Готовимся к тестированию по математике: Для старшеклассников, учителей и абитуриентов

Министерство образования Российской Федерации Дальневосточный государственный университет Институт математики и компьютерных наук

Г. К. Пак

ГОТОВИМСЯ К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

Для старшеклассников, учителей и абитуриентов

Владивосток Издательство Дальневосточного университета 2003

ББК 22.10 П 13

Рецензенты: главный методист кафедры естественных наук и математики ПИППКРО Махиня Раиса Ивановна, директор Института математики и компьютерных наук ДВГУ, профессор Осипов Василий Борисович

Пак Г.К. П 13 ГОТОВИМСЯ К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ. Владивосток: Изд-во Дальневост. Ун-та, 2003, 24 с. Анализируются ошибки, допущенные выпускниками при выполнении аттестационных работ и поступающими при тестировании. Даются рекомендации по тактике успешного тестирования по математике. Это заблуждение, что тестирование – облегченный экзамен. Многие выпускники убедились, что для успеха в тестировании надо не просто уметь решать задачи, но надо довести до автоматизма умение решать типовые задачи. Недостаточно знать формулы и теоремы, а надо уметь видеть их с разных сторон, знать их возможности, надо иметь достаточно большую практику работы с ними. Для учащихся старших классов, абитуриентов и учителей математики.

П

1702010000 без объявл. 180(03) − 2003

ББК 22.10

© Пак Г.К., © Издательство Дальневосточного Университета, 2003

Предисловие

Выпускные экзамены по алгебре и началам анализа проводятся в виде письменной работы из десяти заданий. Все задания взяты из «Сборника заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс» (Г.В. Дорофеев, Г.К. Муравин, Е.А. Седова), т. е. опубликованы в открытой печати. Появились книги с решениями всех этих заданий. Но все ошибки прошлых лет проявились и в этом году, хотя казалось бы возможностей избежать их было неизмеримо больше. Речь идет о логических ошибках, о глубине понимания произносимых слов и выполняемых действий. Зачем пишутся фразы: «Функция определена на отрезке, а следовательно, непрерывна». Не надо писать того, чего не понимаешь. Ведь, если убрать все такие несуразности, то за работу можно ставить пять, ничего не добавляя. Вновь возникла проблема неправильного понимания понятия области допустимых значений. Вновь выпускники не считают важным союз или, опуская его там, где его отсутствие – ошибка. Вступительные испытания проводились по тестам Центра тестирования Министерства образования РФ. В ряде регионов проводился единый государственный экзамен (тесты Математика-0), переход к которому всей страны планируется в ближайшие годы. По тестам Математика-1 проводились вступительные испытания для поступающих на специальности, на которых не предусматривается изучение большого курса высшей математики. По тестам Математика-2 проводились вступительные испытания для поступающих на специальности с большим конкурсом и большим объемом математических дисциплин в учебном плане. Для успешного прохождения теста Математика-0 достаточно хорошо освоить школьный материал. Для успешного прохождения теста Математика-1 надо знать основные факты и теоремы курса алгебры и геометрии и иметь прочные навыки математических вычислений и преобразований алгебраических выражений. Успешное прохождение тестов Математика-2 гарантируется отличным владением математическими фактами и теоремами, глубоким пониманием сути выполняемых действий; нередко надо придумать нестандартный ход для того, чтобы в условиях жесткой нехватки времени быстро и правильно решить задачу. Тесты опубликованы в открытой печати и выставлены в Интернете. А после проведения вступительных экзаменов по этим тестам появилась возможность обсудить полученный опыт. Обсуждаются особенности тактики и стратегии успешного тестирования. Тем, кто готовится к тестированию по Математике-0, тоже надо попытаться разобраться с решениями задач Математики-1 и Математики-2. На легких задачах мало чему можно научиться, а школа трудных задач – гарантия того, что с легкими задачами Вы справитесь. Главная задача учителя – внушать ученикам уверенность в своих силах. Учитель передает свой опыт и свои знания ученику и тем самым создает основу этой уверенности, уверенности, что ученик справится с задачами, которые ставит перед ним практическая деятельность. Цель данного пособия вселить уверенность, что при достаточной настойчивости, упорстве можно освоить учебный материал и успешно пройти тестирование.

Выпускной экзамен по алгебре и началам анализа Министерство образования Российской Федерации № 10- 01

А – 11 Вариант 1 Вариант 10; 4.17; 4.135; 5.41; 6,199; 6.274.

2 x + 8x2 < 0. 2x − 1 2. Решите неравенство log 7 ( x − 1) ≤ log 7 2 + log 7 3. 1. Решите неравенство

3. Найдите корни уравнения 2 cos x + 2 = 0, принадлежащие отрезку [0;2π ]. 4. Функция y = f (x) задана своим графиком

Укажите: а) область определения функции; б) нули функции; в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции; г) наибольшее и наименьшее значения функции; д) в каких точках графика касательная к нему параллельна оси абсцисс. 5. Найдите промежутки возрастания функции y = 2 x 3 − 3x 2 − 36 x. 6. Решите уравнение cos 2 x + 8 sin x = 3. ⎧⎪27 x = 9 y , 7. Решите систему уравнений ⎨ x ⎪⎩81 = 3 y +1. 8. Решите уравнение 6 − 4 x − x 2 = x + 4. 9. Решите неравенство 2 x + 1 > x + 4. 10. Найдите все значения х, при которых меньшее из чисел 1 + 2 x и 2 + x больше -1.

