Лекции по математическому анализу. Ряды Фурье

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿ Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê Êàôåäðà òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà

Â.Å.ÊÎÂÀËÜ×ÓÊ, Ï.À.×ÀËÎÂ

ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓ Ðÿäû Ôóðüå

Ðîñòîâ-íà-Äîíó

Îãëàâëåíèå 1

2

Ðÿä Ôóðüå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1

Ïðîñòðàíñòâî êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé . . . .

2

1.2

Îðòîíîðìèðîâàííûå ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . .

4

Ðÿä Ôóðüå ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå

. . . . . . . . .

6

2.1

Èíòåãðàë Äèðèõëå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2

Ëåììà Ðèìàíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3

Ïðèíöèï ëîêàëèçàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4

Ïðèçíàê Äèíè ñõîäèìîñòè ðÿäà Ôóðüå . . . . . . . . 13

2.5

Ïðèçíàê Ëèïøèöà ñõîäèìîñòè ðÿäà Ôóðüå . . . . . . 14

2.6

Ðÿä Ôóðüå ïî ïðîèçâîëüíîìó ïðîìåæóòêó . . . . . . 16

2.7

Ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå òîëüêî ïî êîñèíóñàì èëè òîëüêî ïî ñèíóñàì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3

2.8

Ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå ôóíêöèé íà ñåãìåíòå [0, π]

17

2.9

Êîìïëåêñíàÿ ôîðìà çàïèñè ðÿäà Ôóðüå . . . . . . . 19

Ðÿä Ôóðüå ïî ïðîèçâîëüíîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå . 21 3.1

Çàäà÷à î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè . . . . . . . . . . 22

3.2

Çàìêíóòûå è ïîëíûå îðòîíîðìèðîâàííûå ñèñòåìû . 24

3.3

Çàìêíóòîñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû è ñëåäñòâèÿ èç íåå

3.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Êîíòðîëüíûå âîïðîñû, çàäà÷è, óïðàæíåíèÿ . . . . . 31

Ñïèñîê èñïîëüçîâàííîé ëèòåðàòóðû

1

. . . . . . . . . . . . . . . . 33

2

Îãëàâëåíèå

1 Ðÿä Ôóðüå Èç êóðñà ëèíåéíîé àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî â êîíå÷íîìåðíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå âûáðàòü êàêîé-ëèáî áàçèñ, òî ëþáîé ýëåìåíò ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîñòðàíñòâà ìîæåò áûòü ðàçëîæåí ïî ýòîìó áàçèñó è ïðèòîì åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Íåñîìíåííî áîëåå ñëîæíûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î âûáîðå áàçèñà è î ðàçëîæåíèè ïî áàçèñó â áåñêîíå÷íî ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.

1.1 Ïðîñòðàíñòâî êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé Îïðåäåëåíèå 1.1 Ôóíêöèþ f : [a, b] −→ R íàçûâàþò êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé íà ñåãìåíòå [a, b], åñëè îíà íåïðåðûâíà íà ýòîì ñåãìåíòå, çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà òî÷åê xi , i = 1, 2, . . . , n, â êîòîðûõ îíà èìååò ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà. Áóäåì äàëåå ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ f , â êàæäîé ñâîåé òî÷êå ðàçðûâà xi óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

f (xi ) =

f (xi − 0) + f (xi + 0) . 2

(1.1)

Ìíîæåñòâî âñåõ êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ íà ñåãìåíòå [a, b] ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ (1.1) áóäåì îáîçíà÷àòü P C[a, b]. Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî P C[a, b] åñòü ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Òàê êàê êàæäàÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà, â ïðîñòðàíñòâå P C[a, b] ìîæíî îïðåäåëèòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ïîëàãàÿ

Zb (f, g) =

f (x)g(x) dx,

f, g ∈ P C[a, b].

(1.2)

a

Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Ïóñòü X  ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íà X íàçûâàþò ôóíêöèþ

(·, ·) : X 2 −→ R, óäîâëåòâîðÿþùóþ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:

1. Ðÿä Ôóðüå

3

1) (x, y) = (y, x) (ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî); 2) (x, y + z) = (x, y) + (x, z) (ðàñïðåäåëèòåëüíîå ñâîéñòâî); 3) (λx, y) = λ (x, y); 4) (x, x) ≥ 0, ïðè÷åì (x, x) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = 0. Ïðîâåðêà âûïîëíåíèÿ àêñèîì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íå âûçûâàåò òðóäà, çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, èìïëèêàöèè: (x, x) = 0 ⇒ x = 0. Äåéñòâèòåëüíî, àêñèîìà 1 î÷åâèäíà. Àêñèîìû 2 è 3, íåðàâåíñòâî (x, x) ≥

0 è èìïëèêàöèè x = 0 ⇒ (x, x) = 0 ñëåäóþò èç ñâîéñòâ èíòåãðàëà. Èòàê, ïóñòü

Zb f 2 (x) dx = 0.

(f, f ) =

(1.3)

a

Ïîñêîëüêó f ∈ P C[a, b], ñåãìåíò [a, b] ðàñïàäàåòñÿ íà êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ÷àñòè÷íûõ ñåãìåíòîâ [ai , bi ] òàêèõ, ÷òî ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â êàæäîì èíòåðâàëå (ai , bi ). Ïîêàæåì, ÷òî f (x) = 0 ïðè âñåõ x ∈ (ai , bi ). Äëÿ ýòîãî âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé x0 ∈ (ai , bi ) è ëþáîé ñåãìåíò [c, d] ⊂ (ai , bi ) ñîäåðæàùèé x0 . Ïî ñâîéñòâàì èíòåãðàëà, èç (1.3) ñëåäóåò, ÷òî

Zd f 2 (x) dx = 0. c

Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî f 2 (x) = 0, à ñëåäîâàòåëüíî, è f (x) = 0 âî âñåõ òî÷êàõ x ∈ [c, d], â òîì ÷èñëå è â òî÷êå x0 . Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà

x0 â èíòåðâàëå (ai , bi ), f (x) = 0 âî âñåõ òî÷êàõ x ∈ (ai , bi ). Íî òîãäà è f (ai + 0) = 0 è f (bi − 0) = 0. Òàêèì îáðàçîì, f (x) = 0 âî òî÷êàõ âñåõ x ∈ [a, b]. Ýòèì óñòàíîâëåíî, ÷òî P C[a, b] ÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (1.2). Íàïîìíèì, ÷òî åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî X ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (·, ·) ñòàíîâèòñÿ íîðìèðîâàííûì, åñëè â íåì ââåñòè íîðìó ïî ïðàp âèëó kxk = (x, x).

4

Îãëàâëåíèå

Ñëåäîâàòåëüíî, R[a, b] åñòü íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî ñ íîðìîé



 12

Zb

kf k = 

f 2 (x) dx .

(1.4)

a

Îòìåòèì, ÷òî íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî

|(x, y)| ≤

p p (x, x) · (y, y) = kxk · kyk

â P C[a, b] ïðèíèìàåò âèä:

¯  b ¯ b  21  b  12 ¯ ¯Z Z Z ¯ ¯ ¯ f (x)g(x) dx¯ ≤  f 2 (x) dx ·  g 2 (x) dx . ¯ ¯ ¯ ¯ a

a

a

1.2 Îðòîíîðìèðîâàííûå ñèñòåìû Îïðåäåëåíèå 1.2 Äâà ýëåìåíòà åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ.

Îïðåäåëåíèå 1.3 Ýëåìåíò íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì, åñëè åãî íîðìà ðàâíà åäèíèöå. Ðàññìîòðèì òåïåðü â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå X ïðîèçâîëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ

ψ1 , ψ 2 , . . . , ψ n , . . . .

(1.5)

Îïðåäåëåíèå 1.4 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1.5) íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìîé, åñëè âñå ýëåìåíòû ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íîðìèðîâàíû è ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû. Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû â ïðîñòðàíñòâå

P C[−π, π] âñåõ êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ íà ñåãìåíòå [−π, π] ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà

1 cos x sin x cos nx sin nx √ , √ , √ , ... √ , √ , ... . π π π π 2π

(1.6)

1. Ðÿä Ôóðüå

5

Ëåììà 1.1 Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà (1.6) îðòîíîðìèðîâàíà â ïðîñòðàíñòâå P C[−π, π].

Äîêàçàòåëüñòâî. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî Zπ

Zπ 1 dt = 2π,

−π

−π

¯π sin kt ¯¯ = 0, cos kt dt = k ¯−π

k ∈ N.

(1.7)

È ïî ñâîéñòâó èíòåãðàëà îò íå÷åòíîé ôóíêöèè èìååì

Zπ sin kt dt = 0,

(1.8)

k ∈ N.

