ B (v) = ∨ (μ A (u ) ∨ μ F (u , v)) u∈U

2

3

B

μ B (v) = ∨ (μ A (u ) ∧ μ F (u , v))

C

μ B (v) = ∧ (μ A (u ) ∧ μ F (u , v))

D

μ B (v) = ∧ (μ A (u ) ∨ μ F (u , v))

u∈U u∈U u∈U

Приближенные рассуждения – это: A процесс, при котором из нечетких посылок получают некоторые нечеткие следствия B процесс, при котором из нечетких посылок получают некоторые четкие следствия C процесс, при котором из четких посылок получают некоторые четкие следствия D Все ответы верные С помощью функций принадлежности всех термов входных переменных и на основании задаваемых четких значений из универсумов входных лингвистических переменных определяются степени уверенности в том, что выходная лингвистическая переменная принимает конкретное значение. К какому этапу нечеткого логического вывода относится данное утверждение? A непосредственный нечеткий вывод B фаззификация C композиция D дефаззификация

102

4

5

6

7

Нечеткий логический вывод – это: A процесс, основанный на вычислении значения истинности для предпосылки каждого правила на основании конкретных нечетких операций, соответствующих конъюнкции или дизъюнкции термов B операция, которая применяется для преобразования нечеткого набора значений выходной лингвистической переменной в четкое значение C аппроксимация зависимости каждой выходной лингвистической переменной от входных лингвистических переменных и получение заключения в виде нечеткого множества, соответствующего текущим значениям входов, с использованием нечеткой базы знаний и нечетких операций D все ответы верны Несколько верных ответов Для многоэкстремальных функций принадлежности часто используются следующие методы дефаззификации: A центр масс B центр максимумов C центр тяжести D центр экстремумов E первый максимум F среднее значение максимума и минимума В традиционной логике, согласно основному правилу вывода, мы судим об истинности высказывания В, если: A истинно высказывание А B истинно высказывание В→А C истинно высказывание А↔В D истинно высказывание А→В Отличительными чертами правила modus ponens в нечеткой логике от традиционной формулировки являются: A высказывание А* – нечеткое, а А и В – четкие B высказывания А*, А и В – нечеткие C высказывания А* и В – нечеткие, а А – четкое

103

D E 8

А* необязательно идентично А А→А*

Правило modus ponens в нечеткой логике. Пусть А и В — нечеткие высказывания и μ А , μ В — соответствующие им функции принадлежности. Тогда импликации А→В будет соответствовать некоторая функция принадлежности μ А→ В . A μ А→ В ( х, у ) = max{μ A ( x),1 − μ B ( y )} B C D

А→В≡ А∨В А → В ≡ A∨ B μ А→ В ( х, у ) = min{μ A ( x), μ B ( y )}

E F

А→В≡ А∧В μ А→ В ( х, у ) = max{1 − μ A ( x), μ B ( y )} Практические задания

9

Температура

Расход

Давление Дано правило: если температура высокая или расход большой, то давление высокое. При значениях температуры 60 и расхода 4,5 этап нечеткого вывода будет выглядеть следующим образом (в интерпретации Мамдани):

104

A 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90 100

B 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90 100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90 100

C 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

105

D 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

10

10

20

30

40

50

60

70

80

90 100

Даны высказывания А = (х1/0,2; х2/0; х3/0,6; х4/0,7) и В = (х1/0,4; х2/0,2; х3/0; х4/0,7), тогда высказывание А→В по Мамдани выглядит следующим образом: A А→В = (х1/0,8; х2/1; х3/0,4; х4/0,7) B А→В = (х1/1; х2/1; х3/0,4; х4/1) C А→В = (х1/0,2; х2/0; х3/0; х4/0,7) D А→В = (х1/0,08; х2/0; х3/0; х4/0,49)

Ответы 1 2

3

4

5

6

106

7

8

9

10

Список рекомендуемой литературы 1. Борисов В.В., Круглов В.В., Федулов А.С. Нечеткие модели и сети. М.: Горячая линия — Телеком, 2007. 2. Корченко А.Г. Построение систем защиты информации на нечетких множествах. МК-Пресс, 2006. 3. Недосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций. Санкт-Петербург, 2002. 4. Птускин А.С. Нечеткие модели и методы в менеджменте. Издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2008. 5. Яхъяева Г.Э. Нечеткие множества и нейронные сети. М.: Бином, 2006.

107

Анна Николаевна Тихомирова Марина Геннадьевна Клейменова

Нечеткие модели дискретной математики

Учебное пособие

Редактор Е.Г. Станкевич Оригинал-макет изготовлен М.Г. Клейменовой Подписано в печать 15.12.2010. Формат 60×84 1/16 Печ.л. 6,75. Уч.-изд.л. 6,75. Тираж 100 экз. Изд. № 1/3/11. Заказ № 13

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». 115409, Москва, Каширское ш., д.31 ООО «Полиграфический комплекс «Курчатовский». 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, д. 42