量子現象の数理 (朝倉物理学大系)

編集 荒船次郎 東京大学名誉教授

江沢 洋 学習院大学名誉教授

中村孔一 明治大学教授

米沢富美子 慶應義塾大学名誉教授

ま え が き

  本 書 は,前 著 『量 子 力 学 の数 学 的構 造Ⅰ,Ⅱ』(朝 倉 物 理 学 大 系 第7巻,8巻)の 続 編 で あ る.そ の 目的 とす る とこ ろ は,前 編 に お い て公 理 論 的 に定 式 化 され た, 量 子 力 学 の 基 本 原 理 に 基 づ い て,量 子 現 象 に関 わ る数 理 を 主 題 別 にや や 詳 し く み て い く こ と に あ る.こ

こ で は,九 つ の 主 題 を選 ん だ.各 章 に一 つ の主 題 を割

り当 て(目 次 を参 照),そ

れ ぞ れ の 章 は,ほ ぼ 独 立 に読 め る よ う に書 い た.し

た

が っ て,読 者 は,自 分 に興 味 の あ る主 題 が 扱 わ れ て い る章 か ら読 む こ と も可 能 で あ る.命 題 や 定 理 の 証 明 は,か

な り丁 寧 に書 い た つ も りで あ る.前 編 で論 じ

られ た 内容 や 数 学 的技 法 を 自 分 の もの と して い る読 者 に とっ て は,本 書 を読 む 上 で 特 に 困 難 は ない はず で あ る.   本 書 に は,邦 書 で は,お そ ら く初 め て 登 場 す る内 容 が 多 く盛 り込 まれ て い る. 特 に,ア ハ ラ ノ フ-ボ ー ム効 果 と照 応 す る,ゲ ー ジ理 論 にお け る正 準 交 換 関 係 の 非 同 値 表 現 の 構成 に 関 す る理 論,量

子 力 学 的 状 態 の 生 き残 り確 率 と関 わ り を も

つ 時 間 作 用 素 の 理 論(い ず れ も第3章),埋

蔵 固 有 値 の摂 動 問 題 の 基 本 的 な例 と

して の フ リー ドリ クス モ デ ル の 詳 しい解 析(第5章),超 章)は,そ

対 称 的 量 子 力 学(第9

れ ぞれ,著 者 自身 の 研 究 テ ーマ の 一部 をな す もの で もあ り,現 在 に お

い て も な お,量 子 力 学 や 量 子 場 の 理 論 の 数 学 的 ない し数 理 物 理 学 的研 究 の前 線 に通 じる もの で あ る.た だ し,本 書 の 性 格 上,そ

の 論 述 は入 門 的 な レ ヴ ェ ル に

と どめ た.ま た,物 理 量 の 自 己共 役 性 の 問題 を詳 し く論 じて い る の も本 書 の特 色 の 一 つ と い え る で あ ろ う(第2章).他

の 主 題 につ い て も,本 書 の 精 神― 座 標

か ら 自 由 な絶 対 的 相 か らの ア プ ロ ー チ― に の っ とっ て,原 理 的・ 普 遍 的 観 点 を 強 調 す る仕 方 で,叙 述 に工 夫 を凝 ら した つ も りで あ る.紙 数 の 都 合 上,量 子 場 の 理 論 に関 す る 章 を設 け る こ とが で き なか っ た の は心 残 りで あ る.こ の 側 面 に

つ い て は 拙 著 『フ ォ ッ ク空 間 と量 子 場 上 下 』(日 本 評 論 社,2000)を

参 照 して い

た だ け れ ば幸 い で あ る.   数 学 的 に厳 密 な 思 考 に よ っ て もた ら され る確 実 で 明晰 な認 識 は,理 念 と現 象 との 調 和 的 ・美 的 照 応 を よ り深 い 次 元 で 観 照 す る こ とを 可 能 に し,宇 宙 の原 像 と して の ロ ゴス,理 の 世 界 の 豊 饒 さ,妙(老

子 的 意 味 で の),繊 細 さ,美 し さ,そ

して,宇 宙 の果 て しな い 深 さ を垣 間 見 させ て くれ る.本 書 が 量 子 現 象 を支 え る 理 の 世 界 の よ り深 い 相,よ

り高 い次 元 へ と読 者 をい ざ な う よす が とな る こ とを

切 に願 う.   本 書 の原 稿 を通 読 され,貴 重 な コ メ ン トを寄 せ られ た 江 沢 洋 先 生 に心 か ら感 謝 した い.ま

た,本 書 の 出版 に際 して,い

ろ い ろ とお 世 話 に な っ た朝 倉 書 店 編

集 部 の 方 々 に も厚 く御 礼 申 し上 げ る.

2006年  新 春

札 幌 の寓居 に て

新

井 朝

雄

目

次

1  物 理 量 の 共 立 性 に関 わ る 数理

 1 

1.1  は じ め に 

1

 1.2  単 独 の 物 理 量 に 関 す る 測 定(Ⅰ)―純 点 ス ペ ク トル 的 な物 理 量 の場 合  3   1.3  単 独 の 物 理 量 に 関す る 測 定(Ⅱ)― 一 般 の 場 合

 5

  1.4  複 数 の 物 理 量 の 測 定 に よ る状 態 の 一 意 的 決 定(Ⅰ)― 純 点 ス ペ ク ト ル 的 な 物 理 量 の組 の 場 合   1.5  複 数 の 物 理 量 の測 定 に よる状 態 の 一 意 的 決 定(Ⅱ)―

  16 一般 の 場 合 …21

  1.6  代 数 的 な 特 徴 づ け   付 録A   ノ

ー

  第1章

可 分 な ヒル ベ ル ト空 間 の巡 回 ベ ク トル に よ る直 交 分 解 ト

 演 習問題

  28  32   35  36

 関 連 図 書

 37

2  物 理 量 の 自己 共 役 性

 38

  2.1  は じ め に

  38

  2.2  小 さ い 摂 動

 42

  2.3  加 藤-レ リ ッ ヒの 定 理 の 応 用― シ ュ レー デ ィ ン ガ ー 型 作 用 素 の 自 己 共 役 性,原 子 と物 質 の 弱 安 定 性   2.4  必 ず し も小 さ くな い摂 動  

  52 71

  2.5  混 合 型 ポ テ ン シ ャ ル を もつ 場 合

 78

  2.6  交 換 子 定 理

 79

  2.7  解 析 ベ ク トル 定 理

 85

 2.8  準 双 線 形形 式 と 自己 共 役 作 用 素  2.9  形 式 に よ る摂動―KLMN定

理

  89   108

 2.10  デ ィ ラ ッ ク型作 用 素 の 本 質 的 自己 共 役 性

 110

 付 録B  作 用 素 の 和 が 閉 で あ る た め の 条件

  116

 付 録C 

閉対 称 作 用 素 の基 本 的 性 質

  117

 付 録D 

閉 対 称 作 用 素 が 自己 共 役 拡 大 を もつ 条 件

 付 録E 

交 換 子 に関 す る基 本 公 式

  122

ト

  123

演 習 問題

  123

 ノ

ー

 第2章 

 119

 関 連 図 書

 127

3  正 準 交 換 関 係 の 表 現 と物 理

 128

  3.1  は じ め に

  128

  3.2  予 備 的 考 察

  130

  3.3  ヴ ァ イ ル 型 表 現

 137

  3.4  シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 の ヴ ァ イ ル 型 性   3.5  ヴ ァ イ ル 型 表 現 の 構 造―   3.6  CCRの

フ ォ ン ・ノ イ マ ン の 一 意 性 定 理

  140   142

非 同 値 表 現 と ア ハ ラ ノ フ-ボ ー ム 効 果

 154

  3.7  弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現   3.8  時 間 作 用 素  ノ

ー

  第3章 

ト

 169   174   183

演習問題

 関 連 図 書

4  量 子 力 学 に お け る対 称 性

 184  

185

 188

  4.1  は じめ に― 対 称 性 と は ど うい う もの か

  188

  4.2  群

  189

  4.3  量 子 力 学 に お け る対 称 性 の原 理 的 構 造

  197

  4.4  一 般 の表 現

  213

 4.5  物 理 量 の対 称 性

  219

 4.6  シ ュ レー ディ ン ガ ー型 作 用 素 の 対 称 性

  224

 4.7  対 称 性 と保 存 則

 226

 4.8  回転 対 称 性 と軌 道 角 運 動 量 作 用 素 の保 存  4.9  軌 道 角 運 動 量 の 固 有 空 間 に よ る直 和 分 解(Ⅰ)―2次  4.10  軌 道 角 運 動 量 の 固有 空 間 に よ る直 和 分 解(Ⅱ)―3次

  227 元 空 間 の 場 合   229 元 空 間 の 場 合 235

 4.11  リー代 数 的 構 造 と対 称 性

 245

 付 録F  位 相 空 間  ノ

ー

 第4章 

 255

ト

  257

演習 問題

 258

 関 連 図 書

  259

5  物 理 量 の 摂 動 と固 有 値 の 安 定 性

  261

  5.1  は じ め に

  261

  5.2  複 素 変 数 の バ ナ ッハ 空 間値 関 数

 263

  5.3  閉作 用 素 と冪 等 作 用 素

  270

  5.4  物 理 量 の 摂 動 の 一 般 的 ク ラ ス― 解 析 的 摂動

  279

  5.5  応

用

 5.6  埋 蔵 固 有 値 の摂 動,共

  鳴 極,生

き残 り確 率

  5.7  フ リー ドリ ク ス モ デ ル  付 録G 

バ ナ ッハ 空 間 の双 対 空 間 とハ ー ン-バ ナ ッハ の定 理

 付 録H 

あ る2重 積 分 の 計 算

 ノ

ー

  第5章 

ト 演 習問題

 関 連 図 書

289

  297   304  317   320   321  322   323

6  物 理 量 の ス ペ ク トル

 324

  6.1  は じ め に

 324

  6.2  離 散 スペ ク トル と真 性 ス ペ ク トル の特 徴 づ け    6.3  最 小-最 大 原 理

324   329

  6.4  コ ン パ ク ト作 用 素   6.5  真 性 ス ペ ク トル の 安 定 性   6.6  シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 型 作 用 素 の 真 性 ス ペ ク トル   6.7  シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 型 ハ ミ ル トニ ア ン の 離 散 ス ペ ク トル  ノ

ー

 第6章 

ト

 343   352  

354

  361   367

演 習 問題

  368

 関 連 図 書

 

7  散 乱 理 論 

369

370

  7.1  は じめ に― 発 見 法 的議 論

 370

  7.2  数 学 的 準 備―

  376

絶対 連 続 ス ペ ク トル と特 異 ス ペ ク トル

  7.3  散 乱 理 論 の 一 般 的枠 組 み

  390

  7.4  波 動 作 用 素 の 存 在 に対 す る判 定 条 件

  399

  7.5  波 動 作 用 素 の 完 全 性 に対 す る判 定 条 件

  402

  7.6  散 乱 作 用 素 の 積 分 表 示 と漸 近 展 開

  403

 ノ

ト

  406

演 習問題

  406

ー

  第7章 

 関 連 図 書

 407

8  虚 数 時 間 と汎 関 数 積 分 の 方 法

 409

  8.1  は じめ に― 量 子 動 力 学 の 虚 数 時 間 へ の 拡 張

  409

  8.2  熱 半 群,ス ペ ク トル の 下 限,基 底 状 態

  412

  8.3  汎 関 数 積 分 お よび確 率 過 程 との接 続― 発 見 法 的議 論

 418

  8.4  確 率 過 程 の 存 在

 430

  8.5  ブ ラ ウ ン運 動

  434

  8.6  フ ァイ ンマ ン-カ ッツ の公 式

  440

  8.7  基 底 状 態 過 程

  445

  付 録I  確 率 論 の基 本事 項

  450

  付 録J 

ガ ウ ス型 確 率 過 程

  付 録K  確 率 過 程 の連 続 性 に対 す る 判 定 条 件

 454  458

 ノ

ー

 第8章 

ト

  460

演 習問題

  460

関連 図 書

  462

9  超 対 称 的量 子 力 学

  464

  9.1  は じめ に― 超 対 称 性 とは ど うい う も の か

  464

  9.2  超 空 間,超 場 お よ び超 対 称 性 代 数

 465

  9.3  公 理 論 的超 対 称 的 量 子 力 学

 476

  9.4  超 対 称 性 と特 異 摂 動―

 499

摂動法の破綻

  9.5  ウ ィ ッテ ンモ デ ル

  502

  9.6  縮 退 した零 エ ネル ギ ー基 底 状 態 を もつ モ デ ル

  510

  付 録L 

トレー ス型 作 用 素

 513

  付 録M 

自己 共 役 作 用 素 の 強 レゾ ル ヴ ェ ン ト収 束

 516

  付 録N 

簡 単 な超 関数 方 程 式 の 解

  518

 ノ

ト

  519

ー

  第9章 

演習 問題

 関 連 図 書  索

引 

 520   524 527

記 号

表

標準的記号 記号

意 味 自然数 全体 の集 合 整数全 体 の集合 実数全 体 の集 合 複 素 数全体 の集 合 Rのd個

の直 積集 合

Cのd個

の直積 集合

Rdに おけ るd次 元 ボ レル集 合体 Rdの 開集合 Ω 上 のm回

連 続 微分 可能 な 関数 で有界 な台 を

もつ もの の全 体 L2(IRd)上 の フ ー リエ 変換 ほ とん どいた る ところ

若干 の 論理 記号

記号

意 味 AをBで Pな

定義 す る

らばQ

PとQは

同値(Pで

PをQで

定義 す る

あ るため の必 要十分 条件 はQ)

Xの す べ ての元xに 対 して.P(④ が 成立 同上

ヒ ル ベ ル ト空 間 論 に関 わ る 記 号 Aは

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

の 線 形 作 用 素 を表 す.DはHの

記号

部 分 集 合 とす る.

意 味 Hの 部分 集合Dの

直交 補空 間

Dの 閉包 Aの 定義 域 ま たは

Aの 値域 Aの レゾ ルヴ ェ ン ト集合 Aの スペ ク トル Aの 点 スペ ク トル(Aの

固有値 の全 体)

Aの 核 Aの 共役 作用 素(D(A)がHで Hの 部 分集 合Dか

稠密 の場合)

ら生成 され る部分 空 間

測度 空 間(X,μ)上 の2乗 可 積分 関数 か ら生成 される ヒルベ ル ト空 間 H全 体 を定義 域 とす る有 界線 形作 用 素全 体の 集合 H全 体 を定義 域 とす る,Hか

らヒルベ ル ト空 間Kへ

線形 作用 素 の全 体 ベ ク トル空 間V全 体 を定 義域 とす る,Vか Wへ

の有 界

らベ ク トル空 間

の線 形 作用 素 の全体

L(V,V) 代 数 的 テ ンソル積 テ ン ソル積 A(閉 作用 素)の 離散 スペ ク トル(Aの,多 有 値 の全体) Aの 真性 スペ ク トル 自己共役 作 用素Aの

ス ペ ク トル測度

重度 有限の孤 立 固

ス ク リプ ト(カ リ グ ラ フ 体)対 応 表 A 

A

G 

G

M 

M

S 

S

Y 

Y

B 

B

H 

H

N 

N

T 

T

Z 

Z

U

C 

C

I 

I

O 

O

U 

D 

D

J 

J

P 

P

V 

V

E 

E

K 

K

W

F 

F

L 

L

Q R

W  X 

X

Q  R 

ギ リシア文字 Α  α 

アル フ ァ

Ι ι

 

Β β  

ベー タ

Κ  κ

  カ ッパ

Γ γ  

ガ ンマ

Λ  λ  

Δ δ

 デ ル タ

ラム ダ

Μ  μ

  ミュー

Ν  ν

  ニ ュー

Ε ε,ε 

イプ シ ロ ン

Ζ ζ  

ゼータ

Ξ  ξ

Η η  

イー タ

Ο  ο

Θ θ,θ   シ ー タ

イオ タ

 グザ イ   オ ミクロ ン

Π  π,π   パ イ

Ρ ρ,ρ  ロ ー Σ σ,σ   シ グ マ Τ τ Υ υ 

 タ ウ ウプ シ ロ ン

Φ φ,φ  フ ァ イ Χ χ  

カイ

Ψ ψ  

プサ イ

Ω ω 

オメ ガ

1 物 理量 の共立性 に関 わる数理

  量 子 力 学 系 にお け る複 数 の物 理 量 の 組(A1,…,AN)は,そ の 中 の ど のAjの 観 測 も 他 の 物 理 量Ak(j≠k)の 観 測 に よ って擾 乱 され る こ とな くで きる場 合,共 立 的 に観 測(測 定)可 能 で あ る とい う.こ の 章 の 目的 は,複 数 の 物 理量 の共 立 的 観 測可 能 性 の根 底 にあ る数 学 的構 造 を見 極 め る こ とで あ る.複 数 の物 理 量 が共 立 的 に観 測 可 能 であ ると き,そ れ らの観 測 が 状 態 を"一 意 的 に"定 め る こ との 数学 的本 質 も明 らか にす る.

1.1 

  前 著[8]に

お い て,物

物 理 量 の 測 定 で は,量

定)に

252).こ

値 を も つ 状 態"で

あ る が,そ

関 す る 公 理 を 述 べ た 際 に,単

の 意 味 は,粗

い う こ とで あ る.た

くい え ば,物

の 直 後"の

と え ば,ス

は限 ら な 理 量Aの

状 態 は"物

理量

ピ ン を も つ 量 子 的 粒 子1個

子 の 位 置 だ け を測 定 し,あ

ピ ンの 在 り方 に つ い て は 不 明 の ま ま で あ る か ら,そ

状 態 の 重 ね 合 わ せ の 状 態 に あ る).こ

定 さ れ る)と

独の

の よ うな状 態 が た だ 一 つ か ど うか は 一 般

て は 状 態 は 一 意 的 に 指 定 さ れ て い な い(ス

れ ば,ス

に

い う値 が 得 ら れ た と き,"そ

か ら な る 量 子 系 に お い て,粒 も,ス

め

子 力 学 的 状 態 は 一 意 的 に 定 ま る(指

測 定 に よ っ て,a∈IRと

的 に は わ か ら な い,と

じ

理 量 の 観 測(測

い こ と を注 意 して お い た([8]のp.

Aがaの

は

る値 が 得 られ た と して の よ う な測 定 に よっ

ピ ン に つ い て は,異

の 場 合,状

な るス ピ ン固 有

態 を よ り詳 細 に 指 定 し よ う と す

ピ ン の 測 定 も 行 う 必 要 が あ る*1.

  測 定 に よ る 状 態 の 一 意 的 決 定 性 の 条 件 を 理 論 的 に探 る こ と は,実

験 的 に は,初

期 状 態 を 設 定 す る こ と― こ れ を 状 態 の 準 備 と い う― ま た は 終 状 態 の 同 定 に と っ て 重 要 で あ る. *1  ス ピ ン に つ い て は ,[8]のp.

272の

脚 注 お よ びp. 424を

参 照.

  い ま の例 か ら示 唆 され る よ うに,量 子 系 に関 して,測 定 に よ っ て状 態 を一 意 的 に定 め る た め に は,一 般 には,複 数 の物 理 量 の 組 の観 測 が 必 要 と さ れ る.こ で,"物

理 量A1,…,ANの

理 的 描 像 は,A1,…,ANの

こ

測 定 に よ り状 態 が 一 意 的 に定 ま る"と い う こ との 物 測 定 値 の組(a1,…,aN)(ajはAjの

可能な測定値

の 任 意 の 一 つ)の そ れ ぞ れ にた だ一 つ の状 態 Ψa1,…,aNが 対 応 し,A1,…,AN の 測 定 に よ り,こ れ らの 状 態 の うち の どれ か 一 つ が"選 び 出 され る"こ とで あ る*2.状 態 Ψa1,…,aNに お い て は,A1,A2,…,ANは

そ れ ぞ れ,a1,a2,…,aN

の 値 を もつ.し か し,量 子 力 学 系 にお い て は,物 理 量Aを が 得 られ た と して も,そ の 状 態 で 別 の物 理 量Bを

測 定 し,あ る 測 定 値

測 定 した な らば,Aの

ま っ た く消 えて し ま う とい う事 態 が 起 こ り うる.そ の よ う な場 合 に は,Aの

情 報は

Bの

値と

値 の 両 方 が と もに 定 まっ て い る状 態 は指 定 され え な い.し た が っ て,こ の

よ う な物 理 量 の 組(A, B)を 状 態 の 指 定 に使 う こ と は で きな い.い

ま言 及 した,

量 子 力 学 特 有 の 現 象 形式 を考慮 す る と き,状 態 を指 定 す るた め の 複 数 の物 理 量 の 観 測 が 意 味 を もち う るの は,こ れ らの 物 理 量 の観 測 にお い て,そ の 物 理 量 の 測 定 に よっ て得 られ た情 報 が そ の ま ま保 持 され,同

の 中 の任 意

じ組 に属 す る 他

の 任 意 の物 理 量 の測 定 が可 能 で あ る よ うな 場 合 に 限 られ る.こ の よ う な測 定 は 共 立 的 で あ る(compatible)と

い い,共 立 的 測 定 が で き る物 理 量 の 組 を共 立 的 な

物 理 量 ま た は共 立 的 な観 測 量 と呼 ぶ(例:量

子 的粒 子 の位 置 作 用 素 とス ピ ン作 用

素 の 一 つ の 成 分 の 組*3).   と こ ろ で,非 可 換 な物 理 量 の 組 に 関 して は,一 般 化 され たハ イ ゼ ンベ ル クの 不 確 定 性 関 係([8]の 定 理3.5)が

適 用 され る の で,そ の よ う な物 理 量 の 組 は 共 立

的 で は あ りえ な い.し た が って,物 理 量 の 組 が 共 立 的 で あ る た め に は,そ れ が 可換 な物 理 量 の組 で あ る こ とが 必 要 で あ る.だ が,こ れ は 十 分 条件 で は な い*4.   この 章 で は,ま ず,測 定 に よ る状 態 の 一 意 的 決 定 性 の 問 題 を単 独 の物 理 量 に

*2 ajの 少 な くと も一 つ がAjの

連 続 スペ ク トル に属す る場 合 に は ,こ の い い方 は 正確 で は

な い.だ が,さ しあ た り,こ の粗 い 物 理 的描 像 か ら出 発 す る こ とは物 理 的 には 自然 で あ る. *3 本 書 で は ,「 演 算子 」 とい うか わ りに 「 作 用 素 」 とい う呼 び方 をす る. *4 詳 し くは ,1.4.1項 の 定 理1.13を 参照.物 理 の教 科 書 で は,可 換 性 の 条 件 だけ で事 足 れ りと してい る ものが 多 くみ られ るが,こ れが 有 効 なの は 有界 な 自己 共役 作 用 素 で表 され る物 理 量 の 場 合 だ けで あ る.

つ い て 論 じ,そ

の 根 底 に あ る 数 学 的 構 造 を 明 ら か に す る.次

に複 数 の 物 理 量 の

組 の 共 立 性 と そ れ ら の 観 測 に よ る 状 態 の 一 意 的 決 定 性 の 問 題 を 考 察 す る.

1.2 

単 独 の 物 理 量 に 関 す る 測 定(Ⅰ)―

  単 独 の 物 理 量 の う ち で も,扱 "本 質 的 に"固

純 点 ス ペ ク トル 的 な 物 理 量 の 場 合

い や す い の は,い

う ま で も な く,ス

有 値 だ けか らな る 物 理 量 の 場 合 で あ る

.そ

こ で,ま

ペ ク トル が

ず,そ

の よう

な 自 己 共 役 作 用 素 の ク ラ ス を 定 義 す る:

定 義1.1 

Tを

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

ク トル か ら な る,Hの

の 自 己 共 役 作 用 素 と す る.Tが

完 全 正 規 直 交 系(CONS)を

も つ と き,Tは

そ の 固有 ベ 純 点 スペ ク ト

ル 的 で あ る と い う.

  線 形 作 用 素Tの σ(T), σp(T)で

ス ペ ク トル と 点 ス ペ ク トル(Tの

命 題1.2 

自 己 共 役 作 用 素Tが

証 明   dim

H<∞

を考 え る.σ(T)⊃ と し よ う.こ

固 有 値 の 全 体)を

純 点 ス ペ ク トル 的 な ら ば σ(T)=σp(T)で

の 場 合 に は,題 σp(T)は

意 は 自 明 で あ る.そ

こ で,dim

H=∞

の と き,単 位 ベ ク トル の 列 

あ る.

の場 合

明 らか で あ る か ら,逆 の 包 含 関 係 を示 す.λ

と な る も の が 存 在 す る*5.仮

∈ σ(T)

で 

定 に よ り, 

で

 と な る も の が あ る 

で あ り,   が 成 り立 つ.し し た が っ て,も

た が っ て,  し, 

な

ら ば, 

だ が,こ

れ は(*)に λnk→

そ れ ぞ れ,

表 す.

矛 盾 す る.し

λ(k→∞)を

*5  [7]のp.

141

,定

た が っ て,C=0.こ

意 味 す る.ゆ

理2.40-(ⅳ).

え に,λ

れ は,部 ∈ σp(T). 

分 列{λnk}kが

あ っ て, ■

注 意1.1 

命 題1.2は,純

点 スペ ク トル 的 な 自己 共役 作 用 素 の スペ ク トル は,固

有 値 だ け で な く,固 有 値 の 集 合 の集 積 点― そ れ が存 在 す る な らば― も含 む こ と を語 る.こ の点 は 留 意 さ れ た い.   Aを

ヒ ル ベ ル ト空 間H(状

(物理 量)と

態 空 間)上 の 純 点 ス ペ ク トル 的 な 自己 共 役 作 用 素

し

(1.1) とす る(m≠nな

ら ば λm≠

λnと す る).こ

の とき

(1.2) と直 和 分 解 で きる([7]の2章,2.9.5項 を 測 定 して,値λnを

を参 照).量

得 た とす れ ば,ker(A-λn)に

た こ と に な る([8]の3章,公

理QM3-(ⅲ)).こ

子 力 学 の公 理 に よれ ば,A 属 す る状態 が指定 され

れ が 一 意 的 で あ る た め に は,

dim ker(A-λn)=1で

な け れ ば な らな い.逆

に,す べ て のn∈INに

dim ker(A-λn)=1な

ら ば,明

任 意 の 測 定 は状 態 を一 意 的 に指

定 す る.こ

らか に,Aの

対 して,

う して,純 点 スペ ク トル 的 な物 理 量 の場 合 に は,そ の す べ て の 固 有

値 の 多 重 度 が1,す

な わ ち,単 純 で あ る こ と が,こ の物 理 量 の測 定 に よ っ て状 態

が 一 意 的 に 指 定 され る た めの 必 要 十 分 条 件 で あ る こ とが わ か る.   こ の 条 件 が 連 続 ス ペ ク トル を もつ 物 理 量 の 場 合 に どの よ うな形 を と るか を探 る た め に,す べ て の 固有 値 が単 純 で あ る純 点 ス ペ ク トル 的 自己 共 役 作 用 素 の 特 徴 づ け を固 有 値 に 言 及 しな い仕 方 で行 う こ と を考 え る.一 般 に,自 己 共 役 作 用 素 の 特 性 は 同伴 す る ス ペ ク トル測 度 に よっ て決 定 され る こ と を想 起 す るな らば, ス ペ ク トル 測 度 を用 い て,そ の 特 徴 づ け を試 み る の は 自然 で あ る.   Aを 純 点 ス ペ ク トル的 自己 共役 作 用 素 と し,そ の 点 ス ペ ク トル は(1.1)で 与 え られ る とす る.さ

ら に,固 有 値λnは す べ て 単 純 で あ る と し,そ の規 格 化 さ れ た

固 有 ベ ク トル の 一 つ を Ψnと す る:  .EAに で は, 

よ っ てAの

はHのCONSを

ス ペ ク トル測 度 を表 す.い な す か ら,任 意 の Ψ ∈Hは

まの仮 定 の も と

と 展 開 で き る.λn≠λk, 理3.12,

[7]のp.

171,命

n≠kよ

り, ([2]のp. 126

,定

題2.54). で 

を満 た

す もの を任 意 に一 つ選 び

(1.3) と お く([7]の

補 題1.16に

よ っ て,右 辺 は 収 束 す る) .こ

の と き, 

ゆ えに

と 表 さ れ る.  IRの

区 間 全 体 の 集 合 をJ1と

記 す:

(1.4)  こ れ を 用 い る と,上 に導 い た事 実 は

(1.5) を 意 味 す る.こ

こ で,ベ

れ る 部 分 空 間 を 表 し,部

1.3 

ク ト ル の 集 合Dに 分 集 合F⊂Hに

対 し て,L(D)はDに 対 し て,FはFの

単 独 の 物 理 量 に 関 す る測 定(Ⅱ)―

よっ て 生 成 さ 閉包 を表 す .

一般 の場 合

  1.3.1  単 純 ス ペ ク トル を もつ 自 己 共 役 作 用 素   前 節 の 予 備 的 考 察 に基 づ い て,あ ベ ル ト空 間 で あ る とす る . 定 義1.3 

AをH上

る 数 学 的 概 念 を導 入 す る.以 下,Hは

の 自 己 共 役 作 用 素 とす る.零

ヒル

で な い ベ ク トル Ψ0が 存 在

して

(1.6)

が 成 り立 つ と き(す Aの

な わ ち, 

がHで

ス ペ ク トル は 単 純 で あ る,あ

こ の 場 合,Ψ0をAに 例1.1 

る い は,Aは

稠 密 で あ る と き),

単 純 ス ペ ク トル を も つ,と

関 す る 生 成 元(generating

element)と

い う.

い う*6.

前 節 の 議 論 に よ っ て,す べ て の 固 有 値 が 単 純 で あ る 純 点 ス ペ ク トル的 自己 共

役 作 用 素 は単 純 ス ペ ク トル を もつ.   上 の 定 義 は,Aが 点 が"縮

連 続 ス ペ ク トル を も つ 場 合 で も,Aの

退 し て い な い"こ

ス ペ ク トル の 任 意 の

と の 一 つ の 定 義 を 与 え る も の で あ る.だ

が,こ

の解釈

が 意 味 を も つ た め に は 次 の 事 実 を 確 認 して お か な け れ ば な ら な い*7.

命 題1.4 

Aを

と仮 定 す る.こ な わ ち,aは

単 純 ス ペ ク トル を もつ,H上 の と き,Aの

の 自己 共 役 作 用 素 と し,σp(A)≠0

任 意 の 固 有 値a∈

σp(A)の

多 重 度 は1で

あ る(す

単 純 固 有 値).

証 明   Ψ0をAに

関 す る 生 成 元 と す る.Aの

ス ペ ク トル の 単 純 性 に よ り,  はHで

を 思 い だ そ う([7]のp.

171,命

稠 密 で あ る. 

題2.54-(ⅱ)).仮

に,aの

多重度が

2以 上 で あ る とす れ ば, で  も の が あ る. 

で あ る か ら,任

て,  Dの

とな る

し た がっ て,φ 稠 密 性 に 矛 盾 す る.し

た が っ て,aの

意 のJ∈J1, 

∈D⊥.

φ ≠0で

多 重 度 は1で

に対 し あ っ た か ら,こ

れは

な け れ ば な ら な い.  ■

 自 己 共 役 作 用 素 の ス ペ ク トル の 単 純 性 は ユ ニ タ リ 不 変 な 性 質 で あ る: 命 題1.5  AをH上

H, Kを

ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,W:H→Kを

の 自 己 共 役 作 用 素 と し,そ

き,B:=WAW-1の

ユ ニ タ リ 変 換 と す る.

の ス ペ ク トル は 単 純 で あ る とす る.こ

ス ペ ク トル も単 純 で あ る.

証 明   作 用 素 解 析 に よ り,EB(J)=WEA(J)W-1, J∈B1(B1は1次 ル 集 合 体).し

の と

た が っ て,Aに

関 す る 生 成 元 を Ψ0と

元ボ レ し,Φ0=WΨ0と

お け ば,

*6  この よ うな元 は 一つ とは 限 らな い . *7  これ は ,自 己共 役 作 用 素Aの スペ ク トルが 固 有値 だけ か らな る場 合 に,例1.1の 逆,す な わち,Aが 単純 スペ ク トル を もつ な らば,固 有値 はすべ て単 純 で あ る,と い う事実 を 包 摂 す る命 題 で あ る.

Φ0はBに

関 す る 生 成 元 に な る(∵ ユ ニ タ リ変 換 は稠 密 な部 分 空 間 を稠 密 な 部

分 空 間 に う つ す). 

■

  以下,し ば しば,d次 元 座 標 空 間IRdの 一般 元(座 標 変 数)をx=(x1,…,xn)∈ IRdと

表 す と き,IRd=IRdxと

記 す.

  次 の 定 理 は 基 本的 で あ る(B1は1次 定 理1.6  B1に

μ を 可 測 空 間(IR,

対 し て, 

L2(IRλ,dμ)上 の と き,λ

元 ボ レ ル 集 合 体 を 表 す).

B1)上

の 測 度 で,任

意 の 有 界 な ボ レ ル 集 合B∈

を 満 た す も の とす る*8.座

標 変 数 λ ∈IRλ

に よ る,

の か け 算 作 用 素 を λ と す る(こ れ は 自 己 共 役 作 用 素 に な る*9).こ

の ス ペ ク トル は 単 純 で あ る.

証 明   証 明 を 通 して,単

にIRλ=IRと

記 す.自

己 共 役 作 用 素 λ の ス ペ ク トル

測度 は

(1.7) で 与 え ら れ る(右 辺 は,Jの に 対 し て,IR上

定 義 関 数xJに

よ る か け 算 作 用 素)*10.任

の 関 数 ψ0を ψ0(λ):=e-a2λ2,

λ ∈IRに

の 連 続 関 数 で 有 界 な 台 を も つ も の の 全 体C0(IR)はL2(IR, 所 有 界 な ボ レ ル 測 度 は 正 則 で あ る こ と を 使 う).任 fψ-10∈C0(IR)で の 階 段 関 数(リ れ と,ψ0の

味 で 近 似 で き る こ と が わ か る.ゆ

例1.2 

よ っ て 定 義 す る.IR上 dμ)で 稠 密 で あ る(局

意 のf∈C0(IR)に

あ る か ら,fψ-10は  ー マ ン近 似 和)に

っ て,λ

L2(IRx)上

対 し て, と い う形

よ っ てL2(IR,

有 界 性 を 使 え ば,fは 

稠 密 で あ る.よ

意 のa>0

dμ)収 束 の 意 味 で 近 似 で き る.こ に よ っ てL2(IR, dμ)収

え に 

束の意

はL2(IR, dμ)で

の ス ペ ク トル は 単 純 で あ る. 

の 座 標 変 数x∈IRxに

■

よ る か け算 作 用 素x―

量 子 力 学 的 に は位 置

作 用 素― の ス ペ ク トル は 単 純 で あ る.

*8  こ の よ う な 測 度 をIR上 *9  [7]のp. *10 [2]の

136

の 局 所 有 界 な 測 度(locally

bounded

measure)と

いう

.

,例2.13.

p. 123,例3.6,[7]のp. ス ト ー ン の 公 式([8], p. 266)を

168,例2.18.μ 用 い れ ば,よ

が ル ベ ー グ 測 度dλ り容 易 に 証 明 で き る.

で な い 場 合 も 同 様.

例1.3 

L2(IRx)上

作 用 素;h=1の

の 運 動 量 作 用 素p:=-iDx(Dxはxに

関 す る 一 般 化 さ れ た微 分

単 位 系)を 考 え る.F1:L2(IRx)→L2(IRk)を1次

換 とす れ ば, 

が 成 り立 つ.し

元 の フ ー リエ 変

た が っ て,前 例 と命 題1.5に

よ っ て,pの

ス ペ ク トル は単 純 で あ る.

  1.3.2    定 義1.3と 定 義1.7 

巡 回 ベ ク トル 関 連 す る 概 念 を 導 入 し て お く. (ⅰ)  H上

の 線 形 作 用 素Tに

対 して

(1.8) をTのC∞-定

義 域 と い う*11.

  零 で な い ベ ク トル Ψ0∈C∞(T)に 稠 密 な と き,Ψ0をTの

つ い て, 

巡 回 ベ ク トル(cyclic

がHで vector)と

い う.こ

の 場 合,Tは

巡 回 ベ ク トル を も つ と い う*12.   (ⅱ)  T:={Tα}α

∈Λ(Λ は 添 え 字 集 合)をH上

で な い ベ ク ト ル  な と き,Φ0をTに Φ0を

の 線 形 作 用 素 の 集 合 と す る.零

が あ っ て, 

がHで

対 す る 巡 回 ベ ク トル と い う.こ

の 場 合,Tは

稠密

巡 回 ベ ク トル

も つ と い う.

  い ま 定 義 し た 概 念 を 用 い る と,自 こ と は,ス

己 共 役 作 用 素Aの

ス ペ ク トル が 単 純 で あ る

ペ ク トル 測 度 か ら つ く ら れ る 作 用 素 の 集 合 

ベ ク トル を もつ こ とで あ る と言 い 換 え ら れ る.ま る 生 成 元 で あ る こ と と 

た,あ

が巡 回 る ベ ク トル がAに

関す

に 対 す る 巡 回 ベ ク トル で あ る こ と は 同

じ こ と に な る.

  1.3.3  単 純 ス ペ ク トル を も つ 自 己 共 役 作 用 素 の対 角化   ヒル ベ ル ト空 間H上 意 を 調 べ よ う.AをH上 *11  こ れ は

の 自 己 共 役 作 用 素 の スペ ク トル が 単 純 で あ る こ と の 含 の 自 己 共 役 作 用 素 とす る.任 意 の Ψ ∈Hに

,Tを 何 回 で も 作 用 で き る ベ ク トル の 集 合 で あ り,部 密 と は 限 ら な い(Tに 依 存 す る). *12 Tの 巡 回 ベ ク トル は 一 つ と は 限 ら な い .

分 空 間 で あ る.た

対 して, だ し,稠

μAΨ:B1→[0,∞)を

(1.9) に よ って 定 義 す れ ば,こ れ は可 測 空 間(IR, B1)上 の有 界 測 度 で あ る*13.   自己 共 役 作 用 素Aの

ス ペ ク トル が 単 純 で あ る場 合 には,次 の 定 理 の 意 味 でA

は 対 角 化 され る: 定 理1.8 

AをH上

る.Ψ0をAに

の 自己 共 役 作 用 素 と し,Aの

スペ ク トル は単 純 で あ る とす

関 す る 生 成 元 とす る.こ の と き,次 の性 質 を もつ ユ ニ タ リ作 用

素 

が 存 在 す る:

  (ⅰ) UΨ0=1.   (ⅱ) 作 用 素 の等 式

(1.10) が 成 り立 つ.た

だ し,右

辺 はL2(IR, dμAΨ0)に

お い て 座 標 変 数 λ ∈IRに

よ るか

け 算 作 用 素 を 表 す.

  (ⅲ) 任 意 の Ψ ∈Hに

対 して,ボ

レル 可 測 関 数 

がただ 一

つあ って

(1.11) と 表 さ れ る.   (ⅳ) 任 意 の ボ レ ル 集 合J∈B1に

対 して

(1.12) 証 明   証 明 を 通 し て,μ:=μAΨ0と 素 解 析 に よ り,Ψ0∈D(f(A))で し た が っ て,写 Vは はHの

お く.任

意 のf∈L2(IR, dμ)に

あ り, 

像V:L2(IR,

dμ)→HをVf:=f(A)Ψ0に

*13 [7]のp.

194∼p.

195を

意 のJ∈J1に

参照

.

用

が 成 り立 つ.

線 形 な 等 長 作 用 素 で あ る.  部 分 空 間 で あ る.任

対 し て,作

よ っ て 定 義 す れ ば, と お け ば,M

対 し て,xJ∈L2(IR,

dμ)で あ る か ら,

 こ れ とAの で 稠 密 で あ る.部 H(n→∞)と

分 空 間Mが

し よ う.こ

在 す る.Vの

ス ペ ク ト ル の 単 純 性 に よ り,MはH

閉 で あ る こ と を 示 す た め に,Ψn∈M,

の と き,Ψn=fn(A)Ψ0と

基 本 列 で あ る.ゆ

と な るf∈L2(IR,dμ)が を 意 味 す る.し 上 か ら,M=Hが

で あ る.U:=V-1と

dμ)が 存

存 在 す る.こ

結 論 さ れ る.よ す れ ば,こ

閉であ ユニ タリ

れ が 求 め る も の で あ る こ と を 次 に 証 明 する.

対 して, 

し た が っ て,作 あ り,Vλf=Af(A)Ψ0=AVfが

れ は λ ⊂V-1AVを

作 用 素 の 等 式 λ=V-1AVが

  (ⅳ)  (1.12)の

え にMは

っ て,V:L2(IR, dμ)→Hは

用 素 解 析 に よ り,Vf=f(A)Ψ0∈D(A)で

  (ⅲ) 任 意 の Ψ ∈Hに

れ は 

あ る か ら,UΨ0=1.

  (ⅱ) 任 意 のf∈D(λ)に

成 り立 つ.こ

え に, 

た が っ て,Ψ=f(A)Ψ0∈M.ゆ

  (ⅰ) 明 ら か に,V1=Ψ0で

意 味 す る.両 得 ら れ る.こ

対 して,fΨ=UΨ

右 辺 の 集 合 をMJと

辺 と も に 自 己 共 役 で あ る か ら,

れ は(1.10)と

同 値 で あ る.

と す れ ば よ い.

す れ ば,任 意 のf∈MJに

で あ る か ら, 

対 し てL,xJf=f

し た が っ て,f(A)Ψ0∈R(EA(J)).

ゆ え に,VMJ⊂R(EA(J)).逆

に,任

と書 け る(Φ

∈H).Φ=g(A)Ψ0(g∈L2(IR,

xJg∈MJで

あ る か ら,Ψ

(1.12)が

な るfn∈L2(IR,

意 の Ψ ∈R(EA(J))は,Ψ=EA(J)Φ dμ))と

∈VMJ.よ

す れ ば Ψ=V(ｘJg).

っ て,VMJ=R(EA(J)),す

な わ ち,

成 り立 つ. 

  1.3.4 

Ψ ∈

等 長 性 に よ り, 

し た が っ て,{fn}nはL2(IR,dμ)の

る.以

Ψn→

物 理 的 含 意―

  定 理1.8と

定 理1.6に

■

測 定 に よ る状 態 の 一 意 的 指 定 よ っ て,ス

て 表 さ れ る 物 理 量 に つ い て は,Aの

ペ ク トル が 単 純 な 自 己 共 役 作 用 素Aに

測 定 に よ る 状 態 の 一 意的 指 定 に 関 す る 問 題

に 対 して,次

に 述 べ る 意 味 で 肯 定 的 な 答 が 得 ら れ る.Ψ0をAに

と し よ う.ヒ

ル ベ ル ト空 間 

台suppμAΨ0は

σ(A)に

含 ま れ る)は,Aの

ス ペ ク トル の 測 定 と い う 描 像 と 結 び

こ で,測

空 間(spectral

れ と対 応 し て,任

呼 ぶ.こ

関す る生 成 元 (∵ 測 度 μAΨ0の

つ い た 状 態 空間 と 解 釈 さ れ る.そ space)と

よっ

度 空 間(IRλ, μAΨ0)をAの 意 の 状 態 Ψ ∈Hに

ス ペ ク トル 対 して 一

意 的 に定 ま る,ス ペ ク トル 空 間 上 の状 態 関 数fΨ は,状 態 Ψ にお い て 物 理 量A を測 定 した と き に得 られ る情 報 の(ス ペ ク トル空 間上 で の)担 い 手 で あ る と解 釈 され る.い ま の場 合,Aは 理2.27-(ⅰ)(p.127)に

か け算 作 用 素 λに ユ ニ タ リ同 値 で あ るの で,[7]の 定

よっ て

(1.13) が 成 り立 つ こ と に も 注 意 し よ う.

さて,物 理 量Aの

測 定 に よ っ て,Aの

測定値が区 間

(1.14) (ε>0は

十 分 小)の

中 に あ る こ と が 知 ら れ た と し よ う.た

す る.し

た が っ て,(1.13)に

だ し,λ0∈

σ(A)と

よ っ て,

(1.15) 観 測 の 公 理 に よ り,測 定 に よ っ て 指 定 さ れ た 状 態 はR(EA(〓 い ま,そ

の よ う な 元 の 任 意 の 一 つ を Φε ≠0と

トル 空 間 上 の 状 態 関 数 は 定 理1.8-(ⅲ)に る.さ

ら に,定

理1.8-(ⅳ)に

こ れ か ら,ε ↓0と

す る こ と は,ス

方,ε

よ っ てfΦ ε∈L2(IR,dμAΨ0)で

ペ ク

与 え られ

ペ ク トル 空 間 上 の 状 態 関 数 の 台 が ど ん ど ん 狭

態fΦ ε の 決 定 の 精 度 が あ が る こ と に 対 応 す る と

↓0と い う過 程 は,測

測 定 の 精 度 を あ げ る こ と に 対 応 す る.こ 一 意 的 に 指 定 す る と解 釈 さ れ る   特 殊 な 場 合 と し て,も

れ に 対 応 す る,ス

よ って

く な る と い う 意 味 に お い て,状 解 釈 さ れ る.他

し よ う.こ

ε))の 元 で 表 さ れ る.

定 の 観 点 か ら は,Aの

の 意 味 に お い て,Aの

ス ペ ク トル の 測 定 は,状

態 を

.

し,λ0がAの

固 有 値 で λ0の 十 分 小 さ い 近 傍 に は,λ0

以 外 にAの

ス ペ ク トル が な い と す れ ば― こ の よ う な 固 有 値 を 孤 立 固 有 値 と い

う*14―,十

分 小 さ な ε に対 し て,Φ ε は λ0の 固 有 ベ ク トル に な る.実

*14 一 般 に

際,い

,ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の 線 形 作 用 素Tの 固 有 値 λ に つ い て,あ る δ>0が あっ て,σ(T)∩(λ-δ,λ+δ)={λ}が 成 り立 つ と き,λ はTの 孤 立 固 有 値(isolated

eigenvalue)で

あ る と い う.

ま の 条 件 の も と で は,十

分 小 さ な任 意 の ε>0に

対 し て,EA(〓

と な る か ら, 

で あ り,最

に 属 す る 固 有 ベ ク トル で あ る([7]のp.171,命

題2.54-(ⅱ)).他

よ っ て,λ0の の 場 合,量

固 有 ベ ク トル は 定 数 倍 を 除 いて一意

子 力 学 的 状 態 が 一 意 的 に 定 ま る.こ

ペ ク トル 空 間 上 で の 状 態 関 数fΦ

ε)=EA({λ0})

右 辺 はAの

的 で あ る.し

固 有 値 λ0

方,命

題1.4に

た が っ て,い

ま

の 固 有 ベ ク トル に 対 応 す る,ス

ε(λ)は

(1.16) に よっ て 定 義 さ れ る 関 数 η0の 零 で な い定 数倍 で 与 え られ る*15.   Aの ス ペ ク トル σ(A)の 点 λ0がAの

孤 立 固 有 値 とは 限 らな い 場 合 に も,上

述 の解 釈 を支 持 す る,も っ と精 密 な議 論 を展 開す る こ とが 可 能 で あ る(演 習 問題 2を 参 照).   こ う して,量 子 力 学 にお い て は,単 純 スペ ク トル を もつ 自己 共 役 作 用 素 に よっ て表 され る 物 理 量 が よ り基 本 的 な 対 象 で あ る こ とが知 られ る.そ

こで,そ

のよ

う な物 理 量 に 名 前 を つ け て お く: 定 義1.9 

量 子 力 学 の コ ン テ ク ス ト に お い て,ス

ペ ク トル が 単 純 で あ る 自 己 共

役 作 用 素 に よ っ て 表 さ れ る 物 理 量 を 極 大 観 測 量(maximal

observable)ま

たは

極 大 物 理 量 と 呼 ぶ.

  以 下,量

子 力 学 の コ ン テ ク ス トで な い 場 合 で も,語

の 使 い 方 を拡 張 し て,極

大 観 測 量 ま た は 極 大 物 理 量 と い う 言 葉 を 使 う こ と に す る. 例1.4 

例1.2に

よ っ て,L2(IRx)上

の 位 置 作 用 素xは

例1.5 

例1.3に

よ っ て,L2(IRx)上

の 運 動 量 作 用 素pは

  あ る 対 比 的 な 意 味 に お い て.極

極 大 観 測 量 で あ る. 極 大 観 測 量 で あ る.

大 観 測 量 に な ら な い 基 本 的 な物 理 量 の 一 般 的

ク ラ ス の 一 つ を あ げ て お こ う: *15 関 数 η 0は,も ち ろ ん,ル ベ ー グ 測 度 に 関 し て はa.e. L2(IR)の 元 と して は0で あ る.だ が,μAΨ0({λ0})≠0で に 関 し て はa.e.零 な い.

に は な ら な い.し

0で

あ る.し た が っ て,η0は あ る か ら,η0は,測 度 μAΨ0

た が っ て,L2(IR,dμAΨ0)の

元 と して は η0は0で

命 題1.10 

H, Kを

可 分 な ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,dim

の 共 役 子 と し,H上

K〓2と

す る.CをH上

の 自 己 共 役 作 用 素AはEA(J)C=CEA(J),∀J∈J1…(*)

を 満 た す も の と す る*16.こ

の と き,A 

証 明  同 型 定 理([7,p.80,定

Iは 極 大 観 測 量 で は な い.

理1.41])に

よ り,K=CN(N<∞)ま

はK=l2と

し て 一 般 性 を 失 わ な い.K=CNの

る(K=l2の

場 合 に つ い て も 同 様).こ

た

場 合 につ い て の み 証 明 す

の 場 合, 

で あ る.

同 型 対 応 は 

であ る

((ej)Nj=1はCNの

標 準 基 底*17).こ

義 さ れ た 閉 作 用 素Tに

対 し て,T 

の 同 型 の も と で,H上 Iは 

素 の 直 和 に つ い て は,[8]の4章,4.3.2項 ま,仮

に,A 

Iに

 と す る.こ 空 間 は  NHで

ユ ニ タ リ 同 値 で あ る(作

を 参 照),以

下, 

関 す る 生 成 元 が あ っ た と して,こ

れ を

の と き,(EA(J)Ψ(j)0)Nj=1,J∈J1に 稠 密 で あ る.し

た が っ て,す

Ψ(j)0≠0.そ

こ で,べクト

る(N〓2で

あ る こ と が こ こ に き く):

  N〓3の

NTと

の 任 意 の 稠 密 に定

考 え る.い

よ っ て 生 成 され る 部 分

べ て のj=1,…,Nに

ル 

場 合 に は,Φ(j)0=0,j〓3と

NHで

用

対 し て,

を次 の よ う に定 義 す

す る.共

役 子 の 性 質 と(*)を

使 う

一 方,明

らか

と  で あ る の で,  に,Φ0≠0.ゆ に な り,こ

え に, 

は  NHで

れ は 矛 盾 で あ る.よ

  こ の 命 題 は,そ ル 積 拡 大A 

っ て,A 

Iに 関 す る 生 成 元 は 存 在 し な い.  ■

の ス ペ ク トル 測 度 が 共 役 子 と 可 換 な 物 理 量Aの

I(た

だ し,dim

得 な い こ と を 示 す.こ

K〓2と

稠 密 で ない こ と

す る)は,単

独 で は,極

自然 な テ ン ソ 大 観 測 量 にな り

れ は 多 体 系 の 物 理 量 を考 察 す る と き に 基 礎 と な る重 要 な

事 実 の ひ と つ で あ る. 例1.6 

1次 元 空 間IRの

は,CCR(正

*16 共 役 子 に つ い て は *17  e j:=(0,…,0,

中 に存 在 す る,ス

ピ ン1/2の

粒 子 の 状 態 の ヒ ルベ ル ト空 間

準 交 換 関 係)の シ ュ レー デ ィン ガ ー 表 現 に お い て はL2(IRx)  ,[8]の4章,4.4.1項

j 番目 1,0,…,0)∈CN.

を 参 照.

L2(IRx)=

L2(IRx;C2)に

とれ る.X=x 

xと お く.こ の 作 用 素 は 自己 共 役 で あ り,物 理 的 に

は,こ の 系 に お け る粒 子 の 位 置 作 用 素 を表 す*18.CをL2(IRx)上  

の 複 素 共 役 子 とす る:

で あ る か ら,CEx(J)=Ex(J)C.

し た が っ て,命

題1.10を

1.1節 の 冒 頭 で,単

応 用 す れ ば,Xは

極 大 観 測 量 で は な い こ とが 結 論 さ れ る.

独 の 物 理 量 だ け の 測 定 で は,状 態 を 一 意 的 に 定 め る こ とが で き な

い こ と を示 す 例 と して ス ピ ン系 に つ い て ふ れ た.い

まの 例 は その 数 学 的 構 造 を 明 ら か

に す る も の で あ る. 例1.7 

d〓2と

す る.こ

の と き,L2(IRd)に

お け る,j番

目の 位 置 作 用 素xj(座

変 数xjに

よ る か け 算 作 用 素;j=1,…,d)お

変 数xjに

関 す る 一 般 化 さ れ た 偏 微 分 作 用 素)は 極 大 観 測 量 で は な い.

証 明   L2(IRd)はL2(IRxj)  こ の 場 合,xjはxj 

L2(IRd-1)と

同 一 視 で き る([8]の4章,4.1節

Iと 同 一 視 さ れ る.し

上 の 自 己 共 役 作 用 素xjは

た が っ て,命

題1.10に

が,こ

を 参 照).

よ っ て,L2(IRd)

極 大 観 測 量 で は な い.

  Fd:L2(IRdx)→L2(IRdk)をd次 元 の フ ー リ エ 変 換 と す れ ば,  た が っ て,も し,pjが 極 大 観 測 量 で あ れ ば,命 題1.5に よ り,kjも る.だ

標

よ び運 動 量 作 用 素pj:=-iDj(Djは

れ は 前 段 の 結 果 に矛 盾 す る.ゆ

え に,pjも

し 極大観 測 量 であ

極 大 観 測 量 で は な い. 

■

 1.3.5  極 大 観 測 量 の別 の 特 徴 づ け 定 理1.11 

ヒル ベ ル ト空 間H上

の 必 要 十 分 条 件 は,Aが

証 明   (必 要 性)Aが

の 自 己共 役 作 用 素Aが

巡 回ベ ク トル を もつ こ とで あ る.

極 大 観 測 量 で あ れ ば,定 理1.8に

と ユ ニ タ リ 変 換U:H→L2(IR,dμ)が 1.6の 証 明 で み た よ う に,関 成 元 で あ る.μ

がL2(IR,dμ)で

の有 界 測 度 μ

が 成 り 立 つ.定

数 ψ0(λ)=e-a2λ2(a>0は

定 数)は

理

λに関する生

⊂∞(λ)で あ る こ と が わ か る.し

た

お け ば, 

稠 密 で あ る こ と を示 そ う(こ の と き, 

Hで 稠 密 に な る の で,Φ0はAの n∈{0}∪INに

よ っ て,IR上

あ っ て,UAU-1=λ

は 有 界 測 度 で あ る か ら,ψ0∈

が っ て,Φ0:=U-1ψ0と

極 大 観 測量 で あ るた め

巡 回 ベ ク トル で あ る).f∈D⊥

対 し て, 

と し て, 

*18  自 然 な 同 型L2(IRx;C2)〓L2(IRx) 

は と す れ ば,任 意 の

し た が っ て,t∈IRを と お け ば,∫IRgNV(λ)ψ0(λ)f(λ)dμ(λ)=0.

C2に

おい て

,Xはx 

Iに

対 応 す る.

任意

limN→

∞gN(λ)=eitλ,λ

(CtはN,λ

∈IRで

あ り

に 依 ら な い 定 数).μ

が 有 界 測 度 な の で￨f￨∈L1(IR,dμ)で

積 分 に 関 す る シ ュ ヴ ァ ル ツ の 不 等 式).し て 

た が っ て,ル ベ ー グ の 優 収 束 定 理 に よ っ

が 導 か れ る.Imz<0を

に と り,両

辺 にe-itzを

序 交 換 に 対 し て,フ

か け,tに

あ る(∵

つ い て,0か

満 た すz∈Cを

任意

ら ∝ ま で 積 分 す る と(積 分 の 順

ビ ニ の 定 理 を 応 用 す る) 

同 様 に,Imz>0に

対 し て は 

z=x±iε(x∈IR,ε>0)と

が 得 ら れ る.

し て,xに

つ い て,aか

らbま

で 積 分 し(a
ε ↓0と す れ ば

が 得 ら れ る([8]のp.266∼p.267を

参 照).b→aと

す れ ば,ル

束 定 理 に よ り 

よ っ て,す

対 し て  f=0で

な け れ ば な ら な い.ゆ

え にDはL2(IR,dμ)で

巡 回 ベ ク トル Φ0を もつ と し よ う.こ はHで

稠 密 で あ る.一

稠 密 で あ る. の と き, 

方, 

(ベ ク トル

に 関 す る ス テ ィ ル チ ェ ス 型 積 分 の 強 収 束;[7]のp.210∼p.211の し た が っ て, 

よ っ て,Aの

注 意 を 参 照).

こ れ は, 

稠 密 で あ る こ と を 意 味 す る.す

な わ ち,Φ0はAに

関 す る 生 成 元 で あ る.

ス ペ ク トル は 単 純 で あ る. 

■

例1.8 

L2(IRdx)に

お け る 自 由 ハ ミル トニ ア ンH0=-Δ/2m(m>0は

定 数,Δ

は 一 般 化 さ れ た ラ プ ラ シ ア ン)は 極 大 観 測 量 で は な い.

証 明 

質 量 を表 す

を フ ー リエ 変 換 と し, 

す れ ば,FdH0F-1d=hが 1.5に よ っ て,hも 一 つ を ψ0∈C∝(h)と で あ る.し

べ て のJ∈J1に

は λ に 関 す る 生 成 元 で あ っ た か ら,

  (十 分 性)Aは

がHで

ベー グの優収

成り 立 つ.仮 極 大 観 測 量 で あ る.し す る

.こ

に,H0が

と

極 大 観 測 量 で あ る と す れ ば,命 題

た が っ て,hは

巡 回 ベ ク トル を もつ.そ

の と き, 

た が っ て,ψ0(k)≠0,a.e.k.ま

はL2(IRdk)で た,任

意 のN∈INに

対 し て,ベ

の

稠密 ク トル

ψ0,hψ0,…,hNψ0は の1.1.5項)に

線 形 独 立 で あ る.し

た が っ て,グ

よ り, 

ラ ム-シ

とな る もの が 存 在 す る.し た が って,特 に,各 φnは￨k￨の で あ る か ら,  NlでNl→

(S⊂IRdは,ル

関 数 で あ る. 

と展 開 で きる(cn∈C).し

∞(l→

ュ ミ ッ ト の 直 交 化([7]

で

た が っ て,部

分列

∞)か つ

ベ ー グ測 度 に 関 す る,あ る零 集 合)を 満 た す もの が と れ る.  とお く と,こ れ は 空 集 合 で は な い.上 の こ とか ら,任 意 のk∈

に 対 して,  で あ る が,左

右 辺 は,変 辺 は 符 号 が 変 わ る.し

た が っ て,こ

数 変 換k→-kに

れ は矛 盾 で あ る.ゆ

Ω

対 して 不 変 え にH0は

極大

観 測 量 で は な い. 

■

1.4  複 数 の物 理 量 の測 定 に よる状 態 の一 意 的 決 定(Ⅰ)― 純 点 スペ ク トル 的 な物 理 量 の 組 の場 合

  次 に,2個

以 上 の 物 理 量A1,…,AN(N〓2)―

ヒルベ ル ト空 間Hで

働 くも

の とす る― の 共 立 的測 定 可 能性 と共 立 的 測 定 に よ る状 態 の 一 意 的 決 定性 の 問 題 を考 察 す る.た だ し,こ の 節 で は,簡 単 な場 合 だ け を取 り扱 う.す な わ ち,各 Ajが

純 点 ス ペ ク トル 的 で あ る場 合 で あ る.Ajの

点 スペ ク トル は次 の形 で 与 え

られ る とす る:

(1.17) こ こで,添 え字ljは 有 限集 合 ま た は可 算 無 限 集 合 を走 る.ま た,n≠mな

らば

λ(j)n≠λ(j)mとす る.解 析 に進 む前 に,複 数 の 自 己共 役 作 用 素 の 固 有 ベ ク トル に 関 す る 基 本 的 な 概 念 を定 義 して お く. 定 義1.12   

T1,…,TN(N〓2)をH上

(ⅰ) ベ ク トル Ψ ∈HがT1,…,TNの

あ り,各jに

対 し て,Tjの

の 自己 共 役 作 用 素 とす る 同 時 固 有 ベ ク トル で あ る と は,Ψ ≠0で

固 有 値 λj∈ σp(Tj)が

あ っ てTjΨ=λjΨ,j=1,…,N

が 成 り立 つ と き をい う*19.こ の 場 合,固

有 値 の 組(λ1,…,λN)をT1,…,TN

の 同 時 固 有 値 とい う.   あ る同 時 固有 値 を与 え る 同 時 固 有 ベ ク トル が定 数倍 を除 い て た だ一 つ しか存 在 しな い と き,そ の 同 時 固 有 値 は単 純 で あ る とい う.   同 一 の 同 時 固 有 値 を与 え る 同時 固有 ベ ク トルで 線 形 独 立 な もの が2個

以上 あ

る と き,そ の 同 時 固有 値 は 縮 退 して い る とい う.   (ⅱ) T1,…,TNの 同 時 固 有 ベ ク トル の集 合 がHのCONS(完 全 正 規 直交 系) を なす と き,T1,…,TNは 同時 固有 ベ ク トル の 完 全 系 を も つ とい う.   物 理 量T1,…,TNが

同時 固有 ベ ク トル の 完 全 系 を もつ と し よ う.T1,…,TN

を測 定 す れ ば,同 時 固 有 値 の 一 つ λ=(λ1,…,λN)が

得 られ る(公 理).こ れ

に よ っ て状 態 が 一 意 的 に定 ま るた め に は,λ は単 純 で な け れ ば な らな い.逆 に, T1,…,TNの

任 意 の同 時 固 有値 が 単 純 で あ れ ば,こ れ らの 測 定 は 明 らか に状 態

を一 意 的 に定 め る.し たが っ て,同 時 固 有 ベ ク トル の完 全 系 をも つ物 理 量 の 組 の 測 定 が状 態 を一 意 的 に決 定 す る た め の必 要 十 分 条 件 は,そ の す べ ての 同 時 固 有 値 が 単 純 で あ る こ とが 結 論 され る.こ の 条 件 を満 た す物 理 量 の 組(T1,…,TN） ― す な わ ち ,そ の 同 時 固 有 ベ ク トル の 全 体 は完 全 系 を な し,か つ そ のす べ て の 同 時 固 有 値 が 単 純 で あ る よ うな物 理 量 の 組― は純 点 スペ ク トル 的 に極 大 で あ る (maximal)と

い う.こ

う して,純 点 スペ ク トル 的 な物 理 量 の 組 につ い て は,そ

の 測 定 に よ っ て状 態 が 一 意 的 に定 ま る よ うな ク ラス が 決 定 され る.そ

こ で,以

下 で は,物 理 量 の 組 が純 点 ス ペ ク トル 的 に極 大 で あ るた め の 条 件 を検 討 す る.

  1.4.1  同 時 固 有 ベ ク トル が完 全 系 をな す ため の 条 件  次 の定 理 を証 明 す る: 定 理1.13 

(1.17)を 仮 定 す る.こ の と き,A1,…,ANが

完 全 系 を もつ た め の 必 要 十 分 条件 はA1,…,ANが

同 時 固 有 ベ ク トルの

強 可 換 で あ る こ とで あ る.

  この定 理 を証 明 す る ため に,あ る基本 的 な一般 的 事 実 を補 題 と して述 べ てお く: *19 い う ま で も な く な よ う に,Tjの

,こ の"同 時"は,時 間 的 に 同 時 と い う意 味 で は な い.定 う ち一 つ で も 固 有 値 を も た な い も の が あ れ ば,T1,…,TNの

ベ ク トル は 存 在 し な い .

義 か ら明 らか 同 時固 有

補 題1.14 

TをH上

の 自 己 共 役 作 用 素 と し,MをHの

の 正 射 影 作 用 素 をPと

す る*20.も

不 変 に す る な ら ば(i.e.,Ψ

し,す

∈Mな

閉 部 分 空 間 と し,Mへ

べ て のt∈IRに

ら ばeitTΨ

対 し て,eitTがMを

∈M),

(1.18) が 成 り立 つ.特

に,TはMに

よ っ て 簡 約 さ れ る.

証 明   仮 定 に よ り,  Pe-itT.左 (1.18)が

辺 は(*)に

よ っ て,e-itTPに

す る.(1.18)に

有 界 性 に よ り,左

t=0で

等 しい.t∈IRは

任 意 で あ る か ら,

得 ら れ る.

  次 に Ψ ∈D(T)と Pの

こ の 式 で 共 役 を と る と,Pe-itTP=

よ り, 

辺 はt=0で

強 微 分 可 能 で あ る.し

強 微 分 可 能 で あ る か ら,[8]の

PTΨ=TPΨ

が 成 り立 つ.す

と

定 理3.37に

た が っ て,右

よ っ て,PΨ

な わ ち,PT⊂TP.よ

辺 も

∈D(T)か

っ て,TはMに

つ

よって

簡 約 さ れ る. 

定理1.13の

■

証 明   (必 要性)Ajの

固有 値 を重 複 を込 め て数 えた もの を μ(j)qjと する

(集 合 と して は, 

の同

時固有ベクトルからなるCONSと する:すなわち,  で あ り,{Ψq1,…,qN}q1,…,qNはHのCONSを

任意のt∈IRとj=1,…,Nに したが っ て,任

な す と す る.作

用 素 解 析 に よ り,

対して, 

意 のs∈IRとk=1,…,Nに

対 して, 

こ れ か ら,  が 導 か れ る.任

意 のΨ

∈Hは{Ψq1,…,qN}q1,…,qNで

は 有 界 で あ る か ら,   

展 開 で き,eisAk,eitAj が 得 ら れ る.し

ゆ え に,[8]の

定 理3.13に

た が っ て.

よ っ て,AjとAkた

は強

可 換 で あ る.   (十 分 性)A1,…,ANは

強 可 換 で あ る と す る. 

と お く と(l1,…,lN)≠(l'1,…,l'N)な

ら ばHl1,…

,lNとHl'1,…,l'Nは直

交

*20 [7]に お い て射 影演 算 子(直 交射 影)と 呼 んだ作 用 素 を ,本 書 で は,正 射 影作 用 素 と呼 ぶ.

す る.仮

定(1.17)に

Hl1,…,lNが

成

よ り, 

で あ る の で,H= 

り 立 つ.Ak,Aj(j≠k,j,k=1,…,N)の

強 可 換 性 に よ り,任

意 のs,t∈IRに

対 し て, 

し た が っ て,任

ker(Ak-λ(k)lk)に

対 し て, 

そ こ で,s=0で

分 を 考 察 す れ ばeitAjΦ

がker(Ak-λ(k)lk)を

∈D(Ak)か

で あ り,Hl1

(Ml1,…,lN〓

え に,補

た が っ て,  同 時 固 有 ベ ク トル で あ る:

同 時 固 有 ベ ク ト ル の 完 全 系 を も つ. 

■

一 つ の物 理 量 で表 す こ と

も と で,A1,A2,…,ANは

強 可 換 で あ る とす る.こ

の と き,定

同 時 固 有 ベ ク トル か ら な る 完 全 正 規 直 交 系 が

ま,こ れ を{Ψm}∝m=1で

に 関 す る 固 有 ベ ク トル 方 程 式(固

表 し(dim

H=+∞

の 場 合 を 考 え る),Aj

有 値 方 程 式)を 

と 書 く(し

合 と して, .

  有 界 な 実 数 列 κ:={κm}∝m=1でm≠nな

ら ばκm≠κnを

の を 任 意 に と り,C:=supm〓>1￨κm￨<∝  

と お く*21.任

満 たす も

意 の Ψ ∈Hは

と 展 開 で き る  で あ る か ら,写

に よ っ て 定 義 で き る.こ が 成 り立 つ.さ

よ っ て,

はHのCONS

よ っ て,A1,…,ANの

た が っ て,集

の強 微

題1.14に

す れ ば, 

A1,…,ANを

存 在 す る.い

∈

え に,Hl1,…,lNのCONSをΨ(m)l1,…,lN,m=1,…,Ml1,…,lN

っ て,A1,…,ANは

  仮 定(1.17)の 理1.13に

よ っ て 簡 約 さ れ る.し

∞)と

に な る.よ

意 の Φ

こ れ は,eitAj

,…,lNの 任 意 の 元 Ψ ≠0はA1,…,ANの

AjΨ=λ(j)lj)Ψ.ゆ

  1.4.2 

つ 

不 変 に す る こ と を 意 味 す る.ゆ

Ajはker(Ak-λ(k)lk)に

l1,…,lN

の と き,Aは

像A:H→Hを

有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 で あ り,‖A‖〓C

らに

(1.19) *21  た とえば,κ

m:=1/ma(a>0).

Aの

各 固 有 値κmは

単 純 で あ る.し

  各j=1,…,Nに

対 し て,IR上

に よっ て定 義 す る*22.Fjは

た が っ て,Aは

極 大 観 測 量 で あ る(例1.1).

の 関 数Fj:IR→IRを

連 続 関 数列 の各 点 極 限 と して 書 け る ので,ボ レル 可

測 で あ る.次 の定 理 を証 明 す る: 定 理1.15 

仮 定(1.17)の

も と で,A1,A2,…,ANは

強 可 換 で あ る とす る.こ

の と き,Aj=Fj(A),j=1,…,N.

証明  作用素解析 によ り,  とす れ ば,こ れ はHで

稠密 な部 分 空 間 で あ り,各AjはD上

で 本 質的 に 自己共 役 で あ る([7]の 命 題2.79の 証 明 と同様).(*)はAj￨D⊂Fj(A) を意 味 す るか ら,両 辺 の 閉 包 を と る こ とに よ り,Aj⊂Fj(A)が 辺 とも に 自己 共 役 で あ る か ら,Aj=Fj(A)で   定 理1.15は,量

した が う.両

な け れ ば な らな い. 

■

子 力 学 の コ ンテ ク ス トで は,次 の こ と を意 味 す る:強 可 換 な

純 点 ス ペ ク トル 的 物 理 量 の組 の各 要 素 は,あ る一 つ の 極 大 観 測 量(こ れ も純 点 ス ペ ク トル的)の 関 数 と して表 され る.   次 の 事 実 は,Aの 系1.16 

定 理1.15の

定 義 と定 理1.15か

らた だ ち に導 か れ る:

仮 定 の も と で,物

理 量 の 組(A1,…

,AN,A)は

純点スペ

ク トル 的 に 極 大 で あ る.

  こ う して,純

点 ス ペ ク トル 的 か つ 強 可 換 な物 理 量 の 組 に対 して は,こ れ に あ

る純 点 ス ペ ク トル 的 物 理 量 を付 け 加 え る こ と に よ り,常 に,純 点 スペ ク トル 的 に極 大 な 物 理 量 の 組 をつ くる こ とが で きる こ とが わ か る. 注 意1.2 

作 用 素Aの

構 成 か ら わ か る よ う に,Aj=Fj(A)(j=1,…,N)と

な る よ う な 有 界 自 己 共 役 作 用 素Aと

*22 以 下 の 議 論 か ら わ か る の だ が

,実

は,κ

関 数Fjは

≠κmに

無 数 に 存 在 す る.

お け るFjの

値 は ど う定 め て も よ い.

1.5  複 数 の物 理 量 の 測 定 に よ る状 態の 一 意 的決 定(Ⅱ)―

一 般 の場 合

  こ の節 で は,必 ず し も純 点 ス ペ ク トル 的 で な い 物 理 量 の 組 の 測 定 に よ る状 態 の 一 意 的 決 定 性 の 問 題 を考 え る.こ の 一 般 の場 合 は,当 然,前

節 の特 殊 な場 合

を含 まな けれ ば な ら な いか ら,対 象 と な る物 理 量 の 組 は強 可換 で な け れ ば な ら な い.こ の 点 は以 下 の議 論 にお い て 大 前 提 とな る も ので あ る.

  1.5.1 

可 換 な観 測 量 の 極 大 な組

  A1,…,ANを

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

の 強 可 換 な 物 理 量 の組 と し

(1.20) と お く.た

と え ば,A1が

る と,A1がaを

連 続 ス ペ ク トル を も ち,a∈

と る 状 態 はHの

σ(A1), a〓

σp(A1)と

中 に は 存 在 し な い の で(∵EA1({a})=0),前

節 の 場 合 と は 異 な り,A1,…,ANの

ス ペ ク トル の 点 の 組 を 用 い て 状 態 を 指 定 す

る こ と は で き な い.し

た が っ て,現

さ れ ね ば な ら な い.そ

の た め の 自 然 な ア イ デ ア の 一つ は,単

下 の 問 題 を解 く た め に は,別

の方 法 が探 索

独 の 物 理 量 の場 合

の 極 大 性 の 概 念 を 複 数 の 物 理 量 の 場 合 へ と拡 張 す る こ と で あ る.こ う に し て な さ れ る.仮 ペ ク トル 測 度EA トル 測 度EAが

定 に よ り,A1,…,ANは

1(・),…,EAN(・)は 定 義 さ れ る([7]の

ク トル 測 度 で あ り,す

す

強 可 換 で あ る か ら,そ

可 換 で あ る.し 定 理2.67).す

べ て のB1,…,BN∈B1に

れ は次 の よ

た が っ て,そ

な わ ち,EAはIRN上

れ らの ス

の直 積 ス ペ ク のスペ

対 して

(1.21) を満 たす もの で あ る.作 用 素 解 析 に よ り,ス ペ ク トル 測 度EAを

用い ると

(1.22) と表 示 され る こ とが わか る.EAの

台

(1.23)

をAの ANの

結 合 ス ペ ク トル(joint

呼 ぶ*23.こ

れ は,物 理 的 に は,A1,…,

測 定 値 の 組 全 体 の 集 合 を 表 す と 解 釈 さ れ る.

注 意1.3 一 が,等

spectrum)と

般 に,suppEA⊂

σ(A1)×

号 は 成 立 す る と は 限 ら な い(次

例1.9 

P1,…,Pd(d∈IN)をH上

…

× σ(AN)で

あ る(演

習 問 題6).だ

の 例 を 参 照).

の 強 可 換 な 自己 共 役 作 用 素 の 組 とす る.m〓0

を定 数 と して,P0:=(P21+…+P2d+m2)1/2と で あ り, 

お く.こ の と き,P0は が 成 り立 つ.ま

自己共役

た,P:=(P0,P1,…Pd)

は 強 可 換 で あ る.   次 の 事 実 が 成 立 す る:

とお くと

(1.24) 証 明 任意 の Ψ ∈∩dj=1D(P2j)に 対 して,Ψ ∈D(P20)で

あ り,

 これ は 

を意 味 す る.

した が っ て, 

は稠 密 で あ るか ら,

 が 得 られ る.ゆ   V+mは,特

え に(1.24)が

殊 相 対 性 理 論 に お い て,質

素 の組Pは,相

成 り立 つ.  量mの

■

超 双 曲 面 と呼 ば れ る.自

対 論 的 場 の 量 子 論 の コ ン テ クス トにお い て は,質 量mの

の エ ネ ル ギ ー ・運 動 量 作 用 素 を 表 す.σ(Pj)=IR(通

己 共役作 用 量 子的粒 子

常 の 場 合)な ら ば,(1.24)は

を示 す.   定 義1.9の

多次 元 版 と して,次 の 定 義 は 自然 な もの で あ る:

定 義1.17  物 理 量 の 組Aに を もつ と き,Aは

とす る.強 可 換 な つ い て,作 用 素 の集 合{EA(B)￨B∈JN}が 極 大 で あ る とい う.こ の場 合,Aを

*23 ス ペ ク トル 測 度 の 台 の 定 義 に つ い て は[7]のp.192を

参照

巡 回 ベ ク トル Ψ0 可 換 な観 測 量 の極 大 な組 .

(maximal

set of commuting

う*24.Ψ0をAに

observables)ま

た は可 換 な物 理 量 の極 大 な組 とい

関 す る 生 成 元 と い う.

  こ の定 義 が 意 味 を もつ た め に は,そ れ が,純 点 ス ペ ク トル 的物 理 量 の 組 の極 大 性 の概 念 の 拡 張 に な って い る こ と を確 か め てお く必 要 が あ る.実 際,次

の事

実 が 成 立 す る: 命 題1.18 

Aを

強 可 換 な純 点 ス ペ ク トル 的 物 理 量 の 組 とす る.こ の と き,A

が 純 点 ス ペ ク トル 的 に極 大 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Aが(上

に 定 義 した

意 味 で)極 大 で あ る こ と で あ る. 証 明   (必 要 性)Aは

純 点 ス ペ ク トル 的 に 極 大 で あ る と し よ う.こ

の と き,Hの

CONS  で  と な る も の が あ る.正

の 数Cλ1,…,λNで 

を 満 た す もの

に 対 し て, 

は 収 束 す る.作

用 素解 析 に よ り

 . これ か ら,L({EA(B)Ψ0￨B∈ JN})がHで

稠 密 で あ る こ と が 導 か れ る.ゆ

巡 回 ベ ク トル で あ る の で,Aは   (十 分 性)Aは

え に,Ψ0は{EA(B)￨B∈JN}の

極 大 で あ る.

極 大 で あ る と し,Ψ0を{EA(B)￨B∈JN}の

す る.定

理1.13に

に,Aが

純 点 ス ペ ク トル 的 に 極 大 で な い とす れ ば,A1,…,ANの

(λ1,…,λN)で

よ り,A1,…,ANは

巡 回 ベ ク トル と

単 純 で な い も の が あ る.し

の 次 元 は2以

上 で あ る.一

元 で あ る.し

た が っ て,η

に な る.こ

同 時 固 有 ベ ク トル の 完 全 系 を も つ.仮

方,η:=EA({λ1}×

の 極 大 性 に 反 す る.ゆ

た が っ て,M:=∩Nj=1ker(Aj-λj) …

×{λN})Ψ0≠0はMの

と 直 交 す る 零 で な い ベ ク トルxがMの

の 場 合,xは{EA(B)Ψ0￨B∈JN}と え にAは

同時 固有値

中にある こと

直 交 す る こ と に な る の で,A

純 点 ス ペ ク トル 的 に 極 大 で な け れ ば な ら な い.

■

*24 前 者 の 呼 び方 のほ うが 標 準 的 と思 われ るの で本 書 で も以 下

,こ の 慣 習 に したが う.

   

  1.5.2 

同

時 対

角 化

  可 換 な観 測 量 の 極 大 な組 に対 して,定 理1.8の

拡 張 とみ られ る定 理 が 成 立 す

る こ とを示 そ う.   Aを 可 換 な観 測 量 の極 大 な 組 と し,Aに 関 す る生 成 元 の 一 つ を Ψ0と す る. B NをN次 元 の ボ レル集 合 体 とす る.こ の と き,可 測 空 間(IRN, BN)上 の 測 度 μAΨ0を

(1.25) に よ っ て定 義 で きる.こ れ は 有 界 な 測 度 で あ る. 定 理1.19 

Aを

U:H→L2(IRN,

上 の も の と す る.こ

の とき,次

の 性 質 を も つ ユ ニ タ リ作 用 素

dμAΨ0)が 存 在 す る:

(ⅰ) UΨ0=1.  (ⅱ) 作 用 素 の 等 式

(1.26) が 成 り立 つ.た

だ し,右 辺 はL2(IRN,

に よ る か け 算 作 用 素 を 表 す(IRNの   (ⅲ) 任 意 の Ψ ∈Hに 一つ あって

対 し て,ボ

dμAΨ0)に お い て 第j番 点 を(λ1,…,λN)と レ ル 可 測 関 数fΨ

目 の 座 標 変 数 λj∈IR 記 す).

∈L2(IRN, dμAΨ0)が

た だ

(1.27) と 表 さ れ る.

(ⅳ) 任 意 の ボ レ ル集 合B∈BNに

対 して

(1.28) 証 明   定 理1.8の

証 明 と ま っ た く並 行 的 で あ る の で 省 略 す る(演 習 問 題7).  ■

  単 独 の極 大 観 測 量 の場 合 と同様 の考 察 に よ り,定 理1.19は,物 理 量.A1,…,ANの 釈 さ れ る.こ

理 的 には,物

組 の 測 定 が 状 態 を一 意 的 に定 め る こ とを意 味 す る もの と解

う して,1.1節

で提 起 され た 問題 に対 す る一 つ の解 答 が得 られ る.

  1.5.3  基 本 的 な 構 造   可 換 な 観 測 量 の極 大 な組 を見 い だ す た め の基 本 と なる 構 造 につ い て述 べ て お こ う.   次 の命 題 は,可 換 な観 測 量 の極 大 性 はユ ニ タ リ不 変 な性 質 で あ る こ と を語 る: 命 題1.20 

Kを ヒ ルベ ル ト空 間 と し,U:H→Kを

ユ ニ タ リ変 換 とす る.A

が 可 換 な 観 測 量 の 極 大 な組 な らば,(UA1U-1,…,UANU-1)も

可換 な 観 測 量

の 極 大 な 組 で あ る. 証 明   命 題1.5の 定 理1.21 

証 明 と同 様. 

H1,…,HNを

■

ヒ ルベ ル ト空 間 と し,AjをHj上

の極大観測量 と し

(1.29)

と す る.こ

の と き,(A1,…,AN)は Nj=1Hjに

お け る 可換 な観 測 量 の 極 大 な組

で あ る.

証 明   前 著[8]の4.2節 可 換 で あ る.さ

を 満 た す.し

で み た よ う に,Ajは

ら に,こ

自 己 共 役 で あ り,A1,…,ANは

れ ら の 直 積 ス ペ ク トル 測 度EAは

た が っ て,Ajに

関 す る 生 成 元 を ηjと し,Ψ0:=η1 

お け ば,  …

で あ る.ゆ

×JN)Ψ0と

稠 密 で あ る か ら,DはHで

L2(IRN)に

稠 密 で あ る.こ え に,題

リ同 値 で あ る([8],4.2節).定

NL2(IR)([8],4.1節)に 理1.21に

の 事 実 と命 題1.20と

部分 含 む. 関 ■

極 大 で あ る. お い て,xjはxjと

よ っ て,(x1,…xN)は

に よ っ て,題

れ は,Ψ0がAに

意 が 成 立 す る. 

お け る位 置 作 用 素 の 組x1,…,xNは

証 明   自然 な 同 型L2(IRN)〓 

な 組 で あ る.こ

え に,EA(J1×

代 数 的 テ ン ソ ル 積D:= Nj=1Djを

す る 生 成 元 で あ る こ と を 意 味 す る.ゆ 例1.10 

… ηNと

い う 型 の ベ ク ト ル に よ っ て 生 成 さ れ る 部 分 空 間 は ,Hjの

空 間Dj:=L({EAj(J)ηj￨J∈J1})の 各DjはHjで

強

ユニタ

可 換 な観 測 量 の 極 大

意 が し た が う. 

■

例1.11 

L2(IRN)に

お け る運 動 量 作 用 素 の 組p1,…,pNは

証 明  (k1,…,kN)は 例1.12 

極 大 で あ る.

は フ ー リ エ 変 換).前 極 大 で あ る.こ

ス ピ ン1/2の

の事 実 と命 題1.20と

量 子 的 粒 子 がIR3に

お い て1個

の ヒ ル ベ ル ト空 間 はL2(IR3;C2)=L2(IR3) 

C2に

  をとる.s3の 重 度 は1で

あ る.し

た が っ て,s3はC2に

の 事 実 お よ び定 理1.21に

に よ っ て,題

例 に よ り,

意 が した が う. ■

存 在 す る 系 を 考 え る.状

と れ る.ス

固 有 値±1/2で

あ り,各固 有値 の 多

お け る極 大 観 測 量 で あ る.こ

れ と例1.10

よ り,位 置 作 用 素 と ス ピ ン作 用 素 の 組(x1,x2,x3,s3)は

大 で あ る こ とが わ か る.s3を

態

ピ ン作 用 素 と して,

ス ピ ンの 他 の 成 分 で置 き換 え て も 同様 で あ る.ゆ

極 え に,

考 察 下 の 系 に お い て は,位 置 とス ピ ンの 成 分 の 一 つ を 測 定 す る こ と に よ り,状 態 は一 意 的 に定 ま る.

  1.5.4  可 換 な観 測 量 の 極 大 な組 の 別 の特 徴 づ け   単 独 の 観 測 量 の 極 大 性 の,巡 回ベ ク トル に よる特 徴 づ け(定 理1.11)は

可換 な

観 測 量 の極 大 な組 の 場 合 に も可 能 で あ る: 定 理1.22 

強 可 換 な 物 理 量 の組A=(A1,…,AN)が

極 大で あるための必要

十 分 条 件 は,作 用 素 の集 合 

が巡 回

ベ ク トル を もつ こ とで あ る. 証 明   (必 要性)定 理1.19が

成 立 す る の で,定 理1.11に

お け る 「必 要 性 」 の証

明 を多 次 元 の 場 合 に拡 張 す れ ば よい.こ れ は容 易 で あ るの で 演 習 問題 とす る(演 習 問題8).   (十分 性)定 理1.11に

  1.5.5 

お け る 「十 分性 」 の証 明 と同 様(演 習 問題8). 

■

可 換 な 観 測 量 の極 大 な組 を一 つ の 極 大 観 測 量 で 表 す こ と

  A=(A1,…,AN)を が 成 立 す る.U,μAΨ0を

可 換 な 観 測 量 の 極 大 な 組 と し よ う.こ 定 理1.19の

も の と す る.ボ

の と き,定 理1.19

レ ル 可 測 関 数u:IRN→IR

で 単 射 で あ る も の を 任 意 に 一 つ と る*25.L2(IRN,dμAΨ0)に

お け る,関

数uに

よ

*25 この よ うな 関 数 の存 在― それ は全然 自明 で は な い― を示 す 一 つ の方 法 は ,IRか らIRN へ の 単 射 な写 像 φ で そ の 逆写 像 φ-1が ボ レル 可測 に なる よ うな もの をつ くる こ とであ

るか け算 作 用 素 をMuと

し(こ れ は 自己 共役 作 用 素)

(1.30) とす れ ば,AはH上

の 自 己 共 役 作 用 素 で あ る.各j=1,…,Nに

対 し て,関

数fj:IR→IRをfj(μ):=0,μ〓u(IRN);

に よ っ て 定 義 す る.こ の と き,作 用 素 解 析 に よ り,作 用 素 の等 式

が 成 立 す る.両 辺 をU-1で

ユ ニ タ リ変 換 す れ ば,作 用 素 の等 式

(1.31) が 得 ら れ る.さ 命 題1.23 

ら に,次

上 のAは

の 事 実 が 成 立 す る: 極 大 観 測 量 で あ る.

証 明   Ψ0は{Aα11…AαNN￨αj∈{0}∪IN,j=1,…,N}に ル と し て 一 般 性 を 失 わ な い.す

はHで

稠 密 で あ る.他

る と(1.31)に

対 す る巡 回 ベ ク ト よっ て

方,各fjを,L2(IRμ,d‖EA(μ)Ψ0‖2)の

収 束 の 意 味 で,

多 項 式近 似 す る こ と に よ り

が わ か る*26.し に 定 理1.11に

た が っ て,L({AnΨ0￨n∈{0}∪IN})はHで よ り,Aは

稠 密 で あ る.ゆ

極 大 観 測 量 で あ る. 

え ■

る(こ の と き,u:=φ-1が 求 め る関 数 の一 つ を与 える).た だ し,そ の よ う な写像 φ は "常識 的 描 像"か らい う とた いへ ん 特異 な もの に なる .φ をつ くる に は,た とえ ば,ペ ア ノ 曲線 をつ くる 方 法[高 木 貞 治 『 解 析 概 論 』(改 訂 第 三版,岩 波 書 店)の 附 録Ⅱ(p.468 ∼p.469)]を 応 用 す れ ば よ い. *26 多 項 式 近 似 は い っ き に行 う こ とは で きず

,次 の段 階(ⅰ)∼(ⅴ)を 踏 まね ば な ら ない.(ⅰ)  ボ レル 可測 関数fjを,台 が 有 界 な ボ レル可 測 関数gnで 近 似 す る;(ⅱ) gnを 階段 関数 で 近似 す る;(ⅲ) (ⅱ)に 現 れ る階段 関数 を区 間 の定 義 関 数 の線 形 結 合 で表 され る階段 関 数 で 近似 す る;(ⅳ)  区 間 の定 義 関数 を連 続 関数 で 近 似 す る;(ⅴ) 区 間 に 制限 され た連 続 関 数 を ヴ ァイエ ル シ ュ トラス の多 項 式 近似 定 理 に よ り,多 項 式 で 近似 す る.

  こ う して,可 換 な観 測 量 の 極 大 な組 は一 つ の極 大観 測 量Aに

集 約 され る.こ

れ は,可 換 な観 測 量 の 極 大 な組 の 測 定 に よ る状 態 の 一 意 的決 定性 が,実

は,一

つ の 極 大 観 測 量 の 測 定 に よ る一 意 的決 定 性 に帰 着 で きる こ と を意 味 す る.

1.6 

代 数 的 な特 徴 づ け

  強 可 換 な 自己 共 役 作 用 素 の組 が 極 大 で あ る こ と を代 数 的 に特 徴 づ け る こ と も で き る.そ の鍵 と な る ア イ デ ア の 一 つ は,互 い に異 な る強 可 換 な物 理 量 を よ り 多 く測 定 す れ ば,状 態 を よ り詳 細 に特 定 す る こ とが で き,し た が っ て,状 態 の 一 意 的 決 定 へ とよ り"近 づ く"こ とが 可 能 で あ ろ う とい う物 理 的推 測 で あ る(そ の 示 唆 は,す で に,系1.16に

現 れ て い る).こ の 推 測 は,強 可 換 な 物 理 量 の 集 合

の 代 数 的 構 造 を研 究 す る こ とへ と人 を導 く.   Hを 複 素 ヒ ルベ ル ト空 間 と し,H全 素 の 全 体 をB(H)と

体 を定 義 域 とす る,H上

の有 界 線 形 作 用

す る([7],1章,1.2項).

  1.6.1  可 換 子 代 数 定 義1.24 

A⊂B(H)と

す る.Aの

元 と可 換 な有 界 作 用 素 の 全体 をA'で 表 す:

(1.32) A'をAの  A'の

可 換 子 集 合(commutant)と

い う.明

ら か にI(恒

等 作 用 素)∈A'.

可換子集合

(1.33) をAの2重

可 換 子 集 合(double

commutant)と

い う. n個

  以 下,同

様 に し て,Aのn重

(A(n-1))',n〓2に

  A'がC上

可 換 子 集 合A'…'=A(n)が

帰 納 的 にA(n):=

よ っ て 定 義 さ れ る.

の 代 数 を なす こ とは 容 易 に わ か る*27.こ

の ゆ え に,可 換 子 集 合 を

可 換 子 代 数 と も い う. *27 C上

の 代 数― 複 素 代 数 と も い う― の 定 義 に つ い て は

,[7]のp.70を

参 照.

H上 の有 界 作 用 素 か ら な る2つ

の集 合A, Bに つ い て

(1.34) が 成 り立 つ(証 明 は容 易).   他 方,こ

れ も容 易 に わ か る こ とで あ る が

(1.35) し た が っ て,(1.34)よ A'⊂A'''.ゆ

り,A'''⊂A'.ま

た,(1.35)のAと

して,A'を

考 える と

えに

(1.36)   Aを 複 素 ヒル ベ ル ト空 間H上 2つ の 元X,

Yが

の 有 界 作 用 素 か らな る集 合 とす る.Aの

可 換 で あ る と き,す な わ ち,XY=YXが

任意 の

成 り立 つ と き,A

は可 換 ま た は ア ー ベ リア ンで あ る とい う. 補 題1.25 

任 意 の 可 換 な 集 合A⊂B(H)に

証 明   X∈Aを XY=YX.し

  1.6.2    RをB(H)の

任 意 に と る.Aの

対 して,A⊂A'.

可 換 性 に よ り,任

意 のY∈Aに

対 し て,

た が っ て,X∈A'. 

■

ス ペ ク トル 射 影 が 生 成 す る 代 数 部 分 代 数 と す る(i.e.,R⊂B(H)か

し て 代 数 に な っ て い る).こ

つRは

線形作 用素の積 に関

れ に 対 して

(1.37) に よ っ て 定 義 さ れ る 作 用 素 の 集 合 をRの

強 閉 包(strong

closure)と

い う.こ

れ

も 代 数 で あ り,強 収 束 の 位 相 で 閉 じて い る  .

  A⊂B(H)と (B(H)の)部

し,H上

の恒 等 作 用 素IとAの

元 の す べ て の 積 か ら生成 され る

分空間

(1.38)

はB(H)の

部 分 代 数 を なす.こ

閉包 をMs(A)と

れ をAか

ら生 成 され る代 数 とい う.P(A)の

強

記 す:

(1.39) Aが

可 換 で あ れ ば,Ms(A)も

可 換 で あ る.

  A=(A1,…,AN)をH上

の 強 可 換 な 物 理 量 の 組 と し,A1,…,ANの

ク トル 射 影EAj(Jj)(Jj∈J1,j=1,…,N)か

スペ

ら 生 成 さ れ る代 数 の 強 閉 包

(1.40) を 考 え る.こ

れ をAに

同 伴 す る フ ォ ン ・ノ イ マ ン(J.

von

Neumann)代

数 と

呼 ぶ.

定 理1.26 

ヒル ベ ル ト空 間Hは

可 分 で あ る とす る.こ の と き,Aが

可換 な 観

測 量 の 極 大 な組 で あ る た め の必 要 十 分 条 件 は

(1.41) が 成 立 す る こ とで あ る. 証 明   (必 要 性)Aは Uお

極 大 で あ る と し,Aに

よ び μ:=μAΨ0を

と す る.し

定 理1.19の

関 す る 生 成 元 の 一 つ を Ψ0と す る.

も の と す る.EA⊂E'Aは

明 ら か.T∈E'A

た が っ て, 

TU:=UTU-1と

そ こ で,

す れ ば, 

た だ し,  とお け ば, 

TUはL2(IRN,dμ)上

の 有 界 作 用 素 で あ る か ら,g∈L∝(IRN,dμ)で  はL2(IRN,dμ)で

(*)は 任 意 のf∈L2(IRN,dμ)に る.し

た が っ て,TUはgに

対 し て,TUf=gfが

 を 意 味 す る.し とEA(Bl),Bl∈JNと

稠 密 で あ る か ら,

え に,T=g(A).他

λ ∈IRNと

意 のf∈L2(IRN,dμ)に た が っ て, 

あ る.

成 り立 つ こ と を 意 味 す

よ る か け 算 作 用 素 で あ る.ゆ

有 界 な 階 段 関 数 列gnで  こ れ は,任

.

方,

な る も の が と れ る.

対 して は 恒 等 作 用 素I

い う 形 の 作 用 素 の 線 形 結 合 で 表 さ れ る.EA(Bl)は,

EA1(J1)…EAN(JN), る とT∈EAが

Jk∈J1と

い う 形 の 作 用 素 で あ る.以

上 の 事 実 を合 わ せ

結 論 さ れ る.

  (十 分 性)(1.41)が をT=EAと

成 り立 つ と す る.Hは

可 分 で あ る の で,付

録Aの

し て 応 用 で き る.Hn:=HT(Ψn)=HEA(Ψn)を

の と し,N=∞ 選 ぶ.す

の 場 合 を 考 え る. 

と な るcn>0を

る と ベ ク トル 

が 定 義 さ れ る.こ

ル がε:={EA1(J1)…EAN(JN)￨Jj∈J1,j=1,…,N}の

し て,番

と 書 け る.た

の 正 射 影 作 用 素 をPnと だ し,Φn:=PnΦ.任

号Nを 

を考 え る と

方,PnEAj(J)=EAj(J)Pn(j=

あ る か ら,T(N)∈E'A.こ た が っ て,Φ

こ れ は Ψ0が

定 義 か ら,

を 満 た す もの が存 在 す

し た が っ て,limN→∞T(N)Ψ0=Φ.他

T(N)∈EA.し

対

い う形 の 作 用 素 の 線 形 結 合 で

用 素 

1,…,N;J∈J1)で

意の

意 の ε>0に

表 さ れ る 作 用 素 列Qnで  こ で,作

す る.任

と な る よ う に と る.Hnの

EA1(J1)…EAN(JN)(Jk∈J1,k=1,…,N)と

る.そ

のベ ク ト

巡 回 ベ ク トル

で あ る こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る.Hnへ Φ ∈Hは 

定 理A.3 そ こで の も

∈L({SΨ0￨S∈

れ と 仮 定(1.41)に ε}).Φ

∈Hは

よ り,

任 意 で あ っ た か ら,

ε に 対 す る 巡 回 ベ ク トル で あ る こ と を 意 味 す る.よ

っ て,Aは

大 で あ る. 

■

  A1,…,ANに,こ

れ ら と強 可 換 な 自 己 共 役 作 用 素AN+1を

(A1,…,AN+1)に E'A.し

極

同 伴 す る フ ォ ン ・ノ イ マ ン 代 数EAを

た が っ て,条

は 変 わ ら な い.こ

件(1.41)が

の 意 味 で,条

  条 件(1.41)は,強

考 え る と,EA⊂EA⊂

成 り立 つ 場 合 に は,EA=EAと 件(1.41)は

付 け 加 え て,A:=

物 理 量 の 組Aの

な っ て,EA 極 大 性 を 表 す.

可 換 な 物 理 量 の 集 合 の 濃 度 が 有 限 で な い 場 合 に も使 え る.

こ の こ と に 注 目 す る と,強

可換 な物 理 量 の極 大 性 に 関 す る 普 遍 的 な定 義 の 一 つ

に 到 達 す る:

定 義1.27 

A={Aα}α

∈Λ(Λ は 添 え 字 集 合)を

強 可 換 な 自己 共 役 作 用 素 の 集

 

合 とし

(1.42) とお く.Aが

可 換 な観 測 量 の極 大 集 合 で あ る とは

(1.43) が 成 り立 つ と き を い う*28. 注 意1.4 

B(H)の

の 条 件 は,Aの

可 換 な 部 分 代 数AがA=A'…(*)を

満 た す と し よ う.こ

す べ て の 元 と 可 換 な 有 界 作 用 素 をAに

は 何 も 変 化 し な い こ と を い っ て い る.そ

こ で,(*)を

加 え て も代 数 全 体 と して 満 た す 可 換 代 数Aを

極 大

ア ー ベ ル 代 数 と い う.

 

付 録A 

可 分 な ヒ ル ベ ル ト空 間 の 巡 回 ベ ク トル に よ る 直 交 分 解

こ の付 録で は,ヒ ルベ ル ト空間 上 の解 析 に おけ る,巡 回ベ ク トルの概 念 の本 質 的重 要 性 を観 る ため に,ヒ ルベ ル ト空 間 の構造 と巡 回ベ ク トル との あ る普 遍 的 な関 わ りにつ いて 述べ て お く.

  A.1    Hを

単 独 の 自 己共 役 作 用 素 に 同 伴 す る直 和 分 解 ヒ ル ベ ル ト空 間,AをH上

の 自 己 共 役 作 用 素,EAをAの

ス ペ ク トル 測 度 と

して

(A.1) を 定 義 す る*29.た 補 題A.1 

だ し,線 形 作 用 素Tに

AをH上

稠 密 な 部 分 空 間 で あ る.

  (ⅱ) 任 意 の Ψ ∈C∞0(A)に ∈D(Am)で

値 域 を表 す.

の 自己 共 役 作 用 素 とす る.こ の と き,次 の(ⅰ)∼(ⅲ)が 成 り立 つ.

  (ⅰ) C∞0(A)はHで

て,Ψ

対 して,R(T)はTの

対 して,番

号nΨ

が あ っ て,す

べ て のm∈INに

対 し

あ り

(A.2) が 成 り立 つ.し

た が っ て,特

に

(A.3) (ⅲ) C∞(A)はHで *28  こ の 場 合 *29 Aが

稠 密 で あ る.

,Aを 可 換 な観 測 量 の 完 全 な 組 と 呼 ぶ 場 合 も あ る. 有 界 で あれ ば ,C∞0(A)=H.

証 明   (ⅰ)  C∞0(A)が

部 分 空 間 で あ る こ と は,EA(J)EA(K)=EA(J∩K)(J,

K∈B1)

に注 意 す れ ば容 易 に示 され る.稠 密 性 は,任 意 の Ψ ∈Hに 対 して,Ψn=EA([-n, とお け ば,Ψn∈C∞0(A)で

あ り,‖Ψn-Ψ‖

  (ⅱ)  任 意 の Ψ ∈C∞0(A)に EA([-n,

n])Φ と書 け る.し

した が っ て,Ψ

∈D(Am)で

  (ⅲ) (ⅰ)と(A.3)か 定 理A.2 

→0(n→∞)と

対 して,あ

る 番 号n=nΨ

た が っ て,任

意 のm∈INに

あ り,(A.2)が

n])Ψ

な る こ と か ら した が う. と Φ ∈Hが

あ っ て Ψ=

対 して

得 られ る.

ら した が う. 

■

Hを 可 分 な ヒ ル ベ ル ト空 間,AをH上

の 任 意 の 自 己 共 役 作 用 素 とす る.

こ の と き,零 で な い ベ ク トル の 直 交 系{Ψn}Nn=1⊂C∞0(A)(Nは

有 限 また は可算無

限)が 存 在 し て

(A.4) が 成 り立 つ.さ 注 意A.1  ΨnはAnに

ら に,各HnはAを

各Hnに

お け るAの

簡 約 す る. 簡 約 部 分 をAnと

対 す る 巡 回 ベ ク トル で あ る*30.こ

す れ ば, 

う し て,上

で あ り,

の 定 理 は次 の こ と を 意 味

す る:可 分 な ヒ ル ベ ル ト空 間 は,自 己 共 役 作 用 素 の 巡 回 ベ ク トル か ら つ く られ る 部 分 空 間 の 閉 包 の 直 和 に分 解 さ れ る. 証 明   Hが 無 限 次 元 の 場 合 に つ い て証 明 す る(有 限 次 元 の 場 合 に つ い て も,以 下 の 証 明 と 同様 で あ る が,収

束 性 に 関 す る 議 論 が い ら な い の で よ り簡 単 で あ る).

  Hの 可 分性 とC∞0(A)の {Φn}∞n=1でHに

稠 密 性 に よ り,C∞0(A)の

お い て 稠 密 な もの が とれ る.Hの

構 成 す る.ま ず,Θ1:=Φ1と

す る.(A.3)に

間H1:=L({AkΘ1￨k∈{0}∪IN})を 影 作 用 素 をP1と

す る.こ

よ り,Θ1∈C∞(A)で

つ くる こ と が で きる.こ

の と き,P1Φ2=limn→

あ る.Θ1∈R(EA([-n1, n1]))と

ベ ク トル Φnか ら な る可 算 無 限 集 合 ベ ク トル列{Θn}∞n=1を

∞Qn(A)Θ1と

な る多 項 式 列Qnが

n1]))が わ か る.こ

用 素 の 値 域 が 閉 で あ る こ と を使 え ば,P1Φ2∈R(EA([-n1,

*30 作 用 素 の 直 和 に つ い て は

の 閉部 分 空 間 へ の 正 射

す れ ば,EA(J)Qn(A)⊂Qn(A)EA(J),

に 注 意 す る こ と に よ り,Qn(A)Θ1∈R(EA([-n1,

,[8]の4章,4.3.2項

を 参 照.

次 の ように

あ る か ら,閉 部 分 空

∀J∈B1 れ と正 射 影 作

n1]))が 結 論 さ れ る.次

に

を定 義 す る.前

段 の 事 実 に よ り,Θ2∈C∞0(A)で

が 定 義 さ れ る(Φ2=0で とAの

あ る 場 合 に は,H2={0}で

自 己 共 役 性 を 用 い る と,H1とH2は

P1Φ2=Φ2,す

な わ ち,Θ2=0と

と考 え る.以

下,同

こ の と き,任

義 か ら,任 意 の Ψ ∈Hと

対 し てHn⊥Hm

Φ ∈KMに

と Φk∈KM(k=1,…,M)に

た が っ て,任

ら ば‖ Ψ-Φnk‖<ε.そ

への

Φnk=Ψ

の事 実

対 し て,番

を 意 味 す る.し

あ る.そ

と な る 部 分 列{Φnk}∞k=1が 号k0(ε

に 依 存 し う る)が あ っ

こ で,M〓nk0と

こ ろ で,Θn(n〓2)の

の 場 合 に はHn={0}で

対 して,

.正 射 影 の 定

対 し て,‖ Ψ-QMΨ‖〓‖Ψ-Φ‖.こ

意 の ε>0に

ε.こ れ はlimM→∞QMΨ=Ψ に, .と

.任 意 のM∈INに

す れ ばQM=ΣMn=1Pn

稠 密 性 に よ り,limk→∞

てk〓k0な

す れ ば‖ Ψ-QMΨ‖<

た が っ て, .ゆ

中 に は0に

こ で,Θ2,Θ3,…

番 号 の 小 さ い 順 に Ψ2,Ψ3,…,ΨN(N<∞

す れ ば,(A.4)が

い う場 合 もあ り う る が,こ

え

な る も の も あ り う る.そ

の う ち0で

ない もの を添 え字

ま た は 可 算 無 限)と

Hn:=L({AkΨn￨k∈{0}∪IN})(n〓2)と n〓2と

閉 部 分 空 間Hn(Hn上

よっ て

存 在 す る.し

Θn=0,

お,

の 場 合 に は,H2={0}

す る)を 帰 納 的 に次 の よ う に 定 義 す る:

へ の 正 射 影 作 用 素 をQMと

他 方,{Φn}∞n=1の

あること

直 交 す る こ と が わ か る:H1⊥H2.な

ク トルΘn∈C∞0(A)と

意 のnとm(n≠m)に

 

あ る).Θ2∈H⊥1で

な る 場 合 も あ りう る が,こ

様 に して,ベ

正 射 影 作 用 素 をPnと

ある か ら閉部分 空 間

し,あ

成 り立 つ.も

の 場 合 はH=H1と

ら た め て, ち ろ ん,

な り,Ψ1がAの

巡

回 ベ ク トル で あ る こ と を意 味 す る.   HnがAを

簡 約 す る こ と を示 す た め に,Ψ ∈D(A)を

liml→∞Ql(A)Ψnと R(EA([-q,

q])).し

な る 多 項 式 列Qlが た が っ て,PnΨ

liml→∞AQl(A)Ψn∈Hn.ゆ

あ る.あ

任 意 に と る.こ の と き,PnΨ= る番 号qが

あ っ て,Ql(A)Ψn∈

∈R(EA([-q, q]))⊂D(A)か

え に,PnAPnΨ=APnΨ

の 任 意 の ベ ク トル Φ との 内 積 を考 え る こ と に よ り,PnAPnΦ=PnAΦ れ と(*)に る. 

よ り,APnΨ=PnAΨ

が 導 か れ る.よ

つAPnΨ=

…(*) .こ の 式 とD(A)

っ て,AはHnに

が わ か る.こ よって簡 約 され ■

 

A.2 

強 可 換 な複 数 の 自 己共 役 作 用 素 に 同伴 す る直 和 分 解

  T:={Tα}α

∈Λ(Λは添 え字 集 合)をH上

の 強可 換 な 自己共 役作 用 素 の集 合 族 と

し*31

(A.5) を 導 入 す る.ベ

ク トル Ψ ∈ ∩n∈IN∩

α1,…,αn∈Λ;l1,…,ln∈{0}∪IND(Tl1α1…Tlnαn)に

対

して

(A.6) と す る.定

理A.2の

定 理A.3 

拡 張 と して 次 の 定 理 を証 明 す る こ と が で き る:

Hを 可 分 な ヒ ル ベ ル ト空 間,T={Tα}α

の 組 と し,C∞0(T)は

稠 密 で あ る と仮 定 す る.こ

{Ψn}Nn=1⊂C∞0(T)(Nは

∈Λ を 強 可 換 な 自己 共 役 作 用 素 の と き,零

で な い ベ ク トル の 直 交 系

有 限 ま た は 可 算 無 限)が 存 在 して

(A.7) が 成 り立 つ.さ

らに,各Hnは

証 明   定 理A.2の 注 意A.2  で,C∞0(T)は

各Tα

を簡 約 す る.

証 明 と ま っ た く並 行 的 で あ る の で,読

す べ て の α ∈Λ に 対 して,Tα 自 明 的 に 稠 密 で あ る.ま

∈B(H)な

た,Λ

者 の 演 習 とす る.  ら ば,C∞0(T)=Hで

■ あ るの

が 有 限 集 合 の 場 合 に もC∞0(T)は

稠密

に な る.

ノ

ー

ト

  単 独 の 極 大 観 測 量 の 理 論 は,純 数 学 的 に は,自 己 共 役 作 用 素 の スペ ク トル に 関 す る 重 複 度 理 論 の 一 部 を な す(さ

らに 詳 しい 理 論 展 開 に つ い て は,た

§86あ る い は[12]のp.231∼p.234を

参 照).単

可 換 な 物 理 量(観 測 量)に つ い て の 理 論 は,フ ノ イ マ ン 環 と呼 ば れ る,あ した 代 数EAは

ォ ン ・ノ イ マ ン代 数 あ る い は フ ォ ン ・

る 普 遍 的 な代 数 の 理 論 と 深 く関 わ っ て い る.1.6節

そ の 例 の 一 つ で あ る.物

マ ン環 の 詳 しい 理 論 につ い て は,作

で定 義

理 量 の 共 立 性 とそ の 測 定 に よ る状 態 の一 意 的

用 素 環 の 文 献,た

あ る.フ

と え ば,[9],

ォ ン ・ノ イ

[14]を 参 照 さ れ た

理 量 の 共 立 的 測 定 に 関 す る 物 理 的 な 議 論 に つ い て は,[13]のp.224∼p.232が

参 考 に な る で あ ろ う. *31  自 己 共 役 作 用 素 の 強 可 換 性 に つ い て は

§85,

独 の物 理 量 の 場 合 も含 め て,複 数 の 強

決 定 性 の 問 題 を こ の 観 点 か ら 詳 し く解 説 した 著 述 と して[10]が

い.物

とえ ば,[1]の

,[8]のp.262を

参 照.

第1章  演 習 問 題 Hは

ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る とす る.

1. dimH=N<∞

と し,H上

の 自 己 共 役 作 用 素Aの

て 単 純 で あ る と し,Aφj=λjφjと ベ ク トル).   

(ⅰ) N個

の ベ ク トル φ0,Aφ0,…,AN-1φ0は

有 値 λjに 属 す るAの

固有

線 形 独 立 で あ る こ と を示 せ.

巡 回 ベ ク トル で あ る こ と を 示 せ.

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

とす る.任

すべ

とお く.

  (ⅱ) φ0はAの 2. Aを

す る(φjは,固

固 有 値 λ1,…,λNは

の 極 大 物 理 量 と し,Ψ0をAに

意 の λ0∈ σ(A)と 十 分 小 さい ε>0に

関す る生 成 元 の一つ

対 して,〓 ε を(1.14)に

よっ

て 定 義 す る.L2(〓 ε,dμAΨ0)の単 位 ベ ク トル の 集 合 をSε とお く:

ま た,各f∈L2(〓

ε,dμAΨ0)は,λ〓〓

ε な ら ばf(λ)=0と

し て,IR上

の 関数 に

拡 張 さ れ て い る と す る.  (ⅰ) 任 意 のfε 全 体)に

∈Sε

とu∈C0(IR)(IR上

対 し てlimε

の 連 続 関 数 で 有 界 な 台 を もつ もの の

→0{〈fε,u〉L2(IR,dμAΨ0)-c(fε)*u(λ0)}=0を

示 せ.

た だ し,

 

(ⅱ) 任 意 のfε ∈Sε とu∈C0(IR)に を 示 せ.

3. 正 準 交 換 関係(CCR)の

対 して

シ ュ レ ー ディ ン ガ ー 表 現 に お け る1次

ハ ミ ル トニ ア ンHSos:=-(h2/2m)Δx+(K/2)x2(m p.370を

参 照)はL2(IRx)に

4. 任 意 のn∈INに

 

, Kは

元 調和 振動 子 の 正 の 定 数;[8]の

お け る 極 大 観 測 量 で あ る こ と を示 せ.

対 して,L2(IRx)に

お け る か け算 作 用 素x2nは

極大 観測 量 で

は な い こ と を示 せ. 5. AをHに

お け る 極 大 観 測 量 と し,MをHの

に よ っ て 簡 約 さ れ る な ら ば,AのMに

閉 部 分 空 間 とす る.も お け る部 分AM:=A￨[M∩D(A)]はM

に お け る 極 大 観 測 量 で あ る こ と を証 明 せ よ*32. *32 作 用 素 の 簡 約 に つ い て は

,[7]のp.179,2.6.4項

を 参 照.

し,AがM

6. A:＝(A1,…,AN)をH上

の 強 可 換 な 自 己 共 役 作 用 素 の 組 と し,EAを

積 ス ペ ク トル 測 度 とす る と き,suppEA⊂ ヒ ン ト:[3]の

命 題2-17を

σ(A1)×

… × σ(AN)を

その直 証 明せ よ.

参 照.

7. 定 理1.19の

証 明 せ よ.

8. 定 理1.22の

証 明 の 詳 細 を埋 め よ.

関 連 図 書

[1] ア ヒエ ゼ ル ・グ ラズ マ ン,『ヒルベ ル ト空 間論 上 下 』(千 葉 克 裕 訳),共 立 出版,1972, 1973. [2] 新 井 朝 雄,『

ヒ ル ベ ル ト空 間 と量 子 力 学 』,共 立 出 版,1997.

[3] 新 井 朝 雄,『

フ ォ ッ ク 空 間 と量 子 場 上 』,日 本 評 論 社,2000.

[4] 新 井 朝 雄,『

フ ォ ッ ク 空 間 と 量 子 場 下 』,日 本 評 論 社,2000.

[5] 新 井 朝 雄,『 物 理 現 象 の 数 学 的 諸 原 理 』,共 立 出 版,2003. [6] 新 井 朝 雄,『 現 代 物 理 数 学 ハ ン ドブ ッ ク 』,朝 倉 書 店,2005. [7] 新 井 朝 雄 ・江 沢 洋,『 量 子 力 学 の 数 学 的 構 造Ⅰ 』,朝 倉 書 店,1999. [8] 新 井 朝 雄 ・江 沢 洋,『 量 子 力 学 の 数 学 的 構 造Ⅱ 』,朝 倉 書 店,1999. [9] O.Bratteli tical

[10] 江 沢 洋,量 [11]  J.v.ノ

and

Mechanics

Algebras

and

Quantum

Statis

子 力 学 の 構 造,[15]の

第16章

∼ 第18章.

イ マ ン,『 量 子 力 学 の 数 学 的 基 礎 』(井 上 健・ 広 重 徹 ・恒 藤 敏 彦 共 訳),み

房,1957.原

著"Mathematische

Springer)は1932年 [12]  M.Reed tional

D.W.Robinson,Operator I,Springer,1979.

Grundlagen

der

すず 書

Quantenmechanik"(Berlin,

に 出 版.

and B.Simon,Methods Analysis,Academic

of Modern Press,1972.

[13]  朝 永 振 一 郎,『 量 子 力 学Ⅱ 』(第2版),み

Mathematical

Physics

I:Func

す ず 書 房,1952,1997.

[14]  梅 垣 壽 春 ・大 矢 雅 則 ・日 合 文 雄,『 作 用 素 代 数 入 門 』,共 立 出 版,1985,2003. [15]  湯 川 秀 樹 ・豊 田 利 幸 編,『 岩 波 講 座 書 店,1978.

現 代 物 理 学 の 基 礎[第2版]4量

子 力 学Ⅱ 』,岩 波

2 物理量 の自己共役性

具体的な量子系 にお ける物理量 と日され る作用素の自己共役性 あるいは本質的 自己共 役性 を証明するための一般的方法のい くつか を論述 し,シ ュ レーディ ンガー型作用素 と ディラ ック型作用素へ応用する.

2.1 

は

じ

め

に

  量 子 力 学 に お け る物 理 量 は状 態 の ヒ ルベ ル ト空 間 にお け る 自己 共 役 作 用 素 で 表 され る([6]の3章,3.1節

に お け る 公 理QM2).正

現 と して の 量 子 力 学 とい う観 点([6]の3章,3.3.7項)か ト空 間 はCCRの

準 交 換 関 係(CCR)の

らは,状 態 の ヒル ベ ル

表 現 空 間 に な っ て い な け れ ば な らな い.こ

量 子 系 に お け る物 理 量 はCCRの

表

の場 合,考

察下 の

表 現 を与 え る 自己 共 役作 用 素 か らつ くられ る.

対 象 とす る量 子 系 が 古典 的 対 応 物 を もつ 場 合 に は,対 応 す る古 典 力 学 系 の物 理 量 か ら,あ る種 の 形 式 的対 応 規 則 に よ り,量 子 力 学 的 物 理 量 と 目 され る作 用 素 が 定 義 され る([6]の3章,3.4節

を参 照).し

か し,そ の よ う に して 与 え ら れ る作

用 素 た ち が 本 当に 物 理 量 で あ るか ど う か,す な わ ち,(本 質 的 に)自 己 共 役 で あ る か ど うか は た だ ち には 明 ら か で は な く,さ しあ た り,状 態 の ヒル ベ ル ト空 間 全 体 で は定 義 され な い(非 有 界)対 称 作 用 素 で あ る こ と しか わ か らな い場 合 が 多 い.そ

こで,そ の よ う な対 称 作 用 素 が 実 際 に(本 質 的 に)自 己共 役 で あ る こ と を

証 明 す る必 要 が あ る*1.こ れ は,量 子 力 学 の 公 理 論 的 体 系 が 物 理 理 論 と して も 首 尾 一 貫 した もの で あ る こ とを 示 す た め に は避 け て 通 る こ との で きな い 重 要 な

*1  定 義域 が ヒルベ ル ト空 間 全 体 で あ る対 称 作 用 素 は自 動 的 に 自己 共役 で あ る ので 合 は 全 然問 題 にな らない.

,こ の 場

問 題 の 一 つ で あ る.実 際,物 理 量 の(本 質 的)自 己 共 役 性 が 証 明 され な け れ ば, ス ペ ク トル定 理 を適 用 す る わ け に は い か ない の で ,普 遍 的な 形での 確 率 解 釈 は で き ない.前 著[5, 6]で 提 示 した 公 理 論 的量 子 力 学 の 枠 組 み が 量 子 的 諸 現 象 を 支 え る,宇 宙 の 根 源 的 な 理 と して 真 の リ ア リテ ィ を獲 得 す る に は,諸 々 の具 体 的 な量 子 系 に お け る物 理 量 の(本 質 的)自 己 共 役 性 を確 立 す る こ とは 不 可 欠 なの で あ る.特

に,量 子 系 の 全 エ ネ ル ギ ー を表 す ハ ミル トニ ア ンの 自己 共 役 性 は,系

の 時 間 発 展 の 存 在 と一 意 性 を保 証 す る意 味 で も本 質 的 で あ る([6]のp 理3.39と

.337,定

そ のす ぐあ との叙 述 を参 照).物 理 量 の(本 質的)自 己共 役 性 の 問 題 は

単 な る 数 学 的 な問 題 に と ど ま る もの で は な く,量 子 力 学 的 世 界 観 の厳 密 な基 礎 づ け と深 く関 わ る の で あ る .   物 理 量 の候 補 とな る諸 々 の(非 有 界)対 称 作 用 素 の(本 質的)自 己 共 役 性 を証 明 す る問 題 は,純 数 学 的 に い え ば,対 称 作 用 素 の 種 々の 型 に応 じて,そ れ が(本 質 的 に)自 己共 役 で あ る た め の 判 定 条 件 を見 つ け る 問 題 と等 価 に な る.   量 子 的粒 子 の 運 動 量 作 用 素 や 自 由ハ ミル トニ ア ンあ る い は 自 由 な ス カ ラ ー量 子 場 の ハ ミル トニ ア ンが 自己 共役 作 用 素 と して実 現 され る こ とは前 著[6]で す で に み た.本 章 で は,他 の 諸 々 の 物 理 量 の 自己 共 役 性 を証 明 す る た め の判 定 条 件 を定 式 化 す る.   こ こで の ア プ ロ ーチ の 基 本 的 な考 え方 を示 す ため に,た とえ ば,ハ ミル トニ ア ンの 自己共 役 性 を証 明 す る問 題 を考 え よ う.量 子 系 の ハ ミル トニ ア ンHは くの場 合,H=H0+HIと

い う形 で 与 え られ る.こ

た"自 己共 役 作 用 素 で あ り,HIは

対 称 作 用 素 で あ る*2.も

この よ うな 分 解 の 仕 方 は 一 意 的 で は な い が,そ 適 切 な意 味 にお い て,H0を

こで,H0は"よ

,多

くわ か っ

ちろ ん,Hに

対する

れ ぞ れ の コ ン テ ク ス トにお け る

無 摂 動 部 分(ま た は無 摂 動 作 用 素),HIをH0に

す る摂 動(ま た は摂 動 作 用 素)と 呼 ぶ こ とが 可 能 で あ る.HIを

対

相 互作用部分 と

い う場 合 もあ る.他 の 物 理 量 につ い て も同 様 で あ る.こ の 観 点 か らは ,物 理 量 の 自己 共 役 性 の 問題 は,抽 象 的 な 形 で は,次 の よ うに 定 式 化 され る: 問 題(S):  Hを ヒルベ ル ト空 間,AをH上 用 素 と し,Aの *2  調 和 振 動 子([6]の3章

定 義 域D(A)とBの

の 自己 共役 作 用 素,BをH上 定 義域D(B)の

,3.8節)や[6]の4章,4.2.4項

の対 称 作

共 通部 分D(A)∩D(B) に お け る 例 を 参 照.

は稠 密 で あ る とす る(し た が っ て,A+Bは

対 称 作 用 素 で あ る).こ の と

き,ど の よ う な条 件 の も とで,A+Bは(本

質 的 に)自 己共 役 で あ るか?

  量 子 系 の ハ ミル トニ ア ンに 関 して は,そ の(本 質 的)自 己 共 役 性 に加 えて,そ れ が 下 に有 界 で あ る か否 か を決 定 す る こ と も数 理 解 析 の 第 一段 階 と して重 要 な 問題 の 一 つ で あ る*3.こ れ は,物 理 的 に は,原 子 の 安 定 性,し 質 の 安 定 性(stability of matter)と

た が っ て ま た物

関 連 して い る.

  周 知 の よ う に,古 典 物 理 学 の枠 組 み で は原 子 の 安 定 性 を示 す こ と はで き ない. 具 体 的 に い え ば,古 典 物 理 学 的描 像 で は,原 子 核 の ま わ りを運 動 す る電子 は,そ の 加 速 運 動 に よ り,電 磁 放 射 を 行 い,非 常 に 短 時 間 の う ち に(10-11秒

の オー

ダー),原 子 核 に落 ち込 む.こ れ は,原 子 が恒 常 的 に一 定 の ひ ろ が りを もっ て存 在 し得 な い こ と を意味 す る.す な わ ち,原 子 は安 定 で は な い*4.し 然,原

たが って,当

子 か ら構 成 さ れ る 巨視 的 物 質 も恒 常 的 に 存 在 す る こ とは 不 可 能 で あ る こ

と に な る.ゆ

え に,古 典 物 理 学 は巨 視 的物 質 が 安 定 に存 在 す る とい う基 本 的 な

経 験 的 事 実 を 説 明 しない.   で は,量 子 力 学 の原 理 は物 質 の安 定性 を真に 保 証 す るで あ ろ うか.も こ の 場 合,安

定 性 の概 念 は,ア

ち ろん,

プ リオ リに与 え られ て い る わ け で は な く,む し

ろ,量 子 力 学 の 原 理 的解 釈 と整 合 的 に な る よ う な仕 方 で 見 い だ す べ き もの で あ る.そ

こ で,次 の よ うな発 見 的 考 察 を行 っ て み よ う.量 子 力 学 にお い て は,異

な る エ ネ ルギ ー を もつ状 態 間 の遷 移 が 確 率 的 に 可 能 で あ る.し た が って,も

し,

系 の ハ ミル トニ ア ンが 下 に有 界 で な い とす れ ば,任 意 の 有 限 エ ネ ル ギ ー を もつ 状 態 に あ っ た 系 は,自 律 的 に,あ る い は他 の 系 との 相 互 作 用 の も とで,い

くら

で も低 いエ ネ ル ギ ー に遷 移 す る こ とが 可 能 で あ ろ う.そ の 場 合 に は,系 は,エ ネ ル ギ ー を放 射 しつ つ,エ

ネル ギ ー の よ り低 い 状 態 へ と次 々 と遷 移 し,系 は あ

る 一 定 の状 態 に と ど まる こ と は ない と推 測 され る.こ の 意 味 で 系 は安 定 で は な い.し た が っ て,そ の よ う な"カ タス トロー フ"が 起 きな い た め に は,ハ ミル ト ニ ア ン は下 に有 界 で な け れ ば な ら な い で あ ろ う.こ *3  対 称 作 用 素Aに り立 つ と き,Aは 参 照). *4  詳 し く は

対 して

う して,ハ

ミル トニ ア ンの

,実 定 数γ が 存 在 し て,〈 Ψ,AΨ 〉〓γ‖ Ψ‖2,∀ Ψ ∈D(A)が 下 に 有 界 で あ る とい い,こ の こ と をA〓γ と記 す([5]のp.133を

,[18]のp.84∼p.86を

参 照.

成

下 界 性 は 系 の"安 定 性"の 必 要 条件 で あ る と考 え られ る.だ が,そ れ は量 子 力 学 系 の 安 定 性 の 一 つ の定 性 的 指 標 を表 す もの と も解 釈 され う る.そ こ で,系 の ハ ミル トニ ア ンが 下 に有 界 で あ る と き,系 は 第 一種 の 安 定性 ま た は弱 安 定 性 を も つ とい う.   ハ ミル トニ ア ンHが

自己 共 役 か つ 下 に有 界 で,そ の 最 低 エ ネ ル ギ ー

(2.1) がHの

固 有 値 で あ る と き,こ

(ground

state)と

な ら ば,系

れ に 属 す るHの

固 有 ベ ク トル をHの

呼 ぶ こ と は す で に 述 べ た([6],

は,弱

p.339).系

が 基 底 状 態 を もつ

安 定 な 場 合 よ り も 安 定 で あ る と と解 釈 さ れ る.そ

下 に 有 界 で 基 底 状 態 を も つ と き,系

N個

の ハ ミ ル トニ ア ン をHNと

に よ ら な い 定 数C〓0が

あ っ て,HN〓-CN…(*)が

二 種 の 安 定 性 ま た はH安

定 性 を も つ と い う.

  特 性(*)は,任

意 の 状 態 Ψ ∈D(HN),‖

れ は,物

理 的 に は,任

ギ ー(左 辺)が,Nに た が っ て,Nが

す る と き,N

成 り立 つ と き,系

Ψ ‖=1に

対 し て,〈Ψ,HNΨ

意 の 状 態 に お け る1粒

増 え て も減 っ て も,1粒

は第

〉/N〓-C

子 あ た りの 平 均 エ ネ ル

子 あ た りの 平 均 エ ネ ル ギ ー は 下 が る こ

は 粒 子 数 の 変 化 に つ い て も安 定 で あ る と解 釈 さ れ る*6.

*5  "弱 安 定 性"と"強

安 定 性"と

導 入 す る も の で あ る.Hの e-itH/hΨ0=e-itE0(H)/hΨ0で で 不 変 で あ る(i.e.,

い う術 語 は 標 準 的 な もの で は な く 基 底 状 態 の 一 つ を Ψ0と あ る の で,Ψ0は

e-iHt/hΨ0と

Ψ0は

元 で 表 さ れ る.い の と き,任

Ψ(t):=e-itH/hΨ 間発 展 に関 して安 *6  も し ,1粒 子 あた 対 して は,そ の利 こ れ ば,系 の粒 子

,筆 者 が こ こ で 試 み に す れ ば,任 意 のt∈IRに 対 し て, 系 の 時 間発 展 に対 して射 線 の意 味

同 じ状 態 を 表 す ベ ク トル).他

有 界 で あ る が,基 底 状 態 を も た な い 場 合 に は,そ 近 い 状 態 はR(EH([E0(H),E0(H)+ε]))(EHはHの と し よ う.こ

と え ば,

よ ら な い 一 定 の 数 で 下 か ら抑 え ら れ る こ と を 意 味 す る.し

と は な い の で,系

十 分 小)の

子 的 粒 子 の個

一 つ の パ ラ メ ー タ ー と す る 量 子 系 に お い て(た

の 非 相 対 論 的 粒 子 か ら な る 系),そ

を 導 く.こ

こ で,Hが

は 強 安 定 で あ る と い う*5.

  弱 安 定 性 あ る い は 強 安 定 性 の ほ か に も 安 定 性 の 概 念 が あ る.量 数N(N=1,2,…)を

基底状 態

ま,Hは[E0(H),E0(H)+ε]の

定―,Ψ(t)は

下に

中 に 固有 値 を もた な い

意 の Ψ ∈R(EH([E0(H),E0(H)+ε])(Ψ

∈R(EH([E0(H),E0(H)+ε]))で

方,Hが

の エ ネ ル ギ ー の 期 待 値 がE0(H)に ス ペ ク トル 測 度,ε>0は ≠0)に

対 し て,

あ る が― こ の 意 味 で,Ψ

は時

Ψ と 同 じ状 態 を 表 さ な い.

りの 平 均 エ ネ ル ギ ー がNの 累 乗 で 急 激 に 下 が れ ば,十 分 大 き なNに 得 を 使 っ て,粒 子 が 生 成 す る こ と が 起 こ り う る.ひ と た び,そ れ が 起 数 が さ ら に 増 し,エ ネ ル ギ ー が 一 層 下 が る.し た が っ て,再 び 粒 子 の

  ハ ミル トニ ア ンHが あ る 閉部 分 空 間Mが 約 部 分HMが

下 に有 界 で な い場 合 で も,状 態 の ヒ ルベ ル ト空 間 の 中 に, あ っ て,HがMに

よ っ て簡 約 され,HのMに

下 に 有 界 で あ れ ば,HMは

物 理 的 に意 味 を もつ場 合 が あ りう る*7.

  た と え ば,デ ィラ ック作 用 素HD([6]の3章,3.4.3項)を す る系 は そ の よ う な例 の 一 つ で あ る.[6]の 定 理3.30で に有 界 で は な いが,HDは はHDの

お け る簡

ハ ミル トニ ア ン と 示 した よ う に,HDは

下

閉 部分 空 間H+:=EHD([0,∝))L2(IR3;C4)(EHD(・)

ス ペ ク トル 測度)―

これ は,物 理 的 には,非 負 エ ネ ルギ ーの 状 態 空 間 を

表 す― に よ って 簡 約 され,そ の 簡 約 部 分 をHD,+と は粒 子 の 静 止 質 量)が 成 り立 つ.し

た が ってHD

  い ま の例 か ら もわ か る よ う に,ハ

す れ ばHD,+〓m(m〓0

,+は 下 に有 界 で あ る.

ミル トニ ア ンHが

下 に有 界 で な い か ら と

い っ て,そ れ が"物 理 的"で な い と判 断す る こ とは必 ず し も正 当 で あ る とは い え な い.重 要 な こ と は,Hか

ら"物 理 的"と 解 釈 さ れ うる 内 容 が 引 き出 せ る か 否

か で あ る.

 

2.2 

  前 節 で 提 起 した 問 題(S)で

小

は,BがAに

さ い 摂 動

対 す る 摂動 で あ り,Aが

素 で あ る.摂 動 とい う観 点 か らは,摂 動 作 用 素Bが Aに 対 して"小 さ い"な ら ば,A+Bも そ こ で,問 題(S)を

無摂動作用

適当な意味で無摂動作用素

ま た 自己 共 役 に な る こ とが予 想 され る.

考 察 す る に あ た っ て は,BがAに

関 して"小 さい"場 合 と

必 ず し もそ うで な い場 合 と に分 け る の が 自然 で あ る.ま ず,前 者 の場 合 か ら議 論 す る.こ の節 を通 して,Hは

複 素 ヒ ルベ ル ト空 間 で あ る とす る.

  2.2.1  相 対 的 有 界 性   摂 動 作 用 素 の 無 摂 動 作 用 素 に関 す る相 対 的 な小 さ さ を測 る 一 つ の尺 度 を導 入 す る: 生 成 が 起 こ る.こ の よ うな過 程 が 際 限 な く繰 り返 され る こ と にな れ ば,系 は安 定 とみ な せ る状 態 で は存 続 で きな い.本 書 で は,残 念 なが ら,ハ ミル トニ ア ンのH安 定性― これ は種 々 の不 等 式 と関連 してい て 純数 学 的 に もたい へ ん お も しろ い主 題― につ い て 論 じる 紙 数 は とれ なか った.興 味 の あ る読 者 は,[7]や[17]を 参 照 され たい. *7 作 用 素 の簡 約 につ い て は ,[5]の2章,2.6.4項 を参 照.

定 義2.1 

A, Bを

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

と す る:(ⅰ) D(A)⊂D(B);(ⅱ) 

の 作 用 素 で 次 の(ⅰ), (ⅱ)を 満 た す も の

定 数a〓0,

b〓0が

存 在 して

(2.2) こ の と き,BはAに

関 し て 相 対 的 に 有 界(relatively

界(A-bounded)で   BのA-限

あ る と い い,aをBのA-限

bounded)あ

る い はA-有

界 と い う.

界 の下限

が成立 をAに

関 す る,Bの

  r(A,B)=0の

相 対 限 界(relative 場 合,BはAに

記 号 的 にB≪Aと

例2.1  0.し

関 し て 無 限 小(infinitesimal)で

あ る と い い,

界 が 小 さ け れ ば 小 さ い ほ ど,BはAに

い う 観 点 に よ っ て,BのAに

Bが

呼 ぶ.

表 す.

  上 の 定 義 は,BのA-限 小 さ い,と

bound)と

 (2.3)

有 界 でD(A)⊂D(B)な

た が っ て,B≪Aで

あ る.だ

比 べ て,よ

り

対 す る 小 さ さ を 測 る も の で あ る. らば,a=0,

が,こ

b=‖B‖

に とれ るか ら,r(A,B)=

の 逆 は必 ず し も成 立 し な い(次 の 注 意 を

参 照).

注 意2.1  れ る:任

容 易 に わ か る よ う に,B≪Aで 意 の ε>0に

対 し て,定

あ る こ と は次 の よ う に言 い 換 え ら

数bε〓0が

あって

(2.4) が 成 り立 つ.

証 明   B≪Aな

ら ば,非 負 の 数 列{an}∞n=1,

{bn}∞n=1で 次 の 条 件(a),

す も の が 存 在 す る:(a)  limn→ ∞an=0;

(b) ‖BΨ ‖〓an‖AΨ

D(A),n∈IN.(a)よ

対 し て,番

ら ば0〓an<ε   逆 に,任

り,任 意 の ε>0に が 成 り 立 つ.そ

意 の ε>0に

か で あ る. 

こ でbε=bn0と

対 し て,(2.4)が

号n0が

(b)を 満 た

‖+bn‖ Ψ‖,Ψ ∈ あ っ て,n〓n0な

お け ば,(2.4)が

成 り立 つ な ら ば,r(A,B)=0は

成 り立 つ. 明 ら ■

命 題2.2 

Nを

自 然 数 と し,A,

(ⅰ) B≪Aな

ら ば,任

B, Bj(j=1,…,N)をH上

意 の λ ∈C＼{0}に

(ⅱ) Bj≪A(j=1,…,N)な 証 明   (ⅰ)  こ れ は(2.4)と

の 作 用 素 と す る.

対 して λB≪A.

ら ば  「ε>0が

.

任 意 な ら ば,￨λ￨ε(λ

≠0)も

任意の正数 に

と れ る 」 と い う 事 実 か ら し た が う.   (ⅱ)  (2.4)に

お い て,B=Bjと

に つ い て1か

らNま

し て 得 ら れ る 不 等 式(bε をbj,ε とす る)をj

で加 えれ ば

3角 不 等 式 に よ り,  ε>0が

ま た,ε'=Nε

任 意 な ら ば,ε'も 任 意 に とれ る.し

とお くと,

たが っ て, 

■

  相 対 的 に有 界 な作 用 素 に よ る摂 動 問 題 を考 察 す る 際 に頻 繁 に使 わ れ る こ とに な る基 本 的 事 実 を証 明 して お こ う. 補 題2.3  (Aの

A, Bを

定 義2.1の

も の とす る.さ

レ ゾ ル ヴ ェ ン ト集 合)≠0と

し て,B(A-z)-1∈B(H)で

ら に,Aは

仮 定 す る.こ

閉 作 用 素 で あ り,ρ(A)

の と き,任

意 のz∈

ρ(A)に 対

あ り

(2.5) が 成 り立 つ.   も し,Aが

閉 対 称 作 用 素 な らば

(2.6) が 成 り 立 つ.こ 証 明   Aは

こ で,ε

は 括 弧 の 中 の 条 件 を 満 た す 任 意 の 正 の 定 数 で よ い.

閉 で あ る か ら,A-zは

任 意 の Ψ ∈Hに

対 して,(A-z)-1Ψ

全 単 射 で あ り,(A-z)-1∈B(H)で ∈D(A)で

あ る か ら,不

あ る. 等 式(2.2)に

よって

(2.7)

 

A(A-z)-1=1+z(A-z)-1で

あ る の で,A(A-z)-1∈B(H)で

あ り

(2.8) が 成 立 す る.不 下 で あ る.ゆ

等 式(2.7)の

右 辺 は(a‖A(A-z)-1‖+b‖(A-z)-1‖)‖

Ψ‖ 以

えに

(2.9) こ れ と(2.8)に   次 に,Aが

よ り,(2.5)が

得 ら れ る.

閉 対 称 作 用 素 の 場 合 を 考 え よ う.こ

の 場 合,任

意 の Ψ ∈D(A)に

対 して

シ ュ ヴ ァル ツの 不 等 式 に よ り

こ こ で ε>0は

任 意 で よ い.し

が 導 か れ る.こ

れ は,￨x￨<1/ε

を 意 味 す る.[5]の

(x,y∈IR)と

A, Bは

ら(2.6)が

補 題2.3と

な らば

の とき

補 題2.39(p.140)の(ⅰ)に

こ れ ら の 事 実 と(2.9)か

定 理2.4 

た が っ て,￨z￨〓1/ε

よ っ て ‖(A-z)-1‖〓1/￨Imz￨.

し た が う. 

■

同 じ条 件 に し た が う と し,z=x+iy∈

ρ(A)

す る.

(ⅰ) Ca,b,z:=a+(a￨z￨+b)‖(A-z)-1‖<1な

ら ば,z∈

ρ(A+B)で

あ り

(2.10)

 さ ら に,‖B(A-z)-1‖〓Ca,b,z<1で

あ り

(2.11)   と い う 評 価 が 成 り立 つ.   (ⅱ) Aが ら ば,z∈

閉 対 称 で  ρ(A+B)で

な あ り,(2.10)が

成 り立 つ.

証 明   次 の 作 用 素 等 式 に 注 意 す る:

(2.12)   (ⅰ)  仮 定 の 条 件 の も と で は,(2.5)に [5]の 定 理1.34に

よ っ て,1+B(A-z)-1は

が 成 り立 つ.ゆ

え に(2.12)に

が 成 り立 つ.よ

っ て,z∈

す に は,(2.10)か

よ り,‖B(A-z)-1‖<1.し 全単射 であ り

よ り,A+B-zは

ρ(A+B)で

た が っ て,

全単射 であ り

あ り,(2.10)が

成 り立 つ.(2.11)を

示

ら導 か れ る式

の 両 辺 の作 用 素 ノ ル ム を と り,そ の右 辺 が

と抑 え ら れ る こ と に 注 意 す れ ば よ い.   (ⅱ) (ⅰ)と 同 様. 

■

補 題2.5 

A, BをH上

で あ る と す る.こ

の 作 用 素 と し,BはA-有

の と き,す

界 で そ のA-限

べ て の Ψ ∈D(A)に

界aは1未

満

対 して

(2.13) (2.14) が 成 り立 つ.こ

こ で,bは(2.2)に

証 明  任 意 の Ψ ∈D(A)に 角 不 等 式 と(2.2)を

お け る 定 数 で あ る.

対 して,AΨ=(A+B)Ψ-BΨ

…(*)と

表 し,3

用 いる と

し た が っ て,(1-a)‖AΨ‖〓‖(A+B)Ψ‖+b‖BΨ‖.ゆ

え に(2.13)が

得 ら

れ る.   (2.2)の

右 辺 の‖AΨ‖

(2.14)が

代 入 し,前

段 と 同 様 の 計 算 を 行 う こ と に よ り,

導 か れ る. 

  2.2.2    第5章

に(*)を

■

閉作用 素の摂動 へ の 準 備 も 兼 ね て,こ

こ で,閉

作 用 素 の 閉 性 の,摂

動 の も とで の 安 定 性

の 問 題― 摂 動 を加 え て 閉 性 が 保 存 さ れ る か 否 か と い う 問 題―

定 理2.6  そ のA限

AをH上 界aは1未

の 閉 作 用 素,BをH上 満(0〓a<1)で

に ふ れ て お く*8.

の 可 閉 作 用 素 と し,BはA-有 あ る とす る.こ

界で

の と き,A+Bは

閉作

用 素 で あ る.

証 明   点 列 Ψn∈D(A+B)=D(A)が H(n→

∞)を

Ψn-Ψmを て,η:=limn→

満 た す と し よ う.こ

Ψn→ の と き,不

考 え る と,{AΨn}nはHの ∞AΨnが

存 在 す る.Aは

Ψ ∈H,(A+B)Ψn→ 等 式(2.13)に

*8  有 界 な 作 用 素 に よ る 摂 動 の も と で の 閉 性 の 安 定 性 は み た.こ

こ で は,若

干 の 一 般 化 を行 う.

お け る Ψ と して

コ ー シ ー 列 で あ る こ と が わ か る.し 閉 で あ る か ら,Ψ

,す

Φ ∈

たが っ

∈D(A)=D(A+B)

で に[5]の

定 理2.5(p.103)で

か つ η=AΨ.BのA-有 る.し

界 性 に よ り,{BΨn}nも

た が っ て,X:=limn→

で な け れ ば な ら な い.ゆ A+Bは

∞BΨnが

コ ー シ ー列 で あ る こ とが わか

存 在 す る.Bは

可 閉 で あ る か ら,BΨ=X

え に,Φ=η+X=AΨ+BΨ=(A+B)Ψ.よ

っ て,

閉 で あ る. 

  2.2.3 

■

加 藤― レ リ ッ ヒ の 定 理

  摂 動Bが

無 摂 動 作 用 素Aに

関 し て 相 対 的 に 有 界 で あ る 場 合 の 作 用 素A+B

の 自 己 共 役 性 に 関 す る 基 本 的 な 定 理 の 一 つ を 証 明 す る.   ヒ ル ベ ル ト空 間H上 す.H上

の 可 閉 作 用 素Cに

の 閉 作 用 素Tと

部 分 空 間D⊂D(T)に

が 可 閉 で あ り,T￨D=Tが

定 理2.7 

共 役 作 用 素,BをH上

よ っ て,Cの

つ い て,TのDへ

成 り 立 つ と き,DをTの

(加 藤― レ リ ッ ヒ(Rellich)の

し てa<1と

対 し て,Cに

芯(core)で

定 理)Aを

の 制 限T￨D あ る と い う*9.

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

の 対 称 作 用 素 と す る.BはA-有

な る も の が と れ る と 仮 定 す る.こ

閉包 を表

の 自己

界 で そ のA-限

の と き,次

界aと

の(ⅰ)∼(ⅲ)が

成 り

立 つ:  

(ⅰ) A+Bは

自 己 共 役 で あ る.

  (ⅱ) A+BはAの   (ⅲ) Aが

任 意 の 芯 上 で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.

下 に 有 界 でA〓

γ>-∞(γ:実

定 数)な

ら ば,A+Bも

下 に有 界

で あ り,

(2.15) た だ し,a,

bは(2.2)で

与 え ら れ る 定 数 で あ る(0〓a<1).

  こ の 定 理 は 次 の 有 用 な 事 実 も含 ん で い る こ と に 注 意 し よ う.す Bが

定 理2.7の

仮 定 を 満 た す な ら ば,定 理2.7の

結 論 は,Bを

に 置 き換 え て も 成 り立 つ.な

ぜ な ら,任

意 の λ ∈[-1,1]に

仮 定 を 満 た す か ら で あ る.ち

な み に,こ

の 定 理 に 限 ら ず,与

こ の 種 の 含 意 を 読 み 取 る こ と は,抽 る 意 味 で も,重 *9 

[5]の2章

λB(∀ λ ∈[-1,1]) 対 して,λBも

同 じ

え ら れ た 定 理 か ら,

象 的 な ア プ ロー チ の 強 力 さ の恩 恵 に あず か

要 な 思 考 作 業 の 一 つ で あ る.

,2.1.3項,2.3.7項.

な わ ち,作 用 素

  定 理2.7を

証 明 す る 前 に,以

と し て 述 べ て お こ う.線

補 題2.8 

Aを

∼(ⅳ)が  

下 で 頻 繁 に使 う こ と にな る基 本 的 な事 実 を 補 題

形 作 用 素Tの

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

値 域 をR(T)に

よ っ て 表 す.

の 対 称 作 用 素 と し よ う.こ

の と き,次 の(ⅰ)

成 り立 つ:

(ⅰ) あ る λ ∈IR＼{0}に

対 し て,R(A±iλ)=Hな

ら ば,Aは

自 己共 役 で

あ る.   (ⅱ) あ る λ ∈IR＼{0}に

対 し てR(A±iλ)がHで

稠 密 な ら ば,Aは

本 質的

に 自 己 共 役 で あ る.   (ⅲ) Aは

下 に 有 界 でA〓

γ(γ ∈IR)と

在 し て,R(A-γ+λ)=Hな   (ⅳ) (ⅲ)と

ら ば,Aは

同 じ 条 件 の も と で,あ

稠 密 な ら ば,Aは

し よ う.こ

の と き,あ

る λ>0に

対 し てR(A-γ+λ)がHで

本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.

自 己 共 役 性 の 一 般 的 判 定 条 件([5]の え にAも

意 味 す る.し

定 理2.41)に

稠 密 な ら ば,R(λ-1A±i)はHで

本 質 的 自 己 共 役 性 の 一 般 的 判 定 条 件([5]の 的 に 自 己 共 役 で あ る.し   (ⅲ) A=A-γ

定 理2.20),十

れ はAの

*10 零 で な い 任 意 の 実 数kと 易;[5]の *11 λ-1Aの

共 役(証

よ っ て,λ-1Aは

本質

本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る*11. す る と,‖(A+λ)Ψ‖2〓 は 単 射 で あ る.し

は 全 単 射 に な る.ゆ

た が っ て,R(A+λ

共 役 で あ る.こ

ら,Aも *12 一 般 に

た が っ て,Aも

あ る か ら,A+λ

合 で あ っ た か ら([5]の で あ る.し

自己 共 役 で

稠 密 で あ る か ら,

定 理2.44)に

と お く と,A〓0.λ>0と

∈D(A)で

件 の も と で,A+λ

よ っ て,λ-1Aは

た が っ て,

自 己 共 役*10.

  (ⅱ) R(A±iλ)がHで

λ2‖Ψ‖2,Ψ

存

自 己 共 役 で あ る.

証 明   (ⅰ)  条 件R(A±iλ)=HはR(λ-1A±i)=Hを

あ る.ゆ

る λ>0が

え に,-λ

∈ ρ(A).一

分 小 さ な δ>0に

±iδ)=H.ゆ

た が っ て,問 方,ρ(A)は

対 して,-λ

え に,(ⅰ)に

題の条 開集

±iδ ∈ ρ(A)

よ り,A+λ

は 自己

自 己 共 役 性 を 意 味 す る*12. 任 意 の 自 己 共 役 作 用 素Aに

命 題2.2-(ⅱ),(2.12)式 をB=kIと 閉 包 は λ-1Aで あ る こ と に 注 意(AはAの

対 して ,kAは

自 己 共 役(証

明 は容

し て 応 用 し て も よ い). 閉 包 を 表 す) .こ れ が 自 己 共 役 だ か

自 己 共 役 に な る. ,Tを

任 意 の 自 己 共 役 作 用 素 と す る と き,任

明 は 容 易;[5]の

命 題2.2-(ⅰ),

(2.10)式

意 の 実 数xに をB=xIと

対 して,T+xは

自己

して 応 用 し て も よ い).

  (ⅳ) (ⅲ)と て,Aは

補 題2.9  ∼(ⅳ)が  

同 様 に し て,A+λ

が 全 単 射 に な る.こ

本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.ゆ

Aを

え にAは

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

れ と(ⅲ)の

事 実 に よっ

本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る. 

の 対 称 作 用 素 と し よ う.こ

■

の と き,次 の(ⅰ)

成 り立 つ:

(ⅰ) Aが

ば,Aは

閉 で あ り,あ

る λ ∈IR＼{0}に

対 し て,ker(A*±iλ)={0}な

ら

自 己 共 役 で あ る.

  (ⅱ) あ る λ ∈IR＼{0}に

対 し てker(A*±iλ)={0}な

ら ば,Aは

本 質的に

自 己 共 役 で あ る.   (ⅲ) Aは

閉 か つ 下 に 有 界 でA〓γ(γ

∈IR)と

が 存 在 してker(A*-γ+λ)={0}な   (ⅳ) A〓

し よ う.こ

ら ば,Aは

γ か つ あ る λ>0に

の と き,あ る λ>0

自 己 共 役 で あ る.

対 し てker(A*-γ+λ)={0}な

ら ば,Aは

本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.

証 明   A*は

閉 で あ る か ら,直

り立 つ([5]のp.138,補

交 分 解H=ker(A*±i) 

題2.37).こ

こ で,閉

は 閉 集 合 で あ る こ と([5]のp.140,補

対 称 作 用 素Sに

題2.39)も

  (ⅰ)  こ の 問 題 の 条 件 と(*)はH=R(A〓i)を R(A〓i)に

等 しい.し

た が っ て,補

な わ ち,R(A〓i)はHで

よ っ て,Aは

定 理2.7の

つ い て は,直

よ っ て,Aは

自 己 共 役 で あ る.

よ りH=R(A〓i).右

辺 はR(A〓i)に

た が っ て,補

交 分 解H=ker(A*-γ+λ) 

証 明   (ⅰ)  補 題2.8-(ⅰ)に

∈ ρ(A).し

題2.8-(ⅱ)に

R(A-γ+λ)を

∈ ρ(A+B).す

用 ■

よ り,あ る λ ∈IR＼{0}に

た が っ て,A±iλ

∈IR＼{0}と

す る.Aは

は 全 単 射 で あ る.定

ら ば ±iλ ∈ ρ(A+B)で

分 大 き い￨λ￨に 対 し て(*)が

て は,±iλ

閉 な らば,右 辺 は

(ⅱ)と 同 様 に論 じれ ば よ い. 

て,a+(b/￨λ￨)<1…(*)な ば,十

意 味 す る.Aが

稠 密 で あ る.し

が 全 単 射 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.λ ら,±iλ

つ い て はR(S±i)

本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.

  (ⅲ), (ⅳ)に い て,(ⅰ),

成

用 い た.

題2.8-(ⅰ)に

  (ⅱ)  考 察 下 の 条 件 の も とで は,(*)に 等 し い.す

R(A〓i)…(*)が

成 り立 つ.し

な わ ち,A+B±iλ

対 し て,A+B±iλ 自己 共 役 で あ るか 理2.4-(ⅱ)に

あ る.他

た が っ て,そ

方,a<1な

よっ ら

の よ う な λ に対 し

は 全 単 射 で あ る.

 

(ⅱ)  DをAの て,Ψn→

任 意 の 芯 と し よ う.任 Ψ, AΨn→AΨ(n→

の と き(2.2)に

よ っ て,{BΨn}nは

BΨn→BΨ(n→

∞).と

意 の Ψ ∈D(A+B)=D(A)に

∞)と

な る 点 列{Ψn}n⊂Dが

基 本 列 を な す.し

こ ろ が Ψ ∈D(A)で

が っ て,(A+B)Ψn→(A+B)Ψ.こ

た が っ て,Ψ

対 し あ る.こ ∈D(B),

あ っ た か ら,BΨ=BΨ.し

れ は,DがA+Bの

た

芯 で あ る こ と を意

味 す る.   (ⅲ) s∈IR,

s<γ

と し よ う.こ

た が っ てR(A-s)=H.自

の と き,s∈〓(A)([5]の

己 共 役 作 用 素Aに

定 理2.40-(ⅱ)).し

同 伴 す る 単 位 の 分 解 をEと

す

れ ば

一 方

, 

.し

同 様 に し て‖(A-s)-1‖〓1/(γ-s)が ら,も

れ ら の 不 等 式 と(2.9)か

し

な ら ば,‖B(A-s)-1‖<1と が っ て,(2.15)が

な る こ と が わ か る.ゆ

え にs∈〓(A+B).し

た

得 ら れ る. 

■

  例2.1に

述 べ た 事 実 と加 藤-レ

系2.10 

AをH上

D(B)を

示 さ れ る.こ

た が っ て

リ ッ ヒ の 定 理 か ら,次

の 自己共 役作 用素,BをH上

の 系 が 得 ら れ る*13:

の 有 界 な対 称 作 用 素 でD(A)⊂

満 た す もの とす る.こ の と き,次 の(ⅰ)∼(ⅲ)が 成 り立 つ: 

(ⅰ)  A+Bは

自己 共 役 で あ る.

  (ⅱ) A+BはAの (ⅲ) Aが

任 意 の芯 上 で 本 質 的 に 自己 共 役 で あ る. 

下 に有 界 でA〓

γ>-∞(γ:実

定 数)な らば,A+Bも

で あ り,A+B〓γ-‖B‖.

*13  こ の 系 は[5]の

命 題2

.2-(ⅰ), (2.10)を

使 っ て も証 明 で き る.

下 に有 界

2.3 

加 藤-レ

リ ッ ヒ の 定 理 の 応 用―

共 役 性,原

  d, Nを

子 と物 質 の 弱 安 定 性

自 然 数 と し て,(IRd)N=IRdNの

IRd, j=1,…,Nと る,変

表 す.ヒ

数xj∈IRdに

数Fに

元 の 一 般 化 さ れ た ラ プ ラ シ ア ン をΔxjと

を 参 照).ま

た,以

よ る か け 算 作 用 素 を 単 にFと

  [6]の3章,3.4節 L2(IRdN)に

点 をx=(x1,…,xN), xj∈

ル ベ ル ト空 間L2((IRd)N)=L2(IRdN)に

関 す るd次

([6]の3章,3.3節,3.4節 る,関

シ ュ レ ー デ ィ ン ガー 型 作 用 素 の 自 己

下 で はL2(IRν)

(ν ∈IN)に

記 す([6]のp.296∼p.297を

で す で に 述 べ た よ う に,シ

お け 記す お け 参 照).

ュ レーデ ィ ンガー型作用 素 は

お け る作 用 素 と して

(2.16) と い う形 で 与 え ら れ る.た 的 に は,hを

だ し,h>0,

パ ラ メ ー タ ー で あ り― 物 理

プ ラ ン ク の 定 数 と して,h=h/(2π), mjはj番

子 の 質 量 を 表 す―,V:IRdN→IRは る[上 の 規 約 に よ り,(2.16)に こ の 節 で は,あ

  2.3.1 

mj>0は

目 の量 子 力 学 的粒

ポ テ ン シ ャル を表 す ボ レル 可 測 関 数 で あ お け るVは

る ク ラ ス のVに

関 数Vに

対 し てHSが

よ る か け 算 作 用 素 を 表 す].

自 己 共 役 で あ る こ と を 証 明 す る.

ス ケ ー ル 変 換

  作 用 素HSの

解 析 に お い て,係 数h2/(2mj)が

さ を軽 減 す る た め に,ま ず,HSに

あ る こ とに よ る計 算 上 の 煩 雑

あ る ユ ニ タ リ変 換 を施 し,そ の形 に関 して,

あ る種 の簡 潔 化 を行 う.   正 の 実 数 の 集 合IR+のν

個 の 直積

 の 任 意 の 元aとIRν

上 の 関数fに

対 して,関 数Uafを

(2.17) に よ っ て 定 義 す る.た ク トルaに

だ し,a〓x:=(a1x1,…,aνxν).関

よ る 伸 張 変 換 ま た は ス ケ ー ル 変 換 と い う.

数Uafをfの

ベ

  f∈L2(IRν)な はL2(IRν)上

ら ばUaf∈L2(IRν)で

あ り,写

像Ua:L2(IRν)∋f〓Uaf

の ユ ニ タ リ作 用 素 で あ る こ と が わ か る.ま

た

(2.18) 作 用 素Uaを(ベ

ク トルaに

よ る)伸 張 変 換(dilatation)ま

た は ス ケ ール 変 換 と

呼ぶ .

 a-1:=(a-11,…,a-1ν)と

定 義 す れ ば,(2.18)よ

り

(2.19) と な る(Iは

恒 等 写 像).

  変 数xj∈IRに

関 す る一 般 化 さ れ た偏 微 分 作 用 素 をDjと

p.283]を 参 照).偏 微 分 作 用 素Djや

記 す([6, p.280,

か け 算作 用 素 と伸 張 変 換 の 関 係 は次 の命 題

に ま とめ ら れ る. 命 題2.11 

E(IRν)はC∞0(IRν)(IRν 上 の 有 界 な 台 を もつ 無 限 回 微 分 可 能 な関

数 の 全体)ま た はS(IRν)(IRν   (ⅰ)  任 意 のa∈IRν+に

上 の 急 減 少 関 数 の 全 体)を 表 す とす る*14.

対 して,UaはE(IRν)か

らそ れ 自身 へ の 全 単 射 で

あ る.   (ⅱ) 任 意 のa∈IRν+と

す べ て のm∈INに

対 して,作 用 素 の等 式

(2.20) が 成 り立 つ.

  (ⅲ) 任 意 の ボ レル 可 測 関 数F:IRν

→Cと

任 意 のa∈IRν+に

対 して

(作 用 素 の 等 式). 

(2.21)

た だ し,Fa(x):=F(a〓x).

証 明   (ⅰ)f∈E(IRν)と g∈E(IRν)に

す れ ば,Uaf∈E(IRν)は

対 し て, 

*14 [5]ま た は[6]の

付 録B

明 ら か で あ ろ う.任 と す れ ばUaf=gで

, Cを

参 照.

意の あ

る か ら,Uaは,E(IRν)を

そ れ 自 身 の 上 へ 写 す.単

射 性 はUaの

ユ ニ タ リ性 に

よ る.   (ⅱ) (2.20)はm=1の

場 合 を 示 せ ば 十 分 で あ る.直

f∈E(IRν), a∈IRν+に E(IRν)は-iDjの 補 題5.7)の

接 計 算 に よ り,任

対 し て, 

が わ か る.