−π

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïåðâàÿ ôóíêöèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû (1.6) íîðìèðîâàíà è îðòîãîíàëüíà îñòàëüíûì ýëåìåíòàì äàííîé ñèñòåìû. Ïîñêîëüêó, ïî ôîðìóëàì äåëåíèÿ àðãóìåíòà ïîïîëàì è ôîðìóëàì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñóììó, èìååì

¢ ¢ 1¡ 1¡ 1 + cos 2kx , sin2 kx = 1 − cos 2kx , 2 2 ¢ 1¡ cos kx cos lx = cos(k − l)x + cos(k + l)x , 2 ¢ 1¡ sin kx sin lx = cos(k − l)x − cos(k + l)x , 2 ¢ 1¡ sin kx cos lx = sin(k − l)x + sin(k + l)x , 2 cos2 kx =

òî, ó÷èòûâàÿ ÷åòíîñòü ôóíêöèè cos x è íå÷åòíîñòü ôóíêöèè sin x è ïðèìåíÿÿ (1.7) è (1.8), ïîëó÷àåì

Zπ

cos2 kt dt = 1, π

−π

Zπ −π

cos kt cos lt dt = 0, π

Zπ −π Zπ

−π Zπ

sin2 kt dt = 1, π

k ∈ N,

sin kt sin lt dt = 0, π

l 6= k,

cos kt sin lt dt = 0, π

k, l ∈ N.

k, l ∈ N,

−π

Òàêèì îáðàçîì äîêàçàíî, ÷òî âñå ÷ëåíû òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû íîðìèðîâàíû è ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû.

6

Îãëàâëåíèå Äàëåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f , ïðèíàäëåæàùàÿ ïðîñòðàí-

ñòâó P C[−π, π], óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

f (−π) = f (π) =

f (π − 0) + f (−π + 0) . 2

(1.9)

Áëàãîäàðÿ ýòîìó óñëîâèþ, ìîæíî ñ÷èòàòü ôóíêöèþ f ïðîäîëæåííîé íà âñþ âåùåñòâåííóþ îñü ïåðèîäè÷åñêè ñ ïåðèîäîì 2π , ÷òî â äàëüíåéøåì ìû è áóäåì äåëàòü.

Ñëåäñòâèå 1.1 Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà (1.6) îðòîíîðìèðîâàíà â ëþáîì ïðîñòðàíñòâå P C[a, a + 2π].

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó âñå ÷ëåíû òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ 2π -ïåðèîäè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè, òî ïî ñâîéñòâó èíòåãðàëà îò ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè âñå èíòåãðàëû, ðàññìîòðåííûå â ïðåäûäóùåé ëåììå 1.1, ïî ïðîìåæóòêó [−π, π] ìîæíî çàìåíèòü èíòåãðàëàìè ïî ïðîìåæóòêó [a, a + 2π].

2 Ðÿä Ôóðüå ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå Ïóñòü X  ïðîèçâîëüíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, {ψk }  îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â íåì, f ∈ X  ëþáîé ýëåìåíò.

Îïðåäåëåíèå 2.1 Ðÿäîì Ôóðüå ýëåìåíòà f ïî îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå {ψk } íàçûâàþò ðÿä âèäà ∞ X

fk ψk ,

(2.10)

k=1

â êîòîðîì ÷åðåç fk îáîçíà÷åíû ÷èñëà, íàçûâàåìûå êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå ýëåìåíòà f è îïðåäåëÿåìûå ðàâåíñòâàìè fk = (f, ψk ), k ∈ N. Òîò ôàêò, ÷òî ðÿä (2.10) ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Ôóðüå èìåííî ýëåìåíòà f áóäåì îáîçíà÷àòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

f∼

∞ X k=1

fk ψk .

2. Ðÿä Ôóðüå ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå Êàê îáû÷íî, ñóììó

Sn =

n X

7

(2.11)

fk ψk

k=1

íàçûâàþò n-îé ÷àñòè÷íîé ñóììîé ðÿäà Ôóðüå (2.10). Ðÿä Ôóðüå â ïðîñòðàíñòâå P C[−π, π] ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå ïðèíÿòî íàçûâàòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäîì Ôóðüå . Òàêèì îáðàçîì, òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå ýëåìåíòà f ∈ P C[−π, π] èìååò âèä

¶ ∞ µ X 1 cos kx sin kx f ∼ f0 √ + fk √ + fk √ , π π 2π k=1

(2.12)

ãäå êîýôôèöèåíòû Ôóðüå f k è f k îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

1 f0 = √ 2π 1 fk = √ π

Zπ

Zπ f (x) dx, −π

1 fk = √ π

f (x) cos kx dx, −π

Zπ f (x) sin kx dx,

k ∈ N.

−π

Âïðî÷åì, â òåîðèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ Ôóðüå ïðèíÿòà íåñêîëüêî èíàÿ ôîðìà çàïèñè ðÿäà Ôóðüå. Îáû÷íî ðÿä Ôóðüå ýëåìåíòà f ∈

P C[−π, π] çàïèñûâàþò â âèäå ∞

a0 X (ak cos kx + bk sin kx) , f∼ + 2 k=1

(2.13)

ãäå

2f 1 a0 = √ 0 = π 2π

Zπ f (t) dt, −π

Zπ

1 f ak = √k = π π

f (t) cos kt dt, k ∈ N,

(2.14)

−π Zπ

f 1 bk = √k = π π

f (t) sin kt dt, k ∈ N. −π

Åñòåñòâåííî âîçíèêàþò ñëåäóþùèå âîïðîñû. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ñõîäèòñÿ ðÿä Ôóðüå ýëåìåíòà f ?  ñëó÷àå ñõîäèìîñòè ðÿäà Ôóðüå ýëåìåíòà

f , ñîâïàäàåò ëè åãî ñóììà ñ f ?

8

Îãëàâëåíèå Ââèäó ñâîéñòâà èíòåãðàëà îò ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè, òàêàÿ äîãîâî-

ðåííîñòü ïîçâîëÿåò â äàëüíåéøåì íå ðàçëè÷àòü âíóòðåííèå è êîíöåâûå òî÷êè ñåãìåíòà [−π, π].

2.1 Èíòåãðàë Äèðèõëå Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ïîâåäåíèÿ ðÿäà (2.13) ôóíêöèè f ∈ P C[−π, π] â êàêîé-íèáóäü òî÷êå x ∈ [−π, π] ïðåîáðàçóåì åãî ÷àñòè÷íûå ñóììû n

Sn (x) =

a0 X + (ak cos kx + bk sin kx) . 2 k=1

(2.15)

Ïîäñòàâèì â (2.15) èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ (2.14) êîýôôèöèåíòîâ ak è bk è ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííóþ ñóììó:   π Z 1 1 f (t) dt + Sn (x) =  2 π −π  π   π   Z Z n X  1 f (t) cos kt dt cos kx +  1 f (t) sin kt dt sin kx = + π π k=1

=

=

1 2π 1 2π

1 = π

−π

Zπ f (t) dt + −π Zπ

f (t) dt +

−π Zπ

f (t) −π

−π n X 1 π k=1 n X k=1

Ã

1 π

Zπ f (t) (cos kt cos kx + sin kt sin kx) dt =

(2.16)

−π Zπ

f (t) cos k(t − x) dt = −π

! n 1 X + cos k(t − x) dt. 2 k=1

Ðàçäåëèâ è óìíîæèâ ñóììó n

1 X + cos k(t − x) 2 k=1 t−x t−x , à çàòåì çàìåíèâ êàæäîå ïðîèçâåäåíèå 2 sin cos k(t−x) 2 µ ¶ µ2 ¶ 1 1 ïî èçâåñòíîé ôîðìóëå ðàçíîñòüþ sin k + (t − x)− sin k − (t− x), 2 2 ïîëó÷èì µ ¶ 1 sin n + (t − x) n 1 X 2 + cos k(t − x) = . t−x 2 k=1 2 sin 2 íà 2 sin

2. Ðÿä Ôóðüå ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå

9

Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â (2.16), áóäåì èìåòü ¶ µ 1 Zπ sin n + (t − x) 1 2 Sn (x) = dt. f (t) t−x π 2 sin −π 2

(2.17)

Èíòåãðàë, ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè (2.17) íîñèò èìÿ Äèðèõëå. Òàê êàê ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ 2π -ïåðèîäè÷åñêàÿ, ïî ñâîéñòâó èíòåãðàëà îò ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè, ïðîìåæóòîê èíòåãðèðîâàíèÿ [−π, π] â èíòåãðàëå Äèðèõëå ìîæíî çàìåíèòü ïðîìåæóòêîì [x − π, x + π]. Òîãäà ïîëó÷èì

µ

¶ 1 x+π Z sin n + (t − x) 1 2 f (t) Sn (x) = dt. t−x π 2 sin x−π 2 Ïîäñòàíîâêîé u = t − x ïðèâåäåì ýòîò èíòåãðàë ê âèäó µ ¶ 1 Zπ sin n + u 1 2 Sn (x) = f (x + u) du. u π 2 sin −π 2 Òåïåðü ðàçîáüåì èíòåãðàë ïî ñåãìåíòó [−π, π] íà äâà èíòåãðàëà ïî ñåãìåíòàì [−π, 0] è [0, π] è â ïåðâîì èç íèõ çàìåíèì u íà −u. Ïîñëå ýòîãî ñóììà Sn (x) ïðèìåò âèä

µ

1 ¶ sin n + Zπ µ 1 2 f (x − u) + f (x + u) Sn (x) = u π 2 sin 0 2

Ñëåäñòâèå 2.1

µ

1 Zπ sin n + 2 2 1= u π 2 sin −π 2

¶ u du.

(2.18)

¶ u du.

(2.19)

Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ôóíêöèè f (x) = 1 ñîãëàñíî ôîðìóëàì (2.14), èìååì

a0 = 2,

ak = 0,

bk = 0,

k ∈ N.

