Эффективный метод вычисления интеграла Адамара на конечном интервале: Методические указания к курсовой работе

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пензенский государственный университет»

Эффективный метод вычисления интеграла Адамара на конечном интервале Методические указания к курсовой работе

Пенза Издательство Пензенского государственного университета 2007

УДК 517 Д57

Рассматривается выполнение курсовой работы по конкретной теме дисциплины «Квадратурные формулы». Предлагаются темы курсовых работ (приложение А). Даны контрольные вопросы к экзаменам (приложение Б) и программа курса. Методические указания подготовлены на кафедре «Высшая и прикладная математика» и предназначены для студентов 4-го курса специальности «Прикладная математика».

С о с т а в и т е л ь Н. Ф. Добрынина

Р е ц е н з е н т А. А. Ловков, кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой «Алгебра» Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского

2

Постановка задачи В ходе данной работы необходимо ознакомиться с приближенными методами вычисления интегралов Адамара и посредством реализации эффективного метода вычисления интеграла Адамара на конечном интервале определить значения исходных интегралов −τ

2

e cos τ e − τ sin τ d τ dτ . , ∫ ∫ 2 4 −1 ( τ − 0,5) −1 ( τ − 0,7) 1

1

Теоретическая часть 1. Определение интеграла Адамара Определение 1. Интеграл вида b

A( x) dx

∫ (b − x) p+α

(1)

а

при целом p и 0 < α < 1 определяет величину («конечную часть») рассматриваемого интервала: 1) как половину соответствующего интервала вдоль контура [a,b], если А(х) – аналитическая функция (рис. 1); a

b Рис. 1

2) как предел при х – > b x

A(t ) dt

∫ (b − t ) p+α a

+

B ( x) , (b − x) p +α −1

если предположить, что А(х) имеет р производных в окрестности точки b. Здесь В(х) – любая функция, на которую налагаются два условия: − рассматриваемый предел существует;

3

− В(х) имеет, по крайней мере, р производных в окрестности точки х = b. Произвольный выбор В(х) никак не влияет на значение получаемого предела: 1-е условие определяет значения р–1 первых производных от В(х) в точке b, так что произвольный добавочный член в числителе есть бесконечно малая величина, по меньшей мере порядка (b − x) p .

Ж. Адамар назвал этот предел «конечной частью» интеграла и обозначил b

A( x) dx

∫ (b − x) p+α . a

Знак означает конечную часть интеграла. В современной литературе чаще встречается другое обозначение интеграла Адамара: b

A( x) dx

∫ (b − x) p+β a

(в данной работе используется это обозначение). Один из способов вычисления Адамара заключается в следующем. Представим интеграл (1) в виде b

b b A1 ( x)dx A( x)dx A′(b) = + ∫ (b − x) p+α ∫ (b − x) p+α ∫ [ A(b) + 1! ( x − b) + a a a

+ ... + где A1 ( x) = A( x) − A(b) −

A( p −1) (b)( x − b) p −1 dx ] , ( p − 1)! (b − x) p +α

(2)

A′(b) A( p −1) (b)( x − b) p −1 . ( x − b) − ... − ( p − 1)! 1!

Вычисляя второй из интегралов, стоящих в правой части формулы (2), по определению (1), в котором B( x) =

A(b) A′(b)(b − x) (−1) p−1 A( p−1) (b)(b − x) p −1 , − + ... + p + α − 1 ( p + α − 2)1! α( p − 1)!

имеем

4

(−1) p−1 A( p−1) (b) A( x)dx A(b) A ( x)dx ... = − − − + ∫ 1 p +α . ∫ (b − x) p+α ( p + α − 1)(b − a) p+α−1 α ( p − 1)α(b − a) a (b − x) a b

b

Данное Адамаром определение конечной части расходящегося интеграла является частным случаем общего понятия регуляризации расходящихся интегралов. Определение 2. Множество К всех вещественных функций ϕ(x) ( x = ( x1 ,..., xn )) , каждая из которых имеет непрерывные производные всех порядков и финитна, т. е. обращается в нуль вне некоторой ограниченной области, называется основным пространством. Сами функции ϕ(x) называются основными. Определение 3. Линейный непрерывный функционал f задан на основном пространстве К, если указано правило, в силу которого основной функции ϕ(x) сопоставлено некоторое число ( f , ϕ) и при этом выполнены следующие условия:

а) для любых двух вещественных чисел α1 , α 2 и любых двух основных функций ϕ1 ( x), ϕ2 ( x) имеет место равенство ( f , α1ϕ1 + α 2 ϕ 2 ) = = α1 ( f , ϕ1 ) + α 2 ( f , ϕ 2 ) ;

б) если последовательность основных функций ϕ1 , ..., ϕ n , ... стремится к нулю в пространстве К, то последовательность чисел ( f , ϕ1 )...( f , ϕn ),... сходится к нулю. Если f(x) локально интегрируемая в Rn , то с её помощью можно каждой основной функции ϕ(x) поставить в соответствие число ( f , ϕ) =

∫ f ( x)ϕ( x)dx .

(3)

Rn

Легко видеть, что выражение (3) является линейным функционалом. Известно, что не все линейные функционалы представимы в виде (3). Линейные функционалы, представимые в виде (3), называются регулярными, все остальные – сингулярными. Пусть f(x) – функция, локально интегрируемая всюду, кроме точки x0 . В этой точке она имеет неинтегрируемую особенность. Тогда интеграл (3), где ϕ(x) – основная функция, вообще говоря, расходит5

ся. Но он сходится, если ϕ(x) равна нулю в окрестности точки x0 . Ставится вопрос, нельзя ли доопределить возникающий при этом функционал, т. е. построить функционал f ∈ K , который на основные функции ϕ(x) , равные нулю в окрестности точки х0, действует по формуле (3). Всякий такой функционал f называется регуляризацией расходящегося интеграла (3) или регуляризацией функции f(x). Остановимся на проблеме регуляризации функций со степенными особенностями, так как интеграл в смысле Адамара введен для интегрирования таких функций. Пусть f(x) – функция со степенной особенностью в точке x0 = ( x10 ,..., xn0 ) , причем функция f ( x) = r m локально интегрируема. Здесь 1

n

r = [∑ ( xk − xk0 ) 2 ] 2 . k =1

Предложим следующую регуляризацию степенных функций: ( f , ϕ) =

∫

f ( x){ϕ( x) − [ϕ(0) +

Rn

∂ϕ(0) ∂ m ϕ(0) xnm x1 + ... + ]θ(1 − r )}dx , ∂x1 ∂xnm m!

(4)

где для простоты полагается, что особая точка x0 = 0 , функция θ(1 − r ) равна единице при r < 1 и равна нулю при r = 1. Сравнивая результаты регуляризации функции f(x) со степенной особенностью, проведенной по формуле (4) при n = 1, и результаты непосредственного вычисления интеграла Адамара по формуле (2), легко убедиться, что они отличаются на константу. Теорема. Если f 0 – частное решение проблемы регуляризации интеграла (3), то общее решение f получается прибавлением к f 0 любого функционала, сосредоточенного в точке x0 . Рассмотрим интеграл ∞

Aϕ = ∫ ϕ(τ)τλ − 2 dτ , 0

где 1 < λ < 2 ,

6

а функция ϕ( τ) = (1 − ϕ1 ( τ) / τ) −μ , где ϕ1 (τ) – ограниченная функция, μ > 0 . Очевидно, интеграл Aϕ не существует в смысле Римана и необходимо проведение регуризация. Регуляризация интеграла Aϕ проводится следующим образом. Вначале доказывается, что интеграл ∞

∫ τ dτ = 0 μ

(5)

0

при любом μ . В самом деле ∞

a

∞

0

0

a

μ μ μ ∫ τ dτ = ∫ τ dτ + ∫ τ dτ .