Вариант 2 Вариант 34; 4.18; 4.136; 5.42; 6.200; 6.275.

x2 + 5x 1. Решите неравенство > 0. 2 − 8x 1 2. Решите уравнение log3 (2 x + 1) = 1. 3 3. Найдите корни уравнения 2 sin x + 2 = 0, принадлежащие отрезку [0;2π ]. 4. Функция y = f (x) задана своим графиком

Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях х f ′( x) > 0, f ′( x) < 0 ; в) в каких точках графика касательная к нему параллельна оси абсцисс; г) при каких значениях х f ( x) ≤ −2; д) наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Найдите функции, производной которых является функция f ( x) = 2 x + x 2 . 6. 7.

Решите уравнение cos 2 x = 1 + 4 cos x. x y ⎪⎧16 = 64 , Решите систему упавнений ⎨ x +1 ⎪⎩27 = 81y −1.

8. Решите уравнение 1 + 4 x − x 2 = x − 1. 9. Решите неравенство 3 x − 1 ≤ x + 3. 10. Найдите все значения х, при которых меньшее из чисел 3 − 2 x и 1 − x меньше 1.

Для получения отметки «3» (удовлетворительно) выпускник должен правильно выполнить любые пять заданий. Отметка «4» (хорошо) выставляется при выполнении любых семи заданий. Отметка “5” (отлично) ставится за девять верно выполненных заданий. Решения Вариант 1 1. Решите неравенство

2x + 8x2 < 0. 2x − 1

Решение. Перепишем неравенство в виде

x(4 x + 1) < 0. 2x − 1

Решим это неравенство методом интервалов. Функция f ( x) =

x(4 x + 1) . 2x − 1

1 1 1 определена на множестве (−∞; ) ∪ ( ;+∞) и f ( x) = 0 при x = − или х = 0. На 4 2 2 1 1 1 1 интервалах (−∞;− ), (− ;0), (0; ) и ( ;+∞) функция непрерывна и сохраняет 4 4 2 2 знаки своих значений. Для определения знака значений функции на интервале достаточно выяснить его для произвольного числа из этого интервала: 1 1 1 f (1) = 5 > 0, f ( ) = −1 < 0, f (− ) = > 0, f (−1) = −1. 4 8 12 1 1 Ответ: (−∞;− ) ∪ (0; ). 4 2 2. Решите неравенство log 7 ( x − 1) ≤ log 7 2 + log 7 3. Решение. log7 ( x − 1) ≤ log7 6. Логарифмическая функция y = log 7 t возрастающая, так как ее основание 7 больше 1. Ее область определения t > 0. Поэтому неравенство равносильно системе

⎧ x − 1 ≤ 6, ⎧ x ≤ 7, ⇔ ⎨ ⇔ 1 < x ≤ 7. ⎨ ⎩ x − 1 > 0; ⎩ x > 1; Ответ: (1; 7].

3. Найдите корни уравнения 2 cos x + 2 = 0, принадлежащие отрезку [0;2π ]. Решение. 2 cos x = − 2 ,

cos x = −

2 , 2

2 ) + 2πk , k ∈ Z ; 2 2 x = ± (π − arccos ) + 2πk , k ∈ Z ; 2 x = ± arccos(−

π

x = ± (π − ) + 2πk , k ∈ Z ; 4 3π x=± + 2πk , k ∈ Z . 4 Получили две серии корней уравнения. Запишем условие задачи для первой серии корней 3π + 2πk ≤ 2π , k ∈ Z . 0≤ 4 0 ≤ 3 + 8k ≤ 8, k ∈ Z . 3 − ≤ k ≤ 0, k ∈ Z . 8 Следовательно, k = 0 . Для второй серии корней условие задачи означает 0≤−

3π + 2πk ≤ 2π , k ∈ Z . 4

0 ≤ −3 + 8k ≤ 8, k ∈ Z . 3 11 ≤ k ≤ , k ∈ Z. 8 8 3π 5π ; . 4 4 Замечание. Многие выпускники ограничились проверкой того, что для значений 0 и 1 параметра k корни уравнения удовлетворяют условию задачи. Некоторые справедливо решили, что проверки только для двух значений мало, и проверили для трех, четырех, пяти и даже семи значений. Независимо от количества проверенных значений исследование неполно, если нет доказательства того, что для других значений условие задачи не выполняется.

Следовательно, k = 1.

3. Функция y = f (x) задана своим графиком

Ответ:

Укажите: а) область определения функции; б) нули функции; в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции; г) наибольшее и наименьшее значения функции; д) в каких точках графика касательная к нему параллельна оси абсцисс. Решение. а) D( f ) = [−3; 5,5] ; б) 0,7 и 4,3; в) функция возрастает на промежутках [−1,5;−0,5] и [2; 5,5] ; функция убывает на промежутках [−3;−1,5] и [−0,5; 2].