Ïîýòîìó äëÿ ýòîé ôóíêöèè Sn (x) = 1 â ëþáîé òî÷êå x. Ïîäñòàâèì çíà÷åíèÿ ôóíêöèé f è Sn â (2.18) è ïîëó÷èì (2.19).

10

Îãëàâëåíèå

2.2 Ëåììà Ðèìàíà Ëåììà 2.1 Åñëè ôóíêöèÿ g èíòåãðèðóåìà (â ñîáñòâåííîì ñìûñëå) èëè àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà (â íåñîáñòâåííîì ñìûñëå) íà íåêîòîðîì ñåãìåíòå [a, b] (−∞ < a < b < +∞), òî

Zb lim

Zb g(t) sin(pt) dt = 0,

p→+∞

lim

g(t) cos(pt) dt = 0.

p→+∞

a

a

Äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè òîëüêî äëÿ ïåðâîãî èç ýòèõ ïðåäåëîâ. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ïðè ëþáûõ α è β ñïðàâåäëèâà îöåíêà: ¯ ¯ β ¯ ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ cos(pα) − cos(pβ) ¯ 2 ¯ ¯ sin(pt) dt¯ = ¯ ¯≤ . (2.20) ¯ ¯ ¯ ¯ p p ¯ ¯ α

Äîïóñòèì ñíà÷àëà, ÷òî g ∈ R[a, b], òî åñòü, ÷òî ôóíêöèÿ g èíòåãðèðóåìà â ñîáñòâåííîì ñìûñëå. Ñëåäîâàòåëüíî ôóíêöèÿ g îãðàíè÷åíà íà ñåãìåíòå [a, b]. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî êðèòåðèþ èíòåãðèðóåìîñòè íàéäåòñÿ

δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T ñåãìåíòà [a, b] íà ÷àñòè÷íûå ñåãìåíòû [xk−1 , xk ], k = 1, 2, . . . , n, ñ ïàðàìåòðîì ðàçáèåíèÿ ìåíüøèì δ ñïðàâåäëèâà îöåíêà

n X

ε ωk ∆xk < , 2 k=1

(2.21)

ãäå ωk  êîëåáàíèå ôóíêöèè g íà ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå [xk−1 , xk ], à ∆xk  äëèíà ýòîãî ÷àñòè÷íîãî ñåãìåíòà. Çàôèêñèðóåì îäíî èç òàêèõ ðàçáèåíèé T .  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ðàçáèåíèåì ðàçëîæèì èíòåãðàë

Zb g(t) sin(pt) dt =

x n Zk X k=1 x

a

(2.22)

g(t) sin(pt) dt.

k−1

Ïóñòü mk îáîçíà÷àåò òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíü çíà÷åíèé ôóíêöèè g íà ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå [xk−1 , xk ], k = 1, 2, . . . , n. Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå (2.22):

Zb g(t) sin(pt) dt = a

x n Zk µ X k=1 x

k−1

¶ g(t) − mk sin(pt) dt +

n X k=1

Zxk mk

sin(pt) dt. xk−1

2. Ðÿä Ôóðüå ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå

11

Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî g(t) − mk ≤ ωk ïðè t ∈ [xk−1 , xk ], |sin(pt)| ≤ 1 è îöåíêè (2.20), (2.21), âûâîäèì ¯ b ¯ ¯Z ¯ n n n ¯ ¯ X ε 2X 2X ¯ g(t) sin(pt) dt¯ ≤ |mk | < + |mk | . ωk ∆xk + ¯ ¯ p k=1 2 p k=1 ¯ ¯ k=1

(2.23)

a

Âûáåðåì òåïåðü ÷èñëî p0 òàê ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî n

4X p0 > |mk | . ε k=1 Òîãäà èç (2.23) ñëåäóåò, ÷òî ïðè âñåõ p ≥ p0 ñïðàâåäëèâà îöåíêà ¯ ¯ b ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ g(t) sin(pt) dt¯ < ε, ¯ ¯ ¯ ¯ a

êîòîðàÿ è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ëåììû â ñëó÷àå èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè g . Ïóñòü òåïåðü ôóíêöèÿ g àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b]. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà ýòîì ñåãìåíòå èìååòñÿ ëèøü îäíà îñîáàÿ òî÷êà, íàïðèìåð òî÷êà b. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Èç àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè g ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå δ ∈ (0, b − a) òàêîãî, ÷òî

Zb

ε |g(t)| dt < . 2

(2.24)

b−δ

Ðàçëîæèì òåïåðü èñõîäíûé èíòåãðàë íà äâà:

Zb

Zb−δ Zb g(t) sin(pt) dt = g(t) sin(pt) dt + g(t) sin(pt) dt.

a

a

(2.25)

b−δ

Òàê êàê ôóíêöèÿ g èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b−δ], òî ïî äîêàçàííîìó íàéäåòñÿ p0 òàêîå, ÷òî ¯ ¯ b−δ ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ g(t) sin(pt) dt¯ < ε ¯ 2 ¯ ¯ ¯

ïðè âñåõ

p ≥ p0 .

(2.26)

a

Íà îñíîâàíèè ñâîéñòâ èíòåãðàëà, èìååì ¯ ¯ b ¯ Zb ¯Z ¯ ¯ ¯ g(t) sin(pt) dt¯ < |g(t)| dt. ¯ ¯ ¯ ¯ b−δ

b−δ

(2.27)

12

Îãëàâëåíèå

Èñïîëüçóÿ îöåíêè (2.26), (2.27), (2.24) è ðàâåíñòâî (2.25) âûâîäèì ¯ b ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ g(t) sin(pt) dt¯ < ε ïðè âñåõ p ≥ p0 . ¯ ¯ 2 ¯ ¯ a

Ýòèì çàâåðøàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî ëåììû. Ââèäó ïðåäñòàâëåíèÿ (2.14) êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå, ïåðâûì óòâåðæäåíèåì íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷àþùèìñÿ èç äîêàçàííîé ëåììû 2.1 ÿâëÿåòñÿ

Ñëåäñòâèå 2.2 Êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ak , bk ôóíêöèè f ∈ P C[−π, π] ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè k → 0.

2.3 Ïðèíöèï ëîêàëèçàöèè Âòîðûì ñëåäñòâèåì ëåììû Ðèìàíà 2.1 ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìûé

ïðèíöèï ëîêàëèçàöèè.

Òåîðåìà 2.1 (Òåîðåìà Ðèìàíà). Ïîâåäåíèå ðÿäà Ôóðüå ôóíêöèè f â òî÷êå (òî åñòü ñõîäèìîñòü è âåëè÷èíà ñóììû â ñëó÷àå ñõîäèìîñòè) çàâèñèò ëèøü îò çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ ôóíêöèåé â íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè îò ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè (òî åñòü â åå îêðåñòíîñòè).

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå δ ∈ (0, π) è ðàçîáüåì èíòåãðàë, ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè (2.18) íà äâà  íà èíòåãðàë ïî ñåãìåíòó [0, δ] è ïî ñåãìåíòó [δ, π]:

µ ¶ 1 ¶ sin n + Zδ µ u 1 2 du+ Sn (x) = f (x − u) + f (x + u) u π 2 sin 0 2¶ µ 1 ¶ sin n + Zπ µ u 1 2 + du f (x − u) + f (x + u) u π 2 sin δ 2 u Òàê êàê ïðè u ∈ [δ, π] ôóíêöèÿ sin ïîëîæèòåëüíà, ôóíêöèÿ 2 g(u) =

f (x − u) + f (x + u) u 2 sin 2

(2.28)

2. Ðÿä Ôóðüå ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå

13

óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì ëåììû Ðèìàíà 2.1, ñîãëàñíî êîòîðîé âòîðîé èíòåãðàë, ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè (2.28), ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè

n → ∞. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà Sn (x) ïðè n → ∞ (òî åñòü ñõîäèìîñòü ðÿäà â òî÷êå x) è åãî âåëè÷èíà îïðåäåëÿþòñÿ ïîâåäåíèåì ïðè n → ∞ òîëüêî ïåðâîãî èç èíòåãðàëîâ, ñòîÿùèõ â ïðàâîé ÷àñòè (2.28). Íî â ýòîò èíòåãðàë âõîäÿò çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f , îòâå÷àþùèå çíà÷åíèþ àðãóìåíòà ëèøü èç ñåãìåíòà [x − δ, x + δ]. Ýòèì çàâåðøàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.

2.4 Ïðèçíàê Äèíè ñõîäèìîñòè ðÿäà Ôóðüå Ïóñòü Sn (x)  n-àÿ ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ðÿäà Ôóðüå ôóíêöèè f ∈

P C[−π, π], âû÷èñëåííàÿ â òî÷êå x ∈ [−π, π]. Äëÿ êðàòêîñòè ïîëîæèì ϕ(u) = f (x + u) + f (x − u) − 2f (x).