(6)

При условии Re μ > −1 первый интеграл существует и равен μ +1`

a /(μ + 1) . Полученная функция является аналитической во всей плоскости комплексной переменной, исключая точку μ = −1 . Второй интеграл существует при условии Re μ < −1 и равен − a μ+1 /(μ + 1) . Он также является аналитической функцией во всей плоскости комплексной переменной за исключением точки μ = −1 . Продолжая интеграл из правой части формулы (6) на всю комплексную плоскость, доказываем (5). Тогда регуляризация осуществляется формулой ∞

∞

0

0

λ −2 λ −2 ∫ ϕ(τ)τ dτ = ∫ (ϕ(τ) − 1)τ dτ .

Нетрудно видеть, что последний интеграл существует. Аналогичным образом осуществляется переход к большим значениям λ . Л. А. Чикин дает определение интеграла типа Коши–Адамара, обобщающее понятия интеграла в смысле главного значения Коши и интеграла в смысле Адамара. Определение 4. Интегралом

7

b

ϕ(τ) dτ

∫ (τ − c) p ,

a < c < b,

a

в смысле главного значения Коши–Адамара будет следующий предел: b

ϕ(τ) dτ [ ∫ (τ − c) p = lim v→0 a

c −v

∫ a

b

ξ( v ) ϕ( τ)dτ ϕ( τ)dτ + ∫ + ], p p (τ − c) (c − v) p −1 c+v (τ − c)

где ξ(v ) – некоторая функция, выбранная так, чтобы указанный предел существовал.

2. Постановка задачи построения оптимальной квадратурной формулы В 1958 г. вышла книга С. М. Никольского «Квадратурные формулы», которая привлекла внимание математиков к построению оптимальных квадратурных формул. Различные подходы к построению оптимальных квадратурных формул предложены Н. С. Бахваловым, В. И. Крыловым, С. М. Никольским, С. Л. Соболевым. Оптимальные весовые кубатурные формулы исследованы В. И. Бойковым. Формулировка задачи построения оптимальных квадратурных формул в применении к интегралам Адамара принадлежит А. Н. Колмогорову и заключается в следующем. Рассмотрим интеграл b

ϕ(τ)dτ , p – целое, p ( τ − t ) a

Aϕ = ∫

(7)

который будем вычислять по квадратурной формуле N

Aϕ = ∑ ϕ( S k ) pk (t ) + RN (t , sk pk (t ), ϕ)

(8)

k =1

с узлами sk и весами pk (t ) (k = 1, 2, ..., N ) . Под погрешностью квадратурной формулы (8) будем понимать величину

RN ( sk , pk , ϕ) = max RN (t , sk , pk (t ), ϕ) . t

8

Если m – некоторый класс заданных на сегменте [a,b] функций, то положим, RN ( sk , pk , m) = sup RN ( sk , pk , ϕ) . ϕ∈m

Через ξ N [m] обозначим величину ξ N [ m] = inf RN ( sk , pk , m) , ( sk , pk )

где нижняя грань берется по всевозможным N узлам sk и весам pk (t ) (k = 1, 2, ..., N ) . Квадратурную формулу (8), построенную на узлах sk* и весах pk* (t ) (k = 1, 2, ..., N ) , будем называть оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку, если

RN ( sk* , pk* (t ), m) = 1, ξ N [ m] lim

N ←∞

RN ( sk* , pk* (t ), m) =1, ξ N [ m]

RN ( S k* , pk* (t ), m)

∪ ξ N [ m] , ∩

∪ (слабая эквивалентность) означает, что име∩ ются две константы А и В (0 < A, B < ∞ ), не зависящие от N и такие, что соответственно. Знак

Aξ N [m] < RN ( sk* , pk* , m) < Bξ N [m] . Постановку задачи в случае многомерных интегралов опишем на примере двойного интеграла следующего вида: Iϕ =

b1 b2

ϕ(τ1 , τ 2 ) dτ1dτ 2 . p1 p2 1 − t1 ) ( τ 2 − t 2 )

∫ ∫ (τ

a1 a2

(9)

Для вычисления этого интеграла будем использовать кубатурные формулы вида

9

m

n

Iϕ = ∑∑ pkl (t1 , t 2 )ϕ( xk , y1 ) + Rmn (t1 , t 2 , xk , y1 ; pkl , ϕ) ,

(10)

k =1 l =1

определяемые вектором (x, y) : a1 < x1 < x2 < ...< xm < b1, a2 < y1 < y2 < ...< yn < b2 и коэффициентами pkl (1 ≤ k ≤ m,1 ≤ l ≤ n) . Под погрешностью кубатурной формулы (10) будем понимать величину Rmn ( xk , y1 ; p kl , ϕ) = sup[Rmn (t1 , t 2 ; xk , y1 ; pkl , ϕ)] . t1 ,t 2

Если m – некоторый класс заданных на прямоугольнике [a1 , b1 ; a2 , b2 ] функций, то положим, Rmn ( xk , y1 ; pkl , m) = sup[Rmn (t1 , t 2 ; xk , y1 ; pkl , ϕ)] . ϕ∈m

Через ξ mn [m] обозначим величину

ξ mn [m] = inf Rmn ( xk , y1 ; pkl , ϕ) , ( x, y, p )

в которой нижняя грань погрешности берется по всевозможным векторам ( x, y; p ) узлов и весов (k = 1, 2, ..., N ; l = 1, 2, ..., M ) . Кубатурную формулу (10), построенную на векторах ( xk* , y1* ; pkl* ) , будем называть оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку, если Rmn ( xk* , yk* ; pkl* , m) =1, ξ mn [m] Rmn ( xk* , y k* ; pkl* , m) = 1, m→∞ ,n→∞ ξ mn [m] lim

Rmn ( xk* , y1* , pkl* , m)

∪ ∩

ξ mn [m] .

Двойной интеграл (9) можно вычислять по кубатурной формуле N

Iϕ = ∑ pk (t1 , t 2 )ϕ( M k ) + RN (t1 , t 2 , M k , pk , ϕ) , k =1

10

(11)

использующей N значений подынтегральной функции. Здесь M k = (ξ k , ηk ) – узлы кубатурной формулы (11), причем характер расположения узлов в прямоугольнике [a1 , b1 ; a2 , b2 ] произвольный.

Числовые характеристики погрешностей определяются по формулам RN ( M k , pk , ϕ) = sup RN (t1 , t 2 ; M k , pk , ϕ) , t1 ,t2

RN ( M k , pk , m) = sup RN ( M k , pk , m) , ϕ∈m

ξ N [ m] = inf RN ( M k , pk , m) . ( M k , pk )

3. Классы функций С. М. Никольский отмечает, что погрешность любой квадратурной формулы на всем классе интегрируемых функций равна бесконечности, и поэтому приходится проводить исследование квадратурных формул на узких классах функций. Ниже описываются классы функций, на которых исследуются алгоритмы вычисления интегралов Адамара. Класс W r ( M ; a, b) состоит из функций, заданных на отрезке [a,b], непрерывных и имеющих непрерывные производные до (r–1)-го порядка включительно и кусочно-непрерывную производную r-го порядка, удовлетворяющую на этом отрезке неравенству f ( r ) ( x) ≤ M . В современном анализе широко используется класс функций Гельдера H α ( M ; a, b) (0 < α ≤ 1) , состоящий из заданных на отрезке [a,b] функций f(x), удовлетворяющих во всех точках x′ и x′′ этого отрезка неравенству: α

f ( x′) − f ( x′′) ≤ M x′ − x′′ .