芯 で あ る か ら,[6]の3章,演

応 用 に よ り,作

意の

習 問 題10(ま

た は[1]の5章,

用 素 の 等 式 

が した

が う.   (ⅲ) a, b∈IRν+と

す る.f∈D(Fb)と

ゆ え に,Uaf∈D(Fa〓b).す

たが っ て

な わ ち,UaD(Fb)⊂D(Fa〓b)…(*).し

て,特

に,b=(1,…,1)と

とbの

役 割 を 交 換 す れ ば 

す れ ば,UaD(F)⊂D(Fa)…(**).ま

D(Fa)⊂UaD(F).こ れ が 示 さ れ れ ば,任

す れ ば,Fbf∈L2(Rν).し

.そ

れ と(**)を

たが っ た,(*)でa

こ で,b=a-1と

あ わ せ れ ばUaD(F)=D(Fa)が

意 のf∈D(Fa)=UaD(F)に

場 合 を考 え,IRdの

をud=(1,…,1)∈IRdと

に よ っ て 定 義 す る.命

命 題2.12 

し,こ

題2.11に

HSは(2.16)に

れ を 用 い て,IRdNの

ベ ク トルs0を

の と き,作 用 素 の 等 式

ヒ ル ベ ル ト空 間Hか ら ヒ ルベ ル ト空 間K ユ ニ タ リ作 用 素 と す る と き,作 用 素 の 等 が 成 り立 つ

を示 せ).

あ る もの

よ っ て 次 の 結 果 が 得 ら れ る*15:

1,…,ANを へ の 線 形 作 用 素 と し ,U:H→Kを 式 

■

ベ ク トル で す べ て の 成 分 が1で

よ っ て 与 え られ る とす る.こ

*15 次 の 基 本 的 事 実 も使 う:A

出 る.こ

対 して, 

が 成 り立 つ こ と を 示 す こ と は 単 純 な 計 算 で あ る. 

 さ て,ν=dNの

お けば

が 成 り立 つ.た

だ し,Vs0(x):=V(s0〓x), 

上

の 一 般 化 さ れ た ラ プ ラ シ ア ン で あ る.し

た が っ て,特

に,次

の(ⅰ)∼(ⅲ)が

成立

す る:  

(ⅰ) -Δ+Vs0が

稠 密 な 部 分 空 間D⊂D(Δ)∩D(Vs0)の

己 共 役 で あ る こ と とHSがU-1s0D上

上 で本 質 的 に 自

で 本 質 的 に 自己 共 役 で あ る こ と とは 同値 で

あ る.   (ⅱ) -Δ+Vs0がE(IRdN)上

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る こ と とHSがE(IRdN)

上 で本 質 的 に 自 己 共役 で あ る こ と とは 同値 で あ る.   (ⅲ) -Δ+Vs0が

自己 共 役 で あ る こ と とHSが

自己共 役 で あ る こ と とは 同値

で あ る. 証 明   (ⅰ)  [6]の3章,演

習 問 題10(ま

  (ⅱ) こ れ は(ⅰ)と 命 題2.11-(ⅰ)に

た は[1]の5章,補

題5.7)の

応 用 に よ る.

よ る.

  (ⅲ)  自 己 共 役 性 の ユ ニ タ リ 不 変 性 に よ る. 

  以 下 で み る よ うに,-Δ+Vの(本 性 はVが

■

質 的)自 己共 役 性 お よび その スペ ク トル特

どの よ う な関 数 空 間 に 属 す る か に依 存 す る.そ こで,次 の 概 念 を導 入

す る. 定 義2.13 

VをIRν+上

の ボ レル 可 測 関 数 の集 合 とす る.任 意 のa∈IRν

して,F∈V⇒Fa∈Vが

成 り立 つ と き,Vは

に対

ス ケ ー ル 不 変 ま た は伸 張 対

称 で あ る とい う. 注 意2.2 

Vが

ス ケ ー ル 不 変 で あ る こ と は,任 意 のa∈IRν+に

と い う こ と と 同 値 で あ る.Uaの は,UaV=Vと

可 逆 性 を使 え ば,Vが

対 して,UaV⊂V

ス ケ ール 不 変 で あ る こ と

同 値 で あ る こ と が わ か る.

  誤 解 の お そ れ は な い と 思 う が,念 の た め に い っ て お け ば,上 の 定 義 は,関 数 空 間 の ス ケ ー ル 不 変 性 の 定 義 で あ っ て,個

別 的 な関 数 の ス ケ ー ル不 変 性 の そ れ で は

な い.

 ス ケ ー ル 不 変 な関 数 空 間 に属 す る ポ テ ン シ ャ ルVを 型 作 用 素HSの(本

もつ シュ レー ディ ン ガー

質 的)自 己 共役 性 を証 明 す る問 題 は,ν を任 意 の 自然 数 と し

て(ν=dNで

あ る 必 要 は な い),L2(IRν)上

の よ り 簡 潔 な 形 の シ ュ レ ー ディ ン

ガ ー 型作 用 素

(2.22) の そ れ に 帰 着 さ れ る.た

だ し,U:IRν

→IRは

ス ケ ー ル不 変 な 関数 空 間 に属 す

る 関 数 で あ る. 例2.2 

(ⅰ)IRν 上 のr回

はr=∞(可

連 続 微 分 可 能 な 関 数 の 全 体 をCr(IRν)で

算 無 限)].こ

  (ⅱ)  任 意 のp(1〓p〓

表 す[r∈INま

た

の 関 数 空 間 は ス ケ ー ル 不 変 で あ る. ∞)に 対 して,Lploc(IRν)とLp(IRν)は

ス ケ ー ル不 変 で あ る

(積 分 の 変 数 変 換 を用 い れ ば よい)*16.

  2.3.2 

並

進

共

変

性

  a∈IRν

とIRν 上 の 関 数fに

対 して,関

数fa:IRν

→Cを

(2.23) に よ っ て 定 義 す る.faを

関 数fの

ベ ク トルaに

よ る 並 進 ま た は平 行 移 動 と

い う.  IRν 上 の ル ベ ー グ 測 度 の 並 進 不 変 性 に よ っ て,f∈L2(IRν)な で あ り,‖fa‖=‖f‖ た が っ て,写

ら ばfa∈L2(IRν)

が 成 り立 つ こ と が わ か る(‖・‖ はL2(IRν)の

ノ ル ム).し

像T(a):L2(IRν)→L2(IRν)を

(2.24) に よ っ て 定 義 で き る.直

接 計 算 に よ り,任

意 のa, b∈IRν

に 対 して

(2.25) が 成 り立 つ こ とが 簡 単 に わか る.こ れ とT(0)=Iに

注 意 す れ ば,T(a)は

全単

射であ り

(2.26) *16 関 数 空 間Lp(IRν)やLploc(IRν)に

つ いて は

,[5]ま

た は[6]の

付 録Cを

参 照.

が 成 り立 つ こ と が 示 さ れ る.よ る.ユ

っ てT(a)はL2(IRν)上

ニ タ リ作 用 素T(a)をL2(IRν)上

  次 の 二 つ の 命 題 は,命

題2.11と

の(ベ 命 題2.12と

の ユ ニ タ リ作 用 素 で あ

ク トルaに

よ る)並 進 と い う.

同 様 に し て 証 明 さ れ る(演 習 問 題

1).

命 題2.14   (ⅰ)  任 意 のa∈IRν

に対 して,T(a)はE(IRν)か

ら そ れ 自身 へ の 全 単 射 で

あ る.   (ⅱ) 任 意 のa∈IRν

とすべ て のm∈INに

対 して,作 用 素 の 等 式

(2.27) が 成 り立 つ.   (ⅲ) 任 意 の ボ レル 可 測 関 数F:IRν→Cと

任 意 のa∈IRν

に対 して,作 用

素 の等 式

(2.28) が 成 り立 つ.

命 題2.15 HUは(2.22)に に 対 し て,作

よ っ て 与 え ら れ る とす る.こ

の と き,任 意 のa∈IRν+

用 素の等式

(2.29) が 成 り立 つ.し

た が っ て,特 に,次 の(ⅰ)∼(ⅲ)が 成 立 す る:

  (ⅰ) -Δ+Uaが

稠 密 な部 分 空 間D⊂D(Δ)∩D(Ua)の

共 役 で あ る こ と とHUがT(a)-1D上

上 で本 質 的 に 自己

で 本 質 的 に 自己 共 役 で あ る こ と とは 同値

で あ る.   (ⅱ) -Δ+UaがE(IRν)上

で 本 質 的 に 自己 共 役 で あ る こ と とHUがE(IRν)

上 で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る こ と とは 同値 で あ る.   (ⅲ) -Δ+Uaが で あ る.

自己 共役 で あ る こ と とHUが

自己 共 役 で あ る こ と とは 同値

  2.3.3 

自 己共 役 性 に 関 す る定 理

 ν を 任 意 の 自 然 数 と し,あ

ら た め てV:IRν

  加 藤-レ

リ ッ ヒ の 定 理 を,A=-Δ,

(U=Vの

場 合 のHU)の

→IRと

B=Vと

す る.

し て,応 用 す る こ と に よ り,HV

自 己 共 役 性 に 関 す る 一 般 的 定 理 を確 立 す る に は,次

性 質 を も つ ポ テ ン シ ャ ルVの

ク ラ ス を 探 せ ば よ い:Vは-Δ-有

の 相 対 限 界 は1未

満 に と れ る.

  そ の た め に,一

般 の 測 度 空 間 上 の 関 数 の ク ラ ス を 一 つ 導 入 し て お く:

定 義2.16 

(M,μ)を

測 度 空 間 と し,1〓p, q,〓

∞

と す る.M上

ｆ で,f=f1+f2(f1∈Lp(M,dμ), f2∈Lq(M,dμ))と の の 全 体 をLp(M,dμ)+Lq(M,dμ)と よ う なfの

の可 測 関 数

い う形 に表 され る も 記 す.こ

全 体 を 

  任 意 のp, q∈[1,∞]に

の

界 で あ り,そ

の 分 解 でf1, f2が

実数値で ある

と 記 す.

対 し て, 

とLp(IRν)+Lq(IRν)

は ス ケ ー ル 不 変 で あ る(演 習 問 題2).

定 理2.17 ν〓3, 

と す る.こ

の と き,次

の(ⅰ),

(ⅱ)が 成 り立 つ:   (ⅰ) D(-Δ+V)=D(-Δ), -Δ+Vは   (ⅱ) -Δ+Vは-Δ

自 己 共 役 で あ り,下

に 有 界 で あ る.

の 任 意 の 芯 上 で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.特

に,-Δ+V

はC∞0(IRν)上

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.

 定 理2.17を

証 明 す るた め に補 題 を い くつ か用 意 す る.記 号 の 簡略 化 の た め に

(2.30) と す る.ま L1(IRν)な

た,緩

増 加 超 関 数 φ に 対 す る フ ー リ エ 変 換 を φ と 記 す*17.φ

∈

らば

(2.31) で あ る.た

だ し,

*17 [5]ま た は[6]の

付 録B , Cを

参 照.

ν〓3の

とき

(2.32) は 有 限 で あ る.

補 題2.18 ν〓3と f∈L1(IRν)で

す る.f∈L2(IRν)か

つ 

な ら ば,

あ り

(2.33) こ こ で,定

数 β ∈IRに

対 して

(2.34) 証明 

と変 形 し,シ

ュ ヴ ァル ッの 不 等 式 を

使 う と 

. 

補 題2.19 

L2(IRν)上

の 一 般 化 さ れ た ラ プ ラ シ ア ンΔ

■

に つ い て 次 が 成 り立 つ:

(2.35) (2.36) 証 明   [6]の 定 理3.28の

証 明(p.299)ま

た は[1]の

定 理5.9(p.166∼p.167)を

参

照. 

■

補 題2.20 ν〓3と L1(IRν)で

あ る.さ

て の ψ ∈D(-Δ)に

す る.こ ら に,任

の と き,す

意 の ε>0に

べ て の ψ ∈D(-Δ)に 対 し て,定 数bε〓0が

対 し て,ψ 存 在 して

∈

,す べ

対 して

(2.37) が 成 り立 つ.

証 明   ψ ∈D(-Δ)な た が っ て,任 2.18の

ら ば,補

意 のr>0に

題2.19に

よ り, 

.し

対 し て,f(k):=rνψ(rk)と

仮 定 を 満 た す.し

た が っ て,不

等 式(2.33)が

お け ば,fは 成 り立 つ.他 .し

.rが も 正 数 全 体 を 動 く.し

た が っ て,任

補題

方, 

た が っ て, 

正 数 全 体 を動 く と き,C(ν)r(ν-4)/2

意 の ε>0に

対 し,bε>0が

存在 し

(2.38) が 成 り立 つ*18. 

であ るか ら

が 成 り立 つ([5]ま

た は[6]の

.こ

付 録B,定

れ と(2.38)お

理B.8を

よ び 補 題2.19に

補 題2.21 ν〓3, 

参 照).し

た が っ て, 

よ り(2.37)を

得 る. 

な ら ばF≪-Δ.

証 明   仮 定 に よ り,F=F1+F2,  ψ ∈D(-Δ)と

す れ ば,補

と書 け る.

題2.20に .し

D(F).さ

ら に,(2.37)を .ε>0は

定 理2.17の

■

よ り,ψ∈L∞(IRν)で た が っ て,ψ ∈D(F),す

あ り,  な わ ち,D(-Δ)⊂

用 い る と  い く らで も小 さ く と れ る か ら,F≪-Δ

証 明   補 題2.21に

よ っ て,A=-Δ,

B=Vと

ヒ の 定 理 を 応 用 で き る. 

で あ る. 

し て,加

■

藤-レ リ ッ ■

  2.3.4  並 進 対 称 なポ テ ン シ ャル を もつ2体

系の構造

  次 に,非 相 対 論 的 量 子 力 学 の モ デ ル の 基 礎 的 あ る い は標 準 的 な具 体 例 を取 り 上 げ,上 述 の 理 論 を応 用 す る こ と に よ り,そ の ハ ミル トニ ア ンの(本 質 的)自 己 共 役 性 を証 明 した い.だ が,そ *18 具 体 的 に は ,た

と え ば, 

の 前 に,こ こ で,あ

る重 要 な 基 本 的 な事 実 に

ふ れ て お か ね ば な ら な い.そ 子 が,そ

れ は,水

素 原 子 の 場 合 の よ う に,2個

の 量 子 的粒

れ ら の 位 置 座 標 の 差 だ け で 決 ま る ポ テ ン シ ャ ル― 水 素 原 子 の 場 合 に は

-e2/￨x1-x2￨(e>0は

基 本 電 荷 ,x1,x2∈IR3は

置 座 標 を 表 す)―

そ れ ぞ れ,電

子,陽

子 の位

の 作 用 の も と に あ る 系 の ハ ミル トニ ア ン の 構 造 に 関 す る も の

で あ る.こ

の 系 は2体

合 に は,実

は,当

系 で あ る が,ポ

テ ン シ ャ ル が そ の よ う な形 を して い る場

該 の ハ ミ ル トニ ア ン の 解 析 は,本

ン の そ れ に 帰 着 で き る の で あ る.以

下,こ

質 的 に1体

の ハ ミ ル トニ ア

れ が ど の よ う に して 可 能 で あ る か を

み る.   d次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間IRdに 系 を 考 え,そ

お い て,2個

の非相対論的量子的粒子か らなる

れ ぞ れ の 量 子 的 粒 子 の 質 量 をm1,m2>0と

ト空 間 と し て 座 標 表 示 で のL2空

間L2(IRd×IRd)を

の 点 を 一 般 に(x1,x2)(x1,x2∈IRd)で

す る.状

態 の ヒ ルベ ル

と り,(IRd)2=IRd×IRd

表 す.量

子 的 粒 子 の 間 に は,ル

ベー グ

測 度 に 関 し て ほ と ん ど い た る と こ ろ 有 限 な ボ レ ル 可 測 関 数V:IRd→IRか 定 ま る ポ テ ン シ ャ ルV(x1,x2):=V(x1-x2)が て,系

ら

働 い て い る と す る.し

たが っ

の ハ ミ ル トニ ア ン は

(2.39) で 与 え ら れ る.た

だ し,Δxは

変 数x∈IRdに

関 す る,一

般 化 さ れ たd次

元 ラ

プ ラ シ ア ン で あ る.   容 易 に 気 づ く よ う に,ポ a,x2-a)=V(x1,x2), 並 進,す

な わ ち,空

称 性 ま た はIRd-並 よ う に,Hの

テ ン シ ャ ルVは,任 ∀(x1,x2)∈(IRd)2を

意 のa∈IRdに 満 た す.す

間 並 進 に 対 し て 不 変 で あ る.こ 進 不 変 性 を も つ と い う*19.こ

解 析 は1体

対 し て,V(x1な わ ち,VはIRdの

の よ う な 関 数 はIRd-並

の 対 称 性 の お か げ で,次

進対 に示 す

の ハ ミ ル トニ ア ン の 解 析 へ と 帰 着 で き る の で あ る.

  写 像u:(IRd)2→(IRd)2を

*19 一 般 に 

上 の 関 数fが

a,…,xN-a))=f(x),∀x=(x1,…,xN)∈(IRd)Nを 並 進 対 称 ま た はIRd-並

進 不 変 で あ る と い う.

任 意 のa∈IRdに

対 して

,f(x1-

満 た す と き,fはIRd-

に よ っ て 定 義 す る.こ す るx1の とm2の

こ で,右

辺 に 現 れ た ベ ク トルx=x1-x2は

点x2に

対

易 に わ か る よ う に,uは

線

相 対 位 置 ベ ク トル で あ り,X=(m1x1+m2x2)/(m1+m2)はm1 重 心 ベ ク トル で あ る こ と に 注 意 し よ う.容

形 で あ り全 単 射 で あ る.(IRd)2の

に よ っ て 与 え ら れ る(1dはd次 detu=1.と

標 準 基 底 に 関 す るuの

の 単 位 行 列).し

計 算 さ れ る.こ

れ は,ま

行 列 表 示uは

た が っ て,そ

た,detu-1=1も

の 行 列 式detuは 意 味 す る.そ

こ で,

写 像U:L2((IRd)2)→L2((IRd)2)を

(2.40) に よ っ て 定 義 す れ ば,Uは

ユ ニ タ リで あ り

(2.41) が 成 り立 つ こ と が わ か る.こ

のUに

よ るHの

ユ ニ タ リ 変 換UHU-1を

求 め

よ う.   xj=(xj1,…,xjd)∈IRdと

分 作 用 素 をDjlと

で 与 え られ る.こ

記 す.し

導 入 す る(Dylは

意 の φ∈C∞0((IRd)2)に

で あ り,(x,X)=u(x1,x2)と

を 得 る.同

様 に

数xjlに

算 の 便 宜 上,Py,l=-ihDyl, 変数ylに

対 して,(2.41)に

お け ば,合

関 す る一 般 化 され た偏 微

運 動 量 作 用 素 の 第l成 分 は

の と き,-h2Δxj=Σdl=1p2jl.計

y=(y1,…,yd)∈IRdを 作 用 素).任

書 く と き,変

た が っ て,粒 子mjの

関 す る一 般 化 され た偏 微 分 よ り,U-1φ∈C∞0((IRd)2)

成 関 数 の微 分 法 を用 い る こ とに よ り

した が っ て

こ れか ら

が 導 か れ る.た

だ し,μ:=m1m2/(m1+m2)は2体

系 の 換 算 質 量 を 表 す.作

用 素-(h2Δx/2μ)-(h2ΔX/2(m1+m2))はC∞0((IRd)2)上 共 役 で あ る か ら,上

の 式 よ り,作

で 本 質 的 に 自己

用 素の等式

(2.42) が 成 り立 つ こ と に な る.ハ

ミ ル トニ ア ンHの

中 の ポ テ ン シ ャ ル の 部 分Vに

い て は,V1:(IRd)2→IRをV1(x,X):=V(x),a.e.(x,X)に ば,作

つ

よ って 定 義 す れ

用 素 の等 式

が 示 され る.以 上 か ら(脚 注15も

参 照),作 用 素 の 等 式

(2.43) が 得 ら れ る.   自 然 な 同 型L2((IRd)2)=L2(IRd) 

L2(IRd)を

用 いる と

(2.44) が 成 立 す る こ と に な る.た

だ し

で あ り,D(HV)=D(Δx)∩D(V)はL2(IRd)で が っ て,HVは

稠 密 で あ る と仮 定 す る(し た

対 称 で あ り,可 閉で あ るの で テ ンソ ル積 が 定 義 され る).[6]で す

で に論 じた よ うに,作 用 素HCは

質 量 がm1+m2の

ハ ミル トニ ア ンで あ る .他 方,HVは

自由 粒 子 の 運 動 を記 述 す る

質 量 μ の 非 相 対 論 的粒 子 が ポ テ ン シ ャ ル

Vの

作 用 の も と にあ る系 の ハ ミル トニ ア ンで あ る.こ

Hで

記 述 され る 系 は,独 立 した2個

う して,ハ

ミル トニ ア ン

の量 子 的粒 子 か ら な る系―一

方 は,も

と

の 系 の重 心 の 運 動 に対 応 す る 自由 粒 子 の運 動 で あ り,他 方 は ポ テ ンシ ャルVを もつ1粒

子 の運 動― と同値 にな る.ハ

で あ る の で,Hの

ミル トニ ア ンHCは

解 析 は,本 質 的 にHVの

が 本 質 的 に 自己 共 役 な らば,HV I+I  (2.44)に よ り,Hの

よ くわ かっ た 作 用 素

解 析 に帰 着 さ れ る.た HCは

とえ ば,HV

本 質 的 に 自己 共役 で あ る の で,

本 質 的 自己 共 役 性 が した が う.

  次 の 項 以 降 で,HVの

型 の ハ ミル トニ ア ンを取 り上 げ るが,2体

系 で あ っ て も,

こ の 型 の 作 用 素 で 表 され るハ ミル トニ ア ン― これ は1体 のハ ミル トニ ア ン― に 考 察 を限 定 して よい 理 由 は こ こ に あ る の で あ る.

  2.3.5 

基 本

的

な 例

  a.  水 素 様 原 子 の ハ ミ ル トニ ア ン

  e>0を

基 本 電 荷(電

気 素 量)を

表 す パ ラ メ ー タ ー と す る.Zeの

電荷で正 に

帯 電 さ れ て い る 原 子 核 が つ く る 場 の 中 で1個

の電子が運動 する系は水素様原子

(hydrogen-like

子 核 は3次

ル 空 間IR3の シ ャ ル はIR3の

atom)と

呼 ば れ る.い

ま,原

原 点 に 固 定 さ れ て い る と す る.こ

の と き,こ

元 ユ ー ク リ ッ ドベ ク ト の系 に お け る ポ テ ン

ク ー ロ ン型 ポ テ ン シ ャ ル

(2.45) に よっ て 与 え ら れ る.し

た が っ て,こ

の 系 の ハ ミ ル トニ ア ン は

(2.46)

で あ る.こ

こ で,m>0は

し,XRを[0,R]上

電 子 の 質 量 を 表 す パ ラ メ ー タ ー で あ る*20.R>0と

の 定 義 関 数 と す れ ば,

と 書 け る.容

易 に わ か る よ う に, 

補 題2.21に

よっ て

し た が っ て,

(2.47) ゆ え に,加 藤-レ リ ッ ヒの 定 理 ま た は定 理2.17に

 Hhyd(Z)は

定 義 域 をD(-Δ)と

あ り,C∞0(IR3)上

よっ て,次 の事 実 が 得 られ る:

す る,下 に有 界 な 自 己共 役 作 用 素 で

で本 質 的 に 自己 共 役 で あ る.

  この 事 実 か ら,特 に,水 素 様 原 子 は弱 安 定 で あ る こ とが 結 論 され る.   b.  多 体 系 の ハ ミル トニ ア ン   例aは一

体 問題 の ハ ミル トニ ア ンで あ っ た.で は,多 体 問 題 のハ ミル トニ ア ン

の場 合 は ど うで あ ろ うか.こ の 場 合 の一般 的定 理 の一 つ と して次 の 定 理 が あ る. 定 理2.22  IRdN上

d〓3, 

と し,

の 関 数:x=(x1,…,xN)〓Vi(xi)に

用 素 をViで

表 す.同

に よ る(L2(IRdN)上

様 に,IRdN上 の)か

よ る(L2(IRdN)上

の)か

け算 作

の 関 数:x=(x1,…,xN)〓Vij(xi-xj)

け 算 作 用 素 をVijで

表 す.こ

の と き,

*20 原 子 核 が 固 定 し て お ら ず ら ば,mは meか

,前 項 の よ う に,水 素 様 原 子 を 真 の2体 系 と して考 え る な 電 子 の 質 量 で は な く,水 素 の 原 子 核 で あ る 陽 子 の 質 量mpと 電 子 の 質量

ら 決 ま る 換 算 質 量 μ=memp/(me+mp)で

の こ と も 考 慮 し て,理

論 的 に は,mを

9.11×10-31kg/1.67×10-27kg〓5.46×10-4≪1で も近 似 の 精 度 は か な り よ い.

あ る と し な け れ ば な ら な い.こ パ ラ メ ー タ ー と み る.ち

な み に,me/mp=

あ る の で μ 〓meと

して

はD(-Δ)上

で 下 に 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 で あ り,C∞0(IRdN)上

で本質的 に 自

己 共 役 で あ る. 証 明   補 題2.21に D(Δ).し

よ っ て,Vi≪-Δxi.ま

た が っ て,命

点xj∈IRdを

た,‖-Δxiψ‖〓‖-Δ

題2.2-(ⅱ)に

よ っ て,ΣNi=1Vi≪-Δ

が 成 り 立 つ.

任 意 に 固 定 し,u(xi)=Vij(xi-xj)(i≠j)と  した が っ て,u≪-Δxiと

対 し てbε〓0が

あ っ て,任

意 の ψ∈D(-Δ)に

ψ‖,ψ∈

す れ ば, な る の で,任

意 の ε>0に

対 して

ゆ えに

こ れ はVij≪-Δxiを意味

す る.し

た が っ て, 

ら, 

以上 か

よ っ て,加

藤-レ

リッ ヒ の 定 理 に よ り,

題 意 が した が う. 

■

例2.3 

多 電 子 系 の ハ ミル トニ ア ン.原 子 番 号Zの

間IR3の

原 点 に 固 定 して い る もの と し,j番

で 表 す.電

原 子 系 を考 え る.原 子 核 は座 標 空

目の 電 子 の 座 標 をxj∈IR3(j=1,…,Z)

子 間 お よ び 電 子 と原 子 核 の 間 に 働 く万 有 引 力 に よ る 重 力 相 互 作 用 は 電 気 的

相 互 作 用 に 比 べ て 非 常 に 小 さい の で,こ だ け を考 慮 す る.こ

こで は,第 一 次 近 似 と して,電 気 的 相 互 作 用

の と き,系 の 非 相 対 論 的 ハ ミ ル トニ ア ンはL2(IR3Z)に

お け る作

用素

で 与 え られ る.こ ポ テ ン シ ャ ルVCを

例aで

こ で,Δ

は3Z次

元 の 一 般 化 さ れ た ラ プ ラ シ ア ン で あ る.ク

ーロン

用いると

示 した よ う に, 

2.22の 作 用 素 の 定 数 倍 の 形 を し て い る.こ

で あ る か ら,H(Z)atomは,定 う して,次

の 事 実 へ と 到 達 す る.

理

  H(Z)atomはD(-Δ)上

で 下 に有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 で あ り,C∞0(IR3Z)上

で本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.   こ れ は,特 例2.4 

に,多

電 子 系 が 弱 安 定 で あ る こ と を示 す.

荷 電 粒 子 の 多 体 系 の ハ ミ ル トニ ア ン.電 気 的 に 中 性 で あ る 巨 視 的 物 質 は量 子

力 学 的 に み れ ば,N個

の 電 子 とN個

の 陽 子 お よ びK個

ヴ ォ ガ ド ロ定 数 の オ ー ダ ー〓1023).中 用 を し な い.し

た が っ て,第

の 中 性 子 か ら な る(Nは

ア

性 子 は 電 荷 を もた な い の で 電 磁 気 的 な 相 互 作

一 近 似 と して,電 気 的 相 互 作 用 だ け を 考 慮 し た場 合 の 系

の 非 相 対 論 的 ハ ミル トニ ア ン は,ヒ

ル ベ ル ト空 間L2(IR3N×IR3N)で

働 く作 用 素 と

して

(2.48) に よ っ て与 え ら れ る.こ

こ で,M>0,

パ ラ メ ー タ ー で あ り,Ra∈IR3は

m>0は

陽 子 の 位 置 座 標 を 表 す.前

事 実 が 知 ら れ る(Δ はL2(IR3N×IR3N)に   HNはD(-Δ)上

そ れ ぞ れ,陽

子,電

子 の 質 量 を表 す

例 と 同様 に し て,次

の

お け る 一 般 化 され た ラ プ ラ シ ア ン とす る).

で下 に 有 界 な 自 己共 役 作 用 素 で あ り,C∞0(IR3N×IR3N)

上 で本 質 的 に 自己共役 で あ る.   ハ ミル トニ ア ンHNの

下界 性 は物 質の弱 安定 性 を意味 す る.

  c.  電磁 場 中 を運 動 す る荷 電 粒 子 の ハ ミル トニ ア ン   質 量m>0,電

荷q∈IRの

荷 電 粒 子 が3次

電 磁 場 の 中 を運 動 す る系 を考 え よ う.よ トル ポ テ ン シ ャ ルA=(A1,A2,A3)と

元 空 間IR3に

ス カ ラ ー ポ テ ン シ ャ ルVに

され る.す な わ ち,こ れ らの 量 を用 い る と電 場Eと

に よ っ て 与 え ら れ る.こ

お い て,与 え られ た

く知 られ て い る よ う に,電 磁 場 は ベ ク よ っ て記 述

磁 場Bは

こで

(2.49)

 

は3次

元 の 一 般 化 され た 勾 配 作 用 素 を表 す.粒 子 の 運 動 量 をp,真

空 中の光速

をcと す れ ば,古 典 的ハ ミル トニ ア ンは

で あ る.   こ の 古 典 力 学 系 の 正 準 量 子 化 をCCRの う に は,Hclに

シ ュ レー デ ィ ンガ ー 表 現 を用 い て 行

お い て形 式 的 な 置 き換 えp→-ih∇

をす れ ば よい.こ の 手 続 き

に よ り,考 察 下 の系 の量 子 力 学 的 ハ ミル トニ ア ンの 候 補 と して

(2.50) が 得 ら れ る.た

だ し,こ

の 段 階 に お い て は,Aj:IR3→IRが

可 能 で あ る と す る 必 要 は な い.作 (q/c)Ajと

通 常 の意 味 で微 分

用 素 の 積 と和 の 定 義 に よ っ て,Tj:=-ihDj-

す る と き,

(2.51) で あ る.

定 理2.23 

次 の(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)を

仮 定 す る:

  (ⅰ) 

(ⅱ) 超 関 数 の意 味 で のAjの

偏 微 分DjAjは

関 数 と同 一 視 で き,

  (ⅲ)  こ の と き,C∞0(IR3)⊂D(H(A,V))で に 自 己 共 役 で あ る.さ

あ り,H(A,V)はC∞0(IR3)上

ら に,D(H(A,V))=D(-Δ)で

有 界 で あ る.

証 明   仮 定(ⅰ),

(ⅱ), (ⅲ)を

用 い ると

あ り,H(A,V)は

で本 質的 下に

が わ か る.し

た が っ て,D(H(A,V))は

に 対 して〈 ψ,H(A,V)ψ〉 使 え ば,容

稠 密 で あ る.す

が 実 数 で あ る こ と は,Tjが

易 に わ か る.し

  任 意 の ψ∈C∞0(IR3)に

た が っ て,H(A,V)は

べ て の ψ∈D(H(A,V)) 対 称 作 用 素 で あ る こ とを

対 称 作 用 素 で あ る*21.

対 して

(2.52) (2.53) ただ し

(2.54) こ こ で,第 二 式 を得 るの に,超 関 数 微 分 に 関す る ラ イ プ ニ ッ ツ則

を 用 い た*22.

と お こ う.仮

定(ⅱ),(ⅲ)と

補 題2.21に

よ っ て,

が 成 り立つ.   次 にAjDj≪H0を

示 そ う.仮

Aj2∈L∞real(IR3)(j=1,2,3)と *21  [5]の 命 題2

.30(p.132)に *22  [5]ま た は[6]の 付 録C

定 に よ り,Aj=Aj1+Aj2, 書 け る.ψ∈C∞0(IR3)と

よ る. , C.3節

を参 照.

Aj1∈L4real(IR3), し よ う.は

じめ に シ ュ

ヴ ァ ルツ の不 等 式 を使 い,次 にハ ウス ドル フ-ヤ ング の不 等 式([5]ま た は[6]の 付 録Dを

参 照)を 援 用 す れ ば

任 意 の α>0に

対 して

と書 き,ヘ ル ダー の 不 等 式([5]ま た は[6]の 付 録Dを

そ こ で,α ∞.さ

を3/4<α<1と

い う 範 囲 に 限 定 す る.こ

ら に,任 意 のa>0に

が 成 り立 つ*23.し

を 得 る.こ

対 し,定

数ba〓0が

参 照)を 使 う と

の と き‖(1+￨k￨)-α

存 在 し,

た が って

れ とす で に 得 た 不 等 式 を あ わ せ れ ばAj1Dj≪-Δ

  Aj2Djに

‖4<

関 し て は 次 の よ う に す れ ば よ い.ま

任 意 のa>0に

対 し

*23 ￨kj￨〓￨k￨で

あるか ら

,(1+￨k￨)α￨k￨〓a￨k￨2+baを

[0,∞)上 の 関 数g(t):=at2-(1+t)αt(t〓0)が下 る.そ こ で,た と え ば,-ba:=inft〓0 g(t)と

を 得 る.

ず,

示 せ ば よ い.α<1の

と き,

に 有 界 で あ る こ とは容 易 にわ か す れ ば よ い.

した が っ て

よ っ て,Aj2Dj≪-Δ.   最 後 にA2j≪-Δ

と 仮 定(ⅰ)を る.す

を 示 そ う.等

用 い る と, 

が わか

な わ ち, .し

た が っ て,A2j≪-Δ

  以 上 の 事 実 と 加 藤-レ  

式

.

リ ッ ヒ の 定 理 に よ っ て 次 の 結 果 を 得 る:

(ⅰ) D(H(A,V))=D(-Δ)で

あ り,H(A,V)は

自己 共 役 か つ 下 に 有 界 で

あ る.   (ⅱ) H(A,V)はC∞0(IR3)上   (2.53)に

で 本 質的 に 自 己 共 役 で あ る.

よ っ て,H(A,V)￨C∝0(IR3)⊂H(A,V).こ

てH(A,V)⊂H(A,V).自

れ とす ぐ上 の(ⅱ)に

よっ

己 共 役 作 用 素 は 非 自 明 な 対 称 拡 大 を もた な い か ら

([5]の 命 題2.34(p.137)),H(A,V)=H(A,V)で

な け れ ば な ら な い.よ

っ て,

題 意 が し た が う. 

■

2.4 

  加 藤-レ

リ ッ ヒ の 定 理(定

役 作 用 素 の,摂 与 え る が,こ

必 ず しも 小 さ く な い 摂 動

理2.7)は,任

意 の ヒ ル ベ ル ト空 間 上 で 働 く 自 己 共

動 の も とで の 自 己 共 役性 に関 す る安 定 性 を保 証 す る 十 分 条 件 を の 場 合,摂

動 作 用 素 は,無

な け れ ば な ら な か っ た.し

か し,摂

い も の も た く さ ん あ る.た

と え ば ,1次

Vos(x)=Kx2, x∈IR(K>0:定

摂 動 作 用 素 に 対 し て 然 る べ く"小 さ く"

動 作 用 素 と し て,こ

う した クラ ス に入 ら な

元 の 調 和 振 動 子 の 場 合,ポ

数)と

い っ た 形 を も つ.だ

次 元 ラ プ ラ シ ア ン に 関 し て 相 対 的 に 有 界 で は な い(演 に 対 す る ポ テ ン シ ャ ル― 多 項 式 型 ポ テ ン シ ャ ル―

P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x (n〓3,an≠0,aj∈IR,j=1,…,n)

テンシャルは

が ,こ

習 問 題4).非

のVは1

調和振 動子

の 場 合 も同様 で あ る(演 習 問 題5).こ 動 作 用 素Aに

対 し て摂 動 作 用 素Bが

の節 で は,い

まあ げ た例 の よ う に,無 摂

必 ず し も"小 さ くな い"場 合 にA+Bが

自己 共 役 と な る条 件 を考 察 す る. 定 義2.24 IRd上

の ボ レ ル 可 測 関 数fに

た す 定 数C∈IRが

存 在 す る と き,fは

対 して,f(x)〓C(a.e.x∈IRd)を

満

下 に 有 界 で あ る と い い,f〓Cと

記 す.

  こ の 節 の 第 一 の 目 標 は 次 の 定 理 を 証 明 す る こ と で あ る.

定 理2.25 V∈L2loc(IRd)か

つVは

下 に有 界 で あ る とす る.こ の と き:

  (ⅰ)  L2(IRd)に お け る作 用 素-Δ+Vは  あ り,-Δ+Vは

上 で 本 質的 に 自己 共 役 で

下 に 有 界 で あ る.

  (ⅱ) も し,定

数C〓0が

あ って

(2.55) が 成 り立 つ な ら ば,-Δ+Vは

注 意2.3 

V∈L2loc(IRd)な

ψ ∈C∞0(IRd)に

自 己 共 役 で あ る(-Δ+V=-Δ+V).

ら ばC∞0(IRd)⊂D(V)で

対 して,そ の 台 をKと

あ る.な

ぜ な ら,任

す れ ば,こ れ は 有 界 閉 集 合(コ

意の

ンパ ク ト)で

あ り,  と な る か ら で あ る.

注 意2.4 

定 理2.25の

仮 定 の も と で,-Δ+Vの

閉 包-Δ+Vは

あ る が,(2.55)が

成 立 しな い 場 合 に は,D(-Δ+V)はD(-Δ)∩D(V)に

く な い(付 録Bの

定 理B.1を

V∈L2Lloc(IRd)で

C∞(IR3)上

で 本 質的 に 自 己 共 役 で あ る と は 限 ら な い.

あ っ て も,Vが

下 に 有 界 で な け れ ば,-Δ+Vは

場 合 に つ い て 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.な

Cを 実 定 数 と し て,V〓Cが -Δ+VがC∞0(IRd)上

等 し

参 照).

注 意2.5 

  定 理2.25はV〓0の

自己 共役 で

ぜ な ら,も

成 り 立 つ な ら ば,V:=V-C〓0で

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る こ と と-Δ+VがC∞0(IRd)

し,

あ り,

上 で 本 質的 に 自己 共 役 で あ る こ と は 同値 だ か らで あ る.そ を 通 してV〓0と

こで,以 下,こ

の節

仮 定 す る.

 証 明 の た め の基 本的 な 考 え方 は次 の通 りで あ る.ま ず

(-Δ+VのC∞0(IRd)へ が っ て,補

の 制 限)と

題2.8-(ⅳ)に

す れ ば,こ

よ っ て,R(H+1)の

れ は 非 負 対 称 作 用 素 で あ る.し

た

稠 密 性 を 示 せ ば よ い.R(H+1)

の稠 密 性 は

(2.56) を 満 た す ベ ク トル ψ ∈D(H*)が (2.56)は

零 ベ ク トル に 限 る こ と と 同 値 で あ る.他

方,

超 関 数 の意 味 で の 方 程 式

(2.57) と 同 値 で あ る*24.そ

れ ゆ え,こ

の 方 程 式 の 超 関 数 解 ψ で ψ ∈L2(IRd)と

も の は0し

か な い こ と を 示 せ ば よ い.し

要 す る.ま

ず,超

定 義2.26 

D(IRd)をIRd上

φ ∈D(IRd)'(IRd上

上 の2つ

注 意2.6 

補 題2.27 

の た め に は い くつ か の 準 備 を

関 数 の 正 値 性 の 概 念 を 導 入 し よ う.

の 試 験 関 数 の 空 間 とす る*25.D(IRd)の

な も の の 全 体 をD+(IRd)と

φ(f)〓0を

か し,そ

の 超 関 数 の 空 間)が,す

容 易 に わ か る よ う に,非

f∈L2(IRd),f〓0か

べ て のf∈D+(IRd)に

は 非 負 で あ る と い い,記

の 超 関 数 φ,ψ に つ い て φ-ψ〓0が

対 し て,

号 的 に φ〓0と

成 り 立 つ と き,φ〓

,[5]ま 付 録Cを

書 く.IRd ψ と記 す.

負 超 関 数 は 非 負 値 関 数 の 一 般 化 で あ る.

つ 超 関 数 の 意 味 でΔf〓0な

ら ば,f=0で

あ る. *24 超 関 数 に つ い て は

元で非負

す る:

満 た す と き,φ

*25  [5]ま た は[6]の

なる

た は[6]の 付 録Cあ る い は[4]の17章 を 参 照. 参照 .単 な る 集 合 と し て は,D(IRd)=C∞0(IRd).

注 意2.7 

Δf∈D(IRd)'は

関 数 と 同 一 視 で き る と は 限 ら な い.

証 明   次 の 性 質(ⅰ)∼(ⅲ)を ￨x￨〓1な

もつ 関 数 ρ ∈C∞0(IRd)を

と る*26:(ⅰ)ρ〓0;(ⅱ)

ら ばρ(x)=0;(ⅲ)∫IRdρ(x)dx=1.任  と し,こ

([5]ま た は[6]の た は[6]の

付 録C,

付 録C,定

の 不 等 式([5]ま

れ とfと

C.7節

を 参 照).こ

理C.15-(ⅰ))で

た は[6]の

る こ と が わ か る.し

意 の ε>0に の 合 成 積 をfε

付 録Dを

の と き,fε

あ り,Δfε=(Δ 参 照)を

た が っ て,fε

れ とfε〓0を

応 用 す れ ば,Δfε

∈D(Δ). 

は[6]の

付 録C,定

∈L2(IRd)で

あ

あ る か ら,Δfε〓0が

え に,〈fε,Δfε 〉=0で

な る.一

方,L2(IRd)上

な け れ ば な ら な い.こ

に フ ー リエ 変 換 を 応 用 す れ ば  す な わ ち,fε=0を

辺 にヤ ング

とお く と

用 い る と,〈fε,Δfε 〉〓0と

の 作 用 素 と し て,Δ〓0.ゆ

∈C∞(IRd)(∵[5]ま ρε)*f.右

 と 表 す こ と が で き,uε,x〓0で 導 か れ る.こ

対 し て,

とす る:fε:=ρε*f

を 得 る.こ

意 味 す る. 

の式

れ は,fε=0,

で あ っ た か ら([5]ま

理C.16-(ⅱ)),f=0を

た

得 る. 

■

 次 の 定 理 は そ れ 自体 と して も興 味 あ る もの で あ る. 定 理2.28  L1loc(IRd)の

(加 藤 の 不 等 式)f∈L1loc(IRd)と 元 に な っ て い る とす る.関

し,超

数sgnfを

関 数 の 意 味 で のΔfも

また

次 の よ う に 定 義 す る: の とき  の と き

 (2.58)

こ の と き,超 関 数 の 意 味 で 次 の不 等 式 が 成 り立 つ:

(2.59) 注 意2.8 

定 義2.26で

述 べ た よ う に,(2.59)の

意 味 は,す

べ て のu∈D+(IRd)

に対 して

*26 こ の よ う な 関 数 ρ の 存 在 を示 す に は でh〓0,

supp

は[6]の

付 録B,

よ い.

,た と え ば,次 の よ う に す れ ば よ い.関 数h∈C∞0(IR) hはhの 台 を 表 す)を 満 た す も の を と り([5]ま

h⊂[-1,1](supp B.1節

を 参 照), 

た

とす れ ば

が 成 り立 つ とい う意 味 で あ る. 注 意2.9 

定 理 の 仮 定 の も とで, 

で あ る か ら, 

した が って,  注 意2.10 

f∈C2(IRd)(IRd上

0,x∈IRdな

ら ば,直

の2回 連 続 微 分 可能 な関数 の全 体)か つf(x)≠

接計 算 によ り

(2.60) が 示 さ れ る.こ の 不 等 式 を超 関 数 の レヴ ェ ル まで 普 遍 化 した もの が 加 藤 の不 等 式 で あ る.言 い換 えれ ば,加 藤 の不 等 式 は,(2.60)に 的 理 念 を捉 え た もの な の で あ る.だ が,こ

現 れ て い る究 極的 な普 遍

の 普 遍 化 の構 造 は,以 下 の 証 明 が 語

る よ う に,全 然 自明 で は な く,注 意 深 い重 層的 な極 限 解 析 が 必 要 と され る.一 挙 に 高 み に達 す る こ とは容 易 で は ない.し

か し,こ こ に 関数 解 析 学 の 醍 醐 味 の

ひ とつ の 側 面 を味 わ う こ とが で きる. 証 明   まず, 

の 場 合 を考 え,ε>0と

し

(2.61) と す る.こ

の と き, 

であ り

(2.62) が 成 り立 つ.(2.61)は ,を

意 味 す る.こ

の 事 実 と(2.62)か

ら

(2.63) が 得 られ る.   (2.62)の 両 辺 にFε をか け,そ

う して 得 られ る式 の 両辺 の 発 散 を とれ ば

を 得 る.そ

こ で,(2.63)を

使 え ば 

を 得 る.し

た が っ て,

 た だ し,    さ て,定

理 の 仮 定 の よ う に, かつ 

と し, 

と し よ う(ρ は 補 題2.27の の と き, 

証 明 に お け る の と同 じ も の で あ る).こ

で あ る か ら, 

と お き,前

半

の結 果 を用 い る と

(2.64) を 得 る.ε

を 固 定 し,δ

→0の

と し,Brの

極 限 を と る.r>0に

定 義 関 数 をXrと

対 し て, 

す る.δ<δ0の

と き, 

に注 意 す れ ば

と い う 評 価 を 得 る. 

で あ る か ら, 

と な る*27.し

た が っ て, 

そ こ で,δ0→0と

す れ ば,右

辺 は0に

  が 得 ら れ る.r>0は こ れ は 

の 位 相 でfδ →f(δ

て,D(IRd)'の δ→0と

意 味 で もfδ →fと

→0)と な る([5]ま

収 束 す る の で,

任 意 で あ っ た か ら,

な る こ と を 意 味 す る.し た は[6]の

付 録C,定

たが っ 理C.4).

な る δの 部 分 列 に 移 行 す る こ と に よ り,fδ(x)→f(x)(a.e.x)と

一 般 性 を 失 わ な い*28 .こ ま た,Δfδ=(Δf)δ に, 

の と き 

と な る.

で あ り, 

で あ る か ら,fδ

の 位 相 で 

と な る.し

位 相 で, 

と な る.ゆ

とす る こ と に よ り,超

関 数 の 意 味 で,  か つ 

位 相 で, 

*27 [5]ま た は[6]の

付 録C

*28 [5]ま た は[6]の

付 録A

の 場 合 と 同様

た が っ て,D(IRd)'の え に(2.64)で

δ→0

を 得 る.ε

とす れ ば,  ら,D(IRd)'の

して

→0

であるか ま た,

,定

理C.16-(ⅱ)の

,定

理A.16の

応 用. 応 用.

任 意 のu∈D(IRd)に対して, 

な

ら ば, 

で あ り,  が 成 り 立 つ. 

か ら,ル

で あ る

ベ ー グ の 優 収 束 定 理([5]ま

た は[6]の

付 録Aの

定 理A.6)に

よ り,

 し た が っ て, 

以上 に よ っ て,(2.59)が

定 理2.25の (2.57)が

証 明   ψ ∈D(H*)は(2.56)を

成 り立 つ.(2.57)はΔ

ψ=Vψ+ψ

か ら,こ の 式 の 右 辺 は 

に は い る.し

得 ら れ る . 

満 た す も の と し よ う.し

■

た が っ て,

と変 形 で き, 

である

た が っ て .そ

こ で,

加 藤 の 不 等 式 を 適 用 す れ ば,  ゆ え に .こ   定 理2.25の

れ と 補 題2.27か

後 半 の 主 張 に つ い て は,付 録Bの

て 応 用 す れ ば,条 件(2.55)の

も と で,-Δ+Vは

で あ る か ら,-Δ+V⊂-Δ+V.自 大 を も た な い か ら([5]のp.137,命

ら ψ=0が

結 論 さ れ る.

定 理B.1をA=-Δ,B=Vと

し

閉 で あ る.  己 共 役 作 用 素 は非 自明 な対 称 拡

題2.34),-Δ+V=-Δ+Vで

なければ

な ら な い. 

■

  定 理2.25の

系2.29 

系 と して 次 を 得 る.

(下 に 有 界 な 多 項 式 型 ポ テ ン シ ャル を もつ シ ュ レー デ ィ ン ガ ー型 作 用

素)P(x)をx1,…xdに

関す る 実 係 数 の多 項 式 で 下 に有 界 な もの とす れ ば,

作 用 素-Δ+Pは  証 明   Pの

上 で本 質的 に 自己 共 役 で あ る.

連 続 性 を使 え ば, 

2.25をV=Pと

して 応 用 で き る. 

系2.30 nを

任 意 の 自 然 数 と し, 

λ>0は

定 数,QはIRd上

数 α ∈[0,2n)が

あ って

は容 易 にわ か る.し たが っ て,定 理

の 実 数 値 ボ レ ル 可 測 関 数 で,非

■

と す る.た 負 定 数p ,q〓0と

だ し, 定

を 満 た す も の とす る.こ で あ り,下

の と き-Δ+Pは, 

に 有 界 で あ る.ま

証 明  p2n(x):=λ￨x￨2n,x∈IRdと の ε>0に

上 で 自己 共役

た, は-Δ+Pの

芯 で あ る.

お く.0〓

α<2nで

あ る か ら,任

対 し て, x∈IRdを

定 数 

が あ る.し

満 たす

た が っ て,任

意 の ψ ∈D(P2n)に

こ れ はQ≪P2nを 不 等 式 に よ り,Q≪-Δ+P2n.演 下 に 有 界 で あ る か ら,加

意 味 す る.こ

習 問 題6に

藤-レ

対 し て,  れ と演 習 問 題6-(v)の

よ り,-Δ+P2nは

自己 共 役 で

リ ッ ヒ の 定 理 に よ り,-Δ+P2n+Q=-Δ+P

は 自 己 共 役 で あ り,下

に 有 界 で あ る こ と が 結 論 さ れ る. 

例2.5 

例 と し て は,た

系2.30のQの

意

と え ば,高

■

々(2n-1)次

の 実 多 項 式 が あ る.

2.5  混 合 型 ポ テ ン シ ャ ル を も つ 場 合

 2.3節 と2.4節 の結 果 の応 用 と して,ポ テ ン シ ャ ルの 部 分 が ラ プ ラ シ ア ン に関 して相 対 的 に有 界 な部 分 とそ うで な い 部 分 か らな る場 合 に対 す る シ ュ レー デ ィ ン ガ ー 型作 用 素 の 自 己共 役 性 に つ い て の 基 本 的結 果 を証 明 しよ う. 定 理2.31 

V,W:IRd→IRは

ボ レ ル 可 測 関 数 で,L2(IRd)に

おいて

(2.65) (2.66) を 満 た す も の と す る*29.た λ >0を

だ し,a,

定 数 と し,a+(a'/λ)<1と

L2(IRd)上

b, a', b'が 非 負 の 定 数,nは

自 然 数 で あ る.

い う 条 件 の も と で 考 え る.こ

の と き,

の対 称 作 用 素

(2.67) はD(-Δ)∩D(x2n)上 *29 以 下

,関

数￨x￨β(β

う に 記 す.

で 自 己 共 役 で あ り,下 ∈IRは

定 数)に

に 有 界 で あ る.

よ る か け 算 作 用 素￨x￨β

の 定 義 域 をD(￨x￨β)の

よ

証 明  系2.30に

よ っ て, 

は 自 己 共 役 で あ り, 

で 本 質的 に 自 己 共 役 で あ る.明 ε ∈(0,1)に

ら か に,K〓0.Hλ=K+V+Wと

不 等 式 と 条 件(2.65),(2.66)お

意 の ψ ∈D(K)に

リ ッ ヒ の 定 理 に よ り,題

  例 に つ い て は,演

よ び 演 習 問 題6-(v)の

不等式 に よ

対 して

a, a',λ に 関 す る 仮 定 に よ り,ε>0を 加 藤-レ

書 け る.

対 して

と お く.3角 り,任

上

習 問 題9を

十 分 小 さ く と れ ばgλ,ε<1.し

た が っ て,

意 が し た が う. 

■

参 照.

2.6 

交 換 子 定 理

  前 節 まで に議 論 した,自 己 共役 性 に 関す る諸 定 理 は主 に下 に有 界 な対 称 作 用 素 の 摂 動 に関 す る もの で あ っ た.し か し,量 子 力 学 にお い て 物 理量 を表 す 作 用 素 は 下 に有 界 な もの ばか りで は な い.た

とえ ば,角 運 動 量 とか 一様 な電 場 が か か っ

た 水 素 原 子 系 の ハ ミル トニ ア ンは下 に 有 界 で は な い(以 下 を参 照).そ

こで,こ

の 節 で は 必 ず し も下 に有 界 で は な い対 称 作 用 素 の 自己 共 役性 の問 題 を扱 う.ま ず,基 本 とな る 抽 象的 な定 理 か ら始 め よ う. 定 理2.32 

(交 換 子 定 理(commutator

上 の 自 己共 役 作 用 素 でT〓1を あ る稠 密 な部 分 空 間Dを

theorem)*30).Tは

満 た す とす る.Aを

含 み,DはTの

ヒ ルベ ル ト空 間H

対称作用素でその定義域 は

芯 に な っ て い る とす る.さ

らに次 の 条

件(ⅰ),(ⅱ)が 満 た され る と し よ う.   (ⅰ)  あ る定数c>0が *30  グ リ ム-ジ 理 の"意

ャ

存在 して,す べ て の Ψ ∈Dに 対 して,

ッ フ ェーネ ル ソ ン(Glimm-Jaffe-Nelson)の

味"な

い し"こ

こ ろ"に

つ い て は,証

交 換 子 定 理 と も呼 ぶ.こ

明 の 後 の 部 分 で 簡 単 に ふ れ る.

の定

 

(ⅱ) あ る定 数b>0が

この と き,AはD上

存 在 して,す べ て の Ψ ∈Dに

対 して

で 本 質的 に 自己 共 役 で あ り,A￨Dの

閉包 はTの

すべ て の

芯 上 で 本 質的 に 自 己 共 役 で あ る. 証 明   AD:=A￨Dと

お く.DはTの

芯 で あ る か ら,任

て 

意 の Ψ ∈D(T)に

と な る 点 列 Ψn∈Dが

(ⅰ)よ り{ADΨn}nは Ψ ∈D(AD)か 得 る.条

件(ⅱ)に

存 在 す る.条

コ ー シ ー 列 を な す こ とが わ か る.ADは

つADΨn→ADΨ(n→∞).ゆ お い て Ψ を Ψnで

対 し 件

可 閉 で あ る か ら,

え にD(T)⊂D(AD)…(*)を 置 き 換 え,n→∞

の極 限 を と る と

(**) を得 る.Φ

∈D(A*D),Ψ=T-1Φ

∈D(T)と

し よ う.こ

に 注 意 し,(**)を

が 得 ら れ る.こ

の 不 等 式 と〈Ψ,Φ 〉〓0で

の と き, 

使 えば

あ る こ と(T-1〓0に

と, 

を 得 る.そ

と す れ ば〈 Ψ,Φ 〉〓0.し 左 か らT1/2を

た が っ て〈Ψ,Φ〉=0.こ

作 用 さ せ れ ば Φ=0を

同 様 に 

得 る.し

用いる

こ で, 

れ か らT-1/2Φ=0が

出 る.

た が っ て 

を 示 す こ と が で き る.し

性 に 関 す る 一 般 的 な 判 定 条 件(補 題2.9-(ⅱ))に

注 意)を

た が っ て,本

よ っ て,AはD上

質的 自 己 共 役 で本質的 に自

己 共 役 で あ る.   DeをTの

任 意 の 芯 とす れ ば,(*)に

と し よ う.DはTの

芯 で あ る か ら,極

は 任 意 の Ψ ∈D(T)ま る.こ

う し て お け ば,前

よ りDe⊂D(AD).そ

こ でB=AD￨De

限 操 作 を 用 い る こ と に よ り,条 件(ⅰ),(ⅱ)

で 拡 張 さ れ る.た 半 の 証 明 でAをBと

だ し,AはADで

置 き変 わ る こ と に な

み な し,DをDeと

み な せ ば,前

半 の 結 果 か ら,Bは はDe上

本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る こ と が 結 論 さ れ る.す

な わ ち,AD

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る. 

  定 理2.32の

条 件 の"意 味"に

つ い て 簡 単 に ふ れ て お こ う.条

注 意 す る ま で も な く,AがTに 問 題 は 条 件(ⅱ)で AとTの

あ る.ま

ず,も

し, 

た が っ て,条

い 意 味 で の 交 換 子"― れ が 定 理2.32の

  ベ ク トル 空 間Vか

な ら ば 条 件(ⅱ)は,

件(ⅱ)はAとTの

に対 す る

,Tに

交換 子 の あ る種 の

関 す る"小

さ さ"の 表 現 と み

名 称 の 由 来 で あ る.

ら ベ ク トル 空 間Wへ

る)の

全 体 をL(V,W)で

  Vを

複 素 ベ ク ト ル 空 間 とす れ ば,L(V)は

関 し てC上

えて

関 する条件

で あ る こ と に 注 意 し よ う.し

な せ る.こ

件(ⅰ)は,あ

つ い て 相 対 的 に 有 界 で あ る と い う こ と で あ る.

交 換 子[A,T]:=AT-TAに

一 般 化 ―"弱

■

の 線 形 作 用 素(定

表 し,L(V):=L(V,V)と

の 代 数 に な る.任

義 域 はV全

体 とす

お く. 作 用 素 の 積 と和 お よ び ス カ ラ ー 倍 に

意 のS∈L(V)に

対 し て, 

を

(2.68) に よ っ て 定 義 す る.明

ら か に,δSは

線 形 で あ る.さ

ら に,δSは

ラ イ プ ニ ッツ則

(2.69) を満 たす.す

な わ ち,交 換 子 を とる 演 算 は,作 用 素 の 空 間 にお け る微 分 演 算 の

一 種 とみ られ る .そ こで,δSをL(V)に

お け る,S方

向 へ の 微 分(derivation)

と呼 ぶ.   い ま指 摘 した 事 実 を考 慮 す る と,定 理2.32の 意 味 で,AのT方

条 件(11)は,よ

り一般 化 され た

向 へ の微 分 の小 さ さ を測 る もの と解 釈 す る こ とが で きる.こ

う して,定 理2.32の

仮 定 は,問 題 とな る対 称 作 用 素 お よ び そ の微 分 に 関 す る相

対 的 有 界 性 の 条 件 とみ る こ とが で き る.   定 理2.32の

条 件(ⅰ),(ⅱ)を 満 たす 自己 共 役 作 用 素TをAに

作 用 素 とい う*31.あ

対 す る 一 つ の優

る対 称 作 用 素 に対 す る優 作 用 素 は 一 つ とは 限 らな い.交 換

*31 この 命 名 は ,筆 者 が こ こで試 み に 導 入す る もの で あ り,標 準 的 な もので はな い.

子 定 理 は,「 優 作 用 素 を もつ対 称 作 用 素 は 本 質 的 に 自己 共役 で あ る」 と言 い 換 え られ る. 定 理2.33 

(フ ァ リ ス-ラ ヴ ァ イ ン(Faris-Lavine)の

実 数 値 ボ レ ル 可 測 関 数 と し,Wに

つ い て は,あ

て, 

定 理)V,

WをIRd上

る 定 数a>0,

b∈IRが

が 満 た さ れ る とす る.さ

の 存在 し

らに 次 の条件

(ⅰ),(ⅱ)が 成 立 す る と し よ う.  

(ⅰ) 各j=1,…,dに

対 し,xj,Djの

 

作 用 の も とで不 変 な稠 密 な 部 分 空 間

が 存 在 し, 

はD上

で本 質的

に 自 己 共 役 で あ る.   (ⅱ) あ る α<1に

対 して,-α

Δ+VはD上

こ の と き,H:=-Δ+V+WはD上

  証 明 に 入 る 前 に,そ

で 下 に 有 界 で あ る.

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.

れ 自 体 で 少 し 興 味 の あ る 作 用 素 不 等 式 を 補 題 と して 述 べ

て お く.

補 題2.34 

任 意 の 

に対 して

証明  自明な不等式  い て,右

(複号 同順)に お

辺 を 展 開 す れ ば よ い. 

定 理2.33の

■

証明 

と す る.D上

と書 け る か ら,定 数 γ を  とWに

を 満 た す よ う に 選 べ ば,条

対 す る 仮 定 に よ り, 

件(ⅱ)

が 成 り立 つ.条

(ⅰ)に よ りT0は

本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.T0の

こ の と き,Tは

自 己 共 役 で あ り,T〓1.こ

こ と を 示 そ う.

で

閉 包 をTと

のTがHに

件

し よ う:T=T0.

対 す る優 作 用 素 で あ る

  便 宜 上,Hの

か わ り にA:=H+γ

を 考 え る.し

ゆ え に,任

意 の ψ ∈Dに

DはDjの

作 用 の も と で 不 変 で あ る か ら, 

対 して

(a.e.)で あ り,   

同 様 に, 

し た が っ て,

し た が っ て,特

に 

こ で 次 の よ う に 計 算 を 進 め る(交 換 子[xj,A]の

公 式 と例E.1を

 

ま た, 

で あ る か ら, 

こ とが わ か る.そ 録Eの

た が っ て, 

で ある 計 算 に は,付

用 い よ):

は実 数 で あ り,

で あるか ら

(2.70) を 得 る.条

件(ⅱ)と 

に 有 界 で あ る.し

た が っ て,H+ax2はD上

に よ っ て, T〓1で   xj, DjがDを

に よ り,-Δ+VはD上 で 下 に有 界 で あ る.こ

で下

の と き,(2.70)

あ る か ら,作 用 素 解 析 に よ り, し た が っ て,c:=1+4adと

不 変 に す る こ と と交 換 関 係 

お け ば,  を用 い る と

が 示 さ れ る.右 辺 に補 題2.34を

適用す れば

が 得 ら れ る. 

と し,(*)に

し た が っ て,C=4a/δ 得 る.こ

注 意 す れ ば,D上

で

と お け ば, 

れ と(**)に

よ っ て,交

を

換 子 定 理 が 応 用 で き る の で,AはD上

に 自 己 共 役 で あ る こ とが 結 論 さ れ る,し

た が っ て,HもD上

で本質的

で 本 質 的 に 自己 共

役 で あ る.  例2.6  る.そ

■

原 子 を 一 様 な 静 電 場E∈IR3の

中 に お く と,原 子 の エ ネ ル ギ ー準 位 は 変 化 す

の た め に,原 子 か ら放 射 され る 光 の 振 動 数 は ず れ る.こ

ち な ん で シ ュ タ ル ク(Stark)効

果 と呼 ば れ る.こ

シ ュ タ ル ク ・ハ ミル トニ ア ン― は,水

の現 象 はその発 見者 に

の 効 果 を説 明 す る ハ ミル トニ ア ン―

素様 原子 の場合

(2.71) と い う形 を と る(m>0,-e<0は Z∈INは

原 子 番 号).こ

そ れ ぞ れ,電 子 の 質 量 と電 荷 を 表 す パ ラ メ ー タ ー,

の ハ ミル トニ ア ン のC∞0(IR3)上

で の 本 質 的 自 己 共 役 性 は,

次 の よ り一 般 的 な 定 理 の 特 別 な 場 合 と して 得 ら れ る.

定 理2.35 

λ ∈IR,α

∈IR3と

す る.こ

の とき

(2.72) はC∞0(IR3)上

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.さ

ら に,α ≠0な

ら ばHλ,α

は 上 に も下

に も有 界 で は な い. 証 明   関 数V,Wを 

に よ っ て定 義 す れ ば, 

と 書 け る.(2.47)に 定 理2.31が

適 用 さ れ る.し

よ っ て, 

た が っ て,任

意 の ε>0に

で あ る か ら, 対 して 

は,

 

上 で 自己 共 役 で あ り, 

か に  任 意 の ε>0とa.e.x∈R3に

で あ る か ら,加

対 して,-α Δ+Vは

え て い るW,Vは

藤-レ リ ッ ヒ の 定 理 に よ り,任 意 の

自 己 共 役 で あ り,下

定 理2.33の

に 有 界 で あ る.以

仮 定 をす べ て 満 た す.し

上 で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.Hλ

上 か ら,い

ま考

た が っ て,Hλ,aはC∞0(IR3)

,aが 上 に も下 に も有 界 で な い こ と を示 す こ と は演

習 問 題 とす る(演 習 問 題10). 

注 意2.11 

ら

を不 変 に す る.

対 して

す で に 述 べ た よ う に,V≪-Δ α>0に

上 で 本 質 的 に 自己 共 役 で あ る.明 で あ り,xj,Djは 

■

こ こで は,残 念 なが ら,例 証 す る紙 数 が な いが,交 換 子 定 理 は量 子

場 の 理 論 に お い て も有 用 で あ る.

2.7 

  こ の節 で は,あ

解 析 ベ ク トル 定 理

る意 味 で 性 質 の よい 不 変 部 分 空 間 を もつ 対 称 作 用 素 の 本 質 的

自己 共 役 性 を証 明 す る. 定 義2.36 

TをH上

の 線 形 作 用 素 とす る.

  (ⅰ) ベ ク トル Ψ ∈C∞(T)(定

義1.7を

参 照)が

あ るt>0に

対 して

(2.73) を 満 た す と き,Ψ

をTの

解 析 ベ ク トル(analytic

ク トル の 全 体 をA∞(T)で   (ⅱ) す べ て のt>0に 全 解 析 ベ ク トル(entire H∞(T)で

vector)と

呼 ぶ.Tの

解析ベ

表 す. 対 し て(2.73)を analytic

vector)と

満 た す ベ ク トル Ψ ∈C∞(T)をTの い う.Tの

全 解 析 ベ ク トル の 全 体 を

表 す.

  容 易 に わ か る よ う に,H上

の 任 意 の 線 形 作 用 素Tに

対 して

(2.74) と い う包 含 関 係 が 成 り立 つ.

定 義2.37 

Aを

対 称 作 用 素 と し,各 

て 生 成 さ れ る 部 分 空 間 をDA(Ψ)と 空 間HA(Ψ)上

し, 

の 線 形 作 用 素AΨ

の 作 用 素 と して)本

ベ ク トル(vector

of uniqueness)と

補 題2.39 

と お く.ヒ

ルベ ル ト

質 的 に 自 己 共 役 な ら ば,Ψ

をAの

一意性

い う.

ヒ ル ベ ル ト空 間Hの

間L(D)がHで

に よっ

を 次 の よ う に 定 義 す る:

AΨ が(HA(Ψ)上

定 義2.38 

に 対 し て, 

部 分 集 合Dは,Dに

稠 密 で あ る と き,完

よ って 生 成 され る部 分 空

全 で あ る(total)と

[ヌス バ ウ ム(Nussbaum)]AはH上

い う.

の 対 称 作 用 素 で,D(A)がA

の 一 意 性 ベ ク トル か ら な る 完 全 な 集 合 を 含 む もの とす る.こ

の と き,Aは

本 質

的 に 自 己 共 役 で あ る. 証 明   条 件 に い う 完 全 集 合 をDと よ う.こ

の と き,Dの

 

す る.Ψ

∈Hと

性 質 に よ り,自 然 数Nと

ε>0は

任 意 に与 え られ た と し

複 素 定 数 αnお

で  

よ びDの

ベ ク トル

を 満 た す も の が 存 在 す る.各

ΨnがAの

一 意 性 ベ ク トル で あ る こ と と,本 質 的 自 己 共 役 性 の 判 定 条 件([5]の

理2.44)に

よ り, 

で

を 満 た す も の が 存 在 す る.そ あ り, 

 

こ で, 

と お け ば,Φ

が 成 り立 つ.こ

と を 意 味 す る.同

様 にR(A-i)もHで

題2.8-(ⅱ)に

よ っ て,Aは

補 題2.40 

任 意 の 対 称 作 用 素Aに

れ はR(A+i)がHで

∈D(A)で

稠密であ るこ

稠 密 で あ る こ と が 示 さ れ る.ゆ

え に,補

本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る. 

対 して,Aの

■

解 析 ベ ク トル は す べ てAの

意 性 ベ ク トル で あ る. 証 明  Ψ をAの 解 析 ベ ク トル とす る .写 を

定

像  :

一

に よ っ て 定 義 す る(N∈IN,αn∈C).こ 意 的 に拡 大 さ れ る.そ る.す

な わ ち,AΨ

の 拡 大 も 同 じ 記 号Jで

はJに

す る.IR上

も容 易 に わ か 参 照).し

は 自 己 共 役 拡 大 を も つ.そ

の 測 度 μ を 

の ス ペ ク トル 測 度).ベ

の共役子 に一

表 す. 

関 して 実 作 用 素 で あ る(付 録Dを

フ ォ ン ・ノ イ マ ン の 定 理 に よ り,AΨ Bと

の と き,JはHA(Ψ)上

の任 意 の 一 つ を

に よ っ て 定 義 す る(EBはB

ク トル Ψ はAの

解 析 ベ ク トル で あ る か ら,あ

に 対 して, 

と し よ う.こ

 

た が っ て,

るt>0

の と き,任

意 の

に対 して

した が っ て,単 調 収 束 定 理 に よっ て

は 有 限 で あ る.ゆ

え に, 

とす る と き,関

数: 

は 

で 正 則 な 関 数  n〓0に ら,￨s￨
へ 解 析 接 続 で き る.任

対 し て, 

で あるか

対 して

し た が っ て,￨s￨
対 し て は,関 数 

け か ら決 定 さ れ る.ゆ

え に,B'をAΨ

￨s￨
意 の 非 負整 数

と￨s￨
は 数 列 

の 別 の 自己 共 役 拡 大 とす れ ば, 

成 り立 つ.そ

こ で, 

の 稠 密 性 お よ びeisB,eisB'の 対 し て, 

分 を考 察 す る こ と に よ り,B=B'が

だ

示 さ れ る,ゆ

の任意性 と 有 界 性 を 用 い る と,す

べ ての

が 導 か れ る.s=0で

の強 微

え に,AΨ

は た だ一 つ の 自 己

共 役 拡 大 を も つ.よ

っ て,付

録Dの

系D.2に

よ っ て,AΨ

は 本 質 的 に 自己 共 役

で あ る. 

■

定 理2.41  H上

(ネ ル ソ ン(E.

Nelson)の

の 対 称 作 用 素 で,D(A)がAの

と す る.こ

の と き,Aは

証 明   補 題2.40に む.こ

Sを

DはSの

本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.

よ っ て,D(A)はAの

一 意性 ベ ク トルか らな る完全 集 合 を含 ら 題 意 が し た が う. 

対 称 作 用 素 と し,DをD(S)に

と仮 定 す る(SD⊂D).こ

の と き,SはD上

不 変 に す る の で,Dに

析 ベ ク トル で あ る.し よ り,SのD上

注 意2.12 

た が っ て,定

不変 にする

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.

含 ま れ る,Sの

解 析 ベ ク トル はS￨Dの

理2.41をA=S￨Dと

こ の 系 に お い て,DがSの 用 す る と き に は,注

意 さ れ た い.

ヒ ルベ ル ト空 間H上

の ボ ソ ン フ ォ ッ ク空 間 

任 意 の 部 分 空 間Dに

対 して,Fs(H)の

を考 え

部 分 空 間Fs ,fm(D)を

こで,Ω は フ ォ ッ ク真 空 で あ り,A(f)*(f∈H)は

を参 照).容

で 稠 密 で あ る*32.シ

■

不 変 部 分 空 間 で あ る とい う条 件 は は ず

る.Hの

に よ っ て 定 義 す る.こ

解

して応 用 す る こ とに

例2.7 

Fs ,fm(D)を

つSはDを

で の 本 質 的 自 己 共 役 性 が 導 か れ る. 

す こ と が で き な い.応

す([6]の4.4節

■

含 ま れ る 稠 密 な 部 分 空 間 と す る.

解 析 ベ ク トル か ら な る 稠 密 な 集 合 を 含 み,か

証 明   SはDを

ヒ ル ベ ル ト空 間

解 析 ベ ク トル か ら な る 完 全 集 合 を 含 む も の

れ と ヌ ス バ ウ ム の 補 題2.39か

系2.42 

解 析 ベ ク トル 定 理)Aは

易 に わ か る よ う に,DがHで

生 成 作 用 素 を表

稠 密 な らば,Fs,fm(D)はFs(H)

ー ガ ル の 場 の 作 用 素 

が

不 変 に す る こ と は 明 ら か で あ ろ う.系2.42の

応 用 例 の 一 つ と して,次

の

定 理 を 証 明 で き る: 定 理2.43 

Hで 稠 密 な 任 意 の 部 分 空 問Dに

対 し て, 

はFs,fm(D)上

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る. *32 Dの

n個

の 代 数 的 テ ン ソ ル 積 

部 分 空 間Hns ,fmで

nDの

対 称 化.Sn( 

稠 密 で あ る こ と に よ る.

nD)は[6]の(4.93)式

で定 義 した

証明 

と し,ベ ク トル 

で 

満 た す も の を任 意 に と る.A(f)#に

よ っ て,A(f)ま

n〓1に

項の和 

対 して, 

に よ り,こ

を

た はA(f)*の

ど ち ら か を表 す. .Ψ

れ と[6]の

命 題4.33を

の 取 り方

用 いる と

以 下,同 様 の 評価 を繰 り返 せ ば

が 得 られ る.し

た が っ て,任

意 のt>0に

対 して

(右 辺 の 級 数 が 収 束 す る こ と は ダ ラ ンベ ー ル の 判 定 法 を使 え ば容 易 に わ か る.)ゆ え に, Ψ は ΦS(f)の

解 析 ベ ク トル で あ る.こ

ベ ク トル で あ る こ と を 意 味 す る.し

れ は,Fs,fm(D)の

た が っ て,系2

任 意 の元 が ΦS(f)の

解析

.42が 適 用 で き,結 論 を得 る. ■

2.8  準 双線 形形 式 と自己 共役 作 用 素

  量 子 力 学 へ の 応 用 に お い て,状 与 え られ た と き,A+Bが

態 の ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の 対 称 作 用 素A,Bが

た と え本 質 的 に 自己 共 役 で な くて も,そ れ が 適 切 な

自己 共 役 拡 大 を もつ な らば,そ の 自己 共 役 拡 大 に よっ て,A+Bが

表す物理 的

描 像 に 呼 応 す る物 理 量 を定 義 す る こ とが 可 能 で あ る.そ れ ゆ え,そ の よ う な 自 己 共 役 拡 大 を構 成 す る方 法 を探 求 す る こ と は数 学 的 に も物 理 的 に も意義 を もつ. これ が この 節 の 主 題 で あ る*33. *33 対 称 作 用 素 の 自己 共役 拡 大 に関す る一 般 論 につ い て は ,こ の 章の 付 録C,

Dで

論 じる.

  2.8.1 

準双線 形形式再訪

  準 双 線 形 形 式 に つ い て は,す で に[5]の2.7.2項(p.198∼p.200)で こ で は,ま   Hを

ず,準

双 線 形 形 式 の 重 要 な ク ラ ス の 一 つ を 導 入 す る.

複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間,DをHの

は な い).写

定 義 域 と 呼 び,Q(s)で

 

部 分 空 間 で あ る と す る(稠 密 で あ る 必 要

像s:D×D→CをD×D上

よ う な 準 双 線 形 形 式sをHに

定 義2.44 

ふ れ た.こ

の 準 双 線 形 形 式 と す る.以 お け る 準 双 線 形 形 式 と い う.こ

後,こ

の

の 場 合,Dをsの

表 す*34.

s1, s2を

ヒ ル ベ ル ト空 間Hに

お け る 二 つ の 準 双 線 形 形 式 と す る.

(ⅰ) (準 双 線 形 形 式 の 相 等)Q(s1)=Q(s2)か

て  

つ 任 意 の 

が 成 り 立 つ と き,s1とs2は

に対 し

等 しい と い い,s1=s2と

記 す.

  (ⅱ) (準 双 線 形 形 式 の 和)準 双 線 形 形 式s1+s2を

次 の よ うに定 義 す る:

(2.75) (2.76) s1+s2をs1とs2の

和 と 呼 ぶ.同

準 双 線 形 形 式s1,…,sn(n〓3)に sl,…,snの

様 に,ヒ

ル ベ ル ト空 間Hに

対 し て,準

双 線 形 形 式 

お け るn個 ―

の

これ を

和 と呼 ぶ ― が

(2.77) に よ って 帰 納 的 に 定 義 さ れ る.   (ⅲ) (準双 線 形 形 式 の ス カ ラ ー倍)ヒ ルベ ル ト空 間Hに

お け る準 双 線 形 形 式

sの ス カ ラ ー倍 αs(α ∈C)は

(2.78) に よ っ て 定 義 さ れ る. *34 文 献 に よ (form)と

っ て は,準

双 線 形 形 式 の こ と を2次

呼 ぶ 場 合 が あ る.

形 式(quadratic

form)あ

るい は単 に形 式

  あ る 定 数γ が あ っ て,す 成 り立 つ と き,sは と れ る 場 合,sは

べ て の Ψ ∈Q(s)に

対 し て,s(Ψ,Ψ)〓-γ‖

下 に 有 界 で あ る と い い い,s〓-γ

と 記 す.特

Ψ‖2が

に,γ=0に

非 負 で あ る と い う.

  準 双 線 形 形 式sが

下 に有 界 の と き

(2.79) をsの

下 限 と 呼 ぶ.

  部 分 空 間D⊂Q(s)が

準 双 線 形 形 式sの

芯(core)で

あ る と は,任 意 の Ψ ∈Q(s)

に 対 し て,

と な る Ψn∈Dが

存 在 す る と き を い う.

  次 の 事 実 を 注 意 し て お こ う.

補 題2.45 

任 意 の Ψ ∈Q(s)に

対 し て,

(2.80) が 実 数 な ら ば,sは

対 称,す

な わ ち,s(Ψ,Φ)*=s(Φ,Ψ),Ψ,Φ

∈Q(s)が

成 り

立 つ.

証 明  準 双 線 形 形 式 に関 す る偏 極 恒 等 式

(2.81) とs(αΨ)=￨α￨2s(Ψ)(Ψ∈Q(s),α∈C)を 例2.8 

Aを

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

用 い れ ば よ い. 

■

の 自己 共 役 作 用 素 と し,そ の ス ペ ク トル 測 度 をEA

とす る.

(2.82) と し,sA:Q(A)×Q(A)→Cを

(2.83)

に よ っ て 定 義 す る.こ

の と き,sAはQ(A)上

に 同 伴 す る準 双 線 形 形 式 あ る い は 単 にAの 定 義 域(form

domain)と

呼 ぶ.作

の対 称 な準 双 線 形 形 式 で あ る.sAをA 形 式(form)と

い い,Q(A)をAの

形式 の

用 素解 析 に よ り

(2.84) で あ る こ と に 注 意 し よ う.   作 用 素 解 析 を用 い る と次 の こ とが わ か る:Aが が っ て,A+γ

下 に有 界 でA〓-γ(γ

∈IR)(し

た

は 非 負 の 自 己 共 役 作 用 素)な ら ば,sA〓-γ,Q(A)=D((A+γ)1/2)

で あ り,す べ て の Ψ,Φ ∈Q(A)に

対 して

(2.85)  次 の 事 実 に注 意 し よ う. 命 題2.46 

二 つ の 自 己 共 役 作 用 素A,Bに

証 明  sA=sBと

す れ ば,任

つ い て,sA=sBな

意 の Ψ ∈Q(A)と

ら ばA=B.

Φ ∈D(A)に

∫IRλd〈Ψ,EB(λ)Φ〉.任 意 のn∈INに 対 して,x[-n,n](B)Ψ Ψ の か わ りにx[-n,n](B)Ψ を代 入 す れ ば

対 して,〈 Ψ,AΦ〉= ∈Q(B)で

あ る か ら,

容 易 にわか るよ うに

 

で あ る か ら,  補 題3.6を

が 導 か れ る([1]のp.115,

参 照).そ

した が っ て,Φ

こ で,n→

∈D(B).ゆ

意 味 す る.A,Bと

え に〈Ψ,AΦ〉=〈 Ψ,BΦ〉 が 導 か れ る.こ

芯 で あ る と き,DをAの

  作 用 素 に 対 し て,閉

定 義2.47 

とす れ ば, 

も に 自 己 共 役 で あ る か ら,A=Bで

  部 分 空 間DがsAの

よ う に,準

∞

れ はA⊂Bを

な け れ ば な ら な い. 

形 式 芯(form

core)と

■

呼 ぶ(定 義).

作 用 素 とい う重 要 な作 用 素 の ク ラス の 一 つ が 定 義 さ れ た

双 線 形 形 式 に 対 し て も そ れ に 対 応 す る 概 念 が 定 義 さ れ る.

sを 準 双 線 形 形 式 と す る.Ψn∈Q(s),‖

Ψm)→0(n,m→

∞)な

ら ば,常

成 り立 つ と き,sは

閉 で あ る と い う.

Ψn-Ψ‖

に Ψ ∈Q(s),s(Ψn-Ψ)→0(n→

→0,s(Ψn∞)が

例2.9 

Aを

下 に 有 界 な 自己 共 役 作 用 素 でA〓-γ

る 準 双 線 形 形 式sAは

証 明   Ψn∈Q(A)=D((A+γ)1/2),‖ ∞)と

し よ う.こ

が わ か る.し

Ψn-Ψ‖

の と き,(2.85)よ

た が っ て,あ

閉 で あ る か ら,Ψ

とす る.こ

の と き,Aに

同伴 す

閉 で あ る.

る Φ ∈Hが

導 く.ゆ

基 本列 で あ る こ と

あ っ て,(A+γ)1/2Ψn→

∈D((A+γ)1/2)=Q(A)か

者 はsA(Ψn-Ψ)→0を

→0,sA(Ψn-Ψm)→0(n,m→

り,{(A+γ)1/2Ψn}nはHの

Φ.(A+γ)1/2は

つ(A+γ)1/2Ψn→(A+γ)1/2Ψ.後 え にsAは

閉 で あ る. 

■

 閉で は な い 準 双 線 形 形 式 の例 もあ げ てお こ う. 例2.10 

ヒ ル ベ ル ト空 間L2(IR)に

お い て,準 双 線 形 形 式sδ を次 の よ う に定 義 す る:

これ は対 称 な準 双 線 形 形 式 で あ り,非 負 で あ る.だ

が,そ れ は 閉 で は な い(演 習 問 題11).

こ の 例 の 準 双 線 形 形 式 は 超 関 数 論 の 記 法 を 使 え ば,sδ(u,υ)=∫ δ(u*υ)と 表 さ れ る.こ

こで,δ

は1次

 下 に有 界 な準 双 線 形 形 式s〓-γ(γ

と お く と,〈 ・,・〉sはQ(s)の 積 空 間 をHsと

書 き,こ

∈IRは 定 数)に 対 して

内 積 で あ る.こ

れ をsに

δ(x)u(x)*υ(x)dx=

元 の デ ル タ超 関 数 で あ る.

の 内 積 をQ(s)に

付 与 して で き る内

同 伴 す る 内 積 空 間 と 呼 ぶ.次

の命 題 は 明 らか

で あ ろ う.

命 題2.48 

下 に有 界 な準 双 線 形 形 式sが 閉 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 はHsが

ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る こ とで あ る.

  2.8.2  定 義2.49 

可 閉 な準 双 線 形 形 式 Hに

お け る 準 双 線 形 形 式s1,

意 の Ψ,Φ ∈Q(s1)に

Hに

が あ る と き,sは

つ い て,Q(s1)⊂Q(s2)か

対 し て,s1(Ψ,Φ)=s2(Ψ,Φ)が

の 拡 大 で あ る と い い,s1⊂s2と

定 義2.50 

s2に

つ任

成 り立 つ と き,s2はs1

表 す.

お け る 準 双 線 形 形 式sに 可 閉 で あ る と い う.こ

対 し て,s⊂sと の 場 合,sをsの

な る 閉準 双 線 形 形 式 一 つ の 閉 拡 大 と い う.

命 題2.51 

Hに お け る準 双 線 形 形 式sが

可 閉 な ら ば,次 が 成 り立 つ:

な らば 証 明   仮 定 に よ り,sの 0(n,m→

∞)と

に,sの

 (2.86) 閉 拡 大sが

し よ う.し

あ る.Ψn∈Q(s),

Ψn→0,

s(Ψn-Ψm)→

た が っ て,s(Ψn-Ψm)→0(n,m→

閉 性 に よ り,s(Ψn)→0(n→

∞).す

∞).ゆ

な わ ち,s(Ψn)→0(n→

え ∞). ■

  下 に 有 界 な 準 双 線 形 形 式sに た め に,補

Kを

内 積 空 間,DをKで

任 意 の 基 本 列 はKの

逆 も成 立 す る こ と を示 す

稠 密 な 部 分 空 間 と す る.Dの

中 に 極 限 を も つ と 仮 定 す る.こ

元か らなる

の と き,Kは

完 備,す

なわ

意 の ε>0に

対 して,番

ル ベ ル ト空 間 で あ る.

証 明   {Ψn}nをKの n0が

題2.51の

題 を 一 つ 用 意 す る.

補 題2.52 

ち,ヒ

つ い て は,命

基 本 列 と す る.し

あ っ て,n,m〓n0な

り,各nに

た が っ て,任

ら ば‖ Ψn-Ψm‖<ε

対 し て,‖ Φn-Ψn‖<ε

が 成 り立 つ.Dの

と な る Φn∈Dが

元 か ら な る 基 本 列 で あ る.仮

が 存 在 す る.す

な わ ち,番

号n1が

が っ て,n〓max{n0,n1}な

ら ば‖ Ψn-Φ‖〓‖

ゆ え にlimn→

っ て,Kは

定 理2.53 

∞ Ψn=Φ.よ

得 られ る.し

定 に よ り,Φ:=limn→

あ っ て,n〓n1な

稠密性 によ

あ る.

と表 し,3角 不 等 式 を 使 え ば‖ Φn-Φm‖<3ε(n,m〓n0)が て,{Φn}nはDの

号

たが っ

∞ Φn∈K

ら ば‖ Φn-Φ‖<ε.し Ψn-Φn‖+‖

た

Φn-Φ‖<2ε.

完 備 で あ る. 

■

準 双 線 形 形 式sが 下 に 有 界 で あ り,(2.86)を

満 た す な らば,sは

可

閉 で あ る. 証 明  s〓0と

して 一般 性 を失 わ な い.条 件(2.86)が

成 り立 つ と し,部 分 集 合

Dsを 次 の よ う定 義 す る: 点列

 で か つ

と な る も の が 存 在}.

明 ら か に,Q(s)⊂Ds.sはQ(s)に

 (2.87)

半 正 定 値 内 積 を 与 え る か ら,シ

ュ ヴ ァル ツ

の不等式

(2.88) が 成 り立 つ.し

た が っ て,ま

た,3角

不等式

(2.89) が 成 り立 つ.こ

れ を 用 い る とDsが

に 対 し て,Ψn∈Q(s)で

Ψn→

を 満 た す も の が と れ る.い (2.88)に

部 分 空 間 で あ る こ と も容 易 に わ か る.Ψ Ψ(n→

∞)か

つlimm,n→

∞s(Ψm-Ψn)=0

ま, 

と お く.

よって

した が っ て,￨am-an￨〓amn→0(m,n→

∞).ゆ

え に,limn→

る.さ

ら に,こ の 極 限 は Ψ を 上 の 意 味 に お い て 近 似 す る 列 Ψnの

い.実

際,別 に Ψ'n∈Q(s)で

0を

Ψ'n→

Ψ(n→

満 た す も の を と り, 

∞)か

つlimm

と お け ば,上

∞)で

あ り,(2.89)に

した が っ て,仮 0(n→

∞).そ

定(2.86)に こ で,偏

∞anは

存在 す

選 び方 に よ らな

,n→ ∞s(Ψ'm-Ψ'n)= と 同 様 に して,不

  が 導 か れ る.xn:=Ψn-Ψ'nと (n→

∈Ds

等式

お く と,xn→0

よ り

よ り,s(xn)→0(n→

∞).ゆ

極 恒 等 式 を 使 う こ と に よ り,Dsを

え に,￨an-a'n￨→ 定 義 域 とす る準 双 線

形 形 式sを

(2.90) に よ っ て 定 義 で き る.明

ら か にs〓0で

あ り,s⊂s.

 sが 閉 で あ る こ と を示 そ う.そ れ に はsに 同伴 す る 内 積 空 間Hsが こ と を示 せ ば よ い.sの

構 成 の仕 方 か らわ か る よ う に,Q(s)はHsで

完備 である 稠密で あ

る.ま

た,Q(s)に

た が っ て,補

お け る(Hsの

題2.52に

位 相 で の)基 本 列 はHsの

よ っ て,Hsは

完 備 で あ る.ゆ

中 に 極 限 を も つ.し

え に 命 題2.48に

よ っ て,

sは 閉 で あ る. 

■

 以 上 か ら次 の定 義 が可 能 で あ る: 定 義2.54 

可 閉 か つ 下 に有 界 な準 双 線 形 形 式sに

義 され る閉 な準 双 線 形 形 式sをsの 定 理2.55 sを

対 して,(2.90)に

よ っ て定

閉 包 と呼 ぶ.

可 閉 か つ 下 に 有 界 な 準 双 線 形 形 式 と す る.こ

の と き,次

の(ⅰ),

(ⅱ)が 成 り立 つ:  

(ⅰ) sはsの

下 に 有 界 な 閉 拡 大 で 最 小 の も の で あ る.す

る 任 意 の 下 に 有 界 な 閉 準 双 線 形 形 式s'に

な わ ち,s⊂s'と

な

対 し て,s⊂s'.

  (ⅱ) (下 限 の 等 式)ε0(s)=ε0(s). 証 明   (ⅰ)任意 の Ψ ∈Q(s)に と な る Ψn∈Q(s)が

あ る.こ

s'(Ψn-Ψm)→0(n,m→ Ψ)→0(n→

た す Ψn∈Q(s)が

あ る.s(Ψn)〓

が 得 ら れ る.し

た が っ て,ε0(s)〓

  2.8.3 

現

表

定 理2.56  形 式 と し,そ

定

∞ Ψn=Ψ,limn→

方,sの

っ て,題

た が っ て, つs'(Ψn-

っ て,s⊂s'.

構 成 の仕 方 に よ っ

∞s(Ψn)=s(Ψ)を

ε0(s)‖Ψn‖2で あ る か らs(Ψ)〓 ε0(s).よ

∞)

∞s'(Ψn)=s'(Ψ)

した が う.よ

ε0(s)は 明 らか.他

対 し て,limn→

∈Q(s')か

た,limn→

あ る か ら,s(Ψ)=s'(Ψ)が

あ る か ら,ε0(s)〓

意 の Ψ ∈Q(s)に

∞s(Ψn).し

閉 で あ る か ら,Ψ

た が っ て,Q(s)⊂Q(s').ま

で あ り,s'(Ψn)=s(Ψn)で

て,任

Ψ,s(Ψn-Ψm)→0(n,m→

の 場 合,s(Ψ)=limn→ ∞).s'は

∞).し

  (ⅱ)  s⊂sで

対 し て,Ψn→

満

ε0(s)‖Ψ‖2

意 が 成 立 す る. 

■

理

(表 現 定 理)sを

ヒ ル ベ ル ト空 間Hに

の 定 義 域Q(s)はHで

お け る非 負 か つ 閉 な準 双 線 形

稠 密 で あ る と 仮 定 す る.こ

の と き,H上

の

非 負 自 己 共 役 作 用 素Aで

(2.91) を満 た す ものが た だ 一 つ 存 在 す る.

証 明   任 意 の Ψ, Φ ∈Q(s)に る.こ

対 し て,〈 Ψ,Φ〉+1:=s(Ψ,Φ)+〈

の と き,〈・,・〉+1はQ(s)上

の 内 積 で あ り,sの

積 に 関 して 完 備,す

な わ ち,ヒ

と 書 こ う.s〓0に

よ り,‖ Ψ‖〓‖ Ψ‖+1,Ψ Ψ,Φ〉,Ψ,Φ

て,H+1上

を 満 た す も の が た だ 一 つ 存 在 す る.(*)とq〓0に

べ て の Ψ ∈Q(s)に

対 して〈 Ψ

で な け れ ば な ら な い.し よ びBの

,Φ〉=0で

と お く と,CはH+1に

れ か ら,Φ

あ る.Q(s)は

ら,そ

た が っ て,CはH上

定 義 さ れ た 作 用 素 で あ り,H上

R(C±i)はHで 共 役 で あ る.そ

Aの

稠 密 で あ る.ゆ こ で,A:=C-1と

定 義 に よ り,任

(n→

∞)と

(n→

∞).他

方,s(Φn-Φm)→0(n,m→

, S2に ∈D(S2).

つ い て, 

の 作 用 素 と して の の作 用 素 の 意 味 で

Φ,(C-1)Φn→AΦ

た が っ て,s(Ψ,Φn)→〈 ∞)で

質 的 に 自己

非負 の 自己共 役 作 用 素 で あ り

対 し て,Φn→

と れ る.し

定 義 に戻 れ ば

の 作 用 素 と し て,本

お け ば,Aは

意 の Φ ∈D(A)に

な る Φn∈D(C)が

*35 二 つ の 対 称 作 用 素S1 〈Ψ,S2Ψ〉,Ψ

こ で,C:=B-1

の 作 用 素 と して も稠 密 に

た が っ て,H上

え にCはH上

す れ ば,す

稠密で あるか

の 対 称 作 用 素 で あ る.H+1上

自 己 共 役 性 か ら,R(C±i)=H+1.し

∈H+1

れ と[5]の 補 題2.37お

お け る 自 己 共 役 作 用 素 で あ る.qとH+1の

も稠 密 で あ る.し

よっ

あ る*35.

∈ker Bと

稠 密 で あ る.そ

あ る).D(C)=R(B)はH+1で

Cの

理2.65)に

稠 密 で あ る か ら,Φ=0

が 得 ら れ た こ と に な る(C〓1で れ はHで

199,定

参 照).

Ψ,BΦ〉+1,Ψ,Φ

単 射 で あ る.こ

自 己 共 役 性 に よ り,R(B)はH+1で

199を

よ り,0〓B〓1で

∈H+1.こ

た が っ て,Bは

双線形形 式

よ っ て 定 義 す れ ば,

成 り 立 つ([5]のp.

の 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素Bでq(Ψ,Φ)=〈

ゆ え に〈 Ψ,Φ〉=〈 Ψ,BΦ〉+1,Ψ,Φ

こ で,準

∈H+1に

界 な 対 称 形 式 に 関 す る 表 現 定 理([5]のp.

この 内

の ヒ ル ベ ル ト空 間 をH+1

∈H+1.そ

こ れ は 有 界 な 対 称 形 式 で あ り‖q‖〓1…(*)が した が っ て,有

閉 性 に よ り,Q(s)は

ル ベ ル ト空 間 に な る.こ

q:H+1×H+1→Cをq(Ψ,Φ):=〈

Ψ,Φ〉 を 定 義 す

あ る か ら,sの

Ψ,AΦ 〉 閉 性 に よ り,

か つ〈 Ψ,S1Ψ〉

〓

Φ ∈Q(s)か

つs(Φn-Φ)→0(n→

る か ら,シ

∞).sは

半 正 定 値 内 積 と み る こ とが で き

ュ ヴ ァ ル ツ の 不 等 式 が 成 り立 つ.し

よ っ て,D(A)⊂Q(s)か

つs(Ψ,Φ)=〈

たが って

Ψ,AΦ〉,Ψ

∈Q(s),Φ

∈D(A)が

成

り立 つ こ と に な る.   D(C)はH+1で 0(n→ (n→

稠 密 で あ っ た か ら,任 意 の Ψ ∈Q(s)に

∞)と

な る Ψn∈D(C)が

∞)か

つs(Ψn-Ψm)→0(n,m→

0(n,m→∞)を

意 味 す る.し

な る η ∈Hが し た が う.よ Q(s),Φ

あ る.A1/2は

∞).後

た が っ て,‖Ψn-Ψ‖

閉 で あ る か ら,Ψ

∞)と

∈D(A1/2)か

∞)と

つ η=A1/2Ψ

が

つs(Ψ,Φ)=〈A1/2Ψ,A1/2Φ〉,Ψ

∈

対 し て,作 用 素 解 析 に よ り,A1/2Φn→A1/2Φ,Φn→

な る Φn∈D(A)が

と れ る(た

つs(Φn-Φ)→0(n→

か つs(Ψ,Φ)=〈A1/2Ψ,A1/2Φ〉,Ψ 上 か ら,(2.91)が   一 意 性:H上

と え ば,Φn=x[-n

の と き,上 の 式 よ り,s(Φn-Φm)→0(n,m→

よ り,Φ ∈Q(s)か

∞).し ∈Q(s),Φ

,n](A)Φ ∞).sの

とす

閉性 に

た が っ て,D(A1/2)⊂Q(s) ∈D(A1/2)が

成 り立 つ.以

得 ら れ る. の 非 負 自 己 共 役 作 用 素A'で

を 満 た す も の が あ っ た と す れ ば,D(A1/2)=D(A'1/2)か 〈A'1/2Ψ ,A'1/2Φ〉.Φ

∈D(A)と

れ が す べ て の Ψ ∈D(A'1/2)に ∈D(A')か

す れ ば,〈

応 用Ⅰ―

つ〈A1/2Ψ,A1/2Φ

Ψ,AΦ〉=〈A'1/2Ψ,A'1/2Φ

成 り立 つ わ け だ か ら,A'1/2Φ

つA'Φ=AΦ.し

た が っ て,A⊂A'.自

非 自 明 な 対 称 拡 大 を も た な い か ら,A=A'. 

  2.8.4 

→0(n→

→

∈D(A).

れ ば よ い).こ

わ ち,Φ

→0

者 は‖A1/2Ψn-A1/2Ψm‖

た が っ て,‖A1/2Ψn-η‖

っ て,Q(s)⊂D(A1/2)か

  任 意 の Φ ∈D(A1/2)に Φ(n→

存 在 す る.し

対 して,‖ Ψn-Ψ‖+1→

フ ォ ン ・ノイ マ ンの 定 理

  次 の 定 理 は 基 本 的 か つ 重 要 な 定 理 の 一 つ で あ る:

∈D(A'1/2),す

〉= 〉.こ

な

己共役作用素 は ■

定 理2.57 

(フ ォ ン ・ノ イ マ ン の 定 理)Tを

空 間Kへ

ヒ ル ベ ル ト空 間Hか

の 稠 密 に 定 義 さ れ た 閉 作 用 素 と す る.こ

ら ヒル ベ ル ト

の と き,T*TはH上

の非負

自 己 共 役 作 用 素 で あ る. 証 明   準 双 線 形 形 式s:D(T)×D(T)→Cをs(Ψ,Φ):=〈TΨ,TΦ〉K,Ψ,Φ Q(s):=D(T)に

よ っ て 定 義 す る.こ

た が っ て,定

理2.56に

よ り,非

の と き,s〓0か

TΦ

∈D(A)と

∈D(T*)か

∈D(T)と

す れ ば,〈TΨ,TΦ〉=〈 つT*TΦ=AΦ.こ

特 に,D(T*T)は

つsは

閉 で あ る.し

負 自 己 共 役 作 用 素Aで,D(A1/2)=D(T)か

つ〈TΨ,TΦ〉=〈A1/2Ψ,A1/2Φ〉,Ψ,Φ る.Φ

∈

な る も のが た だ一 つ 存 在 す

Ψ,AΦ〉,Ψ

れ は,A⊂T*Tを

稠 密 で あ る.ゆ

え に,T*TはAの

∈D(T).し

た が っ て,

意 味 す る.し

た が っ て,

対 称 拡 大 で あ る.し

自 己 共 役 作 用 素 は 非 自 明 な 対 称 拡 大 を も た な い か ら,A=T*Tで な い.ゆ

え に,T*Tは

自 己 共 役 で あ り,非

  2.8.5  応 用Ⅱ―   定 理2.56の

か し,

なけ れ ば な ら

負 で あ る. 

■

フ リー ドリク ス拡 大

重 要 な応 用 の 一 つ と して,下 に有 界 な対 称 作 用 素 の 自己 共役 拡 大

の 存 在 に関 す る定 理 を証 明 す る. 定 理2.58 

Aを

ヒ ルベ ル ト空 間H上

の 下 に有 界 な対 称 作 用 素 でA〓γ

を満 た

す と し(γ ∈IRは 定 数)  で

点列

 か つ とな る もの が 存 在}

(2.92) と お く.こ

の と き,Aの

す も の が 存 在 す る.さ  

自 己 共 役 拡 大AでA〓 ら に,次

の(ⅰ),(ⅱ)が

(ⅰ) 定 義 域 がQAに

含 ま れ る,Aの

己 共 役 作 用 素LがA⊂L,

D(L)⊂QAを

  (ⅱ) infσ(A)=infΨ

か つQ(A)=QAを

満 た

成 り立 つ:

自 己 共 役 拡 大 はAに

限 る(す な わ ち,自

満 た す な ら ばL=A).

∈D(A),‖Ψ‖=1〈 Ψ,AΨ〉.

証 明   準 双 線 形 形 式s:D(A)×D(A)→Cをs(Ψ,Φ):=〈 D(A)に

γ

よ っ て 定 義 す る.こ

の と き,s〓0.sは

Ψ,(A-γ)Φ 条 件(2.86)を

〉,Ψ,Φ

満 たす こ とを示

∈

そ う.そ

の た め に,Ψn∈D(A),Ψn→0,s(Ψn-Ψm)→0(n,m→

す る.定

義 か ら,s(Ψn-Ψm)=s(Ψn)+s(Ψm)-s(Ψn,Ψm)-s(Ψm,Ψn).

し た が っ て,limn,m→ 方,定

理2.53の

さ れ る.ゆ

∞)と

∞{s(Ψn)+s(Ψm)-s(Ψn,Ψm)-s(Ψm,Ψn)}=0.他

証 明 と 同 様 に し て,a:=limn→

え にlimn

∞s(Ψn)が

存 在 す る こ とが 示

,m→ ∞{s(Ψn,Ψm)+s(Ψm,Ψn)}=2a.だ

が

左辺 し た が っ て,a=0.ゆ

え に,sは

条 件(2.86)を

考 え る とQ(s)=QAで

満 た す.

  そ こ で,sの

閉 包sを

に 定 理2.56を

応 用 す れ ば,D(B1/2)=QA,s(Ψ,Φ)=〈B1/2Ψ,B1/2Φ〉

た す 非 負 自 己 共 役 作 用 素Bが

あ り,sは

Ψ,(A-γ)Φ〉

であるか ら

し た が っ て,B1/2Φ

∈D(B1/2),す

な わ ち,Φ ∈D(B)で

大 で あ りA〓

の 拡 大 で あ る.そ

こ でA:=B+γ

し,Φ ∈D(A)

あ り(A-γ)Φ=BΦ. と お け ば,AはAの

と き,任 意 の Ψ ∈D(L)と

満 た す も の が あ っ た と し よ う.こ

Φ ∈D(A)に

対 し て,〈Φ,LΨ〉=〈AΦ,Ψ〉

構 成 か ら明 ら か な よ う に,D(A)は(A-γ)1/2の

Φ ∈D((A-γ)1/2)に

対 し て,Φn→

と な る Φn∈D(A)が

と れ る.し

E0(A)〓a0が

を得 る.こ

つ(A-γ)1/2(A-γ)1/2Ψ=(L-γ)Ψ

∞) 置 き換 対 して

れ は,(A-γ)1/2Ψ

を 意 味 す る.し

∈

たがっ

え にL=A.

  最 後 に(ⅱ)を と お く.最

お け る Φ を Φnで

べ て の Φ ∈D((A-γ)1/2)に

〈 Φ,(L-γ)Ψ〉=〈(A-γ)1/2Φ,(A-γ)1/2Ψ〉

て,L⊂A.ゆ

な わ ち,任 意 の

Φ,(A→γ)1/2Φn→(A-γ)1/2Φ(n→

∞ の 極 限 を と る こ と に よ り,す

D((A-γ)1/2)か

得 る.

芯 で あ る.す

た が っ て,(*)に

の

に 注 意 し,右

辺 を 変 形 す れ ば〈Φ,(L-γ)Ψ〉=〈(A-γ)1/2Φ,(A-γ)1/2Ψ〉…(*)を

え,n→

拡

γ が 成 り立 つ.

  自 己 共 役 作 用 素LでA⊂L,D(L)⊂QAを

Aの

え を満

た だ 一 つ 存 在 す る こ とが わ か る.も

な ら ば,s(Ψ,Φ)=〈

ゆ え にBはA-γ

閉 で 非 負 で あ る.ゆ

示 そ う.E0(A):=infσ(A),a0:=infΨ

低 エ ネ ル ギ ー に 対 す る 変 分 原 理([6]のp. ま ず わ か る.他

方,Aの

∈D(A),‖Ψ‖=1〈Ψ,AΨ 〉 339,定

構 成 の 仕 方 に よ っ て,任

理3.40)に

よ り,

意 の Ψ ∈D(A)

⊂QAに

対 して,limn→

Ψn∈D(A)が

∞ Ψn=Ψ,

limn→ ∞〈Ψn,AΨn〉=〈

あ る. 

が 得 ら れ る.再

び,最

で あ る か ら  低 エ ネ ル ギ ー に 対 す る 変 分 原 理 に よ り,E0(A)〓a0.以

上 か ら,E0(A)=a0が

  定 理2.58に

Ψ,AΨ 〉 を 満 た す

導 か れ る. 

■

い う 自 己 共 役 拡 大AをAの

フ リー ド リ ク ス(Friedrichs)拡

大 と

い う.

注 意2.13 

対 称 作 用 素Aが

素 で あ る か ら,-Aの 拡 大 に な る.-Tを 例2.11 

フ リ ー ド リ ク ス 拡 大 をTと い ま の 場 合 のAの

Ω をIRdの

体 をCr(Ω)(r∈INま ち,そ

上 に 有 界 な 場 合 に は,-Aは

す れ ば,-TはAの

開 集 合 と し,Ω

上 のr回

連 続 微 分 可 能 な 複 素 数値 関数 の全

算 無 限))で

表 す.そ

関 数 の 全 体 を表 す). 

ΔDを 用 素)と

表 す.明

う

らか に,

Ω 上 の複素 数値連続

で稠 密 で あ る*36.L2(Ω)上

の作

次 の よ う に 定 義 す る:

部 分 積 分 を用 い て,-Δminは そ れ は,フ

の よ う な 関 数fの

有 界 で Ω に含 ま れ る も の の 全 体 をCr0(Ω)で  (C(Ω)は

用 素-Δminを

自己共 役

フ リ ー ド リ ク ス 拡 大 と い う.

た はr=∞(可

の 台suppfが

下 に有 界 な対 称 作 用

非 負 の 対 称 作 用 素 で あ る こ とが 示 さ れ る.し

リ ー ド リ ク ス 拡 大 を もつ.-Δminの

た が っ て,

フ リー ドリ ク ス 拡 大 を-ΔDと

記 す.

Ω にお け る,一 般 化 さ れ た デ ィ リ ク レ境 界 条 件 つ き ラ プ ラ シ ア ン(ラ プ ラ ス作 い う.フ

リー ド リ ク ス 拡 大 の 定 義 に よ り,D((-ΔD)1/2)は

次 の 形 を とるこ

とが わ か る:

とfn∈C∞0(Ω)が 存在 し

注 意2.14 

古 典 解 析 学 に お け る 意 味 で の デ ィ リ ク レ境 界 条 件 は,Ω

∂Ω を もつ と き,Ω ∪∂Ω 上 の 関 数uに *36 こ の 事 実 の 証 明 は こ こ で は 割 愛 す る

対 す る 「u(x)=0,∀x∈ .た

と え ば,[12]のp.119,定

が 滑 ら か な境 界

∂Ω」 と い う 条 件 の こ 理6.6を

参 照.

と で あ る.D(-ΔD)に

属 す る元 は,こ の 古 典 的 な意 味 で の デ ィ リ ク レ境 界 条 件 の あ る

種 の 一 般 化 を満 た す も の とみ る こ とが で き る.こ

れ が 「一 般 化 され た デ ィ リ ク レ境 界

条 件 付 き ラ プ ラ シ ア ン」 と い う名 称 の 意 で あ る.古 典 物 理 へ の 応 用 に お い て は,Ω が 有 界 な 連 結 開 集 合 の と き,-ΔDの

ス ペ ク トル は,た

と え ば,弦

の振 動の基 本振 動数

(d=1の 場 合),太 鼓(膜)の 振 動 数(d=2の 場 合)を 表 す.こ の 種 の 問 題 は,ヒ ル ベ ル ト空 間 論 の 枠 内 で 論 じ る こ と に よ り,た い へ ん 見 通 しが よ くな る.一 般 化 され た デ ィ リ ク レ境 界 条 件 付 き ラ プ ラ シ ア ンの 導 入 は,こ -ΔDの

詳 しい 解 析 に つ い て は ,た

をHと

書 い て い る).

  2.8.6  定 理2.59 

応 用Ⅲ―

と え ば,[8]を

の 観 点 か ら は 自然 な も の で あ る. 参 照 さ れ た い(こ の 本 で は,-ΔD

自己共 役 作 用 素 の 形 式 和

H, Kを

ヒ ル ベ ル ト空 間,Tj(j=1,…,N)をHか

らKへ

に 定 義 さ れ た 閉 作 用 素 と す る.Tjの

定 義 域 の 共 通 部 分 

で あ る と仮 定 す る.こ

の 非 負 自 己 共 役 作 用 素AでD(A1/2)=D

の と き,H上

の稠密 は稠 密

かつ

を満 た す もの が た だ 一 つ 存 在 す る. 証 明   準 双 線 形 形 式s:D×D→Cを

に よ っ て 定 義 す れ ば,こ う.そ

れ は 非 負 準 双 線 形 形 式 で あ る.sが

の た め に,Ψn∈Dが

満 た し て い る と し よ う.こ

で あ る か ら,各kに が っ て,あ ら,Ψ

Ψ ∈H,

s(Ψn-Ψm)→0(n,m→

∞)を

の とき

対 して,{TkΨn}nはKに

る Φk∈Kが

∈D(Tk)か

Ψn→

閉 で あ る こ と を示 そ

存 在 し て,TkΨn→

つTkΨ=Φkが

お け る コ ー シ ー 列 を な す.し Φk(n→

結 論 さ れ る.し

∞).Tkは

た が っ て,Ψ

た

閉 で あ るか ∈Dで

あ り,

s(Ψn-Ψ)→0(n→ 理2.56を

∞)が 導 か れ る.ゆ え にsは

閉 で あ る.し た が っ て,定

定 理2.60 

応 用 す る こ とが で き,求 め る結 果 が 得 られ る. 

A1,…,ANを

ヒル ベ ル ト空 間Hに

■

お け る下 に有 界 な 自 己共 役 作 用

素 と し,そ れ ぞ れ に同伴 す る形 式 の 定 義域 の 共 通 部 分  とす る.こ の と き,H上

は稠 密 で あ る

の 自己 共 役 作 用 素Aで 

かつ

(2.93) を 満 た す もの が た だ 一 つ 存 在 す る.さ

らに

(2.94) た だ し,下 に有 界 な 自己 共 役 作 用 素Sに

対 して

(2.95) 証 明  Aj-E0(Aj)〓0で

あ る か ら,定

理2.59をTj:=(Aj-E0(Aj))1/2と

して,応 用 す れ ば,非 負 自己 共 役 作 用 素Bで 

を 満 た す も の が 存 在 す る.そ 己 共 役 で あ り,(2.93)が

こ で, 

定 理2.60の

あ る い は 単 に 形 式 和(form

と お け ば,Aは

成 り立 つ.B〓0で

こ れ と変 分 原 理 に よ り,(2.94)が

定 義2.61 

かつ

あ っ た か ら, 

成 り立 つ. 

自 己 共 役 作 用 素AをA1,…,ANの sum)と

呼 び,記

自

号 的 に

と書 く.作 用 素 の和 と は異 な る か ら注 意 され た い.

■

形 式 の 意 味 での 和

注 意2.15 

(ⅰ)(2.93)で 

と す れ ば,Φ

と な る こ と が わ か る.し

たが っ て, 

  し か し,定

が 稠 密 な ら ば, 

う で な い 場 合 に は,単

理2.60は, 

あ り,  す な わ ち,Aは

 の 自 己 共 役 拡 大 に な っ て い る(  は 対 称 作 用 素 で あ る が,そ

∈D(A)で

に エ ル ミ ー トで あ る).

が 稠 密 で な い 場 合 で も,Ajた

ち の和 の意

味 を形 式 和 と して 拡 大 す る こ と に よ り,自 己 共 役 作 用 素 が 定 義 され る こ とを語 る.こ れ は,準 双 線 形 形 式 とい う概 念 の 有 用 な特 性 の 一 つ とみ る こ とが で きる.   (ⅱ)  自己 共 役 作 用 素A1,…,ANが B:=A1+…+ANは A1+…+ANは

同 じ と は 限 ら な い.こ

が 本 質 的 に 自 己 共 役 な ら ば,そ 例2.12 

定 理2.59の

ルVに Vの

か し,Bと

の 点 は 注 意 を 要 す る*37.も

形式和

ち ろ ん,B

れ ら は 一 致 す る. 書 か れ る.

下 に 有 界 な ボ レル 可 測 関 数 で 

の と き, 

を 満 た す とす

で あ る か ら,Q(-Δ)∩Q(V)はL2(IRd)

で 稠 密 で あ る.し

た が っ て,自

用 素-Δ+Vの

が 稠 密 な と きは, も つ.し

自 己 共 役 作 用 素Aは,A=T1*T1+…+TN*TNと

例2.13 V:IRd→IRは る.こ

下 に有 界 で 

フ リ ー ド リ ク ス 拡 大Bを

己 共 役 作 用 素H:=-Δ+Vが

自 己 共 役 拡 大 で あ る.こ

対 して,自

定 義 さ れ る.こ

れは作

う し て,非 常 に 一般 的 な ク ラス の ポ テ ン シ ャ

己 共 役 な シュ レー デ ィン ガ ー 型 作 用 素 が 定 義 さ れ る.

具体例

  V(x)=c￨x￨-α

と す る.た

V>0,V∈L1loc(IRd)で 定 義 され る.こ 例2.14 

だ し,c>0,

あ る.し

α ∈(d/2,d)は

た が っ て,自

の 場 合, 

定 数 で あ る.こ

の と き,

己 共 役 作 用 素Hα:=-Δ+c￨x￨-α

が

で あ る か ら,D(V)はC∞0(IRd)を

磁 場 を も つ シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 作 用 素.H(A,V)を(2.50)に

られ る 作 用 素 と し よ う.V,

Aに

Aが

よ っ て与 え

対 す る あ る 条 件 の も とで,H(A,V)がC∞0(IRd)上

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る こ と はす で に 証 明 した(定 理2.23).準 を使 う と,V,

双 線 形形 式 の方法

も っ と一 般 的 な ク ラ ス に 属 す る 場 合 で もH(V,A)の

を定 義 す る こ とが 可 能 で あ る.  

*37  反 例 に つ い て は

含 ま な い.

の 場 合 を考 え て み よ う.こ

の と き,作 用 素

,た

Example

と え ば,[10]のp.329,

2.19を

み よ.

自己共 役拡大

の定義 域 はC∞0(IRd)を し よ う.ま

含 み,DA,jは

た,V:IRd→IRは

対 称 作 用 素 に な る.DA,jの閉包

下 に 有 界 で 

き,  密 で あ る.し

をDA,jと

を満 た す とす る.こ

で あ る か ら,  た が っ て,定

理2.60を

応 用 す れ ば,形

  A, BをH上

の 自己 共 役 作 用 素 でAは

り立 つ と き,BはAに Q(B)⊃Q(A).

自己共 役拡 大 で あ る.

形 式 の 意 味 での 相 対 的有 界 性

非 負 で あ る とす る.次 の(ⅰ), (ⅱ)が 成

関 して,形 式 の 意 味 で 相 対 的 に 有 界 で あ る とい う:(ⅰ)

(ⅱ)あ る 定 数a, b〓0が

こ の 場 合,定

は稠

式和

は 自己 共役 で 下 に有界 で あ る.こ れ は,H(A,V)の

  2.8.7  作 用 素 の 意 味 での 相 対 的 有 界 性 ⇒

の と

数aを

存 在 して,

れ る と き,BはAに

形 式 の 意 味 でのA-限

界 とい う.定 数aが

任 意 に小 さ く と

関 して 形 式 の 意 味 で無 限 小 で あ る と い う.

  次 の 定 理 は有 用 で あ る. 定 理2.62 

A, Bを

自己 共 役 作 用 素,A〓0と

す る.こ の と き,次 の(ⅰ),(ⅱ)が

成 り立 つ:   (ⅰ)  BがA-有

界 で,定 数a, b〓0が

存 在 して

(2.96) と な っ て い る な ら ば,任

意 の ε>0に

対 して

(2.97) が 成 立 す る.   (ⅱ)  B≪Aな

らば,BはAに

関 して 形 式 の 意 味 で 無 限 小 で あ る.

  この 定 理 を 証 明 す る た め に,補 題 を二 つ 用 意 す る.ま ず,自 累乗 に つ い て の基 本 的 性 質 を証 明 す る.

己共役作用素の

補 題2.63 

Aを

自 己 共 役 作 用 素 と し,0<α<β

とす る.こ

の と き,次

の(ⅰ),

(ⅱ)が 成 り立 つ:  

(ⅰ) D(￨A￨β)⊂D(￨A￨α)で

あ り,す

べ て の Ψ ∈D(￨A￨β)に

対 して

(2.98)   (ⅱ) ￨A￨βの 任 意 の 芯 は￨A￨α の 芯 で あ る. 証 明   (ⅰ) Aのス ペ ク トル 測 度 をEと

こ れ か ら,(ⅰ)の

主 張 が し た が う.

  (ⅱ) Ψ ∈D(￨A￨α)と お け ば,ΨR→

す る.任 意 の Ψ ∈D(￨A￨β)に 対 して

す る.任

Ψ(R→

∞).ま

で あ る か ら,ΨR∈D(￨A￨β).さ

X(R,∞)(￨λ￨)λ2α〓

意 のR>0に

対 し て,ΨR=E([-R,R])Ψ

任 意 の ε>0に

λ2α と∫IR￨λ￨2αd‖E(λ)Ψ‖2<∞

た が っ て,‖￨A￨α

対 し て,R0>0が

Ψ‖2<∞

らに

積 分 に ル ベ ー グ の 優 収 束 定 理 を 応 用 で き,そ る こ とが わ か る.し

と

た,∫IR￨λ￨2βd‖E(λ)ΨR‖2〓R2β‖

に よ っ て,上

れ はR→

ΨR-￨A￨α

∞ の と き,0に

Ψ‖ →0(R→

あ っ て,R〓R0な

式 の右辺の

∞).以

収束す 上 か ら,

らば

(*).   さ て,Dを￨A￨β

の 任 意 の 芯 と し よ う.し

た が っ て,任

意 の ε>0に

Φε ∈Dで

(**)

対 して,

を 満 た す も の が 存 在 す る.三

角 不 等 式 と(2.98)お

よ び(*),(**)を

用 い るこ と

に より

が 得 ら れ る.そ

こ で,n∈INに

Ψ,￨A￨α Ψn→￨A￨α

Ψ(n→

対 して,Ψn:=Φ1/n∈Dと ∞).し

お け ば,Ψn→

た が っ て,Dは￨A￨α

の 芯 で あ る. 

■

  次 の 補 題 は非 負 自己 共 役 作 用 素 に 同 伴 す る準 双 線 形 形 式 の 不 等 式 の拡 張 に関 す る も の で あ る.

補 題2.64  をA1/2の

A,Bを

ヒ ル ベ ル ト空 間Hに

芯 でD⊂D(B1/2)を

べ て の Ψ ∈Dに

お け る 非 負 の 自 己 共 役 作 用 素 と し,D

満 た す も の と す る.定

数a,b〓0が

あ っ て,す

対 して

(2.99) が 成 り 立 つ と す る.こ D(A1/2)に

の と き,D(A1/2)⊂D(B1/2)で

対 し て(2.99)が

∞)と

こ れ とB1/2の

対 し て,Ψn∈Dで

な る も の が と れ る.(2.99)に 閉 性 に よ り,Ψ

∈D(B1/2)か

Ψn→

∈D(A1/2)に

対 す る(2.99)が

定 理2.62の

証 明   (ⅰ)(2.97)の

そ こ で,2番

目 の 不 等 式 を 示 す.作

と お く.こ aε<1で

あ る か ら,加

∞).

Ψ と し て Ψnを

と り,n→

得 ら れ る. 

∞ ■

用 素 解 析 に よ り‖BΦ‖=‖￨B￨Φ‖,Φ Ψ‖,Ψ ∈D(A)…(*)と

よ り,‖Bε Ψ‖〓aε‖AΨ‖+bε‖

藤-レ

基 本 列 で あ る.

つB1/2Ψn→B1/2Ψ(n→

任 意 に と り,Bε:=￨B￨/(a+ε),aε:=a/(a+ε), の と き,(*)に

→

最 初 の 不 等 式 は 作 用 素 解 析 か ら 容 易 に わ か る.

で あ る か ら,(2.96)は‖￨B￨Ψ‖〓a‖AΨ‖+b‖ る.ε>0を

Ψ,A1/2Ψn-A1/2Ψ

よ り,{B1/2Ψn}nは

した が っ て,特 に,D(A1/2)⊂D(B1/2).(2.99)の とす れ ば,Ψ

べ て の Ψ ∈

成 立 す る.

証 明   任 意 の Ψ ∈D(A1/2)に 0(n→

あ り,す

リ ッ ヒ の 定 理 に よ り,A-Bε

∈D(B) 同値 であ

bε:=b/(a+ε) Ψ‖,Ψ

∈D(A).

は 自己 共 役 で あ り

し た が っ て,(a+ε)A-￨B￨〓-(a+ε)b/ε.ゆ

え に

(2.100) 補 題2.63の

応 用 に よ り,D(A)はA1/2の

補 題2.64に

よ り,(2.97)の2番

  (ⅱ)B≪Aな

ら ば,aは

芯 で あ る.こ の 事 実 と(2.100)お

目 の不 等 式 が 得 られ る.

い くらで も小 さ く とれ る か ら,(ⅰ)の 結 果 に よ り,題

意 が した が う. 

■

2.9 

  自己 共 役 作 用 素Aに 形 式sA+β

よび

は,ど

形 式 に よ る 摂 動―KLMN定

理

対 して対 称 形 式 β に よ る摂 動 に よ って 得 られ る準 双 線 形

の よ うな 条 件 の も と に,あ る 自己 共 役 作 用 素 に 同伴 す る 準

双 線 形 形 式 とな る で あ ろ うか.こ

れ は,準 双 線 形 形 式 を用 い て 自 己 共役 作 用 素

(量子 力 学 の コ ンテ ク ス トで は物 理 量)を 定 義 す る方 法 を探 究 す る観 点 か らは 自 然 な 問 い で あ る.こ

の 問題 に関 す る基 本 的 な事 実 と応 用 を述 べ るの が こ の節 の

目 的 で あ る.   形 式 に 関す る摂 動 問 題 に関 して も,作 用 素 の 摂 動 問 題 に 関す る加 藤-レ リ ッ ヒ の 定 理 に呼 応 す る 定 理 が 存 在 す る.そ れが 次 の定 理 で あ る. 定 理2.65  役 作 用 素,β

(KLMN定

理*38).Hを

ヒルベ ル ト空 間,AをH上

の非 負 自 己共

を対 称 な準 双 線 形 形 式 で次 の 条 件 を満 たす もの とす る:

  (ⅰ)  Q(A)⊂Q(β).   (ⅱ) 定 数0〓a<1,

b〓0が

存 在 して

(2.101) こ の と き,H上

の 自 己 共 役 作 用 素CでQ(C)=Q(A)か

つ

(2.102) を 満 た す も の が た だ 一 つ 存 在 す る.さ *38  T

. Kato,J.Lions,P.Lax,A.Milgram,E.Nelsonの

ら に 次 の(a),(b)が

成 り立 つ: 頭 文 字 .

  (a) Cは

下 に 有 界 で,C〓-b.

  (b) Aの

任 意 の 形 式 芯 はCの

形 式 芯 で あ る.

証 明   準 双 線 形 形 式γ を次 の よ う に定 義 す る:Q(γ):=Q(A), γ:=sA+β+bsI. こ の と き,仮

定か ら

した が っ て,γ は 非 負 で あ る.γ が 閉 で あ る こ と を 示 そ う.そ が Ψn→

Ψ ∈H, γ(Ψn-Ψm)→0(n,m→

と き,上

の 不 等 式 に よ り,{A1/2Ψn}nは

た が っ て,A1/2Ψn→

不 等 式 に よ り β(Ψn-Ψ)→0で

用 素Cの

(n→

∞)と

し た が っ て,DはCの

注 意2.16 

理2.56に

お け ば,こ

任 意 の 形 式 芯 と し よ う.し

な る.

れ は(2.102)

存 在 す る.こ ∞)で

た が っ て,任

の と き,条

件(ⅱ)の

不等式 によっ

あ る か ら,結 局,sC(Ψn-Ψ)→0(n→

形 式 芯 で あ る. 

し て,上

意 の

Ψ, sA(Ψn-Ψ)=‖A1/2(Ψn-Ψ)‖2→0

∞). ■

下 に 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素A〓-M(M〓0は

は,A:=A+Mと

の と き,条

よ り,γ は あ る 非 負 自 己 共 役 作

こ で,C=C-bと

対 し て,Ψn→

な る{Ψn}n⊂Dが

て,β(Ψn-Ψ)→0(n→

と な る.こ

構 成 か ら 明 ら か.

  (b) を 示 す た め に,DをAの Ψ ∈Q(C)=Q(A)に

の

閉 で あ る か ら,

あ る か ら,γ(Ψn-Ψ)→0と

え に,定

準 双 線 形 形 式 で あ る.そ

を 満 た す.(a)はCの

存 在 す る.A1/2は

つA1/2Ψn→A1/2Ψ

し た が っ て,γ は 閉 で あ る.ゆ

満 た す と し よ う.こ

コ ー シ ー 列 を な す こ とが わ か る.し

Φ と な る Φ ∈Hが

Ψ ∈D(A1/2)=Q(A)=Q(γ)か 件(ⅱ)の

∞)を

の た め に,Ψn∈Q(γ)

定 数)に

ついて

の 定 理 を 応 用 す れ ば よ い.

  一 般 に,下 に 有 界 な 自己 共 役 作 用 素 に つ い て の 定 性的 性 質 を議 論 す る 場 合 に は,そ れ が 非 負 の 場 合 を考 えれ ば十 分 で あ る.以 下,こ

の 種 の注 意 は い ちい ち

しな い.   KLMN定

理 の応 用 と して,次 の 結 果 を得 る.

定 理2.66 

A, Bを

BはAに

ヒル ベ ル ト空 間H上

の 自己 共 役作 用 素 と し,A〓0と

す る.

関 して,形 式 の 意 味 で 相 対 的 に 有 界 で あ り,形 式 の 意味 で のA-限 界 は

1よ り小 さい とす る.こ の と き,下 に有 界 な 自己 共役 作 用 素CでQ(C)=Q(A) かつ

を満 たす もの が た だ一 つ 存 在 す る.さ

らにAの

任 意 の 形 式 芯 はCの

形式芯 で

あ る.   こ こで,以 前 に定 義 した 形 式 和 の 概 念 を拡 張 して お く. 定 義2.67 

一 般 に,ヒ

ル ベ ル ト空 間Hに

お け る 自己 共 役 作 用 素A1,…,AN

(下 に有 界 で あ る必 要 は な い)に つ い て,  自 己共 役 作 用 素Aで  Aは,存

形 式 和Aを

い う記 号 で 表 す.こ

2.10 

  ス ピ ン1/2の

稠 密 で あ り,か つ

と な る もの が 存 在 す る と き(こ の よ う な

在 す る な らば,命 題2.46に

組(A1,…,AN)は

がHで

の場 合,Aを

よっ て一 意 的 に定 ま る),自 己 共 役 作 用 素 の

もつ とい い,こ れ をA=A1+A2+…+ANと 組(A1,…

,AN)に

同伴 す る 形 式 和 と もい う.

デ ィラ ック型 作用 素 の 本 質 的 自己共役 性

相 対 論 的 な 自 由粒 子 一 つ か ら な る量 子 系 の ハ ミル トニ ア ン を記

述 す る 自由 な デ ィラ ッ ク作 用 素 につ い て は,前 著[6]の3.4.3項

で 議 論 した.こ

の節 で は,自 出 なデ ィ ラ ック作 用素 の摂 動 か ら定 義 され る対 称 作 用 素― デ ィラ ッ ク型 作 用 素― の 本 質的 自己 共 役 性 につ い て 考 察 す る.   αj(j=1,2,3),β

を4×4の

エ ル ミー ト行 列 で反 交 換 関係

(2.103) を 満 た す も の と す る.こ λ ∈Cに

対 し て,単

こ で,I4は4次

に λI4=λ

ヒ ル ベ ル ト空 間L2(IR3;C4)= 

*39 αj

, β の 具 体 例 は[6]のp.302で

の 単 位 行 列 で あ り(以 下,し

と 記 す),{A,B}:=AB+BA(反 4L2(IR3)で

与 え た が,こ

の エ ル ミー ト行 列 で あ り さ え す れ ば,何

ば し ば,

交 換 子)*39

働 く 自 由 な デ ィ ラ ッ ク 作 用 素(自

こ で の αj, β は,(2.103)を

で も よ い.

満 た す4次

.

由 な デ ィ ラ ッ ク ・ハ ミル トニ ア ン)

(2.104) は 自 己 共 役 で あ り,D(HD)=∩3j=1D(Dj)が

成 り立 つ こ と は 前 著[6]の

定 理3.30

に お い て 証 明 さ れた*40.   行 列 αj,β に 関 し て,以 下 に お い て 暗 黙 の う ち に 使 う基 本 的 事 実 を 述 べ て お く. ま ず,L2(IR3; (2.103)の

C4)上

の 作 用 素 と し て,αj,β

第 一 式 か ら,α2j=I(j=1,2,3).し

上 の 自 己 共 役 な ユ ニ タ リ作 用 素 で あ る.同

  2.10.1  4次

は 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 で あ る. た が っ て,αjはL2(IR3;

様 に,β

も そ う で あ る .し

C4) たが って

本 質 的 自 己 共 役 性Ⅰ― 局 所 的 特 異 性 の な い ポ テ ン シ ャ ル の 場 合

の エ ル ミ ー ト行 列 の 全 体 をH4(C)で

定 理2.68 

V=(Vjl)j

IR3→CはL∞loc(IR3)に C∞0(IR3)4上

表 す.

,l=1,…,4: IR3→H4(C)と

し,そ

属 す る と す る(j,l=1,2,3,4).こ

の(j,l)成

分Vjl:

の と き,HD+Vは

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.

証 明   次 の 記 号 を 導 入 す る:

(2.105) こ こ で,D(IR3)'はIR3上 と お く.こ

の と き,一

示 せ ば よ い.ψ し て,〈

の 超 関 数 の 空 間 を 表 す*41 般 的 判 定 法(補

∈ker(H*+i)と

ψ,(H-i)u〉=0.こ

題2.9-(ⅱ))に

す る.こ

.

H:=(HD+V)￨C∞0(IR3)4 よ り,kcr(H*±i)={0}を

の と き,任

れ は

*40 h =c(真 空 中 の 光 速)=1の 単 位 系 を用 い る. *41 [5]ま た は[6]の 付 録C .2を 参 照.

意 のu∈C∞0(IR3)4に

対

を 意 味 す る*42.関 関 数 の 意 味 で,す

数(-mβ-V+i)ψ*の な わ ち,D(IR3;

各 成 分 はL1loc(IR3)に

C4)'に

お け る 等 式 と し て, 

が 成 り 立 つ こ と に な る.た 関 数 と 同 一 視 で き る と は 限 ら な い が,い は,右

辺 の 関 数( 

  さ て,関 に 選 び,関

属 す る の で*43,超

だ し,こ

の 段 階 で は,各Djψ

ま の 等 式 は,左

辺 全 体(∈D(IR3;

が C4)')

)と 同 一 視 で き る こ と を 示 す.

数f∈C∞0(IR3)で￨x￨〓1な

ら ばf(x)=1と

数 列fnをfn(x)=f(x/n), x∈IR3に

に,fn∈C∞0(IR3)で

あ り,limn→

な る も の を任 意

よ っ て 定 義 す る.明

∞fn(x)=1,

∀x∈IR3.

D(IR3)'の

C∞0(IR3)の

元 の 積 に 関 して は ラ イ プ ニ ッ ツ 則 が 成 り立 つ の で([5]ま

付 録C.3,

(C.27)を

参 照),超

らか 元 と

た は[6]の

関 数 の 意 味 で,Dj(fnψ)=(∂jfn)ψ+fnDjψ.

し た が っ て, 

とお く と

を 得 る. 

で あ る か ら, . し た が っ て, 

.ゆ

え に,

 とお け ば, 

.

直 接 計 算 に よ り, 

が わ か る.

一 方 

で ある

.フ

で あ り,こ   .ゆ

ー リ エ 解 析 に よ り,  れ は 実 数 で あ る.し

え に, 

と な る の で, 

が 導 か れ る. 

し た が っ て,limn→ ‖ψn‖=‖

∞‖ ψn‖=0.一

ψ‖ が 示 さ れ る.ゆ

ker(H*+i)={0}.同

*42 行 列Mに *43 

一 般 に 等 式).

で あ るか ら

方,ル え に,‖

ベ ー グ の 優 収 束 定 理 を 使 え ば,limn→ ψ‖=0.す

様 に,ker(H*-i)={0}も

対 し てMはMの ,f,g∈L2loc(IRd)な

た がっ て,

複 素 共 役 を 表 す:(M) ら ばfg∈L1loc(IRd)(∵

な わ ち,ψ=0.よ 示 さ れ る. 

∞

っ て, ■

jl:=Mjl=(Mjl)*. 積 分 に関 す る シュ ヴ ァ ル ツの 不

注 意2.17  で,局

定 理2.68に

お け るVは, 

所 的 特 異 性 を も た な い.し

注 意 し よ う.こ に異 な る 点 の 例2.15 

か し,Vは

下 に有 界 で あ る 必 要 は な い こ と に

れ は ラ プ ラ シ ア ン に 対 す る,ポ 一 つ で あ る(定 理2.25と

粒 子 が 電 荷qを

と(静 電)ス

と い う 条 件 に した が う の

テ ン シ ャ ル に よ る 摂 動 と本 質 的

比 較 せ よ).

も ち,ベ ク トル ポ テ ン シ ャルA=(A1,A2,A3):IR3→IR3

カ ラ ー ポ テ ン シ ャ ル φ:IR3→IRの

中 に 置 か れ て い る 場 合 のVは

で 与 え ら れ る.し た が っ て,  は 

な ら ば, 

上 で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.

具体 例   z軸 方 向 に 一 定 の 磁 場B=(0,0,B)(B∈IRは A=(B/2)(-x2,x1,0)と

定 数)が 存 在 す る 場 合,た

す れ ば,B=rotAと

な る の で,こ のAはBに

ク トル ポ テ ン シ ャ ル の 一 つ で あ る.こ のAの

  2.10.2 

本 質 的 自己 共 役性Ⅱ―

各 成 分 は 

とえ ば

対 す るベ

に 属 す る.

局 所 的 特 異 性 の あ るポ テ ン シ ャル の場 合

  次 に クー ロ ン型 ポ テ ンシ ャル の 場 合 の よ うに,局 所 的 な特 異性 が あ る場 合 の ポ テ ン シ ャ ル に よ る摂 動 を 考 察 す る.ま ず,そ

れ 自体 と して も興 味 の あ る事 実

を一 つ 証 明 す る.L2(IRd)に

関 す る一 般 化 され た偏 微 分 作 用

素 をDjで

お け る,変 数xjに

表し

(2.106) をd次

元 の 勾 配 作 用 素 と い う*44. 

に 対 し て,  とす る.

補 題2.69 

(不確 定 性 原 理 の補 題)d〓3な

らば,す べ て の 

に

対 して

(2.107)

*44 d

=3の

場 合 の 勾 配 作 用 素 と 同 じ記 号 を 使 う.

証 明   まず,任

意 のf∈C∞0(IRd)に

対 し て,(2.107)を

に と り, 

とお く.明

任 意 のt>0に

証 明 す る.a>0を

任意

ら か にuj,a∈C∞(IRd).

対 し て 成 立 す る 自 明 な 不 等 式 

にお

い て左 辺 を計 算 す る こ と に よ り

単 純 な計 算 に よ り

で あ るか ら

し た が っ て, 

任 意 のx≠0に

が 得 ら れ る.た

対 し て, 

で あ り, 

が 成 り立 つ.い し た が っ て,ル

ま,d〓3で

あ る か ら, 

.こ に よ り,(2.107)が

  任 意 のf∈C∞0(IRd)に

前 段 の 結 果 と補 題2.64の に 対 して,(2.107)が

れ と 

得 ら れ る.

対 し て, 

の 芯 で あ る か ら,(-Δ)1/2の

注 意2.18 

.

ベ ー グの 優 収 束 定 理 に よ り

ゆ え に, 

は-Δ

だ し

が 成 り立 つ.C∞0(IRd) 芯 で も あ る(補 題2.63(ⅱ)の

応 用 に よ り,任

応 用).よ

意 の 

導 か れ る. 

不 等 式(2.107)は

ン テ ク ス トに お い て,上

っ て,

■

ハ ー デ ィ ー の 不 等 式 と も 呼 ば れ る.量

の 補 題 を"不 確 定 性 原 理 の 補 題"と

子力学の コ

呼 ぶ 理 由 は次 の 点 に

あ る.pj=-iDjと 単 位 系).証

お く と,こ

れ は 運 動 量 作 用 素 の 第j成

分 で あ る(h=1の

明 の 中 で 計 算 し た 交 換 関 係[Dj,uj,a]はi[pj,uj,a]と

の 場 合,uj,aは"力"x/(x2+a)の 非 可 換 で あ る の で,一 不 等 式(2.107)は

定 理 2.70 

第j成

書 か れ る.こ

分 と み る こ と が で き る .pjとuj,aは

般 化 さ れ た 意 味 で の 不 確 定 性 関 係 が 導 か れ る.要

す るに

こ の 不 確 定 性 関 係 の 一 つ の 帰 結 な の で あ る.

V:IR3→H4(C)と

し,次

の 条 件 を 満 た す と す る:

(2.108) た だ し,‖V(x)‖

はV(x):C4→C4の

0〓a<1/2,b〓0を

作 用 素 ノ ル ム で あ り,a,bは

満 た す と す る.こ

の と き,HD+VはC∞0(IR3)4上

定数 で で本

質 的 に 自 己 共 役 で あ る.

証 明   条 件(2.108)と

不 確 定 性 原 理 の 補 題 を用 い る と任 意 の 

に 対 し て, 

と評 価 で き る.こ ([6]の 補 題3.29)を

が 得 ら れ る.仮 り,題

定 に よ り,0〓2a<1で

れ と 

用 い る と,  あ る か ら,加

藤-レ

リ ッ ヒの 定 理 に よ

意 が し た が う. 

■

 水 素様 原 子 を 相 対 論 的 に扱 う場 合 のハ ミル トニ ア ンは

(2.109) で 与 え ら れ る(Z>0,e>0は

そ れ ぞ れ,原

表 す パ ラ メ ー タ ー).V(x)=-Ze2/￨x￨と き,次

子 番 号,電

し て,定

気 素 量(基

理2.70を

本 電 荷)を

応 用 す る こ とが で

の 結 果 を 得 る.

系2.71 

0
ら ばIDhyd(Z)はC∞0(IR3)4上

で 本 質 的 に 自 己共 役

で あ る.

注 意 2.19  味 す る.証

eに 物 理 的 な 数 値 を代 入 す る と,条 明 は 省 略 す る が, 

件Ze2<1/2はZ〓68を な ら ば,IDhyd(Z)は

意 本質

的 に 自 己 共 役 で な い こ と が 知 られ て い る*45.こ ミル トニ ア ンHhyd(Z)の

れ ら の 事 実 は,非

相 対 論 的 なハ

本 質 的 自 己 共 役 性― こ れ に 関 して は,原

制 限 が つ か な い(2.3.5項a)―

子 番 号Zに

と の 対 比 に お い て 興 味 深 い.

付 録B  作 用 素 の和 が 閉 であ る た めの条 件 定 理B.1 

A, Bを

の と き,A+Bが

ヒ ルベ ル ト空 間Hか

ら ヒ ル ベ ル ト空 間Kへ

の 閉作 用 素 とす る.こ

閉 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,定 数C〓0が

存 在 して

(B.1) が 成 り立 つ こ と で あ る. 証 明   (必 要性)A+Bは

閉 で あ る と し よ う.し

た が っ て,そ

の グ ラ フ  は 閉 部 分 空 間 で あ る([5]

のp.104,命 こ で,写

題2.6).し

たが っ て,そ れ はH 

Kの 内 積 で ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る.そ

像J:G(A+B)→Kを

に よ っ て 定 義 す る.Jは

閉 作 用 素 で あ る こ と を 示 そ う.Jの

線 形 性 は 容 易 に わ か る.  に つ い て,limn→

Φ, limn→ η.Aは

∞JΦn=η

∈Kと

D(J)=G(A+B)で は 有 界.し

あ る か ら,閉 た が っ て,定

同 様 に,Bに

∞

Ψn=Ψ,

limn→ え にJは

グ ラ フ 定 理([5]のp.110,定

よ り,J

あ って

す れ ば,(B.1)が

∈Kを

∞AΨn= 閉 で あ る.

理2.15)に

成 り立 つ.

成 り 立 つ と す る.Ψn∈D(A+B)がlimn→

∞(A+B)Ψn=Φ

満 た し て い る と し よ う.こ

∞ Ψn=Ψ の と き,(B.1)に

*45  文 献 に つ い て は ,[16]のSection

Φn=

あ って

数C2〓0が

え に,C=C1+C2と

  (十 分 性)(B.1)が

の と き,limn→

た が っ て,JΦ=η.ゆ

数C1〓0が

つ い て も,定

が 成 り 立 つ.ゆ

H, limn→

し よ う.こ

閉 で あ る か ら,AΨ=η.し

∞

4.3に

関 す る ノ ー ト(p.305∼p.306)を

参 照.

∈ よっ

て,{AΨn}n,

{BΨn}nは

ト ル η,x∈Kが Ψ ∈D(A)か

あ っ てlimn→ つAΨ=η.同

し た が っ て,Ψ A+Bは

い ず れ も基 本 列(コ ∞AΨn=η, 様 にBの

ー シ ー 列)を limn→

∞BΨn=x

閉 性 は Ψ ∈D(B)か

∈D(A)∩D(B)=D(A+B)か

な す .し .Aの

って, ■

M, NをHの

と き,M∩N⊥

閉対 称 作用 素 の基 本的 性 質

閉 部 分 空 間 と し,dim

に よ っ て定 義 す る.明

らか にTは

成 り立 つ と す る .こ の

し,写 像T:M→NをT(Ψ):=PNΨ,

す る.こ

PNΨ=0.し

∈N⊥.ゆ

た が っ て,Ψ M〓dim

と お く.次

Nが

有 界 線 形 で あ る.補

そ こ でM∩N⊥={0}と

定 理C.2 

M>dim

複 素 ヒ ルベ ル ト空 間 で

≠{0}.

証 明  Nへ の 正 射 影 作 用 素 をPNと

 

の と き,Tは

Ψ ∈M

題 の主 張 の 対 偶 を証 明 し よ う.

単 射 で あ る(∵TΨ=0な

え に Ψ ∈M∩N⊥

Nを 意 味 す る. 

AをH上

れ ■

の閉対 称作 用 素 と し

の(ⅰ)∼(ⅲ)が

(上 半 平 面), 

(C.1)

(下半平面) 

(C.2)

成 立 す る:

(ⅰ) dim

ker(A*-z)はⅡ+に

お い てz∈Ⅱ+に

よ ら ず 一 定 で あ る.

ker(A*-z)はⅡ-に

お い てz∈Ⅱ-に

よ らず

  (ⅲ)  Aの

らば

で あ る か ら,Ψ=0).こ

  (ⅱ) dim

ス ペ ク トル σ(A)は

次 の4つ

  (a) Ⅱ+.(b)Ⅱ-.(c)C.(d)IRの 証 明   (ⅰ)お よ び(ⅱ).z∈C＼IRと 思 い 出 し て お く([5]のp.140,補 (2)R(A-z)は

意味 す る.

つ(A+B)Ψ=η+x=Φ.よ

こ の付 録 で は,閉 対 称 作 用 素 の基 本 的 な性 質 をみ て お く.以 下,Hは あ る とす る. 補 題C.1 

ク

閉 性 に よ り,

つBΨ=xを

閉 で あ る. 

付録C 

は,dim

た が っ て,ベ

閉.(2)と[5]のp.138,補

一 定 で あ る.

の 集 合 の う ち ど れ か 一 つ で あ る. 閉 部 分 集 合.

し,z=x+iy(x,y∈IR)と

記 す.次

題2.39):(1)  題2.37に

の事 実 を ;

よって

(C.3)

が 成 り 立 つ.   さ て,w∈Cを￨w￨<￨y￨を (w∈C＼IR)と

満 た す 任 意 の 複 素 数 と し,Ψ

す る.し

Ψ ∈[ker(A*-z)]⊥ Ψ=(A-z*)Φ

た が っ て,Ψ

と し よ う.こ

∈D(A*)か

の と き,(C.3)よ

と な る Φ ∈D(A)が

あ る.し

∈ker(A*-z-w),Ψ

り,Ψ

た が っ て,Ψ〓[kcr(A*-z)]⊥.ゆ

ら ば,dim

あ る か ら,

が,こ

れ は矛 盾 で あ

たが って

dim

ker(A*-z)〓dim

ker(A*-z).同 ker(A*-z-w)が

こ れ は,dim

ker(A*-z)がC＼IRに

れ は,Ⅱ+お

よ びⅡ-で

(z'∈Ⅱ-)は

様 に,￨w￨<￨y￨/2な

わ か る.ゆ

おいて局所 的 に

ら ば,

え に

一 定 で あ る こ と を 示 す.ゆ

え に,そ

そ れ ぞ れ 一 定 で あ る(dim(A*-z)(z∈Ⅱ+)とdim(A*-z')

と き,(1)に

は,(C.3)に

よ っ て,A-zは

単 射 で あ る.こ

よ っ て,ker(A*-z*)={0}の

るz0∈Ⅱ+が

ρ(A)に

て,kcr(A*-w)={0}.ゆ し た が っ て,あ が ρ(Λ)の

よ っ て,￨w￨
同 じ と は 限 ら な い).

  (ⅲ)Imz≠0の

て,あ

え に 補 題C.1に

ker(A*-z-w)〓dim

に

∈R(A-z*)で

ゆ え に, .だ る.し

≠0

つ(A*-z-w)Ψ=0.仮

と き,か

属 す る な ら ば,(ⅱ)に え に,A-w*は

るz0∈Ⅱ+が

元 な ら ば,Ⅱ-⊂

ρ(A)の ρ(A).こ

よ っ て,任

全 単 射 で あ る.す

元 な ら ば,Ⅱ+⊂ の 事 実 と σ(A)が

れが 全射 に なる の

つ こ の と き に 限 る.し

ρ(A).同

な わ ち,w*∈

定 理C.2-(ⅲ)は

対 し ρ(A).

様 に あ るw0∈Ⅱ-

閉 で あ る こ と を考 慮 す る と題

意 に い う 場 合 分 け が で る. 

注 意 C.1 

たが っ

意 のw∈Ⅱ-に

■

次 の こ と を意 味 す る:閉 対 称 作 用 素Aが

な らば,σ(A)はⅡ+,Ⅱ-,Cの

う ち どれ か 一 つ に 等 しい.こ

自己共役 でな い

れ は たいへ ん興 味深

い 事 実 で あ る.   前 著[6]の

定 理2.42(p.143)で

分 条 件 は σ(A)⊂IRが

証 明 し た よ う に,Aが

成 り立 つ こ と で あ る.上

自 己共 役 で あ る た め の 必 要 十

の 定 理 で は,自

己共役 で ない 閉対称

作 用 素 の ス ペ ク トル の 構 造 が ど うな っ て い る か をみ た わ け で あ る.   Aが

対 称 作 用 素 で あ る と き,A*=(A)*で

あ る か ら,定 理C.2-(ⅰ),(ⅱ)に

よ って,

非 負 整 数 の 組(n+(A),n-(A))を

(C.4) (C.5)

に よ っ て 定 義 で き る.こ

れ ら をAの

付録D  付 録Cで

ず,次

称 作 用 素Aが

  一 般 に,ヒ

index)と

呼 ぶ.

閉 対 称作 用 素 が 自己共 役 拡 大 を もっ 条 件

導 入 し た 不 足 指 数 を 用 い て,対

と が で き る.ま に,対

不 足 指 数(deficiency

称 作 用 素 が 自 己 共 役 拡 大 を も つ 条 件 を特 徴 づ け る こ

の こ と を 想 起 し て お く.前

著[5]のp.144,定

理2.44で

証 明 した よう

本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る こ と とn+(A)=n-(A)=0は

ル ベ ル ト空 間Hか

ら ヒ ル ベ ル ト空 間Kへ

同 値 で あ る.

の ユ ニ タ リ変 換 の 全 体 をU(H,K)と

記 す.

定 理D.1 

AをH上

の 対 称 作 用 素 と し,K+:=ker(A*-i),

と お く.n+(A)=n-(A)≠0と て,Aの

仮 定 す る.こ

自 己 共 役 拡 大AVでV1≠V2(V1,

K-:=ker(A*+i)

の と き,各V∈U(K+,K-)に

V2∈U(K+,K-))な

対 し

ら ばAV1≠AV2を

満 た す も の が 存 在 す る.

証 明   Aは

閉 と して 一 般 性 を失 わ な い,Aの

(C.3)に

よ り, 

ら,H上

の ユ ニ タ リ 作 用 素UVをUV:=V  わ か る.し

(I-UV)Φ

た が っ て,[5]の

対 し て,Ψ=(I-W)Φ で あ る か ら,Ψ

よ っ て 定 義 で き る.こ 定 理2.78(p.221)に

ら ば,[5]の

で あ る か ら,

対 し て,A(I-W)η=i(I+W)η

拡 大 で あ る. 定 理2.78(p.221)に

よ っ て,UV1=UV2.こ

れ はV1=V2

を 意 味 す る. 

注 意D.1  で あ る.こ

■

逆 に,対

称 作 用 素Aが

れ は,n+(A),

V:=U￨K+がU(K+,K-)の

注 意D.2 

自 己 共 役 拡 大Aを

n-(A)≠0の

場 合,Aの

も つ な ら ば,n+(A)=n-(A) ケ ー リ ー 変 換 をUと

す れ ば,

元 で あ る こ と を 示 す こ と に よ っ て 証 明 さ れ る.

定 理D.1は

な い と し よ う.し

意 の

あ る.(I-W)Φ=

の と き,(I-UV)-1Ψ=Φ

意 の η ∈R(A+i)に

た が っ て,AVはAの

  AV1=AV2な

あ る.こ

の と き,

よ り

あ る か ら,任

と な る Φ ∈R(A+i)が

∈D(AV)で

AVΨ=i(I+W)Φ=AΨ(任 に 注 意).し

Wに

れ は 自 己 共 役 作 用 素 で あ る.D(A)=R(I-W)で

Ψ ∈D(A)に

す る[5, p.220]:

で あ るか

ker(I-UV)={0}が

と す れ ば,こ

ケ ー リ ー 変 換 をWと

次 の こ と を意 味 す る.対

た が っ て,n+(A)≠0ま

称 作 用 素Aは

た はn-(A)≠0が

本 質 的 に 自己 共 役 で 成 り立 つ.も

し,

n+(A)=n-(A)な

らば,定 理D.1に

よ っ て,Aは

の 濃 度 は 非 可 算 無 限 で あ る の で,Aの う な例 の一 つ は,す 注 意 D.3 

-)

自 己 共 役 拡 大 は非 可 算 無 限 個 存 在 す る .こ の よ

で に[5]の2章,2.3.8項

定 理D.1と

自 己 共 役 拡 大 を もつ が,U(K+,K

注 意D.1に

で 論 じ た.

よ っ て,n+(A)≠n-(A)と

な る 対 称 作 用 素Aは

自 己 共 役 拡 大 を も た な い. 系 D.2 

対 称 作 用 素Aが

た だ一 つ の 自己 共 役 拡 大 を もつ な ら ば,Aは

本 質的 に 自己

共 役 で あ る. 証 明   対 偶 を示 そ う.そ こで,Aは 1ま た はn-(A)〓1.

本 質 的 に 自 己共 役 で ない とす る.こ の 場 合,n+(A)〓

n+(A)≠n-(A)な

共 役 拡 大 を も た な い.他

ら ば,上

方,n+(A)=n-(A)の

非 可 算 無 限 個 の 自 己 共 役 拡 大 を も つ.よ

の 注 意D.3に

場 合 に は,注 っ て,「Aは

よ っ て,Aは 意D.2に

自己

よ り,Aは

た だ 一 つ の 自 己 共 役 拡 大 を もつ 」

の 否 定 が 示 さ れ た こ と に な る.  例D.1 

IR+:=(0,∞)と

に お い て,作

し,ヒ

■ ル ベ ル ト空 間

用 素pγ を次 の よ う に 定 義 す る:

こ の と き,pγ

は 対 称 作 用 素 で あ るが ,自 己 共 役 拡 大 を も た な い.

証 明   n+(pγ)=1,n-(pγ)=0を

証 明 す る(こ

し た が う).g∈ker(p*γ-i)と 〈g,-if'+if〉=0.し

し よ う.こ

ら に,u(γ)は

対 して, 

た が っ て,gは

成 り立 つ.し

え に, .右 連 続 関 数 で あ る.す

る とgは

成 り立 つ こ と に な る.こ

う形 に 限 られ る(kは

定 数).ま

っ て,n+(pγ)=1.

た,こ

たが っ て,D(g-u)=0. 理6.20),g(γ)=u(γ)+cc 辺 はγ の 連 続 関 数 で あ る か

り,g'(γ)=-g(γ)が

か る.よ

は 有限 で あ

ルベ ー グ測 度 に つ い て ほ と ん ど い た る とこ ろ の γ

こ れ と一 般 化 され た 微 分 法 の 定 理 に よ り([12]のp.127,定

ら,し

張 が

対 し て, たが っ

に対 し て微 分 可 能 で あ り,Du(γ)=-g(γ)が

定 数).ゆ

よ っ て,主

⊂∞0(IR+)に

あ るか ら,積 分 に 関 す る シ ュ ヴ ァ ル ツ

の 不 等 式 を 用 い る こ と に よ り,各γ>0に

を得 る(cは

意D.3に

意 のf∈

た が っ て, .し

て,超 関 数 の 意 味 でDg=-g.g∈L2(IR+)で

る こ とが 示 さ れ る.さ

の と き,注

の と き,任

のgが

す べ て のγ>0で

微分 可 能 であ

の 微 分 方 程 式 の 解 はg(γ)=ke-γ 確 か にker(p*γ-i)の

とい

元 で あ る こ と もわ

  次 にh∈ker(p*r+i)の h'(r)=h(r)が

とす れ ば,前 段 と同 様 の 議 論 に よ っ て,hは

わ か る.こ

れ はk=0の

の 微 分 方 程 式 の 解 はh(r)=kerに

と きの み,L2(IR+)の

元 で あ る.よ

微 分 可 能 で あ り,

限 られ る.し

か し,こ

っ て,n-(pr)=0. 

■

 次 に,対 称 作用 素 の不足 指数 が一 致す る(し たが って,自 己共役 拡大 の 存在 が保証 さ れ る)有 用 な 十 分 条 件 を 一 つ 定 式 化 し て お く. 定 義D.3 

写 像J:H→Hを

任 意 の  をJに

共 役 子([6],p.458),AをH上

に 対 し て, 

関 す る 実 作 用 素(real

の 線 形 作 用 素 と す る.

で あ り, 

operator)と

い う.こ

が 成 り立 つ と き,A の場 合,単

にAはJに

関 して実

で あ る と もい う. 注 意D.4  D(A)で

AがJに

関す る 実 作 用 素 な ら ば,容 易 に確 か め られ る よ う に,実 はJD(A)=

あ る.

補 題D.4  役 子Jに

稠 密 に 定 義 さ れ た 線 形 作 用 素Aが

共 役 子Jに

関 して 実 な ら ば,A*も

関 して 実 で あ る.

証 明   任 意 の と 

に対 して,  最 初 と最 後 の 式 に よ っ て, 

が し た が う.し

定 理D.5 

たが っ て,A*はJに

かつ

 

関 して 実 で あ る. 

(フ ォ ン ・ノ イ マ ン の 定 理)AをH上

関 して 実 作 用 素 で あ る とす る.こ はJに

共

■

の 対 称 作 用 素 と し,Aは

の と き,n+(A)=n-(A)が

共 役 子Jに

成 り立 つ.さ

ら に,A

関 して 実 の 自 己 共 役 拡 大 を もつ.

証 明   補 題D.4に

よ っ て,A*もJに

 

関 して 実 で あ る.こ

に 対 して, 

らK〓

へ の 全 単 射 で あ る.こ

D.1に

よ っ て,各V∈U(K+,K-)に

  CONS{en}nに

れ はn+(A)=n-(A)を

対 し て, 

た す こ とが わ か る.こ

理

任意 の

満 た す も の が 存 在 し, 関 す る 実 性 を用 い る と,Aの が 成 り立 つ.こ

証 明 に お け る ユ ニ タ リ作 用 素UVはJUV=U*VJを

れ はAVのJに

か

た が っ て,定

自 己 共 役 拡 大AVでV1≠V2

でVen=Jenを た,AのJに

意の

た が っ て,JはK±

満 た す もの が 存 在 す る.K+の

つ い て も 

事 実 を用 い る と,定 理D.1の

れ を 用 い る と,任

意 味 す る.し

対 して,Aの

な らばAV1≠AV2を

  が 成 り立 つ.ま ケ ー リー 変 換Wに

が わ か る.し

関 す る 実 性 を 導 く. 

れ らの 満 ■

付録E  交 換 子 に関 す る基 本 公 式

  Hを

複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間,A,B,C,S,TをH上

  部 分 集 合 

の 線 形 作 用 素 とす る.

が あ っ て,す

成 り立 つ と き,「D上

でS=Tが

べ て の Ψ ∈Dに

対 して, 

が

成 り立 つ 」 とい い,こ の こ と を 「S=T(D上)」

と

い う ふ う に も記 す.   線 形 作 用 素 の 交 換 子[S,T]:=ST-TSに 易 で あ る(α,β ∈Cは

関 す る 以 下 の 関 係 式 を証 明す る の は 容

任 意). 上), 

(E.1)

命 題E.1 

上), 

(E.2)

上), 

(E.3)

上), 

(E.4)

上), 

(E.5)

とす る.こ

の

とき (Dn上) 

(E.6)

が 成 り立 つ. 証 明   n=1の

と き は 明 ら か.n=m∈INの

の と き,Dm+1上

最 後 の 式 は,k=j+1と い こ とが わ か る.し

と き,(E.6)が

成 り立 つ と し よ う.こ

で

して,和

を書 き 直 せ ば,n=m+1の

た が っ て,(E.6)はn=m+1の

場 合 の(E.6)に

系E.2  c∈Cが

等 し

場 合 も成 立 す る. 