Замечание. Запись: «функция возрастает для x ∈ [−1,5;−0,5] и [2; 5,5] » ошибочна, так как не может х одновременно находиться в двух непесекающихся множествах. Запись «область возрастания [−1,5;−0,5] ∪ [2; 5,5] » ошибочна. Функция может возрастать на двух множествах, но это вовсе не означает, что она возрастает на их объединении. г) наибольшее значение функции равно 5,5, наименьшее значение функции равно -2,5; д) касательная параллельна оси абсцисс в точках (-1,5; 3) и (2; -2,5). Замечание. Многие пишут: «Касательная параллельна в точках -1,5 и 2». Необходимо уточнить: «в точках с абсциссами -1,5 и 2». Речь идет о точках плоскости, а не числовой прямой. 5. Найдите промежутки возрастания функции y = 2 x3 − 3x 2 − 36 x. Решение. y = 2 x 3 − 3 x 2 − 36 x.

y′ = 6 x 2 − 6 x − 36 6 x 2 − 6 x − 36 > 0 x2 − x − 6 > 0 ( x + 2)( x − 3) > 0

Квадратный трехчлен от переменной х, у которого старший коэффициент положительный, принимает отрицательные значения, если переменная х пробегает значения между корнями, и принимает положительные значения, если переменная х принимает значения меньше меньшего корня или больше большего корня. Следовательно, ( x + 2)( x − 3) > 0 ⇔ x < −2 или x > 3. Ответ: функция возрастает на промежутках (−∞;−2] и на [3;+∞) . З а м е ч а н и е. Квадратичные неравенства не обязательно решать по полной схеме метода интервалов. Можно сослаться на свойства квадратного трехчлена. 6. Решите уравнение cos 2 x + 8 sin x = 3. cos 2 x + 8 sin x − 3 = 0. 1 − 2 sin 2 x + 8 sin x − 3 = 0;

Решение.

sin 2 x − 4 sin x + 1 = 0 sin x = 2 − 3 или sin x = 2 + 3 Во втором случае получили противоречие с тем, что sin x ≤ 1. Следовательно, sin x = 2 − 3 ; x = (−1) arcsin(2 − 3 ) + πk , k ∈ Z . k

Ответ: (−1) arcsin(2 − 3 ) + πk ; k ∈ Z . k

З а м е ч а н и е. Утверждение, что уравнение sin x = 2 + 3 не имеет смысла, неверно. Уравнение полностью удовлетворяет определению уравнения, поэтому смысл имеет, но не имеет корней. ⎧⎪27 x = 9 y , 7. Решите систему уравнений ⎨ x ⎪⎩81 = 3 y +1. Решение.

⎧⎪33 x = 32 y , ⎨ 4x ⎪⎩3 = 3 y +1; ⎧2 x = 3 y , ⎨ ⎩4 x = y + 1; ⎧3x = 8 x − 2, ⎨ ⎩ y = 4 x − 1; 2 ⎧ ⎪⎪ x = 5 , ⎨ ⎪y = 3 ⎪⎩ 5.

Ответ: (

23 ). 5; 5

8. Решите уравнение

6 − 4 x − x 2 = x + 4.

Решение.

6 − 4 x − x 2 = x + 4; 6 − 4 x − x 2 = x 2 + 8 x + 16; 2 x 2 + 12 x + 10 = 0; x 2 + 6 x + 5 = 0; ( x + 1)( x + 5) = 0; x1 = −1; x2 = −5. Проверка показывает, что первое значение удовлетворяет уравнению, а второе нет. Ответ: -1. З а м е ч а н и е. Ошибка 1, сделанная во многих работах, заключается в неверном понимании области допустимых значений переменной уравнения (ОДЗ). Многие написали ОДЗ: 6 − 4 x − x 2 ≥ 0, x + 4 ≥ 0 . Понятны соображения, по которым выписано второе условие: арифметический корень левой части уравнения принимает значения ≥ 0, поэтому выражение справа тоже должно принимать неотрицательные значения. Второе условие выписано из условия равенства выражений. Но из этого условия следует много других утверждений, например, х ≠ -7, х ≠-8. Почему выписывается одно? Полностью этому условию удовлетворяет только ответ, его и надо выписывать в ОДЗ при такой трактовке этого понятия. Некоторые выписывали эти два условия под названием область определения уравнения. Есть область определения функции, но области определения уравнения в учебниках нет. Область допустимых значений переменной уравнения – это множество всех тех значений переменной, для которых и левая и правая части уравнения имеют смысл. Область допустимых значений переменной уравнения 6 − 4 x − x 2 ≥ 0. Ошибка 2 заключается в распространенном мнении, что при решении уравнений необходимо обязательно находить ОДЗ. Рассмотрим уравнение 6 − 4 x − x 2 = −4. Зачем в этом уравнении находить ОДЗ, если очевидно, что уравнение не имеет корней. Не следует делать вывод о том, что вообще не надо находить ОДЗ. Если ОДЗ уравнения пустое множество, то можно сразу записывать ответ: корней нет, не решая уравнения. Если ОДЗ состоит из одногодвух чисел, то можно опять не решать уравнение, а непосредственными вычислениями проверить корни эти числа или нет. При решении уравнения с параметрами, как правило, требуется находить ОДЗ. Ошибка 3 заключается в распространенном заблуждении, что если находил ОДЗ, то проверку можно не делать. Некоторые поступили в точном соответствии с этим. Нашли ОДЗ; затем проверили входят ли полученные значения корней в ОДЗ. Увидели, что оба входят в ОДЗ и, не делая проверки, в ответ выписали только один корень. Такое решение нельзя считать правильным: “лишние корни” в нашем случае возникают не за счет расширения ОДЗ, а за

счет того, что это корни постороннего уравнения

6 − 4 x − x 2 = − x − 4.

Проверка обязательна. То, что корни уравнения 6 − 4 x − x 2 = x 2 + 8 x + 16 входят в ОДЗ переменной уравнения

6 − 4 x − x 2 = x + 4 ясно без проверки.

9. Решите неравенство 2 x + 1 > x + 4. Решение. 2 x + 1 > x + 4.

