Аналитическая геометрия. Комплексные числа: Методические указания и контрольные работы по курсу ''Высшая математика''

М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н О Е О Б РА ЗО В А Т Е Л ЬН О Е У ЧРЕ Ж Д Е Н И Е В Ы СШ Е ГО П РО Ф Е ССИ О Н А Л ЬН О ГО О Б РА ЗО В А Н И Я В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т М А Т Е М А Т И ЧЕ СК И Й Ф А К У Л ЬТ Е Т К А Ф Е ДР А У Р А В Н Е Н И Й В Ч А С Т Н Ы Х П Р О И З В О ДН Ы Х И ТЕ О Р И И В Е Р О ЯТН О С ТЕ Й

М Е Т О Д И ЧЕ СК И Е У К А ЗА Н И Я И К О Н Т РО Л ЬН Ы Е РА Б О Т Ы П О К У РСУ «В Ы СШ А Я М А Т Е М А Т И К А ». Р аздел: «А налитическая геометрия. К омплексныечисла» дл я студентов 1 курсах и ми ческог о ф акул ьтета дневног о отдел ени я

С оста в ител и: Б а р ков а Л .Н .

В ор онеж 2002

2

§ 1. К О М П Л Е К СН Ы Е ЧИ СЛ А К ом пл ексны м и чи сл ам и на зы в а ю тся в ы р а ж ения в ида z = x + iy , где x и y - действ ител ьны е числ а , а i - мнима я единица (симв ол , опр едел яемы й 2 р а в енств ом: i = −1 ). Действ ител ьны е числ а x и y на зы в а ю тся соо тв етств енно действ ител ьной и мнимой ча стью компл ексного числ а z . Дл я их обозна чений испол ьзу ю тся в ы р а ж ения: x = Re z ; y = Im z . За писько мпл ексного числ а в в иде z = x + iy на зы в а ется а л гебр а ической фор мой компл ексного числ а . Дв а ко мпл ексны х числ а z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 р а в ны тогда и тол ько тогда , ко гда р а в ны их действ ител ьны е и мнимы е ча сти, т.е. x1 = x2 и y1 = y2 . Числ о 0 = 0 + 0 ⋅ i на зы в а ется ну л ем. Числ о 1 = 1 + 0 ⋅ i на зы в а ется единицей. Числ а в ида z = 0 + i ⋅ y на зы в а ю тся чисто мнимы ми. Числ о z = x − i ⋅ y на зы в а ется сопр яж енны м дл я числ а z = x + i ⋅ y . Дл я компл ексны х чисел , за писа нны х в а л гебр а ической фор ме, опр едел ены а р ифметические опер а ции: 1) С л о ж ение. Есл и z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 , то z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + i ( y1 + y2 ) . 2) В ы чита ние. Есл и z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 , то z1 − z2 = ( x1 − x2 ) + i ( y1 − y2 ) . 3) У мно ж ение. Есл и z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 , то z1 ⋅ z2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 ) . Та ким обр а зо м, ко мпл ексны е числ а в а л гебр а ической фор ме пер емнож а ю тся ка к дв у чл ены , пр ичем i 2 за меняется на –1. 4) Дел ение. Есл и z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 , то z1 x1 x2 + y1 y2 x y −xy = + i 2 21 12 2 . 2 2 z2 x2 + y2 x2 + y2 Дл я на хож дения ча стного дв у х компл ексны х чисел , за писа нны х в а л гебр а ической фор ме, ну ж но дел имо е и дел ител ьу мно ж итьна числ о со пр яж енно е с дел ител ем. y Геометр ически ка ж до е компл ексно е числ о z = x + iy опр едел яет на коо р дина тно й пл о ско сти точку M ( x, y ) . M ( x, y ) Осьа бсцисс в э том сл у ча е на зы в а ется действ ител ьной осью , а о сь ор дина т – мнимой осью . ρ По л яр ны е коо р дина ты точки M , x ϕ изобр а ж а ю щ ей числ о на зы в а ю тся z моду л ем и а р гу менто м компл ексного числ а 0 z . Дл я них в в одятся обо зна чения:

3

ρ = z = x 2 + y 2 ; ϕ = arg z . Пр и э том дл я фиксир о в а нного числ а z ≠ 0 а р гу мент о пр едел яется не однозна чно: есл и ϕ - некото р ы й а р гу ментчисл а z , то у гл ы в ида ϕ + 2π k , где k = 0, ± 1, ± 2,... та кж е яв л яю тся а р гу мента ми э того ж е числ а . x y y Есл и ϕ = arg z , то cos ϕ = , sin ϕ = и tg ϕ = . x x2 + y 2 x2 + y 2 В ы р а ж а я зна чения x и y чер ез зна чения ϕ и ϕ , пол у чим x = ρ cos ϕ ; y = ρ sin ϕ . В э том сл у ча е компл ексное числ о мож но за писа ть в в иде: z = ρ ( cos ϕ + i sin ϕ ) . Та ка я фор ма за писи компл ексного числ а на зы в а ется тр игоно метр ической . Опер а ции у мно ж ения и дел ения компл ексны х чисел в тр игоно метр ической фор ме в ы гл ядятта ким обр а зом: 10. У множ ение. Есл и z1 = ρ1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) и z2 = ρ 2 ( cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) , то

z1 ⋅ z2 = ρ1 ⋅ ρ 2 ( cos (ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ 2 ) ) , т.е. дл я у множ ения чисел в тр игоно метр ической фор ме необходимо пер емнож ить их моду л и и сл ож ить а р гу менты . z1 = ρ1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) и z2 = ρ 2 ( cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) , то 20. Дел ение. Есл и z1 ρ1 , т.е. дл я дел ения чисел в = ( cos (ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin (ϕ1 − ϕ 2 ) ) z2 ρ 2 тр игоно метр ической фор ме нео бходимо р а здел итьмоду л и и в ы честьа р гу менты . К о мпл ексны е числ а в тр игонометр ической фор ме у добно в о зв одить в л ю бу ю на ту р а л ьну ю степень n по фор му л е: z n = ρ n ( cos nϕ + i sin nϕ ) , где z = ρ ( cos ϕ + i sin ϕ ) . К ор ень n -ой степени из компл ексно го числ а z = ρ ( cos ϕ + i sin ϕ ) имеет n р а зл ичны х зна чений, ко тор ы е на ходятся по фор му л е: ϕ + 2π k ϕ + 2π k   zk = n ρ  cos + i sin  , где k = 0, 1, ..., n − 1 , n ∈ N . n n   Пр имер