■

とす る.定 あ っ て 上)と

す る.こ (Dn上) 

が 成 り立 つ.

数

の とき (E.7)

証 明   (E.6)の 右 辺 の[A,B]にcIを 例E.1 

L2(IRd)に

代 入 す れ ば よ い. 

お い て, 

■ な らば

(D上),j,k=1,…,d.

ノ

ー

ト

  本章 の主 眼 は,量 子 力学 にお いて現 れ る(あ るい は現 れ る可 能性 のあ る)諸 々の物 理 量 の候 補 の(本 質 的)自 己共役 性 を証 明す る ための い くつか の基 本 的方法 お よ び準 双 線形 形式 による 自己共役 拡大 の構 成法 を論述 す る ことにあ った.自 己共役 性 の問題 につ いて は,本 章 で取 り上 げた事 実 の他 に も非常 に多 くの結果 が得 られ てい る.こ れ らにつ いて は,[14]のX章

や[15]等 を参 照 され たい.量 子力 学や 量子場 の理論 にお

いて,新 たなモ デ ル を考 察の対 象 と し,モ デ ルの有 す る物 理量 の候補 につい て,そ の (本質的)自 己共役性 を証 明す る際 に,従 来 の方 法が 適用 で きる場合 とそ うで ない場合 が あ りうる.後 者 の場合,本 質 的 に新 しい方法 が必 要 と され る.こ の よ うに して,自 己 共役 性 の問題 は,量 子 場 の理論 を含 む広範 な領 域 にお いて重要 な主題 の一 つ であ り 続 け てい る.

第2章  演 習 問 題

1. 命 題2.14を

証 明 せ よ.

2.  V1,V2をIRν と お く.こ

上 の ボ レ ル 関 数 の 集 合 と し,  の と き,V1,V2が

ス ケ ー ル 不 変 な ら ば,V1+V2も

ス ケール不 変で

あ る こ と を 示 せ.

3. p,q〓1な

ら ば,関 数 空 間

は そ れ ぞ れ,複

素 ベ ク トル 空 間,実

4. 関 数 (K>0:定 作 用 素Vは1次

  ベ ク トル 空 間 で あ る こ と を 示 せ. 数)に

よ る(L2(IR)に

お け る)か け 算

元 ラ プ ラ シ ア ンΔ に関 して 相 対 的 に 有 界 で は な い こ と を 示 せ.

5. 多 項 式 型 ポ テ ン シ ャル

   

に よ る(L2(IR)に

お け る)か け 算 作 用 素Pは1次

元 ラ プ ラ シ ア ンΔ に 関 して

相 対 的 に有 界 で は な い こ と を 示 せ. 6. nを 任 意 の 自然 数,λ>0を

定 数 と し, 

2.29に よ っ て, 

は 

下 の 手順 で,H2n=H2n,す

とお く.系 上 で 本 質 的 に 自己 共 役 で あ る.以

な わ ち,H2nは

 

上 で 自 己 共 役 で あ る こ と を証 明 せ よ.pj:=-iDjと (ⅰ) 任 意 のf∈C∞0(IRd)に

お く.

対 して

を示 せ. (ⅱ) (ⅰ)を用 い て,任

意 のf∈C∞0(IRd)に

対 して

を示 せ. (ⅲ) 任 意 の ε∈(0,1)に

対 して,定

数bε〓0が

が 成 り立 つ こ と を 示 せ.n=1の (ⅳ)  (ⅱ),(ⅲ)か

存 在 して

と き は,bε=2dλ

に と れ る こ と を示 せ.

ら

を 示 せ.n=1の

と き は,ε=0,bε=2dλ

(ⅴ) (ⅳ)とC∞0(IRd)がH2nの

に と れ る こ と を 示 せ.

芯 で あ る こ と(系2.29)を

な ら ば, 

か つ す べ て の 

用 い て,ψ ∈D(H2n) に

対 して 不 等 式

が 成 り立 つ こ と を 証 明 せ よ. (ⅵ) (ⅴ)と 系2.29に

よ っ て,-Δ+P2nは

上 で 自己 共 役 で あ る こ と を証 明 せ よ.

 

 

7. ボ レ ル 可 測 関 数V:IRd→IRに 十 分 条 件 は  8. d〓3な

つ い て, 

で あ るた めの必要

で あ る こ と を示 せ.

ら ば,L2(IRd)に

お い て,D(Δ)の

任 意 の元 は連 続 関数 と同一視 で き

る こ と を示 せ. 9. Vは

定 理2.31と

同 じ条 件 に した が う と す る.E∈IRdを

を 定 数 と し,W(x)=-qE・xと (ⅰ)  任 意 の ε>0に

定 ベ ク トル,q∈IR

す る*46.

対 し て,不 等 式  

が 成 り立 つ こ と を 示 せ.   (ⅱ) 任 意 の 

に 対 して

を 示 せ.こ

こ で,ε>0は

任 意 の 正 の定 数 で よ い. 

(ⅲ) 次 の 事 実 を 証 明 せ よ:0〓a<1な 任 意 の  で あ り,下 に有 界 で あ る.ま

ら ば, 

は

に対 して, 

上 で 自己 共 役

た,そ

れ はC∞0(IRd)上

で本 質的 に 自己共役

で あ る. 10. 定 理2.35の

作 用 素Hλ ,a(a≠0)は

 ヒ ン ト:次 の性 質 を もつ,IR上

上 に も下 に も有 界 で な い こ と を 示 せ.

の関 数 ρ を とる:  整数

の 組n=(n1,n2,n3)に を 導 入 す る.こ

対 して 関 数

の と き, 

  で あ る.適

を と れ ば, 

当 な 部 分 列{n(k)}k

と な る こ と を 示 せ.Hλ,aが

上 に 有 界 で な い こ と も 同 様 に し て 証 明 さ れ る.

11. 例2.10の

準 双 線 形 形 式sδ は 閉 で は な い こ と を 証 明 せ よ.

12. L2(Ω)(Ω

はIRdの

開集 合)に お け る 一 般 化 され た デ ィ リ ク レ境 界 条 件 付 き ラ プ

ラ シ ア ンΔD(例2.11)に

つ い て, 

[したが っ て, 

]

を証 明 せ よ.

*46 d =3の 合,Wは を表 す.

場 合 に お け る,Eの 電苛qを

物 理 的 な例 の 一 つ は 空 間的 に 一 様 な電 場 で あ る.こ の場

もつ粒 子 に作 用素 す る電場Eに

よる ポテ ン シ ャル,す な わ ち,電 位

   

13.  定 数L>0を

任 意 に と り,有 限 開 区 間(-L/2

,L/2)に

お け る 一 般 化 され た デ ィ

リ ク レ境 界 条 件 つ き ラ プ ラ シ ア ン をΔ(L)Dと す る[枠 と な る ヒ ル ベ ル ト空 間 は  ](例2.11で 

の

場 合).  か つ

(ⅰ)

 を示 せ.   (ⅱ)

が存在  と お く.こ

の と き,

 か つ  を示 せ.

(ⅲ)  関 数 φn(n∈IN)を次

の よ う に定 義 す る:

 こ の と き,

 か つ

 を示

せ*47.

 を証 明 せ よ.

(ⅳ) 14. L2(Ω)(Ω

はIRdの

開 集 合)に お い て 準 線 形 形 式sNを次

の よ う に定 義 す る:

(ⅰ) sNは 非 負 か つ 可 閉 で あ る こ と を 証 明 せ よ.   sNの

閉 包sNに

同伴 す る 非 負 自 己 共 役 作 用 素 を-ΔNと

(ⅱ) -ΔNは-Δminの

自 己 共 役 拡 大 で あ る こ と を 示 せ. 

(ⅲ) Ω が 有 界 の と き,   注:-ΔNを一 よっ て,Ω *47 {φn}n

す る. 

を示 せ.

般化 され た ノイ マ ン境界 条 件 つ きラ プラ シ ア ン とい う.前 問 と(ⅲ)に が有 界 な らば,ΔD≠ΔNが

わ か る.

∈INは,発 見 法 的 に は,微 分 方 程 式  を満 たす 関 数fを 求 め る こ と に よ り,得 られ る.

お よ び条 件

 

15. d〓3の

と き,-Δ

は 

上 で は本 質 的 に 自 己 共 役 で は な い こ と を

証 明 せ よ.

関 連 図 書

[1] 新 井 朝 雄,『 ヒル ベ ル ト空 間 と量 子 力 学』,共 立 出 版,1997. [2] 新 井 朝 雄,『 フ ォ ック空 間 と量 子 場 上』,日 本 評 論 社,2000. [3] 新 井 朝 雄,『 フ ォッ ク空 間 と量 子 場 下』,日 本 評 論 社,2000. [4] 新 井 朝 雄,『 現 代 物 理 数学 ハ ン ドブ ッ ク』,朝 倉書 店,2005. [5] 新 井 朝雄 ・江 沢 洋,『 量子 力 学 の 数 学 的構 造Ⅰ』,朝 倉 書 店,1999. [6] 新 井 朝雄 ・江 沢 洋,『 量子 力 学 の 数 学的 構 造Ⅱ 』,朝 倉 書店,1999. [7] 江 沢 洋,物 質 の安 定 性,江 沢 洋 ・恒 藤敏 彦(編)『

量 子 物 理 学 の展 望 下』,岩 波 書 店,

1978. [8] 池 部 晃 生,『 数 理 物 理 の 固 有 値 問 題― 離 散 ス ペ ク トル―』,産 [9] T.Kato,Fundamental properties type,Trans.Amer.Math.Soc.70(1951),195-211. [10]  T.Kato,Perturbation [11]  黒 田 成 俊,『

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Operators,Springer,1966,1976.

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波 書 店,

1979. [12]  黒 田 成 俊,『 [13]  M.Reed tional

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Modern

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Analysis,Self-Adjointness,Academic Mechanics

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[17]  W.Thirring(ed.),The of

Mathematical

Physics Ⅱ:Fourier

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Defined

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[18]  朝 永 振 一 郎,『

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量 子 力 学Ⅰ 』(第2版),み

of

Matter:From

ed.). す ず 書 房,1969.

Atoms

to

Stars,Selecta

3 正準交換 関係 の表現 と物理

量子 力 学 の根 本 原 理 の一 つ で あ る,代 数 的 構造 と しての 正準 交 換 関係(CCR)の

表現 論

の 初等 的 部 分 を,量 子物 理 との 関 連 を念 頭 に置 きつ つ,論 述 す る.ま た,CCRの

変形

か ら定 義 され る時 間作 用 素 の概念 につ い て もふ れ る.こ れ は,従 来曖 昧 に論 じられ て き た"時 間-エ ネル ギ ー の 不確 定 性 関 係"に 対す る一 つ の 明 晰 な形 を与 え る.さ らに,時 間作 用 素 と状 態 の 時 間発 展(生 き残 り確 率)と の 関 係 に つ い て議 論 す る.

3.1 

は

じ

め

に

  ハ イゼ ンベ ル ク の不 確 定 性 関 係 を考 慮 す る と,量 子 的粒 子 の粒 子 的描 像 にお け る位 置作 用 素 と運 動 量作 用 素 は正準 交 換 関係(canonical CCRと

relation;

略 す)に し たが う こ とが あ る意 味 で 自然 に導 か れ る こ と を前 著[14]の3

章,3.3節

で 発 見 法 的 に示 した.さ

も無 限 自 由度 の 場 合 も含 め て,外 CCRの

commutation

ら に進 ん で,量 子 力 学 は,有 限 自 由度 の 場 合 的 自由 度 に関 す る 限 り,代 数 的 構 造 と して の

ヒ ルベ ル ト空 間 表 現 と して,統 一 的 に捉 え られ る こ と も示 唆 した([14]

の3.3.7項 お よ び4.4節).こ

の 場 合,有 限 自 由度 の 量 子 力 学 と量 子 場 の 理 論 の

よ うな無 限 自 由度 の量 子 力 学 との違 い は,有 限 自由度 のCCRの 度 のCCRの

表 現 と無 限 自 由

表現 の それ と して把 握 さ れ る.代 数 的 構 造 そ の もの と して のCCR

を量 子 力 学 の根 本 原 理 の 一 つ と して立 て る と き,次 に行 うべ き仕 事 は 無 数 に存 在 す るCCRの

表 現 の 構 造 を解 析 す る こ とで あ る.こ れ は 量 子 現 象 の 現 出 の 仕

方 を根 本 で 支 配 す る数 学 的 構 造 の一 つ の 相 を そ の根 源 か ら明 晰 に認 識 す る こ と を可 能 にす る は ず で あ る.よ は,無 数 に あ るCCRの

り具 体 的 にい え ば,こ の仕 事 の 基 本 的 課 題 の 一 つ

表 現 た ち を本 質 的 に 異 な る もの とそ うで な い もの とに

分 類 し整 理 す る こ とで あ る.CCRの

表 現 の うち には,前

著[14]で す で にみ た

よ うに,外 見― 表 現 形 式― が 異 な って も物 理 的 に は ま っ た く同 じ内容 を記 述 す る もの が あ る(例:シ ン表 現).そ

ュ レ ー デ ィ ン ガー 表 現 とボ ル ン-ハ イ ゼ ンベ ル ク-ヨ ル ダ

の よ う な表 現 ど う しは物 理 的 に 同値 で あ る とい う.他 方,あ

る表 現

は別 の 表 現 と本 質 的 に異 な る 物 理 的 内容 を 内 蔵 して い る場 合 が あ る.こ の よ う な二 つ の表 現 は物 理 的 に非 同 値 で あ る とい う.CCRの

表 現 の 分 類 問 題 は,量 子

力 学 の コ ン テ クス トに お い て は,無 数 に存 在 す るCCRの

表 現 を物 理 的 に 同値

な もの とそ う で な い もの とに分 類 す る問 題 に ほ か な ら な い.こ れ が 本 章 の主 題 で あ る.だ が,こ   Nを

こ で は,有 限 自 由度 のCCRの

自然 数 と し,自 由度Nの

表 現 の み を考 察 す る.

場 合 のCCRを

ここ で も う一 度 か き下 して お こ

う*1:

(3.1) (3.2) だ た し,[X,Y]:=XY-YX.

定 義3.1 

Hを

CCRの

表 現 の 二 つ の 型 を 導 入 す る:

ヒル ベ ル ト空 間 とす る.Hで

作 用 素Qj,Pk(j,k=1,…,N)に

稠 密 な部 分 空 間DとH上

の対 称

ついて

(3.3) か つD上

で(3.1),(3.2)が

成 立 す る と き*2, 

CCRの

対 称 表 現 と い う.こ

の 場 合,も

し,Qj,Pj(j=1,…,N)が

作 用 素 で あ る な ら ば,  現 と い う.い

を 自 由 度Nの

を 自 由 度NのCCRの

ず れ の 表 現 の 場 合 で もHをCCRの

注 意3.1 N=1の

自己 共役

場 合 のCCRの

表 現 の ヒ ル ベ ル ト空 間 と い う.

表 現 は{H,D,(Q,P)}の 各Qj,Pjの

自 己 共役 表

注 意3.2 

上 の 定 義 に お い て,Dが

も あ る.こ

の 方 が 代 数 の 表 現 と い う 意 味 で は 自 然 で あ る.だ

よ う に 表 す*3.

不 変 部 分 空 間 で あ る とす る場 合 が,本

書 で は,作

用 素 論 の 観 点 か ら 論 じ た い の で 上 の よ う な 定 義 を採 用 す る. *1  h=1の *2  H上

単 位 系 を採 用す る の 線 形 作 用 素A

Ψ ∈Dに

対 し て, 

*3  反交 換 関 係 の 記号{・

,Bに

. つ い て,部

分 空 間D⊂D(A)∩D(B)が

が 成 り立 つ と き,D上

,・}と の混 乱 を避 け る ため.

でA=Bが

あ っ て,任

意の

成 り立 つ と い う.

  前 著[14]の3.3.4項 下,単

にCCRの

で 定 義 した の は,実 はCCRの

表 現 とい う と き に は,CCRの

現 を表 す もの とす る.任 意 のCCRの に つ い て,QjとPjの

自己共 役 表 現 で あ った.以 対 称 表 現 あ る い は 自己 共 役 表

表 現 

にお い て,各j

少 な く と も一 方 は非 有 界 で あ る([14]の 定 理3.23,定

3.24).こ

の 特 性 をCCRの

  CCRの

表現 論 を展 開 す る た め の方 法 に は大 き く分 け て2通

は,CCRの

表 現 の 非 有 界 性 と呼 ぶ. りあ る.そ の一 つ

表 現 の非 有 界 性 に まつ わ る困 難 を避 け る ため に,CCRを

見 法 的 に は 同 等 な― しか し,実 際 に は,あ 有 界 作 用 素 の 関係 式 に 翻 訳 して,後 CCRの

これ と発

る付 加 的 条 件 の も とで の み 有 効 な―

者 の 表 現 を論 じ る方 法 で あ る.も

表 現 を直 接 考 察 す る方 法 で あ る.こ

る.だ が,そ

理

う一 つ は

こで は,ま ず,前 者 の方 法 か ら論 じ

の 前 に,あ る予 備 的 考 察 を行 う.

3.2 

  この 節 で は,CCRの

予 備 的 考 察

表 現 を考 察 す る 上 で あ らか じめ把 握 して お くべ き基 礎 的

な事 柄 を論 述 す る.

  3.2.1 

ス ペ ク トル 特 性

  ヒ ル ベ ル ト空 間H上 た はT￨Dと

の 線 形 作 用 素Tの

部 分 空 間D⊂D(T)へ

の 制 限 をTDま

記 す([13]のp.65∼p.66).

命 題3.2 

を 自 由 度NのCCRの

と き,各j=1,…,Nに

対 し て,Qj￨D,Pj￨Dは

対 称 表 現 とす る.こ

の

固 有 値 を も た な い:

(3.4) 証 明   λ を実 定 数 と して  と き,CCRに 左 辺 は0と が っ て,Qjは

を満 た す Ψ ∈Dが

よ り,  な る こ と が わ か る.し

あ っ た と し よ う.こ の の 対 称 性 に よ り,

た が っ て,‖Ψ‖2=0.ゆ

固 有 ベ ク トル を も た な い.Pjに

え に Ψ=0.し

つ い て も 同 様. 

た ■

注 意3.3 

命題3.2はQjま

た はPjが

る もの で は な い(i. e., Qj, Pjが

まっ た く固 有値 を もた な い こ とを 意 味 す

そ れ ぞ れ,D(Qj)＼D,

ベ ク トル を もつ 可 能性 は排 除 で きな い).[14]の3章

D(Pj)＼Dの 演 習 問題19を

中 に 固有 参 照.

  3.2.2  表 現 の 既 約 性   CCRの

表現 を同値 な もの とそ うで な い もの と に分類 す る上 で,次 に述 べ る事

実 は あ ら か じめ心 に と どめ て お く必 要 が あ る.   自 由度NのCCRの と し て,そ

表 現 がM個(Mは

有 限 ま た は 可 算 無 限)与 え ら れ た

れ ら を 

と

し よ う.こ の と き,直 和 ヒ ル ベ ル ト空 間    HM上

に お け る部 分 空 間

の場 合 は 代 数 的無 限 直 和 とす る)は 稠 密 で あ る*4. の 作 用 素Qj, Pj(j=1,…,N)を

に よっ て 定 義 す れ ば, 

はCCRの

こ の場 合,各 表 現 πmを 表 現πMの Qj, PjはHmに   一般 に,CCRの 表 現(direct sum

第m成

表 現 で あ る.

分 と呼 ぶ.表 現 πMに お い て は,各

よっ て 簡約 され る こ とに 注 意 しよ う*5. 表現 が い ま述 べ た 型 の 表 現 と して表 され る と き,こ れ を直 和 representation)と

呼 ぶ.こ

の場 合,当 該 のCCRの

表 現 は直

和 分解 され る とい う.直 和 表 現 が 二 つ 以 上 の 成 分 を もつ と き,こ の 直和 表 現 は 非 自 明 で あ る とい う.   CCRの

直 和 表 現 に お い て は,そ の 表 現 の 詳 細 な性 質 を調 べ る 問題 は,各 成 分

の そ れ を調 べ る 問題 に帰 着 さ れ る.そ れ ゆ え,CCRの て は,直 和 表 現 は度 外 視 して よ い.そ

こで,非

表 現 を分 類 す る に あ た っ

自明 な直 和 表 現 に分 解 され な い

表 現 を定 義 す る こ と を考 え る.そ の た め の 鍵 とな る概 念 が 次 に定 義 す る既 約 性 の概 念 で あ る. 定 義3.3 

Xを

ヒル ベ ル ト空 間,MをX上

の線 形 作 用素(有 界線 形 作 用 素 で あ

る必 要 は な い)の 族 とす る. *4  ヒ ル ベ ル ト空 間 の 直 和 に つ い て は *5  作 用 素 の 簡 約 に つ い て は

,[13]の1.1.8項

,[13]の2.6.4項

を 参 照.

お よ び[14]の4.3.2項

を参 照.

  (ⅰ)  X上 の有 界 線 形 作 用素T∈B(X)が を満 たす と き,TとMは をM'と

すべ て のA∈Mに

可 換 で あ る とい う.Mと

記 し,こ れ を をMの

の 恒 等 作 用 素)な

ducible)で

あ る と い う.

定 義3.4 

CCRの

る と き,こ

の 表 現 は 既 約 で あ る と い う.

表 現 

際,上

可 換 な 有界 線 形 作 用 素 の全 体

可 換 子 集 合 とい う*6.

  (ⅱ) M'={zI}=:CI(IはX上

  こ の 定 義 が,実

対 してTA⊂AT

ら ば,Mは

に お い て 

既 約(irre

が既 約 であ

述 の 目的 に か な う もの で あ る こ とは 次 の 命 題 に よ って

示 さ れ る:

命 題3.5 

CCRの

表 現 

が 既 約 な ら ば,そ

れ は非 自明 な直

和 表 現 に 分 解 さ れ な い.

証 明   仮 に,表

現 

が 非 自 明 な 直 和 に 分 解 さ れ た と し,そ

の 成 分 を 

と 書 こ う(非自明

よ り,M〓2).Пm:H→HmをHmへ Hmに

の 正 射 影 作 用 素 とす れ ば,Qj, Pjの

よ る 簡 約 可 能 性 に よ り, 

か ら,Пm≠I(m=1,…,M).こ

性 に

しか し,M〓2で れ は 

ある

の 既 約 性 に 反 す る.  ■

 作 用 素 の 集 合 の 既 約 性 を別 の視 点 か ら特 徴 づ け る概 念 を導 入 して お く. 定義3.6 

Xを

T*∈Mで

あ る と き,Mは

注 意3.4 

ヒ ル ベ ル ト空 間,M⊂B(X)と

す る.任 意 のT∈Mに

対 して,

自己 共 役 で あ る とい う.

この 定 義 は,有 界作 用 素 の 集 合 に関 す る 自己 共 役 性 の概 念 で あ る.作

用 素 の 自 己 共 役 性 の 概 念 と混 同 し な い よ う 注 意 さ れ た い. 例3.1  M}と

Xを

ヒル ベ ル ト空 間 とす る.任 意 のM⊂B(X)に

す れ ば,Mは

*6  第1章

自 己 共 役 で あ る((T*)*=Tに

対 して,M:=M∪{T*￨T∈

で 導 入 した可 換 子 集 合 の一 つ の 一般 化 で あ る

注 意).

.

命 題 3.7 

Xを

ヒ ル ベ ル ト空 間,M⊂B(X)を

次 の(ⅰ),(ⅱ)は (ⅰ) Mは

既 約.

 

(ⅱ) Xの

閉 部 分 空 間YでM-不

TY⊂Y)はXか{0}の

変 な も の(i.e.,任

既 約 で あ る と す る.A∈Mと

変 な も の と す る.任

＜Φ,A*Ψ＞=0(∵A*∈Mで もM-不

意 の Ψ ∈Xと

意 の Φ ∈Y⊥

変 で あ る.そ

が,Mの

よ っ て,(ⅱ)の

こ で,Yへ

対 し て,＜AΦ

既 約 性 とPの

,Ψ＞=

た が っ て ,AΦ

の 正 射 影 作 用 素 をPと

対 し て,PAΨ=APΨ

∈Y⊥.

す れ ば,任

が 成 り立 つ .ゆ

正 射 影 性 に よ り,P=Iま

仮 定 す る.T∈M'と

し て,TA=AT.し

す る.こ

え

た はP=0

.

の と き,任 意 のA∈Mに

た が っ て,A*T*=T*A*.Mは 意 味 す る.し

元 で あ る.こ

役 で あ る.T1の

ス ペ ク トル 測 度 をEと

対 し て,E(J)∈M'と 仮 定 に よ り,R(E(J))=Xま す れ ば,任

,T2:=(T-T*)/(2i)

の 場 合,T=T1+iT2と

な る.し

書 け,T1,T2は

す る と,任

変 で あ る.こ

た はR(E(J))={0}で

R(E([a-ε,a])=X.ε>0は

あ る.S=supp

対 して,E([a-ε,a])≠0

任 意 で あ っ た か ら,こ

味 す る.す

な わ ち,E({a})=I.ゆ

るb∈IRが

あ る.よ

れ と

Eと .し

し,

た が っ て,

れ はR(E({a}))=Xを

え にT1=aI.同

っ て,T=(a+ib)I.ゆ

自己 共

意 の ボ レ ル 集 合J∈B1に

た が っ て,R(E(J))はM-不

意 の ε>0に

対

自己 共 役 で あ る か ら ,こ れ

た が っ て,T1:=(T+T*)/2

の い ず れ もM'の

Sと

∈Y).し

閉部 分

主 張 が 出 る.

  (ⅱ)⇒(ⅰ):(ⅱ)を

a:=sup

対 し て,

す る.YをXの

と Ψ ∈Yに

あ る か ら,A*Ψ

す べ て のA∈Mに

に,P∈M'.だ

はT*∈M'を

意 のT∈Mに

い ず れ か で あ る.

証 明   (ⅰ)⇒(ⅱ):Mは

ゆ え に,Y⊥

の と き,

同 値 で あ る.

 

空 間 でM-不

自 己 共 役 集 合 とす る.こ

意

様 に し て,T2=bIと

な

既 約 で あ る . 

■

え にMは

 次 の命 題 は,作 用 素 の 集 合 の 既 約 性 のユ ニ タ リ不 変 性 に関 す る もの で あ る. 命 題3.8 

X,Yを

Xか

の 任 意 の ユ ニ タ リ 変 換 と し,MU:={UAU-1￨A∈M}と

らYへ

の と き,Mが

証 明  S∈M'Uと

ヒ ル ベ ル ト空 間,MをX上

既 約 な ら ば,MUも

す れ ば,任

の 線 形 作 用 素 の 族 と す る.Uを

既約 である. 意 のA∈Mに

対 し て,SUAU-1⊂UAU-1S.

す る .こ

そ こ で,S':=U-1SUと Mの

お け ば,S'∈B(X)で

既 約 性 に よ り,あ

るz0∈Cが

あ り,S'A⊂AS'が

あ っ て,S'=z0I.こ

成 り立 つ.

れ はS=z0Iを

意味

す る. 

■

  強 可 換 性 の 概 念 を 若 干 拡 大 して お く:ヒ Aと

有 界 線 形 作 用 素T∈B(X)に

は 強 可 換(strongly   CCRの

ル ベ ル ト空 間X上

つ い て,TA⊂ATが

commuting)で

の 自 己共 役 作 用 素

成 り立 つ と き,AとT

あ る と い う(定 義)*7.

自 己 共 役 表 現 に つ い て の 重 要 な 事 実 を 証 明 す る た め に,次

の 補 題 を証

明 す る. 補 題3.9 

Aを

ヒ ル ベ ル ト空 間X上

形 作 用 素(T∈B(X))でAと

の 自 己 共 役 作 用 素 と し,TはX上

強 可 換 で あ る とす る.こ

に 対 し て,eitAとTは

の と き,す

の有界線 べ てのt∈IR

可 換 で あ る:

(3.5) 証 明   Ψ,Φ ∈D(A)を

任 意 に と る.こ

の と き,e-itAΨ

能 で あ り,de-itAΨ/dt=-iAe-itAΨ.Tは

はtに

つ い て 強微 分 可

有 界 で あ る か ら,Te-itAΨ

に つ い て 強 微 分 可 能 で あ り,dTe-itAΨ/dt=-iTAe-itAΨ  

もt

が 成 立 す る.関

に よ っ て 定 義 す れ ば,こ

数

れ はtに

ついて微分可 能であ り

と計 算 さ れ る.e-itAΨ D(A).し

∈D(A)で

あ る か ら,TとAの

強 可 換性 に よ り,Te-itAΨ

た が っ て,右 辺 第 一 項 は, 

て, 

ゆ え に .こ

 

が 得 ら れ る.Tお

は 稠 密 で あ る か ら,拡 が 成 り立 つ.こ

に 等 しい.し れ とD(A)の よ びeitATe-itAは

大 定 理 の 一 意 性 に よ り,作

れ を 書 き換 え れ ば(3.5)が

∈

たが っ

稠 密 性 に よ り,

有 界 で あ り,D(A)

用 素 の 等 式eitATe-itA=T

導 か れ る. 

■

次 の 補 題 も基 本 的 で あ る. *7  Tが自

己 共役 な らば ,い ま定義 した 意 味 で の 強可 換 性 は,自 己 共役 作 用 素 ど う しの 強 可 換性 の概 念 と一 致 す る(演 習 問題1).

補 題3.10 

Xを

作 用 素 をPと

ヒ ル ベ ル ト空 間,NをXの

す る.X上

す る と す る.こ

閉 部 分 空 間 と し,N上

の 有 界 線 形 作 用 素T∈B(X)はNお

への正射 影

よ びN⊥

を不 変 に

の と き,PT=TP.

証 明   任 意 の Ψ ∈Xは

Ψ=PΨ+(1-P)Ψ 仮 定 に よ り,右

N⊥ の 元 で あ る か ら,PTΨ=TPΨ

と 表 さ れ る.し 辺 第 一 項 はNの

辺第二項 は   ■

をCCRの

自 己共 役表 現 とす る.こ れ が 既 約

で あ るた め の必 要 十 分 条件 は 

が既 約 で あ る こ とで あ る.

偶 を 証 明 す る.そ

こ で, 

約 で な い と し よ う.Mは

自 己 共 役 で あ る.し

の 閉 部 分 空 間KでM-不

変 か つK≠Hか

れ と 補 題1.14に

元 で あ り,右

とな る

命 題3.11 

証 明   (必 要 性)対

た が っ て, 

よ っ て,各Qj,

は既 た が っ て,命

つK≠{0}と

PjはKに

題3.7に

よ っ て,H

な る も の が あ る.こ

よ っ て 簡 約 さ れ る.し

 で あ り, (QjのKに

た が っ て,

お け る 簡 約 部 分),  と す れ ば,  (PはKへ

与 え る.ゆ

え に, 

命 題3.5に

よ っ て, 

定 数).し

  3.2.3    N次

は 非 自 明 な 直 和 に 分 解 さ れ る.こ

れ は,

と す る.こ

た が っ て,補

T=cI(cは

表現 を

が 既 約 で な い こ と を 意 味 す る.

  (十 分 性)  で あ る.し

の 正 射 影 作 用 素)はCCRの

題3.9に

の と き,各Qj,

よ っ て,T∈M'.こ

た が っ て, 

PjはTと

れ とMの

強可換

既 約 性 に よ り,

は 既 約 で あ る. 

■

シ ュ レー デ ィ ン ガ ー表 現 の既 約 性

元 ユ ー ク リ ッ ドベ ク トル 空 間IRNの

ル ベ ル ト空 間L2(IRNx)に 用 素 をxjと 用 素 の 第j成

記 す.こ

お い て 作 用 す る,j番

れ は,量

分 を 表 す.運

元 をx=(x1,…,xN)と

表 し,ヒ

目 の 座 標 変 数xjに

子 力 学 の コ ン テ ク ス トで は,量

よる か け算 作

子 的 粒 子 の位 置作

動量作用 素 は

(3.6)

に よっ て定 義 され た(Dxjは

変 数xjに

よ る一般 化 され た偏 微 分作 用素).S(IRNx)

をIRNx上 の 急 減 少 関 数 の 空 間 とす る と き

(3.7) が 自 由 度NのCCRの

自 己 共 役 表 現 で あ る こ と は す で に 前 著[14]の3章,3.3

節 で み た([14]の

例3.3

た)*8.CCRの

(p. 283)で

は,xj=QSj,pj=PSjと

こ の 表 現 を 自 由 度Nの

い う 表 記 を用 い

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 と呼 ぶ こ と も そ

こ で 言 及 し た.

定 理3.12 

任 意 のN∈INに

対 し て,シ

ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 π(N)Sは 既 約 で

あ る.

  この 定 理 を証 明 す る ため に,そ れ 自体 と して 興 味 の あ る重 要 な 事 実 を補 題 と して 掲 げ て お く: 補 題3.13 

T∈B(L2(IRNx)は

に 有 界 な 関 数F∈L∞(IRNx)が

各xjと

強 可 換 で あ る とす る.こ

あ っ て,T=MF(Fに

の と き,本 質 的

よ る か け 算 作 用 素)が

成 り立 つ.

証 明   例1.10で

示 し た よ う に,x:=(x1,…,xN)は

に よ っ て,Ex=E'x…(*)が と お く と,T1,

T2は

極 大 で あ る の で,定 理1.26

成 り立 つ.T1:=(T+T*)/2,T2:=(T-T*)/(2i)

有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 で あ り,T=T1+iT2が

成 り立 つ.

し か も 仮 定 に よ り,T1xj⊂xjT1,T2xj⊂xjT2(j=1,…,N)が し た が っ て,各Tk(k=1,2)とxjは 換 で あ る.ゆ 測 度).こ

自己 共役 作 用 素 の 強可 換 性 の 意 味 で 強 可

え に,TkExj(J)=Exj(J)Tk, J∈B1(Exjはxjの

れ はTk∈E'xを

意 味 す る.こ

方,(Exj(J)ψ)(x)=xJ(xj)ψ(x), 1.26の

あ っ て,Tk=MFkと

よ っ て,Tk∈Ex.他

ψ ∈L2(IRNx)で

あ る か ら,定

理

る 本 質 的 に有 界 な 関 数Fk∈L∝(IRN)が

表 さ れ る こ と が わ か る.そ

ば,T=MF. 

ス ペ ク トル

の 事 実 と(*)に

x∈IRN,

必 要 性 の 証 明 と 同 様 に し て,あ

*8  [8]の 例6

導 か れ る.

こ で,F:=F1+iF2と

すれ ■

.2(p.

186)に

お い て も ふ れ た.

定 理3.12の

証 明 

B(L2(IRNx))が

を 満 た すT∈

あ っ た と し よ う.こ

が あ っ て,T=MFと

の と き,補 題3.13に

書 け る(MFはFに

 

こ れ は,超

し た が っ て,F(x)=c(cは

よ っ て,あ るF∈L∞(IRNx）

よ る か け 算 作 用 素).し

た が っ て,

関 数 の 意 味 でDjF=0(j=1,…,N)を 定 数)と

な る.ゆ

え に,T=cIで

導 く. あ る か ら,題

が 成 立 す る. 

  定 理3.12と

系3.14 

意 ■

命 題3.11に

よ っ て,次

の 事 実 が 見 い だ さ れ る.

ユ ニ タ リ作 用 素 の 集 合 

は既 約 で

あ る.

  3.2.4 

表 現 の 同 値 性

  二 つ のCCRの 表 現  る と は,ユ ニ タ リ変 換U:H→H'が (j=1,…,N)が

が 同値 で あ 存 在 して, 

成 り立 つ 場 合 を い う.互 い に 同 値 で な い 表 現 ど う し は非 同

値 で あ る とい う.   CCRの もCCRの

表 現 

が 直 和 表 現 で あ り,π の どの成 分 πm

表 現 π'に 同 値 で あ る と き,π

3.3 

は π'の 直 和 に 同 値 で あ る と い う.

ヴ ァ イル 型表 現

  3.1節 の終 わ りで 予 告 した よ うに,CCRの

表 現 を有 界 作 用 素 の代 数 の表 現 と

して 書 き換 え る こ と を考 え る. 

を 自 由度NのCCRの

自

己 共役 表現 と し よ う.求 め る関係 式 を見 い だ す た め に,発 見 法 的 議論 を行 う.交 換 関 係(3.1)を

繰 り返 し使 う と

が 得 ら れ る.そ

こ で,両

い て 和 を と る.こ

辺 をn!で

割 り,(it)n(t∈IRは

任 意)を

か け て,nに

つ

の と き,無 限 和 の 収 束 を 仮 定 す る な ら ば, 

が 得 ら れ る.こ

れ は 発 見 法 的 に 

を意 味

す る.も

し,こ

れ が 作 用 素 の 等 式 と して 成 立 す る な ら ば,作

任 意 の 実 数s∈IRに が 得 ら れ る.す

用 素 解 析 に よ り*9,

対 し て, 

な わ ち,

(3.8) 同様 に して

(3.9) い ま行 っ た発 見 法 的議 論 は,Dに とは 可 能 で あ る.だ が,紙   も と も とのCCRの

適 当 な条 件 を課 す こ とに よ り,厳 密 化 す る こ

数 の 都 合 上,こ

こで は 省 略 す る.

自 己 共 役 表 現 の こ と は忘 れ て,関 係 式(3.8)と(3.9)そ

の もの を一 つ の 代 数 関係 式 と して捉 え 直 し,そ こか ら出発 す る. 定 義 3.15  (3.9)を

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

の 自 己 共 役 作 用 素 の 組 

満 た す と き, 

を 自 由 度NのCCRの

型 表 現 と い う.(3.8),(3.9)を

が(3.8)と ヴ ァ イ ル(Weyl)

ヴ ァ イ ル 関 係 式 と い う.

 

が 既 約 で あ る と き,ヴ

ァイル型表現 は既

約 で あ る とい う.

注 意 3.5  (3.8)でj=kと

すれ ば

(3.10) し た が っ て, 

な ら ばeisQjとeitPjは

注 意 3.6  (3.8)は,j≠kな

ら ば,QjとPkは

強 可 換 で あ る こ と を 意 味 す る.

ま た,(3.9)は, 

が 強 可 換 で あ る こ と,お

る こ と を 意 味 す る([14]の

定 理3.13(p.269)の

*9  AをH上 る.こ

可 換 で は な い.

よ び{Pj}Nj=1が

強可換であ

応 用 に よ る).

の 自己 共 役 作 用 素 と し の と き,任

,UをHか ら ヒ ル ベ ル ト空間Kへ の ユ ニ タ リ 作 用 素 とす 意 の ボ レ ル 可 測 関 数IR→Cに 対 して,作 用 素 の 等 式Uf(A)U-1=

f(UAU-1)が 成 り立 つ([14]の 補 題3.27-(ⅱ)ま た は[8]のp.126,式(3.33)).以 こ の 性 質 を 作 用 素 解 析 の ユ ニ タ リ共 変 性 と し て 言 及 す る.

下,

  命 題3.11の

十 分 性 の 証 明 に よ っ て,次

命 題3.16 

の 事 実 が 得 ら れ る.

ヴ ァ イ ル型 表 現 

が 既 約 な らば, 

は

既 約 で あ る.

  こ の 節 を終 え る にあ た っ て,ヴ

ァ イ ル型 表 現 はCCRの

表 現 で あ る こ と を示

そ う.そ の た め に,あ る一 般 的 な 事 実 を補 題 と して述 べ る. 補 題3.17 

Hを

ヒ ル ベ ル ト空 間,S,

TをH上

IR→B(H);t〓F(t)∈B(H)をB(H)-値 ル Ψ ∈D(T)と

Φ ∈Hが

の 自 己 共 役 作 用 素 と す る.F:

の 強 微 分 可 能 な 関 数 と す る.ベ

ク ト

あ って

(3.11) が 成 り立 っ て い る と し よ う.こ

の と き,Φ

∈D(S)で

あ り,eitSΦ

はtに

ついて

強微 分 可 能 で あ り

(3.12) 特 に

(3.13) 証 明   [14]の 補 題3.51の eitSΦ はtに

証 明 と 同 様 に して(A(t)=F(t),B(t)=eitTと

す る),

つ い て 強 微 分 可 能 で あ り, 

が 成 り立 つ(Ψ

∈D(T)が

き く).eitSΦ

お よ び(eitSΦ)'=iSeitSΦ=ieitSSΦ し た が っ て,第

のtに

関 す る 強 微 分 可 能 性 は Φ ∈D(S)

を 意 味 す る([14]の

一 の 主 張 が 出 る.(3.13)は(3.12)でt=0と

定 理3.37-(ⅱ),

(ⅲ)).

し た も の で あ る.

 ■ 命 題3.18  に 固 定 す る.こ

を ヴ ァ イ ル 型 表 現 と し,j,k=1,…,Nを

任意

の と き:

  (ⅰ) 任 意 の Ψ ∈D(PkQj)∩D(Pk)に

対 し て,Ψ

∈D(QjPk)で

あ り

(3.14)

 

が 成 り立 つ.   (ⅱ) 任 意 の Ψ ∈D(QkQj)∩D(Qk)に

対 し て,Ψ

∈D(QjQk)で

あ り

(3.15) が 成 り立 つ. (ⅲ)  任 意 の Ψ ∈D(PkPj)∩D(Pk)に

対 し て,Ψ

∈D(PjPk)で

あ り

(3.16) が 成 り立 つ. 証 明  (ⅰ)(3.8)よ か ら,補

り, 

題3.17を  ∈D(Qj)で

∈D(Pk),Ψ

∈D(Pk)で

し た が っ て,左 Qjの

辺 もtに

あ り,  あ る か ら,右

  命 題3.18は

つ い て 強 微 分 可 能 で あ る. と

であ り

す れ ば,(3.14)が

(ⅱ),(ⅲ):(ⅰ)の

辺 はtに

つ い て 強 微 分 可 能 で あ る. 

閉 性 に よ り, 

そ こ で,t=0と

あ る

と して 応 用 す る

こ と に よ りeitPkΨ QjΨ

Ψ ∈D(Qj)で

得 ら れ る.

証 明 と ま っ た く 同 様(も

次 の こ とを語 る:CCRの

 ■

っ と 簡 単).

ヴ ァ イ ル 型 表 現 

に

お い て, 

がHで

密 な ら ば, 

はCCRの

ヴ ァ イ ル 型 表 現 は 確 か にCCRの

表 現 を 与 え る こ と が わ か る*10.

3.4 

自 己 共 役 表 現 で あ る.こ

稠

の 意 味 で,

シ ュ レ ー デ ィ ン ガー 表 現 の ヴ ァ イ ル 型 性

  シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 π(N)S(式(3.7))が

ヴ ァイ ル 型 で あ る こ と を証 明 し

よ う. *10 実 は 照).

,Hが可

分 な ら ば,Dが

実 際 に稠 密 で あ る こ と が 証 明 さ れ る(後

の 定 理3.30を

参

補 題3.19 

任 意 のt∈IRとj=1,…,Nに

対 して

(3.17) た だ し, 

は 数 ベ ク トル 空 間IRNの

標 準 基 底 で あ る*11.

証 明   フ ー リエ 変 換 

のユ ニ タ リ性 と作 用素 解 析 のユ

ニ タ リ 共 変 性 に よ り, し の ψ ∈L2(IRN)に

た が っ て ,任 意

対 して,   で あ り,右

  補 題3.19は

次 の こ と を 語 る:ユ

標 軸 方 向 へ,-tだ

定 理3.20 

辺 は ψ(・+tej)に

け 平 行 移 動(並

等 し い. ■

ニ タ リ作 用 素eitpjは,関 進)さ

数 ψ をj番

目 の座

せ る 働 き を も つ.

任 意 のs, t∈IRとj,k=1,…Nに

対 して

(3.18) (3.19) 証 明   (3.18)は

補 題3.19を

 

使 え ば 簡 単 に わ か る.(3.19)の ([14]の 補 題3 .26)を

の 第 二 式 は,(3.19)の

第 一 式 は,

使 え ば 容 易 に 示 さ れ る.(3.19)

第 一 式 の フ ー リ エ 変 換 か ら 得 ら れ る(ま

た は 補 題3.19を

用 い る 直 接 計 算). 

■

  後 の 論 述 へ の 準 備 も兼 ね て,こ

こ で,シ

ュ レー デ ィ ンガ ー 表 現 の基 本 的構 造

の 一 つ を 証 明 し て お こ う.

定 義3.21 

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

の 線 形 作 用 素 の 族A={Aα}α(α

字 集 合 を 動 く)が 与 え ら れ た と き,Hの あ る と は,K⊂ な わ ち,Ψ

∈Kな

こ の 場 合,KをAの

∩αD(Aα)で ら ば,す

あ り,任

部 分 空 間KがAの 意 のAα

∈AがKを

べ て の α に 対 し てAα Ψ ∈Kが

は 適 当 な添

作 用 の も とで不 変 で 不 変 に す る と き,す 成 り立 つ と き を い う.

不 変 部 分 空 間 と い う. j番 目

*11 ej:

=(0,…,0

,1,0,…0)∈IRN(j成

分 が1で

他 の 成 分 は0の

ベ ク トル).

定 理 3.22  る.こ

Ω(x)>0(a.e.x)と

の と き,L2(IRN)の

な る 関 数 Ω ∈L2(IRN)を

任 意 に一 つ 固 定 す

部分空 間

(3.20) は,L2(IRN)上

の有 界作 用 素 の 部 分 集 合

(3.21) の 不 変 部 分 空 間 で あ り,L2(IRN)で

証 明   DS(Ω)がWSの (3.19)に

稠 密 で あ る.

不 変 部 分 空 間 で あ る こ と は,ヴ

よ り容 易 に わ か る.DS(Ω)の

IR,j,k=1,…,N,に

稠 密 性 を い う に は,す

限 る こ と を 示 せ ば よ い.(*)でtk=0,k=

場 合 を 考 え る と, 

s=(s1,…,sN).s∈IRNは て,f*Ω=0で

を 得 る.た 任 意 で あ る か ら,フ

だ し,

ー リエ 変 換 の単 射 性 に よ っ

な け れ ば な ら な い.Ω(x)>0(a.e.x)で

元 と し てf=0と

べ て のsj,tk∈

対 して, 

を 満 た すf∈L2(IRN)はf=0に 1,…,Nの

ァ イ ル の 関 係 式(3.18),

あ る か ら,L2(IRN)の

な る. 

■

注 意 3.7  上 の 証 明 は,稠 密 性 に 関 して い え ば,実 は, 

が 稠 密 で あ る こ とを 示 した こ とに な る.定 理3.22は,Ω WSに

 

よ って 生 成 され る代 数 の巡 回ベ ク トル(第1章

3.5 

が

を参 照)で あ る こ と を示 す.

ヴ ァ イ ル 型 表 現 の 構 造― フ ォ ン ・ノ イ マ ンの一 意 性 定 理

  こ の節 で は,可 分 な ヒル ベ ル ト空 間 にお け る,有 限 自 由度 のCCRの

ヴァイ

ル型 表 現 の 構 造 を明 らか に し,同 一 の 自由 度 の 既 約 な ヴ ァ イル 型 表 現 ど う しは す べ てユ ニ タ リ 同値 で あ る こ と,し た が って,本

質 的 に 一つ しか な い こ と を証

明 す る.目 標 とす る定 理 は次 で あ る: 定 理 3.23  (フ ォ ン ・ノ イ マ ンの一 意性 定 理)Hを H上 の 自己 共 役 作 用 素 の 組{Qj,Pj}Nj=1をCCRの

可 分 な ヒルベ ル ト空 間 と し, ヴ ァ イ ル型 表 現 とす る.す

 

な わ ち,eitQj, eitPj(t∈IR,j=1,…,N)は し た が う と す る.こ

の と き,次

ヴ ァ イ ル 関 係 式(3.8),

の(ⅰ)∼(ⅲ)を

間Hm⊂H(m=1,…,M)(Mは

満 た す,互

(3.9)に

い に 直 交 す る閉 部 分 空

有 限 ま た は 可 算 無 限)が

存 在 す る:

(ⅰ)  (ⅱ) (Qj, Pj(j=1,…,N)は (ⅲ) Qj, PjのHmに mに

対 し て,ユ

各Hmに

よ っ て 簡 約 さ れ る. 

お け る簡約 部 分 をQ(m)j, P(m)jと

ニ タ リ 作 用 素Um:Hm→L2(IRN)が

し よ う.こ

の と き,各

存 在 し,各j=1,…,N

に 対 して

(3.22) が 成 り立 つ.   この 定 理 は,可 分 な ヒ ルベ ル ト空 間 に お け る,CCRの

ヴ ァイ ル 型 表 現 は 同 じ

自由 度 の シュ レー デ ィ ン ガー の 直 和 表 現 に同 値 で あ る こ と を語 る.こ の意 味 で, 可 分 な ヒル ベ ル ト空 間 にお け る,CCRの   定 理3.23を 系3.24 

ヴ ァ イル 型 表 現 は一 意 的 で あ る.

認 め れ ば,次 の 事 実 は容 易 に導 か れ る.

前 定 理 に お い て,{Qj,Pj}Nj=1が

既 約 な ら ば,{Qj,Pj}Nj=1は

シ ュ レー

ディ ン ガー 表 現 に 同値 で あ る. 証 明   命 題3.5を

応 用 す れ ば,定

理3.23に

お け るMは1で

な け れ ば な ら な い.  ■

  こ う し て,同

じ 自 由 度 の 既 約 な ヴ ァ イ ル 型 表 現 は す べ て,シ

表 現 に ユ ニ タ リ 同 値 で あ る こ と,し

た が っ て,そ

ュ レー デ ィ ンガ ー

れ らは 互 い にユ ニ タ リ 同値 で

あ る こ と が わ か る.

注 意3.8 

ヴ ァ イ ル 型 で な いCCRの

マ ン の 一 意 性 定 理 と系3.24は た い.物

理 の 文 献 の 中 に は,有

自 己 共 役 表 現 に つ い て は,フ

一 般 に は 成 立 し な い.こ 限 自 由 度 のCCRの

の 点 は特 に強 調 して お き

表現 はすべ てシュ レーデ ィ

ン ガ ー 表 現 に ユ ニ タ リ 同 値 で あ る と 書 い て あ る も の が み ら れ る が,こ で あ る.実

際,シ

ォ ン ・ノ イ

ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 に 非 同 値 で,物

れ は誤 り

理 的 に も重 要 な例 が存

在 す る こ と を次 の節 で示 す(簡 単 な例 は,す で に,[14]の3章

演 習 問題19に

あ

げ て お い た).   定 理3.23の

証 明 は 簡単 で は な い.ま ず,自 由 度1の

ヴ ァ イル型 表 現 の場 合 を

証 明 す る.

  3.5.1 

自由 度1の

  {Q,P}を

ヴ ァ イル 型 表 現 の 基 本 的性 質

可 分 な ヒ ルベ ル ト空 間H上

の 自己 共 役 作 用 素 の 組 と し,CCRの

ヴ ァ イル 型 表 現 で あ る とす る.し たが っ て

(3.23) とお け ば,こ

れ らは ヴ ァ イ ル の 関係 式

(3.24) を満 た す.こ

の表 現 の 構造 を調 べ る手 が か りの 一 つ はユ ニ タ リ作 用 素 の族

の 作 用 の も とで不 変 な部 分 空 間 の構 造 を調 べ る こ とで あ る.そ の た め には

(3.25) と い う作 用 素 を導 入 す る の が 自然 で あ る(係 数eist/2は 後 の 議 論 をみ こ して 選 ん で あ る).こ の と き,あ る部 分 空 間 がWの

作 用 の も とで 不 変 で あ る こ と とそ

れが作 用素の族

の 作 用 の も とで 不 変 で あ る こ と とは 同 値 で あ る.そ こ で,Wの

作 用 の も とで 不

変 な部 分 空 間 の構 造 を調 べ よ う.   こ の た め に,ま ずW(s,t)の 用 素U(s),

基 本 的性 質 を明 らか に して お く必 要 が あ る.作

V(t)の ユ ニ タ リ性 は

(3.26)

を 導 く.す

な わ ち,W(s,t)も

ユ ニ タ リ で あ る.W(s,t)が(s,t)に

続 で あ る こ と も 容 易 に わ か る.さ

関 して 強 連

ら に,U(s)*=U(-s),V(t)*=V(-t)で

る こ と お よ び ヴ ァ イ ル の 関 係 式(3.24)を

あ

使 えば

(3.27) が得 られ る.同 様 に して

(3.28) が 成 立 す る こ とが わ か る.   閉部 分 空 間MがWの に対 して,Wの

作 用 の も とで不 変 で あ れ ば,IR2上

の 任 意 の 関数k(s,t)

元 の 有 限 一 次 結 合 

不 変 にす る.Mは

もMを

閉 で あ る か ら,そ の 強 収 束 の 意 味 で の 極 限 も(存 在 す れ ば)M

を不 変 に す る.そ の 種 の 極 限 の 一 つ の 形 と して 

とい う

作 用 素 が 考 え られ る(積 分 は 強 収 束 の 意 味 で 存 在 す る とす る).そ あ る ク ラ ス の 関 数k(s,t)に

こで,次

に,

対 して は,実 際,そ の よ うな作 用 素 が 定義 され る こ

と を示 し,そ の 性 質 を調 べ る.   IR2上

の 連 続 関 数kでk∈L1(IR2)と

意 の Ψ ∈Hに

対 し て,k(s,t)W(s,t)Ψ

な る も の を 任 意 に 選 ぶ.こ は(s,t)に

の と き,任

関 して強 連 続 で あ り

で あ るか ら,強 収 束 の 意 味 で,有 界作 用 素Kが

に よ って 定 義 され

が 成 り立 つ.作

用 素Kを

積 分 核k(s,t)に

同 伴 す る 作 用 素 と呼 ぼ う.こ の 種 の

作 用 素 に 関 す る基 本 的事 実 は次 の 補 題 に ま とめ られ る. 補 題 3.25  関数kを

上 述 の もの とす る.

   

(ⅰ) 積 分 核k(-s,-t)*に

特 に,任

意 のs,t∈IRに

同 伴 す る 作 用 素 はK*で

あ る:

対 し て,k(s,t)=k(-s,-t)*な

ら ば,Kは

自己 共 役

で あ る. (ⅱ) k(s,t)〓0な

ら ば,K≠0.

証 明   (ⅰ)  こ れ は 次 の 計 算 に よ る:任

  (ⅱ)  対 偶 を証 明 す る.そ

意 の Ψ, Φ ∈Hに

こ で.K=0と

し よ う.こ

して, 

対 し て, 

の と き,任 意 の Ψ ∈Hに

し た が っ て,任 意 のu, υ ∈IRと

対 し て, 

(3.28)を

に よ り,任 意 の Φ, Ψ ∈Hに が 導 か れ る.u, υ

∈IRは

の フ ー リエ 変 換 が0で

対

Φ ∈Hに 使 うこ と

対 して,  任 意 で あ っ た か ら,こ れ は,関

あ る こ と を 意 味 す る.し

0,

s,t∈IR.こ

れ は 任 意 の Ψ, Φ ∈Hに

0で

な け れ ば な ら な い.W(s,t)は

数k(s,t)〈

Ψ,W(s,t)Φ〉

た が っ て,k(s,t)〈 Ψ,W(s,t)Φ〉=

対 し て 成 立 す る か ら,k(s,t)W(s,t)=

ユ ニ タ リ で あ る か ら,k(s,t)=0,

∀(s,t)∈

IR2. 

■

  3.5.2 

シ ュ レー デ ィ ン ガ ー表 現 の 場 合

  定 理3.22に

お い て,シ

ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 の 構 造 の 一 つ を 明 ら か に し た.

こ の 定 理 に お け る 関 数 Ω は 正 のL2関 て,調

数 な ら何 で も よ い か ら,簡

単 な もの と し

和振 動 子 の基 底 状 態

(3.29) を選 ん で み よ う(い

ま,N=1の

場 合 を 考 え る).定

理3.22(N=1の

場 合)に

よ って

(3.30) は  そ こ で,ベ

の 不 変 部 分 空 間 で あ り,L2(IR)で ク ト ル Ω0を,シ

稠 密 で あ る.

ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 か ら 定 義 さ れ る 作 用 素Kを

用 い て 特 徴 づ け る こ と を 考 え て み る.具 よ り,Ω0を

固 有 ベ ク トル と す るKを

  自 由 度1の

体 的 に は,k(s,t)を

う ま く選 ぶ こ と に

見 い だ す こ と で あ る.

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現{L2(IR),S(IR),{x,p}}に

お け るW(s,t)

は

(3.31) で 与 え ら れ る.IR2上

の ガ ウス 型 関 数

(3.32) を積分核 とす る作 用素

(3.33) に つ い て 次 の 事 実 が 見 い だ さ れ る: 補 題3.26 

σp(AS)＼{0}={2π}か

証 明   補 題3.19に

つker(AS-2π)={cΩ0￨c∈C}.

よっ て

(3.34) した が っ て,  任 意 のf∈L2(IR)に

対 して 

で あ る か ら,

フ ビ ニ の 定 理 に よ っ て,上 式 の 右 辺 に お け る積 分 順 序 は任 意 で よ い .そ こでs に関 す る積 分 を最 初 に行 い,次

を 得 る.し

た が っ て,ASf=λf(λ

わ か る.こ

こ で,c≠0は

にtに 関 す る積 分 をす れ ば

≠0, f≠0)な

複 素 定 数 で あ る.一

満 た す こ と は 直 接 計 算 に よ り容 易 に わ か る.し ら ず,こ

れ を 固 有 値 とす る,ASの

ら ばf=cΩ0と

方,関

な る こ とが

数 Ω0がASΩ0=2π

た が っ て,λ=2π

Ω0を

で な けれ ば な

固 有 ベ ク トル は Ω0の 定 数 倍 に 限 ら れ る. ■

 

  3.5.3 

一 般 の ヴ ァ イル 型 表 現 の 場 合

  CCRの

ヴ ァ イ ル 型 表 現U(s),V(t)の

て,こ

場 合 に 戻 ろ う.補

題3.26の

類推 によっ

の場 合 に は 自 己 共役 作 用 素

(3.35) の 固 有 値2π に属 す る 固有 ベ ク トル が(存 在 す る とす れ ば)Ω0の 役 割 を演 じる こ とが 期 待 され る.そ こで,ま ず,2π がAの

固 有値 とな って い る こ とを示 そ う.

補 題 3.27

(3.36) と し よ う.こ

の と き:

(ⅰ)

(3.37)   (ⅱ) Ψ ∈Mと とW(u,υ)Φ

Φ ∈Mが

直 交 す れ ば,任 意 のs,t,u,υ

∈IRに

対 して,W(s,t)Ψ

も 直 交 す る.

証 明   (ⅰ)補 題3.25に

よ り,A≠0.関

係 式(3.28)を

用 い て,初

等 的 だが 少 し

長 い計 算 を実 行 す れ ば

(3.38) が 成 り 立 つ こ とが わ か る*12.そ

こ で,特

い る とA2=2πAを

得 る.こ

を 意 味 す る.し

た が っ て,R(A)⊂M.他

*12 任 意 の Ψ ,Φ

形 で き る.そ dt,dsに

∈Hに

こ で,積

方,M⊂R(A)は

分 の 変 数 変 換:s'→

α=s+u+s',t'→

用

明 ら か.し

たが っ

β=t+υ+t'を

  と変 行 い,

分 の順 序 交 換 が で き る こ と に つ い て は,フ

で き る こ と を 確 認 せ よ).そ

 と い う 形 の 積 分 に 帰 着 さ せ,公式  う.

し,W(0,0)=1を 対 し て,A(AΨ)=2π(AΨ)

対 し て,

関 す る 積 分 を 実 行 す れ ば よ い(積

ニ の 定 理 が適用

にu=υ=0と

れ は 任 意 の Ψ ∈Hに

の 際,指

ビ

数 関 数 の積 分 を を使

て,(3.37)の

第 一 の 等 号 が 成 り立 つ.ま

た,A≠0で

あ っ た か ら,R(A)≠{0}

で あ る.   (ⅱ)  Ψ, Φ ∈Mと

し よ う.(3.28),

Ψ=AΨ/(2π),

Φ=AΦ/(2π)お

よ びAが

自己 共 役 で あ る こ と を使 う と

そ こ で(3.38)を

用 い る と,す

べ て のs,

t, u, υ ∈IR,に

対 して

(3.39) が 得 ら れ る.こ

れ は,Ψ,

Φ ∈Mが

直 交 す れ ば,W(s,t)Ψ,

W(u,υ)Φ

も直 交 す

る こ と を 意 味 す る. 

  3.5.4    Hは も つ.そ

■

フ ォ ン ・ノ イ マ ン 定 理 の一 意 性 定 理 の 証 明―1自

可 分 で あ る か ら,Mも

可 分 で あ る.し

の 一 つ を{Ψm}Mm=1(Mは

由度の場合

た が っ て,Mは

完全正規直交系 を

有 限 ま た は 可 算 無 限)と

し

(3.40) と お く.こ

の と き,補

題3.27に

よ っ て,m≠nな

ら ばHmとHnは

直 交 す る.

さ ら に 次 の 事 実 が 成 り立 つ.

定 理3.28 U(t),  

V(t)は(3.23)で

(ⅰ) す べ て のt∈IRに

  (ⅱ) 各mに

対 し て,ユ

与 え ら れ る も の と す る.こ

対 し て,U(t), V(t)は

各Hmを

ニ タ リ 変 換Um:Hm→L2(IR)が

の と き:

不 変 に す る. 存 在 して

(3.41) が 成 り 立 つ.た 表 現 で あ る.

だ し,x, pはL2(IRx)に

お け る 自 由 度1の

シ ュ レー デ ィ ンガ ー

 

(ⅲ) HはHmの

直 和 に分 解 され る:

(3.42) 証 明   (ⅰ)  は ヴ ァ イ ル の 関 係 式 か ら わ か る.   (ⅱ)  各mに

対 し て,Dm:=L({W(s,t)Ψm￨s,t∈IR})と

で 稠 密 で あ る.Dmの

す れ ば,こ

れ はHm

任意 の元 Ψ は

(3.43) と い う 形 に 表 さ れ る(αjk∈C, sj,tk∈IR, J,K∈IN).こ ベ ク トル  WS(s,t)に

を 考 え る.(3.39)はW(s,t)を 置 き換 え て も 成 立 す る か ら(た だ し,MはA=ASの

‖ Ψ‖=‖ Ψ‖ …(*)が

成 り立 つ.そ

を用 い て,Ψ=Φ=Φ'と2通

え に,写

に よ っ て 定 義 で き る.(*)に で あ る.し

た が っ て,拡

こ で,Ψ が(3.43)の

よ っ て,UmはDmか

らDS(Ω0)上

大 定 理 に よ り,Umは,Hmか の 拡 大 もUmと

と ヴ ァ イ ル の 関 係 式 を 使 え ば,(3.41)が

と す る と き,K⊥={0}を

IRに

各Hmを

⊂ker

不 変 に す る.こ

も 不 変 に す る こ と が わ か る.一 A…(*).い

た こ と に よ り,任

意 のu,υ

Φ-Φ'‖.

へ の等長作用素

らL2(IR)へ 書 こ う.こ

のユニ タリ

の とき

成 り立 つ こ と が わ か る.

  (ⅲ) 

W(u,υ)はK⊥

Φ-Φ'‖=‖

像Um:Dm→L2(IR)を

作 用 素 に 一 意 的 に 拡 大 さ れ る.こ

対 し てW(u,υ)は

場 合 のM),

右 辺 の 型 の ベ ク トル Φ, Φ'

り に 表 さ れ た とす る と,0=‖

し た が っ て,Φ=Φ'.ゆ

ら,K⊥

れ に 対 応 さ せ て,

示 せ ば よ い.任

意 のu,υ

の 事 実 と(3.27)を 方,R(A)=M⊂Kで

ま,Ψ

∈K⊥

と し よ う.こ

∈IRに

対 し て,W(u,-υ)Ψ

あ るか

の と き,す ∈K⊥

∈

用 い る と,

で に注 意 し

で あ る.し

た

が っ て,(*)に

よ っ て,AW(u,-υ)Ψ=0.ゆ

 

え に,任

意 の Φ ∈Hに

対 し て,

これ は

を 意 味 す る.(3.28)に u,υ ∈IRは

よっ て, 

任 意 で あ る か ら,フ ー リ エ 変 換 の 単 射 性 に よ り,

 

Φ ∈Hは

を 導 く.し

任 意 で あ っ た か ら ,W(s,t)Ψ=0.こ

れ は Ψ=0

た が っ てK⊥={0}. 

  定 理3.28か

■

ら 定 理3.23(N=1の

場 合)を

導 く に は,次

の 一 般 的 事 実 を利 用

す れ ば よ い. 補 題3.29 

Xを

ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,NをXの

の 自 己 共 役 作 用 素 と し,す と す る.こ  

べ て のt∈IRに

対 し て,eitSはNを

不 変 に して い る

の と き:

(ⅰ) SはNに

  (ⅱ) Kを

よ っ て 簡 約 さ れ る.

ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,ユ

作 用 素Tが

ニ タ リ 変 換U:N→KとK上

の 自己 共 役

存 在 して

が 成 り立っ て い る と す る.た の と き,作

閉 部 分 空 間 と す る.SをX上

だ し,SNはSのNに

お け る 簡 約 部 分 で あ る.こ

用 素 の等 式

(3.44) が 成 り立 つ. 証 明   (ⅰ)  こ れ は 補 題1.14に

よ る.

  (ⅱ)  作 用 素 解 析 の ユ ニ タ リ共 変 性 を応 用 す れ ば よい. 

■

  3.5.5  一 般 の 自由 度 の 場 合   自 由 度Nの をCCRの

場 合 の 定 理3.23の

証 明 につ い て は概 略 だ け を述 べ る. 

ヴ ァ イ ル 型 表 現 と す る.任

意 のt=(t1,…,tN)∈IRNに

対 して,

 

U(t),

V(t)を

(3.45) に よ っ て 定 義 す る.こ

の と き,ヴ

ァイ ル 関係 式 を用 い る こ と に よ り

(3.46) が 導 か れ る.次 にユ ニ タ リ作 用 素

(3.47) を導 入 す る.あ なお,シ

とは 自由 度1の

場 合 と ま っ た く並 行 的 に 考 察 を進 め れ ば よ い.

ュ レー デ ィ ンガ ー 表 現 に関 して は,次 の 置 き換 えが 必 要 で あ る:

詳 細 を埋 め る こ とは読 者 の演 習 とす る(演 習 問題3).

  3.5.6 

フ ォ ン ・ノ イマ ンの 一 意 性 定 理 か らの 一 つ の帰 結

  次 の定 理 は,可 分 な ヒル ベ ル ト空 間 にお け る,有 限 自由 度 のCCRの ル 型 表 現 は 同 じ自 由度 のCCRの 定 理3.30   はCCRの

ヴァイ

表 現 で あ る こ と を示 す.

Hを 可 分 な ヒルベ ル ト空 間,H上

の 自己共 役作 用 素 の組

ヴ ァイ ル型 表 現 で あ る とす る.こ の と き,次 の(ⅰ)∼(ⅲ)が 成 り立 つ

よ う な稠 密 な 部 分 空 間D⊂Hが   (ⅰ)  各Qj, PjはDを   (ⅱ)  (ⅲ)  各Qj, PjはD上

存 在 す る:

不 変 にす る: 

はD上

でCCRを

かつ

満 た す. 

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.

証 明   仮 定 に よ り,定 理3.23が はHmで

不 変 に し,C∞0(IRN)上

た が っ て,Q(m)j,P(m)jはDmを

不 変 に し,Dm上

と が わ か る.xj,pjはC∞0(IRN)上

P(m)jはDm上 下,二

と す れ ば,Dm

稠 密 で あ る.各xj,pjはC∞0(IRN)を

を 満 た す.し す.こ

成 り立 つ. 

でCCR

でCCRを

満た

で 本 質 的 に自己 共 役 で あ る か ら,Q(m)j,

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る([8]の

補 題5.7(P.165)の

応 用).以

つ の 場 合 に 分 け る.

  (1)M<∞

の場 合

  こ の 場 合, 

と す れ ば,任

意 の Ψ=(Ψ1,…,ΨM)∈Dに

対

して

こ れ か ら,主   (ⅲ)を

張 の(ⅰ),(ⅱ)が

示 す た め に,任

で る.

意 の Ψ ∈Dに

対 し て 

とな る

  が あ っ た と し よ う.Ψ 外 は0の

も の を と れ ば, 

はDm上

に 自 己 共 役 で あ っ た か ら,Φm=0と Φ=0を

意 味 す る.し

で本質的

任 意 で あ っ た か ら,こ 稠 密 で あ る.同

稠 密 で あ る こ と が 示 さ れ る.ゆ

質 的 に 自 己 共 役 で あ る.Pjに

え にQjはD上

れ は

様 に し で本

つ い て も 同 様 で あ る.

可 算無限の場合

  こ の 場 合 は,Dと

を と り,同

な る.mは

た が っ て,R((Qj+i)￨D)はHで

て,R((Qj-i)￨D)もHで

  (2)Mが

と し て Ψm以

して

様 の 議 論 を 行 え ば よ い. 

  定 理3.30に

よ っ て,各

自 由 度 ご と に,ヴ

■

ァ イ ル 型 表 現 の 全 体 は,CCRの

共 役 表 現 の 全 体 の 部 分 集 合 で あ る こ とが わ か る.だ よ う に,CCRの

が,注

意3.8で

自己

述べておい た

自 己 共 役 表 現 の 中 に は ヴ ァ イ ル 型 で な い も の も あ る(図3.1).

図3.1 

3.6 

CCRの

自 由度 を 固 定 した と きのCCRの

表現

非 同 値 表 現 と ア ハ ラ ノ フ-ボ ー ム 効 果

  シ ュ レー デ ィン ガー 表現 また はそ の 直 和 にユ ニ タ リ同値 に な ら ないCCRの

表

現 を単 に非 同 値 表 現 と呼 ぶ こ とにす る.こ の 節 で は,特 異 性 の あ る磁 場 を もつ2 次 元 の量 子 系 にお い て,CCRの

非 同値 表現 が 実 際 に現 れ る こ と を示 す.こ

こで取

り上 げ る例 は,量 子 現 象 との 関連 にお いて は,い わ ゆ る ア ハ ラ ノ フ(Aharonov)ボ ー ム(Bohm)効

果 と関 連 して い て,物 理 的 に も興 味 が あ る もの で あ る.

  3.6.1  磁 場 の あ る系 の 物 理 的 運 動 量 の本 質 的 自己 共 役 性   2次 元 平 面 

の 中 に(粒 子 的描 像 か ら見 て)

1個 の荷 電 粒 子 が存 在 す る量 子 系 を考 え る.こ の粒 子 の 電 荷 をq∈IR＼{0}と 記 す.い

ま,こ の 系 は,平 面IR2と

垂 直 な方 向 に古 典 的 な 磁 場 の作 用 を受 け て

い る もの と し よ う.数 学 的 な 一 般 性 を も たせ る た め に,磁 場 はN個

の孤 立 点

 にお い て特 異性 を もっ て も よい と し,こ れ らの 点 を 除 い た 領 域

(3.48)

図3.2 

平 面 に垂 直 な磁 場 の あ る 系

で は 連 続 で あ る と仮 定 す る.   古 典 電 磁 気 学 で 学 ぶ よ う に,磁 M→IR2に

場 は ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ルA:=(A1,A2):

よ っ て 記 述 さ れ る.こ

可 能 で あ る とす る.い

こ で,A1,A2:M→IRはM上

ま の 仮 定 の も と で は,磁

で連続微分

場

(3.49) は超 関数 と考 え る ほ うが 自然 で あ り,こ の 節 で は この観 点 を採 用 す る.実 際,磁 場Bの

基 本 的 な例 と して 念 頭 にお い て い る の は,Bが

に デ ル タ超 関 数 的 に集 中 して い る よ うな場 合,し

点x=an,n=1,…,N

た が って,極

め て特 異 な場 合

で あ る.以 下 にお け る 考 察 の主 た る 対 象 は,ヒ ル ベ ル ト空 間L2(IR2)に

おい て

働 く作 用 素

(3.50) で あ る*13.作

用 素 の 和 の 定 義 に よ っ て,D(Pj)=D(pj)∩D(Aj)で

(P1,P2)を

物 理 的 運 動 量 と 呼 ぶ.こ

す れ ば,古

典 力 学 と の 対 応 か らみ て,考

の 命 名 は,荷

分 はPj/mと

解 釈 さ れ る こ と に よ る.ま

あ る.

電 粒 子 の 質 量 をm>0と

察 下 の 系 に お け る 速 度 作 用 素 の 第j成 ず,P1,

P2が

実 際 に量 子 力 学 的物 理 量

で あ る こ とす な わ ち,そ

れ ら が 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る こ と を 証 明 し よ う.

補 題3.31 

閉 集 合 と し,そ

FをIRdの

と す る(i. e., Fは

閉 零 集 合).こ

のd次

の と き, 

元 ル ベ ー グ 測 度￨F￨は0で はL2(IRd)で

ある

稠 密 で あ る.

*13 p j:=-iDj(j=1,2)は2次 元 系 に お け る 自 由 な 粒 子 の 運 動 量 作 用 素.光 お よ びh=1で あ る よ う な 単 位 系 で 考 え る.

速c=1

証 明  IRd＼Fは

開 集 合 で あ る か ら, 

([22]の 定 理6.6の

応 用).だ

は 

が,￨F￨=0で

で稠密で ある

あ る か ら, 

と 自然 な 仕 方 で 同 一 視 で き る. 

系3.32 

(ⅰ)  L∈INを

■

任 意 の 自 然 数 と し,c1,…,cL∈IRを

の と き, 

はL2(IR)で

  (ⅱ)  C∞0(M)はL2(IR2)で

稠 密 で あ る.

定 点 と す る.こ

稠 密 で あ る.

証 明   (ⅰ)  前 補 題 をd=1, 

と し て 応 用 す れ ば よ い.

  (ⅱ)  前 補 題 をd=2, 

と し て 応 用 す れ ば よ い. 

  X,Yを

g:Y→Cに

集 合 とす る と き,f:X→C,

■

対 してf×g:X×Y→C

を

に よっ て 定 義 す る.FをX上 す る と き,X×Y上

の 関 数 の 部 分 集 合,GをY上

の 関 数 の 部 分 集 合 

の 関 数 の 部分 集 合 と

を

(3.51) に よっ て 定 義 す る.次

補 題3.33 

の 一 般 的 事 実 が あ る.

(X,μ), (Y,ν)を 二 つ の 測 度 空 間 と し, 

次 元 で 可 分 で あ る とす る.FをL2(X,dμ)で 稠 密 な 部 分 空 間 と す る.こ

証 明   FのL2(X,dμ)に (CONS) 

は無 限

稠 密 な 部 分 空 間,GをL2(Y,dν)で

の と き, 

は 

で 稠 密 で あ る.

お け る 稠 密 性 に よ り,L2(X,dμ)の で ψn∈F(n∈IN)と

な る も の が と れ る.同

元 φnか

ら な る,L2(Y,dν)のCONS{φn}∞n=1が

理4.2に

よ っ て,   で あ る か ら,こ

あ る こ と を 意 味 す る. 

完全 正規 直 交系

存 在 す る.す

は  れ は 

のCONSで が 

様 にGの

る と,[14]の

定

あ る. で稠密 で ■

 便 宜 上,IRの

部分集合

(3.52) を 導 入 す る.補

題3.32と

補 題3.33に

よ っ て,L2(IR2)の

部分空間

(3.53) はL2(IR2)で

稠 密 で あ る.IR2の

部 分 集 合.M1,

M2を

次 の よ う に 定 義 す る.

(3.54) 容 易 に わ か る よ う に,  C∞0(Mj)はL2(IR2)で

補 題3.34 

し た が っ て,各

稠 密 で あ る.

各j=1,2に

対 して,Djはpjの

証 明   任 意 の 

芯 で あ る.

に 対 し て,

 を 満 た す φ ∈L2(IR2)が

あ っ た と し よ う*14. 

と

フ ビ ニ の 定 理 に よ り, 

した が っ て,積

分 に

関 す る シ ュ ヴ ァ ル ツ の 不 等 式 を使 え ば,  が わ か る の で,  定 義 さ れ,u∈L2(IR)で はL2(IR)で

が

あ る.(*)と

フ ビニ の 定 理 に よ り,〈u,g〉=0.

稠 密 で あ る か ら(系3.32),u=0.し C∞0(IR)はp1の

  が 結 論 さ れ る.こ

れ はL2(IR2)の

 はL2(IR2)で 稠 密 で あ る こ とが わ か る.よ

っ て,本

よ り(補 題2.8-(ⅱ)),p1はD1上 p1の

芯 で あ る.p2に

注 意3.9 

L2(IR)上

は な い.実

際, 

*14 〈・ ,・ 〉はL2(IR2)の

た が っ て,  芯 で あ る か ら,

元 と し て φ=0を

稠 密 で あ る.同

C∞0(Ya)

意 味 す る.し

た が っ て,

様 に,もL2(IR2)で

質 的 自 己共 役 性 に 関 す る一 般 的判 定 法 に

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.す

つ い て も 同 様.  の 作 用 素 と して のp1はC∞0(Xa)上

な わ ち,D1は ■

で は 本 質 的 に 自己 共 役 で に よ って定 義 され る 関数

内 積 を 表 す.

υ ≠0はL2(IRk)の

元 で あ り,そ の 逆 フ ー リエ 変 換υ は 

に 入 る こ と が わ か る(フ

ー リエ 変 換 を 用 い て,

 を 示 せ).

  x0∈Xa,y0∈Yaを

任 意 に固 定 し

(3.55) (3.56) を定 義 す る.こ の と き,φ1はM1に

お い て連 続 か つx1に

つ い て 偏微 分 可 能 で

あり

(3.57) 同様 に φ2はM2に

お い て 連 続 か つx2に

つ い て偏 微 分 可 能 で あ り

(3.58) IR2＼Mjの2次

元 ル ベ ー グ 測 度 は0で

と ん ど い た る と こ ろ(a.e.)有 る(た

数eiqφjに

ル ベ ー グ 測 度 に 関 して ほ

限 に定 義 され た実 数 値 可 測 関 数 とみ る こ とが で き

と え ば, 

が っ て,関

あ る か ら,φjは

上 で は φj(x1,x2)=0と よ る か け 算 作 用 素 はL2(IR2)上

こ の ユ ニ タ リ作 用 素 をUjと

す れ ば よい).し

た

の ユ ニ タ リ作 用 素 に な る.

記 す:

(3.59)   以 上 の 準 備 の も とで,こ

の項 の基 本 定 理 の ひ とつ を証 明 で きる:

定 理 3.35  各j=1,2に

対 して,PjはUjDj上

で 本 質 的 に 自己 共 役 で あ り,

作用素 の等式

(3.60) が 成 り立 つ.

証 明   D1の

元 η で η=f×gと

い う 形 の も の を 任 意 に と る.こ

 

x∈IR2.右

偏 微 分 可 能 で あ り,x2に あ る.こ

辺 の 関 数 はx1に

つ い て は 連 続 で あ り,そ

つい て は

の 台 は 有 界 でM1の

の こ と か ら, 

内部 に

か つ  が わ か る.こ

し た が っ て,U1D1⊂D(P1)で

れ はP1U1η=U1p1η

あ り任 意 の ψ ∈D1に

が 成 り立 つ こ と に な る.補 る か ら,P1はU1D1上

の と き,

題3.34に

を 意 味 す る.

対 し て, 

よ っ て,p1はD1上

で 本 質 的 に 自己 共役 であ

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ り作 用 素 の 等 式

  が 成 り立 つ*15.こ

れ は(3.60)でj=1の

場 合 と 同 値 で あ る.同

様 に し て,P2

に 関 す る 主 張 も 証 明 さ れ る. 

  3.6.2 

物 理 的 運 動 量 が 生 成 す る 強 連 続1パ

  定 理 3.35に 続1パ

■

よ っ てPjの

自 己 共 役 性 が 確 立 さ れ た の で,そ

ラ メ ー タ ー ユ ニ タ リ群 

定 理 3.36 

ラ メ ー タ ー ユ ニ タ リ群

す べ て のt∈IRと

れ が 生 成 す る強 連

を 考 え る の は 自然 で あ る.

ψ ∈L2(IR2)に

対 して

(3.61) た だ し,(e1,e2)はIR2の

証 明   (3.60)と

標 準 基 底 で あ る.

作 用 素 解 析 の ユ ニ タ リ 共 変 性 に よ り,す べ て のt∈IRに  し た が っ て,Ujの

L2(IR2)と 

よ っ て,任

意 の ψ ∈

に 対 し て, 

と な る.右

注 意 3.10 

辺 の 指 数 関 数 の 部 分 を 計 算 す れ ば(3.61)が

定 理3.35と

更 な し に,IRd上

  (3.61)の

定 義 と補 題3.19に

対 して,

定 理3.36は,そ

得 ら れ る. 

の 証 明 か ら わ か る よ う に,本

質 的 な変

の 理 論 に 拡 張 さ れ る(d〓2).

幾 何 学 的 意 味 に つ い て 簡 単 に 触 れ て お こ う.qAj=0の   で あ る.す

*15  [8]の 補 題5

■

.7の

応 用.

で に み た よ う に,eitp1,eitp2は

場 合 は, 関数 ψ ∈

L2(IR2)を

そ れ ぞ れ,x1軸

qAj≠0の

方 向,x2軸

場 合 に は,(3.61)の

方 向 に-tだ

け 平 行 移 動 す る 働 き を も つ.

右 辺 は,こ

の 平 行 移 動 が 指 数 因 子

 の"歪 み"を 受 け な が ら行 わ れ る こ と を意 味 す る.す

な わ ち,

eitPjは 磁 場 が 存 在 す る 状 況 の も と に お け る,関 数 の"自 然 な"並 進 を 定 義 す る も の と解 釈 さ れ る.そ

こ で,eitPjをj方

向 へ の 磁 気 的 並 進(magnetic

translation)

と 呼 ぶ.

  3.6.3 

ヴ ァ イル 型 の 交 換 関係

  ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ルAの

ジ ョ ル ダ ン 閉 曲 線C⊂Mに

沿 う線 積 分

(3.62) を 閉 曲 線Cの

内 部 を 貫 く磁 束 と 呼 ぶ.

  x1, x2, s, t∈IRに

対 し て,点(x1,x2)を

始 点 と し,  とい うふ うに一 巡 す る矩 形 閉 曲線 を

C(x1,x2;s,t)と

記 す(図3.3).

図3.3 

  各s, t∈IRに

対 し て,IRの

曲 線C(x1,x2;s,t)(s,t>0の

場 合)

部 分 集 合S(s)1, S(t)2とIR2の

部 分 集 合Ms,tを

次

の よ う に定 義 す る:

Ms

,t上 の 関 数 ΦAs,tを

(3.63)

に よ っ て 定 義 す る*16.こ く磁 束 を 表 す.集

理 的 に は,閉

合IR2＼Ms,tの2次

ΦAs,t(x1,x2)は,IR2上 はL2(IR2)上

れ は,物

のa.e.有

曲 線C(x1,x2;s,t)の

元 ル ベ ー グ 測 度 は0で

内 部 を貫

あ る か ら,関

限 な 実 数 値 関 数 と み な せ る.し

数

た が っ て,ΦAs,t

の 自 己 共 役 な か け 算 作 用 素 を 一 意 的 に 定 義 す る.こ

の か け算 作 用

素 も 同 一 の 記 号 で 書 く こ と に す る.   考 察 下 の 量 子 的 粒 子 の 位 置 作 用 素 を そ れ ぞ れ,x1,x2で そ れ ぞ れ,座

標 変 数x1,x2に

定 理3.37 

す べ て のs,t∈IRとj,k=1,2に

表 す(i.e.,x1,x2は

よ る か け 算 作 用 素).

対 して

(3.64) (3.65) 証 明   任 意 の ψ ∈C∞0(M)に と 定 理3.35に ゆ え に,作

よ っ て,作

対 し て,eisxjPke-isxjψ=(Pk-sδjk)ψ.こ

用 素 の 等 式eisxjPke-isxj=Pk-sδjkが

用 素 解 析 の ユ ニ タ リ 共 変 性 に よ り,(3.64)が

  定 理3.36に

よ っ て,任

(eitP2eisP1ψ)(x)に

れ

意 の ψ ∈L2(IR2)に

つ い て も 同 様.こ

し た が う.

得 ら れ る.

対 して

れ を 用 い る と(3.65)が

成 立 す る こ とが 示

さ れ る. 

  3.6.4 

■

CCRの

  こ の 項 で は,あ

表 現 る ク ラ ス の ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ルAに

物 理 的 運 動 量 の 組{xj,Pj}2j=1は

定 義3.38  *16 (x

M上

1,x2)∈Ms,tな 注 意.

でB=0の

自 由 度2のCCRの

と き,Aは

平 坦(flat)で

ら ば,C(x1,x2;s,t)は,点an,n=1,…,N,を

対 して,位

置作 用 素 と

表 現 に な る こ と を 示 す.

あ る と い う.

通 ら な い こ と に

注 意3.11 

Mは

単 連 結 で は ない の で,A=(A1,A2)がM上

トル ポ テ ン シ ャ ル で あ っ て も,あ る実 数 値 関 数 φ ∈C1(M)が ∂1φ,A2=∂2φ

の平坦 なベ ク あ っ て,A1=

と表 され る とは限 らな い(以 下 に出 て くる例 を参 照).こ れ は 重

要 な点 で あ る.実 際,以 下 に提 示 され る理 論 の非 自明 性 に と っ て,Mの

非単連

結 性 は本 質 的 で あ る.   容 易 にわ か る よ う に,任 意 の ψ ∈C20(M)(M上 で,そ

の台 が 有 界 でMの

の2回 連 続 微 分 可 能 な 関 数

中 に含 ま れ る もの の 全 体)に 対 し て

(3.66) (3.67) が 成 り立 つ.し

補 題3.39 

た が っ て,次

{L2(IR2),C20(M),{xj,Pj}2j=1}が

た め の 必 要 十 分 条 件 はAが   Aが

の 補 題 を 得 る.

自 由 度2のCCRの

表 現で ある

平 坦 で あ る こ とで あ る.

平 坦 で あ る こ とは,超 関 数 と して の磁 場Bの

して い る こ と を意 味 す る.こ の 場 合,超

台 が{a1,…,aN}に

集中

関 数 の 一 般 論 に よ れ ば,そ の よ う な磁

場Bは

と い う 形 を も つ.こ 関 数 で あ り,kは 数 で あ る*17.こ

こ で,δ(x-an)は

質 量 を もつ2次

元 の デ ル タ超

非 負 の 整 数,λ(n)αβ(α,β=0,1,…,k,n=1,…,N)は れ を 磁 場 と し て 与 え る ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル と し て(ゲ

換 の 任 意 性 を 除 い て)次

*17  た と え ば

点anに

,[37]の4章

の も の が あ る:

§1,例

題5を

参 照.

実定 ー ジ変

こ れ は,公

式

を用 い れ ば,容 易 に確 か め られ る.こ の 種 のベ ク トル ポ テ ンシ ャル で 最 も簡 単 な 形 の もの は 次 で 与 え られ る:A(x)=(A1(x),A2(x)),

た だ し,λn(n=1,…,N)は

任 意 の 実 数 で あ る.こ

の 場 合 の 磁 場 をBと

す

れば

で あ る.   こ う し て,{a1,…,aN}に て,CCRの(非

自 明 な)表

集 中 し た,特異

な 磁 場 を も つ2次

現 が 実 現 し て い る こ と が わ か る.そ

元 量 子 系 にお い こ で 次 の 問 題 は,

こ の 表 現 が シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 と 同 値 な もの で あ る か 否 か を 決 定 す る こ と で あ る. 例3.2 

平 坦 な ベ ク トル ポ テ ンシ ャ ル の 一 般 的 な 例 は,次 の よ う に して,C上

数 を使 っ て 構 成 で きる.anに Mに

対 応 す るCの

対 応 す る,複 素 平 面 の 点 をanで

開 集 合 をMCで

表 す.fをa1,…,aNに

の有 理 型 関

表 す:an:=an1+ian2. 孤 立 特異 点 を も つ 有 理

型 関数 と し

と お く.こ

の と き,A:=(A1,A2)と

に よ り,AはM上

す れ ば,fに

で 平 坦 で あ る こ とが わ か る.ゆ

対 す る コ ー シ ー-リ ー マ ン方 程 式 え に,MC上

の任 意 の有理型 関数

に対 して,平 坦 な ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル が 同伴 して い る こ とが わ か る.そ

の よ う な有

理 型 関 数 は 無 数 に 存 在 す る か ら,平 坦 な ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル は 無 数 に存 在 す る こ と に な る.こ

の 構 成 法 は,孤 立 特異 点 の 数 が 可 算 無 限 個 の場 合 に も適 用 で き る の で,よ

り一 般 的 で あ る.

具 体 例 と して,f=A2+iA1と

  3.6.5 

すれ ば

表 現 の 同値 性 と非 同 値 性

 こ の 項 で は,Aは

平 坦 で あ る と仮 定 す る.す

る と補 題3.39に

よ り,

(3.68) は 自 由 度2のCCRの

表 現 で あ る.表

表 現π(2)Sと 同 値 で あ る た め の(し

現 πAが

た が っ て,ま

自 由 度2の

シ ュ レー デ ィ ン ガ ー

た 非 同 値 で あ る た め の)必

要十

分 条 件 を 求 め よ う.

補 題3.40 

πAは 既 約 で あ る.

証 明   T∈B(L2(IR2))がTxj⊂xjT,TPj⊂PjT(j=1,2)を と し よ う.こ

の と き,第

てT=MFと

満 た して い る

一 の 条 件 と補 題3.13か

ら,あ

るF∈L∞(IR2)が

表 さ れ る.F=F1+iF2(F1:=ReF,F2:=ImF)と

す れ ば,

第 二 の 条 件 か ら,MFkPj⊂PjMFk(j,k=1,2).MFkは こ れ は,任

意 のt∈IRに

係 と 定 理3.36を て,任 はFkが

自 己 共 役 で あ る か ら,

対 し て,eitPjMFke-itPj=MFkを

意 味 す る.こ

用 い る とFk(x)=Fk(x+tej)(a.e.x)が

意 の(t,s)∈IR2に

わ か る.し

対 してFk(x)=Fk(x+(t,s))(a.e.x)と

定 数 で あ る こ と を 意 味 す る.し

あっ

た が っ て,Fは

たが っ

な る.こ 定 数 で あ る の でTは

数 作 用 素 で あ る. 

  定 理3.37と す べ て のt,sに

の関

れ 定 ■

フ ォ ン ・ノ イ マ ン の 一 意 性 定 理 に 注 目 す る と次 の 定 義 に 導 か れ る. 対 し て,ΦAs,tが

(整数全体) の 中 に 値 を と る 関 数,す

な わ ち,Ms,t上

の2π〓/q-値

局 所 的 に 量 子 化 さ れ て い る と い う こ と に す る.こ

関 数 で あ る と き,磁

れ は,閉

曲 線C(x1,x2;s,t)を

束 は

貫 く磁 束 が 局 所 的 に定 数 で あ っ て,そ の 定 数 値 が2π/qの

整 数 倍 で あ る とい う

こ とで あ る. 定 理3.41 

CCRの

表 現 πAが

自 由 度2の

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現π(2)Sに

同

値 で あ る ため の必 要 十 分 条 件 は,磁 束 が 局 所 的 に量 子 化 され て い る こ とで あ る. 証 明   (必 要 性)CCRの

表 現 πAがπ(2)Sに 同値 な らば,eisxj,eitPkは

の 関 係 式 を 満 た す.す

る と 定 理3.37に

で な け れ ば な ら な い.こ   (十 分 性)磁

3.24に

よ っ て,e-iqΦAs,t=I,∀t,s∈IR…(*)

れ は磁 束 の 局所 的 量 子 化 を意 味 す る .

束 が 局 所 的 に 量 子 化 さ れ て い れ ば,(*)が

に よ り,eisxj,eitPkは

ヴ ァイ ル

成 り立 つ の で,定

ヴ ァ イ ル の 関 係 式 を満 た す こ とが わ か る.し

よ り,πAはπ(2)Sと

理3.37

た が っ て,系

同 値 な 表 現 で あ る. 

■

  次 に 磁 束 の 局 所 的 量 子 化 の 条 件 を も っ と み や す い も の に す る こ と を 考 え る. δ0:=min{￨an-am￨￨n≠m,n,m=1,…,N}と 中 心 がan,半

径 ε>0の

し,0＜

ε＜ δ0に 対 して ,

円 周Cε(an)={x∈IR2:￨x-an￨=ε}(向

時 計 回 り)に 沿 っ て の,Aの

線 積 分 をγnと

きは 反

す る:

(3.69) D(x1,x2;s,t)を

閉 曲 線C(x1,x2;s,t)の

用 す る こ と に よ り,次

補 題3.42 

内 部 領 域 と す る.グ

リー ンの 定 理 を応

の 事 実 を 証 明 で き る.

各γn(A)は

ε に よ ら な い 定 数 で あ り,す べ て のs,t∈IRとx∈Ms

,t

に対 して

(3.70) が 成 り立 つ.た D(x;s,t)に

だ し,sgn(t)は

符 号 関 数 で あ る*18.Σan∈D(x

含 ま れ る よ う な す べ て のnに

な い 場 合 に は,上

式 の 右 辺 は0で

つ い て の 和 を 表 す(そ

あ る と す る).

  こ の 補 題 か ら た だ ち に 次 の 結 果 が 得 ら れ る. *18  t〓0な

ら ば sgn(t)=1,t<0な

ら ば,sgn(t)=-1.

;s,t)は,anが の よ う なnが

命 題3.43  1,…,Nに

磁 束 が 局 所 的 に 量 子 化 さ れ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,す 対 し て,γn(A)∈2π〓/qと

定 理3.41と

定 理3.44 

命 題3.43を

CCRの

べ て のn=

な る こ と で あ る.

合 わ せ れ ば,次

の 定 理 に 到 達 す る:

表 現 πAが 自由度2の シュ レーデ ィ ンガー表 現π(2)Sと同値 で

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,す べ て のn=1,…,N,に

対 して,γn(A)∈2π〓/q

と な る こ と で あ る.  こ の 定 理 は 次 の よ う に 読 み 換 え る こ と が で き る: 定 理3.45 

CCRの

表 現 πAが

自 由 度2の

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現π(2)Sと 非

同 値 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,γn(A)〓2π〓/qと

な るnが

存在 する こと

で あ る. 注 意 3.12 

CCRの

表 現 πAが

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 に非 同 値 で あ る状 況 に

は 次 の 興 味 深 い 事 実 が 対 応 し て い る:C20(M)上 eisP1とeitP2が とP2が

で は,P1とP2は

可 換 に は な ら な いs,t∈IRが

存 在 す る.こ

強 可 換 で な い と い う こ と に ほ か な ら な い.こ

ネ ル ソ ン 現 象"と

呼 ば れ る([25],[30]の

作 用 素 に 対 し て は,形

式 的 な 計 算(た

§Ⅷ.5を と え ば,形

可 換 で あ る が, れ は,す

な わ ち,P1

の よ う な 数 理 的 現 象 は," 参 照).こ

の 現 象 は,非

有界

式 的冪 級 数 展 開 に よ る計 算)が

い か に 危 う い も の で あ り う る か を警 告 す る. 例 3.3  例3.2の

直 前 に 取 り上 げ た ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ルAに

対 して は,直

接 計算

により

と計 算 さ れ る.し

た が っ て,λn〓2π〓/qと

な るnが

一 つ で も あ れ ば,πAは

シュ

レー デ ィ ン ガ ー 表 現 に 同 値 で な い.   fをMC上 の 有 理 型 関 数 と し,Af:=(Imf,Ref)と トル ポ テ ン シ ャ ル で あ る こ と は す で に み た(例3.2).M内 線Cに

対 し て, 

す れ ば,こ れ が 平 坦 な ベ ク の任 意 の ジ ョル ダン閉 曲

が 成 り立 つ こ と に注 意 し,留 数 定 理

を応用 す れ ば

が 得 られ る.た

だ し,Res(an,f)は

2π〓/qと な る よ う な,平

点anに

お け るfの

留 数 で あ る.こ

う して,γn(A)〓

坦 なベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル は 無 数 に存 在 す る こ と が わ か る.

図3.4 

  3.6.6 

AB効

果の模式 図

ア ハ ラ ノ フ-ボ ー ム効 果 との 照 応

  ア ハ ラ ノ フ-ボ ー ム効 果―AB効 の流 れ が,磁

果 と略 す― は,図3.4に

示 す よ うに,電 子 線

場 の 存 在 す る領 域 の 外 側 の空 間 を通 る と き,そ れ が 空 間 的 に は磁

場 と相 互 作 用 を しな い に も関 わ らず,磁 場 を変 動 させ る と これ に応 じて 電子 線 の 回折 ・干 渉 パ タ ー ンが 変 化 す る 現 象 を指 す.古 現 象 は,1959年,ア 予 言 され た[1].他

典 物 理 学 的 に は不 可 解 な この

ハ ラ ノフ とボ ー ム に よ っ て,量 子 力 学 を用 い て,理 論 的 に 方,AB効

果 の 決 定 的 な実 験 的 検 証 が な さ れ た の は比 較 的最

近 の こ とで あ っ た*19.   量 子 力 学 に お い て は,物

質 と電 磁 場 の 相 互 作 用 を第 一 義 的 に決 め る の は,電

磁 場 そ の もの で は な く,そ れ を生 み 出 す 電 磁 ポ テ ン シ ャ ル で あ る.電 磁 ポ テ ン シ ャ ル は―3.6.4項 の 例 が 示 す よ うに― 磁 場 が 局 在 して い て も,磁 場 の 局 在 領 域 を超 え て 存 在 し うる の で,磁 場 を"通 過 し な い"電 子 と も相 互 作 用 を行 う こ とが 可 能 で あ る.こ れ がAB効

果 に対 す る定 性 的 描 像 で あ る.こ の 項 で は,磁

場 の 存 在 領 域 が 点 とみ なせ る よ う な理 想 的 な状 況 に お い て,πAが ン ガー 表 現 と非 同値 に な る場 合 とAB効

シュ レー デ ィ

果 の 生 起 が 見 事 に 照 応 して い る こ とを

見 る.   ベ ク トル ポ テ ン シ ャルAが して い る の で,Mの

平 坦 で あ る と き,磁 場Bは

集中

中 を運 動 す る荷 電 粒 子 は,磁 場 とは直 接 相 互 作 用 を しない.

*19  [27]の6 ,7章,[35,36]を

点a1,…,aNに

参 照.

と こ ろ で,す

で に み た よ う に,CCRの

同 値 に な る の は,磁 き に 限 ら れ る.磁 る 点anが

表 現 πAが

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 と非

束 が 局 所 的 に 量 子 化 さ れ て い な い 場 合 で あ り,し か も こ の と

束 が 局 所 的 に 量 子 化 さ れ て い な い と き,γn(A)〓2π〓/qと

少 な く と も一 つ あ る.い

と な る よ う にC(x1,x2;s,t)を

な

ま,{a1,…,aN}∩D(x1,x2;s,t)={an}

とれ ば

(3.71) が 成 り立 つ*20.し 可 換 で は な い.定

た が っ て,そ 理3.36の

の よ う なs,tに

対 し て は,e-isP1とe-itP2は

あ と に 述 べ た 幾 何 学 的 解 釈 に よ れ ば,こ

よ う に 解 釈 さ れ る.(x1,x2)か

ら(x1+s,x2+t)へ

到 る 二 つ 半 矩 形 曲 線C_:

(x1,x2)→(x1+s,x2)→(x1+s,x2+t)(図3.3の

斜 め 右 下 の 部 分)と

C+:(x1,x2)→(x1,x2+t)→(x1+s,x2+t)(図3.3の 逆 に た ど る 曲 線)を

考 え る.(3.71)の

進 を 表 し,(3.71)の を 表 す.そ

ず れ る こ と を示 す.こ (x1+s,x2+t)に

斜 め左 上 の部 分 を 左 辺 は,C+に

右 辺 の 因 子e-itP2e-isP1ψ

し て,(3.71)は

AB効

れ は 物 理 的 に は,(x1,x2)か

う し て,CCRの

注 意3.13 

表 現 πAが

ら 出 発 し て,C_を

ミ ル トニ ア ン の 形)に

整 数 倍,し

れ は ま さ にAB効

化 と は 若 干 の 違 い が あ る.し

っ て,AB効

果であ ると

の 解 釈 で は,

の 場 合,磁

,s,tを−s,−tと

さ に,こ

束が量子化

束 の と り う る 値 は,h/2e(e

単 位 系 で は,π/eの

の 量 子 化 は,こ か し,ま

の

は 依 存 しな い こ と を 強 調 し て お こ う*21.

こ で 定 義 し た,磁

整 数倍 であ

束 の 局所 的量 子

の 違 い こ そ 重 要 で あ る.な

ぜ な

し た.

果 は 非 相 対 論 的 な 領 域 だ け で な く,相

る こ と が 予 想 さ れ る.

着

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 と非 同 値 で

た が っ て,h=1の

れ か ら わ か る よ う に,こ

*20 次 に 述 べ る 解 釈 の 都 合 上

通 って

通 っ て(x1+s,x2+t)に

磁 場 が 超 伝 導 体 の 中 に 閉 じ こ め ら れ て い る 場 合 に は,磁

は 基 本 電 荷)の

*21  した が

の磁 気 的 並 進

粋 に 幾 何 学 的 で トポ ロ ジ カ ル な も の で あ っ て,系

さ れ る こ と は よ く知 ら れ て い る[36].こ

る.こ

沿 う,ψ

果 の 生 起 が 見 事 に 対 応 して い る こ と が わ か る.こ

果 の 生 起 自 体 は,純

力 学 の 詳 細(ハ

態 ψ の磁 気 的並

こ れ らの 磁 気 的 並 進 の 結 果 が 一 致 せ ず 位 相 因 子 だ け

く そ れ が 一 致 しな い で ず れ る こ と を 意 味 す る.こ

あ る 場 合 とAB効

沿 う,状

はC_に

着 く荷 電 粒 子 の 波 の 位 相 とC+を

解 釈 さ れ る.こ

の式 は次 の

対論 的 な領 域 に お い て も起 こ

ら,考 察 下 に あ る荷 電粒 子 が電 子 の場 合,q=-eで

あ るの で,anを

通 る磁 束

が π/eの 奇 数 倍 な らば,磁 束 は局 所 的 に は 量子 化 され て い ない か らで あ る.し た が って,こ

の場 合 に はAB効

め られ た 磁 場 を用 い てAB効 場 合 に はAB効

果 が 起 こ る.こ

う して,超 伝 導 体 の 中 に閉 じこ

果 の 実 験 を行 う場 合,磁

果 は 生 じな い)か 奇 数倍 に応 じて,AB効

渉 縞 の パ タ ー ンの 変 化 に は2通

束 が π/eの 偶 数 倍(こ の 果 を検 出 す る た めの 干

り しか な い こ とが 結 論 され る.こ

れは まさ しく

実 験 事 実 と一 致 す る[36].

3.7 

  CCRの

弱 ヴ ァイ ル型 表現

表現 の ク ラス で,本 来 のCCRの

表 現 よ りも条件 的 に強 い が ヴ ァ イル

型 表 現 よ りは条 件 的 に弱 い もの を定 義 す る.簡 単 の た め,自

由 度 が1の

場合 だ

け を考 え る.

  3.7.1  定 義 と基 本 的性 質 定 義 3.46  Hを ヒル ベ ル ト空 間,QをH上 役 作 用 素 とす る.す べ て の 実数t∈IRに わ ち,任 意 の Ψ ∈D(Q)に

対 して,eitPΨ

の対 称 作 用 素,PをH上

の 自己 共

対 して,eitPQ⊂(Q+t)eitP,す ∈D(Q+t)=D(Q)か

な

つ (3.72)

が 成 り立 つ と き,{H,(Q,P)}をCCRの 命 題3.47  CCRの

{H,(Q,P)}がCCRの

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 とい う*22. 弱 ヴ ァ イル 型 表 現 な らば,{H,(Q,P)}も

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 で あ る.

証 明   Ψ ∈D(Q)と

し よ う.こ の と き,ベ ク トル 列 Ψn∈D(Q)で

と な る も の が 存 在 す る.任

意 のt∈IRに

こ れ か ら,(Q+t)eitPΨn→eitPQΨ(n→∞).ま *22 こ の命 名 は 念 はQが

対 して,eitPQΨn=(Q+t)eitPΨn. た,eitPΨn→eitPΨ(n→

,標 準 的 な もの で は な く,筆 者 の 発案 に よ る もの であ る[12].な 対称 作 用 素 で ない 場 合 に も定 義 され る.

お,こ の概

∞).し

た が っ て,eitPΨ

∈D(Q+t)=D(Q)か

ゆ え に,{H,(Q,P)}はCCRの

つ(Q+t)eitPΨ=eitPQΨ.

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 で あ る. 

■

  次 の 命 題 は 基 本 的 で あ る. 命 題3.48 

{H,(Q,P)}をCCRの

のt∈IRに

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 とす る.こ

対 し て,eitPD(Q)=D(Q)で

あ り,作

の と き,任

意

用素の等式

(3.73) が 成 り 立 つ. 証 明   CCRの

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 の 定 義 か ら,任 意 のt∈IRに

D(Q)…(*).し

た が っ て,D(Q)⊂e-itQD(Q).(*)に

に 含 ま れ る.し (3.72)は

系3.49 

よ っ て,右

た が っ て,D(Q)=e-itPD(Q)で

作 用 素 の 等 式(3.73)を

{H,(Q,P)}をCCRの

役 な ら ば,{H,(Q,P)}は

対 して,eitPD(Q)⊂

あ る.こ

辺 はD(Q)

れ が 確 立 さ れ れ ば,

意 味 す る. 

■

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 とす る.も ヴ ァ イ ル 型 表 現 で あ る.す

な わ ち,ヴ

し,Qが

自己 共

ァイル の 関 係 式

(3.74) を 満 た す. 証 明   (3.73)は

作 用 素 の 等 式Q=eitP(Q-t)e-itP(t∈IR)を

が 自 己 共 役 な ら ば,作

用 素 解 析 の ユ ニ タ リ 共 変 性 に よ り,任

て,eisQ=eitPeis(Q-t)e-itP=e-isteitPeisQe-itPが (3.74)を

意 味 す る.Q 意 のs∈IRに

成 り立 つ.し

対 し

た が っ て,

得 る. 

■

  こ の 系 と命 題3.47に

よ っ て,弱

ヴ ァ イ ル 型 表 現 が 独 自 の 意 味 を もつ の は,Q

が 本 質 的 に 自 己 共 役 で な い 場 合 に 限 る こ と が わ か る.

  3.7.2 

CCRの

  CCRの

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 が 実 際 にCCRの

よ っ て 示 さ れ る.

他 の型 の表 現 との 関 連 表 現 を与 え る こ とは次 の 命 題 に

命 題3.50 

{H,(Q,P)}をCCRの

D(P)⊂D(QP)か

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 とす る.こ

の と き,D(PQ)∩

つ

(3.75) が 成 り立 つ.特

に,Q,PはD(QP)∩D(PQ)上

証 明   Ψ ∈D(PQ)∩D(P)と

し よ う.こ

teitPΨ=QeitPΨ=QeitPΨ.QΨ

D(Q)か

の と き,(3.72)に

∈D(P),Ψ

に つ い て 強 微 分 可 能 で あ り,そ

と計 算 さ れ る.し

でCCRを

た が っ て,右

∈D(P)で

満 た す.

よ っ て,eitPQΨあ る か ら,左

辺 は,t

の強 微 分 は

辺 も微 分 可 能 で あ り,Qは

つ そ の 強 微 分 はQieitPPΨ

で 与 え ら れ る.ゆ

閉 で あ る か ら,PΨ

え に,Ψ

∈D(QP)で

∈ あ り

(3.76) が 成 り立 つ こ と に な る.そ

こ で,t=0と

  命 題3.50か

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現{H,(Q,P)}に

D(PQ)が

ら,CCRの

す れ ば,(3.75)が

稠 密 な ら ば{H,D(QP)∩D(PQ),(Q,P)}は

称 表 現 で あ る こ と が わ か る.こ い".

  次 にCCRの

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 は,そ

ル 型 表 現 よ り も"弱

命 題3.51  H上

い"こ

ヴ ァ イ ル 型 表 現 と す る.す

よ び{H,(P,-Q)}はCCRの

よ り,任

対

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 はCCRの

の 名 が 示 唆 す る よ う に,CCRの

の 自 己 共 役 作 用 素 で ヴ ァ イ ル の 関 係 式(3.74)を

証 明   (3.74)に

お い て,D(QP)∩

ヴァイ

と を 示 そ う.

{H,(Q,P)}をCCRの

き,{H,(Q,P)}お

■

自 由 度1のCCRの

の 意 味 で,CCRの

表 現 よ り も"強

得 ら れ る. 

意 の Ψ,Φ ∈Hに

な わ ち,Q,Pは

満 た す も の とす る.こ

の と

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 で あ る.

対 して

特 に,Ψ,Φ

∈D(Q)と

が 成 り立 つ.そ D(Q)は

す れ ば,両

こ でs=0と

辺 と も にsに

す れ ば,〈QΦ,eitPΨ

任 意 で あ っ た か ら,こ れ はeitPΨ

を 意 味 す る.こ

つ い て微 分 可 能 で あ り

れ は(3.72)と

〉=〈 Φ,eitP(Q-t)Ψ

∈D(Q)か

同 値 で あ る.し

〉.Φ ∈

つQeitPΨ=eitP(Q-t)Ψ

た が っ て,{H,(Q,P)}はCCR

の 弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 で あ る.   (3.74)は,eisPeit(-Q)=e-isteit(-Q)eisP, に 注 意 し,上

の 議 論 で,Q→P,

{H,(P,-Q)}もCCRの

P→-Qと

同値 であ る こと

役 割 を 変 え た も の を 考 え れ ば,

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 で あ る こ と が 結 論 さ れ る. 

  こ う し て,CCRの

表 現 に つ い て,次

● ヴ ァイ ル型 表 現

⇒

● 弱 ヴ ァ イル 型 表 現+稠 だ が,こ

s,t∈IRと

■

の 論 理 的 関 係 が 成 り立 つ.

弱 ヴ ァ イル 型 表 現 密 性 条件

⇒ 対称 表現

れ ら の 関 係 の 逆 は 一 般 に は 成 立 し な い.

例3.4L>0と

し,ヒ ル ベ ル ト空 間HL:=L2([-L/2,L/2])に

お け る作 用 素xL, pL, 0

を次 の よ う に定 義 す る:

こ の と き,xLは

有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 で あ り,pL

pL, 0の 閉 包 をpLと

記 す.{HL,(pL,0,-xL)}がCCRの

,0は 非 有 界 な 対 称 作 用 素 で あ る. 弱 ヴ ァ イ ル型 表 現 で あ る こ

とは 直 接 計 算 よ り容 易 に証 明 さ れ る.し

た が っ て,命 題3.47に

もCCRの

が,pLは

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 で あ る.だ

項 を参 照),そ

  3.7.3 

れ は ヴ ァ イ ル 型 表 現 で は な い.

ス ペ ク トル 特 性 と 作 用 素 論 的 性 質

  次 の 定 理 は 基 本 的 で あ る.

よ っ て{H,(pL,-xL)}

自己 共 役 で は な い の で([13]の2.3.8

定 理3.52  す る.こ

{H,(Q,P)}を

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 と し,P':=P￨D(P)∩D(Q)と

の と き,σp(P')=0,す

証 明   λ ∈IRと こ の と き,作 (3.72)と

な わ ち,P'は

し て,PΨ=λ

Ψ と な る Ψ ∈D(P)∩D(Q)が

用 素 解 析 に よ り,任

意 のt∈IR＼{0}に

Ψ の 内 積 を と り,〈 Ψ,eitPQΨ

注 意 す れ ば,t〈 Ψ,Ψ 〉=0が

固 有 値 を も た な い.

あ っ た と し よ う.

対 して,eitPΨ=eitλ

〉=〈e-itPΨ,QΨ

得 ら れ る.し

〉=eitλ

た が っ て,Ψ=0.ゆ

Ψ.

〈 Ψ,QΨ

〉に

え に,P'は

固

有 値 を も た な い. 

  一 般 に,ヒ と き,Tは

■

ル ベ ル ト空 間 上 の 対 称 作 用 素Tが 半 有 界(semi-bounded)で

定 理3.53 

ヒ ル ベ ル ト空 間Hは

表 現 と す る.Pは

証 明   (3.73)は

下 に 有 界 ま た は上 に有 界 で あ る

あ る と い う.

可 分 で あ る と し,{H,(Q,P)}を

半 有 界 で あ る と し よ う.こ

の と き,Qは

作 用 素 の 等 式eitPQe-itP=Q+tを

自 己 共 役 で あ る と し よ う.こ

の と き,作

eitPeisQe-itP=eis(Q+t)=eisteisQ.し 関 係 式 を 満 た す.ゆ

え に,フ

弱 ヴ ァ イル型 自 己 共 役 で は な い.

意 味 す る.仮

用 素 解 析 の ユ ニ タ リ 共 変 性 に よ り, た が っ て,eisQ, eitPは

ォ ン ・ノ イ マ ン の一 意 性 定 理 に よ り,Pは

の シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現pの

直 和 に ユ ニ タ リ 同 値 で あ る.こ

を 意 味 す る.だ

半 有 界 性 に 反 す る. 

  3.7.4 

が,こ

れ はPの

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現{H,(Q,P)}に

にQが

ヴ ァイルの 自 由 度1

れ は σ(P)=IR ■

お け るeitP(t∈IR)のtに

関 する

減衰的性質   自 己 共 役 作 用 素Pに

  SP:={S￨Sは

例3.5 

対 し て,対

対 称 作 用 素 でeitPS⊂SeitP,

任 意 の 実 数a∈IRに

ル 可 測 関 数).

称 作 用 素 の 集 合SPを

次 の よ う に 定 義 す る:

∀t∈IRを

対 し て,0, aI, f(P)∈SP(f:IR→Cは

満 た す}.  (3.77)

任意 の ボ レ

   

定 理3.54 

{H,(Q,P)}をCCRの

固 定 す る.こ

の と き,任

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 と し,S∈SPを

意 のt∈IR＼{0}と

Ψ, Φ ∈D(Q)∩D(S)に

任意 に 対 して

(3.78) 証 明   (3.72)と

Φ の 内 積 を と り,Sの

性 質 を 用 い る と,

が 得 られ る.そ

こで,両 辺 の 絶 対 値 を と り,シ ュ ヴ ァル ツの 不 等 式 とe±itPの

ユ ニ タ リ性 を使 うこ とに よ り,(3 .78)が 得 ら れ る. 

3.8 

■

時 間 作 用 素

  物 理 の教 科 書 や文 献 にお い て は,エ

ネ ル ギ ー と時 間 に 関す る不 確 定 性 関 係 の

取 り扱 い は た い へ ん 曖 昧 で あ る*23.こ の 節 で は,エ ネ ルギ ー と時 間 に関 す る不 確 定 性 関 係 お よ び これ に関 わ る数 学 的 構 造 を原 理 的 観 点 か ら明 晰 に把 握 す る こ と を試 み る.

  3.8.1  弱 時 間 作 用 素 と時 間-エ ネル ギー の 不確 定 性 関 係   Hを

ヒル ベ ル ト空 間 と し,HをH上

の 自 己 共役 作 用 素 とす る.い

ヒ ルベ ル ト空 間 がHで

あ り,ハ ミル トニ ア ンがHで

定 義3.55 

の 対 称 作 用 素 でD(T)∩D(H)≠{0}を

TをH上

ま,状 態 の

表 さ れ る量 子 系 を考 え る. 満 た す もの とす

る.次 の 性 質(ⅰ), (ⅱ)を満 た す,有 界 な 自己 共 役 作 用 素C∈B(H), C≠0が 在 す る な らば,TをHに

関 す る弱 時 間作 用 素 と い い,Cを(T,H)に

可 換 因 子 と呼 ぶ.こ の 場 合,「Hは

弱 時 間 作 用 素Tを

(ⅰ) す べ て の Ψ,Φ ∈D(T)∩D(H)に

存

関 す る非

もつ」 と もい う.

対 して

(3.79) (ⅱ)  δC:=inf‖

Ψ ‖=1, Ψ ∈(kerC)⊥￨〈

Ψ,CΨ

〉￨>0.

*23 この 問題 に 関 して ,概 念 的 に明 晰 で 数 学 的 に も厳 密 な 議論 を与 えた重 要 な論 文 の一 つ は [28]で あ ろ う.

  この 定 義 は,容 易 にみ て とれ る よ う に,自 由 度1のCCRの 表現 のある種の 一 般 化 で あ る.こ こ で は,Hが 半 有 界 で あ る場 合 やHが 連 続 ス ペ ク トル の他 に点 スペ ク トル を有 す る場 合 を も射 程 に 入 れ て い る.弱 時 間作 用 素 の例 に つ い て は,次 の項 で述 べ る. 命 題3.56 

TをHに

関 す る弱 時 間 作 用 素 と し,Cを(T,H)の

す る,こ の と きすべ て の Ψ ∈D(T)∩D(H)∩(kerC)⊥

非可換 因子 と

に対 して

(3.80) 証 明   シ ュ ヴ ァル ツの不 等 式 に よ り

し た が っ て,(3.80)が

  対 称 作 用 素Sと に お け るSの

し た が う. 

■

単 位 ベ ク トル Ψ ∈D(S)＼{0}(‖Ψ

‖=1)に

対 して,状 態 Ψ

不確 定 さ を

(3.81) に よ っ て 定 義 す る*24.

定 理3.57 

(時 間-エ ネ ル ギ ー の 不 確 定 性 関 係)TをHに

素 と し,(T,H)の

非 可 換 因 子 をCと

Ψ ∈D(T)∩D(H)∩(kerC)⊥

す る.こ

関 す る 弱 時 間作 用

の と き,す

べ て の 単 位 ベ ク トル

に対 して

(3.82) 証 明   任 意 の 実 数a,b∈IRに あ り,(T-a,H-b)の て,‖(T-a)Ψ す れ ば,(3.82)が *24 これ は

対 し て,T-aはH-bに

非 可 換 因 子 はCで ‖ ‖(H-b)Ψ

‖〓 δC/2.そ

得 ら れ る. 

,"不 確 定 さ"と い う概 念 をSが た もの で あ る.

あ る.し こ で,a=〈

関 す る 弱 時 間作 用 素 で た が っ て,命

題3.56に

Ψ,TΨ 〉,b=〈 Ψ,HΨ

よっ 〉と ■

必 ず し も自 己共 役 とは 限 ら ない場 合 へ と拡 張 し

  定 理3.57は

従 来 曖 昧 に扱 わ れ て い る"時 間-エ ネル ギ ーの 不 確 定 性 関 係"に 対

す る一 つ の 明 晰 な表 現 を与 え る.こ の定 理 は,(ΔT)Ψ

が 一 定 の 限 界 にあ る よ う

な任 意 の状 態 Ψ に 対 して は,エ ネル ギ ー の 不 確 定 さ に正 の 下 限 が 存 在 す る こ と を意 味 す る.   だ が,こ

こ で,次

の疑 問 が 生 じる か も しれ な い.す

物 理 量 で あ ろ うか?こ

の 問 い に対 して は,筆 者 は,そ れ は物 理 量 で あ っ て も

な くて も よい と考 え て い る.そ の理 由 の一 つ は,ハ て も,Hに Hが

な わ ち,弱 時 間作 用 素 は

ミル トニ ア ンHを一

関 す る 弱 時 間 作 用 素 は 一 意 的 に定 ま らな い とい う こ とが あ る.ま た,

下 に有 界 な らば,付 加 的 な条 件 の も とで,Hに

関す る弱 時 間 作 用 素 は 本 質

的 に 自己 共 役 で は あ りえ な い こ とが 証 明 され る.他 方,そ 己 共 役 に な る ハ ミル トニ ア ン も存 在 しう る*25.定 理3.57か は,ハ

つ決め

ミル トニ ア ンHに

の 弱 時 間作 用 素 が 自 ら読 み 取 れ る こ と

関 す る弱 時 間作 用 素 とい うの は,エ ネル ギ ー の 不確 定

さ を 測 る尺 度 を提 供 す る作 用 素 の 一 つ で あ る とい う こ とで あ る.こ の観 点 か ら い え ば,弱 時 間作 用 素 が物 理 量 で あ る か否 か は第 二 義 的 な問 題 に な る(考 察 す る ハ ミル トニ ア ン に依 存 す る性 質).さ

らに付 け加 え る な ら ば,弱 時 間 作 用 素 が 仮

に物 理 量 で な い と して も,そ れ が物 理 的 に 意味 が な い とい う こ とに は な らな い. 前 著[13,14]で

もす で に暗 示 した よ う に,本 書 の 観 点― 座 標 か ら自 由 な絶 対 的

次 元 か らの 公 理 論 的 ア プ ロ ー チ― に よれ ば,た リ群{e-itH}t∈IRが

とえ ば,系 の 時 間発 展 は ユ ニ タ

統 制 し,素 粒子 の 生 成 ・消 滅 は 生 成 ・消 滅 作 用 素 が 司 っ て

い る よ う に,自 己 共 役 で な い作 用 素 も物 理 現 象 の 現 出 に何 らか の 役 割 を もっ て い る と考 え る の が 自然 だ か らで あ る.重 要 な こ とは,諸 象 現 出 との 関連 に お い て,ど る こ とで あ る.前 著[13],

々 の 作 用 素 が,量 子 現

うい う役 割 を演 じて い るか を厳 密 な仕 方 で把 握 す

[14]や 本 書 全 体 が 示 唆 す るで あ ろ う よ う に,作 用 素

の 空 間 に は,物 理 現 象 の現 出 との 関連 にお い て もあ る種 の(無 限)階 層 構造 が 存 在 し,各 作 用 素 は そ れ ぞ れ 固 有 の 役 割 を担 い,重 々 無 尽 縁 起 的 な仕 方 で現 象 を 支 え て い る の で あ る.

*25 た と え ば

,や

や 人 工 的 で あ る が,H=cp(c≠0は

運 動 量 作 用 素)に あ る.

実 定 数 で,pはL2(IRx)に

関 す る 弱 時 間 作 用 素 の 一 つ と し て,x/cが

あ る が,こ

お ける

れ は自 己 共 役 で

  3.8.2  CCRの   自由度Nの

表 現 と弱 時 間 作 用 素

量子 力 学系 にお け る物理 量 や量 子現 象 と関 わ る作 用 素 は,そ の 状態 の

ヒルベ ル ト空 間 を表 現空 間 とす る適 切 なCCRの

自己 共役 表現{H,D,{(Qj,Pj}Nj=1}

か らつ くられ る.し たが っ て,弱 時 間作 用 素 も― も し,存 在 す る な らば― 当然, CCRの

自己 共 役 表 現 か らつ くられ るは ず で あ る.実 際,こ の構造 は普 遍 的 な形

で 存 在 す る こ とが 示 され る.だ が,こ

こ で は,そ

の 一般 論 を展 開す る余 裕 は な

い の で,自 由度 が1で ハ ミル トニ ア ンが 簡 単 な形 の 場 合 につ い て の み論 述 す る.  a.  非 相 対 論 的 な場 合   {H,D,(Q,P)}を (A.1) Pは

自 由度1のCCRの

対 称 表 現 とす る.次 の 仮 定 を設 け る.

自己 共 役 で あ り,単 射 で あ る(し た が っ て,逆 作 用 素P-1が

存在

す る). (A.2) 稠 密 な 部 分 空 間FでQF⊂F,

PF⊂F,

P-1F⊂Fを

満 たす もの が存 在

す る.  

m>0を

定 数 と し て,

(3.83) に よ っ て 定 義 さ れ る ハ ミ ル トニ ア ンHNRを レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 に お け る,質 ンを

一 般 のCCRの

量mの

考 え る*26.こ

れ は,CCRの

シュ

自 由 粒 子 の 非 相 対 論 的 な ハ ミ ル トニ ア

表 現 の 場 合 へ と 拡 張 し た も の で あ る.仮

定(A.1),

(A.2)に

よ り

(3.84) は 対 称 作 用 素 で あ り,Fを

命 題3.58 

(A.1),

不 変 に す る.ま

(A.2)を

仮 定 す る.こ

間 作 用 素 で あ り,(TNR,HNR)の

*26  「NR」

はnon

,Φ〉.Q, -relativistic(非

等 作 用 素)で

任 意 に と る.こ Pに

関 す るCCRを

相 対 論 的)の

不 変 に す る.

の と き,TNRはHNRに

非 可 換 子 はI(恒

証 明   Ψ,Φ ∈D(TNR)∩D(HNR)=Fを =(1/2m)〈P2QP-1Ψ

た,HNRもFを

意 .

関 す る弱 時 あ る.

の と き,〈QP-1Ψ,HNRΦ

使 う こ と に よ り,P2QP-1Ψ

〉

=(-i+PQ)Ψ.し

たがって

同 様 に,〈HNRΨ,P-1QΦ 〈HNRΨ,P-1QΦ

〉=(1/2m)〈QPΨ,Φ

〉=(i/m)〈

〉.し た が っ て,〈QP-1Ψ,HNRΦ

〉-

Ψ,Φ 〉.こ の 式 を 用 い る と求 め る 結 果 が 得 ら れ る.   ■

例3.6 

1次 元 空 間IRの

中 に 質 量m>0の

ヒル ベ ル ト空 間 と して座 標 表 示 のL2空

量 子 的粒 子 が 一 つ 存 在 す る系 を考 え,状 態 の 間L2(IR)=L2(IRx)を

とる.外 力 が 働 い て い な

い場 合 の系 の ハ ミル トニ ア ン― 自由 粒 子 の ハ ミル トニ ア ン― はH0:=-Δx/(2m)で え られ る.た だ し,Δxは1次 CCRの

シ ュ レー デ ィ ンガ ー表 現 を(x,p)と

らL2(IRk)へ で あ る.た

の フー リエ 変 換 をF1と だ し,Dkは

変 数kに

作 用 素 で あ る.L2(IRk)の

す る.x,pい

記 す.こ

とお け ば,こ れ はL2(IRx)で

ず れ も単 射 で あ る.L2(IRx)か

関 す る 一 般 化 され た微 分 作 用 素,kはkに

不 変 に す る.し

稠 密 で あ る.さ

稠 密 で あ り,x,p,p-1はF0を

不 変 にす る.し

して 満 た さ れ る.ゆ

関 す る 弱 時 間 作 用 素 で あ り,(TAB,H0)の

時 間 作 用 素TABは

よ るか け 算 ら に,

た が っ て,F0:=F-11C∞0(IRk＼{0})

仮 定(A.1),(A.2)がQ=x,P=p,F=F0と

あ る.弱

おけ る

の と き,F1xF-11=iDk,F1pF-11=k

部 分 空 間C∞0(IRk＼{0})はL2(IRk)で

iDk,k,k-1はC∞0(IRk＼{0})を

とお け ば,TABはH0に

与

元 の 一 般 化 さ れ た ラプ ラ シ ア ンで あ る.L2(IRx)に

た が っ て,

えに

非 可 換 因 子 はIで

ア ハ ラ ノ フ-ボ ー ム の 時 間 作 用 素 と呼 ば れ る[2].こ

の例

は 高 次 元 へ の 拡 張 を もつ(演 習 問 題5).

  b.  相 対 論 的 な 場 合(1)   相 対 論 的 な ハ ミ ル ト ニ ア ン に つ い て もCCRの あ る.だ

が,こ

こ で は 簡 単 の た め,CCRの

C∞0(IRx),(x,p)}で

考 え る.質

量 がm>0の

任 意 の 表 現 で の考 察 が 可 能 で

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現{L2(IRx), 自 由 粒 子 の 相 対 論 的 ハ ミ ル トニ ア

ンは

(3.85) で定 義 され る.IRk上

の関数 ω を

(3.86)

に よっ て定 義 す る.作 用 素 解 析 の ユ ニ タ リ共 変 性 を使 うこ とに よ り

(3.87) が わ か る(右

辺 は 関 数 ω に よ る か け 算 作 用 素 を 表 す).容

ωC∞0(IRk＼{0})⊂C∞0(IRk＼{0}).し

易 に わ か る よ う に,

た が っ て,HRはF0を

不 変 に す る.ゆ

え に作 用 素

(3.88) が 定 義 さ れ る.こ

命 題3.59 

れ は 対 称 作 用 素 で あ る.

作 用 素TRはHRに

換 因 子 はIで

非可

あ る.

証 明   任 意 の ψ ∈F0に iF1ψ.し

関 す る 弱 時 間 作 用 素 で あ り,(TR,HR)の

対 し て,F1[HRp-1x,HR]ψ=ω

た が っ て,[HRp-1x,HR]ψ=iψ.同

・k-1[iDk,ω]F1ψ=

様 に(あ る い は,い

共 役 を と る こ と に よ り)[xHRp-1,HR]ψ=iψ.し

ま導 い た式 の

た が っ て,[TR,HR]ψ=iψ.

  ■   こ の 例 も 高 次 元 へ の 拡 張 を も つ(演

  c.  相 対 論 的 な 場 合(2)―   質 量 がm>0で

デ ィ ラ ッ ク ハ ミ ル トニ ア ン

ス ピ ン が1/2の

ル ベ ル ト空 間L2(IR3x;C4)= 

習 問 題6).

自 由 な 相 対 論 的 粒 子 の ハ ミ ル トニ ア ン は,ヒ 4L2(IR3x)で

働 くデ ィラ ッ ク作 用 素

(3.89) に よ っ て 与 え ら れ る(2.10節 f3￨fj∈F0, j=1,2,3})はL2(IR3x)で 和 ベ ク ト ル 空 間D0:=  う に,HD, xj, p-1jはD0を

を 参 照).L2(IR3x)の

部 分 空 間F0(3):=L({f1×f2×

稠 密 で あ る.し

4F(3)0はL2(IR3x;C4)で 不 変 に す る.ゆ

た が っ て,そ

稠 密 で あ る.容 え に,各j=1,2,3に

の4個

の直

易 にわか るよ 対 して

に よ っ て 定 義 さ れ る作 用 素 は対 称 作 用 素 で あ る.xj, plが 満 た すCCRと

αj,β

に 関す る 反 交 換 関係 を用 い る こ とに よ り,次 の 事 実 が 証 明 され る: 命 題3.60 

D0上 で[Tj,HD]=iが

弱 時 間作 用 素 で あ り,(Tj,HD)の

成 立 す る.す な わ ち,TjはHDに 非 可 換 因 子 はIで

関す る

あ る.

  d.  相 互 作 用 の 入 っ た ハ ミル トニ ア ン お よ び 量 子 場 の ハ ミル トニ ア ン に 関 す る弱 時 間作 用 素   上 に あ げ た例 は い ず れ も,相 互 作 用 の な い 自 由粒 子 を記 述 す るハ ミル トニ ア ン に 関 す る弱 時 間 作 用 素 で あ っ た.同 様 に して,自 由 な量 子 場 の ハ ミル トニ ア ン(第 二 量 子 化 作 用 素)に 関 す る 弱 時 間作 用 素 を 具 体 的 に 構 成 す る こ とが で きる [12].次 の 問 題 は,相 互 作 用 の 入 った ハ ミル トニ ア ン も弱 時 間 作 用 素 を もつ か ど うか を吟 味 す る こ とで あ る.本 書 で は,残 念 な が ら,こ の主 題 につ い て論 じる 余 裕 は な い が,次 の事 実 だ け を指摘 して お く:一 般 に,自 己 共役 作 用素Hが 時 間作 用 素 を もつ と き,あ る条 件 を満 たす 対 称 作 用 素Vに

弱

対 して,H+Vも

弱 時 間作 用 素 を もつ こ と を証 明 す る こ とが で きる[12].

  3.8.3  強 時 間 作 用 素   弱 時 間作 用 素 よ りも強 い特 性 を もつ 時 間 作 用 素 の概 念 を導 入 す る.Hを ベ ル ト空 間,HをH上 定 義3.61  tC)eitH,

H上

の有 界 な 自己 共 役 作 用 素C≠0が

∀t∈IRか

素(strong

の 自己 共 役 作 用 素 と し,TをH上

つ δC>0が

time operator)と

場 合,「Hは

強 時 間作 用 素Tを

注 意3.14 

こ の定 義 にお い て,C=Iな

イル 型 表 現 で あ る.し

の対 称 作 用 素 とす る. 存 在 して,eitHT⊂(T+

成 り立 つ と き,TをHに

呼 び,Cを(T,H)の

ヒル

関 する強時間作用

強 非 可 換 因子 とい う.こ の

もつ」 とい う. らば,{H,(T,H)}はCCRの

たが って,(T,H,C)は,一

弱ヴァ

般 化 され た 弱 ヴ ァイ ル型 表 現

の 一 つ とみ る こ とが で き る.   命 題3.48の

証 明 と 同様 に して,TがHに

関 す る強 時 間作 用 素 な ら ば,作 用

素の等式

(3.90)

が 成 立 す る こ とが 証 明 され る.さ

らに,極 限 操 作 に よ り,作 用 素 の等 式

(3.91) が 成 り立 つ こ と もわ か る.す な わ ち,TもHに

関す る 強 時 間 作 用 素 で あ る.

  強 時 間 作 用 素 の 概 念 が弱 時 間作 用 素 の 概 念 よ り も強 い こ と は次 の命 題 に よっ て保 証 され る. 命 題3.62 

TをHに

関 す る強 時 間作 用 素 と し,Cを(T,H)の

とす る.こ の と き,TはHに 子 はCで

関 す る弱 時 間作 用 素 で あ り,(T,H)の

非可換 因

あ る.

証 明   Ψ,Φ ∈D(T)∩D(H)と 〈(T+tC)Ψ,eitHΦ〉.両

し よ う.こ 辺 と も にtに

係 数 を と れ ば〈(-iH)Ψ,TΦ

注 意3.15 

CCRの

〉=〈CΨ,Φ

  命 題3.62に

の と き,(3.90)に

よ り 〈e-itHΨ,TΦ

つ い て 微 分 可 能 で あ り,t=0で 〉+〈TΨ,iHΦ

〉=

の微 分

〉を 得 る. 

■

表 現 が 必 ず し も弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 で は な い よ う に,Hに

す る 弱 時 間 作 用 素 は 必 ず し もHに

よ っ て,強

す べ て 成 立 す る.特 こ で,そ

強 非 可 換 因子

に,時

関

関 す る 強 時 間 作 用 素 と は 限 ら な い.

時 間 作 用 素 に つ い て は,弱

時 間作 用 素 の 一般 的性 質 は

間-エ ネ ル ギ ー の 不 確 定 性 関 係 も成 立 す る.だ

が,こ

れ ら を 書 き 下 す こ と は 省 略 す る.

  3.8.4  量 子 系 の 時 間発 展 に お ける 状 態 の 生 き残 り確 率 と強 時 間 作 用 素   量 子 系 の状 態 の 時 間発 展 に関 す る公 理 に よ り,自 己 共 役 作 用 素Hを ニ ア ン とす る量 子 系 の 時刻t∈IRに さ れ る(h=1の

単 位 系).た

お け る状 態 は ベ ク トルe-itHΨ

だ し,Ψ ∈H＼{0}は

ハ ミル ト に よっ て表

初 期 状 態 ベ ク トル― 時 刻0

で の状 態 ベ ク トル― を表 す.時 刻tに お い て状 態 Φ ∈H＼{0}に 期 状 態 Ψ の,時 刻tに お け る,状 態 Φ へ の遷 移 確 率―

あ る確 率― 初

をPΨ,Φ(t)と す れ ば,そ

れは

(3.92)

に よ っ て与 え られ る(確 率 解 釈 の 公 理).時 刻tで 初 期 状 態 と 同 じ状 態 に留 ま る 確率

(3.93) を 残 存 確 率(survival う に,残

probability)ま

た は 生 き 残 り確 率 と い う.以

下 に示す よ

存 確 率 と 強 時 間 作 用 素 は 深 い つ な が り を も つ.

  TをHに

関 す る 強 時 間 作 用 素 と し,Cを(T,H)の

定 理3.63 

S∈SHを

任 意 に 固 定 す る*27.こ

強 非 可 換 因 子 と す る. の と き,任

意 のt∈IR＼{0}と

単 位 ベ ク トル Ψ, 

に

対 して

(3.94) 証 明   (3.90)に

よ り

両 辺 の 絶 対 値 を と り,シ

ュ ヴ ァ ル ッ の 不 等 式 とe±itHの

 

ユ ニ タ リ 性 を 使 え ば,

これから,(3.94)が 得られ

る. 

■

  (3.94)は,状

態 の 時 間 発 展 に お け る 遷 移 確 率 がt→

束 す る こ と,す

な わ ち,遷

こ と を 示 す と 同 時 に,そ supt∈IRt2PΨ

,CΦ(t)が

味 に お い て,強

系3.64 C2=Cと IR＼{0}と

±∞

に お い て0に

収

移 確 率 が 時 間 の 大 き さ￨t￨の 増 大 と と も に 崩 壊 す る の 崩 壊 の 度 合 い に つ い て の 評 価 を 与 え る.こ

の 場 合,

Ψ,Φ と 時 間 作 用 素 か ら決 ま る 定 数 で 抑 え ら れ る と い う 意

時 間 作 用 素 は 系 の 状 態 の 時 間 発 展 と 関 わ る.

す る(i. e., Cは

正 射 影 作 用 素).こ

単 位 ベ ク トル 

の と き,任

意 のt∈

に対 して

(3.95) *27 S

Hは(3.77)に

お い て,P=Hと

した も の.

証 明   (3.94)に

お い て,Φ=Ψ

と し,Sと

し てS=-〈

Ψ,TΨ〉 を と り,CΨ=Ψ

を 用 い れ ば よ い. 

  (3.95)は

■

残 存 確 率 の 時 間 減 衰 に 関 す る 評 価 を与 え る.右

辺 にTの

不 確 定 さが

現 れ る の は 興 味 深 い.

ノ

  CCRの CCRの

ー

ヴ ァ イ ル 型 表 現 の 一 意 性 は,フ

ト

ォ ン ・ノ イ マ ン に よ っ て 証 明 さ れ た[26].

対 称 表 現 が い つ シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 に な る か とい う問 題 に つ い て は,本

章 で 論 じる こ と が で き な か っ た が,こ (Dixmier)に 理;[29]を

れ に 対 し て は,レ

よ っ て 一 つ の 解 答 が 与 え られ て い る(レ

リ ッ ヒ と デ ィ ク ス ミエ ー ル

リ ッ ヒ-デ ィ ク ス ミエ ー ル の 定

参 照).

  シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 と非 同 値 なCCRの [33, 34]に み られ る.弱

表 現 の 純 数 学 的 な例 は,た とえ ば,[16],

ヴ ァ イル 型 表 現 の 研 究 は,[15],

[33, 34]に よ っ て 基 本 的 な部

分 が 完 成 さ れ て い る.   ア ハ ラ ノ フ-ボ ー ム 効 果 の 表 現 論 的 扱 い は お そ ら く[18]が 学 的 に厳 密 な 解 析 的 ア プ ロ ー チ は[32]に CCRの

よ っ て な さ れ た.ア

最 初 か も し れ な い.数 ハ ラ ノ フ-ボ ー ム 効 果 と

非 同 値 表 現 と の 関 連 を 最 初 に 指 摘 した の は,多 分[31]で

文 に動 機 付 け られ て,CCRの

表 現 と アハ ラ ノ フ-ボ ー ム 効 果 とい う主 題 につ い て,一

連 の 研 究 を展 開 した[3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11].関   3.6節 で 考 察 した2次

あ る.筆 者 は,こ の 論

元 系 に お い て,特

連 す る 研 究 と して,[19,

異 点anの

個 数 を可 算 無 限 個 に し,そ の 分

布 に関 して あ る 種 の 対 称 性 を も た せ る と(た と え ば,格 子 点 の 集 合),こ CCRの

21]が あ る.

れに付 随す る

非 同 値 表 現 に 関 し て い ろ い ろ と興 味 深 い 事 実 が 見 い だ され る.た

子 平 面 や 量 子 群[20]の

表 現 が 構 成 さ れ る.こ

の 側 面 に つ い て は,一

とえ ば,量

般 向 け の解 説 を

[11]に 書 い て お い た.ア ハ ラ ノ フ-ボ ー ム 効 果 の 数 理 は,現 在 で も活 発 に 研 究 さ れ て い る(現 状 を知 る に は,論 文[17]が 参 考 に な る か も しれ な い).   時 間 作 用 素 の 理 論 は 最 近 の 量 子 論 の 熱 い 話 題 の 一 つ か も しれ な い[24].こ 対 す る 表 現 論 的 な ア プ ロ ー チ はMiyamoto[23]に

よ っ て 着 手 さ れ た.こ

強 非 可 換 因 子 が 恒 等 作 用 素 の 場 合 の 強 時 間作 用 素 が 扱 わ れ て い る.強 す る,よ は,3.7節

り一 般 的 で 包 括 的 な理 論 展 開 につ い て は[12]を

時 間作 用 素 に 関

参 照 さ れ た い.論

文[12]で

で 論 じた 弱 ヴ ァ イ ル型 表 現 お よ び 強 時 間 作 用 素 の 一 般 化 が 導 入 さ れ た.特

に,量 子 系 の ハ ミル トニ ア ンHが

一 般 化 され た 意 味 で の 強 時 間 作 用 素Tを

遷 移 確 率 につ い て次 の 事 実 を 証 明 す る こ と が で きる:各 Dnが

の 理論 に

の 論 文 で は,

あ っ て, 

自 然 数nに

もつ と き,

対 して,部

分空 間

(cn(Ψ,Φ)はtに が で き る.こ

よ ら な い 定 数).ま

た,Hの

ス ペ ク トル に 関 して も情 報 を 得 る こ と

れ ら の 事 柄 の 他 に も い ろ い ろ 興 味 深 い 事 実 が 見 い だ さ れ る.

  こ の 章 の 論 述 や 上 に述 べ た こ と か ら 示 唆 され る よ う に,CCRあ

るいは その変 形の

表 現 と して 量 子 力 学 を 捉 え る 観 点 は,諸 々 の 量 子 現 象 を原 理 的 か つ 統 一 的 な 仕 方 で 厳 密 に 認 識 す る た め の 基 礎 を 提 供 す る だ け で な く,具 体 的 な諸 問 題 に お い て も実 り多 い 結 果 を も た ら す の で あ る.

第3章 

Hを

演 習 問 題

ヒ ル ベ ル ト空 間 とす る.

1. A, TをH上

の 自 己 共 役 作 用 素 と し,T∈B(H)と

す る.こ

強 可 換 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 はTA⊂ATが

の と き,AとTが

成 り立 つ こ とで あ る.こ

れを

証 明 せ よ. 2. (3.33)に

よ っ て 定 義 さ れ る 作 用 素ASのker ASを

3. 自 由 度2以

求 め よ.

上 の 場 合 に 関 す る フ ォ ン ・ノ イ マ ン の 一 意 性 定 理 の証 明 の 詳 細 を 埋

め よ. 4. LをH上

の 自己 共 役 作 用 素 と し

と お く.

 

  (ⅰ) L〓0な

らば, 

 (ⅱ) L〓0な

らば, 

を 示 せ. を 示 せ.

(ⅲ) 

5. d〓1を

を 示 せ. 任 意 の 自 然 数 と し,ヒ

ニ ア ンH0:=-Δ/(2m)を m>0は

ル ベ ル ト空 間L2(IRdx)に

考 え る(Δ

定 数).各j=1,…,dに

を 定 義 す る.た

だ し,F0は

はd次

お い て 自 由 ハ ミル ト

元 の 一 般 化 され た ラ プ ラ シ ア ン,

対 して

例3.6に

お け る部分 空 間で あ り

こ の と き,各TNR 換 因 子 はIで

,jはH0に

関 す る 弱 時 間 作 用 素 で あ り,(TNR,j,H0)の

非可

あ る こ と を示 せ.

6. 記 号 は 前 問 題 に した が う と し,L2(IRdx)で

働 く非 負 自 己 共 役 作 用 素― 相 対 論 的

自 由 ハ ミ ル トニ ア ン―K0:=(-Δ+m2)1/2を

考 え る.各j=1,…,dに

対

して

を 定 義 す る.こ

の と き,各TR,jはK0に

の 非 可 換 因 子 はIで

関

[1]  Y.Aharonov

and

quantum

関 す る弱 時 間作 用 素 で あ り,(TR,j,H0)

あ る こ と を 示 せ.

連

図

書

D.Bohm,Significance

of

electromagnetic

potentials

in

the

theory,Phys.Rev.115(1959),485-491.

[2]  Y.Aharonov

and

relation

for

D.Bohm,Time

time

and

in the

[3]  A.Arai,Momentum

operators

magnetic

quantum

theory

and

the

uncertainty

energy,Phys.Rev.122(1961),1649-1658.

flux,and

with

gauge

representation

of

potentials,local

canonical

quantization

commutation

of

relations,J.

Math.Phys.33(1992),3374-3378. [4]  A.Arai,Properties gauge

of

[5]  A.Arai,Gauge of

the

Dirac-Weyl

operator

with

a

strongly

singular

potential,J.Math.Phys.34(1993),915-935. theory

canonical

on

a non-simply

commutation

[6]  A.Arai,Representation ory,the

conneted

domain

and

representations

relations,J.Math.Phys.36(1995),2569-2580. of

Aharonov-Bohm

canonical

commutation

effect,and

relations

the  Dirac-Weyl

in

a

gauge

the

operator,J.Nonlinear

Math.Phys.2(1995),247-262. [7]  A.Arai,Canonical

commutation

Zeta-function,and quantum

group

[8]  新 井 朝 雄,『 [9]  新 井 朝 雄,ゲ 二 洋

infinite

編

relations

ヒ ル ベ ル ト 空 間 と 量 子 力 学』,共

tum

theory,the

space

singular

algebras,and

Weierstrass

representations

of

the

立 出 版,1997.

ー ジ 理 論 に お け る 正 準 交 換 関 係 の 表 現 と ア ハ ラ ノ フ-ボ

『数 理 物 理 へ の 誘 い2』(遊

in

a gauge

Hilbert

Uq(sl2),J.Math.Phys.37(1996),4203-4218.

星 社,1997)の

[10]  A.Arai,Representation-theoretic tems

in

dimensional

vector

aspects

of

potentials:canonical

reduction

to

lattice

ー ム 効 果,荒

木 不

第7話,p.165-p.190. two-dimensional

quantum

commutation

relations,quan

quantum

systems,J.Math.Phys.39

(1998),2476-2498. [11]  新 井 朝 雄,非 星 社,2000)の

単 連 結 空 間 上 の ゲ ー ジ 量 子 力 学,江 第6話,p.143-p.164.

沢

洋

編

『数 理 物 理 へ の 誘 い3』(遊

sys

[12]  A.Arai,Generalized

weak

Weyl

relation

and

decay

of

quantum

dynamics,

Rev.Math.Phys.17(2005),1-39. [13]  新 井 朝 雄

・江 沢

洋,『

量 子 力 学 の 数 学 的 構 造Ⅰ』,朝

[14]  新 井 朝 雄

・江 沢

洋,『

量 子 力 学 の 数 学 的 構 造Ⅱ』,朝

[15]  G.Dorfmeister

and

倉 書 店,1999. 倉 書 店,1999.

J.Dorfmeister,Classification

of

certain

pairs

of

opera

tors(P,Q)satisfying[P,Q]=-iId,J.Funct.Anal.57(1984),301-328. [16]  B.Fuglede,On the

relation

[17]  V.A.Geyler

and

PQ-QP=-iI,Math.Scand.20(1967),79-88.

P.Stovicek,Zero

modes

in

a system

of

Aharonov-Bohm

fluxes,Rev.Math.Phys.16(2004),851-907. [18]  G.A.Goldin,R.Menikoff rent

algebra

and

in

nonsimply

D.H.Sharp,Representations

connected

space

and

of the

a

local

Aharonov-Bohm

cur effect,

J.Math.Phys.22(1981),1664-1668. [19]  M.Hirokawa,Canonical

quantization

Aharonov-Bohm

phase,J.Funct.Anal.174(2000),322-363.

[20]  C.Kassel,Quantum [21]  H.Kurose the

a

doubly

Groups,Springer,New and

Weyl

on

with

construction

degree

space

and

the

York,1995.

H.Nakazato,Geometric

algebra

connected

of

*-representation

of

2,Publ.Res.Inst.Math.Sci.32(1996),555-

579. [22]  黒 田 成 俊,『

関 数 解 析 』,共

[23]  M.Miyamoto,A and

its

立 出 版,1980.

generalized connection

to

the

Weyl

relation

survival

approach

to

the

time

operator

probability,J.Math.Phys.42(2001),

1038-1052. [24]  J.G.Muga,R.Sala

Mayato

Mechanics,Springer,LNP [25]  E.Nelson,Analytic [26]  J.von

and

I.L.Egusquiza(Eds),Time

in

Quantum

m72,2002. vectors,Ann.of

Neumann,Die

Math.70(1959),572-615.

Eindeutigkeit

der

Schrodingerschen

Operatoren,Math.

Ann.104(1931),570-578. [27] 

日 本 物 理 学 会 編,『

[28]  P.Pfeifer

and

bounds

on

量 子 力 学 と 新 技 術 』,培

風 館,1987.

J.Frohlich,Generalized

lifetimes

of

time-energy

uncertainty

relations

resonances,Rev.Mod.Phys.67(1995),759-779.

[29]  C.R.Putnam,Commutation

Properties

of Hilbert

Space

Operators,Springer,

Berlin,1967. [30]  M.Reed

and

Functional

B.Simon,Mehtods of

Analysis,Academic

[31]  H.Reeh,A

remark

Modern

Mathematical

Press,New

concerning

Physics Vol.I:

York,1972.

canonical

commutation

relations,J.Math.

Phys.29(1988),1535-1536. [32]  N.M.Ruijsenaars,The of

Aharonov-Bohm

effect

and

scattering

theory,Ann.

Phys.146(1983),1-34.

[33]  K.Schmudgen,On

the

Heisenberg

commutation

relation.Ⅰ,J.Funct.Anal.

50(1983),8-49. [34]  K.Schmudgen,On Kyoto

the

Univ.19(1983),601-671.

Heisenberg

commutation

relation.Ⅱ,Publ.RIMS,

and

[35]  外 村 彰,『

電 子 波 で 見 る 世 界 』,丸 善,1985.

[36]  外 村 彰,『

量 子 力 学 を 見 る 』,岩 波 書 店,1995.

[37]  吉 田 耕 作 ・伊 藤 清 三 編,『 函 数 解 析 と微 分 方 程 式 』,(現 代 数 学 演 習 叢 書4),岩 1976.

波 書 店,

4 量子力学 にお ける対称性

対 称性 は現 代 物 理 学 にお け る最 も基本 的 な概 念 の一 つ で あ り,数 学 的 には,群 や リー代 数 と呼 ば れ る根 源 的理 念 あ るい は こ れ ら に類 似 の代 数 的構 造 の 表現 と して普 遍 的 ・統一 的 に捉 え られ る.こ の章 で は,作 用 素 論 的 に厳 密 な仕方 で,量 子 力 学 にお け る対 称 性 の 基 本 的 な 構 造 を普 遍 的 な観 点 か ら論 述す る.

4.1 

は じめ に― 対 称 性 と は ど う い う も の か

  対 称 性 とい う と きに,多 な か ろ う か.実 際,左 が で き る.た

くの 人 が す ぐ に想 い浮 かべ るの は,左 右対 称 性 で は

右 対 称 的 な対 象 は,私

た ち の 周 囲 に難 な く見 い だ す こ と

と え ば,人 間 の 体 や 植 物 の葉 の 多 くは,そ れ ぞ れ,然 るべ き視 点

か ら眺 め れ ば,左 右 対 称 的 に見 え る.建 築 物,家

具,食 器 な ど につ い て も 同様

の こ とが 観 察 され る.左 右 対 称 性 を数 学 的 にみ た場 合,そ

れ は,あ る 種 の 空 間

的操 作 に対 す る不 変 性 と して捉 え ら れ る こ とが わ か る.た

とえ ば,2次

上 の 図 形 が左 右 対 称 で あ る とい う こ とは,あ 直 線 に関 して,そ

元平面

る基 準 と な る直 線 が あ っ て,こ の

の 図 形 を折 り重 ね た と き に,直 線 の 左 側 の 図形 の部 分 と右 側

の そ れ が ぴ っ た り重 な る とい う こ と に ほ か な ら な い.つ

ま り,こ の場 合 は,あ

る 直線 に関 す る"折 り重 ね"と い う空 間 的操 作 に関 して不 変 な図 形 を,こ の直 線 に 関 す る左 右 対 称 な 図形 とい うわ け で あ る.   い う まで もな く,"折

り重 ね"以 外 に も種々 の空 間 的操 作 が 可 能 で あ る.た

と

え ば,平 行 移 動(並 進),鏡 映,回 転 な どが あ る.こ れ らの操 作 で 不 変 に保 た れ る性 質 は,そ れ ぞ れ,並 進 対 称 性(不 変 性),鏡

映 対 称 性,回 転 対 称性 と呼 ば れ

る.こ の 観 点 を普 遍 へ と向 か って 徹 底 的 に押 し進 め て い く と,任 意 の,一 つ な

い し複 数 の空 間 的 操 作 に対 して不 変 と な る性 質 と して 一 つ の 対 称 性 を想 定 す る こ とが で き,こ れ が す な わ ち対 称 性 の 一 般 的概 念 像 に ほ か な ら ない.こ

の概 念

像 を 数 学 の 概 念 と して明 晰 に捉 え るた め に は,ま ず,対 称 性 と関 わ る空 間 的操 作 を 一 つ の 数 学 的 構 造 と して抽 象 的 ・普 遍 的 に措 定 す る必 要 が あ る.こ の よ う に して得 ら れ る根 源 的 理 念 の 一 つ が 群 と呼 ば れ る対 象 で あ る*1.対 称 性 とい う の は,普 遍 的 ・本 質 的 な い い方 をす れ ば,群 の作 用 に対 す る 不 変 性 の こ とで あ る.こ

う して,対 称 性 の 概 念 は,日 常 的 な次 元 を 超 え て,普 遍 的 な,よ

り高 次

の 次 元 へ 向 か って一 挙 に拡 大 す る.こ の 普 遍 的 な 高 み に立 つ こ とに よ り,種 々 様 々 な 個 別 的 対 称 性 を あ る絶 対 的根 源 か ら統 一 的 に俯瞰 す る こ とが 可 能 とな り, 感 覚 的 ・表 層 的 次 元 に と ど ま って い た の で は得 る こ とが で きな い,深

く美 しい

認 識 に到 達 す る こ とが で きる.も ち ろ ん,こ の 認 識 は美 しい とい うだ け で な く, 応 用 上 も強 力 で あ る*2.   で は,群

とは何 か,ま ず,そ

の定 義 を与 え よ う.

4.2 

  4.2.1 

定

定 義4.1 

集 合Gが

て,Gの

義

元g1g2を

と

群

例

群(group)で

あ る と は,Gの

対 応 さ せ る 演 算 が 定 義 さ れ,か

任 意 の 二 つ の 元g1, g2に 対 し つ 以 下 の 条 件(G.1)∼(G.3)

が 満 た さ れ る と き を い う:

  (G.1)  (結 合 法 則)(g1g2)g3=g1(g2g3),   (G.2)  (単 位 元 の 存 在)あ ge=eg=gが

∀gj∈G,j=1,2,3.

る 元e∈Gが

成 立 す る.eをGの

存 在 す る.g-1をgの

  条 件(G.1)∼(G.3)は し て,g1g(g1∈G)を

べ て のg∈Gに

対 して

単 位 元 と い う.

  (g.3)  (逆 元 の 存 在)各g∈Gに g-1∈Gが

あ っ て,す

対 し て,gg-1=g-1g=eを

み たす元

逆 元 と い う.

群 の 公 理 系 と呼 ば れ る.こ 割 り当 て る対 応 をg1の

*1  「群 」 と い う理 念 に 至 る 道 は 他 に も あ る

*2  こ こで略 述 した観 点 を初等 的 な レヴ

の 場 合,任

意 のg∈Gに

左 作 用 と い う.g1gを

.

ェ ル で詳 述 した本 と して[1]が あ る.

対

得 ることを

「gにg1を

左 か ら作 用 さ せ る,あ

り当 て る 対 応 をg1の せ る,あ

右 作 用 と い う.gg1を

(ⅰ) 群Gの

得 る こ と を 「gにg1を

割

右 か ら作 用 さ

足 的 な 注 意 を し て お こ う.

単 位 元 は た だ 一 つ で あ る.実

を 満 た す 元e'∈Gが (G.2)でg=e'と

際,別

あ っ た と す れ ば,g=eと

∀g∈G 方,

え に,e=e'.

逆 元 も た だ 一 つ で あ る.実

あ っ た とす れ ば,左 か らg-1を

にge'=e'g=g, し て,ee'=e'e=e.他

す れ ば,e'e=ee'=e'.ゆ

  (ⅱ) 各g∈Gの g'∈Gが

た,gg1を

る い は 右 か ら か け る 」 とい う.

  群 の 公 理 系 に 関 し て,補  

る い は 左 か ら か け る 」 とい う.ま

際,別

に,gg'=g'g=eと

なる

作 用 させ る こ と に よ り,g'=g-1e=g-1

を 得 る.   (ⅲ) 群Gを

定 義 す る 演 算(g1,g2)〓g1g2は,通

と 呼 ば れ る.こ g1g2=g2g1が

の 積 が 可 換 の と き,す 成 り 立 つ と き,Gを

  (ⅳ) Gが

可 換 群 の 場 合,演

呼 び,g1g2をg1+g2と の 単 位 元 は0, gの   群Gの

べ て のg1,

る い は"乗 g2∈Gに

法"

対 して

可 換 群 あ る い は ア ー ベ ル 群 と い う.

算(g1,g2)〓g1g2を

書 く場 合 が あ る.こ 逆 元 は-gと

元gとn∈INに

常,"積"あ

な わ ち,す

積 と い う 代 わ り に"和"と

の 場 合 に は,群

は 加 群 と呼 ば れ,そ

書 か れ る.

対 して

(4.1)

と記 し,そ れ ぞ れ,gのn乗,マ

イ ナ スn乗

とい う.

例4.1  任 意のベ ク トル空 間 は,そ の加 法 の演算 に関 して加群 で あ る.   群Gの

元 の個 数 をGの

位 数 とい う.位 数 が 有 限 の 群 は有 限 群 と呼 ば れ,位 数

が 無 限 の 群 は無 限 群 と呼 ば れ る.   群Gの

部 分 集 合HがGの

群 の演 算 に関 して群 で あ る と き,HをGの

群 とい う.容 易 に わ か る よ う に,HがGの は,任 意 のg, h∈Hに

対 して,gh∈Hか

例4.2  加 群 と して のIRdをd次

部分

部分群 であ るための必要 十分条件 つg-1∈Hが

成 り立 つ こ とで あ る.

元 並 進群 とい う.こ れ は無 限群 で あ る.

例4.3 

d次

GL(d,IR)と

の 実 正 則 行 列 の 全 体 は 行 列 の 積 の 演 算 に よ っ て 群 に な る.こ 書 き,実

一 般 線 形 群 と 呼 ぶ.GL(d,IR)の

は直 交行 列 はGL(d,IR)の

部 分 群 を な す.こ

れ をd次

の群 を

部 分集 合

元 直 交 群 と い う.ま

 (4.2)

た,O(d)の

部分 集合

(4.3) はO(d)の 例4.4 

部 分 群 を な す.こ

れ をd次

d次 の複 素 正 則 行 列 の 全体 も群 を なす.こ

と記 す.GL(d,IR)はGL(d,C)の 例4.5 

元 回 転 群 と い う.い ず れ も無 限 群 で あ る.