11

Через W r H α ( M ; a, b) (r = 1, 2, ...; 0 < α ≤ 1) обозначают класс функций f(x), имеющих на отрезке [a,b] производные r-го порядка, удовлетворяющие условию:

f ( r ) ( x′) − f ( r ) ( x′′) ≤ M x′ − x′′

α

при любом x′, x′′ на [a,b]. Пусть на отрезке [a,b] задана неубывающая функция ω(x) , удовлетворяющая условиям: ω(0) = 0, 0 < ω( x2 ) − ω( x1 ) < ω( x2 − x1 ) для всех x1 и x2 из [a,b] . Функция ω(δ) , обладающая указанными свойствами, называется модулем непрерывности. Класс W r H ω (a, b) состоит из функций f(x), заданных на [a,b], имеющих на этом отрезке производные f ( r ) ( x) порядка r, удовлетворяющие неравенству f ( r ) ( x2 ) − f ( r ) ( x1 ) ≤ ω( x2 − x1 ) . ~ Через W r H ω (a, b) обозначается класс периодических функций с периодом (b–a), входящих в класс W r H ω (a, b) . ~r Через W p H ω ( M ; a, b) обозначается класс периодических функций r

с периодом (b–a), входящих в класс W p H ω ( M ; a, b) . H ω1ω2 ( D) обозначается класс определенных на Через D = {a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d } функций f(x, y), таких, что для любых точек ( x′, y′) и ( x′′, y′′) из D f ( x′, y ′) − f ( x′′, y ′′) ≤ ω1 ( x′ − x′′ ) + ω2 ( y ′ − y ′′ ) , где ω1 (δ) и ω2 (δ) – заданные модули непрерывности.

12

rr

Через W p 1 2 (1) обозначен класс функций ϕ( x, y ) , имеющих частные производные по переменным х и у до r1 , r2 -го порядка включительно, причем ϕ

( r ,r21 ) Lp ( D)

Если ϕ ∈Wpr1r2 , ϕ(r1,0) ( x,0)

≤ 1, D = [a, b; c, d ] . Lp ( a,b)

≤ 1, ϕ(0,r2 ) (0, y)

L p ( c ,d )

≤ 1, то ϕ∈Wp*(r1,r2 ) .

~ Через ϕ ∈ W ( r1 ,r2 ) (1) обозначим класс функций ϕ( x, y ) , имеющих

непрерывные частные производные по переменным х и у до r1 и r2 порядка включительно, причем ϕ( r1 , 0) ( x, y )

C

≤ 1, ϕ( 0,r2 ) ( x, y )

C

≤ 1, ϕ( r1 ,r2 ) ( x, y )

C

≤1.

Через WLrp ( D ) (1) обозначен класс функций, имеющих частные производные до r-го порядка включительно, ограниченные в метрике пространства L p (D ) единицей, D = [a, b; c, d ] . Через H p (1) (1 ≤ p ≤ ∞) обозначается класс функций Харди, аналитических внутри единичной окружности γ с центром в начале координат с нормой 1 f = [ lim p →1−0 2 π

2π

∫

iσ

p

1 p

f ( pe ) dσ] ≤ 1 .

0

Обозначим через H pr (r = 0, 1, ...; 1 ≤ p ≤ ∞) класс функций, аналитических внутри γ , имеющих производные до r-го порядка включительно на контуре γ и удовлетворяющих условию: 1

2π

p 1 lim [ ∫ f ( r ) ( pe iσ ) dσ] p ≤ 1 при 1 ≤ p ≤ ∞ , p →1−0 2 π 0

lim sup f ( r ) ( pe iσ ) ≤ 1 при p = ∞ .

p →1−0 0≤σ≤ 2 π

Обозначим через H ∞r ,α (1) класс функций, входящих в класс H ∞r (1) и удовлетворяющих на окружности γ дополнительному условию: 13

α

f ( r ) (t1 ) − f ( r ) (t 2 ) ≤ t1 − t 2 . Пусть f ( z1 ,..., z1 ) ∈ H pr ,...,r (1) – функция l комплексных переменных, аналитических по каждой переменной zi внутри единичной окружности γ i с центром в начале координат комплексной плоскости zi (i = 1, 2, ..., l ) . Обозначим через Di+ область, расположенную внутри единичной окружности γ i (i = 1, 2, ..., l ) . Будем говорить, что функция f ( z1 ,..., z1 ) ∈ H pr ,...,r (1), если она по каждой переменной z1 имеет частные производные до r-го порядка включительно и удовлетворяет условию sup

sup

lim

∫

−l ≤i ≤l ( z1 ,...., zi −l , zi +l ,..., zl )∈Dл p →1−0 γ

p

f i r ( z1 ,..., zi −l , pe iσ1 , zi +l ,..., zl ) dσ1 ≤ 1 ,

1

где Dk =

Dk+

∪ γk .

4. Эффективный метод вычисления интеграла Адамара на конечном интервале Рассмотрим функцию ϕ(τ) , определенную на сегменте [− 1,1] , имеющую производные до r-го порядка включительно. Предположим, что функция ϕ(τ) задана на [− 1,1] приближенными значениями ~ (τ) , такими, что ϕ( τ) − ϕ ~ ( τ) ≤ ε . ϕ Для интегралов Адамара Aϕ =

1

ϕ( τ)dτ

∫ (τ − t ) p

(12)

−1

построим квадратурную формулу следующего вида (2): Aϕ =

⎡tk +1 ⎛ 1 N −1~ 1 1 ϕ ( ) t ∑ k ⎢ ∫ ⎜⎜ [τ − (t − ih)]p + [τ − (t + ih)]p 2 k =0 ⎢⎣ tk ⎝

14

⎞ ⎤ ⎟dτ⎥ + ⎟ ⎥ ⎠ ⎦

+

⎡t j + 2 ⎛ 1 1 1~ + ϕ(t ′j ) ⎢ ∫ ⎜⎜ p 2 ⎢ t j −1 ⎝ [τ − (t − ih)] [τ − (t + ih)]p ⎣

где t k = −1 + 2k / N , k = 0, 1, K, N − 1 . Сумма мирование

проводится

при

⎞ ⎤ ⎟ dτ⎥ + RN , ⎟ ⎥ ⎠ ⎦

N −1

∑

(13)

означает, что сум-

k =0

t k′ = (t k + t k +1 ) / 2 ,

k ≠ j − 1, j , j + 1 ;

h = N −1 / p . Особая точка t находится внутри интервала [− 1 + δ,1 − δ] , где δ >> h . ~ (τ) ≤ ε . Для интеграла АдаТеорема. Пусть ϕ( τ) ∈ W r (1) и ϕ( τ) − ϕ

мара (12) квадратурная формула (13) при h = 0( N −1 / p ) имеет погрешность RN ≤ A( N −1 / p + εN 1−1 / p ) .

Доказательство. Представим интеграл Адамара (1) в виде суммы интегралов ⎡t −η ϕ( τ)dτ 1 ϕ(τ)dτ t +η ϕ(τ)dτ ⎤ ϕ(τ)dτ lim = + ∫ + ∫ ⎢ ⎥. ∫ p p p η→0 ∫ ( τ − t ) p ⎥ −1 ( τ − t ) t +η (τ − t ) t −η ( τ − t ) ⎦ ⎣⎢ −1 1

Из определения интеграла Адамара следует, что t +η

t +η

{

}

ϕ(τ)dτ ϕ( p−1) (τ)dτ 1 1 ( p−1) 1 ( p−1) = ∫ (τ − t) p ( p −1)! ∫ (τ − t) − ( p −1)!η ϕ (t + n) − (−1) ϕ (t − n) − t −η t −η −

{

}

2! ϕ( p−2) (t + n) − (−1) 2 ϕ( p−2) (t − n) − 2 ( p −1)!η

−K −

{

}

( p − 2)! ϕ(t + n) − ( −1) p −1 ϕ(t − n) . p −1 ( p − 1)!η t −η

Вычислив по частям интегралы:

∫

−1

пользовавшись формулой (14), получим:

15

ϕ( τ)dτ и (τ − t ) p

1

(14)

ϕ(τ)dτ и восp t +η ( τ − t )

∫

1 ( p −1) ϕ(τ)dτ ϕ 1 (τ)dτ 1! ⎧ ϕ( p−1) (−1) ϕ( p−1) (1) ⎫ = + − ⎨ ⎬+ ∫ p ( p − 1)! −∫1 (τ − t ) ( p − 1)! ⎩ − 1 − t 1− t ⎭ −1 (τ − t ) 1