1. Н а й ти действ ител ьну ю и мниму ю ча сти компл ексного числ а

2

 i5 + 2  z =  .  2i + 1 

За метим сна ча л а , что i 5 = i ⋅ i 4 = i ⋅ ( i 2 ) = i . Та ким обр а зо м, 2

2 2 9 − 24i 9 24  i + 2   ( i + 2 ) ⋅ (1 − 2i )   4 − 3i  ( 4 − 3i ) z = = = − i.  =  =  = 25 25 25 24  2i + 1   (1 + 2i ) ⋅ (1 − 2i )   5  9 24 Зна чит, Re z = . ; Im z = − 25 25 Пр имер 2. Р еш итьсистему у р а в нений 2

2

4

 (3 − i ) x + (4 + 2i ) y = 2 + 6i .  (4 + 2i ) x − (2 + 3i ) y = 5 + 4i Р еш им систему по пр а в ил у К р а мер а . Н а йдем 3−i 4 + 2i ∆= = − (3 − i )(2 + 3i ) − (4 + 2i )2 = (−9 − 7i ) − (12 + 16i ) = 4 + 2i −(2 + 3i )

= − 21 − 23i , ∆x =

2 + 6i 4 + 2i = −(2 + 6i )(2 + 3i ) − (4 + 2i )(5 + 4i ) = 5 + 4i −(2 + 3i )

= (14 − 18i ) − (12 + 6i ) = 2 − 44i, ∆y =

3−i

2 + 6i

4 + 2i 5 + 4i

= (3 − i )(5 + 4i ) − (4 + 2i )(2 + 6i ) = (19 + 7i ) − (−4 + 28i ) =

= 23 − 21i . Та ким обр а зом, ∆ 2 − 44i 2(1 − 22i )(21 − 23i ) 2(−485 − 485i ) 970 + 970i x= x = =− =− = =1+ i, ∆ −21 − 23i (21 + 23i )(21 − 23i ) 970 970 ∆y 23 − 21i (23 − 21i )(21 − 23i ) 0 − 970i y= = =− =− =i. ∆ −21 − 23i (21 + 23i )(21 − 23i ) 970 Зна чит, р еш ением системы бу детпа р а компл ексны х чисел x = 1 + i , y = i . Пр имер 3. Н а йти компл ексно е числ о z1 , у дов л етв ор яю щ ее у р а в нению (i − z )(1 + 2i ) + (1 − iz )(3 − 4i ) = 1 + 7i и за писа ть его в а л гебр а ической и тр игоно метр ической фор ма х. Р а скр ы в а я скобки в л ев о й ча сти и пр ив о дя подобны е чл ены , пол у чим ( −5 − 5i ) z = 10i , отку да 10i 2i 2i (1 − i ) −2i + 2i 2 =− =− = = −1 − i . −5(1 + i ) 1+ i (1 + i )(1 − i ) 1+1 то на йденное числ о в а л гебр а ической фор ме. z = −1 − i - э 3π Н а йдем z = ρ = 2 ; ϕ = arg z = ar ctg1 = − , тогда тр игоно метр ическа я 4   3π   3π   фор ма числ а z бу детиметьв ид: z = 2  cos  −  + i sin  −   .  4   4   z=

Задани я дл я сам остоятел ьног о реш ени я 1.

Н а йти действ ител ьну ю и мниму ю ча сти сл еду ю щ их ко мпл ексны х чисел :

5

1) 2.

(1 + 2i) )

6

;

(2 + i)

2)

+ ( 2 − i ) ; 3) 7

В ы пол нитьдейств ия 1− i 1) 1+ i

(

2) 1 + i 3

; 12

3.

7

)

3

+ 3 + 5i ;

(1 + i )

5

(1 − i )3

.

(1 + 2i )

− (1 − i )3 3) ; (3 + 2i )3 − (2 + i )2 2

3

5  3 +i  1 i 2 4)  6)  − +  ; 5) 2 + i 2 ;  . 2 2 2     За писа тьчисл а в тр игоно метр ической фор ме 1 3 1− i 3 1) − + i ; 2) ; 3) ( −4 + 3i ) ; 2 2 1+ i

(

)

2

4) ( −1 + i )5 ; 4.

5.

5) −1 − i 3 ;

Р еш итьсистемы  (2 + i ) x + (2 − i ) y = 6 ; 1)  (3 + 2 i ) x + (3 − 2 i ) y = 8 

 1 i 3 6)  − +  . 2 2  

 x + yi − 2 z = 10  2)  x − y + 2 zi = 20 .  xi + 3 yi − (1 + i ) z = 30  Р еш итьу р а в нения 1) x 2 + (2 + i ) x + (−1 + 7i ) = 0 ; 2) x 2 − (3 − 2i ) x + (5 − 5i ) = 0 ; 3) (2 + i ) x 2 − (5 − i ) x + (2 − 2i ) = 0 .