⎧ x + 1 ≥ 0, ⎨ ⎩2 x + 2 > x + 4

⎧ x + 1 < 0, или ⎨ ⎩− 2 x − 2 > x + 4.

⎧ x ≥ −1, В первом случае ⎨ т. е. x > 2. Во втором случае ⎩ x > 2; Ответ: (−∞;−2) ∪ (2;+∞).

⎧ x < −1, т. е. x < −2. ⎨ ⎩ x < −2;

10. Найдите все значения х, при которых меньшее из чисел 1 + 2 x и 2 + x больше -1. Решение. По условию min(1 + 2 x,2 + x) > −1. Следовательно, надо решить систему ⎧1 + 2 x > −1, ⎨ ⎩2 + x > −1;

⎧ x > −1, ⎨ ⎩ x + −3; x > −1.

Ответ: (−1;+∞).

З а м е ч а н и е. Оценка не снижалась, если давался ответ (−1;1) ∪ (1;+∞) , т. е. когда в случае равных чисел выпускник считал, что меньшего нет.

Вариант 2 Вариант 34; 4.18; 4.136; 5.42; 6.200; 6.275. x2 + 5x > 0. 2 − 8x Решение. Перепишем неравенство в виде 1. Решите неравенство

x( x + 5) < 0. 4x − 1 Решим это неравенство методом интервалов. Функция

f ( x) =

x( x + 5) . 4x − 1

1 1 определена на множестве (−∞; ) ∪ ( ;+∞) и f ( x) = 0 при x = −5 или х = 0. На 4 4 1 1 интервалах (−∞;−5) , (−5;0) (0; ) и ( ;+∞) значения функции сохраняют свои 4 4 1 знаки. Определим их: f (1) = 2 > 0, f ( ) < 0, f (−1) > 0, f (−6) < 0. 8 1 Ответ: (−∞;−5) ∪ (0; ). 4 2. Решите уравнение

1 log3 (2 x + 1) = 1. 3

Решение.

log 3 (2 x + 1) = log 3 27 , 2 x + 1 = 27, x = 13. Проверка показывает, что число 13 – корень уравнения. Ответ: 13. 3. Найдите корни уравнения 2 sin x + 2 = 0, принадлежащие отрезку [0;2π ]. Решения. 2 , sin x = − 2

x = (−1) k arcsin(−

2 ) + πk ; k ∈ Z ; 2

x = (−1) k +1 arcsin

2 + πk ; k ∈ Z ; 2

x = (−1) k +1

π 4

+ πk ; k ∈ Z .

Если k ≤ 0 , то корни отрицательны и поэтому не принадлежат заданному 5π отрезку. При k = 1 корень принадлежит заданному отрезку. При k = 2 4 7π также принадлежит заданному отрезку. Если k ≥ 3 , то корни корень 4 больше, чем 2π и поэтому не принадлежат заданному отрезку. 5π 7π Ответ: ; . 4 4 З а м е ч а н и е. Некоторые решения записаны здесь не потому, что автор их рекомендует (в ряде случаев из комментариев видно, что скорее наоборот), а потому, что очень многие шли именно этим путем и необходим анализ сделанных ошибок. 4. Функция y = f (x) задана своим графиком

Укажите: а) область определения функции;

б) при каких значениях х f ′( x) > 0, f ′( x) < 0 ; в) в каких точках графика касательная к нему параллельна оси абсцисс; г) при каких значениях х f ( x) ≤ −2; д) наибольшее и наименьшее значения функции. Решение. а) D( f ) = [−3;6]; б) f ′( x) > 0 при x ∈ (−3; 0,7) ∪ (4,5;6); f ′( x) < 0 при x ∈ (0,7; 4,5); в) касательные параллельны оси абсцисс в точках с абсциссами 0,7 и 4,5; г) f ( x) ≤ −2; при − 3 ≤ x ≤ −2 ; д) max f ( x) = f (0,7) = 3; min f ( x) = f (−3) = −4,5. 2. Найдите функции, производной которых является функция f ( x) = 2 x + x 2 . Решение. Функция f ( x) = 2 x + x 2 . непрерывна на всей числовой прямой и поэтому существует ее первообразная

x3 F (x) = x + + C . 3 2

Ответ: F (x) = 6.

x3 + x2 + C . 3

Решите уравнение cos 2 x = 1 + 4 cos x.

Решение.

1 + cos 2 x = 2 + 4 cos x. 2 cos 2 x = 2 + 4 cos x;

cos 2 x − 2 cos x − 1 = 0; cos x = 1 − 2 или cos x = 1 + 2 .

Уравнение cos x = 1 + 2 не имеет корней, так как cos x не принимает значений больше 1. Следовательно, cos x = 1 − 2 ; x = ± arccos(1 − 2 ) + 2πn; n ∈ Z ;

x = ±(π − arccos( 2 − 1)) + 2πn; n ∈ Z . Ответ: ± (π − arccos( 2 − 1)) + 2πn; n ∈ Z . ⎧⎪16 x = 64 y , Решите систему упавнений ⎨ x +1 ⎪⎩27 = 81y −1. Решение. Проведем несколько равносильных преобразований: 7.

⎧⎪42 x = 43 y , ⎨ 3x +3 ⎪⎩3 = 34 y − 4 ; ⎧2 x = 3 y , ⎨ ⎩3x + 3 = 4 x − 4; 3 ⎧ ⎪⎪ x = 2 y, ⎨ ⎪ 3 y − 4 y = −7; ⎪⎩ 2 ⎧ x = −21, ⎨ ⎩ y = −14.