+

2! ⎧ ϕ( p−2) (−1) ϕ( p−2) (1) ⎫ ( p − 3)! ⎧ ϕ′(−1) ϕ′(1) ⎫ − +K+ − ⎨ ⎨ ⎬+ 2 2 ⎬ p −2 ( p − 1)! ⎩ (−1 − t ) ( p − 1)! ⎩ (−1 − t ) (1 − t ) ⎭ (1 − t ) p−2 ⎭ +

ϕ(1) ⎫ 1 ⎧ ϕ(−1) − ⎨ ⎬. p −1 ( p − 1) ⎩ (−1 − t ) (1 − t ) p −1 ⎭

(15)

Аналогично, 1 ( p −1) ϕ(τ)dτ ϕ 1 (τ)dτ 1! ⎧ ϕ( p −1) (−1) ϕ ( p −1) (1) ⎫ = + − ⎨ ⎬+ ∫ p ( p − 1)! −∫1 ( τ − t + ih) ( p − 1)! ⎩ − 1 − t + ih 1 − t + ih ⎭ −1 ( τ − t + ih) 1

+ +K + +

2! ⎧ ϕ( p − 2 ) (−1) ϕ( p − 2 ) (1) ⎫ − ⎨ ⎬+ ( p − 1)! ⎩ (−1 − t + ih) 2 (1 − t + ih) 2 ⎭ ⎫ ϕ′( −1) ϕ′(1) ( p − 3)! ⎧ − + ⎨ p −2 p−2 ⎬ ( p − 1)! ⎩ (−1 − t + ih) (1 − t + ih) ⎭

⎫ ϕ(−1) ϕ(1) 1 ⎧ − . ⎨ p −1 p −1 ⎬ ( p − 1) ⎩ (−1 − t + ih) (1 − t + ih) ⎭

(16)

1 ( p −1) ϕ(τ)dτ ϕ 1 (τ)dτ 1! ⎧ ϕ( p −1) (−1) ϕ( p −1) (1) ⎫ = + − ⎨ ⎬+ ∫ p ( p − 1)! −∫1 (τ − t − ih) ( p − 1)! ⎩ − 1 − t − ih 1 − t − ih ⎭ −1 ( τ − t + ih) 1

+ +K+

ϕ ( p −2) (1) ⎫ 2! ⎧ ϕ ( p −2) (−1) − ⎨ ⎬+ ( p − 1)! ⎩ (−1 − t − ih) 2 (1 − t − ih) 2 ⎭ ⎫ ϕ′(−1) ϕ′(1) ( p − 3)! ⎧ − + ⎨ p−2 p −2 ⎬ ( p − 1)! ⎩ (−1 − t − ih) (1 − t − ih) ⎭

⎫ ϕ(−1) ϕ(1) 1 ⎧ − . (17) ⎨ p −1 p −1 ⎬ ( p − 1) ⎩ (−1 − t − ih) (1 − t − ih) ⎭ Погрешность квадратурной формулы (13) оценивается неравенством +

16

⎡tk+1 ⎛ ⎞ ⎤ 1 1 ϕ(τ)dτ 1 N −1 ⎢ % ′ ⎜ ⎟dτ⎥ ≤ RN ≤ ∫ ( t ) − ϕ + ∑ k p p p ∫ ⎜ ⎟ ⎥ ( t ) 2 τ− ⎢ ( t ih ) ( t ih ) τ− − τ− + k = 0 [ ] [ ] −1 ⎠ ⎦ ⎣ tk ⎝ 1

1

1

1

≤

1 ϕ(τ)dτ 1 ϕ(τ)dτ ϕ(τ)dτ ∫−1 (τ− t)p − 2 −∫1 (τ− t + ih) p − 2 −∫1 (τ− t − ih) p +

+

1 1 ⎡tk+1 ⎛ N −1 ⎞ ⎤ 1 1 1 ϕ(τ)dτ ϕ(τ)dτ ⎢ % ′ ⎜ ( t ) + + − ϕ ∑ k ⎢ ∫ ⎜ τ− (t − ih) p τ− (t + ih) p ⎟⎟dτ⎥⎥ ≤ 2 −∫1 (τ− t + ih) p −∫1 (τ− t − ih) p k =0 ] [ ] ⎠ ⎦ ⎣ tk ⎝ [

1

N −1 ⎡ tk +1 ⎤ ϕ(τ)d τ 1 % ′ − ϕ τ ( t ) d ⎢ ⎥+ ∑ k p p ∫ ∫ k =0 ⎢⎣ tk [ τ − (t + ih)] ⎥⎦ −1 ( τ − t + ih )

1 + 2

N −1 ⎡ tk +1 ⎤ ϕ(τ) d τ 1 ′ % − ϕ τ ( t ) d ⎢ ⎥≤ ∑ k p ∫ (τ − t − ih) p k =0 ∫ ⎢⎣ tk [ τ − (t − ih) ] ⎥⎦ −1

1

1

1

≤

+

1 2

1 2

1

1

ϕ(τ)d τ 1 ϕ(τ)d τ 1 ϕ(τ)d τ ∫−1 (τ − t ) p − 2 −∫1 (τ − t + ih) p − 2 −∫1 (τ − t − ih) p +

⎡ ϕ(t ) − ϕ% (t ′ ) ⎤ 1 k d τ⎥ + ⎢∫ ∑ p k = 0 ⎢ tk [ τ − (t + ih) ] ⎥⎦ 2 ⎣ N −1 tk +1

⎡ ϕ(t ′ ) − ϕ% (t ′ ) ⎤ 1 k k d τ⎥ + ⎢∫ ∑ p 2 k =0 ⎢ tk [ τ − (t + ih)] ⎣ ⎦⎥ N −1 tk +1

1

1 2

+

+

1

ϕ(τ)dτ 1 ϕ(τ) dτ ϕ(τ) dτ 1 ∫ (τ − t ) p − 2 ∫ (τ − t − ih) р − 2 ∫ (τ − t − ih) р + −1 −1 −1

≤

⎡

N −1 tk +1

∑ ⎢⎢ ∫ k =0

⎣ tk

⎤ d τ⎥ + [ τ − (t − ih)] ⎥⎦ ϕ(t ) − ϕ% (tk′ )

p

⎡ ϕ(t ′ ) − ϕ% (t ′ ) ⎤ k k d τ⎥ = r1 + r2 + r3 + r4 + r5 . ⎢∫ ∑ p k = 0 ⎢ tk [ τ − (t − ih)] ⎣ ⎦⎥ N −1 tk +1

Оценим каждое слагаемое в отдельности. Из формул (15) – (17) следует, что r1 = r10 + r11 (−1) + r11 (1) + r12 (−1) + r12 (1) + K + r1p −1 (−1) + r1p −1 (1) , где 1 1 1 1 ⎡ ϕ( p −1) (τ) dτ 1 ϕ( p −1) (τ)dτ 1 ϕ( p −1) (τ)dτ ⎤ r10 = − − ⎢∫ ⎥ = O ( h) ; ( p − 1)! ⎢⎣ −1 (τ − t ) p 2 −∫1 τ − t + ih 2 −∫1 τ − t − ih ⎥⎦

17

r1′(−1) =

ϕ( p −1) (t k′ ) ⎤ 2! ϕ( p −1) (t k ) 1 ⎡ ϕ( p −1) (t k′ ) + − ⎢ ⎥ = O ( h) ; ( p − 1)! − 1 − t k 2 ⎣ − 1 − t k − ih − 1 − t k + ih ⎦

ϕ( p−1) (t k′ ) ⎤ 3! ϕ( p−1) (t k ) 1 ⎡ ϕ( p −1) (t k′ ) − + ⎢ ⎥ = O ( h) ; ( p − 1)! (−1 − t k ) 2 2 ⎣ (−1 − t k − ih) 2 (−1 − t k + ih) 2 ⎦ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ⎤ ϕ(tk ) ϕ(tk′ ) ϕ(tk′ ) 1 1⎡ r1( p−1) (−1) = = O(h) . − ⎢ + p−1 ⎥ p−1 p−1 ( p − 1) (−1 − tk ) 2 ⎣ (−1 − tk − ih) (−1 − tk + ih) ⎦ r1′′(−1) =