§ 2. П Л О СК О СТ Ь В сякое у р а в нение пер в ой пр о стр а нств а

степени

относител ьно

Ax + By + Cz + D = 0

ко ор дина т точки ( 1)

изобр а ж а ет пл оскость, и, обр а тно, в сяка я пл о скостьмож ет бы ть пр едста в л ена у р а в нением пер в ой степени. У р а в нение пл оскости содер ж ит тр и неза в исимы х па р а метр а . Есл и в у р а в нении (1) отсу тств у ет св о бо дны й чл ен, то пл оско стьпр оходит чер ез на ча л о коор дина т. Есл и отсу тств у ет чл ен с одно й из ко ор дина т, то пл о ско сть па р а л л ел ьна соо тв етств у ю щ ей о си коо р дина т, есл и однов р еменно

6

отсу тств у етсв ободны й чл ен и чл ен с одной из ко ор дина т, то пл оскостьпр оходит чер ез со отв етств у ю щ у ю ось. Есл и о тсу тств у ю тчл ены с дв у мя коо р дина та ми, то пл о ско сть па р а л л ел ьна той коор дина тной пл о ско сти, ко тор а я содер ж ит соо тв етств у ю щ ие оси. Есл и о тсу тств у ю т чл ены с дв у мя ко ор дина та ми и св о бодны й чл ен, то пл о ско стьсо в па да ет с одной из коор дина тны х пл оскостей. Есл и, на конец, о тсу тств у ю тв се чл ены с коо р дина та ми, а св ободны й чл ен отл ичен отну л я, то у р а в нение смы сл а не имеет. Есл и за па р а метр ы пр инять в ел ичины отр езков a, b и с , отсека емы х пл о ско стью на осях коор дина т, то у р а в нение пл оско сти пр иметв ид: x y z + + =1 . a b c

(2)

Есл и за па р а метр ы пр инять дл ину пер пендику л яр а р, опу щ енно го на пл о ско стьиз на ча л а ко ор дина т, и на пр а в л яю щ ие косину сы э то го пер пендику л яр а ( cosα ,cos β , cos γ ), то пол у чим нор ма л ьно е у р а в нение пл оско сти: x cosα + y cos β + z cos γ − p = 0.

(3)

Что бы пр ив ести общ ее у р а в нение (1) пл о ско сти к нор ма л ьно му в иду , его ну ж но помнож итьна норм и рую щ и й м нож и т ель: M =±

1 A2 + B 2 + C 2

.

(4) '

Зна к нор мир у ю щ его мно ж ител я дол ж ен бы ть пр отив о пол ож ен зна ку св о бодно го чл ена у р а в нения (1). Р а сстояние пл о ско сти (1) о т на ча л а коо р дина т и на пр а в л яю щ ие косину сы пер пендику л яр а к э той пл о ско сти в ы р а ж а ю тся чер ез ко э ффициенты ее у р а в нения сл еду ю щ им о бр а зом: D  p = m  A2 + B 2 + C 2  .(5)  A B C cosα = ± ; cos β = ± ; cos γ = ±  A2 + B 2 + C 2 A2 + B 2 + C 2 A2 + B 2 + C 2 Р а сстояние л ю бо й то чки Р (х', у',z') отпл о ско сти (1) в ы числ яется по фо р му л е δ=

Ax / + By / + Cz / + D A2 + B 2 + C 2

(6)

ил и, есл и пл оскостьда на но р ма л ьны м у р а в нением, по фор му л е δ = x / cosα + y / cos β + z / cos γ − p ,

( 6/ )

7

т. е. р а сстояние точки о т пл оскости р а в но а бсо л ю тной в ел ичине л ев о й ча сти нор ма л ьного у р а в нения пл о ско сти, в кото р ой теку щ ие ко ор дина ты , за менены ко ор дина та ми да нно й то чки, У гол меж ду дв у мя пл оскостями  Ax + By + Cz + D = 0   A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

опр едел яется сл еду ю щ им обр а зо м:

AA1 + BB1 + CC1

cos γ = ±

A2 + B 2 + C 2 ⋅ A12 + B12 + C12 У сл о в ие па р а л л ел ьно сти пл оскостей (7):

(7)

.

A B C . = = A1 B1 C1 У сл о в ие пер пендику л яр ности пл оскостей: AA1 + BB1 + CC1 = 0 . Есл и пл о ско стьопр едел ена тр емя то чка ми ( x1 ; y1 ; z1 ) , ( x2 ; y2 ; z2 ) и у р а в нение ее пр иметв ид: x

y

z

x1

y1

z1 1

x2

y2

z2 1

x3

y2

x3 1

(8)

(9)

( 10 ) ( x3 ; y3 ; z3 ) , то

1 =0 .

( 11)

Есл и четы р е точки ( x1 ; y1 ; z1 ) , ( x2 ; y2 ; z2 ) , ( x3 ; y3 ; z3 ) и ( x4 ; y4 ; z4 ) л еж а тв одной пл о ско сти, то меж ду их коор дина та ми су щ еств у етсл еду ю щ ее соотнош ение x1

y1

z1 1

x2

y2

z2 1

x3

y3

z3 1

x4

y4

x4 1

=0 .

( 12)

Есл и э ти четы р е точки не л еж а т в одной пл оскости, то объ ем тетр а э др а , в ер ш ина ми ко тор ого они сл у ж а т, в ы числ яется по фо р му л е: x1 y1 z1 1 1 x y2 z2 1 V =± 2 =0 . ( 13 ) 6 x3 y3 z3 1 x4 y4 x4 1 пр ичем зна к в пр а в ой ча сти в ы бир а ется та к, чтобы неотр ица тел ьны м (V >0).