(2.29)

Òîãäà, èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå (2.18) è ðàâåíñòâî (2.19), íàõîäèì

Sn (x) − f (x) =

1 π

Zπ 0

µ ¶ 1 sin n + u 2 ϕ(u) du. u 2 sin 2

(2.30)

ϕ(u) èíòåãðèðóåìà íà u ñåãìåíòå [0, π] èëè àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [0, h] ïðè íåêî-

Òåîðåìà 2.2 (Ïðèçíàê Äèíè). Åñëè ôóíêöèÿ

òîðîì h > 0, òî ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè f â òî÷êå x ñõîäèòñÿ è åãî ñóììà ðàâíà f (x).

Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî â ñëó÷àå àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè

ϕ(u) íà ñåãìåíòå [0, h], ýòà ôóíêöèÿ àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà u è íà ñåãìåíòå [0, π]. ôóíêöèè

Ïåðåïèøåì òåïåðü ïðåäñòàâëåíèå (2.30) â âèäå

1 Sn (x) − f (x) = π

Zπ 0

u µ ¶ 1 ϕ(u) 2 · u · sin n + 2 u du. u sin 2

(2.31)

14

Îãëàâëåíèå

u Ïîñêîëüêó íà ñåãìåíòå [0, π] ôóíêöèÿ 2

Á sin

u îãðàíè÷åíà, òî ôóíêöèÿ 2

u |ϕ(u)| · 2u u sin 2 óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì ëåììû Ðèìàíà 2.1, ñîãëàñíî êîòîðîé, èíòåãðàë, ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè (2.31) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. Íî, ñëåäîâàòåëüíî, è ïðåäåë ëåâîé ÷àñòè (2.31) ïðè n → ∞ ðàâåí íóëþ. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

lim Sn (x) = f (x).

n→∞

2.5 Ïðèçíàê Ëèïøèöà ñõîäèìîñòè ðÿäà Ôóðüå Ïðèçíàê Ëèïøèöà, êîòîðûé ïðåäñòîèò äîêàçàòü ñåé÷àñ, ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì ïðèçíàêà Äèíè. Äëÿ åãî ôîðìóëèðîâêè íàì ïîòðåáóåòñÿ íåðàâåíñòâî, â êîòîðîì ïðèðàùåíèå ôóíêöèè îöåíèâàåòñÿ ÷åðåç ïðèðàùåíèå åå àðãóìåíòà.

Îïðåäåëåíèå 2.2 Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f : [a, b] −→ R â òî÷êå x ∈ [a, b] óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ üëüäåðà ñ ïîêàçàòåëåì α (0 < α ≤ 1), åñëè ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ L > 0 òàêàÿ, ÷òî

|f (y) − f (x)| ≤ L|y − x|α ,

y ∈ [a, b].

Îïðåäåëåíèå 2.3 Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f : [a, b] −→ R ñïðàâà (ñëåâà) â òî÷êå x ∈ [a, b) (x ∈ (a, b]) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ üëüäåðà ñ ïîêàçàòåëåì α (0 < α ≤ 1), åñëè ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ L > 0 òàêàÿ, ÷òî

|f (y) − f (x + 0)| ≤ L(y − x)α ,

y ∈ (x, b].

(2.32)

(|f (y) − f (x − 0)| ≤ L(x − y)α ,

y ∈ [a, x)).

(2.33)

2. Ðÿä Ôóðüå ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå

15

Âîîáùå-òî, üëüäåðîì äàííîå óñëîâèå áûëî îïðåäåëåíî äëÿ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé íåñêîëüêèõ âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ, à äëÿ ôóíêöèé îäíîãî âåùåñòâåííîãî ïåðåìåííîãî îíî áûëî ââåäåíî Ëèïøèöåì â 1864 ãîäó. Ïîýòîìó, â òàêîì âèäå êàê ñôîðìóëèðîâàíî âûøå, ïðàâèëüíåå óñëîâèå üëüäåðà íàçûâàòü óñëîâèåì Ëèïøèöà.

Òåîðåìà 2.3 (Ïðèçíàê Ëèïøèöà). Ïóñòü äëÿ ôóíêöèè f ∈ P C[−π, π] â òî÷êå x ∈ [−π, π] âûïîëíÿþòñÿ îáà îäíîñòîðîííèå óñëîâèÿ üëüäåðà ñ ïîêàçàòåëåì α (0 < α ≤ 1). Òîãäà â òî÷êå x ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè f ñõîäèòñÿ è åãî ñóììà ðàâíà f (x).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ôóíêöèè ϕ, çàäàííîé ðàâåíñòâîì (2.29) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ïðèçíàêà Äèíè (òåîðåìà 2.2). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî u, íî òàêîå, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü íåðàâåíñòâà (2.32) è (2.33). Èñïîëüçóÿ èõ, îöåíèì çíà÷åíèå ôóíêöèè ϕ â òî÷êå u:

|ϕ(u)| = |f (x + u) + f (x − u) − 2f (x)| = = |f (x + u) + f (x − u) − f (x + 0) − f (x − 0)| ≤

(2.34)

≤ |f (x + u) − f (x + 0)| + |f (x − u) − f (x − 0)| ≤ 2Luα . Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè α = 1 ôóíêöèÿ ÷åííîñòè ôóíêöèè âûïîëíÿþòñÿ.

ϕ(u) îãðàíè÷åíà. À â ñëó÷àå îãðàíèu

ϕ(u) îíà èíòåãðèðóåìà, òî åñòü óñëîâèå òåîðåìû 2.2 u

ϕ(u) íåîãðàíè÷åíà, òî îíà íåîãðàíè÷åíà â íóëå è u α < 1. Èç îöåíêè (2.34) ñëåäóåò, ÷òî Åñëè æå ôóíêöèÿ

|ϕ(u)| 2Luα 2L ≤ = 1−α . u u u π Z du À òàê êàê ïðè α > 0 èíòåãðàë ñõîäèòñÿ, òî ïî ïðèçíàêó ñðàâu1−α Zπ íåíèÿ ñõîäèòñÿ è èíòåãðàë 0

0

|ϕ(u)| du. Ñîãëàñíî ïðèçíàêó Äèíè ðÿä u

Ôóðüå â òî÷êå x ñõîäèòñÿ è åãî ñóììà ðàâíà f (x).

16

Îãëàâëåíèå

2.6 Ðÿä Ôóðüå ïî ïðîèçâîëüíîìó ïðîìåæóòêó Ïóñòü l  íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, îòëè÷íîå îò π , ôóíêöèÿ

f ∈ P C[−l, l]. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàçëîæèòü ôóíêöèþ f â òðèãîíîìåòðèl ÷åñêèé ðÿä, ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé. Ïîëàãàÿ x = t, ìû ïîëó÷àåì π µ ¶ l ôóíêöèþ g(t) = f t ïåðåìåííîé t, çàäàííóþ íà ñåãìåíòå [−π, π] óæå π ïðèâû÷íîé íàì äëèíû 2π . Ðàçëîæèì ôóíêöèþ g â ðÿä Ôóðüå íà ñåãìåíòå [−π, π]. Ïîëó÷èì µ ¶ ∞ l a0 X g(t) = f t ∼ + (ak cos kt + bk sin kt) , π 2 k=1

ãäå

1 ak = π

Zπ

1 g(t) cos kt dt = π

−π

1 bk = π

Zπ

µ

Zπ f

¶ l t cos kt dt, π

k = 0, 1, . . . ,

¶ l t sin kt dt, π

k = 1, 2, . . . .

−π

1 g(t) sin kt dt = π

0

µ

Zπ f 0

Âîçâðàùàÿñü ê ïåðåìåííîé x, áóäåì èìåòü ¶ ∞ µ a0 X πk πk f (x) ∼ + ak cos x + bk sin x , 2 l l k=1

ãäå

1 ak = l

Zl f (x) cos

πk x dt, l

k = 0, 1, . . . ,

f (x) sin

πk x dt, l

k = 1, 2, . . . .

−l

1 bk = l

Zl −l

Î÷åâèäíî,÷òî äëÿ 2l-ïåðèîäè÷íîé ôóíêöèè f ∈ P C[−l, l] ñåãìåíò

P C[−l, l] ìîæåò áûòü çàìåíåí ëþáûì äðóãèì ñåãìåíòîì äëèíû 2l.

2.7 Ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå òîëüêî ïî êîñèíóñàì èëè òîëüêî ïî ñèíóñàì Ïóñòü ôóíêöèè f ∈ P C[−π, π]. Åñëè ôóíêöèÿ f  ÷åòíàÿ, òî ïðè ëþáîì k ∈ N ôóíêöèÿ f (x) cos kx  òàêæå ÷åòíàÿ, à ôóíêöèÿ f (x) sin kx

2. Ðÿä Ôóðüå ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå

17

 íå÷åòíàÿ. Òîãäà, ïî ñâîéñòâàì èíòåãðàëà, ïîëó÷àåì

1 ak = π

Zπ

2 f (x) cos kx dx = π

−π

Zπ f (x) cos kx dx,

k = 0, 1, . . . ,

(2.35)

0

1 bk = π

Zπ f (x) sin kx dx = 0,

k ∈ N.

−π

Ïîýòîìó ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f â òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå ïðèíèìàåò âèä

∞

a0 X f (x) ∼ + ak cos kt. 2 k=1

(2.36)

Ýòî ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè f íàçûâàåòñÿ åå ðàçëîæåíèåì â ðÿä ¾ïî êîñèíóñàì¿. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó, åñëè ôóíêöèÿ f ∈ P C[−π, π] ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé, òî

f (x) ∼

∞ X

(2.37)

bk sin kt,

k=1

ãäå

2 bk = π

Zπ f (x) sin kx dx,

k ∈ N.