Ответ: (-21,-14). 8. Решите уравнение

1 + 4 x − x 2 = x − 1.

Решение. Уравнение равносильно системе

⎧1 + 4 x − x 2 ≥ 0, ⎪ ⎨ x − 1 ≥ 0, ⎪1 + 4 x − x 2 = ( x − 1) 2 , ⎩ которая в свою очередь равносильна системе ⎧ x 2 − 3 x = 0, ⎨ ⎩ x ≥ 1.

Из двух корней 3 и 0 уравнения этим условиям удовлетворяет только число 3. Ответ: 3. З а м е ч а н и е. Так как все переходы были равносильны, проверка не нужна. Не надо записывать проверку в чистовик “на всякий случай”. Если по логике решения проверка не нужна, то ее проведение – уже недочет. 9. Решите неравенство 3 x − 1 ≤ x + 3. Решение. По свойству модулей − x − 3 ≤ 3x − 3 ≤ x + 3; − x ≤ 3x ≤ x + 6;

⎧− x ≤ 3 x, ⎨ ⎩3x ≤ x + 6;

⎧ x ≥ 0, ⎨ ⎩ x ≤ 3.

Ответ: [0;3].

10. Найдите все значения х, при которых меньшее из чисел 3 − 2 x и 1 − x меньше 1. Решение. Условие min(3 − 2 x, 1 − x) < 1 равносильно совокупности систем

⎧1 − x ≥ 3 − 2 x, ⎧3 − 2 x > 1 − x, или ⎨ ⎨ ⎩3 − 2 x < 1 ⎩1 − x < 1; x ≥ 2 или 0 < x < 2; x > 0. Ответ: (0;+∞). З а м е ч а н и е. Вместо союза «или» нельзя ставить запятую или союз «и». Отсутствие союза «или» в случаях, где он необходим, – повторяющаяся ошибка. Оценка за решение этого задания не снижалась, если был получен ответ: (0;2) ∪ (2;+∞), т. е. если выпускник считал, что случай, когда значения функций равны, надо исключить. Центр тестирования Министерства образования Российской Федерации Тест по математике – 0 Вариант 10 Часть 1 К каждому заданию группы А дано несколько ответов, из которых только один верный. Укажите в бланке ответов выбранный Вами номер правильного ответа (поставив значок « х» в соответствующей клеточке бланка под каждым номером задания). 1 2

А1. Найдите значение выражения 5 5 ⋅ 5 − 5 32 . Решение. 25 – 2 = 23.

1) 23

2) 3

3) 1

4) 3 5

х 1

А2. Упростите выражение

(2 + n 5 ) 2 2+n

1 5

− 5 n.

1 5

Решение. 2 + n − 5 n = 2.

1) 0

2) 2

3) -2 n

1 5

1 5

4) -2 n + 2

х А3. Упростите выражение 4 log 4 3 + log 2 12 − 2 log 2 3 . Решение. 3 + 2 + log 2 3 − log 2 3 = 5 .

1) 8

2) 12

3) 6

4)

5 х

1 А4. Решите неравенство ( ) x − 2 > 27. 3 Решение. 3 − x + 2 > 33 , − x + 2 > 3 ⇒ x < −1. 3) (−∞;−1) 1) (−1;+∞) 2) (−∞;5) х

4) (5;+∞)

Замечание. В таких примерах лучше выбирать основание больше 1. Так меньше возможностей ошибиться в вычислениях. А5. Укажите промежуток убывания функции y = f (x) , заданной графиком Решение. 1) [-2; 1]

2) [-1; 1] x

3) (-2; -1)

А6. Упростите выражение

4) (-2; 3)

cos 2α 3π + sin( + α ) . cos α − sin α 2

cos 2 α − sin 2 α − cos α = cos α + sin α − cos α = sin α . cos α − sin α

Решение.

1) sin α X

2) -sin α

3) 2 cos α + sin α

4) cos α + sin α

А7. Найдите производную функции g ( x) = x 3 − ln x + 4 . 1 Решение. g ′( x) = ( x 3 )′ − (ln x)′ + (4)′ = 3x 2 − + 0. x

1) g ′( x) = 3x 2 +

1 +4 x

2) g ′( x) = 3x 2 −

1 x

3) g ′( x) = 3x 2 + x

4) g ′( x) = 3x 2 − x

Х А8. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 0,1 (2 x + 5) = 0 . Решение. 2 x + 5 = 1 ⇒ 2 x = −4 ⇒ x = −2.

1) (-4; 0) Х

2) (2; 4)

3) (0; 2)

4) (-7; -5)

А9. Найдите область определения функции g ( x) = Решение.

⎧12 − 4 x ≥ 0, ⎪ ⎨ x ⎪⎩ x ≠ 0;

12 − 4 x . x

⎧x −3 ≤ 0, ⎪ ⎨ x ⎪⎩ x ≠ 0. 0 < x ≤ 3. 1) (−∞;0) ∪ (3;+∞)

2) (0; 3)

3) (0;3] х

4) (−∞;3] ∪ [0;+∞)

x−a < 0 можно решать как обычное неравенство, в x−b том числе методом интервалов. Но лучше твердо усвоить, что оно выполняется для тех и только тех значений х, которые находятся между числами a и b. А x−a неравенство > 0 выполняется для тех и только тех значений х, которые x−b меньше меньшего и больше большего из чисел a и b. Замечание. Неравенство

А10. Найдите значение производной функции y = f (x) в точке x0 . Решение. y ′ = tg 45 o = 1.