VをIK上

れ を複 素 一 般 線 形 群 と呼 び,GL(d,C)

部 分 群 で あ る.

の ベ ク トル空 間 と し(IK=IRま

用 素 の 全 体 をL(V)と

記 す.こ

の と き,V上

た はC),Vか

らVへ

の全 単射 な線 形作 用素 の全 体

は全 単射 は 作 用 素 の 積 に 関 して 群 を な す.こ 例4.6 

ヒル ベ ル ト空 間Hに

の線 形作

れ をV上

 (4.4)

の 一 般 線 形 群 とい う.

対 して,

(4.5) (H上

の 全 単 射 な有 界 線 形 作 用 素 の全 体)はGL(H)の

例4.7 

ヒル ベ ル ト空 間H上

部 分 群 を な す.

の ユ ニ タ リ作 用 素 の 全 体

(4.6) はGLB(H)の   特 に,H=CNの

部 分 群 で あ る.こ

の 無 限 群 をH上

場 合 

はN次

 とい う記 号 で 表 され る.CN上 同 一 視 す る と(以 下,こ

の ユ ニ タ リ群 と い う. 元 ユ ニ タ リ群 と 呼 ば れ,通 常,

の 線 形 作 用 素 をN次

の 同 一 視 を適 宜 用 い る),U(N)はN次

体 と同 一 視 で き る.U(N)の

の正方 行列 と

の ユ ニ タ リ行 列 の全

部分 集 合

(4.7) も部 分 群 で あ り,こ れ はN次

の 特 殊 ユ ニ タ リ群 と呼 ば れ る.

  4.2.2 

線

  HをIK上

形

リ ー 群

の ヒ ル ベ ル ト空 間 と す る と き,群GLB(H)はB(H)の

あ る の で,作

用 素 ノ ル ム で の 位 相 が 入 る.以

集 合 と し て 考 え る.Tn,T∈B(H)に

この 位 相 の 入 っ た

つ い て, 

つ と き, 

が 成 り立

と記 す .

定 義4.2 

GをGLB(H)の

部 分 群 とす る.も

な ら ば,常 い る と い い,こ

た はCdの

  群GLB(H)自

体 は,定

例4.8 

H上

例4.9 

GL(d,IK)は,こ

GL(IKd)と

に 

場 合 の 線 形 リ ー 群 をd次

明 的 にH上

下,こ

の 線 形 リ ー 群 と い う.

の 線 形 リ ー 群 で あ る.

線 形 リ ー 群 で あ る.

れ に属 す る 元 をIKd上

の 線 形 作 用 素 とみ る こ と に よ り,

同 一 視 で き る.こ の 場 合,GL(d,IK)の

こ とが で き る.以

中で 閉 じて

の 線 形 リ ー 群 と い う.

義 に よ っ て,自

の ユ ニ タ リ群U(H)は

し, 

と な る と き,GはGLB(H)の

の よ う な 部 分 群GをH上

  特 に,H=IRdま

はd次

下,GLB(H)は

部分集 合で

の 同 一 視 を 用 い る.し

の 線 形 リー 群 で あ る.GL(d,IK)の

部 分 群 はGL(IKd)の

部 分 群 とみ る

た が っ て,O(d),SO(d),U(d),SU(d)

部 分集 合

(4.8) も線 形 リ ー 群 で あ る.こ

れ をd次

の 特 殊 線 形 群 とい う.こ

れ ら の 他 に も種 々 の 線 形

リー 群 が 存 在 す る*3.

  4.2.3 

変 換 群 と対 称 性

  Xを 空 で な い集 合 と し,X上 演 算fgを 

の任 意 の2つ

の 写 像f,g:X→Xに

(合 成 写 像,i.e., 

て定 義 す る.明

らか にf9はX上

)に よっ

の 写 像 で あ る.

  X上 の 全 単 射 な写 像 の 全体 をG(X)で

表 す.次

の事 実 は基 本 的 で あ る.

命 題4.3 G(X)は

写 像 の 積 演 算 に 関 して 群 を な す.こ

の 恒 等 作 用 素IXで

あ り, 

*3  た と え ば

,[23]を

参 照.

対 して,積

の 逆 元 は,fの

の場 合,単 位 元 はX上

逆 写 像 ｆ-1で あ る.

  こ の 命 題 を 証 明 す る た め に,次 補 題4.4 

の 事 実 に 注 意 す る:

(ⅰ) 任 意 の 

  (ⅱ) 任 意 の 

に 対 し て, 

に 対 し て 

証 明   (ⅰ) fgの 単 射 性 を 示 す た め に,  こ の と き,f(g(x))=f(g(y)).こ 単 射 で あ る か ら,x=y.ゆ め に, 

れ とfの え にfgは

を 任 意 に と る.fの

gの 全 射 性 に よ り,x=g(w)と ゆ え にfgは

と し よ う. 単 射 性 に よ り,g(x)=g(y).gは

単 射 で あ る.次

に,fgの

全 射 性 に よ り,y=f(x)と な る 

が あ る.し

全 射 性 を示 す た

な る 

が あ る.

た が っ て,y=(fg)(w).

全 射 で あ る.

  (ⅱ)  こ れ は 逆 写 像 の 定 義 か ら 明 ら か.  命 題4.3の

証 明   写 像 の 積 演 算 が 結 合 法 則 を 満 た す こ と は 容 易 に わ か る.X上

の 恒 等 写 像IXは に よ り,題

■

全 単 射 で あ る か ら,G(X)の

元 で あ る.こ

れ ら の 事 実 と補 題4.4

意 が し た が う. 

  群G(X)をX上

■

の 全 変 換 群(full

transformation

  G(X)の

部 分 群 をX上

の 一 つ の 変 換 群 と い う.

例4.10 

GL(IKd)はIKd上

の 変 換 群 で あ る.し

group)と

た が っ て,そ

呼 ぶ.

の 任 意 の 部 分 群 もIKd

上 の 変 換 群 で あ る. 例4.11 

任 意 の ベ ク トル 空 間Vに

意 の 部 分 群 はV上 例4.12 

対 して,V上

の 一 般 線 形 群GL(V)お

(ロ ー レ ン ツ群,ポ

ア ン カ レ群) 

と す る.(d+1)次

間 

元 ベ ク トル 空

を 考 え,双

 

線形形式

を

に よ っ て定 義 す る.こ れ をIRd+1上

の ロ ー レン ツ内 積 ま た は ロ ー レ ン ツ計 量 とい う*4.

た だ し,こ れ は 本 来 の 意 味 で の 内 積 で は な い.実 *4  文 献 に よ っ て は

よびそ の任

の 変 換 群 で あ る.

,ミ

際,内 積 の 正 値 性 は成 立せ ず,xの

ン コ フ ス キ ー 内 積 あ る い は.ミ

関

ン コ フ ス キ ー 計 量 と い う 場 合 もあ る.

数g(d+1)(x,x)は

正 に も負 に も な り う る*5.こ

れ る.IRd+1とg(d+1)の

組(IRd+1,g(d+1))を

ク トル 空 間 とい う*6.こ

の よ うな 双 線 形 形 式 は 不 定 内積 と呼 ば 標 準 的(d+1)次

元 ミン コフス キーベ

れ は 特 殊 相 対 性 理 論 の 時 空 を定 義 す る概 念 で あ る(d+1=4

の 場 合).   IRd+1上

の 線 形 写 像Λ が ロ ー レ ン ツ計 量 を 保 存 す る と き,す

を 満 たす と き,Λ

をIRd+1上

の ロ ー レ ン ツ写 像 とい う*7.容

なわ ち

易 に わ か る よ う に,ロ ー

レ ン ツ 写 像 Λ は全 単 射 で あ る.   IRd+1上

の ロ ー レ ン ツ 写 像 の 全 体 をO(d,1)と

変 換 群 を な す.こ

の 変 換群 を(d+1)次

  任 意 のa∈IRd+1と 

に よっ て 定 義 す る.こ

表 す.こ

に 対 して,写

像 

れ を ポ ア ン カ レ写 像 とい う.ポ

す れ ば,こ れ もIRd+1上

れ は 写 像 の 積 演 算 に 関 して

元 ロ ー レ ン ツ 群 とい う.

の 変 換 群 を な す.こ

を

ア ン カ レ写 像 の全 体 をP(d,1)と

の 場 合,任 意 の 

に対 し て

が 成 り立 つ.群P(d,1)を

ポ ア ン カ レ群 と い う.

  写 像f:X→XとXの

部 分 集 合Sに

対 して

(4.9) とお く.こ れ はfの

定 義 域 をSに

制 限 して 得 られ る写 像 の像(値 域)で あ る.

  TをX上

の 変 換 群 とす る.Xの

部 分 集 合Dが

T(D)=Dを

満 た す と き,DはT-不

変 また はT-対 称 で あ る とい う.こ う して,

各 変 換 群 に 応 じて,Xの

任 意 の 

に対 して,

部 分 集 合(抽 象 的 な意 味 で の幾 何 学 的 対 象)に 関 す る対

称 性 が定 義 され る. *5  た と え ば ,x=(0,x1,…,xd)≠0と

い う ベ ク トル を 考 え る と, 

で あ り,y=(y0,0,0,…,0)(y0≠0)と とg(d+1)(y,y)>0. *6  抽 象 的 な ミ ン コ フ ス キ ー ベ ク トル 空 間 の 概 念 も あ る[5] *7  "ロ ー レ ン ツ 変 換"と

い うベ ク トル を 考 え る

.

い うの が慣 習 的 な呼 び名 で あ るが

味 で 使 う場 合 が 多 い の で,こ う言 葉 は 使 用 し な い,座

,物 理 で は,こ れ と の 混 同 を 避 け る た め,本 書 で は,ロ

標 変 換 と写 像 は 別 の 概 念 で あ る.

れ を座 標 変 換 の 意 ー レ ンツ変 換 とい

例4.13 

IRdのSO(d)-不

た と え ば,IRdの

変 な 部 分 集 合 をd次

中 の 半 径rの(d-1)次

元 の 回 転 対 称(不 変)な 図 形 と い う.

元 球 面 

は回転 対

称 で あ る. 例4.14 

IRd+1のO(d,1)-不

な 図 形 と い う.た

( 

変 な 部 分 集 合 を(d+1)次

元 の ロ ー レ ン ツ対 称(不 変)

とえば

は定 数)― 質量mの

質量 超双 曲面― はロ ー レンツ対称 で あ る.

  Xの 部 分 集 合 に 関 す る 対 称 性 は,次 に示 す よ うに,Xの

直積集合

(4.10) ―Xのn重

直 積(n=1

,2,…)―

か ら別 の 集 合 へ の 写 像 に 関 す る 対 称 性 を 誘

導 す る.   Yを Yへ

集 合 と し, 

をXnか

の 写 像 と す る.こ

の と き,任

意 の 

ら

に 対 し て,TF:Xn→Yを

(4.11) に よ っ て 定 義 す る.も ば,FはT-不 例4.15 

し,す べ て の 

変 ま た はT-対 SO(d)-不

のFは

例4.16 O(d,1)-不

元 の 回 転 対 称(不 変)な

用 い て 写 像F:IRd→IRを 

変 な 関 数 を(d+1)次

に よ っ て 定 義 す れ ば,こ

と え ば,

によっ て定

のFは

元 の ロ ー レ ン ツ対 称(不 変)な 関 数 とい う.

用 い て 写像F:  ロ ー レ ン ツ対 称 で あ る.

準 同 型 写 像 と核

  群 に 関 す る 基 本 的 概 念 を い くつ か 述 べ て お く.G,Hを G→Hが

関 数 とい う.た

回 転 対 称 で あ る.

た とえ ば,IR上 の 任 意 の 関数fを

  4.2.4 

成 り立 つ な ら

称 で あ る と い う.

変 な 関 数 をd次

[0,∞)上 の 任 意 の 関 数fを 義 す れ ば,こ

に 対 し て,TF=Fが

す べ て の 

に 対 し て, 

群 と す る.写

像 φ:

を満 たす と

き― こ の性 質 を写 像 φの 準 同 型 性 とい う―,φ 像 とい う.こ れ は,つ

中への準同型写

全射であるとき

 

準 同 型 で あ る とい う.

  全 単 射 な準 同型 写 像 φ:G→Hを   準 同型 写 像 φ:G→Hに 単 位 元)―eH∈Hの 注 意4.1  eGと

らHの

ま り,群 の 構 造 を保 存 す る よ う な写 像 の こ とで あ る.

  準 同型 写像 φ:G→Hが GはHに

をGか

同 型 写 像 とい う.

対 して, 

(eHはHの

φ に関 す る逆 像― を φ の 核(kernel)と

φ:G→Hが

準 同 型 写 像 な ら ば,φ(eG)=eHで

準 同 型 性 に よ り, 

φ(eG)=eHが

出 る).ま

い う. あ る(∵e2G=

両 辺 に左 か ら φ(eG)-1を た,任

意 のg∈Gに

か け れ ば,

対 し て, 

(∵ 

であ る

に よ る).こ

れ ら の 事 実 は,以

後,

断 り な し に 用 い られ る で あ ろ う.

命 題4.5 

φ:G→Hを

準 同 型 写 像 と す る と き,kerφ

証 明   上 の 注 意 に よ り,g-1∈kerφ,g∈kerφ.ま 対 し て, 

  4.2.5 

はGの

た,任

部 分 群 で あ る.

意 のg,h∈kerφ

に

し た が っ て, 

位

  並 進 群IRdや

相

■

群

線 形 リ ー 群 で は,点

列 の 収 束 と極 限 の 概 念 が 定 義 され て い る.こ

の よ う な 群 の 普 遍 化 を 考 え る.   Gを

群 と す る.Gが

か らGへ の 逆 元)が 例4.17 

位 相 空 間 で あ り(付 録Fを

の 写 像: 

お よ びGか

と も に 連 続 で あ る と き,Gは d次 元 並 進 群IRd,ロ

群 は位 相 群 で あ る.

参 照),直 らGへ

積 位 相 空 間G×G の 写 像: 

位 相 群 と呼 ば れ る.

ー レ ンツ 群O(d,1),ポ

ア ン カ レ群P(d,1),線

形 リー

4.3  量子 力学 にお ける対 称性 の原 理 的構 造

  4.3.1 

対 称

性

変 換

  前 著[8]の3章,3.1節 空 間Hの

で 定 式 化 し た よ う に,量

射 影 空 間 

子 系 の 状 態 は,ヒ の元

こ れ を 射 線 と 呼 ん だ― に よ っ て 表 さ れ る.二 率 は 

―

つ の 状 態[Ψ],[Φ]の

で 与 え ら れ た([8],p.255).こ

≪[Ψ],[Φ]≫

ルベル ト

間の遷 移確

こ で は,こ

の量 を

と記 す:

(4.12) 状 態 間の 遷 移 確 率 を保 存 す る よ う な,P(H)上

の写 像 は量 子 系 の基 本 的 な 対 称 性

を表 す もの とみ る こ とが で き る.そ こで,そ の よ う な写 像 に名 前 をつ け て お く: 定 義4.6 

全 単 射 な 写 像T:P(H)→P(H)で,す

べ て の 

に

対 して

(4.13) を 満 た す も の をP(H)上

の 対 称 性 変 換(symmetry

  P(H)上

の 対 称 性 変 換 の 全 体 をSym(H)と

  "群=対

称 性"と

transformation)と

呼 ぶ.

記 す.

い う 理 念 に し た が え ば,次

の 事 実 は,対

称 性 変 換 と い う命 名

の 妥 当 性 を 支 持 す る:

命 題4.7 

Sym(H)はP(H)上

の 変 換 群 で あ る.

証 明   Sym(H)⊂G(P(H))(4.2.3項 合)で

あ る か ら,任

を 示 せ ば よ い.だ

  Hの

に お け るG(X)に

意 のT1,T2,T∈Sym(H)に が,こ

お い てX=P(H)の

対 して,T1T2,T-1∈Sym(H)

れ は 容 易 で あ る. 

■

零 で な い 二 つ の ベ ク トル Ψ,Φ が 同 じ 射 線 に 属 す る と き,Ψ

こ と は[8]の3章,3.1節 な ら ば 

で 述 べ た.H上

場

の 写 像F:H→Hに

が 成 り立 つ と き,Fを

∼ Φ と記 す

つ い て,「 Ψ ∼ Φ

同 値 性 保 存 写 像 と 呼 ぶ.

  F:H→Hが

同 値 性 保 存 写 像 な らば,各 射 線[Ψ]に 対 して,射 線[F(Ψ)]は

[Ψ]の代 表 元 の選 び 方 に よ らず に一 つ 定 まる か ら,P(H)上

の 写 像Fを

(4.14) に よっ て 定 義 で きる.FをFの

誘 導 写像 と呼 ぶ.

  容 易 に わ か る よ う に,F:H→Hが 件 は,各 

同値 性 保 存 写 像 で あ る た め の 必 要 十 分 条

と各 

 

に 対 して, 

が あ っ て,

が 成 り立 つ こ とで あ る.

  した が っ て,特

に,H全

体 を定 義 域 とす る線 形 作 用 素 お よび 反 線 形 写 像 は 同

値 性 保 存 写 像 で あ る.   次 の事 実 は容 易 に証 明 さ れ る(演 習 問題1): 命 題4.8 

Fが

ユ ニ タ リ また は 反 ユ ニ タ リ な らば,Fは

な わ ち 

対 称 性 変 換 で あ る.す

.

  逆 に次 の 事 実 が 成 り立 つ: 定理4.9 

(ウ ィ グ ナ ー-バ ー グ マ ン(Bargmann)の

Sym(H)に

対 して,H上

定 理)各 対 称 性 変 換T∈

のユ ニ タ リ また は反 ユ ニ タ リな作 用 素Uが

あって

(4.15) と 表 さ れ る.こ ち,別

の よ う な 作 用 素Uは

にT=Wと

満 た す 定 数 θ ∈[0,2π)が

す べ て ユ ニ タ リで あ る か,す

証 明   任 意 の 

Ψ ご と に 一 つ 選 ぶ.す

る と,対 応 

表 さ れ る.こ

ィ グ ナ ー の 定 理([8]のp.318)に 写 像θF:H→IRが れ は 

に,(4.15)を

と な る 

写 像 を定 義 し,し か も,遷 移 確 率 を保 存 す る.Tの

な 作 用 素Uと

あ る.特

あっ 満 た

べ て 反 ユ ニ タ リ で あ る か の ど ち ら か で あ る.

に 対 し て, 

よ う な ベ ク トル ΨTを

し た が っ て,ウ

なわ

な る ユ ニ タ リ ま た は 反 ユ ニ タ リ な 作 用 素W:H→Hが

た とす れ ば,U=eiθWを すUは

指 数 因 子 を 除 い て 一 意 的 に 定 ま る.す

全 射 性 に よ り,Fは

が あ る.こ

の

はH上

の

全 射 で あ る.

よ り,ユ ニ タ リ ま た は 反 ユ ニ タ リ

存 在 して,  を 意 味 す る.し

と た が っ て,T=U.

  次 に,U=Wと

し よ う(Wは

ユ ニ タ リ ま た は 反 ユ ニ タ リ).こ

で あ る か ら,  が あ る.U,Wの

 

ユ ニ タ リ 性 ま た は 反 ユ ニ タ リ性 に よ り,￨aΨ￨=1.し

っ て, 

が た だ 一 つ 存 在 し て, 

 

る こ と に よ り,θ(Ψ1)=θ(Ψ2)が 考 え る と,U,Wは

線 形 独 立)を

え に, 考 え

導 か れ る.  と も に ユ ニ タ リ で あ る か,と

る か の ど ち ら か で あ り,か つ θ(Φ)=θ(α  

たが

と 書 け る.ゆ

こ の 式 で,Ψ=Ψ1+Ψ2(Ψ1,Ψ2∈Hは

は 任 意)を

の と き, 

を満 た す 複 素 数

も に 反 ユ ニ タ リで あ

Φ)が 示 さ れ る.し

た が っ て,θ(Ψ)は

に よ ら な い 定 数 で あ る. 

  4.3.2 

射

影

表

■

現

  量 子 系 にお い て,空 間 的 ま た は 時 間 的 な"操 作"あ る い は他 の何 らか の"操 作 "を 記 述 す る群Gが 与 え られ た と し よう(た とえ ば ,IRdの 原 点 に関 す る回 転 で あ れ ば,G=SO(IRd)). の空 間P(H)に

Gの 各元gに

よ って 記 述 され る操 作 に対 応 して,状 態

お け る変 換― ρ(g)と 書 こ う― が 誘 導 され る と想 定 す るの は物 理

的 にみ て 自 然 で あ る.こ の 場 合,  群 に な っ て お り,し か もGの

が 対 称 性 変 換 群Sym(H)の

部分

群 構 造 を保 存 す る もの で あ る な らば,こ れ に よっ

て,ρ は,当 該 の量 子 系 の,群Gに

関 す る対 称 性 を記 述 す る も の とみ なせ る で

あ ろ う.こ う して,次 の 定 義 に達 す る: 定 義4.10 

Gを

群 とす る.写

をGのP(H)に

  Gを

像 

お け る 射 影 表 現(projective

群 と し, 

よ っ て,各gに

representation)と

を 射 影 表 現 と し よ う.こ

対 し て,ユ

あ っ て,ρ(g)=π(g)と

い う.

の と き,定

理4.9に

ニ タ リ ま た は 反 ユ ニ タ リ な 作 用 素 π(g):H→Hが

書 け る.も

タ リ(反 ユ ニ タ リ)で あ る と き,ρ こ の 場 合,射

が 準 同 型 写 像 で あ る と き,ρ

し,す

べ て のg∈Gに

対 し て,π(g)が

を 射 影 ユ ニ タ リ(反 ユ ニ タ リ)表 現 と い う*8.

影 表 現 ρ は ユ ニ タ リ(反 ユ ニ タ リ)で あ る,と

い う.

  そ の 射 影 表 現 が 常 に ユ ニ タ リ と な る よ う な 群 の ク ラ ス を 導 入 し よ う: *8  括弧 は括 弧 に対 応 させ て読 む .

ユニ

定 義4.11 

群Gの

と き,Gは

各 元gに

対 し て,元h∈Gが

表 される

平 方 的 で あ る と い う.

定 理4.12 

平 方 的 な 群Gの

射 影 表 現 は す べ て ユ ニ タ リで あ る.

証 明   ρ をGの

射 影 表 現 とす る.仮

と 表 さ れ る.準

同 型 性 に よ り, 

ρ(g)=π(g).し

た が っ て,定 あ る.再

リ で あ る.し

た が っ て,π(h)2は

例4.18 

並 進 群IRdは あ る.し

例4.19 

び,定

理4.9に

た が っ て,IRdの

よ り, 

方,

を満たす定 数

よ り,π(h)は

ユ ニ タ リ で あ る.ゆ

ユ ニ タ リで あ る か 反 ユ ニ タ え に,題

際,任 意 のx∈IRdに

意 が 成 立 す る. ■

対 して,x=(x/2)+

任 意 の 射 影 表 現 は ユ ニ タ リ で あ る.

対 して,d次

元 回 転 群SO(d)は

平 方 的 で あ る.し

たが っ

任 意 の 射 影 表 現 は ユ ニ タ リ で あ る.

証 明   まず,Aを (tAはAの

が 成 り 立 つ.他

平 方 的 で あ る.実

任 意 のd∈INに

て,SO(d)の

定 に よ り,各g∈Gはg=h2(h∈G)

理4.9に

θ ∈[0,2π)が

(x/2)で

あ っ て,g=h2と

任 意 のd次

の 実 交 代 行 列,i.e.,

tA=-Aを

転 置 行 列 を表 す)と す る と き,eA∈SO(d)で

形 代 数 学 で よ く知 られ て い る よ う に,各T∈SO(d)に p,r∈IN(p+2r=d)お

と 表 さ れ る(た

満 た すd次

あ る こ と に 注 意 す る*9.線 対 し て,直

よ び 定 数 

と え ば,[17, p.178]).こ

の実 行 列

交 行 列Pと

定数

が あ って

こ で,Ipはp次

の単位 行列

(4.16)

と お け ば,R(θ)=eθJと

*9  正 方 行 列Aに 問 題19ま

対 して

書 け る.そ

,eA:=Σ∞n=0An/n!.[7]の1章

た は[5]の9章

演 習 問 題17を

参 照.

こで

演 習 問 題31,

[2]の2章

演習

とす れ ば,P-1TP=eY.し る.任

た が っ て,X=PYP-1と

意 の 実 数t∈IRに

た が っ て,こ

対 して,tXは

あ り,T=h2が

任 意 のN∈INに

が っ て,U(N)の

対 して,N次

元 ユ ニ タ リ群U(N)は

平 方 的 で あ る.し

意 の ユ ニ タ リ行 列U∈U(N)に

た

対

対 角 行 列 

があ っ

て, 

と表 さ れ る([17]の

§5,p.167の

て,X=W-1DWと

お け ば,U=eiXと

書 け る.そ

例 4.21 

■

任 意 の 射 影 表 現 は ユ ニ タ リで あ る.

ニ タ リ行 列Wと

h∈U(N)で

こ で,h=eX/2

成 立 す る. 

証 明  線 形 代 数 学 で よ く知 ら れ て い る よ う に,任 し て,ユ

表 され

実 交 代 行 列) .し

の 証 明 の は じめ に述 べ た 事 実 に よ り,etX∈SO(d).そ

と お け ば,h∈SO(d)で 例 4.20 

お け ば,T=eXと

実 交 代 行 列 で あ る(∵Yは

あ り,U=h2が

定 理7の

応 用) .し

こ で,h=eiX/2と

たが っ お け ば,

成 り立 つ*10. 

2次 の 複 素 特 殊 線 形 群SL(2,C)は

■ 平 方 的 で あ る.し

た が っ て,SL(2,C)

の 任 意 の 射 影 表 現 はユ ニ タ リ で あ る. 証 明   A∈SL(2,C)と り,2次

の 正 則 行 列Pが

α ≠0,β

る.結

∈Cは

形 代 数 学 の 一 般 論(ジ

ョ ル ダ ン標準 形 の 理 論)に

あ っ て, 

定 数 で あ る.右

が 成 立 す る.た

辺がeYに

等 し い よ う な 

X=0)で

書 け る. 

(∵

あ る か ら,B∈SL(2,C).よ

っ て,題

意 が成 立

す る. 

例  4.22 

だ し,

し た が っ て,

お け ば,A=B2,B:=eX/2と

ト レ ー ス を 表 し,Tr

よ

を求 め

果 は 次 の よ う に な る: 

X=P-1YPと Trは

す る.線

■

ロ ー レ ン ツ 群O(d,1)の

Λμνと 記 す(μ,ν=0,1,…,d).η 1,…,d),ημν=0,μ

≠ν

任 意 の 元Λ

を 行 列 表 示 で 考 え,そ

を(d+1)次

の 対 角 行 列 で,η00=1,ηjj=-1(j=

を 満 た す も の と す る.こ

の と き,任

の(μ,ν)成

分 を

意 のx,y∈IRd+1に

対 して

(4.17) *10 AがN次

の エ ル ミー ト行 列 な ら ば

,eiA∈U(N).

と書 け る(〈･,･〉IRd+1はIRd+1の

標 準 内 積).こ

の 事 実 を 用 い る と,(d+1)次

の正

方 行 列 Λ が ロ ー レ ンツ 写 像 で あ る た め に は

(4.18) が 必 要 十 分 で あ る こ とが わ か る.   Λ ∈O(d,1)と 得 る.し

し よ う.(4.18)の

両 辺 の 行 列 式 を と る こ と に よ り, 

を

たが っ て または

ま た,(4.18)の る.し

両 辺 の(0,0)成

 (4.19)

分 を 考 え る と 

が わ か

た が っ て,

また は そ こ で,detΛ

 (4.20)

の 符 号 と Λ00の 値 域 に 応 じて,ロ

合 に 分 け る こ とが で き る.そ

ー レ ンツ 群O(d,1)を

四 つの部 分 集

の一 つ

(4.21) はO(d,1)の group)と

部 分 群 を な す(演 習 問 題2).こ

れ を 固有 ロ ー レ ン ツ 群(proper

Lorentz

呼 ぶ.

  d+1=4の 定 理4.13 

場 合 を 考 え よ う.こ

の 場 合,次

の事 実 が あ る:

準 同 型 写 像 φ: 

で 次 の 性 質(ⅰ)∼(ⅲ)を

の が あ る:(ⅰ)φ は 全 射 で あ る.(ⅱ)各  と な るA∈SL(2,C)が

  こ こ で は,紙   定 理4.13に

た だ 一 つ 存 在 す る.(ⅲ)kerφ={±I2}.

数 の 都 合 上,こ よ っ て,任

が あ る.例4.21に

満 たす も

に 対 し て,φ(A)=φ(-A)=Λ

の 定 理 の 証 明 は 割 愛 す る*11.

意 の 

に 対 し て,Λ=φ(A)と

よ り,A=B2と

準 同 型 性 に よ り,T:=φ(B)と た が っ て, 

な るB∈SL(2,C)が お け ば, 

は 平 方 的 で あ る.ゆ

な る.A∈SL(2,C)

とれ る.し

た が っ て,φ の

で あ り,Λ=T2と え に, 

書 け る.し

の 任 意 の 射 影 表 現 はユ ニ タ

リで あ る.

注 意4.2  る.こ

線 形 リ ー 群 の 概 念 の 普 遍 化 と し て,リ

れ は,大

*11 た と え ば

ざ っ ぱ に い え ば,可

,[23]のⅣ

通 読 す る 上 で は,定

ー群 な る 群 の ク ラ ス が存 在 す

微 分 多 様 体 の 構 造 が 入 る 群 で あ り,群

章 の §2あ る い は[4]の11章,11-1-2項 理4.13を

認 め て 先 に 進 ん で も 問 題 は な い.

を 参 照.だ

が,本

の演

書 を

算 と逆 元 を 対 応 さ せ る 演 算 が 連 続 で あ る よ う な 群 の こ とで あ る*12.一 な リ ー 群 は 平 方 的 で あ り,し 示 さ れ る.こ

た が っ て,そ

の 一 般 的 事 実 を使 え ば,任

般 に 連結

の 射 影 表 現 は ユ ニ タ リで あ る こ と が

意 のd∈INに

対 して,の

射

影 表 現 は ユ ニ タ リ で あ る こ とが 証 明 さ れ る.

  4.3.3    Gを

ユ ニ タ リ 表 現

群 と し,ρ:G→Sym(H)を

よ う に,各g∈Gに

射 影 表 現 と す る.こ

対 し て,ρ(g)=π(g)と

ニ タ リ な 作 用 素π(g)を

一 つ 選 ぶ こ とが で き る.誘

こ と に よ り,π(g)π(h)=π(g)π(h), よ び 定 理4.9に 数 ω(g,h)が

な る,H上

よ っ て,Gの

g, h∈Gが

の と き,す

の ユ ニ タ リ ま た は反 ユ

導 写 像 の 定 義 に戻 っ て考 え る

わ か る.こ

任 意 の 元 の 対(g,h)に

で に述 べ た

れ と ρの準 同型 性 お

対 し て,絶

対 値 が1の

複素

あ って

と 表 さ れ る.群

演 算 の 結 合 則 を 用 い る と,す

べ て のf,g,h∈Gに

対 して

π(f)が ユ ニ タ リ の と き π(f)が 反 ユ ニ タ リ の と き が 示 さ れ る.一 が,そ

般 に は,ω(g,h)を

の よ う な 場 合 も あ り う る.そ

定 義4.14 

写 像 π:G→u(H)が

ユ ニ タ リ表 現 と い う .こ

命 題4.15 

π がGのH上

て, 

の 場 合,Hを

な る よ う に 選 べ る と は 限 ら な い.だ

こ で,次

の 定 義 を 設 け る:

準 同 型 写 像 で あ る と き,π

を,GのH上

の

表 現 空 間 と い う.

で の ユ ニ タ リ 表 現 で あ る と き,任

意 のg∈Gに

対 し

が 成 り立 つ.

証 明   π の 準 同 型 性 に よ り,  の ユ ニ タ リ 性 に よ り, 

*12  た と え ば

常 に1と

,[14]のⅣ

(注 意4.1を

参 照).他

した が っ て,π(g-1)=π(g)*. 

章 を参 照.

方,π(g) ■

  Gが

位 相 群 の 場 合 の ユ ニ タ リ表 現 に は 連 続 性 の 概 念 が 伴 い う る.そ

表 現 の ク ラ ス を 定 義 す る た め に,こ

こ で,位

の よ うな

相 空 間 か ら ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の 有

界 線 形 作 用 素 の 空 間 へ の 写 像 の 連 続 性 の 概 念 を 定 義 して お く.

定 義4.16 

Xを

位 相 空 間,Hを

界 線 形 作 用 素 の 全 体)へ  

(ⅰ) 各 Ψ ∈Hに

ヒ ル ベ ル ト空 間,TをXか

対 し て,Xか

らHへ

の 写 像: 

ノ ル ム に よ る 通 常 の 位 相)で

continuous)で

あ る と い う.す

と に,任

の有

の 写 像 と す る.

の 強 位 相(Hの

Ψ ∈Hご

らB(H)(H上

な わ ち,Tが

意 の ε>0に

がH

連 続 の と き,Tは

強 連 続(strongly

強 連 続 で あ る と は,各x∈Xと

対 し て, 

がx

の 近 傍 を 含 む こ と で あ る*13.  

(ⅱ) 任 意 の Ψ, Φ ∈Hに

連 続 で あ る と き,Tは

定 義4.17 

位 相 群Gの

が 強 連 続 で あ る と き,π

注 意4.3 

対 して,X上

弱 連 続(weakly

の 複 素 数 値 関 数:  continuous)で

ヒ ル ベ ル ト空 間Hに

が

あ る と い う.

お け る ユ ニ タ リ 表 現 π:G→u(H)

を 強 連 続 ユ ニ タ リ 表 現 と呼 ぶ.

文 献 に よ っ て,"位

相 群 の ユ ニ タ リ表 現"と

い う 言 葉 に よ っ て,強

連

続 性 も 含 め て い る 場 合 が あ る. 例4.23 

ヒル ベ ル ト空 間H上

の 強 連 続1パ

ラ メ ー タ ー ユ ニ タ リ群 は,1次

元 並進 群

IRの 強 連 続 ユ ニ タ リ表 現 で あ る.

  強 連 続 ユ ニ タ リ表 現 の 別 の 例 は 次 の 項 で み る こ と に し て,ユ

ニ タ リ表 現 の 強

連 続 性 を 判 定 す る た め の 命 題 を 証 明 し よ う.

命 題4.18 

Xを

位 相 空 間,uをXか

らu(H)へ

の 弱 連 続 な 写 像 と す れ ば,uは

強 連 続 で あ る.

*13 点 列 収 束 で い えば て, 

, 

の と き,す べ て の Ψ ∈Hに 対 し が 成 り立 つ とい うこ と.た だ し,一 般 の 位 相空 間の

場 合 に は,点 列 収 束 に対 してい まの 条件 を満 た して も,強 連 続 で あ る とは い え な い.し か し,本 書 を通 読 す る上 で は,点 列収 束 の 場 合 を念 頭 に おい て い ただ け れ ば十 分 で あ る.

証 明   Ψ ∈Hとx∈Xを

任 意 に と る.u(･)の

ユ ニ タ リ性 に よ り,任

意 のy∈X

に 対 して

と評 価 で き る.一

方,仮

が 存 在 し て,y∈Uε

定 に よ り,任

意 の ε>0に

命 題4.19 

が 成 り立 つ. ゆ え にuは

Xを

位 相 空 間,uをXか し,任

証 明   命 題4.18に

らu(H)へ

意 の Ψ,Φ ∈Dに

が 連 続 で あ る な ら ば,uは

の 写 像,DをHの

対 して,X上

稠密 な部分

の 関 数: 

強 連 続 で あ る.

よ っ て,uの

弱 連 続 性 を 示 せ ば よ い.任

対 し て, 

と お く.Dの   と な る Ψn,Φn∈Dが  と す れ ば,シ

意 の Ψ,Φ ∈Hに

稠 密 性 に よ り,

あ る.そ

こ で,

ュ ヴ ァ ル ツ の 不 等 式 に よ り,   任 意 の ε>0に

対 し て,番

 な ら ば, 

号n0が

が 成 立 す る.し  さ て,x∈Xを

のy∈Xに

対 して,

関 数Fn0は

連 続 で あ る か ら,任  と な る 近 傍Vε

 

強 連 続 で あ る.  ■

も う少 し使 い や す い 形 に し て お こ う:

空 間 と す る.も

 ε>0は

近 傍Uε ,Ψ⊂X

,Ψ な ら ば 

し た が っ て, 

  命 題4.18を

対 し て,xの

意 の ε>0に が あ る.し

が 成 立 す る.ゆ 任 意 で あ っ た か ら,こ

あ っ て, た が っ て,

任 意 に 固 定 す る.任

意

対 し て,

た が っ て,任

意 のy∈Vε

に 対 し て,

え に,

れ は,Fが

点xで

連 続 で あ る こ と を 意 味 す る. ■

  4.3.4 

保 測 変 換 と ユ ニ タ リ表 現

  (X,B,μ)を

σ 有 限 な 測 度 空 間 と す る.写

意 のB∈Bに

対 し て, 

う.φ

が 全 単 射 で,φ

像 φ:X→Xが

可 測 で あ る と は,任 が 成 り立 つ こ と を い

お よ び 逆 写 像 φ-1が

と も に 可 測 で あ る な ら ば,φ

は両 可

測 で あ る と い う.   可 測 な 写 像 φ:X→Xが 満 た す と き,φ

す べ て のB∈Bに

は 保 測(measure

対 し て,μ(B)=μ(φ-1(B))を

preserving)で

あ る と い う.こ

の 場 合,μ

は φ

に 関 し て 不 変 な 測 度 あ る い は 単 に φ-不変 測 度 で あ る と い う.   両 可 測 な 保 測 写 像 を 保 測 変 換 と呼 ぶ*14.

命 題4.20 

φ:X→Xが

証 明  f:=φ-1(φ

保 測 変 換 な ら ば,φ-1も

の 逆 写 像)の

保 測 性 を 示 せ ば よ い.こ

に 対 して, 

あ る か ら,φ の 保 測 性 に よ り,   ゆ え にfは

例4.24 IRd上

おけ し た が っ て,

保 測 で あ る. 

■

の 任 意 の 直 交 変 換T∈O(d)は,(IRd,

ベ ー グ 測 度)上

て,X上

の と き,任 意 のB∈B

が 成 り立 つ.C=φ(B)と

ば,B=φ-1(C)で

命 題4.21 

保 測 変 換 で あ る.

Bd, μdL)(μdLはIRd上

のル

の 保 測 変 換 で あ る(ル ベ ー グ測 度 の 基 本 的 性 質 の 一つ) .

φ:X→XをX上

の 関 数U(φ)Ψ

の 保 測 変 換 と す る.X上

の可 測 関 数 Ψ に対 し

を

(4.22) に よ っ て 定 義 す る.こ

証 明   ま ず,任  

意 のA1,…,An∈Bか

(xAはAの

とφ-1の

の と き,U(φ)はL2(X,dμ))上

保 測 性(命

ら つ く ら れ る 単 関 数(階

定義 関数 題4.20)を

αj∈Cは

意味 で 用 い る.

定 数)に

段 関 数)f=

対 し て,積

分 の定 義

用 い る こ と に よ り,

 を 示 す こ と が で き る.次 *14 もっ と一般 には

の ユ ニ タ リ作 用 素 で あ る.

に,非

負 の 可 積 分 関 数fに

対 して

,保 測 な写 像 を保 測 変換 とい う場合 が あ る.本 書 で は,こ こ で定 義 した

は,こ

れ を 単 関 数 の 単 調 増 加 列 で 近 似 で き る の で,や

意 の 可 積 分 関 数fに と す れ ば,f±

は 非 負 の 可 積 分 関 数 で あ り,f=f+-f-と

す れ ば, 

は 可 積 分 関 数 で あ る か ら,(*)に

こ と が わ か る.し

た が っ て,U(φ)は

で あ る か ら,U(φ)は

書 け る の で,U(φ)

成 り 立 つ.

∈L2(X,dμ)と

と 書 け る.Ψ*Φ

成 り立 つ.任

対 して, 

の 線 形 性 に よ り,(*)が   さ て,Ψ,Φ

は り(*)が

内 積 を 保 存 す る.さ

全 射 で あ る.ゆ

  容 易 に わ か る よ う に,X上

よ り,右

え に,U(φ)は

辺 は 〈 Ψ,Φ 〉に 等 し い ら にU(φ)U(φ-1)=I

ユ ニ タ リ で あ る. 

■

の 保 測 変 換 す べ て か らな る集 合

(4.23) は 群 を な す.こ X上

の 群 を(X,B,μ)上

の 全 保 測 変 換 群 と い う.GMP(X)の

部分群 を

の 保 測 変 換 群 と 呼 ぶ.

系4.22 

GをX上

φ〓U(φ),φ

の 保 測 変 換 群 とす る.こ

∈GはGのL2(X,dμ)上

証 明   前 命 題 に よ り,Uの

の と き,対 応U:G→u(L2(X,dμ));U:

で の ユ ニ タ リ表 現 を 与 え る.

準 同 型 性 を だ け を み れ ば よ い が,こ

れ は容 易 で あ る. ■

例4.25 ν

∈INと

す る.任

意 のa∈IRν

に対 して,写

像Ta:IRν

→IRν

を

(4.24) に よ っ て 定 義 す る.こ (IRν,Bν,μνL)上

れ をベ ク トルaに

よ る並 進 ま た は平 行 移 動 とい う.写 像Taが

の 保 測 変 換 で あ る こ とは 容 易 に わ か る*15.し

た が っ て,L2(IRν)

上 の 写 像T(a)を

に よ っ て 定 義 す れ ば,T(・)は 数T(a)fを

関数fの,ベ

並 進 群IRν のL2(IRν)に

ク トルaに

*15 ル ベ ー グ 測 度 の 並 進 不 変 性 を 使 う .

お け る ユ ニ タ リ表 現 に な る.関

よ る 並 進 ま た は平 行 移 動 と い う.

  ユ ニ タ リ表 現Tの

強 連 続 性 を 示 そ う.そ

C∞0(IRν)と す れ ば,K:=supp

の た め に,命 題4.19を

応 用 す る.g,f∈

gは 有 界 閉 集 合 で あ り,

 この 右 辺 にル ベ ー グ の 優 収 束 定 理 を応 用 す る こ とに よ り,関 数:  の 連 続 性 が 示 され る.C∞0(IRν)はL2(IRν)で Tは

稠 密 で あ る か ら,命 題4.19に

よ っ て,

強 連 続 で あ る.

  Tの す る:

強 連 続 性 の 含 意 の 一つ を み よ う. 

上 に 証 明 した 事 実 に よ り,任 意 のt∈IRに

と お く と,{Tj(t)}t∈IRは

強 連 続1パ

を ベ ク トル 空 間IRν の 標 準 基 底 と

対 して

ラ メ ー タ ー ユ ニ タ リ 群 で あ る.し

た が っ て,ス

トー ン の 定 理 に よ り

を 満 た す 自 己 共 役 作 用 素Ljが

た だ一つ 存 在 す る.任

意 の 

に 対 して,

(4.25) を 示 す の は 難 し くな い*16.し はC∞0(IRν)を

た が っ て,f∈D(Lj)で

不 変 に して い る の で, 

等 式 

が 成 り立 つ.こ

運 動 量 作 用 素 のj成

分 で あ る.よ

あ り, 

はLjの こで,pjは

芯 で あ る.ゆ

え に,作

用素 の

シュ レーデ ィンガー表現 にお け る

って

(4.26) こ う して,運

動 量 作 用 素pjの(-1)倍

は,ν 次 元 並 進 群 の ユ ニ タ リ表 現Tの

第j座

標 の 並 進 の 生 成 子 で あ る こ とが わ か る.   任 意 のa∈IRν

*16 K

 

=supp fと

は 

お け ば,Kは

と書 け る の で

有 界 で あ り 

とす れ ば

 右 辺 の 積 分 の被 積 分 関 数 をFt(x)と す れ ば,  かつ したが っ て,ル ベ ー グの優 収 束 定 理 に よ り,(4.25)が 得 られ る.

が 成 り立 つ.一

方,pjとpkは

強 可換 で あ ったか ら

(4.27) と な る.た

だ し, 

で あ り,apはapの

閉 包― これ は 自 己 共 役― を

表 す. 例4.26 

d次 元 直 交群O(d)は(IRd,

Bd, μdL)上 の 保 測 変 換 群 で あ る.ル

の 直 交 変 換 不 変 性 に よ り,φ をO(d)の U:O(d)→u(L2(IRd))はO(d)の 続 で あ る.こ

元 と し て,(4.22)に

ユ ニ タ リ表 現 を与 え る.し

れ に 対 す る証 明 の 方 法 は,例4.25の

例4.27 IRd上

ベ ーグ測度

よっ て定 義 され る対応 か も,こ の 表 現 は 強 連

そ れ と 同 様 で あ る(演 習 問 題3).

の 空 間 反 転Iは

(4.28) に よ っ て 定 義 さ れ る.集

合

(4.29) は位 数2の

群 で あ る.こ

れ を空 間 反 転 群 と 呼 ぼ う,こ れ はO(d)の

は保 測 変 換 で あ るの で,φ をGspの

元 と して,(4.22)に

部 分 群 で あ る.I

よ って 定 義 され る 作 用 素U(φ)

は 空 間 反 転 群 の ユ ニ タ リ表 現 を 与 え る.   容 易 に わ か る よ う に,U(I)は

自己 共 役 で も あ る.ユ

ニ タ リ作 用 素 の ス ペ ク トル は

複 素 平 面 の 単 位 円 周 内 に含 ま れ,自 己 共 役 作 用 素 の ス ペ ク トル は 実 数 の 部 分 集 合 で あ る か ら, 

で な け れ ば な ら な い.一

方, 

で あ る.し

た

が って

(4.30) を得 る.ゆ

え に, 

と直 和 分 解 で きる.量 の 状 態,  例4.28 

をU(I)の

固 有 値 ±1に 属 す る 固 有 空 間 とす れ ば

子 力 学 に お い て は, 

の 元 を パ リテ ィ が 負(ま SNをN次

よ う.σ ∈SNに

の 対 称 群(す な わ ち,N文 対 し て,IRdのN個

の 元 を パ リ テ ィ が 正(ま

た は偶)

た は 奇)の 状 態 とい う. 字 の 置 換 全 体 か ら な る 置 換 群)と

の 直 積IRdN=IRd×

…

×IRd上

し

の変換 σが

(xj∈IRd,j=1,…,N)に 変 換 で あ り,対

よ っ て 定 義 さ れ る.こ

応 σ → δ はSNの,IRdN上

れ は(IRdN,BdN,μLdN)上

で の 表 現 に な っ て い る.し

の保 測 たが って

(4.31) とす れ ば,SNはIRdNの 定 義 さ れ るU(σ)を

保 測 変 換群 で あ る.ゆ あ ら た め てU(σ)と

  す べ て の σ ∈SNに る と い い,ま

た,す

の 関 数 ψ は 反 対 称 で あ る とい う.こ [8]の4章,4.1節

書 け ば,こ れ はSNの

対 して,U(σ)ψ=ψ べ て の σ ∈SNに

え に,φ=δ

と し て(4.22)に

よって

ユ ニ タ リ表 現 を与 え る.

を 満 た す,IRdN上

の関数 ψ は対 称で あ

対 して,U(σ)ψ=ε(σ)ψ

を 満 た す,IRdN上

こ で ε(σ)は置 換 σ の 符 号 を 表 す.こ

れ は,前 著

に 現 れ た,対 称 状 態 関 数 あ る い は 反 対 称 状 態 関 数 の 表 現 論 的 特 徴 付

け を 与 え る.

 4.3.5 

回 転 群 の 強連 続 ユ ニ タ リ表 現 と一 般 軌 道 角 運 動 量

 d次 元 回転 群SO(d)の

強 連 続 ユ ニ タ リ表 現 の あ る一 般 的 構 造 にふ れ て お く.

Hを 複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,UをSO(d)の,Hに

お け る任 意 の強 連 続 ユ ニ タ

リ表 現 とす る.   1〓j
し,IRdに

の 写 像 をRjk(θ)と

し,y=Rjk(θ)(x),x∈IRdと

お い て,xj-xk平

容 易 に わ か る よ う に,Rjk(θ)∈SO(d)で

面 の 角 度 θの 回 転 を 考 え る.こ す れば

あ り

(4.32) が 成 り立 つ.そ

こで

と お け ば,{Ujk(θ)￨θ こ と が わ か る.し

∈IR}はH上

た が っ て,ス

の 強 連 続1パ

ラ メー タ ーユ ニ タ リ群 で あ る

トー ン の 定 理 に よ り

(4.33) を 満 た す 自 己 共 役 作 用 素Ljkが

た だ 一 つ 存 在 す る.物 理 的 に は,Ljkの

(Ljk)j,k,j≠kは 状 態 の ヒ ル ベ ル ト空 間Hに

組

お け る,普 遍 化 され た 意 味 で の 軌

道 角 運 動 量 と解 釈 さ れ る も の で あ る の で,こ 呼 ぶ.Ljkの

ス ペ ク トル に つ い て,表

れ をHに

お け る一 般 軌 道 角 運 動 量 と

現 の 如 何 に 関 わ ら ず,次

の事 実 が 成 立 す

る の は 興 味 深 い:

定 理4.23 

各j,k=1,…,d(j≠k)に

  n:=dimH<∞

対 し て,σ(Ljk)=σp(Ljk)⊂

な ら ば,Ljkの

相 異 な る 固 有 値 は 高 々n個

算 無 限次 元 で あ れ ば,σ(Ljk)=σp(Ljk)は

証 明   任 意 の θ ∈IRに e-iθLjk.し ⊂ 〓.ゆ

え に 題 意 が 成 立 す る.後

で あ り,Hが

あ る か ら,e-i(θ+2π)Ljk=

れ と ス ペ ク トル 写 像 定 理 に よ り,σ(Ljk) 半 の 言 明 は,前

半 の 結 果 と ス ペ ク トル 定 理 か

ら容 易 に 導 か れ る. 

  4.3.6 

可

〓 の 可 算 無 限 部 分 集 合 で あ る.

対 し て,Rjk(θ+2π)=Rjk(θ)で

た が っ て,e-2πiLjk=I.こ

〓.

■

時 間 反 転 と 反 ユ ニ タ リ作 用 素

  群 の 射 影 表 現 に お い て,反 ユ ニ タ リ作 用 素 が 現 れ る 重 要 な 例 を 一 つ 述 べ て お く.  (d+1)次 お い て,写

元 時 空 

に

像Itime:IRd+1→IRd+1を

に よ っ て 定 義 し,こ れ を時 間 反 転 と 呼 ぶ.明 し か し,Itime ,SO(d+1).ま

らか に,Itime∈O(d,1)∩O(d+1). た,各t∈IRに

対 し て,写

Tt:IRd+1→IRd+1を

に よ っ て 定 義 し,こ れ を時 間tに よ る時 間 並 進 と呼 ぶ.容 易 に わ か る よ うに

し た が っ て,特

に,Itime,

Ttは

い ず れ も全 単 射 で あ り

像

が 成 り立 つ.ゆ

と お け ば,こ

えに

れ は 群 を な す.こ

ン カ レ群p(d,1)の   さ て,Hを

の 群 を 時 間 反 転-時 間 並 進 群 と呼 ぶ.こ

れ はポ ア

部 分 群 で あ る.

ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,Gtimeの

が 与 え ら れ た と し よ う.し

射 影 表 現ρ:Gtime→Sym(H)

た が っ て,各g∈Gtimeに

対 して,H上

リ 作 用 素 ま た は 反 ユ ニ タ リ 作 用 素π(g)が

あ っ て,ρ(g)=π(g)と

T:=π(Itime),U(t):=π(Tt)と

の と き,各t∈IRに

お こ う.こ

を 満 た す 実 数 θ(t),ξ(t)∈[0,2π)が

あ る.(*)に

のユ ニ タ 表 さ れ る.

対 して

よ っ て,π(ItimeTt)=π(T-tItime)

で あ るか ら

た だ し,x(t):=θ(t)-ξ(-t).   い ま,対

応:t〓U(t)はIRの

自 然 な 仮 定).す

を満 たす,H上

強 連 続 ユ ニ タ リ表 現 で あ る 仮 定 し よ う(こ れ は

る と ス トー ン の 定 理 に よ り

の 自己 共 役 作 用 素Hが

学 の コ ンテ クス トで は,ハ

た だ 一 つ 存 在 す る.こ のHは,量

子力

ミル トニ ア ン と解 釈 さ れ る もの で あ る.上 の 結 果 に

より

U(t+s)=U(t)U(s)=U(s)U(t),t,s∈IRお x(t)=0,∀t∈IRが   Tが

よ び￨x(t)￨〓4π

わ か る.

ユ ニ タ リ作 用 素 で あ る と し て み よ う.す

共 変 性 に よ り,上 σ(-H)…(**).し

を 用 い る と,

の 式 は,THT-1=-Hを か し,も

立 し な い(∵E0(H):=infσ(H)>-∞

し,Hが

る と,作

用素 解析 のユ ニ タ リ

導 く.し

た が っ て,σ(H)=

非 有 界 か つ 下 に 有 界 な ら ば,こ と し,(**)が

れ は成

成 り立 つ と す れ ば,

-E0(H)∈σ(H)

.し

た が っ て,E0(H)〓-E0(H),

に 非 有 界 で あ る か ら,E>-E0(H)と (**)に

よ っ て,-E∈

よ っ て,次 て,ハ

i.e., E0(H)〓0.

な るE∈

σ(H).だ

σ(H)が

が,-E<E0(H)で

の 興 味 深 い 結 論 に 到 達 す る:時

あ る.す

な 構 成 法 に つ い て は,演

あ る か ら,こ

  先 に 進 む 前 に,こ

こ で,群

び,

れ は 矛 盾).

間 反 転 は反 ユ ニ タ

間 反 転 を 記 述 す る 反 ユ ニ タ リ作 用 素 の 具 体 的

習 問 題8を

4.4 

る と,再

上

間 反 転-時 間 並 進 群 の 射 影 表 現 に お い

ミル トニ ア ン が 非 有 界 か つ 下 に 有 界 で あ る な ら ば,時

リ 作 用 素 に よ っ て 記 述 さ れ る.時

Hは

参 照.

一 般 の 表 現

の ユ ニ タ リ 表 現 を そ の 一 分 節 と し て 含 む,一

般の

表 現 の 概 念 に つ い て 簡 単 に ふ れ て お こ う.

  4.4.1 

定

  IK=IRま る.Gか

義 た はCと

らV上

(〓,V)を 群GのV上 (IK=C)の

群,V≠{0}をIK上

実 表 現(複

こ の 場 合,も

し,す

い う*18.〓

が 単 射 で あ る と き,

い う.

場 合 に は,（〓,H)をGの

べ て のg∈Gに

組

表 現 空 間 と い う*17.IK=IR

素 表 現)と

忠 実 で あ る(faithful)と

ヒ ル ベ ル ト空 間Hの

の ベ ク トル 空 間 と す

の 準 同 型 写 像〓 と ベ ク トル 空 間Vの

で の 表 現 と い い,VをGの

場 合(〓,V)を

表 現(〓,V)は   Vが

す る.Gを

の 一 般 線 形 群GL(V)へ

ヒル ベ ル ト空 間 表 現 と い う.

対 し て,〓(g)∈B(H)な

ら ば,表

現(〓,H)

を 有 界 表 現 と呼 ぶ.

注 意4.4 

dimV<∞

な ら ば,Vは,Vに

空 間 と み る こ と が で き,V上

入 る任 意 の 内積 に よ っ て ヒル ベ ル ト

の 線 形 作 用 素 は こ の 内 積 に 関 して 有 界 で あ る の で,

群 の 有 限次 元 表 現 は 有 界 な ヒ ル ベ ル ト空 間 表 現 と み な せ る. 例4.29 

Vを ベ ク トル 空 間 と し,GをGL(V)の

*17 す で に 定 義 し た ユ ニ タ リ表 現 は あ る. *18 括 弧 に は 括 弧 を対 応 さ せ て 読 む

,Vが

.

部 分 群 とす る.こ の と き,各T∈G

ヒ ル ベ ル ト空 間,〓(g)が

ユ ニ タ リ作 用素 の場 合 で

に対 して,〓(T):=Tと Gの

す れ ば,こ

れ は,V上

で のGの

表 現 を与 え る.こ

の表 現 を

恒 等 表 現 と い う.

例4.30 

空 で な い 集 合X上

のIK値

ベ ク トル 空 間 で あ る.GをX上

関 数 の 全 体 をF(X;IK)と

の 変 換 群 と す る.任

記 す.こ

意 のg∈Gに

れ はIK上

の

対 し て,T(g):

F(X;IK)→F(X;IK)を

に よ っ て 定 義 す れ ば,(T,F(X;IK))はGの

  群Gの

表 現(〓,V)は,Vが

表 現)で

あ る と い い,Vが

  (〓,V)をGの 間Mを

表 現 で あ る.

有 限次 元(n次

表 現 と し よ う.す

べ て のg∈Gに

不 変 に す る と き― こ の 場 合,Mは〓-不

う―,す

な わ ち,Ψ

元)な

ら ば 有 限 次 元 表 現(n次

元

無 限 次 元 な ら ば 無 限 次 元 表 現 で あ る と い う.

∈Mな

の 不 変 部 分 空 間 と い う.こ す れ ば,(〓M,M)は,群Gの

ら ば〓(g)Ψ

∈Mが

対 し て,〓(g)がVの

部分 空

変 ま た は〓(G)-不

変 で あ る とい

成 り立 つ と き,Mを

表 現(〓,V)

の 場 合,〓M(g):=〓(g)￨M(〓(g)のMへ

の 制 限)と

一 つ の 表 現 に な る.

  表 現 を 類 別 す る 上 で の 基 本 的 な 概 念 を 導 入 して お く.

定 義4.24 

(〓,H),(σ,K)を

群Gの

な 有 界 線 形 作 用 素T:H→Kが ら ば,二

ヒ ル ベ ル ト空 間 表 現 と す る.も

あ っ てT〓(g)=σ(g)T,∀g∈Gが

つ の 表 現(〓,H),(σ,K)は

用 素 の と き は,(〓,H),(σ,K)は

同 値 で あ る と い う.特

れ ぞ れ,Gの

に 一 つ の 同 値 関 係 を 定 義 す る こ とが わ か る.し

ど う し は,外

  4.4.2 

に,Tが

ユ ニ タ リ作

ヒ ル ベ ル ト空 間 表 現 の 集 合 ヒ ル ベ ル ト空 間

つ の 同 値 類 に属 す る表 現

質 的 に 同 じ も の と 解 釈 さ れ る.

表 現 の 可 約性 と既 約 性

  表 現 の 同 値 性 の 概 念 に 加 え て,群 す る.

成 り立 つ な

た が っ て,Gの

の 同 値 関 係 に よ っ て 類 別 さ れ る.一

見 は 異 な っ て も,本

単射

ユ ニ タ リ 同 値 で あ る と い う.

  こ こ で 定 義 し た 同 値 性 の 概 念 は,そ

表 現 の 集 合 は,こ

し,全

の 表 現 を解 析 す る上 で の 重 要 な概 念 が 存 在

  (〓,V)をGの

表 現 とす る.こ

分 空 間 で あ る.こ

の と き,明

ら か に,Vと{0}は,(〓,V)の

れ ら を 自 明 な 不 変 部 分 空 間 と呼 ぶ.Vが

が 非 自 明 な 不 変 部 分 空 間 を も た な い と き,こ と い う.既

約 で な い 表 現(〓,V)は

約 で あ る と い う.そ   表 現(〓,H)に

ある

あ る と い う.

自 明 な 不 変閉 部 分 空 間 を も た な い と き,既

う で な い 場 合 に は,(〓,H)は

お い て,そ

有 限次 元 で 表 現(〓,V)

の 表 現 は 既 約(irreducible)で

可 約(reducible)で

  ヒ ル ベ ル ト空 間 表 現(〓,H)は,非

不変部

可 約 で あ る と い う.

の 任 意 の 不 変 閉 部 分 空 間Mに

も不 変 部 分 空 間 で あ る と き,(〓,H)は

対 し て 直 交 補 空 間M⊥

完 全 可 約 で あ る と い う(既 約 表 現 は 完 全 可

約 表 現 の 特 別 な 場 合 で あ る). 例4.31 

任 意 の 群 の1次

例4.32 

(〓,H)を 群Gの

ル Ψ,Φ ∈H＼{0}に

元 表 現 は既 約 で あ る.こ

れ は 既 約 表 現 の 自 明 な例 で あ る.

ヒ ル ベ ル ト空 間 表 現 とす る.も

対 して,〓(g)Ψ=Φ

し,任 意 の 零 で な い ベ ク ト

を満 た すg∈Gが

あ る な ら ば,(〓,H)は

既

約 で あ る. 証 明   M≠{0}をHの〓-不

変 な 閉 部 分 空 間 と す る.こ

い.そ

任 意 に と る.仮

こ で,Ψ

∈H＼{0}を

て,Ψ=〓(g)Φ

と な るg∈Gが

て,H⊂M(0∈Mは

命 題4.25  満 た す,有  

あ る.右 辺 はMの

自 明).よ

Hが

示せ ば よ

元 で あ る か ら,Ψ

∈M.し

対 し たが っ

っ て,M=H. 

有 限次 元 で,(〓,H)が

対 し て,表

■

完 全 可 約 な ら ば,次の

限 個 の 不 変 部 分 空 間M1,…,MNが

(ⅰ) 各n=1,…,Nに

の と き,M=Hを

定 に よ り,任 意 の Φ ∈M＼{0}に

性 質(ⅰ),(ⅱ)を

存 在 す る:

現(〓Mn,Mn)は

既 約 で あ る. 

(ⅱ)

注 意4.5 

Hが

有 限次 元 な ら ば,L(H)(例4.5のL(V)でV=Hの

は す べ て 有 界 で あ る の で,(〓,H)は

証 明   仮 定 に よ り,非 て,〓(g)は て,は

自 明 な 部 分 空 間Mが

有 界 作 用 素 で あ る か ら,Mの

じ め か らMは

分 解 で き る.も

存 在 す る.す

既 約 で な け れ ば,同

空 間 の 直 和 に 分 解 で き る.(〓M⊥,M⊥)に

べ て のg∈Gに

閉 包 も不 変 部 分 空 間 で あ る.し

閉 と し て 一 般 性 を 失 わ な い.ゆ

し,(〓M,M)が

場 合)の

元

必 然 的 に 有 界 表 現 で あ る.

え にH=M  様 に し て,Mを

つ い て も 同 様 で あ る.い

M⊥

対 し たが っ と直 交

不変閉部分 ま,Hは

有 限

次 元 で あ るか ら,こ の 手 続 きは有 限 回で 終 了 し,つ い には,Hは,(〓Mn,Mn)が 既 約 で あ る よ う な閉 部 分 空 間Mnの   命 題4.25の

直和 に分 解 され る. 

結 論 が 成 り立 っ て い る と き,各〓Mnを〓

■

の既 約 成 分 とい い,〓 は

既 約 成 分(表 現)の 直 和 に 分 解 さ れ て い る とい う. 定 理4.26  (U,H)が

Hを

ヒ ル ベ ル ト空 間 とす る(無 限次 元 で も よ い).ユ

ニ タ リ表 現

可 約 な ら ば,そ れ は 完 全 可 約 で あ る.

証 明   Mを(U,H)の のg∈G,Ψ

任 意 の 非 自 明 な 不 変 部 分 空 間 と す る.こ

∈M⊥,Φ

∈Mに

対 し て,命

<Ψ,U(g-1)Φ>.仮

定 に よ り,U(g-1)Φ

た が っ て,U(g)Ψ

∈M⊥.ゆ

  命 題4.25と

題4.15に

∈Mで

定 理4.26に

よ っ て,有

べ て

よ っ て,=

あ る か ら,右

え に,U(g)はM⊥

の と き,す

辺 は0で

あ る.し

を 不 変 に す る. 

■

限 次 元 ユ ニ タ リ表 現 に お い て は,そ

の既

約 表 現 だ け を 問 題 に す れ ば よ い こ とが 結 論 さ れ る.

  4.4.3    IK上

既 約 性 の特 徴 づ け

の ベ ク トル 空 間V,

Wに

対 して,V全

線 形 作 用 素 の 全 体 をL(V,W)と

す る(例4.5で

体 を 定 義 域 と す る,Vか

らWへ

導 入 し たL(V)はL(V,V)に

の ほか

な ら な い).   次 の 補 題 は 群 の 表 現 の 既 約 性 を 論 じ る 上 で 基 本 と な る も の で あ る.

補 題4.27  を 群Gの

(シ ュ ー ア の 補 題)V,

WをIK上

二 つ の 既 約 表 現 と す る.線

の ベ ク トル 空 間 と し,(〓,V),(σ,W)

形 作 用 素A∈L(V,W)が

す べ て のg∈G

に対 して

(4.34) を 満 た す な ら ば,Aは

証 明   (4.34)を わ か る.し ker A=Vな

全 単 射 で あ る か,A=0の

用 い る と,Aの

核ker

Aは(〓,V)の

た が っ て,〓 の 既 約 性 に よ り,ker ら ば,A=0で

あ る.そ

ど ち ら か で あ る.

A={0}ま

こ で,A≠0の

不 変 部 分 空 間 で あ る こ とが た はker

A=V.も

場 合 を 考 え る.こ

し, の と き,

ker A={0}で (σ,W)の

あ る か ら,Aは

単 射 で あ る.Aの

不 変 部 分 空 間 で あ る.し

た はA(V)=W.い

ま,A≠0で

し た が っ て,Aは

た が っ て,σ

像A(V)は,(4

.34)に

よ っ て,

の 既 約 性 に よ り,A(V)={0}ま

あ る か ら,A(V)=Wで

な け れ ば な らな い .

全 射 で あ る. 

■

  シ ュ ー ア の 補 題 か ら種 々 の 事 実 を 導 く こ と が で き る.

定 理4.28 

Vを

こ の と き,す

べ て のg∈Gに

作 用 素 で あ る.す

有 限次 元 複 素 ベ ク トル 空 間,(〓,V)を

な わ ち,す

対 して〓(g)と

群Gの

既 約 表 現 と す る.

可 換 な 線 形 作 用 素A∈L(V)は

べ て のg∈Gに

定数

対 して

(4.35) が 成 り立 つ な ら ば,あ

証 明   Aの

る λ ∈Cが

成 り立 つ.

固 有 値 の 一 つ を λ と し,B=A-λIと

〓(g)B=B〓(g),∀g∈G.し Bは

あ っ て,A=λIが

全 単 射 で あ る.だ

た が っ て,シ が,Bは

す れ ば,(4.35)に

よ り,

ュ ー ア の 補 題 に よ り,B=0ま

全 単 射 で は な い の で,B=0,す

たは

な わ ち,A=λI

で な け れ ば な ら な い. 

■

  こ の 定 理 の 無 限次 元 版 は次 の 定 理 に よ っ て 与 え ら れ る. 定 理4.29 

Hを

複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間,(〓,H)を

こ の と き,す

べ て のg∈Gに

対 し て〓(g)と

群Gの

既 約 な 有 界 表 現 とす る.

可 換 な 有 界 線 形 作 用 素A∈B(H)

は 定 数 作 用 素 で あ る.

証 明   Aの

ス ペ ク トル σ(A)は

λ と し,B=A-λIと

お く.こ

定 理 の 証 明 と 同 様 に して,B=0,す

系4.30 

空 で な い の で([7]の の と き,Bは

定 理2.21-(ⅱ)),そ

全 射 で は な い.し

な わ ち,A=λIで

た が っ て ,前

な け れ ば な ら な い. ■

可 換 群 の 既 約 で 有 界 な 複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間 表 現 は す べ て1次

証 明   Gを

可 換 群 と し,(〓,H)を

g,h∈Gに

対 して,〓(g)〓(h)=〓(h)〓(g)で

題 意 に い う 表 現 と す る.こ あ る か ら,定

の一 つ を

元 で あ る.

の と き,任

理4.29に

意の

よ っ て,あ

る 定 数 λ(g)∈Cが 分 空 間 は〓(g)の

あ っ て〓(g)=λ(g)Iと 作 用 で 不 変 で あ る.こ

な る.し

た が っ て,Hの

す べ て の部

れ と既 約 性 を 合 わ せ れ ば,dimH=1で

な け れ ば な ら な い.  例4.33 

■

2次 元 回 転 群

(4.36) (R(θ)は(4.16)に

よ っ て 定 義 さ れ る)の 既 約 で 有 界 か つ 強 連 続 な複 素 ヒル ベ ル ト空

間表 現 は

に よ っ て 与 え ら れ る1次 証 明   SO(2)は

元 表 現(〓m,C)(m∈〓)に

可 換 群 で あ るか ら,定 理4.29に

ト空 間 表 現 は1次

元 で あ る.い

限 る. よ っ て,そ の 既 約 で有 界 な 複 素 ヒ ルベ ル

ま,こ れ を(〓,C)と

す る.こ

とす れ ば,準 同型 性 に よ り,f(θ+φ)=f(θ)f(φ),θ,φ 意 の 有 理 数q∈IRに

対 して,f(q)=f(1)qと

に 対 して,f(θ)=f(1)θ

あ っ て,f(1)=eimを

∈IRが 成 り立 つ.こ

意 味 す る.し

対 し て,f(θ+2π)=f(θ)

な け れ ば な ら な い.こ

れ は,あ る 整 数mが

た が っ て,f(θ)=eimθ. 

■

  次 の 定 理 は,群

の 表 現 の 既 約 性 の 判 定 に と っ て 有 用 で あ る.

定 理4.31 

ヒ ル ベ ル ト空 間,(〓,H)を

Hを

れ か ら,任

な る.連 続 性 に よ り,任 意 の実 数 θ∈IR

が 得 ら れ る.任 意 の θ ∈IRに

で あ る こ と に 注 意 す る と,f(1)2π=1で

の と き,f(θ)=〓(R(θ))

群Gの

完 全 可 約 な 有 界 表 現 とす る.

こ れ が 既 約 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,す べ て の〓(g)と

可 換 で あ るA∈L(H)

が 定 数 作 用 素 と な る こ と で あ る.

証 明   条 件 の 必 要 性 は す で に 示 し た の で,十 こ で,〓 M⊂Hが Mへ

が 既 約 で な い と す れ ば,そ あ っ て,す べ て のg∈Gに

の 正 射 影 作 用 素 をPと

しか し,P≠0, Iで

偶 を 証 明 し よ う.そ

の 完 全 可 約 性 に よ り,非 対 し て,〓(g)はMお

す れ ば,補

あ る の で,Pは

分 性 を 示 す.対

題3.10に

自明 な閉 部 分 空 間

よ びM⊥

を 不 変 に す る.

よ り,P〓(g)=〓(g)P,g∈G.

定 数 作 用 素 で な い.す

な わ ち,す べ て の〓(g)

と可 換 な 定 数 作 用 素 で な い 作 用 素 の 存 在 が 示 さ れ た こ と に な る. 

■

4.5  物 理 量 の 対 称性

  次 に 物 理 量 の 対 称 性 を 定 式 化 し よ う.ま は 自 己 共 役 作 用 素 で 表 さ れ る か ら,抽

ず,抽

象 的 な 構 造 を 述 べ る.物

象 的 に は,自

理量

己共 役 作 用 素 と群 の ユ ニ タ

リ表 現 の 関 係 を 調 べ れ ば よ い.

  4.5.1 

自 己 共 役 作 用 素 の群 対 称 性

  以 下,Gを

群,Hを

定 義4.32 

BをH上

UBU-1=Bが

ヒ ル ベ ル ト空 間 と す る.

の 線 形 作 用 素 と す る.H上

成 り立 つ と き,BはU-不

  次 の 命 題 は,具

の ユ ニ タ リ作 用 素Uが

あって

変 で あ る と い う.

体 的 な コ ン テ ク ス トに お い て 現 れ る 作 用 素AのU-不

変性 を

確 か め る の に 有 用 で あ る.

命 題4.33 

AをH上

 

自 己 共 役 で,UがAと

(ⅰ) Aが

ら ば,AはU-不

の 線 形 作 用 素,UをH上 強 可 換,す

な わ ちUA⊂AUが

成 り立 つ な

変 で あ る.

  (ⅱ) UA⊂AUか

つU-1A⊂AU-1な

証 明   (ⅰ)仮 定 に よ り,任

た が っ て,A⊂U-1AU…(*).右

U-1AUで

な け れ ば な ら な い.こ

  (ⅱ)(ⅰ)でUの

か わ りにU-1を

れ は,U-1AU⊂Aを

ら ばAはU-不

意 の Ψ ∈D(A)に

UAΨ.し

立 つ.こ

の ユ ニ タ リ 作 用 素 と す る.

変 で あ る.

対 して,UΨ

∈D(A)か

つAUΨ=

辺 も 自 己 共 役 で あ る か ら,A= れ はUAU-1=Aと 考 え る と(*)に

意 味 す る.こ

同 値 で あ る*19. 加 え て,A⊂UAU-1が

れ と(*)に

成 り

よ り,A=U-1AUを

得 る. 

■

  具 体 的 な 問 題 で 有 用 に な る 一 つ の 事 実 を証 明 し て お く.

*19 H上 の 線 形 作 用 素B WBW-1=WCW-1が

, CがB=Cを 満 たせ ば,任 意 の ユ ニ タ リ作 用 素Wに 成 り立 つ.

対 して,

補 題4.34 

Hを

ヒ ル ベ ル ト空 間,AをH上

の 閉 作 用 素 と し,DをAの

の 芯 と す る.ユ

ニ タ リ 作 用 素UがUAΨ=AUΨ,∀

UA⊂AU.し

た が っ て,特

に,Aが

証 明   任 意 の Ψ ∈D(A)に AΨ(n→∞)を n→∞ て,Aの

対 し て,ベ

定 義4.35 

∈D(A)か

後 の 主 張 は,い

群Gの

補 題4.36 

AをH上

す と す る.λ

つAUΨ=UAΨ.こ

をTの

Ψ,AΨn→ 辺 は,

ま の 結 果 と命 題4.33-(ⅰ)に

称 性 の(一

存 在 し て,す

つ の)表

たがっ れ はUA⊂AUを

変 で あ る と き,AはG-対

の 場 合,(U,H)をAのG-対

Ψn→

た,UΨn→UΨ(n→∞).し

ユ ニ タ リ表 現(U,H)が

上 の 線 形 作 用 素AがU(g)-不

変 で あ る.

定 に よ り,UAΨn=AUΨn.左

に 収 束 す る.ま

閉 性 に よ り,UΨ

意 味 す る.最

ク トル 列 Ψn∈Dで

一 つ

満 た す な ら ば,

自 己 共 役 な ら ば,AはU-不

満 た す も の が とれ る.仮

の と き,UAΨ

Ψ ∈Dを

よ る. 

■

べ て のgに

対 し て,H

称 性 を も つ と い う.こ

現 と呼 ぶ.

の 自 己 共 役 作 用 素 と し,T∈B(H)はTA⊂ATを 固 有 値 と す る.こ

の と き,Tの

満 た

固 有 空 間ker(T-λ)はA

を 簡 約 す る.

証 明   M=ker(T-λ)と り,任

意 のt∈IRに

Ψ ∈Hに

お き,M上

へ の 正 射 影 作 用 素 をPと

対 して,TeitA=eitATが

対 し て,TeitAPΨ=λeitAPΨ.し

PeitAPΨ=eitAPΨ.こ

あ ら た め てtと

意 味 す る.し

た が っ て,eitAPΨ

す れ ば,eitAP=PeitAが

た が っ て,MはAを

定 によ

た が っ て.任

れ は 作 用 素 の 等 式PeitAP=eitAPを

の 共 役 を と り,-tを はPA⊂APを

成 り 立 つ.し

す る.仮

意の

∈M.ゆ

え に

意 味 す る.こ 得 ら れ る.こ

簡 約 す る. 

れ ■

  こ の 補 題 の 簡 単 な 応 用 と し て次 の 命 題 が 得 ら れ る:

命 題4.37 

H上

の 自 己 共 役 作 用 素AはG-対

称 性 の 表 現 とす る.こ

の と き,Aは

  次 の 事 実 も有 用 で あ る:

各U(g)の

称 性 を も つ と し,(U,H)を

その 対

固 有 空 間 に よ っ て 簡 約 さ れ る.

命 題4.38 

H上

表 現 とす る.λ はGの

の 閉 作 用 素AはG-対

をAの

固 有 値,Hλ

称 性 を もつ と し,(U,H)を を そ の 固 有 空 間 とす る.こ

そ の対 称 性 の

の と き,(UHλ,Hλ)

ユ ニ タ リ表 現 で あ る.

証 明   AのG-対

称 性 に よ り,Hλ

は(U,H)の

不 変 部 分 空 間 に な る.し

た が っ て,

(UHλ,Hλ)はGの

ひ と つ の ユ ニ タ リ 表 現 を 与 え る. 

  命 題4.38は,量

子 力 学 へ の応 用 にお い て,た とえ ば,次 の よ う に使 う こ とが

で きる:も し,dim

■

Hλ が 有 限 な らば,(UHλ,Hλ)は,Gの

有 限次 元 ユ ニ タ リ表

現 で あ る か ら完 全 可 約 で あ り,有 限個 の既 約 表 現 の 直和 に分 解 さ れ る.し たが っ て,も

し,Gの

有 限 次 元 ユ ニ タ リ表 現 の 既 約 表 現 の種 類 が あ らか じめ 別 の 方 法

で わ か っ て い れ ば,dim

Hλ の 可 能 な値 が わ か る.つ

ま り,固 有 値 λ の縮 退 度

(多 重 度)の 可 能 な値 が 知 られ る の で あ る.

  4.5.2    IRか

動 力 学(時

間 発 展)の

対称性

ら複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間Hへ

と 記 す.こ

れ は,ベ

の 写 像(IR上

のH-値

関 数)の 全 体 をMap(IR;

ク トル 値 関 数 の 和 と ス カ ラ ー 倍 に よ っ て,複

H)

素 ベ ク トル 空

間 に な る*20.  各 写 像T:H→Hに

対 し て,Map(IR;

H)上

の 写 像Tが

(4.37) に よ っ て定 義 され る.こ れ をTの

持ち 上 げ とい う.

 IR上 の 強 連 続 なH-値 関 数 の 全 体 をC(IR; H)で 表 す:

Fは 強連続}.  こ れ は,幾

何 学 的 に は,H内

*20 任 意 のF ,G∈Map(IR;H)と H,(αF)(t):=αF(t)∈H,t∈IR.零

(4.38)

の 曲 線 の 全 体 と 解 釈 さ れ る*21.

α ∈Cに

対 し て,(F+Ｇ)(t):=F(t)+G(t)∈ ベ ク トル は,す べ て のt∈IRに

対 して

O(t)=0H(Hの 零 ベ ク トル)を 満 た す 写 像 で あ り,Fの 逆 ベ ク トル は,(-1)Fで あ る. *21 通 常 ,有 限 次 元 空 間 の 幾 何 学 に お い て は,"曲 線"と い え ば,連 続 性 は 仮 定 さ れ て い る.

  さ て,Hを

ハ ミル トニ ア ン を表 す,ヒ ル ベ ル ト空 間H上

し よ う.初 期 状 態 Ψ ∈Hに

対 して,H-値

の 自己 共役 作 用 素 と

関数 ΨH:IR→Hが

(4.39) に よ っ て 定 義 さ れ る.{e-itH}t∈IRは か ら,ΨH∈C(IR;H)で

あ る.前

強 連 続1パ

ラ メ ー タ ー ユ ニ タ リ群 で あ る

著[8]の3章,3.5節

で み た よ う に,写

は 初 期 状 態 が Ψ で あ る 量 子 系 の 時 間 発 展 を 記 述 し,Ψ

∈D(H)な

像 ΨH

ら ば,ΨHは

抽 象 的 シ ュ レ ー デ ィ ンガ ー 方 程 式

(4.40) の 一 つ の 解 で あ る.ハ

ミル トニ ア ンHに

よ る時 間発 展 の 全 体 の集 合

(4.41) を― 古 典 力 学 にお け る術 語 を流 用 して― 量 子 力学 的状 態 の 流 れ ま た は相 流 と呼 び,そ の 要 素 ΨHを 量 子 的 力 学 的 流 線(あ る い は 単 に流 線)ま た は 状 態 曲 線 と い う.容 易 にわ か る よ うに,SHはC(IR;H)の  SHの

部 分 空 間で あ る.

部分集 合

(4.42) は シュ レー デ ィ ンガ ー方 程 式(4.40)の

解 の 全 体 の集 合 で あ る.こ れ も部 分 空 間

で あ る.  次 の 事 実 は興 味 深 い. 命 題4.39 

(ⅰ) 異 な る 初 期 状 態 を もつ 流 線 は,交

Ψ ≠ Φ(Ψ,Φ

∈H)な

ら ば ΨH(t)≠

  (ⅱ) 状 態 の ヒ ル ベ ル ト空 間Hは

  (ⅲ) S(1)Hの 流 線 はSHに 線F∈SHに Fn∈S(1)Hが

な わ ち,

ΦH(t),∀t∈IR. 流 線 で 埋 め 尽 く さ れ る.す

お い て 稠 密 に 分 布 して い る.す

対 し て,∀t∈IRを 存 在 す る.

わ る こ と は な い.す

な わ ち,

な わ ち,任 意 の 流 満 たす流線

証 明   (ⅰ)対 偶 を 証 明 す る.あ ば, 

るt0∈IRが

で あ る.両

あ っ て,ΨH(t0)=ΦH(t0)と

辺 に 左 か らeit0Hを

すれ

作 用 さ せ れ ば,Ψ=Φ

を 得 る.   (ⅱ)  任 意 の Ψ ∈Hに

対 し て, 

.逆   (ⅲ) あ る Ψ ∈Hが

.し

の 包 含 関 係 は 自 明.

あ っ て,F=ΨHと

書 け る.D(H)は

 を 満 た す ベ ク トル 列 Ψn∈D(H)が Fn:=(Ψn)Hと

た が っ て, 

お け ば,Fn∈S(1)Hで

稠 密 で あ る か ら, 存 在 す る.そ

こ で,

あ り,  ■

 量 子 系 の 時 間発 展 に 関す る群 対 称 性 の 基 本的 な 構 造 は次 の 定 理 に よ っ て与 え られ る. 定 理4.40 

HがG-対

称 で あ り,(U,H)を

の 持 ち 上 げ をU(g)と

書 く(U(g):=U(g)).こ

はSHお

不 変 に す る.

よ びS(1)Hを

証 明  ΨH∈SHを

任 意 に と る.こ

定 に よ り, 

そ の 対 称 性 の 表 現 と し,U(g)(g∈G) の と き,各g∈Gに

の と き,(U(g)ΨH)(t)=U(g)e-itHΨ.仮

で あ る か ら,作

り, 

.し .ゆ

∈D(H)で

  定 理4.40は,物

理的 に は,次

∈D(H)な

あ る の で,U(g)ΨH∈S(1)Hで

の こ と を 語 る:G-対

に よ っ て 記 述 さ れ る 量 子 系 に お い て は,F:IR→Hが す な ら ば,任 のU(g)-不

意 のg∈Gに 変 性).こ

対 して,U(g)Fも

ら ば,HのU(g)-対

称

あ る. 

■

称 性 を も つ ハ ミル トニ ア ン 系 の 状 態 の 時 間 発 展 を表

状 態 の 可 能 な 時 間 発 展 を表 す(SH

れ を 方 程 式 論 的 な レ ヴ ェ ル で い え ば,F:IR→Hが

レ ー デ ィ ン ガ ー 方 程 式(4.40)の 不 変 性).

用 素 解 析 の ユ ニ タ リ共 変 性 に よ

た が っ て, 

え に,U(g)ΨH∈SH.Ψ

性 に よ り,U(g)Ψ

対 し てU(g)

解 な ら ば,U(g)Fも

そ う で あ る(S(1)HのU(g)-

シュ

4.6 

シ ュ レー デ ィ ン ガー 型 作 用 素 の 対 称 性

  こ れ ま で に展 開 した一 般 論― そ れ は,有 限 自 由度 の量 子 力 学 だ け で な く,量 子 場 の理 論 に も適 用 さ れ う る― を シ ュ レー デ ィ ン ガ ー型 作 用 素 に応 用 しよ う.

  4.6.1  回 転 対 称 性   d∈INと 元gに

して,ヒ

ル ベ ル ト空 間L2(IRd)を

考 え る.d次

対 して, 

元 回 転 群SO(d)の

各

を

(4.43) に よ っ て 定 義 す れ ば,(Urot,L2(IRd))はSO(d)の

強 連 続 ユ ニ タ リ表 現 で あ る(例

4.26).

定 義4.41  Urot(g)-不

L2(IRd)上

の 線 形 作 用 素Tは,す

変 で あ る と き 

つ と き),d次

対 し て,

,∀g∈SO(d)が

成 り立

元 の 回 転 対 称 性 を も つ あ る い は 単 に 回 転 対 称 で あ る と い う.

  ま ず,次

の 事 実 を 証 明 す る.

定 理4.42 

d次 元 の 一 般 化 さ れ た ラ プ ラ シ ア ンΔ

わ ち, 

は,回

転 対 称 で あ る.す

な

,∀g∈SO(d).

証 明   Δ は 自 己 共 役 で あ り,C∞0(IRd)は に よ っ て,  示 せ ば よ い.Djを の(j,k)成

べ て のg∈SO(d)に

分(要

そ の 芯 の 一 つ で あ る か ら,補 , 

変 数xjに 素)をgikで

題4.34

,∀g∈SO(d)…(*)を

関 す る 一 般 化 さ れ た 偏 微 分 作 用 素 と し,行 表 す.g-1=tg(gの

転 置 行 列)に

列g

注 意 す る と,

  .し た が っ て,  .そ  を 用 い る と(*)を

得 る. 

こ で,jに

つ い て 和 を と り, ■

次 に,V:IRd→IRを

ポ テ ン シ ャ ル と し,シ

ュ レー デ ィ ン ガ ー型 作 用 素

(4.44) を 考 え る.   IRd上

の ル ベ ー グ 測 度 に 関 し て ほ と ん ど い た る と こ ろ(a.e.)定

Fは,す

べ て のg∈SO(d)に

た す と き,回 例4.34 

義 され た 関数

対 し て(Urot(g)F)(x)=F(x),a,e.x∈IRdを

満

転 対 称 あ る い は 回 転 不 変 で あ る と い う.

[0,∞)上

の 任 意 の 関 数fに

定 義 さ れ る 関 数Fは

対 して,F(x):=f(￨x￨),a.e.x∈IRdに

よって

回 転 対 称 で あ る.

  ク ー ロ ンポ テ ン シ ャ ル や 湯 川 型 ポ テ ン シ ャル は 回 転 対 称 で あ る. 定 理4.43 

Vが

回 転 対 称 で あ り,HVはD(Δ)∩D(V)上

で あ る と し よ う(そ の 閉 包 をHVと 証 明   前 定 理 とVの で あ り,す

記 す).こ

べ て のg∈SO(d),ψ

よ り,求

の と き,HVは

回 転 対 称 で あ る.

回 転 対 称 性 に よ り,  ∈D(Δ)∩D(V)に

が 成 り立 つ.D(Δ)∩D(V)上 4.34に

で 本 質的 に 自 己 共 役

で のHVの

対 し て,  本 質的 自 己 共 役 性 と 補 題

め る 結 果 を 得 る. 

■

  4.6.2  空 間 反 転 対 称 性   Gspを

例4.27で

定 義 した空 間 反 転 群 とす る.Gsp-対

称 な 自己 共 役 作 用 素 は

空 間 反 転 対 称 あ る は 空 間 反 転 不 変 で あ る とい う.I,U(I)を で 定 義 した 空 間 反 転,ユ F(x),a.e.x∈IRdを

ニ タ リ作 用 素 とす る.IRd上

満 たす な らば,Fは

あ る とい う.次 の 定 理 は,定 理4.43と 定 理4.44 

の 関 数Fが(IF)(x)=

空 間 反 転 対 称 あ る い は空 間反 転 不 変 で 同様 に して,容 易 に証 明 され う る.

Vが 空 間反 転 対 称 で あ り,HVはD(Δ)∩D(V)上

共 役 で あ る と し よ う.こ の と き,HVは

  4.6.3置

そ れ ぞ れ,例4.27

で本 質的 に 自己

空 間 反転 対 称 で あ る.

換 対 称 性

  SN-対 称 な 自己 共役作 用 素 は置 換対 称 あ るい は置換 不変 で あ る とい う.{U(σ)￨σ ∈SN}を

例4.28で

導 入 し たユ ニ タ リ表 現 とす る.IRdN上

の 実 数 値 関 数V:

IRdN→IRを

ポ テ ン シ ャ ル に もつ シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 型 作 用 素

を 考 え よ う.こ

こ で,m>0は

プ ラ シ ア ン を 表 す.次 定 理4.45 

Vが

定 数 で あ り,Δxnは

変 数xn∈IRdに

関す る ラ

の 定 理 も 容 易 に 証 明 さ れ る.

置 換 対 称 で あ り,HNは 

自 己 共 役 で あ る と し よ う.こ

の と き,HNは

上 で 本 質的 に 置 換 対 称 で あ る.

4.7  対 称 性 と保 存 則

  4.7.1    Hを

一

般

的

構

造

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

し,(U,H)を

そ のG-対

ン を 表 す と し よ う.作

の 自 己 共 役 作 用 素 で群Gに

称 性 の 表 現 と す る.い

進 群 や 回 転 群 の 場 合 の よ う に,連

と え ば,H上

トー ン の 定 理 に よ り,一

対 し て,

保 存 量 で あ る*22.と

続 パ ラ メ ー ター で 定 義 され

成 子 と 呼 ば れ る,い

さ れ る こ と が 知 ら れ て い る(た

は,そ

量 子 系 の ハ ミ ル トニ ア

成 り立 つ の で,U(g)は

る 位 相 群 の 場 合 に は,U(g)は,生

群 は,ス

ま,Hは

称 な もの と

用 素 解 析 の ユ ニ タ リ 共 変性 に よ り,各g∈Gに   ,∀t∈IRが

こ ろ で,Gが,並

関 し てG-対

くつ か の 作 用 素 か ら 構 成

の 強 連 続1パ

ラ メ ー ター ユ ニ タ リ

つ の 自 己 共 役 作 用 素 に よ っ て 生 成 さ れ る).で

の よ う な 作 用 素 も保 存 量 に な る で あ ろ う か.

  簡 単 の た め,こ

こ で は,Gの

元gが

い くつ か の 実 パ ラ メ ー タ ーt1,…,tnの

よ っ て 定 義 さ れ,自 己 共 役 作 用 素Aj,j=1,2,…,nが に 対 して,tj=0の

組 に

存 在 し て,各j=1,…,n

近傍 で

(4.45) と 表 さ れ る 場 合 を 考 え よ う*23. *22 以 後

,保 存 量 の概 念 を 自己共 役作 用 素 以 外 に も拡 大 して 使 う.す なわ ち,任 意 のt∈IR に対 して,eitHAe-itH=Aを 満 たす作 用 素 はハ ミル トニ ア ンHに 関 して保 存 量 で あ る と定 義 す る. *23 詳 細 は割 愛 す るが ,線 形 リー 群 の よ う な場 合,こ の形 に帰 着 で きる.

定 理4.46 

H,G,Uを

上 述 の よ う な も の と す る.こ

の と き,各Ajは

保存量で

あ る.

証 明   (4.45)を

満 た す よ う なtjを

べ て のs∈IRに

対 して, 

任 意 の ベ ク トル と し,tj=0で か つ 

と る.こ

の と き,HのU(g)-不

.こ の 式 で,Ψ

れ は 

辺 も 右 辺 も 自 己 共 役 で あ る か ら, 

て,Ajは

保 存 量 で あ る. 

例4.35 

(T,L2(IRν)を

この と き,L2(IRν)上

例4.25に

お い て 定 義 さ れ た,強

連 続 ユ ニ タ リ表 現 と す る. に よ っ て 定 義 す る.た

己 共 役 作 用 素-iDjと-iDkは

変 で あ る こ と も容 易 に わ か る.し

の 生 成 子 た ち,す な わ ち,運 動 量p1,…,pν この 事 実 は,Hとpjの

たが っ ■

は 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る([8]の 補 題4.15-(ⅱ)の に 対 して,T(a)-不

.し

の線 形 作 用 素Hを 

し,λjは 実 定 数 で あ る*24.自

をD(Aj)の

の 強 微 分 を 考 察 す る こ と に よ り,  で あ る こ と が 導 か れ る.こ

を 意 味 す る.左

変 性 に よ り,す

はHに

強 可 換 性 に 注 目 す れ ば,た

応 用)*25.さ

だ

強 可 換 で あ る か ら,H ら に,Hが,a∈IRν

た が っ て,定 理4.46に

よ り,T(a)

関 す る 保 存 量 で あ る.も だ ち に わ か る.こ

ち ろ ん,

こで は,こ

の事

実 を 対 称 性 の 観 点 か らみ た わ け で あ る.

4.8  回転 対称 性 と軌 道 角運 動 量 作用 素 の保 存

  前 節 の 定 理 を軌 道 角 運動 量 作 用 素 に応 用 し よ う.d〓2を 元 の 軌 道 角運 動 量 は,CCRの

自然 数 とす る.d次

シ ュ レー デ ィ ン ガ ー表 現 に お い て

(4.46) (4.47) を満 た す 作 用 素 の 組(Mjk)j

,k=1,…,dに よ っ て 定 義 され る.Mjkを

量(の 成 分)作 用 素 あ る い は単 に成 分 とい う.た だ し,xjは か け 算 作 用素(位 置 作 用 素),pj:=-iDjは *24  た と え ば

軌道 角運動

座 標 変 数xjに

運動 量 作 用 素 で あ る.

,H=D21-D22-…-D2ν(ν 次 元 の ダ ラ ン ベ ー ル シ ャ ン). *25  フ ー リ エ 解 析 を 用 い て 直 接 的 に も 証 明 で き る .

よる

  4.3.5項

に お け る 一 般 論 を い ま の 場 合 に 応 用 す れ ば,

(4.48) を 満 た す,L2(IRd)上 C∞0(IRd)を

の 自 己 共 役 作 用 素Ljkが

不 変 に す る の で,C∞0(IRd)はLjkの

に 対 し て 

た だ 一 つ 存 在 す る.Vjk(θ)は 芯 で あ り,任 意 の ψ ∈C∞0(IRd) .が

に,す べ て の φ ∈C∞0(IRd)に

成 り立 つ.し

た が っ て,特

対 して .た

だ し

平 均 値 の 定 理 に よ り, 

であ

り, 

.よ っ て,ル

ベ ー

グ の 優 収 束 定 理 に よ り.  を 得 る.し

た が っ て, 

意 味 す る.こ

定 理4.47 

.こ

う し て,次

れ は, 

を

の 事 実 が 証 明 さ れ た こ と に な る.

各j,k=1,…d,j≠kに

対 し て,MjkはC∞0(IRd)上

で本質的 に

自己 共 役 で あ り

(4.49) が 成 り立 つ.

  式(4.49)は,軌

道 角 運 動 量 作 用 素Mjkが,xj-xk平

転 群 の 生 成 子 の(-1)倍   定 理4.47と 系4.48 

で あ る こ とを示 して い る.

定 理4.46か

HをL2(IRd)上

j,k=1,…d,j≠kに

面 の 回 転 に対 応 す る 回

ら次 の 結 果 が 得 られ る: の 回 転 対 称 な ハ ミ ル トニ ア ン とす る.こ

対 し て,軌

道 角 運 動 量 作 用 素MjkはHに

の と き,各 関 して 保 存

量 で あ る. 例4.36  る と す る.

H=-Δ,HV.た

だ し,Vは

回 転 対 称 で,HVは

本 質的 に 自 己 共 役 で あ

4.9  軌 道 角 運 動 量 の 固有 空 間 に よ る直和 分 解(I)―2次

  例4.3.6と

命 題4.37に

よ り,回

転 対 称 な シ ュ レ ー デ ィ ン ガー 型 作 用 素 は軌 道

角 運 動 量 の 固 有 空 間 へ 簡 約 さ れ る.こ の 節 で は2次

  4.9.1 

元 空 間の 場 合

の 構 造 を 具 体 的 に 見 て み た い.ま

ず,こ

元 空 間 の 場 合 を 考 え る.

L2(IR2)の

  2次 元 空 間IR2の

直和分解 点 を(x,y)(x,y∈IR)と

運 動 量 は,L2(IR2)で

表 す.2次

元 空 間 に お け る軌 道 角

働 く作 用 素

(4.50) で 与 え ら れ る.た

だ し,Dx,

作 用 素 で あ る(x, yに

θ ∈IRに

そ れ ぞ れ,x, yに

関 す る一 般 化 され た偏 微 分

よ る か け 算 作 用 素 を ふ た た びx, yと

た よ う に,MはC∞0(IR2)上 で 表 す.各

Dyは

記 す).す

で 本 質的 に 自 己 共 役 で あ る.そ

で に証 明 し

の 閉 包 も 同 じ記 号

対 して

(4.51) とお け ば,2次

元回転群 は

(4.52) と表 され

(4.53) が 成 り立 つ.   定 理4.23に

よ っ て,σ(M)=σp(M)⊂〓

の ス ペ ク ト ル を 完 全 に 決 定 した い.そ

は す で に わ か っ て い る.こ の た め に 極 座 標(r,θ)(r>0,θ

こ で は,M ∈[0,2π))

を 用 い る:

(4.54)

極 座 標 へ の 移 行 に は,あ

る ユ ニ タ リ変 換 が 伴 う こ と を 示 そ う.

  正 の 実 数 空 間IR+:=(0,∞)と

区 間[0,2π)の

直積 空間

(4.55) に は 直 積 測 度dμ:=rdr  れ る*26.以

後,便

dθ が は い る の で,ヒ ル ベ ル ト空 間L2(E,dμ)が

宜 上,L2(E,dμ)の

に よ っ て,IR+×IRに

考 えら

関 数 ψ の 定 義 域 を,ψ(r,θ)=ψ(r,θ+2π)

拡 張 し て お く.写

像P:L2(IR2)→L2(E,dμ)を

(4.56) に よ っ て 定 義 す れ ば,Pが   L2([0,2π])上

ユ ニ タ リ で あ る こ と は 容 易 に わ か る.

の 作 用 素pθ を 次 の よ う に 定 義 す る:

(4.57) (4.58) た だ し,AC2[0,2π]は[0,2π]上

の 絶 対 連 続 関 数fでf'∈L2([0,2π])を

も の の 全 体 で あ る*27.[7]の2.3.8項

で 証 明 し た よ う に,pθ

満たす

は自 己 共 役 で あ り

(4.59) が 成 り立 つ.こ の 場 合,各 固 有 値l∈〓

の 多重 度 は1で

あ り,こ れ に 属 す る 規

格 化 さ れ た 固 有 ベ ク トル は

(4.60) で 与 え ら れ る.   以 下,自

然 な 同 一 視(同

用 い る*28.こ 作 用 素Bに

型) 

の 場 合,L2(IR+,rdr)上 対 し て,A 

*26 任 意 の ボ レ ル 集 合B⊂IR

I, I  Bを +,C⊂[0,2π)に

はCの ル ベ ー グ 測 度 を 表 す. *27 [7]のp.147を 参照 . *28 [8]の4 .1.3項 を 参 照.

を 自由 に の 閉 作 用 素Aお そ れ ぞ れ,A,Bと

よ びL2([0,2π])上 表 す.

対 し て,μ(B×C)=(∫Brdr)￨C￨.￨C￨

の閉

  任 意 のψ∈C∞0(IR2)に

対 し て,Pψ

∈D(pθ)で

あ りpθPψ=PMψ

が成 り

立 つ こ と は合 成 関 数 の 微 分 法 に よ り,容 易 に わか る.C∞0(IR2)はMの

芯 であ

り,pθ は 自己 共 役 で あ る か ら,作 用 素 の 等 式

(4.61) が 結 論 さ れ る.し

た が っ て,ス

ペ ク トル の ユ ニ タ リ不 変 性 に よ り,次

の定理 を

得 る.

定 理4.49

(4.62) 各l∈〓

に対 して

(4.63) 証 明   (4.63)だ

け 証 明 す れ ば よ い.ψ

し た が っ て,a.e.rに 立 つ.Pψ

対 し て 定 数f(r)が

∈L2(E,dμ)で

ψ=P-1f 

∈ker(M-l)と

す れ ば,pθPψ=lPψ.

あ っ て,(Pψ)(r,・)=f(r)φlが

あ る か ら,f∈L2(IR+,rdr)で

あ る.し

成 り た が っ て,

φl.

  逆 に ψ=P-1f  か ら,(4.61)に

φl(f∈L2(IR+,rdr))と よ り,ψ

∈D(M)で

す れ ば,Pψ

あ り,Mψ=lψ

∈D(pθ)で

が 成 り立 つ.す

ある

な わ ち,

ψ ∈ker(M-l). 

  [7]の 例1.20で を な す.し ψ(r,θ)は

■

み た よ う に,{φl}l∈〓 はL2([0,2π])の

た が っ て,任

意 の ψ ∈L2(E,

θの 関 数 と し てL2([0,2π])に

完 全 正 規 直 交 系(CONS)

dμ)に 対 して,a.e.rを

固 定 す る ご とに

属す るので

(4.64) と 表 さ れ る(L2([0,2π])に

お け る 強 収 束).た

だ し

(4.65)

  ベ ッセ ル の不 等 式 の応 用 に よ り,任 意 の 自然 数Lに   が 成 り立 つ こ とが わ か る.こ (4.64)はL2(E,dμ)の

対 して,

れ と ル ベ ー グ の 優 収 束 定 理 に よ り,

強 収 束 の 意 味 で も 収 束 す る こ と が わ か る.ゆ

えに

(4.66) とす れ ば

(4.67) が 成 り立 つ(Hlが

で あ る.し

閉 部 分 空 間 で あ る こ と は 容 易 に わ か る).(4.63)に

よ り

た が って

(4.68) と無 限 直 和 分 解 で き た こ とに な る.

  4.9.2 

ラ プ ラ シ ア ンの 直 和 分 解

 一 般 化 さ れ た2次

元 ラプラシア ン

(4.69) は,定

理4.42に

和 分 解(4.68)に

よ り,SO(2)-対 応 じ て,直

称 で あ る か ら,命

題4.37に

和 分 解 さ れ る.(4.61)か

ユ ニ タ リ表 現 の 生 成 子Mは,L2(E,dμ)上

よ り,L2(IR2)の

ら わ か る よ う に,SO(2)の

の ほ う が 簡 潔 な 形 を も つ.ラ

ア ン に つ い て も 同 様 の こ と が 期 待 さ れ る.L2(E,dμ)上

直

プラシ

で の ラプラシアン

(4.70) は,定

義 域 をPD(Δ)と

し て,L2(E,dμ)で

自 己 共 役 で あ る.命

題4.37を

い ま

の 場 合 に応 用 す れ ば

(4.71)

と直 和 分 解 され る.た だ し,Δ(l)r,θ はΔr ,θのHlに

お け る 部 分 で あ る.こ の作 用

素 の具 体 的 な表 示 を適 当 な部 分 空 間上 で 求 め て み よ う.   次 の記 法 を導 入 す る:

ψ∈C∞0(IR2)と しよ う.容 易 に確 か め られ る関 係 式

を用 い る と

が 導 か れ る.こ れ か ら

と な る こ と が わ か る.し

たがって

(4.72)   IR+上

の 関 数fが

次 の 条 件(ⅰ)∼(ⅲ)を

満 た す と き,fは

空 間D0に

属 す ると

い う:   (ⅰ) f∈L2(IR+,rdr).   (ⅱ) (0,∞)上

で2回

連 続 微 分 可 能 でlimr→0f(r)が

存 在 し,limr→0rf'(r)=

0.

  (ⅲ)  す べ て のl∈〓 f∈D0と

に 対 して, 

し

(4.73)

と す る.こ

の と き,任

意 のψ∈C∞0(IR2)に

を 得 る.PC∞0(IR2)はΔr,θ

対 して,部

分積分 に よ り

の 芯 で あ る か ら,ψ(l)f∈D(Δr,θ)か

つ

(4.74) が 成 り立 つ.し

た が って

(4.75) とお け ば

(4.76) 上

 (4.77)

と な る こ と が わ か っ た.

  4.9.3 

シ ュ レーデ ィ ン ガ ー型 作 用 素 の 直和 分 解

  V:IR2→IRを

回 転 対 称 な ポ テ ン シ ャ ル と し よ う.こ

け の 関 数 で あ る の で,V=V(r)と

書 く こ と に す る.シ

用 素HV:=-Δ+VはD(Δ)∩D(V)上 そ の 閉 包 も 同 じ記 号HVで

れ は 

だ

ュ レー デ ィ ンガ ー 型 作

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る と仮 定 し, 表 す.こ

の と き,定

称 で あ る の で,HVは

直 和 分 解(4.68)に

換PHVP-1のHlに

お け る 簡 約 部 分 をH(l)Vと

理4.43に

よ っ て,HVは

応 じ て 分 解 さ れ る.HVの

回転 対 ユ ニ タ リ変

し

(4.78) と お く.こ

の と き,上

の議 論 か ら

(4.79) 上

 (4.80)

が 成 り立 つ こ と が わ か る.こ

う し て,ハ

れ は 自 然 な 仕 方 でL2(IR+,rdr)上 (radial

part)と

ミ ル トニ ア ンHVの

解 析 はHlV―

の 作 用 素 と み る こ と が で き,HVの

動径 部 分

呼 ば れ る― の 解 析 の 問 題 に 帰 着 さ れ る.

4.10  軌 道 角運 動量 の固 有空 間 に よる直和 分解(Ⅱ)―3次

  4.10.1 

こ

元 空 間 の場合

3次 元 空 間 にお け る軌 道 角 運 動 量 の成 分 の 変 換性

  3次 元 空 間 に お い て は,独 立 な 軌 道 角 運 動 量 の成 分 は3個 で あ り,そ れ らは, 符 号 の 不 定 性 を除 い て,次 の 作 用 素 に よ って 与 え られ る(4.8節

を参 照):

(4.81) こ れ らの 作 用 素 の組

(4.82) を― こ れ 自 体 は 作 用 素 で は な い が― 便 宜 上,3次 い う こ と に す る.こ と考 え ら れ る.有

れ は,そ

元 の(量

子)軌

道角運動量 と

の 成 分 が 線 形 作 用 素 で あ る よ うな ベ ク トル の一 種

限 次 元 空 間 の ベ ク トル の 成 分 の 変 換 に 対 応 す る あ る 概 念 を導

入 す る:

定 義4.50 

d∈INと

(A1,…,Ad)が

す る.L2(IRd)上

の 線 形 作 用 素A1,…,Adの

回 転 に 関 して ユ ニ タ リ装 備 的 で あ る(unitary

は,す べ て のg∈SO(d)とψ∈∩dj=1D(Aj)に

組A=

implementable)と

対 し て,Urot(g)-1Ψ∈∩dj=1D(Aj)

であ って

(4.83) が 成 り立 つ と き を い う.

注 意4.6  IRdの

v:IRd→IRd;IRd∋x〓v(x)∈IRdをIRd上

の ベ ク トル 場 と し,

標 準 基 底ej=(0,…,0,1,0,…,0)(j=1,…,d)に

関 す る成 分 表 示

を(υj(x))dj=1と

す る: 

とす れ ば,(ej)dj=1はIRdの

こ の と き,  基 底 で あ り,こ

の 基 底 に 関 す るv(x)の

第j成

分 を

υj(x)と す れ ば  成 り立 つ.こ

が

の 構 造 と の ア ナ ロ ジ ー か らい え ば,(4.83)の

標 系 の 回 転 に 伴 う,"作 こ れ が,回 (4.83)の

用 素 成 分"A1,…,Adの

右 辺 は,IRdの

直 交座

変 換 を 表 す も の と解 釈 さ れ る.

転 群 の ユ ニ タ リ表 現 に よ るユ ニ タ リ変 換 で 与 え られ る とい う の が式 意 味 で あ る.

  回 転 に 関 し て ユ ニ タ リ装 備 的 な 作 用 素 の 組 の 基 本 的 な 例 に つ い て は 演 習 問 題 4を み よ.   軌 道 角 運 動 量Lは

定 理4.51 

回 転 に 関 して ユ ニ タ リ装 備 的 で あ る こ と を 証 明 し よ う:

す べ て のg∈SO(3)に

対 し て,作

用素 の等式

(4.84) が 成 り立 つ.こ

こ で,右

辺 は,作

証 明   ま ず,(4.84)がC∞0(IR3)上 Urotと

用 素 

で 成 立 す る こ と を 示 す.証

記 す.ψ∈C∞0(IR3),θ∈IR＼{0}と

も の と し,U1(θ):=U(R23(θ))と

の 閉 包 を 表 す.

す る.Rjk(θ)を4.8節

お く.こ

の と き,U1(θ)=e-iθL1で

した が っ て

ただ し

と こ ろ で,R23(-θ)=I+K(θ)と

明 を 通 して,U=

書 け る.た

だ し

で 定 義 した あ り

し た が っ て,Kg(θ):=gK(θ)g-1と と な る.こ

お け ば,gR23(-θ)g-1x=x+Kg(θ)(x)

こ で

に注意す れば

と な る.し

た が っ て,L2(IR3)収

と な る こ と が わ か る.ゆ

束の意味で

えに

が 得 ら れ る.と

こ ろ でgj=(g1j,g2j,g3j)と

g2×g3の

分 は 

第j成

し,εjkl(j,k,l=1,2,3)は

す れ ば,g2とg3の

ベ ク トル 積 と書 け る.た

だ

次 の よ う に 定 義 さ れ る 数 で あ る(反 対 称 シ ン ボ ル ま

た は レ ビ ・チ ビ タ シ ン ボ ル と 呼 ば れ る):

(j,k,l)が(1,2,3)の

偶 置換 の とき

(j,k,l)が(1,2,3)の

奇 置 換 の と き

(4.85)

その 他 の場 合 した が っ て

(4.86)

と な る.gが る.つ

直 交 行 列 で あ る こ と は〈gj,gk〉=δjk 

ま り,{gj}3j=1はIR3の

正 規 直 交 基 底 を な す.こ

し て,〈gk,g2×g3〉=0と

な る こ と,お

い る と,g2×g3=g1と tg=g-1を

,(4.84)でj=1と

同値 で あ

の 事 実 とk=2,3に

よ び〈g1,g2×g3〉=det

な る こ と が わ か る.こ

使 えば

(j,k=1,2,3)と

対

g=1を

用

れ を(4.86)の

右 辺 に 代 入 し,

し た 場 合 をC∞0(IR3)上

に制 限 した 関 係

式 が 得 ら れ る.  

C∞0(IR3)はL1の 芯 で あ る か ら,任 意 の ψ ∈D(L1)に

L1ψ(n→

∞)と

な るψn∈C∞0(IR3)が

対 して,ψn→

とれ る.φn:=U(g)ψnと

ψ,L1ψn→ す れ ば,φn∈

C∞0(IR3)で あ り上 に 示 し た 事 実 に よ り,  は,n→

∞ の と き,U(g)L1ψ

左辺

に収 束 す る.他

っ て, 

方,φn→U(g)ψ(n→

∞).し

たが

を 意 味 す る.右

辺 は

か つ 

が 結 論 さ れ る.こ

れ は 

対 称 作 用 素 で あ り,左 す る.j=2,3の

  4.10.2 

辺 は 自 己 共 役 で あ る か ら,(4.84)でj=1の

場 合が成立

場 合 も 同 様 に して 証 明 さ れ る. 

■

軌 道 角 運 動 量 の2乗

 軌 道 角 運 動 量 の2乗

は

(4.87) に よ っ て 定 義 さ れ る 非 負 対 称 作 用 素 で あ る(C∞0(IR3)⊂D(L2)に L2￨C∞0(IR3)の フ リ ー ド リ ク ス 拡 大 をΛ

と す る(2.8.5項

Λ は 非 負 自 己 共 役 作 用 素 で あ り,C∞0(IR3)はΛ1/2の

定 理4.52 

任 意 のg∈SO(3)に

Λ はSO(3)-対

証 明 

証 明 を 通 し て,U(g)=Urot(g)と

,Λ

を 参 照).し

た が っ て,

芯 で あ る*29.

はUrot(g)-不

変 で あ る.す

な わ ち,

称 性 を も つ.

U(g)はC∞0(IR3)を

*29 実 は

対 し て,Λ

注 意).

不 変 に す る.定

はC∞0(IR3)上

る 読 者 は,た

お く.任 理4.51に

意 のg∈SO(3)に

よ っ て,任

意のψ,φ∈C∞0(IR3)

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る こ とが 証 明 で き る.証

と え ば,[19]のp.61,

Lemma

2.20を

対 し て,

参 照 さ れ た い.

明 に興 味 の あ

に 対 し て(Lj=U(g)-1[U(g)LjU(g)-1]U(g)と

変 形 で き る こ と に 注 意)

そ こ で, 

に 注 意 す れ ば,最

〈ψ,U(g)-1ΛU(g)φ〉

に 等 し い こ と が わ か る.し

〈Λ1/2U(g)ψ,Λ1/2U(g)φ〉.C∞0(IR3)は 任 意 の ψ ∈D(Λ1/2)に

D(Λ)の

た が っ て,〈 Λ1/2ψ,Λ1/2φ〉=

Λ1/2の 芯 で あ る か ら,極 限 理 論 に よ り,

対 し て,U(g)ψ

〈Λ1/2U(g)ψ,Λ1/2U(g)φ〉,ψ,φ

∈D(Λ1/2)で

∈D(Λ1/2)で

あ り,〈 Λ1/2ψ,Λ1/2φ〉=

あ る こ と が 示 さ れ る.U(g)φ

場 合 を考 え る こ と に よ り,U(g)-1ΛU(g)⊂

で あ る か ら,そ れ ら は 一 致 し な け れ ば な ら な い.す よ っ て,題

後 の 式 は

Λ が 出 る.両

∈

辺 と も自己 共役

な わ ち,U(g)-1ΛU(g)=Λ.

意 が 成 立 す る. 

系4.53 

■

各Lj(j=1,2,3)と

証 明   e-iθLj(θ

∈IR)はUrot(g)の

e-iθLjΛeiθLj=Λ.こ

  4.10.3 

Λ の

Λ は 強 可 換 で あ る.

れ はLjと

固

有

特 殊 な 値 で あ る か ら,定

理4.52に

よ り,

Λ の 強 可 換 性 を 意 味 す る. 

■

値

  系4.53に よ っ て,軌 道 角 運 動 量 の2乗 Λ と,Lj(j=1,2,3)の うち の任 意 の 一つ は同時固有空間 をもちうる .こ の こ と を 念 頭 に お い て Λ の 固 有 値 を 求 め よ う.結

(r>0,φ

果 的 に 言 え ば,2次

元 空 間 の 場 合 と 同 様,こ

の 場 合 も3次

元極座 標系

∈[0,2π),θ ∈([0,π])に 移 る と 便 利 で あ る こ と が わ か る*30.直

積集合

に は 直 積 測 度dν:=r2dr 

sinθdθ  dφ が 入 る.し

た が っ て,ヒ

L2(Ω,dν)が

座 標 変 換 に 対 応 し て,ユ

ニ タ リ 変 換T:L2(IR3)→

考 え ら れ る.極

*30 物 理 描 像 的 な 理 由 は ,軌 道 角 運動 量 の2乗

の 回転 対 称性 に あ る.

ル ベ ル ト空 間

L2(Ω,dν)が

(4.88) に よ っ て 定 義 さ れ る.   2次

元 の 軌 道 角 運 動 量Mの

L2(IR+,rdr) 

場 合 と 同 様 に し て― 自 然 な 同 型L2(Ω,dν)=

L2([0,π],sinθdθ) 

L2([0,2π],dφ)を

用 い る と簡単 ―

(4.89) を証 明 す る こ とが で きる.し た が って

(4.90) で あ り,L3の

固 有 値m∈〓

に属 す る固 有 関 数 はF(r,θ)exp(imφ)と

与 え られ る.た だ し,Fは 

い う形 で

とい う条 件 を満

た す 関 数 で あ る.   合 成 関 数 の微 分 法 に よ り,任 意 のf∈C∞0(IR3)に

を 示 す こ と が で き る.こ

れ ら の 表 示 式 と(4.89)を

や 長 い 計 算 を 行 う こ と に よ り,任

意 のf∈C∞0(IR3)に

対 して

用 い て,初

等 的 で あ る が,や

対 して

(4.91) (4.92) が 成 り立 つ こ とが わ か る.作 用 素 Λ の形 をみ れ ば わ か る よ うに,そ の 固有 関 数 は変 数 分 離 法 に よ っ て求 め られ る こ とが 予 想 され よ う.実 際,fを 数 とし

とす れ ば

θだ け の 関

で あ る か ら,Λ の 固 有 ベ ク トル方 程 式

(λ ∈IR)は

(4.93) と い う 形 を と る.x=cosθ, f(θ)=F(x)と

す れ ば,こ

の方程式 は

(4.94) と書 か れ る.こ れ は級 数 展 開の 方法 で 解 くこ とが で きる*31.特 か つlが 非 負 の 整 数 の 場 合 を考 え る と,(4.94)は て,ル

に,λ=l(l+1)

古 典 的 な微 分 方 程 式 論 に お い

ジ ャ ン ドル の 陪 多 項 式 の 満 た す 微 分 方 程 式 と して知 られ て い る方 程 式 に

ほ か な らな い.ル

ジ ャ ン ドルの 陪 多 項 式 とい うの は

(4.95) に よ っ て 定 義 さ れ る 多 項 式 で あ る.こ こ で,右 辺 の 関 数Pl(x)は

ル ジ ャ ン ドル

の 名 で 呼 ば れ るl次 の 多 項 式 で

(4.96) と い う形 を も ち,ル

ジ ャ ン ドル の 微 分 方 程 式

(4.97) を 満 た す*32.し ￨m￨>lな

た が っ て,(4.93)の

ら ばPml=0で

一 つ の 解 はf(θ)=Pml(cosθ)で

あ る.

あ る こ と に 注 意 し よ う.

  次 の 式 を 証 明 す る こ と が で き る(証

明 は 難 し く な い)*33:

(4.98) *31 た と え ば *32 [7]の1章 *33 [13]の2章

,[13]の2章

を 参 照.

,演 習 問 題7を ま た は[12]のp

参 照.詳 .136を

し く は,[13]の2章 参 照.

ま た は[12]のp.57を

み よ.

し た が っ て,特

にPml(cosθ)はL2([0,π],sinθdθ)の

Pml(cosθ)とPml'(cosθ)は

直 交 す る.関

元 で あ り,l≠l'な

ら ば,

数

(4.99) お よ び そ の1次 結 合 はl次 の 球 関 数 と呼 ば れ る.関 数 系

はL2([0,π]×[0,2π],sinθdθ dφ)に こ と が で き る*34.し

た が っ て,任

L2([0,π]×[0,2π],sinθdθ 

お い て完 全 直 交 系 で あ る こ とを 証 明 す る 意 の ψ〓L2(Ω,dν)とa.e.r>0に

対 し て,

dφ)の 収 束 の 意 味 で

(4.100) と 展 開 さ れ る.こ に よ り,任

こ で,展

意 のL〓INに

開 係 数al, m(r)に

ッセ ル の 不 等 式 の 応 用

対 して

が 成 り立 つ こ と が わ か る.こ L2(Ω,dν)に

つ い て は,ベ

れ と ル ベ ー グ の 優 収 束 定 理 に よ り,(4.100)は,

お け る 収 束 の 意 味 で も成 立 す る こ と が わ か る.し

た が っ て,L2(Ω,dν)

の 部 分 空 間Klを

(4.101) に よ っ て定 義 す れ ば,こ れ は 閉部 分 空 間で あ り

(4.102) *34 た とえ ば ,[23]の5章 §2を 参 照.い まは,こ の事 実 を認 め て,こ の項 の 終 わ りま で読 み進 んだ ほ うが全 体 の 流 れ を把 握 しや す い で あ ろ う.

と直 和 分 解 さ れ る.し た が って

(4.103) が 成 り立 つ.   関 数 系yに Dy:=L(y)を

よ っ て 生 成 さ れ る,L2([0,π]×[0,2π],sinθdθ dφ)の 定 義 域 と す る 線 形 作 用 素RΛ

部分 空間

を

(4.104) に よ って 定 義 す る.関 数 系yの 閉包 も同 じ記 号RΛ

完 全 性 に よ り,RΛ

は対 称 作 用 素 で あ る.そ の

で表 す.こ の と き

(4.105) (4.106) dimMl=2l+1で

あ る か ら,RΛ

の 固 有 値l(l+1)は(2l+1)重

に縮 退 して

い る.   さ て,W:L2(Ω,dν)→L2(IR+,r2dr) 

L2([0,π]×[0,2π],sinθdθ 

dφ)を

自然 な 同 型 と す れ ば

(4.107) が 成 り立 つ.し 2.9.6項

た が っ てWTAT-1W-1⊃I 

の 事 実 に よ っ て,RΛ

はL2(IR+,r2dr) 

Dy上

はDy上

RΛ￨L2(IR+,r2dr) 

Dy.

[7]の

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る か ら,I 

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.し

RΛ

た が っ て作 用 素 の 等 式

(4.108) が 成 り立 つ.こ

れ と テ ン ソ ル 積 の ス ペ ク トル の 理 論 に よ り,次 の 定 理 が 得 ら れ る:

定 理 4.54

(4.109) であり

(4.110)

 軌 道 角 運 動 量 の 大 き さは

(4.111) に よ っ て定 義 され る.上 の 定理 とス ペ ク トル写 像 定 理 に よ り

(4.112) ￨L￨の 固 有 値    (4.89)に T-1Klに

を 特 徴 づ け る 非 負 整 数lを

よ っ て,閉

部 分 空 間T-1Klはe-itL3の

お け る 簡 約 部 分 は(2l+1)個

こ と が わ か る.こ

  4.10.4 

軌 道 角 運 動 量 の 量 子 数 と い う. 不 変 部 分 空 間 で あ り,L3の

の 固 有 値m=-l, -l+1,

…, lを

もつ

れ を 軌 道 角 運 動 量 の 方 向 量 子 化 と い う*35.

シ ュ レ ー デ ィ ンガ ー型 作 用 素 の 簡 約

  こ の 項 で は 次 の 仮 定 の も と で 考 察 す る: 仮 定:ポ

テ ン シ ャ ルV:IR3→IRは

回 転 対 称 で あ る と し,シ

ガ ー 型 作 用 素HV:=-Δ+VはD(Δ)∩D(V)上

ュ レー デ ィ ン

で本 質 的 に 自己共 役 で

あ る と す る(そ の 閉 包 も 同 じ記 号 で 表 す).

補 題4.55 

HVとΛ

は 強 可 換 で あ る.

証 明   す で に み た よ う に,任 た が っ て,す

意 のt〓IRに

べ て のf,g〓C∞0(IR3)に

が 成 り 立 つ.C∞0(IR3)はΛ1/2の 式 は,す D(Λ1/2)が

べ て のf,g〓D(Λ1/2)へ わ か る).す

eitHVΛe-itHΛ.こ *35 軌 道 角 運 動 量 の 第

対 し て,eitHVLje-itHV=Lj.し

対 して

芯 で あ っ た か ら,極

限 議 論 に よ り,こ

と 拡 張 さ れ る(同

時 にe-itHVD(Λ1/2)⊂

る とΛ ⊂eitHVΛe-itHVが

れ は,Λ 一成 分L

とHVの 1,第

導 か れ る.し

た が っ て,Λ=

強 可 換 性 を 意 味 す る. 

二 成 分L2に

の等

つ い て も 同 様 の こ と が 示 さ れ る.

■

さて

(4.113) と お け ば,補 る の で,そ

題4.55に のKlに

よ り,HVは,直

和 分 解(4.102)に

お け る 部 分 をH(l)Vと

応 じて 直 和 分 解 さ れ

す る.

とす れ ば

(4.114) とな る.こ

う して,HVの

解析 は,L2(IR+,r2dr)上

の 作 用 素HlVの

解 析 に還 元

さ れ る.

4.11 

  4.11.1 

リー 代 数 的 構 造 と対 称 性

リー代 数 とそ の 表 現

  こ れ まで は,群 の 表 現 と い う観 点 か ら,量 子 系 にお け る対 称 性 の構 造 に関 す る 基 本 的側 面 を み て きた.こ

こで,前 節 まで の 議 論 を注 意 深 く振 り返 っ て 眺 め

る と,連 続 群(位 相 群)の ユ ニ タ リ表 現 の場 合,表 現 の特 性 は,最 終 的 に は,そ の 表 現 の生 成 子― た とえ ば,回 転 群 の ユ ニ タ リ表 現 の 場 合 に は,軌 道 角 運 動 量 で あ り,空 間 並 進 群IRdの

場 合 に は,運 動 量,時 間並 進 群 の場 合 に は,ハ ミル ト

ニ ア ン― の そ れ に帰 着 さ れ る こ とが わ か る .ゆ え に,こ の 場 合 に は,対 称 性 の 現 出 にあ た っ て,生

成子 の 集 合 が よ り基 本 的 で あ る と考 え られ る.そ こ で,も

し生 成 子 の集 合 が 何 らか の 普 遍 的 な代 数 的構 造 を有 す る な ら ば.む 代 数 的 構 造 の ほ う を,群

よ り も高 い 位 階 に あ っ て,よ

しろ,こ の

り深 い 次 元 か ら対 称 性 を

統 制 して い る基 本 的 理 念 の 一 つ とみ なす こ とが で き よ う.実 際 にそ の よ うな代 数 的構 造 は 存 在 す る.そ の 一 つ が 次 に定 義 す る リ ー代 数 で あ る. 定 義4.56 

gをIK上

(X,Y)〓[X,Y]が

のベ ク トル 空 間 とす る.写 像[・,・]:g×g→g;

g×g∋

あ っ て,次 の条 件(ⅰ)∼(ⅲ)を 満 た す と き,こ の 写 像 をg上

の 括 弧 積 また は リー 括 弧 積 と呼 び,gをIK上

の リー代 数 ま た は リー環 とい う.

 

(ⅰ) (線 形 性)[aX+bY,Z]=a[X,Z]+b[Y,Z],a,b〓IK,X,Y,Z〓g.

  (ⅱ) (反 対 称 性)[X,Y]=-[Y,X],X,Y〓g.   (ⅲ)  (ヤ コ ビ恒 等 式)[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0,X,Y,Z〓g. IK=IR, Cに 例4.37 

応 じて,そ VをIK上

れ ぞ れ,gを

の ベ ク トル 空 間 と す る と き,V上

換 子 積[A,B]:=AB-BAを 例4.38 IK上

実 リ ー 代 数,複

括 弧 積 と してIK上

のn次

素 リ ー 代 数 と い う.

の 線 形 作 用 素 の 全 体L(V)は

の リ ー 代 数 に な る.

の 正 方 行 列 の 全 体Mn(IK):={A=(Aij)i,j=1,…,n￨Aij〓IK}

は 交 換 子 積 に よ っ て,IK上

の リ ー代 数 に な る.こ

般 線 形 リー 代 数 と い う.こ

れ は リ ー 代 数 と して のL(IKn)(前

例4.39 N〓INに

の リ ー代 数 をgl(n,IK)と 例)と

表 し,一

同 じで あ る.

対 して

は リ ー代 数 を な す.こ

れ を示 す た め に,ま ず,す べ て のt〓IRに

らば,ス トー ンの 定 理 に よ り,N次 に 注 意 す る.し た が っ て,Xは

の エ ル ミー ト行 列Aが

交代 行 列 で あ る.逆

は エ ル ミー ト行 列 で あ る の で,す る.し

交

べ て のt〓IRに

に,Xが

対 して,etX〓U(N)な

あ っ て,X=iAと

書 け るこ と

交 代 行 列 な ら ば,A:=-iX

対 して,etX=eitA〓U(N)で

あ

たが っ て

(4.115) 右 辺 の 集 合 が 交 換 子 積 に 関 して リ ー代 数 を な す こ と は容 易 に わ か る.u(N)をN次 元 ユ ニ タ リ群U(N)の 例4.40 

N〓INに

リ ー 環 と い う. 対 して

は リ ー代 数 を な す.証 書 け る(Aは t〓IRに

明 は 次 の 通 り:前 例 に よ り,任 意 のX〓su(N)はX=iAと

エ ル ミー ト行 列).detetX=1に

よ り,eitTrA=1.こ

対 して 成 立 しな け れ ば な ら な い か ら,TrA=0で

を 満 た す 交 代 行 列 と す れ ば,す 容 易 に わ か る.よ

べ て のt〓IRに

あ る.逆

対 してetX〓SU(N)で

れが すべ ての にXを,TrX=0 あ る こ とは

って

(4.116) 右 辺 の 集 合 が リ ー代 数 に な る こ と も 簡 単 に示 さ れ る.su(N)をN次 群SU(N)の

リ ー環 とい う.

元特殊 ユ ニ タ リ

例4.41 

例4.39,例4.40と

同 様 に,Vが

有 限 次 元 ベ ク トル 空 間 でGがV上

の線 形

リ ー 群 で あ る と き,

(4.117) に よ っ て定 義 され る 集 合 は交 換 子 積 に 関 して リー 代 数 を な す こ と が 証 明 さ れ る(簡 単 で は な い)*36.こ

注 意4.7 

の リー 代 数 を線 形 リー 群Gの

上 述 の 例 に お い て は,リ

ー 括 弧 積 は 交 換 子 積 で 与 え ら れ て い る が,そ

う で な い リ ー 代 数 の 例 も 存 在 す る(演

  例4.39,例4.40,例4.41は

リー 環 とい う.

習 問 題5).

線 形 リ ー 群 と特 定 の リ ー 代 数 と の 関 係 を 与 え る.

一 般 の リ ー群 につ い て も同 様 の 関 係 が あ る と い う の は,リ と は,リ

ー 代 数 を"積 分 し て"得

ー 群 の"微

分"な

.非

常 に 大 ざ っ ぱ に い え ば,リ

ら れ る も の で り,逆

の で あ る.こ

れ が,リ

に み れ ば,リ

ー群 ー代数

ー群 よ り も リー代 数 の 方 を よ り

根 源 的 な 存 在 と み る 理 由 の 一 つ で あ る.   群 の 場 合 と 同 様,リ

ー 代 数 に つ い て も そ の 表 現 の 概 念 が 存 在 す る:

定 義4.57 

gをIK上

の リ ー 代 数,VをIK上

g→L(V)が

線 形 で あ り,か

立 つ と き,(π,V)ま

の ベ ク トル 空間 と す る.写

つ[π(X),π(Y)]=π([X,Y]),

た は 単 に π をgのV上

の 表 現 空 間 と 呼 ぶ.表

像 π:

X,Y〓gが

で の 表 現 と い う.こ

成 り

の 場 合,Vをg

現 空 間 が ヒ ル ベ ル ト空 間 の 部 分 空 間 の 場 合 に は,ヒ

ルベ

ル ト空 間 表 現 と い う.   Vの

部 分 空 間Dに

つ い て,π(X)D⊂D,

X〓gが

成 り立 つ と き,Dを

πの

不 変 部 分 空 間 と い う.   も し,π の 不 変 部 分 空 間 が{0}, ほ か に な い な ら ば,π

注 意4.8  例4.42 

V―

こ れ ら を 自 明 な 不 変 部 分 空 間 とい う― の

は 既 約 で あ る と い う.

言 葉 の 混 用 で あ る が,{π(X)￨X〓g}をgの Vを

ベ ク トル 空 間 とす る.L(V)の

い れ ば(i.e., A,B〓h⇒[A,B]〓h), の 場 合,π(A):=A,

A〓hと

*36 た と え ば

,[23]の3章

部 分 空 間hが

を 参 照.

交 換 子 積 に 関 して 閉 じて

hは 交 換 子 積 に 関 し て リ ー 代 数 を な す.こ

す れ ば,(π, V)はhの

表 現 とい う.

表 現 と い う場 合 も あ る.

表 現 を 与 え る.こ

れ をhの

恒等

例4.43 gをIK上

の リー 代 数 とす る.各X〓gに

に よ っ て 定 義 で き る.こ 現(adjoint

例4.44 

の と き,Adはg上

representation)と

L2(IR3)で

対 して,Ad(X)〓L(g)を

で のgの

表 現 で あ る.こ

れ をgの

随伴 表

い う.

働 く 軌 道 角 運 動 量(L1,

L2,

L3)は

交 換 関係

(4.118)

を満 た す([8]の3章, 

3.4.4項).し

た が って,L1,

の 部 分 空 間 

L2, L3か

ら生 成 され る,L(C∞0(IR3))

は 交 換 子 積 に 関 し てリー 代 数 を な す.

  リ ー 代 数 の 同 型 の 概 念 は 次 の よ う に 定 義 さ れ る:

定 義4.58 g1,

g2をIK上

の リ ー 代 数 とす る.ベ

線 形 作 用 素)T:g1→g2で

括 弧 積 を保 存 す る も の,す

T([X,Y]),

X,Y〓g1を

い う.Tを

リ ー 代 数 の 同 型 写 像 と い う.

  4.11.2 

ク トル 空 間 同 型(i.e.,全 な わ ち,[T(X),T(Y)]=

満 た す も の が 存 在 す る と き,g1とg2は

同型であ る と

リー代 数 に関 す る対 称 性

  gを 複 素 リ ー 代 数 と し,(π, V)をgの 素 ヒ ル ベ ル ト空 間Hの

複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間 表 現 と す る(Vは

部 分 空 間).H上

の 自 己 共 役 作 用 素A―

テ ク ス トで は 物 理 量― に つ い て,eitAπ(X)⊂ り立 つ と き,Aはg-対

π(X)eitA,

複

量子力学の コ ン

∀t〓IR,

∀X〓gが

成

称 性 を も つ と い う.

  こ の 対 称 性 の 概 念 は,群 が 次 の よ う に し て わ か る.い

に関 す る対 称 性 の あ る種 の 一 般 化 に な って い る こ と ま,各X〓gに

対 し て,π(X)は

役 で あ る と し よ う.(そ

の 閉 包 も 同 じ 記 号 π(X)で

の 定 理 に よ り,π(X)は

強 連 続1パ

す る.そ

単射 な

表 す).こ

本 質的 に 自己共 の と き,ス

トー ン

ラ メ ー タ ー ユ ニ タ リ群{eitπ(X)}t〓IRを

生成

こで

(4.119)

と お け ば,こ がg-対

れ はH上

の ユ ニ タ リ群u(H)の

称 性 を も て ば,任

が わ か る.し AのGg-対

意 のX〓gに

部 分 群 で あ る.自

対 し て,π(X)はAと

た が っ て,eitπ(X)Ae-itπ(X)=A,

己 共 役 作 用 素A 強可換であ るこ と

∀t〓IRが

導 か れ る .こ

  逆 にAがGg-対

称 性 を も て ば,Aはg-対

称 性 を も つ こ と も 容 易 に わ か る.

  だ が,上

の 定 義 の 要 点 は,π(X)が

い こ と,ま

た,本

を 含 む,よ

り大 き な 群 に 関 す る対 称 性 を もつ 必 要 は な い と い う 点 に あ る.

  4.11.3 

ハ イ ゼ ン ベ ル ク ・ リ ー 代 数 の 表 現 と して の 正 準 交 換 関 係

  Nを

れは

称 性 を 意 味 す る*37.

必 ず し も本 質 的 に 自己 共 役 で あ る必 要 は な

質 的 に 自 己 共 役 で あ っ て も,g-対

自然 数 と す る.(2N+1)個

成 さ れ る 複 素 リ ー 代 数hに

の 元X1,

称 な 自 己 共 役 作 用 素 が ,Gg

…, XN, Y1,

…, YN, Z≠0か

ら生

お いて

(4.120) (4.121) が 成 り立 つ と き,hを(2N+1)次

元 の ハ イ ゼ ン ベ ル ク ・リー代 数 とい う.

  前 著[8]に お い て,正 準 交 換 関係(CCR)の に 据 え た が,実

表 現 を量 子 力 学 の 基 本 原 理 の 一 つ

は,そ れ は抽 象 的 な意 味 で の ハ イゼ ンベ ル ク ・リ ー代 数 の 表現

とみ るの が 適 切 で あ る.実 際,次 の 事 実 が 成 り立 つ: 定 理4.59 

を 自 由 度NのCCRの

し,QjD⊂D, PjD⊂D, j=1,

…, Nと

す る),表

表 現 とす る と き(た だ 現 π:h→L(D)(D上

の線

形 作 用 素 の 全 体)で

を 満 た す も の が 存 在 す る.π

証 明  hの 元X1,

…, XN, Y1,

は 単 射 で あ る.

…, YN, Zは

線 形 独 立 で あ る.実 と し,こ

*37 G gに つ い て は,恒

等 表 現 を 採 用 し て い る.

際, 

れ とXkと

の括弧積 を

と れ ば,iβkZ=0.

Z≠0で

弧 積 を 考 え る と αk=0を Q1, …, QN,

あ る か ら,βk=0.ま 得 る.し

P1, …, PN, IはL(D)の

た,(*)とYkと

た が っ て,γ=0も

出 る.同

様 に し て,

元 と し て 線 形 独 立 で あ る.し

た が っ て,

ベ ク トル 空間 同 型 写 像 に 関 す る 存 在 定 理([5]のp.31,定

理1.22)に

ル 空 間 同 型 写 像 π:h→L({I,Qj,Pj￨j=1,…,N})で Pj, π(Z)=Iを

の括

よ り,ベ ク ト

π(Xj)=Qj,

満 た す も の が た だ 一 つ 存 在 す る.こ

れ がhの

π(Yj)=

表 現 で あ る こ とは

容 易 に わ か る. 

  4.11.4    Hを

■

リー 代 数 の 表 現 と し て の 第 二 量 子 化

複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間, 

し([8]の4章,4.3節),H上 用 素 をdΓ(A)と

をH上

の 全 フ ォ ッ ク空 間 と

の 稠 密 に 定 義 さ れ た 可 閉 作 用 素Aの

す る*38.Hの

部 分 空 間Dに

対 し て,F(H)の

 あ る 番 号n0が

第二量子化作 部分 空間

あ っ て,n〓n0な

ら ば Ψ(n)=0

(4.122) を 定 義 す る.次 補 題4.60 

の 事 実 が 成 り 立 つ:

A, BをH上

の 稠 密 に 定 義 さ れ た 可 閉 作 用 素 と し,[A,

B]も 稠 密 に

定 義 さ れ た 可 閉 作 用 素 で あ る と す る(D([A,B]):=D(AB)∩D(BA)).こ き,す

べ て の Ψ〓Ffin(D([A,B]))に

の と

対 して

(4.123) 証 明   n〓INを

任 意 と して,Ψ= nj=1Ψj,

対 し て(4.123)を

*38 [8]の4章

では

示 せ ば よ い.第

,Aが

Ψj〓Dと

い う形 の ベ ク トル Ψ に

二量子化作用素の定義 によ り

自 己共 役 の場 合 だ け考 え たが,容 易 にわ か る よ う に,Aが

定義 され た可 閉 作 用 素の 場 合 に も,dΓ(A)は

ま った く同 じ形 で定 義 され る.

稠密に

dΓ(B)dΓ(A)Ψ

は,い

か ら(4.123)が

得 ら れ る. 

  さ て,H上

ま の 式 でAとBを

D⊂D(A)か

部 分 空 間Dが

つAD⊂D(i. の と き,写

れ らの事 実 ■

の 稠 密 に 定 義 さ れ た 可 閉 作 用 素 の 集 合gが

リ ー 代 数 を な す と し,Hの

る*39.こ

入 れ 換 え た も の で あ る.こ

e., Dはgの

あ っ て,す

交 換 子 積 に関 して複 素

べ て のA∈gに

不 変 部 分 空 間)が

対 し て,

成 り立 つ も の と す

像 π:g→L(Ffin(D))を

(4.124) に よ っ て 定 義 す れ ば,補

題4.60に

で あ る こ とが わ か る.こ

う して,第

よ っ て,(π,Ffin(D))は

リ ー 代 数 のgの

二 量 子 化 作 用 素 を通 し て,L(H)の

表現

中のあ る

ク ラ ス の リ ー 代 数 は 全 フ ォ ッ ク 空 間 上 に そ の 表 現 を もつ.   第 二 量 子 化 作 用 素dΓ(・)は ボ ソ ン フ ォ ッ ク 空 間Fs(H)お ッ ク 空 間Fas(H)に

よ っ て 簡 約 さ れ る.そ

よび フ ェル ミオ ンフ ォ

の 簡 約 部 分 を そ れ ぞ れ,dΓs(・),dΓas(・)

と し

(4.125) (4.126) と す れ ば(Ps:F(H)→Fs(H), Pas:F(H)→Fas(H)は

そ れ ぞ れ,ボ

フ ォ ッ ク 空 間Fs(H),フ

の 正 射 影 作 用 素) ,

πs,πasもgの

ェ ル ミ オ ン フ ォ ッ ク 空 間Fas(H)へ

ソ ン

表 現 を 与 え る.

  こ の 種 の 表 現 は 量 子 場 の 理 論 に お い て 重 要 な 役 割 を演 じ る.

  4.11.5 

角 運 動 量 代 数

  す で に み た よ う に(例4.44),軌 数 を な す.だ

が,L2(IR3)は

道 角 運 動 量 が 生 成 す る ベ ク トル 空 間 は リ ー 代

具 象 的 な ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る の で,軌

道角運動量

に よ っ て形 成 され る リー代 数 は あ る抽 象 的 な リー代 数 の表 現 の 一 つ とみ るの が 自 然 で あ る.こ

の 考 え 方 は,軌

道 角 運 動 量(L1,

L2, L3)以

と 同 じ交 換 関 係 を 満 た す も の の 存 在 に よ っ て 補 強 さ れ る. *39 gの

自 明 な 例 はg

=B(H).こ

の 場 合,D=H

.

外 の 物 理 量 で(4.118)

例4.45 

ス ピ ン1/2の

ス ピン角運動 量

(4.127) ―C2で

働 く 自 己 共 役 作 用 素 ― も(4 .118)と

例4.46 

ス ピ ン1/2の

ル ベ ル ト空 間 は  NC2で の 第j成

分(j=1,

量 子 的粒 子 がN個

同 じ交 換 関 係 を満 た す.

存 在 す る 系 の ス ピ ン 自 由度 に関 す る状 態 の ヒ

あ り,この 場 合 の 全 ス ピ ン角 運 動 量 

2, 3)は

(4.128)

(Iは 恒 等 作 用 素)で 与 え ら れ る.S(N)1, S(N)2, S(N)3も(4.118)と

同 じ交 換 関 係 を 満

た す. 例4.47 

3次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間IR3の

中 に 現 象 す る,ス

ピ ン1/2を

粒 子 の 状 態 の ヒ ル ベ ル ト空 間 と して,  こ の 場合 の全 角 運 動 量J:=(J1,

J2, J3)(軌

もつ量 子 的 が と れ る.

道 角 運 動 量+ス

ピ ン角 運 動 量)の 第j成

分は

(4.129) に よ っ て 定 義 さ れ る.こ 例4.48 N個

れ ら も(4.118)と

同 じ交 換 関 係 に した が う.

の(内 部 自 由 度 を も た な い)量 子 的 粒 子 の 系 の 状 態 ヒ ル ベ ル ト空 間  (自 然 な 同 型 に よ る 同 一 視)に お い て 定 義 され る線 形 作 用 素

(4.130) も,た

と え ば, NC∞0(IR3)( 

換 関 係 を 満 た す.L(N)jは す こ と に す る.こ

は 代 数 的 テ ン ソ ル 積 を 表 す)上 で(4.118)と

同 じ交

本 質 的 に 自 己 共 役 で あ り,そ の 閉 包 も 同 じ記 号L(N)jで

の と き,自 己 共 役 作 用 素 の 組(L(N)1,

L(N)2, L(N)3)はN粒

表

子 系の 全

軌 道 角 運 動 量 を 表 す. 例4.49 N個

の ス ピ ン1/2の

(L2(IR3; C2)のN重

量 子 的 粒 子 の 系 の 状 態 ヒ ル ベ ル ト空 間 NasL2(IR3; C2)

反 対 称 テ ン ソ ル 積;ス

ピ ン1/2の

量 子 的 粒 子 は フ ェ ル ミ オ ンで

あ る こ と に注 意)に お い て 定 義 され る 線 形 作 用 素

(4.131)

は 自 己 共 役 で あ る.作 運 動 量 を 表 す.こ 例4.50 

用 素 の 組J(N):=(J(N)1,

れ も(4.118)と

J(N)2, J(N)3)は

こ の 系 にお け る 全 角

同 じ交 換 関 係 を満 た す.

(量 子 場 の 軌 道 角 運 動 量)L2(IR3)上

の フ ォ ッ ク空 間F#(L2(IR3))(#=

s, as)に お い て

とす れ ば,こ れ らの 作 用 素 は 自己 共 役 で あ り,補 題4.60に で,(4.118)と は,量

同 じ交 換 関 係 を満 た す こ と が わ か る.作

子場 の 理 論 の コ ン テ ク ス トで は,4次

よ っ て,P#Ffin(C∞0(IR3))上 用 素 の 組(M#

,1, M#,2, M#,3) 元 時空 にお け るス カラー量 子場 の空 間的

軌 道 角 運 動 量 を 表 す.   こ れ ら の 例 を 一 つ の リ ー 代 数 の 異 な る 表 現 と み る こ と に よ り,統 へ と 移 行 す る こ と が で き る .そ

一 的 な観 点

の リー代 数 とは次 の 定 義 に よっ て 与 え ら れ る も

の で あ る. 定 義4.61 

3個 の 元J1, J2,

J3(Jk≠0, k=1,

2, 3)か

ら生 成 され る 複 素 リ ー

代 数Aが

を満 た す と き,Aを   定 理4.59と

角 運 動 量 代 数 とい う.

同様 に して,L1,

L2, L3は 角 運 動 量 代 数Aの

表 現 であ る こ とが わ

か る(演 習 問題6).   同様 に ス ピ ン1/2の

角 運 動 量s1, s2, s3もAの

表 現 で あ る.こ れ は既 約 表 現

で あ る(演 習 問題7).   上 述 の他 の 例 もす べ てAの

表 現 で あ る こ とが わ か る.

  角 運 動 量 代 数 の 表 現 とい う理 念 は,先 述 の例 に現 れ る種 々 の 角 運 動 量 を 統 一 す る に と ど ま らず,角

運 動 量 の 概 念 を拡 大 す る.た

とえ ば,ス

ピ ンが1/2と

は

異 な る ス ピ ン角 運 動 量 は も と よ り,ア イ ソ ス ピ ンの よ うな 内 部 自 由度 で さえ も 一 種 の 角 運 動 量 とみ な す こ とが 可 能 に な る*40 . *40 ア イ ソ ス ピ ン とは

,荷 電 以 外 の性 質 は ほぼ等 しい素 粒 子 を同 じ素 粒 子 の 異 な る固 有状 態 とみ るた め の量 子 数 で あ る.た とえ ば,核 子 の ア イ ソス ピ ンは1/2で,通 常 の ス ピ ンの

場 合 と同 様,2種 類 の 固有 状 態 が 可 能 で あ り,そ れ ぞ れ,陽 子 と中性 子 に対 応 す る.同 様 に π 中 間子 の アイ ソス ピ ンは1で3種 類 の異 な る固有 状 態 が 可 能 で あ り,そ れぞ れ, π+,π0,π-と い う 中間 子 に対 応 す る.

  自然 哲 学 的認 識 論 の観 点 か ら は,角 運 動 量 代 数 の 理 念 に よっ て,非 常 に豊 か な― 事 実 上,無

限 的 とい って よ い― 量 子 的現 象 の展 開 を内 蔵 す る,自 然 ・宇 宙

の 根 源 的 な構造 の 一 つ が 認 識 され た こ と に な るの で あ る.   次 の事 実 に も注 目 しよ う. 命 題4.62 

su(2)とAは

リー代 数 と して 同 型 で あ る.

証 明   su(2)の 任 意 の元Xは,例4.40に

と い う 形 に 書 か れ る.た

よって

だ し,α*=-α,β

∈Cで

あ る.そ

こ で,写

像T:

su(2)→Aを

に よ って 定 義 す れ ば,こ れ は リー代 数 の 同 型 写 像 を与 え る こ とが 確 か め られ る. ■   この 命 題 に よ り,角 運 動 量 代 数 の表 現 を求 め る問 題 は,su(2)の

表現 を求める

問 題 に帰 着 され る.こ れ を用 い る こ と に よ り,次 の 重 要 な事 実 が 得 られ る. 定 理4.63 Sj:=π(Jj)(j=1, 角 運動 量代 数Aの

2, 3)を 有 限 次 元 ヒ ルベ ル ト空 間Hに

既 約 な表 現 と し,各Sjは

自 己共 役 で あ る とす る.こ の と き,

非 負整 数 ま た は正 の 半 奇 数(1/2, 3/2, 5/2,…)lが 成 り立 つ.こ の 場 合,j=1, 固 有値mの

存 在 して,dimH=2l+1が

2, 3に 対 して, 

多 重 度 は1で あ る.さ

ら に,Aの

お け る,

各 有 限 次 元 既 約 表 現 は こ の型 の表 現

に 限 る.   この 定 理 の 証 明 は こ こで は しな い*41.   上 の 定 理 に い う既 約 表 現 を 区 別 す る数lは,物 動 量 の1成 *41 た と え ば

理 的 に は,量 子 的 粒 子 の角 運

分 の と り うる値 の 最 大 値 で あ る と解 釈 され る.ス ,[5]の10章,演

習 問 題2や[23]の

Ⅲ

章,§4を

参 照.

ピ ン角 運 動 量 の場

合 に は,こ れ を ス ピ ン量 子 数 と呼 び,Aの(2l+1)次

元 既 約 表 現 をス ピ ンlの

表 現 と い う. 例4.51 l次

の 球 関 数Yl,mで

空 間Ml(4.10.3項

生 成 さ れ る, 

の部 分

を 参 照)は

に よ っ て 定 義 さ れ る,角 π(Jk)はLkを

運 動 量 代 数 の(2l+1)次

元 既 約 表 現 の 表 現 空 間 で あ る(各

極 座 標 で 表 し,作 用 す る ベ ク トル 空 間 をL({ψ

∈Ml￨l∈{0}∪IN})

に 制 限 し た も の で あ る*42).

付 録F 

位 相 空 間

ユ ー ク リ ッ ド空 間,ヒ ルベ ル ト空 間,バ ナ ッハ 空 間 にお け る点 ど う しの近 さは,そ の ノ ル ム か ら定 義 され る距 離 を用 い て測 られ る.だ が,集 合 の中 には線 形 空 間 で な い もの も無 数 にあ る し,距 離 が 定 義 され な い も の も存在 しう る.で は,距 離 の概 念 が 必 ず し も存 在 しな い よ う な集 合 にお い ては,点

どう しの近 さを どの よ うに測 るの が 自然 であ ろ うか.こ の 問 い に応 え

る一 つ の概 念 が 以 下 に定 義 す る位 相(topology)と

い う概 念 で あ る.こ れ は上 に言 及 した空

間 の 開集 合全 体 の 構 造 の 抽 象 化 と して得 られ る.

  F.1 

定

定 義F.1 

義

と

集 合Xの

例

部 分 集 合 の 一 つ の 族Tが

次 の 三 つ の 性 質 を 満 た す と き,TをX

の(一 つ の)位 相 あ る い は トポ ロ ジ ー とい う:   (T.1)X, 0∈T.   (T.2)Tの

任 意 の 有 限 個 の集 合 の 共 通 部 分 はTに

と任 意 のT1,…,Tn∈Tに   (T.3)Tの

注 意F.1  照),位 相Tに

属 す る.す

らば,∪ α∈A Tα ∈T(Aは

も つ 集 合Xを

開 集 合(open

属 す る.す

な わ ち,任 意 のn∈IN

.

任 意 個 の 集 合 の 和 集 合 はTに

は 添 え字 集 合)な 位 相Tを

対 して, 

な わ ち,Tα

∈T(α

∈A; A

可 算 集 合 で あ る必 要 は な い).

位 相 空 間(topological

space)と

い う.こ の 場 合,Tの

元 を

set)と い う. 集 合Xが

有 す る 位 相 は一 つ と は 限 らな い の で(以 下 の 例F.2,例F.3を

よ る位 相 空 間 で あ る こ と を明 確 し た い場 合 に は,(X, T)の

*42  こ の 表 現 の 自 然 な 導 出 に つ い て は

,[23]の

Ⅴ 章 を 参 照.

参

よ う に 記 す.

例F.1 

Eを バ ナ ッハ 空 間 と し,Eに

お け る 開 集 合 の 全 体 をOEと

す れ ば,OEは

位

相 で あ る. 証 明   ま ず,E, 0∈OEは り,x∈

明 らか.(T.2)を

∩ni=1Tiと す る.こ

ら,あ るδi>0が

存 在 して,‖x-y‖<δiな

と お け ば,‖x-y‖<δ (T.3)を

示 す.Tα

の と きy∈

∈OE(α

が あ っ てx∈Tα0. Tα0は

∈A)と

はXの

集 合Xに

i=1,…,n.他

方,Tiは

らばy∈Ti.そ

∩ni=1Ti,し して,x∈

任意 に と 開集 合であ るか

こで,δ=min{δ1,…,δn}

た が っ て,∩ni=1Ti∈OE.最

∪αTα とす る.し

開 集 合 で あ る か ら,あ る δ0>0が

な らばy∈Tα0⊂UαTα.ゆ 例F.2 

示 す た め に,T1,…,Tn∈OEを

の と き,x∈Ti,

後 に

た が っ て,あ

る α0

存 在 して,‖x-y‖<δ0

え に ∪αTα ∈OE.

お い て,Xの

す べ て の 部 分 集 合 か ら な る 集 合 族D:={A￨A⊂X}

位 相 の 一 つ で あ る(証 明 は 容 易).こ

の 位 相 を 離 散 位 相 と い い,(X,

D)を

離散

空 間 と い う. 例F.3 

集 合Xに

お い て,Xと

位 相 の 一 つ で あ る.こ

空 集 合0だ

け か ら な る 集 合 族{X, 0}は

の 位 相 を密 着 位 相 とい い,(X,

  F.1.1 

閉 集 合 と基 本 近 傍 系

  (X, T)を

位 相 空 間 とす る.部 分 集 合A⊂Xに

開 集 合 で あ る と き,Aは   Xの

明 ら か にXの

{X, 0})を 密 着 空 間 と い う.

つ い て,そ

の 補 集 合Ac:=X＼Aが

閉 集 合 で あ る と い う.

開 集 合 で 点x∈Xを

含 む も の をxの

近 傍 と い う.位

相 空 間 に お い て は,こ

の

近 傍 な る 概 念 が 点 ど う しの 近 さ を測 る 尺 度 を与 え る. 定 義F.2 

Xを

位 相 空 間 と す る.点x∈Xの

「xの 任 意 の 近 傍Uに う性 質 を も つ と き,xの 例F.4 

バ ナ ッハ 空 間Eの

位 相 空 間Xの

つV⊂Uと

な る もの が 存 在 す る 」 とい

基 本 近 傍 系 と呼 ば れ る. 任 意 の 点xの

全 体B(x)={Uε(x)￨ε>0}はxの 例F.5 

近 傍 か ら な る,一 つ の 集 合 族B(x)は,

対 して,V∈B(x)か

ε近 傍Uε(x):={y∈E￨‖x-y‖<ε}の

基 本 近 傍 系 で あ る.

点 をx∈Xを

含 む 開 集 合 の 全 体 をO(x)と

す れ ば,こ

れ はx

の 基 本 近 傍 系 で あ る. 定 理F.3 

Xを 位 相 空 間 と し,Xの

い る とす る.こ 意 のx∈Oに

の と き,Xの 対 し て,V⊂Oと

各 点xに

部 分 集 合Oが

対 して,基 本 近 傍 系B(x)が

与 えられて

開 集 合 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,任

な るV∈B(x)が

存 在 す る こ とで あ る.

証 明   (必 要 性)Oが

開 集 合 な らば,任

意 のx∈Oに

ら,基 本 近 傍 系 の 定 義 に よ り,V⊂Oと   (十 分 性)任 意 のx∈Oに の よ う なVの

対 して,V⊂Oと

一 つ をVxと

近傍 であ るか

存 在 す る.

な るV∈B(x)が

存 在 す る と す る.そ

書 く.こ の と き,O={x￨x∈O}⊂∪x∈OVx⊂O.し

が っ て,O=∪x∈OVx. Vxは

  F.2 

対 し て,Oはxの

な るV∈B(x)が

開 集 合 で あ っ た か ら,Oは

た

開 集 合 で あ る. 

■

連 続 写像 と位 相 同型

  位 相 空 間 に お い て は,写 像 の 連 続 性 の 概 念 が 定 義 で き る: 定 義F.4   

X, Yを

位 相 空 間 と し,f:X→YをXか

(ⅰ)  点x∈Xに

つ い て,Yに

{x∈X￨f(x)∈U}がXの て の 点x∈Xで

らYへ

お け るf(x)の

任 意 の 近 傍Uに

近 傍 で あ る と き,fは

連 続 で あ る と き,fを

の 写 像 と す る.

点xで

対 して,f-1(U):=

連 続 で あ る と い う.fが

すべ

連 続 写 像 と呼 ぶ.

  (ⅱ) fが 連 続 写 像 で 全 単 射 か つ 逆 写 像f-1:Y→Xも らYへ

の 同 相 写 像 ま た は 位 相 写 像 と い う.

  Xか

らYへ

の 同 相 写 像 が 存 在 す る と き,XとYは

連 続 で あ る と き,fをXか

位 相 同 型 ま た は単 に 同 相 で あ る

と い う.

  F.3 

位 相 空 間 の 直積

  X, Yを 位 相 空 間 と し,Xの 系BX(x), BY(y)が X,y∈Y}の

各 点xお

よ びYの

与 え られ て い る とす る.こ

任 意 の 点(x,y)に

各 点yに

対 して,そ れ ぞ れ,基 本 近 傍

の と き,直 積 集 合X×Y:={(x,y)￨x∈

対 し て,

 が(x, y)の 基 本 近 傍 系 と な る よ う な,X×Yの こ の 位 相 を もつ 直 積 集 合X×YをXとYの

位 相 が た だ 一 つ 存 在 す る*43.

直 積 位 相 空 間 と い う.

ノ

ー

ト

  本 章 の 論 述 の 主 眼 は,量 子 力 学 や量 子 場 の 理 論 に お け る 対 称 性 の 一 般 的 構造 を提 示 す る こ と に あ る.こ 論 の み な らず,相

の 一 般 的 枠 組 み は,非 相 対 論 的量 子 力 学 や 非 相 対 論 的 量 子 場 の 理

対 論 的 量 子 力 学 や 相 対 論 的 量 子 場 の 理 論 に も適 用 さ れ うる こ と を 強

調 して お き た い.ロ

ー レ ン ツ 群 やポ ア ン カ レ群 の 例 を 出 して お い た の は,こ

い て の 注 意 を喚 起 す る た め で あ る*44. *43 証 明 に つ い て は

,た

と え ば,竹

之内 脩

『トポ ロ ジ ー 』(廣 川 書 店,1973(15版))の5

章 を 参 照. *44 特 殊 相 対 論 的 量 子 場 の 理 論 へ の 応 用 に つ い て は

,[4]の7.4節

を 参 照.