(2.38)

0

Ôîðìóëà (2.37) íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì ôóíêöèè f â ðÿä ¾ïî ñèíóñàì¿.

2.8 Ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå ôóíêöèé íà ñåãìåíòå [0, π] Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f ∈ P C[0, π]. ×òîáû ðàçëîæèòü ôóíêöèþ f íà ýòîì ñåãìåíòå, ìû ìîæåì äîîïðåäåëèòü åå íà ïðîìåæóòêå [−π, 0), à çàòåì ðàçëîæèòü äîîïðåäåëåííóþ ôóíêöèþ â ðÿä Ôóðüå íà ñåãìåíòå [−π, π]. Ïîñêîëüêó íàñ èíòåðåñóåò ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f òîëüêî íà ñåãìåíòå

[0, π], òî ïðîäîëæåíèå ìû ìîæåì ñòðîèòü ïðàêòè÷åñêè ïðîèçâîëüíûì ñïîñîáîì, ëèøü áû ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæàëà ïðîñòðàíñòâó

P C[−π, π]. Ðàññìîòðèì äâà èç íèõ. Âî-ïåðâûõ ìû ìîæåì ïðîäîëæèòü ôóíêöèþ f íà ïðîìåæóòêå [−π, 0) ÷åòíûì îáðàçîì, òî åñòü, ÷òîáû ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ áûëà ÷åòíîé. Äëÿ

18

Îãëàâëåíèå

ýòîãî ïîëîæèì f (x) = f (−x) ïðè x ∈ [−π, 0). Òîãäà, ýòà ôóíêöèÿ ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä ïî êîñèíóñàì (ñì. ôîðìóëó (2.36)). Âî-âòîðûõ, ìû ìîæåì ïðîäîëæèòü ôóíêöèþ f íà ïðîìåæóòêå [−π, 0) ÷åòíûì îáðàçîì, òî åñòü ïîëàãàÿ f (x) = −f (−x) ïðè x ∈ [−π, 0).  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ áóäåò ðàçëàãàòüñÿ â ðÿä ïî ñèíóñàì (ñì. ôîðìóëó (2.37)).

Ïðèìåð 2.1 Ðàçëîæèòü íà ñåãìåíòå [0, π] ôóíêöèþ f (x) = x â ðÿäû Ôóðüå ïî ñèíóñàì è ïî êîñèíóñàì.

Ðåøåíèå. ×òîáû íàïèñàòü ðàçëîæåíèå ýòîé ôóíêöèè ïî ñèíóñàì íà ñåãìåíòå [0, π] íóæíî âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíòû bk , k ∈ N. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (2.38), èìååì (k ∈ N)

2 bk = π

Zπ x sin kx dx. 0

Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì (ïîëàãàåì u = x, dv = sin kx dx), ïîëó÷àåì



 ¯π Zπ x cos kx ¯¯ 2 1 b k = − + cos kx dx = ¯ π k k 0 0 à ¯π ! k+1 2 (−1) π sin kx ¯¯ k+1 2 = + . =(−1) ¯ π k k2 0 k Òàêèì îáðàçîì, òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäîì Ôóðüå ïî ñèíóñàì íà ñåãìåíòå [0, π] ôóíêöèè f (x) = x áóäåò ðÿä

x ∼ 2 sin x − sin 2x +

2 2 sin 3x − . . . + (−1)k+1 sin kx + . . . . 3 k

(2.39)

Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè ðàçëîæåíèå â ðÿä ïî êîñèíóñàì, âû÷èñëèì êîýôôèöèåíòû ak , k = 0, 1, . . .. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (2.38), ïîëó÷àåì

2 a0 = π

Zπ 0

¯π 2 x2 ¯¯ x dx = · ¯ = π, π 2 0

2. Ðÿä Ôóðüå ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå

ak =

2 π



Zπ

x cos kx dx = 

2 π

=

2 π

 èíòåãðèðóåì ïî ÷àñòÿì

u = x,

=

dv = cos kx dx  ¯π ¯π ¶ µ Zπ ¯ ¯ 1 1 1 2 x sin kx¯ − sin kx dx = − 2 (− cos kx) ¯¯ = ¯ k k π k 0 0 0  4 cos kπ − 1 2 (−1)k − 1  − , åñëè k  íå÷åòíîå, π · = · = .  0, k2 π k2 åñëè k  ÷åòíîå. 0 

=

19

Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçëîæåíèå ôóíêöèè íà ñåãìåíòå [0, π] ôóíêöèè f (x) = x ïî êîñèíóñàì èìååò âèä µ ¶ 1 π 4 1 cos x + 2 cos 3x + . . . + cos(2k − 1)x + . . . . x∼ − 2 π 3 (2k − 1)2

2.9 Êîìïëåêñíàÿ ôîðìà çàïèñè ðÿäà Ôóðüå Ôîðìóëû Ýéëåðà

cos x =

eix + e−ix , 2

sin x =

eix − e−ix eix − e−ix = −i 2i 2

âûðàæàþò òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè ÷åðåç ïîêàçàòåëüíûå ôóíêöèè ñ êîìïëåêñíûì ïîêàçàòåëåì. Òîãäà è òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â êîìïëåêñíîé ôîðìå. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ∞

a0 X + (ak cos kx + bk sin kx) 2 k=1

(2.40)

 òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè f . Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëû Ýéëåðà, çàìåíèì â (2.40) cos kx è sin kx, à çàòåì ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ ðÿäà:

¶ ∞ µ a0 X eikx + e−ikx eikx − e−ikx f∼ + ak · − ibk · = 2 2 2 k=1 ¶ ∞ µ X 1 1 a0 ikx −ikx + (ak − ibk ) e + (ak + ibk ) e . 2 2 2 k=1

(2.41)

20

Îãëàâëåíèå

Ýòî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

f∼

∞ X

ck eikx ,

(2.42)

k=−∞

ãäå

a0 ak − ibk ak + ibk , ck = , c−k = , k ∈ N. (2.43) 2 2 2 Ýòî è åñòü êîìïëåêñíàÿ ôîðìà òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ôóðüå ôóíêc0 =

öèè f . Êîýôôèöèåíòû ýòîãî ðÿäà ìîæíî âû÷èñëÿòü ïî ôîðìóëàì (2.43), ïðåäâàðèòåëüíî âû÷èñëèâ êîýôôèöèåíòû ak è bk , à ìîæíî è íåïîñðåäñòâåííî, ìèíóÿ íàõîæäåíèå ak è bk .  ñàìîì äåëå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2.14) äëÿ âû÷èñëåíèÿ ak è bk , íàõîäèì

ak − ibk 1 ck = = 2 2π

Zπ f (t) (cos kt − i sin kt) dt = −π

1 = 2π

Zπ

1 f (t) (cos(−kt) + i sin(−kt)) dt = 2π

−π

Zπ f (t) e−ikt dt. −π

Àíàëîãè÷íî âûâîäèì

c−k

1 ak + ibk = = 2 2π

Zπ f (t) (cos kt + i sin kt) dt = −π

1 == 2π

Zπ f (t) eikt −π

1 dt = 2π

Zπ f (t) e−i(−k)t dt. −π

Ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåãî ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ c0 î÷åâèäíà: Zπ Zπ a0 1 1 c0 = = f (t) dt = f (t) e−i0t dt. 2 2π 2π −π

−π

Ñëåäîâàòåëüíî, êîýôôèöèåíòû ck íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå Zπ 1 ck = f (t) e−ikt dt, k ∈ Z. 2π

(2.44)

−π

Îòìåòèì, ÷òî íåïîñðåäñòâåííîå ðàçëîæåíèå ôóíêöèè â êîìïëåêñíûé ðÿä Ôóðüå íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (2.44) ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ áîëåå ïðîñòûì, ÷åì âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ck ïî ôîðìóëàì (2.43), òî åñòü ÷åðåç êîýôôèöèåíòû âåùåñòâåííîãî ðÿäà Ôóðüå.

3. Ðÿä Ôóðüå ïî ïðîèçâîëüíîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå

21

Áîëåå òîãî, èíîãäà îêàçûâàåòñÿ öåëåñîîáðàçíåå âû÷èñëÿòü êîýôôèöèåíòû âåùåñòâåííîãî ðÿäà Ôóðüå ÷åðåç ïðåäâàðèòåëüíî íàéäåííûå êîýôôèöèåíòû ñîîòâåòñòâóþùåãî êîìïëåêñíîãî ðÿäà.

Ïðèìåð 2.2 Ðàçëîæèòü ôóíêöèþ f (x) = eαx â òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå íà ñåãìåíòå [−π, π].

Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà ðàçëîæèì ýòó ôóíêöèþ â êîìïëåêñíûé ðÿä Ôóðüå. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (2.44), ïîëó÷àåì

1 ck = 2π

Zπ αt

e

e

−ikt

−π

1 2π 1 = 2π

=

1 dt = 2π

Zπ e

(α−ik)t

−π

¯π ¯ 1 1 (α−ik)t ¯ dt = · e ¯ = 2π α − ik −π

¡

¢ 1 e(α−ik)π − e−(α−ik)π = α − ik ¢ sh(απ) (−1)k α + ik ¡ απ −ikπ −απ ikπ · 2 e · e − e · e = · 2 (α + ik). α + k2 π α + k2 ·

Òàêèì îáðàçîì, êîìïëåêñíûé ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè eαx èìååò âèä αx

e

∞ X sh(απ) (−1)k ∼ · 2 (α + ik) eikx . 2 π α +k k=−∞

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðàçëîæåíèÿ ýòîé ôóíêöèè â âåùåñòâåííûé ðÿä Ôóðüå îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû ak è bk . Èñõîäÿ èç ðàâåíñòâ (2.43), ïîëó÷àåì

a0 = 2c0 =

2sh(απ) , απ

(−1)k 2α sh(απ) (−1)k+1 2k sh(απ) , b = i (c − c ) = , k ∈ N. k k −k π (α2 + k 2 ) π (α2 + k 2 ) Òàêèì îáðàçîì, âåùåñòâåííûé ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè eαx èìååò âèä Ã ! ∞ k k+1 X (−1) 2α sh (απ) (−1) 2k sh (απ) sh απ + cos kx + sin kx . eαx ∼ 2 + k2) 2 + k2) απ π (α π (α k=1 ak = ck +c−k =

3

Ðÿä Ôóðüå ïî ïðîèçâîëüíîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå Ïóñòü X  ïðîèçâîëüíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, {ψk }  îðòîíîð-

ìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â íåì, f ∈ X  ëþáîé ýëåìåíò.

22

Îãëàâëåíèå Ðàññìîòðèì n-óþ ÷àñòè÷íóþ ñóììó ðÿäà Ôóðüå ýëåìåíòà f ∈ X ïî

îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå {ψk }

Sn =

n X

(3.45)

fk ψk

k=1

è ñîâîêóïíîñòü âñåõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ïåðâûõ n ýëåìåíòîâ îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû {ψk }

n X

(3.46)

Ck ψk

k=1

ñ êîýôôèöèåíòàìè C1 , C2 , . . . , Cn ∈ R. Âûÿñíèì, ÷òî îòëè÷àåò n-óþ ÷àñòè÷íóþ ñóììó (3.45) îò ëþáîé èç ñóìì âèäà (3.46).

3.1 Çàäà÷à î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè Ïóñòü k·k îáîçíà÷àåò íîðìó åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà X . Âîçüìåì â

X äâà ýëåìåíòà f è g .

Îïðåäåëåíèå 3.1 Âåëè÷èíó kf − gk íàçûâàþò îòêëîíåíèåì ýëåìåíòà g îò ýëåìåíòà f (ïî íîðìå äàííîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà).

Òåîðåìà 3.1 Ñðåäè âñåõ ñóìì âèäà (3.46) íàèìåíüøåå îòêëîíåíèå îò ýëåìåíòà f ïî íîðìå äàííîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà èìååò n-àÿ ÷àñòè÷íàÿ ñóììà (3.45) ðÿäà Ôóðüå ýëåìåíòà f .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëüçóÿñü àêñèîìàìè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è îðòîíîðìèðîâàííîñòüþ ñèñòåìû {ψk }, äîêàæåì ðàâåíñòâî ° n °2 n n °X ° X X ° ° 2 2 C k ψk − f ° = (Ck − fk ) + kf k − fk2 . ° ° ° k=1

Èòàê,

k=1

k=1

°2 Ã ° ! n n n ° °X X X ° ° Ck ψk − f, C k ψk − f = Ck ψk − f ° = ° ° ° =

k=1 n X

Ck2 (ψk , ψk ) − 2

k=1

=

n X k=1

k=1 n X

k=1

Ck (f, ψk ) + (f, f ) =

k=1

Ck2

−2

n X k=1

2

Ck fk + kf k =

n X k=1

2

(Ck − fk ) −

n X k=1

fk2 + kf k2 .

(3.47)

3. Ðÿä Ôóðüå ïî ïðîèçâîëüíîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå

23

Òåïåðü ðàññìîòðèì ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî (3.47).  åãî ëåâîé ÷àñòè ñòîèò êâàäðàò îòêëîíåíèÿ ñóììû (3.46) îò ýëåìåíòà f (ïî íîðìå äàííîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî èç ñóìì (3.46) ìåíüøå âñåõ áóäåò îòêëîíÿòüñÿ îò ýëåìåíòà f òà ñóììà ïðè êîòîðîé âåëè÷èíà ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (3.47) áóäåò íàèìåíüøåé. Íî ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ñîñòîèò èç ñëàãàåìûõ, è òîëüêî ïåðâîå èç íèõ çàâèñèò îò âûáîðà ñóììû (3.46). Ïîýòîìó, êàê ëåãêî çàìåòèòü, ýòî ñëàãàåìîå áóäåò íàèìåíüøèì, åñëè Ck = fk ïðè âñåõ k = 1, 2, . . . , n.

Ñëåäñòâèå 3.1 Ïóñòü X  åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, {ψk }  îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â íåì. Òîãäà äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà f ∈ X è êàæäîãî n ∈ N ïðè ëþáîì âûáîðå ïîñòîÿííûõ C1 , C2 , . . . , Cn ∈ R ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

kf k2 −

n X k=1

° °2 n °X ° ° ° fk2 ≤ ° C k ψk − f ° . ° °

(3.48)

k=1

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî íåðàâåíñòâî (3.48) ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì òîæäåñòâà (3.47).

Ñëåäñòâèå 3.2 Ïóñòü X  åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, {ψk }  îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â íåì. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà f ∈ X è êàæäîãî

n ∈ N ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî ° n °2 n °X ° X ° ° 2 fk ψk − f ° = kf k − fk2 . ° ° ° k=1

(3.49)

k=1

Ðàâåíñòâî (3.49), îáû÷íî, íàçûâàþò òîæäåñòâîì Áåññåëÿ . Äëÿ åãî äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî â (3.47) ïîëîæèòü Ck = fk , k = 1, 2, . . . , n.

Òåîðåìà 3.2 Äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà f äàííîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà X è ëþáîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû {ψk } ⊂ X ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

∞ X k=1

fk2 ≤ kf k2 .

(3.50)

24

Îãëàâëåíèå Íåðàâåíñòâî (3.50) íàçûâàþò íåðàâåíñòâîì Áåññåëÿ .

Äîêàçàòåëüñòâî. Èç íåîòðèöàòåëüíîñòè ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (3.49) ñëåäóåò îöåíêà

n X

fk2 ≤ kf k2 ,

(3.51)

k=1

ñïðàâåäëèâàÿ äëÿ êàæäîãî n ∈ N. Ýòà îöåíêà îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâà∞ P òåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà fk2 îãðàíè÷åíà. À ïîñêîëüêó ýòîò ðÿä k=1

åñòü ðÿä ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè, òî ñîãëàñíî êðèòåðèþ ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè, îí ñõîäèòñÿ. È êàê íåòðóäíî âèäåòü, îöåíêà (3.51) âëå÷åò íåðàâåíñòâî (3.50). Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ P C[−π, π] íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ èìååò âèä 2 f0

+

∞ µ X k=1

2 fk

2

+ fk

¶

Zπ f 2 (x) dx.

≤

(3.52)

−π

Íî ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû ñâÿçè (2.14) êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèé (2.12) è (2.13), åãî ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå: ∞

¢ 1 a20 X ¡ 2 + ak + b2k ≤ 2 π k=1

Zπ f 2 (x) dx.

(3.53)

−π

3.2 Çàìêíóòûå è ïîëíûå îðòîíîðìèðîâàííûå ñèñòåìû Ïóñòü X åñòü åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî ñ îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìîé {ψk }.

Îïðåäåëåíèå 3.2 Îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà {ψk } íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé, åñëè äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà f ∈ X è ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε íàéäåòñÿ êîíå÷íàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ýëåìåíòîâ ñèñòåìû

{ψk }, îòêëîíåíèå êîòîðîé îò ýëåìåíòà f (ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà X ) áóäåò ìåíüøå ε. Èíà÷å ãîâîðÿ, ñèñòåìà {ψk } íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé, åñëè ëþáîé ýëåìåíò f ∈ X ñ ëþáîé íàïåðåä çàäàííîé òî÷íîñòüþ ìîæíî ïðèáëèçèòü ïî

3. Ðÿä Ôóðüå ïî ïðîèçâîëüíîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå

25

íîðìå ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ ñèñòåìû {ψk }.

Òåîðåìà 3.3 Ïóñòü {ψk }  çàìêíóòàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå X . Òîãäà äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà f ∈ X ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

∞ X

fk2 = kf k2 .

(3.54)

k=1

Ðàâåíñòâî (3.54) íàçûâàþò ðàâåíñòâîì Ïàðñåâàëÿ .

Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò f ∈ X è âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Òàê êàê ñèñòåìà {ψk } çàìêíóòà â ïðîñòðàíñòâå X , òî íàéäåòñÿ íîìåð m è ÷èñëà C1 , C2 , . . . , Cm òàêèå, ÷òî ° m °2 °X ° ° ° Ck ψk − f ° < ε. ° ° ° k=1

Îòñþäà, ñëåäñòâèÿ 3.1, èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ (òåîðåìà 3.2), âûâîäèì îöåíêó

0 ≤ kf k2 −

m X

fk2 < ε.