1) -2

2) 2

3) -1

4) 1 х

А11. Найдите наименьшее значение функции f ( x) = x 5 − 5 x 4 на отрезке [-1; 2] Решение. 5 x 4 − 20 x 3 = 0 ⇔ x = 0 или х = 4. Второе значение не попадает в заданный отрезок. Сравниваем значения функции на концах отрезка и в критических точках: f (−1), f (0) и f (2). Наименьшее из этих чисел -6, 0 и -48 и есть наименьшее значение функции на отрезке.

1) 16

2) 0

3) -6

4)

-48 х Замечание. Если Вы получили в качестве ответа число, присутствующее в списке вариантов ответа, то это вовсе не означает, что Вы решили задачу правильно. Может оказаться, что эту ошибку предвидели авторы теста. По возможности проверьте еще раз правильность Ваших рассуждений и выкладок. А12. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 –x2, y = 0, x = 1. 2 8 1 5 x3 2 2 Решение. ∫ (4 − x )dx = (4 x − ) |1 = 8 − − 4 + = . 3 3 3 3 1

1) 2

1 3

2) 1

2 3

3) 2

2 3

4)

1

1 3

Х А13. Решите уравнение 2 cos 2 x − 3 sin x = 0. Решение. 2(1 − sin 2 x) − 3 sin x = 0,

2 sin 2 x + 3 sin x − 2 = 0, − 3 ± 9 + 16 − 3 ± 5 = , 4 4 1 или sin x = 2. sin x = 2 Второе значение отбрасываем, так как оно не удовлетворяет условию sin x ≤ 1 . sin x =

Поэтому sin x = 1) ±

π 3

1 π , x = (−1) k + πk , k ∈ Z . 2 6 2)

+ 2πk , k ∈ Z

(−1) k

π 6

3) + πk , k ∈ Z

±

π 6

4) + 2πk , k ∈ Z

(−1) k

π 3

+ πk , k ∈ Z

Х Часть 2 Для каждого задания группы В запишите в бланке правильный ответ (целое число). В1. Решите уравнение x + 4 − x − 2 = 0.

x + 4 = x + 2, x + 4 = x 2 + 4 x + 4, x 2 + 3x = 0, x1 = 0, x 2 = −3. Проверка. При x = 0 получаем верное числовое равенство. При x = −3 неверное. Ответ: 0. cos 48 o cos 22 o + sin 48 o cos 68 o В2. Найдите значение выражения . cos 2 13o − sin 2 13o Решение. cos 48 o cos 22 o + sin 48 o sin 22 o cos(48 o − 22 o ) = = 1. cos 26 o cos 26 o Ответ: 1. В3. Найдите точку минимума функции y = x 3 e x . Решение. y ′ = 3x 2 e x + x 3 e x ; y ′ = 0 ⇔ 3x 2 + x 3 = 0 ⇔ x1 = 0, x 2 = −3. -3 (-3; 0) 0 (−∞;−3) х (0; + ∞) y′ 0 + 0 + 0 у 27 − 3 e убывает min возрастает возрастает Решение.

Ответ: -3. В4. Найдите наименьший корень уравнения 3 2 x +1 − 4 ⋅ 3 x + 1 = 0 . Решение.

3 ⋅ 3 2 x − 4 ⋅ 3 x + 1 = 0; 3 x = t ; t > 0; 3t 2 − 4t + 1 = 0; 1 t = 1 или t = . 3 1 1) 3 x = 1 ⇒ x1 = 0; 2) 3 x = ⇒ x = −1. 3 Наименьший корень уравнения равен -1. Ответ: -1. В5. Катер прошел по течению реки расстояние от пункта А до пункта В за 3 ч, а от В до А за 5 ч. За сколько часов проплывет от А до В плот? Решение. х – скорость реки, а значит и плота, v – скорость катера, s – s s расстояние от А до В. По условию = 3, = 5 . Найдем v из каждого из v+x v−x s − 3x s + 5x s − 3x s + 5x этих условий: v = , v= ⇒ = ; 3 5 3 5

5s − 15 x = 3s + 15 x, 2 s = 30 x, s = 15. x От А до В плот проплывет за 15 часов. Ответ: 15. В6. Найдите число целых решений неравенства ( 2 x + 5 − 3)(sin x − 7 ) > 0 . Решение.

7 > 4 = 2 ⇒ sin x − 7 < 0 ⇒ 2 x + 5 − 3 < 0; 2 x + 5 < 3,

− 3 < 2 x + 5 < 3, − 8 < 2 x < −2, − 4 < x < −1 . Между -4 и -1 находятся целые числа -3 и -2. Ответ: 2. В7. Найдите наибольшее целое значение параметра с, при котором решение ⎧5 y − c = 3x, системы уравнений ⎨ удовлетворяет условию 3x + 7 y > 1. ⎩3 y − x = 1 ⎧3x − 5 y = −c, Решение. ⎨ ⎩ x − 3 y = −1;

Домножив первое уравнение на 3, а второе на -5, и сложив уравнения, получим 5 − 3c 4 x = −3c + 5 ⇒ x = . 4 Прибавим к первому уравнению второе, домноженное на -3. Получим 3−c 4 y = −c + 3 ⇒ y = . 4

3x + 7 y =

15 − 9c 21 − 7c + = 9 − 4c. 4 4 9 − 4c > 1, 8 > 4c, c < 2.