の点 につ

  紙 数 の 都 合 上,具

体 的 な例 の 詳 述 は,回 転 群 の 表 現 と軌 道 角 運 動 量 の 関 係 に 限 定 せ

ざ る を得 な か っ た.同

様 の 方 法 に よ り,他 の 群 や リ ー代 数 の 無 限 次 元 表 現 を扱 う こ と

が 可 能 で あ る.今

日で は,群 や リ ー代 数 の 表 現 論 につ い て 詳 し く論 じた 数 学 書 も多 く

出 回 っ て い る(た

と え ば,[9,

群 論 の ユ ニ ー ク な 書[22]も

11, 14, 18, 23]).数

理 物 理 学 との 関 連 で 書 か れ た 連 続

本 章 で扱 え な か っ た 内 容 を補 っ て くれ る だ ろ う.

  量 子 力 学 の 具 体 的 な例 に 関 す る 群 論 的 あ る い は リー 代 数 的 議 論 は,た 20, 21]に み られ る.特

に,[10]は,本

理 学 にお け る対 称 性 の 役 割 を理 解 す る の に 適 して い る.相

対 論 的 量 子 力 学(デ

ク方 程 式 の 理 論)に お け る 対 称 性 に つ い て は[19]の2章,3章 に詳 し く書 か れ て い る.ロ

第4章

を参 照 さ れ た い.

  演習 問 題

証 明 せ よ.

2.  (4.21)で 定 義 され る 集 合L↑+(IRd+1)がO(d, ヒ ン ト:(4.18)か 3. O(d)のL2(IRd)上 4.  各j=1,…,dに L2(IRd)の

ィラ ッ

あ る い は[4]の11章

ー レ ン ツ 群 やポ ア ン カ レ群 の 量 子 場 の 理 論 にお け る表 現 の

具 体 的 構 成 に つ い て は,[4]の9章,11章

1. 命 題4.8を

と え ば,[10,

章 で は 言 及 す る こ とが で き なか っ た,素 粒 子 物

1)の 部 分 群 で あ る こ とを 証 明 せ よ.

ら,  で の ユ ニ タ リ表 現(例4.26)の 対 して,AjをIRd上

強 連 続 性 を 証 明 せ よ.

の ボ レル 可 測 関 数 と し,こ の 関数 に よ る,

か け 算 作 用 素 も同 じ記 号 で 表 す.こ

の と き,A=(A1,…,Ad)が

回

転 に 関 して ユ ニ タ リ装 備 的 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,す べ て のg∈SO(d) に対 して

が 成 り立 つ こ と で あ る こ と を 証 明 せ よ.こ の よ う なAの  

例:d=2の

場 合,B∈IRを

(x1, x2)∈IR2.こ

定 数 と して,A1(x)=-Bx2,

の 場 合 のA=(A1,

IR2をIR3={(x1, x2, x3)￨xj∈IR3, 軸 方 向 に 一 様 な磁 場Bを 5. Vを3次

A2)は,電 j=1,

例 を構 成 せ よ. A2(x)=Bx1, x=

磁 気 学 の コ ン テ ク ス トで は,

2, 3}の 部 分 空 間 とみ る と き,x3

生 み 出 す ベ ク トル ポ テ ン シ ャル を 表 す.

元 実 ベ ク トル 空 間 と し,Vの

この 基 底 に関 す る ベ ク トルx∈Vの

基 底(e1, e2, e3)を 任 意 に 一 つ 固 定 す る. 成 分 をxiで

表 す: .写

像

[・,・]=V×V→Vを

 

に よっ て 定 義 す る.こ

の と き,こ の 写 像 はV上

(し た が っ て,Vは[・,・]に 6. L2(IR3)に

の リー 括 弧 積 で あ る こ と を 示 せ

関 して 実 リ ー 代 数 で あ る).

お け る 軌 道 角 運 動 量L1,

L2, L3は

角 運 動 量 代 数Aの

表現 であ る こ

と を次 の 手 順 で 証 明 せ よ.  

(ⅰ) Aの 生 成 元J1, J2, J3は

 

(ⅱ) 線 形 な 単 射 π:A→L(C∞0(IR3))(C∞0(IR3)か 素 の 全 体)で

 

π(Jk)=Lkを

(ⅲ) (ⅱ)の π はAの 7. ス ピ ン1/2の

線 形 独 立 で あ る こ と を 示 せ. らC∞0(IR3)へ

の線形 作用

満 た す もの が 存 在 す る こ と を示 せ.

表 現 で あ る こ と を示 せ.

ス ピ ン角 運 動 量s1, s2, s3は 角 運 動 量 代 数Aの

既 約表現 の 一つで

あ る こ と を 示 せ. 8. Hを 複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,CをH上  

(ⅰ) H上

の 各 反 ユ ニ タ リ作 用 素Wに

だ 一 つ 存 在 し て,W=CUと  

対 して,H上

の ユ ニ タ リ作 用 素Uが

た

表 さ れ る こ と を示 せ.

(ⅲ) HをH上 の 自己 共 役 作 用 素 でCに 関 して 実 で あ る とす る.UをH上 の ユ ニ タ リ作 用 素 でHと 強 可 換 な もの と し,W:=CUと お く.こ の と き, 任 意 のt∈IRに

 

の 共 役 子 とす る.

注 意:(ⅱ)の

対 して,We-itH=eitHWを

反 ユ ニ タ リ作 用 素Wは,ハ

系 にお け る,時

示 せ.

ミ ル トニ ア ンがHで

与 え られ る 量 子

間 反 転-時 間並 進 群 の 射 影 表 現 に お け る 時 間 反 転 に 対 応 す る反

ユ ニ タ リ作 用 素 の 候 補 で あ り うる.

関 連

図 書

[1] 新井 朝 雄,『 対称 性 の数 理 』,日 本 評 論 社,1993. [2] 新井 朝 雄,『 ヒルベ ル ト空 間 と量 子力 学 』,共 立 出版,1997. [3] 新井 朝 雄,『 フ ォ ック空 間 と量 子 場 上 』,日 本評 論 社,2000. [4] 新井 朝 雄,『 フ ォ ック空 間 と量 子 場 下 』,日 本評 論 社,2000. [5] 新井 朝 雄,『 物 理現 象の 数 学 的 諸 原理-現 代 数 理 物 理 学 入 門 』,共 立 出版,2003. [6] 新井 朝 雄,『 現代 物 理 数 学 ハ ン ドブ ック』,朝 倉 書 店,2005. [7] 新井 朝 雄 ・江 沢 洋,『 量 子 力 学 の 数学 的 構 造Ⅰ』,朝 倉 書 店,1999.

[8] 新 井 朝 雄 ・江 沢 洋,『 量 子 力 学 の 数 学 的 構 造Ⅱ』,朝

倉 書 店,1999.

[9] 江 沢 洋 ・島 和 久,『 群 と 表 現 』,岩 波 講 座 ・応 用 数 学,岩

波 書 店,1994.

[10]  H.ジ ョ ー ジ ア イ,『 物 理 学 に お け る リ ー 代 数― ア イ ソ ス ピ ン か ら 統 一 理 論 へ 』(九 後 汰 一 郎 訳),吉 岡 書 店,1990. [11]  平 井 武 ・山 下 博,『 表 現 論 入 門 セ ミナ ー』,遊 [12]  H.ホ

星 社,2003.

ッ ク シ タ ッ ト,『 特 殊 関 数 』(岡 崎 誠 ・大 槻 義 彦 訳),培

風 館,1974.

[13]  マ ー ジ ナ ウ ・マ ー フ ィー,『 物 理 と化 学 の た め の 数 学Ⅰ』(改 訂 版28刷),共 立 全 書502, 1973. [14]  松 島 与 三,『 多 様 体 入 門 』(13版),裳

華 房,1976.

[15]  M,.Reed and B.Simon,Methods tional Analysis,1972. [16]  M.Reed ysis

and

of Modern

B.Simon,Methods

of Operators,Academic

立 出 版,共

of Modern

Mathematical

Mathematical

Physics

Physics Ⅳ:Anal

Press,1978.

[17] 佐 武 一 郎,『 線 型 代 数 学 』(32版),裳

華 房,1976.

[18]  島 和 久,『 連 続 群 と そ の 表 現 』,岩 波 書 店,1981. [19]  B.Thaller,The

Dirac

Equation,Springer,1992.

[20] 朝 永 振 一 郎,『 角 運 動 量 とス ピ ン 』,み す ず 書 房,1989. [21] E.ウ

ィ グ ナ ー,『 群 論 と 量 子 力 学 』(森 田 正 人 ・森 田 玲 子 訳),吉

[22] 保 江 邦 夫,『 数 理 物 理 学 方 法 序 説7連

続 群 論 』,日 本 評 論 社,2001.

[23]  山 内 恭 彦 ・杉 浦 光 夫,『 連 続 群 論 入 門 』,培 風 館,1960.

Ⅰ:Func

岡 書 店,1971.

5 物理量の摂動 と固有値の安定性

この 章 で は,物 理量 が 固有 値E0を の入 った 物 理 量 もE0の"近

もつ と き,こ の物 理 量 に摂 動 が 加 わ っ た場 合 ,摂 動 くに"固 有 値 を もつ か,と い う基 礎 的 な 問題 を考 察 す る.

この 考 察 の 目的 の 一 つ は,物 理 で発 見 法 的 に使 われ て い る,い わ ゆ る形 式 的摂 動 法 に対 す る数 学 的 に厳 密 な根 拠 を与 え る こ とで あ る.だ が,本 章の 真 の 目的 は,物 理 量 の 固有 値 お よび こ れ に関連 す る数学 的 諸対 象 の 在 り方 を よ り深 い,根 源 的 な相 か ら明晰 に認識 す るた め の 第一 の 階梯 の 一部 を提 示せ ん とす る もの で あ る.

5.1 

は

じ

め

に

  前 著[7]の 命 題3.3で 証 明 した よ う に,量 子 力 学 的 状 態 の 在 り方 に関 す る 自然 な仮 定 の も とで,量 子 系 の物 理 量Aの

測 定 値(観 測 値)の 全 体 は そ の ス ペ ク ト

ル σ(A)と 一 致 す る.し た が って,物

理 量 の ス ペ ク トル の 構 造 を 明 らか にす る

こ と― ス ペ ク トル解 析― は,量 子 力 学 の 種 々 の 具 象 的 モ デ ル の理 論 的 結 果 を実 験 あ るい は観 測 と比 較 す る意 味 にお い て 欠 か す こ との で き ない 仕 事 で あ る.  スペ ク トル解 析 の う ちで,最 も基 本 的 な 問 題 の 一つ は次 の よ う に述べ られ る: 物 理 量Aが

固有 値E0を

もつ と き,こ の物 理 量 に摂 動Bが

加 わ っ た場 合―A+B

が 自己 共 役 に な る とい う条 件 の も とで― 摂 動 の入 っ た物 理 量A+Bも もつ か?こ

の 問題 は 摂 動 の も とで の 固 有 値 の 安 定 性 の問 題 と呼 ばれ る*1.物

理 量A+BがE0の"近 Bの

く"に 固 有値 を も ち続 け る場 合,Aの

も とで安 定 で あ る(stable)と

い わ れ る.そ

も とで 不 安 定 で あ る とい う.こ の章 で は,こ *1  A+Bが

固 有値 を

固有 値E0は

摂動

うで ない場 合,そ れ は摂 動Bの

の 問 題 に対 す る 一 つ の 解 答 を与 え

,さ しあ た り,本 質 的 に 自己共 役 で あ る か 自己共 役 拡 大Cを もつ こ と しか わ か ら な い場 合 も起 こ り うる.前 者 の場 合 に は その 閉 包A+Bに つ い て,後 者 の 場 合 に はCにつ い て 同 じ問題 を考 え る.

る 解 析 的 摂 動 論(analytic

perturbation

の 基 礎 的 部 分 を 論 述 す る.こ

れ は,物

theory)と

呼 ば れ る 理 論 に つ い て,そ

理 で 発 見 法 的 に使 わ れ て い る,い

わゆる

形 式 的 摂 動 法 に 対 す る 数 学 的 に 厳 密 な 根 拠 を 与 え る も の で あ る*2.   前 著[6,7]や

本 書 の こ れ ま で の 章 で み た よ う に,量

子力学 の具象的モ デル に

お け る 物 理 量 は,質

量 や 電 荷 な ど の 物 理 定 数 を 含 む 場 合 が 多 い.そ

は,数

ラ メ ー タ ー と み な せ る.そ

学 的 に は,パ

着 目 す る こ と に よ り,物

理 量 は,一

け ら れ た 自 己 共 役 作 用 素A(κ)の  た と え ば,上

のBを

κBで

作 用 素 の 族 が 考 え ら れ る.こ が 無 摂 動 作 用 素Aを

れ らの定 数

の よ う なパ ラ メー タ ー の一 つ に

つ の 実 数 パ ラ メー タ ー κ に よ っ て添 え字 づ

族{A(κ)}κ

と し て 捉 え る こ と が 可 能 に な る.

置 き換 え る こ と に よ り,A(κ):=A+κBと の 例 で は,κ=0に

お け るA(κ),す

い う な わ ち,A(0)

与 え る.

  物 理 量 の 族{A(κ)}κ

に 対 し て,固

有 値 の 安 定性 の 問題 は次 の よ う に定 式 化 さ

れ る:

パ ラ メ ー ター κ の特 殊 な値 κ0に お け る作 用 素A(κ0)― 無 摂 動 作 用 素 に相 当― が 固 有 値E0を

もつ と き,κ が どの よ う な範 囲 にあ れ

ば,物 理 量A(κ)はE0の"近

く"に 固 有 値 を もつ か?

この 問 題 は,純 数 学 的 な観 点 か ら は,パ ラ メー ター κが 連 続 的 に変 化 す る と き に,作 用 素A(κ)の か,あ

諸 々 の性 質― スペ ク トル特 性 を含 む― が どの よ う に変 わ る

る い は 変 わ らな い か を探 究 す る作 用 素 論 的研 究 の 一 環 と して位 置 づ け る

こ とが で きる.以 上 が 本 章 で提 示 す る理 論 に対 す る 基 本 的 動 機 で あ る. 注 意5.1 

上 述 の 作 用 素A(κ)の

λ を λ:=κ-κ0に で あ る.す

お い て は,摂

よ っ て 導 入 しA(λ):=A(λ+κ0)と

な わ ち,A(λ)に

作 用 素A(κ0)を

固 有 値 問 題 を 考 え る 場 合,新

与 え る.し

お い て λ=0の た が っ て,摂

しい パ ラ メ ー タ ー

お け ば,A(0)=A(κ0)

場 合 が も と も と の 問題 で の無 摂 動

動 の も とで の 固 有 値 の安 定 性 の 問 題 に

動 の 入 っ た 作 用 素 を 指 定 す る パ ラ メ ー タ ー の 空 間 は― 必 要 な ら ば

今 述 べ た パ ラ メ ー タ ー 変 換 を 行 う こ と に よ り― 原 点 を 含 む 近 傍 で あ る と し て 一 般 性 を失 わ な い.5.4節

以 降 で の 議 論 は,こ

*2  解 析 的 摂 動 論 は 正 則 的 摂 動 論(regular

の 観 点 を 前 提 と し て い る.

perturbation

theory)と

も呼 ば れ る

.

5.2 

複 素 変 数 の バ ナ ッハ 空 間 値 関 数

 複 素 解 析 学 で 学 ぶ よ う に,た

とえ ば,実 変 数 の 複 素 数 値 関 数 がテイラー 展 開

可 能 な場 合,こ の 関 数 は,複 素解 析 関 数 の 実 変 数 へ の 制 限 とみ る こ とが で きる. この 教 え に 習 うな らば,も っ と一般 的 な コ ンテ ク ス トに お い て も,実 数 パ ラ メ ー ター κ を もつ 対 象 が あ る と き,κ を複 素 数 ま で拡 張 して 考 え る の は― そ れ が う ま くい くか ど うか とい う問 題 は さ しあ た り脇 にお い て― 自然 な 方 法 の 一 つ で あ る.複 素 関 数 論 との 類 推 か らい え ば,こ の 方 法 は,少 な く と も"解 析 的 な"範 疇 を扱 う場 合 に は― も ちろ ん,考 察 の対 象 に応 じて 自然 な"解 析 性"の 概 念 が 見 い だ され た と して の話 で あ るが― 有 効 で あ ろ う こ とが 推 察 され る.  前 節 の コ ンテ クス トで い え ば,作 用 素 の族{A(κ)}κ

を指 定 す るパ ラ メ ー タ ー

κ を複 素 数 まで拡 張 して考 え る こ と にな る.こ の場 合,対 応:κ〓A(κ)は

複素

変 数 κ を変 数 と し,ヒ ル ベ ル ト空 間上 の作 用 素 に値 を と る写 像― この よ う な写 像 を複 素 変 数 の作 用 素 値 関 数 とい う― とみ る こ とが で き る.そ こ で,こ の よ う な 関 数 につ い て の 解 析 学 を構 築 す る必 要 が あ る.だ が,結 論 か ら言 え ば,こ の 作 業 は,よ

り普 遍 的 な観 点 か ら行 っ た ほ うが統一 的 で 明 晰 な 認 識 を もた らす こ

とが わ か る.す な わ ち,写 像 の 値 域 を ヒル ベ ル ト空 間上 の作 用 素 の 集 合 に限 る の で は な く,こ れ を概 念 的 に含 む,も っ と一般 的 な集 合 に と るの で あ る.し か し,い き な り一 般 的 な場 合 を扱 うの は,本 書 の 範 囲 を越 え る.そ で は,ヒ ル ベ ル ト空 間H上

の有 界線 形 作 用 素 の 空 間B(H)が

る こ とに留 意 し,ま ず,複 素 平 面Cの

こで,こ

の節

バ ナ ッハ 空 間 に な

開集 合 を定 義 域 と して,バ ナ ッハ 空 間 に

値 を とる 写 像 につ い て基 礎 的 な事 柄 を論 じる*3.

  5.2.1  連 続 性 と解 析 性  DをCの か らXへ をDで

開 集 合,XをC上

の バ ナ ッハ 空 間(複 素 バ ナ ッハ 空 間)と す る.D

の 写 像F:D→X;D∋z〓F(z)∈X,す

な わ ち,D上

定 義 され た,複 素 変 数 の バ ナ ッハ 空 間 値 関 数 とい う.

*3  バ ナ ッハ 空 間 に つ い て は ,[6]の1章,1.2.6項

を 参 照.

のX値

関数

定 義5.1 

F:D→X,z0∈Dと

  (ⅰ) 任 意 の ε>0に

す る.

対 して,定

ば‖F(z)-F(z0)‖<ε

数 δ>0が

存 在 し て,￨z-z0￨<δ,z∈Dな

が 成 り立 つ と き,Fは

で あ る と い う.FがDの

点z0に

ら

お い て 連 続(continuous)

す べ て の 点 に お い て 連 続 で あ る と き,FはDに

お い

て 連 続 で あ る と い う.   (ⅱ) 点z0∈Dに き,Fはz0で

お い て,極

限limh→0[F(z0+h)-F(z0)]/hが

微 分 可 能 で あ る と い う.Dの

る と き,FはD上

で 微 分 可 能 ま た は 解 析 的(analytic)あ

で あ る と い う.こ

関 数F'をFの

  写 像F':D→XがDの

す べ て の 点 で 微 分 可 能 で あ る と き,FはD上

微 分 可 能 でF(2)がDの

対 し て,FがD上

の 導 関 数 と い う.以

で(n-1)回

で3回

でn回

微

下 同 様 に し て,

微 分 可 能 で あ り,(n-1)階

各 点 で 微 分 可 能 で あ る と き,FはD上

い い,F(n):=(F(n-1))'をFのn階

で2回

の 導 関 数 とい う,FがD上

各 点 で 微 分 可 能 で あ る と き,FはD上

分 可 能 で あ る と い い,F(3):=(F(2))'を3階

F(n-1)がDの

る い は 正 則(regular)

導 関 数 ま た は 微 分 と い う.

微 分 可 能 で あ る と い い,F(2):=(F')'をFの2階

自 然 数nに

微 分可能で あ

の場 合

に よ っ て 定 義 さ れ るX値

で2回

存在す ると

す べ て の 点zでFが

の導関数

微分可能であ ると

の 導 関 数 と呼 ぶ.F(n)(z)=dnF(z)/dzn

と い う 記 法 も 用 い る.   FがDの

各 点 で 何 回 で も微 分 可 能 で あ る と き,Fは

無限回微分可能であ ると

い う.

例5.1  き,レ

Aを

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

の 閉 作 用 素 で〓(A)≠0を

ゾ ル ヴ ェ ン ト方 程 式 に よ り,任 意 のz,z+h∈〓(A)(h≠0)に

こ の 式 に お い てh→0の (A-z)-1は

極 限 を 考 察 す る こ と に よ り,B(H)値

満 た す と す る.こ

の と

対 して

関 数:〓(A)∋z〓

正 則 であ り

(5.1)

で あ る こ とが わ か る.同

様 に し て,写 像:z〓(A-z)-1は〓(A)上

で無限 回微分 可

能であ り

(5.2) が 成 り立 つ こ とが わ か る. 補 題5.2 

DをCの

開 集 合 と し,F:D→XはD上

の と き,FはD上

で 連 続 で あ る.

証 明   z∈Dと お く.こ

で 正 則 で あ る と す る.こ

し,o1(z,h)=F(z+h)-F(z)-F'(z)h∈X(z+h∈D)と

の と き,仮

定 に よ り,limh→0‖o1(z,h)‖/￨h￨=0で

あ り

(5.3) と 書 け る.し

た が っ て,‖F(z+h)-F(z)‖〓‖F'(z)‖￨h￨+‖o1(z,h)‖

0(h→0).ゆ

  5.2.2 

え に,Fは

線

積

連 続 で あ る.

分

  複 素 変 数 の バ ナ ッハ 空 間 値 関 数 に つ い て も,通 仕 方 で,線

積 分 が 考 え ら れ る.DをCの

区 間[a,b]か

らDの

中 へ の 写 像)を

導 関 数 をC(t):=dC(t)/dtと の と き,FのCに

→

常 の複 素 関 数 の 場 合 と同様 な

開 集 合 と し,C:[a,b]→D(IRの

閉

区 分 的 に 滑 ら か な 曲 線 とす る*4.曲

も記 す.F:D→Xは

線Cの

連 続 で あ る と し よ う.こ

沿 う 線 積 分 ∫CF(z)dzを

(5.4) に よ っ て 定 義 す る.た 積 分 で あ る([7]のp.265に

だ し,右 辺 は,バ ナ ッハ 空 間 値 関 数F(C(・))C(・)の お け るB(H),

で 置 き換 え て 定 義 さ れ る も の).こ い こ と が わ か る*5.す *4  複 素 平 面Cに

な わ ち,通

T(t)を

れ は,曲

そ れ ぞ れ,X,T(t)=F(C(t))C(t)

線Cの

パ ラ メ ー タ ー表 示 に よ ら な

常 の 複 素 関 数 に 関 す る 線 績 分 の 場 合 と 同 様,

お け る 曲線 の基 本 的 な概 念 につ い て は

い.*5  全 単 射 な連 続微 分 可 能 な写 像h

,複 素 解析 学 の教 科 書 を参 照 され た

:[c,d]→[a,b]でh'(s)>0,s∈[c,d]を

(曲線 の 向 きを 変 え な い写 像)に 対 して,C(s):=C(h(s))と ∫CF(z)dz.

リー マ ン

満 たす もの

お くと き ∫CF(z)dz=

∫CF(z)dzは

曲 線Cの

像 と 向 き だ け か ら 決 ま る(バ

ナ ッ ハ 空 間Xに

お け る)対

象 で あ る.   Cが

閉 曲 線 の と き の 線 積 分 を 周 積 分(contour

で は,特

に 断 ら な い 限 り,周

integral)と

い う.以

下,本

書

積 分 は 反 時 計 ま わ り に と る も の と す る.

  5.2.3  正 則 な バ ナ ッハ 空 間値 関 数 の 基 本 的 性 質   バ ナ ッハ 空 間Xの よっ て,X値

双対 空 間 をX*で

表 す(付 録Gを

参 照).双 対 空 間 の存 在 に

の正 則 関 数 の理 論 を通 常 の 正 則 関数 の場 合 と ま っ た く並 行 的 に展

開す る こ とが で きる.ま ず,通 常 の 複 素 解 析 の結 果 を援 用 す る た め の 概 念 を定 義 す る: 定 義5.3 

DをCの

関 数l(F(z))が (weakly

点z0∈Dに

analytic)で

FはD上

開 集 合,F:D→Xと

す る.各l∈X*に

お い て,正

あ る と い う.FがDの

則 で あ る と き,Fは

対 し て,複 点z0で

素

弱解析 的

す べ て の 点 で 弱 解 析 的 で あ る と き,

で 弱 解 析 的 で あ る と い う.

命 題5.4 Cの

開 集 合Dで

定 義 され た 写 像F:D→Xが

解 析 的 で あ り,任 意 のl∈X*に

正 則 な らばFは

弱

対 して

(5.5) が 成 り立 つ.

証 明   任 意 のz∈Dに

対 して

これ は題 意 を意 味 す る.    実 は,驚

くべ き こ と に,命

■ 題5.4の

逆 も 成 り 立 つ:

定 理5.5 

DをCの

則 で あ る.さ もDで

開 集 合 とす る.F:D→XがD上

ら に,FはD上

正 則 で あ る.ま

た,任

で 弱 解 析 的 な ら ば,正

で 無 限 回 微 分 可 能 で あ り,各

階 の 導 関 数F(n)(z)

意 のl∈X*とn=1,2,…

に対 して

(5.6) が 成 り立 つ.

  この 定 理 は 非 常 に有 用 で あ る.と いう の は,一 般 的 に い っ て,与

え られ た 関

数 が 正 則 で あ る こ と を直 接 証 明 す る よ り も弱 解 析 的 で あ る こ と を証 明 す る ほ う が 簡 単 だ か ら で あ る.   定 理5.5を 補 題5.6 

証 明 す る た め に,補 題 を一 つ 用 意 す る. Xを

バ ナ ッ ハ 空 間 と す る.Xの

の 必 要 十 分 条 件 は,「 任 意 の ε>0に ら ばsupl∈X*

対 し て,番

成 り立 つ.ゆ

え に,任

 (十 分 性)(*)が

xm)￨〓‖l‖

ε(n,m〓n0).こ

(n,m〓n0).し 定 理5.5の り,z0を

意 のl∈X*＼{0}に

命 題G.7に

対 し て,

線 形 性 に よ り,￨l(xnよ っ て‖xn-xm‖〓

ε ■

弱 解 析 的 で あ る とす る.点z0∈Dを

任意 にと

意 のl∈X*に

た が っ て,コ

ε で あ る.こ

コ ー シ ー 列 で あ る. 

中 心 と す る 半 径R>0の

則 で あ る.し

の と き,任

あ る か ら,(*)とlの

た が っ て,{xn}nはXの

も の を 任 意 に と る.任

が

成 り立 つ.

れ と付 録Gの

証 明   F:D→Xは

た が っ て,任

ら ば‖xn-xm‖<ε

対 し て,￨l(xn-xm)￨〓‖l‖

成 り 立 つ と す る.こ

と お け ば,‖l'‖=1で

あ っ て,n,m〓n0な

成 り 立 つ こ と で あ る.

あ っ て,n,m〓n0な

意 のl∈X*に

l'=l/‖l‖

コ ー シ ー列 で あ る た め

コ ー シ ー 列 で あ る と す る.し

号n0が

線 形 性 に よ り,(*)が

号n0が

ε」 …(*)が

列{xn}nはXの

意 の ε>0に

れ とlの

対 し て,番

,‖l‖〓1￨l(xn)-l(xm)￨〓

証 明   (必 要 性)点

点 列{xn}nが

円Kで,そ 対 して,関

の 周 と 内 部 がDの

中 に含 まれ る

数f(z):=l(F(z))はDで

ー シ ー の積 分公 式 に よ り

正

fはK上

で 連 続 で あ り,Kは

有 限 で あ る.こ X⊂X**を

有 界 閉 集 合 で あ る か ら,Cl:=supz∈K￨f(z)￨は

れ は￨l(F(z))￨〓Cl,z∈Kを

意 味 す る.付

用 い る と,各F(z)は,F(z)(l):=l(F(z))と

と み る こ と が で き,￨F(z)(l)￨〓Cl,l∈X*が 界 性 の 原 理[7,p.353]に

こ れ と 補 題5.6に と が わ か る.し Fはz0で

こ の 場 合.上

成 り立 つ.し

様有

コー シー列 で あ る こ

た が っ て,limh→0[F(z0+h)-F(z0)]/hはXで

収 束 す る の で,

任 意 で あ っ た か ら,FはD上 任 意 のz∈Dで

た が っ て,一

元

れ を用 い る と

よ り,{[F(z0+h)-F(z0)]/h}hはXの

の 不 等 式 でz0を

述 べ た事 実

い う仕 方 で,X**の

よ っ て,cF:=supz∈K‖F(z)‖<∞.こ

正 則 で あ る.z0∈Dは

録Gで

で 正 則 で あ る.

置 き換 え る こ と に よ り

(5.7) を 得 る.関

数dl(F(z))/dzは

的 で あ る.ゆ

え に,上

り,(5.6)でn=2の n∈INに

正 則 で あ る か ら,(5.7)に

の 議 論 で,Fの

か わ り にF'を

場 合 が 成 り立 つ こ と に な る.以

対 し て,F(n)は

正 則 で あ り,(5.6)が

よ っ て,F'(z)は 考 え れ ば,F'は 下,同

弱解析 正 則であ

様 に し て,任

意の

成 り立 つ こ と が 帰 納 的 に 証 明 さ

れ る. 

■

  命 題5.4と

定 理5.5は

バ ナ ッハ 空 間値 解 析 関数 の 理 論 を展 開す る上 で の 基 礎

に な る.こ れ らの 事 実 に よ り,通 常 の 複 素 関数 論 の 結 果 を援 用 で きる.こ は,基 本 的 な結 果 だ け を述 べ て お く.ま ず,コ

こで

ー シー の 積 分 定 理 の 一般 化 は次

の 定 理 で 与 え られ る. 定 理5.7 

複 素 変 数 のX値

関 数Fが

ジ ョル ダ ン閉 曲線Cの

内 部 で 正 則 で,C

の 周 ま で 含 め て連 続 な らば

(5.8) が 成 り立 つ.

証 明   任 意 のl∈X*に

対 し て,l(F(z))はD上

で 正 則 な 関 数 で あ る か ら,通

常 の コ ー シ ー の 積 分 定 理 に よ っ て,∫Cl(F(z))dz=0.左 よ り,左 辺 はl(∫CF(z)dz)と l∈X*に

辺 は,lの

書 け る か ら,l(∫CF(z)dz)=0.こ

対 し て 成 立 す る か ら,付 録Gの

系G.6に

連続性 に

れがすべての

よ っ て,(5.8)が

結 論 さ れ る. 

■   (5.8)が 証 明 され れ ば,あ とは 通 常 の 複 素 解 析 関 数 論 とま った く並 行 的 な展 開 が 可 能 に な る. 定 理5.8 

(積 分 表 示,テ イ ラ ー展 開)F:L→Xは

して,R:=infz∈

∂D￨z-z0￨と

と の 距 離 を表 す).こ

お く(∂DはDの

の と き,z0のR近

に 含 ま れ る 任 意 の 円 周K(中

正 則 で あ る と し,z0∈Dに 境 界 を表 し,RはDの

対

境 界 と 点z0

傍UR(z0):={z∈C‖z-z0￨
心 はz0)に

対 して

(5.9) が 成 り立 つ(右

辺 は,円Kの

取 り方 に よ ら な い).さ

ら にFはUR(z0)に

お いて

(5.10) (作 用 素 ノ ル ム に よ る 収 束)と

い う 形 に展 開 さ れ る.し

か も,こ

の 展 開 は一 意 的

に 定 ま る.

証 明   任 意 のl∈X*に

対 し て,f(z):=l(F(z))は,Dで

の 複 素 解 析 関 数 で あ る か ら,こ

れ に 対 し て,コ

n!(2πi)-1∫Kf(z)(z-z0)-(n+1)dzが

定義 された通常

ー シ ー の 積 分 公 式f(n)(z0)=

成 り立 つ.こ

れ は,す

べ て のl∈X*に

対 して

を 意 味 す る.し

た が っ て,付

  (5.10)は,f(z)=l(F(z))の

録Gの

系G.6に

よ っ て(5.9)が

テ イ ラ ー 展 開 と(5.6)を

導 か れ る.

用 い れ ば よ い. 

■

5.3 

  Aを

ヒル ベ ル ト空 間H上

:〓(A)∋z〓(A-z)-1は limz→z0(A-z)-1は

閉 作 用 素 と冪 等 作 用 素

の 閉作 用 素 とす る と き,例5.1で 解 析 的 で あ る.だ が,z0がAの

存 在 し ない(演 習 問題1).こ

み た よ う に,写 像 孤 立 固有 値 な らば,

の意 味 で,Aの

孤立固有値は

この作 用 素値 解 析 関 数 の あ る種 の"特 異 点"と み なせ る.通 常 の解 析 関 数 論 にお い て,極 の まわ りの 周 積 分 を2πiで 割 っ た数 は留 数 と呼 ば れ,重

要 な役 割 を演

じる こ とは よ く知 られ て い る.そ こ で,作 用 素 値 解 析 関 数 の 場 合 も この 留 数 に 相 当 す る対 象―(A-z)-1の

周 積 分― を定 義 し,そ れ が い か な る作 用 素 論 的 性

質 を もつ か を調 べ る こ と は 自然 で あ る.そ の よ う な対 象 は,固 有 値 あ る い はス ペ ク トル に関 す る情 報 を担 っ て い る と予 想 され る.こ れ が こ の節 の 理 論 の 背 後 に あ る基 本 的着 想 あ る い は 見通 しの 一 つ で あ る.5.1節 に よっ て指 定 さ れ る 作 用 素A(κ)の の 固有 値E(κ)は

で ふ れ た パ ラ メ ー ター κ

固 有 値 問 題 と 関連 させ て い うな らば,A(κ)

κ の あ る 関 数 を定 義 す る もの とみ る こ とが で き,次 の 節 以 降

で 示 す よ う に,(A(κ)-z)-1の

周 積 分 か ら,E(κ)に

関 す る情 報 を引 き 出す こ

とが で き るの で あ る.

  5.3.1  自 己 共 役 作 用 素 の レ ゾル ヴ ェ ン トの 周 積 分   まず,基 本 的 な場 合 と して,自 え る.Aを

ヒ ルベ ル ト空 間H上

を 満 た す と す る(E0は

σ(A)に

r∈(0,δ)に

心 がE0で

Aの

対 し て,中

レ ゾ ル ヴ ェ ン ト集 合〓(A)に

補 題5.9 

A, r, E0を

己共 役 作 用 素 の レ ゾ ル ヴ ェ ン トの周 積 分 を考 の 自 己共 役 作 用 素 と し,点E0∈IRは

属 して い て も い な くて も よ い).ゆ 半 径 がrの

え に,任

意の

円 周{E∈C‖E-E0￨=r￨}は

属 す る(図5.1).

上 述 の も の と す る.

  (ⅰ) 任 意 のr∈(0,δ)に

対 して

(5.11)

図5.1  〓の 部 分 は σ(A)の 描 い た が,そ

はrに

れ はAの

幾何学的配位

一部 を 表 す.こ

の 図 で は 連 続 的 ス ペ ク トル の よ う に

孤 立 固 有値 の 部 分 集 合 で あ る場 合 もあ り うる.

よ ら な い.た だ し,∫￨E-E0￨=r(・)dEは

円 周:￨E-E0￨=rを

反時計 ま

わ りに一 周 す る線 積 分 を 表 す.   (ⅱ)  E0がAの

固 有 値 で あ れ ば,Pは

固 有 空 間ker(A-E0)の

上 へ の正 射 影

作 用 素 で あ る. 証 明   (ⅰ)  (5.11)の

と 書 け る.関

右 辺 をPrと

数:E〓

し よ う.任

〈Ψ,(A-E)-1Φ

シ ー の 積 分 定 理 に よ っ て,右

〉 は〓(A)で

〈 Ψ,PrΦ 〉はr∈(0,δ)に

よ ら な い.Ψ,Φ 対 し て,Pr1=Pr2を

  (ⅱ)  ス ペ ク トル 定 理 に よ り,任

∈Hは

対 して

正 則 で あ る か ら,コ

辺 の 線 積 分 はr∈(0,δ)に

べ て のr1, r2∈(0,δ)に

と書 け る.た

意 の Ψ,Φ ∈Hに

よ ら な い.し

ー

た が っ て,

任 意 で あ っ た か ら,こ

れ は,す

意 味 す る.

意 の Ψ,Φ ∈Hに

だ し,I1(E):=∫(-∞,E0-δ](λ-E)-1d〈

対 して

Ψ,EA(λ)Φ

〉(EAはAの

ス ペ ク トル 測 度), .

したがっ て,  関 数I1(E), (j=1,2).他

I2(E)は￨E-E0
正 則 で あ る か ら,∫￨E-E0￨=rIj(E)dE=0

方

ゆ え に,P=EA({E0})が 作 用 素 で あ る か ら([6]の

結 論 さ れ る.EA({E0})はker(A-E0)へ 命 題2.54),題

意 が し た が う. 

の正 射 影 ■

  5.3.2 冪

等

  こ こ で,正

作

用 素

射 影 作 用 素 の 自 己 共 役 性 を 捨 象 して 得 ら れ る 作 用 素 の 概 念 を 導 入

し て お く.

定 義5.10 

作 用 素P∈B(H)に

つ い て,P2=P(冪

等 性)が

成 り立 つ と き,P

を冪 等 作 用 素 と い う.

注 意5.2 

文 献 に よ っ て は,冪

前 著[6,7]に 素)の

お い て は,射

影 作 用 素 と い う 言 葉 を 直 交 射 影 作 用 素(正

意 味 で 用 い た の で,こ

定 義5.11 

M, NをHの

に 対 し て,Ψ1∈M,

Ψ2∈Nが

形 作 用 素Lの

命 題5.12 

あ っ て Ψ=Ψ1+Ψ2と

つ 任 意 の Ψ ∈H 表 さ れ る と き,MとN

あ る と い い,H=M〓Nと

値 域R(L)をRan

PをH上

射 影作用

こ で も そ れ を 踏 襲 す る こ と に す る.

閉 部 分 空 間 と す る.M∩N={0}か

は 相 補 的(complementary)で

  以 下,線

等 作 用 素 の こ と を 射 影 作 用 素 と い う場 合 が あ る.

Lと

の冪 等 作 用 素 と す る.こ

記 す.

い う ふ う に も 記 す. の と き,次

の(ⅰ)∼(ⅳ)が

成 り

立 つ:  

(ⅰ) Ran

Pは

  (ⅱ) I-Pは冪

閉 で あ る. 等 作 用 素 で あ る(し

た が っ て,(ⅰ)に

よ っ て,Ran(I-P)

は 閉).   (ⅲ) ker P=Ran(I-P).   (ⅳ)  H=Ran   (ⅴ) dim

Ran

P〓ker

P.

P<∞

ま た はdim

Ran

P*<∞

の と き,

(5.12) 証 明   (ⅰ)  こ れ は 正 射 影 作 用 素 の 場 合 と 同 様.   (ⅱ) (I-P)2を

直 接 計 算 し て み れ ば よ い.

  (ⅲ) P(I-P)=0よ

り,Ran(I-P)⊂ker

と す れ ば,PΨ=0.し

た が っ て,Ψ=(I-P)Ψ.ゆ

  (ⅳ) 任 意 の Ψ ∈Hに

対 し て,Ψ1=(I-P)Ψ,

ker P, Ψ2∈Ran

Pで

あ り,Ψ=Ψ1+Ψ2が

Pが

出 る.逆

に,Ψ

∈ker

P

え に Ψ ∈Ran(I-P). Ψ2=PΨ 成 り立 つ.Φ

と お け ば,Ψ1∈ ∈Ran

P∩ker

P

と す れ ば,PΦ=0…(*)で (*)とPの冪 Ran

き,{Pfk}Nk=1が

と書 け る.

た が っ て,Φ=0.ゆ

P)⊥

え にdim(ker

えに

P*に

よ る.dim

え に,dim

Ran

P*).よ

Ran

P.逆

線 形 独 立 で あ る(直

Ran

P〓dim

っ て,dim

Ran

の 線 形 独 立 な ベ ク トル の 集 合 とす る.こ

P)⊥〓dim

基 底 と す れ ば,{P*ej}nj=1は を 使 え),ゆ

P  Ran

線 形 独 立 で あ る こ と を 示 す の は 容 易 で あ る.し

P.ゆ

ker P 

出 る.し

第 二 の 等 号 は,直 交 分 解H=ker

と し,{fk}Nk=1を(ker

Ran

あ っ て Φ=Pη

P={0}.

  (ⅴ) (5.12)の

dim

る η ∈Hが

等 性 を 用 い る と,Pη=0が

P∩ker

<∞

あ り,あ

Ran

Ran

た が っ て,N〓

交 分 解H=ker

P=dim(ker

の と

に,{ej}nj=1をRan

P*=dim(ker P)⊥.

Pの

P* 

Ran

P)⊥(直

交 分 解H=

dim Ran

P*<∞

■

Q, PをH上

の冪 等 作 用 素 と す る.も

な ら ば‖P-Q‖〓1で

Q,

dim

M.し

N∩M,

N=ker

Pと

お く.命

Ran

P
題5.12-(ⅴ)に

た が っ て,N∩M≠{0}(第2章,付

Ψ ≠0と

し,dim

Ran

P≠dim

Ran

Q

あ る.

証 明   一 般 性 を 失 う こ と な く,dim Ran

P

の

場 合 も 同 様. 

命 題5.13 

P

す る と,PΨ=0,

意 味 す る. 

  DをC上

な わ ち,連

の 領 域,す

作 用 素P(z)∈B(H)を

Qと

よ っ て,dim 録C,補

QΨ=Ψ.し

こ れ は‖P-Q‖〓1を

Ran

し て よ い.M=

N⊥=dim

Ran

題C.1).そ

P<

こ で,Ψ

た が っ て,‖(P-Q)Ψ‖=‖

∈

Ψ‖. ■

結 開 集 合 と す る.各z∈Dに

対 応 さ せ る 写 像P:D→B(H)を冪

対 し て,冪

等

等作用素値 関数 と

い う.

命 題5.14  つ い て,dim

DをCの Ran

領 域 とす る.連 P(z)はz∈Dに

証 明  z0, z1∈Dを

任 意 に と る.Dの

続 な冪 等 作 用 素 値 関 数P:D→B(H)に

よ ら な い 定 数 で あ る.

連 結 性 に よ り,z0,

[a,b]→DでC(a)=z0, C(b)=z1と 点z(t)に δt,z∈Dな

対 し て,Pの

z1を

結 ぶ 曲 線C:

な る も の が と れ る.C上 連 続 性 に よ り,定

ら ば‖P(z)-P(z(t))‖<1が

数 δt>0が

の任意 の

あ っ て,￨z-z(t)￨<

成 り 立 つ.こ

れ と前 命 題 に よ り,

dim

Ran

P(z(t))=dim

Ran

P(z).

ば,K:={C(t)￨t∈[a,b]}⊂∪t∈[a る.Kは

,b]Ut. Ut上

コ ン パ ク ト集 合(有

よ り,有 UtN,

界 閉 集 合)で

限 個 のt1,…,tNが

あ っ て,K⊂

Utj∩Utj+1≠0, j=1,…,

に,K上

でdim

Ran

Ut:={z∈D￨￨z-z(t)￨<δt}と

P(z)は

N-1,で

で はdim

あ る か ら,ハ

お け

Ran

P(z)は

∪Nj=1Utj.こ

の 場 合,a∈Ut1,

あ る よ う に と れ る.し

一 定 で あ る か ら,dim

Ran

一定 であ

イ ネ ・ボ レ ル の 定 理 に b∈

た が っ て,特

P(z0)=dim

Ran

P(z1)

が 得 ら れ る. 

  5.3.3   AがH上

■

閉 作 用 素 の レ ゾル ヴ ェ ン トの 周 積 分 の(自 己 共 役 とは 限 らな い)閉 作 用 素 の 場 合 に,前 項 の事 実 は どの よ

うに変 更 ・拡 張 され るで あ ろ うか.こ れ を次 に調 べ よ う.い ま,点

λ0∈Cは

(5.13) を 満 た す と す る.こ は 〓(A)に

の と き,任

属 す る の でB(H)値

意 のr∈(0,δ)に

対 し て,円

周:￨λ-λ0￨=r

の線積分

(5.14) が 定 義 さ れ る.こ

定 理5.15 

の 作 用 素 の 基 本 的 性 質 は 次 の 定 理 に ま と め ら れ る:

A, λ0, rを 上 の も の と す る.

  (ⅰ) Pλ0はrに

よ ら な い.さ

  (ⅱ) Pλ0≠0で

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は λ0∈ σ(A)(す

の ス ペ ク ト ル σ(A)の   (ⅲ)  M:=ker H=M〓N,

孤 立 点)と

Pλ0,

N:=Ran

M∩N={0}が

  (ⅳ) N⊂D(A),

ら にP2λ0=Pλ0.

な る こ と で あ る. Pλ0と

お く と,M,

成 り立 つ. AN⊂N.

  (ⅴ) Pλ0A⊂APλ0.   (ⅵ) A[M∩D(A)]⊂M.   (ⅶ)  λ0がAの

な わ ち,λ0はA

固 有 値 な ら ば,ker(A-λ0)⊂N.

Nは

閉 部 分 空 間 で あ り,

  (ⅷ)  Mに

お け る 作 用 素BをD(B):=D(A)∩M, BΦ:=AΦ,

よ っ て 定 義 す る と き(こ れ は(ⅵ)に   (ⅸ) λ0∈ σ(A)か 然 数nが

あ っ て,す

  (ⅹ) dim

N=1な

つNが

Φ ∈D(B)に

よ り可 能),λ0〓

σ(B).

有 限 次 元 な ら ば,λ0はAの

べ て の Ψ ∈Nに

固 有 値 で あ り,あ

対 し て(A-λ0)nΨ=0が

ら ば,λ0はAの

る 自

成 り立 つ.

固 有 値 で あ り,ker(A-λ0)=Ran Pλ0

が 成 り立 つ.

証 明   (ⅰ)  前 半 は 補 題5.9-(ⅰ)の

証 明 と 同 様.0
と し よ う.レ

ゾル

ヴ ェ ン ト方 程 式 を 用 い る こ と に よ り,P2λ0を 次 の よ う に 計 算 す る こ と が で き る:

  (ⅱ)  (必 要 性)対 射 で あ り,対

偶 を 示 す.λ0∈〓(A)と

し よ う.こ

λ=λ0+reiθ, θ

応:z〓(A-z)-1は￨z-λ0￨<δ ∈[0,2π]と

変 数 変 換 し,r→0と

の と き,A-λ0は

で 解 析 的 で あ る.そ

全単 こ で,

す る こ と に よ り,Pλ0=0

が 導 か れ る.   (十 分 性)対

偶 を 示 す.ま

ず,一

般 的 な 事 実 を 証 明 す る.写

像

(5.15) を導 入 す る.容 易 に 導 か れ る等 式

(5.16)

を用 い る と

(5.17) が わ か る.任意のΨ

∈Hに

対 し て, 

を 積 分(2πi)-1∫￨λ-λ0￨=r(λ-λ0)-1(A-λ)-1Ψdλ マ ン 近 似 和 と し よ う.す

な わ ち,定

数c(n)j, λ(n)jは,

(2πi)-1∫￨λ-λ0￨=r(λ-λ0)-1(A-λ)-1Ψdλ=RΨ る.明

ら か に Φn∈D(A).作

に対 す る リ ー

n→

∞ の と き,Φn→

とな る よ う に選 ば れ て い

用 素 の等 式

(5.18) を 用 い る と(A-λ0)Φn→

Ψ-Pλ0Ψ(n→

A-λ0の

∈D(A-λ0)=D(A)か

閉 性 に よ り,RΨ

∞)を

示 す こ と が で き る.こ

れ と

つ

(5.19) が 結 論 さ れ る.   さ て,Pλ0=0と

し よ う.こ

あ り,R=(A-λ0)-1が   (ⅲ) 命 題5.12-(ⅳ)の (ⅳ) お よ び(ⅴ)Ψ -(2πi)-1∫￨

え に,λ0∈

∈Hと

λ-λ0￨=r(A-λ)-1Ψdλ

を周積分 に 対 す る リ ー マ ン 近 似 和 と す る(す

∞ の と き,Ψn→Pλ0Ψ

ら か に,Ψn∈D(A).恒

れ とAの

ら ば,Pλ0≠0.

し, 

等 式A(A-λ)-1=1+λ(A-λ)-1を

閉 性 に よ り,Pλ0Ψ

∈D(A)か

な わ ち,

に収 束 す る よ う に選 ば れ て い

る と{AΨn}nは,-(2πi)-1∫￨λ-λ0￨=rλ(A-λ)-1Ψdλ る.こ

よ っ て,λ0∈〓(A)で σ(A)な

応 用. 

定 数c(n)j, λ(n)jは, n→ る).明

の と き,(5.17),(5.19)に

導 か れ る.ゆ

用 い

に 収 束 す る こ とが わ か つ

(5.20) し た が っ て,特   Ψ ∈D(A)な 出 る.

に,N⊂D(A). ら ば,上

式 の 右 辺 はPλ0AΨ

に 等 し い.よ

っ て(ⅴ)の

事実 が

  上 に 示 し た こ と に よ り,Ψ る.し

た が っ て,(ⅴ)に

  (ⅵ)  Ψ ∈M∩D(A)と APλ0Ψ=0.し

∈Nな

す る とPλ0Ψ=0で

た が っ て,AΨ

  (ⅶ)  λ0がAの

ら ば,Ψ

∈D(A)で

固 有 値 で あ る と し,Ψ

∈ker(A-λ0)と

よ り,Pλ0Ψ=Ψ

た が っ て,Ψ

が 導 か れ る.し

す る と,Pλ0Ψ=0.こ

の と き,

∈N. 示 さ れ る.し

た が っ て,Ran

れ ら の 事 実 と(5.17),(5.19)に

(B-λ0)R=IMを

λ0〓 σ(B)を

す る.こ

定 義 お よび コ ー シ ー の 積 分 定 理 に

  (ⅷ)  (ⅰ)  の 計 算 と 同 様 に して,Pλ0R=0が

R(B-λ0)⊂IM,

れ と(ⅴ)を 使 え ばPλ0AΨ=

∈M.

れ とPλ0の

Ψ ∈Mと

で あ

∈N.

あ る.こ

(A-λ)-1Ψ=(λ0-λ)-1Ψ.こ

M.

あ り,Pλ0Ψ=Ψ

よ っ て,AΨ=APλ0Ψ=Pλ0AΨ

得 る.こ

れ は λ0∈〓(B),し

R⊂ よ っ て,

た が っ て,

意 味 す る.

  (ⅸ) Ψ ∈Nか

つAΨ=aΨ

と し よ う(a∈

σp(A)).こ

の と き,r>0が

い く

ら で も小 さ くで き る こ と に 注 意 す る と

と な る.し

た が っ て,A￨Nの

ら ば,A￨Nは

固 有 値 は λ0だ け で あ る.ゆ

固 有 値 を も ち,そ

を と る こ と に よ り,A￨Nはn次 こ の と き,Cの あ るnに

れ は λ0に 等 しい.dim

え に,dim

N<∞

な ら ば,Nに

の 正 方 行 列 と して 表 さ れ る.こ

れ をCと

ジ ョ ル ダ ン標 準 形 の 対 角 成 分 は す べ て λ0で あ る.し

対 し て(C-λ0)n=0が

成 り立 つ.こ

N<∞

な 基底

し よ う. た が っ て,

れ は(A-λ0)nΨ=0,

Ψ ∈N

を 意 味 す る.   (ⅹ)  dim

N=1な

ら ば,(ⅴ)に

て,N⊂ker(A-λ0).こ

よ り,AΨ=λ0Ψ,

れ と(ⅷ)の

Ψ ∈Nが

成 り立 つ.し

たが っ

結 果 を 合 わ せ れ ば,ker(A-λ0)=N.   ■

系5.16 λ0が

実 数 で,Aが

自 己 共 役 な ら ば,Pλ0は

証 明  Pλ0の 自己 共 役 性 を示 せ ば よい.そ

のため には

正 射 影 作 用 素 で あ る.

と 表 し, 

お よ び[(A-λ0-reiθ)-1]*=

(A-λ0-re-iθ)-1を

用 い,変

  定 理5.15-(ⅸ)に 点 で あ り,か

よ っ て,閉

つRan

Pλ0が

こ の 型 の 固 有 値 をAの ma(λ0):=dim と い う.こ

数 変換

θ'=-θ+2π

作 用 素Aの

ス ペ ク トル の 点 λ0が

有 限 次 元 で あ る な ら ば,λ0はAの

離 散 固 有 値(discrete

Ran Pλ0を

を 行 え ば よ い. 

幾 何 学 的 多 重 度(geometric

い う.こ

常 の 多 重 度mg(λ0):=dim

multiplicity)と

σ(A)の

孤 立

固 有 値 で あ る.

eigenvalue)と

固 有 値 λ0の 代 数 的 多 重 度(algebraic

れ と の 対 比 に お い て,通

■

の 場 合,

multiplicity) ker(A-λ0)を

い う*6.(ⅶ)に

よ っ てmg(λ0)〓

ma(λ0).   Aの

離 散 固 有 値 の 全 体 を σd(A)で

離 散 ス ペ ク トル の(σ(A)に 性 ス ペ ク トル(essential

注 意5.3 

Aが

表 し,こ

れ をAの

お け る)補 集 合 σess(A):=σ(A)＼ spectrum)と

σd(A)をAの

離 散 固 有 値 で あ る こ と は 「λ0がAの

あ る か ら(補 題5.9), 孤 立 固 有 値 で あ り,そ

の 多 重 度 が 有 限 で あ る こ と 」 と 同 値 で あ り,mg(λ0)=ma(λ0)が

  5.3.4 

真

い う.

自 己 共 役 の 場 合 は,Pλ0=EA({λ0})で

λ0∈ σ(A)がAの

離 散 ス ペ ク トル と い う.

成 り立 つ.

離 散 固 有 値 をも つ た め の 十 分 条 件

  定 理5.15を

も う 少 し一 般 化 し よ う.AはH上

r}⊂〓(A)を

満 た す も の と す る(r>0は

の 閉 作 用 素 で{λ ∈C￨￨λ-a￨=

定 数 で,a∈Cは

定 点).し

たが っ て

(5.21) が 定 義 さ れ る.

定 理5.17   

(ⅰ) Pは冪

  (ⅱ) dim n個

A, a, rを 上 の も の とす る. 等 作 用 素 で あ る. Ran

P=n<∞

な ら ば,Aは{λ

∈C￨￨λ-a￨
の 離 散 固 有 値 を も つ.

*6  この 概 念 は

,λ0が 離 散 固有 値 で な い場 合 に も定 義 さ れ る.

中 に高 々

  (ⅲ)  (ⅱ)に お い てn=1な

ら ば,Aは{λ

∈C￨￨λ-a￨
の 単 純 な 離 散 固 有 値 を もつ.こ

の 場 合,任 意 の Ψ ∈D(A)に

中 にた だ一 つ 対 し て,APΨ=PΨ

が 成 り立 つ.   (ⅳ) aが

実 数 で,Aが

証 明   (ⅰ)  定 理5.15-(ⅰ)の   (ⅱ)  お よ び(ⅲ)定 Ran

P⊂D(A),

自 己 共 役 な ら ば,Pは

証 明 と 同 様.

理5.15の ARan

場 合 と 同 様 に し て,H=ker

P⊂Ran

P, A[ker

こ と が わ か る.A1:=A￨Ran き,￨λ-a￨
P,

ら ば,λ〓 あ る の は,λ

P<∞

σ(A2).し

な ら ば,A1の

だ け か ら な る.し

算 に よ り,PνP=PPν=Pν

成立 す る の と

の よ う な λ に 対 し て,

σ(A1).も

たが っ し,n:=

λ0をν

はAの

有 限 集 合 で あ る.こ と し た も の)を 考 え る と,直

た が っ て,Ran

Pν ⊂Ran

P.ゆ

の

接計 え

離 散 固 有 値 で あ る.

証 明 と 同 様. 

5.4 

よび

し よ う.こ

つ こ の と き に 限 る.し

∈C￨￨λ-a￨
が わ か る.し っ て,ν

Pお

ス ペ ク トル は 相 異 な る 固 有 値 λ1,…,λk(k〓n)

集 合 の 任 意 の 点 をν と し,Pν(Pλ0で

  (ⅳ) 系5.16の

た が っ て,そ

た が っ て,σ(A)∩{λ￨￨λ-a￨
に,dim Pν
Pが

P∩D(A)と

あ る と き,か

σ(A)={λ

P〓Ran

P∩D(A)]⊂ker

A2:=A￨ker

∈〓(A1)で

∈C￨￨λ-a￨
Ran

正 射 影 作 用 素 で あ る.

■

物 理 量 の 摂 動 の 一 般 的 ク ラ ス― 解 析 的 摂 動

  準 備 が や や 長 くな っ て し ま った が,こ

れ で摂 動 の も とで の 物 理 量 の 固 有値 の

安 定 性 の 問 題 へ 滑 らか に考 察 の歩 み を進 め る こ とが で き る.

  5.4.1    H0を

自 己 共 役 作 用 素 の あ る一 般 的 な族

ヒル ベ ル ト空 間H上

無 摂 動 系 の 物 理 量―

の 自 己 共役 作 用 素― 量 子 力 学 の コ ンテ ク ス トで は

と し,IRの

原 点 を含 む 区 間Ⅱ に よ っ て 添 え字 づ け られ た

対 称 作 用 素 の 族{HI(κ)}κ ∈Ⅱが 次 の 条 件 を満 た して い る とす る:   (H.1)す

べ て の κ ∈Ⅱ に対 して,D(H0)⊂D(HI(κ))か

つHI(0)=0.

 (H.2)κ

∈Ⅱ に 依 存 し う る 定 数a(κ), b(κ)〓0が

存 在 して

(5.22) が 成 り立 つ.   (H.3)a(0)=0,

b(0)=0か

つ κ ∈Ⅱ の 関 数 と し て,a(κ), b(κ)は 連 続 で あ る.

こ の と き,H0のHI(κ)に

よる 摂 動 と して得 られ る対 称作 用 素

(5.23) は,a(κ)<1を に よ り,自

満 た す 任 意 のκ ∈Ⅱ に 対 して,加 己 共 役 で あ る.条

件(H.1)よ

藤-レ

リ ッ ヒ の 定 理(定 理2.7)

り,H(0)=H0で

あ り,条

件(H.2),

(H.3)は

を 導 く.こ

の 意 味 でH(κ)はH0の

  以 下,H0が

一 つ の"連 続 変 形"と

離 散 固 有 値E0∈IRを

み ら れ る.

も つ 場 合 を 考 え る.し

たが って

(5.24) ゆえに

(5.25) とす れ ば,点E0を

中心 とす る,半 径 εの 円 周

(5.26) はH0の

レ ゾ ル ヴ ェ ン ト集 合〓(H0)に

と し た 状 況).そ

こ で,次

にKε

含 ま れ る 条 件 を 考 察 し よ う.結

補 題5.18 

含 ま れ る(図5.1に

がH(κ)の

レ ゾ ル ヴ ェ ン ト集 合〓(H(κ))に

果 か ら い え ば,次

κ ∈Ⅱ と 上 の ε に 対 し て,定

お い て,A=H0, r=ε も

の 補 題 が 成 り立 つ.

数

(5.27)

を 導 入 し,r(κ)<1と

す る.こ

の と き,H(κ)は

自 己 共 役 で あ り,Kε

⊂ ρ(H(κ))

かつ

(5.28) が 成 り立 つ(収 束 は 一様 位 相 に よ る収 束).さ

らに

(5.29) 証 明   (5.27)の る.し

右 辺 第 二 項 は 非 負 で あ る か ら,r(κ)<1な

た が っ て,す

  E〓Kε, r(κ)<1と

で に 指 摘 し た よ う に,H(κ)は す る.定

理2.4に

ら ばa(κ)<1で

あ

自 己 共 役 で あ る.

よっ て

(5.30) な ら ば,E〓

ρ(H(κ))で

不 等 式￨E￨〓

ε+￨E0￨とH0の

‖(H0-E)-1‖〓

⊂ ρ(H(κ))で

E)-1‖〓r(κ)に

  補 題5.18の

不 等 式 か ら した が う

習 問 題2)に

あ る.(5.29)は

注 意 す る と,(5.30)が

定 理2.4の

成 立 し,

評 価 式 と‖HI(κ)(H0-

よ る. 

■

仮 定 の も と で,作

が 定 義 さ れ る.定

理5.17(ⅲ)に

  次 の 定 理 は作 用 素H(κ)の

る.こ

成 り立 つ.3角

ス ペ ク トル 表 示 を 用 い て 証 明 さ れ る 不 等 式

ε-1(E〓Kε)(演

し た が っ て,Kε

定 理5.19 

あ り,(5.28)が

H0の

の と き,次

  (ⅰ) H(κ)は   (ⅱ) n=1の す る:‖ Ω0‖=1,

用 素

よ り,P(κ)は

正 射 影 作 用 素 で あ る.

固 有 値 の 存 在 に 関 す る 基 本 定 理 の 一 つ で あ る.

離 散 固 有 値E0の の(ⅰ)∼(ⅲ)が

あ る と し,r(κ)<1/2と

す

成 立 す る:

開 区 間(E0-ε,E0+ε)の 場 合 を 考 え,Ω0をH0の H0Ω0=E0Ω0.こ

多 重 度 はnで

中 に,高々n個 固 有 値E0に の と き,H(κ)は

の 固 有 値 を も つ. 属 す る 単 位 ベ ク トル と 開 区 間(E0-ε,E0+ε)

 

の 中 に た だ一 つ の 固 有 値E(κ)を

も つ.さ

らに

(5.31) はH(κ)の

固 有 値E(κ)に

属 す る 固 有 ベ ク トル で あ り

(5.32) が 成 り 立 つ.

(ⅲ)

(5.33)

証 明   (ⅰ)r(κ)<1/2と

す る.補

題5.9-(ⅱ)に

よって

(5.34) は,H0の

固 有 空 間ker(H0-E0)へ

の 正 射 影 作 用 素 で あ る.容 易 に証 明 され る

不等 式

と(5.29), r(κ)<1/2に

よ って

(5.35) (5.36) (5.36)と

命 題5.13か

5.17-(ⅱ)とH(κ)の

らdim

Ran

P(κ)=dim

Ran P0=nを

固 有 値 の 実 性 に よ り,(ⅰ)の

  (ⅱ)後 半 の 事 実 だ け を証 明 す れ ば よ い.n=1で

得 る.す

る と定 理

題 意 が 成 立 す る. あ れ ば,(H(κ)-E)-1のEに

関 す る 正 則 性 を 用 い てP(κ)=-(2πi)-1∫￨E-E(κ)￨=r(H(κ)-E)-1dEと で き る(r〓(0,ε)は

十 分 小).す

る と系5.16に

の 上 へ の 正 射 影 作 用 素 で あ り,dim ker(H(κ)-E(κ))で

ker(H(κ)-E(κ))=1に

あ る.P0Ω0=Ω0と‖

変形

よ り,P(κ)はker(H(κ)-E(κ))

Ω0‖=1に

よ り, Ω(κ)〓 よ っ て,‖ Ω(κ)-Ω0‖

〓‖P(κ)-P0‖<1.し 値E(κ)に

た が っ て,Ω(κ)≠0.ゆ

属 す る 固 有 ベ ク トル で あ る.す

え に Ω(κ)はH(κ)の

固有

な わ ち,H(κ)Ω(κ)=E(κ)Ω(κ).

こ の 式 の 各 辺 と ベ ク トル Ω0の 内 積 を と り,<Ω0,P(κ)Ω0>=‖P(κ)Ω0‖2≠0 を 用 い る とE(κ)=/<Ω0,P(κ)Ω0>が H(κ)Ω0=E0Ω0+HI(κ)Ω0に   (ⅲ)(5.35)とlimκ 一 式 とlim

注 意 す れ ば(5.32)が

→0r(κ)=0は(5.33)の

κ→0HI(κ)Ω0=0か

  r(κ)<1/2と

導 か れ る.そ

し よ う.こ

ら,(5.33)の

の と き,(5.28)に

こで

得 ら れ る.

第 一 式 を 意 味 す る.(5.33)の

第

第 二 式 が 導 か れ る. 

■

よ り

(5.37) ただ し

(5.38)   E0の

多 重 度 が1の

場 合,(5.37)は,H(κ)の

固 有 ベ ク トル Ω(κ)=P(κ)Ω0

が

(5.39) と 展 開 さ れ る こ と を 意 味 す る.し

た が っ て,N〓1と

して

とい うベ ク トル を考 え る と,Nが

大 き くな れ ば な る ほ ど ΩN(κ)は Ω(κ)を よ り

よ く近 似 す る ベ ク トル で あ る こ とが わか る.   以 上 に よ り,作 用 素 論 にお い て解 析 的 摂 動 論 と よば れ る理 論 の 基 礎 的 な部 分 が叙 述 され た こ とに な る*7.

*7  こ こ で の"解

析 性"の

意 味 につ い て は ,5.4.3項

を 参 照.

  5.4.2  基 底 状 態 の存 在   前 著[7]で は,量 子 系 の ハ ミル トニ ア ンHの

最 低 エ ネ ル ギ ー がHの

固有値

で あ る と き,そ れ に 属 す る固 有 ベ ク トル をHの

基 底 状 態 と呼 ん だ.だ が,こ こ

で,便 宜 上,言 葉 の 用 語 法 を拡 張 して お く.   一 般 に,下 に有 界 な 自己 共 役 作 用 素Aに

対 して,そ の ス ペ ク トル の下 限

(5.40) がAの

固 有 値 で あ る と き,そ

ち,Aの {0}の dim

の 固 有 ベ ク トル をAの

基 底 状 態 と は,E0(A)がAの 元 の こ と で あ る.も

ker(A-E0(A))=1),

  定 理5.19は,基

なわ

固 有 値 で あ る と き のker(A-E0(A))＼

し,E0(A)がAの Aの

基 底 状 態 と 呼 ぶ.す

単 純 固 有 値 で あ る な ら ば(i.e.,

基 底 状 態 は 一 意 的 で あ る と い う.

底 状 態 の 存 在 と 一 意 性 の 問 題 に つ い て,次

の 結 果 を もた ら

す*8.

定 理5.20 

H0は

下 に 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 と す る.E0(H0)はH0の

な 固 有 値 に な っ て い る と し,そ の 多 重 度 をnと 縮 退 し た 基 底 状 態 を も つ).E0=E0(H0)と き,次  

す る(し

離散的

た が っ て,H0はn重

お き,r(κ)<1/2と

す る.こ

に の と

の(ⅰ), (ⅱ)が 成 立 す る:

(ⅰ) H(κ)は

基 底 状 態 を も ち,そ

の 縮 退 度 はn以

下 で あ る.ま

た

(5.41)   (ⅱ) n=1と

し,H0の

規 格 化 さ れ た 基 底 状 態 を Ω0と す る.こ

の 基 底 状 態 は 一 意 的 に 存 在 し,そ

れ は,定

数 倍 を 除 い て,Ω(κ):=P(κ)Ω0に

よ っ て 与 え ら れ る.

証 明   (ⅰ)加 藤-レ

リ ッ ヒ の 定 理(第2章,定

*8 基 底 状 態 の存 在 の 重 要性 に つ いて は ,第2章

の と き,H(κ)

理2.7)に

より

の序 節 で ふ れ た.

r(κ)<1/2に

よ り

し た が っ て,E0(H(κ))>E0-ε/2…(*). 

Ψ0をH0の

規 格 化 され た 基 底 状

態 の 任 意 の 一 つ とす れ ば

変 分 原 理 に よ り,E0(H(κ))〓〈 ε/2…(**)を

得 る.(*)と(**)か

て,H(κ)は,区

多 重 度 はn以

ら,(5.41)が

間(E0-ε/2,E0+ε/2)の

も つ だ け で あ る.し

で あ る か らE0(H(κ))<E0+ 導 か れ る.定

中 に は,高

た が っ て,E0(H(κ))はH(κ)の

々n個

理5.19-(ⅰ)に

よっ

の離 散 固有 値 を

離 散 固 有 値 で あ り,そ

の

下 で あ る.

  (ⅱ)(ⅰ)と 定 理5.19-(ⅱ)に

  5.4.3 

Ψ0,H(κ)Ψ0〉

HI(κ)が

よ る. 

κ に つ い て1次

■

である場合

  前 項 の 一 般 論 の 一 つ の 特 殊 化 と し て,HI(κ)がH0-有

界 な 対 称 作 用 素H1を

用いて

(5.42) と表 され る場 合 を考 え

(5.43) と お く.た

だ し

(5.44) (a, b〓0は

定 数)と

す る.パ

ラ メ ー タ ー κ を 摂 動H1に

関 す る結 合 定 数 また は

摂 動 パ ラ メ ー タ ー と い う.   容 易 に わか る よ う に

(5.45)

と す れ ば,こ

のa(・),

b(・)は 条 件(H.1),

(H.2),

(H.3)を

満 た す.こ

の 場 合

(5.46)

と お け ば,い

ま の 場 合 のr(κ)は

(5.47) と い う 形 を と る.し

た が って

(5.48) が 成 り立 つ.上

のHI(κ)を(5.38)の

右 辺 に 代 入 し,(5.37)を

用い る と

(5.49) を 得 る.た

だ し

(5.50) (5.49)の 右 辺 の 級 数 は,複 素 平 面 の 原 点 の近 傍

(5.51) で も定 義 さ れ る.こ B(H)値

関 数 で あ り,κ〓IR∩URε

て,P(κ)はURε   展 開(5.49)の え る.い

のB(H)値

上 のB(H)値

関 数 をP(κ)と

す れ ば,PはURε

な ら ばP(κ)=P(κ)が 解 析 関 数P(κ)へ

含 意 の 一 つ を み る た め に,E0が

上 の解析的 な

成 り立 つ.し

たが っ

拡 張 さ れ る. 単 純 な離 散 固 有 値 の場 合 を考

まの 場 合

(5.52) そ こ で,URε

上 の 関 数Eを

(5.53)

に よ っ て 定 義 す れ ば,こ E(κ)=E(κ)が

れ は 解 析 的 で あ り,任

成 り立 つ.こ

意 の κ〓IR∩URε

に 対 し て,

れ らの事 実 に よ り

(5.54) と冪 級 数 展 開 で き る(cn〓IRは

定 数).級

対 す る レ イ リ ー(Rayleigh)-シ

ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 級 数 ま た は 摂 動 級 数(pertur

bation

series),展

開 係 数cnを

固 有 値E(κ)に

レ イ リ ー-シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 係 数 と い う .

  レ イ リ ー-シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 係 数cnを (5.49)と(5.52)に

数(5.54)をH(κ)の

計 算 す る に は 次 の よ う に 進 め ば よ い.

よ り

(5.55) が 成 り立 つ.た

だ し

(5.56) (5.55)と(5.54)か

ら,数

列{cn}∞n=1に

対 し て 次 の 漸 化 式 が 得 ら れ る:

(5.57) こ こ でb0=1を

用 い た.し

一 意 的 に表 さ れ る

た が っ て,cnはa1,

…, an, b1,

…, bn -1を

用 いて

.

  以 上 の 事 実 を ま と め る と 次 の 定 理 を 得 る:

定 理5.21 

H1は(5.44)を

き,L(κ)は

自 己 共 役 で あ り,次

 

(ⅰ) L(κ)は

  も し,H0が

満 た す 対 称 作 用 素 と し,￨κ￨
開 区 間(E0-ε,

の(ⅰ), E0+ε)の

下 に 有 界 で,E0がH0の

底 状 態 を も ち,E0(L(κ))はL(κ)の (E0-ε/2,

E0+ε/2).

E0(L(κ)の

と す る.こ

の と

(ⅱ)が 成 り立 つ: 中 に,高

々n個

の 固 有 値 を も つ.

最 低 エ ネ ル ギ ー で あ れ ば,L(κ)は 離 散 的 固 有 値 で あ る.ま 多 重 度 はn以

下 で あ る.

た,E0(L(κ))〓

基

  (ⅱ) E0の

多 重 度 が1で

だ 一 つ の 固 有 値E(κ)を

あ る と き,L(κ)は も ち,(5.54)が

開 区 間(E0-ε,

成 り立 つ.ま

E0+ε)の

た,L(κ)の

中にた

固 有 値E(κ)

に 属 す る 固 有 ベ ク トル Ω(κ)は

(5.58) と 展 開 さ れ る.た   も し,H0が

だ し,Pnは(5.50)で

定 義 さ れ る.

下 に 有 界 で,E0がH0の

状 態 は 一 意 的 に 存 在 し,そ ま の 場 合,Ω0はH0の

れ は,零

最 低 エ ネ ル ギ ー で あ れ ば,L(κ)の で な い 定 数 倍 を 除 い て,Ω(κ)に

基底

等 し い(い

基 底 状 態).

  (5.57)と(5.56)を

用 い る とcnを

具 体 的 に 計 算 す る こ と が で き る.ま

ず

(5.59) は す ぐ に わ か る.(5.57)に

よ っ てc2=a2-b1c1.一

E)-1Ω0=(E0-E)-1Ω0を

方,(5.56)と(H0-

用 い る と

した が っ て

(5.60) 以 下,同

様 に し て,逐

注 意5.4 

H0が

{Ω0,Ψn￨n〓1}と

とな る の で

次cnを

計 算 す る こ と が で き る.

固 有 ベ ク トル の 完 全 正 規 直 交 系 を も つ 場 合 を 考 え,そ す る:H0Ψn=EnΨn,

En〓

σd(H0)(n〓1).こ

れ らを

の とき

と計 算 さ れ る.こ

れ が通 常 の 物 理 の 教 科 書 で扱 わ れ る形 式 的 摂 動 級 数 に お け る

2次 の係 数 の形 で あ る.だ が,公 式(5.60)は,H0が

固 有 ベ ク トル の完 全 正 規

直 交 系 を もた ない 場 合 に も成 立 す る式 で あ り,こ の 例 の場 合 よ り もは る か に 一 般 的 で あ る. 注 意5.5 

摂 動 作 用 素HI(κ)がH0-有

界 な対 称 作 用 素H1,

用 い てHI(κ)=κH1+κ2H2+…+κNHNと

…, HN(N〓2)を

い う形 で 与 え られ る場 合 で も,

上 述 の 場 合 とま っ た く同 様 な議 論 が 可 能 で あ る.

5.5 

応

用

  この節 で は,前 節 の 結 果 を量子 力学 の具 体 的 な モ デ ル に応 用 す る.以 下,h= 1, c=1の

単 位 系 を用 い る.

  5.5.1  量 子 調 和 振 動 子 の 摂 動   1次 元 量 子 調 和 振 動 子 の 系 を考 え,状 態 の ヒ ルベ ル ト空 間 と してL2(IR)を る.し

た が っ て,そ

で 与 え ら れ る.こ は そ れ ぞ れ,振 素 で あ る.[7]で 度1の

と

の ハ ミル トニ ア ン は

こ で,Δ

は1次

動 子 の 質 量,角

元 の 一 般 化 さ れ た ラ プ ラ シ ア ン,m>0, 振 動 数,xは

示 し た よ う に,H0は

座 標 変 数x〓IRに

自 己 共 役 で あ り,そ

離 散 固 有 値 λn:=(n+1/2)ω(n=0,

1, 2, …)だ

上 の ボ レ ル 可 測 関 数 で,D(H0)⊂D(V)か

あ る.し

よ るか け算 作 用

の ス ペ ク トル は 多 重 け か ら な る.VをIR

つ

を 満 た す も の と し よ う.λn-λn-1=ω(n〓1)で て λnを と る と,ε はω/2で

ω>0

た が っ て,い

あ る か ら,前 ま の 場 合 のRε

節 のE0と は

し

と な る.ゆ ば,Vに

え に,定 理5.21に

よ っ て,結 合 定 数 κが￨κ￨
よ っ て 摂 動 を 受 け た ハ ミル トニ ア ンH0+κVは,(λn-ω/2,λn+ω/2)

の 中 に た だ 一 つ の 固 有 値En(κ)を   N個

満 たす な ら

も ち,こ

れ は κ に つ い て 実 解 析 的 で あ る.

の 量 子 調 和 振 動 子 か ら な る 系 の ハ ミ ル トニ ア ン は テ ン ソ ル 積 NL2(IR)

上の 作 用素

と し て 定 義 さ れ る*9.テ

が 成 り立 つ.し

ン ソ ル 積 の 理 論 に よ り,H(N)0は

たが っ て,N=1の

自己 共 役 で あ り

場 合 と同様 に して,H(N)0の

固 有 値 は,相

対 的 に有 界 な摂 動 の もとで 安 定 で あ る こ とが わ か る(詳 細 を埋 め る こ とは 読 者 に任 せ る*10).   こ う して,量 子 調 和 振 動 子 の 多 体 系 の ハ ミル トニ ア ンの 各 固 有 値 は,相 対 的 に有 界 な摂 動 の も とに お い て,結 合 定 数κ の 大 き さが十 分 小 さけ れ ば 安 定 で あ る こ とが わ か る.

  5.5.2  2電 子 系 の 基 底 状 態 の存 在   電 荷Zeを

もつ 原 子 核 がIR3の

原 点 に 固 定 さ れ て い る と し,そ の ま わ りに2

個 の 電子 が 存 在 す る系 を考 え る.こ の と き,系 は2個 の 電 子 か ら な る2体 系 と み な せ る の で,状 態 の ヒル ベ ル ト空 間 と して,1電 間L2(IR3;C2)の2重

子 系 の状 態 の ヒル ベ ル ト空

反対 称 テ ン ソル 積  2asL2(IR3;C2)を

とる こ とが で き る.

Z=2の

場 合 の系 は ヘ リ ウ ム原 子 の あ る"近 似 形 態"を 記 述 す る*11.原 子 番 号

Zは,数

学 的 に は,自 然 数 で あ る必 要 は な い の で,以 後,正

の パ ラ メ ー ター と

み な す.   以 下 で は,簡 単 の た め,電 子 の ス ピ ン と統 計 性 は無 視 す る.し た が っ て,状 *9  [7]の4章

を参 照 . *10 た だ し ,N〓2の と きは,最 低 エ ネル ギ ー以 外 の 固有 値 は縮 退 してい る こ とに注 意. *11 よ り精 密 に は ,原 子 核 を構 成 す る陽 子2個 も動 い て いる場 合 を考 え る必 要 が あ る.も っ と根 源 的 に考 察 す るの で あ れ ば量 子 電磁 場 との相 互 作用 も考 慮 しな けれ ば な らな い.

態 の ヒ ル ベ ル ト空 間 と し てL2(IR3) 

L2(IR3)=L2(IR3×IR3)(自

然 な 同 型)を

と る.   1個 の電 子 と 原点 に 固定 さ れ た 原 子 核 との相互 作 用 に 関 す る ハ ミ ル トニ ア ン は

で 与 え ら れ る.こ り,mは

こ で,Δxは

変 数xに

関 す る 一般 化 され た ラ プ ラ シ ア ンで あ

電 子 の 質 量 を 表 す パ ラ メ ー タ ー で あ る.作

子 の ハ ミ ル トニ ア ン で あ る の で,第2章 か つHhyd(Z)は

た ハ ミ ル トニ ア ン はL2(IR3×IR3)上

の作 用 素

で 与 え ら れ る.た

点 を(x1,x2)と

は 変 数xjに

水素様 原

で み た よ う に,D(Hhyd(Z))=D(Δx)

下 に 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 で あ る.電

だ し,IR3×IR3の

用 素Hhyd(Z)は

子間 の 相 互 作 用 を 無 視 し

表 す と き,hj(j=1,2)

関 す る 水 素 様 原 子 の ハ ミ ル トニ ア ンHhyd(Z)で

あ る:

電 子 間 の 相 互 作 用 は クー ロ ン ポ テ ンシ ャル

で与 え られ るか ら,電 子 間 の 相 互 作 用 も取 り入 れ た 系 のハ ミル トニ ア ン は

で 与 え ら れ る.こ

こ で,摂

動 パ ラ メ ー タ ー κ ∈IRを

で 示 し た よ う に,H(κ)はD(H0)上

導 入 し た.第2章,2.3節

で 自 己 共 役 で 下 に 有 界 で あ る.

  水 素 様 原 子 の ハ ミ ル トニ ア ン の ス ペ ク トル に つ い て は 次 の 補 題 に 述 べ る 事 実 が 成 立 す る:

補 題5.22 

各n〓1に

対 して

と お く.こ

の とき

(5.61) で あ り,各 離 散 固 有 値Enの

  こ こ で は,こ

多 重 度 はn2で

あ る.

の 事 実 を認 め て 先 に進 む*12.ハ

化 され た基 底 状 態 は(絶 対 値 が1の

ミル トア ニ ンHhyd(Z)の

規格

定 数倍 を除 い て)

(5.62) で 与 え ら れ る:Hhyd(Z)ψ0=E1ψ0, ‖

ψ0‖L2(IR3)=1.

  自 然 な 同 型L2(IR3×IR3)〓L2(IR3)  I+I 

Hhyd(Z)に

L2(IR3)の

ユ ニ タ リ 同 値 で あ る*13.自

も と でH0はHhyd(Z) 

己共 役 作 用 素 の テ ン ソル 積 の ス

ペ ク トル 理 論 の 応 用 に よ り

とお け ば

が 成 立 す る*14.各 式 の右 辺 の 集 合 を具 体 的 に計 算 す る と

が わ か る. *12 各EnがH

hyd(Z)の 固 有 値 で あ る こ と は 周 知 で あ ろ う(量 子 力 学 の 入 門 的 教 科 書 に お い て 必 ず 扱 わ れ る 事 項 で あ る).し か し,Hhyd(Z)の ス ペ ク トル の 精 確 な 構 造(5.61) を証 明 す る こ と は そ れ ほ ど 簡 単 で は な く,次

の よ う な 階 梯 を 踏 ま ね ば な ら な い.ま

Hhyd(Z)の 真 性 ス ペ ク トル の 構 造―(5.61)の 第 二 式― こ れ か ら,離 散 ス ペ ク トル σd(Hhyd(Z))は(-∞,0)の 次 にE<0に IR3＼{0}上

対 す る 固 有 ベ ク トル 方 程 式Hhyd(Z)ψ=Eψ(ψ ∈D(Δ))の 解 ψ は で 無 限 回 微 分 可 能 なL2関 数 と 同一 視 で き る こ と を 示 し― い わ ゆ る楕 円 的

正 則 性(elliptic な 値 は 上 述 のEn, *13  [7]の4章 を参照 *14  [7]の4章

ず,

を 証 明 す る(第6章 の 例6.4). 部 分 集 合 で あ る こ とが わ か る.

を参照

regularity)と n=1, . .

2,…,で

よ ば れ る 性 質([5]の

定 理17.52を

尽 き る こ と を 証 明 す る.

参 照)―,Eの

可能

  次 の 点 に 注 意 し よ う.す トル[E1,∞)の

中 に"埋 め 込 ま れ て"い

有 値(embedded はH0の

な わ ち,n,m〓2に

eigenvalue)と

る(図5.2).こ

い う.他

離 散 固 有 値 で あ り,そ

対 す る 固 有 値En,mは

方,H0の

の 多 重 度 は1で

図5.2 H0の

真性スペク

の よ うな 固有 値 を埋 蔵 固 最 低 エ ネ ル ギ ーE1

,1=2E1

あ る.

ス ペ ク トル

 実 は,埋 蔵 固 有 値 の概 念 は,一 般 的 な概 念 で あ り,次 の よ う に定 義 され る: 定 義5.23  λ をAの

 

作 用 素Aの

固 有 値 λ がAの

埋 蔵 固 有 値(embedded

一般 的 に い っ て,埋

て た い へ ん 難 しい.な 有 値 に 対 し て は,こ い か ら で あ る.こ   第2章,

2.3節

ス ペ ク トル σ(A)の

eigenvalue)と

い う.

蔵 固 有 値 に 対 す る 摂 動 問 題 は,離 ぜ な ら,埋

散 固有 値 の そ れ に比 べ

蔵 固 有 値 の 定 義 か ら 明 ら か な よ う に,埋

蔵固

れ まで に述 べ た解 析 的摂 動 論 の 手 法 が そ の ま まで は 使 え な の 問 題 に つ い て は,次

の 節 で も う 少 し 詳 し く論 じ る .

で み た よ う に,VeeはH0に

摂 動 論 に よ り,￨κ￨が

関 し て 無 限 小 で あ る の で,解

十 分 小 で あ れ ば,H(κ)の

区 間(2E1-￨E1￨/2,2E1+￨E1￨/2)=(5E1/2, だ 一 つ の 固 有 値 で あ り,そ 特 に,H(κ)の

孤 立 点 で な い と き,

の 多 重 度 は1で

最 低 エ ネ ル ギ ーE0(H(κ))は, 3E1/2)の

中 に あ る,H(κ)の

あ る こ と が 結 論 さ れ る .し

基 底 状 態 は 一 意 的 に 存 在 す る.さ

析 的

ら に,E0(H(κ))は

た

た が っ て, κの 実解 析

関数で あ り

が 成 り立 つ.た 式 を用 い る と

だ し,Ω0(x1,x2):=ψ0(x1)ψ0(x2).一

方,付

録Hの

積分公

を得 る.た

だ し,Ehyd:=-e2/(2a0)は

水 素 原 子 の 基 底 状 態 エ ネ ル ギ ー で あ る.

した が って

 す で に 述 べ た よ う に,Z=2の

場 合 は ヘ リ ウ ム 原 子 で あ り,こ

の場 合 に は

(5.63) で あ る.ヘ

リ ウ ム 原 子 の 基 底 状 態 の エ ネ ル ギ ー の 実 験 値 は5.807Ehydで

とが 知 ら れ て い る.κ〓0.88な ら,も

ら ば,(8-5κ/2)Ehyd〓5.807Ehydで

し,κ=0.88でE0(H(κ))が

あ るか

収 束 す る な ら ば,E0(H(0.88))は あ る が,κ=1が

展 開(5.63)の

実験値 と

よ い 一 致 を 示 す.本

来 は κ=1で

て い る と して も,理

論 と実 験 の 一 致 は あ ま り よ くな い こ と が わ か る.

  5.5.3 

あ るこ

収 束 域 に入 っ

2核 子 系 の 束 縛 状 態 の 存 在

  原 子 核 の 構成 要 素 で あ る 核 子(陽

子,中

よ り,核 力 と呼 ば れ る 引 力 が 生 じ る.こ 領 域 に お い て は,第

性 子)ど

う し の間 に は 中 間 子 の 交 換 に

の 核 力 の ポ テ ン シ ャ ル は,低

エ ネル ギ ー

一次 近 似 的 に

(5.64) と い う形 で 与 え られ る.こ す る 中 間子 の質 量,￨x￨は

こで,g>0は

核 子 の結 合 定 数,m>0は

力 を媒 介

核 子間 の距 離 を表 す.こ の ポ テ ン シ ャルVYを

テ ン シ ャル とい う*15.容 易 にわ か る よ うに,VYは

湯 川ポ

超 関数 方 程 式

(5.65) (φ ∈D(IR3)')の

解 で あ る(Δ

は3次

元 の 一 般 化 さ れ た ラ プ ラ シ ア ン,δ(x)は

3次 元 の デ ル タ超 関 数)*16方 程 式(5.65)は *15 日 本 の 偉 大 な 理 論 物 理 学 者 湯 川 秀 樹(1907 *16 直 接 示 す に は

,VYの

[7]の 付 録Cの(C.

湯 川 方 程 式 と 呼 ば れ る こ と が あ る. -1981)に

よ る.

フ ー リ エ 変 換 を 計 算 す れ ば よ い(演 45)と(C.

53)を

習 問 題3).他

既 知 と す れ ば,(5.65)は

(C. 45)に は 誤 植 が あ り,(-Δ+1)G(f)=(2π)d/2δ(f)が で は 訂 正 済 み).

方,[6]ま

た だ ち に わ か る.な 正 しい 式 で あ る(2刷

たは お, 以降

  二 つ の 核 子 か ら な る 系 の 状 態 の ヒ ル ベ ル ト空 間 と し て,L2(IR3×IR3)を 核 子 は 非 相 対 論 的 で あ る と す る(こ こ の と き,系

の ハ ミ ル トニ ア ン は,ヒ

ル ベ ル ト空 間L2(IR3×IR3)で

に よ っ て 与 え られ る((x1,x2)∈IR3×IR3).た ま た はMj=mn(中

と り,

こ で も核 子 の ス ピ ン と統 計 性 は 無 視 す る).

性 子 の 質 量)(j=1,2)で

働 く作 用 素

だ し,Mj=mp(陽

子 の 質 量)

あ り

こ の ハ ミル トニ ア ン に お け る ポ テ ン シ ャ ル 部 分VYはx1とx2の

差 だ けの 関数

で あ る の で,第2章,2.3.4項

問題 の ハ ミル

で 示 し た よ う に,Hの

解 析 は1体

トニ ア ン

(5.66) ―L2(IR3)で M2)(換

働 く作 用 素― の 解 析 に 帰 着 さ れ る .た

だ し,M:=M1M2/(M1+

算 質 量).

  ハ ミ ル トニ ア ンHY(m)の

固 有 値 問 題 を 考 察 す る た め に,m=0の

場 合 のVY,

す な わ ち,

(5.67) は ク ー ロ ン型 ポ テ ン シ ャ ル で あ る こ と に 注 目 す る.こ

れ を ポ テ ン シ ャ ル とす る

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 型 ハ ミ ル トニ ア ン

(5.68) は,第2章,2.3.5項aで

示 し た よ う に,自

己 共 役 で 下 に 有 界 で あ る.作

用 素H0

を用 い る と

(5.69) と書 け る.た

だ し

 

で あ り,パ

ラ メ ー タ ーmは[0,∞)を

動 く も の とす る.容

易 に わか る よ うに

(5.70) した が っ て

(5.71) ゆ え に,か

け 算 作 用 素Wmは

た,Wm〓0に

よ り

し た が っ て,特

に,HY(m)の

有 界 で あ る の で,HY(m)は

自 己 共 役 で あ る.ま

最 低 エ ネ ルギ ー

に対 して

(5.72) が 成 り立 つ.た

だ し,

(5.73) はH0の

離 散 ス ペ ク トル の 点 で あ る(補 題5.22を

の 最 低 エ ネ ル ギ ー が 摂 動Wmの 定 理5.24 

各n〓1に

参 照).不

等 式(5.72)は,H0

も と で 下 が ら な い こ と を 意 味 す る.

対 して

(5.74) と す る. (ⅰ) も し

(5.75) な ら ば,HY(m)は

開 区 間(λn-εn,λn+εn)の

  (ⅱ) (基 底 状 態 の 存 在 と一 意 性)m<2π ギ ーE1(m)はHY(m)の

中 に 高 々n2個 ε1/gな

ら ば,HY(m)の

の 固 有 値 を も つ. 最 低 エ ネル

単 純 な 離 散 固 有 値 で あ り,

(5.76) が 成 り立 つ.

証 明   (ⅰ)H0の Wmの

固 有 値 λnの 摂 動 を 考 え る.前

節 の 一 般 論 で κ=m,HI(κ)=

場 合 を 考 え れ ば よ い. 

と は,(5.73)を

であ る こ

使 え ば 容 易 に わ か る.い

a(m)=0,b(m)=gm/4π

ま の 場 合,κ=m,ε=εnと

で あ る か ら,Rε n=2π

も と で 定 理5.19を

  (ⅱ)(5.76)の

右 側 の 不 等 式 だ け 示 せ ば よ い.(5.70)に

トル ψ ∈D(H0)に

応 用 で き,証

εn/gと

条 件(5.75)の

対 し て,〈 ψ,HY(m)ψ

つ い て,最

な る.し

た が っ て,

明 す べ き事 実 が し た が う.

〉〓 〈ψ,H0ψ

低 エ ネ ル ギ ー に 対 す る 変 分 原 理 に よ り,E1(m)〓 H0に

して

よ り,任

意 の単 位 ベ ク

〉+(gm/4π).こ

〈 ψ,H0ψ

れ と最

〉+gm/4π.次

低 エ ネ ル ギ ー に 対 す る 変 分 原 理 を 用 い れ ば(5.76)の

に,

右 側 の不

等 式 が 得 ら れ る. 

注 意5.6 

HY(m)の

は,m/M<3g/128π 135Mev(π0中

■

基 底 状 態 の 存 在 と一 意 性 の た め の 十 分 条 件m<2π と 同値 で あ る.M,mの

間 子),140Mev(π±

ε1/g

実 験 値 はM〓938Mev,m〓

中 間子)で あ る か ら,た

とえ ば,g〓20

な ら ば2核 子 系 の基 底 状 態 は 存 在 す る.陽 子 と中性 子 の系 は重 陽 子 と呼 ば れ る 一 つ の束 縛 状 態 を形 成 す る こ とが 実 験 的 に 知 られ て い る.い ま得 た理 論 的 結 果 は こ の実 験 事 実 に対 応 して い る と解 釈 され う る.

5.6 

埋 蔵 固 有 値 の 摂 動,共

鳴 極,生

き残 り確 率

 5.6.1  埋 蔵 固 有 値 の 摂 動 問題 につ い ての 予 備 的 注 意   埋 蔵 固有 値 に対 す る摂 動 問題 は,数 学 的 に繊 細 で微 妙 な側 面 を もつ.実 際,具 体 的 な例 を研 究 す る こ と に よ り,無 摂 動 作 用 素 の 埋 蔵 固有 値E0は 安 定 な場 合― 摂動 を受 けた 作 用 素 がE0の"近

摂 動 の も とで

く"に 固 有 値 を もつ 場 合― もあ れ

ば,不 安 定 な場 合― 摂 動 の もとで 消 えて しま う場 合(摂 動 を受 け た作 用 素 はE0 の"近 く"に は固 有 値 を もた ない 場 合)― もあ る こ とが 知 られ る.ど ち らに な る か は,無 摂 動 作 用 素 と摂 動 の特 性 や作 用 素 に含 まれ るパ ラ メー タ ーの 範 囲 に よ る*17.埋 蔵 固有 値 が摂 動 の もとで 消 え て しま う場 合,そ *17 次 の 節 で す る.

.こ

の よ う な 例 の 一 つ を論 じ る.こ

の 節 で は,ま

こ に い か な る数 学 的構

ず,あ

る 一 般 的 な 構 造 を提 示

造 が 関 与 し,量 子 力 学 の コ ンテ クス トに お い て,そ れ が どの よ う な現 象 に 関 わ る か を調 べ る こ とは た い へ ん 興 味 の あ る と こ ろで あ る.

  5.6.2 

レ ゾ ル ヴ ェ ン ト法

  埋 蔵 固 有 値 の 摂 動 問 題 に対 す る ア プ ロ ー チ の 一 つ は 次 の よ う な も の で あ る.例 5.1で み た よ う に,ヒ (H-z)-1はEの た が っ て,任

ル ベ ル ト空 間H上

の 自 己 共 役 作 用 素Hの

レ ゾ ル ヴ ェ ン ト集 合〓(H)上 意 の ベ ク トル Ψ ∈Hに

対 し て,複

のB(H)値

レ ゾル ヴ ェ ン ト

解 析 関 数 で あ る.し

素 変 数z∈〓(H)の

関数

(5.77) は〓(H)上

の解 析 関 数 で あ る.Hの

ス ペ ク トル 測 度 をEHと

す れ ば,自 己 共

役 作 用 素 の レ ゾ ル ヴ ェ ン トに対 す る ス ペ ク トル 表 示 に よ り,任 意 の 実 数Eと z∈〓(H)に

対 して

と書 ける.こ の 式 か ら次 の こ とが わか る:(ⅰ)EがHの ≠0な

らばEはFH(z;Ψ)の

EはFH(z;Ψ)の1位

特 異 点 で あ る.特 に,Eが

の極 で あ る.(ⅱ)逆

limε→0,ε ≠0(-iε)FH(E+iε;Ψ)≠0な が って,Hの

固 有値 で あ り,EH({E})Ψ 孤 立 固 有 値 で あ れ ば,

に,EがFH(z;Ψ)の

らば,EはHの

特 異 点 で あ り,

固有 値 で あ る*18.し た

固 有 値 は― 埋 蔵 固有 値 で あれ,孤 立 固 有 値 で あ れ― あ る ク ラス に

属 す るベ ク トル Ψ に対 す る解 析 関 数FH(z;Ψ)の

特 異 点 と して特 徴 づ け られ る.

 と こ ろで,複 素 解 析 学 の 観 点 か らい えば,解 析 関数 とい うの は,そ れ を可 能 な 限 り解 析 接 続 す る こ とに よ っ て初 め て,そ の 全 貌 に到 達 す る こ と が で き る.し たが っ て,FH(z;Ψ)に

つ い て もそ の 解 析 接 続 を考 察 す る の は 自然 で あ り,そ の

解 析 接 続 の 特 異 点 は,量 子 力 学 の コ ン テ ク ス トで は,何 *18 ル ベ ー グ の 優 収 束 定 理 を 用 い る こ と に よ り

 が 証 明 され る.

らか の 物 理 的 意 味 を も

つ と推 察 され る.Hの

孤 立 固有 値 が,FH(z;Ψ)の

す る と,FH(z;Ψ)の

実 軸 上 の極 で あ る こ と を考 慮

解析 接 続 の,実 軸 以外 の場 所 にあ る 極 は 固 有 値 に準 ず る役

割 を担 っ て い る と予 想 され る.次 の定 義 は,こ の 予 想 を動 機 づ け と して 導 入 さ れ る もの で あ る. 定 義5.25 

関数FH(z;Ψ)が

分 を横 切 っ て,(第二

上 半 平 面{z∈C￨Imz>0}か

ら,実

リ ー マ ン面 の)下 半 平 面{z∈C￨Imz<0}の

解 析 接 続 可 能 で あ る と し,こ の 解 析 接 続 をFH(z;Ψ)と 点z0∈Dに

極 を も つ と き,z0をHの

あ る 領 域Dへ

す る.関

共 鳴 極(resonance

軸 の あ る部

数FH(z;Ψ)が

pole)と

い い,2Im z0

を 共 鳴 の 幅 と い う.

  こ の 定 義 に い う 「共 鳴 極 」 とい う 命 名 は,Hが き,FH(z;Ψ)の state)と

下 半 平 面 に お け る 極 が,考

察 下 の 量 子 系 の 共 鳴 状 態(resonance

呼 ば れ る 状 態 に 対 応 す る も の で あ る こ と を 予 想 し た上 で つ け ら れ た も

の で あ る*19.共

鳴 状 態 と い う の は,厳

ア ン の 固 有 状 態)で あ る*20:(ⅰ)そ る;(ⅱ)あ

は な く,物 理 的 に 粗 くい え ば,次

る 程 度"長

い"時

間 に わ た っ て 継 続 し,そ

た,(ⅱ)に

き

の 後 に別 の状 態 に あ る確 率 常,Γ

い う継 続 時 間 を 共 鳴 状 態 の 寿 命 と い う.こ 鳴 状 態 は,た

粒 子 ど う しの 衝 突 ・散 乱 の 中 間 状 態 と し て 現 れ る.こ 射 粒 子 の エ ネ ル ギ ーEの

関 数 と み た と き,そ

とい う記号 で

scattering)と

同 伴 す る.物

の 組 か ら決 ま る 複 素zr:=Er-i(Γ/2)が

れ はΓ に 反 比

と え ば,原

の 場 合,散

れ はE=Erの

の よ う な 散 乱 を 共 鳴 散 乱(resonance

共 鳴 状 態 に は 実 数 の 組(Er,Γ)が

でHが

似"で

鳴 状 態 の エ ネ ル ギ ー 幅 を 表 す 区 間 は[Er-Γ/2,Er+Γ/2]

例 す る 量 で あ る こ と が 実 験 的 に 確 認 さ れ る.共

もつ.こ

ミル トニ

の 性 質 を もつ状 態 の こ とで

お け る 幅 を 共 鳴 状 態 の 準 位 幅 と い い,通

た が っ て,共

で あ る.ま

密 な 意 味 で の 束 縛 状 態(i. e.,ハ

の エ ネ ル ギ ー の 観 測 値 は あ る微 小 な 幅 の 中 間 点Erで"近

で 遷 移 す る.(ⅰ)に 表 す.し

量 子 系 の ハ ミ ル トニ ア ン を表 す と

乱の確率 を入

と こ ろで ピー ク を い う.こ

う し て,

理 的 ・発 見 法 的 議 論 に よ れ ば,こ

ハ ミ ル トニ ア ン の 共 鳴 極(上

ハ ミル トニ ア ン を 表 す 場 合 の 共 鳴 極)の

子 や素

の 定義

一 つ を与 え る と推 測 さ れ る.だ

*19 もち ろ ん ,純 数 学 的 には,上 の定 義 にお け る 対象z0を 何 と呼 ぶ か は全 然 本 質 的 な 問題 で は ない. *20 F H(z;Ψ)に お け るベ ク トル Ψ が表 す 状 態 とは別 物 で あ る.

が,こ の 推 測 を,普 遍 的 な形 で 証 明す る の は 簡 単 で は な く,多 くの 準 備 が い る.

  5.6.3  共 鳴 極 と生 き残 り確 率 の指 数 関数 的 崩 壊   ハ ミル トニ ア ンの 共鳴 極 の存 在 は,状 態 の 生 き残 り確 率 の 時 間 崩壊(時 間 的減 衰)と 関連 して い る こ と を示 そ う*21.次 の 定 理 が 成 り立 つ. 定 理5.26  a∈IRが

HをH上

の 自己 共 役 作 用 素 と し,次 の 性 質(ⅰ)∼(ⅲ)を もつ 実 数

存 在 す る とす る:

  (ⅰ) a〓 σP(H).   (ⅱ) あ る ベ ク トル Ψ C＼[a,∞)で

対 し て,zの

解 析 的 で あ り,上 半 平 面 か ら,実

(第二 リ ー マ ン面 の)下

関 数FH(z;Ψ)は

切 断平面

軸 の 部 分 区 間[a,∞)を

横切 って

半 平 面 の 部 分 集 合Da:={z∈C￨Rez>a,Imz<0}

へ と 解 析 接 続 さ れ る .こ FH(z;Ψ)=FH(z;Ψ)), Er-i(Γ/2)を

∈D(H)に

の 解 析 接 続 をFH(z;Ψ)と FH(z;Ψ)は,Daの

す れ ば(Imz>0な 中 に た だ 一 つ の1位

ら ば, の 極Z0=

も っ.

  (ⅲ) limz∈Da,z→∞￨FH(z;Ψ)￨=0. こ の と き,す

べ て のt>0に

対 して

(5.78) た だ し,R0はF(z;Ψ)のz=z0に

お け る留 数 で あ り

証 明   記 号 上 の 煩 雑 さ を避 け る た め に,証 明 を 通 し て,f(t):=〈 >0),F(z):=FH(z;Ψ),F(z):=FH(z;Ψ)と

お く.Imz>0に

つ公式

*21 生 き残 り確 率 に つ い て は

,3.8.4項

を 参 照.

Ψ,e-itHΨ〉(t 対 し て 成 り立

([7]のp.

268,補

と 書 け る.た

題3.11)に

だ し,x[0

F(x+iy)はxの

よ っ て

,∞)は[0,∞)の

関 数 と して,ix[0

で あ る.関数f(t)e-ytはt〓0で る の で,フ

定 義 関 数 で あ る.し

,∞)(t)f(t)e-ytの

た が っ て,F(z)=

フ ー リエ 変 換(の 

倍)

微 分 可 能 で あ り, 

であ

ー リ エ 逆 変 換 公 式 が 成 り立 つ:

(5.79) た だ し,右

辺 は 広 義 積 分 の 意 味 で と る*22.ま

が 切 断 平 面C＼[a,∞)で

た,y>0は

解 析 的 で あ る こ と を 考 慮 し て,(5.79)の

三 つ の 部 分 に 分 け る:f(t)=I1(t)+I2(t)+I3(t).た

た だ し,0<ε
す る.積

分I1(t), I3(t)を

右 辺 の積 分 を

計 算 す る た め に,F(z)e-itz

正 則 関 数 で あ る こ と,F(z)e-itzはDa上 ー シ ー の 積 分 定 理 を 用 い る.ま

で有理型であ るこ と

ず,I3(t)を

計 算 し よ う.そ

  こ の と き,極z0は

のため

満 た す よ う に 選 び,関

閉 曲 線:[a+ε+iy,a+ε+R+iy]→{a+ε+iy+Re-iθ￨θ

[0,π/2]}→{a+ε+iy+iζ￨ζ

数F

だ し

数R>0をR>-Imz0+y,R>Rez0-aを

F(z)e-itzを

任 意 で よ い.関

∈[-R,0]}に

数 ∈

添 っ て 積 分 す る(図5.3).

こ の 閉 曲 線 内 に 含 ま れ る.し

た が っ て,コ

ー シ ー の積 分 定

理 によ り

*22  積 分 は 発 散 して い る.

か ど うか はわ か らな い.具 体 的 な例 で は ,多 くの場 合,こ の

図5.3 

I3(t)の 計 算 の た め の 積 分 路

条 件(ⅲ)と

を 用 い る と,左 R→

辺 の 第 二 項 の 積 分 はR→

∞ と し て か ら,y→0と

を 得 る.I1(t)に

つ い て は,閉

∞ で0に

収 束 す る こ と が わ か る.

す る こ とに よ り

曲 線:  に つ い てF(z)eitz

を 積 分 す る こ と に よ り,I3(t)の

が 示 さ れ る. 

場 合 と 同様 に して

は 容 易 に わ か る.以

上 を 整 理 す れ ば,(5.78)が

得 ら れ る. 

  式(5.78)の

■

物 理 的 意 味 を 考 え よ う.議

論 を み や す くす る た め に,‖Ψ‖=1の

場 合 を考 え る.  て 区 間[α,β](α〓0)が

を 満 た す一 つ の 集 合 と し と れ る と 仮 定 す る.こ

の と き,任

意 のt∈[α,β]に

対

して

が成 り立 つ.   第3章

で す で にみ た よ う に,Hが

は 時 刻0で

量 子 系 の ハ ミル トニ ア ン を表 す場 合

状 態 Ψ に あ っ た 系 が 時 刻tで

(残 存 確 率)―

を表 す.し

状 態 Ψ に 留 ま る 確 率― 生 き残 り確 率

た が っ て,時 刻t∈[α,β]に な わ ち,そ

お け る 生 き 残 り確 率 は 近 似

的 にe-tΓ

に比 例 す る.す

ゆ え に,状

態 Ψ の 生 き 残 り時 刻 の 平 均 値― 状 態 Ψ の 平 均 寿 命―

 こ

れ は 時 間 に 関 し て,指 数 関 数 的 に 減 衰 す る.

れ か ら,も

な ら ば τ〓1/Γ

と な る.よ

っ て,条

し,αΓ≪1か

件(**)の

も と で,Γ

え て よ い.ゆ

え に,Γ

  次 に(*)を

満 た さ な い よ う な 状 況 を 考 え る.こ

と え ば,R1(t)お

つ βΓ≫1…(**) は 平 均 寿 命 の 逆 数 と考

が 大 き け れ ば 状 態 Ψ の 平 均 寿 命 は 短 く,小

よ びR2(t)の

れ は,tが

減 衰 の オ ー ダ ー がtの

に 比 例 す る 場 合 に 起 こ る*23.こ

の 場 合 に は,も

を τ とす れ ば,

さ け れ ば 長 い.

十 分 大 き い と き,た

負冪t-γ(γ>0は

は や,状

定 数)

態 の 平均 寿 命 につ い て

語 る こ と は で き な い.

  5.6.4 

指 数 関 数 的 減 衰 と ス ペ ク トル

  前 項 の 最 後 に 述 べ た こ と と 関 連 し て,次

定 理5.27

AをH上

が あ っ て,す

べ て のt∈IRに

が 成 り立 つ と す る.こ

証 明  f(t):=〈

*23 実 際

,こ

の 自 己 共 役 作 用 素 と し,単 位 ベ ク トル Φ と定 数C,γ>0 対 して

の と き,σ(A)=IR.

Φ,e-itAΦ〉,

μ(B):=‖EA(B)Φ‖2と

の 驚 くべ き 事 実 を 証 明 し て お こ う.

t∈IRと

お け ば,こ

の よ う な 例 は 存 在 す る.

お く.1次

れ は,(IR,B1)上

元 ボ レ ル 集 合Bに

対 し て,

の 確 率 測 度 で あ り,f(t)=

 

と 書 け る.仮 定 に よ り, 

で あ る か ら,f

の 逆 フー リエ 変 換 

は存 在 し,そ

れ は帯 領 域 

で 定 義 さ れ る正 則 関 数 へ と解 析 接 続 され る .任 意 の λ ∈IRに

は 実 数 で あ り,fはIR上

で 有 界 か つ 連 続 で あ る.フ

 

対 して,f(λ)

ー リエ 解 析 と作 用 素 解 析

に よ り, 

が 成 り立 つ こ とが 示 さ

れ る*24.ゆ

え に,μ は ル ベ ー グ測 度 に関 して 絶 対 連 続 で あ る.fはS上

で正

則 で あ り,そ れ は恒 等 的 に0で な い か ら,一 致 の 定 理 に よ り,そ の零 点 はSの 孤 立 点 に 限 る.こ の事 実 と任 意 の λ ∈IRに 対 して,f(λ)は 考 慮 す る と,supp supp μ ⊂supp

μ=IRで

な けれ ば な らな い こ とが 結 論 され る.と

EA=σ(A)で

  定 理5.27は,ハ

あ るか ら,σ(A)=IRで

ミル トニ ア ンHに

い て 次 の 性 質 を導 く:Hが

実数 になる ことを ころ が,

あ る. 

■

よ って 記 述 され る系 の 生 き残 り確 率 につ

下 に有 界 ま た は 上 に 有 界 な ら ば,任 意 の 単位 ベ ク ト

ル Ψ に関 す る 生 き残 り確 率 は,t∈IRの

関 数 と して

IR全 体 で 指 数 関 数 的 に 減 衰 す る こ とは な い.

 

5.7 

  最 後 に,前 的 に は,フ

フ リ ー ドリ ク ス モ デ ル

節 の 最 初 の 項 で 述 べ た 事 柄 を 例 証 す る 簡 単 な モ デ ル の 一つ― 歴 史 リ ー ド リ ク ス(K.O.Friedrichs)[10]に

よ って 最 初 に考 案 され たモ デ

ル― を 考 察 し て お く.

  5.7.1 

モ デ ル の 定 義

  ω:IR→[0,∞)を

連 続 関 数 で,任 意 の λ〓0に

ル ベ ー グ 測 度 が0で

あ り,か

ル ベ ル ト空 間L2(IR)に *24 まず

つ ω(k)→

お い て,関

∞(￨k￨→

対 して{k∈IR￨ω(k)=λ}の ∞)を

満 た す も の と し,ヒ

数 ω に よ る か け 算 作 用 素 を ω で 表 す.し

た

,有 界 な台 を もつ実 数値 連 続関 数gの す べ て に対 して, 

を示 せ.次 に,IRの 任 意 の有 界 区 間Jの 定 義 関数xJを 有界 な台 を もつ実 数 値連 続 関 数列 で 近似 す る こ とに よ り,B=Jの 場 合 の(*)を 導 け.最 後 に,μ(IR)=1 に注 意 し,ホ ップ の拡 張 定 理 の一 意 性 に よ り,(*)を

示 せ.

が っ て,ω

は非 負 自 己共 役 作 用 素 で あ り

(5.80) と す れ ば,m〓0で

あ り

(5.81) が 成 り立 つ*25.μ0∈IRを 例5.2  る,質

(ⅰ)m〓0を 量m,運

定 数 と す る.

定 数 と し て, k∈IR(2次

動 量kの

て,ω(k)=k2/(2M), k∈IR(質 ル ギ ー).(ⅲ)α>0を

元 時空 にお け

相 対 論 的 自 由 粒 子 の エ ネ ル ギ ー).(ⅱ)M>0を 量M,運

動 量kの

定 数 とし

非 相 対 論 的 自 由粒 子 の 運 動 エ ネ

定 数 と して,ω(k)=￨k￨α+m.

  1次 元 ユ ニ タ リ 空 間CとL2(IR)の

直 和 ヒ ル ベ ル ト空 間

(5.82) を考える.HFの

ベ ク ト ル(z,ψ)を 

L2(IR)か

の 線 形 作 用 素,SをCか

らCへ

上 の 線 形 作 用 素 とす る と き,HF上

をD(L):=C 

らL2(IR)へ

般 に,α

∈C,

Tを

の 線 形 作 用 素,AをL2(IR)

の線形作 用素

[D(A)∩D(T)]

に よ っ て 定 義 す る.こ う*26.容

と も 表 す.一

の 型 の 作 用 素Lを

作 用 素 行 列(operator

matrix)と

い

易 にわかる ように

*25 [6]のp .136,例2.13, [6]のpp. 126-127,命 題2.26,定 理2.27の 応 用. *26 作 用 素 を 行 列 要 素 とす る 作 用 素 の 意 .任 意 の 有 限 個 の ヒ ル ベ ル ト空 間H1,…,HNの 和 ベ ク トル 空 間  表 さ れ る.N=2の

に お け る 線 形 作 用 素 の 非 常 に 広 い ク ラ ス が,作 場合 に つ い て は,[3]の

付 録Cを

参 照.

直

用 素 行 列 の形 に

で あ る.右

辺 はC上

の 作 用 素 α(α を か け る 作 用 素)とAの

直 和 で あ る*27.

  さて

(5.83) とす れ ば,こ れ は 自 己 共 役 で あ り

(5.84) が 成 立 す る.こ の 場 合,固

有 値 μ0の 多 重 度 は1で

あ り,そ の 固 有 ベ ク トル は

(定 数 倍 を 除 い て)

(5.85) で 与 え ら れ る.も

し

(5.86) な ら ば,μ0はH0の

埋 蔵 固 有 値 で あ る(図5.4).以

下,こ

の 条 件 の も とで考 え

る*28.

図5.4 

H0の

ス ペ ク トル(μ0>mの

場 合)

図5.5 

H0の

ス ペ ク トル(μ0<mの

場 合)

  ヒル ベ ル ト空 間HFお

よ び μ0,ω に対 す る 量子 力 学 的 に 可 能 な描 像 の 一 つ は

次 の よ うな もの で あ る.す な わ ち,HFは,1次

元 的 な 運動 を行 う量 子 的粒 子 が

高 々1個 存 在 しえ る よ うな 系 の 状 態 の ヒル ベ ル ト空 間 を表 す.こ トル(z,0)∈HFは

量 子 的粒 子 が0の 状 態 を記 述 し,(0,ψ)∈HFは

*27  ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の 作 用 素 の 直 和 に つ い て は *28 μ0<mの

場合 は

,μ0はH0の の 解 析 は 演 習 問 題 とす る(演

,[7]の4章,4.3.2項

離 散 固 有 値 で あ る(図5.5).こ 習 問 題4).

の 場 合,ベ

ク

量 子 的粒 子

を 参 照. の 場 合 の摂 動 につ い て

が1個 存 在 す る状 態(運 動 量 表 示)を 記 述 す る.ω は,量 子 的 粒 子 の 自由 運動 の ハ ミル トニ ア ン を表 し,μ0は 量 子 的粒 子 が存 在 し ない と きの 系 のエ ネ ル ギ ー を 表 す.作 用 素H0は,こ

の よ うな系 に お け る 自 由ハ ミル トニ ア ン(無 摂 動 ハ ミル

トニ ア ン)で あ る.   次 にH0の

摂 動 を 考 え る.関 数g∈L2(IR)(g≠0)に

対 して,写 像Ag:

L2(IR)→Cを

(5.87) に よ っ て定 義 す る.容 易 に わ か る よ う に,Agは

有界線形作用素 であ り

(5.88) が 成 り立 つ*29.上

述 の 描 像 で い えば,Agは

る作 用 素 で あ る.作 用 素Agの

量 子 的 粒 子 を一 つ 減 らす 働 きをす

共 役 作 用 素A*g:C→L2(IR)は

(5.89) とい う形 で与 え られ る.こ れ は量 子 的粒 子 が 存 在 しな い状 態 か ら,量 子 的 粒 子 が 一 つ 存 在 す る状 態 をつ くる働 き をす る作 用 素 で あ る.   摂 動 作 用 素HI:HF→HFを

(5.90) に よ っ て 定 義 し,κ

∈IRを

パ ラ メー タ ー と して

(5.91) と お く.こ

れ が フ リ ー ド リ ク ス モ デ ル の ハ ミル トニ ア ン で あ る.HIは

称 作 用 素 で あ る の で,加

藤-レ

リ ッ ヒ の 定 理 に よ っ て,H(κ)は

有 界 な対

自 己 共 役 で あ り,

下 に 有 界 で あ る.   以 後,L2(IR)やHFの *29   

内 積 を 単 に 〈・,・〉で 表 す. は 容 易 にわ か る .実 際 に 等号 が成 立 す る こ とを 示 す には,

に注 意 す れ ば よい.

5.7.2 

埋 蔵 固 有 値 の消 失

以下

(5.92) とい う条 件 の も とで 考 え る.作 用 素H(κ)に

関 す る基 本 的 性 質 の一 つ が次 の 定

理 で 与 え られ る. 定 理5.28

κ ≠0と

し,(5.86),

(5.92)お

よ び 次 の 二 つ の 条 件(ⅰ),(ⅱ)を

仮

定 す る:   (ⅰ) 任 意 のE>mに

対 して

(5.93) (ⅱ)

(5.94) こ の と き,H(κ)は

固 有 値 を も た な い.す

な わ ち,H0の

埋 蔵 固 有 値 μ0は 摂 動

の も と で 消 え る.

証 明  固 有 ベ ク トル 方 程 式   は  

を 意 味 す る.こ

ら 

ま ず,z=0な

ら,Φ=0.し

た が っ て,Φ

の 第 二式 か

ら ば,ψ=0で

は 固 有 ベ ク トル で は な い.zが0で

あ るか

な い と き,次

の

三 つ の 場 合 が 考 え ら れ る.   (a) E=mの

場 合.こ

を(*)の

に 代 入 す る と μ0-m=κ2Cgと

第1式

E=mはH(κ)の   (b) E<mの

これ な り,条

件(5.94)に

反 す る.

固 有 値 で は な い. 場 合.(a)と

を 得 る.(-∞,m)上

方 程 式f(x)=xは(-∞,m)の

同 様 に して, 

の 関 数 

続 で 単 調 減 少 で あ る.条

値 で は な い.

の と き は, 

は連

件(5.94)に

よ っ て, 

中 に 解 を も た な い.ゆ

した が っ て, え に,EはH(κ)の

固有

  (c) E>mの

場 合.こ

て,EはH(κ)の

件(5.93)に

固 有 値 で は な い.以

例5.3 g∈L2(IR)が

ら ば,例5.2の の よ う な ω とgに

よ っ て, 

上 か ら,H(κ)は

連 続 関 数 で あ り,ω(k)>mを

て,￨g(k)￨>0な が っ て,こ

の 場 合,条

した が っ

固 有 値 を も た な い.  ■

満 た す,す

べ て のk>0に

関 数 ω の す べ て に 対 し て,(5.93)は 対 し て は,条

件(5.86),

(5.94)の

対 し

成 り 立 つ.し

た

も と で,H(κ)(κ

≠0)

は 固 有 値 を も た な い.

  5.7.3 

H(κ)が

  条 件(5.93)ま

固 有 値 をも つ条 件

た は(5.94)が

成 立 し な い よ う な ω とgに

対 して は,H(κ)が

固 有 値 を も つ 場 合 が あ る.

定 理5.29 

条 件(5.86),

(5.92)お

よび

(5.95) を 仮 定 す る.こ

の と き,H(κ)は

多 重 度1の

固 有 値Em(κ)∈(-∞,m)を

も ち,

これは方程式

(5.96) を 満 た す.さ

らに

(5.97) と す れ ば,ΦmはH(κ)の

固 有 値Em(κ)に

属 す る 固 有 ベ ク トル で あ る:H(κ)Φm=

Em(κ)Φm.

証 明   条 件(5.95)の り,f(x)=xは(-∞,m)の ψm∈L2(IR)で

も と で は,前

定 理 の 証 明 に お け る(b)の

中 に た だ 一 つ の 解Em(κ)を

あ り,Φm∈ker(H(κ)-Em(κ))で

部 分の考察 に よ もつ.仮

定 に よ り,

あ る こ とは直 接計 算 に よ り

確 か め ら れ る. 

  定 理5.29は,摂

■

動 パ ラ メ ー タ ー の 大 き さ￨κ￨が 十 分 大 き け れ ば,H(κ)は

値 を も つ こ と を 示 す も の で あ り,興 味 深 い.た

固有

だ し,こ の 場 合 の 固 有 値 は,埋

蔵

固 有 値 μ0の"変

容"と

い う よ り も,む

し ろ,強

結 合 領 域―￨κ￨の

に 特 有 の 新 し い 数 理 的 現 象 と み る の が 自 然 で あ る.定 ラ メ ー タ ー￨κ￨の 変 化 に お い て,￨κ￨が

を"通

過 す る"際

(critical point)と   一般

に,量

理5.28も

大 きい 領 域― 考 慮 す る と,パ

点

に 劇 的 な 変 化 が 起 こ る わ け で あ る.こ

の 種 の 点 を摂 動 の 臨 界 点

呼 ぶ.

子 力 学 や 量 子 場 の 理 論 に お い て,ハ

ミ ル トニ ア ン の 強 結 合 領 域 で

独 自 に 出 現 す る 構 造 な い し 効 果 を 非 摂 動 的 構 造(nonpeturbative た は 非 摂 動 的 効 果(nonperturbative   フ リ ー ド リ ク ス モ デ ルH(κ)に

effect)と

structure)ま

い う.

お け る 固 有 値Em(κ)の

出 現 は非 摂 動 的 効 果 の

一 つ とみ なせ る .

  5.7.4    H0の

レ ゾ ル ヴ ェ ン トと ス ペ ク トル

埋 蔵 固 有 値 μ0が 摂 動 κHIの

在 す る か ど う か を調 べ る た め に,ま

も と で 消 え て し ま う場 合 に,共

ず,H(κ)の

鳴極が存

レ ゾ ル ヴ ェ ン トが ど うい う 形 で

与 え ら れ る か を み よ う.   z∈C＼IRと

し(し

た が っ て,z∈〓(H(κ))),任

対 し て,(H(κ)-z)-1Ψ=(ω,φ)と

お く.こ

意 の Ψ=(η,ψ)∈HFに の とき

この 連 立 方 程 式 を ω と φ につ い て 解 け ば

(5.98) を 得 る.た

だ し

(5.99)

 

した が っ て

(5.100) この 形 か ら,H(κ)の

レゾ ル ヴェ ン トの性 質 に とっ て,関 数D(z)の

な役 割 を演 じる こ とが 推 察 され る.そ こで,こ 補 題5.30 

関 数D(z)は

性質が重要

の 関数 の性 質 を調 べ よ う.

切 断平 面

(5.101) で 解 析 的 で あ る.さ  

(ⅰ) (5.94)が

ら に,次

(ⅱ)が 成 立 す る:

成 り立 つ と き,D(z)はCmの

て,1/D(z)はCmで

中 に 零 点 を も た な い.し

たがっ

解 析 的 で あ る.

  (ⅱ) (5.95)が Em(κ)だ

の(ⅰ),

成 り立 つ と き,D(z)のCmに

け で あ る.し

お け る 零 点 は 定 理5.29に

た が っ て,1/D(z)はCm＼{Em(κ)}で

い う

解 析 的 で あ る.

証 明   最 初 の 主 張 を 証 明 す る の は 容 易 で あ る.方

程 式D(z)=0…(*)を

すz∈Cmをz=x+iy(x,y∈IR)と

そ の 実 部 と 虚 部 が と も に0と

し,(*)を

い う 条 件 で 吟 味 す る こ と に よ り ,y=0で た が っ て,D(x)=0.こ

れ と 定 理5.28と

が 出 る. 

定 理5.31 

満 た

な け れ ば な ら な い こ と が わ か る.し 定 理5.29の

証 明 か ら(ⅰ), (ⅱ)の 主 張 ■

(ⅰ) (5.94)が

成 り立 つ と き

(5.102) (ⅱ) (5.95)が

成 り立 つ と き

(5.103)

証 明   (ⅰ)  (5.100)の 的 で あ り,z∈C＼IRな

が 成 り立 つ.任

す る と,こ れ はCmで

対 して,z=x+iε,

Φ ∈HFが

任 意 のz∈Cmに

ρ(H(κ)).ゆ

解析

らば

ε>0と

し,ε→0の

稠 密 で あ る こ と を使 え ばT(x)(H(κ)-x)Ψ=Ψ,

(H(κ)-x)T(x)Φ=Φ,

Cm⊂

関 数 をT(z)と

意 のx∈(-∞,m)に

を と り,D(H0)が

式(5.100)は

右 辺 のB(HF)値

導 か れ る.こ

れ はx∈

極限

Ψ ∈D(H0), ρ(H(κ))を

対 し て 成 り 立 つ こ と が わ か る.し

意 味 し,

た が っ て,

え に,σ(H(κ))⊂[m,∞).

  (ⅱ)  (ⅰ)と 同 様. 

■

  定 理5.31は

次 の こ と を 語 る:弱

で は,H(κ)は

基 底 状 態 を も た な い が,強

領 域― で はH(κ)は

結 合 領 域― 条 件(5.94)を

基 底 状 態 を も つ.こ

底 状 態 が 現 れ る こ と を 意 味 す る.こ binding)と

  5.7.5 

い う.こ

満 たす κ の 領 域―

結 合 領 域― 条 件(5.95)を れ は,強

満 たす κの

結 合 領 域 に お い て 初 め て,基

の よ う な 現 象 を 束 縛 の 高 ま り(enhanced

れ も た い へ ん 興 味 深 い 現 象 で あ る.

解 析 接 続 と共 鳴 極

  こ の 項 を 通 し て,(5.86)を トに つ い て,無

仮 定 す る.ハ

ミ ル トニ ア ンH(κ)の

摂 動 系 の ハ ミ ル トニ ア ンH0の

レゾ ル ヴ ェ ン

固 有 ベ ク トル Ω0に 対 す る 行 列

要素

(5.104) の 解 析 接 続 を 考 え る.(5.100)に

よっ て

(5.105) し た が っ て,D(z)の

解 析 接 続 を考 え れ ば よ い.こ

こ で は,簡

単 のため

(5.106)

の 場 合 に つ い て の み 論 述 す る*30.こ

の とき

ただ し

(5.107) 関 数gは

次 の 条 件 を満 たす とす る:

  (g.1) g∈L2(IR)でgはIR上

連 続 で あ り,￨g(k)￨>0, k>0か

つsupk∈IR￨g(k)￨2<

∞,∫IR(￨g(k)￨2/￨k￨)dk<∞.   (g.2) hgは[0,∞)上

で 連 続 微 分 可 能 で あ る.

  (g.3) hgは{z∈C￨Imz<0}に

お け る 有 理 型 関 数 へ の 解 析 接 続 を も つ.こ

の 有 理 型 関 数 も 同 じ記 号hgで は 極 を も た ず,supRez〓0 条 件(g.1)はm=0の ω(k)=￨k￨の

表 す.hgは{z∈C￨Rez〓0,Imz<0}の

,Imz<0￨hg(z)￨<∞ 場 合 の(5.93)の

中 に

を満 た す.

成 立 を 導 く.上

の 条 件 に 加 え て,m=0,

場 合 の 条 件(5.94)

(5.108) も 仮 定 す る.こ わ ち,H0の 例5.4 

の と き,定

理5.28に

埋 蔵 固 有 値 は 摂 動 κHIの

a,b>0を

定 数,n>l,

に よ っ て 定 義 さ れ る 関 数gは

D(z)は

固 有 値 を も た な い.す

な

も と で 消 え る.

n, l∈INと

するとき

上 記 の 条 件(g.1)∼(g.3)を

z2l/[(z+a)2+b2]2n(Imz<0ま

補 題5.32 

よ っ て,H(κ)は

満 た す.こ

の 場 合,hg(z)=

た はz∈[0,∞)).

上 半 平 面 か ら[0,∞)を

平 面 上 の 有 理 型 関 数 に 解 析 接 続 さ れ る.そ

横 切 っ て(第

二 リ ー マ ン面 の)下

の 解 析 接 続 をD(z)と

半

すれば

(5.109) *30 ω が も っ と 一 般 の 場 合 に つ い て も

,以

下 の 議 論 は 拡 張 で き る.

証 明   ま ず,任 意 のx〓0に

対 して

を 示 す の は 難 し く な い.た

だ し,P∫(・)dkは

(5.109)に

定 義 す る と,こ

よ っ て,D(z)を

任 意 のx〓0に

対 して

が 成 り立 つ.ゆ

え に,題

  以 下,κ

補 題5.33 

主 値 積 分 を 表 す*31.し れ はImz<0で

た が っ て,

有 理 型 関 数 で あ り,

意 が 成 立 す る. 

■

は 複 素 変 数 と し て 考 え る.

定 数 κ0>0が

位 の 零 点z(κ)を

も ち,こ

存 在 し て,￨κ￨<κ0な

ら ば,D(z)は

μ0の 近 く に1

れ は 次 の 性 質(ⅰ), (ⅱ)を も つ:

  (ⅰ) Imz(κ)<0(￨κ￨<κ0).   (ⅱ) z(κ)は

κ の 関 数 と して,￨κ￨<κ0に

お い て解 析 的 で あ り

(5.110) と テ イ ラ ー 展 開 さ れ る.こ

こで

(5.111) 証 明   2変 数 κ, z∈Cの

関 数f(z,κ)を 次 の よ う に定 義 す る: Imz>0ま Imz<0,

*31 任 意 のx〓0と

ε>0に

Rez>0の

と き

とき

対 して

と 変 形 し,変 数 変 換 を 用 い て,ε P∫ ∞0hg(k)/(k-x)dkに

た はz∈[0,∞)の

収 束 し,右

↓0の

極 限 を 考 察 す れ ば よ い.右

辺 第 二 項 は ±iπhg(x)に

収 束 す る.

辺 第一 項 は

た だ し,￨κ￨<αcと

す る(5.108).fは,￨z-μ0￨<μ0, ￨κ￨<αcで

り,f(z,0)はz=μ0に 定 理*32に て,zに

一 位 の 零 点 を も つ.し

よ っ て,正

数r0<αc,R0が

た が っ て,複

あ っ て,￨κ￨
素 関数 論 の 陰 関 数 満 た す 各 κ に対 し

関 す る 方 程 式f(z,κ)=0は{z∈C￨￨z-μ0￨
1個 の 解 を も つ.そ

れ をz(κ)と

中にち ょうど

す れ ば,z(κ)は

κ の 関 数 と し て,￨κ￨
解 析 的 で あ る.D(z)は{z∈C￨Imz>0}∪[0,∞)に Imz(κ)<0か

つD(z(κ))=0で

と い う形 を も つ の で,正 る.し

正則 で あ

  D(z)の

な け れ ば な ら な い.Dの

数r1が

た が っ て,￨κ￨
は 零 点 を も た な い の で,

あ っ て,￨κ￨
ら ばD'(z(κ))≠0が

ら ば,z(κ)はD(z)の1位

ら ば￨z0-μ0￨〓

κ2C(z0)と

だ し

gに 対 す る 条 件 に よ り,C(z)は[0,∞)∪{z∈C￨Rez〓0,Imz<0}で あ る.し

た が っ て,￨κ￨が

か もlimκ →0 z0=μ0.よ

十 分 小 さ け れ ば,零 っ て,あ

点z0は

る 定 数 κ0>0が

z(κ)はD(z)の{z∈C￨Rez〓0,Imz<0}に   (5.111)は,a1=limκ

  以 上 か ら,次 *32 定 理:二

有 界で μ0の 近 傍 に し か な く,し

存 在 し て,￨κ￨<κ0な

よび

用 い る こ と に よ り証 明 で き る. 

■

の 定 理 が 証 明 さ れ た こ と に な る.

つ の 複 素 変 数w

は 定 点,R1,

ら ば,

お け る た だ 一 つ の 零 点 で あ る.

→0(z(κ)-μ0)/κ2お

(w(κ):=a1+a2κ2+a3κ4+…)を

わか

の 零 点 で あ る.

零 点 の 一 意 性 を 示 す に は,D(z0)=0な

評 価 で き る こ と に 注 意 す れ ば よ い.た

導関数 は

R2は

, zの 関 数F(w,z)が￨z-a￨〓R1, ￨w-b￨〓R2(a, 正 の 定 数)で 解 析 的(正 則)で あ り,F(w, a)がw=bに

位 の 零 点 を も つ な ら ば,正 数r1, r2が 存 在 して,￨z-a￨
の 解 を も つ.特 に,k=1の 解 析 的 で あ る.

  こ の 定 理 の 証 明 に つ い て は,た 版))のp. 144を 参 照.

と え ば,楠

場 合,そ

幸男

b∈C お い てk

満 た す 任 意 のzに 対 し 中 に ち ょ う ど(重 の 解 をw=f(z)と

す れ ば,f

『解 析 函 数 論 』(廣 川 書 店,1974(8

定 理5.34 

条 件(5.86),

さ れ る 関 数F(z)は ￨κ￨<κ0な

(g.1)∼(g.3),

(5.108)の

上 半 平 面 か ら,[0,∞)を

ら ば,補 題5.33に

横 切 っ て,下

蔵 固 有 値 μ0が 摂 動 κHIの

極z(κ)を

も つ こ とが わ か る(た

  5.7.6 

生 き残 り確 率 の 時 間 崩 壊

  定 理5.34の Ω0と

だ し,￨κ￨は

仮 定 を 前 提 とす る.こ

し て 応 用 で き る.い

よって 定義

半 平 面 に 解 析 接 続 さ れ,

い う 複 素 数z(κ)を,{z∈C￨Rez〓0,Imz<0}

の 中 に お け る た だ 一 つ の 極 と し て と し て も つ.こ

  こ う し て,埋

も と で,(5.104)に

の 極 の 位 数 は1で

も と で 消 え る 場 合 に,H(κ)は

共鳴

十 分 小).

の と き,定 理5.26をa=0,

ま の 場 合,(5.78)に

あ る.

お け るR0,

H=H(κ), R1(t)-R2(t)は

Ψ= 次 の

よ う に 計 算 さ れ る:

した が っ て,z(κ)=Er(κ)-i(Γ(κ)/2)と

す れ ば,定

理5.26に

よ り

(5.112) 容易 にわか るように

(5.113) した が って

な らば

で あ る の で,生   他 方,変

き 残 り確 率￨〈 Ω0,e-itH(κ)Ω0〉￨2は

数変換 によ り

指 数 関 数 的 に 減 衰 す る.

と 書 け る.た

だ し

hg(0)=0で

あ る か ら,た

と え ば,あ

る α>0に

対 して

な らば

と な る.た

だ し

したが っ て

し た が っ て,十

分 大 き な 時 間t>0に

率 は 指 数 関 数 的 に 減 衰 は せ ず,tに

  付 録G 

対 し て は,状

態 Ω0に

対 す る 生 き 残 り確

関 し て 冪 の オ ー ダ ー で 減 衰 す る.

バ ナ ッ ハ 空 間 の 双 対 空 間 と ハ ー ン-バ

ナ ッハ の定理

この 付 録 で は バ ナ ッハ 空 間の解 析 にお け る 基礎 的 な事 実 を叙述 す る.

  G.1 

バ ナ ッハ 空 間 の 双対 空 間

  バ ナ ッハ 空 間 に 対 して も,ヒ ル ベ ル ト空 間 の 場 合 と同 様 に双 対 空 間 の 概 念 が 定 義 さ れ る.Xを 定 義G.1 

複 素 バ ナ ッハ 空 間 とす る*33. 写 像l:X→Cが

次 の 条 件(ⅰ), (ⅱ)を 満 た す と き,lをX上

形 汎 関 数 とい う:(ⅰ) (線 形 性)す べ て のx, y∈X, αl(x)+βl(y). ￨l(x)￨〓C‖x‖

(ⅱ)  (有 界 性)定

数C>0が

α,β∈Cに

あ っ て,す

べ て のx∈Xに

が 成 り立 つ.

*33  バ ナ ッハ 空 間 の 定 義 に つ い て は

,[6]の1章,1.2.6項

を参 照.

の 有界 線

対 して,l(αx+βy)= 対 し て,

X上

の 有 界 線 形 汎 関 数 の 全 体 をX*で

  各l∈X*に

対 し て 定 ま る有 限 量

表 し,こ れ をXの

双 対 空 間 とい う.

‖l‖X*:=supx∈X,x≠0￨l(x)￨/‖x‖

をlの

ノルム

と 呼 ぶ.  容 易 にわ か る ように

(G.1)   ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の 有 界 線 形 作 用 素 の 場 合 と 同 様 に し て,任 あ る こ と,す

な わ ち,xn,

x∈X, xn→x(n→

意 のl∈X*は

∞)⇒limn→

連続 で

∞l(xn)=l(x)が

示

さ れ る*34.

命 題G.2 

(X*, ‖・‖X*)は

証 明   {ln}nをX*の 号n0が あ って

コ ー シ ー 列 と す る.す

あ っ て,n,

m〓n0な

‖ln‖X*〓C,

lm(x)￨〓‖x‖

バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る.

わ か る.ま

ε,n, m〓n0…(*).こ

を 意 味 す る.し

た が っ て,極

し た が っ て,完

あ る.し

  Xが

は,こ

∞

ε,n〓n0を

とすれ

意 味 す る.

中 に 極 限lを

も つ. ■

考 え る こ と が で き る.任 よ っ て 定 義 で き る.対

の 対 応 に よ っ て,XはX**の

記 し,xとxを同 満 た す バ ナ ッ ハ 空 間Xは

ハ ー ン-バ

意 のx∈X

応:x〓xは

中 に 埋 め 込 ま れ る.こ

の

一視 す る. 回 帰 的(reflexive)で

あ る と い う*35.

ナ ッハ の定 理

無 限 次 元 で,し

か は,さ

∞￨ln(x)￨〓

お い て,m→

っ て,{ln}nをX*の

双 対 空 間X**:=(X*)*を

た が っ て,こ

意 味 で,X⊂X**と

  G.2 

存 在 す る.l:x〓Cが

れ は,‖ln-l‖X*〓

に 対 し て,x∈X**をx(l):=l(x), l∈X*に

  X=X**を

コー シー列 で あ るこ と

備 で あ る. 

  こ の 命 題 に よ り,X*の

1対1で

数C>0が

対 し て,￨ln(x)-

ら に￨l(x)￨=limn→

え にl∈X*.(*)に

ε,n〓n0.こ

対 し て,番

れ か ら,定

限l(x):=limn→∝ln(x)が

∞‖ln-l‖X*=0.よ

ε>0に

べ て のx∈Xに

れ は{ln(x)}nがCの

〓C‖x‖.ゆ

ば,￨ln(x)-l(x)￨〓‖x‖ し た が っ て,limn→

た,す

線 形 性 か ら し た が う.さ

limsupn→∝‖ln‖X*‖x‖

意 の

ら ば‖ln-lm‖X*<ε.こ

n〓1が

線 形 で あ る こ と はlnの

な わ ち,任

し あ た っ て,明

か も ヒ ル ベ ル ト空 間 で な い 場 合 に,X*の ら か で は な い.次

の 定 理 が 語 る,バ

元 が ど の く らい あ る ナ ッハ 空 間 の 基 本 的 構 造

の 側 面 に つ い て の 知 見 を 提 供 す る.

*34 [6]のp *35 Xが い.

.64を 参 照. 有 限次 元 な らば

,Xは

常 に 回 帰 的 で あ る が,無

限 次 元 の 場 合 に は,そ

う とは 限 らな

定 理G.3 

ハ ー ン-バ ナ ッ ハ の 定 理.Vを

複 素 ベ ク トル 空 間,pをV上

と し,す べ て のx, y∈Vと￨α￨+￨β￨=1を

を 満 た す とす る.DをVの

の実 数値 関数

満 た す す べ て の α,β∈Cに

部 分 空 間,φ

をD上

対 して

の 線 形 汎 関 数 で す べ て のx∈Dに

対 して

を 満 た す もの と す る.こ

の と き,V上

の 線 形 汎 関 数 Φ で 次 の 性 質(ⅰ), (ⅱ)を 満 た す

もの が 存 在 す る:(ⅰ) す べ て のx∈Vに

対 して,￨Φ(x)￨〓p(x).

(ⅱ)  す べ て のx∈D

に 対 して,Φ(x)=φ(x).   こ の 定 理 の 証 明 に つ い て は,関   以 下,Xは 系G.4 

数 解 析 の 本 を参 照 さ れ た い*36.

複 素 バ ナ ッハ 空 間 で あ る とす る.

(拡大 定 理)DをXの

す る.‖ φ0‖:=supx∈D

部 分 空 間,φ0をDで

定義 され た有 界線 形 汎 関数 と

,x≠0￨φ0(x)￨/‖x‖ とお く.こ の と き,X*の

(ⅰ), (ⅱ)を 満 た す もの が 存 在 す る:(ⅰ) φ(x)=φ0(x), 証 明  p(x)=‖

系G.5 

φ0‖ ‖x‖,x∈Dと

証 明  D={αx￨α

元 φ で次 の性 質 φ‖=‖ φ0‖.

して ハ ー ン-バ ナ ッハ の 定 理 を応 用 す れ ば よ い. ■

(有界 線 形 汎 関 数 の 存 在)各x∈X,

‖x‖, ‖φx‖=1を

x∈D.(ⅱ) ‖

x≠0に

対 して,φx∈X*で

φx(x)=

満 た す もの が 存 在 す る. ∈C}(1次

元 部 分 空 間),φ0(αx)=α‖x‖

と して,系G.4を

応用

す れ ば よい. 

■

  こ の 系 は,X≠{0}な

ら ば,X*≠{0}で

あ る こ と,す な わ ち,非

自明 な有界線 形

汎 関 数 の 存 在 を 示 す. 系G.6 

ベ ク トルx∈Xに

な ら ば,x=0で

つ い て,す

す る と,系G.5に

満 た す も の が 存 在 す る.し

  次 の 命 題 は 重 要 で あ る. *36 た と え ば

対 してl(x)=0が

成 り立 つ

あ る.

証 明   対 偶 を 証 明 す る.x≠0と ‖x‖≠0を

べ て のl∈X*に

,[14]の8章,8.2節.

た が っ て,題

よ っ て,φx∈X*で 意 が 成 立 す る. 

φx(x)= ■

命 題G.7  証 明   x≠0の

任 意 のx∈Xに

対 して,‖x‖=supl∈X*

, ‖l‖ 〓1￨l(x)￨.

場 合 につ い て 示 せ ば 十 分 で あ る.a:=sup‖l‖

定 義 か ら,￨l(x)￨〓‖l‖‖x‖.し でl(x)=‖x‖, ‖l‖=1を

満 た す も の が 存 在 す る.し

  付 録H 

  半 無 限 開 区 間(0,∞)上

〓1￨l(x)￨と お く.‖l‖ の

た が っ て,a〓‖x‖.系G.5に

あ る2重

の 連 続 関 数f,

よ っ て,l∈X*＼{0}

た が っ て ,‖x‖ 〓a. 

■

積 分 の計 算

gが 条 件

を満 た す と き,次 の 等 式 が 成 立 す る:

(H.1) 証 明   仮 定 に よ り,積 分

(H.2) は 有 限 で あ り,累 次 積 分 が で きる.し た が っ て

x=(x1,x2,x3),

(r1=￨x￨>0, た だ し,xはxを の と き

y-x=(z1,z2,z3)に

φ ∈[0,2π),

θ ∈[0,π];

対 し て,次

ρ=￨y-x￨>0,

一 つ と め る ご と に ベ ク ト ルxとy-xの

の 極 座 標 変 換 を 行 う.

ψ ∈[0,2π), x∈[0,π]). な す 角 度 に と る .こ

xに つ い て の 積 分 を 変 数 変 換: 

を用 い て 行

うと

r2に

関 す る 積 分 をr1〓r2の

り,(H.1)が 例H.1 

部 分 とr1
部 分 に分 け て計 算 す る こ と に よ

得 ら れ る.  α>0を

■

定 数 と して,f(r)=g(r)=e-αr,r>0の

場 合 を 考 え,(H.1)と

簡 単 に証 明 で きる 公 式

を用 い る と

(H.3) を 得 る.

ノ

ー

ト

  解 析 的 摂 動 論 の さ ら に深 い 展 開 は,こ の 理 論 の 創 始 者 に よっ て 書 か れ た 世 界 的 名 著[12] の7章 以 降 や[16]の12章

にみ ら れ る.埋 蔵 固 有 値 の摂 動 問題 の 解 析 へ の 一 つ の ア プ ロー

チ と して,伸 張解 析 的 方 法(dilatation はL2(IRd)の

analytic method)と

呼 ばれ る もの が あ る.こ れ

伸 張 変 換― 各 θ∈IRに 対 して,(u(θ)f)(x):=edθ/2f(eθx),f∈L2(IRd)

に よ っ て 定 義 さ れ る ユ ニ タ リ変 換u(θ)― う手 法 で あ り,特

に,シ

て は,[16]のⅩⅡ.6節

を 用 い て,レ

ュ レー デ ィ ン ガ ー 型 作 用 素 に 対 して 有 効 で あ る(詳 細 につ い

や[11]の16章

を 参 照).

  5.7節 で 論 じた モ デ ル の 原 型 は フ リ ー ド リ クス[10]に ル に 関 す る 近 年 の 研 究 の 一 つ と し て[13]が 第 二 量 子 化([7]の4.3節

ゾ ル ヴ ェ ン トの 解 析 接 続 を 行

ま た は[3]を

あ る.フ

参 照)は,量

よ っ て 与 え ら れ た.こ

の モデ

リー ド リ ク ス モ デ ル の ボ ソ ン的 子調 和振 動 子 とボ ース場 の相互 作

用 モ デ ル を 生 み だ す[8,Lemma

6.1].こ の モ デ ル に お い て も,モ

ア ン に含 ま れ る パ ラ メ ー タ ー の 範 囲 に 応 じて,埋

デ ル の ハ ミル トニ

蔵 固 有 値 が 摂 動 の も とで 消 え た り,

消 え な か っ た りす る[1].

第5章

  Hを 複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間,Aを   1. z0がAの

  演習 問 題

ヒル ベ ル ト空 間H上

の 閉作 用 素 と す る.

孤 立 固 有 値 な ら ば, 

は 存 在 しな い こ と を

示 せ.

  2. Aが 自己 共 役 の と き,任 意 のE∈ とお く.こ の と き,  注 意 実 際 に は,等

ρ(A)に 対 して,  を 証 明 せ よ.

号 が 成 り立 つ(余 力 が あ れ ば,こ

  3. 湯 川 ポ テ ン シ ャ ルVY[(5.64)を

れ も証 明 せ よ).

参 照]の フ ー リエ 変 換

を計 算 せ よ. (答)

  4. 5.7節 の フ リ ー ド リ ク ス モ デ ル に お い て,μ0<mで(5.92)が 考 察 す る(こ の 場 合,μ0はH0の

多 重 度1の

成 り立 つ 場 合 を

離 散 固 有 値 で あ る).以

下 の事柄

を証 明 せ よ.   (ⅰ) す べ て の κ ∈IR,に 対 して,H(κ)の(-∞,m)に つ で あ り,そ れ を μ(κ)と す る と

が 成 り立 つ.ま (ⅱ) μ(κ)はH(κ)の

た,μ(κ)は

多 重 度1の

お け る固 有値 は ただ一

離 散 固 有 値 で あ る. 

最 低 エ ネ ル ギ ー で あ る(し た が っ て,H(κ)は

基 底状 態

を もつ).  (ⅲ) μ(κ)は κ=0の

あ る近 傍 で 実 解 析 的 で あ り,

  と テ イ ラ ー展 開 され る.こ

こ で 

.

関

[1] A.Arai,Spectral finitely

analysis

many

scalar

連

図

書

of a quantum

harmonic

oscillator

coupled

to in

bosons,J.Math.Anal.Appl.140(1989),270-288.

[2] 新 井 朝 雄,『

ヒ ル ベ ル ト空 間 と量 子 力 学 』,共 立 出 版,1997.

[3] 新 井 朝 雄,『

フ ォ ッ ク 空 間 と 量 子 場 上 』,日 本 評 論 社,2000.

[4] 新 井 朝 雄,『

フ ォ ッ ク 空 間 と 量 子 場 下 』,日 本 評 論 社,2000.

[5] 新 井 朝 雄,『 現 代 物 理 数 学 ハ ン ドブ ッ ク』,朝 倉 書 店,2005. [6] 新 井 朝 雄 ・江 沢 洋,『 量 子 力 学 の 数 学 的 構 造Ⅰ 』,朝 倉 書 店,1999. [7] 新 井 朝 雄 ・江 沢 洋,『 量 子 力 学 の 数 学 的 構 造1Ⅱ 』,朝 倉 書 店,1999. [8] A.Arai and M.Hirokawa,Ground states Hamiitonians,Rev.Math.Phys.12(2000),1085-1135. [9] E.B.Davies,Quantum

Theory

[10] K.O.Friedrichs,On

the

of Open

perturbation

of a general

class

Systems,Academic

of continuous

of quantum

field

Press,1976.

spectra,Common.Pure

Appl.Math.I(1948),361-406. [11] P.D.Hislop

and

I.M.Sigal,Introduction

to

Spectral

Theory,Springer,

1996. [12]  T.Kato,Perturbation

Theory

[13]  C.King,Exponential

decay

for near

Linear resonance

Operators,Springer,2nd without

Ed.,1976.

analyticity,Lett.Math.

Phys.23(1991),215-222. [14]  黒 田 成 俊,『 [15]  M.Reed tional

B.Simon,

立 出 版,1980. Methods

of

Modern

Mathematical

Physics

I:Func

Analysis,1972.

[16]  M.Reed ysis

関 数 解 析 』,共 and

and of

B.Simon,Methods

Operators,Academic

of

Modern

Press,1978.

Mathematical

Physics

IV:Anal

6 物 理 量 の ス ペ ク トル

物理量のスペ ク トル を解析する上での非摂動的な基本的手法 を論 じ,量 子力学のモデル へ応 用す る.

6.1 

は

じ

め

に

  前 章 で は,物 理 量 の スペ ク トル解 析 の う ち,固 有 値 の存 在 問 題 を摂 動 的 な観 点 か ら論 じた.だ が,こ の 観 点 で は,非 摂 動 的 な 効 果 は捉 え難 い.そ

こで,摂

動 的 な構 造 に と ど ま らず,非 摂 動 的 な構 造 を も把 捉 し え る よ う な方 法 が必 要 に な る,こ の 章 の 目 的 は,そ の よ うな方 法 の う ち,基 本 的 な もの を論 述 す る こ と にあ る.具 体 例 へ の応 用 に よ り,論 述 され た一 般 的 方 法 の 強 力 さが 示 唆 され る は ず で あ る.

6.2 

  第5章

の5.3節

離 散 ス ペ ク トル と 真 性 ス ペ ク トル の 特 徴 づ け

に お い て み た よ う に,ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の 閉 作 用 素 の スペ ク

トル は離 散 ス ペ ク トル と真性 ス ペ ク トル とい う互 い に 素 な 集 合 の 和 集 合 と して 表 され る.こ の 節 で は,物 理 量 の 非 摂 動 的 ス ペ ク トル解 析 の 予 備 的 段 階 の 一 つ と して,こ   以 下,Hは 定 理6.1 

れ らの ス ペ ク トルの 性 質 を特 徴 づ け る. ヒ ルベ ル ト空 間 で あ る とす る.ま ず,次 H上 の任 意 の 自己共役 作用 素Aに

は 閉 集 合 で あ る.

の 事 実 を確 認 して お く.

対 して,そ の真性 スペ ク トル σess(A)

証 明  

と し よ う.こ

σess(A)を

示 せ ば よ い.σ(A)は

と す る と,λn≠ (λ-δ,λ+δ)∩

閉 集 合 で あ っ た か ら,λ ∈ σ(A).仮

λ(n〓1)で

あ り,離

∈

に,λ ∈ σd(A)

散 ス ペ ク トル の 点 の 孤 立 性 に よ っ て,

σ(A)={λ}と

な る δ>0が

る か ら,こ

れ は 不 可 能 で あ る.ゆ

え に,λ

注 意6.1 

自 己 共 役 作 用 素 の 離 散 ス ペ ク トル は,IRの

い(演

の と き,λ

存 在 す る.し

か し,λn→

λで あ

∈ σess(A). 

■

閉 集 合 で あ る と は限 ら な

習 問 題1).

命 題6.2 

AをHの

属 す る.特

に σd(A)の

証 明   λ ∈IRを {λn}∞n=1⊂

自 己 共 役 作 用 素 と す る と き,σ(A)の 集 積 点 は σess(A)に

σ(A)の

σ(A)が

属 す る.

集 積 点 と す れ ば,λn≠

あ る.σ(A)は

集 積 点 は σess(A)に

λ,λn→

λ(n→∞)と

閉 集 合 で あ る か ら,λ ∈ σ(A).ど

を と っ て も,(λ-ε,λ+ε)は

λnを 無 数 に 含 む か ら,(λ-ε,λ+ε)∩

し た が っ て,λ〓

σd(A).ゆ

え に λ ∈ σess(A). 

  以 下 で は,1次

元 の ス ペ ク トル 測 度(単

な る

ん な ε>0

σ(A)≠{λ}. ■

位 の 分 解)E(B)(B∈B1)に

対 して

(6.1) と い う 簡 略 記 号 を 用 い る.   次 の 定 理 は 自 己 共 役 作 用 素 の ス ペ ク トル 解 析 に お い て 基 本 的 で あ る.

定 理6.3 

AをH上

の と き,実

数 λ が σ(A)に

てEA(λ-ε,λ+ε)≠0と

の 自 己 共 役 作 用 素,EAを

属 す る た め の 必 要 十 分 条 件 は す べ て の ε>0に

て,λ〓

*1  suppE

対 し

な る こ と で あ る.

証 明   (必 要 性)対 偶 を 示 す.そ と す る.こ

そ の ス ペ ク トル 測 度 とす る.こ

こ で,あ る δ>0が

れ は(λ-δ,λ+δ)⊂(suppEA)c=ρ(A)を

σ(A).

A=σ(A)([4]のp.225,2.9.5項).

あ っ て,EA(λ-δ,λ+δ)=0 意 味 す る*1.し

たがっ

  (十 分 性)こ

れ も 対 偶 を 示 す.λ

開 集 合 で あ る か ら,あ

る δ>0が

に,(λ-δ,λ+δ)⊂

命 題6.4 

ρ(A).し

AをH上

ρ(A).特

た が っ て,EA(λ-δ,λ+δ)=0. 

の 自 己 共 役 作 用 素 とす る.こ

∈ σess(A)と

がAの

■

の と き,実

数 λ が σess(A)に

固 有 値 で 多 重 度 が 無 限 大 で あ る か,ま

し よ う.こ

固 有 値 で あ る 場 合 と(ⅱ)そ

λ の 多 重 度 は 無 限 大 で あ る か,λ 後 者 の 場 合 は,λ λ は σ(A)の σ(A)の

おけ る

集 積 点 に な っ て い る こ と で あ る.

証 明   (必 要 性)λ がAの

し よ う.ρ(A)はCに

存 在 し て,{z∈C‖z-λ￨<δ}⊂

属 す る た め の 必 要 十 分 条 件 は,λ た は σ(A)の

∈ ρ(A)∩IRと

集 積 点 で な け れ ば,あ

は σ(A)の

な わ ち,(ⅰ)λ 場 合 は,

孤 立 点 で な い か の ど ち ら か で あ る.

点 で λ と異 な る も の が 存 在 す る か ら,

に(ⅱ)の

場 合 を 考 え る.こ

る δ>0が

の 場 合,も

あ っ て,(λ-δ,λ+δ)∩

こ れ は λ が 孤 立 固 有 値 で あ る こ と を 意 味 す る.だ   (十 分 性)こ

つ の 場 合,す

う で な い 場 合 が 考 え ら れ る.(ⅰ)の

の 任 意 の 近 傍 に σ(A)の

集 積 点 で あ る.次

の と き,二

が,こ

し,λ

が

σ(A)={λ}.

れ は今 の 仮 定 に 反 す る.

れ は 真 性 ス ペ ク トル の 定 義 か ら 容 易 に し た が う. 

  自 己 共 役 作 用 素 の 離 散 ス ペ ク トル あ る い は 真 性 ス ペ ク トル は,そ

■ のスペ ク ト

ル 測 度 を 用 い て 次 の よ う に 特 徴 づ け ら れ る:

定 理6.5   

AをH上

の 自 己 共 役 作 用 素 と す る.

(ⅰ) λ ∈ σd(A)で

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,λ

存 在 し て,Ran(EA(λ-δ,λ+δ))が   (ⅱ) λ ∈ σess(A)で Ran(EA(λ-ε,λ+ε))が

∈ σ(A)か

つ あ る δ>0が

有 限 次 元 と な る こ と で あ る.

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,す

べ て の ε>0に

対 し て,

無 限 次 元 と な る こ とで あ る.

証 明   (ⅰ)条 件 の 必 要 性 は 離 散 ス ペ ク トル の 定 義 か ら 明 ら か.   (十 分 性)λ ∞

∈ σ(A)か

と し よ う.仮

す る と,λn→

に,任

つ あ る δ>0が 意 の ε>0に

λ と な る λn∈ σ(A),λn≠

と し て 一 般 性 を 失 わ な い.定 で,In=(λn一

存 在 し て,dim

理6.3に

Ran(EA(λ-δ,λ+δ))<

対 し て,(λ-ε,λ+ε)∩

σ(A)≠{λ}と

λ,が 存 在 す る.λn∈(λ-δ,λ+δ)

よ り,各nに

εn,λn+εn),In∩Im=0,n≠m,EA(In)≠0,と

対 し て,εn>0を

選 ん なる

よ う に で き る.任

意 のN≧1に

対 し て, 

で あ る か ら,  dim

Ran(EA(In))〓1で

. あ る か ら,N→

こ れ は 今 の 仮 定 に 矛 盾 す る.し σ(A)={λ}で

た が っ て,あ る ε0>0が

な け れ ば な ら な い.こ

示 す もの で あ る.さ で あ る か ら,λ

ら にdim

た が っ て,(ⅰ)に

∈IRが

σess(A)に

る と す れ ば,定

Ran(EA(λ-δ,λ+δ))<∞

上 か ら,λ

∈ σd(A)が

属 す る と す れ ば,λ

結 論 さ れ る.

∈ σ(A),λ〓

σd(A).し

お け る 十 分 性 の 対 偶 を考 え る こ と に よ り,す べ て の ε>0に

理6.3よ

対

無 限 次 元 で な け れ ば な ら な い.

べ て の ε>0に

れ ば λ ∈ σess(A)と

  最 後 に,自

存 在 し て,(λ-ε0,λ+ε0)∩ 孤 立 した 固 有 値 で あ る こ と を

Ran(E({λ}))〓dim

して,Ran(EA(λ-ε,λ+ε))は   (十 分 性)す

れ は,λ がAの

の 多 重 度 は 有 限 で あ る.以

  (ⅱ)  (必 要 性)λ

∞ とす れ ば,左 辺 は 無 限 大 に 発 散 す る.

対 し て,Ran(EA(λ-ε,λ+ε))が

り,λ ∈ σ(A).そ

こ で,(ⅰ)に

無限次元であ

お け る 必 要性 の 対 偶 を と

な る. 

■

己 共 役 作 用 素 の 真 性 ス ペ ク トル の 同 定 に お い て,非

常 に有 用 な 判

定 法 を 証 明 し て お く.