Легко показать, что r10 =

1 ϕ ( p −1) (τ)dτ 1 ⎡ ϕ ( p −1) (τ) ϕ ( p −1) ( τ) ⎤ − + ⎢ ⎥ dτ = O ( h ) . ∫ p 2 −∫1⎣ τ − t − ih τ − t + ih ⎦ −1 ( τ − t ) 1

Следовательно, r1 = O(h) . Слагаемые r4 и r5 оцениваются по аналогии с соответствующими выражениями из разд. 2.4 в [1]. Повторяя сделанные там выкладки, имеем r5 ≤ Aε / h p −1 . Слагаемые r2 – r4 оцениваются одинаково. Поэтому ограничимся рассмотрением суммы r2 при t ∈ [t j , t j +1 )

1 r2 ≤ 2

N −1tk +1

ϕ( τ) − ϕ(t ′ )

1

j −2

1

1

∑ ∫ [τ − t + ih]kp dτ ≤ 4 N 2 ∑ ((t − t ) 2 + h 2 ) p / 2 + 4 N 2 h p k =0 t k =0 k +1 j

+

. 1 N −1 1 1 ⎞ ⎛ 1 + ≤ A⎜ 2 p + ⎟. ∑ 4 N 2 k = j +1 ((t k − t j +1 ) 2 + h 2 ) p / 2 Nh p −1 ⎠ ⎝N h Оценка сумм, встречающихся в предыдущем выражении, проводилась следующим образом: j −2 1 j−2 1 1 p−2 = N = ∑ ∑ 2 2 2 p/ 2 2 2 2 p/ 2 N k =0 ((tk +1 − t j ) + h ) k =0 ((k + 1 − j) + N h ) j −2

= N p−2 ∑ ' k =0

k

j −2 1 1 p−2 '' + N = r21 + r22 , ∑ 2 2 2 p/2 2 2 2 p/ 2 ((k +1 − j) + N h ) k =0 ((k + 1 − j) + N h )

18

где ∑ ' означает суммирование по таким k , что j − k < Nh , а означает суммирование по остальным значениям k . Очевидно, j 1 A ≤ h1− p , r21 ≤ AN p −2 ∑ p p N k = j −[ Nh ] N h

∑ ''

Ah1− p 1 p −2 1− p AN Nh ≤ ( ) = . ∑ ( j − k) p N k =0 Из полученных неравенств следует оценка r2 . r22 ≤ AN p −2

j −[ Nh ]

Собирая полученные оценки, имеем RN ≤ A(h + N −2 h − p + N −1h1− p + + ε / h p −1 ) . Полагая, h = N −1 / p , получаем окончательную оценку

RN ≤ A( N −1 / p + εN 1−1 / p ) . Теорема доказана.

Практическая часть В этой части курсовой работы необходимо представить листинг программы с графиками погрешности вычислений в виде таблиц. Далее приведены листинг и таблицы как образцы расчетов. ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ Вычисление первого интеграла > restart; > z:=tau->exp(-abs(tau))*cos(tau);

z := τ → e

(− τ )

cos ( τ )

> plot(z(tau),tau=-2..2);

19

> T:=0.5; delta:=0.1; h:=evalf(delta/10,1); p:=2; N:=(h)^(-p); T := .5

δ := .1 h := .01

Продолжение p := 2

N := 10000. _______________________________________________________ > unassign('tau'); > simplify((((tau-T)-I*h)^p+((tau-T)+I*h)^p)/ ((tau-T)^2+h^2)^p);

20000.

10000. τ 2 − 10000. τ + 2499. ( 10000. τ 2 − 10000. τ + 2501. )

2

> Ker:=tau->20000.*(10000.*tau^2-10000.*tau+2499.)/ (10000.*tau^2-10000.*tau+2501.)^2: > int(Ker(tau),tau);

20

−1.

20000. τ − 10000. 10000. τ 2 − 10000. τ + 2501.

> Integ:=tau->-1.*(20000.*tau-10000.)/ (10000.*tau^2-10000.*tau+2501.);

Integ := τ → −1.

20000. τ − 10000. 10000. τ 2 − 10000. τ + 2501.

_______________________________________________________ > Phi:=evalf(taylor(z(tau), tau=1, 10 )); Φ := .1987661104 − .5083259861 ( τ − 1. ) + .3095598757 ( τ − 1. ) 2 − .03693125507 ( τ − 1. ) 3 − .03312768507 ( τ − 1. ) 4 + .01694419953 ( τ − 1. ) 5 − .003439554174 ( τ − 1. ) 6 + .0001758631195 ( τ − 1. ) 7 + .00007887544063 ( τ − 1. ) 8 − .00002241296235 ( τ − 1. )9 + O ( ( τ − 1. ) 10 )

> Fi:=tau->(.1987661104-.5083259861*(tau-1.)+ +.3095598757*(tau-1.)^2-.3693125507e-1*(tau-1.)^3-.3312768507e-1*(tau-1.)^4+.1694419953e-1*(tau-1.)^5-.3439554174e-2*(tau-1.)^6+.1758631195e-3*(tau-1.)^7+ +.7887544063e-4*(tau-1.)^8-.2241296235e-4*(tau-1.)^9): _______________________________________________________

Продолжение > Int(z(tau)/((tau-T)^p),tau=-1..1); 1

⌠ e ( − τ ) cos ( τ ) ⎮ ⎮ ⎮ ( τ − .5 )2 d τ ⎮ ⌡-1 > for i from 0 to N do t[i]:=-1+2*i/N od: > i:='i': > for i from 0 to N-1 do if (t[i]<=T) and (T
21

> j;

7500 > t_1[j]:=(t[j]+t[j+1])/2;

t_1 7500 := .5001000000 > k:='k';

k := k > A:=1/2*Sum( Fi(t[k])*(Int( 1/(tau-(T-I*h))^p+1/(tau(T+I*h))^p ,tau=t[k]..t[k+1])),k=0..j-2) +1/2*Sum(Fi(t[k])*(Int( 1/(tau-(T-I*h))^p+1/(tau(T+I*h))^p ,tau=t[k]..t[k+1])),k=j+2..N-1) +1/2* Fi(t_1[j])*(Int(1/(tau-(T-I*h))^p+1/(tau(T+I*h))^p ,tau=t[j-1]..t[j+2]));

⎛ ⎜ 1 ⎜ 7498 2 A := ⎜⎜ ∑ ( .7070920965 − .5083259861 tk + .3095598757 ( tk − 1. ) 2 ⎜k = 0 ⎜⎜ ⎝ 3 4 5 − .03693125507 ( tk − 1. ) − .03312768507 ( tk − 1. ) + .01694419953 ( tk − 1. ) 6

− .003439554174 ( tk − 1. ) + .0001758631195 ( tk − 1. ) 8

7 9

+ .00007887544063 ( tk − 1. ) − .00002241296235 ( tk − 1. ) )

Продолжение ⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡t

t k+1

k

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 1 1 ⎟ 1 ⎜ 9999. + d τ ⎟ + ⎜ ∑ ( .7070920965 ( τ − .5 + .01 I )2 ( τ − .5 − .01 I ) 2 ⎟⎟ 2 ⎜⎜ k = 7502 ⎟⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝ 2

− .5083259861 tk + .3095598757 ( tk − 1. ) − .03693125507 ( tk − 1. ) 4

5

3

− .03312768507 ( tk − 1. ) + .01694419953 ( tk − 1. ) − .003439554174 ( tk − 1. ) 7

+ .0001758631195 ( tk − 1. ) + .00007887544063 ( tk − 1. )

22

8

6

9 ⌠ − .00002241296235( tk − 1. ) ) ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡t

t k+1

k

.500400000

⎞ ⎟ 1 1 ⎟ + dτ ⎟ ( τ − .5 + .01 I ) 2 ( τ − .5 − .01 I ) 2 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠

⌠ 1 1 + .2660992120 ⎮ + dτ ⎮ 2 ⎮ ( τ − .5 + .01 I ) ( τ − .5 − .01 I ) 2 ⎮ ⌡.499800000 > A:=evalf( 1/2*sum( Fi(t[k])*(Integ(t[k+1])-Integ(t[k])),k=0..j-2) +1/2*sum(Fi(t[k])*(Integ(t[k+1])-Integ(t[k])),k=j+2..N-1) +1/2* Fi( t_1[j] )*(Integ(t[j+2])-Integ(t[j-1])) ) ; A := -.173478876

Вычисление второго интеграла > restart; > z:=tau->exp(-tau^2)*sin(tau);

z := τ → e

( −τ2 )

sin( τ )

> plot(z(tau),tau=-2..2);

Продолжение

23

> T:=0.7; delta:=0.5; h:=evalf(delta/5); p:=4; N:=(h)^(-p); T := .7

δ := .5

h := .1000000000 p := 4

N := 10000.00000 > unassign('tau'); > simplify((((tau-T)-I*h)^p+((tau-T)+I*h)^p)/ ((tau-T)^2+h^2)^p);

8.