р езу л ьта т по л у чил ся

8

Задани я дл я сам остоятел ьног о реш ени я 1. Пр оходитл и пл оско сть4 x − y + 3z = 0 чер ез о дну из сл еду ю щ их то чек: А (-1; 6; 3), B(3; -2; -5), С (0; 4; 1), D(2; 0; 5), E(2; 7; 0), F (0; 1; 0)? 2. Дока за ть, что в сякое у р а в нение пер в ой степени Ax + By +Cz + D == 0 пр едста в л яет пл о ско сть, основ ы в а ясьна том, что есл и коор дина ты дв у х то чек ка кой -нибу дьпр ямой у дов л етв ор яю тэ тому у р а в нению , то и коор дина ты л ю бой др у го й то чки э той ж е пр ямой у дов л етв ор яю тему . 3. У ка за тьосо бенности в р а спол ож ении сл еду ю щ их пл оскостей: 2. 2 x + 3 y − 7 z = 0 ; 1. 3x − 5 y + 1 = 0 ; 3. 9 y − 2 = 0 ; 4. 8 y − 3z = 0 ; 5. x + y − 5 = 0 отно сител ьно о сей коор дина т. 4. Н а писа тьу р а в нение пл о ско сти: 1. па р а л л ел ьной пл о ско сти ( xz ) и пр охо дящ ей чер ез точку (2; − 5;3) ; 2. пр оходящ ей чер ез осьz и чер ез точку ( −3;1; − 2) ; 3. па р а л л ел ьной оси x и пр оходящ ей чер ез дв е точки (4;0; − 2) и (5;1;7) . 5. В ы числ ить отр езки, отсека емы е на осях коор дина т сл еду ю щ ими пл о ско стями: 1. 2 x − 3 y − z + 12 = 0 ; 2. 5 x + y − 3z − 15 = 0 ; 3. x − y + z − 1 = 0 ; 4. x − 4 z + 6 = 0 ; 5. 5 x − 2 y + z = 0 ; 6. x − 7 = 0 . 6. По стр о итьл инии пер есечения коор дина тны х пл оскостей с пл оскостью 5 x + 2 y − 10 = 0 . 7. Пл о ско сть 3x + y − 2 z − 18 = 0 в месте с коор дина тны ми пл оскостями обр а зу етнекотор ы й тетр а э др . В ы числ итьр ебр о ку ба , ко тор ы й мож но поместить в ну тр и э того тетр а э др а та к, чтобы тр и гр а ни его сов па да л и с коо р дина тны ми пл о ско стями, а в ер ш ина , пр отив ол еж а щ а я на ча л у коо р дина т, л еж а л а на да нной пл о ско сти. 8. Чер ез точку P (7; − 5;1) пр о в ести пл о скость, ко тор а я отсека л а бы на осях ко ор дина тпол о ж ител ьны е и р а в ны е меж ду собой отр езки. 9. Тр и гр а ни тетр а э др а , р а спол о ж енно го в о в тор ом окта нте, сов па да ю т с ко ор дина тны ми пл оско стями. Н а писа тьу р а в нение четв ер той гр а ни, зна я дл ину р ебер , ее о гр а ничив а ю щ их: AB = 6; BC = 29 ; CA = 5 . 10. Пр ив ести к нор ма л ьно му в иду у р а в нения сл еду ю щ их пл оскостей: 1) 2 x − 9 y + 6 z − 22 = 0 2) 10 x + 2 y − 11z + 60 = 0 3) 6 x − 6 y − 7 z + 33 = 0 11. В ы числ итьр а ссто яние пл оскости 15 x − 10 y + 6 z − 190 = 0 о т на ча л а ко ор дина т.

9

12. С оста в итьу р а в нение пл о ско сти, пр охо дящ ей о т на ча л а коор дина т на р а сстоянии 6 единиц и отсека ю щ ей на осях коо р дина т отр езки, св яза нны е соо тнош ением: a : b : c =1: 3: 2 . 13. Опр едел ить на пр а в л яю щ ие косину сы пр ямо й, пер пендику л яр но й к пл о ско сти 2 x − y + 2 z − 9 = 0 . 14. Пл оскость отсека ет на осях коо р дина т сл еду ю щ ие отр езки: a = 11 , b = 55 , c = 10 . В ы числ ить на пр а в л яю щ ие косину сы пр ямой, пер пендику л яр ной к э то й пл о скости. 15. Н а йти у го л меж ду пл о ско стью x − y + 2 z − 5 = 0 и пл оскостью ( yz ) . 16. Н а йти точку , симметр ичну ю с на ча л о м ко ор дина т о тно сител ьно пл о ско сти 6 x + 2 y − 9 z + 121 = 0 . 17. Н а йти пл оско сть, зна я, что точка P (3: − 6;2) сл у ж ит основ а нием пер пендику л яр а , опу щ енного из на ча л а коо р дина тна э ту пл о ско сть. 18. В ы числ итьр а сстояние: 1) точки (3;1; − 1) о тпл оскости 22 x + 4 y − 20 z − 45 = 0 . 2) точки ( 4;3; − 2 ) о тпл оскости 3x − y + 5 z + 1 = 0 . 1  3) точки  2;0; −  отпл о ско сти 4 x − 4 y + 2 z + 17 = 0 . 2  19. В ы числ ить в ы со ту пир а миды с в ер ш ина ми A ( 0;6;4 ) , B ( 3;5;3) , C ( −2;11; − 5 ) , D (1; − 1;4 ) . 20. Да ны дв е то чки A (1;3; − 2 ) и B ( 7; − 4;4 ) . Чер ез точку B пр о в ести пл о ско сть, пер пендику л яр ну ю отр езку AB . 21. В ы числ итьу гл ы меж ду сл еду ю щ ими пл оскостями: 1) 4 x − 5 y + 3z − 1 = 0 и x − 4 y − z + 9 = 0 ; 2) 3x − y + 2 z + 15 = 0 и 5 x + 9 y − 3z − 1 = 0 ; 3) 6 x + 2 y − 4 z + 17 = 0 и 9 x + 3 y − 6 z − 4 = 0 . 22. С оста в итьу р а в нение пл оско сти: 1) пр оходящ ей чер ез то чку ( −2;7;3) па р а л л ел ьно пл оско сти x − 4 y + 5z − 1 = 0 ; 2) пр о ходящ ей чер ез на ча л о коор дина т и пер пендику л яр ной к дв у м пл о ско стям: 2 x − y + 5 z + 3 = 0 и x + 3 y − z − 7 = 0 ; 3) пр о ходящ ей чер ез точки L ( 0;0;1) и N ( 3;0;0 ) и обр а зу ю щ ей у гол π с пл оскостью ( xy ) . 3 23. В ы числ итьр а сстояние меж ду пл оскостями: 11x − 2 y − 10 z − 15 = 0 и 11x − 2 y − 10 z − 45 = 0 . 24. Н а р а сстоянии тр ех единиц от пл оскости 3x − 6 y − 2 z + 14 = 0 пр о в ести па р а л л ел ьну ю ей пл оскость.