定 理6.6 

(ヴ ァ イ ル の 判 定 法)AをH上

実 数 λ が σess(A)に

の 自 己 共 役 作 用 素 と す る.こ

の と き,

属 す る た め の 必 要 十 分 条 件 は 点 列{Ψn}∞n=1⊂D(A)で

(6.2) (6.3) を 満 た す も の が 存 在 す る こ とで あ る.

証 明   (必 要 性)λ

∈ σess(A)と

す れ ば,命

で 多 重 度 が 無 限 大 で あ る か,σ(A)の 場 合,dim

Ran(EA({λ}))=∞

任 意 の 一 つ を{Ψn}∞n=1と 系 は 零 ベ ク トル0に と な る λn∈ 区 間 

題6.4に

はAの

孤 立 固有 値

集 積 点 で あ る か の ど ち ら か で あ る.前 で あ る か ら,Ran(EA{λ}))の

す れ ば,(6.2),(6.3)は

弱 収 束 す る こ と に 注 意).後

σ(A),λn≠

よ り,λ

λ,が 存 在 す る.δn>0を

者の

正規直交系 の

満 た さ れ る(任 意 の 正 規 直 交 者 の 場 合,λ η → λ(n→

∞)

適 切 に 選 ぶ こ と に よ り, ,を 満 た す よ

う に で き る.こ δn→0(n→ dim

の と き,Ran(EA(In))とRan(EA(Im))(n≠m)は ∞)で

あ る.λn∈

σ(A)で

Ran(EA(In))〓1(n〓1).し

Ψn∈Ran(EA(In))が 直 交 系 は0に

た が っ て,各nに

弱 収 束 す る か ら,こ

(λ-ε,λ+ε)(ε>0)と

Ψ=Ψnと

理6.3に

対 し て,単

よ っ て,

位 ベ ク トル

正 規 直 交 系 を な す.任

の{Ψn}∞n=1は(6.2)を

意 の正規

満 た す.さ

らに

満 た さ れ る.

  (十 分 性)(6.2),(6.3)を

を 示 せ ば よ い(∵

あ っ た か ら,定

存 在 し て,{Ψn}∞n=1は

し た が っ て,(6.3)も

直 交 し,

満 た す 点 列{Ψn}∞n=1⊂D(A)が お く.任

意 の ε>0に

定 理6.5-(ⅱ)).す

す れ ば,(6.3)に

対 し て,dim

べ て の Ψ ∈D(A)に

Ran(EA(Iε))=∞

対 して

よ って

恒 等 式EA(1ε)=1-EA[λ+ε,∞)-EA(一 .EA(Iε)は

あ っ た と し,Iε=

∞,λ-ε]に

よ り, 

射 影 作 用 素 で あ る か ら,こ れ は, 

を 意 味 す る.   仮 にdim

Ran(EA(Iε))=M<∞

と す れ ば, 

と な る 正 規 直 交 系 

が と れ る.こ   .(6.2)に

0に 収 束 す る.だ

が,こ

れ は(*)に

矛 盾 す る.し

限 次 元 で あ る. 

  定 理6.6の

簡 単 な 応 用 を述 べ よ う:

よ り,右 辺 は,n→

の と き,

∞ の と き,

た が っ て,Ran(EA(Iε))は

無 ■

例6.1 

L2(IRd)に

お け る シ ュ レー デ ィ ン ガ ー 型 作 用 素

(6.4) を 考 え る(V:IRd→IR).す

で に 知 っ て い る よ う に,σ(-Δ)=[0,∞),σp(-Δ)=0

で あ るか ら

 

で あ り,HVは

と仮 定 し よ う(d〓3の HVは

場 合 は,第2章

の 定 理2.17に

下 に有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 で あ る).こ

本 質 的 に自己共 役 であ る

よ っ て,D(HV)=D(Δ)か

つ

の とき

(6.5) 証 明   次 の 性 質(ⅰ),(ⅱ)を もつ 実 数 値 関 数  ;(ⅱ)  し,k∈IRdを

.各n∈INに

とす る,こ が 成 り立 つ*2.直

も わ か る.さ

接 計 算 に よ り, 

.ゆ

σess(HV).k∈IRdは

任 意 で あ っ た か ら,(6.5)が

6.3 

  ヒ ル ベ ル ト空 間H上 ら,Aの

の と き,‖ ψn‖=

らに

し た が っ て, 

は,量

と

任 意 に 固 定 し, 

1で あ り, 

=1)か

を一 つ 選 ぶ:(ⅰ)  対 して, 

最 小-最

の 自 己 共 役 作 用 素Aの

え に,定

理6.6に

よ っ て,k2∈

した が う. 

■

大 原 理

期待値 〈 Ψ,AΨ 〉(Ψ ∈D(A),‖

Ψ ‖

ス ペ ク トル の 構 造 に 関 す る 情 報 を 取 り出 す こ と を 考 え る .こ

子 力 学 的 に は,物

の ス ペ ク トル の 性 質 を"読

理 量 の 期 待 値 か ら,そ み 取 る"こ

れ

の 物 理 量 を表 す 自己 共役 作 用 素

と に 相 当 す る.し

た が っ て,こ

の 着 想 は,

量 子 物 理 的 に も 自 然 な も の で あ る.

*2  ま ず

,任

意 の 

‖ ψn‖=1で f∈L2(IRd)に

に 対 し て, 

あ る こ と とC∞0(IRd)がL2(IRd)で 対 して,(*)を

示 す.

を 示 す.次 稠 密 で あ る こ と を 用 い て,す

に,

べての

  6.3.1 

有限次元 の場合

  基 本 的 な ア イ デ ア を 得 る た め に,ま 元 をNと

し よ う.こ

値 か ら な る([4]の う.こ

の 場 合,Aの

定 理2.23と

こ で 便 宜 上,λ1〓

命 題2.33).そ λNと

た が っ て, 

を 得 る.こ

で あ る,す

う し て,Aの

の実 固有

れ ら を λn(n=1,…,N)と

しよ

順 序 づ け て お く.固

た が っ て,任

と 一 意 的 に 展 開 さ れ る.Ψ

こ で,特

の次

複 も 含 め て,N個

す る:AΨn=λnΨn.{Ψn}Nn=1はHの

あ る と し て 一 般 性 を 失 わ な い.し

.こ

有 限 次 元 の 場 合 を 考 え,そ

ス ペ ク トル は,重

λ2〓 …〓

る 固 有 ベ ク トル を Ψnと

ず,Hが

有 値 λnに 属 す 正規直交基底 で

意 の 

は 単 位 ベ ク トル で あ る と し よ う.し

る と 

に Ψ=Ψ1と

最 低 固 有 値 は,Aの

す れ ば,等

号 が 成 り立 つ.ゆ

えに

期 待 値 だ け を用 い て表 され る こ と

が わ か る.   次 に λ2がAの

期 待 値 だ け を用 い て 表 さ れ る か ど う か を 調 べ よ う.Ψ

と直 交 す る も の を とれ ば,α1=0で 特 に Ψ=Ψ2に

と れ ば,等

と して Ψ1

あ る か ら, 

号 が 成 り立 つ.ゆ

.

えに

(6.6) ただ し

だ が,λ2に

関 す る 表 示(6.6)は

消 す こ と を 考 え る.任

ま だ Ψ1に 依 存 して い る.そ

意 の 

の Φ ∈Hに

存 在 す る.そ

こ で,η=α1Ψ1+α2Ψ2と

あ り,〈 η,Aη 〉/‖η‖2〓 λ2が 成 り立 つ.ゆ

対 し て,uA(Φ)〓

の依 存 性 を

対 して, 

と な る 複 素 数 の 対(α1,α2)≠(0,0)が す れ ば,〈 Φ,η〉=0で

こ で,こ

λ2.こ

れ と(6.6)を

合 わせ れ ば

え に,す

べ て

が得 ら れ る.こ

れ は,λ2がAの

期 待 値 だ け を用 い て 表 さ れ る こ とを示 して い

る.同 様 に して

(6.7) を 証 明 す る こ と が で き る(演 1,…,n-1と

習 問 題2).た

だ し,[Φ1,…,Φn-1]⊥

は Φj,j=

直 交 す る ベ ク トル の 全 体 を 表 す:

(6.8) こ う して,Aの

す べ て の 固 有 値 はAの

期 待 値 だ け を 用 い て表 さ れ る こ とが わ

か る.

  6.3.2 

無 限 次 元 の場 合

  以 上 の 予 備 的 考 察 の も とに,ヒ ルベ ル ト空 間Hが 進 め よ う.AはH上

無 限次 元 の 場 合 へ と考 察 を

の 自己 共役 作 用 素 で あ る と し,下 に 有 界 で あ る とす る.上

述 の 考 察 か ら,次 の 対 象 を導 入 す るの は 自然 で あ る:

(6.9) (6.10) ただ し

(6.11) (6.10)に

お い て,Φ1,…,Φn-1は

く.μn(A)をAのn番

注 意6.2 

目 の 特 性 レ ヴ ェ ル と 呼 ぶ*3.

dimH=N<∞

定 義 さ れ る.こ

level

of Aで

の 場 合 は,n=1,…,Nに

の 場 合,前

め て 数 え た,Aのn番 *3  こ の 命 名 は

一 次 独 立 で あ る 必 要 は な い こ と を 注 意 して お

,筆

対 し て の み μn(A)が

項 で 見 た よ う に,μn(A)は,小

さい 方 か ら重 複 を こ

目 の 固 有 値 で あ る. 者 が 試 み に 行 う も の で あ る(英

あ ろ うか).筆

語 に 直 す と す れ ば,n-th

者 の 知 る 限 り,μn(A)に

characteristic

は 名 前 が つ い て い な い よ う で あ る.

  変 分 原 理 に よ り,μ1(A)はAの

ス ペ ク トル の 下 限 に 等 し い:

(6.12)   任 意 の ベ ク トル Φ1,…,Φn-1∈Hに

対 して

であ るか ら

(6.13) が 成 り立 つ.し   Aの

た が っ て,μn(A)はnに

つ い て 単 調 増 加 で あ る.

真 性 ス ペ ク トル の 下 限 を ΣAで

表 す:

(6.14) dim

H=+∞

か つ σess(A)=0の

場 合 は,ΣA=+∞

と規 約 す る.

  言 葉 の 使 い 方 を 一 つ 約 束 し て お く.  り,λjの

多 重 度 がmjで

あ る と き,Aは

固 有 値 を も つ とい う.こ

  Aの

Aを

の と し,a∈IRと  

よ っ て 定 義 さ れ る 有 限 数 列E1,…,EMを

の 事 実 が 成 り立 つ:

無 限 次 元 ヒ ル ベ ル ト空 間H上 す る.こ

の と き,次

の 自己共 役 作 用 素 で下 に 有 界 な も

の(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)が

(ⅰ)a<μn(A)な

ら ば,dim

Ran(EA(-∞,a))〓n-1.

  (ⅱ)a>μn(A)な

ら ば,dim

Ran(EA(-∞,a))〓n.

  (ⅲ)す

重複 を

固 有 値 と い う.

特 性 レ ヴ ェ ル に つ い て,次

補 題6.7 

の

の 場 合,Ei:=λ1(i=1,…,m1),Em1+…+mj-1+k:=

λj(j〓2,k=1,…,mj)に こ め て 数 え た,Aの

であ 重 複 を こ め てM:=m1+…+mN個

べ て のn∈INに

証 明   (ⅰ)対偶 を 示 す.そ

成 立 す る:

対 し て,μn(A)<∞.

こ で,dim

Ran(EA(-∞,a))〓nと

し よ う.Aは

下に

有 界 で あ る か ら,ス ペ ク トル表 示 を 用 い る こ と に よ り,Ran(EA(-∞,a))⊂D(A) で あ り,任

意 の Ψ ∈Ran(EA(-∞,a))に

で あ る こ と が わ か る.し

対 し て,〈 Ψ,A〉

た が っ て,Ran(EA(-∞,a))のn次

〓a‖ Ψ‖2…(*) 元 部 分 空 間Vで

V⊂D(A)か

つ 任 意 の Ψ ∈Vに

dimV=nで

あ る か ら,任 意 の Φ1,…,Φn-1∈Hに

≠{0}で

あ る*4.そ

こ で,Ψ

対 して(*)が

成 り立 つ よ う な も の が 存 在 す る. 対 してV∩[Φ1,…,Φn-1]⊥

∈V∩[Φ1,…,Φn-1]⊥,‖

Ψ ‖=1と

し た が っ て,μn(A)〓a.ゆ

え に(ⅰ)の 主 張 が 導 か れ る.

  (ⅱ)こ れ も対 偶 を 示 す.そ

こ で,dim

Ran(EA(-∞,a))〓n-1と

た が っ て,  存 在 す る.た

の と き,任

あ る.し

だ し,η1,…,ηn-1は

意 の Ψ ∈[η1,…,ηn-1]⊥

た が って 〈 Ψ,4Ψ

〉〓a‖Ψ‖2.こ

し た が っ て μn(A)〓a.ゆ   (ⅲ)仮

に,あ るnに

え に(ⅱ)の

か し,s-lima→

こ れ は 不 可 能 で あ る.し

一 次 独 立 で あ る と は限 らな

∩D(A)はRan(EA[a,∞))の れ か ら, 

と す れ ば,(ⅰ)の 条 件 は ど ん なa∈IR

意 のa∈IRに

対 し てdim

∞ EA(-∞,a)=Iで た が っ て,題

中に

主 張 が 成 り立 つ.

対 し て,μn(A)=∞

に 対 し て も 成 り立 つ か ら,任 n-1.し

す る.し

と な る ベ ク ト ル ηj(j=

1,…,n-1)が い.こ

すれ ば

Ran(EA(-∞,a))〓

あ り,dimH=∞

で あ る か ら,

意 が 成 立 す る. 

■

  次 の 定 理 は無 限 次 元 ヒ ル ベ ル ト空 間上 の 自己 共 役 作 用 素 の ス ペ ク トル解 析 に お い て 重 要 な役 割 を演 じ る: 定 理6.8  間H上

(最 小-最 大 原 理(min-max

の 自 己 共 役 作 用 素 で 下 に 有 界 な も の と す る.こ

に,次の(ⅰ),(ⅱ)の  

principle))Aを

そ のn番

中 に,重

複 も こ め て 少 な く と もn個

の 場 合,任

し,Aが(-∞,ΣA)の

め て 高 々(n-1)個

,付

録Cの

の 固 有 値 を も ち,

意 のm〓n+1に

で あ る.

補 題C.1の

対 し て μm(A)=μn(A)

中 に 固 有 値 を もつ とす れ ば,個

証 明   二 つ の 場 合 に分 け て 考 え る. *4  第2章

と

目 の 固 有 値 で あ る.

  (ⅱ) μn(A)=ΣA.こ で あ る.も

の と き,各n∈INご

ど ち ら か 一 方 が 成 立 す る:

(ⅰ) Aは(-∞,ΣA)の

μn(A)は

無 限 次 元 ヒ ル ベ ル ト空

応 用.

数 は重複 もこ

(1)あ

る ε0>0に

対 し てdim

  こ の 場 合 は,定

理6.8-(ⅰ)の

補 題6.7の(ⅰ),(ⅱ)に

Ran(EA(-∞,μn(A)+ε0))<∞

の場合

状 況 に あ る こ と を 示 そ う.任

意 の ε>0に

対 して

よ り . した が っ て, 

こ れ と 定 理6.3に

よ り μn(A)∈

今 の 場 合 の 仮 定 と 定 理6.5-(ⅰ)に μn(A)は

σ(A).0<ε<ε0と よ り,μn(A)∈

多 重 度 有 限 の 孤 立 固 有 値 で あ る か ら,あ

い う場 合 を 考 え る と, σd(A)を

得 る.し

る δ>0が

た が っ て,

存 在 し て .

こ の と き,  (補 題6.7-(ⅱ)).し 以 下 の 範 囲 に 少 な く と もn個 も し,仮 あ る が,こ し,こ

に,λn<μn(A)な

れ は,補

と な る εが で な け れ ば な ら な い.し

題6.7-(ⅰ)と

矛 盾 す る.よ

っ て λn=μn(A).す

  こ の 場 合 は,定

な わ ち,μn(A)

対 し て 

理6.8-(ⅱ)の

の場 合 状 況 に あ る こ と を 示 そ う.補  し た が っ て,す

し て .こ

題6.7-(ⅰ)に

よ り,

べ て の ε>0に

れ と 定 理6.5-(ⅱ)に σess(A).他

方,任 意 のa<μn(A)に

満 た す よ う に とれ ば,補 題6.7-(ⅰ)に し た が っ て,a〓

σess(A).こ

an<μn+1(A)で

し た が っ て,矛

盾 が 生 じ る.ゆ

れ ば,μn(A)=μn+1(A)を が 成 り立 っ.

あ る こ と を 意 味 す る.

し,an:=(μn(A)+μn+1(A))/2と

で あ る か ら,仮

お く.こ

の と き,

れ と(6.13)を

あ わせ

よ っ て 

定 に よ り, 

え に μn(A)〓

得 る.以

よ り,

よ り, 

あ る か ら,補 題6.7-(ⅰ)に

, 

対

対 し,ε0を0<ε0<μn(A)-aを

れ は,μn(A)=ΣAで

  仮 に μn(A)<μn+1(A)と

一方

か

目 の 固 有 値 で あ る.

(2)す べ て の ε>0に

μn(A)∈

μn(A)

も つ .

ら ば, 

の と き 

はAのn番

た が っ て,Aは

の 固 有 値 λ1,…,λnを

下,同

μn+1(A).こ 様 に 

  (-∞,μn(A))の 値 と し よ う.こ

中 にAの

固 有 値 が 仮 にn個

の と き,(a+μn(A))/2>aで 一方

あ っ た と し,aを

, 

で あ る か ら,補

題6.7-(ⅰ)に

し た が っ て,矛

え に,(-∞,μn(A))の

く し て,今

目の 固有

あ る か ら, 

よ り,  る.ゆ

そ のn番

の 場 合 は,定

中 に はAの 理6.8の(ⅱ)の

固 有 値 は 高 々(n-1)個

盾が生 じ

しか な い.か

状 況 に あ る こ とが 示 さ れ た 。

 

■

 6.3.3  基 底 状 態 お よび 離 散 固 有 値 の存 在  最 小-最 大 原 理 か ら出 て くる 簡単 な帰 結 を述 べ て お こ う. 定 理6.9 

(基底 状 態 の存 在)Aを

無 限次 元 ヒル ベ ル ト空 間H上

己 共 役 作 用 素 とす る.単 位 ベ ク トル Ψ ∈D(A)で が あ れ ば,Aは

の 下 に有 界 な 自

〈Ψ,AΨ 〉<ΣAを

満 た す もの

基 底 状 態 を もつ.

証 明   仮 定 の 条 件 は μ1(A)<ΣAを よ り,μ1(A)はAの1番

意 味 す る.し

目 の 固 有 値 で あ る.ゆ

た が っ て,最

え に,Aは

小-最 大 原 理 に

基 底 状 態 を も つ. ■

  こ の 定 理 は,有 限 自 由度 の量 子 力 学 の モ デ ル だ けで な く,量 子 場 の モ デ ル に 対 して も適 用 す る こ とが で き,そ の応 用 範 囲 は 広 い. 定 理6.10 

(離 散 ス ペ ク トル の 存 在)Aを

有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 と し,あ

るa∈IRが

て い る と す る.さ

ら に,あ

の と き,Aは,重

複 を こ め て 少 な く)もn個

μn(A)はAのn番

るn〓1に

無 限 次 元 ヒ ル ベ ル ト空 間H上

の下に

あ っ て σess(A)⊂[a,∞)が

わかっ

対 し て,μn(A)
あ る と し よ う.こ

の 固 有 値 を(-∞,a)の

中 に も ち,

目 の 固 有 値 で あ る.

証 明   仮 定 の も と で は,μn(A)<ΣA.し は ま る.ゆ

え に 題 意 が 成 り立 つ. 

 6.3.4 

比 較 定 理 と レイ リー-リ

た が っ て,定

理6.8-(ⅰ)の

状 況があて ■

ッツ の 原 理

  多 くの 場 合,自 己 共 役 作 用 素 の 特 性 レ ヴ ェ ル を 陽 に計 算 す る こ とは で きな い. した が っ て,そ の 場 合 に は,特 性 レヴ ェ ル を上 と下 か ら評 価 す る こ とが 重 要 に な る.こ

の項 で は,そ の た め の基 本 的 な方 法 を述 べ る.

定 理6.11 

(比 較 定 理)A,

用 素 でA〓Bを

Bを

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

満 た す も の と す る(i.e.,

〈Ψ,BΨ 〉,∀Ψ ∈D(B)).  (dimH=+∞

D(B)⊂D(A)か と お く.こ

の 場 合;dimH=N<∞

の下 に有 界 な 自己 共 役 作 つ 〈Ψ,AΨ 〉 〓

の と き,す べ て のn∈IN

の と き は,n=1,…,N)に

対 して

(6.15) 証 明   (1)n=1の

場 合. 

とA〓B

に よ っ て, 

そ こ で,Ψ

辺 の 下 限 を と れ ば(6.15)が   (2)n〓2の

場 合.任

に つ い て両

得 ら れ る.

意 の Φj∈H(j=1,…,n-1)と 

に 対 して, 

し た が っ て,  こ れ は, 

を 意 味 す る.Φ1,…,Φn-1に

定 義6.12 

つ い て 両 辺 の 上 限 を と れ ば(6.15)が

閉 作 用 素Aに

つ い て σess(A)=0が

ル は 純 粋 に 離 散 的(purely

系6.13  す る.Aの

A, BをH上

discrete)で

得 ら れ る. ■

成 り立 つ と き,Aの

スペ ク ト

あ る と い う.

の 下 に 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 でA〓Bを

満 た す もの と

ス ペ ク トル は 純 粋 に 離 散 的 で あ る と し,  と す る.こ

と き,Bの

ス ペ ク ト ル も 純 粋 に 離 散 的 で あ り, 

En〓Fn,∀n∈INが

よ り,す

し た が っ て,limn→

ん なnに

が,こ

対 し て,En=μn(A)〓

…(*).仮

す る と,最

0に 対 し て μn(B)=ΣB.だ

μn(B)<ΣBで

べ て のn∈INに

∞ μn(B)=∞

0に 対 し て,μn0(B)=ΣBと

く と もn個

と す れ ば,

成 り立 つ.

証 明   定 理6.11に

原 理 に よ り,ど

の

に σess(B)≠0と

小-最 大 原 理 に よ り,す

れ は(*)に

反 す る.し

対 して も,Bは(-∞,ΣB)の

の 固 有 値 を も ち,μn(B)は あ る が,nを

そ のn番

μn(B). し,あ

るn

べ て のn〓n

た が っ て,最

小-最 大

中 に重 複 を こ め て 少 な 目 の 固 有 値 で あ る.こ

十 分 大 き く と れ ば,(*)に

よ っ て,こ

の 場 合,

れは矛盾であ

る.ゆ

え に,σess(B)=0.こ

Bのn番 例6.2 

の と き,再

目 の 固 有 値 で あ る.よ

小-最 大 原 理 に よ り,μn(B)は

っ て 題 意 が 成 立 す る. 

(調和 振 動 子 の 摂 動)V:IR→IRを

かつ    ω>0に

び,最

■

下 に有界 な ボ レル 可 測 関 数 でV∈L2loc(IR)

が 

を満 たす な らば

を 満 た す もの とす る.こ の と き,定 理2.25に よ っ て,任 意 の 対 して,Hos(V):=-Δ+ω2x2+VはC∞0(IR)上 で本 質 的 に 自 己共 役 で あ

り,下 に有 界 で あ る.V(x)〓υ0, とお く.Aは,1次

a.e.xと し(υ0∈IRは

の で あ り,自 己 共 役 か つ 下 に 有 界 で あ る.容

はHos(V)の

(*)は す べ て の ψ ∈D(Hos(V))ま 著[5]に

芯 で あ る か ら,

で 拡 張 で きる と 同 時 に,D(Hos(V))⊂D(A)が

お い て す で に 証 明 した よ う に,Aの

的 で あ り,σd(A)={(2n+1)ω+υ0}∞n=0で Hos(V)の

けず ら した も

易 に わ か る よ う に,任 意 の ψ ∈C∞0(IR)

に 対 して, 

示 さ れ る.前

定 数),A:=-Δ+ω2x2+υ0

元 調 和 振 動 子 の ハ ミル トニ ア ン を定 数 作 用 素υ0だ

あ る.し

ス ペ ク トル は 純 粋 に 離 散

た が っ て,系6.13に

ス ペ ク トル も 純 粋 に 離 散 的 で あ り,σd(Hos(V))={En}∞n=0と

(2n+1)ω+υ0〓En,   こ の例 をd次

n〓0,が

よ っ て, す れ ば,

成 り立 つ.

元 へ の 場 合 に 拡 張 す る こ と は 直 接 的 で あ る.

次 の 比 較 原 理 も重 要 で あ る: 定 理6.14 

(レ イ リ ー-リ

ッ ツ(Ritz)の

原 理).Hを

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

有 界 な 自己 共 役 作 用 素 と す る.M⊂D(H)をn次

元 部 分 空 間 と し,P:H→Mを

Mへ

し,HMの

の 正 射 影 作 用 素 とす る.HM:=PEP￨Mと

(μ1〓 μ2〓 …

〓 μn)と

す る.こ

の下に

固 有 値 を μ1,…,μn

の とき

(6.16) 証 明   最 小-最 大 原 理 をHMに 今,M⊂D(H)で た が っ て,j=1の   次 に,j〓2の

あ て は め る.ま

ず, 

あ る か ら,[右 辺]〓infΨ ∈D(H),‖Ψ‖=1〈Ψ,EΨ 場 合 の(6.16)が 場 合 を 考 え る.こ

成 立 す る. の場合

〉=μ1(H).し

任 意 の Ψ ∈M,Φ

∈Hに

対 し て,〈 Ψ,PΦ 〉=〈PΨ,Φ

〉=〈 Ψ,Φ 〉で あ る か ら,  

した が っ て,   ゆ え に(6.16)が

  レイ リー-リ

得 ら れ る. 

ッ ツの 原 理 は,た

■

とえ ば,具 体 的 な問 題 に お い て,Hが

固有 値

を もつ こ とが わ か って い る場 合,固 有 値 に対 す る上 界 を数 値 的 に評 価 す るの に 使 う こ とが で きる(μjは,コ 場 合,n次

ン ピュ ー タ を使 え ば,数 値 計 算 可 能 で あ る).こ の

元 部 分 空 間Mを

い ろ い ろ と動 か す こ とに よ り,評 価 の 精 度 をあ げ る

こ とが で きる.

  6.3.5  形 式 に よ る定 式 化   最 小-最 大 原 理 は 自己 共役 作 用 素 の形 式 を用 い て も定 式 化 で き る.応 用 上,こ の 方 が よ り有 用 な 場 合 が あ る.自 己 共役 作 用 素Aの 義 域 をQ(A)で

表 す*5.各

Ψ ∈Q(A)に

形 式 をsAで

表 し,sAの

定

対 して

(6.17) と お く(EAはAの

定 理6.15 

ス ペ ク トル 測 度).

AをH上

の 下 に有 界 な 自己 共 役 作 用 素 と し よ う.こ の と き

(6.18) 証 明   (6.18)の

右 辺 を μn(A)と

μn(A)(n〓1)…(*).補 に よ り,補

題6.7は

た が っ て,定 た が っ て,も もn番

し よ う.D(A)⊂Q(A)で

題6.7の μn(A)を

理6.8は,μn(4)を し,μn(A)がAのn番

証 明 を,D(A)をQ(A)に

πn(A)に

*5  第2章

,2.8節

中 に は,Aの を 参 照.

変 えて行 うこ と

変 え た 形 で 成 立 す る こ と が わ か る.し

μn(A)に

変 え た 形 で 成 立 す る こ と に な る.し

目 の 固 有 値 で あ れ ば,(*)に

目 の 固 有 値 で あ る か ら,μn(A)=μn(A).ま

(-∞,μn(A))の

あ る か ら,μn(A)〓

固 有 値 は 高 々(n-1)個

た,μn(A)=ΣAな

よ り,μn(A) ら ば,

し か 存 在 し え な い か ら,

(*)に

よ っ て,μn(A)は,Aのn番

μn(A)=ΣA.ゆ

目 の 固 有 値 で は あ り え な い.し

え に μn(A)=μn(A).こ

う して,(6.18)が

た が っ て,

成 立 す る こ とが わ

か る. 

■

 二 つ の(下 に有 界 な)自 己 共 役 作 用 素A, Bに

つ い て,μn(4),μn(B)を

形式

を用 い て,比 較 す る た め に,あ る概 念 を導 入 す る: 定 義6.16 

A, BをH上

の Ψ ∈Q(B)に

の 自 己 共 役 作 用 素 と す る.Q(B)⊂Q(A)か

対 し て,sA(Ψ)〓sB(Ψ)が

つすべ て

成 り立 つ と き,A〓Bと

記 す.

 次 の事 実 を注 意 して お く: 命 題6.17  る.こ

A, BをH上

は 実 定 数)と

た が っ て,任

∞)と

し て,A:=A-γ,B:=B-γ

意 Ψ ∈D(B)に

意 の Φ ∈D(B1/2)=Q(B)に (n→

満 たす とす

の と き,A〓B.

証 明   A〓γ(γ B.し

の 下 に 有 界 な 自 己共 役 作 用 素 でA〓Bを

∞A1/2Φnは

存 在 す る.A1/2の

た が っ て,D(B1/2)⊂D(A1/2).そ

て,Φnを

∞

こ れ はA〓Bを

注 意6.3 

Ψ と し

は コ ー シ ー 列 で あ る こ と が わ か る.し

か つ η=A1/2Φ.し と り,n→

Φ,B1/2Φn→B1/2Φ

と え ば,Φn=EB[-n,n]Φ).(*)の

と る と, 

が っ て,η:=limn→

任

対 して,Φn∈D(B),Φn→

な る も の が と れ る(た

て,Φn-Φmを

と お け ば,0〓A〓

対 して, 

閉 性 に よ り,Φ

∈D(A1/2)

こ で,(*)の

とす れ ば, 

Ψ と し

以 上 か ら,A〓B.

意 味 す る. 

■

上 の 命 題 の 逆 は 成 立 しな い.す

は 限 ら な い.だ

が,Aが

た

な わ ち,A〓Bで

下 に 有 界 で,A〓Bか

あ っ て もA〓Bと

つD(B)⊂D(A)な

ら ばA〓B

で あ る こ と は 容 易 に わ か る.

 次 の 定 理 は 定 理6.11の

形 式 版 で あ る.

定 理6.18 

(形式 の場 合 の比 較 定 理)A,

でA〓Bを

満 た す も の とす る.こ の と き,各nに

証 明   定 理6.11の

証 明 と 同 様(い

BをH上

ま の 場 合,定

の 下 に有 界 な 自己共 役 作 用 素 対 して μn(A)〓 μn(B).

理6.15を

使 う). 

■

  6.3.6  特 性 レ ヴ ェ ル の 結 合 定 数 に 関 す る単 調 性 と連 続 性   定 理6.15の

重 要 な応 用 を 一 つ あ げ て お こ う.A,

Bを

ヒ ルベ ル ト空 間H上

の

自 己共 役 作 用 素 で次 の 条 件 を 満 た す もの とす る:   (ⅰ)  A〓0.   (ⅱ) BはAに

関 して,形 式 の 意味 で無 限 小 で あ る.

こ の とき,KLMN定

理 に よ っ て,任 意 の λ〓0に 対 して,下 に有 界 な 自己 共 役

作 用 素CでQ(C)=Q(A)=D(A1/2)か

つ

(6.19) を満 たす ものが た だ 一 つ 存 在 す る*6.こ の 自己 共役 作 用 素CをC=A+λBと 表 す こ とは 第2章 定 理6.19  の λ〓0に

で 述 べ た.

A, Bを

上 の(ⅰ),(ⅱ)を

対 し て,ΣA+λB=0と

満 た す 自 己 共 役 作 用 素 で あ る と し,す べ て 仮 定 す る.こ

の と き,各nに

対 し て,次

の

(ⅰ),(ⅱ)が 成 り立 つ:   (ⅰ) μn(A+λB)は

λ の 関 数 と し て,[0,∞)上

  (ⅱ)μn(A+λB)<0と

で 連 続 か つ 単 調 減 少 で あ る.

な る λ の 範 囲 で は μn(A+λB)は

λ の 関 数 と して 狭

義 単 調 減 少 で あ る.

証 明   (ⅰ)C=A+λB,μn(λ)=μn(C)と

お く.仮

す べ て のn〓1に

の 性 質 と 定 理6.15に

対 して,μn(λ)〓0.こ

定 と最 小-最 大 原 理 に よ り, よ り

とす れ ば

(6.20) と 書 け る.(6.19)に

*6  第2章

,2.8節

よ り, 

を 参 照.

に よ

り,sA(Ψ)〓0で と(6.20)か

あ る か ら,FΨ(λ)は,λ〓0の

ら,μn(λ)も

  次 に μn(λ)の

λ の 単 調 減 少 関 数 で あ る こ と が 結 論 さ れ る.

固 定 す れ ば,sA(Ψ)+λsB(Ψ)は

の 場 合,λ

れ

λ に 関 す る 連 続 性 を 示 そ う. ,を

の 連 続 関 数 で あ る.そ [a,b]⊂[0,∞)で

単 調 減 少 関 数 で あ る*7.こ

こ で,関

λ の 連 続 関 数 で あ る か ら,FΨ 数 族 

も[0,∞)上 が任意 の区間

同 程 度 に 連 続 で あ る こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る*8.な

の 関 数 族 

た が っ て,μn(λ)が

ぜ な ら,そ

も 同 程 度 連 続 に な り,し

連 続 に な る か ら で あ る.

 

を 任 意 に 固 定 す る.上

述 の 条 件(ⅱ)に

よって

(6.21) を 満 た す 定 数b>0が

  (★)あ  

存 在 す る.次

るζ ∈[0,λ0+1)に

の 事 実 に 注 意 す る.

対 し て,FΨ(ζ)<0な

ら ば￨sB(Ψ)￨<2b.

(★)の 証 明:条 件 か ら,  .し た が っ て,  .こ れ を(6.21))の 右 辺 に適 用 す れ ば ,す な わ ち,￨sB(Ψ)￨<2bを

  任 意 の ε>0に (0<δ

〓1に

対 し て, 

注 意).二

 (1) FΨ(λ0)=0の

と お き,￨λ-λ0￨<δ

場 合.こ

の 場 合,  .し

に,￨FΨ(λ)-FΨ(λ0)￨<ε.他

*7  一般 に

とす る

つ の 場 合 に 分 け て 考 え る.

 

て,￨sB(Ψ)￨<2bで

 

得 る.

で あ り, た が っ て,FΨ(λ)=0な

方,も

あ る か ら,(*)に

し,FΨ(λ)<0な

ら ば,自 ら ば,(★)に

明的 よっ

注 意 す れ ば, 

,a〓0,b∈IRを 固 定 さ れ た 定 数 とす る と き,λ〓0の 関数f(λ):=min{a＋ 単 調 減 少 で あ る.こ の 事 実 は,b〓0とb<0の 場 合 に 分 け て 考 え れ ば,容

λb,0}は

に 証 明 さ れ る. *8  一 般 に ,区 間[a,b]上 で 定 義 さ れ た 関 数 の 族  に つ い て,任 意 の ε>0に 対 し て,個 々 の α ∈Iに が 存 在 し て, 

易

(Iは あ る 添 え 字 集 合) 依 存 し な い 定 数 δ=δ(ε)>0

で あ る か ぎ り,す

べ て の α ∈Iに

対 して

  が 成 り立 つ な ら ば,Fは[a,b]上 で 同 程 度 に 連 続 で あ る と い う. こ の 場 合, infα∈Ifa(x)やsup α∈Ifa(x)は 存 在 す れ ば,そ れ ら は[a,b]上 で連 続 で あ る.こ れ は 容 易 に 確 か め ら れ る.

 

.し

 

た が っ て,い

ず れ の 場 合 で も,

が 成 り立 つ.

(2) FΨ(λ0)<0の

場 合.こ

が っ て,(★)に

の 場 合 は, 

.し

よ っ て, 

.

δ は Ψ の 取 り方 に よ っ て い な い か ら,以 上 の 結 果 は,関 数 族 が[0,∞)の

 

任 意 の 有 限 区 間 で 同 程 度 連 続 で あ る こ と を 示 す.

  (ⅱ)μn(λ)<0と

し よ う.し

が と れ る.Φ1,…,Φn-1を

た が っ て,μn(λ)+ε0<0…(**)と

意 の ε ∈(0,ε0)に

な る ε0>0

任 意 に 固 定 し, 

最 小-最 大 原 理 に よ り, 

と お け ば,

.こ

の こ と とU(λ)の

定 義 か ら,任

対 し て 

が

存 在 し て 

が 成立

す る.sA(Ψ)〓0で (**)に

あ る か ら, 

よ っ て,任

意 のα>0に

な る β>0が

存 在 す る.こ

れ と(***)を

使 え ば, 

る.こ

が 導 か れ る. 対 し て, 

と

れ と す ぐ 前 の 式 に よ っ て αsB(Ψ ε)+β<0.こ が 得 られ

れ は, 

を 意 味 す る.そ

に 関 す る 上 限 を と れ ば(  .さ   ,し あ っ た か ら,こ

定 理6.20 

れ は,μn(λ)の

A, BをH上

も の と す る(し

こ で,Φ1,…,Φn-1 に よってい ない こと

に 注 意), 

(形 式 和)が

た

ら に,ε

→0の

極 限 を と れ ば,

た が っ て,μn(λ+α)<μn(λ).α>0は

任意で

狭 義 単 調 減 少 性 を 示 し て い る. 

の 非 負 自 己 共 役 作 用 素 でQ(A)∩Q(B)が

た が っ て,任

意 の λ〓0に

定 義 さ れ る).こ

の と き,各nに

対 し て,非

■

稠密 で あ る

負 自 己 共 役 作 用 素A+λB

対 して, 

は の 単 調 増 加 関 数 で あ る.

証 明   B〓0で

あ る か ら,0〓

6.18に

意 を 意 味 す る. 

よ り,題

λ〓 μ な ら ばA+λB〓A+μB.こ

れ は,定

理 ■

6.4 

  こ の 節 と次 の 節 で は,前

コ ン パ ク ト作 用 素

節 の 一 般 論 を量 子 力 学 の 具 象 的 な モ デ ルへ 応 用 す る

た め の 数 学 的 準 備 を 行 う.

  6.4.1 

定

  H,Kを

義

と

例

ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,B(H,K)をHを

界 な 線 形 作 用 素 の 全 体 とす る.こ

定 義6.21 

T∈B(H,K)と

す る.Hに

強 収 束 す る部

調 増 加 列{nj}∞j=1⊂INでnj→∞(j→∞)を あ っ て, 

コ ン パ ク ト(compact)あ

る い は 完 全 連 続(completely

らKへ

の有

お け る す べ て の 有 界 な 点 列{ΨN}∞n=1 .

に 対 し て,{TΨn}∞n=1⊂Kが

も の と ベ ク トル Φ ∈Kが

う.Hか

らKへ

の 空 間 の 中 の 重 要 な ク ラ ス の 一 つ を 定 義 す る:

  分 列 を 含 む と き(i.e.,単

定 義 域 と す る,Hか

満たす

が 成 り立 つ と き)Tは continuous)で

の コ ン パ ク ト作 用 素 の 全 体 をC(H,K)で

あ る とい

表 す.C(H):=C(H,H)

と お く.

注 意6.4 

上 の 定 義 は,H,Kが

  C(H,K)がB(H,K)の

バ ナ ッハ 空 間 の 場 合 に も そ の ま ま拡 張 さ れ る.

部 分 空 間 で あ る こ と は 容 易 に 確 か め ら れ る(演

習問題

4). 例6.3 

有 界 線 形 作 用 素T∈B(H,K)で

限 階 作 用 素(finite

rank

operator)と

す.Cfin(H):=Cfin(H,H)と

証 明   dim Ran(T)=M<∞ 意 のΨ ∈Hに

 

コ ンパ ク トで あ る.す

表

な わ ち,Cfin(H,K)⊂C(H,K).

と お く と,正 規 直 交 基 底 

対 して,TΨ

はTΨ=ΣMm=1αm(Ψ)Φmと

.し た が っ て, 

け る任 意 の 有 界 列 と し,C:=supn〓1‖Ψn‖― とす れ ば, 

次 元 が 有 限 で あ る もの を 有

限 階 作 用 素 の 全 体 をCfin(H,K)で

お く.

 ● 任 意 のT∈Cfin(H,K)は

て,任

値 域Ran(T)の 呼 ぶ.有

があっ 表 さ れ る.こ .さ て,{Ψn}∞n=1をHに

こ で, お

これ は 有 限― とお く.  で あ り,￨β(m)n￨〓C‖T‖

が 成 り立 つ.し

た が っ て,各mご

と に定 ま る 数 列{β(m)n}∞n=1は 有 界 で あ る の で,ボ

イエ ル シ ュ トラ ス の 定 理 に よ り,ま ず,m=1の が 存 在 して,{β(1)n1k}kは 収 束 す る.次 の 部 分 列{n2k}k⊂INが

に,m=2の

場 合 を 考 え る と,同 様 に{n1k}k

存 在 して,{β(2)n2k}kは 収 束 す る.以

下 同 様 に して,部

  で  す る も の が 存 在 す る こ とが わ か る.こ {β(m)nMk}kは収 束 す る.こ え にTは

分列

か つ{β(m)nmk}kが 収 束 の と き,す べ て のm=1,…,Mに

よ っ て,ベ

対 して,

ク トル列{TΨnMk}kは

収 束 す る.ゆ

コ ン パ ク トで あ る. 

  6.4.2 

■

基 本 的 な 性 質

定 理6.22   

れ と(*)に

ル ツ ァ ー ノ-ワ

場 合 を考 え る と,数 列{n1k}k⊂IN

T∈B(H,K)と

す る.

(ⅰ) Tn∈B(H,K)が

コ ンパ ク トで,‖Tn-T‖

→0(n→∞)な

ら ば,Tは

コ ン パ ク トで あ る.   (ⅱ) Lを

ヒ ル ベ ル ト空 間,S∈B(K,L)と

す る.こ

の と き,S,Tの

が コ ン パ ク トな ら ば,ST∈B(H,L)は

コ ン パ ク トで あ る.

証 明   (ⅰ)仮 定 に よ り,任

対 し て,番

ε(n〓n0)が (∵3角

意 の ε>0に

成 り立 つ.し

た が っ て,任 意 のm,n〓n0に

不 等 式).{Ψm}mをHの .T1は

部 分 列 を 含 む.こ {T2Ψmk(1)}kも

た が っ て, 

し よ う.T2も

強収束 する

コ ン パ ク トで あ る か ら

れ を{T2Ψmk(2)}kと

す る.以

下同

対 して,部 分 列{mk(n)}kで 

べ て のnに

し よ う.‖ Φk‖ 〓Cで

そ こ でk→∞

対 し て‖Tn-Tm‖<2ε

コ ン パ ク トで あ る か ら,{T1Ψm}mは

れ を{T1Ψmk(1)}kと

た し,{TnΨmk(n)}kが )と す れ ば,す

あ っ て‖Tn-T‖<

任 意 の 有 界 列 と し よ う.し

強 収 束 す る 部 分 列 を 含 む.こ

様 に し て,各nに

号n0が

ど ち らか

を満

強 収 束 す る よ う な も の が と れ る.そ 対 し て,{TnΦk}kは あ る か ら,n,m〓n0と

強 収 束 す る.こ す れ ば,任

と す れ ば, 

コ ー シ ー 列 で あ る こ と を 意 味 す る.し

こ で,Φk=Ψm(k の 収 束 先 を ηnと

意 のkに

.こ た が っ て,η ∈Kが

対 し て,

れ は{ηn}nが

存 在 し て,‖ηn-η‖

→

0(n→∞).不

等 式

に 注 意 す れ ば,上 た が っ て,Tは   (ⅱ) Tが

と 同 様 に し て,TΦk→

な る こ と が わ か る.し

コ ンパ ク トで あ る.

コ ン パ ク トで あ れ ば,任 意 の 有 界 列{Ψn}n⊂Hに

は 強 収 束 す る 部 分 列{TΨnk}kを す る.し

η(k→∞)と

た が っ て,STは

定 理6.22-(ⅰ)は,コ

含 む.Sは

対 して,{TΨn}n

有 界 で あ る か ら,STΨnkは

コ ンパ ク トで あ る.Sが

強収束

コ ンパ ク トの 場 合 も 同 様. ■

ン パ ク ト作 用 素 列 の 一 様 収 束 先 も コ ン パ ク トで あ る こ と(し

た が っ て,C(H,K)は

バ ナ ッハ 空 間B(H,K)の

閉 部 分 空 間),定

理6.22-(ⅱ)は,

作 用 素 の コ ン パ ク ト性 は 有 界 作 用 素 の 積 演 算 で 保 存 さ れ る こ と を 語 る.   次 の 定 理 を 述 べ る 前 に ヒ ル ベ ル ト空 間 論 に お け る 基 本 的 な 事 実 の 一 つ を 補 題 と し て 述 べ る:

補 題6.23 

ヒ ル ベ ル ト空 間Hに

わ ち,{Ψn}∞n=1⊂Hを

お い て,弱

収 束 す る 点 列 は 有 界 で あ る.す

証 明  Sn:H→Cを 

に よ っ て 定 義 す れ ば,Snは

界 線 形 汎 関 数 で あ り,  あ る Ψ ∈Hが

([4]の1.3節

存 在 し て, 

対 し て 定 数CΦ>0が

を 参 照).仮

.し た が っ て,各

存 在 し て, 

タ イ ン ハ ウ ス の 定 理([5]のp. こ れ と(*)に

353,定

Φ ∈Hに

.ゆ え に,バ ナ ッ ハ-シ ュ 理3.48)に

よ っ て, 

.

よ り 題 意 が 成 立 す る. 

T∈B(H,K)を

 

証 明   Φn:=TΨnが

■

コ ンパ ク ト作 用 素 と す る.こ の と き,

な ら ば,

Φ:=TΨ

に 弱 収 束 す る こ と は 容 易 に わ か る.仮

Φ に 強 収 束 し な か っ た と し て み よ う.こ

有

定 に よ り,

  コ ンパ ク ト作 用 素 の 重 要 な 性 質 の 一 つ が 次 の 定 理 に よ っ て 与 え ら れ る: 定 理6.24 

な

弱 収 束 す る 任 意 の 点 列 と す れ ば,

の と き,「 あ る ε>0と

に,Φnは

部 分 列{Φnk}kが

存 在 し て‖ Φnk-Φ‖〓

ε」 …(*)が

は 有 界 で あ り,Tは む.こ

成 り立 つ.補

題6.23に

コ ン パ ク トで あ る の で,{Φnk}kは

れ を 

強 収 束 す る部 分 列 を含

と す る.強

す る か ら, .一 辺 は,Φ

よ っ て,{‖ Ψnk‖}k

方,証

に 等 しい.し

  定 理6.24は,コ

収 束すれば弱収束

明 の 初 め に 述 べ た こ と よ り,こ

た が っ て,Φ=Φ.だ

が,こ

れ は(*)に

の右

反 す る. 

ン パ ク ト作 用 素 は 弱 収 束 列 を 強 収 束 列 に 変 換 す る,と

■

い うこ

と を 語 る.   定 理622-(ⅰ)と

例6.3に

(一 様 収 束 極 限)は

コ ン パ ク トで あ る.実

定 理6.25 

T∈B(H,K)を

規 直 交 系 と し,各N〓1に

よ り,有

限 階 の作 用 素 列 の 作 用 素 ノル ム に よ る極 限 は こ の 逆 も成 り立 つ:

コ ン パ ク ト作 用 素 とす る.{Ψn}∞n=1をHの

完全 正

対 して 作 用 素TNを

(6.22) に よ っ て 定 義 す る.こ

の と き,次

の(ⅰ),(ⅱ)が

成 り立 つ:

  (ⅰ) TN∈Cfin(H,K).   (ⅱ) ‖TN-T‖→0(N→

∞).

証 明   (ⅰ) 

で あ り,右

辺 は 有 限 次 元 部 分 空 間で あ る

か ら,

  (ⅱ)  任 意 の 

は 

と展 開 され る.し た

が っ て, 

.た

だ し, .明

に,ΨN∈[ψ1,…,ψN]⊥.し

た が っ て, 

 .ゆ

らか

え に‖T-TN‖〓

Ψ ∈[ψ1,…,ψN]⊥

に対 し て,TNΨ=0で

.し え に,limN→∞

  明 ら か に,λNはNに limN→∞λN=λ〓0が λ/2で あ る こ と と,λNの

だ し,

方,任

意の

あ る か ら, 

た が っ て,λN〓‖T一TN‖.よ

λN=0を

λN.他

.た

っ て‖TN-T‖=λN.ゆ

示 せ ば よ い. 関 して 単 調 減 少 で あ り,λN〓0で 存 在 す る.仮

に λ>0と

単 調 減 少 性 に注 意 す れ ば,

あ る か ら,極

し て み よ う.こ

の と き,λ>

限

 

と な る 列{ΦN}Nを

と な る こ と は 容 易 に わ か る.し   .こ れ は 矛 盾 で あ る.ゆ

  定 理6.25は,有

た が っ て,定 理6.24に

よ っ て,

え にλ=0. 

■

限 階 作 用 素 の 集 合Cfin(H,K)が(作

相 に お い て)コ 定 理6.26 

と る こ と が で き る. 

用 素 ノル ム か ら定 ま る位

ン パ ク ト作 用 素 の 集 合C(H,K)の

T∈C(H,K)と

中 で 稠 密 で あ る こ と を 示 す.

す る.Sn∈B(X,H)(Xは

ヒ ル ベ ル ト空 間)と

 を 満 た す と す る.こ

の と き,

証 明   バ ナ ッハ-シ ュ タ イ ンハ ウ ス の 定 理 に よ り,  を 定 理6.25と

同 じ も の と す れ ば,任

意 の ε>0に

  .任 意 の Ψ ∈Xに , 

対 し て,番

.こ .し

  .ゆ

.TN

え に,n〓n0な

た が っ て,番

ス

定 理6.27  C(H)).こ

ペ Tを

ク

れ と

号n0が

存 在 し て,

 

存 在 して

ら ば,  .よ っ て,定

  6.4.3 

号N0が

対 して

で あ る か ら, 

に よ っ て, 

し,

理 の 結 論 を 得 る. 

■

ト ル

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

の コ ン パ ク ト作 用 素 と す る(i.e.,T∈

の と き, 

.す

は 多 重 度 が 有 限 の 孤 立 固 有 値 で あ る.さ

な わ ち,任 意

ら に,σd(T)＼{0}の

の  可 能 な 集 積 点 は0

だ け で あ る.

証 明   ま ず,C＼(σp(T)U{0})はTの λ ∈C,λ

≠0,と

用 素1-zT(z∈C)に

レ ゾ ル ベ ン ト集 合 に 属 す る こ と を示 す.

す れ ば, 

と 書 け る こ と に 注 意 し て,作

つ い て 考 察 す る.T=0の

場 合 は 自 明 な の で,T≠0

と す る.   点a∈Cを

任 意 に 固 定 す る.aTも

て,‖F-aT‖<1/2を し, 

コ ンパ ク トで あ る か ら,定

満 た す 有 限 階 作 用 素Fが と す れ ば,す

理6.25に

よっ

と れ る.r=1/(2‖T‖)と べ て のz∈Ur(α)に

対 し て,

‖F-zT‖<1が

成 り立 つ.し

理1.34)に

た が っ て,C.ノ

よ り,1-zT+Fは

イ マ ン の 定 理([4]のp.

全 単 射 で あ り,一

71,定

様位 相で

(6.23) が 成 り立 つ.そ

こ でG(z)=(1-zT+F)-1と

と 書 け る.こ  

お けば

れ か ら次 の こ と が わ か る:

(ⅰ) 1-zTが

全 単 射 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は1-G(z)が

全単射 である

こ と で あ る.   (ⅱ) zTΨ=Ψ 0で

が0で

な い 解 Ψ を もつ た め の 必 要 十 分 条 件 はG(z)Φ=Φ

こ う し て,問   Fは

題 は 作 用 素1-G(z)の

解 析 に 帰 着 さ れ る.

有 限 階 作 用 素 で あ る か ら,Ran(F)は

規 直 交 基 底 の 一 つ を{Φn}Nn=1と と表 さ れ る.た .た

有 限 次 元 で あ る.こ

の部 分 空 間 の 正

す れ ば,Fは, 

だ し,ηn:=F*Φn.し

た が っ て, 

だ し,

  G(z)Φ=Φ

が0で

な い 解 Φ を も つ と し よ う.Ran(G(z))⊂Ran(F)で

る か ら, 

と 書 け る(αn∈C).し

た が っ て,(*)を

 

が 成 り立 つ.逆

解{αn}Nn=1≠0を て,G(z)Φ=Φ

も て ば,  が0で

はG(z)Φ=Φ

な い 解 を もつ こ と と(**)が

つ こ と は 同 値 で あ る こ と が わ か る.(m,n)成 で 与 え ら れ るN次

の 行 列 をM(z)と

はd(z):=detM(z)=0が

で あ る,と

が0で

い う こ と に な る.こ

使 え ば, に(**)が

を 満 た す.こ

うし

非 自 明 な 解{αn}Nn=1≠0を

も

す れ ば,(**)が

(Ur(a)に

とす れ ば,G(z)Φ=Φ

あ

分 が 

必 要 十 分 で あ る.そ

 

解Ψ

が

な い 解 Φ を も つ こ と で あ る.

非 自明 な解 を もつ た め に

こで お け る,d(z)の

零 点 の 集 合)

な い 解 を もつ た め の 必 要 十 分 条 件 は,z∈Zr(a) れ と 上 記(ⅱ)に

を も つ た め の 必 要 十 分 条 件 は,z∈Zr(a)で

よ っ て,zTΨ=Ψ

が0で

あ る こ と が 結 論 さ れ る.

ない

  (6.23)に

よっ て 

で あ る か ら,M(z)

の 行 列 要 素 の お の お の はUr(a)で 則 で あ る.ゆ

え に,Zr(a)は

か で あ る.も

し,あ

正 則 で あ る.し

対 して,Zr(a)=Ur(a)が 中 に 任 意 に と り,い

ば,z∈Ur(a)∩Ur(b)はZr(b)に

下 同 様 に し て,任

ま と 同 様 の 議 論 をUr(b)で た が っ て,一

意 のz∈Cに

か し,Tは

る.ゆ

対 し て,Zr(a)≠Ur(a).し

は 離 散 的 な 集 合 で あ る.こ い(も

し,Ur(a)の

な っ て 矛 盾).こ

中 に あ る とす れ ば,一 れ が ど ん なa∈Cに

な い 解 Ψ を も つ よ う なzの で あ る.こ

れ は,σp(T)は

有 界 で あ る か ら,こ

れ が 無 限 集 合 の 場 合 は,集

行 え

致 の 定 理 に よ り,

対 し て,zTΨ=Ψ

0で な い 解 を もつ こ と に な る.し べ て のa∈Cに

どち ら

成 り立 っ た と す れ ば,a

含 ま れ る.し

な る.以

え に,す

正

離 散 的 な 集 合 で あ る か,Zr(a)=Ur(a)の

るaに

とは異 な る 点bをUr(a)の

Zr(b)=Ur(b)と

た が っ て,d(z)もUr(a)で

が

れ は不 可 能 で あ た が っ て,Zr(a)

積 点 はUr(a)の

中 にはな

致 の 定 理 に よ り,Zr(a)=Ur(a)と

つ い て も成 り立 つ か ら,zTΨ=Ψ

集 合 は 離 散 的 で あ り,そ 離 散 的 で あ り,そ

が0で

の 可 能 な 集 積 点 は∞

の 可 能 な 集 積 点 は0だ

のみ

けであ るこ

と を 意 味 す る.   次 に  わ ち,1/z∈

ρ(T)を

示 そ う.今

に 対 し て,w1,…,wm∈Cに

G(z)Φ=Φ

あ る.上

も つ.そ

が 成 り立 つ.し と す れ ば,上

な ら な い.し

全 単 射 で あ る こ と,す た が っ て,任

こ で 

の 議 論 に よ り,d(z)≠0の

よ り,1-zTも

に 関 す る 結 果 を あ わ せ れ ば,任

と お け ば,

た が っ て,1-G(z)は

た が っ て,1-G(z)は

記(ⅰ)に

な

意 の Ψ ∈H

関す る連 立 方程 式

は 解{βn}Nn=1(wn=βn)を (1-G(z))Φ=Ψ

,に 対 し て,1-zTは の 場 合,d(z)≠0.し

単 射 で あ る.ゆ 全 単 射 で あ る.こ

全 射 で あ る.ま

た,

場 合 は,Φ=0で

なければ

え に1-G(z)は

全単射で

れ と す で に 証 明 し た σp(T)

意 の λ ∈C＼(σp(T)U{0})は

ρ(T)に

属す る

こ とが わ か る.

  以 上 か ら,σ(T)は は0だ

離 散 的 な集 合 で σ(T)=σp(T)で

けで あ る こ とが 結 論 され る.

あ り,そ の可 能 な集 積 点

  最 後 に,固

有 値 λ ∈ σ(T)＼{0}の

 

多 重 度 は 有 限 で あ る こ と を 示 そ う.仮

,を 満 た す Ψnが

無 限 個 あ っ た と し よ う.{Ψn}∞

に

n=1は

(必 要 な ら ば グ ラ ム-シ ュ ミ ッ トの 直 交 化 を 行 う こ と に よ り)正 規 直 交 系 で あ る と し て 一 般 性 を 失 わ な い.Tの

コ ン パ ク ト性 に よ り,あ る 部 分 列{Ψnk}kと

が 存 在 し て,TΨnk→

Φ(k→∞).し

意 の 正 規 直 交 系 は0に

弱 収 束 す る か ら,Φ=0で

て, 

.一

た が っ て,Ψnk→

Φ ∈H

λ-1Φ(k→∞).任

な け れ ば な ら な い.し

たが っ

で あ る か ら,矛

盾が生

方, 

じ る. 

■

  自 己 共 役 な コ ンパ ク ト作 用 素 の ス ペ ク トル に 関 し て は も っ と 詳 し い こ と が い え る.ま

ず,準

補 題6.28 

備 と し て 次 の 補 題 を 証 明 す る.

T∈B(H)を

く と も一 つ は σ(T)に

証 明   仮 に,±‖T‖〓

自 己 共 役 作 用 素 とす る.こ

σ(T)と

し よ う.こ

か し,σ(T)=supp

ら,任 意 の Ψ ∈Hに

の と き,σ(T)⊂[-‖T‖,‖T‖]とTの

ET(ETはTの

ス ペ ク トル 測 度)で

.

  こ の 補 題 と定 理6.27を

あ わ せ れ ば 次 の 補 題 を 得 る:

コ ンパ ク ト作 用 素T∈C(H)が

の 少 な く と も 一 方 はTの

ら,も

Tが

定 理6.30 

■

自 己 共 役 な ら ば,‖T‖

ま た は-‖T‖

離 散 的 固 有 値 で あ る.

有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 の と き,σ(T)⊂[-‖T‖,‖T‖]で

し,‖T‖(-‖T‖)がTの

(最 小)の

あるか

対 し て,  を 意 味 す る か ら矛 盾 で あ る. 

注 意6.5 

閉

存 在 して, 

こ れ は,‖T‖〓‖T‖-δ

補 題6.29 

の う ち少 な

属 す る.

性 に よ り,あ る 定 数 δ ∈(0,‖T‖)が が 成 り立 つ.し

の と き,±‖T‖

固 有 値 な ら ば,そ

れ は,Tの

あ るか

固 有 値 の う ち最 大

も の で あ る*9. Hを

可 分 な無 限 次 元 ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,TをH上

ン パ ク ト作 用 素 と す る.こ

の と き,λn→0(n→∞),TΨn=λnΨn(n∈IN)

*9 括 弧 に は括弧 を対 応 させ て読 む .

の 自己共 役 な コ

を 満 た す 実 数 列{λn}∝n=1とHの で も λn≠ λmと 合 は σp(T)に

完 全 正 規 直 交 系{Ψn}∝n=1が

は 限 ら な い).λ1,λ2,…,の

存 在 す る(n≠m

うち 互 い に異 な る もの を集 め た集

等 しい.

証 明   Tが0の

場 合 は 自 明 で あ る か ら,T≠0と

と定 理6.27に

よ っ て,Tの0で

有 空 間 をMnと

限 ま た は 可 算 無 限)(m≠nな …

と し て 一 般 性 を 失 わ な い.固

す れ ば,Tの

は 直 交 し て い る.定

の と き,補

な い 固 有 値 の 集 合 σ(T)＼{0}は

こ の 集 合 の 点 をE1,E2,…(有 とす る.￨E1￨〓￨E2￨〓

す る.こ

空 で は な い. ら ばEm≠En)

有 値Enに

自 己 共 役 性 に よ り,m≠nな

理6.27に

題6.29

属 す る固

ら ばMmとMn

よ っ て,dn:=dimMn<∞.Mnの

正規直

交 基 底 を{Ψn, k}dnk=1と す れ ば, .各nと k=dn-1+1,…,dn-1+dn(d0=0と とお く.し

お く)に 対 し て,νk=En,Φk:=Ψn

た が っ て, .M1, M2,…,の

か ら張 ら れ る 部 分 空 間 の 閉 包 をMと

し よ う.し

  ま ず,M⊥={0}の

場 合 を 考 察 す る.こ

し た が っ て,{Ψk}kは

完 全 で あ る.dim

無 限 集 合 で あ る.ゆ

え に,定

λn=νn,Ψn=Φnと   次 にM⊥

理6.27に

す れ ば,こ

≠{0}の

場 合 を 考 え る.こ

な ら ばTΨ

∈M⊥

に 制 限 した も の をT0と も しT0が0で Eと

て,あ

の と き は,MはHで H=∞

よ っ て,νk→0(k→

の と き,M⊥

ず,TがM⊥

す れ ば,T0は

に な る が,MnとM⊥

は 固 有 値0に

こ で,

よ り,T0は0で

こ で,TをM⊥

が っ て,T0=0で

あ る.こ

がTの

と を 意 味 す る.こ

の 空 間 の 正 規 直 交 基 底 を 

た が っ て,

とす れ ば,T0Ψ0=EΨ0で

固 有 値0に

 はHの

る と Ψ0∈Mnと

れ を

あ る が,

な い 固 有 値 で あ る.し

は 直 交 し て い る か ら,Ψ0=0.こ

固

な わ ち,

な い 固 有 値 を もつ.こ

な け れ ば な ら な い.す

れ は,M⊥

属 す る,Tの

を 不 変 に す る こ と,す

書 け る の で,EはTの0で

対 してE=λnで

可算

∞).そ

自 己 共 役 で コ ンパ ク トで あ る.し

し,そ の 固 有 ベ ク トル の 一 つ を Ψ0∈M⊥

るnに

稠 密 で あ る.

で あ る か ら,{En}nは

で あ る こ と は 容 易 に 確 か め ら れ る.そ

な け れ ば,補 題6.29に

こ れ はTΨ0=EΨ0と

た が っ て,M=L({Φk}k).

れ が 求 め る も の で あ る.

有 空 間 で あ る こ と を証 明 し よ う.ま Ψ ∈M⊥

,k

す べ て の ベ ク トル

たがっ い うこと

れ は 矛 盾 で あ る.し

た

属す る固有 空 間 で あ る こ と す れ ば,

完 全 正 規 直 交 系 を な す.こ

の

場 合,#{En}nが

有 限 な ら ば,N=∞

定 義 に お い て,あ

るnか

で な け れ ば な ら な い が,こ

ら 先 は0と

立 す る.#{En}n=∞,N<∞ と す れ ば よ い.最

お け ば よ い.ゆ の と き は,λj:=0,

後 に#{En}n=∞, N=∞

え に,こ

の と き は,λnの

の場 合 に も主 張 が 成

j=1,…,N,

λN+n:=νn

の と き は,λ2n=0,λ2n-1=νn

と す れ ば よ い. 

  定 理6.30は

■

次 の こ と を 語 る:可

分 な 無 限 次 元 ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の 自 己 共 役 な

コ ン パ ク ト作 用 素 は 自 ら の 固 有 ベ ク トル の 完 全 系 を も ち,0∈IRは

そ の真 性 ス

ペ ク トル に 属 す る.

6.5 

定 義6.31  よ う.Bが

Aを

真 性 ス ペ ク トル の 安 定 性

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

の 閉 作 用 素,BをH上

の線 形作 用 素 と し

二つの条件

  (ⅰ) D(A)⊂D(B);   (ⅱ) あ るz∈

ρ(A)に

対 し て,B(A-z)-1は

を 満 た す と き,BはAに

コ ンパ ク ト

関 し て 相 対 コ ン パ ク トあ る い は 単 にA-コ

ン パ ク トで

あ る と い う. 定 理6.32 

Aを

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

の 閉 作 用 素,BをH上

な 作 用 素 と す る.こ

の と き,次

の(ⅰ)∼(ⅲ)が

  (ⅰ) す べ て のz∈

ρ(A)に

対 し て,B(A-z)-1は

  (ⅱ) Aが

自 己 共 役 な ら ば,BはA-有

  (ⅲ)  Aが

自 己 共 役 でBが

有 界 な ら ば,A+Bも

ンパ ク ト

成 り立 つ: コ ン パ ク ト.

界 で あ り,そ

対 称 な ら ば,A+Bは

の 相 対 限 界 は0で

自 己 共 役 で あ る.Aが

あ る. 下 に

そ う で あ る.

証 明   (ⅰ)仮 定 に よ り,あ Aの

のA-コ

るz0∈

ρ(A)に

対 し てB(A-z0)-1は

コ ン パ ク ト.

レ ゾ ル ベ ン ト方 程 式 を使 う こ と に よ り

B(A-z)-1=B(A-z0)-1+(z-z0)B(A-z0)-1(A-z)-1,

定 理6.22-(ⅱ)に

よ り,右

z∈

辺 の 第 二 項 も コ ン パ ク ト で あ る.コ

和 は コ ン パ ク ト で あ る か ら,B(A-z)-1は

ρ(A).

ン パ ク ト作 用 素 の

コ ン パ ク ト で あ る.

  (ⅱ)nを

自然 数 と す れ ば,in∈

(A-i)(A-in)-1と

な 作 用 素 で あ る.さ

書 け る.関

数f(x)=

有 界 連 続 で あ る か ら,作 用 素 解 析 に よ り,Snは

 を 得 る.し が 存 在 し て,n〓n0な

た が っ て,任

有界

∞Sn=

示 す こ と が で き る(S*n=(A+i)(A+in)-1で

コ ンパ ク トで あ る か ら,定 理6.26を

Ψ ∈D(A)に

Sn:=

ら に ス ペ ク トル 表 示 を用 い る こ と に よ り,s-limn→

∞S*n=0を

に 注 意).Tは

あ る.T:=B(A-i)-1,

お け ば,B(A-in)-1=TSnと

(x-i)(x-in)-1(x∈IR)は

0, s-limn→

ρ(A)で

ある こと

応 用 す れ ば,

意 の ε>0に

ら ば ‖B(A-in)-1‖<ε.こ

対 し て,番

号n0=n0(ε)

れ を 用 い る と,任

意 の

対 して

を 得 る.ε>0は

任 意 で あ っ た か ら,こ

れ はBのA-限

界 が0で

あ る こ とを意 味

す る.   (ⅲ)(ⅱ)と

加 藤-レ

リ ッ ヒの 定 理 に よ る. 

■

 次 の定 理 は,摂 動 の も とで の 真 性 ス ペ ク トル の 不 変 性 に 関 す る もの で あ る. 定 理6.33 

Aを

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

パ ク トな 対 称 作 用 素 と す る.こ

の 自 己 共 役 作 用 素,BをH上

のA-コ

ン

の とき

(6.24) 証 明   λ ∈ σess(A)と  で(6.2),

と 書 け る.こ (λ-z)Ψnで

し よ う.こ

(6.3)を

あ る か ら,w-limn→

σess(A+B).

よ っ て,点 意 のz∈

列

ρ(A)に

対 して

強 収 束 す る.(A-z)Ψn=(A-λ)Ψn+ ∞(A-z)Ψn=0.定

コ ン パ ク ト で あ る か ら,上

し た が っ て,‖(A+B-λ)Ψn‖ σess(A)⊂

理6.6に

満 た す も の が 存 在 す る.任

の 右 辺 の 第 一 項 は0に

B(A-z)-1は

よ って

の と き,定

→0(n→

理6.32-(ⅰ)に

式 の 右 辺 の 第 二 項 も0に ∞).ゆ

え に,λ

よ り,

強 収 束 す る.

∈ σess(A+B).

  定 理6.32-(ⅱ)の た が っ て,そ

証 明 よ り,nを

の よ う なnに

が 成 り 立 つ.こ

れ は,±B(A+B-in)-1の

ち,±BはA+B-コ Bを-Bと

十 分 大 き く と れ ば,‖B(A-in)-1‖<1.し

対 し て,1+B(A-in)-1は

コ ン パ ク ト性 を 意 味 す る.す

ンパ ク トで あ る.そ す れ ば,σess(A+B)⊂

6.6 

  6.6.1 

基

本

こ で 前 段 の 議 論 で,AをA+Bと

なわ し,

σess(A+B-B)=σess(A). 

■

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 型 作 用 素 の 真 性 ス ペ ク トル

定

  前 節 の 結 果 を(6.4)に

作 用 素HVに

全 単射 で あ り

理 よ っ て 定 義 さ れ る,L2(IRd)上

の シ ュ レー デ ィ ン ガー 型

応 用 し よ う.こ の 節 を通 して

(6.25) と お く.σess(-Δ)=[0,∞)(例6.1)と

定 理6.33に

よ っ て,次

の事 実 が た だ ち

に 導 か れ る:

定 理6.34 

VがH0-コ

ン パ ク トな ら ば,HVは

下 に有 界 な 自己 共 役 作 用 素 で

あ り

(6.26)   こ の 定 理 の 観 点 か ら は,ど

の よ う な ポ テ ン シ ャ ルVがH0-コ

か を 調 べ る こ と が 重 要 で あ る.以

  6.6.2 

下は こ の 問 題 の 考 察 に あ て ら れ る.

レ ゾ ル ヴ ェ ン トの 積 分 核 表 示

  ポ テ ン シ ャ ルVがH0-コ C＼[0,∞)に こ で,特

ン パ ク トに な る

ンパ ク トで あ る こ と を 示 す に は,適 当 なz∈

対 して,V(H0-z)-1が

にz=-1の

場 合 を 考 え,作

ρ(H0)=

コ ン パ ク トで あ る こ と を 示 せ ば よ い.そ 用 素V(H0+1)-1に

つ い て 考 察 す る.

フ ー リエ 変換 に よ り

こ こ で,l. i.m.は す れ ば,右

平 均2乗

辺 は,ψ

収 束(L2(IR2)で

∈S(IRd)と

換 と み る こ と が で き る.し

(FはIRd上

の 収 束)を

緩 増 加 超 関 数1/(k2+1)の

こ で,*は

∈S(IRd)と

積 の 逆 フ ー リエ 変

た が っ て,

の 緩 増 加 超 関 数 の フ ー リ エ 変 換)と

と 表 さ れ る.こ

表 す*10.ψ

す れ ば,

超 関 数 の 意 味 で の 合 成 積 で あ る*11.緩

増 加 超 関 数G

は関数

(6.27) と 同 一 視 さ れ る こ と が 証 明 さ れ る*12.ゆ

えに

(6.28)   (6.28)に

は,あ

る 一般

(M2,μ2)を

測 度 空 間 と す る と き,(M2,μ2)上

上 の あ る 関 数 空 間D1へ 上 の 関 数K(x,

y)を

的 な 作 用 素 の 形 が 具 現 化 し て い る.一 般 に(M1,μ1),

の 線 形 作 用 素Tが

の 一 つ の 関 数 空 間D2か

ら(M1,μ1)

直 積 測 度 空 間(M1×M2,μ1 

μ2)

用 いて

(6.29) と 表 さ れ る と き,Tを 積 分 核(integral *10 [4]ま

た は[5]の

*11 [4]ま

た は[5]の

*12 [4]ま

た は[5]の

積 分 作 用 素(integral

kernel)と 付 録A

い う.

, A.7節 を 参 照. 付 録C.7を 参照 . 付 録Cの 定 理C.13 .

operator)と

呼 び,K(x,

y)を

そ の

  こ の 概 念 を 用 い る と,上

に 得 た 結 果(6.28)は,(H0+1)-1のS(IRd)へ

制 限 は,積

d)の 積 分 作 用 素 で 与 え ら れ る,と

分 核 がG(x-y;

し た が っ て,V(H0+1)-1は V(x)G(x-y; d)で

の 言 い 換 え ら れ る.

定 義 域 を 適 当 に 制 限 す る こ と に よ り,積

与 え ら れ る 積 分 作 用 素 に な る.そ

こ で,こ

分 核が

の種 の積分作用

素 が コ ン パ ク ト に な る 条 件 を考 察 す る 必 要 が あ る.

  6.6.3 

ヒ ル ベ ル ト-シ ュ ミ ッ ト型 積 分 作 用 素

  こ こ で ひ と ま ず,上 記 の 問 題 を 離 れ て,あ る 種 の 積 分 作 用 素 に 関 す る一 般 論 を展 開 し て お く.(M1,μ1),(M2,μ2)を

測 度 空 間 と し,K∈L2(M1×M2,

し よ う: .こ

dμ1  dμ2)と

の と き,任 意 のf∈L2(M2,

に 対 して,シ

dμ2)

ュ ヴ ァ ル ツ の不 等 式 に よ って

であるか ら

した が っ て

(6.30) に よ っ て 線 形 作 用 素K:L2(M2, こ れ は 有 界 で あ る.し

か も,そ

dμ2)→L2(M1,

dμ1)を

定 義 す る こ と が で き,

の 作 用 素 ノル ム につ い て

(6.31) が 成 り立 つ.作 い う.こ

定 理6.35  Kは

用 素KをKに

れ に 対 し,次

L2(M1,

同 伴 す る ヒ ル ベ ル ト-シ ュ ミ ッ ト型 積 分 作 用 素 と

の 定 理 が 成 り立 つ.

dμ1),L2(M2,

コ ン パ ク トで あ る.

dμ2)は

と も に 可 分 で あ る と す る.こ

の と き,

証 明  

を そ れ ぞ れ,L2(M1,

交 系(CONS)と

し,ψm,n(x,

こ の と き,{ψm

y):=em(x)fn(y)*と

,n}m,nはL2(M1×M2,

が っ て,L2(M1×M2, だ し,αmn:=〈

dμ2)の

K〉

で あ り, 

し て, 

dμ2)の

完 全 正 規直

,n=em×f*n).

dμ2)のCONSに

な る*13.し

た

強 収 束 の 意 味 で .た で あ る.各

と す る.明

dμ2).KNを

L2(M2,

お く(i. e.,ψm

dμ1 

dμ1  ψm,n,

dμ1),

積 分 核 と す る 作 用 素 をKNと

こ れ は 有 限 階 の 作 用 素 で あ る か ら,コ

番 号Nに

ら か に,KN∈L2(M1×M2,

対 dμ1 

す れ ば 

.

ン パ ク ト で あ る .(6.31)に

よ っ て 

.一 方

し た が っ て, .ゆ

え に,定

理6.22-(ⅰ)に

よ り,K

は コ ン パ ク ト で あ る. 

■

  自己 共役 な ヒル ベ ル ト-シュ ミッ ト型 積 分作 用 素 の積 分 核 と固 有 値 の 間 に は あ る 関係 が あ る: 定 理6.36 

(M,μ)を

M, dμ 

dμ)と

す る.こ

の と き,次

  (ⅰ) Kが

測 度 空 間 でL2(M,

し,KをKに

dμ)は 可 分 で あ る とす る.K∈L2(M×

同 伴 す る ヒ ル ベ ル ト-シ ュ ミ ッ ト型 積 分 作 用 素 と

の(ⅰ),(ⅱ)が 成 り立 つ:

自己 共 役 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は

(6.32) が 成 り立 つ こ と で あ る.   (ⅱ) Kは(6.32)を

満 た す と し よ う(し

異 な る 固 有 値 の 全 体 を  よ う.こ

た が っ て,Kは と し,Enの

自 己 共 役).Kの

相

多 重 度 をm(En)の

と し

の とき

(6.33) *13 [5]の 定 理4

.2を

参 照.{f*n}nもL2(M2,

dμ2)のCONSで

あ る こ と に 注 意.

証 明   (ⅰ)(必要 性)Kは

自 己 共 役 で あ る とす る.こ の と き,任 意 のf,g∈L2(M,

に 対 し 

.今,  と お け ば,ηj∈L2(M,

定 理 に よ り,(*)は〈f,η1〉=〈f,η2〉 あ っ た か ら,η1=η2.こ (6.32)が

dμ)

dμ)で あ り,フ

と 書 き直 せ る.f∈L2(M,

れ が す べ て のg∈L2(M,

ビニ の

dμ)は 任 意 で

dμ)に 対 し て 成 り立 つ か ら

得 ら れ る.

  (十 分 性)(6.32)が

成 り立 つ な ら ば,Kが

自 己 共 役 で あ る こ と は,フ

ビニ の 定

理 を 応 用 す れ ば 容 易 に わ か る.   (ⅱ)(ⅰ),定 理6.35と

定 理6.30に

よ っ て,Kfn=λnfnを

と 実 数 列{λn}nで 在 す る.{fm×f*n}m,nはL2(M×M,

λn→0(n→

満 た す,  ∞)を

dμ  dμ)のCONSで  とL2(M×M,

い て 展 開 さ れ る.こ

の と き,パ

dμ dμ)に

よ り 

た が っ て,bmn=0,  . ま た,λn=〈fn,

あ る か ら,

m≠n.ゆ Kfn〉=bnn.し

 .右 辺 に お い て は,λn=0の

が

え に, た が っ て,

部 分 は 寄 与 し な い か ら,右

辺 は,(6.33)

の 左 辺 に 等 し い こ と が わ か る. 

  6.6.4 

■

ポ テ ン シ ャ ル のH0-コ

 さ て,初

め の 問 題 に 戻 ろ う.

補 題6.37 

作 用 素V(H0+1)-1が

た め の 必 要 十 分 条 件 はd〓3か

お

ー セ ヴ ァ ル の 等 式 に よ り 

が 成 り立 つ.  成 り立 つ.し

満 た す もの が 存

ン パ ク ト性

ヒ ル ベ ル ト-シ ュ ミ ッ ト型 積 分 作 用 素 で あ る つV∈L2(IRd)で

あ る.こ

の 条 件 が 成 り立 つ と

き,VはH0-コ

ン パ ク トで あ る.

証 明   V≠0の

場 合 だ け を考 え れ ば 十 分 で あ る.積 分 作 用 素V(H0+1)-1が

ヒ ル ベ ル ト-シ ュ ミ ッ ト型 で あ る こ と と 条 件

(6.34)

は 同 値 で あ る.フ ビニ の 定 理 に よ っ て,(6.34)は の 有 限 性 と 同 値 で あ る.こ

に 等 しい.こ

順 序 積 分 

の 積 分 は 発 散 す る 場 合 も含 め て

れ が 有 限 で あ る た め に は,V∈L2(IRd)か

あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る.後

つG(・;d)∈L2(IRd)で

者 の 条 件 はd〓3と

同 値 で あ る*14.よ

っ て,題

意 が し た が う. 

  補 題6.37と 定 理6.38 

■

定 理6.34に d〓3,

よ っ て 次 の 事 実 に 導 か れ る:

V∈L2(IRd)な

ら ば,HVは

下 に有 界 な 自己 共 役 作 用 素 で

あ り

(6.35) が 成 り立 つ. 例6.4 

湯 川 型 ポ テ ン シ ャ ル.d〓3,α

と す れ ば,V∈L2(IRd)で

あ る.し

あ り,σess(HVm)=[0,∞)が

  補 題6.37を

∈IR,0<β
た が っ て,HV

m>0を

mは

定 数 と し

下 に有界 な 自己 共役作 用 素 で

成 り 立 つ.

基 礎 と し て,H0-コ

ン パ ク トに な るVの

も っ と広 い ク ラ ス を み つ

け る こ と が で き る.

定 義6.39 

1〓p<∞

L∞(IRd)(1〓p<∞)が

と し よ う.任

意 の〓>0に

対 して,V1 ,〓∈Lp(IRd),V2,〓

存 在 して

が 成 り 立 つ な ら ば,Vは(Lp+L∞〓)(IRd)に

属 す る と い い,V∈(LP+L∞〓)(IRd)

と 記 す. *14  [4]ま た は[5]の

付 録Cの

定 理C

.13の(ⅱ),(ⅲ)を

用 い よ.

∈

注 意6.6 

V∈Lp(IRd)な

ら ば,V1,〓=V,

V2,〓=0と

(Lp+L∞〓)(IRd).し

た が っ て,Lp(IRd)⊂(Lp+L∞〓)(IRd).

補 題6.40 

す る.V∈(L2+L∞〓)(IRd)な

d〓3と

と れ る か ら,V∈

ら ば,VはH0-コ

ンパ ク ト

で あ る.

証 明   {〓n}∞n=1を〓n→0(n→

と な る 関 数Vn(j)(j=1,

補 題6.37よ

∞)と

な る 正 数 列 と し よ う.仮

2)が 存 在 す る.し

り,Vn(1)(H0+1)-1は

  補 題6.40と

定 理6.34か

た が っ て,

コ ン パ ク トで あ る.し

素 ノ ル ム で の 極 限 で あ るV(H0+1)-1も

ら,H0に

定 に よ り,

た が っ て,そ

コ ン パ ク トで あ る. 

対 す る 摂 動Vの

の 不 変 性(安

定 性)に

関 す る 次 の 定 理 が 得 ら れ る.

定 理6.41 

d〓3と

し,V∈(L2+L∞〓)(IRd)と

の作用 ■

も と で の 真 性 ス ペ ク トル

す る.こ

の と き,HVは

下 に

有 界 な 自己 共 役 作 用 素 で あ り

(6.36) が 成 り立 つ. 例6.5 

原 点 に 特 異 性 を もつ ポ テ ン シ ャル.d〓3と

と い う 場 合 を 考 え よ う.こ 満 た す と す る.r>0を V1=xrV;

V2=(1-xr)Vと

こ で,α

∈IR,β>0は

任 意 に 固 定 し,xrを  お け ば,V=V1+V2と

し

定 数 で あ り,β

は0<β
書 く こ と が で き る.し

か も,

V1∈L2(IRd),

V2∈L∞(IRd)で

V2∈(L2+L∞∈)(IRd)が し て,(6.36)が

成 り立 つ.d=3,

  定 理6.41のd〓4の 定 理6.42  はH0-コ

あ り,V2(x)→0(￨x￨→∞)を

わ か る.ゆ

β=1の

っ て,こ

れ か ら, のVに

対

場 合 が ク ー ロ ン 型 ポ テ ン シ ャル で あ る.

場 合 へ の 拡 張 つ い て は 次 の 結 果 が 知 ら れ て い る.

d〓4,

p>d/2と

し,V∈(Lp+L∞∈)(IRd)と

ン パ ク トで あ る.し

り,σess(HV)=[0,∞)が

た が っ て,HVは

す る.こ

の と き,V

下 に有 界 な 自己 共 役 作 用 素 で あ

成 り立 つ.

  こ の 定 理 の 証 明 に つ い て は,た

  6.7 

満 た す.こ

え にV∈(L2+L∞∈)(IRd).よ

と え ば,[10]の

§3.3, c), d)を

参 照 さ れ た い.

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 型 ハ ミ ル トニ ア ン の 離 散 ス ペ ク トル

  こ の 節 で は,シ

ュ レ ー デ ィ ン ガ ー ハ ミ ル トニ ア ンHVの

離 散 スペ ク トル が 存

在 す る た め の 十 分 条 件 と 離 散 的 固 有 値 の 個 数 に つ い て 調 べ る.

  6.7.1 

σd(HV)が

定 理6.43  [0,∞)が

無 限 集 合 と な るVの

V∈L2loc(IRd)か

つHVは

満 た さ れ る と仮 定 す る.さ

クラ ス

自 己 共 役 で 下 に 有 界 で あ り,σess(HV)⊂ ら に,定

数a>0,

ε>0,

r0が

存 在 して

(6.37) が 成 り立 つ と す る.こ

の と き,σd(HV)∩(-∞,0)は

無 限 集 合 で あ る.

証 明   真 性 ス ペ ク トル の 仮 定 と最 小-最 大 原 理 に よ っ て,す 1に 対 し て,μN(HV)<0を ￨x￨<2},

‖ψ ‖=1を

ψR(x)=R-d/2ψ(R-1x)と {x∈IRd￨R<￨x￨<2R}.し て,R>r0な

満 た す ψ ∈C∞0(IRd)を

な わ ち,あ

べ て の 自然 数N〓 ⊂{x∈IRd￨1<

一 つ と ろ う.R>0に

お け ば,ψR∈C∞0(IRd), ‖

あ る か ら,右 る 定 数c>r0が

〓R-2〈 辺 は,十

対 して,

ψR‖=1, suppψR⊂

た が っ て,ψR∈D(Δ)∩D(V).

ら ば,〈 ψR,HVψR〉

が わ か る.ε>0で な る.す

示 せ ば 十 分 で あ る.suppψ

ψ,-Δ ψ〉-aR-2+ε〈 分 大 き な す べ て のRに

存 在 し て,〈 ψR,HVψR〉<0,

(6.37)に

よっ

ψ,￨x￨-2+ε ψ〉 対 し て,負 R〓c.

に

  さ て,ψn=ψ2nc(n=1,2,…)(R=2ncの suppψn∩suppψm=0で 〈ψn,HVψm〉=0,

場 合)と

あ る か ら,{ψn}nは n≠mも

L({ψ1,…,ψN})と

成 り立 つ.し

し,PNをMNへ

ッ ツ の 原 理(定

方,前

理6 .14)に

正 規 直 交 系 で あ る.同

た が っ て,任 意 のNに

与 え ら れ る.し

前 節 の 結 果(定

じ理 由 か ら,

対 し て,MN:=

た が っ て,レ

よ り,μN(HV)〓max1〓n〓N〈

段 の 結 果 に よ り〈ψn,HVψn〉<0(n〓1).し

  定 理6.43を

らば

の 正 射 影 作 用 素 とす れ ば,PNHVPN￨MN

の 固 有 値 は〈ψn,HVψn〉(n=1,…,N)で -リ

す れ ば,n≠mな

理6.41,定

イ リー

ψn,HVψn〉.他

た が っ て μN(HV)<0. 

理6.42)と

を あ わ せ れ ば,次

■

の結 果 を

得 る.

定 理6.44 

d〓3な

ら ば,V∈(L2+L∞ε)(IRd)と

が あ っ て,V∈(Lp+L∞ε)(IRd)で が 存 在 して(6.37)が σd(HV)は 例6.6 

し,d〓4な

あ る と す る.さ

成 り立 つ とす る.こ

ら に,定

ら ば あ るp>d/2 数a>0,

ε>0, r0

の と き,σd(HV)⊂(-∞,0)で

あ り,

無 限 集 合 で あ る. U:IR3→IRはL∞(IR3)に

を 満 た す とす る.α

属 し,あ るR0>0が

∈(0,3/2)を

定 数 と して,IR3に

と い う型 の ポ テ ン シ ャ ル を考 え る.こ た す こ とは 容 易 に確 か め ら れ る.ゆ

あ っ て,inf￨x￨〓R0U(x)>0 おい て

のVが(L2+L∞∈)(IR3)に

え に,こ のVに

属 し,(6.37)を

対 し て,定 理6.44の

満

結論 が成 り

立 つ.   α=1,

U(x)=Ze2の

  6.7.2 

場 合 のHVは

水 素 様 原 子 の ハ ミル トニ ア ンで あ る.

ビ ル マ ン-シ ュ ウ ィ ン ガ ー の 方 法

  こ の 項 で は,HVの 察 す る.そ

離 散 ス ペ ク トル σd(HV)が

の た め に,任

意 のE<0に

対 して,Eよ

有 限 集 合 に な る 十 分 条 件 を考 り も 小 さ い,HVの

固有 値

の 個 数 を 評 価 す る.   一 般 に,線

形 作 用 素Aの

  σd(HV)={λn}Nn=1(N〓∞)と の と き,固

固 有 値 λ の 多 重 度 をmA(λ)で し よ う(n≠m⇒

有 値 の 多 重 度 も含 め て 数 え た,HVの

表 す. λn≠

λmと

す る).こ

離 散 ス ペ ク トル の 点 の 個 数 を

N(V)と

す れ ば,こ

れは

(6.38) に よ っ て 与 え ら れ る.σd(HV)=0の

と き は,N(V)=0と

す る.目

標 は次の

定 理 を 証 明 す る こ と で あ る:

定 理6.45 

(ビ ル マ ン(Birman)-シ

ン シ ャ ルV:IR3→IRはV∈(L2+L∞ε)(IR3)

ュ ウ ィ ン ガ ー(Schwinger)の , V〓0お

定 理)ポ

テ

よび

(6.39) を 満 た す と す る.こ

の とき

(6.40)  こ の 定 理 を証 明 す る た め に 補 題 を 二 つ 用 意 す る.   V:IR3→IRは

ボ レ ル 可 測 で あ る と し,各E<0に

対 し て,作

用素

(6.41) を 導 入 す る(E∈

補 題6.46 

ρ(H0)に

VはIR3上

の と き,KEは

注 意).

の 実 数 値 ボ レ ル 可 測 関 数 で(6.39)を

満 た す と す る.こ

自己 共 役 な ヒ ルベ ル ト-シ ュ ミ ッ ト型 積 分 作 用 素 で あ り,そ の 積

分核 は

(6.42) で 与 え ら れ る.

証 明   d=3の 録Cの

場 合,(6.28)と [[4]ま

式(C.53)]に

よ り,(H0-E)-1は

た は[5]の 積 分 作 用 素 で あ り,そ

付

の積分核 は

(6.43)

で 与 え ら れ る*15.し 条 件(6.39)に

た が っ て,KEは

意 が 成 立 す る. 

■

(ビ ル マ ン-シ ュ ウ ィ ン ガ ー 原 理)HVはD(H0)∩D(V)で

自己 共 役

で あ る と し,V〓0,

あ る か ら,題

V≠0, λ>0,

有 値 な ら ば λ-1はKEの

E<0と

固 有 値 で あ る.さ

す る.こ

ψ ≠0,と

す れ ば,直

か る.￨V￨1/2ψ

定 理6.45の はH0に る.し

固

HλVψ=Eψ,

ψ ∈D(H0)∩

接 計 算 に よ り,KE(￨V￨1/2ψ)=λ-1￨V￨1/2ψ

∈L2(IR3), ￨V￨1/2ψ

り,￨V￨1/2ψ

の と き,EがHλVの

ら に,mKE(λ-1)〓mHλV(E).

証 明   仮 定 に よ り,D(HV)⊂D(V)⊂D(￨V￨1/2). D(V),

積 分 作 用 素 に な る.

よって

し た が っ て,kE∈L2(IR6)で

補 題6.47 

積 分 核 がkE(x,y)の

≠0,で

あ る か ら,λ-1はKEの

が わ 固有 値 で あ

は そ の 固 有 ベ ク トル で あ る.  証 明   Vに

■

対 す る 仮 定 と 定 理6.41に

関 して 無 限 小 で あ る か ら,VはH0に た が っ て,定 理6.19-(ⅰ)に

よ り,ΣHV=0.今

の 場 合,V

関 して形 式 の意 味 で も無 限小 で あ

よ り,対 応:[0,∞)∋λ〓μn(λ):=μn(HλV)

は 連 続 な 単 調 減 少 関 数 で あ る.   さ て,E<0と

して,NE(V)をHVのEよ

重 度 も含 め て 数 え る).最 成 り立 つ(#Sは

集 合Sの

σess(H0)=[0,∞)と

小-最 大 原 理 に よ り,NE(V)=#{n￨μn(1)<E}が 濃 度 を 表 す).μn(0)=0で

最 小-最 大 原 理),μn(1)<Eな

存 在 し て,μn(λn)=Eが

成 り立 つ.こ

の 十 分 小 さ な 近 傍 で 負 で あ る か ら,定 *15 

とお け ば

換 に よっ て

と な る こ と に 注 意.

り小 さ い 固 有 値 の 数 とす る(多

の 場 合,μnの 理6.19-(ⅱ)に

,(H0-E)-1=a-2(a-2H0+1)-1で

あ る か ら(∵ ら ば,あ

σ(H0)=

る λn∈(0,1)が

連 続 性 に よ り,μnは よ り,そ

の よ う な λnは あ る の で,ス

λn た

ケ ー ル変

 

だ 一 つ で あ る.λ

∈(0,1)な

ら ばλ-2>1に

NE(V)=#{n￨あ

と評 価 で き る.補

る λn∈(0,1)に

題6.47に

で あ り,そ の 多 重 度 はEの

そ れ 以 上 で あ る.し 理6.36-(ⅱ)に

以 上 の 事 実 を あ わ せ れ ば,NE(V)〓

ら ば,λ-1nはKEの た が っ て,Σ

λn; μn(λn)=Eλ-2n〓

よって

‖V‖2R/(4π)2を 得 る.そ

こ でE↑0と

す ■

と な る ポ テ ン シ ャ ル は ロ ル ニ ッ ク(Rollnik)ポ

れ,‖V‖R(〓0)を

ロ ル ニ ッ ク ノ ル ム と い う.ロ

テ ン シ ャル と呼 ば

ル ニ ッ クポ テ ンシ ャル の 全 体

表 す.

  次 の 系 は,結

合 定 数 λ>0が

十 分 小 さ い 場 合 に,HλVが い"ク

系6.48 V≠0は

仮 定 を 満 た す と す る.こ

4π/‖V‖Rを

定 理6.45の

対 し て,定

理6.45に

し た が っ て,λ2‖V‖2R/(4π)2<1な

応 用 の 一 つ と し て,次 ポ テ ン シ ャ ルV:IR3→IRは

よ り,N(λV)〓

ら ば,N(λV)=0で

非 負 整 数 で あ る こ と に 注 意).ゆ

  定 理6.45の 定 理6.49 

存 在 す る こ と を 示 す.

満 た す 任 意 の λ に 対 し て,σd(HλV)=0,

証 明   任 意 の λ>0に

(N(λV)は

ラ ス(⊂R)が

離 散 的 固 有 値 を もた

な い よ う な ポ テ ン シ ャ ルVの"広

(ⅰ)

固有値

し た が う. 

  ‖V‖2R<∞

をRで

対 し て,μn(λn)=E}

よ っ て,μn(λn)=Eな

Σ μ∈σp(KE)mKE(μ)μ2.定

れ ば,(6.38)が

注意す れば

の と き,0<λ<

σess(HλV)=[0,∞).

λ2‖V‖2R/(4π)2. なけれ ばな らない

え に 題 意 が し た が う. 

の 定 理 が 導 か れ る. 次 の 条 件 を 満 た す とす る:

■

  (ⅱ) 定 数r0>0,

ε0>0, 0〓b<1が

存 在 して

または が 成 り立 つ とす る.こ

の と き,#σd(HV)は

証 明 

有 限 で あ る.

と お こ う.ハ

て, 

.し

ー デ ィ ー の 不 等 式(補

題2.69)に

よっ

たが っ て形 式 の 意 味 で

た だ し,W-(x):=min{W(x),0}.し

た が っ て,σess(HV)=[0,∞)と

最小

―最 大 原 理 お よび形 式 の 場 合 の 比 較 定 理 に よ り

仮 定 に よ り,￨x￨>r0ま は ε0〓￨x￨〓r0の

た は￨x￨<ε0な

ら ばW〓0で

範 囲 に あ り,W-∈L2(IR3)で

あ る か ら,W-の

あ る.し

た が っ て,ビ

台 ルマ

ン-シ ュ ヴ ィ ン ガ ー の 定 理 に よ り,σd(H0+(1-b)-1W-)は

有 限 集 合 で あ る.

他 方,σess(H0+(1-b)-1W-)=[0,∞).し

る 番 号n0が

し て,n〓n0な μn(HV)=0が

た が っ て,あ

ら ば μn(H0+(1-b)-1W-)=0.ゆ 得 ら れ る.こ

れ は,σd(HV)が

え にn〓n0な

存在 らば

有 限 集 合 で あ る こ と を 意 味 す る.  ■

  6.7.3 

純 粋 に 離 散 的 な ス ペ ク トル を も つ 場 合

  最 後 にHVの

ス ペ ク トル が 純 粋 に 離 散 的 に な る よ う な ポ テ ン シ ャ ル の ク ラ ス

の 存 在 を 示 そ う.

定 理6.50 

d〓1を

任 意 に 固 定 す る.ポ

で あ る と し,V∈L1loc(IRd)お す る.こ

よ び￨x￨→∞

の と き,H:=H0+Vの

σ(H)=σd(H)の れ ば,En→∞(n→∞)で

テ ン シ ャ ルV:IRd→IRは の と き,V(x)→∞

下 に有 界 を満 た す と

スペ ク トル は 純 粋 に 離 散 的 で あ る.さ

固 有 値 を 小 さ い 順 に 並 べ た と き のn番 あ る.

目 の 固 有 値 をEnと

ら に, す

証 明   V〓0と

し て 証 明 す れ ば 十 分 で あ る*16.最

の と き,μn(H)→∞ r0>0が

を 示 せ ば よ い.仮

存 在 し て￨x￨>r0な

￨x￨〓r0な

小― 最 大 原 理 に よ り,n→

定 に よ り,任

ら ばV(x)>Rが

意 のR>1に

成 り立 つ.関

ら ば,W(x):=-R, ￨x￨>r0な

対 し て,

数W:IRd→IRを

ら ばW(x):=0に

よ っ て 定 義 す る.

こ の と き,V〓R+Wで

あ る か ら,比 較 定 理 に よ り,μn(H)〓R+μn(H0+W).

Wは

Wも

有 界 で あ り,supp

る こ と が で き る.し

有 界 で あ る の で,定

μn(H0+W)〓-1が μn(H)〓R-1.

定 理6.42を

応用 す

の 事 実 と最 小-最

る 番 号n0=n0(R)が

成 り立 つ こ と が わ か る.し R>1は

意 味 す る.し

理6.41と

た が っ て,σess(H0+W)=[0,∞).こ

大 原 理 を 組 み 合 わ せ れ ば,あ

∞

あ っ て,n〓n0な

ら ば,

た が っ て,n〓n0な

ら ば,

任 意 で あ っ た か ら,こ れ は,μn(H)→∞(n→∞)を

た が っ て,σess(H)=0,

σ(H)=σd(H).こ

の 場 合,En=μn(H)

で あ る か ら,En→∞(n→∞).  例6.7 

■

(非 調 和 振 動 子)nj〓1,

と す る.α=(α1,…,αd)を

はd次

自 然 数 と し,n=min{n1,…,nd}

多 重 指 数 とす る.cj>0,

と し よ う(α:=Σdj=1￨αj￨).こ て,こ の 場 合 のH0+Vの

j=1,…,d,を

の と き,Vは定

cα ∈IR,を 定 数 と し

理6.50の

仮 定 を 満 た す.し

ス ペ ク トル は純 粋 に 離 散 的 で あ る.nj〓2な

たがっ

らば,H0+V

元 の 非 調 和 振 動 子 の ハ ミル トニ ア ン の 一 般 形 の 一 つ を与 え る.

ノ

  本 章 で 論 述 し た 一 般 論(6.2節 と え ば,シ

ー

ト

∼6.5節,6.6.3項)は,非

常 に 広 い 応 用 を も つ.た

ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 型 作 用 素 だ け で な く,量 子 場 の 理 論 にお け るハ ミル トニ

ア ンの ス ペ ク トル解 析 に も使 わ れ る([3]の13章

お よ び そ の ノ ー トを 参 照).こ

の章

で 扱 え な か っ た,多 体 系 の シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 作 用 素 の ス ペ ク トル 解 析 に つ い て は, [6]や[7]な

ど を参 照 さ れ た い.前

者 に は,シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 型 作 用 素 に 関 す る非 常

に詳 しい 内 容 が 見 い だ さ れ る. *16 V〓-b(b>0:定

数)な

らば

,V=V+bと

純 粋 に 離 散 的 で あ る こ と と σ(H0+V)が

す れ ば,V〓0で

あ り,σ(H0+V)が

そ う で あ る こ と と は 同 値 で あ る.

第6章 

H, Kは

演 習 問題

ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る とす る.

1.  {en}∞n=1をHの 0, n∈INを

完 全 正 規 直 交 系 とす る.{qn}∞n =1は

満 た す も の と し,q:=limn→∞qnと

狭 義 単 調 減 少 数 列 でqn>

お く.

 

(ⅰ) 任 意 の Ψ ∈Hに

対 して,Σ∞n=1qn〈en,Ψ〉enは収

 

(ⅱ) (ⅰ)に よ り,写 像Q:H→HをQ(Ψ):=Σ∞n=1qn〈en,Ψ〉enに 定 義 で き る.Qは

束 す る こ と を 示 せ. よって

有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 で あ る こ と お よ び ‖Q‖=q1で

あ る こ と を 示 せ.  

(ⅲ) σd(Q)={qn}∞n=1を

 

(ⅳ) σess(Q)={q}を

 

注:(ⅲ)か

らQの

2. N〓n〓3の

示 せ. 示 せ.

離 散 ス ペ ク トル はIRの

場 合 の 等 式(6.7)を

証 明 せ よ.

3. 任 意 の 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素A, B∈B(H)と

 

を 証 明 せ よ.た

  注:対 る.上

だ し,μn(A)はAのn番

応 μn:A〓

μn(A)は,有

の 不 等 式 は,こ

つ い て,定 数C>0が

成 り立 つ とす る.こ

対 して

目 の 特 性 レヴ ェ ル で あ る.

界 な自己共役 作 用素 の集 合上 の関数 を定義 す

コ ンパ ク トな ら ば,￨A￨も

6. A,B∈B(H,K)に

各nに

の 関 数 が 一様 位 相 で 連 続 で あ る こ と を 意 味 す る.

4. コ ン パ ク ト作 用 素 の 集 合C(H,K)はB(H,K)の 5. A∈B(H,K)が

閉 集 合 で は な い こ とが わ か る.

の と き,も

し,Aが

部 分 空 間 で あ る こ と を示 せ. コ ンパ ク トで あ る こ と を証 明 せ よ. あ っ て,‖BΨ

‖〓C‖AΨ

コ ン パ ク トな ら ばBも

‖,Ψ ∈Hが コ ンンパ ク ト

で あ る こ と を 証 明 せ よ. 7. A∈B(H)を

非 負 で 自 己 共 役 な コ ンパ ク ト作 用 素 とす る.こ

コ ンパ ク トで あ る こ と を証 明 せ よ.

の と き,A1/2も

関

連

図

書

[1] 新 井 朝 雄,『

ヒ ル ベ ル ト空 間 と量 子 力 学 』,共 立 出 版,1997.

[2] 新 井 朝 雄,『

フ ォ ッ ク空 間 と量 子 場 上 』,日 本 評 論 社,2000.

[3] 新 井 朝 雄,『

フ ォ ッ ク空 間 と 量 子 場 下 』,日 本 評 論 社,2000.

[4] 新 井 朝 雄 ・江 沢 洋,『 量 子 力 学 の 数 学 的 構 造Ⅰ 』,朝 倉 書 店,1999. [5] 新 井 朝 雄 ・江 沢

洋,『 量 子 力 学 の 数 学 的 構 造Ⅱ 』,朝 倉 書 店,1999.

[6] H.L.Cycon,R.G.Froese,W.Kirsch Springer,1987. [7] J.Derezinski N-particle

and

B.Simon,Schrodinger

and C.Gerard,Scattering Systems,Springer,1997.

[8] T.Kato,Perturbation [9] P.D.Hislop

Theory

Theory

for Linear

Operators,

of Classical

and

Operators,Springer,2nd

and I.M.Sigal,Introduction

to

Spectral

Quantum

Ed.,1976. Theory,Springer,

1996. [10]  黒 田 成 俊,『

ス ペ ク ト ル 理 論Ⅱ

[11]  黒 田 成 俊,『 [12]  M.Reed

波 書 店,1979.

立 出 版,1980.

and B.Simon,Methods

tional

of

Modern

Mathematical

Physics

I:Func

Analysis,1972.

[13]  M.Reed ysis

関 数 解 析 』,共

』,岩

and of

B.Simon,Methods

of

Operators,Academic

Modern

Mathematical

Physics IV:Anal

Press,1978.

[14]  B.Simon,Quantum

Mechanics

Forms,Princeton

University,1971.

for

Hamiltonians

Defined

as

Quadratic

7 散 乱理 論

 量 子 系 の 時 刻パ ラ メ ー タ ー をtと す る と き,系 の状 態 のt→

±∞ に お け る挙 動― 長

時 間挙 動― に 関わ る理 論 の 一般 的 な枠 組 み を論 述 す る.

7.1 

は じ め に―

発 見 法的 議 論

  量 子 的 粒 子 の 性 質 や 構 造 を 調 べ る 基 本 的 な 方 法 の 一 つ は,二

つ の量 子 的 粒 子

を 衝 突 さ せ て そ の 結 果 を 解 析 す る こ と で あ る.そ

の よ う な 実 験 は,加

ば れ る 装 置 を 用 い て な さ れ る.量

突 す る こ と に よ り,い

子 的 粒 子 は,衝

速 器 と呼 ろいろ

な 方 向 へ 確 率 的 に 散 乱 す る(図7.1)*1.

図7.1 

典 型 的 な散 乱 実 験 の模 式 図

  そ う した 散 乱 現 象 を量 子 力 学 の基 本 原 理 に基 づ い て 理 論 的 に解 明 す るの が 量 子 力 学 に お け る散 乱 理 論 で あ る.こ れ は,よ メ ー ター をtと す る と き,t→

り一般 的 な 観 点 か らは,時 刻 パ ラ

±∞ に お け る系 の 漸 近 挙 動― これ を系 の長 時 間

挙 動 とい う― に関 わ る理 論 の 一 部 とみ る こ とが で き る.前 著[6]で 定 式 化 した よ う に,系 の 時間 発 展 は,状 態 の 時 間 発 展(シ ュ レ ー デ ィン ガ ー描 像)あ る い は 物 理 量 の時 間発 展(ハ イ ゼ ンベ ル ク描 像)と して 捉 え られ る.し た が って,量 子 *1  図7

.1に お い て,タ ー ゲ ッ トは入 射 粒子 と相 互 作 用 を行 う と想 定 され る量 子 的 粒 子 で あ る.同 一 の 入 射状 態 に対 して,入 射 粒 子 が 散 乱す る方 向 は確 率 的 に分布 す る.入 射 の 向 きをz軸 の 正 の 向 きとす る と き,z軸 と散 乱 の 方 向 の なす 角 θ を散 乱 角 とい う.散 乱 の

確 率 は,一 般 に は,θ だ け で な く,z軸

の ま わ りの方 位 角 に も依存 す る.

系 の 長 時 間 挙 動 に 関 す る問 題 は次 の よ う に定 式 化 され る:対 象 とす る量 子 系 の 状 態 の ヒル ベ ル ト空 間 をH,ハ

ミル トニ ア ンをHと

当 な 部 分 空 間 に属 す る任 意 の 状 態 Ψ ∈Hに

し よ う.こ の と き:(ⅰ)  適

対 して,e-itHΨ

振 る舞 い を調 べ よ.(ⅱ) 一 定 の ク ラス に属 す る物 理 量Aに のt→±∞

のt→±∞

での

対 して,eitHAe-itH

にお け る挙 動 を解 析 せ よ.

  この 章 で は,上 記(ⅰ)  の 問 題 に 焦 点 を しぼ り,こ の 問 題 に関 わ る数 学 的側 面 を で き る だ け普 遍 的 な観 点 か ら考 察 す る.具 体 的 な 散 乱 実 験 や現 象 に 関す る観 測 と理 論 の 比 較 を行 う こ とは しな い*2.だ が,数 学 的 に厳 密 な理 論 を展 開 す る 前 に,そ の 背 後 に あ る物 理 的 描 像 を 略述 して お こ う.   簡 単 の た め,質 量m>0の V:IR3→IRの

量 子 的 粒 子 が3次

元 空 間IR3を

ポ テ ンシャル

作 用 の も とで 運 動 す る系 を考 え る.こ の 系 の 状 態 の ヒル ベ ル ト

空 間 と してL2(IR3)を

と り,ハ

ミル トニ ア ンは シ ュ レー デ ィ ン ガ ー型 作 用 素

で与 え られ る もの と しよ う.こ こで,K0=-Δ/(2m)(Δ 元 ラ プ ラ シ ア ン)は 自 由ハ ミル トニ ア ンで あ る*3.ハ

は一 般 化 さ れ た3次 ミル トニ ア ンHsは

に 自己 共 役 で あ る と仮 定 し,そ の 閉包 も同 じ記 号 で 表 す.Vは

本質的

無 限 遠 で は"急

速 に"0に 近 づ く と し,そ の実 効 的 な作 用 は原 点 の近 くに集 中 して い る とす る*4. この 系 にお け る散 乱 とは,理 想 化 した形 で 述 べ る な ら ば,当 該 の 量 子 的粒 子 が 無 限遠 か ら原 点 の近 傍 に 入射 し,十 分 時 間 が経 過 した とき に,こ の 粒 子 が,観 測 に よ って,再

び無 限 遠 に見 い だ さ れ る現 象 に ほか な ら な い.こ の 場 合,す

でに

注 意 した よ うに,無 限 遠 で 見 い だ さ れ る 量 子 的 粒 子 の運 動 の 向 き は確 率 的 に分 *2  こ う した事 柄 は ,物 理 学 の観 点 か ら書 か れ た,量 子 力学 や 量子 場 の理 論 の 標 準 的 な教 科 書 に載 って い る.だ が,通 常 の物 理 の 文 献 にお ける扱 い は極 め て発 見 法 的 で あ り,実 験 と比 較 す る結 果 を出 す の に,厳 密 に 基礎 づ け ら れて い ない,形 式 的摂 動 論 を使 用す る. この 章 の 目的 は,そ の よ うな発 見 法 的議 論 に対 す る 数学 的基礎 づ け に とど ま らず,量 子 力 学 の 基本 原 理 か ら必 然 的 に導 か れ る 非 摂動 的 か つ 数学 的 に厳 密 な結 果 を論 述 す る こ と で あ る. *3 h=1の 単位 系 で 考 え る . *4  た とえ ば ,入 射粒 子 と ターゲ ッ トが と もに核子 の 場合 には,Vは 近似 的 に湯 川 ポ テ ン シャ ル (g>0,mπ>0は この ポ テ ンシ ャ ルは 言 及 した特 性 を もつ.

定 数)で 与 え られ る.

布 す る こ と に な る.こ の確 率 は相 互 作 用Vの

形 に よ っ て決 定 され る.構 築 され

るべ き散 乱 理 論 は,そ う した確 率 の計 算 方 法 も与 え る もの で な けれ ば な らない.   考 察 下 の 系 の 時 刻t∈IRで ψ ∈L2(IR3)(‖ ψ‖=1))と

の状 態 ベ ク トル は,時 刻0で

の 状 態 ベ ク トル を

す れ ば,量 子 力 学 の 公 理 に よ り,e-itHsψ

で与え ら

れ る.散 乱 現 象 に お け る 入射 粒 子 の 存 在 領 域 は,ポ テ ン シ ャ ル が ほ ぼ0に 等 し い 無 限 遠 の 領 域―D-∞

と し よ う― と考 え る こ とが で き る.ま た,入 射 粒 子 が

ポ テ ン シ ャ ル の 中 心 近 くに や って くる と想 定 され る適 当 な 時 刻 を時 刻 の原 点 に と りな お せ ば,入 射 粒 子 がD-∞ 描 像 的 に は"無 限 の過 去")と 粒 子 はD-∞

にあ る時 刻 は,数 学 的 には,t→-∞(物

して よい*5.し

にあ る と想 定 され るの で,系

た が っ て,t→-∞

理

に お い て は,

の運 動 は 自 由ハ ミル トニ ア ンK0に

よ る運 動 に よ っ て近 似 され る で あ ろ う.す な わ ち,あ るベ ク トル ψ-∈L2(IR3) が あ っ て,漸 近 的 に

(7.1) とい う関 係 が 成 立 す る こ とが期 待 され る(ψ-は 注 意).こ

ψ と は一 般 には 異 な る こ と に

の近似 の意味 は

(7.2) とす る の が,ま

ず は 自 然 で あ ろ う.こ

の 漸 近 的 配 位(asymptotic

configuration)と

で あ る).  と解 釈 さ れ る.作

の よ う な 状 態 ψ-を

い う(‖ ψ‖=1よ

は,入 射 粒 子 のt→-∞ 用 素e-itHsお

よ びe-itK0の

状 態 ψ のt=-∞

で

り,‖ ψ-‖=1

で の漸 近 的 状 態 を表 す

ユ ニ タ リ 性 を 用 い る と,(7.2)は

(7.3) (7.4) *5  原 子 スケ ー ル の 距 離〓10-10m(ポ

テ ンシ ャ ルが 本 質 的 に効 い て くる長 さの ス ケー ル)

を,た とえ ば,粒 子 が 光速 ≒3×108m/sの1/3の 速 さ(実 験 的 にい っ て標 準 的 な速 さの オ ー ダー)で"通 過 す る"時 間 は〓10-18秒 で極 め て短 い.他 方,入 射粒 子 が発 射 され た 位 置 か ら原子 ま での 距 離 はマ ク ロ的 な ス ケー ル で あ る ので,こ こで述 べ た近似 的 描 像 が 妥 当 性 を もつ.

を 導 く こ とが わ か る.し

た が っ て,も

し,強

極 限

(7.5) が存 在すれ ば

(7.6) と書 け る.作 用 素W-(Hs,K0)は

波 動 作 用 素 と呼 ばれ る作 用 素 の ク ラス の 一例

で あ る*6.   t→+∞ て,漸

に お け る系 の 任 意 の 漸 近状 態 は,t→-∞

近 的 に 

の場 合 の議 論 と同様 に し と い う形 で 与 え られ る と し

よ う.す な わ ち,L2(IR3)の

適 当 な部 分 空 間 に 属 す る任 意 の ベ ク トル φ に対 し

て, 

とな る φ+∈L2(IR3)が

が っ て,t→+∞

あ る とす る.し た

に対 応 す る 波 動 作 用 素

が 存 在 す る とす れ ば

(7.7)   こ の よ う な 設 定 の も と で,t→-∞ た と き,t→+∞ か ら φ+へ

に お い て,系

に お い て,系

の 状 態 がe-itK0φ+に

の 散 乱 の 遷 移 確 率 と い う―

理 に よ り[t→+∞

で の(観

をP(ψ-,φ+)と

測 さ れ る 前 の)系

の 状 態 がe-itK0ψ-で

あっ

見 い だ さ れ る 確 率― す れ ば,量

の 状 態 はe-itHsψ

ψ-

子 力 学 の公

で あ る の で]

(7.8) で 与 え られ る.そ こ で

(7.9) を導入す れば

(7.10) *6 波 動 作 用 素 の 厳 密 な定 義 は本 章 の7

.3節 で与 え る.

と 書 け る.A(ψ-,φ+)を (7.7)を

用 い て,(7.9)の

ψ-か

ら φ+へ

の 散 乱 の 遷 移 確 率 振 幅 と 呼 ぶ.(7.6),

右 辺 を変 形 す る と

(7.11) とい う簡 潔 な表 示 を得 る.た だ し

(7.12) こ こ で,次

の 点 に 注 意 し よ う.t→-∞

ら れ る と き,t→+∞ の 関 係 は,(7.7)に

と こ ろ で,任

で の 状 態 が 漸 近 的 にe-itK0ψ-で

の 系 の 漸 近 的 状 態 はe-itK0ψ+で よ っ て,ψ=W+(Hs,K0)ψ+で

意 の χ,η ∈L2(IR3)に

あ る.た あ る.こ

与 え

だ し,ψ

れ と(7.6)に

と ψ+ より

対 して

であ るか ら

した が っ て

(7.13) が 成 り立 つ.ゆ

え に,作 用 素S(Hs,K0)はt=-∞

の 漸 近 的 配 位 へ 変 換 す る.こ operator)と

の 故 に 作 用 素S(Hs,K0)を

で

散 乱 作 用 素(scattering

呼 ぶ.

  (7.11)に

よ っ て,散

算 す る に は,散 れ ば よ い.こ

乱 の 遷 移 確 率 振 幅― し た が っ て,ま

乱 作 用 素S(Hs,K0)の

行 列 要 素 

の 型 の 行 列 要 素 の 集 合 

を 散 乱 行 列(scattering *7  慣 習 上

で の 漸 近 的 配 位 をt=+∞

matrix)と

,作 用 素S(Hs,K0)を

い う*7.

単 に散 乱行 列 とい う場 合 もあ る.

た,遷

移 確 率― を 計 を計 算 す

  上 述 の 発 見 法 的議 論 に お い て,本 質 的 な点 の 一 つ は,い う ま で も な く,作 用 素eitHse-itK0のt→

±∞ で の 強 極 限 の存 在― 波 動 作 用 素 の 存 在― で あ る.だ

が,波 動 作 用 素 の存 在 を証 明 す る こ とは全 然 自明 な問 題 で は な い.実 際,波 作 用 素 が 存 在 す る か 否 か は ポ テ ン シ ャ ル の性 質 に依 存 す る.こ

動

う して,散 乱 理

論 へ の 数 学 的 に厳 密 な ア プ ロー チ に とっ て は,波 動 作 用 素 の存 在 を証 明 す る こ とが そ の 基 本 的 課 題 の 一 つ と な る.   上 の議 論 で は,非 相 対 論 的粒 子 の,ポ テ ンシ ャ ル に よ る散 乱 を考 察 した が,散 乱 現 象 は何 もこ の形 だ け に限 定 さ れ ない.す で に,示 唆 した よ う に,量 子 系 の 長 時 間 挙 動 は任 意 の量 子 系― 量 子 的粒 子 と量 子 場 の相 互 作 用 系 や 量 子 場 ど う しの 相 互 作 用 系 を含 む― に お い て 考 え られ る か らで あ る.そ れ ゆ え,こ の 問 題 は, 少 な く も理 論 の 大 枠 に 関 す る 限 り,一 般 的 か つ 抽 象 的 な形 で考 察 した ほ うが よ く,応 用 の 範 囲 も広 くな り うる.つ 一 般 の ヒ ルベ ル ト空 間H上

のt→±∞

ま り,こ こで 考 察 したHs,K0の

の 二 つ の 自 己 共役 作 用 素H

,H0を

乱 理 論 を 構 成 す る 際 に あ ら か じめ 注 意 し て お

か な け れ ば な け れ ば な ら な い 点 を 一 つ だ け 述 べ て お く.そ て の ベ ク ト ル Ψ ∈Hに

トル で あ る と し よ う.こ る か ら,(*)の

ず し もす べ

が 存在す るわけ

と え ば,Ψ

がH0の

固 有 値Eに

属 する固有ベ ク

の と き, 

であ

存 在 と 

の 場 合,任

れ は,必

対 し て, 

で は な い と い う こ と で あ る.た

の 存 在 は 同 値 に な る.だ

意 のs∈IRに

対 し て(t→

±∞ の と き,t+s→

か ら) 

±∞ で あ る

で な け れ ば な ら な い.こ

は, 

,す

は 任 意 で あ っ た か ら,s=0で HΨ=EΨ

と り,作 用 素

の 強 極 限 を 考 察 す る の で あ る.

  こ の 節 を 終 え る に あ た っ て,散

が,こ

か わ りに,

が 結 論 さ れ る.ゆ

の 一 つ で あ る.だ

が,こ

い ま の 議 論 か ら,H0が

な わ ち,eis(H-E)Ψ=Ψ

固 有 値Eを

の 場 合,Φ ±=Ψ 固 有 値Eを

は 存 在 し な い こ と も わ か る.以

を 意 味 す る.s∈IR

の 強 微 分 を 考 え る こ と に よ り,Ψ え に,Hは

∈D(H)か

つ

も ち,Ψ は そ の 固 有 ベ ク トル

と な っ て,興 味 あ る 結 果 は 得 ら れ な い.

もつ 場 合 に,EがHの 上 か ら,極

れ

限 

固 有 値 で な け れ ば,(*)

(Ψ ∈H)の

存 在 を考 察 す る 問題 にお いて は,ベ ク トル Ψ はH0の

固有 空 間―H0

の す べ て の 固 有 ベ ク トルか ら生 成 され る部 分 空 間― に属 さな い もの と して一 般 性 を失 わ な い こ とが わか る.こ れ は,次 に述 べ る意 味 で,物 理 描 像 的 に も自然 で あ る.実 際,(**)が

存 在 す る とす れ ば,ポ テ ンシ ャル に よ る散 乱 の 場 合 との ア ナ

ロ ジ ー に よ り,Ψ は考 察 下 の 系 の漸 近 的 配 位 を表 す と解 釈 され る[i .e.,t→-∞ で あ れ ば,あ るベ ク トル Φ ∈Hに の よ う な状 態 は,CCRの

対 して, 

こ

シュ レー デ ィン ガ ー表 現 の 描 像 で い え ば,t→

±∞ の

と き,空 間の 任 意 の 有 界 領 域 に量 子 的 粒 子(一 般 に は複 数)が 存 在 す る 確 率 が0 と な る よ う な状 態 に対 応 す る で あ ろ う.し たが っ て,そ れ はH0の

固有 状 態(束

縛 状 態)で はあ りえ な い.   そ こ で,漸 近 的 配 位 を表 す と予 想 され る状 態 ベ ク トル の 空 間 を あ らか じめ 導 入 して お くと便 利 で あ る.こ の 考 察 は,私

た ち を 自己 共 役 作 用 素 の ス ペ ク トル

の 一 つ の分 類 へ と導 く.

7.2 

数 学 的 準 備―

絶 対 連 続 ス ペ ク トル と特 異 ス ペ ク トル

 7.2.1  絶 対 連 続 部 分 空 間 と特 異 部 分 空 間   自己 共 役 作 用 素 の ス ペ ク トル を分 類 す る概 念 と して,離 散 スペ ク トル と真性 ス ペ ク トル とい う概 念 が あ る こ とは 第5章,5.3節

にお い てす で にみ た(6.2節

も参 照).散 乱 理 論 を構 成 す る 上 にお い て,前 節 の 終 わ りで 示 唆 され た,ス ペ ク トル の 分 類 は これ とは異 な る もの で あ る.こ の 分 類 の鍵 と な る の は,自 己 共 役 作 用 素 が ス ペ ク トル測 度 を もつ とい う事 実 と測 度 に 関 す る ル ベ ー グ の分 解 定 理 ([5]ま た は[6]の 付 録Aの

定 理A.12)で

あ る.こ れ が 以 下 の 理 論 の背 後 に あ る

基 本 的 な ア イデ ア で あ る.   Hを ヒ ルベ ル ト空 間,HをH上 をEHと

の 自己 共 役 作 用 素 と し,そ の ス ペ ク トル 測 度

す る.こ の と き,任 意 の Ψ ∈Hに 対 して B∈B1(IRの

に よ っ て 定 義 さ れ る 写 像 μΨ:B1→[0,∞)はIR上 し た が っ て,そ

れ が1次

ボ レ ル 集 合 体) 

(7.14)

の 有 界 な ボ レ ル 測 度 で あ る.

元 ル ベ ー グ 測 度 に 関 し て 絶 対 連 続 で あ る か,あ

るいは

特 異 で あ る か を 問 う こ とが で きる*8.こ の 問 い は,む す る の に使 うの が 自然 で あ る.こ 定 義7.1 

測 度 μΨ が1次

全 体 をHac(H)と

う して,次

しろ,ベ

ク トル Ψ を分 類

の定 義 へ と到 る:

元 ル ベ ー グ測 度 に 関 して絶 対 連 続 で あ る よ うな Ψ の

記 す.ま

た,μ Ψ が1次 元 ルベ ー グ測 度 に 関 して特 異 で あ る よ

う な Ψ の全 体 をHs(H)と

表 す.

  次 の事 実 は基 本 的 で あ る. 定 理7.2 

Hac(H)とHs(H)は

互 い に直 交 す る 閉部 分 空 間 で あ り

(7.15) が 成 り立 つ.

証 明   ま ず,Hac(H)が る.こ

の と き,任

部 分 空 間 で あ る こ と を 示 そ う.Ψ,Φ

意 の α,β ∈Cに

の 式 の 右 辺 は0で 絶 対 連 続 で あ る.ゆ   次 にHac(H)の 意 のB∈B1に

た が っ て,μ αΨ+βΦ は1次

元 ル ベ ー グ測 度 に関 して

え に,  . 閉 性 を 示 す.Ψn∈Hac(H),Ψn→

Ψ ∈Hと

閉 で あ る.以

な る.し

た が っ て,Ψ

上 か ら,Hac(H)はHの

部 分 空 間 で あ る こ と を 示 そ う.Ψ,Φ

得 る.￨B∪C￨=0で

∈Hac(H).

∈Hs(H)と

す れ ば,￨B￨=

と な るB,C∈B1が

存 在 す る.EH(IR＼B)=I-EH(B)で

を 作 用 さ せ,単

ら ば,

閉 部 分 空 間 で あ る.

0,￨C￨=0, 

EH(C)Φ=Φ.し

す れ ば,任

で あ る.￨B￨=0な

あ る か ら,EH(B)Ψ=0と

ゆ え に,Hac(H)は   Hs(H)が

で あ る か ら,上

対 し て, 

EH(B)Ψn=0で

定 に よ り,￨B￨(Bの1

ら ば, 

あ る.し

す

対 し て,  .仮

次 元 ル ベ ー グ 測 度)=0な

∈Hac(H)と

あ る か ら,EH(B)Ψ=Ψ.同

た が っ て, 

左 か らEH(B∪C)

位 の 分 解 の 性 質 を 用 い る と,  あ る か ら,こ

様 に,

れ は,Ψ+Φ

を ∈Hs(H)を

意 味 す る.任

*8  絶 対連 続 な測 度 と特 異 な測 度 の定 義 につ い て は ,[5]ま た は[6]の 付 録A,A.6節

意の を参 照.

α ∈Cに

対 して, 

で あ る こ と は 容 易 に わ か る.ゆ

え に,Hs(H)は

部 分 空 間 で あ る.   部 分 空 間Hs(H)の ば,￨Bn￨=0と

閉 性 を 示 す た め に,  な るBn∈B1が

存 在 し て, 

 と す れ ば,￨B￨=0で が っ て,n→∞

と な る.し

を 得 る.ゆ

え に,Ψ

∈Hs(H).す

た な

閉 で あ る.

  Hac(H)とHs(H)が

直 交 す る こ と を 示 そ う.そ

と す る.こ Ψ.一

が 成 り立 つ.

あ っ て, 

とす れ ば,EH(B)Ψ=Ψ

わ ち,Hs(H)は

とす れ

の と き,￨B0￨=0と

方,￨B0￨=0に

よ り,EH(B0)Φ=0で

  最 後 に(7.15)を ま た は[6]の

示 そ う.任

付 録Aの

こ で, 

な るB0∈B1が

あ る.し

意 の Ψ ∈Hに

定 理A.12)に

存 在 し て,EH(B0)Ψ=

対 し て,ル

た が っ て, 

ベ ー グ の 分 解 定 理([5]

よ り,μ Ψ は

(7.16) と い う形 に 一 意 的 に 分 解 さ れ る.こ

こ で,μ Ψ,ac,μΨ,sは そ れ ぞ れ,μ Ψ の1次

元 ル ベ ー グ 測 度 に 関 し て 絶 対 連 続 な 部 分,特   μΨ,s≠0と

し よ う.こ

異 な 部 分 を 表 す.

の と き,￨B0￨=0と

  が 成 り立 つ.し

な るB0∈B1が

た が っ て,C⊂Bc0,C∈B1,な

存 在 し て, ら ば, 

ゆ え に 

と お け ば,

Ψ=η+χ…(*).任

意 のB∈B1に

対 し て, 

で あ る か ら,μ η は 絶 対 連 続 で あ る.し 一方

, 

で あ る.ゆ

た が っ て,η .し

え に,χ

  μΨ,s=0の H=Hac(H)と

∈Hs(H).こ

場 合 は,す

singularity)と

continuity), い う.

対 して,Ψ

意 味 す る.

∈Hac(H)で

あ る か ら,

自 明 的 に 成 り立 つ. 

  上 の 定 理 に 基 づ い て,Hac(H)をHに of absolute

た が っ て,μ χ は 特 異

れ ら の 事 実 と(*)は(7.15)を

べ て の Ψ ∈Hに

な っ て,(7.15)は

∈Hac(H).

Hs(H)をHに

■

関 す る 絶 対 連 続 部 分 空 間(subspace 関 す る 特 異 部 分 空 間(subspace

of

 次 の定 理 は 重 要 で あ る. 定 理7.3 

Hac(H),Hs(H)はHを

簡 約 す る.

  こ の 定 理 を 証 明 す る た め に,あ

補 題7.4  H上

MをHの

閉 部 分 空 間 と し,PMをMへ

の 自 己 共 役 作 用 素 と し,そ

のB∈B1に

る 有 用 な 一 般 的 事 実 を 補 題 と し て 用 意 す る.

の 正 射 影 作 用 素 とす る.Tを

の ス ペ ク トル 測 度 をETと

対 し て,PMET(B)=ET(B)PMが

す る.も

し,す

べ て

成 り立 つ な ら ば,MはTを

簡

約 す る.

証 明   Ψ ∈D(T)と

す る.仮 定 に よ り,任 意 のB∈B1に .し

こ れ はPMΨ

∈D(T)を

対 して, 

たが っ て

意 味 す る.さ

ら に,任

意 の Φ ∈HとB∈B1に

対 して

 で あ る か ら

し た が っ て,PMTΨ=TPMΨ.ゆ 定 理7.3の

え に,MはTを

証 明   PacをHac(H)へ

￨B￨=0な

ら ば￨B∩C￨=0で

∈Hac(H),

任 意 のC∈B1に

. あ る か ら,(*)の

な る.ゆ

れ ば,￨B0￨=0,EH(B0)Ψ=Ψ

ΨC∈Hs(H).

不 変 に す る こ と を 示 そ う.Ψ

とす れ ば, 

て,‖EH(B)ΨC‖=0と

ば, 

■

の 正 射 影 作 用 素 と す る.ま ず,任 意 のC∈B1に

対 し て,EH(C)はHac(H),Hs(H)を ΨC=EH(C)Ψ

簡 約 す る. 

右 辺 は0で

え に ΨC∈Hac(H).ま を 満 た すB0∈B1が

対 し て,￨B0∩C￨=0で

あ り,し た,Ψ

∈Hsと

存 在 す る.こ

あ り,ΨC=EH(C)Ψ

たが っ す

の と き, とす れ

し た が っ て,

  定 理7.2に

よ っ て,任

意 の 

と 一 意 的 に 表 さ れ る.こ

の と き,任

意 のB∈B1に

対 し て,上

述 の こ

と に よ り, 

した

が っ て,PacEH(B)=EH(B)Pac.こ

れ は,補

題7.4に

を 簡 約 す る こ と を 意 味 す る.Hs(H)=Hac(H)⊥

よ っ て,Hac(H)がH

で あ る か ら,HはHs(H)に

よ っ て も 簡 約 さ れ る. 

  定 理7.3に ら を,そ

■

よ っ て,Hac(H),Hs(H)に

れ ぞ れ,Hac,Hsと

part),特

お け るHの

書 き,Hの

異 部 分(singular

part)と

部 分 が 定 義 さ れ る.こ

れ

絶 対 連 続 部 分(absolutely continuous

呼 ぶ.し

た が っ て,

(7.17) と 書 け る.Hac,Hsの

ス ペ ク トル を そ れ ぞ れ,Hの

ス ペ ク トル と い い,記

号 的 に,そ

絶 対 連 続 ス ペ ク トル,特

れ ぞ れ,σac(H),σs(H)に

作 用 素 の ス ペ ク トル 理 論([6]のp.

447,定

理4.22-(ⅷ))に

よ っ て 表 す .直

異 和

より

(7.18) が 成 り立 つ.

注 意7.1 σac(H)∩

  定 理7.2に

σs(H)=0と

よ っ て,次

は 限 ら な い(以

の 三 つ の 場 合 が 可 能 で あ る:(ⅰ)H=Hac(H)(し

て,Hs(H)={0});(ⅱ)H=Hs(H)(し Hac(H)≠{0}か absolutely

注 意7.2 

場 合,Hは

あ る と い い,(ⅱ)の

純 粋 に 絶 対 連 続(purely

場 合,Hは

純 粋 に 特 異(purely

あ る と い う.

Hが

成 立 し な い.た あ る(以

たがっ

た が っ て,Hac(H)={0});(ⅲ)

つHs(H)≠{0}.(ⅰ)の continuous)で

singular)で

下 の 例 を 参 照).

純 粋 に 絶 対 連 続 な ら ば,σ(H)=σac(H)で

あ る.だ

と え ば,σs(H)≠0か

な る よ う な場 合 が

下 の 例7.4を

参 照).

つ σ(H)=σac(H)と

が,逆

は

例7.1 

L2(IR)上

の 座 標 変 数xに

ク トル 測 度Exは

よ る か け算 作 用 素 をxと で 与 え られ る の で(χBはBの

に 対 して, 

か つ 

 例7.2 

Hを

定 義 関 数),任

標 変数xjに

意の

が ルベ ー

た が っ て, 

よ っ て,xは

上 の位 置作 用素xj座

対 連 続 で あ る.証

の作 用素 のス ペ

こ れ は測度 

グ 測 度 に 関 して 絶 対 連 続 で あ る こ と を 意 味 す る.し

 例7.3 

す る.こ

ゆ え に,

純 粋 に 絶 対 連 続 で あ る.

よるか け算作 用素)は 純粋 に絶

明 は 前 例 と同 様.

可 分 な ヒ ル ベ ル ト空 間, 

を 有 界 な 実 数 列 と す る.こ

をHの の と き,任

で あ る か ら,H上

に よ っ て 定 義 で き る.容

完 全 正 規 直 交 系 と し,  意 の 

に 対 し て,

の 線 形 作 用 素MΛ

易 に わ か る よ う に,MΛ

を

は有 界 な 自己共 役 作 用 素 で あ り が 成 り立 つ,[5]の2.9.6

項 と 同様 の 議 論 に よ り,

が 証 明 さ れ る.MΛ

は 純 粋 に特 異 で あ る こ とが 次 の よ う に して 示 さ れ る. とす れ ば,MΛ で 与 え られ る.い

とすると,  と な る.ψ (1点

≠0で

の ス ペ ク トル 測 度EMΛ

ま,仮 に, 

ならば常に 

あ る か ら, 

と な るnが

λnか ら な る 集 合)と す れ ば,￨Bn￨=0で

あ る が, 

な り,矛 盾 が 生 じる.し   例7.4 

Hを

た が っ て, 

よ りK上

意 の 

え に, 

直 和 ヒ ル ベ ル ト空 間  作 用 素 とす る.こ

の 作 用 素 

ス ペ ク トル 測 度EHは 

た が っ て,任

こ で,  と

を そ れ ぞ れ,例7.1,例7.3の

き,直 和 作 用 素 の 理 論([6]の4.3.2項)に

題1).し

あ る.そ

で あ る.ゆ

複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,こ れ とL2(IR)の を 考 え る.x,MΛ

共 役 で あ る.Hの

は 

のと

は 自己

で 与 え られ る(演 習 問 とB∈B1に

これ か ら, 

対 して, 

で あ る こ と と 

つ 

は 同値 で あ る こ とは わ か る.ゆ

え に,

だ が,例7.3の

結 果 に よ り, 

で あ る か ら, 

か

が 結 論 さ れ る.し

た が っ て, 

あ る こ と は, 

ま た, 

ま た はf=0で

あ る こ と と 同 値 で あ る.し

こ れ は  の 例 で は, 

で た が っ て,

を意 味 す る.ゆ よ っ て, 

え に,こ

で あ る が, 

で

あ る.

 絶 対 連 続 部 分 空 間 の重 要 性 の 一 つ は次 の事 実 にあ る: 定 理7.5 

任 意 の 

と 

に対 して

(7.19)   証 明   定 理7.2に

よ り,Φ=Φ1+Φ2と

定 理7.3に

直 交 分 解 で き る 

よ っ て,e-itHはHac(H),Hs(H)を

て 

不 変 に す る.し

ゆ え に,(7.19)の

い て は,は

じ め か ら, 

極 恒 等 式 に よ り,Φ=Ψ

左 辺 を考 察 す る こ とに お

の 場 合 を 考 え れ ば 十 分 で あ る.さ の 場 合 に(7.19)を

度  た は[6]の

に 注 意).し か ら,リ (7.19)で

ま の 場 合,左

辺 は,す

べ て のB∈B1に

よ り,

対 して 有 限 で あ る こ と ρΨ は 可 積 分 で あ る

ー マ ン-ル ベ ー グ の 補 題([5]ま

た は[6]の

付 録B,定

理B.11)に

の 場 合 が し た が う. 

次 の こ と を語 る:Hの

よ り, ■

 量 子 力 学 の コ ン テ クス トにお い て,Hが れ ば,(7.19)は

理A.11)に

ベ ー グ可 積 分 関 数

た が っ て, 

Φ=Ψ

用素解 析 の 絶対 連 続

付 録A,定

を 満 た す,ル が 存 在 す る(い

ら に,偏

示 せ ば 十 分 で あ る.作

に よ り, 測 性 と ラ ド ン-ニ コ デ ィ ム の 定 理([5]ま

たが っ

量 子 系 の ハ ミル トニ ア ン を表 す とす

絶 対 連続 部 分空 間 に お け る系 の 状 態 は,無

限 の未 来 お よび 過 去 に お い て,零 ベ ク トル に弱 収 束 す る よ うに時 間発 展 を行 う.

  7.2.2  純 粋 に 絶 対 連 続 な 自 己共 役 作 用 素 の 基 本 的 性 質 定理7.6 

自己共 役 作 用 素Hは

は ボ レ ル可 測 で, 

純 粋 に絶対 連 続 で あ る とす る.関 数  な らば,常

に 

を満たす

もの とす る*9.こ

の と き,作 用 素 解 析 を経 由 して 定 義 さ れ る 自 己 共 役 作 用 素 は純 粋 に絶 対 連 続 で あ る.

  証 明   [5]のp. 223,例2.24と

同様 の 方 法 に よ り,f(H)の

は 

ス ペ ク トル 測 度Ef(H)(・)

で 与 え られ る こ とが 示 さ れ る.し

て,任 意 の Ψ ∈Hに

対 して, 

条 件 に よ り,￨B￨=0な

たが っ に対 す る

ら ば 

し た が っ て, 

ゆ え に 

こ れ は 

を意 味 し, 

が 結 論 さ れ る.    例7.5 a≠0,bを

■ 実 定 数 と し, 

対 して, 

とす れ ば,任 意 の.B∈B1に

が 成 り立 つ.し

で あ る か ら,こ のfは 己 共 役 作 用 素Hに

 定 理7.7 

定 理7.6の

対 して,aH+bも

自己 共 役 作 用 素Hは

ユ ニ タ リ変 換UHU-1も

  証 明   H':=UHU-1と 題327-(i)).し

純粋 に絶 対 連 続 で あ る とす る.Kを

純 粋 に絶 対 連 続 で あ る.

お く と, 

は 成 り立 つ([6]の

意 の

Ψ

∈Kに

な ら ば,右 辺 は0で

 例7.6 

任 意 の複 素

任 意 のユ ニ タ リ作 用 素 とす る.こ の と き,

た が っ て,任

し た が っ て,題

ら ば げ 

え に,任 意 の 純 粋 に 絶 対 連 続 な 自

純 粋 に絶 対 連 続 で あ る.

ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,U:H→Kを Hの

た が っ て,￨B￨=0な

仮 定 を満 た す.ゆ

補

対 し て,  あ る か ら, 

意 が し た が う.■

L2(IRdx)上 の 運 動 量 作 用 素(Djは

変 数xjに

関 す る 一 般 化 され

た偏 微 分 作 用 素)は 純 粋 に 絶 対 連 続 で あ る.  証 明  

をd次

作 用 素 で あ り,作 用 素 の 等 式  j座 標kjに 定 理7.7に

*9 

よ る か け算 作 用 素).例7.2に よ り,pjの

元 の フ ー リエ 変 換 と す れ ば,こ が 成 り立 つ(kjは よ り,kjは

純 粋 絶 対 連 続 性 が した が う. 

れ はユ ニ タリ

運 動 量k∈IRdkの

純 粋 に 絶 対 連 続 で あ る.こ

第 れ と ■

 7.2.3  特 異 部 分 空 間 の 分 解  

Hの

特 異 部 分 空 間 は さ ら に細 か く分 解 す る こ とが で きる.Hが

と き,Hp(H)をHの

固有 値 を もつ

固 有 ベ ク トル全 体 が 生 成 す る部 分 空 間 の 閉 包 と しよ う:

(7.20) Hが

固 有 値 を も た な い と き は, 

と規 約 す る.こ

の とき

(7.21) で あ る.実

際, 

とす れ ば,  で あ る の で,Ψ

す る 部 分 空 間 はHs(H)に

∈Hs.し

た が っ て,Hの

含 ま れ る.Hs(H)は

閉 部 分 空 間 で あ る か ら,い

ら れ た 包 含 関 係 の 閉 包 を と る こ と に よ り,(7.21)が   (7.21)か

固有 ベ ク トルが 生 成 ま得

導 か れ る.

ら

(7.22) とお け ば

(7.23) が 成 立 す る.閉 continuity)と   定 理7.3の 定 理7.8 

部 分 空 間Hsc(H)は

of singular

呼 ば れ る. 証 明 と 同 様 に して,次 Hp(H)とHsc(H)はHを

純 点 ス ペ ク トル 部 分,特

ペ ク トル を そ れ ぞ れ ,Hの

の 事 実 が 証 明 さ れ る(演

習 問 題2):

簡 約 す る.

  自 己 共 役 作 用 素HのHp(H),Hsc(H)に と記 し,Hの

特 異 連 続 部 分 空 間(subspace

お け るHの

部 分 を,そ れ ぞ れ,Hp,Hsc

異 連 続 部 分 と呼 ぶ.ま

純 点 ス ペ ク トル,Hの

た,Hp,Hscの

ス

特 異 連 続 ス ペ ク トル と い う.

後 者 につ い て は

(7.24) と記 す.直 和 作 用 素 の ス ペ ク トル 理 論 に よ り

(7.25)

こ れ と(7.18)に

よっ て

(7.26) が 成 立 す る こ と に な る.だ 和 集 合)に

が,右

辺 は,一 般

は な ら な い こ と(例7.4),ま

に は 集 合 の 直 和(互

た, 

成 立 す る と は 限 ら な い こ と に 注 意 し よ う(次   例7.7 

例7.4に

  Hの

で あ る が,等 の 例7.7を

お い て, 

と き, 

号 は

参 照). の 場 合 を 考 え よ う.こ

で あ る が, 

の

で あ る.

点 ス ペ ク トル σp(H)と

  定 理7.9 

い に素 な集 合 の

σ(Hp)と

の 関 係 は 次 の 定 理 に よ っ て 与 え ら れ る.

σp(H)=σ(Hp).

証 明   包 含 関 係  た.σ(Hp)は

が 成 り立 つ こ と(証 明 は容 易)は す で に言 及 し

閉 集 合 で あ るか ら, 

が 導 か れ る.逆 の 包 含 関 係

を証 明 す る に は

(7.27) を 示 せ ば よ い.  Hの

とす れ ば, 

固 有 ベ ク トル の 全 体 か ら 張 ら れ る 部 分 空 間 をDp(H)と

B∈B1に

対 し て,EH(B)はDp(H)を

度 

の 台 は,σp(H)に

で あ る こ と,お

よ びEH(・)の

の 台 は,σp(E)に

す れ ば,任

不 変 に し,任 意 の Ψ ∈Dp(H)に 含 ま れ て い る.定

対 して,測

義 に よ っ て,Dp(E)=Hp(H)

有 界 性 に よ り,任 意 の Ψ ∈Hp(H)に 含 ま れ て い る.し

意 の

た が っ て,任

対 し て,測

度

意 の Ψ ∈D(Hp)

に対 して

こ れ は λ ∈ ρ(Hp)を

意 味 す る.こ

  H=Hp(H)(H=Hsc(H))で (純 粋 に 特 異 連 続 で あ る)と

う し て,(7.27)が

あ る と き,Hは い う.

示 さ れ る. 

■

純 粋 に 点 ス ペ ク トル 的 で あ る

 例7.8 

例7.3の

自 己 共 役 作 用 素MΛ

は 純 粋 に 点 ス ペ ク トル 的 で あ る.

  7.2.4  非 相 対 論 的 自由 ハ ミル トニ ア ンの純 粋 絶対 連 続 性   d次 元 空 間IRdを L2(IRdN)上

運 動 す る,N個

の非 相 対 論 的 自由粒 子 の ハ ミル トニ ア ンは,

の 作 用 素 と して

(7.28) に よ っ て 与 え ら れ る([6],p. と き,Δxjは

変 数xj∈IRdに

297).た

だ し, 

とす る

関 す る 一 般 化 さ れ た ラ プ ラ シ ア ン,mj>0はj

番 目 の 量 子 的 粒 子 の 質 量 を 表 す.

 定 理7.10 

H(N)0は 純 粋 に絶 対 連 続 で あ り

(7.29)   証 明 

は す でに 証 明 し た の で([6]の

す る 絶 対 連 続 部 分 空 間 がL2(IRdN)で う に,H(N)0は-Δxに

Δx=Δ

あ る こ と を 示 せ ば よ い,第2章

ユ ニ タ リ 同 値 で あ る の で,定

対 連 続 部 分 空 間 がL2(IRdN)で

定 理3.28),H(N)0に

理7.7に

あ る こ と を 示 せ ば よ い.証

絶

明 を 通 じ て,n=dN,

とす る.

のp. 299,

(3.60)式).た

だ し, 

よ る か け 算 作 用 素 で あ る.k2の

に よ っ て 与 え ら れ る.し

で あ り,kjは

径1の

球 面)と

た が っ て 

し,n次

([6] 運動量座標 関数

ス ペ ク トル 測 度 は

と し よ う.  面(半

で 示 した よ

よ っ て,-Δxの

を フ ー リ エ 変 換 とす れ ば, 

kjに

関

と し, を(n-1)次

元 の 極 座 標 変 換 

元 の単 位 球 を使 え ば

と 書 け る.た

だ し,dS(ω)は, 

的 な 測 度 で あ る.こ た が っ て,任 n=1の

の 式 か ら,￨B￨=0な

意 の

ら ば, 

は,-Δ

の標準 と な る.し

に 関 す る 絶 対 連 続 部 分 空 間 に は い る.

場 合 も 同 様. 

  定 理7.10と

系7.11 

と な る,Sn-1上

定 理7.6に

■

よ り,次

関数f:IR→IRは

の 事 実 が 得 ら れ る:

ボ レ ル 可 測 で, 

を 満 た す もの とす る.ま ラ シ ア ン と す る(n∈IN).こ 例7.9 

た,Δ

な ら ば,常

を 

の と き,f(-Δ)は

を 定 数 とす る と き,自

に

上の一般化 されたラプ

純 粋 に 絶 対 連 続 で あ る.

由 な 相 対 論 的 シ ュ レー デ ィ ン ガー 作 用 素

は 純 粋 に 絶 対 連 続 で あ る(∵

関 数 

は系

7.11の 仮 定 を 満 た す*10). 例7.10 

任 意 の 正 の 実 数 α>0に

対 して,(-Δ)α

と 同様 に して,関数 

  7.2.5 

は純 粋 に絶 対 連 続 で あ る(∵

は 系7.11の

前例

仮 定 を満 た す こ とが 示 さ れ る).

自由 なデ ィラ ッ ク作 用 素 の純 粋 絶 対 連 続 性

 前 著[6]の3.4.3項

を 考 察 し た.こ

で 自 由 な デ ィ ラ ッ ク作 用 素

こ で,αj,β

は4次

の エ ル ミー ト行 列 で 反 交 換 関 係

(7.30) (j,k=1,2,3)を

満 た す も の で あ り,m>0は

ラ ッ ク 粒 子 と い う― の 質 量 を 表 す.HDが *10 任 意 のB∈B1に

量 子 的 粒 子― い ま の 場 合,デ 働 く ヒ ル ベ ル ト空 間 は 

対 して , 

に 注 意.右

辺 は￨B￨=0な

ら ば0で

あ る.

ィ で

あ る. 

上の作用素Aか ら定 まる直和作用素  

上 の作用素― も簡単の ため,し ば しば,単 にAと 記す*11.次 の事実 を証明 し よう. 定 理7.12 HDは

純 粋 に絶 対 連 続 で あ る.

証 明 

を フ ー リ エ 変 換 と す る*12.し

た が っ て,

そ れ は ユ ニ タ リで あ り,作 用 素 の 等 式

(7.31) が 成 り立 つ.関

数 

を

(7.32) に よ っ て 定 義 し,ω に よ る か け算 作 用 素 をω で 表 す.容 は 自 己 共 役 で 全 単射 で あ る.さ ら に,ω-1は

が 成 り立 つ*13.ま

た1±mω-1は

易 に わか る よ う に,ω

有界で あ り

非 負 の 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 で あ る.し

た

が って

(7.33) は 有 界 な 自 己 共役 作 用 素 で あ る.｜k￨に よ るか け算 作 用 素 を同 じ記号￨k￨で 表 す. 任 意 の 

に対 して の

3.29の 証 明 にお け るK(ψ)の

補題

計 算 を参 照)で あ る か ら

(7.34) *11  こ う し て も

,ど の ヒ ル ベ ル ト空 間 の 作 用 素 と し て み て い る か を 明 晰 に把 握 して い れ ば 混 乱 は 生 じ な い で あ ろ う. *12 上 の 規 約 に し た が っ て ,  *13 実 際 に は等号 が 成 り 立 つ(演

習 問 題3)

.

は 定 義 域 をD(￨k￨-1)と

す る有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 で あ る.D(￨k￨-1)は

あ る か ら,Sは 

稠密で

上 の 有 界 な 自己 共 役 作 用 素 へ と一 意 的 に拡 大 され る.

こ の 拡 大 も 同 じ記号Sで

表 す .u±,Sを

用いて

(7.35) を 定 義 す る.こ

の と き,uは 

上 の ユ ニ タ リ作 用 素 で あ り,(7.30)を

用 いる直接計算 に よ り

(7.36) を 証 明 す る こ とが で き る(こ れ は,αj,β の 具 体 的 な 行 列 表 示 を用 い な い で 証 明 さ れ る こ と を 強 調 し て お く).[6]のp. と お く と,こ

308で

み た よ う に ,uD=α1α2α3β

れ は エ ル ミ ー トか つ ユ ニ タ リ で あ り,UDβuD-1=-β

こ れ は,σ(β)=σ(-β)を つ.こ

307∼p.

れ と β2=I

意 味 す る か ら ,λ

,β ≠Iか

つ β=-Iと

∈ σ(β)⇔-λ

が 成 り立 つ. ∈ σ(β)が 成 り立

い う事 実 を使 え ば

(7.37) で あ り,固

有 値 ±1の 多 重 度 は そ れ ぞ れ2で

次 の ユ ニ タ リ行 列wが

と対 角 化 で き る.ゆ

あ る こ と が わ か る.し

た が っ て ,4

あって

え に,hDは

(7.38) と対 角 化 さ れ る.以

上 を ま とめ る と,UD:=F-1wuFと

お け ば,こ れ は

上 の ユ ニ タ リ変 換 で あ り,HDは

(7.39) とい う形 に対 角 化 され る こ とが わ か っ た.右 る こ とが 示 され る(演 習 問題4).ゆ

辺 の 作 用 素 は純 粋 に絶 対 連 続 で あ

え に題 意 が したが う. 

■

7.3 

散乱 理 論 の 一般 的枠 組 み

  こ の節 で は,散 乱 理 論 の 一 般 的 枠 組 み を論 述 す る.ま ず,7.1節

で 言 及 した波

動 作 用 素 の厳 密 な定 義 を よ り普 遍 的 な形 で行 い,そ の 基 本 的性 質 を調 べ る.

  7.3.1  波 動 作 用 素   H1,H2を

複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間,Hj(j=1,2)をHj上

る.一 般 に,自 己 共 役 作 用 素Aの で 表 す.J:H1→H2を

の 自己 共 役 作 用 素 とす

絶 対 連 続 部 分 空 間 へ の 正 射 影 作 用 素 をPac(A)

有 界 線 形 作 用 素 とす る.7.1節

の 発 見 法 的 考 察 か ら次

の 定 義 へ と導 か れ る:作 用 素

(7.40) の強極限

(7.41) が 存 在 す る と き,こ

れ を 三 つ 組(H2,H1,J)に

の 定 義 は 次 の 二 つ の 点 に お い て,7.1節 な っ て い る:(ⅰ)ヒ

ル ベ ル ト空 間H1とH2が

う 作 用 素 が 導 入 さ れ て い る.い

付 随 す る 波 動 作 用 素 と い う.こ

で 言 及 した波 動 作 用 素 の概 念 の一 般 化 に 必 ず し も 同 じ で は な い.(ⅱ)Jと

う ま で も な く,H1=H2,J=Iの

用 素 論 に お け る 第 一 段 階 的 レ ヴ ェ ル で あ る.だ 理 的 に 自 然 で あ り,応

用 上 も 威 力 を 発 揮 す る.以

と き,「 波 動 作 用 素W±(H2,H1;J)は   H1=H2,J=Iの

が,い

い

場合が波動作

ま 言 及 し た 一 般 化 は,数

下,(7.41)の

右 辺が存在す る

存 在 す る 」 と い う い い 方 を す る.

場 合 の 波 動 作 用 素 を 

と記 す:

(7.42)   波 動 作 用 素 が 存 在 す る か 否 か はH2,H1,Jの

性 質 に よ る.波 動 作 用 素 の 存 在

条 件 につ い て は 後 ほ ど議 論 す る こ とに して,ま ず,波 動 作 用 素 が 存 在 した と し て,そ の 性 質 が どの よ う な もの で あ るか を調 べ る.

命 題7.13 

波 動 作 用 素 

が 存 在 す る と き,次

の(ⅰ)∼(ⅳ)が

成

り立 つ*14.

(ⅰ)  す べ て のs∈IRに

対 して

(7.43) (ⅱ) す べ て の 

に対 して 

であ り

(7.44) す なわち

(7.45) (ⅲ) す べ て の 

に対 して

(7.46)   (ⅳ)  EH2,

EH1を

レ ル 集 合B⊂IRに

そ れ ぞ れ,H2,

H1の

ス ペ ク トル 測 度 と す れ ば,す

べ てのボ

対 して

(7.47) 証 明   (ⅰ)任意 のs∈IRに

こ こ で,exp(isH1)とPac(H1)は 右 辺 は 

可 換 で あ る こ と(∵

定 理7.3)に

注 意 す れ ば,

に 等 し い.

  (ⅱ)(ⅰ)か ら,任

s→0と

対 して

意 の 

に対 し て

す れ ば,右 辺 は 

に 収 束 す る.し

ン の 定 理 に よ り,  *14 以 下 の 諸 式 にお い て は ,±

で あ り,(7.44)が は複 号 同順 で 読 む.

た が っ て,ス 得 ら れ る.

トー

  (ⅲ)こ

れ は(ⅱ)を

  (ⅳ)(ⅲ)と

使 え ば 容 易 に わ か る.

ス トー ン の 公 式([6]の

  上 の 命 題 か ら,波

定 理3.10)を

動 作 用 素 の 値 域 に つ い て,次

系7.14 

用 い れ ば よ い. 

■

の 基 本 的 な 結 果 が 導 か れ る:

は 存 在 す る と し よ う.こ

の とき

(7.48) 証 明   Pac(H1)の

冪等性 に より

(7.49) 任 意 のB∈B1に

対 し て,Pac(H1)とEH1(B)は

命 題7.13-(ⅳ)か

ら,任

意 の Ψ ∈H1に

Pac(H1)Ψ

∈Hac(H1)で

る の で,上

式 の 右 辺 は0と

れ らの事 実 と

対 して

あ る か ら,￨B￨=0な

ら ば, 

であ

な り,し た が っ て, 

こ れ は, 

命 題7.15 

可 換 で あ る.こ

を 意 味 す る. 

波動 作 用 素 

■

が と もに存 在 す れ ば

(7.50) 証 明  系7.14か

ら

(7.51) し た が っ て,任

意 の Ψ ∈H1,Φ

∈H2に

対 して

ゆ え に,(7.50)が

成 り立 つ. 

■

  H3を 複 素 ヒル ベ ル ト空 間,H3をH3上 とす る.も し,波 動 作 用 素 

の 自己 共役 作 用 素 と し,  が と も に存 在 す

る な らば,そ れ らの 合 成  が 

が 考 え られ る.こ

れ

に付 随 す る波 動 作 用 素 に な る とい う調 和 的 関 係 につ い て 言 明

した の が 次 の定 理 で あ る. 定 理7.16 

(結 合 法 則(chain

rule)) 

に存 在 す る と し よ う.こ の と き, 

が とも も存 在 し

(7.52) が 成 り立 つ. 証 明  任 意 のt∈IRに

対 して

(7.53) と変 形 で き る.た (7.53)の

だ し, 

右 辺 の 第 一 項 は,t→

± ∞ の と き, 

強 収 束 す る か ら,R(t)が,t→ が 得 ら れ る.実

際,任

こ こで,系7.14を   作 用 素Jを

±∞

意 の Ψ ∈H1に

の と き0に

に 強 収 束 す る こ と を 示 せ ば(7.52)

対 して

用 い た. 

■

有 界 作 用 素 の あ る ク ラ ス の 中 に制 限 した場 合 に は,波 動 作 用 素 は

次 の定 理 に述 べ る 意 味 で 良 い 性 質 を もつ こ とが 見 い だ され る. 定 理7.17 

作 用 素Jに

つ いて

(7.54)

が 成 り立 つ と し,波 動 作 用 素  の(ⅰ),(ⅱ)が  

が 存 在 す る と す る.こ

の と き,次

成 立 す る.

(ⅰ) 

は,始 空 間 をHac(H1)と

す る 部 分 等 長 作 用 素 で あ る*15.

す なわ ち

(7.55)

(7.56) 特 に, 

はHac(H1)か

リ 作 用 素 で あ る.こ

へ のユ ニ タ

の ユ ニ タ リ 作 用 素 を 

  (ⅱ) R± はHac(H2)の に お け る 部 分H2￨R± (H1)acと

ら  と書 く.

閉 部 分 空 間 で あ り,H2を

は, 

簡 約 す る.さ

を 介 して,H1の

ら に,H2のR±

絶 対 連 続 部 分 

ユ ニ タ リ 同 値 で あ る:

(7.57) 注 意7.3 

条 件(7.54)は,H1=H2,J=Iの

場 合 に は,自

明 的 に 成 り 立 つ.

証 明   証 明 を 通 し て,    (ⅰ)任 意 の Ψ ∈H1に

対 して

こ れ は(7.55),(7.56)を

意 味 す る.

  (ⅱ)  R± の 閉 性 は,W± す た め に,H2か の Ψ ∈H2に (7.46)に

らR±

の 部 分 等 長 性 か ら 出 る.H2のR± へ の 正 射 影 作 用 素 をP±

対 し て, 

よ り,す

*15 部 分 等 長(等

と お く.

べ て のz∈C＼IRに

距 離)作

用素については

と し よ う.し

と な る Φ ∈Hac(H1)が 対 して

,[5]の2.6.3項

を 参 照.