−7000. τ 3 + 7200. τ 2 − 3220. τ + 527. + 2500. τ 4 ( 10. τ 2 − 14. τ + 5. )

4

> Ker:=tau->8.*(-7000.*tau^3+7200.*tau^2-3220.*tau+527.+ +2500.*tau^4)/(10.*tau^2-14.*tau+5.)^4:

Продолжение 24

> int(Ker(tau),tau); 20. τ − 14. 3.333333333 ( 20. τ − 14. ) 1.333333333 − 3 2 ( 10. τ 2 − 14. τ + 5. ) ( 10. τ 2 − 14. τ + 5. ) > Integ:=tau->1.333333333*(20.*tau-14.)/ (10.*tau^2-14.*tau+5.)^3-3.333333333*(20.*tau-14.)/ (10.*tau^2-14.*tau+5.)^2; 20. τ − 14. 3.333333333 ( 20. τ − 14. ) Integ := τ → 1.333333333 − 3 2 ( 10. τ 2 − 14. τ + 5. ) ( 10. τ 2 − 14. τ + 5. ) _______________________________________________________ > Phi:=evalf(taylor(z(tau), tau=1., 10 )); Φ := .3095598757 − .4203536410 ( τ − 1. ) − .2427522830 ( τ − 1. )2 + .6815715516 ( τ − 1. ) 3 − .2010820625 ( τ − 1. )4 − .3054556827 ( τ − 1. )5 + .2084145935 ( τ − 1. ) 6 + .05066008283 ( τ − 1. )7 − .08270287518 ( τ − 1. ) 8 + .00594298734 ( τ − 1. ) 9 + O ( ( τ − 1. ) 10 )

> Fi:=tau->(.3095598757-.4203536410*(tau-1.)-.2427522830*(tau-1.)^2+.6815715516*(tau-1.)^3-.2010820625*(tau-1.)^4-.3054556827*(tau-1.)^5+ +.2084145935*(tau-1.)^6+.5066008283e-1*(tau-1.)^7-.8270287518e-1*(tau-1.)^8+.594298734e-2*(tau-1.)^9): _______________________________________________________ > Int(z(tau)/((tau-T)^p),tau=-1..1); 1

⌠ ( −τ2 ) ⎮ e sin( τ ) ⎮ ⎮ ( τ − .7 ) 4 d τ ⎮ ⎮ ⌡-1 > for i from 0 to N do t[i]:=-1+2*i/N od: > i:='i': > for i from 0 to N-1 do if (t[i]<=T) and (T
Продолжение 25

> j; 8500

> t_1[j]:=(t[j]+t[j+1])/2; t_1 8500 := .7001000000 > k:='k'; k := k > A:=1/2*Sum( Fi(t[k])*(Int(1/(tau-(T-I*h))^p+1/ (tau-(T+I*h))^p ,tau=t[k]..t[k+1])),k=0..j-2) +1/2*Sum(Fi(t[k])*(Int(1/tau-(T-I*h))p+1/(tau-(T+I*h)^p, tau=t[k]..t[k+1])),k=j+2..N-1)+1/2*Fi(t_1[j])* (Int(1/ (tau-(T-I*h))^p+1/(tau-(T+I*h))^p,tau=t[j-1]..t[j+2]));

⎛ ⎜ 1 ⎜ 8498 2 A := ⎜⎜ ∑ ( .7299135167 − .4203536410 tk − .2427522830 ( tk − 1. ) 2 ⎜k = 0 ⎜⎜ ⎝ 3 4 5 + .6815715516 ( tk − 1. ) − .2010820625 ( tk − 1. ) − .3054556827 ( tk − 1. ) 6

7

+ .2084145935 ( tk − 1. ) + .05066008283 ( tk − 1. ) − .08270287518 ( tk − 1. )

8

9

+ .00594298734 ( tk − 1. ) ) ⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡t

t k+1

k

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 1 1 ⎟ 1 ⎜ 9999.00000 ⎟ ⎜ ∑ + + d τ ( τ − .7 + .1000000000 I )4 ( τ − .7 − .1000000000 I )4 ⎟⎟ 2 ⎜⎜ k = 8502 ⎟⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝ 2

( .7299135167 − .4203536410 tk − .2427522830 ( tk − 1. ) + .6815715516 ( tk − 1. ) 4

5

− .2010820625 ( tk − 1. ) − .3054556827 ( tk − 1. ) + .2084145935 ( tk − 1. ) 7

8

6 9

+ .05066008283 ( tk − 1. ) − .08270287518 ( tk − 1. ) + .00594298734 ( tk − 1. ) )

⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡t

t k+1

k

⎞ ⎟ 1 1 ⎟ ⎟ + d τ ( τ − .7 + .1000000000 I ) 4 ( τ − .7 − .1000000000 I )4 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠

Окончание

26

3

.700400000

⌠ 1 1 + .1973281150 ⎮ + dτ ⎮ 4 ⎮ ( τ − .7 + .1000000000 I ) ( τ − .7 − .1000000000 I )4 ⎮ ⌡.699800000 > A:=evalf( 1/2*sum( Fi(t[k])*(Integ(t[k+1])-Integ(t[k])),k=0..j-2) +1/2*sum( Fi(t[k])*(Integ(t[k+1])Integ(t[k])),k=j+2..N-1) +1/2* Fi( t_1[j] )*(Integ(t[j+2])-Integ(t[j-1])) ) ; A := -.293748184

27

РЕЗУЛЬТАТ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ 1

Для интеграла

−τ

e cos τ ∫ (τ − 0.5) 2 dτ . −1

Особая точка: τ = 0.5 .

Число N

Величина δ

25 100 1600 10000

0.9 0.9 0.3 0.1

Номер ближайшего узла к особой точке 18 75 1200 7500

Величина h = N −1 / p

Вычисленное значение интеграла

0.18 0.1 0.025 0.01

-0.380255907 -0.280656983 -0. 173471231 -0.173478876

2

e − τ sin τ Для интеграла ∫ dτ . 4 −1 ( τ − 0.7) 1

Особая точка: τ = 0.7 . Номер ближайшего Число N Величина δ узла к особой точке 256 0.5 217 625 0.8 531 4096 0.5 3481 10000 0.5 8500

28

Величина h = N −1 / p 0.25 0.2 0.125 0.1

Вычисленное значение интеграла 1.578748964 1.357507793 1.324345453 1.29654578

Программа учебной дисциплины Программа разработана на основе программы курса высшей математики для инженерно-математических специальностей, предыдущих программ кафедры ВиПМ с учетом стандарта по специальности. 1. Область применения Настоящая программа устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности по дисциплине «Квадратурные формулы» специальности 657100 «Прикладная математика». 2. Календарь практических занятий и лабораторных работ Трудоемкость дисциплины в часах, исходя из 17-недельного семестра: Общая Обязательная аудиторная: лекции лабораторные занятия практические занятия семинары Самостоятельная работа студента: аудиторная внеаудиторная в т.ч. курсовая работа Контроль: текущий на занятиях защита курсовой работы с оценкой зачет сдача экзамена