10

25. И зв естны коо р дина ты в ер ш ин тетр а э др а : A ( 0;0;2 ) , B ( 3;0;5 ) , C (1;1;0 ) и D ( 4;1;2 ) . С о ста в итьу р а в нение его гр а ней . 26. В ы числ итьобъ ем тетр а э др а , да нного в пр еды ду щ ей за да че. 27. Пр о в ер ить, мож но л и пр о в ести пл оскостьчер ез сл еду ю щ ие четы р е точки: 1) ( 3; 1; 0 ) , ( 0; 7; 2 ) , ( −1; 0; − 5 ) и ( 4; 1; 5 ) ; 2) (1; − 1; 1) , ( 0; 2; 4 ) , (1; 3; 3) и ( 4; 0; − 3) . 28. Н а й ти точку пер есечения сл еду ю щ их тр ех пл оскостей: 1) x − 4 y − 2 z + 3 = 0 , 3x + y + z − 5 = 0 , − 3x + 12 y + 62 z − 7 = 0 ; 2) 5 x + 8 y − z = 0 , x + 2 y + 3z − 1 = 0 , 2 x − 3 y + 2 z − 9 = 0 ; 3) 2 x − y + 5 z − 4 = 0 , 5 x + 2 y − 13z + 23 = 0 , 3x − z + 5 = 0 . 29. Чер ез л инию пер есечения пл оскостей 4 x − y + 3z − 1 = 0 и x + 5 y − z + 2 = 0 пр о в ести пл оско сть: 1) пр оходящ у ю чер ез на ча л о коор дина т; 2) пр оходящ у ю чер ез точку (1;1;1) ; 3) па р а л л ел ьну ю о си y ; 4) пер пендику л яр ну ю к пл оскости 2 x − y + 5 z − 3 = 0 .

§ 3. П РЯ М А Я Л И Н И Я В П РО СТ РА Н СТ В Е Пр яма я л иния в пр остр а нств е мож ет бы ть опр едел ена ка к л иния пер есечения дв у х пл оскостей; по э тому о на изобр а ж а ется сов оку пностью дв у х у р а в нений пер в ой степени:  Ax + By + Cz + D = 0 . ( 14 )   A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Э та ж е пр яма я мо ж ет бы ть изобр а ж ена у р а в нениями л ю бы х дв у х пл о ско стей пу чка , о пр едел яемо го пл оскостями (14). Особенно у добно в ы бр а ть ср еди э тих пл о ско стей те, кото р ы е пр оектир у ю т да нну ю пр яму ю на дв е ко ор дина тны е пл о ско сти; та кие пл оскости соо тв етств енно па р а л л ел ьны дв у м осям коор дина т, и у р а в нение ка ж дой из них содер ж ит то л ько дв е коор дина ты . Та ким обр а зом, система у р а в нений (14) мож етбы тьпр ив едена к в иду :  x = mz + a . ( 15 )  y = nz + b  Пр яма я мож ет бы ть о пр едел ена дв у мя св о ими точка ми. Есл и да ны ко ор дина ты дв у х точек ( x1 ; y1 ; z1 ) и ( x2 ; y2 ; z2 ) ,то пр яма я чер ез них пр охо дящ а я, изобр а зится у р а в нениями:

11

x − x1 y − y1 z − z1 = = . x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

( 16 )

В в едя обозна чения : x2 − x1 = m ; y2 − y1 = n ; z2 − z1 = p ка но ническу ю фо р му у р а в нений пр ямо й: x − x1 y − y1 z − z1 = = ; m n p здесь зна мена тел и пр ямой

m; n и

p пр опор циона л ьны

,

пол у чим

( 17 )

на пр а в л яю щ им косину са м

m : n : p = cosα : cos β : cos γ ,

( 18 )

и мы имеем:  m  cosα = ±  m2 + n2 + p 2  n  . ( 19 ) cos β = ± 2 2 2 m + n + p   p  cos γ = ±  m2 + n2 + p 2 Зна к в фо р му л а х (19) мож етбы тьв ы бр а н по на ш ему пр оизв ол у , но в о в сех тр ех фор му л а х дол ж ен бы ть один и тот ж е. Пер емена зна ка соотв етств у ет изменению пол ож ител ьного на пр а в л ения на пр ямой. У гол меж ду дв у мя пр ямы ми x−a y −b z −c x − a1 y − b1 z − z1 = = и = = ( 20 ) m n p m1 n1 p1 в ы числ яется по фор му л е: cos ϕ = ±

mm1 + nn1 + pp1

m 2 + n 2 + p 2 ⋅ m12 + n12 + p12 У сл о в ие па р а л л ел ьно сти э тих пр ямы х: m n p = = . m1 n1 p1

.