に よる簡 約 性 を示 た が っ て,任 存 在 す る.こ

意 れ と

した が っ て,  す る.ゆ

こ れ は 

え に,R±

はH2を

  任 意 の 

立 つ.こ

簡 約 す る. は, 

き,(7.45)に

を意 味

よ り, 

と 書 け る 

.こ

で あ り 

れ は, 

を 意 味 す る.両

る か ら,そ

れ ら は 一 致 し な け れ ば な ら な い. 

注 意7.4 

(7.57)は

の と

が成 り 辺 と も に 自己 共 役 で あ ■

(7.58) す なわ ち,波 動 作 用 素 の存 在 は,H1,H2の

絶 対 連 続 スペ ク トル に 関 す る 一 つ の

関 係 を導 く.こ れ も散 乱 理 論 にお け る重 要 な結 果 の 一 つ で あ る.

  7.3.2  散 乱 作 用 素 と完 全 性   7.1節 で は波 動 作 用 素 か ら散 乱 作 用 素 が 定義 され る こ と を示 唆 した.こ れ に な ら って,波 動 作 用 素 

が存 在 す る と き

(7.59) に よ っ て 定 義 さ れ る 作 用 素 を(H2,H1,J)に operator)と

呼 ぶ.こ

の 作 用 素 の 基 本 的 な 性 質 は 次 の 定 理 で 与 え ら れ る.

定 理7.18   

は 存 在 す る と仮 定 す る.

(ⅰ) S(H2,H1;J)とH1は

S(H2,H1;J)が   (ⅱ) H1=H2の

付 随 す る 散 乱 作 用 素(scattering

強 可 換 で あ る.す

な わ ち,S(H2,H1;J)H1⊂H1

成 り立 つ. と きH2,H1と

強 可 換 な 任 意 の ユ ニ タ リ 作 用 素Uに

対 して

(7.60) 特 に, 

な ら ば,S(H2,H1;J)とUは

可 換 で あ る.

  (ⅲ)  条 件(7.54)を

仮 定 す る.こ

の と き,S(H2,H1;J)がHac(H1)上

のユニ

タ リ作 用 素 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は

(7.61) と な る こ と で あ る.

証 明   証 明 を 通 し て,  とお く.   (ⅰ)  Ψ

∈D(H1)と

す れ ば,(7.44)に

よ っ て, 

(最 後 の 等 式 は  Tを

有 界 作 用 素,Xを

成 り立 つ.こ れ と(*)に

に よ る).一

の 事 実 を(7.44)の よ り,SΨ

共 役 関 係 に 応 用 す る と .こ

∈D(H1)で

  (ⅱ)  仮 定 に よ り,す

あ り,SH1Ψ=H1SΨ

べ て のt∈IRに

が 結 論 さ れ る.

対 し て 

し た が っ て,  意 の Ψ,Φ ∈Hac(H1)に

こ れ は,(7.60)を

ゆ え に,任 対 して

意 味 す る.

  (ⅲ) 条 件 の 十 分 性 は,定 め に,SがHac(H1)上

理7.17か

な る 

が 存 在 す る.仮

が 存 在 す る.し を 意 味 す る.ゆ   も 

え ば よ い. 

ら 明 ら か で あ ろ う.条

で ユ ニ タ リで あ る と し よ う.任

 と な る 

れ は, 

般 に,

稠 密 な 定 義 域 を も つ 作 用 素 と す れ ば(TX)*=X*T*が

え に 

た が っ て, 

件 の 必 要 性 を示 す た

意 の Ψ ∈R+に

定 に よ り, 

対 して と こ

こ の 逆 の 包 含 関 係 を 示 す に は,

上 の ユ ニ タ リ で あ る こ と に 注 意 し て,同 様 の 議 論 を 行 ■

注 意7.5 

定 理7.18は,Uが

U*JU=Jが

量 子 系 の 対 称 性 を 表 す 群 の ユ ニ タ リ 表 現 で あ り,

成 り 立 つ 場 合,そ

の 表 現 の 不 変 部 分 空 間 に お い て,散

考 察 す る こ と を 可 能 に す る(演 習 問 題7を

散 乱 作 用 素S(H2,H1;J)がHac(H1)上 ク トル Ψ,Φ ∈Hac(H1)に

乱作 用素 を

参 照).

の ユ ニ タ リ 作 用 素 で あ る と き,単

対 し て 

の 散 乱 の 遷 移 確 率 振 幅 と い い,そ

位 ベ

を 状 態 Ψ か ら状 態 Φ へ

の 絶 対 値 の2乗 

を状

態 Ψ か ら 状 態 Φ へ の 散 乱 の 遷 移 確 率 と 呼 ぶ*16.   条 件(7.54)の

も と で,性

質(7.61)が

意 味 で 漸 近 的 に 完 全 で あ る,ま t=-∞

で の 漸 近 的 配 位 の 全 体 とt=∞

よ っ て,1対1に

で の漸 近 的 配位 の全 体 が散 乱 作 用 素 に

は,「 弱 い 漸 近 的 完 全 性 」 よ り も強 い 漸 近 的 完 全

性 の 概 念 を 考 え る こ と が で き る.こ た 散 乱 の 描 像 に 戻 ろ う.今

れ を 説 明 す る た め に,再

度 は,Hs,K0の

簡 単 の た め,H1=H2,J=Iと

と き,"時

か わ り にH2,H1を

す る).7.1節

記 述 さ れ る 系― こ れ を 仮 にH2-系

の 散 乱 に 関 す る もの で あ っ た.言

に お け るH2-系

と い う 型 の 状 態―

が"時 か し,も

"時 間 漸 近 的 に 自 由 な"状

考 え る(た

で 記 述 し た の は,全

い 換 え れ ば,初

だ し,

ハ ミ ル トニ ア の

期 条 件 を,t→-∞

に お い て,

の 時 間 発 展 を 問 題 に し た の で あ っ た.

の 任 意 の 散 乱 状 態― 

間 漸 近 的 に 自 由 な"状 し,t→-∞

で 略述 し

で あ る と した 場 合

そ の よ う な 状 態 に 設 定 し た 場 合 のH2-系 し か し,t→-∞

び,7.1節

と 呼 ぼ う― の 状 態 が,t→-∞

間 漸 近 的 に 自 由 な"状 態 

事 柄 で は な い.し

弱 い の 場 合,

対 応 づ け ら れ る.

  そ の 命 名 が 示 唆 す る よ う に,実

ン がH2で

成 り立 つ と き,W±(H2,H1;J)は

た は 弱 い 漸 近 的 完 全 性 を も つ と い う.こ

態 に漸 近 す る か ど うか は 自明 な

に お け るH2-系

態 で つ く さ れ る とす れ ば

,任

のすべての散乱状態が 意 の Ψ ∈Hac(H2)に

対

して

とな る 

が存 在 しな けれ ば な らない.こ れ は 

を意 味 す る か ら,  *16 この 命 名 の背 後 にあ る物 理 的 な描 像 につ いて は7

と な る.こ の逆 の 包 含 関 係 は

.1節 で ふ れ た.散 乱作 用 素 の ユ ニ タ リ 性 は散 乱 の過 程 にお け る金 確 率 の 保 存 の た め に要 請 され る.

す で に知 ら れ て い る か ら(系7.14),結

局 

が成

り立 つ こ と に な る.同 様 に,t→+∞

に お け るH2-系

の散 乱 状 態 の 全 体 が"時

間漸 近 的 に 自由 な"状 態 で つ くされ る とす れ ば,  で な け れ ば な らな い.   以 上 の発 見 法 的 考 察 か ら次 の定 義 へ と到 る: 定 義7.19 

条 件(7.54)が

成 立 し,波 動 作 用 素 

が存在 する と

す る.こ の と き

(7.62) が 成 り立 つ な ら ば,波

動 作 用 素 

は 完 全 で あ る と い う.

  こ の 完 全 性 の 条 件 は,重

要 な 結 果 を 導 く:

定 理7.20 

満 た さ れ,波

条 件(7.54)が

つW±(H2,H1;J)は  

動 作 用 素W±(H2,H1;J)は

完 全 で あ る と し よ う.こ

(ⅰ) W±(H2,H1;J)はHac(H1)か

の と き,次 の(ⅰ),(ⅱ)が

らHac(H2)へ

存 在 し,か 成 り立 つ:

の ユ ニ タ リ作 用 素 で あ り

(7.63) し た が っ て,特

に

(7.64)   (ⅱ) S(H2,H1;J)はHac(H1)上

の ユ ニ タ リ作 用 素 で あ る.

証 明   (ⅰ)W±(H2,H1;J)が

完 全 で あ れ ば, 

の 事 実 と 定 理7.17-(ⅱ)か

ら 題 意 が 成 立 す る.

  (ⅱ)定 理7.18-(ⅲ)に

注 意7.6  こ う し て,ス

こ

よ る. 

(7.64)は,H1,H2の

■

絶 対 連 続 ス ペ ク トル が 等 し い こ と を 意 味 す る.

ペ ク トル 理 論 の 観 点 か ら み る と,散

ス ペ ク トル の 同 定 に 使 う こ と が で き る.

乱 理 論 と い う の は,絶

対連続

  た と え ば,シ

ュ レ ー デ ィ ン ガ ー型 作 用 素 

の 場 合 で い え ば,

 に付 随 す る 波 動作 用 素 が 完 全 とな る よ う なVの

ク ラ ス に対 して は

と同 定 で きる わ け で あ る.   こ の 意 味 に お い て,散 乱 理 論 とい う の は,純 数 学 的 に は,絶 対 連 続 ス ペ ク ト ル に 関 す る摂 動 論 の 一 つ の重 要 な ク ラ ス とみ る こ とが で き る.  定 義7.19に

お け る完 全 性 の概 念 よ り もさ らに強 い完 全 性 の概 念 を定 義 す る こ

とが で き る.す な わ ち

(7.65) が 成 り 立 つ と き,W±(H2,H1;J)は

漸 近 的 に 完 全 で あ る と い う.実 際,容

わ か る よ う に,W±(H2,H1;J)が か つHsc(H2)=0で 定 義 さ れ る,波 間"に

漸 近 的 に 完 全 で あ る こ とは そ れ が完 全 で あ り

あ る こ と と 同 値 で あ る.し 動 作 用 素 の 完 全 性 は,弱

た が っ て,定

義7.19に

よっ て

い 意 味 で の 完 全 性 と 漸 近 的 完 全 性 の"中

あ た る 完 全 性 の 概 念 で あ る.

7.4 

  前 節 に お い て,散

波動 作 用 素 の存 在 に対 す る判 定 条件

乱 理 論 の 一 般 的 構 造 が 明 ら か に さ れ た の で,次

素 の 存 在 条 件 に つ い て 考 察 し よ う.波 る に は,任 t→

易 に

意 の Ψ ∈Hac(H1)に

± ∞ の と き,tに

動 作 用 素W±(H2,H1;J)の

対 して,ベ

に波 動 作 用 存 在 を証 明す

ク トル 

が,

関 して コ ー シ ー 列 を な す こ と,す な わ ち,  を 示 せ ば よ い.し

い う 条 件 を 満 た せ ば(*)が

た が っ て,問

題 は,H1,H2,Jが

どう

成 り立 つ か を 調 べ る こ と で あ る.

  そ の た め の 一 つ の ア イ デ ア は,IR上

の 関 数 

お け る 極 限 の 存 在 を 示 す 次 の 方 法 か ら 示 唆 さ れ る:も  を 満 た す と す れ ば,任

意 の 

に し,fが

連 続微分可能 で

に対 して

s
場 合 も 同 様.し

た が っ て,limt→

  こ の 考 え 方 自体 は,ヒ 想 に 基 づ い て,波 る.そ

±∞f(t)は

存 在 す る.

ル ベ ル ト空 間 値 関 数 の 場 合 へ と拡 張 さ れ う る.こ

動 作 用 素 の 存 在 を 示 す 方 法 は ク ッ ク(Cook)の

の着

方 法 と呼 ば れ

れ は 次 の よ う に 定 式 化 さ れ る.

定 理7.21 

Hac(H1)の

稠 密 な 部 分 集 合Dで

以 下 の 条 件 を満 た す もの が 存 在 す

る と す る:  

(ⅰ) D⊂D(H1).

  (ⅱ) 各 Ψ ∈Dに

対 して 

関 数: 

で あ り,IR上 は 強 連 続 で あ る.さ

のH-値

らに

(7.66) こ の と き,W±(H2,H1;J)は

存 在 し,す

べ て の Ψ ∈Dに

対 して

(7.67) が 成 り 立 つ.

証 明   Ψ ∈Dと

し, 

とお く.仮 定 に よ り, 

で あ る の で,Ψ(t)はtに

つ い て 強 微 分 可 能 で あ り, 

が 成 り立 つ.こ

れ か ら, 

に 対 して

(7.68) した が って

(7.66)に は,t→ Hac(H1)で

よ り,右 辺 は, 

の と き0に

∞ の と き,コ ー シ ー 列 で あ る.ゆ 稠 密 で あ り, 

収 束 す る.し

え に, 

た が っ て,  は存 在 す る .Dは

で あ る の で,極 限 論 法 に よ り,い ま得

た 結 果 は,す べ て の Ψ ∈Hac(H1)に

拡 張 さ れ る.一

方,Ψ

∈Hac(H1)⊥

な ら ば,

  で あ る か ら,  こ う し て,W+(H2,H1;J)の と す れ ば,(7.67)に

存 在 が 示 さ れ る.(7.68)に お け る"+"の

お い て,t=0,t'→

式 が 得 ら れ る.W＿(H2,H1;J)の

∞

存 在 とそ

の 表 示 に つ い て も 同 様 で あ る. 

系7.22 

H1=H2,J=Iの

Hac(H1)の

■

場 合 を 考 え,H2―H1はH1-有

稠 密 な 部 分 集 合Dで

界 で あ る と す る.

以 下 の 条 件 を 満 た す もの が 存 在 す る と す る: 

(ⅰ) D⊂D(H1).  (ⅱ) 各 Ψ ∈Dに

対 して

(7.69) こ の と き,W±(H2,H1)は

存 在 し,す

べ て の Ψ ∈Dに

対 して

(7.70) が 成 り立 つ.

証 明  T:=H2−H1と 定 数 ａ,b〓0が

お く.仮 あ っ て, 

し た が っ て,任

意 の Ψ ∈D(H1)に

ゆ え に,H1-値

関 数: 

H1, H2に

定 に よ り,D(H2)=D(H1)⊂D(T)で

対 し て,定

理7.21の

あ り, が 成 り 立 つ.

対 して

は 強 連 続 で あ る.以

上 に よ っ て,い

仮 定 は す べ て 満 た さ れ る.し

た が っ て,結

まの 論 が

し た が う.  例7.11 

■

7.1節 で 考 え た シ ュ レー デ ィ ン ガ ー 作 用 素HS=K0+Vを とす る ． この と き,VはK0に

関 して 無 限 小 で あ り,HSは

考 え,  自 己 共 役 で 下 に有 界

で あ る こ と は す で に み た(第2章 で あ る の で,DはHac(K0)で ψ ∈Dに

を 参 照).D=C∞0(IR3)と

お く,Hac(K0)=L2(IR3)

稠 密 で あ り,D⊂D(K0)が

成 り立 つ.さ

ら に,任

意 の

対 して

他 方, 

の 具 体 的 な 表 示([6]の

定 理3.42-(ⅱ))を

用いると

し た が っ て,  は 

のtに

満 た さ れ る.ゆ

関 す る 連 続 性 か ら した が う.よ

え に,W±(HS,K0)は

っ て,系7.22の

仮定 がすべ て

存 在 す る.

7.5  波動 作 用 素 の完 全性 に対 す る判 定 条件

 波 動 作 用 素 の 完 全 性 の 問 題 は,次 の 命 題 に よ っ て,波 動 作 用 素 の 存 在 の 問題 へ と還 元 さ れ う る. 命 題7.23 

条 件(7.54)が

成 立 し,W±(H2,H1;J)は

存 在 す る とす る.さ

らに

(7.71) を 仮 定 す る.こ

の と き,W±(H1,H2;J*)が

存 在 す れ ば,W士(H2,H1;J)は

完

全 で あ る.

証 明  W±(H1,H2;J*)が

存 在 し た と す る.こ

の と き,波 動 作 用 素 の 結 合 法 則 に

よ っ て 

(最

後 の 等 号 は(7.71)に

よ る).し

た が っ て, 

れ と系7,14に

よ っ て,W±(H2,H1;J)の

  命 題7.23に

よ っ て,適

の 存 在 を 示 せ ば,波 は,応

こ

完 全 性 が 導 か れ る. 

■

切 な 仮 定 の も とで,W±(H2,H1;J),W±(H1,H2;J*)

動 作 用 素 の 完 全 性 が 示 さ れ る こ と に な る.だ

用 上 そ れ ほ ど 強 力 な もの で は な い.た

と え ば,シ

が,こ

の方法

ュ レー デ ィ ンガ ー型 作 用

素 へ の 応 用 に お い て は,H1は Vの

自 由 ハ ミ ル トニ ア ン で あ り,H2は

入 っ た ハ ミル トニ ア ン で あ る(V:=H2-H1が

の 場 合,e-itH1は

陽 な 表 示 を もつ の で,こ

み た よ う に,  て,適

当 なVの

ク ラ ス に 対 して は,ク

れ を 利 用 す る こ と に よ り,例7.11で たが っ

ッ ク の 方 法 に よ っ て,W±(H2,H1)の

存

方,e-itH2は

陽 な 表 示 を もつ と は 限

対 す る 陽 な 表 示 が み つ か ら な い 場 合 に は,W±(H1,H2)の

在 を 示 す の は 一 般 に は 難 し く な る.し 7.23は

ポ テ ン シ ャ ル を 表 す).こ

を 評 価 す る こ とが で き る.し

在 を そ れ ほ ど 難 な く示 す こ と が で き る.他 ら な い.eーitH2に

ポ テ ン シ ャル

か し,こ

そ れ な りの 価 値 と有 用 性 を も ち う る.特

ス ペ ク トル 理 論 に お い て そ う で あ る.だ

が,こ

存

う し た 難 点 に も 関 わ ら ず,命 に,抽

題

象 的 な レ ヴ ェル にお け る

の 側 面 に つ い て は,こ

れ以上立

ち 入 ら な い.

7.6  散 乱 作 用素 の 積 分表 示 と漸 近展 開

  散 乱 行 列 を 具 体 的 に 計 算 す る た め の 有 用 な 諸 式 を 導 く.本

質 的 な事 柄 だ け に

集 中 す る た め に,H1=H2=H,J=Iと

い う 場 合 を 考 え る*17.H0,

の 自 己 共 役 作 用 素 と しHI:=H-H0と

お く.し

HをH上

たがって

(7.72) 摂 動 論 の 観 点 か ら は,HIはH0に

対 す る 摂 動 と み る こ とが で き る.次

の仮 定 の

も と で 論 を 進 め る: 仮 定(H)   (ⅰ) HIはH0-有

界 で あ る.す

な わ ち,D(H0)⊂D(HI)で

あ り,定 数a,b〓0

が あ って

(7.73) が 成 り立 つ.   (ⅱ) Hac(H0)の

稠 密 な部 分 集 合Dで

  (a) D⊂D(H0).(b) 

各 Ψ ∈Dに

以 下 の 条 件 を満 た す もの が存 在 す る: 対 して 

*17  よ り一 般 の 場 合 も ま っ た く並 行 的 に扱 う こ と が で き る .

 こ の と き,系7.22に

よ り,波 動 作 用 素W±(H,H0)は

存 在 し,す べ て の Ψ ∈D

に対 して

(7.74) が 成 り立 つ.こ

の節 を通 して

(7.75) と お く. 命 題7.24 

仮 定(H)の

も と で,す

べ て の Ψ,Φ ∈Dに

対 して

(7.76) (7.77) 証 明  W+の

部 分 等 長 性 を用 い る と 

した が っ

て, (7.74)に

よ り

(7.78) こ れ を(*)に 代 入 す れ ば

を 得 る.さ (7.76)が て,上

ら に, 

(命 題7.13-(ⅰ))に

得 ら れ る.(7.77)は,等

注 意 す れ ば,

式 

を用 い

と 同 様 に して 導 か れ る. 

  式(7.76)ま

た は(7.77)は,散

■

乱 行 列 の 計 算 が 本 質 的 に 波 動 作 用 素W±(H,H0)

の い ず れ か の 計 算 に 帰 着 で き る こ と を 示 す.こ

の 構 造 を 用 い て,次

に散乱行列

の 近 似 式 を 導 出 し よ う. 定 理7.25 

仮 定(H)に

加 え て,す

変 に す る と す る:e-itH0D⊂D.こ

べ て のt∈IRに の と き,す

対 し て,e−itH0はDを

べ て の Ψ,Φ ∈Dに

不

対 して

(7.79)

ただ し

(7.80) 証 明   (7.76)の

右 辺 のW+に(7.74)を

代 入 す れ ば よ い. 

 (7.79)か ら,散 乱 行 列 要 素 に対 して,摂 動HIに

関 して1次

■

の 漸 近 展 開 を導

くこ とが で きる: 系7.26 

定 理7.25と

同 じ仮 定 の も と で,κ∈IRに

対 して

(7.81) と お き, 

と す る.こ

の と き,任

意 の Ψ,Φ∈Dに

対 して

(7.82) た だ し,  す,κ

は 

κ∈IR(C>0は

定 数)を

満た

の 関 数 を 表 す.

証 明   (7.79)の 右 辺 の第 三項 の 絶 対 値 は次 の よ う に評 価 で きる:

したが っ て,題 意 が 成 立 す る. 

■

 式(7.82)は,￨κ￨が

が

十 分 小 さい な らば,散 乱作 用 素 の行 列 要 素 

(7.83) と近 似 され る こ とを意 味 す る.こ れ は,具 体 的 な モ デ ル にお い て,実 験 と比 較 す る際 に使 わ れ る第 一 次 近 似 式 で あ る*18. *18 こ こで や

っ た こ とは,物 理 の 散 乱 理 論 に お い て発 見 法 的 に使 わ れ る"近 似 式"の 一 つ を

抽 象的 ・普 遍 的 な枠 組 み で厳 密 に基 礎 づ け た こ とに もな る.

注 意7.7 

付 加 的 な 条件 を付 け れ ば,同 様 に して, 

任 意 の次 数 まで,漸

は,κ に関 して,

近 展 開 可 能 で あ る こ とが 示 され る.

ノ

ー

ト

  量 子 力 学 の 数 学 的 に 厳 密 な散 乱 理 論 に つ い て は す で に 良 書 が 多 く出 て い る の で(た と え ば,[1,

7, 8, 9, 10, 12]),本

書 で は ご く基 本 的 な事 柄 だ け を叙 述 した.シ

デ ィ ン ガ ー 型 作 用 素 に付 随 す る波 動 作 用 素 の解 析 は,邦 書 で は,[10]に て い る.デ

ィ ラ ッ ク作 用 素 に 関 す る散 乱 理 論 に つ い て は[15]が

て の 論 述 は,た

こ に 引 用 され て い る 原 著 論 文 を 参 照).物

と え ば,[7]の

§5.5や[15]の

詳 し く書 か れ

参 考 に な る で あ ろ う.

量 子 場 の 理 論 に お け る 波 動 作 用 素 の 取 り扱 い の 例 の 一 つ が[14]の (よ り詳 し くは,そ

ュ レー

§17.5に み ら れ る

理 量 の 漸 近 的挙 動 に つ い

§8.2に み られ る.

第7章   演習 問 題 H,Hj(j=1,…,N)は 1. AjをHjの

複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間 を表 す とす る. 自 己 共 役 作 用 素 とす る.こ

の と き,自 己 共 役 作 用 素 

の ス ペ ク トル 測 度 は 

に よ って与 え られ るこ

と を 証 明 せ よ. 2. 定 理7.8を

証 明 せ よ.

3. (7.32)で 定 義 さ れ る 関 数 ω か ら定 ま る,  て, 

上 の か け 算 作 用 素ω に つ い

を証 明 せ よ.

4. AjをHj上

の 純 粋 に 絶 対 連 続 な 自 己 共 役 作 用 素 と す る.こ

ベ ル ト空 間 

上 の 自 己 共 役 作 用 素 

の と き,直 和 ヒル

も純 粋 に 絶 対 連 続 で あ る こ

と を 示 せ. 5. H1をH上

の 自 己 共 役 作 用 素 とす る.    を 

を ひ と つ 固 定 し,写 像 に よ っ て 定 義 す る. 

(ⅰ) Pφ は 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 で あ り,   注:作

用 素Pφ

で あ る こ と を示 せ.

をベ ク トル φ に 付 随 す る 階 数1の

作 用 素 とい う. 

(ⅱ) (ⅰ)と加 藤-レ リ ッ ヒの 定 理 に よ り,  あ る.Hac(H1)の

稠 密 な 部 分 集 合Dで

は 自己 共役 作 用 素 で 次 の 性 質(a),

(b)を 満 た す も の

が あ る と す る:(a)D⊂D(H1);(b)各 C>0が

対 して 定 数 α>1と

あ って

こ の と き,W±(H2,H1)は

6. L2(IR)上

Ψ∈Dに

の 座 標 変 数xに

存 在 す る こ と を 示 せ.

よる か け 算 作 用 素 をxと

す る. 

(急 減 少 関

数 の 空 間)を 任 意 に 一 つ 固 定 し(f≠0),fに

付 随 す る 階 数1の

とす る. 

に よ り,自

と お く(こ れ は,前問

作 用 素 をPf

己 共 役).こ

の とき,

 は 存 在 す る こ と を示 せ. 7. Hsを7.1節 Vは

で 考 察 し た シ ュ レー デ ィ ン ガ ー 型 作 用 素 と し,そ

回 転 対 称 で あ る とす る.波

動 作 用 素 

 (散 乱 作 用 素)と お く.  群SO(3)の 

を3次

元 回転

にお け る 強 連 続 ユ ニ タ リ表 現 と す る:  (第4章

す べ て の 

に対 して, 

ち,SとUrot(g)は   注:こ

のポ テ ンシ ャル

は 存 在 す る と仮 定 し,

の と き,

可 換 で あ る こ と を証 明 せ よ.

の 事 実 に よ っ て,ポ

テ ン シ ャルVに

て い る と き は,散 乱 作 用 素 を 表 現Urotの

つ い て 要 求 さ れ る仮 定 が 満 た さ れ 不 変 部 分 空 間― 具 体 的 に は,4.10節

で 登 場 した 閉 部 分 空 間 ― 理 論 に お い て,い

を参 照).こ

が 成 立 す る こ と,す な わ

へ と 簡 約 で き る.物 理 の 散 乱

わ ゆ る 部 分 波 解 析(partial

wave

analysis)と

呼 ばれ る手続

きの 数 学 的 に厳 密 な根 拠 は こ こ に あ る.

関連 図書

[1] W.O.Amrein,J.M.Jauch Mechanics,W.A.Benjamin,1977.

and

K.B.Sinha,Scattering

Theory

[2] 新 井 朝 雄,『

ヒ ル ベ ル ト空 間 と量 子 力 学 』,共 立 出 版,1997.

[3] 新 井 朝 雄,『

フ ォ ッ ク 空 間 と 量 子 場 上 』,日 本 評 論 社,2000.

[4] 新 井 朝 雄,『

フ ォ ッ ク 空 間 と 量 子 場 下 』,日 本 評 論 社,2000.

in Quantum

[5] 新 井 朝 雄 ・江 沢 洋,『 量 子 力 学 の 数 学 的 構 造Ⅰ 』,朝 倉 書 店,1999. [6] 新 井 朝 雄 ・江 沢

洋,『 量 子 力 学 の 数 学 的 構 造Ⅱ 』,朝 倉 書 店,1999.

[7] H.L.Cycon,R.G.Froese,W.Kirsch

and

B.Simon,Schrodinger

Operators,

Springer,1987. [8] J.Derezinski N-Particle

and C.Gerard,Scattering Systems,Springer,1997.

Theory

of Classical

and

Quantum

[9]  T.Kato,Perturbation [10]  黒 田 成 俊,『 [11]  M.Reed

and

tional

B.Simon,Methods

and

tering

Linear

Operators,Springer,2nd

Ed.,1976.

波 書 店,1979. of

Modern

Mathematical

Physics I:Func

B.Simon,Methods

of

Modern

Mathematical

Physics Ⅲ:Scat

of

Modern

Mathematical

Physics

Theory,1979.

[13]  M.Reed

and of

B.Simon,Methods

Operators,Academic

[14]  H.Spohn,Dynamics bridge

for 』,岩

Analysis,1972.

[12]  M.Reed

ysis

Theory

ス ペ ク ト ル 理 論Ⅱ

University

[15]  B.Thaller,The

of

Charged

Particles

Press,2004. Dirac

Ⅳ:Anal

Press,1978.

Equation,Springer,1992.

and

Their

Radiation

Field,Cam

8 虚数時間 と汎関数積分の方法

量 子 系 の時 間発展 を司 どる強 連 続1パ

ラ メー ターユ ニ タ リ群 は,そ の時 間 パ ラ メー ター

を虚 数 へ と拡 張 す るこ とに よ り,よ り一般 的 な範疇 に属 す る作 用 素 の族 へ と"変 容"す る.特 に純 虚数 時 間へ の 移行 に よ り,そ れ は,熱 半群 と呼 ばれ る対 象 へ と姿 を変 え る. そ して,こ こ にお い て 興 味 深 い 事 実 に出 会 う.す なわ ち,ハ ミル トニ ア ンが シ ュ レ ー デ ィ ンガ ー型 作 用 素 や ボ ソ ン フ ォ ッ ク空 間 上 の第 二 量 子 化 作 用 素 に,あ る ク ラ ス の摂 動 を加 え てで きる作 用 素 の場 合 に は,こ の 熱半 群 は,そ れ ぞれ の場 合 に応 じて,あ る種 の確 率 過程 を用 い て表 示 され る,と い う数理 的 構造 の存 在 で ある.こ の表 示 に は,関 数 を いわ ば積 分 変 数 とす る よ うな無 限 次元 の積分― 汎 関 数 積分― が 関 与す る.こ う して, 実 時 間 か ら純 虚 数 時 間へ の"解 析 接 続"に よ り,量 子 力 学 と確 率 過 程論 あ るい は汎 関数 積 分 論 との関 わ りが 顕 在 化す る.こ の構 造 は,有 限 自由度 の 量子 力 学 お よ び量 子場 の理 論 にお け る諸 々 の具 体 的 なモ デ ル の解 析 に おい て重 要 な役 割 を演 じる.本 章 はそ の入 門 的 部 分 を叙 述 す る もの で あ る.

8.1  は じめ に― 量 子 動 力 学 の虚 数 時 間へ の 拡 張

  Hを 量 子 系 の ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,Hを と き,系 の 状 態 の 時 間発 展 は−Hに ユ ニ タ リ群 

こで,時

ラ メーター

間 パ ラ メ ー タ ーtを 実 数 に 限 定 す る必 要 は

間パ ラ メ ー ターt∈IRを

数)ま で 拡 張 して み る.す λ∈IR,に 作 用 素 

よ っ て 生 成 され る強 連 続1パ

で 与 え られ る(状 態 の 時 間発 展 に関 す る公 理) .だ が,

よ り普 遍 的 な観 点 に立 つ な らば,時 な い.そ

そ の ハ ミル トニ ア ン とす る.こ の

な わ ち,e-izHを

虚 数 

(実 数 で な い 複 素

考 え る の で あ る.こ

よ っ て 定 義 さ れ るIR上

の作 用 素 は, 

の 連 続 関 数ezに

と して定 義 され る(EHはHの

同伴 す る ス ペ ク トル

測 度).詳

し く書 け ば次 の 通 りで あ る:

(8.1) (8.2) こ の 型 の 作 用 素 をHに

関 す る 指 数 型 作 用 素 と い う*1.実

ら い え ば,e-izHは"虚

数 時 間"zで

の"状

時 間 との ア ナ ロ ジ ー か

態 の 時 間 発 展"を

与 え る と解 釈 さ れ

る*2.  と お き, 

と す れ ば,作

用 解 析 に よ り, 

と 書 け る.[3]の

定 理2.71-(iv)に

 で あ る か ら,  Tの

し た が っ て,(*)は

極 分 解 を 与 え る 式 で あ り,esHは

そ の 絶 対 値 部 分 で あ る(esHが

役 作 用 素 で あ る こ と は 作 用 素 解 析 か ら た だ ち に わ か る).す tを 実 時 間 と 解 釈 す る と き,e-itHは で は,絶

対 値 部 分esHは

よ り,

で に 述 べ た よ う に,

量 子 系 の 実 時 間 に 関 す る 発 展 を 統 制 す る.

何 を 記 述 す る で あ ろ う か.こ

象 徴 的 な 意 味 で 純 虚 数 時 間z=isに

非 負 自 己共

う し て,私

た ち は,esH―

お け る時 間発 展 を支 配 す る作 用 素 ― とい う

指 数 型 作 用 素 を研 究 す る課 題 へ と導 か れ る ． 新 しい対 象 を研 究 す る に 際 して は 簡 単 な 場 合 か ら始 め る の が 筋 で あ る.そ 場 合 を 考 察 し よ う.し が 有 界 に な る か,で

命 題8.1   

(ⅰ) Hは

Hは

た が っ て,最

あ る.次

こ で,ま

ず,esHが

初 の 問 い は,ど

有 界 にな る よ う な

の よ う な 条 件 の も と でesH

の 命 題 が 成 り立 つ:

非 有 界 で あ る と す る.

下 に 有 界 で あ る と し よ う.こ

十 分 条 件 はs〓0で

あ る.こ

の と き,esHが

の 場 合,D(esH)=Hで

有 界 で あ る た めの 必 要 あ り

(8.3) た だ し,E0(H):=infσ(H).

*1  以 下 で 証 明 す る 命 題8 *2  こ の 言 い 回 し は 物 理 現 象 と"接

,さ

.1に

お い て 明 ら か に な る よ う に,e-izHは

し あ た り,単

続 す る"か

は,こ

な る 象 徴 で しか な い,eーizHが,実 の 段 階 で は 不 明 で あ る.

有 界 と は 限 ら な い. 際 に,ど

の よう に

  (ⅱ) Hは

上 に 有 界 で あ る と し よ う.こ

十 分 条 件 はs〓0で

あ る.こ

の と き,esHが

の 場 合,D(esH)=Hで

有 界 で あ るた め の 必 要 あ り

(8.4) が 成 り立 つ.   (ⅲ) Hが esHは

下 に も上 に も 有 界 で な い な ら ば,す

べ て のs∈IR＼{0}に

対 し て,

非 有 界 で あ る.

証 明   (ⅰ)  仮 定 に よ り,E0(H)>-∞ が っ て,H:=H-E0(H)と  (必 要 性)esHは 有 界 で あ る.し

お け ば,Hは

た が っ て,定

数Rn>nが

R(EH([n,Rn]))に べ て のn∈INに

  s〓0と

た が っ て,

易 に わ か る よ う に,す

にs>0と

す れば

れ は 矛 盾 で あ る.

な け れ ば な ら な い. λ〓0で

∈D(esH)=D(esH)お

D(esH)=Hお

よ び(8.3)が

  (十 分 性)s〓0と

esH=e(-s)(-H)が

意 の Ψ ∈Hに

対 して

意 味 す る.ゆ

えに

成 り立 つ. の と き,前

段 の 内 容 は 題 意 を 意 味 す る.

非 有 界 で 下 に 有 界 で あ る.し

た が っ て,(ⅰ)に

有 界 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は-s〓0,

の と き,‖esH‖〓e-sE0(-H)が

あ る か ら,(8.4)が

あ る か ら,任

よ び‖esH‖〓1を

す る.こ

  (ⅱ) こ の 場 合 に は,-Hは

あ り,こ

と れ る.容

ま,仮

意 のn∈IN

成 り立 つ.し

い く ら で も大 き く と れ る か ら,こ

す る と,e2sλ〓1,∀

こ れ は,Ψ

上 に 有 界 で な い か ら,任

属 す る 単 位 ベ ク トル Ψnが

し た が っ て,esn〓C.nは ゆ え にs〓0で

あ っ て, 

あ っ て,EH([n,Rn])≠0が

対 し て Ψn∈D(esH).い

た

の と き,esH=esHe-sE0(H)も

数C>0が

成 り立 つ.Hは

成 り立 つ.し

非 負 の 自 己 共 役 作 用 素 で あ る.

有 界 で あ る と し よ う.こ

,∀ Ψ ∈D(esH)が に 対 し て,定

で あ り,H〓E0(H)が

成 り立 つ.

よ り,

i.e., s〓0で

成 り立 つ.E0(-H)=-supσ(H)で

 

(ⅲ)(ⅰ)と(ⅱ)か   命 題8.1に

ら の単 純 な帰 結 で あ る. 

よ り,Hが

下 に 有 界 な 場 合 に は,e-sH(s〓0)が

本 的 対 象 の 一 つ と し て 措 定 さ れ る*3.研 用 素 は,Hに は,作

■ 解 析 す べ き基

究 を 実 際 に 進 め る こ と に よ り,こ

関 す る い ろ い ろ な 情 報 を担 っ て い る こ とが わ か る.こ

用 素e-sHか

らHや

の作

の 章 の 目的

量 子 系 の特 性 に 関 す る情 報 が い か に 引 き出 され うる

か を 入 門 的 な レ ヴ ェ ル で 示 す こ とで あ る.ま

ず,次

の 節 に お い て,e-sHの

基本

的 な 性 質 を調 べ る.

注 意8.1  e-izHΨ

任 意 の Ψ ∈ ∩a∈IRD(eaH)に に よ っ て 定 義 で き る.作

  で あ る.さ

ら に,FΨ

はC上

対 して,写

像FΨ:C→HをFΨ(z):=

用 素 解 析 に よ り, で解析的 であ り

(8.5) が 成 り立 つ こ と が わ か る(演

習 問 題1).こ

e-itHΨ

のC全

e-itHの

解 析 接 続 と み る こ と が で き る.

体 へ の 解 析 接 続 で あ る こ と を 示 す*4.こ

8.2 

  8.2.1  熱   Aを

れ は,e-izHΨ

半

熱 半 群,ス

ペ ク トル の 下 限,基

がIR上

のH-値

関数

の 意 味 で,e-izHは

底状態

群

ヒ ルベ ル ト空 間H上

の 自己 共 役 作 用 素 で 下 に有 界 な もの と しよ う.こ の

と き,前 節 で述 べ た よ う に,任 意 のt〓0に

対 して,H上

の 有 界 な 自己 共 役 作

用素

(8.6) が 定 義 され る(前 節 で のHをAと

した もの*5).作 用 素 の族{TA(t)}t〓0の

基

本 的 な性 質 をみ よ う: *3 Hが

上 に有界 な場 合 に は ,-Hを 考 え る こ とに よ り,下 に 有界 な場 合 に帰 着 で きる. *4  バ ナ ッハ 空 間値 関数 の解 析接 続 の概 念 は通 常 の 複素 関 数 の解 析 接 続 の そ れ と同様 に定 義 され る. *5 量 子 力 学 の コ ンテ クス トで は

,Aは

下 に有 界 な任 意 の物 理 量 で よい.

命 題8.2 

(ⅰ)TA(0)=I.(ⅱ)TA(s+t)=TA(s)TA(t)=TA(t)TA(s),s,t〓

0.(ⅲ)対

応:t〓TA(t)は

強 連 続 で あ る.(ⅳ)任

意 の Ψ ∈D(A)に

対 して

(8.7) と す れ ば,ΨA(t)は

強 微 分 可 能 で あ り,

(8.8) (ⅴ)ベ ク トル Ψ ∈Hに

つ い て,s-limt→0t-1(TA(t)-I)Ψ

が 存 在 す る な ら ば,

Ψ ∈D(A).

証 明   (ⅰ)は 自 明.(ⅱ)は に,Ψ

∈Hを

作 用 素 解 析 の 単 純 な 応 用 か ら導 か れ る.(ⅲ)を

任 意 に と り,A〓a(aは

実 定 数)と す る.こ

示すため

の と き,任 意 のt,s〓0

に 対 して, .た

だ し,

fs,t(λ):=￨e-sλ-e-tλ￨2.容 s,t〓T).こ

易 に わ か る よ う に,0〓fs,t(λ)〓2e2T￨a￨(0〓

の 右 辺 は,s,

tに よ ら な い(測

数 で あ り,  よ り,(*)の 理3.37の  一 般 に

度‖EA(・)Ψ‖2に

し た が っ て,ル 右 辺 は,s→tの

と き,0に

関 す る)可

積分 関

ベ ー グ の優 収 束 定理 に

収 束 す る.(ⅳ),(ⅴ)の

証 明 は[4]の

定

証 明 と ま っ た く並 行 的 に な さ れ る. 

,H上

の 作 用 素Lが

■

与 え ら れ た と き,H値

関 数 Φ:[0,∞)→Hに

つ

い て の微 分 方程 式

(8.9) (Φ(t)∈D(L))をLか

ら 定 ま る 抽 象 的 な熱 方 程 式 と い う*6.ベ

を 与 え て,Φ(0)=Φ0を 的 熱 方 程 式(8.9)の 合,Φ0を

満 た す,(8.9)の 初 期 値 問 題(initial

解 Φ(t)∈D(L)を value

problem;

ク トル Φ0∈D(L) 求 め る問 題 を抽 象

IVP)と

い う.こ

の場

初 期 値 と い う.

  命 題8.2-(ⅳ)は,下

に 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素Aか

ら定 ま る抽 象 的 熱 方 程 式

(8.10) *6  Ω をIRd(d ラ シ ア ン)の

=1,2,3)の

連 結 開 集 合 と し,H=L2(Ω), L=-Δ(一

場 合 が も と も と の 具 象 的 な 熱 方 程 式(熱

伝 導 方 程 式)で

般 化 さ れ た ラプ あ る.

は,任

意 の Ψ ∈D(A)に

さ ら に,こ

対 し て,解

の 解 の一 意 性 も証 明 で き る(演 習 問 題2).ゆ

象 的 熱 方 程 式(8.10)の

注 意8.2 

も つ こ と を 語 る. え に,こ

の 場 合 に は,抽

初 期 値 問 題 は 一 意 的 に 解 け る.

方 程 式(8.9)自

共 役 で あ れ ば,任 (8.9)の

ΨA(t)=e-tAΨ,t〓0を

体 はt〓0に

お い て も 考 え る こ と が で き,Lが

意 の 

自己

に 対 し て,Φ(t):=e-tLΦ,t〓0は

初 期 値 問 題 の 解 で あ る(注 意8.1).だ

共 役 作 用 素 の 場 合,t〓0に

が,Lが

非 有 界 で 下 に有 界 な 自己

お け る 抽 象 的 熱 方 程 式(8.9)の

初期値問題の解の一

意 性 は 保 証 さ れ な い.

  上 の 命 題 に 述 べ ら れ た,作 用 素 の 族{TA(t)}t〓0の

性 質(ⅰ)∼(ⅲ)は

集 合[0,∞)

に よ っ て添 え字 付 け られ た 有 界 な線 形 作 用 素 の族 の あ る普 遍 的構 造 の現 れ とみ る こ とが で き る.

定 義8.3 

H上

の 有 界 線 形 作 用 素 の 族{T(t)}t〓0は,次

満 た す と き,強 連 続1パ

の 条 件(T.1)∼(T.3)を

ラ メー タ ー 半 群 と呼 ば れ る:(T.1)T(0)=I.(T.2)(半

群 特 性)T(s+t)=T(s)T(t)=T(s)T(t),s,t〓0.(T.3)対

応:t〓T(t)

は 強 連 続.   各T(t)が

自 己 共 役 で あ る と き,{T(t)}t〓0を

  条 件(T.2)は,任

意 のs,t〓0に

な わ ち,T(s)T(t)=T(t)T(s)を   {TA(t)}t〓0は

自 己 共 役 半 群 とい う.

対 して,T(s)とT(t)は

可 換 で あ る こ と,す

意 味 す る*7.

自 己 共 役 半 群 の 例 で あ る.こ

の 場 合,H値

関 数 ΨAがAか

定 ま る 抽 象 的 熱 方 程 式 を 満 た す こ と に ち な ん で,{TA(t)}t〓0をAが 半 群(heat

semi-group)と

  実 は,自

己 共 役 半 群 は 熱 半 群 で 尽 く さ れ る:

*7  一 般 に

呼 び,Aを

,集 合Xに お い て,演 則(xy)z=x(yz),∀x,y,z∈Xが し,xe=ex=x,∀x∈Xを す べ て のx,y∈Xに

 

ら

生 成 す る熱

そ の 生 成 子 と い う.

算X×X∋(x,y)〓xy∈Xが 定 義 さ れ て い て,結 合 成 り立 つ と き,Xを 半 群(semi-group)と い う.も 満 た す 元e∈Xが あ る な ら ば,eをXの 単 位 元 と い う.

つ い てxy=yxが

成 り立 つ と き,Xは

可 換 半 群 と 呼 ば れ る.

群 は 単 位 元 を もつ 半 群 で あ る.  

上 の(T.1),(T.2)を 満 た す 作 用 素 の 集 合{T(t)￨t〓0}は 作 用 素 の 積 演 算 に よ っ て, 単 位 元 を も つ 可 換 半 群 で あ る,こ れ が,上 の 定 義 に お け る 命 名 の 由 来 で あ る.

定 理8.4 

(自 己 共役 半 群 に関 す る生 成 定 理)各 自己 共 役 半 群{T(t)￨t〓0}に

対

して

(8.11) を 満 た す,下

に 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素Aが

証 明   強 連 続1パ 3.38)と

ラ メ ー タ ー ユ ニ タ リ 群 に 関 す る ス トー ン の 定 理([4]の

定理

ま っ た く並 行 的 に 証 明 さ れ る*8. 

  8.2.2    Aの

た だ 一 つ 存 在 す る.

■

ス ペ ク トル の 下 限 と 基 底 状 態

ス ペ ク トル の 下 限

(8.12) は 熱 半 群e-tAを

用 い て 表 さ れ う る.こ

ル 測 度 と し,Hの

部分集合

れ を 示 す た め に,EAをAの

スペ ク ト

(8.13) を 導 入 す る.E0(A)∈

定 理8.5 

σ(A)で

任 意 の Ψ ∈E(A)に

あ る か ら,E(A)≠0で

あ る.

対 して

(8.14)

証 明   B:=A-E0(A)と

お け ば,Bは

非 負 の 自己 共 役 作 用 素 で あ り,E0(B)=0.

(8.14)は  証 明 し よ う.B〓0に

と 同 値 で あ る.そ よ り,‖e-tB‖〓1.し

こ れ は 

*8 (8

を 意 味 す る.一

.11)を 満 た す 自 己 共 役 作 用 素Aが

 

こ で,(*)を 〉〓‖ Ψ‖2. 方,任

意の

あ っ た とす れ ば,ス ペ ク トル写 像 定 理 に よ り,

これ とT(t)の ば な ら ない.

た が っ て,〈 Ψ,e-tBΨ

有 界性 に よ り,Aは

下 に有 界 で なけ れ

ボ レル 集 合J∈B1に

対 して, 

に注意す れ

ば,作 用 素 解 析 に よ り

た だ し, 

と お い た.Ψ

て の ε>0に

対 し てCε>0で

両 辺 の 下 極 限lim る.そ

こ で,ε

る.こ

れ と(**)を

  定 理8.5の

あ る.し

∈E(A)に

よ り,十

分 小 さな す べ

たが って

inft→ ∞ を と れ ば, 

→+0と

とな

す れ ば, 

合 わ せ れ ば(*)が

系 と し て,次

が 得 られ 導 か れ る. 

■

の 結 果 を 得 る:

系8.6 

E0(A)はAの

固 有 値 で あ る と し,そ の 固 有 ベ ク トル の 一 つ(Aの

状 態)を

Ψ0と す る.こ

の と き,〈 Ψ0,Ψ 〉≠0と

対 し て(8.14)が Φ ∈Hに

成 り立 つ.特

基底

な る ベ ク トル Ψ ∈H＼{0}に

に 

を 満 た す 任 意 の ベ ク トル

対 して

(8.15) 証 明   系 の 仮 定 を 満 た す Ψ がE(A)の E(A)と

して み よ う.す

元 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.仮

る と,あ る δ>0が

し た が っ て  る.一

方, 

で あ る か ら, 

(**)の が,こ

変 形 し,シ

次 の定 理 も有 用 で あ る:

ら 出 る 式 

左 辺 は 〈Ψ0,Ψ 〉に 等 し い こ とが わ か る.し

たが っ

れ は 仮 定 に 反 す る.

 な ら ば,￨〈 Ψ0,Φ 〉￨≠0を Ψ0+(Φ-Ψ0)と

〓

が導 かれ

これ と(*)か

て,〈 Ψ0,Ψ 〉=0.だ

に,Ψ

存 在 し て 

示 す こ と は 容 易 で あ る(Φ=

ュ ヴ ァ ル ツ の 不 等 式 を 用 い よ). 

■

定 理8.7 

ker(A-E0(A))へ

の 正 射 影 作 用 素 をP0(A)と

す る*9.こ

の とき

(8.16) 証 明   作 用 素 解 析 に よ り(P0(A)=X{E0(A)}(A)に

注 意)

容 易 に わ か る よ う に,  した が っ て,ル ベ ー グ の 優 収 束 定 理 に よ り,上 式 の 右 辺 は,t→ の と き,0に

 Aの

∞

収 束 す る. 

■

基 底 状 態 が 縮 退 して い な い場 合 に は,そ れ をe-tAを

用 い て 表 す こ とが

で きる: 定 理8.8 

E0(A)はAの

ベ ク トル を Ψ0と

固 有 値 で 多 重 度 が1で

あ る と し,そ の 規 格 化 さ れ た 固 有

し よ う: 

こ の と き,〈Ψ,Ψ0〉>0

と な る 任 意 の ベ ク トル Ψ ∈Hに

対 して

(8.17)

証 明   い ま の 場 合, 

で あ る.こ

れ と(8.16)に

よ り,

 した が っ て,  仮 定 に よ り,〈Ψ0,Ψ 〉>0で を 得 る.こ

れ を(*)に

あ る か ら, 

代 入 す れ ば,(8.17)が

  以 上 の 抽 象 的 な 一 般 的 結 果 を,た と え ば,Aが

得 ら れ る.■

具 象 的 な量 子 系 の ハ ミル トニ

ア ンで あ る場 合 に 応 用 す る な ら ば,そ の ハ ミル トニ ア ンが 生 成 す る 熱 半 群 を経 由 して,量 子 系 の 最 低 エ ネル ギ ー や基 底 状 態 に対 す る何 らか の 具 体 的 表 示 が 得 られ るで あ ろ う こ とが 期 待 され る. *9  E 0(A)が る.

固 有 値 で な け れ ば,ker(A-E0(A))={0}で

あ る か ら,P0(A)=0で

あ

  8.2.3  基 底 状 態 が存 在 す る ため の 一 つ の 十 分 条 件   前 項 まで の結 果 を補 完 す る意 味 で,熱 半 群 の 生 成 子 が 基 底 状 態 を もつ 十 分 条 件 の 一 つ を述 べ て お こ う. 命 題8.9 

AをH上

H,Ψ0≠0が

の 下 に 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 と す る.あ

存 在 し て,次

の 二 つ の 条 件 が 満 た さ れ て い る と す る:

  (ⅰ) 弱 極 限 Ψ:    (ⅱ) あ るs0>0が

こ の と き,Ψ

が 存 在 し,Ψ あ っ て,す

はAの

る ベ ク トル Ψ0∈

べ て のs∈(0,s0)に

≠0.

対 して

基 底 状 態 で あ る.

証 明 

と お く.任

意 の Φ ∈Hとs∈(0,s0)に

対 し

て,仮 定 の 条 件 を使 うこ とに よ り

したが っ て, 

この式 に お い てs=0で

る こ とに よ り,Ψ ∈D(A)か 注 意8.3 

つAΨ=E0(A)Ψ

の 強 微 分 を考 察 す

が 証 明 され る. 

こ の 命 題 は,具 体 的 な 問 題 にお い て, 

■ に関 す

る 何 らか の 陽 な表 示(た とえ ば,こ の 章 の主 題 で あ る 汎 関 数 積 分 表 示)が 得 られ る な らば,そ

の表 示 を用 い て 仮 定 の条 件 の 成 立 を確 か め る こ とに よ り,Aの

基

底 状 態 の 存 在 を示 す の に 使 用 す る こ とが 可 能 で あ る.

8.3  汎 関数 積 分 お よび 確率 過 程 との 接続 ― 発 見 法 的議 論

  こ の 節 で は,シ

ュ レー デ ィ ン ガー 型 作 用 素 の 生 成 す る 熱 半 群― シ ュ レ ー デ ィ

ン ガ ー 半 群 と呼 ば れ る― に対 す る無 限次 元 積 分 表 示(汎 関数 積 分 表 示)を 発 見 法 的 に 導 き,次 節 以 降 の 数 学 的 展 開の 動 機 づ け とす る.そ の が 次 の極 め て重 要 な 定 理 で あ る:

の た め の基 礎 と な る

定 理8.10 

Hを

複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間,A,

はD(A)∩D(B)上  

BはH上

の 自 己 共 役 作 用 素 でA+B

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る と す る.こ

(ⅰ) (ト ロ ッ タ ー(Trotter)の

  (ⅱ) (ト ロ ッ ター-加

積 公 式)す

べ て のt∈IRに

藤 の積 公 式)AとBが

の と き: 対 して

下 に有 界 な らば,す べ て のt〓0

に対 して

(8.18)  こ の 定 理 の 証 明 は,残

  8.3.1 

略 す る*10.

時 間 発 展 の ユ ニ タ リ群 の 無 限 順 序 積 分 表 示

  d次 元 空 間IRdを 量m>0の

念 な が ら,省

ポ テ ンシ ャ ルV:IRd→IRの

影 響 の も と に運 動 す る,質

量 子 的粒 子 を考 え よ う.そ の ハ ミル トニ ア ン と して シ ュ レー デ ィ ン

ガ ー 型作 用 素

(8.19) を と る(Δ

は 一 般 化 さ れ たd次

定 理8.11 

HVはD(Δ)∩D(V)上

元 ラ プ ラ シ ア ン).

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る と仮 定 す る(そ

の 閉 包 も 同 じ 記 号 で 書 く).xj∈IRd,j=0,…,n,t∈IRに

対 して

(8.20) と お く.こ

の と き,任 意 の ψ ∈L2(IRd)とt>0に

対 し て,L2(IRd)に

お け る収

束 の意味で

(8.21) *10 証 明 に つ い て は タ ー-加

,[14]のp.146∼p.148や[16]の 藤 の 積 公 式 に つ い て は,A+Bが

れ る な ら ば,(8.18)は,実 密 な 誤 差 評 価 と と も,証

は,作

§Ⅷ.8とNotesを 自 己 共 役 で 定 理8.10-(ⅱ)の

参 照.ト ロッ 仮 定 が満 た さ

用 素 ノ ル ム の 意 味 で の 収 束 で 成 立 す る こ とが,そ

明 され る[9].

の精

が 成 り立 つ.た

だ し,右 辺 の 順 序 積 分 に お け る 各 積 分 

の 意 味(L2(IRd)収

束 の 意 味)で

と ら れ る.ま

た,Imi1/2>0と

す る.

証 明 証明 を通 して

(8.22) とお く.定 の3.6節

理8.10-(ⅰ)に,よ

り 

[4]

で証 明 した よ う に

こ こで

した が って

こ れ を 整 理 す れ ば(8.21)が

  式(8.21)の 可 能 で∇Vは は,古

得 ら れ る. 

■

右 辺 の 物 理 的 意 味 を 考 え て み よ う.簡 有 界 で あ る とす る.(8.20)の

単 の た め,Vは

連続微 分

右 辺 を よ くみ る とSn(x0,…,xn,t)

典 力 学 の作 用 汎 関数

と 何 ら か の 関 連 を も っ て い る こ と が 推 測 さ れ る.こ 区 分 的 に 連 続 微 分 可 能 な 関 数 と す る.よ δS(φ;t)=0を

こ で,φ:[0,t]→IRdは

く知 ら れ て い る よ う に,変

満 た す 関 数 を φcl(s)と す れ ば,こ

分 方程式

れ は ニ ュ ー トンの運 動 方 程 式

を 満 た す(変

分 原 理)*11.関

  経 路 φn(s)を

こ れ は,時

数 φcl(s)を 古 典 的 経 路(classical

に あ る と き は,速

等 しい よ う な 運 動 を 表 す 曲 線―"折

(図8.1).

図8.1 

経 路 φn

経路 φnに対す る古 典的作用 を計算 す ると

*11  た と え ば

い う.

次 の 式 に よ っ て 定 義 す る:

刻sが(j-1)t/nとjt/nの間

(xj-xj-1)/(t/n)に

path)と

,[2]の5章,5.3節

を 参 照.

度dφn(s)/dsが

れ 線"軌

道― で あ る

で あ る.し

たが っ て

仮 定 に よ り,∇Vは

が 成 り立 つ.し

ゆ え に,nが

有 界 で あ る か ら,(j-1)t/n〓s〓jt/nの

とき

た が って

十 分 大 き い と き,￨xj-xj-1￨は  と な る.そ

値 関 数 φ で φ(0)=x0な

十 分 小 さ く な る の で,

こ で,閉 区 間[0,t]上

の 区 分 的 に 連 続 微 分 可 能 なIRd

る も の に対 して,折 れ 線 軌 道 φ を,(j-1)t/n〓s〓jt/n

な らば

で あ る よ う に 定 義 し,xj=φ(jt/n)の Sn(x0,…,xn,t)〓S(φ;t)〓S(φ;t)が   式(8.21)の ￨xj-xj-1￨が

場 合 を 考 え る と,n→∞

の と き,

成 り立 つ.

右 辺 の 積 分― 本 質 的 に 無 限 次 元 積 分― は 振 動 積 分 で あ る か ら, 大 き い と こ ろ で の 積 分 の 寄 与 は 無 視 し う る こ とが 予 想 さ れ る.い

ま は 発 見 法 的 議 論 に 興 味 が あ る の で,こ

こ で は,こ

う.す

右 辺 は,φ(0)=x0を

る と,上

の 考 察 に よ り,(8.21)の

の 予 想 が 正 しい と仮 定 し よ

連 続 曲 線 φ の す べ て に わ た っ て,ψ(φ(t))exp(iS(φ;t))を"加 こ と が で き る(区

分 的 連 続 微 分 可 能 性 の 条 件 は は ず す).そ

満 た すIRd内 え た も の"と

の みる

こ で,各x∈IRdに

対 して

と い う 関 数 空 間 を 導 入 す れ ば,(8.21)は,象徴

的に

(8.23)

と 書 け る で あ ろ う.た

だ し,Dφ

は

で 与 え ら れ る 発 見 法 的 ・形 式 的 な"測 度"で て φ ∈Cx0([0,t];IRd)を 関 す る1次

あ る.こ

こ で,φ(jt/n)はjを

動 か す と実 変 数 と み る こ と が で き る の で,こ

元 ル ベ ー グ 測 度 をdφ(jt/n)と

書 い た.こ

とめ の変数 に

の 極 限 が い か な る意 味 で

存 在 す る か は い ま は 問 わ な い.   発 見 法 的 公 式(8.23)は,歴 り,こ

史 的 に は,フ

ァ イ ン マ ン(1948)に

の 型 の 積 分 は 実 時 間 経 路 積 分(real-time

論 の こ の 段 階 で は,Dφ で あ る.だ

が,物

path

よる もの で あ

integral)と

呼 ば れ る.議

を 象 徴 的 記 号 とす る よ う な 測 度 が 存 在 す る か 否 か は 不 明

理 の 文 献 で は,Dφ

て 言 及 さ れ る.(8.23)は,古

は,慣

習 的 に,"フ

ァ イ ン マ ン測 度"と

し

典 的 作 用 と量 子 系 の 時 間 発 展 を直 接 結 び つ け る と

い う 点 で は あ る 種 の 物 理 的 意 味 を も つ.し

か し,実

は,(8.23)の

に 厳 密 に 意 味 づ け る こ と は 極 め て 難 し い 問 題 で あ る.こ

右 辺 を数 学 的

こ で は,こ

の 問題 に は

立 ち 入 ら な い*12.

注 意8.4  は,HVが で あ る.だ

本 書 の 観 点 か ら い え ば,古 典 力 学 的 な 描 像 と の 正 確 な 対 応 を 与 え る の 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る と い う 仮 定 の も と で 厳 密 に成 立 す る 式(8.21) が,こ

れ は,あ

く ま で もCCRの

シュ レー デ ィ ンガ ー表 現 とい う特 殊

な 表 現 に 結 び つ い た 表 示 の 一 つ に す ぎ な い こ と に 注 意 す べ き で あ る*13.CCR の シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 は,も 描 像 か ら き て い る の で,古

と も と,量

子 的粒 子 の 位 置 を測 定 す る とい う

典 力 学 的 描 像 に 依 拠 し た も の で あ る.式(8.21)は

こ

の こ と を よ り詳 し い 形 で 提 示 し た も の と み る こ と が で き る.

*12 た とえ ば ,[7]や[14]と そ こ に引 用 され て い る文 献 を参照. *13 [4]で も言 及 した よう に ,HVはCCRの 別 の 表現 を使 っ て も定 義 で きる.本 書 の観 点 か らい えば,実 時 間経 路 積 分 は― 仮 に存 在 す る と して も― 一つ の表 示 で あっ て,そ れ に よっ て量 子 論 が 定義 される よう な対 象 で は な い.し ば しば,物 理 の 文 献 でみ られ る,実 時 間経 路 積 分 と量 子化 の同等 性 に関 す る 主 張 は,仮 に前 者 が 数学 的 に存 在す る こ とが保 証 され た と して も(も ち ろん,そ の存 在 が 示 され な け れ ば,ま った く空虚 な主 張 にす ぎ な い),論 理 構造 的 に正 しい主 張 とは い え な い.

  8.3.2 

熱半群 の無限順序積分表示

  次 に,8.1節

で 述 べ た 観 点 に し た が っ て,前

項 の 内 容 がHVに

よ っ て 生 成 され

る 熱 半 群 の 場 合 に は ど の よ う な 形 を と る か を み よ う. 定 理8.12 

HVはD(Δ)∩D(V)上

じ記 号 で 書 く),Vは

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ り(そ の 閉 包 も 同

下 に 有 界 で あ る と す る.xj∈IRd(j=0,…,n),t>0に

対 して

(8.24) と お く*14.こ

の と き,任 意 の ψ ∈L2(IRd)に

対 し て,L2(IRd)に

お け る収 束 の 意

味 で

(8.25) た だ し,右

辺 の 各 積 分 ∫dxjは,l.i.m.R→

証 明  -H0に

∞∫￨ xj￨〓Rdxjの

よ っ て 生 成 さ れ る ユ ニ タ リ 群e-itH0に

た の と ま っ た く 同 様 に し て([4]の

定 理3.42の

意 味 で と る.

関す る積分核表示 を求め

証 明)

(8.26) を 証 明 す る こ と が で き る.ト

ロ ッ タ ー 加 藤 の 積 公 式 に よ り,す

べ て のt>0に

対 して

(8.26)を

用 い て,定

理8.11の

証 明 と 同 様 の 考 察 を 行 う こ と に よ り,(8.25)が

ら れ る. 

  公 式(8.25)の

得 ■

意 味 に つ い て 考 え よ う.容

易 に気 付 くよ うに

(8.27) *14 添 え 字"E"は"ユ

ー ク リ ッ ド的(Euclidean)"の

意 .後

述 を参 照.

で あ る.す

な わ ち,SEn(x0,…,xn,t)はSn(x0,…,xn,t)をtに

時 間-itま

で 解 析 接 続 し た も の で あ る*15.そ

お け るtを

発 見 法 的 ・形 式 的 に-itで

ついて純虚数

し て,(8.25)は,公

式(8.21)に

置 き 換 え て 得 ら れ る 式 に な っ て い る*16.

こ れ は 調 和 的 な 照 応 と い え る.   と こ ろ で,Sn(x0,…,xn,t)に

お け るtは

ツ 座 標 系 の 座 標 時 間 成 分 と み な せ る.こ の 移 行 は,時

特 殊 相 対 論 的 に は,一

の 場 合,座

つ の ロ ー レン

標時 間成分の純虚 数時間へ

空 的 に は ユ ー ク リ ッ ド時 空 へ の 移 行 に 対 応 す る*17.こ

考 察 下 の コ ン テ ク ス トに お い て は,純 も と の 理 論 の あ る 種 の"ユ し う る."E"と

虚 数 時 間 へ の 移 行 は,描

ー ク リ ッ ド化"な

の 意 味 で,

像 的 に は,も

い し"ユ ー ク リ ッ ド的 変 容"と

と みな

い う添 え 字 を 付 け た の こ の 意 を 表 す た め で あ る.

  い ま 述 べ た こ と を 考 慮 す る と,古 典 的 作 用S(φ;t)に 域 で の 対 象 は,[0,t]上

対 応 す る,純

の 区 分 的 に 連 続 微 分 可 能 なIRd値

虚数時間領

関数 ω 全 体 か ら な る集

合 上の汎関数

(8.28) で 与 え ら れ る こ と に な る.実

際,(8.23)を

得 た の と 同 様 な 議 論 に よ っ て,発

見

法 的 ・形 式 的 に

(8.29) と な る こ と が わ か る.こ

こ で,(8.29)の

右 辺 は,発

見 法 的 ・形 式 的 に

と書 き直 せ る こ と に注 意 し よ う.た だ し

*15 S

n(x0,…,xn,t)は

作 用 の 次 元(エ

ネ ル ギ ー × 時 間)を

も つ の で,そ

れ が(-i)倍

さ

れ る の は 自然 で あ る. *16 い う ま で も な く ,こ の 形 式 的 置 き換 え は,(8.25)の 証 明 を 与 え る も の で は な い. *17 ロ ー レ ン ツ座 標 系 に お け る2点(t ,x),(t',x')∈IR×IRdの間 の 計 量 は(t-t')2-(x-x)2 で あ る の で,形

式 的 にt→-it,t'→-it'と

計 量-[(t-t')2+(x-x')2]に"変

す れ ば,そ 容"す

る(マ

れ はIR×IRdの

ユ ークリッド

イ ナ ス の 符 号 は 本 質 的 で な い).

(Dsは

変 数sに

関 す る 超 関 数 の 意 味 で の 微 分).こ

前 にe-∫t0￨Dsω(s)￨2dsと あ る.こ

い う,減衰因子

ァ イ ン マ ン 測 度"の

さ れ う る.ま

た,V=0の

exp(-tH0)1=1で μtは,も

象 徴 記 号 とす る よ う な 無 限 次 元 測 度 の

場 合 に 比 し て,よ

場 合 を 考 え,形

あ る か ら,∫C

り現 実 味 を 帯 び た 形 で 想 定

式 的 に ψ=1の

x([0,t];IRd)dμ0t(ω)=1が

し存 在 す る とす れ ば,集

た が っ て,(Cx([0,t];IRd),μ0t)は

の

と み な せ る 汎 関 数 が つ い てい る こ と で

の 因 子 の 存 在 に よ っ て,μ0tを

存 在 が,"フ

こ で 注 目 す べ き 点 は,Dω

合Cx([0,t];IRd)上 確 率 空 間),そ

場 合 を 考 え る と, 成 り立 つ.す

な わ ち,

の 確 率 測 度 で あ る こ と(し して

(8.30) が 成 立 す る こ とが 期 待 さ れ る*18.実   (8.30)に (8.30)は

お け る"積

分 変 数"ω

際,こ

は 始 点 がxのIRd内

そ う し た 経 路 す べ て に わ た る"積

お い て,(8.30)型

の 量 は,一

path

呼 ば れ る.

integral)と

の 予 想 は 正 し い こ と が わ か る.

般 に,純

分"と

の 曲 線(経

し て 表 象 さ れ る.こ

虚 数 時 間 経 路 積 分(pure

あ り,

の意味 に

imaginary-time

  他 方,各s∈[0,t]に

対 して,写 像Xs:Cx([0,t];IRd)→IRdをXs(ω):=ω(s),

ω ∈Cx([0,t];IRd)に

よ っ て 定 義 す る と,こ

の 確 率 ベ ク トル と み な せ る.こ

路)で

れ は 測 度 空 間(Cx([0,t];IRd),μ0t)上

の 観 点 か ら は,(8.30)は

確 率 ベ ク トル に 関 す る

積 分 と み る こ と が で き る.   こ こ に 現 れ た 確 率 ベ ク トル の 族{Xs}s∈[0,t]の 添 え字 集 合 とす る,確 率 空 間(Ω,B, P)上 Xτ:Ω

→IRd)はTに

process)と

れ は"パ

ラ メ ー タ ー"の

象 を 記 述 す る た め の 概 念 で あ る.任

程{Xτ}τ

確 率 変 数 の 集 合{Xτ}τ ∈T(i.e.,

よ っ て 添 え 字 付 け ら れ た,IRd-値

呼 ば れ る.こ

Xτ(ω),τ ∈Tに

よ う に,一 般 に,一 つ の 集 合Tを

のIRd-値

よ っ て,Tか

∈Tに お け る(一

値 に 応 じて変 化 す る確 率 的 事

意 の ω ∈ Ω を 固 定 す る と き,ζ ω(τ):=

らIRdへ

つ の)標

確 率 過 程(stochastic

の 写 像ζ ω が 定 ま る.写

本 関 数(sample

*18 確 率 空間 お よび確 率 変 数の概 念 につ い ては

function)ま

像ζ ω を 確 率 過 た は標 本 経 路

,[3]ま た は[4]の 付 録A. 8を 参 照.な お,い まは発 見 法 的 議論 を して い るの で,μ0tが"の っ てい る"ボ レル集 合体 が い か な る もの で あ る か は 問 わ ない.

(sample

path)と

  こ う して,シ

い う*19. ュ レー デ ィン ガ ー型 作 用 素 に よっ て 生 成 され る熱 半 群 は,あ る

種 の 確 率 過 程 と も結 び つ くこ とが 予 想 され る.こ の 予 想 の も と に適 切 な確 率 過 程 を構 成 す る こ とに よ り,(8.30)に だ が,そ

対 して数 学 的 に厳 密 な意 味 づ けが な され る.

の よ う な確 率 過 程 を天 降 り的 に導 入 す る 前 に,こ れ を発 見 す る た め の

助 け とな る議 論 を次 の項 で行 う こ と に し よ う.

  8.3.3 

自 由 ハ ミル トニ ア ンが 生 成 す る熱 半 群 に 関 わ る基 本 的 事 実

  発 見法 的式(8.30)はV=0の 確 率 過 程Xsと

場 合 で も当然 成 り立 つべ きで あ るか ら,求 め た い

測 度 μ0tは自由 ハ ミル トニ ア ンH0=-Δ/(2m)か

こ とが 予 想 され る.こ の構造 を推 測 す るた め に,H0か

ら構 成 さ れ る

ら生 成 され る1個 の 熱半 群

だ け で な く,複 数 の熱 半群 か ら定 ま るベ ク トル  (sj〓0,j=1,…,n,ψjは

しか る べ きク ラ ス に属 す る 関 数)を 計 算 して み よ

う.次 の 記 号 を導 入 す る:

(8.31) 便 宜 上,P0(x,y):=δd(x-y)(δdはIRd上 き,(8.26)に

の デ ル タ 超 関 数)と

お く.こ

の と

よ り

(8.32) が 成 り立 つ.こ

れ は,e-tH0(t>0)が

素 で あ る こ と を 意 味 す る.t>0な

関 数Pt(x,y)を ら ば,積

積 分 核 とす る 積 分 作 用

分 に関 す る シ ュ ヴ ァル ツの 不 等 式 に

*19 確 率過 程 に関 す る一 つ の物 理 的描像 は次 の よ うな もの で あ る .ラ ン ダムな運 動 をす る粒 子 を考 え よ う(た とえば,非 常 に細 か く砕 い た花 粉 が 水 の 中 を運 動 す る場 合).そ の よう な 運 動 に お い ては,時 刻tで の位 置X(t)∈IRdは 確 率 的 に分 布 す る.し たが っ て,X(t) は,あ る確 率 空 間(Ω,B, P)上 のIRd-値 確 率 変数 とみ なす の が 自然 で あ る.こ の場 合, 考 察 下 の 運動 は確 率 変 数 の集 合{X(t)}t∈[0,T](T>0は 定 数)― 確 率 過程― に よ って 記 述 され る と予 想 され る.こ の 枠組 み で は,い う まで もな く,粒 子 の時 刻tで の位 置 に つ い て は確 率 的 に予 言 で きる だ けで あ る.す な わ ち,粒 子 が 時 刻tで 集合B⊂IRdの 中 にあ る確率 はP({ω 本 関数ζω はIRd内

∈ Ω￨X(t)(ω)∈B})で

あ る と解 釈す るの で あ る.こ の 場 合の 標

の 曲線(粒 子 の 可能 な軌 道 曲 線 の一 つ)を 表 す.

   

よ り

し た が っ て,(8.32)の さ ら に,ル xに

右 辺 は 各 点x∈IRdご

と に 定 義 さ れ た 有 界 な 関 数 で あ る.

ベ ー グ の 優 収 束 定 理 を 応 用 す る こ と に よ り,(8.32)の

つ い て 連 続 で あ る こ と も 証 明 さ れ る.ゆ

と は,L2(IRd)の 味 で,各

元 で あ る が,IRd上

点x∈IRdの

値(e-tH0ψ)(x)に

積分核Pt(x,y)の基本的性質

補 題8.13 

t,s>0と

右 辺 の 関数 は

え に,e-tH0ψ(t>0)は,も

とも

の 有 界 な 連 続 関 数 と 同 一 視 さ れ る.こ

の意

つ い て 語 る こ と が で き る. 

を み て お こ う.

す る.

(ⅰ) Pt(x,y)>0,∀x,y∈IRdか

つ∫IRdPt(x,y)dy=1,∀x∈IRd.

(ⅱ) (鎖 則)∫IRdPt(x,y)Ps(y,z)dy=Pt+s(x,z),∀x,z∈IRd.

証 明  直接 計 算.  注 意8.5 

■

(ⅱ)は 半 群 特 性e-tH0e-sH0=e-(t+s)H0と

呼 応 し て い る.こ

れを

用 い て 証 明 し て も よ い.

定 理8.14  る.こ

ψ1,…,

ψn-1∈L∞(IRd),ψn∈L2(IRd),0〓t1〓

…

〓tnと

す

の と き

(8.33) と書 け る.た

だ し

で 定 義 さ れ る,(IRd)n上

証 明  s1=t1,

の 測 度 で あ る*20.

s2=t2-t1,…,sn=tn-tn-1と

ら,j=1,…,n-1に

お く.ψjに

対 し て ψje-sj+1H0…

た が っ て,(8.32)を

繰

つ い て の 条 件 か

ψn-1e-snH0ψn∈L2(IRd).し

り返 し用 い る こ と に よ り

(8.35) さらに

で あ り,補

題8.13に

し た が っ て,フ で よ い.ゆ

ビ ニ の 定 理 が 応 用 で き る の で,(8.35)に

え に(8.33)が

  補 題8.13を る.す

よ り

出 る.  ■

用 い る とdμt1,…,tn;xは(IRd)n上

な わ ち,μt1 ,…,tn;x((IRd)n)=1.し

上 の 確 率 ベ ク トル(Xt1,…,Xt に は,(8.33)の A. 8の 定 理A.

,B)上

応 用*21).こ

れ は,適

れ を 用 い て,ト

書 け る([3]ま

,確

当 な確 率 空 間

切 な ク ラ ス のVに

対 し て(e-tHψ)(x)=

成 り立 つ と き,dμ(x)=f(x)dν(x)と 率 空 間(Ω,B,μ)上 の 確 率 変 数Xに

期 待 値 を 表 す.

の場 合

た は[4]の

付録

ロ ッ タ ー の 積 公 式 を 経 由 し て,

の 二 つ の 測 度 μ,ν と 可 測 関 数f:X→Cに

∫Bf(x)dν(x),∀B∈Bが *21 同 付 録 で 述 べ た よ う に ∫ΩX(ω)dμ(ω)はXの

た が っ て,そ

ψn(Xtn)]と

発 見 法 的 ・形 式 的 な 議 論 を 行 う と,適 *20 可 測 空 間(X

の 確 率 測 度 で あ る こ とが わ か

n)の 分 布 に な っ て い る 可 能 性 が あ り,そ

右 辺 はE[ψ1(Xt1)… 19の

お け る積 分 順 序 は任 意

つ い て,μ(B)= 象 徴 的 に 記 す. 対 し て,E(X):=

  が 成 立 す る こ と が 予 想 さ れ る.こ (t〓0)の

う し て,熱 半 群e-tHV

汎 関 数 積 分 表 示 を 厳 密 に確 立 す る 問 題 は,確 率 変 数 の 族{Xt}t〓0で,任

意 の 自 然 数nと0〓t1
対 し て,確 率 ベ ク トル(Xt1,…,Xtn)

の 分 布 がμt1 ,…,tn;xに 等 し い よ う な も の が 存 在 す る か ど う か を 調 べ る 問 題 へ と 私 た ち を 導 く.こ

れ は 純 数 学 的 な 問 題 で あ る.こ

の 問 題 に対 す る 一 つ の 解 答 を

次 の 節 で 述 べ る.

8.4  確 率過 程 の存 在

  前 節 の 最 後 に 述 べ た 問 題 は,よ う.す

な わ ち.集

(n∈IN)の

合M(前

の 確 率 変 数 の 族{Xμ}μ て,確

節 の 場 合 で 言 え ば,M=[0,∞))の

各 元(μ1,…,μn)に

当 て ら れ て い る と き,ど

り一般 的 に は 次 の よ う に 定 式 化 で き る で あ ろ

対 し て,(IRd)n上

がPμ1,…,μnで

その上

結 合 分 布― こ れ を{Xμ}μ

対 し ∈Mの

あ る よ う な も の が 存 在 す る か?こ

る 一つ の 解 答 を 述 べ る た め に,あ

 Mを

率 空 間(Ω,B,P)と

べ て のn∈INと(μ1,…,μn)∈Mnに

率 ベ ク ト ル(Xμ1,…,Xμn)の

分 布 と い う―

の 確 率 測 度Pμ1 ,…,μnが 割 り

の よ う な 条 件 が あ れ ば,確 ∈Mで,す

直 積 集 合Mn

有 限次元

の 問 題 に対 す

る 基 本 的 な 概 念 を 導 入 す る.

任 意 の 空 で ない 集 合 と し,Mか

らIRdへ

の 写 像 全 体 の 集 合 を(IRd)M

で 表 す:

(8.36) 各 μ1,…,μn∈Mに

対 して,写

像pμ1…μn:(IRd)M→(IRd)nを

(8.37) に よ っ て 定 義 す る.こ   d=1の IRnの

の 型 の 写 像 を(IRd)M上

場 合 を 考 え る.IRMの ボ レ ル 集 合Bが

部 分 集 合Aに

の 射 影 と い う*22. つ い て,μ1,…,μn∈Mと

あって

(8.38) *22 平 た くい え ば

,ω

か ら,そ

の 有 限 個 の 成 分 を 取 り 出 す 写 像.

 

と 表 さ れ る と き,Aを

ボ レ ル 筒 集 合(cylinder

全 体 か ら 生 成 さ れ る ボ レ ル 集 合 体 をBMで

(IRM,BM)が

set)と 表 す.こ

い う.ボ

レル 筒 集 合 の

う し て,一

つの可 測空 間

構 成 さ れ る.

  IRl(l∈IN)上

の 確 率 測 度ν に対 して

に よ って 定 義 され る,IRl上 の非 負 値 関数Fをν は 

の 分 布 関数 とい う 

の直 積 集 合 を表 す).

  さて,上 記 の 問 題 に対 す る基 本 的 な解 答 の 一 つ を書 き下 す こ とが で き る: 定 理8.15  IRn上

(コ ル モ ゴ ロ フ の 定 理)各

自 然 数nと

μ1,…,μn∈Mに

対 し て,

の 確 率 測 度Pμ1… μnが 割 り 当 て ら れ て い る と し,Pμ1… μnの 分 布 関 数

は 次 の 条 件(ⅰ),(ⅱ)を

満 た す と す る*23.

  (ⅰ) す べ て の 自然 数nと

す べ て の μl∈M,l=1,…,n,お

よ び(1,2,…,n)

の 任 意 の置 換 σ に 対 して

(ⅱ) 任 意 のl
す べ て の μl∈M,l=1,…,n-1,に

た だ し,(-∞,∞]:=IRと

率 測 度Pで,任

規 約 す る.こ

の と き,可

意 の ボ レル筒 集 合A⊂IRMに

対 して

測 空間(IRM,BM)上

の確

対 して

(8.39) と な る も の が た だ 一 つ 存 在 す る.た て 与 え ら れ る とす る. *23 上 の 設 定 で い え ば

,d=1の

場 合.

だ し,AとB∈Bnの

関 係 は(8.38)に

よっ

  こ の 定 理 の 証 明 の 基 本 的 な ア イ デ ア は 次 の 通 りで あ る:(ⅰ)ま よ っ てP(A)を 示 す.(ⅱ)次

定 義 し,こ にPが

完 全 加 法 的 で あ る こ と を証 明 す る.こ

拡 張 定 理([11]のp.52,定 だ が,こ

こ で は,そ

  各 μ ∈Mに

ず,(8.39)に

れ が ボ レル筒 集 合 上 の 有 限 加 法 的 測 度 で あ る こ と を

理9.1)に

の と き,E.ホ

ップの

よ り,求 め る確 率 測 度 の 存 在 が 結 論 さ れ る.

の 証 明 の 詳 細 を述 べ る こ と は 割 愛 す る*24.

対 し て,IRM上

の 関 数Xμ

を

(8.40) に よ っ て 定 義 す れ ば,こ

れ はBM-可

測 で あ り,す

8.15の 仮 定 を 満 た す も の とす る.こ

の と き,(8.39)に

べ て の ω ∈IRMに

対 して 有

限 で あ る.   以 下,確

Mに

率 測 度 の 族 

対 し て,確

は定 理 よ っ て,任 意 の μ1,…,μn∈

率 ベ ク トル 

の 結 合 分 布PXμ1…μn

はPμ1…μ nで あ る こ と が わ か る:

(8.41) こ う して,定 理8.15の

仮 定 を満 たす 確 率 測 度 の 族PMが

空 間(IRM,BM,P)と

この 上 の確 率 変 数 の族 

け られ た確 率 過 程― で(8.41)を

与 え ら れ る と,確 率 に添 え 字 づ

満 たす もの が 構成 され る.結 合 分 布 の定 義 に よ

り,任 意 の 

に対 して

(8.42) が 成 り立 つ.左

辺 のE[・]は,も

ち ろ ん,Pに

関す る 期 待 値 を表 す.

  次 に前 段 で得 られ た結 果 を用 い て,任 意 のd∈INに 率 測 度 と確 率 過 程 の存 在 を示 そ う.各j=1,…,dに を満 た す 確 率 測 度 の族 

対 して,(IRd)M上

の確

対 して,定 理8.15の

仮定

が 与 え られ た

とす る.こ の と き

(8.43) *24  [13] ,[12]のp.178∼p.179を

参 照.

を 満 た す,IRM上

の 確 率 測 度Pjが

個 の 直 積 集 合(IRM)d上

た だ 一 つ 存 在 す る.し

に,直 積 測 度 

た が っ て,IRMのd が 定 義 さ れ る*25.た

だ し,ボ レル 集 合 体 は, 

とい う形 の 集

合 す べ て に よ っ て 生 成 され る最 小 の ボ レル 集 合 体 で あ り,こ れ をBdMと 各 μ ∈Mに

対 して, 

記 す.

を

(8.44) に よ っ て 定 義 す れ ば,{Xμ}μ ∈MはMに 確 率 過 程 を 与 え る.さ

よっ て 添 え字 づ け られ た,IRd-値

らに任意 の に

の

対 して

(8.45) が 成 り立 つ.た

だ し, 

E[・]は 測 度Pに

とい う記 法 を用 い た(こ こで の

関 す る期 待 値 を表 す).

  集 合(IRM)dの

任 意 の元 

に対 し

て,ω:M→IRdを

(8.46) に よ っ て 定 義 す れ ば(し ら(IRd)Mへ

た が っ て, 

の 全 単 射 で あ る.こ

と が で き る.以

下,こ

  最 後 に,(8.42)を

),対

応:ω

→ω

の 意 味 で,(IRM)dと(IRd)Mを

同一視するこ

の 同 一 視 を 用 い る. 満 た す 確 率 過 程{Xμ}μ

は た だ 一 つ な の か,あ

あ る の か と い う 一 意 性 の 問 題 に つ い て 簡 単 に ふ れ て お く((8.45)に 様).そ

は(IRM)dか

る い は複 数 つ い て も同

の た め に あ る 概 念 を 導 入 す る.

*25 直 積 測 度 につ い て は

,[3]ま た は[4]の 付 録AのA.5節 を参 照.当 該 の場 所 で は,2個 の測 度 の 直積 測 度 につ い て だ け しか 言 及 され てい ない が,ま っ た く同様 に して(あ るい は帰 納 的 に),任 意 の有 限 個 の測 度 の 直積 測 度 の存 在 を証 明す る こ とが で きる.な お,測

度 は σ-有限 な測 度 の 範 疇 で考 える.

 

を確 率 過 程 とす る.x,yが

空 間(Ω,B,P)上

で 定 義 さ れ,す

べ て の τ ∈Tに

い ず れ も 同 じ確 率

対 し て,Xτ=Yτ,P-a.e.

が 成 り立 つ と き,一 方 の 確 率 過 程 を他 方 の 確 率 過 程 の 変 形(modification)と

い

う.ま

と

yは

た,ｘ

のすべての

有 限 次 元 分 布 の 集 合 とyの

同 一 の 確 率 空 間 上 に あ っ て も な く て も よ い),一

と い う.こ

の 場 合,二

  (8.42)は{Xμ}μ つ.し

つ の 確 率 過 程ｘ

とyは

そ れ が 一 致 す る と き(ｘ 方 を他 方 の 表 現(version)

同 値 で あ る と い う*26.

を そ の 任 意 の 変 形 ま た は 任 意 の 表 現 で 置 き 換 え て も 成 り立

た が っ て,{Xμ}μ

が 自 ら と は 異 な る 変 形 ま た は 表 現 を もつ な ら ば,(8.42)

を 成 立 さ せ る 確 率 過 程 は 一 意 的 で は な い.   Tが

位 相 空 間 の 場 合 に は,こ

れ を添 え 字 と す る 確 率 過 程{Xτ}τ

∈Tに つ い て,

τ に 関 す る 連 続 性 を 考 え る こ と が で き る: 定 義8.16 

確 率 過 程X={Xτ}τ

程X={Xτ}τ

∈Tが 存 在 す る と き,Xは

と い い,XをXの(一  

連 続 版(continuous

実 現 し て い る 確 率 空 間 を(Ω,B,P)と

本 経 路 

満 たす 確 率 過

version)を

す る と き,各

ω ∈Ω

対 し て,(Xτ1,…,Xτn)の

分布 と

分 布 は 一 致 す る.

  連 続 版 の 存 在 条 件 に つ い て は,付

8.5 

録Kを

参 照.

ブラ ウ ン運 動

  この 節 で は,前 節 で 述 べ た確 率 過 程 の構 成 法 を,(8.34)で 族 

定 義 され る測 度 の に応 用 す る こ と

に よ り,あ る確 率 過 程 の 存 在 を証 明 し,自 由 ハ ミル トニ ア ンH0の 半 群e-tH0に

もつ

は 連 続 で あ る.

  (ⅱ) 任 意 の 自 然 数nとτ1,…,τn∈Tに (Xτ1,…,Xτn)の

の(ⅰ),(ⅱ)を

つ の)連 続 版 と い う:

(ⅰ) 確 率 過 程Xが

に 対 し て,標

∈Tに 対 し て,次

生 成 す る熱

関 す る経 路 積 分 表 示 を導 く.こ の 節 を通 して

(8.47) *26 "表 現"と い う関 係 は確 率過 程 全 体 の集 合 にお け る一 つ の 同値 関係 で あ る こ とは容 易 に わ か る.こ の 意 味 で,同 値 とい う呼 称 は正 当性 を もつ.

と お く.各t〓0に

対 し て, 

を

(8.48) に よ っ て 定 義 す る*27.

定 理8.17 

各x∈IRdに

対 し て,可

のn∈INとtl〓0(l=1,…,n)に

測 空 間(M,Σ)上 対 し て,確

の 確 率 測 度Pxで,す

べ て

率 ベ ク トル(B(t1),…,B(tn))

の結合分布 が

(8.49) で 与 え られ る もの が た だ 一 つ 存 在 す る. 証 明   x∈IRdと

す る.確 率 測 度 の族 

か ら確 率 測 度 の 族 

を次 の よ うに 定 義 す

る:各 

に 対 して, 

換 σ が 存 在 す る か ら(t1,…tnの な い が,そ

の 場 合 に は,ど

とな る置

中 に 同 じ も の が あ る 場 合 に は,σ

れ か を 一 つ 選 ぶ),こ

は 一意 的 で

れ を用 い て

(8.50) と す る.   d=1の

場 合, 

が,M=[0,∞)

の 場 合 に 関 す る 定 理8.15の る.ま

た,補

が わ か る.し

題8.13に

仮 定 の 条 件(ⅰ)を

よ っ て,定

た が っ て,(IR[0,∞),B[0

tl〓0(l=1,…,n)に

理8.15の

満 たす こ と は容 易 に確 か め られ

仮 定 の 条 件(ⅱ)も

,∞))上 の 測 度P1,xで

満 たされる こと

す べ て のn∈INと

対 して

(8.51) *27 文 献 に よ っ て は

,B(t)=Bt,Bj(t)=Bt,jと

い う記 号 を 用 い る 場 合 も あ る.

とな る もの が た だ 一 つ 存 在 す る.   d〓2の

場 合 には

(8.52) に注 意すれ ば

(8.53) (d=1の

場 合 の 測 度 の 直 積 測 度)で あ る こ とが わ か る.こ の 事 実 と前節 の 最 後

の ほ うで 述 べ た こ と に よ り,題 意 が した が う.    この定 理 にお け る確 率 測 度Pxに

関 す る期 待値 をExで

■

レー デ ィ ン ガ ー半 群e-tHv(t>0)に

表 す.次 の定 理 は,シ ュ

関 す る経 路 積 分 表 示 を導 くた め の 基 礎 と

な る もの で あ る: 定 理8.18  る.こ

とす

の と き,任

意 のx∈IRdに

対 して

(8.54) 証 明   定 理8.14と(8.49)に

注 意8.6 

よ る. 

■

詳 細 は 省 略 せ ざる を得 ない が,確 率 過 程{B(t)}t〓0は,上

述 の もの

と は異 な る表 現 を もつ.し た が って,経 路 積 分 表 示(確 率 過 程 表 示)(8.54)は

一

意 的 で は な い.   確 率 過 程B(t)の

性 質 を調 べ よ う.ま ず,任

で あ り,最 右 辺 はxjに

意 のt>0に

等 しい こ とが わか るの で(t=0の

対 して

場 合 も同様)

(8.55)

が 成 立 す る.こ つxに

れ は,B(t)の

期 待 値 が パ ラ メ ー タ ーtに

等 し い こ と を 示 す.ま

よ らず一 定 で あ り,か

た

で あ るか ら

(8.56) こ れ はB(・)の と こ ろxに

初 期 値B(0)(運

動 の 出 発 点)が

等 し い こ と を示 す.こ

の 事 実 を 考 慮 し て,定

在 が 保 証 さ れ る確 率 空 間(M,Σ,Px)上 発 す るd次 Pxは

測 度Pxに

関 して ほ と ん ど い た る 理8.17に

の 確 率 過 程{B(t)￨t〓0}を

元 ブ ラ ウ ン 運 動 ま た は ウ ィ ー ナ ー(Wiener)過

よっ て そ の存 点xか

程 と い う.確

ら出 率測度

ウ ィ ー ナ ー 測 度 と 呼 ば れ る.

  (8.55)はEx(B(t)-x)=0と

同 値 で あ る.そ

こ で,B(t)よ

り も,む

しろ

(8.57) に よ っ て 定 義 さ れ る 確 率 過 程A(t)で と る こ とが 推 測 さ れ る.実

際,た

考 え た ほ う が 諸 々 の 計 算 は よ り簡 単 な 形 を と え ば,0〓t<sな

ら ば,j,q=1,…,dに

対 して

した が って

(8.58) が 得 ら れ る.こ

れは

(8.59)

を 導 く.し

たが っ て

(8.60) さ らに,次 の 重 要 な事 実 が 成 立 す る: 命 題8.19  均0の

各j=1,…,d,h>0,t〓0に

対 し て, 

は平

ガ ウ ス 型 確 率 変 数 で あ る.

証明 

の 特 性 関 数(付 録Ⅰ を参 照)  は 

で あ る か ら,こ れ

を 計 算 す れ ば 

を 得 る.し

た が っ て,Xは

ガ ウ ス 型 で あ る. ■

 次 に確 率 過 程{A(t)}t〓0に 定 理8.20 

関 す る特 性 関数 を計 算 して み よ う.

任 意 の 

を満 た す す べ て のtl〓0

お よび す べ て の 

に対 して

(8.61) が 成 り立 つ.

証 明   0
場 合 だ け を 証 明 す る(他  と す る.ま

2,…,n)と

お く.定

理8.17に

変 数変換y1=x1-x,yl=xl-xl-1を

た.s1=t1,sl=tl-tl-1(l=

よって

行 うと

の 場 合 も 同 様).

と い う 形 に 表 さ れ る.た

だ し

こ れ を代 入 して 整 理 す れ ば(8.61)が

得 ら れ る. 

■

  こ の 定 理 は,{A(t)}t≧oがIRd-値

の ガ ウ ス 型 確 率 過 程(付

録Jを

参 照)で

あ

る こ と を 示 す.

  物 理 的 な観 点 か らい え ば,少 な く と もPxに ω ∈Mに

対 して,標 本 関 数: 

関 して ほ とん どい た る と ころ の 点

は連 続 に な っ て い て ほ しい.こ

の側

面 に つ い て は 次 の 事 実 が 証 明 され る: 定 理8.21 

を 点xか

 

す る. 

(ⅰ) 0<α<1/2と

ら 出 発 す るd次

元 ブ ラ ウ ン 運 動 と す る.

に 対 して,B(t)(ω)はtの

関数 と

し て 指 数 α の ヘ ル ダ ー 連 続 性 を も つ*28.   (ⅱ) 

に 対 し て,B(t)(ω)はtの

証 明   (ⅰ)d=1の と(8.60)お (Cpは

よ び 付 録Jの

定 数).任

と な る.し

場 合 を 示 せ ば 十 分 で あ る.h>0と 命 題J.1に

録Kの

対 して,pを 系K.2に

指 数 α の ヘ ル ダ ー 連 続 版 を も つ.し   (ⅱ)た と え ば,[12]の

す る.こ

の と き,命 題8.19

よ っ て 

意 の0<α<1/2に

た が っ て,付

関 数 と し て 微 分 不 可 能 で あ る.

た が っ て,題

付 録 の 定 理5の

十 分 大 き くと れ ば,α<1-p-1

よ っ て,B(t)は(同

じ確 率 空 間 上 で)

意 が 成 立 す る.

証 明 を 参 照. 

■

  こ の定 理 に お け る(ⅱ)の 性 質 も注 目すべ きで あ る.す な わ ち,ブ

ラ ウ ン運 動

につ い て は,通 常 の 意 味 で の速 度 の 概 念 は定 義 され な い*29.   定 理8.21と(8.56)に

よ っ て,確

(パ ラ メ ー タ ー 空 間 は 

率 測 度Pxは,始

点 がxで

あ るIRd内

の 曲線

の全体

(8.62) *28 写 像f:Ⅱ

→IRd(Ⅱ

はIRの  t,s∈Ⅱ

区 間)に つ い て ,定 数C〓0,α>0が が 成 り立 つ と き,fは 指 数 α の(ま

連 続 性 を も つ と い う. *29 だ が ,超 関 数 的 な 意 味 で の 微 分 は 存 在 し,そ

あ っ て, た は α 次 の)ヘ

れ は ホ ワ イ トノ イ ズ と呼 ば れ る.

ル ダー

上 で 定 義 され た も の と して よ い.た Σ}で

だ し,こ の 場 合 の ボ レ ル 集 合 体 は{B∩Mx￨B∈

あ る.

8.6 

フ ァ イ ン マ ン-カ

  だ い ぶ 準 備 が 長 くな っ て し ま っ た が,こ

れ で シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 型 半 群e-tHv

に 対 し て 経 路 積 分 表 示 を 導 くこ とが で き る.こ 場 合 だ け を 考 察 す る.こ

の 場 合,前

ッツの 公 式

こ で は,簡 単 の た め,Vが

節 の 結 果 に よ り,d次

に 関 し て ほ と ん ど い た る と こ ろ の ω ∈M=(IRd)[0,∞)に 続 で あ る か ら,∫t0V(ω(s))dsは 可 測 で あ る.さ

ら にVは

下 に 有 界 で あ る と し よ う.こ 理2.25の

対 し て,t→

ω(t)は 連

の と き,HVは 

応 用).HVの

(フ ァ イ ン マ ン-カ ッ ツ(M.Kac)の

数 で 下 に 有 界 な も の とす る.こ

元 ウ ィ ー ナ ー 測 度Px

リ ー マ ン 積 分 と し て 定 義 さ れ(t〓0), 

上 で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る(定 定 理8.22 

連続 な

閉 包 もHVで

公 式)VをIRd上

表 す.

の実 数値 連続 関

の と き,任 意 のn∈INと0
と 

に対 して

(8.63) (8.64) 特 に,任

意 のt>0と

ψ ∈L2(IRd)に

対 して

(8.65) 証 明   s1=t1,sj=tj-tj-1(j=2,…,n)と 式(定

理8.10-(ⅱ))に

と 書 け る.た

だ し

よ り

お く.ト

ロ ッ タ ー-加

藤 の 積 公

こ の式 の 右 辺 は 定 理8.18を

と 変 形 さ れ る.そ

応用 する ことによ り

こ でc:=infx∈IRdV(x)と

す れ ば,Px-a.e.ω

に対 し て

で あ るか ら,ル ベ ー グ の優 収 束 定 理 に よ り

が 得 ら れ る.ゆ

え に(8.64)が

  定 理8.22は,8.3.2項

成 立 す る. 

■

に お け る発 見 法 的議 論 に対 す る 数 学 的 に厳 密 な基 礎 づ

け を 与 え る.   次 に 定 理8.22か

ら帰 結 さ れ る 事 柄 の 一 つ と し て,"純

虚 数 時 間 にお け る状 態 の

遷 移 確 率 振 幅"―

〈ψ0,e-(t1-t0)HVψ1…e-(tn-tn-1)HVψn〉

とい う 型 の 量 ―

に 対 す る 経 路 積 分 表 示 を 導 こ う.た

で あ る(他 の 諸 量 も同様).そ

と え ば,ψ0,ψ1∈L2(IRd)に

対 し て,

こで 問 題 は,右 辺 を一 つ の 確 率 空 間上 の確 率 過 程

を用 い て表 す こ とで あ る. 補 題8.23 

n∈IN,

tl〓0(l=1,…,n), f:(IRd)n→C(ボ

が 満 た さ れ る と す る.こ

の とき

レ ル 可 測)と

し

証 明   0〓t1〓

そ こ で,変 IRd)と

…

〓tnの

場 合 を 示 せ ば 十 分 で あ る.左

数 変 換zj=yj-xを

辺 をL(f)と

お くと

行 い,Pt(x',y')=Pt(0,y'-x')(t〓0,x',y'∈

い う性 質 に注 意 す れ ば

こ れ は(8.66)の

補 題8.24 

右 辺 に 等 しい. 

定 理8.22の

■

仮 定 の も とで

(8.67)

証 明  左 辺 をL(f)と

す る.ル ベ ー グ の 優 収 束 定 理 に よ り(定 理8.22の

証明 を

参 照)

右辺 に前 補題 を応用す れば

こ こで,最 後 の 等 号 を得 るの に再 び ル ベ ー グの 優 収 束 定 理 を応 用 した. 

■

さて

(8.68)

と し,こ

の 空 間 の 上 に 測 度 μ0を

(8.69) に よ っ て 導 入 す る*30.こ   各t〓0に

対 し て,関

れ は 確 率 測 度 で は な い が σ 有 限 な 測 度 で あ る. 数 φ(t):IRd×M→IRdを

(8.70) に よ っ て 定 義 す る.

定 理8.25 V,ψj(j=1,…,n)は t0
定 理8.22の す る.こ

も の と し,ψ0∈L2(IRd),0〓

の と き

(8.71) 特 に,す

べ て のt>0,η,ψ

∈L2(IRd)に

対 して

(8.72)

証 明   t0=0の

場 合 を 考 え る.こ

の と き,(8.64)と

補 題8.24に

よって

(8.73)

c:=infx∈IRdV(x),‖・‖∞:=‖・‖L∝(IRd)と

お く.積

分 に関 す る シ ュ ヴ ァル ツ

の不 等 式 に よ って

*30  ボ レ ル 集 合 体 と し て は ,B×A,B∈Bd,A∈

Σ に よ っ て 生 成 さ れ る も の を と る.

し た が っ て,フ

に等

し い.こ

ビ ニ の 定 理 に よ っ て,(8.73)の

こ で,μ0-a.e.(x,ω)に

ω(0)=0,P0-a.e.ω((8.56)でx=0の 次 にt0>0の 1,…,n,と

場 合 を 考 え,(8.71)の す れ ば,tk-tk-1=sk-sk-1,

右辺 は

対 し て,φ(0)=xで 場 合)].よ 左 辺 をLと

あ る こ と を 用 い た[∵ っ て(8.71)が

得 ら れ る.

お こ う.sj=tj-t0,j=

k=2,…,n.し

た が っ て,前

段

の結 果 を応 用 す れ ば

を 得 る.と

こ ろ で,分

布 ま で 戻 っ て 計 算 す る こ と に よ り,一

L2(IRd),fj∈L∞(IRd),j=1,…,m-1と0
般 に,任

意 のf0,fm∈ 対 して

が 成 り立 つ こ とが わ か る(φ(0)(x,ω)=x,μ0-a.e.に

注 意).こ

の事 実 を用 い る と

(*)は(8.71)の

右 辺 に 等 しい こ とが わ か る((*)に

に つ い て は,積

分 部 分 を リ ー マ ン近 似 和 の 極 限 と し て 書 き 直 す.そ

式 の 段 階 で 上 の 事 実 を 適 用 し,そ

の 後 で,ル

お け る 因 子  し て,近

似

ベ ー グ の 優 収 束 定 理 を用 い て極 限

移 行 す る). 

■

  フ ァ イ ン マ ン-カ ッ ツ の 公 式(8.64)は

い ろ い ろ な 応 用 を も ち う る.こ

こ で は,

そ の 一 つ だ け を 取 り上 げ る. 定 理8.26 

(最 低 エ ネ ル ギ ー の 経 路 積 分 表 示)V:IRd→IRは

で あ る と す る.こ

連 続 で下 に有 界

の と き,任 意 の ψ ∈E(HV)(E(HV)は(8.13)でA=HVの

場 合 の集 合)に対し

て

(8.74) 証 明   定 理8.5と(8.72)を

使 え ば よ い. 

■

8.7  基 底 状 態 過 程

  この 節 で は,L2(IRd)上

の,基 底 状 態 を もつ 自己 共 役 作 用 素 に よ って 生 成 され

る熱 半 群 と確 率 過 程 との普 遍 的連 関構 造 を明 ら か に す る.   HをL2(IRd)上

の 下 に有界な 自己共役 作用素とし て

(8.75) とお く.こ

の と き,Hは

非 負 自己 共 役 作 用 素 で あ る.各t>0に

上 の ボ レ ル 可 測 関 数KHtが

存 在 し て,e-tHが

で 与 え ら れ る と き,す

な わ ち,

が 成 り立 つ と き,Hは

熱 核(heat

的 にe-tH(x,y)と

記 す:

kernel)KHtを

対 し て,IRd×IRd

これ を積 分 核 とす る積 分 作 用 素

もつ と い う.Hの

熱 核 を記 号

   

  以 下 で は 次 の 条 件(H.1),   (H.1)各t>0に e-tH(x,y)を

(H.2)を

仮 定 す る:

対 し て,e-tHは,次

の 条 件 を 満 た す 熱 核Kt(x,y):=

も つ:(a)KtはIRd×IRd上

連 続 でKt(x,y)>0, x,y∈IRd;

(b) x∈IRd.便 超 関 数)と

宜 上,K0(x,y):=δ(x-y)(デ

  (H.2)Hはa.e.正 ‖ΩH‖=1と 例8.1 

の 基 底 状 態 ΩHを

も つ:HΩH=0か

1次 元 量 子 調 和 振 動 子 の ハ ミル トニ ア ン([4],3.8節)

定 数)の

で与 え られ る.L0は

熱 核 は,メ

ー ラ ー の 公 式([4],p.383)に

よ り

基 底 状 態 を 一意 的 に も ち,そ れ は, 

の零 で な い 定 数 倍 で 与 え られ る([4],3.8節).こ

れ らの 事 実 か ら,H=L0は(H.1),

満 た す こ と が わ か る.

例8.2 

こ こ で は証 明 を 与 え る 紙 数 は な い が,あ

シ ャ ルVに

対 し て,H=HVと

い て は,た

と え ば,[19]のTheorem

の3.5節

つ ΩH>0(a.e.x).

す る.

(m,ω>0は

(H.2)を

ルタ

お く.

や[17]の

§XⅢ.12を

6.6を,条

(H.1)を

満 た され る.条

件(H.2)に

参 照(演 習 問 題4の

指 摘 した 事 実 を心 に と どめ て,先

補 題8.27 

る一般 的 な ク ラス に属 す る ポテ ン

して(H.1),(H.2)は

件(H.1)に

つ い て は,た

注 も参 照).だ

が,こ

つ

と え ば,[6] こ で は,い

ま

に 進 ん で 差 し支 え な い.

仮 定 す る*31.こ

の と き:

(ⅰ)

(ⅱ) 証 明  (ⅰ)e-tHの

対称性

に よ り,任 意のf,g∈C∞0(IRd)に

が 成 り立 つ.こ ([4],付 録C,補

題C.2)を

*31  こ の 補 題 で は ,(H.2)の

対 し て, 

れ を 具 体 的 に 書 き下 し,ド ゥ ・ボ ワ ・レ イ モ ン の補 題

応 用 す れ ば,  条 件 は 必 要 で な い.

x∈IRdが よ り,結

得 ら れ る.そ

こ で,再

び,ド

ゥ ・ボ ワ ・レ イ モ ン の 補 題 を 使 う こ と に

論 を 得 る.

  (ⅱ)(ⅰ)の 事 実 と(H.1)お 関 数Kt,(x,y)Ks(y,z)は

よ び 積 分 に 関 す る シ ュ ヴ ァ ル ツ の 不 等 式 に よ っ て,yの 可 積 分 で あ る.こ

れ と半 群 特 性e-(t+s)H=e-tHe-sH

を 用 い る こ と に よ り結 論 が し た が う(f∈C∞0(IRd)に

作 用 さ せ て 考 察 し,ド

ゥ ・

ボ ワ ・レ イ モ ン の 補 題 を 応 用 せ よ). 

定 理8.28 

(H.1),(H.2)を

■

仮 定 す る.可

測 空 間(M,Σ)は(8.47)で

る も の と し,各t〓0とj=1,…,dに

対 し て,Xj(t):M→IRを

に よ っ て 定 義 す る.こ

の と き,(M,Σ)上

の 確 率 測 度 μHで,す

tl(0〓t1〓t2〓

〓tn)に

…

対 し て,確

定 義 され

べ て のn∈INと

率 ベ ク トル(X(t1),…,X(tn))の

結

合 分布 が

(8.76) で 与 え ら れ る もの が た だ一 つ存 在 す る. 証 明   (8.76)で

定 義 さ れ る 測 度 μHt1,…,tnが(IRd)n上

容 易 に わ か る.確

率 測 度 の 族{μHt1,…,tn￨n∈IN,0〓t1〓

い う 確 率 測 度 μ の 存 在 を 示 す 方 法 は,定 の で,詳

理8.17の

の確率 測度で ある ことは …

〓tn}か

ら題 意 に

場 合 と ま っ た く並 行 的 で あ る

細 を 埋 め る こ と は 読 者 の 演 習 とす る(演 習 問 題7). 

  定 理8.28に

い う確 率 過 程{X(t)}t〓0をHに

state process)とい

■

関 す る 基 底 状 態 過 程(ground

う.

  一 般 に,任

意 の 量 子 系 の ハ ミ ル トニ ア ン の 基 底 状 態 ― Ψ0と

(vacuum)と

も 呼 ば れ る*32.‖

空 間 に 作 用 す る 作 用 素Aの

Ψ0‖=1と

す る.当

該 の 系 の 状 態 の ヒ ルベ ル ト

状 態 Ψ0に 関 す る 期 待 値 〈Ψ0,AΨ0〉

*32 真 空 の概 念 は も と も と量 子 場 の 理論 に 由来 す るが

し よ う― は真 空

をAの

真空期

,こ こで は,そ の用 語 法 を拡 張す る.

待 値 とい う(も ち ろ ん,Ψ0∈D(A)と

す る).真 空 期 待 値 の すべ て の 集 ま りは,

系 の多 くの 情 報 を 担 う.こ の意 味 で,真 空 期 待 値 の 性 質 を調 べ る こ と は重 要 で あ る.   次 の 定 理 は,Hを

ハ ミル トニ ア ン とす る系 に お け る真 空 期 待 値 の確 率 過 程 表

示(経 路 積 分 表 示,汎 定 理8.29  t0〓t1〓

(H.1), …

〓tnと

関 数積 分 表 示)を 与 え る.

(H.2)を

仮 定 し,n∈IN,

す る.こ

f0,f1,…,fn∈L∞(IRd)

,0〓

の と き

(8.77) 証 明 左 辺は

と書 け る.こ

例8.3 

れ は,μHの

定 義 に し た が っ て ,(8.77)の

1次 元 量 子 調 和 振 動 子L0(例8.1)に

よ う ― は 振 動 子 過 程(oscillator  レ ン ベ ッ ク(Uhlenbeck)過

process)ま

程 と 呼 ば れ る.こ

n∈INと0
右 辺 に 等 し い. 

関 す る 基 底 状 態 過 程―{q(t)}t〓0と た は オ ル ン シ ュ タ イ ン(Ornstein)-ウ の 場 合,次

の 事 実 が わ か る:(ⅰ)任

対 し て,(q(t1),…,q(tn))は

■ し ー 意 の

ガウス型確 率 ベ ク

ト ル で あ る;(ⅱ)

(8.78) が 成 り立 つ. 証 明   (ⅰ)  任 意 のkj∈IR(j=1,…,n)に

対 して

右 辺 は ガ ウ ス 型 関 数 の フ ー リエ 変 換 で あ る か ら,  ((Ajl)は

正 定 値 行 列).し

た が っ て,結

論 を 得 る.

とい う形 に な る

(ⅱ)t>sと

す れ ば, 

こ こ で,

 と書 け る こ と に 注 意 す る.た L0=ωa*aが

成 り 立 つ([4],定

と す る.任 す るCCRお

意 の β>0に よ びaΩL0=0を

理3.61;aの

だ し,aは

消 滅 作 用 素 で あ る([4],3.8節).

閉 包 もaと

記 す). 

対 し て, 

とa,a*に

用 い る こ と に よ り,D0上

が 成 り立 っ こ とが わ か る.し

関

で

たが って

ゆ え に 題 意 が し た が う*33. 

  熱 半 群e-tHに て,Hに

■

対 す る経 路 積 分 表 示 が 確 立 され る と,HVの

場 合 と同 様 に し

摂 動 を加 え た作 用 素 の 生 成 す る熱 半 群 につ い て も経 路 積 分 表 示 を導 く

こ とが で き る: 定 理8.30 

{X(t)}t〓0をHに

関 す る 基 底 状 態 過 程 と し,μHに

ん ど い た る と こ ろ の ω ∈ ω に 対 し て,対 す る.V:IRd→IRを

応:t〓X(t)(ω)は

関 し て,ほ

と

連 続 で あ る と仮 定

連 続 で下 に 有 界 な関 数 と し

(8.79) は 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る と 仮 定 す る.n∈IN, 0〓t0
す る.こ

f0,f1,…,fn∈L∞(IRd),

の とき

(8.80) 証 明  トロ ッター-加 藤 の積公 式 に よ り  こ れ を(8.80)の 左 辺 に代 入 し,定 理8.29を 理8.25の

証 明 と同 じなの で 詳 細 は省 略 す る). 

*33 別 証 と し て い(演

用 い て変 形 す れ ば よい(や り方 は 定

, 

習 問 題8).

■ を 用い て,右

辺 を直接 計算し

て もよ

例8.4 

W:IR→IRは

連 続 で 下 に有 界 で あ る とす る.し

た が っ て,L2(IR)上

の対

称 作用 素

はC∞0(IR)上 LWで

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る(定 理2.25の

表 す.例8.3に

述 べ た 性 質 と付 録Kの

ほ と ん どい た る と こ ろ の 点 η ∈Mに よ い.し

系K.2の

応 用).LWの

応 用 に よ り,μL0に

対 し て,q(t)(η)はtに

た が っ て,定 理8.30をH(V)=L0+Wと

閉 包 も 同 じ記 号 関 して,

つ い て 連 続 で あ る と して

して 応 用 で き る の で 次 の 事 実 を

得 る: 定 理8.31 

n∈IN,

f0,f1,…,fn∈L∞(IR),0〓t0
す る.こ

の とき

(8.81)

付 録 Ⅰ  確 率 論 の基 本事 項

  Ⅰ.1  特

性

  (Ω,B,P)を

確 率 空 間 とす る.こ

か ら定 ま る,IRn上

関

数 の 確 率 空 間 上 の 確 率 ベ ク トルX=(X1,…,Xn)

の 関数

(Ⅰ.1)

(Ⅰ.2) をXの

特 性 関 数(characteristic

function)と

い う.容

易 に わか る よ うに

(Ⅰ.3)

が 成 り立 つ. 命 題Ⅰ.1  CXはIRd上

の 有 界 な連 続 関 数 で あ る.

証 明   有 界 性 は す で に み た の で,連 続 性 だ け を証 明 す る.k,p∈IRnに Ω →Cを 

に よ っ て定義 す る.こ

対 して,fk

,p:

れ を用い る と

  容 易 に わ か る よ う に,￨fk ,p(ω)￨〓2

か つ 

し た が っ て,ル ベ ー グ の 収 束 定 理 を応 用 す る こ と に よ り,  こ れ と(*)に

よ り,CXは

連 続 で あ る こ とが 結 論 さ

れ る. 

■

 [3]ま た は[4]の 付 録A.8の

定 理A.19に

よって

(I.4) と書 け る 

.

  一 般 に,μ

を 可 測 空 間(IRn,Bn)上

の 有 限 測 度 とす る と き

(I.5) をμ の フ ー リエ 変 換 と い う. 例I.1 

に 対 して, 

は 有 限 な 測 度 で あ り,μ の フ ー リ エ 変 換 は,fの 意 味 で,有

とす れ ば,こ

れ

フ ー リエ 変 換 に ほ か な ら な い.こ

の

限 測 度 の フ ー リエ 変 換 は,非 負 値 関 数 の フ ー リエ 変 換 の一 般 化 と み る こ と

が で き る.

  (I.4)は,Xの い る.し

特 性 関 数 の 複 素 共 役 が そ の 分 布 の フ ー リエ 変 換 で あ る こ と を 示 して

た が っ て,フ ー リエ 解 析 を応 用 す る こ とに よ り,特 性 関 数 か ら,分 布PXを

求 め る こ とが 可 能 に な る.こ

れ に 関 す る定 理 を 述 べ る 前 に,ま ず,分

布 の一 意性 に関

す る 事 実 を 述 べ て お こ う: 定 理I.2 

(IRn,Bn)上

の 二 つ の確 率 測 度P1,P2の

フー リエ 変 換 が 一 致 す れ ばP1=P2

で あ る.

  こ の 定 理 は,Levy-Havilandの き る が,こ

反 転 公 式 を 応 用 す る こ と に よ り証 明 す る こ とが で

こ で は そ の 証 明 は省 略 す る*34.こ

の 定 理 か ら,た

だ ち に次 の事実 が導 か

れ る: 定 理I.3 C*XがIRn上

の あ る 有 限 測 度 μ の フ ー リエ 変 換 な らば,μ=PX.

  次 の定理 は,特 性 関数 か ら分 布 関数 を計 算す る ため に有用 で あ る.

*34 た と え ば

,[12]の

§5.2や[11]の

定 理30.7を

参 照.

定 理Ⅰ.4 CX∈L1(IRn)と

もL1(IRn)に

し,関 数

属 す る と 仮 定 す る.こ

の と き,分

布PXは

ル ベ ー グ測 度 に 関 し て 絶 対

連 続 で あ り,そ の ラ ドン-ニ コ デ ィム 導 関 数 はρ で 与 え ら れ る:

証 明   定 理 の仮 定 と フ ー リエ 変 換 に 対 す る 反 転 公 式 を 応 用 す る こ と に よ り  が 成 り立 つ(こ れ は,も と も と は,ほ と ん どい た る と こ ろ のkに て の み 成 り立 つ 式 で あ る が,両 に 対 し て 成 り立 つ).定   CX∈L1(IRn)で

辺 と も連 続 関 数 で あ る の で,結 局,す

理Ⅰ.3に よ り,あ

とρ〓0を

示 せ ば,定

対 し

べ て のk∈IRn

理 の 証 明 が 完 結 す る.

あ る か ら,ル ベ ー グ の 優 収 束 定 理 と フ ビニ の 定 理 に よ り

最 後 の式 は非 負 の関数 の積分 の 極 限で あ るか ら非負 で あ る.ゆ え にρ〓0. 

■

  Ⅰ.2  モ ー メ ン トと 特 性 関 数  

Xを

確 率 空 間(Ω,B,P)上

の と き,Xnの

をXのn次

の 確 率 変 数 と す る.n∈INに

対 して,Xn∈L1(Ω,dP)

期待 値

の モ ー メ ン トま た は積 率 と い う.

定 理Ⅰ.5  nを

自 然 数 とす る.こ

のとき

(I.6) な らば,Xの

特性 関 数CXはn回

連 続微 分可 能 で あ り

(I.7)

が 成 り立 つ.こ

こで,C(l)XはCXのl皆

の 導 関 数 を 表 す.し

た が っ て,特

に

(I.8) 証 明   ま ず,(I.6)は,任

意 のl=1,…,nに

対 し て, 

を意味

す る こ と に注 意 す る.実 際

残 りの事 実 は,微 分 と積 分 の順 序 交 換 に関 す る定 理([3]付 の 付 録Aの

定 理A.8)を

  実 は,定 理I.5の

録 の 定 理A.4.1,ま

応 用 す る こ と に よ り,証 明 さ れ る. 

あ る 意 味 で の 逆 も成 り立 つ.す

モ ー メ ン トの 存 在 を 導 くの で あ る.応 定 理I.6 CX(k)がk=0の

た は[4] ■

な わ ち,特 性 関 数 の な め らか さ が

用 上 は こ の ほ う が 有 用 で あ る.

近 傍 で2n回

連 続 微 分 可 能 な らば,l=1,…,2nに

対

して

(I.9) で あ り,(I.7)がl=1,…,2nに

証 明   ま ず,n=1の

対 し て 成 り立 つ.

と き に 題 意 が 成 立 す る こ と を示 す.そ

と表 され る こ と に 注 目 す る*35.こ

*35 一 般 に ,開 区 間(a,b)上

が 成 り立 つ.こ

こ で,特

にk=0の

の2回 連 続 微 分 可 能 な 関数fに

の た め に,t=0の

場 合 を考 え る と

対 して

れ は テ ー ラ ー 展 開 を 用 い て 容 易 に 証 明 さ れ る.

近傍 で

そ こで,フ ァ トー の補題と 

を用 い る と 

し た が っ て,(I.9)がn=1の   次 に(I.9)がn=2m(mは

自然 数)の

場 合 に 成 り立 つ.

と き 成 立 す る と し よ う.こ

の と き,定 理I.5

に よ り,  に 注 意 す れ ば,前

した が っ て,前

段 の議論 か ら

段 と 同 様 に して 

に(I.9)はn=2(m+1)の 定 理I.5,定

定 理I.7 

理I.6は

ゆえ

と き も成 立 す る.  確 率 ベ ク ト ルX=(X1,…,Xn)の

(ⅰ)  n∈IN(l=1,…,n)と

 

し, 

■ 場 合 へ と 拡 張 さ れ る*36:

を満 たす すべ ての 多重指 数

に対 して

(I.10) とす る.こ

の と き,CXはn回

が 成 り立 つ.し

連 続 微 分 可 能 で あ り,

た が っ て,特

(ⅱ) CXがk=0の べ て の 多 重 指 数 

に

近 傍 で2n回

連 続 微 分 可 能 な ら ば,  に 対 し て,nを2nと

を満 た す す した(I.10)が

成 り立 つ.

付録J  ガ ウス型 確 率 過程 量 子 力 学 や 量子 場 の理 論 にお い て重 要 な役 割 を演 じる確 率 過 程 の クラ ス を導 入 す る.一 つ の 見 通 しをい え ば,ブ ラ ウ ン運動 をそ の 一 つ の具 体 例 とす る よ うな一般 的 な確 率 過程 の ク ラス であ る.ま ず,確 率 変 数 の あ る一般 的 な ク ラス を定 義 す る. *36 証 明 は る.

,こ れ らの 定 理 ない しそ の証 明 の 手法 を利 用 す る こ とに よ り,容 易 に遂 行 され う

  J.1 

ガ ウ ス 型確 率 変 数

  (Ω,B,P)を

確 率 空 間 とす る.こ

の 空 間 上 の 確 率 変 数Xが

ガ ウ ス 型 で あ る と は,そ

の特 性 関数 が

(J.1) と い う形 に な る 場 合 を い う.こ CX(t)は

こ で,a〓0は

無 限 回連 続 微 分 可 能 で あ る の で,定

定 数,mは 理I.6に

実 定 数 で あ る.明

ら か に,

よ り,す べ て の 自 然 数nに

対

して

で あ る. 

が 確 率 変 数X-mの

特 性 関 数 で あ る こ と に 注 意 し,(I.7)お

よび

とい う事 実 を使 え ば

(J.2) を得 る.特

に,Xの

が(J.1)で

与 え ら れ る確 率 変 数 を 平 均 がm,分

  (J.2)か

ら 明 ら か な よ う に,ガ

は,平

平 均 はm,分

散 はaで

あ る こ とが わ か る.そ 散 がaの

ウ ス 型 確 率 変 数Xの

れ ゆ え,特

性 関数

ガ ウ ス型 確 率 変 数 と い う. 場 合,Xの

任意 のモ ー メ ン ト

均 と 分 散 を用 い て 表 さ れ る.

  a>0な

ら ば,定

理I.4と

公式

を 用 い る こ と に よ り,ガ ウ ス 型 確 率 変 数 の 分 布 は

(J.3) で 与 え られ る.a=0の

と き は,(J.3)でa→0の

極 限 を考 察 す る こ と に よ り

(J.4) で あ る こ とが わ か る.   特 性 関 数 が(J.1)で X:=X-mを

与 え ら れ る ガ ウ ス 型 確 率 変 数Xに

考 え る と,こ れ は 平 均0,分

散aの

対 し て,新

しい 確 率 変 数

ガ ウ ス 型 確 率 変 数 に な る.逆

に,

平 均0,分 れ は,平

散aの

ガ ウス 型 確 率 変 数Yが

均m,分

散aの

を 考 え る 場 合,平 均 が0の らな い 限 り,ガ

与 え られ た場 合,X:=Y+mと

ガ ウ ス 型 確 率 変 数 で あ る.し

もの を考 え れ ば 十 分 で あ る.そ

ウ ス 型 確 率 変 数 と い う と き は,そ

す れ ば,こ

た が っ て,ガ

ウス型確 率 変数

れ ゆ え,以 下 で は,特 に 断

の 平 均 は0で

あ る と す る.

  次 の 事 実 は 有 用 で あ る: 命 題J.1 

Xを(平

均0の)ガ

ウ ス 型 確 率 変 数 とす る と き,任 意 の 正 数pに

対 して

(J.5) が 成 り立 つ.こ

こで

証 明  a:=E(X2)と

す れ ば,(J.3)に

そ こ で, 

  J.2 

よ り

と変 数 変 換 す れ ば,(J.5)が

得 られ る. 

■

ガ ウ ス 型 確 率 ベ ク トル

  ガ ウ ス 型 確 率 変 数 の 確 率 ベ ク トル 版 を定 義 す る.  正 定 値 実 対 称 行 列 で あ る と す る.す な わ ち.  意 の 

に 対 して 

ク トルX=(X1,…,Xn)の

をn次

の半 かつ任

が 成 立 す る と す る.確 率 ベ

特 性 関数 が

(J.6) とい う形 で 与 え られ る と き,Xを

ガ ウ ス 型 確 率 ベ ク トル と い う.こ の場 合,X1,…,Xn

は 結 合 的 に ガ ウ ス 型 で あ る と も い う.容 易 に わ か る よ う に,CXは 能 で あ る か ら,定 理I.7-(ⅱ)に 特 に,定理I.7-(ⅰ)に

よ っ て,X1,…,Xnの

無 限 回連 続 微 分 可

任 意 の冪 の 積 は 可 積 分 で あ る.

より

(J.7) が 成 り立 つ.第 *37 一 般 に

,確

二 式 は,Xの

共 分 散 行 列 はAで

率 ベ ク ト ルY=(Y1,…,Yn)か

行 列 と い う.

あ る こ と を 示 す*37. ら 定 ま る 行 列 

をYの

共分散

  (J.6)の 右 辺 を 級 数 展 開 す れ ば

(J.8) で あ る か ら,た

とえ ば

(J.9) (J.10) が 導 か れ る.こ

こ で, は,(1,…,2n)か

らn個

の互 い に異 な る対

 を取 り 出 す 仕 方 す べ て に わ た る 和 を表 す*38.し か ら決 ま る.こ   各Xjの

た が っ て,X1,…,Xnの

任 意 の 積 の 期 待 値 は 共 分 散E[XjXl]

れ は ガ ウ ス 型 確 率 ベ ク トル の 特 徴 の 一 つ が あ る.

特 性 関数 は

(J.11) で あ る の で,Xjは 定 理J.2 

分 散 がAjjの

ガ ウ ス 型 確 率 変 数 で あ る*39.

共 分 散 行 列 

X=(X1,…,Xn)の

が 正 定 値 で あ る ガ ウ ス 型 確 率 ベ ク トル

分布は

(J.12) で 与 え ら れ る.こ

証 明   定 理I.4を

こ で,det

Aは,行

応 用 す る.そ

を計 算 す る必 要 が あ る.線

列Aの

行 列 式 を表 す.

の た め には

形 代 数 で よ く知 ら れ て い る よ う に,正 定 値 実 対 称 行 列 は 適

当 な 直 交 行 列 を 用 い て 対 角 化 され る.す

な わ ち,あ

 と表 さ れ る.た

だ し, 

*38 例:  *39 

はAの

半 正 定 値 性 か ら容 易 に 導 か れ る

.

るn次

の 直 交 行 列Tが

存 在 して

はAの

固有

値 で あ る.そ

こ で, と

お けば 

し

たが っ て

さ ら に,  (J.12)が

  J.3 

に注意

す れ ば 

よ っ て,

得 ら れ る. 

■

ガ ウ ス型 確 率 過程

  集 合Tに よ っ て 添 え 字 付 け られ たIRd-値 確 率 変 数 の 族  (各X(t)は 同 一 の 確 率 空 間 上 のIRd-値 確 率 変 数)に つ い て ,す べ て の 自 然 数n∈INと すべ ての  に 対 して 確 率 ベ ク トル(X(t1),…,X(tn))が  をIRd-値

ガ ウ ス 型 で あ る と き,

の ガ ウ ス 型 確 率 過 程 とい う.

付録K  確率過程の連続性に対する判定条件 定 理K.1 

(コ ル モ ゴ ロ フの 連 続 性 定 理)a,b(a
間(Ω,Σ,P)上

の 実 数 値 確 率 過 程 とす る.定

実 数, 

数C>0,r,p(0
を確 率 空 あ っ て,不

等式

(K.1) が 成 り立 つ と仮 定 す る.0<α
固 定 す る.こ

と ん ど い た る と こ ろ の ω ∈ Ω に対 し て 定 数C(ω)>0が て の2進

有 理数s,tに

の と き,Pに

存 在 して,[a,b]の

関 して,ほ 中のす べ

対 して

(K.2) が 成 立 す る.

証 明   た と え ば,[19],p.

系K.2 

43,

定 理K.1の

Theorem

5.1を

参 照. 

■

仮 定 を 満 た す 確 率 過 程 

 を も ち,す べ て のs,t∈[a,b]に

は(Ω,B,P)上

に連 続 版

対 して

(K.3) が 成 立 す る.こ

こ でC(ω)は,s,tに

証明 

よ ら な い 定 数 で あ る.

が 成 立}と

す る.し

[a,b]の 中 の2進 有 理 数 の全 体 は,[a,b]で に よ り,Xt(ω)はtの Xt(ω)と

た が っ て, 

で あ る.

稠 密 で あ る か ら,ω ∈ Ω0に 対 して は,(K.2)

関 数 と して,[a,b]上

の 連 続 関 数 に 一 意 的 に拡 大 され る.こ

書 く.こ れ は Ω0上 の確 率 変 数 で あ り,Ω ＼Ω0上 で は,0と

全 体 へ と拡 張 され る.こ して,対 応:  し て(Xt1,…,Xtn)の て わ か る:各tjに

の 拡 張 もXt(ω)で

表 す.こ

は 連 続 で あ る.さ

ら に,任 意 の 

分 布 と(Xt1,…,Xtn)の

の と き,明 らか に,各ω

∈ Ω に対 に対

分 布 が 一 致 す る こ とが 次 の よ う に し

対 して, 

と な る2進

う な2進 有 理 数 に対 し て は,Xtの

れを

す る こ とに よ り,Ω

有 理 数 が 存 在 し,そ の よ

定 義 に よ り,任 意 の 実 数 αj,j=1,…,nに

 

対 して,

が成 り立つ.右 辺 は,Xt(ω)の 連続

性 と ル ベ ー グ の 優 収 束 定 理 に よ り,  よ っ て,tj(m)の

に収 束 す る.一 方,(K.1)に

適 当 な 部 分 列 

を とれ ば, 

した がっ て,ル ベ ー グ の 優 収 束 定理 に よ り, 

ゆ え に,  こ れ は(Xt1,…,Xtn)の

が 得 られ る.

特 性 関 数 と(Xt1,…,Xtn)の

い る か ら,分 布 の 一 意 性 定 理(定 理I.2)に は 一 致 す る.よ

っ て, 

よ っ て,こ

は 

そ れ が 一 致 す る こ と を示 し て れ ら二 つ の 確 率 ベ ク トル の 分 布

の連 続 版 で あ る.(K.3)は(K.2)か

ら極 限 移 行 す る こ と に よ り得 ら れ る*40.    一 般 に,T=[a,b]ま

た は[0,∞)上

のIRd-値

■ 関 数 ω に 対 して,定

数C>0が

存在

して

*40 定 数C(ω)に ば よ い.

つ い てい えば

, 

とす れ

が 成 り立 つ と き(α ∈(0,1]は   系K.2の  連 続 版 と 呼 ば れ る.

は,よ

定 数),ω

は 指 数 α の ヘ ル ダ ー 連 続 性 を もつ とい う.

り精 密 に は, 

ノ

ー

に対 す る,指 数 α の ヘ ル ダ ー

ト

  こ の 章 で 論 述 した 汎 関 数 積 分 法 は,量 子 場 の 理 論 の モ デ ル の研 究 に お い て も非 常 に 有 用 で あ り,強 力 で あ り う る.こ の 側 面 に つ い て は,た

と え ば,[6]や[8]を

参照 され

た い.   数 理 物 理 学 と の 関 連 に お い て 確 率 論 を 要 領 よ く簡 潔 に 解 説 した 邦 書 と して[21]が あ る.こ

の 本 や[20]は,本

章 に登 場 した確 率 過 程 の さ ら に 詳 細 な 性 質 や 数 理 物 理 的 発

展 を学 習 す る の に 役 立 つ で あ ろ う.   量 子 力 学 に お け る 経 路 積 分 の 物 理 的 ・発 見 法 的議 論 が ど ん な もの で あ る か を知 る に は,た

と え ば,[18]が

参 考 に な る か も しれ な い.し

は― 発 見 法 的 に は 有 用 で あ る とは い え―,理

か し,も

ち ろ ん,こ の 種 の 議 論 で

論 的 に 完 全 な 結 論 に 到 る こ と は で き な い.

第8章  演 習 問題 Hは 複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間 とす る. 1. 注 意8.1に 2. LをH上

述 べ た 事 実 を証 明 せ よ. の 下 に 有 界 な 自己 共 役 作 用 素 とす る.抽

象 的 な 熱 方 程 式(8.9)の

つ の 解 Ψ1(t) ,Ψ2(t)の 初 期 条 件 が 一 致 す る な ら ば,す が 成 り立 つ な らば,  3. H0は(8.22)に  

で あ る こ と を 示 せ.

よ っ て 定 義 さ れ る作 用 素 とす る.次

(ⅰ) ψ ∈L2(IRd)が

二

な わ ち, 

実 数 値 な らば,す べ て のt>0に

の 事 実 を 証 明 せ よ. 対 して,e-tH0ψ

も実 数

値 で あ る.  

(ⅱ) ψ ∈L2(IRd)が

非 負 な ら ば,す べ て のt>0に

対 して,e-tH0ψ

も非 負 で

あ る.  

(ⅲ)  ψ ∈L2(IRd)が t>0に

 

非 負 か つ ψ ≠0(L2(IRd)の

対 し て,e-tH0ψ>0(a.e.).

(ⅳ)  ψ ∈L1(IRd)な

らば

元 と し て)な

ら ば,す

べ ての

さらに

こ こ で,ψ(k):=(2π)-d/2∫IRde-ikxψ(x)dxは

ψ の フ ー リエ 変 換 を

表 す.

定 義(X,

μ)を 測 度 空 間 と し,TをL2(X,dμ)上

(a)f〓0, f〓L2(X,dμ)な

ら ば,常

保 存 す る(positivity

Tは

にTf〓0で

preserving)と

(b)f〓0,f〓L2(X,dμ)＼{0}な

の 有 界 な 線 形 作 用 素 と す る. あ る と き,Tは

い い,Tを

ら ば,常

正 値 性 を 改 良 す る(positivity

正値性 を

正 値 性 保 存 作 用 素 と 呼 ぶ.

にTf>0(μ-a.e.)で

improving)と

い い,Tを

あ る と き, 正 値性 改良

作 用 素 と 呼 ぶ.

注:演

習 問 題3-(ⅲ)に

よ っ て,す

べ て のt>0に

対 し て,e-tH0は

正値性 改

良 作 用 素 で あ る.

4. (X,u)を

測 度 空 間 と し,TをL2(X,dμ)上

の 有 界 な 線 形 作 用 素 とす る.

(ⅰ) す べ て の 非 負 関 数f,g〓L2(X,dμ)に

対 して,〈f,Tg〉〓0な

らば,Tは

正 値 性 保 存 作 用 素 で あ る こ と を 示 せ. (ⅱ) す べ て の 非 負 関 数f,g〓L2(x,dμ)＼{0}に Tは (ⅲ) Tが

対 して,〈f,Tg〉>0な

ら ば,

正 値 性 改 良作 用 素 で あ る こ と を 示 せ. 正 値 性 保 存 作 用 素(正 値 性 改 良 作 用 素)な

ら ば,T*も

正値 性保 存作

用 素(正 値 性 改 良作 用 素)で あ る こ と を 示 せ*41. 注:L2(X,dμ)上

の 下 に有 界 な 自己 共 役 作 用 素Hに

対 し て,e-tHが

正 値 性 改 良 作 用 素 な ら ば,Hの

つ い て,す べ て のt>0に 基 底 状 態 は(存 在 す れ ば)一

意 的 で あ り,か つ 基 底 状 態 と して μ に関 し て ほ と ん ど い た る と こ ろ 正 で あ る も の が とれ る こ と が 証 明 され る([6],定 用 素 の 概 念 は 重 要 で あ る.

*41 括 弧 に は括 弧 を対 応 させ て読 む .

理3.5.2).こ

の 意 味 で も,正 値 性 改 良 作

5. VをIRd上

の 連 続 な 関 数 で 下 に有 界 な も の とす る.こ

に対 して,e-tHvは ヒ ン ト:(8.72)と 6. A,BをH上

の と き,す べ て のt>0

正 値 性 改 良 作 用 素 で あ る こ と を 証 明 せ よ. 演 習 問 題3-(ⅲ)を

用 い よ.

の 下 に有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 と し,A+Bは

あ る とす る.さ

ら に,す べ て のt>0に

保 存 作 用 素 で あ る とす る.こ

対 して,e-tA,

の と き,す べ て のt>0に

本 質 的 に自己共 役で e-tBは

ともに正値 性

対 して,e-t(A+B)は

正 値 性 保 存 作 用 素 で あ る こ と を 証 明 せ よ. 7. 定 理8.28の

証 明 の 詳 細 を 埋 め よ.

8. 積分∫(IRd)2xydμL0s,t(x,y)を

直 接 計 算 す る こ と に よ り,(8.78)を

証 明 せ よ．

関連 図書 [1] 新 井 朝 雄,『

ヒ ル ベ ル ト空 間 と量 子 力 学 』,共 立 出 版,1997.

[2] 新 井 朝 雄,『 物 理 現 象 の 数 学 的 諸 原 理 』,共 立 出 版,2003. [3] 新 井 朝 雄 ・江 沢 洋,『 量 子 力 学 の 数 学 的 構 造Ⅰ 』,朝 倉 書 店,1999. [4] 新 井 朝 雄 ・江 沢 洋,『 量 子 力 学 の 数 学 的 構 造Ⅱ 』,朝 倉 書 店,1999. [5] 江 沢 洋,量

子 力 学 の 構 造,[22]の

第17章.

[6] 江 沢 洋 ・新 井 朝 雄,『 場 の 量 子 論 と 統 計 力 学 』,日 本 評 論 社,1988. [7] 藤原 大 輔,『 フ ァ イ ンマ ン経 路 積 分 の 数 学 的 方 法― 時 間 分 割 近 似 法 』,シ ュ プ リ ン ガ ー ・ フ ェ ア ラ ー ク 東 京,1999. [8] 廣 島 文 生,開 放 系 の ス ペ ク トル 解 析― 汎 関 数 積 分 に よ る ア プ ロ ー チ,荒 『数 理 物 理 へ の 誘 い4』(遊 星 社,2002)の 第6話,p.143-p.174. [9] Takashi Ichinose and Kato product formula

Hideo with

Tamura,The norm convergence error bound,Commun.Math.Phys.217(2001),

木不二洋 編

of the

Trotter

489-502. [10] 伊 藤 清,『 確 率 論 』,岩 波 書 店,1953. [11] 伊 藤 清三,『

ル ベ ー グ 積 分 入 門 』(12版),裳

華 房,1963,1974.

[12]  掛 下 伸 一,『 確 率 論 』,サ イ エ ン ス 社,1973. [13]  A.コ

ル モ ゴ ル フ 『確 率 論 の 基 礎 概 念 』(根 本 伸 司 訳),東

[14]  中 村徹,『

超 準 解 析 と 物 理 学 』,日 本 評 論 社,1998.

[15]  M.Reed Functional

and B.Simon,Methods Analysis,Academic

[16]  M.Reed

and

B.Simon,Methods

Self-adjointness,Fourier [17] M.Reed Analysis [18]  L.S.シ

of Modern Press,1972. of Modern

Analysis,Academic

and B.Simon,Methods of Operators,Academic

of Modern Press,1978.

京 図 書,1975.

Mathematical

Mathematical

Physics

Physics

Vol.Ⅰ:

Vol.Ⅱ:

Press,1975. Mathematical

ュ ル マ ン,『 フ ァ イ ン マ ン 経 路 積 分 』(高 塚 和 夫 訳),講

Physics

談 社,1995.

Vol.Ⅳ:

[19]  B.Simon,Functional 1979.

Integration

and

Quantum

Physics,Academic

[20]  保 江 邦 夫,『 数 理 物 理 学 方 法 序 説3量

子 力 学 』,日 本 評 論 社,2001.

[21]  保 江 邦 夫,『 数 理 物 理 学 方 法 序 説4確

率 論 』,日 本 評 論 社,2001.

[22]  湯 川 秀 樹 ・豊 田 利 幸 編,『 岩 波 講 座 現 代 物 理 学 の 基 礎[第2版]4量 書 店,1978.

Press,

子 力 学Ⅱ 』,岩 波

9 超対称 的量子力学

通 常 の 時空 の一 般 化 と して,外 的 な時 空 に加 えて,"ス ピンの 古 典力 学"を 記 述 す る"内 部 空間"を も取 り入 れ た超 空 間 の概 念 につ い て叙 述 す る.超 空 間 に は超 並 進群 と呼 ばれ る変 換群 が 作 用 し,こ の 変換 群 の対 称性 として古 典 力 学 的 レヴ ェル での 超 対称 性 が定 義 され る.古 典力 学 で の超 対 称性 は,量 子 力学 にお い て は,ボ ソ ン とフ ェ ル ミオ ン を対 等 に扱 う対 称 性 と して 現 れ る.超 対 称性 を もつ 量 子 力学― 超 対称 的 量 子 力 学― を公理 論 的 に定式 化 し,一 般 論 を展 開す る.こ れ に よ って超 対 称 的量 子 力 学 の普 遍 的 な数 学 的構 造 が 明 らか に され る.こ の普 遍 的 な レヴ ェル に おい て,超 対 称 的量 子 力学 は,超 対称 性 を もた な い量 子 力 学 に比 べ て興 味 深 い性 質 を もつ こ とが 示 唆 され る:摂 動 法が 破綻 す る 構 造 の 存在 や基 底 状 態 の 縮 退等 々.具 体 的 なモ デ ル の解 析 も行 う.

9.1 

  前 著[14]の4章

は じめ に― 超 対 称 性 と は ど うい う も の か

に お い て,量

子 的 粒 子 は 二 つ の 族,す

ボ ソ ン に 分 類 さ れ る こ と を 述 べ た.前 ち,後

者 は 非 負 整 数(0,

1, 2, …)の

ル ミ オ ン と ボ ソ ン は"物 場 合,フ

質"の

ェ ル ミ オ ン は"物

間 の 力 を 媒 介 す る.こ さ れ て",あ

ス ピ ン を も つ(ス

質"の

い わ ば"素

と え ば,原

材"で

ェ ル ミオ ン と ス ピンをも

ピ ン と 統 計 の 関 係).フ

あ り,ボ

子 核,原

子 や 分 子,そ

然 の こ と な が ら,そ

ェ くの

ソ ンは フェ ル ミオ ン

材 と し て の フ ェ ル ミ オ ン は"つ

と し て の 巨 視 的 物 質)が 生 み 出 さ れ る の で あ る*1.フ 的 性 質 の 違 い は,当

3/2, …)の

形 成 に あ た っ て 互 い に 異 な る 役 割 を 担 う.多

の 力 に よ り,素

る 構 造 体(た

な わ ち,フ

者 は 半 奇 数(1/2,

な ぎ合 わ

して そ れ らの 集 合体

ェ ル ミオ ン とボ ソ ンの 物理

の 数 学 的 形 式 に 反 映 して い る.そ

の一

*1  い う ま で も な く ,各 フ ェ ル ミオ ン ご と に,そ の フ ェ ル ミ オ ン ど う し の 力 を 媒 介 す る ボ ソ ン の 種 類 は 異 な り う る.た と え ば,核 子 ど う し の 力(核 力)は 中 間 子 とい う ボ ソ ン に よ っ て 媒 介 さ れ,電 さ れ る.

気 力 は,光

の 量 子 で あ る光子―

こ れ は ス ピ ン1の

ボ ソ ン― に よ っ て 媒 介

端 は,前 著[14]の4章   しか し,こ

で み た通 りで あ る.

う した 性 質 の違 い に も関 わ らず,フ

類 の対 象 と は み な い で,よ と も可 能 で あ る.平

ェ ル ミオ ン とボ ソ ン を別 の 種

り高 次 の 実 体 の 特 殊 分 節 とみ る統 一 的 観 点 を とる こ

た くい え ば,ボ

ソ ン と フ ェ ル ミ オ ンを あ る 意 味 で 同 等 に扱

う の で あ る.こ の よ う な観 点 を可 能 にす る一 つ の 数 学 的 構 造 と して 構 想 され た の が 超 対 称 性(supersymmetry)と

呼 ば れ る 対 称 性 の概 念 で あ る.こ の 対 称 性

は,描 像 的 に い え ば,時 空 の対 称 性 と内 部 対 称 性 を統 一 し,ボ ソ ン と フ ェ ル ミ オ ン を互 い に 関連 づ け る対 称 性 で あ る.超 対 称 性 は,歴 子 場 の 理 論 の コ ンテ クス トで導 入 され た(Wess-Zumino,

史 的 に は,相 対 論 的 量 1974).だ

が,非 相 対

論 的 な量 子 場 の理 論 や 有 限 自 由 度 の 量 子 力 学 に お い て も超 対 称 性 を考 え る こ と は可 能 で あ る.こ の 章 の 目 的 は,こ の 広 い 意 味 で の 超 対 称 的 量 子 力 学 の 基 本 的 な部 分 を叙 述 す る こ とで あ る,9.3節

以 降 に お い て示 され る よ うに,超 対 称 的量

子 力 学 は,通 常 の 量 子 力 学 に は な い興 味 深 い 側 面 を もっ て い る.

9.2  超 空 間,超 場 お よび超 対 称 性 代 数

  超 対 称 的 量 子 力 学 の数 学 的 理 論 を定 式 化 す る前 に,古 典 力 学 的 次 元 にお い て, 超 対 称 性 が ど うい う もの で あ る か に つ い て の 発 見 法 的 な議 論 を して お こ う.   前 節 で 述 べ た よ う に,超 対 称 性 は ボ ソ ン と フ ェ ル ミオ ン を関 連 づ け る とい う 意 味 に お い て,本 質 的 に は,量 子 論 的 な概 念 で あ る.し か し,超 対 称 性 の,古 典 力 学 にお け る 対 応 物 を考 え る こ と は可 能 で あ り,こ れ に よ って,通 常 の 時 空 間の 拡 大 と して の"超 空 間"(superspace)と か れ る.ま ず,こ

い う概 念 が,あ る意 味 で は 自然 に導

れ が ど の よ う な もの で あ る か を簡 単 な例 に よ っ て示 そ う.

  通 常 の 古 典 力 学 の 正 準 量子 化 にお い て は,正 準 交 換 関 係 を通 して,座 標 と運 動 量 が ヒ ルベ ル ト空 間 上 の 作 用 素 に対 応 させ られ る.し か し,こ の場 合,ス

ピ

ンの こ と は考 慮 され て お らず,さ

しあ た っ て は,ス

ピ ンが0の

学 的記 述 で あ る と考 え られ る.ス

ピ ン自 由度 は,あ

とか ら内 部 自 由度 と して つ

け加 え るの が 普 通 で あ る.も

ボ ソ ンの 量 子 力

し,古 典 力 学 の レ ヴ ェ ル で もス ピ ン 自由度 に対 応

す る もの を記 述 し よう 思 うな ら ば,通 常 の座 標,運 動 量 変 数 の ほ か に 別 の い わ ば"内 的 な"力 学 変 数 を導 入 す る 必 要 が あ る で あ ろ う.こ れ が どの よ うな もの

で あ る べ き か を さ ぐ る た め に,フ い も の,す

な わ ち,ス

ェ ル ミオ ンの う ちで もス ピ ンの 値 が 最 も小 さ

ピ ン が1/2の

素 粒 子― た と え ば 電 子―

を考 え て み よ う.

こ の 素 粒 子 の ス ピ ン 作 用 素S=(S1,S2,S3)はSj=(h/2)σj({σj}3j リ行 列)に

よ っ て 与 え ら れ,こ

=1は

パ ウ

れ らは 反 交 換 関 係

(9.1) を 満 た す*2.(9.1)の ピ ン 作 用 素 は,"古

右 辺 は,古

典 的 極 限 ん →0を

典 的 に は",何

と る と き,0に

な る の で,ス

か あ る 反 可 換 な 量 の 組(θ1, θ2, θ3)で表 さ れ る

と 考 え ら れ る:

(9.2) パ ウ リ行 列 は σjσk=Σ3l=1iεjklσl(εjklは で,ス

ピ ン 作 用 素 の 成 分 の う ち,独

し て も 一 般 性 を 失 わ な い.し 理 論 が あ る とす れ ば,そ る で あ ろ う.逆 立 な"力

典 力 学 系"が

あ っ て,そ

み な す こ とが で き る.以

ン 的 変 数 ま た は フ ェ ル ミ オ ン 的 座 標 と い う こ と に す る.こ 元 時 空 の 点(t, x1, x2, x3)〓IR4と

, S2と

ピ ンの 力 学 に対 応 す る古 典 的 な 力 学

関 係 式 で あ る と み 直 す の で あ る.こ

わ ば"古 典 的 ス ピ ン力 学 変 数"と

れ ら をS1

か あ る 反 可 換 な 代 数 的 対 象 θ1,θ2を 二 つ の 独

す る よ う な"古

に お け るj, k=1,2の

満 たす の

つ の 独 立 な 反 可 換 変 数 θ1,θ2を 用 い て 記 述 さ れ

に い う な ら ば,何

学 変 数"と

立 な もの は 二 つ で あ り,そ

た が っ て,ス

れ は,二

レ ヴ イ ・チ ビ タ 記 号)を

の"量 子 化"が(9.1) の 場 合,(θ1, θ2)は い 後,こ

れ を フ ェル ミオ

う して,通

常 の4次

フ ェ ル ミ オ ン 的 変 数 の 組(θ1, θ2)を あ わ せ た

も の(t, x1, x2, x3, θ1,θ2)か ら な る 空 間 を 想 像 す る こ と が で き る.こ

れ が"超

間"と

も含 め た古

呼 ば れ る 空 間 に 対 す る 素 朴 な 描 像 で あ る."古

典 力 学 を つ くる に は,通

常 の 古 典 力 学 の 枠 組 み を"超

典 的 ス ピ ン"を 空 間"の

空

上 に拡 張 す れ ば よ

い で あ ろ う こ と は 容 易 に 推 測 さ れ よ う.   "超 空 間"に お い て は,時 空 点(t, x1, x2, x3)と を"混

ぜ 合 わ せ る"変

る 困 難 に 出 会 う.た *2  古 典 的 極 限h AB+BA.

→0を

換 が 考 え ら れ る.と と え ば,"超

空 間"の

考 え た い の で ,hを

フ ェ ル ミ オ ン 的 変 数 の 組(θ1, θ2)

こ ろ が,そ

の種 の 変 換 を考 え る と あ

点 の 第 一 成 分 の 座 標tがt+θ1θ2と

復 活 させ た.{・,・}は

反 交 換 子:{A,B}:=

な る よ う な 変 換 を 考 え て み よ う.こ が な い,だ

が,実

数 で あ る と す る と θ=0と

θ2=θ1θ2θ1θ2=-θ21θ22=0).他 言 及 し た,"超 唆 す る.つ

の 場 合,θ:=θ1θ2は

な っ て し ま う(∵(9.2)を

の 成 分 の 変 換 に つ い て も 同 様.こ

使 う と, れ は,上

に

空 間"に 対 す る 素 朴 な 描 像 が 修 正 さ れ な け れ ば な ら な い こ と を 示

ま り,超 空 間 が 数 学 的 に 存 在 す る と す れ ば,そ

ル ミオ ン 的 座 標 と 同 様 に,実

数 で は あ り え な い.こ

も っ と き ち ん と した 考 察 を行 う こ と に よ り,以 の 真 の 姿 が 見 い だ さ れ る.な は,9.3節

実数 でなけ れば意味

お,超

の 時 空 の 座 標 も,フ

ェ

れ を 動 機 づ け の 一 つ と し て,

下 に 叙 述 す る よ う に,"超

空 間"

対 称 的 量 子 力 学 をす ぐに も学 習 した い 読 者

か ら 読 み 進 ん で 差 し支 え な い(こ

の 節 の 残 りの 内 容 を 知 ら な く て も,

9.3節 以 降 の 数 学 的 内 容 は 理 解 で き る よ う に 書 か れ て い る).

  9.2.1 

超 空 間 と 超 場

  単 位 元eと 数 をAと

可 算 無 限 個 の 元υn(n=1,2,…)か

し よ う.す

な わ ち,Aは

ら生 成 され る グ ラ ス マ ン代

無 限 次 元 代 数 で あ り,υnは

(9.3) を 満 た し,Aの

任 意 の 元Aは

(9.4)

(9.5)

と い う形 で 与 え ら れ る.こ 反 対 称 で あ り,(9.4)の (9.5)の

こ で,A0〓C,

右 辺 の 和 は,Aご

Ai1…ip〓Cは(i1,

に,A(p)の

関 して

と に 定 ま る 有 限 項 に わ た る 和 で あ り,

第 二 式 の 和 も 有 限 項 に わ た る 和 で あ る*3.グ

ラ ス マ ン 数 とい い,特

…, ip)に

形 の 元 を 次 数pの

*3 無 限 次 元 グラ ス マ ン代 数 の基 本 的 モ デ ル の 一 つ は

ラ ス マ ン代 数Aの

元 をグ

グ ラ ス マ ン 数 と い う.

,無 限 次 元 ベ ク トル空 間Vか らつ く られ る外 積 代 数∧(V):= ∞p=0∧p(V)で あ る[∧p(V):= pasVはVのp重 反 対 称 代 数 的 テ ン ソル 積([14], 4章)].Vが ヒル ベ ル ト空 間 で あ れ ば,∧(V)の 閉包は V上 の フ ェ ル ミオ ン フ ォ ック空 間Fas(V)で あ る([14], 4章).∧(V)に お け る 積演 算 は外 積∧ に よ っ て与 え る.す なわ ち,任 意 のu= ∞p=0u(p), υ= ∞p=0υ(p)〓

  次 数 が 偶 数 で あ る グ ラス マ ン数 の1次

結 合 が な す 部 分 空 間 をA+,次

数 で あ る グ ラス マ ン数 の1次 結 合 が な す 部 分 空 間 をA_と

す れ ば,明

数が奇 らか に

(9.6) と 直 和 分 解 さ れ る.A+は

部 分 代 数 を な す が,A_は

そ う で は な い.実

際,容

易

にわかる ように

(9.7) が 成 り立 つ.さ

ら に,(9.3)に

可 換 で あ り,A_の

よ っ て,A+の

任 意 の 元 は 任 意 の グ ラ ス マ ン数 と

任 意 の 二 つ の 元 は 反 可 換 で あ る.特

に

(9.8) が 成 立 す る.   自 然数m,

nに

対 して

(9.9) と す る.こ

れ らの 直和

(9.10) を 超 空 間 と い う.Bmの θ=(θ1,… xを

元xとSnの

元 θ を そ れ ぞ れ,x=(x0,x1,…,xm-1),

θn)と 記 す[xμ〓A+(μ=0,…,m-1), θa〓A_(a=1,…,n)].

時 空 変 数,θ

を 内 部 変 数 ま た は フ ェ ル ミ オ ン 的 変 数 と呼 ぶ.m=4,

の 場 合,す

な わ ち,A4,2が,上

つ ま り,時

空 の 座 標 の お の お の をA+の

そ れ ぞ れ はA_の

n=2

で 素 朴 な 形 で 考 え た 超 空 間 の 厳 密 な 形 を 与 え る. 元 と し て,ま

元 と し て 解 釈 し直 す の で あ る.こ

た"古 典 的 ス ピ ン座 標"の う す る こ と に よ り,時

空座

標 と フ ェ ル ミ オ ン 的 変 数 を 混 合 す る 変 換 が 可 能 に な る. ∧(V)に

対 し て,uυ:=u∧υ:= p,qu(p)∧υ(q).Vの

基 底 を{υn}∞n=1と

 (有 限 項 に わ た る 和)と i1, …, ipに

関 し て 反 対 称).

す れ ば,

書 け る(ui1…ip〓Cは

  超 空 間Am, nか F(Am,n)で 表 す ぶ よ う に,こ

らAへ .通

の 写 像 を 超 場(superfield)と

呼 ぶ.超

常 の 時 空 上 の 関 数 や ベ ク トル 場,テ

場全体の集合 を

ン ソ ル 場 を 古 典 場 と呼

こ で 定 義 し た 意 味 で の 超 場 は 超 空 間 上 の 古 典 場 で あ る.以

下 で は,

こ の 古 典 場 に 関 す る 理 論 の 一 部 を叙 述 す る こ と に な る*4 .

  9.2.2 

超

並

  通 常 の(d+1)次

進

群

元 時 空IRd+1に

群 で あ っ た(こ れ も同 じ記 号IRd+1で

お け る 単 純 で 自然 な 変 換 群 の 一 つ は,並 進 書 か れ る)(第4章

を参 照).超 空 間 にお い

て も この 種 の 変 換 群 を考 察 す る の は 自然 で あ る.こ の場 合,超 対 称 性 とい う観 点 を 考 慮 す る と,時 空 変 数 と内 部 変 数 が 混 合 す る よ うな 並 進 が よ り意 味 の あ る もの で あ ろ う こ とが 予 想 され る.以 下 の 論 述 は,純 数 学 的 に は,こ の動 機 づ け の も と に発 見 さ れ る 理 論 内 容 の 一 部 で あ る.   内 部 変 数 θ〓Snの 1,…,n)を

成 分 の 添 え 字 と して,英

用 い る(し た が っ て,θ の 第a成

  各a,b=1,…,n,に

対 して,Bmの

語 の 小 文 字a, b, …,(a,b=

分 は θaと 表 され る).

元γabで

(9.11) を 満 た す も の を任 意 に 一 つ 固 定 し(た だ し,γμabのう ち,少 い と す る),任

意 の 二 つ の 元(x,θ), (y,ξ)〓Am,nに

な く と も一 つ は0で

な

対 し て ,積 演 算(x,θ)(y,ξ)〓

Am,nを

(9.12) に よ っ て 定 義 す る.た

だ し

(9.13) 右 辺 第 三 項 の 各 因 子γμabθaξbはA+の つ.定

元 で あ る か ら,こ の 定 義 は 確 か に 意 味 を も

義 に 即 し た 直 接 の 計 算 に よ り,Am,nは,こ

が わ か る.単

位 元 は(0, 0)で あ り,(x,θ)〓Am,nの

の 演 算 に 関 して 群 に な る こ と 逆 元 は(-x, -θ)で

あ る(こ

*4  念 の た め に述 べ てお くと ,こ の節 の 内容 は量 子 論 で は な い.だ が,以 下 に述べ る超 並 進 群 に 関 わ る代 数 的 構 造 自体 は超 対称 的量 子 論 へ と直接 に接 続 す る.

こ に 性 質(9.11)が

き く;Σna,b=1γμabθaθb=0).こ

0,…,m-1,a,b=1,…,n}に と い う.こ る.変

れ をTA

が0で

同 伴 す る 超 並 進 群(super ,γで 表 す*5.超

並 進 群 はAm,

換 群 と し て の 超 並 進 群 の 元(y,

(supersymmetric

の 群 をAとγ:={γμab｜

transformation)と

あ る も の(y, 0)は,物

group)

n上

の変 換 群 とみ る こ とが で き

ξ)で ξ ≠0で

ある ものを超対称 的変換

い う*6.他

理 的 に は,時

 超 並 進 群 の 各 元(y,ξ)〓TA,γ

translation

μ=

方,超

並 進 群 の元 で 内 部 変 数

空 上 の 並 進 を 表 す.