(3.55)

k=1

Íî òàê êàê

n X k=1

fk2 ≥

m X

fk2

ïðè âñåõ

n ≥ m,

k=1

òî èç (3.55) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî 2

0 ≤ kf k −

n X

fk2 < ε,

k=1

ñïðàâåäëèâîå ïðè âñåõ n ≥ m. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðÿä åãî ñóììà ðàâíà kf k2 .

∞ P k=1

fk2 ñõîäèòñÿ è

Òåîðåìà 3.4 Åñëè îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà {ψk } â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå X ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé, òî ðÿä Ôóðüå ëþáîãî ýëåìåíòà f ∈

X ñõîäèòñÿ ê f ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà X , òî åñòü ° ° n ° °X ° ° fk ψk − f ° = 0. lim ° n→∞ ° ° k=1

26

Îãëàâëåíèå Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò èç òîæäåñòâà Áåññåëÿ (3.49) è

ïðåäûäóùåé òåîðåìû 3.3.

Îïðåäåëåíèå 3.3 Îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà {ψk } â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå X íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè, êðîìå íóëåâîãî ýëåìåíòà, â X íå ñóùåñòâóåò íèêàêîãî äðóãîãî ýëåìåíòà, êîòîðûé áûë áû îðòîãîíàëåí êî âñåì ýëåìåíòàì ψk ñèñòåìû {ψk }. Èíà÷å ãîâîðÿ, ñèñòåìà {ψk } íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè âñÿêèé ýëåìåíò, îðòîãîíàëüíûé êî âñåì ýëåìåíòàì ψk ñèñòåìû {ψk }, ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì ýëåìåíòîì.

Òåîðåìà 3.5 Âñÿêàÿ çàìêíóòàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ïîëíà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {ψk }  çàìêíóòàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå X , f  ëþáîé ýëåìåíò â X , îðòîãîíàëüíûé êî âñåì ýëåìåíòàì ψk ñèñòåìû {ψk }. Òîãäà âñå êîýôôèöèåíòû Ôóðüå fk ýëåìåíòà f ïî ñèñòåìå {ψk } ðàâíû íóëþ. Îòñþäà, ââèäó ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ (3.54), ïîëó÷àåì kf k = 0, ÷òî âëå÷åò ðàâåíñòâî f = 0.

Òåîðåìà 3.6 Ðàçëè÷íûå ýëåìåíòû åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà X ïî ëþáîé ïîëíîé (è òåì áîëåå ïî ëþáîé çàìêíóòîé) îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå â X èìåþò ðàçëè÷íûå ðÿäû Ôóðüå.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {ψk }  ïîëíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå X . Ðàâåíñòâî ðÿäîâ Ôóðüå ïî ýòîé ñèñòåìå äâóõ ýëåìåíòîâ f è g îçíà÷àåò ðàâåíñòâî ñîîòâåòñòâóþùèõ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå ýòèõ ýëåìåíòîâ. Íî òîãäà âñå êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ðàçíîñòè

f − g ðàâíû íóëþ. Ïîýòîìó ðàçíîñòè f − g îðòîãîíàëüíûé êî âñåì ýëåìåíòàì ψk ñèñòåìû {ψk }. À òàê êàê ñèñòåìà {ψk } ïîëíà, f − g = 0. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì f = g .

3. Ðÿä Ôóðüå ïî ïðîèçâîëüíîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå

27

3.3 Çàìêíóòîñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû è ñëåäñòâèÿ èç íåå Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ îïèðàåòñÿ íà òåîðåìó Âåéåðøòðàññà î ðàâíîìåðíîì ïðèáëèæåíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ïîëèíîìàìè.

Òåîðåìà 3.7  ïðîñòðàíñòâå P C[−π, π] òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà (1.6), òî åñòü ñèñòåìà

1 cos x sin x cos nx sin nx √ , √ , √ , ... √ , √ , ... , π π π π 2π ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 3.2 íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ P C[−π, π] è ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ êîíå÷íàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ýëåìåíòîâ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû, òî åñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí T , òàêàÿ, ÷òî



Zπ

kf − T k = 

¡

 12

¢2 f (x) − T (x) dx < ε.

(3.56)

−π

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0 ëþáóþ ôóíêöèþ f ∈ P C[−π, π]. Ïîêàæåì, ÷òî íàéäåòñÿ ôóíêöèÿ F ∈ C[−π, π] (òî åñòü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ), óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ F (−π) = F (π) è òàêàÿ, ÷òî



Zπ

kf − F k = 

¡

f (x) − F (x)

¢2

 12

ε dx < . 2

(3.57)

−π

Ôóíêöèþ F ìîæíî îïðåäåëèòü, íàïðèìåð, ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîëîæèì F (x) = f (x) íà âñåì ñåãìåíòå [−π, π], çà èñêëþ÷åíèåì, äîñòàòî÷íî ìàëûõ îêðåñòíîñòåé òî÷åê ðàçðûâà ôóíêöèè f , ëåæàùèõ â èíòåðâàëå

(−π, π), è ,ïðè íåîáõîäèìîñòè, ïîëóîêðåñòíîñòåé òî÷åê −π è π , à â âûáðàííûõ îêðåñòíîñòÿõ (ïîëóîêðåñòíîñòÿõ) îïðåäåëèì ôóíêöèþ F êàê ëèíåéíóþ ôóíêöèþ, íî òàê ÷òîáû îíà ÿâëÿëàñü íåïðåðûâíîé íà ñåãìåíòå [−π, π] è íà åãî êîíöàõ ïðèíèìàëà çíà÷åíèå f (−π).

28

Îãëàâëåíèå Ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè ôóíêöèè F , äëÿ âñåõ x ∈ [−π, π] ñïðàâåäëèâà

îöåíêà |F (x)| ≤ |f (x)|, à ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà, óêàçàííûå îêðåñòíîñòè ìîæíî âûáðàòü òàê ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî (3.57). Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà äëÿ ôóíêöèè F íàéäåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí T òàêîé, ÷òî

ε |F (x) − T (x)| < √ , 2 2π

x ∈ [−π, π].

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî



Zπ

kF − T k = 

¡

 12 ¢2 ε F (x) − T (x) dx < . 2

(3.58)

−π

Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà äëÿ íîðì , èç (3.57) è (3.58) âûâîäèì íåðàâåíñòâî (3.56):

kf − T k ≤ kf − F k + kF − T k < ε. ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Çàìå÷àíèå. Èç òåîðåì 3.7 è 3.5 ñëåäóåò, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå P C[−π, π] òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà (1.6) ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé. np o Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ñèñòåìà 2/π sin kx ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé íà k∈N

ìíîæåñòâå âñåõ ôóíêöèé, êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ íà ñåãìåíòå [0, π].  ñàìîì äåëå, âñÿêàÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòå [0, π] ôóíênp o öèÿ, îðòîãîíàëüíàÿ íà ýòîì ñåãìåíòå âñåì ýëåìåíòàì ñèñòåìû 2/π sin kx , ïîñëå íå÷åòíîãî ïðîäîëæåíèÿ íà ïîëóñåãìåíò [−π, 0) îêàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé âñåì ýëåìåíòàì òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû (1.6). Ââèäó ïîëíîòû ñèñòåìû (1.6) ýòà ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ íà âñåì ñåãìåíòå [−π, π], à ñëåäîâàòåëüíî, è íà ñåãìåíòå [0, π]. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî íà ìíîæåñòâå âñåõ êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ p p íà ñåãìåíòå [0, π] ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé è ñèñòåìà 1/π , 2/π cos kx (k ∈ N). Èç òåîðåìû 3.3 ïîëó÷àåì

3. Ðÿä Ôóðüå ïî ïðîèçâîëüíîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå

29

Ñëåäñòâèå 3.3 Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ P C[−π, π] ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ ∞

¢ 1 a20 X ¡ 2 + ak + b2k = 2 π k=1

Zπ f 2 (x) dx.

(3.59)

−π

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ñîñòîèò èç ôóíêöèé èíòåãðèðóåìûõ íà ñåãìåíòå [a, b], è ïóñòü f ∈ R[a, b]. Èç ñâîéñòâ èíòåãðàëà ñëåäóåò, ÷òî ïðè êàæäîì n ∈ N ôóíêöèÿ (fn − f )2 ∈

R[a, b].

Îïðåäåëåíèå 3.4 Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) èíòåãðèðóåìûõ íà ñåãìåíòå [a, b] ôóíêöèé ñõîäèòñÿ â ñðåäíåì ê ôóíêöèè f ∈

R[a, b], åñëè

Zb lim

¡

n→∞

¢2 fn (x) − f (x) dx = 0.

a

Èç òåîðåìû 3.4 ïîëó÷àåì

Ñëåäñòâèå 3.4 Òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå ëþáîé ôóíêöèè f ∈ P C[−π, π] ñõîäèòñÿ ê ýòîé ôóíêöèè íà ñåãìåíòå [−π, π] â ñðåäíåì, òî åñòü

Zπ lim

n→∞ −π

¡ ¢2 Sn (x) − f (x) dx = 0,

ãäå Sn  n-àÿ ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ðÿäà Ôóðüå ôóíêöèè f .