29

136/6 102/5 34/2 34/2 34/2 Не предусмотрены 34/2 не предусмотрена 34/2 34/2

Сводные данные об основных разделах дисциплины и распределении часов по видам занятий: Количество часов занятий Уровень Название Аудиторных Самоизучераздела стояЛекци- Практи- Лаборания онных ческих торных тельных Квадратурные суммы. Интерполяционные квадратуры. Квадратуры наивысшей алгебраической точности Квадратуры с наименьшей оценкой остатка. Формулы, содержащие наперед заданные узлы. Квадратуры с равными коэффициентами Увеличение точности квадратур. Сходимость квадратурного процесса Кратное интегрирование Метод декартовых произведений. Метод статистических испытаний

8

8

8

8

В

10

10

10

10

В

6

6

6

6

В

4

4

4

4

В

6

6

6

6

В

30

Темы занятий

– Квадратурные суммы и задачи с ними связанные. Остаток приближенной квадратуры и его представление – 2 часа. – Интерполяционные квадратуры. Формулы Ньютона–Котеса. Простейшие формулы Ньютона–Котеса – 2 часа. – Квадратуры наивысшей алгебраической степени точности. Общие теоремы. Постоянная весовая функция. Интегралы с различными весовыми функциями – 4 часа. – Квадратуры с наименьшей оценкой остатка. Задача минимизации остатка квадратуры. Минимизация остатка на различных классах функций. Задача минимизации оценки остатка квадратуры с закрепленными узлами – 4 часа. – Квадратурные формулы, содержащие наперед заданные узлы. Формулы частного вида. Вычисление интегралов со знакопеременной весовой функцией – 2 часа. – Квадратурные формулы с равными коэффициентами. Нахождение узлов. Единственность квадратурной формулы наивысшей алгебраической точности с равными коэффициентами. Интегралы с постоянной весовой функцией – 4 часа. – Увеличение точности квадратур. О двух направлениях в задаче увеличения точности. Ослабление особенности интегрируемой функции. Методы Эйлера разложения остатка квадратуры – 2 часа. – Сходимость квадратурного процесса. Сходимость интерполяционных квадратур для аналитических функций. Сходимость общего квадратурного процесса – 4 часа. – Построение формул кратного интегрирования. Метод ячеек. Повторное применение квадратурных формул. Построение кубатурных формул на основе интерполяционных многочленов. Симметричные кубатурные формулы – 4 часа. – Перенесение правил интегрирования на различные области. Преобразование одной области интегрирования в другую. Метод декартовых произведений – 2 часа. – Метод статистических испытаний. Случайные величины. Равномерно распределенная величина. Оценка погрешности численного

31

интегрирования на равномерной сетке. Оценка снизу погрешности численного интегрирования. Метод Монте-Карло. Ускорение сходимости метода Монте-Карло – 4 часа. Форма проведения лекций – аудиторная. Практические занятия

– Простейшие квадратурные формулы – 4 часа. – Точная оценка приближения квадратурной формулы – 4 часа. – Усложненные квадратурные формулы – 4 часа. – Оценка для многомерных квадратурных формул – 4 часа. – Наилучшая квадратурная формула с равноотстоящими узлами – 4 часа. – Общая экстремальная задача – 6 часов. – Результаты, полученные путем оценки остатка на функциях обращающих в нуль квадратурную формулу – 4 часа. – Оптимальные квадратурные формулы с фиксированными узлами – 4 часа. Форма проведения практических занятий – аудиторная. Лабораторные работы

– Квадратурные формулы Ньютона–Котеса – 4 часа. – Квадратурные формулы Гаусса – 4 часа. – Повышение точности интегрирования за счет неравномерного разбиения – 8 часов. – Оптимизация узлов квадратурной формулы – 4 часа. – Уточнение результата интерполяцией более высокого порядка – 6 часов. – Метод Монте-Карло в применении к вычислению двойного интеграла – 8 часов. Форма проведения лабораторных работ – компьютерная лаборатория.

32

Курсовая работа

– Вычисление сингулярных и гиперсингулярных интегралов – 17 часов. Форма выполнения курсовой работы – самостоятельная, консультации преподавателя. График самостоятельной работы студентов по дисциплине «Квадратурные формулы» (34 часа) 1. Квадратурные суммы – 2 часа. 2. Интерполяционные квадратуры – 3 часа. 3. Квадратуры наивысшей алгебраической точности – 3 часа. 4. Квадратуры с наименьшей оценкой остатка – 4 часа. 5. Квадратурные формулы, содержащие наперед заданные узлы – 3 часа. 6. Квадратурные формулы с равными коэффициентами – 3 часа. 7. Увеличение точности квадратур – 3 часа. 8. Сходимость квадратурного процесса – 3 часа. 9. Кратное интегрирование – 4 часа. 10. Метод декартовых произведений – 3 часа. 11. Метод статистических испытаний – 3 часа.

33

Список литературы 1. Крылов, В. И. Приближенное вычисление интегралов / В. И. Крылов. – М. : ГИФМЛ, 1959. – 327 с. 2. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений : монография / И. В. Бойков, Н. Ф. Добрынина, Л. Н. Домнин. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 1996. – 188 с. 3. Никольский, С. М. Квадратурные формулы / С. М. Никольский. – М. : Наука, 1988. – 255 с. 4. Добрынина, Н. Ф. Численное интегрирование : конспект лекций / Н. Ф. Добрынина. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. – 65 с. 5. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 630 с.

34

ПРИЛОЖЕНИЕ А Темы для курсового проектирования по курсу «Квадратурные формулы»

I. Квадратурные формулы для вычисления интегралов Адамара с переменной сингулярностью на классах периодических функций. 1.

2.

2π

eσ ∫ 2 σ − 1 dσ, 0 sin 2

2π

2π

2π

eσ ∫ 4 σ − 1 dσ; 0 sin 2

eσ ∫ 2 σ − 1 dσ, 0 cos 2

eσ ∫ 4 σ − 1 dσ; 0 cos 2

2π

3.

eσ ∫ σ − 1 σ − 1 dσ, 0 sin cos 2 2

2π

2π

eσ ∫ 2 σ − 1 2 σ − 1 dσ; 0 sin cos 2 2

2π

e 2σ e 2σ d σ , ∫ 2 σ−π ∫ 2 σ − π dσ. 0 sin 0 cos 3 3 II. Интегралы Адамара с переменной сингулярностью на бесконечном интервале.

4.

∞

−τ

2 eτ 1. ∫ dτ, 2 −∞ ( τ − 1) 2.

∞

2

e −τ e τ dτ; ∫ 4 −∞ ( τ − 2)

∞

−τ

∞

e − τ sin τ dτ; ∫ 4 − ∞ ( τ − 4)

2

∞

−τ

∞

e − τ cos τ dτ; ∫ 4 −∞ ( τ − 3)

2

∞

−τ

∞

2

3 cos τ ∫ (τ − 3) 2 dτ, −∞

2 sin τ dτ, 3. ∫ 2 − ∞ ( τ − 2) 2 sin τ dτ, 4. ∫ 2 −∞ ( τ − 1)

e − τ cos τ dτ. ∫ 4 − ∞ ( τ − 4)

35

Продолжение III. Эффективный метод вычисления интегралов Адамара на конечном интервале. −τ

1

e cos τ 1. ∫ dτ, 2 −1 ( τ − 0,5) 2

−τ

e sin τ dτ, 2. ∫ 2 −2 ( τ − 1) 2

e −τ cos τ 3. ∫ dτ, 2 −1 ( τ + 0,5) 1

2

e −τ sin τ 4. ∫ dτ, 2 −1 ( τ − 0,3) 1

2

e − τ sin τ dτ; ∫ 4 −1 ( τ − 0,7) 1

2

e τ e −τ dτ; ∫ 4 −2 ( τ − 1,5) 2

2

−τ

2

−τ

e sin τ ∫ (τ − 1,2) 4 dτ; −2 e cos τ ∫ (τ − 1,7) 4 dτ. −2

IV. Эффективный метод вычисления интегралов Адамара на бесконечном интервале. −τ

∞

2 cos τ 1. ∫ dτ, 2 −∞ ( τ − 3) ∞

−τ

∞

−τ

∞

2

e − τ sin τ dτ; ∫ 4 −∞ ( τ − 1)

∞

2

∞

2

∞

2

3 eτ 2. ∫ dτ, 2 −∞ ( τ − 2)

e −τ cos τ dτ; ∫ 4 −∞ ( τ − 3)

2 eτ dτ, ∫ 2 −∞ ( τ − 3)

e −τ cos τ dτ; ∫ 4 −∞ ( τ − 1)

3 eτ 4. ∫ dτ, 2 −∞ ( τ − 1)

e −τ sin τ ∫ (τ − 2) 4 dτ. −∞

3.