に 対 し て,写

像T(y,ξ):F(Am,n)→F(Am,n)

を

(9.14) に よっ て定 義 す れ ば,容 易 に わ か る よ うに,対 応:(y,ξ)〓T(y TA,γ のF(Am,n)上   第4章

,ξ)は,超 並 進 群

で の表 現 で あ る.

で み た よ う に,通 常 の並 進 群IRdはIRd上

の 関 数 空 間上 に 自然 な表 現

を も ち,そ の 生 成 子 は座 標 変 数 に関 す る偏 微 分 作 用 素 で 与 え られ る.こ れ との ア ナ ロ ジー か ら い え ば,超 並 進 群 に 関 す る上 述 の 表 現 の生 成 子 は― 存 在 す る と す れ ば"―

グ ラス マ ン数 に関 す る偏 微 分 作 用 素"(発 見 法 的 に は,そ の よ う な も

のが あ る と想 定 され る)を 用 い て与 え られ るで あ ろ う こ とが 推 測 さ れ る.実 際, こ の推 測 は正 しい.こ の 事 実 を正 確 に述 べ る た め に,次

に グ ラ ス マ ン数 に関 す

る偏 微 分 作 用 素 の 概 念 を定 義 す る.

  9.2.3 

グ ラ ス マ ン 数 に 関 す る偏 微 分

  xμ〓A+(μ=0,…,m-1)で (a=1,…,n)で

生 成 さ れ る 多 項 式 の 全 体 をp+m,eと

生 成 さ れ る 多 項 式 の 全 体 をp-nと

θa〓A_

し

(9.15) を 定 義 す る.(pm,nの し て,写

像 ∂μ:pm

元 をAm,n上 ,n→pm,nを

*5  以下 の論 述 に お い て

の 多 項 式 と 呼 ぶ.各

μ=0,…,m-1に

次 の よ う に 定 義 す る:∂μα:=0,

対 ∀α 〓A;

,m=1, n=1と い う最 も簡 単 な場 合 を念頭 にお くと理解 が しや す い であ ろ う. *6 ξ ≠0な らば ,(y, ξ)は 時 空 変 数 と内部 変 数 を真 に混 合 す る こ と に よ る.

(9.16)

(x=(x0,…,xm-1)∈Bm,0〓

μj〓m-1,p∈IN,Q∈P-n).た

δν μ:=δμν は ク ロ ネ ッ カ ー の デ ル タ で あ り,xμjは 表 す 記 号 で あ る.Pm,nの xμ ∈A+に

だ し,

和 に お い てxμjを

除 くこ とを

任 意 の 元 に 対 し て は 線 形 性 に よ っ て 拡 張 す る.∂μ

を

関 す る偏 微 分 作 用 素 と い う.

  各a=1,…,n,に

対 し て,θaに

関 す る 偏 微 分 作 用 素 ∂a:Pm,n→Pm,nは

次 の よ う に 定 義 さ れ る*7:∂aP:=0,∀P∈P+m;∂aα:=0,∀

α ∈A;

(9.17)

(θ=(θ1,…,θn)∈Sn,1〓al〓n,q∈IN,P∈P+m).右 (-1)l-1に

注 意.∂ μ の 場 合 と 同 様,Pm,nの

張 す る.た

だ し,任 意 のF∈Pm,nに

α ∈A-な

ら ば ∂a(αF):=-α

辺 の符 号因子 任 意 の 元 に 対 して は 線 形 性 に よ っ て 拡

対 して,α ∈A+な ∂aFと

ら ば ∂a(αF):=α

∂αF,

す る.

  次 の 関 係 式 を 示 す の は 難 し くな い:

(9.18) (9.19) こ こで,注

目 すべ き は,時 空 変 数xに

関す る偏 微 分 作 用 素 ど う し,お よ び時 空

変 数 に 関 す る偏 微 分 作 用 素 と内 部 変 数 に 関す る偏 微 分 作 用 素 は 可 換 で あ る が, (9.19)が 示 す に よ うに,内 部 変 数 に関 す る偏 微 分作 用素 ど う しは 反可 換 で あ る. 特に

(9.20) *7  こ こ では

,記 号 上 の 簡 略 化 の た め,添 え字 の種 類 で 異 な る種 類 の 変数 に 関す る偏微 分作 用素 を区 別す る.

 作 用 素 ∂aの 定 義 か ら容 易 に わか る よ う に,任 意 の ξ ∈A-に

対 して

(9.21) ま た,任

意 の ξ,∈∈A-に

対 して

(9.22)   偏 微 分 作 用 素 

に対 して,写

像 

を

(9.23) に よ っ て 定 義 す る.Φ 項 式 で あ る の で,右

はxμ,θa(μ=0,…,m-1,a=1,…,n)に

辺 は,実

際 に は,有

の 定 義 は 意 味 を も つ.e∈AをAに

  9.2.4 

関す る多

限 項 に わ た る 和 に な る.し

た が っ て,こ

関 す る 指 数 型 作 用 素 と い う.

超 並 進 群 の 生 成 子 と超 対 称 性 代 数

  超 並 進 群 の 表 現T(y,ξ)((y,ξ)∈TA,γ)の

生 成 子 を 求 め よ う.簡

単 の た め,次

の 二 つ の 場 合 に 分 け て 考 察 す る.  

(ⅰ) ξ=0の

IRd上

場 合.す

な わ ち,(T(y,0)Φ)(x,θ)=Φ(x-y,θ).こ

の 場 合 は,

の 並 進 群 の 場 合 と同様 に して

(9.24) が わ か る.  

(ⅱ)  y=0の

場 合.す

な わ ち,(T(0,ξ)Φ)(x,θ)=Φ(x-z,θ-ξ).た  .各a=1,…,nに

対 し て,Pm,n上

だ し, の 作 用 素Daを

(9.25) に よ っ て 定 義 す る.容

易 に わ か る よ う に,各a=1,…,nと

任 意 の ξ ∈A-に

対 して

(9.26)

し た が っ て,特

に

(9.27) ゆ え に,任

意 の Φ ∈Fm,n(A)に

対 して

Φ(x,θ)=(x0)k0…(xm-1)km(θ1)α1…(θn)αn(kμ

∈{0}∪IN,αj=0,1)と

い う形 の Φ を と り,右 辺 を計 算 す る と,右 辺 は Φ(x-za,θ-ξa)に か る.た

等 しい こ と が わ

だ し, 

に 注 意].し

たがって

(9.28) これ か らわ か る よ う に,作 用 素Daは る の で 超 対 称 荷(supercharge)と

超 対称的変換 の表現 に関わる生成子で あ

呼 ば れ る.

  以 上 か ら,超 並 進 群 の 表 現T(y,ξ)は 偏微 分 作 用 素 ∂μ と超 対 称 荷Daか

ら生

成 され る こ とが わ か る.こ れ らの生 成 子 が 反 交 換 関 係

(9.29) を満 た す こ とを 証 明 す る の は難 し くな い(直 接 計 算*8).ま

た

(9.30) 関 係 式(9.29)は,内

部 的 自 由 度 と外 部 自 由 度(時

空 に 関 わ る 自 由 度)を

生成子

の 次 元 で 関 連 付 け る 代 数 的 構 造 とみ る こ と が で き る.   作 用 素 の 組{Da,∂

μ￨a=1,…,n,μ=0,1,…,m-1}に

代 数 を 超 対 称 性 代 数(supersymmetry (9.29),(9.30)が

*8 

algebra)と

よ っ て生 成 され る い う.関

係 式(9.18),(9.19),

そ の 構 造 を 統 制 す る.

等 を使 う

.

  9.2.5 

ボ ソ ン的 超 場 の 空 間 と フ ェル ミ オ ン的 超 場 の 空 間

 任 意 の Φ ∈Pm,nは

(9.31) と い う 形 に 書 け る.た 0,a=1,…,nに

だ し,φ,φi1…iqはBm上

よ り,q〓n+1な

のA値

多 項 式 で あ る((θa)2=

ら ば,θi1…θiq=0).そ

こで

(9.32) (9.33) とお け ば

(9.34) し た が っ て,Φ+の

型 の 多 項 式 で 生 成 さ れ る 部 分 空 間 をP+,Φ-の

で 生 成 さ れ る 部 分 空 間 をP-と

型 の 多項 式

す れば

 (ベ ク トル 空 間 と し て の 直 和) が 成 り立 つ.P+,P-を

そ れ ぞ れ,古

典 的 な 意 味 で の ボ ソ ン 的 超 場 の 空 間,フ

ェ

ル ミ オ ン的 超 場 の 空 間 と い う.   式(9.31)は,各x∈Am+を {e,θi1… き る.こ

と め て 考 え る な ら ば,Φ(x,・)をPnの

θiq￨1〓i1<…
よ っ て 展 開 した 式 とみ る こ とが で

の 場 合,{φ(x),φi1…iq(x)￨1〓i1<…
す る,Φ(x,・)の 分 と して,時

成 分 で あ る.こ

う して,一

り,φi1…iqはqが

の 基底 に 関

つ の 実 体 で あ る 超 場 Φ か ら,そ

空 上 の 場 φ,φi1…iqが 派 生(分

節)す

る.φ

う し て,前

の成

は 古 典 的 ボ ー ス場 で あ

奇 数 な ら ば 古 典 的 フ ェ ル ミ場 を 表 し,qが

ボ ー ス 場 を 表 す と 解 釈 さ れ る.こ

基 底

偶 数 な ら ば古 典 的

節 で 述 べ た超 対 称 性 につ い て の描

像 が 少 な く と も古 典 場 の レ ヴ ェ ル で は 数 学 的 に 厳 密 な 形 で 定 式 化 さ れ る.   P±:Pm,n→P±

を射 影 作 用 素 と し 

(9.35)

と し よう.こ

の と き,τ

≠Iで

あ り

(9.36) (9.37) が 成 立 す る(∵(9.36)の

第 一 式 は 直 接 計 算,第

二 式 は,∂μ がP±

不 変 に す る こ と に よ る.(9.37)は,DaがP± よ る).こ (9.37)を

をP〓(複

号同順)に

をそれぞれ 移 す こ とに

れ ら の 関 係 式 も超 対 称 性 の 構 造 を 反 映 し て い る の で,(9.29),(9.36), あ わ せ て 超 対 称 性 の 代 数 的 構 造 を規 定 す る 関 係 式 と み る べ き で あ る.

  9.2.6 

拡 大 さ れ た超 対 称 性

  ス ピ ン の ほ か に,ス 対 称 荷Daは

ピ ン と は 異 な る 内 部 自 由 度 を 有 す る 超 場 の 場 合 に は,超

そ の 内 部 自 由 度 の 数―N〓1と

D(1)a,…,D(N)aと

す る.こ

し よ う―

だ け 増 え る.そ

れ らを

の 場 合 に は,(9.29)は

(9.38) と い う 形 を と る.作 1,…,N}に

よ っ て 生 成 さ れ る 代 数 を 拡 大 さ れ た 超 対 称 性 代 数(extended

persymmetry

  9.2.7 

用 素 の 組{D(j)a,∂ μ￨a=1,…,n,μ=0,1,…,m-1,j=

algebra)と

量

子

  図 式 的 に は,上

論

い う.

へ

述 の 古 典 的 超 場 の 理 論 を"量 子 化"す

場 の 量 子 論(supersymmetric

quantum

前 著[14]の4章,4.3節,4.4節 理 論 は 無 限 自 由 度 のCCRの

方,フ

ェ ル ミ場(フ

anti-commutation

*9  内 積 空 間 κ に よ が す べ て のf,

g∈

field theory)が

得 ら れ る こ と に な る. ー ス 場(ボ

ソ ンの 量 子

ヒ ル ベ ル ト空 間 表 現 と し て 捉 え ら れ る.他

ェ ル ミ オ ン の 量 子 場)の

と し て 把 握 さ れ る*9.超

る こ と に よ り,超 対 称 的

で ふ れ た た よ う に,ボ

場)の

係(canonical

su

relations;

理 論 は,無 CARと

対 称 的 な 場 の 量 子 論 は,ボ

限 自由 度 の正 準 反交 換 関 略)の

ヒ ル ベ ル ト空 間 表 現

ー ス 場 と フ ェ ル ミ場 を超 対

っ て 添 え 字 付 け ら れ た 代 数 的 対 象 の 集 合{B(f),B(f)†,I￨f∈ κ に 対 し て,{B(f),B(g)†}=〈f,g〉

κI,{B(f),B(g)}=0,

κ}

称 性 と 調 和 す る 形 で 扱 う.ゆ

え に,超

は,《 無 隈 自 由 度 のCCRとCAR+拡 も含 む)》   (9.38)に

対 称 的 場 の 量 子 論 と い う の は,数

学的 に

大 さ れ た 超 対 称 性 代 数((9.36),(9.37)

の ヒ ル ベ ル ト空 間 表 現 の 一 部 と み る こ と が で き る. 関 す る 特 殊 な 場 合 と し て,γ0ab=iδab,γμab=0,μ=1,…,m-1(i

は 虚 数 単 位)の

場 合を考え

(9.39) とお く と

(9.40) とい う代 数 関 係 式 が 得 られ る.特

に

(9.41) これ は,時 空次 元 が1+0の

場 の理 論,す な わ ち,有 限 自 由度 の超 対 称 的古 典力 学 に

対 応 す る.こ の クラ スの古 典 力 学 の量 子版 が超 対 称 的量 子 力学(supersymmetric quantum

mechanics)と

呼 ば れ る もの で あ る.こ れ は,数 学 的 に は,《 有 限 自由

度 のCCR+(9.40),(9.36),(9.37)を て捉 え られ る.こ の 場 合,P0は

満 た す代 数 》の ヒルベ ル ト空 間 表 現 と し 時 間並 進 の生 成子 で あ る の で,P0の

表 現 は考 察

下 の 量 子 系 の ハ ミル トニ ア ン と して解 釈 され る こ とに な る.次 の節 で は,こ の 観 点 に 立 って,超 対 称 的 量子 力 学 を公 理 論 的 に定 式 化 し,そ の性 質 を調 べ る*10.

9.3 

公 理 論 的超 対 称 的 量子 力学

  超 対 称 的 量 子 力 学 の公 理 論 的 定 式 化 の た め の 鍵 とな る ア イデ ア は,す で に 示 唆 した よ う に,超 対 称 性 代 数 の 基 本 的 関 係 式(9.36),(9.37),(9.40)を

満たす

代 数 的 対 象 を ヒ ルベ ル ト空 間 上 の 自己 共 役 作 用 素 を用 い て 実 現 し,こ れ で もっ て 超 対 称 的 量 子 力 学 を定 義 す る こ とで あ る.  

{B(f)†,B(g)†}=0,[I,B(f)]=0,[I,B(g)†]=0を 満 た す と き,こ れ らの 関係 式 を κ に よ って添 え字 付 け られ た正 準 反 交 換 関係(CAR)と 呼 ぶ.こ の場 合,κ が 有 限 次 元 な らば,有 限 自 由度 のCAR,κ が 無 限次 元 な らば,無 限 自由度 のCARと い う. フ ェル ミ場 の 理論 とCCRの 表 現 の 関係 の詳 細 に つ いて は,た とえば,[10]の5章 およ

び[11]の11章 を参照. *10 拡 大 され た超 対 称 性 代 数(9

.40)の 簡 単 な表現 につ い て は,演 習 問 題1∼7を

参 照.

  9.3.1 

定 義9.1 

定

義

N〓1を

自 然 数 と す る.ヒ

役 作 用 素H,Ql(l=1,…,N),Γ (Ql≠0,l=1,…,N)が

ル ベ ル ト空 間Hと

そ こ で働 く 自己 共

か ら つ く ら れ る 四 つ 組{H,H,(Ql)Nl=1,Γ} 以 下 の 条 件 を 満 た す と き,こ

つ 超 対 称 的 量 子 力 学(supersymmetric

quantum

れ をN-超

mechanis;

対称 性 を も

SQMと略

す)と

い う:   (S.1) Γ2=I(恒

等 作 用 素).

  (S.2)  H=Q2l,l=1,…,N(Hはlに   (S.3)  作 用 素Γ

は 各Qlの

よ ら な い). 定 義 域D(Ql)を

関 係{Γ,Ql)=0(l=1,…,N)を

不 変 に し,D(Ql)上

で,反

交換

満 た す.

  (S.4)  任 意 のl,k=1,…,N,l≠kに

対 し て,QlとQkはD(Ql)∩D(Qk)

上 の 準 双 線 形 形 式 の 意 味 で 反 可 換 で あ る:

(9.42) 作 用 素Qlを

注 意9.1 

超 対 称 荷(supercharge),Hを

{H,(Ql)Nl=1,Γ}を9.2.7項

超 対 称 的 ハ ミ ル トニ ア ン と 呼 ぶ.

で 述 べ た 超 対 称 性 代 数 の ヒ ル ベ ル ト空 間

表 現 と し て み た 場 合 の 対 応 は 次 の 通 り:D(j)a→Ql[(a,j)を てlに

対 応 さ せ る;し

で あ る],P0→H,τ

た が っ て,こ →Γ.な

こ で のNは,9.2.7項

一 つ の 添 え字 とみ のNで

お,(S.4)は(a,j)≠(b,k)の(9.40)の

は な く,nN 表現 を

作 用 素 論 的 に よ り一 般 的 な 形 で 捉 え た も の で あ る.

注 意9.2 

ス ペ ク ト ル 定 理 に よ り,Q2l=￨Ql￨2で

あ る の で,(S.2)は

(9.43) を 意 味 す る.し

た が っ て,特

にD(H1/2)=D(￨Ql￨)=D(Ql).ゆ

え に,実

は,

(9.44) で あ る.

例9.1 

ヒル ベ ル ト空 間 

に お い て 働 く作 用 素H, Q, Γ

を

次 の よ う に定 義 す る:   H=-Δ(Δ

は3次

元 の 一 般 化 さ れ た ラ プ ラ シ ア ン),

 

[質量 が0の 自由 なデ ィラ ック作用 素(2.10節

を参照)]

 Γ=β. この と き, 

は1-超 対 称 性 を もつ 超 対 称 的 量 子 力 学 で あ る([14]

の3章,3.4節

を参 照).す

な わ ち,質 量0の

自 由 な デ ィ ラ ッ ク作 用 素 は,あ

る超 対 称

的 量 子 力 学 の 超 対 称 荷 と み る こ と もで き る.

  超 対 称 的 量 子 力 学 の 例(モ

デ ル)は

ほ か に も た く さ ん 存 在 す る.だ

が,ま

ず,

上 述 の 公 理 系 か ら 導 か れ る 一 般 的 結 果 を 叙 述 す る こ と に す る.   以 下,{H,H,(Ql)Nl=1,Γ}をN-超

対 称 性 を も つ 超 対 称 的 量 子 力 学 と す る.

  9.3.2 

ス ペ ク トル に 関 す る 基 本 的 性 質

命 題9.2 

(ⅰ)H〓0.(ⅱ)各Qlの

離 散 ス ペ ク トル σd(Ql),真 称 で あ る.す

な わ ち,λ

れ か を表 す)な 値-λ

ら ば-λ

∈ σp(Ql)の

ス ペ ク トル σ(Ql),点 性 ス ペ ク トル σess(Ql)は

∈ σ#(Ql)(σ#(Ql)は ∈ σ#(Ql).特

に,固

ス ペ ク トル σp(Ql),

い ず れ も原 点 に 関 し て 対

言 及 した ス ペ ク ト ル 集 合 の い ず 有 値 λ ∈ σp(Ql)の

多 重 度 と固 有

多 重 度 は 等 し い.

証 明   (ⅰ)は(S.2)とQlの

自 己 共 役 性 に よ る.(ⅱ)条

件(S.1)はΓ

が 自己 共 役

な ユ ニ タ リ作 用 素 で あ り

(9.45) が成 り立 つ こ と を 意 味 す る.こ

れ と(S.3)に

よ り,作

用素 の等式

(9.46) が 成 り 立 つ.こ

れ と ス ペ ク トル の ユ ニ タ リ不 変性([13,命

σ(Ql)=σ(-Ql).こ こ れ と[13]の 命 題2.24を

れ は σ(Ql)が

題2.24])に

よ り,

原 点 に つ い て 対 称 で あ る こ と を 意 味 す る.

応 用 す れ ば,σp(Ql)に

つ い て の 結 果 が 得 ら れ る.σd(Ql)

に つ い て も 同 様.σess(Ql)=σ(Ql)＼

σd(Ql)で

あ る か ら,σess(Ql)も

原 点 に関

して 対 称 で あ る. 

  9.3.3 

■

同伴 す る超 対 称 荷

 各 超 対 称 荷Qlに

対 して,作 用 素Q'lを

(9.47) に よ っ て 定 義 す る.

命 題9.3 

各l=1,…,Nに

対 し て,Q'lは

Ql(l=1,…,N)をQ'lと

自 己 共 役 で あ り,(S.2),(S.3)で

し た も の が 成 立 す る.さ

らに

(9.48) (9.49) が 成 り立 つ.

証 明  -iΓ

は 有 界 で あ る か ら,(Q'l)*=iQlΓ.(9.46)と(9.45)に

は-iΓQlに

等 し い.し

た が っ て,(Q'l)*=Q'l.ゆ

え にQ'lは

よ っ て,右 辺 自 己 共 役 で あ る.

H=(Q'l)2も(9.46)と(9.45)を

使 う こ と に よ り 証 明 さ れ る.(S.4)でQl,Qκ

をQ'l,Q'κ で 置 き 換 え た 式 は,-iΓ

の ユ ニ タ リ性 か ら し た が う.(9.48)は(9.46)

に よ る.(9.49)は(-iΓ)*=iΓ

に 注 意 す れ ば よ い. 

  命 題9.3は,{H,H,(Q'l)Nl=1,Γ}もN-超 る こ と を 意 味 す る.そ   特 に,N=1の

こ で,Q'lをQlに

■

対 称 性 を もつ超 対 称 的量 子 力 学 で あ 同 伴 す る 超 対 称 荷 と呼 ぶ.

場 合,{H,H,(Q1,Q'1),Γ}は2-超

対 称 性 を もつ 超対 称 的量 子

力 学 で あ る こ と が わ か る.

  9.3.4 

状 態空 間の基本的構造

  命 題9.2の(ⅱ)の あ る.さ

ら に,Γ

証 明 で 言 及 し た よ う に,Γ は ±Iで

な い こ と も わ か る.な

は 自 己 共 役 な ユ ニ タ リ作 用 素 で ぜ な ら,も

し,Γ=Iな

ら ば,

(S.3)に

よ っ てQl=0と

Γ の ス ペ ク トル は ±1と

な る か ら で あ る.Γ=-Iの

場 合 も同 様.し

た が っ て,

い う 二 つ の 異 な る 固 有 値 か ら な る:

(9.50) そ こで

(9.51) (9.52) とす れ ば,状 態 の ヒル ベ ル ト空 間Hは

(9.53) と直 和 分 解 さ れ る.閉 部 分 空 間H+,H-の れ ぞ れ,ボ

ソ ン的 状 態,フ

ベ ク トル に よ っ て表 さ れ る状 態 をそ

ェル ミオ ン的 状 態 とい う.作 用 素Γ を状 態 符 号 作 用

素 と呼 ぶ*11.   Hか

らH± へ の正 射 影作 用 素 をP±

とす れ ば

(9.54) と 表 さ れ る.こ

れ とP++P-=Iを

使 えば

(9.55) を 得 る.

*11 物 理 の 文 献 で は

,Γ の こ と を"フ ェ ル ミオ ン数 作用 素"と い う場 合 が多 い.こ れ は 次 の 理 由 に よる.フ ェ ル ミオ ンが奇 数 個 あ る状 態 は フ ェ ル ミオ ン的状 態 で あ り,偶 数 個 あ る 状 態 は ボ ソ ン的 で あ る(こ れ は,半 奇 数 ス ピ ンの 奇 数個 の和 は半 奇 数 ス ピ ンで あ り,偶 数 個 の和 は整 数 にな る こ とに よ る).し たが って,量 子 力 学 的状 態 に含 まれ る フ ェル ミオ ンの 数 をFと し,(-1)Fと い う量 を考 え る と,こ れが+1に な る状態 は ボ ソ ン的 で あ り,-1に な る状態 は フ ェ ル ミオ ン的 で あ る こ とに な る.超 対称 的場 の 量 子論 の具 体 的 な モ デ ル で は,ま さ にΓ=(-1)Fと なる の で あ る.だ が ,場 の 量子 論 にお け る フ ェ ル ミオ ン フ ォ ック空 間上 の数 作 用 素― これ は本 当 にフ ェ ル ミオ ンの個 数 を数 え る作 用 素― も フェル ミオ ン数作 用 素 と呼 ばれ る ので,こ れ とΓ との 混 同 を避 け る ため に,こ こ で は, "フ ェ ル ミオ ン数 作 用 素"と い う 名称 は用 い な い .

  直 和 分 解(9.53)に

よっ て,Hの

任 意 の ベ ク トル Ψ はH+の

ベ ク トル の組 ,Ψ± に対 応 して,Hに

∈H±で表される.こ

お け る 任 意 の 線 形 作 用 素Lは,線

2列 の行 列 

(AはH+上

の 線 形 作 用 素,CはH+か

ベ ク トル とH-の

らH-へ

の表示

形 作 用 素 を成 分 とす る2行

の線 形作用素,BはH-からH+へ

の線 形 作 用 素,DはH-上

の 線 形 作 用 素;

  ― この型 の線 形 作 用 素 を作 用 素 行 列 と い う― で表 され る(作 用 は,TΨ:=(AΨ++BΨ-,CΨ++DΨ-),Ψ+∈ D(A)∩D(C),Ψ-∈D(B)∩D(D)).実

際,

と す れ ば,自

そ れ ぞ れ,H+,H-上

然 な 仕 方 で,L++,L--は

ま た,L+-(L-+)はH-(H+)か

らH+(H-)へ

の 線 形 作 用 素 と,

の線 形 作 用 素 と 同一 視 され

(9.56) が 成 り立 つ*12.こ   た と え ば,Γ

れ をLの

は,(9.54)に

作 用 素 行 列 表 示 と い う*13. よっ て

(9.57) と 表 さ れ る*14.

*12 

の場 合 には

,D(L)=[D(L)∩H+]∩[D(L)∩H-]と は 限 らな い こ と に注 意. *13 い ま述 べ た 定義 か ら明 らか な よう に ,任 意 の ヒル ベ ル ト空 間H1, H2の 直 和  上 の 線形 作 用 素 に対 して,作 用 素行 列表 示 が で きる. *14 容 易 にわ か る よ う に ,一 般 に,H+上 の作 用 素AとH-上 の 作 用素Bの 直和  の 作用 素 行列 は  え られ る.

とい う型 の作用素行列― 対 角 的作 用素 行 列 とい う― で 与

  9.3.5  超 対 称 荷 の 作 用 素 行 列表 示   超 対 称 荷Qlに

関 す る作 用 素 行 列 表 示 を求 め よ う.だ が,そ の ため に は少 し準

備 が必 要 で あ る. 補 題9.4 

QをH上

の 自己 共役 作 用 素 と し,Γ はD(Q)を

不 変 に し,D(Q)上

で

(9.58) が 成 り立 つ と し よ う*15.こ

の と き,任 意 の Ψ ∈D(Q)に

対 し て,P±

Ψ ∈D(Q)

であ り

(9.59) が 成 り立 つ.特

に,QはD(Q)∩H±

証 明   Ψ ∈D(Q)と (9.58),  

Qを

(9.54),

す る と,仮 (9.55)を

補 題9.4の

をH〓

定 と(9.55)に

用 い る と(9.59)が

も の と す る.こ

の 中 へ う つ す.

よ り,P±Ψ

∈D(Q).そ

こ で,

得 ら れ る. 

■

の補 題 の結 果 に よ り

(9.60) に よ っ て定 義 され る作 用 素Q±

はH±

か らH〓 へ の 作 用 素 で あ り,

(9.61) が 成 り立 つ*16.し

た が って,D(Q±)はH±

で 稠 密 で あ る.

  次 の 補 題 は,作 用 素 行 列 に関 す る重 要 な一 般 的事 実 の 一 つ で あ る: 補 題9.5 

AをH+か

らH-へ

の稠 密 に定 義 さ れ た作 用 素,BをH-か

へ の 稠 密 に定 義 され た作 用 素 と し,H上

*15  い う ま で も な く *16 AをHの

の作 用 素Sを

,各Qlは こ の 性 質 を も つ. 自己 共役 作 用 素 とす る とき ,一 般 に は, 

しか い え な い こ と に 注 意.

らH+

に よ っ て 定 義 す る.た   (ⅰ) D(S)は

だ し, 

.こ

の と き:

稠 密 で あ り,S*は

(9.62) とい う形 で 与 え られ る.   (ⅱ) Sが 自 己 共 役 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,A, A*=Bが

成 立 す る こ とで あ る.

証 明   (ⅰ)  D(S)が をLと

Bが 閉作 用 素 で あ り,

稠 密 で あ る こ と は 明 ら か で あ ろ う.(9.62)の

お く.Ψ+∈D(B*),Ψ-∈D(A*)と

が っ て,Ψ

∈D(L)).こ

D(B)]…(*)に が っ て,Ψ

の と き,任

対 し て,直 ∈D(S*)で

し Ψ=(Ψ+,Ψ-)と

お く.こ

接計算 に よ り 〈 Ψ,SΦ 〉=〈LΨ,Φ

あ り,S*Ψ=LΨ

の と き,(*)の

〈S*Ψ,Φ 〉で あ る か ら,〈Ψ+,BΦ-〉+〈 で,特

に,Φ-=0の

Φ+∈D(A)に

が 成 立 す る.ゆ

え にL⊂S*…(**).

Ψ-,AΦ+〉=〈

η+,Φ+〉+〈 η-,Φ-〉.そ

で あ る か ら,A,Bは

閉 で あ る.逆

閉 でA*=Bな

と な る の で,S=S*. 

こ の と き,Q±

補 題9.4の

っ て,(**)の

逆

得 ら れ る.

あ る か らB=A*,A=B*.A*,B*は に,A,Bが

な る.

つB*Ψ+=η.よ

用 素 の 等 式(9.62)が

こ

れ がす べ て の

あ り,η+=A*Ψ-と

え に, 

  (ⅱ) Sが 自 己 共 役 な ら ば,S=S*で

Qを

η+,Φ+〉.こ

場 合 を 考 え る こ と に よ り,Ψ+∈D(B*)か

が 示 さ れ た こ と に な る の で,作

た

形 の 任 意 の ベ ク トル Φ に 対 し て 〈 Ψ,SΦ 〉=

対 し て 成 立 す る か ら,Ψ-∈D(A*)で

で あ る こ と が わ か る.ゆ

補 題9.6 

〉が わ か る.し

任 意 に と り,S*Ψ=

場 合 を考 え る と 〈 Ψ-,AΦ+〉=〈

同 様 に,Φ+=0の

お く(し た

意 の Φ=(Φ+,Φ-)[Φ+∈D(A),Φ-∈

  こ の 逆 の 関 係 を 示 す た め に,Ψ=(Ψ+,Ψ-)∈D(S*)を (η+,η-)と

右辺 の作 用素

閉

ら ば,A=A**=B* ■

も の と し,Q±

は 閉 作 用 素 で あ り,Q*+=Q-か

は(9.60)で

定 義 さ れ る も の と す る.

つ

(9.63)

が 成 立 す る.さ H+か

らH-へ

ら に,こ

の 表 示 は 一 意 的 で あ る.す

の 閉 作 用 素Cが

な わ ち,稠

密 に 定 義 さ れ た,

す れ ばQΨ=Q+Ψ++Q-Ψ-で

あ り,

あ つ て ならば,C=Q+で

あ る.

証 明   Ψ=Ψ++Ψ-,Ψ±

∈D(Q±)と

 で あ る か ら 

と書 け る.Qは

か ら,補

題9.5に

よ り,Q±

(9.63)を

得 る.一

意 性 に 関 す る 言 明 は 明 ら か. 

  補 題9.6を

は 閉 で あ り,Q-=Q*+が

超 対 称 荷Qlに

自己 共 役 で あ る

成 り立 つ.し

た が っ て, ■

応用す れば

(9.64) と表 さ れ る.た

だ し,Ql

,+は(9.60)に

お い てQ=Qlの

場 合 の 作 用 素Q+で

あ る.

  9.3.6 

超 対 称 的 ハ ミ ル トニ ア ン の 直 和 分 解

  (9.64)と(S.2)か

ら,超

対 称 的 ハ ミル トニ ア ンHに

対 して

(9.65) (9.66) とい う作 用 素行 列 表 示 を得 る.こ れ は,HがH± 味 し,H±

はHのH±

に よっ て 簡約 され る こ と を意

称 的 ハ ミル トニ ア ンHの

にお け る部 分 を表 す.作 用 素H+,H-を ボ ソ ン 的部 分,フ

そ れ ぞ れ,超 対

ェル ミオ ン的 部 分 と呼 ぶ.

  9.3.7  超 対 称 的 量 子 力 学 の 構 成 法   こ れ まで の 議 論 を"逆 読 み"す れ ばわ か る よ う に,超 対 称 的 量 子 力 学 を構 成 す る に は,二 つ の ヒ ルベ ル ト空 間H± お よ び稠 密 に定 義 され た 閉作 用 素Ql,+: H+⊃D(Ql,+)→H-(l=1,…,N)の

組{Ql,+}Nl=1か

ら出発 す れ ば よ い こ と

が わ か る.す (9.64),

な わ ち,こ

(9.65),

の 場 合,H, Γ,

(9.66)に

し て で き る 四 つ 組{H,

Ql, H, H±

を そ れ ぞ れ,(9.53),

よ っ て 定 義 す る の で あ る. 

H,{Ql}Nl=1,Γ}がN-超

(9.57),

の 場 合 に は,こ

う

対 称 性 を もつ 超 対 称 的 量 子 力 学

であ るためには

(9.67)

(9.68) が 成 立 す る こ とが 必 要 十 分 で あ る.   N=1の

場 合 には,上 の 条 件 は必 要 な い の で,任 意 の 稠 密 に定 義 され た 閉作

用 素T:H+⊃D(T)→H-に

対 して

(9.69) を超 対 称 荷 とす る超 対 称 的 量 子 力 学 が 存 在 す る こ とに な る.QTを 超 対 称 化 とい う.こ れ は,純 数 学 的 に は,作 用 素Tの

作 用 素Tの

解析 を調 べ る の に有 効 な

手 段 の 一 つ を与 え る.  

一 例 と して,Tの

超 対 称 化 を用 い て,フ

証 明 し よ う(天 才 的 数 学 者E.ネ

ォ ン ・ノ イマ ンの 定 理(2.8.4項)を

ル ソ ン に よ る).補 題9.5―

別 こみ い っ た議 論 は必 要 で な い こ とに注 意― に よっ て,QTは したが っ て,Q2Tも

この 証 明 に は,特 自己 共 役 で あ る.

自 己 共 役 で あ る.一 方

(9.70) こ れ とQ2Tの

自 己 共 役 性 に よ りR(Q2T±i)=Hで

i)=H+,R(TT*±i)=H-が   こ の よ う に,超

で る.し

あ る こ と を 用 い れ ばR(T*T±

た が っ て,T*T,TT*は

対 称 化 の 方 法 に よ り,フ

自 己 共 役 で あ る.

ォ ン ・ノ イ マ ン の 定 理 が 見 事 な ま で

に 簡 潔 か つ 美 し い 形 式 で 証 明 で き る こ と は ま こ と に 驚 き で あ る.超 法 の 威 力 を 示 す 好 例 の 一 つ で あ る.

対 称化の方

例9.2 

σj,j=1,2,3を

パ ウ リ行 列 とす る.A1,

A2をIR2上

の 実 数値 関 数 でL2loc(IR2)

に 属 す る も の と し,A=(A1,A2)と

お く.L2(IR2)上

に よ っ て 定 義 す る(pj:=-iDj).容

易 に わ か る よ う にC∞0(IR2)⊂D(Q+(A))で

る か ら,Q+(A)は

稠 密 に 定 義 され て い る.さ

で あ る の で,D(Q+(A)*)は 閉 包 をQ+(A)と

稠 密 で あ る.し

し, 

の 作 用 素Q+(A)を

あ

ら に,Q+(A)*⊃p1-A1-i(p2-A2) た が っ て,Q+(A)は

上 の 作 用 素Q(A),

H±(A),

可 閉 で あ る.そ

H(A)を

の

次 の よ うに 定 義

す る:

こ の と き,  る.容

は1-超 対 称 性 を もつ 超 対 称 的 量 子 力 学 で あ

易 に わか る よ うに

作 用 素Q(A)を   A1,A2が

ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ルAを

もつ デ ィ ラ ッ ク−ヴ ァ イ ル 作 用 素 とい う.

連 続 微 分 可 能 な らば

(9.71) が 成 り立 つ.た

だ し,B:=∂1A2-∂2A1は

場 を表 す.H±(A)は2次

ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ルAか

ら定 まる磁

元 パ ウ リ作 用 素 と呼 ば れ る.

例9.3 Aj(j=1,2,3)をIR3上

の 実 数 値 関 数 でL2loc(IR3)に

(A1,A2,A3)と

上 の 作 用 素DAを

お く. 

属 す る もの と し,A=

に よ っ て 定 義 す る.前 例 と同 様 に して,  は 可 閉 で あ る こ と が わ か る. 

で あ り,DA 上 の 作 用 素Q(A),H±(A),H(A)を

次のよ

う に 定 義 す る:

こ の と き,  る.容

は1-超 対 称 性 を もつ 超 対 称 的 量 子 力 学 で あ

易 にわか る よ うに

ただ し

(こ こで は,αjに

対 し て,[14]の3.4節

をベ ク トル ポ テ ン シ ャルAを   各Ajが

もつ,質

で 用 い た の とは 違 う表 示 を と る.)作 用 素Q(A) 量0の3次

元 デ ィ ラ ッ ク作 用 素 とい う.

連続 微 分可 能 な らば

(9.72)

が 成 り 立 つ.た Bは

だ し,σ:=(σ1,σ2,σ3),B:=(B1,B2,B3), 

ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ルAか

.

ら 定 ま る 磁 場 を 表 す.H±(A)は3次

元 パ ウ リ作 用

素 と 呼 ば れ る.

  9.3.8 

超 対 称 的 ハ ミ ル トニ ア ン の ス ペ ク トル

  超 対 称 的 ハ ミル トニ ア ン の ス ペ ク トル は,あ

定 理9.7 

(ス ペ ク トル 的 超 対 称 性(spectral

さ れ た 作 用 素H±

る 著 し い 構 造 を も つ:

supersymmetry))9.3.6項

で導入

に つ い て 次 が 成 り立 つ:

(9.73) (9.74) (9.75)

さ ら に,任

意 の 各E∈

σp(H+)＼{0}に

対 して

(9.76) と す れ ば,U(l)Eはker(H+-E)の し た が っ て,特

か らker(H--E)上

へ の ユ ニ タ リ 変 換 で あ る.

に

(9.77) が 成 り立 つ.

  こ の 定 理 は,次 定 理9.8  H2へ

の 一 般 的 定 理 をA=Ql,+と

(デ イ フ ト(Deift)の

定 理)H1,

し て 応 用 す れ ば 証 明 さ れ る. H2を

の 稠 密 に定 義 さ れ た 閉 作 用 素 と す る.こ

H1, H2上

ヒ ル ベ ル ト空 間,AをH1か の と き,A*A,

AA*は

ら

そ れ ぞ れ,

の非 負 自己 共 役 作 用 素 で あ っ て

(9.78) (9.79) が 成 り立 つ.さ

ら に,任

意 の λ ∈ σp(A*A)＼{0}に

対 して

(9.80) とす れ ば,Uλ

はker(A*A-λ)か

し た が っ て,特

らker(AA*-λ)上

へ の ユ ニ タ リ 変 換 で あ る.

に

(9.81) が 成 り立 つ.   こ の 定 理 を 証 明 す る た め に 補 題 を 一 つ 用 意 す る. 補 題9.9 

H1, H2を

閉 作 用 素 と す る.こ 作 用 素 で あ り,任

ヒ ル ベ ル ト空 間,AをH1か の と き,A*A,

意 の 

AA*は (AA*の

らH2へ

そ れ ぞ れ,H1,

の稠 密 に定 義 され た H2上

の 非 負 自己 共 役

レ ゾ ル ヴ ェ ン ト集 合)に

対 して

(9.82) に よっ て 定義 され る作 用 素Fz(A)は

有 界 で あ る.

証 明   AA*が

非 負 自 己 共 役 作 用 素 で あ る こ と は フ ォ ン ・ノ イ マ ン の 定 理 に よ る.

R((AA*-z)-1)=D(AA*)で い る.Ψ

∈D(A)と

こ こ で,ε>0は

を 得 る.し

あ る か ら,B:=Fz(A)は し よ う.こ

の とき

任 意 で あ る.そ

た が っ て,あ

れ は 全 空 間H2を

こ で0<ε<1と

す れば

と は(AA*-z)-1Aが

そ の た め に(AA*-z)-1Aの

有 界 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.

共 役 作 用 素T:=A*(AA*-z*)-1を

定 義 域 とす る 作 用 素 で あ る.こ

に 確 か め ら れ る.ゆ

き ち ん と定 義 さ れ て

れ が 閉作 用 素 で あ る こ とは容 易

え に 閉 グ ラ フ定 理 に よ り,Tは

も 有 界 で あ る.T*⊃(AA*-z)-1Aで

考 え る.こ

有 界 で あ る*17.ゆ

あ る か ら,(AA*-z)-1Aは

有 界であ

る. 

■

  補 題9.9に

よ っ て,作

的 に 拡 大 さ れ る.こ

定 理9.8の

え にT*

用 素Fz(A)はH1全

の 拡 大 も 同 じ 記 号Fz(A)で

証 明 

任 意 の Ψ ∈D(A*A)に

体 で定 義 され た 有 界 作 用 素 に一 意

,λ ≠0と

表 す.

し,B:=Fλ(A)と

お く.こ

の と き,

対 して

し た が っ て,ABΨ

∈D(A*)で

あ り,A*ABΨ=AAΨ+λBΨ.そ

C:=λ-1(B-I)と

お け ば,(A*A-λ)CΨ=Ψ

*17 直 接 評 価 して 証 明 す る こ と もで き る

.

…(*).D(A*A)は

こ で, 稠 密であ

り,Cは

有 界 で あ る か ら,(*)は,A*A-λ

て の Ψ ∈H1に

拡 張 さ れ る.し

た が っ て,A*A-λ

  次 に Φ ∈D((A*A)2)と

し よ う.こ

ゆ え にC(A*A-λ)Φ=Φ

…(**)が

の で,(**)は

こ と が わ か る.し な ら ば λ=0ま

と拡 張 さ れ る.し

い ま の 議 論 で,Aの

か わ り にA*を

係 σ(AA*)＼{0}⊂

σ(A*A)＼{0}が

あ る.し

…(†)と

た が っ て,A*A-λ

ず,λ

た が っ て,λ

お け ば,こ

は単

は全 単 射 で あ る

∈ σ(A*A)＼{0}な

な わ ち σ(A*A)＼{0}⊂

考 え,A**=Aに 導 か れ る.よ

っ て,(9.78)に

∈ σp(A*A),λ>0と

れ はD(AA*)に

σ(AA*)＼{0}.

注 意 す れ ば,逆

し,こ

の 固 有 ベ ク ト ル の 任 意 の ひ と つ を Ψ と す る:A*AΨ=λ Φ=AΨ

芯である

.こ の 結 果 の 対 偶 を と れ ば,λ ∈ σ(A*A)

得 ら れ る.す

示 す た め に,ま

あ るか ら

れ と前 段 の 結 果 を あ わ せ る とA*A-λ

た は λ ∈ σ(AA*)で

ら ば λ ∈ σ(AA*)＼{0}が

∈D(A)で

得 ら れ る.D((A*A)2)はA*Aの

た が っ て, 

べ

は 全 射 で あ る.

の と き,A*AΦ

す べ て の Φ ∈D(A*A)へ

射 で あ る こ とが わ か る.こ

  (9.79)を

の 閉 性 を 用 い る こ と に よ り,す

属 し(Ψ

の包含 関

到 達 す る.

れ に 属 す る,A*A

Ψ,Ψ ≠0.そ ∈C∞(A*A)で

こ で, あ ること

に 注 意)

さ ら に‖ Φ‖2=〈 て,λ

∈ σp(AA*)で

わ り にA*を

Ψ,A*AΨ

あ る.ゆ

し て,λ-1/2A*Φ=Ψ

≠0.し

たが っ

σp(AA*)＼{0}.Aの

か

の 逆 の 包 含 関 係 も 成 り立 つ こ と が わ か る.こ

証 明 さ れ る.

  (†)と(† †)に よ り,Uλ

  定 理9.7の

え に σp(A*A)＼{0}⊂

と っ て 考 え れ ば,こ

う し て,(9.79)が

Uλ Ψ=Φ

〉=λ‖ Ψ‖2…(† †)で あ る か ら,Φ

は 等 長 作 用 素 で あ る.任

と す れ ば,上

意 の Φ ∈ker(AA*-λ)に

と 同 様 に し て,Ψ

が 成 り立 つ こ と が わ か る.し

た が っ て,Uλ

意 味 に つ い て 考 え て み よ う.(9.74)は,超

∈ker(A*A-λ)で

あ り,

は ユ ニ タ リ で あ る. 

■

対 称 的 ハ ミル トニ ア ン

の ボ ソ ン 的 部 分 の ス ペ ク トル と フ ェ ル ミ オ ン 的 部 分 の そ れ は0を る こ と を 示 し て い る.(9.75)は,ボ

対

除 い て一 致 す

ソ ン的 部 分 の正 の励 起 エ ネ ル ギ ー 準 位 の 全

体 と フ ェル ミオ ン的 部 分 の そ れ が 零 エ ネ ルギ ー を除 い て 同 じで あ る こ と意 味 す

る.し

か も,(9.77)に

よ っ て,同

一 の 励 起 エ ネ ル ギ ー の 固 有 状 態 に属 す る ボ ソ

ン 的 状 態 と フ ェ ル ミ オ ン 的 状 態 と は(9.76)で し て1対1に

対 応 し て い る.つ

ま り,正

定 義 さ れ る ユ ニ タ リ変 換U(l)Eを

の 励 起 エ ネ ル ギ ー 固 有 状 態 は,ボ

的 状 態 と フ ェ ル ミ オ ン 的 状 態 の 対 に な っ て お り,縮

退 し て い る.そ

通 ソ ン

こ で,次

に

問 題 に な る の は 零 エ ネ ル ギ ー 状 態 で あ る.

  9.3.9  超 対 称 的 状 態 と超 対 称 性 の 自発 的破 れ   超 対 称 荷Qlは

量 子 力 学 的 超 対 称 的 変 換 の 生 成 子 と解 釈 され る.し たが っ て,

超 対 称 的 変 換 の も と で不 変 な状 態 はQlΨ=0(l=1,…,N)を ル Ψ ∈H,Ψ

≠0で

(supersymmetric

あ る と考 え ら れ る.こ

満 たす ベ ク ト

の よ うな ベ ク トル を超 対 称 的 状 態

state)と い う.し た が って,超 対 称 的状 態 の全 体 は 部 分 空 間

を な し,そ れ は ∩Nl=1kerQlに 等 しい.   超 対 称 的状 態 が 存 在 しな い と き,す なわ ち,∩Nl=1kerQl={0}の

と き,超 対

称 性 は 自発 的 に破 れ てい る と い う.   前 項 の 終 わ りで 述 べ た こ とか ら,超 対 称 性 が 自発 的 に 破 れ て い る と き,も Hの

し

基 底 状 態 が 存 在 す る な ら ば,基 底 状 態 エ ネ ル ギ ー は正 で あ り,基 底 状 態 は

縮 退 す る こ とに な る.通 常 の量 子 力 学 で は,基 底 状 態 が 非 自明 な仕 方 で 縮 退 す る の は 稀 で あ る.こ

こ に,超 対 称 的 量 子 力 学 特 有 の 興 味 深 い 側 面 の一 つ が 現 れ

て い る.こ の 観 点 か ら,超 対 称性 の 自発 的 破 れ の構 造 を調 べ る こ とが 重 要 な課 題 の 一 つ と な る. 注 意9.3 

相 対 論 的 な超 対 称 的 場 の量 子 論 にお い て は,零 エ ネ ル ギ ー の 基 底 状

態 が 存 在 す る場 合(し たが っ て,超 対 称性 の 自発 的破 れ が な い場 合)に は,形 式 的 ・発 見 法 的 に,当 該 の理 論 が 記 述 す る ボ ソ ン とフ ェ ル ミオ ンの 質量 は 等 し く な け れ ば な らな い こ とが 示 さ れ る*18.他 方,実

験 的 に は,こ れ まで の とこ ろ,

同 質量 の ボ ソ ン と フ ェ ル ミオ ンで 超 対 称 的 な対 を つ くる よ う な もの は 発 見 さ れ て い な い.し

た が っ て,相 対 論 的 超 対 称 的 場 の量 子 論 が しか るべ き位 階 にお い

て リア リ テ ィ を もつ 物 理 理 論 の 候 補 た り う る た め に は,超 対 称 性 の 自発 的 破 れ *18 4次 元 に お け る相 対 論 的 な超対 称 的場 の量 子 論 の 存 在 は 量 子論 の場 合 と 同様,ま だ,証 明 され て い な い

,超 対 称 的 で な い相 対 論 的場 の

を もつ モ デ ル が 構 成 され な け れ ば な ら ない.た の 限 りで は な い.い

だ し,非 相 対 論 的 な場 合 は,こ

ず れ に して も,超 対 称 性 の破 れ の 有 無 につ い て研 究 す る こ

と は重 要 で あ り,興 味 が あ る.  超 対 称 的状 態 を特 徴 づ け るた め に,次 の補 題 に注 意 す る. 補 題9.10 

Aを

ヒル ベ ル ト空 間H1か

らヒ ルベ ル ト空 間H2へ

の 稠 密 に定 義 さ

れ た 閉 作 用 素 とす る と き

(9.83) 証 明   まず,kerA⊂kerA*Aは

明 ら か.逆

0.し

〉=〈AΨ, AΨ

た が っ て,0=〈

意 味 す る.ゆ

Ψ, A*AΨ

に,Ψ ∈kerA*Aと

す れ ば,A*AΨ

〉=‖AΨ‖2.こ

＝

れ はAΨ=0を

え に Ψ ∈kerA. 

補 題9.10をA=Qlと

し て 応 用 す れ ば,性

■

質(S.2)か

ら

(9.84) を得 る.こ れ は,超 対 称 的 状 態 の全 体 と零 エ ネ ル ギ ー 状 態 の全 体 が 一 致 す る こ とを示 して い る.さ

ら に,補 題9.10をA=Ql,+,Q*l,+と

して応 用 す る と

(9.85) が 得 ら れ る.(9.66)か

ら

(9.86) で あ る.

  9.3.10 

ウ ィ ッテ ン指 数

  超 対 称 性 の 自発 的 破 れ が あ るか ど うか を直接 調 べ る に は 方程 式QlΨ=0(l= 1,…,N)あ

る い は こ れ と同 等 な方 程 式HΨ=0[(9.84)を

らな い.だ が,こ

参 照]を 解 か ね ば な

れ が 陽 に解 け るか ど うか は 個 々 の モ デ ル に よ る.そ

こで,超

対 称 性 の 自発 的破 れ の 有 無 を確 か め る た め の 間接 的 な方 法 を一 般 的 な形 で 探 索

す るの は 自然 で あ る.そ の た め に,ボ

ソ ン的 零 エ ネ ル ギ ー 状 態 の個 数 と フ ェル

ミ オ ン的 零 エ ネル ギ ー状 態 の個 数 の 差 を表 す 量

(9.87) を 導 入 す る.こ dim

ker H+,

れ を ウ ィ ッ テ ン(Witten)指 dim

ker H-の

H={0}で

た が っ て Δw=0で

ィ ッ テ ン指 数 の 有 用 性 は,dim

で き な く て も,そ

9.3.11  (9.85)か

の 場 合,

あ る か ら,(9.86)に

あ る.ゆ

自 発 的 に 破 れ る た め の 必 要 条 件 を 与 え る.だ か し,ウ

ち ろ ん,こ

少 な く と も一 方 は 有 限 で あ る と仮 定 し て お く.超

対 称 性 が 自 発 的 に 破 れ て い れ ばker ker H±={0}.し

数 と 呼 ぶ.も

え に,Δw=0は

が,そ

ker H+,

れ は,十

dim

よ って

超 対称性 が

分 条 件 で は な い.し

ker H_の

そ れ ぞ れ は計 算

の 差 は 計 算 で き る 可 能 性 が あ る と い う 点 に あ る.

ウ ィ ッテ ン指 数 と作 用 素 の 指 数 ら

(9.88) が 成 り立 つ.こ

の 右 辺 に 現 れ た 量 は,実

的 指 数(analytical   一 般 に,H1,

H2を

閉 作 用 素 と す る.も

index)と

は,数

学 に お い て,作

用 素Ql,+の

解析

し て 知 ら れ る も の で あ る.

ヒ ル ベ ル ト空 間,AをH1か

らH2へ

し,dim

少 な く と も一 方 が 有 限 で あ る

ker A, dim

ker A*の

の 稠 密 に 定 義 され た

な らば

(9.89) に よ っ て 定 義 さ れ る 整 数 ま た は ±∞

をAの

指 数(index)と

い う.(A*)*=A

で あ るか ら

(9.90) が 成 り立 つ.

 作 用 素 の指 数 の 概 念 を用 い る と(9.88)は

(9.91) と書 き直 せ る.こ う して,超 対 称 性 と作 用 素 の 指 数 理 論 が 関連 して くる.作 用 素 の 指 数 とい う概 念 が 特 に重 要 性 を もつ 作 用素 の クラ ス が 存 在 す る:

定 義9.11 

Aを

ヒ ル ベ ル ト空 間H1か

れ た 閉 作 用 素Aと   (ⅰ) dim る と き,Aを

ら ヒ ル ベ ル ト空 間H2へ

の 稠 密 に定 義 さ

す る.

ker A<∝

か つdim

ker A*<∝

フ レ ドホ ル ム(Fredholm)作

お よ びR(A)がH2の 用 素 と 呼 ぶ.こ

閉集 合 で あ

の 場 合,Aは

「フ レ

ド ホ ル ム で あ る 」 と い う い い 方 も す る.   (ⅱ) dim

ker A,

で あ る と き,Aは

注 意9.4 

dim

ker A*の

少 な く と も 一 方 が 有 限 でR(A)がH2の

半 フ レ ドホ ル ム(semi-Fredholm)で

定 義 か ら明 ら か な よ う に,Aが

閉集合

あ る と い う.

フ レ ドホ ル ム で あ れ ば,Aは

半 フレ

ドホ ル ム で あ る.

  フ レ ドホ ル ム作 用 素 は,性 質 の よ い作 用 素 の ク ラ ス の一 つ を形 成 す る こ とが 知 られ て い る(残 念 な が ら,本 書 で は,紙 数 の 都 合 上,こ の 側 面 を論 述 す る こ とは で きな い).こ の こ と も考 慮 す る と き,超 対 称 的 量 子 力 学 へ の 応 用 にお い て は,超 対 称 荷 の ボ ソ ン状 態 へ の 制 限Ql ,+が いつ(半)フ 考 察 す る こ とは重 要 で あ る.そ

レ ドホ ル ム に な るか を

こで,次 に,線 形 作 用 素 が(半)フ

レ ドホ ル ム で

あ る こ と を判 定 す る た め の 条件 を考 察 し よ う.

9.3.12 

フ レ ドホ ル ム 性 の 条 件

H1, H2を

ヒ ル ベ ル ト空 間 と す る.

補 題9.12 

AをH1か

らH2へ

で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,定

の 閉 作 用 素 と す る.こ 数c>0が

の と き,R(A)がH2で

閉

存 在 して

(9.92) が 成 立 す る こ とで あ る. 証 明   (必 要 性)R(A)が の 任 意 の 元 Ψ ∈Mに ‖ ・‖MはM上

閉 で あ る と 仮 定 す る.部

分 空 間M:=D(A)∩(ker

対 して,‖ Ψ‖Mを‖ Ψ‖M:=‖AΨ‖H2に

の ノ ル ム で あ る(正 定 値 性 の 証 明 に,条

で あ る こ と に 注 意).Mは

A)⊥

よ っ て 定 義 す れ ば,

件 Ψ ∈(ker

A)⊥

が必 要

ノ ル ム‖ ・‖Mに 関 し て バ ナ ッ ハ 空 間 に な る こ と を 示

そ う.Ψn∈MをMの し た が っ て,η R(A)は

コ ー シ ー 列 と す れ ば,AΨnはH2の ∈H2が

存 在 し て,‖AΨn-η‖H2→0(n→∞).い

閉 で あ る か ら,η

と な る Φ ∈D(A)が 和 分 解 す れ ば,Ψ ‖Ψn-Ψ

な け れ ば な ら な い.し

∈D(A)∩(ker

A)⊥=Mで

場 合,Ψn∈M,Φ

の と き,Jの

∈(ker

A)⊥

と直

と な る.ゆ

え に

・‖Mに 関 し て 完 備,

用 素J:M→H1をJΨ=Ψ,Ψ

∈Mに

グ ラ フ は 閉 で あ る こ と は 容 易 に わ か る(こ の ら ば Φ ∈Mで

グ ラ フ 定 理 に よ り,Jは Ψ‖M,Ψ

A,Ψ

ノ ル ム‖

∈H1,‖ Ψn-Φ‖H1→0な

し て‖JΨ‖H1〓K‖

た が っ て,η=AΦ

あ り,η=AΨ

た が っ て,Mは

ナ ッ ハ 空 間 で あ る.作

し た が っ て,閉

ま の 場 合,

存 在 す る.Φ=Φ0+Ψ,Φ0∈ker

よ っ て 定 義 し よ う.こ

(9.92)が

∈R(A)で

‖M→0(n→∞).し

す な わ ち,バ

コ ー シ ー 列 で あ る.

有 界 で あ る.ゆ

∈Mが

成 り立 つ.そ

あ る こ と に 注 意).

え に 定 数K>0が こ で,c=K-1と

存在 すれ ば

得 ら れ る.

  (十 分 性)(9.92)を

仮 定 す る.ηn∈R(A),η

を 満 た し て い る と し よ う.こ に よ り,‖AΨn-AΨm‖H2〓c‖ シ ー 列 で あ る.ゆ に よ り,Ψ

Ψn-Ψm‖H1.し

え に‖ Ψn-Ψ‖H1→

∈D(A)か

∈H2が‖

の と き,ηn=AΨnと

つ η=AΨ

ηn-η‖H2→0(n→∞)

な る Ψn∈Mが

た が っ て,ΨnはH1の

と な る Ψ ∈H1が

∈R(A)が

あ る.(9.92)

結 論 さ れ る.し

存 在 す る.Aの

コー 閉性

た が っ て,R(A)は

閉 で あ る. 

■

定 理9.13 

AをH1か

らH2へ

の 稠 密 に 定 義 され た 閉 作 用 素 とす る.

  (ⅰ)  Aが

フ レ ドホ ル ム で あ る た め の必 要 十 分 条 件 は,次 の 三 つ の条 件 が 成 り

立 つ こ と で あ る:

(F.1)

  (ⅱ) Aが

 (F.3) 

 (F.2)

半 フ レ ドホ ル ム で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,(F.1),

く と も 一 方 と(F.3)が

少な

成 立 す る こ と で あ る.

証 明   (ⅰ)(必 要 性)Aは

フ レ ドホ ル ム で あ る と仮 定 す る.こ

よ っ て,(F.1),

成 立 す る.R(A)の

(F.2)が

(F.2)の

た が っ て,任 意 の Ψ ∈D(A*A)∩(ker

A*A)⊥

の と き,補 題9.10に

閉 性 に よ り,(9.92)が に 対 し て,〈 Ψ, A*AΨ

成 り立 つ.し 〉〓c‖ Ψ‖2.

A*Aは

非 負 の 自 己 共 役 作 用 素 で あ る か ら,こ

味 す る.し

た が っ て,(F.3)が

  (十 分性)(F.1),

(F.2),

題9.10に

よ り,dim

H1=ker

A*A 

れ は,infσ(A*A)＼{0}〓cを

意

成 り立 つ. (F.3)を

仮 定 す る.こ

ker A<∞,dim

(ker A*A)⊥

の と き,(F.1),

ker A*<∞

に お い て,A*Aはker

(F.2)は,補

を 意 味 す る.直 A*Aお

よ び(ker

に よ っ て 簡 約 さ れ る の で,σ(A*A)=σ(A*A￨ker A*A)Uσ(A*A￨(ker σ(A*A￨ker A*A)は

空 集 合 で あ る か{0}の

はA*A￨(ker

A*A)⊥〓cを

(ker A*A)⊥

に 対 し て,〈 Ψ,A*AΨ

c‖Ψ‖2…(*).左 が￨A￨の

も 書 け る こ と,お

つ.ゆ

A)⊥

え にR(A)は

え に,‖AΨ‖2〓

よ びD(￨A￨2)=D(A*A)

限 議 論 に よ り,(*)は

へ と 拡 張 さ れ る こ と が わ か る.し

た が っ て,(F.3)

意 の Ψ ∈D(A*A)∩

〉〓c‖ Ψ‖2が 成 り 立 つ.ゆ

辺 は‖￨A￨Ψ‖2と

芯 で あ る こ と に 注 意 す れ ば,極

D(A)∩(ker

た が っ て,任

A*A)⊥

A*A)⊥).

ど ち ら か で あ る.し

意 味 す る.し

和 分解

すべ ての Ψ ∈

た が っ て,(9.92)が

成 り立

閉 で あ る.

  (ⅱ)(ⅰ)の 場 合 と 同 様 で あ る. 

 定 理9.13の 系9.14 

系 と して次 が 得 られ る.

AをH1か

Aが(半)フ

■

らH2へ

の 稠 密 に 定 義 さ れ た 閉 作 用 素 と す る.こ

レ ドホ ル ム な ら ば,A*も(半)フ

レ ドホ ル ム で あ り,こ

の と き,

の 逆 も成 り

立 つ.

証 明   Aを 成 立 す る.こ

フ レ ドホ ル ム と し よ う.こ れ と定 理9.8に

の が 成 立 す る((A*)*=Aに A*で

の と き,定 理9.13-(ⅰ)に

よ っ て,(F.3)に 注 意).し

置 き換 え た も の が 成 立 す る.し

よ っ て,(F.3)が

お け るAをA*で

た が っ て,定 た が っ て,A*は

理9.13-(ⅰ)の

し て 応 用 す れ ば,次

条 件 でAを

フ レ ドホ ル ム で あ る.半

フ レ ド ホ ル ム 性 に つ い て も 同 様 で あ る. 

  定 理9.13をA=Ql,+と

置 き換 え た も

■

の 結 果 を 得 る.

定 理9.15   (ⅰ)  作 用 素Ql,+が

フ レ ドホ ル ムで あ る た め の必 要 十 分 条 件 は

(9.93)

(9.94) が 成 り立 つ こ と で あ る.   (ⅱ) 作 用 素Ql,+が

半 フ レ ドホ ル ム で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 はdim

の 少 な く と も 一 方 が 有 限 で あ り,か

証 明   (9.66)と

定 理9.13に

  条 件(9.93)は,物 意 味 す る.他

成 り立 つ こ と で あ る.

よ る. 

理 的 に は,零

方,条

つ(9.94)が

ker H±

■

エ ネ ル ギ ー状 態 の 縮 退 度 が 有 限 で あ る こ と を

件(9.94)は,零

エ ネ ル ギ ー の 基 底 状 態 が 存 在 す る 場 合 に は,

基 底 状 態 エ ネ ル ギ ー と 零 で な い エ ネ ル ギ ー ス ペ ク トル の 間 に 正 の 間 隙 が あ る こ と を 意 味 す る.こ

の 描 像 に 基 づ い て,条

件(9.94)を

間 隙 条 件(gap

condition)

と い う.

  9.3.13 

指 数 に 対 す る トレ ー ス 公 式

  フ レ ドホ ル ム 作 用 素 の 指 数 を 計 算 す る た め の 基 本 的 な 方 法 の 一 つ を述 べ て お こ う.Tを

ヒ ル ベ ル ト空 間H1か

作 用 素 とす る.さ

ら に,P1, P2を

ら ヒ ル ベ ル ト空 間H2へ そ れ ぞ れ,H1 H2か

の 稠密 に定 義 され た閉 らH1,

H2へ

の正 射 影 作

用素 とし

(9.95) と お く.ま

た,QTを(9.69)に

H1, H-=H2の

よ っ て 定 義 さ れ る 自 己 共 役 作 用 素 とす る(H+=

場 合).

定 理9.16   (ⅰ) あ る β>0に の と き,Tは

対 し て,e-βQ2Tが

ト レ ー ス 型 作 用 素 で あ る と す る*19.こ

フ レ ドホ ル ム で あ り

(9.96) が 成 立 す る(Trは

ト レ ー ス を 表 す).右

*19  ト レ ー ス 型 作 用 素 に つ い て は

,付

録Lを

辺 は β に よ ら な い.

参 照.

  (ⅱ) あ るz∈C＼ とす る.こ

「0,∞)に 対 し て,(Q2T-z)-1が

の と き,Tは

トレ ー ス 型 作 用 素 で あ る

フ レ ドホ ル ム で あ り

(9.97) が 成 立 す る.右

辺 はzに

証 明   (ⅰ)Q2T=T*T  e-βT*T 

よ ら な い.

TT*に

e-βTT*が

成 り立 つ こ とが わ か る.し

ト レ ー ス 型 作 用 素 で あ る.ト 題L.4),e-βT*T, 素 の0以 T*T,

注 意 して,作 用 素 解 析 を応 用 す れ ばe-βQ2T＝ た が っ て,e-βT*T,

e-βTT*は

レー ス 型 作 用 素 は コ ン パ ク トで あ り(付 録Lの

e-βTT*は

非 負 の 自 己 共 役 作 用 素 で あ る か ら,こ れ ら の 作 用

外 の ス ペ ク トル は 多 重 度 有 限 の 正 の 固 有 値 だ け か ら な る.し

TT*の

ス ペ ク トル は 多 重 度 有 限 の 非 負 固 有 値 だ け か ら な り,スペ

可 能 な 集 積 点 は+∞ た さ れ る.ゆ

だ け で あ る.し

え に,Tは

E1<E2<…)と

た が っ て,定

理9.13-(ⅰ)の

た が っ て, ク トル の

条 件 が すべ て 満

フ レ ドホ ル ム で あ る.σ(T*T)＼{0}={En}n〓1(0< し,Enの

σ(TT*)＼{0}={En}n〓1で

し た が っ て,(9.96)が

多 重 度 をm(En)と あ る こ と,お

す る と,定

よ びγ=I 

(-I)に

理9.8に

よって

注 意すれ ば

成 立 す る.

  (ⅱ)(Q2T-z)-1=(T*T-z)-1 

(TT*-z)-1で

あ る こ と に 注 意 し,(ⅰ)と

同 様 に 論 を 進 め れ ば よ い. 

  定 理9.16をT=Ql,+と

命

■

し て 応 用 す れ ば,次

の 結 果 を 得 る.

定 理9.17   (ⅰ) あ る β>0に

対 し て,e-βHが

ト レ ー ス 型 作 用 素 な ら ば,各Ql,+は

フ

レ ドホ ル ム で あ り

(9.98) が 成 り立 つ(右

辺 は β に よ ら な い).

  (ⅱ) あ るz∈C＼[0,∞)に 各Ql,+は

対 し て,(H-z)-1が

ト レ ー ス 型 作 用 素 な ら ば,

フ レ ドホ ル ム で あ り

が 成 り立 つ(右

辺 はzに

よ ら な い).

9.4  超 対 称性 と特 異 摂 動―

摂 動 法 の破 綻

 超 対 称 的量 子 力 学 にお い て も摂 動 を考 察 す る こ とは興 味 が あ る.こ の 場 合,あ る 意 味 で 注 目す べ き構 造 に 出 会 う.す な わ ち,通 常 の 量 子 力 学 で 用 い られ て い る 摂 動 法―

摂 動 系 の物 理 量 の 固 有値 を,摂 動 パ ラ メー タ ー の 冪 級 数 に 展 開 し

て,"近 似 的"に 求 め る方 法(第5章

を参 照)―

が 破 綻 す る よ うな ハ ミル トニ ア

ンの 一 般 的 ク ラ ス の 存 在 が 示 唆 さ れ る の で あ る.こ の よ う な意 味 で,超 対 称 的 量 子 力 学 系 の摂 動 は非 常 に特 異 で あ り うる.だ が,別

の見 方 をす れ ば,超 対 称

的 量 子 力 学 は 本 質 的 に非 摂 動 的効 果 を記 述 す る構 造 を 内蔵 して い る と もい え る.   まず,い 定 義9.18  をH上

ま言 及 した"特 異"の 意 味 を 明確 に 定 義 す る こ とか ら始 め よ う. Hを

ヒ ル ベ ル ト空 間,{H(g)}g∈[0,

の 下 に 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 の 族 で,任

を 満 た す も の とす る(i. e., H(g)は,g→0の 収 束 す る と い う こ と*20).さ る と し よ う.こ

の と き,gn→0と

g0](g0>0は

固 定 さ れ た 定 数)

意 のz∈C＼IRに

と き,H(0)に

対 して

強 レゾ ル ヴ ェ ン ト

ら にE(g):=infσ(H(g))がH(g)の な る ど ん な 列{gn}∞n=1⊂(0, g0]に

固有値 であ 対 して も

*20 自己共 役作 用 素 の 族 の 強 レゾル ヴ ェ ン ト収 束 に関 す る基 本 的 な事 柄 につ い て は ,付 録M に論 述 して お い た.

E(gn)がE(0)に

収 束 し な い と き,自 己 共 役 作 用 素 の 族{H(g)}0
の 特 異 摂 動(singular はH(0)に

perturbation)で

関 し て 特 異 で あ る と い う(簡 単 に 「H(g)は

こ の 定 義 の"こ

こ ろ"は,H(g)は

お い て 連 続 で あ る が,そ た が っ て,こ

と い う 形―

摂 動 法―

特 異 摂 動 は,摂

際,仮

特 異 で あ る 」 と もい う).

連 続 に な って い な い とい うこ

の 摂 動 の ク ラ ス で は,H(g)の

で 求 め る こ と は で き な い.す

最 小 固 有 値E(g)を

な わ ち,こ

固 有 ベ ク トル― Ω(g)と

意 のz∈C＼IRに

,左 辺 は(E(g)-z)-1〈

z)-1=(E(0)-z)-1が

す れ ば(‖ Ω(0)‖=1

対 して

Ω(0),Ω(g)〉 に 等 しい.し 導 か れ る.だ

ラ メ ー タ ーg∈[0, g0]に

の 族{H,{Ql(g)}Nl

の場

しよ う― に つ い て も摂 動 法 は破 綻 す る.実

にlimg→0Ω(g)=Ω(0),H(0)Ω(0)=E(0)Ω(0)と

  さ て,パ

こ で定 義 した

動 法 が 破 綻 す る よ う な 一 つ の ク ラ ス を 与 え る の で あ る.こ

と し て お く),任

一方

の 場 合,{H(g)}0
強 レ ゾ ル ヴ ェ ン ト収 束 の 意 味 で は,g=0に

の 最 小 固 有 値 はg=0で

と で あ る.し

合,E(g)の

あ る と い う.こ

が,こ

た が っ て,limg→0(E(g)-

れ は 矛 盾 で あ る.

よ っ て 添 え 字 づ け られ た 超 対 称 的 量 子 力 学

=1, H(g),Γ}(0〓g〓g0)が

与 え られ た と し

(9.99) と お く.す

で に 知 っ て い る よ う に,E±(g)〓0で

仮 定(H)H(g)は,g→0の

と き,H(0)に

  こ の 仮 定 の も とで,H±(g)が,g→0の

あ る.次

の 仮 定 を お く:

強 レ ゾ ル ヴ ェ ン ト収 束 す る.

と き,H±(0)に

強 レ ゾ ル ヴ ェ ン ト収

束 す る こ と は 容 易 に わ か る*21.

(9.100) *21 任 意 のz∈C＼IRに

対 し て(H(g)-z)-1

あ る こ と を 使 えば よ い.

=(H+(g)-z)-1 

(H-(g)-z)-1で

とお く.{H+(g)}g∈Ⅱ

がH+(0)に

関 して特 異 で あ る ため の 十 分 条 件 は次 の 命 題

に よっ て 与 え られ る: 命 題9.19 

仮 定(H)の

も と で,任

意 のg∈[0,g0]に

の 固 有 値 で あ る と す る.こ

の と き,次

立 つ な ら ば,{H+(g)}g∈Ⅱ

はH+(0)に

 

対 し て,E+(g)はH+(g)

の 三 つ 条 件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)の

一つが成 り

関 し て 特 異 で あ る:

(ⅰ) E±(0)>0,E+(g)=0,g∈Ⅱ.

  (ⅱ) E+(0)>0,E-(0)=0,E±(g)>0.こ る 任 意 の 列{gn}∞n=1⊂Ⅱ

の 場 合,gn→0(n→∞)と

に 対 して,そ

な

の 部 分 列{hn}でlimn→∞E+(hn)=0

と な る も の が 存 在 す る.   (ⅲ) E+(0)>0,E-(0)=E+(g)=0,E-(g)>0,g∈Ⅱ.こ E1 ,+(g):=inf(σ(H+(g))＼{0})と 0(n→∞)と

の 場 合,

す れ ば,E1,+(g)>0で

な る 任 意 の 列{gn}∞n=1⊂Ⅱ

limn→∞E1

,+(hn)=0と

あ り,gn→

に 対 し て,そ

の 部 分 列{hn}で

な る も の が 存 在 す る.

証 明   (ⅰ)の 場 合 は 明 ら か.   (ⅱ)こ の 場 合,(9.75)に り,gn→0(n→∞)と

よ っ てE+(g)=E-(g),g∈Ⅱ

に 強 レ ゾ ル ヴ ェ ント 収 束 す る.し 分 列{hn}⊂{gn}とEn∈ が 成 り立 つ.一

…(*).仮

な る 任 意 の 列{gn}∞n=1⊂Ⅱ た が っ て,付

σ(H-(hn))が

方,En〓E-(hn)で

定(H)に

よ

に対 して,H-(gn)はH-(0)

録Mの

命 題M.3-(ⅱ)に

よ り,部

存 在 し てlimn→∞En=E-(0)=0

あ る か ら,(*)に

した が っ て,limn→∞E+(hn)=0.E+(0)>0で

よ っ て,En〓E+(hn).

あ る か ら,こ

れ はH+(g)が

特 異 で あ る こ と を 示 す.   (ⅲ)H+(g)が

特 異 で あ る こ と は 明 ら か.い ま の 場 合(9.75)に

E-(g).(ⅱ)の

場 合 と 同 様 に し て,gn→0と

limn→∞E-(hn)=0と limn→∞E1

,+(hn)=0 

注 意9.5 

+〓-の

立 つ.

な る 部 分 列{hn}が

よ っ て,E1,+(g)=

な る 任 意 の 列{gn}に 存 在 す る こ と が 示 さ れ る.ゆ

対 して え に, ■

対 称 性 に よ り,H-(g)に

つ い て も対 応 す る 結 果 が 成 り

表9.1 

特 異 摂 動 の生 起 に 関 す る場 合 分 け

  命 題9.19-(ⅲ)は,E1,+(g)(も

しH+(g)の

固 有 値 な らば,そ れ はH+(g)の

正 の最 小 固 有 値)に 対 して も摂 動 法 が 破 綻 す る こ とを示 して お り,興 味 深 い.   命 題9.19の

条件(表9.1)を

超 対 称 性 の 自発 的 破 れ との関 連 で 読 み直 す こ とは

意 味 が あ る か も しれ な い.ま ず,条 件(ⅰ)に お い て は,H(0)に る"無 摂 動 系"の 超 対 称 性 は 自発 的 に破 れ て い るが,H(g)に "摂 動 系"の そ れ は 自発 的 に破 れ てお らず た は フェ ル ミオ ン的(E-(g)=0の 逆 の状 況 に あ る.た

よっ て 記 述 され る

,そ の 零 エ ネ ル ギ ー状 態 は ボ ソ ン的 ま

場 合)で あ る.条 件(ⅱ)に お い て は,そ の

だ し,無 摂 動 系 の零 エ ネル ギ ー 状 態 は フ ェ ル ミオ ン的 で あ

る.最 後 の条 件(ⅲ)に が,零

よ って 記 述 され

お い て は,双 方 の 系 の 超 対 称 性 は 自発 的 に破 れ て い ない

エ ネ ル ギ ー 状 態 の 種 類(フ ェ ル ミオ ン的状 態 か ボ ソ ン的状 態 か とい う こ

と)は,無

摂 動 系 と摂 動 系 で は異 な って い る.な お,双 方 の 系 の 超 対 称 性 が と も

に破 れ て い る場 合 は,一 般 に は特 異 と は い え な い が,特 異 に な る よ うな例 は 存 在 す る[2].

9.5 

ウ ィ ッテ ンモ デル

  この 節 で は,超 対 称 的 量 子 力 学 の モ デ ル の うち で 最 も単 純 な もの の一 つ を考 察 す る.そ れ は,通 常 の 量 子 力 学 の意 味 で は,1次

元 空 間IRを

運動 するス ピン

1/2の 量 子 的粒 子 に 関す る モ デ ル で あ るが,超 対 称 性 の 観 点 か らは,ス ピ ン1/2 の 内 部 自 由度 だ け を もつ"フ ェ ル ミオ ン"と ス ピ ン0の

ボ ソ ン1個 が 超 対 称 的

に 相 互 作 用 を行 う系 の モ デ ル の一 つ とみ る こ とが で きる も の で あ る.モ デ ル の 構 成 にあ た っ て は,9.3.7項

で 述 べ た,超 対 称 的 量 子 力 学 の 構 成 法 を適 用 す る.

  9.5.1    ま ず,状 L2(IR) 

モ デ ル の 定 義 態 の ヒ ル ベ ル ト空 間 と してL2(IR)の L2(IR)を

と る.W:IR→IRを2回

直 和 ヒ ル ベ ル ト空間  2L2(IR)= 連 続 微 分 可 能 な 関 数 と し,L2(IR)

上 の 作 用 素Q+を

(9.101) に よ っ て 定 義 す る.た

だ し,pは

か る よ う に,D(Q+)⊃C∞0(IR)で

運 動 量 作 用 素 で あ る:p:=-iDx.容 あ り― し た が っ て,D(Q+)は

易 にわ 稠 密―

(9.102) が 成 立 す る.さ

ら に,Q*+⊃e-WpeWで

あ る か ら,C∞0(IR)⊂Q*+で

あ り

(9.103) が し た が う.ゆ をQ+で

え に,D(Q*+)は

表 す.補

題9.5を

稠 密 で あ る の で,Q+は

可 閉 で あ る.そ

の閉包

応用す る ことによ り

(9.104) は 自 己共 役 で あ る.こ

こで

(9.105) と 表 さ れ る こ と に 注 意 し よ う(σ1,σ2は す な わ ち,Qは1次

パ ウ リ 行 列 の1番

目 と2番

目 の も の).

元 の デ ィ ラ ッ ク 型 作 用 素 で あ る.

 次 に

(9.106) を 導 入 す る.こ 子 力 学 で あ る.こ

の と き,{ 

2L2(IR),H,Q,Γ}は1-超

の モ デ ル を ウ ィ ッ テ ン モ デ ル と 呼 ぶ[29,30].関

モ デ ル の 超 ポ テ ン シ ャ ル(superpotential)と   ち な み に,作

対 称 性 を もつ 超 対 称 的 量

用 素pに

数Wを

この

い う.

関 し て,p〓eWpe-Wと

そ の 創 始 者 の 名 を と っ て ウ ィ ッ テ ン 変 形(Witten

い う形 で 摂 動 を行 う手 法 は deformation)と

呼 ばれてい

る[31].こ

の 変 形 の ア イデ ア は い ろ い ろ な コ ンテ クス ト―p,Wを

別の作用素 に

置 き換 え て考 え る― で 有 用 で あ る こ とが 知 られ て い る.   一 般 論 に した が って,非 負 自 己 共役 作 用 素

(9.107) を導入すれ ば

(9.108) が 成 り立 つ.   超 対 称 的 ハ ミル トニ ア ンHの

具 体 的 表 示 を み て み よ う.(9.105)か

う に,  2C∞0(IR)⊂D(Q2)=D(H)で -σ2σ1=iσ3を

らわ か る よ

あ り,パ ウ リ行 列 の 性 質 σ21=1,σ1σ2=

使 えば

(9.109) と な る こ と が わ か る,こ

れは

(9.110) を 意 味 す る.H±〓0で

あ る か ら,

(9.111) が 証 明 さ れ た こ と に な る.さ ら に次 の事 実 が した が う: 定 理9.20 

関 数Wは

(9.112) を 満 た す と す る.こ

の と き,

(9.113) はC∞0(IR)上 で 本 質 的 に 自 己 共役 で あ り,L±(W)〓0か

つ

(9.114)

が 成 り立 つ.こ

こ で,L+(W)の

重 度 とL-(W)の

多

固 有 値 と し て の λ の 多 重 度 は 一 致 す る.

証 明   L±(W)のC∞0(IR)上 に よ る.ゆ

正 の 任 意 の 固 有 値 λ ∈ σp(L+(W))＼{0}の

で の 本 質 的 自己 共 役 性 は 第2章

の定 理2.25の

応用

えに

(9.115) が し た が う.こ

れ と ス ペ ク トル 的 超 対 称 性(定

理9.7)に

よ り,(9.114)が

した

が う. 

■

  (9.111)お よび 定 理9.20はQ+と 副 産 物 で あ る.定 理9.20の

い う作 用 素 の超 対 称 化 に伴 う,い わば 数 学 的

重 要 な点 は,L+(W)とL-(W)と

い う二 つ の シ ュ

レ ー デ ィ ンガ ー型 作 用 素 の スペ ク トル の構 造 の 関連 を明 らか に した こ とに あ る. だ が,超 対 称 性 の ア イデ ア を用 い ず に,L+(W)とL-(W)を

個 別 的 に解析 した

の で は,こ の 結 論 に到 達 す る こ と は難 しか っ たで あ ろ う こ と は想 像 に難 くな い (読 者 は試 しに定 理9.20の

別 の 証 明 を考 案 さ れ た い).超 対 称 性 とい う概 念 の 有

用 性 の 一 つ が こ こ にみ られ る.閉 作 用 素 の 超 対 称 化 とい う方 法 は,実

は,非 常

に 広 範 な応 用 を も ち,数 学 的 に非 自明 な 事 実 を容 易 に導 く場 合 が あ る. 注 意9.6 

同 様 の 事 実 は,2次

作 用 素H±(A)(例9.3)に

元 パ ウ リ作 用 素H±(A)(例9.2)や3次

元パ ウリ

つ い て も 成 立 す る.

  9.5.2  零 エ ネル ギ ー状 態 の存 在 条 件   ウ ィ ッテ ン モ デ ル の 零 エ ネ ル ギ ー状 態 が 存 在 す る か ど うか を調 べ て み よ う. こ れ はWの

性 質 に依 存 しう る こ とが 予 想 され る.9.3節

の 場 合 の 適 用 す れ ば,ウ

の一 般 論 の結 果 を い ま

ィ ッテ ンモ デ ル の 零 エ ネ ル ギ ー状 態 の 空 間 は

(9.116) で 与 え ら れ る.そ

こ で,kerQ+とkerQ*+の

  ψ ∈kerQ+と

し よ う:ψ

C∞0(IR)に

∈D(Q+)か

対 して〈Q*+u*,ψ〉=0.こ

-∫IRW'(x)ψ(x)u(x)dx

.こ

れ は,超

構造 を 明 ら か に す る こ と を 考 え る. つQ+ψ=0.し れ と(9.103)に

た が っ て 任 意 のu∈ よ っ て,∫IRψ(x)u'(x)dx=

関 数 方 程 式Dxψ=W'ψ

と 同 値 で あ る.

ψ ∈L1loc(IR)で あ る か ら(∵ 積 分 に関 す る シ ュ ヴ ァ ル ツ の不 等 式),付 録Nの 定 理N.2をd=1の

場 合 に応 用 す る こ とが で き,ψ=CeWが

定 数).こ れ か ら,任 意 の定 数C∈C＼{0}に

得 られ る(Cは

対 して ψ ∈L2(IR)と

な る必 要十

分 条件は

(9.117) で あ る.こ

定 理9.21 

う し て,次

の 定 理 が 得 ら れ る:

kerQ+≠{0}で

る こ と で あ る.こ

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,(9.117)が

満 た され

の場 合

(9.118)  上 の 議 論 と同様 に して,kerQ*+に 定 理9.22 

kerQ*+≠{0}で

つ い て次 の結 果 が 得 ら れ る:

あるための必要十分条件 は

(9.119) が 満 た され る こ とで あ る.こ の場 合

(9.120)   と こ ろ で,条 対 し て,シ

両 立 し得 な い.実

際,任

意 のR>0に

ュ ヴ ァル ツ の 不 等 式 に よ っ て

が 成 り立 つ.も はR→∞

件(9.117)と(9.119)は

し,(9.117),(9.119)が

の と き,有

限 値 に 収 束 す る.だ

あ る.  こ う して,次

の 定 理 が 得 ら れ る.

と も に 満 た さ れ て い る とす れ ば,右 が,左

辺

辺 は 無 限 大 に な る か ら矛 盾 で

定 理9.23 

ウ ィ ッ テ ンモ デ ル の 超 対 称 的 ハ ミ ル トニ ア ンHが

態 を も つ た め の 必 要 十 分 条 件 は(9.117)ま る こ と で あ る.そ

の 場 合,次

  (ⅰ) (9.117)が

満 た さ れ る 場 合,Hの

に 限 ら れ る.特

た は(9.119)の

零 エ ネ ル ギ ー状

ど ち らか が 満 た され

が 成 立 す る: 零 エ ネ ル ギ ー 状 態 は(eW,0)の

定数倍

に,

(9.121)   (ⅱ) (9.119)が

満 た さ れ る 場 合,Hの

倍 に 限 られ る.特

に,

零 エ ネ ル ギ ー 状 態 は(0,e-W)の

定数

(9.122)   こ の 定 理 の 一 つ の 帰 結 は 次 で あ る: 系9.24 

(9.117)と(9.119)の

す な わ ち,Hの

ど ち ら も満 た さ れ な い な ら ば,kerH={0},

零 エ ネ ル ギ ー 状 態 は 存 在 し な い.し

た が っ て,こ

の 場 合,超

対

称 性 は 自 発 的 に破 れ て い る.   こ う し て,ウ ン シ ャ ルWの

  9.5.3 

ィ ッ テ ン モ デ ル に お い て は,超 特 性 に依 存 す る こ とが わ か る.

多 項 式 型 超 ポ テ ン シ ャル

  こ の 項 で は,Wが と し,Wがq次

対 称 性 の 自発 的 な破 れ は 超 ポ テ

多 項 式 型 の 場 合 を 考 え,こ

れ ま で の 結 果 を応 用 す る.q〓2

の多 項 式

の 場 合 を 考 え る(aj∈IRは

定 数,aq≠0).こ

し た が っ て,W'(x)2は2(q-1)次 で あ る か ら,(9.112)は

の とき

の 多 項 式 で あ り,W"は(q-2)次

満 た さ れ る.次

の 事 実 は 容 易 に 確 か め ら れ る:

の多 項 式

 

(ⅰ) eW∈L2(IR)⇔qが

 

(ⅰ) e-W∈L2(IR)⇔qが

偶 数 か つaq<0. 偶 数 か つaq>0.

  (ⅲ) e±W〓L2(IR)⇔qが

奇 数.

  こ れ ら の 結 果 を ま と め て 記 述 す る た め に,Wの

無 限 遠 で の 符 号sgnW±∞

を

次 の よ う に 定 義 す る: の と き の と き こ の と き,定

理9.21と

定 理9.22に

よ り

(9.123) と書 け る こ とが わか る.こ の よ う に表 す と,Q+の

指 数 は,Wの

無 限遠 で の 振

る舞 い だ けで 決 ま り,途 中 の 詳 細 に は よ らな い こ とが 一 目瞭 然 に な る.   こ の 例 で は,W'2±W"∈L2loc(IR)で

あ り

で あ る の で,定

の結果

理6.50が

適 用 で き る.そ

(9.124) す な わ ち,H±

は 離 散 ス ペ ク トル しか も た な い.し

が 満 た さ れ る.ゆ

  9.5.4 

え にQ+は

た が っ て,定

理9.15の

条件

フ レ ドホ ル ム で あ る.

特 異 摂 動 の生 起

  ウ ィ ッ テ ン モ デ ル に お い て は,特 う.g∈IRを

異 摂 動 が ご く"自 然 に"起

パ ラ メ ー タ ー,W1:IR→IRを2回

こ る こ と を示 そ

連 続 微 分 可 能 な 関 数 と し て,

作用素

(9.125) ―Q+の

摂 動― を 考 え る .作

用 素Q,

H, H±

に お け るWをW+gW1に

え る こ と に よ り得 られ る 作 用 素 を そ れ ぞ れ,Q(g),

H(g),

H±(g)と

置 き換 記 す.(9.109)

に よ って

(9.126) (9.127) (9.128) 以下

(9.129) を 仮 定 す る.

補 題9.25 

条 件(9.129)の

も と で,H±(g)は,g→0の

と き,H±

に強 レゾ

ル ヴ ェ ン ト収 束 す る.

証 明   (9.129)が

仮 定 さ れ て い る の で,定

応 用 で き る.し

た が っ て,C∞0(IR)はH±(g)の

用 い る こ と に よ り,任

意 の ψ ∈C∞0(IR)に

な る こ と が 容 易 に わ か る.し

た が っ て,付

理9.20を,WがW+gW1の 芯 で あ る.さ

場合 に ら に,(9.128)を

対 し てlimg→0H±(g)ψ=H± 録Mの

定 理M.4の

ψ と

応 用 に よ り,題

意 が し た が う. 

定 理9.26  の と き,次

■

(9.129)を

仮 定 し,g0>0を

任 意 に と り,Ⅱ:=(0,g0]と

の 三 つ の 条 件 の 一 つ が 成 立 す れ ば,H+(g),g∈Ⅱ

お く.こ

はH+に

関 して 特

異 で あ る: (ⅰ) (ⅱ)

(ⅲ) 証 明   定 理9.23に 件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を

  定 理9.26の 存 在 す る.

よ っ て,上

の 条 件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)は

そ れ ぞ れ,命

題9.19の

導 く. 

条 件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)の

条 ■

ど れ か を 満 た すW,

W1は

無 数 に"十

分 多 く"

例9.4 

W(x):=x2n,W1(x):=-x2m+2,m〓n〓1.こ

ば,定 理9.26の

条 件(ⅲ)が

満 た さ れ る.条

く らで も例 をつ くる こ とが で き る.そ が[2]に

の と き,g>0な

ら

件(ⅰ),(ⅱ)に つ い て も ,同 様 に して,い

の よ う な例 の い くつ か に 関 す る 更 に詳 しい解 析

あ る.

注 意9.7 

ウ ィ ッ テ ン モ デ ル の 多 次 元 へ の 拡 張 に つ い て は,演

習 問 題8∼10を

参 照.

9.6 

  例9.2の

縮 退 した零 エ ネル ギ ー基 底 状 態 を もつ モデ ル

超 対 称 的 量 子 力 学 の モ デ ル は,あ る ク ラ ス の ベ ク トル ポ テ ンシ ャル

Aに 対 して,縮 退 した 零 エ ネ ルギ ー基 底 状 態 を もつ こ とを示 そ う.   B:IR2→IRを

有 界 な台 を もつ 連 続 な関 数 と し

(9.130) を定 義 す る.こ

の と き,φ は 連 続 関 数 で あ り超 関 数 の 意 味 でΔ φ(x)=B(x)…(*)

が 成 り 立 つ([13]ま 可 能 で あ る(ル

た は[14]の

付 録C.3の

例C.3を

ベ ー グ の 優 収 束 定 理 を応 用 せ よ).そ

参 照).ま

た ,φ

こ で,IR2上

は偏 微 分

のIR2値

関数

A=(A1,A2)を

(9.131) に よ っ て 定 義 し,Q+(A)を D1A2-D2A1で

例9.2に

あ る か ら,Bを

ン シ ャ ル の 一 つ と 解 釈 さ れ る.こ

お け る 作 用 素 と す る.(*)に

磁 場 と解 釈 す る と き ,Aは

よ っ て ,B=

そ の ベ ク トル ポ テ

の場 合

(9.132) はBの

磁 束 を 表 す.

  正 の 実 数a>0に {0}:=0と 定 理9.27    0.

対 し て,aよ

り も 真 に 小 さ い 最 大 の 整 数 を{a}で

す る. A1, A2は(9.131)で

(ⅰ) ΦB>0な

ら ば,dim

与 え ら れ る も の と す る.こ kerQ+(A)={ΦB/2π}か

の と き:

つdim

kerQ+(A)*=

表 す.

  (ⅱ) ΦB<0な

ら ば,dim

kerQ+(A)={0}か

つdim

kerQ+(A)*=

{-ΦB/2π}. 証 明   (ⅰ)ω L1loc(IR2)の

∈D(IR2)'のu∈C∞0(IR2)に

お け る 値 を ω(u)と

書 く(ω

場 合 に は,ω(u):=∫IR2ω(x)u(x)dx)．

  ΦB>0と

す る.ψ

∈kerQ+(A)と

<ψ,Q+(A)*u>=0.一

す れ ば,す

方,Q+(A)*u=-2ieφ

0…(*).ε>0に

対 して,φε:=Jε

軟 化 作 用 素),φε ∈C∞(IR2).し で あ る の で,(*)に

べ て のu∈C∞0(IR2)に

∂ze-φuと

(∂1-i∂2)/2(z=x1+ix2,(x1, x2)∈IR2).し

書 け る.た

対 して だ し,∂z:=

た が っ て,(eφ ψ*)(∂ze-φu)= φ と お け ば(Jε は2次

た が っ て,uε:=eφεuと

元 の フ リー ド リ ク ス の す れ ば,uε

よ り,(eφ ψ*)(∂ze-φuε)=0…(**).φ

あ る か ら,limε →0φε(x)=φ(x),limε

∈C∞0(IR2)

は連 続 微 分 可 能 で

→0∂zφε(x)=∂zφ(x),x∈IR2が

成 り立

つ.こ

れ ら の 事 実 と ル ベ ー グ の 優 収 束 定 理 を 応 用 す る こ と に よ り,(**)の

は,ε

→0の

と き,(eφ ψ*)(∂zu)=0に

方 程 式Dz(eφ

ψ)=0を

収 束 す る こ とが わ か る.こ

意 味 す る(Dz,

が っ て,付

録Nの

り立 つ.し

た が っ て,ψ=e-φf.式(9.130)か

定 理N.5に

Dzに

よ っ て,C上

suppB⊂{x∈IR2￨￨x￨〓R}(R>0は ￨x￨>Rな

つ い て は,付 の 整 関 数fが

定 数)と

ら ば0<￨x￨-￨y￨〓￨x-y￨〓￨x￨+Rで

とき

こ れ と ψ ∈L2(IR2)よ

あ る か ら,￨x￨〓R+1の

依 存 す る 定 数).し

り,fは

参 照).し

あ っ てeφ ψ=fが

成

つ

と き,log(1+t)〓Cδ￨t￨

たが っ て

多 項 式 的 に有 界 で な け れ ば な ら な い.し

多 項 式 で な け れ ば な ら な い.そ

た

あ る か ら,log(1-R/￨x￨)〓

(Cδ>0は

が 成 立 す る(dRはRに

れ は超 関 数

す れ ば,y∈suppBか

δ<1の

定 数)で

録Nを

左辺

ら

log(￨x-y￨/￨x￨)〓log(1+R/￨x￨).0<￨t￨〓

fは

∈

こ で,fをn次

た が っ て,

の 多 項 式 と し よ う(n〓1).

こ の と き,ψ

∈L2(IR2)で

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は ΦB/2π-n>1で

る.ΦB/2π=l+ε(l∈{0}∪IN,ε n=0,

∈[0, 1))と

1,…,l-1(ε>0の

場 合)ま

の と き は 仮 定 に よ り,l〓1で で あ り,ε=0の

場 合,l-1={ΦB/2π}.し っ て,dim

  次 に ψ ∈kerQ+(A)*と

し よ う.し

て,<ψ,Q+(A)u>=0.こ

  (ⅱ)ΦB<0な

ず れ の 場 合 で も,

kerQ+(A)={ΦB/2π}. た が っ て,任

の 整 関 数gが

の 場 合,ψ(x)∼￨x￨ΦB/(2π)g(z)(￨x￨→∞)で け れ ば な ら な い.ゆ

場 合;こ

場 合,l={ΦB/2π}

た が っ て,い

意 のu∈C∞0(IR2)に

れ は(e-φ ψ*)(∂z(eφu))=0を

の 場 合 と 同 様 に し て.C上

の よ う なnは

1,…,l-2(ε=0の

な け れ ば な ら な い).ε>0の

n=0,…,{ΦB/2π}-1.よ

て,上

た はn=0,

す れ ば,そ

あ

あ っ て,ψ=eφgと あ る か ら,ψ

系9.28 

たが っ

書 け る.こ

∈L2(IR2)は0で

な

え にkerQ+(A)*={0}.

ら ば,(ⅰ)の

二 つ の 議 論 が"逆

転 す る"の

で題 意 が 成 立 す る こ

と に な る. 

 定 理9.27か

対 し

意 味 す る.し

■

らた だ ち に次 の 結 果 が 得 られ る:

定 理9.27の

仮 定 の も とで

(9.133) こ こ で,sgn(t)はt∈IR＼{0}の

符 号 を 表 す:t>0な

ら ばsgn(t)=1;t<0な

ら ばsgn(t)=-1.

  定 理9.27は,考

察 下 の超 対 称 的 量子 力 学系 にお け る線 形 独 立 な零 エ ネ ル ギ ー

状 態 の個 数 は磁 束 だ け か ら定 ま る こ と,お よび零 エ ネ ル ギー 状 態 の 帰 属― ボ ソ ン 的 か フ ェ ル ミオ ン的 か とい う こ と― が 磁 束 の符 号 に よ って 交 代 す る こ と を語 っ て お り,た いへ ん 興 味 深 い.   定 理9.27の

結 果 を2次 元 パ ウ リ作 用 素H±(A)[(9.71)]の

基底 状態 について

の 情 報 と して読 み 直 せ ば次 の結 果 を得 る: 系9.29 

定 理9.27の

仮 定 の も とで,

(9.134)

(9.135) た だ し,θ(t):=1(t>0);θ(t):=0(t<0).

  こ の 結 果 は し ば し ば ア ハ ラ ノ フ(Aharonov)-キ

ャ シャ-(Casher)の

結果 と

し て 言 及 さ れ る[1]. 注 意9.8  IR2に

上 述 の モ デ ル の あ る種 の 極 限 と して,磁 場Bが

集 中 し て い る 場 合,す

ΣNn=1cnδ(x-an)と 合,零

な わ ち,cn∈IRを

定 数 と し て,BがB(x)=

い う形 の 超 関 数 で 与 え ら れ る 場 合 が 考 え ら れ る.こ

エ ネ ル ギ ー 状 態 の 在 り方 は一 変 し,定

か わ り,別

何 個 か の 点a1,…,aN∈

理9.27の

の場

結 果 は 成 立 し な い.そ

の

の 法 則 性 が 見 い だ さ れ る[7].

付 録L 

トレー ス型 作 用 素

  Hを 可 分 な ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,TをH上   N=dimH<∞

の と き,Hの

の 有 界 線 形 作 用 素 とす る(T∈B(H)).

任 意 の 正 規 直 交 基 底{en}Nn=1に

対 して,ス

カ ラー

量TrTを

(L.1) に よ っ て 定 義 で き る.こ て,TrTはTに

れ は 正 規 直 交 基 底 の 選 び 方 に よ ら ず に 定 ま る*22.し

固 有 の 量 で あ る.こ

れ をTの

トレー ス と呼 ぶ.こ

たが っ

の概 念 の 無 限 次 元

版 を 定 義 す る こ とが こ の 付 録 の 目 的 で あ る.   以 下,Hは る.も

無 限 次 元 で あ る と し,{en}∞n=1をHのCONS(完

し,T〓0な

散 す る 場 合(+∞ 補 題L.1 

ら ば,<en,

T〓0の

*22 {f

別 のCONSと

n}Nn=1をHの

き る.し

全 正 規 直 交 系)と す

あ る か ら,Σ∞n=1<en,

Ten>は

発

と な る場 合)も 含 め て 定 義 さ れ る. と き,Σ∞n=1<en,

証 明  α:=Σ∞n=1<en, をHの

Ten>〓0,n∈INで

Ten>はCONS{en}∞n=1の

Ten>と

す れ ば,α=Σ∞n=1‖T1/2en‖2と

す れ ば,パ

ー セヴ ァルの等 式 によ り

別 の 正 規 直 交 基 底 と す れ ば, 

た が っ て, 

取 り方 に よ ら ない. 書 け る.{fn}∞n=1

と展 開 で で あ る か ら,  .

 

し た が っ て―2重

正 項 級 数 の 和 の順 序 は発散 す る場 合 もこ めて 交 換 可 能 で あ る か

ら― .    Tが

非 負 で な い 場 合 で も,￨T￨=(T*T)1/2は

■

非 負 の 自 己 共 役 作 用 素 で あ る .そ

こ

で 次 の 定 義 が 可 能 で あ る: 定 義L.2 

Hの

あ るCONS{en}∞n=1に

対 して

(L.2) が 成 り立 つ と き,Tを をTの

トレ ー ス型 作 用 素 ま た は トレ ー ス ク ラ ス 作 用 素 と呼 ぶ.‖T‖1

トレ ー ス ノ ル ム と い う.H上

  補 題L.1に

の トレ ー ス 型 作 用 素 の全 体 をC1(H)と

よ っ て,こ の 定 義 はCONS{en}∞n=1の

取 り方 に よ らな い.次

記す. の事 実 は

基 本 的 で あ る: 命 題L.3 

(ⅰ)C1(H)は

複 素 ベ ク トル 空 間 で あ る.

(ⅱ)  T∈C1(H),S∈B(H)な

  (ⅲ) T∈C1(H)な

ら ばTS,ST∈C1(H)で

らばT*∈C1(H).

証 明   紙 数 の 都 合 上,割 命 題L.4 

て,Hの

愛 す る*23. 

各T∈C1(H)は

証 明  ￨T￨∈C1(H)で

あ り

■

コ ンパ ク トで あ る.

あ る か ら,命 題L.3-(ⅲ)に

任 意 のCONS{en}nに

と し よ う.こ 部 と み る こ とが で き る.し

よ っ て,￨T￨2∈C1(H).し

の と き,{e1,…,eN,Ψ}は

た が っ て, 

ち, .こ

あ るCONSの ,す

一 なわ

れ は  を意 味 す る.し た が っ て, 

0(N→∞)を

たが っ

対 して, 

得 る(定 理6.25-(ⅱ)の

とす れ ば ,‖TN-T‖= 証 明 を参 照).TNは

も コ ン パ ク トで あ る. 

コ ンパ ク トで あ る か ら,T ■

次 の事 実 は重要 で ある. *23 証 明 の 基 本 的 ア イ デ ア は 標 準 極 分 解([13 証 明 は そ れ ほ ど 難 し くは な い.た Ⅵ.19等

を 参 照.

, p.178])を 使 う こ と で あ る.こ れ に 気 づ け ば, と え ば,[22]の §49,[19]の4.2節,[24]のTheorem

補 題L.5 

Tは

トレ ー ス 型 作 用 素 で あ る と し,{en}∞n=1をHのCONSと

す る.こ

の とき

(L.3) は 絶 対 収 束 し,CONS{en}∞n=1の 証 明   [22]の

選 び方 に よ ら な い.

§49,[19]の4.2節,[24]の

§Ⅵ.6等を参照. 

  ト レー ス型 作 用 素T∈C1(H)に TrTをTの

対 し て,(L.3)に

■

よ っ て,定

義 され る ス カ ラ ー量

トレ ー ス と い う.

命 題L.6 

T∈C1(H)が

自 己 共 役 な ら ば,TrT=Σnλn.た

複 もこ め て 数 え た,Tの0で 証 明  仮 定 と命 題L.4に 定 理6.30に

よ っ て,Tは

自己 共 役 な コ ン パ ク ト作 用 素 で あ る.し

よ っ て,CONS{ψn}nと

0を 満 たす も の が あ る.ゆ

だ し,{λn}nは,重

な い 固 有 値 全 体 で あ る. た が って,

実 数 列{μn}nでTψn=μnψn,limn→∞

μn=

え に,TrT=Σn<ψn,Tψn>=Σnμn=Σ

μn≠0μn＝

Σnλn.  定 理L.7 

■ (ⅰ)  (線 形 性)Tr(αT+βS)=αTrT+βTrS,T,S∈C1(H),α,β

(ⅱ)  任 意 のT∈C1(H)に

対 し て,TrT*=(TrT)*.

(ⅲ)  任 意 のT∈C1(H)とS∈B(H)に

対 し て,TrTS=TrST.

証 明   (ⅰ),(ⅱ)は容 易 に証 明 さ れ る.(ⅲ)い ニ タ リ の 場 合.{en}nをHの

くつ か の ス テ ッ プ に 分 け る.(a)  Sが

任 意 のCONSと

ば,{fn}nもHのCONSで

あ る.こ

(b) Sが 自 己 共 役 で‖s‖=1の   が 定 義 され,い

∈C.

す る.こ

の と き,fn:=Senと

れ に注意 すれ ば

場 合.こ

の と き,S2〓1で

ず れ もユ ニ タ リ で あ る.そ

あ る か ら,U±:=S±

して,S=(U++U-)/2と

け る.(a)に

よ っ て,TrTU±=TrU±Tで

あ る か ら,TrTS=TrSTが

(C) S≠0が

自 己 共 役 の 場 合.S:=S/‖S‖

とお け ば,Sは

た が っ て,(b)に

よ り,TrTS=TrST.ゆ

界 線 形 作 用 素 の 場 合.S=S1+iS2(S1,S2は 果 を使 え ば,結 論 を 得 る. 

ユ

おけ

書 成 り立 つ.

自己 共 役 で‖S‖=1.し

え に題 意 が し た が う.(d)  Sが 任 意 の 有 自 己 共 役)と 書 け る.こ

れ と(C)の 結 ■

付 録M 

自 己共役 作 用 素 の強 レゾル ヴ ェ ン ト収 束

  Hを ヒ ル ベ ル ト空 間,An, A(n∈IN)をH上 の 自 己 共 役 作 用 素 とす る.任 z∈C＼IRと Ψ ∈Hに 対 し て,limn→∞‖(An-z)-1Ψ-(A-z)-1Ψ‖=0が り立 つ と き,AnはAに

強 レ ゾ ル ヴ ェ ン ト収 束 す る と い う(nが

意の 成

連 続パ ラメ ー ターの

場 合 も 同 様). 補 題M.1 

Tn, T(n∈IN)をH上

い る とす る(す な わ ち,任 ‖T‖〓lim

強収 束 して

対 して,limn→∞TnΨ=TΨ)

.こ の と き,

infn→∞‖Tn‖.

証 明   Ψ ∈Hを n〓n0な

の 有 界 線 形 作 用 素 と し,TnはTに

意 の Ψ ∈Hに

任 意 に 固 定 す る.こ

の と き,任

ら ば,‖TnΨ-TΨ‖<ε.し

し た が っ て,a:=lim

infn→∞‖Tn‖

意 の ε>0に

対 し て,番

Ψ‖.

と す れ ば,‖TΨ‖〓(a+ε)‖

Ψ‖.そ

→

Ψ‖ を 得 る か ら,‖T‖〓aで

補 題M.2 

の 自 己 共 役 作 用 素 と し,a, b∈IR,a
とお く.こ の と き,(a,

b)∩ σ(B)=0で

あ っ て,

ε〓(‖Tn‖+ε)‖

0と す れ ば,‖TΨ‖〓a‖

BをH上

号n0が

た が っ て,‖TΨ‖〓‖TnΨ‖＋

こ で,ε

あ る. 

■

対 して

あ るため の必 要 十分 条件 は

(M.1) が 成 り立 つ こ と で あ る. 証 明   (必 要 性)(a,

b)∩ σ(B)=0と

こ れ と作 用 素 解 析 に よ り,(M

す る.こ

の と き,infλ ∈σ(B)｜ λ｜z0｜=(b-a)/ 

  (十 分 性)対 偶 を示 す.し た が っ て,(a, b)∩ σ(B)≠0を と す る.ま ず,a<E<(a+b)/2の 場 合 を考 え る.十 IE:=(E-δ,E+δ)⊂(a,(a+b)/2)と ば,EB(IE)≠0で

で きる.Bの

はBの

仮 定 し,E∈(a, b)∩ σ(B) 分 δ>0を 小 さ く とれ ば,

ス ペ ク トル 測 度 をEBと

あ る か ら,零 で な い ベ ク トルf∈R(EB(IE))が

に 対 して, .一

*24 任意 の Ψ ∈Hに

対 し て,  用 い て 評 価 せ よ.

すれ

存 在 す る.こ 方

ス ペ ク トル 測 度)を

.

.1)が 得 られ る*24.

れ

と お く と,λ

∈IEな

ら ば,￨λ-z0￨〓c.し

こ れ は,‖(B-0o)-1‖〓c-1を

た が っ て,‖(B-z0)-1f‖2〓c-2‖f‖2.

意 味 す る.容

易 に わ か る よ う に, 

.

よ っ て, . 

■

命 題M.3 

An,

A(n∈IN)をH上

ン ト収 束 して い る とす る.こ

(ⅰ) a, b∈IR,a
つ す べ て のn∈INに

σ(A)=0で

(ⅱ)  任 意 の

の 自己 共 役 作 用 素 と し,AnはAに

対 し て,部

よ っ て,す

 .こ れ と 補 題M.1に 題M.2に

よ っ て,(a,

  (ⅱ) 任 意 のk>0に に よ っ て,あ

b)∩

σ(An)=0な

ら ば,

σ(Ank)が

存 在 し,

分 列{nk}kとλk∈

が 成 立 す る.

証 明   (ⅰ)  仮 定 と補 題M.2に

び,補

対 し て(a,

あ る.

λ ∈ σ(A)に

limk→∞λk=λ

強 レゾル ヴェ

のとき

べ て のn∈INに

し た が っ て,再

b)∩ σ(A)=0を

得 る.

対 し て,(λ-k-1,λ+k-1)∩

るnk∈INが

λk∈(λ-k-1,λ+k-1)∩

対 して,

よ っ て, 

σ(A)≠0で

あ っ て,(λ-k-1,λ+k-1)∩ σ(Ank)を

あ る か ら,(ⅰ)

σ(Ank)≠0.そ

一 つ 選 べ ば,こ

こ で,

れ が 求 め る 数 列 で あ る. 

■

次 の 定 理 は 有 用 で あ る. 定 理M.4 

An,

∩n∈IND(An)を

A(n∈IN)をH上

の 自 己 共 役 作 用 素 と し,DをAの

満 たす もの とす る.さ

AΨ が 成 り立 っ て い る と す る.こ

ら に,任 意 の Ψ ∈Dに

の と き,AnはAに

証 明   z∈C＼IR,Ψ=(A-z)Φ,Φ

∈Dと

芯 でD⊂

対 して,limn→∞AnΨ=

強 レゾ ル ヴ ェ ン ト収 束 す る.

す る.こ

の と き,

で あ るか ら

し た が っ て,limn→ {(A-z)Φ￨Φ ￨I mz￨-1.こ て,Ψk→ て,(*)が

∞(An-z)-1Ψ=(A-z)-1Ψ

∈D}はHの

れ ら の 事 実 を 用 い て,極 Ψ(k→∞)と

…(*).DはAの

稠 密 な 部 分 空 間 で あ る.ま

な るΨk∈Dを

成 り立 つ こ と が わ か る. 

芯 で あ る か ら,

た,supn〓1‖(An-z)-1〓

限 議 論 を 行 う こ と に よ り(任 意 の Ψ ∈Hに と っ て 考 察 す る),す

べ て の Ψ ∈Hに

対 し 対 し ■

付録N  簡単な超関数方程式の解

  IRdの 座 標 変 数xj(j=1,…,d)に 定 理N.1 

ψ ∈L1loc(IRd)に

で あ る.す

な わ ち,あ

証 明   ε>0に

関 す る 一 般 化 さ れ た偏 微 分 作 用 素 をDjで

つ い て,Djψ=0(j=1,…,d)な

る 定 数cが

対 し て,Jε

る).こ

を フ リ ー ド リ ク ス の 軟 化 子 と し([13]ま

た が っ て,ψ ε=cε(定

す .

数)…(*).一

方,任

意 のu∈C∞0(IRd)

ビ ニ の 定 理 を応 用 す る こ と に よ り

た だ し,Rはsuppu⊂{x∈IRd￨￨x￨〓R}と

な る 定 数 で あ る.limε

ε*u)(y)￨〓‖u‖L∝(IRd)￨ψ(y)￨お

→0(ρε*u(y)=

よ び ψ ∈L1loc(IRd)に

注意

ベ ー グ の 優 収 束 定 理 を 応 用 す る こ と が で き,  を 得 る.こ

の 事 実 と(*)を

合 わ せ る と,c:=limε

  が 結 論 さ れ る.u∈C∞0(IRd)は デ ュ ・ボ ワ ・レ イ モ ン の 補 題([13]ま ψ(x)=c,

付 録C.8

は 無 限 回 微 分 可 能 で あ り, 

辺 は0.し

u(y),y∈IRd,￨ψ(y)￨￨(ρ す れ ば,ル

た は[14]の

と お く(ρ(x)=ρ(-x),x∈IRdと

の と き,ψε

に 対 し て,フ

らば ψ は定 数 関数

あ っ て,ψ(x)=c,a.e.x∈IRd.

を 参 照),ψε=Jεψ= 

仮 定 か ら,右

表 す.

a.e.xを

た は[14]の

は 存 在 し,

任 意 で あ っ た か ら, 補 題C.3)に

よ り,こ

れ は

意 味 す る. 

定 理N.2 V:IRd→Cを

■

連 続 微 分 可 能 な 関 数 とす る.こ

が 超 関 数 方 程 式Djψ=(∂jV)ψ,j=1,…,dの 数C∈Cが

付 録Cの

→0cε

の と き,ψ

∈L1loc(IRd)

解 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,定

あ っ て ψ(x)=CeV(x),a.e.xが

成 り 立 つ こ と で あ る.

証 明   条 件 の 十 分 性 は 直 接 計 算 か ら 容 易 に わ か る の で,必 要 性 だ け を 証 明 す る.ψ L1 loc(IRd)がDjψ=(∂jV)ψ,j=1,…,dを 満 た す と し,f(x):=e-Vψ(x)と く.∂jVは fに

連 続 で あ る か ら,Djψ

∈L1loc(IRd).ま

た,f∈L1loc(IRd).し

あ っ てf(x)度C,a.e.x.ゆ

  Ω をIRdの で 表 す(m=0,

た が っ て,定

よ っ て ,定

理6.18), 数Cが

え に ψ(x)=CeV(x),a.e.x. 

開 集 合 とす る と き,Ω 上 のm回 1,…or

理N.1に

■

連 続 微 分 可 能 な 関 数 の 全 体 をCm(Ω)

m=+∞)*25.D(IRd)'をIRd上

*25 0回 連 続 微 分 可 能 な 関数 は ,単 に連 続 な関 数 と読 む.

お

た が っ て,

対 し て 一 般 化 さ れ た 偏 微 分 に 対 す る ラ イ プ ニ ッツ 則 を 適 用 で き([23],定

Djf=e-V(-∂jV)ψ+e-VDjψ=0.し

∈

の 超 関 数 の 空 間 と す る.

定 理N.3 

(ヴ ァ イ ル の 補 題)g∈D(IRd)'は

は 超 関 数 方 程 式-Δ てg∈Cm(Ω)な

ψ=gを

し,あ

ら ば,0〓l<m-(d/2)+2を

は Ω 上 でCl(Ω)の C∞(Ω)の

与 え られ た 超 関 数 と し,ψ

満 た す と す る*26.も

満 た す 任 意 の 整 数lに

関 数 と同 一 視 で き る*27.特

∈D(IRd)'

る 開 集 合 Ω ⊂IRdに

に,g∈C∞(Ω)な

らば,ψ

対 し

対 し て,ψ は Ω 上で

関 数 と 同 一 視 で き る.

  この 非 常 に 重 要 で 有 用 な 定 理 の 証 明 は,残 念 な が ら,紙 数 の 都 合 上,割 愛 す る*28. ヴ ァ イ ル の 補 題 をg=0の 系N.4 IRd上 C∞(IRd)の

場 合 に応 用 す れ ば,次

の 事 実 が 導 か れ る:

の 超 関 数 の 意 味 で の ラ プ ラ ス 方 程 式-Δ

ψ=0を

満た す超 関数 ψ は

関 数 と 同 一 視 で き る.

  この 系 の 簡 単 な応 用 を一 つ 述 べ て お く.   複 素 数z=x1+ix2((x1,x2)∈IR2)お 偏 微 分 作 用 素Dz,Dzを

よ びz=x1-ix2に

関す る 一般化 された

そ れぞれ

(N.1) に よ っ て 定 義 す る. 定 理N.5 

ψ ∈  L1loc(IR2)が 超 関 数 方 程 式Dzψ=0を

で 正 則 な 関 数(i.e.,整 証 明   Dzψ=0な

ら ば,Dzψ*=0で

Reψ,ψ2:=Imψ

と す れ ば,D1ψ1=D2ψ2,D1ψ2=-D2ψ1…(*).し

超 関 数 方 程 式Δ C∞(IRd)の

ψ1=0,Δ

あ る こ と は 容 易 に わ か る.し

ψ2=0が

元 と 同 一 視 で き る.こ

リ ー マ ン 方 程 式 で あ る.よ

成 り 立 つ.ゆ

え に,系N.4に

っ て,ψ

ー

■

ト

超 関 数 の 空 間に 作 用 す るd次

数f∈Cl(Ω)が

∫IRdf(x)u(x)dxが *28  た と え ば ,[25]の

よ っ て,ψ1,ψ2は に 対 す る コ ー シ ー-

章 で 叙 述 し た の は そ の ご く一 部

対 称 性 とい う 理 念 の 射 程 の 広 さ と深 さ は 測 り知 れ な い.こ

*26 Δ:=Σdj=1D2jは .e.,関

体

た が っ て,ψ1:=

は 整 関 数 で あ る. 

  超 対 称 的 量 子 力 学 に つ い て 語 る べ き こ とは 多 い.本

*27 i

はC全

た が っ て,

の 同 一 視 を す れ ば,(*)は,ψ

ノ

分 に す ぎ な い.超

満 た す な ら ば,ψ

関 数)で あ る.

存 在 し て,任

元ラプラシアン

意 のu∈C∞0(Ω)に

れ は,た

. 対 し て,ψ(u)=

成 り 立 つ と い う こ と. §IX.6を

参 照.楕

が い は 載 っ て い る は ず で あ る.

円 型 偏 微 分 方 程 式 の 理 論 を 扱 う 専 門 書 な らば,た

い

と え ば,最 る.超

近 刊 行 され た 超 対 称 性 に 関 す る 百 科 事 典[18]か

対 称 的 量 子 力 学 を,数 学 的 に 厳 密 な 仕 方 で,さ

ば,[26]の5章

ら も うか が う こ とが で き

ら に 深 く学 び た い 人 は,た

と そ こ に引 用 さ れ て い る文 献 に あ た る こ と を薦 め る.物

ま と め た 教 科 書 と して[16]が

とえ

理 的 な議 論 を

あ る.こ の 本 に は,本 書 で述 べ ら れ な か っ た トピ ッ ク ス

が 書 か れ て い る.本 章 で 取 り上 げ た超 対 称 的 量 子 力 学 の モ デ ル とは 別 の モ デ ル の 数 学 的 に厳 密 な 理 論 に つ い て は,た

と え ば,[3,4,7,15,20]な

どが 参 考 に な る で あ ろ う.

  超 対 称 的 量 子 場 の 理 論 の 数 学 的 に 厳 密 な 構 成 に つ い て は,た や[10]の6章

を 参 照 され た い.だ

が,超

に あ り,十 分 な 結 果 は 得 られ て い な い.21世 あ る.若

と え ば,[5,6,8,21]

対称 的 量子 場 の数学 的 理論 は まだ発 展途 上 紀 の数 理物 理学 の 重要 な主題 の一 つで

い 人 た ち の 挑 戦 を期 待 し た い.

第9章  演 習 問題 1. ヒ ル ベ ル ト空 間F上

の 有 界 線 形 作 用 素 の 組a, a*は1自

係(CAR){B,B†}=1,B2=0,(B†)2=0の 1,a2=0(こ

表 現 で あ る とす る:{a, a*}=

の と き,(α*)2=0は

つ い て は 以 下 の 演 習 問 題3を   (i) M>0を

由度 の 正準 反交 換 関

自 動 的 に し たが う)(こ の よ う な 表 現 の 例 に

参 照).

定 数 と し て,作

用 素Q(j),j=1,

2を , 

に よ っ て 定 義 す る.こ

の と き,Q(j)は

有界 な

自己 共役作 用 素で あ り

  が 成 り立 つ こ と を示 せ.  (ii) Γ:=1-2a*aと

 

お く と,Γ

は 自 己 共 役 か つ ユ ニ タ リ作 用 素 で あ り

が 成 り立 つ こ と を示 せ.

注:こ の 問題 に述 べ た 事 実 は,1自

由度 のCARの

表 現 か ら,N=2の

を もつ 超 対 称 的 量 子 力 学― た だ し,ハ ミル トニ ア ンMは れ る こ と を示 す(こ の"N=2"は

ス ピ ン 自 由度 に 関 す る も の で は な く,ス ピ ン

とは 異 な る 内 部 対 称 性 に 関 す る も の で あ る).別

の い い 方 を す る と,(Q(j)2j=1

は 拡 大 され た 超 対 称 性 代 数(9.40)のn=1,N=2の 現 を 与 え る.こ

れ はN=2の

場 合 の ヒル ベ ル ト空 間 表

内部対 称 性 を もつ相対 論 的超対 称 的量子 場 の理

論 の コ ン テ ク ス トに お い て は,静 空 間 の 表 現 を与 え る.次

超 対称性

定 数 作 用 素― が 構 成 さ

止 系 に お け る,質

の 問 題 も参 照.

量Mの1粒

子状 態の 内部

   

2.  F,a,a*,Q(j),Γ

は 前問 の も の と す る.単

す も の が あ る と す る.こ 呼 ぶ. 

位 ベ ク トル ψ0∈Fでaψ0=0を

の よ う な ベ ク トル ψ0をCARの

表 現a,a*の

満 た 真 空 と

と お く.

(ⅰ) ψ0と ψ1は 線 形 独 立 で あ る こ と を 示 せ.  (ⅱ) ψ0と

ψ1に

よ っ て 生 成 さ れ る 部 分 空 間 をFaと

dimFa=2).a,a*はFaを

す る((ⅰ)に

よ っ て,

不 変 に す る こ と を示 せ. を 示 せ.

(ⅲ)  (ⅳ)  を示 せ.

3. 2 次 元 ユ ニ タ リ空 間C2に

(ⅰ)  a,a*は1自

お い て 

由 度 のCARの

と す る.

表 現 で あ る こ と を示 せ.  の 定 数 倍 に 限 られ る こ と を 示 せ.

(ⅱ) この 表 現 の真 空 は存 在 し,

(ⅲ)  この 表 現 で は,演

習 問 題2の

作 用 素Q(j),Γ

は

とい う 形 を と る こ と を 示 せ. 4. a1,a*1,a2,a*2を る.す

ヒ ル ベ ル ト空 間Hに

な わ ち,各aα(α=1,2)はH上

お け る 自 由 度2のCARの

有 界 表 現 とす

の 有 界 線 形 作 用 素 で あ り  を 満 た す も の とす る(こ

例 に つ い て は 以 下 の 演 習 問 題6を

参 照).こ

の よ うな表 現 の

の と き,有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 

が 定 義 さ れ る. を 示 せ.

(ⅰ) 

とお く と,γ

(ⅱ) 

は 自己 共 役 か つ ユ ニ タ リで

あり

が 成 り立 つ こ と を示 せ. 5.  a1,a*1,a2,a*2を Ω ∈Hが

前問

の も の と し,aα

存 在 す る と す る.こ

の 真 空 と 呼 ぶ. 

Ω=0,α=1,2を

の よ う な ベ ク ト ル をCARの と お く.

満 た す 単 位 ベ ク トル 表 現{a1,a*1,a2,a*2}

 

(ⅰ) Ω,ψ1,ψ2,ψ12は 線 形 独 立 で あ る こ と を示 せ.

 

(ⅱ) Ω,ψ1,ψ2,ψ12に

よ っ て 生 成 さ れ る 部 分 空 間 をHaと

dim Ha=4).aα,a*α  

はHaを

(ⅲ) 

  注:ヒ

す る((ⅰ)に よ っ て,

不 変 に す る こ と を示 せ. を 示 せ.

ル ベ ル ト空 間Haは,相

お い て は,静

対 論 的 超 対 称 的 量 子 場 の 理 論 の コ ン テ ク ス トに

止 系 に お け る,質 量Mの1粒

さ れ る.(ⅲ)が

示 す よ う に,Ω,ψ12は

子 の ス ピ ン状 態 を 表 す 空 間 と解 釈 ボ ソ ン 的 状 態 を 表 し,ψ α(α=1,2)は

フ ェ ル ミオ ン的 状 態 を表 す.  とお け ば,  さ れ る.Haに ば,Haは

角 運 動 量 代 数 の 表 現 空 間 に な って い な け れ ば な ら な い.こ

ら,直 和 分 解(*)は

ン が1/2の

ピ ンが0の

表 現 で あ る.こ

表 現 で あ り,M1は2次

う して,こ

ェ ル ミ オ ンの ス ピ ンは1/2で

6. a,ψ0を 演 習 問 題3の

の モ デ ル で は,ボ

もの とす る.C2の2個

ピ あ

の テ ン ソ ル 積 空 間 

に

に よ っ て 定 義 す る.

 

(ⅰ) a1,a*1,a2,a*2は

 

(ⅱ) こ の 表 現 の 真 空 は 

自 由 度2のCARの

任 意 の 自然 数 と し,N次

表 現 で あ る こ と を示 せ.

の零 で な い 定 数 倍 に 限 られ る こ と を示 せ. 元 ユ ニ タ リ空 間CN上

ク 空 間  のp重

元 で あ る の で,ス ソ ンの ス ピ ン は0で

あ る こ とが わ か る.

お け る 作 用 素a1,a2を 

7. Nを

の観 点 か

角 運 動 量 代 数 の 既 約 表 現 の 直 和 と解 釈 さ れ る.M0,M2は

1次 元 で あ る か ら,ス

り,フ

と直和 分解

対 す る上述 の解 釈 と相対論 的 場 の量子 論 の公 理論 的要 請 に よれ

の フ ェ ル ミオ ン フ ォ ッ

を 考 え る 

反 対 称 テ ン ソ ル 積*29).e1,…,eNをCNの

はCN 標 準 基 底 とす る:el:=

l成 分

(0,…,0,1,0,…,0)(l=1,…N).各l=1,…,Nに対 上 の 線 形 作 用 素alを

し て, 

そ の 共 役 作 用 素a*1が(a*lψ)(0)=0,

とな る よ うに 定 義 す る(Apはp次

の 反 対 称 化 作 用 素).ベ  に よ っ て 定 義 す る.こ

ク トルΩ∈∧(CN)を の ベ ク トル は∧(CN)

に お け る フ ォ ッ ク 真 空 と呼 ば れ る.  (ⅰ) 

に 対 し て, 

φ(q)=0,q≠pと *29  [14]の4章 ,4.3.1項

を 参 照.

い う形 の ベ ク トル 

かつ を と る.

   

こ の と き,各l=1,…,Nに

対 して

を 示 せ.  (ⅱ)  alΩ=0(l=1,…,N)を

示 せ.

  (ⅲ) {al,a*l￨l=1,…,N}は

自 由度NのCARの

表 現 で あ る こ と,す な わ ち,

が 成 り立 つ こ と を示 せ. (ⅳ) 

偶数 

奇数 

とす れ ば,

 と表 され る.  用 素 をp±

と し, 

とお く.こ

上へ の 正射影作

の と き, 

を

示 せ. (ⅴ) 

と し,  と お く.た

だ し,M>0は

定 数 で あ る.こ

とき

が 成 り立 つ こ と を示 せ. 8. ajを 演 習 問 題7の

も の と し(N=nと

に お い て,作

を考 え る(Djは

す る),ヒ

ル ベ ル ト空 間 

用素

変 数xjに

関す る 一般 化 され た偏 微 分 作 用 素). 

と お く(  は代 数 的 テ ン ソ ル 積 を表 す).  (ⅰ) 

で あ り(し た が っ て,dは

稠 密 に 定 義 さ れ て い る), 

を示 せ.  (ⅱ) D0上

でd2=0,d*2=0で

あ る こ と を示 せ. 

(ⅲ) 

とす る(Δ の 一 般 化 さ れ た ラ プ ラ シ ア ン).こ

の とき (D0上), (D0上)

はL2(IRn)上

の

を 示 せ.  

(ⅳ) Qj(j=1,2)はD0上

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ り,作 用 素 の 等 式H=

Q12=Q22が

成 立 す る こ と を 示 せ.

 ヒ ン ト:(ⅲ)と   (ⅴ) 

交 換 子 定 理 を用 い よ.

とお く(τ は 演 習 問 題7で

定 義 し た作 用 素). 

お よ び作 用 素 の 等 式 

 

を 証 明 せ よ.

注:こ の問題 の結 果 は,  を 示 し て い る.dはHに と 呼 ば れ る.こ て,ス

が超 対称 的量 子力 学で あ るこ と お け る 外 微 分 作 用 素(exterior

differential

の モ デ ル で は, 

operator)

で あ る.し

ペ ク トル 写 像 定 理 に よ り, 

特 に,超

たが っ 対 称性 は

自 発 的 に 破 れ て い る. 9.  (研 究 課 題) 

をC∞

関 数 とす る.前問

テ ン 変 形dt:=etWde-tW(t∈IRは 前問

の 作 用 素dに

パ ラ メ ー タ ー)を

対 し て,ウ

行 う.こ

ィッ

れ に 関 し て,

と 同 様 の 問 題 に つ い て 考 察 せ よ*30.

10.  (研 究 課 題)演

習 問 題7を

基 礎 に し て,ヒ

ル ベ ル ト空 間 

を 状 態 空 間 と す る 超 対 称 的 量 子 力 学 の モ デ ル を 構 成 せ よ.

関

[1] Y.Aharonov and a two dimensional

連

図

書

A.Casher,Ground state of a spin 1/2 charged magnetic field, Phys.Rev.A19(1979),2461-2462.

[2] A.Arai,Supersymmetry

and

singular

particle

in

perturbations,J.Funct.Anal.60

(1985),378-393. [3] A.Arai,On supersymmetric

the

degeneracy quantum

[4] A.Arai,Exactly solvable Anal.Appl.158(1991);63-79. [5] A.Arai,A integral

general representation

[6] A.Arai,Supersymmetric

class

in the ground state of the N=2 mechanics,J.Math.Phys.30(1989),2973-2977. supersymmetric

of infinite

of their

quantum

dimensional

Wess-Zumino

mechanics,J.Math.

Dirac

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and

path

index,J.Funct.Anal.105(1992),342-408.

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of

quantum

Quantum and Non-Commutative Analysis,H.Araki demic Publishers,Dordrecht,1993,pp.73-90.

scalar

field

theories,

et al.(eds.),Kluwer

in Aca

*30 リーマ ン多 様 体 上 で の対 応 す る議 論 が[31]に あ る .た だ し,こ の論 文 の議 論 は数 学 的 な 観 点 か らい う と完 全 には 厳 密 で は ない.

[7]  A.Arai,Properties gauge

of

the

Dirac-Weyl

operator

[8]  新 井 朝 雄,超

対 称 的 場 の 量 子 論 と 無 限 次 元 解 析,数

[9]  新 井 朝 雄,『

ヒ ル ベ ル ト 空 間 と量 子 力 学 』,共

[10]  新 井 朝 雄,『

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上 』,日

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on

supersymmetry

breaking,Nucl.Phys.B202

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and

Morse

theory,J.Diff.Geo.17(1982),661-

Uni

索

A AB効

果   167,168

Aか

ら生 成 さ れ る代 数  30

引

n回

元 特 殊 ユ ニ タ リ群SU(N)の

N次

元 ユ ニ タ リ群   191,201

N次

A-限 界  43

n重

A-コ

N粒

ンパ ク ト  352

Aに

微 分 可 能   264

N次

元 ユ ニ タ リ群U(N)の

子 系 の 全 軌道 角 運 動 量   252 P

A-有 界  43 π± 中 間 子  297 πO中 間 子   297

C∞-定 義 域   8

ρ(G)-不 変   214

CCR ―

ρ-不変   214 の 自 己共 役 表 現   177 R

― の弱 ヴ ァ イ ル型 表 現   169 ― ―

の表 現 の 非 有 界性   130 の表 現 の ヒ ルベ ル ト空 間   129

C上

リー 環   246

可 換 子 集 合   28

同 伴 す る準 双 線 形 形 式   92

C

リー 環   246

IRd-並 進 対 称 性  61 IRd-並 進 不 変 性  61

の 代 数  28

S D

S方

向へ の微 分  81

d次 元 の 回 転 対 称 性  224 d次 元 の 軌 道 角 運 動 量   227 G

T T-対 称   194 T-不 変   194

G-対 称 性   220 ― の(一 つ の)表 現   220

U U-不 変   219

g-対 称 性   248 ア H

行

ア イ ソ ス ピ ン  253 H安

定 性   41

H0-コ

アハ ラ ノ フ-キ ャ シ ャー の 結 果   513 アハ ラ ノ フ-ボ ー ム効 果   154,167

ンパ ク ト  358 K

KLMN定

ア ーベ リア ン  29 理   108

ア ーベ ル群   190 N

n階

の 導 関 数  264

アハ ラ ノ フ-ボ ー ム の 時 間 作 用 素  178

安 定  261 生 き残 り確 率   182,300,303,316

位 数   190

解 析 ベ ク トル定 理  88

位 相   255

回 転 群   191,200

位 相 空 間   255

回 転 対 称  224,225

位 相 群   196

―

位 相 写 像   257 位 相 同 型   257 一 意 性 ベ ク トル   86

な 関 数   195 ―な 図 形   195

回 転 不 変   225

一意 的  284

外 微 分 作 用 素   524 ガ ウス 型 確 率 ベ ク トル  456

位 置 作 用 素   7,12,135,381

ガ ウス 型 確 率 変 数  455

―

の 組   25

ガ ウス 型 関 数   147

1次 元 調 和 振 動 子  36

可 換   29

1次 元 の デ ィ ラ ッ ク型 作 用 素   503

―

1次 元 量 子 調 和 振 動 子 の ハ ミル トニ ア ン  446

―

1自 由 度CARの 一 般 化 さ れ たd次

表 現   520 元 ラ プ ラ シア ン  61

一 般 化 され た デ ィ リ ク レ境 界条 件 つ き ラ プ ラ シ

な 観 測 量 の完 全 な組  32

な 観 測 量 の極 大 集 合  32 ― な 観 測 量 の極 大 な組  21 ,22,28 ― な 物 理 量 の極 大 な組  23 可 換 群   190

ア ン  101 一 般 化 され た ノ イマ ン境 界条 件 つ き ラ プ ラ シア

可 換 子 集 合   28,132

ン  126 一 般 化 さ れ た ラ プ ラ シ ア ン  15

可 換 半 群   414

一 般 軌 道 角 運 動 量  211

,59

可 換 子 代 数   28 核   196 角 運 動 量 代 数  253,522

一 般 線 形群   191

核 子   294 拡 大 され た 超 対 称 性 代 数   475

一 般 線 形 リー 代 数   246

拡 大 定 理   319 ヴ ァ イ ル 型 表 現  138 ヴ ァ イ ル 関係 式   138

確 率 過 程   426 核 力   294

ヴ ァ イ ル の 判 定 法   327

加 群   190

ヴ ァ イル の 補 題   519 ウ ィグ ナー-バ ー グマ ンの 定 理   198

可 測   206 ― な 写 像  206

ウ ィ ッテ ン指 数  493

括 弧 積   245

ウ ィ ッテ ン 変 形   503

荷 電 粒 子 の 多 体 系 の ハ ミル トニ ア ン  67

ウ ィ ッテ ン モ デ ル  503

加 藤 の 不 等 式  74

ウ ィー ナ ー過 程   437

加 藤-レ リ ッヒ の定 理  48,58,65

運 動 量 作 用 素   8,12,135,208,383 ―の組   26

可 閉  93

エ ネ ル ギ ー ・運 動量 作 用 素  22

完 全   398

オ ル ン シ ュ タ イン-ウ ー レ ンベ ッ ク過 程   448

完 全 可 約   215 完 全 で あ る  86

可 約   215 間 隙 条 件   497

カ 開 集 合  255 階 数1の

完 全 連 続   343 緩 増 加 超 関 数  355 簡 約   18,33,35

作 用 素   406

解 析 関 数   298 外積代数

行

  467

基 底 状 態   41,284,418,447 ―

の 存 在   335

解 析 的  264

基 底 状 態 過 程   447

解 析 的 指 数  493

軌 道角運動量

解 析 的 摂 動 論   262,283 解 析 ベ ク トル  85

―(の

成 分)作

用素   227

―

の 大 き さ  244

―

の2乗

― ―

の 方 向量 子 化   244 の 量 子 数  244

―

の 公 理   189

  238 形 式   92 ―

の 意 味 で のA-限

基 本 近 傍 系   256

―

の 意 味 で 無 限 小   105

既 約   132,215,247

―

の 定 義 域   92

逆 元   189

―

の 場 合 の比 較 定 理   339

既 約 成 分  216 ―(表 現)の 球 関 数   242

界   105

形 式 芯   92 直和   216

形 式 的 摂 動 級 数   289 形 式 和  103,110

強 安 定   41 強 可 換   17,20,134

結 合 ス ペ ク トル  22 結 合 定 数   285

― な物 理 量 の極 大性  31 強 結 合 領 域   310

結 合 的 に ガ ウ ス型   456 結 合 法 則  189,393

強 時 間 作 用 素   180

ケ ー リー 変 換   119

強 非 可 換 因 子   180

原 子 の 安 定 性   40

強 閉 包   29

原 点 に 特 異性 を もつ ポ テ ン シ ャ ル  360

共 鳴 極  299 共 鳴 散 乱   299

交 換 子   121

共 鳴 状 態   299

交 換 子 積   247

共 鳴 の 幅   299

交 換 子 定 理   79

共立的 2

恒 等 表 現   247

―

な観 測 量  2

― な物 理 量   2

勾 配作 用 素   68,113 古 典 的 極 限   466

強 レゾ ル ヴ ェ ン ト収 束  516

古 典 的 経 路   421

強 連 続   204

古 典 的 フ ェ ル ミ場   474

― なH-値 関 数221 強 連 続1パ ラ メー ター 半 群  414

古 典 的 ボ ー ス 場   474

強連 続 ユ ニ タ リ表 現  204 局 所 的 特 異 性   113 局 所有界な測度 7 極大

  20,22

極 大 ア ー ベ ル代 数   32

固 有値 の 安 定 性 の 問 題   261 固 有 ロ ー レ ンツ 群  202 孤 立 固 有 値   11 コ ル モ ゴ ロ フの 連 続 性 定 理   458 混 合 型 ポ テ ン シ ャ ル  78 コ ンパ ク ト  343

極 大 観 測 量   12,28

サ

極 大 物 理 量   12,36

行

虚 数 時 間   410

最 小-最 大 原 理  333,361

空 間 反 転   209

最 低 エ ネ ル ギ ー  41 ― の経 路 積 分 表 示   445

空 間 反 転 群   209

作 用 素 解 析 の ユ ニ タ リ共 変 性   138

空 間 反 転 対 称   225 空 間 反転 不 変   225

作 用 素 行 列   305,481

ク ッ クの 方 法   400

作 用 素 行 列 表 示   481 3次 元 の(量 子)軌 道 角 運 動 量   235

グ ラ ス マ ン数  467

3次 元 パ ウ リ作 用 素  487

グ ラ ス マ ン代 数  467

残 存 確 率   182

グ リムージ ャ ッ フ ェーネ ル ソ ンの 交 換 子 定 理   79

散乱

クー ロ ン型 ポ テ ン シ ャ ル  64,361

―

の 遷 移 確 率  397

ク ー ロ ンポ テ ン シ ャ ル  291

―

の 遷 移 確 率 振 幅   374,397

群   189

散 乱 角  370

散 乱 行 列  374

自 由度NのCCRの

散 乱作 用 素   374,395

自由 な相対 論 的 シ ュ レーデ ィ ン ガー 作用 素  387

―

の 積 分 表 示 と漸 近 展 開  403

散 乱理 論   370,390

対 称 表 現   129

自 由 な デ ィ ラ ック作 用 素  110 自由 ハ ミル トニ ア ン  15 重 陽 子   297

時 間-エ ネ ル ギ ー の 不 確 定 性 関 係   175

縮 退   17

時 間作 用 素   174

縮 退 した 零 エ ネ ル ギ ー 基 底 状 態   510 シ ュ タ ル ク効 果   84

時 間 反転   211 時 間 反転-時 間 並 進 群   212

シ ュ タル ク ・ハ ミル トニ ア ン  84

時 間並 進   211 時 間崩 壊  300,316

寿 命   299 シュ レーデ ィ ンガ ー 型作 用 素  52,56,77,225,

磁 気 的 並 進   160

226,329,354

時 空 の 対 称 性   465

シ ュ レー デ ィ ン ガ ー型 半 群   440

時 空 変 数   468

シ ュ レー デ ィ ン ガ ー半 群   418

自己 共 役   132

シ ュ レー デ ィ ン ガー 表 現   136

自己 共 役 作 用 素 の 組   110

シ ュ レー デ ィ ン ガー 描 像  370

自己 共 役 半 群   414

準 位 幅   299 巡 回ベ ク トル   8,14

―

に関 す る生 成 定 理   415

指 数   493 ―

純 虚 数 時 間  425

に対 す る トレー ス 公 式   497

純 虚数 時 間経 路 積 分   426

指 数 型 作 用 素  410,472

純 粋 に絶 対 連 続  380

磁 束   510

純 粋 に点 ス ペ ク トル 的   385

―

の 局 所 的 量 子 化   165

磁 束 の 局 所 的 量 子 化   165 下 に 有 界   91

純 粋 に特 異 連 続   385 純 粋 に離 散 的  336 準双線形形式

実 一般 線 形 群   191 実 時 間経 路 積 分   423

―sの ―

の 拡 大  93

実 表 現  213

―

の 相 等   90

実 リー代 数   246

―

の 和   90

質 量mの

超 双 曲 面   22

質 量0の3次

元 デ ィ ラ ッ ク作 用 素   487

質 量 超 双 曲面   195

ス カ ラ ー 倍  90

純 点 ス ペ ク トル  384 純 点 ス ペ ク トル的   3 ― に極 大   17

磁 場   67,154,486 ― を もつ シ ュ レー デ ィン ガ ー 作 用 素  104

純 点 ス ペ ク トル部 分  384

自明 な不 変 部 分 空 間  215

準 同 型 写 像   196

射 影   430

準 同 型 性   196 状態

射 影 演 算 子   18

準 同 型   196

射 影 反 ユ ニ タ リ表 現   199

―

の一意的決定性 1

射 影 表 現   199

― ―

の 一 意 的 指 定   10 の準 備   1

射 影 ユ ニ タ リ表 現   199 弱 安 定 性   41

状 態 曲線   222

弱 解析 的   266

状 態符 号 作 用素   480

弱 時 間 作 用 素  174 弱連 続   204

芯  48,91

シ ュ ー ア の 補 題   216

真 空  447,521

重 心 ベ ク トル  62

真 空 期 待 値  448

初期 値413

周積 分  266 自 由度NのCCRの

真 性 スペ ク トル  278,324 自 己 共 役 表 現   129

伸 張 解 析 的 方 法   321

伸 張 対 称   55

遷 移 確 率   182, 197,

伸 張 変換   52, 53

全 解 析 ベ ク トル  85

振 動 子 過 程   448

全 角 運 動 量  252

373

漸 近 的 に完 全   399 水 素様 原子 の ハ ミ ル トニ ア ン  64, 115,

362

漸 近 的 配 位  372

随 伴 表 現   248 ス カ ラ ー ポ テ ン シ ャ ル   113

線 形 リ ー群   192

ス ケ ー ル 不 変   55

全 ス ピ ン角 運 動 量   252

ス ケ ー ル 変 換   52, 53 ス ピン  1

全 フ ォ ッ ク空 間   250

線 形 リ ー群Gの

リー 環  247

全 変 換 群   193

―lの 表 現   255 ― 角 運 動 量   252

全 保 測 変 換 群   207

― ―

相 互 作 用 部 分   39

作 用 素   26 量子 数   255

ス ペ ク トル解 析   261,

相 対 位 置 ベ ク トル  62 324

ス ペ ク トル空 間   10

相 対 限 界  43 相 対 コ ン パ ク ト  352

ス ペ ク トル測 度  32

相 対 的 に有 界   43

ス ペ ク トル的 超 対 称 性   487

相 対 論 的 自 由 粒 子 の エ ネ ルギ ー   305

ス ペ ク トルの 下 限  415

相 対 論 的超 対 称 的 量 子 場 の 理 論   522 相 対 論 的 な 自 由 粒 子   110

ス ペ ク トルの 単 純 性  6

相 対 論 的 な 超 対 称 的 場 の 量 子 論   491 静 止 系   520, 522 正 射 影 作 用 素   18

双 対 空 間  318

正準 交 換 関 係   36, 38

相 流   222

正 準 反 交 換 関係   476

測 定 に よ る 状 態 の 一 意 的 指 定   10

生 成 子   414

速 度 作 用 素   155

生 成 元   6, 23

束 縛 の 高 ま り  312

相 補 的  272

正 則   264

タ

正 則 的 摂 動 論  262 正 値 性 改 良作 用素   461

第 一 種 の 安 定 性  41

正 値 性 保 存 作 用 素   461

対 角化 9

積 演 算  192

対 角 的 作 用 素 行 列   481

積 分 核   355 ― に 同伴 す る 作 用 素   145

対 称   210

積 分 作 用 素   355

対 称 性   194

積 分 表 示   269

対 称 性 変 換   197

積 率   452

第二 種 の 安 定 性  41

行

対 称 群   209

絶 対 連 続 ス ペ ク トル  380

第二 量 子 化 作 用 素   250

絶 対 連 続 部 分  380

楕 円 的 正 則 性  292

絶 対 連 続 部 分空 間  378 切 断 平 面   311

多 項 式 型 超 ポ テ ン シ ャ ル  507 多項 式 型 ポ テ ン シ ャ ル  71

摂 動   39

多体 系 の ハ ミル トニ ア ン  65

摂 動 級 数  287 摂 動 作 用 素  39

多 電 子 系 の ハ ミル トニ ア ン  66 単 位 元   189, 414

摂 動 パ ラ メ ー ター  285

単 純   17 単 純 ス ペ ク トル  6

摂 動 法 の 破 綻  499 零 エ ネ ル ギ ー状 態   502, ― の 空 間  505

505,

507,

513 置換 群   209

置 換 対 称   225

同時 対 角 化  24

置 換 不 変   225

同相   257

忠 実   213

同相 写 像  257

抽 象 的 シ ュ レー デ イ ン ガ ー 方 程 式   222

同値   137,

抽 象 的 な熱 方 程 式   413 抽 象 的 熱 方 程 式 の初 期 値 問 題  413

同程 度 に連 続

超 空 間  465

同伴 す る 内積 空 間  93 特 異 ス ペ ク トル  380

長 時 間挙 動   370 超 対 称 荷   477

214   341

同伴 す る超 対 称 荷   479

特 異 摂 動   500, 508 ― の生 起   508

超 対 称 性   465 ― の 自発 的破 れ  491

特 異 部 分   380

超 対 称 性 代 数   473

特 異 部 分 空 間  378

超 対 称 的 状 態   491

特 異 連 続 ス ペ ク トル  384

超 対 称 的 場 の 量 子 論   475

特 異 連 続 部 分   384

超 対 称 的 ハ ミ ル トニ ア ン  477

特 異 連 続 部 分 空 間   384

超 対 称 的 変 換   470 超 対 称 的 量 子 力 学   465, 476,

特 殊 相 対 性 理 論   22 477

― の 公 理 論 的 定 式 化   476 超 場   469 重 複 度 理 論   35

特 殊 ユ ニ タ リ群   191 特 性 関 数   450 特 性 レ ヴ ェ ル  331 トポ ロ ジー  255

超 並 進 群   470

トレー ス  513,

超 ポ テ ン シ ャ ル  503

トレー ス 型 作 用 素   514

515

直 積 位 相 空 間   257

トレー ス ク ラ ス作 用 素   514

直 和 に 同 値   137

トレー ス ノ ル ム  514

直 和 表 現   131

トロ ッ ター-加 藤 の 積 公 式   419

直 和 分 解   131

トロ ッ ター の 積 公 式   419

直 交 群   191

ナ

行

デ イ フ トの 定 理   488

内 部 対 称 性   465

デ ィラ ッ ク-ヴ ァ イ ル作 用 素  486 デ ィラ ッ ク型 作 用 素  110

内 部 変 数   468

デ ィラ ッ ク作 用 素  42, 387

2核 子 系 の 束縛 状 態   294

デ ィラ ッ クハ ミル トニ ア ン  179

2次 形 式   90 2次 元 回転 群   218,

デ ィラ ック 粒 子   387

229

デ ィ リ ク レ境 界 条件  101

2次 元 パ ウ リ作 用素   486 2重 可 換 子 集 合  28

デ ル タ超 関 数  162

2重 積 分 の計 算   320

電 磁 場 中 を運 動 す る 荷 電 粒 子 の ハ ミル トニ ア ン   67

2電 子 系 の基 底 状 態   290

テ イ ラ ー 展 開   269

2体 系   60

電 場  67 熱 伝 導 方 程 式   413 導 関数   264

熱 半 群   414

同型 写像   196

ネル ソ ンの 解 析 ベ ク トル 定 理   88

同時 固有 値   17 ― の 縮退   17 ―

の単 純 性   17

同 時 固有 ベ ク トル   16, 19 ―

の完 全系   17

ハ

行

ハ イゼ ンベ ル ク描像  370 ハ イゼ ンベ ル ク ・リー 代 数  249 ハ ー デ ィー の 不 等式  114, 波 動 作 用 素   373, 390

366

― の 完 全性   402 ハ ミル トニ ア ン  40, 226, 409 パ リテ ィ  209 ― が 負(奇)の 状 態   209

フ ェ ル ミオ ン的 零 エ ネ ル ギ ー 状 態  493

半 群   414

フ ォ ン ・ノ イマ ン環  35 フ ォ ン ・ノ イ マ ン代 数  30, 35

反 対 称   210 反 対 称 シ ンボ ル   237 ハ ー ン-バ ナ ッハ の 定 理   319

フ ェル ミオ ン フ ォ ック 空 間   251 フ ェ ル ミ場  475 フ ォ ック真 空  522

フ ォ ン ・ノ イマ ンの-意

性 定 理   142

フ ォ ン ・ノ イ マ ンの定 理   99, 121 不 確 定 性 原 理 の補 題   113

半 フ レ ドホ ル ム   494 半 有 界   173

複 素 一 般 線 形 群   191 複 素 代 数  28

非 可 換 因 子   174

複 素 特 殊 線 形 群   201

比 較 定 理   336

複 素 表 現   213

非 自明   131

複 素 変 数 の作 用 素 値 関 数   263

非 摂 動 的 効 果   310

複 素 変 数 のバ ナ ッハ 空 間 値 関 数  263

非 摂 動 的 構 造   310 非 相 対 論 的 自由 粒 子 の 運 動 エ ネ ルギ ー  305

複 素 リー代 数   246 不 足 指 数   119

左 作 用   189

物 質 の安 定 性  40

非 調 和 振 動 子   367

物 理 的 運動 量   155 物 理 量 の観 測   1

非 同 値   137 非 同 値 表 現   154 非 負   73, 91

不定 内 積   194

非 負 超 関 数  73

不 変測 度  206

微 分   264

不 変 部 分 空 間   141, 214

微 分 可 能   264

ブ ラ ウ ン運 動   434, 437 フ ー リエ 変換   15, 26, 58, 451

部 分群   190

表 現   213, 247, 434 ― の 第m成 分   131 表 現 空 間  203,

213,

フ リー ドリク ス 拡 大   99, 101, 238 フ リー ドリク ス モ デ ル   307

247

フ レ ドホ ル ム 作 用 素   494

表 現 定 理  96 標 本 関 数   426 標 本 経 路   426 ヒ ルベ ル ト空 間表 現   213,

分 布 関 数  431 247

閉  93

ヒ ルベ ル ト-シ ュ ミ ッ ト型 積 分 作 用 素  356

閉拡 大   93

ビ ルマ ン-シ ュ ウ ィ ン ガー 原 理  364

閉 曲線 の 内部 を貫 く磁 束   160

ビ ルマ ン-シ ュ ウ ィ ン ガー の定 理   363

平均 寿 命  303

ビ ルマ ン-シ ュ ウ イ ン ガー の方 法   362

平 行 移 動  56,

141, 207

閉 集 合   256 フ ァ イ ンマ ン-カ ッ ツの 公 式   440 フ ァ イ ンマ ン測 度  423

閉準 双 線 形形 式   93 並 進   56, 57, 141, 207

フ ァ リス-ラ ヴ ァ イ ンの 定 理   82

並 進 群   190

不 安 定   261 フ ェ ル ミオ ン 的座 標   466

平 坦   161 ― なベ ク トルポ テ ンシ ャ ル  162 , 163, 閉 包   96

フ ェ ル ミオ ン 的状 態   480

平 方 的 な群   200

フ ェ ル ミオ ン 的零 エ ネ ルギ ー状 態  493

冪 級 数 展 開  287

フ ェ ル ミオ ン 的 超場 の 空 間   474

冪 等 作 用 素   272

フ ェ ル ミオ ン的部 分   484 フ ェ ル ミオ ン 的 変 数   466,

冪 等 作 用 素 値 関 数   273 ベ ク トルポ テ ン シ ャ ル   113,

フ ェ ル ミオ ン  464

468

155,

162

166

ヘ リ ウ ム原 子   290

モ ー メ ン ト  452

ヘ ル ダ ー連 続 性   439 , 460 ヘ ル ダ ー連 続 版   460

ヤ

変 換 群   193

有 界 線 形 汎 関 数  317

偏 微 分 作 用 素   471

 ―

ポ ア ン カ レ群  193,

有 界 表 現   213 有 限 群   190

194

行

の 存 在   319

方 向 量 子 化   244 ボ ー ス 場  475

有 限 次 元 表 現   214

保 測   206

有 限 自由 度 のCAR 

保 測 変 換  206

優 作 用 素   81

保 測 変 換 群  207

有 理 型 関 数   163

ボ ソ ン  464 ボ ソ ン的 状 態  480

湯 川 型 ポ テ ン シ ャ ル  359

ボ ソ ン的 零 エ ネ ルギ ー 状 態  493 ボ ソ ン的 超 場 の 空 間   474

湯 川 ポ テ ン シ ャ ル  294 ユ ニ タ リ群  191

ボ ソ ン的 部 分   484

ユ ニ タ リ装備 的  235

ボ ソ ン的 零 エ ネル ギ ー状 態  493

ユ ニ タ リ同 値  214

ボ ソ ン フ ォ ッ ク空 間   88, 251

ユ ニ タ リ表 現   203

保 存 量   226 ポ テ ン シ ャ ル   52

弱 い 意 味 で 漸 近 的 に完 全  397

ボ レル 筒 集 合  431

弱 い 漸 近 的 完 全 性  397

有 限 次 元 分 布   430

湯 川 方 程 式   294

ホ ワ イ トノ イ ズ  439 マ 埋 蔵 固 有 値   293,  ―  ―

476

ラ 行

306

の 消 失   308 の 摂 動 問 題   297

行

ラ イ プニ ッ ツ則   69, 81 ラ プ ラス 作 用 素  101 リー 括 弧 積  245 リー 環   245

右作 用   190

離 散 位 相   256

密 着 位 相   256

離 散 空 間   256

密 着 空 間   256 ミ ン コ フス キ ー計 量  193

離 散 ス ペ ク トル  278, ―の 存 在   335

ミ ン コ フス キ ー 内 積   193 ミ ン コ フス キ ー ベ ク トル 空 間  194

324

リー 代 数   245 リー 代 数 の 同 型 写 像  248 流 線   222

無 限 遠 で の 符 号   508

両 可 測   206

無 限 回 微 分 可 能   264

量 子 系 の 時 間 発 展   222

無 限 群   190

量子 調 和 振 動 子 の 摂 動   289 量 子 的 力 学 的 流 線  222

無 限 次 元 表 現   214 無 限 自由 度 ― のCAR  ― ―

量 子 場 の 軌 道 角 運 動 量   253 476

のCCR  475 の 正 準 反 交 換 関 係   475

量 子 力 学 的 状 態 の 流 れ  222 臨 界 点   310

無 限 小   43

ル ジ ャ ン ドル の 陪 多 項 式   241

無 摂 動 系   279

ル ジ ャ ン ドルの 微 分 方 程 式   241

無 摂 動 作 用 素   39 無 摂 動 部 分   39

零 エ ネ ル ギ ー 状 態   502, ― の 空 間   505

505,

507, 513

レ イ リー-シ ュ レー デ ィ ンガ ー 級 数   287

ロ ル ニ ッ ク ノ ルム   365

レ イ リー-シ ュ レー デ ィ ンガ ー 係 数  287 レ イ リー-リ ッツ の原 理  337

ロ ル ニ ッ クポ テ ンシ ャ ル  365

レ ゾル ヴ ェ ン トの積 分 核 表 示   354

ロ ー レ ン ツ計 量  193

ロ ー レ ン ツ群  193,

201

レ ビ ・チ ビ タ シ ンポ ル   237

ロー レ ン ツ写 像  194

レ リ ッ ヒ-デ ィ クス ミエ ー ルの 定 理   183

ロ ー レ ン ツ対 称 な関 数   195

連 続   257,

264

連 続 写 像  257 連 続 版  434

ロー レ ン ツ対 称 な図 形  195 ロ ー レ ン ツ内 積  193

著 者 略歴 新 井 朝 雄 1954年  埼玉 県に生 まれる 1979年   東京大 学大学 院理学研 究科 修士課 程修了 現 在  北海道 大学大 学院理学 研究 院 数学 部門教授 理学博 士

朝倉物理学大系12 量子現象 の数理 2006年2月20日 2008年5月20日

定価 は カバー に表 示

 初 版第1刷   第2刷

著 者 新

井

朝

雄

発行者 朝

倉

邦

造

発行所

 株式 会社 朝

倉

書

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6-29 郵 便 電 FAX 

2006 〈無 断複写 ・転載 を禁ず 〉

ISBN  978-4-254-13682-1 

03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

〈検 印省 略〉 C

番 号   162-8707 話  03(3260)0141

C 3342

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