Ñëåäñòâèå 3.5 Òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå ëþáîé ôóíêöèè f ∈ P C[−π, π] ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü íà ñåãìåíòå [−π, π].

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ñîãëàñíî ïðåäûäóùåãî ñëåäñòâèÿ 3.4, íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî ïðè âñåõ n ≥ m ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

 π  21 Z ¡ ¢2 ε kSn (x) − f (x)k =  Sn (x) − f (x) dx < √ . 2π −π

30

Îãëàâëåíèå

Èñïîëüçóÿ ýòî íåðàâåíñòâî è íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî, âûâîäèì îöåíêó

¯ π ¯ ¯ π ¯ ¯Z ¯ ¯Z ¯ Zπ ¯ ¯ ¯ ¡ ¢ ¯ ¯ Sn (x) dx − f (x) dx¯ = ¯ Sn (x) − f (x) dx¯¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −π −π −π  π  12  π  21 Z Z ¡ ¢2 ≤ Sn (x) − f (x) dx ·  12 dx < ε, −π

−π

êîòîðàÿ ñïðàâåäëèâà ïðè âñåõ n ≥ m. Òàêèì îáðàçîì äîêàçàíî, ÷òî

Zπ lim

n→∞ −π

Zπ Sn (x) dx =

f (x) dx. −π

Ñëåäñòâèå 3.6 Åñëè äâå ôóíêöèè f, g ∈ P C[−π, π] èìåþò îäèíàêîâûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå, òî ýòè ôóíêöèè ñîâïàäàþò íà âñåì ñåãìåíòå [−π, π]. Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò èç òåîðåìû 3.6.

Ñëåäñòâèå 3.7 Åñëè òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè f ∈ P C[−π, π] ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà íåêîòîðîì ñåãìåíòå [a, b] ⊂ [−π, π], òî îí ñõîäèòñÿ íà ñåãìåíòå [a, b] èìåííî ê ôóíêöèè f .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F  òà ôóíêöèÿ, ê êîòîðîé ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ñåãìåíòå [a, b] òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè f , òî [a,b]

åñòü òàêàÿ ôóíêöèÿ, ÷òî (Sn ) ⇒ F . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî ïðè âñåõ n ≥ m è âñåõ x ∈ [a, b] ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

r |Sn (x) − F (x)| <

ε . 2(b − a)

Íî òîãäà, ïðè âñåõ n ≥ m, èìååì

Zb a

¡ ¢2 Sn (x) − F (x) dx ≤

ε · 2(b − a)

Zb dx = a

ε < ε, 2

3. Ðÿä Ôóðüå ïî ïðîèçâîëüíîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå

31

òî åñòü ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè f ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè F íà ñåãìåíòå [a, b] â ñðåäíåì. Ñëåäîâàòåëüíî, íàéäåòñÿ íîìåð N1 òàêîé, ÷òî ïðè âñåõ n ≥ N1 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî



Zb

kSn (x) − F (x)k = 

¡

Sn (x) − F (x)

¢2

 21 dx <

ε . 2

(3.60)

a

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 3.4 ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè f ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f â ñðåäíåì íà ñåãìåíòå [−π, π], à ñëåäîâàòåëüíî, è íà ñåãìåíòå [a, b]. Ïîýòîìó íàéäåòñÿ íîìåð N2 ≥ N1 òàêîé, ÷òî ïðè âñåõ

n ≥ N2 ñïðàâåäëèâà îöåíêà 

Zb

kSn (x) − f (x)k = 

¡

 21

¢2 ε Sn (x) − f (x) dx < . 2

(3.61)

a

Èñïîëüçóÿ (3.60) è (3.60) è ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà, ïîëó÷àåì

kF (x) − f (x)k ≤ kSn (x) − F (x)k + kSn (x) − f (x)k < ε,

n ≥ N2 .

 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε > 0, ýòà îöåíêà îçíà÷àåò, ÷òî kF (x) − f (x)k = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, íà îñíîâàíèè àêñèîìû íîðìû ðàçíîñòü F −f åñòü íóëåâîé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà P C[a, b]. Òàêèì îáðàçîì, F (x) = f (x) ïðè âñåõ

x ∈ [a, b].

3.4 Êîíòðîëüíûå âîïðîñû, çàäà÷è, óïðàæíåíèÿ Zx 1. Ðàçëîæèòü ïî ñòåïåíÿì x ôóíêöèþ f (x) =

√ 0

ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ïîëó÷åííîãî ðÿäà.

dt è îïðåäåëèòü 1 − t4

1

Z2 2. Ïðåäñòàâèòü èíòåãðàë

ln(1 + x) dx â âèäå ðÿäà. x

1 4

3. Ñëåäóþùèå ôóíêöèè ðàçëîæèòü ïî ñòåïåíÿì óêàçàííûõ âûðàæåíèé:

a)

1 arctg , x

1 ; x

b)

ln x,

1−x ; 1+x

32

Îãëàâëåíèå

c) f (x) = x, sin x;

d)

ln | sin x|,

cos(2x).

4. Íå ïðîèçâîäÿ ðàçëîæåíèÿ ñëåäóþùèõ ôóíêöèé â ðÿä Òåéëîðà ïî ñòåïåíÿì x−a , óêàçàòü èíòåðâàëû ñõîäèìîñòè ýòèõ ðÿäîâ ê äàííûì ôóíêöèÿì:

a)

ln(1 + 8x3 ),

a = 0;

b)

x2

1 , +9

a = 4.

5. Íàéòè çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ñåìüäåñÿò øåñòîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè

f (x) = ln(x2 + 2x + 2) â òî÷êå x = −1. 6. Ïóñòü ôóíêöèÿ f àíòèïåðèîäè÷íà ñ ïåðèîäîì π , òî åñòü f (x + π) =

−f (x). Êàêîé îñîáåííîñòüþ îáëàäàåò ðÿä Ôóðüå ýòîé ôóíêöèè íà ñåãìåíòå [−π; π]? 7. Ïóñòü ôóíêöèÿ f ïåðèîäè÷íà ñ ïåðèîäîì π . Êàêîé îñîáåííîñòüþ îáëàäàåò ðÿä Ôóðüå ýòîé ôóíêöèè íà ñåãìåíòå [−π; π]? 8. Çíàÿ êîýôôèöèåíòû Ôóðüå an , bn èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè f , èìåþùåé ïåðèîä 2π , âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíòû Ôóðüå αn , βn ñìåùåííîé ôóíêöèè f (x + h), ãäå h  íåêîòîðîå ÷èñëî. ∞ P

sin nx , x ∈ (−π; π), ïî÷ëåín n=1 íûì èíòåãðèðîâàíèåì ïîëó÷èòü ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå íà èíòåð-

9. Èñõîäÿ èç ðàçëîæåíèÿ x = 2

(−1)n+1

âàëå (−π; π) ôóíêöèè x2 . 10. Êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ôóíêöèé ϕ è ψ , åñëè ϕ(−x) = −ψ(x)?

Ëèòåðàòóðà [1] Í.Í. Âîðîáüåâ, Òåîðèÿ ðÿäîâ, Ì.: Íàóêà, 1979. [2] Á.Ï. Äåìèäîâè÷, Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêî-

ìó àíàëèçó (äëÿ óíèâåðñèòåòîâ è ïåäàãîãè÷åñêèõ èíñòèòóòîâ), Ì.:Íàóêà, 1961. [3] Â.À. Çîðè÷, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×àñòü II, Ì.:Íàóêà, 1984. [4] Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×àñòü

II, Ì.: Íàóêà, 1973. [5] È.È. Ëÿøêî, À.Ê. Áîÿð÷óê, ß.Ã. Ãàé, À.Ô. Êàëàéäà, Ìàòåìàòè÷å-

ñêèé àíàëèç. ×àñòü II, Êèåâ: Âèùà øêîëà, 1985. [6] Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ (â ïÿòè òîìàõ), Ì.: Ñîâåòñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ, 1977-1985. [7] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñ-

ëåíèÿ. Òîì II, Ì.: Íàóêà, 1962. [8] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Òîì II, Ì.: Íàóêà, 1968. [9] Ï.À. Øìåëåâ, Òåîðèÿ ðÿäîâ â çàäà÷àõ èóïðàæíåíèÿõ, Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1983.

33

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü ýëåìåíò íîðìèðîâàííûé, 4 ýëåìåíòû îðòîãîíàëüíûå, 4 ôóíêöèÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ, 2 èíòåãðàë Äèðèõëå, 9 êîýôôèöèåíòû Ôóðüå, 6 íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ, 24 îòêëîíåíèå, 22 ïðîèçâåäåíèå ñêàëÿðíîå, 2 ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ, 25 ðÿä Ôóðüå, 6 òðèãîíîìåòðè÷åñêèé, 7 â êîìïëåêñíîé ôîðìå, 20 ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì, 29 ñèñòåìà îðòîíîðìèðîâàííàÿ, 4 ïîëíàÿ, 26 çàìêíóòàÿ, 24 òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ, 4 ñóììà ðÿäà Ôóðüå ÷àñòè÷íàÿ, 7 òîæäåñòâî Áåññåëÿ, 23 óñëîâèå üëüäåðà, 14 îäíîñòîðîííåå, 14 Ëèïøèöà, 15

34