Ответ: 1 . В8. Высота правильной четырехугольной пирамиды 6, а двугранные углы при основании равны 60о. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Решение. Пусть a – сторона четырехугольника. Двугранные углы при основании равны 60о, поэтому сечение, проведенное через высоту и середину стороны основания, - равносторонний треугольник. Отсюда апофема равна также a. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой a, острым углом 60о и 3 противолежащим катетом 6 имеет место соотношение a = 6 . Откуда 2 a = 4 3 . Площадь боковой поверхности пирамиды равна 1 4 ⋅ a 2 = 2 ⋅ (4 3 ) 2 = 96. Ответ: 96. 2 В9. В конус, осевым сечением которого является равносторонний треугольник, 32 . вписан шар. Найдите объем конуса, если объем шара 3 Решение. Пусть r – радиус шара. Объем шара известен, поэтому 4 3 32 πr = ⇒ πr 3 = 8. Так как центр окружности, вписанной в равносторонний 3 3 треугольник, находится в точке пересечения медиан, то высота конуса равна 3 r. Радиус окружности, лежащей в основании конуса равен r 3 . Объем конуса 1 равен π ⋅ 3r 2 ⋅ 3r = 3πr 3 = 3 ⋅ 8 = 24. Ответ: 24. 3 Для каждого задания группы С в специальном бланке приведите решение и укажите правильный ответ. С1. Для каждого допустимого значения параметра a решите неравенство log

3ctga

( x + 1) > 2 log

3ctga

( x − 1) .

Решение. Так как логарифм сушествует только у положительных чисел, то x + 1 > 0, x − 1 > 0 ⇒ x > 1. Основание логарифма положительно и отлично от 1. Поэтому ⎧⎪ 3ctga > 0, ⎨ ⎪⎩ 3ctga ≠ 1.

Рассмотрим два случая. 1)

3ctga > 1 , т. е. ctga >

1 3

или πr < a < πr +

π 3

⎧ x + 1 > ( x − 1) 2 , ⎨ ⎩ x > 1;

, k ∈ Z.

⎧ x 2 − 3 x < 0, ⎨ ⎩ x > 1;

⎧0 < x < 3, ⎨ ⎩ x > 1; 1 < x < 3.

2) 0 < 3ctga < 1 . т. е. 0 < ctga <

1 3

или πr +

π 3

< a < πr +

4π , k ∈ Z. 3

⎧ x + 1 < ( x − 1) 2 , ⎨ ⎩ x > 1; ⎧ x 2 − 3 x > 0, ⎨ ⎩ x > 1;

⎧ x ∈ (−∞,0) ∪ (3;+∞), ⎨ ⎩ x > 1; x > 3.

Ответ: 1 < x < 3 , если πr < a < πr +

3

,k ∈ Z ;

4π ,k ∈ Z ; 3 3 нет решений в остальных случаях. x > 3 , если πr +

С2. Решите уравнение

4

π

π

< a < πr +

log 54 ( x 2 − 3 x + 3) + 1 = cos 4 (( x − 2) ⋅ sin( 2 x + 1)) .

Решение. Заметим, что выражение слева не может принимать значения меньше 1, а расположенное в правой части не может принимать значений больше 1. Поэтому уравнение равносильно системе двух уравнений 4

log 54 ( x 2 − 3 x + 3) + 1 = 1, cos 4 (( x − 2) ⋅ sin( 2 x + 1)) = 1.

⎧⎪log 5 ( x 2 − 3x + 3) = 0, ⎨ 4 ⎪⎩cos (( x − 2) sin( 2 x + 1)) = 1; Решим первое уравнение системы:

x 2 − 3x + 3 = 1 , x 2 − 3x + 2 = 0 ,

( x − 1)( x − 2) = 0 , x1 = 1, x 2 = 2. Первый корень отбрасываем, так как он не удовлетворяет второму уравнению. Второй корень является корнем второго уравнения, т. е. является решением Ответ: 2. системы. Замечание. Для того, чтобы решить систему двух уравнений от одной неизвестной необходимо решить каждое уравнение, а затем найти пересечение полученных множеств корней уравнений. А можно решить одно из уравнений. Те корни этого уравнения, которые являются корнями второго уравнения, и образуют решение системы. С3. Найдите целые корни уравнения ( x − 4)( x − 6)( x 2 + 5 x + 6) = 40 x 2 . Решение.

( x − 4)( x + 3)( x − 6)( x + 2) = 40 x 2 ; ( x 2 − x − 12)( x 2 − 4 x − 12) = 40 x 2 ; ( x 2 − 12) 2 − 5 x( x 2 − 12) − 36 x 2 = 0; x 2 − 12 = −4 x или x 2 − 12 = 9 x; x1 = −6; x 2 = 2; x3 =

9 − 129 9 + 129 ; x4 = . 2 2

Ответ: -6; 2. Решение 2. После раскрытия скобок и приведения подобных получим x 4 − 5 x 3 − 60 x 2 + 60 x + 144 = 0.