( 21 )

( 22 )

У сл о в ие пер пендику л яр ности пр ямы х: mm1 + nn1 + pp1 = 0 . ( 23 ) Б ол ьш инств о за да ч р еш а ется пр ощ е, есл и у р а в нения пр ямы х имею т ка но ническу ю фор му (17), и очень в а ж но у меть пр ив о дить систему о бщ их у р а в нений (14) к э тому в иду . Э то мо ж ет бы тьдостигну то сл еду ю щ им обр а зом: искл ю ча я из системы (14) один р а з одну коо р дина ту , др у гой р а з др у гу ю , мы пер еходим к системе (15), по том на хо дим зна чения z из обо их у р а в нений (15) и пр ир а в нив а ем их меж ду со бо й:

12

x−a y −b z = = ; m n 1 здесь c = 0 и p = 1 . М ож ем достигну ть цел и и ина че: непоср едств енно из у р а в нений (14) в ы числ яем ко ор дина ты a , b и c ка ко й-нибу дьто чки пр ямой , а за тем в место у гл ов ы х коэ ффициентов от m , n и p бер ем пр опор цио на л ьны е им в ел ичины , в ы числ енны е из пр опор ции B C C A A B m:n: p = : : . ( 24 ) B1 C1 C1 A1 A1 B1 Есл и о дин из зна мена тел ей m , n ил и p о ка ж ется р а в ны м ну л ю , то числ ител ьсоотв етств у ю щ ей др оби на до пол ож итьр а в ны м ну л ю , т, е. система x−a y −b z −c = = 0 n p y −b z −c р а в носил ьна системе x − a = 0 и ; та ка я пр яма я пер пендику л яр на = n p x−a y −b z −c к о си x . С истема р а в носил ьна системе = = x−a=0 и 0 0 p y − b = 0 ; пр яма я па р а л л ел ьна о си z . Есл и пр яма я да на о дной то чкой ( a , b , c ) и на пр а в л яю щ ими косину са ми cosα , cos β , cos γ , то мож но на писа ть нор ма л ьну ю систему у р а в нений э той пр ямой: x−a y −b z −c = = . ( 25 ) cosα cos β cos γ Э ти у р а в нения по л у ча ю тся из (17) у множ ением в сех зна мена тел ей на нор мир у ю щ ий множ ител ь 1 ± . m2 + n2 + p 2 В нор ма л ьной системе (25) ка ж до е из тр ех отно ш ений р а в но р а ссто янию обр а зу ю щ ей точки ( x ; y ; z ) от постоянной то чки ( a , b , c ) . В ка нонической системе (17) соотв етств у ю щ ие отнош ения л иш ь пр опор циона л ьны э то му р а сстоянию . Н еобхо димо е и доста то чно е у сл о в ие пер есечения дв у х пр ямы х (20) в пр о стр а нств е в ы р а ж а ется р а в енств о м a − a1 b − b1 c − c1 m n p =0 . m1 n1 p1

( 26 )

13

Задани я дл я сам остоятел ьног о реш ени я 1. У ка за тьособенно сти в р а спол о ж ении сл еду ю щ их пр ямы х:  Ax + By + Cz = 0 1)  ; A x + B y + C z = 0  1 1 1

 Ax + Cz = 0 2)  ; A x + C z = 0  1 1

 Ax + D = 0 3)  ;  A1 x + D1 = 0

 Ax + By + Cz + D = 0 . 4)  B1 y + D1 = 0 

2. Пр и ка ком зна чении св о бодного чл ена D пр яма я 3 x − y + 2 z − 6 = 0  x + 4y − z + D = 0

пер есека етось z ? 3. Пр и ка ких зна чениях ко э ффициенто в

B и D пр яма я

 x − 2y + z − 9 = 0  3x + By + z + D = 0 л еж итв пл о ско сти ( xy ) ? 4. К а кому у сл о в ию дол ж ны у до в л етв о р ятькоэ ффициенты  Ax + By + Cz + D = 0   A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 дл я того чтобы пр яма я: 1) бы л а па р а л л ел ьна оси x ; 2) пер есека л а ось y ; 3) со в па л а с о сью z 4) бы л а па р а л л ел ьна я пл о ско сти ( yz ) ; 5) л еж а л а в пл оскости ( xz ) ; 6) пр оходил а чер ез на ча л о ко ор дина т? 5. Н а писа тьу р а в нение пл оскостей, пр оектир у ю щ их пр яму ю 5 x + 8 y − 3z + 9 = 0   2x − 4 y + z − 1 = 0

14

на тр и коор дина тны е пл о ско сти. 6. К а кими у р а в нениями изо бр а зятся пр о екции пр ямой 3 x + 2 y − z + 5 = 0   x − y − z +1= 0

на коор дина тны е пл о ско сти? 7. С оста в итьу р а в нения пр о екции пр ямой x − 4 y + 2z − 5 = 0   3x + y − z + 2 = 0 на пл оскость 2 x + 3 y + z = 0 . 8. С оста в итьу р а в нения пр ямо й, пр охо дящ ей чер ез на ча л о коор дина ти чер ез точку ( a , b , c) . 9. Н а писа ть у р а в нения р ебер тетр а э др а , в ер ш ины котор о го да ны св оими ко ор дина та ми: A ( 0; 0;2 ) , B ( 4; 0; 5) ; C ( 5; 3; 0 ) ; D ( −1; 4; − 2 ) . 10. Пр о в ер ить, л еж а т л и на о дной пр ямой сл еду ю щ ие тр и точки:

( 0;2;4 ) ; 1; 

( 3;0;1) ,

4  ; 3 . 3 

11. Да ны точки пер есечения пр ямой с дв у мя ко ор дина тны ми пл оскостями ( x1 , y1 ,0 ) и ( x2 ;0; z2 ) . В ы числ итькоор дина ты точки пер есечения это й ж е пр ямой с тр етьей коор дина тной пл о ско стью . 12. Опр едел итьна пр а в л яю щ ие косину сы пр ямы х 1)

x −1 y − 5 z + 2 ; = = 4 −3 12

2)

x y−7 z+3 . = = 12 9 20

13. С о ста в итьу р а в нение пр ямой, ко тор а я пр оходитчер ез то чку A (1; − 5;3) и обр а зу етс осями коо р дина ту гл ы , соотв етств енно р а в ны е 600, 450 и 1200. 14. Опр едел ить у го л , обр а зо в а нны й пр ямы ми: x y − 3 z +1 = = . 2 9 6

x −1 y + 2 z − 5 = = 3 6 2

и

15. В ы числ итьу гл ы , обр а зов а нны е пр отив о пол ож ны ми р ебр а ми тетр а э др а с в ер ш ина ми: A ( 3; − 1;0 ) , B ( 0; − 7;3) , C ( −2;1; − 1) , D ( 3;2;6 ) .