∞

−τ

V. Оптимальные кубатурные формулы для вычисления двойных интегралов Адамара от периодических функций. 2 π2 π

1.

sin σ1 dσ dσ , ∫∫ π π 1 2 0 0 σ1 − σ2 − 3 sin 2 2 sin 2 2 2

36

2 π2 π

cos σ 2 dσ dσ ; π 1 2 π 0 σ − σ1 − 2 6 2 sin 2 sin 4 2 2

∫∫ 0

Продолжение 2 π2 π

2 π2 π

cos σ1 sin σ 2 dσ1dσ 2 , ∫ ∫ dσ dσ ; π π π π 1 2 0 0 0 0 σ1 − σ1 − σ2 − σ2 − 6 sin 2 3 sin 4 2 2 sin 2 sin 2 2 2 2 2 2 π2 π 2 π2 π sin σ 2 cos σ 2 3. ∫ ∫ dσ1dσ 2 , ∫ ∫ dσ dσ . π π π 1 2 π 0 0 0 0 σ1 − σ1 − σ2 − σ2 − 3 cos 2 6 cos 4 3 2 sin 2 sin 2 2 2 2 2 VI. Кубатурные формулы для вычисления интеграла Адамара на топологическом произведении конечных интервалов. 2.

∫∫

1 1

1 1

cos τ cos τ ∫ ∫ (τ1 − 0,5) 21(τ2 − 02 ,75) 2 dτ1dτ 2 , −1 −1 1 1 cos τ1 sin τ 2 2. ∫ ∫ dτ1dτ 2 , 2 2 −1 −1 ( τ1 − 0,1) ( τ 2 − 0,2) 1 1 sin τ1 sin τ 2 3. ∫ ∫ dτ1dτ 2 , 2 2 −1 −1 ( τ1 − 0,6) ( τ 2 − 0,1)

sin τ sin τ

∫ ∫ (τ1 − 0,3) 41 (τ 2 −20,4) 2 dτ1dτ 2 ;

1.

−1 −1 1 1

sin τ cos τ

∫ ∫ (τ1 − 0,3)12 (τ 2 −20,4) 4 dτ1dτ2 ;

−1 −1 1 1

cos τ sin τ

∫ ∫ (τ1 − 0,2) 41 (τ2 −20,5) 2 dτ1dτ2 .

−1 −1

VII. Кубатурные формулы для вычисления интегралов Адамара на топологическом произведении двух бесконечных контуров. ∞ ∞

2

2

∞

e − τ1 −τ2 cos τ1 1. ∫ ∫ dτ1dτ 2 , 2 2 −∞ −∞ ( τ1 − 1) ( τ − 2) ∞

2.

∫

−∞

∞

2

∫

∞

−∞

2

e − τ1 −τ2 sin τ1 dτ1dτ 2 , ∫ 2 2 −∞ ( τ1 − 1) ( τ 2 − 1)

∞ ∞

e − τ1 −τ2 cos τ1 3. ∫ ∫ dτ1dτ 2 , 2 2 −∞ −∞ ( τ1 − 3) ( τ 2 − 1)

37

e − τ1 −τ2 sin τ 2 dτ1dτ 2 ; ∫ 2 4 −∞ ( τ1 − 2) ( τ 2 − 1) ∞ ∞

e − τ1 −τ2 cos τ 2 dτ1dτ 2 ; ∫∫ 4 2 −∞ −∞ ( τ1 − 2) ( τ 2 − 2) ∞ ∞

2

2

e − τ1 −τ2 sin τ 2 dτ1dτ 2 . ∫∫ 4 2 −∞ −∞ ( τ1 − 1) ( τ 2 − 3)

Приложение Б Вопросы к экзамену по курсу «Квадратурные формулы»

1. Квадратурные суммы и задачи с ними связанные. Остаток приближенной квадратуры. 2. Приближенное интегрирование периодических функций. 3. Остаток квадратурной формулы и его представления. 4. Интерполяционные квадратуры и их остаточные члены. 5. Формулы Ньютона–Котеса. 6. Простейшие формулы Ньютона–Котеса. 7. Квадратуры наивысшей алгебраической степени точности. Общие теоремы. 8. Квадратуры наивысшей алгебраической степени точности. Постоянная весовая функция. 9. Квадратуры наивысшей алгебраической степени точности. Инb

тегралы вида ∫ (b − x) α ( x − a)β f ( x)dx . a

10. Квадратуры наивысшей алгебраической степени точности. ∞

Интегралы вида

∫e

− x2

f ( x)dx .

−∞

11. Квадратуры наивысшей алгебраической степени точности. ∞

Интегралы вида

∫x

α −x

e f ( x) dx .

0

12. Задача минимизации остатка квадратуры. 13. Минимизация остатка на классах L(qr ) . 14. Минимизация остатка на классах Cr . 15. Задача минимизации оценки остатка квадратуры с закрепленными концами. 16. Квадратурные формулы, содержащие наперед заданные узлы. Общие теоремы.

38

17. Квадратурные формулы, содержащие наперед заданные узлы. Формулы частного вида. 18. Квадратурные формулы, содержащие наперед заданные узлы. Вычисление интеграла со знакопеременной весовой функцией. 19. Квадратурные формулы с равными коэффициентами. 20. Единственность квадратурной формулы наивысшей алгебраической точности с равными коэффициентами. 21. Интегралы с постоянной весовой функцией. 22. О двух направлениях в задаче увеличения точности. 23. Ослабление особенности интегрируемой функции. 24. Эйлеровы методы разложения остатка квадратуры. 25. Увеличение точности квадратуры. 26. Проблемы сходимости квадратурного процесса. 27. Сходимость интерполяционных квадратур для аналитических функций. 28. Построение формул кратного интегрирования. Метод ячеек. 29. Построение формул кратного интегрирования. Повторное применение квадратурных формул. 30. Построение кубатурных формул на основе интерполяционных многочленов. 31. Об общей задаче выбора параметров в правиле вычисления кратных интегралов. 32. Симметричные кубатурные формулы. 33. Преобразование одной области интегрирования в другую. 34. Метод декартовых произведений. 35. Случайные величины. Равномерно распределенная величина. 36. Оценка погрешности численного интегрирования на равномерной сетке. 37. Оценка снизу погрешности численного интегрирования. 38. Метод Монте–Карло. 39. Ускорение сходимости метода Монте–Карло.

39

СОДЕРЖАНИЕ Постановка задачи......................................................................................................... 3 Теоретическая часть ...................................................................................................... 4 1. Определение интеграла Адамара ............................................................................. 4 2. Постановка задачи построения оптимальной квадратурной формулы................. 8 3. Классы функций ...................................................................................................... 11 4. Эффективный метод вычисления интегралов Адамара на конечном интервале ............................................................................................... 14 Практическая часть ..................................................................................................... 19 Листинг программы .................................................................................................... 19 Результат работы программы ..................................................................................... 27 Программа учебной дисциплины............................................................................... 28 Список литературы...................................................................................................... 33 Приложения ................................................................................................................. 34

40