Попробуем представить левую часть уравнения в виде произведения двух квадратных множителей x 4 − 5 x 3 − 60 x 2 + 60 x + 144 = ( x 2 + ax − 12)( x 2 + bx − 12) . x 4 − 5 x 3 − 60 x 2 + 60 x + 144 = x 4 + (a + b) x 3 + (ab − 24) x 2 − 12(a + b) x + 144. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие коэффициенты. Поэтому ⎧a + b = −5; ⎪ ⎨ab − 24 = −60; ⎪− 12a − 12b = 60. ⎩

⎧a + b = −5; ⎨ ⎩ab = −36; a = 4; b = −9. x 4 − 5 x 3 − 60 x 2 + 60 x + 144 = ( x 2 + 4 x − 12)( x 2 − 9 x − 12);

x 4 − 5 x 3 − 60 x 2 + 60 x + 144 = ( x + 6)( x − 2)( x −

9 − 129 9 + 129 )( x − ). 2 2

Ответ: -6; 2. Замечание. Метод неопределенных коэффициентов применен своеобразно: свободные члены взяты равными -12 . На мысль искать квадратные множители в таком виде наводит то, что свободный член исходного многочлена является полным квадратом. Если бы свободные слагаемые квадратных множителей мы взяли, равными +12, то пришли бы к системе, из которой следовало, что необходима замена знака числа на противоположный. Метод решения вскрывает механику составления предлагаемых в заданиях С3 уравнений.

Эффективно находить рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами, помогает p ТЕОРЕМА. Если несократимая дробь - рациональный корень многочлена с q целыми коэффициента f ( x) = a 0 x n + a1 x n −1 + ... + a n −1 x + a n , то числитель р этой дроби делит свободное слагаемое a n , знаменатель q делит старший коэффициент a 0 и для любого целого числа m имеем f (m) делится на p-mq. В частности f (1) делится на p-q, а f (−1) делится на p+q. p p p Доказательство. По условию a 0 ( ) n + a1 ( ) n −1 + ... + a n −1 ( ) + a n = 0 . Отсюда q q q a 0 p n + a1 p n −1 q + ... + a n −1 pq n −1 + a n q n = 0.

Из равенства a 0 p n = − q(a1 p n −1 + ... + a n −1 pq n − 2 + a n q n −1 и из того, что p и q не имеют общих делителей, следует, что a0 делится на q. Из равенства (a 0 p n −1 + a1 p n − 2 q + ... + a n −1 q n −1 ) p = − a n q n и из того, что p и q не имеют общих делителей, следует, что a n делится на р. Разделив f (x) на x-m, получим p f ( x) = ( x − m)(b0 x n −1 + ... + bn −1 ) + f (m). Подставив в уравнение вместо х, и q освободившись от знаменателя, получим равенство ( p − mq)(b0 p n −1 + b1 p n −2 q + ... + bn −2 pq n − 2 + bn −1 q n −1 ) + q n −1 f (m) = 0. Т. е. q n−1 f (m) делится на p-mq, где p-mq и q не имеют общих делителей. Отсюда следует, что f (m) делится на p-mq. Следствие. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами делят его свободное слагаемое. Задача (С3 варианта 2). Найдите целые корни уравнения

( x + 3)(6 − x)( x − 2)( x + 4) + 126 x 2 = 0. Решение. Если у многочлена f( x) = ( x + 3)(6 − x)( x − 2)( x + 4) + 126 x 2 есть целые корни, то их надо искать среди делителей свободного слагаемого - числа 144: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 8, -8, 9, -9, 12, -12, 16, -16, 18, -18, 24, -24, 36, -36, 48, -48, 72, -72, 144, -144. Ясно, что числа -3, -4, 2 и 6 - не корни уравнения. Так как f(1) = 26 не делится на -6-1, то число – 6 исключаем из числа подозреваемых. После аналогичной проверки всех подозреваемых останутся лишь -1, 3 и -12. Из них числа -1 и -12 – корни. Ответ: -1, -12.

Так как задачи С3, видимо, следует считать наиболее сложными в тесте Математика-0, то рассмотрим, как еще можно решить некоторые из них. Хорошее владение этими методами позволит не только подобрать наиболее подходящий для конкретного примера, но и сочетать их с целью ускорения отбора корней. Задача (С3 варианта 1). Найдите целые корни уравнения (6 − x)( x − 2)( x + 3)( x + 9) = 24 x 2 . Решение. Очевидно, что числа 6, 2, -3, -9 не являются корнями уравнения. Выражение в правой части уравнения принимает только неотрицательные значения, а функция f ( x) = −( x − 6)( x − 2)( x + 3)( x + 9) , записанная слева, принимает отрицательные значения при x < -9 или -3 < x < 2 или x > 6 , поэтому корни уравнения могут быть лишь, если -9 < x < -3 или 2 < x < 6, и их следует искать среди чисел -8, -7, -6, -5, -4, 3, 4. Оставим для проверки делители числа 144 – свободного слагаемого: -8, -6, -4, 3, 4. Уравнению удовлетворяют лишь -6; 3. Ответ: -6; 3. Задача (С3 варианта 6). Найдите целые корни уравнения

(10 − x)(4 − x)( x + 5)( x + 2) − 220 x 2 = 0. Решение. Несколько случаев, когда переменная принимает значение, при котором один из множителей произведения делится на 11 – простой делитель числа 220: х+2 4–х х +5 10 -х х х Х х 11 11 7 11 6 11 9 -1 22 -12 22 18 22 17 22 20

Из всех таких значений делителями числа 400 – свободного слагаемого являются лишь -1 и 20, причем оба числа оказались корнями уравнения. Пусть (6 − x)(4 − x)( x + 5)( x + 2) − 220 x 2 = ( x + 1)( x − 20)( x 2 + px − 20). При х = -2 получим -880 = (-1)(-22)(4 -2 р -20), р = 12. Поэтому (6 − x)(4 − x)( x + 5)( x + 2) − 220 x 2 = ( x + 1)( x − 20)( x 2 + 12 x − 20). Корни квадратного множителя – числа иррациональные. Ответ: -1; 20.