15

16. Пр ив ести к ка ноническо му в иду у р а в нения пр ямо й 2 x − 3 y − 3 z − 9 = 0 .   x − 2y + z + 3 = 0

17. В ы числ итьна пр а в л яю щ ие ко сину сы пр ямой 5 x − 6 y + 2 z + 21 = 0 .  x − z +3=0  18. Опр едел итьу го л меж ду дв у мя пр ямы ми 3 x − 4 y − 2 z = 0   2x + y − 2z = 0

19. Чер ез то чку

и

( 2; − 5;3)

4 x + y − 6 z − 2 = 0 .  y − z + = 3 2 0 

пр ов ести пр яму ю :

1) па р а л л ел ьну ю оси z ; 2) па р а л л ел ьну ю пр ямой

x −1 y − 2 z + 3 = = ; 4 −6 9

 2 x − y + 3z − 1 = 0 3) па р а л л ел ьну ю пр ямой  . 5 x − 4 y − z − 7 = 0

20. В пл оскости ( xz ) на йти л инию , пр оходящ у ю чер ез на ча л о коор дина ти x − 2 y +1 z − 5 пер пендику л яр ну ю к пр ямо й = = . 3 −2 1 21. Пр о в ер ить, пер есека ю тся л и сл еду ю щ ие пр ямы е 1)

x −1 y − 7 z − 5 = = и 2 1 4

 4x + z − 1 = 0 2)  x − 2 y + 3 = 0

и

x − 6 y +1 z = = ; 3 −2 1

3 x + y − z + 4 = 0 .   y + 2z − 8 = 0

22. Н а писа тьу р а в нение пер пендику л яр а , опу щ енного из точки A ( 2;3;1) на x +1 y z − 2 = = . пр яму ю 2 −1 3 23. И з на ча л а коор дина т x − 5 y − 2 z +1 . = = 4 3 −2

опу стить пер пендику л яр

на

пр яму ю

16

24. Чер ез точку A ( 4;0; − 1) пр ов ести пр яму ю та к, что бы о на пер есека л а дв е да нны е пр ямы е: x −1 y + 3 z − 5 = = 2 4 3

x y − 2 z +1 = = . 5 −1 2

и

25. И з в сех пр ямы х, пер есека ю щ их дв е пр ямы е x+3 y −5 z = = 2 3 1

и

x − 10 y + 7 z = = , 5 4 1

на йти ту , ко тор а я бы л а бы па р а л л ел ьна пр ямой

x + 2 y −1 z − 3 = = . 8 7 1

26. С о ста в итьу р а в нение общ его пер пендику л яр а дв у х пр ямы х x−7 y−3 z −9 = = 1 2 −1

и

x − 3 y −1 z −1 = = . 2 3 −7

§ 4. П РЯ М А Я И П Л О СК О СТ Ь Что бы на йти точку пер есечения пр ямой x−a y−b z −c = = m n p

( 27 )

Ax + By + Cz + D = 0 ,

( 28 )

и пл оскости

на до р еш итьсов местно э ти тр и у р а в нения. Р еш ение пол у чится изящ нее, есл и в в ести па р а метр ρ , р а в ны й тр ем отно ш ениям (27). Тогда x = mρ + a , y = nρ + b , z = pρ + c ; в ста в л яя э ти зна чения ко ор дина т в у р а в нение пл оскости (28) пол у чим зна чение ρ и за тем у ж е опр едел им иско мы е ко ор дина ты . У гол меж ду пр ямой (27) и пл о ско стью (28) в ы числ яется по фор му л е sin ϕ = ±

Am + Bn + Cp A + B + C 2 ⋅ m2 + n2 + p 2 2

2

.

( 29 )

У сл о в ие па р а л л ел ьно сти пр ямой (27) и пл оскости (28) Am + Bn + Cp = 0 .

( 30 )

17

У сл о в ие пер пендику л яр ности пр ямой и пл о ско сти A B C = = . m n p

( 31 )

У сл о в ие того, что пр яма я (27) цел иком л еж ит в пл оско сти (28), в ы р а ж а ется дв у мя р а в енств а ми:  Aa + Bb + Cc + D = 0 .  Am + Bn + Cp = 0 

Задани я дл я сам остоятел ьног о реш ени я 1. Н а йти то чку пер есечения пр ямо й 3x + 5 y − z − 2 = 0 /

x − 12 y − 9 z − 1 = = 4 3 1

и пл оско сти

2. Н а йти то чку пер есечения: 1) пр ямой

x +1 y − 3 z и пл оскости 3x − 3 y + 2 z − 5 = 0 ; = − 2 4 3

2) пр ямой

x − 13 y − 1 z − 4 и пл о скости 3x − y − 4 z + 1 = 0 ; = − 8 2 3

3) пр ямой

x−7 y −4 z −5 и пл оскости 3x − y + 2 z − 5 = 0 . = − 5 1 4

3. С о ста в ить у р а в нение пр ямой, пр оходящ ей чер ез точки пер есечения x − 3 y − 5 z +1 x−5 y −3 z + 4 пл о ско сти 2 x + y − 3z = 0 с пр ямы ми и . = = = = 1 −5 2 2 4 −6 4. Пр и ка ко м зна чении ко э ффициента A пл оскость Ax + 3 y − 5 z + 1 = 0 x −1 y + 2 z бу детпа р а л л ел ьна пр ямо й = = ? 4 3 1 коэ ффициентов A и B x − 2 y + 5 z +1 Ax + By + 6 z − 7 = 0 пер пендику л яр на к пр ямой = = ? 2 −4 3 5.

Пр и

ка ких

6. И з точки 5x + 3 y − 7 z + 1 = 0 .

зна чениях

(3; − 2;4)

опу стить пер пендику л яр

на

пл оскость

пл оскость

18

7. Чер ез на ча л о коор дина тпр ов ести пл о ско сть, пер пендику л яр ну ю пр ямой x + 2 y − 3 z −1 = = . 4 5 −2 8. Н а йти пр о екцию точки A ( 4; − 3; 1) на пл о ско сть x + 2 y − z − 3 = 0 . 9. Пр о в ер ить, л еж итл и пр яма я: 1)

x −1 y + 3 z + 2 = = на пл оскости 4 x + 3 y − z + 3 = 0 ; 2 5 −1

2)

x −1 y z − 2 = = на пл оскости 5 x − 8 y − 2 z − 1 = 0 ; 4 7 3

3)

x + 2 y +1 z = = на пл оскости 3x − 2 y − z + 15 = 0 . 3 4 1

10. Н а писа тьу р а в нение пл оскости, ко тор а я пр оходитчер ез точку x−4 y+3 z и чер ез пр яму ю = = . 5 2 1 x − 2 y − 3 z +1 = = 5 1 2 пер пендику л яр ну ю к пл оскости x + 4 y − 3z + 7 = 0 . 11.

Чер ез

пр яму ю

12.

Н а йти

пр оекцию

пр ямой

x − y + 3z + 8 − 0 .

пр о в ести

x y − 4 z +1 = = 4 3 2

на

( 3; 1; − 2 )

пл о ско сть,

пл оско сть

x − 3 y +1 z − 2 x − 8 y −1 z − 6 = = и = = 5 2 4 3 1 −2 пер есека ю тся, и на писа тьу р а в нение пл оско сти, чер ез них пр оходящ ей. 13. Пр ов ер ить, что пр ямы е

14. Пр о в ести пл оскость чер ез пер пендику л яр ы , опу щ енны е из точки ( −3; 2; 5) на пл о скости 4 x + y − 3z + 13 = 0 и x − 2 y + z − 11 = 0 . 15. Н а писа ть у р а в нение пл оскости, пр оходящ ей чер ез сл еду ю щ ие дв е x y + 2 z −1 x −1 y − 3 z + 2 пр ямы е = = и = = . 7 3 5 7 3 5 16. С о ста в итьу р а в нение пл оскости, пр оходящ ей чер ез то чку P ( 4; − 3; − 1) x y z x +1 y − 3 z − 4 и па р а л л ел ьно й пр ямы м: и . = = = = 6 2 −3 5 4 2

19

17. Н а писа ть у р а в нение пл о ско сти, пр оходящ ей чер ез x−3 y + 4 z −2 x + 5 y − 2 z −1 = = и па р а л л ел ьной пр ямой = = . 2 1 −2 4 7 2 x+5 y−2 z = = 3 1 4 пл о ско сти x + y − z + 15 = 0 . 18. Чер ез пр яму ю

пр яму ю

пр о в ести пл о ско сть, па р а л л ел ьну ю

x − 7 y − 5 z −1 = = 4 3 6 па р а л л ел ьну ю пл оскости 2 x + y − 7 z + 1 = 0 ? 19. М ож но л и чер ез пр яму ю

пр ов ести пл оскость

P (1; 0; 7 )

па р а л л ел ьно пл оско сти 3x − y + 2 z − 15 = 0 x −1 y − 3 z пр о в ести пр яму ю та к, чтобы о на пер есека л а пр яму ю = = . 4 2 1 20. Чер ез точку

21. Н а й ти р а ссто яние точки P ( 7; 9; 7 ) отпр ямой 22. Н а пр ямой

( 3; 2; 6 ) .

x y +7 z −3 = = 1 2 −1

на йти то чку , бл иж а й ш у ю

23. Н а й ти то чку , симметр ичну ю с точкой x −1 y − 2 z − 3 пр ямой = = . 2 4 5 24. Н а йти р а сстояние меж ду x − 2 y +1 z x − 7 y −1 z − 3 = = и = = . 3 4 2 3 4 2

x − 2 y −1 z = = . 4 3 2

дв у мя

P ( 4; 3; 10 )

к то чке

о тно сител ьно

па р а л л ел ьны ми

пр ямы ми

25. Да ны в ер ш ины тр еу гол ьника A ( 4; 1; − 2 ) , B ( 2; 0; 0 ) , C ( −2; 3; − 5 ) . С оста в ить у р а в нение его в ы со ты , опу щ енно й из в ер ш ины B на пр о тив ол еж а щ у ю стор ону . 26. С оста в итьу р а в нения биссектр ис у гл а A тр еу гол ьника , да нного в за да че 25. AB тр еу го л ьника за да чи 25 пр о в ести пл о ско сть, 27. Чер ез сто р о ну пер пендику л яр ну ю к пл оскости тр еу гол ьника .

28. Да н ку б, р ебр о ко тор ого р а в но единице. В ы числ итьр а ссто яние меж ду в ер ш иной ку ба и его диа гона л ью , не пр оходящ ей чер ез э ту в ер ш ину . 29. Пр ов ер ить, что пл оскость, пер пендику л яр на я к диа го на л и ку ба и пр оходящ а я чер ез ее сер едину , пер есека етку б по пр а в ил ьному ш естиу го л ьнику .

20

Реком ендуем ая л и тература 1. К у знецо в Л .А . С бор ник за да ч по в ы сш ей ма тема тике. –М .: В ы сш а я ш кол а , 1994. –206с. 2. Ф а деев Д.К ., С оминский И .С . С бор ник за да ч по в ы сш ей а л гебр е. –М .: Н а у ка , 1964. –304с. 3. Ц у бер бил л ер О.Н . За да чи и у пр а ж нения по а на л итическо й геометр ии. – М .: Н а у ка , 1966. –336с.

Содерж ани е

§ 1. К омпл ексны е числ а . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

§ 2. Пл оскость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

§ 3. Пр яма я и л иния в пр о стр а нств е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

§ 4. Пр яма я и пл о скость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Р екоменду ема я л итер а ту р а . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

С о ста в ител и:

Б а р ков а Л а р иса Н ико л а ев на

Р еда ктор

Б у нина Т.Д.